close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Первісна і невизначений інтеграл

код для вставкиСкачать
Определение: Функция F(х) называется первообразной
функции f(х) на промежутке Х, если
x X
F ( x ) f ( x )
Теорема: Если функция f(х) непрерывна при x X ,то
для f(х) существует первообразная F(х) на Х.
Замечание 1: Условие непрерывности не является
необходимым для существования первообразной. Пример
разрывной функции, имеющей первообразную:
Пусть
х 0,
0,
f (x) 1
1
2
х
sin
cos
, х 0.
x
x
0,
F (х) 2
1
х
sin
,
x
х 0,
х 0.
Пример:
f ( x ) x 1 2 x 1
Найдите первообраз ную функции
на R .
Решение. Данная функция может быть записана в виде:
2 x 3 x 1, если x 1,
f x 2
2
x
3 x 1, если x 1 .
2
Найдем соотношени
2
F2 ( x ) 2
x 3
3
3
3
2
x 3
3
2
x x C 1 , если x 1;
2
x x C 2 , если x 1 .
2
е между С 1 и С 2 , при котором
1
С1 F ( x) F1 ( x ) 2
x 3
3
2
3
3
3
2
x 3
3
2
С2.
x x
2
F1 (1) F 2 (1) :
1
C,
если
x 1,
если
x 1.
3
x x C,
2
Замечание 2: Если функция f(х) определена на промежутке
Х и в точке
то есть
x0 X
имеет разрыв в виде скачка,
lim f ( x ) lim f ( x )
x x0 0
x x0 0
,
то функция f(x) не имеет первообразной на любом
промежутке, содержащем точку x 0 .
Теорема 2: Если F(x) одна из первообразных функции f(x),
на промежутке Х, то любая первообразная на этом промежутке
имеет вид F(x)+C.
Определение: Множество всех первообразных функции
f(x) называется неопределенным интегралом от функции
f(x) на этом промежутке и обозначается
f ( x ) dx
Основные свойства неопределенного
интеграла.
1.
f ( x ) dx f ( x ).
2 . f x dx f ( x ) C .
3 . kf ( x ) dx k f ( x ) dx .
4 . f 1 x f 2 ( x ) dx 5 . f kx b dx 1
k
f 1 ( x ) dx f 2 ( x ) dx .
F kx b C .
6 . f x d g x f x g x g x d f x .
1.Табличный.
2.Сведение к табличному преобразованием
подынтегрального выражения в сумму или
разность.
3.Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
4.Интегрирование по частям.
Нахождение интеграла методом преобразования
подынтегральной функции в сумму или разность.
1 . sin 3 x cos x 2. 1
2
dx
2
2
sin
sin 5 x cos 5 x
4 x sin 2 x dx cos
2
2
1
5
4
3. 2
x 1
2
dx 2
2
sin 5 x cos 5 x
x 3x 1
5 x sin 5 x dx
ctg 5 x 1
1
cos 4 x 8
1
cos 2 x C .
4
1
1
sin 2 5 x cos 2 5 x dx tg 5 x C .
5
1 1 3
2
x
2
dx
x 2 x arctg x C .
2
x 1
3
Интегрирование методом замены переменной.
3
1 . x 3 x 1 dx 2
Пусть
2. 1
6
1
2
t
3x 1 t,
2
sin 2 x dx
1 t2
1
2
dt C 3x 1
6 3
9
2
тогда
т . е.
3x 1 C.
x dx 2
dt .
6 1
6
1 t
1
7
t dt C C.
7
6
cos 2 x
2
2 6
12 cos 2 x
Пусть
1
6 x dx dt ,
cos 2 x t , тогда
dt 2 sin 2 x dx ,
т . е . sin 2 x dx dt .
2 1
x
3. е dx
cos
2
dt
e 1 cos
x
Пусть
2
t
e 1 t,
x
tg t C tg e 1 C .
тогда
x
dt e dx .
x
Интегрирование выражений, содержащих радикалы,
методом подстановки.
t 1
2
1 . x 2 x 1 dx 1
10
Пусть
t t dt 2
2 x 1
2
1
2
2x 1 1
6
t
4
t
2 x 1
2
dt 1
10
тогда
x
1
t C 3
6
2x 1 C.
t 1
2
2 x 1 t,
t 5
2
,
dx t dt .
2. x dx
2x
3
2 t 3t dt
3 2
2
2
t
6t 2
12
t 5
5
6
3
2 x 2
Пусть
12
5
3
3 4t 4t t
dt t C 8
2 x 2 x 2 x t,
т . е.
7
8
3
3
4
2
3
8
2 x 2 3 2 x 2
тогда
dx 3 t dt
2
x 2t ,
3
.
C.
Интегрирование алгебраических дробей.
1. x3
1 5
1 1
dx dx 5 ln x 2 ln x 2 C .
2
x 4
4x2 x2
4
x3
x 4
2
a
x2
b
x2
;
а b 1;
2 a 2b 3.
x3
x 3 a x 2 b x 2 ;
x 3 a b x 2 a 2 b ;
5
a 4 ;
b 1 ;
4
1 5
1 .
2
x 4 4x2 x2
Интегрирование по частям.
1 . x cos x dx 2 . x e dx 2x
1
x d sin
2
x de
2
2
1
1
2
x e
2x
2x
x d cos 2 x 2
1
x cos 2 x 1
2
2
x cos 2 x 2
1
2
e dx x cos 2 x dx 2 x
2
1
x cos 2 x 2
2
1
2x
2
3 . x sin 2 x dx 1
x x sin x sin x dx x sin x cos x C .
2
1
2
x
x sin 2 x 4
cos 2 x C .
xe
2
2x
1
e
2x
C.
4
cos 2 x cos 2 x dx
cos 2 x x sin 2 x sin 2 x dx 1
2
1
1
x d sin
2
2x 2
4 . e sin x dx x
sin x de e sin x e d sin x x
x
x
e sin x e cos x dx e sin x cos x d e
x
x
x
e sin x e cos x x
x
x
e d cos x x
e sin x cos x e sin x dx .
x
x
Получили :
e sin x dx e sin x cos x e sin x dx .
x
Таким
значит
x
образом :
x
2 e sin x dx e sin x cos x C ,
e sin x dx x
x
e
x
2
x
sin
x cos x C .
Автор
sudarinya_324512
Документ
Категория
Образовательные
Просмотров
335
Размер файла
3 959 Кб
Теги
первісна, інтеграл, невизначений
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа