close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

556

код для вставкиСкачать
???????????-???????? ?????????? «?????? ? ?°»
?.?. ??????, ?.?. ??????
??????????
?????????
??????????
?????? ?????
3-е издание
??????
2010
??? 330.131.7:338.24:336.767.2
??? 65.9(2)26
?23
????????? ???????:
?. ?. ?????? — ?????? ????????????? ????, ????????? (???????????, ??. 2, 3, 4, 5, ??????????);
?. ?. ?????? — ???????? ????????????? ???? (??. 1, 6, 7).
??????????:
??????? ?????????????? ??????? ? ????????? ??????????
????????????? ???????? ??. ?. ?. ????????? (???. ???????? ?????? ????????????? ????, ????????? ?. ?. ?????????);
?. ?. ?????? — ?????? ????????????? ????, ?????????.
?23
?????? ?. ?.
?????????? ????????? ?????????? ?????? ????? / ?. ?. ??????, ?. ?. ??????. – 3-? ???. – ?.: ???????????-???????? ?????????? «?????? ? ?°», 2010. – 512 ?.
ISBN 978-5-394-00683-8
? ????? ???????????? ??????????? ???????? ??????? ?? ???????????? ?????????????? ????????? (????????) ?? ?????????? ????? ? ????????
?????????????? ???????? ???????????. ???? ??????????? ??????? ?????? ??????????? ???????? ?????????? ?????? ?????, ????????????? ? ???????????? ?????????? ??? ??????????? ?????. ?????????? ?????????????
????? ??????? ???? ??????, ??? ???????? ???????, ??? ???? ???????????
?????????? ???????? ?? ???. ??????? ?????? ? ????? ?????????? ? ????????? ??? ?????????? ?? ??????????.
????? ????? ??????? ??? ????????????? ? ???????????? ????????????, ????????? ? ???????????? ?????? ? ???????????? ????????????? ? ?????????? ????????????, ??? ???????????????? ??????? ?????????????? ???????? ? ??? ???????????? ???????? ?????????? ?????? ?????.
???????????? ??????????? ???????????? ???????????? ???????? ?????????? ????? ????? ?????????? ? ???????????? ??????????????, ????????? ? ?????????? ??????, ? ???????????????? ?????? ?????????? ??????? — ? ?????? ?????????? ? ?????????? ????????.
????? ????? ???? ???????????? ????? ? ???????? ???????? ???????
?????????? ? ??????????? ????????????? ????? ? ???????????, ??????????? ??????-????.
ISBN 978-5-394-00683-8
© ?????? ?. ?., ?????? ?. ?., 2006
ПРЕДИСЛОВИЕ
Для значительной части инвестиционных проектов, под которыми, в частности, мы будем подразумевать и вложения денежных
средств в инвестиционный портфель ценных бумаг, доходы и расходы по ним не могут быть определены однозначно, и инвесторы при
обосновании своих решений сталкиваются с неопределенностью при
их оценке. Причины этого обусловлены как самой сутью современного состояния отечественной рыночной экономики, при которой
на будущие результаты инвестиционной или иной предпринимательской деятельности существенно влияют сбои в экономической политике страны и многочисленные факторы рыночной конъюнктуры,
не зависящие от инвесторов, так и тем, что экономические явления и
процессы подвержены воздействию большого числа неэкономических факторов (политические, экологические, социальные и др.). Отсюда ясно, что при обосновании инвестиционных решений всегда
требуется учитывать факторы неопределенности и риска.
Введение принципа свободного взаимодействия рыночных
субъектов, обеспечение здоровой рыночной конкуренции неизбежно повышают неопределенность и коммерческий риск. В этих условиях чрезвычайно трудно выбирать оптимальные решения и предвидеть их последствия в сфере бизнеса. Поэтому экономический риск
в системе рыночных отношений представляется объективно необходимой категорией, которая требует совершенствования теории и
практики хозяйственного анализа.
Большинство управленческих решений принимается в условиях
риска, что обусловлено рядом факторов: отсутствием полной информации, наличием противоборствующих тенденций, элементами
случайности и т.д.
Ясно, что успех в мире бизнеса решающим образом зависит от
правильности и обоснованности выбранной стратегии хозяйственной и предпринимательской деятельности. При этом должны учитываться вероятности критических ситуаций.
Было бы безрассудно считать возможной предпринимательскую
деятельность без риска. Усиление риска ? это, по сути дела, оборотная сторона свободы предпринимательства, своеобразная плата за
нее. Без знаний о риске предприниматель не подготовлен к коммерческой деятельности.
3
Чтобы выжить в условиях рыночных отношений, нужно решаться
на внедрение инновационных, нетривиальных действий, а это усиливает риск. Для любого бизнеса важным является не избежание риска вообще (это практически невозможно), а предвидение и по возможности его минимальное снижение.
Более того, опасность возникновения непредсказуемых и нежелательных для фирмы, компании, предприятия последствий собственных действий, как правило, вредит экономике, поскольку подрывает ее динамичность и эффективность.
Инвесторы в условиях нестабильной экономики, неопределенности в значительной мере рискуют получить меньший доход, чем
ожидаемый, или вообще потерпеть убытки после вложения денежных ресурсов в выбранный портфель (проект). Поэтому инвестор
должен формировать портфель инвестиций и управлять им таким
образом, чтобы доходность портфеля возрастала, а уровень риска
при этом снижался, то есть необходимо формировать эффективные
портфели и выбирать из них оптимальный.
Проблема формирования оптимального инвестиционного портфеля, у истоков которой стоял в 1952 году Гарри Марковиц, а дальнейшее развитие получила в трудах Блека Ф., Линтнера Дж., Мертона Р., Миллера М., Модильяни Ф., Моссина Я., Тобина Д., Фабоцци Ф., Шарпа У., Шоулза М. и др., оказала огромное влияние на
развитие теории и практики финансов и, в частности, финансовых
рисков. Основной вывод из их теорий заключается в том, что если
вы не хотите излишне рисковать, то структура рискованных ценных
бумаг вашего портфеля должна повторить структуру рынка этих
бумаг, а вы можете лишь изменять доли безрисковых ценных бумаг
в своем портфеле, осознавая, что чем больше таких бумаг, тем меньше доход и меньше риск, и наоборот.
Существующие теории дают возможность создать портфель максимальной эффективности, то есть максимизировать доход при фиксированном риске, или создать портфель минимального риска, что
позволяет минимизировать риск вложения при заданном уровне доходности. Обобщением этих двух задач является многокритериальная задача оптимизации, заключающаяся в получении максимального дохода при минимальном риске, которая до настоящего момента не решена.
При построении инвестиционного портфеля, когда средства вкладываются в финансовые активы, все инвесторы подвергаются одинаковому риску. Основоположники создания портфельных теорий
[50, 52, 59, 60, 63, 64, 65, 69, 71 и др.] выделяют только один вид
риска ? ценовой. В монографии мы провели анализ еще шести рис4
ков, присущих процессу инвестирования, и, учитывая важность и
других финансовых рисков, провели их полное исследование.
В процесс управления портфелем инвестиций наряду с его формированием входят и такие два важных этапа, как управление рисками и измерение и оценка эффективности инвестиций.
Управление рисками ? одна из основных компонент управленческой деятельности в любой сфере, поэтому уместным является системное исследование в первой главе природы прежде всего экономических рисков и их сущности. Все методы управления рисками
связаны с дополнительными финансовыми затратами, которые необходимо предусмотреть в смете инвестиционных проектов.
Современные методы риск-менеджмента основаны главным образом на количественных и качественных методах анализа рисков,
на эвристических методах и, часто, на интуиции и инсайте. Поскольку
мы рассматриваем инвестиционные риски, а, если шире, финансовые риски, то нами исследуется не только отработанный десятилетиями механизм страхования рисков, основанный на математическом моделировании, но также и такие традиционные экономические
инструменты снижения рисков, как диверсификация, хеджирование
с помощью форвардных и фьючерсных контрактов, свопов, опционов и др. Учитывая значительное субъективное влияние на управленческую деятельность лиц, принимающих решение, определенное
внимание следует уделить их психологии поведения при принятии
оптимальных решений.
Отмеченные особенности формирования эффективных портфелей инвестиций, существующие инвестиционные риски, необходимость создания новых портфельных теорий и совершенствования
методов риск-менеджмента указывают на актуальность темы исследования данной монографии.
В первой главе «Экономические риски» исследуется место и роль
рисков в экономической деятельности, теоретически обобщаются
методы их количественной оценки в условиях неопределенности и
риска.
Во второй главе «Формирование оптимального портфеля инвестиций» проанализированы различные теории формирования инвестиционного портфеля и осуществлен сравнительный анализ классических портфельных теорий между собой и теорий эффективных
портфелей на базе методов линейного и нелинейного программирования.
В третьей главе «Модели определения цен основных активов»
рассматриваются арбитражная модель ценообразования, портфель
Тобина максимальной эффективности, модель оценки стоимости оп5
циона Блэка?Шоулза и ряд других моделей, относящихся к структуре рынка.
Четвертая глава «Многокритериальная задача оптимизации
портфеля инвестиций ценных бумаг» посвящена теоретическому обоснованию решения многокритериальной задачи оптимизации портфеля инвестиций ценных бумаг, заключающейся в максимизации доходности при минимальном риске. Решение подобной задачи в известной нам литературе не встречалось.
В пятой главе «Риски, связанные с инвестированием в портфель
ценных бумаг» дано описание и рассматриваются основные параметры, присущие финансовым и портфельным рискам. В отличии от
ценовой модели рынка капитала, в которой рассматривается только
один портфельный риск ? ценовой, нами рассматриваются еще шесть
портфельных рисков.
В шестой главе «Основные методы и пути снижения экономических рисков» исследуются на основе математического моделирования экономические инструменты снижения рисков: диверсификация,
страхование, хеджирование с помощью форвардных и фьючерсных
контрактов, свопов, опционов и др., а также обобщаются методы
совершенствования управления инвестиционными рисками, направленные на снижение их уровня и повышение доходности портфеля
инвестиций.
Седьмая глава «Психология риск-менеджмента и принятие решений» посвящена изучению и систематизации влияния психологических факторов на проблемы поведения участников рынка и формирования пакетов рекомендаций по управлению рисками и выбору
эффективных решений. Рассматриваются конфликтные ситуации и
роль руководителя в принятии рисковых решений.
Предисловие, главы 2, 3, 4, 5 и заключение написаны А.С. Шапкиным, а главы 1, 6, 7 ? В.А. Шапкиным.
6
Глава 1. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ
РИСКИ
1.1. МЕСТО И РОЛЬ РИСКОВ
В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
1.1.1. Определение, сущность
и управление риском
Рассматривая сущность и содержание риска, сейчас уже нет
необходимости доказывать, что успех бизнесмена, менеджера,
предпринимателя в значительной степени зависит от его отношения к риску. Эта проблема вызывает особый интерес и заслуживает всестороннего изучения.
Риск в экономической деятельности имеет вполне самостоятельное теоретическое и прикладное значение как важная составная часть теории и практики управления, особенно при малоизученности этой серьезнейшей проблемы в нашей стране. Перечень
источников по вопросам управления в ситуации риска и степени
его оценки в отечественной литературе беден, фундаментальных
исследований по существу нет. Ориентация в течение длительного времени на преимущественно экстенсивное развитие народного хозяйства страны, чрезмерно высокая степень централизации
управления, господство административных методов управления
и не ставили на повестку дня учет неопределенности и риска.
Кроме того, при «экономике дефицита» у предпринимателя нет
заинтересованности и желания идти на риск, менять сложившуюся технологию производства. Отсюда понятны причины отсутствия устойчивого интереса к проблеме хозяйственного и социального риска.
Существование риска непосредственно связано с неопределенностью. Она неоднородна по форме проявления и по содержанию. Фрэнк Найнт в опубликованной в 1921 году докторской
диссертации «Risk, Uncertainty and Profit» («Риск, неопределенность и прибыль») строит анализ принятия решений на различении риска и неопределенности: «Неопределенность следует рассматривать в смысле, радикально отличном от хорошо знакомо7
го понятия риска, от которого ее прежде никогда должным образом не отличали ... Станет ясно, что измеримая неопределенность,
или собственно «риск» ... настолько далека от неизмеримой неопределенности, что, в сущности, вообще не является неопределенностью».
Риск является одним из способов снятия неопределенности,
которая представляет собой незнание достоверного, отсутствие
однозначности. Акцентировать внимание на этом свойстве риска важно в связи с тем, что оптимизировать на практике управление и регулирование, игнорируя объективные и субъективные
источники неопределенности, бесперспективно.
Мировая экономическая наука представляет классическую и
неоклассическую теории предпринимательского риска. Все исследователи предпринимательства подчеркивают важнейшую его
черту ? наличие риска на стадии как создания собственного дела,
так и дальнейшего функционирования предприятия. Еще Р. Кантильон [7] писал, что предприниматель ? это человек, который
действует в условиях риска. А.Смит подчеркивал, что предприниматель как собственник идет на экономический риск ради реализации какой-то коммерческой идеи и получения прибыли.
Классическая теория предпринимательского риска, у истоков
которой стояли Дж. Милль и И.У. Сениор [8], отождествляет риск
с математическим ожиданием потерь из-за выбора того или иного решения, т.е. риск представляет собой ущерб вследствие осуществления данного решения. Такой односторонний и узкий подход толкования сущности риска вызывает, конечно, определенное неприятие.
В 30-е годы XX в. экономисты А. Маршалл и А. Пигу [33]
разработали основы неоклассической теории предпринимательского риска, суть которой заключается в том, что предприниматель, отдавая предпочтения одному из альтернативных решений,
должен руководствоваться двумя критериями: величиной ожидаемой прибыли и размерами ее возможных колебаний вокруг среднего значения.
Однако, такой подход не учитывает фактора личного отношения предпринимателя к риску, на это обратил внимание
Дж.М. Кейнс [20], в этой же монографии он пишет об «издержках риска» и их покрытии и считает целесообразным учитывать
в экономических процессах три основных вида рисков: риск
8
предпринимателя или заемщика, риск кредитора и риск, связанный с возможным уменьшением ценности денежной единицы.
Анализ экономической литературы, посвященной проблеме
риска [1, 14, 16, 23, 25, 31, 32, 39], показывает, что среди исследователей нет единого мнения относительно определения предпринимательского риска. На сегодня нет однозначного понимания
сущности риска. Это объясняется, в частности, многоаспектностью этого явления, практически полным игнорированием его
нашим хозяйственным законодательством в реальной экономической практике и управленческой деятельности. Кроме того,
риск ? это сложное явление, имеющее множество несовпадающих, а иногда противоположных реальных основ. Это обуславливает возможность существования нескольких определений риска с разных точек зрения.
Рассмотрим некоторые существующие подходы к пониманию
категории «риск».
Происхождение термина «риск» восходит к греческим словам ridsikon, ridsa ? утес, скала.
В итальянском языке risiko ? опасность, угроза; risikare ? лавировать между скал. Во французском risdoe ? угроза, рисковать
(буквально объезжать утес, скалу).
В словаре Вебстера «риск» определяется как «опасность, возможность убытка или ущерба».
В словаре русского языка С.И. Ожегова «риск» определяется
как «опасность, возможность опасности» или как «действие наудачу в надежде на счастливый исход».
Характерно, что в специальных словарях (философских, военных, экономических и др.) понятие «риск» вообще отсутствует. Его нет в последних изданиях Большой советской энциклопедии и Советского энциклопедического словаря, в пятитомной философской энциклопедии, в философском энциклопедическом
словаре, в словаре «Научно-технический прогресс» и др.
Как показывает анализ, в литературе широко распространено суждение о риске как о возможности опасности или неудаче.
Аналогичное положение и в экономической литературе.
В книге [40] дается следующее определение: «Риск ? это вероятность возникновения убытков или недополучения доходов по
сравнению с прогнозируемым вариантом».
В труде [13] отмечается: «Под риском принято понимать вероятность (угрозу) потери предприятием части своих ресурсов,
9
недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления определенной производственной
и финансовой деятельности».
Во всех указанных определениях выделяется такая характерная особенность (черта) риска как опасность, возможность неудачи.
Однако приведенные определения не охватывают всего содержания риска.
Для более полной характеристики определения «риск» целесообразно выявить понятие «ситуация риска», поскольку оно непосредственно сопряжено с содержанием термина «риск».
Понятие «ситуация» можно определить как сочетание, совокупность различных обстоятельств и условий, создающих определенную обстановку для того или иного вида деятельности.
При этом обстановка может способствовать или препятствовать осуществлению данного действия.
Среди различных видов ситуации особое место занимают ситуации риска.
В частности, В.Д. Рудашевский [36] предлагает оценивать риск
как «вероятность ошибки или успеха того или иного выбора в
ситуации с несколькими альтернативами».
Л. Растригин и Б. Райзберг [31] определяют риск как «ущерб,
возможные потери», придерживаясь тем самым классической теории предпринимательского риска.
М.Г. Лапуста [25] под предпринимательским понимает риск,
«возникающий при любых видах предпринимательской деятельности, связанных с производством продукции, товаров и услуг,
их реализацией; товарно-денежными и финансовыми операциями; коммерцией, а также осуществлением научно-технических
проектов».
Таким образом, категорию «риск» можно определить как
опасность потенциально возможной, вероятной потери ресурсов
или недополучения доходов по сравнению с вариантом, который
рассчитан на рациональное использование ресурсов в данном виде
предпринимательской деятельности. Другими словами, риск ? это
угроза того, что предприниматель понесет потери в виде дополнительных расходов или получит доходы ниже тех, на которые он рассчитывал.
Хотя последствия риска чаще всего проявляются в виде финансовых потерь или невозможности получения ожидаемой при10
были, однако риск ? это не только нежелательные результаты
принятых решений. При определенных вариантах предпринимательских проектов существует не только опасность не достичь
намеченного результата, но и вероятность превысить ожидаемую
прибыль. В этом и заключается предпринимательский риск, который характеризуется сочетанием возможности достижения как
нежелательных, так и особо благоприятных отклонений от запланированных результатов.
Анализ многочисленных определений риска позволяет выявить основные моменты, которые являются характерными для
рисковой ситуации, такие как:
• случайный характер события, который определяет, какой
из возможных исходов реализуется на практике (наличие неопределенности);
• наличие альтернативных решений;
• известны или можно определить вероятности исходов и ожидаемые результаты;
• вероятность возникновения убытков;
• вероятность получения дополнительной прибыли.
Остановимся на следующем определении риска, которое, на
наш взгляд, наиболее полно отражает понятие «риск» [3].
«Риск ? это деятельность, связанная с преодолением неопределенности в ситуации неизбежного выбора, в процессе которой
имеется возможность количественно и качественно оценить вероятность достижения предполагаемого результата, неудачи и
отклонения от цели».
Мы считаем, что количественная оценка степени риска, а также возможность построения доверительных интервалов по известной вероятности, позволяют с большей надежностью воздействовать на рассматриваемый экономический процесс с целью
увеличения прибыли и снижения риска.
Следует отметить, что разница между риском и неопределенностью относится к способу задания информации и определяется
наличием (в случае риска) или отсутствием (при неопределенности) вероятностных характеристик неконтролируемых переменных. В отмеченном смысле эти термины употребляются в математической теории исследования операций, где различают задачи принятия решений при риске и соответственно в условиях
неопределенности.
11
Если существует возможность качественно и количественно
определить степень вероятности того или иного варианта, то это
и будет ситуация риска.
Таким образом, последняя ? это разновидность неопределенности, когда наступление событий вероятно и может быть определено, т.е. в этом случае объективно существует возможность
оценить вероятность событий, возникающих в результате совместной деятельности партнеров по производству, контрдействий
конкурентов или противников, влияние природной среды на развитие экономики, внедрение достижений науки в народное хозяйство и т.д.
В литературе [29, 41] существуют три основные точки зрения,
признающие или субъективную, или объективную, или субъективно-объективную природу риска. По нашему мнению, наиболее правильный подход ? это субъективно-объективный, так как
основным аргументом для его обоснования является признание
того факта, что поскольку человек, группа, коллектив и т.д. в
процессе деятельности включаются в субъективные отношения,
то и сама деятельность имеет как субъективную, так и объективную стороны.
В связи с тем, что риск представляет собой специфическую
деятельность в условиях неопределенности и ситуации обязательного (необходимого) выбора, то он также представляет собой
диалектическое единство объективного и субъективного.
Таким образом, риск всегда связан с выбором определенных
альтернатив и расчетом вероятности их результата ? в этом проявляется его субъективная сторона. Вместе с тем, величина риска
не только субъективная, но и объективная, поскольку она является формой качественно-количественного выражения реально
существующей неопределенности.
Самостоятельность в принятии предпринимателями решений
как внутренне присущая им особая черта объективно связана с
неопределенностью конечных результатов. На уровень их влияет
множество факторов, в том числе связанных с другими качествами предпринимателя как индивидуума, особенно с уровнем его
личных притязаний, психологическими свойствами, уровнем знаний и компетентности.
Известный американский ученый, исследователь современных
проблем предпринимательства П. Друкер пишет [15]: «Считает12
ся, что предпринимательство связано с огромным риском. Действительно, в такой четко выраженной области нововведений,
как высокая технология (например, производство микро-ЭВМ или
биогенетика), степень риска весьма высока, а шансы на успех
или просто на выживание достаточно низки... Согласно определению, предприниматели перемещают ресурсы из области низкой производительности и прибыльности в область более высокой производительности и прибыльности. Конечно, всегда присутствует риск сбоя. Однако даже при умеренном уровне успеха
прибыль бывает более чем достаточна для того, чтобы компенсировать любую степень риска. Таким образом, предпринимательство связано с меньшим рисом, чем оптимизация... Предпринимательство может оказаться рискованным потому, что многие
так называемые предприниматели не обладают достаточной компетентностью».
Для понимания природы предпринимательского риска фундаментальное значение имеет связь риска и прибыли. Предприниматель проявляет готовность идти на риск в условиях неопределенности, поскольку наряду с риском потерь существует возможность дополнительных доходов. Хотя ясно, что получение
прибыли предпринимателю не гарантировано, вознаграждением
за затраченное им время, усилия и способности могут оказаться
как прибыль, так и убытки.
На рис. 1.1 показана зависимость прибыли от риска. Можно
выбрать решение, содержащее меньше риска (r1 = 0), но при этом
меньше будет и получаемая прибыль (П1), а при самом высоком
риске r3 прибыль имеет наиболее высокое значение, равное П3.
Прибыль
П3
П2
П1
0
r2
r3
Риск
Рис. 1.1. Зависимость прибыли от риска
13
Следует заметить, что предприниматель вправе частично переложить риск на других субъектов экономики, но полностью
избежать его он не может. Справедливо считается: кто не рискует тот не выигрывает. Иными словами, для получения экономической прибыли предприниматель должен осознанно пойти на
принятие рискового решения.
Можно с уверенностью сказать, что неопределенность и риск
в предпринимательской деятельности играют очень важную роль,
заключая в себя противоречие между планируемым и действительным, т.е. источник развития предпринимательской деятельности.
Экономическое поведение предпринимателя при рыночных
отношениях основано на выбираемой, на свой риск реализуемой
индивидуальной программе предпринимательской деятельности
в рамках возможностей, которые вытекают из законодательных
актов. Каждый участник рыночных отношений изначально лишен заранее известных, однозначно заданных параметров, гарантий успеха: обеспеченной доли участия в рынке, доступности к
производственным ресурсам по фиксированным ценам, устойчивости покупательной способности денежных единиц, неизменности норм и нормативов и других инструментов экономического
управления.
Риск предпринимателя, как правило, ориентирован на получение значимых результатов нетрадиционными методами. Тем
самым он позволяет преодолеть консерватизм, догматизм, косность, психологические барьеры, препятствующие перспективным
нововведениям. Способность рисковать ? один из путей успешной деятельности предпринимателя. В этом проявляется конструктивная форма регулятивной функции предпринимательского
риска.
Вместе с тем риск может стать проявлением авантюризма, если
решение принимается в условиях неполной информации, без должного учета закономерностей развития явления. В этом случае
риск выступает в качестве дестабилизирующего фактора.
Рядом с характеристикой риска как вероятности положительных или отрицательных последствий, которые могут возникнуть
в результате выбора и реализации решения о расширении предпринимательской деятельности, риск можно рассматривать как
неотъемлемый элемент самой этой деятельности. Зависимость
14
здесь однозначная (непосредственная): по мере расширения (развития) предпринимательской деятельности, партнерских и других форм хозяйствования будет расширяться сфера риска, увеличиваться число рискованных ситуаций. Так в экономической
борьбе с конкурентами ? производителями за покупателя предпринимательская организация вынуждена продавать свою продукцию в кредит (с риском невозврата денежных сумм в срок),
при наличии временно свободных денежных средств размещать
их в виде депозитных вкладов или ценных бумаг (с риском получения недостаточного процентного дохода в сравнении с темпами инфляции), при ведении коммерческих операций экспортноимпортного характера сталкиваться с необходимостью оперировать различными национальными валютами (с риском потерь от
неблагоприятной конъюнктуры курсов валют) и т.д.
Большинство фирм, компаний добиваются успеха, становятся конкурентоспособными на основе инновационной экономической деятельности, связанной с риском. Рисковые решения,
рисковый тип хозяйствования приводят к более эффективному
производству, от которого выигрывают и предприниматели и
потребители, и общество в целом. Этим предпринимательский
риск выполняет инновационную функцию.
Риск, расчет, случай, конкуренция ? постоянные спутники
бизнеса. Одни рискуют вкладыванием денег в дело, другие ? своим имуществом, определенный риск здесь не только допустим,
но и необходим. Люди, занятые предпринимательской деятельностью, объективно действуют в условиях повышенного хозяйственного, коммерческого риска, так как они вынуждены осуществлять самостоятельно дополнительные затраты на организацию производства, сбыт определенной продукции.
Защитная функция риска проявляется в том, что если для предпринимателя риск ? естественное состояние, то нормальным должно быть и терпимое отношение к неудачам. Инициативным,
предприимчивым хозяйственникам нужна социальная защита,
правовые, политические и экономические гарантии, исключающие в случае неудачи наказание и стимулирующие оправданный
риск. Предприниматель должен быть уверен, что возможная
ошибка (риск) не может скомпрометировать ни его дело, ни его
имидж, так как она произошла вследствие не оправдавшего себя,
хотя и рассчитанного риска.
15
Наличие предпринимательского риска ? это, по сути дела, оборотная сторона свободы экономической, своеобразная плата за нее.
Свободе одного предпринимателя сопутствует одновременно и свобода других предпринимателей, следовательно, по мере развития
рыночных отношений в нашей стране будет усиливаться неопределенность и предпринимательский риск. Устранить неопределенность будущего в предпринимательской деятельности невозможно,
так как она является элементом объективной действительности.
Функции предпринимательского риска позволяют сделать
вывод, что, несмотря на значительный потенциал потерь, который несет в себе риск, он является и источником возможной прибыли. Поэтому основной задачей предпринимателя является не
отказ от риска вообще, а выборы решений, связанных с риском
на основе объективных критериев, а именно: до каких пределов
может действовать предприниматель, идя на риск.
Отметим, что существование риска, как неотъемлемого элемента экономического процесса, а также специфика используемых в этой сфере управленческих воздействий привела к тому,
что управление риском в ряде случаев стало выступать в качестве самостоятельного вида профессиональной деятельности.
Этот вид деятельности выполняют профессиональные институты специалистов, страховые компании, а также финансовые менеджеры, менеджеры по риску, специалисты по страхованию.
При определении сущности управленческой деятельности
сталкиваются несколько позиций. Из всего многообразия подходов выделяем два основных.
Первый характеризуется тем, что он отражает представление
о сущности управленческой деятельности как особой функции
общественного труда. Здесь акцентируется внимание на управлении как самостоятельном виде деятельности. При этом особое
место отводится «согласованию» и «координации», что подчеркивает целесообразность управленческой деятельности и многообразие ее функций. Тем самым признается системный характер
управленческой деятельности, ее сложная структура и зависимость
от противоречивого воздействия внешней среды. Такой подход
характерен для работ многих авторов.
В трудах сторонников другого подхода признается трудовой,
деятельный характер управления, включая согласование и координацию. Но сущность управленческой деятельности определя16
ется как целенаправленное воздействие на объект управления.
Здесь в центре внимания оказывается не вся деятельность по управлению, а лишь ее завершающая часть, руководство. Но при
этом в тени остается целеполагание, моделирование деятельности, экспертное обоснование решений. Такая версия при анализе
сущности управленческой деятельности во многом вписывается
в командную, центрально-управляемую экономику, когда управление приобретало смысл однонаправленного ? «сверху ? вниз» ?
действия командного характера.
С управлением риском сталкивается любой человек во всех
жизненных ситуациях. Всегда приходится предпринимать определенные меры предосторожности и решать, стоит ли рисковать
или нужно как-то уменьшить возможные опасности или убытки,
чем бы ни занимались, будь то покупка какого-то товара, торговля или производственная деятельность. Управление риском в
деловой деятельности связано с осознанием того, какие события
могут представлять, опасность и как их можно регулировать или
избежать. Для любой организации, какой бы сферой деятельности она ни занималась, управление риском означает выявление,
анализ и регулирование тех рисков, которые могут угрожать и
имуществу и доходности организации.
Управление риском ? новое для российской экономики явление, которое появилось при ее переходе к рыночной системе хозяйствования.
Управление риском ? синтетическая научная дисциплина,
которая изучает влияние на различные сферы деятельности человека случайных событий, наносящих физический и материальный ущерб.
В книге [25] рассмотрена содержательная сторона управления
риском и дается его определение: «Управление рисками ? специфическая область менеджмента, требующая знаний в области теории фирмы, страхового дела, анализа хозяйственной деятельности предприятия, математических методов оптимизации экономических задач и т.д. Деятельность предпринимателя в этой области
направлена на защиту своей фирмы от действия рисков, угрожающих ее прибыльности, и способствует решению основной задачи предпринимательства ? в зависимости от ситуации выбрать из
нескольких проектов оптимальный, учитывая при этом, что чем
прибыльнее проект, тем выше степень риска для фирмы».
17
Более развернутое определение управления риском дается в
учебнике [37]: «Управление рисками ? специальный вид менеджерской деятельности, нацеленный на смягчение воздействия
риска на результаты работы предприятия. Значение управленческих решений, с принятием которых сталкиваются менеджеры,
определяется прежде всего уровнем риска, приемлемым для фирмы. Каждая компания характерна собственными предпочтениями, связанными с риском. На основе этого выявляются риски,
которым она подвержена в процессе рыночной деятельности,
определяет, какой уровень риска приемлем, и методы, как избежать потерь, возникающих в результате действия конкретного
риска. Совокупность таких действий и представляет систему управления рисками. Это ? особая область экономики, требующая
знаний в области анализа хозяйственной деятельности предприятия, методов оптимизации решения экономических задач и т.д.
Работа менеджера по рискам нацелена на защиту фирмы от рисков, угрожающих ее доходам, и обеспечивает решение главной
задачи финансового менеджмента ? выбор из альтернативных
возможностей оптимального варианта».
Управление и риск ? взаимосвязанные компоненты экономической системы. Первое само может выступать источником второго. Особенно наглядно это проявилось на начальном этапе
трансформации российской экономики: потеря ее управляемости создала ситуацию тотального риска для предпринимательской деятельности. Восстановление макроуровней управляемости
в свою очередь требует реализации конструктивных хозяйственных потенций риска на микроуровне. На этом уровне лучшие
шансы на успех возникают тогда, когда предприниматель обладает рисковой эвристикой, способностью принимать и реализовывать нестандартные решения, гибко менять стратегию и тактику поведения в производстве, коммерции и маркетинге, находить новые ниши на рынке, «реконструировать» информацию и
т.д. Опытный предприниматель при принятии рискового решения может интуитивно пользоваться рядом подсказанных практикой подходов и приемов. Однако нельзя, разумеется, положиться только на чистую интуицию и имеющийся хозяйственный опыт. Необходимо опираться на методологию (теорию) и
научно обоснованные организационные алгоритмы управления
риском.
18
Целостной теории управления риском, или менеджмента риска, в отечественной экономической науке пока нет. Практики
истинного предпринимательства, внутренним компонентом которого является «творческий», «созидательный» риск, в российской действительности недостаточно для системного научного
обобщения. Тем не менее изучение мирового предпринимательства, зарубежных и первых отечественных теоретических разработок по предпринимательским рискам позволяет наметить пути
соответствующего поиска.
Общий концептуальный подход к управлению хозяйственным
риском заключается в: выявлении возможных последствий предпринимательской деятельности в рисковой ситуации; разработке
мер, не допускающих, предотвращающих или уменьшающих
ущерб от воздействия до конца не учтенных рисковых факторов,
непредвиденных обстоятельств; реализации такой системы адаптирования предпринимательства к рискам, при помощи которой
могут быть не только нейтрализованы или компенсированы негативные вероятные результаты, но и максимально использованы
шансы на получение высокого предпринимательского дохода.
1.1.2. Классификация рисков
Вопросы классификации рисков представляют довольно сложную проблему, что обусловлено их многообразием.
Поскольку главной задачей является оценка степени рисков,
то их классификация по вполне определенным признакам будет
полезной при решении поставленной задачи.
На наш взгляд, наиболее полной является, приведенная на
рис. 1.2, система рисков, представленная в книге [5].
По характеру последствий риски подразделяются на чистые
и спекулятивные.
Особенность чистых рисков (их иногда называют статистическими или простыми) заключается в том, что они практически
всегда несут в себе потери для предпринимательской деятельности. Их причинами могут быть стихийные бедствия, несчастные
случаи, недееспособность руководителей фирм и др.
Спекулятивные риски, которые называют также динамическими или коммерческими, несут в себе либо потери, либо дополнительную прибыль для предпринимателя. Их причинами могут
19
20
РИСКИ
Чистые риски
Природноестественные
риски
Экологические
риски
Спекулятивные риски
Транспортные Имущественные Производственные Торговые
риски
риски
риски
риски
Политические
риски
Коммерческие риски
Риски, связанные с покупательной
способностью денег
Инфляционные
и дефляционные
риски
Валютные
риски
Финансовые риски
Инвестиционные риски
Риски
ликвидности
Риски
упущенной выгоды
Процентные
риски
Риски
снижения доходности
Кредитные
риски
Риски прямых
финансовых потерь
Биржевые
риски
Риски
банкротства
Селективные
риски
Рис. 1.2. Система рисков
быть изменение курсов валют, изменение конъюнктуры рынка,
изменение условий инвестиций и др.
По сфере возникновения, в основу которой положены сферы
деятельности, различают следующие виды рисков:
• производственный риск, связанный с невыполнением предприятием своих планов и обязательств по производству продукции, товаров, услуг, других видов производственной деятельности в результате воздействия как внешней среды, так и внутренних факторов;
• коммерческий риск ? это риск потерь в процессе финансовохозяйственной деятельности; его причинами могут быть снижение объемов реализации, непредвиденное снижение объемов закупок, повышение закупочной цены товара, повышение издержек обращения, потери товара в процессе обращения и др.;
• финансовый риск возникает в связи с невозможностью выполнения фирмой своих финансовых обязательств, их причинами являются изменение покупательной способности денег, неосуществление платежей, изменение валютных курсов и т.п.
В зависимости от основной причины возникновения рисков
они делятся на следующие категории:
• природно-естественные риски ? это риски связанные с проявлением стихийных сил природы;
• экологические риски связаны с наступлением гражданской
ответственности за нанесение ущерба окружающей среде;
• политические риски ? это возможность возникновения убытков или сокращения размеров прибыли, являющихся следствием
государственной политики;
• транспортные риски связаны с перевозками грузов различными видами транспорта;
• имущественные риски ? это риски от потери имущества предпринимателя по причинам, от него не зависящим;
• торговые риски зависят от убытков по причине задержки
платежей, непоставки товара, отказа от платежа и т.п.
Большая группа рисков связана с покупательной способностью денег. Сюда относятся:
• инфляционные риски, которые обусловлены обесцениванием реальной покупательной способности денег, при этом предприниматель несет реальные потери;
• дефляционный риск связан с тем, что при росте дефляции
падает уровень цен и, следовательно, снижаются доходы;
21
• валютные риски связаны с изменением валютных курсов,
они относятся к спекулятивным рискам, поэтому при потерях
одной из сторон в результате изменения валютных курсов другая
сторона, как правило, получает дополнительную прибыль и наоборот;
• риск ликвидности связан с потерями при реализации ценных бумаг или других товаров из-за изменения оценки их качества и потребительской стоимости.
Инвестиционные риски связаны с возможностью недополучения или потери прибыли в ходе реализации инвестиционных
проектов, они включают следующие подвиды рисков:
• риск упущенной выгоды заключается в том, что возникает
финансовый ущерб в результате неосуществления некоторого
мероприятия;
• риск снижения доходности связан с уменьшением размера
процентов и дивидендов по портфельным инвестициям; он делится на процентный риск, возникающий в результате превышения процентных ставок, выплачиваемых по привлеченным средствам, над ставками по предоставленным кредитам, и кредитный
риск, возникающий в случае неуплаты заемщиком основного
долга и процентов, причитающихся кредитору;
• биржевые риски представляют собой опасность потерь от
биржевых сделок;
• селективные риски возникают из-за неправильного формирования видов вложения капиталов, вида ценных бумаг для инвестирования;
• риск банкротства связан с полной потерей предпринимателем собственного капитала из-за его неправильного вложения.
Естественно, анализ классификационных признаков, видов и
подвидов риска можно продолжить, но это в основном приведет
к очередному перечислению мнений различных исследователей и
специалистов, что не даст ответа на основной вопрос ? какой
подход, какая классификация являются основной, в какой степени она будет способствовать снижению степени риска.
Остановимся лишь на таком критерии как допустимый предел риска.
Под ним понимается величина риска в пределах его среднего
уровня по отношению к другим видам деятельности и другим
хозяйственным субъектам. Если обозначить через R ? средний
22
уровень риска в экономике, а через RD ? уровень допустимого
риска, то должно иметь место неравенство
RD < R.
(1.1.1)
Под критическим риском Rкр понимается риск, уровень которого выше среднего, но в пределах максимально допустимых значений риска Rmах, принятых в данной экономической системе для
определенных видов деятельности, т.е.
RD < Rкр < Rmax.
(1.1.2)
Катастрофический риск Rкат превышает максимальную границу риска Rmах, сложившуюся в данной экономической системе,
для него выполняется условие
Rкат > Rmax.
(1.1.3)
Ранее отмечалось, что риск как экономическая категория
представляет собой событие, которое может произойти или не
произойти. В случае совершения такого события возможны три
экономических результата: отрицательный (убыток, ущерб,
проигрыш), нулевой, положительный (прибыль, выгода, выигрыш).
Рискованная ситуация связана со статистическими процессами и ей сопутствуют три сосуществующих условия: наличие неопределенности, необходимость выбора альтернативы и возможность при этом качественной и количественной оценки вероятности осуществления того или иного варианта.
Остановимся подробнее на первом условии. Рассматривая
деятельность некоторой экономической системы, нужно учитывать, что она всегда сопряжена с неопределенностью в самых
различных сферах и на самых различных этапах ее развития.
Наличие неопределенности в деятельности экономических систем обуславливает возникновение рисков, без учета которых невозможно эффективное развитие экономики.
Условия неопределенности, имеющие место при любых видах предпринимательской деятельности обусловлены тем, что
экономические системы в процессе своего функционирования
23
испытывают зависимость от целого ряда причин, которые можно систематизировать в виде схемы неопределенностей, представленной на рис. 1.3.
Экономическая
неопределенность
Политическая
неопределенность
Природная
неопределенность
Временная
неопределенность
Виды
неопределенности
Неопределенность
внешней и внутренней
среды
Конфликтные
ситуации
Задачи
с несовпадающими
интересами
Многоцелевые
задачи
Рис. 1.3. Схема неопределенностей
По времени возникновения неопределенности распределяются на ретроспективные, текущие и перспективные. Необходимость
учета фактора времени при оценке экономической эффективности принимаемых решений обусловлена тем, что как эффект, так
и затраты могут быть распределены во времени. Равные по величине затраты, по-разному распределенные во времени, обеспечивают неодинаковый полезный результат того или иного вида
(экономический, социальный и др.)
По факторам возникновения неопределенности подразделяются на экономические (коммерческие) и политические. Экономические неопределенности обусловлены неблагоприятными изменениями в среде экономических объектов или в экономике страны, к ним относятся: неопределенность рыночного спроса, слабая
предсказуемость рыночных цен, неопределенность рыночного
предложения, недостаточность информации о действиях конкурентов и т.д. Политические неопределенности обусловлены изменением политической обстановки, влияющей на предпринимательскую деятельность. Эти виды неопределенности связаны между собой, и часто на практике их достаточно трудно разделить.
24
Природная неопределенность описывается совокупностью
факторов, среди которых могут быть: климатические, погодные
условия, различного рода помехи ( атмосферные, электромагнитные и др.).
Следующим видом является неопределенность внешней среды. При экономическом анализе предпринимательской деятельности вводятся понятия внешней и внутренней среды. Внутренняя среда включает факторы, обусловленные деятельностью самого предпринимателя и его контактами. Внешняя среда
представлена факторами, которые не связаны непосредственно с
деятельностью предпринимателя и имеют более широкий социальный, демографический, политический и иной характер.
Особый вид неопределенности имеет место при наличии конфликтных ситуаций, в качестве которых могут быть: стратегия и
тактика лиц, участвующих в том или ином конкурсе, действия
конкурентов, ценовая политика олигополистов и т.п.
Обособленную группу составляют задачи, в которых рассматриваются проблемы несовпадающих интересов и многокритериального выбора оптимальных решений в условиях неопределенности.
Наличие неопределенностей значительно усложняет процесс
выбора оптимальных решений и может привести к непредсказуемым результатам. На практике при проведении экономического
анализа во многих случаях пытаются не замечать указанное «зло»,
вызванное фактором неопределенности и действуют (принимают решение) на основе детерминированных моделей. Иначе говоря, предполагается, что факторы, влияющие на принимаемые
решения, известны точно. К сожалению, действительность часто
не соответствует таким представлениям. Поэтому политика выбора эффективных решений без учета неконтролируемых факторов во многих случаях приводит к значительным потерям экономического, социального и иного содержания.
Рассматривая неопределенность, которая является наиболее
характерной причиной риска в экономической деятельности, необходимо отметить, что выделение и изучение ее применительно
к процессу экономической, коммерческой, управленческой, финансовой и других видов деятельности является крайне необходимым, поскольку при этом отображается практическая ситуация, когда нет возможности осуществлять перечисленные виды
25
деятельности в условиях, которые не могут быть однозначно определены.
В литературе существуют различные формулировки термина
«неопределенность». Наиболее полно, по нашему мнению, эта
формулировка раскрыта в книге [42]. Неопределенность ? это
неполное или неточное представление о значениях различных
параметров в будущем, порождаемых различными причинами и,
прежде всего, неполнотой или неточностью информации об условиях реализации решения, в том числе связанных с ними затратах и результатах. Неопределенность, связанная с возможностью возникновения в ходе реализации решения неблагоприятных
ситуаций и последствий, характеризуется понятием риск.
С точки зрения вероятности выпадения событий неопределенность можно подразделить на три вида: полная неопределенность, полная определенность, частичная неопределенность.
Полная неопределенность характеризуется близкой к нулю
прогнозируемостью Рi наступления события, что математически
выражается соотношением
lim Pi = 0 ,
t ?t k
(1.1.4)
где t ? время, tk ? конечное время прогнозирования события.
Полной определенности соответствует близкая к единице прогнозированность событий, т.е.
lim Pi = 1 .
t ?t k
(1.1.5)
Это возможно прежде всего в тех случаях, когда при решении
задачи в условиях неопределенности задается с какой-то вероятностью оптимальное решение и с заранее известной вероятностью (обычно равной 0,9?0,99) находится доверительный прогнозируемый интервал, позволяющий прогнозировать не только
свою стратегию на рынке, а и его собственное поведение, тенденции развития и т.п.
Частичная неопределенность отвечает таким событиям, прогнозируемость которых лежит в пределах от 0 до 1, что определяется неравенством
0 < lim Pi < 1.
t ?tk
26
(1.1.6)
В условиях объективного существования риска и связанных с
ним финансовых, моральных и др. потерь возникает потребность
в определенном механизме, который позволил бы наилучшим из
возможных способов с точки зрения поставленных предпринимателем (фирмой) целей учитывать риск при принятии и реализации хозяйственной деятельности.
1.1.3. Процесс управления риском
Таким механизмом является управление риском (риск-менеджмент). Основные этапы процесса управления риском [44] представлены на рис. 1.4.
Анализ риска
Выявление
Оценка
Выбор методов
воздействия на риск
при сравнении
их эффективности
Принятие решения
Воздействие на риск
Снижение
Сохранение
Передача
Контроль результатов
Рис. 1.4. Общая схема процесса управления риском
Нас в первую очередь интересует оценка степени риска, т.е.
количественный анализ, предполагающий численное определение
отдельных рисков и риска проекта (решения) в целом. На этом
этапе определяются численные значения вероятности наступления
27
рисковых событий и их последствий, осуществляется количественная оценка степени риска, определяется (устанавливается) также
допустимый в данной конкретной обстановке уровень риска.
При анализе экономического риска, разделив рассматриваемую систему или экономический процесс на подсистемы, используя вербальные, математические методы, модели и приемы, экспертизы и опыт специалистов, вычислительную технику, лицо,
принимающее решение (ЛПР), может анализировать неопределенность, связанную с каждым из элементов системы. Оно может
рассматривать степень зависимости между риском и составляющими данного объекта, оценивать совокупное влияние рисков
подсистем на процесс.
В результате проведения анализа риска получается картина возможных рисковых событий, вероятность их наступления и последствий. После сравнения полученных значений рисков с предельно
допустимыми вырабатывается стратегия управления риском и на
этой основе ? меры предотвращения и уменьшения риска.
После выбора определенного набора мер по устранению и
минимизации риска следует принять решение о степени достаточности выбранных мер. В случае достаточности ? осуществляется реализация проекта (принятие оставшейся части риска), в
противном случае целесообразно отказаться от реализации проекта (избежать риска).
Основные величины оценки экономического риска связаны с
выигрышем или проигрышем, с потерей или прибылью в результате хозяйственной или предпринимательской деятельности.
Можно предположить, что теоретический способ экономической
оценки риска базируется на двух параметрах: размер возможных
потерь и их вероятность, а это означает, что нужно определить
количественную величину обеих характеристик, после чего риски становятся сравнимыми между собой.
Рассмотрим это предположение подробнее, построив на рис. 1.5
схему вероятности получения прибыли. На нем представлена кривая риска и зоны риска: допустимая r1, повышенного риска r2, и
критического риска r3 в зависимости от величины прибыли, а
также безрисковая зона, в которой не ожидается непредвиденных потерь. Кривая вероятности риска представляет собой множество точек, которые устанавливаются для каждого значения
величины возможной прибыли и соответствующей вероятности
28
Прибыль
Безрисковая
зона
r1
r2
r3
Вероятность
получения прибыли
Рис. 1.5. Схема вероятности получения определенного уровня прибыли
возникновения такой величины. Построение этой кривой является сложной задачей, поэтому следует ограничиваться упрощенными подходами, оценивая риск по наиболее важным параметрам. Кривая риска, являясь начальной стадией анализа рисковой
ситуации, наглядно показывает предпринимателю эффективные
зоны риска и дает количественную оценку рисковой прибыли,
которую желает получить предприниматель.
Роль количественной оценки экономического риска значительно возрастает, когда существует возможность выбора из совокупности альтернативных решений оптимального решения, обеспечивающего наибольшую вероятность наилучшего результата при
наименьших затратах и потерях в соответствии с задачами минимизации и программирования риска. Здесь следует выявить, количественно измерить, оценить и сопоставить элементы рассматриваемых экономических процессов, выявить и определить взаимосвязи, тенденции, закономерности с описанием их в системе
экономических показателей, что немыслимо без использования
математических методов и моделей в экономическом анализе.
Применение экономико-математических методов позволяет
провести качественный и количественный анализ экономических
явлений, дать количественную оценку значения риска и рыночной
неопределенности и выбрать наиболее эффективное (оптимальное)
решение. Математические методы и модели позволяют имитиро29
вать различные хозяйственные ситуации и оценивать последствия
при выборе решений, обходясь без дорогостоящих экспериментов.
Методы экономико-математического анализа, являясь регулятором экономической деятельности в единстве внешних и внутренних неопределенностей, обеспечивая выбор оптимальных решений, позволяют также математически анализировать, измерять
значение и возможности минимизации, программирования риска с целью наилучшего им управления на основе повышения эффективности и качества хозяйственной деятельности, сокращения неопределенности.
В качестве математических средств принятия решений в условиях неопределенности и риска будем пользоваться методами
теории математических игр, теории вероятностей, математической статистики, теории статистических решений, математического программирования.
Риск ? категория вероятностная, поэтому в процессе оценки
неопределенности и количественного определения степени риска
используют вероятностные расчеты.
Количественная оценка вероятности наступления отдельных
рисков и то, во что они могут обойтись, позволяет ЛПР выделить наиболее вероятные по возникновению и весомые по величине потерь риски, которые будут являться объектом дальнейшего анализа для принятия решения о целесообразности реализации проекта. Оценка вероятности также поможет ЛПР уяснить
практические возможности выборочных исследований и дать
прогноз будущих действий.
Применительно к экономическим задачам методы математической статистики сводятся к систематизации, обработке и использованию статистических данных для научных и практических выводов. Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях
объектов, называется статистическим. Основным элементом экономического исследования является анализ и построение взаимосвязей экономических переменных. Изучение таких взаимосвязей осложнено тем, что они не являются строгими, функциональными зависимостями. Бывает достаточно трудно выявить все
основные факторы, влияющие на данную переменную (например, прибыль, риск), многие такие взаимодействия являются случайными, носят неопределенный характер, и число статистических наблюдений является ограниченным. В этих условиях мате30
матическая статистика (то есть теория обработки и анализа данных) позволяет строить экономические модели и оценивать их
параметры, проверять гипотезы о свойствах экономических показателей и формах их связи, что в конечном счете служит основой для экономического анализа и прогнозирования, создавая
возможность для принятия обоснованных экономических решений. Теория вероятностей играет важную роль при статистических исследованиях вероятностно-случайных явлений. Здесь в полной мере находят применение такие основанные на теории вероятностей разделы математической статистики как статистическая
проверка гипотез, статистическое оценивание распределений вероятностей и входящих в них параметров и др.
Методы принятия решений в условиях риска также разрабатываются и обосновываются в рамках так называемой теории статистических решений. Суть статистического метода, как уже указывалось, заключается в том, что анализируется статистка потерь и прибылей, имевших место на данном или аналогичном предприятии
(экономическая ситуация), устанавливается величина и частость
получения того или иного экономического результата и составляется наиболее вероятный прогноз на будущее. Недостатком статистического подхода к измерению риска является тот факт, что он
основывается на имеющихся статистических данных прошлых периодов, в то время как оценка риска относится к будущим событиям. Это снижает ценность данного подхода в условиях быстро меняющейся экономической обстановки. В то же время достоинством
данного подхода к измерению риска является его объективность.
Экономико-математические задачи, цель которых состоит в
нахождении наилучшего с точки зрения некоторого критерия (или
критериев) варианта использования имеющихся ресурсов (труда,
капитала, и пр.), называются оптимизационными. Оптимизационные задачи решаются, как правило, методами математического программирования. Необходимым условием использования
оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно-хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации и составляют в основном повседневную практику
хозяйствующего субъекта (выбор оптимального ассортимента
производственной программы, прикрепление к поставщикам,
составление портфеля ценных бумаг, вложение инвестиций в оптимальный проект, маршрутизация, раскрой материалов и т.д.).
31
1.1.4. Влияние факторов
рыночного равновесия
на изменение экономического риска
Рассмотрим некоторые характерные факторы, определяющие
неопределенность рыночной экономики. К этим факторам относятся: учет времени при экономических расчетах, неопределенность
рыночного спроса, слабая предсказуемость рыночных цен, неопределенность рыночного предложения, недостаточность информации
о действиях конкурентов и т.д. Считается, что вероятностные характеристики указанных факторов являются неизвестными.
Одним из основных в рыночной экономике является принцип
сопоставления спроса и предложения. Экономическая модель
спроса и предложения направлена на то, чтобы объяснить соотношение цены и количества товаров, обмениваемых на рынке за
определенный период. Рыночное равновесие в этой модели существует тогда, когда нет тенденции к изменению рыночной цены
или количества продаваемых товаров. В условиях инфляции также существует рыночное равновесие, лишь с тем отличием, что
точка равновесия периодически меняет свои координаты. В рыночной системе хозяйствования формируется сбалансированность
и стабильность, которые являются одним из важнейших условий
достижения большей определенности, что можно рассматривать
как внешний фактор ограничения коммерческого риска.
Являясь новым для российской экономики, фактор рыночного равновесия заслуживает пристального внимания при рассмотрении его связи с риском.
Учет фактора времени при экономических расчетах обусловлен тем, что при оценке экономической эффективности принимаемых решений как эффект, так и затраты могут быть распределены во времени. Так, при создании сложных объектов (промышленные предприятия, гидросооружения, прокладка газопроводов
и др.) их проектирование и строительство ведется несколько лет.
При этом точное определение затрат и получаемых полезных
результатов в течение нескольких лет практически невозможно.
В данной ситуации возникает необходимость учета фактора времени при определении капитальных вложений и расходов, связанных с проектированием, созданием и эксплуатацией новой
техники и прогрессивных технологий.
32
С учетом фактора времени можно решать следующие задачи:
1. Прогнозирование затрат и результатов.
2. Определение распределенных во времени затрат и результатов в любой момент времени.
3. Определение коэффициента дисконтирования (нормы доходности, процентной ставки) при известных начальных и будущих затратах и результатах.
Влияние фактора времени следует учитывать, исходя из двух
точек зрения:
1. Из-за наличия инфляционных процессов, связанных с обесцениванием денег, необходимо учитывать покупательную способность денег, которая является различной в различные моменты времени при равной номинальной стоимости.
2. Из-за обращения денежных средств в виде капитала и получения дохода с оборота, ибо один и тот же капитал, имеющий большую скорость оборота, обеспечит большую величину дохода.
Ясно, что спрос на товар и предложение как значимые
факторы, изменяющие риск, зависят от цен, доходов потребителей. Поэтому при анализе изменений степени риска могут
потребоваться исследования зависимости интенсивности, роста
или снижения предложения и спроса от изменения других факторов. Для этих исследований удобно использовать понятие эластичности.
На изменение рыночного равновесия и связанную с ним величину риска влияет фактор налогообложения, который следует
отнести к категории неуправляемых внешних факторов.
Эластичность можно применять и к анализу ценовых последствий налоговых изменений. С одной стороны, высокие налоговые ставки ведут к тому, что работать много и хорошо зарабатывать становится невыгодно, а, с другой стороны, низкие налоговые ставки сокращают доходы госбюджета. Для разрешения
этой дилеммы необходимо определить оптимальные размеры
налогового обложения населения, что является чрезвычайно сложной задачей, поскольку налоги изменяются в зависимости от политического и экономического положения в стране.
Исследования показывают, что увеличение налоговой ставки, эквивалентное увеличению цены облагаемого налогом товара, может привести как к увеличению налоговых поступлений в
бюджет, так и к их уменьшению в зависимости от эластичности.
33
Мировая практика убедительно доказала, что для усиления
стимулирования приоритетных направлений развития производства, оптимизации его структуры и роста эффективности важное
значение имеет применение продуманной системы налоговых льгот
при обеспечении равного подхода ко всем предприятиям либо
определенным их группам, но не конкретному плательщику.
В условиях рыночной экономики налоговые ставки и льготы
весьма часто подвергаются корректировке. К сожалению, эти корректировки не содержат необходимых научно обоснованных решений. Поэтому к изменениям и дополнениям, внесенным в налоговые ставки и льготы, на предприятиях, объединениях и в
организациях относятся негативно. Реализация изменений и дополнений налоговых ставок и льгот на практике неудовлетворительная.
1.2. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ОЦЕНКИ
ЭКОНОМИЧЕСКОГО РИСКА
В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Риск это сложное явление, характеристиками которого является: неизвестность (неопределенность) будущих результатов, вероятность отрицательных результатов деятельности, их величина, а также значимость для принимающего решение.
Риск является объективным явлением, природа которого обусловлена недетерминированностью (неоднозначностью) событий
будущего. Он связан с ущербом, потерей, упущенной возможностью. Когда наступает ущерб, потеря, происходит практическое
проявление риска. До этого риск остается гипотетической опасностью.
Хотя будущее принципиально не предсказуемо, ожидаемые
события можно предвидеть с той или иной погрешностью (часто
низкой) в зависимости от того, какова природа событий: вероятностная или неопределенная.
Неопределенность можно охарактеризовать как множество
состояний внутренней и внешней среды. При реализации цели
всегда необходимо осуществлять поиск единственного наилучшего (в каком-нибудь смысле) решения на заранее заданном их
множестве. Основная трудность состоит в том, что последствия,
34
связанные с принятием того или иного решения, зависят от неизвестной ситуации. Степень неприемлемости этих последствий
измеряется в условных единицах ? потерях, которые, по предположению, может понести лицо, принимающее решение (ЛПР).
Неопределенность привносит риск. Это ? одно из важнейших
понятий, сопутствующих любой активной деятельности человека. Вместе с тем это одно из самых неясных, многозначных и
запутанных понятий. Однако, несмотря на его неясность, многозначность и запутанность, во многих ситуациях суть риска очень
хорошо понимается и воспринимается. Эти же качества риска
являются серьезной преградой для его количественной оценки,
которая во многих случаях необходима и для развития теории и
на практике.
Практически для любой операции, связанной с экономической деятельностью, начальное и конечное состояния имеют денежную оценку и цель ее проведения, естественно, заключается в
максимизации прибыли ? разности между конечной и начальной
оценками (или какого-нибудь подобного показателя).
Как правило, подобные операции, особенно финансовые, проводятся в условиях неопределенности и поэтому их результаты
невозможно предсказать заранее. Эти операции рискованны: при
их проведении возможны как прибыль, так и убыток (или не очень
большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию). Операция является рискованной, если она
может иметь несколько не равноценных исходов. Лицо, принимающее решение, конечно, заинтересовано в успехе операции и
является за нее ответственным.
Для примера рассмотрим три возможные операции с одним и
тем же множеством двух исходов ? альтернатив Е1 и Е2, которые
характеризуют доходы, получаемые ЛПР.
О1 :
О2 :
О3 :
Е1
| ?6|
| ? 12 |
|
9 |
Е2
| ? 20 |
| ? 40 |
| 15 |
Все эти операции рискованные. В первой и второй операциях
возможны убытки (они со знаком минус), в третьей операции
можно получить доход в размере 15 единиц, поэтому возмож35
ность получения дохода в 9 единиц рассматривается как неудача,
как риск недобрать 6 единиц дохода.
Видовое разнообразие рисков и способов их выражения достаточно большое. Однако какова бы ни была форма выражения
риска, обусловленного неопределенностью экономической ситуации, содержание его составляет отклонение фактически установленных данных от типичного, устойчивого, среднего уровня
или альтернативного значения оцениваемого признака.
Понятно, что риск обязательно предполагает рискующего ?
того, к кому этот риск относится, кто озабочен результатом операции. Сам риск возникает только, если операция может окончиться исходами не равноценными для него, несмотря на, возможно, все его усилия по управлению этой ситуацией.
Достаточно часто решения приходится принимать в условиях
неопределенности, то есть в таких, когда или процесс выполнения
операции является, неопределенным, или нам сознательно противодействует противник, или нет ясных и четких целей операции.
В целом ряде экономических задач приходится анализировать
ситуации, в которых необходимо принимать решения в условиях
неопределенности, то есть, например, возникают ситуации, в которых сталкиваются интересы двух или более конкурирующих
сторон, каждая из которых преследует свою цель, причем результат любого мероприятия каждой из сторон зависит от того, какие действия предпримет противник. Такие ситуации называют
конфликтными. Научно обоснованные методы решения задач с
конфликтными ситуациями дает теория игр.
Нас интересуют так называемые игры с природой, применяемые для анализа экономических ситуаций, оценки эффективности принимаемых решений и выбора наиболее предпочтительных
альтернатив, в которых риск связан с совокупностью неопределенных факторов окружающей среды, именуемых «природа».
Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную
действительность, которую не всегда следует понимать буквально, хотя вполне могут встречаться ситуации, в которых игроком
действительно может выступать природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).
В играх с природой как и в стратегических играх создание
модели должно начинаться с построения платежной матрицы.
36
Это наиболее трудоемкий и ответственный этап подготовки принятия решения, так как ошибки в платежной матрице не могут
быть компенсированы никакими вычислительными методами и
могут привести к неверному итоговому результату.
Отличительная особенность игры с природой состоит в том,
что в ней сознательно действует только один из участников, в
большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа)
сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не
имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий
очередные «ходы» партнер по игре.
Методы принятия решений в играх с природой зависят от
того, известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или неопределенности.
Предположим, что построена следующая платежная матрица
игры с природой
П1 П2
?
?
? Р1 e11 e12
E = ? Р2 e21 e22
? ...
...
...
?
? Рm em1 em2
... П n
... e1n
... e2 n
...
...
... emn
(1.2.1)
Здесь игрок 1 имеет m возможных ситуаций Р1, Р2, ..., Рm, а у
природы имеется n возможных состояний (стратегий) П1, П2, ..., Пn.
Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или
совокупность сторон, влияющих на принятие решений игроком
1 и объединенных в понятие «природа»).
Можно задавать матрицу игры с природой и в виде так называемой матрицы рисков R = rij
или матрицы упущенных воз-
можностей. Величина риска ? это размер платы за отсутствие
достаточной информации о состоянии среды. Матрицу R строим
на основе матрицы выигрышей E = eij .
Риском rij игрока при использовании им стратегии Рi и при
состоянии среды Пj будем называть разность между выигрышем,
который игрок получил бы, если бы он знал, что состоянием среды будет Пj, и выигрышем, который игрок получит, не имея этой
информации.
37
Зная состояние природы (стратегию) Пj игрок выбирает ту
стратегию, при которой его выигрыш максимальный, т.е.
rij = ? j ? eij ,
(1.2.2)
где ? j = max eij при заданном j.
1? i ? m
Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую
стратегию игрока, которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими.
1.2.1. Критерии оптимальности
в условиях полной неопределенности
Неопределенность, связанную с отсутствием информации о
вероятностях состояний среды (природы), называют «безнадежной» или «дурной».
В таких случаях для определения наилучших решений используются следующие критерии:
• критерий гарантированного результата (максиминный критерий Вальда) ? это пессимистический по своей сути критерий,
потому что принимается во внимание только самый плохой из
всех возможных результатов каждой альтернативы. Этот подход
устанавливает гарантированный минимум, хотя фактический результат может и не быть настолько плохим;
• критерий оптимизма (критерий максимакса) соответствует
оптимистической наступательной стратегии; здесь не принимается во внимание никакой возможный результат, кроме самого
лучшего;
• критерий пессимизма характеризуется выбором худшей альтернативы с худшим из всех худших значений окупаемости;
• критерий минимаксного риска Сэвиджа можно рассматривать как критерий наименьшего вреда, который определяет худшие возможные последствия для каждой альтернативы и выбирает альтернативу с лучшим из плохих значений;
• критерий обобщенного максимина (пессимизма ? оптимизма) Гурвица позволяет учитывать состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. В определенных обстоятельствах каждый из этих методов имеет свои достоинства и недостатки, которые могут помочь в выработке решения.
38
При сравнительном анализе критериев эффективности нецелесообразно останавливаться на выборе единственного критерия,
так как в ряде случаев это может привести к неоправданным решениям, ведущим к значительным потерям экономического, социального и иного содержания. Поэтому в указанных ситуациях
имеется необходимость применения нескольких критериев в совокупности. Например, наряду с критерием гарантированного
результата может быть использован критерий Сэвиджа, критерий оптимального поведения может дополняться применением
пессимистического критерия и т.д.
Применение различных критериев эффективности для различных задач выбора оптимальных решений в условиях неопределенности показывает, что подход, базирующийся на комплексном применении указанных критериев, может стать определяющим.
Изложение начнем с критерия гарантированного результата.
Его также называют максиминным критерием Вальда. Сущность
данного критерия заключается в следующем. ЛПР располагает
множеством стратегий (вариантов, альтернатив) решения проблемы: P = {Pi }, i = 1, m .
Указанные стратегии считаются контролируемыми (управляемыми) факторами. Наряду с управляемыми факторами действуют факторы, которые не поддаются контролю. Обозначим их
{ }
через П = П j , j = 1, n .
В качестве Рi могут быть: технические параметры проектируемых систем, экономические показатели состояния предприятия,
различные варианты решения поставленных задач и т.п.
Факторы Пj представляют: уровень спроса на товары, предлагаемые фирмой, рыночные цены, условия эксплуатации
технических и производственных систем, действия конкурентов и т.д.
Для оценки эффективности принимаемых решений вводим показатель эффективности Е и считаем, что функция Е(Р, П) является известной. Так как факторы Р и П, по предположению, дискретные, то и эффективность Е также представляет собой множество
дискретных чисел. Таким образом, каждой точке контролируемых
и неконтролируемых факторов (Рi , Пj) ставится в соответствие
39
значение эффективности Е(Рi , Пj). Следовательно, можно построить матрицу Е = еij , которая представлена в виде табл. 1.1
Т а б л и ц а 1.1
Матрица эффективности
Пj
П1
П2
?
Пn
min eij
Р1
e11
e12
?
e1n
e(Р1, П)min
Р2
e21
e22
?
e2n
e(Р2, П)min
?
?
?
?
?
?
Рm
em1
em2
?
emn
e(Рm, П)min
Рi
j
Для каждого контролируемого фактора Рi (строки) находится min e( Pi , П j ), в результате чего определяется набор значений
1? j ? n
показателя эффективности е(Р1, П)min, е(Р2, П)min, ..., е(Рm, П)min.
Сравнивая полученные величины, выбирают управляемый фактор РГ ? Р, при котором обеспечивается максимальное значение
Е(Р, П).
Таким образом, критерий гарантированного результата (максиминный критерий Вальда) записывается в виде
E Г = max min Е ( Р, П ) = max
i
j
1? m?i
(1.2.3)
Данный критерий обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимальных
потерь, которые могут быть при реализации одной из стратегий.
Критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ориентирует принимающего решение на слишком осторожную линию
поведения. Величина, соответствующая максимальному критерию,
называется нижней ценой игры, под которой следует понимать
максимальный выигрыш, гарантируемый в игре с данным противником выбором одной из своих стратегий при минимальных результатах. Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма,
рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но
хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.
40
В ряде экономических задач в качестве критерия эффективности принимаемых решений выступает показатель минимума
затрат. В этих ситуациях принцип гарантированных затрат формулируется в виде
ЗГ = min max Зij .
i
j
(1.2.4)
В качестве затрат З = Зij могут выступать: капитальные вложения, валовые издержки производства, приведенные годовые
затраты и другие показатели.
При использовании критерия оптимизма, называемого также критерием максимакса, ЛПР ориентируется на то, что условия функционирования анализируемых систем будут для него
наиболее благоприятными. Вследствие этого оптимальным решением является стратегия, приводящая к получению наибольшего значения критерия оптимальности в платежной матрице.
Этот критерий целесообразно применять в тех случаях, когда
имеется принципиальная возможность повлиять на функции противоположной стороны.
Если анализируется матрица эффекта Е(Р, П) того или иного
вида, то выбор управляемых факторов осуществляется таким
образом, чтобы обеспечить максимум эффекта. И в этом случае
критерий оптимизма записывается в виде
Eо = max max E ( P, П ) = max m
i
j
1?i ? m 1
(1.2.5)
Если рассматривается матрица затрат, то управляемые факторы
выбираются так, чтобы минимизировать указанные затраты. Тогда
рассматриваемый критерий формируется следующим образом
Зо = min min З ( Р , П ) = min mi
i
j
1?i ? m 1? j ?
(1.2.6)
Отметим, что ситуации, требующие применения критерия
оптимизма, в экономике в общем нередки и пользуются им не
только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в
безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться
принципом «или пан, или пропал».
41
В отличие от критерия оптимизма, когда ЛПР ориентируется
на наиболее благоприятную внешнюю среду, которая является
неконтролируемой, и на оптимальное использование управляемых факторов, при использовании принципа пессимизма предполагается, что управляемые факторы могут быть использованы
неблагоприятным образом
En = min min Е ( Р, П ) = min m
i
j
1?i ? m 1? j
(1.2.7)
где Е(Р, П) ? функция эффективности принимаемых решений.
Применение этого принципа может вызывать некоторое сомнение, если учесть, что факторы Р являются контролируемыми
и их следует использовать оптимальным в том или ином смысле
образом. Однако, в реальных ситуациях в ряде задач может оказаться невозможным контролировать факторы, принадлежащие
множеству Р. Особенно это относится к задачам, связанным с
необходимостью учета фактора времени.
К этим задачам можно отнести следующие: социально-экономическое прогнозирование; долгосрочное планирование; проектирование сложных объектов и др.
Например, издержки производства являются контролируемыми факторами на коротких временных интервалах. Однако,
при анализе длительных процессов, которые составляют несколько лет, некоторые элементы указанных издержек становятся
неконтролируемыми. К таким элементам можно отнести: стоимость электроэнергии, стоимость материалов и покупных изделий и т.п.
Другим примером является определение объемов производства продукции предприятия. Данный показатель также можно
считать управляемым фактором. Но он зависит от различных
факторов, которые могут существенным образом применяться в
процессе производства. При этом указанные факторы относятся
к внутренней среде предприятия: уровень конструкторской и технологической подготовки производства, тип используемого оборудования, квалификация работающих и пр.
Для анализа матрицы затрат критерий пессимизма запишется как
Зn = max max З ( Р , П ) = max m
i
42
j
1? i ? m 1
(1.2.8)
При использовании вышеперечисленных критериев возможны ситуации, когда неконтролируемые факторы будут действовать более благоприятным образом по сравнению с наихудшим
состоянием, на которое ориентировалось ЛПР. Например, погодные условия оказываются более благоприятными по сравнению с прогнозируемыми. Количество конкурентов на тех или
иных рынках оказывается существенно меньше по сравнению с
теми ожиданиями, на которые ориентировались производители.
В подобных ситуациях полезный результат может значительно отличаться от того, который обеспечивается при реализации
критерия гарантированного результата или критерия пессимизма.
Поэтому возникает необходимость определения возможных
отклонений полученных результатов от их оптимальных значений. Здесь находит применение критерий Сэвиджа. Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем
отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей
Е, а матрицей рисков R, построенной по формуле (1.2.2).
Критерий Сэвиджа формулируется следующим образом
E rc = min max R( Р, П ) = min m
i
j
(1.2.9)
1? i ? m 1
Сущность этого критерия в стремлении избежать большого
риска при выборе решения. Таким образом, критерий Сэвиджа
минимизирует возможные потери. Основным исходным допущением этого критерия является предположение о том, что на наступление вариантов обстановки оказывают влияние действия разумных
противников (природы), интересы которых прямо противоположны интересам ЛПР. Поэтому, если у противников (конкурентов)
имеется возможность извлечь какие-либо преимущества, то они это
обязательно сделают. Это обстоятельство заставляет ЛПР обеспечить минимизацию потерь вследствие этих действий.
Критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма)
Гурвица позволяет учитывать комбинации наихудших состояний.
Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние
между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.
В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения определяется линейная комбинация минимального и
максимального выигрышей Еi = {k min eij + (1 ? k ) max eij } и пред1? j ? n
1? j ? n
43
почтение отдается варианту решения, для которого окажется
максимальным показатель Еi, т.е.
Еiг = max{k min eij + (1 ? k ) ma
1? j ? n
1?i ? m
(1.2.10)
1? j ?
где k ? коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (0 ? k ? 1).
При k = 0 критерий Гурвица совпадает с максимальным критерием, т.е. ориентация на предельный риск, так как больший
выигрыш сопряжен, как правило, с большим риском. При k = 1 ?
ориентация на осторожное поведение. Значения k между 0 и 1
являются промежуточными между риском и осторожностью и
выбираются в зависимости от конкретной обстановки и склонности к риску ЛПР.
Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид
Еrг = min{k max rij + (1 ? k ) min
1?i ? m
1? j ? n
(1.2.11)
1? j ?
Сведем все критерии оптимальности в табл. 1.2.
Т а б л и ц а 1.2
Таблица коэффициентов оптимальности
Показатель
Формула
Название
Наибольшая
осторожность
Е г = max min eij
Критерий гарантированного результата (Вальда)
Наименьшая
осторожность
Е 0 = max max eij
Критерий оптимизма
Крайняя
осторожность
Еn = min min eij
Критерий пессимизма
Минимальный
риск
Е rc = min max rij
Критерий Сэвиджа
Компромисс
в решении
Еiг = max{k min eij +
Критерий Гурвица
j
i
i
j
i
j
i
j
1?i ? m
1? j ? n
+ (1 ? k ) max eij }
1? j ? n
(0 ? k ? 1)
или
Еrг = min{k max rij +
1? i ? m
1? j ? n
+ (1 ? k ) min rij }
1? j ? n
44
Критерий Гурвица относительно матрицы рисков
1.2.2. Выбор решения в зависимости
от критериев эффективности
По числу критериев оценки альтернатив выделяют одно- и
многокритериальные задачи принятия решения (ЗПР). Принципиальная разница между этими двумя классами задач состоит в
том, что в условиях многокритериальности возникает проблема
соизмерения, совокупного учета требований разных критериев,
которая в отличие от задачи упорядочения альтернатив одному
единственному критерию не может быть решена формальным
путем и требует обращения к ЛПР, организации взаимодействия
с ним в процессе решения задачи диалога между человеком и
компьютером.
В специальной литературе можно встретить термин «методы
решения многокритериальных задач», иногда говорят даже о
методах «преодоления» многокритериальности. Необходимо
иметь в виду, что какого-либо формального математического
метода «преодоления» многокритериальности не может быть в
принципе. Все без исключения методы решения многокритериальных задач представляют собой различные способы организации взаимодействия (диалога) с ЛПР и по существу отличаются
друг от друга формой вопросов, которые задаются лицу, принимающему решение, в процессе диалогового взаимодействия с ним
компьютерной программы.
По числу лиц, принимающих решение, различают задачи индивидуального и группового выбора, иначе говоря, задачи с индивидуальным и групповым ЛПР. В особую группу выделяются
задачи, в которых возникает проблема интеграции мнений разных участников группового ЛПР. Для этого используются различные схемы «голосования», а также менее демократические процедуры, предполагающие наличие так называемого «диктатора».
По кратности решения ЗПР разделяют на уникальные и повторяющиеся (типовые). Если ЗПР относится к классу повторяющихся, при оценке целесообразности затрат времени и средств
на разработку формальной процедуры ее решения (скажем, компьютеризированной) учитывают как прямой эффект ? качество
решения, так и косвенный ? сокращение затрат на выработку
решения. Если же речь идет об уникальной задаче, весь полезный эффект от использования формального алгоритма будет ско45
рее всего получен за счет повышения качества решения. Следует
различать кратность решения задачи и кратность использования
результатов решения. Есть задачи, которые решаются однократно, но результаты решения их используются многократно.
Кратность использования результатов предопределяет, в какой форме может формулироваться критерий оптимальности решения. Особенно это относится к условиям риска. Если результат решения используется многократно, возможно применение в
качестве критерия оценки показателей среднего эффекта (средних ожидаемых затрат, выручки и т.п.). Если же результат используется однократно, то средняя величина эффекта не дает
никакого представления о том, что будет при однократной реализации решения. Более того, кратность реализации решения
предопределяет класс стратегий, в котором можно искать решение задачи. При многократной реализации возможно использование так называемых смешанных стратегий, т.е. стратегий, предусматривающих смешивание в определенной пропорции тех или
иных действий. При этом в какой-то доле ситуаций применяется
один вариант действия, в другой доле ? иной. Совершенно ясно,
что апеллирование к таким смешанным стратегиям в случае однократной реализации решения задачи бессмысленно.
Наличие нескольких критериев выбора эффективных альтернатив вносит дополнительную неопределенность при принятии
наиболее предпочтительных решений.
Таким образом, имеет место неопределенность двух видов:
1) обусловленная отсутствием или недостатком информации
об анализируемых процессах;
2) причиной которой является наличие нескольких принципов оптимальности.
Пусть при выборе эффективных решений при наличии неуправляемых факторов используется множество критериев оптимальности G = {Gi }, i = 1, m . Составляющими Gi могут быть критерии: гарантированного результата, Сэвиджа, пессимизма и т.д.
Критерии Gi являются функцией управляемых P = {Pi }, i = 1, m
и неуправляемых факторов П = П j , j = 1, n .
Располагая множеством критериев G = {G (Pi, Пj)}, необходимо выбрать эффективное решение с учетом указанной совокупности решений.
{ }
46
Проиллюстрируем выбор эффективного решения на примере
определения оптимальной стратегии производства.
Компания производит продукцию определенного ассортимента и осуществляет ее сбыт по четырем каналам:
• ежемесячный объем продукции с устойчивыми связями по
сбыту на ряд лет в среднем составляет 490 000 у.е.;
• ежемесячный объем продукции с устойчивым сбытом, но не
на длительный срок ? 500 000 у.е.;
• ежемесячный объем продукции обеспечен только разовыми
закупками ? 510 000 у.е.;
• месячная продукция, покупатель на которую не определен ?
480 000 у.е.
Компания может осуществлять производство продукции по
трем проектам в объемах 980 000 у. е., 150 0000 у. е. и 1 980 000 у. е.
Требуется выбрать оптимальную стратегию производства.
В зависимости от изменений рыночной конъюнктуры в связи
с имеющимися возможностями реализации рассчитаны варианты среднегодовой прибыли, которые представлены в виде матрицы платежеспособного спроса (табл. 1.3.), с учетом ожидаемого значения потерь в случае неудачного исхода, связанных, например, с хранением нереализованной продукции как следствия
неиспользованных возможностей, нерационального распределения инвестиций, снижения оборачиваемости оборотных средств,
порчей, либо другими причинами.
При построении платежной матрицы первостепенную важность имеют пропорции исходных и результативных показателей,
поскольку вызванные инфляционными процессами изменения цен,
Т а б л и ц а 1.3
Анализ коммерческой стратегии
при неопределенной конъюнктуре
Объем
производства
Размер прибыли в зависимости
от колебания спроса
max eij
j
j
П1
П2
49 300
197 200
197 200 197 200
49 300
197 200
Р2 = 1 500 000
? 60
148 900
297 800 297 800
? 60
297 800
Р3 = 1 980 000
? 1140
98 400
196 800 393 600
? 1140
393 600
Р1 = 980 000
П3
min eij
П4
47
оказывая влияние на абсолютные величины, не изменяют их пропорциональных соотношений. Это позволяет использовать данную методику в условиях инфляции без дополнительных расчетов.
Контролируемыми параметрами являются объем производства и им соответствуют три стратегии Р1, Р2, РЗ. Неопределенность Пj, связана с колебаниями спроса на продукцию предприятия и ей отвечают четыре стратегии: П1 ? низкая зависимость от
изменений рыночной конъюнктуры, П2 ? средняя зависимость,
П3 ? зависимость от изменения конъюнктуры высокая, П4 ? зависимость от изменений конъюнктуры абсолютная.
Матрица платежеспособного спроса Е и ее матрица рисков R
имеют вид
?49 300 197 200 197 200 197 200
0
0 100 600 196 400
?
49 360 48 300
0
95 800
E = ? ?60 148 900 297 800 297 800
?? ?1140 98 400 196 800 393 600
50 440 98 800 101 000
0
?
Определяем критерии оптимальности
Еr = 49 300, Е0 = 393 600, Еn = ? 1140,
Еrс = 95 800, ЕiГ = 147 756, ЕrГ = 57 480
при k = 0,6. ЕiГ отвечает стратегии Р3, а ЕrГ ? стратегии Р2. Следовательно, стратегия Р3 отвечает трем критериям, а стратегия
Р2 ? двум критериям эффективности. Поскольку стратегия Р3 фигурирует в качестве оптимальной три раза, то ее можно рекомендовать к практическому применению.
При рассмотрении платежных матриц больших размерностей (т Ч п ? большое) можно быстро, не проводя громоздких вычислительных операций, оценить предлагаемые варианты решений и выбрать из них оптимальный. В этом заключается наиболее существенное преимущество теории оптимальных критериев.
Также следует отметить, что имеются стандартные программы
для персональных компьютеров, с помощью которых можно исследовать платежные матрицы и находить соответствующие критерии оптимальности.
В случае отсутствия информации о вероятностях состояний
среды теория может не дать однозначных и математически строгих рекомендаций по выбору критериев принятия решений. Это
объясняется в большей мере не слабостью теории, а неопределенностью самой ситуации. Единственный разумный выход в
48
подобных случаях ? попытаться получить дополнительную информацию, например, путем проведения исследований или экспериментов. В отсутствие дополнительной информации принимаемые решения теоретически недостаточно обоснованы и в значительной мере субъективны. Хотя применение математических
методов в играх с природой не дает абсолютно достоверного
результата и последний в определенной степени является субъективным (вследствие произвольности выбора критерия принятия
решения), оно тем не менее создает некоторое упорядочение имеющихся в распоряжении ЛПР данных: задаются множество состояний природы, альтернативные решения, выигрыши и потери
при различных сочетаниях состояния «среда ? решение». Такое
упорядочение представлений о проблеме само по себе способствует повышению качества принимаемых решений.
Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятности Рj того, что реальная ситуация развивается по варианту j.
Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Тогда решение можно принимать, в частности, по правилу
максимизации среднего ожидаемого дохода.
Пусть прибыль, получаемая компанией при реализации i-го
решения, является случайной величиной Еi с рядом распределения:
Еi
еi1
ei2
?
ein
.
Pi
P1
P2
?
Pn
Математическое ожидание M[Ei] и есть средняя ожидаемая
прибыль, обозначаемая также Ei . Итак, правило рекомендует
принять решение, приносящее максимальную среднюю ожидаемую прибыль.
Предположим, что в рассматриваемом примере вероятности
1 1 1 1
равны: , , , . Тогда
6 4 4 3
1
1
E1 = 49300 ? + 197200 ? + 1972
6
4
1
1
E 2 = ?60 ? + 148900 ? + 29780
6
4
1
1
E 3 = ?1140 ? + 98400 ? + 1968
6
4
49
Максимальная средняя ожидаемая прибыль равна
2
E2 = 210931 и соответствует стратегии компании Р2.
3
Далее рассмотрим выбор решения по правилу минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации
i-го решения является случайной величиной Ri, с рядом распределения:
Ri
ri1
ri2
?
rin
Pi
P1
P2
?
Pn
.
Математическое ожидание M[Ri] и есть средний ожидаемый
риск, обозначаемый также Ri . Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.
Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше
вероятностях для матрицы рисков R. Получаем:
1
1
1
+ 0 ? + 100600 ? +
6
4
4
1
1
R2 = 49360 ? + 48300 ? + 0 ?
6
4
1
1
R1 = 50440 ? + 98800 ? + 101
6
4
R1 = 0 ?
Минимальный средний ожидаемый риск равен R2 = 52235 и
соответствует стратегии компании Р2.
Отличие частичной (вероятностной) неопределенности от
полной очень существенно. Как указывалось выше, принятие решений, исходя из критериев оптимальности, нельзя считать окончательным, самым лучшим. Это лишь некоторые предварительные соображения. Далее пытаются получить дополнительную
информацию о возможностях того или иного варианта решения,
о его вероятности, что уже предполагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия решений: то ли это было в прошлом,
то ли это будет в будущем.
Итак, в рассмотренном примере была получена оптимизационная двухкритериальная задача по выбору наилучшего решения, так как каждое решение имеет две характеристики ? среднюю ожидаемую прибыль и средний ожидаемый риск. Существует
несколько способов постановки таких оптимизационных задач.
50
1.3. ПРИНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНОГО
РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ
ЭКОНОМИЧЕСКОГО РИСКА
1.3.1. Вероятностная постановка
принятия предпочтительных решений
Риск ? категория вероятностная, поэтому вероятностные задачи характеризуются тем, что эффективность принимаемых решений зависит не только от детерминированных факторов, но и
от вероятностей их появления, т.е. известен закон распределения
управляемых факторов X в виде
x
x1
x2
?
xn
P
P1
P2
?
Pn
где Pi есть вероятность появления управляемого фактора xi,
i = 1, n .
Каждой паре (xi, Pi) соответствует значение функции эффективности Е(xi, Pi). В качестве показателей эффективности могут выступать математическое ожидание Е, дисперсия D, среднее квадратическое отклонение и другие вероятностные характеристики.
E=
? x p , D = ? = ? (x
V =±
i
i
?
? 100%,
E
2
i
?
(3.1.1)
где X 2 ? среднее ожидаемое значение квадрата рассматриваемой величины.
Средняя величина Е представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принять решение в
пользу какого-либо варианта вложения капитала.
Среднее квадратическое отклонение ? является именованной
величиной и указывается в тех же единицах, в каких измеряется
варьирующий признак. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мерами абсолютной колеблемости.
Дисперсия не дает полной картины линейных уклонений
?Х = X ? Е, более наглядных для оценивания рисков. Тем не
51
менее, задание дисперсии позволяет установить связь между линейным и квадратичными отклонениями с помощью известного
неравенства Чебышева.
Вероятность Р того, что случайная величина X отклоняется
от своего математического ожидания больше, чем на заданный
допуск ? > 0, не превосходит ее дисперсии, деленной на ?2, т.е.
P( X ? E > ? ) ?
D
.
?2
(1.3.2)
Отсюда видно, что незначительному риску по среднеквадратическому отклонению соответствует малый риск и по линейным отклонениям: точки X с большой вероятностью будут располагаться внутри ? ? окрестности ожидаемого значения Е.
Все более признанным становится оценка рискованности посредством среднего квадратического отклонения ?.
Итак, будем считать, что риском операции называется число
? ? среднее квадратическое отклонение управляемого фактора
(например, дохода) X операции, которое обозначим r = ?.
Если, например, под X понимать случайный доход Q, то ЕQ
представляет собой средний ожидаемый доход, или эффективность, а среднее квадратическое отклонение ?Q является оценкой
рискованности, риском и обозначается rQ.
Коэффициент вариации V ? безразмерная величина. С его
помощью можно сравнивать даже колеблемость признаков, выраженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации изменяется от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Установлена следующая качественная оценка
различных значений коэффициента вариации [6]: до 10% ? слабая
колеблемость, 10?25% ? умеренная колеблемость, свыше 25% ?
высокая колеблемость.
С помощью этого метода оценки риска, т.е. на основе расчета дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента вариации, можно оценить риск не только конкретной сделки, но и предпринимательской фирмы в целом (проанализировав динамику ее
доходов) за некоторый промежуток времени.
Преимуществом данного метода оценки предпринимательского риска является несложность математических расчетов, а явным недостатком ? необходимость большого числа исходных
данных (чем больше массив, тем достовернее оценка риска).
52
Рассмотрим данный метод на конкретном примере. Сравним
по риску вложения в акции трех типов А, В, С, если каждая из
них по своему откликается на возможные рыночные ситуации,
достигая с известными вероятностями определенных значений
доходности (табл. 1.4).
Т а б л и ц а 1.4
Исходные доходности акций
Ситуация 1
Ситуация 2
вероятность
доходность
вероятность
доходность
А
0,5
20%
0,5
10%
В
0,99
15,1%
0,01
5,1%
С
0,7
13%
0,3
7%
По формулам (1.3.1) находим для акции А:
ЕА =20 · 0,5 + 10 · 0,5 = 15%,
DА = (20 ? 15)2 · 0,5 + (10 ? 15)2 · 0,5 = 25,
? A = DA = 5%, VA =
для акции В:
?A
? 100
EA
ЕВ =15,1 · 0,99 + 5,1 · 0,01 = 15%,
DВ = (15,1 ? 15)2 · 0,99 + (5,1 ? 15)2 · 0,01 = 0,99,
? В = 0,995 %, VВ =
для акции С:
0,995
? 100 %
15
ЕС =13 · 0,7 + 7 · 0,3 = 11,2%,
DС = (13 ? 11,2)2 · 0,7 + (7 ? 11,2)2 · 0,3 = 7,56,
? С = 2,75%, VС =
2,75
? 100% =
11,2
Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем
для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтительны, тем более, что и ?В = rВ = 0,995% наименьшее.
53
Особый вариант риска связан с разорением. Так называется вероятность столь больших потерь (х < Е), которые ЛПР не может
компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению.
Пусть случайный доход операции О имеет следующий ряд
распределения
? 60
0,1
О:
? 40
0,2
? 30
0,5
80
0,2
,
и потери 30 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно,
вероятность возникновения риска разорения в результате данной операции равна 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.
Серьезность риска разорения оценивается именно величиной
соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала,
то ею часто пренебрегают (в конце концов вероятность разорения отлична от нуля почти в любой сделке ? из-за весьма маловероятных катастрофических событий на финансовых рынках, в
масштабах государства, из-за природных явлений и т.п.).
Определим вероятностную меру разорения, приписывая ей
вероятность осуществления подобного события.
Предположим, что на рынке могут возникнуть только два
исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им
значений доходности задаются табл. 1.5.
Т а б л и ц а 1.5
Исход 1
Исход 2
вероятность
доходность
вероятность
доходность
А
0,3
6%
0,7
2%
В
0,2
? 1%
0,8
4,25%
Ожидаемые доходности акций:
ЕА = 6 · 0,3 + 2 · 0,7 = 3,2%,
EВ = ? 1 · 0,2 + 4,25 · 0,8 = 3,2%
совпадают, а дисперсии (квадратичные характеристики рисков)
равны:
DA = (6 ? 3,2)2 · 0,3 + (2 ? 3,2)2 · 0,7 = 3,35, ?А = rА = 1,83,
DВ = (? 1 ? 3,2)2 · 0,2 + (4,25 ? 3,2)2 · 0,8 = 3,41, ?В = rВ = 1,85.
54
Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под
процент, равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожидаемой доходности по акциям, которые будут приобретены на заемные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.
Однако, если инвестор вложил деньги в акции А, то при
исходе 1 он выиграет (6 ? 2,5) = 3,5%, а при исходе 2 проиграет
(2 ? 2,5) = ? 0,5%, причем с вероятностью P2 = 0,7. Напротив,
если он вложит деньги в актив В, то разорение ему грозит с вероятностью P1 = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет
(? 1 ? 2,5) = ? 3,5%.
Подсчитаем ожидаемые потери (П) при покупке акций А и В
соответственно: ПА = 0,5 · 0,7 = 0,35, ПВ = 3,5 · 0,2 = 0,7.
Как видим, в первом случае они меньше. Зато риски разорения, оцениваемые через вероятность наступления события, наоборот, при приобретении акций А будут больше (0,7 > 0,2). Это
превышение возможности банкротства должно отпугивать осторожного вкладчика, который к тому же «играет» на заемном капитале, от акции А в пользу бумаг В.
В свою очередь, ожидаемый риск ПА < ПВ склоняет его к
выбору в пользу акций А. Как действовать в подобной ситуации
инвестору? Это зависит от его индивидуальных предпочтений,
выражаемых в том числе, функцией полезности инвестора.
Между определенностью и неопределенностью находится случай принятия решения в условиях риска, когда можно оценить
вероятность возникновения каждого возможного условия. Широко используемый подход при таких обстоятельствах ? критерий предполагаемого выигрыша.
Предполагаемый выигрыш рассчитывается для каждой альтернативы, после чего отбирается альтернатива с самым высоким показателем. Предполагаемый выигрыш ? это сумма значений выигрыша для каждой альтернативы, причем, каждое значение взвешивается с точки зрения вероятности соответствующего
условия. Таким образом, используя критерий предполагаемого
выигрыша, можно определить возможное значение выигрыша для
каждой альтернативы и выбирать вариант с наилучшим значением выигрыша.
В случае стохастической неопределенности, когда неуправляемым факторам (состояниям природы) поставлены в соответствие вероятности, заданные экспертно или вычисленные, ре55
шение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожидаемого среднего риска.
Если для каждой игры с природой, задаваемой платежной
матрицей P = Pij , i = 1, m, j = 1, n, стратегиям природы Пj, соответствуют вероятности Рj, то лучшей стратегией игрока один
будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е.
n
max
1? i ? m
?P
j
? Pij .
j =1
(1.3.3)
Применительно к матрице рисков (матрице упущенных возможностей (выгод)) лучшей будет та стратегия игрока, которая
обеспечивает ему минимальный средний риск
n
min
1? i ? m
?P
j =1
j
? rij .
(3.1.4)
Когда говорится о среднем выигрыше или риске, то подразумевается многократное повторение процесса принятия решений,
хотя реально требуемого количества повторений чаще всего может и не быть.
Вероятностная постановка задачи выбора оптимальных решений в экономике более адекватно отображает реальные ситуации. Поэтому применение вероятностных моделей во многих
случаях позволяет уменьшить риск при выборе наиболее эффективных решений. Однако, применение указанных моделей связано с необходимостью определения вероятностных характеристик анализируемых процессов (ситуаций). Это существенно усложняет решение рассматриваемых задач. Во многих случаях
вероятностное распределение экономических показателей бывает неизвестным. Поэтому возникает необходимость определения предпочтительных альтернатив при условии, что вероятностные характеристики экономических показателей являются неизвестными.
В условиях полной неопределенности, когда вероятности рассматриваемых ситуаций неизвестны, можно пользоваться прави56
лом Лапласа, заключающемся в том, что все неизвестные вероятности Рj считают равными. После этого выбор эффективного
решения можно принимать или по правилу максимизации среднего ожидаемого выигрыша (1.3.3) или по правилу минимизации среднего риска (1.3.4). Подобный критерий принятия решения можно назвать принципом недостаточного обоснования
Лапласа.
1.3.2. Статистические методы
принятия решений в условиях риска
Методы принятия решений в условиях риска разрабатываются и обосновываются также и в рамках так называемой теории
статистических решений. Теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, их обработки и использования. Как известно, задачей экономического
исследования является уяснение природы экономического объекта, раскрытие механизма взаимосвязи между важнейшими его
переменными. Такое понимание позволяет разработать и осуществить необходимые меры по управлению данным объектом, или
экономическую политику. Для этого нужны адекватные задаче
методы, учитывающие природу и специфику экономических данных, служащих основой для качественных и количественных утверждений об изучаемом экономическом объекте или явлении.
Любые экономические данные представляют собой количественные характеристики каких-либо экономических объектов.
Они формируются под действием множества факторов, не все из
которых доступны внешнему контролю. Неконтролируемые факторы могут принимать случайные значения из некоторого множества и тем самым обуславливать случайность данных, которые они
определяют. Стохастическая природа экономических данных обуславливает необходимость применения специальных адекватных им
статистических методов для анализа и обработки.
Количественная оценка предпринимательского риска вне
зависимости от содержания конкретной задачи возможна, как
правило, с помощью методов математической статистки. Главные инструменты данного метода оценки ? дисперсия, стандартное отклонение, коэффициент вариации.
57
В приложениях широко применяют типовые конструкции,
основанные на показателях изменчивости или вероятности сопряженных с риском состояний. Так, финансовые риски, вызванные колебаниями результата вокруг ожидаемого значения, например, эффективности, оценивают с помощью дисперсии или
ожидаемого абсолютного уклонения от средней. В задачах управления капиталом распространенным измерителем степени
риска является вероятность возникновения убытков или недополучения доходов по сравнению с прогнозируемым вариантом.
Для оценки величины степени риска остановимся на следующих критериях:
1) среднее ожидаемое значение;
2) колеблемость (изменчивость) возможного результата.
Для статистической выборки
xi
x1
x2
?
xi
ni
n1
n2
?
ni
где хi ? ожидаемое значение для каждого случая наблюдения (i = 1,
2, ...), ni ? число случаев наблюдения (частота) значения хi,
Е ? среднее ожидаемое значение, ? 2 ? дисперсия, V ? коэффициент вариации, имеем
E=
?x n ,
?n
i i
i
?2 =
? (x ? x )
?n
i
(1.3.5)
i
Рассмотрим задачу об оценке риска по хозяйственным контрактам. ООО «Интерпордукт» решает заключить договор на
поставку продуктов питания с одной из трех баз. Собрав данные
о сроках оплаты товара этими базами (табл. 1.6), нужно, оценив
риск, выбрать ту базу, которая оплачивает товар в наименьшие
сроки при заключении договора поставки продукции.
Для первой базы, исходя из формул (1.3.5)
E=
58
2342
1831,3
= 15,61; ? =
150
150
Т а б л и ц а 1.6
Номер
события
Сроки
оплаты
в днях
х
Число
случаев
наблюдения n
xn
(x ? x)
(x ? x) 2
( x ? x )n
1-я база
1
10
30
300
?5,61
31,47
944,10
2
14
28
392
?1,61
2,59
72,58
3
15
22
330
?0,61
0,37
8,19
4
18
40
720
2,39
5,71
228,40
5
20
30
600
4,39
19,27
578,10
?
150
2342
1831,37
2-я база
1
8
29
232
?6,61
43,69
1267,07
2
12
21
252
?2,61
6,81
143,05
3
13
36
468
?1,61
2,59
93,16
4
15
50
750
0,39
0,15
7,5
5
17
31
527
2,39
5,71
177,07
6
21
33
693
6,39
40,83
1347,46
200
2922
?
3035,31
3-я база
1
7
42
294
?8,58
73,62
3091,89
2
9
34
306
?6,58
43,30
1472,20
3
15
32
480
?0,58
0,34
10,76
4
16
28
448
0,42
0,18
4,94
5
18
34
612
2,42
5,86
199,12
6
21
29
609
5,42
29,38
851,92
7
22
26
572
6,42
41,22
1071,63
8
23
25
575
7,42
55,06
1376,41
250
3896
?
8078,87
59
Для второй базы
E=
2992
3035,3
= 14,61; ? =
200
200
Для третьей базы
E=
3896
8078,8
= 15,58; ? =
250
250
Коэффициент вариации для первой базы наименьший, что
говорит о целесообразности заключить договор поставки продукции с этой базой.
Рассмотренные примеры показывают, что риск имеет математически выраженную вероятность наступления потери, которая
опирается на статистические данные и может быть рассчитана с
достаточно высокой степенью точности. При выборе наиболее
приемлемого решения было использовано правило оптимальной
вероятности результата, которое состоит в том, что из возможных
решений выбирается то, при котором вероятность результата является приемлемой для предпринимателя.
На практике применение правила оптимальной вероятности
результата обычно сочетается с правилом оптимальной колеблемости результата.
Как известно, колеблемость показателей выражается их дисперсией, средним квадратическим отклонением и коэффициентом
вариации. Сущность правила оптимальной колеблемости результата заключается в том, что из возможных решений выбирается то,
при котором вероятности выигрыша и проигрыша для одного и
того же рискового вложения капитала имеют небольшой разрыв,
т.е. наименьшую величину дисперсии, среднего квадратического
отклонения, вариации. В рассматриваемых задачах выбор оптимальных решений был сделан с использованием этих двух правил.
Выбор оптимального решения конкретной экономической
ситуации может быть осуществлен и с помощью такого специфического графического инструмента анализа проблемных ситуаций, как дерево решений. Если результаты экономической деятельности подчиняются нормальному закону распределения, то
выбор эффективных решений удобно проводить с помощью доверительных интервалов.
60
Выводы по главе 1
1. Поскольку процесс инвестирования в финансовые активы
связан с двумя основными параметрами ? риском и доходностью, то игнорирование риска может привести к нежелательным
результатам. Поэтому важно показать, что проблема риска в экономической деятельности играет существенную роль. Без риска
нет предпринимательской деятельности, нет бизнеса. Если экономика безрисковая, то она как правило, не рыночная. Риск стимулирует экономику, делает ее динамичной и эффективной.
2. Анализ различных понятий и определений риска позволяет
определить категорию «риск» как деятельность, связанную с ситуацией неизбежного выбора, в процессе которой возможны отклонения от предполагаемых результатов.
Риск всегда связан с выбором определенных альтернатив и
расчетом вероятности их результата ? в этом проявляется его
субъективная сторона. Вместе с тем величина риска не только
субъективная, но и объективная, поскольку она является формой
качественно количественного выражения реально существующей
неопределенности. Можно с уверенностью сказать, что неопределенность и риск в предпринимательской деятельности играют
очень важную роль, заключая в себе противоречие между планируемым и действительным, то есть источник развития предпринимательской деятельности.
3. Наиболее характерной чертой нашего времени являются
настойчивые усилия установить контроль над факторами риска
и неопределенности. Способность управлять риском и вместе
с тем вкус к риску, к расчетливому выбору являются ключевыми элементами той энергии, которая обеспечивает прогресс экономики.
Сущность управления риском состоит в максимизации набора обстоятельств (факторов), которые мы можем контролировать, и минимизации набора обстоятельств, контролировать которые нам не удается и в рамках которых связь причины и следствия от нас скрыта.
4. Классификация рисков рассмотрена на основе системы,
представленной в книге [5]. Финансовые риски и их влияние на
экономическую и, в частности, на инвестиционную деятельность
при формировании портфеля ценных бумаг будут рассмотрены
подробно в пятой главе.
61
5. В условиях отсутствия информации о вероятностях состояний среды (экономических ситуаций) для выбора наилучших решений целесообразно использовать следующие критерии эффективности: критерий гарантированного результата (максиминный
критерий Вальда), пессимистический по своей сути; критерий
оптимизма (критерий максимакса), соответствующий оптимистической наступательной стратегии; критерий пессимизма, характеризующийся выбором худшей альтернативы с худшим из всех
худших значений; критерий минимаксного риска Сэвиджа можно рассматривать как критерий наименьшего вреда; критерий
обобщенного максимина (пессимизма ? оптимизма) Гурвица,
позволяющий учитывать состояние между крайним пессимизмом
и безудержным оптимизмом.
Применение этих критериев эффективности для различных
задач выбора эффективных решений в условиях неопределенности показало, что подход, базирующийся на комплексном применении указанных критериев, может стать определяющим.
6. В условиях экономического риска, учитывая, что последний ? категория вероятностная, для его оценки используются
вероятностные оценки. Методы принятия решений в условиях
риска разрабатываются и обосновываются также и в рамках так
называемой теории статистических решений.
62
Глава 2. ФОРМИРОВАНИЕ
ОПТИМАЛЬНОГО
ПОРТФЕЛЯ ИНВЕСТИЦИЙ
2.1. ПРОБЛЕМА ВЫБОРА
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
2.1.1. Процесс управления инвестициями
Так как мы рассматриваем инвестиции в ценные бумаги (акции), которые обращаются на финансовом рынке, то приведем
некоторые понятия, относящиеся к этому процессу.
Под портфелем мы будем понимать набор инвестиций в ценные бумаги, обращающиеся на финансовом рынке. В соответствии с этим основное внимание следует уделить понятиям инвестиционной среды и инвестиционного процесса. Инвестиционная среда характеризуется типами бумаг, обращающихся на
рынке, условиями их приобретения и продажи. Понятие инвестиционного процесса связано с тем, каким образом инвестор принимает решения при выборе бумаг, объемов и сроков вложения.
Прежде чем более детально обсудить эти понятия, следует определить термин «инвестиции».
В широком смысле слова «инвестировать» означает [48]: «расставаться с деньгами сегодня, чтобы получить большую их сумму в будущем». С процессом инвестирования тесно связаны два
фактора ? время и риск. Деньги нужно отдавать сейчас, а вознаграждение поступит позже, если поступит вообще, и его величина
неопределенная.
Управление инвестициями представляет собой процесс управления денежными средствами, или используют термин управление портфелем. Специалистов, управляющих инвестиционными
портфелями, называют инвестиционными, денежными или портфельными менеджерами.
Все инвесторы делятся на индивидуальных или розничных и
институциональных. Первая категория состоит из частных (физических) лиц, инвестирующих собственные средства. Вторая вклю63
чает страховые компании, депозитные институты (например, банки, сберегательные и кредитные ассоциации), инвестиционные
компании и различные фонды: пенсионные, накопительные и др.
Целесообразно различать реальные и финансовые инвестиции. Реальные инвестиции обычно включают инвестиции в какой-либо тип материально осязаемых активов, таких, как земля,
оборудование, заводы. Финансовые инвестиции представляют собой контракты, записанные на бумаге, такие, как
обыкновенные акции и облигации. В примитивных экономиках
основная часть инвестиций относится к реальным, в то время как
в современной экономике большая часть инвестиций представлена финансовыми инвестициями. Высокое развитие институтов
финансового инвестирования в значительной степени способствует росту реальных инвестиций. Как правило, эти две формы являются взаимодополняющими, а не конкурирующими.
Инвестиционный процесс, представляющий собой принятие
инвестором решения относительно ценных бумаг, в которые осуществляются инвестиции, объемов и сроков инвестирования,
можно разбить на пять этапов:
1) выбор инвестиционной политики;
2) анализ рынка ценных бумаг;
3) формирование портфеля ценных бумаг;
4) пересмотр портфеля ценных бумаг;
5) оценка эффективности ценных бумаг.
Выбор инвестиционной политики заключается в определении
целей инвестора и объема инвестируемых средств, оценке инвестиционных проектов, заключающейся в выборе потенциальных
видов активов, выборе наиболее выгодных замыслов с учетом
как доходности, так и риска.
Инвестиционный менеджер, который отвечает за управление
портфелем клиента, должен учесть мнение клиента о предпочитаемом им отношении риска и доходности.
Инвесторы, которые пользуются услугами более одного менеджера, могут остановить свой выбор на одном из них с тем,
чтобы он помог на этой важной стадии, либо они могут воспользоваться услугами консультанта или специалиста по финансовому планированию. В любом случае главной характеристикой,
отличающей одного клиента от другого, являются их инвестиционные цели. Согласно современной теории портфеля, данные цели
64
проявляются в отношении клиента к риску и ожидаемой доходности. Одним из методов определения таких целей является построение кривой безразличия.
Анализ ценных бумаг заключается в изучении отдельных их
видов в рамках основных категорий, в частности, определяются
те ценные бумаги, которые представляются неверно оцененными
на данном этапе, дается прогноз будущей динамики курсов, рассматриваемых акций, дается оценка ставки дисконтирования и
прогнозируется величина дивидендов, которая будет выплачена
в будущем по данной акции.
Формирование портфеля ценных бумаг включает определение конкретных активов для вложения средств, а также пропорции распределения инвестируемого капитала между активами.
Здесь возможно применение как активных, так и пассивных портфельных стратегий. Активные портфельные стратегии используют доступную информацию и методы прогнозирования для повышения эффективности инвестиций по сравнению с простой диверсификацией. Наиболее существенным моментом для всех
активных стратегий является прогнозирование факторов, способных повлиять на инвестиционные характеристики данного класса активов. Например, активные стратегии при работе с портфелями обыкновенных акций могут включать прогнозирование будущих доходов, дивидендов или показателя отношения цены к
доходу. Облигационные стратегии основываются на прогнозировании будущего уровня процентных ставок, а стратегии работы с иностранными ценными бумагами ? на ожидаемых обменных курсах валют.
Активные менеджеры считают, что время от времени появляются неверно оцененные рынком бумаги или группы бумаг. Они
действуют таким образом, как если бы верили, что финансовые
рынки являются эффективными. Другими словами, они имеют
собственные прогнозы, т.е. их прогнозы риска и ожидаемой доходности отличаются от общего мнения. Одни менеджеры могут
быть настроены как «быки», другие ? как «медведи» по сравнению с общим мнением относительно той или иной бумаги. Первые будут держать бумагу в пропорции, большей, чем нормальная, а вторые ? в пропорции, меньшей.
Портфель целесообразно представить в качестве двух компонентов: исходного (в действительности, его суррогата) и откло65
нений от него, которыми следует воспользоваться в связи с неверной оценкой бумаг.
Пассивные портфельные стратегии требуют минимума информации о будущем. В основе таких стратегий лежит диверсификация портфеля, обеспечивающая максимальное соответствие его
доходности выбранному рыночному индексу. Пассивные стратегии основываются на предположении, что вся доступная информация на рынке отражается в рыночных котировках ценных бумаг. Кроме этих двух полярно противоположных типов стратегий появляются новые, сочетающие в себе и активные, и
пассивные элементы. Например, пассивные стратегии используются для управления «ядром» портфеля, а активные ? для управления его оставшейся частью.
При пассивном управлении общее сочетание меняется только, когда меняются: предпочтения клиента; значение безрисковой ставки; общие прогнозы риска и доходности исходного портфеля. Менеджер должен следить за последними двумя переменными и интересоваться мнением клиента относительно первой
переменной. Никаких дополнительных действий предпринимать
не требуется.
Пересмотр портфеля связан с изменением целей инвестирования, изменением курса ценных бумаг с течением времени, трансакционными издержками и т.п., после истечения определенного периода времени первоначально сформированный портфель нередко уже не может рассматриваться менеджером в качестве
оптимального, т.е. наилучшего для клиента. Так происходит или
в связи с изменением отношения клиента к риску и доходности,
или, что более вероятно, в связи с изменением прогнозов менеджера. В этом случае менеджер может решить, каким должен быть
новый оптимальный портфель, и затем переструктурировать текущий портфель таким образом, чтобы располагать уже новым
оптимальным портфелем. В то же время данная процедура не так
проста, как это может показаться на первый взгляд, в связи с
необходимостью дополнительных трансакционных расходов.
Чтобы определить, какие действия следует предпринять, данные
расходы нужно сравнить с размером предполагаемой выгоды от
пересмотра портфеля.
Оценка эффективности портфеля является последним этапом
процесса управления инвестициями. На самом деле это не совсем
66
так, поскольку инвестиционный процесс является непрерывным,
постоянно возобновляющимся процессом. На этом этапе производится вычисление реализованной доходности портфеля и сопоставление полученного результата с выбранным базисным показателем. Базисным показателем в данном случае служит некоторая количественная характеристика поведения заранее
выбранного набора ценных бумаг. В качестве базисного показателя может быть выбран любой из общеизвестных фондовых
индексов, например, индекс Stanart&Poor?s 500 (S&Р?500), или
один из облигационных индексов, публикуемых ведущими консалтинговыми компаниями. В последнее время институциональные инвесторы совместно с фирмами, занимающимися анализом
фондового рынка, разработали специальные индексы, ориентированные на конкретные типы клиентов.
Важнейшую роль в управлении инвестициями играет теория
оптимального портфеля, связанная с проблемой выбора эффективного портфеля, максимизирующего ожидаемую доходность
при некотором, приемлемом для инвестора уровне риска. Теоретико-вероятностные методы позволяют дать определения «ожидаемой доходности» и «риска» портфеля, а статистические данные ? получить оценку этих характеристик.
При построении эффективного портфеля будем считать, что
инвестор избегает риска, т.е. из двух вариантов инвестирования
с одинаковой ожидаемой доходностью, но различными уровнями риска он выберет тот, риск которого меньше.
Если инвестор стоит перед выбором одного из эффективных
портфелей, то оптимальным портфелем будет наиболее предпочтительный из них.
2.1.2. История развития
портфельной теории
В 1952 г. ведущий академический журнал по финансовым вопросам «Journal of Finance» опубликовал статью под названием
«Формирование портфеля» [60]. Статья впоследствии оказала
такое влияние на теорию и практику финансовой деятельности,
что в 1990 г. принесла ее автору Г. Марковицу Нобелевскую премию по экономике.
67
В те годы суждения о качестве акций сводились к тому, сколько инвестор выиграл или проиграл. О риске просто не говорили.
Позже, в конце 1960-х гг., агрессивные, ориентированные на рост
эффективности менеджеры, работающие с портфелями акций взаимных инвестиционных фондов, начали превращаться в народных героев. Понадобился крах 1973?1974 гг., чтобы убедить инвесторов в том, что эти чудотворцы были просто крупными фигурами рынка «быков» и что им тоже следовало интересоваться
риском не меньше, чем прибылью, а на рынке «медведей» разрушение богатства приняло масштабы, устрашившие даже инвесторов, считавших себя консервативными.
Этот урок убедил инвесторов, что эффективность ? химера.
Рынок капитала ? это не машина, выполняющая желания каждого, кто попросит богатства. Если не считать горстки инструментов вроде облигаций с нулевым купоном или депозитных сертификатов с фиксированной процентной ставкой, все остальные
акции и облигации не дают инвесторам ни малейшей возможности влиять на доходность вложенного в них капитала. Даже ставки сберегательных счетов зависят от капризов банков, которые
сами реагируют на изменения процентных ставок на рынках.
Доход каждого инвестора зависит от того, сколько другие инвесторы заплатят за активы в некий момент неопределенного будущего, а поведение несчетного числа других инвесторов никто не
может ни проконтролировать, ни даже предсказать с достаточной степенью достоверности.
С другой стороны, инвесторы могут управлять риском, который они на себя берут. Сильно рискуя, можно много выиграть,
но только в том случае, если инвестор может выстоять в тяжелой
ситуации. Когда в 70-х годах эти простые истины стали очевидными для многих, Марковиц приобрел авторитет среди профессиональных инвесторов и их клиентов.
Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег
для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом
владения. В конце периода владения инвестор продает ценные
бумаги, которые были куплены в начале периода, после чего либо
использует полученный доход на потребление, либо реинвести68
рует доход в различные ценные бумаги (либо делает то и другое
одновременно). Таким образом, подход Марковица может быть
рассмотрен как дискретный подход, при котором начало периода обозначается t = 0, а конец периода обозначается t = 1. В
момент t = 0 инвестор должен принять решение о покупке конкретных ценных бумаг, которые будут находиться в его портфеле
до момента t = 1. Поскольку портфель представляет собой набор различных ценных бумаг, это решение эквивалентно выбору
оптимального портфеля из набора возможных портфелей. Поэтому подобную проблему часто называют проблемой выбора
инвестиционного портфеля.
Принимая решение в момент t = 0, инвестор должен иметь в
виду, что доходность ценных бумаг (и, таким образом, доходность портфеля) в предстоящий период владения неизвестна.
Однако инвестор может оценить ожидаемую (или среднюю) доходность различных ценных бумаг, основываясь на некоторых
предположениях, а затем инвестировать средства в бумагу с наибольшей ожидаемой доходностью. Марковиц отмечает, что это
будет в общем неразумным решением, так как типичный инвестор хотя и желает, чтобы «доходность была высокой», но одновременно хочет, чтобы «доходность была бы настолько определенной, насколько это возможно». Это означает, что инвестор,
стремясь одновременно максимизировать ожидаемую доходность
и минимизировать неопределенность, т.е. риск, имеет две противоречащие друг другу цели, которые должны быть сбалансированы при принятии решения о покупке в момент t = 0. Подход
Марковица к принятию решения дает возможность адекватно
учесть обе эти цели.
В описании инвестиционной стратегии Марковиц не использует слово «риск». Он просто определяет изменчивость прибыли
как «вещь нежелательную», которую инвесторы стараются минимизировать.
Риск и изменчивость стали синонимами. Фон Нейман и Моргенштерн начали измерять полезностъ [28], Марковиц начал измерять инвестиционный риск.
Марковиц отмечает, что инвестор, стремясь одновременно
максимизировать ожидаемую доходность и минимизировать
неопределенность, имеет две противоречащие друг другу цели,
69
которые должны быть сбалансированы при принятии решения о
покупке.
Следствием наличия двух противоречивых целей является необходимость проведения диверсификации с помощью покупки
не одной, а нескольких ценных бумаг.
Стратегическая роль диверсификации является ключевой в
концепции Марковица. «Диверсификация, ? утверждает он, ? это
здравая политика. Рекомендации, игнорирующие незаменимость
политики диверсификации, должны быть отброшены и как гипотезы, и как правила поведения».
В диверсифицированном портфеле, напротив, некоторые акции будут подниматься, когда другие падают; в любом случае
доходность разных ценных бумаг будет разной. Использование
диверсификации для уменьшения изменчивости привлекательно
для каждого, кто не любит риск и предпочитает определенное
будущее неопределенному. Большинство инвесторов предпочитает невысокую надежную прибыль от диверсифицированного
портфеля ставке на пакет акций одной компании, даже если эта
ставка обещает очень высокую прибыль.
Хотя Марковиц никогда не ссылался на теорию игр, заметно
большое сходство между его диверсификацией вложений и стратегическими играми фон Неймана. В этом случае одним игроком
оказывается инвестор, а другим фондовый рынок ? противник
могучий и с неизвестными намерениями. Играть против такого
противника на выигрыш ? это, по всей вероятности, верное средство разориться. Следуя же стратегии лучшей из худших сделок ?
диверсифицируя, вместо того чтобы пытаться сорвать банк, ? инвестор по крайней мере повышает свои шансы выжить.
Математический анализ диверсификации помогает понять
причины ее привлекательности. Хотя прибыль от такого портфеля будет равна среднему от прибылей входящих в него разнородных вложений, зато изменчивость его прибыли будет меньше, чем средняя изменчивость прибыли отдельных составляющих. Главное условие ? минимизировать ковариантность или
корреляцию между динамикой доходности различных акций.
Цитированная статья Марковица вместе с книгой [61] стали
основой едва ли не для всех последующих теоретических изысканий в области финансов. Впоследствии на ней основывалось множество различных приложений: от техники подбора акций и оп70
ределения соотношения между акциями и облигациями в портфелях инвесторов до оценки и управления опционами и более
сложными производными ценными бумагами.
Несмотря на важность статьи Марковица, на нее со всех сторон
обрушилась критика с нападками на основные постулаты. Некоторые из поднятых в процессе этого обсуждения проблем носили скорее технический характер, и мы их опустим. Другие проблемы продолжают вызывать споры по существу концепции до сих пор.
Во-первых, возник вопрос, достаточно ли рациональны инвесторы, чтобы, принимая решения, следовать рекомендациям
Марковица. Если в процессе инвестирования интуиция превалирует над расчетом, все эти изыскания могут превратиться в простую потерю времени на сомнительное объяснение того, почему
рынки ведут себя так, а не иначе.
Во-вторых, возникает вопрос, является ли дисперсия надлежащей мерой риска. Здесь не все ясно. Если инвесторы воспринимают риск как нечто отличное от дисперсии, может быть, можно заменить ее другой величиной, сохранив подход Марковица к
оптимизации риска и прибыли. А может, и нельзя.
Наконец, что будет, если гипотеза Марковица о положительной связи между риском и доходностью не выдержит эмпирической проверки? Если малорисковые ценные бумаги станут систематически приносить высокие прибыли или вы попадете с ними
в лужу, вся теория отправляется в мусорную корзину.
Здесь мы рассмотрим некоторые технические проблемы и потом более подробно вопрос о том, является ли дисперсия надежным показателем риска.
Технические проблемы возникли в связи с предположением
Марковица о том, что инвесторам будет не трудно получить оценку нужных для модели исходных данных ? ожидаемой доходности, дисперсии и ковариации доходности отдельных пакетов ценных бумаг. Но, как отмечал Кейнс [20], использование данных о
прошлом таит в себе опасность. И степень доверия не всегда может быть измерена, тем более с точностью, которой требует подход Марковица. Этот подход предполагает использование статистических и прогнозных оценок, но инвесторы знают, что такие
расчеты обычно сопровождаются большим количеством ошибок.
К тому же чувствительность процесса к малым расхождениям в
оценке исходных данных делает результат еще более спорным.
71
Наиболее сложной процедурой в ходе реализации модели
Марковица является накопление вычислений, необходимых для
оценки того, как курсы разных акций или облигаций меняются
по отношению к курсам других акций или облигаций.
Сам Марковиц был озабочен сложностью практической реализации своих идей. Вместе с аспирантом Уильямом Шарпом,
который позднее разделил с ним Нобелевскую премию, он разработал метод, позволивший обойти процесс вычисления ковариации между отдельными ценными бумагами. Он предложил оценивать дисперсию акции или облигации по отношению к рынку в
целом, что значительно упростило дело. На этой основе Шарп [69]
разработал получившую широкую известность модель оценки
долгосрочных финансовых активов (Capital Assent Pricing Model,
CAРM или в переводе ЦМРК), позволяющую осуществлять оценку ценных бумаг для случая, когда все инвесторы формируют свои
портфели в точном соответствии с рекомендациями Марковица.
Эта модель использует коэффициент «бета» для описания среднего отклонения курсов отдельных акций или других ценных бумаг
относительно рынка в целом за определенный период.
Другая математическая проблема заключалась в том, что портфели и сами рынки ценных бумаг описывались только двумя
числами ? ожидаемой доходностью и дисперсией. Зависимость
именно от этих двух чисел оправданна, только, если доходность
ценных бумаг описывается кривой Гаусса. Отклонения от нормальной кривой недопустимы, и множество значений с каждой
стороны от среднего должно быть распределено строго симметрично. Если данные не описываются нормальным распределением, дисперсия не может со 100-процентной степенью точности
характеризовать неопределенность портфеля. Ничто не совершенно в реальном мире, и это действительно проблема, но для некоторых инвесторов эта проблема серьезнее, чем для других. Часто
данные укладываются в нормальное распределение достаточно
точно, чтобы на их основе вычислять риск и принимать решения
относительно портфеля. В других случаях несовершенство распределения данных стало поводом для разработки новых стратегий, о которых речь пойдет дальше.
Модель оценки финансовых активов, разработанная, прежде
всего, Уильямом Шарпом[69], а также, Джоном Линтнером [59],
Джеком Трейнором [74] и Яном Моссином [65], как и портфель72
ная теория Марковица, является абстрактным, теоретическим
представлением реального мира. Как всякая теория она базируется на ряде идеалистических (упрощающих анализ) предположений. Хотя эти предположения могут казаться нереалистичными,
они освобождают теорию от ненужных нагромождений и позволяют использовать при ее изложении строгий математический
язык. САРМ исходит из следующих постулатов: 1) принимая решения, инвестор учитывает лишь два фактора: ожидаемую доходность и риск (вариацию доходности); 2) инвесторы действуют рационально и избегают риска, в частности, они всегда выбирают
эффективные портфели; 3) все инвесторы имеют один и тот же инвестиционный горизонт; 4) оценки инвесторами основных параметров активов (т.е. ожидаемой доходности, риска, ковариации)
совпадают; 5) существуют безрисковые активы, при этом инвестор может одалживать и брать взаймы под безрисковую ставку
любую сумму денег; 6) рынок капиталов считается совершенно
конкурентным и бесфракционным.
Как вытекает из этих предположений, в САРМ рассматривается предельный случай. Все инвесторы обладают одной и той
же информацией и по одинаковому оценивают перспективы ценных бумаг. Неявно это означает, что они одинаковым образом
анализируют получаемую информацию. Рынки ценных бумаг являются совершенными рынками в том смысле, что в них нет факторов, которые бы препятствовали, инвестициям. Такие потенциальные препятствия, как ограниченная делимость, налоги, операционные издержки, и различие между ставками безрискового
заимствования и кредитования считаются отсутствующими. Это
позволяет сместить фокус рассмотрения с того, как следует инвестору размещать свои средства, на то, что произойдет с курсами
ценных бумаг, если все инвесторы будут поступать одинаково.
Исследуя коллективное поведение всех инвесторов на рынке, можно выявить характер конечной равновесной зависимости между
риском и доходностью каждой ценной бумаги.
Основное преимущество модели ценообразования на финансовые активы по сравнению с классической теорией выбора портфеля состоит в том, что она позволяет формировать индивидуальные портфели с учетом рыночного, недиверсифицируемого,
риска активов и взаимосвязи доходности этих активов с доходностью рыночного портфеля, не принимая во внимание будущие
73
состояния экономики и субъективные вероятности их наступления. Было установлено, что связь между риском и доходностью
можно считать линейной. Последнее упрощает анализ риска и
разработку практических рекомендаций. Выделение из общего
риска его недиверсифицируемой части играет важную роль при
исследовании и оценке рисковых активов.
Недостатки модели ценообразования на финансовые активы
связаны с достаточно жесткими исходными предпосылками.
Прежде всего с предположением о существовании совершенного
рынка капитала, однородных ожиданиях, одинаковой оценке рыночного портфеля всеми инвесторами, каждый из которых должен располагать акциями всех видов, входящих в этот портфель,
с наличием не учитываемых факторов и трудностями эмпирической проверки полученных рекомендаций.
Еще с начала 70-х годов исследователи, занимавшиеся проверкой соответствия линии доходности рынка ценных бумаг реальному положению дел и использовавшие для этих целей ретроспективный анализ доходности обыкновенных акций на фондовом
рынке США, установили, что не наблюдается достаточного подтверждения ставкам доходности акций, предсказываемым ЦМРК.
Исследования, продолжающиеся с того времени, привели к появлению как дополненных вариантов ценовой модели рынка капитала так и альтернативных ей моделей. При этом использовались
материалы анализа различных рынков финансовых активов. В
итоге среди ученых и практиков было достигнуто согласие относительно того, что исходная простая версия ЦМРК должна быть
модифицирована.
Возможные объяснения наблюдаемых отклонений от ЦМРК
подразделяются на три типа. Первый из них состоит в том, что
ЦМРК в целом верна, но «рыночные» портфели, использованные для проверки, были неполными и не отражали должным образом истинный рыночный портфель.
В другом случае основное внимание уделяется допущениям,
имеющимся в ЦМРК, но не действительным в условиях реального рынка.
Третий подход к анализу противоречий ЦМРК состоял в том,
чтобы, сохраняя ее методологические основы, придать больший
реализм предположениям, используемым в модели. Это означает
сохранение базового предположения ЦМРК о том. что инвесто74
ры (или их представители) следуют принципам выбора оптимального портфеля ценных бумаг. Однако, в модель вводятся дополнительные факторы, которые усложняют ситуацию, делая ее реалистичнее.
Так, например, американский экономист Р. Ролл [66] утверждает, что ЦМРК практически невозможно проверить, так как:
а) единственно проверяемой гипотезой является та, что «действительный» рыночный портфель принадлежит эффективному множеству (в этом случае ожидаемые доходности ценных бумаг и их
коэффициенты «бета» связаны положительной линейной зависимостью); б) «действительный» рыночный портфель не может быть
измерен допустимым способом.
В последнее время некоторые исследователи, например
[53,56], пришли к выводу, что ЦМРК более не является верной,
основываясь при этом на результатах тестов, которые показали,
что зависимость между «бетой» и средней доходностью акций
отсутствует.
Дальнейшее развитие теории рынка капитала связано с теорией
арбитражного ценообразования (Arbitrage Pricing Theory, ATO
или АРТ) основы которой сформулированы американским экономистом С. Россом [67,68]. Известным толчком к ее развитию послужили результаты эмпирических проверок модели ЦМРК,
которые показали улучшение качества уравнений регрессии при
увеличении числа объясняющих переменных. Эта теория представляет собой некоторое обобщение модели ценообразования на финансовые активы, учитывающее группу факторов, оказывающих
влияние на доходность каждого рискового актива.
В основу теории арбитражного ценообразования положены
предположения, что финансовые рынки являются совершенными; в условиях рыночного равновесия невозможен арбитраж, т.е.
такая инвестиционная стратегия, которая обеспечивает положительный доход при нулевых или даже отрицательных чистых инвестициях; доходность отдельных ценных бумаг и фондового
рынка в целом при этом описывается линейным многофакторным уравнением.
В соответствии с арбитражной теорией оценки, зависимость,
подобная линии доходности рынка ценных бумаг, может существовать даже в том случае, если инвесторы действуют отнюдь не оптимальным образом (т.е. не принимают во внимание соотношение
75
риска и доходности). В случае существования достаточного количества различных ценных бумаг для «устранения» всех рисков, кроме рыночного, арбитражная теория оценки показывает, что существует взаимосвязь между ожидаемой доходностью и величиной
коэффициента «бета», поскольку возможности арбитража здесь не
существует. Несмотря на то, что конкретная структура рисков активов в этих моделях отличается от существующей в ЦМРК, основные положения ЦМРК ? то, что премии за риск связаны с широким
рядом систематически действующих факторов риска, затрагивающих большие группы населения, ? по-прежнему выполняются.
Модель АРТ перед классической имеет следующие существенные преимущества: во-первых она не делает ограничительных
предположений о предпочтениях инвестора относительно риска
и доходности; во-вторых, она не делает никаких предположений
относительно функций распределения доходностей ценных бумаг; и последнее, эта теория не предполагает построения «истинного» рыночного портфеля и поэтому она тестируема.
Вместе с тем АРТ оставляет без ответа вопросы о количестве
и сущности факторов, которые влияют на ожидаемые доходности. В большинстве исследований этой проблемы выделены
индикаторы общей экономической активности, инфляции и процентные ставки. Таким образом, АРТ заменила проблему идентификации рыночного портфеля проблемой выбора и оценки «систематических» факторов. При этом проблема эмпирического определения факторов до сих пор полностью не решена.
Существуют и другие модификации ЦМРК, полученные в результате ослабления основных предположений. К ним относятся, прежде всего, модель Фишера Блэка [50] и многофакторная
модель Роберта Мертона [63].
Блэк отказался от предположения о существовании безрискового актива, который инвестор может одалживать и брать в долг.
При этом допущении в базовой модели были произведены некоторые изменения, хотя ее общий вид остался прежним. Суть изменений состоит в возможности формирования портфеля с нулевой «бетой», т.е. портфеля, не коррелирующего с рыночным.
Полученная модель называется двухфакторной и не отличается
от классической ЦМРК за исключением замены безрисковой процентной ставки ожидаемой доходностью портфеля с нулевой «бетой». При этом инвестор стремится минимизировать риск. Пор76
тфель с нулевой «бетой» в таком понимании ? это портфель с
наименьшим риском среди всех допустимых портфелей. Необходимым предположением для существования портфеля с нулевой
«бетой» является неограниченная возможность «коротких» продаж, что часто противоречит действительности.
Согласно базовой модели, инвестор сталкивается только с
одним видом риска ? ценовым, т.е. риском, связанным с будущей
ценой актива. В действительности рисков намного больше. Например, это риски, связанные с возможной степенью потребления в будущем. Наличие таких внерыночных рисков, называемых факторами, учитывается в многофакторной модели Мертона. Ожидаемую доходность она определяет как сумму премий за
рыночный риск (аналогично классической ЦМРК) и премией за
внерыночные риски. Каждая из этих премий есть произведение
«беты» ценной бумаги (или портфеля) по каждому фактору и
превышения ожидаемой доходности фактора над безрисковой
процентной ставкой.
Теории АРТ, Блэка Ф. в значительной степени противоречивы,
однако, они дают ряд важнейших в практическом отношении принципов, которые используются в инвестиционных стратегиях.
Для определения инвестиционных возможностей и создания
портфеля, реализующего инвестиционные цели, инвестору желательно знать точное значение цены опциона. Наиболее популярной моделью определения теоретической цены опционов является модель, созданная Фишером Блэком и Майроном Шоулзом в
1973 [51] для оценки европейских «колл»-опционов.
Модель Блэка?Шоулза основывается на нескольких ограничительных предположениях, которые необходимы для реализации возможности получения безрисковой арбитражной прибыли
в случае, если рыночная цена опциона на покупку будет отличаться от полученной на основе модели:
1) опцион на покупки является европейским опционом, т.е.
дивиденды на акции не выплачиваются в течение срока опциона;
2) модель предполагает, что вариация (дисперсия) цены акции постоянна в течение срока действия опциона и известна с
точностью;
3) цены акций обусловливаются только одним видом случайных процессов ? диффузионным процессом, суть которого состоит в том, что цена акции может принимать любое положитель77
ное значение, но при переходе от одного значения к другому она
должна пробегать все промежуточные значения;
4) предполагается, что процентные ставки для займов и кредитов одинаковы и процентная ставка в течение срока действия
опциона постоянна и известна.
При этих допущениях дается выражение для справедливой
цены европейского опциона на акцию, зависящее от четырех известных факторов: цена исполнения, текущая цена акций, время до
погашения и безрисковая процентная ставка, а пятый фактор ?
стандартное отклонение акций ? необходимо оценить.
Первый недостаток модели Блэка?Шоулза ? применимость
только для европейских опционов ? можно обойти довольно легко, если это опцион «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды. Можно показать, что инвестору, купившему
американский опцион «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды, бессмысленно исполнять такой опцион до даты
истечения, а поэтому сама возможность исполнения значения не
имеет. Следовательно, не будет различий в ценах американского
и европейского опционов «колл». В свою очередь, это означает,
что модель Блэка?Шоулза может быть использована для действительной оценки стоимости американских опционов «колл» на акции, по которым не выплачиваются дивиденды.
Второй недостаток модели Блэка?Шоулза ? применимость только в отношении бездивидендных акций ? нельзя легко отбросить,
так как большое число опционов выписывается на акции, по которым выплачиваются дивиденды в течение срока действия опциона.
Чтобы использовать формулу для оценки стоимости опциона на
такие акции, в нее нужно внести некоторые изменения.
Портфельная теория представляет собой статистический анализ, выполняемый с целью выбора оптимальной стратегии управления риском. С какой бы точки зрения ни рассматривать ?
домохозяйства, компании или иного экономического субъекта, ?
использование портфельной теории заключается в выработке и
оценке компромисса между доходом и издержками, связанными
с уменьшением риска, что необходимо для определения оптимального образа действия данного субъекта.
Если речь идет о семье, то в качестве определяющего критерия
принимаются предпочтения в области потребления и риска. И хотя
предпочтения изменяются со временем, механизмы и причины этих
78
изменений не рассматриваются в портфельной теории. Портфельная теория акцентирует внимание на том, как из нескольких финансовых вариантов выбрать такие, чтобы максимизировать данные предпочтения. В целом оптимальный вариант выбора предполагает оценку компромисса между получением более высокой
ставки доходности и увеличением степени риска инвестиций.
Однако отнюдь не каждое решение, направленное на сокращение риска, приводит к уменьшению ожидаемой доходности.
Бывают обстоятельства, при которых обе стороны, подписывающие контракт о переносе риска, могут уменьшить уровень своего риска, заплатив за это ровно столько, сколько стоит юридическое оформление контракта. Например, покупатель и продавец дома могут договориться и установить фактическую цену
дома в момент подписания контракта, хотя сама передача прав
собственности состоится только через три месяца. Такое соглашение служит одним из примеров форвардного контракта. Соглашаясь заключить такой контракт, обе стороны избавляются
от неопределенности, связанной с колебаниями цен на рынке
жилья в ближайшие три месяца.
Таким образом, когда противоположные стороны воспринимают риск одного и того же события с разных точек зрения, для обеих
лучше всего совершить перенос риска с помощью контракта, причем, ни одной из сторон не придется нести значительные расходы.
Решения, связанные с управлением риском, принятие которых не влечет за собой затрат, являются скорее исключением из
правил, чем нормой. Обычно для сокращения степени риска требуется сбалансировать необходимые для этого расходы и получаемые выгоды. Такой компромисс, пожалуй, более всего очевиден в решениях, принимаемых домохозяйством по поводу распределения его средств среди таких активов, как акции, ценные
бумаги с фиксированным доходом и жилье.
Первые формальные модели портфельной теории были разработаны для выработки именно этого типа решений в управлении риском. В этих моделях для вычисления соотношения между
риском инвестиций и их ожидаемой доходностью используется
распределение вероятностей. Ожидаемая доходность портфеля
ценных бумаг определяется как среднее значение распределения
вероятностей, а риск ? как стандартное отклонение возможных
значений доходности от ожидаемого.
79
2.2. ДИВЕРСИФИЦИРОВАННЫЙ
ПОРТФЕЛЬ
В экономике часто встречаются ситуации, когда субъект (физическое лицо или фирма) должен выбрать одну из альтернатив.
Существует экономическая теория, которая занимается изучением процесса выбора, используя так называемую функцию полезности. Она описывает правило, по которому каждому из возможных вариантов выбора приписывается некоторое числовое значение. Чем больше это значение, тем больше «полезность» данного
варианта выбора. Говоря проще, в теории портфеля функция полезности выражает предпочтения субъекта при определенных отношениях к риску и представлениях об ожидаемых доходностях.
В графической форме функцию полезности отражают кривые
безразличия. На рис. 2.1 они обозначены через и1, и2, и3. Кривые
представляют собой наборы портфелей с различными комбинациями риска и доходности. Точки одной такой кривой определяют значение риска и доходности для данного уровня полезности.
Рассмотрим, например, два портфеля и и и* на кривой и1. Портфель и имеет большую доходность, но и больший по сравнению с
и* риск. При этом инвестору безразлично, какой из них выбиu3
u2
Ожидаемая доходность
u1
Возрастание
полезности
u3
u
u2
u1
u*
Риск
Рис. 2.1. Кривые безразличия
80
рать. Наклон кривой безразличия означает, что с ростом риска
инвестор требует его компенсации большей доходностью.
Чем выше лежит кривая, тем больше полезность, поскольку
по вертикали отложены доходности. Все портфели, лежащие на
одной заданной кривой безразличия, являются равноценными для
инвестора.
При формировании портфеля следует различать рисковые и
безрисковые активы.
Рисковые активы ? это активы, доходность которых в будущем
неопределенна. Предположим, что инвестор покупает акции компании и планирует держать их один год. В момент покупки он не
знает, какой доход получит в конце срока. Это зависит от стоимости акции через год и дивидендов, которые компания выплачивает
в течение года. Поэтому эти акции, так же как и акции других компаний, ? это рисковые активы. Даже ценные бумаги, выпускаемые
правительством США, являются рисковыми. Допустим, например,
что инвестор купил правительственные облигации со сроком погашения 30 лет. Он не знает, какой доход получит, если продержит их
всего один год. Дело в том, что на стоимость облигаций в течение
года влияет изменение процентной ставки.
Тем не менее активы, будущая доходность которых известна
в момент погашения, существуют. Такие активы называются безрисковыми активами.
Как правило, это краткосрочные правительственные облигации. Допустим, инвестор покупает казначейские векселя США
сроком погашения один год и планирует держать их до погашения. В таком случае относительно доходности этих бумаг нет
никакой неопределенности. Инвестор знает, что в день их погашения правительство выплатит определенную сумму (номинал),
погашающую долг. Обратите внимание на то, как отличается эта
ситуация от предыдущей, хотя и в первом, и во втором случае
ценные бумаги являются государственными.
Принимая решение о приобретении портфеля, инвестор должен обращать внимание на ожидаемую доходность и стандартное отклонение каждого портфеля.
Ожидаемая ставка доходности (среднее значение доходности) определяется как сумма всех возможных ставок доходности,
умноженных на соответствующую вероятность их получения:
E ( r ) = P1r1 + P2 r2 + ... + Pn rn =
n
?
i=
(2.2.1)
81
Предположим, что ожидаемая доходность акций А ? rA = 10%,
а акций B ? rB = 15%. Если весь капитал вложить в акции А, то ожидаемая доходность портфеля rП = rА = 10%. Если инвестировать
капитал только в акции B, то ожидаемая доходность инвестиции
составит: rП = rВ = 15%. При инвестировании капитала в акции равными долями ожидаемая доходность портфеля будет равна средневзвешенной из доходности акций: rП = 0,5 · 10% + 0,5 · 15% = 12,5%.
По истечении года фактические значения доходности акций А и В,
а следовательно, и портфеля в целом, возможно, будут не совпадать
с их ожидаемыми значениями.
Рискованность одного актива измеряется дисперсией или средним квадратическим отклонением доходов по этому активу, а
риск портфеля ? дисперсией или средним квадратическим отклонением доходов портфеля.
Если для создания портфеля ценных бумаг инвестировать
деньги в какой-то один вид финансовых активов, то инвестор
оказывается зависимым от колебания его курсовой стоимости.
Поэтому следует вкладывать капитал в акции нескольких компаний, хотя понятно, что эффективность также будет зависеть от
курсовых колебаний, но уже не каждого курса, а усредненного,
который, как правило, колеблется меньше, поскольку при повышении курса одной из ценных бумаг курс другой может понизиться, и колебания могут взаимно погаситься.
Такой портфель ценных бумаг, содержащий самые разнообразные типы ценных бумаг, называется диверсифицированным портфелем. Хотя подобный портфель значительно снижает диверсификационные (несистематические) риски, но полностью устранить
инвестиционный риск нельзя, так как при вложении капиталов
присутствуют еще и недиверсифицированные или систематические
риски, присущие конкретной экономической системе в целом или
отдельному рынку и не поддающиеся диверсификации. Систематический риск обусловлен общим состоянием экономики, который
связан с такими факторами, как: война, инфляция, глобальные
изменения налогообложения, изменение денежной политики и т.п.,
и связан с изменениями цен на акции, их доходностью, текущим и
ожидаемым процентом по облигациям, ожидаемыми размерами
дивиденда, вызванными общерыночными колебаниями.
Однако чтобы измерить риск портфеля, нам нужно не только
знать вариацию доходов отдельных ценных бумаг, но и степень,
82
с которой доходы пар ценных бумаг колеблются вместе. Нам необходимо знать ковариацию или же корреляцию доходов каждой пары активов в портфеле.
Риск портфеля, измеряемый через дисперсию, рассчитывается как взвешенная сумма ковариаций всех пар активов в портфеле, где каждая ковариация взвешена, на произведение весов каждой пары соответствующих активов и дисперсия данного актива
рассматривается как ковариация актива с самим собой.
Дисперсия или вариация случайной величины служит мерой
разброса ее значений вокруг среднего значения. Для доходности (как
случайной величины) вариация, оценивающая степень отклонения
возможных конкретных значений от средней или ожидаемой доходности, служит мерой риска, связанного с данной доходностью.
Формула для определения вариации доходности i-го актива,
записывается следующим образом:
? i2 = var( ri ) =
n
? P [r
m =1
m
m
? E (ri )]
(2.2.2)
Вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого
отклонения. В этом смысле дисперсия указывает меру неопределенности в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую
доходность как среднюю по всем возможным значениям. Это обстоятельство и позволило Марковицу считать дисперсию доходности мерой риска инвестиций.
Однако, можно привести два довода против использования
вариации в качестве меры риска. Первый ? вариация учитывает
отклонение в обе стороны по отношению к среднему значению.
Действительно, реализованная доходность может быть как выше,
так и ниже среднего значения, при этом первый случай также
вносит вклад в величину вариации и, следовательно, риска. Инвестор же не расценивает превышение реальной доходности над
ожидаемой как неприятный результат. Напротив, он только приветствует такой исход дела. Поэтому многие исследователи считают, что при измерении риска не должны рассматриваться случаи, когда возможная доходность выше ожидаемой.
Марковиц понимал этот недостаток вариации и предлагал
меру риска, которая учитывала лишь случаи снижения доходнос83
ти по отношению к среднему значению. Эту меру называют полувариацией. Полувариация рассчитывается как обычная вариация
кроме тех случаев, когда доходность выше ожидаемой доходности. Однако сложности вычисления, связанные с использованием
полувариации, привели к тому, что в своих работах Марковиц был
вынужден ограничиться обычной вариацией.
В настоящее время при измерении риска снижения стоимости ценной бумаги финансисты-практики пользуются обоими понятиями.
Второй довод, относящийся к недостаткам вариации как меры
риска, состоит в том, что она нечувствительна к асимметричности распределения отклонений от среднего значения. В случае несимметричных распределений приходится пользоваться другими
характеристиками типа коэффициента асимметрии и т.п. Марковиц не рассматривал подобные характеристики в своей теории.
Использование вариации можно оправдать, основываясь на эмпирических исследованиях, подтверждающих относительную симметричность статистических распределений доходностей акций.
Поскольку считается, что для принятия решения инвестор рассматривает только ожидаемую доходность и вариацию, теория
портфеля в формулировке Марковица получила название двухпараметрической модели.
При вычислении стандартного отклонения портфеля пользуются понятием ковариации. Ковариация ? это статистическая
мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это
мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ценных бумаг i и j, зависят друг от
друга. Положительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну
сторону, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из
ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем
ожидаемая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная
ковариация показывает, что доходности имеют тенденцию компенсировать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ценной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ценной бумаги. Относительно небольшое или нулевое значение ковариации,
показывает, что связь между доходностью этих ценных бумаг слаба либо отсутствует вообще.
84
В общем случае вычисление стандартного отклонения портфеля, состоящего из n ценных бумаг, требует двойного суммирования n ценных бумаг, для чего необходимо сложить n2
членов:
? n
?p =?
?? i =1
1
? 2
X i X j? ij ? ,
??
j =1
n
??
(2.2.3)
где ?ij обозначает ковариацию ценных бумаг i и j.
Очень близкой к ковариации является статистическая мера,
известная как корреляция. На самом деле, ковариация двух случайных переменных равна корреляции между ними умноженной
на произведение их стандартных отклонений:
? ij = ? ij ? i ? j ,
(2.2.4)
где ?ij обозначает коэффициент корреляции между доходностью
на ценную бумагу i и доходностью на ценную бумагу j. Коэффициент корреляции нормирует ковариацию для облегчения сравнения с другими парами случайных переменных.
Рисунок 2.2 (а) представляет собой точечную диаграмму доходностей гипотетических ценных бумаг А и В, когда корреляция между двумя этими ценными бумагами, полностью полоа) Полная
положительная
корреляция между
доходностями
Доходность бумаги В
в) Некоррелированные
доходности
Доходность бумаги В
?
Доходность
бумаги А
Доходность
бумаги А
?
?
•
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Доходность бумаги В
б) Полная
отрицательная
корреляция между
доходностями
•
•
•
•
•
•
• • •
•
•
•
• •
•
Доходность
бумаги А
• •
Рис. 2.2. Доходность двух ценных бумаг
85
жительна. Заметим, что все точки лежат на прямой наклонной
линии, идущей из левого нижнего квадранта в правый верхний.
Это означает, что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относительно высокую доходность. Соответственно,
когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно низкую
доходность, тогда и другая имеет относительно низкую доходность.
Однако корреляция между доходностями двух различных ценных бумаг будет абсолютно отрицательной, когда точечная диаграмма показывает, что точки лежат именно на прямой наклонной линии, идущей из левого верхнего квадранта в правый нижний, как это показано на рис. 2.2 (б). В данном случае можно
сказать, что доходности двух ценных бумаг изменяются противоположно друг другу. То есть когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, другая имеет относительно низкую доходность.
Особый случай возникает, когда точечная диаграмма доходности ценных бумаг показывает разброс точек, который даже
приблизительно не может быть представлен прямыми наклонными линиями. В таком случае делается вывод о некоррелированности доходностей, т.е. о равенстве нулю коэффициента корреляции. Рис. 2.2 (в) представляет данный пример.
Данная стратегия, стремясь к максимально возможному снижению риска при сохранении требуемого уровня доходности, состоит в выборе таких активов, доходности которых имели бы
возможно меньшую положительную корреляцию. Именно учет
взаимной корреляции доходностей активов с целью снижения риска отличает стратегию диверсификации Марковица от стратегии
наивной диверсификации.
Способ диверсификации Марковица и важность корреляции
активов можно проанализировать на примере портфеля из трех
активов. Для этого мы сначала покажем общую взаимосвязь ожидаемого риска портфеля из трех активов и корреляции их доходностей. Затем мы изучим влияние комбинирования активов с различными корреляциями на риск всего портфеля.
Портфель составлен из трех видов ценных активов А, В, С.
Веса, с которыми каждый актив представлен в портфеле, равны
Va = 50% = 0,5, Vb = 30% = 0,3 и Vс = 20% = 0,2.
86
Доходы по каждому из активов представлены в табл. 2.1.
Т а б л и ц а 2.1
Исходные данные
Момент времени t
1
2
3
4
5
а=Х%
9,6
10,1
11,4
11,7
12,2
b=Y%
14,2
15,9
15,3
14,1
15,5
c=Z%
7,9
8,2
6,8
8,7
8,4
d=T%
12,8
11,3
11,9
12,4
11,6
Для нахождения связи между доходами каждой ценной бумаги определяем ковариацию (корреляцию) каждой пары активов
по формуле:
cov xy = ? xy =
? ( x ? x)( y ? y)
(2.2.5)
n ?1
и ковариацию актива с самим собой
cov xx = ? 2x =
? ( x ? x)( x ? x)
(2.2.6)
n ?1
Ковариации доходов по всем возможным парам активов отображаем в ковариационной матрице:
Va
Vb
Vc
Va
Vb
cov(a, a) cov(a, b) c
cov(b, a) cov(b, b) c
cov(c, a) cov(c, b) c
Риск портфеля находится по формуле:
? 2p =
k
?V ?
i =1
i
2
2
i
+2
k
??V V co
i =1 j >1
i
j
,
(2.2.7)
где n ? объем выборочной статистики по годам, k ? число
активов.
87
Для вычисленной ковариационной матрицы найдем, что
? 2p = 0,429 и ?р = 0,65 = 65%. Отсюда видно, что риск портфеля лишь несколько ниже риска отдельных активов и
средневзвешенного риска отдельных активов равного,
? p = (?? + ?b + ?c) : 3 = 0,88 = 88%.
Составим новый портфель активов, заменив актив А на актив D, оставив его долю прежней, т.е. Vd = Va = 50% = 0,5, а
доходность актива D представлена в табл. 2.1. Составляем новую ковариацию доходов
Va
Vb
Vc
Va
Vb
Vc
0,36 ? 0,46
0,005
0,65 ? 0,13 .
? 0,46
0,005 ? 0,13
0,54
Риск портфеля рассчитанный по формуле (2.2.7), равен
?р = 0,132 = 13,2%. Риск этого портфеля в пять раз меньше, чем
предыдущего. Это объясняется снижением коррелированности
активов D и C и наличием отрицательной ковариации активов D
и В. Стоимость портфеля даже несколько повысилась, так как
средний доход по активам D равен 12%, а по активам А ? 11%.
Подобная операция служит базой для хеджирования, когда
отрицательная корреляция достигается продажей позиции по инструменту (актив А), который имеет высокую степень положительной корреляции и приобретением другого актива D.
Анализ значений риска рассмотренных портфелей показывает, что риск портфеля меньше, чем средняя взвешенная рисков
отдельных ценных бумаг и среднее квадратическое отклонение
портфеля падает, когда снижается степень корреляции пар активов. Общий риск ценной бумаги, находящейся в изоляции, больше, чем у той же ценной бумаги, находящейся в портфеле. Комбинация активов со слабой корреляцией понижает риск портфеля. Эффективная диверсификация достигается не просто
добавлением активов к портфелю, а добавлением таких активов,
доходы которых имеют самые низкие корреляции, а лучше и отрицательные, с активами, присутствующими в портфеле.
Этот пример наглядно показывает эффект диверсификации
Марковица. Данное явление иногда называют «чудом диверсификации». Стратегия диверсификации Марковица предполагает, что
с увеличением корреляции (ковариации) доходностей активов,
88
составляющих единый портфель, возрастает вариация (а следовательно, и стандартное отклонение) доходности этого портфеля.
«Чудо» проявляется при отрицательной корреляции ожидаемых
доходностей активов. Прекрасно то, что инвестор может снизить
риск портфеля, удерживая его ожидаемую доходность при помощи сочетания активов с низкой (желательно отрицательной) корреляцией. Плохо лишь то, что активов с малой и отрицательной
корреляцией существует совсем немного. Таким образом, задача
превращается в поиск среди многочисленных активов таких, портфель из которых имел бы минимальный риск при заданном уровне доходности или, наоборот, при заданном уровне риска имел бы
наибольшую доходность.
Рассмотрим выражение (2.2.7). Представим, что имеется очень
большое количество активов, доступных для инвестиций, скажем
индекс из 100 или 500 акций. Допустим также, что все доходы по активам независимы. Выражение (2.2.7) сократится до следующего:
? 2p =
N
?V ?
i
i =1
2
2
i .
(2.2.8)
Так как предполагается, что доходы по активам независимы,
ковариации равняются нулю. Теперь предположим, что равные
суммы инвестированы в каждый из n активов, тогда веса каждого станут равными 1/n, и дисперсия портфеля примет вид:
? 2p
2
n
? 1 ? 2 1 ? ? i2 ?
= ? ? ?i = ?
?.
n
n ?? i =1 n ??
i =1 ? ?
n
?
?
(2.2.9)
Выражение в прямоугольных скобках является средней дисперсией активов в портфеле. В то время как число активов (n) в
портфеле становится больше, 1/n уменьшается, и дисперсия портфеля снижается, приближаясь в пределе к нулю.
Однако в действительности не все доходы по активам независимы, особенно, когда мы рассматриваем активы, принадлежащие
к одному классу, например, акции и облигации. У большинства
активов будет присутствовать некоторый уровень ковариации.
Отсюда на практике равенство (2.2.9) превращается в следующее:
? 2p
n
2
n
?1? 2
=
? ? ?i + 2
n
i =1
i =1 ? ?
?
? 1 ??
?? ?? n ?? ??
.
(2.2.10)
j >1
89
Это можно представить так:
n
n
? 1 ? ? ? 2 ? ( n ? 1)
? 2p = ? ? ? i ? +
2
n
? n ? i =1 ? n ?
i =1
?
?
.
(2.2.11)
Первый член равенства представляет собой среднюю дисперсию, уже встречавшуюся выше в выражении (2.2.9), а второй ?
это тоже средняя, т.е. сумма ковариаций, деленная на число ковариаций n(n ? 1). Выражение (2.2.11), таким образом, может быть
упрощено до
1 2 n ?1
? 2p = ? i +
cov ij .
n
n
(2.2.12)
Эта формула помогает объяснить, что происходит с риском
портфеля, когда в него включено большое количество активов.
Когда число активов в портфеле увеличивается, 1/n уменьшается, и, таким образом, его произведение на среднюю дисперсию
приближается к нулю. Однако (n ? 1)/n стремится к единице при
увеличении n, отсюда второе слагаемое правой части выражения
(2.2.12) приближается к средней ковариации. Следовательно, когда портфель диверсифицирован включением большого числа активов, дисперсия портфеля приближается к средней ковариации
отдельных активов.
Значит, общий риск ценной бумаги, находящейся в изоляции,
больше, чем у той же ценной бумаги, находящейся в портфеле.
Комбинация активов со слабой корреляцией понижает риск портфеля. Таким образом, общий риск состоит из двух частей: а) тот
риск, который может быть исключен диверсификацией (несистематический риск, также известный как случайный или остаточный риск) и б) тот элемент риска, который не может быть исключен с помощью диверсификации (систематический риск, также
известный как рыночный риск).
В классической теории выбора портфеля, которая учитывает
только заданный набор рисковых активов, недиверсифицируемый риск зависит от ковариации доходности рассматриваемых
рисковых активов и представляет собой минимальный уровень
риска, который может быть достигнут при изменении структуры
рассматриваемого портфеля.
90
Источниками диверсифицируемого риска являются факторы,
отражающие особенности каждого эмитента: стиль управления и
изменение состава руководства, успехи и неудачи в завоевании
рынков и проведении маркетинговых программ, использование
результатов исследований и разработок, объем получаемой прибыли или убытков и др. Снижение доходности акций одних компаний, содержащихся в портфеле инвестора, может быть компенсировано приобретением акций других, которые обеспечили бы
получение более благоприятных финансовых результатов.
В модели ценообразования на финансовые активы, учитывающей общие условия фондового рынка и его влияние на доходность и риск отдельных активов и индивидуальных портфелей,
показано, что уровень недиверсифицируемого (рыночного или
систематического) риска определяется ковариацией доходности
отдельных активов (индивидуальных портфелей) и доходности
рыночного портфеля.
Рыночный риск акций или индивидуального портфеля обусловлен факторами, которые оказывают влияние на рынок ценных бумаг в целом. К их числу можно отнести изменение темпов
инфляции, циклические колебания производства, изменение процентных ставок, крупные политические события и другие обстоятельства, которые оказывают влияние на доходность всех ценных бумаг, обращающихся на рынке.
Анализ, проведенный экономистами США, показал, что значительную часть диверсифицируемого риска можно устранить,
включая в портфель около 20 видов ценных бумаг, а дальнейшее
увеличение числа видов таких активов в портфеле ведет к существенному падению темпа уменьшения риска.
2.3. ПОРТФЕЛЬ МАРКОВИЦА
В 1952 году, когда Марковиц в «Формировании портфеля»
[60] поставил задачу использовать понятие риска при конструировании портфелей для инвесторов, суждения о качестве акций
сводились к тому, сколько инвестор выиграл или проиграл.
О риске просто не говорили.
Марковиц использует термин «эффективный» для характеристики портфеля, составленного из лучших по данной цене акций
с минимальной изменчивостью доходности. Можно было бы го91
ворить в данном случае об оптимизации. Важно понять, что не
существует единственного эффективного портфеля, который был
бы эффективнее всех остальных. Чем выше ожидаемый доход,
тем больше риск. Но каждый из эффективных портфелей обеспечивает максимальный ожидаемый доход для заданного уровня
риска или минимальный уровень риска для заданного ожидаемого дохода.
Наиболее сложной процедурой в ходе реализации модели
Марковица является накопление вычислений, необходимых для
оценки того, как курсы разных акций или облигаций меняются
по отношению к курсам других акций или облигаций.
Найдем доли Хi распределения исходного капитала, минимизирующие вариацию эффективности портфеля
VП =
?? X X ?
i
i
j
ij
(2.3.1)
j
при условии, что обеспечивается заданное значение эффективности портфеля ЕП, то есть
ЕП =
?X E
i
(2.3.2)
i
i
и выполняется бюджетный баланс
?X
i
=1.
(2.3.3)
i
В такой постановке минимизация вариации равносильна минимизации риска портфеля, поэтому задача Марковица может
быть сформулирована следующим образом.
Найти Хi минимизирующие риск портфеля:
rП =
?? X X ?
i
i
j
ij
(2.3.4)
j
при условии, что обеспечивается заданное значение эффективно-
? X E , и поскольку Хi ? доли, то в
сумме они должны составлять единицу: ? X i = 1 .
i
сти портфеля ЕП, т.е. ЕП =
i
i
92
i
Решение этой задачи обозначим значком*. Если xi* ? 0, то это
означает рекомендацию вложить долю xi* наличного капитала в
ценные бумаги i-го вида. Если же xi* < 0 , то содержательно это
означает провести операцию «short sale» («короткая продажа»).
Если такие операции невозможны, значит необходимо ввести
ограничения xi* ? 0 .
Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обязуется через какое-то время поставить ценные бумаги i-го вида
(вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это
время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти
деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомендуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные
бумаги других видов (т.е. не i-го вида) более эффективны, то
инвестор оказывается в выигрыше! Собственно, можно обойтись
и без операции «short sale», если инвестору доступны займы денежных средств по безрисковой ставке.
Этот портфель минимального риска из всех портфелей заданной эффективности называется портфелем Марковица минимального риска.
Но столь же естественна и задача формирования портфеля
максимальной эффективности из всех портфелей, имеющих риск
не более заданного.
Найти xi, максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля
ЕП =
? х E ? max
i
i
i
при условии, что обеспечивается заданное значение риска портфеля, т.е.
?x x ?
i
i, j
j
ij
= rП2 ; поскольку xi ? доли, то в сумме они
должны составлять единицу:
?x = 1.
i
i
Назовем данную формализацию портфелем Марковица максимальной эффективности.
Решая задачу Марковица (2.3.1) ? (2.3.3) для различных значений Ер, получим множество точек . В плоскости портфельных
характеристик Ер, найденным эффективным точкам будет соответствовать соединяющая их кривая, называемая траекторией
эффективных портфелей (рис. 2.3).
93
ЕП
?
0
Рыночная
эффективная
граница
?П*
Рис. 2.3. Зависимость минимального риска от ожидаемой
эффективности портфеля
Во-первых, множество эффективных портфелей составляет
подмножество множества допустимых портфелей и, во-вторых,
на эффективной траектории допустимые портфели являются одновременно и эффективными в том смысле, что они дают минимальный риск при фиксированной ожидаемой доходности или
максимальную ожидаемую доходность при данном риске.
Согласно сформулированным выше принципам теории Марковица, инвестор всегда выбирает портфель, лежащий на эффективной границе. Этот выбор осуществляется посредством анализа соотношения риска и доходности (постоянного «взвешивания»). Двигаясь вдоль границы слева направо, мы увеличиваем
ожидаемый риск, но при этом расширяются и границы доходности. В связи с этим возникает следующий вопрос: какой же портфель лучше? Лучший из всех портфелей на эффективной границе
Марковица называется оптимальным.
Интуитивно понятно, что оптимальный портфель зависит от
предпочтений инвестора при выборе между риском и доходностью. Как уже говорилось в начале главы, эти предпочтения можно описать при помощи функции полезности.
На рис. 2.4 изображены три кривые безразличия и эффективная граница. В нашем случае кривая безразличия определяет комбинации риска и ожидаемой доходности, дающие одинаковый
уровень полезности. И чем дальше расположена кривая от горизонтальной оси, тем больше полезность.
Также из рис. 2.4 видно, какой портфель при данных кривых
безразличия будет для инвестора оптимальным. Следует помнить,
94
ЕП
u3
u2
u1
Рыночная
эффективная
граница
ЕА
•А
u1 < u2 < u3
?А
?п*
Рис. 2.4. Выбор оптимального портфеля
что инвестор стремится к самой высокой кривой безразличия, какую можно достичь на эффективной границе. При этих требованиях оптимальный портфель представлен точкой пересечения кривой
безразличия с эффективной границей. На рис. 2.4 это портфель А.
Портфель А максимизирует полезность для определенных характером кривой безразличия предпочтений риска и доходности
инвестора, а также его ожиданий по поводу доходности и ковариации. Если его предпочтения относительно ожидаемого риска
и доходности изменятся, изменится и оптимальный портфель.
Например, на рис. 2.5 изображена та же эффективная граница,
но другие кривые безразличия. В этом случае оптимальным будет портфель В с более низкими доходностью и риском, чем портфель А на рис. 2.4.
При этом может возникнуть вопрос о том, как определить
функцию полезности инвестора, чтобы построить его кривую
безразличия? К сожалению, ответить на него непросто. Дело в
том, что экономисты еще не пришли к единому мнению о том,
как измерять полезность.
95
ЕП
u3
u2
u1
Рыночная
эффективная
граница
ЕВ
•В
u1 < u2 < u3
?В
?п*
Рис.2.5. Выбор оптимального портфеля
при других кривых безразличия
Это, однако, не означает, что теория бесполезна. А говорит
лишь о том, что, описав эффективную границу, инвестор должен
определить, какой эффективный портфель ему подходит в наибольшей степени.
В параграфе 2.2 мы рассматривали вопрос о влиянии диверсификации вклада на снижение риска и получили формулу (2.2.9),
которая показывает, что при росте числа п видов ценных бумаг,
включаемых в портфель, риск эффективного портфеля ограничен и стремится к нулю при n ? ?.
Отсюда вытекает главное практическое правило финансового рынка: для повышения надежности эффекта от вклада в рискованные ценные бумаги целесообразно делать вложения не в
один их вид, а составлять портфель, содержащий возможно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от которых случаен.
Анализ, проведенный экономистами США, показал, что значительную часть диверсифицируемого риска можно устранить,
включая в портфель около 20 видов ценных бумаг, и дальнейшее
увеличение числа видов таких активов в портфеле ведет к суще96
ственному падению темпа уменьшения риска. Кривая риска индивидуального портфеля ?П при увеличении числа активов асимптотически приближается к уровню риска рыночного портфеля
*
?П
(рис. 2.6).
?П
?п*
0
n
Рис. 2.6. Зависимость риска портфеля от числа
рисковых активов
Из описания теории Марковица можно сделать вывод, что
она дает принципы построения эффективных портфелей и способы выбора из них наилучшего, или оптимального, портфеля. Эта
теория отличается от предыдущих тем, что в ней сформулированы принципы измерения основных параметров теории. К ним
относятся риск и ожидаемая доходность как отдельных активов,
так и всего портфеля в целом. Более того, при помощи этих величин, а также ковариации и корреляции между доходностями активов можно осуществить диверсификацию портфеля, цель которой состоит в уменьшении его риска без ущерба для доходности. Определение и точный смысл этих параметров основываются
на теоретико-вероятностных понятиях, а их количественная оценка осуществляется статистическими методами.
Ожидаемая доходность портфеля ? это взвешенное среднее
ожидаемых доходностей всех активов, входящих в портфель. Вес
каждого актива определяется как процентная доля рыночной стоимости актива в общей рыночной стоимости всего портфеля. Риск
актива измеряется при помощи вариации или стандартного отклонения его доходности. В отличие от ожидаемой доходности
портфеля его риск не равен взвешенному стандартному отклонению рисков отдельных активов, входящих в портфель. Риск пор97
тфеля зависит от ковариации и корреляции между активами. Чем
ниже корреляция, тем меньше риск портфеля.
Эффективный портфель по Марковицу ? это допустимый портфель с наибольшей ожидаемой доходностью для заданного уровня риска. Набор всех эффективных портфелей называется эффективным множеством портфелей, или эффективной границей.
Оптимальным портфелем называется такой портфель, который в наибольшей степени удовлетворяет предпочтениям инвестора по отношению к доходности и риску. Предпочтения инвестора описываются функцией полезности, которая графически
представляется при помощи набора кривых безразличия. Оптимальный портфель ? это такой портфель, для которого кривая
безразличия касается эффективной границы.
2.4. ФОРМИРОВАНИЕ
ИНВЕСТИЦИОННОГО ПОРТФЕЛЯ
Рассмотрим технологию формирования инвестиционного портфеля. Не существует единой стратегии такого формирования,
которая подходила бы абсолютно всем. Зато имеется несколько
общих принципов, в частности, диверсификации, которые годятся для всех несклонных к риску.
Формирование инвестиционного портфеля заключается в распределении инвестиции конкретным человеком. Это процесс поиска наилучшего соотношения между риском и ожидаемым уровнем доходности инвестиций с целью составления портфеля, в котором активы и обязательства сочетались бы с этой точки зрения
оптимальным образом. В более узком смысле формирование портфеля трактуется только как принятие решений относительно
сумм, которые следует инвестировать в акции, облигации и другие ценные бумаги. Если рассматривать формирование портфеля
шире, то в него можно включить вопросы о том, что предпочтительнее ? покупка жилья или его аренда; какого типа страховку
покупать и сколько для этого выделить средств, а также решение
о том, каким образом следует управлять своими обязательствами. Еще более расширенное толкование формирования портфеля включает рассмотрение таких вопросов, как определение суммы, которую целесообразно инвестировать в накопление челове98
ческого капитала (например, в продолжение профессионального
обучения). Общим элементом всех этих решений является поиск
наилучшего соотношения между риском и ожидаемым уровнем
доходности.
Основная идея заключается в том, что даже при наличии ряда
общих правил формирования портфеля, которые подходят буквально всем людям, не существует единой модели портфеля или
единой стратегии его формирования выбора, которыми могли бы
пользоваться абсолютно все. Сейчас мы объясним, почему это так.
Стратегия формирования портфеля зависит от конкретных
обстоятельств каждого человека (возраста, семейного положения,
рода занятий, дохода, общего благосостояния и т.д.). Поэтому
один человек, вкладывая деньги в некие ценные бумаги, увеличивает свой риск, а для другого покупка тех же ценных бумаг
приводит к снижению риска. К тому же ценные бумаги, которые
снижают рискованность вложений на начальных стадиях жизненного цикла семьи, могут дать совершенно противоположный
эффект на поздних.
Для молодой четы, начинающей семейную жизнь, оптимальным вложением является приобретение дома и получение ссуды
под залог этого дома. Для супругов предпенсионного возраста
оптимальным решением может стать продажа дома и вложение
полученных средств в ценные бумаги, что обеспечит устойчивые
и регулярные денежные поступления до конца их жизни.
Составление плана формирования наилучшего портфеля начинается с определения целей инвестора и горизонтов прогнозирования. Период, или горизонт планирования ? это весь промежуток времени, на который составляются планы инвестора.
Самый протяженный горизонт прогнозирования обычно охватывает период до выхода на пенсию и обычно сопоставим с
индивидуальной продолжительностью жизни. Значит, у молодого человека 25 лет, рассчитывающего прожить до 65 лет, горизонт планирования равен 40 годам.
Период, или горизонт пересмотра решения ? это промежуток
времени между двумя решениями, касающимися формирования
инвестиционного портфеля. Продолжительность периода пересмотра решений устанавливается каждым человеком индивидуально.
Некоторые инвесторы производят пересмотр своих портфелей через определенные интервалы, например раз в месяц (при
99
оплате счетов) или раз в год (при заполнении налоговой декларации). Инвесторы со средним достатком, у которых основная
часть сбережений находится на банковских счетах, пересматривают свои инвестиционные портфели довольно редко и нерегулярно, обычно в связи с такими не часто случающимися событиями, как женитьба или развод, появление ребенка или получение
наследства. Причиной для пересмотра инвестиционного портфеля могут стать также резкие колебания цен на те или иные активы, которыми владеет данный индивидуум.
Инвесторы, вложившие значительные суммы в акции и облигации, могут пересматривать свой портфель ежедневно, а иногда
и чаще. У них самым коротким периодом пересмотра решения
является период биржевых торгов; именно он определяет минимальный промежуток времени, через который инвестор пересматривает свой портфель.
Индивидуум не может контролировать протяженность периода биржевых торгов. Период биржевых торгов может равняться неделе, дню, часу или даже минуте ? в зависимости от структуры рынка в данной экономической системе (например, от того, в
какое время открыты биржи ценных бумаг, и от того, существуют ли организованные внебиржевые рынки).
В условиях сегодняшней глобализации финансовой среды покупка и продажа большинства ценных бумаг может быть осуществлена в любой точке земного шара в любое время дня и ночи.
Следовательно, для таких ценных бумаг горизонт биржевых торгов очень короток.
Сегодняшние решения о составе инвестиционного портфеля
основываются на предположениях о том, что может произойти
завтра. План, при разработке которого сегодняшние решения принимаются с учетом ваших последующих действий, называется
стратегией.
При формулировании стратегии инвестирования крайне важным
фактором является частота, с которой инвестор пересматривает свой
портфель, покупая или продавая ценные бумаги. Например, инвестор выбирает стратегию инвестирования «избыточного» капитала в
акции. «Избыточным» в данном случае является капитал, превышающий некий предел, необходимый ему для поддержания определенного уровня жизни. Если курс этих акций со временем пойдет вверх,
то инвестор увеличит долю портфеля, отведенную на вложения в эти
100
акции. Однако, если акции станут дешеветь, инвестор уменьшит долю
вложенных в них капиталов. Если курс акций снизится до такого
предела, что привычный стандарт жизни окажется под угрозой, инвестор вообще избавится от этих акций.
Целью исследования количественного соотношения между
риском и ожидаемым уровнем доходности является формирование портфеля, инвестиции в который обеспечивали бы инвестору
максимальную ожидаемую ставку доходности при той степени
риска, на которую он согласен. В процессе анализа мы будем
говорить о рискованных активах, не подразделяя их на облигации, акции, опционы, страховые полисы и пр., потому что, как
уже говорилось выше в этой главе, степень рискованности каждого отдельного актива зависит в первую очередь от конкретных
обстоятельств жизни данного инвестора.
Оптимизация портфеля обычно состоит из двух этапов:
(1) выбора оптимальной комбинации рискованных активов и (2)
объединения полученного оптимального набора рискованных
активов с безрисковыми. В целях упрощения процесса мы начнем со второго этапа ? объединения портфеля, содержащего рискованные активы, с безрисковыми. Этот единственный рискованный портфель составлен из множества рискованных активов,
скомбинированных оптимальным образом.
2.4.1. Портфель из совокупности
безрискового актива с рискованным
В теории формирования наилучшего портфеля безрисковым
активом считается ценная бумага, которая предлагает полностью предсказуемую ставку доходности в расчетных денежных единицах, выбранных для анализа, и в пределах периода пересмотра решения данного инвестора. Если брать более общую ситуацию, когда нет конкретного инвестора, то безрисковыми
активами следует считать те из них, которые предлагают инвестору предсказуемую ставку доходности в пределах периода биржевых торгов.
Предположим, что вы решили инвестировать 10 000 у.е. Перед
вами безрисковый актив с процентной ставкой 0,08 годовых и
рискованный актив с ожидаемой ставкой доходности 0,14 годовых
101
и стандартным отклонениям 0,2. Какую часть от 10 000 у.е. вам
следует вложить в рискованный актив?
Все доступные комбинации риска и доходности показаны в
табл. 2.2 и на рис. 2.7.
Т а б л и ц а 2.2
Вариант
портфеля
Ожидаемая доходность и стандартное отклонение
Доля
Доля
Ожидаемая
портфеля,
портфеля,
ставка
инвестированная инвестированная
доходности
в рисковой
в безрисковой
Е(r)
актив, %
актив, %
Стандартное
отклонение
?
А
0
100
0,08
0,00
В
30
70
0,098
0,06
С
50
50
0,110
0,10
D
70
30
0,122
0,14
E
100
0
0,14
0,20
E(r)
0,16 ?
0,14 ?
•
D
0,12 ?
0,10 ?
0,08 •? А
•
В
•
E
•C
•F
0,06 ?
0,04 ?
0,02 ?
0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
?
Рис. 2.7. Соотношение между риском и ожидаемой доходностью
инвестиционного портфеля
102
Ожидаемая ставка доходности определяется по формуле
(2.2.1), а стандартное отклонение равно:
?2 =
n
? P (r ? E (r )) .
i =1
i
i
2
(2.4.1)
Однако, если в одном портфеле объединены рискованный и
безрисковый активы, то стандартное отклонение доходности такого портфеля равно стандартному отклонению доходности рискового актива ?р, умноженному на его вес V в портфеле. Тогда
получим формулу стандартного отклонения доходности портфеля в виде
?= ?р · V.
(2.4.2)
Для нашего примера ? = 0,2 · V.
На основании двух последних столбцов табл. 2.2. строим график зависимости между риском ? и ожидаемой доходностью Е(r)
(рис. 2.7).
Точка А на рис. 2.7 соответствует ситуация, когда вы вкладываете все свои деньги в безрисковый актив, а точке Е ? ситуация,
когда вы инвестируете все свои деньги в рискованный актив. Линия АЕ представляет набор (портфель) свободно доступных вам
вариантов из рискованного и безрискового активов.
Если мы хотим определить состав портфеля, для которого
ожидаемая ставка доходности равна 0,12, то судя по рис. 2.7 такая
точка лежит между точками С и D, но чтобы точно ответить на этот
вопрос нужно записать и решить более общую задачу.
Пусть V обозначает долю от P у.е., которая вложена в рисковой актив. Оставшаяся часть будет равна (1 ? V) и она вложена в
безрисковой актив. Ожидаемая ставка доходности портфеля E(r)
определится как
E(r) = VE(rp) + (1 ? V)rб = rб + V(E(rp) ? rб),
(2.4.3)
где Е(rp) ? обозначает ожидаемую ставку доходности рискованного актива, а rб ? безрисковая ставка доходности.
Для нашего примера:
E(r) = 0,08 + V(0,14 ? 0,08) = 0,08 + 0,06V.
103
Смысл уравнения (2.4.3) заключается в том, что базовой ставкой доходности для любого портфеля является безрисковая ставка доходности (0,08 в нашем примере). Кроме того, предполагается, что инвестиции в портфель принесут дополнительную премию за риск, которая зависит от премии за риск по рискованному
активу (Е(rp) ? rб) (0,06 в нашем случае) и от доли портфеля,
инвестированной в рискованный актив и обозначенной V.
Чтобы определить состав портфеля, соответствующий ожидаемой ставке доходности в 0,12, надо подставить нужные значения в уравнение (2.4.3) и вычислить V.
0,12 = 0,08 + 0,06V ; V =
0,12 ?
0,0
Таким образом, портфель на 66,7% должен состоять из рискованного актива, и на 33,3% ? из безрискового.
Далее определяем связь между стандартным отклонением и
долей инвестиций, приходящихся на рискованный актив. В формулу (2.4.2) подставляем наши данные ?р = 0,2 и V = 0,667 и
находим стандартное отклонение доходности портфеля
? = ?р · V = 0,2 · 0,667 = 0,1334.
Из (2.4.2) находим V и подставляем его в выражение (2.4.3),
получаем
Е ( r ) = rб +
Е ( rp ) ? rб
?р
?? ,
(2.4.4)
т.е. нашли связь между ожидаемой доходностью и риском в виде
прямой линии.
Для нашего примера E(r) = 0,08 + 0,30?.
Угловой коэффициент этой прямой равен 0,30, а угол наклона, равный примерно 16,7°, характеризует дополнительную ожидаемую доходность, предлагаемую рынком для каждой дополнительной единицы риска, которую согласен нести инвестор.
Рассмотрим предыдущий пример, дополнительно включив в
него еще один рискованный актив 2, который имеет ожидаемую
104
ставку доходности 0,098 в год и стандартное отклонение 0,10. На
рис. 2.7 это точка F.
Нужно получить эффективный портфель, под которым мы
понимаем такой портфель, который предлагает инвестору максимально возможный ожидаемый уровень доходности при заданном уровне риска.
Инвестор, который хочет получить ожидаемую ставку доходности в 0,098 годовых, может добиться своей цели, вложив всю
сумму в рискованный актив 2. Тогда он окажется в ситуации,
описываемой точкой F. Но при этом портфель инвестора неэффективен, потому что в точке В инвестор может получить такую
же ожидаемую ставку доходности (0,098 в год) при меньшем значении стандартного отклонения.
Из табл. 2.2 видно, что в точке В стандартное отклонение
составляет только 0,06. Это объясняется тем, что 30% инвестиций данного портфеля вложены в рискованный актив 1, а 70% ?
в безрисковый актив. Действительно, не желающий рисковать
инвестор выберет на прямой риск?доходность, соединяющей точки В и Е, любую точку ? только не точку F. Любая из этих
точек соответствует вполне приемлемой ситуации, когда некоторое количество рискованного актива 1 уравновешивается безрисковым активом. Например, портфель в точке С имеет стандартное отклонение, равное стандартному отклонению рискованного актива 2 (? = 0,10), но его ожидаемая ставка доходности
составляет 0,110 годовых, а не 0,098. Из табл. 2.2, нам известно,
что такое соотношение соответствует портфелю, который на 50%
состоит из рискованного актива 1 и на 50% из безрискового
актива.
С помощью уравнений (2.4.3) и (2.4.2) можно определить состав других эффективных портфелей, которые описываются точками между В и С и имеют, следовательно, более высокую ожидаемую ставку доходности и меньшее значение стандартного отклонения в сравнении с рискованным активом 2. Рассмотрим,
например, портфель, который на 62,5% состоит из рискованного
актива 1 и на 37,5% ? безрискового актива. Его ожидаемая ставка доходности равна 0,1175 в год, а стандартное отклонение составляет 0,125.
105
2.4.2. Эффективный портфель,
составленный из двух рискованных
активов
Пусть портфель составлен из двух видов рискованных активов, в котором V ? это доля рискованного актива 1, а (1 ? V) ? это
доля рискованного актива 2. Тогда среднее значение ставки доходности такого портфеля будет
E(r) = VE(r1) + (1 ? V)E(r2).
(2.4.5)
Формула дисперсии из (2.1.4) для двух активов запишется как
?2 = V2?12 + (1 ? V)2?22 + 2V(1 ? V)??1?2.
(2.4.6)
Здесь ожидаемые ставки доходности рискованных активов
обозначены соответственно через E(r1) и E(r2), а через ? обозначен коэффициент корреляции.
Для рискованного актива 1: среднее значение 0,14; стандартное отклонение 0,20; а для рискованного актива 2: среднее значение 0,12; стандартное отклонение 0,16. Коэффициент корреляции
для обоих активов равен нулю, т.е. ? = 0.
В зависимости от доли средств актива 1 и актива 2 по формуле (2.4.5) и (2.4.6) подсчитаны значения Е(r) и ? и записаны в двух
последних столбцах табл. 2.3.
Например, для точки В
Е(r) = 0,2 · 0,14 + 0,8 · 0,12 = 0,124,
2
2
2
2
2
? = 0,2 · 0,2 + 0,8 · 0,16 = 0,01798; ? = 0,134.
По точкам Е(r) и ?, взятым из табл. 2.3, построена кривая
соотношения риск?доходность для двух рискованных активов
(рис. 2.8).
Дадим анализ кривой рис. 2.8. Берем точку А и перемещаем
часть наших капиталов из рискованного актива 2 в рискованный
актив 1. При этом наблюдается не только повышение средней
ставки доходности, но и снижение стандартного отклонения. Оно
снижается до точки D, а затем вновь повышается. Найдем координаты точки D, соответствующей минимальному значению ?.
106
Т а б л и ц а 2.3
Соотношение риск-доходность для портфелей
с двумя рискованными активами
Портфель
Доля
средств,
вложенная
в рисковой
актив 1,%
Доля
средств,
вложенная
в рисковой
актив 2, %
Ожидаемая
ставка
доходности,
Е(r)
Стандартное
отклонение,
?
А
0
100
0,12
0,16
B
20
80
0,124
0,134
C
30
70
0,126
0,127
D ? ?min
39
61
0,128
0,125
E
50
50
0,130
0,128
F
60
40
0,132
0,136
G
80
20
0,136
0,163
H
100
0
0,14
0,20
E(r)
H
0,14 ?
G
F
E •
0,13 ?
•
•
D • C
•
•
В
0,12 ?
А •
=
0
•
?min = 0,125
0,05
0,10
0,15
0,20
?
Рис. 2.8. Соотношение между риском и ожидаемой доходностью
для рисковых активов
107
Берем функцию (2.4.6) и считаем ? = ? (v), а ?1, ?2 и ? постоянными. Тогда
d? 2? 12v ? 2(2 ? v)? 22 + 2 ?? 1
=
dv
2 v 2? 12 + (1 ? v )? 22 + 2v(
Приравнивая производную нулю, находим точку
V=
? 22 ? ?? 1? 2
.
? 12 + ? 22 ? 2 ?? 1? 2
Исследования показывают, что в этой точке кривая ? = ? (v)
имеет минимум и, следовательно,
Vmin =
? 22 ? ?? 1? 2
.
? 12 + ? 22 ? 2 ?? 1? 2
(2.4.7)
По этой формуле получаем
Vmin =
0,16 ? 0
= 0,39,
0,2 + 0,16 2 ? 0
2
т.е. портфель с минимальной дисперсией состоит из 39% активов
1 и 61% активов 2.
2.4.3. Оптимальный портфель,
составленный из безрисковых
и рискованных активов
Теперь рассмотрим комбинации риск?доходность, которые
мы можем получить посредством объединения безрискового актива с рискованными активами 1 и 2, параметры которых остаются прежними, а безрисковая ставка доходности rб = 0,08.
На рис. 2.9 показано графическое представление всех возможных комбинаций риск?доходность. Кривая АрDH есть кривая, изображенная на рис. 2.8, а прямая АН (рис. 2.9) представляет собой
график, изображенный на рис. 2.7. Прямая показывает ряд комби108
E(r)
•
Н
0,14 ?
К
•
•
0,13 ?
D
• АР
•
0,12 ?
М
0,11 ?
0,10 ?
0,09 ?
0,08 ? А
=
0
0,05
0,10
0,15
0,20
?
Рис. 2.9. Оптимальная комбинация рисковых активов
109
наций риск?доходность, которые могут быть получены посредством
объединения безрискового актива с рискованным активом.
Прямая линия, соединяющая точку А с любой точкой кривой, соединяющей точки Ар, D и H, представляет собой график,
описывающий соотношение риск?доходность для всех комбинаций следующих трех активов: рискованных активов 1 и 2 с безрисковыми активами. Наибольшее значение этого соотношения,
которое мы можем достичь, находится на линии, соединяющей
точки А и K. Точка K является общей точкой прямой линии, выходящей из точки А, и кривой и, кроме того, это точка касания
прямой и кривой. Исходя из этих условий формула для определения долей портфеля в точке K имеет вид
V=
( E ( r1 ) ? rб )? 22 ?
( E (r1 ) ? rб )? 22 + ( E (r2 ) ? rб )
. (2.4.8)
Такой рискованный портфель, который соответствует точке
K на рис. 2.9, называется оптимальной комбинацией рискованных активов. Именно объединением этого портфеля рискованных активов с безрисковым активом достигается формирование
максимально эффективного портфеля.
Хотя и другие рискованные эффективные портфели из модели Марковица могут быть скомбинированы с безрисковым активом, портфель K заслуживает особого внимания. Почему? Потому что не существует портфеля, состоящего из рискованных ценных бумаг, который, будучи соединен прямой линией с точкой,
соответствующей безрисковому активу, лежал бы левее и выше
его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей безрисковому активу, и соединяют эту точку с рискованным активом или рискованным портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в
точку K.
Это важно потому, что часть эффективного множества модели Марковица отсекается этой линией. В частности, портфели,
которые принадлежали эффективному множеству в модели Марковица и располагались между минимально рискованным портфелем и портфелем K, с введением возможности инвестирования
в безрисковые активы не являются эффективными. Теперь эф110
фективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точку K и
поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля K. Искривленный отрезок расположен выше и правее точки K и представляет портфели из эффективного множества модели Марковица.
Подставляя данные в формулу (2.4.8), получаем:
V=
(0,14 ? 0,08) ? 0,16
(0,14 ? 0,08) ? 0,162 + (0,12 ?
Это означает, что оптимальной комбинацией рискованных
активов (для портфеля в точке касания с прямой, который еще
называют тангенциальным портфелем), является 49% рискованного актива 1 и 51% рискованного актива 2. Ожидаемая ставка
доходности и стандартное отклонение в точке K будут равны:
Е(rk) = 0,130; ?k = 0,127.
Тогда новый график для эффективного соотношения
Е(r) = f(?) будет иметь вид:
E ( r ) = rб +
E ( rk ) ? rб
0,130 ? 0,08
? ; E (r ) = 0,08 +
?;
?k
0,127
E (r ) = 0,08 + 0,394 ? ? ,
где угол наклона ? отношение доходности к риску ? равен 0,394.
Для прежней прямой Е(r) = 0,08 + 0,30 · ? угол наклона равен
0,30. Отсюда видно, что теперь инвестор находится в лучшем положении, потому что он может достичь более высокой ожидаемой ставки доходности для любого уровня риска, на который
готов идти.
Теперь обобщим наши исследования относительно создания
эффективного портфеля, когда имеются два вида рискованных
активов и один безрисковой актив. Напомним, что предпочтения при формировании портфеля зависят от стадии жизненного
цикла, на которой находится инвестор, периода (горизонта) планированности и отношения к риску. Следовательно, инвестор мо111
жет выбрать позицию в любой точке на отрезке АK (рис. 2.9). На
этом отрезке выбираем точку М, портфель, соответствующий этой
точке, на 50% состоит из портфельных инвестиций в общей точке K (тангенциальный портфель) и на 50% из инвестиций в безрисковый актив.
Преобразуем уравнение (2.4.3) и (2.4.2) таким образом, чтобы
они отражали тот факт, что портфель в точке касания K является
теперь единственным рискованным активом, который следует
объединить с безрисковым активом. Находим
E(rм) = rб + 0,5(E(rk) ? rб) = 0,08 + 0,5 (0,130 ? 0,08) = 0,105,
?м = 0,5?k = 0,5 · 0,127 = 0,0635.
Учитывая, что тангенциальный портфель состоит на 49% из
рискованного актива 1 и на 51% ? из рискованного актива 2, и на
долю рискованных активов приходится 50% всего портфеля, определяем, что в портфеле будет 0,5 · 49% = 24,5% рискованных
активов 2. Таким образом, состав портфеля М будет следующим:
доля безрискового актива составляет 50%, доля рискованного актива 1 ? 24,5% и доля рискованного актива 2 ? 25,5%.
Следовательно, если вы инвестировали 10 000 у.е. в портфель
М, то 5000 у.е. инвестировано в безрисковый актив, 2450 у.е. ? в
рискованный актив 1 и 2550 у.е. ? в рискованный актив 2.
Таким образом, существует только один портфель с рискованными активами, который оптимальным образом можно объединить с безрисковым активом. Этот портфель мы назовем оптимальной комбинацией рискованных активов, соответствующий общей
(касательной) точке K. Следовательно, предпочтительный портфель всегда является комбинацией портфеля рискованных активов
в общей точке и безрискового актива.
Важно отметить, что при поиске оптимальной комбинации рискованных активов нам не нужно ничего знать ни о благосостоянии
инвестора, ни о его предпочтениях. Состав этого портфеля зависит
только от ожидаемых ставок доходности и стандартных отклонений
рискованного актива 1 и рискованного актива 2 и от корреляции
между ними. Это означает, что все инвесторы, которые согласились
на такие характеристики доходности (среднее значение, стандартное
отклонение, корреляция), захотят инвестировать в один и тот же тангенциальный портфель, дополненный безрисковым активом. Вот
112
общее правило, применимое ко всем случаям, когда имеется множество рискованных активов. Всегда существует оптимальный портфель
рискованных активов, который все инвесторы, избегающие риска и
имеющие одинаковые представления о характеристиках доходности,
будут объединять с безрисковым активом с целью получения наиболее предпочтительного портфеля.
При наличии большого числа рискованных активов мы используем двухэтапный метод создания портфеля, аналогичный
тому, который был рассмотрен в предыдущем разделе. На первом
этапе мы рассматриваем портфели, состоящие только из рискованных активов, а на втором этапе мы определяем тангенциальный
портфель рискованных активов, который можно объединить с
безрисковым активом. Такая работа требует большого количества
вычислений, поэтому лучше выполнять ее на компьютере.
2.5. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ
АКТИВОВ КАПИТАЛА
2.5.1. Основы ценовой модели
рынка капитала
Толчком для создания ЦМРК послужили поиски ответа на
следующий вопрос: какими должны были бы быть премии за риск,
на которые согласны инвесторы в ситуации рыночного равновесия, если бы все они руководствовались одними и теми же прогнозами относительно ожидаемых ставок доходностей и рисков
инвестиций в ценные бумаги, делая при этом оптимальный выбор для своих портфелей ценных бумаг в соответствии с принципами эффективной диверсификации?
Основополагающая посылка ЦМРК состоит в том, что в состоянии равновесия доход от сделок на финансовом рынке вознаграждает людей за их рискованные инвестиции. Обычно люди
не склонны к рискованным действиям, в связи с чем премия за
риск для всей совокупности рискованных активов должна быть
реально ощутимой, чтобы у людей присутствовало желание владеть рискованными активами, существующими в экономике.
Однако рынок не вознаграждает людей, которые владеют неэффективными портфелями ценных бумаг ? т.е. подвергают себя
воздействию рисков, которые могут быть устранены при опти113
мальном подходе к диверсификации рисков. Таким образом, премия за риск любой отдельной ценной бумаги не связана с ее «индивидуальным риском». Ее величина скорее обусловлена вкладом данной ценной бумаги в общий риск всего эффективного
диверсифицированного портфеля.
В п. 2.4 показано, что каждый эффективный портфель ценных бумаг может быть создан посредством объединения в нем
двух конкретных типов активов: безрисковых активов и оптимальным образом скомбинированных рискованных активов.
Последний тип портфеля называют еще тангенциальным, имея в
виду, что параметры риска и доходности рискованных активов,
которые в него входят, соответствуют точке касания луча, проведенного из точки на оси Е(r), относящейся к безрисковому активу А, к границе эффективности. Теоретическое обоснование
ЦМРК опирается на два предположения.
Предположение 1. Инвесторы имеют одинаковые представления в отношении прогнозов по ожидаемым ставкам доходности, показателям стандартных отклонений доходности (т.е. риску) и корреляции между рискованными ценными бумагами. Следовательно, они вкладывают свои средства в рискованные активы
таким образом, что в итоге сосредотачивают их в своих портфелях в одних и тех же пропорциях.
Предположение 2. Инвесторам присуще оптимальное поведение. Поэтому на находящемся в равновесии рынке курс ценных
бумаг устанавливается таким образом, что если инвесторы владеют оптимальными портфелями ценных бумаг, то совокупный
спрос на ту или иную ценную бумагу равняется ее совокупному
предложению.
Исходя из этих двух посылок и с учетом того, что относительное количество рискованных активов у каждого инвестора оказывается одинаковым, мы приходим к выводу, что фондовый рынок
может находиться в состоянии равновесия только в том случае,
если эти оптимальные пропорции владения ценными бумагами соответствуют пропорциям, в которых активы представлены на рынке. Портфель, состоящий из всех имеющихся ценных бумаг, пропорции инвестирования в которые соответствуют их доли в общей
капитализации рынка, называется рыночным портфелем. Состав
рыночного портфеля отражает предложение существующих финансовых активов, оцененных по текущим рыночным ценам.
114
Рассмотрим более детально, что же подразумевается под рыночным портфелем. В рыночном портфеле доля, приходящаяся
на ценную бумагу i, равна отношению рыночной стоимости эмитированной i-й ценной бумаги к рыночной стоимости всех выпущенных в обращение ценных бумаг. Для простоты рассмотрения
предположим, что существует только три вида ценных бумаг: акции А, акции В и безрисковые ценные бумаги. Общая рыночная
стоимость каждого из финансовых активов составляет: 5 млн у.е.
для акций А, 3 млн у.е. для акций В и 2 млн у.е. для безрисковых
ценных бумаг. Общая рыночная стоимость для всех этих активов
равна 10 млн у.е. Таким образом, рыночный пакет состоит из
50% акций А, 30% акций В и 20% безрисковых ценных бумаг.
Как следует из ЦМРК, в условиях рыночного равновесия рискованные активы в портфеле каждого из инвесторов будут находиться в той же пропорции, что имеет место для всего рыночного портфеля. В зависимости от своей меры неприятия риска инвесторы обладают различными наборами безрисковых и
рискованных активов, однако процентное соотношение рискованных ценных бумаг в портфелях инвесторов оказывается для
всех них одинаковым. Для данного примера можно сказать, что
рискованная часть портфеля ценных бумаг каждого инвестора
будет состоять из 50% акций А и 30% акций В.
Рассмотрим двух инвесторов, каждый из которых собирается
сделать вложения размером в 10 000 у.е. У первого инвестора восприятие риска равняется среднему значению для всех инвесторов,
и, следовательно, он владеет каждым активом в соответствии с
тремя пропорциями, которые присущи рыночному портфелю.
Таким образом, 5000 у.е., вложены в акции А, 3000 ? в акции В,
а 2000 ? в свободные от риска ценные бумаги. Второй инвестор
проявляет большее по сравнению со средним неприятие риска
и предпочитает в связи с этим вложить 4000 у.е. в безрисковые
ценные бумаги и 6000 у.е. ? в рискованные ценные бумаги. Вложение второго инвестора в акции А составит 0,5 Ч 6000 у.е., или
3000 у.е., а его вложение в акции В окажется равным 0,3 Ч 6000 у.е.,
или 1800 у.е. Таким образом, оба инвестора будут владеть акциями А и В в пропорции 50 : 30 = (5000 + 3000) : (3000 + 1800).
Как следует из ЦМРК, в условиях рыночного равновесия рискованные активы в портфеле каждого из инвесторов будут находиться в той же пропорции, что имеет место для всего рыночно115
го портфеля. В зависимости от своей меры неприятия риска инвесторы обладают различными наборами безрисковых и рискованных активов, однако процентное соотношение рискованных
ценных бумаг в портфелях инвесторов оказывается для всех них
одинаковым.
Этот основной тезис ЦМРК иллюстрируется рис. 2.11, где
изображен график соотношения Е(?), с которым сталкивается
каждый из инвесторов, определяя направления своих инвестиций. Поскольку тангенциальный портфель, или, говоря иначе,
оптимальная комбинация рискованных активов, соответствует такому же, как и для рыночного портфеля, относительному содержанию рискованных активов, то рыночный портфель расположен на любой из точек графика Е(?). В ЦМРК график риск?
доходность называется графиком рынка капиталов, или ГРК.
Точка Е на рис. 2.11 показывает соотношение риск?доходность
для рыночного портфеля, точка А соответствует бизрисковым
активам, а ГРК представляет собой прямую линию, соединяющую эти две точки.
В соответствии с ЦМРК график рынка капиталов в условиях
рыночного равновесия представляет лучшие из возможных для всех
E(? )
14 ?
?j > 0
•
•
12 ?
E
10 ?
8 •?
А
•
6?
?j < 0
4?
2?
0
5
10
15
20
Рис. 2.11. График рынка капиталов
116
?
инвесторов комбинации «риск?доходность». Несмотря на то что все
инвесторы будут стремиться к достижению точек, лежащих на ГРК,
конкуренция на рынке будет действовать в сторону понижения курса акций, в результате чего выбор инвесторов будет характеризоваться точками, принадлежащими графику рынка капиталов.
Исходя из формулы (2.4.4) график рынка капиталов описывается формулой
Е ( r ) = rб +
Е ( rп ) ? rб
?,
?п
(2.5.1)
где Е(r) ? ожидаемая доходность эффективного портфеля, ?п ?
стандартное отклонение (риск) рыночного портфеля, Е(rп) ? ожидаемая доходность рыночного портфеля, rб ? доходность безрисковых ценных бумаг, ? ? стандартное отклонение (риск) эффективного портфеля.
Таким образом, наклон ГРК равен частному от деления премии за риск рыночного портфеля на величину его риска.
Наклон ГРК = tg? =
E ( rп ) ? rб
.
?п
(2.5.2)
Проведем экономическую интерпретацию этой величины.
Числитель характеризует превышение доходности рыночного
портфеля над безрисковой ставкой. Это премия за риск инвестирования в рисковый рыночный портфель, а не в безрисковый актив. Знаменатель ? риск рыночного портфеля. Таким образом,
наклон дает величину премии на «единицу рыночного риска».
Поскольку эффективная линия рынка определяет максимальную
достижимую доходность, компенсирующую выбранный уровень
риска, то все ее точки соответствуют «взаимно сбалансированным» решениям инвесторов, т.е. она отображает равновесное состояние рынка. Наклон линии рынка определяет требуемую дополнительную доходность на каждую «единичную» порцию рынка. Поэтому наклон эффективной линии рынка называют
равновесной рыночной ценой риска.
Согласно уравнению эффективной линии рынка, доходность
портфеля ? это сумма безрисковой ставки и премии за риск (по
117
портфелю), которая представляет собой произведение рыночной
цены риска (т.е. наклона линии риска) и риска портфеля:
Е(r) = Безрисковая ставка + Цена риска Ч Риск портфеля.
Из ЦМРК следует, что для большинства инвесторов результаты их пассивной стратегии, предусматривающей комбинирование безрисковых активов с вложениями в акции инвестиционных фондов, придерживающихся стратегии индексирования при
операциях с рискованными ценными бумагами, так же хороши,
как если бы они вели активный поиск доходных ценных бумаг и
пытались «победить» рынок. Самые усердные и знающие свое
дело инвесторы действительно получают вознаграждение за свои
усилия, однако с течением времени конкуренция между ними сводит их доходы к минимуму, необходимому для того, чтобы они
просто продолжали свою работу. Все остальные могут при этом
извлечь выгоду из прилагаемых ими усилий за счет следования
собственной стратегии пассивного инвестирования.
Еще одно следствие, вытекающее из концепции ЦМРК, состоит в том, что премия за риск для каждой отдельной ценной
бумаги пропорциональна только ее вкладу в совокупный риск
всего рыночного портфеля. Премия за риск не зависит от риска,
присущего ей в отдельности. Таким образом, в соответствии с
ЦМРК, в условиях равновесия инвесторы получают вознаграждение, соответствующее более высокой ожидаемой ставке доходности, только при принятии на себя всего рыночного риска. Это
неустранимый, или необходимый риск, который они должны
принять для получения ожидаемой доходности.
Логика рассуждений состоит в том, что, поскольку все эффективные комбинации «риск?доходность» могут достигаться за
счет простого объединения рыночного портфеля и безрисковых
активов, единственный риск, которому вынужден подвергаться
инвестор для получения эффективного портфеля ценных бумаг, ?
это рыночный риск, т.е. риск всего рыночного портфеля в целом.
Таким образом, рынок не вознаграждает инвесторов за принятие на себя любых нерыночных рисков, т.е. за инвестиции в активы, выходящие за пределы рыночного портфеля. Рынок не вознаграждает инвесторов за выбор неэффективных портфелей ценных бумаг.
118
Иногда это следствие применения ЦМРК подчеркивают утверждением о том, что для ценной бумаги «имеет значение» только такой риск, который обусловлен рынком.
2.5.2. Коэффициент «бета».
Премия за риск
В условиях рыночного равновесия цены финансовых активов и ожидаемые ставки доходности от инвестирования в них
формируются таким образом, что хорошо осведомленные инвесторы удовлетворены составом своих оптимальных портфелей.
Исходя из того, что ожидаемая ставка доходности должна компенсировать инвесторам риск их вложений, мы определяем риск,
присущий ценной бумаге, в соответствии с величиной ее ожидаемой доходности в условиях равновесия. Таким образом, риск
ценной бумаги А оказывается выше, чем риск, присущий ценной бумаге В, если в условиях равновесия ожидаемая доходность
А превосходит ожидаемую доходность В. Если проанализировать приведенный на рис. 2.11 график рынка капиталов, мы увидим, что для оптимальных (эффективных) портфелей характерна следующая зависимость: чем больше стандартное отклонение
их доходности, тем больше ожидаемая доходность Е(r) и, следовательно, тем выше риск. Таким образом, риск эффективного
портфеля определяется величиной ?. Однако стандартное отклонение доходности не позволяет в рамках ЦМРК измерить риск
ценной бумаги. Общая мера присущего ценной бумаге риска или,
говоря иначе, систематического риска, задается коэффициентом
«бета», (греческая буква ?). С формальной точки зрения коэффициент «бета» показывает предельный вклад доходности ценной бумаги в дисперсию доходности рыночного портфеля. Математическое выражение для коэффициента «бета» ценной бумаги j имеет вид
?j =
? jп
?п
,
(2.5.3)
где ?jп обозначает ковариацию между доходностью j-ценной бумаги и доходностью рыночного портфеля.
119
Коэффициент «бета» соответствует тому, что в статистике называется коэффициентом регрессии, при этом рыночная доходность выступает в качестве независимой переменной, а доходность ценной бумаги ? в качестве зависимой переменной.
Величина ? определяет влияние рынка на данные ценные бумаги: если ?j > 0, то доходность бумаг j-го вида колеблется в такт
с рынком, а если ?j < 0, то поведение бумаги прямо противоположно колебаниям доходности рынка в целом.
В соответствии с ЦМРК величина премии за риск для рыночного портфеля определяется общим неприятием риска инвесторами и неустойчивостью доходности активов рыночного портфеля.
Для того чтобы инвесторы согласились на риск, присущий рыночному портфелю, им необходимо предложить ожидаемую ставку
доходности, превосходящую безрисковую ставку. Чем выше общий уровень непринятия риска населением, тем выше оказывается требуемая участниками рынка премия за риск.
Премия за риск рыночного портфеля равна его дисперсии,
умноженной на средневзвешенный уровень неприятия риска kу.н.,
присущий потенциальным инвесторам
Е(rп) ? rб = kу.н. · ?п2.
(2.5.4)
Коэффициент kу.н. следует рассматривать в качестве индекса
степени неприятия риска в экономике. Таким образом, премия за
риск рыночного портфеля может изменяться с течением времени
либо в связи с изменением дисперсии, либо за счет изменений в
степени неприятия риска, либо в силу обеих причин.
Модель (2.5.1) определяет эффективности Еj (r) тех ценных бумаг, которые покупаются и продаются на идеальном рынке. Реальные ценные бумаги могут отклоняться от прямой (рис. 2.11),
отвечающей модели идеального конкурентного рынка. Соответствующие этим отклонениям невязки ?j между фактическими значениями Еj (r) и модельными оценками вызваны погрешностями
описания реальной рыночной ситуации оптимальным портфелем
и называются альфа вклада ( ?):
? j = E j (r ) ? ( rб +
120
E ( rn ) ? rб
?) .
?n
(2.5.5)
Наблюдаемые всплески (?j > 0) и провалы (?j < 0) означают,
что теоретическая линия рынка ценных бумаг занижает (соответственно завышает) возможности ценной бумаги j. Поэтому
одна из практических рекомендаций финансового анализа сводится к включению в портфель прежде всего тех ценных бумаг,
которые недооценены рынком (?j > 0), т.е. продаются дешевле,
чем того заслуживают.
На рис. 2.11 точки, соответствующие недооцененным ценным бумагам, будут располагаться выше линии рынка АЕ, а точки, соответствующие переоцененным ценным бумагам, ? ниже
этой линии.
В соответствии с ЦМРК в состоянии равновесия премия за риск
любой ценной бумаги равна соответствующему значению «бета»,
умноженному на премию за риск всего рыночного портфеля.
Эта взаимосвязь описывается следующей формулой
E(rj) ? rб = ?j (E(rп) ? rб).
(2.5.6)
Данное выражение описывает так называемую линию доходности рынка ценных бумаг, или ЛДРЦБ, приведенную на рис. 2.12.
Обратим внимание, что на рис. 2.12 соответствующее значение
«бета» ценной бумаги откладывается по горизонтальной оси, а
20 ?
?
Премия за риск
10 ?
М
?
0?
??2
?10 ?
?1
•
•J
•
0
1
Коэффициент «бета»
2
?
?
?20 ?
Рис. 2.12. Линия доходности ценных бумаг
121
величина ожидаемой доходности ? по вертикальной. Наклон линии доходности рынка ценных бумаг соответствует премии за риск
рыночного портфеля.
Уравнение (2.5.6) утверждает, что при предположениях ЦМРК
ожидаемая (или требуемая) доходность отдельного актива является линейной функцией его систематического риска, измеряемого бетой актива. Чем больше ?, тем больше ожидаемая доходность. Одно из свойств коэффициента ? портфеля заключается в
том, что он представляет собой взвешенное среднее коэффициентов «бета» входящих в него ценных бумаг, где в качестве весов
выступают доли инвестиций в эти бумаги.
Обратите внимание на то, что ожидаемая доходность актива
зависит только от «беты».
Рассмотрим значение доходности, предсказываемое ЦМРК
для разных значений «беты». «Бета» безрискового актива естественно равна нулю, поскольку безрисковый актив обладает нулевой изменчивостью доходности (т.е. его доходность постоянна). Кроме того, доходность безрискового актива некоррелирована с рыночной доходностью и их взаимная ковариация равна
нулю. Таким образом, для определения требуемой доходности
безрискового актива мы должны подставить 0 вместо ? j в уравнение (2.5.6)
E(rj) ? rб = 0 · (E(rп) ? rб), Е(rj) = rб.
Как и следовало ожидать, полученная доходность безрискового актива совпадает с безрисковой ставкой.
Рассмотрим теперь рыночный портфель. Его «бета» равна 1.
Доходность любого актива с тем же значением «беты» получается путем подстановки 1 в уравнение (2.5.6)
E(rj) ? rб = E(rп) ? rб , Е(rj) = Е(rп).
И в этом случае результат достаточно очевиден. Требуемая
согласно ЦМРК доходность актива с рыночным уровнем риска
совпадает с доходностью рыночного портфеля. Если актив имеет уровень риска выше рыночного, т.е. его «бета» больше 1, то
ожидаемая доходность актива будет выше рыночной. Верно и
противоположное: если риск актива ниже рыночного, то и его
доходность будет также ниже рыночной.
122
Предположим, что стандартное отклонение доходности рыночного портфеля соответствует 0,20; а среднее неприятие риска равно 2. В этом случае премия за риск по формуле (2.5.4) составляет
E(rп) ? rб = 2 · 0,22 = 0,08.
Или 8% годовых, и соотношение для ЛДРЦБ принимает вид
E(rj) ? rб = 0,08?j .
Одно из свойств коэффициента ? портфеля заключается в том,
что он представляет собой взвешенное среднее коэффициентов
«бета» входящих в него ценных бумаг, где в качестве весов выступают доли инвестиций в эти бумаги.
Коэффициент ? дает также возможность измерить относительную меру чувствительности фактической доходности данной
ценной бумаги по отношению к фактической доходности всего
рыночного портфеля. Таким образом, если фактическая доходность рыночного портфеля оказывается на Y% меньше (или
больше) ожидаемой, то полученная доходность ценной бумаги j
будет равняться значению, которое больше (или меньше) ожидаемого на величину, равную ?j Ч Y%. В связи с этим ценные
бумаги, имеющие высокий коэффициент «бета» (превышающий 1) называются «агрессивными», поскольку их доходность
обладает более сильной динамикой, чем доходность всего рыночного портфеля. Другими словами, их доходность сильнее повышается при общем подъеме на рынке и, соответственно, сильнее снижается при спаде. Аналогично этому ценные бумаги, коэффициенты «бета» для которых невелики (менее 1), называются
«оборонительными». Рыночный портфель имеет по определению
значение «бета», равное 1, а ценные бумаги с «бета», равным 1,
называются «среднерисковыми».
Если же какая-либо ценная бумага характеризуется ожидаемой доходностью и коэффициентом «бета», не принадлежащими
линии доходности рынка ценных бумаг, то это противоречие
ЦМРК. В частности, представьте себе некоторую ценную бумагу, для которой ожидаемая доходность и значение «бета» представлены точкой J, показанной на рис. 2.12. Поскольку эта точка
располагается ниже линии доходности рынка ценных бумаг, ее
ожидаемая доходность оказывается «слишком низкой», чтобы
123
уравновесить спрос и предложение. Или мы можем сказать, что в
данном случае рыночная цена слишком высока.
Такая ситуация входит в противоречие с ЦМРК, поскольку это
означает, что либо рынок не находится в состоянии равновесия,
либо инвесторы не пришли к согласию по вопросу о распределении
ставок доходности для обращающихся на рынке ценных бумаг, или
же инвесторы не заняты поиском оптимальных инвестиционных решений. В соответствии с предположениями, лежащими в основе
ЦМРК, инвесторы могут улучшить свои портфели ценных бумаг,
вкладывая меньше в ценные бумаги J и больше ? в другие ценные
бумаги. Это приводит к дополнительному предложению ценных
бумаг J и дополнительному спросу на другие ценные бумаги.
Коэффициент «бета» любого индивидуального инвестиционного портфеля, лежащего на линии доходности рынка ценных бумаг
(т.е. любого портфеля, сформированного в результате объединения
рыночного портфеля и безрисковых активов) равняется значению
той его части, которая вложена в рыночный портфель. Например,
«бета» для инвестиционного портфеля, в котором 0,75 вложено в
рыночный портфель, а 0,25 ? в безрисковые активы, равна 0,75.
Длительный западный опыт использования коэффициентов
«бета» для оценки риска и прогнозирования доходности рисковых активов показал, что фактически складывающиеся на рынке
коэффициенты «бета» указанных активов отличаются от расчетных, полученных на основе параметров уравнения линии характеристик. Поэтому коэффициенты «бета», определенные с помощью соответствующих уравнений регрессии, значения которых
отражают прошлые фактические значения доходности активов и
фондового рынка в целом, стали называть историческими. При
обосновании будущей доходности рисковых активов стали использовать скорректированные значения коэффициента «бета»,
которые должны отражать тот факт, что если данная акция или
иной рисковый актив достаточно долго котируется на рынке, то
их параметры (ожидаемая доходность и риск) приближаются к
параметрам рыночного портфеля, поскольку если акция имеет
более высокую доходность, чем в среднем по рынку, то на нее
будет повышенный спрос и ее быстро раскупят инвесторы, а если
более низкую, то спрос на нее упадет и она уйдет с рынка. Это
означает, что, чем дольше акция данного вида обращается на
фондовом рынке, тем ближе ее коэффициент «бета» будет при124
ближаться к единице, так как по определению коэффициент рыночного портфеля равен 1, и колебания доходности по таким акциям будут соответствовать колебаниям доходности по рынке в
целом. Например, У. Шарп предлагает определить скорректированные «бета» путем линейной комбинации среднерыночного
«бета» (равного 1) с коэффициентом 0,34 и расчетного или исторического «бета» с коэффициентом 0,66 [48]. Тогда
?скор = 0,34 · 1,0 + 0,66 · ?ист.
Для акций, например, фирмы «Apa Options Inc» скорректированное значение «бета» составляет
?скор = 0,34 · 1,0 + 0,66 · 0,60 = 0,74,
что больше исторического значения «бета». Скорректированное
«бета» приближается к единице снизу для исторических «бета»
меньше единицы.
Если историческое «бета» ? больше единицы, то указанная
корректировка приближает «бета» к единице сверху.
Можно показать, что скорректированные «бета» лучше соответствуют будущим фактическим значениям. Существуют и другие подходы к корректировке исторических «бета» с учетом отраслевой принадлежности фирмы и других факторов.
Очень важным является вопрос об устойчивости коэффициентов «бета» по периодам времени, поскольку значительные колебания коэффициентов «бета» во времени существенно снижали
бы устойчивость формируемых в соответствии с требованиями
модели ценообразования на финансовые активы индивидуальных портфелей инвесторов и ухудшали бы качество получаемых
оценок соответствующих параметров.
В отмеченной относительной стабилизации общего и специфического рисков по акциям, а также, судя по значениям коэффициентов «бета» и рыночного риска, находит свое отражение ряд процессов. Во-первых, речь может идти о влиянии процессов глобализации финансовых рынков на доходности и риски по акциям,
которые приводят как к сокращению доходности акций, так и к
снижению риска по этим финансовым инструментам. Кроме того,
развитие процессов глобализации усиливает хеджирующее воздей125
ствие развивающихся рынков финансовых инструментов ? опционов и фьючерсов. Во-вторых, одновременно следует учитывать
особенности методов расчетов коэффициентов «бета» на основе
однофакторной эконометрической модели, которые состоят в том,
что в процессе расчетов период сдвигается на один месяц, но этот
месяц составляет достаточно малую часть от стандартного пятилетнего периода наблюдений, который обычно используется при
определении коэффициентов «бета» акций. Поэтому коэффициенты «бета», а значит и оценки риска, обладают определенной стабильностью. Колебания риска, которые можно отметить в том или
ином конкретном случае, свидетельствуют об определенных изменениях доходности по акциям под влиянием факторов, которые не
учитываются в модели ценообразования на финансовые активы и
требуют специального анализа.
2.5.3. Формирование портфеля
ценных бумаг с применением ЦМРК
Из ЦМРК следует, что рыночный портфель, объединяющий рискованные активы, является также и эффективным портфелем. Это
означает, что инвестор будет действовать на рынке капитала одинаково хорошо, независимо от того, будет ли он просто следовать стратегии пассивного формирования портфеля ценных бумаг, объединяя
в нем ценные бумаги, отобранные в соответствии с динамикой фондовых индексов, и безрисковые ценные бумаги, или воспользуется
активной стратегией и попытается «обыграть» рынок.
Независимо от того, насколько точно ЦМРК отражает действительность, использование этой модели в любом случае дает
разумное объяснение для пассивной стратегии формирования портфеля ценных бумаг.
Диверсифицируйте свои вложения в рискованные ценные бумаги таким образом, чтобы они соответствовали распределению
рискованных активов в рыночном портфеле.
Объединяйте этот портфель с безрисковыми ценными бумаги
для получения желаемой комбинации «риск?доходность».
Эта же пассивная стратегия может быть использована в качестве эталона определения степени рискованности инвестиций при
анализе эффективности активной стратегии формирования портфеля ценных бумаг.
126
Проиллюстрируем это на примере. Предположим, что вы собираетесь сделать вложения в объеме 1 млн. у.е. Вы должны принять решение о том, как распределить эту сумму между двумя рискованными видами вложений: акциями и облигациями, а также
безрисковыми ценными бумагами. Известно, что в целом в экономике относительное предложение каждого из этих трех классов
ценных бумаг таково, что 60% существует в виде акций, 40% ? в
виде облигаций, и 0% ? в виде безрисковых ценных бумаг. Таким,
соответственно, оказывается и состав рыночного портфеля.
Если ваше неприятие риска находится на среднем уровне, то
вы вложите 600 000 у.е. в акции, 400 000 у.е. ? в облигации и ничего не вложите в безрисковые ценные бумаги. Если ваше неприятие риска превышает средний уровень, то вы вложите часть своей
суммы в 1 млн. у.е. в безрисковые ценные бумаги, а остальную
сумму ? в акции и облигации. В любом случае сумма, вложенная в
акции и облигации, распределится между ними в таком соотношении: 60% будет инвестировано в акции, а 40% ? в облигации.
Для оценки эффективности работы менеджеров по управлению портфелями ценных бумаг на основе анализа соотношения
«риск ? доходность» ЦМРК предлагает достаточно простой эталон, основанный на использовании ГРК. С этой целью необходимо сравнить уровень доходности, полученный в результате управления анализируемым портфелем ценных бумаг, с уровнем доходности, достигнутым при простом объединении рыночного
портфеля и безрисковых ценных бумаг в пропорции, приводящей к такой же степени риска, что и в анализируемом портфеле.
При пользовании данным методом необходимо рассчитывать
стандартное отклонение находящегося под управлением портфеля ценных бумаг для соответствующего периода времени в прошлом ? например, за последние 10 лет, а затем делать выводы о
том, какая средняя ставка доходности достигалась бы в случае
применения стратегии объединения рыночного портфеля и безрисковых активов с целью получения портфеля ценных бумаг с
аналогичной степенью риска. Далее следует сравнить среднюю
ставку доходности рассматриваемого портфеля ценных бумаг со
значением средней ставки доходности эталонного портфеля.
На практике рыночный портфель, используемый для определения эффективности работы управляющих портфелями ценных
бумаг, представляет собой, скорее, хорошо диверсифицированный
127
портфель акций, чем реальный рыночный портфель, содержащий
все рискованные ценные бумаги. Как оказывается, превзойти простую стратегию, ориентированную на применение эталонного
портфеля, непросто. Исследования эффективности управления
взаимными фондами, инвестирующими в акции, достоверно свидетельствуют, что простая стратегия, рассмотренная выше, показывает результаты, превышающие эффективность деятельности
примерно двух третей упомянутых фондов. В результате все больше домохозяйств и пенсионных фондов стали принимать пассивную инвестиционную стратегию в качестве эталона для оценки
эффективности портфельного инвестирования. Такой вид стратегии стал известен под названием индексирования, поскольку портфель, используемый в качестве образца рыночного портфеля,
часто основывается на пропорциях, в которых ценные бумаги используются для расчета фондовых индексов.
Независимо от того, верна или нет лежащая в основе ЦМРК
теория, индексирование представляется привлекательной инвестиционной стратегией, по меньшей мере, в силу двух причин. Вопервых, практика показывает, что индексирование выступает более эффективной стратегий, чем большинство активных стратегий, применяемых для управления портфелями ценных бумаг.
Во-вторых, применение стратегии индексирования требует меньше расходов, чем стратегия активного управления портфелем.
Дело в том, что в первом случае не возникает необходимости
нести затраты на исследования по выявлению недооцененных
рынком ценных бумаг. К тому же операционные затраты оказываются, как правило, значительно меньше.
Как мы уже видели, график рынка капиталов представляет
собой удобный и эффективный эталон для оценки результативности инвестирования в активы портфеля. Однако семьи и пенсионные фонды часто пользуются услугами нескольких разных
менеджеров по управлению портфелями ценных бумаг, причем
каждый из них осуществляет управление только частью портфеля. Для оценки работы таких специалистов ЦМРК предлагает
другой критерий ? линию доходности рынка ценных бумаг.
Из п. 2.5.2 следует, что премия за риск любой ценной бумаги
равняется произведению ее коэффициента «бета» и премии за риск
всего рыночного портфеля. Разность между ожидаемой доходностью ценной бумаги или портфеля ценных бумаг и соответствую128
щей точкой на линии доходности рынка ценных бумаг (равновесной ставкой доходности) называется коэффициентом «альфа» (?).
Если менеджер по управлению портфелями ценных бумаг может работать так, чтобы значение ? постоянно было положительным, его работа оценивается как отличная, даже если показатели находящегося под его управлением портфеля и не демонстрируют в отдельных моментах более высокой эффективности
по сравнению с графиком рынка капиталов.
Для того чтобы разобраться в этом ребусе, рассмотрим, как
инвестор может использовать фонд с положительным значением
? > 0 в комбинации с рыночным портфелем и безрисковыми ценными бумагами для создания общего портфеля с эффективностью, превышающей задаваемую графиком рынка капиталов. Проиллюстрируем это на конкретном примере.
Предположим, что безрисковая ставка доходности составляет 6% годовых, премия за риск рыночного портфеля равна 8%
годовых, а стандартное отклонение доходности рыночного портфеля равно 20%. Рассмотрим управление некоторым фондом
А, представляющим собой взаимный фонд, с ? = 0,5, ?, составляющим 1% (в год), и стандартным отклонением, равным 15%.
На рис. 2.13 и 2.14 показано положение фонда А по отношению к линии доходности рынка ценных бумаг и к графику рынка
20 ?
?
Премия за риск
10 ?
Alpha
?
0?
?2
?
?10 ?
?1
•
•
0
1
Коэффициент «бета»
М
•
2
?
?
?20 ?
Рис. 2.13. Фонд А и линия доходности рынка ценных бумаг
129
E(r)
20 ?
?
Премия за риск
16 ?
E
•
?
12 ?
•
Alpha
?
•
М
8?
•? А
4?
?
0
5
10
15
20
25
30 ?
Рис. 2.14. Фонд А и график рынка капиталов
капиталов. На обоих рисунках точка ? представляет фонд А. На
рис. 2.13 ? располагается над линией доходности рынка ценных
бумаг. Величина ? для фонда А равна расстоянию по вертикали
между точкой ? и линией рынка ценных бумаг.
На рис. 2.14 точка ? лежит ниже графика рынка капиталов и,
таким образом, управление оказывается неэффективным. Ни один
инвестор не стал бы держать акции фонда А в качестве единственного наполнения своего портфеля, поскольку он может добиться
более низкого риска и/или более высокой ожидаемой доходности,
объединив рыночный портфель с безрисковыми ценными бумагами. Однако, комбинируя акции фонда А с рыночным портфелем в
определенных оптимальных соотношениях, можно достичь точек,
лежащих выше графика рынка капиталов.
Точка Е на рис. 2.14 соответствует оптимальной комбинации
акций фонда А и рыночного портфеля. Посредством соединения
получившегося портфеля с безрисковыми ценными бумагами инвесторы могут получить комбинации «риск?доходность», лежащие на линии соединяющей точки А и Е. При этом все данные
комбинации будут превышать показатели графика рынка капиталов. Таким образом, если вы можете найти управляющего портфелем ценных бумаг, способного обеспечить положительные
значения ?, то вы можете превзойти рынок.
130
Еще с начала 70-х годов исследователи, занимавшиеся проверкой соответствия линии доходности рынка ценных бумаг реальному положению дел и использовавшие для этих целей ретроспективный анализ доходности обыкновенных акций на фондовом рынке
США, установили, что не наблюдается достаточного подтверждения ставкам доходности акций, предсказываемым ЦМРК. Исследования, продолжающиеся с того времени, привели к появлению как
дополненных вариантов ценовой модели рынка капитала, так и альтернативных ей моделей. При этом использовались материалы анализа различных рынков финансовых активов. В итоге среди ученых
и практиков было достигнуто согласие относительно того, что исходная простая версия ЦМРК должна быть модифицирована.
Недостатки модели ценообразования на финансовые активы
связаны с достаточно жесткими исходными предпосылками.
Прежде всего с предположением о существовании совершенного
рынка капитала, однородных ожиданиях, одинаковой оценке рыночного портфеля всеми инвесторами, каждый из которых должен располагать акциями всех видов, входящих в этот портфель,
с наличием не учитываемых факторов и трудностями эмпирической проверки полученных рекомендаций.
На практике в расчетах в качестве рыночных используются
портфели, на основе которых определяются различные биржевые индексы. Эти портфели могут принадлежать или не принадлежать эффективному множеству портфелей, что затрудняет однозначную интерпретацию полученных данных и требует известной тщательности при анализе результатов эмпирических
проверок соответствия версии модели ЦМРК.
Возможные объяснения наблюдаемых отклонений от ЦМРК
подразделяются на три типа. Первый из них состоит в том, что
ЦМРК в целом верна, но «рыночные» портфели, использованные для проверки, были неполными и не отражали должным образом истинный рыночный портфель.
В другом случае основное внимание уделяется допущениям,
имеющимся в ЦМРК, но не действительным в условиях реального рынка. Речь идет о стоимости кредита и ограничениях на его
получение; затратах и ограничениях, связанных с открытием коротких позиций по ценным бумагам; различием в налогообложении для разных активов; а также невозможности торговли некоторыми важными ресурсами ? такими, например, как челове131
ческий капитал. Эти элементы с очевидностью изменяются с течением времени при изменении технологий, организационной
структуры общества, а также законодательства.
Третий подход к анализу противоречий ЦМРК состоял в том,
чтобы, сохраняя ее методологические основы, придать больший
реализм предположениям, используемым в модели. Это означает
сохранение базового предположения ЦМРК о том, что инвесторы (или их представители) следуют принципам выбора оптимального портфеля ценных бумаг. Однако в модель вводятся дополнительные факторы, которые усложняют ситуацию, делая ее реалистичнее. Одна из полученных таким образом моделей носит
название межвременной ценовой модели рынка капитала. В этой
динамической модели равновесные премии за риск, который несут инвесторы, приобретая ценные бумаги, формируются с учетом нескольких возможных вариантов измерения рискованности
вложений. При этом на риске сказывается не только чувствительность к доходности рыночного портфеля или величина его коэффициента «бета», но и чувствительность акций к другим систематическим рискам, таким, как изменения процентных ставок, ожидаемой доходности финансовых активов, а также изменения в
ценах на потребительские товары. При таком подходе ценные бумаги не просто формируют рыночный портфель инвестора, но и
выполняют более широкий спектр хеджирующих функций.
Основное преимущество модели ценообразования на финансовые
активы по сравнению с классической теорией выбора портфеля состоит в том, что она позволяет формировать индивидуальные портфели с учетом рыночного, недиверсифицируемого, риска активов и
взаимосвязи доходности этих активов с доходностью рыночного
портфеля, не принимая во внимание будущие состояния экономики
и субъективные вероятности их наступления. Было установлено, что
связь между риском и доходностью можно считать линейной. Последнее упрощает анализ риска и разработку практических рекомендаций. Выделение из общего риска его недиверсифицируемой части
играет важную роль при исследовании и оценке рисковых активов.
ЦМРК, независимо от того, насколько строго она соответствует действительности, дает возможность для рационального
применения достаточно простой пассивной стратегии управления портфелем ценных бумаг. Для этого инвестору необходимо
соблюдать следующие правила:
132
• диверсифицировать вложения в рискованные ценные бумаги в соответствии с их пропорциями в рыночном портфеле;
• объединить полученный портфель рискованных активов с
безрисковыми ценными бумагами для достижения желаемой комбинации «риск?доходность».
ЦМРК применяется в управлении портфелем ценных бумаг в
основном в двух случаях:
• в установлении логически обоснованной и удобной для инвестора стартовой позиции для определения направлений размещения своих активов и выбора ценных бумаг;
• в установлении на основе показателей риска и доходности
критерия для оценки действий менеджеров, управляющих портфелями ценных бумаг.
В управлении финансами корпораций ЦМРК используется для
определения учитывающий риск рыночной ставки дисконтирования в применяемых фирмой оценочных моделях стоимости активов и при принятии решений по долгосрочным инвестициям.
ЦМРК применяется также для установления «справедливой» нормы прибыли на вложенный капитал для фирм, деятельность которых подлежит регулированию, а также в ценообразовании на
базе издержек и фиксированной прибыли.
В настоящее время только в немногих финансовых теоретических конструкциях ЦМРК в своем простейшем виде считается
точной моделью, позволяющей полностью объяснить или предсказать премии за риск рискованных активов. Однако модифицированные версии этой модели остаются центральной частью
теории и практики управления финансами.
2.6. ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ
С ПОМОЩЬЮ АППАРАТА ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Ограниченные оптимизационные задачи, в которых целевая
функция имеет вид линейной функции переменных и в которых
функции ограничений также линейны, известны как задачи линейного программирования.
Разработанный Данцигом в 1940-х годах симплексный алгоритм ? это конечношаговый итерационный процесс нахождения
133
оптимального значения (экстремума) целевой функции для любого количества переменных (в пределах технических возможностей ЭВМ).
Приложением линейного программирования (ЛП) к выбору
портфеля является построение портфелей в рамках ЦМРК.
Модель выражает ожидаемый доход по активу в виде линейной функции от безрисковой ставки дохода, ожидаемого дохода
по рыночному портфелю и уровня систематического риска, присущего активу. Ожидаемый доход по активу j определяется формулой (2.5.6).
Когда мы комбинируем активы в портфель, доходы по каждому активу складываются в линейной форме, и риск портфеля, представляемый ? портфеля, тоже является линейной комбинацией. В
данном случае это средняя взвешенная из ?j отдельных активов.
Для иллюстрации этого предположим, что мы желаем скомбинировать два актива в портфель с пропорциями Va и
Vb (Va + Vb = 1). Допустим, что ожидаемые доходы по этим
активам обозначаются E(ra) и E(rb) соответственно и что ? активов ? ?a и ?b.
Тогда ожидаемый доход по портфелю будет равен VaЕ(ra) +
+ Vb Е(rb), т.е. доходы складываются линейно.
Подобно этому, так как в модели ЦМРК
Е(ra) = r? + ?a (Е(rп) ? r?)
(2.6.1)
Е(rb) = r? + ?b (Е(rп) ? r?),
(2.6.2)
и
следует, что доход по портфелю определяется через
Va [r? + ?a (Е(rп) ? r?)] + Vb [r? + ?b (Е(rп) ? r?)] =
= r? + [Va ?a + Vb ?b ](Е(rп) ? r?) = r? + ? (Е(rп) ? r?),
(2.6.3)
где ? = V? ?a + Vb ?b .
Таким образом, ? портфеля активов является средней взвешенной ? отдельных активов. Следовательно, если цель процедуры оптимизации заключается в максимизации дохода по портфелю при ограничениях максимального размера ? портфеля, перед нами ставится задача, где целевая функция, т.е. доход по
134
портфелю, линейна и ограничения тоже линейны. Следовательно, мы имеем задачу линейного программирования.
Проиллюстрируем приложение линейного программирования
к максимизации дохода по портфелю из трех активов при ограничении максимального уровня ? портфеля.
Рассмотрим задачу построения портфеля с целевой функцией
достижения максимального ожидаемого дохода при том ограничении, что ? портфеля не должна быть выше 1,3. Допустим, что
для выбора у нас есть три актива ? А, В и С. Их ожидаемые
доходы составляют 0,14, 0,16 и 0,10 соответственно ? для
ЦМРК равны 1,2, 1,4 и 1,0 соответственно. Доли каждого из активов в портфеле обозначаются как VА = V1, VВ = V2 и VС = V3.
Значения этих весов устанавливаются портфельным менеджером
и являются переменными, которые могут корректироваться для
достижения цели. Ожидаемые доходы и значения ? различных
активов зафиксированы с точки зрения портфельного менеджера, потому что они определяются рынком. Однако доходы и величина ? портфеля могут формироваться портфельным менеджером посредством подбора для каждого из активов в портфеле. Цель состоит в том, чтобы найти те комбинации весов, которые максимизируют целевую функцию при ограничениях.
Таким образом, задача заключается в определении оптимальных пропорций (весов) каждого из активов, которые приведут к
максимальному ожидаемому доходу при условии данного максимального уровня ?. Эта задача может быть сформулирована
математически следующим образом.
Максимизировать функцию (доход)
Z = 0,14V1 + 0,16V2 + 0,10V3
(2.6.4)
при ограничениях
? 1,2V1 + 1,4V2 + V3 ? 1,3,
? 0 ? V1 ? 1,
?
? 0 ? V2 ? 1,
? 0 ? V3 ? 1,
? V + V + V = 1.
2
3
? 1
(2.6.5)
В ней все ограничения линейны и присутствуют в виде равенств и неравенств. Техника решения не обсуждается в виду ее
тривиальности в настоящее время.
135
Решение задачи (2.6.4) ? (2.6.5) с помощью стандартных программ показывает, что оптимальный план содержит только активы А и В. И при этом V1 = V2 = 0,5, а Zmax = 0,15, или 15%.
2.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ
ПРИ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА
2.7.1. Постановка задачи
ЦМРК (САРМ) предполагает, что только систематический
риск каждого отдельного актива важен при построении портфеля. Однако модель, первоначально разработанная Марковицем и
до сих пор широко применяемая, использует общий риск каждого отдельного актива. Следовательно, при построении портфелей
и определении общего риска портфеля должны рассматриваться
ковариации в каждой паре потенциальных для портфеля активов.
Известно, что когда доходы по рискованному активу являются случайными переменными, доходы по портфелю ? это взвешенная по стоимости средняя доходов по отдельным активам, т.е.
Е (rП ) =
n
?V r
i =1
(2.7.1)
i i
Однако среднее квадратическое отклонение портфеля не равно взвешенной по стоимости средней из средних квадратических
отклонений отдельных ценных бумаг, потому что должна быть
учтена ковариация в каждой паре активов. Для иллюстрации этого запишем среднее квадратическое отклонение портфеля из двух
активов которое составляет:
? П = V12? 12 + V22? 22 + 2V1V2 ( ?
,
(2.7.2)
где ?П ? среднее квадратическое отклонение портфеля, V1 и V2 ?
веса активов 1 и 2 в портфеле; ?12 и ?22 ? дисперсии доходов по
активам 1 и 2; ?12 ? корреляция доходов по активам 1 и 2;
?1 и ?2 ? средние квадратические отклонения доходов по 1 и 2;
(?12?1?2) ? ковариации доходов по активам 1 и 2.
136
Выражение (2.7.2) может быть обобщено
? П2 =
n
?
i =1
V i2? i2 +
n
n
? ?V V ?
i =1 j =1, i ? j
i
j
(2.7.3)
где ? ij ? ковариация в портфеле в парах активов.
Для портфеля активов с 1 по n это может быть записано в
матричной форме как
? П2
? ? 12? 12 ... ? 1n
?
2
= (V1V2 ...Vn ) ? ? 21? 2 ... ? 2 n
? ..................
? ? ? ... ? 2
n
? n1 n 2
(2.7.4)
Каждый элемент ? дисперсия в дисперсионно-ковариационной матрице умножен дважды на соответствующий ему вес
актива, поэтому веса, связанные с дисперсиями, имеют возведенное в квадрат влияние, т.е. Vi2. Каждая ковариация умножается один раз на вес каждого актива из пары активов и существуют две ковариации для каждой возможной пары, т.е.
2covViVj.
Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который
участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по
различным их видам. Естественно, что целью инвестора является
такое вложение денег, которое сохраняет его капитал, а по возможности и наращивает его.
Обозначим через хi, i = 1,n долю капитала, потраченную на
покупку ценных бумаг i-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть Ei ? доходность в процентах годовых ценных бумаг iго вида в расчете на одну денежную единицу. Тогда доходность
портфеля равна
ЕП =
n
?x E
i =1
i
i
(2.7.5)
Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна
аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через
доходности бумаг и их доли формулой (2.7.5).
137
Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так
что будем считать ее случайной величиной. Пусть ei, ?i ? средняя
ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение
(СКО) этой случайной доходности, т.е. ei = М[Ei] ? математическое ожидание доходности и ri = Vii , где Vii ? вариация или дисперсия i-й доходности. Будем называть ei, ri соответственно эффективностью и риском i-й ценной бумаги. Через Vij обозначим
ковариацию доходностей ценных бумаг i-го и j-го видов (или корреляционный момент Kij).
Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг
случайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Математическое ожидание доходности портфеля есть
M [ EП ] = х1M [ E1 ] + ... + хn M [ E
,
обозначим его через еП. Дисперсия доходности портфеля есть
D[ EП ] =
?x x ?
i
j
ij .
i, j
Так же, как для ценных бумаг, назовем еП эффективностью
портфеля, а величину ? П = D[ EП ] ? риском портфеля rП. Обычно дисперсия доходности портфеля называется его вариацией
2
.
DП = ? П
Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффективности составляющих его ценных бумаг и их совместные
ковариации.
Пусть портфель наполовину (по стоимости) состоит из бумаг
первого вида с доходностью 14% годовых и из бумаг второго вида
с доходностью 8% годовых. Какова эффективность портфеля?
Оба термина ? доходность и эффективность ? специально
упомянуты вместе. Имеем 0,5 · 14 + 0,5 · 8 = 11% годовых.
Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с дилеммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск поменьше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необходимо сделать определенный выбор между эффективностью и
138
риском (этот выбор в конечном счете определяется отношением
ЛПР к эффективности и риску).
Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель
оценивается по двум характеристикам ? эффективности и риску,
то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем,
что 1-й портфель с эффективнстью е1 и риском r1 доминирует
2-й с е2, r2, если е1 ? е2, и r1 ? r2, и хотя бы одно из этих неравенств
строгое. Недоминируемые портфели назовем оптимальными по
Парето, такие портфели называют еще эффективными. Конечно,
инвестор должен остановить свой выбор только на эффективных
портфелях.
Если рассмотреть какое-нибудь множество портфелей и нанести их характеристики ? риск rП и эффективность еП на плоскость риск?доходность, то типичное множество эффективных
портфелей выглядит, как кривая DAC на рис. 2.15.
•
C
е
•A
D
•
r
Рис. 2.15
Не расположенный к риску инвестор действует в соответствии
с теоремой Неймана?Монгенштерна [28], составляя портфель
таким образом, чтобы максимизировать математическое ожидание полезности дохода (2.7.1) или (2.7.5). По общему свойству
задач условной оптимизации следует, что с расширением выбора
(2.7.1) (при росте n) шансы на более высокий уровень ожидаемой
полезности увеличиваются.
Любой инвестор заинтересован в уменьшении риска портфеля при поддержании его эффективности на определенном уровне.
139
Пусть в портфеле собрано k различных видов ценных бумаг.
Рассмотрим дисперсию портфеля
DП =
?x x ?
i
j
.
ij
(2.7.6)
i, j
Разобьем слагаемые на две группы:
DП =
?x ? + ?x x ?
2
i
i
2
i
i? j
i
j
ij
.
В первой группе слагаемых k, а во второй ? k(k ? 1). Предположим для простоты, что стоимость портфеля распределена рав1
ными долями по этим видам ценных бумаг, т.е. все xi = . Тогда
k
по формулам для дисперсии имеем
DП =
1
k2
??
i
2
i
+
1
k2
??
i? j
ij
=
1
k
.
? i2
может быть названа средней дисперсией ценk
i
? ij
? их
ных бумаг, входящих в портфель, а величина
k( k ? 1)
i? j
Величина
?
?
средней ковариацей. Поэтому предыдущую формулу можно выра1
зить словами: дисперсия портфеля равна
средней дисперсии
k
? 1?
плюс ?1 ? ? средней ковариации. Это и есть эффект диверсифи? k?
кации портфеля: с ростом числа входящих в портфель ценных бумаг в его дисперсии (и риске) вклад средней дисперсии (среднего
риска) становится все меньше, зато все больше ? вклад средней ковариации. Так что, если входящие в портфель ценные бумаги мало
коррелированы друг с другом, то дисперсия портфеля уменьшается с ростом числа входящих в портфель бумаг.
В реальности, однако, практически все ценные бумаги, обращающиеся на рынке, испытывают воздействие общеэкономических факторов и изменяются под их воздействием. Это приводит к
140
Стандартное отклонение доходности портфеля
тому, что их взаимная корреляция является вполне заметной величиной. Эта взаимная корреляция обусловливает так называемый
рыночный, или систематический, риск портфеля, его также называют недиверсифицируемым риском. Систематический риск ? это
минимальный уровень риска портфеля, которого можно достичь
при диверсификации с большим количеством произвольно выбранных активов. Иными словами, систематический риск порождается общими рыночными и экономическими условиями, и этот
риск не может быть полностью диверсифицирован.
Конечно, в силу особенностей работы эмитентов ценных бумаг каждая конкретная ценная бумага испытывает свои колебания эффективности, иногда совершенно не связанные с общерыночными. Эти колебания обусловливают так называемый индивидуальный, или несистематический, риск ценной бумаги. Его
также называют диверсифицируемым, уникальным, остаточным
или специфическим риском.
Снижение несистематического риска портфеля при помощи диверсификации можно проиллюстрировать графически. На
рис. 2.16 показано, что уже для портфеля из 20 случайно подо-
Несистематический
или диверсифицируемый
риск
Совокупный риск
Систематический
или рыночный риск
Число активов в портфеле
Рис. 2.16. Систематический и несистематический риски портфеля
141
бранных активов (в данном случае обыкновенных акций), риск
можно почти полностью диверсифицировать. Существенно, что
оставшийся риск представляет собой систематический или рыночный риск.
Таким образом, можно сделать следующий вывод: общий риск
актива измеряется вариацией его доходности. При этом он делится на систематический и несистематический компоненты.
Диверсификация портфеля может почти полностью устранить
влияние на риск всего портфеля индивидуального риска отдельных ценных бумаг, но она не в силах устранить рыночный риск
всего портфеля.
Рассмотрим более конкретно упрощенные примеры влияния
корреляции разных ценных бумаг. Предположим сначала, что
ценные бумаги различных видов ведут себя независимо, они некоррелированы, т.е. ?ij = 0, если i ? j. Тогда DП =
?x ?
2
i
2
i
и
i
? x = 1.
i
i
Предположим далее, что деньги вложены равными долями,
1
ei
т.е. xi =
для всех i = 1, n . Тогда eП =
? средняя ожиk
n
i
даемая эффективность портфеля, и риск портфеля равен
?
rn =
?
i
?
? i2
. Пусть ? 2 = max ? i2 , тогда rП ?
.
n
n
Отсюда вывод: если ценные бумаги некоррелированы, то при
росте числа их видов n в портфеле риск портфеля ограничен и
стремится к 0 при n ? ?.
Анализ составления портфеля из нескольких видов некоррелированных ценных бумаг позволяет сделать ряд важных
выводов.
Предположим, инвестор имеет возможность составить портфель из четырех видов некоррелированных ценных бумаг, эффективности и риски которых даны в таблице.
i
ei
?i
142
1
2
1
2
4
2
3
8
4
4
12
6
Рассмотрим несколько вариантов составления портфеля из
этих бумаг равными долями. Напомним, что эффективность портфеля есть среднее арифметическое эффективностей, а риск в дан-
r12 + r22 + ... + rn2
.
n
В табл. 2.4 сведены результаты расчетов эффективности е и
риска r для портфелей, образованных из различного сочетания
ценных бумаг.
ном случае r 2 =
Т а б л и ц а 2.4
Портфель образован из бумаг
е
r
1-го и 2-го видов
3,0
1,12
1-го, 2-го и 3-го видов
4,67
1,53
Всех 4-х видов
6,5
1,89
2-го, 3-го и 4-го видов
8
2,49
3-го и 4-го видов
5
3,61
Как видим, при составлении портфеля из все большего числа
ценных бумаг риск растет весьма незначительно, а эффективность
растет быстро.
Однако, как указано выше, полная некоррелированность ценных бумаг по существу невозможна.
При полной прямой корреляции диверсификация портфеля
не дает никакого эффекта ? риск портфеля равен среднему арифметическому рисков составляющих его ценных бумаг и не стремится к нулю при росте числа видов ценных бумаг.
Положительная корреляция между эффективностями двух ценных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и
тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора действует на обе бумаги в одну и ту же сторону. Диверсификация
портфеля путем покупки обеих бумаг бесполезна ? риск портфеля от этого не уменьшится.
При полной обратной корреляции возможно такое распределение вложений между различными видами ценных бумаг, что
риск полностью отсутствует.
Полная обратная корреляция довольно редкое явление и
обычно она очевидна.
143
Суммируя записанные выше отдельные элементы формализации, придем в общем случае к следующей оптимизационной задаче, которую решает инвестор: максимизировать доходность
портфеля
EП =
n
?x E
i =1
i
,
i
(2.7.7)
сведя риск (дисперсию) портфеля
? П2 =
n
n
?? x x ?
i =1 j =1
i
j
ij
(2.7.8)
к минимальному значению и выполняя естественное условие
n
? x = 1.
i =1
i
(2.7.9)
Если инвестор только покупает ценные бумаги, то добавляется условие неотрицательности хi ? 0.
Задача в постановке (2.7.7) ? (2.7.9), как показывает обзор
имеющейся литературы, до сих пор не решена.
Для инвестора, который готов участвовать в операциях типа
коротких продаж, что равносильно взятию в долг суммы (?хi)
под случайную ставку ri, неизвестные хi могут быть любого знака. Подобное заимствование сводится к тому, что инвестор продает акции, которых у него нет и которые он обещает поставить
на оговоренную дату. При этом он назначает цену продажи, исходя из оценки будущего курса.
На дату поставки инвестор приобретает акции на реальном
рынке и закрывает свои обязательства. Из-за возможного несоответствия цены приобретения ожиданиям инвестора вся операция сопряжена с риском процентной ставки ri учитываемой в
модели характеристиками еi, ?i2.
Мы здесь не даем схемы коротких продаж, т.е. продаж ценных бумаг, которых в данный момент нет, рекомендуя обратиться к специальной литературе. Для нас важно только то, что если
некоторые переменные хi окажутся отрицательными, то это бу144
дет означать, что по данным позициям следует участвовать в подобных операциях.
Очевидно, что точка (х1, ?, хn), доставляющая максимум полезности U (e, ?), принадлежит множеству таких допустимых точек задачи (2.7.7) ? (2.7.9), которые не могут быть улучшены сразу по двум критериям ? е и ?. В теории многокритериальной
оптимизации такие решения называются Парето-оптимальными,
или эффективными.
Чтобы пояснить смысл этого понятия, представим себе контур,
соединяющий точки с координатами е, ?, вычисленными для допустимых точек некоторого «условного» множества х (рис. 2.17).
?
C
C1
B
C3
C2
A
е
Рис. 2.17. Восходящая дуга АВ соответствует Парето-оптимальному
множеству решений
Множеству эффективных точек соответствует восходящая дуга
АВ: для любой посторонней точки, например С, можно построить
улучшающую ее точку (*) в том смысле, что либо
е* > e, ?* = ? (точка С1), либо е* = e, ?* < ? (точка С2), либо
е* > e, ?* < ? (точка С3), а для «своих» точек этого сделать нельзя.
В связи с этим ясно, что поиск оптимального по критерию
полезности U (e, ?) портфеля можно проводить в два этапа: вначале, решая задачу (2.7.7) ? (2.7.9), найти множество эффективных портфелей, а затем из этого множества отобрать портфель с
максимальным уровнем полезности. Очевидно, что это может
быть сделано с помощью множества эффективных точек.
На данном этапе достаточно лишь знать, что у инвестора имеется некоторая функция полезности U (e, ?), с помощью которой
он может анализировать варианты, причем предпочтение отдается варианту с большим значением этой функции.
145
2.7.2. Построение границ эффективности
портфеля
Известно, что если коэффициент корреляции в парах активов
меньше чем 1,0, то диверсификация может улучшить взаимосвязь
между ожидаемым риском портфеля и ожидаемым доходом по
портфелю. Это происходит потому, что, если переменная доходности является линейной функцией средней доходности, то фактор риска представляет собой квадратическую функцию дисперсии доходов по ценным бумагам. Степень улучшения портфеля
зависит от весов, которые каждый из активов имеет в портфеле,
и от корреляции между ними.
Лучший способ продемонстрировать это ? пример с двумя активами. Рассмотрим данные табл. 2.5 ? различные средние квадратические отклонения портфеля, составленного из двух рискованных активов, при допущениях, что корреляция ?12 равна 0,6
или 0,9 и что доли каждого актива в портфеле меняются на 10%.
Рис. 2.18 ? это диаграмма границ эффективности, относящихся к
портфелям, построенным с учетом предположенных ?12 = 0,60 и
?12 = 0,90. Актив 1 имеет ожидаемый доход 8% со средним квадраТ а б л и ц а 2.5
?П при ?12 = 0,6 ?П при ?12 = 0,9
Вес V2
Вес V1
Доход Е(rn)
0
1,0
8,0
12
12
0,1
0,9
8,4
11,82
12,26
0,2
0,8
8,8
11,80
12,56
0,3
0,7
9,2
11,91
12,89
0,4
0,6
9,6
12,17
13,26
0,5
0,5
10,0
12,55
13,65
0,6
0,4
10,4
13,06
14,07
0,7
0,3
10,8
13,67
14,52
0,8
0,2
11,2
14,37
15,0
0,9
0,1
11,6
15,15
15,49
1,0
0
12,0
16,0
16,0
146
тическим отклонением 12%, а актив 2 ? ожидаемый доход 12% со
средним квадратическим отклонением 16%.
Средние квадратические отклонения портфеля вычисляются
по формуле (2.7.2).
Для предположенной степени корреляции среднее квадратическое отклонение рассчитано для некоторых различных портфелей, которые могут быть построены из этих двух активов и
нанесены на диаграмму (рис. 2.18).
E(rп)
•
12 ?
В
11 ?
10 ?
D
9?
8?
•
C •
• A
=
=
0
?12 = 0,9
?12 = 0,6
11
12
13
14
15
16 ?П
Рис. 2.18. Границы эффективности
Сначала рассмотрим данные в столбце табл. 2.5 для ?12 = 0,6
и график на рис. 2.18 для ?12 = 0,6, отражающие выгоды от диверсификации для случая, когда активы умеренно коррелированны. Данные и график, обозначенные ?12 = 0,9, показывают, что
диверсификация имеет благотворное влияние на соотношение
риск-доход, даже когда активы высоко, но не полностью коррелированны. Заметим, что в обоих случаях граница эффективности выпукла. Чем больше степень выпуклости, тем больше выгоды от диверсификации. Учтем, однако, что не все точки на границе эффективны, а эффективна только верхняя часть каждой
вогнутой границы (обозначенных АВ на рис. 2.18).
147
Верхняя часть каждой из линий АВ представляет границу эффективности возможных портфелей, так как на границе невозможно достичь большего дохода без несения большего риска. Выше
линии находится область недостижимых комбинаций риска и дохода из-за ограниченности характеристик ценных бумаг 1 и 2.
Ниже линии находятся худшие комбинации риска и дохода, которые могут быть улучшены просто перемещением в любую точку
на линии АВ. Это достигается продажей существующих активов
и покупкой 1 и/или 2.
2.7.3. Задача оптимизации портфеля
Теперь, понимая взаимосвязь между риском и доходом и влияние ковариации, мы можем сформулировать задачу оптимизации портфеля. Она заключается в том, чтобы определить, какая
доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций
так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска оптимально соответствовали целям инвесторов. Предположим, что
последние состоят в минимизации риска портфеля, где риск измеряется дисперсией портфеля.
На практике инвестор обычно устанавливает ограничения
относительно способа, по которому может быть построен портфель. Например, целевой функцией может быть минимизация риска, но при каком-то минимальном уровне дохода, а также при
ограничениях на минимальные и максимальные доли, которые
могут быть инвестированы в каждый актив. Как поступать с этими ограничениями ? объясним позже.
Сейчас же проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из трех активов.
Требования инвестора обычно ограничивают процесс выбора. Например, инвестор может потребовать минимизации
риска при ожидаемом доходе не менее или равном данному
уровню.
Портфельная задача, таким образом состоит в минимизации
дисперсии портфеля при каком-то минимальном уровне дохода.
Из (2.7.4) видно, что дисперсия портфеля ? П2 может быть выраТ
жена через произведение транспонированного вектора V, т.е. V ,
148
дисперсионно-ковариационной матрицы ? и вектора V, т.е. V .
Следовательно, поставленная задача является задачей квадратического программирования и может быть записана следующим
образом.
Минимизировать функцию
Т
Z = ? 2 = V ?V
(2.7.10)
при ограничениях
? V1 + V2 + V3 = 1
?
? V1E(r1) + V2 E(r2 ) + V3 E(r3 ) ?
? V ? 0, V ? 0, V ? 0,
2
3
? 1
(2.7.11)
где ЕПр(r) ? это минимальный приемлемый уровень дохода.
Рассмотрим некоторый портфель акций, которые находятся
на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за
счет кредита. Отметим, что входные данные для нахождения эффективного портфеля это прибыли, которые мы ожидаем по данной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей.
Прибыли по акциям определяются как дивиденды, ожидаемые за
определенный период времени, плюс повышение рыночной стоимости акций (или минус уменьшение) за этот же период, выраженные в процентах.
Предположим, что мы имеем три актива ? 1, 2 и 3 с ожидаемыми доходами 0,14, 0,16, 0,10 соответственно. Известна дисперсионно-ковариационная матрица ?
? 0,0002
?
? = ? 0,00006
?
? ? 0,00008
0,00006
0,0003
? 0,00004
Нужно найти пропорции Vi для инвестирования в каждый
актив, чтобы получить требуемый доход 13% при минимальной
дисперсии.
149
Составляем дисперсию (целевую функцию)
? 0,0002
?
Z = (V1V2V3 ) ? 0,00006
?
? ? 0,00008
0,
0,
? 0,
= V12? 12 + V22? 22 + V32? 32 + 2V12
= 0,0002V12 + 0,0003V22 + 0,000
? 0,00008V2V3 .
Таким образом, наша задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию
Z = 0,0002V12 + 0,0003V22 + 0,0
? 0,00016V1V3 ? 0,00008V2V3
(2.7.12)
при ограничениях
? V1 + V2 + V3 = 1,
?
? 0 ,14V1 + 0 ,16V2 + 0 ,1V3 = 0 ,13,
? V ? 0 , V ? 0 , V ? 0.
2
3
? 1
(2.7.13)
Если имеем задачу математического программирования: минимизировать функцию
Z = f(V1, V2, ?, Vn)
при ограничениях
? i (V1,V2 , ... ,Vn ) = 0, i = 1, n ,
то функция Лагранжа имеет вид
L(V1 , ..., Vn , ?1 , ..., ?n ) = f (V1 , V
150
Для нашего случая функция Лагранжа запишется как
L(V1 ,V2 ,V3 , ?1 , ?2 ) = 0,0002V12
+ 0,00012V1V2 ? 0,00016V1V3 ?
(2.7.14)
+ ?1 (V1 + V2 + V3 ? 1) + ?2 ( 0,14V
Находим частные производные этой функции по V1, V2, V3,
?1, ?2 и приравниваем их к нулю
? ?L
? ?V = 0 ,0004V1 + 0 ,00012V2 ?
? 1
? ?L = 0 ,0006V + 0 ,00012V ?
2
1
? ?V2
? ?L
?
= 0 ,0002V3 ? 0 ,00016V1 ?
?
? ?V3
? ?L = V + V + V ? 1 = 0 ,
1
2
3
? ??
? 1
? ?L = 0 ,14V1 + 0 ,16V2 + 0 ,1V3
?? ??2
(2.7.15)
Исключаем V3 из 4-го и 5-го уравнений системы, найдем
4V1 + 6V2 = 3.
Исключаем ?1 из 1-го и 3-го уравнений системы и исключаем
?1 из 2-го и 3-го уравнений системы, получаем:
0,00028V1 ? 0,00048V2 ? 0,00008V3 ? 0,2?2 = 0,
0,00028V1 + 0,00668V2 ? 0,00028V3 + 0,4?2 = 0.
Из этих двух уравнений исключаем переменную ?2, находим
0,00084V1 ? 0,00028V2 ? 0,00044V3 = 0.
Подставляя сюда V3 = 1 ? V1 ? V2, имеем
32V1 + 4V2 = 11.
151
Из системы
? 4V1 + 6V2 = 3,
? 32V + 4V = 11
1
2
?
находим, что V1 = 0,307; V2 = 0,295 и, следовательно,
V3= 1 ? V1 ? V2 = 0,398.
При этом определяем, что ?1 = 0,000432 и ?2 = ?0,000439.
Таким образом, минимальные риски (дисперсия) соответствуют портфелю, в котором имеются 30,7% активов 1-го вида, 29,5%
активов 2-го вида и 39,8% активов 3-го вида.
Пакет линейного программирования позволяет быстро решать
системы вида (2.7.15).
Проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из четырех активов.
Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из которых ? в акции, а одна ? в сберегательный счет с процентной ставкой 8,5% в год. Отметим, что продолжительность периода инвестирования равна одному году (табл. 2.6 и рис. 2.19).
Т а б л и ц а 2.6
Инвестиция
Ожидаемая
прибыль
Ожидаемая
дисперсия
прибыли
Ожидаемое
стандартное
отклонение
прибыли
Т
9,5%
10%
0,316
J
13%
25%
0,5
L
21%
40%
0,632
S
8,5%
0%
0
Ожидаемая прибыль ? это то же, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей ? то же, что и потенциальный риск. Отметим, что данная
модель двумерная.
Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как потенциальный риск (вероятность) катастрофического убытка, который
152
1,4 ?
Ожидаемая прибыль
1,3 ?
*
1,2 ?
1,1 ? S
*
*
*
T
L
J
1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Риск
Рис. 2.19. Иллюстрация активов
мы не рассматриваем отдельно от дисперсии прибылей. Оптимальный портфель отвечает зависимостям (2.6.10) ? (2.6.11) в классическом варианте. Марковиц также утверждал, что портфель, полученный из этой задачи, оптимален только в том случае, если
полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функцией ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли.
Марковиц указал, что инвестор может использовать и более высокие моменты распределения, а не только первые два E(r) и r,
например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.
Потенциальный риск ? очень емкое понятие, он является функцией гораздо большего числа переменных и включает более высокие моменты распределений. Тем не менее мы будем определять
потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен.
Следующими параметрами, которые должен знать инвестор
для использования данного метода, являются коэффициенты линейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить
эмпирически, путем оценки или с помощью комбинации обоих
подходов.
153
При определении коэффициентов корреляции важно использовать точки данных того же временного периода, который был
использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий.
Другими словами, если мы используем годовые данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на годовой основе), следует использовать годовые
данные и при определении коэффициентов корреляции. Если мы
используем дневные данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на дневной основе), тогда нам следует использовать дневные данные для определения коэффициентов корреляции.
Вернемся к нашим четырем инвестициям ? Т, I, L и к сберегательному счету (S). Ниже приведена табл. 2.7 их коэффициентов
линейной корреляции.
Т а б л и ц а 2.7
Т
I
L
S
T
1
?0,15
0,05
0
I
?0,15
1
0,25
0
L
0,05
0,25
1
0
Используя метод п. 2.1, вычисляем дисперсионно-ковариационную матрицу ?. Отметим еще раз, что ковариация ценной бумаги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент линейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1.
T
T
? 0 ,1
?
I
? ? 0 ,0237
? =?
L
? 0 ,01
? 0
S
?
I
? 0 ,0237
0 ,25
0 ,079
0
Портфельная задача состоит в минимизации дисперсии портфеля при определенном минимальном уровне дохода. Из (2.7.4)
154
видно, что дисперсия портфеля ? П2 может быть выражена через
произведение транспонированного вектора V, т.е. дисперсионно-ковариационной матрицы ? и вектора V, т.е. V . Следовательно, поставленная задача является задачей квадратичного программирования и заключается в минимизации функции
Т
Z = ? 2 = V ?V
(2.7.16)
Составляем целевую функцию (дисперсию)
? 0,1
? ? 0,0237
Z = (V1V2V3V4 ) ?
?? 0,01
? 0
?0
0
0
0
= V12? 12 + V22? 22 + V32? 32 + 2V12
= 0,1 ?V12 + 0,25 ?V22 + 0,4V32 ? 0
Тогда задача формулируется следующим образом: минимизировать целевую функцию
Z = 0,1 ?V12 + 0,25V22 + 0,4V32 ?
+ 0,02V1V3 + 0,158 ?V2V3
(2.7.17)
при ограничениях
? V1 + V2 + V3 + V4 = 1,
?
? 0 ,095V1 + 0 ,13V2 + 0 ,21V3 + 0 ,
?V ? 0, V ? 0, V ? 0, V ? 0
2
3
4
? 1
(2.7.18)
Здесь через Е обозначен требуемый доход.
Функцию Лагранжа зададим в виде
L(V1 ,V2 ,V3 ,V4 , ?1 , ?2 ) = 0,1V12 +
+ 0,02V1V3 + 0,158 ?V2V3 + ?1 (V
(2.7.19)
+ ?2 (0,095V1 + 0,13V2 + 0,21V3
155
Находим частные производные этой функции по V1, V2, V3,
V4, ?1, ?2 и приравниваем их к нулю
? ?L
? ?V = 0 ,2V1 + 0 ,0474V2 ? 0 ,02
? 1
? ?L = 0 ,5V + 0 ,0474V ? 0 ,15
2
1
? ?V2
? ?L
?
= 0 ,8V3 ? 0 ,02V1 ? 0 ,158V
? ?V3
? ?L
?
= ?1 + 0 ,085?2 = 0 ,
? ?V4
? ?L
= V1 + V2 + V3 + V4 ? 1 = 0
?
? ??1
? ?L
? ?? = 0 ,095V1 + 0 ,13V2 + 0 ,21
? 2
(2.7.20)
Тогда проблема минимизации Z при данном Е для рассматриваемого портфеля может быть решена с помощью системы линейных алгебраических уравнений (2.7.20) с применением ЭВМ.
Так как порядок системы (2.7.20) небольшой, то решим ее в
конечном виде.
Исключая V4 из пятого и шестого уравнений системы, найдем:
0,015V1 + 0,045V2 + 0,125V3 + 0,085 ? E = 0
(a)
Из первого и второго уравнений исключаем ?1 и из второго и
третьего исключаем ?1, получаем:
0,2474V1 ? 0,5474V2 ? 0,138V3 ? 0,035?2 = 0,
?0,0674V1 + 0,342V2 ? 0,642V3 ? 0,08?2 = 0.
Из этих двух уравнений исключаем ?2.
0,022151 · V1 ? 0,055762V2 + 0,01143V3 = 0.
Из этого уравнения с помощью уравнения (а) исключаем V3
259730 · V1 ? 748460 · V2 ? 97155 + 1143000 · Е = 0.
156
(b)
Из первого и четвертого уравнений системы, второго и четвертого уравнений и третьего и четвертого уравнений исключаем ?1, получаем три уравнения:
0,2V1 ? 0,0474V2 + 0,02V3 + 0,01?2 = 0,
?0,0474V1 + 0,05V2 + 0,158V3 + 0,045?2 = 0,
0,02V1 + 0,158V2 + 0,8V3 + 0,125?2 = 0,
в которых из первого и второго, второго и третьего исключаем
?2, находим
0,009474V1 ? 0,007133V2 ? 0,00068V3 = 0,
?0,006825V1 + 0,05539V2 ? 0,01625V3 = 0.
(с)
Из этих двух уравнений исключаем V3
158593V1 ? 153576V2 = 0.
Из этого уравнения и уравнения (b) находим, что
V1 = 2,227E ? 0,188,
V2 = 2,30 · E ? 0,195.
(d)
Подставляя решения (d) в уравнение (с), найдем
V3 = 6,9 · E ? 0,582.
(е)
Из последнего уравнения системы (2.7.20), подставляя в нее
выражения (d) и (е), найдем, что
V4 = ?11,427 · E + 1,965.
(f)
Подставляя решения (d), (e) и (f) в (2.7.17), получим значение
целевой функции (дисперсии, риска)
Zmin = 23,919 · E2 ? 4,039 · E + 0,156.
(2.7.21)
Таким образом, минимальный риск
rmin = 23,919 E 2 ? 4,039 ? E + 0
(2.7.22)
157
при требуемом доходе Е будет отвечать оптимальному портфелю составленному из акций Т, L, I, S соответственно в долях
V1 = 2,227 · E ? 0,188,
V2 = 2,30 · E ? 0,195,
(2.7.23)
V3 = 6,90 · E ? 0,582,
V4 = ?11,427 · E + 1,965.
Пусть ожидаемая отдача (доход) Е = 14. Тогда V1 = 0,1238,
V2 = 0,127, V3 = 0,384, V4 = 0,3652, дисперсия Dmin =
2
= ? min
= 0,05935, а ? min = rmin = 0,2436 = 24,36 .
Первые четыре значения, от V1 до V4, дают нам веса, т.е. доли
инвестируемых средств, для получения оптимального портфеля с
14%-ой ожидаемой прибылью. Нам следует инвестировать 12,38%
в Т, 12,7% в I, 38,4% в L и 36,52% в сберегательный счет.
Составим табл. 2.8, в которой приведем для различных значений Е веса акций в портфеле и соответствующий им риск.
Т а б л и ц а 2.8
Требуемая доходность Е ? минимальный риск rmin
E
V1
V2
V3
V4
Z
rmin
0,11
0,057
0,058
0,177
0,708
0,00113
0,0336
0,12
0,079
0,081
0,246
0,594
0,0158
0,1257
0,13
0,101
0,104
0,315
0,480
0,0352
0,1875
0,14
0,124
0,127
0,384
0,365
0,0593
0,2436
0,15
0,146
0,150
0,453
0,251
0,0883
0,2972
0,16
0,124
0,127
0,384
0,365
0,1221
0,3494
0,17
0,191
0,196
0,591
0,022
0,1606
0,4008
0,18
0,128
0,191
0,681
0
0,213
0,4615
0,19
0,050
0,179
0,771
0
0,264
0,5138
0,20
0
0,125
0,875
0
0,326
0,571
0,21
0
0
1,0
0
0,40
0,632
158
Так как при Е = 0,18 значение V4 в формуле (2.7.23) будет
отрицательным, то систему (2.7.20) нужно изменить, исключив
четвертое уравнение и положив V4 = 0. Тогда решение новой системы имеет вид
V1 = 1,537 ? 7,826 E ,
V2 = 0,416 ? 1,249 E ,
V3 = 0,953 + 9,075 E ,
V4 = 0,
rmin = 35,781 E 2 ? 8,128 E + 0 ,5
.
(2.7.24)
При Е = 0,20 значение V1 ? 0 и тогда систему (2.7.20) нужно
изменить, исключив из нее четвертое и первое уравнения и положив V1 = V4 = 0. После этого решение новой системы имеет вид
V2 = 2 ,625 ? 12 ,5E,
V3 = 1,625 + 12,5E,
rmin = 76 ,875E 2 ? 24 ,263E + 2 ,
(2.7.25)
На рис. 2.20 приведен график требуемой доходности от минимального риска Е(rmin), из которого видно, что при изменении риска от 0,25
и больше зависимость Е(rmin) практически является линейной.
E
0,22 ?
0,20 ?
0,18 ?
0,16 ?
0,14 ?
0,12 ?
0,10 ?
=
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
rmin
Рис. 2.20. Зависимость требуемой доходности от минимального риска
159
2.7.4. Сравнение методов оптимизации
портфелей
Исследуем портфель составленный в предыдущем п. 2.7.3 с
помощью симплексного метода изложенного в п. 2.6.
Для выбранных доходностей Е = 0,14 и Е = 0,18 были составлены оптимальные портфели (табл. 2.8)
Исходя из формулы (2.5.3) определим коэффициенты ? для
акций Т, I, L.
При Е = 0,14 акции Т, I, L, S входили в состав оптимального
портфеля в долях V1 = 0,124, V2 = 0,127, V3 = 0,384, V4 = 0,365 при
этом ?min = 0,2436.
Тогда ковариация между доходностью j-й ценной бумаги и
доходностью рыночного портфеля определяется как
? = V ? = (? 1П , ? 2 П , ? 3П , ? 4 П
?
?
?
=?
?
?
?
0,124 ? ? 0,1
??
0,127 ? ? ? 0,0237
??
0,384 ? ? 0,01
0,365 ?? ?? 0
? 0,02
0,2
0,07
0
= (0,01323; 0,05915; 0,1649;
Коэффициенты «бета» равны:
?1 =
0,01323
= 0,223; ? 2 =
(
(0,2436 ) 2
?3 =
0,1649
= 2,779, ? 4 =
(0,2436 ) 2
Формулируем задачу линейного программирования: максимизировать функцию
Z = 0,095V1 + 0,13V2 + 0,21V3 + 0,085V4
160
при ограничениях
? 0 ,223V1 + 0 ,997V2 + 2 ,779V3 ?
? V1 + V2 + V3 + V4 = 1,
?? 0 ? V ? 1,
? 0 ? V1 ? 1,
2
?
? 0 ? V3 ? 1,
?? 0 ? V4 ? 1.
(2.7.26)
Здесь величина «бета» портфеля обозначена через ?П.
При уровне доходности Е = 0,18 акции компаний Т, I, L, S
входят в портфель в долях
V1 = 0,128, V2 = 0,191, V3 = 0,681, V4 = 0 при этом ?min = 0,4615.
Коэффициенты «бета» в этом случае равны:
?1 = 0,071; ?2 = 0,4625; ?3 = 1,356; ?4 = 0.
Аналогично (2.7.26) запишем задачу линейного программирования Z = 0,095V1 + 0,13V2 + 0,21V3 + 0,085V4 ? max при
ограничениях
? 0,071V1 + 0,462V2 + 1,356V3 ?
? V1 + V2 + V3 + V4 = 1,
?? 0 ? V ? 1,
? 0 ? V1 ? 1,
2
?
?
0
V
3 ? 1,
?
?? 0 ? V4 ? 1.
(2.7.27)
Результаты решения задач (2.7.26) и (2.7.27) для различных ?П с
использованием стандартных программ на ЭВМ сведены в табл. 2.9.
Т а б л и ц а 2.9
rmin
?П
V1
V2
V3
V4
Z = Emax
0,2436
0,8
1,0
1,3
0,773
0,695
0,578
0
0
0
0,227
0,305
0,422
0
0
0
0,128
0,132
0,144
0,4615
1,05
1,3
1,7
0,238
0,044
0
0
0
0
0,762
0,956
1,0
0
0
0
0,183
0,205
0,21
161
Из табл. 2.9 видно, что с ростом риска rmin растет прибыль
и с ростом «бета» портфеля растет величина максимального дохода Еmax.
Далее рассмотрим пример составления оптимального портфеля ценных бумаг с применением ЦМРК (САРМ).
Ранее было отмечено, что существует бесконечное число портфелей, доступных для инвестора, но в то же время инвестор
должен рассматривать только те портфели, которые принадлежат эффективному множеству. Однако эффективное множество
Марковица представляет собой изогнутую линию, что предполагает наличие бесконечного числа точек на ней. Это означает, что
существует бесконечное количество эффективных портфелей. Как может быть использован подход Марковица, если
инвестору необходимо определить структуру каждого из бесконечного числа эффективных портфелей. Марковиц видел эти потенциальные проблемы и внес основной вклад в их преодоление, представив метод их решения. Он включает в себя алгоритм квадратического программирования, известный как метод критических линий.
Рассмотрим портфель из четырех акций (табл. 2.6), для которых известны коэффициенты линейной корреляции и ковариационная матрица ?. Прежде всего составляем портфель из трех рискованных акций компаний T, I, L.
Для нахождения эффективного множества определяем «угловые» портфели, которые связаны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угловой» портфель ?
это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями. Данное утверждение можно проиллюстрировать примером.
Алгоритм начинается с определения портфеля с наивысшей
ожидаемой доходностью. Данный портфель соотносится с точкой L на рис. 2.21 и является эффективным. Его состав описыва-
?0?
ется следующим вектором весов, обозначенным V (1) = ? 0 ? .
?1?
? ?
Его ожидаемая доходность и стандартное отклонение связаны только с ожидаемой доходностью и стандартным отклоне162
нием акций L и соответственно составляют 21% и (0,4)1/2, или
63,24%. На рис. 2.21 данный «угловой» портфель обозначен
как П (1).
Eр
П(1)
• L
0,20 ?
П(2)
•
0,15 ?
•
П(4)
П(3)
•
•
•
T
0
=
0,10 ?
=
J
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
?р
Рис. 2.21. «Угловые» портфели
Составляем «угловой» портфель из акций I и L. Его состав
описываем следующим вектором весов:
?0?
V ( 2 ) = ??V2 ?? ,
?V ?
? 3?
по формуле (2.4.7) находим V2 = 0,652, V3 = 0,348. Ожидаемая
доходность Е = 0,13 · 0,652 + 0,21 · 0,348 = 0,158, а стандартное отклонение по формуле (2.4.6) равно 0,436, или 43,6%. На
рис. 2.21 данный портфель обозначен как П(2).
163
Определяем третий «угловой» портфель, который имеет следующий состав:
? 0,693 ?
V (3) = ? 0,307 ? ,
?
?
? 0 ?
состоящий из акций T и I, для него Ep = 0,106, ?р = 0,248. На
рис. 2.21 это точка П (3).
«Угловой» портфель, состоящий из акций Т и L имеет следующий весовой состав:
?0,812?
V ( 4) = ? 0 ? .
? 0,188?
?
?
Для портфеля П(4) находим, что Ep = 0,117 и ?р = 0,288.
Нами в четвертой главе будет доказано, что верхняя ветвь
эффективного множества представляет собой параболу вида
E p = a? 2p + b? p + c .
Проведем параболу через три точки П(1) (Ер1; r1), П(2) (Ер2; r2)
и П(3) (Ер3; r3), координаты которых берем из табл. 2.10. Нетрудно показать, что параметры a, b, c определяются по формулам
a=
b=
c=
( E p1 ? E p2 )(r1 ? r3 ) ? ( E p1 ?
( r1 ? r2 )(r1 ? r3 )(r2 ?
( E p1 ? E p3 )(r12 ? r22 ) ? ( E p1
(r1 ? r2 )(r1 ? r3 )(r2
(r2 E p1 ? r1E p2 ) r3 (r1 ? r3 ) ? (
(r1 ? r2 )(r1 ? r3
Подставляя сюда координаты точек П(1), П(2) и П(3), получим, что а = ?0,02940; b = 0,29671 и с = 0,03423. Тогда рыночная
эффективная граница описывается уравнением
E p = ?0,02940? 2p + 0,29671? p
164
Т а б л и ц а 2.10
«Угловые» портфели в случае трехрисковых акций
Веса
«Угловые»
«Угловые» портфели
портфели
Т
I
L
Ep
?р = r
П (1)
0
0
1
0,21
0,632
П (2)
0
0,652
0,348
0,158
0,436
П (3)
0,693
0,307
0
0,106
0,248
П (4)
0,812
0
0,188
0,117
0,280
Если подставить сюда координаты точки П(4) из табл. 2.10,
то получим тождество. Это наглядно говорит о том, что рыночная эффективная граница описывается параболой.
После того, как были определены структура и местоположение эффективного множества, можно определить состав оптимального портфеля инвестора.
Рассмотрим рисковой портфель с Ep = 0,158. На графике
рис. 2.21 ему соответствует ?р = 0,436.
Из формулы (2.4.3) имеем
EП = 0,158 · V + (1 ? V) · 0,085.
Выбирая доходность портфеля, равной EП = 0,15, получим
0,15 = 0,158 · V + (1 ? V) · 0,085 или V = 0,89.
Это означает, что оптимальный портфель состоит из 0,11, или
11% безрисковых акций и 0,89 или 89% рисковых акций.
Далее нужно определить состав рисковой части оптимального портфеля V1, V2, V3. Для этого составляем систему
? 0 ,1 ?V12 + 0 ,25V22 + 0 ,4V32 ? 0 ,04
?
? 0 ,095V1 + 0 ,13V2 + 0 ,21V3 = 0 ,
? V + V + V = 1.
2
3
? 1
165
Решение этой системы равно: V1 = 0,0015, V2 = 0,585,
V3 = 0,4135. Следовательно, состав рисковой части оптимального портфеля определим как
? 0,0015 ? ? 0,001?
0,89 ? ? 0,585 ? = ? 0,521? .
?
? ?
?
? 0,4135 ? ? 0,368?
Таким образом, оптимальный портфель состоит на 11% из
безрисковых акций (сберегательный счет), 0,1% акций Т, 52,1%
акций I и 36,8% акций L, при этом его доходность EП = 0,15 или
15%, а риск ?П = 0,436, или 43,6%.
Далее зададим на графике рис. 2.21 точку, соответствующую
Ep = 0,117 и ?р = 0,28. Если выбран портфель с требуемой доходностью EП = 0,14, или 14%, то по формуле (2.4.5) найдем, что
безрисковая доля портфеля составляет 0,179, или 17,9%, а рисковая ? 0,821, или 82,1%. Производя расчеты как и в предыдущем
примере, получим два оптимальных портфеля акций
? 0,630 ?
T ? 0,390 ?
I ?? 0,394 ?? и ?? 0,049 ?? .
L ? 0,037 ?
?? 0,142 ??
S ?? 0,179 ??
? 0,179 ?
Сравним между собою результаты составления оптимальных
портфелей в этом параграфе. В п. 2.7.3 рассмотрено формирование портфеля из четырех акций T, I, L, S и выводы вычислений
представлены в виде табл. 2.8 и графика рис. 2.20. Оптимальный
портфель составлялся, исходя из минимального риска при требуемой доходности, методом квадратичного программирования
(метод Лагранжа).
Затем та же задача решалась методом линейного программирования (симплексным методом), исходя из максимальной прибыли при заданном риске. Результаты вычислений представлены
в табл. 2.9 и они в значительной степени зависят от коэффициента «бета».
Если взять rmin = 0,2436 в методе Лагранжа, то доходность
портфеля EП = 0,14, а если взят риск r = 0,2436 в симплексном
методе, то в зависимости от коэффициентов «бета» максимальная доходность Emax равна 0,128, 0,132 и 0,144; для rmin = 0,4615
166
имеем EП = 0,18, а при допустимом риске r = 0,4615 максимальный доход равен 0,183, 0,205, 0,21. Эти сопоставления говорят об
удовлетворительном совпадении оптимальных портфелей, составленных по методу Лагранжа и симплексному методу. Хотя, естественно, необходимы исследования на ЭВМ для различных видов портфелей.
Портфель из тех же самых акций составлялся и с применением ЦМРК (САРМ). Результаты также хорошо согласуются с двумя предыдущими методами, а доходность по ЦМРК оказывается
выше на 3 ? 12% при тех же уровнях риска.
Выводы по главе 2
1. Управление инвестициями ? это процесс, который можно
разбить на пять этапов. Важнейшую роль в управлении инвестициями играет теория оптимального портфеля, максимизирующего ожидаемую доходность при некотором приемлемом для инвестора уровне риска или минимизирующего ожидаемый риск при
приемлемом уровне дохода.
Далее рассматривается история развития портфельной теории инвестиций от работ Г. Марковица в 1952 г. до настоящего
времени.
2. Стратегическая роль диверсификации является ключевой в
концепции Марковица построения оптимального портфеля. Увеличение числа активов ценных бумаг в портфеле значительно снижает его риск, причем, эффективная диверсификация достигается не только добавлением активов к портфелю, а добавлением
таких активов, доходы от которых имеют самые низкие корреляции, а лучше и отрицательные, с активами, присутствующими в
портфеле. Недостаток лишь в том, что активов с малой и отрицательной корреляцией существует совсем немного.
Отсюда вытекает главное практическое правило финансового рынка: для повышения надежности эффекта от вклада в рискованные ценные бумаги целесообразно делать вложения не в
один их вид, а составить портфель, содержащий возможно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от которых случаен, но
случайные отклонения независимы.
3. Эффективный портфель по Марковицу ? это допустимый
портфель с наибольшей ожидаемой доходностью для данного
уровня риска или с наименьшим риском для заданной доходнос167
ти. Набор всех эффективных портфелей называется эффективным
множеством портфелей, или эффективной границей. Оптимальный портфель в наибольшей степени удовлетворяет предпочтениям инвестора по отношению к доходности и риску.
4. Рассматривается формирование эффективного портфеля
Марковица, состоящего из безрискового актива с рискованным
активом, и, составленный из безрискового актива и нескольких
рискованных активов. На первом этапе мы рассматриваем портфель, состоящий только из рискованных активов, а на втором ?
определяем тангенциальный портфель рискованных активов, который объединяем с безрисковым активом.
Исследования показывают, что существует только один портфель с рискованными активами, который оптимальным образом
можно объединить с безрисковым в общей (касательной) точке,
так называемый тангенциальный портфель.
5. Рассмотрение ЦМРК позволяет избежать недостатков, присущих портфельной теории Марковица; разработать простую
пассивную стратегию управления портфелем ценных бумаг, заключающуюся в диверсифицировании вложения в рискованные
ценные бумаги в соответствии с их пропорциями в рыночном
портфеле и объединении полученного портфеля рискованных
активов с безрисковыми ценными бумагами для достижения комбинации «риск?доходность»; ответить на вопрос, какая должна
быть премия за риск; установить на основе показателей риска и
доходности критерии для оценки действий менеджеров, управляющих портфелями ценных бумаг. Недостатки, присущие ЦМРК,
привели к ее модификации.
6. На основе допущений ЦМРК рассмотрена задача построения портфеля инвестиций при минимизации рисков. Основные
трудности возникают здесь с определением исходных параметров:
ожидаемой прибылью и ожидаемой дисперсией прибыли каждого из активов, а также коэффициентов линейной корреляции.
Для инвестиционного портфеля, состоящего из безрискового
актива (сберегательный счет) и трех рисковых, составлены оптимальные портфели, соответствующие минимальному риску (методом Лагранжа), максимальной доходности (задача линейного
программирования) и максимальной доходности (с помощью
ЦМРК). Сравнение первых двух методов показывает, что величины доходности колеблются в пределах 2?14% и сильно зависят
168
от величины коэффициента «бета». Результаты, полученные с
применением ЦМРК, хорошо согласуются с двумя предыдущими методами и доходность по ЦМРК оказывается выше на 3?
12% в зависимости от уровня риска.
Не существует «единственно верной» стратегии выбора инвестиционного портфеля, которая одинаково подходила бы всем
инвесторам без исключения. Стадия жизненного цикла, на которой в данный момент находится инвестор, является важнейшим
определяющим фактором при выборе оптимального состава портфеля активов и обязательств данного инвестора.
При принятии решений о составе портфеля инвестор достигнет более высокой ожидаемой (средней) доходности, только если
согласится на более высокую степень риска.
Возможность снижения риска за счет диверсификации среди
рискованных активов без снижения ожидаемого уровня доходности ограничена.
169
Глава 3. МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ЦЕН ОСНОВНЫХ АКТИВОВ
3.1. МОДЕЛЬ ТЕОРИИ АРБИТРАЖНОГО
ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ
Модель САРМ (ЦМРК) является равновесной моделью,
объясняющей, почему различные ценные бумаги обладают разными ожидаемыми доходностями. Эта модель образования цен на
финансовые активы, в частности, утверждает, что ценные бумаги
обладают различными доходностями вследствие различных коэффициентов «бета». Однако существует альтернативная модель ценообразования, разработанная Стефаном Россом. Эта теория, известная как теория арбитражного ценообразования (АРТ), в некотором смысле является менее сложной, чем САРМ [67, 68].
САРМ-модель требует выполнения большого числа предположений, включая предположения, сделанные Гарри Марковицем
при разработке базовой стохастической модели, например, о том,
что каждый инвестор выбирает свой оптимальный портфель, используя кривые безразличия, учитывающие ожидаемый доход и
стандартное отклонение. В то же время модель АРТ основана на
меньшем числе предположений. Главным предположением теории
является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увеличения
риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности, является арбитражный портфель.
Существенная особенность арбитражной теории ценообразования состоит в том, что рассматривается определенное множество
факторов, оказывающих влияние на ожидаемую доходность как по
каждому виду ценных бумаг, так и по фондовому рынку в целом.
Построение уравнений арбитражной теории ценообразования опирается на использование следующих основных предположений:
• финансовые рынки являются совершенными;
• в условиях рыночного равновесия невозможен арбитраж, т.е.
такая инвестиционная стратегия, которая обеспечивает положительный доход при нулевых или даже отрицательных чистых
инвестициях;
170
• в условиях равновесия на финансовых рынках доходность отдельных ценных бумаг и фондового рынка в целом описывается
линейным многофакторным уравнением, сами эти факторы окончательно определяются в процессе экспериментальных расчетов.
Среди указанных предпосылок особенно важной является
последняя, которая означает, что проводить анализ и получать
надежные прогнозы доходности рынка и отдельных рисковых
финансовых инструментов с помощью моделей арбитражного
ценообразования можно только в условиях рыночного равновесия. При отклонении от состояния равновесия на финансовых
рынках более важную роль играют спекулятивные факторы, определяющие возможность арбитража.
Под арбитражем на финансовых рынках понимается возможность извлечения дохода за счет разницы цен, т.е. чисто спекулятивных операций. В условиях наличия арбитража для инвестора
главную и определяющую роль при формировании его политики
играют спекулятивные факторы, все остальные отступают на задний план. Поэтому выделение и анализ многофакторных моделей доходности фондового рынка и отдельных рисковых активов имеют смысл только в состоянии рыночного равновесия при
отсутствии возможностей арбитража.
Предпосылка о совершенных финансовых рынках позволяет
считать, что каждый инвестор может формировать портфель из
рисковых и безрисковых вложений любой необходимой структуры вследствие произвольной делимости финансовых инструментов и их абсолютной ликвидности, а также возможности осуществления «короткой продажи».
Арбитраж ? это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковые продукцию или ценные
бумаги. Арбитраж, являющийся широко распространенной инвестиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременной покупки
такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента)
по относительно низкой цене.
Однако, следует понимать, что такая возможность реализуется редко. В самом деле, арбитражер с неограниченной возможностью осуществления «коротких» продаж может немедленно выровнять дисбаланс цен на этих рынках, если профинансирует покупку актива на рынке с низкой ценой за счет его «короткой» продажи
171
на рынке с высокой ценой. Это означает, что возможность безрискового арбитража очень кратковременна.
Арбитражная деятельность является важной составляющей современных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбитражные доходы являются безрисковыми по определению, то все
инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возможности. Правда, некоторые инвесторы имеют бoльшие ресурсы и
наклонности для участия в арбитраже, чем другие. Однако для реализации и исчерпания арбитражных возможностей (вследствие
покупок и продаж акций) достаточно меньшего числа инвесторов,
чем имеется желающих принять участие в этих операциях.
Менее явная возможность арбитража существует в том случае,
если удается сконструировать портфель активов, имеющий идентичный с некоторым другим активом поток доходов, но с меньшей
ценой, чем этот актив. Данный вид арбитража основан на фундаментальном принципе теории финансов, носящем название закон
единой цены. Его суть состоит в том, что если поток доходов, порождаемый данным активом, совпадает с потоком доходов от
искусственно созданного пакета других активов, то стоимости
актива и (копирующего) его пакета должны совпадать.
Если обнаруживается различие цен актива и пакета активов с
одинаковыми потоками доходов, то инвесторы будут осуществлять с ними арбитражные сделки, что в конечном счете приведет
к выравниванию цен и восстановлению равновесия. Наличие рыночного механизма, восстанавливающего равновесие, и предполагается теорией арбитражного ценообразования, при этом считается также, что проведение арбитражной сделки не столкнется
с непредусмотренным в ней изменением цен.
Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различных цен на определенную ценную бумагу. Однако «почти арбитражные» возможности могут существовать и у похожих ценных
бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага
или портфель для арбитражных операций, можно различными
способами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг.
Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя
одинаково, за исключением внефакторного риска. Поэтому ценные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к
172
факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в
противном случае имелись бы «почти арбитражные» возможности. Но как только такие возможности появляются, деятельность
инвесторов приводит к их исчезновению. Это ? существенное
рассуждение, лежащее в основе АРТ.
В соответствии с АРТ инвестор исследует возможности формирования арбитражного портфеля для увеличения ожидаемой
доходности своего текущего портфеля без увеличения риска.
АРТ исходит из предположения о связи доходности ценных
бумаг с некоторым количеством неизвестных факторов.
Доходность отдельных видов ценных бумаг, как и фондового
рынка в целом, описывается следующим уравнением регрессии:
E(ri) = ai + bi1F1 + bi2F2 + ... + bimFm + ei ,
(3.1.1)
где E(ri) ? доходность i-ой ценной бумаги, i = 1, n ; Fk ? значение
k-го фактора, k = 1, m ; аi ? свободный член уравнения; bik ? коэффициент чувствительности ценной бумаги i к фактору k;
еi ? случайная переменная с нулевым математическим ожиданием и отличной от нуля дисперсией, независимая от рассматриваемых факторов.
Основная проблема АРТ в том, что перечень и экономический
смысл факторов, которые учитываются при построении уравнения
(3.1.1), заранее не определяются и должны быть установлены в
процессе расчетов. По оценкам американских экономистов, число значимых факторов обычно колеблется от трех до пяти.
В числе факторов прежде всего выделяют:
• основные макроэкономические показатели: валовой внутренний продукт, темп роста объема промышленного производства, темпы роста доходов населения, уровень инфляции и т.п.;
• показатели, характеризующие рынок капитала: темпы роста доходности на биржевой индекс, разница между процентными
ставками ? краткосрочной и долгосрочной, разность между ставками процента по государственным и корпоративным облигациям (процентный спрэд), по долгосрочным и краткосрочным обязательствам (временной спрэд) и др.;
• прочие экономические показатели, например изменение цен
на цефть и другие энергоносители, темпы роста тех или иных
государственных расходов и т.п.
173
Например, известная американская фирма «Salomon Brothers»
использовала при практической разработке моделей рассматриваемого вида следующие факторы:
1) темпы роста валового национального продукта;
2) ожидаемая величина инфляции;
3) процентная ставка;
4) процент изменения цен на нефть;
5) темп роста расходов на оборону.
В то же время американские экономисты Р. Ролл и С. Росс
отметили, что для объяснения структуры доходности необходимо, по крайней мере, три фактора. Другие американские экономисты ? Ю. Фама и К. Френч показали, что месячная доходность акций может определяться тремя статистически значимыми факторами: рыночным индексом, размером рыночной
капитализации и соотношением балансовой и рыночной стоимости акций. В процессе расчетов могут быть выбраны и другие
факторы.
Для полной оценки качества модели арбитражного ценообразования и устойчивости выделенной группы факторов после
окончательного обоснования факторов требуется сделать еще
один шаг: оценить параметры уравнения регрессии второго порядка, где зависимая переменная ? доходность актива или фондового рынка, а независимые ? коэффициенты чувствительности
и, соответственно, бэта для однофакторной модели, оцененные
по различным временным промежуткам. Анализ полученного
уравнения и его статистических характеристик могут показать,
насколько устойчивыми являются полученные соотношения.
Предположим, что имеется только один фактор и этим фактором является предсказанный темп роста промышленного производства. В таком случае доходность ценных бумаг определяется в
соответствии со следующей однофакторной моделью:
E(ri) = ai + biF1 + ei,
(3.1.2)
где E(ri) ? ставка доходности ценной бумаги i; F1 ? значение фактора, которым в данном случае является предсказанный темп
роста промышленного производства; ai ? ожидаемая доходность
актива i; bi ? чувствительность ценной бумаги i к значению фактора (F1); ei ? несистематическая доходность ценной бумаги i.
174
При формировании арбитражного портфеля следует соблюсти два условия. Во-первых, это портфель, который не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора. Если через Vi
обозначить изменение в стоимости ценной бумаги i в портфеле инвестора (а значит, и ее вес в арбитражном портфеле), то
это требование к арбитражному портфелю может быть записано так:
?V = 0.
i
i
(3.1.3)
Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к какому фактору. Поскольку чувствительность портфеля к фактору
является взвешенной средней чувствительностей ценных бумаг
портфеля, то это требование арбитражного портфеля в общем
виде может быть записано так:
?V ? b
i
ij
= 0, j = 1, 2,...
i
(3.1.4)
Здесь bij чувствительность i-го фактора на j-ый, а j ? число
факторов.
Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий уравнениям (3.1.3) и (3.1.4) будет иметь нулевую ожидаемую доходность.
Модель АРТ утверждает, что доходность актива i как случайная величина выражается следующим образом для двухфакторной модели:
E(ri) = ai + bi1F1 + bi2F2 + ei.
(3.1.5)
Предположим, что инвестор обладает рисковыми акциями
трех видов Т, I, L и одной безрисковой акцией. Ожидаемые
доходности и чувствительности к двум факторам, например к состоянию промышленного производства и уровню инфляции, для
каждой из бумаг заданы в табл. 3.1.
175
Т а б л и ц а 3.1
Инвестиции
Ожидаемая
прибыль, %
Ожидаемое
стандартное
отклонение, %
T
9,5
I
Чувствительности
bi1
bi2
31,6
1,6
1,2
13
50
0,6
1,6
L
21
63,2
2,0
1,1
S
8,5
0
0,8
1,8
Составляем на основании формул (3.1.3) и (3.1.4) систему уравнений
? V1 + V2 + V3 + V4 = 0 ,
?
? 1,6V1 + 0 ,6V2 + 2V3 + 0 ,8V4 = 0
? 1,2V + 1,6V + 1,1V + 1,8V = 0
1
2
3
4
?
(3.1.6)
Так как в системе четыре неизвестных, а уравнений три, то
имеется бесконечное множество решений. Одно из решений выбираем произвольно. Пусть V1 = ?0,1, тогда в результате решения получим V2 = 0,041, V3 = 0,074, V4 = ?0,015.
Полученные доли представляют потенциальный арбитражный портфель. Вычисляем ожидаемую доходность: ?0,1 · 9,5 +
+ 0,041 · 13 + 0,074 · 21 ? 0,015 · 8,5 = 1,095 > 0. Так как ожидаемая
доходность положительная, то найден арбитражный портфель.
Этот арбитражный портфель предполагает покупку акций I
и L за счет продажи акций Т и S. Следовательно, деятельность по
покупке и продаже повысит курсы акций I и L и понизит курсы
акций Т и S. В свою очередь это означает, что ожидаемые доходности акций I и L понизятся, а акций Т и S повысятся.
Инвесторы будут формировать также арбитражные портфели,
пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что равновесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяющий
системе (3.1.6), будет иметь нулевую ожидаемую доходность. При
этом связь между доходностями и чувствительностями будет линейной
E ( ri ) = ?0 + ?1bi1 + ?2 bi 2 .
176
(3.1.7)
Можно считать, что здесь три переменные E (ri ), bi1, bi 2 .
Таким образом, для получения портфеля с нулевой ожидаемой доходностью нужно будет найти большое число решений
системы (3.1.6) и соответствующих им доходностей, что возможно только с применением стандартных программ.
В рассматриваемом примере одним из равновесных сочетаний являются ?0 = 8,5, ?1 = 5, ?2 = ?2.
В результате четыре рассматриваемые акции имеют следующие равновесные значения ожидаемых доходностей:
E ( r1 ) = 8,5 + 5 ? 1,6 ? 2 ? 1,2 = 14,1
E ( r2 ) = 8,5 + 5 ? 0,6 ? 2 ? 1,6 = 8,3
E ( r3 ) = 8,5 + 5 ? 2 ? 2 ? 1,1 = 16,3%
E ( r4 ) = 8,5 + 5 ? 0,8 ? 2 ? 1,8 = 8,9
Ожидаемые доходности акций I и L упали, тогда как ожидаемые доходности акций T и S возросли. Изменение спроса и предложения вследствие инвестиций в арбитражные портфели привело к изменениям ожидаемых доходностей в предсказанных направлениях.
Механизм влияния арбитражного портфеля на первоначальный портфель становится ясным из анализа табл. 3.2.
Т а б л и ц а 3.2
Влияние арбитражного портфеля
Старый
портфель
+
Арбитражный
=
портфель
Новый
портфель
Доли
V1
V2
V3
V4
Свойства
0,40
0,209
0,276
0,115
?0,10
0,041
0,074
?0,015
0,30
0,25
0,35
0,10
ЗП
13,29%
1,01%
14,3%
?П
25,4%
6,5%
29,1%
177
Под термином старый портфель мы подразумеваем портфель, который отвечает эффективному портфелю (табл. 2.8). Соединяем его с арбитражным портфелем и получаем новый портфель с более высокой доходностью, который соответствует эффективному портфелю на рис. 2.21.
Рассмотрим уравнение (3.1.7). Если актив не чувствителен к
факторам, то bi1 = bi2 = 0 и Е (ri) = ?0 и если существует безрисковый актив, то Е (ri) = r? = ?0. Тогда уравнение (3.1.7) принимает
вид:
Е (ri) = r? + ?1bi1 + ?2bi2.
(3.1.8)
Теперь рассмотрим хорошо диверсифицированный портфель,
имеющий единичную чувствительность к первому фактору и нулевую ? ко второму.
Такой портфель называется чистым факторным портфелем,
так как он: обладает единичной чувствительностью к единственному фактору; не чувствителен ни к какому другому фактору;
имеет нулевой нефакторный риск. А именно b1 = 1 и b2 = 0. Из
уравнения (3.1.8) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая е4, равна r? + ?1, т.е. е4 ? r? = ?1. Тогда уравнение (3.1.8) может быть переписано так:
Е (ri) = r? + (е4 ? r?) · bi1 + ?2bi2.
(3.1.9)
В примере табл. 3.1 е4 ? r? = 5. Это означает, что е4 = 13,5, так
как r? = 8,5. Другими словами, портфель, имеющий единичную
чувствительность к предсказанному состоянию промышленного
производства (первый фактор) и нулевую чувствительность к
предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 13,5%, что на 5% больше, чем безрисковая 8,5%-ная ставка.
Наконец, рассмотрим портфель, имеющий нулевую чувствительность к первому фактору и единичную чувствительность ко
второму фактору, т.е. b1 = 0 и b2 = 1. Из уравнения (3.1.7) следует,
что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая е2 равна rб + ?2. Поэтому е2 ? rб = ?2, а уравнение (3.1.9) может быть
переписано так:
Е (ri) = rб + (е4 ? rб) · bi1 + (е2 ? rб) · bi2.
178
(3.1.10)
Это есть уравнение ценообразования АРТ для двухфакторной модели.
В примере табл. 3.1 е2 ? rб = ?2. Это означает, что е2 = 6,5, так
как rб = 8,5. Другими словами, портфель, имеющий нулевую чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и единичную чувствительность к предсказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать
ожидаемой доходностью 6,5%, что на 2% меньше, чем безрисковая 8,5%-ная ставка.
Основные преимущества АРТ перед ЦМРК заключаются в
том, что она не делает ограничительных предположений о предпочтениях инвестора относительно риска и доходности, относительно функций распределения доходностей ценных бумаг и не
предполагает построения «истинного» рыночного портфеля.
Вместе с тем АРТ не слишком широко используется инвесторами. Основная причина этого заключается в неопределенности
относительно факторов, которые систематически влияют на доходы по ценным бумагам.
Под арбитражем в широком смысле этого слова понимается
возможность извлечения дополнительного безрискового дохода
вследствие различия цен на те или иные одинаковые товары или
одни и те же виды ценных бумаг на различных товарных или
фондовых рынках. Основы теории арбитража были сформулированы известным американским экономистом французского
происхождения Жераром Дэбре, который в 1983 г. получил Нобелевскую премию по экономике за новые подходы к общей теории экономического равновесия.
Арбитраж представляет собой одну из возможных стратегий поведения инвестора на соответствующем финансовом или ином рынке, которая включает два основных направления этой деятельности:
• во-первых, речь идет о том, чтобы приобретать соответствующие товары или ценные бумаги по относительно низкой
цене, и продавать их же (в данный период или одновременно) по
относительно более дорогой цене, извлекая дополнительный доход за счет разницы на различных рынках;
• во-вторых, если на фондовом рынке обращаются простые
акции, имеющие один и тот же курс, но разную ожидаемую доходность, то можно, продавая акции относительно более низкой
ожидаемой доходностью и приобретая акции с относительно
179
более высокой ожидаемой доходностью, получать дополнительный арбитражный доход в следующем периоде.
Основная особенность арбитража как инвестиционной стратегии
состоит в том, что реализация этой стратегии позволяет извлекать
доход при нулевых чистых инвестициях, если соответствующий товар или ценная бумага уже находятся в собственности инвестора.
Арбитраж или наличие арбитража на рынке позволяет судить
о равновесии рынка и о том, насколько быстро рынок может в это
состояние вернуться. В любом случае, поскольку речь идет о безрисковом доходе, все инвесторы будут стремиться реализовать
арбитражные стратегии, тем сильнее будет меняться спрос или
предложение соответствующих ценных бумаг и рынок быстрее
будет приходить в состояние равновесия, в котором нет возможности извлекать арбитражный доход. Именно в этом состоит
смысл использования факторных моделей для прогнозирования
доходности фондового рынка и отдельных финансовых инструментов в условиях рыночного равновесия, когда ценные бумаги
или портфели с одинаковой чувствительностью к рассматриваемым факторам, имеют одинаковые ожидаемые доходности, хотя
могут различаться нефакторным риском.
3.2. ПОРТФЕЛЬ ТОБИНА
Влияние «портфельной теории» Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х ? начале 60-х гг. работ Джеймса Тобина по аналогичным темам [71, 72, 73]. Здесь следует отметить некоторые различия между подходами Марковица и Тобина.
Подход Марковица лежит в русле микроэкономического анализа, поскольку он акцентирует внимание на поведении отдельного
инвестора, формирующего оптимальный, с его точки зрения, портфель на основе собственной оценки доходности и риска выбираемых активов. К тому же первоначально модель Марковица касалась в основном портфеля акций, т.е. рисковых активов. Тобин
также предложил включить в анализ безрисковые активы, например государственные облигации. Его подход является, по существу, макроэкономическим, поскольку основной объект его изучения ? распределение совокупного капитала в экономике по двум
его формам: наличной (денежной) и неналичной (в виде ценных
бумаг). Акцент в работах Марковица делался не на экономическом анализе исходных постулатов теории, а на математическом
180
анализе их следствий и разработке алгоритмов решения оптимизационных задач. В этом смысле Марковиц больше математик, а
Тобин, прежде всего, экономист. Его интересы лежат в области
фундаментальных проблем экономики, где он продолжает традицию классиков, особенно Кейнса. В подходе Тобина основной
темой становится анализ факторов, заставляющих инвесторов
формировать портфели активов, а не держать капитал в какойлибо одной, например налично-денежной, форме. Кроме того,
Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфелей, составляющих исходные данные в теории Марковица. Возможно поэтому Тобин получил Нобелевскую
премию на девять лет раньше (1981), чем Марковиц (1990).
Крупнейший американский экономист Д. Тобин заметил, что
если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и
приобретает замечательное новое качество.
В параграфе 2.4.1 был рассмотрен портфель с безрисковым
активом и получена связь между ожидаемой доходностью Е(r) и
риском ? в виде зависимости (2.4.4):
E ( rp ) ? rб
E ( r ) = rб +
?,
?р
(3.2.1)
где rб ? безрисковая ставка доходности (эффективность безрисковых бумаг); Е(rр) ? ожидаемая ставка доходности рискованного
актива; ? p = Dp ? стандартное отклонение доходности риско-
ванного актива; Dp ? дисперсия (вариация) рисковой части портфеля, вариация портфеля равна VП = (1 ? х0)2Dp и риск портфеля
равен ?П = (1 ? х0)?p.
Если х0 ? доля капитала вложенного в безрисковую часть портфеля, а (1 ? х0) ? безрисковая доля портфеля, то задача Марковица об оптимальном портфеле в этом случае такова:
?? x x
i
i
j
? min,
j
EП = x0 rб +
x0 +
?x E ,
i
i
(3.2.2)
i
? x = 1.
i
i
181
Изложим решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть
? ? матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг,
X = (xi), V = (vi) ? вектор-столбец долей х капитала, вкладываемых в i-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i = 1,?, n. Пусть также I ? n-мерный векторстолбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей xi есть
X* =
E (rp ) ? rб
(V ? rб I )? ?1 ? (V ? rб I )
??
(3.2.3)
Здесь ??1 ? матрица, обратная к ?. В числителе дроби стоит
число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция
транспонирования первого сомножителя в знаменателе не указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора,
??1(V ? rбI) ? вектор-столбец размерности n. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля Е(rр). Таким образом,
вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный
этому вектору, также не зависит от Е(rр). Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от Е(rр). Однако сумма компонент вектора Х* зависит от Е(rр), а именно, компоненты вектора Х* пропорционально увеличиваются с ростом Е(rр), поэтому
доля х0 безрисковых вложений будет при этом сокращаться.
Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его
доходности. Для этого в формулу вариации портфеля VП = ХТ?Х
подставим оптимальный вектор Х* из формулы (3.2.3), обозначив знаменатель формулы (3.2.3) через d2. Получим
VП =
=
( E (rp ) ? rб )2
d4
( E (rp ) ? rб )2
d4
[?
?1
(V ? rб I )
(V ? rб I )? ?1?? ?
Окончательно
VП =
182
( E (rp ) ? rб )2
d
2
или ? П =
E (rp ) ? rб
.
d
Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска
Е(rр) ? (rб) = d?П или Е(rр) = rб + d?П,
что перекликается с результатами параграфа 2.4.1.
Полученный оптимальный портфель называется портфелем
Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина ? это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных
бумаг.
Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формирования портфеля максимальной эффективности имеет решение,
похожее на решение Тобина в предыдущей постановке.
Оптимальное значение долей xi рисковых бумаг есть
Х* =
?П
(V ? rб I )? ?1 (V ? rб I )
?
.
(3.2.4)
В матрично-векторной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг такова:
х0rб + VX ? max,
X?X = ?П2,
Х0 + IX = 1.
(3.2.5)
Для нахождения условного максимума составим функцию
Лагранжа
L = x0rб + VX + ?0(X?X ? ?П2) + ?1(x0 + IX ? 1).
Находим частные производные L по X и по x0 и приравниваем их к нулю
? ?L
?? ?X = 0,
? ?L
получаем
= 0,
?
?? ?x0
?rб + ?1 = 0,
?
?V + ? 0 ?X + ?1 I = 0.
183
Выразим из второго уравнения ?1 и подставим в первое, получим V ? rбI = ? ?0?X, так что
Х=
( rб I ? V )? ?1
.
?0
Для нахождения ?0 подставим найденное Х в равенство
X?X = ?П2, получим
(rб I ? V ) ?1 rб I ? V ?1
? ?
? = ? П2 ,
?0
?0
отсюда
2
? 1 ?
?? ? ?? (V ? rб I )? ?1 (V ? rб I ) =
? ?0 ?
1
Обозначая 2 = (V ? rб I )? ?1 (V ? rб I ), получаем
d
или ?
2
? 1 ? ? П2
?? ? ?? = 2 ,
d
? ?0 ?
1 ?П
?
=
и окончательно X * = П (V ? rб I ) , т.е. формулу
d
?0
d
(3.2.4).
Опять видно, что структура рисковой части оптимального в
этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на величину риска.
Будем называть полученный оптимальный портфель портфелем Тобина максимальной эффективности.
3.3. ПРОБЛЕМЫ ОЦЕНКИ РИСКА
Сам Марковиц был озабочен сложностью практической реализации своих идей. Вместе с аспирантом Уильямом Шарпом,
который позднее разделил с ним Нобелевскую премию, он разработал метод, позволивший обойти процесс вычисления ковариации между отдельными ценными бумагами. Он предложил
оценивать дисперсию акции или облигации по отношению к рынку в целом, что значительно упростило дело. На этой основе
184
Шарп разработал получившую широкую известность модель
оценки долгосрочных финансовых активов (Capital Asset Pricing
Model, CAPM, или ценовая модель рынка капитала, ЦМРК),
которую мы рассмотрели в параграфе 2.5, позволяющую осуществлять оценку ценных бумаг для случая, когда все инвесторы
формируют свои портфели в точном соответствии с рекомендациями Марковица. Эта модель использует коэффициент «бета»
для описания среднего отклонения курсов отдельных акций или
других ценных бумаг относительно рынка в целом за определенный период.
Другая математическая проблема заключалась в том, что портфели и сами рынки ценных бумаг описывались только двумя
числами ? ожидаемой доходностью и дисперсией. Зависимость
именно от этих двух чисел оправданна, только если доходность
ценных бумаг описывается кривой Гаусса. Отклонения от нормальной кривой недопустимы, и множество значений с каждой
стороны от среднего должно быть распределено строго симметрично.
Если данные не описываются нормальным распределением,
дисперсия не может со 100-процентной степенью точности характеризовать неопределенность портфеля. Ничто не совершенно в реальном мире, и это действительно проблема, но для некоторых инвесторов эта проблема серьезнее, чем для других. Часто
данные укладываются в нормальное распределение достаточно
точно, чтобы на их основе вычислять риск и принимать решения
относительно портфеля. В других случаях несовершенство распределения данных стало поводом для разработки новых стратегий, о которых речь пойдет дальше.
Решающим является вопрос об измерении риска. Как могут инвесторы решить, идти или не идти на риск, пока риск не измерен?
Изменчивость, или дисперсия, интуитивно кажется привлекательной в качестве меры риска. Статистический анализ подтверждает это интуитивное предположение: рост изменчивости, как
правило, сопровождается падением курса ценных бумаг. Более
того, интуиция подсказывает, что неопределенность должна характеризоваться значительными и быстрыми колебаниями стоимости. Способность к быстрому и значительному росту курса
обычно сочетается со столь же выраженной склонностью к его
падению.
185
Однако нет согласия по вопросу о причинах изменчивости,
не говоря уже о причинах того, почему величина изменчивости
колеблется. Мы наблюдаем изменчивость, когда происходит нечто неожиданное. Пользы от этой тавтологии никакой ? никто
не знает, как предсказать неожиданное.
С другой стороны, изменчивость беспокоит не всех. Наличие
риска означает, что на самом деле случится лишь часть того, что
может случиться, ? к этому и сводится определение изменчивости, ? но время остается неопределенным. Вводя элемент времени,
мы ослабляем связь между риском и изменчивостью. Время изменяет риск во многих отношениях, а не только его связь с
изменчивостью.
Рискованность изменчивого портфеля зависит от того, с чем
его сравнивать. Некоторые инвесторы и многие портфельные менеджеры не считают изменчивые портфели рискованными, если
мала вероятность того, что их доходность окажется ниже определенного уровня. Этот уровень не обязательно должен быть нулевым. Это может быть подвижная точка отсчета, например необходимый минимум доходности для поддержания платежеспособности пенсионного фонда корпорации, или доходность
некоего образцового индекса или портфеля.
Тем не менее измерение риска как вероятности падения курса ниже точки отсчета никоим образом не отменяет предписания Марковица для управления портфелями. Доходность остается желательной, а риск нежелательным; ожидаемую доходность нужно максимизировать, сводя риск к минимуму;
изменчивость по-прежнему свидетельствует о вероятности убытков. В этих условиях оптимизация мало чем отличается от того,
что имел в виду Марковиц. Процесс идет, даже если риск представляется многомерным понятием, которое связано с чувствительностью бумаг к неожиданным изменениям таких важных
экономических переменных, как деловая активность, инфляция
и процентные ставки, а также колебания рынка, на котором они
продаются.
Риск может быть измерен и по-иному, исключительно на
основе анализа прошлого опыта. Предположим, инвестор пытается опережать рынок, т.е. старается покупать до начала роста
котировок и продавать, пока они не начали падать. Какой процент ошибок он может себе позволить, чтобы при этом зараба186
тывать больше, чем просто владея купленными ценными бумагами?
Стратегия опережения рынка чревата опасностью упустить
момент большого подъема котировок. Измерение риска значительно усложняется, если параметры не стабильны, а изменчивы.
Даже сама изменчивость не стоит на месте.
Этим проблема не исчерпывается. Мало кто в течение всей
своей жизни не меняет отношения к риску. Мы становимся старше, мудрее, богаче или беднее, и наше понимание риска и степень его неприятия меняются в ту или иную сторону. Так же меняется отношение к риску и у инвесторов, что вызывает значительные изменения в их отношении к будущим доходам от акций
и долгосрочных облигаций.
Остроумный подход к такой возможности был предложен учеником, коллегой и соратником Марковица нобелевским лауреатом Уильямом Шарпом. В 1990 году Шарп опубликовал статью
[70], в которой проанализировал соотношение между изменением богатства и желанием инвесторов владеть рискованными ценными бумагами. Хотя в соответствии с точкой зрения Бернулли
и Джевонса у богатых людей вероятность неприятия риска должна быть большей, чем у других, Шарп высказал гипотезу, что
изменения богатства тоже влияют на степень неприятия риска.
Рост богатства повышает способность людей переносить потери,
но потери эту способность уменьшают. Как следствие этого, увеличение богатства влечет за собой усиление аппетита к риску, а
потери ослабляют его. Шарп предполагает, что эти изменения в
неприятии риска объясняют, почему подъемы или падения на
рынках всегда доходят до крайних пределов, но в конце концов
механизм схождения к среднему вступает в свои права, когда контрапунктные инвесторы замечают, что зашли слишком далеко, и
приступают к исправлению накопившихся ошибочных оценок.
Несмотря на критику, которой подвергается разработанная
Марковицем концепция формирования портфеля, ее значение
трудно переоценить. С 1952 года она закладывается в основу важнейших теоретических построений и растущего числа практических приложений, доминирующих в современном подходе к управлению инвестициями. В самом деле, неоднородность портфеля стала настоящей религией современных инвесторов. Нападки
на Марковица только стимулировали разработку новых концеп187
ций и новых приложений, которые никогда не смогли бы появиться без его основополагающей идеи.
Однако почти все, созданное на основе достижений Марковица, зависит от того, как относиться к спорному вопросу
о разумности инвестора. Необходимы исследования концепции
рационального поведения и неприятия риска. Недавними исследованиями установлено, что многие отклонения от установленных норм рационального поведения являются систематическими.
Есть и другая возможность. Можно предположить, что люди
сами по себе не являются неразумными, но традиционная модель разумного поведения способна охватывать только часть
пути, которым рациональный человек идет к принятию решения. В этом случае проблема заключается скорее в модели рационального поведения, а не в человеке. Если выбор, который
делает человек, и логичен, и предсказуем, пусть даже скорее с
разными, нежели с постоянными предпочтениями или с предпочтениями, которые не прямо укладываются в нормы рационального поведения, поведение все-таки может быть смоделировано математическими средствами. Логика может следовать
различными путями, не только теми, которые определяет традиционная модель.
3.4. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ
ОПЦИОНОВ БЛЭКА?ШОУЛЗА
3.4.1. Модель Блэка [50]
Пусть инвестор ради будущих доходов, желая увеличить свой
инвестируемый капитал Рo, находит дополнительную сумму Рg.
Тогда при покупке разных активов на суммы Рio,?, Рno будем
иметь P o + P g =
?P
i
o
i
венства на Ро, 1 + Y g =
или, после деления обеих частей этого ра-
?
xi , где Y g =
i
да получаем как и раньше
n +1
? x = 1 , но одна из долей средств,
i =1
188
Pg
. Пусть хn+1 = ?Yg, тогPo
i
вкладываемых в актив i-го типа, а именно величина хi уже отрицательная.
Ясно, что в более сложных ситуациях отрицательных компонент, отвечающих заемным средствам, может быть больше одной. Доходность портфеля в этом случае вычисляется в виде
ЕП =
Рк ? Ро ? Р g
,
Ро + Р g
(3.4.1)
где Р к ? стоимость актива в конце периода, Р o ? стоимость актива в начале периода, Р g ? дополнительный (заемный) актив.
На большинстве фондовых бирж Запада действия, которые
математически формализуются в виде xi < 0, допустимы и часто
используются. Но ввиду их особой рискованности обычно есть
дополнительные ограничения на такие действия, а по некоторым
видам ценных бумаг и полный запрет. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка, называются допустимыми. В модели Блэка допустимы любые портфели, то есть единственное
ограничение
?x = 1.
i
i
Особенностью модели Блэка является то, что оказывается возможным реализовать любую, сколь угодно большую доходность
(но за счет быстро растущего риска!). В самом деле, пусть есть
два актива с ожидаемыми доходностями е1 = 1 и е2 = ?1. Для
портфеля х1 = 1 + V, х2 = ?V доходность
ЕП = 1 · (1 + V) + (?1) · (?V) = 1 + 2V ? ? при V ? ?.
3.4.2. Модель Блэка?Шоулза
Для оценки стоимости опционов наиболее широко используется модель Блэка?Шоулза, разработанная этими учеными в начале 70-х [51]. Первая биржа по торговле опционами, Чикагская
биржа опционов (Chicago Board Options Exchange, CBOE), начала свою работу в апреле 1973 года в Чикаго. К 1975 году работающие на бирже трейдеры стали пользоваться моделью БлэкаШоулза как для оценки опционов, так и для хеджирования своих
189
торговых позиций. Такой быстрый выход теории в практическое
применение, причем в таких больших масштабах, был беспрецедентным в истории финансов.
С этого времени методика оценки стоимости опционов стала
применяться также и для других условных требований, сыграв
основополагающую роль при разработке новых финансовых инструментов и создании новых рынков для них в разных концах
света. Знание принципов оценки стоимости опционов стало непременным условием при фундаментальном изучении финансовой теории. Опционы, их сущность и виды будут рассмотрены в
шестой главе.
Модель позволяет оценивать ценность любого опциона, используя небольшое число данных на входе. Данная модель доказала свою состоятельность для оценки многочисленных опционов, в том числе входящих в биржевые листинги.
Вывод модели Блэка?Шоулза слишком сложен, чтобы его
здесь приводить. Тем не менее, центральная идея модели состоит в создании портфеля на основе базового актива и безрискового актива с теми же денежными потоками, а потому с той же
стоимостью, что и оцениваемый опцион. Стоимость колл-опциона в модели Блэка?Шоулза можно записать как функцию пяти
переменных:
C(T) ? цена опциона «колл» на покупку за T периодов до его
выполнения;
S ? курс акций (текущая цена акции);
E ? цена исполнения опциона;
r ? безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка (в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона);
Т ? промежуток времени до срока истечения опциона в
годах;
? ? риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в расчете на год) (риск
базового актива в форме стандартного отклонения доходности акций).
190
Выражение для справедливой цены европейского опциона на
акцию (без учета дивидендов) имеет вид:
C(T) = S · N(d1) ? E · е?rTN(d2),
где
d1 =
?S ? ? ?2
ln ? ? + ?? r +
2
?E? ?
? T
d 2 = d1 ? ? T ,
(3.4.2)
?
?T
?
? ,
(3.4.3)
N(d1) и N(d2) обозначают вероятности того, что при нормальном распределении со средней, равной 0, и стандартным отклонением, равным 1, результат будет соответственно меньше
d1 и d2 .
В табл. 3.3 представлены значения N(d1) для различных значений d1.
Обратим внимание на тот факт, что ожидаемая доходность
акций в выражении для оценки стоимости опциона в явном виде
не фигурирует. Ее влияние осуществляется через изменение курса акций. Любые изменения в ожиданиях относительно будущего курса акций или ожидаемой доходности от инвестиций в акции будут приводить к изменению курса акций и, таким образом, к изменению стоимости опциона «колл». Однако при любом
заданном курсе акций цену опциона можно определить и не зная
ожидаемой доходности акций. Финансовые аналитики, спорящие
по поводу ожидаемой доходности акций, вполне могут, исходя
из складывающегося курса акций, прийти к единому мнению относительно цены опциона.
В реальной ситуации ни изменчивость (?), ни дивидендная
доходность акции (d) не известны с полной определенностью, и
опыт свидетельствует о том, что обе эти величины подвержены
случайным изменениям с течением времени. На практике используются специально разработанные модели, учитывающие вероятностный характер этих переменных.
191
Т а б л и ц а 3.3
Величина N(d) для отдельных значений d
192
d
N(d)
d
N(d)
d
N(d)
-2,95
-2,90
-2,85
-2,80
-2,75
-2,70
-2,65
-2,60
-2,55
-2,50
-2,45
-2,40
-2,35
-2,30
-2,25
-2,20
-2,15
-2,10
-2,05
-2,00
-1,95
-1,90
-1,85
-1,80
-1,75
-1,70
-1,65
-1,60
-1,55
-1,50
-1,45
-1,40
-1,35
-1,30
-1,25
-1,20
-1,15
0,0016
0,0019
0,0022
0,0026
0,0030
0,0035
0,0040
0,0047
0,0054
0,0062
0,0071
0,0082
0,0094
0,0107
0,0122
0,0139
0,0158
0,0179
0,0202
0,0228
0,0256
0,0287
0,0322
0,0359
0,0401
0,0446
0,0495
0,0548
0,0606
0,0668
0,0735
0,0808
0,0885
0,0968
0,1057
0,1151
0,1251
-1,00
-0,95
-0,90
-0,85
-0,80
-0,75
-0,70
-0,65
-0,60
-0,55
-0,50
-0,45
-0,40
-0,35
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,1587
0,1711
0,1841
0,1977
0,2119
0,2266
0,2420
0,2578
0,2743
0,2912
0,3085
0,3264
0,3446
0,3632
0,3821
0,4013
0,4207
0,4404
0,4602
0,4801
0,5000
0,5199
0,5398
0,5596
0,5793
0,5987
0,6179
0,6368
0,6554
0,6736
0,6915
0,7088
0,7257
0,7422
0,7580
0,7734
0,7881
0,8023
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
2,00
2,05
2,10
2,15
2,20
2,25
2,30
2,35
2,40
2,45
2,50
2,55
2,60
2,65
2,70
2,75
2,80
2,85
0,8413
0,8531
0,8643
0,8749
0,8849
0,8944
0,9032
0,9115
0,9192
0,9265
0,9332
0,9394
0,9452
0,9505
0,9554
0,9599
0,9641
0,9678
0,9713
0,9744
0,9773
0,9798
0,9821
0,9842
0,9861
0,9878
0,9893
0,9906
0,9918
0,9929
0,9938
0,9946
0,9953
0,9960
0,9965
0,9970
0,9974
0,9978
Заметим, что из факторов, влияющих на цену опциона, пять
включены в формулу. Однако шестой фактор (ожидаемые дивиденды) не включен, так как эта модель игнорирует выплачиваемые дивиденды. Четыре из этих факторов ? цена исполнения,
текущая цена акций, время до погашения и безрисковая процентная ставка ? известны. Стандартное отклонение цены акций необходимо оценить.
Цена опциона, получаемая из модели Блэка?Шоулза, ? справедливая цена в том смысле, что при любой другой цене имеется
возможность получения безрисковой арбитражной прибыли с
помощью открытия компенсирующей позиции по соответствующим акциям; так, если рыночная цена «колл»-опциона выше полученной по модели Блэка?Шоулза, то инвестор может продать
«колл»-опцион и купить некоторое количество акций. И наоборот, если рыночная цена «колл»-опциона ниже справедливой
цены, то инвестор может купить «колл»-опцион и совершить «короткую» продажу некоторого числа акций. Такая процедура хеджирования путем открытия позиции по соответствующим акциям позволяет инвестору получить безрисковую арбитражную прибыль. Число акций, необходимое для хеджирования позиции,
меняется в соответствии с изменениями факторов, влияющих на
цену опциона, следовательно, хеджирующая позиция должна постоянно меняться.
Например, рассмотрим опцион «колл», который истекает
через три месяца и имеет цену исполнения $40 (таким образом,
Т = 0,25 и Е = 40). Кроме того, текущий курс и риск базисной
обыкновенной акции составляют соответственно $36 и 50%,
а ставка без риска равна 5% (таким образом, S = 36, r = 0,05 и
? = 0,50).
Решение уравнений (3.4.3) дает следующие значения d1 и d2:
d1 =
ln (36 / 40) + [ 0,05 + 0,5 (0,5
0,50 0,25
d 2 = ?0,25 ? 0,50 0,25 = ?0,50.
193
Воспользуемся теперь табл. 3.1 для получения значений N(d1)
и N(d2.)
N(d1) = N (?0,25) = 0,4013;
N(d2) = N (?0,50) = 0,3085.
Наконец, используем уравнение (3.4.2) для определения действительной стоимости опциона «колл»:
?
С (T ) = (0,4013 Ч $36 ) ? ?? 0,05Ч0
?e
= $14,45 ? $12,19 = $2,26.
Если в настоящий момент этот опцион продается за $5, то
инвестору следует подумать, не выписать ли несколько опционов. Так как они переоценены (согласно модели Блэка?Шоулза),
то можно предположить, что в ближайшем будущем их цена упадет. Таким образом, продавец получит премию $5 и сможет рассчитывать на закрывающую позицию покупку по более низкой
цене, что принесет ему доход от разницы цен. Напротив, если
опцион «колл» продается за $1, то инвестору следует купить его.
Так как он недооценен, то можно ожидать роста его стоимости в
будущем.
Из анализа формулы Блэка?Шоулза можно получить следующие зависимости для стоимости европейского опциона на
продажу:
• увеличение курса подлежащих акций приводит к росту цен
на опционы «колл» и снижению цен на опционы «пут»;
• увеличение цены исполнения приводит к снижению цен на
опционы «колл» и росту цен на опционы «пут»;
• усиление изменчивости курса акций приводит к росту цен
как на опционы «колл», так и на опционы «пут»;
• увеличение промежутка времени до даты истечения опциона приводит к росту цен на опционы «колл» и росту цен на опционы «пут»;
• увеличение процентной ставки приводит к росту цен на опционы «колл» и снижению цен на опционы «пут»;
• увеличение дивидендной доходности приводит к снижению
цен на опционы «колл» и росту цен на опционы «пут».
194
Модель Блэка?Шоулза основывается на нескольких ограничительных предположениях. Эти предположения необходимы
для реализации возможности получения безрисковой арбитражной прибыли в случае, если рыночная цена опциона на покупку будет отличаться от полученной на основе модели. Мы рассмотрим эти предположения и упомянем о некоторых обобщениях модели Блэка?Шоулза, которые делают оценку более реалистичной.
Модель Блэка?Шоулза предполагает, что опцион на покупку
является европейским опционом. Поскольку модель Блэка?Шоулза разработана для акции без дивидендов, более раннее исполнение опциона будет невыгодным, так как держатель опциона
может возместить временную премию по опциону путем продажи, а не исполнения опциона на покупку.
Модель Блэка?Шоулза предполагает, что вариация (дисперсия) цены акций: 1) постоянна в течение срока действия опциона;
2) известна с точностью. Если пункт 1 не выполняется, то может
быть использована модель оценки опционов, которая допускает
изменение цены акций. Нарушение пункта 2 более серьезно. Поскольку модель Блэка?Шоулза основывается на аргументах безрискового хеджирования, для осуществления настоящего хеджирования вариация цены акций должна быть известна; если вариация неизвестна, хеджирование не будет безрисковым.
Чтобы построить модель оценки опционов, необходимо сделать предположения о том, как меняются цены акций. Модель
Блэка?Шоулза основана на предположении, что цены акций обусловливаются только одним видом стохастических (случайных)
процессов ? диффузионным процессом. В диффузионном процессе цена акций может принимать любое положительное значение,
но при переходе от одного значения к другому она должна пробегать все промежуточные значения, т.е. курс акций не может
изменяться скачкообразно от одного значения к другому, «перепрыгивая» через промежуточные значения. Альтернативным предположением является то, что цена акций следует скачкообразному процессу, т.е. цены не являются «непрерывными и гладкими»,
а «прыгают» от одного значения к другому, минуя промежуточные значения.
При выведении модели Блэка?Шоулза были сделаны два предположения, касающиеся безрисковой процентной ставки. Во-пер195
вых, предполагалось, что процентные ставки для займов и кредитов одинаковы. Во-вторых, процентная ставка в течение срока
действия опциона постоянна и известна. Первое предположение
вряд ли выполняется, так как ставки для займов выше, чем для
кредитов. Влияние этого расхождения на модель Блэка? Шоулза
будет следующим: цена опциона будет заключена между ценами
опционов на покупку, соответствующими этим двум процентным
ставкам. Второе предположение можно «обойти», заменив безрисковую ставку на период до погашения опциона на геометрическое среднее доходностей по периодам, составляющим период действия опциона.
Изначально модель Блэка?Шоулза была разработана для акций, не приносящих дивиденды. В случае акций, приносящих дивиденды, держателю опциона на покупку может быть выгодно
исполнить опцион раньше. Чтобы объяснить, почему это так,
предположим, что по акции выплачиваются дивиденды, которые
могут быть получены при исполнении опциона до его погашения. Если дивиденды плюс проценты, полученные от реинвестирования дивидендов за период до истечения опциона, больше
временноґ й премии по опциону, то оптимальным будет исполнение опциона. В случае когда будущие дивиденды неизвестны с
достоверностью, невозможно построить модель с использованием арбитражных соображений.
Случай известных дивидендов можно свести к модели Блэка?
Шоулза путем уменьшения цены акций на величину, равную текущему значению дивидендных выплат. Блэк предложил метод
приближенной оценки опционов на покупку акций, приносящих
дивиденды. Его подход состоял в том, что инвестор в момент
покупки «колл»-опциона и для каждого последующего периода
определяет точную дату, когда опцион будет исполнен.
Модель Блэка?Шоулза игнорирует налоги и операционные
издержки. Модель может быть модифицирована, чтобы учитывать налоги, но дело в том, что налоги не единственные издержки. Стоимость сделки включает комиссию, спред цен спроса и предложения и другие издержки, связанные с торговлей опционами.
196
3.5. МОДЕЛЬ ТОБИНА?ШАРПА?
ЛИНТНЕРА (ТШЛ)
Эта модель в большей степени относится к структуре рынка,
а не к структуре портфеля. Считается, что есть безрисковый актив, доходность которого не зависит от состояния рынка (обычно это ? государственные ценные бумаги или вклады в большие
банки). Если доходность безрискового актива (пусть он на рынке один, его номер ? ноль) rб, то ожидаемая доходность Е(rб) = rб,
?2(rб) = 0 и cov(rб, ri) = 0 для всех i ? 0, последнее означает, что в
ковариационной матрице рынка есть нулевая строка и нулевой
столбец. Все активы, кроме нулевого, ? рисковые, то есть
?2(ri) > 0 для i = 1, ?, n.
В данной модели портфель с вектором x = (х0, х1,?, хn) при
х0 ? 1 можно представить в виде линейной комбинации безрискового и рискового портфеля: х = х0е0 + (1 ? х0)y0, где,
е0 = (1, 0, 0, ?, 0), это безрисковый портфель, совпадающий с
?
x
x ?
безрисковым активом, а Y0 ?? 0, 1 ,..., n ?? ? чисто рисковой
1 ? x0 ?
? 1 ? x0
портфель.
Например для n = 3 и х = (0,4; 0,2; 0,3; 0,1) разложение будет
иметь вид
? 1 1
х = 0,4(1, 0, 0, 0) + 0,6 ? 0, , ,
? 3 2
Такое разложение играет важную роль при оценке фиксированных активов.
Рассмотрим рынок двух активов, описываемый вектором ожидаемых доходностей Е = (Е1, Е2) и матрицей ковариации
? ?2
? = ?? 1
? ?? 1? 2
?? 1? 2 ??
,
? 22 ??
где ? = ?12 ? коэффициент корреляции доходностей активов,
?1, ? 2 ? стандартные отклонения.
Для модели Блэка, когда допустимы любые значения х1 и х2
лишь бы х1 + х2 = 1, имеем в двухмерном случае прямую на плос197
кости х1, х2, которая составлена из множества допустимых пар.
Удобно представить эту прямую в параметрическом виде: х1 = t,
х2 = 1 ? t, тогда каждый портфель описывается так:
х = (t, 1 ? t), t ? принимает любые вещественные значения (в том
числе и отрицательные).
Доходность портфеля
ЕП = Е1t + Е2(1 ? t) = Е2 + (Е1 ? Е2)t,
(3.5.1)
риск портфеля
? П2 =
2
2
?? x x
i =1 j =1
i
j
cov( ri , rj ) =
= ? 12t 2 + 2 ?? 1? 2t(1 ? t ) + ? 22 (1 ?
(3.5.2)
= (? 12 ? 2 ?? 1? 2 + ? 22 )t 2 + 2( ??
Оценкой портфеля называют ряд чисел (?2(х), Е(х)), которую
можно изобразить точкой на плоскости ? 2Е0.
Плоскость (? 2, Е) называют критериальной. Меняя портфель,
то есть меняя вектор x , получают различные оценки, а для них
разные точки на критериальной плоскости. Множество всех оценок (то есть множество пар (? 2, Е), а не множество портфелей)
допустимых портфелей называют критериальным множеством.
Если критериальное множество не сводится к одной точке, то
возникает проблема выбора. Пусть П0 ? некоторый портфель, а
Q0 = (? 2, Е0) ? оценка для П0.
Критериальную плоскость можно разделить на четыре квадранта (рис. 3.1). Если какой-то другой портфель П1 имеет оценку
в четвертом квандранте, то П1 лучше П0, так как Е1 ? Е0 и
?12 ? ?02. Если оценка для П1 попадает во второй квандрант, то
П1 хуже П0, так как Е1 ? Е0 и ?12 ? ?02 (причем для обоих этих
квандрантов хотя бы одно неравенство в приведенных парах неравенств ? строгое). Если же оценка Q1 портфеля П1 находится
внутри (не на пунктирах рисунка) первого или третьего квандрантов, то имеем два таких портфеля, у которых один показатель лучше, чем у другого, но зато второй ? хуже.
198
E
Q0
?2
Рис. 3.1. Соотношение портфелей в критериальной плоскости
Из выражения (3.5.1) найдем, что
t=
E П ? E2
,
E1 ? E2
а затем после подстановки этого значения t в выражение (3.5.2)
получим
? ? Е ? ? 1Е2 ? 1 ? ? 2
? П2 = ?? 2 1
+
Е1 ? Е2
? Е1 ? Е2
.
(3.5.3)
Критериальное множество (3.5.3) является параболой на плоскости ( ? ?2 , E? ) (рис. 3.2).
Так как ? ?2 ? 0 , то есть такой портфель, у которого риск нулевой. Приравнивая (3.5.3) к нулю, имеем
E* =
t* =
? 2 E1 ? ? 1E2
;
? 2? 1
?2
;
? 2 ? ?1
? ?2
?1
x* = ??
;
? ? 2 ? ?1 ?1 ? ? 2
(3.5.4)
?
?? .
?
199
E
Е2
Е1
Е*
Q2
Q1
Q*
? 12
? 22
?2
Рис. 3.2. Критериальное множество при ? = 1 для двух активов
Нулевой риск (точка (0, Е*) на графике) ? это, конечно, хорошо, но одна из компонент х* ? отрицательная величина, то есть
заемные средства. Более того, может быть Е* < 0, так будет либо
при 1 > ?2/?1 > M2/M1, либо при 1 < ?2/?1 < M2/M1. Подобное
устранение риска бессмысленно, поскольку означает гарантированный убыток (рис. 3.3).
E
Е2
Q2
Е1
Е*
Q1
Q*
?2
Рис. 3.3. Гарантированный убыток при использовании заемных средств
В модели Блэка (то есть при наличии заемных средств, что
равносильно отрицательности компоненты вектора х) может быть
случай, когда Е* > 0, причем возможно, что доходность портфе200
ля как понизится, так и повысится по сравнению с доходностями
используемых активов (рис. 3.4, 3.5).
E
Е2
Е1
Q1
Е*
Q2
Q*
?2
Рис. 3.4. Понижение доходности портфеля
E
Е*
Е2
Q*
Q2
Е1
Q1
?2
Рис. 3.5. Повышение доходности портфеля
Так для случая, изображенного на рис. 3.5, имеем Е1 < Е2,
?1 > ?2, следовательно
E* = ?
?2
?1
E1 +
E2
?1 ? ? 2
?1 ? ? 2
201
Возможно еще одно геометрическое представление для двухмерного случая: при использовании стандартного отклонения
? = ? 2 = ? 2 + (? 1 ? ? 2 )t
и
получаем параметрическое задание критериального множества
на плоскости (? 2, Е) (рис. 3.6), которое будет парой лучей с
вершиной в точке (? 2, Е). Таким образом, для ? = 1 критериальное множество ? парабола на плоскости (? 2, Е) или пара лучей
на плоскости (? 2, Е), минимальная граница совпадает с критериальным множеством, эффективная граница оценок ? верхняя
ветвь параболы на плоскости (? 2, Е) или верхний луч на плоскости (? 2, Е).
E
Е2
Е1
Q2
Q1
Е*
?2
Рис. 3.6. Критериальное множество
Пусть для модели Блэка ? = 0. В этом случае
ЕП = Е2 + (Е1 ? Е2)t, ?П2 = ?12t2 + ?22(1 ? t2) > 0.
(3.5.5)
Можно опять выразить t через ЕП, подставить в ? ?2 и получить зависимость ?П2 от ЕП, эта зависимость будет, как в преды202
дущем случае, квадратичной. Для нахождения min ? ?2 (теперь
? ?2 > 0 строго!) решим уравнение
d? П2
=0
dt
d? П2
= 2(? 12t ? ? 22 (1 ? t )) = 0 ?
dt
что дает
? П2 (t*) =
? 12? 22
+ ? 22 , 0 < ?
2
2
?1 + ? 2
и
EП (t*) =
E1? 22 + E2? 22
? ( E1; E
? 12 + ? 22
Риск портфеля меньше риска каждого из активов, но устранить его полностью нельзя. Как и в предыдущем случае: минимальная граница совпадает с критериальным множеством,
эффективная граница ? верхняя ветвь параболы на плоскости
(? 2, Е) (рис. 3.7).
E
Е2
Е*
Е1
Q2
Q*
Q1
?
2
Рис. 3.7. Критериальное множество для некоррелированных активов
203
При ? = ?1 получаем
Е П = Е2 + ( Е1 ? Е2 )t, ? П = ?
.
(3.5.6)
Анализируя зависимости (3.5.6), получим кривые рис. 3.8 и
рис.3.9, но
t* =
?2
? (0; 1)
?1 + ? 2
и Q* лежит внутри дуги Q1Q2.
E
Е2
Е*
Q2
Q*
Q1
Е1
?2
Рис. 3.8. Случай ? = ?1 для модели Блэка на плоскости (? 2 , E)
E
Е2
Е*
Е1
Q2
Q*
Q1
?2
Рис. 3.9. Случай ? = ?1 для модели Блэка на плоскости (? 2 , E)
204
Суть этого факта в том, что риск можно полностью устранить без привлечения заемных средств (х1, х2 > 0). Минимальная
граница опять совпадает с критериальным множеством, эффективные границы ? верхние ветви.
Аналогичный анализ возможен для любых значений ?. Можно доказать, что при ? ? ± 1 полностью устранить риск нельзя.
При ? > 0 вершина параболы Q* лежит вне дуги Q1Q2, при
? ? 0 ? внутри этой дуги.
3.6. МОДЕЛЬ МАРКОВИЦА
ДЛЯ ДВУХ АКТИВОВ
В данной модели, кроме ограничения х1 + х2 = 1, требуется
еще выполнение условий х1, х2 ? 0. Для параметрического представления х1 = t, х2 = 1 ? t получается условие t ? [0; 1], что
означает: критериальное множество в модели Марковица представляет часть критериального множества модели Блэка. Возможные ситуации представлены на рис. 3.10 ? 3.13.
Если изобразить критериальные множества на плоскости
(? 2, Е) для разных коэффициентов корреляции ?, то получим треугольник Q1Q*Q2, соответствующий крайним значениям
? = ±1, который сплошь заполнен частями гипербол, отвечающих остальным значениям ? (рис. 3.14).
E
• Q
2
Е2
Е1
•
Q1
?2
Рис. 3.10. ? = 1, все портфели Q1Q2 ? эффективные
205
E
Е2
Q
• 2
•
Е1
Q1
?2
Рис. 3.11. ? = 1, есть единственное оптимальное решение ?
второй актив
?? ? ? ?
При коэффициенте корреляции ? < min? 1 , 2 ? получается
??? 2 ? 1 ?
портфель с риском меньшим, чем риск каждого из активов. В
этом случае портфель обязательно будет лучше, чем портфель,
состоящий только из актива с меньшей доходностью.
Таким образом, как и в модели Блэка, в модели Марковица
наличие отрицательной корреляции между доходностями актиE
Е2
Е*
Е1
•Q
2
• Q*
•
Q1
?
2
Рис. 3.12. ? = 0, участок от Q* до Q2 ? эффективные портфели
206
E
Е2
Е* •
Е1
•Q
2
Q*
• Q1
?
2
Рис. 3.13. ? = ?1, все портфели Q* Q2 ? эффективные
вов позволяет добиться существенного снижения риска в том
смысле, что оптимальный портфель будет лучше одного актива
и не хуже другого. Нахождение параметра t*, который задает
пропорции инвестиций оптимального портфеля, сводится к решению уравнения d? 2 / dt = 0. Поскольку в модели Марковица
требуется неотрицательность вектора х* (t*, 1 ? t*), постольку
при t* ? [0; 1] получается портфель, состоящий из какого-то одного актива.
E
Q2
? =1
? >0
Q*
? =0
? <0
Q1
? = ?1
?2
Рис. 3.14. Критериальные множества для различных значений ?
207
Выводы по главе З
1. Основой для построения теории арбитражного ценообразования (АРТ) является предположение о невозможности арбитража на равновесном рынке. Она утверждает, что ожидаемая доходность ценной бумаги или портфеля подвержена влиянию нескольких факторов. Сторонники АРТ ослабляют ограничения,
присущие классической или многофакторной моделям, что делает ее совершеннее. Более того, ее тестирование не требует выделения «истинного» рыночного портфеля. Однако факторы, которые она использует, требуют эмпирического обоснования, поскольку принципы их выбора не сформулированы теоретически.
Таким образом, АРТ сменила проблему идентификации рыночного портфеля проблемой выбора и оценки «систематических»
факторов. При этом проблема эмпирического определения факторов до сих пор полностью не решена.
2. Портфель Тобина максимальной эффективности включает
в анализ безрисковые активы, что позволяет формировать портфель активов и, кроме того, решение задачи об оптимальном портфеле значительно упрощается.
3. В соответствии с моделью оценки стоимости опциона Блэка?Шоулза стоимость опциона определяется пятью факторами:
рыночным курсом акции, ценой исполнения, сроком действия
опциона, ставкой без риска и риском обыкновенной акции (при
этом предполагается, что ставка без риска и риск обыкновенной
акции ? это постоянные величины в течение всего времени действия опциона).
Эта модель основывалась на возможности осуществления безрисковой сделки с одновременным использованием акции и выписанным на нее опционом. Стоимость (цена) такой сделки должна совпадать со стоимостью безрисковых активов на рынке, а
поскольку цена акции меняется со временем, то и стоимость выписанного опциона, обеспечивающего безрисковую сделку, также должна соответствующим образом изменяться. Из этих предположений можно получить оценку (вероятностную) стоимости
опциона.
4. Модель Тобина?Шарпа?Линтнера предусматривает возможность безрискового вложения капитала и получения кредита
на рисковые инвестиции.
208
Глава 4. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ
ОПТИМИЗАЦИЯ ПОРТФЕЛЯ
ИНВЕСТИЦИЙ ЦЕННЫХ
БУМАГ
4.1. ТЕОРИЯ РЫНКА КАПИТАЛОВ
4.1.1. Природа риска
в экономическом анализе
В экономических исследованиях мы, как правило, имеем дело
с принятием решений в условиях неопределенности. Возникновение неопределенности связано с различными обстоятельствами.
Во-первых, это может быть результатом полного или частичного
незнания физических, экономических или социальных законов, в
силу которых развивается та или иная экономическая система.
Во-вторых, мы можем не иметь полной информации о состоянии
исследуемой системы на данный момент времени. Наконец, неопределенность может быть органически присуща самой природе
изучаемого процесса, так, как это происходит в квантовой механике при одновременном определении положения и скорости элементарной частицы: измерение положения частицы изменяет ее
скорость тем больше, чем выше точность измерения, и, наоборот, определение импульса частицы изменяет ее расположение в
пространстве. В нашем случае исследование финансового рынка
и внедрение в практику различных механизмов прогнозирования
и оценивания состояния рынка влияет на принятие решений конкретного дилера и тем самым является самостоятельным фактором, изменяющим объект изучения.
В прикладной математике имеется много различных методов
анализа систем с неопределенностью, включая методы теории игр,
нелинейное и стохастическое программирование, робастный анализ, многокритериальную оптимизацию, математическую статистику и теорию случайных процессов. В данной работе мы, в основном, будем использовать методы теории вероятностей и математическую статистику, а также различные оптимизационные методы.
209
Сделаем несколько предварительных замечаний о соотношении эффективность?риск применительно к анализу финансовых
операций в условиях неопределенности. Как правило, мы будем
иметь дело с некоторой величиной ? (например, величиной дохода на рубль вложений), значения которой заранее однозначно не
определены. В то же время, мы знаем список возможных значений этой величины и оценки возможности реализации этих значений на практике. Все вместе это называется законом распределения случайной величины ?. Полное представление о поведении
случайной величины (например, знание вероятности значительных уклонений от некоторых средних значений) дает именно ее
закон распределения и ни что иное. Однако, эта информация весьма объемна и принимать решения на ее основе весьма сложно.
Хотелось бы при анализе ограничиться рассмотрением нескольких числовых параметров, которые, с одной стороны, отражали
бы (пусть приближенно) основные черты данной случайной величины, а, с другой стороны, были бы легки в подсчете и использовании. Первым таким параметром является математическое
ожидание случайной величины, то есть среднее взвешенное значение ее возможных состояний с учетом имеющегося распределения вероятностей на множестве этих состояний. Именно это среднее значение и считают мерой эффективности соответствующей
финансовой операции. Математическое ожидание, однако, не
учитывает возможный разброс значений случайной величины
вокруг ее математического ожидания. Поэтому чрезвычайно важно принимать во внимание числовой параметр случайной величины, который называется дисперсией. Дисперсия представляет
собой сумму квадратов уклонений состояний случайной величины от математического ожидания, умноженных на вероятности
этих состояний. Именно дисперсию (или квадратный корень из
нее, называемый среднеквадратичным отклонением) в финансовой математике традиционно считают мерой риска вложения в
данную случайную величину.
Поясним роль дисперсии и ее соотношение с математическим
ожиданием на следующем стандартном примере из теории случайных процессов. Рассмотрим, так называемую, задачу о разорении
игрока. Игра происходит следующим образом. Два игрока играют в орлянку, подбрасывая монету, и в зависимости от того, что
выпадает, орел или решка, либо первый игрок платит второму
210
1 рубль, либо, наоборот, второй первому. Вероятность выигрыша
и проигрыша каждого из игроков при одном подбрасывании
монеты одинакова и равна 1/2. Вопрос заключается в следующем ?
чему равен выигрыш первого игрока через n игр? Величина выигрыша, разумеется, является случайной и, в принципе, принимает любые целые значения от -n до n (отрицательные значения выигрыша означают, что первый игрок проигрывает, а второй,
соответственно, выигрывает). Поскольку игра справедливая (ни
у кого из игроков нет никаких преимуществ по отношению друг
к другу), вероятность выиграть k рублей равна вероятности проиграть те же k рублей (0 ? k ? n), то есть распределение вероятности нашей случайной величины симметрично относительно 0.
Следствием является тот факт, что математическое ожидание случайной величины выигрыша ? равно нулю. Нетрудно понять, однако, что вероятности состояний от 0 до n отнюдь не одинаковы:
к различным состояниям из списка k = ?n, ..., ?1, 0, 1, ..., n приводит различное число путей (то есть различное число серий из n игр
оканчивается тем или иным числом из данного списка). Обозначим вероятность того, что ? = k через pn(k). Удивительным (и парадоксальным!) фактом является следующее свойство этого распределения вероятностей: для любого фиксированного числа k
lim ( pn ( ? k ) + pn ( ? k + 1) + ... + pn(0) + ... + pn(k ?1) + pn(k)) = 0.
n ??
Можно интерпретировать это соотношение следующим образом. Если у обоих игроков имеется к началу игры одна и та же
фиксированная сумма (скажем, k=1000 рублей), и игра закончится, если один из игроков проиграет все свои деньги, то при достаточно длинной серии игр один из игроков обязательно разорится. Иначе: даже при справедливой игре в большинстве игр
наблюдаются сколь угодно длинные серии, в которых везет одному из игроков, а второй, в основном, проигрывает.
Философским следствием рассмотренного примера является
следующий вывод. Во многих достаточно естественно возникающих распределениях (например, при броуновском движении молекул) математическое ожидание не является адекватной характеристикой процесса; с высокой вероятностью реализуются в качестве значений случайной величины как раз отклонения в ту
211
или иную сторону от ее средневзвешенного значения. В силу неравенства Чебышева, вероятности этих отклонений оцениваются
сверху через дисперсию случайной величины. Однако при большой дисперсии в реальном процессе реализуется скорее или существенно большая величина, чем математическое ожидание, или
существенно меньшая величина. Вот почему дисперсия принята
за меру риска финансовой операции в ситуации, описываемой в
терминах случайной величины.
4.1.2. Методы экономико-статистического
анализа в теории рисков
В данном пункте мы продолжим изложение математических основ теории рисков финансовой математики. Наша конечная цель ? решение задачи о формировании портфеля ценных
бумаг и, в частности, обоснование алгоритма выбора эффективного портфеля. Начнем мы, однако, с изложения математических основ теории индивидуальной ценной бумаги на финансовом рынке.
Эффективность инвестиций в отдельно взятую акцию естественно выразить следующей величиной:
r=
P1 ? P0 + d
,
P0
(4.1.1)
где P0 ? цена покупки акции, P1 ? цена продажи, d ? дивиденды,
полученные за время владения акцией. Поскольку покупка и продажа акций, а также выплата дивидендов происходят в различные моменты времени, в формуле используются приведенные значения P1 и d (их современные значения с учетом банковской процентной ставки).
Теоретически, в предположении фиксированной ставки i ссудного процента, цена акции P равна сумме приведенных величин
дивидендов dt за n лет и цены Pn реализации акции:
P=
n
? d (1 + i )
t =1
212
t
?t
+ Pn (1 + i ) ? n .
(4.1.2)
Однако величины дивидендов и ссудного процента, входящие в данную формулу, являются трудно предсказуемыми, и реальные цены складываются под влиянием оценок эффективности
деятельности данной компании и возможности альтернативных
вложений. Единственный научно-обоснованный подход к прогнозированию экономических процессов в рыночной ситуации
основан на использовании методов экономико-статистического
анализа и математических методов обработки результатов наблюдений. Напомним основные положения этой теории.
Пусть на данном финансовом рынке всего имеется N акций,
доходность по каждой из которых является случайной величиной
?i (i = 1, ?, N) с неизвестным законом распределения (в статистике такой закон принято называть генеральной совокупностью).
Разумеется, случайные величины ?i являются зависимыми, так что
поведение одной случайной величины влияет на поведение всех
остальных. Кроме этого, имеется так называемая безрисковая
ценная бумага ? 0 (государственные облигации), доходность r0
которой фиксирована и не меняется во времени.
Для произвольной бумаги ?, закон распределения которой
имеет вид
?
x1
x2
x3
?
xn
p1
p2
p3
?
pn
эффективностью (или доходностью) вложения одной единицы
денежных средств будем считать средне ожидаемый доход, или
математическое ожидание ?:
M [? ] =
n
?x p ,
i =1
i
i
(4.1.3)
а риском вложения (разброс данных вокруг среднего значения) ?
среднеквадратичное уклонение ?:
? 2 [? ] =
n
?
i =1
( xi ? M (? )) 2 pi =
p
?
i=
(4.1.4)
Разумеется, теоретический закон распределения нам не известен. Мы имеем лишь возможность отслеживать реализации сово213
купности из N случайных величин ?i в некоторые заданные моменты времени, в результате чего получаем многомерную выборку из данной генеральной совокупности в виде таблицы данных (табл 4.1).
Т а б л и ц а 4.1
Таблица данных
t
?1
?2
?N
1
r11
r21
rN1
2
r12
r22
rN2
M
M
M
k
r1k
r2k
M
M
rNk
Таким образом, наша задача сводится к установлению статистических выборочных оценок математического ожидания и среднеквадратичного уклонения величины ? . Нас будет интересовать поведение ? по отношению к рынку в целом. Чтобы охарактеризовать усредненное поведение акций на рынке, будем
1 N
?i ,
N i =1
реализации которой представляют собой среднее арифметическое реализаций всех случайных величин:
представлять его как некоторую случайную величину ? =
rt =
1
N
N
?r ,
i =1
t
i
t = 1, ..., k .
?
(4.1.5)
Стоит отметить, что, поскольку мы усредняем зависимые случайные величины, закон больших чисел Чебышева и вытекающая
из него центральная предельная теорема Ляпунова по отношению
?
к случайной величине ? , вообще говоря, не применимы.
При исследовании рынка, как правило, предполагают, что он
находится в состоянии рыночного равновесия, то есть процесс
купли-продажи акций сбалансирован, и при незначительной разнице между ценами спроса и предложения на акции операторы
214
фондового рынка быстро приходят к признанию их средневзвешенных значений. Аксиома рыночного равновесия предполагает,
таким образом, наличие некоторого закона в соотношении между риском вложений и их ожидаемой доходностью (эффективностью вложения), который позволил бы компенсировать больший
риск меньшей ценой на акции (и, следовательно, большей ожидаемой величиной дохода) и, наоборот, более стабильные в ценовом
плане акции продавать по несколько большей цене. Иными словами, предполагается, что в среднем на рынке «выживают» только те акции, у которых математическое ожидание доходности M
и среднеквадратичное уклонение ? связаны в виде некоторого соотношения
M = f (? ),
(4.1.6)
называемого линией капитала. Небольшие уклонения в ту или
иную сторону реальных значений среднего дохода и среднеквадратичного уклонения от линии капитала мгновенно приводят к
изменению текущих котировок акций и к возврату этих значений
к линии капитала.
Прежде чем детально разобрать этот процесс, обсудим характер зависимости f (? ). Прежде всего, ясно, что функция f (? ) является монотонно возрастающей (большему значению риска отвечает больший ожидаемый доход). При нулевом риске значение эффективности вложений обязано быть равно соответствующей
величине для безрисковой бумаги f (0) = r0. Наконец, естественно
предположить, что при значении риска, равном среднему показа?
телю по рынку, то есть при ? = ? (? ), значение функции f (? ) дол?
жно быть равно средневзвешенной доходности M[? ]. В остальном, функция f (? ) может быть выбрана произвольно. В финансовой математике обычно принимается линейная функция f (? ) =
= a? + b, поскольку, во-первых, это простейшая возможная зависимость, позволяющая упростить все последующие расчеты, вовторых, при прогнозировании на короткий срок линейная зависимость вполне адекватно аппроксимирует произвольную нелинейную функцию, и, наконец, традиционно операторы рынка
ориентируются и учитывают в своих прогнозах именно такой вид
линии капитала. Поэтому мы в дальнейшем также будем предполагать, что f (? ) = a? + b.
215
Найдем коэффициенты a и b в уравнении линии капитала с
учетом вышесказанного. Определяем сначала выборочное сред?
нее и выборочную дисперсию случайной величины ? . Имеем:
rВ =
DВ =
1 1
( r + r 2 + ... + r N ),
N
1
((r 1 ) 2 + ( r 2 ) 2 + ... + ( r N
N
(4.1.7)
(4.1.8)
Среднеквадратичное уклонение теперь равно
? В = DВ .
С учетом того, что f (0) = r0 и что f (? В ) = rВ , получаем:
f (? ) =
rВ ? r0
?В
? + r0 .
(4.1.9)
Для случайной величины ? имеют место аналогичные формулы:
rВ =
?В =
1 1 2
( r + r + ... + r N ),
N
1 1 2
((r ) + (r 2 ) 2 + ... + (r
N
Теперь можно утверждать, что, если f (?B) > rB, то цена на
данную акцию завышена (при данном риске средняя доходность
по рынку выше доходности данной ценной бумаги). Наоборот,
если f (?B) < rB, то цена на акцию занижена.
Подход к определению стоимости бумаги, основанный на
анализе линии капитала, весьма чувствителен к временным колебаниям рынка. Кроме того, он не позволяет учитывать следующее важное обстоятельство. На самом деле, для принятия решения дилеру нужно знать не столько абсолютные колебания
рыночного курса акций, сколько уклонения этих колебаний от
некоторых средних значений. Если в данный момент на рынке
216
идет глобальное понижение курса акций, то, разумеется, курс
той или иной конкретной акции также понижается. Важно знать,
как соотносятся эти изменения с общей тенденцией на рынке.
Иными словами, было бы полезно определить статистическую
зависимость выделенной ценной бумаги от некоей усредненной
бумаги рынка, а затем, уже в зависимости от этих относительных показателей, принимать решение о завышении или занижении цены на эту бумагу. В финансовой математике эту задачу
решают на основе анализа так называемых ? и ? коэффициентов
бумаги.
4.1.3. Линия рынка ценных бумаг
и ? и ? коэффициенты ценных бумаг
Опишем другой подход к определению положения данной
ценной бумаги по отношению к поведению «усредненной» бумаги на рынке, основанный на так называемых ? и ? коэффициентах бумаги. Для этого предположим, что случайные вели?
чины ? и ? связаны каким-то соотношением и постараемся на
основе статистических данных определить вид этой зависимос?
ти. Напомним, что случайные величины ? и ? считаются независимыми, если для любых двух событий A и B имеет место
соотношение
P(? ? A, ? ? B ) = P(? ? A) ? P
?
В противном случае величины ? и ? являются зависимыми.
Мерой зависимости случайных величин в теории вероятностей
?
принято считать ковариацию ? и ? :
Cov(? , ? ) = M [(? ? M [? ]) ? (?
.
(4.1.10)
Ковариация, поделенная на произведение средне квадратичных уклонений, называется коэффициентом корреляции случай?
ных величин ? и ? :
? (? ,? ) =
Cov(? ,? )
.
? (? )? (? )
(4.1.11)
217
Из неравенства Гельдера получаем следующие основные свойства коэффициента корреляции. Значения коэффициента корреляции ? (? ,? ) принадлежат отрезку [?1, 1]. При этом ? (? ,? ) = 1
тогда и только тогда, когда ? = ?? + µ, ? > 0, и ? (? ,? ) = ?1 , если
?
? = ?? + µ, ? < 0. Если случайные величины ? и ? независимы, то
? (? ,? ) = 0 . Обратное, однако, неверно: случайные величины могут оказаться зависимыми, даже в случае, когда их коэффициент
корреляции равен 0.
Статистическим аналогом коэффициента корреляции является выборочный коэффициент корреляции. Если имеется двумер?
ная выборка наблюдений пар значений случайных величин ? и ?
вида (r1, r 1 ), (r2, r 2), (r3, r 3 ), ? , (rN, r N ), то
?В =
1
((r1 ? rВ )(r 1
N
? rВ ) + (r2 ? rВ
(4.1.12)
?В
где через ?B обозначен выборочный коэффициент корреляции.
?
Будем искать зависимость ? от ? в виде линейной регрессии
?
? = k? + m. Коэффициенты k и m линейной функции y = kx + m
определяют, используя принцип наименьших квадратов Гаусса:
коэффициенты k и m должны быть подобраны так, чтобы сумма
квадратов уклонений наблюдений rt от теоретических значений
kr? t + m была наименьшей. Справедлива формула
k = ?В
? В (? )
, m = rВ ? krВ .
? В (? )
( 4.1.13)
Теперь мы можем дать определение так называемого ?-коэффициента бумаги ? , это не что иное, как старший коэффициент
?
уравнения линейной регрессии ? на ? :
? = ?В
?=
218
1
((r1 ? rВ )(r 1 ? rВ ) + (r2
N
? rВ )
?
? В (? )
? В (? ) ,
(4.1.14)
(4.1.15)
?
Из уравнения регрессии ? = ?? + m следует, что изменение
?
среднего показателя доходности ? на единицу приводит к приращению доходности бумаги ? на величину ?. Если ? >1, то рыночная премия за риск для данной бумаги в среднем выше, чем в
целом по рынку; поведение бумаги является агрессивным. Наоборот, при ? <1 бумага ведет себя пассивно по отношению к
остальному рынку. В частности, при ? = 0 изменения котировок
бумаг в целом по рынку не оказывают воздействия на изменения
котировок выделенной ценной бумаги, то есть, бумага является
безрисковой. Таким образом, показатель ? можно рассматривать как меру относительного риска вложения средств в данную
бумагу, которая отслеживает тенденцию изменения котировок на
рынке в целом. Естественно поставить вопрос о том, как статистически определить зависимость средней доходности при заданном значении ? -коэффициента.
?
Для этого «подправим» уравнение регрессии ? = k? + m так,
чтобы при ? = 0 значении ? было бы равно доходу r0 по безрисковой ценной бумаге, а при ? = 1 значение теоретического дохо?
да было бы равно ? . В результате получаем так называемую линию рынка ценных бумаг:
? = r0 + ? (? ? r0 ).
(4.1.16)
Разницу между реальным значением математического ожидания
дохода бумаги rВ и ее теоретического дохода, рассчитанного по
формуле r = r0 + ? (rВ ? r0 ) , называют ? коэффициентом бумаги:
? = rВ ? ( r0 + ? ( rВ ? r0 )).
(4.1.17)
Если ? > 0, то при данном риске доход на бумагу выше среднего дохода по рынку, следовательно, цена на акцию является
заниженной. Наоборот, при ? < 0 доход на данную ценную бумагу ниже, чем доход на бумаги с тем же значением риска, то
есть цена на акцию завышена.
Забегая вперед, скажем, что, когда мы построим кривую
эффективных вложений, то аналог ? коэффициента для соответствующей «взвешенной» бумаги, отвечающей заданному вложению средств в портфель ценных бумаг, будет служить нам мерой
риска данного вложения, наряду с другими характеристиками
портфеля.
219
4.2. ПОСТАНОВКА
ДВУХКРИТЕРИАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ
ИНВЕСТИЦИЙ
4.2.1. Формирование портфеля
ценных бумаг
Вернемся к описанию рынка ценных бумаг в целом. Напомним, что у нас имеется N ценных бумаг, доходность по каждой из
которых является случайной величиной ? i, i=1,?,N. Кроме того,
имеется безрисковая бумага ? 0 с фиксированным показателем
доходности r0. У нас имеется единица денежных средств, которую мы хотим распределить между имеющимися ценными бумагами. При любом таком распределении доходность от вложения
является некоторой случайной величиной ? . Изучим ее характеристики.
Пусть мы вкладываем в i-ю ценную бумагу xi долю всех денежных средств, x0 + x1 + x2 + ? + xN = 1. Тогда доходность вложения равна
? = x0r0 + x1?1 + x2?2 + ? + xN?N.
(4.2.1)
Математическое ожидание (средняя величина) доходности
равна
M[?] = x0r0 + x1M[?1] + x2M[?2] + ? + xNM[?N].
(4.2.2)
Разброс значений ? по отношению к ее средневзвешенному
значению M[? ] определяется дисперсией D[? ], равной
D[? ] =
N
?c x x .
i , j =1
ij
i
(4.2.3)
j
Здесь cij является ковариацией случайных величин ? i,,? j:
cij = Cov(?i,, ?j).
(4.2.4)
N
Отметим, что квадратичная форма d(x) =
220
?c x x
i , j =1
ij i
j
является
неотрицательно определенной, поскольку дисперсия D[? ] неотрицательна при любом выборе значений x1, x2, ?, xN. На самом деле,
N
можно считать d(x) =
?c x x
i , j =1
ij
i
строго положительно определен-
j
ной квадратичной формой, поскольку наличие направления
N
(x1, x2, ?, xN), на котором ? c x x
i , j =1
ij
i
j
= 0, означает, что случайная
величина (x1?1 + x2?2 + ? + xN?N) имеет нулевую дисперсию, то
есть, является детерминированной. Иными словами, между случайными величинами ?1, ?2, ?, ?N существует некоторое линейное соотношение, и одна из них выражается как линейная комбинация остальных случайных величин. В этом случае можно редуцировать размерность задачи, перейдя к линейно независимым
случайным величинам, уменьшив тем самым число действующих
ценных бумаг на рынке. Отметим, однако, что наличие такой
линейной зависимости между реальными ценными бумагами на
рынке статистически крайне маловероятно. В дальнейшем мы
N
будем предполагать, что квадратичная форма d(x) =
?c x x
i , j =1
ij i
j
строго положительно определена.
Таким образом, мы желаем увеличить среднеожидаемую доходность вложения при возможно меньшем риске. Обозначим
M[?i] = mi, i = 1, ?, N. Мы имеем следующую двухкритериальную
задачу оптимизации
m(x) = x0r0 +
N
?
i =1
xi mi ? max,
d(x) =
N
?c x x
i , j =1
ij
i
j
? min,
x0 + x1 + x2 + ? + xN = 1, xi ? 0, i = 0, ?, N.
(4.2.5)
Введем в рассмотрение так называемые Парето оптимальные
решения такой задачи, называемые в финансовой математике эффективными вложениями. Любой набор x = (x0, x1, x2, ?, xN),
удовлетворяющий условиям x0 + x1 + x2 + ? + xN = 1, xi ? 0,
будем называть допустимым. Тогда допустимый набор x является Парето оптимальным, если не существует другого допустимого набора x?, для которого
m(x) < m(x?), d(x) > d(x?).
221
Иными словами, Парето оптимальные решения нельзя улучшить сразу по двум показателям. Геометрически эти решения
можно интерпретировать следующим образом. В (N + 3)-мерном
пространстве с координатами (x0, x1, x2, ?, xN, m, d) рассмотрим
подмножество ?, определяемое соотношениями
? = {(x, m, d) | x0 + x1 + x2 + ? + xN = 1,
xi ? 0, m = x0r0 +
N
?
i =1
xi mi , d =
N
?c x x
i , j =1
ij i
j
}.
Спроектируем это множество на плоскость (m, d), то есть для
каждой точки (x, m, d) ? ? отбросим первые координаты x и
отметим соответствующую точку на плоскости с координатами
(m, d). В результате получим некоторое подмножество П двумерной плоскости (m, d) с границей Г. Парето оптимальным решениям нашей задачи отвечают те точки (m0, d0) границы Г, для
которых угловой сектор, определяемый соотношениями
?( m0 ,d0 ) = {( m, d ) | m ? m0 , d ? d
является опорным по отношению к множеству П (пересекается с
П только в самой точке (m0,d0)) (рис. 4.1).
m
Г(m0, d0)
Г
П
0
d
Рис. 4.1. Граница Г эффективного множества портфелей
222
Опорные множества удобно описывать в терминах линейных
функционалов.
Покажем, что кривая Г является выпуклой. Пусть для точки (m1,d1) ? ? существует такой допустимый вектор x1, что
N
N
? x m , d1 = ? c x x . Аналогично, пусть (m2,d 2) ? ?,
и существует x2, такой, что m2 = r0x0 + ? x m , d 2 = ? c x x .
m1 = r0 x01 +
1
i
i =1
i
i , j =1
1 1
ij i j
N
i =1
2
i
N
i
i , j =1
ij
2
i
2
j
Нам надо убедиться, что отрезок (? m1 + (1 ? ? )m2, ? d1 + (1 ? ?)d 2),
? ? (0,1), принадлежит надграфику функции d = d(m), задающей
кривую ?, то есть, найдется такой допустимый вектор x, что
?m1 + (1 ? ?)m2 = r0x0 +
N
?
i =1
xi mi , ? d1 + (1 ? ?)d 2 ?
N
?c x x
i , j =1
ij
i
j
. Рас-
смотрим вектор x? = ?x1 + (1 ? ?)x2. Поскольку квадратичная форN
ма
y =
N
?
?c x x
j
строго положительно определена, функция
?c x x
j
является строго выпуклой. Следовательно,
i , j =1
N
i , j =1
ij
ij
i
i
?
1
2
cij xi? x?j < ?d + (1 ? ?)d . С другой стороны, r0x0 +
i , j =1
N
?x
i =1
?
i mi
=
= ? m1 + (1 ? ?)m2. Таким образом, выпуклость ? доказана, а это означает, что рыночная граница эффективного множества портфелей выпукла.
Поскольку множество ?(m0, d0) выпукло по своему определению,
справедливо следующее утверждение. Множество ?(m0, d0) является опорным к ? в точке (m0, d0) ? ? тогда и только
тогда, когда найдется прямая d ? d0 ? ?(m ? m0) = 0, проходящая через точку (m0, d0), для которой d ? d0 ? ?(m ? m0) ? 0 для любой точки (m, d) ? ?, и d ? d0 ? ?(m ? m0) ? 0 для любой точки (m,
d) ? ?(m0, d0). Из последнего неравенства следует, что ? ? 0.
223
Заметим, что все прямые, опорные к множеству ?(m0,d0) в точке (m0,d0), имеют вид d ? d0 ? ?(m ? m0) = 0, 0 ? ? ? ?. Обратно,
для любого 0 ? ? ? ? найдется точка (m0, d0) ? ?, для которой прямая d ? d0 ? ?(m ? m0) = 0 является опорной к ?, то есть
? ? [0, ?] параметризует точки кривой ?.
Мы приходим к следующей задаче, решения которой являются Парето оптимальными в исходной двухкритериальной задаче
(4.2.5). Пусть задано произвольное неотрицательное число ?.
Рассмотрим задачу
?
cij xi x j ? ? ? x0 r0 +
?
i , j =1
?
N
?
N
?x m
i =1
i
i
?
?
? min,
x0 + x1 + x2 + ? + xN = 1, xi ? 0, i = 0, ?, N.
(4.2.6)
Из вышесказанного следует, что любое решение задачи (4.2.6)
является Парето оптимальным для задачи (4.2.5). Задачу (4.2.6)
будем называть задачей с комбинированным функционалом.
Используя выпуклость кривой ?, можно уточнить расположение ? на плоскости (m, d). Пусть d = d(m)-функция, график
которой совпадает с ?. Функция d(m) выпуклая и неотрицательная, следовательно, она имеет не более одной точки минимума.
С самого начала естественно предположить, что для любого
i = 1, ?, N имеет место неравенство mi ? r0 (на самом деле это
неравенство есть следствие аксиомы рыночного равновесия ? рисковая бумага, приносящая меньший доход, чем гарантированный, не «выживет» на рынке). Но тогда функция d(m) определена
при m ? r0 , и ее очевидный минимум как раз и равен 0 и достигается при m = r0. Поскольку минимум единственный, отсюда следует, что функция d(m) монотонно возрастающая на всей области определения (рис 4.2).
Прежде чем перейти к исследованию задачи (4.2.6), покажем,
что Парето оптимальные решения задачи (4.2.6) определяют решения следующих двух задач, традиционно изучаемых в финансовой математике. В первой из них мы желаем минимизировать
224
m
r0
0
d
Рис. 4.2. Вид кривой d(m)
риск вложения при заданном средне ожидаемом уровне доходности.
N
?c x x
i , j =1
ij i
j
? min, x0r0 +
N
?x m
i =1
i
i
= m,
x0 + x1 + x2 + ? + xN = 1, xi ? 0, i = 0, ?, N.
(4.2.7)
Здесь m ? некоторое наперед заданное число, принимающее
значение в промежутке между r0 и M = max{m1, m2, ?, mN}.
Во второй, наоборот, мы бы хотели при заданном риске максимизировать математическое ожидание дохода.
x0 r0 +
N
?
i =1
xi mi ? max,
N
?c x x
i , j =1
ij i
j
= S,
x0 + x1 + x2 + ? + xN = 1, xi ? 0, i = 0, ?, N.
(4.2.8)
Здесь S ? некоторое наперед заданное число, принимающее
значение в промежутке между 0 и S*, равной матричной норме
матрицы C = (cij), если в качестве нормы пространства (x1, x2, ?,
xN) принять функцию ||(x1,x2,?,xN)|| = |x0| + |x1| + |x2| + ? + |xN|.
Отметим, что решение задачи (4.2.7) называется портфелем
Марковица?Тобина минимального риска. Решение задачи (4.2.8)
называется портфелем Марковица?Тобина максимальной эффективности.
225
Заметим, что оптимальное значение минимизируемого функционала в задаче (4.2.7) отвечает точке пересечения кривой ? и
прямой m = const. Действительно, по самому определению множества ? и кривой ? минимальное значение риска при заданном
значении m есть крайне правая точка сечения ? прямой
m = const. Очевидно, что при m ? r0, множество ?(m0,d0) является
опорным к ? в точке (d(m),m). Аналогично, оптимальное значение функционала в задаче (4.2.8) отвечает верхнему сечению ? и
вертикальной прямой d = const.
Прежде чем перейти к решению задачи (4.2.6), обсудим
роль коэффициента ? в комбинированном функционале
N
? N
?
?
cij xi x j ? ? (x0r0 +
xi mi ? . Как было отмечено ранее, коэф?
? i , j =1
i =1
?
?
фициент ? параметризует точки кривой ? эффективных вложений. С другой стороны, ? является весовым коэффициентом,
который численно выражает наше субъективное отношение к соотношению между доходностью и риском выполняемой операции.
Если ? = 0, то для нас важно осуществлять вложения с минимальным возможным риском, даже если при этом доходность
окажется минимальной. Очевидным решением такой задачи является вложение всех денег в безрисковую бумагу с минимальной доходностью r0. Другой крайний случай, ? когда значение ?
много больше единицы (насколько именно должно быть велико
? , зависит, вообще говоря, от матрицы cij). Выбирая такой целевой функционал, мы выражаем готовность вложить деньги в
бумагу с очень большим разбросом значений доходности (то есть
с большой дисперсией), но с максимальным средним значением
доходности. Опять же очевидно, что при таком выборе параметра ? решением задачи является вложение всех средств в одну единственную бумагу с максимальным значением mi. Промежуточные значения параметра ? дают такие решения, для которых
имеется нетривиальное соотношение между риском и доходностью. Подчеркнем, что когда ? непрерывно меняется от 0 до + ?,
число и номера бумаг, в которые происходит вложение денег (оптимальное в смысле комбинированного функционала), необходимым образом изменяется. Это является принципиальным отличием ставших уже классическими результатов Марковица?
?
226
?
Тобина о разного рода оптимальных портфелях, в которых число эмитентов фиксировано. Ниже мы предложим методику построения кривой эффективных вложений с анализом изменений
в формируемом оптимальном портфеле, в зависимости от выбора комбинированного функционала.
4.2.2. Модель полного решения задачи
о формировании портфеля наименьшего
риска в классической постановке
Чтобы представить себе, какие трудности встречаются на
пути решения задачи о портфеле (в постановке Марковица или
Тобина ? безразлично), приведем полное решение модельной задачи формирования портфеля ценных бумаг для рынка, на котором присутствуют две рисковые и одна безрисковая бумага. Пусть
средние значения доходности рисковых бумаг равны 0,03 и 0,01,
а доходность безрисковой бумаги равна 0,005. Ковариационная
матрица рисковых бумаг имеет вид
? 4 1 ?.
?
?
?1 2?
Тогда задача по формированию портфеля минимального риска с заданным значением средней доходности может быть записана как
4 x12 + 2 x1x2 + 2 x12 ? min, x0 +
0,005 x0 + 0,03x1 + 0,01x2 = m,
(4.2.9)
Здесь m является параметром задачи, принимающим значения
от 0,005 до 0,03. Удобно положить m = 0,01t, тогда t ? (0,5; 3). Посмотрим, как, в зависимости от значения t, будет выглядеть вектор (x0, x1, x2). Заметим, что два уравнения из системы ограничений могут быть разрешены относительно x1, x2:
x1 = 0,25 x0 + 0,5t ? 0,5, x2 = ?
227
2
Подстановка полученных выражений в функцию 4x1 + 2х1х2 +
+ 2x12 дает:
4 x12 + 2 x1x2 + 2 x12 =
= 4( 0,25 x0 + 0,5t ? 0,5) 2 + 2(0,2
+ 2( ?1,25 x0 ? 0,5t + 1,5) 2 =
11
13
= x02 + 2 x0t ? x0 + t 2 ? 3t +
4
2
Мы
приходим
к
задаче
минимизации
функции
13 ?
? 11
? x02 + 2 x0t ? x0 ? одного вещественного переменного x0. Воз2
?4
?
никает, однако, следующий вопрос: на каком интервале следует
рассматривать эту функцию и искать ее минимум? Оказывается,
ответ на этот вопрос существенно зависит от значения параметра t. Обсудим сейчас этот вопрос подробнее. Ограничения на
13 ?
? 11 2
область изменения функции ? x0 + 2 x0t ? x0 ? вызваны усло2
?
?4
виями xi ? 0, i = 0, 1, 2. Запишем эти три неравенства в виде
системы с независимой переменной x0 и зависящей от параметра t. Получаем:
0 ? x0 ? 1,
?
?
? 0,25 x0 + 0,5t ? 0,5 ? 0,
??? 1,25 x0 ? 0,5t + 1,5 ? 0
или
? 0 ? x0 ? 1,
?
? x0 ? 2 ? 2t,
??x0 ? ?0,4t + 1,2.
Решим систему неравенств графически, для чего отметим на
плоскости с координатами (t, x) множество точек, координаты
которых удовлетворяют данной системе ограничений (рис. 4.3).
Из рис. 4.3 видно, что аналитическое решение системы неравенств различное на разных интервалах множества допустимых
значений параметра t. При t ? [0,5; 1] решением системы неравенств является отрезок x ? [2 ? 2t; 1,2 ? 0,4t], а при t ? [1; 3] ?
отрезок x ? [0; 1,2 ? 0,4t] соответственно. С этого момента нам
придется рассматривать по отдельности решения задачи о портфеле при t ? [0,5; 1] и при t ? [1; 3].
228
x
1
0
0,5
1
3
t
Рис. 4.3. Графическое решение системы неравенств
Рассмотрим сначала случай t ? [0,5; 1]. Тогда мы решаем
11 2
13
при
условии,
что
x0 + 2 x0t ? x0 ? min ,
4
2
x ? [ 2 ? 2t; 1,2 ? 0,4t ] . Напомним, что минимум квадратичной функции на отрезке достигается либо в вершине соответствующей
параболы, либо в той граничной точке отрезка, которая лежит
задачу
ближе
y=
к
этой
вершине.
Абсцисса
вершины
параболы
2?
13 ?
11 2
13
? 2t ? ? и при всех допустимых
x0 + 2 x0 t ? x0 равна
2?
11
4
2
?
значениях параметра t отрицательна. В этом случае минимум
13 ?
? 11
квадратичной функции ? x02 + 2 x0t ? x0 ? достигается, как
2
?
?4
было сказано, в одной из граничных точек отрезка: x0 = 2 ? 2t
или x0 = 1,2 ? 0,4t. Чтобы решить, в какой именно граничной точке
это происходит, найдем расстояние от граничных точек
4
13
x0 = 2 ? 2t и x0 = 1,2 ? 0,4t до вершины параболы x0 = t ? .
11 11
11
13
Минимум функции y = x02 + 2 x0t ? x0 будет, естественно, на4
2
229
ходиться в той граничной точке, которая расположена ближе к
точке x0 =
4
13
t ? . Имеем:
11 11
d л = 2 ? 2t ?
4
13 35 2
t+
=
?
11 11 11 1
d п = 1,2 ? 0,4t ?
4
13 131
t+
=
11 11 55
откуда следует, что при t ? [0,5; 1] всегда выполнено неравенство
dл ? dп, и минимум достигается в точке левой границы
х0 = 2 ? 2t. Параметры соответствующего оптимального портфеля имеют вид
x0 = 2 ? 2t ,
x1 = 0 ,
x2 = 2t ? 1 .
Тем самым, случай t ? [0,5; 1] разобран полностью.
Перейдем теперь к рассмотрению случая t ? [1; 3]. При
этих
значениях
параметра
мы
решаем
задачу
11 2
13
x0 + 2 x0t ? x0 ? min , при условии, что x ? [0; 1,2 ? 0,4t]. Так4
2
же, как в предыдущем случае, вершина параболы
y=
11 2
13
x0 + 2 x0 t ? x0 отрицательна, и потому ближе к ней рас4
2
положена левая граница интервала [0; 1,2 ? 0,4t]. Следовательно,
11 2
13
x0 + 2 x0t ? x0 ) достигается в точке х0 = 0
4
2
Параметры оптимального портфеля имеют вид:
минимум функции (
х0 = 0, х1 = 0,5t ? 0,5, х2 = ?0,5t + 1,5.
230
Отобразим свойства оптимального портфеля графически
(рис 4.4). Построим графики функций:
?2 ? 2t, при t ? [ 0,5; 1],
x0 = ?
? 0, при t ? [1,3],
2t ? 1, при t ? [ 0,5; 1]
x2 = ??
?? 0,5t + 1,5, при t ? [1,
Получаем:
x0
x1
1
1
0
0,5
1
3
t
0 0,5
1
3 t
x2
1
0
0,5
1
3 t
Рис. 4.4. Параметры оптимального портфеля ценных бумаг
231
Отсюда следует, что даже в самой простой ситуации решение
задачи о формировании портфеля наименьшего риска может быть
достаточно сложным. В нашем случае, в зависимости от значений параметра t (связанного с установлением среднего ожидаемого дохода), кривая, описывающая соответствующие оптимальные портфели, является кусочно-аналитической кривой, состоящей из двух аналитических участков. В общем случае, при
произвольном числе участников рынка бумаг, число таких состыкованных участков может быть достаточно велико, и вопрос
об определении метода, позволяющего находить такие участки
«вслепую», при помощи некоторого явно сформулированного
алгоритма, является весьма актуальным. Ниже мы дадим систематическое изложение такого метода, основанного на правиле
множителей Лагранжа гладкого конечномерного анализа.
4.3. РЕШЕНИЕ ДВУХКРИТЕРИАЛЬНОЙ
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЯ
ИНВЕСТИЦИЙ
4.3.1. Вывод формул, определяющих
оптимальное решение задачи
Перейдем к решению задачи (4.2.6) с двухкритериальным функционалом. Эта задача принадлежит к числу гладких конечномерных задач с ограничениями типа равенства. Метод решения
таких задач называется правилом множителей Лагранжа. Этот
метод позволяет свести решение задачи с ограничениями типа
равенства и неравенства к решению некоторой полной системы
алгебраических уравнений. Для полноты изложения, сформулируем здесь алгоритм метода Лагранжа.
Пусть имеется некоторый набор гладких функций f0(x),
f1(x), ?, fk(x), x ? Rn. Рассмотрим следующую задачу на условный экстремум:
f0(x) ? min, f1(x) = 0, ?, fm(x) = 0, fm+1(x) ? 0, ?, fk(x) ? 0.
(4.3.1)
Пусть x0 является точкой локального минимума задачи (4.3.1).
Тогда теорема Лагранжа утверждает, что существует такой
набор чисел (?0, ?1, ?, ?m, ?m +1, ?, ?k) (не равных нулю одно232
временно), называемых множителями Лагранжа, что для функции Лагранжа
L(x, ?0, ?1, ?, ?m, ?m+1, ?, ?k) =
=?0 f0(x) + ?1 f1(x) + ? + ?m fm(x) + ?m+1 fm+1(x) + ? + ?k fk(x)
(4.3.2)
выполнены следующие группы условий:
• условие стационарности по x (теорема Ферма):
?L
( x0 , ?0 , ?1 , ..., ? m , ? m +1 ,
?xi
(4.3.3)
• условие неотрицательности:
?0 ? 0, ?m+1 ? 0, ? , ?k ? 0 ;
(4.3.4)
• условие дополняющей нежесткости:
?m+1 fm+1(x0) = 0, ? , ?k fk(x0) = 0.
(4.3.5)
Сделаем необходимый комментарий к сформулированной
только что теореме. На самом деле принцип Лагранжа есть не
что иное, как одна из форм классической теоремы математического анализа о неявной функции. Забудем на минуту о наличии
ограничений типа неравенства в задаче (4.3.1). Тогда условие стационарности по x функции Лагранжа L(x, ?0, ?1, ?, ?m,
?m+1, ?, ?k) означает, что градиенты функций f0(x), f1(x), ? ,
fm(x) в точке условного минимума являются линейно зависимыми. Предположим, что на самом деле эти градиенты независимы
в точке x0. Тогда в ((m + 1) Ч n)-матрице
? Df0
?
? Dx1
? Df1
?
? Dx1
? M
? Df m
? Dx
1
?
Df0
Dx2
Df1
Dx2
M
Df m
Dx2
Df0 ?
?
Dxn ?
Df1 ?
L
?
Dxn ?
O
M ?
Df m ?
L
Dxn ??
L
233
имеется минор размера (m + 1) Ч (m + 1), определитель которого
не равен нулю. Поскольку координаты вектора (x1, x2, ?, xn) всегда можно перенумеровать, без ограничения общности можно
считать, что
? Df 0
?
? Dx1
? Df1
det ? Dx1
?
? M
? Df m
? Dx
1
?
Df 0
Dx2
Df1
Dx2
M
Df m
Dx2
Df 0 ?
Dxm +1
Df1
L
Dxm +1
O
M
Df m
L
Dxm +1 ?
L
Рассмотрим отображение
(x1, x2, ?, xn) ? (f0(x) ? f0(x0), f1(x), ? , fm(x), xm+2, ?, xn),
для него определитель матрицы
D( f 0 ( x) ? f 0 ( x0 ), f1 ( x), K, f
D( x1 , K, xm +1 , xm
не равен нулю, и, по теореме о неявной функции, значения функций f0(x) ? f0(x0), f1(x), ? , fm(x), xm+2, ?, xn можно выбрать в качестве новых координат в окрестности точки x0. Но в этой ситуации
точка x0 не может быть точкой условного минимума (4.3.1), поскольку в ее окрестности независимая координата f0(x) ? f0(x0)
принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Условие неотрицательности множителей Лагранжа следуют
из того, что, если точка x0 условного экстремума находится на
границе области ограничений, то сдвиги в направлениях внутрь
области ограничений приводят к уменьшению функции f0(x), то
есть экстремум является локальным минимумом. В остальном,
задача с ограничениями типа неравенства сводится к задаче с
ограничениями типа равенства за счет рассмотрения последовательных ограничений задачи на страты границы области допустимых решений все большей коразмерности. Отсюда следует утверждение теоремы Лагранжа.
234
Применим теперь теорему Лагранжа к решению задачи (4.2.6).
Составим функцию Лагранжа L(x, ?0, ?1, ?, ?N+2):
? N
?
?
cij xi x j ? ? ? x0 r0 +
L(x, ?0, ?1, ?, ?N+2) = ?0 ?
?
?
? i , j =1
?
N
+ ?1(x0 + x1 + x2 + ? + xN ? 1) ?
??
i =0
??
N
? x m ?? ?? +
i =1
2 + i xi
i
i
.
??
(4.3.6)
Отметим, что координата x0 входит в функцию Лагранжа
иначе, чем остальные N координат вектора x, а именно, L(x, ?0,
?1, ?, ?N+2) является линейной по отношению к x0, в то время
как L(x, ?0, ?1, ?, ?N+2) является квадратичной функцией по x1,
x2, ?, xN. Обозначим C = (cij) ? (симметричную) матрицу коэфN
? m1 ?
фициентов квадратичной формы
cij xi x j . Пусть M = ? M ?
??
??
i , j =1
? mN ?
есть N-мерный вектор-столбец, координатами которого служат математические ожидания доходности бумаг. Обозначим
?
? ? ?
? 3 ?
? = ? M ? ? N-мерный вектор-столбец, отвечающий ограничени? ? N +2 ?
?
?
ям вида x1 ? 0, x2 ? 0, ? xN ? 0, и, наконец, обозначим через
? 1?
E = ? M ? ? N-мерный вектор-столбец, все координаты которого рав? 1?
? ?
ны 1. В этих обозначениях условия стационарности имеют вид:
??0 ? r0 + ?1 ? ?2 = 0, ?0(2Cx ? ?M) + ?1E ? ? = 0.
(4.3.7)
Условия неотрицательности будут:
?0 ? 0, ?2 ? 0, ? , ?N+2 ? 0.
(4.3.8)
Условия дополняющей нежесткости принимают вид:
?2x0 = 0, ?3x1 = 0, ?, ?N+2xN = 0.
(4.3.9)
235
Прокомментируем соотношения (4.3.7). Первое уравнение
этой системы ??0? r0 + ?1 ? ?2 = 0 получено из соотношения
?L
= 0.
?x0
Оставшиеся N уравнений системы (4.3.7), записанные в векторной форме как ?0(2Cx ? ?M) + ?1E ? ? = 0, получены из соотношений
?L
?L
?L
= 0.
= 0,
= 0, ...,
?xN
?x2
?x1
Отметим, что, если система ограничений совместна (то есть,
выполнено условие Слейтера в задачах выпуклого программирования), то множитель ?0 можно выбрать не равным нулю. В
нашем случае система ограничений, разумеется, совместна. Поскольку функция Лагранжа определена с точностью до умножения на произвольную положительную константу, без ограничения общности далее будем считать, что ?0 = 1.
Последнее предварительное замечание касается характера
вхождения ограничения x0 ? 0 в функцию Лагранжа L. Есть две
различные ситуации, для каждой из которых нам придется строить свой алгоритм решения системы (4.3.7).
Если в точке условного экстремума x0 > 0, то, в силу условия
дополняющей нежесткости, можно положить ?2 = 0. Тогда уравнение
?L
= 0 ? ? ? r 0 + ?1 ? ? 2 = 0
?x0
превратится в уравнение ?? r0 + ?1 = 0, из которого значение ?1
непосредственно выражается через ? по формуле ?1 = ? r0. Тогда
оставшиеся уравнения системы (4.3.7) распадаются. Во-первых, мы
получаем замкнутую линейную систему из 2N уравнений
2Cx = ?(M ? r0E) + ?, ?3x1 = 0, ? , ?N+2xN = 0,
236
в которые входят только N неизвестных координат x1, x2, ?, xN
и столько же множителей Лагранжа ?3, ?4, ?, ?N+2. Решив эту
систему методами линейной алгебры, полученные соотношения
мы подставляем в уравнение x0 + x1 + x2 + ? + xN = 1, из которого находим значение x0. Этот этап решения завершается анализом, при каких значениях параметра ? координата x0 является
строго положительной. Таким образом, ситуация, в которой инвестиции в безрисковую бумагу x0 строго положительны, с вычислительной точки зрения несколько проще вырожденного случая, когда x0 = 0.
Предположим теперь, что x0 = 0. Тогда ?2 > 0, и первое уравнение системы (4.3.7) позволяет лишь выразить ?2 через ?, ?1:
?2 = ? ? r 0 + ?1 .
В этом случае структура оставшейся системы ограничений
усложнится, мы получим 2N + 1 уравнение вида
2Cx ? ?M + ?1E ? ? = 0,
?3x1 = 0, ? , ?N+2 xN = 0, x1 + x2 + ? + xN = 1
но с неизвестными x1, x2, ?, xN, ?1, ?3, ? , ?N+2. Эта система
неоднородна и ее решения зависят от параметра ? аффинно. После
ее решения нам предстоит еще проанализировать условия неотрицательности для координат вектора (x1, x2, ?, xN) и для множителей Лагранжа ?1, ?3, ? , ?N+2.
Следуя основателям теории Г. Марковицу и Д. Тобину, в литературе чаще всего рассматривают только невырожденный случай, когда все координаты решения (x0, x1, x2, ?, xN) строго положительны. Начнем и мы с рассмотрения этого случая. Пусть
xi ? 0 для любого i = 1, ?, N. Тогда все выписанные уравнения
упрощаются. Если точка минимума не лежит на границе множества допустимых значений, то, в силу условий дополняющей нежесткости, все множители Лагранжа, отвечающие этим ограничениям, равны 0:
?2 = 0, ?3 = 0, ?, ?N + 2 = 0.
Условия стационарности записываются в виде
?? r0 + ?1 = 0, 2Cx ? ?M + ?1E = 0.
237
Отсюда получаем
? 1 = ? r0 , x =
1 ?1
C ?(M ?r0E).
2
Подставляя это выражение в уравнение x0 + <E, x > = 1, получим
x0 = 1 ? <E,
1 ?1
C ?(M ? r0E)>.
2
В результате мы получаем явное выражение для решения задачи (4.2.6):
x0 = 1 ? <E,
1 ?1
1
C ?(M ? r0E)>, x = C ?1?(M ? r0E).
2
2
(4.3.10)
Здесь символ <?> обозначает операцию скалярного произведения.
Наша задача относится к задачам выпуклого программирования. Поэтому, если решение задачи существует, оно единственно. Следовательно, если все координаты вектора x, найденного
по формуле (4.3.10), строго положительны (или, хотя бы, неотрицательны), то мы нашли оптимальное решение задачи (4.2.6).
Проанализируем полученные формулы. Пусть сначала параметр ? равен нулю. Тогда решение задачи (4.2.6) очевидно: поскольку среднее значение дохода в этом случае нас совсем не интересует, мы полагаем xi = 0 для всех i = 1, ?, n, и полагаем
x0 = 1. Формулы (4.3.10) остаются справедливыми. При всех малых положительных ? оптимальный портфель зависит от матрицы C ?1. Если все элементы матрицы C ?1 положительны, то формулы (4.3.10) определяют допустимое решение задачи (4.2.6) и, в
силу вышесказанного, это решение является оптимальным. Более того, поскольку координаты xi, i = 1, ?, n, оптимального
портфеля линейно зависят от параметра ?, это решение останется оптимальным для всех ?, для которых выполнено неравенство
1 ? <E,
При
1 -1
C ?(M ? r0E)> ?0.
2
1
? = ?0 = 1/<E, 2 C -1(M ? r0E)>
238
данное неравенство перестанет быть верным. Поскольку решение системы уравнений (4.3.7) непрерывно зависит от ?, отсюда
следует, что при всех значениях параметра ?, близких к ?0, и,
одновременно, больших ?0, координата x0 оптимального решения должна быть равна нулю. В этом случае в силу принципа
дополняющей нежесткости значение множителя ?2 уже не обязательно равно нулю и мы получаем:
? 2 = ? ? r 0 + ?1 ,
2Cx ? ?M + ?1E = 0,
<E, x> = 1.
Теперь зависимость x от параметра ? более сложная:
x=
<E,
1 ?1
C (?M ? ?1E),
2
1 ?1
C (?M ? ?1E)> = 1 ? ?1 = (?<E, C ?1M> ? 2)/<E, C ?1E>.
2
Отсюда
x=
? < E , C ?1M > ?2
1 ?1
C (?M ?
E).
2
< E , C ?1E >
(4.3.11)
Определим, для каких значений формулы (4.3.11) определяют
оптимальное решение задачи (4.2.6) и, как следствие, дугу кривой эффективных вложений.
Из (4.3.11) следует, что координаты оптимальной точки аффинно зависят от параметра ?. Поскольку при ? = ?0 все координаты xi, i = 1, ?, n, были по предположению строго положительны, то они останутся таковыми, по крайней мере, еще для некоторого открытого интервала (?0,?0 + ?). Пусть ?1 ? минимальное
значение параметра ?, при котором по крайней мере одна из координат xi, i = 1, ?, n, равна нулю. Если ровно одна из этих
координат оказывается равна нулю при ? = ?1, скажем, координата xi *, то для всех ? ? ?1, близких к ?1, все остальные координаты xi оптимального портфеля оказываются положительны, а
координата xi * станет автоматически равной нулю. Посмотрим,
может ли при этом координата x0 вновь оказаться не равной нулю.
В силу принципа Лагранжа, и, в частности, в силу условия нео239
трицательности, ответ на данный вопрос зависит от знака множителя ?2 = ?? r0 + ?1 для значения ? = ?1. Подставляя
?1 = (? <E, C ?1M > ? 2)/<E, C ?1E> в это соотношение, получим
?2 = ? ? r 0 +
? < E , C ?1M > ?2
.
< E , C ?1E >
1 ?1
C (M ? r0E)> получим ?2 = 0. Таким обра2
зом, значение ?2 как функция от ?, является линейной функцией
?, и имеет ровно один нуль при ? = ?0. Следовательно, при всех
? ? ?0 функция ?2(?) одного знака. Мы знаем, что при значениях
?, близких к ?0, значение ?2(?) было положительно, следовательно, ?2(?) строго больше нуля и при ? ? ?1. Таким образом, координата x0 не может быть положительной и при ? ? ?1.
Мы приходим к вспомогательной задаче вида (4.3.7), в которой
При ? = 1/<E,
x0 = xi* = 0, ?2 > 0.
Решив эту задачу и найдя интервал (?1, ?1 + ?), на котором
решения xi, i ? i*, неотрицательны, мы «подстроим» очередную
дугу к кривой эффективных вложений. Затем рассуждения о том,
какие ценные бумаги на очередном интервале значений параметра являются «активными», то есть соответствующие xi отличны
от нуля, а какие нет, следует повторить. Ниже мы изложим общий алгоритм для определения активных и пассивных индексов
ценных бумаг в оптимальном портфеле.
4.3.2. Алгоритм построения кривой
эффективных вложений
Первый шаг. Построение участка кривой, примыкающего к
точке ? = 0.
Вычисляем матрицу C ?1 и вектор C ?1(M ? r0E) проверяем,
есть ли у последнего отрицательные координаты. Если все координаты вектора C ?1(M ? r0E) положительны, то для оптимального портфеля справедливы формулы (4.3.10):
x0 = 1 ? <E,
240
1 ?1
1
C ?(M ? r0E)>, x = C ?1?(M ? r0E),
2
2
где
? ? [ 0, ?0 ], ?0 =
2
< E, C (M ?
?1
Если имеются отрицательные координаты вектора C ?1(M ? r0E),
то сначала решаем следующую вспомогательную задачу. Без ограничения общности можно считать, что первые k координат вектора C ?1(M ? r0E) отрицательны, а остальные положительны. Положим x1 = x2 = ? = xk = 0 и рассмотрим систему уравнений
2
n
?c x
j = k +1
ij
j
? ?mi +?r0 = 0, i =
(4.3.12)
Находим решение этой задачи по формулам
xi =
?
2
n
?c
j = k +1
ij
( m j ? r0 ),
(4.3.13)
где (cij ) ? матрица, обратная к матрице (cij )in, j = k +1 . По предположению, имеем xi ? 0 и для всех i = k + 1, ?, n.
Вычисляем значения множителей Лагранжа, отвечающих нулевым координатам x1, ?, xk по формулам
?i+3 = 2
n
?c x
j = k +1
ij
j
? ?mi +?r0 , i = 1, ?, k.
(4.3.14)
Решаем неравенства
? i + 3 ? 0, i = 1, ?, k.
(4.3.15)
Если все неравенства выполнены на некотором интервале
(0, ?0), то мы построили при ? ? (0, ?0) кривую эффективных
вложений с параметрическим представлением.
Если некоторые из неравенств (4.3.15) не выполнены при сколь
угодно малых значениях параметра ? >0 (то есть соответствующие множители ? i + 3 строго меньше нуля), то соответствую241
щие координаты xi+3 считаем строго положительными, полагаем
? i + 3 = 0 и вновь решаем вспомогательную задачу (4.3.12):
2
?c x
ij
j
? ?mi +?r0 = 0,
j
где индекс i пробегает значения, отвечающие ненулевым координатам xi, и суммирование ведется по тому же множеству индексов j.
Второй шаг. Пошаговое построение кривой эффективных вложений.
Предположим, что кривая построена при всех значениях параметра ? из некоторого интервала (0,? f). На некотором участке
(? b,? f) интервала (0,? f), примыкающего к граничной точке ? f,
часть индексов i были активными (то есть, соответствующие значения xi были положительными), а часть ? пассивными (координаты xi с этими индексами были равны нулю, а соответствующие
множители Лагранжа ? i+3 строго положительны). Обозначим
через C ? редуцированную матрицу C, из которой исключены строки и столбцы, отвечающие пассивным индексам i. Также штрихом будем обозначать редуцированные векторы E и M. Тогда
для решения задачи (4.3.10) на участке (? b,? f) справедливы формулы, вытекающие из (4.3.11):
x=
?
1
? < E ' , (C ' )
(C ' ) ?1 ?? ?M '?
2
< E ' , (C '
?
(4.3.16)
Кроме того, для пассивных индексов i можно найти значения
? i + 3 по формулам:
?i+3 = 2
n
?c x
j = k +1
ij
j
? ?mi +?r0 .
При граничном значении параметра ? = ? f происходит изменение знака либо координаты xi активного индекса i (при продолжении за точку ? = ? f координата xi становится отрицательной),
либо знака множителя Лагранжа ? i+3 пассивного индекса (соответствующее значение ? i+3 при продолжении за точку ? = ? f становится отрицательным). В этом случае следует пересчитать множе242
ство активных и пассивных индексов, найти новые редуцированные матрицу C? и векторы M? и E?, определить вновь координаты
xi и множители ? i+3. Правило пересчета состоит в следующем: изменившую знак активную координату следует отнести к пассивным, и, наоборот, пассивную координату, для которой изменился
знак множителя Лагранжа, следует сделать активной. В результате мы продолжим процесс построения кривой эффективных вложений на некоторый интервал, примыкающий к интервалу (0,? f).
Нетрудно видеть, что этот процесс конечен (число шагов описанной итерационной процедуры не превосходит 2 n+1).
Перед тем, как проиллюстрировать на конкретном примере применение описанного алгоритма построения эффективной
кривой, сделаем важное замечание о характере зависимости дисперсии D и среднего значения доходности M Парето оптимальных портфелей. Из явных формул, определяющих распределение
имеющихся средств x0, x1, x2, ?, xN в ценные бумаги, следует,
что оптимальные значения координат x0, x1, x2, ?, xN Парето
оптимальных решений являются линейными функциями параметра ?:
xi = ai + bi?, i = 0, 1, ?, N.
Соответствующие коэффициенты ai, bi зависят от количества
активных индексов на соответствующем участке эффективной
кривой и меняются от одного участка к другому. На каждом участке аналитичности эффективной кривой математическое ожидание M и дисперсия D случайной величины доходности являются соответственно линейной и квадратичной функцией координат x0, x1, x2, ?, xN и потому выражаются через вспомогательный
параметр ? в виде
M = t i + s i ?, D i = u i + v i ? + w i ? 2 .
(4.3.17)
Коэффициенты этих соотношений также зависят от номера i
того участка, на котором множество активных и пассивных индексов портфеля не меняется. На каждом участке аналитичности
эффективной кривой соотношения (4.3.17) можно рассматривать
как параметрические уравнения кривой D = D(M). Выражая вспомогательный параметр ? через M и подставляя полученное выра243
жение в соотношение для дисперсии D, мы получаем, что дисперсия D является квадратичной функцией величины M:
D = a 0 + a 1 M + a 2 M2 .
(4.3.18)
Отсюда следует, что кривая эффективных вложений на плоскости (M,D) состоит из конечного числа непрерывно состыкованных парабол вида (4.3.18). Отметим, что эти соотношения в
имеющихся литературных источниках получены лишь для портфелей, состоящих из двух или из трех ценных бумаг. Приведенный выше алгоритм позволяет последовательно получать явные
формулы для эффективной кривой при произвольном числе имеющихся ценных бумаг на рынке.
4.3.3. Пример построения эффективной
кривой
Рассмотрим рынок ценных бумаг с четырьмя участниками T,
J, L, S, где T, J, L являются рисковыми бумагами, а через S обозначена соответствующая безрисковая бумага. Взаимоотношения
участников рынка характеризуется следующими показателями
(табл. 4.2.)
Т а б л и ц а 4.2
Таблица исходных данных
Инвестиции
Ожидаемая
прибыль
Ожидаемая
дисперсия
Ожидаемое
среднеквадратичное
уклонение
(риск каждого
актива)
T
0,095 = 9,5%
0,1 = 10%
0,316
J
0,13 = 13%
0,25 = 25%
0,5
L
0,21 = 21%
0,40 = 40%
0,632
S
0,085 = 8,5%
0
0
244
Коэффициенты линейной корреляции определяются таблицей:
T
J
L
S
T
1
-0,15
0,05
0
J
-0,15
1
0,25
0
L
0,05
0,25
1
0
Дисперсионно-ковариационная матрица имеет вид
? 0,0237
? 0,1
? ? 0,0237
0,25
?=?
0
,
01
0
,079
??
0
? 0
0,01
0,07
0,4
0
Пусть T, J, L, S обозначают случайные величины доходности
соответствующих бумаг. При вложении x0, x1, x2, x3 в бумаги T,
J, L, S соответственно случайная величина доходности будет
иметь вид
? = x0S + x1T + x2L + x3S.
Дисперсия случайной величины ? имеет вид
D[?] = 0,1x12 + 0,25x22 + 0,4x32 ? 0,0474x1x2 +
+ 0,02x1x3 + 0,158x2x3.
Средне ожидаемая доходность равна
M[?] = 0,085x0 + 0,095x1 + 0,13x2 + 0,21x3.
В результате задача (4.2.6) приобретает вид:
0,1x12 + 0,25x22 + 0,4x32 ? 0,0474x1x2 + 0,02x1x3 + 0,158x2x3 ?
? ? (0,085x0 + 0,095x1 + 0,13x2 + 0,21x3) ? min,
x0 + x1 + x2 + x3 = 1,
?x0 ? 0, ? x1 ? 0, ? x2 ? 0, ? x3 ? 0.
(4.3.18)
245
Составим функцию Лагранжа:
L(x0, x1, x2, x3, ?1, ?2, ?3, ?4, ?5) =
= 0,1x12 + 0,25x22 + 0,4x32 ? 0,0474x1x2 + 0,02x1x3 +
+ 0,158x2x3 ? ? (0,085x0 + 0,095x1 + 0,13x2 + 0,21x3) +
+ ?1(x0 + x1 + x2 + x3 ? 1) ? ?2x0 ? ?3x1 ? ?4x2 ? ?5x3.
(4.3.19)
Условия стационарности имеют вид
?L
= ? ? 0,085 + ?1 ? ?2 = 0,
?x0
?L
= 0,2x1 ? 0,0474x2 + 0,02x3 ? 0,095? + ?1 ? ?3 = 0,
?x1
?L
= ? 0,0474x1 + 0,5x2 + 0,158x3 ? 0,13? + ?1 ? ?4 = 0,
?x2
?L
= 0,2x1 + 0,158x2 + 0,8x3 ? 0,21? + ?1 ? ?5 = 0.
?x3
(4.3.20)
Условия неотрицательности имеют вид
?2 ? 0, ?3 ? 0, ?4 ? 0, ?5 ? 0.
(4.3.21)
Условия дополняющей нежесткости имеют вид
?2x0 = 0, ?3x1 = 0, ?4x2 = 0, ?5x3 = 0.
(4.3.22)
Построение эффективной кривой начнем с участка, примыкающего к значению параметра ? = 0. Поскольку при ? = 0 оптимальный портфель состоит в точности из единственный безрисковой бумаги, то при всех малых положительных значениях параметра ? > 0 значение компоненты x0 оптимального портфеля строго
положительно. В силу условия дополняющей нежесткости в этом
246
случае значение соответствующего множителя Лагранжа ?2 тождественно равно нулю. Положим ?2 = 0, тогда получаем
?1 = 0,085?,
0,2x1 ? 0,0474x2 + 0,02x3 = 0,01? + ?3,
?0,0474x1 + 0,5x2 + 0,158x3 = 0,065? + ?4,
0,2x1 + 0,158x2 + 0,8x3 = 0,135? + ?5,
x0 + x1 + x2 + x3 = 1,
?3x1 = 0, ?4x2 = 0, ?5x3 = 0.
Разрешая первые три уравнения относительно x1, x2, x3,
получим
x1 = 0,0491? + 5,3913?3 + 0,5905?4 ? 0,2514?5,
x2 = 0,0524? + 0,9994?3 + 2,2426?4 ? 0,4679?5,
x3 = 0,1336? ? 1,5452?3 ? 0,5905?4 + 1,4053?5.
Поскольку коэффициенты при ? во всех трех соотношениях
положительны, на начальном участке полагаем ?3 = ?4 = ?5 = 0,
откуда следует, что
x1 = 0,0491?, x2 = 0,0524?, x3 = 0,1336?,
x0 = 1 ? 0,2351?, ? ? [0; 4,253].
(4.3.23)
Теперь построим участок эффективной кривой при ? ? 4,253.
Проанализируем состав оптимального портфеля и набор соответствующих сопряженных переменных в граничной точке
? = 4,253. Имеем
x1 = 0,209, x2 = 0,223, x3 = 0,568, x0 = 0,
? 2 = 0, ? 3 = 0, ? 4 = 0, ? 5 = 0.
Поскольку состав оптимального портфеля непрерывно зависит от параметра ?, заключаем, что при значениях параметра ?,
близких к граничной точке ? = 4,253, все три переменные x1, x2, x3
строго положительны. Следовательно, в силу условия дополняющей нежесткости, сопряженные переменные ?3, ?4, ?5, отвечающие
ограничениям на знак переменных x1, x2, x3, тождественно равны
нулю на некотором участке значений параметра ?, примыкающем
247
к точке ? = 4,253. Чтобы определить параметры портфеля в этом
случае, положим ?3 = 0, ?4 = 0, ?5 = 0 в (4.3.20) и разрешим полученную систему уравнений относительно x1, x2, x3, ?1, ?2.
В результате получим:
?1
?2
x1
x2
x3
= ?0,128 + 0,115?,
= ?0,129 + 0,030?,
= 0,737 ? 0,124?,
= 0,357 ? 0,031?,
= ?0,094 + 0,156?.
(4.3.24)
Этот портфель будет оптимальным вплоть до того момента,
когда, по крайней мере одно из неравенств
?2 ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0, x3 ? 0
будет нарушено. Разрешая уравнения
?2 = 0, x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0
относительно ?, получим соответственно:
? = 4,253 , ? = 5,933, ? = 11,337, ? = 0,603.
Последний корень ? = 0,603 не принадлежит полупрямой
[4,253; ?). Это означает, что функция x3 = ?0,094 + 0,156? не меняет знака всюду на полупрямой [4,253; ?). Нетрудно понять, что, так
как коэффициент при ? в соотношении x3 = ?0,094 + 0,156? положителен, то функция x3 = ?0,094 + 0,156? положительна всюду в
[4,253; ?). Точно также не меняет знак на полупрямой [4,253; ?)
функция ?2 = 0,129 ? 0,030?. Понятно, что она положительна при
? ? (4,253; ?). Отсюда заключаем, что формулы (4.3.24) определяют оптимальный портфель на участке [4,253; 5,933].
Перейдем к построению оптимального портфеля на третьем
участке, при ? >5,933. При ? = 5,933 меняет знак с «+» на «?»
функция x1 = 0,737 ? 0,124?, определяющая значение переменной
x1 в оптимальном портфеле на участке ? ? [4,253; 5,933]. Отсюда
мы заключаем, что при значениях параметра ? >5,933, близких к
? = 5,933, переменная x1 тождественно равна нулю в оптимальном портфеле. Поскольку сопряженная переменная
248
?2 = ?0,129 + 0,030?, отвечающая знаку x0 в оптимальном на участке ? ? [4,253; 5,933], строго положительна при ? ? (4,253; 5,933),
то x0 также тождественно равно нулю на этом участке
(в силу соображений непрерывности, значение ?2 не может в момент ? = 5,933 «скачком» перескочить к нулевому значению, которому она должна была бы быть равна, если бы x0 ? 0 при
? > 5,933). Остается в уравнениях (4.3.20) положить x0 = x1 = 0, ?4
= ?5 = 0, и разрешить полученную. систему уравнений относительно x2, x3, ?1, ?2, ?3. Получим:
?1
?2
?3
x2
x3
=
=
=
=
=
?0,381 + 0,158?,
?0,381 + 0,073?,
?0,405 + 0,068?,
0,652 ? 0,081?,
0,348 + 0,081?.
(4.3.25)
Для того, чтобы определить, на каком участке полученные
формулы (4.3.25) определяют оптимальный портфель, решим неравенства
?2 ? 0, ?3 ? 0, x2 ? 0, x3 ? 0
относительно ?. Корни уравнений
?2
?3
x2
x3
=
=
=
=
0
0
0
0
=
=
=
=
?0,381 + 0,073?,
?0,405 + 0,068?,
0,652 ? 0,081?,
0,348 + 0,081?,
соответственно равны
? = 5,235, ? = 5,933, ? = 8,025, ? = ?4,275
Отсюда видно, что формулы (4.3.25) определяют оптимальный портфель при ? ? (5,933; 8,025).
Остается рассмотреть последний, четвертый участок эффективной кривой, при ? > 8,025. Найдем значения переменных оптимального портфеля и соответствующие множители Лагранжа
в граничной точке ? = 8,025. Получаем
?2 = 0,205, ?3 = 0,141, x2 = 0, x3 = 1.
249
Отсюда видно, что при ? > 8,025 все переменные x0, x1, x2
должны быть равны 0. Подставим x0 = 0, x1 = 0, x2 = 0, ?5 = 0
в уравнение (4.3.20) и разрешим полученные соотношения относительно x3, ?2, ?3, ?4. Получим:
x3
?1
?2
?3
?4
=
=
=
=
=
1,
? 0,8 + 0,210,
? 0,8 + 0,125?,
? 0,780 + 0,115?,
?0,642 + 0,08?.
(4.3.26)
Поскольку
?2 ? 0, ?3 ? 0, ?4 ? 0
при всех ? > 8,025, мы заключаем, что полученный портфель
оптимален при всех ? > 8,025. Таким образом, мы получили четыре различных участка кривой эффективных вложений. В заключение, приведем аналитическое уравнение этой кривой в координатах (M,D).
Проиллюстрируем полученные результаты графически, построив на плоскости с координатами (M,D) эффективную кривую.
Формулы (4.3.23) ? (4.3.26) можно рассматривать как параметрические уравнения парабол на соответствующих участках аналитичности кривой эффективных вложений. Для получения явных формул на каждом участке гладкости найдем значение M средне ожидаемого дохода как функцию от параметра ?, а затем выразим из
полученной формулы значение ? через M. После этого явное выражение для дисперсии D соответствующего оптимального вложения получается заменой параметра ? на его представление через
M в соответствующих формулах.
Рассмотрим сначала первый участок, ? ? [0; 4,253]. Имеем:
M = 0,085x0 + 0,095x1 + 0,13x2 + 0,21x3 =
=0,085(1 ? 0,2351?) + 0,095 ? 0,0491? + 0,13 ? 0,0524? + 0,21 ? 0,1336? =
= 0,085 + 0,0195?.
D = 0,1x12 + 0,25x22 + 0,4x32 ? 0,0474x1x2 + 0,02x1x3 + 0,158x2x3 =
= 0,0092?2.
250
Отсюда следует, что
и
? = ?4,359 + 51,282M
D = 0,174 ? 4,105 M + 24,148M2.
(4.3.27)
Когда параметр ? пробегает все значения от 0 до 4,253, функция M = 0,085 + 0,0195? пробегает значения от 0,085 до 0,168.
Таким образом, мы построили участок кривой эффективных вложений D = D(M) на отрезке M ? [0,085; 0,168].
Рассмотрим второй участок эффективной кривой, когда параметр ? пробегает значения от 4,253 до 5,933. На этом участке
справедливы формулы (4.3.24). Имеем:
M = 0,085x0 + 0,095x1 + 0,13x2 + 0,21x3 =
= 0,085 ? 0 + 0,095 ? (0,737 ? 0,124?) + 0,13 ? (0,357 ? 0,031?) +
+ 0,21(?0,094 + 0,156?) = 0,0967 + 0,016950 ?.
Аналогично,
D = 0,1x12 + 0,25x22 + 0,4x32 ? 0,0474x1x2 + 0,02x1x3 + 0,158x2x3 =
= 0,0706 ? 0,0206 ? + 0,0102?2.
Выражая ? через M, получим:
? = ?5,705 + 58,997M.
Подставляя соотношение ? = ?5,705 + 58,997M в выражение
для дисперсии D, получим:
D = 0,5192 ? 8,066M + 35,430M2.
(4.3.28)
При ? ? [4,253; 5,933] значения M = 0,0967 + 0,016950 ? пробегают отрезок [0,168; 0,197]. Следовательно, при M ? [0,168; 0,197]
уравнение кривой эффективных вложений имеет вид (4.3.28).
Рассмотрим третий участок эффективной кривой, когда параметр ? пробегает значения от 5,933 до 8,025. На этом участке
справедливы формулы (4.3.25). Имеем:
M = 0,085x0 + 0,095x1 + 0,13x2 + 0,21x3 =
= 0,085 ? 0 + 0,095 ? 0 + 0,13 ? (0,652 ? 0,081?) + 0,21(0,348 + 0,081?) =
= 0,158 + 0,006?.
251
Для дисперсии получаем:
D = 0,1x12 + 0,25x22 + 0,4x32 ? 0,0474x1x2 + 0,02x1x3 + 0,158x2x3 =
= 0,191 + 0,0003? + 0,003?2.
Выражая ? через M, получим:
? = ?26,333 + 166,667M.
Подставляя соотношение ? = ?26,333 + 166,667M в выражение для дисперсии D, получим:
D = 2,428 ? 28,329M + 89,667M2.
(4.3.29)
При ? ? [5,933; 8,025] значения M = 0,158 + 0,006? пробегают
отрезок [0,197; 0,206]. Следовательно, при M ? [0,197; 0,206] уравнение кривой эффективных вложений имеет вид (4.3.29).
Наконец, на последнем участке, при ? ? [8,025; ?], имеем
M = 0,21, откуда следует, что D = 0,4.
На рис. 4.5 построена кривая эффективных вложений, описываемая зависимостями (4.3.27) ? (4.3.29). Ее сравнение с кривой
М
0,25
L
0,2
0,15
J
0,1
T
S
0,05
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6 r = ? = D
Рис. 4.5. Кривая эффективных вложений
252
рис. 2.21, построенной с применением ЦМРК в п. 2.7.4 для портфеля инвестиций, состоящего из тех же ценных бумаг, показывает на существенное различие как допустимых так и эффективных
множеств портфелей. Это объясняется тем, что по ЦМРК эффективное множество строится только для рискованных бумаг, а эффективное множество, определяемое в двухкритериальной задаче, включает все активы: как рисковые, так и безрисковые. В количественном выражении доход, определяемый с помощью
двухкритериальной оптимизационной задачи несколько выше дохода, определяемого по ЦМРК.
Анализ количественных результатов, полученных в этой и
третьей главах, показывает на отсутствие каких-то типовых (не
объяснимых) отклонений сравниваемых данных, а различие качественных результатов объясняется более точной постановкой
и решением двухкритериальной задачи оптимизации портфеля
инвестиций.
4.4. СТАТИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД
К ВЫБОРУ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
В предыдущих параграфах мы изучили задачу определения
Парето оптимальных решений двухкритериальной задачи по выбору оптимального портфеля. В самой постановке задачи предполагалось, что мы знаем, если не все совместное распределение
системы случайных величин доходности ценных бумаг (?0,
?1, ?, ?n), то, по крайней мере, их математические ожидания и
коэффициенты ковариации. В действительности, эти параметры
могут быть определены лишь статистически, на основании измерений этих параметров в течение определенного промежутка времени. В данном разделе мы займемся статистическим оцениванием параметров совместного распределения системы случайных
величин доходности бумаг, и формированием алгоритма выбора
Парето оптимального решения с наименьшей выборочной дисперсией.
Напомним основное понятие математической статистики ?
понятие статистики для оценивания числового параметра случайной величины.
253
Генеральной совокупностью в математической статистике
называется (неизвестный) закон распределения случайной величины ? (одномерной или многомерной). Выборкой объема n называется результат измерений соответствующего числового параметра (значения случайной величины) в реальном статистическом эксперименте: (x1, x2, ?, xn).
Предполагается, что результаты измерений в каждом из n проводимых экспериментов не зависят друг от друга. Поэтому мы
можем считать, что каждый раз мы измеряем реализацию некоторой случайной величины ?i с тем же законом распределения, что и
у генеральной совокупности, при этом все случайные величины ?1,
?2, ?, ?n являются взаимно независимыми. Мы желаем определить
значения того или иного числового параметра генеральной совокупности, например, математического ожидания, или дисперсии
(системы коэффициентов ковариации в случае многомерной случайной величины ?). Статистикой для оценивания данного параметра P называется новая случайная величина ?, зависящая от
случайных величин ?1, ?2, ?, ?n, обладающая свойства репрезентативности, состоятельности и несмещенности. Напомним, что
состоятельность оценки означает сходимость по вероятности при
n ? ? статистики к постоянной величине, равной заданному параметру P, то есть оценка ? состоятельна, если
P{|? ? P| > ?} ? 0 при n ? ?.
(4.4.1)
Таким образом, в случае состоятельности статистики ее реализация в виде числового значения, определенного данной выборкой, уклоняется от оцениваемого параметра на величину, не
меньшую ? , с вероятностью, стремящейся к нулю с ростом объема выборки.
Несмещенность означает, что математическое ожидание статистики ? в точности равно заданному числовому параметру,
то есть
M[?] = P.
(4.4.2)
Если изучаемая генеральная совокупность и построенная статистика имеют конечную дисперсию, то, в силу неравенства Чебышева, из несмещенности статистической оценки следует ее состоятельность.
254
Напомним, какие имеются основные подходы в математической статистике для оценивания математических ожиданий и коэффициентов ковариации соответствующих случайных величин.
Прежде всего, если характер совместного распределения оцениваемой многомерной случайной величины ? известен, например,
заранее известно, что мы имеем дело с совокупностью нормально распределенных независимых случайных величин, и вопрос
заключается лишь в оценивании неизвестных параметров этого
совместного распределения, то мы можем применить метод наибольшего правдоподобия Фишера. Этот метод сводится к определению тех значений числовых параметров, при которых вероятность реализации значений (x1, x2, ?, xn) из полученной вы?1, ?2, ?, ?n наибольшая.
борки
случайных
величин
В общем случае приходится придумывать соответствующую формулу и проверять выполнение условий состоятельности и несмещенности для нее. Для математического ожидания соответствующая статистика выглядит также как арифметическое среднее
значение и задается формулой
?В =
1
(?1 + ? 2 + ... + ? n ).
n
Эта статистика является несмещенной оценкой. Ее реализация при заданной выборке имеет вид
xВ =
1
(x1 + x2 + ? + xn).
n
Для дисперсии и коэффициентов ковариации ситуация сложнее. Пусть сначала мы имеем дело с одномерной случайной величиной ?. Статистика, построенная по аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, равная
DВ =
1
((? ? ? В )2 + ? + (?n ? ? В )2),
n 1
является состоятельной, но смещенной оценкой, поскольку
M[DВ] =
n ?1
D[? ].
n
255
Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии, используют
исправленное выборочное среднее, которое задается формулой
1
((? ? ? )2 + ? + (?n ? ? В )2).
n ?1 1 В
s В2 =
(4.4.3)
Для многомерной выборки оценивание системы коэффициентов ковариации определяется формулами
c?? =
1
((?1? ? ? ? )(?1? ? ?
n ?1
?
(4.4.4)
Эта оценка является состоятельной и несмещенной.
Теперь мы можем вернуться к задаче оптимизации и построить статистическую оценку функционала
l=
n
?
cij xi x j ? ?
i , j =1
n
?m x
i i
i =0
.
(4.4.5)
Из вышесказанного следует, что статистикой для функционала I является функция
L=
? 1
n
N
? ?? N ? 1 ?(?
? , ? =1 ?
i =1
?
i
? ? ? )(? i?
(4.4.6)
Поскольку мы использовали несмещенные оценки слагаемых,
входящих в формулу для L, построенная оценка также является
состоятельной и несмещенной. Следовательно, математическое
ожидание L равно теоретическому значению функционала
l=
n
?
cij xi x j ? ?
i , j =1
n
?m x
i =0
i i
для рассматриваемой генеральной сово-
купности:
M[L] =
n
?
cij xi x j ? ?
i , j =1
256
n
?m x
i =0
i i
.
(4.4.7)
Однако при разных ? случайная величина L имеет различные
дисперсии. Нетрудно видеть, что случайная величина L имеет
нулевую дисперсию в случае, когда ? = 0. Действительно, поскольку значение ? = 0 отвечает желанию получить минимальную дисперсию доходности при любом ненулевом значении средней доходности, то в случае ? = 0 мы вкладываем деньги в безрисковую ценную бумагу и получаем постоянный минимальный
доход от этого вложения. Естественно, при ? ? 0 дисперсия случайной величины L уже не равна нулю. Заметим, что дисперсия
величины L как функция параметров (?, x) является однородным
многочленом четвертой степени. На участках кривой эффективных вложений, на которых оптимальное значение x является аналитической функцией от ? значение дисперсии D[L] = D(x(?), ?)
есть (уже неоднородный) многочлен четвертой степени от ? (напомним, что мы показали ранее, что оптимальное распределение
средств x(?) является кусочно-линейной функцией параметра ?).
Мы покажем, что при некоторых дополнительных предположениях у функции D(x(?), ?) имеется корень кратности 2 в точке ? = 0 и еще две точки локального экстремума, в одной из
которых функция D(x(?), ?) имеет локальный минимум, а в другой ? локальный максимум. Точка локального минимума функции D(x(?), ?) является в определенном смысле наиболее «устойчивой» точкой среди других точек кривой эффективных вложений, в том смысле, что малые изменения значений доходности
системы рассматриваемых бумаг в наименьшей степени влияют
на значение комбинированного функционала «риск?доход» именно в этой точке. Использование этой точки как возможного вложения средств в данный портфель является альтернативой имеющимся методам выбора точки эффективной кривой, описанным
выше.
Выводы по главе 4
1. С использованием методов экономико-статистического анализа рассмотрено уравнение линии капитала и проведено его исследование.
2. Получено классическое линейное уравнение рынка капитала с использованием методов теории случайных процессов и па257
раметрического оценивания и дан анализ входящих в него
? ? коэффициента портфеля и ? ? коэффициента ценной бумаги.
3. Доказана выпуклость рыночной границы эффективного
множества портфелей. Во всех известных нам трудах по портфельной теории подчеркивается факт выпуклости границы эффективного множества и приводятся объяснения этого факта с
использованием кривых, однако, аналитического доказательства
не встречалось.
4. Построение границы эффективного множества для портфелей, состоящих только из рискованных активов, представляет
трудоемкий процесс даже с использованием компьютеров. Нами
доказано, что граница эффективного множества представляет
собой конечное множество состыкованных параболических участков, что значительно упрощает процесс построения границы
эффективного множества. Определив портфель, состоящий из
рискованных активов, объединяем его с безрисковым активом и
получаем оптимальный портфель, или, так называемый, тангенциальный портфель, составленный из комбинации безрисковых
активов и рискованных активов.
5. Дано теоретическое обоснование решения многокритериальной задачи оптимизации портфеля инвестиций ценных бумаг, заключающейся в максимизации доходности при минимальном риске, причем, число эмитентов неограниченно меняется от 0 до ?, что
является принципиальным отличием от ставших уже классическими результатов Марковица?Тобина о разного рода оптимальных
портфелях, в которых число эмитентов фиксировано.
Разработан аналитический метод решения этой задачи, основанный на правиле множителей Лагранжа гладкого конечномерного анализа, и получены зависимости в явном виде, описывающие дугу кривой эффективных вложений.
Дан алгоритм построения кривой эффективных вложений.
Это позволяет формировать портфель инвестиций, отвечающий получению максимальной доходности при минимальном
риске.
258
Глава 5. РИСКИ, СВЯЗАННЫЕ
С ИНВЕСТИРОВАНИЕМ
В ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ
В этой главе дано описание и рассматриваются основные параметры, присущие финансовым и портфельным рискам. Аналитические зависимости для оценки указанных рисков приведены в
монографии [45]. Их использование позволяет проводить сравнительный количественный анализ финансовых рисков и на его
основе выбирать такие методы управления рисками, которые
являются наиболее эффективными.
5.1. ФИНАНСОВЫЕ РИСКИ
5.1.1. Классификация финансовых
рисков
Рассматривая схему рисков на рис. 1.2, мы видим, что составной частью коммерческих рисков являются финансовые риски.
Они связаны с вероятностью потерь каких-либо денежных сумм
или их недополучением. Финансовые риски ? это спекулятивные
риски, для которых возможен как положительный, так и отрицательный результат. Их особенностью является вероятность наступления ущерба в результате проведения таких операций, которые по своей природе являются рискованными. На рис. 5.1
приведена система финансовых рисков.
Напомним крупными блоками классификацию финансовых
рисков. Они подразделяются на риски, связанные с покупательной способностью денег, и на риски, связанные с вложением капитала (инвестиционные риски).
К рискам, связанным с покупательной способностью денег,
относятся следующие разновидности рисков: инфляционные и
дефляционные, валютные риски, риск ликвидности.
Инвестиционные риски включают следующие подвиды рисков: упущенной выгоды, снижения доходности, прямых финан259
Инфляционные
и дефляционные
риски
Валютные риски
Риск ликвидности
Риски, связанные с покупательной
способностью денег
Финансовые риски
Инвестиционные риски
Риски упущенной
выгоды
Процентные
риски
Кредитные
риски
Риски снижения
доходности
Биржевые
риски
Риски прямых
финансовых потерь
Селективные
риски
Риски
банкротства
Рис. 5.1. Система финансовых рисков
совых потерь. Риск снижения доходности подразделяется на процентные риски и кредитные. Кредитные включают в себя биржевые риски, риск банкротства и селективные риски.
Взаимосвязь между основными участниками финансовой системы, включающей в себя рынки, посредников, фирмы, представляющие финансовые услуги, и т.п., отображена на рис. 5.2,
который представляет собой диаграмму движения финансовых
потоков.
Средства через разные элементы структуры финансовой системы перетекают от компаний, имеющих излишки финансовых
средств, к тем, у кого наблюдается их дефицит. Некоторые финансовые потоки направлены от одних экономических субъек260
Рынки
Экономические
субъекты с дефицитом
финансовых средств
Экономические
субъекты с избытком
финансовых средств
Финансовые
посредники
Рис. 5.2. Финансовые потоки
тов (с избыточными средствами) к другим (с дефицитом) через
финансовых посредников, например через банки. В то же самое
время другие перемещаются, минуя этих посредников, т. е. через
финансовые рынки.
Подобно перемещению денежных ресурсов с помощью финансовой системы, перемещаются и риски. В финансовой системе существуют посредники, например страховые компании, которые специализируются на деятельности, связанной с перемещением риска. Они взимают с клиентов, которые хотят понизить
степень своих рисков, специальные страховые премии и передают их инвесторам, которые за определенное вознаграждение согласны оплачивать страховые требования и нести риск.
Зачастую капиталы и риски связаны воедино и переносятся
посредством финансовой системы одновременно, вследствие чего
финансовый поток, изображенный на рис. 5.2 характеризует также и поток рисков. Рассмотрим это на примере финансов предприятий и переноса их рисков.
Представьте, что вы решили заняться бизнесом и для этого
вам необходим капитал в 100 000 у.е. Поскольку личных сбережений у вас нет, вы считаетесь дефицитной экономической единицей. Теперь предположим, что вам удалось убедить какоголибо частного инвестора (экономическая единица со свободными средствами) предоставить вам капитал в виде покупки ваших
261
акций в размере 70 000 у.е. За это вы обязуетесь выплатить ему
75% от прибыли предприятия. Кроме того, вы добились получения в банке кредита в размере 30 000 у.е. под 6% годовых. На
рис. 5.2 этот общий поток в размере 100 000 у.е. изображен как
идущий по направлению из других источников к вам.
Основной риск в данном примере принимает на себя ваш акционер, поскольку, если предприятие потерпит крах, он не получит назад свои 70 000 у.е. Однако, определенная степень риска
может присутствовать и в действиях банка. Она заключается в
том, что в случае вашей неудачи банк также может не получить
целиком основную сумму займа и проценты по нему. Так, например, представим, что к концу года оценка вашего бизнеса
составляет всего 20 000 у.е. В этом случае инвестор теряет всю
инвестированную им сумму, а банк ? 10 000 у.е. из одолженных
вам 30 000 у.е. Поэтому, кредиторы, наряду с акционерами, принимают на себя определенную часть риска деятельности частной
фирмы.
Финансовый риск, обладая различной возможностью наступления, имеет математически выраженную вероятность наступления потерь, если рассматриваемая ситуация приводится к нескольким взаимоисключающим исходам с известным распределением
вероятностей. Если же такое распределение неизвестно, то соответствующая ситуация рассматривается как неопределенность.
В экономической практике, особенно финансовой, обычно не
делают различия между риском и неопределенностью. Чаще всего под риском понимают некоторую возможную потерю, вызванную наступлением случайных неблагоприятных событий.
Потеря может быть объективной, т.е. определяться внешними воздействиями на ход и результаты деятельности хозяйствующего
субъекта. Так, например, потеря покупательной способности денег (инфляционный риск) не зависит от воли и действий их владельца. Однако, часто потери возникают из-за выбора того или
иного решения, той или иной линии поведения, и здесь нужно
выбирать оптимальное решение. В ряде областей финансовой
деятельности под риском понимается вероятность наступления
некоторого неблагоприятного события. Чем выше эта вероятность, тем больше риск.
Когда невозможны непосредственные измерения размеров
потерь или их вероятностей, риск можно измерить с помощью
262
ранжирования соответствующих объектов, процессов или явлений в отношении возможного ущерба, потерь и т.д. Ранжирование обычно основывается на экспертных суждениях.
Для финансовой операции, начальное и конечное состояния
которой имеют денежную оценку, конечной целью является максимизация дохода, равная разности между конечной и начальной оценками.
Большинство финансовых операций проводятся в условиях
неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны: при
их проведении возможны как прибыль, так и убыток. ЛПР ? инвестор, вкладывающий деньги в банк, в какую-то финансовую
операцию, покупающий ценные бумаги и т.п., рассчитывает на
определенную прибыль и, получая меньшую, несет потери. Такая операция также является рискованной, так как она имела несколько исходов, не равноценных для ЛПР, и ее результат окончился исходом, не равноценным для него, несмотря на, возможно, все усилия ЛПР по управлению этой операцией.
На степень и величину риска можно воздействовать через
финансовый механизм. Такое воздействие осуществляется с помощью приемов финансового менеджмента и особой стратегии.
В совокупности стратегия и приемы образуют своеобразный механизм управления риском, т.е. риск-менеджмент. Таким образом, риск-менеджмент представляет собой часть финансового
менеджмента.
В основе риск-менеджмента лежат целенаправленный поиск
и организация работ по оценке, избежанию, удержанию, передаче и снижению степени риска. Конечной целью риск-менеджмента является получение наибольшей прибыли при оптимальном, приемлемом для предпринимателя соотношении прибыли
и риска.
Выше было отмечено, что риском является и несоответствие
ожиданиям. Имея различные возможные альтернативы, ЛПР оценивает и сравнивает их, при этом предполагается, что для каждого мыслимого способа действия прогнозируемые последствия
могут из-за влияния неконтролируемых факторов не совпасть с
тем, что произойдет на самом деле. Разброс возможных значений относительно ожидаемой величины зависит от меры случайности этих рассогласований, а также от амплитудных характе263
ристик. Поэтому каждая альтернатива взвешивается, например,
по двум критериям: один из них дает прогнозную оценку варианта (например, среднее значение возможного варианта); а другой ? меру возможного расхождения ? степень риска, при этом
рискованность варианта возрастает с ростом ожидаемой результативности. Какую из альтернатив выберет ЛПР зависит от его
отношения к риску, от того, в каких пропорциях он готов принять соотношение риска и выигрыша.
Анализом и прогнозированием поведения финансового рынка и отдельных его частей занимается финансовая математика.
Под финансовым следует понимать рынок, на котором товарами служат деньги, банковские кредиты и ценные бумаги. В соответствии с видом товаров финансовый рынок разделяется на
денежный и рынок капитала, который состоит из кредитного и
фондового рынков.
Назначение финансового рынка заключается в обслуживании
производственной системы, в продвижении продуктов производства, ставших товарами, к потребителям.
Потоки товара от одного владельца к другому сопровождаются встречными потоками денежных выплат. Эти выплаты, как
правило, осуществляются в безналичной форме при посредничестве банков.
5.1.2. Процентные риски
Процентные ставки, вероятно, ? наиболее часто используемые финансовые показатели. Многие люди в своей жизни берут
кредит и платят проценты по этому кредиту, помещают деньги в
банк или другое финансовое учреждение и получат за это процентные платежи. Во время этих действий они заметят, что существует большое разнообразие процентных ставок по кредитам и
вкладам. Эти ставки отличаются не только по величине, но и по
методу их начисления. Одни процентные ставки фиксированы в
течение всего периода действия договора, другие же могут изменяться на оговоренных условиях в определенные промежутки
времени. Существуют и такие, например по ипотечным ссудам,
которые могут меняться по желанию кредитора. Выясним, почему выплачиваются проценты по кредитам и депозитам?
264
Ясно, что деньги приносят выгоду или обеспечивают благосостояние только косвенно, являясь средством обмена. Это означает, что они должны быть обменены на другие товары или
услуги, чтобы принести прямую пользу. Следовательно, деньги
сами по себе (банкноты, монеты, банковские счета) мало удовлетворяют жизненные потребности. Это происходит путем обмена денег на товары и услуги, такие как продукты питания,
одежда, жилье и пр.
Таким образом, когда кто-либо инвестирует деньги, он отказывается от возможности обратить их в товары и услуги, которые приносят пользу напрямую. Поэтому ему придется довольствоваться более низким уровнем полезности, чем если бы
деньги были употреблены для приобретения товаров и услуг
вместо инвестирования. Эта потеря потенциальной полезности
должна быть компенсирована ? в этом состоит важнейшая функция процента.
Далее, кредитор сталкивается со значительной неопределенностью относительно стоимости денег, когда они к нему возвращаются (будущая стоимость этих денег неопределенна). Количественная мера этой неопределенности известна как риск. Кредиторы встречаются с различными видами рисков, и это может
уменьшить их выгоду или благосостояние. Одной из функций
процента является компенсация этой потери выгоды, существующей из-за рисков.
Если мы объединим риск потери потенциальной выгоды,
инфляционный риск и риск невыполнения обязательств, мы получим группу факторов, которые делают обладание деньгами в
настоящем более предпочтительным по сравнению с их обладанием в будущем. Люди предпочитают иметь деньги сейчас, чем
довольствоваться обещаниями получить их позднее. О деньгах
говорят, что они характеризуются положительным временным
предпочтением.
Проценты компенсируют заимодавцу невозможность удовлетворить эти предпочтения в момент инвестирования средств. Заемщики готовы заплатить за использование средств, потому что
это позволяет им иметь дополнительную выгоду раннего потребления в результате получения средств от инвестора.
Процентный риск ? это риск для прибыли, возникающий
из-за неблагоприятных колебаний процентной ставки, которые
265
приводят к повышению затрат на выплату процентов или снижению дохода от вложений и поступлений от предоставленных
кредитов.
Фирма, идущая на поглощение другой фирмы, через некоторое время окажется в зоне процентного риска, если это приобретение финансируется за счет заемных средств, а не путем выпуска акций.
Банки и другие финансовые учреждения, которые обладают
значительными средствами, приносящими процентный доход,
обычно в большей мере подвержены процентному риску. Если
фирма взяла значительные кредиты, то неэффективное управление
процентными рисками может привести ее на грань банкротства.
Изменения процентных ставок влекут за собой несколько разновидностей риска:
1. Риск увеличения расходов по уплате процентов или снижения дохода от инвестиций до уровня ниже ожидаемого из-за колебаний общего уровня процентных ставок.
2. Риск, связанный с таким изменением процентных ставок
после принятия решения о взятии кредита, которое не обеспечивает наиболее низких расходов по уплате процентов.
3. Риск принятия такого решения о предоставлении кредита
или осуществлении вложений, которое в результате не приведет
к получению наибольшего дохода из-за изменений процентных
ставок, произошедших после принятия решения.
4. Риск того, что сумма расходов по уплате процентов по
кредиту, взятому под фиксированный процент, окажется более
высокой, чем в случае кредита под плавающий процент, или
наоборот.
Чем больше подвижность ставки (регулярность ее изменений,
характер и размеры), тем больше процентный риск.
Рассмотрение процентного риска зависит от того, в каком
положении вы находитесь ? заемщика или кредитора. Предположим, например, что у вас на банковском краткосрочном вкладе
находится 5000 у.е., причем процентная ставка меняется ежедневно, отражая конъюнктуру рынка. В вашем положении вкладчика (т.е. кредитора банка) процентный риск ? это риск того, что
ставка снизится. Ваша политика страхования должна заключаться в страховании от падения ниже некоего минимума процент266
ной ставки, т.е. в обеспечении защиты от убытков, вызванных
минимальной процентной ставкой.
А теперь наоборот, представим, что вы заемщик. Предположим, например, что вы только что купили дом и взяли в банке
ипотечный кредит с регулируемой ставкой. Предположим, что
процентная ставка по закладной, которую вы выплачиваете, привязана к ставке процента по годичным казначейским векселям. В
этом положении ваш процентный риск состоит в том, что ставка
будет расти. Ваша политика страхования процентной ставки должна заключаться в страховании от превышения некоего потолка
процентной ставки, т.е. убытков, связанных с максимальной процентной ставкой.
Большинство ипотек с переменной ставкой (так называемой
ARM), заключенных в США в 80-е и 90-е годы, содержат условия
о потолке процентной ставки. Часто этот «потолок» принимает
форму максимальной величины, до которой процентная ставка
может увеличиться в течение годичного периода. Может также
быть и общий (global) потолок процентной ставки на весь период погашения ипотечного кредита.
Риск для заемщика имеет двойственную природу. Получая
займ по фиксированной ставке, он подвергается риску из-за падения ставок, а в случае займа по свободно колеблющейся ставке
он подвергается риску из-за их увеличения. Риск можно снизить,
если предугадать, в каком направлении станут изменяться процентные ставки в течение срока займа, но это сделать достаточно сложно.
Риск для кредитора ? это зеркальное отображение риска для
заемщика. Чтобы получить максимальную прибыль, банк должен предоставлять кредиты по фиксированной ставке, когда ожидается падение процентных ставок, и по плавающей ставке, когда ожидается их повышение.
Инвестор может помещать средства на краткосрочные депозиты или депозиты с колеблющейся процентной ставкой и получать процентный доход. Инвестор должен предпочесть фиксированную процентную ставку, когда предполагается падение процентных ставок, и колеблющуюся, когда ожидается их рост.
Изменение процентных ставок в зависимости от срока займа
можно выразить с помощью кривой процентного дохода. Нор267
мальной кривой процентного дохода считается восходящая кривая. Она означает, что процентные ставки для долгосрочных займов обычно выше, чем для краткосрочных, и тем самым компенсируют кредиторам связанность их средств на более длительный
срок и более высокий кредитный риск в случае долгосрочных
займов.
Точка зрения банка на процентный риск отличается от точки зрения его корпоративных клиентов. Процентный риск для
финансовых учреждений бывает базовым и риском временного
разрыва.
Базовый риск связан с изменениями в структуре процентных
ставок. Базовый риск возникает, когда средства берутся по одной
процентной ставке, а ссужаются или инвестируются по другой.
Риск временного разрыва возникает, когда займы получают
или предоставляют по одной и той же базовой ставке, но с некоторым временным разрывом в датах их пересмотра по взятым и
предоставленным кредитам. Риск возникает в связи с выбором
времени пересмотра процентных ставок, поскольку они могут измениться в промежутке между моментами пересмотра.
Из вышеизложенного ясно, что существует множество процентных ставок. В любое время на финансовых рынках существует
ряд процентных ставок, поэтому полезно разделить факторы, определяющие эти ставки, на две группы: те, которые определяют
общий уровень процентных ставок, и те, которые определяют
различие процентных ставок.
Факторы, влияющие на уровень процентных ставок:
• политика правительства;
• денежная масса;
• ожидания относительно будущей инфляции.
Факторы, влияющие на различие процентных ставок:
• время до погашения финансовых обязательств;
• риск невыполнения обязательств;
• ликвидность финансовых обязательств;
• налогообложение;
• другие различные факторы, специфические для конкретных
финансовых обязательств, например, предоставлено ли обеспечение активами, включены ли права выбора в договор.
Изменение уровня процентных ставок на финансовом рынке
влечет колебания в цене обращающихся облигаций, причем по268
вышение процентных ставок является причиной понижения цены
и убытков держателя облигации. Риск при инвестировании, связанный с изменением процентных ставок, называется риском процентных ставок.
Стоимость любого финансового актива: акции, облигации,
физического актива (недвижимости, оборудования) и др. определяется как текущее значение потока платежей, связанных с этим
активом. Для облигаций поток платежей представляет собой
обычную ренту, состоящую из выплат купонных процентов и возмещения номинальной стоимости. И тогда текущая стоимость
облигации равна текущему значению такой ренты.
5.1.3. Риск потерь от изменения
потока платежей
Компания, намеревающаяся взять взаймы некоторую сумму
денег, или компания, имеющая долговые обязательства, по которым выплачиваются проценты по плавающей ставке, могут понести убытки в случае повышения процентных ставок, так как
потребуется увеличение потока денежных средств для обслуживания долга. И наоборот, компании, управляющие фондом, имеющие депозиты, по которым выплачиваются проценты на основе плавающей ставки, подвержены риску в случае падения процентных ставок.
Колебания процентных ставок создают неопределенность как
для заемщиков, так и для кредиторов. Неопределенность уровня
процентных ставок в будущем может создавать препятствия при
планировании бизнеса. Повышение процентных ставок по уже
полученным денежным займам может серьезно отразиться на потоке денежных средств. Методы уменьшения неопределенности,
касающейся будущих процентных ставок, могли бы устранить
основное препятствие для планирования и инвестиций.
Следующий гипотетический пример демонстрирует необходимость в инструментах хеджирования риска потерь от изменения потока денежных средств, связанного с колебаниями процентных ставок. Финансовый директор компании 1 февраля планирует получить 1 марта сумму в 1 млн у.е. от продажи активов.
Учитывая финансовые потребности компании, он решает инвес269
тировать денежные средства, которые будут получены 1 марта, в
3-месячный долларовый депозитный сертификат. Текущая процентная ставка для подобного рода активов составляет 11,25%
годовых, что могло бы принести доход в 27 739 у.е. за период
инвестирования. Однако к 1 марта процентная ставка может снизиться, уменьшив поступления от предполагаемой инвестируемой суммы. Финансовый директор мог бы избежать такой возможности, попытавшись «зафиксировать» процентную ставку на
1 февраля, или, по крайней мере, устранить риск потерь от неожиданного падения процентной ставки.
5.1.4. Инвестиционные риски
Под инвестиционными рисками понимается возможность недополучения запланированной прибыли в ходе реализации инвестиционных проектов. Объектом риска в данном случае выступают имущественные интересы лица ? инвестора, вкладывающего в проект в той или иной форме свои средства.
Суть инвестирования заключается во вложении собственного
или заемного капитала в определенные виды активов, которые
должны обеспечивать в будущем получение прибыли. Инвестиции разделяются на долгосрочные и краткосрочные.
Обычно различают финансовые инвестиции, состоящие в приобретении ценных бумаг объектов тезаврации, и реальные инвестиции в производственные и непроизводственные объекты.
Можно также сказать, что реальные инвестиции ? это финансирование капитального строительства и капитальных вложений,
направленных на создание основных фондов производственного
и непроизводственного назначения.
Инвестиционная деятельность во всех ее формах и видах сопряжена с риском, степень которого усиливается с переходом к рыночным отношениям в экономике. В современных условиях степень
риска возрастает по мере нарастания неопределенности, а также
в связи с быстрой изменчивостью экономической ситуации в стране в целом и на инвестиционном рынке в частности. Риск увеличивается и с ростом предложения для инвестирования приватизируемых объектов, с появлением новых элементов и финансовых
инструментов для инвестирования и т.п.
270
Выбор варианта вложения денег очень важен, поскольку именно в этот момент определяется ход дальнейших действий инвестора и от него в значительной мере зависит успех в достижении
целей. Лучшим вариантом может оказаться не обязательно тот,
который просто обеспечивает максимальную доходность: существенную роль могут играть и другие параметры, такие, как риск
и условия налогообложения. Например, инвестор, который стремится к получению максимальных годовых дивидендов, купит
обыкновенную акцию компаний с самой высокой ожидаемой
прибылью. Если фирма, выпустившая эту акцию, обанкротится,
то акционер потеряет все вложенные деньги. Чтобы успешно управлять вложениями, крайне важно внимательно выбирать финансовые инструменты, чтобы они соответствовали поставленным целям и характеризовались приемлемыми уровнями доходности, риска и цены.
Индивидуальный инвестор имеет широкий выбор инструментов по степени риска, начиная от ценных государственных
бумаг, с которыми связан наименьший риск, и кончая товарами
с очень высоким риском. У каждого типа размещения капитала
есть базовые характеристики риска, однако в каждом конкретном случае риск определяется конкретными особенностями данного инструмента. Например, хотя принято считать, что вложения в акции сопряжены с более высоким риском, чем вложения
в облигации, можно без особых усилий найти облигации с очень
высоким риском ? большим, чем риск вложения в акции солидных компаний. Инвестиции с низким риском считаются безопасным средством получения определенного дохода, инвестиции с
высоким риском, напротив, считаются спекулятивным. Терминами «инвестирование» и «спекуляция» обозначаются два различных подхода к инвестированию. Как уже говорилось, под
инвестированием понимается процесс покупки ценных бумаг и
других активов, о которых можно с уверенностью сказать, что
их стоимость останется стабильной и на них можно будет получить не только положительную величину дохода, но даже предсказуемый доход: спекуляция состоит в осуществлении операций с такими же активами, но в ситуациях, когда их будущая
стоимость и уровень ожидаемого дохода весьма надежны. Конечно, при более высокой степени риска от спекуляции ожидается и более высокий доход.
271
Чем выше риск неплатежа по инструментам с фиксированным доходом, тем выше процентная ставка по ним, даже если
все остальные характеристики остаются неизменными. Если проанализировать разные процентные ставки по облигациям с долларовым номиналом, выпущенными заемщиками, характеризующимися разными степенями риска возможных неплатежей по
своим займам, то можно сделать вывод, что долгосрочные облигации Казначейства США имеют самый низкий показатель такого риска, далее идут корпоративные облигации высокого качества, за ними ? корпоративные облигации среднего качества.
Доходность облигации первого вида составляет 6,21% в год,
второго вида ? 7,09% и третьего вида ? 7,56% (все со сроком
погашения больше 10 лет).
Процентные ставки представляют собой обещанные ставки
доходности по инструментам с фиксированным доходом, которые по своей сути являются договорными обязательствами эмитента перед их владельцами. Однако не всем активам присуща
какая-либо определенная ставка доходности. Например, если вы
инвестируете капитал в недвижимость, акции или произведения
искусства, вам не гарантируются конкретные выплаты в будущем. Теперь рассмотрим, как измеряются ставки доходности по
рискованным активам такого рода.
Если вы инвестировали капитал в какие-либо паевые ценные
бумаги, например в обыкновенные акции, то ваш доход на вложенный капитал будет поступать из двух источников. Первый ?
дивиденды, которые платит в денежной форме акционеру фирма-эмитент данных ценных бумаг. Эти дивидендные выплаты не
оговариваются контрактом и, следовательно, их нельзя назвать
процентными. Дивиденды выплачиваются по усмотрению совета директоров фирмы.
Вторым источником дохода от вложенного акционером капитала является прирост рыночного курса акции за время, пока
ею владеет акционер. Этот тип дохода называют приростом капитала. Если же акционер несет убытки от падения курса, то тогда говорят о потере капитала. Продолжительность периода владения акциями для определения размера дохода на вложенный
капитал может составлять как всего один день, так и несколько
десятилетий.
272
Чтобы проиллюстрировать, как измеряется уровень дохода
на инвестированный капитал, предположим, что вы приобрели
акции по цене 100 у.е. за одну акцию. Через день курс этих акций
поднялся до 101 у.е., и вы их продали. Ваша ставка доходности
на вложенный капитал за один день составила 1%.
Теперь представьте, что вы владеете приобретенными акциями в течение года. На конец года по акциям начисляются дивиденды в размере 5 у.е. на одну акцию и цена акции становится
105 у.е. Таким образом, доходность на вложенный капитал за
один год, r , составит:
денежные ?
начальная
? цена акции
? в конце периода ? цена акции + дивиденды ?
?.
?
r=
начальная цена акции
(105 ? 100 + 5)
= 0,10 = 10% .
100
Мы можем представить общую доходность вложенного капитала как сумму дивидендного дохода и изменения цены акций:
Для нашего примера мы имеем: r =
конечная _ начальная
денежные дивиденды
цена акции
цена акции
r=
=
,
начальная цена акции
начальная цена акции
r=
компонент
компонент ,
+
дивидендного дохода
изменения цены
r = 5% + 5% = 10%.
А каким же образом мы можем оценить ставку доходности,
если решим не продавать свои акции?
Ответ в следующем: ставка доходности по инвестициям в ценные бумаги (или ставка доходности ценных бумаг) определяется
одним и тем же способом независимо от того, продаем мы их или
нет. Повышение курса акций на 5 у.е. в той же мере является частью нашего дохода на вложенный капитал, как и дивиденды в
размере 5 у.е. Решение сохранить у себя акции и не продавать их
никоим образом не изменит тот факт, что по истечении года мы
273
могли бы реально продать их по цене 105 у.е. Следовательно, независимо от того, решим ли мы реализовать свой доход в виде
прироста капитала, продав ценные бумаги, или реинвестировать
его (не продавая), ставка доходности составляет 10%.
Финансовая система предоставляет определенные возможности получить гарантированную процентную ставку для людей, которые стремятся вкладывать средства в свободные от риска активы. Для этого им необходимо отказаться от определенной части ожидаемого дохода на вложенный капитал. Люди,
менее чувствительные к риску, предоставляют тем, кто в большой степени не приемлет риска, возможность получить гарантированную процентную ставку. Однако, эта ставка будет ниже,
чем средняя ожидаемая ставка доходности по рискованным
активам. Чем выше степень неприятия риска среди населения,
тем выше премия за риск и ниже величина безрисковой процентной ставки.
В условиях рыночной экономики, особенно в период ее становления, инвестирование развития сопряжено с риском неполучения ожидаемых результатов в установленные (желаемые) сроки.
В связи с этим возникает необходимость количественной оценки степени риска инвестируемых средств с тем, чтобы заранее,
еще до осуществления капитальных вложений, потенциальные
инвесторы могли иметь ясную картину реальных перспектив получения прибыли и возврата вложенных средств.
Для оценки характеристики инвестиционных проектов важнейшее значение имеет ставка дисконтирования будущих доходов к современному моменту.
Если будущие платежи являются рискованными, т.е. они жестко не определены, то инвесторы уменьшают сегодняшнюю оценку будущих доходов, применяя увеличенную ставку дисконтирования. При этом следует разбить проекты на низко рисковые,
средне рисковые и высоко рисковые и каждому виду приписать
некоторый добавок к обычному коэффициенту дисконтирования,
тем больший, чем выше риск.
С целью привлечения инвестиций для предлагаемых проектов фирма должна стремиться к уменьшению этого рискованного добавка. Для этого она должна привлекать к себе доверие потенциальных инвесторов своевременной выплатой дивидендов,
соблюдением прав акционеров и др.
274
5.1.5. Кредитные риски
Важнейшим отделом банка является кредитный. При выдаче
кредита (или ссуды) всегда есть опасение, что клиент не вернет
кредит. Конечно, в цивилизованных странах возврата кредита
можно потребовать через суд, но во многих ситуациях банки не
идут этим путем. А ведь невозврат кредита ? это прямые потери банка, которые вполне могут сказаться и на зарплате работников, а то и привести к банкротству банка. Поэтому предотвращение невозврата, уменьшение его риска ? это важнейшая
задача кредитного отдела.
Кредитный риск для банков складывается из сумм задолженности заемщиков по банковским ссудам, а также из задолженности клиентов по другим сделкам. Компании тоже могут подвергаться определенному кредитному риску в своих операциях
с банком. Если компания имеет много свободных средств, которые она помещает на банковский депозит, то при возникновении риска ликвидации банка компания потеряет большинство своих вкладов. Существует также процентный риск
при размещении слишком большого депозита в одном банке, ибо этот банк, осознавая, что компания является регулярным вкладчиком, может не предложить такую же высокую ставку процента по новому вкладу, какую она могла бы получить в
другом банке.
Подверженность кредитному риску существует в течение всего периода кредитования. При предоставлении коммерческого
кредита риск возникает с момента продажи и остается до момента получения платежа по сделке. При банковской ссуде период
подверженности кредитному риску приходится на все время до
наступления срока возвращения ссуды. Величина кредитного риска ? сумма, которая может быть потеряна при неуплате или просрочке выплаты задолженности. Максимальный потенциальный
убыток ? это полная сумма задолженности в случае ее невыплаты клиентом. Просроченные платежи не приводят к прямым
убыткам, а возникают косвенные убытки, представляющие собой издержки по процентам (из-за необходимости финансировать дебиторов в течение более длительного времени, чем необходимо), или потерю процентов, которые можно было бы получить, если бы деньги были возвращены раньше и помещены на
275
депозит. Несмотря на то, что кредитный риск велик для кредитов, компаниям, находящимся в сложном положении, банки
все же вынуждены их представлять, дабы не терять возможные
прибыли.
Пусть обработка статистических данных показала, что запросы кредитов в банке следующие: 15% ? государственные органы, 25% ? другие банки и остальные юридические лица. Вероятность невозврата взятого кредита соответственно такова: 0,03;
0,06 и 0,15.
Найдем вероятность невозврата очередного запроса на кредит по формуле полной вероятности. Если В1 ? запрос поступил
от госорганов, В2 ? от банка, В3 ? от юридического лица и А ?
невозврат очередного кредита, то:
P ( A) = P ( B1 )PB1 ( A) + P ( B2 ) ? PB2 ( A) + P ( B3 )PB3 ( A) =
= 0,15 ? 0,03 + 0,25 ? 0,06 + 0,6 ? 0,15 = 0,1095.
После сообщения о невозврате кредита, было установлено,
что данные клиента в факсе нечеткие. Какова вероятность, что
данный кредит не возвращает какой-то госорган?
По формуле Байеса имеем:
PA ( B1 ) =
P ( B1 )PB1 ( A)
P ( A)
=
0,15 ? 0,03
= 0,0411.
0,1095
Кредитный риск измеряется с помощью коэффициента зависимости (гиринга). Это коэффициент, суть которого состоит в
определении соотношения размера заемного капитала, по которому начисляются проценты, и акционерного капитала. Для определения гиринга нужно определить акционерный и заемный
капиталы.
Акционерный капитал сформирован за счет простых акций,
находящихся в обращении, плюс балансовая стоимость резервов.
Заемный капитал состоит из банковских займов, коммерческих
ссуд и долговых обязательств.
Считается, что гиринг компании высок, если он превышает
100%. Это происходит в том случае, когда заемный капитал яв276
ляется главным источником финансовых средств, необходимых
для бизнеса.
Высокий гиринг говорит о высоком кредитном риске. Однако не существует определенного уровня гиринга, превышение которого означает, что кредитование компании становится непременно рискованным. Изменения гиринга увязывают с изменением экономической ситуации в стране и ситуации на рынке.
Несмотря на различия в основных принципах и практических нормах финансового и бухгалтерского учета, финансовая
отчетность фирмы нередко содержит данные относительно ее
финансового положения и сведения об эффективности ее хозяйственной деятельности в прошлом, которые могут пригодиться руководителям для анализа и прогнозирования будущей работы компании. При проведении анализа финансовых результатов деятельности фирмы на основе ее финансовой отчетности используется ряд специальных коэффициентов, с помощью которых можно сравнивать показатели разных компаний
или данные по одной и той же компании за разные периоды
времени.
Воспользовавшись этими коэффициентами, можно проанализировать пять основных аспектов деятельности фирмы: рентабельность, оборачиваемость активов, финансирование из собственных и заемных средств или финансовый «рычаг» (финансовый ливеридж), ликвидность и рыночную стоимость.
Одним из самых важных коэффициентов при анализе кредитного риска является процентное покрытие. Его суть заключается
в сопоставлении процентных выплат компании с суммами ее прибыли, из которых делаются эти выплаты. Этот коэффициент отражает способность компании выполнять свои обязательства по
выплате процентов за кредит. Именно в возможности того, что
компания не сможет выплатить процент, и заключается опасность
при высоком гиринге.
Коэффициент покрытия процентов (КПП) определяется как
отношение прибыли до выплаты процентов и налогов к затратам на выплату процентов:
КПП =
EBIT
.
затраты на выплату процентов
277
Двойное и меньшее процентное покрытие считается очень
низким, тройное покрытие является предельным, и лишь после
того, как оно будет превышено, затраты на выплату процентов
будут считаться приемлемыми. Однако низкое процентное покрытие в одном году может быть лишь временным явлением,
которое исчезнет, если возрастет прибыль или снизятся затраты
на проценты.
Низкое и ухудшающееся из года в год процентное покрытие
вызывает большую тревогу у компании. При анализе кредитоспособности можно использовать еще один показатель ? коэффициент задолженности (КЗ). Он фиксирует ту часть общей стоимости активов компании, которая финансируется за счет кредита и рассчитывается следующим образом:
КЗ =
=
Общая сумма задолженности
=
Общая стоимость
Чистая стоимость
фиксированных +
текущих
активов
активов
Суммарная задолженность
.
Суммарные активы
Более высокий коэффициент говорит о более высоком кредитном риске. Значение коэффициента, превышающее 50%, указывает на высокий уровень общей задолженности.
Существует четыре потенциальных источника денежных
средств для уплаты долгов: коммерческие операции; продажа
фиксированных активов; изыскание новых средств; гарантии третьей стороны. Основным источником средств являются обычно
денежные поступления от проводимых компанией коммерческих
операций. Один из основных способов снижения риска неплатежа по ссуде ? тщательный отбор потенциальных заемщиков. Существует множество методик анализа финансового положения
клиента и его надежности с точки зрения своевременного погашения долга банку. В практике американских банков применяется «правило пяти си», где критерии отбора клиентов обозначены словами, начинающимися на букву «си»:
character (характер заемщика);
сарасiу (финансовые возможности);
278
capacity (капитал, имущество);
capital (обеспечение);
conditions (общие экономические условия).
Под характером заемщика понимаются: его репутация, степень ответственности, готовность и желание погашать долг. Банк
стремится прежде всего выяснить, как заемщик (фирма или частное лицо) относился к своим обязательствам в прошлом, были
ли у него задержки в погашении займов, каков его статус в деловом мире. Банк стремится получить психологический портрет
заемщика, используя для этого личное интервью с ним, досье из
личного архива, консультации с другими банками и фирмами и
прочую доступную информацию.
Финансовые возможности заемщика, его способность погасить кредит определяются с помощью тщательного анализа его
доходов и расходов и перспектив изменения их в будущем.
К способам уменьшения кредитного риска можно отнести
следующие:
• кредитный отдел должен постоянно систематизировать
и обобщать информацию по выданным кредитам и их возвращению. Информация по выданным кредитам должна быть систематизирована по размерам выданных кредитов, должна быть построена классификация клиентов, которые взяли кредит (физические
лица, государственные органы, предприятия, другие банки и т.п.);
• банк в целом должен вести кредитную историю своих клиентов, в том числе и потенциальных (т.е. когда, где, какие кредиты брал и как их возвращал клиент). Пока в России большинство клиентов не имеют своей кредитной истории. Кроме того,
обычно оценивается возможность возврата клиентом кредита с
помощью анализа его баланса ? если это банк; планов и технического уровня производства, перспектив развития ? если это
предприятие, и т.п.;
• в банке должна быть четкая инструкция по выдаче кредита
(кому какой кредит можно выдать и на какой срок);
• должны быть установлены четкие полномочия по выдаче
кредита, чем выше ранг работника банка, тем большую сумму
кредита он может подписать;
• есть различные способы обеспечения кредита, например клиент отдает что-то в залог, и если не возвращает кредит, то банк
становится собственником залога;
279
• для выдачи особо больших и опасных кредитов объединяются несколько банков и сообща выдают этот кредит;
• существуют страховые компании, которые страхуют невозврат кредита (но есть точка зрения, что невозврат кредита не
подлежит страхованию ? это риск самого банка);
• существуют внешние ограничения по выдаче кредитов (например, установленные Центральным банком); скажем, не разрешается выдавать очень крупный кредит одному клиенту, и т.д.
Потери от непогашения ссуд ? неизбежный продукт активной
деятельности любого банка. Их нельзя полностью ликвидировать,
но возможно свести к минимуму. В американских коммерческих
банках существует система, помогающая выявить причины возникновения проблемных кредитов, а также спрогнозировать само
их появление. Согласно этой системе, к возникновению сомнительных кредитов приводят факторы, зависящие и не зависящие от
банка. К первым относятся все аспекты, связанные с кредитным
процессом, т.е. с адекватным анализом кредитной заявки, кредитной документацией и т.д. Самостоятельные факторы ? неблагоприятные экономические условия, в которых оказался заемщик,
стихийные бедствия.
Большое внимание американские коммерческие банки уделяют прогнозированию проблемных кредитов на этапах анализа
кредитной заявки и ее исполнения.
Функционирование механизма выдачи гарантий по кредитным
рискам распространяется на все элементы финансовой системы и
играет важную роль в корпоративных и государственных финансах. Родительские компании обычно гарантируют долговые обязательства своих дочерних подразделений. Коммерческие банки и
страховые компании предлагают за соответствующую плату гарантии для широкого ряда финансовых инструментов, начиная с
традиционных аккредитивов и заканчивая процентными ставками и валютными свопами.
В качестве самых крупных гарантийных учреждений, как правило, выступают правительства и правительственные структуры.
Даже в США, где доминирует философия ограниченного вмешательства государственных структур в частный сектор, федеральные и местные органы власти предоставляют широкий спектр
финансовых гарантий. Самым важным среди них, как в эконо280
мическом, так и политическом отношении, является страхование
банковских вкладов. Однако гарантии широко используются и в
других случаях. В корпоративном секторе правительство гарантирует долги малого бизнеса, в некоторых случаях это было сделано и для очень крупных предприятий.
Однако механизм гарантий распространен даже шире, чем
можно предположить, по такому перечню явных гарантий. Каждый раз при заключении кредитной сделки ее участники предусматривают неявное гарантирование этой сделки. Для того чтобы
убедиться в этом, рассмотрим базовое тождество, выполняющееся как с формальной, так и с фактической точки зрения.
гарантии
Рискованный
+ возвращения =
кредит
кредита
кредит
свободный от риска
непогашения
(безрисковый кредит).
Рискованный
безрисковый
кредитные
=
?
кредит
кредит
гарантии.
Таким образом, каждый раз, когда в Америке кредиты (в долларах) предоставляются кому-либо за исключением правительства США, кредиторы неявным образом также продают и гарантии данных кредитов. В свете этого осуществление кредитных
операций состоит из двух, различных в функциональном отношении, сделок: предоставления безрискового кредита и принятия кредитором на себя риска неуплаты по нему.
Для более детального рассмотрения этого момента может оказаться полезным разбить кредитную деятельность на два этапа:
(1) приобретение гарантии и (2) получение займа. Предположим,
что гарант и кредитор ? два разных субъекта. На первом этапе
заемщик покупает у гаранта за 10 у.е. гарантию возврата кредита. На втором этапе заемщик предъявляет эту гарантию кредитору и получает заем в 100 у.е. под безрисковую процентную ставку в 10% годовых. Заемщик в результате получает чистую сумму
в 100 у.е. ? 10 у.е. = 90 у.е. в обмен на обязательство вернуть
через год 110 у.е.
Безусловно, часто в качестве кредитора и гаранта выступает
один и тот же субъект, например коммерческий банк, и заемщик
281
просто получает 90 у.е. в банке, обязуясь выплатить через год
110 у.е. Обещанная процентная ставка по такому займу составляет в таком случае 22,22%, и определяется следующим образом:
(110 у.е. ? 90 у.е.)/90 у.е. Эта предлагаемая ставка отражает как
безрисковую процентную ставку, так и плату за предоставление
гарантии. Для того, чтобы убедиться, что здесь присутствуют
два различных действия, обратите внимание на тот факт, что
обладатель рискованного долга может купить гарантии у третьей стороны за 10 у.е. Совокупные инвестиции кредитора в этом
случае составят 90 у.е. + 10 у.е. = 100 у.е., а гарантированный
платеж составит 110 у.е.
Таким образом, в реальности получение любого кредита по
своей сути эквивалентно получению собственно безрискового
кредита и одновременному предоставлению гарантии погашения
данного кредита. В сущности, кредитор выдает безрисковый кредит, одновременно уменьшая его на величину гарантии, требуемой для обеспечения его возврата. Соотношение гарантии и безрискового кредита может сильно меняться.
Гарантия присутствует также и при заключении других финансовых контрактов, а не только займов. Например, при заключении своп-контрактов гарантии выполнения его сторонами
взятых на себя обязательств часто предоставляются третьей стороной, выступающей в качестве финансового посредника. Если
такая гарантия не предусмотрена, каждая из сторон обеспечивает де-факто гарантии выполнения обязательств. Поскольку фирмы, не специализирующиеся на финансовой деятельности, все
шире используют такие контракты, их менеджерам необходимо
лучше понимать методы эффективного управления, связанными
с ними явными и неявными гарантиями.
Для анализа управления такими гарантиями можно использовать теорию ценообразования опционов. Гарантии подобны
опционам «пут». Гарант (поручитель) должен осуществить предусмотренный финансовым инструментом денежный платеж, если
его эмитент не способен это сделать. Потери, которые несет поручитель, равны разности между обязательствами по контракту,
который он гарантировал, и выручкой от продажи подлежащих
реализации активов должника, выступающих в качестве его обеспечения или залога по данному обязательству. Эта разность на282
зывается дефицитом. Обычно о неплатежеспособности должника свидетельствует положительный дефицит.
Рассмотрим, например, прибыль, получаемую при предоставлении какой-либо отдельной гарантии. Если стоимость залога,
включающего активы V, превышает предусмотренные по гарантированным обязательствам платежи Е, поручитель оставляет
себе эту разность и ничего не платит из своих средств. Однако в
том случае, если стоимость активов меньше, чем следующие по
обязательствам платежи, поручитель должен выплатить разность
Е ? V. Максимальный доход, получаемый поручителем, равен
премии плюс проценты, получаемые при вложении премии до
момента выплаты убытков или окончания срока действия гарантии. Этот максимальный доход снижается за счет дефицита
или потерь, следующих в результате неплатежеспособности получателя кредита. Максимальные потери для поручителя могут
сравняться с величиной платежа, следующего по обязательствам.
Таким образом, функция, определяющая доход поручителя, имеет вид
Р ? max (0, Е ? V),
где Р ? премия плюс проценты, получаемые от ее вложения.
5.1.6. Риск ликвидности
Понятие ликвидность означает возможность банка своевременно и полно обеспечивать выполнение своих долговых и финансовых обязательств перед всеми контрагентами, что определяется наличием у него достаточного собственного капитала,
оптимальным размещением и величиной средств по статьям актива и пассива баланса с учетом соответствующих сроков. Иными словами, ликвидность коммерческого банка базируется на
постоянном поддержании объективно необходимого соотношения между тремя составляющими: собственным капиталом банка, привлеченными и размещенными средствами.
В мировой банковской теории и практике ликвидность принято понимать как «запас» или как «поток». Ликвидность как
«запас» включает в себя определение уровня возможности ком283
мерческого банка выполнять свои обязательства перед клиентами в конкретный момент времени путем изменения структуры
активов в пользу их высоколиквидных статей за счет имеющихся
в этой области неиспользованных резервов.
Риск неликвидности заключается в неспособности банка быстро и без особых потерь для себя обеспечить выплату своим
клиентам денежных средств, которые они доверили банку на кратковременной основе, а также выполнить свои обязательства перед клиентами в конкретный момент времени.
Коммерческий банк считается ликвидным, если суммы его наличных средств и других ликвидных активов, а также возможности быстро мобилизовать средства из других источников достаточны для своевременного погашения долговых и финансовых
обязательств. Кроме того, ликвидный резерв необходим для удовлетворения практически любых непредвиденных финансовых
нужд: заключения выгодных сделок по кредиту или инвестированию; на компенсирование сезонных и непредвиденных колебаний спроса на кредит, восполнение средств при неожиданном
изъятии вкладов и т.д.
Риск неликвидности можно раскрыть как риск несбалансированности баланса в части ликвидности.
Баланс считается ликвидным, если его состояние позволяет
за счет быстрой реализации средств по активу покрывать срочные обязательства по пассиву. Возможность быстрого превращения активов банка в денежную форму для выполнения его обязательств предопределяется рядом факторов, среди которых решающим является соответствие сроков размещения средств срокам
привлечения ресурсов. Иначе говоря, каков пассив по сроку, таким должен быть и актив. Только тогда обеспечивается равновесие в балансе между суммой и сроком высвобождения средств по
активу в денежной форме и суммой и сроком предстоящего платежа по обязательствам банка.
На ликвидность баланса банка влияет структура его активов:
чем больше доля первоклассных ликвидных средств в общей сумме активов, тем выше ликвидность банка. Активы банка по степени ликвидности можно разделить на три группы:
1) ликвидные средства, находящиеся в немедленной готовности, или первоклассные ликвидные средства (касса, средства
284
на корсчете, первоклассные векселя и государственные ценные
бумаги);
2) ликвидные средства в распоряжении банка, которые могут
быть превращены в денежные средства. Речь идет о кредитах и
других платежах в пользу банка со сроками исполнения в ближайшие 30 дней, условно реализуемых ценных бумагах, зарегистрированных на бирже (как и участие в других предприятиях и
банках), и других ценностях (включая нематериальные активы);
3) неликвидные активы (просроченные кредиты ненадежные
долги, здания и сооружения, принадлежащие банку и относящиеся к основным фондам).
При анализе риска неликвидности учитываются в первую очередь первоклассные ликвидные средства.
Риск неликвидности ведет к возможным излишним потерям
банка: чтобы расплатиться с клиентом, банку, возможно, придется одолжить деньги у других банков по более высокой процентной ставке, чем в обычных условиях.
Одним из методов, широко используемых для количественной оценки предпринимательских рисков, является анализ
финансового состояния предприятия (фирмы). Это один из самых доступных методов относительной оценки риска как
для предпринимателя ? владельца предприятия, так и для его
партнеров.
С точки зрения оценки уровня предпринимательского риска
в системе показателей, характеризующих финансовое состояние
предприятий, особый интерес представляют показатели платежеспособности.
Под платежеспособностью понимается готовность предприятия погасить долги в случае одновременного предъявления требований со стороны всех кредиторов фирмы о платежах по краткосрочным обязательствам (по долгосрочным ? срок возврата
известен заранее).
Применение показателей платежеспособности дает возможность оценить на конкретный момент времени готовность предприятия рассчитаться с кредиторами по первоочередным (краткосрочным) платежам собственными средствами.
Основным показателем платежеспособности является коэффициент ликвидности.
285
Риск неплатежеспособности вполне может привести к банкротству банка. Серьезность риска банкротства оценивается величиной соответствующей вероятности. Если же вероятность
мала, то ею часто пренебрегают. Конечно, вероятность банкротства отлична от нуля почти в любой сделке из-за весьма маловероятных катастрофических событий на финансовых рынках, в
масштабах государства, из-за природных явлений и т.п., однако,
банкротства происходят. Другое дело какова их причина, кому
это нужно, кто это допустил?
В практике анализа финансовой состоятельности используются несколько коэффициентов ликвидности в зависимости от
назначения и целей анализа.
Они используются для оценки того, способна ли фирма покрывать расходы, связанные с ее краткосрочными обязательствами, или оплачивать свои счета и оставаться при этом платежеспособной.
Коэффициент абсолютной ликвидности (Кал) характеризует степень мобильности активов предприятия, обеспечивающей
своевременную оплату по своей задолженности, и определяется
из выражения:
K ал =
СВ
,
То
где СВ ? стоимость высоко ликвидных средств (денежные средства в банках и кассах, ценные бумаги, депозиты и т.п.); То ?
текущие обязательства предприятия (сумма краткосрочной задолженности).
Коэффициент текущей ликвидности (Ктл) показывает, в какой степени текущие потребности обеспечены собственными средствами предприятия, без привлечения кредитов извне, и определяется из выражения:
К тл =
СВ + С с
,
То
где Сс ? стоимость средств средней ликвидности (товарные запасы, дебиторская задолженность и т.п.).
286
Коэффициент критической оценки (или коэффициент лакмусовой бумажки)
К ко =
Денежные средства + Дебиторская задолженность
,
Краткосрочные обязательства
с помощью которого оцениваются только наиболее ликвидные оборотные активы: денежные средства и рыночные ценные
бумаги.
Приведенные показатели (их расчетное значение) могут служить ориентиром для оценки финансового состояния предприятия в сравнении с нормативными значениями.
Например, теоретически коэффициент абсолютной ликвидности должен быть равен или больше единицы. Однако, учитывая малую вероятность того, что все кредиторы предприятия одновременно предъявят ему долговые требования, на практике значение этого коэффициента может быть значительно ниже. В
странах с развитой рыночной экономикой считается нормальным, если значение коэффициента абсолютной ликвидности не
ниже 0,2 ? 0,25.
В практике развитых стран нормативная величина коэффициента текущей ликвидности для различных отраслей колеблется от 2,0 до 2,5, т.е. оптимальная потребность предприятия в
ликвидных средствах должна находиться на уровне, когда они
примерно в два раза превышают краткосрочную задолженность.
Повседневная работа коммерческого банка по управлению
ликвидностью направлена на самосохранение банка, условием
которого выступает бесперебойное выполнение обязательств перед клиентами. С организационной точки зрения она предполагает
соблюдение соотношений отдельных групп и статей пассивов и
активов баланса, зафиксированных в определенных показателях.
Такие показатели подразделяются на внешние и внутренние.
Для коммерческого банка общей основой ликвидности выступает обеспечение прибыльности производственной деятельности (выполняемых операций). В то же время особенности его
работы как учреждения, основывающего свою деятельность на
использовании средств клиентов, диктует необходимость применения специфических показателей ликвидности.
287
Хотя общая и специфическая ликвидность коммерческого банка дополняют друг друга, направленность их действия взаимно
противоположна. Максимальная специфическая ликвидность достигается при максимизации остатков в кассах и на корреспондентских счетах по отношению к другим активам. Но именно в
этом случае прибыль банка минимальна. Максимизация прибыли требует не хранения средств, а их использования для выдачи
ссуд и осуществления инвестиций. Поскольку для этого необходимо свести кассовую наличность и остатки на корреспондентских счетах к минимуму, то максимизация прибыли ставит под
угрозу бесперебойность выполнения банком своих обязательств
перед клиентами.
Проведение такой работы требует соответствующего оперативно-информационного обеспечения. Банк должен владеть оперативной информацией об имеющихся у него ликвидных средствах, ожидаемых поступлениях и предстоящих платежах. Такую
информацию целесообразно представлять в виде графиков поступлений и платежей, вытекающих из принятых обязательств,
на соответствующий период (декаду, месяц и т.д.). Она является
основой для рассмотрения пакета кредитных предложений на
данный период.
Обеспечивающий реализацию указанной целевой функции механизм банковского управления имеет существенные особенности. Традиционно, как и у любого коммерческого предприятия,
максимизация прибыли достигается увеличением поступлений (выручки) и сокращением издержек. Однако содержание этих показателей для коммерческих банков специфично. Они включают не
общий (валовой) оборот банковской выручки, а лишь ту его часть,
которая обеспечивает формирование и использование прибыли.
Основной элемент оборота ? выдача и погашение ссуд ? регулируется в соответствии с законами движения ссуженной стоимости. Объем валовой прибыли банка зависит от размера ссуженных
средств и от их цены, т.е. процентных ставок. Действие каждого
фактора помимо естественного влияния рыночной конъюнктуры
зависит от специфических требований обеспечения ликвидности.
Величина кредитных вложений коммерческого банка определяется объемом собственных и привлеченных средств. Однако в
соответствии с принципами регулирования деятельности банка
288
вся сумма этих средств не может быть использована для кредитования. Поэтому задачей банка является определение объема эффективных ресурсов, которые могут быть направлены на кредитные вложения.
С величиной коэффициентов ликвидности тесно связан риск
ликвидности.
Риск ликвидности связан с возможными финансовыми потерями в процессе трансформации ценных бумаг или других товарно-материальных ценностей в денежные средства, необходимые для своевременного выполнения предприятием своих обязательств или при изменении стратегии и тактики инвестиционной
деятельности.
К финансовым потерям при трансформации ресурсов можно
отнести: уценку ликвидных средств; частичную потерю капитала
в связи с реализацией объекта незавершенного строительства;
продажу некоторых ценных бумаг в период их низкой котировки; налоги и сборы, оплату комиссионных посредникам и др.
выплаты, осуществляемые в процессе ликвидации объектов инвестиций и др.
Таким образом, чем ниже ликвидность объекта инвестиций,
тем выше возможные финансовые потери в процессе его трансформации в денежные средства, тем выше риск.
5.1.7. Инфляционный риск
Риск изменения покупательской способности денег, более известный как инфляционный риск, предопределяется главным образом темпами инфляции в стране, что отрицательно сказывается на сбережениях граждан, а также на стоимости ценных бумаг
с фиксированным доходом.
Поэтому, для того чтобы принимать действительно разумное
решение о долговременных инвестициях, вы должны учитывать
как процентную ставку, так и уровень инфляции. Простые акции,
дивиденды по которым не являются постоянной величиной, застрахованы от инфляции, так как с ростом ее темпов увеличивается
и прибыль, из которой выплачиваются дивиденды. Кроме того,
действенным средством страховки (хеджирования) против инфляции является выплата дивидендов в виде акций. По облигациям и
289
сбережениям на счетах в банках выплачивается меньший доход по
сравнению с простыми акциями, однако здесь и гораздо меньше
риск потери первоначального капитала. Вместе с тем риск уменьшения покупательской способности денег вследствие инфляционного воздействия для всех видов инвестиций весьма высок.
Для учета соотношения между процентной ставкой и уровнем инфляции следует различать номинальную процентную ставку iн, выраженную в той или иной валюте без поправки на инфляцию, и реальную процентную ставку ip, корректирующую номинальную на уровень инфляции.
Общая формула, отображающая соотношение реальной ставки доходности, номинальной процентной ставки и уровня доходности, имеет следующий вид:
1+ ip =
1 + iн
1 + уровень инфляции
или, соответственно,
ip =
iн ? уровень инфляции
.
1 + уровень инфляции
Если использовать соотношение годовых процентных ставок
(АРR) с непрерывным начислением процентов, то предыдущее
выражение принимает вид:
ip = iн ? уровень инфляции.
Так, если номинальная АРR 8% годовых и уровень инфляции
6% (с учетом непрерывного начисления), то реальная ставка будет
равна ip = 8 ? 6 = 2% годовых, начисляемых непрерывно.
Инструмент с фиксированным доходом, который в номинальном выражении является надежным, в реальном выражении
несет определенную степень риска. Например, представим, что
банк предлагает вкладчикам безрисковую годовую процентную ставку в размере 8%. Поскольку на текущий момент будущий уровень инфляции заранее неизвестен, в реальном выражении помещение денег на данный банковский счет будет рискованным.
290
Для нашего случая ожидаемая реальная ставка доходности будет:
ip =
0,08 ? 0,06
= 0,0189
1 + 0,06
или 1,89% годовых. Если же уровень инфляции окажется выше
6%, то и реальная ставка будет меньше 1,89%.
Итак, инфляционный риск ? риск того, что полученные доходы
в результате высокой инфляции обесцениваются быстрее, чем растут (с точки зрения покупательской способности). В случаях, когда
прогнозирование темпов роста инфляции затруднено, размер реального дохода по финансовой операции может быть заранее пересчитан в одну из стабильных конвертируемых валют с обратным пересчетом в национальную валюту по действующему валютному курсу на момент проведения расчетов по финансовой операции.
В современных условиях в каждой отрасли промышленности
господствуют несколько крупных компаний, которые, согласуя
свою деятельность, диктуют условия на рынке. Особенно четко
это проявилось в ценообразовании путем установления системы
прейскурантных цен. Все крупные компании какой-либо отрасли
ориентируются на цены, устанавливаемые наиболее крупной компанией.
Один из методов минимизации инфляционного риска ? включение в состав предстоящего номинального дохода по финансовым операциям размера инфляционной премии.
Рассматривая различные варианты долгосрочных сбережений
с целью уменьшения рисков, важно принимать во внимание инфляцию. Сумма, откладываемая каждый год, будет расти вместе с
общей стоимостью жизни, так как ваш доход, скорее всего, так
же будет увеличиваться.
Отметим, что нельзя номинальную процентную ставку использовать при дисконтировании реальных денежных потоков или
реальную процентную ставку при дисконтировании номинальных денежных потоков.
Рассмотрим меры по снижению инфляции.
Основную особенность современных кризисов в развитых
странах составляет не перепроизводство товаров, а перенакоп291
ление основного капитала. Это вызвано тем, что ради поддержания на желаемом уровне цен и нормы прибыли монополии
в преддверии кризиса уменьшают предложение товаров, сокращая производство. Кроме того, еще до наступления кризиса
уменьшаются вложения в товарные запасы при одновременном
увеличении скорости их использования. Это приводит к относительному сокращению товарного перепроизводства и падению
инвестиционной активности. Чем активнее развиваются инфляционные процессы, тем реже предприниматели обращаются к
новым инвестициям, а это приводит к обесценению неиспользуемого капитала.
В условиях инфляционных ожиданий предприниматели стремятся обезопасить себя от риска, в частности от предполагаемого роста цен на сырье, топливо, комплектующие. Чтобы избежать потерь, вызываемых обесценением денег, производители,
поставщики и посредники повышают цены, подстегивая тем самым инфляцию.
Инфляционный риск при осуществлении инвестиционных затрат может быть значительно снижен (и даже сведен на нет) в
случае правильно выбранного направления вложения средств.
Предпочтение в данном случае отдают предприятиям с быстрой
окупаемостью и высокой долей платежей в бюджет. При этом
политика государства должна быть направлена на поддержку производителя: предоставление ему на модернизацию производства
различных форм кредитов, а также на поддержку лизинговых
компаний и лизинговых операций.
Снижение инфляционного риска при осуществлении инвестиций может быть обеспечено за счет проведения некоторых организационных мер, например формирования сети инвестиционных банков, специально созданных для предоставления кредитов на капитальные затраты на льготных условиях ? под низкий
процент, на сравнительно длительный срок с установлением обязательного контроля за использованием выданных средств.
При принятии инвестиционных решений учитывать инфляцию столь же важно, как и при принятии решений о личных
сбережениях. При инвестировании в такие виды реальных активов, как недвижимость, заводы и оборудование, будущие денежные поступления от сделанных капиталовложений, скорее
всего, увеличатся в номинальном выражении из-за инфляции.
292
Если вы не скорректируете соответствующим образом сложившуюся ситуацию, то можно упустить стоящие инвестиционные
возможности.
При выборе альтернативных вариантов инвестиций, с точки зрения минимизации рисков и максимизации прибыли,
никогда не сравнивайте реальную ставку доходности с самой
высокой номинальной доходностью по альтернативному виду
инвестиций.
Проводимая государством налоговая политика должна учитывать особенности денежного обращения в условиях инфляции.
Намечаемое снижение прямых налогов будет, естественно, сопровождаться повышением косвенных, а это может привести к углублению экономического кризиса. Может активизировать инфляцию и расширение инвестиций, связанных с необходимостью
закупки зарубежного оборудования и технологий.
5.1.8. Валютные риски
Валютный риск, или риск курсовых потерь, связан с созданием интернациональных (совместных) предприятий и банковских
учреждений и диверсификацией их деятельности и представляет
собой возможность возникновения денежных потерь в результате колебаний валютных курсов. При этом изменение курсов валют происходит в силу действия таких факторов, как, например,
изменение внутренней стоимости валют, постоянный перелив
денежных потоков из страны в страну, спекуляции и т.д.
Ключевым фактором, характеризующим любую валюту, является степень доверия к валюте резидентов и нерезидентов. Доверие к валюте ? сложный многофакторный критерий, состоящий из
нескольких показателей (например, показатель доверия к политическому режиму ? степень открытости страны, либерализация экономики и режим обменного курса, экспортно-импортный баланс
страны, базовые макроэкономические показатели и т.п.).
Однако это касается только определенного типа режима валютного курса, а именно ? свободно плавающего курса. На сегодняшний день в мировой практике существует несколько типов режимов валютных курсов в зависимости от специфики стран.
Валютные риски обычно управляются в банках различными
методами. Первым шагом к управлению валютными рисками
293
внутри структуры банка является установление лимитов на валютные операции. Например, очень распространены следующие
виды лимитов:
• лимиты на иностранные государства (устанавливаются максимально возможные суммы для операций в течение дня с клиентами и контрпартнерами из каждой конкретной страны);
• лимиты на операции с контрпартнерами и клиентами (устанавливается максимально возможная сумма для операций на каждого контрпартнера, клиента или виды клиентов);
• лимит инструментария (установление ограничений по используемым инструментам и валютам с определением списка возможных к торговле валют и инструментов торговли);
• лимиты на каждый день и по каждому дилеру (обычно устанавливается размер максимально возможной открытой позиции
по торгуемым иностранным валютам, возможный для переноса
на следующий рабочий день, для каждого конкретного дилера и
каждого инструмента);
• лимит убытков (устанавливается максимально возможный
размер убытков, после достижения которого все открытые позиции должны быть закрыты с убытками). В одних банках такой
лимит определяется на каждый рабочий день или на отдельный
период (обычно месяц); в других банках ? по отдельным видам
инструментов, а в некоторых ? по отдельным дилерам.
Кроме лимитов в мировой практике применяются следующие
методы снижения валютных рисков:
• взаимный зачет покупки-продажи валюты по активу и пассиву, так называемый метод «мэтчинг», где с помощью вычета
поступлений валюты из величины ее оттока банк имеет возможность оказывать влияние на их размер и соответственно ? на свои
риски;
• использование метода «неттинга», который заключается в
максимальном сокращении количества валютных сделок с помощью их укрупнения. Для этой цели банки создают подразделения, координирующие поступления заявок на покупку-продажу
иностранной валюты;
• приобретение дополнительной информации из информационных продуктов специализированных фирм, в режиме реального времени отображающих движение валютных курсов и последние сведения.
294
Анализ разновидностей вылютного риска позволяет выявить
основные методы хеджирования этих рисков. Речь идет, в первую очередь, о разработке оперативной стратегии хеджирования,
направленной на антирисковое управление балансом (выравнивание подверженных валютному риску активов и обязательств) и
манипулирование сроками и методами платежей. Кроме того,
фирма может использовать для хеджирования валютного риска
инструменты контрактной стратегии, в частности, форвардные
валютные контракты и валютные опционы.
Наиболее распространенным способом покрытия валютного
риска является покупка или продажа иностранной валюты с поставкой в будущем. Форвардная покупка основывается на договоре купли-продажи иностранной валюты по обменному курсу,
оговоренному в момент заключения сделки, в определенный срок
в будущем или в течение некоторого будущего периода. Подобным образом происходит и форвардная продажа. Этот метод полностью исключает неопределенность относительно того, например, сколько будут составлять суммы будущих платежей и поступлений в национальной валюте.
Одним из видов сделки на денежном рынке, включающем форвардную операцию, является своп. Своп предполагает покупку валюты на условиях спот с одновременной форвардной продажей той
же самой валюты (или продажу на условиях спот с форвардной покупкой). Когда форвардная сделка не является частью свопа, то она
считается сделкой аутрайт ? простой форвардной сделкой. Форвардная сделка аутрайт может заключаться с целью хеджирования или
спекуляции. Возможность прогнозирования валютного курса при
заключении сделки устраняет риск потерь от неблагоприятного изменения валютного курса и тем самым является средством хеджирования валютного риска. Спекулянты могут продавать и покупать
срочные контракты в надежде на то, что курс спот на дату исполнения форвардного контракта будет отличаться от курса при заключении форвардной сделки. Если спекулянт ожидает, что курс спот
на какой-то день будет ниже форвардного, то он будет продавать
форвардные контракты в надежде на то, что с наступлением этого
дня он сможет купить валюту на условиях спот по более низкой цене,
чем цена продажи форвардных контрактов. Таким образом, он получит прибыль в результате выполнения обязательства по форвардному контракту. Подобным образом, спекулянт ожидающий, что
295
наличный курс будет выше форвардного, будет покупать форвардные контракты в надежде на то, что он сможет продать приобретенную валюту по более высокой цене на наличном рынке.
Ответ на вопрос, что необходимо делать организации, чей
филиал находится в стране со слабой валютой, чтобы уменьшить
возможный валютный риск дан в работе [17].
Во-первых, наличность филиалов следует как можно быстрее
возвращать головной компании или инвестировать на месте в то,
стоимость чего растет, например, в фиксированные активы.
Во-вторых, оперативно инкассировать счета дебиторов, деноминированные в местной валюте. Оттягивать сроки инкассации,
когда деноминация осуществляется в более надежной валюте.
В-третьих, с долговыми обязательствами следует работать
прямо противоположным способом.
В-четвертых, необходимо осуществлять адекватную складывающимся обстоятельствам политику в области товарно-материальных запасов. Если считается, что запасы находятся под риском,
следует поддерживать их минимально возможный уровень, исходя из загрузки филиала. Но поскольку стоимость запасов обычно
растет вследствие роста цен, они могут служить надежной защитой от инфляции и колебаний валютных курсов. Если товарноматериальные запасы импортируются, то перед ожидаемым понижением курса местной валюты их следует накапливать, так как
после снижения этого курса при неизменной стоимости партии
товара в иностранной валюте она повысится в местной валюте. В
случае если действует ценовой контроль или остра конкуренция,
филиал может не иметь возможности повышения цен на товарноматериальные запасы. Тогда с запасами необходимо работать так
же, как с наличностью и счетами дебиторов.
В-пятых, в целях хеджирования валютного риска целесообразно осуществлять стратегию «займов на местах», особенно в
странах со слабой валютой. Проблема при этом состоит в том,
что процентные ставки по займам в таких странах обычно настолько высоки, что приходится искать компромисс между затратами на заем средств и потенциальными убытками по причине колебаний валютного курса. Стратегия фирмы «Кока-кола»,
например, заключается в том, что по меньшей мере половина ее
нетто позиции по активам под риском в других странах компенсирована займами в иностранных валютах. Фирма «Блэк энд
296
Декер» также прибегает к местным займам для хеджирования
нетто позиции по активам под риском, но каждый валютный
риск анализируется индивидуально, а не покрывается автоматически займом на месте.
В-шестых, следует иметь в виду, что при работе с иностранными потребителями для фирмы всегда безопаснее провести сделку в валюте страны базирования. Желательно осуществлять закупки в менее сильной, а продажи ? в более сильной валюте.
Если фирма вынуждена делать закупки в сильной, а продажи в
слабой валюте, ей следует учитывать этот фактор при составлении контрактов или попытаться сбалансировать входящие и исходящие потоки наличности с помощью более хитроумной стратегии продаж и закупок. Например, латвийские и российские
предприниматели в процессе заключения контрактов и реализации сделок используют, как правило, долларовый эквивалент,
что в известной степени нивелирует валютный риск.
Предложенная стратегия отображена на рис. 5.3.
Варианты стратегии
хеджирования
Оперативная
стратегия
Контрактная
стратегия
стратегия ускорения
платежей (lead strategy)
использование
форвардных контрактов
стратегия задержки
платежей (lag strategy)
использование
валютных опционов
стратегия местных займов
стратегия закупок в слабой,
продажи в сильной валюте
стратегия осуществления
сделок в валюте страны
базирования
Рис. 5.3. Стратегии хеджирования валютного риска
297
Рассмотрим приложение закона единой цены к валютному рынку, а также отметим, что он применим и к любому другому рынку.
Закон единой цены гласит, что если на конкурентном рынке
проводятся операции с равноценными активами, то их рыночные
цены будут стремиться к сближению. В основе действия закона
единой цены лежит процесс, называемый арбитражем ? покупка
и немедленная продажа эквивалентных активов с целью получения гарантированной прибыли на основе разницы в их ценах.
Осуществление арбитражных операций гарантирует то, что
для любых трех валют, свободно конвертируемых на конкурентном рынке, достаточно знать обменный курс между любыми
двумя валютами для того, чтобы определить валютный курс
третьей. Таким образом, если известно, что 1 доллар США равен 100 иенам, а 1 фунт стерлингов ? 200 иенам, то в соответствии с законом единой цены один фунт стерлингов равен двум
долларам США.
Процесс осуществления арбитражных операций на валютных
рынках рассмотрим на анализе цены на золото, выраженной в
различных валютах. Пусть текущая стоимость унции золота, выраженная в у.е., равна 100 у.е., а стоимость одной унции золота в
иенах ? 10 000.
Закон единой цены подразумевает, что при покупке золота
вид валюты не имеет значения. Поэтому цена в 10 000 иен должна быть эквивалентна цене в 100 у.е., а из этого следует, что цена
иены, выраженная в у.е., должна составлять 0,01 у.е.
Предположим, что в нарушение закона единой цены у.е., цена
иены составляет 0,009 у.е., а не 0,01 у.е. Допустим, что у нас на банковском счете имеется 10 000 у.е. Поскольку существует возможность купить или продать золото по цене 10000 иен, или 100 у.е. за
10 000
унцию, то можно обменять 10 000 у.е. на
= 1 111 111,11 иен.
0,009
После этого, естественно, покупаем 111,1111 унции золота и продаем
его за у.е. с целью получения 100 · 111,1111 = 11 111,11 у.е.
Теперь в нашем распоряжении 11111,11 у.е. без учета операционных
издержек на куплю-продажу золота и иен, и подобные арбитражные операции будут рентабельны до тех пор, пока совокупные операционные издержки меньше 11 111,11 ? 10 000 = 1 111,11 у.е.
298
Подобная безрисковая арбитражная операция очень привлекательна и не требует прогнозирования уровня будущих цен и не
несет какой-либо риск.
Аналогичную арбитражную операцию можно провести и с
любыми тремя валютами, используя минимальную разницу в их
курсах в различных банках. При этом всегда действует правило:
для любых трех валют, свободно конвертируемых на конкурентном рынке, достаточно знать обменный курс между любыми двумя из них, чтобы определить валютный курс третьей.
Наличие на конкурентном рынке профессиональных арбитражеров, выполняющих валютные операции чрезвычайно быстро и с минимальными затратами, гарантирует то, что прямые
валютные курсы будут максимально точно соответствовать рассчитанным непрямым способом.
5.1.9. Риски активов
5.1.9.1. Биржевые риски
Биржевые риски представляют собой опасность потерь от
биржевых сделок. К этим рискам относятся: риск неплатежа по
коммерческим сделкам, риск неплатежа комиссионного вознаграждения брокерской фирмы и др.
Практически вся биржевая активность подвержена не одному, а совокупности рисков, в зависимости от обстоятельств, складывающихся на рынках, а также от деятельности и профессионализма самих биржевиков.
Не существует биржевой деятельности, которой гарантировано получение прибыли при отсутствии рисков. Каждый участник биржевых торгов пытается получить прибыль путем решения проблем существующих рисков, предпринимая все возможное, чтобы избежать ситуации, непосредственно связанной с
рисками. Характерной особенностью рисков в биржевой торговле является то, что им подвержены все участники, даже те, кто не
связан в биржевой торговле непосредственно.
Факторы, усиливающие биржевые риски, нередко влияют на
их функции. К функциям риска в биржевой торговле, наиболее полно отражающим их сущность, относятся инновацион299
ная, регулирующая и защитная функции. К функциям риска можно отнести и аналитическую функцию. Она связана с тем, что
наличие риска предполагает необходимость выбора одного из возможных вариантов решения. В связи с этим биржевики в процессе принятия решения анализируют все возможные варианты, выбирая наиболее рентабельные и наименее
рисковые.
На фондовых и валютных биржах риск часто связан с падением покупательной способности денег (будущие деньги не смогут «купить» того же количества биржевых товаров и услуг одинакового качества, как деньги сегодняшние), иначе говоря, инфляционный риск.
Индивидуальная и массовая психология поведения биржевиков на финансовых рынках, которые стремятся получить прибыль на основе своего предположения о будущих ценах, также
является фактором риска.
Нахождение решений проблем рисков определяется тем, какой уровень риска допустим для участников биржевых торгов.
Биржевик может по-разному относиться к рискам: не любить
риск, нейтрально к нему относиться или предпочитать риск. Критерием отношения является потребность биржевика в вознаграждении за риск. Биржевики, не любящие риска, всегда склонны
требовать компенсацию за возможную неопределенность. Те, кто
относится к риску нейтрально, безразличны к вознаграждению,
а предпочитающие риск готовы даже нести потери, чтобы испытать острые ощущения.
У каждого профессионала-биржевика свои методы принятия
решений, на основании которых он определяет, какой уровень
риска для него приемлем или как можно его избежать. Профессионалы, искушенные в биржевой игре, определяют каждый фактор риска заранее и играют только тогда, когда есть шансы получить вознаграждение за риск.
В результате принятия решения по рискам участники биржевых торгов могут нести потери из-за действия непредвиденных
факторов или неправильной оценки факторов, усиливающих
риск. Поэтому при оценке риска эксперты в первую очередь
должны допускать вероятность потерь для участников биржевой торговли в результате принятия решения. Для оценки риска
300
наиболее приемлемы такие критерии, как вероятность нежелательного исхода и уровень каждого риска по приоритетам во
всей совокупности.
Наиболее важные решения, с принятием которых сталкиваются участники биржевых торгов, определяются тем, какие
риски приемлемы и что делать с другими рисками, которые
неприемлемы или непредвиденны. Каждый участник торгов имеет собственные предпочтения, направленно связанные с риском
или получением вознаграждения, и должен идентифицировать
риски, которым подвержен, решать, какие из рисков для него
приемлемы и, наконец, находить пути и способы того, как избежать других нежелательных рисков, а также уметь оценивать,
в какие финансовые затраты это выльется и есть ли в этом какой-либо смысл. Биржевик обязан придерживаться наиболее
подходящего риска, а также выбора методов, способов и приемов оценки, имеющихся в распоряжении участников биржевых
торгов.
К группе мер по минимизации рисков можно отнести хеджирование, создание финансовых резервов, диверсификацию, внедрение вариантной системы воздействия биржевика на управляемые факторы риска.
5.1.9.2. Влияние риска дефолта
и налогообложения
Временами можно столкнуться с такой ситуацией, когда облигации с одинаковой купонной доходностью и сроками погашения продаются по разной цене. Эти отклонения обусловлены
влиянием на стоимость ценных бумаг других факторов, которые
приводят к тому, что при всей своей внешней идентичности, они
лишь кажутся одинаковыми.
Облигации, обеспечивающие одинаковый поток фиксированных денежных поступлений, могут отличаться по ряду причин.
Однако наиболее существенными являются риск дефолта и условия налогообложения. В качестве примера рассмотрим облигацию, по которой предполагается выплата 1000 у.е. по истечении
одного года. Предположим, что процентная ставка по годичным
облигациям Казначейства США составляет 6% в год. Эти цен301
ные бумаги не подвержены риску дефолта, и поэтому цена на
такую облигацию будет составлять 1000 у.е./1,06 = 943,40 у.е. Однако, если существует хоть какой-нибудь риск дефолта (т.е. риск
неплатежа), независимо от того, насколько мал этот риск, цена
такой облигации будет меньше 943,40 у.е., а ее доходность будет
выше 6% в год.
Уровень налогообложения облигаций может зависеть от того,
кто является эмитентом или непосредственно от самого типа облигации. Все это, безусловно, влияет на стоимость облигаций. В
США, например, доход, полученный по облигациям, выпущенными правительствами штатов и местными органами управления, освобождается от федерального подоходного налога. При
всех других сходных параметрах эта особенность делает такие
облигации более привлекательными для налогоплательщиков, и
по сравнению с другими сопоставимыми облигациями цена на
них будет выше (а доходность соответственно ниже).
Существует также множество других факторов, которые приводят к появлению различия в ценах между внешне идентичными ценными бумагами с фиксированным доходом.
Рассмотрим две следующие возможности, которые отражаются на стоимости и доходности облигаций:
1. Возможность досрочного выкупа. Эта особенность дает
эмитенту право выкупа своих облигаций до наступления окончательной даты их погашения. Такая облигация называется облигацией с правом выкупа.
2. Конвертируемость. Эта особенность дает владельцу облигации право обменять ее на заранее определенное количество
акций той компании, которая выпустила эту облигацию. Облигация, имеющая такой отличительный признак, называется конвертируемой.
Интуиция подсказывает, что любое свойство, которое делает
облигацию более привлекательной для эмитента, приведет к снижению ее цены, и, соответственно, все, что повышает ценность
облигации в глазах инвестора, обуславливает повышение цены.
Поэтому возможность осуществления досрочного выкупа приведет к уменьшению цены такой облигации (и повышению ее доходности при погашении). Возможность же осуществлять конвертацию способствует повышению цены облигации и понижению ее доходности при погашении.
302
5.1.9.3. Максимизация стоимости активов
Во многих случаях финансовые решения в сфере использования личных средств могут приниматься на основании выбора
варианта, который приводит к увеличению стоимости имущества
независимо от индивидуальных предпочтений или анализа степени риска. В качестве простого примера рассмотрим ситуацию,
когда необходимо сделать выбор между вариантом А ? получить
100 у.е. сегодня или вариантом В ? получить 95 у.е. сегодня.
Допустим необходимо предположить, какой из этих вариантов выберет человек, о предпочтениях и ожиданиях которого
вам ничего неизвестно. И если во всех других отношениях оба
варианта являются равноценными, то вариант А, несомненно,
предпочтителен. И это естественно, так как чем больше денег,
тем лучше.
Лишь немногочисленные финансовые решения принимаются
столь просто и безоговорочно. Предположим, что теперь нужно
выбирать между очень рискованными акциями и совершенно безопасными облигациями. Наш клиент не любит принимать рискованные решения, и к тому же в отношении курса акций
в будущем он настроен пессимистично. Однако текущая рыночная цена акций составляет 100 у.е., а рыночная цена облигаций ? 95 у.е.
Поскольку клиент во всех случаях старается не рисковать и
настроен пессимистично в отношении будущей динамики курса
акций, то можно предположить, что он выберет облигации. Однако, несмотря на то, что он предпочитает инвестировать свои
деньги в гарантированно безопасные облигации, он все-таки
выбирает покупку акций. Почему?
Ответ заключается в том, что клиент может продать акции по
100 у.е. и купить облигации по 95 у.е. До тех пор, пока оплата
брокеру и другие затраты, связанные с куплей-продажей данных
ценных бумаг не превышают 5-ти у.е. разницу в их цене, клиент
получит преимущество, выбрав акции. Этот простой пример отражает два важных момента.
1. Финансовое решение является рациональным даже в том
случае, когда оно принимается только на основании стремления
к максимизации стоимости активов, независимо от соображений
относительно степени риска и иных личных предпочтений.
303
2. Рынки финансовых активов предоставляют информацию,
необходимую для оценки альтернативных вариантов финансовых решений.
Фирмы принимают финансовые решения на основании критерия максимизации стоимостной оценки активов. Руководители открытых акционерных обществ сталкиваются с вопросами
финансирования, планирования инвестиций, управления рисками. Ввиду того что они наняты акционерами, их работа заключается в том, чтобы принимать решения, которые наилучшим
образом отвечают интересам акционеров. Однако менеджеры
крупных корпораций даже не знают в лицо многих своих акционеров.
Руководители корпораций поэтому стараются найти такие
решения, которые были бы приняты непосредственно самими акционерами. При выборе финансовых решений экономическая теория и здравый смысл диктуют следующее правило. Выбирайте инвестиционные решения, которые приведут к максимальному увеличению богатства акционеров. С этим согласится фактически каждый акционер, так как, чем больше рыночная
стоимость активов фирмы, тем богаче становятся ее акционеры.
Такие инвестиционные решения могут приниматься без какойлибо дополнительной информации о предпочтениях самих акционеров.
Каким же образом топ-менеджеры оценивают стоимость активов фирмы и возможные варианты инвестиционных решений?
В некоторых случаях узнать о рыночных ценах они могут из
печатных или электронных источников информации. Но некоторые активы не относятся к числу торгуемых на рынке и, таким
образом, их цены неизвестны. В таком случае для сравнения
альтернативных вариантов необходимо рассчитать какова была
бы стоимость таких активов, если бы сделки с ними совершались на рынке.
В такой ситуации суть оценки активов сводится к определению их стоимости посредством анализа информации по одному
или нескольким сопоставимым активам, текущая рыночная цена
которых известна. Выбор метода для подобной оценки обычно
зависит от полноты доступной информации. Если известна цена
активов, фактически идентичных оцениваемых нами, то при их
стоимостной оценке можно применить закон единой цены, кото304
рый гласит, что если на конкурентном рынке проводятся операции с равноценными (эквивалентными, идентичными по своей
сути) активами, то их рыночные цены будут стремиться к сближению.
5.2. ПОРТФЕЛЬНЫЕ РИСКИ
При формировании инвестиционного портфеля, когда средства вкладываются в финансовые активы, все инвесторы подвергаются одинаковому риску.
На рис. 5.4 приведена схема рисков, которая, на наш взгляд,
наиболее полно отражает риски, присущие инвестированию в
финансовые активы.
Риск
ликвидности
Ценовой
риск
Риск досрочного
отзыва
Реинвестиционный
риск
Риски, связанные
с инвестированием
в финансовые
активы
Риск
неплатежеспособности
Инфляционный
риск
Риск обменных
курсов
Рис. 5.4. Риски портфельных инвестиций
Согласно базовой «ценовой модели рынка капитала» (ЦМРК),
получившей широкое применение при построении портфеля инвестиций, инвестор сталкивается только с одним видом риска ?
ценовым. Однако, как показано на схеме, портфельных рисков
намного больше.
Временами можно столкнуться с такой ситуацией, когда облигации с одинаковой купонной доходностью и сроком погашения продаются по разной цене. Эти отклонения обусловлены вли305
янием на стоимость ценных бумаг факторов, которые приводят
к тому, что при всей своей внешней идентичности они лишь кажутся одинаковыми.
Предположим, что в какой-то момент времени управляющему портфелем необходимо продать ценные бумаги. Например, он
обладает портфелем ценных бумаг, рыночная стоимость которого равна одному миллиону у.е., и он имеет обязательство, состоящее в выплате этой же суммы через два года. В этой ситуации
управляющий сталкивается с риском, что через два года рыночная стоимость его портфеля может понизиться. Причиной этого,
является тот факт, что будущие цены активов портфеля достоверно неизвестны. Подобный риск, с которым инвестору приходится сталкиваться постоянно, называется риском изменения цены,
или ценовым риском.
Риск неплатежа представляет собой вероятность того, что
какая-либо часть процентов или основной суммы долга по инструменту с фиксированным доходом не будет выплачена заемщиком. Чем выше степень этого риска, тем выше процентная ставка, которую должен обещать заемщик своим инвесторам для того,
чтобы они согласились приобрести его ценные бумаги.
Риск неплатежеспособности, или невыполнения обязательств
является результатом двух видов рисков: делового и финансового. Деловой, или коммерческий, риск ? это риск снижения доходов эмитента за счет ухудшения экономических условий и роста
издержек. Финансовый риск состоит в том, что поток платежей
эмитента не соответствует по времени финансовым обязательствам. Под их выполнением понимается погашение долга и выплата процентов.
Хотя отклонения фактической инфляции от ожидаемой могут
иметь относительно малый эффект воздействия на реальный доход от инвестиций в целом, они могут существенно влиять на
конкретные инвестиции, так как можно ожидать прямого воздействия на реальный доход от инвестиций, платежи по которым
фиксированы, например в долларовом выражении.
Если фактический уровень инфляции выше ожидаемого, то те,
кто имеет платежные обязательства, фиксированные в номинальном выражении (должники), выигрывают в реальных показателях за счет тех, кому делаются платежи (кредиторов). Наоборот,
306
когда фактическая инфляция меньше ожидаемой, то кредиторы
выигрывают, а должники теряют. Эта неопределенность реального дохода от ценных бумаг с фиксированной величиной номинального дохода, связанная с неопределенностью в уровне инфляции, часто называется риском покупательной способности, или
инфляционным риском.
Номинально прогнозируемые денежные потоки в инвестиции показывают фактическое поступление средств, а реальные
прогнозируемые денежные потоки даны с поправкой на показатель инфляции. На протяжении всего жизненного цикла инвестиционного проекта для прогнозирования его денежных потоков важным моментом является правильность учета инфляции.
Для этого необходимо использовать номинальную стоимость
капитала при дисконтировании номинальных денежных потоков и использовать ее при дисконтировании реальных денежных
потоков.
В мире с непредсказуемой инфляцией даже свободные от риска невыполнения обязательств облигации подвержены риску покупательной способности. Контрактные номинальные процентные ставки могут покрыть ожидаемую инфляцию, однако последующий реальный доход от инвестиции с фиксированными
номинальными платежами будет зависеть от фактического уровня инфляции. Если эти два значения не связаны между собой, то
ожидаемый реальный доход будет неопределенным. Однако, есть
способ придумать облигацию, ожидаемый доход по которой будет вполне определенным. Для этого необходимо применить индексацию. Инвестор, полагающий, что рынок эффективен в смысле цен, обычно выбирает наиболее распространенную форму пассивной стратегии ? индексацию. Напротив, при активном
управлении капиталом явно или неявно предполагается, что фондовый рынок не полностью эффективен.
Другими словами, при активном управлении считается, что
вся предшествующая и текущая рыночная информация не отражена полностью и точно в текущих ценах на акции. Следовательно, существуют недооцененные, справедливо оцененные и переоцененные акции. Задача менеджера, придерживающегося активной стратегии управления, состоит в определении того, насколько
верно оценена та или иная акция.
307
Поскольку определенный индекс цен может адекватно измерять покупательную способность, то нет причины не предусмотреть в контракте реальные платежи вместо номинальных. Так,
если индекс потребительских цен J в данный момент равен J0 и
будет равен J1 через год, J2 через два года и т.д., то в качестве
платы за кредит в 10000 у.е. заемщик мог бы обещать платить
суммы, которые в данный момент неизвестны, но будут равны:
1000 у.е. Ч J1 через год, 1000 у.е. Ч J2 через два года и т.д. Чтобы
пересчитать эти платежи в постоянные реальные доллары, каждый из них следует разделить на соответствующий индекс цен
(табл. 5.1).
Т а б л и ц а 5.1
Время
в годах
Сумма платежа
в номинальных у.е.
Индекс цен
Сумма платежа
в реальных у.е.
1
1000 Ч J1
J1
1000
2
1000 Ч J2
J2
1000
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
10
1000 Ч J10
J10
1000
Реальная величина каждого платежа равна сумме, указанной
в последнем столбце, независимо от того, что происходит с ценами (т.е. независимо от фактической величины J1, J2 и т.д.). Такой
заем называется полностью индексированным, поскольку суммы
платежей однозначно привязаны к объявляемому индексу цен. Это
означает, что если индекс цен возрастает, к примеру на 10%, то
все последующие платежи увеличиваются на 10%.
Основное преимущество индексации состоит в той роли, которую она играет в деле урегулирования или выравнивания риска покупательной способности. Как правило, более высокая ожидаемая инфляция сопровождается увеличением неопределенности относительно уровня фактической инфляции. Эта увеличенная
неопределенность означает, что прибыли и потери по неиндек308
сированным заемщикам и неиндексированным кредиторам возрастают. Поскольку в обоих случаях перспектива потерь менее
желательна, чем прибылей, то, когда страна входит в периоды
высоких инфляционных ожиданий, возникает усиленное давление в пользу индексации со стороны как заемщиков, так и кредиторов.
Итак, когда неопределенность относительно инфляции значительна, то следует ожидать широкого распространения индексации. Однако, законы, регулирующие процентные ставки по
кредитам, могут воспрепятствовать появлению полностью индексированных долговых обязательств, если они устанавливают
потолок для номинальной, а не реальной ставки. Когда ожидается непредсказуемая инфляция, то кредитование также может
иметь непредсказуемый эффект. Необходим рациональный подход при выдаче кредитов, на которые могут быть наложены эти
ограничения. Рационирование необходимо, потому что ограничение сверху на номинальную процентную ставку означает падение реальной ставки с ростом инфляционных ожиданий, что,
в свою очередь, делает такие кредиты привлекательными для
заемщиков.
Из-за того что инфляцию обычно труднее спрогнозировать на
большие временные периоды, неопределенность в инфляции
обычно приводит к уменьшению среднего срока до погашения
вновь выпускаемых ценных бумаг с фиксированным доходом.
Например, средний срок до погашения долговых обязательств с
фиксированными купонами, выпущенных в периоды большой
инфляционной неопределенности, обычно короче, чем в более
стабильные времена.
Кроме того, долговые обязательства с большим сроком до
погашения могут быть выпущены с переменными процентными
ставками дохода (известными также как «плавающие» ставки).
Такой механизм обеспечивает выполнение долгосрочного обязательства с помощью краткосрочных процентных выплат. Сумма
выплат процентов при этом может меняться таким образом, что
каждая из них определяется добавлением фиксированного числа
процентов (скажем, 2%) к базовой ставке, которая периодически
меняется. В качестве ставки часто используются две: первичная
ставка и ставка доходности по 90-дневным казначейским вексе309
лям США. Если краткосрочные процентные ставки с разумной
точностью предсказывают инфляцию, то такая ценная бумага с
переменной ставкой является эффективной заменой полностью
индексированной облигации.
Приобретая ценные бумаги, выплаты по которым производятся в иностранной валюте, инвестор, например американский,
не знает точно, каким будет поток платежей по этой бумаге в
долларах. Этот поток зависит от обменного курса во время выплаты. Например, инвестор приобрел облигацию, выплаты по
которой происходят в японских иенах. Если курс иены упадет
относительно американского доллара, то реальная сумма выплат (в долларах) уменьшится. Такой риск называется риском
обменных курсов, или валютным риском. Если бы курс иены
поднялся к моменту выплат, инвестор получил бы дополнительную прибыль.
Инструмент с фиксированным доходом считается безрисковым, надежным только применительно к конкретной расчетной
денежной единице. При ее изменении процентная ставка может
весьма существенно измениться. Чтобы объяснить это явление
наглядно, рассмотрим облигации, номиналы которых указаны в
разных валютах.
Предположим, что процентная ставка по государственным
облигациям Соединенного Королевства намного выше, чем по
государственным облигациям Японии, и они имеют приблизительно одинаковый срок погашения. Учитывая, что облигации
данного класса свободны от риска неплатежа, не приведут ли данные условия к тому, что все инвесторы предпочтут облигации
Соединенного Королевства?
Ответ в данном случае будет отрицательным, поскольку номиналы этих облигаций выражены в разной валюте: облигации
Соединенного Королевства ? в фунтах стерлингов, японские ? в
иенах. Несмотря на то, что облигации обеих стран данного класса предлагают надежную ставку доходности в валюте этих стран,
ставка доходности в любой другой валюте будет неопределенной,
поскольку она зависит от обменного курса этих двух валют на
момент получения платежа в будущем.
Предположим, что некоторый финансовый институт ожидает
получить через шесть месяцев при погашении облигаций 10 млн. у.е.
310
Он планирует вложить их в такие же или другие облигации. Риск
заключается в возможном снижении за шесть месяцев доходности
по облигациям, в которые планируется вложение. Подобные риски, когда происходит снижение доходности, например, при реинвестировании по меньшей процентной ставке, от вложения средств,
полученных от ранее сделанных инвестиций, принято называть
реинвестиционными рисками.
Этот риск актуален и для повторного инвестирования в портфель акций. В этом случае инвестор, ожидающий получить выплаты, сталкивается с риском повышения стоимости акций и необходимостью платить более высокую цену за дополнительно
приобретаемые акции.
Для портфеля ценных бумаг ценовой и реинвестиционный
риски противоположны друг другу. Ценовой ? это риск того, что
процентная ставка возрастает, снижая стоимость портфеля. Реинвестиционный ? это риск того, что процентная ставка упадет,
отразившись на будущих выплатах от реинвестирования. Основанная на этих двух противовесных рисках стратегия защиты от
ценового риска называется иммунизацией.
Если рыночная процентная ставка некоторой ценной бумаги
упадет ниже купонной ставки, то эмитент может воспользоваться заранее оговоренным правом отозвать весь выпуск ценной
бумаги или его часть до истечения срока погашения. Он пользуется этим правом, чтобы обеспечить себе возможность рефинансирования выпуска. Инвестору такая ситуация грозит снижением доходности в силу двух причин: величина выплат, которые
он получит при отзыве бумаг, ему достоверно неизвестна, а поскольку подобная ситуация возникает, как правило, в случае
падения процентной ставки, то инвестор подвергается реинвестиционному риску. Подобная неопределенность, связанная с
потоком выплат и условиями повторного реинвестирования,
называется риском досрочного отзыва. Этот вид риска настолько распространен при управлении портфелем, что многие менеджеры считают его вторым по важности после ценового.
Ликвидность означает возможность для инвестора быстро и
без существенных финансовых потерь продать свои активы. Примером неликвидного актива может быть что-то, что можно коллекционировать, например картины. Инвестор, обладающий кар311
тиной Ван-Гога, может оказаться вынужденным продать ее по
относительно низкой цене, если он хочет сделать это в течение
часа. Если бы продажа могла быть отложена на некоторое время
для проведения публичного аукциона, то, несомненно, цена была
бы гораздо выше. Наоборот, инвестор, у которого собственный
капитал в 1 млн. у.е. вложен в акции IВМ, при их продаже в течение часа, возможно, получит за них примерно столько же, сколько обычно получают продавцы акций IВМ. Более того, маловероятно, что ожидание может увеличить выручку от продажи таких ценных бумаг.
Так как большая часть облигаций покупается и продается
через дилеров, ликвидность облигаций всегда можно определить по разнице между ценами покупки и продажи, устанавливаемыми дилерами. У облигаций, пользующихся большим
спросом и имеющих высокое предложение, эта разница меньше,
чем у тех, торговля которыми ведется пассивно. Это происходит из-за того, что дилер более подвержен риску, когда имеет
дело с пассивными бумагами. Причиной этого риска являются
облигации, которыми владеет дилер, а именно тот факт, что
изменения ставки процента могут вызывать финансовые потери
по этим облигациям. Соответственно облигации, которые активно покупаются и продаются, должны иметь более низкую
доходность к погашению и более высокую внутреннюю стоимость, чем пассивные облигации при прочих равных условиях. Риск ликвидности возникает в случае необходимости быстрой реализации актива. Его можно рассматривать как разность между «истинной» и доступной ценами реализации (без
комиссионных).
Для многих финансовых активов ликвидность определяется типом связанных с ним обязательств (контрактов, договоров). Например, обыкновенные банковские депозиты полностью ликвидны, поскольку банк обязан конвертировать их в наличные по первому требованию. Мерой ликвидности рыночных
финансовых активов является соотношение цен покупки и продажи плюс комиссионные. Чем они больше, тем больше риск
ликвидности.
Естественно, существуют и другие финансовые риски, но их
влияние на портфель инвестиций менее существенно.
312
5.3. ПРАКТИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОРТФЕЛЯ
ИНВЕСТИЦИЙ
Существующие классические теории дают возможность создать портфель максимальной эффективности, то есть максимизировать доход при фиксированном риске, или создать портфель
минимального риска, что позволяет минимизировать риск вложения при заданном уровне доходности. Эти теории рассмотрены в гл. 2 и гл. 3, где также приведены примеры выбора эффективных портфелей на основании методов линейного и нелинейного программирования и дается методика сравнительного
анализа портфельных теорий.
Обобщением этих двух задач является многокритериальная
задача оптимизации, заключающаяся в получении максимального дохода при минимальном риске, рассмотренная в гл. 4.
Поэтому читатель, желающий работать самостоятельно
на фондовом рынке, может формировать портфель инвестиций
ценных бумаг, опираясь, в частности, на методы, приведенные
в гл. 2, 3 и 4.
Остановимся на практических рекомендациях по формированию портфеля инвестиций.
Как уже отмечалось, важным видом инвестирования в России свободных средств являются инвестиции в ценные бумаги,
т.е. управление портфелем ценных бумаг, которое включает в
себя планирование, анализ и регулирование состава портфеля,
работу по его формированию и поддержанию в интересах достижения поставленных перед ним целей при сохранении необходимого уровня его ликвидности и минимизации расходов,
связанных с портфелем. Остановимся на этом подробнее. Целями инвестирования в ценные бумаги являются: получение процента, сохранение капитала, обеспечение прироста капитала на
основе роста курсовой стоимости ценных бумаг. Они могут
быть альтернативными и соответствовать различным типам портфелей ценных бумаг. Например, если приоритетным является
получение процента, то предпочтение отдается «агрессивным»
портфелям, состоящим из низколиквидных и высокорискованных ценных бумаг кампаний, способных, однако, если удачно
313
сложатся дела, принести весьма высокие проценты. Если же
наиболее важным для фирмы является обеспечение сохранности
и приращения капитала, то в портфель включаются ценные
бумаги, обладающие большой ликвидностью, эмитированные
известными инвесторами с небольшими рисками и заранее
ожидаемыми средними процентными выплатами.
Риск, ассоциируемый с каким-то конкретным активом, не может рассматриваться изолированно. Любые новые инвестиции
должны анализироваться с позиций их влияния на изменение доходности и риска инвестиционного портфеля в целом. Поскольку все финансовые инвестиции различаются по уровню доходности и риска, их возможные сочетания в портфеле усредняют эти
количественные характеристики, а в случае оптимального их сочетания можно добиться значительного снижения риска инвестиционного портфеля.
Задача формирования инвестиционного портфеля особенно актуальна для инвестиционных институтов, т.е. организаций, профессионально занимающихся аккумулированием финансовых ресурсов своих клиентов и использованием их на
рынке капиталов. Так, популярным типом инвестиционного института являются паевые инвестиционные фонды, дающие
инвесторам доступ к более высоким процентным ставкам, а
также возможность диверсифицировать риск и экономить на
брокерских комиссионных. Основными преимуществами взаимных фондов являются диверсификация портфеля ценных бумаг, профессиональное управление портфелем, владение многими ценными бумагами при минимальном собственном
капитале. Такого рода институты формируются и в нашей
стране.
Инвестиционные институты профессионально управляют финансовыми ресурсами своих клиентов. Характерны различные критерии, исходя из которых финансовая компания берется за такую работу. Одним из них является размер предоставляемых финансовой компании ресурсов клиента. Многие солидные западные компании не рекомендуют браться за управление активами менее чем на 50?100 тыс. долл. Если же с
клиентом заключается договор на составление индивидуального портфеля, то речь обычно идет от 500 тыс. долл. и более.
314
В России также существуют финансовые компании, занимающиеся управлением свободными валютными средствами клиентов.
Арсенал методов формирования портфеля достаточно обширен, но обычно базируется это на следующих принципах.
Во-первых, успех инвестиций в основном зависит от правильного распределения средств по типам активов. Проведенные эксперименты показали, что прибыль определяется на 94%
выбором типа используемых инвестиционных инструментов (акции крупных компаний, краткосрочные казначейские векселя,
долгосрочные облигации и др.); на 4% выбором конкретных
ценных бумаг заданного типа; на 2% оценкой момента закупки
ценных бумаг.
Во-вторых, риск инвестиций в определенный тип ценных бумаг определяется вероятностью отклонения прибыли от ожидаемого значения. Прогнозируемое значение прибыли можно определить на основе обработки статистических данных о динамике
прибыли от инвестиций в эти бумаги в прошлом, а риск ? как
среднеквадратическое отклонение от ожидаемой прибыли.
В-третьих, ожидаемая доходность и риск инвестиционного
портфеля могут меняться путем варьирования его структуры. Существуют различные программы, позволяющие конструировать
желаемую пропорцию активов различных типов, например, минимизирующую риск при заданном уровне ожидаемой прибыли
или максимизирующую прибыль при фиксированном уровне риска и др.
В-четвертых, все оценки, используемые при составлении инвестиционного портфеля, носят вероятный характер. Конструирование портфеля возможно лишь при наличии ряда факторов:
сформировавшегося рынка ценных бумаг, определенного периода его функционирования, статистики рынка и др.
Формирование инвестиционного портфеля осуществляется
в несколько этапов; формулирование целей его создания и определение их приоритетности (в частности, что важнее ? регулярное получение дивидендов или рост стоимости активов);
задание уровней риска, минимальной прибыли, отклонения
от ожидаемой прибыли и т.п.; выбор финансовой компании
(это может быть отечественная или зарубежная фирма, при
315
принятии решения можно использовать ряд критериев: репутация фирмы, ее доступность, виды предлагаемых фирмой портфелей, их доходность, виды используемых инвестиционных инструментов и т.п.); выбор банка, который будет вести инвестиционный счет.
Любое предприятие целесообразно рассматривать как совокупность активов (материальных и финансовых), находящихся
в определенном сочетании. Владение любым из этих активов
связано с определенным риском в плане воздействия этого актива на величину общего дохода предприятия. То же самое в
полном объеме относится к портфелю ценных бумаг, причем,
степень риска изменяется обратно пропорционально количеству включенных в портфель случайным образом видов ценных
бумаг.
Общий риск портфеля состоит из диверсифицированного (несистематического) риска, т.е. риска, который может быть элиминирован за счет диверсификации (инвестирование 10 млн у.е. в
акции десяти компаний менее рискованно, нежели инвестирование той же суммы в акции одной компании), и недиверсифицированного (систематического) риска, т.е. риска, который нельзя
уменьшить путем изменения структуры портфеля. Опыт показал, что если портфель состоит из 15?20 различных видов ценных бумаг, включенных с помощью случайной выборки из имеющихся на рынке ценных бумаг, то несистематический риск
может быть сведен к минимуму. Таким образом, этот риск поддастся элиминированию несложными методами, поэтому основное внимание следует уделять возможному уменьшению систематического риска.
Практически все ценные бумаги, обращающиеся на рынке, испытывают воздействие общеэкономических факторов и
изменяются под их воздействием. Это приводит к тому, что
их взаимная корреляция является вполне заметной величиной. Эта взаимная корреляция обусловливает так называемый
рыночный, или систематический риск портфеля, его также называют недиверсифицируемым риском. Систематический риск ?
это минимальный уровень риска портфеля, которого можно
достичь при диверсификации с большим количеством произвольно выбранных активов. Иными словами, систематичес316
Стандартное отклонение доходности портфеля
кий риск порождается общими рыночными и экономическими
условиями, и этот риск не может быть полностью диверсифицирован.
Конечно, в силу особенностей работы эмитентов ценных бумаг каждая конкретная ценная бумага испытывает свои колебания эффективности, иногда совершенно не связанные с общерыночными. Эти колебания обусловливают так называемый индивидуальный, или несистематический, риск ценной бумаги. Его
также называют диверсифицируемым, уникальным, остаточным
или специфическим риском.
Снижение несистематического риска портфеля при помощи диверсификации можно проиллюстрировать графически. На
рис. 5.5 показано, что уже для портфеля из 20 случайно подобранных активов (в данном случае обыкновенных акций), риск можно
почти полностью диверсифицировать. Существенно, что оставшийся риск представляет собой систематический или рыночный
риск.
Несистематический
или диверсифицируемый,
риск
Совокупный риск
Систематический,
или рыночный, риск
Число активов в портфеле
Рис. 5.5. Систематический и несистематический риски портфеля
317
Таким образом, можно сделать следующий вывод: общий риск
актива измеряется вариацией его доходности. При этом он делится
на систематический и несистематический компоненты.
Диверсификация портфеля может почти полностью устранить
влияние на риск всего портфеля индивидуального риска отдельных ценных бумаг, но она не в силах устранить рыночный риск
всего портфеля.
Не существует «единственно верной» стратегии выбора инвестиционного портфеля, которая одинаково подходила бы всем
инвесторам без исключения.
Стадия жизненного цикла, на которой в данный момент находится инвестор, является важнейшим определяющим фактором при выборе оптимального состава портфеля активов и обязательств данного инвестора.
При выборе портфеля очень важен временной период. Мы
различаем три вида временных периодов ? период планирования, период пересмотра решений и период биржевых торгов.
При принятии решений о составе портфеля инвестор достигнет более высокой ожидаемой (средней) доходности только, если
согласится на более высокую степень риска.
Иногда можно снизить степень риска инвестиций, не снижая
ожидаемой доходности, за счет более полной диверсификации
как в пределах одного класса активов, так и среди нескольких
разных классов активов.
Способность за счет диверсификации снизить рискованность
портфеля инвестора зависит от корреляции между активами, составляющими портфель. На практике подавляющее большинство активов имеет между собой положительную корреляцию,
потому что на них влияют одни и те же экономические факторы.
Следовательно, возможность снижения риска за счет диверсификации среди рискованных активов без снижения ожидаемого
уровня доходности ограничена.
Несмотря на то, что в принципе инвесторы при составлении
портфеля могут выбирать среди тысяч разнообразных активов,
на практике их «меню» ограничено несколькими продуктами,
которые предлагают им финансовые посредники. К ним относятся банковские счета, взаимные фонды, состоящие из акций
и облигаций, а также недвижимость. При разработке и состав318
лении «меню» активов, предлагаемых клиентам, компаниипосредники используют новейшие достижения финансовых технологий.
Следует иметь в виду, что все в мире финансов имеет свою
цену. За ограничение риска приходится расплачиваться. Как правило, такой платой является несколько меньшая доходность при
активном управлении в периоды бурного роста рынка по сравнению с пассивным инвестированием. Однако рынок не состоит
только из одних периодов бурного роста и на длинной дистанции активное управление по доходности опережает пассивное
инвестирование.
В целом считается, что квалифицированный управляющий
при активном управлении на рынке акций может в среднем
зарабатывать до 20?30% годовых при риске максимальных убытков в 10?15%. Однако в зависимости от большей или меньшей
степени агрессивности обе эти цифры могут значительно варьироваться. Например, возможно создание смешанных инвестиционных портфелей, включающих в себя и акции, и облигации.
В таком случае можно получить промежуточный инвестиционный продукт, находящийся между доходностью и рисками, свойственными активному управлению акциями и облигациями. В
зависимости от пропорций активов возможно достаточно точное позиционирование такого продукта на шкале «доходность/
риск». С другой стороны, возможно и создание более агрессивных торговых моделей, с использованием, например, фьючерсов, опционов или маржинального кредитования ? в таком случае возможна торговля с прицелом на 60% годовых и более,
однако при значительном риске ? вплоть до 50% временных
убытков от размера капитала. Немногие имеют столь крепкие
нервы, чтобы заказывать себе у управляющего такой стиль торговли.
Очевидно, что чем больше риск, то есть неопределенность
доходов, тем длиннее должен быть минимальный горизонт
инвестирования. В целом можно считать, что для инвестирования в наименее рискованные бумаги этот срок составляет
3?6 месяцев, при активном управлении на рынке рискованных
активов ? не менее года, а для пассивного инвестирования ?
5?10 лет (табл. 5.2).
319
Т а б л и ц а 5.2
Принципиальные особенности инвестиционных моделей
Характеристика
Инвестиции в акции
или товары и производные
от них инструменты
Инвестиции
в инструменты
с фиксированной
доходностью
Пассивное
инвестирование
Активное
управление
В среднем
10?20%*
В среднем
20?30%*
6?16%
Неограничен
Ограничен
Ограничен
Минимальный
инвестиционный
горизонт
5?10 лет
1 год
3?6 месяцев
Зависимость
от качества
управления
Средняя
Очень высокая
Средняя
Доходность
Риск
* В отдельные периоды может существенно отклоняться от этих
значений.
При формировании портфеля необходимо придерживаться
определенных требований:
1. Выбор оптимального типа портфеля из совокупности возможных.
2. Установление рационального сочетания риска и доходности портфеля путем изменения удельного веса ценных бумаг с различными уровнями дохода и риска.
3. Оценка ликвидности портфеля с позиций:
• способности быстрого превращения всего портфеля или его
части в денежные средства (с минимальными трансакционными
затратами);
• способности предприятия погашать свои обязательства перед инвесторами (например, владельцами облигаций).
4. Определение первоначальной структуры портфеля и его возможного изменения с учетом конъюнктуры на рынке.
320
Первоначальная структура портфеля зависит от типа управляющего портфеля или инвестора, о чем иллюстрирует пример
(табл. 5.3).
Структура портфеля
Виды
ценных бумаг
Портфель
активного
инвестора
Т а б л и ц а 5.3
Портфель
Портфель
умеренного консервативного
инвестора
инвестора
Акции
65
45
25
Облигации
25
30
45
Краткосрочные
бумаги (безрисковые)
10
25
30
Всего
100
100
100
5. Выбор вариантов дальнейшего регулирования структурой
портфеля. Некоторые варианты приведены ниже:
• каждому типу ценных бумаг устанавливается определенный
фиксированный удельный вес в портфеле.
При колебаниях рыночных стоимостей периодически целесообразно изменять состав портфеля, чтобы сохранить принятые
соотношения между видами активов;
• инвестор придерживается гибкой структуры удельных весов
ценных бумаг в портфеле;
• инвестор активно использует опционные и фьючерсные контракты для изменения состава портфеля в благоприятном для себя
направлении.
Для примера рассмотрим некоторые виды контрактов, позволяющих формировать эффективные портфели. Подробно подобный материал будет изложен в следующей главе.
Опцион (option) ? контракт между двумя лицами, в соответствии с которым одно лицо предоставляет другому право купить
(продать) определенный актив по установленной цене в рамках
заданного периода. Покупатель опциона должен заплатить за это
право. Лицо, которое продало опцион, называется продавцом опциона.
Фьючерс (futures) ? контракт на поставку (продажу) продавцом покупателю некоторого актива на согласованную будущую
321
дату. В контракте определяется цена покупки, но актив до даты
поставки (продажи) не оплачивается. По договору от продавца и
покупателя требуется внести определенные денежные средства на
депозит в момент подписания контракта, чтобы защитить участников сделки от потерь в случае отказа одной из сторон от исполнения контракта.
Фьючерсные контракты заключаются, как правило, на такие
активы, как зерно, цветные металлы, валюта, ценные бумаги с
фиксированными доходами.
C фьючерсами (и опционами) работают два типа участников:
спекулянты и хеджеры.
Спекулянты действуют только с целью получения прибыли
(дохода) и не производят или не используют базисные активы в
своем бизнесе.
Хеджеры покупают или продают фьючерсы, чтобы застраховать (хеджировать) рискованную позицию на рынке. В своем
бизнесе они либо производят, либо используют базисный
актив.
Таким образом, обеспечивая эффективное управление портфельными инвестициями, финансовый менеджер повышает финансовый потенциал и рост активов предприятия, что создает финансовую основу экономического развития.
В условиях экономики России с углубляющимся процессом
изменения структуры собственности система целей портфеля может видоизменяться с учетом следующих признаков:
• сохранность и приращение капитала (в отношении ценных
бумаг с растущей курсовой стоимостью);
• приобретение ценных бумаг, которые по условиям обращения могут заменить наличность (например, «предъявительские»
государственные ценные бумаги, облигации государственного
сберегательного займа и т.п.);
• доступ через приобретение ценных бумаг к дефицитным продуктам и услугам, имущественным и неимущественным правам;
• расширение сферы влияния и перераспределения собственности, создание холдинговых структур;
• спекулятивная игра на колебаниях курсов в условиях не наполненного рынка ценных бумаг;
• производственные цели (зондирование рынка, страхование
от излишних рынков и т.п.).
322
Рынок ценных бумаг в нашей стране только начинает развиваться. Выплату приличных дивидендов в последнее время производят лишь отдельные коммерческие банки. Покупка акций,
в основном, ведется инвестиционными фондами (которые обязаны это делать по своей сути) или с целью приобретения контрольного пакета акций. Создание портфеля ценных бумаг в нашей стране связано поэтому со многими рисками. Риск портфеля ? понятие агрегированное, которое, в свою очередь, включает
многие виды конкретных рисков: риск ликвидности, кредитный
риск, капитальный риск и т.п. Риск вложения в ценные бумаги
определяется с помощью их инвестиционных качеств ? специальные рейтинговые агентства анализируют ценные бумаги, обращающиеся на рынке, с позиций инвестиционного качества,
классифицируя их, например, на бумаги «высшего качества», «высокого качества», «выше среднего уровня качества», «среднего
уровня качества», «спекулятивные ценные бумаги». Понятие инвестиционного качества ценной бумаги ? это оценка того, насколько ценная бумага ликвидна, низкорискованна при стабильной курсовой стоимости, способности приносить проценты, превышающие или находящиеся на уровне среднерыночного
процента.
Указанное правило проявляется лишь при усреднении на значительной массе случаев. Однако оно дает возможность создать
шкалу измерения инвестиционных качеств по видам ценных бумаг, позволяющих инвестору уточнить свою оценку соотношений между ценными бумагами, провести инвестиционный анализ в определенной системе координат, где риск и доходность
повышаются, а ликвидность и гарантированность выплат понижаются: облигации, обеспеченные залогом; облигации, не обеспеченные залогом; привилегированные акции; простые акции;
опционы.
Существует широко распространенное ? хотя и ошибочное ? мнение, что риск, связанный с инвестициями в акции, снижается с увеличением срока владения ими. Из этого убеждения
следует общий вывод: чем дольше вы собираетесь владеть акциями, тем больше денег следует в них вкладывать.
Для убеждения скептиков в том, что так называемый «эффект
времени в диверсификации» действительно имеет место, существует два доказательства.
323
Чем дольше период, в течение которого инвестор собирается
владеть акциями, тем меньше стандартное отклонение доходности акций, взятое в годовом исчислении.
Чем дольше период, в течение которого инвестор собирается
владеть акциями, тем меньше вероятность того, что ставка доходности акций окажется ниже соответствующей процентной ставки для безрисковых облигаций.
Эти доказательства, хотя и верны по сути, не являются убедительной аргументацией для утверждения о том, что акции ? это
менее рискованные активы, если владеть ими в течение длительного времени, или что вам следует больше инвестировать в акции, потому что вы предполагаете вкладывать средства на длительный срок. Сейчас объясним почему.
Во-первых, тот факт, что стандартное отклонение ставки доходности акций, приведенной к годовому исчислению, уменьшается по мере увеличения периода владения ими, является просто
артефактом, следующим из применяемой методики ее исчисления.
В такой ситуации нет подлинной диверсификации. Дело в том, что
не уменьшается стандартное отклонение вашего богатства, которое вы будете иметь к концу периода владения акциями. Сравните, например, результаты инвестирования в акции и в безрисковые
облигации сроком на один год и на 25 лет. Пусть даже стандартное отклонение вашей ставки доходности (приведенной к годовому исчислению) для 25-летнего периода составляет приблизительно одну пятую по сравнению с ее значением для годичного периода. Все равно стандартное отклонение вашего итогового уровня
благосостояния по истечении 25-летнего периода владения акциями в пять раз больше, чем стандартное отклонение для года.
Во-вторых, верно, что чем дольше период владения акциями,
тем меньше вероятность дефицита. Этот термин означает, что доходность портфеля акций меньше, чем процентная ставка безрисковых активов за тот же период. Однако риск дефицита зависит
от того, насколько этот дефицит, если он возникнет, серьезен, а
также от вероятности его наступления. Если мы рассматриваем
систему измерения риска, при которой учитываются и серьезность,
и вероятность дефицита, то с увеличением срока владения этот
риск не уменьшается. Например, если считать мерой риска цену
страховки портфеля инвестиций от дефицита, то эта цена увеличивается вместе с продолжительностью владения акциями.
324
Выводы по главе 5
1. Процентный риск ? это риск для прибыли, возникающий
из-за неблагоприятных колебаний процентной ставки, которые
приводят к повышению затрат на выплату процентов или снижению дохода от вложений и поступлений от предоставленных кредитов. Риск при инвестировании, связанный с изменением процентных ставок, называется риском процентных ставок. Чем больше подвижность ставки (регулярность ее изменений, ее характер
и размеры), тем больше процентный риск.
Лицо, намеревающееся взять взаймы сумму денег, или компания, имеющая долговые обязательства, по которым выплачиваются проценты по плавающей ставке, могут понести убытки в
случае повышения процентных ставок, так как потребуется увеличение потока денежных средств для обслуживания долга. И
наоборот, компании (лицо), управляющие фондом, и имеющие
депозиты, по которым выплачиваются проценты на основе плавающей ставки, подвержены риску в случае падения процентных
ставок.
2. Под инвестиционными рисками понимается возможность
недополучения запланированной прибыли в входе реализации
инвестиционных проектов. Если будущие платежи являются рискованными, т.е. они жестко не определены, то инвесторы уменьшают среднюю оценку будущих доходов, применяя увеличенную
ставку дисконтирования. При положительной коррелированности актива с рынком, чем больше вносимый рынком риск, тем
больше ставка доходности, тем меньше современная оценка будущих доходов от акции и наоборот, при отрицательной коррелированности актива с рынком, чем больше рыночный риск, тем
больше современная оценка будущих доходов от актива.
3. Кредитный риск, или риск неплатежа, представляет собой
вероятность того, что какая-либо часть процентов или основной
суммы долга по инструменту с фиксированным доходом не будет выплачена заемщиком. Чем выше степень этого риска, тем
выше процентная ставка, которую должен обещать заемщик своим инвесторам для того, чтобы они согласились приобрести его
ценные бумаги.
Подверженность кредитному риску существует в течение всего периода кредитования. При предоставлении коммерческого
325
кредита риск возникает с момента продажи и остается до момента получения платежа по сделке.
4. Риск неликвидности заключается в неспособности банка
быстро и без особых потерь для себя обеспечить выплату своим
клиентам денежных средств, которые они доверили банку на кратковременной основе, а также выполнить свои обязательства перед клиентами в конкретный момент времени.
Для анализа финансовой состоятельности используются коэффициент абсолютной ликвидности, коэффициент текущей ликвидности и коэффициент критической оценки. С величиной коэффициентов ликвидности тесно связан риск ликвидности.
Риск ликвидности связан с возможными финансовыми потерями в процессе трансформации ценных бумаг в денежные средства, необходимые при изменении стратегии и тактики инвестиционной деятельности.
5. Инфляционный риск ? риск того, что полученные доходы в
результате высокой инфляции обесцениваются быстрее, чем растут (с точки зрения покупательской способности), что отрицательно сказывается на сбережениях граждан, а также на стоимости
ценных бумаг с фиксированным доходом. Одним из методов
минимизации инфляционного риска является включение в состав
предстоящего номинального дохода по финансовым операциям
размера инфляционной премии.
6. Валютный риск или риск курсовых потерь, связан с созданием совместных предприятий и банковских учреждений и диверсификацией их деятельности и представляет собой возможность
возникновения денежных потерь в результате колебаний валютных курсов.
7. Биржевые риски представляют собой опасность потерь от
биржевых сделок. К этим рискам относятся: риск неплатежа по
коммерческим сделкам, риск неплатежа комиссионного вознаграждения брокерской фирмы и др. Для их уменьшения предлагается внедрение вариантной системы воздействия биржевика на
управляемые факторы риска.
8. Учитывая основную цель исследования, приведена схема
портфельных рисков и дана их характеристика с точки зрения их
влияния на портфель инвестиций. Рассмотрено место риск ? менеджмента в процессе управления инвестиционными рисками.
326
Глава 6. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ
И ПУТИ СНИЖЕНИЯ
ЭКОНОМИЧЕСКИХ РИСКОВ
6.1. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ УПРАВЛЕНИЯ
РИСКОМ
6.1.1. Схема процесса управления риском
Выработка компромисса, направленная на достижение баланса между выгодами от уменьшения риска и необходимыми для
этого затратами, а также принятие решения о том, какие действия для этого следует предпринять (включая отказ от каких бы
то ни было действий), называется управлением риском.
Управление рисками направленно на их классификацию, идентификацию, анализ и оценку, разработку путей защиты от риска.
Главным методологическим принципом управления рисками
является обеспечение сопоставимости оценки полезности и меры
риска за счет измерения обоих этих показателей в общих единицах измерения.
Продолжим рассмотрение основных этапов процессов управления рисками, начатое в параграфе 1.1 (рис. 1.4).
Начальным этапом процесса управления риском является его
анализ, имеющий целью получение необходимой информации о
структуре, свойствах объекта и имеющихся рисках. Анализ рисков подразделяется на два взаимно дополняющих друг друга вида:
качественный, главная задача которого состоит в определении
факторов риска и обстоятельств, приводящих к рисковым ситуациям, и количественный, позволяющий вычислить размеры отдельных рисков и риска проекта в целом.
Качественный анализ предполагает: идентификацию (установление) всех возможных рисков; выявления их источников и причин; выявление практических выгод и возможных негативных
последствий, которые могут наступить при реализации решения,
содержащего риск. В процессе качественного анализа важное значение имеет как полное выявление и идентификация всех воз327
можных рисков, так и выявление возможных потерь ресурсов,
которые сопровождают наступление рисковых событий.
Количественный анализ предполагает численную оценку рисков, определение их степени и выбор оптимального решения.
Так как каждый вид риска допускает несколько традиционных способов его уменьшения, то возникает задача оценки сравнительной эффективности воздействия на риск для выбора наилучшего из них с целью минимизировать возможный ущерб в
будущем. Сравнение может происходить на основе различных
критериев, в нашей работе прежде всего экономических. Эти проблемы рассмотрены в первой главе.
Этап принятия решений подразумевает возможность сформировать общую стратегию управления всем комплексом рисков,
когда определяются требуемые финансовые и трудовые ресурсы,
происходит постановка и распределение задач среди менеджеров, осуществляется анализ рынка соответствующих услуг, проводятся консультации со специалистами.
Процесс непосредственного воздействия на риск представлен
условно тремя основными способами: снижением, сохранением и
передачей риска и будет подробно рассмотрен в этой главе.
Контроль и корректировка результатов реализации выбранной стратегии происходит на основе новой информации, поступающей от менеджеров. Контроль может выражаться в выявлении новых обстоятельств, изменяющих уровень риска, передаче
этих сведений страховой компании, наблюдении за эффективностью работы систем обеспечения безопасности и т.д.
Рассмотренная схема процесса управления риском является
лишь общей схемой. Характер и содержание перечисленных выше
этапов и работ, используемые методы их выполнения в значительной степени зависят от специфики хозяйственной деятельности и характера возможных рисков.
6.1.2. Выбор приемов управления риском
Так как наибольшую прибыль приносят, как правило, рыночные операции с повышенным риском, то его нужно рассчитывать до максимально допустимого предела, корректируя систему действий с позиций наибольшей прибыли при наименьших
рисках.
328
При рыночной экономике производители, продавцы, покупатели, работая в условиях конкуренции самостоятельно, то есть на
свой страх и риск, должны действовать так, чтобы при самом худшем раскладе речь могла идти только о некотором уменьшении
прибыли, но ни в коем случае не стоял вопрос о банкротстве.
Финансовое будущее предпринимателей в этих условиях является
непредсказуемым и мало прогнозируемым. Однако, риском можно управлять, используя разнообразные меры, позволяющие в
определенной степени прогнозировать наступление рискового
события и вовремя принимать меры к снижению степени риска.
Механизмом для управления риском является риск-менеджмент. Управление риском как система состоит из двух подсистем: управляемой (объекта управления) и управляющей (субъекта управления) подсистем.
Объектом управления в системе управления риском являются
риск, рисковые вложения капитала и экономические отношения
между хозяйствующими субъектами в процессе реализации риска (отношения между: страхователем и страховщиком; предпринимателями ? партнерами, конкурентами; заемщиком и кредитором и т.п.).
В системе управления риском субъектом управления является специальная группа людей (предприниматель, финансовый
менеджер, менеджер по риску, специалисты по страхованию и
др.), которая посредством различных приемов и способов управления осуществляет целенаправленное воздействие на объект
управления.
Управление риском представляет специфическую сферу экономической деятельности, требующую глубинных знаний в области
анализа хозяйственной деятельности, методов оптимизации хозяйственных решений, страхового дела, психологии и многого другого. Основная задача предпринимателя в этой сфере ? найти вариант действий, обеспечивающий оптимальное для данного проекта сочетание риска и дохода, исходя из того, что, чем прибыльнее
проект, тем выше степень риска при реализации.
Процесс управления риском ? это систематическая работа по
анализу риска, выработке и принятию соответствующих мер для
его минимизации. Этот процесс можно разбить на пять этапов:
выявление, оценка, выбор приемов управления риском, реализация выбранных приемов, оценка результатов.
329
Выявление риска ? состоит в определении того, каким видам
риска наиболее подвержен объект анализа, будь то домохозяйство, компания или иной экономический субъект. Для эффективного выявления необходимо рассматривать проблему риска в
целом, с учетом всех факторов, влияющих на него.
Под оценкой риска понимается количественное определение
затрат, связанных с его видами, которые были выявлены на первом этапе управления риском.
При этом следует понимать, что помимо математических методов и вычислений необходимы и другие данные. Как, например, оценить вероятность заболеть человеку в определенном возрасте и при его состоянии здоровья? Сколько будет стоить лечение? Чтобы оценить подверженность данного человека этому виду
риска, необходима информация.
Естественно, нужны соответствующие сведения, и чтобы их
получить, придется заплатить. Предоставление информации такого рода ? одна из важнейших функций страховых компаний.
Этим занимается актуарий (статистик страхового общества) ?
профессионал, имеющий специальное образование в области математики и статистики. Он собирает и анализирует данные и оценивает вероятность заболевания, несчастного случая и подобных
видов риска.
Что касается риска инвестиций в финансовые активы, то домохозяйствам и компаниям нередко требуется консультация эксперта, которая позволяет уточнить степень их подверженности
тому или иному риску и количественно выразить соотношение
между риском и доходом от инвестирования в разные категории
активов, например в акции или облигации. В таких случаях обычно обращаются к профессиональным консультантам по инвестициям, во взаимные фонды и к другим финансовым посредникам
или в другие фирмы, предоставляющие финансовые услуги, которые помогают сделать правильную оценку рисков.
Риск-менеджмент можно рассматривать как систему оценки
риска, управления риском и финансовыми отношениями, компенсирования возможных ущербов и включает стратегию и тактику управленческих действий. Под стратегией понимаются направления и способы использования средств для достижения поставленной цели. Стратегия позволяет, рассмотрев различные
варианты решения, не противоречащие генеральной линии стратегии, применяя определенный набор правил и ограничений, выб330
рать наилучшее решение. Под тактикой подразумеваются практические методы и приемы менеджмента для достижения установленной цели в конкретных условиях и выбор оптимального
решения в данной хозяйственной ситуации.
Приемы риск-менеджмента представляют собой приемы управления риском. В системе управления риском важная роль принадлежит правильному выбору мер предупреждения и минимизации риска, которые в значительной мере определяют ее эффективность. Они состоят из средств разрешения и приемов снижения
степени риска.
Методы управления рисками можно изобразить на следующей схеме (рис. 6.1).
Принятие риска
на себя
Уклонение
от риска
Учет риска
при финансировании проекта
Получение
большей
информации
Диверсификация
Методы
управления
рисками
Страхование
Хеджирование
Лимитирование
Качественное
управление
риском
Резервирование
средств
Рис. 6.1. Методы управления рисками
Средствами разрешения рисков являются:
1. Избежание риска ? это сознательное решение не подвергаться определенному виду риска. Человек может решить не подвергать себя риску, связанному с какой-то профессией или работой в
какой-то компании, может уклоняться от работы в определенных
отраслях производства, потому что они представляются ему чересчур рискованными. Но избежать риска удается не всегда. Например, каждый человек подвергается риску заболеть ? просто потому, что он человек, а все люди болеют. Это неизбежно.
331
2. Предотвращение ущерба сводится к действиям, предпринимаемым для уменьшения вероятности потерь и для минимизации
их последствий. Такие действия могут предприниматься до того,
как ущерб был нанесен, во время нанесения ущерба и после того,
как он случился. Например, вы можете уменьшить риск заболевания, если будете хорошо питаться, достаточно спать, не курить и
держаться подальше от тех, кто уже заболел гриппом. Если вы все
же «подхватили» простуду, следует перейти на постельный режим
и тем самым свести к минимуму вероятность того, что ваше недомогание перейдет в воспаление легких.
3. Принятие риска состоит в покрытии убытков за счет собственных ресурсов. Иногда это происходит само собой, например, когда человек не подозревает о существовании риска или не
обращает на него внимания. Бывают случаи, когда люди сознательно решают пойти на риск. В частности, некоторые отказываются от медицинской страховки, предпочитая в случае заболевания пожертвовать на лечение часть заработанных средств. Предупредительные сбережения семьи ? одно из средств облегчить
расходы в связи с принятием риска.
4. Перенос риска состоит в перенесении риска на других лиц.
Продажа рискованных ценных бумаг кому-то другому и приобретение страхового полиса ? примеры такой стратегии управления риском. Другой пример: вы не предпринимаете никаких действий, чтобы избежать риска, и рассчитываете, что нанесенный
ущерб будет покрыт за чей-то счет.
Как пример, рассмотрим модель деления риска, представляющую управленческое действие, направленное на сокращение неблагоприятного будущего риска. Наиболее явное выражение этих
действий связано с решениями по управлению финансами.
Пусть имеется возможность вложить некую сумму капитала
через приобретение акций двух предприятий. У них одинаковые
дивиденды ? 2 у.е. на у.е. в год, и одинаковый риск возможной
неудачи получения нулевых доходов. Как распорядиться своими
средствами?
В а р и а н т 1. Вложить средства в первое предприятие.
Средний доход в этом случае равен:
2 · 0,5 + 0 · 0,5 = 1 у.е./у.е. в год.
Вероятность потери средств равняется 0,5.
332
В а р и а н т 2. Вложить средства во второе предприятие.
Средний доход в этом случае равен:
0 · 0,5 + 2 · 0,5 = 1 у.е./у.е. в год.
В а р и а н т 3. Поделить средства между предприятиями.
Средний доход в этому случае равен:
2(0,5 · 0,5) + 1(0,5 · 0,5) + 1(0,5 · 0,5) + 0(0,5 · 0,5) =
= 1 у.е./у.е. в год.
Вероятность потери средств равняется (оба предприятия не
будут иметь прибыли): 0,5 · 0,5 = 0,25.
В последнем варианте в два раза уменьшился риск полной
потери средств, а средний доход оказывается одинаковым во всех
вариантах.
В рассмотренном примере управление средствами фактически не влияло на средний будущий доход, поэтому выбирая распределение средств, можно использовать в качестве оценки минимум риска потери средств.
Математическое описание модели деления риска следующее.
Рассмотрим распределение средств между двумя предприятиями. Каждое из них характеризуется средним доходом и дисперсией отклонения от среднего дохода. Получаемая сумма дохода
равняется:
E = aE1 + (1 ? a)E2,
где а ? доля средств, вкладываемых в первое предприятие,
E1 и E2 ? доход на капитал, вложенный в первое и второе предприятие, соответственно. Величина E является случайной и для
нее вычисляются математическое ожидание е и дисперсия D.
Математическое ожидание вычисляется по формуле:
е = ае1 + (1 ? а)е2.
Формула вычисления дисперсии включает три слагаемых:
D = a 2 D1 + (1 ? a )(1 ? a )D2 + 2 a
где D1 и D2 ? дисперсия дохода по первому и второму предприятиям, ? ? коэффициент корреляции между доходами рассматриваемых предприятий.
333
В а р и а н т 1. При е1 = е2 и полной независимости предприятий ( ? = 0) получим следующее правило деления средств между
предприятиями из условия минимума дисперсии:
a=
D2
.
D1 + D2
В а р и а н т 2. При е1 = е2 и прямой предпринимательской зависимости между предприятиями ( ? = 1) получается что итоговая сумма дохода не зависит от значения а, и минимальная дисперсия итогового дохода будет минимальна при
a = 1, если D1 < D2,
a = 0, если D1 > D2.
В а р и а н т 3. При е1 = е2 и обратной зависимости предприятий (? = ?1) средняя сумма дохода не зависит от значения коэффициента а, а дисперсия будет минимальна при
a=
D2
D1 + D2
.
Комплексная оценка вариантов распределения средства имеет вид:
re ? D,
где коэффициент r характеризует значимость для владельца
средств дохода по отношению к риску. Для владельца значительных средств вложение небольшой суммы осуществляется, как правило, при большом значении коэффициента r. Инвестор готов
вкладывать средства в мероприятия с большим возможным доходом, не обращая внимания на возможный риск. Соответственно, инвестор с малыми средствами при вложении всех своих
средств будет крайне осторожен и значение коэффициента r приемлет небольшим. В этом случае большое значение имеет прежде
всего риск, а не ожидаемый доход.
Вслед за решением о том, как поступать с выявленным риском,
необходимо переходить к реализации выбранных приемов. Главный
принцип на этом этапе управления риском сводится к минимизации
334
затрат на реализацию избранного курса действий. Другими словами, если вы решили приобрести медицинскую страховку на случай
болезни, надо найти страховую компанию, услуги которой обойдутся вам дешевле. Если вы решили вложить деньги в приобретение
акций, следует сравнить, чьи услуги вам обойдутся дешевле ? компании по управлению взаимным фондом или брокера.
Управление риском ? это динамический процесс с обратной
связью, при котором принятые решения должны периодически
анализироваться и пересматриваться. Время идет, обстоятельства
меняются и несут с собой перемены: появляются новые виды риска, или новые сведения об имеющихся видах риска, или дешевеет
стратегия управления риском. Например, будучи одиноким человеком, вы решили отказаться от страхования жизни, но обстоятельства изменились, вы женились и завели детей ? и это привело к
изменению решения. Или вы принимаете решение об изменении
доли вашего портфеля инвестиций, вложенной в акции.
Снижение степени риска ? это сокращение вероятности объема потерь. Для этого существует немало методов. Большая группа таких методов связана с подбором других операций, таких,
чтобы суммарная операция имела меньший риск.
При рассмотрении предыдущих разделов в той или иной мере
затронута проблема снижения риска, так как выбор оптимальных (эффективных) решений всегда предполагает получение такого решения, которое обеспечивает минимальный риск.
Теория и практика управления риском выработала ряд основополагающих принципов, которыми следует руководствоваться. Основные из них следующие:
• нельзя рисковать больше, чем это может позволить собственный капитал;
• необходимо думать о последствиях риска;
• нельзя рисковать многим ради малого.
Реализация первого принципа означает, что прежде чем вкладывать капитал, инвестор должен:
• определить максимально возможный объем убытка по данному риску;
• сопоставить его с объемом вкладываемого капитала;
• сопоставить его со всеми собственными финансовыми ресурсами и определить, не приведет ли потеря этого капитала к
банкротству инвестора.
335
Исследования показывают, что оптимальный коэффициент
риска составляет 0,3, а коэффициент риска, ведущий к банкротству инвестора 0,7 и более, если под коэффициентом риска понимать величину КR = Y/С, где Y ? максимально возможная сумма
убытка, руб.; С ? объем собственных финансовых ресурсов с учетом точно известных поступлений средств, руб.
Реализация второго принципа требует, чтобы предприниматель, оценив максимально возможную величину убытка, определил бы, к чему она может привести, какова вероятность риска, и
принял бы решение об отказе от риска (т.е. от мероприятия), о
принятии риска на свою ответственность или о передаче риска
на ответственность другому лицу.
Действие третьего принципа предполагает, что прежде чем
принять решение о внедрении мероприятия, содержащего риск,
необходимо соизмерить ожидаемый результат (отдачу) с возможными потерями, которые понесет предприниматель в случае наступления рискового события. Действие этого принципа четко
проявляется при передаче финансового риска. В этом случае он
означает, что инвестор должен определить приемлемое для него
соотношение между страховой премией и страховой суммой. Риск
не должен быть удержан, т.е. инвестор не должен принимать на
себя риск, если размер убытка относительно велик по сравнению
с экономией на страховых взносах.
В стратегии риск-менеджмента применяется ряд правил, на
основании которых осуществляется выбор того или иного приема управления риском и варианта решений. Основными из этих
правил являются следующие:
• стремление к максимуму выигрыша;
• оптимальное сочетание выигрыша и величины риска;
• оптимальная вероятность результата.
Стремление к максимуму выигрыша означает, что из возможных вариантов решений, содержащих риск, выбирается тот, который обеспечивает максимальный результат (доход, прибыль и т.д.)
при минимальном и приемлемом для предпринимателя риске.
Так как на практике более прибыльные варианты в основном
являются и более рискованными, то из всех вариантов решений,
обеспечивающих приемлемый для предпринимателя риск, выбирается тот, у которого соотношение дохода и потерь (убытка)
является наибольшим, что и является сутью правила оптимального сочетания выигрыша и величины риска.
336
Сущность правила оптимальной вероятности результата заключается в том, что из всех вариантов, обеспечивающих приемлемую для предпринимателя вероятность получения положительного результата, выбирается тот, у которого выигрыш максимальный.
В основе управления риском лежит целенаправленный поиск
и организация работы по снижению риска, получение и увеличение отдачи в неопределенной хозяйственной ситуации.
Конечной целью управления риском является получение наибольшей прибыли при оптимальном, приемлемом для предпринимателя соотношении прибыли и риска, что соответствует целевой функции предпринимательства.
Наиболее общими, широко используемыми и эффективными
методами предупреждения и снижения риска являются: диверсификация, страхование, лимитирование, резервирование средств, приобретение дополнительной информации о выборе и результатах.
Эти методы широко известны и подробно описаны в литературе, но их обоснование и анализ с математической точки зрения
являются недостаточно полными. Поэтому при последующем изложении способов снижения риска будут использоваться математические методы исследования.
Среди четырех приемов управления риском, перечисленных в
этом разделе, перенос части или всего риска на других лиц относится к тем его видам, где финансовая система играет самую большую роль. Самый главный метод переноса риска ? это просто
продажа активов, которые представляют собой его источник.
Например, владелец дома подвержен, как минимум, трем видам
риска: пожару, стихийному бедствию и возможному падению цен
на недвижимость. Продав дом, его владелец избавляется от всех
трех видов риска.
Предположим, однако, что некто не может или не хочет продавать рискованные активы. В такой ситуации также можно управлять этими видами риска, только другими способами. Например, если домовладелец застраховался от пожара и стихийного
бедствия, то он принимает на себя только риск падения цен на
недвижимость.
Различают три метода переноса риска, называемые тремя схемами его переноса. Это диверсификация, страхование и хеджирование. Каждый из этих способов будет рассмотрен и проиллюстрирован ниже.
337
6.2. ДИВЕРСИФИКАЦИЯ
Под диверсификацией понимается процесс распределения инвестиционных средств между различными объектами вложения
капитала, которые непосредственно не связаны между собой, с
целью снижения степени риска и потерь доходов.
Диверсификация выражается во владении многими рискованными активами, вместо концентрации всех капиталовложений
только в одном из них. Поэтому диверсификация ограничивает
нашу подверженность риску, связанному с одним-единственным
видом активов.
Диверсификация вложений может быть выполнена индивидуальным инвестором как на фондовом рынке (самостоятельно
или с помощью финансовых посредников), так и путем прямых
инвестиций.
Диверсификация предполагает включение в финансовую схему различных по своим свойствам активов. Чем их больше, тем, в
силу закона больших чисел, значительнее (из-за взаимопогашения
рисков-уклонений) их совместное влияние на ограничение риска.
Применение фирмой диверсифицированного портфельного
подхода на рынке ценных бумаг позволяет максимально снизить
вероятность недополучения дохода. Например, приобретение
инвестором акций пяти разных акционерных обществ вместо акций одного общества увеличивает вероятность получения им среднего дохода в пять раз и, соответственно, в пять раз снижает
степень риска [5, с. 64].
Однако это утверждение мы можем оценить более точно.
Пусть O1, O2, ?, On ? некоррелированные операции с эффективностями E1, E2, ?, En и рисками R1, R2, ?, Rn, тогда операция
«среднее арифметическое»
O = (O1 + ?+ On)/n
(6.2.1)
E = (Е1 + ?+ En)/n
(6.2.2.)
R = R12 + ... + Rn2 / n,
(6.2.3)
имеет эффективность
и риск
что следует из свойств математического ожидания и дисперсии.
338
Обоснуем математически эффект диверсификации (разнообразия). Пусть операции некоррелированы и а = Еi и b ? Ri ? c для
всех i = 1, n. Тогда эффективность операции «среднее арифметическое» не меньше а (т.е. наименьшей из эффективностей операций), а риск удовлетворяет неравенству
b
n
?R?
c
n
(6.2.4)
и, таким образом, уменьшается при увеличении n. Итак, при увеличении числа некоррелированных операций их среднее арифметическое имеет эффективность из промежутка эффективностей
этих операций, а риск уменьшается.
Эффект диверсификации представляет собой в сущности
единственно разумное правило работы на финансовом и других
рынках. Принцип диверсификации гласит, что нужно проводить разнообразные, несвязанные друг с другом операции, тогда эффективность окажется усредненной, а риск однозначно
уменьшится.
При сравнении после свершившегося размеров прибыли, полученной инвесторами с диверсифицированными вложениями, и
теми, кто этого не делал, выясняется, что самые крупные доходы
получили представители второй группы. Но среди них и больше
всего тех, кто понес самые значительные потери. Если вы диверсифицировали инвестиции, то ваши шансы попасть в обе группы
снижаются.
Конечно, каждому хочется сорвать самый большой куш и
прослыть гением. Но для этого приходится принимать решение,
основываясь на предположениях, результатом которого будет
либо большой доход, либо большие убытки. Возможно, лучше
все же выбрать некий средний вариант.
Такой подход представляется очевидным, и тем не менее люди
обычно его игнорируют. Удача часто трактуется как высочайший