close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Курсовая 1

код для вставкиСкачать
Московский Авиационный Институт
(Государственный технический университет)
Курсовая работа по дисциплине "Оптимальное управление ЛА" Подготовила: студентка группы 06-401
Долженко В. А.
Проверил: Федоров А.В. Москва 2010г.
Задание курсовой работы.
Задача: Решение задачи условной оптимизации целевой функции с ограничениями типа неравенств, накладываемых на векторный аргумент, т.е. найти x* такой , что
x* = (min)┬(xX)⁡〖f(x)〗 , где x = (x1,x2)Т
f(x) = f(x1,x2) = 8(x1-1)2+2(x2-4)2
X : {█(x_1+2x_2-8≤0@-x_1+2≤0@-x_2-1≤0)┤
1 часть. Решить задачу аналитически, используя теорему Куна-Таккера. И построить графическое представление результата аналитического решения. 2 часть. Решить задачу численными методами, а именно:
Методом деформируемого многогранника
Методом простой градиентной оптимизации
Предварительно сведя нашу задачу условной оптимизации к задаче безусловной оптимизации методом штрафных функций.
1 часть.
Алгоритм решения задачи аналитическим методом:
1. Составить функцию Лагранжа
F(x, ) = f (x) + T g(x)
2. Выделение необходимых условий минимума в форме Куна и Таккера.
{█(δL/δx=0@g(x)≤0@λ≥0@ λ·g(x)=0)┤
3. Поиск стационарных точек
4. Проверка стационарных точек на достаточное условие локального минимума функции:
положительно определенная матрица Гесса.
H(x)(х, ) = Для проверки достаточного условия используется критерий Сильвестра.
∆1 = h11> 0; ∆2 = > 0;...; ∆n = > 0 Где hij - элементы матрицы Гессе H(x)(х, ) .
5.Сравнение значений целевой функции в стационарных точках.
Решение задачи.
1. Составим функцию Лагранжа.
L(x,λ) = 8(x1-1)2+2(x2-4)2 + λ1(x1+2x2-8) + λ2(-x1+2) + λ3(-x2-1)
2. Выпишем необходимые условия минимума.
а) (δL(x,λ))/(δx_1 ) = 16(x1-1) + λ1 - λ2 = 0
(δL(x,λ))/(δx_2 ) = 4(x2-4) +2 λ1 - λ3 = 0
б) x1 + 2x2 - 8 ≤ 0
-x1 + 2 ≤ 0
-x2 - 1 ≤ 0
в) λ1 ≥ 0 λ2 ≥ 0 λ3 ≥ 0
г) λ1(x1+2x2-8) = 0
λ2(-x1+2) = 0
λ3(-x2-1) = 0
3. Решим систему и тем самым найдем стационарные точки.
Рассмотрим восемь вариантов выполнения условия г):
1) λ1 = 0 λ2 = 0 λ3 = 0
Тогда из условия а) следует, что x1 = 1, x2 = 4, что противоречит условию б)
2) λ1 ≠ 0 λ2 = 0 λ3 = 0
Тогда условия а) и г) приобретут следующий вид:
{█(16(x_1-1)+λ_1=0@4(x_2-4)+2λ_1=0@x_1+2x_2-8=0)┤ → {█(x_1=16/17@x_2=60/17)┤ , но это решение противоречит условию б).
3) λ1 = 0 λ2 ≠ 0 λ3 = 0
Тогда из условия а) → x2 = 4, а из условия г) → x1 = 2, что противоречит условию б).
4) λ1 = 0 λ2 = 0 λ3 ≠ 0
Тогда из условия а) → x1 = 1, а из условия г) → x2 = -1, что противоречит условию б).
5) λ1 ≠ 0 λ2 ≠ 0 λ3 = 0
Тогда из условия г) → x1 = 2 и x2 = 3, а из условия а) → {█(λ_1=2@〖 λ〗_2=18)┤ , все условия выполнены.
Стационарная точка А(x1 = 2, x2 = 3)
6) λ1 ≠ 0 λ2 = 0 λ3 ≠ 0
Тогда из условия г) → x1 = 10 и x2 = -1, а из условия а) → λ1 = -144, что противоречит условию в) 7) λ1 = 0 λ2 ≠ 0 λ3 ≠ 0
Тогда из условия г) → x1 = 2 и x2 = -1, а из условия а) → {█(λ_2=16@〖 λ〗_3=-20)┤ , что противоречит условию в) 8) λ1 ≠ 0 λ2 ≠ 0 λ3 ≠ 0
Не выполняется условие г).
Т.к. в стационарной точке А два активных ограничения и кол-во переменных так же равно двум, то точка А является "угловой" (находится на пересечении ограничений). И т.к. она единственная стационарная точка функции в этой области, следовательно она является точкой локального минимума.
f(A) = 10
2 часть.
Метод штрафных функций.
Суть метода заключается в замене целевой функции на новую функцию:
P(R,x) = f(x) +R ∑_(i=1)^m▒s_i , где m - кол-во ограничений, f(x) - целевая функция, si - штрафная функция i-го ограничения.
si = {█(0, при g_i>0@g_i^2, при g_i≤0)┤
Метод деформируемого многогранника.
Алгоритм:
Строим начальный симплекс.
Чем разумней выбран начальный симплекс, тем эффективней будет работать алгоритм.
Делаем пробное отображение. Выбираем точку с наибольшим значением целевой функции и проводим ее отображение через центр масс симплекса.
Находим коэффициент отображения. Проводим отображение, учитывая коэффициент отображения. (точка с наибольшим значением целевой функции заменяется на новую точку, т. е. получается новый симплекс).
Проверка окончания цикла. Окончание цикла характеризует точность вычислений, определяемая как модуль разности значения целевой функции в новой и отображаемой точках. Метод простой градиентной оптимизации.
Алгоритм:
Находим направление отрицательного градиента в точке Х(0).
∇fi(x(k)) = (f(x_i^((k+1) ) )-f(x_i^((k) ) ) )/h - градиент целевой функции по i-ой составляющей вектора Х.
Минимизируем целевую функцию в этом направлении и получаем точку Х(1)
Зная направление отрицательного градиента, можно найти зависимость Х1 от Х2:
Х2 = m/n (x_1-x_1^0 )+x_2^0 , где вектор (m,n)-градиент
Т.е. по сути мы будем минимизировать функцию от одного аргумента. Минимизировать будем методом золотого сечения.
Находим направление отрицательного градиента в точке Х(1).
Минимизируем целевую функцию в этом направлении и получаем точку Х(2)
Соединяем точки Х(0) и Х(2) прямой Минимизируем целевую функцию на этой прямой и получаем новую точку Х(0)
Зависимость значения целевой функции от коэффициента штрафной функции.
Зависимость кол-ва итераций от коэффициента штрафной функции.
Зависимость кол-ва вычислений целевой функции от коэффициента штрафной функции.
Зависимость X2 от Х1 при коэффициенте штрафной функции = 150. Градиентный метод.
Зависимость X2 от Х1 при коэффициенте штрафной функции = 150. Симплекс метод.
Вывод: как видно из графиков градиентный метод является более точным по сравнению с симплекс методом, но он требует гораздо большего количества вычислений целевой функции. 1
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
38
Размер файла
169 Кб
Теги
курсовая
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа