close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

matan kursach

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"
(ФГБОУВПО "ВГТУ")
ИМАТ
Кафедра: прикладной математики
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине: высшая математика
Тема: подстановки Чебышева, Эйлера и тригонометрические в задаче интегрирования иррациональных выражений
Вариант 5
Выполнил студент гр. РД-121 Д. Ю. Грибанов
Руководитель, к.ф.-м.н., доцент Н.В. Заварзин
Защищена___________________Оценка_____________ Воронеж 2013
Содержание
1.Интегрирование дифференциальных биномов..............................................3
2.Подстановка Эйлера в интегралах от квадратичной
иррациональности................................................................................................5
3.Тригонометрические подстановки...................................................................10
4.Список литературы.............................................................................................12
1.Интегрирование дифференциальных биномов.
Интегралы от дифференциальных биномов , где m,n,p- рациональные числа. Как доказал П.Л. Чебышев, интегралы от дифференциальных биномов выражаются через элементарные функции только в трех случаях:
1. р - целое число; в этом случае подстановка , где s -наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n , сводит интеграл к интегралу от рациональной функции.
2. целое число; здесь подстановка, где s - знаменатель дроби р, преобразует интеграл в интеграл от рациональной функции.
3. - целое число; в этом случае к той же цели ведет подстановка , где s - знаменатель дроби р.
В качестве примера рассмотрим несколько интегралов. Найдем интеграл
Здесь подынтегральная функция может быть записана так: , т. е. р = -10 -целое число. Следовательно имеем первый случай интегрирования дифференциального бинома, а поэтому применим подстановку . Тогда и искомый интеграл принимает вид Последний интеграл находится так:
Таким образом:
Найдем интеграл Здесь Поскольку - целое число, то заданный интеграл подстановкой сводится к интегралу от рациональной функции переменной t, Находим Найдем интеграл Здесь и - целое число.
Следовательно, имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома. Полагаем ,тогда Интеграл преобразуем так:
Решить интеграл:
не целое
не целое
целое
Следовательно, имеем третий случай интегрируемости дифференциального бинома.
==
2.Подстановки Эйлера в интегралах от квадратичной иррациональности.
Рассмотрим интеграл , где Такой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции с помощью следующих подстановок Эйлера.
1. Первая подстановка Эйлера. Если а > 0, то полагаем Перед корнем возьмем для определенности знак плюс. Тогда
,
откуда x определяется как рациональная функция от t:
(значит, dx тоже будет рационально выражаться через t, следовательно,
т.е. оказывается рациональной функцией от t.
Так как , х и dx выражаются рационально через t , то, следовательно, данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции t.
Пример. Требуется вычислить интеграл Решение. Так как здесь а = 1 > 0, то полагаем тогда
, откуда Следовательно
Возвращаясь к исходному интегралу, получаем
2. Вторая подстановка Эйлера. Если с > 0, то полагаем тогда (перед для определенности берем знак плюс)
Отсюда х определяется как рациональная функция от t: Так как dx и тоже выражаются рационально через t, то,
подставляя значения x , и dx в интеграл , мы сведем его к интегралу от рациональной функции t.
Пример. Требуется вычислить интеграл Решение. Полагаем тогда Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим 3.Третья подстановка Эйлера. Пусть α и β - действительные корни трехчлена . Полагаем
Так как , то , Отсюда находим х как рациональную функцию от t:
Так как dx и тоже рационально зависят от t, то данный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции от t.
Замечание 1. Третья подстановка Эйлера применима не только при а < 0, но
и при а > 0 - лишь бы многочлен имел два действительных корня .
Пример. Требуется вычислить интеграл Решение. Так как , то полагаем ;
Тогда Возвращаясь к исходному интегралу, получаем
Замечание 2. Заметим, что для приведения исходного интеграла к интегралу от рациональной функции достаточно первой и третьей подстановок Эйлера. Рассмотрим трехчлен . Если , то корни трехчлена действительные и, следовательно, применима третья подстановка Эйлера. Если , то в этом случае и, следовательно, трехчлен имеет знак, совпадающий со знаком а. Чтобы был действительным, нужно, чтобы трехчлен был положительным, а, следовательно, должно быть а > 0. В этом случае применима первая подстановка.
Решить интеграл:
Т.к. c=5>0 можно использовать вторую подстановку Эйлера
К сожалению, получена рациональная дробь 4-го типа.
Воспользуемся третьей подстановкой Эйлера.
3. Тригонометрические подстановки
Вернёмся к интегралу, рассмотренному в предыдущей части,
где и (в случае а = 0 интеграл имеет вид , т. е. подкоренное выражение не является трёхчленом, при выражение , и мы имеем дело с рациональной функцией, если а > 0, при а < О функция не определена ни при каком значении х). Покажем здесь метод преобразования этого интеграла к интегралу вида
Произведём преобразование трёхчлена, стоящего под корнем:
Сделаем замену переменного, положив . Тогда
Рассмотрим все возможные случаи.
1. Пусть . Введём обозначения и . В этом случае будем иметь:
2. Пусть . Тогда и . Следовательно, .
3. Пусть . Тогда и .
Следовательно, .
4. Пусть . В этом случае есть комплексное число при любом значении х.
Таким образом, интеграл преобразуется к одному из следующих типов интегралов:
I. (1)
II. (2) III. (3)
Очевидно, что интеграл (1) приводится к интегралу вида с помощью подстановки . Интеграл (2) приводится к виду с помощью подстановки ,и интеграл (3) приводится к виду с помощью подстановки .
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. Этот интеграл типа (3). Сделаем замену , тогда .
Решить интеграл:
a =-1; b=0; c = 5
Следовательно, имеем третий случай тригонометрической подстановки.
Список литературы
1. П. С. Данко, Ф. Г. Попов "Высшая математика. Упражнения и задачи. Часть 1"
2. Н. С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисления. Том 1"
3. Л. А. Кузнецов "Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты".
2
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
58
Размер файла
206 Кб
Теги
matan, kursach
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа