close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

ТАУ курсач частотные характеристики

код для вставкиСкачать
Исходные данные
W_1 (p)=1/(Tp(1+30p+250p^2)) e^(-5p), T=110;
W_2 (p)=k_2/(1+40p) e^(-10p), 〖 k〗_2=0.2;
W_3 (p)=-1/(130p(1+5p)^2 );
Содержание работы
2. Анализ частотных характеристик
2.1.Первый канал "вход-выход"
2.1.1. Комплексная частотная характеристика Комплексная частотная характеристика определяется в виде кривой на комплексной плоскости, представляющей значения частотной передаточной функции:
W(jω)=〖W(p)〗_(p=jω), ωϵ[0,∞]. [3,10]
Первый канал представляет собой последовательное соединение трёх типовых звеньев - интегрирующего, колебательного и запаздывающего. Передаточная функция системы представляет собой произведение передаточных функций отдельных звеньев. При разложении передаточной функции первого канала на произведение передаточных функций типовых звеньев, получаем:
W_1 (p)=1/Tp∙1/(1+30p+250p^2 )∙e^(-5p)
Для каждого типового звена отдельно найдём A(ω) и φ(ω) [2, 57-58].
Интегрирующее звено
W(p)=k/(T∙p)=1/110p, k=1, T=110
A_11 (ω)=k/(T∙ω)=1/110ω
φ_11 (ω)=-π/2
Колебательное звено
W(p)=k/(T^2∙p^2+2∙ξ∙T∙p+1)=1/(250p^2+30p+1), k=1, T=5√10, ξ=(3√10)/10
A_12 (ω)=k/√((1-T^2 〖∙ω〗^2 )^2+4∙ξ^2∙T^2∙ω^2 )=1/√((1-250ω^2 )^2+900ω^2 )=
=1/√(62500∙ω^2+2500ω+250)
φ_12 (ω)=-arctg((2∙ξ∙T∙ω)/(1-T^2∙ω^2 ))=-arctg(30ω/(1-250ω^2 ))
Запаздывающее звено
W(p)=k∙e^(-τ∙p)=e^(-5∙p), k=1, τ=5
A_13 (ω)=k=1
φ_13 (ω)=-τ∙ω=-5ω
Определили амплитудную частотную характеристику по первому каналу "вход-выход":
A_1 (ω)=A_11 (ω)∙A_12 (ω)∙A_13 (ω)=1/110ω∙1/√(62500∙ω^2+2500ω+250)∙1=
=1/(110ω∙√((62500∙ω^4+400∙ω^2+1) ))
Определили фазовую частотную характеристику по первому каналу "вход-выход":
φ_1=φ_11+φ_12+φ_13=-π/2-arctg(30ω/(1-250ω^2 ))-5ω
Таким образом, комплексная частотная характеристика по первому каналу "вход-выход" имеет вид:
W_1 (jω)=A_1∙e^(jφ_1 )=1/(110ω∙√((62500∙ω^4+400∙ω^2+1) ))∙e^(-j(π/2+arctg(30ω/(1-250ω^2 ))+5ω))
Построили график комплексной частотной характеристики по первому каналу "вход-выход" в программе "Mathcad":
Рис.2.1. График комплексной частотной характеристики по первому каналу "вход-выход"
2.1.2. Амплитудная частотная характеристика
Амплитудная частотная характеристика определяется по формуле:
A(ω)=√(〖Re〗^2 (ω)+〖Im〗^2 (ω) ) ; [3,10]
Амплитудная частотная характеристика по первому каналу "вход-выход" имеет вид:
A_1 (ω)=1/(110ω∙√((62500∙ω^4+400∙ω^2+1) ))
Построили график амплитудной частотной характеристики по первому каналу "вход-выход" в программе "Mathcad":
Рис.2.2. График амплитудной частотной характеристики по первому каналу "вход-выход"
2.1.3. Фазовая частотная характеристика
Фазовая частотная характеристика определяется по формуле:
φ(ω)=arctg[Im(ω)/Re(ω) ]±{█(0, при Re(ω)≥0@π, при Re(ω)<0.)┤ [3,10]
Фазовая частотная характеристика по первому каналу "вход-выход" имеет вид:
φ_1 (ω)=-π/2-arctg(30ω/(1-250ω^2 ))-5ω
Построили график фазовой частотной характеристики по первому каналу "вход-выход" в программе "Mathcad":
Рис.2.3. График фазовой частотной характеристики по первому каналу "вход-выход"
2.1.4. Определение ω_π
ω_π - частота пересечения годографом КЧХ отрицательной действительной полуоси.
Для определения ω_π необходимо решить уравнение :
-π/2-arctg(30ω/(1-250ω^2 ))-5ω=-π π/2-arctg(30ω/(1-250ω^2 ))-5ω=0
Для определения корня этого уравнения воспользовались программой "Mathcad":
Таким образом, частота пересечения годографом КЧХ отрицательной действительной полуоси ω_π1=0.05 рад/с.
2.1.5. Определение условной частоты среза для первого канала Для того чтобы найти "условную" частоту среза, нужно решить уравнение: ; [3,10]
A_ε - предельно малое значение АЧХ объекта управления.
Практически значение A_ε оценивается по передаточной функции дробно-рационального вида с запаздыванием W(p)=(b_0+b_1 p+...+b_m p^m)/(a_0+a_1 p+...+a_n p^n ) e^(-τp), n≥m, τ≥0, [3,11]
Так как первый объект является объектом без самовыравнивания, то A_ε определяется выражением:
A_ε=ε|b_0/a_1 |=0.01|1/110|=1/11000; (рекомендованное значение); [3,11]
Найдем частоту среза из условия:
A(ω)≤A_ε, ω≥ω_ср; [3,10]
1/(110ω∙√((62500∙ω^4+400∙ω^2+1) ))≤1/11000;
110ω∙√((62500∙ω^4+400∙ω^2+1) )≥11000;
110ω∙√((62500∙ω^4+400∙ω^2+1) )-11000≥0
110ω∙√((62500∙ω^4+400∙ω^2+1) )-11000=0
Для решения этого уравнения воспользуемся программой Mathcad.
Таким образом, нашли условную частоту среза для первого канала "вход-выход": ω_ср1=0.735 рад/с. 2.2.Второй канал "вход-выход"
2.1.1. Комплексная частотная характеристика Комплексная частотная характеристика определяется в виде кривой на комплексной плоскости, представляющей значения частотной передаточной функции:
W(jω)=〖W(p)〗_(p=jω), ωϵ[0,∞]. [3,10]
Комплексная частотная характеристика по второму каналу "вход-выход" имеет вид:
W_2 (jω)=0.2/(1+40jω) e^(-10jω)
Получили выражение комплексной частотной характеристики по второму каналу "вход-выход". Из полученного выражения вычислили по частям (для упрощения расчета) амплитудную частотную характеристику:
0.2/(1+40jω)=(0.2∙(1-40jω))/((1+40jω)∙(1-40jω))=(0.2-8jω)/(1+1600ω^2 )=0.2/(1+1600ω^2 )-j 8ω/(1+1600ω^2 )=
=0.2/√(1+1600ω^2 )∙e^(-j∙arctg(40ω) )=A_21 (ω)∙e^(j∙φ_21 )
e^(-10∙jω)=A_22 (ω)∙e^(jφ_22 ) ;
Определили амплитудную частотную характеристику по второму каналу "вход-выход":
A_2 (ω)=A_21 (ω)∙A_22 (ω)=0.2/√(1+1600ω^2 )∙1=0.2/√(1+1600ω^2 )
Определили фазовую частотную характеристику по второму каналу "вход-выход":
φ_2=φ_21+φ_22=-arctg(40ω)-10ω
Таким образом, комплексная частотная характеристика по второму каналу "вход-выход" в полярной системе координат имеет вид:
W_2 (jω)=A_2 (ω)∙e^(jφ_2 )=0.2/√(1+1600ω^2 )∙e^(j(-arctg(40ω)-10ω))
Построили график комплексной частотной характеристики по второму каналу "вход-выход" в программе "Mathcad":
Рис.2.4. График комплексной частотной характеристики по второму каналу "вход-выход"
2.1.2. Амплитудная частотная характеристика
Амплитудная частотная характеристика определяется по формуле:
A(ω)=√(〖Re〗^2 (ω)+〖Im〗^2 (ω) ) ; [3,10]
Амплитудная частотная характеристика по второму каналу "вход-выход" имеет вид:
A_2 (ω)=0.2/√(1+1600ω^2 )
Построили график амплитудной частотной характеристики по второму каналу "вход-выход" в программе "Mathcad":
Рис.2.5. График амплитудной частотной характеристики по второму каналу "вход-выход"
2.1.3. Фазовая частотная характеристика
Фазовая частотная характеристика определяется по формуле:
φ(ω)=arctg[Im(ω)/Re(ω) ]±{█(0, при Re(ω)≥0@π, при Re(ω)<0.)┤ [3,10]
Фазовая частотная характеристика по второму каналу "вход-выход" имеет вид:
φ_2 (ω)=-arctg(40ω)-10ω
Построили график фазовой частотной характеристики по второму каналу "вход-выход" в программе "Mathcad":
Рис.2.6. График фазовой частотной характеристики по второму каналу "вход-выход"
2.1.4. Определение ω_π
ω_π - частота пересечения годографом КЧХ отрицательной действительной полуоси.
Для определения ω_π необходимо решить уравнение :
-arctg(40ω)-10ω=-π -arctg(40ω)-10ω+π=0
Для определения корня этого уравнения воспользовались программой "Mathcad":
Таким образом, частота пересечения годографом КЧХ отрицательной действительной полуоси: ω_π2=0.172 рад/с.
2.1.5. Определение условной частоты среза для первого канала Для того чтобы найти "условную" частоту среза, нужно решить уравнение: ; [3,10]
A_ε - предельно малое значение АЧХ объекта управления.
Практически значение A_ε оценивается по передаточной функции дробно-рационального вида с запаздыванием W(p)=(b_0+b_1 p+...+b_m p^m)/(a_0+a_1 p+...+a_n p^n ) e^(-τp), n≥m, τ≥0, [3,11]
Так как второй объект является объектом с самовыравниванием, то A_ε определяется выражением:
A_ε=ε|b_0/a_0 |=0.01|0.2/1|=2/1000; (рекомендованное значение); [3,11]
Найдем частоту среза из условия:
A(ω)≤A_ε, ω≥ω_ср; [3,10]
0.2/√(1+1600ω^2 )≤2/1000;
2√(1+1600ω^2 )≥200
√(1+1600ω^2 )≥100
1+1600ω^2≥10000
1600ω^2≥9999
ω^2≥9999/1600
ω≥(3√1111)/40 или ω≥-(3√1111)/40, не подходит, так как ω≥0
Таким образом, нашли условную частоту среза для второго канала "вход-выход": ω_ср2=(3√1111)/40≈2.499 рад/с.
2.2.Третий канал "вход-выход"
2.1.1. Комплексная частотная характеристика Комплексная частотная характеристика определяется в виде кривой на комплексной плоскости, представляющей значения частотной передаточной функции:
W(jω)=〖W(p)〗_(p=jω), ωϵ[0,∞]. [3,10]
Комплексная частотная характеристика по третьему каналу "вход-выход" имеет вид:
W_3 (jω)=-1/(130jω(1+5jω)^2 )==-1/130jω∙1/(1+5jω)∙1/(1+5jω)
Получили выражение комплексной частотной характеристики по третьему каналу "вход-выход". Из полученного выражения вычислили по частям (для упрощения расчета) амплитудную частотную характеристику:
(-1)/130jω=(-j)/(130j^2 ω)=j 1/130ω=1/130ω∙e^(j∙arctg(∞) )=1/130ω∙e^(j∙(π/2) )=A_31 (ω)∙e^(j∙φ_31 );
1/(1+5jω)=(1-5jω)/((1+5jω)∙(1-5jω))=(1-5jω)/(1+25ω^2 )=1/(1+25ω^2 )-j 5ω/(1+25ω^2 )=1/√(1+25ω^2 )∙e^(-j∙arctg(5ω) )=
=A_32 (ω)∙e^(j∙φ_32 )
Определили амплитудную частотную характеристику по третьему каналу "вход-выход":
A_3 (ω)=A_31 (ω)∙〖A_32 (ω)〗^2=1/130ω∙〖(1/√(1+25ω^2 ))〗^2=1/(130ω∙(1+25ω^2))
Определили фазовую частотную характеристику по третьему каналу "вход-выход":
φ_3=φ_31+2φ_32=π/2-2∙arctg(5ω)
Таким образом, комплексная частотная характеристика по третьему каналу "вход-выход" в полярной системе координат имеет вид:
W_3 (jω)=A_3 (ω)∙e^(jφ_3 )=1/(130ω∙(1+25ω^2))∙e^(j(π/2-2∙arctg(5ω)))
Построили график комплексной частотной характеристики по третьему каналу "вход-выход" в программе "Mathcad":
Рис.2.7. График комплексной частотной характеристики по третьему каналу "вход-выход"
2.1.2. Амплитудная частотная характеристика
Амплитудная частотная характеристика определяется по формуле:
A(ω)=√(〖Re〗^2 (ω)+〖Im〗^2 (ω) ) ; [3,10]
Амплитудная частотная характеристика по третьему каналу "вход-выход" имеет вид:
A_3 (ω)=1/(130ω∙(1+25ω^2))
Построили график амплитудной частотной характеристики по третьему каналу "вход-выход" в программе "Mathcad":
Рис.2.8. График амплитудной частотной характеристики по третьему каналу "вход-выход"
2.1.3. Фазовая частотная характеристика
Фазовая частотная характеристика определяется по формуле: φ(ω)=arctg[Im(ω)/Re(ω) ]±{█(0, при Re(ω)≥0@π, при Re(ω)<0.)┤ [3,10]
Фазовая частотная характеристика по третьему каналу "вход-выход" имеет вид:
φ_3 (ω)=π/2-2∙arctg(5ω)
Построили график фазовой частотной характеристики по третьему каналу "вход-выход" в программе "Mathcad":
Рис.2.9. График фазовой частотной характеристики по третьему каналу "вход-выход"
2.1.4. Определение ω_π
Так как годограф КЧХ не пересекает действительной отрицательной полуоси, то ω_π3=∞. Для расчётов принимаем ω_π3=ω_ср3=1.579 рад/с.
2.1.5. Определение условной частоты среза для третьего канала Для того чтобы найти "условную" частоту среза, нужно решить уравнение: ; [3,10]
A_ε - предельно малое значение АЧХ объекта управления.
Практически значение A_ε оценивается по передаточной функции дробно-рационального вида с запаздыванием W(p)=(b_0+b_1 p+...+b_m p^m)/(a_0+a_1 p+...+a_n p^n ) e^(-τp), n≥m, τ≥0, [3,11]
Так как первый объект является объектом без самовыравнивания, то A_ε определяется выражением:
A_ε=ε|b_0/a_1 |=0.01|1/130|=1/13000; (рекомендованное значение); [3,11]
Найдем частоту среза из условия:
A(ω)≤A_ε, ω≥ω_ср; [3,10]
1/(130ω∙(1+25ω^2))≤1/13000;
130ω∙(1+25ω^2)≥13000;
130ω∙(1+25ω^2)-13000≥0
130ω∙(1+25ω^2)-13000=0
Для решения этого уравнения воспользуемся программой Mathcad.
Таким образом, нашли условную частоту среза для третьего канала "вход-выход": ω_ср3=1.579 рад/с.
Вывод: в данном разделе в результате анализа частотных характеристик по каждому каналу "вход-выход" ОУ получены аналитические выражения для КЧХ, АЧХ, ФЧХ, построены соответствующие графики W(jω), A(ω), φ(ω), и найдены особые частоты ω_π и ω_ср для каждого из трех каналов "вход-выход".
Библиографический список
Ротач В. Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами: Учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат. 1985. - 296 с., ил.
Таламанов С. А., Никоноров А. Н. Практикум по теории автоматического управления. Часть I. Анализ динамических систем: учебно-метод. пособие / ГОУ ВПО "Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина". - Иваново, 2007. - 60 с.
Таламанов С. А. Анализ и синтез автоматических систем регулирования: Учебно-методическое пособие по выполнению курсовой работы по дисциплине "Теория автоматического управления" / ГОУ ВПО "Ивановский государственный энергетический университет имени В. И. Ленина". - Иваново, 2009. - 44 с.
2
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
295
Размер файла
247 Кб
Теги
тау, частотных, характеристика, курсач
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа