close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Пояснительная записка (начинка)

код для вставкиСкачать

АННОТАЦИЯ
В пояснительной записке представлено назначение, область применения, а также технические характеристики программы "Решение СЛАУ методом Гаусса".
СОДЕРЖАНИЕ
Введение4
1. Назначение и область применения5
2. Технические характеристики6
2.1. Постановка задачи на разработку программы
2.2. Теоретическая часть
2.3. Описание алгоритма и (или) функционирования программы с обоснованием выбора 2.4. Описание и обоснование выбора метода организации входных и выходных данных
2.5. Описание и обоснование выбора состава технических и программных средств
Заключение 7 Источники, использованные при разработке 8 Приложения9
ВВЕДЕНИЕ
Программа "Решение СЛАУ методом Гаусса" представляет собой программу, которая решает системы уравнений соответственно методом Гаусса. 1. НАЗНАЧЕНИЕ И ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ
Данная программа предназначена для решения систем уравнений методом Гаусса. Программа может применяться для решения СЛУ.
2. ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
2.1. Постановка задачи на разработку программы
Программа должна принимать запросы, введённые с манипуляторов типа клавиатуры и мыши, и давать на них соответствующие ответы.
2.2. Теоретическая часть
Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа:
1. На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
2. На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по "ступенькам" наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.
Пусть у нас есть система N линейных уравнений
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... a3NxN = b3 ... aN1x1 + aN2x2 + aN3x3 + ... aNNxN = bN
где xi - неизвестные, aij - коэффициенты при неизвестных, bi - свободные члены в уравнениях, i,j пробегают значения от 1 до N.
Цель задачи - зная aij и bi найти xi.
Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид:
a11x1 +a12x2 +a13x3 +...a1NxN = b1
a22x2 +a23x3 +...a2NxN = b2
a33x3 +...a3NxN = b3
...
...aNNxN = bN
Особенность этой системы - в строках с номером i все коэффициенты aij при j<i равны нулю.
Если мы смогли привести нашу систему уравнений к такому треугольному виду, то решить уравнения уже просто. Из последнего уравнения находим xN= bN / aNN. Дальше подставляем его в предпоследнее уравнение и находим из него xN-1. Подставляем оба найденных решения в следующее с конца уравнение и находим xN-2. И так далее, пока не найдем x1, на чем решение заканчивается. Такая процедура называется обратной прогонкой.
Теперь перейдем к вопросу как же добиться того, чтобы система стала треугольной.
Из линейной алгебры (см. например, "Численные методы" У.Г. Пирумов. Издательство " МАИ Москва", 1998.) известно что если к некоторой строке системы уравнений прибавить любую линейную комбинацию любых других строк этой системы, то решение системы не изменится. Под линейной комбинацией строк понимается сумма строк, каждая из которых умножается на некоторое число (в принципе, любое).
Нужно, чтобы во второй строке получилось уравнение, в которой отсутствует член при x1. Прибавим к этой строке первую строку, умноженную на некоторое число M.
(a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... a1NxN = b1)*M + a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... a2NxN = b2
Получим
(a11*М + a21) x1 + ... = b1*M + b2
Для того, чтобы член при x1 равнялся нулю, нужно, чтобы M = - a21 / a11. Проделав эту операцию, получившееся уравнение запишем вместо второго и приступим к третьему уравнению. К нему мы прибавим первое уравнение, умноженное на M = - a31 / a11 и тоже получим ноль вместо члена при x1. Такую операцию нужно проделать над всеми остальными уравнениями. В результате получим систему такого вида:
a11x1 +a12x2 +a13x3 +...a1NxN = b1
a22x2 +a23x3 +...a2NxN = b2
a32x2 +a33x3 +...a3NxN = b3
...
aN2x2 +aN3x3 +...aNNxN = bN
После этого будем избавляться от членов при x2 в третьем, четвертом, N-ом уравнении. Для этого нужно к уравнению с j-м номером прибавить 2-ое уравнение, умноженное на M = - aj2 / a22. Проделав эту операцию над всеми остальными уравнениями, получим систему где нет членов с x2 в уравнениях с номером больше 2.
И так далее... Проделав это для третьего члена, четвертого... до тех пор, пока не кончатся уравнения, получим в итоге систему треугольного вида.
2.3. Описание алгоритма и (или) функционирования программы
1. Загрузка главной формы.
2. Загрузка метода Гаусса.
3. Ввод данных
4. Решение уравнений (см. в Приложения, Блок-Схема: Решение)
5. В зависимости от введённых данных вывод результатов вычислений.
6. Повторение пунктов 2,3,4 пока программа не будет завершена.
7. Завершение программы.
Блок-схема программы находится в приложениях.
2.4. Описание и обоснование выбора метода организации входных и выходных данных
Программа выдаёт на экран форму с полями для ввода данных, и по завершению вычислений выводит результат. Входные и выходные данные - числа (результат, изменение размерности уравнения, числа). 2.5. Описание и обоснование выбора состава технических и программных средств
Программа "Решение СЛАУ методом Гаусса" написан на языке программирования C# и представляет собой .exe файл.
Программа требует место на жёстком диске (примерно 40 КБ), не менее 32 МБ оперативной памяти, процессор не слабее чем Intel Pentium 133 MHz, она может использовать стандартный видеоадаптер.
Так же для работы с программой на ПК должна быть установлена операционная система Windows 95/89/NT/2000/Me/XP/Vista/Seven и установлена программа Microsoft .NET framework 4 и выше.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Программа "Решение уравнений" разработана в соответствии с техническим заданием и позволяет решать уравнения. Перспектива развития данной программы: добавление других методов решения СЛАУ (метод дихотомии, метод касательной).
ИСТОЧНИКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РАЗРАБОТКЕ
1. "Численные методы" У.Г. Пирумов. Издательство " МАИ Москва", 1998.
2. "Microsoft Visual C# в задачах и примерах" Н. Культин. Издательство "БХБ-Петербург", 2009.
ПРИЛОЖЕНИЯ. БЛОК-СХЕМА: ОБЩАЯ
БЛОК-СХЕМА: РЕШЕНИЕ
БЛОК-СХЕМА: ПРЯМОЙ ХОД МЕТОДА ГАУССА
БЛОК-СХЕМА: ОБРАТНЫЙ ХОД МЕТОДА ГАУССА
14
ПКГХ 230115.ИП-311.03.81 
Документ
Категория
Рефераты
Просмотров
51
Размер файла
92 Кб
Теги
пояснительная, записка, начинка
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа