close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

отчет (4)

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Ижевский государственный технический университет имени М.Т. Калашникова"
Кафедра ВТ
ОТЧЕТ
по лабораторной работе №1
"Проектирование БИХ - фильтра Чебышева 1 рода"
Выполнил:
студент группы М03-781-1 Белоусов Д.Н.
Принял: Гитлин В. Б.
Ижевск 2013
Содержание
Введение03
Фильтр Чебышева04
Фильтр Чебышева 1-го рода04
Полюса и нули06
Задание08
Выполнение работы09
Расчет нормализованного ФНЧ09
Переход от нормализованного ФНЧ к ФВЧ010
Переход от аналогового фильтра к цифровому010 Построение структуры фильтра012
Моделирование014
Заключение018
Введение
Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтр) - линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образует обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми, так и цифровыми.
Примерами БИХ-фильтров являются фильтр Чебышева, фильтр Баттерворта, Фильтр Калмана и фильтр Бесселя.
Разностное уравнение, описывающее дискретный БИХ-фильтр, устанавливает связь между входным и выходным сигналами во временной области:
где - порядок входного сигнала, - коэффициенты входного сигнала, - порядок обратной связи, - коэффициенты обратной связи, - входной, а - выходной сигналы. Более компактная запись разностного уравнения:
Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим
где - дельта - функция. Тогда импульсная переходная функция (ядро фильтра) записывается как
Z - преобразование импульсной переходной функции даёт передаточную функцию БИХ-фильтра:
Фильтр Чебышева
Фильтр Чебышева - один из типов линейных аналоговых или цифровых фильтров, отличительной особенностью которого является более крутой спад амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) и существенные пульсации амплитудно-частотной характеристики на частотах полос пропускания (фильтр Чебышева I рода) и подавления (фильтр Чебышева II рода), чем у фильтров других типов. Фильтр получил название в честь известного русского математика XIX века Пафнутия Львовича Чебышева, так как характеристики этого фильтра основываются на многочленах Чебышева.
Фильтры Чебышева обычно используются там, где требуется с помощью фильтра небольшого порядка обеспечить требуемые характеристики АЧХ, в частности, хорошее подавление частот из полосы подавления, и при этом гладкость АЧХ на частотах полос пропускания и подавления не столь важна.
Различают фильтры Чебышева I и II родов.
Фильтр Чебышева 1 - го рода
Это более часто встречающаяся модификация фильтров Чебышева. Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра -го порядка задаётся следующим выражением:
где - показатель пульсаций, - частота среза, а - многочлен Чебышева -го порядка.
График АЧХ приведен на рис.1.
Рисунок 1 - АЧХ фильтра Чебышева 1-го рода
В полосе пропускания такого фильтра видны пульсации, амплитуда которых определяется показателем пульсации . В полосе пропускания многочлены Чебышева принимают значения от 0 до 1, поэтому коэффициент усиления фильтра принимает значения от максимального до минимального . На частоте среза коэффициент усиления имеет значение , а на частотах выше неё продолжает уменьшаться с увеличением частоты.
В случае аналогового электронного фильтра Чебышева его порядок равен числу реактивных компонентов (например, индуктивностей), использованных при его реализации.
Пульсации в полосе пропускания часто задаются в децибелах:
Пульсации в дБ = .
Например, пульсации амплитудой в 3 дБ соответствуют .
Более крутой спад характеристики может быть получен если допустить пульсации не только в полосе пропускания, но и в полосе подавления, добавив в передаточную функцию фильтра нулей на мнимой оси в комплексной плоскости. Это, однако, приведёт к меньшему эффективному подавлению в полосе подавления. Полученный фильтр является эллиптическим фильтром, также известным как фильтр Кауэра.
Полюса и нули
Полюса и нули фильтра Чебышева 1 - го рода приведены на рис.2
Рисунок 2 - полюса и нули фильтра Чебышева 1-го рода
Логарифм модуля амплитудной характеристики фильтра Чебышева I рода 8-го порядка на плоскости комплексной частоты () при и . Белые пятна - это полюса фильтра. Они расположены на эллипсе с полуосью 0,3836... по действительной оси и 1,071... по мнимой оси. Полюса передаточной функции фильтра расположены в левой полуплоскости. Чёрный цвет соответствует коэффициенту передачи менее 0,05, белый соответствует коэффициенту передачи более 20.
Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса фильтра Чебышева являются нулями его знаменателя. Используя комплексную частоту , получим:
.
Представив и используя тригонометрическое определение многочленов Чебышева, получим:
.
Разрешим последнее выражение относительно .
Тогда полюса фильтра Чебышева определяются из следующего выражения:
.
Используя свойства тригонометрических и гиперболических функций, запишем последнее выражение в комплексной форме:
,
где и
.
Это выражение можно рассматривать как параметрическое уравнение с параметром . Оно показывает, что полюса лежат на эллипсе в -плоскости, причём центр эллипса находится в точке , полуось действительной оси имеет длину , а полуось мнимой оси имеет длину .
Задание
Задание: необходимо спроектировать БИХ - фильтр верхних частот Чебышева четного порядка.
Выполнение работы
Расчет нормализованного фильтра
Будем реализовывать фильтр 2-го порядка (n=2). Формула для вычисления передаточной характеристики фильтра Чебышева 1-го рода имеет вид:
где - некоторая комплексная величина, определяющая расположение каждого из полюсов фильтра.
Поскольку нули и полюса обладают квадратной симметрией, то мы всегда будем иметь дело с комплексно-сопряженными парами нулей и полюсов. Тогда для фильтра четного порядка получим:
где - величина, комплексно сопряженная с , .
При имеем:
Получили передаточную функцию для звена фильтра 2-го порядка.
Квадрат амплитудной характеристики фильтра Чебышева типа 1 выглядит следующим образом:
где - полином Чебышева n-го порядка, который для полосы пропускания вычисляется следующим образом:
На нулевой частоте многочлен Чебышева при четном n и, следовательно: Из этого следует, что при четном порядке фильтра, коэффициент передачи на нулевой частоте должен быть равен:
(**)
Подставим S=0 в полученную нами функцию (*):
Видно, что условие (**) не выполняется. Для его выполнения необходимо, чтобы передаточная функция (*) имела вид:
Переход от нормализованного ФНЧ к ФВЧ
Теперь перейдем к ФВЧ с нужной нам частотой среза.
Для этого произведем замену :
Получили передаточную функцию ФВЧ Чебышева 1-го рода с необходимой нам частотой среза.
Переход от аналогового фильтра к цифровому
Тогда
Выполним замену Тогда
Получена передаточная характеристика цифрового фильтра.
В общем случае для звена 2-го порядка передаточная характеристика цифрового фильтра имеет вид
Примем Тогда
Теперь нужно перейти от к :
- следует из билинейного преобразования.
С учетом этих соотношений
Получили коэффициенты фильтра Чебышева 1-го рода 2-го порядка. Построение структуры фильтра
Для того, чтобы построить фильтр, представим в следующем виде:
Структура такого фильтра приведена на рис.3.
Рисунок 3 - структура фильтра
Моделирование
Моделирование фильтра будем производить в программе Scilab 5.0.4.
Код программы приведен ниже:
clc;
close;
clear;
stacksize('max');
Fcut=300;
F=1000;
A=100;
Fs=2000;
n=2;
nz=floor(n/2);//число звеньев 2 порядка
tang=tan(%pi*Fcut/Fs);
ep=1;
b=(1/n)*asinh((1/ep));
//Коэффициенты фильтра 1 порядка
//if(2*nz<n) then
// a1_0=1;
// a1_1=(tang-1)/(tang+1);
// b1_0=1/(tang+1);
// b1_1=-b1_0;
//end
//Коэффициенты фильтра 2 порядка
for i=1:nz
//cosalpha=cos(%pi*(0.5+((2*(i-1)+1)/(2*n))));
alfak=%pi*((2*i-1)/(2*n));
ak=-sin(alfak)*sinh(b);
bk=cos(alfak)*cosh(b);
a0(i)=1;
a1(i)=(2*tang*tang-ak*ak-bk*bk)/(tang*tang-2*ak*tang+ak*ak+bk*bk);
a2(i)=(tang*tang-2*ak*tang)/(tang*tang-2*ak*tang+ak*ak+bk*bk); b0(i)=((sqrt(1/(1+ep*ep)))*(ak*ak+bk*bk))/(tang*tang-2*ak*tang+ak*ak+bk*bk);
b1(i)=-2*b0(i);
b2(i)=b0(i); end
//Тестовый вход
for i = 1:Fs
in(i) = A*sin(2*%pi*i*F/Fs);
t(i) = i/Fs;
end
for i = 1:Fs
iBuf(i)= in(i);
tBuf(i)= t(i);
end
if(2*nz<n) then
W0=0;
W1=0;
for i=1:Fs
W0=iBuf(i)-W1*a1_1;
iBuf(i)=W0*b1_0+W1*b1_1;
W1=W0;
end
end
for k=1:nz
W0=0;
W1=0;
W2=0;
for i=1:Fs
W0=iBuf(i)-W1*a1(k)-W2*a2(k);
iBuf(i)=W0*b0(k)+W1*b1(k)+W2*b2(k);
W2=W1;
W1=W0; end
end
OutA=0;
for i=Fs/2:Fs
if iBuf(i)>OutA then OutA=iBuf(i);
end
end
Mod=20*log10(OutA/A);
//АЧХ
for j=1:((Fs/2)-1)/10
for i = 1:Fs
f(i) = A*sin(2*%pi*i*(1+(j-1)*10)/Fs);
end if(2*nz<n) then
W0=0;
W1=0;
for i=1:Fs
W0=f(i)-W1*a1_1;
f(i)=W0*b1_0+W1*b1_1;
W1=W0;
end
end
for k=1:nz
W0=0;
W1=0;
W2=0;
for i=1:Fs
W0=f(i)+W1*(-a1(k))+W2*(-a2(k));
f(i)=W0*b0(k)+W1*b1(k)+W2*b2(k);
W2=W1;
W1=W0; end
end
Max(j)=0;
for i=Fs/2:Fs
if f(i)>Max(j) then Max(j)=f(i);
end
end
tt(j)=1+(j-1)*10;
end
//графика
figure(1);
clf; subplot(3,2,1)
plot2d2('gnn',tBuf,in)
xtitle('Input')
subplot(3,2,2)
plot2d1('gnn',tt,Max)
xtitle('Frequency Response')
xgrid(12);
subplot(3,2,3)
plot2d2('gnn',tBuf,iBuf)
xtitle('Output')
subplot(3,2,4)
plot2d1('gnn',tt,20*log10(Max/A))
xgrid(12);
xtitle('Bode Frequency Response')
subplot(3,2,5)
xstring(0.01,0.85,sprintf('Input amplitude = %d',A),0);
xstring(0.01,0.75,sprintf('Out amplitude = %d',OutA),0);
xstring(0.01,0.65,sprintf('Frequency = %dHz',F),0);
if Mod<0 then
xstring(0.01,0.55,sprintf('Attenuation = %fdB',Mod),0);
end
if Mod>=0 then
xstring(0.01,0.55,sprintf('Amplification = %fdB',Mod),0);
end
xstring(0.01,0.45,sprintf('Order = %d',n),0);
xtitle('Data')
subplot(3,2,6)
xstring(0.01,0.95,'Cascade Order a0 a1 a2 b0 b1 b2')
for i=1:nz
if i<10 then xc=0.03;
end
if i>=10 then xc=0.025;
end
xstring(xc,0.95-i*0.05,sprintf('%d %d %f %f %f %f %f %f',i,2,a0(i),a1(i),a2(i),b0(i),b1(i),b2(i)),0)
end
//if(2*nz<n) then
xstring(xc,0.90-nz*0.05,sprintf('%d %d %f %f %f %f %f %f',nz+1,1,a1_0,a1_1,0,b1_0,b1_1,0),0)
//end
xtitle('a&b')
График АЧХ фильтра приведен на рис. 4.
Рисунок 4 - АЧХ фильтра
Реакции на входной сигнал приведены на рис. 5, 6.
Рисунок 5 - реакция на входной сигнал
Рисунок 6 - реакция на входной сигнал
Заключение
В ходе выполнения лабораторной работы был спроектирован БИХ - фильтр верхних частот Чебышева 1-го рода четного (2-го) порядка.
2
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
157
Размер файла
557 Кб
Теги
лабораторная работа, лаба, отчет, лабораторная
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа