close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

49. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин

код для вставкиСкачать
y = f(x) непрерывна [а, b].
унаиб.
y = f(x)
a
yнаим.
b
1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нём
и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.
2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может
достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
унаиб.
унаиб.
y = f(x)
y = f(x)
yнаим.
yнаим.
a
b
a
b
3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается
внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.
Стационарные точки — точки максимума или
минимума.
Критические точки — это точки, в которых
производная не существует.
Алгоритм отыскания наименьшего и
наибольшего значений непрерывной функции
у = f(x) на отрезке [a, b]:
1) найти производную f'(x);
2) найти стационарные и критические точки функции,
лежащие внутри отрезка [а, b];
3) вычислить значения функции y = f(x) в точках,
отобранных на втором шаге, и в точках а и b;
выбрать среди этих значений наименьшее (это и
будет унаим.) и наибольшее (это и будет унаиб.).
Решение.
1)
2)
у'= 0;
х1 = 1, х2 = –1.
3)
x
1
y
4
yнаим. = 4, х = 1;
2
Теорема. Пусть функция y = f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него
единственную стационарную или критическую точку х = х0.
Тогда:
а) если х = х0 — точка максимума, то унаиб. = f(x0);
б) если х = х0 — точка минимума, то yнаим. = f(x0).
унаиб.
yнаим.
a
b
a
b
Решение.
1)
у‘ = 0;
х = –3, х = 2;
f(x)
–
+
f´(x)
x
–2
2
min
х < 2, у'<0;
х > 2, у'>0;
х = 2 — min;
ymin = f(2) = 2 ∙ 23 + 3 ∙ 22 – 36 ∙ 2 = –44;
yнаим. = ymin = f(2) = –44.
Ответ: yнаим. = –44.
Пафнутий Львович
Чебышёв —
российский математик XIX в.
«Особенную важность имеют те
методы науки, которые позволяют
решать задачу, общую для всей
практической деятельности
человека: как располагать своими
средствами для достижения
наибольшей выгоды».
П.Л. Чебышёв
Этапы математического моделирования:
1) составление математической модели;
2) работа с моделью;
3) ответ на вопрос задачи.
Первый этап. Составление математической
модели.
1) Оптимизируемая величина (сокр.: О.В.) — величина с наибольшим или
наименьшим значением.
2) Независимая переменная (сокр.: Н.П.) — неизвестная величина,
выраженная через О.В. Установите реальные границы изменения Н.П.
3) Выразите у через х. Математическая модель задачи — функция у = f(x)
с областью определения X, которой является найденная граница задачи.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Ответ получают из условия задачи.
Пример 3. Прочность балки прямоугольного сечения пропорциональна
произведению её ширины на квадрат высоты. Какое сечение должна иметь
балка, вытесанная из цилиндрического бревна радиуса R, чтобы её прочность
была наибольшей?
Решение.
Первый этап:
1) О.В. — прочность балки, поскольку в задаче требуется выяснить, когда
прочность балки будет наибольшей (у);
2) Н.П. — ширина балки (х);
0 < х < 2R (х = 0, x = 2R) — это реальные границы изменения Н.П.;
2R
h
x
3) х2 + h2 = 4R2 (по теореме Пифагора), h2 = 4R2 – х2;
Второй этап:
унаиб. — ?;
y = 4kR2x – kx3;
y‘ = 4kR2 – 3kx2;
4kR2 – 3kх2 = 0;
y = kR2x – kx3;
Третий этап:
h2 = 4R2 – х2
Автор
lenusek.po
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
1 040 Кб
Теги
величины, наименьших, применению, наибольший, производной, отыскания, значение
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа