close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Бухштабер

код для вставки
Полная положительность:
классические и новые актуальные задачи.
В.М.Бухштабер
МИАН им. В.А.Стеклова, buchstab@mi.ras.ru
А.А.Глуцюк
CNRS, ENS de Lyon; ВШЭ, aglutsyu@ens-lyon.fr
Конференция "Современные методы и проблемы
математической гидродинамики – 2018"
Воронеж,
03–08 мая, 2018
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
1 / 39
Прямоугольная вещественная матрица называется
вполне неотрицательной, если все её миноры неотрицательны,
вполне положительной, если все её миноры положительны.
Далее вполне положительные матрицы называются
полностью положительными.
Пример. Всякая обобщённая матрица Вандермонда
(f (xi , yj ))i=1,...,m;
j=1,...,n ,
f (x , y ) = x y ,
0 < x1 < · · · < xm , 0 ≤ y1 < y2 < · · · < yn
полностью положительна.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
2 / 39
Пусть (k × n)-матрица A задаёт базис в k-мерном подпространстве L
евклидова пространства Rn .
Плюккеровыми координатами подпространства L называется набор всех
(k × k)-миноров матрицы A, взятый с точностью до общего множителя.
Подпространство евклидова пространства называется
вполне неотрицательным, если все его плюккеровы координаты с
точностью до общего множителя являются неотрицательными,
вполне положительным, если все его плюккеровы координаты с
точностью до общего множителя являются положительными.
Далее вполне положительные подпространства будем называть
полностью положительными.
Ясно, что если (k×n)-матрица, где k 6 n, является полностью положительной,
то любой набор из её ` строк, где ` 6 k задаёт строго положительное
`-мерное подпространство в n-мерном пространстве.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
3 / 39
Опубликовано много монографий и статей, посвященных теории и
приложениям вполне отрицательных и полностью положительных матриц.
Результаты в этих направлениях играют важную роль в различных областях
математики, статистики, механики и математической физики.
Обобщения понятия вполне отрицательных и полностью положительных
подпространств позволили установить новые глубокие связи между
различными разделами математики и физики.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
4 / 39
Прямоугольная вещественная матрица называется
полностью положительной,
если положительны все её миноры.
Известно, что (3 × 3)-матрица полностью положительна, если и только
если она имеет вид


d
dh
dhi
 bd
,
bdh + e
bdhi + eg + ei
abd abdh + ae + ce abdhi + (a + c)e(g + i) + f
где все 9 cвободных параметров a, b, . . . , i положительны.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
5 / 39
О.Перрон показал в 1907 г., что
для всякой (n × n)-матрицы с положительными элементами среди ее
собственных значений то, которое имеет максимальный модуль, является
простым, вещественным и положительным, а соответствующий
собственный вектор можно нормировать так, чтобы все его компоненты
были положительны.
В 1908 г. результат О.Перрона был обобщен Г.Фробениусом на те матрицы
с неотрицательными коэффициентами, которые являются
блочно-неразложимыми.
Для каждой из них он показал, что
среди её собственных значений те, которые имеют максимальный модуль,
являются корнями многочлена P(λ) = λh − r h , все они просты, и одно из
них вещественно и положительно.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
6 / 39
В 1930-x гг. Ф.Р.Гантмахер и М.Г.Крейн ввели понятие
вполне неотрицательной (положительной) и осцилляционной матрицы.
Квадратная матрица A называется осцилляционной,
если она вполне неотрицательна
и некоторая ее натуральная степень Aq , q ∈ N полностью положительна.
Теорема (Ф.Р.Гантмахер и М.Г.Крейн). Осцилляционная матрица A
размера n × n имеет n различных положительных собственных значений
λ1 > λ2 > · · · > λn .
Если u k = (u1k , . . . , unk ) – собственный вектор, отвечающий собственному
значению λk , то при любыхP
p, q ∈ N, 1 ≤ p ≤ q ≤ n, и числах cp , . . . , cq ∈ R,
P
q
q
2
k
c
=
6
0,
в
векторе
u
=
k=1 k
k=p ck u число перемен знака в
последовательности его координат (u1 , . . . , un ) заключено между p − 1 и
q − 1 (включая p − 1 и q − 1).
В случае, когда некоторые координаты равны нулю, знаки им
приписываются произвольно, и тем не менее, сформулированное выше
утверждение останется в силе.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
7 / 39
Теорема (Ф.Р.Гантмахер, М.Г.Крейн). Осцилляционная матрица A
размера n × n имеет n различных положительных собственных значений
λ1 > λ2 > · · · > λn .
Если u k = (u1k , . . . , unk ) – собственный вектор, отвечающий собственному
значению λk , то при любых p, q ∈ N, 1 ≤ p ≤ qP≤ n, и числах cp , . . . , cq ∈ R,
q
не всех обращающихся в нуль, в векторе u = k=p ck u k число перемен
знака в последовательности его координат (u1 , . . . , un ) заключено между
p − 1 и q − 1 (включая p − 1 и q − 1).
В случае, когда некоторые координаты равны нулю, знаки им
приписываются произвольно, и тем не менее, сформулированное выше
утверждение останется в силе.
Этот результат получил широкую известность благодаря его прямой связи
с проблемами механики (малые колебания).
Он находит приложения и в настоящее время.
Пусть S – линейный упругий континуум (стержень), отождествленный с
отрезком [a, b] оси x на плоскости R2(x ,y ) .
Вводится функция влияния K (x , s), которая описывает прогиб точки x по
вертикали в результате применения вертикальной силы F к точке s.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
8 / 39
Пусть S – линейный упругий континуум (стержень), отождествленный с
отрезком [a, b] оси x на плоскости R2(x ,y ) .
Вводится функция влияния K (x , s), которая описывает прогиб точки x по
вертикали в результате применения вертикальной силы F к точке s.
Положение равновесия прогнутого стержня описывается уравнением
y (x ) = K (x , s)F .
В силу законов механики, для любых точек x1 < x2 < · · · < xn ∈ [a, b]
применение сил Fj в точках xj дает прогиб, описываемый уравнением
y (x ) =
n
X
Fj φj (x ), φj (x ) = K (x , xj ).
j=1
График функции y (x ) на участке между соседними прогнутыми точками
(xj , y (xj )) задаётся монотонной функцией.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
9 / 39
K (x , s) – функция влияния.
В силу законов механики, для любых точек x1 < x2 < · · · < xn ∈ [a, b]
применение сил Fj в точках xj дает прогиб, описываемый уравнением
y (x ) =
n
X
Fj φj (x ), φj (x ) = K (x , xj ).
j=1
График функции y (x ) на участке между соседними прогнутыми точками
(xj , y (xj )) задаётся монотонной функцией.
F
y
3
F1
a
x1
x2
x3
F2
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
x4 b
x
F
4
10 / 39
Следствие 1. Функция y (x ) меняет знак в интервале (a, b) не более n − 1
раз.
Лемма (Ф.Р.Гантмахер, М.Г.Крейн) Для любого набора φ1 (x ), . . . , φn (x )
непрерывных функций на отрезке [a, b] следующие два условия
эквивалентны:
P
1) Всякая нетривиальная линейная комбинация j Fj φj (x ) меняет знак в
интервале [a, b] не более n − 1 раз.
2) Определитель матрицы A = (φj (si ))ni,j=1 имеет постоянный знак при всех
a ≤ s1 < · · · < sn ≤ b, при которых он не обращается в нуль.
Следствие 2. det(K (xi , sj ) ≥ 0 при всех a ≤ x1 < · · · < xn ≤ b,
a ≤ s1 < · · · < sn ≤ b.
Результат вытекает из Следствия 1, леммы и того: что форма
X
K (xi , xj )Fi Fj
i,j
задаёт потенциальную энергию, и следовательно, положительно определена.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
11 / 39
Следствие 2. det(K (xi , sj )) ≥ 0 при всех a ≤ x1 < · · · < xn ≤ b,
a ≤ s1 < · · · < sn ≤ b.
Результат вытекает из Следствия 1, леммы и того: что форма
X
K (xi , xj )Fi Fj
i,j
задаёт потенциальную энергию, и следовательно, положительно определена.
Теорема (Ф.Р.Гантмахер, М.Г.Крейн). Для любых a < x1 < · · · < xn < b
матрица (K (xi , xj ))ni,j=1 является осцилляционной.
Таким образом, полностью положительные и осцилляционные матрицы
возникают в рассмотренной выше задаче механики.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
12 / 39
Ранее в 1930 г. И.Шёнберг исследовал (m × n)-матрицы, такие что
для любого k ≤ min{m, n} все ненулевые миноры порядка k
имеют одинаковый знак (либо все положительны, либо все отрицательны).
Он доказал важные результаты, связывающие вышеупомянутое свойство
матриц со свойством линейных преобразований Rn → Rm не увеличивать
вариацию.
Говорят, что линейное преобразование Rn → Rm не увеличивает вариацию,
если оно не увеличивает число перемен знаков в последовательности
координат вектора.
Дальнейшие результаты в этом направлении были получены Моцкиным в
его диссертации в 1933 г.
Наиболее полные результаты были получены
Ф.Р.Гантмахером и М.Г.Крейном в классической монографии
"Осцилляционные матрицы и ядра и малые колебания
механических систем,"2-е издание, 1950.
(1-е издание под названием "Осцилляционные матрицы и малые
колебания механических систем"вышло в 1941 г.)
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
13 / 39
Двухсторонние вполне неотрицательные
последовательности
Двухсторонней диаграммой Юнга порядка ` называется `-мерный
целочисленный вектор с убывающими компонентами:
k = (k1 , . . . , k` ) ∈ Z` , k1 > k2 > · · · > k` .
Двухсторонняя последовательность (aj )j∈Z называется вполне
неотрицательной, если для любого ` ∈ N и любых двухсторонних
диаграмм Юнга k и n порядка ` выполнено неравенство
det(akj −ni )i,j=1,...,` ≥ 0.
(1)
Двухсторонняя последовательность (aj )j∈Z называется полностью
положительной, если для любых `, k, n, таких, как и выше,
неравенство (1) выполнено и является строгим.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
14 / 39
Характеризация двухсторонних вполне
неотрицательных последовательностей
Теорема 1 (Шёнберг (I.Schoenberg, достаточность, 1948), Эдреи (A.Edrei,
необходимость, 1953))
Пусть числовая последовательность (aj )j∈Z отлична от геометрической
прогрессии (αλj )j∈Z . Тогда она вполне неотрицательна, если и только если
X
её производящий ряд
F (z) =
aj z j
j
сходится в некотором кольце R1 < |z| < R2 и задаваемая им функция F (z)
продолжается до мероморфной функции на C∗ видa
m
F (z) = Cz exp(q1 z + q−1 z
−1
)
∞
Y
(1 + αi z)(1 + δi z −1 )
i=1
(1 − βi z)(1 − γi z −1 )
,
m ∈ Z, C > 0, q±1 ≥ 0, αi ≥ 0, βi ≥ 0, γi ≥ 0, δi ≥ 0,
∞
X
(αi + βi + γi + δi ) < ∞.
i=1
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
15 / 39
Характеризация всех вполне неотрицательных двухсторонних
последовательностей легло в основу
описания характеров представлений
бесконечной унитарной группы U(∞) = −
lim
→U(n) и
бесконечной симметрической группы S(∞) = −
lim
→S(n).
См. работы Д.Войкулеску, Э.Тома
и совместные работы А.М.Вершика и С.В.Керова.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
16 / 39
Новый результат о полной положительности.
x
gx (z) = e 2 (z+z
−1
)
=
+∞
X
Ij (x )z j .
j=−∞
Ij (x ) := модифицированные функции Бесселя первого рода.
Для каждого фиксированного x > 0 последовательность Ij (x ) вполне
неотрицательна по теореме Шёнберга.
Теорема (В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк, 2016)
Для каждого фиксированного x > 0 последовательность Ij (x ) полностью
положительна.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
17 / 39
x
gx (z) = e 2 (z+z
−1
)
=
+∞
X
Ij (x )z j .
j=−∞
Ij (x ) := модифицированные функции Бесселя первого рода.
Теорема (В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк, 2016) Для каждого
фиксированного x > 0 последовательность Ij (x ) полностью положительна.
Mетод доказательства.
Обозначим через
Y` = { двухсторонние диаграммы Юнга размерности `}.
Фиксируем двухстороннюю диаграмму Юнга n = (n1 , . . . , n` ). Покажем, что
для любой двухсторонней диаграммы Юнга k = (k1 , . . . , k` )
fk (x ) = det(Ikj −ni (x ))i,j=1,...` > 0 при всех x > 0.
Вектор-функция (fk (x ))k∈Y` удовлетворяет ограниченному
дифференциально-разностному уравнению в `2 , задаваемому векторным
полем относительно которого октант {fk ≥ 0 | k ∈ Y` } инвариантен.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
18 / 39
Свойства модифицированных функций Бесселя:
Ij (x ) > 0 при x > 0, I0 (0) > 0, I−j = Ij ,
Ij0 =
1
(Ij−1 + Ij+1 ).
2
Обозначим через
Y` = { двухсторонние диаграммы Юнга размерности `}.
Фиксируем n = (n1 , . . . , n` ) ∈ Y` . Покажем, что для любой диаграммы k ∈
Y`
fk (x ) = det(Ikj −ni (x ))i,j=1,...` > 0 при всех x > 0.
Оператор сдвига Tj , действующий на функциях f (k), k ∈ Y` :
(Tj f )(k) := f (k1 , . . . , kj−1 , kj − 1, kj+1 , . . . , k` ), j = 1, . . . , `,
здесь считаем, что f (s1 , . . . , s` ) = 0 если sj−1 = sj для некоторого j.
`
∆discr :=
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
1X
(Tj + Tj−1 − 2).
2 j=1
Полная положительность
19 / 39
Ij (x ) > 0 при x > 0, I0 (0) > 0, I−j = Ij ,
Ij0 =
1
(Ij−1 + Ij+1 ).
2
(2)
Оператор сдвига Tj , действующий на функциях f (k), k ∈ Y` :
(Tj f )(k) := f (k1 , . . . , kj−1 , kj − 1, kj+1 , . . . , k` ), j = 1, . . . , `,
здесь считаем, что f (s1 , . . . , s` ) = 0 если sj−1 = sj для некоторого j.
`
∆discr :=
1X
(Tj + Tj−1 − 2).
2 j=1
Дифференциально-разностное уравнение на вектор-функцию (fk (x ))k∈Y` :
dfk (x )
= ∆discr (fk )(x ) + `fk (x ).
dx
Следует из определения и уравнения (2) на функции Бесселя.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
20 / 39
Оператор сдвига Tj , действующий на функциях f (k), k ∈ Y` :
(Tj f )(k) := f (k1 , . . . , kj−1 , kj − 1, kj+1 , . . . , k` ), j = 1, . . . , `,
здесь считаем, что f (s1 , . . . , s` ) = 0 если sj−1 = sj для некоторого j.
`
∆discr
1X
:=
(Tj + Tj−1 − 2).
2 j=1
Дифференциально-разностное уравнение на вектор-функцию (fk (x ))k∈Y` :
dfk (x )
= ∆discr (fk )(x ) + `fk (x ).
dx
Следует из определения и уравнения Ij0 = 21 (Ij−1 + Ij+1 ) на функции Бесселя.
Ограниченное дифференциальное уравнение в `2 . Задаётся векторным полем,
относительно которого положительный октант {fk ≥ 0 | k ∈ Y` } инвариантен:
правая часть =
сумма некоторых fs (x ), s ∈ Y` , с положительными коэффициентами.
=>
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
fk (x ) ≥ 0 при всех x ≥ 0.
Полная положительность
21 / 39
Дифференциально-разностное уравнение на вектор-функцию (fk (x ))k∈Y` :
dfk (x )
= ∆discr (fk )(x ) + `fk (x ).
dx
Ограниченное дифференциальное уравнение в `2 .
Положительный октант инвариантен:
правая часть =
сумма некоторых fs (x ), s ∈ Y` , с положительными коэффициентами.
(m)
=> fk
(x ) = аналогичная сумма, при всех m ∈ N.
=>
fk (x ) ≥ 0 со всеми производными, при всех x ≥ 0.
Для любой k ∈ Y` и для достаточно большого m ∈ N
(m)
в сумму для fk (x ) входит fn (x ) = det(Inj −ni (x )).
fn (0) = det(diag(I0 (0), . . . , I0 (0))) = (I0 (0))` > 0,
так как Ij (0) = 0 при j 6= 0.
(m)
=> при x > 0 имеем I0 (x ) > 0 => fk
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
(x ) > 0 => fk (x ) > 0.
Полная положительность
22 / 39
Применение в модели эффекта Джозефсона.
Cверхпроводимость:
возникает в некоторых металлах при сверхнизких температурах.
Эффект Джозефсона (B.Josephson, 1962)
Нобелевская премия по физике (1973):
если прослойка диэлектрика между двумя полупроводниками достаточно
тонка, то через нее потечет сверхпроводящий ток.
S1
S2
IS
Квантовая механика. Состояние Sj : волновая функция Ψj = |Ψj |e iχj ;
χj – фаза,
φ := χ1 − χ2 .
Сильно шунтированный случай описывается уравнением
φ̇ = − sin φ + B + A cos(ωt).
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
23 / 39
Сильно шунтированный случай описывается уравнением
φ̇ = − sin φ + B + A cos(ωt).
Комплексная замена
Φ := e iφ , z = e 2πiωt , ` =
B
A
1
, µ=
, λ = ( )2 − µ2
ω
2ω
2ω
приводит к уравнению Риккати
dΦ
z
= z −2 ((`z + µ(z 2 + 1))Φ −
(Φ2 − 1)),
dz
2iω
которое является проективизацией системы линейных уравнений на векторфункцию (u(z), v (z)), Φ = vu :
(
1
v 0 = 2iωz
u
0
−2
u = z (−(`z + µ(1 + z 2 ))u +
z
2iω v )
Подстановка E (z) = e µz v (z) превращает эту систему в специальное дважды
конфлюэнтное уравнение Гойна:
z 2 E 00 + ((` + 1)z + µ(1 − z 2 ))E 0 + (λ − µ(` + 1)z)E = 0.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
24 / 39
Сильно шунтированный случай описывается уравнением
φ̇ = − sin φ + B + A cos(ωt).
(3)
Эквивалентно специальному дважды конфлюэнтному уравнению Гойна:
z 2 E 00 + ((` + 1)z + µ(1 − z 2 ))E 0 + (λ − µ(` + 1)z)E = 0.
(4)
Известные задачи о дважды конфлюэнтном уравнении Гойна.
При каких параметрах существуют полиномиальные решения? Найти их.
В.М.Бухштабер, С.И.Тертычный: полиномиальное уравнение на параметры.
При каких параметрах существуют целые решения? Найти их.
В.М.Бухштабер, С.И.Тертычный, А.А.Глуцюк:
явное трансцендентное уравнение на параметры.
"Сопряженное"уравнение Гойна, с противоположным знаком при `:
z 2 E 00 + ((−` + 1)z + µ(1 − z 2 ))E 0 + (λ + µ(` − 1)z)E = 0.
(5)
Замена (φ, t) 7→ (φ + π, π − t) обращает знак при B в уравнении (3).
−1
Индуцирует изоморфизм 3 : E (z) 7→ e µ(z+z ) E (−z −1 ) между пространствами
решений уравнений (4) и (5).
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
25 / 39
Пара дважды конфлюэнтных уравнений Гойна, µ > 0, ` ∈ Z≥0 :
z 2 E 00 + ((` + 1)z + µ(1 − z 2 ))E 0 + (λ − µ(` + 1)z)E = 0.
z 2 E 00 + ((−` + 1)z + µ(1 − z 2 ))E 0 + (λ + µ(` − 1)z)E = 0.
(7)
(8)
Уравнение (7) может иметь целое решение,
но не может иметь полиномиального.
Уравнение (8) может иметь полиномиальное решение, степени ≤ ` − 1.
Теорема (В.М.Бухштабер, С.И.Тертычный, А.А.Глуцюк). Пусть уравнение
(8) имеет полиномиальное решение. Тогда (7) не имеет целого решения.
Теорема имеет геометрические следствия для картин фазового захвата в
модели эффекта Джозефсона.
Доказательство от противного.
Шаг 1 (Бухштабер–Тертычный). Пусть уравнение (7) имеет целое решение.
Тогда всякое его решение голоморфно на C∗ , и более того, его ряд Лорана
не содержит мономов z −1 , . . . , z −` .
Следует из симметрии # : E (z) 7→ 2ωz −`−1 (E 0 (z −1 ) − µE (z −1 )) уравнения
(8), соответствующей симметрии (φ, t) 7→ (π − φ, −t) уравнения (3).
Шаг 2 (Бухштабер–Тертычный): Пусть Ê (z) – полиномиальное решение
P`−1
уравнения (8). Тогда Ê (z) = j=0 aj z j ,
3Ê (z) = e µ(z+z
−1
)
Ê (−z −1 ) – решение уравнения (7), голоморфное на C∗ .
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
26 / 39
z 2 E 00 + ((` + 1)z + µ(1 − z 2 ))E 0 + (λ − µ(` + 1)z)E = 0.
(7)
z 2 E 00 + ((−` + 1)z + µ(1 − z 2 ))E 0 + (λ + µ(` − 1)z)E = 0.
(8)
Теорема (В.М.Бухштабер, С.И.Тертычный, А.А.Глуцюк). Пусть уравнение
(8) имеет полиномиальное решение. Тогда (7) не имеет целого решения.
Доказательство от противного.
Шаг 1 (Бухштабер–Тертычный). Пусть уравнение (7) имеет целое решение.
Тогда всякое его решение задаётся рядом Лорана без мономов z −1 , . . . , z −` .
Шаг 2 (Бухштабер–Тертычный): Пусть Ê (z) – полиномиальное решение
P`−1
уравнения (8). Тогда Ê (z) = j=0 aj z j ,
−1
3Ê (z) = e µ(z+z ) Ê (−z −1 ) – решение уравнения (7), голоморфное на C∗ ,
которое задаётся рядом Лорана, у которого вектор коэффициентов при
"запрещенных"мономах z −1 , . . . , z −` получается из вектора
(a0 , −a1 , a2 , . . . , (−1)`−1 a`−1 ) умножением на матрицу
(apq = Iq−p+1 (2µ))p,q=1,...,` .
Шаг 3 (Бухштабер–Глуцюк) Матрица (apq )p,q∈Z полностью положительна.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
27 / 39
Шаг 1 (Бухштабер–Тертычный): Пусть уравнение (7) имеет целое решение.
Тогда всякое его решение задаётся рядом Лорана без мономов z −1 , . . . , z −` .
Шаг 2 (Бухштабер–Тертычный): Пусть Ê (z) – полиномиальное решение
P`−1
уравнения (8). Тогда Ê (z) = j=0 aj z j ,
−1
3Ê (z) = e µ(z+z ) Ê (−z −1 ) – решение уравнения (7), голоморфное на C∗ ,
которое задаётся рядом Лорана, у которого вектор коэффициентов при
"запрещенных"мономах z −1 , . . . , z −` получается из вектора
(a0 , −a1 , a2 , . . . , (−1)`−1 a`−1 ) умножением на матрицу
(apq = Iq−p+1 (2µ))p,q=1,...,` .
Шаг 3 (Бухштабер–Глуцюк) Матрица (apq )p,q∈Z полностью положительна.
=> вектор коэффициентов ряда Лорана функции E (z) при запрещённых
мономах не равен нулю.
Функция E (z) содержит запрещённые мономы. Противоречие.
Решение серии гипотез Бухштабера и Тертычного об уравнениях (7) и (8).
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
28 / 39
Вполне положительные ядра
Определение (cм. С.Карлин, "Total positivity").
Функция K (x , y ), определённая на произведении двух вполне
упорядоченных множеств X × Y , называется вполне положительным
(строго вполне положительным) ядром порядка r ∈ N, если для любых
1 ≤ m ≤ r , x1 < · · · < xm в X и y1 < · · · < ym в Y определитель матрицы
(K (xi , yj ))m
i,j=1 не отрицателен (соответственно, положителен).
Наш ранее сформулированный результат о модифицированных функциях
Бесселя относился к полностью положительным двухсторонним
последовательностям (Ij (x ))j∈Z при фиксированном x .
Теорема (Бухштабер, Глуцюк, 2017). Для любого r ∈ N функция
K (x , j) = Ij (x ),
j ∈ Z≥0 , x > 0
есть строго вполне положительное ядро порядка r , где X = Z≥0 , Y = R+ .
Таким образом, последовательность функций Ij (x ) привела к синтезу понятий
полностью положительных числовых последовательностей и ядер.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
29 / 39
x
gx (z) = e 2 (z+z
−1
)
=
+∞
X
Ij (x )z j .
j=−∞
X` := {x = (x1 , . . . , x` ) ∈
R`+
| x1 < x2 < · · · < x` };
Km := {k = (k1 , . . . , km ) ∈ Zm
≥0 | k1 < k2 < · · · < km }.
Для любых x ∈ X` и k ∈ Km положим
Ak,x = (aij )i=1,...,`;
j=1,...m ,
aij = Ikj (xi ).
(6)
В специальном случае, когда ` = m, положим
fk (x ) = det Ak,x .
(7)
Теорема (В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк, 2017) Для любых m ∈ N, k ∈ Km и
x ∈ Xm выполнено неравенство fk (x ) > 0.
Следствие. Для любого x = (x1 , . . . , x` ) ∈ X` односторонняя бесконечная
матрица (aij = Ij (xi )), i = 1, . . . , `, j = 0, 1, 2, . . . полностью положительна.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
30 / 39
Ряд для модифицированных функций Бесселя Iα (x ) целого индекса α можно
записать в виде
∞
X
( 14 x 2 )k
1
.
Iα (x ) = ( x )α
2
k!Γ(α + k + 1)
k=0
Этот ряд позволяет определить функции Iα (x ) для всех вещественных
значений индекса α.
В книге С.Карлина представлена конструкция полностью положительного
ядра на основе одной модифицированной функции Бесселя Iα с произвольным
вещественным индексом α > 1. А именно, положим
(
√
α
e −(x +λ) ( λx ) 2 Iα (2 x λ) при x ≥ 0
κα (x ; λ) =
,
0 при x < 0
Kα (x , y ) = κα (x − y ; λ).
Карлин показал, что для любых α > 1 и r < α+2 функция Kα (x , y ) является
вполне положительным ядром порядка r .
Подчеркнём, что наш результат относится к другой ситуации. А именно,
наши матрицы включают значения модифицированных функций Бесселя
с разными, целыми неотрицательными индексами.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
31 / 39
Xm := {x = (x1 , . . . , xm ) ∈ Rm
+ | x1 < x2 < · · · < xm };
Km := {k = (k1 , . . . , km ) ∈ Zm
≥0 | k1 < k2 < · · · < km }.
Ak,x = (aij )i,j=1,...,m , aij = Ikj (xi ), fk (x ) := det Ak,x .
Теорема (В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк, 2017) Для любых m ∈ N, k ∈ Km и
x ∈ Xm выполнено неравенство fk (x ) > 0.
Доказательство теоремы. Индукция по m.
База индукции, m = 1: Ij (x1 ) > 0 при всех j ∈ Z≥0 и x1 > 0.
Шаг индукции. Пусть теорема доказана для m = m0 .
Докажем её для m = m0 + 1.
Рассмотрим последоватeльность детерминантов fk (x ) для всех k ∈ Km как
бесконечномерную вектор-функцию от новых переменных
(x1 , w ), w = (w2 , . . . , wm ), wj = xj − x1 ; w ∈ Xm−1 .
Теорема. При каждом фиксированном w вектор-функция (fk (x1 , w ))k∈Km
от переменной x1 удовлетворяет дифференциально-разностному
уравнению
∂f
= ∆discr f + mf .
∂x1
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
32 / 39
Шаг индукции. Пусть теорема доказана для m = m0 .
Докажем её для m = m0 + 1.
Рассмотрим последоватeльность детерминантов fk (x ) для всех k ∈ Km как
бесконечномерную вектор-функцию от новых переменных
(x1 , w ), w = (w2 , . . . , wm ), wj = xj − x1 ; w ∈ Xm−1 .
Теорема. При любом фиксированном w ∈ Xm−1
∂f
= ∆discr f + mf .
(8)
∂x1
Доказательство такое же, как и для предыдущей матрицы Ikj −ni (x ).
Правая часть в (8) есть векторное поле, ограниченное в `2 , и его поток
переводит положительный октант {fk ≥ 0 | k ∈ Km } в себя.
Начальное условие при x1 = 0 лежит в положительном октанте:
Случай 1), k1 ≥ 1: a1j = Ikj (0) = 0 => fk (0, w ) = 0.
Cлучай 2), k1 = 0: a11 = I0 (0) > 0, a1j = Ikj (0) = 0 при j > 1 =>
fk (0, w ) = I0 (0) det(Ikj (xi ))i,j=2,...,m0 > 0, по предположению индукции.
Следовательно, fk (x1 , w ) ≥ 0 при всех x1 ≥ 0, x ∈ Xm−1 , k ∈ Km .
Строгость неравенства при x1 > 0 доказывается так же, как и ранее.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
33 / 39
Уравнение Кадомцева–Петвиашвили-II
Уравнение
(uxxx + 12uux − 4ut )x + 3uyy = 0
(KП-II)
описывает нелинейные волны в двумерной среде со слабой дисперсией.
Опишем конструкцию класса точных вещественных решений уравнения
KП-II, следуя работе Т.М.Маланюка (1991).
Эта конструкция использует понятие вполне неотрицательного набора
вещественных функций
φ(k) = (φ1 (k), . . . , φn (k)), k ∈ R,
а важное специальное семейство решений использует понятие вполне
неотрицательного подпространства в Rm .
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
34 / 39
(uxxx + 12uux − 4ut )x + 3uyy = 0
(KП-II)
Фиксируем натуральное n и интервал [a, b]. Возьмём набор
φ(k) = (φ1 (k), . . . , φn (k)), k ∈ R
вещественных интегрируемых функций с supp φi ∈ [a, b]. Для x = (x1 , x2 , . . . )
положим
ω(k, x ) = kx1 + k 2 x2 + . . .
Введём функцию многих переменных x = (x1 , x2 , . . . ) по формуле
τ (x ) = det B,
где
Z
Bij (x ) =
b
k i−1 φj (k) exp(ω(k, x ))dk.
a
Теорема. Функция
u(x , y , t) =
∂2
ln τ (x1 , x2 , . . . ),
∂x 2
где x1 = x , x2 = y , x3 = t является решением уравнения КП-II.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
35 / 39
Теорема. Функция
u(x , y , t) =
∂2
ln τ (x1 , x2 , . . . ),
∂x 2
где x1 = x , x2 = y , x3 = t является решением уравнения КП-II.
Теорема. Построенное решение уравнения КП-II является регулярным,
тогда и только тогда, когда функция τ не обращается в нуль.
Теорема. Построенная функция τ , отвечающая набору
φ = (φ1 , . . . φn ),
не обращается в нуль тогда и только тогда, когда этот набор является
вполне неотрицательным или вполне неположительным.
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
36 / 39
Много работ посвящено семейству решений уравнения КП-II, отвечающему
набору функций
φi (k) =
m
X
Aij δ(k − νj ), i = 1, . . . , n,
j=1
где A = (Aij ) – вещественная (n × m)-матрица, ν1 > ν2 > · · · > νm – набор
точек на вещественной прямой, δ(k − νj ) – δ-функция Дирака вещественной
переменной k.
В этом случае
τ (x ) = det(AN),
где N = (Nji ) – вещественная (m × n)-матрица с
Nji = νji−1 exp ω(νj , x ).
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
37 / 39
N = (Nji ) – вещественная (m × n)-матрица с
Nji = νji−1 exp ω(νj , x ).
Функция
τ (x ) = det(AN)
задаёт регулярное решение уравнения КП-II, тогда и только тогда, когда
матрица A задаёт вполне неотрицательное n-мерное подпространство в
Rm .
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
38 / 39
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
В.М.Бухштабер, А.А.Глуцюк
Полная положительность
39 / 39
Автор
alpine445
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
24
Размер файла
362 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа