close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Динамические обобщения формулы Дрейка: линейная и нелинейная теории

код для вставкиСкачать
!"#$&%'((*)%+(!,-+. %/.0..,1.!'2)
3 45 687 9!:<; =>!:<?@:BA8CD EF9 G89 H 68A8IJ:<?@EKA168D L:BCED 9J?NMOP/Q!RSST
UWVYX[Z]\^VY_Y`badcYVY`Wegfhegfhi `jXYVlk
V Xu`dr[VYXY`jvYX[Zyk z{`jegoYVYV
mnegoY\qpsr[t
UWou`jvYcwZlxur[VYXu`jvYXuZyk
| }~€}y‚ƒ„†…
]
‡‰ˆ‰ˆŠ‹ŒŽ2’‘“<”Œd•J–B—0˜ ™
šœ›†žŸJ ¡j¢œ*£J¤*¥¡b›0¦§*›0¨"©*¦¨<ªg¥«¨Ÿ­¬®£J¨¦¯£"§2§*›°2¡¯§*›0¯£±¨§*›0¤]¨©*¦Ÿ¡²*©2©g¯´³*›³*Ÿ± *ª*²2©*©h¥­›žµžŸ§2©*¥¡!¶
¦©2¯§*·¹¸€²2©*¯© †©*ºJ¡²*©*¤¼»¾½N¿@ÀdÁ¡! †¡¥*¦©*¥2©Ãµ§*›«§*£{›³*©†¨·‰¯0¡£"¦]Ć©*§2¡0ž©*Å*£J¨"¥*©*£{³**›0²*£J¨J¨·Nµ¥­›¦›*·‰£
ž›0Æ"Ÿ­¦j©2ž£"¦Çj¯b§*£"¤yž£±¨¦›†È†Éʝ*£Ä2 2› Ë®£J§*§2¡ªs¯b¨¦!¡¦Ç£Ê 2©2§*£"¤*§†¡!ª´Ä†©*§2¡0ž©*Å*£±¨¥¡!ª{¦£"›0*©ª{›Ì0›Ì¬d¡£J¦
Í ›02žŸ± 2Ÿy¢œ*£J¤*¥¡*›±Ä†§†¡¥­›s§2£jŸÅ2©*¦·‰¯0¡£"¦{¯ †©ª*§*©*£b½N¿ÎƝ*Ÿ­Æj§2¡sƝ*Ÿ­Æ¡2ÈÃÏН2¡0ž¥­¡¸gÑ"¦›¤«¦£"›0*©*©
³*2£Ä¨"¥­¡ºJ¡§*›‰¨Ÿ­¬œ£±¨¦¯0›¯0¡§*©*£ 2©*§2£"¤*§*›0¤ÒĆ£Jž›0Æ"2¡ Í ©*Å*£±¨¥­›¤Ê¯› 2§*·NÂ"¨"¯ª*º±¡§*§*›0¤Ò¨’žµ¡¥¨©2žŸž›ž´¨"¥­›¶
*›¨¦©ºJ¯£"ºÄ†››0̝2¡º"›0¯0¡§2©ªÃ©®Ä†£Jž›0Æ"2¡ Í ©*Å*£±¨¥­›ÆJ›³*©*¥¡2Â!¯›ºJ§*©*¥¡ÓÔ¬œ£JÆ"›¯Ê2¡0ž¥¡!¸œÆJ©*³*›¦£"º"·Õ¨"¡0ž›¶
¨"›ÆB †¡0¨›¯¡§*§2›Æ"›ÊÆ¡ †¡¥*¦©*Å*£J¨"¥­›Æ"›®³**›0©2¨<¸0› ËdĆ£J§*©ªjËj©*º"§2©ÃÈ*ÖÊ£ 2©2§*£"¤*§†¡!ª°¦£J›*©*ªÃ¦!¡¥Ë®£Ò2¡ºJ¯©*¦!¡ª
¯j¨¦!¡¦Ç£0ŸÅ2©*¦·‰¯0¡£"¦d¯ 2©*ª*§*©*£@½N¿Ä†2ŸÆʧ2¡®Ä*Ÿ­Æ¡œ³*›¥¡§†¡! †¡0ž€¨¯ª*º"©ÃÈÏu£"£Ê2¡ž¥¡¸°³**£Ä¨¥¡º±¡§*›
¯¡!Ëj§*›£’ª*¯ 2£J§*©*£¹Ì©†¨¦!¡Ì0© 2ǧ2›0¨¦©@¯Ê³*›³*Ÿ± *ª*²2©*©d½N¿Y©®2¡0¨"¨Jž›¦*£J§*·×¯0›ºJž› Ëj§*·‰£¹¨ †£Ä¨"¦¯©ªdÑ"¦›0Æ"›
Ñ ÍNÍ £"¥*¦!¡*È
؏ٴÚyÛ°ÜÐÝJÞ®Ûsßáà´âÒÚyâÔãsÛ°ßÝJäÛÊå@ݱæjÚ æbçèå@éyâêØ´ã°Ûsëyâœìîíïç¹æjã°ÜñðsßÛ]òhßÝÚyâÒÛ°ã
ÛsÚyØóÚgædôBߒÝÚyâÒÛ°ãáå@éyâNæjãsÝâÊíõuö÷ÎÛ } Ø }&øù2úüû­ýµ}þ¹ÿ
!"#!$ ¶
% &'( % ') % % *$ % ÿ ++, % $-
./
$, % &01/02&3! % &$ »5464¹À $ % ÿ78,:9'( % ;
$ % !"/"<'2$=
!.+"/! % =
ÿ % >?'@/9 % È A'2$=
B,
.&$ % ÿ '@+"
+C!@&$D+"!$ %
+=
+!EE)F$!"
&3! % $
G
% ÿ 'H
$= % ÿ >&$=! % ÿ '@2!8$ % $ % &$I=$/>
ÿ % ÿ È K &$!
6 F"
+*ÿ ,ALG?0
M/$$! % <L6 % ÿ 1>921=NO % P
"> % $Q" %
464 % !BJ
$=@(!BF
+*=
ÿ 1+H
$$ % !L6 % ÿ % =ÿ jÿ;'2+C % ÿ !M
P& ¶ $= % !$ % 78
92')R F
$@
+"! % !JL6 % ÿ $ % ÿ 8&$!
6'2$= , % ÿ ' ;È S $ ¶ &$ % ÿ !
"'<
$ % . % ÿ 8&$I=$/8 464
ÿ % ÿ T2'B/
$=$! % $ B=ÿ $$=,T$= =B>
ÿ % ÿ ',#8,.0
+C!B$ % ÿ ,T+=+C È U +C
% $ %
% E!
BB
+*=
ÿ $B!$
$D
6 % & % '@$ % =ÿ 464 ++, % $D,*+= % VL6 % ÿ &$ % ÿ <$=
$ ¶ &$ % ÿ '$=
E/$=#W;$=!P % =
ÿ G+*=ÿ $B!$
$),6,=! È
XTY8ZV[.\C]E\_^A`\
Éʛ±b
Ä acAcEde2a0!d†$:efgcN 2$!2;hc@ »¾½N¿@À
̟JĆ£±ž ³*›§2©2žµ¡¦Çs¦!¡¥*©*£®²*©*¯0© 2©*º±¡²*©*©g§2¡i®£"¤]Á¡! ¡¥¶
¦©*¥2©Ã›¦Õ¥­›¦›0*·¹¸u³*› ¥¡§†¡! †¡0ž ¨¯ª*º"©u©* 2© 2ÓÌ0·ž
Ɲ*Ÿ­ÆJ©2ž ¨³2›0¨›0̛ž »¾§2¡³*2©2ž£"^³*Ÿ­¦£Jž §2¡Ì 2Ó/Ć£"§2©ª
¡¨"¦*›0©*§Ë®£J§*£"2§*›¤ÒĆ£"ª*¦£ †Ç§*›¨¦©†Àž› Ë®£J¦Ì·‰¦Ç³*› 2Ÿ¶
Å*£J§2¡ ©*§ Í ›†žµ¡²*©ªÃ’©*§*¦£J*³**£J¦©**Ÿ0£Jžµ¡!ª ¥¡¥ ›0¨Jž·¨¶
2£J§*§2¡!ª{©y2¡º"Ÿž§2¡!ª{¯j§2
¡ iœ£Jž ¨"›¯2£Jž£"§2§*›0žw³*›§2©2žµ¡!¶
§*©*©ÈÉʝ2£Ä†³*› †¡Æ¡£"¦¨<ª«¦!¡¥Ëd£ÂÅ*¦›h¦!¡¥*©*£´²*©*¯0© 2©*º±¡!¶
²*©*©[¯w³2*©*§*²*©2³*£ ž›Æ"Ÿ­¦w³**©*§ª*¦ÇÕ©[©*§*¦£J*³**£J¦©**›¶
¯0¡¦Ç@©*§ Í ›2žµ¡²*©*ӜÂ0³*›0¨"·¹ †¡£±žŸ­Óu
¨ j£±ž 2©ÃÈ kÅ*©*¦!¡£J¦!¶
¨<ªÃÂÅ*¦› a0" ccEd
e†= a!®:$ e†! h]Jb¯d†¡º"¯0©*¦©*©´ 2ÓƠ̂0¤
²*©*¯0© 2©*º±¡²*©2©°©2ž£J£"¦® 2© iœÇd¥­›§*£JÅ*§*Ÿ­ÓuÄ2 2©*¦£" 2ǧ2›0¨¦Ç2È
l ¦ŸÐ¯0£ 2©2Å*©*§*Ÿ Å2¡¨"¦›¼§2¡ºJ·‰¯0¡ÓÔ¦u¯0*£Jž£J§*£Jž Ëj©*º"§*©
¦£"¸­§2©*Å*£J¨"¥­›¤€²2©*¯© †©*ºJ¡²*©*©Õ©w¦†¡ Ć©*²2©*›§*§2›h›0̛ºJ§2¡!¶
Å2¡Ó¦×Ì0Ÿ¥2¯›¤
»¾½N¡³* †¡§Ã
 m!n2op¨M
È mqÀÈ/Éʝ2£Ä†³*› †¡!¶
Æ¡£J¦¨<ªÃÂÅ*¦›×½N¿ L 2›¥¡! †©*º"Ÿ­Ó¦0¨<ªw§2¡ ³ †¡§*£"¦!¡¸€›¥­› †›
º"¯0£"ºÄüÂ*©]Å*¦›b¯b©2¨"¦›*©2©y¥­¡Ëdƛ¤y³ ¡§*£J¦·¼¥›žµžŸ­§*©¶
¥¡¦©2¯§2¡ª Í ¡ºJ¡Ôž› Ë®£J¦Ô¯0›º"§2©*¥*§*Ÿ­¦ÇÒ¦› †Ç¥­››±Ä†©2§®2¡ºÈ
Éʛ0¨ 2£Ä§*£"£ ³**£Ä†³*› 2› Ë®£J§*©*£ ª*¯ 2ª*£"¦¨<ª ›Å*£J§*ÇШ©* 2Ƕ
§*·ž¹ÈsrÔÌ0·‰Å*§*›h¨"Å*©*¦!¡£J¦¨<ªÃÂÅ*¦›«ºJ¡!Ä¡ Å*£J¤ut2v þ Uœª*¯ *ª¶
£"¦0¨<ª{³2›©2¨"¥y©2ž£"§*§2›b¦!¡¥*©¸{¥­›0žµžŸ­§*©*¥¡¦©*¯§2·¹¸´²*©2¯©¶
2©*º±¡²*©2¤ÃÈ
Ϲ¡!Ëj§*£"=¤ iœ©2žl¯0›³*2›0¨›ž€Ä2 *ªg³*2›Ì †£Jžw
· t2v þ U‰ª*¯¶
*ª*£J¦¨<ªÕ¦›2Â¥¡¥€Ä¡ 2£"¥­›«›¦«§2¡0¨{§2¡!¸›±Ä†©*¦¨<ª€Ì 2©Ë¡¤¶
i®¡ªg½N¿g
È rÔ¦¯£J¦°§2¡s§*£"ÆJ›sº±¡¯0©2¨©*¦s›¦sÅ*©2¨ ¡s½N¿Â¨Ÿ¶
¬œ£±¨¦¯0Ÿ­Ó¬œ©*¸ ¯h§2¡¨"¦› ª*¬œ£J£b¯*£±žª×¯gÁ¡! ¡¥*¦©2¥£0ÈÖN¡
*©2¨È mÊĆ *ªg¨³*†¡¯›0¥{³*›¥¡º±¡§*›†Â*¥¡¥yº±¡¯©†¨©*¦b› Ëj©­Ä¡£¶
ž›£Ê2¡0¨"¨"¦› ª*§*©*£Nž£ËdƟ k› 2§2²*£Jžw©{Ì 2©Ë¡¤ i®£"¤{½N¿
›¦w¥­› 2©*Å2£J¨¦¯0¡€½N¿ ¯ Á¡! ¡¥*¦©2¥£0sÈ xµ¡0¨Å*£J¦€³**›0©*º"¯0£¶
Ć£J§«ž£J¦›±Ä†›z
ž yy›0§*¦£"¶ ½N¡ 2›y¨©2¨³2› 2Ç0º"›¯¡§*©2£Jžl*£±¡!¶
2©2¨"¦©*Å*§2›¤[ž›±Ä£ 2©Y†¡¨³2*£Ä†£" 2£"§2©ªuº"¯0£"ºÄu¯wÁ¡! ¡¥¶
¦©*¥­£Õ|» {‰ 2 2£"§Ã8
 mn;o
o’¨PÈ }~;pÀ©[¨]Ÿ­Å*£"¦›0ž *£±¡! 2Ç0§*›ÆJ›
³*› 2› Ë®£J§*©H
ª k› 2§*²†¡]|» 2È p¥2³*¥]›¦j²2£"§*¦†¡°Á¡! ¡¥*¦©2¥*©ÃÂ
¯Ì 2©*ºJ©g³ 2›¨¥­›0¨"¦©h¨"©2žµž£"¦*©*©«Æ¡! †¡¥*¦©*Å2£J¨¥­›0Æ"›Ä†©†¨¶
¥¡0ÀÈ
ÖN¡©*Ì0› 2£J£Y©*ºJ¯£J¨"¦§*·žï¨"³*›0¨"›Ì›ž ›0¦¯£J¦!¡Ð§2¡ñ¯›¶
³**›¨d›yÅ*©2¨ †£½N¿ ª*¯ *ª*£J¦¨<ª«©2¨³*› 2ǺJ›¯¡§*©*£ Í ›2žŸ¶
2·NÂN³*2£Ä2 2› Ëd£"§*§2›¤ š°È ¢œ*£"¤*¥­›ž¹ÂÒ¥­›0¦›2¡ªñ¯©*§¶
€
€?
‚*ƒ„C…?†
‡ˆŒ
—˜™ ‡ ˆ ‹
”• –
 “‘ ’
‡ˆŠ
‡ˆ‰ ‡ˆŠ ‡ˆ‹š › ‡ˆŒ ‡ˆ ‡ˆŽ
¤ œ œ
¾Ã ÄÅÆÄ žœ œ
¹½¾  £ œ œ
½À Á» ¢ œ œ
½¾»¿ ¡žœ œ
¸ ¹º»¼ Ÿ œ œœ
œ
² ³ ´µ ¶ ·
¥ ¦ §¨©&ª&«¬ž­&® ¯,°R±
žœžœ ¦ Ç È É Ÿ Ê œ ¬žœž­œ ® ¯,°ž± Ÿ  œžœ
¡žœ œžœ
Ë.Ì=Í
Î €
ÏÑÐPÒzÓCÔ?ÕÖØ×EÙ:ÖÛÚÕÜÜÝÙ/ÞCß=ÓCÖGÔ!ÙEàáCÓÒâÕ:ã=ä Ö/ã*å8æ
ç*è Õ ç ÓÜÓ;×EÙ:ÜÝÓ)Ù?ÝêéÙ"áCÓ=ëÖ!Ü/Ý ç ÕEå8æ ç1ì ÕáíÕé
ÝBÓ=éÖMÓ
ÚÕÜ/îÚíÖÔ?ÖØáíÖß=ÓÖsÚÕÜ!Ü/ÝBÙïÞCßÓ=ãÔÙ<àáCÓÒðÕã=ä Ö/ãQå8æñÔïáÞ
ÚCÙïõ.Ó2áCö õ.ò
ßé
÷=ÓÓBÚÕ
Ü/î:ÚÑÖÔ?ÖØáíÖ/ø
ÜØáCò
ëÕ!Þ
NC = 10000 óô
ß=Ó2Þ-ÔïáÞ
Ô#ÚCò;ùÓ2ú è ßCÕ:ëÖ/ßÓ=ã
Õ:ßÕ!áCÙ?ùÓëÖ/ß=ûgÙ?Ý8áCÓëÕ:ø
Ö/Ý ÜÞ>áCÓäöBßÕÓ=à?Ù"áíÖ!Ö ç ÖüÚCÙ/ÞCNÝCßÙ:Ö è ßÕ:ëÖß=ÓCÖýÚÕ
ÜÜ/ÝBÙ/ÞCø
ß=Ó2Þ
ó
þÿÿ!þ Ì Ì Î
ÌÍ ÿþ Í þ € !#"$ Í þ Î ?€ %/Ï
NC = R∗ fp ne fl fi fc L,
€ %
Í #(( Í þ)*(+( Ì ÿ,& .- /0þ Ì1
&ÿ R
∗ '
Í
2ÿ 2 ÿ&0ÿ ( Í ÿ342 ÿ3Oÿ Ì ÿÿ Í 2#51ÿ Í þ ( 1
Ì & ( ÿ6&7/(+0/&895 Ì: 0ÿþ 3 ÌBÍÌ1
Í þ
ÿ3;f3 p Ì ' Í =ÿ6&0ÿ!ÿ< Ì=Í (=0ÿþ : (& 5 Ì:*
ne '
/
Í
Ì
Í
0
ÿþ ÿ
þÿ3 Ì Ì (&0 >: & @?>Ì , Ì f
l '
&0(
0
ÿþ 0A#(
þ( >: &Cÿ,B Í þ Ì þ
ÿ)( ( Ì 0
? Ì ,)
>
ÿþ#
( þ( >: ( Í =
ÿ ( Ì 1
fi ' &0( 0=
Ì
C
?
>
Ì
Ì
Ì
=
Ì
Í
( ÿ,
0
) ÿÿD0,234 ÿFEG(3 f
>
? Ì ,)I&0( c1
&0(
0
ÿþHI#
( þ( >: 2#340 J>
'Í Ì
þ K0L#(3;342# Ì þ Ì (BMEN L Í ÿ6&0 ( 1
'
? Ì þÿ0)( Í þ)L#(3;342# Ì Î
&0( >
þ Ì (B@EN E
O (3420IPQÿ,B.ÿRF
ÿþS(+
ÿ342T< Ì=Í NU
Ì
þ()#(
&0( ()(V2#+(W3X + Ì? ÿ ÌÌ_ÎGY ÿ ?L1
Ì=Í/Ì þZ
Í
&ÿ
ÿ,( Í (( þ ÿ!þ Í þ ÌÌ Í =
ÿ,B N =
ÿ ( þ
C
=ÿO
_
Ì
\
Î
[
?
Ì
3 ÿ,
ÿ &u
2 þÿ3](
< ÿ
&0(;
< þ(I#(& 1 þ( NU
.- /0
Í ÿ3>4
þ Ì 2
ÿ@
ÿ@+ ( Í ( þÿ3^+ J
ÿ,ÿ : (& 1
Ì
Ì
:
Ì
Í
Ì
1
B_
ÿ, (&74W(&
#( < ÿ þ (* 3 þ(Z(+ 1
Í
>
Î
a
?
b
Ì
,(W3`( (
(34( ÌÌ #( Ì < ÿ Í þ NU Í ÿ Í ÿ( Í þ( Í þ (W3 Í W(( Í þ Ì ÿ,&0((+ 1
,( Ì G( Í (
+ ÿ( Í þ 3 Ì (
ÿ ÍÍ ( Ì ( ÿ Ì
? Ì , Ì>Ì &02# Ì 3 Ì EN
>
_
Ì
þ(3 ÎO þ Ì < ÿ Í Ì EG(342 1
0ZPQ=ÿ,BI( Ì=Í ÿ!þ. Ì RQ) Í 2#1
5 ÿ Í þ ÿ,( Í þ/ Ì ( 1
2#8 Í/Ì þ2 Ì 8Q<þ(34( ? ÿ!þ(þ) Í (<ÿ,)& 1
ÎË ÿ)(ÿ9#( Ì <ÿ Í þ ( NU 34( ? ÿþ
=ÿ Ì 3_(
þ Ì=Í þ Ì E
Í/Ì )(c Ì=Í ÿþ)c(
þLEN & Ì 03 Ì <ÿ Í Ì: (ÿ Í!Í ( (2 ÌÌNU # Ì: (& 5ÿ,B Í 01þÿ2#5 Ì Bÿ Ì1
Ì=Í/Ì þ(
þ@( Ì 3; Ì Ì1
(& Îed ÿC< Ì=Í 0 NU Î
(& gf þ Ì: (ÿ Í!Í ( =
h ()R Ì ÿ>(+=ÿ3 _ ( Ì 8þ Í6Ì þÿ,ÿþ/ Ì1
? Ì þÿ,=ÿ,B EG(342=ÿiPQÿ,B Î#j Ì 3Oÿ #<þ(
ÿ,B34( >
þ/#(
ÿZ&( 0ÿþkV#(
þ( >:l ( Ì ? Ì ,)
Ì &02 ÿ( þ( Í þ)
mENþ( f %onlp Í Ì Ì 3Oÿÿ!þ Íq^
(, Ì ( ÿ,l Ì*>
? Ì , Ì @0ÿþ
ÿ Í (& : (& 5 Ì 3 Ì
Ì 3 Ì /þ( f þ(< Ì=Í ( Í 34(( Í ÿ,+ÿr3;/(i<þ(&sÿþ
2 Í ( & / Ì Î a < Í þ( Í þ Ì gÿ Í Ì + þ/ . ÿ( þ 1
( Í þ)+ 0
C Jÿ6& Ì Ì ÿt(Cÿ(+ : (& Ì 34(
ÿ ÿ3 ?
&
( & ÿ, ÌI? Ì , Ì Í ( Í þ/ (*+ ÿ Í #()#(
Í
&ÿ
þ#( 3 Ì Ì &0( =ÿ!þþ( Ì W(B ?>Ì ÌM- 1
0
þ Ì 2
ÿ Í ÿ,B<0 Í + ÿ*+ (sþ/u ( Í þI 1
Ì
0
þ < ÿ Í #((& Ì=Í # Í ( Í þ/ ÿþ Í ÿ,,( €vw퀁 3x& Î
Î
y
8
Í (0< þ(A=ÿ/0) B Í 3 Í Ì 3OÿÿþQþ(0)#( Í ( 1
ÿ!þ
=
Í
3 ÿ þ
O
( ÿ Ì=Í (0),( Ì ÿ ÿ( þ( Í þÿB 3Oÿ Í þÿ ÍJÍ ( 1
Í
( þ ÿþ þ 2W895 Ì 3 Ì. ÿO
3 ÿ3 Ì Ì þ Ì t(MEG(342 1
f
0SPQÿ,B#
þ(J ÿZ2#< Ì þ ÿ!þ Î9d & Ì 3 Ì . ÿ >: Ì
Ì Ì Ì B
þ(z
( þO
3 ÿ!þ e;=
< þ( z (( Í ÿ{(*< Ì=Í =
ÿC Ì
Í
Í
Í
ÿ,) (),( þ)
( þ(
ÿ( þ( þ 3 Ì *
þ/
Ì
Í
Í
:
: ÍF (
{=ÿ,<) & ÿþF(Q(
ÿ (< Ì 895 Ì2
=ÿO
O Î1
| Î8
U Ì Ì . €!}W$% Î p Í Ì? ÿ
Í
3 ÿ, Ì + <
fl ÿ þ)
Í
Ì
A
Í
:
Í
ÿ ÿ( þ( þ)0# O
3 ÿ(F&0(
ÿ ÿ/)( 2W
5 ÿ 1
Í þ 2#8i5 Ì: 0 ÿþ# Ì (&0 >: & A>
? Ì , Ì #Q#
( þ( 1
>:Z>
? Ì ,)=
Í
Ì
Ì
f
& ÿ,B þ
þÿ0)( ( 0_
þ(
þ/ ÿ, Ì1
Ì< 0 Í ( ? 3u(+,(3 Í, Í & Ì 3 Ì #(B ( 1
Ì ( ÿ, Ì ÿ,6& Ì &02# Ì 3 Ì EN
þ(03 Ì Ì (
< ÿ,)
Î
ÿ2,&(+0N& ( ÿ,(
j ÿ,(+ : (& Ì 3;]34(& Ì E Ì # Ì EG(342 PQÿB
Ì þ Ì 2#< Ì þ 895F ~ ÿO
3 ÿ` ÿ,( Í þ( Í þ (
Í #(( Í þ Ì ÿ,&0((+,( Ì /W( ÿ,<
( ÿ ÿ3 ? Ì 1
Ì ÿ6& Î #(
ÿ& Ì 3 Ì <ÿ Í #(
ÿk(+(+5ÿ, Ì ÿi+ (F( 1
? Îs ÿ,BE8ÿ,&þ(W3€ €!W2
Ì þ({ ÎsD
[ Î
" €% Ì 2#<ÿ(P - Ì #& Ì ÌÍ (3V €!
_
d Í ( 2W8gEG(3422Q& < ÌÍ 0
‚ €% ÎWM
NU]C- 0þ Ì 2ÿ þ
ÿ,( ÌÌz ÿBE8ÿ&þ/ 1ƒ_
- Ì #& Ì Ì=Í Ì &02
34( ? (L Ì ÿ Í þ Ì NC (T ) =
Z
Z
T
dτ R̃(T − τ ) ×
0
∞
0
dω [C(τ ) − C(τ − ω)]PL (ω),
 %
=ÿ3 (
þ Í < Ì þ ÿ34(ÿr(
þ9<0EG(3 Ì ( 1
&ÿ T
Ì*' - 0þ Ì Ì „
Í #(( Í þ) (, Ì ( ÿ, Ì
R̃(t) '
(& : (& 5 Ì: ÿ,& 34(3Oÿþ t, 0 < t < T „ C(τ ) ÿ 1
'
( þ( Í þ) (, Ì ( ÿ, Ì #(3;342# Ì þ Ì (B=EN ÿÿ ÿ3Oÿ Ì τ Í < Ì þ (
þ (, Ì ( ÿ, Ì ÿ6& N„
Í
Í
ÌJNU ( ÿ3Oÿ 1
PL (ω) ' (
þ( þ)Z0 ÿ6&ÿ,=ÿ,
3 ? Ì , Ì_Î#a þÿ,( ÌÌA =ÿ,BE8ÿ,&þ/ ÌA þÿ,( ÌÌA-gÌ 1
& Ì Ì=Í kEG(3422D34( ? (k Ì=Í þ) (&(3 Ì þ(W3 ? ÿ
Ì &ÿt( Ì =þÿ,ÿþ/ ÌÌ ÿ,#(
þ( >: 34( >
? Ì þ
ÿ=ÿB - Ì & Ì Ì=Í +(ÿÿQ(+(þ E
Î0j Ì 3Oÿ þÿ( ÌÌZ_
2.ÿ,( EG2# Ì 8 R̃(T − τ ) 8i<=ÿ,_ENþ(IW( 1
? Ì Ì ÿ,&7WQ2 ÿ,BE8ÿ,&þ/
ÿ<( Í þ Ì{ ÿ3Oÿ Ì{>
- Ì #& Ì Ì=Í ÿ!þ Í' ÿ!þ Ì &0 Î ÿ( ÌF ÿ,B0E8ÿ&þ/ 1…g
Ì Ì Ì Bc( >1
Ì =ÿ,B(B þ/Lc#( Ì <ÿ Í þ (G Ì
ÿþ Í Ì ÿB 3u(þ Ì W(W3u Í W(( Í þ) ÿ6&0((+ 1
Ì Ì ÿ,B(i ÌÍ/Ì þ(þ>&02# Ì: 34(&ÿ) >:
,( ÌM
EG2# Ì B Î
j Í þ( 5F f þ(
þ‡(&
+(þ†0 Ì ÿþ
ˆ & ÿ Í ) ( Í ( Ì ÿ&ÿ,k Ì =ÿ34(,((+(+51ÿ % Ì
þÿ,( ̉ ÿBE8ÿ&Cþ 1…-gÌ #& Ì Ì=Í \(uÿÿz( Í
Í ( Í (+(3
ÿbEG(342 (2#<ÿ, ( 3
ÿ Í #()#( Ì (BIEG(03Oÿ Î_Ë )R1ÿ( ÌDÍ =ÿ&0( /
: Í ((+ ? ÿ, Ì B
(+5 Ì: þÿ(ÿ!þ Ì #( 1… ÿ( þ( Í þ >E
: (& Î
ÿB 1
( 1
̊
ÌÌ Í 1
‹Œ0Ž4Œ #‘’”“Œ‘G•–•–—‘KŒ˜*™k•št7›œ_‹Qše‘Kž“ŽŸ Ÿ¡Ÿ
¢¢£
¤,¥9¦§¨©ª«¬­®©«N¯i°,±ª±¯±W²{¯«#³0­´,¥9µ¨®4±µ«G¦±¶¥#¬­,µ·
©¨©`§­¸Q­µ«­‰®,«®ª­²4·Š³0«µ¨²4«¬­®©«¹`¥#§¨¯µ­µ«º »
¼ ±ª½_µ±¯·º¾¦±³¹±³S³s¨­,ª.²;¨/¶0±Zµ±¯±°,±Z®±¿W®ª¯­,µµ±
³¶½l¶«µ­,ºµ±ºÀª­,±§«« ´±µu³±¦¥W®©¨­ªS³¨¶­,©#±T«#³0¥WÁ
 «­I±¿±¿  ­,µ«½‰³¶½€±¦«®,¨µ«½Àµ­¶«µ­,ºµ·>¹g½¯¶­Á
µ«º@«@ª­²_±¬­,µÃc¦±¶­¤,­,µe»0Äű¤6³s¨µ¦¨©#­,ªL¦§±°,§0¨²;²>´
¦±¤,¯±¶½Æ  «ºc¯N§¨²4©¨/¹F¶«µ­ºµ±ºª­,±§««¦±¶¥#¬¨ªÃ
¬«®¶­,µµ·­§­,¸F­,µ«½=³¶½SÇÈÉÊ7Ë=²4±³­¶Ãµ·>¹zÌG¥#µ©Á
Í «ºe´7¯¹±³½  «¹Z¯zª­,±§«ÆF´x¯zª±*¯§­²x½S©¨©S§¨µÃ¸Q­
«®®6¶­³0±¯W¨/¶«®,ÃGª±¶Ã©#±N±¬­µÃN¦§«²4«ª«¯µ·­9²4±³0­,¶« ´
¯Q©#±ª±§·>¹¿·>¶±N¶­°,©#±N³0±F©#±µ Í ¨Q¦§±¯­®,ª«A¨µ¨/¶«ª«Á
¬­®©«­*¯·¬«®¶­,µ«½^ÎmÏe«µ#³0«¶0«®´ ¢ÐÑ¢Ò »\ÓG­,©#±ª±§·­
§­¤,¥¶Ã/ª/¨ª·‰§¨®,¬­,ª±¯cÔk§­¨/¶«0®ª«¬µ·²4«@«®¹±³0µ·²4«
³¨µµ·²4«IÎm®,©W±§±®,ªÃ¤,¯­,¤³0±±¿§¨¤,±¯W¨µ«½L«C³0§e» Ò ¦§«Á
¯±³0½ª®½A¯L®ª/¨ªÃ­»ÕV§0¨²4©¨/¹{Öª±º×F­N²4±³0­,¶««®,®¶­Á
³0±¯¨µ·Ø¯±¤²4±×Lµ·­*®6¶­³®ª¯«½‰°«¦±ª­,¤·~°¨/¶0¨©ª«Á
¬­®©#±°±.®¨²4±W®±°K¶¨®±¯¨µµ±°±=¦§±«®¹±×c³0­µ«½_×L«¤Á
µ«MÎmÙN¨µ±¯0´ÚÛÛWÜ/¨ Ò »/ÓN¨G±®,µ±¯­>µ±¯±ºLÌG±§²4¥¶«§±¯©«
¶«µ­,ºµ±ºª­,±§««{¦±®ª§±­µ±N­,­µ­¶«µ­,ºµ±­i±¿±¿  ­,Á
µ«­´¥#¬«ª·¯W¨Æ  ­,­k¯±¤²4±×µ±­9¯¤¨«²4±¯¶«½µ«­9ÝNÞL»
Õߧ0¨²4©¨/¹*Öª±º.ª­±§««I¦±¶¥#¬­µ·^µ­,©#±ª±§·­«µª­Á
§­®µ·­G¬«®¶­,µµ·­N§­,¸F­,µ«½¥#§¨¯µ­µ«º »
« «
Í R(M, T ) « LS (M, τ ) ±³µ±¤µ¨¬µ±¤¨³¨Æiªc³0«µ0¨/Á
²4«©¥F¦±¦¥¶½ Í ««¤,¯­,¤³L¯N§¨®,®²;¨ª§«¯¨­²4±²*¦§«¿¶«Á
×F­µ«« »
¨/¶­­ ®6¶0­6³0¥­,ª ¤¨/³¨ªÃ ²4±³0­¶0õ·­bÌG¥#µ© Í «« ´
±¦§­6³0­,¶½Æ  «­F³0«µ¨²4«©¥=¦±¦¥¶½ Í ««ZÝNÞL»tՀ¦§«µÁ
Í «¦­´/®6¶­³0¥­ª9µ­,¤¨¯«®,«²4±i±¹#¨§¨©ª­§«¤,±¯¨ªÃ¯§­²4­Á
µ¨_§¨¤¯«ª«½‰«l¯­,§±½ªµ±®,ª«‰§­¨/¶0«¤¨ Í ««‰¦±³¹±³½Á
¯ ]¯±¤µ«©Á
 «¹{¥®6¶0±¯«º³¶½©¨/×c³0±°±Q«¤G¦­§­¹W±³0±
µ±¯­,µ«½J×L«¤,µ« ´H¯±¤,µ«©µ±¯­,µ«½ Í «¯«¶«¤¨ Í «« ´H¦­Á
§­,¹±³¨ Í «¯«¶«¤¨ Í ««I¯=©#±²;²4¥#µ«©¨ª«¯µ¥WÆX®ª/¨³0«ÆQ»
±×µ±¦±ºª«N­  ­4³¨¶Ã¸F­4«N¤¨³s¨ªÃ¯­,§±½ªµ±®ª«N¦­Á
§­,¹±³0±¯D«C¯§­²4­µ¨c§¨¤¯«ª«½A±ª³0­,¶Ãµ±D³¶½C©¨/×c³0±º
«¤DÌN¨¤kÖ¯±¶Æ Í ««C¿«±®ÌG­,§·]ÎmÙN¨µ±¯´ÚÛÛWܨ Ò » ³µ¨/Á
©#±J¯Vª­,±§«Æ ®±±ª¯­,ª®,ª¯¥#Æ Â «­.§¨®¦§­³0­¶0­,µ«½Àµ­
¯¹W±³½ª.¦±S±ª,³­¶Ãµ±®,ª« »ÅÙG§±  ­M±¹#¨§¨©ª­§«¤,±¯¨ªÃ
®§0¨¤,¥Q¯­®,Ã9¦§± Í ­®,®H§¨¤,¯«ª«½ ´/¤¨¯­§¸F¨Æ  «º®½Q©#±²xÁ
²4¥#µ«©¨ª«¯µ±ºzÌN¨¤,±º Í «¯«¶«¤¨ Í ««e´tµ¨¬«µ¨½z®L²4±Á
²4­,µª¨G±¿§¨¤,±¯¨µ«½N¤,¯­¤6³0·_«Lµ­H³0­¶½c­°,±Gµ¨k±ª³0­,¶ÃÁ
µ·­=ÌN¨¤,·N
» Ū±S²4±×µ±S®”³0­,¶0¨ªÃ.®@¦±²4±  ÃÆê­6³«µÁ
®ª¯­,µµ±ºAÌG¥#µ© Í ««
B(M, τ ) ´W³s¨Æ  ­,º{¦¶±ªµ±®ªÃQ¯­,Á
§±½ªµ±®ª«N¯±¤µ«©µ±¯­µ«½NÝNÞ_®,¦¥®,ª½G¯§­²x½
τ ¦±W®6¶­
¯±¤,µ«©µ±¯­,µ«½*¦§±«¤,¯±¶Ãµ±ºz¤,¯­¤6³0·]®²;¨®®±º
M»
ÓG±§0²4«§±¯©¨FÌG¥#µ© Í ««
à>ákâgã9äiå æ9äiçxèêéxåeërìiãiè
Z
í îmïî7ðßñòróôxõö7÷óbø@ùtöxúxû7üxüýüþñ0ÿ4óò;óô ók÷ó
ü 7üxö7÷
óô4
¨©M©#¨© Í «¯«¶«¤¨ Í ««=®,¯½¤¨µ·g®,±¤,¯­,¤6³s¨²4« ´ª±´
± ¬­,¯«³0µ±´6³0«µ¨²4«©¥G¦±¦¥¶½ Í «« Í «¯«¶0«¤¨ Í «ºN¦±§±Á
×c³¨­ªk³0«µ¨²4«©¨N¦±¦¥¶½ Í ««{¤¯­¤6³7»Ä\¶­6³0±¯¨ª­¶Ãµ±´
µ¨¬¨ªÃJµ¨³±J®.±¦«®¨µ«½‰³0«µ¨²4«©«À¦±W®6¶­³0µ­,ºe»iÕ
­,­©¨¬­®,ª¯­C¿¥³0­²€¦±µ«²;¨ªÃZ¦±¦¥¶½ Í «Æê¤,¯­,¤³_°¨/Á
¶0¨©ª«¬­®©#±°±I³0«0®©¨´>ª/¨©g©#¨©u¦±³¨¯¶½Æ  ­­*¿±¶ÃÁ
¸Q«µ®ª¯±g¦¶0¨µ­ªÀ¤,­²4µ±°,±lª«¦0¨g³0±¶×µ±l¿·ªÃÀ®,±Á
®§­6³0±ª±¬­µ±A«0²4­,µµ±@¯µ­²>
» t¯­,¤³0·€°¨/¶0±C®±³­,§W×c¨ª
±¬­,µÃI²;¨/¶0±Iª½×c­¶·>¹TÖ¶­²4­,µª±¯S«V®¥  ­®ª¯±¯W¨µ«­
ª/¨²‰¦¶0¨µ­,ª¤,­²4µ±°,±ª«¦0¨²;¨¶±¯­,§±½ªµ±»tÙG±®,©#±¶ÃÁ
©¥c¤,¯­,¤6³·S³0«0®©¨N«²4­ÆiªQ®¹W±×L«ºF¹«²4«¬­®,©«ºA®,±®ª/¨¯
¢ ¢ Ú Ò ´ «¹I±®,µ±¯µ·­¹W¨§¨©ª­Á
Î ÄÅ¥#§³0«µe´;ÚÛÛ ¢ ´e®» Û §«®,ª«©«c±¦§­6³0­,¶½Æiª®½F²;¨®®,¨²4«e»ÙG±Ö,ª±W²4¥N®©#±§±W®ªÃ
§±×c³0­µ«½@¤,¯­¤6³=¿¥³0­²S¹#¨§¨©ª­§«¤,±¯¨ªÃcÌG¥#µ© Í «­,º
R(M, T ) ´W¦±©¨¤·¯¨Æ  ­º ´#®i©¨©#±º{¬¨®,ª±ª±ºA§±×F³s¨/Á
Æiª®½Q¤,¯­,¤6³·¾²;¨®®±º
M ¯G²4±²4­,µª9¯§­²4­µ« T »/ÕH§­²x½
±ª®¬«ª·¯¨­,ª®½Z±ªµ¨¬¨¶0¨A±¿§¨¤,±¯¨µ«½M°¨/¶0¨©ª«Á
T
¬­®©#±°±D³0«0®©¨
» Q¥#µ© Í «½
R(M, T ) µ±§²4«§±¯W¨µ¨Fª/¨/Á
©«²_±¿§¨¤±²>´#¬ª±«µª­,°§¨/¶
Z
R(M, T )dM = R∗ (T )
Î £Ò
­®,ªÃ{¦±¶µ¨½@®,©W±§±®,ªÃ¤,¯­,¤³0±±¿§¨¤,±¯W¨µ«½ »#ÙG§±³0±¶Á
׫ª­,¶Ãµ±W®ªÃ ×L«¤,µ«~¤¯­,¤³ê³¨­ª®½~¯­,§±½ªµ±®,ªÃÆ
¯·>׫¯W¨µ«½
LS (M, τ ) ´¦§­6³s®ª/¨¯¶½Æ  ­,ºg®,±¿±ºu¯­Á
§±½ªµ±®ªÃDª±°±´W¬ª±c¤,¯­,¤6³s¨D²;¨®®·
M ­  ­iµ­9®±¸D¶0¨
®@ÏW¶0¨¯µ±º_¦±®¶­6³±¯¨ª­¶0õ±W®ª«S¯.²4±²4­µª.¯§­²4­,µ«
´W±ª®,¬«ª·¯W¨­²4·º±ªQ²4±²4­µª/¨N­,­i§±×c³0­,µ«½ » Q¥#µ©Á
τ
B(M, τ )
Î Ò
B(M, τ )dτ = α(M )
³¨­,ªM¯­§±½ªµ±W®ªÃM§­¨/¶0«¤¨ Í ««I¥Z¤,¯­¤6³0·`²;¨®,®±º
M
¥®¶±¯«º ´#¦±³¹W±³½  «¹F³0¶½¯±¤µ«©µ±¯­µ«½CÝNÞL»Åª±
¤,µ0¨¬«ª´G¬ª±‰¦§«^±¬­,µÃg¿±¶Ã¸F±²Ø¯§­²4­,µ«^׫¤,µ«
¤,¯­,¤³0·]ÝNÞX¯±¤,µ«©µ­,ª¹W±ª½Z¿· ©#±°³¨/Á…µ«¿¥,³Ã@®L¯­Á
±²4­,µª_¦­§­¹W±³¨I©g©W±W²;²4¥#µ«Á
§±½ªµ±®ªÃÆ
α(M ) »
©¨ª«¯µ±ºl®,ª¨/³0««€±¦§­6³­¶½­ª®½‰³­,ª/¨/¶½²4«€¦±¯­³0­Á
µ«½¾ÌG¥#µ© Í ««
B(M, τ ) ¯=¤¨¯«®,«²4±®,ª«S±ª=¯§­²4­,µ«e»
Õ>¨/×µ±0´0¬ª±A¯A¯­,§±½ªµ±®,ª«
α(M ) µ­F¥#¬ª­µzÌN¨©ª±§
©#±µ­¬µ±°,±Z¯§­²4­,µ«T׫¤,µ«T¤¯­¤6³0·N
» 9¿§·¯zÖ¯±¶ÆÁ
Í ««.«¤,Á ¤¨°,«¿­¶«Z¤,¯­,¤6³· ¨¯ª±²;¨ª«¬­®©«Z¥#¬«ª·¯W¨/Á
­,ª®½S¯¯­³0­,µµ±º.¯·¸F­CÌG¥#µ© Í «­,ºI¯·>×L«¯¨µ«½I¤,¯­¤Á
³0·
LS (M, τ ) »rÙG±©¨=¦§­³0¦±¶0¨°¨­,ª®½ ´x¬ª±.ÌG¥#µ© Í «½
B(M, τ ) µ­.¤¨¯«®,«ªS½¯µ±_±ª¾°¨¶0¨©ª«¬­®,©#±°,±_¯§­,Á
²4­,µ« ´ª±T­®ªÃ_¥W®6¶±¯«½uÖ¯±¶0Æ Í ««gµ¨_¦¶0¨µ­,ª/¨/¹Vµ­
²4­,µ½Æiª®½ » Ū±.²4±×F­ª*±©¨¤¨ªÃ®½.µ­,¯­,§µ·²>´4«_µ«Á
×F­H¿¥³0­ª9§0¨®,®²4±ª§­,µ¨k¦§±ª«¯±¦±¶±×µ¨/½D®«ª¥¨ Í «½ »
ÕH­,§±½ªµ±®,ªÃ9§­¨/¶0«¤¨ Í ««Q¦±³¹±³½  «¹D¥®¶±¯«ºQ®,¬«Á
ª/¨­ª®½ ´9¯±±¿  ­¾°,±¯±§W½ ´i¤¨¯«®½  ­º€±ª‰ª«¦¨g¤,¯­¤Á
³0·N» ¨© ´µ¨¦§«²4­,§ ´¶­°,©«­\¤,¯­,¤³0·I±¿¶0¨³¨Æiª¤µ¨¬«Á
ª­,¶Ãµ±@¿±¶­­F¥#¤,©#±!
º ¤±µ±º=׫¤µ#
« "´ ¬­²‰¿±¶­­Fª½Á
×F­,¶·­´/¬ª±G¥#²4­µÃ¸c¨­ª9¯­¶«¬«µ¥
α » µ±°,«­>¤,¯­,¤³0·
¦±¤6³0µ«¹J®,¦­,©ª§¨/¶Ãµ·>¹J©¶0¨®®±¯S¦§±½¯¶½ÆiªI¯W®¦·>Á
¸Q­¬µ¥#Æb¨©ª«¯µ±®ªÃ´rª/¨©×F­@¯­³0¥  ¥#Æ~©J¥#²4­µÃ¸F­Á
殒
´«@ª»#³7»
ᶫª­,¶Ãµ±®ªÃS©#±²;²4¥#µ«©¨ª«¯µ±º‰ÌN¨¤·XÖ¯±¶ÆÁ
Í ««ÝNÞl¤¨³s¨­,ª®½AÌG¥Wµ© Í «­º L (M, ω) ´W©#±ª±§¨/½L³s¨/Á
C
­,ªM¯­,§±½ªµ±®,ªÃ=®±¹§¨µ­,µ«½z©#±²;²4¥#µ«©¨ª«¯µ±ºIÌN¨/Á
¤,·b®,¦¥®,ª½u¯§­²x½
» Ū±
ω ¦±®¶­*­­*¯±¤,µ«©µ±¯­,µ«½ $
³0±W®ª/¨ª±¬µ±G¦§±«¤,¯±¶Ãµ¨/½LÌG¥#µ© Í «½ ´²4±µ±ª±µµ±N¦¨/Á
³¨Æ  ¨½{±ªc­6³0«µ« Í ·J³±Fµ¥¶½¦§«
¦§«©¨/×LÁ
ω→∞
%&%('
)+*-,/.0
123547689:76;; M <=?> :3@ ω A&B 1:(3C68&47DFEG8&H-IKJ > 2GL7H-2
E&2G4 > 8GLMH-23ON;EG;QP;48-N;; <
R 2GL7H-2@6;:$J2GJ P@N;;S4(E&:74M1T6812U2&J;LMDFE8-H-IUH8V
B
W;352 A&> 8-4723$X&9H&2 A DYX4768@Z:7[(2+E6:7W2&H-2 > DF\]323:76H
E > :(3:76;#X32^S62 A D$P2T:7[(2T2162&4(68962_J > :M1/LMWQ8-48-H-I
E AGB 1 B` :(3 <a H-;3bH > : A 2&E8-6;@3 B 1/2&E-P:7H-EG2 > @:7H+2GJ;QV
L78&6;:cJ2&J B P@N;;b4(E&:74M1ed B 6WN;:7\ n (M, τ, T ) X48V
1/8&f ` :(\_JP2&H-62GLMH&I > 8&L7J > :g1/:MP:(6;Q@_4(E&S:(4g1ZJ2U;QhK3i8GLgV
L78G3 M ;jE&2G4 > 8GLMH8&3 τ E_48-EG;LM;32LMH-;c2&HK[M8P8&WH-;9:MV
LMW2G[72kE > :(3:(6; T <&l 68m62 > 3; >B :(H&Ln@H8-W;3o2 A&> 8&472G3$X
9H-2k;6H-:([ > 8-PJ2FEGL7:(3p3i8&L(L78G3c;YELM:3cEG2&4 > 8&L7H8G3S1q8-:7H
J2&P62&:UW2-P;9:(L7H-E&2K47EG:74M1pES32G3:(6H T r
NS (T ) =
Z
∞
dM
0
Z
T
dτ nS (M, τ, T ).
0
sut&v
w 68-P2&[(;962XG1P@cH&2&[72_9H-2 DxJ :g1/L7W8&4(8&H-IKL 1I-V
A
>
B
A&B W8-^K12&\yN;EG;QP;48-N;;X#6 B ^S62z4768&H-Ip:7:SEG2&4 > 8&LMHX
LM9;H8@{2GH|6898P8|W2G3i3 B 6;WQ8&H-;E&62&\{dY8&47DYXSEG2&4MV
> 8GLMH}4(E&:(4g1D~E32G3:(6H€EG2&4(6;W62GE&:(6;Q@N;EG;QP;48V
N;;‚;ƒJ > 212-P^T;H-:MPIG62GL7H-I{^T;476;‚„7H-2G\…4(E&:(4g1D <
s‡† 23i3 B 6;WQ8-H-;E&68-@ˆdY8-48C32^K:7H!4(8&W2&69;H-IGLn@€P;QV
A 2‰J2ŠE&6 B H > :766;3‹J > ;9;68&3$XjP; A 2‰E > :(4 B PIH8V
H-:S[(; A :7P;Œ47E&:(4g1D vM< :7H >B 162ŽJ2G6Q@H-IX#9H-2zJ2GJ B P@QV
N;Q@TN;EG;QP;48-N;\KJ2-P62LMH-IGf!2&J;L7DFEG8&:7H&Ln@Td B 6WN;QV
:7\ n (M, τ, ω, T ) XQ1/8&f ` :7\zW2-P;9:(L7H-E&2ZW23i3 B 6;WQ8V
H-;EG6CD$hzN;EG;QP;48-N;\z2GW2-P2Z4(E&:(4g1L3i8GL7L72&\ M X/J2-V
@E&;E&;hLn@‘EbEG2&4 > 8&LMH&: τ 4(E&:74M1D’;};3:7f ` ;Qh€L72 A V
LMH&E&:766DF\cEG2&4 > 8&L7H ω ES32G3:76HK[M8-P8-WH-;9:LMW2&[(2_E > :MV
3:76; T <G“+B 6WN;Q@S62 > 3; >B :(H&Ln@_H8&W;3y2 AG> 8-4(2G3$X9H-2
;6H&:7[ > 8PzJ2TEGL7:(3e3i8&L7L(8&3b47E&:(4g1XJ2TEGLM:3C323:76H8G3
> 2^K1:(6;Q@Œ;yJ2zEGLM:3xEG2&4 > 8&LMH8G3xN;EG;QP;48-N;\o1q8-:7H
J2&P62&:UW2-P;9:(L7H-E&2KN;EG;QP;48-N;\jES323:76H T r
NC (T ) =
Z
∞
dM
0
Z
T
dτ
0
Z
T −τ
dω nC (M, τ, ω, T ).
0
s•”Gv
– 8&LMJ :g1:7P:76;Q@
>
n (M, τ, T ) ; n (M, τ, ω, T )
J2&P62GL7H-I&fh8 > 8-WH-: > ;S4 B f—HS4(81/89 B&<˜ LgPC; > 8&L7J > :M1:MV
P:(6;: nC (M, τ, ω, T ) ;47EG:(LMH&62X/H-2Xq;L7J2-PI&4 B @ŽLM2&2GHV
62G:76;: s‡”Gv X™32^S62!68-\H&; NC (T ) š W2-P;9:(L7H-E&2
†Y› Ee4(8-EG;LM;32GLMH&;}2&HCE > :3:76; <™œ 2^S62X$E&DFJ;L78&E
LM2G2&H-EG:7H&L7H-E B f ` ;:p;6H&:7[ > 8PDYX68-\H&;‘;e1 >B [7;:oJ2-V
P:(476DF:SEG:MP;9;6D r#> 8GLMJ > :g1:7P:76;:SN;E&;P;4(8&N;\ŒJ2
H-;J8&3O4(E&:74M1XJ2_EG2&4 > 8&L7H8G3$XGL > :g16;\cEG2&4 > 8&L7HY;]H < 1 <
 81/898ULM2LMH-2G;HYE+H-23$XG9H&2 D!68&J;L(8-H-I+L7;LMH-:3 W;QV
A
B
6:(H-;9:LMW;Qh B> 8-EG6:76;\#XW2GH-2 > D™3ŽJ219;6Q@fkHGLn@ > 8GLgV
J > :M1:MP:76;Q@ nS (M, τ, T ) ; nC (M, τ, ω, T ) XQ; > :7_;H-I
:7: <
ž#Ÿ ž#Ÿ¡p¢£¤¥Q¢¦¤§-¨¢¤ ©«ª¬Q­/£¤£¢® ¯°¯©±®«²¢¢
³ ­q¤ ³´ ¢‘¯°¯©±®«²¢¢‘²¢­/¢±¢ ³ ¬Q²¢µ
– 8&L(L732&H ;3eLM6898-P8+1E&: 2&P:7:UJ 2GLMH&DF:m481/89;
>
A
>
<
%
M
L
H
T
I
T
E
6
8
9
8
P
&
I
6
F
D
j
\
3
2
3
7
:
6
S
H
E
(
:
3
(
:
6
z
;
M
L
&
2
M
4
/
1
8
62
<¶UB
>
6
(
:
W
&
2
H
2
$
D
b
h
2
7
:
W
H
&
2
E
X
G
E
:
2
@
H
6
G
2
M
L
&
H

I
G
E
$
D
T
^
;
G
E
8
6
Q
;
@
N0
>
AG·
>
W2&H-2 > D$hT4(81q8-68Yd B 6WN;:7\ P (T ) <¸ 2&[n1q8Y2^S;1/8-:32&:
W2-P;9:(L7H-E&2Y„(H-;QhT2 A&· :7WH-2GEUEY4(8-EG;LM;32GLMH&;K2GHYE > :3:MV
6;z3:76@:7H&Ln@pJ2T4(8&W2G6 B
ºs ¹-v
¶U> 21;dYdU: > :(6N; > 2GEG8&E{2 A :‰98GLMH-; > 8&E&:(6LMH-E8 su¹&v X
6:(H >B 162Ž68-\H-;X9H-2 N (T ) B 12GE-P:(H-E&2 > @:7H B> 8-EG6:MV
6;f
N (T ) = N0 P (T ).
d ln P (T )
dN (T )
=
N (T ) = −Λ(T )N (T ).
dT
dT
‡s »v
a H-2TLM2G2&H-62G:(6;:—@E-P@:(H&Ln@Z2 A 2 A&` :76;:(3 B> 8-EG6:76;Q@
> 81;2G8&WH-;EG62&[(2 > 8&L7J81/81P@+LgP B 98-@m6:(„7WQLMJ2&6:(6N;QV
8PI&62G[72K4(8-W2G68EGD$^S;EG8&6;Q@ P (T ) <
¼
<Q¶UB L7H-I+E_6898PI&6DF\]323:76H_E > :3:76;c;3:MP2GLMI
8> GLMJ > :M1:MP:76;:z6:7W2&H-2 > D$hC2 A&· :(WH-2GEyJ2OE&2&4 > 8&L7H8&3
n(τ, T )|T =0 = n0 (τ ) <¶U> :g1J2-P2^S;3$X9H-2TLm6;3;]6;QV
9:([72S6:_J > 2&;LnhG21;HXW > 2G3:L7H8 > :(6;Q@ <=€> :(4 B PIH8-H-:
> 8GLMJ > :M1:MP:76;: n(τ, T ) AGB 1/:7H > 8-EG62G3: > 62—1EG;[M8-H-ILn@
E&J > 8-EG2 r n(τ, T ) = n0 (τ − T ) < :(H >B 162 BA :g1;H&IGLn@#X
9H-2Zd B 6WN;Q@ n(τ, T ) B 12GE-P:(H-E&2 > @:(H B> 8&E&6:(6;f
∂n(τ, T )
∂n(τ, T )
=−
.
∂T
∂τ
s•½Gv
– &8 L7L(32&H ;3ŒH-:7J: I+J2&J P@N;fx47EG:74g1  1:LMIY21V
>
>
B
<
62GE > :3:7662 > 8 A 2&H8-f—Hx2 A 8xJ > 2&N:L7L78X > 8&L7L(32&H > :76QV
6DF:mE&DF_:&XJ > ;9:3Œ1P@]47EG:74g1zL > 8-4MP;96D™3;j3i8&L7L(8V
3;]„(E&2&PfkN;@]J > 2GH-:7WQ8-:(HJ2&V > 8-4762G3 B&<l H&L7f?1/8X;3:7@
EoEG;1 B‘s‡»v ; s‡½v XiL > 8&4 B P:([7W2Ž4(8&J;L(8-H-I B> 8-E&6:76;:
1P@Od B 6WN;; nS (M, τ, T ) <= E&:M1@Œ2 A 2G47689:76;:1P@
P2G[M8 > ;dY3;9:(L7W2G\]J > 2&;4(E&2162G\
∂ ln LS (M, τ )
%(¾
,
−ΛS (M, τ ) ≡
s v
∂τ
J > ;E&:g1/:(3 B> 8-E&6:76;:k1P@ nS (M, τ, T ) WpE&;1 B
∂nS
∂nS
=−
− ΛS (M, τ )nS .
∂T
∂τ
“B 6WN;Q@ nS (M, τ, T ) B 12&E&P:7H-EG2
B LMP2&EG;f
%&%
s v
> @:7H¿6898-PI&62G3 B
%¼
s v
LM2G2&H-EG:7H&L7H-E B f ` :(3 B 2&H&L B HGLMH-EG;f‰47EG:74g1OEp6898-P:T;LgV
H-2 > ;;zÀQ8P8&WH-;W;#X8KH8-WQ^K:m[ > 8-6;9623 BZB LMP2&EG;f
%(Á
s v
nS (M, 0, T ) = R(M, T ),
4(81/8-f ` :3 B LMW2 > 2GLMH&I > 2^_1/:76;Q@!47EG:74M1 <ÃÂk> 8-E&6:76;:
%G%
%¼
%(Á
s v EG3:LMH-:OLy6898-PI&6D™3 s v ;ˆ[ > 8-6;96D™3 s v
B LMP2&EG;Q@3;ŒJ2-P62GL7H-I&fŠ481/8&fkHj1;68&3;W B 4(E&:74M162G\
J2GJ B P@N;; <
Âk> 8&E&6:(6;:$1P@Td B 6WN;; n (M, τ, ω, T ) J2-P B 98V
:7HGLn@€8-68-P2&[(;962 < – 8-4(6;N85P;C_IbEeH-2G3$X$9H-2eW2G3V
3 B 6;WQ8-H&;E&68-@jdY8&4(8KN;EG;QP;48-N;;p48-E&: > _8&:7H&Ln@]P;QV
A 2YJ2+:(L7H-:(L7H-E&:(66D™3 s EG6 B H > :(66;3 v J > ;9;68&3$X4(81/8V
EG8&:(3D™3CE&: > 2@H-62LMH-IGfˆEGD$^S;EG8&6;Q@ LC (M, ω) XP; A 2
;47Vu48c[(; A :7P;Œ47EG:74g1/D < R 2&2GH-E&:(H&LMH-E B f ` :(: B> 8-E&6:76;:
;3:(:7HTE&;1
nS (M, τ, 0) = 0,
∂nC
∂nC
=−
− [ΛC (M, ω) + ΛS (M, τ + ω)]nC . s
∂T
∂ω
%7'
v
ÄSÅÆÇ-ÈÅ#ÉÊËÍÌÅ/ÊUÎ&Ï&ÎGÏÐSÊÑÆÅQÒoÓmÎMÔ«ÈÕ-Ö×CÄÔÊÑØÌÇÙÚÙÛÙ
ÞßàáMâäã&ãGàgßà(åæ‰æ&çà7ã&èQßåæ&àæGé&æ&ê(åëçà(åèà
ßìí ìæ&îMë-ïèðYñèçàáMòæ&ó ôïæ&èê(ã&æßåæGó ΛðUCõ(M,
åòöèω)è
õåòöèQí
õ(ßæGã-ìà(ù-ã&æGïíà7ùbåëçëìâGåæ-ú
L
ø ü‡ãþñæñnà7åCù{æ&é&ïë-ê7æGãGë&åèQí’ÿQëìë&òù-èòè
C (M,
ñõ’
õGáMìω)
æ&ãG÷U
èûý
öèãGèQìèêë-öèócà àUåàYé $ìæ ü ÜÝ
nC (M, τ, ω, 0) = 0
èjî7ïë&åèçåæñõ]õágìæGã&èû
nC (M, τ, 0, T ) = nS (M, τ, T )B(M, τ ),
ü Ü
B(M, τ ) ÷
ü Ü&Ü !ü Ü ãñà(á7ù-àþá{åëçë-ìâ&å™ñè
ïë&ã&åà(åèQí
èƒî(ïë-åèçå™ñè‚õGáMìæ&ãGèQíñè ü Ü Œü Ü Oü ÜÝ Oü Ü ôæ&ìåæGá7ù-â&û~æGôèá FãGë-û—
ù 7ãGæ-ìû—öèû~òQë-ò ôæGôõìíöèè
ê7ãGà7êMß ùë-ò‰è‰ôæ&ôõìíöèèŠöèãGèQìèêë-öèó
òQë-ê FãGë-ú
÷ ë-å ë-ìèù-èçàMú
à7ùGání ê(ëß/ëçëŒèñà(à7ù5ôæ-ìåæGàzê(ëGñòåõù-æ&à
áMòæGà?ïà à(åèà ïíñæ&óTôæß/á7ùë-åæGã&òæ&óKñæ TåæYôïæ&ãGàMú
ïèù&â çù-æoïà ÷ à(åèQíOõïë-ãGåà7åèóyßìí5ïëGáMôïàgßà7ìà7åèí
èñà7û—ùSã&èß
nC (M, τ, ω, T )
!
LS (M, τ + ω)B(M, τ )LC (M, ω).
üÜ
æ&înßqëSñæTåæKêë-ôèá7ë-ù&â
ü : LS (M, τ ) = Θ[τ∗ (M ) − τ ],
ðUõåòöèQí5àMßèåèçåæ&î(æá7òëçòë ë
înßà
τ∗ (M ) =
ã&ïà(ñΘí@=Sèê(åèpê7ãGà7êgߎáYñië&á(áMæGó
M÷
ñæ Kà7ù
> õ7ß/à(ñƒá7çèùë-ù&âUçù-æðUõåòöèQí
B(M, τ )
éFù&âTðYë&òù-æGïèê7æGãGë&åë NC (T ) =
∞
dM
0
Z
T
dτ
0
Z
NC (T ) =
T −τ
0
dω R(M, T − τ − ω)×
LS (M, τ + ω)B(M, τ )LC (M, ω).
ü Ü'&
æ qçù-æjòæ&ìèçàáMù-ãGæ]öèã&èQìèê(ë-öèóŽíã&ìíà7ù&áníoìèQú
( èßå
åà(óå™ñoðUõåòöèæ&åëìæñzæ&ùUðUõåòöèè
ê(ëßqëú
û_à7óá7òæ&ïæáMù-â™ê(ã&à(êgßæGæ&é&ïë-ê7æGãGë&åèQí gèYR(M,
ß/ïõî7è*T)+) ðUõåòQú
öèóCñæßàMìè
ñà(ååæŽô
æ 7ù-æñõŒù-à7æGïèû{áMìàgß/õ&à7ùoåëú
÷ æG+ ó
ê7ãë-ù-â—ìèåà7óå,
æ&ïñõ(ì/ëSü Ü & ß/ë-à(.
ù -/0211™ïà à(åèà
ê(ëß/ëçècæKçèágì3
à ÷"$ø # ãKìèåà(óåæGñCôïèé-ì*è Kà7åèè
æ-ìõçà(ååæGà5ïà _à7åèà€ü 'Ü & Žôæ&ê(ã&æ-ìíà7ù‘èá(ágì÷ àMßæ-ú
ãGë&ù-â‘æ&î(ïæGñåæ&àŒòæ-ìèçà(áMù&ã&æ‘ïë&êMìèçå 4)ˆêëß/ëç€ßìí
ïë&ê7åæGæ&é&ïë-ê7å 4)_ñæßàMìâ&å 4)ZðUõåòöèó ù&æïë&ê7åæGæ&é-ú
ïë&ê7èà_èñà7à(ùpá(6
ñ ™ágìŒáMïë&ê7õpæ&î(ïë-åèçèù-*÷âj5 åà7òæGù-æ&ï ™ñè
ïë&ê7õQñå ™ñèŒïë&ñòQëGñè
7ù-æGóŒöàMìâGû‰ôïèyß/ë-ìâ&åà7óQú
÷ 7
,
àñoë&åëìèê7à$é&õ(ßõùUèáMôæ-ìâGê7æ&ãë-
å Oåà7é&æ&ìâ _èà?õôïæ-ú
à(åèQíjçèáMù&æSù-à )Qåèçà(áMòæGî78
æ )ë&ïë-òù&à7ïë
÷
⠌çù-æ
9 ë&ò òQë&ò àáMù-â æGá7åæ&ãë-åèí ôïàMßôæ-ì/ë-îMë-ù&
áMôà7òù-ïŽñiëGá7áUïæ Kß/ë&
û _è*)áníjê7ã&à(êgßoágì/ë-é&æTêë-ã&èáMèùTæ&ù
ã&ïà(ñà7åèxü õïGßèå %::Ü #á7ù-ï Ü &; </'Ü ;: qé&õ(ßà(ñá7çèQú
7
÷ñæ Kà7ùKé Fù-âTôïàMß/áMùë&ã-ú
ùë-ù-â Qçù-æSðU
õåòöèí
R(M,
T
)
ìà(åëKãKãGèßà—ßãG
õ )jáMæGñåæ Tèù-àMìà(ó R(M, T ) = R∗ (T )F (M ),
ü Ü';
9
ü QÜ înßà
à(áMù&â+ã+çèá7ù-æGñŒãGèßà™ãGà7ïæíù&åæGá7ù-âYïà(ë-ìèêëú
öèè!α(M
ôæß)G)æßí_è*)OõGágìæ&ã&èóOßìí!ã&æGê7åèòåæ&ãGà7åèA
í "$#
åëpê(ã&à7êMß/ë )yáSñië&á7á7æ&ó
ë
à(á7ù-âzôQìæGù-åæáMù-âzãGàMú
ïæíù-åæGáMù&èåæ&ïñèïæ&ãM
ë-ååë-íSb(τ
åë+)àMßèåèöõ Qæ&ôèá Fãë-û™ú
_ë-íYïë&á7ôïàgß/àMìà(åèàãGïà(ñà(å+ïë&ê7ã&èù-èQí 7åàáMã&íê(ë&åå 4)
íã&åæKáUñië&á(áMæGócê(ã&à7êMß > õ7ß/à(ñCùë&*ò _àUôïàgßôæ&ìë-îMë&ù-â ÷ èãë-åèíKöèã&èQìèê(ë-öèèSã+òæGñú
çù-æèSã&à7ïæíù-åæGá7ù-âYã 4S
ñõåèòQë-ù&èã&åæGóZðYë-ê(àFåà—á7ã-íê(ë&åëmíã&åæá™ñië&á(áMæGóSê7ã&à(êMú
ß$ù à
÷ ÷
ü LC (M, ω) = LC (ω).
æ (åà$ãGèßåæ ã—çà(ññæ&î?é 5êë-òQìûkçë&ù-â-ú
! à7óáMù-ãGèù-àMìâ&å
áníjñà )ë&åèê(ñbùë-òæ&ójê(ë&ã&èá7èñæGá7ù-è
( Fïë Kà7åèàUü '
Ü & áèá7ôæ-ìâ&ê7æGãGë&÷ åèà(ñjõôï
æ à(åå 4)
ã Fïë _à(åèóoßìí5ñæßà7ìâ&å 4)yðUõåòöèó5ñæ Kà7ùpé Fù-â
ôà(ïà7ôèá7ë-åæKãTãGèßà Qõ(ßæGé&åæñŒßìíjèåù-à7î(ïèïæGãGë-åèQí ìí+ôæ&ìåæGî7ækòæ&ìèçàáMù-ãë"$#!ôæ&ìõçë-àñpãFïë%_à7åèà
Z
÷
B(M, τ ) = α(M )b(τ ),
ôæGòë&ê Fãë-
û _à(ñ
õ -çù-æKèáMù&æ&çåèòæñOöèãGèQìèêë-öèóSíã-ú
ìíû—ù&áníoê7ãGà7êM߁èoãGà7ïæíù&åæGá7ù-âSßæáMù-è_à7åèQíòæGñiñõú
åèòQë&ù-èã&åæ&ózðYë-ê }ßqë-à7ùGáníjôQìæ&ù-åæáMù-âGû ãGà7ïæíù-åæGáMù&è
nC (M, τ, ω, T ) = R(M, T − τ − ω)×
åæGócôæágìàMßæ&ãë-ù-à7ìâ&åæGáMù&è
Ü&ÜÝ
înßà
åæ&ïñèïæ&ãGë&ååFó5åëoàMßèåèöõ5åëçë-ìâ-ú
=
å FózFáMô(M
à7ò)ù-ïz
ñiëGá7ámê7ãGà7êgß
â Yçù&æ ÷ ãGáMàeê7ãGà7êMß æßåæ&óäñië&á7á
> õ7ß/à(ñ‚áMçèùë&ù-
èñà(ûkù]á7ù-ïæ&î(æZæßåæSèzù&
æ _à+ãGïà(ñ?
í Sèê(åèŽåëSÿìë&ã-ú
Z
Z
înßà
∞
dM α(M )F (M )
0
ωmax (M )
Z
T
0
dτ b(τ ) ×
dω R∗ (T − τ − ω)LC (ω),
0
ü ωmax (M ) = min[T − τ, τ∗ (M ) − τ ].
ê ã
Fïë Kà7åèQíbü % ™ñæSåæ]ôæ-ìõçèù&âcðUæ&ïñõ(ì
ù-à(æ&ï+ èèB"Uïà7óðUà7ìQßùëú ÿ#èåQßèQìèá(ëpüC"Uïà(óðUàMìQß/ù' Ü;DÜE
ÿ#èåßèQìè%á Ü ;&Ü æ&æGù-ã&à(ù&áMù&ã&õ
û _èóSã FãGæßSî(ïæGñæGêMú
ßæGòcèjã FåàáMà(åcã D÷ 7 ïèQìæ _à7åèà ÞßàáMâKôæ&òQ%ë _à(4
ñ QòQë&ò
ãkôïàgßà7ìâ&åæGñŽáMìõ çë-à$ñæ _à(ù™é F÷ ù-âmôæ&ìõçà7åë—ðUæ&ïñõú
ìë ! ïà(óòQë
ïàgß/ôæ-÷ ìæ Sè4
ñ Tçù&æ Ü báMòæ&ïæáMù-â|æ&éGïë-ê(æ&ãGë&åèQí
ê7ãGà7êMߑåàŽê(ë&ã&èá7èùOæ&ùOãGïà(ñà(åè EF TãGá7àŽê7ãGà7êMß {èñàMú
ûkùyé&àáMòæ&åà7çåæGà]ãGïà(ñA
í Tèê7åè EG +ãGïà(ñíeïë-ê(ã&èù&èQí
ìû—é&æ&H
ó "$#~ñà7å
â àyã&æGê7ïëGáMùë5ÿQëì/ë-òù-èòè}êëb
ã FçàMú
ù-æñ…ñië&òá7èñiëìâ&åæGó ßìèù-àMìâGåæGá7ù-èäòæGñiñõåèòQë-ù&èã-ú
åæGóTðYë&ê 9 æ&înß/ëmìà(î7òæYôæGòë&ê(ë&ù-â çù&æ+ðUæ&ïñõìëSü % ôïèã&æßèùGán÷ ícòpã&èß/õI
NC = R ∗
Z
∞
α(M )F (M )dM
0
Z
∞
LC (ω)dω.
0
ü %
7à ïãFóTèåù-à(î7ïë-ìZãðUæ&ïñõ(ìà+ü à(á7ù-â+ãGà7ïæíù-åæGáMù&â
ï àëìèêë-öèè{ôæß)Gæßí_è*)ŠõGáMìæ&ãGèó{ãGæ&ê(åèòåæGã&à(åèQí
"$#2ÃõáMïàMßåà7ååëíeôæ5ãGá7à(ñ|ù-èôëGñ¿ê7ã&à(êgß
ã&ù-æGïæ&ó
èåù&à7î7ïëìxà(á7ù-âbá7ïàgßåíQíCßìèù-à7ìâ&åæáMù-âbòæᾱñiñõåèòQëú
ù-èãGåæ&ópðYë-ê 9 æ&înßqë
L÷
ü GÝ NC = R∗ ᾱL.
JJ'K
L3M%NIOP
TUQ [
TUQ W Y
γ
TUQ \
)0
TUQ W Z d_e klg m
γ
TUQ X
TUQ W X
γ
dVe fhg i
TbacTUQ W ]
TUQ W `
τ^ 0>*\U@
TUQ Y
d_e fjg f
TbacTUQ W \
T
0
TUQ
SFR, rel. units
TUQ ]
TCQ_Q
1.2
1
TUQ W Z
0.8
TUQ W Y
0.6
T
0
TUQ
TUQVQ
nGopqsrtIu8v wvxIy
z{}|~€I‚ƒ„†…3v%~~ˆ‡‰%c‡ŠŒ‹xs‰ {}|ŽU„v 
G‘ ‚’ ‘ ‰c„“_…”• ‘ ‡%z ‘ ‡‰%c‡Š–‹—€%„*v%‰%{}|8ŽU„v G‘ ‚’˜™Œv~~cv
‡‰%c‡ŠB‰š~›cxIzIw*z{œ…3v%~~vœs˜Ÿž _x ‘ w ‘ zv
zIv¡ŽU„v G‘ 
γ
‚

€›‚
v'‡ {G‰%vƒ¢€›‚v‡%v%ƒ8_xIy£~ƒ2€Izz›| G¤ z‚
F (M )
¥ ‘‘¦ ›ƒ8‰wv §©¨ ‘ |2„v‡%z{ª… ¤ wv%~ƒ8‚
v…«~€I‚ƒ„v˜
¬Ÿ­%® oŒ¯'p ­%°²±£®
³´6µ'¶·8¸–³ ¯¹º · qI» ­'¶ o¼o¯ ®
­½¾©³·%¿ ¯À
Á o*Âà JÄ ¶ oÅ °Œ½Æ­®
´4Ç ¼ ­%®ŒÈÉ ¯'p °Œ½ p¯ ½ ¯ ³®  ­ Á ® p ­ Á ¾ ¯
±$· º ­%®³¾A¸–³ ¯¹º · p ®Ê³· Á ¾Ë½.´ Á ®¿ o ­ ¯ ¶°
q*ÌÎÍ ³ ¯ É À
ᾱ
Í ®¶®¿ ¯ Á o*Â*Ï JÐ*Ñ ±$· º ­%®
³¾Ò¸–³ ¯¹º · Í ³ o ®Ê
³ ¯ ­ ·Ó­ ÂpÀ
Á ¾ ¹ ½ ¯ ³®  ­ Á ® p ­ Á ¾ ¹Ëp ´6¾ p ¶ªÇ Á ®Ç Í ® º ³· ¹ Á ¯¹ ´ ¯ ³ ¯ Ç
Í ³ ¯ É Í ®¶®¿ ¯ Á o* J o@r£Â ½¶  ӭ pc ® ¼¯ Á °3Ô³µDÊ
¾ ´ Í ³ o*À
Ê%¶ o ¿ ¯ Á o¯ ´ º?op ­ o Á ¯q
ÕÖjתÖØÙÚ
ÛDÜ,Ý*Þß*Þ*àâáIà8ã,ä6å Ü}Ù
æ,ä,çèáAÜ,ä,æ,Ùç,æ,éçèÞÙ
ê
éëä,ä
Ì ³· p¼¯ ­· Ï¢opÍ ®¶°È®½· ¶ pc Á · ¼ ·%¶° Á ¾ ¹ìpͯº ­%³
´}· pp Ƚ ¯ ÈÉ Í ®BÉI· ÁÁ ¾ ´îíB· ¹¯ ³· o ɳ q à Jï
ïï
Ä o È'· À
½ opo ´6® p ­%°½
³ ¯ ´ ¯ Á o ¿ o È Á o Ƚ ¯ ÈÉ Á ·ñ𶷽 Á ® ¹òÍ ® À
p ¶ ¯ É®
½
·%­ ¯ ¶° Á ® p ­ o ®­š´}· pp ¾$Ç}· ÍÍ ³® º*po ´ o ³®½· ÁÁ · Â
½–³·%Ê®
­ ¯ˆó µD³
É o Á · ÃUrôô J Ç pq*õö Ä q÷ ·–³ op%qSr$Í ® º ·%È· Á ¾
p ®
®­%½ ¯ ­ p ­%½µDÓùø o¯ ±£µ Á ºúoo
o
q
F (M ) τ∗ (M )
ó µDø ¯p ­%½µDÓù­Ò³·%È Á ¾ ¯ŒpÍ ® p ®Ê
¾üû ºDpͯ ³ o ´ ¯ Á ­ ·%¶° À
Á ®
Ô®ý® Í ³ ¯ É ¯ ¶ ¯ Á o*Âèo È´ ¯ Á ¯ Á o¹òp ®A½³ ¯ ´ ¯ Á ¯ ´ pº ®
³® À
p ­ o Ƚ ¯ ÈÉI®®Ê
³·%È®½· Á o*Â
ÃUþÿ ÿ ÿ Ç
R (T )
þ Ä q'Ì ®'É Á ®´ o È pÍ ® p ®
Ê®
∗½ ɶ  ½®
È´6®¿ Á ®©Ê®¶° Å.¯ Ô®
º ®%¶ o¼¯p ­%½
·È½ ¯ Èɡʶ o ¿8· ¹Å–¯ Ô® ® º ³µ¿ ¯ Á o*Âšó ®¶ Á ú ·
· Ä ® Í ³ ¯ É ¯À
à ®
ʾ ¼ Á ® opÍ ®¶°ÈµDÓ­ pc Ƚ ¯ ÈÉI¾ º ¶· pp ¶ ¯ ­ pcÂÒo*Ï ½
®È³· p ­'Ç· ¯ Ô®B³· pÍ ³ ¯ É ¯ ¶ ¯ Á o¯ ÉI· ¯ ­ þ à ½·%³®
ÔÇ Jï ö
ô íŒ°Ó po Á Ô ¯ ³ªÇ Jï
ïJÄ qÌ ®­ Á ® po ­ ¯ ¶° Á ® ¹
Á ®
³´ o ³®
½ ºD¯ Ç p ®
ÔS¶· p Á ®ý³·Ê®
­ ¯¡n ® ¼ · À £o Á ­%® à J'ïï Ä Ç
Í ®¶µ ¼¯ ÁÁ ¾ ¯ ±£µ Á ºúooÒÍ ® º ·%È· Á ¾ Á ·?³ op%q Ñ q 팾 opÀ
Í ®¶°È®½
·%¶ o ½†½
¾ ¼op ¶ ¯ Á o*Â*Ï µ p ³ ¯ É Á ¯ ÁÁ ¾ ¯@oAo Á ­ ¯ ³ À
Í ®¶ o ³®
½
· ÁÁ ¾ ¯ És· ÁÁ ¾ ¯¢o È¢³·%Ê
®­ ½·%³®
Ô· Ã Jï öô Ä
o 팰
Ó po Á Ô ¯ ³· Ã Jï
ïJ'Ä ÃÍ ® º ·È· Á ¾
Í µ Á º ­ o ³®´ Á ·
³ opq ÑÄ q ¸–³µDÔ o¯?pÍ ® p ®Ê
¾ ® Í ³ ¯ É ¯ ¶ ¯ Á oÂË
þ Í ³ o ½
® À
É Â ­ º Í ® Ï ®¿ o ´ ³ ¯ ȵ'¶° ­ ·%­ ·´ Ín ® ¼ · À £o Á ­%®Ç Jï
ï ! · Á È ¯ ­­· o ÉI³Ç rôô JÄ Ç p ½ o É ¯ ­ ¯ ¶° p ­½µDÓø o ´4Ç ¼ ­%® pº ® À
³® p ­%°ùȽ ¯ ÈÉ®
®Ê
³·%È®½
· Á o*Â ÉI® p ­ o ÔS¶·´6®
ø Á ®
Ô®´}· º*po*À
Mean value
1.4
TUQ [
QSR T
Meusinger (1991)
1.6
TUQ Z
TUQ W X
Twarog (1980)
1.8
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
nGopq Ñ t#"“v%‰ ‘ ~ ‘ …$› ~ƒ8yB~‚
› „s› ~ƒ ‘
›ƒ ‰S„s_…3z ‘ ˜
10
12
Time, Gyr
‡‰%c‡Š'›'›%$„v‡ › ‰%v%z ‘ ”
´6µ*´}· õ Ð ´,¶³
É q ¶ ¯ ­ Á ·%È'·ÉÇ Í ³ o û­%®
´ o Á ­ ¯ Á po ½ Á ® p ­%°
Ƚ ¯ ÈÉ®®
ʳ·È®½· Á o ʾ4¶I·–½ Á ¯pº ®%¶° º ®.³·%Ȉ½¾ Å.¯ˆp ® À
½³ ¯ ´ ¯ ÁÁ ® ¹q
¸3¶ ÂýÍ ³· º ­ o¼¯pº ®
Ô® opÍ ®¶°È®½· Á o* ¶ o ­ ¯ ³·­%µD³ À
¾
ÉI· ÁÁ ¾ Ï Ê¾4¶I· Í ®'É®Ê
³· Á ·è­ · º · Â Á ®³´ o ³®½ º ·
Ï
Á
þ Ç ¼ ­%®
ʾ p ®
½³ ¯ ´ ¯ ÁÁ ·  ´}· pp ·2Ƚ ¯ ÈÉŒÉ opº · p ® p ­ · À
½ o ¶·
pÃ—ó µ ¼º ®
½Ç Jï ö K
Ä q ¬Ÿ­%®ù®­%½ ¯¼ · ¯ ­ p ® À
8.7·1010 M
½³ ¯ ´ ¯ ÁÁ ® ¹?pº ®³® p ­ o Ƚ ¯ ÈÉ®®
ʳ·È®
½
· Á o*Â JJ q Ñ ½2Ô®'ÉÇ
½ŒÔ®'É q ¬Ÿ­ o ½ ¯ ¶ o¼o ¾ p ®
ÔS¶· À
o ¶ oÒÍ ³ o ´ ¯ ³ Á ®
5.5M ¯ ³®  ­ ¾ ´ o È · ¼¯ o Á ´ oBp ®½
³ ¯À
p µDÓù­ pcÂBp Á · o Ê
®%¶ ¯¯ ½ Á
Á
Á
´ ¯ ÁÁ ® ¹Œ
þ HÍ ®2¶ o ­ ¯ ³·%­µ³ Á ¾ ´ÒÉs· ÁÁ ¾ ´ t
(4 ± 1)M
½2Ô®'É Ã ó µD³
É o Á Ç r%ôô J Ç p%q 'J & r Ä q
( Á · ¼¯ Á o*²
þ ½ˆ³·%Ê®
­ ¯4n ® ¼ · )À £o Á ­%® Ã Jï
ï Ä Í ³® À
­ ·%Ê
µ¶ o ³®½· Á ¾Ë®
­
É®
´,¶³
É q ¶ ¯ ­ qó ®®
­ À
T =0
T = 12
½ ¯ ­ p ­½ ¯ ÁÁ ®½®
ȳ· p ­2Ô· ¶· º ­ o¼¯pº ®
Ô®.É opº ·²½³· p¼¯À
­ · Ï²Í ³ o Á o ´}· ¯ ­ pc ³·%½ Á ¾ ´ J r ´,¶³
É q ¶ ¯ ­ qÌ ÊµÉµDø ¯ ´
½ ¯ ¶ o¼o Á · þ òÍ ³ o Á o ´}· ¶I· p °@³·%½ Á ® ¹Œp ®
½³ ¯ ´ ¯ ÁÁ ®
´6µ
È Á · ¼¯ Á o Ó q
Ì º · ¼¯p ­½ ¯ ½ ¯ ³®  ­ Á ® p ­ o ³ ¯ ·%¶ o È'· úoo¢Í ®'É Ï ®'É Â*À
½È  ­ ·8¶ o Á ¯¹ Á ·  ±£µ Á ºúo* dz·½ À
ø oÏ µ p ¶®
½ o¹
α(M )
·
'
µ
¶
Ó
³
Ç Í ³ o
Â
Í
o
o J Í ³ o
Á
Á
M = 0.5M · ® ½
¾©ÊM
= 2M´6®­
®³
oÀ
+ ÿ,
q º ¹
M
> 2M α(M ) = *
α(M )
½ o ³µ ¯ ­ pc µDÈ® p ­%°Ó È® Á ¾«¿ o È Á oýo ½ pÍ ¾ Ŗ¯¼ Á ® ¹ · º*À
­ o ½ Á ® p ­%°Ó ´}· ¶®´}· ppo ½ Á ¾ Ï È½ ¯ ÈÉÇ ¼ ­%®ŒÉ ¯ ¶· ¯ ­B½
®È À
Á oº Á ®½ ¯ Á o¯ ½
¾ p ® º ®
®³Ô· Á o È®
½
· ÁÁ ® ¹ ¿ o È Á o ´}· ¶®
½ ¯À
³®  ­ Á ¾ ´ q ( Á · ¼¯ Á o¯ J ɶ Â
½
¾©Ê³· Á ®¡½†É® p ­ · À
2M³ É
­%® ¼ Á ® ¹3p ­ ¯Í¯ Á o.Í ³® o Ƚ®¶° Á ® .
q - ¯ Á Â*Â ½ ¯ ³® Â ­ Á ® p ­°
³ ¯ · ¶ o È'· úooBÍ ®'É Ï ®'É Â ø o*Ï µ p ¶®½ o¹ ɶ  Ƚ ¯ ÈÉ p ´}· pÀ
p ·
´ o ®
­ ôq õ É® r ´}· ppBó ®%¶ Á ú · Í ³ o ­ · º ®´ ½
¾©Ê®³ ¯
® º ·%Ⱦ©½
· ¯ ­ pc ® º ®¶® ôq ô
r*q
α(M ) ·
Ìòº ¼¯p ­%½ ¯ ±£µ Á ºúoo¡Í ¶®­ Á ® p ­ o ³· pÍ ³ ¯ É ¯ ¶ ¯ Á oÂ
½³ ¯ ´ ¯ Á ³·%Ƚ o ­ o*0
½
¾©Ê³· Á ·3±£µ Á ºúo* Ç*® p Á ® À
 /21
b(τ )
½
· ÁÁ ·  Á ·2´}· pÅ ­ ·%Ê o ³®½· Á oo@oŒp ɽ o Ô ¯ ±£µ Á ºúoo
b0 (τ ) = τ 2 exp(−τ ).
ÃUr K
Ä
· ³·´ ¯ %
­ ³®
½
É ¶  ³· p ¼¯ ­ ·
Ì ¾©Ê®
³ º ® Á º ³ ¯ ­ Á ¾ Ï Í b(τ )
­ °
Ó Í ³ ® o È ½®¶ ¯ Á q%3 ­%®
ʾ º · º*À ­%® p ® º ³· À
Í ® ¼ ­ o–Í ®%¶ Á ® p %
Number of civilizations
b(τ)
4568795;:,<.=>5?<A@B@CB%D<65EGFH@JIK9LMNO4PIQ<R>7STSS
0.8
0.7
0.6
0.5
UUWV
1400
1200
1000
800
0.4
600
0.3
400
0.2
200
0.1
00
5
10
15
20
25
00
30
τ, Gyr
XZY[\^]_a`cbed%fgihj)gkfJl?mon8f%pqmrjqsth
gKjvujqnwgx.yhWz8moz,lK{
`x
g?z?xWnmo|ZfWpJnfWhxnnbes}n8x~z8€f%m^j
yjn8z8hjgkp
xq‚?ƒn8f%s
„r… xq‚?b†hgkjvujqnzˆ‡hWf
‚?‰cŠ8zzŒ‹pJ€ ‚?f „ n8xql‚?z8nz,lCŽ.|z
xq‚?ƒCmrjg?n8xmoz?hWnbZjAhx
gkz8xWn8mob{
5
10
15
20
25
30
35
40
Time, Gyr
XZY[\ » _Zß#j
y.‚?ƒm^xWmrb¬gxp Ø jJmrf%hÂhgxqu … x'àـWgkf%pqmof%s
‚?zn?jJs8nf%sámrjqfg?zz|Èf%mrhj Ø xW‰cârz8jÀgx'ynbQuãgxpq€WgKjJ×
Ô%jv‚kjJn8z luäh
gkjvuPjJnÈgx'yhWz8moz,lÆåAæ^{©çz€8bˆ‚?z8nzswn?x
‡%mrf
uè~ÕgxWÖZz … jépJf%f%mrhjJm^pJm^hW‰cm†‚?z8nz lu2|z8pq€f
‚?ƒC×
{
yf%hxWnn8bQuên8x¯gkz8p'{
ë}Ԃlagx'y'‚?z Ø n8bàÖZCn … Šzs
b(τ )
‘ Y ‘’“”•–'••—C˜™š Y›œ ™˜ Y ™”‘• œ “ž Y[
Ÿ •. Y¡Y0Y šH– Y¢
£ •C‘ › š'ž [q¤ ¥o›'[ ‘ œ • œ ™” Y¦a¤ ” YœC› ˜ [ ™ ¡ ’C”•§©¨Pª™ ¡ ž œ ˜ ›J¢
“ › ” Y¬«qœ • ¡­¯®YY±°² ™”• œ8#³´C´ V ™Cµ eœO[ ••C‘ œ› ‘ [ ‘ œYY¬[
ª,•‘•C˜•§ œ ˜ › “ ¦ ˜™š œCY ‘ Y¦¶2· ”™¸ ?˜ ¤ – YŸ £ ¡ ™” › ‘W™ Ÿ ” ›
8• ¡¹ ”• [JY¡ ’”•2•C‘ ¡8Yº ™‘’ [
¦ •‘»2“ ¡ ˜C \¡› ‘ ° »2“ ¡ ˜C \
¡› ‘o¼ œ •š'˜™ [ ‘½#• ¡ ” ® ™ µ \¶ ˜• “ › ‘•–'•  ˜™ [q[ “e™‘˜ Yœ ™ ¢
­ ‘ [
¦¾[qY ‘ ¤ ™ ®YY¿[ ª,•˜•‘ª,•§ Y ¡Y ””•§¨oª™ ¡ •C§ œ ˜ ›J¢
“ › ” Ya«qœ • ¡­¯®YY; •. 8”™ª,•” › £˜•‘ Yœ •C˜ ›qº ™ ¥PY›¯œ ˜ › “ ›J¢
” YÀ«qœ • ¡­¯®YY ”8™ÂÁ › “ ¡›\ZÃA› ª,•‘•C˜ž ›©ÄA¤ ”ª ®YY
b(τ )
£•Cª,™š'™”ž¬”™r˜ Y[\Å]8\
X ™ [ £˜ › ›q¡› ” Y›
¡Y ‘ ›q¡ ’”• [ ‘ Y
ª,•C“e“ ¤ ” Y ª™‘ Yœ¢
”•C§ Ä ™šqžÆ—C˜™ ¡ • [ ’ œœY ›A[ £™% k™ ­¥o› § « ª [ £•” › ”‘ž _
LC (ω) = exp(−ω/Ω),
°Ç³CV µ
¡› \,¶ ™ª— ¤ › ‘
£ ˜ Yº› “ œ [J› –
k™A£• ¡ ™–J™ ¡ • [ ’
Ω = 1000 ‘
¦
[
›
Y
r
¹
›

œ
Y
º
'
›
[
£•
” ”•}”
žc—C•˜
ª Y ” › •C–q˜™” Y¢
Ω £˜™ª‘
ºYœ ™ › ‘o•C— ¥ ”• [ ‘’o˜ › š ¤.¡ ’W‘W™‘• œ\
à ™È˜ Y[\ »£•Cª™š'™”žÉ˜ › š ¤.¡ ’W‘W™‘žÊ˜8™ [Jº› ‘• œ¸œ ž ¢
¡
£• ” › ””ž ŸËœÌ¤ ª™š.™””ž ŸËœ žc¨ › £˜ › 8£• ¡ • ¹r› ” Y¦ŸK
œ ˜ › “ › ”
•‘ œ›qº ™ ­¥oY› ˜8™š ¡8Yº ”žÍ“Θ8™ [ £˜ › ›q¡› ” Y¦ “
œ
Y
Y
±
¦
2
¶
^
·
¯
\
¸
Ï
J
[
›
Y
œ
›
Y
'
›
­
Ÿ
˜™š
‘
ª˜
ž
“
‘
•˜•C¨P• œ žc˜™ ¢
¹o› ””žc§^“e™ª [JY “ ¤ “ C[Jœ¦ š.™””žc§ [ £ Y ª,• “}ÐÑÒ \²AY ª œ
ºY[J¡›®YœCY¡Y š.™ ®Y § ¦œ¡¦› ‘ [
¦G¡Y ” › §”žÍ“Ó•C‘ª ¡Y ª,• “
”™A” › –q• Y “• ¹o› ‘H—Cžc‘’2”™š œ ™” ‚?z8n8jqsnf%saÔ%jvuf%~ÕgxWÖZz8×
Ø jqp … f%sÙhWf
‚?n8f%s\Ú¡¦ • [ ”• œ ”•C–q• œ ™˜ Y ™”‘W™¿˜™ [Jº› ‘• œ
°[ £ ¡ •C¨P”™ ¦r¡8Y ” Y¦ µZ”™ [ ‘• ¦¥P›'›cœ ˜ › “ ¦°ÅU.³ “ ¡ ˜ \¡› ‘Cµ
£•C£™% ?™ › ‘ œ •C— ¡ ™ [ ‘’r“e™ª [JY “ ¤ “e™ ¡Y ” › §”•C§ › “•–'˜™ ¢
ÄAYº›.[ ª,•§ œ • ¡ ”ž \
Û —˜™ ¥ ™ › ‘”™ [q› — ¦¬œ ” Y “e™” Y› ˜™šq” Y® ™ œ ™ [JY “ ¢
¡¦ ˜™š ¡Yº ”ž Ÿ
£‘•C‘ Y ª™ Ÿ £˜ Y —C• ¡ ’C¨ YŸoœ ˜ › “ › ”™ Ÿ
T ˜™ [ £˜ › ›J¡8› ” Y § \ÏÆ[ ••‘ œ› ‘ [ ‘ œCYY[2Ä •˜“ ¤.¡ •C§ Ú ˜ › § ¢
ª™  ¡¦¬¤C[ ‘W™”• œYœ ¨ › § [
¦ ÐÑÒ [J¡› ?• œ ™ ¡ •Ü—žÉ• ¹Y¢
?™‘’¿•. 8”•C§ Y ‘•C§ ¹o› ™ [JY “£‘•‘ Y ª Y ” › š'™ œY[qY “•¿•‘
œ ˜ › “ › ” Y ˜™š œY ‘ Y¦;\¸Ý ‘•C‘ «'Ä2ÄA› ª‘ [Jœ¦ š.™” [ ª,•” ›qº¢
”žÍ“ œ ˜ › “ › ” › “ ¹^Y šq” Y š œC› šÞ  ª,•‘•˜žc§ Ä •˜“ ¤.¡ •C§
Ú ˜
œY
œ ª
› § ª™Í” ›¸¤,ºY ‘ž œ ™ › ‘ [
¦;\'Ú¡¦ ª,•˜•C‘ª YŸœ ˜ › “ › ”P˜™š ¢
Y
‘ ¦Ù¶2·
“•C– ¤ ‘飕 ¦œ¡¦ ‘’ [
¦ •Cª,• ¡ • ¡­ —ž Ÿ š œ› šÞ 
¡­º ™ ¦ ª,•˜•‘ª,• ¹Yœ¤,¥oY› “e™ [q[qYœ ”ž ›CKœ ‘• œ ˜ › “ ¦
ª™ª£˜ Y —C• ¡ ’C¨ YŸAœ ˜ › “ › ”8™ Ÿ ˜™š œY ‘ Y¦ £•. Ÿ •. ¦¥oY “ Y
¦œ¡¦­ ‘ [
¦ ‘• ¡ ’Cª •Hš œC› šJ 8žª ¡ ™ [q[ ™Hì Y —C• ¡›'› £•CšÞ 8” Y›\
½ « ‘ Y “ YP[Jœ¦ š'™”• ¤ “ › ”’C¨ › ” Y›ZºY[J¡ ™ ¶2·Oœ ™ [JY “£‘• ¢
‘ Y ª › ¡¦ —C• ¡ ’C¨ YŸ¿œ ˜ › “ › ”阙š œY ‘ Y¦;\Ý ‘ Y “ ¹r› •— ¢
[ ‘• ¦ ‘ ›J¡ ’ [ ‘ œ •C“í•—Cî ¦[ ” ¦› ‘ [
¦ ˜™š ¡Yº ”™ ¦Üœ ž [ •C‘W™0 ›J¢
“•–'˜™ ÄAYº›'[ ª YŸœ • ¡ ” \
Û ‘“ › ‘ Y “ º ‘• eŸ •‘ ¦ š'™ œY[qY “• [ ‘ Y ”™Â˜ Y[\ »}£• ¢
[ ‘˜• › ”žï ¡¦ • º› ”’Ó•C–q˜™” Yº› ””•C–q•w”™—C•˜™í£™˜™ ¢
“ › ‘˜• œ8[^YŸ £•C“• ¥ ’ ­ “• ¹ ”•£• ¡¤,ºY ‘’¿• ®› ”ª Yܜ
˜™C“ª,™ Ÿ “”•C– YŸ 8˜ ¤ – YŸ¾[J®› ”™˜ Y›qœ8\𠙪  ™“£ ¡Y ‘ ¤ ?™
ª˜ Yœ ž Ÿ — ¤ › ‘P£˜•C£•˜ ®Y •”8™ ¡ ’C”™ [ ˜ › 8” › “ ¤œ ˜ › “ › ” Y
¹Y šq” Ya¶2·ê° £™˜™“ › ‘˜
œPÄ •C˜“ ¤.¡›o°Ç³CV µÅµ Y £˜™ª‘ Y¢
Ω
º›.[ ª Y ” › š.™ œCY[JY ‘0•‘ Ä •˜“ž ÄA¤ ”ª ®YY
k›.[Þ¡Y
LC¶2(ω)
¡
q
›
º
r
›
Y
›
œ
›
›

Ÿ
¹
Y
Â
Y
^
·
K

[ ˜8™ œ¢
‘• ’ª,•a˜
’¾”
‘©•
˜ “ ”8™
šq”
Y
a
Ÿ
¯
[
œ
›
›
›
C
œ
Y
Y
a
¦
Y
¡
0
Y
œ
[
” “ž
˜ “ ” “ܘ™š
‘
•š'˜™ ‘•C“éñ™ ¡ ™ª ¢
Y
;
Y
\
ò
¡
Y
¤
Y
œ
Ÿ
¤
›
‘ ª
“£
‘ ?™ª˜
ž
— ‘^‘W™ª ¹o› £˜•C£•˜ ®Y • ¢
¡
J
[
Y
¡
¤
”™ ’”™a“e™ª
“e™ ’”•C“
šq”™ º› ” Y­Ëœ› ˜• ¦ ‘”• [ ‘ Y ˜ ›J¢
8
¡
Y
®
Y
Y
Ÿ
¦
P
¥
Y
}
Ÿ
C
¤
[Þ¡ • œY § \Q¶ ˜• “ › ‘•–'• [Y[Þ¢
™
š'™
£•. •. ¡
œ
Y
›
A
Ä
¤
®
Y
Y
Y[\Å] š.™ œCY[JY “• [ ‘ Y
£• ’š'• ™”
“
ӻ
§
b(τ ) š˜
Y
[
\
¹
¤
Y
»G“•
”•G–q˜ —C•
”‘ › ˜£• ¡Y ˜• œ ™‘’ Y
NC (T ) ”8™¿˜
¡
¦
¤
Y
0
Ÿ
œ
›
›
C
œ
Y
Y
;
¦
\
A
ó
[
8˜ –
˜ “ ”a˜8™š
‘
”• ,º ‘• œ š'™W ?™ º› •
ºY[J¡›©®YœY¡Y š'™ ®Y §O• º› ”’ œ ž [ •ª™ ¦ ‘• º ”• [ ‘’G£•Cª,™
” › ‘˜ › — ¤› ‘ [
¦;\ ² ˜ Yœ› › “飘• [ ‘•§a£˜ Y “ › ˜ Y[ £• ¡ ’Cšq• ¢
œ ™” Y¦ ˜ Y[\ » \?²A¤ [ ‘’ [ ˜ › ?” ›q›rœ ˜ › “ ¦¹Y šq” YG®YœY¡Y¢
š'™ ®YYr[ • [ ‘W™ œ¡¦› ‘ U.´´´C´´ô¡› ‘  ”•H“e™ª [JY “e™ ¡ ’”• › š'”™ ¢
º› ” Y›œ› ˜• ¦ ‘”• [ ‘ Y ˜ › ™ ¡Y š.™ ®YY £•. Ÿ •. ¦¥oYŸ¤C[J¡ • ¢
œY §P” ›AU ª™ª « ‘•A£˜ › 8£• ¡ ™–J™ ¡ • [ ’ œ ˜™ [qº› ‘ › ™ ¡Y ¨P’
´\U\,ð •C–
?™r™“£ ¡Y ‘ ¤ ?™rª˜ Yœ ž Ÿ ”™P˜ Y[\ » ¤,œ›q¡YºY ‘ [
¦
œÀU'´´ ˜™š0š'™ [Jº› ‘}˜• [ ‘W™ œ ˜ › “ › ” YO¹Y šq” YOYO¤ “ › ”’ ¢
¨ Y ‘ [
¦œÈU.´ ˜™š0š'™ [Jº› ‘ ¤ —ž ¡YœC› ˜• ¦ ‘”• [ ‘ Y;\õ[Þ¡Y
£˜ › 8£• ¡ ™–J™‘’  º ‘•r– Y £•‘ › š'™ ¤ ” Yœ› ˜ [ ™ ¡ ’”•C§¨Pª™ ¡ ž
öö.÷
ýþÿÿ'ý
rýÿ'þqþ
!ÿ"
¾#
ý $&%'Pÿ'ÿPýCþ
ÿ (%Â#
ý )
,+
ÿ *
,-/.01
!
ö 23223254687:9 ;:'1 þ $ 7qö <;=*"(
ýÿ'
þ &%Cÿ
þ 3$$&%
ÿ *>.
,>?@P
ÿ ?A3
ý =
!
BC 2 $qý 7 ÿ $DE$!*F
þ 0E#3
3
ÿ ÿ #!G
-C 232 $qý 7 ÿ 7
HJILKMIMNPO(Q:RST;U3VXWVYZRFWR[\:VW3R]^V_(_(R[R`[&V!\aVbMSOMc
d T;WbJR[3ReQ(f:RO:W=gR!hjiaT;_(OMklhmOMU3_MOnOoiaOM_:V!c
YZOMbJVjQ:RQ(p!\(krq(O(Ots5u
v w
$D<8þ-þÿD*
D
$1ÿ=ÿ3$D1+3$D
G
ý?x
þ3ÿ%x'ý
yFþý=*%'w<5Gý3G
46 zn
C
ýÿ
þ=%o
, ÿá
ý;J$ ÿ?{$
þ|DG
ÿ=$D!*$D 7&} 8
* ÿ?$D
ý3
ÿD
1;$Do
ý3
þ
ý3:&,-0~:3€þ3{‚
þÿ'þtDGƒ
=ÿ%P
' ÿ3$„%z!3$:ÿ$<8
!ÿ?F… 7† ýÿDG
*;:‡;$ˆ
C
ý%‰ÿ%$„%J
ÿ=$ˆ
ýCÿqþ‡
ÿŠ$G
:3$‹
3$DC
ý3ŒD
ÿ$D!3m
þ3$„<3&,>8
* ÿ%
,-mŽC
ý 232 B3… 7
} 3Œ$D
!ÿ*Z
ÿqþý3&
% ý
ÿ%+,->
þ
ý33tÿqþÿ<3=8
* ÿ^ýx)
,
ÿy' ý
%JJ
þ
ý3G
*%'>%‘©
ý3
ýCÿ 46 !>
ÿ<8*^o
, ÿZ
ÿ
7
:‹
Fx&1;$„% ;$ˆ
ÿ/
ý3Œ
ÿqþÿ<3=*Fj
ÿDG
0’$‘q ý
þ!P
' ÿ?m,-13n8
* ÿ
%$„%“58
* ýÿ
ÿC
þ 7
} ÿ'þý! ý<;=*Z' þ3:C
ÿ"$ˆ
Z
ÿ&Z!G
C
þ0"<5,-0
1 ý3

ý#
þ3
ÿ$J$ ÿC
ý-
ÿqþÿDG
<3=*^=
ÿ;J$ þÿD*F$D
ýÿ
ÿ'þÿˆ*-x<;=*
$D
1 ý
' ÿ
þÿˆ*.3
3ÿ$D!3?zq ý3
7” w&<‘
G
ÿ&<‘35$D,
< þ5Ž$;$D13•*><;
þ
ÿqþG
32
ýþÿÿ-$
ÿqþ:J3!
C 232 (
7 ÿzŽG
C
ý3 22 B3…–…J&
ÿ$„%8q ý
%>.33$A
ÿqþ0 7— $ˆ
ýÿ'þ#r
, ÿ-Š
ÿ#Œ$D!P
' ÿ=$D
ý3
ý;‡!
ýCÿqþG
$
1?-@w
¬
0 ýþÿÿ‘q ý3
J!w<‘
ÿDG
<j$>33$
ÿ
1/
ÿ.
1@¬þC
. þ3$3˜¾
ýCþÿDG
ÿ™‚C
þ3%!*F!m@
þá
0 þ$
þÿˆ?
* ÿD
ÿ% b(τ ) a
… ý3DG
46879 3$%™q$ þÿˆ*
ÿqÿÈýCþÿ(%Ìþq ý3%•*
!3a:!
ý?0€3$D
ÿAC
ý5
ÿqþÿD<3=*^
Œ*
,-m
þ
ýCÿ$š‰:'O
? ý3$0@w,
ÿ©þ!a
ý-)
,
ÿ 7 
!ÿ‡*8ÿ=:' þÿ$D?‘J!G
C
þ0?5.8
* ÿ=‰c
0 ý315›MœžŸ y¡~¢£¤3ž„¡+
ýz3
ÿ
w
ÿ?3?z8
* ÿ=:' þÿ$D!3
? ý
0J$ ý%=?‘$
a$::3š¥¦(§ 7
} Èýþ!¨ÿþ ý<;=*%“
ÿ0©$þG
:þC
ý3
ý@w
ÿ$„%m3$D
ÿA
ý35
ÿqþÿ<3=*FJŒ!G
Cþ0"<#'ý
%#.33$Aÿqþ0e&ÿ$„%53Œ$qþG
A3$D
ÿ<#C
þ:þC
ý3% 7ª 8
* ÿ=$D^
1 ýþÿ(%¾þ' ý%
*À
ý3
ýCÿ%‰,-e
þÿ$Ó
þ
ý3“;G
&
.
ÿ=$D!?>0«¬$
ÿD
1
þÿ=
1>$D
ÿ'þ: 7r9 *%#^
ý;J$ ÿ:3 ª ÿ=(
%#
þG
*
ÿD,-‡­
ÿ ýC
þ?š!
ÿ
þJ:&š
þÿD*.
3ÿ=$D%5' ý
%‡A
ÿ?‡
þÿ=$D
3$D!$D
ý
ý;
7
” ?!*?ÿ®!
ÿ$ý 46 ý‡)
,ÿA$A;ÿ;
ý3ÿqþÿ<3=*F 7&¯ .3&ýE!
ÿ$ýý
G
øùú?û%ü
?j‘
ÿ<5ÿqþý?jGý3þ3?ŒÿCþj$G
ýÿ3$D
ýCÿ8 N (1) (T ) N (2) (T ) !"°
C
NC (T ) =
(1)
NC (T )
+
C
Ž ÷ …
(2)
NC (T ).
 þÿˆ*F
D%J*
A
ÿD
133$1w
ý3Z
ÿ'þÿDG
<3=*^A)
Š:5ÿ13@Pÿ-@wþ0ˆþ$þÿD*8ÿDG
ÿ0
% ýCþÿÿa
þq ý3% b(τ ) :&,--$18G
ý0?j
ÿqþÿD<3=*m:C
ýÿ0E 7y¯ .&‰:;ÿ/G
C
ý3
ÿ'þÿD<;=*F T 7&± „*F:&,-31
0
(1)
ÿ$„©
% ýc
0 þo
, ÿ
ÿ"°
N (T ) *F
C
(1)
NC (T )
=
Z
dM F (M )α(M )
Tmax
Z (M )
dτ R∗ (T − τ )×
T −T0
TZ−T0
„*8ÿ
0
b(T − T0 − ω)LC (ω) dω,
Tmax (M ) = max{min[T, τ∗ (M )], T − T0 }.
Ž²3…
³ þ:=
xŽ²;…©%ý
%ÿ$„%/.3.'oÿÿ­þ:=
0G
!ÿ? }Z7(97(± þ’ ö ² ÷ö …Dr;3þ0?Š$$D
ÿDG
*C
ý3
x*3:j=
% 46 ý/
þÿˆ*F
&r
, ÿ
=*3
þ‡´:
ýCÿ
µ ý3
ýCÿ%5,8DG
é
ý5)
,
ÿ 7J} þ:=
ÿ ± þ3!#
ÿ-;0"G
ý3
$1
ÿ'þÿÿ;$D1+¥¦:§W
ýCþÿ(%,8 46 $G
;$D18$D
þ3-$D
þ
ý;0EAÿD
$1-
ÿ!3
þc
0 ÿ
*8þ!
ÿw!
þ3P
' ÿ%JF‘$D!1A
þÿD*
&o
, ÿ3?Œ:=8
* ÿD
.0"
F?A,oÿ 7
} c
0 þr
, ÿ
ÿ*
% N (2) (T ) :&,-#
!1/3G
C
‰•o
, ÿ3E¶¶3$
ý3!·C
þ:=
‰*
%•$ˆ
46 ýŠ
ÿ?3?t
ÿC
þ¬ ö'÷ …ˆ
&,-
ým
@w1¸
D
Fÿ$?/*$DŒ&
x
þ:þ
ý;1;$„%#
13;
ý:3ÿC
ý3E
ÿ'þÿD<;=*F T 7 A
 þ>;x;$D
ÿ$„%
0
$D
þ
ýCÿˆ*
ý?C
þ:=
+ ö.÷ …DÍ
ýýÿqþ;<<
þÿD8
* ÿD
F<
ý3q
$ ÿD<‘
ÿ' þ
ý>;,8-ÿ1 T T − T 7
0
” é
–
7
¹
þ$
þ
ýCÿˆ8
* ÿ0 þÿ
1&0 þ$ÿC
ýj*G
3:-$D
46 þ
ý3
ýCÿw,-
ý+G
C
ý;‰ÿqþÿ<3=8
* ÿ>)
G
ý#
þÿˆ*F
&r
, ÿ T =
0
7 ÿ 7(º 5$D
5$D3
ýCÿ$
ýC
ÿ#
ÿ,
ÿ>$G
6 (
þ3* Œ*
ÿD
133$“
þÿD*.
3ÿ=$D!?‡q ý3
Š
þ
ý33?Z
ÿ
ÿŽC
ý 22 B3… 7=¯ *!G
$D!
1C
þ3$D!C
þÿ%Z
þÿˆ*.3
3ÿ$D!3?' ýG
/DGƒ>
þÿˆ*.3
3ÿ$D!3?‘$D
ÿ'þ:/
ÿDG
ýÿ=$D
ÿ+w
ÿ' ýÿ$&o
, ÿ¸$D
Z
þÿˆ*.3
3G
ÿ=$D!?/q
ý3
Ja
ýCÿD
¹ (
þ3* 7 ÿ‘:&,-
$D1/*F3$DŒ
þ3q ý3
13? 7 A
 þÿˆ*
D
ÿG
$„%˜r
, ÿ©š$
þ
ýÿˆ*
ý3m3
ÿ=Š!
ýÿ'þ$
1G
3?‘@w
Ù
0 ýþÿ=ÿAq ý3
J! 7 ÿ 7 þ$
þÿD8
* ÿD
ÿ
ÿ
$
0
c
ý3
ÿ$„%¶J
$
þÿD*
ÿ?¶
þ
ý3?• þ$ 7–»7 v %
b(τ )
$ þ
J
ý
ÿ%“G
þ$ 7–¹ &o
, ÿ0þ$ÿ}
ýj
þG
$D?Š
ÿ??š:=?
* ÿD
7:± :‡q ÿ:%“
ý3
=G

% ýw
þÿˆ?
* ÿD
r
< þ:0"<8' þÿ@3$
ÿ?-3
$1
„8
* ÿG¼À
ý.
ea$:a­C
ýŠE:&,-
½-¾¿ÀÁ:¾JÂ!Ã=ĖžFÃÆÇÆ3Ç&È-Ë¿¾ÉxÊZÆDËrÁMÌÍΚ½wËyËÏÅÀÐLÐÑÐ
ÒÒ=Ó
Number of civilizations
yzN{Z|H}m~xm|H€xmG‚„ƒ$|H…Y†x~‚
Self-consistent origin of life
3500
Post transition civilizations
Uniform single-planets origin of life
3000
2500
2000
1500
1000
500
00
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Time, Gyr
ÔPÕÖ×+ØÙ>ÚÛÜFÝDÞÜFßàlá=ÛÜßâÛã;ßtäå=äæ=çàFèÛÛ®éZêëäìFÛ
í åîÜÛã3Üå í ÝÜÛÛ`ï•Û!îÜÛ í¨ð ßç^ßãñ>Ûã;Ý í äì^å&èÝòó
ò݊ò„ßâ+å&òåôõç^ßòDå í ßÜÜåô‹å­öMßîå í åô‹å­äF݃ìr݄÷åá&ߘòDäæ;òDñà
ø âçì^áùç^Ýñoäåòõç^ÝEÜßúßç^ßöPå–ì;âÛìFå í ßÜÛ;à/ôˆßç^ßã3ñÛó
úÝòãåô‹åAá=ÛFòDã3ß/ۓÝÝ-òƒìß í ÜFÝDÜÛFÝò8äìFåòDñ>å&ÞxçFÛÜFÝDÞÜå&Þ
á=ÛÜFßâÛãå&މäìFۉäå&òñåDàFÜÜå„âûöPå–ì;â+ÛìFå í ßÜÛۓéêüò
í ìrÝõâ+ÝDÜFÝõâtìßî í ÛñÛ!à‘ý#âçì^áùrç^Ýñ8ù
ÖDþÕÿÿ>
Ö!þ
;ÖDÿÿ;ÖDÿ3Ö
mÖ
×!"
#$!"
3Öÿ%
ÕþÕ&'$(#
)
T
* "+,-$ * .0ÕþÖ/0 * "1Õ/&231Õ-
0465-17&×
89/:-+, ÿ;3
Õ0+,
m
Õ'+,,;<× =,$ * $!# ÿ
ÿ>/
ÕÿÕþ Ö/0? Ö Õ/Ö@
Õ
:
Õ'-
Õ&)
:
Õ'A-
ÕÿÕÕB11
C ÕÕD898
E ×
F -GH/&/'!# * Õ&;
Ö0A$/07B3ÖÖ-Iÿ)
Õ$76+,=ÖJ$+,-6+K!"
LÿJ3ÿ
Ö
/M1&,
ÿ
Ö.N:
Õw
O Õ,a
ÖP613
ÖQ.9 * 1-7+KSR&K/ÿÕ
/ ÕL/L5;! Õ
ÕJ×89/T3
Õ0+,
­
Õ
ÕÖזØ%VU O>¬þ3ÖDÿ689EA+
Ö
l
7 ֘ÿ/Õ:
Õ
1&,
ÿ:ÕHW1 ÿÖPS13
ÖB.9 * '
1 Õ/&×YX+)
/,H/&/
Õ&+,
5
Õz
ÿ * '!>2
ÕÖ0
/&yÖ(# Öÿ0
4 ÿ
1&,
ÿZ5 ÿ'/&ÿ * ÕÕH&
>/0
ÿ7B89E[-
Õ/&)
4ÿ#+,2.9 * %
1 Õ/&&73
ÿ-#
Õ&‘
7 þÕÖ"3
ÿ
3
ÖÕÿ
-
Õ/0
×\N5 ÿ$N
>
Ö]0
;
ÖDÿš
4 Ö/0-ÿ
7
+ Õÿ3ÖP9
Õ#.9%
1 Õ/>@1O^
3ÖDÿ(#-
Õ&
Õ'+K(#-"
×
_-/
4 þ-
Õ`5 ÿ * +,,EÖa+,,'+,
$ ÿ)
+ÕþÖ/0#$þ,
Õ3×Wb#;17+/;5->!8Õ)
Õ>cJ-
ÕE
Ö(# Öÿ-
N
Õ
9+,= ÖN
1 ÕÖ,3Ö2 * '
!
ÿ
&&d
+ Õ
:Õ/&×ef$/&7
Õÿ * g.NIÕ-Ig17+hS
/ Õ,f
-O%)
ÕL.9/ÿe
1 ÕÖ-
Z.N
$
* Õþ= Ö
/ Õij
1
Õ5ÕÖÖ,+,
ÕÕ'-/
C ÕÕD11
C ÕÕg89Ek
"5ÿ
ÿ
O^
Õ2.9/ÿ3$l
mO^
Õ"-^$
/ Õ2
Õ
-
ÿ-
ÕÕy×`nN'.N$por
q Ós^3
Õ0+,
,a
þÿ
)
(1)
N (T )
ÕÖDÕÿ#
Õ
-
>
ÿ>/&!>+,A
Õ9$+,,
73C
.N0
/
C ÕJ
×
\N5 ÿ$:1S3
ÿ
O#
Õ4t/l
ÕÖזØu
v3
Ög-$)
þ
Õ&HP
Öa+,,
B/Q
ÕÖ×Pw; * m
Ö Õ‰Ö3+, * Õ:
Õ
ÖC
Õ&:
Õ?54x
C ÕÕD898
E ×
‡iˆŠ‰KˆW‹DŒGŽG$ŒGG‘AŒA’G“$”•$Œ0––‘˜—D’G”,’W™0$še•GŽWŽu›H”K–œ
 ŽWž$Œ0–›GŽWŸ:•WŽG—KŽi$ŽW ¡&•GŽW
xÕ!>
NO^$
Õ
+
ÿ
ÕÕ9Ö1+,)
-
Õ&
Õ
1ÕÖ4m(wÕm!>+,
ÕÕ
B(M, τ ) L (ω)
!-Õ
2/0I$0
Õ/&ÿCÕ
7?CÕ3Õ&ÕCÕi1+,1,)
( Õ:
ÕD
ÿ * ,/ÿÕþ= Ö/0 * "$
Õ
* ÕÖ2
^-ÕÖP
Õl
Y
ÕT/03
Ö
c þ-d/
Õþ= ÖDÿ“
Õ$-4)
( Õ;
w
7 ÖP
C Õ
Õ
Õ-CՊ
Õ&
ÕS/&/ÕG)¢
Õ-+,5
Õ
®
Ö1)
Ö"
×Gb^
/
C Õ&
W
1 ÕÖ4x(>‡Ö/0;
ÖDÿ
R(M, T )
-
Õ&;-+Wy
ÿ/&!#A
ÖDþÕÿ,ÖD
Õ/&/
2)
ÕÖP(^"3
ÿ%11
C ÕÕ3898
E ×&¸
£ ÿ
Ö1+,
Õ,1/0
C Õ3
Õ&
ÕCÕÕh
?
Õ
4 ÿ_
ÕS+K * g+, * G
Õ:
Ö3
3
Õ&N-
Õ/
-
Õ&m+, * Õ7N
C Õ
Õ&
Õ-CÕH
Õ%
Ö3
3
Õ&d
Õ/
Õ&dM
+ ×H¤H-
Õ&Hi;
þÕÿ4)
(#Aÿ/0m
Õ&
Õ1- ÖÿÿA
ÿ#
Õ
J
×
\N¥-$!"
3
Öÿ®
Ö-
,•ÖT
Õ&
Õ-¦
.N0
/
C Õ4
c
§ ÕÖ/;
ÖÖÿ-
·
Ö+K
Õ
R(M,
T)
+W¨x
Õ&
Õ:
Ö1
/ ÿkIÖÖSw
O Õ&!
7 ÖP
5
+ Õxÿ=×M
+ ×K©N%-+,:;
ÖDÿ
,
Õÿ3
ÖP?
A
d1)
+,
×
©ÿl$!"
3
Öÿcª
Õ&
Õg
,uÖ1+,)
-
Õ
cp+,!"
g
&þÿd/&/&ƒ) ÿx
Ö
ÿ
B(M, τ )
1
l1
Ö1:
ÕÕZ! Õ
ÕL
Õh&$
! Õ
ÕJ×V©N ÿ-+,
:1
&
ÿP
þÿ
ÿ/0D
Õ&
Õd$)
!# ÿB1
+ ÕÿB1C= ÖÖ>Ö>1! Õÿ
gÿ
Öw
4 ِþ-¥O#D
C Õ3
Õ&
ÕCÕi¸
ÿ€
Õ
ÿ-
ÖDÕ)
-‘
Õ0+, ÿ;1C= ÖÖ31
Ö1,:
ÕÕH:
ÿ-6,O^3-
Õ&)
/&ÿB
7d
C Õ
Õ&
Õ-CÕHr
þÿD(^A;
ÖDÕ&
ÕÿB1)
C= ÖÖD1
Ö1:
Õ՘՘ÿ&×YM
+ ׸
£ ÿh$!# ÿu1
Õ
+ Õÿu/
,Õ
-
u
Õ,
1:
Õ
4mw
( Õl.9)
Q1-7+Q/Q5'! Õ-
Õ:uI3Öw
O ÿ'R&,/ÿÕ
/ Õ
oŠ\9
,q««0¬sˆ×
X þ3
Õ0+,
,N
1,,
61
Ö1-:
Õ&o
ÿ ÿ
-/3
ÿ * u$!A--+,
* Š
ÿ,
Ö1
ÿ×V\Nu1+,
-$!"
;
ÖDÿÕ­$!"-+,
7¥1 ÿ6
Õþ * 6
Õ- Öÿ
,15 ÿ$ ÿ-+,
Öa+,,ÿ#/&/Ճ) ÿ^,&G)
91+,1!#-
Õ&?>/0
Õþ= ÖDÿ
737,/ÿ-
Õ&)
ÖDÿÕ/&7^
1-
#1
Ö1-:
ÕÕJפW/Õ1C ÖÖ
ÿ-+,
^$+,
Õÿ,
ÕA+,= Ö9
+K ÿ91+,1
Õ
Õ&)
Iÿ3
ÖPA
ÿ/0311
ÿ/&×
¤] ÿS,
Õ&+,
3
Öÿ4­
Õ
7_,
Õ
c Ö-
/
ÖÕ$
-
Õ&:
Õg
ÿ
3
ÖDÿÕ
c
L (ω)
$!# ÿD
ÿ;Õ$
"
Õ
Õ3
C Õ
Õ&
Õ-CÕC_+, *
+, * m-ZÖDþ ÿm/0
ÿ/ÿm1@/&
,xÖ ÕJ×n9$)
ÿ3ÖPNx
Õ0+, þÿ1+^
Õ&
ÕB/0
ÿ/ÿ$!# ÿ$)
&
ÿ;
ÖP+
Õÿ
3
Öÿg/0I$0
Õ/&ÿÕ
h.9
×W©N
* ÕþÕm(#
3
ÖÿÕH$!"
E
ÖþÕÿÿ, þÿx89Eh+,)
ÿÖP"
+ÿ
Õ2/&ÿ * ÕÕJÙ89EA+"/0
ÿ7>/
ÿ/ÿ
§+,-
H¨
ÿ/A/&/8Ö/(>ÿ+
Õÿ,
;
ÖDÿ9/0I$)
Õ/&ÿÕ
#.99
-
ÿ
89EA
@1+K! Õ&)
ÿ
;
ÖDÿ:! Õ
Õ®/03
ÿ7T/0
ÿ/ÿ:
/&-ÿ
Õ&
Õ&Ha
Õ¯89EAW+:/03
ÿ7:/
ÿ/ÿ¯§1-
H¨
ÿ/l/&/l1+-ÿu/0I$0
Õ/&ÿÕ
04°.93
×Y©9)
±²³
¹º»¼½[¾¿»¿&À¿¹-Á¾¿¿lºÃÀ¼ÄKżÆlÇ&Áȼɺʿ¿LËÌÍÎxÏÐÑ
ÒÓ ÏKÎ>ÔÕiÖ9×3¿"ØÙ-Ä,¼-½¿,úÀÚ¹-º»ÁÈÚxÄÀÛ2Å¿&Ü"ÁØØʼ-»¿&Ý
ÁÈÙÊÙÞ]ß9àAáiâNºDÅÁã^¼½$Ù;½$ż-Å¿ä^åGÇ0ºÈºÊº¼AºØºÃźÝ
»æ»Á¼-ÈÃPÛ#»^ÃÀ¼ÄKÙämç^¼-Æ3ÃÈÁÈÚ¼%èŠâ9Áź»,å ²³³é »êå½$źÝ
É¿¼Nß9à6Û»ÀÛämÈÃPÛ'ëÇ&ÃÈÊ,Á»¼-ÊÈÅæ½$¿iá
ì ºí"źJÂʼÄ,ºÀKÁÉÁÈÚåNîȺJºÄ,Å¿,½°¿¹¯»Áí"ÅæÜ
ûºÆÃÈ»TÞ]ß9àïÛ»ÀÛ¼ÈÃPÛH廯Ç&ÁÇ0º½GÝrȺ¯Ã½$æÃÀ¼åxÙ»¼Ý
À¿î¼Å¿¼^ë-ð9ðN¼ÇÈ¿»ÅºÃÈ¿Bº¿ÃÇ&ÁAÂÁÊÈż-ʺ»"¿'ÙÃÈÁÝ
ź»À¼-Å¿&Ûgû۹¿DºÄd»À¿&ÛÅ¿¼½¯Ùí#¼%ÙÃÈÁź»À¼-ÅÅæÜ
Ç0ºÅÈÁÇȺ»,á,ñ^¼ÆÃÈ»¿È¼ÀÚźåjÅÁ?ºÃź»¼#ÂÊ¿ºØʼȼÅ&Ý
źɺdºÂæÈÁgÈÁÇ¿¼3¾¿»¿&À¿¹-Á¾¿¿hºÀÙ0îÁämÈd¿Å,ðNºÊ&Ý
½IÁ¾¿ä^åWÇ0ÁÇ¿uÉPÄ,¼3½$ºí"źDÅÁÆÈ¿_Ä,ÊÙ0É-¿¼2¾¿»¿&À¿¹ÁÝ
¾¿¿iå¿HåÇʺ½$¼`Ⱥɺ,åºÀºí"¿È¼À,ÚÅæ¼`ÃÀ¼ÄKÃÈ»¿Û@ÙÃÈÁÝ
ź»À¼-ÅźÉ-º%Ç0ºÅÈÁÇÈÁ^½$ºÉ-Ù0È^ÃÈ¿,½$Ù-À,¿Êº»ÁÈÚ>º¿ÃÇ¿
ź»æÜuÇ0ºÅÈÁÇȺ»;¿:¼-ʼÄjÁîÙuúØÃÈ»¼ÅźÆS¿Å,ðNºÊ&Ý
½IÁ¾¿¿HáÞVȺ%ºØÃȺÛȼÀÚÃÈ»º9Å¿&í#¼xØÙ-Ä,¼È#ÃÙ0ç^¼ÃÈ»¼Å&Ý
Åæ½:ºØÊÁ¹-º½u¿ÃºÀ,Ú¹º»Áźá
ò Áí"źåîȺ9¼-ÃÀ¿3Þ]ß9àT»ººØç^¼ÃÙ0ç^¼ÃÈ»Ù0äxÈåȺ%»
¿&ÜNºÂÙ-ÀÛ¾¿¿%½$ºÉ-Ù0ÈÂʺ¿,ÃPܺÄ,¿ÈÚ¿Åȼ-ʼ-ÃÅæ¼`żÀ¿&Ý
ż-ÆÅæ¼2Û»À¼Å¿&ÛHáGóN¼-ÈÊÙ-Ä,ź_ºÅ&ÛÈÚåGîȺ_¹ÄK¼-ÃÚ_½$ºÝ
í#¼-ÈDÅÁîÁÈÚÃPÛÂʺ¾¼-Ã-Ã2Ã"ºÀºí"¿È¼À,ÚźÆ_ºØÊÁÈźÆ
û۹Úä^á,ôN¼½lغÀÚã#¼%»Bõ&ÁÀ,ÁÇÈ¿Ç0¼AÞ]ß9àAåKȼ-½T»æã^¼
ÃÈÁź»¿ÈÃPÛ»¼ÊºÛÈźÃÈÚDÇ0ºÅÈÁÇÈÁåiÇ0ºÅÈÁÇÈDÙ0»¼À¿&Ý
î¿»Á¼-È@ÂʺÄ,ºÀíA¿È¼ÀÚźÃÈÚ@í"¿¹Å¿BÞ]ß9àAåîȺ9»¼Ä,¼È
ÇuʺÃÈÙ;ºÂÙÀÛ¾¿¿:Þ]ß9àAåHîȺd¼ç^¼"غÀ¼-¼"Ù0»¼À,¿î¿&Ý
»Á¼È'»¼-ʺÛÈźÃÈÚ'Ç0ºÅÈÁÇÈÁ?¿uÈáHÄWáWâN¼-ÈÀÛ_ºÀºí"¿&Ý
ȼÀÚźÆAºØÊ,ÁÈźÆ"û۹-¿2½$ºí#¼-È@ÂÊ¿»¼ÃÈ¿"Ç2À,Á»¿ÅºÝ
ºØÊÁ¹-ź½$Ùgð9Á¹º»º½$ÙD¼ʼܺÄ,Ùg»g½IÁÃã#ÈÁؼ"õ&ÁÀKÁÇ&Ý
È¿Ç¿HåiúÂʺ»ºí>ÄKÁ¼½$º½$Ùg½$ºç^źÆ;»ÃÂæã#ǺÆdî¿,ÃÀ,Á
Þ]ß9àJúÃÀ¼Ä,Ù0äxç^¼-Æ3ÃÈÁØ¿&À¿¹-Á¾¿¼Æ"Â&À,ºÈźÃÈ¿3ºÝ
ÂÙÀÛ¾¿¿2ÅÁ%ºî¼ÅÚ%»æúÇ0º½;Ù0ʺ»Å¼á&Þ]ß9à®ÃÈÁź»ÛÈÝ
ÃPÛ6Âʼ-ºØÀ,ÁÄKÁäxç#¿½$¿f»Lõ&ÁÀ,ÁÇÈ¿Ç0¼åÄjÁí#¼:¼-ÃÀ¿JÄ,º
¼-ʼܺÄKÁDÿÈÙÁ¾¿&ÛuØæÀ,ÁD¿ÅºÆHá$óN¼Ç0ºÈºÊæ¼>ÄK¼ÈÁÀ¿
ëȺɺ%Û»À¼-Å¿&Û"¿>Ä,ÊÙ0É¿¼x»Áí"Å漺úؼÅźÃÈ¿#Ä,¿ÅÁÝ
½$¿Ç¿#ºÂÙ-ÀÛ¾¿¿AÞ]ß9à¯ÃVÙ0î¼Èº½'»¹Á¿½$źɺ»À¿&ÛÅ¿Û
º;Ç0ÁÅÁÀKÁ½fû۹¿SºÂ¿Ãæ»Á¼-ÈDÂʼÄÀ,ÁÉÁ¼-½$æÆSÅ¿&í#¼
ðNºÊ,½IÁÀ¿¹½á
öi÷ùøH÷$ú"û,üuý&þ­ÿGÿGÿGý&þ
WþGþeÿWþ
ý&ÿ$ý I
ý ,þ ñ%ÀÛ ÄKÁÀ,Úż-Æã^¼-ɺ¥¿¹-½$¼-Å¿½ ¿ÅȼÊÂʼÈÁ¾¿ä ÊÁÃÝ
ÂʼÄ,¼À,¼Å¿Æ B(M, τ ) ¿ L (M, ω) è ýáIÊÁ¹Ä,¼À ² á ± êá
C
âNÙÃÈÚȼ-¼ÊÚmºÅ¿^ºÂ¿Ãæ»ÁämÈż`À,äxØæ¼ß9àAåÁȺÀÚÝ
Ç0º@Þ]ß9àAå¿^½$æSØÙ-Ä,¼½'ÊÁÃ-ýIÁÈÊ¿»ÁÈÚmÂʺ¾¼-ÃÃæ9å-ÂʺÝ
¿ÃPܺÄÛç^¿¼m»#ºÂÙÀÛ¾¿¿DÞ]ß9àAáñ^º>ȼÜ3ºÊHå0ºÇ0Á#ż
Ù0î¿Èæ»Á¼-ÈÃPÛD»À¿&ÛÅ¿¼>Þ]ß9à[Ä,ÊÙ0É%ÅÁAÄ,ÊÙ0ÉÁå,ºÃÈÁ¼ÈÝ
ÃPÛlÃÂÊÁ»¼ÄÀ¿»æ½[»¼-ÃÚuÊ,Á¹»¿ÈæƯ»æã#¼DÀ¿Å¼ÆÅæÆ
ðNºÊ,½IÁÀ¿¹½áâNºÇ&Áí#¼½åÇ&ÁÇHå0¿ÃPܺÄÛ2¿¹mż-ɺ,å0½$ºí"ź
ºÃÈʺ¿ÈÚSżÀ¿Å¼ÆÅÙ0ätȼºÊ¿ä°»À¿&ÛÅ¿&ÛlºuÇ&ÁÅÁÝ
À,Á½hû۹¿Há
ò À¿Å¼ÆźÆ;ȼºÊ¿¿;ȼÇÙ0ç^¼-¼>úÃȺÛÅ¿¼>ºÈ-Ä,¼ÀÚÝ
źÆ_¾¿»¿&À,¿¹-Á¾¿¿uºÂ¿Ãæ»ÁÀºÃÚ'ȺÀ,ÚÇ0ºBÄÀ¿È¼ÀÚźÝ
ÃÈÚäfÇ0º½I½$Ù0Å¿Ç&ÁÈ¿»ÅºÆBð9Á¹æ ω å&îȺ"»½$¼Ãȼ%ÃNÂʺÝ
Ä,ºÀí"¿È¼À,ÚźÃÈÚä„íA¿¹Å¿¯¹»¼¹Ä,æ ¿l½$º½$¼ÅȺ½MʺÝ
í>Ä,¼Å¿&ÛQ¾¿»¿&À,¿¹-Á¾¿¿:ÄKÁ»ÁÀº»º¹-½$ºí"źÃÈÚÃÈÁÈ¿&Ý
´%µ¶K·¸
à ȿî¼-ÃÇ¿DÂʼÄKÃÇ&Á¹-ÁÈÚAÃÙ-Ä,ÚØÙ2Ç&Áí>Ä,ºÆiá ò ëȺ½¯ÃÀÙÝ
îÁ¼2»Ã¼3ß9à õ&ÁÀ,ÁÇÈ¿Ç¿SÂʼÄKÃÈÁ»ÀÛ&À¿ÃÚgðNÙ0ÅǾ¿¼Æ
ÊÁÃÂʼÄ,¼À,¼Å¿&Û n (M, τ, ω, T ) áñ%ÀÛ'Ù0î¼ÈÁA»¹-Á¿,½$źÝ
C
ɺB»À¿ÛÅ¿&Ûd¾¿»¿&À¿¹-Á¾¿ÆgºBÇ0ÁÅÁÀKÁ½lû۹¿g¿ÜgÅÁÝ
Ä,º%ºÂ¿Ã-ÁÈÚ9غÀ¼-¼]Ä,¼ÈÁÀ,Úź,
á ]ÙÄK¼-½uÃî¿ÈÁÈÚ,åîȺ^ÅÁÝ
ÊÛ0Ä,Ù"ûº¹Ê,ÁÃȺ½;Ç0Áí>ÄKÁÛ"¾¿»¿&À¿¹Á¾¿Û"ÜÁÊ,ÁÇȼ-Ê¿&Ý
¹Ù¼ÈÃPÛTżÇ0ºÈºÊæ½­»¼ÇȺʺ½ ÂÁÊÁ½$¼Èʺ
» `å]Ç0ºÈºÝ
ÊæÆT½$æ ØÙÄK¼-½MÅÁ¹-æ»ÁÈ
Ú ÂºÈ¼Å¾¿,ÁÀº
½ á H¼-ʽ$¿Å
ºȼž¿Á!À dÅÁÄ,ºdºſ½IÁÈÚ;»¼-ÃÚ½IÁDÙÃÀº»Åº,á$ÞVȺ
ż-ǺȺÊæÆ%ÅÁغÊ9Ü0ÁÊÁÇȼ-Ê¿ÃÈ¿ÇAÞ]ß9àAåºÈmÇ0ºÈºÊºÉ-º
¹-Á»¿Ã¿ÈåÂʼí>Ä,¼%»Ã¼É-ºå&ºí"¿0ÄKÁ¼-½IÁÛ?ÂʺÄ,ºÀí"¿È¼ÀÚÝ
źÃÈÚ;Ǻ½I½$Ù0Å¿Ç&ÁÈ¿»ÅºÆSð9Á¹æ èŠÅºdż?ȺÀÚÇ0ºgºÅÁå
ýá,Å¿&í>¼êáKâNʼÄKºÀ,ÁÉÁ¼-ÈÃPÛHå0îȺ2Ç0ºÅÈÁÇÈA»"żÇ0ºÈºÝ
ʺ½_Ã-½$æÃÀ¼xÙ»¼À¿î¿»Á¼ÈNºȼž¿ÁÀ?Þ]ß9àAå¿"ØÀ,ÁɺÝ
ÄKÁÊÛ_ëȺ½$ÙgÂʺÄ,À¼»Á¼ÈÃPÛdÇ0º½I½$Ù0Å¿Ç&ÁÈ¿»ÅÁÛ_ð9Á¹-Áá
iÁÇ¿½ZºØÊ,Á¹º½å,ÃÀ¼Ä,Ù¼È?Ãî¿ÈÁÈÚåjîȺ'»¼ÊºÛÈźÃÈÚ
»æí"¿»ÁÅ¿ÛT¾¿»¿À¿¹-Á¾¿¿®¹-Á»¿Ã¿ÈhºÈ:¼-¼;ºȼž¿&Ý
ÁÀKÁåIÇ0ºÈºÊæÆhÄ,ºÀí>¼ÅQØæÈÚºÄ,Å¿½6¿¹gÁÊÉÙ&½$¼-ÅȺ»
ðNÙ0ÅǾ¿¿BÊÁÃÂʼÄ,¼À¼Å¿Û?¾¿»¿&À¿¹-Á¾¿Æ
LC (M, ω) → LC (M, , ω)
nC (M, τ, ω, T ) → nC (M, τ, , ω, T ).
è#" ³ ê
è#" ± ê
$ ȺîÅ¿½Jȼ¼-ÊÚgÂʼÄKÃÈÁ»À¼-Å¿¼"ºØDÙ0»¼À¿î¼Å¿¿
Ãȼ¼-Å¿°ë-Ç0ÃÈÊÁ»¼ÊÈźÃÈ¿t¾¿»¿&À¿¹-Á¾¿¿t开 Ä,¼-Æ&Ý
ÃÈ»¿¼½JÙí>¼2ÙÃÈÁź»À¼-ÅÅæÜdÇ0ºÅÈÁÇȺ»áWâNʼÄ,ºÀºÝ
í"¿½åiîȺDºÈgúÃȺÛÅ¿&ÛgÄK»ÙÜ;¾¿»¿&À¿¹-Á¾¿Æ A ¿ B å
Ⱥl¼ÃÈÚ¯ºÈ¯¿&ÜL»º¹-ÊÁÃȺ»Q¿Jºȼž¿,ÁÀº» ( , ω )
A
A
¿ ( , ω ) åg¹Á»¿,Ã¿È ÂʼÄK¼ÀÚź¼MÊÁÃ-ÃȺÛÅ¿¼åDÅÁ
B
B
Ç0ºÈºÊº½ ºÅ¿J½$ºÉÙ0ÈlÙÃÈÁź»¿ÈÚl½$¼í#ÄKٮúغƮܺÝ
ÈÛ Øæ ºÄKźÃȺʺÅÅämä
û۹-ÚåD¿¦ºØº¹-ÅÁ ¼Éº
Ç&ÁÇ r( , ω , , ω ) á $ »¼À,¿î¼Å¿¼Në-ð9ðN¼ÇÈ¿»ÅºÃÈ¿
A
B
A
B
Ç0ºÅÈÁÇȺ»mØÙ-Ä,¼-Èxº¹-ÅÁîÁÈÚxÂʺÃȺxʺÃÈxÂʼÄ,¼ÀÚźɺ
ÊÁÃÃȺÛÅ¿&ÛǺÅÈÁÇÈÁ'Ã"ʺÃȺ½Zºȼ-ž¿ÁÀº»D¾¿»¿&Ý
À¿¹Á¾¿ÆHá
H¼-¼ÊÚlðNºÊ½IÁÀ¿¹Ù¼½­»¹Á¿½$ºÄK¼ÆÃÈ»¿¼d¾¿»¿À¿&Ý
¹-Á¾¿ÆQ»»¿0Ä,¼'¿¹½$¼Å¼-Å¿&Ûlºȼž¿ÁÀ,Á_ºÄl»À,¿&ÛÅ¿&Ý
¼-½ Ç0ºÅÈÁÇÈÁ%
á HºÉPÄKÁ¥ÃJ¿ÃºÀÚ¹-º»ÁÅ¿¼½ïðNÙ0ÅǾ¿¿
LC (M, , ω) ½$ºíAź­ØÙ-Ä,¼È˜Ù¹-ÅÁÈÚå2Ç&ÁÇ ½$¼-Å&Û¼ÈÃPÛ
ºí"¿0ÄKÁ¼-½$º¼?»Ê¼-½GÛ¯¼¼'í"¿¹Å¿Há ò ÃÀÙ0îÁ¼'ºÀÙ0î¼Å¿Û
¾¿»¿&À¿¹Á¾¿¼Æ A ¿ÅðNºÊ½IÁ¾¿¿3ºÈ^¼ÄK¿ÅÃÈ»¼ÅźÆB¾¿&Ý
»¿À¿¹-Á¾¿¿ B ÈÁÇ&ÁÛ½$ºÄ,¼ÀÚD½$ºí>¼È?ØæÈÚDðN¿Ç&ÿʺÝ
»ÁÅÁ>úºÈźã^¼Å¿¼-½
d A
è'" ² ê
= & ( A , ωA , B , ωB ),
dT
Ç0ºÈºÊº¼lºÇ&Á¹-æ»Á¼-ÈJȺÀÚÇ0ºå^îȺkÃǺʺÃÈÚf¿¹½$¼Ý
ż-Å¿&Û:ºȼ-ž¿ÁÀ,Ád¾¿»¿&À,¿¹-Á¾¿¿ A ¹Á»¿,ÿÈ;ºÈ_ºÝ
ȼ-ž¿ÁÀ,Á^¿?»º¹ÊÁÃÈÁ9ºØ¼¿Ü2¾¿»¿À¿¹-Á¾¿ÆH)
á (^Ù0ÅǾ¿Û
º
Â
¿
Ã
æ
»
Á
¼
S
È
$
½
º
,
Ä
¼
À
h
Ú
Ç
º
ÅÈÁÇÈÁá ò
& ( A , ωA , B , ωB )
ºØç^¼½;ÃÀÙ0îÁ¼]Ä,ºÀí"ÅÁNØæÈÚ%¹-ÁÄKÁÅÁ@ºÃÀ¼Ä,º»ÁȼÀÚÝ
źÃÈÚ'ÁÅÁÀºÉ-¿îÅæÜgðNÙ0ÅǾ¿ÆHåjºÂ¿,Ãæ»Áäxç>ÁÛg»¹Á¿&Ý
½$ºÄ,¼-ÆÃÈ»¿¼NÃÄ,»Ù&½GÛHåÈʼ-½GÛ'¿3ÈáÄWá&¾¿»¿&À¿¹-Á¾¿&Û½$¿Há
* Ù0ç^¼ÃÈ»¼Åź¼ÂʼÄKºÀºí>¼Å¿¼å»æÊÁí>¼Åź¼uðNºÊ&Ý
½$ÙÀºÆf'è " ² êåI¹-ÁÇ&Àäxî,Á¼ÈÃPÛ:»Èº½åYîȺSÃÇ0ºÊºÃÈÚ¿¹Ý
½$¼Å¼Å¿&ÛS»À¿&ÛÅ¿ÛSǺÅÈÁÇÈÁD¹Á»¿Ã¿ÈdȺÀÚÇ0ºgºÈgȼÝ
ÇÙ0ç^¿Ü;ÂÁÊÁ½$¼-Èʺ»'¾¿»¿&À¿¹-Á¾¿ÆHåiźDż"ºÈ'ÂʼÄ,æÝ
+%,)-.0/,2135476),83:9;9;=<%3>-
,@?BAC9ED/!F0G
H+IDJ3>K
6
.)LMLNL
QERST
U
UJV
W T)XYZ
[\Z
U
[^] O\_`ba)c
dfe:g Z
h
i)U
UT)XQEj
T)[ a [ c [kZ
U d
i
U
YU c U
l5X0i
U)mQES=n@T)X0Z d [kRoQEYSpqQkU c)gr YsZ
[5t c U
uIv
j
S d Y c
d [kRQ d Z
SYwxmy c [kZ r Sj
U)QEwxYX0p{zIU
mo|=R0Sh2}~j
S0
R0[\Z
i
U)X c X€i
U
YU c U
l5X0i
U)mYƒ‚8„j
T)SQERT)X0Z)QkR0Y[†… c X‡kS a X0
T d Yl\XU)tS a [\m)QER0YU
pˆt[k‰ a8g Z)U)tU2VŠ:T
St[‹RS‡kS r h)T)XŒ
[kYS[ g Q c SYU
[~R0[\j
[kT
v a S c ‰%Z
SˆSj
U)QkwxYXR0v r QhXh
U@
tU~Y[5QkXtUŽŠ‘Z)X=y)U
Z)X0p{R’hSt“t g Z
U
h@X0R0U)YZ g p e XŒ
l g V‘”:S c Z
S[ g T)XYZ
[\Z
U
[ ac
d•e:g Z
h
i)U
U–T)XQEj
T)[ a [ c [E
Z
U d nC (M, τ, ‚ , ω, T ) l\Xj
U)QEwxYX0[\RQ d Q c [ ag p—z˜U)tS…0
T)XlkSt™
∂nC
∂nC
=−
− [ΛC (M, ‚ , ω) + ΛS (M, τ + ω)]nC
∂T
∂ω
∂
]'›› `
− ‚ [š ( ‚ , ω, T )nC ],
∂
]#› _`
,nC (M, τ, ‚ , 0, T ) = nS (M, τ, t)B(M, τ, ‚ )
]#›œ `
nC (M, τ, ‚ , ω, 0) = 0.
 [kRT g\a Z
SCYU a [\R0v r y
RS g T)XYZ
[\Z
U d ]'›› `Er ]#› _`žr ]#›œ `2d Y0
c
d p{RQ d QESSR0Y[kRQkR0Y[\Z
Z
SŸj
T d tw‹tUX0Z)X c S‡EXtU g T)XY0
Z
[\Z
U
mb] O\_`žr ] O\ `žr ] O œ `¡c U
Z)[km
Z
Sm’R0[kST
U
U2V
Š:SZ
h)T
[kR0Z)wxm¢YU a YwxT)X0‰˜[kZ)U d‘a)c
d R0ShX š (‚ , ω, T )
Sj)T
[ a [ c
d [kRQ d˜a [kRŒX c
d tUŸtS a [ c U%hSZ)R=Xh
RŒX
V£¤S…zI[5t
Q cg yX0[:]#Q g y
[kR0StƒtZ)S=‰˜[\QkR0Y[\Z
Z
wn¥hSZ)R=Xh
R0SY ` j
S c)g 
y
U
Rv¦[k‡\S€§¨Q c S=‰%Z)X d l\X a X=y)X
V!£–j
T)SQER[km
u˜[\t©YXT
U@
X0Z)R0[Ij
T)[ a j
S c S=‰%U)t r y
R0S«ª e‘e [kh)RŸSRŸS a Z
SYT
[\t[\Z
Z
S0
‡kS¬Yl5X0U)tS a [\m)QERYU d Q¥Z)[\QEhS c vh
UtU¦i
U
YU c U
l5X0i
U d tU
X a)a U
R0U
Y[kZ r §­QEhST)SQERv«U)l\t[kZ)[kZ
U d j
SR0[kZ)i
U)X c X¦‚
Sj)T
[ a [ c
d [kRQ d Q g t“tSm®y c [kZ)SY r SR0Y[ky)Xp—zIU
n˜h@XŒ‰ a SAm
i
U
YU c U
l5X0i
U)U Bi ™
X¯ ‚
d‚ A
]'› `
( , ωA , ‚
, ωB ).
=
A
dt
Bi
i
i
° S=‰%Z
Sj)Sh@X0l5X0R0v r y R0SYX a
a U
R0U)YZ
SmˆtS a [ c UhSZ@
ŒR X0h
RŒX¢YwxTXŒ‰˜[\Z
U
[ a)
c d R0Sh@X¢U)t[\[kRŸQ c [ ag p—z˜U
m«YU a ™
š (‚
4π
, ω, T ) =
VG
Z T
Z
±
T −r( ,ω,
dM
Z
±
Z
dω 0
0 ,ω 0 )/c
Z
d‚
0
¯ ‚
(
, ω, ‚ 0 , ω 0 ) ×
cdT 0 [c(T − T 0 )]2 ×
dτ nC (M, τ, ‚ 0 , ω 0 , T 0 ).
]'›² `
£ e ST)t g5c [%]#›² ` V §S…³2[\tb‡EX c X0h)R0U
h
U r X c §QEhS0
T
SQER0v¦QkY[kRŒX)VJ£wxT)XŒG‰¢[kZ
U
[¦]'›² ` j
S c)g y
[\Z
S a)c
d Sy
[kZ
v
…S c vu˜Sm´UµS a Z
ST
S a Z
Sm‡EX c X0h
RU
h
U r ‡ a [¦i
U
YU c U
l5XŒ
i
U
U¢T)XQEj
T
[ a [ c [kZ
wT)X0YZ
St[\T
Z
SCU˜h
TX0[kYw‹tUIª e‘e [kh@
RŒXtU’tS=‰%Z
S®j
T
[kZ)[k…T)[ky
vV
£Y[ a [\tYXŒ‰%Z g p a)c
d¶a X c vZ
[\m
uI[\‡kSnX0TX0h
R0[\T
U@
QERU
h g §·QET
[ a Z
[k[€y)U)Q c S¤j)X0T
RZ
[kT
SY~j
ShSZ
RŒXh
R g Y
j
Sj g5c
d i
U
U«ŽŠ‘®V¸{…Sl\Z)X=y
U)tĻkR g Y[ c U)y
U
Z g
UŸ… g 
a [5t¶ZX0lkwxYX0R0v€[\[ŸQER0[\j
[kZ)vpZXQEwxz˜[kZ
Z)SQERUhXSZ
RŒX0h@
R0SY)V¹ºSQkR0S d Z
U
[‹»@X c X0h)R0U
h
U r hS‡ a X X 1 r … g\a [5tBZXŒ
lkwxYX0R0v®¼7½8¾=¿’¾ŒÀ5Á)Â)¾=Ã
Ä\ÅEÆ®Ç0È r QESQkR0S d Z
U
[ X > 1 §¼É½8¾=¿
ÂÈÅEʓˮÄEÂ)Á̦;=Â)ƮȌÍÆ¢¾ŒÇŒV
O5P
O
” T
[ ac S=‰˜[\Z
Z
S[IYwxuI[¢X a
a U
R0U
YZ
S[˜j
T
U
… c U@‰˜[\Z
U
[
:
YS¢YQ d hStQ c)g y)X[—nST
SuIS˜… g\a [kR®Sj
U)QEwxYX0R0v˜h@X0h«Z)XŒ
y)X c vZ g pÎQERŒX a U)pT)XlkYU)R0U d Z
[ c U
Z
[\m
Z
wnj
T
Si
[\Q\QESY
§·j
[\T
[EnS a SRbªkT
wÏS a U)Z
Sy
[5QER0YX~hµªkT
[BZ)XQkwxzI[kZ)U d
hSZ
RŒXh
R0SY r RŒXhUYSl5tS=‰%Z g pÎQkR=X a U
pÎl\XY[kT)uI[kZ)U d
ªkT)wZ)XQkwxzI[\Z
U d hSZ)R=Xh
R0SY¬]Ð[5Q c U«R0[5tj¬YSlkZ)U
h
Z
SY[E
Z
U d Z
SYwn¥i
U
YU c U
l5X0i
U
m¢j
SCh@X0hSm@ÑR0SCj
T
U
y)U
Z
[xh@X0RŒXŒ
QERT
S e U
y)[\QEh)U‘j)X a X[kR `Er RŒXh‘hXh‘Y‹S…SU@n:Q c)g y)X d nCj)T
S0
i
[5QkQj
T
SR0[kh@X0[\Rj)T
UÒt“X c SmÒY[\T
S d R0Z
SQER0U¶hSZ
RŒX0h)R=X
S a Z
SYT
[5t[kZ
Z)S‹QES{tZ)S‡kUtU¥i
U
YU c U
l5X0i
U d tU¬] X < 1 ` V
∼
ÓJÔNÓJÔ!ՒÖ׌ؓÙÚÚÛÙ®ÜÙÝ~ÙÚÖ٘ÞÜß@àÚÙÚ!ÖáâØãƒä!ÜÛ
å
×0æ
ÛáµÚÙØÖÚÙáÚÛáç:Ûâ“ÙØÖ
è lEÑl\X®ZX c U
y)U d y c [\Z)X r SRY[kyX0p—z˜[k‡\S%R0Sh g j
SR0[kZ)i
U@
X c X rJg T)XYZ
[\Z
U
[B]'›› ` Sh@XlkwxYX[kRQ d Sy)[kZ
vBQ c S=‰%Z
w‹tV
¸ a Z)XhSbSZ
Sj
S a
a X[kRQ d y
U)Q c [kZ)Z
St g T
[\uI[kZ)U
p a)c)d
j
T
SQER0wntS a [ c [\m~hSZ
RŒX0h
RŒX¬j
T
U~Z
[\hSR0ST)wn a Sj)S c 
Z
U
R[ c vZ
wn g j
T
Sz˜Xp—zIU
n–j
T
[ a j
S c S=‰˜[kZ)U d nV˜¸ a Z g
U
l:Z
U@n’tw¶TXQkQ\tSR0T)U)t¤Y®ª\R0StT)X0l a [ c [V
égka [\tqQky
U
RŒX0Rv r y
R0SÏj
SR0[kZ)i
U)X c i
U
YU c U
l5X0i
U
U
j
T
[ a QERŒXY c
d [\RQ d [ a U)Z)QER0Y[kZ
Z)w‹têQEh@X c)d T
Z
w‹tëj)XT)XŒ
t[kRT
St r j
T
[ a QERŒX0Y c
d p—z˜U)t·QkS…Smy
RS0ÑR0S^YT
S a [
g Q c SYZ
S‡\qS¦R0[knZ)S c S‡kU
y
[5QEhS‡\SBj
SR0[kZ)i
U)X c X
V“”:T
[ a j
S0
c S=‰%U)t r y
R0S¶YQE[SQkR=X c vZ)wx[Q g zI[5QER0Y[kZ
Z
wx[¤nXT)X0h@
R0[\T
U)QERU
h
Uoi
U
YU c U
l5X0i
U)U d Y c
d p—RQ d S a Z
SlkZ)X=y
Z)w‹tU
e:g Z
h
i
U d tU V£ìy)XQER0Z
SQER0U r ª\Z
[kT
‡\[kR0U)y
[\Qkh
U
[†U¤U
Z@
e STt“X0i
U
SZ
Z
qwx[€T
[5Q g T)Qkwfi
U)YU c U)l\X0i)U
Uµj
T
Sj
ST
i)U
S0
Z)X c vZ
w q V é S c [\[’R0S‡\S r j
T)[ a j
S c S=‰%U)t r y
R0S q §íZ
[
t‡kZ)SY[\Z
Z
S[“lkZ)X=y
[\Z
U
[“j
SR0[kZ)i
U)X c X r Xx[\‡kS‹QkT
[ a Z)[k[ a)c)d
YQk[kmshSt“t g Z)U
h@X0R0U
YZ
Sm e X0lkw‘V ég\a [\tîQky
U
RŒX0Rv¶j
S
Sj)T
[ a [ c [kZ)U
p r y
R0SCj
SR0[kZ
i)U)X c [\QERv{…[klkTX0l\t[\T
Z)X d Y[E
c U
y)U
Z)X r0a)c
d U
l\S c U)T
SYX0Z
Z
wn%ŽŠ‘¶Y˜QET
[ a Z
[\tR0Sy
Z
S
T)XYZ)X d [ a U
Z
U)i
[V‹Š:SZ
RŒX0h
R¤t[k‰ ag i
U
YU c U
l5X0i
U d tU
j
T
U)YS a U
R«h g Y[ c U)y
[kZ
U)p•j)SR0[\Z
i
U)X c X~]Ðy
R0S€SR0T)X0‰¢XŒ
[kRQ d U~Z)X«lkZ)X=y)[kZ
U
UªkRS‡kS«j)XT)Xt[\R0T)X«j
T
U g QkT
[ a Z
[E
Z
U
U’j
S®YQE[km«hSt“t g Z
U
h@XR0U
YZ)Sm e X0lk[ ` V
égka [\t¦j)T
[kZ
[\…T
[\‡EX0R0v—hSZ
[ky)Z
SQkR0vpYT
[5t[kZ
UI‰®U)lE
Z
U%l\Y[kl a!r h)T
St[‹RS‡kS r Sj g QkR0U)tYQk[‹l\XYU)QkU)tSQkR0UŸtS0
a [ c vZ
wn e:g Z
h)i
U
m´SR~t“XQkQkwl\Y[kl a w‘V!ï c
d j)T
SQkR0S0
R0w… g\a [\toRŒXh@‰˜[«QEy
U
RŒXR0v r y
R0SY[\T
S d R0Z
SQER0vƒYw‰%U@
YXZ
U d i
U)YU c U)l\X0i)U
U d Y c
d [kRQ d y)U)QER0SmĻ\h@QEj
SZ
[kZ
RSm r
Q c [ a SYX0R[ c vZ
S r Y g T)XYZ
[\Z
U
Uµ]#›› ` Yt[\QkR0S e:g Z
h
i
U
U
g\a [kR e U
‡ g T
U
T
SYX0Rv¬…S c [\[˜j
T)SQERŒX d §
ΛC (M, ‚ , ω) …
r XŸQ c X0‡EX[\tS[
gka [kRŸSRŒ
ΛC (q)
ΛS (M, τ + ω) YSS…zI[‘…
Q g RQkR0YSYXR0v)V
ï˜X c [\[ r a) j
SQEhS c vh g q [5QER0v g QET
[ a Z
[\Z
Z)X d j
S
YT)[\t[kZ)Us‰%U
lkZ)U–i
U
YU c U
l5X0i
U)UonXT)X0h
R[kT
U)QkR0U
h@X
ð b)
j
SQEhS c vh g Y[\T
S d R0Z
SQER0vÒYw‰%U
YX0Z
U d i
U
YU c U
l5X0i
U
U
[\QkR0vy
UQERŒX d ª\hQkj
SZ)[kZ
RŒX r U r Q c [ a SYX0R0[ c vZ
S r j c SRŒ
Z
SQER0vfY[kT)S d R0Z
SQkR0UñShSZ
y)X0Z)U d hSt“t g Z
U
h@X0R0U)YZ
Sm
e X0l\woZ
[¢l\X0YU)QEU)RŸSR¬YT
[5t[kZ
U2ð j
SQEhS c vh g ‡kU
…[ c v
c)
lkY[kl a w©Z
[¢tS=‰¢[kR†Q c)g ‰%U
R0v†j)T
U
y
U
Z)SmB‡\U
…[ c U¦i
U)YU@
c U
l5X0i
U)U r R0S{YSlkT)XQERxi
U
YU c U
l5X0i
U)U U˜tSt[kZ)R‹[k[ºT
S0
ω
‰ a [kZ)U d τ YSS…zI[tS=‰%Z
S‘Z
[xT)XQkQkt“XR0T
U
YX0R0vV”:Sª\R0S0
t g YQkpj
Sj g5c
d i
U
pòŽŠ‘ñtS=‰%Z
SƒSj
U)QkwxYXR0v¦…S c [k[
ó5ôô
õ¥ö0÷8ø=ù
ú
û
üýEþ0üÿ
kÿ
5ýEþ0üú
ü
üÿ
ƒû ý\ý þ0û kþýBü ü!
" #Bü% $
üû
ü%$& (' )þ! ) þ0 ü$ü
ü¤ üþ* ˆ
û ý+
ú
û,$&,&- n (q, T ) $
ý,\ ÿ' þ¤
ú
k û\ ÿ
þ!
.
¢û ýEú)û+$&-
-
% ú) ) üþ
üýkþ!/ 0 ÿ
ü+û $1 0\ü ) )
ü þ0 ü ü2 ρ(q, T ) üû û
ü üÿ¢þ Z
V
ρ(q, T )dq = N (T ).
35467
8 û" Ÿ ü9:
üýEþ! ) $ ü
ü;5 ý, ü!
ü:0 ,
þIú
üýEþ ü <0 $ = > ü0 ü@?/
ü BAD CE ý- üû
üýkþ!‘ ) û
ü@?;$&F
ü GIH 0 ÿ
¥ û ýký þ0û
k þý þü†ý, üû)üýEþ /'- -
k û J
ü GIH
0 ) ÿ ü@?F) ü¤ý,) þ þ!*0 $ üÿ(
k ÿ
þ0üû
-
û LK þ! M
\ÿ
üNOÿ´
þ!-\'ü ûü¦ ú
ü!&P
ü
û
þ!ü#ýkþ!†0 û
û ü@?;ý-$&,,
S &0 H ) ÿ ) üû û
ü PR)UN*Q +$1‘ ü 2T
' )þ! üü0- f (T ) ú)üþ!
üýkþ!€û ý+
ú
û,$&,&-¶
ú û k þ0û $
Vk0 ü
û
ü 0 )Tÿb ü ü0 φq(q) XW ü# üû û
ü GI H ) üJ +$1 ýEû
+$&:0 -
û ü +$&
þ  ýkû+$&
ÿ¤ú
üþ! -
k0 ü
qû
ü üÿM 0 Y\ýkþ!Z+$&
ú
ü’üú
û
+$&-
-
N = Q \þ0ü V ý- H
ú\ û- ý+
GIH ú
û,$ ú
ü! ü@?<-
ÿ[ û -
35447 3 54û \P 7R -ü
'þF G þ!˜ú
kû\ú)ý GVF $&+$&
)ýEþ -)ü'kü
nC (q, T )
nC (M, τ, , ω, T )
C
G
C
0
∂ρ(q, T )
= −ΛC (q)ρ(q, T ) + f (T )φ0 (q)
∂T
∂
− [j(q, T )ρ(q, T )].
∂q
%
ü'Œ$ þ!)ú0 ü dþ 0 G ÿ -)=
ˆ ú
ü$þ!$&-
þ &0 A ú)ü% $.$&k ÿ ýEþ ü)þ þ ýB 0 kÿ B ü@?/
ü;0 ú) ý þ! $&&Dkû ) üÿ
:üû ®ý,
+$1PNq9: ü û k0 ü Ir dq = Kq q dT '$&
üsD
v -
þú) û
üú
üû
ü &
ü
K n -üþüû G ÿ[
ýEþ
ú
û
ü
\ ýký-> ü
þ þ
ü üýEþ!&wJ 0 u t A ü@?;k þM0 þ! ý ) ú)û k û n ú $ þ! )
¦ú
û
J $üýEþ!?;-
x üþ0üû) ü'kü%ú)û+$&-
)ü'kü† ú
üþ!
ü ü9<B8$ üýEþ' þ!F ý G 9<- &W üýEþ
ü@?<\þF0 )ý,\þ!F’üþ q `K þ0ü%üýEþü@
þ!,
ýEþ ü ü@?Füþ üD5 ýEþ! ) +$
üsD
-
þ K 0 ý, üýEþ!:
ü
þ þ -?<$1 $ J
q q ü'$ ü%$&,&/
0 ü@?<\ þ; G þ!F0 ú) ý dq
35\y7
= K(q , q )q q ,
dT
þ0üz \ þý{ ýEþ! GB ý,
û - 354 ô 7+
_ û,$ú
üü!
þ ' ) þ0ü sD $$&
þbþ! üþ| \ý,) ü
k ú)ü ýEû
H +8$ü%$&ýkþ
ü û
üd -0 GIH
GB
354}!7~ ü@?/
ü®ú
ü!&P
þ! G û ?<q$
’ þ0ü þ0üJ5ýEþ!J kþ
G ÿ H û þ!\û
A
A B
B
A
B
A
A
B
A B
j(q, T ) = 4πc3 q
Z T
Z
dq 0 q 0 K(q, q 0 ) ×
35\ ó 7
'$&«ú
û,$&, ü’û ýkýkþ0ü@kü
þ )þ ) r(q, q ) P?F )
ü¥ú)ü þ! ýEû
+$& ü ý LG ý+& ú
ü%$ü
ü‘þ0ü ¬ ú
ü kþý>’ý ú û kþû q 3 ú
üskþ0ü r(q, q )
0 )ý-
þ®üþ ω, ω 7+
o ìú)û
ü +$&sû ý,\þ0ü kü H ü%$& ü[0 $ þ!
ü %$&-
G (
K(q , q ) ) Λ (q) ) r(q , q ) û-?<$1 ý,'küd\ü ü%$& ü ýEüýkþ ) þ! ú
û+$ ýEþ ,
_ «üþ0ü ) ü Y ü@H ?<\þx G þ ý-"I þ -
G
üs%D
þ
ü%$&,
ü
þ þ
û+8$ ú
ü!
)ü@?/ ) þ0ü:ü'$K ;K ADC A H ü%$&
þý® ú
3\ü% $yP7+ &) _ ü þ! üÿZ 0
,
B þ- ý,\ ÿJ
k þ)ý¦ ú
ü«ú
ü û$1j -
G q G ) ú)ü>q û ÿ
\ÿ \û 8 ý,
q ∼ 1 ) q ∼ 1 ý H ü%$&
ü )
ýEüýEþ0ü@
k þ0û
-$1
ü%ú
ü
þ! þü;\s þ0üF -\ þ \ ýEþü
ü'$ K ú
ü¬ú
üûP$& ,
G ýkü ú $ kþŸ ýEü’ ýEû
+$
ü û þ! GBZ û - ?/0-;\0 ü!
û)ü üÿD
ýEû
+
$&0 û Ω?/=0-1/L
üÿ1)∼ Ω
0 3 L
n )
Sr k0 üK
û
≡ü K(1,
ú
û
þ0ü L = 1000 \ þ 7+~€D -
ü~þ ük0 K )ýEú)ü!
0kü )üý, û ý-kþ HTo Ÿú
û
üýEþ0üþ G ý-
þ ) üý, ) þü üs%D
þ K þ\ ý-0 ) ý,) þ
þ0ü
ü%üþ%ú)üþ! ú
û
K = K(q ) ) ú
û
ks þü þ ü û k0 ü ) þü K(1) = Ω ) üú
ü k û
û
üýEþ ú
üþ! 0 ~
v ü-
N:~w ú
üýEþ!\ ú-) übú $ k þ$ üa ýkú
%üýk ü~€ üýEýkú
þ!ü
! k0 ü kP
«
ú
ü 0 û) ý
‚ G )ü¥ú
û
þ0ü ) þ0ü˜ú
û
ü%$ü?/
þ!,&f}
üýEþ!Dü j P
þ! ) üÿ[ 0 G û ýEþk þ¤ ú)û
üú
üû
ü &
üM $
û þ!ƒú)üþ! 0 3 üƒý ú
üþ!-
T −r(q,q 0 )/c
dT 0 (T − T 0 )2 ρ(q 0 , T 0 ),
0
0
53 4]P7
^ '\ü>0\ý-
ÿBý LG ý+ú
û
üýkþ `_ \û üIý+ ' ü ú
û üÿa ýkþ!¤üú)ý Gb \þ¦ýEþ0ü*û ýkú
û,$&,
0 ý,\þYý, 0-
ü -
* 0 )ÿUc þ0üû
ü
ý+ ' übüú)ý
\þd)ýEþ0üeP
sû ýEú)û,
$&-
-) (0 ý,
kþ Gb ü0-
ü -
)ü GIH 0 ÿ û ýEú
û
+ $&-
- GIH ú)ü¥ú
üþ- ýEü'f ý,)ü φ c
þ0û\þ!Cý+ ' üxüú
)ý Gb kþ‘ú
k û
üýB
Ÿ
û ý+
ú
û,$&,&- ú
û
üýkþ0û )ýEþ q 0 ý,\þ 0 ü%$&kÿ
ýEþ V
&0 ÿ ) ú
û
j(q, T ) \ ýkþ! ýEüüþ \ þg
ýEþ Nh9<
ÿ¤þ0ü 8D & G . ý+) ü Y$
þ< þ!F0 $ Nh üÿ ü -) þ û ,
ρ(q, T ) ü'-
Ÿ ú)û
ü 0 ü
ü G ) . û GE 3i4]P7j ü@ ?<\ þ¥û-" þ! ý
kl 0 $ A:ü "< þ0ü G ú)ü!
þ G û ?<Z$
þü j(q, T ) )
P?/
ü þü)þ! ü%$&,
ü
þ þ 354 ô 7,bm ýk)ý üþg
û
0 ü%$&\ ÿ)ýEþ L$ &0 ÿ ú
û
#A n ú
û
) >& :üH û ) B n úA\ û +$ B þ!
û,$ ú
ü! ü@?F
þ0üe ,
-
ú
üþ- ú)û
_ ú
û
üú))üû) ü üY ü!
)\ ýkþ ú
ü!
üÿ
:üû sý,
+$8ü þ!,&
ü ú
û
üú
üû
ü )ü
ú
üþ!-
´
ú\ û+$ þ! ($&
þ!-
üýEþ!d ü
þ þ Ro &- ) þ! þ0üþ üú G þ! G ÿp þ ) )þ0ü û 0 þ!$&\ þ ) s
ú)û ) ü ) üþ($ üýEþ!
'- þ0ük' ü[ û
ü )
0
0
A
B
C
A
B
A
B
A
0
0
B
0
0
0
0
A
0
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
00
žuŸ
¡¢£`¤h¥¦
§¨&©Pª
1
2
3
4
5
6
« ©1¬,­&®¯1°@±!®g²!³g¦&¦&³-ª/²X´³!¬,µ¶-·;³%¸`¹
ºL»@¼<½¾F¿
À ¾ ŸJŸÁ Ï »ÂŸ
½ !á+Ä/¢!Ð,»¡
ÅÑ ¿
À!à Ÿ ½-Ã
ÃÆIÇ>È¿
½+É&½-Ê&ÀgÇTË
ÌÀÌ
Í ¾»;È
»Ãξ!Ã
» ¿
» ÌP»Ê
ÄÌ
Ò Λ (1) = Ω ˾!»
Ó5Ô œÐ
Λ (q) = Ω /q .
Ñ
Ÿ
Á
ÁFÁŸ É1¿½ ½+É1½,Ê
Äû½R¿
À ¾!»@Îà ½X̻þgÀ̾gÀBÕÆIÊ&» ÆbÕ¿
À!Ã
»
Ó5Ô Ð
r(q , q ) = r × (q q ) ,
ÅÉ&Ÿ ½ r = 400 ,Á&¡ Ê
½-¾zŸ½ Á Ÿ ¾ÄÖŸÏ È¿½+Ÿ É1½,Ê
ğ û½dŸ ¿
À Ÿ - ¾!»@Î×
à ½a̻ß ¾gÀ!̾g¡/ÀÙ ºL½,¼;É&ÒpØ Ÿ Ê ÀØ Î
º ½+É Ã ÂÃ
»Å-»
ÈÁ »¾!½-ÃØ ÀgÊ&À ÆbŸ¿&Ÿ Àg¼<½Ã ½[É
Ÿ ÊÎ r(q
Ÿ Ƚ,¿q½+É`)À@Â
ÈÀ »Ê
Á Ò½+ÂÉ&½-Òþg» ×
È
¿
+
½
&
É
È
!
»
Ê
@
»
;
¼
½
Ã
’
Ë
Â
!
¾
E
»
È
¿
½
º
Á
¡
Ý Î<ʾÎ:»!¾Ê
»ÄÅ-ÌP»&» Ë@¾!È»»ÕºLÆ »Ú:Ï ÀÄ¿Û½-Å » Ÿ
¾!¾¿¿ »Ÿ Ã
¿À!» È
Á ¿
À!À ¾Ä Ê
-½-Ÿ ÃÅ-Ã
Ã
»À!Ü<Ê<À»Ã¾q¾!½Ø ß
ÃÁÆ Ÿ ×
ʟŸÏ Ï À!؟ Ÿ
Ÿ B ËÃ
À!Ç»%É
ÎÚ<½-Ï Ü Ÿ ÎYÃ
ÀJ¿
À - ¾!Ï»@Á ÎÃÏ ŸŸ Á r ËÃÒP¼/û
ÒPÂ ¾!ÄBÌÀg¼;É&ÒÛ|È
»%É&» ¿ ¾!½-Ê
ÄÃÒÛ ½ É&Ò ÈÊ
»¾!Ä~É&»
Í ¾»Å-»’¿
Ï À - ¾»@Îà Ÿ Î ¡!Ñ ¿½,É&Ÿ È»!Ê&»@Ÿ ¼ Ÿ ºIËg¾!»ÃϽ-Á »Õ@Ï Ç»%É Ÿ ºLÆb½
Í Ã
½-¿ÅŸ » À¾!¿
À¾!Æ{Ã
Á ÀMºL»Ã ¾!»¿ -à ÅJ»%É&ß »Ü ½ É&¡&ÆÞß È
¿»!×
È »¿Ø »Ã
ÀgÊ
ÄÃÆVÌ À@Ï É1¿
À!¾!Òk¿
À ¾»@Îà Î>É&»/ÃÁ½- ½ Ï-»Á ÅÉ1Ï À
ÒºjºjÀ¿ÃÆb½ Í Ã½¿Å-» À¾!¿
À!¾ÆVÃ
À;È¿» ºL»¾!¿ ½-Ç ½ É
Õ!Ê Ÿ ¼<ŸŸ ½ r ÕÒÉ&Ò¾Jȟ ¿
»È »Á ¿Ø Ÿ »Ã
ÀgÊ
ğß Æ r ¡=Ù È¿½,ŸÉ&Áȟ »Ê
Ÿ »!×
¼<Ï ½Ã Ÿ ËjÂ
¾!»aÌ»!Ê Ï Â
½ ¾ »Ÿ Í Ã½¿Å Ÿ
Ëj ÌP»Ÿ#¾!» ¿
» ½kØ Ê ×
ÀØ Î ºL»@¼<½¾ À¾!¿
À!¾ ¾!Ä.Ã
ÀFÈ
» Ì » ½+É1½-ÜUËÈ
¿»!×
È»¿Ø Ÿ »AÃ
ÀgÊ
Äû q Ë-È
»!Ê
Ò Ÿ ºIË%¾!»hÈ¿½+É1½,Ê
Äû½j¿
À - ¾!»!×
Îà à Ÿ ½’Ì»Ÿ ºjºLÒà Ÿ ÌÀØ -Ÿ Ÿ ÕÒÉ&½-¾Ÿ Ï À ÁŸ
½Ï ¾!Ä:Á »¾ q ÌÀÌ qŸ ¡
Ã&ÀgÊ
»Å ÂÃ
Æb½ ¿
À ÒP¼;É&½Ã Î|È»ÌÀ Æ À!Ûh¾@Ë=¾!» »¾
- Ÿ Ï ÁŸ
-Ÿ
¡
q ¿&À ¾!»@ÎÃ ½ À
ž À È
¿½+É&½-Ê
½-à Ÿ ½ φ (q)¾F̺LÀ!Ì Æ qÁ ÆbÕ¿
ÀgÊ Ÿ ÁFÁŸ É1½
Ð
1
(q − q)
φ (q) = √ exp
, q = 1, σ = 0.212. ÓÔÔ
σ π
2σ
Ñ Ÿ Ÿ Ï ŸÏ
Ÿ Á
ŸÊ  Ÿ ÿ Æd¿
Ã
À À ÂÆb½Ú:¾gÀg½ÇDÃÃÒÉ&» » ¾ ՟ û Ì»Ê&Ã
½+¾@É À̾¾!Ä» Á À X ¡á ºL½»@ü/½-Ãà »D½È
º »ÌÀg½,××
Ï À¾!Ä
˾!» ÁJŸÏ Õ¿
ÀÃûÜaºL»%É&½-Ê Ÿ X(T ) É1À½-¾ Î Á Æb¿&Àg×
¼<½Ã Ÿ ½%º £
K(q)
C
C
A
B
0
2
0
0
A B
1/5
0
A
B
5
A
1/5
A
A
1/5
B
B
0
X(T ) =
2
0
0
2
Z
dq ρ(q, T )
Z
Z
0
dq 0 ρ(q 0 , T )
dq ρ(q, T )
10
104
4π 3
r (q, q 0 )
3
.
Ó5ÔPâ Ð
ãä™å=ä=æhçPèéêìëíPîíïñðLîò!óLçPíô
õõpöìçêL÷=öLçPø=öLô
øúùôû
ü çêL÷
ý À@Âý%º ¿½ Ï Ò%Ê
Äg¾gÀ!¾!» Á ºL»%É&½,Ê
ÄÃÆIÇF¿
À ½-¾!» Á Ë Ÿ Ê×
Ê
Û ¾!¿ Ÿ ¿ÒÛhÚ Ÿ ÇþÈ¿ Ÿ ÃØ Ÿ È Ÿ ÀgÊ
Äû Á À!¼/ÃÆbÜ ÍÿDÿ ½-Ì
¾
1
10-1
103
10-2
102
q
›%œ
X
Number of civilizations
K(q)/Ω0
ƒ/„
…&†!‡L„Uˆ‰%ŠŒ‹
„1‰ŽŽ@/‰f…„x‘’,“T‡=”!•–ƒ:“‰f—‹†
˜™˜š˜
0
0.5
1
1.5
2
10-3
2.5
F(year -1)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
F(year -1)
žuŸ
¡
£X¶,§·@©&¬,·F³@©P¯1°¦
®g¬,·;©/²’­
®@­
¥@¯ª1¨
©
©
F¹
Õ Ÿ& ¾gÀ! Õ Ÿ Á Ê
ÄÃ
» ¾ Ÿ Á È»Ÿ È
ÒÊ
ÎØ ŸŸŸ F¡ Å-» ÒP¾Ä Ï À!ŸÌÊ
ÛB×
Â
À½-¾ Î ¾»ºIËP¾!»:È
¿ »%É&Ã
»Ü ¾!»Ü/¼<½ Ì»¿
» ¾ ¿»!×
¼;Á É&½-à Ÿ ÎYÏ Ã
Ÿ » Á ÆIÇ#Ø ŸÁŸ Ÿ Ê ŸÏ ÀØ Ÿ Ü Á È
»ÈÒ%ʟ ÎØ Ÿ
ŸY Ÿ ºLŸ½-Ï ½-¾ Ÿ Î
É Ÿ
À< ¿&À Ê ŸÂÁß ÆIÇ ŸÏ ¾gÀ!ŸÕ Ê
ğ Ã
ÆIŸÇ Ï » Ÿ ¾!»@ÎÏ Ã Î Ÿ Ã Ì º
 Ê
»º ŸØ Ê ÀØ Á Ü ŸMÃ Ì º Ã
Ÿ À@½-à ½Ÿ º Ã
À Á ÆI×
Ú:Ÿ½Áß û ŸÏ¾ ̟ »ÃŸx¾gÀ!Á Ì
¾!» Ÿ XŸ
Õ»Ê
Ä ºdÌ»!Ê Â½ ¾ »Pº
Ø ›¡’Á Ê À!Ÿ Ø Ü Ÿ
½,Ê Ÿ  û Ü Ÿ>XŸ Õ»!Ê
Ä:½ Ÿ Ÿ Ê Ÿ È»Ÿ
¿ !ΡÉ1¡ÌÀ
Ñ »@Ê
Î ½- à à Ÿ ½º Õ È
¾@» À Õ »ÕxÊ&¿
ÄÃÀ » ¾½¾gÀ Ÿ(ÊÊ
Û ºLÆ ¾!¿ Ê(¿È
Ò»!½Ê
¾/Ò¿ ½ÃÃÆIÇ
¿½ Ï Ò%Ê
ÁÄg¾gÀ!¾!» Á
¡-ŸFÑ Á ¿
½+É&È»Ê&À!Ÿ Å,À!Ê
» ŸÄ
ÁË+Ÿ ¾Ÿ» Ï Á Ã
ŸÀ@Â&Ÿ ÀgÊ
Ä ÃÆb ÜSºLÁ »!×
ºL½-Ã
¾ ¿½%ºL½-Ã Å,À!Ê&À!Ì
¾ ̽bØ Ê À!Ø »¾ Ò¾ ¾ ÒP×
Ûh¾@ËTÈ» Ê
½F½ Å-» Ÿ Ì»¿
» ¾Ä Ÿ ÇxÁ ¿
»@¼<É1½-à Ÿ Î F Ã
À@ Á Ÿ Ã
À!½¾
ºL½+É&Ê
½-ÃÃ
»h¿
À ¾ Ë@¾gÀ!Ì˾»ÕÆ Ê
ÛhÕ»Ü:ºL»PºL½-þ ¿½%ºL½,×
à ,Ÿ ŸSÁ ¡ý È»È
ÒÊ
Á ÎØ ŸŸ É&» Ÿ¾ Ÿ Å,ÀgÊ
Ÿ
» ! ¡ ÄBȻ¾ Ÿ Ï È
»!Ê
ÃÏ »Á½uŸ
¿
,À Ÿ Á û Á ½,×
½ À~Ê&½ »PºkÅ-¿
À ÿ ̽j¿ È»ÌÀ À!Ã&À À ºL» ¾!Ä
 Ÿ Ÿ
Ê&Ÿ&ÀJÐ Ø Ÿ
ÁŸ Ê Ÿ
Á Ï À!Ø Ÿ ÜM»¾ Ÿ F Ó Á »Ï Õ UÁ½%Ÿ
ºL ,½/Ÿ Ã
À <½-Ü ÀgÊ1À!̟ ×
¾ Ì Ë`Ã
À/È
¿
À Ÿ »ºÅ-¿
À ÿ ÌÁ ½ À ¡jÑ ºL» ¾!Ä ¾!½È½- Ã
Ã
À ÆbÚ: ½ÃûŸ ¾ Á Ì»ÃÁ ¾gÀ! ̾!» X Ÿ »¾ F Á »ŸºLÁ½Ÿ ¿½kŸÏ ¿» Ÿ ¾@À
F ¿
À ¾!½-¾
Á ºL½ ¾!½ Ã
À Æb¿
ÀÚ:½Ãû û ½ ¾!ÃÄ»Ûd½>ÌPÌ»»!ÊþgÀ!Â
̽ ¾¾» Á »MËÈØ ¿ Ÿ Í ¾!Ê »ºYÀ!¾!Ø »ÂÜ ×
ÌÀbÃ
ÀhŸ Å-¿
Ÿ
À ÿ Ÿ ÌÀgÏÇ Ÿ
Ã
À@Â
À!Ê&Á ÀRÉ ÁŸ ¼<½¾ Á ÎSŸÈ»hà Ÿ ¼/ý-Ü Á ½-¾ ÌP½
Ƚ¾Ê Å Á ¾!½¿ ½ À Ê
½ À Ã
ÀÈ¿
À » Ã
Ÿ À Ÿ ÆbÚ<½-¡ à û ¾!Ä
̻à ¾gÀ̾!» » ¾gÀ!½¾ Ÿ Î.ºL¡ ûŻ:ºL½-Ã
Ä :½h½+É Ã ØÆ ºL½-½-¾
ºL½ ¾!» Í ¿&À;ºLŸ»ÏÊ
Â
Ï Àà П
Á# ,Ÿ Ÿ
¾gÀû É&ÁÃ
Ÿ À¾ ÌP »Î ÁP ½B× ºLÀZ½¿Ã»½-½ ¾g À>¾@ÀÂ Õ Ÿ Ê&Ê&ÄÀZûÌÜU»ÃË ¾gŸ À!ÌÌ»¾!Å» É1À F ¾É&Ò» À! Ø ¾ Ÿ Î ×
Å,À!½¾ Á ½,Ê Ÿ  Ÿ ÃÆúÈÁ ¿ Ÿ Á ºL½- -¿Ÿ Ã
» ›¡  â Ø ŸÁŸ Ê Ÿ¡!Ï À!Ø Ï Ÿ Ï Ü Á Å-»%É=Ë
À
ËL¿
À û ½ ½kÃ
À!¿Ò;À!½-¾ Î × ÀÈ»!Ê
»×
¼ Ÿ XÁ ¾!ŸY½-≈Ê
Á ÄÃ0.05
»Ü>»Õ¿
À¾!ß»Ï Ü ,Ÿ Á Î Ï-Ÿ Ÿ ºL½,¼; É&Á Ò> Ÿ
Ÿ ÁÊ&Ÿ »º|ŸÏ ̻ß ¾gÀ!̟ ×
¾!Á » ¿½% ºL½-ý%Ÿ º(¼ ÁÏ Ÿ à ̻!Ê Â
Á½ Ÿ ¾ » Ø Ÿ Ê ÀØ Á Ü Ÿ
½¿»@ξ!û ¾!Ä Ç À ºL»%É&½Ü ¾ Î(Ã
À@Â Ã&À!Ûh¾MÒ ½-Ê ×
ÂÏ ŸÁ Ÿ À!¾!Ä Î>Ê1À ÁŸ û»ÕÏ ¿
À Ï Á û Ï ¡Ñ ¿ Ÿ Í ¾!»Pº(ŸÂ Ÿ
Ê&»/Ø ŸÁŸ Ê Ÿ ×
ÀØ Ü ÌÀ@ÂÌ»»Õ¿
À û » ¿
À ¾gÀ!½¾JÈ¿ ºL½¿Ã»YÃ
ÀÈ»!×
¿PÎÁ É&»ÌË1À Ã
À ÆbÚ:½- Ã
ß » ¾!Ä.Ï Ì»Ã¾gÀ̟ ¾!» Á›" ¡$# È¿ Ÿ ºL½-¿Ã
»> Ã
À
É À/È» ¿PΟ É&ÌÀ
ËÉ&» ¾ Å,Á ÀgÎ Ã
Á À@Â
½-à ΠÌÀ@»Ÿ
ÌJ Ã
À ÆIŸ ×
Ú:ÁŸ ½ÃŸÃÏ » ¾ Ÿ ̻þgÀ!Ì
¾!» Á È ¿½ %Æ Á <À ½-¾ ÁŸŸ#ÌÀ@ »Ì# Ê&ÀkØ ×
Ê ÀØ ÜUË&¾gÀ!ÌJÌÀ!Ì »»¾ ½-¾ ¾
ºL»%É&½-Ê
ÄÛ È
»%É
É&½Ÿ Ü ¾ ÁŸ ½Ÿ ºE̻þgÀ̾gÀ>¿&À ¾ ½-¾J ý/¾!Ÿ »Ê
ÄÌ» Á ¿
½ºìŸ ÎY¼ ŸŸ
ŸUÏ × ¡
Ã# Ë<û Ï Á È¿
½+É&½-Ê
Äà »½dŸ
Ï ¿
À Ï ¾!Ÿ&»@ Îà ½dÌ»Ÿ ºjºLÁ ÒÃ Ï ÌÀ!Ø
¾ ̟(À@Â' »»Ì ÕÒÂÀ ½-à ½-Ÿ &¿ $Î ;)DÀ!Ƚ-¿¾ Ÿ Î Õ»!Ê
× Ä À Ÿ Ç ÂÏ Ã
½¿À@Â
È
½-À!à à Ÿ ÎÎ ÇFÈ» »¾!ºL½-»@ü/Ø ŸÃ»!Àg××
Ê&À q Ó º ¡ ¿ Ÿ
!¡+¢!Ð+ ¡Ý Ê Ÿ ¾!Á ½,Ê
Äá » ¾!Ä:È
½-¿½-Ç»%É1À » ¾@À Á ÊÎ×
½-¾FÃÑ ½ ̟ »!Ê&ÄÌ»SÉ1½ ξ!Ì» L ¿ É1ÀgÊ&Äý&Ü :½%º[¿» ¾!½ ÌP»Ê Ÿ ½ ¾ Á » ޟ
È¿»%É1»!ʼFÀ!Ûh¾D¿&À ¾ Ÿ Ëû:Ò¼;½hFÈÊ1À Á Ã
» ¡ý À ¾!ÒÈ Ÿ Ê1À Í ¿
XÀ
0
56798%:<;=5&>?A@CB5&D6@&DBEF
G 6D;=HIEKJL679M;ND;(J&B7NDK79@BJB79D>OJ&B4PRQL;N5&>&?TS&>U
E>&V>&W=6S&>&XZYJ&;N@&JL6:[6;ND7?Z>564M&>&5L6;ND7?\H];^QV;=5&5&B;_
J6E5&BE;=7N5&B;\;N;795&>&P[;N5>&;Fa`b5L64M6VL6cDBM@6d56de=J6U
f >&@;bQLE>&P[;ND7?[EBgJ6D5BHh5L6Y&J6EV;=5&>&>$_YBEDBJC??
DJ6;N@&DBJ&>&ijY&J&>JB79D; F F/klQL56@BOY&J>mQLBC79D>PR;9U
5&>&>n@&J&>D>&M&;79@Be=BdW=564M&;=5&>? F _oYJ&>p@CBDBJBHYJ&BU
>&W=Bq<;NVrY&JC?H]BXrY&;=J&;9sCBQt>&WvuNJ&8OH]BVLM65&>&?tEu=J&wR56U
798%:[;N5&>&?x@B5&D6@&DBEL_BgJ6D5&8%XnY&;NJ;9sBQp5&;yY&J&B>7^U
sBQ2>&D4FLzbDBH]wAY&J&;=Y?&D79DEw;=DtY&BVB4Pr>&D;9V{56?ABgJL6DU
56?O7NE?&W={}|^@BV>M&;=7NDEB@B5D46@&DBE~CEJ&;=H?xPr>&WN5&>|F
€ H];=7NDBJ&;NW=@CBeNB79@64M&@6vE5&>&WaY&J&BQLBV&PR6;ND7?RH];^QV;=5U
5&B;‚7N5&>PR;N5&>&; N > X FƒzbJ6p567N8%:<;=5&>?„@B5&D6@U
C
DBEY&JBQLBV&Pt6;=D7?$F2…hB4Pt5BA7N@6W=6D{_2M&DBy>H];=;NDyH];9U
79DB[†4W=6@6V@6&‡ˆ79BC79DB4?&5>?5L6798%:[;N5&5B79D>@B5&D6@&DBEF
G QL;79{R@6PRQLBH]wrW=564M&;=5&>&i
F BDE;=M6iƒD/QLEC6RJ6WNV>&MU
5&8ˆsOw7NDBXM&>&E8ˆsO79BC79DB4?&5>?OY&BY&wV&?&S>&>TS&>&E>V>&W6U
S&>&XŠ‰BQ25&Bƒ5L6v5&>&Pt5;NXRE;NDE>/Y&;=DV>[e=>79D;NJ&;=WN>7=6&_=QLJ&wCU
eNB;56RE;NJCs5&;=XE;NDE>$FLzbDBr>A;=79D{rg>7ND46g>VL{5&BC79D{LF
‹ BV{@BZY&J>Y&J&>&gV>P[;=5&>&>
X @WN5L64M&;N5&>iB@BVLB
Œ FŽAY&BVB4Pr>&D;9VL{56?(BgJ6D56?79E?&WN{wCP[;r5&;H]B4P[;ND
w=QL;NJCPt6D{ f 6W=wR5L6798%:[;N5&>&?\@B5&D6@DBE[BD<JL6WNJwCq[;9U
5&>?$_4m@BVL>&M&;=7NDEBS&>&E>V>&W6S&>X<> X J&;=WN@BY64Q26ivD4_
>y795&BE6R567NDwY6;=D[u=J6tH]BVML65&>?$F
`bw:<;=7NDE;=5&5&BL_!M&DBxBgJL6D5&8%XpY&;=J&;9sCBQTY&J&B>L7sBU
QL>&D\Y&J&>cW=564M&;=5&>&> F H]5&BeNBH];=5&{q[;=Hˆ_2M&;=HpYJ?H]BX$F
G 6H];NM6D;9V{5&BtD6@PR;_&M&DBrY&JC?H]BXyY&;NJ;9sBQ564M&>56U
;ND7?(Y&J&>‚W=564M&;N5>&> X H]5&BeNBH];N5{q<;HT;9QL>&5&>&S8F €
79>&Vw[u=DBe=B5&;NYB79J;^Q27NDE;=5&5&B56@65&w5&;%Y&;=J&;9sCBQ26Y&BU
Q26EV&?&iƒ:<;=H]wM&>79VwS&>&E>V>&W6S&>&XQLBV&Pr5&Bƒ@6W=6D{7?$_
M&DBƒB5&><;^QL>&5L79DE;N5&5&8%;bBg>&D6D;NV>/6VL6@&D>&@>$F‘BC7^V;
Y&;=J&;9sCBQ26AP[;Z@6P[Q’6?“”t_ŠeNBDBEC6?‚Y&BDJ6D>D{(6QL;9U
@&EC6D5&8%;%wC79>VL>?R5L6J&;Nq[;N5&>&;%YJ&BgV;=H]8O•–—ˆ˜^_Y&BVwCU
M6;NDR5&;=7N@CBV{@>s\Y6J&D5&;=J&BEtY&Bt@B5&D6@&DwF
z ff ;N@&Dmg>79D6g>V{5&B7ND>IH]B4P[;NDmg8%D{m@&J6X&5&;
E6Pr5&8lH™QV&?„7Nw=QL;NgnY&BYw=V?&S&>&>„“”š5L6q<;=X}6V26@U
D>&@>$Fl›79V>œY&;NJ&;NsBQmEpuNJ&wT5L6798%:[;N5&>&?„@B5&D6@&DBE
@BeQ26U5>&gw=QL{rY&JB>&W=BXQL;=D4_LDBEBWN5&>&@q<;N;[79B7NDB4?&5&>&;
6V26@&D>@&>hgw=QL;=D\BM&;N5&{A79D6g>V{5&8lHˆ_&žDBVL{@BZ@6U
D67NDJ&B f >M&;=7N@CB;Y64Q2;N5&>&;(79@BJ&BC79D>OEBW=5&>&@&5&BE;=5&>?
5&BE8ˆsS>&E>VL>&W=6S&>&XhH]B4P[;=Dr;Ne=BrJ6W=J&wq<>&D{LF ‹ ;=Hp5&;
H];N5;N;Te96VL6@&D>&M&;=7N@B;T79BBg:<;=7NDEBœgwNQ2;NDŸ7NY&B7NBg5B
EBC79Y&J;NY?&D7NDEBE6D{D6@BH]wR>7sBQ2w_Y&J>&g;=eN5&wE<@\56U
Y&J6EV;=5&5&BX\Y6579Y&;=JH]>&>$F
795&BL_bMDBx7(DBM@&>}W=J&;N5&>&?TEBWH]B4Pr5&B7ND>OY&;NJ;9U
sBQ’6n6VL6@D>&@&>E„79B7NDB4?&5&>&;5L6798%:[;N5&>&?œ@B5&D6@U
DBE@&J&>&D>M&;=7N@&>ZE6Pr5&B_@6@BE6lQLB7ND>&eN5wCD6?rHo6@79>U
Ho6VL{56?R79@BJ&B7ND{EBWN5&>&@5&BE;N5&>?R5&BE8ˆs<S&>&E>V>&W6U
S&>&XŠF G Q2;=79{Z7N>&DwC6S&>?hH]B4PR;NDrB@6W=6D{7?yJ64QL>@6V{5B
J6W9V>&M5&BXpQLV&?¡7NS&;N56J&>&;=EKY&BC79DB4?&5&5BeNBKJ&B4PRQL;N5&>&?
Pr>&WN5>c>c;=;<Y&B4?&EV;N5>?hE f 6WNBEBHnY&;=J&;9sCBQL;<6V26@U
D>&@>$F € Y&B79V;^Q25&;=HI7^VLwCML6;>H];=;NDKH];79DBK7N>V{5&8%X$_
sBD?>™5&;pBM&;N5&{¡Y&J&BQ2BV&Pr>&D;NV{58%X$_79@64M&B@™79@BU
J&BC79D>‚BgJ6W=BEC65&>?(S&>&E>&V>&W=6S&>&X$FŠ¢;=WNwV{D6D8™J67^U
M&;=DBEL_CYB@6W=8%E6iƒ:<>stJ6WN5&8%;E6J&>65D8pQL>&5L6H]>&@&>
“”¡QV?56q<;NXy6V26@&D>@&>EtY&J>79wD7NDE>&>y5&;NV>&5&;=XU
-/.02143
X (Mean number of contacts)
*+,
Permanent generation of life
Creation of life in phase transition
10
1
10-1
10-2
10-3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Time, Gyr
¢!>7F=£‰¤[¥¦§N¨4§9©LªL§a«9¬t§9­2§9©ª<©L®«N¯o°R§N©©¥«N¬[ªR±¥4©¬t®±²
¬R¥4¦(¦r³&®=´©¯µn«N¶L§9©2®³2ª·&µ}¸¹­³’ªx­L¥«9¬R¥^·2©L©¥»º¼¦¥N´²
©ªL±©L¥4¦§9©ªLª}½¡ª´©ªmªm§N§³’¥½¡¨4§9©Lªªœ­³’ªm¾®=´¥¦¥º
­L§¿³’§»µL¥4¨4§¦hÀ’®NÁ’®±¬Rª±§Âb¤[¥«ÃÁ’§N¨©2§ÃºÄ«ÃÁ2ÄÅ&®Æž«9¥4¥4¬R²
¦§N¬R«N¬R¦ÄC§9¬™Ç­¥Nµ2®R©L®«N¯o°R§N©ªC·h±¥4©¬t®±¬[¥¦4È!ª­L¥4«ÃÁ’§
­L®¨§N©ª·Z«9±¥É³2¥«9¬Rª\¦¥N´©ª±©¥¦§N©ªC·\¶ª2¦ªCÁ2ª´®¶ªÊt©2®²
«9¯o°t§9©LªL§R±¥4©L¬R®±¬[¥¦«N¥9µ³&®©·’§9¬t«É·(´®y«9Å&§N¬ËÇ^¾¾§9±²
¬t®hÌ=´®±®NÁ2±ª2Íy­L¥4­ÄÁ·2¶LªªÎÏtÂ
5&8ˆs7NE?&W=;NX$_Y&B@6W=65&8T56tJ>7F£&F
‘J&>cE8%M&>79V;N5&>&?syE5&;9VL>&5&;NX5&BX(D;NBJ&>&>KÐÑJ&;Nq[;9U
5&>&;bwJ6E5&;N5&>&?rÐÓÒ£CÔÕÔÖEƒ@64M&;=7NDE;!5L64M6V{5&Be=BˆY&J&>&gV>U
P[;=5&>?d>79Y&BV{W=BEC6V>7N{\J&;=WNwV{D6D8ŸJ679M&;=D46y7N@CBJ&BU
79D>RJB4P[Q2;N5&>?tS&>&E>V>&W6S&>XyÐ f w5&@&S&>? f (T ) EwJ6EU
5&;=5&>&>œÐÑÒ£CÔÕÔ9_oY&BVwM&;=5&5&8%;yE‚J6H]@6sV>&5&;=X&5&BXpD;=BU
J&>&>ŠFC`b@BJ&BC79D{J&B4PRQL;N5>?[S&>E>V>W=6S>&XRH]B4PR;NDg8%D{
V;=eN@BKBS&;N5&;=56×5;NY&BC79J&;9Q279DE;N5&5BK>&W‚J&>7FÉØx7cY&BCH]BU
:<{i f BJH]wV8 N (T ) = F (T )L .
Ù WrJ&>7FÉ£yE>QL5&CB_ŠM&DBY&J&>5;N0Y&J&;=J&8%E5BH„J&B4PRQL;9U
5&>&>œPr>&W=5&>m56798%:<;=5&>&;@B5D46@&DBEO5&;Y&J&B>7sBQL>D
ÐÑ7ND;NY;N5&{567N8%:<;=5&5&B7ND>/@B5D46@&DBE X B7ND6;ND7?<H]5&BU
eNB¡H];N5&{q<;n;^QL>5&>&S&8vÔ9_D6@Ÿ@6@Y>&@BE6?79@BJ&BC79D{
J&B4PRQL;=5&>?ŸS&>E>V>W=6S>&X™B@6WN8%EC6;=D7?m5&;^QLBC79D6DBMU
5&BRE8l7NB@BX$FCÚ6Y&JBD>&EL_C7N@64M&B@ f (T ) YJ&>\J&B4PRQL;=5&>&>
Pr>&WN5>hE f 6W=BEBHxY&;NJ&;NsBQL;B@6WN8%EC6;=D7?ZQLBC79D6DBMU
5&8lHˆ_!MDBg8ËY&;=J&;9sCBQpEu=J&wK5L6798%:[;N5&>&?x@B5&D6@&DBE
Y&J&B>&WNBq<;NVŠFN‘J&>uNDBHAY&>&@BEB;oW=564M&;N5>&;!79D;=Y&;N5>56U
798%:[;N5&5B79D>@B5D46@&DBE<Q2B79D>&e96;=D +, F Ò&F
‘B79V;79@64M&@6 f (T ) E7NS&;N56J&>&>p7 f 6WNBE8lHmY;9U
J&;NsBQLBCHm79@BJ&BC79D{(J&B4PRQL;N5>?KS&>&E>V>&W6S&>Xxg8l79DJ&B
Y6Q26;=D_ˆ5&Bnw7ND65&BE>&Eq[6?7?p;N;(E;NV>&M&>&5L6KBC79D6;=D7?
EnWNB5;cg>L79D6g>V{5B79D>$_bYBuNDBH]wT79BC79DB4?&5>&;c56798ˆU
:<;=5&>?O@B5&D6@&DBE‚5&;cJ6W=J&wq[6;=D7?$F Ù WhJ&>L7FÉ£‚E>QU
5&BL_LM&DBA679>H]Y&DBD>&@6 X gVL>&WN@6Z@(;^QL>5&>&S&;_ÖDB\;79D{
Y&BM&D>c@6P[Q’6?h“”I>H];N;=D\Y&BABQL5&BCH]wYL6J&D5;NJ&wAQV?
@B5&D6@&D6&F € uNDBX<PR;%79>&DwC6S&>><E;NV>&M&>56 X E79S&;=56U
J&>&>t7a5&;NYJ&;NJ&8%E5&8lHhJB4P[Q2;N5&>&;HyPr>&WN5>RBM&;N5{Ho6VL6&F
zbDB;=7ND{?&EV;=5&>&;/†4W6@6V@>$‡ f 6WN8×56798%:[;N5&>?R@B5U
D6@&DBEtgVL6eNBQ26JC?ZY&BVB4Pr>&D;9V{5&BXABgJ6D5BX7NE?&W=>$F
G QL;79{[sBD;9VBC79{<g8}7ÉQL;NVL6D{RBQL5&BL_@6@\56HY&J&;9QU
ÛrÜÝLÞß]Ü$àáâÉãÜ2áäåäå4ærá»Ý&Üçcèä9éÖßêë&ìxÛ<éŠá»í&ã&Þîïîðî
ô9õö÷ø&ù&ú=õôù$ûüý&þ&
ÿ &þü&þö
ø ÿ d÷
ö t
ÿ ú ö ]ú öÿ&þú\
ü ü÷‚öôNõýô&þøNþ&úôüöýLöô=ö
"! þ&ÿ Lþ&øþôû ñ ##%$'& ! þ&ÿ LþøLþôû ò (() û ! +
ø *',-*'./
üÿ&
þ oöú=õôùü&
ý õþ&
÷ ý&ú þ&
ú ]ú 021[þ&
ý hýLöô9ü
ý 3
ô9õýöÿ&ú=ÿ&
ÿ 45
]þËü&ý&6ú ’ô9õö÷øúNÿ&þ&
ù ]7
þ 8
]
ÿ Rú=ôNõ÷ú=ÿ&
ÿ 3
ô9õ2
þ 9;: 2
þ õô Cõô9õ÷þ&ú }ù&÷
ÿ 4=<(ü&
ý 4ù&÷øLúNÿ&
þ >d'
þ <2ú9'
ù 3
õúN
ø ÿ Cô9õ+
þ *?ú @Avõú B
CRúNE
õ D4%
õ ˆøú %EDFG3
ùô9ÿúNÿ$û’ú=ô9øþh÷Cô9ú Zø
þ 1HAü&ý&6ú 2
ü ø rþ&
õ A
û &
õ /ô9
ÿ ÷ 3
ÿ 45
hôNü ô D
Iÿ&õö &õ J
÷ ]ú 0K9;:pù&÷ø&
ù LvõôH
ù '
ÿ 3
õ
ö &
õ 4„
ü MöÿLöøL
ö Kô9÷
ù Nþyô
ü CNHL}
ø LOD4=</ô9õ
ý 3
ÿöü&ýö÷øúNÿ
ÿ 4=<[
þ N
ø öõú9øú >ZþZü&ý&þú ]ÿ&
þ ÷ ö QPN
õ þ×ü&ý6ú L
ü øL
ö 9ö
ø ô ÷cýöôNô oöõý&þ÷öú C>RLú=ô cÿ&úNø'
þ 3
ÿ&ú >&
ÿ >„õú ý&þ&
þ -*5.S
ö Rú ˆ
û &
õ UTVWYXRZB[\^]A_SZS`ab
ú 9;:p
C3
cedgfih V\ fkj X h `aBl_ hm VSl m _SZnDÿöý %[ú=ÿ&þ&o
[ú=M
õ D4%
õ tþô ø Lþ&õú9
ø ÿ Zô9
ø r
ÿ >q=
ö ’
ö &ú >r*
ý&6ú 2ü ø r
þ ˆn
û &
õ ¼÷ý&ú s
ù Lú CNý
ö t
þ &úô ü&
þ Q
ö %Rú<ü&
ý 1/
ø Lûþ(÷ ! öøL
ö &õ
þ úRô <ýöÿ&ù&úNõô
ù tS
ö 3
=öƒÿöô 4EN<ú=ÿ&þ0
ù %ÿ&õ
ö &
õ ÷ öô &ú=O
õ Pt;tú &õO
ö =
ö ö
ø &þ$û
ö 0PNõ <
þ ]úNú=K
õ ]ú=ô9
õ ü&ý&Q
þ D
ø 1['
þ </÷ýú ]úNÿLS
ö <[;
÷ Dô 3
02öú C>I62ú=ô q
CLú9ø+
þ *9
ö ü ö 4%÷C
ö Lƒõ[ýöô &ú=
õ 4û
ô õ÷úNõôNõ÷ LON<þ&úoý&þLô * # û øLþ &ú=ôNõ÷ O9;:x÷ ! öøLö &õ'þ 3
ó ((( *u.[ý&þL
ú<q
÷ PN
õ %
Tô^
ø öú[ô ô9õö÷ø&ù&ú=o
õ ø ô * ñ
ÿ
ö <L
þ ˆ=
û &
õ vt'
þ 2öú Cúdýöô=ô9
õ 4ù&ÿ&þn
ú AwDø'
þ t
ö >'3
1<ú >q9;:ô ôNõ4ö÷ø&ù&ú=H
õ %
ø ñ ((( ô9
÷ *CøúNõ4û
ÿ rO
ô =
ö ]ú=S
õ 3
ò ((( ô9
ÿ >A÷úNý 4ù&õÿ ôNõ LU
C[ú=M
õ ö ö
õ Côù\þ ÷ *øLúN
õ *
x ø&ù<õ J&õ D4Ky
ô 9öýLöÿ&õþú >HDÿö
ý %rþ&
õ .9;:tû=
ÿ %M3
ÿ MAô9õöõ &
ÿ rü&
ý ø rþ&õú9
ø ÿ ú/÷ý&ú ùü&
ý ÷ Lþ&
õ ü Cô9õ 4ù&ÿ&
ÿ 4E>z
Cÿ&þ&
õ ý&þ&
ÿ tÿöA÷ôNú <cýL
ö '
]
ÿ 4=<{öôN
õ 3
õS
ö < ý
ö 2
þ '
û ü&õ
þ &úô &
þ <’+
û ***|-b÷ô9ú <\
ü Ný&þõú9
ø ÿ 4=<
DF$ú õ ÷m÷ÿ õý&þ ô túNý 4 ýSö Lþ ô ò ((( ôN
÷ */øLúNõ4û
}Lúô 2úN%ý rþ&õôù 108 N÷ú ~* x Sö Rúúô^øþyô þ&õöõ Lû &õ ø
þ 1@QLÿöt
þ ñ (( =÷ú 6ù&÷ø&ù&ú=õôùy
ü =ý&þ&õúN
ø ÿ >$û
PNõ /Nÿö LöúNõAÿ&ú=ü&ý&úN
ý 4%÷
ÿ 4E>2
Cÿ&þ
õ ý&þ
ÿ 106 =÷ú 6û
õý&ú DLN[
þ >
ø CôNôNö
ø ÿ 4=<Ký&ú=ô ýô ÷ *€ ÿLöô9
õ 4
ù N<úNú
÷ýú ùýú t
þ Lú=õRø
þ 1HMD@P=ü&
þ 2
þ &ú=ô &'
þ <\ÿL
ö D
ø LLú 3
ÿ&þ'
ù <h÷\
ø 1<ú }ô9
ø öú[ÿ&ú=ô %
ø '
þ </Lú=ôù&
õ ÷ N÷ú ÿö‚ÿ&ú ]
ÿ ='
þ <pý
ö L
þ öô9
õ õ4
ö <G*ƒ‚
õ RR
ú 2þ&÷ø&ù&
õ ôù$û
&õ J
C4×ÿ&þ lÿ&úb÷þ 2
þ „€yü&
ý Côûõý&ú DLN<
þ >Kõ÷ú 3
õö&ûô ôN
õ þõl÷l
õ %
ˆû=
ü &ú C;
Cr
ÿ lüý&6ú L
ü øL
ö 9ö
õ Lû &
õ ø&z
ù ÿ&õ
ö õ ÷þô9
ü ø Lvõôùc
ü &õþdþô ø Lþ&õú9
ø 3
ÿ wôNõý ÿLöü&ýö÷øú=ÿ&ÿ 4%údþ 9
ø %LöõúNøþ„þ¡ü&ý&þú ]ÿ&
þ r
þ *
… õ õ÷ ü&
ò ((%$ %
ý y
ô Dô %@’öúNõôù/÷ýL
ö DõE
ú ö
ÿ ÷ö ÷ -6*
† ú(ô9ø6ú úNB
õ õ
ÿ Cô9þ&
õ ô‡
ù }üý&6ú 2ôNõö÷øLúNÿ&
ÿ 45
Iýú 3
ø õöõ4
ö mÿ&úNøþ&ÿ&ú >&
ÿ 4=<xýLöô úN
õ ÷dô9ø
þ 1H%
Ÿô9ú=
ý ú 3
ÿ *ˆO&úN÷þ Lÿ L'û &õ ZþôNü ø ÷öÿ&
ÿ 4%O
ú C2ú9øI
þ &ý
ö >&ÿ&ú
ü&ý&
þ ]þ&õþ&÷
ÿ 4y
û 2öþT
÷ 4EDýO
þ <nüöý
ö ]ú=õ
ý ÷Kô DFŠú '3
õþ&÷úNr
ÿ *Gˆô9
ÿ ÷
ÿ úƒÿL
ö NÿL
ö &úNÿ&þ;
ú PNõ'
þ <yýöô &ú=
õ M
÷ ü
ý 3
Lú CÿôNõý&þ&ý ÷öõ O
û ö O
ý 2‡
ö ]ú <öÿ&
þ C4
CCõ
ü&ýö÷ø&ù&õ w2þ&ÿö ]
þ %>œ
ü ü ø&
ù þ&U
þ &þ&÷þø
þ ö &þ>m÷
! öø2ö &õ
þ C
ú *
€iö ø LO&úNÿþ&Q
ú Dýöõ
þ }÷ÿ&
þ oöÿþ&úrÿI
ö L
ÿ ô9øLS
ö 3
Dn
ú ]ú=ôN
õ Küý&6ú 2ôNõö÷øLúNÿ&
ÿ >v6Lúô ×ÿú9øþ&ÿú >&
ÿ >}õú 3
ý&þ&+
þ *€„ýöô=ô Cõý&úNÿ&
ÿ >
CLú9øLþhô ÷úN
ý 1[úNÿ&
ÿ RÿK
ú &'
þ 3
õ 4%÷Cö LvõôB
ù t
ø &
õ C
ö &þ&þxü&
ý Cô9õýöÿô9õ÷úNÿ
ÿ >xü
ø õ
ÿ 3
ô9õ‰
þ 9;:t
û õ ý 4%K
ú CõZ
þ ]úN
õ o&ú=
ÿ oD
ø 1H.
ú =ÿS
ö 3
&ú=ÿ&þ&ú *~ý&6ú L
ü ø r
þ ˆG
û &
õ hô ý Cô9
õ y
ý 0Lú=ÿ&þz
ù &þ'3
ñòó
÷þ&øþ=ö&þ>[ÿ&þ}2ölÿ&úyôNõþ9öú=õ5&ý&þõþ&úôO=ÿöS3
&ú=ÿ&þù$û’ü&ý&z
þ õ ý pü&
ý þ}ô <%Lþ&õZü&ú=ý&ú <%{nP=ý&úRÿS
ö 3
ô 4EN[úNÿ&þ&I
ù ÿ&õ
ö &
õ ÷r÷Zÿ
ö 1<ú >‰
C2ú9ør
þ *GˆONÿ
ö LöúNõRøþ
PNõ 2ú >ôNõ÷þ&õú9
ø ÿ g
û &
õ yü&ú=ý&ú <%zdÿöô 4EN<ú=ÿ&
þ L ÿ&'
þ 3
}2ö(ÿ&úhüý þ >2úNõ „ † úNõ4û!ÿ&
ú Nÿ
ö öúN
õ *ŠbøL
ö 2S
ö 3
ýCi
ù t
ø &
õ ö &þ
ù ü
ø õ
ÿ Cô9õþô9
ø ö >&
ÿ ‹
C[ú=v
õ D3
ý
ö ÷Cö
õ Côù<
ø ö
ø ÿ úlô %üøú=ÿ&þ&úvÿú=ô ø &
þ <0&þ÷'
þ 3
ø
þ ö &þ>$=
û %
õ ý 4%n
ú ö MõôùTB
÷ ÿ&‰
ú Aô
ù 9ö
ú CôNõþ
Lý JL
ý %9
ö *Œr}2Q
ö t
ö öRÿöô 4EN<úNÿþ/
ù ÿ&õ
ö &
õ o
÷ C3
[ú=õÿöôNõ ü&þ&õ xô9ÿö öøLö(
ø ö
ø ÿ LûoR
÷ ÿ&úhô ü&øú 3
ÿ&þr
ù *SŠbøL
ö 2öýù
ü ø rþ&õú9
ø ÿ >KDýöõ
ÿ >/ô9÷
ù N@
þ D3
øLöô9
õ LS
û }LúˆÿöôN
õ ü&þ
ø ÿöô 4EN<ú=ÿ&þ&=
ú ÿ&õ
ö &
õ ÷LS
û C[úNõ
ö =öõ ôùtÿ&úƒõ ø %Rô9õ
ö Dþ
ø ÿ >$ûC
ÿ [
þ 3=H
ö C÷ú9ø
þ &ú 3
ÿ&þùxü&ý&6ú 2ú9
ø ÿ cýöôNô9
õ 4ù&ÿ&þŽ
ù ÿ&õ
ö &õöhÿ
ö &ÿúNõd
÷ 3
÷øLú ö
õ y÷ô tú=
ý côN
÷ ú y÷øLþù&ÿ&þz
ù DøLúNM
ú 2öøú=ÿ&
ÿ 4%ú
&þ&÷þø
þ ö &þþ$ûýöô9õþRþrô ÷ýú ]úNÿú {<÷Cöõþõƒ÷Cô L ! S
ö 3
øL
ö &õ
þ *Š
ø 1H>\þ&ÿ&õú=ý&ú=ôü&ý&ú 2ô9õö÷ø&ùøL@
ö D4‹%ø'
þ 3
&úô9õ÷úNÿ&ÿöùõú ý&þ&/
ù P=
õ [ù&÷øúNÿþr
ù *
g‘%’“S”r‘%•A–g“'—˜™›šOœƒžŸ ¡ %¢£¢¤}ž ¥¦'¢§6Ÿ|¨¢ ©Ÿª|ž«
¬ ­z®q­{¯°%©¨°¦%°ªe±³²6¢µ´¦Ÿ|¨'ŸžŸ ©%Ÿ¤¶Ÿ¥ª}±£¨¤}©%°%¤¶°
.
´Ÿ|¨¨'¤| £J·±K ¢¥Ÿž¡E­
¸º¹»5¼J½+¾8¿rÀ»O¿Á Â0¿r½¹O»5Ã
ĺ¹¿rÅJƋ¿G¼5Ç.ÈrÉ~Ê
ËK»OÀ=Ç;»5¼O»JÌgÉÎÍ=ɛÍÏÌA¼O¿AÇKÌgÈCЁ»¿Ñ½ÒÓ8¿rÅÔ¼J»EÊ
À¿+ÅÀ½ƒÅ³È›¿+½¹»O»
x &ø ù õû@&õD4 ÿ&ú„ü&úNý&úNý%töõþ9øRúNÿ&þ&ú
õú<ÿþ&ú=ô&þ
]þÕLúNõöø&ù
]þ$û]üö[ú
õøû›ö×þ
øþ&ÿú&
> ÿ}
> õú ý&þþ}ÿöô9õ4 ù[
N úO
> ýöD õ4Ö
C[
úNõBD%
4 õ
ü
ø& úNÿtü&ýC ô9õú><
1 þr
> ÷öýþöÿ&õõú ý&þþM
9 ýú>
t úNø'L
õöS3
! þÿL
þøþLôNö&û]öþ]
ú=ÿ&ÿn¹
ü&úNý÷ ÿLö
öø ÿ4E‚
> ÷öý&þöÿõ
ôNö
C0
9 ý&ú>
t ú9øL
õö ñ#$ ñ -*
† ö& ÿ&ú
ôOÿú õ ýœ
ü&ý&úD ýö ÷öÿþù×= öü&þôNþ
t. ý
C= ø4×
9 ý&ú>
t ú9ø'L
õö3 ! þ&ÿL
þøLþôNö ò -*g
ú=ý&úNüþ<
1 ú
t. ý
C= ø\
ô9ÿöL
öøLö[÷t÷þL
úØ
NCKreifeldt(T ) =
Z
T
0
R̃0 (T − τ )π(τ )dτ,
) ,%-
}Lú π(τ ) úô9õn÷ú=ý4ù&õÿCô9õnõû=&õpü<ùNRöù
N ÷ú2ö/÷t÷Nýöô9õú
τ ÿö<Lþõôù\÷0%%
k
Cÿ&þöõþ÷ÿ>
t ö= ú õ
* ú
* þ]
ú=úNõRødôNúD4ù&þ&÷þøþö&þL[û!ÿö<3
ùN@%
L ôù÷‰
k
C ÿ&þ öõþ&÷ÿ>Ž
t ö= ú-6*~b
€ ú=ý4 ù&õÿC ô9õ
’
ö
N
ú
õ
ô
ù
÷
4
%
L
ý
S
ö
[
=
ú
&
ÿ
&
þ
ú
π(τ )
π(τ ) =
Z
+∞
[CT0 (τ ) − CT0 (τ − ω)]PLC (ω)dω.
−∞
)'$ -
Š 2ú
ü&ý&úLüøLö9öõûiõ ÿö1[öÔ
CLúNøÿöù
t.ÿ&þ&ù B(M, τ ) töõý&þ÷Cöÿö\÷y÷þLú òñ -*rŒr3
}2öû'& ú=÷þLÿû
CT0 (τ ) =
Z
τ
b(τ )dτ.
0
)%Ù -
ý&úLüøtþ
ˆûÖ&õ ÷4%üøLÿù&úNõôù ü&ýNRöLON<úNú
ü&ý&úL
ü ø[
ú=ÿ&þ&ú òò -Kø&ùx÷úNý4ù&õÿôNõþK÷4=tþ÷öÿþù
ÚÛÜ
ÝKÞßAàá
âãäkäCåæçâ'èéçêæãë‡ì;èíî;ïð+ãñ}òAèÕæóéôåòæãwõãæ'öé÷ø
ùéã
d
úüû%ýþ
(1 − LC (ω)).
dω
ÿ åùóéãä éãñãøkùéã
PLC (ω) ≡ 0 òö ω < 0 ç
ä ã@óé
ò
ö
C
ω > τ øgêîEôè@óæçó ú"û þ C
T0 (τ − ω) ≡ 0
ÛÚ
ú þ õãæèSö>âãôã?é÷Môã0òóæç'ö/õãò# ãòö"8Hç#Qíêóíò
ê äCãäCóæéMêôóäCóæç T − τ − ω äCã0óé îEé÷Míèõçèæè
Q
â'èâ
PLC (ω) =
îEé÷0íèõçèæã@â'èâ
π(τ ) = CT0 (τ ) −
Z
τ
0
CT0 (τ − ω)PLC (ω)dω.
ú
þ
óéôåòAæãQõãâ'èíèé÷øùéã
Z
Ú
ú
þ
τ
0
CT0 (τ − ω)PLC (ω)dω =
Rτ
= 0 b(ω)[1 − LC (τ − ω)]dω.
I2
=
=
Z
Z
τ
dω
0
τ
dξ
0
Z
Z
dξ b(ξ)PLC (ω),
Û
ú
þ
dω b(ξ)PLC (ω).
ú
þ
τ −ω
0
τ −ξ
0
èBãæãêèæçç‡êîEôè0óæçë
Û
ú
þ ç ú
%þ óñâãwå ó
òçé÷}örøùéã I ç I óé÷KòAêãëæîEóOçæéóñôèî‹ãé0ãò
1
2
æãë;çKéãë@óyì.åæâçç b(ξ)P (ω) øêíöéîEóõãOãòæãë
L
ç/éãë @óJéôóå%ñã÷æãëqã èéCçrøéã÷âã!ç"H÷0õãô%ö
òãâKõôã#%ãòAè%$éãëKã èéç;êêîEôè0óæçö# ú
Û þ ç ú
þ
ôèíçùóærïð~èâIâ'èâIêó&çùçæè@çæéóñôèAè@æó;íèêççé
ãéMõãô%öòâ'è@çæéóñôçôãêèæç'örøéã I = I øùéãQçéôó
1
2
ãêèã÷.òãâ'èíèé÷ï
ÿ çõã÷íãêèæçóä ôèêóæéêè
Û êîEôè0óæçó
ôèíãê%èé÷@â/êçòúå þ
æ
ó
é
ô
å
ò
æ
Q
ã
õ
ô
ó
ã
ú
þ
π(τ ) =
Z
τ
0
ú
û%þ
dω b(ω)LC (τ − ω).
' ã ò(éèêö'ö
Ü
ú
û%þ ê ú"û þ øõãåùèóä
ì.ãôäCåî,+.ôóëì.ó'òAéè.-+çæòç"çè/
NCKreifeldt
=
Z
T
0
dτ R̃0 (T −τ )
Z
τ
0
æãêå*)
íèõç÷
dω b(ω)LC (τ −ω). ú
þ
' ôãéSèSö‰éóãôç'ö0+.ôóëì.ó&'òéSèoæóHåùçéîEê%èóéâã
æóùæãówêôóä›ö1Qçíæç8íêóí6ò~ï32æèHå éóãôç") âã
æóùæãóRêôóä›ö4QçíæçUíêóí6ò×ê#ãòçéBê‡êçòóRùóæè
LS (M, τ + ω) êõãòAîEæéóñôè÷æãóKêîEôè@óæçóHì.ãô
äCå5î ú Ú %þ ï ö éãñãø.ùéã î õãåùçé÷Yì.ãôäCå5å
+.ôóëì.ó'òAéèø6óòåóé0õããQçé÷
Ü
LS (M, τ + ω) ≡ 1.
ú
þ
7 åòóä1ùçéSèé÷{õãò#ãòö"8@çäCçRíêóí6ògèäCçŽéSèâçóøCâã
éãôîEóIçäCó&)OéRõèæóéå9Iõãò#ãòö"8HçäCçBå6ãêçöäCç
òöIêãíæçâæãêóæçö +:×ê;äCî<6óøçõã÷íãê%èææãä
êæèéãö"8Hóë=éSèé÷óïðrãñ}òAèøyå%ùóéã%ä‰ì;èâéãôçíèçç
∞
0
R(M, T − τ − ω)α(M ) dM. ú
þ
ÿ å%ùóéã%ä>ããéæã@óæçë
Ü
Ú
ú
þ ø ú þ ì.ãôäCå5è ú þ õôç
æ çäkèóéMêç'ò
NC (T ) =
Z
T
dτ
0
Z
T −τ
0
dω R̃0 (T −τ −ω)b(τ )LC (ω). ú
%þ
ÿ ôèêæçä¶êîEôè0óæçö
ú
þ ç ú
þ òö‹âãçùóéêè
âãäkäCåæçâ'èéçêæî%#@çêççíèçë/êQäCãäCóæé T ï
óèóäÕê0çæéóñôèó
ú
%þ íèäCóæåõóôóäCóææî%#
τ
óëéêçéó÷æãøã ãíæèùçäoçæéóñôèKêóêãë.ùè
éçqôèêóæéê%è ú
Û þ ùóôóí I ø%ê0õôèêãëùèéçqôèêóæ
1
éêè ùóôóí I ï'ðrãñ}òAèøå%ùóéã%äããéæãHóæçë ú"ûþ
2
ç úüûý%þ øóñâãMõãåùçé÷
I1
R̃0 (T − τ − ω) =
Z
→
τ +ω
→ τ.
ú
ýþ
A ùóêçòæãøöâã çèæ;õôóã ôèíãêèæç'ö
ô
è
ê
ó
;
æ
ó
òç
ú
ýþ
æç"óøõã$éãäCå/õãòîEæéóñôè÷æãó.êîEôè@óæçó;ê ú
þ
õôçã ôóéSèóé@êçò
Ü
R0 (T − τ )b(ω)LC (τ − ω).
ú þ
ð+èâ7â'èâ7õôóã ôèíãê%èæçó ú
ý%þ çæóëæãóø0éã×éôó
åñã÷æèöRã Aèé÷‰çæéóñôçôãê%èæç'öŽçæéóñôèAè ú
þ
õóôó#%ãòçéwêBæóâãéãôå*) òAôåñå*)éôóå%ñã÷æå*)Ñã èé÷ï!B;óñâãUå ó6òçé÷}örø@ùéãiæãêèö éôóåñã÷æèö
ã èé÷vçæéóñôçôãê%èæçö ê‹éãùæãéç1ãêõèògèóéC
éôóåñã÷æãëzã èé÷) çæéóñôçôãê%èæç'ö2çæéóñôèè
ú
þ ï.ð~èâçä ã ôèíãä=ø.õã?6ówíèäCóæî õó ôóäCóææî%#
ú
ýþ ç0õãòîEæéóñôè÷æîEóêîEôè0óæçörøçMã èéç@çæ
éóñôçôãêèæç'ö çæéóñôèãê ú
þ ç ú
%þ ãêõèògè)éø
õã$éã%äCå/ç0èäCçnçæéóñôèîiôèêæîYòôåñKòAôåñåïGð~è
âçä ã ôèíãä=ø;ì.ãôäCå5èD+.ôóëì.ó'òéSè ú Û þ õãåùó
æèQâ'èâ/ùèéæîEëE6åùèëã 8Hóë>çæóëæãë‰ì.ãôäCåî
Ú
ú þ ï
ω
FHGJIJKMLONQPRITSVUXWTYVS[ZWT\
]_^^*`badc3egfOeih9j6k5l5lhgm.]_npoqrsut?vbt?w?`pnpxt?`zy`{^?t?wt?a|~}h
€ r5npxyh € t*q
‚ taƒ?t?^?t?n3„3e € eih~jpk5…jh‡†ˆxa(ei‰mŠqr5‹^?`pŒ|,Ž?rt?npxy5a*`{
vp`pŒa?|~‘!’?ty5t?^t*v6’?t“?}”h € r5npxyh*•<p–xh"j—˜
‚ taƒ?t?^?t?n~„3e € eihj6k5k5lh†Hxa(ei‰5m]unboq?r&a*r5Œt?™Rt!npry5q?`pŒX`ba
a™=xq?ot?a<Œt*q?&}”h € r5npxyh?šT›Rœ"]u•3h?—ž
‚ taƒ?t?^?t?n%„3e € eih—5&Ÿh*m6 ¡‡¢V£{‰?Šrt*nbx¤y5a*`bvp`pŒa*r&¥6rq*v{–
Œ¦}”e›Tt?vpŒ‡o^?t?oh € r5nbxyh"—&5Ÿ
c<&Ž^a¨§ue?]Teih"j6kl©h?mŠqr5‹^?`pŒ‡3ªV¡‡¢V£%«¬§¦y™vb­n%ya*`pvb`pŒ
a?|OŒt<’?t?yt?^t*v6’?t*™Œt"®}”hq?`{ƒ(ei‰6c<&Ž^&aJ§ue6]Teih € r5nbxyh
€ t*q
cq?`{“s¯`b^ƒo3°T±=e ‚ e«³²%´”µp¶¸·¹µbº¼»½<¾e¿Je ®{hXj6k5lj5hm£ÀpÁ&´”Â?Ã.}”hMÄÅ(h
Ÿj6k
„<&a?vp`pooDtƃ*qeÇ«ÉÈ(Á&Ê?Ëpµb½Ì½ÁͲ3e>Î eÏh@Ð[ÁÑ*Á½ÁÓÒTeÏh ԍÁ&Ã.
À6Á&´”µpºiºiµC eih!ª[Ñ?µpÊDÕTe ¬Ö9eÏh3×?µb´”Ê?ÁÊ*»µpËb Ø&½”ØÚÙTe ®{h—&5j5h
ÛÜ&ÝÞßàbáâã5äååååæç
€ &“?`pqètèƒ*qd«¬Îµbéµb´êÎ eìë<eÏhìÙO»?ÁíÃî×[eEªueihìÕu¶Ïºiºiµpʐ
ï ´ÁÊ?»½RȇeXÙ<eihXªVÁ&´”ðµbʽ”µ{´¾e‡Î eih‡ÈÁ&´”ÃÌØ5ÊEë<eñue ®{hVjpk5kkh
ÛÜ&ÝÞßàbáâã5ç5çäæå6ç5ò
ó ‡ù"û"ö
ó;ôõö÷VôXø*ù5ú{ûô(ù3üýüýþ;ùpõ"ôÿ Rü ÷
!#"$%'&)(+*,&-/.01325467.8:9:;)<#=7=><;@?1BA38DC7EFHG>1&I>EJ7K.
I>K2+&5;ML>NO;P<=
QSRTU7VXW,&YZ&5;7[7\7\]TJ>;^@_!_M&T`a"bM&TRTc$Udfe7&7U7g"$!V&5;hi!j
hLf;!kl
QSRTU7VXW,&YZ&5;7[7\7\]#V;^@_!_M&T`a"bM&TRTc$Udfe7&7U7g"$!V&5;hi!j
hLf;<#l[
mnU7ofRTpqQrcUstuRT"_!v(+wxCHK:FJTpzy{254HADC|*,&~}!&5;-uJTK25.€
‚&f}>& 9:;P<#=7=];ƒ-/„Xw?rIƒ;fONf…;††[
`‡>$ˆf/‰&Š&5;f[7\7\><;>‹ŒmnUTSˆƒ"!f"ŽeV"e:ˆ;f/U‘!VHR;f’Xm@`“`
`‡of‘U7V”WS&•W,&5;–<=†l;‰—‘>M&5˜M‹B™,fe:f‘>Ru‘Uš•UR>˜•š{RT_"7p
‘!RT›œ!b‘!_fUTaf":ˆf›&ŸžŽe:ˆƒRT"/VcU$U7"& D;“/U7‘!VR>;x`@UTp
V"c‘!RT›u !b‘!_fUTaf":ˆf›;>l¡
¢–VHRT$U7,^x&fW—(¤£P¥“J8DC6Z¦&f?,& 9:;<#=†7\>;?xEf}!;O!§ƒO;[kH[
¢“$UTbf‘>¨©‰&•`&5;–<=†<;«ªsVUTaf$!U‡”UuƒRT"_f":fU7c¬Š>RTp
_ƒR7‘!cf‘>M&>Wxc$UTM& '‡>$>M&5;­fN;M<7<[H<
®rb!u™
&W,&<#=7l¯;!‹ŒQŽ$>f$!U#ˆƒRTD;„ ° <<7;ƒ=7k
◦
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
913 Кб
Теги
rflcb7fvkv
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа