close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Курсовая Работа (4)

код для вставкиСкачать

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого"
(НовГУ)
Великий Новгород
Институт электронных и информационных систем
Кафедра прикладной математики и информатики
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
"ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"
Выполнил:
студент группы 0311
__________Чалов Г.А.
" ___"_____________2013 г.
Проверил(а):
к. ф.- м.н., доцент
_______________Жгун Т.В.
" ___"_____________2013 г.
Мой вариант задания:
K= 1
M - номер в списке: 12
Фамилия1, 14234567лабор. работа13mN функ.N примераN примераN примераN функцииN примера12Чалов1234.31239122
1 ЗАДАНИЕ №1
Задание
Найти корни уравнения f(x) = 0 методом итераций с точностью ε=10-5 .
f(x) =√(x^1451 )-2,12123 cos^31⁡(πx/2) = 0
Идея метода простых итераций
Представим функцию f(x)=0 в виде x = φ(x). На каждом шаге x(n) = φ (x(n-1)). Значение x(n) постепенно приближается к корню уравнения f(x)=0.
Построение итерационной функции
Преобразуем выражение〖 cos〗^31⁡(πx/2) = 1/2.12123 √(x^1451 )
πx/2≈arccos(√(62&〖0.22224x〗^1451 ))или x=2arccos(√(62&〖0.22224x〗^1451 ))/π, значит
φ(x)=2arccos(√(62&〖0.22224x〗^1451 ))/π- искомая итерационная функция
Критерий окончания итерационного процесса
Требуемая точность будет достигнута, когда,где q = max|φ'(x)| на промежутке [0.85, 0,9].
φ'(x) = -(14.5419√(62&x^1451 ))⁄(x√(1-0.952642√(31&x^1451 )) )
Из графика функции φ'(x) видно, что функция φ'(x) - убывающая на промежутке[0.85, 0,9] , следовательно:
q = φ'(0,85) ≈ 0.4
Таблица 1 - Поиск корня уравнения методом простых итераций.
nx(n-1)x(n)10.850000.000001.4166720.000000.000000.00000
ВЫВОД
С помощью метода простых итераций за 2 шага был найден корень уравнения f(x)=0, полученный корень: x = 0.00000±0.00001
3. ЗАДАНИЕ №4
3.1. Задание
С точностью ε = 10-3 найти наименьший положительный корень уравнения f(x) = 0.
Методом половинного деления
Методом Ньютона
Методом хорд
Результаты занести в таблицу.
f(x) = tg(3,72x)+3x
Исследование задачи
Построив график функции f(x) (Рис. 1), находим, что наименьший положительный корень уравнения f(x)=0 находится на промежутке [0.5, 0.6]. Все методы будем применять для поиска корня именно на этом промежутке.
Рисунок 3.1. График функции f(x)
Идея метода половинного деления. Разделим исходный отрезок [a,b] пополам c=(a+b)/2 .
Проверяя знаки f(a), f(b), f(c) выясним в каком из отрезков [a,c] или [c,b] содержится корень
x*[a,c] , еслиf(a)f(c)<0 ;
x*[c,b] , еслиf(c)f(b)<0 .
Выбранный отрезок принимаем за [a,b] и повторяем это до тех пор пока получаемый отрезок не сожмется до заданной степени точности. Идея метода Ньютона
Зададим некоторое начальное приближение x0[a,b] и линеаризуем функцию f(x) в окрестности x0с помощью отрезка ряда Тейлора
f(x) = f(x0) + f '(x0) (x-x0).
Решим линеаризованное уравнениеf(x0) + f '(x0)(x-x0) = 0, трактуя его решение x как первое приближение к корню
x1 = x0 - f(x0)/f '(x0) .
Продолжая этот процесс, приходим к формуле Ньютона
,
которую можно считать итерационным процессом с итерирующей функцией s(x) = x - f(x)/f '(x).
Идея метода хорд
Этот метод можно получить из метода Ньютона, заменив производную f '(x) отношением разности функции к разности аргумента в окрестности рассматриваемой точки
Геометрически это означает, что приближенным значением корня считается точка пересечения секущей, проходящей через две точки функции f(x(n)) и f(x(n-1)), с осью абсцисс.
Таблица 3 - Нахождение корня уравнения методом половинного деления
Число шагов , nab|a-b|00.50000.60000.100010.55000.60000.050020.55000.57500.025030.56250.57500.012540.56250.56880.006350.56250.56560.003160.56410.56560.001670.56480.56560.0008
Таблица 4 - Нахождение корня уравнения методом Ньютона
Число шагов , nПриближение, x(n)|x(n)-x(n-1)|00.5-10.53820.038220.56120.023030.56540.004240.56540.0001
Таблица 5 - Нахождение корня уравнения методом хорд
Число шагов , nx(n+1)|x(n)-x(n+1)|00.60000.100010.57830.021720.56330.015030.56560.002340.56540.0001
3.2. Вывод:
Наименьший положительный корень уравнения f(x)=0x = 0.565±0.001. С помощью метода половинного деления требуемой точности удалось достичь за 7 шагов, с помощью метода Ньютона - за 4 шага, с помощью метода хорд - за 4 шага. Значит, в нашем случае, наибольшей скоростью сходимости обладают метод Ньютона и метод хорд.
5. ЗАДАНИЕ №6
5.1. Задание
Вычислить определённый интеграл с помощью формул:
-трапеций;
-Симпсона;
-прямоугольников (3 шт.) с числом узлов .
Оценить погрешность по формуле Рунге.
∫_2^3▒dx/(1+ √(ln⁡x ))
5.2. Описание метода решения задачи
Для вычисления определенного интеграла воспользуемся так называемыми квадратурными формулами.Формула прямоугольников для приближенного вычисления определенного интеграла от непрерывной на [a,b]функцииf(x)имеет вид: ∫_a^b▒f(x)dx≈h ∑_(i=0)^(n-1)▒〖f(x_i)〗- формула левых прямоугольников
∫_a^b▒f(x)dx≈h ∑_(i=1)^n▒〖f(x_i)〗- формула правых прямоугольников
∫_a^b▒f(x)dx≈h ∑_(i=1)^n▒f((x_i+x_(i-1))/2) - формула средних прямоугольников,
где x_i=a+ih, h=(b-a)/n
Формула трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла от непрерывной на [a, b] функции f(x) имеет вид: ∫_a^b▒〖f(x) dx〗≈I_k= h/2 ∑_(i=0)^(n-1)▒〖(f(x_i )+f(x_(i+1)))〗
Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного интеграла от непрерывной на [a, b] функции имеет вид: ∫_a^b▒f(x)dx≈I_k= h/3 (f(x_0 )+2∑_(i=1)^(n/2-1)▒〖(f(x_2i ) 〗+ 4∑_(i=1)^(n/2)▒〖f(x_(2i-1) 〗)+f(x_n))
5.3. Оценка погрешности квадратурных формул. Правило Рунге.
Для оценки погрешности R квадратурной формулы для непрерывной на [a, b] функции f(x), можно использовать правило Рунге: вычислить по соответствующей квадратурной формуле с шагом h=(b-a)/nи с шагомh/2
значения IkиIk/2, и найти приближенное значение интеграла и оценку погрешности по формулам: - для формулы прямоугольников; -для формулы трапеций; - для формулы Симпсона.
Таблица 7 - Вычисление определенного интеграла с помощью квадратурных формул
In(n = 12)In/2(n = 24)IRМетод левых прямоугольников0.5133120.5140930.5136860.000406Метод правых прямоугольников0.5105250.5116990.5120910.000391Метод средних прямоугольников0.5128740.5128850.5128890.000004Метод трапеций0.5129180.5128960.5129030.000007Метод Симпсона0.5128890.5128890.5128890.000000
5.4. Вывод: искомый определенный интеграл получился равным:
I ≈ 0.512903 ±0.000007- по формуле трапеций
I ≈ 0.512889 ±0.000004 - по формуле прямоугольников
I ≈ 0.512889 - по формуле Симпсона
Как видно, наименее точной из этих формул является формула трапеций, наиболее точной - формула Симпсона.
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
44
Размер файла
56 Кб
Теги
работа, курсовая
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа