close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

mo

код для вставкиСкачать
ДонГТУЛабораторная работа № 2СКС-12Кафедра СКСЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯГурьев В.В.ВыполнениеЗащитаПодпись студентаФИО преп.Дата вып.Подпись преп.ФИО преп.Оценка (баллы)Дата защитыПодпись преп.Мочалин А.Е.Мочалин А.Е.
Цель работи: 1.1 Исследование и изучение методов решения линейных алгебраических уравнений.
1.2 Получение практических навыков решения линейных алгебраических уравнений в среде MathCAD.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
3.1 Задание
Исследуйте, и если решение существует, найдите по формулам Крамера решение системы
3.1.1 Краткие теоретические сведения
Система линейных алгебраических уравнений может быть записана в матричной форме Ах = b,где А - матрица системы, b - вектор столбец правых частей системы.
Справедливо следующее утверждение. Если определитель матрицы системы Ах = b отличен от нуля, то система имеет единственное решение х1,х2,...,хn, определяемое по формулам Крамера , где - определитель матрицы n-го порядка, полученный из матрицы системы заменой i-го столбца столбцом правых частей.
3.1.2 Порядок выполнения задания
3.1.2.1 Установите режим автоматического выполнения вычислений.
3.1.2.2 Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
3.1.2.3 Введите матрицу системы и столбец правых частей.
3.1.2.4 Вычислите определитель матрицу системы. Система имеет единственное решение, если определитель отличен от нуля.
3.1.2.5 Вычислите определители матриц, полученных заменой соответствующего столбца столбцом правых частей.
3.1.2.6 Найдите решение системы по формулам Крамера.
3.1.3 Варианты задания
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.1 приведен в приложении Б.
3.2 Задание
Решите как матричное уравнение Ах = b систему линейных алгебраических уравнений из задания 3.4.
3.2.1 Краткие теоретические сведения
Если матрица системы невырожденная (определитель отличен от нуля), то у матрицы системы существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения Ах = b слева на матрицу
A-1;А-1(Ах) = А-1b поскольку А-1А = Е и Ех = х, то х = А-1b.
3.2.2 Порядок выполнения задания
3.2.2.1 Установите режим автоматических вычислений.
3.2.2.2 Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.
3.2.2.3 Вычислите решения системы по формуле х = А-1b.
3.2.2.4 Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор - столбец решения.
3.2.2.5 Найдите решения системы с помощью функции LSOLVE и сравните результаты вычислений.
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.2 приведен в приложении Б.
3.3 Задание
Найдите методом Гаусса решение системы линейных алгебраических уравнений из задания 3.4:
3.3.1 Краткие теоретические сведении
Метод Гаусса - точный метод решения невырожденной системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса состоит в том, что систему п линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных x1, х2, ..., хn приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей
решение которой находят по рекуррентным формулам
В матричной записи это означает, что сначала прямой ход метода Гаусса элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду
а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых столбцах получилась единичная матрица
последний (n+1)-й столбец матрицы содержит решение системы.
В MATHCAD прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).
3.3.2 Порядок выполнения задания
3.3.2.1 Установите автоматических вычислений.
3 3.2.2 Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
3.3.2.3 Введите матрицу системы и матрицу - столбец правых частей.
3.3.2.4 Сформируйте расширенную матрицу системы.
3.3.2.5 Приведите расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.
3.3.2.6 Сформируйте столбец решения системы.
3.3.2.7 Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор - столбец решения.
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.3 приведен в приложении Б.
3.4 Задание
Найдите методом простых итераций приближенное решение линейной системы
3.4.1 Краткие теоретические сведения
Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений используют для решения систем большой размерности (103 - 106), а также для решения систем с разреженными матрицами (большинство элементов которых - нули). Метод состоит в том, что система уравнений Сх = d преобразуется к виду х = b + Ах и ее решение вычисляют как предел последовательности Последовательные элементы Для сходимости метода простых итераций достаточно, чтобы выполнялось условие |А| < 1 по какой-либо норме матрицы, где |А| - норма матрицы А. В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие
где Е - заданная погрешность приближенного решения.
3.4.2 Порядок выполнения задания
3.4.2.1 Установите режим автоматических вычислений.
3.4.2.2 Преобразуйте исходную систему Сх = d к виду х = b + Ах.
3.4.2.3 Введите матрицы А и b.
3.4.2.4 Проверьте достаточное условие сходимости.
3.4.2.5 Определите нулевое (начальное) приближение решения.
3.4.2.6 Задайте количество итераций.
3.4.2.7 Введите формулу вычисления последовательных приближений решения и вычислите их.
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.4 приведен в приложении Б.
3.4.3 Варианты заданий
3.5 Задание
Исследуйте неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Aх = b для двух различных правых частей b = b(1), b = b(2).
3.5.1 Краткие теоретические сведения
Неоднородная система m линейных алгебраических уравнений относительно n-неизвестных x1, x2, ...хn имеет вид
Для системы справедливо утверждение (теорема Кронекера - Капелли) : для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна (имеет, по крайней мере, одно решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.
Исследовать неоднородную систему - это, значит, установить, является ли она совместной, и если является - найти выражение для общего решения системы.
Исследование системы линейных неоднородных уравнений осуществляют с применением метода Гаусса.
3.5.2 Порядок выполнения работы
3.5.2.1 Установите режим автоматических вычислений.
3.5.2.2 Введите матрицу системы и расширенные матрицы системы для обеих правых частей.
3.5.2.3 Вычислите ранги основной матрицы и ранги расширенных матриц обеих систем.
3.5.2.4 Сформулируйте и запишите в рабочем документе соответствующий вывод.
3.5.2.5 Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду.
3.5.2.6 Определите базисные и свободные переменные.
3.5.2.7 Запишите эквивалентную систему и разрешите ее относительно базисных переменных.
3.5.2.8 Запишите общее решение системы.
3.5.2.9 Найдите два различных частных решения системы.
3.5.2.10 Проверьте правильность найденных решений.
3.5.3 Варианты заданий
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.5 приведен в приложении Б.
4 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
4.1Системы линейных уравнений, их виды.
4.2 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
4.3 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом вращения.
4.4 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Крамера.
4.5 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Зейделя.
4.6 Алгоритм определения главного элемента.'
4.7 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента.
4.8 Нормирование коэффициентов систем линейных уравнений.
4.9 Условия устойчивость решения систем линейных уравнений различными методами.
3.1.3 Варианты задания
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.1 приведен в приложении Б.
3.2 Задание
Решите как матричное уравнение Ах = b систему линейных алгебраических уравнений из задания 3.4.
3.2.1 Краткие теоретические сведения
Если матрица системы невырожденная (определитель отличен от нуля), то у матрицы системы существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения Ах = b слева на матрицу
A-1;А-1(Ах) = А-1b поскольку А-1А = Е и Ех = х, то х = А-1b.
3.2.2 Порядок выполнения задания
3.2.2.1 Установите режим автоматических вычислений.
3.2.2.2 Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.
3.2.2.3 Вычислите решения системы по формуле х = А-1b.
3.2.2.4 Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор - столбец решения.
3.2.2.5 Найдите решения системы с помощью функции LSOLVE и сравните результаты вычислений.
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.2 приведен в приложении Б.
3.3 Задание
Найдите методом Гаусса решение системы линейных алгебраических уравнений из задания 3.4:
3.3.1 Краткие теоретические сведении
Метод Гаусса - точный метод решения невырожденной системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса состоит в том, что систему п линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных x1, х2, ..., хn приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей
решение которой находят по рекуррентным формулам
В матричной записи это означает, что сначала прямой ход метода Гаусса элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду
а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых столбцах получилась единичная матрица
последний (n+1)-й столбец матрицы содержит решение системы.
В MATHCAD прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).
3.3.2 Порядок выполнения задания
3.3.2.1 Установите автоматических вычислений.
3 3.2.2 Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
3.3.2.3 Введите матрицу системы и матрицу - столбец правых частей.
3.3.2.4 Сформируйте расширенную матрицу системы.
3.3.2.5 Приведите расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.
3.3.2.6 Сформируйте столбец решения системы.
3.3.2.7 Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор - столбец решения.
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.3 приведен в приложении Б.
3.4 Задание
Найдите методом простых итераций приближенное решение линейной системы
3.4.1 Краткие теоретические сведения
Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений используют для решения систем большой размерности (103 - 106), а также для решения систем с разреженными матрицами (большинство элементов которых - нули). Метод состоит в том, что система уравнений Сх = d преобразуется к виду х = b + Ах и ее решение вычисляют как предел последовательности Последовательные элементы Для сходимости метода простых итераций достаточно, чтобы выполнялось условие |А| < 1 по какой-либо норме матрицы, где |А| - норма матрицы А. В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие
где Е - заданная погрешность приближенного решения.
3.4.2 Порядок выполнения задания
3.4.2.1 Установите режим автоматических вычислений.
3.4.2.2 Преобразуйте исходную систему Сх = d к виду х = b + Ах.
3.4.2.3 Введите матрицы А и b.
3.4.2.4 Проверьте достаточное условие сходимости.
3.4.2.5 Определите нулевое (начальное) приближение решения.
3.4.2.6 Задайте количество итераций.
3.4.2.7 Введите формулу вычисления последовательных приближений решения и вычислите их.
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.4 приведен в приложении Б.
3.4.3 Варианты заданий
3.5 Задание
Исследуйте неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Aх = b для двух различных правых частей b = b(1), b = b(2).
3.5.1 Краткие теоретические сведения
Неоднородная система m линейных алгебраических уравнений относительно n-неизвестных x1, x2, ...хn имеет вид
Для системы справедливо утверждение (теорема Кронекера - Капелли) : для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна (имеет, по крайней мере, одно решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.
Исследовать неоднородную систему - это, значит, установить, является ли она совместной, и если является - найти выражение для общего решения системы.
Исследование системы линейных неоднородных уравнений осуществляют с применением метода Гаусса.
3.5.2 Порядок выполнения работы
3.5.2.1 Установите режим автоматических вычислений.
3.5.2.2 Введите матрицу системы и расширенные матрицы системы для обеих правых частей.
3.5.2.3 Вычислите ранги основной матрицы и ранги расширенных матриц обеих систем.
3.5.2.4 Сформулируйте и запишите в рабочем документе соответствующий вывод.
3.5.2.5 Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду.
3.5.2.6 Определите базисные и свободные переменные.
3.5.2.7 Запишите эквивалентную систему и разрешите ее относительно базисных переменных.
3.5.2.8 Запишите общее решение системы.
3.5.2.9 Найдите два различных частных решения системы.
3.5.2.10 Проверьте правильность найденных решений.
3.5.3 Варианты заданий
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.5 приведен в приложении Б.
4 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
4.1Системы линейных уравнений, их виды.
4.2 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
4.3 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом вращения.
4.4 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Крамера.
4.5 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Зейделя.
4.6 Алгоритм определения главного элемента.'
4.7 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента.
4.8 Нормирование коэффициентов систем линейных уравнений.
4.9 Условия устойчивость решения систем линейных уравнений различными методами.
3.1.3 Варианты задания
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.1 приведен в приложении Б.
3.2 Задание
Решите как матричное уравнение Ах = b систему линейных алгебраических уравнений из задания 3.4.
3.2.1 Краткие теоретические сведения
Если матрица системы невырожденная (определитель отличен от нуля), то у матрицы системы существует обратная матрица и тогда решение системы легко получить, умножив обе части уравнения Ах = b слева на матрицу
A-1;А-1(Ах) = А-1b поскольку А-1А = Е и Ех = х, то х = А-1b.
3.2.2 Порядок выполнения задания
3.2.2.1 Установите режим автоматических вычислений.
3.2.2.2 Введите матрицу системы и матрицу-столбец правых частей.
3.2.2.3 Вычислите решения системы по формуле х = А-1b.
3.2.2.4 Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор - столбец решения.
3.2.2.5 Найдите решения системы с помощью функции LSOLVE и сравните результаты вычислений.
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.2 приведен в приложении Б.
3.3 Задание
Найдите методом Гаусса решение системы линейных алгебраических уравнений из задания 3.4:
3.3.1 Краткие теоретические сведении
Метод Гаусса - точный метод решения невырожденной системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса состоит в том, что систему п линейных алгебраических уравнений относительно п неизвестных x1, х2, ..., хn приводят последовательным исключением неизвестных к эквивалентной системе с треугольной матрицей
решение которой находят по рекуррентным формулам
В матричной записи это означает, что сначала прямой ход метода Гаусса элементарными операциями над строками приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду
а затем (обратный ход метода Гаусса) эту ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых столбцах получилась единичная матрица
последний (n+1)-й столбец матрицы содержит решение системы.
В MATHCAD прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref(A).
3.3.2 Порядок выполнения задания
3.3.2.1 Установите автоматических вычислений.
3 3.2.2 Присвойте переменной ORIGIN значение, равное единице.
3.3.2.3 Введите матрицу системы и матрицу - столбец правых частей.
3.3.2.4 Сформируйте расширенную матрицу системы.
3.3.2.5 Приведите расширенную матрицу системы к ступенчатому виду.
3.3.2.6 Сформируйте столбец решения системы.
3.3.2.7 Проверьте правильность решения умножением матрицы системы на вектор - столбец решения.
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.3 приведен в приложении Б.
3.4 Задание
Найдите методом простых итераций приближенное решение линейной системы
3.4.1 Краткие теоретические сведения
Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений используют для решения систем большой размерности (103 - 106), а также для решения систем с разреженными матрицами (большинство элементов которых - нули). Метод состоит в том, что система уравнений Сх = d преобразуется к виду х = b + Ах и ее решение вычисляют как предел последовательности Последовательные элементы Для сходимости метода простых итераций достаточно, чтобы выполнялось условие |А| < 1 по какой-либо норме матрицы, где |А| - норма матрицы А. В качестве условия окончания итерационного процесса можно взять условие
где Е - заданная погрешность приближенного решения.
3.4.2 Порядок выполнения задания
3.4.2.1 Установите режим автоматических вычислений.
3.4.2.2 Преобразуйте исходную систему Сх = d к виду х = b + Ах.
3.4.2.3 Введите матрицы А и b.
3.4.2.4 Проверьте достаточное условие сходимости.
3.4.2.5 Определите нулевое (начальное) приближение решения.
3.4.2.6 Задайте количество итераций.
3.4.2.7 Введите формулу вычисления последовательных приближений решения и вычислите их.
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.4 приведен в приложении Б.
3.4.3 Варианты заданий
3.5 Задание
Исследуйте неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Aх = b для двух различных правых частей b = b(1), b = b(2).
3.5.1 Краткие теоретические сведения
Неоднородная система m линейных алгебраических уравнений относительно n-неизвестных x1, x2, ...хn имеет вид
Для системы справедливо утверждение (теорема Кронекера - Капелли) : для того чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна (имеет, по крайней мере, одно решение) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.
Исследовать неоднородную систему - это, значит, установить, является ли она совместной, и если является - найти выражение для общего решения системы.
Исследование системы линейных неоднородных уравнений осуществляют с применением метода Гаусса.
3.5.2 Порядок выполнения работы
3.5.2.1 Установите режим автоматических вычислений.
3.5.2.2 Введите матрицу системы и расширенные матрицы системы для обеих правых частей.
3.5.2.3 Вычислите ранги основной матрицы и ранги расширенных матриц обеих систем.
3.5.2.4 Сформулируйте и запишите в рабочем документе соответствующий вывод.
3.5.2.5 Приведите расширенную матрицу совместной системы к ступенчатому виду.
3.5.2.6 Определите базисные и свободные переменные.
3.5.2.7 Запишите эквивалентную систему и разрешите ее относительно базисных переменных.
3.5.2.8 Запишите общее решение системы.
3.5.2.9 Найдите два различных частных решения системы.
3.5.2.10 Проверьте правильность найденных решений.
3.5.3 Варианты заданий
Фрагмент рабочего документа с отчетом о выполнении задания 3.5 приведен в приложении Б.
4 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
4.1Системы линейных уравнений, их виды.
4.2 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса.
4.3 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом вращения.
4.4 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Крамера.
4.5 Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Зейделя.
4.6 Алгоритм определения главного элемента.'
4.7 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса с выбором главного элемента.
4.8 Нормирование коэффициентов систем линейных уравнений.
4.9 Условия устойчивость решения систем линейных уравнений различными методами.
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
50
Размер файла
1 384 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа