close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

kursach suka mat yogo

код для вставкиСкачать
Закони великих чисел
Нехай маємо послідовність випробувань, в кожному з яких деяка подія А з'являється з ймовірністю p незалежно від результатів інших випробувань. Утворимо послідовність випадкових величин наступним чином. Покладемо ξ_k= 1, якщо подія А в k-му випробуванні сталася, і ξ_k= 0 в іншому випадку. Тоді 〖{ ξ_k}〗_(k=1)^∞ буде послідовністю незалежних випадкових величин, однаково розподілених за законом Бернуллі: Р (ξ_k= 1) = p, Р (ξ_k= 0) = q = 1- p, Ε ξ_k= p, D ξ_k= pq. Сума S_n= ξ_1+...+ ξ_n∈B_p^n ні що інше, як число появ події А в n перших випробувань. Очевидно, ΕS_k=np, DS_n=npq.
Наступне твердження носить назву закону великих чисел для схеми Бернуллі.
Теорема 1. Для будь-якого ε>0 P(|S_n/n-p|>ε)→0 при n→∞.
Теорема 2 (посилений закон великих чисел для схеми Бернуллі). Для будь-якого ε>0 при n→∞
P(〖sup〗┬(k≥n)⁡|S_k/k-p|>ε)→0.
Сенс цього факту полягає в тому, що означення ймовірності відповідає інтуїтивному розумінню ймовірності як границі частоти появи події. Адже S_n/n можна розглядати як частоту появи події А, для якої P(А)=p. І виявилося, що у відомому сенсі S_n/n необмежено зближається з p.
Доведення теореми 2. Маємо P(〖sup〗┬(k≥n)⁡|S_k/k-p|>ε)=P(⋃_(k=n)^∞▒{|S_k/k-p|>ε} )≤∑_(k=n)^∞▒〖P(|S_k/k-p|>ε)≤〗 ≤∑_(k=n)^∞▒(E(S_k-kp)^4)/(k^4 ε^4 ). (1)
Тут ми скористалися нерівністю Чебишева з четвертими моментами. Розкриваючи дужки, знаходимо
E(S_k-kp)^4=E(∑_(j=1)^k▒(ξ_j-p) )^4=∑_(j=1)^k▒(ξ_j-p)^4 +6∑_(i<j)▒〖(ξ_i-p)^2 (ξ_j-p)^2 〗=k(pq^4+qp^4 )+3k(k-1) (pq)^2≤k+k(k-1)=k^2. (2)
Таким чином, оцінювана ймовірність не перевищує ε^(-4) ∑_(k=n)^∞▒k^(-2) →0 при n→∞. ∎
Неважко бачити, що якби ми в (1) скористалися нерівністю Чебишева з другими моментами, то необхідної оцінки не отримали б. Можна відзначити також, що насправді для ймовірностей P(|S_k-kp|>εk) вірні і сильніші оцінки, ніж ті, якими ми користувалися.
Наслідок 1. Якщо f (х) - неперервна функція на [0, 1], то при n→∞ рівномірно по p
Ef(S_n/n)→f(p). (3) Доведення випливає з того, що будь-якому ε>0
E|f(S_n/n)-f(p)|≤≤E(|f(S_n/n)-f(p)|;|S_n/n-p|≤ε)+E(|f(S_n/n)-f(p)|;|S_n/n-p|>ε)≤≤sup┬(|x|≤ε)⁡〖|f(p+x)-f(p)|+o(1).〗 ∎
Наслідок 2. Якщо f (х) - неперервна функція на [0, 1], то при n→∞ ∑_(k=0)^n▒〖f(k/n)(■(n@k)) x^k (1-x)^(n-k) 〗→f(x)
рівномірно по x∈[0,1].
Це співвідношення є просто іншим записом (3) , так як Р(S_n=k)==(■(n@k)) p^k (1-p)^(n-k). З нього випливає відома теорема Вейєрштрасса про наближення неперервних функцій поліномами. При цьому потрібні поліноми побудовані в явному вигляді - це поліноми Бернштейна.
Локальна гранична теорема Ми знаємо, що Р(S_n=k)=(■(n@k)) p^k q^(n-k), q=1-p. Однак ця формула при великих n і k стає незручною для обчислень, у зв'язку з чим виникає питання про асимптотичну поведінку ймовірності Р(S_n=k) при n→∞.
Надалі символ a_n~b_n, де {a_n} і {b_n} - дві числові послідовності, означатиме, що a_n/b_n →1 при n→∞. При цьому такі послідовності {a_n} і {b_n} будемо називати еквівалентними. Позначимо
H(x)=x ln⁡〖x/p〗+(1-x) ln⁡〖(1-x)/(1-p)〗, p^*=k/n. (4)
Теорема 3. При k→∞, n-k→∞
P(S_n=k)=P(S_n/n=p^* )~1/√(2πnp^* (1-p^* ) ) exp{-nH(p^* )}. (5)
Доведення. Скористаємося формулою Стірлінга, в силу якої n!~√2πn n^n e^(-n) при n→∞. Tоді
P(S_n=k)=(■(n@k)) p^k q^(n-k)~√(n/2πk(n-k) ) n^n/(k^k (n-k)^(n-k) ) p^k (1-p)^(n-k)==1/√(2πnp^* (1-p^* ) ) exp{-k ln⁡〖k/n〗-(n-k) ln⁡〖(n-k)/n〗+k ln⁡〖p+〗+(n-k) ln⁡(1-p) }==1/√(2πnp^* (1-p^* ) ) exp{-n[p^* ln⁡〖p^* 〗+(1-p^* ) ln⁡〖(1-p^* )-p^* ln⁡〖p-〗 〗-(1-p^* ) ln⁡(1-p) ]}=1/√(2πnp^* (1-p^* ) ) exp{-nH(p^* )}. ∎
Якщо p^*=k/n близько до p, то для правої частини в (5) можна знайти іншу форму запису, що представляє значний інтерес. Зауважимо, що функція H(x) є аналітичною в інтервалі (0, 1). так як
H^' (x)=ln⁡〖x/p〗-ln⁡〖(1-x)/(1-p)〗, H^'' (x)=1/x+1/(1-x), (6)
то H(p)=H^' (p)=0 і при p^*-p→0
H(p^* )=1/2 (1/p+1/q) (p^*-p)^2+O(|p^*-p|^3 ).
Тому якщо p^*~p i n(p^*-p)^3→0, то
P(S_n=k)~1/√2πnpq exp{-n/2pq (p^*-p)^2 }.
Якщо покласти ∆=1/√npq, φ(x)=1/√2π e^(-x^2/2), то отримаємо
Наслідок 3. Якщо z=n(p^*-p)=k-np=o(n^(2/3) ), то
P(S_n=k)=(S_n-np=z)~φ(zΔ)Δ. (7) Ця формула дозволить оцінювати ймовірності і події типу {S_n<k}.
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
12
Размер файла
28 Кб
Теги
yogo, mat, kursach, suka
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа