close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Diplomnaya rabota Anastasii (2)

код для вставкиСкачать
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
"Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова"
Кафедра дифференциальных уравнений
«Допустить к защите»
Зав.кафедрой,
д.ф.-м.н., профессор
«
»
Е.И.Бережной
20 г.
Дипломная работа
Состояния равновесия и их устойчивость в системе трёх слабосвязанных
осцилляторов
Научный руководитель
к. ф.-м. наук, доцент
«
»
Д.А. Куликов
20 г.
Студентка группы ПМИ-51СО
«
Ярославль 2013 г.
»
А.В. Турлаева
20 г.
Содержание
Введение...................................................................................................................................2
1. Исследование нулевого состояния равновесия на устойчивость.........................................3
2. Построение нормальной формы системы............................................................................6
3. Анализ нормальной формы................................................................................................10
3.1. Преобразование нормальной формы...............................................................................10
3.2. Однородное состояние равновесия...................................................................................13
3.3. Асимметричные циклы....................................................................................................16
3.3.1. Первый случай...............................................................................................................16
3.3.2. Второй случай................................................................................................................18
Приложение 1..........................................................................................................................21
Приложение 2..........................................................................................................................27
Заключение..............................................................................................................................31
Список литературы.................................................................................................................32
1
Введение
Задача о синхронизации цепочек осцилляторов при наличии различных видов связи всегда была достаточно популярна и актуальна с прикладной точки зрения [1-4].
Достаточно вспомнить задачу Гюйгенса о синхронизации двух связанных маятников.
В своё время Гюйгенс продемонстрировал опыт, который в то время не получил достаточно убедительного объяснения с физической и математической точки зрения. В
опыте Гюйгенса два маятника практически каждый раз синхронизировали автоколебания с разностью фаз, равной π (противофазные циклы). Задача о колебаниях двух
осцилляторов при наличии связи рассматривалась в большом числе работ. Достаточно
вспомнить работы [1-8] и список работ, которые были в них процитированы.
В данной выпускной квалификационной работе рассматривается один из вариантов
задачи о колебаниях трёх осцилляторов при наличии слабой связи. Этот вариант постановки заимствован из работы [9]. Данная работа дополняет результаты из статьи
[9].
Следует сразу отметить, что в данной работе основное внимание уделено наличию
циклов различной структуры. Кроме синхронного удаётся найти асимптотические и более сложные варианты циклов, которые, конечно, отличаются от стандартного цикла,
когда все три осциллятора совершают колебания, которые полностью синхронизированы. Исследован вопрос об устойчивости всех найденных циклов.
2
1. Исследование нулевого состояния равновесия на
устойчивость
В этом разделе рассмотрим вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия
следующей системы уравнений второго порядка для U1 (t), U2 (t), U3 (t):
U¨1 − 2εαU˙1 + U1 − aU12 U˙1 + εγ(U2 − U1 ) = 0,
U¨ − 2εαU˙2 + U2 − aU12 U˙2 + εγ(U1 − U2 ) + εγ(U3 − U2 ) = 0,
¨2
U3 − 2εαU˙3 + U3 − aU12 U˙3 + εγ(U2 − U3 ) = 0.
(1.1)
Здесь α, a, γ R. При этом α, a > 0, а ε (0, ε0 ), 0 < ε0 << 1.
Для того, чтобы исследовать поставленный вопрос, рассмотрим линеаризованный в
нуле вариант системы дифференциальных уравнений (1.1), т.е. :
U¨1 − 2εαU˙1 + U1 + εγ(U2 − U1 ) = 0,
U¨ − 2εαU˙2 + U2 + εγ(U1 − U2 ) + εγ(U3 − U2 ) = 0,
¨2
U3 − 2εαU˙3 + U3 + εγ(U2 − U3 ) = 0.
(1.2)
В системе (1.2) положим:
Uj (t) = eλt Vj ,
(1.3)
j = 1, 2, 3, а Vj C или R, т.е. Vj постоянные.
Справедливы равенства:
U˙j (t) = λeλt Vj , U¨j (t) = λ2 eλt Vj ,
(1.4)
j = 1, 2, 3.
После подстановки равенств (1.3) с учётом (1.4) в систему дифференциальных уравнений (1.2) и сокращения на eλt , получим линейную систему алгебраических уравнений:
2
(λ − 2εαλ − εγ + 1)V1 + εγV2 = 0,
εγV1 + (λ2 − 2εαλ − 2εγ + 1)V2 + εγV3 = 0,
εγV2 + (λ2 − 2εαλ − εγ + 1)V3 = 0.
3
(1.5)
Система алгебраических уравнений (1.5) имеет решение, отличное от нулевого, если
её определитель равен нулю.
Предварительно вводя обозначение
λ2 − 2αελ + 1 = µ,
получим следующее равенство:
µ − εγ
εγ
0
εγ
µ − 2εγ
εγ
= 0.
0
εγ
µ − εγ
В результате упрощения получим, что справедливо равенство:
µ
µ
µ
εγ µ − 2εγ
εγ
= 0,
0
εγ
µ − εγ
откуда получаем уравнения для определения µ :
µ(µ − 3εγ)(µ − εγ) = 0,
т.е. точки спектра устойчивости λ определяют как корни одного из трёх квадратных
уравнений:
λ2 − 2αελ + 1 = 0,
(1.6)
λ2 − 2αελ + 1 − 3εγ = 0,
(1.7)
λ2 − 2αελ + 1 − εγ = 0.
(1.8)
Так как ε - мало, то
1 − 3εγ > 0, 1 − εγ > 0.
4
Отметим, что −2αε > 0; если α < 0, т.е. при таких α выполняются условия Гурвица и для корней уравнений (1.6), (1.7), (1.8).
Поэтому справедливо неравенство:
Re λ < 0.
Теорема 1.1.
При α < 0 нулевое решение системы (1.2) и, следовательно, (1.1), асимптотически
устойчиво. Если же α > 0, то нулевое решение неустойчиво.
5
2. Построение нормальной формы системы.
Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных уравнений:
U¨1 − 2εαU˙1 + U1 − aU12 U˙1 + εγ(U2 − U1 ) = 0,
U¨ − 2εαU˙2 + U2 − aU12 U˙2 + εγ(U1 − U2 ) + εγ(U3 − U2 ) = 0,
¨2
U3 − 2εαU˙3 + U3 − aU12 U˙3 + εγ(U2 − U3 ) = 0,
(2.1)
где 0<ε << 1; a, α, γ R, a > 0.
Для построения вспомогательной системы дифференциальных уравнений первого
порядка - нормальной формы - используем известный алгоритм построения нормальной формы, который ведёт своё начало от метода Крылова-Боголюбова. Его изложение
можно найти в учебных пособиях и монографиях [10-12].
Решение системы уравнений (2.1) будем искать в следующем виде:
3
1
U1 = ε 2 x01 + εx11 + ε 2 x21 + ...,
1
3
U = ε 2 x02 + εx12 + ε 2 x22 + ...,
2
1
3
U3 = ε 2 x03 + εx13 + ε 2 x23 + ...,
(2.2)
где xjk = xjk (t, s), j = 0, 1, 2, k = 1, 2, 3, а многоточием обозначены слагаемые, име3
ющие более высокий порядок малости, чем ε 2 . Наконец, s = εt - "медленное время".
Отметим, что справедливы следующие равенства:
∂xj1 ∂xj1
dxj1
=
+
ε,
dt
∂t
∂s
∂xj2 ∂xj2
dxj2
=
+
ε,
dt
∂t
∂s
∂xj3 ∂xj3
dxj3
=
+
ε,
dt
∂t
∂s
j = 0, 1, 2, ...
6
Функции xj1 (t, s), xj2 (t, s), xj3 (t, s) по переменным t имеют период 2π.
Выпишем схожие формулы для второй производной:
2
d2 j1
∂ 2 j1
∂ 2 j1
2 ∂ j1
+
ε
=
+
2ε
,
dt2
∂t2
∂t∂s
∂s2
2
d2 j2
∂ 2 j2
∂ 2 j2
2 ∂ j2
+
ε
=
+
2ε
,
dt2
∂t2
∂t∂s
∂s2
2
d2 j3
∂ 2 j3
∂ 2 j3
2 ∂ j3
+
ε
=
+
2ε
,
dt2
∂t2
∂t∂s
∂s2
j = 0, 1, 2...
Подставим равенства (2.2) с учётом правил вычисления производных по t. Приравни3
1
вая слагаемые при одинаковых степенях ε (ε 2 , ε, ε 2 , ...), получим последовательность
1
линейных систем дифференциальных уравнений. Так при ε 2 имеем следующую систему
из трёх независимых уравнений второго порядка
x¨01 + x01 = 0,
x¨02 + x02 = 0,
x¨03 + x03 = 0.
(2.3)
Здесь и ниже точкой обозначается производная по t. Далее производная по s будет
обозначаться штрихом, т.е. :
x˙01 =
∂x01
∂x01
, x´01 =
.
∂t
∂s
Сформируем систему уравнений, получающихся при степенях ε :
7
x¨11 + x11 = 0,
x¨12 + x12 = 0,
x¨13 + x13 = 0.
(2.4)
3
Отметим, что системы уравнений при степени ε 2 и ε одинаковы. Приравнивая слагае3
мые при ε 2 , получим неоднородную систему дифференциальных уравнений, состоящую
из трёх уравнений для определения x21 , x22 , x23 :
x¨21 + x21 = −2x˙01 + 2αx˙01 + ax201 x˙01 − γ(x02 − x01 ),
(2.5)
x¨22 + x22 = −2x˙02 + 2αx˙02 + ax202 x˙02 − γ(x01 − 2x02 + x03 ),
(2.6)
x¨23 + x23 = −2x˙03 + 2αx˙03 + ax203 x˙03 − γ(x02 − x03 ).
(2.7)
Замечание.
Уравнения (2.5), (2.6), (2.7) входят в класс неоднородных уравнений вида:
V¨ + V = ϕ(t),
(2.8)
где ϕ(t) - 2π-периодическая функция.
Уравнение (2.8) имеет 2π-периодическое решение, если выполняется равенство - условие разрешимости:
2π
ϕ(t)e±it dt = 0.
0
Отметим, что равенства
(2.8).
2π
0
V (t)e±it dt = 0 выделяют единственное решение уравнения
Положим:
x01 = z1 (s)eit + z1 (s)e−it ,
x = z2 (s)eit + z2 (s)e−it ,
02
x03 = z3 (s)eit + z3 (s)e−it .
(2.9)
Подчеркнём, что при фиксированном s последние три функции удовлетворяют уравнениям (2.3). Наконец, в силу замечания следует в уравнениях (2.4) положить x11 = x12 =
8
x13 = 0. Вспомним, как произвести пересчёт производных в силу отмеченных выше формул.
Итак,
x0j = z1 (s)eit + z1 (s)e−it .
Подставим равенства (2.9) в (2.5), (2.6), (2.7), уточнив вид x01 , x02 , x03 .
Используя условие разрешимости (2.8), сформируем систему относительно zj = zj (s), j =
1, 2, 3. Отметим, что для комплексно сопряжённых функций zj (s), j = 1, 2, 3 получаем,
конечно, комплексно сопряжённые для уравнений.
z1 = αz1 − 21 az12 z1 + 2i γ(z2 − z1 ),
z = αz2 − 21 az12 z2 + 2i γ(z1 − 2z2 + z3 ),
2
z3 = αz3 − 21 az12 z3 + 2i γ(z2 − z3 ).
9
(2.10)
3. Анализ нормальной формы.
3.1. Преобразование нормальной формы.
Для анализа получившейся нормальной формы (системы (2.10)) выполним несколько
замен:
zj (τ ) = kWj (τ ), j = 1, 2, 3,
где r = ds , k ⊂ R+ , т.е. k > 0, α > 0.
Подставив данные равенства в систему (2.10), получим новую систему дифференциальных уравнений:
k dW1
1
= kαW1 − ak 3 W1 |W1 |2 +
d dτ
2
k dW2
1
= kαW2 − ak 3 W2 |W2 |2 +
d dτ
2
k dW3 = kαW3 − 1 ak 3 W3 |W3 |2 +
d dτ
2
i
γk(W2 − W1 ),
2
i
γk(W1 − 2W2 + W3 ),
2
i
γk(W2 − W3 ),
2
где
W =
dW
dτ
После элементарных преобразований последняя система приобретёт следующий вид:
W1 = αdW1 − ( 12 aR2 d)W12 W1 +
W = αdW2 − ( 21 aR2 d)W22 W2 +
2
W3 = αdW3 − ( 21 aR2 d)W32 W3 +
Для удобства положим:
dα = 1,
1
aR2 d = 1,
2
10
αγ
i(W2
2
αγ
i(W1
2
αγ
i(W2
2
− W1 ),
− 2W2 + W3 ),
− W3 ).
d = α1 ,
2
,
R2 = ad
R2 =
2α dγ
,
= β.
a 2
Окончательно получаем систему дифференциальных уравнений:
W1 = W1 − W12 W1 + βi(W2 − W1 ),
W = W2 − W22 W2 + βi(W1 − 2W2 + W3 ),
2
W3 = W3 − W32 W3 + βi(W2 − W3 ).
(3.1)
Положим,
Wj = ρj eiϕj , j = 1, 2, 3, ρj > 0, ϕj (t) R,
т.е. запишем все искомые функции в тригонометрической форме. Выполним некоторые
преобразования для системы (3.1):
ρ1 eiϕ1 + ρ1 eiϕ1 iϕ1 = ρ1 eiϕ1 + ρ31 eiϕ1 + βi(ρ2 eiϕ2 − ρ1 eiϕ1 ),
ρ eiϕ2 + ρ2 eiϕ2 iϕ2 = ρ2 eiϕ2 + ρ32 eiϕ2 + βi(ρ1 eiϕ1 − 2ρ2 eiϕ2 + ρ3 eiϕ3 ),
2 iϕ3
ρ3 e + ρ3 eiϕ3 iϕ3 = ρ3 eiϕ3 + ρ33 eiϕ3 + βi(ρ2 eiϕ2 − ρ3 eiϕ3 ),
ρ1 + ρ1 iϕ1 = ρ1 − ρ31 + βi(ρ2 ei(ϕ2 −ϕ1 ) − ρ1 ),
ρ + ρ2 iϕ2 = ρ2 − ρ32 + βi(ρ1 ei(ϕ1 −ϕ2 ) + ρ3 ei(ϕ3 −ϕ2 ) − 2ρ2 ),
2
ρ3 + ρ3 iϕ3 = ρ3 − ρ33 + βi(ρ2 ei(ϕ2 −ϕ3 ) − ρ3 ),
ρ + ρ1 iϕ1 = ρ1 + ρ31 + βiρ2 (cos(ϕ2 − ϕ1 ) + isin(ϕ2 − ϕ1 )) − βiρ1 ,
1
ρ2 + ρ2 iϕ2 = ρ2 + ρ32 + βiρ1 (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + isin(ϕ1 − ϕ2 )) + βiρ3 (cos(ϕ3 − ϕ2 )+
isin(ϕ3 − ϕ2 )) − 2βiρ2 ,
ρ3 + ρ3 iϕ3 = ρ3 + ρ33 + βiρ2 (cos(ϕ2 − ϕ3 ) + isin(ϕ2 − ϕ3 )) − βiρ3 ,
После раздела действительной и мнимой частей в новых переменных система (3.1) запишется в следующем виде:
11
ρ1 = ρ1 − ρ31 − βρ2 sin(ϕ2 − ϕ1 ),
ρ2 = ρ2 − ρ32 − βρ1 sin(ϕ1 − ϕ2 ) − βρ3 sin(ϕ3 − ϕ2 ),
ρ = ρ3 − ρ3 − βρ2 sin(ϕ2 − ϕ3 ),
3
3
2
ϕ1 = βρ
cos(ϕ
2 − ϕ1 ) − β,
ρ1
βρ1
3
ϕ2 = ρ2 cos(ϕ1 − ϕ2 ) + βρ
cos(ϕ3 − ϕ2 ) − 2β,
ρ2
ϕ = βρ2 cos(ϕ − ϕ ) − β.
2
3
3
ρ3
(3.2)
Положим,
ϕ1 − ϕ2 = ψ,
ϕ3 − ϕ2 = θ.
С учётом этих обозначений систему (3.2) можно переписать как замкнутую систему для
определения неизвестных функций ρ1 , ρ2 , ρ3 , ψ, θ:
ρ1 = ρ1 − ρ31 − βρ2 sin(−ψ),
ρ2 = ρ2 − ρ32 − βρ1 sin(ψ) − βρ3 sin(θ),
ρ3 = ρ3 − ρ33 − βρ2 sin(−θ),
ψ =
βρ1
βρ3
ρ2
ρ1
ρ3
βρ2
cosψ − β −
cosψ −
cosθ + 2β = β cosψ − β cosψ − β cosθ + β,
ρ1
ρ2
ρ2
ρ1
ρ2
ρ2
θ =
βρ1
βρ3
ρ2
ρ1
ρ3
βρ2
cosθ − β −
cosψ −
cosθ + 2β = β cosθ − β cosψ − β cosθ + β.
ρ3
ρ2
ρ2
ρ3
ρ2
ρ2
Далее будем рассматривать систему дифференциальных уравнений:
ρ1 = ρ1 − ρ31 + βρ2 sinψ,
3
ρ2 = ρ2 − ρ2 − βρ1 sinψ − βρ3 sinθ,
ρ3 = ρ3 − ρ33 + βρ2 sinθ,
ψ = β( ρρ21 cosψ − ρρ12 cosψ − ρρ32 cosθ) + β,
θ = β( ρρ23 cosθ − ρρ32 cosθ − ρρ12 cosψ) + β.
12
(3.3)
3.2. Однородное состояние равновесия.
У системы (3.3) существует однородное состояние равновесия S1 , т.е. состояние равновесия, координаты которого определены равенствами:
ρ1 = ρ2 = ρ3 = 1,
ψ = θ = 0.
Это состояние равновесия существует при всех значениях коэффициентов.
Исследуем это состояние равновесия на устойчивость. Для этого составим матрицу Якоби. В общем виде эта матрица будет выглядеть следующим образом:
a11
a21
I=
a31
a41
a51
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
a34
a44
a54
a15
a25 a35 ,
a45 a55
(3.4)
где:
a11 = 1 − 3ρ21 , a12 = βsinψ, a13 = 0,
a14 = βρ2 cosψ, a15 = 0, a21 = −βsinψ,
a22 = 1 − 3ρ22 , a23 = −βsinθ, a24 = −βρ1 cosψ,
a25 = −βρ3 cosθ, a31 = 0, a32 = βsinθ,
a33 = 1 − 3ρ23 , a34 = 0, a35 = βρ2 cosθ,
a41 = β(−
1
1
ρ1
ρ3
ρ2
− )cosθ, a42 = β( + 2 )cosψ + β 2 cosθ,
2
ρ1 ρ2
ρ1 ρ2
ρ2
a43 = −β
1
ρ2 ρ1
cosθ, a44 = −β( − )sinψ,
ρ2
ρ1 ρ2
ρ3
β
sinθ, a51 = − cosψ,
ρ2
ρ2
1
ρ3
ρ1
ρ2
1
= β( + 2 )cosθ + β 2 cosψ, a53 = β(− 2 − )cosθ,
ρ3 ρ2
ρ2
ρ3 ρ2
ρ3 ρ2
ρ1
a54 = β sinψ, a55 = β( − )sinθ.
ρ2
ρ2 ρ3
a45 = β
a52
Вычислим определитель матрицы Якоби, если выбрано однородное состояние равновесия S1 , т.е. в данном определении следует положить:
13
ρ1 = ρ2 = ρ0 = 1, ψ = θ = 0.
В результате получаем следующий определитель:
−2 − λ
0
0
β
0
0
−2 − λ
0
−β −β
0
0
−2 − λ 0
β
∆=
−2β
3β
−β
−λ 0
−β
3β
−2β
0 −λ
Нас интересует равенство ∆ = 0. После вычислений характеристическое уравнение
∆ = 0 удалось записать в следующей форме:
(2 − λ)3 λ2 − 6λβ 2 (−2 − λ)2 + (−2 − λ)9β 4 = 0.
В свою очередь, последнее уравнение можно переписать в ином виде:
(λ + 2)((λ + 2)2 λ2 + 6β 2 λ(λ + 2) + 9β 4 ) = 0.
Положим, y = λ(λ + 2).
В результате получаем следующие равенства:
λ + 2 = 0, λ1 = −2,
y 2 + 6β 2 y + 9β 4 = 0, т.е. y1,2 = −3β 2 .
Наконец, получаем ещё одно уравнение для λ :
λ2 + 2λ + 3β 2 = 0,
λ2,3 = −1 ±
1 − 3β 2 .
Поэтому Re λ2,3 < 0.
Окончательно имеем, что Re λj < 0, j = 1, 2, 3.
Уместно подчеркнуть, что корни λ2 , λ3 имеют кратность, равную двум.
Итак, доказано утверждение:
14
Теорема 2.
Однородное состояние равновесия S1 существует всегда. Данное состояние равновесия S1 асимптотически устойчиво при любом выборе параметров задачи.
Теорема 3.
Существует такое ε0 > 0, что при всех ε (0, ε0 ) состоянию равновесия S1 нормальной формы (3.3) соответствует устойчивый цикл C1 системы дифференциальных уравнений (2.1). При этом для соответствующих решений справедливы формулы:
1
1
Uj (t, ε) = ε 2 [eit + e−it ] + o(ε 2 ),
j = 1, 2, 3.
Отметим, что наряду с данным решением существует семейство решений Uj (t, ε). Последнюю асимптотическую формулу можно записать в виде:
1
1
U (t, ε) = 2ε 2 cost + o(ε 2 ).
15
3.3. Асимметричные циклы.
3.3.1. Первый случай.
Рассмотрим вопрос о существовании у нормальной формы (3.3) состояний равновесия, отличных от S1 . Такие состояния равновесия порождают периодические решения,
которые принято называть асимметричными.
Первое из наших состояний равновесия обозначим S2 :
S2 : ρ1 = ρ3 = ρ0 , ρ2 = ρ0 , θ = ψ.
Подставим координаты S2 в уравнение для их определения. В данном случае приходим к системе:
ρ0 = ρ0 − ρ30 + βρ2 sinθ = 0,
ρ = ρ2 − ρ32 − 2βρ0 sinθ = 0,
θ 2 = β( ρ2 cosθ
− 2 ρρ20 cosθ) + β = 0.
ρ0
(3.5)
Положим, ρ2 = ηρ0 .
Тогда третье уравнение системы (3.5) приобретёт вид:
cosθ =
η
;
2 − η2
(3.6)
Преобразуем два первых уравнений системы (3.5). Считая, что ρ0 = 0, имеем следующую систему уравнений:
1 + βηsinθ = ρ20 ,
η − 2βsinθ = η 3 ρ20 .
(3.7)
Разделив второе уравнение системы (3.7) на первое, получим ещё одно равенство, которое связывает η и θ:
sinθ =
η − η3
η
,
cosθ
=
,
β(2 + η 4 )
2 − η2
16
(3.8)
Из основного тригонометрического тождества вытекает:
(
η − η3 2
η
) +(
)2 = 1,
4
2
β(2 + η )
2−η
Последнее уравнение можно заменить на уравнение:
ρ10 (η) = 0,
где
ρ10 (η) = (η 2 − 2η 4 + η 6 )(η 2 − 2)2 + β 2 (2 + η 4 )2 η 2 − β 2 (2 + η 4 )(2 − η 2 )2 .
Если теперь заменить η 2 на ξ, получим уже уравнение пятой степени:
(ξ − 2ξ 2 + ξ 3 )(ξ − 2)2 + β 2 (2 + ξ 2 )ξ − β 2 (2 + ξ 2 )(2 − ξ)2 = 0.
(3.9)
Нахождение корней в аналитическом виде довольно затруднительно. Используем
численные методы для нахождения корней, что поможет найти координаты состояний
равновесия. При этом корни уравнения (3.9) следует искать среди положительных чисел (ξ > 0).
Приведём алгоритм восстановления координат состояния равновесия S2 . Данный вопрос был исследован с использованием написанной программы на языке C .
Итак:
1) Задаётся параметр β;
2) Численно было решено уравнение (3.9), где были найдены корни данного уравнения ξj >
0;
3) Откуда ηj = ± ξj ;
ηj − ηj3
4) sinθj =
;
β(2 + ηj4
ηj
5) Если ηj − ηj3 > 0, то θj = arccos
;
2 − ηj2
ηj
если ηj − ηj3 < 0, то θj = −arccos
;
2 − ηj2
6) ρ20j = 1 + βηj sinθj ; ρ1 = ρ3 = ρ0 ; ρ2j = ηj ρ0j .
17
В результате численного анализа с применением компьютера оказалось, что ρ10 (η) =
0 были выявлены случаи в зависимости от β, когда есть одно, два или три состояния
равновесия, отличных от S1 .
Детализацию можно найти в Приложении 1. Там же можно найти ответы на вопрос
об устойчивости состояния равновесия второго типа.
Предположим, что исследование устойчивости проводилось традиционным способом. Координаты состояний равновесия подставлялись в матрицу Якоби (3.4). Затем
выписывался характеристический полином для полученной матрицы. Вопрос о расположении корней можно решать, как известно, на базе применения критерия Гурвица.
Этот анализ был проведён также численно. Подробные результаты о существованиии и
и устойчивости найденного состояния равновесия можно найти в Приложении 1.
3.3.2. Второй случай.
Следующее состояние равновесия мы обозначим S3 :
S3 : ρ1 = ρ3 = ρ0 , ρ2 = ρ0 , ψ + θ = π.
Подставим координаты S3 в правые части уравнения (3.3) в систему для их определения:
ρ0 − ρ30 + βρ2 sinθ = 0,
ρ2 − ρ32 − 2βρ0 sinθ = 0,
β(( ρ2 −
ρ0
+ ρρ02 ))cosθ + 1) = 0.
ρ0
ρ2
(3.10)
Положим, ρ2 = ρ0 ξ;
Тогда второе уравнение системы (3.10) приобретёт вид:
ξρ0 − ξ 3 ρ30 − 2βρ0 sinθ = 0
18
(3.11)
В результате преобразований имеем следующую систему уравнений:
1 + βξsinθ = ρ20 ,
ξ − 2βsinθ = ρ20 ξ 3 .
(3.12)
Разделим второе уравнение системы (3.12) на первое и получим ещё одно равенство,
которое связывает ξ и θ:
ξ − 2βsinθ
ξ − ξ3
1
= ξ 3 , sinθ =
,
cosθ
=
−
.
1 + βξsiθ
(2 + ξ 4 )β
ξ
(3.13)
Из основного тригонометрического тождества вытекает:
1
(ξ − ξ 3 )2
+
= 1.
ξ 2 (2 + ξ 4 )2 β 2
Последнее уравнение можно заменить на уравнение следующего вида:
ρ10 (ξ) = 0,
где
ρ10 (ξ) = ξ 4 (1 − ξ2 )2 + β 2 (2 + ξ 4 )2 = β 2 ξ 2 (2 + ξ 4 )2 .
Теперь заменим ξ 2 на χ, получим уравнение:
χ2 (1 − χ)2 + β 2 (2 + χ2 )2 = β 2 χ(2 + χ2 )2 .
(3.14)
По аналогии с предыдущим случаем приведём алгоритм восстановления координат
состояния равновесия S3 .
Итак:
1) Задаётся параметр β;
2) Численно было решено уравнение (3.14), где были найдены корни данного уравнения χj >
0;
√
3) Откуда ξj = ± χj ;
19
4) cosθ = − 1ξ ;
5) Если ξ − ξ 3 > 0, то θj = arccos(− 1ξ );
если ξ − ξ 3 < 0, то θj = − arccos(− 1ξ );
6) ρ20j = 1 + βξj sinθj ;
√
ρ0 = 1 + βξsinθ = ρ1 = ρ3 ;
ρ2j = ξj ρ0j .
Детализацию можно найти в Приложении 2.
В заключении отметим справедливость следующего утверждения.
Теорема 4.
Существует такое ε0 > 0, что при всех ε ∈ (0, ε0 ) каждому состоянию равновесия
S2 , S3 нормальной формы соответствует цикл системы дифференциальных уравнений
(1.1) с наследованием свойств устойчивости.
20
Приложение 1
Рассмотрим более подробно первый асимметричный цикл. С помощью программы
выявим различные случаи, в зависимости от параметра β.
Как видно из графика, уравнение с переменной ξ может иметь три корня, для каждого из которых необходимо найти состояние равновесия и проверить его на устойчивость.
21
Итак, при введённом параметре β = 0, 25 в двух случаях мы имеем неустойчивое
состояние равновесия, т.к. при вычислении определителя матрицы Якоби получаем положительные собственные значения, что видно из построенных графиков функции. А
при ξ = 1 имеем однородное состояние равновесия, которое будет устойчиво.
22
При параметре β, равному 0,2, получаем аналогичный результат:
23
Исследуемое уравнение также может иметь два корня:
24
25
При этом один из корней будет вновь равен 1, при котором мы получаем устойчивое
состояние равновесия. Другое же состояние равновесия будет неустойчиво.
И, наконец, последний случай, когда исследуемое нами уравнение имеет один корень,
всегда равный единице, где мы всегда имеем устойчивое состояние равновесия.
26
Приложение 2
Рассмотрим более подробно второй асимметричный цикл и проанализируем возможные случаи.
Исследуемое уравнение с переменной χ может иметь два корня:
Как мы видим из графика, одним из корней вновь является единица, но в этом случае полученное состояние равновесия не будет устойчиво, так же, как и для второго
корня.
27
Если уравнение имеет только один корень, то также, как и в предыдущем случае, он
будет равен единице, но состояние равновесия не будет устойчивым, что можно наблюдать на примерах:
28
29
30
Заключение
В работе ставился вопрос о нахождении состояний равновесия системы трёх слабосвязанных осцилляторов и исследовании их на устойчивость. Для этого была построена
вспомогательная система дифференциальных уравнений первого порядка - нормальная форма. В результате преобразования полученной нормальной формы мы пришли
к системе из пяти дифференциальных уравнений, для которой находили возможные
состояния равновесия.
Мы получили однородное состояние равновесия S1 , где ρ1 = ρ2 = ρ0 = 1, ψ = θ = 0 и
определили, что оно будет устойчиво всегда. Помимо этого, мы рассмотрели два варианта состояний равновесия нормальной формы. Сведение задачи к исследованию нормальной формы позволило изучить вопрос об автоколебаниях исходной системы к анализу
состояний равновесия системы дифференциальных уравнений, которую принято называть нормальной формой.
Вопрос о существовании состояния равновесия S2 , где ρ1 = ρ3 = ρ0 , ρ2 = ρ0 , θ = ψ,
был сведён к исследованию некоторой системы трансцендентных уравнений. В свою
очередь, эта система была исследована численно. С помощью написанной программы
выяснилось, что, в зависимости от параметра β система в данном случае может иметь
три, два или одно состояние равновесия. При наличии трёх состояний равновесия одно из
них всегда будет сводиться к однородному случаю S1 и, следовательно, будет устойчиво.
Другие же два состояния равновесия - неустойчивы. В случае двух состояний равновесия
одно из них также сводится к устойчивому однородному, а другое вновь получается
неустойчивым. И, наконец, если мы имеем единственное состояние равновесия, то оно
с необходимостью будет однородным. Состояния равновесия типа S3 , при которых ρ1 =
ρ3 = ρ0 , ρ2 = ρ0 , θ + ψ = π, также исследуются численно и, в зависимости от β, могут
иметь одно или два состояния равновесия. В обоих случаях они будут неустойчивы.
31
Список литературы
[1] Пиковский А., Розенблюм М., Куртс Ю. Синхронизация: Фундаментальное нелинейное явление. М: Техносфера. 2003. 496 c.
[2] Avonson D. G., Ermentrout G.B., Kopell N. Amplitude Response of Coupled
Oscillators// Phisika D. 1990. V.41. Р. 403-449
[3] Poliashenko M., Mckays S. R., Smith C. W. Hysteresis of syncronous - asynchronous
regimes in a system of two coupled oscillators // Phys. Rev. A. 1991. V.49.
[4] Кузнецов А.П., Паксютов В.И. О динамике двух осцилляторов Ван дер Поля –
Дуффинга с диссипативной связью. // Изв. вузов прикладная нелинейная динамика. 2003. Т.11. №6. С. 48-64.
[5] Прикладная математика и механика. Автомодельные циклы и их локальные бифуркации в задаче о двух слабосвязанных осцилляторах. 2010. Т.74. В.4. С. 543-559.
[6] Куликов Д.А. Периодические решения разностной аппроксимации уравнения
Курамото-Цузуки // Дифференциальные уравнения. 2007. Т.43. № 7. С. 992-994.
[7] Куликов Д.А. Автомодельные периодические решения и бифуркации от них в задаче о взаимодействии двух слабосвязанных осцилляторов // Изв. вузов. Прикл.
нелинейная динамика. 2005. Т.5. С. 120-132.
[8] Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей.// М.: Наука. 1987. С. 7-44.
[9] Кузнецов А.П., Сатаев И.Р., Тюрюкина Л.В. Синхронизации и многочастотные колебания в цепочке фазовых осцилляторов. // Нелинейная динамика. 2010. Т.6. №4.
С. 693-717.
[10] Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Локальные методы анализа динамических систем.//
Ярославль: ЯрГУ. 2006. 92 с.
[11] Бибиков Ю. Н. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений.// "Издательство Санкт-Петербургского университета". 2005. 276 с.
[12] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Удм.ГУ.
2000. 368 с.
[13] Куликов Д.А. Знак ляпуновской величины в задаче о бифуркациях от однородного цикла.// Современные проблемы математики и информатики. Ярославль. 2005.
В.5. С. 46-55.
32
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
25
Размер файла
839 Кб
Теги
diplomnaya, anastasii, rabota
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа