close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

270

код для вставкиСкачать
А. Н. Васильев
???????? ??????-???????????? ??????? ?? ??????
???????????? ??????????? ? ????? ?????????? ?????????
? ???????? ???????? ??????? ??? ????????? ????????????? ? ??????????? ?????
Санкт-Петербург
«БХВ-Петербург»
2010
??? 681.3.06
??? 32.973.26-018.2
?19
?19
???????? ?. ?.
???????????? ???????????????. ??????? ???? ??????: ????. ???????. —
2-? ???., ????????????. — ???.: ???-?????????, 2010. — 288 ?.: ??. —
(??????? ?????????? ??? ?????)
ISBN 978-5-9775-0343-3
????? ???????????? ????? ???? ?????? ?? ???????????? ???????????????,
??????? ??????? ??????? ?? ?????????? ?????? ??? ? ???????????? ??????????? ?????????? ?????-?????????????? (??????????????) ????????????????
????????????. ?????? ????? ?????????? ??????????????? ????????, ????? ???
????????? ????????? ? ??????? ???????????????, ???????????? ? ?????????????? ???????????? ????? ????????? ???????????????. ?? ?? ???? ??????????????? ?????????? ???????? ???? ? ?????? ??????????????, ?????? ?????????, ??????????????? ???????? ???? ? ?????? ??????????. ???????? ??????????? ? ??????? ???????? ?????????????? ?????????, ??????? ?????????
??????????? ? ????? ?????????? ??????????? ??????????. ????? ????? ????
??????? ????, ???, ???? ???????????? ?????? ? ??????? ????????????? ???????
? ??????????????? ???????, ????? ?? ???????? ????? ? ????????????? ???????
?????????????, ??? ? ????????????? ???????, ??? ? ? ??????? ??????? ?????
??????? ????? ???????????????.
??? ????????? ????????????? ? ??????????? ?????
?????? ?????????? ???????:
??????? ????????
???. ???????? ?????????
???. ?????????
?????????
?????? ?????
?????????? ???????
????
???. ?????????????
??? 681.3.06
??? 32.973.26-018.2
????????? ?????????
??????? ???????
???????? ?????
??????? ?????????
???? ???????
????? ????????
??????? ????????
??????? ????????
Лицензия ИД № 02429 от 24.07.00. Подписано в печать 30.10.09.
Формат 70Ч1001/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 23,22.
Тираж 1500 экз. Заказ №
"БХВ-Петербург", 190005, Санкт-Петербург, Измайловский пр., 29.
Санитарно-эпидемиологическое заключение на продукцию
№ 77.99.60.953.Д.005770.05.09 от 26.05.2009 г. выдано Федеральной службой
по надзору в сфере защиты прав потребителей и благополучия человека.
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ГУП "Типография "Наука"
199034, Санкт-Петербург, 9 линия, 12
ISBN 978-5-9775-0343-3
© ???????? ?. ?., 2009
© ??????????, ???????????? "???-?????????", 2009
?главление
?б авторе
?
? книге
?
Предисловие
??
?
?бщее введение
??
???
???
??
???
???
???
???
???
?
Уравнения ?аксвелла ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?атематическое отступление? соглашения об обозначениях?
справочные формулы ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?нтегральная форма уравнений ?аксвелла ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Соотношение между дифференциальной и интегральной
формами уравнений ?аксвелла при наличии поверхностей
разрыва? ?раевые условия ?условия сшивания? ? ? ? ? ? ? ? ?
Уравнение непрерывности? закон сохранения заряда ? ? ? ? ?
Переход от напряженностей к потенциалам? Уравнения
?аксвелла для потенциалов ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?алибровочные преобразования и калибровочные условия ?
??
??
??
??
??
??
Релятивистски?ковариантная формулировка
электродинамики
???
???
???
???
???
???
?бозначения ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Тензоры на группе вращений SO3 и на группе O3 ? ? ? ?
Тензорные поля ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Электродинамика и принцип относительности ? ? ? ? ? ?
Преобразования ?оренца? общие свойства ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Собственные преобразования ?оренца? Явный вид
преобразований перехода к движущейся системе отсчета
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
? ?
??
?
?главление
???
???
???
????
????
????
????
????
????
????
????
?
Релятивистский закон сложения скоростей? Сокращение
масштабов и растяжение времени ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
Тензоры и тензорные поля на группе ?оренца ? ? ? ? ? ? ? ? ??
Тензорная природа потенциалов и напряженностей ? ? ? ? ? ??
?овариантная формулировка уравнений ?аксвелла для
потенциалов ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
Поперечность K ? уравнение непрерывности? калибровочная
инвариантность уравнений ?аксвелла? калибровочные
условия ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?бщие соображения о виде уравнений ?аксвелла для
потенциалов ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?овариантная запись уравнений ?аксвелла для
напряженностей ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
Преобразования потенциалов и напряженностей при
переходе к движущейся системе отсчета ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
Электродинамика с позиций теоретической механики?
Функционал действия для электромагнитного поля ? ? ? ? ? ??
Тензор энергии?импульса? ?аконы сохранения энергии
и импульса ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
Элементы релятивистской динамики точечной частицы?
Сила ?оренца ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???
Статика
???
???
???
???
???
???
???
???
???
???
???
?сновные соотношения ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Решение уравнения Пуассона ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?ультипольное разложение скалярного потенциала ?
в электростатике? ?ультипольные моменты и их свойства ?
?ультипольное разложение векторного потенциала A
в магнитостатике? ?агнитный момент произвольной
системы токов ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Силы и моменты сил? действующие на распределенные
источники ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Потенциальная энергия системы зарядов или токов
в заданном внешнем поле ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Собственная потенциальная энергия системы зарядов или
токов ?энергия в собственном поле? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?иэлектрики и магнетики ?статика? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
???
???
???
???
???
???
?
?главление
???
?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков?
?бъемные силы в диэлектриках и магнетиках ? ? ? ? ? ? ? ? ???
???? ?раевые задачи электростатики и методы их решения ? ? ? ? ???
?
?инамика
???
???
???
???
???
???
???
???
Постановка задачи? общий вид решения ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?апаздывающая функция ?рина волнового оператора ?
?апаздывающие потенциалы ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
Поле произвольным образом движущегося точечного
заряда? Потенциалы ?ьенара ? ?ихерта? ?ощность
излучения и диаграмма направленности ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?злучение локализованных источников? мультипольное
разложение ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?инейная антенна с центральным возбуждением ? ? ? ?
?инамические уравнения ?аксвелла в среде ? ? ? ? ? ?
?олноводы ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
???
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
???
?итература
???
Предметный указатель
???
?б авторе
?лександр ?иколаевич ?асильев ?????????????????????? ? профессор
физического факультета Санкт?Петербургского ??енинградского? госу?
дарственного университета ? принадлежал к поколению преподавателей
университета? которое сформировалось? когда во всем мире уделялось
большое внимание развитию точных наук? и не утратило характерный
для тех лет исследовательский и педагогический энтузиазм?
?? ?? ?асильев родился в ???? г? в Пскове? Там же он окончил с золотой
медалью среднюю школу? После этого поступил на физический факультет
??У? с которым с тех пор оказалась связана вся его дальнейшая жизнь?
?о конца своих дней ?лександр ?иколаевич уделял много времени
непосредственному общению со студентами? так же как это было и в ?????е
годы? когда он? молодой сотрудник кафедры теории поля? только начи?
нал свою преподавательскую деятельность? ?н читал важнейшие курсы
лекций по теоретической физике ? те курсы? на которых у будущих ис?
следователей формируются основы физической картины мира? ? и делал
это с большим педагогическим мастерством? ?а его лекциях? даже когда
они проходили в самых больших аудиториях? часто было непросто най?
ти свободное место ? он пользовался огромным авторитетом у студентов?
?а многократно проводившихся опросах они называли его одним из луч?
ших преподавателей физического факультета? а Ученый совет СПб?У
наградил его почетной премией ??а педагогическое мастерство?? ?екции
?лександра ?иколаевича всегда отличались простотой и ясностью из?
ложения самых сложных концепций? ? этом проявлялся особый стиль
его мышления? который способствовал формированию столь необходимо?
го для физика?исследователя навыка видеть простую суть в сложном яв?
лении? ?оды работы ?? ?? ?асильева в университете характеризовались
небывалыми темпами развития теоретической физики? требовалось посто?
янное совершенствование курсов лекций? чтобы в доступной для студентов
?б авторе
?
форме рассказать о новейших достижениях в данной области? ?лександр
?иколаевич всегда успешно справлялся с этой весьма непростой задачей?
?ак минимум половина из выпускников физического факультета за
последние ?? лет общались с ?? ?? ?асильевым как с преподавателем?
слушали его лекции? сдавали ему экзамены или зачеты? ?ля многих из них
это дало возможность не только приобрести глубокие профессиональные
знания? но и приобщиться к лучшим традициям ?енинградского ? Санкт?
Петербургского университета?
?амечательный педагог? ?лександр ?иколаевич? обладал уникальным
талантом ученого? ?го научные исследования были таким же важным де?
лом в его жизни? как и преподавание? и они были неразрывно связаны
между собой? ?аучные интересы ?лександра ?иколаевича были необы?
чайно широки и разнообразны? Уже в самом начале научной карьеры он
добился успеха в сложной области теоретической физики ? конструктив?
ной квантовой теории поля? Полученные им результаты были отмечены
в ???? г? премией ?енинского комсомола? ? то время это была самая пре?
стижная государственная премия для молодых исследователей? которая
присуждалась за наиболее важные научные достижения?
?? ?? ?асильев пользовался заслуженным международным признани?
ем как специалист по конструктивной теории поля? когда он решил не
ограничиваться этой проблематикой и расширить область своих иссле?
дований? ?месте со своими учениками он занялся разработкой функци?
ональных методов квантовой теории поля и статистической физики? Так
возникла ?Школа ?асильева?? в которой формировались высококвалифи?
цированные научные работники и преподаватели? ? настоящее время сре?
ди учеников ?лександра ?иколаевича ? докторов и свыше ?? кандидатов
наук? которые успешно развивают идеи своего учителя? ?ногие из них
уже создали собственные научные направления и имеют своих учеников?
Результаты? полученные ?? ?? ?асильевым и его учениками? дали воз?
можность выявить глубокое внутреннее единство классических и кванто?
вых сложных систем с большим числом степеней свободы? ?ни позволяют?
в частности? применять общий математический формализм для теорети?
ческого исследования физических явлений? имеющих совершенно разную
природу?
?аибольший интерес у ?лександра ?иколаевича в последние годы
проявлялся к теории критических явлений? Это одна из самых молодых
и бурно развивающихся областей теоретической физики? в становление
которой он? его ученики и коллеги внесли весьма существенный вклад?
?
?б авторе
? ?????е годы ?? ?? ?асильев неоднократно становился лауреатом гран?
тов Сороса и опубликовал несколько научно?популярных статей в ?Соро?
совском образовательном журнале??
?огатый научно?педагогический опыт? накопленный ?? ?? ?асильевым
за многие годы? нашел свое отражение в книгах? ?Функциональные мето?
ды в квантовой теории поля и статистике? ?издательство ?енинградского
университета? ????? перевод на английский язык? ??s????? ?? ?? ????t?????
??t???s ?? q???t?? ???? t???r? ??? st?t?st??s? ??????? ??r??? ? ?r?????
?????? ??вантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и
стохастической динамике? ?издательство Петербургского института ядер?
ной физики? ????? перевод на английский язык? ??s????? ?? ?? ??? ????
t???r?t?? r???r??????t??? ?r??? ?? ?r?t???? ???????r t???r? ??? st????st??
???????s? ???? ??t??? ??????? ? ????????? ??????
? книге
?анная книга профессора ?? ?? ?асильева посвящена разделу физики?
давно уже ставшему классическим? ? электродинамике? ?аряду с класси?
ческой и квантовой механикой электродинамика является неотъемлемой
частью образования современных физиков и инженеров? а ее глубокое по?
нимание необходимо для успешного усвоения более специальных дисци?
плин? таких как физика плазмы? радиофизика? магнитная гидродинамика?
физика и техника ускорителей? квантовая теория поля и многих других?
По этому предмету опубликован целый ряд учебников ?наиболее извест?
ные из них ? ??лассическая электродинамика? ?ж? ?жексона и ?Теория
поля? ?? ?? ?андау и ?? ?? ?ифшица?? но книга ?? ?? ?асильева обладает
рядом особенностей? делающих ее уникальной? и она несомненно займет
свое особое место среди других монографий?
По существу? данная книга ? полный и подробный конспект лекций?
читавшихся автором на протяжении трех десятилетий для студентов тре?
тьего курса физического факультета ??У ?СПб?У? в качестве части кур?
са теоретической физики? Это в значительной степени определяет объем?
структуру и стиль изложения? а также уровень требований? предъявля?
емых к читателю? ?нига рассчитана на тех? кто имеет предварительные
знания в области электричества и магнетизма? а также математическо?
го анализа ?в пределах первых двух курсов физического или инженерно?
технического вуза?? но хотел бы получить более полное и систематическое
представление как о теоретических основах? так и о математических ме?
тодах классической электродинамики?
?собенностью книги является принятый в ней аксиоматический под?
ход? сначала постулируются основные уравнения электродинамики ?урав?
нения ?аксвелла в дифференциальной форме?? а затем основные резуль?
таты выводятся из них как следствия ?при минимальных дополнительных
предположениях? которые всегда четко формулируются?? Такое представ?
??
? книге
ление материала является наиболее последовательным и экономичным?
так как оно позволяет быстро подвести читателя к постановке более слож?
ных проблем? выходящих уже за рамки краткого курса? и дать методы их
решения? ? то же время? аксиоматический подход с самого начала под?
черкивает единую природу электрических и магнитных явлений? которые
в курсах общей физики? как правило? изучаются раздельно? Так как кни?
га задумана как часть курса теоретической физики? основное внимание
в ней уделяется принципиальным проблемам электродинамики? хотя текст
содержит также ряд важных приложений общей теории?
?нигу можно разделить на четыре основные части?
? первой? вводной? части формулируются основные уравнения элек?
тродинамики? обсуждается соотношение между их дифференциальной и
интегральной формами? строятся потенциалы электромагнитного поля?
изучаются калибровочные преобразования и соответствующие им допол?
нительные условия? выводятся фундаментальные следствия типа закона
сохранения электрического заряда?
?торая часть посвящена релятивистски?ковариантной формулировке
электродинамики на языке преобразований ?оренца? ?сновная идея авто?
ра здесь ? показать? как просто и естественно представляются основные
соотношения электродинамики в релятивистской форме? Это важно как
для физиков?экспериментаторов? для которых изучение электродинами?
ки дает уникальную возможность познакомиться с общими принципами
теории относительности и ее конкретными приложениями? так и для тео?
ретиков? для которых электродинамика может служить прообразом со?
временных калибровочных теорий поля? описывающих фундаментальные
взаимодействия элементарных частиц?
Третья часть посвящена в основном электро? и магнитостатике? Реше?
ние соответствующих задач приведено в явном виде? При этом вводятся
важные понятия ?например? мультипольное разложение и мультипольные
моменты?? которые впоследствии существенно используются при обсуж?
дении задач динамики?
Четвертая часть посвящена собственно динамике? ?на включает об?
суждение таких проблем? как общее решение волнового уравнения? излу?
чение произвольно движущихся зарядов? излучение локализованных ис?
точников ?общие выражения? дипольное и квадрупольное приближения?
теория антенн?? ?аключительная часть содержит краткое? но ясное и ин?
формативное введение в теорию распространения электромагнитных волн
? книге
??
в волноводах? Физик?экспериментатор и инженер найдут здесь для себя
много интересных приложений общей теории?
?ажной чертой книги является замкнутость изложения? необходимые
сведения из математики и других разделов физики кратко излагаются в
нужных местах? Это? например? элементы векторного анализа? аппарат
тензоров на группе вращений? определение и свойства дельта?функции
?ирака? элементы теоретической механики ?гамильтониан? лагранжиан и
принцип наименьшего действия??
?лександр ?иколаевич ?асильев ? выдающийся физик?теоретик и
уникальный педагог? неоднократно признававшийся студентами лучшим
лектором физического факультета ??У ?СПб?У?? работал над данной
книгой много лет и закончил ее незадолго до своей скоропостижной
кончины в октябре ???? г? Поэтому книга? сохраняющая неповторимый
авторский стиль? свойственный его лекциям? в то же время представляет
предмет в наиболее полном и завершенном виде?
Публикация книги позволит ознакомиться с классической электроди?
намикой в прекрасном изложении автора максимально широкому кругу
читателей ? не только студентам и аспирантам? но и профессионально ра?
ботающим физикам и инженерам?
?иректор отделения теоретической физики
Петербургского института ядерной физики
член?корреспондент Р?? ?? ?? ?ипатов
Предисловие
Этот текст является фактически просто полным конспектом курса лекций
по классической электродинамике? читаемых автором на физическом фа?
культете Санкт?Петербургского государственного университета? ?екции
читаются для всех студентов третьего курса в течение одного ?осеннего?
семестра по ?две пары?? т? е? четыре академических часа в неделю? Этим
определяется объем материала и его отбор? задача курса ? дать общее
представление об основных принципах теории на таком уровне и в таком
объеме? которые могли бы позволить усвоившему этот материал читателю
в дальнейшем разбираться самостоятельно с различными конкретными
задачами?
По объему предлагаемый материал соответствует курсу? который дей?
ствительно можно прочитать ?и читается автором? за один семестр? конеч?
но? с небольшими вариациями? зависящими от скорости чтения и от числа
теряемых на праздники? коллоквиумы и т? п? лекций? ? некоторые годы я
успевал прочитать последний раздел ??олноводы?? в иные ? не успевал?
?торой важный момент ? контингент слушателей? ? предисловии
классической книги ?жексона ??? говорится? что это ?двухсеместровый
курс для аспирантов?? ? отличие от этого? данный курс лекций предназна?
чен для более молодых и менее подготовленных слушателей ? студентов
третьего года обучения физического факультета ?это их пятый семестр??
причем для всех? а не только для будущих аспирантов? ?онечно? это влияет
как на отбор материала? так и на стиль его изложения?
? этих лекциях принят ?аксиоматический подход?? сначала в качестве
постулатов формулируются дифференциальные уравнения ?аксвелла для
полей в вакууме? все прочее выводится затем из них как следствия? что и
определяет порядок изложения? ?апример? в рамках логики данного курса
вывести элементарную формулу F = QE для действующей на заряд Q в
поле E силы F можно лишь после довольно большой предварительной
Предисловие
??
подготовки? хотя обычно эта формула приводится сразу же как определе?
ние напряженности электрического поля E ? По тем же причинам вывод
нестационарных уравнений ?аксвелла в среде ?диэлектрики и магнетики?
приводится лишь в конце курса после анализа мультипольных разложений
для динамических полей в вакууме? ? такой порядок однозначно опреде?
ляется внутренней логикой данного курса?
Сознательно ограничивая тематику? я стремился сделать изложение ос?
новных положений максимально ясным и доступным для всех желающих?
допуская при этом? что не все слушатели хорошо помнят уже пройденный
ими ранее на других курсах материал? Поэтому в тексте всегда приво?
дятся все нужные для его понимания справочные сведения? в частности?
основные определения и формулы векторного анализа? ? тех разделах? в
которых электродинамика соприкасается с теоретической механикой или с
термодинамикой? в качестве введения приводится краткая сводка нужных
для дальнейшего основных положений этих смежных дисциплин? ?се это
важно и для согласования обозначений? которым я уделял особое вни?
мание? стремясь сделать их как можно более ясными и компактными?
Я придерживаюсь той точки зрения? что ?удачные обозначения ? половина
дела??
?урс разбит на четыре главы ?см? ??главление??? ?тносительно боль?
шая по объему? вторая глава посвящена релятивистски?ковариантной фор?
мулировке электродинамики на языке специальной теории относительно?
сти? ?атематическим аппаратом этой теории является язык тензоров на
группе ?оренца? Поскольку его нельзя считать общеизвестным для третье?
курсников? все нужные определения и сведения приводятся в тексте? что
составляет довольно большое ?математическое отступление?? ?бщая цель
этой главы состоит в том? чтобы показать? как просто и красиво форму?
лируются основные соотношения электродинамики на таком языке? Это
особенно важно для будущих физиков ? экспериментаторов? для которых
курс электродинамики предоставляет уникальную возможность достаточ?
но подробно ознакомиться с общими принципами теории относительности
и их конкретными приложениями?
? заключение поясним порядок ссылок в тексте? ?аждая из его четы?
рех частей состоит из нумерованных разделов ??пунктов??? ссылка типа
?п? ???? обозначает раздел ? главы ?? и т? п? ?умерация формул по всему
тексту сплошная? поэтому при ссылках указывается только номер форму?
лы без уточнения номеров главы и раздела? ?сюду используется гауссова
система единиц?
?лава ?
?бщее введение
??? Уравнения ?аксвелла
?лассическая электродинамика представляет собой один из разделов тео?
ретической физики? который в настоящее время можно считать полностью
завершенным? Поэтому ее можно излагать аксиоматически? постулировав
без вывода основные уравнения и выводя из них все остальное как след?
ствия? ?менно так и будет строиться изложение в данном курсе лекций?
?ы принимаем в качестве постулата следующие четыре уравнения
?аксвелла ????? г?? ? это дифференциальные уравнения в частных произ?
водных? связывающие напряженности электрического E и магнитного H
полей с ?источниками? ? объемными плотностями заряда ? и тока j ?
div H = 0,
???
1
rot E + ?t H = 0,
c
???
div E = 4??,
???
1
4?
rot H ? ?t E =
j.
???
c
c
Это уравнения для электромагнитного поля в вакууме? записанные в
так называемой ?гауссовой системе единиц?? наиболее удобной для запи?
си общих соотношений? ? она и будет использоваться всюду в этом кур?
се? ?онстанта ? c? в уравнениях ? скорость света в вакууме ?триста тысяч
километров в секунду?? ?t ? ?/?t ? частная производная по времени t?
??
???? Уравнения ?аксвелла
определения координатных дифференциальных операций ? div? и ? rot? на?
поминаются ниже? ?бычная постановка задачи такова? источники ? и j
даны? напряженности E и H ищутся?
? терминологии? уравнение ??? есть дифференциальная форма зако?
на ?улона? ??? ? его магнитный аналог? ??? ? дифференциальная форма
закона электромагнитной индукции Фарадея? уравнение ??? без второго
вклада в левой части ? закон ?мпера?
?сторическая справка? формально единственным вкладом ?аксвелла
в уравнения электродинамики была добавка второго слагаемого в левую
часть уравнения ???? После переноса в правую часть она выглядит как до?
бавка к плотности тока и ее называют ?током смещения ?аксвелла?? Эта
добавка играет очень важную роль? она позволила ?аксвеллу истолко?
вать систему ??????? как уравнения распространения упругих колебаний
?т? е? уже хорошо знакомый физикам того времени процесс? некоторой
абстрактной сплошной среды? названной им ?эфиром?? ?последствии тео?
рия относительности ?которая будет подробно обсуждаться в дальнейшем?
позволила избавиться от понятия эфира?
? размерностях? исходя из общего принципа? согласно которому все
слагаемые в каждом выражении и обе части равенства в любом уравне?
нии должны иметь одинаковую размерность? можно выразить размерно?
сти всех входящих в уравнения ??????? величин через размерности фун?
даментальных величин ? заряда ?Q?? длины ?L? и времени ?T ?? отправ?
ляясь от известной размерности объемной плотности заряда ? ? Q/L3
?заряд?объем? и скорости света c ? L/T ?длина?время?? Приравнивая
размерности вкладов в уравнениях ??????? с учетом div ? rot ? 1/L для
этих операций ?см? ниже? и ?t ? 1/T ? получим E/L ? (T /L)(H/T ) из ????
(E/L) ? ? ? Q/L3 из ??? и H/L ? (T /L)(E/T ) ? j(T /L) из ???? ?тсюда
следует? что по размерности
E ? H ? Q/L2 ,
? ? Q/L3 ,
j ? Q/T L2 .
???
Таковы размерности всех величин в гауссовой системе единиц? в которой
записаны уравнения? ?з ??? следует? что в этой системе размерности на?
пряженностей E и H одинаковы?
?ужно также отметить? что традиционный термин ?объемная плот?
ность тока? не вполне корректен и может вести к недоразумениям? ?быч?
но под объемной плотностью некоторой величины понимается ?количество
данной величины в единице объема?? такой смысл имеет? в частности? объ?
емная плотность заряда ?? ?о под ?величиной тока? естественно понимать
??
?бщее введение
то? что измеряется поставленным в проводе амперметром? ? количество
заряда? проходящее через сечение провода за единицу времени? т? е? то?
что измеряется в амперах? Такой смысл имеет произведение j не на объ?
ем ?как следовало бы из формального смысла термина?? а на площадь?
по смыслу j есть вектор? направление которого показывает направление
?размазанного? по объему тока? а его абсолютная величина есть количество
заряда? проходящего за единицу времени через поставленную поперечно
направлению тока площадку единичного сечения?
??? ?атематическое отступление?
соглашения об обозначениях?
справочные формулы
Тройку координат трехмерного пространства мы будем в дальнейшем обо?
значать одной буквой? например? x? понимая x как трехмерный вектор с
компонентами xi ? i = 1, 2, 3? Это значит? что для нумерации осей трех?
мерного пространства принимаются цифровые обозначения ?? ?? ?? а не
буквенные x, y, z ? которые часто используются в школьных курсах? но
очень неудобны при записи сложных выражений? с которыми нам при?
дется иметь дело в дальнейшем?
Соглашение? частные производные по пространственным координа?
там xi будем обозначать сокращенно через ?i ? т? е? ?i ? ?/?xi ?
Соглашение? для индексов? нумерующих пространственные координа?
ты? всегда будут использоваться латинские буквы типа i, k, l, ... ?аждый
из таких индексов может принимать любое из цифровых значений ?? ?? ??
поэтому объект? содержащий n латинских индексов? имеет 3n компонент?
получаемых присвоением каждому из индексов конкретного цифрового
значения ?? ? или ?? ?апример? величина типа Aik имеет ? компонент?
величина типа Aikl ? ?? компонент? и так далее?
?пределение тензоров ?ik и ?ikl . ? формулах будут часто встре?
чаться два фундаментальных тензора ?точный смысл термина ?тензор?
пояснится впоследствии?? а именно? символ ?ронекера ?ik ? компоненты ко?
торого равны единице при i = k и нулю при i = k ? т? е?
?ik =
1 при i = k
0 при i = k
??
???? ?атематическое отступление
и трехзначковый символ ?ikl ? компоненты которого определяются следую?
щими двумя требованиями?
?? ?ikl полностью антисимметричен? т? е? его компоненты меняют знак
при перестановке любых двух соседних индексов?
?? компонента ?123 равна единице?
Покажем? что эти два требования определяют ?ikl однозначно? Трех?
значковый объект ?ikl имеет 33 = 27 компонент ?см? выше?? но большин?
ство из них равны нулю вследствие требуемой антисимметрии? ?ействи?
тельно? если какая?нибудь конкретная компонента имеет два одинаковых
цифровых индекса? то она должна быть равной нулю? ?Пример? компо?
нента ?112 ? с одной стороны? не изменяется при перестановке двух первых
значков ввиду их равенства? с другой ? должна при этом менять знак по
свойству антисимметрии? откуда следует ?112 = 0? ?сли совпадающие знач?
ки не соседние? например ?121 ? то вывод не изменяется? так как из той же
антисимметрии следует ?121 = ??112 = 0??
Таким образом? отличными от нуля могут быть лишь те компонен?
ты ?ikl ? у которых все три индекса имеют разные цифровые значения?
Поскольку каждый из индексов может принимать лишь три возможных
значения ?? ?? ?? ясно? что один из этих трех индексов обязательно дол?
жен быть равен ?? второй ? ?? третий ? ?? ?чевидно? что все такие набо?
ры получаются перестановками тройки ?? ?? ?? Таких перестановок всего
3! = 6? а именно три ?циклических? ????? ???? ???? и три ?антицикличе?
ских? ????? ???? ????? Поскольку все отличные от нуля компоненты ?ikl
получаются из одной перестановками индексов? для полного задания ?ikl
достаточно задать всего лишь одну ненулевую компоненту? что мы и сде?
лали ?см? выше?? ?123 = 1? Тогда для четных ?циклических? перестано?
вок имеем ?123 = ?231 = ?312 = 1? а для нечетных ?антициклических?
?213 = ?132 = ?321 = ?1? все прочие компоненты ?ikl равны нулю?
Соглашение? если в формуле некоторый значок повторяется дважды?
то по нему подразумевается суммирование по всем его возможным значе?
ниям? в нашем случае трехмерного пространства? ? по ?? ?? ?? ?апример?
3
Ai B i ?
Ai Bi ? (AB)
i=1
? скалярное произведение векторов A и B ? ?амечание? поскольку зна?
чение суммы не зависит? очевидно? от обозначения индекса суммирова?
ния? его можно произвольно изменять? например? Ai Bi = Ak Bk и т? п?
??
?бщее введение
?о в многократных суммах следует следить за тем? чтобы для каждо?
го из суммирований использовался отличный от всех других индекс? ?а?
пример? для произведения двух скалярных произведений типа (AB)(CD)
можно использовать запись Ai Bi Ck Dk ? но ни в коем случае нельзя писать
Ai Bi Ci Di ? такое выражение при наших соглашениях не имеет смысла?
Формальное правило? любой из индексов типа i, k, l, ... в любом из вы?
ражений может встречаться либо один раз ?тогда его называют ?свобод?
ным? и он может принимать любое конкретное цифровое значение ?? ?? ???
либо два раза ?и тогда это ?индекс суммирования?? который можно про?
извольно менять? в отличие от свободного индекса?? При записи формул
нужно тщательно следить за тем? чтобы для всех индексов суммирования
использовались буквы? отличные от уже имеющихся свободных индексов?
и чтобы для разных ?многократных? суммирований использовались раз?
ные ?неважно какие? но обязательно разные и отличные от свободных?
буквенные индексы?
?сли в выражении присутствует символ ? с каким?нибудь индексом
суммирования? то выражение упрощается? так как ?каждый символ ? сни?
мает одно суммирование?? ?апример? Ai ?ik = Ak , Ai Bk ?ik = Ai Bi = Ak Bk
и т? п?
?екторное произведение [AЧB] двух векторов A и B есть новый вектор?
компоненты которого определяются соотношениями
[A Ч B]1 = A2 B3 ? A3 B2 ,
[A Ч B]2 = A3 B1 ? A1 B3 ,
[A Ч B]3 = A1 B2 ? A2 B1
?отметим? что второе и третье соотношения получаются из первого цик?
лическими перестановками?? С помощью введенного выше символа ? все
эти три соотношения можно записать в виде одной формулы ?по повторя?
ющимся индексам k, l суммирование??
[A Ч B]i = ?ikl Ak Bl .
???? ?атематическое отступление
??
?? Приведем без вывода следующие очень по?
лезные соотношения? свертка двух ? по одному? по двум значкам
Формулы свертки двух
?ikl ?sml = ?is ?km ? ?im ?ks ,
?ikl ?skl = 2?is ,
по трем ?ikl ?ikl = 6 ?эту формулу приводим только для полноты? практи?
чески важны лишь две первые?? ?ыше мы привели каноническую запись?
в которой индексы суммирования ?l в первой формуле и k ? l во второй?
занимают одинаковое положение в двух множителях ?? ?о их? конечно?
можно переставлять? учитывая антисимметрию ??
При практическом использовании подобных формул конкретные обо?
значения индексов ? могут быть любыми? поэтому запоминать нужно не
явный вид написанных выше выражений? а общий принцип их построения?
При каноническом ?т? е? одинаковом для двух множителей ?? положении
индексов суммирования этот принцип для второй формулы очень прост?
ответ есть удвоенный ? ?символ по двум остающимся свободным индексам?
? первой формуле у каждого множителя ? остаются два свободных индек?
са и для канонического ?одинакового? положения индекса суммирования
расстановка индексов в комбинации ?Ч???Ч? в правой части определяется
следующим простым правилом?
[первый? первый][второй? второй] ? [первый? второй][второй? первый].
Термины ?первый? второй? обозначают? соответственно? первый и второй
из остающихся в каждом символе ? свободных индексов? ? приведенной
выше записи такими индексами у первого множителя ? являются i, k ?
а у второго ? s, m? поэтому [первый? первый][второй? второй] = is, km?
а [первый? второй][второй первый] = im, ks?
?нание формул свертки двух ? избавляет от необходимости запоми?
нать множество различных формул векторного анализа? ? качестве при?
мера приведем вывод известной формулы ???Ц?Ц???? [A Ч [B Ч C]] =
B(AC) ? C(AB)? ?з приведенных выше формул для ? i?компоненты? ис?
ходного объекта получаем?
[A Ч [B Ч C]]i = ?ikl Ak [B Ч C]l = ?ikl Ak ?lsm Bs Cm = ?ikl ?sml Ak Bs Cm =
= (?is ?km ? ?im ?ks )Ak Bs Cm = Ak Bi Ck ? Ak Bk Ci
? Bi (AC) ? Ci (AB),
что и требовалось доказать?
??
?бщее введение
Сейчас речь пойдет об
объектах? зависящих от пространственных координат x = {xi , i = 1, 2, 3}?
напомним обозначение ?i ? ?/?xi ?
?? ?радиент ?? скаляра ? есть вектор с компонентами
?сновные понятия векторного анализа?
(??)i = ?i ?.
??
?ивергенция
div A вектора A есть скаляр
div A = ?i Ai .
??
Ротор
вектора A есть вектор rot A с компонентами
(rot A)i = ?ikl ?k Al .
? соответствии с нашим соглашением? везде подразумевается сумми?
рование по повторяющимся индексам?
? формулах будет также часто встречаться оператор ?апласа
? ? ?i ?i
? сумма вторых производных по всем координатам?
?звестные соотношения div rot A = 0? rot ?? = 0 на нашем языке ?
следствия антисимметрии ?? ?апример?
div rot A = ?i (rot A)i = ?i ?ikl ?k Al = ?ikl ?i ?k Al = 0
как свертка симметричного по индексам i? k объекта ?i ?k с антисиммет?
ричным по этим индексам символом ?ikl ?
?бщее правило? свертка симметричного по любой паре индексов объ?
екта с антисимметричным равна нулю?
?ействительно? пусть объект Aik... симметричен по ik ?многоточие ?
любые другие индексы при их наличии?? а Bik... ? антисимметричен ?т? е?
Aik... = Aki... и Bik... = ?Bki... с сохранением положения всех обозначаемых
многоточием других индексов?? Тогда Aik... Bik... = 0? ?ля доказательства
достаточно переставить мысленно индексы суммирования i? k ? При такой
перестановке? с одной стороны? ответ не должен изменяться? так как он
не зависит от обозначения индексов суммирования? с другой стороны? он
должен изменить знак в силу предполагаемых свойств симметрии A и B ?
Поэтому ?объект равен минус себе?? следовательно? равен нулю?
??
???? ?атематическое отступление
? дальнейшем мы будем часто использовать это правило? говоря корот?
ко ?свертка симметричного с антисимметричным по такой?то паре индек?
сов?? Равенство rot ?? = 0 доказывается точно такими же соображениями?
?нание формул свертки двух ? помогает при выводе различных спра?
вочных формул векторного анализа? ? качестве примера выведем из?
вестное равенство rot rot A = ? div A ? ?A? в котором ? = ?i ?i ? опе?
ратор ?апласа? ?меем? (rot rot A)i = ?ikl ?k (rot A)l = ?ikl ?k ?lsm ?s Am =
(?is ?km ? ?im ?ks )?k ?s Am = ?i ?k Ak ? ?k ?k Ai ? ?i div A ? ?Ai ? что и тре?
бовалось доказать?
Поток и циркуляция? Поток вектора A через некоторую ?замкнутую
или незамкнутую? поверхность S с заданным направлением нормали к ней
есть поверхностный интеграл
An ds? дифференциалом которого являет?
ся произведение площади ds участка поверхности на величину нормальной
проекции An значения вектора A на данном участке?
Теорема ?строградского ? ?аусса?
dx div A =
V
An ds,
C
где V ? произвольный объем? dx ? dx1 dx2 dx3 ? дифференциал объе?
ма? S ? замкнутая поверхность? ограничивающая данный объем? нормаль
внешняя? Словесно? объемный интеграл от дивергенции любого вектора
равен потоку этого вектора наружу через поверхность? ограничивающую
данный объем?
Циркуляцией вектора A по некоторому замкнутому контуру C в за?
данном направлении обхода называют контурный интеграл dxi Ai ? диф?
ференциалом которого является скалярное произведение вектора Ai на
данном участке на соответствующий вектор dxi ? направленный по каса?
тельной к контуру в заданном направлении и равный по модулю длине
рассматриваемого бесконечно малого участка?
Теорема Стокса?
(rot A)n ds =
S
dxi Ai ,
C
т? е? поток ротора любого вектора через любую незамкнутую поверхность
равен циркуляции этого вектора по контуру? ограничивающему эту по?
верхность? При этом направление нормали к поверхности и направление
??
?бщее введение
обхода контура должны быть согласованы? Правило согласования зависит
от системы отсчета? если это система ?правая = штопорная? ?т? е? такая?
в которой вращение оси ??? к оси ??? дает по ?правилу штопора? нуж?
ное направление оси ???? все прочее ? циклическими перестановками?? то
направление обхода контура C и нормали к поверхности S согласуется
обычным ?правилом штопора?? ?ля ?левой? системы ? наоборот?
?акончив на этом данное ?математическое отступление?? возвращаемся
непосредственно к электродинамике?
??? ?нтегральная форма
уравнений ?аксвелла
?ернемся к уравнениям ?аксвелла ???????? ?опустим? что входящие в них
объемные плотности источников ?? j и ?как следствие? решения для на?
пряженностей E, H являются гладкими? так что уравнения справедливы
для любой точки пространства x? Тогда эти уравнения можно проинте?
грировать либо по произвольному объему ?для уравнений с div?? либо по
произвольной незамкнутой поверхности S ? вычисляя поток ротора ?для
уравнений с rot?? Превращая объемный интеграл от дивергенции вектора
в его поток из объема? а поток ротора вектора ? в его циркуляцию по
ограничивающему поверхность контуру? получим следующий интеграль?
ный эквивалент дифференциальных уравнений ?аксвелла ????????
???
Hn ds = 0,
1
dxi Ei + ?t
c
Hn ds = 0,
???
En ds = 4?
dx? ? 4?Qv ,
???
1
dxi Hi ? ?t
c
En ds =
4?
c
jn ds ?
4?
Is ,
c
???
где Qv ? полный заряд внутри рассматриваемого объема? а Is ? полный
ток? протекающий через ограниченную заданным контуром поверхность?
?ы не указываем под знаками интегралов уточняющих символов типа V ?
S ? полагая? что и так все ясно из приведенных выше формулировок теорем
?строградского ? ?аусса и Стокса? ?тметим? что уравнение ??? есть закон
???? ?нтегральная форма уравнений ?аксвелла
??
электромагнитной индукции Фарадея? так как циркуляция вектора E по
замкнутому контуру имеет смысл Э?С? развиваемой в контуре? а из ???
следует? что эта величина пропорциональна скорости изменения магнит?
ного потока через ограниченную контуром поверхность? в чем и состоит
закон Фарадея? ?тметим также? что уравнение ??? ? интегральная форма
закона ?улона ? очень полезно в электростатике при вычислении напря?
женностей для простых систем? у которых плотность заряда ? обладает
определенной симметрией? ? качестве простейшего примера напомним вы?
вод известной формулы E = Q/r2 для напряженности точечного заряда
Q? ?сли поместить его в начало координат и окружить сферой произволь?
ного радиуса r? то поток E через эту сферу находится элементарно? ввиду
сферической симметрии ясно? что вектор E везде направлен по нормали
к поверхности сферы и по модулю одинаков для всех ее точек? так что
поток есть просто произведение E = En на площадь сферы 4?r2 ? Прирав?
нивая поток величине 4?Q согласно ???? получаем E = Q/r2 ? ?аправление
вектора E ?по нормали наружу при Q > 0? легко определяется из тео?
ремы ?строградского ? ?аусса? Тем же методом легко найти выражения
для напряженности при любом другом сферически симметричном распре?
делении заряда ?для дальнейшего отметим важное следствие? если такой
заряд ?локализован?? т? е? сосредоточен в некотором конечном объеме? то
вне его он создает точно такое же поле? как точечный суммарный заряд
Q в центре системы?? ?налогичные рассуждения позволяют легко найти
напряженность E для равномерно заряженной бесконечной плоскости или
системы параллельных плоскостей ?в частности? для конденсатора?? для
равномерно заряженной бесконечной линии и т? п?
? заключение напомним? что в этом разделе мы предполагали глад?
кость всех величин? тогда дифференциальная и интегральная формы
уравнений ?аксвелла полностью эквивалентны? ?ействительно? выше мы
приводили вывод интегральной формы из дифференциальной? из матема?
тики известно? что можно выполнить и обратную процедуру? пользуясь
произвольностью объемов и поверхностей и переходя к бесконечно малым
величинам?
??
?бщее введение
??? Соотношение между
дифференциальной и интегральной
формами уравнений ?аксвелла
при наличии поверхностей разрыва?
?раевые условия ?условия сшивания?
?опустим теперь? что есть некоторая поверхность S ? на которой сосредото?
чены поверхностные заряды и токи? а вне ее ? обычные объемные распре?
деления с гладкими ? и j ? Хорошо известно ?и ниже будет доказано?? что
при переходе через такую поверхность напряженности E ? H испытывают
конечные скачки? т? е? их предельные значения при подходе к поверхности
S с двух разных сторон существуют? но различны? ?а самой поверхности
из?за разрывов производные E ? H не существуют? так что дифференци?
альные уравнения ?аксвелла ??????? имеют смысл только вне S с двух
сторон?
? такой ситуации стандартный вывод интегральной формы уравне?
ний ?аксвелла из дифференциальной справедлив лишь для тех объемов
?в теореме ?аусса? или поверхностей ?в теореме Стокса?? которые цели?
ком находятся с одной из двух сторон границы раздела S ? не пересекая
ее? Понимаемая в таком ?узком смысле? интегральная форма уравнений
?аксвелла? естественно? полностью эквивалентна дифференциальной?
?о для математической корректности постановки задачи при наличии
поверхности разрыва S дифференциальных уравнений вне S недостаточ?
но ? нужны еще определенные ?краевые условия?? т? е? условия сшивания
решений с двух сторон S ? ? чистой математике краевые условия обыч?
но считаются некоторыми дополнительными требованиями? которые до?
бавляются к дифференциальным уравнениям и могут быть различными
?типичные примеры ? задача ?ирихле или задача ?еймана для уравне?
ния ?апласа с границами?? ? электродинамике это не так? поскольку ис?
комые условия сшивания однозначно определяются самой физикой зада?
чи? ?ни выводятся из интегральных уравнений ?аксвелла? понимаемых
?в широком смысле?? а именно? считающихся справедливыми для любых
областей интегрирования? в том числе и пересекающих границу раздела S ?
Такое обобщение ? постулат? поскольку интегральные уравнения для та?
ких областей нельзя получить обычным образом из дифференциальных?
?нтегральные уравнения ?в широком смысле? содержат в себе не только
???? ?аличие поверхностей разрыва? ?раевые условия
??
обычные дифференциальные уравнения вне поверхности S ? но и условия
сшивания решений на этой поверхности? в чем мы убедимся ниже? У это?
го постулата есть очень простое физическое обоснование? бесконечно тон?
кая поверхность S ? идеализация? подобная понятию материальной точки
в механике? ? реальной жизни все ?размазано?? т? е? граница раздела S
должна иметь некоторую конечную толщину? Тогда все сводится к обыч?
ным объемным распределениям источников? для которых интегральная
форма справедлива при любом выборе объемов или поверхностей интегри?
рования? в том числе и для пересекающих размазанную границу раздела?
Такие соотношения должны? очевидно? сохраниться и после предельного
перехода к бесконечно тонкой поверхности S ?толщина границы раздела
стремится к нулю? а объемные плотности источников внутри нее ? к бес?
конечности? так что произведение этих величин стремится к некоторым
постоянным? определяющим поверхностные плотности источников?? Эти
простые соображения и позволяют принять ?расширенный вариант? инте?
гральной формы уравнений ?аксвелла в качестве постулата?
Покажем теперь? как из него выводятся краевые условия? Поверхность
раздела S будем предполагать гладкой? а пересекающие ее объемы в теоре?
ме ?аусса или поверхности в теореме Стокса ? малыми? рассматривая за?
тем предел их стремления к бесконечно малым? Ясно? что в таком пределе
можно пренебречь кривизной поверхности? считая ее плоской? а напряжен?
ности E и H с каждой стороны границы ? пространственно однородными?
но при этом не одинаковыми с двух сторон ?их будем различать индек?
сами I ? II ?? ?ля определенности выберем в качестве поверхности раздела
плоскость ?? ?? тогда нормалью к ней будет ось ? ?см? рис? ????? Система
отсчета на рисунке выбрана правой ?= ?штопорной???
Рассмотрим сначала интегральную форму закона ?улона ??? и возьмем
в качестве ?объема интегрирования? показанный на рис? ??? пересекающий
границу раздела цилиндр? ?бозначим его радиус через R? высоту ? h и
рассмотрим предел R ? 0 и h ? 0? причем так? что h стремится к нулю
быстрее? чем R ?для конкретности можно положить h ? R2 ?? Условие
h/R ? 0 удобно тем? что позволяет при вычислении потока вектора E
учитывать лишь вклад двух ?донышек? цилиндра? пропорциональный их
площади Sдон = ?R2 ? пренебрегая вкладом в поток от боковой поверхности
как величиной высшего порядка малости при R ? 0? Тогда с нужной точ?
ностью ?? R2 ? поток есть Sдон (E3II ? E3I ) и должен быть равен? согласно
???? величине 4?Qv с учетом в Qv лишь вкладов порядка R2 ? Ясно? что
вклад такого порядка может порождаться только поверхностным зарядом
??
Рис?
?бщее введение
????
?бъем
инте?
?ыбор
кон?
?ыбор
кон?
Рис?
????
грирования в интеграль?
туров
интегрирования
ной форме закона ?уло?
плоскости осей ??? ?? для
плоскости осей ??? ?? для
на? уравнение ???
использования
использования
в
теоремы
Стокса в уравнении ???
Рис?
????
туров
интегрирования
в
теоремы
Стокса в уравнении ???
на границе раздела S и равен ?Sдон ? где ? ? поверхностная плотность за?
ряда ?объемный заряд с непрерывной плотностью ? дает в Qv несуществен?
ный вклад высшего порядка малости при R ? 0?? Приравнивая поток E
и 4?Qv и сокращая Sдон ? получаем E3II ? E3I = 4?? или ?En = 4?? ? где
символ ? в данном случае обозначает ?приращение? = ?скачок? ?не путать
с оператором ?апласа?? а En ? нормальную составляющую вектора E ?
Ясно? что изложенные выше на примере соотношения ??? построения
справедливы для любых уравнений такого типа? ? частности? из ??? следу?
ет ?Hn = 0? т? е? нормальные компоненты вектора H на границе раздела
непрерывны? ?бщий принцип? который будет в дальнейшем использовать?
ся? состоит в следующем? всякое уравнение с дивергенцией некоторого век?
тора через свою интегральную форму порождает соответствующее краевое
условие для скачка нормальной составляющей данного вектора?
?братимся теперь к ?роторным уравнениям? и их интегральной форме?
начав с уравнения ???? ?налогом поверхностной плотности заряда ? будет
теперь плотность поверхностного тока i ? двумерный вектор? лежащий в
касательной плоскости к поверхности раздела S в любой ее точке? ? нашем
случае ?см? рис? ??? и ???? это вектор в плоскости ??? ?? с компонентами i1,2 ?
?го модуль по смыслу есть количество заряда? протекающего за единицу
времени через единицу длины линии? поставленной в плоскости раздела
поперек направления вектора i?
???? ?аличие поверхностей разрыва? ?раевые условия
??
При использовании теоремы Стокса в ??? выберем сначала контур так?
как показано на рис? ???? а затем ? как на рис? ???? ?атянутая на такие
контуры поверхность пересекает границу раздела? а указанное стрелками
направление обхода контуров выбрано так? чтобы определенная по ?пра?
вилу штопора? нормаль к этим поверхностям совпадала с положительным
направлением ортогональной им оси ???? для рис? ??? и ??? для рис? ?????
?аждый из контуров ? прямоугольник? длину его горизонтального реб?
ра обозначим через l? а вертикального ? через h? и будем рассматривать
предел l ? 0? h ? 0? причем h/l ? 0 ?например? h ? l2 ?? чтобы при
вычислении циркуляции вектора H по контуру можно было бы не учи?
тывать вклад вертикальных участков? Тогда циркуляция вектора H по
контуру с учетом лишь вкладов порядка l есть l(H2I ? H2II ) для контура
на рис? ??? и l(H1II ? H1I ) для контура на рис? ???? а поток поверхностного
тока ?объемный в этом порядке по l вклада не дает? равен i1 l в первом
случае и i2 l во втором?
?стается рассмотреть лишь вклад с ?t E в уравнении ???? При есте?
ственном предположении ограниченности |?t E| < const очевидно? что этот
вклад оценивается сверху площадью lh? натянутой на контур поверхно?
сти? и пренебрежим по сравнению с вкладами порядка l от циркуляции?
?бобщением сказанного является следующее утверждение? слагаемые с
производными напряженностей по времени не дают вкладов в краевые
условия? поэтому в динамике они точно такие же? как и в статике?
?озвращаясь к уравнению ??? и подставляя в него полученные выше
выражения для циркуляции вектора H и потока поверхностного тока че?
рез натянутую на контур поверхность после сокращения общего множите?
ля l? получим H2I ? H2II = (4?/c)i1 для контура на рис? ??? и H1I ? H1II =
?(4?/c)i2 для контура на рис? ???? ? этому можно добавить полученное ра?
нее условие непрерывности нормальных составляющих H3I ? H3II = 0? ?се
эти условия вместе можно записать в виде одного векторного равенства
H I ? H II = (4?/c)[n Ч i]? в котором n ? единичный вектор нормали к по?
верхности раздела? направленный по оси ???? ?евую часть этого равенства
можно обозначить через ?Ht ? скачок двумерного вектора касательных
составляющих Ht вектора H ? ?Ht = (4?/c)[n Ч i]?
?се эти рассуждения обобщаются непосредственно на любые ?роторные
уравнения?? в частности? из уравнения ??? следует ?Et = 0? т? е? касатель?
ные составляющие вектора E на границе раздела непрерывны?
??
?бщее введение
? заключение приведем в одном месте полный набор полученных выше
краевых условий? справедливых как для динамики? так и для статики?
?En = 4??,
?Hn = 0,
?Et = 0,
?Ht = (4?/c)[n Ч i],
????
где индексом ? n? обозначаются нормальные? а индексом ? t? ? касательные
?= ?тангенциальные?? составляющие векторов?
??? Уравнение непрерывности?
закон сохранения заряда
?ернемся к дифференциальным уравнениям ???????? Применим операцию
?t к обеим частям равенства ??? и операцию ? c div? к обеим частям равен?
ства ???? затем сложим полученные таким путем соотношения? При учете
равенства div rot = 0 левые части сокращаются? и в итоге получается со?
отношение
?t ? + div j = 0,
????
которое называют ?уравнением непрерывности??
?з него следует? что источники ?? j в исходных уравнениях ?аксвелла
не могут быть совершенно произвольными ? они обязательно должны удо?
влетворять уравнению непрерывности ?????
?го физический смысл становится ясным? если перейти к интегральной
форме с помощью теоремы ?строградского ? ?аусса?
?t
dx? ? ?t Qv = ?
jn ds,
????
где Qv ? полный заряд внутри рассматриваемого объема? а интеграл в
правой части ? поток вектора j наружу через ограничивающую его за?
мкнутую поверхность?
Равенство ???? выражает закон сохранения электрического заряда? он
не может ни ?рождаться?? ни ?исчезать?? он может только ?перетекать?? т? е?
заряд Qv в любом заданном объеме V может изменяться только из?за его
перетекания через внешнюю границу? ?ектор j имеет смысл плотности
потока заряда? а интеграл в правой части ???? ? поток через внешнюю
границу?
??
???? Уравнения ?аксвелла для потенциалов
?десь уместно отметить различие смысла терминов ?сохраняется? в
обычной классической механике систем с конечным числом степеней сво?
боды и в задачах с распределенными по пространству величинами типа
плотности заряда ? в электродинамике? ? первом случае термин ?данная
величина сохраняется? означает? что эта величина ?например? энергия для
консервативных систем в механике? не зависит от времени? ?ля распре?
деленных по пространству величин закон сохранения всегда формулиру?
ется в виде уравнения непрерывности типа ????? в которое входит про?
изводная по времени от объемной плотности рассматриваемой величины
?в ???? это заряд? но потом будут и другие примеры? и дивергенция векто?
ра плотности потока той же величины? ?сли плотность потока достаточно
хорошо убывает на бесконечности? так что интеграл в правой части ????
при неограниченном увеличении объема V исчезает? то ?полное количество
данной величины во всем пространстве? сохраняется в обычном для меха?
ники смысле? т? е? просто не зависит от времени? ?о при этом ?количество
данной величины? в любом конечном объеме V может изменяться за счет
его перетекания через границу? что и выражается уравнением непрерыв?
ности?
??? Переход от напряженностей к потенциалам?
Уравнения ?аксвелла для потенциалов
?з математики известно? что всякий вектор? дивергенция которого равна
нулю? может быть представлен в виде ротора некоторого другого вектора?
а вектор? ротор которого равен нулю? является градиентом некоторого ска?
ляра? Поэтому из первого уравнения ?аксвелла ??? следует? что существу?
ет некоторый вектор A такой? что H = rot A? Подставляя это выражение
для H в уравнение ???? получаем rot E + c?1 ?t rot A = rot(E + c?1 ?t A) = 0?
?тсюда следует? что стоящая под общим знаком rot величина является
градиентом некоторого скаляра? который принято обозначать через ??
E + c?1 ?t A = ???? Функцию ? называют скалярным потенциалом? A ?
векторным потенциалом?
Таким образом? мы получили следующие формулы? выражающие на?
пряженности E ? H через потенциалы ?? A?
H = rot A,
E = ??? ? c?1 ?t A.
????
??
?бщее введение
Эти соотношения можно рассматривать как общее решение пары однород?
ных уравнений ?аксвелла ???? ???? при любых потенциалах получаемые по
формулам ???? напряженности будут автоматически удовлетворять урав?
нениям ???? ???? ?тметим? что переход от напряженностей к потенциалам ?
явное упрощение задачи? так как в терминах напряженностей мы имели
? неизвестных величин ?компоненты двух трехмерных векторов E и H ?? а
в терминах потенциалов ? только ? ?скаляр ? и компоненты трехмерного
вектора A??
Рассмотрим теперь уравнения для потенциалов? которые получаются
подстановкой выражений ???? для напряженностей в неоднородные урав?
нения ?аксвелла ???? ????
div(??? ? c?1 ?t A) = 4??,
rot rot A ? c?1 ?t (??? ? c?1 ?t A) = (4?/c)j.
?оспользовавшись известными ?см? п? ???? равенствами div ? = ? и
rot rot = ? div ??? перепишем уравнения следующим образом?
??? ? c?1 ?t div A = 4??,
?(div A + c?1 ?t ?) ? ?A + c?2 ?t2 A = (4?/c)j.
?ведя обозначение
c?2 ?t2 ? ? = c?2 ?t2 ? ?i ?i ?
,
????
можно переписать уравнения в форме
? ? c?1 ?t (div A + c?1 ?t ?) = 4??,
A + ?(div A + c?1 ?t ?) = (4?/c)j,
????
которую и будем считать окончательной?
?пределенная в ???? дифференциальная операция
называется
?волновым оператором? или ?оператором ?аламбера? ?от французского
????????r?? она будет играть очень важную роль в дальнейшем?
Соотношения ???? ? уравнения ?аксвелла для потенциалов в про?
извольной калибровке ? смысл этого термина поясняется в следующем
разделе?
???? ?алибровочные преобразования и калибровочные условия
??
??? ?алибровочные преобразования
и калибровочные условия
По заданным потенциалам напряженности ???? находятся? очевидно? од?
нозначно? ?братное неверно? если сделать преобразование потенциалов
A ? A = A + ??,
? ? ? = ? ? c?1 ?t ?
????
с произвольной функцией ?? то напряженности ????? как нетрудно про?
верить? не изменятся? H = H ? E = E ? Соотношения ???? ? общий вид
преобразований потенциалов? не меняющих напряженностей? такие преоб?
разования называют калибровочными? Связанные калибровочным преоб?
разованием потенциалы ?? A и ? ? A с точки зрения физики полностью
эквивалентны? так как непосредственный физический смысл имеют только
напряженности?
Поскольку уравнения ?аксвелла для потенциалов ???? выводились из
уравнений ???? ??? для напряженностей? ясно? что они должны быть ка?
либровочно?инвариантными в следующем смысле? если некоторые потен?
циалы ?? A ? решение уравнений ????? то калибровочно преобразованные
потенциалы ? ? A в ???? также должны быть решениями при любой функ?
ции ?? Это легко проверить подстановкой ???? в уравнения ????? что мы
предлагаем сделать читателю?
?десь уместно отметить различие между понятиями ?инвариантность
величины? и ?инвариантность уравнений?? ?огда говорят? что ?такая?то
величина инвариантна относительно таких?то преобразований?? то имеют
в виду? что эта величина при данных преобразованиях не меняется? ?ля
уравнений иначе? ?инвариантность? означает только то? что данные преоб?
разования переводят ?решение в решение?? т? е? каждое отдельное решение
?если их много? может при преобразованиях изменяться? а инвариантна в
обычном смысле лишь совокупность всех решений? Сказанное выше ? точ?
ная формулировка понятия ?инвариантность уравнений?? ?стречающиеся
иногда формулировки типа ?уравнения не меняют своего вида при данных
преобразованиях? неконкретны и фактически бессодержательны?
?виду наличия ?калибровочного произвола? ???? в решениях уравне?
ний ???? на потенциалы можно накладывать некоторые дополнительные
калибровочные условия? которые ?фиксируют выбор калибровки?? Это по?
лезно? так как выбор удобной калибровки позволяет упростить вид урав?
нений ?см? ниже?? а физика от этого выбора не зависит? ?алибровочное
??
?бщее введение
условие? разумеется? не может быть совершенно произвольным? оно обя?
зательно должно быть ?допустимым?? т? е? таким? что его всегда можно
удовлетворить подходящим выбором калибровочного преобразования ?????
?опустимыми калибровочными условиями ?доказательство их допу?
стимости приводится ниже? являются? в частности? ?кулоновская калиб?
ровка?
div A = 0
????
и ?калибровка ?оренца?
div A + c?1 ?t ? = 0.
????
? лоренцовской калибровке уравнения ???? для потенциалов принимают
очень простой вид
? = 4??,
A = (4?/c)j,
????
т? е? сводятся к неоднородным волновым уравнениям? не содержащим
?сцепления? между ? и A? ? кулоновской калибровке ???? уравнения ????
принимают вид
?? = ?4??,
A + c?1 ?t ?? = (4?/c)j,
????
что также является существенным упрощением? поскольку в уравнение
для ? не входит векторный потенциал A? а уравнение для A при уже
известном из решения первого уравнения потенциале ? подобно ?????
?бщее решение линейных неоднородных уравнений типа ????? ???? есть?
как известно? сумма их частного решения и общего решения соответству?
ющих однородных уравнений? Частным решением естественно выбрать
то? которое порождается самими источниками ?? j ? считая их ?идеаль?
но хорошими?? т? е? гладкими и локализованными в конечной области
пространства?времени? Тогда и создаваемые ими поля будут ?хорошими??
т? е? достаточно быстро убывающими при t ? +? по времени и отсутству?
ющими при t ? ??? Этим они принципиально отличаются от ?свободных
полей?? являющихся решениями однородных уравнений и описывающих
распространение свободных электромагнитных волн? Последние порож?
даются не заданными источниками ?? j ? а ?добавляются извне?? принося
энергию из ?? по времени и унося ее на +?? ?десь можно отметить раз?
личие понятий ?убывания? для однородного уравнения ?апласа ?? = 0
и однородного волнового уравнения ? = 0? Решения первого уравнения?
???? ?алибровочные преобразования и калибровочные условия
??
которые называют ?гармоническими функциями?? как известно из матема?
тики? не могут убывать при |x| ? ? ?простейшее из них есть const? прочие
растут быстрее?? ?ля волнового уравнения иначе? при заданном времени t
в качестве решения можно взять убывающий на пространственной беско?
нечности волновой пакет? амплитуда которого будет затем уменьшаться с
ростом времени из?за ?расплывания пакета??
Рассмотрим теперь вопрос о допустимости введенных калибровок?
начав с кулоновского калибровочного условия ????? Предположим? что
потенциал A? полученный при решении уравнений ???? для ?хороших?
?см? выше? источников? не удовлетворяет этому условию и будем искать ка?
либровочное преобразование ????? для которого div A = div(A + ??) = 0?
т? е? ?? = ? div A? ?десь A дано? ? ищется и доказательство существова?
ния решения для ? есть доказательство допустимости данной калибровки?
?твет ясен из физических соображений? если воспользоваться аналогией
полученного уравнения для ? с уравнением для потенциала ? в электро?
статике? совпадающим с первым равенством ????? ?а таком языке наш
вопрос звучит так? ?дана такая?то объемная плотность заряда ?в нашем
случае ? div A?? спрашивается? существует ли соответствующий ей потен?
циал??? Ясно? что ответ утвердительный? если плотность заряда является
?хорошей функцией?? т? е? гладкой и достаточно быстро убывающей на
бесконечности? Поэтому данная калибровка допустима при естественном
предположении ?хорошего поведения? исходного векторного потенциала A?
которое должно обеспечиваться ?хорошим поведением? источников ?? j ?
Теперь можно обсудить проблему единственности решения полученно?
го выше уравнения для ?? другими словами? вопрос? фиксирует ли данная
калибровка потенциалы однозначно или в них все еще остается некото?
рый калибровочный произвол? ?твет и здесь ясен? произвол в решении
линейного неоднородного уравнения ?? = ? div A есть общее решение од?
нородного уравнения ?? = 0? т? е? произвольная гармоническая функция?
?з математики известно? что все такие функции на пространственной бес?
конечности не убывают? Поэтому решения для потенциалов в кулоновской
калибровке будут однозначными? если наложить на потенциалы добавоч?
ное требование убывания на пространственной бесконечности? что влечет
ограничение |?| ? const в ???? ?вклад константы в ? на потенциалах не
отражается? так как в ???? входят только производные функции ???
Переходим теперь к лоренцовской калибровке ????? ?оказательство
ее допустимости выполняется аналогично? но теперь для искомой функ?
ции ? в ???? получается следующее неоднородное волновое уравнение?
??
?бщее введение
? = div A + c?1 ?t ?? ?го решение при ?хорошей? правой части всегда
существует ?впоследствии мы будем явно строить такие решения?? т? е?
данная калибровка допустима? ?на фиксирует потенциалы однозначно
тогда и только тогда? когда на них накладываются дополнительные асимп?
тотические условия? исключающие ?свободные поля?? т? е? отличные от
нуля решения однородных волновых уравнений для потенциалов ? и A
?см? выше??
Резюме? при рассмотрении радиотехнических задач типа ?как излу?
чает данная антенна? нас интересует? разумеется? только создаваемое ей
самой поле и для исключения внешних свободных полей на потенциалы
естественно накладывать нужные по смыслу асимптотические условия на
бесконечности? При такой постановке приведенные выше калибровочные
условия фиксируют потенциалы однозначно? ?о если нас интересуют сами
свободные поля ?что естественно при постановке задач? например? в кван?
товой теории поля?? то нельзя накладывать условия? которые эти самые
поля исключают? ? такой ситуации калибровочное условие ?оренца ????
не фиксирует потенциалы однозначно ? в них еще остается ?калибровоч?
ный произвол? ???? с любыми функциями ?? удовлетворяющими однород?
ному волновому уравнению ? = 0? Поэтому на потенциалы можно нало?
жить еще одно калибровочное условие? например? ? = 0? ?менно поэто?
му фотон ? квант свободного электромагнитного поля ? обладает только
двумя ?внутренними степенями свободы? ?два независимых состояния с
линейной или круговой поляризацией?? это число 2 есть 4 ? 2? т? е? четыре
компоненты потенциалов ?? A минус две связи? которые накладываются
на них калибровочными условиями?
?а этом мы заканчиваем первую главу ? общее введение ? и переходим
к следующему крупному блоку?
?лава ?
Релятивистски?ковариантная
формулировка
электродинамики
?стественным языком для релятивистски?ковариантной формулировки
основных уравнений электродинамики является язык тензоров и тензор?
ных полей на группе ?оренца? ?сходя из общего принципа ?самодостаточ?
ности? данного курса лекций? мы приведем сначала все нужные опреде?
ления и справочные сведения о тензорах и операциях с ними? ?ы нач?
нем с более простых объектов ? тензорах на группе вращений обычного
трехмерного пространства? затем опишем группу ?оренца преобразований
координат четырехмерного пространства?времени и тензорный анализ на
этой группе? Только после этого достаточно большого ?математического
отступления? мы вернемся непосредственно к электродинамике? так как
это возможно лишь после разработки соответствующего математического
языка? ?лавная цель ? показать? что основные уравнения электродинами?
ки на этом языке выглядят очень компактно и красиво? более того? сам
язык почти однозначно подсказывает их общий вид? чего нельзя сказать об
исходных уравнениях ?аксвелла ???????? ?онечно? при выполнении кон?
кретных практических расчетов без такого языка вполне можно обойтись?
но он очень важен для понимания общей структуры теории и ее внутрен?
ней красоты?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
??? ?бозначения
? первых разделах речь будет идти только о пространственных координа?
тах? которые мы условились обозначать через x = {xi , i = 1, 2, 3} с буквен?
ными ?обязательно латинскими?? индексами типа i, k, l...? Тогда матричные
элементы произвольной 3Ч3 матрицы A обозначаются через Aik ? действие
матрицы A на вектор x есть новый вектор с координатами (Ax)i = Aik xk
?по повторяющимся индексам всегда суммирование?? произведение двух
матриц AB ? новая матрица с элементами (AB)ik = Ais Bsk ? Символом
? ? будет обозначаться ?транспонирование? матрицы? т? е? перестановка
индексов? (A )ik = Aki ? для произведения матриц (AB) = B A ? т? е?
при транспонировании матрицы ставятся в обратном порядке? Понятие
?детерминанта? ?= ?определителя?? det A матрицы A будем считать из?
вестным? При det A = 0 матрица A имеет обратную A?1 ? для которой
A · A?1 = A?1 · A = 1? где 1 в правой части ? единичная матрица с элемен?
тами (1)ik = ?ik ? символ ?ронекера? ?ля произведения матриц (AB)?1 =
B ?1 A?1 с изменением порядка множителей как и при транспонировании?
?апомним также соотношения det(A ) = det A? det(AB) = det A·det B для
определителей и (Ax, y) = (x, A y) для скалярных произведений векторов
(x, y) = xi yi ?
??? Тензоры на группе вращений SO
и на группе O
3
3
SO3 . Точки трехмерного пространства можно вос?
принимать чисто геометрически? но если мы хотим описать их положение
количественно? то нужно ввести систему отсчета? Таковой принято считать
набор трех взаимно ортогональных осей с фиксированным положеним их
центра? ?оординаты {xi , i = 1, 2, 3} заданной геометрической точки суть
проекции на оси выбранной системы вектора? направленного в эту точку
из начала координат? ?сли изменить систему отсчета? то координаты ис?
ходной геометрической точки? естественно? изменятся? ? частности? если
выполнить поворот осей системы отсчета как ?жесткой конструкции?? со?
храняя положение центра системы? то новые координаты будут связаны
со старыми соотношением
?руппа вращений
x = ?x, или xi = ?ik xk ,
????
???? Тензоры на группе вращений
SO3
и на группе
O3
??
в котором ? ? ?матрица поворота? ?обозначение ? для таких матриц мы
будем использовать постоянно?? Первое равенство ???? ? компактная за?
пись? новый вектор x получается действием матрицы ? на исходный век?
тор x? вторая формулировка в ???? ? расшифровка первого в значках?
При поворотах скалярные произведения векторов не изменяются? т? е?
(x, y) = (x , y ) = (?x, ?y) = (x, ? ?y)? откуда следует ? ? = 1 или
? = ? ?1 .
????
?бладающие таким свойством матрицы называют ортогональными? Сра?
зу отметим? что из условия ортогональности ? ? = 1? если взять det этого
матричного равенства? следует (det ?)2 = 1? т? е? det ? для ортогональных
матриц равен либо +1? либо ?1? тем самым они делятся на два не пересе?
кающихся между собой класса? Поскольку любой из ?чистых поворотов?
можно непрерывно перевести в тождественное преобразование с ? = 1? яс?
но? что таким преобразованиям соответствуют ортогональные матрицы ?
с det ? = 1? ?ни образуют группу? которую обозначают SO3 ?
?апомним? что группой в математике называют любое множество эле?
ментов a, b, ...? для которых? ?? определено понятие умножения элементов
друг на друга? т? е? произведение ab ? элемент того же множества? ?? есть
единичный элемент ???? для которого a · 1 = 1 · a = a? ?? для каждого
элемента a есть принадлежащий тому же множеству обратный элемент
a?1 ? для которого a?1 · a = a · a?1 = 1? ?? для любых тр?ех элементов a? b? c
выполняется соотношение ассоциативности a(bc) = (ab)c.
?ножество всех ортогональных матриц ? образует группу при обыч?
ном определении умножения как произведения матриц? ?ля доказатель?
ства этого утверждения нужно проверить? что произведение двух ортого?
нальных матриц ? также ортогональная матрица? что единичная матрица
ортогональна и что матрица? обратная к ортогональной? также ортого?
нальна? ?се эти факты легко установить непосредственно из определения
ортогональности ????? что мы предлагаем сделать читателю? Эту группу
принято обозначать O3 ?или On для n?мерного пространства??
?сли часть элементов некоторой группы сама является группой? то ее
называют ?подгруппой? исходной группы? ?чевидно? что множество всех
ортогональных преобразований с det ? = 1? которые соответствуют ?чи?
стым поворотам осей координат? ?см? выше?? есть подгруппа группы O3 ?
которую принято обозначать через SO3 ? ?ртогональные преобразования
второго типа с det ? = ?1 не образуют группу? так как для произведения
двух таких преобразований получим det ? = 1?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Простейшим из преобразований такого типа является
жения пространственных осей с матрицей P = ?1?
P x = ?x, в значках (P x)i = ?xi .
операция отра?
????
?чевидно? что это ортогональное преобразование и det P = ?1?
Справедливо утверждение? всякое ортогональное преобразование ? с
det ? = ?1 представимо в виде ? = P ? ? где ? = P ? ? ортогональное
преобразование с det ? = 1 ?учтено равенство P 2 = 1??
Таким образом? группа всех ортогональных преобразований O3 состо?
ит из двух непересекающихся подмножеств? подгруппа ?чистых поворотов?
SO3 с det ? = 1 и преобразований поворотов с дополнительным отраже?
нием ????? условно O3 = SO3 ? P · SO3 ?
?ля дальнейшего полезно привести ?индексный эквивалент? матрич?
ного условия ортогональности ????? взяв ik элемент матричного равенства
1 = ? ? ? получим ?ik = (? )is ?sk = ?si ?sk ? а из матричного равенства
1 = ?? аналогично получаем ?ik = ?is (? )sk = ?is ?ks ? ?того? имеем?
?si ?sk = ?ik ,
?is ?ks = ?ik ,
????
т? е? свертка двух ? как по первым? так и по вторым индексам есть ? ?символ
по двум остающимся свободным значкам?
Тензоры на группе вращений? Термином ?тензор? выражаются
определенные свойства преобразования исследуемой величины при из?
менении? в данном случае повороте? системы отсчета? Разумеется? речь
может идти лишь о таких математических или физических величинах?
определение которых позволяет сказать? чему они равны в любой системе
отсчета? чтобы можно было сравнивать их значения в разных системах?
Сейчас мы будем говорить о группе вращений SO3 и термин ?тензор? без
уточнения всегда будет обозначать ?тензор на данной группе?? ?онкрет?
ный поворот задается преобразованием координат ????? т? е? конкретной
ортогональной матрицей ? с det ? = 1? ? именно той? что преобразует ко?
ординаты xi ?
Простейшим примером тензора является скаляр ? это одна величина ??
которая при поворотах не изменяется? ? = ?? Следующим по сложности
объектом является вектор? это тройка величин или? что эквивалентно?
величина типа Ai с одним латинским индексом? которая при поворотах
преобразуется точно так же? как и сами координаты? т? е?
Ai = ?ik Ak .
????
???? Тензоры на группе вращений
SO3
и на группе
O3
??
Поэтому сами координаты xi ? вектор по определению?
Тензором ранга n называется величина с n индексами? которая преоб?
разуется как вектор по каждому из них?
Ti1 ...in = ?i1 k1 · ... · ?in kn Tk1 ...kn .
????
? частности? для тензоров второго и третьего ранга
Tik = ?is ?km Tsm ,
Tikl = ?is ?kp ?lm Tspm .
????
Скаляр ? тензор ранга ?? вектор ? тензор ранга ??
?ще раз подчеркнем? что тензорные свойства характеризуют закон
преобразования? а не просто число компонент? ?апример? рассматривая
задачу трех тел в механике? мы можем обозначить их массы через mi ?
i = 1, 2, 3? но это будет не вектор? а набор трех скаляров? Примеры век?
торов в механике ? координаты? скорость? ускорение? сила? пример скаля?
ра ? масса?
Рассмотрим теперь величины ?ik и ?ikl и покажем? что они действи?
тельно являются тензорами ?ранг определяется числом значков?? ?меется
в виду? что ? и ?? по определению? имеют один и тот же вид во всех систе?
мах отсчета? и утверждается? что это совместно с тензорными законами
преобразования? т? е? преобразованный по правилам ???? объект совпадает
с исходным? ?ачнем с символа ? ? для которого по первому правилу ???? по?
лучаем ?ik = ?is ?km ?sm = ?is ?ks = ?ik согласно условию ортогональности
????? Тем самым для ?ik утверждение доказано?
Переходим теперь к символу ?? для которого по правилу ???? имеем
?ikl = ?is ?kp ?lm ?spm .
????
?ы хотим показать? что ?ikl = ?ikl ? ?апомним ?п? ????? что символ ? одно?
значно определяется следующими двумя свойствами? ?? полная антисим?
метрия и ?? ?123 = 1? Поэтому нам достаточно доказать? что величина ?ikl
удовлетворяет этим двум требованиям? ?ачнем с антисимметрии? сделав
в ???? перестановку свободных индексов ik и сопроводив ее перестановкой
индексов суммирования sp? видим? что произведение трех ? в правой части
???? не изменяется? а в символе ? происходит перестановка индексов sp?
что в силу известной антисимметрии ? приводит к изменению знака всего
выражения? как и требуется? Те же соображения справедливы? очевидно?
и для перестановки индексов kl в ????? Тем самым полная антисиммет?
рия ?ikl доказана? ?стается доказать равенство ?123 = 1? ?з ???? имеем
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
?123 = ?1s ?2p ?3m ?spm ? При учете определения символа ? в п? ??? ясно? что
правая часть полученного равенства есть det ? = 1 ?напомним? что речь
идет о группе вращений?? поэтому ?123 = 1? что и требуется?
?так? мы показали? что величины ?ik и ?ikl ? действительно тензоры
на группе вращений SO3 ? т? е? их постоянство во всех системах отсчета
совместно с тензорным законом преобразования?
?перации с тензорами? ?виду линейности по компонентам тензоров
T закона преобразования ???? ясно? что сумма двух тензоров одной приро?
ды ?т? е? ранга? ? тоже тензор той же природы? с очевидным обобщением
на любые линейные комбинации тензоров одной природы со скалярными
коэффициентами?
Пусть A ? тензор ранга n и B ? тензор ранга m? ?х тензорным про?
изведением A ? B называют величину с n + m индексами? определенную
соотношением
(A ? B)i1 ...in+m = Ai1 ...in Bin+1 ...in+m .
????
Утверждение? тензорное произведение тензоров ? тензор ранга n + m?
Это очевидное следствие закона преобразования ????? Пример? тензорное
произведение A ? B двух векторов ? тензор второго ранга Ai Bk ?
Пусть T ? тензор ранга n ? 2? а i и k ? некоторая пара его индек?
сов? ?сли положить k = i и затем просуммировать по всем возможным
значениям i = 1, 2, 3 ?что при наших соглашениях указывается просто по?
вторением латинского индекса?? то получим объект с n ? 2 остающимися
свободными индексами? который называют ? сверткой исходного тензора
T по такой?то паре значков?? Утверждение? свертка есть тензор по остав?
шимся свободным индексам?
Поясним это утверждение на примере свертки Ai ? Tikk в тензоре
Tikl ? ?акон преобразования этого тензора известен из ????? поэтому имеем
Ai ? Tikk = ?is ?kp ?km Tspm = ?is ?pm Tspm = ?is Tspp ? ?is As с учетом
определения A и соотношения ортогональности ???? для свертки двух ? ?
Тем самым показано? что величина Ai ? Tikk преобразуется как вектор
по свободному индексу i? что и требовалось доказать? Ясно? что в данном
примере содержится идея общего доказательства? игра идет только на тех
двух индексах T ? которые сворачиваются между собой? и соответствующие
им два множителя ? из ???? сворачиваются в ? ?символ в силу условий
ортогональности ?????
Тем самым общее утверждение можно считать доказанным? свертка
внутри любого тензора по любой паре индексов есть тензор по оставшимся
???? Тензоры на группе вращений
SO3
и на группе
O3
??
значкам? Пример рассуждения? скалярное произведение Ai Bi векторов A
и B есть скаляр? так как это свертка в тензорном произведении Ai Bk ?
?бобщая это замечание? можно сказать? что ?свертка тензора с тензо?
ром есть тензор?? ?ля определения природы величин иногда бывает по?
лезным следующее в некотором роде обратное утверждение? а именно?
?емма о ?свертке неизвестного с известным?? если свертка некоторой
величины со значками с некоторым тензором? компоненты которого могут
принимать любые численные значения? есть тензор? то исходная величи?
на ? также тензор?
Проиллюстрируем это утверждение на следующем конкретном приме?
ре? из которого будет ясно виден смысл утверждения? Пусть Tik ? некото?
рая величина с двумя индексами ?неизвестно? тензор или нет?? пусть Ai ?
вектор? компоненты которого могут принимать любые численные значе?
ния? и пусть сказано? что свертка Tik Ak ? Bi ? также вектор? Тогда утвер?
ждается? что Tik ? тензор второго ранга?
?оказательство? по условию Ai = ?ik Ak ?поскольку A ? вектор? и
Bi = ?ik Bk ?так как B ? тоже вектор?? ?алее? из определения B ?ко?
торое? разумеется? считается справедливым во всех системах отсчета?
имеем Bi = Tik Ak = Tik ?ks As ? С другой стороны? поскольку B ? вектор?
имеем Bi = ?ik Bk = ?ik Tks As ? Приравнивая эти два выражения для Bi
и отбирая в полученном равенстве коэффициент при As ?что допустимо
из?за оговоренной в условиях произвольности компонент A?? получаем?
Tik ?ks = ?ik Tks ? Умножив обе части этого равенства на ?ps и просуммиро?
вав по всем возможным значениям ?? ?? ? индекса s ?что будет указываться
просто его повторением? с учетом условия ортогональности ????? получа?
ем? ?ik ?ps Tks = ?ps ?ks Tik = ?pk Tik = Tip ? что совпадает с точностью до
обозначений индексов с законом преобразования ???? для тензора второ?
го ранга? ? это и требовалось доказать? Суть дела в том? что для любой
свертки T A ? B по известным законам преобразования A и B можно
найти закон преобразования ?неизвестной величины? T ? и если A и B ?
?правильные объекты? ?= тензоры?? то T также должен быть ?правиль?
ным объектом?? Пример? если свертка xi yi = ? ? скаляр? а xi ? вектор? то
yi ? тоже вектор?
?емма о ?свертке неизвестного с известным? понадобится нам в даль?
нейшем?
Пространственные отражения? Физические величины? как прави?
ло? обладают определенными трансформационными свойствами не только
по отношению к поворотам системы отсчета? но и по отношению к другим
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
преобразованиям координат? в частности? пространственным отражени?
ям ????? ?ключение операции отражения P с математической точки зре?
ния означает переход к рассмотрению тензоров на более широкой группе
O3 всех ортогональных преобразований координат? состоящей? как уже
говорилось? из простых поворотов и поворотов с дополнительным отра?
жением осей? Поэтому при обобщении понятия ?тензор? на группу O3 до?
статочно задать лишь один новый закон преобразования объекта при про?
странственном отражении ????? ?ля O3 ?тензоров этот закон очень прост?
?преобразованный объект есть ± исходный?? ?пределение? тензор ранга n
называют истинным? если при отражении ????
и
псевдотензором?
Ti1 ...in = (?1)n Ti1 ...in ,
????
Ti1 ...in = (?1)n+1 Ti1 ...in .
????
если
? частности? для истинного скаляра ? = ?? а для псевдоскаляра ? = ???
для истинного вектора Ai = ?Ai ? для псевдовектора Ai = Ai ? и так далее?
?еличины ?ik и ?ikl ? по определению? имеют один и тот же вид во всех
системах отсчета? т? е? не изменяют знака при отражении осей? Поэтому
из ????? ???? следует? что ?ik ? истинный тензор? а ?ikl ? псевдотензор?
Ясно? что операция свертки не меняет класса тензора? поскольку ранг
изменяется на четное число? Ясно также? что произведение двух тензоров
одного класса ? истинный тензор? а разных классов ? псевдотензор ?по?
добно символическим равенствам (+1) Ч (+1) = +1? (?1) Ч (?1) = +1?
(+1) Ч (?1) = ?1?? ?апример? векторное произведение ?ikl Ak Bl двух ис?
тинных векторов ? псевдовектор ??1 · 1 · 1 = ?1??
??? Тензорные поля
?пределения? Тензорное поле есть тензор? заданный в каждой точке про?
странства? т? е? функция Ti1 ...in (x)? где x ? координаты данной геометри?
ческой точки? ?акон преобразования тензорного поля при ортогональных
?группа O3 ? преобразованиях x ? x = ?x есть обычный тензорный закон
преобразования ????? только с уточнением аргументов x? x ?
Ti1 ...in (x ) = ?i1 k1 · ... · ?in kn Tk1 ...kn (x).
????
??
???? Тензорные поля
?братим внимание на различие аргументов x в двух частях равенства? а
также на то? что точка с координатами x в исходной системе отсчета и
точка с координатами x в преобразованной системе ? это одна и та же
геометрическая точка? ?апример? для скалярного поля
? (x ) = ?(x),
????
для векторного поля Ai (x ) = ?ik Ak (x) и т? д?
Типичный пример скалярного поля ? плотность заряда ?(x) в элек?
тростатике при любом виде этой функции? Физический смысл закона пре?
образования типа ???? ? ?объективность? распределения заряда? т? е? его
независимость от выбора системы отсчета? Поясним? количество заряда
dQ в бесконечно малом объеме вокруг некоторой геометрической точки
в исходной системе дается соотношением dQ = ?(x)dx? а в преобразо?
ванной dQ = ? (x )dx ? где x и x ? координаты данной геометрической
точки в разных системах? dx и dx ? дифференциалы объема? ?еличина
dQ ?объективна?? поэтому ?(x)dx = ? (x )dx ? ?ля поворотов осей dx = dx
и после сокращения этого множителя для функции ?(x) получаем закон
преобразования ????? ?н справедлив и для операции отражения ????? так
как дифференциал объема и в этом случае можно считать инвариантным
?изменение знака dx = dx1 dx2 dx3 компенсируется перестановкой пределов
интегрирования ±? в интегралах по x?? Таким образом? ?(x) ? истинное
скалярное поле?
? заключение отметим? что если в левой части соотношения ???? за?
менить ? на ?? то равенство приобретет совершенно иной смысл и будет
выражать? если речь идет о группе вращений? свойство сферической сим?
метрии функции ?(x)?
Тензорные свойства операции дифференцирования? ?а тензор?
ных полях имеет смысл операция дифференцирования ?i ? ?/?xi ? Пока?
жем? что при ортогональных преобразованиях координат x ? x = ?x
производные преобразуются точно так же? т? е? ? ? ? = ?? ? другими
словами? символ ? ведет себя как истинный вектор на группе O3 ?
?ля доказательства рассмотрим сначала произвольное линейное пре?
образование координат x = Lx с некоторой невырожденной ?det L = 0?
матрицей L и будем искать связь между ? и ? ? т? е? между производными
по x и по x ? ?твет получить нетрудно? по правилам дифференцирования
при замене переменных имеем ?/?xi = (?xk /?xi )(?/?xk )? т? е? требуется
найти матрицу ?xk /?xi ? ?ля этого перепишем равенство x = Lx в ви?
де x = L?1 x ? т? е? xi = (L?1 )ik xk ? откуда следует ?xi /?xk = (L?1 )ik ?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Подставив это в приведенное выше выражение для ?/?xi ? получаем
?/?xi = (L?1 )ki (?/?xk )? в компактной записи ?i = (L?1 )ki ?k = (L?1 )ik ?k
?отметим? что операции ? ?1? и ? ? перестановочны? т? е? (L?1 ) = (L )?1 ?
поэтому запись L?1 корректна и не ведет к недоразумениям?? Резюме?
для любой невырожденной матрицы L
x = Lx ? ? = L?1 ?.
????
Это нам понадобится впоследствии при обсуждении группы ?оренца?
?ернемся теперь к нашим преобразованиям группы O3 ? для которых
L = ? ? ортогональная матрица? ?з условия ортогональности ???? сле?
дует? что ? ?1 = ? ? т? е? координаты x и производные ? преобразуются
одинаково?
x = ?x ? ? = ??.
????
Это означает? что символ ?i можно считать вектором на группе O3 ? причем
истинным? поскольку ?/?(?x) = ??/?x? т? е? при отражении он меняет
знак?
Таким образом? символ ? ? ?правильный объект?? этим термином здесь
и далее для краткости обозначаем любые тензоры или тензорные поля?
Поэтому все? что строится с помощью корректных операций ?тензорное
произведение? свертка? из символа ? и других правильных объектов ? то?
же правильный объект? а его тип ??истинный? или ?псевдо?? определяется
числом множителей ?псевдо? ?подобно множителям ?1? в рассматрива?
емой конструкции? ?апример? если ? ? скалярное поле? то его градиент
?i ? ? векторное поле того же типа? как и ?? ?ще один пример ? ротор
(rot A)i = ?ikl ?k Al ? который для истинного векторного поля A ? псевдо?
векторное поле? а для псевдовекторного A ? истинное векторное поле? ?т?
метим также? что оператор ?апласа ? = ?i ?i ? скаляр? так как это свертка
двух ?правильных? объектов ?i ?
?сли признать плотность заряда ? в уравнениях ?аксвелла ???????
истинным скалярным полем ?что обосновывалось ранее?? то из требова?
ния взаимной согласованности свойств всех вкладов в этих уравнениях
следует? что j и E должны быть истинными векторными полями? а H ?
псевдовекторным?
???? Электродинамика и принцип относительности
??
??? Электродинамика
и принцип относительности
? этом разделе мы хотим пояснить роль? которую сыграла электродинами?
ка в создании теории относительности Эйнштейна? Под ?системой отсчета?
теперь будет пониматься система отсчета координат x? t пространства?
времени?
? механике вводится понятие ?инерциальной системы отсчета? ? та?
кой? в которой справедлив первый закон ?ьютона? материальная точка
?или центр тяжести произвольного тела?? на которую не действуют ни?
какие силы? движется равномерно и прямолинейно? ?а основании опыта
постулируется? что такие системы существуют? и что каждая из них дви?
жется относительно другой равномерно и прямолинейно? ?сли исключить
из рассмотрения тривиальные трансляции ?т? е? сдвиги начала отсчета?
координат и времени? а также тривиальные общие растяжения масштабов
?т? е? преобразования t = ?t? x = ?x с одинаковым коэффициентом ???
то любые две покоящиеся относительно друг друга инерциальные системы
связаны между собой ортогональным преобразованием координат ?пово?
рот или поворот с отражением?? а в общем случае к такому преобразова?
нию добавляется переход к системе? движущейся относительно исходной
системы с некоторой скоростью v ?
Принцип относительности ? это утверждение о полном равноправии
всех инерциальных систем отсчета?
Чтобы дать четкую математическую формулировку этого принципа?
необходимо иметь явные формулы? связывающие пространственные коор?
динаты и время в разных инерциальных системах отсчета? ? качестве та?
ковых в классической механике всегда принимались следующие формулы
преобразований ?алилея?
t = t,
x = ?(x ? vt),
????
где ? ? ортогональная матрица преобразования координат? а v ? ско?
рость новой системы относительно исходной ?в дальнейшем M ? исходная
система? M ? преобразованная?? Эти преобразования образуют группу?
называемую ?группой ?алилея?? ?ножество ортогональных преобразова?
ний ?v = 0? ? произвольно?? а также множество преобразований перехода
к движущейся системе отсчета с сохранением ориентации осей ?? = 1? v
произвольный вектор? являются подгруппами группы ?алилея?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
?атематическим выражением принципа относительности является
свойство ковариантности основных законов механики по отношению к
преобразованиям ?алилея? Под ?ковариантностью? понимается следую?
щее? все входящие в формулы величины обладают определенными транс?
формационными свойствами по отношению к рассматриваемым преобра?
зованиям и обе части выражающих эти законы равенств преобразуются
одинаково? поэтому из справедливости равенства в одной инерциальной
системе отсчета автоматически следует? что это равенство будет справед?
ливым и в любой другой инерциальной системе? как и требует принцип
относительности? ?апример? в законах механики ?ьютона сила считается
истинным вектором по отношению к ортогональным преобразованиям
координат? не изменяющимся при переходе к движущейся системе от?
счета? Точно такими же трансформационными свойствами обладает и
ускорение d2 x/dt2 ? масса ? скаляр? поэтому во втором законе ?ьютона
?сила = масса Ч ускорение? обе части равенства преобразуются одинако?
во? т? е? этот закон явно ковариантен? Третий закон ?ьютона ?действие
равно противодействию? имеет в виду действующие на объекты силы? т? е?
здесь также приравниваются величины одной природы? что обеспечивает
ковариантность?
?ернемся теперь к преобразованиям ?алилея ????? ? классической ?до?
эйнштейновской? физике они считались самоочевидными? поскольку вре?
мя t? казалось бы? не имеет никакого отношения к пространственным ко?
ординатам x? а из инвариантности времени ?t = t ? автоматически следует
закон преобразования координат в ????? Следствием ???? является класси?
ческий закон сложения скоростей? если в движущейся системе M точка
движется с некоторой скоростью u? а сама система M движется по отно?
шению к неподвижной системе M со скоростью v ? то скорость движения
точки в системе M есть векторная сумма u + v ?
?братимся теперь к уравнениям ?аксвелла? ? лоренцовской калибров?
ке для потенциалов они принимают вид ???? с волновым оператором ?????
так что для свободного электромагнитного поля ??свет?? сводятся к одно?
родным волновым уравнениям ? = 0? A = 0? Хорошо известно ?и легко
проверить?? что такие уравнения имеют решения в виде монохроматиче?
ских плоских волн ? cos(?t ? kx) с условием ? = c|k|? при этом константа
c имеет смысл ?скорости света?? т? е? фазовой скорости волны ?скорость
движения в пространстве поверхности постоянной фазы ?t ? kx = const в
аргументе косинуса??
???? Электродинамика и принцип относительности
??
?так? из уравнений ?аксвелла однозначно следует? что скорость
распространения электромагнитных колебаний ??скорость света?? равна c?
где c ? параметр в волновом операторе ????? ?о с другой стороны? согласно
формулам преобразований ?алилея? скорость света не может быть одной и
той же во всех инерциальных системах отсчета? поскольку к скорости све?
та? излучаемого движущимся источником? должна добавляться скорость
самого источника согласно классическому закону сложения скоростей?
?икто? однако? в то время не усматривал здесь противоречия? да его и
не было? волновое уравнение уже неоднократно ранее встречалось в физи?
ке при описании различных волновых процессов ?волны на воде? распро?
странение звука в воздухе и твердой среде и т? п?? и тот факт? что волновое
уравнение с некоторым ?своим для каждой задачи? параметром ? c? одно?
значно предсказывает скорость распространения волны? никогда не счи?
тался противоречащим основным представлениям механики и формулам
преобразований ?алилея? ?ля всех изучавшихся ранее колебательных про?
цессов всегда существовала некоторая среда? являющаяся переносчиком
колебаний ?т? е? ?то? что колеблется??? и когда писалось волновое уравне?
ние? то всегда подразумевалось? что сама среда неподвижна? ?наче гово?
ря? волновое уравнение считалось справедливым лишь в системе отсчета?
неподвижной относительно переносящей колебания среды? и предсказы?
ваемая волновым уравнением фазовая скорость волны ?параметр c в опе?
раторе ? есть скорость по отношению к переносящей колебания среде?
? движущейся относительно среды системе отсчета тот же самый волно?
вой процесс должен описываться другим уравнением? которое получается
из обычного волнового уравнения с помощью галилеевской замены пере?
менных x, t ? x , t ?
?ля физиков ??? века все эти соображения казались настолько само?
очевидными? что не возникало никаких сомнений в том? что они примени?
мы и к уравнениям ?аксвелла? описывающим электромагнитные колеба?
ния? Та гипотетическая среда? которая должна играть роль переносчика
этих колебаний? была названа ?эфиром?? а уравнения ?аксвелла счита?
лись справедливыми лишь в системе координат? неподвижной относитель?
но эфира? константа ? c? в волновом операторе ? скорость света в данной
системе? ?ля движущегося относительно эфира наблюдателя? в частности?
наблюдателя на ?емле? скорость света должна быть иной в соответствии
с галилеевским законом сложения скоростей? Разумеется? из этого сле?
довало? что для движущегося наблюдателя уравнения ?аксвелла неточ?
ны? поскольку не учитывают поправку на движение системы относительно
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
эфира? ?а естественный вопрос? ?почему же с помощью выполненных на
?емле экспериментов мы получили уравнения ?аксвелла без поправок??
был столь же естественный ответ? ?потому? что скорости наблюдателя по
отношению к скорости света столь малы? что все эти поправки ничтожны
и не проявляются в простых опытах? так что для их обнаружения нужны
специальные очень точные эксперименты?? При этом никто не сомневался?
что такие эксперименты? будучи поставленными? явно обнаружат эффек?
ты? обусловленные движением ?емли относительно эфира?
?огда уровень развития экспериментальной техники позволил наконец
поставить такие эксперименты ?самым знаменитым из них был широко
известный опыт ?айкельсона?? ко всеобщему удивлению оказалось? что
таких эффектов нет? ? частности? скорость света по отношению к земно?
му наблюдателю оказалась точно равной ? c? независимо от направления
распространения света? что совершенно несовместно с классическим зако?
ном сложения скоростей? если считать? что ?емля движется относительно
эфира?
Результат казался удивительным? но многократные тщательные пере?
проверки показали? что это действительно так? никакие опыты не позво?
ляют установить факт движения ?емли относительно эфира и скорость
света относительно земного наблюдателя в точности равна ? c? в любом
направлении? ?ело обстояло так? как если бы уравнения ?аксвелла бы?
ли справедливы не только в системе отсчета? неподвижной относительно
эфира? но и в системе? связанной с ?емлей? ?о так как последняя ни?
чем не выделена в классе всех инерциальных систем ?криволинейностью
движения ?емли? естественно? пренебрегаем?? то придется признать урав?
нения ?аксвелла справедливыми для всех без исключения инерциальных
систем отсчета? ?о отсюда следует? во?первых? что нет необходимости в
самом понятии эфира и привилегированной системы отсчета? неподвиж?
ной относительно эфира? во?вторых? это подразумевает отказ от обычных
формул галилеевских преобразований ????? так как они с необходимостью
приводят к классическому закону сложения скоростей?
Этот вывод? при всей его очевидности? настолько противоречил обще?
принятому тогда ?здравому смыслу?? что предпринимались разнообраз?
ные попытки объяснить все как?то иначе? не покушаясь на свойства са?
мого пространства?времени? а приписывая некоторые необычные свойства
материальным телам ?например? гипотеза ?оренца о сокращении разме?
ров всех движущихся тел в направлении движения?? ?аслуга Эйнштейна
состоит в том? что он первым четко выразил мысль о необходимости
???? Преобразования ?оренца
??
отказаться от формул преобразований ?алилея? описывающих переход
к движущейся системе отсчета? и заменить их какими?то другими фор?
мулами преобразования координат и времени? Эти новые формулы уже не
должны приводить к классическому закону сложения скоростей и долж?
ны автоматически обеспечивать постоянство скорости света во всех инер?
циальных системах отсчета? если в некоторой системе ?нечто? движется
равномерно и прямолинейно со скоростью света c? то абсолютная вели?
чина скорости в другой инерциальной системе также должна быть равна
c ?направление вектора скорости может при этом меняться?? Эти новые
формулы? заменяющие формулы галилеевских преобразований ????? назы?
ваются преобразованиями ?оренца? так как он вывел их еще до Эйнштейна
из других соображений? ?о именно Эйнштейн впервые приписал им пря?
мой смысл законов преобразования пространственно?временных коорди?
нат? т? е? свойств самого пространства?времени? в чем и состоит суть теории
относительности?
??? Преобразования ?оренца?
общие свойства
?ведем вместо времени t переменную x0 = ct? имеющую такую же раз?
мерность? как и пространственные координаты xi ? и объединим x0 и xi в
четырехмерный вектор ?пока что этот термин условный? его точный смысл
пояснится в дальнейшем? x ? {x? , ? = 0, 1, 2, 3}?
Соглашение? четырехмерные индексы? принимающие значения ?? ??
?? ?? будем обозначать греческими буквами? в отличие от латинских? со?
ответствующих только трем пространственным компонентам ?? ?? ?? По
повторяющемуся греческому индексу подразумевается суммирование по
всем его возможным значениям ?? ?? ?? ?? по повторяющемуся латинскому
индексу ? суммирование по ?? ?? ?? Поэтому условно ?? = 00 + ii? т? е?
суммирование по повторяющемуся греческому индексу есть вклад ? 00? +
суммирование по латинскому индексу ?с любым его обозначением??
Соглашение? с некоторого момента в дальнейшем нам придется ввести
и тщательно различать верхние и нижние греческие индексы? ?о пока это?
го не требуется? поэтому мы будем ставить все индексы снизу и понимать
все формулы ?действие матрицы на вектор? произведение матриц и т? п??
с греческими индексами точно так же? как и с латинскими? различая их
лишь возможным набором цифровых значений ??? ?? ?? ? или ?? ?? ???
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
?ернемся теперь к нашей основной задаче? ?так? мы ищем некоторые
новые формулы преобразований четырехмерных координат x? = f? (x)?
которые должны заменить формулы преобразований ?алилея ????? При
выводе этих новых формул ?преобразований ?оренца? мы будем руковод?
ствоваться только следующими общими принципами?
?? это формулы? связывающие координаты x двух инерциальных си?
стем отсчета?
?? они должны автоматически обеспечивать постоянство скорости све?
та c во всех инерциальных системах отсчета?
?? совокупность таких преобразований должна быть группой? т? е? про?
изведение двух преобразований ? преобразование того же класса?
?? преобразования должны сохранять тензорные O3 ?свойства величин?
в любой системе время t ? истинный скаляр? а пространственные коорди?
наты xi ? истинный вектор на группе O3 ?
?? непрерывность? новые переменные x ? непрерывные функции x? и
наоборот? ?роме этого? мы будем отбрасывать тривиальные трансляции
?сдвиги начала отсчета координат и времени?? а также тривиальные об?
щие растяжения масштабов? поскольку они исключены и из галилеевских
преобразований ????? аналог которых мы ищем?
?ы покажем? что сформулированных требований достаточно для опре?
деления явного вида преобразований ?оренца?
?ачнем с принципа ?? ?инерциальная система переходит в инерциаль?
ную?? Уже отсюда вытекают существенные ограничения на вид функций
f? (x)? ?ействительно? из определения инерциальной системы следует? что
если в одной из них материальная точка движется равномерно и прямо?
линейно? то это должно быть справедливым и для любой другой инер?
циальной системы? Такое движение в исходной системе M описывается
уравнением xi = ai x0 + bi с некоторыми параметрами ai и bi ? что соответ?
ствует геометрически некоторой прямой в четырехмерном пространстве
координат x? Тогда для новой системы M должно быть xi = ai x0 + bi ? т? е?
преобразование x? ? x? = f? (x) должно переводить ?прямую в прямую??
Ясно? что этому требованию удовлетворяют произвольные линейные неод?
нородные преобразования x? = ??? x? + c? с не зависящими от координат
x матрицей ? и вектором трансляций c? т? е? линейность преобразования ?
достаточное условие перевода ?прямую в прямую??
?о оно не необходимо? так как ?прямую в прямую? переводят также и
дробно?линейные преобразования x? = A? (x)/B(x) с произвольными ли?
нейными неоднородными формами A? (x) и B(x) переменных x? ?о они
???? Преобразования ?оренца
??
не удовлетворяют принципу ? ? непрерывности x по x из?за разрывов
при обращении в нуль знаменателя B(x)? поэтому исключаются? ?ругих
преобразований? переводящих ?прямую в прямую?? не существует ?за эти
уточнения автор признателен С? ?? ?аниде??
Таким образом? из принципов ? и ? вытекает линейность искомых фор?
мул преобразования четырехмерных координат? ?тбрасывая по соглаше?
нию ?см? выше? тривиальные трансляции? будем в дальнейшем ограничи?
ваться только линейными однородными преобразованиями?
x = ?x, или x? = ??? x? ,
????
где ? ? некоторая не зависящая от координат x матрица 4 Ч 4?
?братимся теперь ко второму постулату ? требованию постоянства
скорости света? и посмотрим? какие ограничения он накладывает на мат?
рицу ? в ????? Пусть некоторая точка движется в исходной системе M
со скоростью света c? т? е? xi = cni t = ni x0 ? где ni ? единичный трех?
мерный вектор направления движения ?здесь и далее речь идет о пря?
мых? проходящих через начало координат? чего достаточно при обсужде?
нии однородных преобразований ?????? Тогда в новой системе M должно
быть xi = cni t = ni x0 с некоторым? возможно другим? единичным векто?
ром ni ? но с тем же самым параметром c? ?з равенства xi = ni x0 следует
x20 ?xi xi = 0? ?ножество точек x четырехмерного пространства? удовлетво?
ряющих этому соотношению? образует? как известно? поверхность конуса?
который называют ?световым? ?см? рис? ????? Таким образом? наша пря?
Рис? ???? Световой конус
мая xi = ni x0 проходит через начало координат и лежит на поверхности
светового конуса? а постулат постоянства скорости света может быть те?
перь переформулирован следующим образом? преобразование ???? должно
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
быть таким? что оно переводит любую прямую? лежащую на поверхности
светового конуса? в прямую? которая также лежит на поверхности этого
конуса? Учитывая? что линейное преобразование ???? переводит ?прямую
в прямую? автоматически? утверждение можно сформулировать проще?
всякая точка x? находящаяся на поверхности светового конуса? должна
переходить в точку x ? также находящуюся на поверхности этого конуса?
?ействительно? взяв произвольную точку x на поверхности конуса и про?
ведя прямую через нее и начало координат? заключаем? что ?образ? этой
прямой как целого лежит на поверхности конуса? следовательно? на ней
же будет находиться и ?образ? x исходной точки x? ?ругими словами?
преобразование ???? должно переводить поверхность светового конуса в
себя?
?пределим 4 Ч 4 матрицу g ? которую будем называть в дальнейшем
метрическим тензором? как диагональную матрицу с элементами
g00 = 1,
g11 = g22 = g33 = ?1,
g?? = 0 при ? = ?.
????
Сразу же отметим матричные равенства? g 2 = 1? т? е? g ?1 = g ?
Поверхность светового конуса есть множество точек? для которых
2
x0 ? xi xi = 0? ?евая часть этого равенства есть квадратичная форма?
которую можно записать в виде g?? x? x? или (x, gx)? если пользоваться
обозначениями линейной алгебры? Таким образом? поверхность светового
конуса есть множество тех точек x? для которых (x, gx) = 0? а требование
постоянства скорости света на таком языке формулируется следующим
образом? равенство (x, gx) = 0 влечет (x , gx ) = (?x, g?x) = 0 и обратно?
иначе говоря? квадратичные формы (x, gx) и (x , gx ) обращаются в нуль
одновременно? Утверждение? из совпадения нулей этих двух квадратич?
ных форм следует? что они пропорциональны? т? е?
(x , gx ) = a(x, gx),
????
где a ? некоторый не зависящий от x положительный коэффициент?
?оказательство? Ясно? что пропорциональность обеспечивает совпа?
дение нулей? поэтому нетривиальна лишь ?необходимость?? ?е доказатель?
ство основано на применении следующей простой леммы? если два полино?
ма P1,2 (z) одного порядка имеют общие корни zi ? то они пропорциональны?
причем коэффициент пропорциональности равен отношению коэффициен?
тов при старшей степени z в этих двух полиномах? ?ействительно? всякий
полином P (z)? как известно? определяется своими корнями zi с точностью
??
???? Преобразования ?оренца
до множителя? P (z) = const · ?i (z ? zi )? причем const ? коэффициент при
старшей степени z в P (z)? ?тсюда и вытекает сказанное выше о взаимной
пропорциональности двух полиномов?
Применим эту лемму к нашим двум квадратичным формам (x, gx) и
(x , gx ) = (?x, g?x) = (x, ? g?x)? рассматривая их как полиномы вто?
рого порядка по одной переменной x0 ? а пространственные координаты
xi считая параметрами? Полином (x, gx) = x20 ? xi xi имеет два веще?
ственных корня по переменной x0 ? совпадающие? по условию? с корня?
ми второй квадратичной формы? Следовательно? к этим двум полиномам
применима сформулированная выше лемма? две формы пропорциональ?
ны? ?оэффициент пропорциональности a есть отношение коэффициен?
тов при старших ?вторых? степенях x0 в этих полиномах? ?ля полинома
(x, gx) = x20 ? xi xi этот коэффициент равен единице? ?ля второго полино?
ма (x , gx ) = (?x, g?x) = (x, ? g?x) = x? (? g?)?? x? коэффициент при
x20 есть матричный элемент (? g?)00 ? т? е? величина? не зависящая ни от
переменной x0 ? ни от параметров xi ? Тем самым доказана справедливость
соотношения ???? с не зависящим от x коэффициентом a?
Покажем теперь? что a > 0 ?это важно для дальнейшего?? ? более
подробной записи соотношение ???? имеет вид
(x0 )2 ? xi xi = a[x20 ? xi xi ]
????
и справедливо для любых x = {x0 , xi }? Распишем теперь подробнее соот?
ношение ???? с разделением индексов на ?временные?пространственные??
x0 = ?00 x0 + ?0k xk ,
xi = ?i0 x0 + ?ik xk .
????
Пользуясь произвольностью x? можно положить x0 = 0 и выбрать такой
вектор xk ? для которого ?0k xk = 0? тогда из ???? получим x0 = x0 = 0?
Подставляя эти значения в соотношение ???? с учетом очевидной положи?
тельности выражений типа xi xi ? заключаем? что a > 0?
Таким образом? мы доказали справедливость соотношения ???? для лю?
бого преобразования ????? удовлетворяющего постулату постоянства ско?
рости света? ? этому классу принадлежат и общие растяжения масшта?
бов x? = ?x? ? не изменяющие значения скорости? которые мы услови?
лись ?см? выше? исключать как ?тривиальные?? Ясно? что если сопрово?
дить преобразование ???? последующим общим растяжением x? = ?x? ?
то получим аналогичное преобразование с заменой a ? a?2 ? Это значит?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
что тривиальным общим растяжением масштабов можно менять значе?
ние коэффициента a в ???? без изменения его знака? Поэтому можно ска?
зать? что произвольное преобразование ????? удовлетворяющее постулату
постоянства скорости света? может быть представлено в виде произведения
преобразования с некоторым фиксированным значением коэффициента a
в ???? плюс дополнительного общего растяжения масштабов ?важно? что
a > 0 по доказанному??
?ыделенную роль играют преобразования с a = 1?
?пределение? преобразованиями ?оренца называются преобразова?
ния ????? для которых в ???? a = 1? т? е?
(x , gx ) = (x, gx),
x = ?x.
????
Утверждение? преобразования ???? образуют группу? Это очевидно?
если мы выполним преобразование x ? x ? при котором (x , gx ) = (x, gx)?
а затем второе преобразование x ? x ? при котором (x , gx ) = (x , gx )?
то получим (x , gx ) = (x, gx)? т? е? x ? x ? преобразование из того же
класса? Ясно также? что единичное ?тождественное? преобразование вхо?
дит в данный класс? как и обратное x ? x ввиду полной симметрии x и x ?
Теперь легко пояснить выбор a = 1 в ???? ? при любом другом выборе
фиксированного значения коэффициента a мы не получали бы группу ?ко?
эффициент для произведения двух преобразований был бы равен a2 = a??
что противоречило бы сформулированному на с? ?? принципу ? ??группа???
??амечание С? ?? ?аниды? результат верен? но его вывод требует уточне?
ния? ?ля получения группы вместо a = 1 можно было бы использовать
любую функцию a(?) от определенных в ???? преобразований ?оренца
?? обладающую групповым свойством a(?1 )a(?2 ) = a(?1 ?2 )? такие функ?
ции называют ?характерами группы?? ?з математики известно? что группа
?оренца не имеет отличных от a = 1 нетривиальных характеров? ? только
с учетом этого замечания выбор a = 1 становится однозначным??
?так? можно сказать? что произвольное преобразование ????? удовле?
творяющее постулату постоянства скорости света? есть комбинация пре?
образования ?оренца ???? и некоторого тривиального общего растяжения
масштабов ?которые? по соглашению? исключаются?? ? дальнейшем мы
будем рассматривать только преобразования ?оренца ?????
?амечание? определенное соотношением ???? множество преобразова?
ний координат? ?сохраняющих заданную квадратичную форму (x, gx)?? все?
гда является группой независимо от явного вида метрического тензора g ?
??
???? Преобразования ?оренца
? частности? рассматривавшиеся ранее ортогональные преобразования ко?
ординат есть группа? сохраняющая форму xi xi = (x, x) с единичным мет?
рическим тензором g = 1?
?виду произвольности x в равенстве (x, gx) = (x , gx ) = (x, ? g?x)
его можно переписать в виде требования на саму матрицу ?? а именно?
????
? g? = g,
что можно считать другим определением преобразований группы
?оренца? эквивалентным определению ????? Сказанное выше ? следствие
хорошо известного утверждения? если A и B ? симметричные матрицы и
(x, Ax) = (x, Bx) для любого x? то A = B ?у нас матрица g симметрична
по определению? а симметричность матрицы ? g? легко проверяется с
учетом правила транспонирования произведения матриц?? Приведем дока?
зательство? если перенести все вклады в левую часть? то нужно доказать
следующее? для симметричной матрицы A из равенства (x, Ax) = 0 для
любого x следует A = 0? ?ля доказательства возьмем x = y + z ? где y и z ?
произвольные векторы? Тогда получим? 0 = (x, Ax) = ((y + z), A(y + z))
= (y, Ay) + (z, Az) + (y, Az) + (z, Ay)? ?ва первых вклада в правой части
исчезают по условию? а два следующих равны между собой ввиду сим?
метричности матрицы A = A ? (z, Ay) = (Az, y) = (y, Az)? Таким образом?
получаем (y, Az) = 0 для любых векторов y и z ? откуда следует A = 0 для
матрицы A?
Таким образом? мы показали? что определения преобразований
?оренца ???? и ???? полностью эквивалентны?
? дальнейшем нам понадобится следующее полезное утверждение?
если ? ? преобразование ?оренца? т? е? матрица? удовлетворяющая со?
отношению ????? то матрицы ? ? ??1 ? ??1 ? тоже преобразования
?оренца? т? е?
? g? = g ? ?g? = g,
??1 g??1 = g,
??1 g??1 = g.
????
Пусть ? ? матрица? удовлетворяющая соотношению
????? Применив операцию ? ?1? к обеим частям этого равенства? с учетом
g ?1 = g получим последнее соотношение ????? ?з него и из ???? можно
получить еще два соотношения? умножая обе части равенства слева и
справа на такие матрицы? которые сокращают множители с ? в левой
части? перенося их тем самым в правую часть? Это и приведет к двум
другим равенствам ????? тем самым они доказаны?
?оказательство?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
При изуче?
нии ортогональных преобразований x = ?x мы видели? что они делятся
на два класса? преобразования с det ? = 1 ??повороты?? и преобразова?
ния с det ? = ?1 ??повороты с отражением??? ?налогом этого для груп?
пы ?оренца является деление на четыре класса? ?но осуществляется по
двум признакам? по знаку det ? и по знаку матричного элемента ?00 ? По?
ясним? если взять det матричного равенства ????? получим (det ?)2 = 1?
т? е? det ? = ±1? так что по знаку det ? преобразования ?оренца де?
лятся на два класса? как и ортогональные преобразования трехмерных
координат? ?о теперь есть еще один признак деления на классы? взяв
матричный элемент ?? равенства ????? получим 1 = g00 = (? g?)00 =
(? )0? g?? ??0 = (? )00 ?00 ? (? )0i ?io = ?200 ? ?io ?io ? откуда следует
?200 = 1 + ?io ?io ? 1? Таким образом? для любого преобразования ?оренца
либо ?00 ? 1? либо ?00 ? ?1? т? е? по знаку ?00 они также делятся на
два непересекающихся класса? Тем самым по двум признакам ?знак det ?
и знак ?00 ? мы получаем четыре возможных класса?
?так? мы указали два признака? по которым все преобразования
?оренца делятся на четыре класса? Строгий анализ показывает? что дру?
гих подобных признаков нет? т? е? любые два преобразования ?оренца из
одного из этих четырех классов могут быть переведены друг в друга непре?
рывным изменением параметров? ?оказательство этого утверждения мы
предоставляем заинтересованному читателю? а с практической точки зре?
ния достаточно знать? что утверждение верно?
?искретные преобразования? ? группе ортогональных преобразований
деление на классы соответствовало наличию или отсутствию в данном пре?
образовании операции отражения пространственных осей P ? ?налогично
обстоит дело и в группе ?оренца? только теперь помимо пространственно?
го отражения P имеется также операция отражения времени T и ?пол?
ное отражение? ? произведение P T ? ?ля пространственного отражения
x0 = x0 ? xi = ?xi ? для временного x0 = ?x0 ? xi = xi ? для полного x0 = ?x0 ?
xi = ?xi ?в матричной записи P = g ? T = ?g ? P T = ?1?? ?се эти дискрет?
ные операции удовлетворяют? очевидно? соотношению ????? т? е? являются
преобразованиями ?оренца? ?месте с тождественным преобразованием ???
мы имеем четыре матрицы? каждая из которых принадлежит одному из
обсуждавшихся выше четырех классов преобразований ?оренца?
?еление на классы? ?искретные преобразования?
??
???? Собственные преобразования ?оренца
1:
det ? = 1,
?00 > 0;
P :
det ? = ?1,
?00 > 0;
T :
det ? = ?1,
?00 < 0;
det ? = 1,
?00 < 0.
PT :
????
преобразования первого класса с det ? = 1 и ?00 > 0 на?
зывают ?собственными преобразованиями ?оренца?? Утверждение? они
образуют группу? т? е? произведение двух собственных преобразований ?
также собственное преобразование? Предлагаем читателю? при желании?
доказать это самостоятельно ?неочевидна лишь положительность ?00 для
произведения двух преобразований с ?00 > 0??
Таким образом? собственные преобразования являются подгруппой в
группе всех преобразований ?оренца? подобно простым поворотам в груп?
пе O3 ? Ясно? что преобразования из других трех классов являются произ?
ведениями некоторого собственного преобразования ?оренца и одного из
трех отражений? P ? T или P T ? ? этом отношении очевидна полная ана?
логия с делением на классы ортогональных преобразований группы O3 ?
? дальнейшем мы будем ограничиваться изучением только собственных
преобразований ?оренца?
?пределение?
??? Собственные преобразования ?оренца?
Явный вид преобразований перехода
к движущейся системе отсчета
? класс собственных преобразований ?оренца входят? очевидно? простые
повороты пространственных осей? т? е? преобразования вида
x0 = x0 ,
xi = ?ik xk ,
????
где ? ? ортогональная 3 Ч 3 матрица с det ? = 1? Соответствующая 4 Ч 4
матрица ? имеет блочную структуру ??00 = 1? ?0i = 0? ?i0 = 0? ?ik = ?ik ?
и является собственным преобразованием ?оренца? так как равенство ????
для такой матрицы очевидным образом выполняется?
?братимся теперь к преобразованиям второго типа ? переход к движу?
щейся системе без изменения ориентации пространственных осей? ?нфор?
мация об этом вносится тем? что все элементы матрицы ? в ???? ищутся в
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
виде функций от одного трехмерного вектора v ? имеющего смысл скорости
новой системы M относительно исходной системы M ?
Соотношения ???? в более подробной записи принимают вид ????? ?ос?
пользуемся теперь сформулированным на с? ?? принципом ? ??сохранение
O3 ?свойств??? в любой инерциальной системе временная переменная x0 ?
истинный скаляр? а пространственные координаты xi ? истинный вектор?
?виду произвольности x эти утверждения справедливы? очевидно? для лю?
бого из вкладов в правых частях соотношений ????? ?тсюда? используя
лемму ?о свертке неизвестного с известным? ?см? п? ????? из соотношений
???? заключаем? что по группе O3 элемент ?00 ? скаляр? ?0i и ?i0 ? век?
торы? а ?ik ? тензор ранга ?? причем все они истинные?
Поставим теперь вопрос? как можно построить такие объекты из одного
истинного трехмерного вектора ? скорости v ?и? естественно? символов ?ik
и ?ikl ? возможность присутствия которых всегда подразумевается?? ?твет
ясен? всякий скаляр ? некоторая функция от v 2 ? всякий вектор есть vi
со скалярным коэффициентом? а истинный тензор второго ранга есть ли?
нейная комбинация ?ik и vi vk со скалярными коэффициентами? ?сли бы
мы не требовали ?истинности? тензора? то была бы допустима еще одна
структура ?ikl vl ? ?о это псевдотензор? а псевдоскалярного коэффициента
при ней из одного вектора v построить невозможно? ??онтрольный вопрос?
чему равно минимальное число истинных векторов? из которых можно по?
строить псевдоскаляр? ?твет ? ???
?з сказанного выше следует? что мы можем ввести следующую пара?
метризацию для элементов матрицы ? в ?????
?00 = a,
?0i = ?vi ,
?i0 = ?vi ,
?ik = ??ik + µvi vk ,
????
где a? ?? ? ? ?? µ ? неизвестные скалярные коэффициенты ? некоторые
функции одной переменной v 2 ?
Подставив ???? в соотношения ????? получим?
x0 = ax0 + ?(vx),
xi = ?x0 vi + ?xi + µvi (vx),
????
где (vx) = vk xk здесь и далее ? скалярное произведение трехмерных век?
торов v и x?
Следующая задача ? получить уравнения? из которых можно явно най?
ти пять неизвестных скалярных коэффициентов в ????? ?дно из таких
уравнений получается сразу же из определения величины v как скорости
новой системы M по отношению к исходной системе M ? ?тсюда следует?
???? Собственные преобразования ?оренца
??
что если при t = 0 системы были совмещены? то в дальнейшем центр
системы M в терминах координат системы M движется по траектории
xi = vi t = vi x0 /c? чему должно соответствовать xi = 0 в системе M ?
Подставив во второе равенство ???? xi = vi x0 /c и потребовав xi = 0? имеем
0 = ?x0 vi + ?vi x0 /c + µvi v 2 x0 /c? откуда после сокращения общего множи?
теля x0 vi получаем
0 = ? + ?/c + µv 2 /c.
????
Это одно из уравнений на пять неизвестных скалярных коэффициентов в
соотношениях ?????
?ля получения других уравнений мы располагаем лишь ?требованием
постоянства интервала? ????? которое можно переписать в виде
x20 ? xi xi = (x0 )2 ? xi xi .
?тсюда при подстановке ???? получаем?
x20 ? xi xi = [ax0 + ?(vx)]2 ? [?x0 vi + ?xi + µvi (vx)]2 .
????
?вадрат второй скобки [...] в правой части понимается как квадрат линей?
ной комбинации трехмерных векторов? т? е? сумма квадратов каждого из
слагаемых плюс сумма всех их удвоенных скалярных произведений?
?виду произвольности x из соотношения ???? можно получить нес?
колько уравнений на искомые скалярные коэффициенты? Рассматривая
две части равенства ???? как полиномы второго порядка по переменной
x0 и приравнивая последовательно коэффициенты при нулевой? первой и
второй степенях x0 в обеих частях? получаем следующие три равенства?
?x2 = ?2 (vx)2 ? ?2 x2 ? µ2 v 2 (vx)2 ? 2µ?(vx)2 ,
??????
0 = 2a?(vx) ? 2??(vx) ? 2?µv 2 (vx),
??????
1 = a2 ? ? 2 v 2 .
??????
Последнее уравнение не содержит x? во втором 2(vx) ? общий множитель?
который можно сократить? ? первое уравнение ?????? входят две различ?
ные структуры? квадрат трехмерного вектора x2 и квадрат скалярного
произведения (vx)2 ? Ясно? что они независимы? так как длину трехмер?
ного вектора x можно менять? не изменяя скалярного произведения (vx)?
и наоборот? Поэтому мы имеем право приравнять коэффициенты при этих
двух независимых структурах в обеих частях равенства ??????? что даст
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
два уравнения? ? итоге из ???? получим следующие четыре уравнения на
скалярные коэффициенты в ?????
??2 = ?1,
?2 ? µ2 v 2 ? 2µ? = 0,
a? ? ?? ? ?µv 2 = 0,
????
a2 ? ? 2 v 2 = 1.
Эти соотношения вместе с ???? образуют систему из пяти уравнений
для определения пяти неизвестных скалярных коэффициентов a? ?? ? ? ?? µ
в ????? При ее решении приходится несколько раз извлекать квадратные
корни? что подразумевает произвол ±1? ?ля фиксации знаков нужно учи?
тывать? что мы ищем собственные преобразования ?оренца? для которых
матрица ?(v) при v = 0 должна переходить в единицу? Тогда решение
однозначно и имеет следующий вид?
? = ? = ?a/c,
где
? = 1,
µ = (a ? 1)/v 2 ,
a = [1 ? v 2 /c2 ]?1/2 .
????
????
? этом легко убедиться прямой проверкой? что мы предоставляем сделать
читателю?
Подставляя ???? в ????? получаем искомые формулы преобразования
четырехмерных координат?
x0 = a[x0 ? (vx)/c],
??????
xi = xi ? (a/c)vi x0 + [(a ? 1)/v 2 ](vx)vi
??????
с параметром a из ?????
?сли от x0 = ct вернуться к простой переменной t? то соотношения ????
примут следующий вид?
t = a[t ? (vx)/c2 ],
??????
xi = xi ? avi t + [(a ? 1)/v 2 ](vx)vi .
??????
При c ? ? из ???? имеем a ? 1 и соотношения ???? переходят? очевидно?
в формулы преобразований ?алилея ???? с ? = 1? как и требуется? Ча?
сто бывают полезными формулы обратных преобразований? выражающих
?нештрихованные? величины через ?штрихованные??
???? Собственные преобразования ?оренца
??
формулы обратных преобразований получаются из формул
прямых преобразований простой перестановкой ?штрихованных? величин
с ?нештрихованными? с одновременной заменой v ? ?v ? Утверждение оче?
видно? поскольку в логическом отношении между системами M и M име?
ется полная симметрия? только с изменением знака скорости? если система
M движется по отношению к системе M со скоростью v ? то система M по
отношению к M ? со скоростью ?v ?
Руководствуясь сформулированным общим принципом? получаем сле?
дующие формулы обратных к ???? преобразований?
Правило?
t = a[t + (vx )/c2 ],
??????
xi = xi + avi t + [(a ? 1)/v 2 ](vx )vi .
??????
?пределенный соотношением ???? коэффициент a при замене v ? ?v не
изменяется?
Формулы преобразований ???? существенно упрощаются? если вектор
скорости v перпендикулярен или параллелен вектору трехмерных коорди?
нат x? ? первом случае (v ? x) имеем (vx) = 0? поэтому из ???? t = at?
xi = xi ? avi t? ?о втором случае (v x) справедливо соотношение
(vx)vi /v 2 = xi ,
????
подстановка которого в ???? дает t = a[t ? (vx)/c2 ]? xi = a[xi ? vi t]?
?бозначим рассмотренные выше преобразования перехода к движу?
щейся системе отсчета через ?(v)? а обсуждавшиеся в начале раздела про?
стые повороты через ?(?)? ?аждое из них является собственным преоб?
разованием ?оренца? т? е? для них det ? = 1 и ?00 > 0? поэтому их произ?
ведения ?(?)?(v) ? также собственное преобразование? так как последние
образуют группу ?см? выше?? Справедливо и обратное утверждение? всякое
собственное преобразование ?оренца может быть представлено в виде про?
изведения ?(?)?(v) с некоторыми ? и v ? Простые повороты ?(?) образуют
подгруппу? а для преобразований ?(v) это не так? поскольку произведение
двух таких преобразований будет преобразованием того же типа только
тогда? когда векторы v для них коллинеарны ?т? е? направлены по одной
прямой?? а в общем случае произведение двух преобразований типа ?(v)
сводится к преобразованию ?(?)?(v) с некоторой новой скоростью v и с
некоторым поворотом ? ?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
??? Релятивистский закон сложения скоростей?
Сокращение масштабов и растяжение времени
Пусть точка в системе M движется со скоростью
u? т? е? по траектории xi = ui t ? а сама система M движется относительно
исходной системы M со скоростью v ? ?опрос? чему равна скорость движе?
ния данной точки для наблюдателя из системы M ?
?твет легко получить из формул преобразования ?оренца? Подставив
xi = ui t в соотношения обратных преобразований ????? находим соответ?
ствующие значения xi и t?
Сложение скоростей?
t = a[t + (vu)t /c2 ] = at [1 + (vu)/c2 ],
xi = t [ui + avi + (a ? 1)(vu)vi /v 2 ].
?з первого равенства видно? что величина t пропорциональна t? поэтому
из второго равенства следует? что xi = wi t? где
wi =
[ui + avi + (a ? 1)(vu)vi /v 2 ]
a[1 + (vu)/c2 ]
????
? искомая скорость точки в системе M ? При c ? ? и ?как следствие?
a ? 1 из ???? получаем классический закон сложения скоростей
wi = ui + vi ?
Соотношение ???? упрощается? если две скорости u и v либо взаимно
перпендикулярны? либо параллельны? ? первом случае (vu) = 0 и тогда
wi = vi + ui /a,
а во втором при учете аналогичного ???? соотношения для проекций на
общее направление векторов u и v получаем
w=
u + av + (a ? 1)u
u+v
=
.
2
a[1 + uv/c ]
1 + uv/c2
?егко проверить? что при подстановке в эту формулу u = ±c получим
w = ±c независимо от величины v в соответствии с постулатом посто?
янства скорости света? ?онечно? из общего соотношения ???? при произ?
вольных направлениях скоростей из |u| = c должно следовать |w| = c при
любой скорости v ? Проверку этого утверждения предоставляем заинтере?
сованному читателю?
???? Релятивистский закон сложения скоростей
??
Точку в четырехмер?
ном пространстве?времени принято называть ?событием?? ?адание собы?
тия ? это указание места и времени?
?сякая материальная точка? любым образом перемещающаяся в трех?
мерном пространстве? с точки зрения четырехмерного пространства?
времени ?тянет за собой цепь событий?? прочерчивая так называемую
?мировую линию?? т? е? непрерывно зависящую от времени t совокупность
всех событий с координатами {t, xi (t)}? ?сли точка в трехмерном про?
странстве неподвижна? то ее мировая линия в четырехмерном простран?
стве есть прямая? параллельная оси времени t? если же точка движется
равномерно и прямолинейно? то ее мировая линия ? прямая? наклоненная
по отношению к оси t? угол наклона определяется скоростью движения?
Рассматривая трехмерное пространство координат? мы можем воспри?
нимать его точки чисто геометрически? ?о для количественного описания
положения точки приходится вводить систему отсчета? ?оординаты xi ?
i = 1, 2, 3 являются тогда представителем данной геометрической точки в
выбранной системе отсчета? ? повернутой системе та же самая геометри?
ческая точка имеет уже иные координаты x = ?x? но при этом мы всегда
имеем в виду? что это всего лишь разные представители одной и той же
геометрической точки?
Точно так же надо смотреть и на формулы преобразований ?оренца?
существуют объективные четырехмерные геометрические точки ? ?собы?
тия?? но их ?представители?? т? е? четырехмерные координаты? будут раз?
ными в разных системах отсчета? Формулы преобразований ?оренца дают
явную связь между этими координатами в точной аналогии с преобразо?
ванием поворота x = ?x? ?аблюдатели из разных систем приписывают
разные четырехмерные координаты x? (A) одному и тому же событию ? A?
точно так же? как пользующиеся разными системами отсчета в трехмер?
ном пространстве наблюдатели приписывают разные координаты xi одной
и той же геометрической точке?
Поскольку время теперь ? всего лишь одна из четырех координат? яс?
но? что никакого объективного понятия одновременности событий не су?
ществует? ?сли A и B ? два события и x? (A) и x? (B) ? их четырехмерные
координаты в некоторой системе? то в ней события считаются одновремен?
ными при x0 (A) = x0 (B)? ?о в другой системе отсчета те же самые события
имеют другие координаты x? (A) и x? (B) и в общем случае x0 (A) = x0 (B)?
т? е? с точки зрения наблюдателя из новой системы эти же самые события
уже не одновременны?
?дновременность? сокращение масштабов?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Точно так же не существует и объективного понятия пространственно?
го расстояния между двумя событиями? ?сли две материальные точки a и
b неподвижны в некоторой системе координат? то разделяющий их вектор
?модуль которого = расстояние? есть разность xi (a) ? xi (b)? При преобра?
зованиях ?алилея ???? без поворота осей каждое из слагаемых получает
одинаковую добавку ?vi t? которая в разности xi (a) ? xi (b) сокращается?
так что эта величина с точки зрения преобразований ?алилея объективна?
?ля преобразований ?оренца это уже не так? ?опустим? что некото?
рый объект? для простоты ?стержень? с концами a, b? покоится в исходной
системе координат M и ?xi = xi (a)?xi (b) ? пространственный вектор раз?
ности координат его концов в данной системе? С точки зрения четырехмер?
ного пространства?времени концы покоящегося стержня a, b прочерчивают
две мировые линии ? прямые? параллельные оси времени? Тогда измерение
разности координат ?xi концов стержня можно выполнить следующим об?
разом? выбираем произвольно точки A и B ?= ?события?? на этих мировых
линиях и составляем разность трехмерных координат ?xi = xi (A)?xi (B)?
?твет? очевидно? не зависит от выбора точек A и B ? так как координаты
левого конца можно замерить? например? сегодня? а второго ? завтра? раз?
ность от этого не зависит?
Рассмотрим теперь ту же самую задачу с точки зрения наблюдателя
системы M ? движущейся со скоростью v по отношению к системе M ? в ко?
торой стержень неподвижен? ? системе M мировые линии концов стержня
также параллельные прямые? но теперь наклоненные по отношению к оси
времени t ? Поэтому наблюдатель в M ? желая определить разность про?
странственных координат концов стержня в своей системе? уже не может
брать произвольно по одной точке на каждой из двух мировых линий?
поскольку очевидно? что теперь ответ от этого выбора зависит? ?стествен?
ным требованием на выбор этих точек A? B для наблюдателя в системе
M является требование одновременности ?с его точки зрения? измерения
пространственных координат концов стержня? т? е? условие t (A) = t (B)? и
он назовет искомым пространственным вектором в своей системе величину
?xi = xi (A) ? xi (B)?
?бозначая разность значений любых величин для событий A и B сим?
волом ?? нашу задачу можно сформулировать следующим образом? пусть
дана величина ?xi и дано? что ?t = 0? ? требуется найти величину ?xi ?
?твет сразу же получается из формул преобразований ?оренца ?????
которые ввиду их линейности переносятся без изменений и на приращения
???? Релятивистский закон сложения скоростей
??
?X соответствующих величин X ?
?t = a[?t ? (v?x)/c2 ],
?xi = ?xi ? avi ?t + [(a ? 1)/v 2 ](v?x)vi .
????
По условию? у нас ?t = 0? поэтому из первого равенства ???? находим
?t = (v?x)/c2 ? что после подстановки во второе равенство ???? дает
?xi = ?xi ? avi (v?x)/c2 + [(a ? 1)/v 2 ](v?x)vi .
?ва последних вклада ? подобные члены и при их сложении с учетом опре?
деления ???? параметра a окончательно получаем?
?xi = ?xi ? [(a ? 1)/av 2 ](v?x)vi .
????
Таким образом? наблюдателю из движущейся системы M стержень ка?
жется в общем случае иначе ориентированным в пространстве и имею?
щим иную длину? чем наблюдателю из системы M ? в которой стержень
неподвижен?
Формула ???? упрощается? если стержень перпендикулярен скорости
v или параллелен ей? ? первом случае (v?x) = 0 и ?xi = ?xi ? т? е?
никаких изменений не происходит? ?о втором случае по аналогии с ????
vi (v?x)/v 2 = ?xi и тогда
?xi = ?xi ? ?xi (a ? 1)/a = ?xi /a = ?xi [1 ? v 2 /c2 ]1/2 ,
т? е? стержень ориентации не меняет? но представляется короче для на?
блюдателя из системы M ? ?менно этот эффект и называют ?сокращением
масштаба? при переходе к движущейся системе?
?Растяжение времени?? Пусть есть две системы отсчета M и M ?
условно M ? наблюдатель на ?емле? M ? наблюдатель в движущейся со
скоростью v по отношению к ?емле ракете? Пусть в этой ракете идет неко?
торый процесс? например? ее пилот в какой?то момент включил секун?
домер? а потом его выключил? ?оменты включения и выключения ? два
события A и B ? и наблюдатель в ракете по своему секундомеру видит? чему
равно прошедшее у него время ?t ? ?ы хотим узнать? чему равен соответ?
ствующий интервал времени ?t в системе M ? ?ля получения ответа? как и
в предыдущей задаче? нужно учитывать дополнительное условие? Теперь
оно состоит в том? что наш ?процесс? происходит в одной и той же про?
странственной точке системы M ? т? е? ?xi = 0? ?так? нам дана величина
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
?t и дано? что ?xi = 0? откуда требуется найти величину ?t? ?твет полу?
чается немедленно из формулы обратных преобразований ?????? с заменой
всех величин X на ?X ?
?t = a?t = ?t [1 ? v 2 /c2 ]?1/2 .
????
Таким образом? ?собственное время? ?t для движущегося в ракете наблю?
дателя меньше? чем соответствующее время ?t для ?неподвижного наблю?
дателя? на ?емле? ?о при этом надо иметь в виду? что речь идет только об
инерциальных системах M и M ? которые полностью симметричны? так
что суждение о том? ?какое из двух времен больше? относительно? т? е?
зависит от выбора ?наблюдателя??
??? Тензоры и тензорные поля
на группе ?оренца
Термин ?тензор? в этом разделе всегда будет пониматься как ?тензор на
группе ?оренца?? это уточнение в дальнейшем для краткости опускаем?
?онкретное преобразование ?оренца задается 4 Ч 4 матрицей ?? описы?
вающей преобразование четырехмерных координат ????? что также всегда
будет просто подразумеваться? ?апомним также? что четырехмерные ин?
дексы с цифровыми значениями ?? ?? ?? ? мы условились обозначать гре?
ческими буквами и все такие индексы пока что ставим снизу? пользуясь
стандартными обозначениями линейной алгебры? ? в таких обозначениях
доказательство некоторых приводимых ниже важных утверждений вы?
глядит проще и нагляднее? ?последствии мы перейдем к традиционным
обозначениям с верхними и нижними индексами?
?пределение тензоров? Простейший тензор ? скаляр ? одна вели?
чина ?? которая не меняется при преобразованиях ?оренца? ? = ?? Сле?
дующий по сложности объект есть вектор ? тензор ранга ?? т? е? вели?
чина типа A? с одним индексом? ?менно на этом этапе проявляется су?
щественное различие между группой ?оренца и группой ортогональных
преобразований трехмерных координат? которую мы обсуждали ранее? ?
п? ??? было показано? что если координаты преобразуются линейно некото?
рой матрицей L? то производные по координатам преобразуются матрицей
L?1 ?см? соотношение ?????? ? случае ортогональных преобразований с
L = ? мы имели ? ?1 = ? ? т? е? координаты и производные преобразовыва?
лись одинаково и оба этих объекта поэтому можно было обозначать одним
??
???? Тензоры и тензорные поля на группе ?оренца
термином ?вектор?? ?ля группы ?оренца это не так? поскольку матрицы
? в общем случае не ортогональны и для них ??1 = ?? т? е? координаты
x? и производные ?? ? ?/?x? преобразуются по?разному? Поэтому теперь
вводятся два типа векторов? ?контравариантные? и ?ковариантные?? ?пре?
деление? контравариантным называется вектор A? ? который преобразуется
как координаты? а ковариантным ? как производные по координатам? т? е?
Ї ?ковар??.
A = ?A ?контравар?? и A = ?A
????
?десь и везде в дальнейшем для краткости используется обозначение
Ї
??1 ? ?
????
для матрицы преобразования производных ? ? а под ? всегда понимается
матрица преобразования координат в ?????
Таким образом? по определению? координаты x? ? контравариантный
вектор? а производные ?? ? ковариантный?
?пределение? тензором ранга n называют величину с n индексами и с
указанием типа каждого из них ??ко?? или ?контр???? которая по каждому
из индексов преобразуется как соответствующий вектор?
Сейчас нет смысла пытаться написать вытекающий из этого определе?
ния закон преобразования для произвольного тензора? поэтому мы огра?
ничимся случаем тензоров T?? ранга ?? Такие объекты можно понимать
и как обычные матрицы 4 Ч 4? Поскольку для каждого из индексов есть
два варианта выбора типа ??ко?? или ?контр???? для T?? будет ? варианта
такого выбора? ?ы приведем закон преобразования для каждого из них?
указывая рядом в скобках [...] матричный эквивалент значковой записи?
?контр?? ? ?контр?? :
?ко?? ? ?ко?? :
T?? = ??µ ??? Tµ? ,
Ї ?µ ?
Ї ?? Tµ? ,
T =?
??
?контр?? ? ?ко?? :
T??
?ко?? ? ?контр?? :
T??
Ї ?? Tµ? ,
= ??µ ?
Ї ?µ ??? Tµ? ,
=?
[T = ?T ? ],
Ї ?
Ї ],
[T = ?T
Ї ],
[T = ?T ?
??????
Ї ? ].
[T = ?T
??????
??????
??????
Принцип записи прост? индексу типа ?контр?? сопоставляется матрица пре?
Ї?
образования ?? а индексу типа ?ко?? ? матрица ?
Тензорные свойства g?? и ??? . Утверждение? определенная одина?
ково для всех систем соотношением ???? величина g?? является тензором?
который можно считать как контравариантным? так и ковариантным по
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
обоим индексам ?но не смешанным??? ?ругими словами? постоянство g для
всех систем совместно с соответствующим тензорным законом преобразо?
вания как ??????? так и ??????? ?ействительно? если оба индекса ?контр??? то
Ї ?
Ї согласно
g = ?g? согласно ??????? а если оба индекса ?ко??? то g = ?g
??????? ?ам надо показать? что в обоих случаях g = g ? т? е? ?g? = g и
Ї ?
Ї = ??1 g??1 = g ? Эти равенства справедливы? что уже известно из
?g
доказанных ранее соотношений ????? ?ля законов преобразования ??????
или ?????? равенство g = g сводится к требованию коммутативности мат?
рицы g с ? или ? и в общем случае не выполняется? т? е? ?смешанным
тензором? g считать нельзя?
Таковым является другой объект ? определенный одинаково для всех
систем символ ?ронекера ??? ? соответствующий единичной матрице?
Утверждение? символ ?ронекера ??? ? ?смешанный тензор?? причем лю?
бого из двух типов ?контр?? ? ?ко?? или ?ко?? ? ?контр??? ?ействительно?
закон преобразования ?????? для единичной матрицы принимает вид
Ї = ???1 = 1? а из ?????? получаем 1 = ?·1·?
Ї
1 = ?·1· ?
= ??1 ? = 1?
что и требуется? ?о для преобразований ?????? и ?????? равенство 1 = 1
не выполняется?
?амечание? для группы ?оренца по аналогии с символом ?ikl для груп?
пы вращений можно ввести четырехзначковый полностью антисимметрич?
ный тензор ???µ? ? ?о в дальнейшем он нам не понадобится? и мы не будем
уточнять ?впрочем? очевидное? его определение?
Смена типа вектора? Утверждение? если A ? контравариантный
вектор? то B = gA ? ковариантный и наоборот? ?оказательство? пусть A ?
контравариантный вектор? т? е? A = ?A согласно ????? Тогда B = gA =
g?A = g?g 2 A = g?gB ? т? е? вектор B преобразуется матрицей g?g ?учтено
равенство g 2 = 1?? ?стается показать? что эта матрица совпадает с ??1 ?
Это немедленно следует из определения преобразований ?оренца ????? ес?
ли умножить данное матричное равенство слева на ??1 ? а справа ? на
g ? ?братное утверждение ?если A ? ?ко??? то B ? ?контр??? доказывается
аналогично?
?ля простоты и наглядности мы сейчас говорили только о векторах?
но в дальнейшем аналогичная процедура будет использоваться для смены
типа любого из индексов в произвольном тензоре?
? свертке? Утверждение? свертка ? ? A? B? ? (A, B) двух векторов
является ?правильным объектом? ? скаляром тогда и только тогда? когда
сворачиваются векторы разного типа ? ?ко?? и ?контр??? ?ействительно?
пусть вектор A типа ?ко??? а B ? типа ?контр??? тогда ? = (A , B ) =
???? Тензоры и тензорные поля на группе ?оренца
??
Ї ?B) = (A, ?
Ї ?B) = (A, ??1 ?B) = (A, B) = ?? ?сли вектор A
(?A,
типа ?контр??? а B ? типа ?ко??? ответ будет тем же? ? = ?? ?о если
оба вектора одного типа? например? ?контр?? ? ?контр??? то тогда ? ?
(A , B ) = (?A, ?B) = (A, ? ?B) = (A, B) ? ?? поскольку в общем случае
? ? не ортогональные матрицы? т? е? ? ? = 1? Также будет и в случае
двух векторов одного типа ?ко?? ? ?ко???
Сейчас мы рассматривали простые векторы? но общий принцип перено?
сится на свертки в любых тензорах? для получения ?правильного объекта??
т? е? тензора по остающимся свободным значкам необходимо сворачивать
индексы разного типа ? ?ко?? с ?контр???
Смена обозначений? ?ерхние и нижние индексы? С этого момен?
та мы переходим к новым обозначениям? традиционным для тензоров на
группе ?оренца? Соглашения?
?? ?онтравариантные индексы будем писать сверху? ковариантные ?
снизу? так что положение индекса указывает его тип без добавочных сло?
весных пояснений? ?апример? четырехмерные координаты будем теперь
обозначать x? ? производные по ним ? ?? ? метрический тензор ? через g ??
или g?? ?численно это одна и та же величина?? а символ ?ронекера ? через
?? ? или ? ? ? в соответствии с природой этих объектов?
?? Формулы преобразований ?оренца ???? для векторов разного типа
будем теперь записывать следующим образом?
A ? = ??? A? ??контр??? ,
Ї ? A? ??ко??? .
A? = ?
?
????
Это просто изменение обозначений? раньше мы ставили все индексы снизу
Ї ?? как матричные элементы матриц ? и ?
Ї ? ? записи
и понимали ??? и ?
???? для тех же самых матричных элементов введены новые обозначения?
Ї ?? ? ?
Ї ?? ? которые более естественны при наших новых согла?
??? ? ??? ? ?
шениях?
?? Тип тензора любого ранга теперь указывается просто положением
каждого из его индексов ?верхнее или нижнее?? а закон преобразования
определяется простым правилом? ?как соответствующий вектор по каж?
дому из индексов?? ? качестве примера приведем новый вариант записи
соотношений ?????
T
??
= ??µ ??? T µ? ,
Ї µ? ?
Ї ? Tµ? ,
T?? = ?
?
T
?
Ї ? T µ? ,
= ??µ ?
?
?
Ї µ? ??? Tµ ? .
T? = ?
?
????
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
?ще два примера для тензоров ранга ??
T
???
= ??µ ??? ??? T µ?? ,
T
? ?
?
Ї ? ?? T µ ? ? .
= ??µ ?
? ?
Принцип записи прост? верхним индексам соответствует матрица ?? ниж?
Ї ? расстановка индексов ? по правилам ?????
ним ? ?
?перации с тензорами? ?пускание и подъем индексов? ?ак и в
случае группы вращений? ясно? что сумма тензоров одной природы и про?
изведение тензора на скаляр ? тензор той же природы? Ясно также? что
непосредственно обобщается понятие тензорного произведения двух тензо?
ров? например? если A ? ковариантный вектор? а B ? контравариантный?
то их тензорное произведение? т? е? двухзначковый объект A? B ? ? тензор
ранга ? указанного положением значков типа?
?етривиально лишь обобщение понятия свертки? ?апомним? что для
группы вращений свертка определялась следующим образом? какие?ни?
будь два индекса тензора полагались равными и производилось сумми?
рование по всем возможным цифровым значениям ?? ?? ? этого общего
индекса ?что технически обозначалось его повторением?? Утверждение со?
стояло в том? что полученная таким образом величина является тензором
по оставшимся свободным индексам?
Эта конструкция переносится и на группу ?оренца с одной существен?
ной оговоркой? ?правильный объект?? т? е? тензор по оставшимся значкам
мы получим только в том случае? если будем сворачивать значки разного
типа? т? е? ?верхний с нижним?? При попытке свернуть значки одинаковой
природы мы получим? конечно? некоторую величину со значками ?на два
меньше? чем в исходном объекте?? но она не будет преобразовываться как
тензор по оставшимся значкам?
?ы уже доказывали это ранее на простом примере свертки двух векто?
ров? ?о ясно? что приведенное там доказательство переносится непосред?
ственно на общий случай произвольного тензора? Это очевидно? поскольку
Ї ? кото?
в доказательстве ?игра идет? только с теми двумя матрицами ?? ?
рые в законе преобразования тензора соответствуют двум сворачиваемым
Ї ? соответствующие оста?
индексам? и не затрагивает прочие множители ?? ?
ющимся свободным индексам?
?о всех общих соотношениях релятивистской формулировки электро?
динамики мы будем иметь дело с ?правильными объектами? ? тензорами
на группе ?оренца ?идейным обоснованием является принцип относитель?
ности? о чем говорилось в п? ????? Чтобы не выходить из этого класса?
???? Тензоры и тензорные поля на группе ?оренца
достаточно руководствоваться следующими двумя простыми
??
правилами
записи формул?
?? ?юбой из свободных греческих индексов должен занимать одинако?
вое положение ?верхнее или нижнее? во всех слагаемых одного выражения
и в обеих частях любого равенства?
?? ?се свертки должны быть ?косыми?? т? е? один из сворачиваемых ин?
дексов должен быть верхним? а другой ? нижним? их порядок ?т? е? какой
из них первый? а какой ? второй? значения не имеет?
Перемещение индексов? Ранее было показано? что если A ? контравари?
антный вектор? то B = gA ? ковариантный и наоборот? Теперь при новых
соглашениях у нас появляется возможность различать A и B не буквами?
а просто положением индекса? A ? A? ? B ? A? ?или наоборот?? Тем са?
мым вводятся операции опускания и подъема индексов у вектора? которые
будем записывать в виде
A? = g?? A? ,
A? = g ?? A? ,
????
пользуясь тем? что метрический тензор g можно понимать и как g ?? ? и
как g?? ? ?апись ???? удовлетворяет двум сформулированным выше общим
правилам?
Теперь можно сделать следующий важный шаг? а именно? будем счи?
тать величины A? и A? не разными объектами? а ?разными версиями? или
?разными лицами? одного объекта с общим названием ?например? ?коор?
динаты?? ?производные? и т? п??? ?сли задана одна из версий вектора? то
по формулам ???? можно найти его другую версию?
?се сказанное выше о векторах очевидным образом обобщается на лю?
бые тензоры? в которых можно перемещать любой из индексов точно так
же? как и для векторов? т? е? по правилу ????? Приведем примеры?
T ?? = g ?µ g ?? Tµ? ,
T? ? = g?µ g ?? T µ ? ,
T?? = g?µ g?? T µ? ,
T ? ?? = g ?µ Tµ?? .
????
?а каждое перемещение индекса приходится одна матрица g ? расстанов?
ка индексов однозначно определяется двумя сформулированными выше
общими правилами?
?апись формул типа ????? ???? становится очень простой? если явно
разделить временные и пространственные компоненты тензора ?техниче?
ски для индексов ? ? {0, i}?? Тогда при учете явного вида матрицы g ????
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
для вектора получаем
A0 = A0 ,
????
Ai = ?Ai ,
а для тензора ранга ? аналогично
T00 = T 00 ,
T0i = ?T 0i ,
Ti0 = ?T i0 ,
Tik = T ik .
????
искомые компоненты всегда различаются лишь множи?
телем ±1? перемещение каждого латинского индекса дает множитель ?1?
перемещение индекса ??? на знаке не отражается?
?екоторые математические или физические величины имеют пер?
вичное определение? однозначно фиксирующее их природу? ?апример?
по определению? обычные координаты ?ct ? x0 ? xi ? xi ? ? контравариант?
ный вектор x? ? а производные по этим координатам ?c?1 ?t ? ?0 ? ?i ? ?i ? ?
ковариантный вектор ?? ? По этим ?первичным версиям? с помощью соот?
ношений ???? можно получить их ?вторичные версии? x? и ? ? ?
?бщее правило?
x0 = x0 ,
xi = ?xi ;
? 0 = ?0 ,
? i = ??i .
????
Предупреждение? необходимо четко различать латинские индексы типа i
в ???? как обозначения пространственных компонент четырехмерных ве?
личин и такие же индексы в чисто трехмерных объектах? Последние? по
соглашению? всегда ставятся снизу? а первые могут быть как нижними?
так и верхними? соответствующие величины тогда различаются знаком?
Проблема в том? что иногда четырехмерные и трехмерные объекты обо?
значаются одной и той же буквой ?например? координаты x?? Тогда нужно
четко отличать трехмерный объект от четырехмерного и помнить? какая
из различных четырехмерных версий является ?первичной?? т? е? соответ?
ствует трехмерному объекту без добавочных изменений знаков? ? дальней?
шем для трехмерных объектов мы будем часто использовать уточняющий
знак ? ??? индексы у таких величин должны быть только латинскими и
всегда ставятся снизу?
Сделаем в заключение несколько простых? но полезных замечаний?
?? ?о сих пор мы различали метрический тензор g и символ ?ронекера
? ? но теперь с учетом правил ???? можно сказать? что символ ? ? просто
?смешанная версия? метрического тензора g ? а именно?
g? ? = g ?µ g?µ = ?? ? ,
g ? ? = g ?µ gµ? = ? ? ? .
????
???? Тензоры и тензорные поля на группе ?оренца
??
? матричной форме это есть очевидное равенство g 2 = 1? ?виду диаго?
нальности матрицы ? вместо g? ? = ?? ? можно писать просто g?? или ??? ?
что никогда не приведет к недоразумениям?
?? ? любом равенстве любой свободный греческий индекс можно пере?
мещать сверху вниз? при этом равенство остается верным? ?апример? из
A? = B? следует A? = B ? ? поскольку второе равенство получается дей?
ствием одной и той же матрицы g на обе части первого равенства? Ясно?
что все это справедливо для любого свободного индекса в любом равенстве
тензорных величин?
?? ? свертках можно делать одновременную перестановку ?верх?низ?
сворачиваемых значков? например? A? B ? = A? B? и аналогично для лю?
бых сверток в любом тензоре? Это также очевидное следствие матричного
равенства g 2 = 1?
Тензорные поля на группе ?оренца? ?ни определяются точно так
же? как аналогичные объекты на группе O3 ? только с заменой трехмер?
ных координат четырехмерными? ?пределение? если каждой геометриче?
ской точке четырехмерного пространства?времени поставлен в соответ?
ствие некоторый тензор? то говорят? что задано ?тензорное поле? T... (x)?
многоточием обозначены индексы тензора? ?го закон преобразования пи?
шется точно так же? как и для простого тензора с той разницей? что теперь
у T появляется аргумент x? а у T ? аргумент x в полной аналогии с опре?
делением ???? для группы O3 ?x и x ? координаты одной и той же геомет?
рической точки в разных системах?? ? качестве примера приведем закон
преобразования для скалярного и векторного контравариантного полей?
? (x ) = ?(x),
A ? (x ) = ??? A? (x).
????
?з исходных определений автоматически следует? что символ ?? ? ко?
вариантный вектор? точнее? ?дифференциальный оператор? преобразую?
щийся как ковариантный вектор?? ?тсюда следует? что правильно постро?
енные конструкции? включающие тензорные поля и символ ? ? также будут
?правильными объектами? ? тензорными полями? ?апример? если ?(x) ?
скалярное поле? то ?? ?(x) ? ковариантное векторное поле? ?? A? (x) ? ска?
лярное поле? и т? п?
Правила перемещения индексов сверху вниз и их сворачивания для
тензорных полей те же самые? как у простых тензоров? ?апример?
A? (x) = g?? A? (x)? свертка векторных полей A? (x)B ? (x) ? скалярное
поле и т? п?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
? заключение добавим? что всюду в этом разделе речь шла о клас?
сификации величин по отношению к группе собственных преобразований
?оренца? ?онечно? мы могли бы расширить ее до ?полной группы?? вклю?
чив операции отражения P ? T ? P T и введя классификацию тензоров по
отношению к этим дискретным преобразованиям ?подобно делению на ?ис?
тинные тензоры? и ?псевдотензоры? для группы O3 ?? ?о из?за наличия
нескольких отражений эта классификация будет более сложной? чем для
группы O3 ? и практически несущественна для задач классической элек?
тродинамики ?но в других дисциплинах? например в физике элементарных
частиц? она важна?? Поэтому мы не будем касаться этих вопросов?
?а этом мы заканчиваем ?математическое отступление? и возвращаем?
ся к физике? используя разработанный язык тензоров на группе ?оренца?
??? Тензорная природа
потенциалов и напряженностей
?апряженности E и H ? два трехмерных вектора? т? е? имеют в сумме
? компонент? а потенциалы ? ?скалярный? и A ?векторный? имеют в сумме
? компоненты? Предполагая? что эти величины являются некоторыми ?пра?
вильными объектами? на группе ?оренца ?для краткости в дальнейшем
будем говорить просто ?тензорами? вместо более точного термина ?тензор?
ными полями??? постараемся по числу компонент угадать? какими именно?
?сключим из рассмотрения скаляры? поскольку при переходе к движу?
щейся системе интересующие нас величины явно не могут быть инвариант?
ными? Следующими по сложности четырехмерными объектами являются
вектор с четырьмя компонентами и тензор второго ранга типа T?? ? в общем
случае имеющий ?? независимых компонент? ?стественно предположить?
что четыре компоненты потенциалов ?? A образуют четырехмерный век?
тор?
?стаются напряженности? которых по числу компонент ??? больше?
чем у вектора? но меньше? чем у тензора второго ранга? Решение вопроса
в том? чтобы рассматривать тензор не общего вида? а с определенными
свойствами симметрии относительно перестановки индексов? Это возмож?
но потому? что свойство симметрии или антисимметрии для тензоров типа
T?? или T ?? со значками одной природы является ?лоренц?инвариантным??
т? е? сохраняется при преобразованиях ????? ??ля тензоров типа T? ? это не
так? поскольку матрицы преобразования по индексам ? и ? различны и
???? Тензорная природа потенциалов и напряженностей
??
исходная симметрия при преобразованиях ???? теряется?? Поэтому для тен?
зоров типа T?? или T ?? требование симметричности или антисимметрич?
ности можно накладывать как дополнительное ограничение? Поскольку
симметричная 4Ч4 матрица имеет? очевидно? ?? независимых компонент? а
антисимметричная ? ?? ясно? что естественным представителем напряжен?
ностей в новой терминологии должен быть некоторый антисимметричный
тензор второго ранга?
Рассмотрим теперь подробнее потенциалы и напряженности?
Потенциалы? ?так? по числу компонент мы предполагаем? что ска?
лярный потенциал ? и три компоненты векторного потенциала A обра?
зуют вместе некоторый четырехмерный вектор? ??тметим? что размер?
ности скалярного и векторного потенциалов одинаковы? поэтому при их
объединении в четырехмерный объект не требуется вводить добавочных
размерных коэффициентов?? ?онечно? строго обосновать это предположе?
ние на данном этапе мы не можем? ?лавным аргументом в его пользу
будет внутренняя самосогласованность и красота получаемых на основе
этого предположения соотношений? ?онечный критерий ? эксперимент? и
он подтверждает выводы релятивистской теории?
Четырехмерный потенциал принято обозначать той же буквой A? как
и трехмерный векторный потенциал? который с этого момента будем обо?
значать через A? чтобы отличать от четырехмерного вектора A? Ясно?
что при объединении ? и A в четырехмерный вектор A скалярный по?
тенциал ? должен соответствовать ??компоненте вектора A? а векторный
потенциал A ? пространственным составляющим A?
Считая A четырехмерным вектором? мы должны затем решить? ка?
кая из его версий ??ко?? или ?контр??? соответствует исходным потенци?
алам (?? A)? ?твет на этот вопрос можно получить? исходя из вида ка?
либровочных преобразований ????? которые в терминах производных ??
(?0 = c?1 ?t , ?i = ?i ) переписываются следующим образом? ? = ? ? ?0 ??
Ai = Ai + ?i ?? ?обавки к потенциалам в этих двух соотношениях вхо?
дят с разными знаками? поэтому их нельзя истолковать как единый объ?
ект ? ?? ?? ?о если перейти к производным с верхним индексом по прави?
лам ????? получим
? = ? ? ? 0 ?,
Ai = Ai ? ? i ?,
????
т? е? теперь обе добавки ? компоненты единого объекта ? ? ?? Функция ?
в калибровочных преобразованиях произвольна? в частности? может быть
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
скалярным полем? и тогда ? ? ? ? контравариантное векторное поле? Это
аддитивная добавка к набору потенциалов (?? A)? поэтому этот набор так?
же следует считать контравариантным векторным полем ?складываться
всегда должны величины одной природы??
Таким образом? первичной версией четырехмерного потенциала A яв?
ляется его контравариантная версия A? ?
? ? A0 ,
Ai ? Ai .
????
Соответствующая ковариантная версия A? получается из ???? по общему
правилу ????? т? е? изменением знака при пространственных компонентах?
?алибровочные преобразования ???? в терминах четырехмерного по?
тенциала A? принимают следующий вид?
A ? = A? + ? ? ?
????
?мы изменили знак при ? ? ?? что несущественно ввиду произвольности ???
Соотношение ???? ? ковариантная запись калибровочных преобразований?
?а этом мы заканчиваем обсуждение природы потенциалов с точки
зрения группы ?оренца? а в заключение сделаем замечание идеологиче?
ского характера?
?
?амечание? сказав? что потенциалы (?? A) = {A } ? контравариантное
векторное поле? мы тем самым утверждаем? что эти величины преобра?
зуются по правилу ????? т? е? по заданным потенциалам A? (x) в исход?
ной системе отсчета однозначно предсказываются значения потенциалов
A ? (x ) в новой системе? ?о без наложения добавочных калибровочных
условий любое суждение о том? ?чему равны потенциалы?? в принципе не
может быть однозначным ввиду калибровочного произвола? С точки зре?
ния физики любые два набора потенциалов? связанных калибровочным
преобразованием? полностью эквивалентны и никакие реальные экспери?
менты не могут их различить? Поэтому если один человек говорит? что
?потенциалы в новой системе равны тому?то?? а другой скажет ?тому?то
плюс некоторое калибровочное преобразование?? то оба будут одинаково
правы? и выбор варианта ? вопрос удобства?
Это замечание порождено дискуссией с моим коллегой ?? ?? ?ереща?
гиным? который считает нужным добавлять некоторое калибровочное пре?
образование? основываясь на соображениях из области физики элементар?
ных частиц? ?о в классической электродинамике? являющейся предметом
???? Тензорная природа потенциалов и напряженностей
??
данного курса? нет никаких видимых причин для искажения простого за?
кона преобразования векторного поля ???? применительно к потенциалам
A? (x)? Поэтому всюду в дальнейшем мы будем считать? что потенциалы
преобразуются по правилу ????? как и любое другое контравариантное век?
торное поле?
?апряженности? Прежде всего воспроизведем формулы ????? поль?
зуясь обозначением ?? и символом ? ?? для трехмерных векторов?
Hi = (rot A)i = ?ikl ?k Al ,
Ei = ??i ? ? ?0 Ai .
????
Теперь вернемся к нашей проблеме ? представление напряженностей в
терминах ?правильных объектов? на группе ?оренца? ?ыше было пока?
зано? что по числу компонент естественным кандидатом на эту роль яв?
ляется антисимметричный тензор второго ранга? С другой стороны? из
???? видно? что напряженности ? первые производные потенциалов? т? е?
в четырехмерных обозначениях величины типа ?A? ?тсюда однозначно
следует? что кандидатом на роль ?лоренц?ковариантного представителя?
напряженностей является величина
F?? = ?? A? ? ?? A? ,
????
которую называют ?тензором поля??
Рассмотрим подробнее компоненты тензора ????? разделяя все грече?
ские индексы на ?временные ? пространственные?? ?виду антисимметрии
F00 = 0? поэтому достаточно определить компоненты F0i и Fik с i < k ?
При сопоставлении с формулами ???? нужно учитывать? что трехмерным
потенциалам соответствует контравариантная версия A? в ????? а потен?
циалы A? в ???? ? ковариантная версия? ?х компоненты связаны между
собой общим правилом ????? A0 = A0 ? Ai = ?Ai ? Учитывая это и соотно?
шения ????? ????? получаем ?напомним? что у трехмерных объектов типа A
индексы всегда ставятся внизу??
F0i = ?0 Ai ? ?i A0 = ??0 Ai ? ?i A0 = ??0 Ai ? ?i ? = Ei .
Рассмотрим теперь Fik = ?i Ak ? ?k Ai = ??i Ak + ?k Ai = ??i Ak + ?k Ai ?
Сравнивая эти величины с компонентами H = rot A? заключаем? что
F12 = ?H3 , F13 = H2 , F23 = ?H1 ? прочие компоненты Fik определяются
требованием антисимметрии F ? ?се эти соотношения вместе можно запи?
сать в виде одного равенства Fik = ??ikl Hl ?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Тем самым мы определили все компоненты тензора F?? ? ?го контрава?
риантная версия получается из ковариантной по правилу ????? Суммируя
все сказанное? приведем окончательный результат ? выражения для ком?
понент тензора F через напряженности E и H ?
F0i = ?F 0i = Ei ,
Fik = F ik = ??ikl Hl ,
????
все прочие компоненты находятся из условия антисимметричности F ?в
частности? F00 = F 00 = 0 и аналогично для диагональных компонент Fik ??
?сли свернуть обе части последнего равенства ???? с ?ikp ? получим
?ikp Fik = ??ikp ?ikl Hl = ?2?pl Hl = ?2Hp ?мы воспользовались формулой
свертки двух ? по паре индексов?? Переобозначив индексы? получаем?
Hi = ?(1/2)?ikl Fkl = ?(1/2)?ikl F kl .
????
Поскольку F?? ? тензор? т? е? объект с известным законом преобразова?
ния? из соотношений ????? ???? можно получить законы преобразования
напряженностей E и H при переходе к движущейся системе отсчета? что
будет сделано впоследствии?
???? ?овариантная формулировка
уравнений ?аксвелла
для потенциалов
Термин ?ковариантная формулировка? или ?ковариантная запись? мы
всегда будем понимать как ?релятивистски?ковариантная?? Это означает?
что соотношение записано в терминах ?правильных объектов? на группе
?оренца ? тензоров или тензорных полей? внешний признак ? греческие
индексы любой ??ко?? или ?контр??? природы? Термин ?ковариантная за?
пись? не нужно путать с термином ?ковариантная версия объекта??
Переходим теперь к нашей теме ? уравнениям ?аксвелла для потен?
циалов? ?ам известна их трехмерная форма ????? которую мы сейчас вос?
произведем с использованием четырехмерного символа ?? и уточняющего
знака ? ?? для обозначения трехмерных векторов?
? ? ?0 (?0 ? + div A) = 4??,
Ai + ?i (?0 ? + div A) = (4?/c)ji ,
????
где ? волновой оператор ????? ?сли переписать его в ковариантных обо?
значениях ????? получим?
= ?0 ?0 ? ?i ?i = ?0 ? 0 + ?i ? i = ?? ? ? ,
????
??
????? Уравнения ?аксвелла для потенциалов
откуда видно? что это ?лоренц?скаляр?? точнее? скалярный дифференци?
альный оператор? Это единственный лоренц?скаляр? который можно по?
строить из двух символов ? ? т? е? это точный аналог оператора ?апласа
? = ?i ?i для группы O3 ?
?ходящее в ???? выражение в скобках (...) также ?лоренц?скаляр?? по?
скольку в обозначениях ???? имеем?
?0 ? + div A = ?0 A0 + ?i Ai = ?? A?
????
?индекс ? ?? хотим сохранить для будущего?? Подставляя ???? в уравнения
???? с учетом ????? получаем? A0 ??0 ?? A? = 4??? Ai +?i ?? A? = (4?/c)ji ?
откуда перемещением индексов по правилу ???? у одного из символов ?
получаем
A0 ? ? 0 ?? A? = 4??,
Ai ? ? i ?? A? = (4?/c)ji .
????
?евые части этих двух соотношений являются компонентами единого ?пра?
вильного объекта? ? контравариантного вектора A? ? ? ? ?? A? ? следова?
тельно? их правые части должны иметь ту же природу с точки зрения
группы ?оренца? Это естественно приводит к определению контравари?
антного вектора J ? ? называемого четырехмерным током?
J 0 = c?,
????
J i = ji .
?спользуя это обозначение? соотношения ???? можно переписать в виде
одного уравнения
A? ? ? ? ?? A? = (4?/c)J ? ,
????
которое уже можно считать искомой ковариантной формулировкой урав?
нений ?аксвелла для потенциалов?
?се дальнейшее ? некоторое ?украшение? уравнения ????? Прежде все?
го? опустим в нем вниз свободный индекс ? ?? ?см? замечание в кон?
це п? ????? а затем в полученном первом слагаемом A? сделаем подста?
новку A? = g?? A? ? Тогда A? в левой части станет общим множителем и
уравнение ???? примет более красивый вид?
K?? A? = (4?/c)J? ,
K?? =
g?? ? ?? ?? .
????
Это мы и будем считать окончательным вариантом ковариантной записи
уравнений ?аксвелла для потенциалов? ?ля уточнения отметим? что это
?уравнения в произвольной калибровке?? так как при их выводе мы не
накладывали на потенциалы никаких калибровочных условий?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
???? Поперечность K ?
уравнение непрерывности?
калибровочная инвариантность
уравнений ?аксвелла?
калибровочные условия
?пределенный в ???? дифференциальный оператор K?? обладает следую?
щим свойством поперечности?
? ? K?? = 0,
K?? ? ? = 0.
????
?но проверяется непосредственно? из определения операции K в ????
имеем ? ? K?? = ? ? [ g?? ? ?? ?? ] = 0? поскольку в первом слагаемом
? ? g?? = ?? ? а во втором ? ? ?? =
согласно ????? так что два вклада
взаимно сокращаются? Точно так же проверяется второе равенство ?????
?овариантная запись уравнения непрерывности? ?сли свернуть
обе части уравнения для потенциалов ???? с символом ? ? ? то слева получим
нуль в силу свойства поперечности K ????? поэтому справа ? ? J? = 0? или?
эквивалентно ?см? замечание в конце п? ?????
?? J ? = 0.
????
Это равенство ? ковариантная запись уравнения непрерывности ?????
действительно? при учете обозначений ???? и x0 = ct имеем ?? J ? =
?0 J 0 + ?i J i = c?1 ?t (c?) + ?i ji = ?t ? + div j = 0?
?алибровочная инвариантность уравнений ?аксвелла? Ранее в
п? ??? мы уже говорили? что уравнения ?аксвелла для потенциалов долж?
ны быть калибровочно?инвариантными в следующем смысле? если некото?
рый набор потенциалов ? их решение? то калибровочно?преобразованный
набор ? также решение? Тогда мы не стали заниматься прямой провер?
кой этого утверждения? предоставив ее читателю? ? ковариантной записи
???? эта проверка тривиальна? калибровочное преобразование потенциалов
имеет вид ???? и вклад добавки ? ? ? к потенциалу A? в ???? исчезает в силу
свойства поперечности ???? операции K ?
?алибровочные условия? ?апомним? что так называют допол?
нительные условия? которые накладывают на потенциалы для полного
или частичного устранения их калибровочного произвола ?см? п? ?????
?онкретно мы обсуждали два условия? кулоновскую калибровку ????
????? ? виде уравнений ?аксвелла для потенциалов
??
и калибровку ?оренца ????? ?ыражение в левой части равенства ????
совпадает с ????? т? е? лоренцова калибровка допускает релятивистски?
ковариантную запись?
?? A? = 0.
????
?ыражение в левой части ? ?правильный объект? ? скалярное поле с за?
коном преобразования ????? т? е? из его равенства нулю в одной системе
отсчета следует? что оно будет равным нулю и в любой другой инерциаль?
ной системе отсчета? так что данное условие ?лоренц?инвариантно??
? отличие от лоренцовой? кулоновская калибровка div A = 0 этим свой?
ством не обладает? ?о здесь нет нарушения общих принципов? поскольку
калибровочное условие ? не закон природы? а некоторое дополнительное
требование на потенциалы? выбор которого произволен ?в классе допусти?
мых калибровок?? и оно не обязано быть лоренц?инвариантным?
???? ?бщие соображения
о виде уравнений ?аксвелла
для потенциалов
?ы вывели уравнения ???? исходя из конкретной трехмерной формы запи?
си уравнений ?аксвелла ????? а теперь поставим вопрос? каков минималь?
ный набор общих требований? позволяющий предсказать вид уравнений
?????
Руководствуясь лишь общей структурой уравнений ????? можно сфор?
мулировать следующий набор требований?
?? ?ы ищем линейные неоднородные уравнения типа KA = I с векто?
рами A? I и матричной дифференциальной операцией K ? Это операция с
постоянными коэффициентами? содержащая производные не выше второ?
го порядка?
?? ?перация K строится только из символов ? и не содержит никаких
дополнительных размерных параметров ?константа c?1 всегда группиру?
ется с ?t и переходит в ?0 = c?1 ?t ??
?? Уравнение KA = I должно быть лоренц?ковариантным?
?? Уравнение должно быть калибровочно?инвариантным?
Покажем? что эти требования фиксируют вид K с точностью до несу?
щественного общего множителя? ?з требования релятивистской кова?
риантности следует? что уравнение должно строиться из ?правильных
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
объектов?? т? е? в подробной записи должно иметь следующий вид?
K?? A? = I? ? где K?? ? тензорный дифференциальный оператор ?любые
другие корректные варианты размещения индексов дают эквивалентные
формы записи?? Теперь поставим вопрос? что есть общий вид тензора
K?? ? построенного только из фундаментального тензора g?? ?присутствие
которого всегда допустимо? подобно символу ?ik для группы вращений?
и символов ? ? причем с производными не выше второго порядка? ?твет
очевиден?
K?? = a g?? + b?? ?? + cg?? ,
????
где a, b, c ? некоторые числовые коэффициенты? Полностью антисиммет?
ричный тензор ???µ? не может входить в K?? ? так как два его лишних
индекса можно свернуть только с двумя символами ? ? что будет равной
нулю сверткой ?симметричного с антисимметричным??
Учтем теперь требование отсутствия в K добавочных размерных па?
раметров? ?з ???? видно ?по числу производных ? ?? что коэффициенты a
и b имеют одинаковую размерность? а коэффициент c ? другую? поэтому
в ???? нужно оставить либо только вклады с коэффициентами a и b? либо
только один вклад с коэффициентом c? ?торой вариант явно неприемлем?
поэтому принимаем первый? c = 0? ?з двух оставшихся коэффициентов a и
b один можно считать общим множителем? поэтому существенно лишь их
отношение b/a? Это отношение однозначно фиксируется требованием ка?
либровочной инвариантности? эквивалентным условию поперечности ????
операции K ? для обеспечения поперечности необходимо b/a = ?1? что и
завершает доказательство?
Таким образом? в релятивистских обозначениях вид уравнений ????
предсказывается практически однозначно из общих соображений? чего
нельзя сказать об исходных уравнениях ???? ?нет видимых причин? запре?
щающих изменить в них? например? знак при каком?нибудь из вкладов??
?последствии мы будем неоднократно убеждаться? что сам язык ?правиль?
ных объектов? ? тензоров на группе ?оренца ? во многих случаях прак?
тически однозначно подсказывает вид ответов?
Те общие соображения? которыми мы воспользовались выше для слу?
чая векторного поля A? используются в теоретической физике и для дру?
гих полей? ? качестве примера? рассмотрим скалярное поле ?? для него
в соответствующем уравнении K? = I операция K ? лоренц?скаляр? ее
общий вид есть K = a + b или
+ const с точностью до множите?
ля? Это приводит к хорошо известному уравнению ?лейна ? ?ордона для
????? Уравнения ?аксвелла для напряженностей
??
скалярного поля? ( + const)? = I ? ?аинтересованный читатель может по?
пытаться найти на основе аналогичных соображений общий вид линейного
уравнения для тензорного поля типа T?? ?
???? ?овариантная запись
уравнений ?аксвелла
для напряженностей
Уравнения ?аксвелла для напряженностей ??????? содержат два однород?
ных и два неоднородных уравнения? ? каждой из этих двух пар одно урав?
нение скалярное? а второе ? векторное? т? е? по числу компонент каждая
пара состоит из четырех уравнений?
?х левые части ? первые производные напряженностей? т? е? в кова?
риантных обозначениях величины типа ?F ? где F ? тензор поля ???? ?
?ковариантный представитель? напряженностей? ?з общих принципов мы
ожидаем? что уравнения должны иметь ковариантную запись? поэтому
выражения ?F в их левых частях должны быть ?правильными объекта?
ми?? причем имеющими известное ?а именно по четыре в каждой паре?
число независимых компонент? Поскольку у ? один индекс? а у F ? два?
для получения ?правильного объекта? у нас есть только две возможности?
либо свернуть индекс ? с одним из индексов F ?неважно с каким вви?
ду антисимметрии F ?? либо оставить все три индекса свободными? т? е?
рассматривать тензорное произведение типа ?? F?? ? Первый вариант при?
водит? как мы сейчас убедимся? к неоднородным уравнениям ?аксвелла?
а второй ? к однородным?
?еоднородные уравнения? Рассмотрим свертку ? с тензором F
????? например? ? ? F?? ?индекс ? ?? хотим сохранить свободным?? ?меем?
? ? F?? = ? ? (?? A? ? ?? A? ) = A? ? ?? ?? A? = ( g?? ? ?? ?? )A? = K?? A? ?
где мы воспользовались ковариантной записью оператора ????? опреде?
лением K?? в ???? и возможностью одновременной перестановки ?верх?низ?
индексов суммирования ?см? замечание в конце п? ?????
?того? мы получили следующее равенство?
? ? F?? = K?? A? .
????
?го правая часть известна из ????? следовательно
? ? F?? = (4?/c)J? .
????
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Это и есть искомая ковариантная запись неоднородных уравнений
?аксвелла для напряженностей?
?днородные уравнения? ? ковариантных обозначениях эти урав?
нения должны иметь общую структуру ?F = 0? причем все три индекса
в левой части ?один у ? ? два у F ? должны быть свободными? так как
?вариант свертки? мы уже рассматривали и он однозначно приводит к
неоднородным уравнениям ????? Совершенно очевидно? что простая за?
пись ?? F?? = 0 неприемлема? так как из нее следует F?? = const? а это
не общий случай? Решение проблемы здесь точно такое же? каким мы уже
однажды воспользовались в п? ??? при обсуждении вопроса о тензорной
природе напряженностей? ?но состоит в том? что в качестве левой части
уравнений нужно рассматривать не сам тензор ?? F?? ? T??? ? а некоторую
его ?часть?? обладающую определенным свойством симметрии относитель?
но перестановок индексов ?напомним? что при этом следует рассматривать
лишь объекты с индексами одинаковой природы? мы для определенности
выбрали их нижними??
Попробуем сначала просто угадать нужное свойство симметрии по тре?
буемому числу независимых компонент? в нашем случае их должно быть
четыре ?см? выше?? Произвольный тензор T??? имеет 43 = 64 компоненты?
а нам нужно превратить это число в ?? При столь значительном сокраще?
нии первым кандидатом на роль требуемого свойства симметрии является
наиболее ?жесткое? из них ? требование полной антисимметрии ?т? е? вели?
чина меняет знак при перестановке любой пары соседних индексов?? мак?
симально ограничивающее число независимых компонент? ?так? вопрос?
чему равно число независимых компонент полностью антисимметрично?
го тензора третьего ранга T??? ? ?твет получается несложно по той же
схеме? как при обсуждении тензора ?ikl в п? ???? ?аждый из греческих
индексов ??? может принимать цифровые значения ?? ?? ?? ?? и эти зна?
чения для всех трех индексов ??? должны быть различными? так как
при совпадении каких?нибудь двух цифровых значений соответствующая
компонента T??? должна быть равна нулю вследствие антисимметрии? По
той же причине порядок цифровых индексов в ??? не имеет значения
?их перестановки дают лишь множитель ±1?? поэтому для классификации
независимых компонент важен лишь сам набор трех различных цифровых
индексов? Поскольку все они набираются из четырех значений ?? ?? ?? ??
естественна классификация по принципу ?без одного?? т? е? ?без ?? означает
??? = 1, 2, 3? ?без ?? ? ??? = 0, 2, 3? и так далее? ?сего таких вариантов ??
что и дает искомое число независимых компонент полностью антисиммет?
????? Уравнения ?аксвелла для напряженностей
??
ричного тензора T??? ? и это именно то число? которое нам нужно? Ясно?
что любое другое ?менее жесткое? требование симметрии привело бы к
большему числу независимых компонент ?например? можно сравнить их
число для симметричной и антисимметричной матрицы??
Таким образом? мы приходим к гипотезе? что естественным кандидатом
на роль левой части однородных уравнений является ?полностью антисим?
метричная часть? тензора ?? F?? ?
Теперь нужно четко определить это понятие? ?ля тензора второго ран?
га T?? очевидное равенство T?? = (T?? + T?? )/2 + (T?? ? T?? )/2 есть одно?
значное разбиение на ?симметричную? и ?антисимметричную? части? ?ля
объектов с большим числом индексов аналогичная классификация стано?
вится нетривиальной? но понятия ?полностью симметричной? и ?полностью
антисимметричной? части таких объектов определяются достаточно про?
сто? полностью симметричная часть получается усреднением объекта по
всем вариантам перестановок его индексов? а полностью антисимметрич?
ная ? аналогичное выражение? в котором все четные перестановки учи?
тываются со знаком ? +?? а все нечетные ? со знаком ? ??? ?ля тензора
третьего ранга четными являются три циклических перестановки его ин?
дексов? а нечетными ? три антициклических ?т? е? ?одна + циклические
перестановки из нее??? По этому правилу полностью антисимметричная
часть As T??? произвольного тензора T??? определяется соотношением?
As T??? = (1/6)[T??? + T??? + T??? ? T??? ? T??? ? T??? ].
????
?так? мы предполагаем? что искомые однородные уравнения ?аксвелла
в ковариантной записи должны иметь вид
As[?? F?? ] = 0.
????
Подставив в ???? T??? = ?? F?? и убрав несущественный множитель 1/6?
из ???? получаем?
?? F?? + ?? F?? + ?? F?? ? ?? F?? ? ?? F?? ? ?? F?? = 0.
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
?сли учесть антисимметрию тензора F ? то видно? что три последних вкла?
да в полученном уравнении просто удваивают три первых вклада? поэтому
его можно переписать в виде
?? F?? + ?? F?? + ?? F?? = 0,
????
где суммирование производится по трем циклическим перестановкам ин?
дексов?
Таким образом? из общих соображений? т? е? из требования реляти?
вистской ковариантности при известном числе независимых компонент мы
однозначно приходим к заключению? что искомые однородные уравнения
?аксвелла для напряженностей в ковариантной записи должны иметь вид
????? Проверим теперь? что это правильно? т? е? уравнения ???? в трехмер?
ных обозначениях сводятся к ???? ???? ?ля этого будем подставлять в ????
конкретные значения индексов ???? классифицируя их по принципу ?без
которого? ?см? выше?? Первый вариант ? ?без ??? т? е? ??? = 1, 2, 3? Тогда
из ???? с учетом соотношений ???? и антисимметрии F получаем?
?1 F23 + ?2 F31 + ?3 F12 = ??1 H1 ? ?2 H2 ? ?3 H3 = ? div H = 0,
что совпадает с уравнением ????
Рассмотрим теперь вариант ?без ??? т? е? ??? = 0, 2, 3? Тогда из ???? и
???? получаем?
0 = ?0 F23 + ?2 F30 + ?3 F02 = ??0 H1 ? ?2 E3 + ?3 E2 = ??0 H1 ? (rot E)1 ,
что совпадает с первой компонентой трехмерного векторного равенства
???? Точно так же проверяется? что два других варианта ??без ?? и ?без ???
соответствуют двум другим компонентам уравнения ???? что мы предла?
гаем сделать читателю?
Резюме? в ковариантной записи неоднородные уравнения ?аксвелла
для напряженностей имеют вид ????? а однородные ? ?????
? заключение добавим? что общим решением уравнений ???? для счи?
тающейся неизвестной величины F является ее представление в виде ????
подобно тому? как из div H = 0 следует H = rot A?
??
????? Переход к движущейся системе отсчета
???? Преобразования
потенциалов и напряженностей
при переходе
к движущейся системе отсчета
?ы считаем ?см? п? ????? что потенциалы {?, A} = {A? } являются контра?
вариантным вектором? а напряженности ? компонентами тензора второго
ранга ???? или его контравариантной версии? Тем самым мы считаем из?
вестными их законы преобразования?
A ? (x ) = ??? A? (x),
F
??
(x ) = ??µ ??? F µ? (x).
????
?ы выбрали контравариантную версию F ? чтобы матрица преобразования
? по всем индексам в ???? была одинаковой? ?на известна из закона пре?
образования координат ????? который в новой записи ???? принимает вид
x ? = ??? x? ? Сравнивая это соотношение с ???? ?в новой записи индексы у
x0 и xi в ???? нужно переместить наверх?? находим значения величин ???
в ?????
????
?00 = a, ?0i = ?i0 = ?bvi , ?ik = ?ik + dvi vk ,
где a ? (1 ? v 2 /c2 )?1/2 ? b ? a/c? d ? (a ? 1)/v 2 ?
?десь v ? скорость новой системы относительно старой и? как и по?
всюду? c ? скорость света ?поэтому мы и обозначили коэффициенты через
a? b? d вместо более естественного обозначения a? b? c??
Формулы ???? дают полный и окончательный ответ на наш вопрос о
законе преобразования потенциалов и напряженностей в ковариантных
обозначениях? ?се дальнейшее ? переформулировка этих соотношений в
обычных трехмерных обозначениях?
?ля этого нам понадобятся соотношения ????? а также формулы ?????
????? ????? выражающие потенциалы и напряженности в четырехмерных
обозначениях? ?ля удобства читателя воспроизведем здесь нужные соот?
ношения?
? = A0 ,
Ai = Ai ,
Ei = F i0 = ?F 0i ,
F ik = ??ikl Hl ,
?2Hi = ?ikl F kl .
?????
?десь и далее мы опускаем уточняющий знак ? ?? у E и H ? поскольку эти
величины? подобно скорости v ? всегда понимаются только как трехмер?
ные векторы и не имеют четырехмерных аналогов с тем же обозначением
?в отличие от координат x или потенциалов A??
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Переходим теперь к самим законам преобразования ?речь идет о пере?
ходе к движущейся системе без добавочного поворота осей??
Потенциалы? По определению? четырехмерные потенциалы A? преоб?
разуются точно так же? как координаты x? ? т? е? их закон преобразования
дается известными соотношениями ???? с заменой в них x0 ? A0 ? ??
xi ? Ai ? Ai ?в новых обозначениях индексы у x0 и xi в ???? нужно
переместить наверх?? ? итоге из ???? получаем следующий закон преобра?
зования потенциалов?
? = a[? ? (vA)/c],
A = A ? (a/c)?v + [(a ? 1)/v 2 ](vA)v,
?????
где (vA) ? скалярное произведение трехмерных векторов v и A? ? ?????
и всюду далее для сокращения записи мы опускаем аргументы x? x у
потенциалов и напряженностей? их расстановка известна из ?????
?апряженности? ?бщая идея проста? напряженности E ? H выража?
ются формулами ????? через компоненты тензора F ? закон преобразования
которого известен из ???? с учетом явного вида ???? матрицы ?? ? даль?
нейшем мы будем сразу учитывать антисимметрию F ? опуская вклады с
F 00 = 0? ?ачнем с вектора E ? из ????? и ???? имеем?
Ei = F
i0
= ?iµ ?0? F µ? = ?i0 ?0k F 0k + ?ik ?00 F k0 + ?ik ?0s F ks .
??апомним? что суммирование по греческому индексу сводится к вкладу
?? + суммирование по латинскому индексу?? Подставляя сюда ? из ???? и
F из ?????? получаем?
Ei = (?bvi )(?bvk )(?Ek ) + (?ik + dvi vk )a(Ek )+
+ (?ik + dvi vk )(?bvs )(??ksl Hl ) =
= ?b2 (vE)vi + aEi + ad(vE)vi + b?isl vs Hl + bdvi vk vs ?ksl Hl .
Последний вклад равен нулю как ?свертка симметричного с антисиммет?
ричным? по индексам ks? предпоследний сводится к векторному произве?
дению v и H ? Первый и третий вклады ? подобные члены? и надо сло?
жить их коэффициенты? Учитывая определение a? b? d в ????? получаем
ad?b2 = a(a?1)/v 2 ?a2 /c2 = [a2 (1?v 2 /c2 )?a]/v 2 = (1?a)/v 2 ? Подставляя
это в приведенное выше выражение? получаем окончательный результат?
Ei = aEi ? [(a ? 1)/v 2 ](vE)vi + (a/c)[v Ч H]i .
?????
????? Переход к движущейся системе отсчета
??
Рассмотрим теперь напряженность H ? ?з соотношений ???? и ?????
имеем?
?2Hi = ?ikl F
kl
= ?ikl ?kµ ?l? F µ? =
= ?ikl ?k0 ?ls F 0s + ?ks ?l0 F s0 + ?ks ?lm F sm =
= ?ikl (?bvk )(?ls + dvl vs )(?Es ) + (?ks + dvk vs )(?bvl )Es +
+ (?ks + dvk vs )(?lm + dvl vm )(??smp Hp ) =
= ?ikl bvk El + bd(vE)vk vl ? bvl Ek ? bd(vE)vk vl ? ?klp Hp ?
? dvk vs ?slp Hp ? dvl vm ?kmp Hp ? dvk vs vl vm ?smp Hp .
Последний вклад внутри скобки {...} равен нулю как ?свертка симмет?
ричного с антисимметричным? по индексам sm? вклады с коэффициентом
bd взаимно сокращаются ?отметим? что любой из них исчезает при свертке
с внешним ?ikl ?? ? итоге получаем?
?2Hi = b?ikl vk El ? b?ikl vl Ek ? ?ikl ?klp Hp ? d?ikl ?slp vk vs Hp ? d?ikl ?kmp vl vm Hp .
?з антисимметрии ? следует? что второй вклад в этом соотношении просто
удваивает вклад первого? а в остальных нужно воспользоваться известны?
ми ?см? п? ???? формулами свертки двух ? по одному или двум индексам?
?2Hi = 2b[v Ч E]i ? 2?ip Hp ?
? d(?ip ?ks ? ?is ?kp )vk vs Hp ?
? d(?ip ?lm ? ?im ?lp )vl vm Hp =
= 2b[v Ч H]i ? 2Hi ? dv 2 Hi + d(vH)vi ? dv 2 Hi + d(vH)vi .
?о вкладах с коэффициентом d опять удвоение? вклады с Hi ? подобные
члены? Подставляя известные значения ???? коэффициентов b? d и сокра?
щая общий множитель ?2? в итоге получаем?
Hi = aHi ? [(a ? 1)/v 2 ](vH)vi ? (a/c)[v Ч E]i .
?????
Формулы ????? для потенциалов и ?????? ????? для напряженностей ?
искомые окончательные ответы? Приведем их для удобства читателя
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
в одном месте? сменив индексные обозначения для напряженностей на век?
торные?
? = a[? ? (vA)/c],
A = A ? (a/c)?v + [(a ? 1)/v 2 ](vA)v,
???????
E = aE ? [(a ? 1)/v 2 ](vE)v + (a/c)[v Ч H],
???????
H = aH ? [(a ? 1)/v 2 ](vH)v ? (a/c)[v Ч E].
???????
Формулы обратных преобразований получаются по общему правилу
?п? ????? ?штрихованные величины? переставляются с ?нештрихованными?
с одновременной заменой v ? ?v ?
? = a[? + (vA )/c],
A = A + (a/c)? v + [(a ? 1)/v 2 ](vA )v,
???????
E = aE ? [(a ? 1)/v 2 ](vE )v ? (a/c)[v Ч H ],
???????
H = aH ? [(a ? 1)/v 2 ](vH )v + (a/c)[v Ч E ].
???????
?апомним? что мы не пишем явно? но подразумеваем наличие у ?нештри?
хованных? потенциалов и напряженностей аргумента x? а у ?штрихован?
ных? ? x ? подробная запись в ?????
?ыражения ?????? ????? существенно упрощаются? если в одной из двух
систем поле либо чисто электрическое? либо чисто магнитное? ?аинтересо?
ванный читатель может сам получить нужные формулы для таких част?
ных случаев? исходя из общих соотношений ?????? ??????
Поле равномерно и прямолинейно движущегося точечного
Полученные формулы преобразований потенциалов и напряжен?
ностей позволяют легко найти поле движущегося равномерно и прямо?
линейно точечного заряда? Пусть заряд e движется в исходной системе
M по траектории x = vt? и мы хотим найти создаваемое им поле? ?ля
этого перейдем в систему M ? которая движется со скоростью v вместе
с зарядом? т? е? в этой системе заряд неподвижен и находится в ее на?
чале координат? Поэтому поле в этой системе вычисляется элементарно?
оно чисто электрическое с потенциалом ? (x ) = e/|x | и напряженностью
E (x ) = ex /|x |3 ? По этим величинам и A = 0? H = 0 нетрудно най?
ти потенциалы и напряженности в исходной системе M с помощью фор?
мул обратных преобразований ?????? ?ы не будем этим заниматься? так
как впоследствии будут получены формулы для поля точечного заряда?
движущегося по произвольной заданной траектории? откуда как частный
заряда?
????? Электродинамика с позиций теоретической механики
??
случай находится и поле равномерно и прямолинейно движущегося заря?
да? ?о расчет с помощью соотношений ????? ? хорошее и поучительное
?в основном? из?за ?борьбы? с аргументами x, x ? упражнение? которое мы
предлагаем? при желании? выполнить читателю?
???? Электродинамика
с позиций теоретической механики?
Функционал действия
для электромагнитного поля
?апоминание?
теоретическая
механика
систем
с
конечным
числом степеней свободы? ?ачнем с краткого напоминания основных
положений теоретической механики ?простых систем?? т? е? систем с конеч?
ным числом степеней свободы? Система задается? прежде всего? перечис?
лением конечного числа ее ?обобщенных координат? q ? {qa , a = 1, 2, ...}?
По смыслу q ? набор параметров? однозначно определяющих статическое
состояние системы ?например? трехмерные пространственные координаты
материальной точки? угол отклонения от вертикали для маятника и т? п???
? лагранжевом формализме? которым мы и будем ограничиваться? ди?
намика системы определяется ее лагранжианом L? который задается как
функция всех ее обобщенных координат q = {qa } и соответствующих
скоростей q? = {q?a }? а также? в общем случае? L может содержать явную
зависимость от времени t? Функционал действия S ? интеграл по времени
от лагранжиана? в котором q и q? считаются функциями от t? S = dtL? Тем
самым S определяется как функционал от переменных q(t) ?напомним?
что в математике функционалом называется закон соответствия между
функциями и числами? в нашем случае функциям q(t) ставится в соот?
ветствие число S ?? Подчеркнем? что хотя в лагранжиане q и q? считаются
независимыми переменными? функциональным аргументом S является
только q ? так как функции q?a (t) ? dqa (t)/dt однозначно определяются
по qa (t)? следовательно? не являются независимыми? ?ля строгости из?
ложения следовало бы указывать пределы интегрирования по времени в
выражении для S и уточнять соответствующие краевые условия для q
и q?? ?о для дальнейшего все это несущественно? и мы не будем на этом
останавливаться?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Уравнения движения для q(t) в механике получаются? как известно?
из требования ?стационарности действия на классической траектории??
?S = 0? где ?S ? вариация действия при бесконечно малой вариации
q(t) ? q(t) + ?q(t) его функционального аргумента? ?з определения
S=
dtL(q, q,
? t)
имеем ?S = dt?L(q, q,
? t)? ?еличина ?L ? обычный дифференциал функ?
ции L? который определяется стандартным правилом через вариации ?q и
? q? ее независимых аргументов? Таким образом
?S =
dt?L =
dt
a
?L
?L
?qa +
? q?a .
?qa
? q?a
Подставив сюда ? q?a = d?qa /dt и затем ?перебросив? производную d/dt в
этом слагаемом на другой сомножитель ?интегрирование по частям?? по?
лучим
?L
d ?L
?S = dt?L = dt
?qa
?
+ ...,
?qa dt ? q?a
a
где многоточие ... ? несущественные для дальнейшего внеинтеграль?
ные члены? ?з требования ?S = 0 при произвольных вариациях ?qa (t)
следует? что коэффициенты при них в подынтегральном выражении для
?S должны быть равными нулю? откуда и получаем искомые уравнения
движения ?в математике их называют уравнениями Эйлера для рассмат?
риваемой вариационной задачи??
d ?L
?L
?
= 0.
?qa dt ? q?a
?????
?оэффициенты при вариациях ?qa (t) в подынтегральном выражении
для вариации ?S функционала S(q) называют? по определению? вариаци?
онными производными функционала S(q) по переменным qa (t) и обознача?
ют через ?S(q)/?qa (t) ?это определение очевидным образом обобщается на
произвольный функционал с произвольными функциональными аргумен?
тами?? Таким образом? уравнения ????? в компактной форме имеют вид
?S(q)/?qa (t) = 0? ?ндекс ? a? в них является свободным? т? е? уравнений
ровно столько? сколько обобщенных координат qa ?
????? Электродинамика с позиций теоретической механики
??
Теперь
речь пойдет о системах? обобщенные координаты которых зависят не толь?
ко от времени t? но и от пространственных координат x? т? е? являются
?полями? q = {qa (t, x), a = 1, 2, ...}? Типичный пример такой задачи ? рас?
пространение звука в воздухе? где роль обобщенной координаты играет
переменное давление p(t, x) в каждой точке пространства? ?ругие при?
меры ? распространение звука в твердых средах? волны на воде и т? п?
? дальнейшем мы убедимся? что классическая электродинамика относит?
ся к этому же классу задач? а роль обобщенных координат q для нее будут
играть потенциалы A? ?
?ля таких задач первичным понятием является не лагранжиан L? а
плотность лагранжиана L ? ?количество лагранжиана в единице объема??
?пределения лагранжиана L и функционала действия S принимают сле?
дующий вид?
?бобщение? теоретическая механика сплошной среды?
L=
d3 xL,
S=
dtL =
dt
d3 xL = c?1
d4 xL,
?????
где d3 x = dx1 dx2 dx3 ? дифференциал объема в трехмерном пространстве?
а d4 x = dx0 dx1 dx2 dx3 ? в четырехмерном ?x0 = ct? отсюда и появляется
множитель c?1 в последнем выражении ???????
?ля простых систем мы считали? что L = L(q, q,
? t)? По аналогии? плот?
ность лагранжиана L считается функцией самих полей q и всех их первых
производных ?? q ? а также? в общем случае? четырехмерных координат
x = t, x? Подчеркнем? что в качестве возможных переменных L допуска?
ются не только ?скорости? ? ?0 q ? но и первые ?но не высшие?? производные
?i q по пространственным координатам? Так всегда считалось и при рас?
смотрении нерелятивистских задач типа распространения звука? а с точки
зрения релятивистской теории иначе и быть не может? так как временные
и пространственные координаты при преобразованиях ?оренца смешива?
ются? так что между ними нет принципиального различия?
?так? в общем случае L = L(q, ?q, x)? где x = t, x? а ?q ? набор всех
первых производных полей q ? Уравнения движения для полей q получа?
ются? как обычно? из требования стационарности действия ?S = 0 на клас?
сических решениях? Рассуждая точно так же? как и для простых систем
?см? выше?? с учетом определений ????? получаем ?с суммированием по
повторяющемуся индексу ???
?S = c?1
d4 x
a
?L
?L
?qa +
?(?? qa )
?qa
?(?? qa )
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Подставив сюда ?(?? qa ) = ?? (?qa ) и выполнив интегрирование по частям?
получим аналогичные ????? уравнения движения?
?L
?L
? ??
= 0.
?qa
?(?? qa )
?????
?ндекс ? a? здесь свободный? а ? ?? ? индекс суммирования?
Электродинамика? ?удем считать обобщенными координатами для
данной задачи четырехмерные потенциалы A = {A? }? а уравнениями дви?
жения ? известные уравнения ?аксвелла ????? Поставим вопрос? можно
ли их интерпретировать как уравнения Эйлера типа ????? для вариаци?
онной задачи с некоторым функционалом действия S(A)? ?опрос содер?
жательный? поскольку не всякие дифференциальные уравнения допуска?
ют такую интерпретацию? для этого нужно? чтобы левая часть равенства
... = 0 могла быть истолкована как вариационная производная некото?
рого функционала? а это не всегда так ?контрпример ? известное уравне?
ние ?авье ? Стокса в гидродинамике?? Сразу скажем? что в нашем слу?
чае ответ утвердительный? ? это будет доказано ниже прямым построени?
ем искомого функционала действия S(A)? ?тметим также отличие нашей
постановки задачи от традиционной? обычно по заданному функционалу
действия строятся уравнения движения? а у нас наоборот ? мы уже знаем
уравнения движения ???? и пытаемся найти по ним функционал действия?
Переходя теперь непосредственно к построению искомого функцио?
нала S(A)? попробуем сначала угадать его вид с помощью не претен?
дующих на строгость ?правдоподобных рассуждений?? ?атем мы прове?
рим полученный таким путем ответ? что и будет окончательным строгим
доказательством?
?так? мы начинаем с уравнений ????? которые перепишем символиче?
ски в виде KA ? I = 0? где I ? (4?/c)J ? ?ы хотим представить левую
часть уравнения в виде вариационной производной ?S(A)/?A для некото?
рого функционала S(A)? ?сли бы мы имели дело с простыми числовыми
переменными и производными? то из равенства ?S(A)/?A = KA ? I мы
сразу же заключили бы? что S(A) = KA2 /2 ? IA? Это выражение при его
правильной интерпретации и есть искомый ответ? разумеется? с точностью
до общего множителя? который по уравнениям движения не определяется?
?так? переходим к ?расшифровке? полученного выражения для S(A)?
Учитывая наличие у всех объектов греческих индексов и требование
релятивистской инвариантности? заключаем? что полученное выражение
следует записывать в виде S(A) = A? K?? A? /2 ? I? A? ??правильные
????? Электродинамика с позиций теоретической механики
??
свертки??? ?алее? поскольку речь идет о функционале типа ?????? полу?
ченное выражение должно стоять под общим знаком интеграла d4 x...
?о даже и теперь мы не можем признать подынтегральное выражение ис?
комой плотностью лагранжиана L? поскольку K в ???? ? дифференциаль?
ная операция второго порядка? а плотность лагранжиана L? по условию?
должна быть функцией только самих полей A и их первых производных?
Решение проблемы очевидно? одну из двух производных K нужно ?пе?
ребросить? на левый сомножитель A интегрированием по частям? Это
нетрудно сделать с помощью соотношения ????? из которого получаем?
d4 xA? K?? A? =
d4 xA? ? ? F?? = ? d4 xF?? ? ? A? ? Учитывая здесь
антисимметрию F?? ? полученное выражение можно переписать в виде
? d4 xF?? (? ? A? ? ? ? A? )/2 = ? d4 xF?? F ?? /2? ? итоге мы приходим к
следующему гипотетическому ответу для искомого функционала действия
?переставим индексы суммирования ? и ? ??
S(A) ?
?????
d4 x ? F?? F ?? /4 ? I? A? ,
в котором I? = (4?/c)J? согласно ????? а F?? нужно понимать как выра?
жение ????? т? е? как линейную комбинацию первых производных потенци?
алов A ? обобщенных координат нашей задачи?
?бщий множитель при интеграле в ????? из уравнений движения не
определяется? ?н зависит от выбора системы единиц? в используемой нами
повсюду гауссовой системе его полагают равным 1/4?c? Тогда для функ?
ционала действия S(A) и соответствующей ?см? ?????? плотности лагран?
жиана L получаем следующие окончательные выражения?
L = ?F?? F ?? /16? ? J? A? /c,
S(A) = c?1
d4 xL,
?????
где F?? = ?? A? ? ?? A? ? Первое слагаемое в L ? плотность лагранжиана
свободного поля? второе ? плотность лагранжиана взаимодействия поля с
заданными источниками J ? через них в L вносится явная зависимость от
четырехмерных координат x = t, x?
?ы получили выражение ????? для L исходя из ?наводящих соображе?
ний?? а теперь проверим? что оно правильно? т? е? уравнения движения ?????
с данным L и обобщенными координатами q = A совпадают с уравнениями
?аксвелла ????? ? качестве q можно использовать как контравариантную
версию потенциалов A? ? так и ковариантную версию A? = g?? A? ? ?ыбрав
второй вариант ?для симметрии? поскольку у символа ? в ????? индекс
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
нижний?? перепишем уравнения ????? для q = {A? }? заменив в них индекс
суммирования ? на ? ? чтобы использовать индекс ? как свободный?
?L
?L
? ??
= 0.
?A?
?(?? A? )
?????
Подставим сюда L из ????? и вычислим частные производные функ?
ции L по ее независимым переменным A? и ?? A? ? Явная зависимость
от A содержится лишь в слагаемом ?J? A? /c = ?J ? A? /c? отсюда полу?
чаем ?L/?A? = ?J ? /c? ?ависимость от производных ?? A? содержится
в первом слагаемом ????? ? F?? F ?? ? Частную производную этого вы?
ражения по ?? A? можно вычислить ?прямолинейно?? подставив в него
F?? = ?? A? ? ?? A? и воспользовавшись очевидным равенством
?(?µ A? )/?(?? A? ) = ?µ? ??? ? ?о есть более простой способ? а именно? рас?
смотрим вариацию величины F?? F ?? при произвольной вариации ее ар?
гументов ?? A? с учетом антисимметрии F ? ?меем?
?(F?? F ?? ) = ?F?? F ?? + F?? ?F ?? = 2?F?? F ?? ? (?),
поскольку два вклада в полученном выражении различаются только пе?
рестановкой индексов ?верх?низ? и поэтому совпадают? ?алее? имеем?
(?) = 2F ?? ?(?? A? ? ?? A? ) = 4F ?? ?(?? A? ),
поскольку и здесь опять удвоение ввиду антисимметрии F ? Таким образом?
мы получили явное выражение для вариации рассматриваемой величины
в виде линейной комбинации вариаций ее независимых переменных? тем
самым определяются частные производные по этим переменным?
?[Fµ? F µ? ]/?(?? A? ) = 4F ?? .
?????
?тсюда для нашей плотности лагранжиана ????? получаем
?L/?(?? A? ) = ?F ?? /4? ? а выше было показано? что ?L/?A? = ?J ? /c?
Подставив эти величины в ????? с учетом соотношения ????? нетрудно
убедиться? что ????? совпадает с уравнениями ?аксвелла ????? ? это и
требовалось доказать?
Таким образом? электродинамика укладывается в рамки общих пред?
ставлений теоретической механики сплошных сред с четырехмерными по?
тенциалами A в качестве обобщенных координат?
??
????? ?аконы сохранения энергии и импульса
???? Тензор энергии?импульса?
?аконы сохранения энергии и импульса
?акон
сохранения
энергии
для
систем
с
конечным
числом
?апомним? как выводится закон сохранения энергии
в теоретической механике для простых систем? ?н справедлив только для
?консервативных систем?? т? е? таких? у которых лагранжиан L не зависит
явно от времени t? L = L(q, q)
? ? Рассмотрим значение L на классической
траектории? т? е? на функциях q(t)? являющихся решениями классических
уравнений движения ?????? Тогда получаем?
степеней свободы?
dL
=
dt
a
?L d
?L
q?a +
q?a .
?qa
? q?a dt
Подставив сюда выражение для ?L/?qa из уравнений движения ??????
имеем
d ?L
d
?L
dL
?L d
=
q?a
q?a =
+
q?a ,
?????
dt
dt ? q?a ? q?a dt
dt a ? q?a
a
поскольку два слагаемых в полученном выражении складываются? оче?
видно? в производную произведения? Переставив в ????? все вклады в пра?
вую часть? в итоге получаем?
dE
= 0,
dt
E?
a
?L
q?a ? L.
? q?a
?????
Сохраняющуюся на классических траекториях величину E в механике
называют энергией системы? а частные производные лагранжиана L по
скоростям q?a ? импульсами pa ? сопряженными с координатами qa ? Таким
образом? импульсы и энергия простых систем определяются соотношени?
ями
pa = ?L/? q?a , E =
pa q?a ? L.
?????
a
Предупреждение? введенное сейчас понятие импульса не следует пу?
тать с обозначаемой тем же словом величиной? о которой пойдет речь
ниже при обсуждении ?законов сохранения энергии и импульса? в зада?
чах теоретической механики сплошной среды? ?онечно? такое совпадение
названий принципиально различных величин неудобно и может вести к
недоразумениям? ?о оно традиционное? так что мы не будем его менять?
??
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Теоретическая механика сплошной среды? Тензор энергии?
импульса для произвольного поля? Приводимые ниже рассуждения
аналогичны выводу закона сохранения энергии для простых систем? ?о?
пустим? что плотность лагранжиана L ?определения см? в предыдущем
разделе? термин ?плотность? всегда обозначает ?объемную плотность?? не
зависит явно от четырехмерных координат? L = L(q, ?q)? Рассмотрим зна?
чения этой величины на решениях уравнений движения ????? и вычислим
производную ?? L?
?? L =
a
?L
?L
? ? qa +
?? (?? qa )
?qa
?(?? qa )
?по повторяющемуся индексу ? ? как обычно? суммирование?? Подставив
в полученное выражение известную из ????? величину ?L/?qa с заменой
? ? ? индекса суммирования в ?????? получаем?
?? L =
?? qa · ??
a
?L
?L
+
?? (?? qa ) .
?(?? qa ) ?(?? qa )
Ясно? что два слагаемых складываются в производную произведения?
? ? qa ·
?? L = ??
a
?L
.
?(?? qa )
?????
?о сих пор мы? в сущности? просто повторяли приведенные ранее для
простых систем выкладки? ?о теперь появляется небольшое различие?
для простых систем вместо ?? и ?? мы имели d/dt? так что искомый ре?
зультат получался просто переносом всех вкладов в правую часть? То же
самое мы хотим сделать и теперь? но сначала выполним в ????? замену
?? L = ?? ? ?? L? где ? ? символ ?ронекера? Тогда ?? становится ?общим
множителем? и уравнение ????? можно переписать в виде
?? T? ? = 0, где T? ? ?
?? qa ·
a
?L
? ?? ? L.
?(?? qa )
?????
?еличину T? называют тензором энергии?импульса? а первое равен?
ство ????? выражает? как будет показано ниже? законы сохранения для
этих величин?
?ля упрощения записи в ????? удобно поднять наверх свободный ин?
декс ?? перейдя к контравариантной версии T ?? тензора T ? При этом сле?
дует учесть? что символ ?ронекера ?? ? ? просто ?смешанная версия? g? ?
?
??
????? ?аконы сохранения энергии и импульса
метрического тензора ?см? одно из замечаний в конце п? ????? так что при
подъеме в нем индекса ? мы получаем просто g ?? ?
?? T ?? = 0, где T ?? ?
? ? qa ·
a
?L
? ? ?? L.
?(?? qa )
?????
Это и будем считать окончательной записью законов сохранения и тен?
зора энергии?импульса для произвольного поля ?или системы полей? q ?
Физический
смысл
компонент
тензора
энергии?импульса?
?ак уже подробно пояс?
нялось в п? ???? для сплошной среды? в отличие от простых систем? закон
сохранения выражается не утверждением типа ?величина не зависит от
времени?? а дифференциальным уравнением типа ????? выражающим за?
кон сохранения электрического заряда? Это уравнение? в ковариантной
записи принимающее вид ???? с J ? из ????? можно принять как эталон для
любых законов сохранения такого типа?
?аконы сохранения энергии и импульса?
?0 (cx плотность величины) + ?i (плотность потока той же величины) = 0.
?????
? нашем случае мы имеем в ????? четыре таких уравнения для четы?
рех возможных значений ?? ?? ?? ? свободного индекса ?? По определе?
нию? четыре соответствующие сохраняющиеся величины называют энер?
гией ?? = 0? и импульсом ?? = 1, 2, 3?? ?ще раз напомним? что этот импульс
не имеет ничего общего с определенными в ????? величинами?
Рассмотрим сначала наше уравнение ????? для ? = 0? ?0 T 00 +?i T 0i = 0?
?сходя из ?????? мы считаем? что величина T 00 должна иметь смысл плот?
ности энергии? а T 0i ? плотности потока энергии? все это с точностью до
возможных коэффициентов типа c в ?????? ?ля фиксации этих коэффици?
ентов рассмотрим величину T 00 в ??????
T 00 ?
? 0 qa ·
a
?L
? L,
?(?0 qa )
?????
где учтено равенство g 00 = 1? Поскольку x0 = ct? обе производные ? 0 и
?0 в ????? можно заменить на ?t ?множители ? c? взаимно сокращаются??
так что выражение под знаком суммы в ????? можно переписать в виде
q?a ?L/?(q?a )? Сравнив полученное выражение ????? с определением энергии
????? и учитывая? что теперь мы имеем дело не с самим лагранжиа?
ном L? а с его плотностью L? заключаем? что величину T 00 естествен?
но считать просто плотностью энергии без добавочного коэффициента?
???
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
T 00 = плотность энергии? Тогда для приведения нашего уравнения
?0 T 00 + ?i T 0i = 0 к стандартному виду ????? его нужно умножить на
c? после чего под знаком ?i окажется величина cT 0i ? которую и следует
поэтому признать вектором ?по группе O3 ? плотности потока энергии?
cT 0i = Si ? плотность потока энергии?
Рассмотрим теперь три остальных уравнения ?????? ?0 T i0 + ?k T ik = 0?
По общему правилу ????? компоненты T i0 с точностью до коэффициен?
та являются плотностями некоторых трех сохраняющихся величин? кото?
рые принято называть ?компонентами вектора импульса? и обозначать в
трехмерной записи через pi ? Подчеркнем? что ?импульс? в таком понима?
нии существует лишь в задачах теории сплошной среды? а его сохране?
ние ? следствие инвариантности функционала действия S относительно
пространственных трансляций его функционального аргумента q(x) при
отсутствии явной зависимости от x в плотности лагранжиана подобно
тому? как сохранение энергии ? следствие инвариантности относительно
временных трансляций? ?се это следует из общей теоремы ?етер? кото?
рая утверждает? что инвариантность действия относительно любой группы
непрерывных преобразований влечет наличие соответствующей сохраня?
ющейся величины?
?так? с пространственными трансляциями? о которых можно говорить
?в отличие от временных? только в задачах теории сплошной среды? свя?
зана новая сохраняющаяся величина ? импульс p? ?го размерность счи?
тают такой же? как и для обычных импульсов ?????? поэтому по размер?
ности ?импульс = энергия/скорость?? Учитывая? что все компоненты лю?
бого тензора? в частности T ?? ? должны иметь одинаковую размерность
?поскольку коэффициенты в преобразованиях ?оренца безразмерны?? и
уже зная? что T 00 = плотность энергии? естественно определить плотности
компонент импульса соотношением pi = T i0 /c для получения правильной
размерности? Тогда T i0 = cx плотность импульса? так что в уравнении
?0 T i0 + ?k T ik = 0 первое слагаемое по записи точно соответствует ??????
следовательно? под знаком дивергенции ?k во втором слагаемом стоят со?
ответствующие ?плотности потоков компонент импульса?? ?х совокупность
T ik ?матрица 3 Ч 3? принято называть ?тензором натяжений?? строки этой
матрицы ? плотности потоков соответствующих компонент импульса?
????? ?аконы сохранения энергии и импульса
???
Резюмируя все сказанное? заключаем? что в законах сохранения ?????
фигурируют следующие величины ?плотность энергии обозначим че?
рез W ??
W ? плотность энергии = T 00 ,
Si ? вектор плотности потока энергии = cT 0i ,
pi ? вектор плотности компонент импульса = T i0 /c,
?????
тензор напряжений = T ik .
?ы называем величины S и p векторами? имея в виду группу O3 ?оба
вектора истинные?? ?а группе ?оренца эти величины не векторы? а ком?
поненты тензора второго ранга T ?? ?
Симметризация тензора энергии?импульса? С точки зрения фи?
зики определение сохраняющихся величин всегда содержит произвол ?
возможность добавки любой другой заведомо сохраняющейся величины?
?апример? к определенной соотношениями ?????? ????? энергии E в меха?
нике можно добавить любую константу? и новая величина E = E + const
также будет сохраняющейся? так что мы могли бы назвать и ее? по опре?
делению? энергией системы? Таким образом? конкретный выбор подобных
величин всегда содержит в себе ?элемент соглашения??
?ернемся теперь к нашим законам сохранения ?????? ?налогом добав?
ки константы к энергии E является добавка к T ?? такого тензора ?T ?? ?
который автоматически удовлетворяет законам сохранения ?? ?T ?? = 0?
так что новый тензор TЇ = T + ?T можно с тем же правом использовать в
законах сохранения? как и исходный тензор T из ?????? ?озможность до?
бавки ?T отражает произвол в определении понятий энергии и импульса
для таких задач?
?обавкой нужного типа является величина ?? f ??? с любым антисим?
метричным по индексам ?? тензором f ??? ?
?T ?? = ?? f ??? ,
f ??? = ?f ??? ,
?????
которая автоматически удовлетворяет нужному закону сохранения?
?? ?T ?? = ?? ?? f ??? = 0 как свертка симметричной по индексам ??
операции ?? ?? с антисимметричным по условию тензором f ??? ?
Утверждение? выбором подходящей добавки типа ????? к исходному
тензору T ?? ????? можно получить симметричный по индексам ?? тензор
???
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
TЇ?? = T ?? + ?T ?? ? ?н и считается окончательным ?каноническим? выра?
жением для тензора энергии?импульса? которое и используется в качестве
определения соответствующих сохраняющихся величин? Сразу отметим?
что для симметричного тензора из равенства TЇ0i = TЇi0 и соотношений
????? вытекает простая связь между векторами плотности импульса и
плотности потока энергии? Si = c2 pi ?
?ы не будем доказывать приведенное выше общее утверждение? по?
скольку наш предмет ? электродинамика? а для нее искомую добавку типа
????? мы построим явно ?см? ниже??
Тензор
энергии?импульса
в
электродинамике?
Плотность
? п? ???? было показано?
что электродинамика укладывается в рамки теоретической механики
сплошной среды? ?е обобщенными координатами q являются четырехмер?
ные потенциалы A? а плотность лагранжиана L определяется соотноше?
нием ?????? ? него входят источники J? (x)? считающиеся фиксированными
параметрами? и через них в L вносится явная зависимость от четырехмер?
ных координат x? Поскольку сохранение энергии и импульса имеет место
лишь для систем без явной зависимости от x в L? мы будем рассматривать
только свободное электромагнитное поле без источников? для которого
L ? первое слагаемое в ?????? L = ?F?? F ?? /16? ? где F?? = ?? A? ? ?? A? ?
?ы хотим найти для этой системы соответствующий тензор энергии?
импульса T ?? ?????? Подставив в ????? {qa } = {A? }? конкретизируем вид
T ?? для данной задачи?
энергии и плотность потока энергии?
T ?? = ? ? A? ·
?L
? g ?? L.
(?? A? )
?????
?ы опустили знак суммирования в ?????? поскольку он учитывается авто?
матически повторением греческого индекса ?? ?ходящая в ????? частная
производная L известна из ?????? ?L/?(?? A? ) = ?F ?? /4? ? поэтому
T ?? = ?? ? A? · F ?? /4? ? g ?? L,
L = ?Fµ? F µ? /16?.
?????
Первое слагаемое в ????? несимметрично относительно перестановки ин?
дексов ?? ? поэтому будем искать нужную для симметризации T добав?
ку типа ?????? ?ля этого воспользуемся следующей цепочкой преобра?
зований для входящей в ????? величины? ? ? A? · F ?? = ? ? Aµ gµ? F ?? =
[? ? Aµ ? ? µ A? + ? µ A? ]gµ? F ?? = F ?µ gµ? F ?? + ? µ A? gµ? F ?? ? ?ы полу?
чили два вклада? которые обозначим для краткости N 1 и N 2? Сла?
гаемое N 1 = F ?µ gµ? F ?? симметрично по ?? ? в чем легко убедиться?
????? ?аконы сохранения энергии и импульса
???
сделав в нем перестановку индексов ?? и сопроводив ее перестанов?
кой индексов суммирования µ?? Рассмотрим теперь второе слагаемое
N 2 = ? µ A? gµ? F ?? и покажем? что его можно просто отбросить? ?ействи?
тельно? N 2 = ? µ A? gµ? F ?? = ?? A? · F ?? = ?? [A? F ?? ] ? A? ?? F ?? ? ?десь два
вклада? второй равен нулю в силу уравнений движения ???? для свободной
теории ?J = 0?? а первый при учете антисимметрии F имеет вид ?????? сле?
довательно? может быть отброшен как ?допустимый произвол? ?его можно
добавить с обратным знаком к исходному выражению??
Таким образом? мы заключаем? что подходящая ?и известная? добавка
типа ????? к исходному выражению ????? приводит к замене в нем вели?
чины ? ? A? · F ?? на F ?µ gµ? F ?? ? ? итоге получаем?
TЇ?? = ?F ?µ gµ? F ?? /4? ? g ?? L
?????
с L из ?????? ?ыражение ????? ? окончательный ответ для канонического
симметричного тензора энергии?импульса свободного электромагнитного
поля в ковариантных обозначениях? который и используется при опре?
делении понятий энергии и импульса в электродинамике? ?тметим? что
тензор ????? выражается только через F ? т? е? через напряженности? по?
этому является калибровочно?инвариантным? в отличие от исходного вы?
ражения ?????? Так и должно быть по ?здравому смыслу?? если мы хо?
тим считать энергию и импульс реально измеримыми величинами? то они
должны выражаться через измеримые напряженности E и H и не зависеть
от произвола выбора калибровки потенциалов?
?се дальнейшее ? расшифровка ????? в обычных трехмерных обозначе?
ниях через напряженности E и H ? ?ы не будем ставить над этими величи?
нами знак ? ??? поскольку они всегда понимаются только как трехмерные
векторы?
Прежде всего? рассмотрим входящую в ????? плотность лагранжиа?
на L? С учетом выражения F через напряженности ???? и F 00 = 0 имеем?
L = ?Fµ? F µ? /16? = ?[F0i F 0i + Fi0 F i0 + Fik F ik ]/16? =
= ?[?Ei Ei ? Ei Ei + ?ikl Hl ?ikp Hp ]/16?.
Пользуясь формулой свертки двух ? по паре индексов ?ikl ?ikp = 2?lp ?
получаем?
L = (E 2 ? H 2 )/8?.
?????
Рассмотрим теперь входящую в ????? величину
N ?? = F ?µ gµ? F ??
?????
???
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
и вычислим ее компоненты N 00 ? N 0i = N i0 и N ik ? ?з соотношений ????
с учетом F 00 = 0 и явного вида ???? метрического тензора gµ? ?из него
следует? что двойная сумма по µ? в ????? сводится к вкладу ???? со зна?
ком ?плюс? и вкладу типа ? kk ? со знаком ?минус? и с произвольным? но
обязательно новым обозначением для латинского индекса суммирования?
имеем?
N 00 = F 0µ gµ? F 0? = ?F 0i F 0i = ?Ei Ei = ?E 2 ,
N 0i = F 0µ gµ? F i? = ?F 0k F ik = ?Ek ?ikl Hl = ?[E Ч H]i ,
N ik = F iµ gµ? F k? = F i0 F k0 ? F ip F kp = Ei Ek ? ?ipl Hl ?kps Hs =
= Ei Ek ? (?ik ?ls ? ?is ?lk )Hl Hs = Ei Ek + Hi Hk ? ?ik H 2 .
При вычислении последнего выражения мы воспользовались известной
?см? п? ???? формулой свертки двух ? по индексу p?
?омпоненты тензора ????? выражаются через компоненты ????? следу?
ющим образом ?учитываем равенства g 00 = 1? g 0i = 0? g ik = ??ik ??
TЇ00 = ?N 00 /4? ? L,
TЇ0i = ?N 0i /4?,
TЇik = ?N ik /4? + ?ik L.
?????
Через них по общим правилам ????? с заменой в них T ? TЇ ?см? выше?
находятся искомые величины? плотность энергии W = TЇ00 ? вектор плот?
ности потока энергии Si = cTЇ0i ? вектор плотности импульса pi = c?2 Si и
тензор натяжений TЇik ? Подставив в ????? известное из ????? выражение
для L и приведенные выше значения компонент тензора N ?? ? получаем?
плотность энергии W = (E 2 + H 2 )/8?,
вектор плотности потока энергии Si = (c/4?)[E Ч H]i ,
вектор плотности компонент импульса pi = c?2 Si ,
тензор натяжений TЇik = ?ik (E 2 + H 2 )/8? ? (Ei Ek + Hi Hk )/4?.
?????
Это и есть окончательные ответы для интересующих нас величин в трех?
мерных обозначениях? ?апомним? что пока что речь идет только о полях
в вакууме и всегда используется гауссова система единиц?
????? Релятивистская динамика точечной частицы? Сила ?оренца
???
???? Элементы релятивистской динамики
точечной частицы? Сила ?оренца
С точки зре?
ния теоретической механики точечная частица относится к классу
?простых систем?? роль q играют трехмерные координаты частицы x?
а q? = dx/dt = v ? ее скорость? ? нерелятивистской теории лагранжианом
свободной частицы считается выражение L = mv 2 /2? по нему из общих
формул ????? находятся соответствующий импульс pi = mvi и энергия
E = L = mv 2 /2? Уравнения движения ????? для данной системы эквива?
лентны dv/dt = 0? их решения v = const? Сразу отметим? что такие же
уравнения получаются для любого лагранжиана L? зависящего только
от скорости v ? Требование L = L(v) для свободной частицы ? один из
постулатов? используемых для определения вида L?
Релятивистский лагранжиан свободной частицы?
?торой постулат ? требование релятивистской ковариантности? кото?
рое мы хотим ввести в рассматриваемую задачу? Прежде всего нужно
дать ему точную формулировку для нашей системы? ? качестве образца
у нас пока что есть единственный пример ? релятивистски?ковариантная
формулировка электродинамики в терминах теоретической механики?
Там мы имели дело со следующими величинами ?см? ??????? плотность
лагранжиана L? сам лагранжиан L = d3 xL и функционал действия
S = dtL = c?1 d4 xL? Релятивистская ковариантность проявляется в
том? что L ? лоренц?скаляр ?уточнение ?скалярное поле? опускаем??
поскольку выражение ????? для L ? ?правильные свертки правильных
объектов?? ?о для простых систем типа точечной частицы понятия
L не существует? первичным объектом для них является лагранжи?
ан L? ? электродинамике L =
d3 xL? и эта величина не является
лоренц?инвариантной ввиду неинвариантности дифференциала трех?
мерного объема d3 x = dx1 dx2 dx3 ? ?нвариантным является четырех?
мерный дифференциал d4 x = dx0 dx1 dx2 dx3 ? поскольку при преобра?
зованиях ?оренца x ? x = ?x якобиан d4 x /d4 x = det ? = 1 для
собственных преобразований? ?тсюда следует? что в электродинамике
лоренц?скалярами являются плотность лагранжиана L и функционал
действия S = c?1 d4 xL? а также его дифференциал dS = c?1 d4 xL?
а лагранжиан L ? не скаляр?
Таким образом? по аналогии с электродинамикой условие реля?
тивистской ковариантности для простых систем нужно понимать
???
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
как требование лоренц?инвариантности действия S =
dtL и его
дифференциала dS = Ldt? ?ерелятивистский лагранжиан свободной
частицы L = mv 2 /2 этому требованию не удовлетворяет ?это будет оче?
видно из дальнейшего?? поэтому выражение для L должно быть как?то
модифицировано? ?ля определения нужного выражения для L в нашем
распоряжении имеются следующие два требования?
?? ?агранжиан зависит только от скорости? L = L(v)?
?? ?ифференциал действия dS = Ldt ? лоренц?скаляр? Первое требо?
вание означает? что частица свободная? т? е? соответствующие уравнения
движения ????? эквивалентны dv/dt = 0? а второе ? дополнительное усло?
вие релятивистской ковариантности? которого не было в нерелятивистской
механике?
Покажем теперь? что эти два требования однозначно определяют вид
L(v) с точностью до множителя?
Переходя к доказательству? прежде всего заметим? что все входящие
в dS = L(v)dt величины выражаются через компоненты одного четырех?
мерного вектора dx? (x0 = ct, xi = xi )? dt = c?1 dx0 ? vi = cdxi /dx0 ? Теперь
поставим вопрос? как построить лоренц?скаляр из одного вектора dx? ?
?твет очевиден? единственный простой скаляр ? свертка dx? dx? ? любой
другой ? функция от него ?аналогия для группы O3 ? любой скаляр? кото?
рый строится из одного вектора ai ? есть функция f (a2 )??
Таким образом? мы приходим к выводу? что инвариантное выражение
для dS должно иметь следующий вид?
dS = L(v)dt = f (?),
(?) ? dx? dx?
?????
с некоторой? пока неизвестной? функцией f ?
Чтобы найти ее явный вид? перепишем выражение (?) в трехмерных
обозначениях ?здесь и далее v ? |v|??
dx? dx? = dx0 dx0 ? dxi dxi = c2 (dt)2 ? (dx)2 = c2 (dt)2 [1 ? v 2 /c2 ].
?????
Учтем теперь? что величина dS линейна по dt? а выражение ????? ? квад?
ратично? следовательно? функция f в ????? может быть только квадрат?
ным корнем из ????? с точностью до множителя? ?того? dS = L(v)dt =
adt[1 ? v 2 /c2 ]1/2 с некоторым? пока неизвестным? числовым коэффициен?
том a? ?тсюда для искомого лагранжиана L(v) получаем?
L(v) = a[1 ? v 2 /c2 ]1/2 .
?????
????? Релятивистская динамика точечной частицы? Сила ?оренца
???
?оэффициент a можно найти из требования соответствия выражения
????? с нерелятивистской механикой? в которой L = mv 2 /2? ?ля этого
разложим выражение ????? в ряд по v 2 /c2 ?
?????
L(v) = a[1 ? v 2 /2c2 + ...],
где многоточие ? поправки высшего порядка по ?малому параметру? v 2 /c2 ?
Ясно? что с нерелятивистским выражением L = mv 2 /2 можно отожде?
ствить лишь вклад второго слагаемого в правой части ?????? что приводит
к равенству a = ?mc2 и к следующему окончательному выражению для
искомого релятивистского лагранжиана L?
?????
L(v) = ?mc2 [1 ? v 2 /c2 ]1/2 .
Присутствие в разложении ????? первого слагаемого ? константы
a = ?mc2 ? нельзя считать противоречием с формулами нерелятивист?
ской механики? поскольку в уравнения движения ????? входят только
производные L? в которых вклад аддитивной константы исчезает? ?
нерелятивистской механике фиксация такой константы ? вопрос согла?
шения? а в релятивистской ее присутствие необходимо в силу требования
лоренц?ковариантности? ?му удовлетворяет? как показано выше? толь?
ко выражение ?????? содержащее такую константу и не совпадающее с
нерелятивистским выражением для L?
?мпульс
и
энергия
свободной
частицы?
Четырехмерная
При известном лагранжиане
импульс и энергия частицы определяются автоматически соотношения?
ми ?????? Подставив в них выражение ????? для L и вычислив производные
по q? = vi ? получим следующие выражения для импульса и энергии сво?
бодной частицы?
скорость и четырехмерный импульс?
pi = mvi [1 ? v 2 /c2 ]?1/2 ,
E = mc2 [1 ? v 2 /c2 ]?1/2 .
?????
При c ? ? имеем pi = mvi + ... и E = mc2 + mv 2 /2 + ... ?торое слагаемое в
E ? обычное? а первое ? ?энергия покоя? частицы? существование которой
с необходимостью следует из требования релятивистской ковариантности?
?ыражения ????? ? окончательные ответы для импульса и энергии ре?
лятивистской свободной частицы в трехмерных обозначениях? Ясно? что
они должны допускать и ковариантную запись? так как получены на
основе принципа релятивистской инвариантности действия? ?ля получе?
ния такого представления определим сначала некоторые новые важные
для дальнейшего величины?
???
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
?дна из них ? лоренц?скаляр ? дифференциал
d? ? который определяется соотношением
собственного времени
d? = dt[1 ? v 2 /c2 ]1/2 .
?????
?з ????? и ????? следует? что d? ? (dx? dx? )1/2 ? отсюда очевидна лоренц?
инвариантность d? ? Сам термин ?дифференциал собственного времени?
можно пояснить аналогией между выражениями ???? и ?????? d? и dt в
????? связаны точно так же? как ?t и ?t в ????? т? е? d? есть соответ?
ствующий dt интервал времени в системе отсчета? движущейся вместе с
частицей?
?ще одно важное понятие ? четырехмерная скорость
u? = dx? /d?,
?????
являющаяся контравариантным вектором ?числитель ? вектор? знамена?
тель ? скаляр?? По аналогии можно ввести величину du? /d? ? ?четырех?
мерное ускорение?? но в дальнейшем мы не будем иметь с ней дело?
?ычислим компоненты вектора ????? в трехмерных обозначениях? ?ля
краткости обозначив [1?v 2 /c2 ]1/2 ? z ? имеем? u0 = dx0 /d? = cdt/zdt = c/z ?
ui = dxi /d? = dxi /zdt = vi /z ? ?того?
u0 = c/z,
ui = vi /z,
z ? [1 ? v 2 /c2 ]1/2 .
?????
С помощью этих соотношений легко найти свертку u? u? ?
u? u? = u0 u0 ? ui ui = c2 /z 2 ? v 2 /z 2 = c2
?????
при учете явного вида z в ??????
?ернемся теперь к нашим выражениям ????? для энергии и импульса?
Сравнивая их с величинами ?????? получаем? E = mcu0 ? pi = mui ? ?тсюда
следует? что величины E/c и p являются компонентами четырехмерного
контравариантного вектора? просто связанного с u? ? ?го обозначают через
p? и называют четырехмерным импульсом?
p0 = E/c,
pi = pi ,
p? = mu? .
?????
Последнее равенство ????? при учете ????? доказывает? что величина p? ?
действительно контравариантный вектор?
????? Релятивистская динамика точечной частицы? Сила ?оренца
???
?з ????? и ????? получаем соотношение
m2 c2 = m2 u? u? = p? p? = p0 p0 ? pi pi = E 2 /c2 ? (p)2 ,
?????
позволяющее выразить энергию E через импульс p?
?агранжиан взаимодействия заряженной частицы с внешним
полем? общий принцип его построения? Теперь мы переходим к новой
задаче ? получению уравнений движения заряженной частицы в заданном
внешнем поле? ?аша проблема ? определение вида лагранжиана взаимо?
действия частицы с полем?
? общем случае при наличии двух взаимодействующих подсистем A и
B полный лагранжиан L представляется в виде L = LA + LB + LAB ? где
LA и LB ? лагранжианы подсистем? LAB ? лагранжиан взаимодействия?
? нашем случае A ? поле? B ? его источники J ? движущаяся заряженная
частица ? частный случай источников?
?чень простая и очень важная для дальнейшего идея состоит в сле?
дующем? лагранжиан взаимодействия ? единое понятие? не зависящее от
того? ?с какой стороны смотреть на вещи?? ?ругими словами? лагранжиан
взаимодействия A с B есть та же величина? что и лагранжиан взаимодей?
ствия B с A? символически LAB = LBA ?
Точная задача о взаимодействии поля с переменными источниками
типа движущейся заряженной частицы весьма сложна? так как в этом
случае в качестве динамических переменных нужно рассматривать обоб?
щенные координаты обеих подсистем с неизбежным ?сцеплением? для них
в уравнениях движения? ?о сейчас нас интересует упрощенный вариант
этой полной точной задачи? в котором параметры одной из подсистем? а
именно? поля считаются фиксированными? а динамическими переменными
считаются лишь обобщенные координаты второй подсистемы ? заряжен?
ной частицы? ?о возможна и обратная постановка задачи? когда фикси?
рованы координаты второй подсистемы? например? траектория движения
заряженной частицы? а нас интересует создаваемое ею поле? Такую задачу
мы также будем рассматривать впоследствии?
Сейчас нас интересует задача с фиксированным внешним полем и мы
хотим найти соответствующий лагранжиан взаимодействия? Фактически
ответ нам уже известен при учете сформулированной выше идеи симмет?
рии LAB = LBA ? из ????? мы знаем лагранжиан взаимодействия поля
с произвольными фиксированными источниками и он же должен быть
лагранжианом взаимодействия источников с фиксированным полем? Реа?
лизуя эту идею? из ????? получаем?
???
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Lвз =
d3 xLвз = ?c?1
d3 xJ? A? .
Подставив сюда выражения для A и J в трехмерных обозначениях ?????
???? с учетом J? A? = J 0 A0 ? J i Ai находим?
Lвз = ?c?1
d3 x[c?? ? ji Ai ] =
d3 x[??? + (j A)/c].
?????
?десь ? и A ? потенциалы внешнего поля ? некоторые заданные функции
от x = t, x? а ?(x) и j(x) ? объемные плотности заряда и тока для нашего
источника ? движущейся точечной заряженной частицы? ?аша следую?
щая задача ? найти явные выражения для этих величин? которые нужно
затем подставить в ??????
Плотности заряда ?(t, x) и тока j(t, x) для движущейся
точечной заряженной частицы? Рассмотрим сначала статическую
задачу? пусть точечный заряд e находится в точке a трехмерного про?
странства? ?опрос? как записать соответствующую плотность заряда ?(x)?
Сразу ясно? что это не обычная функция? так как по смыслу она должна
быть отличной от нуля только в одной точке a? но при этом интеграл от
нее должен быть отличным от нуля и равным заряду e ?что невозмож?
но для обычных функций при обычном определении интеграла?? Такие
?необычные функции? называют обобщенными? ?х можно рассматривать
на пространстве любой размерности? поэтому при их обсуждении мы будем
опускать знак ? ?? у координат? понимая их как величины произвольной
размерности?
Эталоном обобщенных функций является знаменитая ? ?функция
?ирака ?(x ? a)? которая с точки зрения физики представляет объемную
плотность ?(x) единичного точечного заряда? расположенного в точке a?
?(x ? a) =
0 при x = a?
? при x = a?
?????
При этом ?бесконечность? в точке a должна быть ?столь мощной?? что одна
эта точка дает конечный вклад в интеграл?
dx?(x ? a) =
V
0 при a ? V ?
1 при a ? V ?
?????
????? Релятивистская динамика точечной частицы? Сила ?оренца
???
?удем называть a ?точкой сосредоточения? ? ?функции? Равенства
?????? ????? означают? что интеграл от ? ?функции равен единице? если
ее точка сосредоточения находится внутри области интегрирования V ? и
нулю в противном случае? ?бразно говоря? интеграл набирается только
от одной точки a? точнее? от ее окрестности сколь угодно малого размера?
?тсюда ясно? как можно вычислить интеграл dxf (x)?(x ? a) с любой
непрерывной в окрестности точки a функцией f (x)? поскольку в малой
?причем ?сколь угодно?? окрестности точки a непрерывную функцию f (x)
можно просто заменить ее значением в точке a?
dxf (x)?(x ? a) = f (a).
?????
Это правило следует считать постулатом? который в математике считает?
ся просто определением ? ?функции? понимаемой как функционал на про?
странстве непрерывных функций? каждой такой функции f (x) по прави?
лу ????? ставится в соответствие число f (a)? ?онечно? соотношение ?????
можно просто постулировать? но для его понимания полезно приведенное
выше истолкование ? ?функции как объемной плотности единичного точеч?
ного заряда ввиду его наглядности? Ясно? что для заряда e нужно просто
умножить ? ?функцию на e?
?ернемся теперь к нашей конкретной задаче в трехмерном простран?
стве? что есть ? и j для точечного заряда e? движущегося по траекто?
рии r(t)? ?твет для ? очевиден? поскольку в каждый данный момент вре?
мени t частица находится в заданной точке r(t)? ясно? что мы должны
положить ?(t, x) = e?(x ? r(t))? ?тсюда легко найти и соответствующую
плотность тока j ? исходя из того соображения? что для потока заряжен?
ных частиц объемная плотность тока является произведением плотности
заряда на скорость движения частиц? ?того? мы приходим к следующим
формулам?
?(t, x) = e?(x ? r(t)),
j(t, x) = ev(t)?(x ? r(t)),
v(t) = dr(t)/dt. ?????
Это и есть искомые выражения для объемных плотностей заряда и тока
для точечной частицы с зарядом e? движущейся по траектории r(t)?
?агранжиан взаимодействия частицы с полем? явный вид?
?ернемся к выражению
????? для лагранжиана взаимодействия и подставим в него известные
из ????? плотности ? и j ? Поскольку они содержат трехмерную ? ?функцию?
Энергия и импульс для частицы в поле?
???
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
трехмерный интеграл d3 x... в ????? ?снимается? по правилу интегрирова?
ния ????? ?потенциалы ? и A в ????? считаем непрерывными функциями? а
координаты x и a в ????? ? трехмерными векторами?? ?апример? для инте?
грала от ?? имеем? d3 x?(t, x)?(t, x) = e d3 x?(x?r(t))?(t, x) = e?(t, r(t))
согласно правилу ?????? Точно так же вычисляется интеграл от (j A)? и в
итоге получаем?
Lвз = e[?? + (v A)/c]
x=r(t)
.
?????
? этой записи у потенциалов ?? A подразумеваются аргументы t, x? аргу?
мент x затем заменяется на координату частицы r(t)? а v = dr(t)/dt? После
вычисления интеграла нам уже не нужно различать переменные x и r(t)?
поэтому в дальнейшем будем записывать выражение ????? в виде
Lвз = ?e? + e(v A)/c,
?????
понимая x в аргументах потенциалов t, x как переменную координату
частицы? а v ? как ее скорость? Соотношение ????? ? окончательный ответ
для лагранжиана взаимодействия частицы с полем?
Полный лагранжиан L для частицы? взаимодействующей с полем? есть
L = Lчаст + Lвз ,
?????
первое слагаемое известно из ?????? второе ? из ??????
Энергия и импульс частицы в поле находятся по известному лагран?
жиану ????? из общих формул ?????? ?ля сокращения записи будем обо?
значать через E ? p известные из ????? величины для свободной частицы? а
аналогичные величины для частицы в поле ? теми же буквами с дополни?
тельным знаком ?штрих?? ?ля единообразия тогда и в ????? будем писать
L вместо L? а через L будем обозначать лагранжиан свободной частицы
??????
L = L + Lвз = L ? e? + e(v A)/c.
?????
Тогда из соотношений ????? с q? = {vi } получаем?
p i = pi + ?Lвз /?vi = pi + eAi /c,
E = p i vi ? L = (pi + eAi /c)vi ? (L + Lвз ) =
= E + e(v A)/c ? Lвз = E + e?.
???
????? Релятивистская динамика точечной частицы? Сила ?оренца
Таким образом? энергия E и импульс p для частицы в заданном внешнем
поле определяются следующими соотношениями?
E = E + e?,
p = p + eA/c,
?????
в которых E и p ? известные величины ????? для свободной частицы?
? обозначениях ????? ????? формулы ????? принимают вид
?????
p ? = p? + eA? /c.
Это ковариантная запись соотношений ??????
Уравнения движения частицы в поле? Сила ?оренца? Рассмот?
рим теперь уравнения движения ????? для заряженной частицы в задан?
ном внешнем поле? Роль L в ????? теперь будет играть полный лагранжиан
L из ?????? q ? {xi }? q? ? {vi = dxi /dt}? ?онкретизируя уравнения ?????
для нашей задачи? получаем?
d
[?L /?vi ] = ?L /?xi .
dt
?????
?ля L из ????? имеем ?L /?vi = pi + eAi /c согласно ????? и ?????? поэтому
уравнения ????? можно переписать в виде
d
[pi + eAi /c] = ?L /?xi ,
dt
?????
где pi ? импульс свободной частицы ?????? Явная зависимость от коорди?
нат x в L содержится только в потенциалах? Поэтому из ????? имеем?
?L /?xi = ?Lвз /?xi = ?e?i ? + evk ?i Ak /c,
?????
где ?i ? ?/?xi ? частная производная по координатам?
?еличина dAi /dt в левой части ????? ? полная производная по времени?
учитывающая как явную? так и неявную ?через x(t)? зависимость потен?
циала A от времени? Поэтому?
dAi /dt = ?t Ai + vk ?k Ai ,
где vk
=
по времени?
dxk /dt ? скорость
частицы?
?t ? частная
?????
производная
???
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
Подставив в уравнения ????? выражения ?????? ????? и перенеся вклад
с dAi /dt в правую часть? получим?
d
pi = ?e?i ? ? e?t Ai /c ? evk ?k Ai /c + evk ?i Ak /c =
dt
= e(??i ? ? ?t Ai /c) + evk (?i Ak ? ?k Ai )/c.
?????
?з сопоставления с формулами ???? для напряженностей ясно? что два
первых вклада в правой части ????? выражаются через напряженность
электрического поля Ei = ??i ? ? ?t Ai /c? а два последних ? через напря?
женность магнитного поля H = rot A в силу вытекающего из определения
ротора в п? ??? соотношения
?i Ak ? ?k Ai = ?ikl [rot A]l = ?ikl Hl .
?????
Таким образом? выражая правую часть уравнений ????? через напря?
женности? получаем окончательный ответ?
d
p = eE + e[v Ч H]/c ? F .
dt
?????
Правая часть ? сила F ? действующая со стороны поля на частицу? ее на?
зывают ?силой ?оренца?? ?тметим? что в общем случае? по определению?
сила есть производная импульса по времени? а известная из второго закона
?ьютона формула ?сила = масса Ч ускорение? ? просто частный случай?
поскольку в нерелятивистской механике импульс есть произведение массы
на скорость? ?тметим также? что сила ?оренца ????? выражается только
через напряженности ?хотя в промежуточных формулах мы имели дело с
потенциалами?? т? е? является калибровочно?инвариантной? как и должно
быть? если речь идет о реально измеримой величине?
?з уравнений ????? нетрудно получить соответствующий ?закон балан?
са энергии?? т? е? выражение для dE/dt с энергией E из ?????? ?ействитель?
но? пусть L ? любой лагранжиан? зависящий только от скорости v ?напри?
мер? ??????? а импульсы p и энергия E определены по нему соотношениями
????? с q? ? {vi }? Тогда
dE/dt = d[pi vi ? L]/dt = (dpi /dt)vi + pi (dvi /dt) ? (?L/?vi )(dvi /dt).
При учете определения p в ????? ясно? что два последних вклада взаим?
но сокращаются? а в первом dpi /dt = Fi по определению? Таким обра?
зом? для любых систем с лагранжианом L? зависящим только от скорости?
????? Релятивистская динамика точечной частицы? Сила ?оренца
???
имеем dE/dt = (Fi vi )? ?тсюда для нашей задачи с E из ????? и F из ?????
с учетом ортогональности v и векторного произведения [v Ч H] получаем?
?????
dE/dt = (v F ) = e(v E).
Таким образом? за изменение кинетической энергии частицы E ответ?
ственно лишь электрическое поле E ? а магнитное поле ?причем любое? а не
только однородное? ввиду ортогональности скорости v и векторного про?
изведения [v Ч H] в ????? на величину E не влияет ? оно приводит лишь к
изменению направления вектора скорости? т? е? величина E в любом чисто
магнитном поле не зависит от времени?
?з уравнений движения ????? нетрудно найти траекторию частицы в
простых случаях однородного электрического или магнитного поля? При
нерелятивистских скоростях v
c в первом случае движение просто рав?
ноускоренное? во втором ? по окружности ?если v ? H ? или? в общем
случае? по спирали с некоторой частотой вращения? которую называют
?циклотронной?? ?се это вопросы из школьного курса физики? в которых
мы предлагаем читателю разобраться самостоятельно ?и уметь на них от?
ветить??
?овариантная
запись
уравнений
движения
и
уравнения
?з общих соображений ясно? что полученные выше
уравнения движения ????? и уравнение баланса энергии ????? должны
допускать ковариантную запись?
Попробуем сначала просто угадать ее вид исходя из соображений ре?
лятивистской ковариантности и общей структуры уравнений ?????? ??????
?х левые части ? производные по времени от энергии E и импульса p?
??овариантным представителем? этих величин является четырехмерный
импульс p? ?????? а для символа dt в производных ? дифференциал соб?
ственного времени d? ?????? являющийся лоренц?скаляром? Таким обра?
зом? естественным кандидатом на роль левой части искомых уравнений
является контравариантный вектор dp? /d? ?
Переходя к правой части уравнений? воспользуемся лишь следующей
известной из вида уравнений ?????? ????? информацией общего характера?
их правые части линейны по напряженностям и не содержат явной зависи?
мости от пространственных координат x? ? ??овариантный представитель
напряженностей? ? тензор поля F ????? компоненты которого связаны с
напряженностями соотношениями ????? Чтобы получить в правой части
контравариантный вектор? тензор F нужно свернуть по одному индек?
су с каким?нибудь вектором? Поскольку мы не можем использовать x?
баланса энергии?
???
Релятивистски?ковариантная формулировка электродинамики
?см? выше?? в нашем распоряжении имеются лишь вектор четырехмерной
скорости ????? и четырехмерный импульс p? ?????? ?о они? согласно ??????
совпадают с точностью до множителя? так что независимым можно счи?
тать лишь один из них?
?ыбрав в качестве такового импульс p? ?поскольку именно он входит
в левые части уравнений?? однозначно приходим к выводу? что искомая
ковариантная запись уравнений ?????? ????? должна иметь следующий вид?
dp? /d? = const · F ?? p?
?????
с p? из ????? и F ?? из соотношений ?????
?ы предлагаем читателю убедиться самостоятельно в эквивалентно?
сти ковариантных уравнений ????? и трехмерных уравнений ?????? ????? и
найти значение const в ????? ?она равна e/mc??
Приведенный выше вывод уравнений ????? ?из общих соображений? ?
еще один пример эффективности релятивистски?ковариантной формули?
ровки? которая часто сама подсказывает вид ответов? ? это последний при?
мер? так как здесь мы заканчиваем главу ? ? релятивистски?ковариантную
формулировку электродинамики? ? дальнейшем мы будем рассматривать
задачи электродинамики лишь в конкретной ?= ?нашей?? системе отсче?
та и в обычных трехмерных обозначениях без использования греческих
индексов и терминологии тензоров на группе ?оренца? ?ля конкретных
расчетов этого вполне достаточно? хотя? конечно? многие результаты? при
желании? можно переписать в релятивистски?ковариантной форме?
Приведем в заключение обобщение понятия силы ?оренца на случай
распределенных источников ?? j ?
Сила ?оренца? действующая на распределенные источники?
?опустим? что мы имеем дело с объемным распределением зарядов и то?
ков ?? j и поставим вопрос? чему равна сила ?оренца? действующая на
некоторый бесконечно малый элемент среды? ?твет очевиден? бесконечно
малый элемент среды можно понимать как точечный движущийся заряд?
поэтому можно просто воспользоваться формулой ????? с должной интер?
претацией входящих в нее величин? ?ля вклада с E это означает? что заряд
частицы e нужно заменить на ?дифференциал заряда? dQ(x) = ?(x)d3 x?
а во вкладе магнитного поля при учете связи j = ?v нужно сделать за?
мену ev ? j(x)d3 x? Таким образом? при объемном распределении зарядов
и токов для дифференциала силы dF ? действующий на бесконечно малый
????? Релятивистская динамика точечной частицы? Сила ?оренца
???
дифференциал объема d3 x? из ????? получаем?
dF = d3 x{?E + [j Ч H]/c},
?????
где ? и j ? объемные плотности заряда и тока? ?оэффициент при диффе?
ренциале объема d3 x в ????? ? объемная плотность силы ?оренца?
?сли заряды и токи распределены не по объему? а по поверхности или
линии ?типичный пример ? ток в контуре?? то выражение ????? нужно мо?
дифицировать следующим образом?
dF = EdQ + [dJ Ч H]/c,
?????
с должным пониманием величин dQ и dJ в каждом конкретном случае?
?еличина dQ ? дифференциал заряда? а dJ за отсутствием общепринятого
термина будем называть ?дифференциалом полного тока?? ?ля объемного
распределения dQ = ?d3 x? dJ = jd3 x? в иных случаях запись этих величин
должным образом изменяется? ? частности? для текущего по проводу тока
dJ = Idx? где I ? величина тока ?т? е? то? что измеряется в амперах?? а dx ?
дифференциал для точки x на проводе? численно равный дифференциалу
длины и направленный по касательной к проводу в точке x с указанным
направлением движения тока ?I > 0??
Таким образом? для ?дифференциала полного тока? имеем?
dJ = jd3 x ?в объеме?,
dJ = Idx ?для контура?.
?????
?ы будем ссылаться на эти формулы в дальнейшем? Соотношение ????? ?
пример геометрически?ковариантной записи с любым вариантом ?объем?
ным? поверхностным или линейным? распределения источников?
?а этом мы кончаем вторую главу и переходим к более конкретным
задачам электродинамики?
?лава ?
Статика
??? ?сновные соотношения
?Статикой? называют задачи? в которых все величины ?источники? напря?
женности? потенциалы? о потенциалах см? замечание ниже? не зависят от
времени t? поэтому вклады с ?t в любых динамических уравнениях можно
отбросить? ?ачнем с того? что перепишем все основные соотношения из
главы ?? отбрасывая в них все вклады с ?t ? Тогда в исходных уравнениях
?аксвелла ??????? исчезает ?сцепление? между E и H ? и мы получаем два
уравнения ?электростатики?
rot E = 0,
div E = 4??
?????
rot H = (4?/c)j
?????
и два уравнения ?магнитостатики?
div H = 0,
?напомним? что речь идет об уравнениях для полей в вакууме??
?нтегральная формулировка этих уравнений получается из ??????? от?
брасыванием вкладов с ?t ? что дает
dxi Ei = 0,
En ds = 4?
dx? ? 4?Qv
?????
для электростатики и
Hn ds = 0,
dxi Hi =
4?
c
jn ds ?
4?
Is
c
?????
???
???? ?сновные соотношения
для магнитостатики ?в интегральной записи уравнений с ? div? подразу?
мевается интегрирование по любому фиксированному объему с потоком
наружу через ограничивающую его поверхность? а для уравнений с ? rot? ?
по любой фиксированной незамкнутой поверхности с циркуляцией по огра?
ничивающему ее контуру? см? п? ????? ?ак уже пояснялось в п? ???? с помо?
щью второго соотношения ????? легко вычисляются поля для источников
с простой симметрией ?сферической? цилиндрической и т? п??? в частности?
для точечного заряда?
Условия сшивания ???? для напряженностей остаются прежними? по?
скольку они одинаковы в динамике и статике ?см? п? ?????
Уравнение непрерывности ???? в статике принимает вид
div j = 0,
?????
а формулы ????? связывающие напряженности с потенциалами ?при усло?
вии их независимости от времени? см? ниже?? принимают вид
E = ???,
H = rot A.
?????
? калибровочных преобразованиях ???? для не зависящих от времени
потенциалов функция ?(t, x) должна иметь вид ?(t, x) = const·t+?(x)? где
?(x) зависит только от координат x? Тогда калибровочные преобразования
???? принимают вид
? = ? + const,
A = A + ??
?????
с произвольной const и произвольной функцией ?(x)?
?амечание о потенциалах? независимость от времени измеримых ве?
личин ? источников и напряженностей ? условие поставленной задачи? С
потенциалами это не так? поскольку для них всегда можно выполнить
калибровочное преобразование ???? с нетривиально зависящей от времени
функцией ?(t, x)? внеся тем самым зависимость от времени в потенциалы
и при этом не меняя статических напряженностей? ?о с точки зрения клас?
сической электродинамики ничего нового таким путем получить нельзя?
и всюду в дальнейшем ?как и выше? мы будем считать? что потенциалы
в статике не зависят от времени? поэтому будем ограничиваться калибро?
вочными преобразованиями типа ??????
Уравнения ???? для не зависящих от времени потенциалов в произволь?
ной калибровке принимают следующий вид?
?? = ?4??,
?A ? ?(div A) = ?(4?/c)j.
?????
???
Статика
?улоновское калибровочное условие div A = 0 ???? в статике совпадает с
калибровочным условием ?оренца ???? и в такой калибровке уравнения
????? принимают вид
?? = ?4??,
?A = ?(4?/c)j.
?????
?з их сравнения видно? что в данной калибровке уравнение для магнит?
ного поля получается из уравнения для электрического поля следующей
простой ?стандартной заменой?
? ? A,
? ? j/c,
?????
которую мы часто будем использовать в дальнейшем?
??? Решение уравнения Пуассона
?еоднородное уравнение ?апласа типа ????? для ??
?? = ?4??
?????
называют ?уравнением Пуассона?? ?бщее решение любого линейного неод?
нородного уравнения? в том числе и уравнения ?????? есть? как известно
?и очевидно? сумма его частного решения и общего решения соответствую?
щего однородного уравнения? Последнее в нашем случае ? произвольная
гармоническая функция? с точки зрения физики описывающая некото?
рое внешнее ?т? е? не порождаемое источниками? поле? ?ас интересует?
естественно? частное решение? имеющее смысл поля? создаваемого сами?
ми источниками ?? ?ля исключения вклада внешнего поля нужно нало?
жить на потенциалы требование убывания на бесконечности? поскольку
среди гармонических функций нет убывающих? ? дальнейшем это будет
предполагаться? если не указано противное? Сразу отметим? что для таких
решений справедлив принцип суперпозиции? поле для суммы источников
равно сумме полей? создаваемых каждым из них? Это очевидное следствие
линейности уравнений?
Теперь условимся об обозначениях? Поскольку в этой главе мы не бу?
дем иметь дела с четырехмерными координатами x? примем для упроще?
ния записи формул следующее соглашение? трехмерные пространственные
координаты будем обозначать через x, y, ...? опуская ?как правило? уточ?
няющий символ трехмерного вектора ? ??? Символ dx... будем понимать
???
???? Решение уравнения Пуассона
как интеграл по трехмерному объему d3 x... без уточнения d3 x в записи
дифференциала объема? ?се объекты понимаются как трехмерные ?ника?
ких ?ко?? и ?контр???? индексы обозначаются латинскими буквами и всегда
ставятся снизу?
?так? нас интересует убывающее на бесконечности частное решение
уравнения Пуассона ?????? описывающее поле? создаваемое самим источ?
ником? ?твет можно сразу получить из следующих элементарных сообра?
жений? каждый бесконечно малый элемент среды с объемным распреде?
лением ? можно воспринимать как точечный заряд? Создаваемое им поле
известно? ? = Q/r? где Q ? заряд? r ? расстояние от него до точки наблю?
дения? ?сли x ? точка наблюдения? а dy ? дифференциал объема среды
вокруг точки y ? то роль заряда играет величина dQ(y) = ?(y)dy ? а рассто?
яние между данным зарядом и точкой наблюдения есть |x ? y| ? модуль
разности трехмерных векторов x и y ? Согласно принципу суперпозиции?
вклады всех элементов среды нужно просуммировать? т? е? просто поста?
вить спереди символ интегрирования? ? итоге получаем искомое решение?
?(x) =
dy
?(y)
=
|x ? y|
dQ(y)
.
|x ? y|
?????
Первая запись относится к случаю объемного распределения заряда с за?
данной объемной плотностью ?(y)? а вторая ? геометрически?ковариант?
ная запись? пригодная для любого ?объемного? поверхностного? линейно?
го? распределения заряда при должном истолковании величины диффе?
ренциала заряда dQ(y)? Формула ????? пригодна и для системы точеч?
ных зарядов? если в качестве ?(y) использовать известное из ????? вы?
ражение с ? ?функцией ?тогда интегрирование по y в ????? снимается по
правилу ???????
?налогичное ????? решение уравнения Пуассона ????? в магнитоста?
тике для векторного потенциала A в кулоновской калибровке div A = 0
получается из ????? стандартной заменой ??????
A(x) =
1
c
dy
j(y)
1
=
|x ? y|
c
dJ(y)
.
|x ? y|
?????
?торое выражение ? геометрически?ковариантная запись? пригодная для
любого распределения токов при правильном понимании входящего в него
?дифференциала полного тока? dJ ?для контура оно приведено в ???????
?сть еще один вопрос? который необходимо обсудить? поскольку стан?
дартная замена ????? справедлива лишь для потенциала A в кулоновской
???
Статика
калибровке? а мы предъявляем полученный с помощью стандартной заме?
ны конкретный ответ ?????? для внутренней самосогласованности рассуж?
дений необходимо доказать? что выражение ????? удовлетворяет кулонов?
скому калибровочному условию div A = 0?
Это действительно так? ?ля доказательства перейдем мысленно в ?????
от векторной записи с символом ? ?? к ?значковой записи? с индексом i
у A и j ? Тогда div A получается действием операции ?/?xi на левую часть
?????? ?перация ?/?xi проносится под знак интеграла по y и действует
только на множитель 1/|x ? y| в подынтегральном выражении? Поскольку
этот множитель зависит лишь от разности x ? y ? действующую на него
операцию ?/?xi можно заменить на ? ?/?yi ? ?ыполнив затем интегриро?
вание по частям? ?перебросим? производную ?/?yi на множитель ji (y)? что
даст div j(y) = 0 в силу статического уравнения непрерывности ??????
Таким образом? мы доказали? что получаемый из ????? векторный по?
тенциал A автоматически удовлетворяет условию кулоновской калибровки
div A = 0? ? это следствие уравнения непрерывности ??????
??? ?ультипольное разложение
скалярного потенциала ?
в электростатике?
?ультипольные моменты
и их свойства
Постановка задачи и общий принцип построения мультипольного
?ля простоты будем говорить о ?локализованной? ?т? е? со?
средоточенной внутри некоторой ограниченной области пространства V ?
системе зарядов с объемным распределением? которое задается соответ?
ствующей плотностью заряда ?(x)? ?ачало координат системы отсчета по?
местим где?нибудь внутри данной области V ? а ?размером системы? будем
называть величину max|y| ? Lсист? ? где y ? произвольная точка? пробега?
ющая область размещения зарядов?
?ы хотим найти потенциал ?(x) ????? вне системы зарядов? т? е? в
области r ? |x| > Lсист? ? Хорошо известно ?и интуитивно очевидно?? что
на очень больших расстояниях систему можно воспринимать как точеч?
ный суммарный заряд Q? создающий потенциал ? = Q/r? ?ультипольное
разложение ? представление точного ответа ????? в виде ряда? содержа?
разложения?
???? ?ультипольное разложение скалярного потенциала
???
щего все поправки к простейшему приближению Q/r? Параметром мало?
сти в этом разложении является величина Lсист? /r ? отношение размера
системы к расстоянию до точки наблюдения? ?ля получения искомого
ответа нужно просто разложить входящую в ????? величину 1/|x ? y| в
ряд Тейлора по y ?
?апомним основные формулы для таких рядов? ?ля одномерных пе?
ременных тейлоровское разложение f (x + a) по a имеет вид
d
1
d
f (x) + a2 ( )2 f (x) + ...
dx
2!
dx
?тметим ?только из эстетических соображений?? что правую часть это?
го равенства можно формально представить в виде exp(ad/dx) · f (x)? ?
разложение экспоненты в ряд дает искомый ответ?
Пусть теперь x, a ? трехмерные векторы? ?бобщением приведенной
выше формулы является следующее соотношение?
1
f (x + a) = f (x) + ai ?i f (x) + ai ak ?i ?k f (x) + ... =
2!
?
?????
1
=
ai ...ain · ?i1 ...?in f (x),
n! 1
f (x + a) = f (x) + a
n=0
в котором ?i ? ?/?xi и для всех повторяющихся латинских индексов?
как обычно? подразумевается суммирование по их возможным значениям
?? ?? ?? ?тметим? что ряд ????? также формально собирается в экспоненту?
f (x + a) = exp[ai ?i ]f (x).
Разложим по правилу ????? входящую в интеграл ????? функцию
1/|x ? y| в ряд Тейлора по y ?сразу отметим? что этот ряд сходится при
|y| < |x| ? r??
?
1/|x ? y| =
n=0
(?1)n
1
yi1 ...yin · ?i1 ...?in ,
n!
r
?????
где r ? |x|? ?i ? ?/?xi ? Подставим это разложение в ????? и вынесем не
зависящие от переменной интегрирования y величины за знак интеграла?
?
?(x) =
n=0
Ti1 ...in =
(?1)n
1
Ti1 ...in · ?i1 ...?in ,
n!
r
dy?(y)yi1 ...yin .
?????
?????
???
Статика
Соотношение ????? есть искомое мультипольное разложение потенциала ??
а величины ????? называются мультипольными моментами системы? Пе?
речислим первые из них?
dy?(y) ? Q
dy?(y)yi ? di
? полный заряд системы?
? ее дипольный момент?
?????
dy?(y)yi yk ? Tik ? ее квадрупольный момент?
следующим будет ?октупольный момент? и так далее ?общий принцип ?
название числа 2n на греческом языке??
Свойства мультипольных моментов? Это?
?? Симметричность относительно любых перестановок их индексов
i1 ...in ? что очевидно из определения ??????
?? ?се они ? истинные тензоры на группе O3 ? Это следует из того? что
плотность заряда ?(y) ? истинное скалярное поле с законом преобразова?
ния типа ???? ?что показано в п? ????? а координаты yi ? истинный вектор
с законом преобразования ?????
? (y ) = ?(y),
yi = ?ik yk .
?????
?ыполнив поворот осей системы координат? при котором y ? y = ?y ? из
определения моментов ????? получаем?
Ti1 ...in =
dy ? (y )yi1 ...yin .
?????
Учитывая здесь соотношения ????? и равенство dy = dy для диффе?
ренциала объема при поворотах осей? приходим к соотношению
Ti1 ...in =
dy?(y)?i1 k1 yk1 · ... · ?in kn ykn = ?i1 k1 yk1 · ... · ?in kn Tk1 ...kn ,
что и есть тензорный закон преобразования ????? ? это и требовалось до?
казать?
При пространственных отражениях ???? сохраняется закон преобразо?
вания ????? для ? и инвариантность дифференциала объема dy = dy ? а для
самих координат y ? ?y ? Поэтому в преобразованном выражении ?????
???? ?ультипольное разложение скалярного потенциала
???
появляется множитель (?1)n ? откуда следует? что мультипольные моменты
????? ? истинные тензоры согласно ?????
?? Преобразование моментов T при сдвиге начала отсчета системы
координат? Такому сдвигу при сохранении ориентации осей соответству?
ют трансляции yi ? yi = yi + ai наших переменных интегрирования в
????? с некоторым фиксированным вектором ai ? Соотношение ????? и за?
кон преобразования ? в ????? не изменяются? как и равенство dy = dy для
дифференциала объема? ?тсюда следует? что
Ti1 ...in =
dy?(y)(yi1 + ai1 ) · ... · (yin + ain ).
?????
?сли раскрыть скобки в произведении n множителей типа (y +a)? получим
2n слагаемых? ?ы не будем приводить получаемое таким путем общее
выражение? поскольку оно громоздкое и для дальнейшего несущественно?
?ажны лишь следующие два замечания? ?? одним из слагаемых является
исходный тензор Ti1 ...in ? ?? во всех других слагаемых с множителями ? a?
коэффициентами при них являются ?младшие? ?т? е? более низкого ранга?
мультипольные моменты ?????? ?того?
Ti1 ...in = Ti1 ...in + вклады с младшими T .
?????
?етрудно проверить ?предоставляем это читателю?? что при фиксирован?
ном моменте T и произвольном параметре трансляции a вклады с ?млад?
шими T ? в ????? исчезают тогда и только тогда? когда все эти ?младшие
моменты? равны нулю?
?тсюда следует? что инвариантным по отношению к сдвигам начала
отсчета системы координат является только ?первый ненулевой момент??
?ля пояснения приведем примеры? полный заряд Q инвариантен всегда?
поскольку он ?самый младший?? ?ипольный момент di инвариантен только
при Q = 0? квадрупольный момент ? только при равенстве нулю заряда и
дипольного момента? и так далее?
?еприводимые
мультипольные
разложение потенциала
моменты?
?ультипольное
? в терминах неприводимых моментов?
?пределение? тензор называется неприводимым? если свертка по любой
паре его индексов равна нулю? ?еприводимость означает? что из данного
тензора нельзя построить сворачиванием индексов более простой объ?
ект ? тензор меньшего ранга? Ясно? что для сворачивания нужно иметь
не менее двух индексов? скаляр и вектор считаются неприводимыми по
определению?
???
Статика
из любого тензора T можно выделить его ?неприводи?
Ї
мую часть? T ? неприводимый тензор того же ранга? который строится
из T по правилу ? TЇ = T + добавки с ? ?символами?? Утверждается? что
подходящим выбором таких добавок можно обеспечить неприводимость TЇ
и что эта величина определяется однозначно?
?ы не будем доказывать это утверждение в общем виде ?с практиче?
ской точки зрения достаточно знать? что оно правильно? и ограничимся
конкретными примерами тензоров ранга ? и ??
Простейший пример ? тензор второго ранга Tik ? для которого един?
ственным вариантом ?добавки с ? ?символом? является выражение c?ik с
некоторым коэффициентом c? Утверждение состоит в том? что при подхо?
дящем выборе этого коэффициента тензор TЇik = Tik ? c?ik будет неприво?
димым? т? е? TЇii = 0? Это очевидно? так как при учете равенства ?ii = 3 мы
можем просто предъявить ответ для искомого коэффициента? c = ?Tss /3?
Таким образом? неприводимая часть любого тензора второго ранга Tik
определяется следующим соотношением?
Утверждение?
TЇik = Tik ? ?ik Tss /3.
?????
? частности? для Tik из ????? получаем?
TЇik =
dy?(y)[yi yk ? y 2 ?ik /3].
?????
Это определение неприводимого тензора квадрупольного момента для
произвольной системы зарядов?
Рассмотрим теперь произвольный тензор третьего ранга Tikl и проце?
дуру построения его ?неприводимой части? TЇikl ? Учитывая все возможные
в данном случае ?добавки с ? ?символами?? имеем?
TЇikl = Tikl + Ai ?kl + Bk ?il + Cl ?ik
?????
с неизвестными векторами A? B ? C ? Утверждается? что их можно выбрать
так? чтобы выполнить все условия неприводимости для TЇikl ?
TЇikk = 0,
TЇkik = 0,
TЇkki = 0,
?????
и что этот выбор однозначен? ?з ????? и ????? мы получаем систему ли?
нейных неоднородных уравнений для определения неизвестных векторов
A? B ? C в ?????? ?ы не будем приводить решения? а ограничимся простым
???? ?ультипольное разложение скалярного потенциала
???
замечанием? что выполнено основное условие разрешимости? число урав?
нений совпадает с числом неизвестных ?в ????? три векторных уравнения?
а в ????? ? три неизвестных вектора A? B ? C ?? Предоставляем читателю?
при желании? убедиться самостоятельно? что для данной системы линей?
ных уравнений определитель отличен от нуля? так что решение существует
и единственно?
Полагаем? что этих примеров достаточно для пояснения смысла
сформулированного выше утверждения и идеи его доказательства? ?о?
бавим только? что в общем случае нужно учитывать любые добавки с
? ?символами? в частности? слагаемые не только с одним? но и с двумя
множителями ? для тензора четвертого ранга?
?ернемся теперь к мультипольному разложению ?????? Утверждение?
ответ ????? для ?(x) не изменится? если заменить в нем все мультипольные
моменты T их неприводимыми частями TЇ?
?ля доказательства этого утверждения рассмотрим сначала вклад
в ????? квадрупольного момента ? Tik ?i ?k (1/r)? ?еличины Tik и TЇik
различаются лишь кратным ?ik слагаемым? которое дает в ответ вклад
? ?ik ?i ?k (1/r) = ?(1/r) = 0 при r = 0? где ? = ?i ?i ? оператор
?апласа? Поясним? функция 1/r ? потенциал ? единичного точечного за?
ряда? расположенного в начале координат? удовлетворяющий уравнению
????? ?? = ?4?? с плотностью заряда ?(x) = ?(x) согласно ????? ?коорди?
наты x трехмерные?? Поэтому при r ? |x| = 0 ?это заведомо выполнено для
интересующей нас области вне зарядов? имеем ?(1/r) = 0? что и доказы?
вает утверждение? слагаемое с ? ?символом в Tik не дает вклада в конечный
ответ ??????
Ясно? что это верно для любого вклада с ? ?символом в любом мульти?
польном моменте? при сворачивании по индексам этого ? ?символа с двумя
соответствующими множителями ? в ????? получаем оператор ?апласа
? = ?i ?i ? который проносится через прочие символы ? и действует на
1/r? поэтому вне системы зарядов ?r = 0? данный вклад равен нулю? Это
доказывает возможность замены T ? TЇ в ?????? поскольку T и TЇ? по
определению? различаются только слагаемыми с ? ?символами ?см? выше??
?ыполнив в ????? такую замену? получаем?
?
?(x) =
n=0
(?1)n Ї
1
Ti1 ...in · ?i1 ...?in .
n!
r
?????
???
Статика
Рассмотрим теперь входящую сюда величину ?i1 ...?in (1/r) с r = |x| и
?i = ?/?xi ? Приведем сначала в качестве справочной формулы следующее
соотношение для производной модуля вектора r ? |x|?
?i r = xi /r ? ni ,
?????
где ni ? единичный вектор направления x? Соотношение ????? легко полу?
чается дифференцированием по xi величины r ? |x| = (xk xk )1/2 ?
?спользуя ?????? для первых величин ?i1 ...?in (1/r) получаем?
?i (1/r) = ?(1/r2 )?i r = ?ni /r2 = ?xi /r3 ,
?i ?k (1/r) = ?k [?xi /r3 ] = ??ik /r3 + (?1)(?3)xi xk /r5 ,
?????
и так далее? Ясно? что для многократных производных мы получим
некоторое сложное выражение? содержащее множители x и символы ?
с различными индексами? ?сновным для дальнейшего является следую?
щее утверждение? при подстановке в ????? все слагаемые с ? ?символами
в производных ?i1 ...?in (1/r) не дают вклада? поскольку свертка любого
? ?символа с тензором TЇ равна нулю в силу свойства неприводимости TЇ?
Таким образом? нам нужны лишь вклады без ? ?символов в производ?
ных ?i1 ...?in (1/r)? ?х вид нетрудно угадать ?и затем обосновать ?по индук?
ции??? обобщив процедуру вычисления величин ??????
?i1 ...?in (1/r) = (?1)n (2n ? 1)!!xi1 ...xin /r2n+1 + ...,
?????
где многоточие ? несущественные вклады с ? ?символами ?напомним? что
знак !! обозначает ?двойной факториал? ? произведение всех нечетных чи?
сел от единицы до указанного? для n = 0 считаем (2n ? 1)!! = 1??
Подстановка ????? в ????? дает?
?
?(x) =
n=0
(2n ? 1)!! Ї
1
Ti1 ...in · xi1 ...xin · 2n+1 =
n!
r
?????
= Q/r + di xi /r + 3TЇik xi xk /2r5 + ...
3
?ы привели общее выражение и первые члены ряда? в которых Q ? пол?
ный заряд системы? di ? ее дипольный момент? TЇik ? неприводимый квад?
рупольный момент ??????
Первый член разложения ????? ? вклад заряда Q ? убывает при r ? ?
как 1/r? следующий член ? вклад дипольного момента ? как 1/r2 ?нужно
???? ?ультипольное разложение скалярного потенциала
???
учитывать? что xi ? r?? квадрупольного ? как 1/r3 ? и так далее? ?бщее
правило ? ?лишний множитель 1/r для каждого следующего вклада??
?сли известен потенциал ?? разлагающийся в ряд по 1/r? то из отож?
дествления этого ряда с разложением ????? можно однозначно найти все
неприводимые мультипольные моменты TЇ? и наоборот? ? по известным
моментам TЇ из ????? находится потенциал ?? ?ругими словами? между
потенциалом ? и набором всех неприводимых моментов TЇ имеется взаи?
мооднозначное соответствие? ?тметим? что для исходных моментов ?????
это не так? потенциал ????? по ним определяется однозначно? но обратное
неверно?
?з сказанного следует? что если потенциал ? убывает при r ? ? быст?
рее? чем 1/r? то несколько первых неприводимых мультипольных моментов
?их число зависит от скорости убывания ?? должны быть равными нулю?
Пример? если сказано? что ? ? 1/r3 ? то отсюда следует? что полный заряд
системы и ее дипольный момент равны нулю? а квадрупольный момент
отличен от нуля? ?омбинируя это замечание с предшествующей информа?
цией? можно предложить? например? такую задачу? дано? что ? ? 1/r3 ?
вопрос ? зависит ли квадрупольный момент системы от выбора начала
отсчета? ?твет ? ?не зависит?? поскольку в данном случае он есть ?первый
ненулевой? ?см? выше??
?ценка
области
сходимости
мультипольного
разложения
?ультипольное разложе?
ние ????? получается подстановкой ряда ????? в ????? и последующим
почленным интегрированием? Ряд ????? сходится при |y| < |x| ? r? от?
куда следует? что его почленное интегрирование законно лишь в области
max|y| ? Lсист < |x| ? r? где max берется по всем точкам y из области
размещения зарядов V ? ?еометрически условие r > Lсист означает? что ряд
сходится вне минимальной сферы с центром в начале координат? целиком
содержащей область размещения зарядов V ? Ясно? что вид этой сферы
зависит от выбора точки начала отсчета системы координат внутри обла?
сти V ? ?сли распределение заряда сферически симметрично? естественно
поместить начало координат в центре системы? и тогда мультипольное
разложение будет сходиться всюду вплоть до границы такой области V ?
?о при отсутствии сферической симметрии область сходимости r > Lсист
никогда не будет совпадать с границами области размещения зарядов V ?
так что конкретный выбор точки начала отсчета координат внутри V
практического значения не имеет?
и сравнительной величины его вкладов?
???
Статика
?бсудим теперь вопрос о скорости сходимости мультипольного разло?
жения? Параметром малости в ????? является отношение |y|/|x| = |y|/r?
При подстановке в ????? и интегрировании по y эту оценку нужно заме?
нить на Lсист /r? ? это и есть реальный параметр малости мультипольно?
го разложения? ?ля пояснения приведем в качестве примера следующую
задачу? пусть известно? что заряды находятся внутри одного кубометра?
а нас интересует потенциал ? на расстоянии ??? метров от этой системы
и мы хотим найти этот потенциал с точностью до 1/100 процента? т? е?
с относительной точностью 10?4 ? ?опрос? сколько членов мультипольного
разложения нужно учитывать? ?твет? по условиям задачи параметром ма?
лости мультипольного разложения является отношение размера системы
?? метр? к расстоянию ???? метров?? т? е? 10?2 ? Это значит? что в муль?
типольном разложении каждый следующий член приблизительно в ???
раз меньше предыдущего? Следовательно? первая поправка к ведущему
вкладу ?и это не обязательно вклад заряда? а любой ?первый ненулевой??
есть 1/100 от него? вторая поправка имеет относительный порядок малости
10?4 ? Эти поправки? согласно заказанной точности? еще нужны? а следу?
ющей поправкой порядка 10?6 уже заведомо можно пренебречь? ?того?
ответ на поставленный вопрос такой? нужен лишь первый отличный от
нуля член мультипольного разложения и две поправки к нему? третья по?
правка уже не нужна?
? заключение приведем формулу для потенциала? создаваемого ?бес?
конечно малым диполем? с заданным дипольным моментом d? ?азывая
систему ?диполем?? мы имеем в виду? что ее полный заряд Q равен нулю?
так что главным в разложении ????? является вклад дипольного момента?
?н равен? согласно ?????? di xi /r3 ? а уточнение ?бесконечно малый? означа?
ет? что параметр разложения ? отношение размера системы к расстоянию
до точки наблюдения ? в данном случае равен нулю? т? е? никаких попра?
вок к дипольному вкладу ????? не требуется? ?того? точный ответ для
потенциала бесконечно малого диполя имеет следующий вид?
? = (dr)/r3 ,
?????
где d ? дипольный момент системы? r ? вектор от диполя в точку наблю?
дения? r ? |r|? Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться в
дальнейшем?
???? ?ультипольное разложение скалярного потенциала
???
?еприводимые мультипольные моменты для системы зарядов
Сферической называется
симметрия по отношению к любым поворотам ? ? а осевой ? симметрия
по отношению к поворотам вокруг некоторой выделенной оси? в качестве
которой всегда будем выбирать ось ???? Симметрия для любого преобра?
зования y ? y = ?y выражается равенством ?(y ) = ?(y)?
Утверждение? если плотность заряда ? инвариантна относительно
некоторого поворота ? ? то все мультипольные моменты T ????? и их непри?
водимые части TЇ также инвариантны? т? е? не изменяются при данном
преобразовании? T = T и TЇ = TЇ?
?оказательство? при любом повороте ? плотность заряда преобра?
зуется по правилу ????? ? (y ) = ?(y)? что при учете условия симметрии
?(y ) = ?(y) приводит к равенству ? (y ) = ?(y )? При его подстановке в
????? получим выражение? отличающееся от ????? только обозначением
переменной интегрирования y ? y ? следовательно? T = T ? что и требова?
лось доказать? Таким образом? инвариантность ? относительно некоторого
поворота ? влечет аналогичную инвариантность всех моментов ?????? т? е?
преобразованные по правилу ???? моменты совпадают с исходными? По?
скольку их неприводимые части TЇ определяются по T однозначно? ясно?
что и для них справедливо сформулированное выше утверждение?
Рассмотрим теперь конкретные случаи?
?? Сферическая симметрия? ? этом случае плотность заряда ? и? как
следствие? все мультипольные моменты системы считаются инвариантны?
ми по отношению к любым поворотам ? ? Полный заряд Q = dy?(y) ин?
вариантен всегда? поэтому симметрия ? не накладывает на него никаких
ограничений? ?ля следующих моментов уже не так? например? дипольный
момент di ? вектор? который при сферической симметрии должен быть ин?
вариантным? следовательно? равным нулю? Это верно и для всех старших
неприводимых мультипольных моментов? что очевидно из доказанного в
п? ??? утверждения? для любого сферически симметричного распределения
зарядов потенциал вне системы есть Q/r? т? е? совпадает с первым чле?
ном разложения ?????? ?тсутствие поправок означает? что все следующие
неприводимые мультипольные моменты равны нулю?
Резюме? при сферической симметрии все неприводимые мультиполь?
ные моменты? кроме заряда? равны нулю?
?амечание? во всех этих рассуждениях очень важно слово ?неприво?
димость?? ?апример? для квадрупольного момента ????? из сферической
симметрии ? следует только то? что Tik ? ?ik ? ?о из добавочного требо?
со сферической или осевой симметрией?
???
Статика
вания неприводимости вытекает? что коэффициент при ?ik должен быть
равен нулю? т? е? неприводимый квадрупольный момент равен нулю?
?? ?севая симметрия? ?удем считать? что ось ??? направлена по оси
симметрии? так что вращения вокруг оси ??? эквивалентны двумерным
вращениям в ортогональной плоскости ??? ??? Согласно приведенному
выше утверждению? все моменты должны быть инвариантными относи?
тельно таких вращений? ?а полный заряд системы Q это не накладывает
никаких ограничений? а для вектора дипольного момента из нашей сим?
метрии следует? что он обязательно должен быть направлен вдоль оси сим?
метрии ???? ?з любопытства можно поставить следующий вопрос? что есть
то минимальное дополнительное требование симметрии? которое гаранти?
рует равенство нулю дипольного момента? ?твет очевиден? это требование
симметрии ?верх?низ? по оси ???? Пример? если распределение заряда ? эл?
липсоид? то дипольный момент равен нулю? а если оно подобно ?груше?
без симметрии ?верх?низ?? то он может быть отличным от нуля?
Рассмотрим теперь квадрупольный момент для системы с осевой сим?
метрией? ?так? пусть ??? ? ось симметрии? ??? ?? ? ортогональная плос?
кость? принимающие значения ?? ? индексы будем обозначать буквами a? b?
Повторяя дословно рассуждение? приведенное в начале п? ???? легко пока?
зать? что по отношению к группе вращений в двумерной плоскости ??? ??
индексы a? b являются векторными? а индекс ??? ? скалярным? Это значит?
что при таких двумерных вращениях величина T33 ? скаляр? величины
Ta3 = T3a ? вектор ?учитываем симметрию T ?? а Tab ? тензор второго ран?
га? ?з сказанного выше следует? что все эти величины должны быть инва?
риантными относительно вращений в плоскости ??? ??? ?а скаляр T33 это
не накладывает никаких ограничений? а вектор Ta3 = T3a должен быть
равным нулю?
Рассмотрим теперь тензор Tab ? это матрица 2 Ч 2? Тензорный за?
кон преобразования Tab = ?ac ?bd Tcd в матричной записи принимает вид
T = ?T ? ? поэтому требование инвариантности T = T при учете свой?
ства ортогональности ? = ? ?1 матриц поворота ? эквивалентно требо?
ванию коммутативности матриц T и ? ? ?сли бы речь шла о трехмерных
вращениях? то из коммутативности матрицы Tik со всеми поворотами ?
следовало бы? что Tik ? ?ik ? ?ля двумерных вращений это уже не так? как
известно? поворот в плоскости ??? ?? задается 2 Ч 2 матрицей ?(?) с эле?
ментами ?11 = ?22 = cos ?? ?12 = ??21 = sin ?? где ? ? угол поворота? Ясно?
что ?(?) есть линейная комбинация единичной матрицы с элементами ?ab и
антисимметричной матрицы e с элементами e11 = e22 = 0? e12 = ?e21 = 1?
???? ?ультипольное разложение векторного потенциала
???
?тсюда следует? что со всеми поворотами ?(?) коммутирует не только
единичная матрица ?как для трехмерных вращений?? но и матрица e? так
что из двумерной симметрии любого тензора T следует? что он является
некоторой линейной комбинацией этих двух матриц?
?о у нас есть добавочное требование симметричности T ? которое запре?
щает вклад в T антисимметричной матрицы e? Поэтому конечный вывод
будет точно таким же? как и для трехмерных вращений? симметричный по
индексам и инвариантный относительно поворотов тензор Tab кратен ?ab ?
Таким образом? мы получаем? что при разбиении тензора Tik на ?ко?
вариантные? по отношениям к двумерным вращениям блоки скаляр T33
может быть произвольным? вектор Ta3 = T3a равен нулю? а тензор Tab
кратен ?ab с двумерными индексами a, b? Это значит? что отличны от нуля
лишь элементы T33 и T11 = T22 ? ?сли добавить к этому еще и требование
неприводимости? получаем связь T11 + T22 + T33 = 0? ?тсюда следует? что
вид матрицы Tik определяется однозначно с точностью до множителя?
?
?
?1 0 0
T = a ? 0 ?1 0? ,
0
0 2
?????
где a ? коэффициент? равный T33 /2? ?ыражение ????? ? окончательный
ответ для неприводимого тензора квадрупольного момента ????? любой
системы с осевой симметрией?
??? ?ультипольное разложение
векторного потенциала A
в магнитостатике?
?агнитный момент
произвольной системы токов
Постановка задачи точно такая же? как в электростатике? пусть есть ло?
кализованное внутри некоторой конечной области V распределение токов
с объемной плотностью j и нас интересует потенциал вдали от системы?
?удем исходить из выражения ????? для векторного потенциала в кулонов?
ской калибровке и подставим в него разложение ?????? ? отличие от элек?
тростатики? мы не будем рассматривать весь ряд? а ограничимся вкладами
???
Статика
двух первых членов разложения ??????
1/|x ? y| = 1/r ? yi ?i (1/r) + ... = 1/r + (yi xi )/r3 + ...,
?????
где r ? |x|? ?i ? ?/?xi ? а многоточие обозначает поправки? которые мы не
будем учитывать? Подставив ????? в интеграл ????? и перейдя к индексным
обозначениям? получим?
As (x) = (1/cr)
dy js (y) + (xp /cr3 )
dy js (y)yp + ...
?????
По соглашению? мы не ставим знак ? ?? над x и y ? хотя это тоже трехмер?
ные векторы?
?ля вычисления входящих в ????? интегралов выведем сначала не?
сколько вспомогательных соотношений? вытекающих из статического
уравнения непрерывности div j = 0 ?????? ?ля согласования с записью
????? переменную интегрирования будем обозначать через y ? а символ
?i понимать как ?/?yi ? ?ргумент ? y ? у функций будем? как правило?
опускать? поскольку он один и перепутать его не с чем?
Переходя к вычислениям? из равенства div j = 0 ????? для произволь?
ной функции F = F (y) с помощью интегрирования по частям получаем
следующее соотношение?
0=
dyF div j =
dyF ?i ji = ?
dy ji ?i F
?????
?поскольку распределение источников считается локализованным? внеин?
тегральные члены отсутствуют? что в дальнейшем всегда подразумевает?
ся?? Подставив в ????? в качестве F функцию F (y) = ys ? получаем?
0=
dy ji ?i ys =
dy ji ?is =
dy js ,
?????
откуда следует? что первый член в мультипольном разложении ????? равен
нулю? Это значит? что ?нет магнитных зарядов? ? аналогичный электри?
ческому заряду Q ?полный магнитный заряд? ????? всегда равен нулю в
силу статического уравнения непрерывности div j = 0?
Подставив теперь в соотношение ????? F = ys yp ? получим следующее
соотношение?
0=
dy ji ?i (ys yp ) =
dy ji (?is yp + ?ip ys ) =
dy(js yp + jp ys ).
?????
???? ?ультипольное разложение векторного потенциала
???
?но позволяет выразить интеграл от произведения yi jk через его антисим?
метричную по индексам часть?
dyyi jk =
dy{[yi jk + yk ji ]/2 + [yi jk ? yk ji ]/2},
откуда с учетом ????? следует? что
dyyi jk =
dy[yi jk ? yk ji ]/2.
?????
Правая часть этого равенства выражается через величину? которую назы?
вают ?магнитным моментом? системы? ?олее точный термин ? ?магнитный
дипольный момент?? но прилагательное ?дипольный? обычно опускается?
?пределение магнитного момента и его свойства? ?агнитным
моментом произвольной системы токов называется величина
m = (1/2c)
dy[y Ч j(y)] = (1/2c)
[y Ч dJ(y)].
?????
?торой вариант ? геометрически?ковариантная запись? пригодная для лю?
бого распределения токов? ? частности? для контура согласно ????? полу?
чаем?
m = (I/2c) [y Ч dy],
?????
где I > 0 ? ток в контуре? с которым согласовано направление dy ? ? записи
?????? ????? мы снабдили знаком ? ?? и переменную y ? так как в формулах
с векторным произведением неестественно писать один множитель с таким
знаком? а другой ? без него?
Поскольку y и j в ????? ? истинные векторы? магнитный момент m ?
псевдовектор? ? силу равенства ????? он является ?первым ненулевым??
следовательно? не зависит от выбора начала отсчета системы координат?
?ернемся теперь к соотношению ?????? ?з определения векторного про?
изведения ясно? что Ai Bk ? Ak Bi = ?ikl [A Ч B]l ? Поэтому из соотношения
????? и определения магнитного момента ????? получаем следующую по?
лезную справочную формулу?
dyyi jk = c?ikl ml ,
?????
в которой m ? магнитный момент системы? Формула ????? будет неодно?
кратно использоваться в дальнейшем?
???
Статика
? мультипольном разложении ????? первый член? как показано выше?
исчезает и главным становится следующий вклад? С помощью соотноше?
ния ????? его можно выразить через магнитный момент? что дает
As (x) = xp ?psl ml /r3 + ... = [m Ч x]s /r3 + ...,
?????
где многоточие ? не учитываемые нами поправки? ?тсюда получаем ана?
логичную ????? формулу для векторного потенциала бесконечно малого
магнитного диполя?
A = [m Ч r]/r3 ,
?????
где m ? магнитный момент диполя? r ? вектор от диполя в точку наблю?
дения?
?агнитный момент плоского витка? ?агнитный момент для лю?
бого замкнутого контура определяется соотношением ?????? ?опустим? что
этот контур ?= ?виток?? плоский и что начало отсчета системы координат
находится в плоскости витка внутри него? ? этом случае вектор [y Ч dy]
в ????? для любого малого участка контура всегда будет направлен пер?
пендикулярно плоскости витка? ?опустим также? что контур выпуклый?
т? е? любой проведенный из начала координат луч пересекает его только
один раз ?потом мы снимем это ограничение?? Тогда можно утверждать?
что все вклады [y Ч dy] имеют одинаковое направление и для интеграла
????? применимо простое правило ?модуль суммы равен сумме модулей??
|m| = (I/2c)
|[y Ч dy]|.
?????
?еличина |[y Ч dy]| имеет простой геометрический смысл? так как для
векторного произведения |[y Ч dy]| = |y||dy|| sin ?|? У нас y ? вектор? на?
правленный из начала координат в произвольную точку на контуре? dy ?
направленный по касательной к контуру в точке y бесконечно малый эле?
мент его длины? ? ? угол между этими двумя векторами? ?сли прове?
сти лучи из начала координат в концы рассматриваемого малого участка
dy ? получим показанный на рис? ??? малый треугольник? ?еличина |dy| ?
его основание? величина |y|| sin ?| ? его высота? следовательно? величина
|[y Ч dy]| = |y||dy|| sin ?| ? удвоенная площадь этого малого треугольника?
?тсюда при суммировании по всем малым элементам контура заключа?
ем? что интеграл в ????? есть удвоенное значение его площади? т? е? для
плоского витка
|m| = IS/c,
?????
???? ?ультипольное разложение векторного потенциала
Рис?
????
?нтеграл
по
Рис?
????
? обобщению
выпуклому плоскому кон?
подхода для плоского не?
туру в формуле ????? име?
выпуклого контура
ет
простой
???
геометриче?
ский смысл
где I ? ток в контуре? S ? площадь витка? ?ектор m ортогонален плоско?
сти витка? а на вопрос ?куда направлен ? вверх или вниз?? объективно?
го ответа не существует? поскольку m ? псевдовектор? и его направление
зависит от выбора системы координат ??левая или правая??? ? ?правой?
системе направление тока в контуре и вектора m согласуются обычным
?правилом штопора??
?ы получили формулу ????? в предположении выпуклости контура?
что гарантировало одинаковое направление ??верх или низ?? для вкладов
всех его участков? ?о ответ ????? верен для любого плоского витка? на?
пример? показанного на рис? ???? При отсутствии выпуклости луч? про?
веденный из начала координат? может пересекать контур несколько раз
?это число всегда нечетное?? в нашем примере ?см? рис? ???? есть три пе?
ресечения? При каждом новом пересечении направление движения тока
по отношению к направлению вектора y меняет знак? ?бозначив через
dSi вклады в площадь треугольника от нумерованных цифрами ?? ?? ? на
рис? ??? областей? заключаем? что вклад от первого пересечения кратен
dS1 ? от второго ?dS1 ? dS2 ?минус из?за изменения направления тока?? от
третьего dS1 + dS2 + dS3 ? Складывая? получаем dS1 + dS3 ? т? е? дифферен?
циал площади самого витка? Тем самым показано? что ответ ????? верен
для любого плоского витка независимо от его свойств выпуклости?
???
Статика
??? Силы и моменты сил? действующие
на распределенные источники
?бщие формулы? ?опрос ставится так? чему равна сила dF и создавае?
мый ей ?крутящий момент? dN ? действующие на любой малый элемент
среды с заданными плотностями заряда и тока ?? j в заданном поле?
?твет нам фактически уже известен? поскольку речь идет о силе ?оренца?
определяющейся соотношениями ?????? ?????? а ?крутящий момент? ? век?
торное произведение ?плеча на силу?? ?ля удобства читателя воспроизве?
дем здесь формулы ?????? ????? для дифференциала силы dF (x)? действу?
ющей на бесконечно малый объем среды d3 x ?? dx по соглашению? вокруг
точки x?
dF (x) = dx{?E + [j Ч H]/c} = EdQ + [dJ Ч H]/c.
?????
Первая запись ? для объемного распределения зарядов и токов? вторая ?
для любого при должной интерпретации величин dQ и dJ ?
?омент силы N ?? ?крутящий момент?? определяется в механике как
векторное произведение ?плеча на силу?? Поэтому в нашем случае диффе?
ренциал момента dN ? действующего на малый элемент среды с объемом dx
вокруг точки x есть
dN (x) = [x Ч dF (x)]
?????
Полные силы и моменты? действующие на всю систему источников? полу?
чаются интегрированием величин ?????? ?????? Фактически формулы ??????
????? содержат полный ответ на все поставленные вопросы? все дальней?
шее ? их детализация и пояснения?
?тсутствие ?самодействия? для полных сил и моментов? ? об?
щем случае действующее на элемент среды поле есть сумма двух вкладов?
?? поле? создаваемое самой системой и ?? некоторое заданное внешнее поле?
?о для действующих на систему полных сил и моментов важен только вто?
рой вклад? что мы и называем ?отсутствием самодействия?? Это означает?
что суммарная сила и ее момент от собственного поля системы должны
быть равными нулю? Это очевидно? так как в противном случае система
могла бы ?саморазгоняться? или ?самораскручиваться? за счет действую?
щих внутри нее сил? что противоречило бы законам сохранения импульса
и момента импульса?
?з этих общих соображений мы уверены? конечно? в ?отсутствии само?
действия? для полных сил и моментов? но для конкретности желательно
убедиться в этом непосредственно из формул ?????? ??????
???? Силы и моменты сил в системе распределенных источников
???
?ы рассмотрим только один самый простой пример в электростатике ?
действующую на систему зарядов полную силу F ? создаваемую ее соб?
ственным полем? ?з соотношения ????? имеем? Fi = dx?(x)Ei (x)? где
Ei (x) = ??i ?(x) ? напряженность электрического поля? создаваемого са?
мой системой? Подставив сюда выражение ????? для потенциала? с учетом
первого равенства ????? получаем?
Fi =
=
dx?(x)(??/?xi )
dx
dy?(y)/|x ? y| =
dy?(x)?(y)(xi ? yi )/|x ? y|3 = 0,
так как подынтегральное выражение нечетно относительно перестановки
векторных аргументов x и y ?это точный аналог утверждения о равенстве
нулю ?свертки симметричного с антисимметричным? для матриц??
?так? мы доказали ?отсутствие самодействия? для полной силы F в
электростатике? Точно так же доказываются и все другие утверждения
этого типа ? равенство нулю создаваемого собственным полем полного
крутящего момента N в электростатике и аналогичные утверждения для
магнитостатики? проверку предоставляем читателю?
?ультипольные разложения для полных сил и моментов?
?удем счи?
тать? что система локализована? т? е? ее источники ?? j сосредоточены в
некоторой конечной области пространства V ? и что она находится в неко?
тором заданном внешнем поле? ?ас будут интересовать лишь полные силы
и моменты? действующие на всю систему? ?ыше было показано? что соб?
ственное поле системы в эти величины не дает вклада? т? е? существенно
лишь считающееся заданным внешнее поле? ?тветы для полных сил F
и моментов N известны из соотношений ?????? ????? ?формулы приводим
отдельно? первый вариант ? электростатика? второй ? магнитостатика??
действующих на систему в заданном внешнем поле?
F =
dx?(x)E(x),
F = c?1
dx[j(x) Ч H(x)],
?????
N=
dx?(x)[x Ч E(x)],
N = c?1
dx[x[j(x) Ч H(x)]].
?????
?ультипольные разложения для этих величин получаются при под?
становке в них тейлоровских разложений по координатам вокруг любой
точки внутри системы напряженностей внешних полей E и H ? Это приво?
дит к рядам? коэффициенты которых выражаются через обычные мульти?
???
Статика
польные моменты системы? ?сли поместить начало координат где?нибудь
внутри области размещения зарядов V ? то естественно использовать тей?
лоровское разложение по x в окрестности начала координат?
Ei (x) = Ei
Символом
0
0
+ xk ?k Ei
0
+ ...,
Hi (x) = Hi
0
+ xk ?k Hi
0
+ ...
?????
уточняется? что значения функций E ? H и их производных
берутся в точке разложения x = 0 ?начало координат?? Подстановка ?????
в формулы ????? и ????? приводит к искомым мультипольным разложе?
ниям для величин F и N ? Ясно? конечно? что такие разложения будут
?хорошими? лишь тогда? когда внешние поля E ? H являются достаточно
гладкими в области размещения источников? т? е? достаточно хорошо вос?
производятся начальными отрезками рядов ????? ?для пояснения приве?
дем пример ?плохой функции? ? нечто вроде f (x) ? sin(kx)? совершающей
много колебаний в пределах области размещения источников??
Рассмотрим первые члены мультипольных разложений для F ? ? элек?
тростатике из ????? и ????? получаем?
Fi =
dx?(x) Ei
= Ei
+ xk ?k Ei
dx?(x) + ?k Ei
0
= QEi
0
0
+ dk ?k Ei
0
0
0
+ ... =
?????
dx?(x)xk + ... =
+ ...,
где Q ? полный заряд системы? d ? ее дипольный момент? Ясно? что при
учете следующих членов в разложении ????? мы получили бы вклады
квадрупольного и т? д? моментов?
?налогично в магнитостатике имеем ?для силы F в ????? переходим к
индексным обозначениям??
Fi = c?1 ?ikl
dxjk (x)Hl (x) = c?1 ?ikl
= c?1 ?ikl Hl
0
dxjk (x) + ?s Hl
0
dxjk (x) Hl
0
+ xs ?s Hl
dxxs jk (x) + ... .
0
+ ... =
?????
?ходящие сюда интегралы известны из справочных формул ??????
?????? первый из них равен нулю ??отсутствие магнитных зарядов???
???? Силы и моменты сил в системе распределенных источников
???
а второй выражается через магнитный момент системы m? ? итоге полу?
чаем?
Fi = c?1 ?ikl · c?skp mp ?s Hl
0
= (?is ?lp ? ?ip ?ls )mp ?s Hl
+ ... =
0
+ ... = ml ?i Hl
0
? mi ?l Hl
?????
0
+ ...
?торое выражение в правой части равно нулю в силу уравнения ?аксвелла
div H = 0? поэтому окончательно
Fi = mk ?i Hk
0
?????
+ ...
?тсюда? в частности? следует? что для однородного магнитного поля
H = const действующая на любую систему токов полная сила F равна
нулю? ? она может порождаться только неоднородностью поля? ?лияние
однородного поля на систему проявляется в ?крутящем моменте? N ? явное
выражение для которого нетрудно получить из соотношений ????? и ??????
?????
N = [m Ч H].
Предлагаем читателю вывести эту формулу в качестве упражнения? ?т?
метим? что ответ ????? с точностью до множителя легко найти из общих
соображений? нам известно? что N , m, H ? псевдовекторы? и что ответ для
N линеен по m и H ? ?тсюда однозначно следует? что искомое выражение
есть векторное произведение ????? с точностью до множителя?
? заключение приведем нужные для дальнейшего формулы для сил?
действующих на бесконечно малый электрический или магнитный диполь
в заданном внешнем поле? ? электростатике называя систему ?диполем?
мы всегда имеем в виду? что ее полный заряд Q равен нулю? поэтому глав?
ным в любом мультипольном разложении становится дипольный вклад?
? магнитостатике этого уточнения не требуется? поскольку вклад диполь?
ного ?магнитного? момента там всегда главный из?за отсутствия ?магнит?
ных зарядов? в силу соотношения ?????? Термин ?бесконечно малый? озна?
чает? что в мультипольных разложениях не нужно учитывать поправок?
так что дипольные вклады можно понимать как точные ответы? ? на?
шем случае рядов ?????? ????? уточняющий символ
также становится
0
ненужным? поскольку для бесконечно малого ?= ?точечного?? диполя под
внешними полями и их производными в ответах всегда подразумеваются?
естественно? значения этих величин в точке расположения диполя? ? еще
???
Статика
одно замечание? дипольный вклад в ????? имеет вид dk ?k Ei ? но его можно
переписать и в виде dk ?i Ek в силу равенства ?k Ei ??i Ek = 0? вытекающего
из уравнения ?аксвелла rot E = 0 в электростатике?
Поэтому конечные ответы для силы F ? действующей со стороны внеш?
него поля на бесконечно малый диполь? мы будем записывать следующим
образом?
Fi = dk ?i Ek ?электр??, Fi = mk ?i Hk ?магнит??.
?????
?ни нам понадобятся в дальнейшем? когда мы будем обсуждать вопрос о
силах? действующих на бесконечно малые элементы среды в диэлектриках
и магнетиках?
??? Потенциальная энергия
системы зарядов или токов
в заданном внешнем поле
?ля любой системы потенциальной энергией U
называют такую величину? приращение которой ?U при изменении состо?
яния системы равно требующейся для данного изменения работе внеш?
них сил ?Aв? с? ? ?о это понятие можно ввести только тогда? когда работа
?Aв? с? не зависит от ?пути перемещения?? Поясним? если обозначить через
A и B начальное и конечное состояния системы? то переход A ? B можно
осуществить? как правило? разными путями? ?ажно? чтобы для любого
из них величина ?Aв? с? была бы одной и той же? ? только в этом слу?
чае величину ?Aв? с? можно интерпретировать как не зависящее от пути
приращение потенциальной энергии ?U = U (B) ? U (A)?
?апомнив этот общий принцип? вернемся к электродинамике? Под ?си?
стемой? мы будем понимать любую локализованную систему зарядов или
токов? находящуюся в заданном внешнем поле? Под ?состоянием системы?
будем понимать ее положение в пространстве? а под ?изменением состоя?
ния? ? пространственное смещение ?трансляцию? системы ?как целого? с
сохранением ее ориентации в пространстве и внутренней конфигурации
зарядов и токов?
?опустим? что система как целое смещается на некоторый бесконечно
малый вектор a? и будем выполнять все вычисления лишь с точностью до
вкладов первого порядка по a? ?аша задача ? найти нужную для такого
смещения ?работу внешних сил? ?Aв? с? ? Это легко сделать с помощью
?бщие соображения?
???? Потенциальная энергия зарядов или токов во внешнем поле
???
полученных в предыдущем разделе формул для полной силы F ? действу?
ющей на систему со стороны поля? ?о здесь необходимо уточнение? по?
скольку нас интересует работа ?внешней силы?? а не той? которая создается
полем?
Поясним это на примере системы зарядов в поле E ? ?но действует на
систему с известной из ????? силой F ? Fполя ? ?о нам нужна еще некото?
рая другая ?внешняя сила?? по величине совпадающая с ?силой поля?? но
противоположная по направлению?
?????
Fвн = ?Fполя ,
которая? действуя совместно с силой поля? удерживает систему в равнове?
сии? Происхождение этой внешней силы значения не имеет? ?апример? для
наглядности можно себе представить? что некий наблюдатель удерживает
систему зарядов ?руками?? не позволяя ей смещаться под действием силы
поля? ?атем он немного ослабляет воздействие? позволяя системе бесконеч?
но медленно ?т? е? квазистатически? сместиться на некоторое расстояние
?вектор? a? Условие квазистатичности означает? что мы можем пренебре?
гать всеми эффектами? связанными с понятием кинетической энергии? и
что в процессе перемещения системы равенство ????? все время остается
выполненным? Тогда механическая работа внешней силы ?Aв? с? при сме?
щении на вектор a вычисляется по стандартному правилу ?сила на путь??
?Aв? с? = (aFвн ) = ?(aFполя )
?????
с Fполя ? F из ?????? Руководствуясь этими общими соображениями? пе?
реходим теперь к конкретным вычислениям?
Электростатика? энергия системы зарядов в заданном внешнем
?так? пусть есть некоторая локализованная система зарядов с за?
данной плотностью ?(x)? находящаяся в заданном внешнем поле E(x)? ?ы
смещаем систему как целое на некоторый бесконечно малый вектор a и
хотим найти нужную для такого смещения работу внешних сил ??????
?з соотношения ????? и формулы ????? для Fполя ? F получаем?
поле?
?Aв? с? = ?ai
dx?(x)Ei (x) =
dx?(x)ai ?i ?(x),
где ?(x) ? потенциал внешнего поля? Ei (x) = ??i ?(x)? ?ыполнив интегри?
рование по частям? имеем?
?Aв? с? = ?
dx?(x)ai ?i ?(x).
?????
???
Статика
?ходящую сюда величину ai ?i ?(x) можно представить с нужной точ?
ностью ?первый порядок по a? в виде разности ?начальной плотности за?
ряда для системы до сдвига? ?нач (x) = ?(x) и ?конечной плотности заряда
для системы после сдвига? ?кон (x) = ?(x ? a)?
?нач (x) ? ?кон (x) = ?(x) ? ?(x ? a) = ai ?i ?(x) + ...,
где многоточием обозначены несущественные поправки высшего порядка
по a? Подставив это выражение в ?????? получаем?
?Aв? с? =
dx?(x)[?кон (x) ? ?нач (x)] ? Uкон ? Uнач
?????
с величиной
U=
?????
dx?(x)?(x),
которую и следует считать потенциальной энергией системы зарядов в
заданном внешнем поле? ?тметим? что вид ответа ????? автоматически
снимает вопрос о независимости работы внешних сил от пути перемеще?
ния? поскольку на каждом малом участке этого пути прирост энергии ?????
есть разность ?конечная минус начальная?? то это будет верно и для лю?
бого пути? составленного из таких малых участков? ?тметим также? что
для точечного заряда подстановка в ????? в качестве ? выражения ????? с
? ?функцией приводит к хорошо известной формуле U = e? с потенциалом
? в точке расположения заряда?
?агнитостатика?
механическая
потенциальная
энергия
Постановка задачи здесь
точно такая же? как и в электростатике? для некоторой локализованной
системы токов рассматривается ее малое смещение как целого и вычисля?
ется механическая работа внешней силы ????? с известной из ????? силой
F ? Fполя ? При вычислении нужно учитывать равенство H = rot A и урав?
нение непрерывности div j = 0? ? конечном итоге получим аналогичное
????? соотношение ?Aв? с? = Uкон ? Uнач с величиной U ? U мех ?
системы токов в заданном внешнем поле?
U мех = ?c?1
dx(Aj) = ?c?1
(AdJ),
?????
которую будем называть ?механической потенциальной энергией системы
токов в заданном внешнем поле?? ?ывод соотношения ????? осуществля?
ется по той же схеме? как и в электростатике? и мы предоставляем его
читателю в качестве упражнения?
???? Потенциальная энергия зарядов или токов во внешнем поле
???
?ля замкнутого контура с учетом расшифровки величины dJ в ?????
выражение ????? принимает следующий вид?
U мех = ?c?1 I
?????
(Adx).
?ходящий сюда интеграл есть циркуляция вектора A по контуру? которую
можно превратить с помощью теоремы Стокса в поток вектора H = rot A
через любую натянутую на контур поверхность ?от ее выбора ответ не
зависит?? ? итоге получаем?
U мех = ?c?1 I?, где ? =
Hn ds.
?????
?десь I ? ток в контуре? ? ? магнитный поток через ограниченную им
поверхность?
?агнитостатика?
полная
потенциальная
энергия
системы
?ы называем величину ????? ?меха?
нической потенциальной энергией?? поскольку при ее вычислении учиты?
валась только механическая работа внешних сил ?????? ? электростатике
ничего другого и не требуется? а в магнитостатике это не так? ?ело в том?
что во всех наших рассуждениях предполагается неизменность ?внутрен?
ней конфигурации? зарядов и токов? ? рассматриваются лишь смещения
системы ?как целого?? Теперь можно поставить вопрос? а не должны ли
?внешние силы? тратить дополнительную работу на поддержание неиз?
менности внутренней конфигурации источников? ? электростатике ответ
отрицательный? заряды можно представлять себе как бы ?вмороженны?
ми? в некоторую непроводящую среду ?ясно? что термин условный? и
для поддержания их в таком состоянии никакой дополнительной работы
не требуется ? нужна лишь ?жесткость среды?? ? магнитостатике дело
обстоит иначе? ?ля простоты рассмотрим некоторый контур в заданном
поле? При перемещении контура меняется магнитный поток ? сквозь него?
что по закону электромагнитной индукции ??? приводит к возникновению
в контуре ?фарадеевской Э?С? ?Э?С = ?электродвижущая сила??? а она?
в свою очередь? будет приводить к изменению тока I в контуре? ?о мы
хотим рассматривать задачу с ?фиксированной внутренней конфигурацией
источников?? в частности? с фиксированным током для контура?
Чтобы добиться этого? нужно допустить наличие некоторого внешнего
воздействия? условно? ?внешней силы?? которое противодействует фара?
деевской Э?С и не позволяет ей менять ток в контуре? Простейшая и
токов в заданном внешнем поле?
???
Статика
естественная модель такого противодействия ? некоторая включенная в
контур ?внешняя Э?С?? компенсирующая фарадеевскую?
E вн = ?E фар
?????
?отметим аналогию с формулой ??????? Совершаемая этой внешней Э?С
работа ?по поддержанию постоянным тока I в контуре? добавляется к
чисто механической ?сила на путь? работе ????? и должна включаться в
полную работу внешних сил при определении понятия ?полной потенци?
альной энергии системы токов?? ?о и это еще не все? оказывается ?и на
первый взгляд это удивительно?? что при нашей постановке задачи с неко?
торым фиксированным внешним полем на поддержание его ?постоянства?
тоже нужно затрачивать работу? включая ее? естественно? в полную работу
внешних сил?
Разобраться в этой довольно сложной картине энергетики проще всего
можно на примере двух взаимодействующих контуров ?? ? с токами I1,2 и с
любой их геометрией ?т? е? контуры не должны быть одинаковыми?? ?аж?
дый из этих двух контуров создает ?внешнее поле? для другого? так что
если удерживать? например? контур ? неподвижным и смещать контур ??
то мы остаемся в рамках задачи о перемещении системы ?т? е? контура ??
в заданном внешнем поле ?т? е? в поле контура ???
По формуле ????? можно найти ?механическую потенциальную энер?
мех
гию контура ? в поле контура ??? U12
= ?c?1 I1 ?12 ? где I1 ? ток в кон?
туре ?? а ?12 ? магнитный поток сквозь него? создаваемый полем второго
мех
контура? ?налогично можно ввести величину U21
= ?c?1 I2 ?21 ? механи?
ческую потенциальную энергию второго контура в поле первого? ?з общих
соображений типа третьего закона ?ьютона ясно? что эти две величины
должны быть равными и их поэтому можно называть ?механической по?
тенциальной энергией взаимодействия контуров??
мех
мех
U12
= ?c?1 I1 ?12 = ?c?1 I2 ?21 = U21
.
?????
Это нетрудно строго доказать с помощью соотношения ????? для одного из
контуров? подставив в него получаемое из ????? выражение для векторного
потенциала второго контура? проверку предоставляем читателю?
?ернемся теперь к нашей основной задаче ? вычислению добавочной
работы ?Aпод ? которую должны затрачивать ?внешние силы? ?т? е? ?внеш?
няя Э?С?? на поддержание постоянным тока в каждом из контуров? ?дея
???? Потенциальная энергия зарядов или токов во внешнем поле
???
вычисления проста? выражение для фарадеевской Э?С известно из соот?
ношения ??? ?напомним? что Э?С? по определению? есть входящая в ???
циркуляция вектора E ?? по нему находим ?внешнюю Э?С? из ?????? ?ощ?
ность работы любой Э?С E ? произведение E на ток в контуре I ? сама
работа за малый интервал времени ?t ? произведение мощности на ?t?
?спользуя эти простые соображения? рассмотрим сначала работу
?Aпод
1 ? нужную для поддержания постоянства тока в первом контуре?
?з закона электромагнитной индукции ??? с обозначением
Hn ds ? ?
для магнитного потока при учете соотношения ????? получаем?
E1фар = ?c?1 ?t ?12 = ?E1вн ? ?тсюда находим? ?Aпод
= ?tI1 E1вн =
1
?1
?1
c I1 ?t?t ?12 = c I1 ??12 ?использовано соотношение ?t?t ?12 = ??12 для
приращения магнитного потока за малое время перемещения системы??
?того? мы получили следующее выражение для работы внешних сил?
необходимой для поддержания постоянства тока в первом контуре?
?Aпод
= c?1 I1 ??12 .
1
?????
Рассуждая точно так же? для работы на поддержание постоянным тока
во втором контуре мы получили бы ответ ?Aпод
= c?1 I2 ??21 ? который в
2
силу равенства ????? совпадает по величине с ?????? ?Aпод
= ?Aпод
2
1 ? т? е?
работа ?на поддержание токов? в двух контурах одинакова?
?ыражение ????? отличается лишь знаком от вариации при постоянных
токах величины ?????? Поскольку эта вариация имеет смысл механической
работы внешних сил? заключаем? что
?Aпод
= ?Aпод
= ??Aмех .
1
2
?????
Тогда полная работа внешних сил ?Aполн = ?Aмех + ?Aпод
+ ?Aпод
от?
1
2
полн
мех
личается от механической лишь знаком? ?A
= ??A ? ?сли ввести
полн
?полную потенциальную энергию взаимодействия контуров? U12
? прира?
щение которой равно полной работе внешних сил? то из сказанного выше
вытекает простое соотношение?
полн
мех
U12
= ?U12
.
?????
?ы получили эту формулу для конкретного случая двух взаимодей?
ствующих контуров с током? ?о ее простота и логическая прозрачность вы?
вода позволяют легко обобщить ее на случай произвольной системы токов
в произвольном заданном внешнем поле? полная потенциальная энергия
???
Статика
системы токов отличается от механической потенциальной энергии ?????
только знаком? т? е?
U полн = ?U мех = c?1
dx(Aj) = c?1
(AdJ).
?????
?ная этот ответ и идеологию его вывода? читатель может попробовать
получить общую формулу ????? самостоятельно без обращения к простой
модели двух взаимодействующих контуров?
?аключительные замечания?
?? ? рассмотренной выше конкретной задаче один из контуров рас?
сматривался как ?система токов?? а второй ? как источник действующего
на эту систему внешнего поля? ?бобщая первое равенство ?????? можно
сказать? что работа внешних сил? необходимая для поддержания постоян?
ства внутренней конфигурации системы токов? совпадает по величине с
работой? необходимой для поддержания постоянства внешнего поля?
?? Сейчас мы обсуждаем магнитостатику? к ней и относится оконча?
тельная формула ?????? ?о в процессе ее вывода нам пришлось исполь?
зовать на промежуточных этапах динамический закон индукции Фарадея
с производной по времени ?t ? магнитного потока ?? Это неизбежно? по?
скольку именно в эффекте электромагнитной индукции содержится суть
дела? ? конечном ответе мы избавляемся от ?t ? с помощью соотношения
?t?t ? = ??? что позволяет вернуться к чисто статической терминологии?
Такая же логика будет использоваться впоследствии при обсуждении тер?
модинамики магнетиков? Там же будет приведено и обоснование соотноше?
ния ????? без использования модели двух взаимодействующих контуров?
?? ?ультипольное разложение для величин ?????? ????? строится точно
так же? как и для рассмотренных в предыдущем разделе полных сил и
моментов? т? е? подстановкой в ответы тейлоровских разложений по коор?
динатам для внешних полей? По дипольным вкладам в таких разложениях
можно найти выражения для потенциальной энергии бесконечно малого
диполя в заданном внешнем поле?
???? Собственная потенциальная энергия зарядов или токов
???
??? Собственная потенциальная энергия
системы зарядов или токов
?энергия в собственном поле?
? предыдущем разделе мы определили понятие потенциальной энергии
системы зарядов или токов в заданном внешнем поле? Теперь мы хотим
ввести понятие ?собственной потенциальной энергии?? т? е? энергии системы
в создаваемом ею собственном поле ?внешнее считаем отсутствующим??
?дея определения данного понятия проста? разбиваем мысленно си?
стему зарядов или токов на малые ?кусочки? = ?элементы? и определяем
собственную энергию системы как сумму энергий взаимодействия всех ее
частей в пределе ?бесконечно малого дробления?? ? логическом отношении
важно? что понятие ?энергия одного элемента в поле другого? уже опреде?
лено? так как поле ?другого элемента? можно понимать как внешнее для
первого элемента? ?аша задача ? доказать существование такого предела
и его независимость от ?способа дробления? при разумных предположе?
ниях о поведении источников и? разумеется? предъявить явные ответы?
Под ?энергией системы во внешнем поле? в электростатике понимается вы?
ражение ?????? а в магнитостатике ? полная потенциальная энергия ??????
Электростатика? ?так? пусть есть некоторая локализованная
система зарядов с заданной плотностью ?(x)? Создаваемое системой соб?
ственное поле известно из соотношения ?????? внешнего поля нет? Разобьем
систему зарядов мысленно на малые ?кусочки? = ?элементы?? нумеруя их
индексами i, k, ... ?аждый из таких малых элементов ? тоже ?система
зарядов? с плотностью ?i (x)? являющейся сужением полной плотности
?(x) на область пространства Vi ? занимаемую данным элементом? ?i (x) =
?(x) при x ? Vi и ?i (x) = 0 при x ? Vi ? ?тсюда вытекает очевидное
равенство?
?(x) =
?i (x).
?????
i
?бозначим через Uik потенциальную энергию элемента i во внешнем
поле? создаваемым другим элементом k ? ?з соотношений ?????? ????? по?
лучаем?
Uik =
dx?i (x)?k (x) =
dxdy?i (x)?k (y)/|x ? y|.
?????
?тсюда видно? что Uik = Uki ? как и должно быть из общих соображений?
?ругой важный момент? соотношение ????? можно считать определением
???
Статика
величины Uii ? которую нельзя истолковать как ?потенциальную энергию
одного элемента в поле другого??
?з приведенного в начале раздела общего принципа следует? что ?соб?
ственной энергией системы? является сумма энергий взаимодействия всех
ее частей в пределе бесконечно малого дробления? т? е? в данном случае
Uik с суммированием по i < k ?поскольку энергия взаимодействия эле?
ментов i и k должна учитываться однократно?? Пользуясь симметрией
Uik = Uki ? сумму по i < k можно переписать в виде полусуммы по i = k ?
а затем ? в виде суммы по всем ik минус сумма ее диагональных вкладов?
U соб = lim
Uik =
i<k
1
lim
2
Uik ?
ik
Uii .
?????
i
Символ ? lim? здесь и далее обозначает предел ?бесконечно малого дроб?
ления? ?уточнение ниже??
?бозначим в ????? через N 1 и N 2 два вклада в скобке {...}? Покажем?
что вклад N 1 не зависит от способа дробления системы? а вклад N 2 в пре?
деле бесконечно малого дробления исчезает? ?ействительно? для вклада
N1 =
Uik с Uik из ????? суммирование по всем i, k можно внести под
знак интегрирования? что даст в подынтегральном выражении величину
?i ?i (x)?k ?k (y) = ?(x)?(y) в силу соотношения ?????? ?того?
N1 ?
Uik =
dxdy?(x)?(y)/|x ? y|.
?????
ik
?з ответа видно? что данный вклад не зависит от способа разбиения
системы? поэтому символ ? lim? в ????? перед ним можно опустить?
Рассмотрим теперь вклад N 2 в ?????? ?удем считать ?разумным пред?
положением? ограниченность плотности заряда? |?(x)| < const? При оценке
вклада N 2 =
Uii для конкретности предположим? что система разбита
на малые кубики со стороной a? и нас интересует предел a ? ?? Ясно?
что число таких кубиков есть величина порядка a?3 ? отношение фик?
сированного объема системы к объему кубика ? a3 ? С другой стороны?
определяемый из соотношения ????? с i = k вклад одного кубика Uii при
|?| < const оценивается по размерности величиной порядка a5 ?в ????? два
интегрирования по трехмерному пространству и один множитель |x ? y|
с размерностью длины в знаменателе?? Таким образом? вклад N 2 =
Uii
оценивается как произведение числа кубиков ? a?3 на вклад каждого из
них ? a5 ? что дает величину порядка a2 ? исчезающую в пределе a ? 0?
???? Собственная потенциальная энергия зарядов или токов
???
?того? предел a ? 0 в ????? существует и совпадает с известным из
????? вкладом N 1 в ??????
U соб =
1
2
dxdy?(x)?(y)/|x ? y| =
1
2
dx?(x)?(x),
?????
где ?(x) ? потенциал ?????? создаваемый самой системой?
Сравнивая последнее выражение в ????? и ?????? видим? что различие
лишь в добавочном коэффициенте 1/2 в ????? и в интерпретации ?(x)?
в ????? это произвольный потенциал внешнего поля? а в ????? ? потенциал?
создаваемый самой системой?
?ыражение ????? получено для объемного распределения зарядов в
предположении ограниченности плотности ?(x)? ? иных случаях? напри?
мер? для распределенных по поверхностям или линиям зарядам формулой
????? можно пользоваться лишь при условии сходимости входящих в нее
интегралов? Ясно? что для точечного заряда ответ ????? не имеет смыс?
ла? так как его потенциал ? ? 1/r в самой точке расположения заряда
r = 0 обращается в бесконечность? ?онечно? это следствие идеализации?
заключенной в самом понятии ?точечный заряд?? ? в реальной жизни все
?размазано?? ?ля системы точечных зарядов {ea } корректно определена
энергия их взаимодействия ?Uab с суммированием по a < b? а собственная
энергия Uaa каждого из зарядов смысла не имеет?
?агнитостатика? ?се сказанное выше об электростатике переносит?
ся на магнитостатику практически дословно и конечный результат ана?
логичен ?????? собственная полная потенциальная энергия системы токов
отличается от энергии во внешнем поле ????? только добавочным коэффи?
циентом 1/2 и интерпретацией векторного потенциала A? который теперь
считается потенциалом ?????? создаваемым самой системой?
U соб =
1
2c2
dxdy(j(x)j(y))/|x ? y| =
1
2c
dx(A(x)j(x)),
?????
согласно соотношениям ????? и ?????? ?аменой dxj(x) ? dJ(x) получим
геометрически?ковариантную запись ?????? пригодную при должной ин?
терпретации dJ для любой геометрии системы токов? ? частности? для
контуров dJ(x) = Idx согласно ?????? ?ля одного контура интеграл по
x, y в ????? логарифмически расходится из?за ?нуля? |x ? y| при y ? x в
знаменателе для пробегающих по одному контуру переменных x и y ? ?ля
системы из нескольких контуров? как и для точечных зарядов? корректно
???
Статика
определенной величиной является Uab ? энергия взаимодействия контура
? a? с контуром ? b??
Uab = Lab Ia Ib , где Lab = c?2
(dxdy)/|x ? y|.
?????
(a) (b)
?е зависящую от токов величину Lab называют коэффициентом взаим?
ной индукции контуров ? a? и ? b?? переменная x в интеграле для Lab про?
бегает по контуру ? a?? а переменная y ? по контуру ? b?? ?з ????? видно?
что Lab = Lba и Uab = Uba ?
Положив в ????? формально a = b? мы определяем величину Laa ?
коэффициент самоиндукции контура ? a?? ?ак уже говорилось? для иде?
ального контура с бесконечно тонким проводом эта величина расходится?
?о очевидно? что это результат ?идеализации?? если считать поперечное
сечение провода сколь угодно малым? но конечным? то коэффициент са?
моиндукции Laa будет конечным?
Полная потенциальная энергия для системы взаимодействующих кон?
туров в обозначениях ????? имеет вид
U соб =
1
2
Lab Ia Ib .
?????
ab
Сумма вкладов с a = b ? энергия взаимодействия контуров? вклады
с Laa ? собственная энергия контуров с указанными выше оговорками?
Переход от энергии системы к энергии поля? Покажем? что опре?
деленная выше собственная потенциальная энергия системы совпадает с
энергией создаваемого ею поля? т? е? это всего лишь разные интерпретации
одной и той же величины?
?ачнем с электростатики? в которой собственная потенциальная энер?
гия системы определяется соотношением ????? с созданным самой систе?
мой потенциалом ? ?????? ?ходящую в ????? величину ? можно выразить
через ? с помощью соотношения ?????? 4?? = ??? = ??i ?i ?? откуда сле?
дует ? = ??i ?i ?/4? ? Подставив это выражение для ? в ????? и перебросив
интегрированием по частям одну из производных ?i на второй сомножи?
тель? с учетом равенства Ei = ??i ? получаем?
U соб =
dx??/2 = ?
dx??i ?i ?/8? =
dx?i ??i ?/8? =
dxE 2 /8?.
?????
???? ?иэлектрики и магнетики ?статика?
???
При сравнении с известным из ????? выражением W = (E 2 + H 2 )/8? для
плотности энергии электромагнитного поля видим? что в электростатике
собственная потенциальная энергия системы зарядов совпадает с энергией
создаваемого ей электрического поля? Это справедливо и для магнитоста?
тики? с помощью уравнения ?аксвелла rot H = (4?/c)j нетрудно показать?
что полная собственная энергия системы токов ????? может быть преоб?
разована к виду dxH 2 /8? ? т? е? совпадает с энергией магнитного поля?
создаваемого данной системой токов?
?так? собственная потенциальная энергия системы зарядов или токов
совпадает с энергией создаваемого этой системой поля? т? е? фактически
это просто разные варианты интерпретации одной и той же величины? По?
этому нужно следить за тем? чтобы эта величина не учитывалась дважды
в различных соотношениях баланса энергии?
??? ?иэлектрики и магнетики
?статика?
?о сих пор речь шла о полях в вакууме? Теперь мы
переходим к обсуждению уравнений электродинамики для материальных
сред ? диэлектриков и магнетиков?
Скажем сначала несколько слов о классификации ?металл ? диэлек?
трик?? ? общем случае в среде под воздействием электрического поля E
возникает ток j = ? E ? коэффициент ? называют проводимостью? ? лю?
бой реальной среде эта величина конечна? но в теории для упрощения
всегда предпочитают иметь дело с идеализированными системами? типич?
ный пример ? ?материальная точка?? ? нашем случае такой идеализацией
являются понятия ?идеального металла? и ?идеального диэлектрика?? ? в
первом случае ? = ?? во втором ? = 0? ? дальнейшем термины ?металл? и
?диэлектрик? понимаются именно таким образом? уточнение ?идеальный?
подразумевается?
? металле сколь угодно слабое поле E приводит к появлению беско?
нечно сильного тока j ? что в статике невозможно? ?тсюда следует? что
внутри металла E = 0? а соответствующий потенциал ? ? константа? ?и?
каких объемных зарядов внутри металла быть не может ?ибо ?? = ?4??
и ? = const?? допустимы лишь поверхностные заряды на границе метал?
лического тела?
?бщее описание?
???
Статика
? диэлектриках ? = 0? т? е? поле E не порождает токов? ?сновной
механизм воздействия поля на среду ? возникновение поляризации? т? е?
электрического дипольного момента у каждого малого элемента среды?
?оличественной характеристикой этого эффекта является ?вектор поля?
ризации? P ? дипольный ?электрический? момент единицы объема? Это
значит? что бесконечно малый объем dx вокруг точки x имеет дипольный
момент P (x)dx?
?сть два типичных механизма возникновения поляризации?
?? ?Упругие диполи?? Это такая среда? молекулы которой без поля не
имеют собственного дипольного момента? но под воздействием поля он
возникает из?за ?раздвижения? составляющих молекулу положительных и
отрицательных зарядов? Простой пример ? заряды ±e? соединенные пру?
жинкой? длина которой без поля равна нулю? Под воздействием поля заря?
ды расходятся в разные стороны? т? е? пружинка растягивается и система
становится диполем?
?? ??риентационный механизм?? ? этом случае молекулы среды и
без поля имеют собственный дипольный момент? но эти моменты ори?
ентированы хаотически? поэтому ?в среднем? взаимно сокращаются? При
включении поля E дипольные моменты молекул стремятся сориенти?
роваться вдоль него? что и приводит к появлению макроскопической
поляризации P ?
Существуют также вещества? называемые ?сегнетоэлектриками?? для
которых поляризация P отлична от нуля даже при нулевом внешнем
поле E ?это электрические аналоги ферромагнетиков?? ?ы упомянули о
них только ?для сведения?? а в дальнейшем? как правило? будем говорить
лишь о простейших однородных и изотропных диэлектриках? для которых
P = ?E ? числовой коэффициент ? называют ?поляризуемостью??
Также лишь ?для сведения? отметим? что два описанных выше ме?
ханизма возникновения поляризации должны существенно различаться
по температурной зависимости поляризуемости ?? При втором механиз?
ме поле ориентирует диполи? т? е? порождает ?тенденцию к порядку?? а
конкурирующим механизмом является тепловое движение? порождающее
?тенденцию к хаосу?? Ясно? что в простейшем приближении величина эф?
фекта определяется отношением энергии диполя во внешнем поле к ха?
рактерной тепловой энергии kT ? Поэтому в данном случае поляризуе?
мость ? должна зависеть от температуры T и эта зависимость качественно
известна? ? ? 1/T ?
???? ?иэлектрики и магнетики ?статика?
???
? случае первого механизма ? ?упругие диполи? ? порождаемый полем
эффект раздвижения зарядов конкурирует с силами упругости внутри са?
мой молекулы и все это не имеет никакого отношения к тепловому движе?
нию? Поэтому в данном случае поляризуемость ? не должна зависеть от
температуры T ? Различие в температурной зависимости ? для двух типов
диэлектриков четко проявляется в экспериментах?
?се сказанное выше о диэлектриках переносится практически дослов?
но и на магнетики? ?налогом поляризации P для магнетиков являет?
ся намагниченность M ? магнитный момент единицы объема? а внешним
полем ? H ? Различают ?ферромагнитные?? ?парамагнитные? и ?диамагнит?
ные? вещества? ?ля ферромагнетиков имеется спонтанная намагничен?
ность M = 0 при нулевом внешнем поле ?электрический аналог ? сегне?
тоэлектрики?? и в этом случае нет простой зависимости M от H ? ?ля
магнетиков типа ?диа? и ?пара? зависимость M от H линейная? M = ?H ?
коэффициент ? называют ?магнитной восприимчивостью?? ?налогичная
формула для диэлектриков имела вид P = ?E ? а коэффициент поляри?
зуемости ? всегда положителен? ?ля магнетиков иначе? коэффициент ?
в соотношении M = ?H может иметь любой знак? ?ещества с ? > 0
называют парамагнетиками? а вещества с ? < 0 ? диамагнетиками?
Свободные и связанные источники? ?ля уравнений в вакууме мы
называли источниками объемные плотности заряда ? и тока j ? ?ля уравне?
ний в среде необходимо различать понятия ?свободных источников?? ?свя?
занных источников? и их сумм ? ?полных источников?? ?Свободными? на?
зывают те источники? которые просто вносятся в систему по условиям
задачи? Типичный пример формулировки? ?пусть есть диэлектрическая
среда? в которую помещен заданный свободный заряд e??
?етривиально лишь понятие ?связанных источников?? ?ак уже говори?
лось? количественными характеристиками поляризации среды являются
вектор поляризации P для диэлектриков и аналогичная величина M для
магнетиков? Ясно? что каждый бесконечно малый элемент среды можно
понимать как точечный диполь? и этот диполь создает поле? известное
из соотношений ?????? ?????? Суммируя вклады от всех малых элементов
среды? можно найти поле? создаваемое поляризацией? С другой стороны?
любому полю соответствует некоторое объемное распределение зарядов
или токов? которые легко найти по известным полям с помощью соотно?
шений ?????? ?ругими словами? поле? создаваемое поляризацией среды?
всегда можно представить как поле? создаваемое некоторыми объемными
зарядами или токами? ? они и называются ?связанными источниками??
???
Статика
?снов?
ная идея уже была изложена выше? сейчас мы переходим к выводу кон?
кретных формул?
Электростатика? Пусть x ? точка наблюдения? y ? произвольная
точка внутри среды? dy ? дифференциал объема вокруг точки y ? ?ес?
конечно малый элемент поляризованной среды можно считать точечным
диполем? создаваемое им поле известно из соотношения ?????? Роль ди?
польного момента d в ????? играет дипольный момент P (y)dy данного
элемента среды? а роль r ? разность трехмерных векторов x ? y ?по согла?
шению? ?стрелки? над x и y не ставим??
Таким образом? вклад в ?(x) от данного элемента среды равен
dy Pi (y)(xi ? yi )/|x ? y|3 ? где мы перешли к индексным обозначениям?
?нтегрируя по y ? находим потенциал? создаваемый всей средой?
?ыражение связанных источников через поляризацию?
?(x) =
dy Pi (y)(xi ? yi )/|x ? y|3 .
?????
?оспользуемся теперь соотношением
(xi ? yi )/|x ? y|3 = (?/?yi )[1/|x ? y|]
?????
?оно легко получается из первого равенства ????? заменой x ? x ? y ??
Подставим ????? в ????? и затем перебросим производную ?/?yi интегри?
рованием по частям на Pi (y)? ? итоге получим?
?(x) = ?
dy div P (y)/|x ? y|.
?????
Сравнивая выражения ????? и ?????? находим плотность заряда ?(y)? со?
ответствующую данному потенциалу ?(x)? Это и есть? по определению?
искомая плотность связанного заряда? ? итоге получаем ?связ = ? div P ?
?агнитостатика? ?се рассуждения аналогичны приведенным выше?
базовыми формулами являются теперь выражение ????? для векторного
потенциала A точечного магнитного диполя и соотношение ?????? ?ля ма?
лого элемента среды роль m в ????? играет величина M (y)dy, r = x ? y ?
Переходя в ????? к индексным обозначениям? можно сразу написать ана?
логичное ????? выражение для создаваемого средой потенциала?
Ai (x) = ?ikl
dy Mk (y)(xl ? yl )/|x ? y|3 .
???
???? ?иэлектрики и магнетики ?статика?
?оспользовавшись соотношением ????? и перебросив затем производную
?/?yl интегрированием по частям на множитель Mk (y)? получим
Ai (x) = ??ikl
dy[? Mk (y)/?yl ]/|x ? y| =
dy[rot M (y)]i /|x ? y|.
Сравнив полученное выражение и ?????? заключаем? что j связ = c rot M ?
?того? мы получили следующие формулы?
?связ = ? div P ,
?????
j связ = c rot M .
Это и есть искомые соотношения? выражающие связанные источники че?
рез характеристики поляризации среды в статике ?уточнение ?в статике?
приведено потому? что в динамике второе соотношение ????? будет моди?
фицировано??
Статические
уравнения
?аксвелла
для
диэлектриков
и
Сформулируем сначала общий принцип вывода уравнений
?аксвелла в среде? ?ля уравнений в вакууме мы имели дело с напря?
женностями E ? H и с источниками ?? j ? ? среде мы имеем ?свободные? и
?связанные? источники? их суммы ? ?полные? источники? ?удем называть
?полными? поля? создаваемые ?полными? источниками? ? такой термино?
логии справедливо общее правило? для полных полей справедливы обыч?
ные ?как для вакуума? уравнения ?аксвелла с полными источниками?
?о здесь нужны уточнения? Прежде всего? следует условиться? какими
буквами будут обозначаться и как называться полные поля?
Соглашение? в электростатике полное поле обозначается через E и на?
зывается ?напряженностью?? а в магнитостатике полное поле обозначается
через B и называется ?индукцией??
Это традиционное и общепринятое соглашение относительно обозначе?
ний и терминологии? ?абегая вперед? сразу скажем? что помимо полных
полей потом будут введены и ?другие?? в электростатике это будет век?
тор D? называемый индукцией? а в магнитостатике ? вектор H ? называе?
мый напряженностью? ?ля уравнений в вакууме D = E и B = H ? и тогда
мы пользовались переменными E и H ?
?бщий принцип вывода уравнений ?аксвелла в среде следующий? сна?
чала пишутся обычные ?как в вакууме? уравнения для полных полей с пол?
ными источниками? последние представляются в виде ?свободных? плюс
?связанных?? ?днородные уравнения ?аксвелла сохраняют обычный вид
магнетиков?
???
Статика
?как в вакууме?? только теперь вместо E и H в них должны фигурировать
полные поля E и B ? ? неоднородных уравнениях вклады связанных ис?
точников выражаются через поляризацию с помощью соотношений ?????
и затем переносятся в левые части уравнений? тогда в них и появляют?
ся отличные от полных полей величины? Сейчас мы проделаем все это
подробно?
Электростатика? По соглашению? полное поле обозначаем через E и
пишем для него обычные уравнения ????? с полным источником ??
rot E = 0,
div E = 4??полн = 4?(?своб + ?связ ).
?????
?ыразив здесь ?связ через поляризацию P с помощью первого соотноше?
ния ????? и перенеся затем этот вклад в левую часть? приведем второе
уравнение ????? к виду div(E + 4? P ) = 4??своб ? ?еличину под знаком div
обозначают через D и называют ?индукцией?? D = E + 4? P ?
?того? мы пришли к следующей окончательной формулировке стати?
ческих уравнений ?аксвелла для диэлектриков?
rot E = 0,
div D = 4??своб ,
D = E + 4? P .
?????
?апись второго уравнения в форме ????? предпочтительнее его аналога в
?????? поскольку считать заданными можно только свободные источники?
Система уравнений ????? еще неполна? так как при практических рас?
четах необходимо знать связь между P и E ? ?ля однородного и изотроп?
ного диэлектрика эта связь линейная?
P = ?E,
D = E + 4? P = ?E,
? = 1 + 4??,
?????
коэффициент ? ? поляризуемость? ? называют диэлектрической проница?
емостью? Уравнений ????? вместе с ????? уже вполне достаточно для реше?
ния конкретных задач с однородными и изотропными диэлектриками? ?о
следует подчеркнуть? что уравнения ?аксвелла ????? справедливы для
любого диэлектрика? так как они получены без всяких предположений
относительно его свойств? ?т них зависит лишь явный вид зависимости
P от E ? которая может быть не такой? как в ?????? ?апример? для анизо?
тропного диэлектрика поляризуемость ? является матрицей? правая часть
равенства P = ?E понимается как действие матрицы ? на вектор E ? т? е?
Pi = ?ik Ek ? ?ля изотропного диэлектрика ?ik = ??ik ? константа ? ? поля?
ризуемость? Уточним также? что векторы P и E зависят от координат x?
???
???? ?иэлектрики и магнетики ?статика?
а поляризуемость ? или матрица ?ik для однородного диэлектрика от x
не зависят? ? это и означает ?однородность??
?агнитостатика? ? этом случае полным полем? по соглашению? счи?
тается B ? а уравнения ?аксвелла ????? для ?полного поля с полными ис?
точниками? принимают вид?
div B = 0,
rot B = (4?/c)j полн = (4?/c)[j своб + j связ ].
?????
Подставив сюда выражение для j связ из ????? и перенеся затем этот вклад
в левую часть? получим rot(B ? 4? M ) = (4?/c)j своб ? ?еличину под знаком
rot обозначают через H и называют напряженностью? ?того? уравнения
магнитостатики принимают следующий вид?
div B = 0,
rot H = (4?/c)j своб ,
B = H + 4? M .
?????
?налогия с уравнениями электростатики ????? очевидна? ?ля однородных
и изотропных ?диа? и ?пара? магнетиков аналогом ????? являются соотно?
шения
M = ?H, B = H + 4? M = µH, µ = 1 + 4??,
?????
где ? ? магнитная восприимчивость? а коэффициент µ называют магнит?
ной проницаемостью? ?ак и в случае диэлектриков? общие уравнения
?аксвелла ????? справедливы для магнетиков любого типа? в том числе и
для ферромагнетиков? для которых простые соотношения ????? не выпол?
няются?
?ведение потенциалов? ?з однородных уравнений ????? для E и ?????
для B следует? что
E = ???, B = rot A,
?????
где ? ? скалярный потенциал? A ? векторный? Подстановка величин ?????
в неоднородные уравнения ?????? ????? при известной связи D с E и B с H
приводит к уравнениям для потенциалов ?? A?
Условия сшивания на границе раздела двух сред? Типичная
ситуация ? граница раздела двух диэлектриков с разными значениями
диэлектрической проницаемости ? или двух магнетиков с разными зна?
чениями µ? ?бщий принцип получения условий сшивания подробно из?
лагался в начале курса в п? ???? ?апомним его кратко? с помощью
теорем ?строградского ? ?аусса и Стокса дифференциальные уравнения
?аксвелла переписываются в интегральной форме? ?атем постулирует?
ся? что интегральная форма уравнений остается справедливой и для тех
???
Статика
объемов или контуров? которые пересекают границу раздела? отсюда по
стандартным правилам выводятся искомые условия сшивания? Поэтому
читатель уже должен уметь самостоятельно по любому из дифференци?
альных уравнений ?????? ????? написать по аналогии с ???? соответствую?
щее условие сшивания ?часто говорят ?краевое условие?? и мы также будем
пользоваться этим термином?? Приведем их во избежание недоразумений?
в электростатике из ????? следует
?Et = 0,
?Dn = 4?? своб ,
?????
а в магнитостатике из ????? следует
?Bn = 0,
?Ht = (4?/c)[n Ч iсвоб ].
?????
? этих формулах индексами ? n? и ? t? обозначаются? соответственно? нор?
мальные и касательные составляющие векторов? символ ? обозначает
?приращение = скачок? ?не путать с оператором ?апласа?? ? ? поверх?
ностная плотность заряда? i ? плотность поверхностного тока ?двумерный
вектор??
?ля расчета полей нужны лишь уравнения ?аксвелла и условия сши?
вания ?????? ?????? ?о иногда полезны аналогичные условия сшивания для
полных полей и источников? вытекающие из ????? и ??????
?En = 4?? полн ,
?Bt = (4?/c)[n Ч iполн ].
?????
?ни не являются независимыми и не нужны для расчета полей? ?о их
можно использовать при уже известных полях для расчета поверхност?
ных плотностей связанных зарядов и токов ?если есть такое желание?? из
????? по известным полям находятся полные плотности? свободные все?
гда считаются заданными? разность ?полные минус свободные? ? искомые
плотности связанных поверхностных источников?
? заключение приведем и докажем важное с точки зрения практиче?
ских расчетов утверждение? условие сшивания ?Et = 0 эквивалентно
условию непрерывности потенциала ? на границе раздела?
I
II
?оказательство? Пусть ? и ? ? потенциалы с двух сторон от гра?
I
II
ницы раздела S и ? = ? ? ? ? разность их предельных значений на
поверхности S ? Рассмотрим приращение d? функции ? при бесконечно
малом смещении dx точки x по поверхности S ? ?ектор dx ортогонален
вектору нормали к поверхности n?
???? ?иэлектрики и магнетики ?статика?
???
?меем? d? = dxi ?i ? = dxi ?i (?I ? ?II )? Учитывая равенство Ei = ??i ??
получаем? d? = dxi (EiII ? EiI ) = dx(E II ? E I ) ? скалярное произведение
векторов? Поскольку dx ? n? каждый из векторов E в полученном выраже?
нии можно заменить его касательной составляющей Et ? ? итоге получаем?
d? = dx(EtII ? EtI ) = 0? поскольку на поверхности EtII = EtI в силу условия
сшивания ?Et = 0?
?так? мы показали? что d? = 0 при любом сдвиге вдоль поверхности S ?
следовательно? на этой поверхности ? = const? Поскольку ? = ?I ??II ? это
означает? что предельные значения на S потенциалов ?I и ?II различают?
ся только на константу? Эту константу без ограничения общности можно
считать равной нулю? пользуясь калибровочным произволом ? ? ?+const
для каждой из областей? Тогда на поверхности ?I = ?II ? т? е? потенциал
непрерывен ? его предельные значения при подходе к поверхности S с раз?
ных сторон совпадают?
Таким образом? в качестве полного набора условий сшивания на гра?
нице раздела двух диэлектриков можно использовать следующие два?
1) непрерывность потенциала? 2) ?Dn = 4?? своб .
?????
При практических расчетах условие непрерывности потенциала гораздо
удобнее? чем эквивалентное условие непрерывности касательных состав?
ляющих вектора E ?
?а границе раздела металл ? диэлектрик единственное условие ?
непрерывность потенциала? вытекающее из ?Et = 0? Поскольку внутри
металла ? = const? то же значение должен иметь и предел потенциала ?
со стороны диэлектрика? Таким образом? краевое условие для потенциала
? в диэлектрике на границе с металлом есть
? = const,
?????
где const ? значение потенциала внутри металла?
?бщие соображения о связи P и E. Приведем в заключение? в ос?
новном только ?для сведения?? некоторые соображения о возможной зави?
симости P от E ? ?так? мы считаем? что вектор поляризации P (x) ? некото?
рая функция ?точнее? функционал? от поля E(x)? ?стественно представить
P в форме ряда по E ? символически
(0)
Pi = Pi
+ ?ik Ek + ?ikl Ek El + ...
?????
???
Статика
(0)
?клад Pi присутствует только для сегнетоэлектриков? ? дальнейшем бу?
(0)
дем говорить лишь о ?нормальных диэлектриках?? для которых Pi = 0?
?бычно связь между P и E считается линейной? что соответствует вто?
рому слагаемому в правой части ?????? Ясно? что влияние нелинейностей
типа квадратичного по E вклада в ????? возрастает с усилением поля E ?
?аиболее сильные поля в лабораторных условиях создаются сейчас в ла?
зерном излучении? и их интенсивности таковы? что в ????? уже нужен учет
квадратичных по E вкладов? ?зучение разнообразных явлений с учетом
таких вкладов есть предмет сравнительно молодой науки ? нелинейной
оптики? которая сейчас интенсивно развивается?
?ля обычных ?не лазерных? полей E ? достижимых в лабораторных
условиях? в соотношении ????? достаточно ограничиваться линейным по
E вкладом? ?о и здесь еще остается много возможностей? поскольку P
и E ? функции от пространственных координат x? линейная связь между
ними в общем случае представляется линейным интегральным операто?
ром? Pi (x) = dx ?ik (x, x )Ek (x ) с некоторыми ?ядрами? ?ik (x, x )? При
наличии трансляционной инвариантности эти ядра зависят лишь от раз?
ности x ? x ? Тогда после перехода к преобразованиям Фурье получается
обычное ?без интегрирований? соотношение Pi = ?ik Ek ? в котором все ве?
личины понимаются как фурье?образы исходных и являются функциями
сопряженной с координатами x переменной ? волнового вектора k ? ?сли
коэффициенты ?ik зависят от k ? то говорят? что имеет место явление ?про?
странственной дисперсии?? При обобщении на динамику у всех величин по?
является дополнительный временной аргумент t? которому соответствует
частота ? в фурье?образах? ?ависимость коэффициентов поляризуемости
? от ? называют ?частотной дисперсией??
Явление ?дисперсии?? т? е? зависимость фурье?образов коэффициен?
тов ? от волнового вектора k ?пространственная дисперсия? и от часто?
ты ? ?частотная дисперсия? наблюдается экспериментально в различных
средах?
Продвигаясь далее в сторону упрощения? перейдем к классу диэлек?
триков с ?локальной реакцией?? Это значит? что поляризация P (x) в
точке x зависит только от значения поля E(x) в этой же точке? т? е?
Pi (x) = ?ik (x)Ek (x)?
Следующий шаг ? предположение об ?однородности среды?? что озна?
чает независимость от x коэффициентов ?ik ? Последнее упрощение ?
условие ?изотропности среды?? что означает ?ik = ??ik ? коэффициент
???? ?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков
???
? ? поляризуемость? ? этом случае для диэлектриков справедливы соот?
ношения ?????? ? дальнейшем мы будем рассматривать однородный и изо?
тропный диэлектрик в качестве простейшего ?и притом наиболее важного
с практической точки зрения? примера?
?обавим в заключение несколько слов о количественной оценке вли?
яния поляризации? о котором для нормальных веществ можно судить по
величине соответствующих вкладов в ? и µ? ?ля диэлектриков это вли?
яние весьма значительное? измеряемые экспериментально для различных
веществ значения диэлектрической проницаемости ? = 1 + 4?? выража?
ются числами порядка нескольких единиц или десятков единиц? ?ля нор?
мальных ?диа? или ?пара? магнетиков? напротив? эффекты поляризации
количественно очень слабые? величина µ = 1 + 4?? отличается от единицы
лишь вкладами порядка 10?4 ?10?5 ? ? отличие от этого? для ферромагне?
тиков влияние поляризации очень сильное? ?ля них связь между B и H
нелинейная? поэтому вместо µ следует оценивать отношение B/H ? Это
отношение для разных ферромагнетиков есть величина порядка 102 ?105 ?
??? ?сновы термодинамики
диэлектриков и магнетиков?
?бъемные силы
в диэлектриках и магнетиках
?апоминание?
основные
положения
классической
термо?
Пусть есть некоторая система? состояние которой задается
некоторым набором параметров? ?нутренняя энергия системы U есть
такая функция состояния? для которой при любом бесконечно малом из?
менении состояния системы выполняется ?первое начало термодинамики??
динамики?
dU = dQ + dAв? с? ,
?????
где dQ = T dS ? полученное системой тепло? dAв? с? ? работа внешних сил?
затрачиваемая на изменение состояния системы? Равенство dQ = T dS ? в
котором T ? температура? можно считать термодинамическим определе?
нием энтропии S ?
?ид работы внешних сил dAв? с? зависит от конкретной задачи? ? даль?
нейшем в качестве простейшего примера мы будем рассматривать газ в
???
Статика
объеме V с давлением P ? Тогда формула ????? конкретизируется следую?
щим образом?
dU = T dS ? P dV,
?????
поскольку P dV ? работа самого газа при изменении его объема? а рабо?
та внешних сил ? та же величина с обратным знаком ?здесь очевидная
аналогия с формулой ???????
?пределение? пары переменных типа T ? S и P ? V в ????? называют ?тер?
модинамически взаимно сопряженными?? Утверждение? в каждой такой
паре независимой можно считать лишь одну из двух переменных? вторая ?
функция первой и всех прочих? ?пределение? естественными переменны?
ми любой термодинамической функции состояния X называются те? диф?
ференциалы которых входят в выражение dX ? Пример? для внутренней
энергии U естественными переменными следует считать? согласно ??????
энтропию S и объем V ?
?сходя из первичной величины ? внутренней энергии U ? можно по?
строить другие функции состояния с размерностью энергии и с любым на?
перед заданным выбором естественных переменных внутри каждой пары?
?апример? если в паре S ? T мы хотим сделать естественной переменную T
вместо S ? то нужно перейти к функции
F = U ? T S,
?????
для дифференциала которой с учетом ????? получаем
dF = ?SdT ? P dV.
?????
Функцию F называют свободной энергией? ее естественными переменными
являются T и V ?
?налогично можно ввести еще две подобные функции? добавляя к U
или F величину P V ? Тогда вклад ?P dV в ????? и ????? заменится на V dP ?
т? е? естественной переменной вместо объема V станет давление P ? ? общем
случае при наличии n пар термодинамически сопряженных переменных
можно построить 2n функций с размерностью энергии? отправляясь от
первичной величины ? внутренней энергии U ? С математической точки
зрения переход от одной из таких функций к другой есть преобразование
?ежандра по ?таким?то переменным?? ?десь можно отметить аналогию с
переходом от лагранжиана к гамильтониану в теоретической механике? ?
это тоже преобразование ?ежандра с переходом от скоростей к импульсам
в качестве естественных переменных?
???? ?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков
???
?ля любой величины типа U ? F и т? п?? если она рассматривается
как функция своих естественных переменных ?отметим? что это не обяза?
тельно?? коэффициенты при дифференциалах естественных переменных в
выражении для дифференциала функции являются? по определению? ее
частными производными по этим переменным? ?апример? для функции
U = U (S, V ) из ????? следует ?U/?S = T ? ?U/?V = ?P ? ?налогично для
свободной энергии в ее естественных переменных T ? V из ????? имеем?
?F (T, V )/?T = ?S,
?F (T, V )/?V = ?P.
?????
?тсюда получают много различных термодинамических соотношений?
пользуясь очевидным свойством равенства смешанных производных? ?а?
пример? с учетом ????? имеем? ? 2 F/?T ?V = (?/?V )(?F/?T ) = ??S/?V =
(?/?T )(?F/?V ) = ??P/?T и т? п?
?стается обсудить еще один важный вопрос ? выбор термодинамиче?
ской функции типа энергии? которую нужно использовать при определе?
нии равновесного состояния системы из условия минимума энергии? По?
ясним суть вопроса? ?ак известно? в механике статическое равновесное
состояние системы определяется из условия минимума ее потенциальной
энергии? ? тех задачах? в которых существенна термодинамика? принцип
тот же? но теперь возникает проблема? у нас есть много величин типа
энергии ?внутренняя? свободная и т? п??? поэтому требуется понять? какую
именно из этих величин нужно использовать при определении равновес?
ного состояния? ?а этот простой вопрос есть простой ответ? который будет
сформулирован ниже?
Чтобы пояснить этот ответ? рассмотрим следующую конкретную
задачу? пусть есть цилиндр с теплопроводящими ?но не бесконечно быстро?
стенками? ? цилиндре под невесомым и герметичным поршнем находится
газ под атмосферным давлением? все это во внешней среде с температу?
рой T ? ?опустим теперь? что мы положили на поршень дополнительный
груз? Ясно? что поршень тогда достаточно быстро опустится до некоторой
высоты h1 ?явлениями типа возможных колебаний поршня пренебрегаем ?
их можно убрать? придерживая поршень?? Ясно также? что газ при этом
разогреется? если теплопроводность стенок не очень велика и система не
успевает на этом первом этапе отдать тепло наружу? ?атем из?за теп?
лопроводности стенок газ в цилиндре будет постепенно охлаждаться и в
конечном итоге его температура уравняется с начальной? т? е? с температу?
рой окружающей среды T ? При этом поршень будет медленно опускаться и
???
Статика
в конечном итоге установится в некотором другом равновесном состоянии
с высотой h2 ? ?опрос? как из соображений типа минимума энергии найти
эти два равновесных значения h1 и h2 ?
?твет следующий? ясно? что ?в игру? входят? во?первых? потенциальная
энергия груза в поле тяжести Uгр = mgh? во?вторых? некоторая термоди?
намическая величина типа энергии? ?опрос ? какая? ?твет содержится в
описании процесса? идеализируя? можно считать? что на первом этапе стен?
ки цилиндра вообще не успевают отдавать тепло наружу? Такой процесс
называется адиабатическим и для него dQ = T dS = 0? Таким образом? в
данном процессе dS = 0? т? е? закреплена энтропия? ?тсюда следует? что
нужной для определения первого равновесного положения h1 термоди?
намической величиной должна быть внутренняя энергия U ? для которой
закрепленная величина S является естественной переменной? Тогда при
определении h1 из условия d[Uгр + U ]/dh = 0 при S = const первый вклад
в выражении ????? для dU исчезает и с учетом Uгр = mgh мы приходим
к обычному условию силового равновесия mg = P dV /dh = P Sп ? где Sп ?
площадь поршня? что и требуется?
Рассмотрим теперь второе положение равновесия h2 ? которое устанав?
ливается после охлаждения газа в цилиндре до начальной температуры
внешней среды T ? Тот же процесс можно осуществить? если при опуска?
нии поршня придерживать его? чтобы процесс шел настолько медленно?
что система успевает отдавать тепло и газ все время находится при на?
чальной температуре T ? Такой процесс называют изотермическим? ?ля
него закрепленной является переменная T ? являющаяся естественной для
свободной энергии F ? Поэтому при определении второго равновесного по?
ложения h2 в качестве термодинамической энергии теперь следует исполь?
зовать F ? а не U ? Условие минимума энергии и в этом случае сводится к
условию силового равновесия mg = P Sп ? но с другим значением давле?
ния P ? в первом случае P связано с исходным атмосферным давлением
Pатм согласно формулам адиабатического процесса? во втором ? изотер?
мического? Эти формулы зависят? естественно? от свойств газа? но это уже
не имеет отношения к обсуждаемой проблеме?
?бобщая сказанное выше? можно сформулировать следующий
при определении равновесного состояния системы из
условий типа минимума энергии в качестве термодинамической составля?
ющей энергии нужно использовать ту величину? естественные переменные
которой закреплены по условиям конкретной задачи?
?бщий принцип?
???
???? ?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков
?бобщение? система? взаимодействующая с электрическим
или
магнитным
полем?
?ычисление
работы
внешних
сил?
Переходим
теперь к нашей основной теме ? термодинамика диэлектриков и магне?
тиков? ?удем для простоты считать? что речь идет о той же системе?
которая обсуждалась выше ?газ в объеме V с давлением P ?? но теперь
этот газ обладает свойствами диэлектрика или магнетика? поэтому вза?
имодействует с полем? Это поле ?электрическое или магнитное? играет
тогда роль дополнительной термодинамической переменной? задающей
состояние системы? ?се общие соотношения термодинамики сохраняются
с тем очевидным изменением? что поле является функциональным? а
не простым числовым аргументом? поэтому величины типа внутренней
энергии U будут теперь функционалами от поля? а их производные по
полю следует понимать как вариационные? ?се это сугубо технические
модификации? не меняющие сути дела?
?еличина dAв? с? в основном соотношении ????? ? работа внешних сил?
необходимая для бесконечно малого изменения состояния системы? Теперь
в число задающих состояние переменных включается и поле? поэтому нам
нужно найти соответствующий вклад в dAв? с? ? т? е? работу внешних сил?
необходимую для бесконечно малого изменения поля? ?сли мы найдем
явное выражение для этой величины и добавим его в правые части со?
отношений ????? или ?????? то получим базовые формулы для описания
термодинамики диэлектриков и магнетиков ?отметим? что в dAв? с? вклады
от изменения различных переменных входят аддитивно??
?менно этим мы сейчас и займемся? но сначала примем следующее
соглашение? бесконечно малое приращение величины X будем теперь обо?
значать через ?X ? понимая ?X и дифференциал dX как один и тот же
объект? ?бозначение ?X удобнее при записи формул? содержащих инте?
гралы с дифференциалом объема dx? так как этот символ dx может пу?
таться с вычисляемым объектом ? приращением величины X ?
Переходим теперь непосредственно к вычислению работы внешних сил
?Aв? с? ? необходимой для бесконечно малого изменения поля?
Электростатика? ?сновные уравнения электростатики диэлектри?
ков известны из ?????? поля ? E и D? Поскольку первичным источ?
ником поля являются свободные заряды? для его малого изменения
достаточно произвести малое изменение плотности свободных зарядов
?своб (x) ? ?своб (x) + ??своб (x) ?напомним? что здесь символ ? ? знак
приращения?? ?опрос? какую работу должны совершить ?внешние силы??
необходимой для бесконечно малого изменения поля?
???
Статика
чтобы произвести такое изменение плотности свободного заряда? ?твет
получить нетрудно? изменение свободного заряда в объеме dx вокруг
точки x есть ??своб (x)dx? Этот дополнительный заряд ?внешние силы?
должны ?принести из бесконечности? и для этого они должны совершить
работу ?(x)??своб (x)dx? где ?(x) ? потенциал в точке x ?на бесконечно?
сти потенциал считается равным нулю?? Просуммировав вклады от всех
элементов объема? получаем?
?Aв? с? =
dx?(x)??своб (x).
?????
Поскольку мы вычисляем работу лишь в первом порядке по ??своб ? по?
тенциал ? в процессе переноса зарядов следует считать фиксированным?
так как учет изменения ? после переноса части зарядов дает лишь несу?
щественные поправки второго порядка малости по ??своб ?
Таким образом? в первом порядке по ??своб соотношение ????? явля?
ется точным? Преобразуем его с учетом уравнений ?????? div D = 4??своб ?
?виду линейности это уравнение остается в силе и для приращений вели?
чин? div ?D = 4???своб ? откуда следует ??своб = div ?D/4? = ?i ?Di /4? ?
Подставим это выражение в ????? и затем перебросим производную ?i
на множитель ? интегрированием по частям? Тогда с учетом равенства
?i ? = ?Ei получим?
?Aв? с? = (1/4?)
dxEi ?Di .
?????
Это и есть окончательное выражение для работы внешних сил? необходи?
мой для бесконечно малого изменения поля в электростатике?
?агнитостатика? ?огика рассуждений здесь точно такая же? как
в электростатике? первичным источником поля являются свободные
токи j своб ? поэтому требуется найти работу внешних сил ?Aв? с? ? необ?
ходимую для бесконечно малого изменения ?j своб свободных токов?
Прежде всего? нужно понять? почему для изменения свободных токов
необходимо затрачивать работу и в чем состоит механизм процесса? ? элек?
тростатике он был очень простой? ?принесение дополнительного заряда из
бесконечности?? ? магнитостатике все основано на законе электромагнит?
ной индукции Фарадея ???? ?бщие идеи аналогичны использованным в
п? ??? при обсуждении полной потенциальной энергии взаимодействия кон?
туров с током? ?ак и там? на промежуточных этапах необходимо рассмат?
ривать динамику процесса во времени? но конечные формулы приложимы
к магнитостатике?
???? ?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков
???
?так? допустим? что мы каким?то образом сумели начать процесс из?
менения свободных токов? Тогда магнитное поле становится переменным
и порождает по закону электромагнитной индукции ??? соответствующее
?вихревое? электрическое поле E ? ?ля уравнений в среде запись уравне?
ния ??? нужно изменить? подставив в него вместо E и H ?полные поля?
E и B согласно сформулированному при выводе статических уравнений
?аксвелла в среде общему принципу ?см? п? ?????
rot E + c?1 ?t B = 0.
?????
?ихревое электрическое поле E оказывает воздействие на свободные
токи? что очевидно? если представлять последние как потоки движущихся
заряженных частиц? Это воздействие всегда таково? что поле E стремится
воспрепятствовать начатому процессу изменения свободных токов? Что?
бы все?таки выполнить такое изменение? следует допустить существова?
ние какого?то внешнего дополнительного воздействия ?условно ? ?внеш?
них сил??? которое компенсирует порождаемое вихревым полем E сопро?
тивление изменению токов? Простейшая модель такого внешнего воздей?
ствия ? введение некоторого ?внешнего поля? E вн ? компенсирующего E ?
E вн = ?E
?????
?отметим аналогию с формулой ???????
При введении компенсирующего внешнего поля мы можем произве?
сти желаемое изменение свободных токов? равенство ????? в процессе
этого изменения сохраняется? При этом ?внешние силы?? представлен?
ные полем E вн ? совершают некоторую работу? которую нам и нужно
вычислить?
?ачнем с вычисления мощности работы произвольного электриче?
ского поля E над произвольными токами j ? представляя их как поток
частиц с зарядом e? движущихся со скоростью v ? Тогда j = evn? где
n ? число частиц в единице объема? Поле E действует на одну части?
цу с силой F = eE ? величина (F v) ? мощность работы поля над одной
частицей? величина (F v)n ? мощность работы на единицу объема? ?меем?
(F v)n = Eevn = (E j)? Это мощность работы поля E над токами j в
единице объема? ?ля получения полной мощности перед этой величиной
достаточно поставить знак dx... Чтобы получить саму работу ?A за
малый интервал времени ?t? нужно просто умножить мощность на ?t?
???
Статика
?ернемся теперь к исходной задаче? ? нашем случае под полем E в
приведенных выше формулах следует понимать компенсирующее поле E вн
из ?????? а под j ? плотность свободного тока j своб ? Тогда из сказанного
выше получаем?
?Aв? с? = ??t
?????
dxE j своб ,
где E ? вихревое электрическое поле? определяемое из закона индукции
Фарадея ??????
Подставим теперь в ????? выражение для j своб ? получаемое из урав?
нений ?аксвелла ?????? rot H = (4?/c)j своб ? откуда j своб = (c/4?) rot H ?
Подстановка в ????? дает?
?Aв? с? = ?(c?t/4?)
dxE rot H.
Подставив сюда E rot H = Ei ?ikl ?k Hl и перебросив производную ?k на
множитель E интегрированием по частям? получим?
?Aв? с? = (c?t/4?)
dx?ikl Hl ?k Ei = ?(c?t/4?)
dxH rot E.
?ыразив здесь rot E через производную ?t B с помощью уравнения ??????
получаем?
?Aв? с? = (?t/4?)
dxH?t B = (1/4?)
dxH?B,
?????
где ?B = ?t?t B ? приращение B на малом интервале времени ?t ?еще
раз подчеркнем аналогию с вычислениями в п? ??? при обсуждении полной
потенциальной энергии системы токов??
?ыражение ????? ? окончательный ответ для величины ?Aв? с? в маг?
нитостатике? ?ля удобства читателя приведем в одном месте полученные
выражения для работы внешних сил? необходимых для бесконечно малого
изменения поля ?первая формула ? для диэлектриков? вторая ? для маг?
нетиков??
?Aв? с? = (1/4?)
dxE?D,
?Aв? с? = (1/4?)
Это и есть искомые окончательные ответы?
dxH?B.
?????
???
???? ?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков
?сновные
магнетиков?
соотношения
Плотность
термодинамики
энергии
поля
диэлектриков
для
и
однородных
Согласно первому на?
чалу термодинамики ?????? при включении в число термодинамических
переменных поля величины ????? добавляются в правую часть ????? и в
соответствующие выражения ?????? ????? для дифференциалов внутренней
энергии U и свободной энергии F ? Тогда в электростатике получаем?
и изотропных диэлектриков и магнетиков?
dU = T dS ? P dV + (1/4?)
dF = ?SdT ? P dV + (1/4?)
dxE?D,
dxE?D,
?????
?????
а в магнитостатике аналогично
dU = T dS ? P dV + (1/4?)
dF = ?SdT ? P dV + (1/4?)
dxH?B,
dxH?B.
?????
?????
?ля обозначения бесконечно малых приращений обычных переменных
типа T ? V мы используем обычный знак дифференциала dT ? dV ? а для
приращения полевых переменных ? символ ? ???
?з соотношений ??????????? следует? что пары E ? D в электростатике
и H ? B в магнитостатике можно рассматривать как термодинамически
сопряженные переменные? подобно парам S ? T или P ? V ? Ясно также? что
естественной переменной ?см? определение в начале раздела? для U и F
в электростатике является D? а в магнитостатике ? B ? ?ля термодинами?
ческих функций? рассматриваемых в естественных переменных? справед?
ливы соотношения типа ?????? к которым теперь добавляется еще одно
подобное соотношение с вариационной производной по функциональному
?полевому? аргументу? ?апример? для свободной энергии F = F (T, V, D)
в электростатике из ????? имеем?
?F/?T = ?S,
?F/?V = ?P,
?F/? Di (x) = Ei (x)/4?
?????
?определение вариационных производных приводилось в п? ???? после
формулы ???????
???
Статика
?сли мы хотим выполнить замену естественных переменных D ? E
в электростатике или B ? H в магнитостатике? то нужно перейти к новым
функциям?
Ї = U ? (1/4?)
U
dxE D,
FЇ = F ? (1/4?)
dxE D
?????
FЇ = F ? (1/4?)
dxH B
?????
в электростатике и аналогично
Ї = U ? (1/4?)
U
dxH B,
в магнитостатике? Тогда? например? для функции FЇ в электростатике из
????? и ????? получим?
dFЇ = ?SdT ? P dV ? (1/4?)
dxD?E
?????
и аналогично для любых других подобных величин?
?се приведенные выше общие соотношения справедливы для любых
диэлектриков и магнетиков? поскольку при их получении никакие предпо?
ложения о связи D с E или B с H не использовались?
? дифференциальных соотношениях типа ??????????? вклады от вари?
аций поля и других переменных всегда входят аддитивно? Эти отдельные
вклады не являются ?полными дифференциалами?? поэтому из дифферен?
циальных соотношений типа ??????????? в общем случае нельзя получить
равенства типа? ?энергия в поле? = ?энергия без поля? + ?вклад от поля??
?о это можно сделать для однородных и изотропных диэлектриков и
магнетиков? для которых D = ?E и B = µH с не зависящими от координат
x коэффициентами ? и µ? ?ависимость этих величин от термодинамиче?
ских переменных T и V допускается? ?? дальнейшем мы будем использо?
вать предположение об однородности среды? но отметим? что фактически
оно несущественно и нужно лишь для упрощения записи формул? ?ля
неоднородной среды с зависимостью от x в ? и µ все основные соотно?
шения остаются справедливыми? различие лишь в том? что теперь ? и µ
нельзя выносить из?под знака интегрирования по x??
Рассмотрим в качестве примера определенную в ????? величину FЇ
в электростатике? рассматривая ее как функцию естественных перемен?
ных? FЇ = FЇ (T, V, E)? ?з вида ее дифференциала ????? с учетом D = ?E
имеем?
? FЇ /?T = ?S,
? FЇ /?V = ?P,
? FЇ /? Ei (x) = ??Ei (x)/4?.
?????
???
???? ?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков
Рассмотрим теперь некоторые следствия равенства смешанных произ?
водных? в том числе и вариационных? ?ля пары переменных T ? E с учетом
соотношений ????? имеем?
(?/?T )(?/? Ei (x))FЇ = (?/?T )(??Ei (x)/4?) = ?(??/?T )Ei (x)/4?,
(?/? Ei (x))(?/?T )FЇ = (?/? Ei (x))(?S) = ??S/? Ei (x).
Эти два выражения должны быть равны в силу равенства смешанных
производных? ?тсюда следует?
?S/? Ei (x) = (??/?T )Ei (x)/4?.
?????
?ословно так же из равенства смешанных производных для пары V ? E
получим?
?P/? Ei (x) = (??/?V )Ei (x)/4?.
?????
Соотношения ?????? ????? показывают? что для системы с полем энтро?
пия S и давление P зависят от поля E ? ?етрудно найти явный вид этой
зависимости? поскольку вариационные производные ?????? ????? зависят
от E линейно? сам дифференцируемый объект ?функционал? должен за?
висеть от E квадратично? а именно?
S(T, V, E) = S(T, V, 0) + (??/?T )
dxE 2 /8?,
?????
P (T, V, E) = P (T, V, 0) + (??/?V )
dxE 2 /8?.
?????
?егко проверить? что вариационные производные этих величин по E сов?
падают с выражениями ?????? ?????? Первые слагаемые в ?????? ????? ?
энтропия и давление для системы без поля? вторые ? добавки от поля?
Подставим теперь величины ?????? ????? в выражение ????? для dFЇ ? в
последнем слагаемом которого сделаем подстановку D = ?E ? Это дает?
dFЇ = dFЇ
E=0
? [(??/?T )dT + (??/?V )dV ]
dxE 2 /8? ? ?
dxE?E/4?.
?????
Ї
Первое слагаемое в правой части ? величина dF при отсутствии поля
?тогда FЇ и F совпадают согласно ??????? все прочие вклады ? добавки от
поля в энтропию и давление плюс последнее слагаемое ????? с D = ?E ? ?се
???
Статика
вклады с E в ????? собираются в ?полный дифференциал? в независимых
переменных T ? V ? E ?при этом dE нужно понимать как ?E ??
dFЇ = dFЇ
E=0
? d[?
dxE 2 /8?].
?????
Соотношение ????? можно проинтегрировать? что дает?
FЇ = F
E=0
??
dxE 2 /8?.
?????
? первом слагаемом мы заменили FЇ на F ? так как без поля эти величины
совпадают?
?з ????? и ????? с учетом D = ?E получаем аналогичное ????? соотно?
шение для свободной энергии F ?
F =F
E=0
+?
dxE 2 /8?.
?????
Таким образом? для однородного и изотропного диэлектрика свобод?
ная энергия F представляется в виде суммы той же величины без поля и
известной из ????? квадратичной по E добавки от поля?
?ля внутренней энергии U формулы выглядят сложнее? из ????? имеем
U = F + T S ? куда нужно подставить выражение ????? для свободной энер?
гии и выражение ????? для энтропии? что дает
U =U
E=0
+ [? + T (??/?T )]
dxE 2 /8?.
?????
?се сказанное выше переносится дословно на однородные и изотропные
?диа? и ?пара? ?но не ?ферро?? магнетики? для которых B = µH ? ?се нуж?
ные формулы для магнетиков получаются из соответствующих формул
для диэлектриков простой заменой E ? H ? ? ? µ? ? частности? аналогич?
ное ????? выражение для свободной энергии однородного и изотропного
магнетика имеет вид
F =F
H=0
+µ
dxH 2 /8?,
?????
аналогом ????? для внутренней энергии является соотношение
U =U
H=0
+ [µ + T (?µ/?T )]
dxH 2 /8?.
?????
???? ?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков
???
Плотность энергии поля W в вакууме определялась соотношением
?????? W = (E 2 + H 2 )/8? ? ? среде величину W обычно определяют по
соответствующим вкладам ?????? ????? в свободную энергию? что дает
W = ?E 2 /8? = E D/8?
?????
для плотности энергии поля в однородном и изотропном диэлектрике и
W = µH 2 /8? = H B/8?
?????
для магнетика? Эти определения естественны для изотермических процес?
сов? что обычно и предполагается в задачах электродинамики ?например?
при определении плотности потока энергии в среде?? ?еличины ? и µ в
таких задачах? как правило? считаются не зависящими ни от каких па?
раметров константами? ?ля адиабатических процессов плотность энергии
поля следовало бы? конечно? определять из соотношений ?????? ????? для
внутренней энергии? содержащих добавки с ??/?T для диэлектриков и
с ?µ/?T для магнетиков ?которые исчезают? если считать ? и µ не зави?
сящими ни от каких параметров константами?? ?о обычно? как уже гово?
рилось? в задачах электродинамики процессы считают изотермическими и
для плотности энергии поля в однородной и изотропной среде используют
выражения ?????? ??????
Пример конкретной задачи? Рассмотрим следующую конкретную
задачу? пусть есть большой сосуд? в котором находится жидкий диэлек?
трик? например? трансформаторное масло? ? этот сосуд вставлены вер?
тикально две параллельные металлические пластины ?см? рис? ????? на
которые от внешнего источника подается некоторое фиксированное на?
пряжение ?разность потенциалов? V ? ?з опыта известно? что при включе?
нии напряжения диэлектрик между пластинами конденсатора втягивается
вверх на некоторую высоту h? ?адача состоит в том? чтобы найти эту вы?
соту? пользуясь полученными ранее термодинамическими соотношениями?
При этом вся геометрия считается заданной? диэлектрическая проницае?
мость ? считается не зависящей ни от каких параметров константой? а сам
сосуд достаточно большим? чтобы изменением в нем уровня жидкости при
ее втягивании между пластинами можно было пренебречь? Система нахо?
дится при некоторой фиксированной внешней температуре? все процессы
считаем изотермическими? т? е? возможными эффектами типа разогрева
или охлаждения диэлектрика при его втягивании между пластинами пре?
небрегаем? как и возможными эффектами изменения давления?
???
Статика
Рис? ???? Схема опыта? ?десь
мого масла?
h0 ? высота
h ? высота
втягивае?
конденсатора над уровнем
масла
Ясно? что основная ?игра? в нашей задаче идет между потенциаль?
ной энергией жидкости в поле тяжести и вкладом электрического поля в
какую?то из термодинамических функций типа энергии? ?опрос? в какую
именно? ?ля получения ответа нужно воспользоваться сформулирован?
ным в начале раздела общим принципом? нужно использовать ту термо?
динамическую функцию? естественные переменные которой закреплены
по условиям поставленной задачи? ? нашем случае речь идет о паре пе?
ременных D? E ? и нам нужно понять? какая из них закреплена в процессе
изменения высоты столба жидкости h? Ясно? что в нашей задаче закреп?
ленной переменной является E ? если фиксированы разность потенциалов
V между пластинами и расстояние d между ними? то в силу соотношения
Ei = ??i ? имеем |E| = V /d независимо от того? имеется между пластина?
ми диэлектрик или нет?
Таким образом? у нас закреплена переменная E ? Поэтому в качестве
термодинамической составляющей энергии нужно использовать? согласно
общему принципу? определенную в ????? величину FЇ ? для которой E явля?
ется естественной переменной? Явное выражение для этой величины для
однородного и изотропного диэлектрика известно из ??????
?онкретные вычисления удобно производить для ?единичного столба??
т? е? вертикального столба с единичной площадью поперечного сечения?
мысленно выделенного между пластинами? Потенциальная энергия в поле
тяжести такого столба жидкости с высотой h есть произведение веса этого
столба ?gh ?? ? массовая плотность среды? g ? ускорение свободного паде?
ния? и высоты центра тяжести столба h/2? т? е?
Uтяж = ?gh2 /2.
?????
???? ?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков
???
Рассмотрим теперь вклад электрического поля ?? dxE 2 /8? в ?????
для этого ?единичного столба?? Поле E между пластинами однородное
?краевыми эффектами пренебрегаем? формально можно считать пластины
продолжающимися вверх до бесконечности? и направлено перпендикуляр?
но к ним? |E| = V /d? Поэтому в интересующем нас интеграле ? dxE 2 /8?
подынтегральное выражение не зависит от x? так что интеграл для еди?
ничного столба равен произведению подынтегрального выражения на вы?
соту столба? ?сли интегрировать по высоте от нуля ?уровень жидкости в
сосуде? до бесконечности? то интеграл будет расходящимся? ?о нас инте?
ресует не сам интеграл? а лишь та его часть? которая зависит от высоты
подъема жидкости h? ?ля ее вычисления введем произвольно некоторую
фиксированную граничную высоту h0 > h и будем вычислять интеграл в
интервале от ? до h0 по высоте ? все прочие вклады не зависят от h? Тогда
в интервале от ? до h мы имеем диэлектрик с заданным значением ?? а в
интервале от h до h0 ? вакуум? для которого ? = 1? Поэтому для нашего
столба
?
dxE 2 /8? = ?E 2 h/8? + E 2 (h0 ? h)/8?,
?????
где E = V /d? Первое слагаемое в ????? ? вклад от заполненной диэлектри?
ком части столба в интервале по высоте от ? до h? второе ? от ?пустой?
части столба в интервале от h до h0 ? ?еличина ????? входит в выражение
????? для FЇ с обратным знаком? т? е? ?где const ? несущественные вклады?
не зависящие от h?
FЇ = ?(? ? 1)E 2 h/8? + const.
?????
?инимизируемой величиной является сумма выражений ????? и ??????
?з условия d[Uтяж + FЇ ]/dh = 0 с Uтяж из ????? и FЇ из ????? получаем
?gh = (? ? 1)E 2 /8? ? откуда
h = (? ? 1)E 2 /8??g,
?????
где E = V /d? Соотношение ????? ? решение поставленной задачи? Посколь?
ку ? > 1? величина h положительна? т? е? диэлектрик действительно втя?
гивается наверх?
?ля рассмотренной задачи в паре D? E по условиям была закрепле?
на переменная E ? ?ожно поставить вопрос? как сформулировать задачу?
чтобы закрепленной была переменная D? а не E ?
???
Статика
Это не простой вопрос? и он нуждается в обсуждении? Согласно урав?
нениям ????? индукция D определяется свободными зарядами? которые
и нужно ?закрепить? для закрепления D? ?онкретная модель ? ? ?конден?
сатор ? две параллельные непроводящие пластины? равномерно ?обмазан?
ные? поверхностным свободным зарядом ±? своб ? ?сли такой конденсатор
пустой или же целиком заполнен диэлектриком? то поле D ?простое? ?
вне конденсатора поля нет? а внутри оно однородное и перпендикулярно
пластинам с одинаковым значением D = 4?? своб как для пустого конден?
сатора? так и для заполненного диэлектриком?
?о если такой ? ?конденсатор заполнен диэлектриком лишь частично?
то картина усложняется и существенно зависит от способа заполнения?
?сли оно такое? как показано на рис? ???? то поле внутри конденсатора
уже не может быть простым ?т? е? однородным и перпендикулярным к
пластинам?? так как это нарушило бы условие непрерывности потенциала
на границе раздела диэлектрик ? вакуум из?за скачка Et на границе при
D = const? Таким образом? конфигурация поля между пластинами должна
быть нетривиальной? кроме того? в этом случае поле будет отличным от
нуля и вне конденсатора?
Ясно? что в такой ситуации о выполнении условия D = const при втя?
гивании жидкого диэлектрика по вертикали ?как на рисунке? не может
быть и речи? Поэтому изложенная выше для металлического конденсатора
простая техника расчета высоты подъема h из энергетических соображе?
ний для ? ?конденсатора с той же геометрией непригодна? Такую задачу
можно решать? видимо? только путем точного расчета полей с последую?
щим использованием условий силового равновесия для каждого элемента
среды? ? все это очень сложные задачи?
?о есть другой вариант частичного заполнения? при котором поле оста?
ется ?простым? и условие D = const при втягивании жидкого диэлектрика
выполняется? Представим себе? что такой ? ?конденсатор поставлен не вер?
тикально? как на рисунке? а положен горизонтально на поверхность жид?
кого диэлектрика? ?опустим? что соприкасающаяся с поверхностью ди?
электрика пластина конденсатора проницаема ?т? е? ?пористая? или ?сеточ?
ка? с мелкими ячейками?? так что диэлектрик может всасываться внутрь
конденсатора? Теперь допустим? что конденсатор ?втянул? диэлектрик на
некоторую высоту h < d? где d ? расстояние между пластинами конденса?
тора ?отметим? что величина D = 4?? своб от расстояния d между пласти?
нами не зависит?? Тогда диэлектрик внутри конденсатора образует слой с
высотой h? граница которого с вакуумом параллельна пластинам? ? этом
???? ?сновы термодинамики диэлектриков и магнетиков
???
случае поле остается простым ?т? е? вне конденсатора поля нет? а внут?
ри оно однородное и перпендикулярно пластинам? и условие D = const
внутри конденсатора при изменении высоты подъема диэлектрика h вы?
полняется? Поэтому для вычисления величины h мы можем пользоваться
простыми соображениями ?минимума энергии? как и для металлическо?
го конденсатора? только теперь вместо термодинамической функции FЇ
????? нужно использовать свободную энергию F ?????? для которой за?
крепленная при изменении h в данной задаче величина D является есте?
ственной переменной? ?ысота подъема h определяется из условия мини?
мума суммы потенциальной энергии жидкости в поле тяжести ????? ?все
в расчете на ?единичный столб?? и свободной энергии F ?????? ?ля еди?
ничного столба зависящая от h часть F при D = ?E = const имеет вид
F = D2 h(??1 ? 1)/8? ? ?з условия d[Uтяж + F ]/dh = 0 с Uтяж из ?????
получаем ?где D = 4?? своб ? заданная константа?
h = D2 (? ? 1)/8??g? > 0.
Это и есть решение поставленной задачи?
?ля уточнения ее постановки следовало бы дополнительно указать?
что ?? сам конденсатор должен быть достаточно большим ?чтобы было
можно пренебрегать краевыми эффектами?? ?? что сосуд с диэлектриком
должен быть еще много больше ?чтобы было можно пренебрегать пони?
жением в нем уровня жидкости при ее втягивании в конденсатор?? ?? что
сам конденсатор должен быть как?то закреплен по высоте на уровне по?
верхности жидкости и ?? он должен быть как?то герметизирован по бокам
для устранения утечки наружу втянутой жидкости? ?се это уже детали?
которые читатель может обдумать самостоятельно?
Приведенный выше анализ задачи с ? ?конденсатором инициирован мо?
им коллегой С? ?? ?анидой? указавшим на нетривиальность этой задачи?
?бъемные силы в однородных и изотропных диэлектриках и
?юбой бесконечно малый элемент среды ?диэлектрика или
магнетика? можно рассматривать как бесконечно малый ?= точечный?
диполь? на который действует полное поле? т? е? внешнее поле при его
наличии плюс поле? создаваемое самой системой? ?ыражение для силы?
действующей на точечный диполь в произвольном поле? известно из со?
отношений ?????? которые и являются основой при вычислении объемных
сил в диэлектриках и магнетиках?
?иэлектрики? Электрический дипольный момент бесконечно малого
элемента среды с объемом dx вокруг точки x есть? по определению? P (x)dx?
магнетиках?
???
Статика
где P ? вектор поляризации среды? Подставляя в первое соотношение
????? в качестве дипольного момента d величину P (x)dx и сохраняя обо?
значение E для полного поля? получаем ?аргументы x у всех величин
опускаем??
dFi = dxPk ?i Ek ? dxfi ,
?????
где введено обозначение f для объемной плотности силы? ?з соотноше?
ния ????? имеем fi = Pk ?i Ek ? где Pk = ?Ek согласно ?????? ?тсюда сле?
дует fi = ?Ek ?i Ek = ??i E 2 /2? ?ыразив здесь поляризуемость ? через
диэлектрическую проницаемость ? согласно ?????? получаем следующее
окончательное выражение для объемной плотности силы? действующей
на элементы среды в однородном и изотропном диэлектрике?
f = [(? ? 1)/8?]?E 2 .
?????
?азовой формулой для магнетиков является второе соот?
ношение ?????? роль магнитного момента m для бесконечно малого элемен?
та среды играет величина M (x)dx? а роль H ? полное поле B ? ?налогом
????? является соотношение
?агнетики?
dFi = dxMk ?i Bk ? dxfi .
?????
?тсюда с учетом соотношений ????? для объемной плотности силы f в
однородных и изотропных ?диа? и ?пара? магнетиках получаем следующее
выражение?
f = [(µ ? 1)/8?µ]?B 2 .
?????
?з соотношения ????? с учетом ? > 1 следует? что диэлектрик всегда
втягивается в направлении роста градиента ?E 2 ? т? е? ?в область сильного
поля?? То же будет и для парамагнетиков? для которых в ????? µ > 1?
?ля диамагнетиков? у которых µ < 1? эффект обратный ? диамагнетик
выталкивается из области сильного поля? Соотношение ????? объясняет?
например? такой общеизвестный факт? если расчесать сухие волосы пласт?
массовой расческой и затем поднести ее к небольшому кусочку бумаги? то
он притянется к расческе? ?бъяснение? из?за трения при расчесывании
волос расческа приобретает электрический заряд? следовательно? создает
поле? величина которого убывает при удалении от его источника ?расчес?
ки?? ?усочек бумаги ? диэлектрик? который согласно соотношению ?????
втягивается в область сильного поля? т? е? по направлению к расческе?
????? ?раевые задачи электростатики и методы их решения
???
???? ?раевые задачи электростатики
и методы их решения
?ля простоты мы будем ограничиваться случаем однородных и изотроп?
ных диэлектриков с не зависящей ни от каких параметров диэлектриче?
ской проницаемостью ?? никаких разговоров о термодинамике больше не
будет? ?ля более сложных задач с неоднородным или неизотропным ди?
электриком любую конкретную задачу нужно рассматривать индивиду?
ально? но для данного краткого курса это является ?непозволительной рос?
кошью?? ?аша цель ? изложить на простейшем примере общие принципы
решения подобных задач? анализ усложненных вариантов предоставляем
заинтересованному читателю?
?сновные уравнения? переход к потенциалам? Уравнения элек?
тростатики диэлектриков ????? известны? rot E = 0? div D = 4??своб ? По?
тенциал ? вводится соотношением ?????? Ei = ??i ??
Утверждение? для однородного и изотропного диэлектрика объемные
плотности свободных? связанных и полных зарядов взаимно пропорцио?
нальны? поэтому равенство ?своб = 0 влечет ?связ = 0 и ?полн = 0? ?ействи?
тельно? из ????? и ????? имеем div E = 4??полн и div D = 4??своб ? откуда с
учетом D = ?E получаем
?своб = ??полн = ?(?своб + ?связ ).
?????
Подставив E = ??? в уравнение div E = 4??полн с учетом первого со?
отношения ?????? получим уравнение Пуассона для потенциала ? в среде?
?? = ?4??своб /?.
?????
Там? где нет свободных зарядов? потенциал ? является гармонической
функцией?
?ля полей в вакууме решение уравнения Пуассона ????? выражалось
соотношением ?????? ?сли нет границ и все пространство заполнено ди?
электриком одного сорта с заданным значением ?? то решение уравнения
????? получается простой заменой ? ? ?своб в ????? и делением на ??
?(x) = ??1
dy?своб (y)/|x ? y|.
?????
? частности? для свободного точечного заряда Q? помещенного в такую
среду? имеем ? = Q/?r? в вакууме ? = 1?
???
Статика
?сли все пространство заполнено диэлектриком
одного сорта с заданным значением ?? то никаких проблем нет? решение
для заданных свободных зарядов дается соотношением ?????? ?етриви?
альны задачи? в которых есть границы раздела между диэлектриками с
разными значениями ? ?вакуум ? частный случай ? = 1?? а также? возмож?
но? еще и металлические тела? Условия сшивания на границе раздела двух
диэлектриков известны из ?????? а на границе диэлектрика с металлом ?
из ?????? ?бычно задачи решаются в терминах потенциала ?? который
удовлетворяет уравнению Пуассона ????? в каждой из областей с фик?
сированным значением ?? По известному потенциалу затем можно найти
величины Ei = ??i ?? Di = ?Ei ? Поле порождается свободными зарядами?
которые считаются заданными? Создаваемый ?самой системой? потенциал
? всегда будем считать исчезающим на бесконечности? чем устраняется
общий калибровочный произвол ? ? ? + const при учете добавочного
требования непрерывности потенциала на всех границах раздела?
Помимо поля? создаваемого самой системой? в задаче может участво?
вать еще и некоторое заданное внешнее поле? По определению? ?внеш?
ним? можно называть любое поле? не имеющее источников? поэтому его
потенциал ?вн должен быть гармонической функцией? ??вн = 0? ?армо?
нические функции? как известно? не убывают на бесконечности? Поэтому
задание конкретного внешнего поля эквивалентно заданию асимптотики
на бесконечности для полного потенциала ?? поскольку вклад в ? ?самой
системы? считается исчезающим на бесконечности? все то? что остается? ?
внешнее поле?
Типичный пример внешнего поля ? однородное электрическое поле
E = const? ?сли направить ось ??? по направлению поля E ? то соответ?
ствующий такому внешнему полю потенциал будет иметь вид
Постановка задач?
?вн (x) = ?Ex3 ,
где E ? |E|.
?????
?сли есть только внешнее поле и нет никаких свободных зарядов? то по?
тенциал ? во всех областях ? гармоническая функция ??? = 0? с заданной
?внешним полем? асимптотикой на бесконечности и с заданными услови?
ями сшивания на всех границах раздела? ? задаче того же типа можно
перейти и в общем случае при наличии свободных зарядов? ?опустим?
что у нас есть несколько областей с разными диэлектриками? нумеруемых
индексом i = 1, 2, ... Пусть в каждой из этих областей ? i? находятся неко?
торые свободные заряды с заданной плотностью ?своб
?часть из них может
i
????? ?раевые задачи электростатики и методы их решения
???
быть равной нулю?? потенциал ? в каждой из этих областей обозначим
через ?i ? Этот потенциал в каждой области должен удовлетворять урав?
нению Пуассона ????? со своими для каждой области значениями ?своб
и ?i ?
i
Точно такому же уравнению удовлетворяют потенциалы ?Їi ? которые по?
рождаются теми же свободными зарядами ?своб
во всем пространстве?
i
заполненном диэлектриком с данным ?i ? ?тсюда следует? что разности
?i = ?i ? ?Їi являются гармоническими функциями? ??i = 0? Потенци?
алы ?Їi можно считать известными из ?????? поэтому задача вычисления
точных потенциалов ?i эквивалентна задаче вычисления гармонических
функций ?i в каждой из областей? При известных ?Їi условия сшивания
для потенциалов ?i на границах раздела нетрудно переформулировать в
виде соответствующих условий сшивания для гармонических функций ?i ?
Таким образом? задача всегда сводится к вычислению гармонической в
каждой из областей функции с заданной асимптотикой на бесконечности и
с заданными условиями сшивания на всех границах раздела? ?з математи?
ки известно? что такая задача при разумном поведении источников всегда
имеет решение и что это решение единственно? С точки зрения физики
здесь вообще нет проблемы? ясно? что заданные источники порождают
некоторое поле ?т? е? решение существует?? и что это поле при устраненном
калибровочном произволе определяется по источникам однозначно ?т? е?
решение единственно??
Эта простая идея существования и единственности решения лежит в
основе одного из методов решения таких задач? ? ?угадыванию ответа??
?го суть в следующем? если мы каким?то образом ?угадали ответ??
т? е? предъявили выражение для потенциала ?? удовлетворяющее уравне?
нию Пуассона ????? и всем нужным асимптотическим и краевым условиям?
то этот ответ и есть искомое решение задачи в силу его единственности?
?икаких дополнительных проверок при этом не требуется?
Переходим теперь к изложению на конкретных примерах некоторых
методов решения рассматриваемых задач?
?етод изображений ?или ?отражений??? Это типичный метод
?угадывания ответа?? ниже рассматриваются примеры? все в вакууме?
?аземленная металлическая плоскость? Пусть над заземленной
?т? е? имеющей нулевой потенциал? бесконечной металлической плоско?
стью находится заданный точечный заряд e ?см? рис? ?????
?адача ? найти потенциал ?? Ясно? что в нижнем полупространстве
? = 0? поэтому нетривиально лишь решение в верхнем полупространстве?
где находится ?реальный? заряд e? ?го получают ?методом изображений??
???
Статика
Рис?
заряда
????
от
плоскости
?тражение
заземленной
Рис?
????
заряды
от
?траженные
заземленного
прямого угла
а именно? зеркально симметрично реальному заряду e ? e1 под плоскостью
помещают ?отраженный заряд? ?e ? e2 и утверждают? что искомый потен?
циал ? в верхнем полупространстве есть сумма ? = ?1 +?2 обычных потен?
циалов типа Q/r этих двух точечных зарядов? ?оказательство? посколь?
ку ?1 есть обычный потенциал реального заряда для задачи без границ
?т? е? в пустом пространстве без металлической плоскости?? он удовлетво?
ряет автоматически нужному уравнению Пуассона? Такому же уравнению
в верхнем полупространстве должен удовлетворять и точный потенциал
?? что и выполняется для ? = ?1 + ?2 ? поскольку потенциал точечного от?
раженного заряда ?2 гармоничен всюду? кроме точки его расположения? в
частности? в верхнем полупространстве?
Таким образом? нужное уравнение Пуассона для потенциала
? = ?1 + ?2 в верхнем полупространстве заведомо выполняется и остается
лишь проверить выполнение краевого условия ? = 0 на металлической
плоскости? ?но также? очевидно? выполняется? поскольку ввиду симмет?
ричности конфигурации зарядов вклады ?1 и ?2 на плоскости взаимно
сокращаются? ? силу единственности решения выражение ? = ?1 + ?2 ?
искомый потенциал в верхнем полупространстве? в нижнем ? = 0?
?ная потенциал? с помощью условия сшивания ?En = 4?? можно най?
ти плотность поверхностного заряда ? на металлической плоскости? По
доказанному выше? потенциал отраженного точечного заряда ? e эквива?
лентен потенциалу? который реально создается притекающим из бесконеч?
ности поверхностным зарядом на металлической плоскости?
????? ?раевые задачи электростатики и методы их решения
???
Рассмотрим пря?
мой угол ?/2 ?первый квадрант на рис? ???? с условием ? = 0 на его ме?
таллических границах? ?адача считается трехмерной? т? е? на рис? ??? при?
ведено поперечное сечение стенок угла? которые в ортогональном плоско?
сти рисунка направлении считаются простирающимися до бесконечности?
?нутри этой ?реальной области? ?первый квадрант? находится некоторый
?реальный? заряд e ? e1 ? Построив всевозможные его отражения от двух
плоскостей? получим показанную на рис? ??? симметричную систему из че?
тырех зарядов? один из которых есть реальный заряд e ? e1 ? а три других
заряда ±e ? его отражения e2,3,4 ? Утверждается? что в ?реальной области?
?первый квадрант? искомый потенциал есть сумма ? = ??i потенциалов
типа Q/r от всех четырех зарядов? а вне реальной области ? = 0? ?оказа?
тельство точно такое же? как для рассмотренного выше случая металли?
ческой плоскости? нужное уравнение Пуассона для ? выполняется потому?
что все отраженные заряды находятся вне реальной области и их потен?
циалы в ней являются гармоническими функциями? а условие ? = 0 на
стенках обеспечивается попарным взаимным сокращением вкладов из?за
симметричности конфигурации зарядов?
?сли попробовать проделать подобную процедуру для угла в ??? гра?
дусов ?2?/3?? то сразу убедимся? что получить решение таким способом
нельзя? полная симметричная конфигурация зарядов состоит из одного
?реального? и пяти ?отраженных?? и одно из этих пяти отражений обяза?
тельно попадает в реальную область? что запрещено? поскольку при этом
нарушается нужное уравнение Пуассона для потенциала ??
?бобщая эти наблюдения? можно сказать? что получить решение таким
методом можно только для углов ?/n с n = 1, 2, ... Предлагаем читателю
доказать это самостоятельно?
?аземленная металлическая сфера? Пусть есть заземленная ?т? е? име?
ющая нулевой потенциал? металлическая сфера радиуса R? вне которой
на заданном расстоянии R1 > R от центра сферы находится заданный
заряд e1 ? Требуется найти потенциал ? внутри и вне сферы? Ясно? что
внутри сферы ? = 0? поэтому нетривиален только потенциал ? вне сферы?
?го можно найти с помощью метода изображений? ?ля этого нужно поме?
стить внутри сферы на одном луче с e1 некоторый ?отраженный? заряд e2
на некотором расстоянии R2 от центра сферы ?см? рис? ????? Решение вне
сферы ? сумма потенциалов ? = ?1 + ?2 типа Q/r для этих двух точеч?
ных зарядов? Поскольку отраженный заряд находится вне ?реальной обла?
сти?? нужное уравнение Пуассона для потенциала ? заведомо выполняется?
?Угол? с заземленными металлическими стенками?
???
Статика
R1
R2
A
e2
B
e1
R
Рис? ???? ?траженный заряд от заземленной сферы
остается лишь удовлетворить краевому условию ? = 0 на поверхности
сферы? Утверждается? что параметры e2 и R2 можно выбрать так? чтобы
получить ? = 0 на сфере? ?айти эти два параметра e2 и R2 нетрудно из
двух уравнений ?A = 0 и ?B = 0 для двух показанных на рис? ??? точек A
и B на поверхности сферы? ?меем? 0 = ?A = e1 /(R1 ? R) + e2 /(R ? R2 ) и
0 = ?B = e1 /(R1 + R) + e2 /(R + R2 )? ?десь величины R? R1 ? e1 считаются
заданными? R2 и e2 ищутся? Решение приведенных двух уравнений имеет
следующий вид?
e2 = ?e1 R/R1 , R2 = R2 /R1 .
?????
при таком выборе параметров для отраженного заряда по?
тенциал ? = ?1 + ?2 равен нулю не только в точках A и B ? но и на всей
поверхности сферы? Предлагаем читателю доказать это самостоятельно?
?ная потенциал? из условия сшивания ?En = 4?? можно найти поверх?
ностный заряд ? на сфере? Полный заряд системы Q определяется вкла?
дом ? 1/r в асимптотике потенциала на больших расстояниях r
R со?
гласно общей формуле мультипольного разложения ?????? ? нашем случае
для ? = ?1 +?2 на больших расстояниях имеем ? = (e1 +e2 )/r? откуда сле?
дует Q = e1 + e2 ? Поскольку e1 ? реальный заряд? добавка e2 = Qсф ? пол?
ный заряд самой металлической сферы? ?а вопрос? ?а откуда он берется??
ответ такой? ?заземленность? означает? что сферу следует считать соеди?
ненной? например? тонким проводом с некоторым ?резервуаром? ?условно?
?с землей??? имеющим нулевой потенциал? Это соединение обеспечивает ра?
венство нулю потенциала на сфере именно из?за возможности перетекания
зарядов из резервуара на сферу? отсюда и берется ее заряд?
Утверждение?
????? ?раевые задачи электростатики и методы их решения
???
?ы рассматривали ?внешнюю задачу?? в которой реальный заряд e1
находится вне сферы? ?ожно рассмотреть и ?внутреннюю задачу?? в кото?
рой заряды e1 и e2 меняются местами? реальным является заряд e2 внутри
сферы? а e1 ? его отражением? Тогда решение внутри сферы имеет вид
? = ?1 + ?2 ? а вне сферы ? = 0? ?тсюда следует? что в этом случае пол?
ный заряд системы Q равен нулю? а Qсф = ?e2 для компенсации реального
заряда e2 ?
?еталлическая сфера с заданным потенциалом V = 0? ? этом случае
для внешней задачи с реальным зарядом e1 вне сферы внутри нее будет
? = V ? а вне сферы к обычному решению ?1 + ?2 теперь следует доба?
вить гармоническую вне сферы функцию V R/r? где R ? радиус сферы?
r ? расстояние до ее центра от точки наблюдения? Такая добавка ввиду ее
гармоничности не нарушает уравнение Пуассона для потенциала вне сфе?
ры и обеспечивает нужное значение ? = V для потенциала на сфере? т? е?
при r = R? По асимптотике потенциала при r ? ? находим полный заряд
системы Q = e1 + e2 + V R? где e1 ? реальный заряд? а e2 + V R = Qсф ?
заряд самой сферы?
?ля внутренней задачи? когда реальным считается заряд e2 внутри
сферы? а e1 ? его отражением? внутри сферы к обычному решению ?1 +?2
просто добавляется константа V ? а вне сферы ? = V R/r? Тогда полный
заряд системы есть Q = V R? заряд сферы есть Qсф = V R ? e2 ? где e2 ?
реальный заряд?
?еталлическая сфера с заданным зарядом? Эта задача сводится к
предыдущей? но теперь нужно считать заданным заряд сферы Qсф ? а не
ее потенциал V ? Эти величины однозначно связаны? для внешней задачи
имеем ?см? выше? Qсф = e2 + V R? откуда V = (Qсф ? e2 )/R? Подставив
это значение в известные ?см? выше? выражения для задачи с заданным
потенциалом? внутри сферы получаем ? = V = (Qсф ? e2 )/R = const? а
вне сферы ? = ?1 + ?2 + V R/r = ?1 + ?2 + (Qсф ? e2 )/r? полный заряд
системы есть Q = e1 + Qсф ?
?ля внутренней задачи с реальным зарядом e2 внутри сферы имеем
Qсф = V R ? e2 ?см? выше?? откуда V = (Qсф + e2 )/R? Эта константа
просто добавляется к обычному решению ?1 + ?2 внутри сферы? а вне ее
теперь будет ? = (Qсф + e2 )/r? полный заряд системы есть Q = Qсф + e2 ?
?а этом мы заканчиваем обсуждение метода изображений и переходим
к описанию других приемов решения наших краевых задач? ? заключе?
ние добавим? что в книге ?жексона ??? в параграфе ? главы ? приводится
решение методом изображений задачи с двумя заполненными разными
???
Статика
диэлектриками полупространствами? в одном из которых помещен задан?
ный свободный заряд?
?етод разделения переменных для оператора ?апласа? Ранее
было показано? что все наши задачи можно свести к вычислению в каждой
из разделенных границами областей с разными диэлектриками некоторой
гармонической функции ? ? т? е? решения уравнения ?апласа ?? = 0? ?
обычных декартовых координатах ? = ?i ?i ? сумма вторых производных
по всем координатам xi ? ?адачу можно рассматривать не только в декар?
товых? но и в иных системах координат? сферических? цилиндрических?
эллиптических и т? п? ?ля каждой из таких систем вместо трех декарто?
вых координат xi ? i = 1, 2, 3 вводятся три другие переменные ?i ? i = 1, 2, 3?
?апример? в сферической системе трехмерный вектор x заменяется набо?
ром трех переменных ? = {r, ?, ?}? где r = |x|? ? ? угол между вектором
x и осью ???? а ? ? угол между проекцией вектора x на плоскость ??? ??
и осью ???? ?амена переменных от декартовых координат к сферическим
выглядит следующим образом?
x1 = r sin ? cos ?,
x2 = r sin ? sin ?,
x3 = r cos ?,
?????
а интеграл по трехмерному пространству в сферических координатах при?
нимает вид ?где многоточие ? любое подынтегральное выражение??
?
dx... ?
3
?
2
d x... =
r dr
0
2?
sin ?d?
0
d?...
?????
0
?налогичные формулы можно написать и для любых других си?
стем координат? Приведем лишь еще один важный конкретный пример
цилиндрической системы координат? в которой ? = {z, ?, ?}? где z = x3 ?
а ? и ? ? полярные координаты в ортогональной оси ??? плоскости ??? ???
? = (x21 + x22 )1/2 ? а ? ? угол между осью ??? и проекцией вектора x на
плоскость ??? ??? Тогда вместо ????? имеем?
x1 = ? cos ?,
x2 = ? sin ?,
x3 = z,
+?
2?
?????
а вместо ????? теперь будет
dx... ?
3
d x... =
+?
dz
??
?d?
0
d?...
0
?????
????? ?раевые задачи электростатики и методы их решения
???
?ля каждой из таких систем оператор ?апласа ? можно переписать в
терминах соответствующих координат ? ? нужные формулы можно найти
в справочниках?
?бщая идея метода разделения переменных состоит в том? что частное
решение уравнения ?апласа ?? = 0 в конкретной системе координат с
переменными ? ищется в виде произведения трех функций? каждая из
которых зависит только от одной из трех переменных ?i ?
? = A(?1 )B(?2 )C(?3 ),
(?? = 0).
?????
?казывается? что во многих случаях частное решение уравнения
?апласа действительно можно найти в виде ?????? при этом таких ре?
шений достаточно много? так что их набор образует полную ?а иногда
даже и переполненную? систему? т? е? произвольное решение уравнения
?апласа ?? = 0 есть некоторая линейная комбинация частных решений
вида ?????? ? математике доказано? что есть ?? систем координат? для
которых можно получить общее решение в виде суперпозиции частных
решений типа ????? ??жексон ???? с? ???? С практической точки зрения
наиболее важными являются декартовы? цилиндрические и сферические
системы координат? ? декартовой системе ?i = xi и решение типа ?????
имеет вид
? = exp(k1 x1 + k2 x2 + k3 x3 ),
k12 + k22 + k32 = 0,
?????
где среди произвольных параметров ki должны быть как вещественные?
так и мнимые? чтобы было можно удовлетворить условию связи на ki
в ?????? Суперпозиции функций типа exp(±ikx) сводятся к синусам и ко?
синусам? а суперпозиции функций типа exp(±kx) ? к их гиперболическим
аналогам? ?ля цилиндрических координат ? = {z, ?, ?} решения типа ?????
имеют следующий вид?
? = ekz eim? Jm (k?) или ? = ekz eim? Nm (k?),
?????
где m ? любое целое число? k ? произвольное ?вещественное или мнимое?
число? Jm и Nm ? функции ?есселя и ?еймана? ?х линейные комбинации
(1)
(2)
Hm (x) = Jm (x)+iNm (x) и Hm (x) = Jm (x)?iNm (x)? которые называются
функциями Ханкеля? также можно использовать в качестве двух линей?
но независимых решений вместо пары Jm ? Nm ? ?се нужные сведения об
этих функциях можно найти в математических справочниках? например?
???
Статика
в ???? ?ы привели сведения о решениях уравнения ?апласа типа ?????
для декартовых и цилиндрических систем координат только для полно?
ты изложения? а в дальнейшем в качестве основного примера будем рас?
сматривать решения задач методом разделения переменных в сферической
системе координат с ? = {r, ?, ?}? ? этой системе также есть два линейно
независимых решения типа ?????? а именно?
? = rl eim? Plm (cos ?) или ? = r?l?1 eim? Plm (cos ?),
?????
где l = 0, 1, 2, ... ? целое неотрицательное число? m ? также целое число?
принимающее при заданном l значения от ?l до l? Plm ? ?присоединенные
полиномы ?ежандра?? Сейчас мы опишем все эти функции подробнее?
Сферические гармоники Ylm . ?ходящие в ????? функции углов ? и ?
называют ?сферическими гармониками? и обозначают через Ylm (?, ?)? ?ни
нумеруются целочисленными индексами l? m? где l = 0, 1, 2, ...? а m при за?
данном l принимает значения от ?l до l ?т? е? всего 2l + 1 значений?? Функ?
ции Ylm (?, ?) с разным знаком m считаются связанными соотношением
?
(?, ?),
Yl,?m (?, ?) = (?1)m Ylm
?????
где символ ? ?? ? знак комплексного сопряжения? Поэтому в дальнейшем
мы будем приводить явные выражения лишь для функций Ylm с m ? 0?
функции Ylm с m < 0 находятся по ним из ?????? По определению
Ylm (?, ?) = Clm exp(im?)Plm (cos ?),
?????
где Clm ? числовые коэффициенты
Clm = [(l ? m)!(2l + 1)/(l + m)!4?]1/2 ,
?????
Plm ? присоединенные полиномы ?ежандра? определенные при m ? 0
соотношением
Plm (z) = (?1)m (1 ? z 2 )m/2 (d/dz)m Pl (z),
?????
в котором Pl (z) ? обычные полиномы ?ежандра?
Pl (z) = [(d/dz)l (z 2 ? 1)l ]/l!2l .
?????
Полиномы Pl (z) обладают определенной четностью по аргументу z ? совпа?
дающей с четностью их индекса l? и для всех Pl (1) = 1? Первые полиномы
?ежандра ????? имеют следующий вид?
P0 (z) = 1,
P1 (z) = z,
P2 (z) = (3z 2 ? 1)/2.
?????
????? ?раевые задачи электростатики и методы их решения
???
?з соотношений ????? и ????? очевидно? что при m = 0 присоединенные
полиномы ?ежандра совпадают с обычными? а сферические гармоники
Yl0 кратны Pl (cos ?)? Сферические гармоники Ylm образуют полную орто?
нормированную систему функций от углов ? и ?? т? е? ?функций на сфере??
?ля сокращения записи вместо двух углов ? и ? можно использовать еди?
ничный вектор направления n = x/r? r ? |x|? а угловое интегрирование
в ????? обозначать сокращенно через dn... ?вадратично интегрируемые
функции от углов ?(n) образуют гильбертово пространство со скалярным
произведением
dn?1? (n)?2 (n).
(?1 , ?2 ) =
?????
?ртонормированность системы сферических гармоник Ylm в обозначениях
????? выражается равенством
?????
(Ylm , Yl m ) = ?ll ?mm ,
а полнота этой системы означает? что любая квадратично интегрируемая
функция от углов ?(n) может быть представлена в виде ?ряда Фурье? по
гармоникам Ylm ?
?
?(n) =
lm
l
... ?
clm Ylm (n),
lm
...,
?????
l=0 m=?l
где clm ? ?коэффициенты Фурье?? в обозначениях ????? определяемые соот?
ношением clm = (Ylm , ?)? ?о избежание недоразумений мы указали в ?????
точный смысл символа суммирования по lm? так он и должен понимать?
ся во всех формулах? ?сли функция ?(n) имеет осевую симметрию? т? е?
не зависит от угла ?? то в разложении ????? остаются лишь гармоники с
m = 0? для которых Yl0 ? Pl согласно ?????? Тогда вместо ????? можно
использовать разложение по простым полиномам ?ежандра?
?
?(?) =
cl Pl (cos ?).
?????
l=0
?о многие формулы входит множитель 1/|x1 ? x2 | с двумя трехмерными
векторами x1,2 ? поэтому при переходе к сферическим координатам полезно
следующее соотношение?
1/|x1 ? x2 | = 4?
lm
l
rmin
1
Y ? (n )Y (n ),
l+1 lm 1 lm 2
(2l + 1) rmax
?????
???
Статика
в котором ri ? |xi |? ni ? xi /ri ? а rmax и rmin обозначают? соответственно?
максимальное и минимальное по величине значение двух переменных r1
и r2 ? ?сли вектор x1 направлен по оси ??? ?она же ?ось z ??? а вектор x2 ?
под углом ? к этой оси? то вместо ????? можно использовать более простое
разложение по полиномам ?ежандра?
?
1/|x1 ? x2 | =
l=0
l
rmin
P (cos ?).
l+1 l
rmax
?????
?бщее решение уравнения ?апласа в сферических координатах?
?бщее решение уравнения ?апласа ?? = 0 в сферических координатах
является суперпозицией частных решений ?????? угловые части которых
пропорциональны сферическим гармоникам Ylm ?
[Alm rl + Blm r?l?1 ]Ylm (?, ?),
?(r, ?, ?) =
?????
lm
где Alm и Blm ? произвольные числовые коэффициенты? а суммирование
по lm понимается так? как указано в соотношении ?????? ?место двух углов
? и ? можно использовать как обозначение единичный вектор n? ?клады
? rl в ????? гармоничны во всем пространстве ?поэтому их суперпозиция ?
общий вид потенциала внешнего поля в сферической системе координат? и
не убывают на бесконечности? а вклады ? r?l?1 на бесконечности убыва?
ют? но не являются гармоническими при r = 0? Поэтому общее выражение
????? используется для функций? гармонических внутри любого сфериче?
ского слоя R1 < r < R2 ? в котором нет ?ни нуля? ни бесконечности? по r?
?ля шара r < R? содержащего точку r = 0? из разложения типа ?????
нужно исключить вклады ? r?l?1 ? поскольку они не являются гармони?
ческими при r = 0? а если рассматривается некоторая внешняя область с
r > R и при этом речь идет о потенциале? создаваемом самой системой?
который ?по условию? убывает на бесконечности? то из разложения ?????
нужно исключить не убывающие на бесконечности вклады ? rl ? ?се не
исчезающие на бесконечности вклады в потенциал ? могут представлять
только заданное внешнее поле? если оно присутствует в задаче? При нали?
чии осевой симметрии? когда искомая гармоническая функция ? не зави?
сит от угла ?? вместо ????? можно использовать более простое разложение
по полиномам ?ежандра?
?
[Al rl + Bl r?l?1 ]Pl (cos ?)
?(r, ?) =
l=0
?????
????? ?раевые задачи электростатики и методы их решения
???
с произвольными числовыми коэффициентами Al и Bl и с теми же уточ?
нениями относительно поведения вкладов при r = 0 и при r ? ?? как и
для разложения ??????
Примеры решения конкретных задач? Первый пример? пусть есть
металлическая сфера с заданным потенциалом V и с заданным радиу?
сом R1 ? окруженная концентрически сферическим слоем диэлектрика с
внешним радиусом R2 и с заданной диэлектрической проницаемостью ??
?не диэлектрика ? вакуум ?? = 1?? и вся система находится в заданном
однородном внешнем поле E ?см? рис? ?????
Рис? ???? ?еталлическая сфера? окруженная диэлек?
триком? в однородном внешнем поле
?аправим ось ??? ?она же ось ? z ?? по направлению внешнего поля E ?
Тогда очевидно? что задача имеет осевую симметрию? для гармониче?
ских функций можно пользоваться разложением по полиномам ?ежандра
?????? а потенциал однородного внешнего поля ????? можно переписать в
сферических координатах с учетом ????? следующим образом?
?вн = ?Ex3 = ?Er cos ? = ?ErP1 (cos ?).
?????
?бозначим индексами i = 1, 2, 3 следующие три области? ??? ? внутри ме?
таллической сферы? ??? ? внутри диэлектрического слоя? ??? ? снаружи от
него? Пусть ?i ? потенциал внутри каждой из этих трех областей? все это
гармонические функции? Ясно? что внутри металла ?1 = V ? т? е? нетриви?
альны лишь потенциалы ?2 и ?3 ? ?ля потенциала ?2 внутри диэлектрика
нужно использовать общее разложение ??????
?
[Al rl + Bl r?l?1 ]Pl (cos ?),
?2 =
l=0
?????
???
Статика
а потенциал ?3 во внешней области должен быть суммой известного внеш?
него поля ????? и убывающих на бесконечности вкладов типа ????? от по?
тенциала? создаваемого самой системой?
?
Cl r?l?1 Pl (cos ?).
?3 = ?ErP1 (cos ?) +
?????
l=0
?ходящие в ряды ?????? ????? неизвестные числовые коэффициенты Al ?
Bl ? Cl ищутся из условий сшивания ?????? ?????? причем в нашей задаче на
границе раздела диэлектрик ? вакуум следует считать ? своб = 0? посколь?
ку наличие свободного поверхностного заряда на этой границе в условиях
задачи не указано? Это значит? что нормальная компонента Dn вектора
индукции D на этой границе непрерывна? Таким образом? мы имеем одно
условие сшивания ????? на границе раздела металл ? диэлектрик ?r = R1 ??
V = ?2 при r = R1
?????
и два вытекающих из ????? условия на границе диэлектрик ? вакуум?
?2 = ?3 ,
???2 /?r = ??3 /?r при r = R2 .
?????
При записи второго условия ????? ? непрерывности нормальных состав?
ляющих вектора индукции ? мы воспользовались тем? что в сфериче?
ской системе координат нормальная составляющая En вектора E = ???
вычисляется очень просто? En = ???(r, ?, ?)/?r? а Dn = ?En со своим
значением ? в каждой из областей ?для вакуума ? = 1?? Подставляя в
условия ?????? ????? разложения ?????? ????? с учетом P0 (z) = 1 в ?????
получаем следующие соотношения?
[Al R1l + Bl R1?l?1 ]Pl ,
V = V P0 =
?????
l
[Al R2l
l
l?1
[lAl R2
?
l
+
Bl R2?l?1 ]Pl
Cl R2?l?1 Pl ,
?????
(l + 1)Cl R2?l?2 Pl ,
?????
= ?ER2 P1 +
l
? (l + 1)Bl R2?l?2 ]Pl = ?EP1 ?
l
где все Pl = Pl (cos ?)? а все суммы по l ? от нуля до бесконечности? ?тме?
тим? что соотношение ????? получается дифференцированием ????? по R2 и
умножением на нужное значение ? каждой из сторон равенства? Соотноше?
ния ??????????? ? равенства рядов с полиномами ?ежандра Pl = Pl (cos ?)?
????? ?раевые задачи электростатики и методы их решения
???
Поскольку все эти полиномы линейно независимы ?это следует из ортого?
нальности функций Ylm с учетом Pl ? Yl0 ?? из равенства рядов вытекает
почленное равенство коэффициентов при каждом из полиномов Pl ? ? соот?
ношениях ??????????? выделенную роль играют гармоники с l = 0 и l = 1?
так как для них в уравнениях есть неоднородности? т? е? ?внешние возму?
щения?? для l = 0 это заданный потенциал V металлической сферы ? P0 ? а
для l = 1 ? внешнее поле ? P1 ? Приравнивая в ??????????? коэффициенты
при P0 ? получаем?
V = A0 + B0 R1?1 ,
A0 + B0 R2?1 = C0 R2?1 ,
?B0 R2?2 = C0 R2?2 ,
?????
а из равенства коэффициентов при P1 следует
0 = A1 R1 + B1 R1?2 ,
A1 R2 + B1 R2?2 = ?ER2 + C1 R2?2 ,
?????
?[A1 ? 2B1 R2?3 ] = ?E ? 2C1 R2?3 .
?ля коэффициентов Al ? Bl ? Cl при всех прочих Pl с l ? 2 из ???????????
получим три линейных однородных уравнения? явный вид которых нам не
понадобится? Соотношения ????? ? система трех линейных неоднородных
?из?за вклада V ? уравнений для определения трех неизвестных коэффици?
ентов A0 ? B0 ? C0 ? а ????? ? аналогичная система ?с неоднородностью от E ?
для определения коэффициентов A1 ? B1 ? C1 ? Поскольку мы заранее уве?
рены из общих соображений в существовании и единственности решения
?см? начало раздела?? ясно? что определители всех этих линейных систем
должны быть отличными от нуля? ?тсюда следует? что коэффициенты при
гармониках P0 и P1 из уравнений ?????? ????? определяются однозначно ?их
явный вид предоставляем найти читателю?? а коэффициенты Al ? Bl ? Cl
при всех прочих Pl с l ? 2 должны быть равны нулю? поскольку любая
система линейных однородных уравнений с отличным от нуля определи?
телем имеет только нулевое решение? ?ы разобрали эту задачу подробно?
чтобы на конкретном примере показать? как используются разложения
по сферическим гармоникам? ?а самом деле отсутствие в решении гармо?
ник с l ? 2 можно было бы предугадать с самого начала из приведенных
выше соображений? ?бщий принцип состоит в том? что в решении мо?
гут присутствовать только те гармоники? которые фигурируют в каком?
нибудь ?внешнем возмущении?? вводимом в систему? ? этим обеспечивается
неоднородность линейных уравнений для соответствующих коэффициен?
тов при гармониках? ?апример? если у нас имеется диэлектрический или
???
Статика
заземленный металлический шар в однородном внешнем электрическом
поле? то с учетом осевой симметрии заранее ясно? что в ответах может
присутствовать только гармоника P1 ? а если такой же шар находится? на?
пример? во внешнем поле ? r2 Y21 (?, ?)? то в ответ будут входить лишь
вклады с гармоникой Y21 ? и т? п? Ясно также? что решение методом разде?
ления переменных в сферических координатах возможно лишь для задач
с концентрическими сферическими границами? поскольку ряды типа ?????
могут сходиться лишь в шаровых слоях? а нам они нужны вплоть до гра?
ницы раздела для использования условий сшивания? При других границах
в методе разделения переменных нужно использовать другие системы ко?
ординат? соответствующие типу границ? ?апример? для задач с паралле?
лепипедами подходит обычная декартова система координат? для задач с
цилиндрическими границами ? цилиндрическая система координат? и т? п?
?торой пример? диэлектрический шар и точечный заряд? Пусть есть
диэлектрический шар с заданным радиусом R и с заданным значением ??
вне шара ? вакуум и на некотором расстоянии RQ > R от центра шара на?
ходится заданный точечный заряд Q? ?адача обычная? найти потенциалы
?1 ?внутри шара? и ?2 ?вне шара?? Потенциал ?1 внутри шара ? гармони?
ческая функция? а потенциал ?2 вне шара должен удовлетворять уравне?
нию Пуассона ?? = ?4?? с ? ?образной плотностью ?? соответствующей
заданному точечному заряду? Решение для ?2 будем искать по изложенной
в начале раздела общей схеме? положим ?2 = ?Ї2 + ? ? где ? ? некоторая
гармоническая функция? а ?Ї2 ? потенциал точечного заряда для задачи
без границ? т? е? обычное выражение Q/r ? где r ? расстояние от заряда
до точки наблюдения?
Поместим начало отсчета координат в центре шара? а ось ??? направим
на заряд? тогда будем иметь осевую симметрию? Пусть xQ ? трехмерный
вектор положения заряда в нашей системе? а x ? вектор в точку наблюде?
ния? тогда ?Ї2 = Q/|xQ ?x|? Поскольку вектор xQ направлен по оси ???? для
функции ?Ї2 можно пользоваться разложением по полиномам ?ежандра
?????? ? дальнейшем мы будем использовать такое разложение при запи?
си условий сшивания на поверхности шара? поэтому будем считать? что
r ? |x| < |xQ | ? RQ ? Тогда в разложении ????? rmin = r? rmax = RQ ? так
что
?
?l?1
rl RQ
Pl (cos ?),
?Ї2 = Q/|xQ ? x| = Q
l=0
где ? ? угол между векторами xQ и x?
?????
????? ?раевые задачи электростатики и методы их решения
???
?виду осевой симметрии гармонический потенциал ?1 внутри шара
ищем в виде ?????? опуская сингулярные в нуле вклады?
Al rl Pl (cos ?),
?1 =
?????
l
а вне шара ?2 = ?Ї2 + ? ? где ?Ї2 при r < RQ ? выражение ?????? ? ? гармо?
ническая функция типа ????? с убывающими на бесконечности вкладами?
?l?1
rl RQ
Pl (cos ?) +
?2 = ?Ї2 + ? = Q
l
Bl r?l?1 Pl (cos ?).
?????
l
Первое слагаемое представляет ?Ї2 в области R ? r < RQ ? второе ? гармо?
ническую функцию ? при любом r ? R?
?оэффициенты Al и Bl в разложениях ?????? ????? находятся из усло?
вий сшивания ????? с ? своб = 0? поскольку наличие поверхностного сво?
бодного заряда на поверхности шара в условиях задачи не оговаривалось?
Таким образом? мы имеем аналогичные ????? условия сшивания на поверх?
ности шара ?r = R??
?1 = ?2 ,
???1 /?r = ??2 /?r при r = R.
?????
Подставляя сюда разложения ?????? ?????? получаем?
Al R l P l =
l
?
?????
?l?1
[lQRl?1 RQ
? (l + 1)Bl R?l?2 ]Pl .
?????
l
lAl R
l
?l?1
+ Bl R?l?1 ]Pl ,
[QRl RQ
l?1
Pl =
l
Приравнивая здесь коэффициенты при всех гармониках Pl ? Pl (cos ?)?
получаем систему двух линейных неоднородных уравнений для коэффи?
циентов Al ? Bl ?
?l?1
Al Rl = QRl RQ
+ Bl R?l?1 ,
?l?1
?lAl Rl?1 = lQRl?1 RQ
? (l + 1)Bl R?l?2 .
?????
?????
Решение этой системы существует и единственно? заинтересованный чита?
тель может найти его самостоятельно?
?а этом мы заканчиваем обсуждение статики и переходим к последней
четвертой главе ? ??инамика?? ?ы обсуждали выше лишь краевые зада?
чи электростатики? ?адачи магнитостатики решаются аналогично? хотя
они? как правило? сложнее из?за векторной природы потенциала и более
сложного вида условий сшивания на границах раздела?
?лава ?
?инамика
Теперь мы переходим к динамическим задачам? в которых все величины
зависят не только от пространственных координат x? но и от времени t?
??? Постановка задачи? общий вид решения
Сначала мы будем рассматривать задачи для полей
в вакууме? базовыми формулами являются уравнения ?аксвелла ???????
для напряженностей или эквивалентные им уравнения ???? для потенциа?
лов в произвольной калибровке? ? лоренцовой калибровке ???? уравнения
???? сводятся к неоднородным волновым уравнениям ????? которые мы
воспроизведем здесь для удобства читателя?
Постановка задачи?
? = 4??,
где
A = (4?/c)j,
? c?2 ?t2 ? ?,
?????
? волновой оператор? в котором ? = ?i ?i ? оператор ?апласа?
По общему правилу? решение линейных неоднородных уравнений ?????
есть сумма общего решения соответствующих однородных уравнений и
любого частного решения неоднородных уравнений? Первый вклад описы?
вает свободные электромагнитные волны без источников ??свет??? под вто?
рым вкладом всегда будем понимать поле? создаваемое самими источни?
ками ?? j ? ?ежду ними есть важное физическое различие? свободное поле
приносит энергию из ?? по времени и уносит ее на +?? тогда как поле
?самих источников? при t = ?? должно отсутствовать? ? оно возникает
лишь во время включения источников и затем уходит на бесконечность в
виде расходящихся волн? Требование отсутствия полей источников ранее
???
???? Постановка задачи? общий вид решения
момента их включения есть ?условие запаздывания?? которое будет исполь?
зоваться впоследствии ?п? ???? при расчете создаваемых источниками по?
лей? Только этот вклад и будет подробно рассматриваться в дальнейшем?
и лишь для полноты изложения мы кратко обсудим решения уравнений
????? без источников ? свободные поля?
Свободные поля? плоские волны? ? терминах потенциалов свобод?
ные поля ? решения однородных волновых уравнений ? = 0? A = 0?
Ясно? что на эти решения нельзя накладывать дополнительные асимп?
тотические условия ?достаточно быстрого убывания? ?п? ???? или ?запаз?
дывания?? поскольку они исключают нетривиальные решения однородных
уравнений? а именно они нас сейчас интересуют? ?ак пояснялось в п? ????
при снятии таких дополнительных условий лоренцова калибровка ???? уже
не определяет искомые потенциалы однозначно? в них еще остается ?ка?
либровочный произвол?? для ликвидации которого в дополнение к ???? на
потенциалы можно наложить еще одно калибровочное условие? например?
? = 0? ?месте с калибровкой ?оренца ???? это дает два условия? ? = 0?
div A = 0? ?ожно проверить? что для свободных полей эти условия допу?
стимы? т? е? им всегда можно удовлетворить подходящим выбором калиб?
ровочного преобразования? ? доказательство предоставляем читателю?
Свободные поля проще рассматривать прямо на языке напряженно?
стей? исходя из основных уравнений ?аксвелла ??????? с нулевыми источ?
никами ?? j ?
div E = 0,
div H = 0,
rot E + c?1 ?t H = 0,
rot H ? c?1 ?t E = 0. ?????
?сли к двум роторным уравнениям применить еще один раз операцию
? rot? и воспользоваться равенством rot rot X = ? div X ? ?X ? то с учетом
двух первых соотношений ????? для E и H получим стандартные волновые
уравнения?
E = 0,
H = 0.
?????
?егко проверить? что волновое уравнение F = 0 для вещественной
функции F имеет решения в виде плоских монохроматических волн?
F (t, x) = AF cos(kx ? ?t + ?F ),
? = ck ? c|k|.
?????
Произвольный параметр k называют волновым вектором? ? ? частотой?
положительный коэффициент AF ? амплитуда волны? ?F ? ?сдвиг фазы??
Функция ????? удовлетворяет волновому уравнению при любом k и ? = ck ?
???
?инамика
где k ? |k|? ?ргумент косинуса ? = kx ? ?t + ?F ? фаза волны? условие
? = const при фиксированном значении t определяет в трехмерном про?
странстве координат x ?поверхность постоянной фазы?? ? это плоскость?
ортогональная волновому вектору k и перемещающаяся в пространстве со
скоростью ?/k = c? Эту величину ?/k ? т? е? скорость движения поверхно?
сти постоянной фазы? называют фазовой скоростью волны? ?ля решений
волнового уравнения она совпадает с параметром ? c?? входящим в опреде?
ление волнового оператора ??????
При работе с объектами типа ????? удобно перейти к их комплексным
аналогам? ?удем называть исходную вещественную величину ????? ?физи?
ческой? и обозначать ее индексом ?физ?? полагая F физ (t, x) = Re F (t, x)?
где F (t, x) ? комплексный аналог F физ (t, x)?
F (t, x) = F ei(kx??t) ,
?????
F = AF exp(i?F ),
F физ (t, x) = Re F (t, x).
?е зависящий от t? x комплексный амплитудный множитель F в правой
части содержит информацию как об амплитуде волны AF ? так и о ее сдвиге
фазы ?F ? ?ы обозначаем его той же буквой F ? как и функцию F (t, x) в
левой части равенства? поскольку эти величины всегда легко различить
по контексту? а однотипность обозначений облегчает восприятие формул?
?инейным уравнениям ?????? ????? должны удовлетворять как веще?
ственные? так и мнимые части выражений типа ?????? следовательно? и
эти комплексные величины в целом? Подставим в уравнения ?????? ?????
комплексные аналоги напряженностей ??????
E(t, x) = E exp(i?),
H(t, x) = H exp(i?),
? ? kx ? ?t,
?????
где E и H в правых частях ? не зависящие от t? x комплексные амплитуды?
Функции ????? удовлетворяют волновым уравнениям ????? при ? = ck для
произвольного волнового вектора k с k ? |k|? ?а функциях вида ?????
производные ?t ? ?/?t и ?s ? ?/?xs становятся простыми числовыми
множителями?
?t ? ?i?, ?s ? iks .
?????
После такой замены уравнения ????? для функций ????? принимают вид
(k E) = 0,
(k H) = 0,
H = [n Ч E],
E = [H Ч n],
?????
???? Постановка задачи? общий вид решения
???
где n = k/k ? единичный вектор направления распространения волны?
Ясно? что первая пара этих уравнений ? автоматическое следствие вто?
рой? так как из них следует? что векторы E(t, x) и H(t, x) в любой момент
времени t и в любой точке пространства x ортогональны друг к другу и
к направлению распространения волны n? ?сли ввести любые два единич?
ных орта e1,2 ? ортогональных друг к другу и к вектору n? то любую из
комплексных амплитуд F = {E, H} можно разложить по этому базису?
F = F1 e1 + F2 e2 ,
F = {E, H}.
?????
Поведение соответствующих величин F (t, x) в ????? как функций t? x зави?
сит от относительного сдвига фаз ?i компонент вектора Fi ? или? эквива?
лентно? коэффициентов F1,2 в ?????? если все эти сдвиги фаз одинаковы
?тем самым устранимы сдвигом начала отсчета времени?? то F1,2 в ?????
можно считать просто вещественными величинами? а каждый из векто?
ров F (t, x) = {E(t, x), H(t, x)} ? направленным по одной прямой в любой
момент времени и в любой точке пространства? при этом H(t, x) ? E(t, x)
согласно ?????? Такую волну называют ?линейно поляризованной?? ?сли же
комплексные амплитуды E1,2 в выражении ????? для E равны по модулю?
но различаются сдвигом фазы ±?/2? то мы имеем волну с двумя вариан?
тами круговой поляризации ? ?левой? или ?правой? ?в физике элементар?
ных частиц вместо этого говорят ?с двумя разными спиральностями? ±1??
Тогда вектор E(t, x)? рассматриваемый как функция времени t в любой
фиксированной точке пространства x? совершает круговое движение с ча?
стотой ? ?по? или ?против? часовой стрелки в ортогональной направлению
волны n плоскости? Это справедливо и для вектора H(t, x)? который в
силу соотношений ????? всегда ортогонален вектору E(t, x) и совпадает
с ним по модулю? ? общем случае при произвольных амплитудах E1,2
в ????? и произвольном относительном сдвиге фазы между этими двумя
величинами волна является ?эллиптически поляризованной??
?сли рассматривать билинейные по полям величины типа объемной
плотности энергии W = (E 2 + H 2 )/8? или вектора плотности потока энер?
гии S = (c/4?)[E Ч H] из ?????? то под E и H в этих соотношениях нужно
понимать? конечно? ?физические поля?? т? е? вещественные части выраже?
ний типа ????? с комплексными F ? F (t, x)?
F физ = Re F = (F + F ? )/2.
?????
???
?инамика
Подставив такие выражения для напряженностей ????? в определение
плотности потока энергии S ? получим?
S = (c/4?)[E физ Ч H физ ] =
= (c/16?) [E Ч H]e2i? + [E ? Ч H ? ]e?2i? + [E Ч H ? ] + [E ? Ч H] ,
?????
где ? = kx ? ?t ? фаза волны? E и H ? не зависящие от t? x комплекс?
ные амплитуды? ?ва последних вклада в ????? взаимно сопряжены и не
зависят от t? x ?поскольку в них фазовые множители сокращаются?? а в
двух первых остается гармоническая зависимость ? exp(±2i?)? Поэтому
всегда рассматривается усредненная по времени величина < S > ?скобки
< ... > ? символ усреднения?? в которой два первых вклада ????? просто
отбрасываются? так как их средние по времени равны нулю? а два по?
следних вклада ввиду их взаимной сопряженности заменяются удвоенной
вещественной частью одного из них?
< S > = (c/8?) Re[E Ч H ? ] = (c/8?)|E|2 n,
?????
где E и H ? не зависящие от t? x комплексные амплитуды напряженно?
стей в ?????? n ? единичный вектор направления распространения волны?
|E|2 ? (E, E ? ) ? квадрат модуля комплексного вектора E ? При получении
второго равенства ????? мы использовали известную из соотношений ?????
связь между амплитудами E и H и стандартное правило ???Ц?Ц????
[E Ч H ? ] = [E[n Ч E ? ]] = n(E, E ? ) ? E ? (En)? последнее слагаемое равно
нулю в силу известной из ????? ортогональности векторов E и n?
?ля объемной плотности энергии W = [(E физ )2 + (H физ )2 ]/8? после
подстановки для E и H их вещественных составляющих ????? и усреднения
по времени с учетом вытекающего из ????? равенства |H| = |E| получаем?
< W > = (1/16?)[|E|2 + |H|2 ] = (1/8?)|E|2 .
?????
Усредненная плотность энергии < W > и плотность потока энергии ?????
связаны стандартным соотношением? < S > = c < W > n?
?ы обсуждали выше монохроматические плоские волны ? частные ре?
шения уравнений ?аксвелла ?????? ?бщее решение этих уравнений ? вол?
новой пакет ? произвольная суперпозиция плоских волн ?интеграл Фурье?
с разными волновыми векторами k и с произвольными весовыми множи?
телями A(k)?
???? ?апаздывающая функция ?рина волнового оператора
???
??? ?апаздывающая функция ?рина
волнового оператора
Переходим теперь к нашей основной задаче ? построению решений неодно?
родных волновых уравнений ?????? представляющих ?поле самих источни?
ков?? ?ы будем строить такое решение с помощью метода функций ?рина?
Функция ?рина линейной дифференциальной операции? ?ля
простоты будем говорить о функциях одной переменной x? обобщение на
многомерные переменные типа x = t, x в волновом операторе тривиально?
Пусть дано линейное дифференциальное уравнение
L?(x) = f (x),
?????
в котором L ? заданная дифференциальная операция по аргументу x?
функция f (x) известна? ?(x) ищется? ?пределение? функцией ?рина опе?
рации L называется зависящая от удвоенного набора аргументов функ?
ция G(x, x )? удовлетворяющая дифференциальному уравнению
Lx G(x, x ) = ?(x ? x ) = ?(x ? x)
?????
с ? ?функцией ?ирака в правой части ?см? ее определение в п? ?????? ?ндек?
сом ? x? у L мы уточняем? что эта дифференциальная операция действует
на аргумент x функции G(x, x )? ?иже будет показано? что ? ?функция чет?
на по своему аргументу? чем оправдывается второе равенство ?????? По?
лезно также отметить? что функция ?рина имеет простую физическую ин?
терпретацию? если назвать условно f (x) в ????? ?источником?? а ?(x) ? ?со?
ответствующим полем?? то можно сказать? что функция ?рина G(x, x ) ?
поле ? ?образного источника? сосредоточенного в точке x ?
Утверждение? если известна функция ?рина G(x, x )? то решение урав?
нения ????? дается соотношением
?(x) =
dx G(x, x )f (x ).
?????
?ля доказательства этого утверждения подействуем на обе части равен?
ства ????? операцией L ? Lx ? ?неся ее под знак интеграла по x в правой
части? с учетом соотношения ????? получим?
L?(x) =
dx Lx G(x, x )f (x ) =
dx ?(x ? x)f (x ) = f (x),
???
?инамика
что и требовалось доказать? При вычислении последнего интеграла мы
воспользовались правилом ????? с очевидным изменением обозначений?
? общем случае решение уравнения ????? неоднозначно? произвол ?
любое решение однородного уравнения L? = 0? ?сли оно имеет нетриви?
альные решения? то аналогичный произвол будет и в решениях уравнения
?????? т? е? для таких операторов функция ?рина также определяется неод?
нозначно? С этой проблемой мы еще столкнемся при определении функции
?рина волнового оператора?
Ясно? что все приведенные выше соотношения очевидным образом
обобщаются на случай многомерных переменных x?
Преобразования Фурье? Фурье?образ ? ?функции и ее свойства?
?апомним кратко основные формулы преобразований Фурье? ограничива?
ясь для простоты случаем одной переменной x ?обобщения тривиальны??
Фурье?образ ?(k)
Ї
заданной функции ?(x) определяется соотношением
?(k)
Ї
=
dx?(x) exp(?ikx),
?????
переменные k и x называют ?взаимно сопряженными?? ?сходная функ?
ция ?(x) восстанавливается по ?(k)
Ї
с помощью ?обратного преобразования
Фурье??
?(x) = (1/2?)
dk ?(k)
Ї exp(ikx).
?????
?нтегралы по x и k в этих двух соотношениях берутся по всей веществен?
ной оси? т? е? в пределах от ?? до +?? ?амечание? вид формул ??????
????? можно менять? во?первых? одновременным изменением знака в по?
казателях экспонент ?важно лишь то? чтобы эти знаки в двух формулах
были разными?? во?вторых? распределением множителей 1/2? перед ин?
тегралами? ? физической литературе обычно употребляется приведенная
выше запись? которую мы всегда и будем использовать? а в математиче?
ских текстах множитель 1/2? часто ?делят пополам?? ставя перед инте?
гралами в ????? и ????? одинаковый коэффициент (2?)?1/2 ? ?се это просто
вопрос соглашения? важно лишь то? чтобы в прямом и обратном преобра?
зовании Фурье на каждую одномерную переменную набирался бы в сумме
множитель 1/2? ? а при обобщении на многомерные переменные ? 1/2? на
каждое измерение ?в частности? (2?)?4 для четырех переменных t, x в вол?
новом операторе?? ?ля многомерных переменных величины kx в показа?
телях экспонент в ????? и ????? следует понимать? конечно? как скалярные
произведения векторов?
???? ?апаздывающая функция ?рина волнового оператора
???
С помощью соотношения ????? и правила вычисления интегралов
Ї
с ? ?функцией ????? можно вычислить фурье?образ ?(k)
простейшей
? ?функции ?(x)? что дает?
Ї
?(k)
=
dx?(x) exp(?ikx) = 1
?????
?отметим? что необходимое условие непрерывности функции f в ????? для
интеграла ????? выполнено?? Тогда обратное преобразование Фурье ?????
Ї
с ?(k)
= 1 приводит к следующему очень полезному фурье?представлению
одномерной ? ?функции?
+?
?(x) = (1/2?)
dk exp(ikx).
?????
??
?бобщение на многомерные ? ?функции очевидно? kx ? скалярное про?
изведение векторов и множитель 1/2? на каждое измерение?
Представление ????? позволяет легко доказать несколько важных
свойств ? ?функции? Первое из них ? четность по x? если сделать в ?????
замену x ? ?x и сопроводить ее заменой k ? ?k переменной интегриро?
вания? то с учетом перестановки пределов интегрирования ±? получим
?(?x) = ?(x),
?????
что уже было использовано в записи ??????
Рассмотрим теперь величину ?(ax) с коэффициентом a > 0? Сделав
замену x ? ax в ????? и сопроводив ее заменой k ? k/a переменной
интегрирования? получим ?(ax) = a?1 ?(x)? что вместе с ????? приводит к
соотношению
?(ax) = |a|?1 ?(x),
?????
справедливому для любого знака коэффициента a?
? заключение добавим? что простота соотношения ????? ? следствие
принятого в ?????? ????? правила расстановки множителей 1/2? перед ин?
тегралами? При другом выборе этой расстановки фурье?образ ? ?функции
Ї
?(k)
был бы не просто единицей? а некоторой нетривиальной константой?
что менее удобно ?поэтому физики и предпочитают запись ?????? ???????
???
?инамика
Построение
функции
?рина
для
линейного
дифферен?
циального оператора с постоянными коэффициентами методом
?опустим? что L в ????? ? дифференциаль?
ный оператор с постоянными коэффициентами? т? е? полином L(d/dx) от
операции дифференцирования d/dx ? некоторая конечная сумма?
преобразования Фурье?
ck (d/dx)k .
L = L(d/dx) =
?????
? общем случае коэффициенты ck могли бы быть функциями от пере?
менной x? для оператора с постоянными коэффициентами они считаются
простыми константами?
Утверждение? для оператора с постоянными коэффициентами функ?
цию ?рина G(x, x ) в ????? можно искать ?и найти? в виде
G(x, x ) = g(x ? x ),
?????
где g(x) ? функция одной ?а не двух? как у G? переменных x? ?оказа?
тельством будет прямое построение искомой функции G в виде ?????? к
которому мы и переходим?
Подставив G в виде ????? в уравнение ?????? получаем?
Lx g(x ? x ) = ?(x ? x ).
?????
Поскольку наш оператор L ? Lx (371) содержит? по условию? только про?
изводные d/dx? которые можно заменить? очевидно? на производные по
разности d/d(x ? x )? в уравнении ????? можно сделать замену переменных
x ? x ? x? что дает
Lg(x) = ?(x)
?????
?важно? что в коэффициентах оператора L нет явной зависимости от x?
которая помешала бы переходу от ????? к ??????? ?ы убрали в ????? уточ?
няющий индекс ? x? у оператора L? поскольку при одной переменной x
в нем нет надобности?
Решение уравнения ????? будем искать с помощью преобразования
Фурье? Подставив в ????? представление ????? для искомой функции?
g(x) = (1/2?)
dkЇ
g (k) exp(ikx)
?????
и известное из ????? фурье?представление ? ?функции? получим?
L
dkЇ
g (k) exp(ikx) =
dk exp(ikx).
?????
???? ?апаздывающая функция ?рина волнового оператора
???
Результат действия операции L типа ????? на интеграл в ????? вычис?
ляется очень просто? каждая производная d/dx проносится под знак ин?
теграла по k и действует только на exp(ikx)? т? е? превращается в простой
множитель ik ? ?тсюда следует? что полином L ? L(d/dx) после внесения
под знак интеграла по k в ????? переходит в аналогичный полином L(ik)
с простой заменой d/dx на ik ?
L
dkЇ
g (k) exp(ikx) =
dkЇ
g (k)L(ik) exp(ikx).
?????
Поскольку равенство функций эквивалентно? как известно? равенству их
фурье?образов? из соотношений ????? и ????? следует? что
т? е? gЇ(k) = 1/L(ik).
gЇ(k)L(ik) = 1,
?????
Тем самым по заданной операции L находится фурье?образ gЇ(k) функции
g(x)? Подставив полученное выражение для gЇ(k) в ????? и вычислив ин?
теграл? найдем саму функцию g(x)? а затем из ????? ? искомую функцию
?рина G(x, x )?
Функция ?рина волнового оператора? формальное решение?
?се сказанное выше с очевидным обобщением на случай четырехмерной
переменной x = t, x приложимо и к волновому оператору из ?????? ?на?
логи формул преобразования Фурье ?????? ????? для переменных x = t, x
принято записывать следующим образом?
?(?,
Ї k) =
?(t, x) = (2?)?4
dx
dt?(t, x) exp[i?t ? ikx],
dk
d? ?(?,
Ї k) exp[?i?t + ikx].
?????
?????
Сопряженные с t, x переменные ?, k называют? соответственно? частотой
и волновым вектором? выбор знаков в показателях экспонент традицион?
ный? ?налогом фурье?представления ????? для четырехмерной ? ?функции
?(x) = ?(t)?(x) является соотношение
?(x) = ?(t)?(x) = (2?)?4
dk
d? exp[?i?t + ikx].
?????
При действии волнового оператора = c?2 ?t2 ??s ?s на выражение типа
????? производная ?t под знаком интеграла переходит в множитель ?i? ?
а производные ?s ? ?/?xs ? в множители iks ? так что
? c?2 (?i?)2 ? (iks )(iks ) = k 2 ? c?2 ? 2 ? L(?, k),
?????
???
?инамика
здесь и далее k ? |k|? Поэтому для фурье?образа gЇ(?, k) функции ?рина
g(t, x) волнового оператора по аналогии с ????? получаем?
gЇ(?, k) = 1/L(?, k) = ?c2 /(? 2 ? c2 k 2 ).
?????
?оординатная функция g(t, x) получается подстановкой выражения ?????
в интеграл Фурье типа ?????? что дает?
g(t, x) = ?c2 (2?)?4
dk
d?
(? 2
1
e?i?t+ikx .
? c2 k 2 )
?????
Это и есть формальное решение нашей задачи для функции g(x) = g(t, x)?
по которой искомая функция ?рина G(x, x ) = G(t, x, t , x ) определяется
соотношением ??????
?о это еще не окончательный ответ? поскольку интеграл ????? в стро?
гом смысле слова не существует из?за обращения в нуль знаменателя
подынтегрального выражения в точках ? = ±ck ? Поясним подробнее? про?
блема заключается в вычислении интеграла по ? ? который можно рассмат?
ривать как интеграл по контуру в плоскости комплексной переменной ? ?
Согласно определениям преобразования Фурье? таким контуром в ?????
является вещественная ось с пределами интегрирования от ?? до +??
Этот контур проходит прямо по полюсам в точках ? = ±ck ? поэтому инте?
грал не существует? ?о ему можно придать смысл подходящей процедурой
доопределения? чем мы сейчас и займемся?
?оопределение функции ?рина волнового оператора? принцип
?так? наша проблема ? вычисление интеграла по ? в
?????? который мы понимаем как интеграл по контуру в плоскости ком?
плексной переменной ? ? ?сходный контур интегрирования в ????? ? веще?
ственная ось ? проходит прямо по полюсам? поэтому интеграл не суще?
ствует? ?о ему можно придать смысл путем небольшой деформации кон?
тура интегрирования? обходя каждый из двух полюсов в точках ? = ±ck
сверху или снизу по небольшим полудугам вокруг полюсов ?отметим? что
?главное значение интеграла? ? полусумма по двум таким вариантам об?
хода?? Такая процедура? очевидно? неоднозначна? так как каждый из по?
люсов можно обходить либо сверху? либо снизу? что для двух полюсов дает
четыре различных варианта выбора контура C с обходом полюсов?
Таким образом? процедура доопределения интеграла по ? в ????? сво?
дится к замене исходного интеграла по вещественной оси интегралом по
некоторому контуру C в комплексной плоскости ? ? обходящему полюса
сверху или снизу?
запаздывания?
???? ?апаздывающая функция ?рина волнового оператора
???
+?
d?
??
(? 2
1
e?i?t ?
? c2 k 2 )
d?
(? 2
1
e?i?t .
? c2 k 2 )
?????
C
?ыбор контура C неоднозначен? так как есть ? варианта обхода полюсов?
?о прежде чем заниматься проблемой выбора контура C ? сначала
нужно ответить на следующий простой вопрос? замена ????? придает
смысл интегралу ?????? но остается ли он после такой замены функцией
?рина волнового оператора? ?сли ?нет?? то вся процедура теряет смысл?
?о в нашем случае ответ ?да?? что мы сейчас покажем? ?ля этого вы?
полним мысленно замену ????? в интеграле ????? и затем подействуем
на полученное выражение волновым оператором ? Этот оператор обыч?
ным образом проносится под знак всех интегрирований и при действии на
exp[?i?t + ikx] дает множитель ?????? который сокращает знаменатель в
интеграле ?????? тем самым устраняет полюса в подынтегральном выраже?
нии? ? итоге мы приходим к интегралу типа ????? для ? ?функции? только
с деформированным контуром в интеграле по ? ? а мы хотим получить
обычную ? ?функцию? т? е? интеграл без деформации контура? Так и будет?
поскольку деформация контура в интеграле ????? на ответ не влияет вви?
ду аналитичности по ? подынтегрального выражения ?важно? что полюса
устранены?? ? деформированный контур C можно вернуть обратно на ве?
щественную ось без изменения ответа? что и доказывает утверждение?
интеграл ????? с деформированным контуром C остается функцией ?рина
волнового оператора?
Переходим теперь к следующему вопросу ? проблеме выбора конту?
ра C ? ?сновная идея ? принцип запаздывания? сейчас мы его поясним? ?ак
уже говорилось? функция ?рина G(x, x ) имеет смысл поля ? ?образного ис?
точника? сосредоточенного в точке x ? ?тсюда с учетом соотношения ?????
следует? что функция g(x) в ????? ? поле ? ?образного источника? сосредо?
точенного в точке x = 0? У нас x = t, x и ? ?образность по всем переменным
означает? что g(x) = g(t, x) ? поле точечного источника? находящегося в
начале координат ?x = 0? и выдающего ?точечный по времени? ?= ?мгно?
венный?? импульс в момент t = 0? Поскольку нас интересует поле? созда?
ваемое самим источником? ясно? что мы должны наложить на функцию
g(x) = g(t, x) условие запаздывания?
g(t, x) = 0 при t < 0,
?????
???
?инамика
так как источник не может создать поле раньше момента его включения
??не бывает следствия раньше причины??? Покажем теперь? что требова?
нию ????? можно удовлетворить только одним вариантом выбора контура
C при обходе полюсов? а именно ?оба сверху? в интеграле ?????? ?го подын?
тегральное выражение ? мероморфная функция? поэтому для замкнутого
контура интеграл вычислялся бы очень просто по сумме вычетов? ?аш
контур C в ????? не замкнут ?это деформированная вещественная ось?? но
его можно замкнуть добавкой равного нулю интеграла по ?большой? ?т? е?
неограниченно расширяющейся? полудуге сверху или снизу? Это позволяет
сделать лемма ?ордана? все условия которой для интеграла ????? выпол?
нены? она утверждает? что предел интеграла по одной из двух больших
полудуг при неограниченном увеличении ее радиуса равен нулю? Такой ин?
теграл можно добавить к исходному? что приведет к замкнутому контуру?
?ля определения той из двух ?больших полудуг?? интеграл по которой
в пределе исчезает? есть простое правило? а именно? ?та? в направлении
которой по мнимой оси экспонента в интеграле является режущей?? У нас
в ????? входит exp(?i?t) и при подстановке ? = iy с вещественной пе?
ременной y = Im ? на мнимой оси ? получаем exp(?i?t) = exp(yt)? Эта
экспонента при t < 0 является режущей при y ? +?? а при t > 0 ? при
y ? ??? т? е? при t < 0 по лемме ?ордана равен нулю интеграл по верхней
полудуге? а при t > 0 ? по нижней? ?тсюда следует? что если при выборе
контура C в ????? мы обходим оба полюса сверху и при t < 0 добавляем
равный нулю интеграл по верхней большой полудуге? то в итоге получаем
равный нулю интеграл по замкнутому контуру без полюсов внутри него?
что и требуется согласно условию запаздывания ?????? ?юбой другой ва?
риант обхода полюсов или линейной комбинации таких вариантов дал бы
отличный от нуля ответ? ? доказать это строго предоставляем читателю?
Резюме? условие запаздывания ????? однозначно определяет правило
обхода полюсов в ????? ? ?оба сверху??
Явное вычисление запаздывающей функции ?рина? ?ычислим
интеграл ????? с заменой ????? с контуром C ? обходящим оба полюса
сверху? При t < 0 ответ известен из ?????? поэтому в дальнейшем счи?
таем t > 0? ?ачнем с интеграла по ? ?????? По лемме ?ордана контур C
при t > 0 можно дополнить нижней полудугой? что приведет к интегра?
лу по замкнутому контуру с двумя полюсами в точках ? = ±ck внутри
него? Этот интеграл равен (?2?i)x умножить на сумму вычетов в полюсах
?минус из?за ?неправильного? обхода контура?? что дает
???? ?апаздывающая функция ?рина волнового оператора
???
e?ickt
eickt
2?
+
= ? sin(ckt).
2ck
(?2ck)
ck
Подставив этот результат в ?????? получим?
?2?i
dkeikx k ?1 sin(ckt).
g(t, x) = c(2?)?3
?????
Этот интеграл будем вычислять в сферических координатах k ? ?? ? для
вектора k ? направив ось ??? по вектору x? тогда kx = kr cos ?? где r ? |x|?
С учетом правила ????? имеем?
?
?3
?
2
g(t, x) = c(2?)
k dk
0
2?
d?eikr cos ? k ?1 sin(ckt).
sin ?d?
0
?????
0
?нтеграл по ? дает множитель 2? ? так как подынтегральное выражение
от ? не зависит? ?нтеграл по углу ? легко вычисляется с помощью замены
переменной cos ? = z ?
?1
?
ikr cos ?
sin ?d?e
dzeikrz = (2/kr) sin(kr).
=?
0
1
? итоге после интегрирования по углам выражение ????? принимает вид
?
2
dk sin(kr) sin(ckt).
g(t, x) = (c/2? r)
?????
0
?ставшийся интеграл по k можно свести к ? ?функциям с помощью спра?
вочной формулы ?????? ? нее входит интеграл по всей оси? а в ????? ? по
полуоси? ?о если учесть? что подынтегральное выражение в ????? четно
по k ? интеграл по полуоси можно заменить интегралом по всей оси с ко?
эффициентом 1/2? Представив затем каждый из синусов в виде деленной
на 2i разности экспонент? из ????? получим?
?
dk sin(kr) sin(ckt) =
0
+?
= ? (1/8)
dk[eikr ? e?ikr ][eikct ? e?ikct ] =
??
= ? (?/4)[?(r + ct) + ?(?r ? ct) ? ?(r ? ct) ? ?(?r + ct)].
?????
???
?инамика
У нас t > 0 по условию и r ? |x| > 0 по определению? поэтому у первых
двух ? ?функций в ????? аргумент не может быть равным нулю и их следует
просто отбросить ?напомним? что ? ?функция отлична от нуля лишь в своей
?точке сосредоточения?? т? е? там? где выражение под знаком ? исчезает??
Таким образом? в ????? остаются лишь вклады двух последних ? ?функций?
совпадающие друг с другом в силу свойства четности ? ?функции ??????
?оспользовавшись также соотношением ?????? выражение ????? можно пе?
реписать в виде (?/2c)?(t ? r/c)? Подставив это в ?????? получаем?
?????
g(t, x) = (1/4?r)?(t ? r/c).
Это и есть окончательный ответ для функции g(x) = g(t, x)? в нем r ? |x|?
?ы получили его для t > 0? но он справедлив и при t < 0? так как автома?
тически удовлетворяет условию запаздывания ?????? при t < 0 выражение
под знаком ? в ????? в нуль не обращается?
??? ?апаздывающие потенциалы
По известной из ????? функции g(x) = g(t, x) из соотношения ????? нахо?
дим функцию ?рина G(x, x ) = G(t, x, t , x ) = g(t ? t , x ? x )?
G(t, x, t , x ) = (1/4?R)?(t ? t ? R/c),
R ? |x ? x |.
?????
?тсюда по общему правилу ????? с x = t, x и f (x) = 4??(x) находим реше?
ние волнового уравнения ????? для скалярного потенциала ?(x) = ?(t, x)?
?(t, x) =
dx
dt R?1 ?(t , x )?(t ? t ? R/c),
R ? |x ? x |.
?????
?ходящая сюда ? ?функция ?в аргументе которой можно изменить общий
знак согласно ?????? ?снимает? интегрирование по переменной t по прави?
лу ?????? что дает?
?(t, x) =
dx R?1 ?(t , x )
t =t?R/c, R=|x?x |
?????
.
?налогичные ?????? ????? формулы для векторного потенциала A в волно?
вом уравнении ????? получаются стандартной заменой ? ? A? ? ? j/c? в
частности?
A(t, x) = c?1
dx R?1 j(t , x )
t =t?R/c, R=|x?x |
.
?????
???? ?апаздывающие потенциалы
???
Соотношения ?????? ????? ? основные формулы для ?запаздывающих
потенциалов?? порождаемых произвольными источниками ?, j ? Получае?
мые по этим формулам потенциалы автоматически удовлетворяют усло?
вию лоренцовой калибровки c?1 ?t ? + div A = 0 ????? что является след?
ствием динамического уравнения непрерывности ?t ? + div j = 0 для ис?
точников ?, j ? ? предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно?
Сказанное важно? поскольку простые волновые уравнения ????? справед?
ливы только для потенциалов в лоренцовой калибровке? Поэтому пред?
лагаемые решения этих уравнений ?????? ????? во избежание внутреннего
противоречия обязательно должны удовлетворять данному калибровочно?
му условию? что и выполняется?
?сли источники ?, j не зависят от времени? то выражения ?????? ?????
совпадают со статическими решениями ?????? ????? уравнений Пуассона?
Формулы ?????? ????? имеют простой физический смысл? ?ля опре?
деленности будем говорить о скалярном потенциале ?? ?ыражение ?????
для ?(x) в статике получалось очень просто? малый элемент среды с объе?
мом dx вокруг точки x понимается как точечный заряд dQ(x ) = ?(x )dx ?
дающий вклад dQ(x )/R с R = |x ? x | в потенциал ?(x) в точке наблю?
дения x? полный ответ ? интеграл по x ? ? динамике? когда плотность за?
ряда ? зависит от времени? эта основная идея сохраняется? но теперь воз?
никает вопрос? поскольку величина ? в точке x переменная? какое именно
значение ? нужно брать при вычислении потенциала ?(t, x) в точке x в
момент времени t? Соотношение ????? дает ответ на этот вопрос? нужно
брать значение ?(t , x ) не в момент наблюдения потенциала t = t? а в
некоторый предшествующий момент времени t = t ? R/c с R = |x ? x |?
Разность t ? t = R/c ? время хода света от рассматриваемого элемента
заряда в точке x до точки наблюдения потенциала x?
? этом и состоит суть идеи запаздывания? сводящейся к учету конеч?
ности скорости распространения любого сигнала? в данном случае? ? элек?
тромагнитного поля ?света?? изменение источника в точке x отражается на
потенциале в точке x не мгновенно? а с некоторой задержкой? равной вре?
мени хода сигнала от точки x до точки x? Это специфика релятивистской
теории? ? механика ?алилея и ?ьютона допускает ?идею дальнодействия??
т? е? мгновенного воздействия любого события в точке x на результаты
наблюдений в точке x?
?се сказанное выше о скалярном потенциале ? в равной степени отно?
сится? конечно? и к векторному потенциалу A?
???
?инамика
??? Поле произвольным образом
движущегося точечного заряда?
Потенциалы ?ьенара ? ?ихерта?
?ощность излучения
и диаграмма направленности
Пусть точечный заряд e движется по заданной
траектории r(t) и мы хотим найти создаваемое им поле? ? принципе? здесь
нет никаких проблем? соответствующие объемные плотности заряда и тока
известны из соотношений ?????? их нужно подставить в общие формулы
запаздывающих потенциалов ?????? ????? и вычислить соответствующие
интегралы?
?о следует отметить? что в самой постановке задачи ?траектория фик?
сирована? поле ищется? уже содержится элемент идеализации? на самом
деле поле и заряд ? две взаимодействующие и поэтому влияющие друг
на друга подсистемы? ? точной постановке это очень сложная задача? об?
суждение которой ?в частности? силы реакции излучения? ее влияния на
траекторию частицы и т? п?? в рамках данного краткого курса невозможно?
Это проблемы? находящиеся уже где?то на грани области применимости
классической электродинамики? ?х краткое обсуждение было бы профа?
нацией? а подробное и серьезное ? нецелесообразно при нашем отборе ма?
териала? ?ы уже говорили об этом в п? ???? при обсуждении движения
заряженной частицы в заданном внешнем поле? Там тоже была идеали?
зация? ?поле фиксировано? траектория ищется?? а сейчас наоборот ? ?тра?
ектория задана? поле ищется?? Такие упрощенные варианты постановки
задачи также имеют смысл и практические применения?
?так? возвращаемся к началу? заряд e движется по заданной траекто?
рии r(t) и нас интересует создаваемое им поле? ?удем сначала рассматри?
вать скалярный потенциал ?? обобщение на векторный потенциал A будет
тривиальным? ?сли подставить в формулу запаздывающих потенциалов
????? известное из ????? выражение ?(t, x) = e?(x ? r(t)) для объемной
плотности заряда? получим?
?бщие соображения?
?(t, x) = e
dx R?1 ?(x ? r(t ))
t =t?R/c, R=|x?x |
.
?????
?а первый взгляд кажется? что все хорошо? в ????? входит трехмерная
? ?функция? которая может снять интеграл по трехмерной переменной x
???
???? Поле произвольно движущегося точечного заряда
по правилу ?????? ?оспроизведем его здесь для удобства читателя?
?????
dxf (x)?(x ? a) = f (a)
для переменных x? a любой размерности?
?о в действительности все не так просто? мы не можем воспользовать?
ся в ????? правилом интегрирования ?????? так как аргумент ? ?функции
в ????? является некоторой сложной функцией переменной интегриро?
вания x ? которая входит в этот аргумент как явно? так и неявно через
t = t ? R/c = t ? |x ? x |/c?
Тем самым мы сталкиваемся с проблемой? как вычислять интегралы
типа
dxf (x)?[F (x)]
?????
со ?сложной ? ?функцией?? аргумент которой ? нетривиальная функция пе?
ременной интегрирования?
?ы приведем ниже ответ на этот вопрос? но сначала преобразуем выра?
жение для ?(t, x)? При получении формулы ????? мы подставили плотность
заряда ?(t, x) = e?(x ? r(t)) в ?????? ? данной конкретной задаче удобнее
сделать такую подстановку в исходный интеграл ?????? что дает
?(t, x) = e
dx
dt R?1 ?(x ? r(t ))?(t ? t ? R/c)
R=|x?x |
.
?????
? этом интеграле можно сначала выполнить трехмерное интегрирование
по x по простому правилу ?????? ?ажно? что на этом этапе не возникает
проблемы ? ? ?функции со сложным аргументом?? при фиксированном зна?
чении t величина r(t ) в аргументе трехмерной ? ?функции ? некоторый
фиксированный трехмерный вектор? аналогичный a в ??????
После интегрирования по x в ????? получим?
?(t, x) = e
dt R?1 ?(t ? t ? R/c)
R=|x?r(t )|
.
?????
Подчеркнем? что после ?снятия? интегрирования по x в ????? по прави?
лу ????? изменяется вид R? аргумент x в исходном выражении R = |x ? x |
заменяется на r(t )?
При вычислении интеграла ????? мы опять сталкиваемся с проблемой
?сложной ? ?функции?? переменная интегрирования t входит в аргумент
???
?инамика
? ?функции в ????? как явно? так и неявно через R = |x ? r(t )|? ?о те?
перь это проблема в одномерном интеграле? а не в трехмерном? как в
?????? ? в этом и состоит выигрыш при переходе от представления ?????
к представлению ??????
?ычисление интегралов со ?сложной ? ?функцией?? Рассмотрим
интеграл типа ????? с одномерной переменной x? функцию F (x) будем
считать гладкой? ?сновная идея вычисления очень проста? если сделать в
????? замену переменной x ? y = F (x)? то ?сложная ? ?функция? ?[F (x)]
превратится в простую ?(y) и интеграл по y можно вычислять по стан?
дартному правилу ????? с учетом якобиана замены dx/dy ?
?о эта процедура требует уточнений? ? терминах переменной y функ?
ция ?(y) сосредоточена в точке y = 0? которой в терминах переменной x со?
ответствуют ?корни? функции F (x)? т? е? те точки xi ? в которых F (xi ) = 0?
?о избежание ненужных осложнений будем считать все корни ?простыми??
это значит? что функция F в каждом из корней имеет нуль первого поряд?
ка и ее производная в этой точке конечна и отлична от нуля? ?сли функ?
ция F монотонна? она не может иметь более одного корня? т? е? или один?
или ни одного? в последнем случае интеграл ????? равен нулю? ? общем
случае немонотонной функции F ее область определения ?вещественная
ось? можно разбить на участки? в каждом из которых она монотонна и
поэтому имеет не более одного корня? Полный ответ ? сумма вкладов от
всех этих участков монотонности?
Рассмотрим вклад от одного из таких участков? ?сли внутри него нет
корня F (x)? то ответ равен нулю? ?опустим теперь? что корень есть и что
функция F на данном участке монотонно возрастает? Тогда после замены
x ? y = F (x) от вклада данного участка в ????? получим?
dxf (x)?[F (x)] =
dy[dx/dy]f (x)?(y) = [dx/dy]f (x)
y=0
,
?????
где переменная x понимается как функция от y ? определенная неявно соот?
ношением y = F (x)? ?ы не уточняем пределы интегрирования по y в ??????
поскольку их конкретные значения роли не играют? ?ажно лишь то? что
для монотонно возрастающей функции F сохраняется ?нормальный поря?
док? пределов интегрирования по y ?нижний предел меньше верхнего?? и
что внутри данной области есть точка y = 0? соответствующая некоторому
корню x = x0 функции F (x)?
???
???? Поле произвольно движущегося точечного заряда
? правой части ????? можно вернуться к языку переменной x? точке
y = 0 соответствует корень x = x0 функции F (x) и
dx/dy = [dy/dx]?1 = [dF (x)/dx]?1 .
?????
Подстановка выражения ????? в правую часть ????? с заменой условия
y = 0 на x = x0 дает искомый ответ для вклада данного участка?
?опустим теперь? что в рассматриваемом участке корень есть? но функ?
ция F (x) на нем монотонно убывает? Тогда в интеграле по y в ????? якоби?
ан dx/dy будет отрицательным? а порядок пределов интегрирования по y
будет ?неправильным? ?нижний предел больше верхнего?? Тогда эти преде?
лы нужно переставить ?чтобы пользоваться простой формулой ??????? что
дает лишний множитель ??? превращающий якобиан dx/dy в его модуль
|dx/dy|? т? е? все изменения сводятся к замене величины ????? ее модулем?
? итоге получаем следующее общее правило?
|dF (x)/dx|?1 f (x)
dxf (x)?[F (x)] =
i
x=xi
?????
с суммированием по всем корням xi функции F (x)?
Потенциалы ?ьенара ? ?ихерта? ?оспользуемся правилом ?????
для вычисления интеграла по t в ?????? ?зменив для удобства общий знак
в аргументе ? ?функции в ????? ?что возможно ввиду ее четности?? будем
записывать эту ? ?функцию в виде ?[F (t )]? где
F (t ) = t ? t + R/c,
R ? |R|,
R ? x ? r(t ).
?????
?ычислим производную?
dF (t )/dt = 1 + c?1 (?R/?t ) = 1 + c?1 (?R/?ri (t ))(dri (t )/dt ).
По определению? dri (t )/dt = vi (t )? а для R из ????? с помощью справоч?
ной формулы ????? находим ?R/?ri (t ) = ??R/?xi = ?ni ? где ni ? Ri /R?
Учитывая все это? получаем?
dF (t )/dt = 1 ? (n?),
где ? ? v/c,
n ? R/R.
?????
?се величины берутся в момент времени t ?
Поскольку |?| < 1 и |n| = 1? производная ????? строго положительна?
следовательно? F (t ) ? строго монотонно возрастающая функция? ?тсюда
следует? что ?уравнение запаздывания?
F (t ) = t ? t + R/c = t ? t + |x ? r(t )|/c = 0
?????
???
?инамика
имеет не более одного корня? т? е? решения t = t (t, x)?
Покажем теперь? что при разумных предположениях о поведении тра?
ектории r(t) корень существует? ?удем считать ?разумным предположе?
нием? условие |r(t)| < const? т? е? траектория находится внутри некото?
рой ограниченной области? Тогда при фиксированном x можно считать
R < const? так что асимптотика функции F (t ) при t ? ±? определяется
ее первым слагаемым? F (t ) = t + const? ?тсюда следует? что F (t ) ? +?
при t ? +? и F (t ) ? ?? при t ? ??? поэтому где?то внутри ин?
тервала ±? функция F (t ) должна менять знак? т? е? обращаться в нуль?
?оордината t этой точки и есть решение уравнения запаздывания ??????
Таким образом? при вычислении интеграла ????? по правилу ????? у нас
есть вклад только одного корня ? решения уравнения запаздывания ??????
?ргументом ? ?функции является F (t )? ее производная известна из соот?
ношения ?????? поэтому для интеграла ????? по правилу ????? получаем?
?(t, x) = e/?R, где
? = 1 ? (n?),
? = v(t )/c,
n = R/R,
R ? |R|,
?????
R ? x ? r(t ),
а под t понимается решение t = t (t, x) уравнения запаздывания ??????
?налогичная формула для векторного потенциала получается стан?
дартной заменой ? ? A? ? ? j/c? плотность тока j ????? для точечной
частицы отличается от ? лишь дополнительным множителем v ? Поэтому
выражение для векторного потенциала получается просто домножением
на v/c ? ? скалярного потенциала ??????
A(t, x) = e?/?R
?????
с теми же обозначениями? как и в ??????
?ыражения ?????? ????? ? искомые окончательные ответы для потен?
циалов поля произвольным образом движущегося точечного заряда? их
называют ?потенциалами ?ьенара ? ?ихерта??
?апряженности? При известных потенциалах напряженности вычис?
ляются по стандартным формулам ?????
E = ??? ? c?1 ?t A,
H = rot A.
?????
?икаких принципиальных проблем здесь нет? нужно лишь уметь вы?
числять производные потенциалов по их аргументам t, x? ?о для на?
ших потенциалов ?????? ????? эти вычисления довольно громоздкие?
???? Поле произвольно движущегося точечного заряда
???
так как зависимость от t, x входит и неявно через переменную t (t, x) ? ре?
шение уравнения запаздывания ?????? Поэтому первый шаг ? вычисление
производных ?t t и ?i t с ?i ? ?/?xi дифференцированием равенства ??????
затем следуют прямолинейные? но довольно громоздкие ?в подробной
записи ? на пару страниц? выкладки? ? них нет ничего нового и поучи?
тельного с точки зрения нашего предмета ? электродинамики? Поэтому
мы просто приведем конечный результат такого расчета напряженностей
?любой желающий может выполнить его самостоятельно??
H = [n Ч E],
?????
e(1 ? ? 2 )
e
?
(n ? ?) +
[n[(n ? ?) Ч ?]]
?????
R 2 ?3
cR?3
?
? )/c? ?се величины
с обозначениями ????? и ? ? d?(t )/dt = v(t
в ответах зависят от аргумента t (t, x)? определяемого из условия
запаздывания ??????
? соотношение ????? входят два существенно различных вклада? пер?
вый зависит только от ? ? v/c ?т? е? от скорости? и убывает на бесконеч?
?
? ?т? е? ускорение? и убывает
ности как 1/R2 ? а второй содержит ? ? v/c
E=
как 1/R? По первому вкладу определяется? в частности? поле равномерно
и прямолинейно движущегося точечного заряда? о котором говорилось в
конце п? ????? ?иже будет показано? что излучение движущегося заряда
определяется только вторым вкладом в ?????? который порождается уско?
рением и убывает как 1/R?
?ощность излучения и диаграмма направленности? общие
Приведем сначала общие формулы? определяющие интенсив?
ность излучения любого локализованного ?т? е? сосредоточенного в некото?
рой конечной области пространства V ? источника? ?атем мы применим их
к нашему случаю движущейся точечной частицы? считая ее также лока?
лизованным источником? другими словами? предполагая? что тот участок
траектории частицы r(t)? где есть ускорение и? как следствие? излучение?
содержится внутри некоторой конечной области V ?
?так? пусть есть некоторые локализованные в объеме V источни?
ки и мы умеем вычислять создаваемое ими поле? т? е? напряженности
E ? H ? а по ним ? соответствующий вектор плотности потока энергии
S = (c/4?)[E Ч H]?
?ведем понятие ?интенсивности излучения I(n) в направлении n??
по определению? I(n) есть количество излучаемой энергии? уходящей
формулы?
???
?инамика
на бесконечность за единицу времени в единицу телесного угла вокруг
заданного направления n?
Чтобы получить конкретное выражение для I(n)? представим себе сфе?
ру с центром в начале координат? помещенном где?нибудь внутри излуча?
ющей системы? и с очень большим по сравнению с размером системы ради?
усом R? Пусть x ? произвольная точка на поверхности сферы? n = x/R ?
единичный вектор направления на эту точку? ?ыделим вокруг n некото?
рый бесконечно малый телесный угол dn ?дифференциал телесного уг?
ла чаще обозначают через d?? но мы будем использовать обозначение
dn ? d?? более естественно связанное с обозначением n для направления??
Этот малый телесный угол dn вырезает на поверхности сферы участок с
площадью d? = R2 dn? Поток энергии наружу через этот участок сферы
есть произведение его площади d? = R2 dn на нормальную составляющую
Sn вектора плотности потока энергии S в данной точке x на сфере? коэф?
фициент при dn есть ?поток в единицу телесного угла??
?ас интересует энергия? уходящая на бесконечность? т? е? предел при
R ? ? рассмотренной выше величины? Поэтому для искомой интенсив?
ности излучения I(n) получаем?
I(n) = lim [R2 Sn ],
R??
?????
предел R ? ? берется при фиксированном направлении n? При этом в Sn
и? как следствие? в I(n) остается зависимость от времени наблюдения t?
если оно считается фиксированным в процессе расширения сферы? ?сли
эта зависимость медленная и плавная? то она так и сохраняется в ответе?
и тогда I = I(n, t)? ?сли же это периодическая зависимость? то под ин?
тенсивностью излучения I(n) обычно понимается усредненная по времени
величина? т? е? в ????? сначала выполняется усреднение по времени и уже
потом ? предел R ? ?? Уточнение определения ????? для движущейся
заряженной частицы будет приведено ниже?
По физическому смыслу величина dP (n) = I(n)dn есть мощность из?
лучения на бесконечность в малый телесный угол dn вокруг заданного
направления n? Полная мощность излучения P по всем направлениям есть
P =
dP (n) =
dnI(n).
?????
Соотношения ????? и ????? ? основные формулы для интенсивности излу?
чения любого локализованного источника?
???? Поле произвольно движущегося точечного заряда
???
Угловая зависимость интенсивности излучения определяется функци?
ей I(n)? ?о многих случаях она зависит только от одного угла ? и тогда
угловую зависимость I(?) можно представить в виде графика I = I(?) в
полярных координатах на плоскости ?I ? радиус в полярных координатах?
? ? угол?? Такой график наглядно представляет ?диаграмму направлен?
ности излучения?? показывая? в каких направлениях излучение является
наиболее сильным? ?последствии мы приведем конкретные примеры таких
диаграмм?
?нтенсивность излучения точечного заряда? ?ычислим интен?
сивность излучения ????? для нашего случая точечного заряда с напряжен?
ностями ?????? ?????? ?сточник излучения? т? е? тот участок траектории?
где имеется ускорение? будем считать локализованным? т? е? сосредоточен?
ным внутри некоторой конечной области пространства V ? Пусть x ? точка
наблюдения? находящаяся на поверхности очень большой по сравнению с
размером излучающей системы сферы с центром в начале координат? по?
мещенном где?нибудь внутри области V ? ? формуле ????? радиус этой сфе?
ры обозначался через R? но теперь мы хотим сохранить обозначения ??????
R = x ? r(t )? R = |R|? n = R/R? где r(t ) ? положение заряда на своей
трактории в момент t ? Поэтому для самой точки x введем обозначения
|x| = R0 ? x?R0 = n0 и при использовании формулы ????? будем иметь в
виду предел R0 ? ? при фиксированном n0 ? ?се эти уточнения мы при?
водим только ради строгости изложения? Ясно? что для очень больших
расстояний R0 любой локализованный источник представляется наблюда?
телю на сфере точечным и тогда различием между величинами R0 ? n0 и
R? n можно пренебречь? считая их одинаковыми?
?аждая из двух напряженностей ?????? ????? содержит вклады порядка
1/R2 и 1/R? поэтому соответствующий вектор плотности потока энергии
S = (c/4?)[E Ч H] содержит вклады порядка 1/R4 ? 1/R3 и 1/R2 ? Ясно? что
при подстановке в ????? в пределе R0 ?
= R ? ? выживает лишь кратный
1/R2 вклад в S ? который порождается только вторым слагаемым в ????? и
соответствующим ему вкладом в ?????? Поэтому с этого момента мы будем
понимать под E только второе слагаемое в ?????? а H = [nЧ E] с данным E
согласно ?????? ?з ????? видно? что для данного вклада E ? n?
По E и H находим вектор плотности потока энергии?
S = (c/4?)[E Ч H] = (c/4?)[E[n Ч E]] = (c/4?)E 2 n.
?????
?ы воспользовались формулой ???Ц?Ц???? [E[n Ч E]] = nE 2 ? E(nE)?
второе слагаемое исчезает в силу ортогональности E ? n?
???
?инамика
?з ????? следует? что вектор S направлен по n? поэтому его нормальная
составляющая Sn ? просто коэффициент при n в ??????
Теперь подставим это выражение для Sn в ?????? считая R = R0 ? У нас
E ? 1/R? поэтому Sn ? 1/R2 и эти явные степени R в ????? сокращаются?
?о это еще не означает? что мы нашли искомый предел R ? ?? поскольку
в Sn ? E 2 содержится еще и неявная зависимость от R через входящую в
E переменную t ? определяемую из условия запаздывания ?????? Поэтому
смысл символа ? lim? в ????? для данной задачи нуждается в уточнении?
чем мы сейчас и займемся?
Пусть x ? ?точка наблюдения? на нашей большой сфере? t ? момент
?
времени наблюдения? ?ходящие в E величины ? и ? берутся? по условию?
в момент времени t ? который определяется по x и t из условия запазды?
вания ?????? t ? t = R/c = |x ? r(t )|/c при заданной траектории r(t)? тем
самым t = t (t, x)? ?сли мы положим x = R0 n0 и будем рассматривать
предел R0 ? ? при фиксированных значениях n0 и t? то величина t (t, x)
?тем самым и положение частицы на траектории? при изменении R0 будет
непрерывно меняться? так что неясно? существует ли вообще такой предел?
Поэтому более естественной является другая предельная процедура? в
которой при расширении сферы фиксированным считается не время на?
блюдения t? а ?время излучения? t ? Тогда переменной становится величи?
на t? определяемая из условия t = t + |x ? r(t )|/c = t + R/c? в котором
x = R0 n0 ? R0 ? ?? вектор n0 фиксирован и в пределе совпадает с n? ?твет
для интенсивности излучения I(n) будет тогда зависеть от двух независи?
мых переменных? направления излучения n (= n0 ) и времени излучения t ?
по которому однозначно определяется положение частицы на траектории
?
?
r(t ) и соответствующие значения ? ? ?(t ) и ? ? ?(t )?
?мея в виду именно эту предельную процедуру? при подстановке из?
вестного из ????? значения Sn в ????? получаем?
I(n) = lim [R2 Sn ] = lim [cR2 E 2 /4?].
R??
R??
?????
Понимая под E второе слагаемое ?????? имеем?
?
I(n) = (e2 /4?c?6 )|[n[(n ? ?) Ч ?]]|2 .
?????
?езависимыми переменными этой величины являются направление излу?
?
чения n и время излучения t ? являющееся аргументом величин ? и ? ? ?а?
висимость I от t в ????? и далее явно не указывается? но подразумевается?
???? Поле произвольно движущегося точечного заряда
???
Соотношение ????? ? окончательный ответ для интенсивности излуче?
ния в заданном направлении n произвольным образом движущегося то?
чечного заряда? излучающего в заданный момент времени t ?
?
Частные случаи? ?ыражение ????? зависит от трех векторов n? ? и ? ?
следовательно? от трех независимых углов между ними? ?олее детальное
обсуждение этого общего выражения не имеет смысла? ? ответ дается фор?
мулой ?????? которую всегда можно конкретизировать при наличии любой
дополнительной информации?
?ы рассмотрим здесь следующие два частных случая?
?? ?ерелятивистская частица? для которой ? ? |?|
1?
?
?? ??оллинеарное движение? с ? ? при любом ? ? |?| < 1?
?
?х общей чертой является то? что в векторном произведении [(n??)Ч?]
в ????? можно отбросить вклад ? ? в нерелятивистском случае ? ввиду его
малости по сравнению с единичным вектором n? а в случае ?коллинеарных?
?
? ? их векторное произведение равно нулю?
?того? для этих двух случаев выражение ????? упрощается следующим
образом?
?
I(n) = (e2 /4?c?6 )|[n[n Ч ?]]|2 .
?????
?
?
?
?спользуя здесь формулу ???Ц?Ц???? имеем [n[n Ч ?]] = n(n?) ? ? ?
?
?
?
откуда для квадрата этого вектора получаем |[n[n Ч ?]]|2 = |n(n?) ? ?|2 =
?
?
?
?
?
(n?)2 ?2(n?)2 + ? 2 = ? 2 ?(n?)2 ? Подстановка этого выражения в ????? дает
?
?
I(n) = (e2 /4?c?6 )[? 2 ? (n?)2 ].
?????
Эта формула справедлива для обоих обсуждаемых случаев? далее рассмат?
риваем их раздельно?
?? ?ерелятивистская частица с ? ? |?|
1? ? этом случае в
? = 1 ? (n?) из ????? можно пренебречь вкладом (n?)? положив ? = 1?
Тогда вся угловая зависимость величины ????? определяется выражением
в квадратной скобке ?????? которое равно ?? 2 sin2 ?? где ? ? угол между век?
?
торами n и ? ? знак ? ?? у квадратов векторов опускаем? ?того? в данном
случае
I(n) = (e2 ?? 2 /4?c) sin2 ?,
?????
?
где ? ? угол между векторами n и ? ?
???
?инамика
Проинтегрировав выражение ????? по n ?т? е? по углам ? и ??? для
полной мощности излучения ????? получим ?формулу ?армора??
P =
dnI(n) = 2e2 ?? 2 /3c.
?????
?
?
? при любом ? ? |?| < 1? ? этом случае уже
нельзя пренебрегать вкладом (n?) в ? = 1 ? (n?)? Пусть ? ? угол между
?
?
векторами n и ? ? а ? ? угол между векторами n и ? ? ?сли ? ? и эти два
вектора направлены в одну сторону? то ? = ?? а если в противоположные
стороны ? то ? = ? ? ?? Сразу отметим? что в обоих случаях sin ? = sin ??
? таких обозначениях ? = 1?(n?) = 1?? cos ?? а выражение в квадратной
скобке ????? есть ?? 2 sin2 ? = ?? 2 sin2 ?? так как для обоих вариантов ?? = ?
или ? = ? ? ?? sin2 ? = sin2 ??
?того? в данном случае?
?? ?оллинеарные
I(n) = (e2 ?? 2 /4?c)(1 ? ? cos ?)?6 sin2 ?,
?????
где ? ? угол между векторами n и ? ? т? е? между направлением излучения
и вектором скорости?
?бсудим теперь соответствующие диаграммы направленности? пред?
ставляя угловую часть выражений ?????? ????? в виде графика r = r(?)
в полярных координатах на плоскости? ?ля нерелятивистской частицы из
????? имеем r ? r1 (?) = sin2 ?? где ? ? угол между направлением излу?
чения и направлением вектора ускорения? график функции r1 (?) = sin2 ?
показан на рис? ???? По графику видно? что максимум излучения в этом
случае соответствует углу ? = ?/2? т? е? ?вбок от ускорения?? При этом
показанный на рис? ??? график нужно еще мысленно ?раскрутить? вокруг
?
направления вектора ? ввиду независимости ответа от соответствующего
угла поворота ?? т? е? излучение максимально в плоскости? ортогональной
?
вектору ускорения ? ?
?бсудим теперь угловую зависимость в ?????? ?е можно представить в
виде произведения r(?) = r1 (?)r2 (?)? где r1 (?) = sin2 ? ? тот же множитель?
что и в ?????? а r2 (?) = (1 ? ? cos ?)?6 ? где ? ? угол между направлением
излучения n и вектором скорости ? ?
Рассмотрим сначала множитель r2 (?) = (1 ? ? cos ?)?6 отдельно? Поло?
жив для определенности ? = 1/2 ?т? е? v ? половина скорости света?? при
таком значении ? имеем r2 (0) = 26 = 64? r2 (?/2) = 1? r2 (?) = (2/3)6
1?
???
???? Поле произвольно движущегося точечного заряда
?рафик функции r2 (?) приведен на рис? ???? но? конечно? в другом мас?
штабе? чем на рис? ???? так как там максимальное значение r равно ?? а на
рис? ??? ? ?? ?вперед по скорости??
Рис? ???? ?рафик функ?
ции
r1 (?) = sin2 ? в поляр?
ных координатах
Рис? ???? ?рафик функ?
ции
r2 (?) = (1 ? ? cos ?)?6
в полярных координатах
Рис? ???? ?иаграмма на?
правленности
для
выра?
жения ????? определяет?
ся произведением
r(?) =
r1 (?)r2 (?)
?иаграмма направленности для выражения ????? определяется произ?
ведением r(?) = r1 (?)r2 (?) и показана на рис? ???? ?сновной вклад дается
множителем r2 (?) ?см? рис? ????? а роль r1 (?) = sin2 ? ?см? рис? ???? сво?
дится к подавлению излучения ?прямо вперед? ?? = 0? и ?прямо назад?
?? = ? ? по отношению к направлению скорости? ?се показанные на ри?
сунках графики нужно еще мысленно ?раскрутить? вокруг выделенной
оси ввиду независимости ответов от соответствующего угла поворота ??
Поэтому для графика на рис? ??? излучение максимально в ортогональной
вектору ускорения плоскости? а для графика на рис? ??? максимум излу?
чения соответствует конусу с некоторым малым ?при больших ? ? углом
раствора ?0 ? который можно найти из условия максимума функции r(?)?
величина ?0 уменьшается с ростом скорости ? = v/c?
Резюмируем кратко сказанное выше? отвечая на вопрос? ?куда в ос?
новном излучает движущийся с ускорением заряд?? ?тветы таковы? для
нерелятивистского движения ? ?вбок от ускорения?? а для релятивистского
?
с коллинеарными ? ? ? ?в конус вперед по скорости??
?аключительное замечание? ?ы определяли интенсивность излуче?
ния I как количество энергии? уходящее на бесконечность в единицу
телесного угла в заданном направлении за единицу времени наблюде?
???
?инамика
ния t? Часто ?см?? например? ???? основной характеристикой интенсивно?
сти излучения считается количество энергии? которое теряет заряд за
единицу его ?собственного времени на траектории? t ? связанного с t
условием запаздывания ?????? ?з соотношения ????? нетрудно найти связь
между dt и dt при фиксированном x? а именно? dt = ?dt с ? из ?????
?предлагаем читателю получить эту формулу самостоятельно?? Поэтому
при пересчете мощности от t к t появляется дополнительный множитель
?? так что в общей формуле ????? и всюду далее множитель ??6 заменя?
ется на ??5 ? ?ля нерелятивистского движения с ? ?
= 1 эта замена вообще
несущественна? а при больших скоростях она изменяет лишь численные
значения величин без изменения показанной на рис? ??? качественной кар?
тины диаграммы направленности?
??? ?злучение локализованных источников?
мультипольное разложение
Пусть дана некото?
рая локализованная ?т? е? сосредоточенная в конечной области простран?
ства V ? система зависящих от времени источников ?, j и мы хотим найти
создаваемое этой системой поле вдали от нее? ?налогичная задача в стати?
ке решалась с помощью мультипольного разложения ?п? ????? параметром
малости в котором было отношение размера системы к расстоянию до
точки наблюдения? Тогда мы вычисляли не только главный член? но и
все поправки к нему по данному параметру малости? Теперь будет иначе?
поскольку в задачу войдет еще один ?характерный размер? ? длина волны
излучения ?? а параметром мультипольного разложения будет отношение
размера системы к этой длине волны ?? ? дальнейших расчетах принима?
ется следующее соглашение? отношение размера излучающей системы к
расстоянию до точки наблюдения всегда считается очень малым и все по?
правки порядка этого отношения в конечных ответах отбрасываются? Это
естественно для задач радиотехники? в которых излучающая система ?
антенна? а ее сигнал принимается в другом городе или на другом конти?
ненте?
Постановка задачи? основные соотношения?
Переход к гармоническим источникам? ?юбую ?достаточно хорошую?
по переменной t функцию F (t, x) можно представить в виде интеграла
???? ?злучение локализованных источников
???
Фурье по частоте ? ?
+?
F (t, x) = (2?)
?1
d? FЇ (?, x) exp(?i?t).
?????
??
?опустим? что источники ?, j допускают представление типа ??????
функции вида F (t, x) = F (x) exp(?i?t) с заданной часто?
той ? будем называть ?гармонически зависящими от времени? или просто
?гармоническими? ?последний термин используется и для статических
решений уравнения ?апласа? но в этой части курса они встречаться не
будут?? ?е зависящий от времени коэффициент при гармонике exp(?i?t)
в правой части называют амплитудой рассматриваемой величины? ?е
удобно обозначать той же буквой? что и саму величину? различая их лишь
аргументами ?t, x у полной функции и x у ее амплитуды??
?нтеграл Фурье ????? ? суперпозиция гармонических функций с раз?
ными частотами? ?виду линейности волновых уравнений ????? для них
справедлив принцип суперпозиции? ?поле от суммы источников есть сум?
ма создаваемых каждым из них полей?? Поэтому мы можем существенно
упростить нашу задачу? решая ее для частного случая гармонических ис?
точников ?, j ? exp(?i?t) с заданной частотой ? ? ?иже будет показано?
что для гармонических источников создаваемые ими поля также будут
гармоническими? ?кончательный ответ для источников типа ????? будет
получаться интегрированием по частоте ? с заданным ?источниками? ве?
сом решений? получаемых для гармонических ?, j ?
?ажным частным случаем являются периодические по времени источ?
ники? которые разлагаются не в интеграл? а в ряд Фурье с дискретным
набором частот? Самый простой случай ? гармонические источники с од?
ной заданной частотой ? ? например? линейный гармонический осциллятор
или заряженная частица? совершающая круговое движение с заданной ча?
стотой ? ?
?тметим? что источники ?, j ? разумеется? вещественны? но при этом
амплитуды их фурье?образов в общем случае комплексны и удовлетворяют
соотношению
FЇ (??, x) = FЇ ? (?, x)
?????
?пределение?
для вещественной функции F (t, x) в ?????? знак ? ?? ? комплексное
сопряжение?
???
?инамика
E и H ? ?так? пусть наши источники ?, j гармонические?
т? е? зависят от времени только посредством множителя exp(?i?t) с за?
данной частотой ? ? ?ак уже говорилось? тогда будут гармоническими и
создаваемые источниками поля ?доказательство ниже?? ?сюду в дальней?
шем будем считать? что ? > 0? ответы для ? < 0 получаются с помощью
соотношения ??????
?апряженности E и H вне излучающей системы удовлетворяют урав?
нениям ?аксвелла ??????? с нулевыми источниками? в частности?
Связь между
rot E + c?1 ?t H = 0,
rot H ? c?1 ?t E = 0.
?????
?ля любых гармонических функций производную ?t можно? очевидно? за?
менить простым числовым множителем ?i? ? ?ыполнив эту замену в ??????
получаем?
H = ?ik ?1 rot E, E = ik ?1 rot H, k ? ?/c.
?????
Таким образом? для гармонических источников вне излучающей системы
по одной из напряженностей E или H можно найти вторую? введенный
в ????? параметр k ? ?/c ? ?волновое число?? связанное с длиной вол?
ны излучения ? соотношением k = 2?/?? Равенства ????? справедливы
как для самих напряженностей? так и для их амплитуд? поскольку общий
множитель exp(?i?t) можно? при желании? сократить?
?бщая схема расчета? ?сходная точка ? формулы запаздывающих по?
тенциалов ?????? ?????? при этом для гармонических источников доста?
точно вычислить лишь векторный потенциал A ?????? По нему находим
H = rot A? затем по H с помощью соотношения ????? находится соответ?
ствующая напряженность E вне излучающей системы ?только там она и
нужна??
?так? начинаем с формулы запаздывающих потенциалов ????? для A?
в которой для упрощения записи переобозначим x ? y ?
A(t, x) = c?1
dyR?1 j(t , y)
t =t?R/c, R=|x?y|
?????
.
Подставив сюда в качестве j гармонический источник j(t, x) = j(x)·
exp(?i?t)? получим?
A(t, x) = c?1
dyR?1 j(y) exp[?i?(t ? R/c)]
R=|x?y|
.
?????
???
???? ?злучение локализованных источников
?ножитель exp(?i?t) выносится за знак интеграла? остающееся выраже?
ние не зависит от t? т? е? мы получаем представление
A(t, x) = A(x) exp(?i?t),
доказывающее гармоничность векторного потенциала и? как следствие? по?
лучаемых по нему напряженностей? ?ля амплитуды векторного потенци?
ала A(x) из соотношения ????? получаем?
A(x) = c?1
dyR?1 j(y) exp(ikR)
R=|x?y|
?????
с k ? ?/c из ?????? ?ыражение ????? ? окончательный точный ответ для
амплитуды векторного потенциала при любом гармоническом источнике j ?
?се дальнейшее ? упрощение и детальный анализ выражения ??????
Учет неравенства ? размер системы
r ? |x| ? расстояния до точки
наблюдения??
? начале раздела мы условились? что это неравенство всегда будет
считаться выполненным? и что всеми поправками по этому ?параметру
малости? в конечных ответах мы будем пренебрегать?
Переменная интегрирования y в ????? пробегает по излучающей
системе? ее размер Lсист ? по определению? есть max|y| в области инте?
грирования? и? по условию? r ? |x|
max|y| ? Lсист ? Разлагая величину
R = |x ? y| по y ? получаем?
R = |x ? y| = r ? (ny) + ...,
?????
где r ? |x|? n ? x/r? многоточие ? следующие поправки?
?ы хотим подставить выражение ????? в ?????? учитывая ?по согла?
шению? лишь самый главный член ответа по параметру малости Lсист /r?
где Lсист ? max|y| и r ? |x|? ?а первый взгляд кажется? что тогда нужно
просто удержать первый член r в разложении ?????? отбросив все поправ?
ки к нему? ?ля множителя R?1 в ????? это действительно верно? но с
фазой kR в показателе экспоненты в ????? так поступить нельзя? ?ля
пояснения перепишем выражение ????? с подстановкой ????? в фазе и с
заменой R?1 ? r?1 в предэкспоненте?
A(x) = (eikr /cr)
dy j(y) exp[?ik(ny) + ...].
?????
???
?инамика
Первый вклад r в ????? порождает фазовый множитель exp(ikr)? который
выносится за знак интеграла? а поправки в ????? порождают экспоненту
под знаком интеграла ?????? Пренебрегая в ????? поправкой ? (ny)? мы
тем самым заменяем экспоненту под знаком интеграла в ????? единицей?
Ясно? что это законно только тогда? когда фаза k(ny) в ????? мала сама по
себе? а не только по сравнению с первым вкладом kr в kR для разложения
?????? ?ействительно? если остающаяся под знаком интеграла ????? перио?
дическая функция exp[?ik(ny)+...] совершает много колебаний в пределах
области интегрирования? то замена ее единицей означает ?стопроцентное?
искажение ответа? а не просто отбрасывание малых поправок?
?твет? получаемый заменой экспоненты под знаком интеграла в ?????
единицей? называется дипольным приближением? Ясно? что это прибли?
жение заведомо справедливо только тогда? когда |k(ny)|
1? При учете
соотношений max|y| ? Lсист и k = 2?/?? где ? ? длина волны излучения?
сказанное означает? что дипольное приближение справедливо для системы?
размер которой много меньше длины волны ?? ?сли размер системы по?
рядка длины волны ?? то вклад k(ny) в показателе экспоненты в ?????
необходимо сохранять? хотя он и мал по сравнению с вкладом kr в kR от
первого члена разложения ??????
?о это порождает естественный вопрос? не могут ли тогда быть сущест?
венными и следующие поправки? обозначенные в ????? многоточием?
?твет? в принципе? утвердительный? как бы ни была мала по сравнению
с (ny) следующая поправка в ?????? после ее умножения на k = 2?/?
она может дать в фазу kR вклад порядка единицы для достаточно ма?
лой длины волны ?? т? е? для достаточно большой частоты ? ? ?о тогда
основной вклад k(ny) в остающейся под знаком интеграла части kR будет
очень большим? т? е? множитель exp[?ik(ny)] в ????? будет очень быстро
осциллирующим в пределах области интегрирования? что при любой глад?
кой амплитуде тока j(x) фактически приведет к исчезновению интеграла
в ?????? точнее? он будет очень малым? Поэтому для источников типа ?????
эта область ?сверхвысоких частот? будет подавленной и ею можно про?
сто пренебречь при вычислении интеграла по частотам? основной вклад
в ответ дает та область частот? для которых размер системы меньше или
порядка длины волны ??
???? ?злучение локализованных источников
???
?мея в виду именно эту область частот? всюду далее будем считать? что
поправками в ????? можно пренебрегать? ?тбрасывая их в ?????? получаем?
A(x) = (eikr /cr)
dy j(y) exp[?ik(ny)].
?????
Это общепринятая ?базовая формула? для амплитуды векторного по?
тенциала? являющаяся основой всех дальнейших вычислений?
?ультипольное разложение векторного потенциала? ?но по?
рождается разложением в ряд экспоненты под знаком интеграла в ??????
Переходя к индексным обозначениям и опуская для сокращения записи
знак ? ?? у всех трехмерных векторов ?поскольку смысл всех величин
ясен?? из соотношения ????? получаем?
As (x) = (eikr /cr)
dyjs (y)[1 ? ik(np yp ) + ...].
?????
?иже будет показано? что вклады разложения ????? выражаются через
мультипольные моменты системы? вклад единицы в ????? порождается
электрическим дипольным моментом? следующий приведенный в ?????
член разложения порождается магнитным ?дипольным? и электрическим
квадрупольным моментами? Только этими вкладами мы и будем в даль?
нейшем ограничиваться? ?апомним? что параметром малости в разложе?
нии ????? является отношение размера системы к длине волны ??
?е зависящий от переменной интегрирования y множитель ?iknp с
np = xp /r во втором слагаемом ????? можно вынести за знак интеграла?
так что нам нужно вычислять величины dyjs (y) и dyjs (y)yp ? Чтобы это
сделать? выведем сначала некоторые вспомогательные соотношения?
Справочные формулы? Приводимые ниже выкладки являются фактиче?
ски дословным обобщением на динамику статических соотношений ??????
?????? ?сходная точка ? динамическое уравнение непрерывности ?t ? +
div j = 0? в котором для гармонических источников ?? j можно сделать
стандартную замену ?t ? ?i? ? что дает
i?? = div j = ?k jk
?????
как для самих гармонических величин ?, j ? так и для их амплитуд?
Пусть F = F (y) ? произвольная функция ?у нас будет только одна пе?
ременная y ? поэтому аргумент y для всех функций будем опускать? а сим?
???
?инамика
вол ?s будем понимать как ?/?ys ?? Тогда из ????? с помощью интегриро?
вания по частям получаем?
i?
dy?F =
dyF div j =
dyF ?k jk = ?
dyjk ?k F
?????
для любой функции F ? Подставив в ????? F = ys ? имеем?
i?
dy?ys = ?
dyjk ?k ys = ?
dyjs
?????
с учетом очевидного равенства ?k ys = ?ks ? ?нтеграл в левой части ?????
есть? по определению ?????? электрический дипольный момент системы ds ?
так что равенство ????? можно переписать в виде
?????
dyjs = ?i?ds ,
где ds ? компоненты вектора электрического дипольного момента d?
Подставив теперь в ????? F = ys yp ? получим?
dy?ys yp = ?
dyjk ?k (ys yp ) =
dyjk (?ks yp + ?kp ys ) = ?
dy(yp js + ys jp ).
i?
?????
=?
?нтеграл в левой части есть электрический квадрупольный момент Tsp
?????? поэтому равенство ????? можно переписать в виде
dy(yp js + ys jp ) = ?i?Tps .
?????
?ам понадобится также и выражение для антисимметричной по индек?
сам sp величины dy(yp js ? ys jp )? которая выражается через определен?
ный в ????? магнитный момент системы m? ?ействительно? из определения
векторного произведения следует? что yp js ? ys jp = ?psl [y Ч j]l ? откуда
dy(yp js ? ys jp ) = ?psl
dy[y Ч j]l = 2c?psl ml
при учете определения ????? магнитного момента m?
?????
???
???? ?злучение локализованных источников
Соотношения ?????? ????? и ????? ? нужные для дальнейшего справоч?
ные формулы?
?ычисление интегралов в ?????? Перепишем выражение ????? в виде
As (x) = (eikr /cr)Is ,
Is ?
dyjs (y) ? iknp
dyjs (y)yp
?????
без учета обозначенных в ????? многоточием поправок? Первый вклад в
(0)
Is ? который мы обозначим через Is ? выражается согласно ????? через
(0)
электрический дипольный момент ds ? Is = ?i?ds ? ?о втором вкладе
разложим произведение js (y)yp на симметричную и антисимметричную
относительно перестановки индексов sp части?
dyjs yp =
dy [yp js + ys jp ]/2 + [yp js ? ys jp ]/2 .
Симметричный по перестановке sp вклад в правой части выражается
через электрический квадрупольный момент Tsp соотношением ?????? а
антисимметричный ? через магнитный момент ml в ?????? что дает
?????
dyjs yp = ?(i?/2)Tsp + c?psl ml .
?ведем для величины Is в ????? обозначение
?????
Is = Is(0) + Is(?) + Is(+) ,
(0)
(?)
где Is ? вклад электрического дипольного момента? Is ? вклад магнит?
(+)
ного момента? а Is ? электрического квадрупольного момента?
Подставляя в ????? выражение ?????? для магнитного вклада
(?)
получаем Is
= ?ikc?psl np ml = i?[n Ч m]s ? а для квадрупольного
(+)
Is = ?(k?/2)Tsp np ? Суммируя все результаты? имеем?
Is(0) = ?i?ds ,
Is(?) = i?[n Ч m]s ,
Is(+) = ?(k?/2)Tsp np .
?????
?тсюда следует? что ответы для магнитного и квадрупольного вкладов
получаются из простейшего ?дипольного приближения?? в котором учиты?
(0)
вается только вклад Is ? следующей простой заменой ?первая ? для маг?
нитного вклада? вторая ? для квадрупольного??
ds ? [m Ч n]s или ds ? (?ik/2)Tsp np .
?????
???
?инамика
Простые правила замены ????? очень полезны? так как они позволя?
ют без дополнительных вычислений переносить на случай магнитного ди?
польного или электрического квадрупольного излучателя результаты? по?
лучаемые в простейшем ?электрическом? дипольном приближении?
?ипольное приближение? расчет напряженностей в волновой
r
?. ?екторный потенциал в этом приближении определяется
(0)
выражением ????? с Is = Is из ?????? что дает
зоне
A(x) = ?ik d(eikr /r).
?????
Соответствующие напряженности определяются соотношениями H = rot A
и E = ik ?1 rot H из ??????
?ыведем сначала справочную формулу для вычисления величин типа
rot(f e)? в которых функция f зависит только от переменной r ? |x|? а e ?
любой постоянный? т? е? не зависящий от координат x вектор? ?з опре?
деления операции rot с учетом известного из ????? соотношения ?i r = ni
получаем? (rot(f e))i = ?ikl ?k (f el ) = ?ikl el (df /dr)?k r = (df /dr)?ikl nk el =
(df /dr)[n Ч e]i ? Таким образом?
rot(f e) = (df /dr)[n Ч e] при f = f (r) и e = const.
?????
Пользуясь этой формулой? для H = rot A с A из ????? получаем?
H = rot A = ?ik[n Ч d]
d ikr
(e /r).
dr
?????
При вычислении E = ik ?1 rot H с H из ????? мы уже не можем восполь?
зоваться простой формулой ?????? поскольку роль e в ????? теперь играет
величина [n Ч d] в ?????? зависящая от x через n = x/r?
?ычисления существенно упрощаются? если ограничиться анали?
зом решения только в волновой зоне? определяемой условием kr
1?
т? е? r
?? ?нания напряженностей в этой области достаточно для рас?
чета интенсивности излучения? которая определяется потоком энергии
при r ? ??
Поясним теперь? в чем состоит упрощение расчета в волновой зоне?
?ычислив входящую в ????? производную? получаем?
d ikr
(e /r) = (ikeikr /r)[1 ? 1/ikr].
dr
?????
???
???? ?злучение локализованных источников
Первый вклад происходит от дифференцирования множителя exp(ikr)?
второй ? от дифференцирования множителя 1/r? ? волновой зоне? по усло?
вию? kr
1? поэтому вторым вкладом в ????? можно пренебречь? Различие
между этими вкладами определяется тем? что при дифференцировании
экспоненты появляется множитель ik ? 1/?? а дифференцированию по r
любого другого объекта соответствует по размерности добавочный мно?
житель 1/r
1/?? ?бобщая эти наблюдения? можно сказать? что для
всех содержащих множитель exp(ikr) величин при дифференцировании
в волновой зоне нужно учитывать только производную этой экспоненты
?что дает множитель ik ?? пренебрегая прочими вкладами?
При таком соглашении формула для rot F cF ? exp(ikr) принимает
очень простой вид?
rot F = ik[n Ч F ]
?????
?она получается из ????? заменой df /dr на ikf ? что верно? если дифферен?
цируется только множитель exp(ikr)??
С помощью соотношения ????? для напряженностей в волновой зоне
с A из ????? получаем?
H = rot A = ik[n Ч A] = k 2 [n Ч d](eikr /r),
E = ik ?1 rot H = ?[n Ч H] = [H Ч n].
?????
?????
?армонический дипольный излучатель? расчет интенсивности
излучения
и
диаграммы
направленности
для
синфазного
Рассмотрим простейший случай гармонического дипольного
излучателя с заданной частотой ? > 0? Это значит? что комплексный век?
тор d(t) электрического дипольного момента системы и соответствующая
вещественная ?физическая? величина dфиз (t) имеют вид
излучателя?
d(t) = d exp(?i?t),
dфиз (t) = Re d(t)
?????
с некоторой комплексной амплитудой d? ?з ????? следует? что компоненты
вещественного вектора dфиз (t) колеблются по гармоническому закону
dфиз
s (t) = as cos(?t ? ?s )
?????
с некоторыми положительными амплитудами as и с произвольными сдви?
гами фазы ?s ? ?омплексный вектор d в ????? содержит информацию как
об амплитудах колебаний? так и об их сдвигах фаз?
ds = as exp(i?s ).
?????
???
?инамика
?ещественные ?физические? напряженности E физ (t) и H физ (t) опреде?
ляются по их комплексным амплитудам ?????? ????? аналогичными ?????
соотношениями?
E физ (t) = Re[E exp(?i?t)] = [E exp(?i?t) + E ? exp(i?t)]/2,
H физ (t) = Re[H exp(?i?t)] = [H exp(?i?t) + H ? exp(i?t)]/2.
?????
По ним определяется вектор плотности потока энергии S ?
S = (c/4?)[E физ Ч H физ ] = (c/16?)Ч
Ч [E Ч H] exp(?2i?t) + [E ? Ч H ? ] exp(2i?t) ? [E Ч H ? ] ? [E ? Ч H] .
?????
Первые два вклада в правой части содержат периодическую зависимость
от времени ? exp(±2i?t)? два последних не зависят от t и взаимно сопря?
жены? Поэтому при вычислении интенсивности излучения в данной задаче
всегда рассматривается усредненная по времени величина < S > ?скобки
< ... > обозначают операцию усреднения по времени?? Тогда два первых
вклада в правой части ????? отбрасываются? так как их средние по времени
равны нулю? а два последних вклада заменяются удвоенной вещественной
частью одного из них? что дает?
< S > = (c/8?) Re[E Ч H ? ].
?????
Учитывая соотношение ?????? по формуле ???Ц?Ц??? получаем?
[E Ч H ? ] = [[H Ч n]xH ? ] = [H ? [n Ч H]] = n(H H ? ) ? H(nH ? )? Послед?
ний вклад равен нулю? так как из выражения ????? для H следует? что
векторы H и H ? ортогональны n? поэтому [E Ч H ? ] = n(H H ? ) ? n|H|2 ?
Подставляя это выражение в ????? и убирая за ненадобностью знак Re?
для усредненного по времени вектора плотности потока энергии получаем?
< S > = (c/8?)|H|2 n.
?????
?нтенсивность излучения на бесконечность I(n) определяется общим
правилом ?????? в котором теперь под Sn нужно понимать усредненную
по времени величину? а роль R играет переменная r в выражениях для
напряженностей? ?з ????? следует? что усредненная величина < S >n ?
просто коэффициент при n в ?????? поэтому из ????? имеем?
I(n) = lim {r2 (c/8?)|H|2 }.
r??
?????
???? ?злучение локализованных источников
???
Подставляя сюда известное из ????? выражение для H ? видим? что степе?
ни r взаимно сокращаются? поэтому знак ? lim? можно убрать? и в итоге
получаем?
I(n) = (ck 4 /8?)|[n Ч d]|2 .
?????
Это окончательный ответ для усредненной по времени интенсивно?
сти излучения на бесконечность произвольного гармонического ди?
польного излучателя ?тем самым и для произвольного гармоническо?
го источника в дипольном приближении? с любыми амплитудами as
и сдвигами фаз ?s в ??????
Рассмотрим теперь подробнее частный случай синфазного излучателя?
для которого все сдвиги фаз в ????? одинаковы и поэтому вектор d
в ????? можно считать вещественным ?общий фазовый множитель в квад?
рате модуля |H|2 сокращается?? ?ля такого излучателя в ????? имеем
|[n Ч d]|2 = d2 sin2 ?? где d ? |d| и ? ? угол между вещественными векто?
рами n и d? Подставляя это выражение в ?????? получим?
I(n) = (ck 4 d2 /8?) sin2 ?.
?????
?тсюда следует? что излучение максимально в ортогональной вектору d
плоскости? т? е? направлено в основном ?вбок от d?? Этим объясняется? на?
пример? почему линейную телевизионную антенну нужно ориентировать
поперек направления на передающий центр? ? радиотехнике есть простой
принцип для антенны? которая всегда может работать как в режиме пере?
дачи ?излучения?? так и приема? антенна лучше всего принимает по тому
направлению? по которому в ?режиме передачи? она лучше всего излучает?
? нашем случае оптимальное направление ? ?поперек от вектора диполь?
ного момента?? который для линейной антенны направлен? естественно?
вдоль нее? ?тметим? что для линейной антенны с фиксированным направ?
лением источник всегда является синфазным? поскольку у него всего лишь
одна независимая компонента ? проекция на направление антенны?
Проинтегрировав выражение ????? по всем направлениям n? для пол?
ной мощности излучения P синфазного дипольного источника получим?
P =
dnI(n) = ck 4 d2 /3.
?????
?сли излучатель дипольный и гармонический? но не синфазный ?про?
стейший пример ? заряженная частица? движущаяся по окружности?? то
???
?инамика
для расчета интенсивности излучения нужно пользоваться общей форму?
лой ?????? определив предварительно по условиям задачи комплексную
амплитуду d вектора дипольного момента?
?аключительные замечания? ?ы вычисляли выше интенсивность из?
лучения для простого гармонического источника с одной частотой ? ?
?ля источника общего вида ?ряд Фурье по частотам или интеграл Фурье
типа ?????? мы можем найти поле для любой фурье?компоненты j(?, x) ·
exp(?i?t) тока j(t, x)? полный ответ для полей получается интегрировани?
ем ?для рядов ? суммированием? по частотам ? в силу принципа суперпо?
зиции? ?о для квадратичных по полям объектов типа вектора плотности
потока энергии S принцип суперпозиции неприменим из?за необходимости
учета интерференции вкладов различных фурье?компонент ?грубо гово?
ря? квадрат суммы не равен сумме квадратов?? Поэтому в таких задачах
нужно сначала вычислять поля интегрированием по частотам? и только
после этого можно переходить к анализу энергетических характеристик
для полученных полей?
?агнитный
дипольный
и
электрический
квадрупольный
?ак было по?
казано выше ?см? соотношения ????? и текст после них?? ответы для
магнитного дипольного излучателя получаются из формул простейшего
дипольного ?электрического? приближения заменой
гармонические излучатели? ?агнитный излучатель?
d ? [m Ч n],
?????
где m ? комплексная амплитуда в аналогичном ????? выражении для маг?
нитного момента системы? ?ыполнив в соотношении ????? замену ??????
получим следующее выражение для интенсивности излучения магнитного
дипольного излучателя?
I(n) = (ck 4 /8?)|[n[m Ч n]]|2 .
?????
С помощью формулы ???Ц?Ц??? получаем? |[n[mЧn]]|2 = |m?n(nm)|2 =
[m ? n(nm)][m? ? n(nm? )] = (mm? ) ? (nm)(nm? )? Подстановка этого вы?
ражения в ????? дает?
I(n) = (ck 4 /8?)[(mm? ) ? (nm)(nm? )].
?????
Эта формула справедлива для любого гармонического магнитного излуча?
теля с произвольными амплитудами и сдвигами фаз в аналогичном ?????
представлении магнитного момента системы?
???? ?злучение локализованных источников
???
?ля синфазного излучателя вектор m в ????? можно считать веще?
ственным? тогда (mm? )?(nm)(nm? ) = m2 ?(nm)2 = m2 sin2 ?? где m ? |m|?
а ? ? угол между вещественными векторами n и m? Тогда из ????? полу?
чаем?
I(n) = (ck 4 m2 /8?) sin2 ?,
?????
что эквивалентно простой замене d ? m в формуле ?????? ?з ????? следу?
ет? что направление максимума излучения ?и приема? ? ?вбок от направ?
ления магнитного момента m?? Простейший пример магнитной ?приемо?
передающей? антенны ? плоская рамка с током? ?е магнитный момент m
направлен перпендикулярно плоскости рамки? следовательно? направле?
ние максимального излучения ?и приема? ? в плоскости рамки?
?армонический квадрупольный излучатель? ? этом случае ответы по?
лучаются из формул дипольного приближения указанной в ????? заменой
d ? ?(ik/2)T n,
?????
где T ? матрица электрического квадрупольного момента ?????? вектор
T n ? результат действия матрицы T на вектор n? Сделав замену ?????
в выражении ?????? получим?
I(n) = (ck 6 /32?)|[n Ч T n]|2 .
?????
?еприводимый квадрупольный момент TЇik ????? отличается от исходного
момента Tik ????? лишь слагаемым типа const · ?ik ? т? е? кратной единичной
матрице добавкой в T ? Такая добавка? очевидно? не дает вклада в ??????
так что под матрицей T в ????? можно понимать неприводимый квадру?
польный момент ??????
?онкретизируем теперь выражение ????? для частного случая гармо?
нического синфазного квадрупольного излучателя с осевой симметрией?
для которого T можно считать вещественной матрицей вида ????? с осью
симметрии ????
?
?
?1 0 0
?????
T = (T33 /2) ? 0 ?1 0? ,
0
0 2
где T33 ? компонента ???? неприводимого квадрупольного момента? ?бо?
значив через T матрицу в ????? без коэффициента T33 /2? а через e = T n ?
результат действия матрицы T на вектор n = {n1 , n2 , n3 }? имеем?
T n ? e = {?n1 , ?n2 , 2n3 }.
?????
???
?инамика
Пользуясь соотношением |[a Ч b]|2 = a2 b2 ? (ab)2 для входящего в ?????
векторного произведения? без учета общего множителя (T33 /2)2 получаем
|[n Ч T n]|2 = |[n Ч e]|2 = e2 ? (ne)2 .
?????
?з ????? следует e2 = n21 + n22 + 4n23 = 1 + 3n23 ?поскольку n21 + n22 + n23 =
n2 = 1? и (ne) = ?n21 ? n22 + 2n23 = ?1 + 3n23 ? Подставляя эти величины
в ?????? имеем?
|[n Ч T n]|2 = 1 + 3n23 ? (?1 + 3n23 )2 = 9n23 (1 ? n23 ).
?????
По смыслу n3 = cos ?? где ? ? угол между направлением излучения n и
осью симметрии ??? нашего квадрупольного излучателя? Подставляя вы?
ражение ????? в ????? с учетом дополнительного коэффициента T33 /2 в
определении T = (T33 /2)T матрицы T ? получаем следующий окончатель?
ный ответ для интенсивности излучения гармонического синфазного квад?
рупольного источника с осевой симметрией?
2
I(n) = (9ck 6 /128?)T33
sin2 ? cos2 ?.
?????
?иаграмма направленности для выражения ????? является ?четырехле?
пестковой?? максимумы излучения соответствуют четырем направлениям
под углом ?? градусов к осям? Эту диаграмму нужно еще мысленно ?рас?
крутить? вокруг оси симметрии ???? так как ответ не зависит от соответ?
ствующего угла поворота ??
?з ????? для полной мощности излучения P получим?
P =
2
dnI(n) = (3ck 6 /80)T33
.
?????
??? ?инейная антенна
с центральным возбуждением
Это пример конкретной задачи? для которой интегрирование в ????? мож?
но выполнить точно? не прибегая к мультипольному разложению?
Такая антенна ? проводящий ?металлический? стержень с бесконечно
тонким разрезом посредине? на края которого от внешнего источника пода?
ется по двум проводам периодический сигнал ?ток? с заданной амплитудой
и с заданной частотой ? > 0 ?см? рис? ?????
???? ?инейная антенна с центральным возбуждением
???
Рис? ???? ?инейная антенна с центральным возбуж?
дением? Стрелками показаны направления токов в
некоторый конкретный момент времени
t
?ы считаем антенну направленной по оси ???? ее длина ? 2a? так что
в переменных (x1 , x2 , x3 ) концы антенны имеют координаты (0, 0, a) и
(0, 0, ?a)?
?начения токов в двух подводящих проводах в любой момент времени
различаются лишь знаком ?на рис? ??? направления токов в некоторый
конкретный момент времени t показаны стрелками?? Поэтому токи в двух
?верхней и нижней? половинах антенны совпадают по величине и направ?
лению? т? е? ток в антенне ? четная функция переменной x3 ?
?ид плотности тока? По общему правилу для гармонического
источника
j физ (t, x) = Re[j(x) exp(?i?t)],
?????
где j(x) ? амплитуда объемной плотности тока? вид которой мы и хотим
найти? Ясно? что ток отличен от нуля только в самой антенне и направ?
лен вдоль нее? поэтому величина j(x) должна содержать произведение
координатных ? ?функций ?(x1 )?(x2 ) и множитель e ? единичный вектор
направления антенны? т? е? оси ????
?стается найти зависимость плотности тока от переменной x3 в ин?
тервале ?a ? x3 ? a? ?бщая идея? ток в каждой из половин антенны
является суперпозицией волн? бегущих со скоростью света c в двух воз?
можных направлениях ?верх?низ?? т? е? линейной комбинацией функций
вида exp(?i?t ± ikx3 ) с волновым числом k = ?/c? ? амплитуде j(x) это
соответствует суперпозиции
c1 exp(ikx3 ) + c2 exp(?ikx3 )
?????
???
?инамика
с некоторыми коэффициентами c1,2 ? ?ля их определения в нашем распо?
ряжении есть следующие два условия?
?? при x3 = ±a? т? е? на концах антенны ток равен нулю?
?? ток в антенне ? четная функция переменной x3 ?второе свойство
было обосновано выше??
Ясно? что удовлетворить указанным двум условиям подбором коэффи?
циентов c1,2 в ????? при любой частоте ? невозможно? действительно? из
второго условия тогда сразу следует c1 = c2 ? поэтому выражение ?????
будет кратным cos(kx3 ) и не может быть равным нулю при x3 = ±a для
произвольного значения k = ?/c?
Решение этой проблемы состоит в следующем? наличие разреза в цен?
тре антенны означает? что ток в этой точке x3 = 0 не обязан быть глад?
ким ? он может иметь излом ?но не скачок ? непрерывность тока при
x3 = 0 гарантирована его четностью по x3 ?? Это значит? что мы не обязаны
считать единое аналитическое представление ????? справедливым сразу
для всего интервала ?a ? x3 ? a? ?го нужно использовать только для од?
ной из двух половин антенны? перенося затем ответ на вторую половину
из условия четности по x3 ?
?так? рассмотрим выражение ????? для верхней половины антенны?
т? е? для интервала 0 ? x3 ? a? ?з условия равенства нулю тока при x3 = a
получаем? c1 exp(ika)+c2 exp(?ika) = 0? откуда следует c2 = ?c1 exp(2ika)?
Подставив это значение c2 в ?????? приводим это выражение к виду
c1 exp(ikx3 ) ? c1 exp(2ika ? ikx3 ) =
= c1 exp(ika)x[exp(ikx3 ? ika) ? exp(ika ? ikx3 )] = const · sin(ka ? kx3 ).
Четное по x3 продолжение этого выражения на весь интервал ?a ? x3 ? a
обеспечивается? очевидно? простой заменой x3 ? |x3 |? Суммируя все ска?
занное выше? для искомой амплитуды объемной плотности тока получаем?
j(x) = eI?(x1 )?(x2 ) sin(ka ? k|x3 |),
?????
где e ? единичный вектор направления антенны ?ось ????? I ? числовой ко?
эффициент? определяемый амплитудой подаваемого на антенну перемен?
ного тока? т? е? фактически это произвольный параметр задачи? ? обозна?
чениях ????? амплитуда подаваемого на антенну тока равна I sin(ka) ?ток
в зазоре?? амплитуда тока в самой антенне есть I sin(ka ? k|x3 |)? ?е зави?
симость от x3 не противоречит закону сохранения заряда? ? переменность
???? ?инейная антенна с центральным возбуждением
???
тока компенсируется колебаниями линейной плотности заряда в антенне?
?ез ограничения общности параметр I можно считать вещественным?
?ычисление векторного потенциала A? ?н определяется соотноше?
нием ?????? в которое нужно подставить выражение ????? для плотности
тока с заменой в нем x ? y переменной интегрирования? ?ходящие в ?????
? ?функции ?снимают? интегрирование по переменным y1,2 и остается лишь
интеграл по переменной y3 в интервале ?a ? y3 ? a?
? соотношение ????? входит скалярное произведение (ny)? в котором
n ? x/r ? единичный вектор направления на точку наблюдения x ?на?
правление излучения?? а переменная y пробегает по излучающей системе?
в нашем случае? ? по антенне ?y1 = y2 = 0? ?a ? y3 ? a?? Пусть ? ? угол
между направлением излучения n и входящим в ????? единичным векто?
ром e? направленным по оси ???? ?сли y3 ? 0 ?верхняя половина антенны??
то ? ? угол между векторами n и y ? и тогда (ny) = y3 cos ?? ?сли же y3 ? 0
?нижняя половина антенны?? то угол между векторами n и y равен ? ? ? и
тогда (ny) = |y3 | cos(? ? ?) = ?|y3 | cos ? = y3 cos ?? Таким образом? в обоих
случаях (ny) = y3 cos ? при любом знаке y3 ?
?бозначив в дальнейшем для краткости y3 ? z ? из соотношений ?????
и ????? получаем?
a
ikr
A(x) = eI(e
/cr)
dz sin(ka ? k|z|) exp(?ikz cos ?).
?????
?a
?се дальнейшее ? вычисление этого интеграла? Представив входящую
в него экспоненту в виде cos[kz cos ?] ? i sin[kz cos ?]? видим? что первое
слагаемое четно по z ? а второе ? нечетно? поэтому не дает вклада в инте?
грал ?????? Сохраняя только четный по z вклад и заменяя в нем интеграл
по интервалу ?a ? z ? a удвоенным вкладом интеграла по интервалу
0 ? z ? a? в котором |z| = z ? получаем?
a
ikr
A(x) = 2eI(e
dz sin(ka ? kz) cos(kz cos ?).
/cr)
?????
0
Пользуясь справочной формулой 2 sin(?) cos(?) = sin(? + ?) ? sin(? ? ?)?
приводим выражение ????? к виду
a
A(x) = eI(e
ikr
dz[sin(ka?kz+kz cos ?)?sin(ka?kz?kz cos ?)]. ?????
/cr)
0
???
?инамика
?ходящие сюда типовые интегралы легко вычисляются?
a
dz sin(Az + B) = A?1 [cos B ? cos(Aa + B)]
0
для любых коэффициентов A? B ? Пользуясь этой формулой? нетрудно вы?
числить интеграл в ?????? что дает ?элементарные выкладки опускаем?
A(x) = 2eI(eikr /ckr) sin?2 ?[cos(ka cos ?) ? cos(ka)].
?????
Это точный ответ для определенной соотношением ????? амплитуды век?
торного потенциала в данной задаче?
?апряженности и интенсивность излучения? ?ы будем вычислять
напряженности H = rot A и E = ik ?1 rot H ????? только в волновой зоне
kr
1? где можно пользоваться простой формулой ?????? Тогда
H = rot A = ik[n Ч A],
E = ik ?1 rot H = [H Ч n]
?????
с известным из ????? выражением для A? Поскольку связь между E и H
в ????? такая же? как и в ?????? и обе напряженности ортогональны n со?
гласно ?????? формула ????? для интенсивности излучения остается спра?
ведливой? поэтому для H из ????? получаем?
I(n) = lim {r2 (c/8?)|H|2 } = (ck 2 /8?) lim {r2 |[n Ч A]|2 }.
r??
r??
Подставив сюда A из ?????? с учетом равенства |[n Ч e]|2 = sin2 ? находим?
I(n) = (I 2 /2?c) sin?2 ?[cos(ka cos ?) ? cos(ka)]2 .
?????
Это и есть окончательный ответ для интенсивности излучения такой ан?
тенны? ?апомним? что входящая в него величина I ? произвольный па?
раметр? задающий силу поступающего на антенну тока? а ? ? угол между
антенной и направлением излучения? ?тметим? что выражение ????? четно
относительно замены ? ? ? ? ??
Частные случаи?
?го применимость гарантирована при
ka = 2?a/?
1? т? е? для антенны? размер которой много меньше длины
волны ?? Пользуясь приближением cos x ?
= 1 ? x2 /2 во всех формулах с
малым аргументом x? для выражения в квадратной скобке ????? в таком
?? ?ипольное приближение?
???? ?инейная антенна с центральным возбуждением
???
приближении получим (ka)2 /2?(ka cos ?)2 /2 = (k 2 a2 /2) sin2 ?? Тогда интен?
сивность излучения ????? будет кратной sin2 ? в согласии с общей форму?
лой дипольного приближения ?????? Сравнивая коэффициенты при sin2 ?
в этих двух выражениях? можно выразить дипольный момент системы d
в ????? через параметр I в ??????
?? Полуволновая антенна с 2ka = ? ? Тогда ka = ?/2 и для тока в ?????
имеем sin(ka ? k|x3 |) = sin(?/2 ? k|x3 |) = cos(kx3 )? график тока показан
на рис? ????
Рис? ???? Ток в полувол?
Рис? ???? Ток в полновол?
новой антенне
новой антенне
?нтенсивность излучения ????? для полуволновой антенны с ka = ?/2
принимает вид
I(n) = (I 2 /2?c) sin?2 ? cos2 (? cos ?/2).
?????
При малых углах ? имеем cos(? cos ?/2) ?
= cos(?/2 ? ??2 /4) = sin(??2 /4) ?
=
2
?
?? /4 ?воспользовались тем? что cos ? = 1 ? ?2 /2?? Поэтому все выражение
????? при малых ? кратно ?2 как и в дипольном приближении ? sin2 ??
?иаграмма направленности для точного выражения ????? практиче?
ски совпадает с графиком этой величины в дипольном приближении? т? е?
излучение максимально ?вбок от направления антенны?? Различие между
точным ответом и дипольным приближением сводится лишь к нескольким
процентам? что даже удивительно? поскольку соответствующий параметр
малости ? отношение размера системы к длине волны ? равен в данном
случае 1/2 и очень малым считаться не может? По этому поводу можно
отметить? что в физике довольно часто приближенные ответы хорошо ра?
ботают даже вне пределов своей формальной области применимости? и
рассмотренная нами задача ? один из таких примеров?
?? Полноволновая антенна с 2ka = 2? ? ? этом случае ka = ? и для
тока в ????? имеем sin(ka ? k|x3 |) = sin(? ? k|x3 |) = sin(k|x3 |)? график тока
показан на рис? ???? ?ля полноволновой антенны с ka = ? выражение в
???
?инамика
квадратной скобке ????? принимает вид 1 + cos(? cos ?) = 2 cos2 (? cos ?/2)?
отсюда для интенсивности излучения ????? получаем?
I(n) = (2I 2 /?c) sin?2 ? cos4 (? cos ?/2).
?????
Соответствующая диаграмма направленности качественно такая же? как и
для полуволновой антенны или дипольного излучателя? только теперь она
будет более ?остронаправленной?? т? е? ?лепестки вбок от антенны? будут
более узкими?
??? ?инамические уравнения
?аксвелла в среде
?н уже формулировался при вы?
воде статических уравнений ?аксвелла в среде? поэтому здесь мы лишь
кратко напомним основные моменты?
?? Полные источники ?, j представляются в виде суммы внесенных
извне ?свободных источников? и ?связанных источников?? порожденных
поляризацией среды? ?ля полных полей? которыми являются? по согла?
шению? E и B ? пишутся обычные ?как в вакууме? уравнения ?аксвелла
с полными источниками? т? е? это обычные уравнения ??????? с заменой в
них E ? H на E ? B и с ? = ?полн ? j = j полн ?
?? Следующий шаг ? получение формул? выражающих связанные ис?
точники через поляризацию среды? т? е? через векторы P и M ? объемные
плотности электрического и магнитного дипольного момента среды? ?ля
получения таких формул сначала нужно найти выражение для поля? со?
здаваемого бесконечно малым ?=?точечным?? электрическим и магнитным
диполями? ?сли такие выражения известны? по ним легко найти поле? со?
здаваемое всей поляризованной средой? рассматривая любой бесконечно
малый элемент ее объема как ?точечный? диполь и суммируя вклады всех
этих элементов? По этим полям нетрудно найти эквивалентные заданной
поляризации объемные плотности связанных зарядов и токов ?связ ? j связ ?
?? Полученные выражения для ?связ и j связ подставляются в правые
части уравнений ?аксвелла для полных полей с полными ?свободными +
связанными? источниками? затем вклады связанных источников перено?
сятся в левые части уравнений? что и приводит к окончательным ответам?
?лючевым моментом в этих рассуждениях является знание выраже?
ний для полей? создаваемых бесконечно малыми ?= точечными? диполями?
?бщий принцип вывода уравнений?
???? ?инамические уравнения ?аксвелла в среде
???
Эти выражения являются просто дипольными вкладами в соответствую?
щих мультипольных разложениях? построение и анализ которых должно
быть? следовательно? необходимым предварительным этапом? ? статике
это уже было сделано? что привело к соотношениям ?????? ????? для полей
электрического и магнитного точечных диполей? ? динамике мы можем
приступить к обсуждению этой проблемы только теперь после общего ана?
лиза динамических мультипольных разложений в п? ????
?ыражение связанных источников через поляризацию? При?
ступая к реализации изложенной выше программы в динамике? начнем
с вычисления полей? создаваемых точечными ?электрическим и магнит?
ным? диполями? ?озвращаясь к анализу п? ???? будем? как и там? считать
все источники и поля гармоническими? т? е? кратными exp(?i?t)?
Прежде всего? нужно подчеркнуть следующее различие в постанов?
ке задачи? раньше нас интересовала интенсивность излучения на бес?
конечность? поэтому мы рассматривали поля только в волновой зоне
kr = 2?r/?
1? что упрощало вычисления? Теперь же мы считаем излу?
чателем ??диполем?? любой бесконечно малый элемент среды и вычисляем
создаваемое им поле в любой другой точке? в том числе и внутри среды?
Поэтому теперь расстояние r от диполя до точки наблюдения не может
считаться очень большим по сравнению с длиной волны ?? нам нужен ответ
как в дальней ?=волновой? зоне kr
1? так и в ближней зоне kr
1? а
также? естественно? и в промежуточной области? ?о зато есть упрощение?
нам нужен не весь точный ответ? а только входящие в него дипольные
?электрический и магнитный? вклады?
По этому поводу необходимо сделать еще одно важное уточнение?
в п? ??? мы полагали Lсист
r ?что остается верным и сейчас? поскольку
диполь ?бесконечно малый?? и считали? что всеми поправками порядка
Lсист /r в конечных ответах можно пренебречь? Поэтому мы тогда сразу
заменяли множитель R?1 с R = |x ? y| в ????? на r?1 с r = |x|? учитывая
поправки в разложении R по y ????? только в фазе kR? где они могут кон?
курировать с длиной волны ?? Теперь так поступать нельзя? поскольку в
ближней зоне r
? вклад в ответ магнитного момента всегда является
малой величиной порядка Lсист /r по сравнению с вкладом электрическо?
го дипольного момента ?доказательство предоставляем читателю?? Тем не
менее? сейчас мы не должны отбрасывать эту поправку? так как мы хотим
вычислить поле точечного магнитного диполя при любом соотношении па?
раметров r и ? независимо от его относительной величины по сравнению
с вкладом электрического дипольного момента?
???
?инамика
?так? начинаем с вычисления полей электрического и магнитного то?
чечных диполей с гармонической зависимостью от времени? ?сходная
точка ? представление ????? для амплитуды векторного потенциала? ко?
торое мы перепишем в виде?
As (x) =
dyjs (y)f (R),
f (R) ? eikR /cR,
R ? |R| ? |x ? y|.
?????
?еличины A? j и их аргументы x? y ? трехмерные векторы? но для упроще?
ния записи мы не будем ставить над ними знак ? ??? используя его только
там? где это необходимо по смыслу?
Разложим входящую в ????? функцию f (R) с R = |x ? y| в ряд по y ?
f (R) = f (r) + yp (?f (R)/?yp )
y=0
+ ...,
где r ? |x|? Учитывая равенства
?f (R)/?yp = [df (R)/dR](?R/?yp ),
?R/?yp = ??R/?xp = ?np ,
np = Rp /R,
получаем? f (R) = f (r) ? np yp f (r) + ...? где r ? |x|, np = xp /r? а f (r) ?
производная функции f (r) по r? Подставляя это выражение в ?????? имеем?
As (x) = f (r)
dyjs (y) ? f (r)np
dyyp js (y) + ...,
?????
обозначенные многоточием поправки в дальнейшем отбрасываются?
Первый из входящих в ????? интегралов выражается через электриче?
ский дипольный момент d соотношением ?????? dyjs (y) = ?i?ds ? ?торой
интеграл в ????? можно разложить на симметричную и антисимметрич?
ную по перестановкам индексов ps части? симметричный вклад выража?
ется через электрический квадрупольный момент соотношением ??????
а антисимметричный ? через магнитный момент соотношением ??????
dyyp js (y) = c?psl ml + квадрупольный вклад? Учитывая в ????? только
приведенные выше дипольные вклады? получаем?
As (r) = ?i?f (r)ds ? cf (r)?slp ml np .
?????
Это искомая точная формула для амплитуды векторного потенциала то?
чечных электрического ?первый вклад? и магнитного ?второй вклад? гар?
монических диполей? Через r в ????? обозначается вектор от диполя в
точку наблюдения? r ? |r|? n ? r/r?
???? ?инамические уравнения ?аксвелла в среде
???
?оспользуемся теперь выражением ????? для вычисления поля? созда?
ваемого всей средой? поляризация которой задается векторами P и M ? ?
объемными плотностями дипольного ?электрического и магнитного? мо?
мента среды? Пусть x ? точка наблюдения? y ? произвольная точка среды?
dy ? дифференциал объема вокруг точки y ? Этот бесконечно малый эле?
мент среды имеет? по определению? электрический дипольный момент
ds = Ps (y)dy и магнитный момент ml = Ml (y)dy ? которые и нужно подста?
вить в ????? для вычисления вклада данного элемента среды в искомый
векторный потенциал A в произвольной точке наблюдения x? затем ответ
нужно проинтегрировать по y для суммирования вкладов всех элементов
среды? ? итоге получим?
As (x) = ?i?
dyPs (y)f (R) ? c
dy?slp Ml (y)np f (R),
?????
где R = x ? y ? вектор от диполя в точке y в точку наблюдения x? R = |R|?
n = R/R? f (R) ? производная определенной в ????? функции f (R) по R?
?ыражение ????? ? векторный потенциал? создаваемый поляризован?
ной средой в любой точке x? По нему можно найти эквивалентный дан?
ной поляризации связанный ток j связ ? отождествляя ????? с выражением
????? с j ? j связ ? Первое слагаемое в ????? имеет нужную форму ??????
что сразу позволяет найти вклад электрической поляризации P в связан?
ный ток? jsсвяз? электр? = ?i? Ps ? ?торое слагаемое в ????? не совпадает по
форме с ?????? но его можно привести к такому виду? ?ля этого нужно
воспользоваться равенствами np f (R) = ?f (R)/?xp = ??f (R)/?yp и затем
перенести производную ?/?yp на множитель Ml (y) интегрированием по ча?
стям? Тогда второй вклад в ????? примет вид ?c dy?slp [?Ml (y)/?yp ]f (R)?
по форме совпадающий с ?????? что позволяет найти магнитный вклад в
связанный ток? jsсвяз? магн? = ?c?slp ?p Ml = c(rot M )s ? Суммируя электриче?
ский и магнитный вклады? получаем следующее выражение для связан?
ного тока в задаче с гармоническими полями и источниками?
j связ = ?i? P + c rot M .
?????
?ам нужно знать также и величину ?связ ? которую легко найти из
????? и уравнения непрерывности ????? для гармонических источников?
Это уравнение должно быть? очевидно? справедливым по отдельности
как для вносимых извне свободных источников? так и для связанных
???
?инамика
источников? создаваемых поляризацией среды? ?з уравнения непре?
рывности ????? для связанных источников с j связ из ????? получаем?
i??связ = div j связ = ?i? div P ? откуда следует ?связ = ? div P ?
?того? для гармонических полей и источников
?связ = ? div P ,
?????
j связ = ?i? P + c rot M .
Умножение на ?i? для гармонической функции эквивалентно применению
к ней операции ?t ? чем мы уже неоднократно пользовались? Сделав такую
замену в ?????? получаем?
?связ = ? div P ,
?????
j связ = ?t P + c rot M .
Эта форма записи пригодна? очевидно? не только для гармонических? но
и для любых зависящих от времени источников и полей?
Формулы ????? ? искомые выражения связанных источников через по?
ляризацию среды? ? статике вклад ?t P в ????? исчезает и тогда соотноше?
ния ????? переходят в статические формулы ??????
?ывод нестационарных уравнений ?аксвелла в среде? Прин?
цип вывода уже излагался в начале раздела? полные? т? е? создаваемые
всей совокупностью источников? поля обозначаются? по соглашению? через
E и B ? для них пишутся обычные уравнения ?аксвелла ??????? с полными
источниками и с заменой E, H ? E, B ?
rot E + c?1 ?t B = 0,
div B = 0,
полн
div E = 4??
?1
rot B ? c
,
?????
?t E = (4?/c)j
полн
.
?????
Подставив в ????? полные источники в виде суммы свободных и связанных?
используем для последних выражения ????? и затем перенесем эти вклады
в левые части уравнений? Тогда получим?
?????
div(E + 4? P ) = 4??своб ,
?1
rot(B ? 4? M ) ? c
?t (E + 4? P ) = (4?/c)j
своб
.
?????
?ведя обозначения E + 4? P ? D и B ? 4? M ? H ? можно записать полную
систему динамических уравнений ?аксвелла в среде следующим образом?
?
?
div B = 0,
rot E + c?1 ?t B = 0,
?
?
своб
?1
своб
?????
div D = 4??
,
rot H ? c ?t D = (4?/c)j
,
?
?
?
D = E + 4? P ,
B = H + 4? M .
???? ?инамические уравнения ?аксвелла в среде
???
?етривиально то? что выражение под знаком ?t в ????? оказалось тем же
самым? как и выражение под знаком div в ?????? ? это не было заранее
очевидно?
По традиции? E и H называют напряженностями? а D и B ? индук?
циями соответствующего ?электрического или магнитного? поля? ? такой
терминологии полными полями? порождаемыми всей совокупностью ис?
точников? являются электрическая напряженность E и магнитная индук?
ция B ?
При решении конкретных задач с помощью уравнений ????? нужно
иметь дополнительную информацию ? связь между напряженностями и
индукциями? ?на определяется не электродинамикой? а свойствами кон?
кретной материальной среды? ? простейшем случае однородных и изо?
тропных диэлектриков и ?диа? или ?пара? магнетиков эта связь дается
соотношениями D = ?E ? B = µH с не зависящими от координат констан?
тами ? и µ? что и будет всегда предполагаться в дальнейшем?
Скорость света и плотность потока энергии в однородной и
Рассмотрим уравнения ????? с ну?
левыми свободными источниками и с D = ?E ? B = µH ? а именно?
div B = 0? div E = 0? rot E + c?1 ?t B = 0? µ?1 rot B ? ?c?1 ?t E = 0?
Подействовав еще один раз операцией rot на уравнения с роторами? с уче?
том равенств rot rot F = ? div F ? ?F и div B = div E = 0 получаем?
изотропной среде? Скорость света?
[?µc?2 ?t2 ? ?]E = 0,
[?µc?2 ?t2 ? ?]B = 0.
?????
Это обычные волновые уравнения с заменой ? c? новой константой
c = c(?µ)?1/2 ? которая? следовательно? и есть скорость света в однородной
и изотропной среде с заданными значениями ? и µ?
Плотность потока энергии в однородной и изотропной среде? По об?
щим правилам ?см? п? ????? в наших задачах закон сохранения энергии для
свободного ?без источников? электромагнитного поля выражается уравне?
нием непрерывности типа ?????
?t W + div S = 0,
?????
в котором W ? объемная плотность энергии? S ? вектор плотности потока
энергии?
?з анализа термодинамики в п? ??? мы уже имеем информацию о
плотности энергии поля W в однородной и изотропной среде? для сво?
бодной энергии она дается соотношениями ?????? ?????? а для внутренней
???
?инамика
энергии ? соотношениями ?????? ?????? Свободная энергия используется
при описании изотермических процессов с фиксированной температурой
T ? а внутренняя ? при описании адиабатических процессов без передачи
наружу тепла? т? е? с фиксированной энтропией S ? ?се эти тонкости важны?
конечно? только тогда? когда величины ? и µ зависят от температуры T и
эта зависимость играет существенную роль в рассматриваемой задаче?
Сказанное выше о температуре в равной мере относится? естественно? и
ко второй обсуждавшейся в п? ??? термодинамической переменной ? объе?
му V для газовой среды? Рассматриваемый процесс может быть либо ?изо?
хорическим? ?фиксирован объем V ?? либо ?изобарическим? ?фиксировано
давление P ?? ?нутренняя и свободная энергии используются при описа?
нии изохорических процессов ?V = const?? а для изобарических процессов
?P = const? нужно переходить добавкой P V к другой паре термодинами?
ческих функций с естественной переменной P вместо V ? ?клад полей в эти
величины будет содержать добавки с ??/?V и ?µ/?V ? которые нетрудно
найти из приведенной в п? ??? формулы ????? для давления?
Таким образом? в задачах с участием термодинамики понятие плотно?
сти энергии поля W неоднозначно? ?сли нас интересуют задачи? в которых
поле взаимодействует с другими ?термодинамическими степенями свобо?
ды?? например? ?электрокалорический эффект? ? выделение или поглоще?
ние тепла при изменении поля или ?электрострикция? ? изменение объема?
то тогда в каждом конкретном случае нужно? конечно? четко определить?
какую именно из термодинамических функций типа энергии нужно ис?
пользовать в данной задаче и чему равен вклад полей E ? B в эту величину?
?о если не интересоваться специально этими эффектами ?как правило?
количественно очень малыми?? то можно пренебречь зависимостью от T ?
V величин ? и µ? считая их просто некоторыми заданными константами? ?
задачах электродинамики так обычно и поступают? а в качестве плотности
энергии поля W используют соответствующие вклады в свободной энергии
?????? ??????
W = (?E 2 + µH 2 )/8? = (E D + H B)/8?.
?????
Формально это соответствует предположению об изотермичности
?T = const? и изохоричности ?V = const? рассматриваемого процесса?
Принимая ????? в качестве определения плотности энергии поля W ?
из уравнения непрерывности ????? можно найти соответствующий вектор
плотности потока энергии S для свободного электромагнитного поля в
однородной и изотропной среде? ?з соотношения ????? с учетом D = ?E и
???
???? ?олноводы
B = µH имеем? ?t W = (?E?t E + µH?t H)/4? ? т? е?
?t W = (E?t D + H?t B)/4?.
?????
?ходящие сюда величины ?t D и ?t B можно найти из уравнений ?аксвелла
????? с нулевыми источниками? ?t B = ?c rot E ? ?t D = c rot H ?поле свобод?
ное?? Подставив эти величины в ?????? получаем?
?t W = c(E rot H ? H rot E)/4? = ?(c/4?) div[E Ч H].
?????
?торое равенство ? следствие соотношения H rot E = E rot H +div[E Ч H]?
проверку которого предоставляем читателю?
?тождествляя уравнения ????? и ?????? получаем искомое выражение
для вектора плотности потока энергии S в однородной и изотропной среде?
S = (c/4?)[E Ч H].
?????
Этот ответ совпадает по виду с аналогичным выражением ????? для полей
в вакууме?
??? ?олноводы
Это последний параграф? в котором мы рассмотрим пример важной в при?
ложениях конкретной динамической задачи?
Постановка задачи? Уравнения и краевые условия для полей?
?ы будем понимать под волноводом бесконечную прямую трубу с метал?
лическими стенками? заполненную однородным и изотропным диэлектри?
ком с заданными значениями ? и µ? ?удем считать? что волновод направлен
по оси ???? его поперечное сечение параллельно плоскости ??? ?? и одина?
ково по всей длине волновода? Это сечение в общем случае может быть и
неодносвязным ?пример ? коаксиальный кабель ? металлический провод?
окруженный диэлектриком и внешней металлической оболочкой??
?ля простоты будем считать стенки волновода идеальным металлом?
внутри которого все поля равны нулю? С точки зрения физики это озна?
чает? что заряды внутри металла обладают бесконечной подвижностью?
поэтому немедленно ?пресекают? любую попытку проникновения внутрь
металла внешнего поля путем образования компенсирующих это поле свя?
занных зарядов и токов на границе раздела с диэлектриком? Ясно? что это
???
?инамика
идеализация? для реальных волноводов с конечной проводимостью метал?
лических стенок поле проникает в них на некоторую небольшую глубину?
что приводит к потерям энергии при ее передаче по волноводу? ?о мы в
дальнейшем будем пренебрегать этим эффектом? считая стенки ?идеаль?
ным металлом??
?тсюда определяются краевые условия для полей E и B внутри волно?
вода при стремлении к его границам ?стенкам?? ?ействительно? из условий
сшивания ?????? ????? мы знаем? что скачки ?Et и ?Bn касательных к
границе компонент Et вектора E и нормальной к границе компоненты Bn
вектора B должны быть на границе раздела равными нулю? Поскольку
внутри металла поля нет ?E = 0? B = 0?? из сказанного следует? что для
полей E ? B внутри волновода значения Et и Bn должны обращаться в
нуль на границах с металлическими стенками?
Et
= 0,
гр
Bn
?????
= 0.
гр
Среду внутри волновода считаем однородной и изотропной? D = ?E ?
B = µH ? в качестве основных переменных будем использовать E и B ? Поля
внутри волновода удовлетворяют уравнениям ?аксвелла ????? с нулевыми
источниками? т? е? в терминах E и B
div B = 0,
?1
rot E + c
?t B = 0,
div E = 0,
?1
rot B ? ?µc
?t E = 0,
?????
?????
их следствиями являются волновые уравнения ????? для E и B ?
Решения этих уравнений для полей {E, B} ? F ищутся в виде бегущих
вдоль оси ??? волн? т? е? для комплексных версий полей
F (t, x) = F (x1 , x2 ) exp(?i?t + ikx3 ),
?????
где F (x1 , x2 ) ? ?двумерные амплитуды?? зависящие только от коорди?
нат x1,2 в плоскости поперечного сечения волновода? Частота ? считается
заданной? волновой вектор k подлежит определению из решения задачи?
?ля полей E ? B вида ????? во всех уравнениях можно сделать замены
?t ? ?i?, ?3 ? ?/?x3 ? ik ? После такой замены волновые уравнения ?????
переходят в ?двумерные уравнения ?ельмгольца??
[?2 + Q]E = 0,
[?2 + Q]B = 0,
Q ? ?µ? 2 c?2 ? k 2 ,
?????
???
???? ?олноводы
в которых ?2 ? ?12 + ?22 ? двумерный оператор ?апласа в координатах
плоскости сечения волновода? Q ? некоторая неизвестная ?поскольку неиз?
вестен входящий в нее параметр k ? константа? Уравнения ????? справед?
ливы как для полных полей E ? B типа ?????? так и для их ?двумерных
амплитуд??
Сделав для полей типа ????? замену ?t ? ?i? в уравнениях ??????
получим?
rot E = ? B,
rot B = ?E,
? ? i?/c,
? ? ?i??µ/c.
?????
?тсюда следует? что по одной из двух величин E или B можно найти
вторую?
Построение решения при Q = 0? T E и T M волны? ?ам неизвестно
значение входящей в ????? константы Q? поэтому будем рассматривать
раздельно варианты с Q = 0 и с Q = 0? Первый из них приводит к T E и
T M волнам? второй ? к T EM волнам ?подробнее ниже??
Рассмотрим сначала случай Q = 0 в ?????? Утверждение? при Q = 0
роторные уравнения ????? для полей типа ????? позволяют выразить чисто
алгебраически компоненты полей E1,2 и B1,2 через продольные по отноше?
нию к оси волновода компоненты E3 и B3 ? ?оказательство? ?онкрети?
зируя уравнения ????? для ??? ?? компонент векторов? получаем ?с этого
момента для упрощения записи будем опускать знак ? ?? над трехмерными
векторами E и B ??
?B1 = ?2 E3 ? ?3 E2 ,
?B2 = ?3 E1 ? ?1 E3 ,
?E1 = ?2 B3 ? ?3 B2 ,
?E2 = ?3 B1 ? ?1 B3 .
?????
При получении уравнений ????? и их следствий ????? была использова?
на лишь замена ?t ? ?i? для функций типа ?????? Сделав теперь в со?
отношениях ????? еще и вторую возможную для таких функций замену
?3 ? ?/?x3 ? ik и перегруппировав вклады? оставляя в правых частях
лишь слагаемые с E3 и B3 ? получим следующие две пары уравнений?
?B1 + ikE2 = ?2 E3 ,
ikB1 ? ?E2 = ?1 B3 ,
?????
?E1 + ikB2 = ?2 B3 ,
ikE1 ? ?B2 = ?1 E3 .
?????
Соотношения ????? ? система двух линейных неоднородных уравнений
для определения двух неизвестных B1 и E2 ? а ????? ? аналогичная
???
?инамика
система для пары E1 и B2 ? По коэффициентам в левых частях урав?
нений видно? что обе системы ?????? ????? имеют одинаковый опреде?
литель det = ??? ? (ik)2 ? Подставив сюда известные из ????? значения
? и ?? получаем det = k 2 ? ?µ? 2 c?2 = ?Q с параметром Q из ??????
Поскольку Q = 0 по условию? решения уравнений ?????? ????? для E1,2
и B1,2 существуют и единственны? ?ни имеют следующий вид ?проверку
предоставляем читателю??
E1 = Q?1 [ik?1 E3 + ??2 B3 ],
E2 = Q?1 [ik?2 E3 ? ??1 B3 ],
?????
B1 = Q?1 [??2 E3 + ik?1 B3 ],
B2 = Q?1 [???1 E3 + ik?2 B3 ]
?????
с параметрами ? и ? из ????? и Q из ??????
Таким образом? для полного расчета полей E и B достаточно найти их
продольные компоненты E3 и B3 ? по которым прочие компоненты нахо?
дятся из соотношений ?????? ?????? ?ля расчета E3 и B3 в нашем распо?
ряжении имеются уравнения ?ельмгольца ????? и общие краевые условия
?????? ?о их тогда нужно сначала переформулировать в терминах E3 и B3
без участия прочих компонент?
?раевые условия для E3 и B3 при Q = 0? ?а рис? ??? показано попе?
речное сечение волновода в плоскости ??? ?? ?для простоты односвязное?
но это несущественно? ? все выводы остаются в силе и для неодносвяз?
ного сечения?? ?диничный вектор n = (n1 , n2 , 0) ? внутренняя нормаль к
Рис? ???? Поперечное сечение волновода в плоскости ??? ??
границе в произвольной точке? его компонента n3 вдоль оси волновода
равна нулю? ?се последующие формулы будут относиться к полям и их
производным на границе? что в дальнейшем будем просто подразумевать?
опуская уточняющий символ ?
гр
???
???? ?олноводы
?з второго условия ????? с учетом n3 = 0 следует? что на границе
Bn = (nB) = n1 B1 + n2 B2 = 0.
?????
Первое условие Et = 0 в ????? эквивалентно равенству [nЧ E] = 0 на грани?
це? Расписывая это равенство покомпонентно? получаем? n2 E3 ? n3 E2 = 0?
n3 E1 ? n1 E3 = 0? n1 E2 ? n2 E1 = 0? ?ва первых соотношения с учетом
n3 = 0 эквивалентны E3 = 0? так что условие Et = 0 в ????? сводится к
следующим двум соотношениям для полей на границе?
E3 = 0,
n1 E2 ? n2 E1 = 0.
?????
Первое из них уже имеет нужный вид ?напомним? что мы ищем краевые
условия для E3 и B3 ?? а из второго вместе с ????? можно получить искомое
краевое условие для B3 ? ?ля этого подставим в эти соотношения выраже?
ния ?????? ????? для E1,2 и B1,2 через E3 и B3 ? ?егко проверить? что это
приведет к следующим двум соотношениям?
?(n1 ?2 ? n2 ?1 )E3 + ik(n1 ?1 + n2 ?2 )B3 = 0,
ik(n1 ?2 ? n2 ?1 )E3 ? ?(n1 ?1 + n2 ?2 )B3 = 0.
Это система двух линейных однородных уравнений для двух неизвестных
величин (n1 ?2 ? n2 ?1 )E3 и (n1 ?1 + n2 ?2 )B3 ? ?е определителем является та
же величина det = ?Q = 0 ?по условию?? как и для уравнений ?????? ??????
поэтому система имеет только нулевые решения?
(n1 ?2 ? n2 ?1 )E3 = 0,
(n1 ?1 + n2 ?2 )B3 = 0.
?????
?торое из этих соотношений есть искомое краевое условие для B3 ? а пер?
вое можно отбросить? поскольку оно является автоматическим следстви?
ем уже установленного ранее краевого условия E3 = 0 ?первое соотноше?
ние ???????
?окажем это? Пусть x = (x1 , x2 ) ? произвольная точка на грани?
це сечения ?см? рис? ????? dx = (dx1 , dx2 ) ? ее смещение вдоль грани?
цы ?т? е? по касательной?? вектор dx ортогонален вектору нормали n?
Поскольку на границе E3 = 0 ? постоянная величина? ее приращение
dE3 = (dx1 ?1 + dx2 ?2 )E3 при смещении вдоль границы должно быть рав?
ным нулю? Условие ортогональности (ndx) = n1 dx1 + n2 dx2 = 0 свя?
зывает величины dx1 и dx2 ? позволяя считать одну из них произволь?
ной? например? dx2 = ?n1 dx1 /n2 с произвольным dx1 ? ?з равенства
???
?инамика
dE3 = (dx1 ?1 + dx2 ?2 )E3 = 0 с dx2 = ?n1 dx1 /n2 при произвольном dx1
вытекает первое соотношение ?????? что мы и хотели доказать?
Таким образом? при Q = 0 краевые условия для E3 и B3 ?первое ра?
венство в ????? и второе в ?????? имеют следующий вид?
E3
= 0,
гр
?n B3
= 0,
гр
?????
где ?n ? n1 ?1 + n2 ?2 ? ?нормальная производная? ? проекция операции
градиента ? на вектор нормали к границе? ?о избежание недоразумений
мы привели в ????? уточняющий символ ? Первое условие ????? соответ?
гр
ствует задаче ?ирихле для E3 ? второе ? задаче ?еймана для B3 ?
?бщие выводы? T E и T M волны? ?так? при Q = 0 в ????? нужно вы?
числять лишь величины E3 и B3 ? по которым прочие компоненты векторов
E и B определяются соотношениями ?????? ?????? ?еличины {E3 , B3 } ? ?
ищутся из двумерных уравнений ?ельмгольца ??????
?2 ? = ?Q?, где ? = E3 или B3
?????
с краевыми условиями ??????
?
гр
= 0 для ? = E3 ,
?n ?
гр
= 0 для ? = B3 .
?????
Под ? в ????? понимаются двумерные амплитуды ?(x1 , x2 ) в ????? для
соответствующих величин E3 или B3 ? ?2 = ?12 + ?22 ? двумерный оператор
?апласа по координатам x1,2 в плоскости сечения волновода?
?ля линейной задачи ????? справедлив принцип суперпозиции? поэто?
му можно рассматривать раздельно два разных класса решений? T E и
T M волны? ?пределение? T E волной называется решение? для которого
E3 = 0? B3 = 0? т? е? электрическое поле E поперечно по отношению к оси
волновода? а T M волной ? решение? для которого E3 = 0? B3 = 0? т? е?
поперечно магнитное поле B ?буква ? T ? в обозначениях от английского
слова ?tr??s??rs????? ?ля удобства ссылок запишем сказанное выше в виде
нумеруемой формулы?
T E волна :
E3 = 0,
B3 = 0;
T M волна :
E3 = 0,
B3 = 0.
?бщее решение ? произвольная суперпозиция волн этих двух типов?
?????
???
???? ?олноводы
?озможные значения амплитуд ? для волны заданного типа ищутся из
уравнения ????? с нужным краевым условием ?????? Решение неоднознач?
но? так как ????? ? типичная задача на собственные значения? в которой
ищутся как функция ?? так и ?заранее неизвестное? число Q? Полным ре?
шением задачи является нахождение бесконечного набора ее ?собственных
функций? ?? и соответствующих ?собственных чисел? ?Q? ? для которых
?????
?2 ?? = ?Q? ?? ,
индекс ? нумерует такие решения?
?з математики известно? что задача на собственные значения ????? для
оператора ?апласа в конечной области с условиями ?ирихле или ?еймана
на границах имеет дискретный спектр? т? е? счетное множество решений
для собственных функций ?? и соответствующих собственных чисел ?Q? ?
? = 1, 2, 3, ... Функцию ????? с конкретной амплитудой ?? называют ?модой
волны?? общее решение ? суперпозиция всевозможных мод с произволь?
ными коэффициентами? ?аждой из мод ? ?? соответствует определенное
собственное значение ?Q? в ?????? по которому из определения Q в ?????
находится волновое число k? и фазовая скорость волны ?/k? для данной
моды?
?се эти вопросы мы будем обсуждать подробнее впоследствии? а сейчас
перейдем к новому классу решений ? T EM волнам?
Построение решения при Q = 0, T EM волны? ?бсуждавшиеся
выше T E и T M волны возможны лишь при Q = 0 в уравнении ??????
Теперь мы обсудим особый случай Q = 0? когда реализуются другие ре?
шения? а именно?
T EM волны :
E3 = 0,
B3 = 0,
?????
для которых оба поля E и B поперечны по отношению к оси волновода?
?нализ таких решений содержит довольно длинную цепочку отдель?
ных шагов? которые для удобства читателя мы будем нумеровать?
?? ?з равенства Q = 0 в ????? следует? что связь между ? и k для
T EM волны точно такая же? как для волн в неограниченной среде?
?/k = c(?µ)?1/2 ? т? е? фазовая скорость T EM волны ?/k совпадает со
скоростью света в неограниченной среде с заданными значениями ? и µ?
?? ?з уравнений ????? с Q = 0 следует? что двумерные амплитуды
всех компонент векторов E и B ? двумерные гармонические функции на
???
?инамика
сечении волновода?
?2 Ei = 0,
?2 Bi = 0 для любого i = 1, 2, 3.
?????
?? Согласно ????? амплитуда E3 ? гармоническая функция? а из усло?
вия Et = 0 в ????? следует? что на границе E3 = 0? ?виду единственности
решения задачи ?ирихле для уравнения ?апласа заключаем? что
?????
E3 = 0
на всем сечении волновода?
?? Утверждение? из ????? и уравнений ?????? ????? следует? что на всем
сечении волновода
?1 B3 = ?2 B3 = 0,
т? е? B3 = const.
?????
рассмотрим? например? пару уравнений ?????? Равенство
нулю определителя det = ?Q = 0 этой системы означает? что левые ча?
сти уравнений взаимно пропорциональны? следовательно? должны быть
пропорциональными и их правые части? ?дна из них равна нулю в силу
соотношения ?????? следовательно? должна быть равной нулю и вторая?
т? е? ?1 B3 = 0? ?налогичные соображения для пары уравнений ????? при?
водят к равенству ?2 B3 = 0? что и доказывает утверждение ??????
?? Таким образом? мы доказали? что правые части уравнений ??????
????? для T EM волны равны нулю? следовательно? равны нулю и их левые
части? ?тсюда вытекают следующие простые связи между ??? ?? компонен?
тами векторов E и B ? B1 = ?(ik/?)E2 ? B2 = (ik/?)E1 с ? = i?/c из ??????
Учитывая уже доказанное для T EM волны соотношение ?/k = c(?µ)?1/2 ?
получим ik/? = ck/? = (?µ)1/2 ? ?того? для T EM волны?
?оказательство?
B1 = ??E2 ,
B2 = ?E1 ,
?? Покажем теперь? что
B3 = 0
? ? (?µ)1/2 .
?????
?????
на всем сечении волновода? ?ля этого воспользуемся первым соотноше?
нием ????? rot E = ? B и перейдем к его интегральной форме для потоков
через сечение в направлении оси волновода? (rot E)n ds = ?
Bn ds? ?н?
теграл в левой части по теореме Стокса сводится к циркуляции вектора E
по границе сечения? следовательно? равен нулю в силу условия Et = 0 ?????
???
???? ?олноводы
на границе? ?ля интеграла в правой части Bn = B3 = const согласно ??????
Bn ds = B3 x площадь сечения? Поскольку эта величина долж?
поэтому
на быть равной нулю ввиду равенства нулю левой части? заключаем? что
B3 = 0 на всем сечении?
?оказанные выше равенства ????? и ????? оправдывают определение
????? T EM волны?
?? Рассматривая компоненту ??? роторных уравнений ????? с учетом
E3 = B3 = 0? получаем?
?1 E2 ? ?2 E1 = 0,
?1 B2 ? ?2 B1 = 0.
?????
? дальнейшем будем понимать эти соотношения как равенства для дву?
мерных амплитуд F (x1 ? x2 ? соответствующих величин ??????
?з математики известно? что соотношения типа ????? являются дву?
мерными аналогами утверждения ?ротор вектора равен нулю?? откуда сле?
дует? что сам вектор ? градиент некоторого скаляра? Применительно к со?
отношениям ????? это означает? что двумерные амплитуды полей E1,2 и
B1,2 являются градиентами некоторых потенциалов ? ? ??
Ei = ?i ?,
Bi = ?i ?,
i = 1, 2.
?????
?се эти величины понимаются как функции переменных x1,2 в плоскости
сечения волновода?
?? ?з уравнений div E = 0 и div B = 0 ????? с учетом E3 = B3 = 0
следует? что
?2 ? = 0, ?2 ? = 0,
?????
т? е? оба потенциала ? ? ? в ????? ? двумерные гармонические функции?
?? ?бсудим теперь важное различие между ?электрическим? потенци?
алом ? и ?магнитным? потенциалом ?? Утверждение? функция ? одно?
значна всегда? а однозначность ? гарантирована только для односвязного
сечения? ?ля задач с неодносвязным сечением типа коаксиального кабеля
функция ? в общем случае многозначна?
?оказательство? Согласно ?????? градиентами потенциалов {?, ?} = F
являются поля E1,2 и B1,2 ? которые всегда однозначны? Приращение по?
тенциала F при переходе от одной точки к другой внутри сечения есть
интеграл dxi ?i F по контуру? соединяющему эти две точки? ?ыбор та?
кого контура? естественно? неоднозначен? но условия ????? гарантируют?
???
?инамика
что значение интеграла не изменяется при любой непрерывной деформа?
ции контура? Поэтому для односвязной области? в которой любой кон?
тур может быть непрерывно деформирован в любой другой? приращение
потенциала? следовательно? и сам потенциал ? однозначная функция? ?о
если сечение неодносвязно? т? е? имеет внутри одну или несколько ?дыр?
?например? от центрального провода в коаксиальном кабеле?? то пробле?
ма осложняется? так как наши контуры могут обходить ?дыру? с разных
сторон и тогда не переводятся друг в друга непрерывной деформацией? ?
такой ситуации нужно знать? чему равна разность интегралов для двух то?
пологически различных вариантов обхода ?дыры?? Ясно? что эта разность
равна интегралу dxi ?i F по окружающему ?дыру? замкнутому контуру?
Эта величина не меняется при непрерывной деформации контура? поэто?
му его можно стянуть на границу ?дыры?? сведя тем самым интеграл к
циркуляции вектора ?i F по границе?
?се сказанное до сих пор в равной мере справедливо для обоих потен?
циалов F = {?, ?}? для первого из них ?i ? = Ei ? для второго ?i ? = Bi
согласно ?????? С этого момента речь пойдет о различиях между этими
двумя потенциалами?
?ля потенциала ? циркуляция его градиента ?i ? = Ei по границе ?ды?
ры? равна нулю в силу краевого условия Et = 0 ?????? ?тсюда следует?
что потенциал ? однозначен даже при неодносвязном сечении?
?ля магнитного потенциала ? краевое условие Bn = 0 в ????? не запре?
щает иметь отличную от нуля циркуляцию dxi ?i ? = dxi Bi по границе
?дыры?? и эта величина в общем случае не равна нулю? ?е можно найти
из интегральной формы содержащего rot H уравнения ?аксвелла ?????
с заменой в нем ?t ? ?i? для рассматриваемых нами гармонических
функций и D = ?E ? B = µH ? ? итоге получим? что искомая циркуляция
вектора B по границе ?дыры? содержит два вклада? ?дин из них кратен
потоку вектора E вдоль волновода через сечение самой ?дыры?? второй
кратен полному току I ? протекающему через это сечение ?например? по
центральному проводу в коаксиальном кабеле?? Первый вклад равен нулю?
так как внутри ?дыры? ?металл? поля нет? т? е? E = 0? Учитывая только
второй вклад? из ????? получаем?
µ?1
dxi Bi = (4?/c)I,
?????
где I ? полный ток через сечение ?дыры?? а интеграл в левой части ? цир?
куляция вектора Bi = ?i ? по границе этого сечения? ?еличина ????? в
???
???? ?олноводы
общем случае отлична от нуля? следовательно? при неодносвязном сечении
потенциал ? в ????? в общем случае ? многозначная функция?
??? ?раевые условия для потенциалов ? ? ?? Согласно ?????? на гра?
нице Et = 0 и Bn = 0? Первое из этих условий эквивалентно равенству
[n Ч E] = 0? а второе ? (nB) = 0? что сводится к двум соотношениям ?????
для E и к соотношению ????? для B ?
E3 = 0,
n1 E2 ? n2 E1 = 0,
n1 B1 + n2 B2 = 0.
?????
Первое из этих краевых условий для T EM волны с E3 = 0 выполняется
автоматически? а два другие при подстановке ????? сводятся к следующим
двум условиям для потенциалов ? ? ??
(n1 ?2 ? n2 ?1 )? = 0,
(n1 ?1 + n2 ?2 )? = 0.
?????
?ни аналогичны краевым условиям для E3 и B3 в ?????? Условие для ?
в ????? соответствует граничной задаче ?еймана ?n ? = 0? а условие ?????
для ? эквивалентно граничному условию ? = const? что уже доказывалось
ранее ?см? текст после формул ???????
Таким образом? краевые условия для потенциалов ?, ? в соотношениях
????? для T EM волны имеют следующий вид?
?
= const,
гр
?n ?
= 0,
гр
?????
первое из них соответствует задаче ?ирихле для ? ? второе ? задаче
?еймана для ??
??? Резюме? ?того? для T EM волны потенциалы ? ? ? в ????? являются
двумерными гармоническими функциями на сечении волновода с краевы?
ми условиями ?????? ?з математики известно? что обе этих краевых задачи
для конечной односвязной области имеют только тривиальные решения
? = const или ? = const на всем сечении? которым соответствуют нулевые
поля ?????? ?тсюда вытекает
?лавный вывод? T EM волны могут существовать только в волноводах
с неодносвязным сечением типа коаксиального кабеля?
Это можно пояснить следующим образом? если граница только одна
и на ней задано значение ? = const? то поле ? внутри сечения есть та
же самая константа ввиду единственности решения задачи ?ирихле? ?о
при неодносвязном сечении есть несколько границ с разными значениями
???
?инамика
? = const на каждой из них? что и позволяет иметь нетривиальные реше?
ния задачи ?ирихле?
?тметим также? что при расчете характеристик T EM волны достаточ?
но найти лишь один из двух потенциалов ? или ?? По нему из ????? нахо?
дится одно из полей E или B ? а по нему из ????? ? второе поле? Удобнее?
конечно? вычислять потенциал ? ввиду его гарантированной однозначно?
сти? Рассмотрим теперь конкретный пример такой задачи?
T EM волна в коаксиальном кабеле? Поперечное сечение коакси?
ального кабеля представляет собой две концентрические окружности с
заданными радиусами R1 < R2 ? Само сечение волновода ? заполненный
диэлектриком круговой слой R1 ? r ? R2 ? внутренняя область r ? R1 и
внешняя область r ? R2 ? идеальный металл? Решение будем искать для
однозначной функции ? ? считая ее значения на границах r = R1 и r = R2
некоторыми заданными и в общем случае различными ?иначе решение
тривиально? константами?
?виду очевидной осевой симметрии такой краевой задачи ясно? что
потенциал ? зависит только от радиальной переменной r в полярных ко?
ординатах r, ? ?x1 = r cos ?? x2 = r sin ??? ?вумерный оператор ?апласа ?2
в этих координатах имеет вид
?2 = ?r2 + r?1 ?r + r?2 ??2 ,
?????
где ?r ? ?/?r? ?? ? ?/??? Решение двумерного уравнения ?апласа
?2 ? = 0 с ? = ?(r) и оператором ?2 из ????? имеет вид
?????
?(r) = a ln r + b
с произвольными константами a и b? ?з ????? и ????? находим амплитуды
Ei = ?i ? = a?i ln r = ar?1 ?i r = ar?1 ni = ar?2 xi ,
i = 1, 2.
?????
По ним из соотношений ????? находим
B1 = ??E2 = ??ar?2 x2 ,
B2 = ?E1 = ?ar?2 x1
?????
с коэффициентом a из ????? и ? = (?µ)1/2 из ??????
По известным из ????? величинам Bi = ?i ? можно найти соответствую?
щий потенциал ?? ?егко проверить ?предоставляем сделать это читателю??
что ? = ?a?? где ? = arctg(x1 /x2 ) ? угловая переменная в полярных ко?
ординатах ?x1 = r cos ?? x2 = r sin ?? r2 = x21 + x22 ? ? = arctg(x1 /x2 )?? ?аша
???
???? ?олноводы
функция ? = ?a?? очевидно? неоднозначна? так как переменная ? при
обходе внутренней ?дыры? приобретает добавку 2? ?
?оэффициент a в ????? можно выразить через протекающий по цен?
тральному проводу ток I с помощью соотношения ?????? Циркуляция век?
тора B в левой части ????? равна приращению ?? потенциала ? при об?
ходе контура? в нашем случае ?? = 2??a? Поэтому из ????? получаем
µ?1 2??a = (4?/c)I ? что и дает искомую связь между параметрами a и I ?
По известным полям E и B внутри волновода можно найти усреднен?
ный по времени вектор плотности потока энергии < S > ?????? ?нтегрируя
величину < S >n по сечению? найдем полную мощность? передаваемую по
волноводу ?в нашем приближении потерь нет?? ? итоге получим формулы?
связывающие энергетические характеристики с параметрами типа a или
I ? выразив их тем самым через измеримую экспериментально величину? ?
передаваемую по волноводу мощность?
?а этом мы закончим обсуждение T EM волн и вернемся к T E и T M
волнам?
T E и T M волны? описание мод? фазовая скорость? T E и T M вол?
ны ????? могут существовать и в волноводах с односвязным сечением
при Q = 0 в ?????? Ранее было показано? что все параметры T E волны
определяются амплитудой B3 ? а для T M волны ? амплитудой E3 ? Эти
амплитуды определяются из двумерных уравнений ?ельмгольца ????? с
нужным ?одним из двух? краевым условием ?????? что сводится к задаче
на собственные значения ????? для двумерного оператора ?апласа ?2 на
сечении волновода S ? Сейчас мы обсудим все это подробнее?
?адача на собственные значения обычно ставится для самосопряжен?
ных операторов в гильбертовом пространстве? Таким пространством в на?
шем случае является L2 (S) ? множество заданных на сечении волновода
S комплексных функций ?(x) с x ? x1 , x2 ? квадратично интегрируемых
на S ?
ds|?(x)|2 < ?? здесь и далее ds = dx1 dx2 ? дифференциал пло?
щади? интеграл берется по сечению волновода S ? Скалярное произведение
(?1 , ?2 ) любых двух таких функций определяется соотношением
(?1 , ?2 ) =
ds?1? (x)?2 (x).
?????
?бластью определения D двумерного оператора ?апласа ?2 ?в даль?
нейшем обозначаем ?2 ? ?? термин ?двумерный? подразумевается?
для любой из наших двух краевых задач является множество функций
???
?инамика
? ? L2 (S)? удовлетворяющих нужному ?одному из двух? краевому усло?
вию ????? и условию ?? ? L2 (S)? т? е? функция ?? также должна быть
квадратично интегрируемой на сечении?
?ля любых двух функций ?1,2 справедлива следующая ?формула
?рина? ?при условии сходимости входящих в нее интегралов??
ds??1? · ??2 =
=
d ?1? · ?n ?2 ?
d
?n ?1?
· ?2 ?
ds?1? · ??2 =
ds??1?
?????
· ?2 ,
где d ... ? интеграл по границе сечения? d ? не зависящий от направ?
ления обхода дифференциал длины контура? ?сли обе функции ?1,2 удо?
влетворяют первому или второму краевому условию ?????? то контурные
интегралы по границе в ????? исчезают? поскольку в них один из двух мно?
жителей ?? или ?n ? ? равен нулю? Поэтому для любых двух функций ?1,2
из области определения оператора ? в наших краевых задачах ?см? выше?
соотношения ????? в обозначениях ????? принимают следующий вид?
(??1 , ??2 ) = ?(?1 , ??2 ) = ?(??1 , ?2 ).
?????
?торое из этих равенств означает? что ? ? симметричный оператор на
своей области определения D? т? е? в скалярном произведении его можно
переносить с одного сомножителя на другой без изменения ответа? Пер?
вое равенство ?????? если положить в нем ?1 = ?2 ? ? ? доказывает? что
оператор ?апласа ? ?отрицательно определен??
(?, ??) = ?(??, ??) ? 0
?????
ввиду очевидной неотрицательности величины (??, ??) согласно опреде?
лению скалярного произведения ??????
?ернемся теперь к нашей задаче на собственные значения ??????
??? = ?Q? ??
?????
для двумерного оператора ?апласа ? ? ?2 ? Уравнение ????? имеет оче?
видное решение ?? = const? Q? = 0? но его нужно отбросить? поскольку у
нас Q = 0 по условию?
?з ????? следует? что все собственные значения ?Q? оператора ?апласа
в ????? отрицательны? т? е? Q? > 0? ?ействительно? умножив ?в смысле
???
???? ?олноводы
скалярного произведения? обе части равенства ????? слева на ?? ? получим
(?? , ??? ) = ?Q? (?? , ?? ) ? 0 в силу ?????? ?тсюда с учетом очевидной по?
ложительности ?квадрата нормы? (?? , ?? ) следует? что для всех отличных
от нуля собственных значений задачи ????? Q? > 0?
?з симметричности оператора ? ?второе равенство ?????? следует?
что любые две собственные функции ?? и ?? ? для которых Q? = Q? ?
взаимно ортогональны? ?ействительно? из симметричности ? имеем
(?? , ??? ) = (??? , ?? )? Подставив сюда ??? = ?Q? ?? и ??? = ?Q? ?? ?
получим Q? (?? , ?? ) = Q? (?? , ?? )? откуда следует
(?? , ?? ) = 0 при Q? = Q? .
?????
Это общее свойство собственных функций любого симметричного опера?
тора в любом гильбертовом пространстве?
? дальнейшем мы будем ссылаться без доказательства на сведения из
математики? ?звестно? что обе наши краевые задачи ????? для операто?
ра ?апласа в ограниченной области сечения имеют дискретный спектр?
т? е? нумерующий Q? индекс можно считать целочисленным? ? = 1, 2, 3, ...
?умерацию естественно выбрать в порядке возрастания чисел Q? ?
0 < Q1 < Q2 < ...,
?????
причем известно? что в этой бесконечной последовательности числа Q?
нигде не сгущаются и неограниченно возрастают? Подчеркнем? что они
определяются только геометрией волновода и не зависят от передавае?
мой по нему мощности? ?инимальным является некоторое положительное
число Q1 ? поскольку возможное значение Q = 0 исключено по условиям
задачи? ?аждому Q? соответствует одна или несколько ?если собствен?
ное значение ?вырождено?? собственных функций ?? ? ?ни играют роль
двумерных амплитуд в ?????? решение ????? с заданной амплитудой ??
называют ?модой ??? общее решение ? произвольная суперпозиция мод?
?з определения параметра Q в ????? следует? что при заданной частоте
? для любой моды ? ?? с известным Q? однозначно определяется соответ?
ствующее волновое число k? ?
k?2 = ?µ? 2 c?2 ? Q? .
?????
Получаемое отсюда значение k?2 может быть как положительным? так и
отрицательным? поскольку числа Q? с ростом номера ? неограниченно
???
?инамика
возрастают? ?сли k?2 > 0? то величина k? вещественна и решение ????? ?
бегущая волна? как и требуется? ?сли же k?2 < 0? то k? ? мнимое число?
тогда решение ????? затухающее ?растущее явно ?нефизично??? т? е? такая
волна существовать не может?
Таким образом? по волноводу могут передаваться только те моды? для
которых в ????? k?2 > 0? ?виду неограниченного роста чисел Q? ясно?
что для любой фиксированной частоты ? распространяться по волноводу
может лишь некоторое конечное число ?младших мод?? ? те? для которых
в ????? k?2 > 0?
Удобно ввести соответствующие модам ? ?? собственные частоты ?? ?
определив их соотношением
Q? = ?µ??2 c?2 .
?????
Тогда для волнового числа k? в ????? имеем k?2 = ?µ(? 2 ? ??2 )c?2 ? т? е?
k? = c?1 [?µ(? 2 ? ??2 )]1/2 .
?????
?тсюда следует? что при заданной частоте ? по волноводу могут распро?
страняться только те моды? для которых ?? < ? ? ?инимальной являет?
ся собственная частота ?1 > 0? поэтому передача сигнала по волноводу
возможна только при ? > ?1 > 0 ?отметим? что для T EM волн такого
ограничения не было? ? эти волны могут передавать сигнал с любой сколь
угодно малой частотой ? ?? ?бычно конструкцию волновода и частоту ?
подбирают так? чтобы ?1 < ? < ?2 ? ? тогда по волноводу распространяет?
ся только ?самая младшая? мода с собственной частотой ?1 ?что? видимо?
уменьшает помехи при передаче сигнала??
Фазовая скорость волны? Пусть ? > ?? ? так что мода ? ?? может рас?
пространяться по волноводу? ?е фазовая скорость v? = ?/k? легко нахо?
дится из выражения для k? в ??????
v? = ?/k? = c [1 ? ??2 /? 2 ]?1/2 ,
c ? c(?µ)?1/2 ,
?????
где c ? фазовая скорость волны в неограниченной среде с заданными зна?
чениями ? и µ? ?з ????? следует? что v? > c и что v? ? ? при ? ? ?? ?
Таким образом? в волноводе фазовая скорость волны может быть сколь
угодно большой? превышая скорость света в неограниченной среде?
?десь нет противоречия с общеизвестным правилом ?любая скорость не
может превышать скорости света?? поскольку в нем речь идет о скоростях
???
???? ?олноводы
движения материальных тел или о других процессах с передачей энергии?
в которых можно экспериментально измерить скорость этой передачи? Фа?
зовая скорость волны? не имеющая прямого отношения к скорости пере?
дачи какой?либо реально измеримой величины? не обязана подчиняться
этому правилу?
T E и T M волны в волноводах с односвязным прямоугольным
или круговым сечением? Прямоугольное сечение? Пусть сечение волно?
вода ? прямоугольник с длинами сторон a > b? ?аправим ось x1 в плос?
кости сечения вдоль длинной стороны прямоугольника? а ось x2 ? вдоль
короткой?
?ля T E волны в уравнении ????? ? = B3 с условием ?еймана ?n ? = 0
????? на границе? ?тсюда ясно? что собственные функции ?? в ????? для
данной краевой задачи имеют следующий вид?
?? ? ?nm = Anm cos(?nx1 /a) cos(?mx2 /b),
?????
роль нумерующего индекса ? играет пара неотрицательных целых чи?
сел ? = (n, m)? Anm в ????? ? произвольный нормировочный множитель?
?з равенства ?x2 cos(px) = ?p2 cos(px) легко находятся соответствующие
функциям ????? собственные значения ?Q? ?
Q? ? Qnm = ? 2 (n2 /a2 + m2 /b2 ).
?????
При n ? 0 и m ? 0 минимальное значение Q = 0 в ????? соответствует
n = m = 0? но оно исключается для T E и T M волн? ?з прочих
величин ????? при a > b наименьшим является Q10 = ? 2 /a2 ? соответ?
ствующая мода волны обозначается через T E10 ?
?ля T M волн в ????? ? = E3 с условием ?ирихле ? = 0 на границе?
Собственные функции ?? для этой задачи получаются из ????? простой
заменой косинусов на синусы?
?? ? ?nm = Anm sin(?nx1 /a) sin(?mx2 /b),
?????
причем теперь n ? 1? m ? 1? так как синусы в ????? обращаются в нуль
при n = 0 или при m = 0 ?а собственные функции? по условию? не могут
быть равными нулю??
?ля функций ????? собственные значения ?Q? = ?Qnm в ????? опре?
деляются тем же соотношением ?????? как и для функций ?????? но теперь
с условием n ? 1? m ? 1? Поэтому для T M волн Qnm > Q10 ? так что
наименьшую собственную частоту имеет T E10 волна?
???
?инамика
? заключение добавим? что для квадратного сечения с a = b в задаче
есть ?вырождение?? поскольку разным модам ?nm и ?mn соответствуют
тогда одинаковые значения Qnm = Qmn ?
?руговое сечение? Рассмотрим цилиндрический волновод? сечение ко?
торого ? круг радиуса R? Эту задачу естественно рассматривать в по?
лярных координатах r, ?? в которых двумерный оператор ?апласа име?
ет вид ?????? ?юбые однозначные в круге r < R функции разлагаются
по гармоникам exp(im?) с произвольным целым числом m или? экви?
валентно? по системе sin(m?) и cos(m?) с m ? 0? Решения уравнения
?ельмгольца ????? [? + Q]? = 0 с оператором ? из ????? будем искать
в виде ?(r, ?) = f (r) exp(im?)? что приводит к уравнению
[?r2 + r?1 ?r ? m2 r?2 + Q]f (r) = 0
?????
для неизвестной функции f (r)? Уравнение ????? заменой переменной
r = Q?1/2 z сводится к хорошо известному уравнению ?есселя? поэтому
двумя линейно независимыми решениями уравнения ????? являются функ?
ция ?есселя Jm (Q1/2 r) и функция ?еймана Nm (Q1/2 r) с m ? 0? Функция
?еймана сингулярна при r = 0 ?логарифмическая особенность?? поэтому
ее нужно отбросить?
Таким образом? кандидатами на роль ?? в цилиндрическом волноводе
являются функции
? ? sin(m?)Jm (Q1/2 r) и cos(m?)Jm (Q1/2 r) с m ? 0.
?????
?о сих пор мы рассматривали решения уравнения ?ельмгольца ?????
с произвольным параметром Q > 0 без учета краевых условий ??????
?х учет позволяет найти возможные значения параметра Q в ??????
т? е? спектр собственных значений задачи ?????? Проделаем это?
?ачнем с T M волн? для которых в уравнении ????? ? = E3 с условием
? = 0 на границе r = R? Это значит? что при r = R аргумент Q1/2 R
в ????? должен быть одним из отличных от нуля корней zmn функции
?есселя Jm (z) ?т? е? Jm (zmn ) = 0? индекс n = 1, 2, 3, ... нумерует корни zmn
функции Jm (z) в порядке их возрастания?? ?тсюда получаем?
2
Q? ? Qmn = zmn
R?2 ,
?????
по этим величинам из соотношения ????? находятся собственные частоты
?mn мод ? mn? T M волн?
???? ?олноводы
???
?начения zmn известны и приводятся в математических таблицах? на?
пример? в справочнике ??? ?при современной технике их можно вычис?
лять с помощью компьютера?? Числа zmn увеличиваются с ростом индек?
сов m и n? наименьшим из них является z01 ?
= 2, 405? т? е? первый корень
функции J0 (z)? он и определяет наименьшую собственную частоту для
T M волн?
?ля T E волн в уравнении ????? ? = B3 с условием ?еймана ?n ? = 0 на
границе r = R? Собственные функции ?? для данной задачи имеют ту же
форму ?????? но теперь возможные значения параметра Q ?т? е? собствен?
ные частоты мод? определяются из требования равенства нулю при r = R
не самой функции Jm (z) с z = Q1/2 R? а ее производной Jm (z) в этой
точке? ?се различие ? замена корней zmn функции Jm (z) корнями zmn
ее производной Jm (z)? ?ыражения для Qmn получаются из ????? заменой
zmn ? zmn ? отсюда находятся собственные частоты для всех мод T E волн?
?а этом мы кончаем обсуждение волноводов и весь этот курс в целом?
Ясно? что его можно было бы расширить? так как есть много важных и ин?
тересных вопросов? которые мы вообще не затрагивали? ?о такое расшире?
ние противоречило бы основной идее ? ?общий курс для одного семестра??
Поэтому мы можем лишь отослать заинтересованного в дополнительной
информации читателя к приведенному в конце списку литературы?
?итература
???
?жексон ?ж?
???
?андау ?? ??? ?ившиц ?? ??
???
???
??? с?
?лассическая электродинамика? ? ??? ?ир? ????? ?
Теория поля? ? ??? ?аука? ????? ? ??? с?
?овожилов Ю? ??? Яппа Ю? ??
????? ? ??? с?
Электродинамика? ? ??? ?аука?
Таблицы интегралов? сумм? рядов и
произведений? ?зд? ??е? перераб? ? ??? Физматгиз? ????? ? ???? с?
?радштейн ?? С?? Рыжик ?? ??
Предметный указатель
Ссылки указывают на основные упоминания понятий? определения? важные при?
меры применения? свойства и т? п? ?а страницах? выделенных курсивом? содер?
жится определение или введение понятия?
???????
?нтенна ???? ???? ????
?армонический квадрупольный
излучатель ???????
?нтенна полноволновая ???
?радиент ??
?нтенна полуволновая ???
?руппа ??
?руппа
?ариационные производные
функционала
???
?руппа
??? ????
???? ???
?аламбера
?ектор ??? ??
?ельта ?? ??функция ???????
?ектор контравариантный ??
?ектор плотности компонент импульса
???????? ???
????????
???????
????
???
?олновой пакет ???
???? ???? ???
??? ?????
источник ????????
???????? ???????
лемма ???
?ирихле ???? ???? ???
?еймана ???? ???? ???
?мпера ??
?улона ??? ??
?адача
?адача
?акон
преобразования
?армонический
?иэлектрическая проницаемость ???
?ордана
T E волны ???? ???? ???????
T EM волны ???? ???? ???? ???????
T M волны ???? ???? ???????
?алилея
?исперсия пространственная ???
?иэлектрики ???????? ???
???????
?олновой вектор ????
?исперсия ???
?исперсия частотная ???
?олновая зона ???????
????
????????
???????? ???????? ???? ???
?ипольное приближение ???
???????? ???
????????
?иаграмма направленности
?ивергенция ??
?ектор плотности потока энергии
?ектор поляризации
оператор ??
?ействие ?????
?ектор ковариантный ??
?олновод
?алилея ??
?оренца ?????
?акон
????
?акон сохранения заряда ??
?акон сохранения энергии
???
???
???
Предметный указатель
?акон электромагнитной индукции
Фарадея
??? ??
?етод изображений ???????
?етод разделения переменных ???????
?злучатель гармонический
?ировая линия ??
квадрупольный
см?
?ощность излучения
?армонический
квадрупольный излучатель
?злучатель дипольный ???
???????
зарядов с осевой симметрией
?ндукция ???? ???? ???? ???
????????
???????? ???????? ???????
?стинный тензор ??
???????
?ультипольные моменты для системы
зарядов со сферической
симметрией ???????
?алибровка кулоновская ??? ??
?алибровка лоренцовская ??? ??
?алибровочная инвариантность ??
?алибровочные преобразования ??
?алибровочные условия ??? ??
?вадрупольный момент
????
???? ???
?раевые условия ?????? ???????? ????
???????? ???
?ультипольные моменты
неприводимые ???????
?апряженность поля ???? ???
?ператор
?апласа
??
Плоские волны ??? ???????
Плотность заряда для движущейся
символ ??
?агранжиан ???
????
?ультипольные моменты для системы
?ндекс суммирования ??
????
?ультипольное разложение ????????
?ультипольные моменты
?ндекс свободный ??
?рутящий момент
????
???????
?злучатель синфазный ???
?нтенсивность излучения
????????
???? ???
???????? ???????? ????????
?злучатель магнитный ???
?ронекера
?агнитный момент системы токов ???
???? ???
???
?агранжиан взаимодействия частицы
с полем ???????
?агранжиан свободной частицы
релятивистский ???????
?армора формула ???
?оренца сила ???? ???????
?агнетики ???????? ???
?агнитная восприимчивость ???? ???
точечной заряженной
частицы ???????
Плотность заряда объемная ??
Плотность лагранжиана ??
Плотность лагранжиана
взаимодействия поля
с источником ??
Плотность лагранжиана свободного
поля ??
Плотность тока для движущейся
точечной заряженной
частицы ???????
?агнитная проницаемость ???
Плотность тока объемная ??
?агнитный момент ???????? ???
Плотность энергии ??? ???? ???
?агнитный момент
Поляризация круговая ???
единицы объема ???
?агнитный момент
плоского витка ???
Поляризация линейная ???
???
???
Поляризуемость ???? ???? ???
Потенциал векторный ??
???
Предметный указатель
Потенциал скалярный ??
Тензор на группе вращений ?????
Потенциалы запаздывающие ???????
Тензор на группе
Потенциалы
?ьенара ? ?ихерта
Тензор напряженностей ?тензор поля?
???
зарядов в заданном внешнем
зарядов полная ???????
Потенциальная энергия системы токов
Тензорное поле ?????
Тензорное поле на группе
Тензоры ??
см? Поток вектора
?строградского ? ?аусса ??
Стокса ??
Теорема ?аусса
полная ???????
Теорема
Поток вектора ??
Фурье ????
?алилея
???????
Теорема
Ток смещения ??
?алилея преобразования
Преобразования дробно?линейные ??
???
?оренца
Тензорное произведение ??
???????
Потенциальная энергия системы токов
Преобразования
????
?????
в заданном внешнем поле
Преобразования
??????
???
Потенциальная энергия системы
см?
??? ???????
Тензор энергии?импульса
поле ???????
Преобразования
?????
???????? ???
???????
Потенциальная энергия системы
Преобразование
?оренца
Тензор напряжений ?натяжений?
?оренца
?оренца
?????
собственные
Уравнение
?ельмгольца ????
???? ???
Уравнение
?апласа
????
???? ????
???? ???? ???
??? ???? ???
Уравнение непрерывности
?????
Принцип относительности ?????
Уравнение непрерывности
в ковариантной форме ??
Принцип суперпозиции ???
Уравнение
Псевдотензор ??
Уравнение
Пуассона ????????
Эйлера ??? ??
???????
Уравнения баланса энергии ???????
Ротор ??
Уравнения движения ???????
Свертка тензора ??
Уравнения
Световой конус ??
Уравнения
Связанные источники
????
???? ???
Система единиц гауссова ??? ??
Система отсчета инерциальная ??
???
?????
Сложение скоростей ??? ??
Уравнения
Уравнения
?аксвелла
?вадрупольный момент
Тензор квадрупольного момента
неприводимый ???? ???? ???
???
?аксвелла
в ковариантной форме ??? ??
Уравнения
Уравнения
Тензор квадрупольного момента
Тензор метрический
в
дифференциальной форме ??
?аксвелла
для диэлектриков ???
Собственное время ??
см?
??
в интегральной форме ??
Система отсчета ??
Скорость света
?аксвелла
?аксвелла
??
?аксвелла
для магнетиков ???
Уравнения
?аксвелла
для потенциалов ??
Уравнения
?аксвелла
нестационарные ???
???
Предметный указатель
Уравнения
?аксвелла
нестационарные в среде ???
Фаза волны ???? ???
Функция состояния ???
Фурье
интеграл ????
???
Циркуляция вектора ??
Формулы свертки ??? ??
??? ?????? ???
?есселя ???? ???
?рина ???? ???????
?рина волнового оператора
Функционал действия
Четырехмерная скорость
Функция
Четырехмерный импульс
Функция
Функция
???????
?рина запаздывающая
???????? ???????
Функция ?рина линейной
Функция
дифференциальной операции
Функция
?еймана
???? ???
???????
???????
Четырехмерный ток ??
Эйнштейна
теория
относительности ??
Электрический дипольный момент
????
???
Электродвижущая сила ?Э?С?
???????
???????
????
????
Эфир ??? ?????
???
Автор
e508294
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
220
Размер файла
1 535 Кб
Теги
270
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа