close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

03 модуль 4(10)

код для вставкиСкачать
Задание 1.1.
Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, заданного матрицей A=(■(1&1&3@1&5&1@3&1&1)) и проверить результат с помощью функции eig()
A(t)=|■(1-"t" &1&3@1&5-"t" &1@3&1&1-"t" )|=-t^3+7t^2-36
t_1=-2, t_2=3, t=6
t_1=-2:
{█(3x_1+x_2+3x_3=0@x_1+7x_2+x_3=0@3x_1+x_2+3x_3=0) {█(x_1=-x_3@x_2=0) ┤ b_1=(1,0,-1)┤
t_2=3:
{█(-2x_1+x_2+3x_3=0@x_1+2x_2+x_3=0@3x_1+x_2-2x_3=0) {█(x_1 〖=x〗_3@x_2 〖=-x〗_3 )┤ 〖 b〗_1=(1,-1,1)┤
t_3=6:
{█(-5x_1+x_2+3x_3=0@x_1-x_2+x_3=0@3x_1+x_2-5x_3=0) {█(x_1=x_3@x_2=2x_3 )┤ b_2=(1,2,1)┤
MATLAB:
>>A=[1 1 3;1 5 1;3 1 1];
>>[V,D]=eig(A)
V =
-0.7071 0.5774 0.4082
-0.0000 -0.5774 0.8165
0.7071 0.5774 0.4082
D =
-2.0000 0 0
0 3.0000 0
0 0 6.0000
Задание 1.2.
Условие
Привести матрицу A=(■(■(■(0&1@0&0)@■(0&0@-6&1))&■(■(0&0@1&0)@■(0&1@7&-1))))линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис. Результаты поверить с помощью функции eig ()
Выполнение
|■(■(■(-h&1@0&-h)@■(0&0@-6&1))&■(■(0&0@1&0)@■(-h&1@7&-1-h)))|=(h-1)(h-2)(h+3)(h+1)=0
h_1=-3, h_2=-1, h_3=2, h_4=1,
h_1=-3:
{█(〖3x〗_1+x_2=0@〖3x〗_2+x_3=0@(〖3x〗_3+x_4=0)¦(-6x_1+x_2+7x_3+2x_4=0))┤ {█(x_1=-x_4/27@x_2=x_4/9@x_3=-x_4/3)┤ b_1=(1,-3,9,-27)
h_2=-1:
{█(x_1+x_2=0@x_2+x_3=0@(x_3+x_4=0)¦(-6x_1+x_2+7x_3=0))┤ {█(x_1=-x_4@x_2=x_4@x_3=-x_4 )┤ b_2=(1,-1,1,-1)
h_3=2:
{█(-〖2x〗_1+x_2=0@-〖2x〗_2+x_3=0@(-〖2x〗_3+x_4=0)¦(-6x_1+x_2+7x_3-3x_4=0))┤ {█(x_1=x_4/8@x_2=x_4/4@x_3=x_4/2)┤ b_3=(1,2,4,8)
h_4=1:
{█(-x_1+x_2=0@-x_2+x_3=0@(-x_3+x_4=0)¦(-6x_1+x_2+7x_3-2x_4=0))┤ {█(x_1=x_4@x_2=x_4@x_3=x_4 )┤ b_4=(1,1,1,1)
Диагональная матрица в базисе b=(b_1,b_2,b_3,b_4) имеет вид:
(■(■(-3&0@0&-1)&■(0&0@0&0)@■(0&0@0&0)&■(2&0@0&1)))
Проверка в MATLAB:
>>A=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-6 1 7 -1];
>>[V,D]=eig(A)
V =
-129/3694 1/2 -747/6887 1/2 376/3589 -1/2 -1494/6887 1/2 -1139/3624 1/2 -1535/3538 1/2 1139/1208 -1/2 -1535/1769 1/2 D =
-3 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1
Задание 1.2.
Привести матрицу A=(■(■(■(0&1@0&0)@■(0&0@-6&1))&■(■(0&0@1&0)@■(0&1@7&-1))))линейного оператора к диагональному виду и найти соответствующий базис. Результаты поверить с помощью функции eig ()
|■(■(■(-β&1@0&-β)@■(0&0@-6&1))&■(■(0&0@1&0)@■(-β&1@7&-1-β)))|=(β-1)(β-2)(β+3)(β+1)=0
β=-3, β=-1, β=2, β=1,
β=-3:
{█(〖3x〗_1+x_2=0@〖3x〗_2+x_3=0@(〖3x〗_3+x_4=0)¦(-6x_1+x_2+7x_3+2x_4=0))┤ {█(x_1=-x_4/27@x_2=x_4/9@x_3=-x_4/3)┤ b_1=(1,-3,9,-27)
β=-1:
{█(x_1+x_2=0@x_2+x_3=0@(x_3+x_4=0)¦(-6x_1+x_2+7x_3=0))┤ {█(x_1=-x_4@x_2=x_4@x_3=-x_4 )┤ b_2=(1,-1,1,-1)
β=2:
{█(-〖2x〗_1+x_2=0@-〖2x〗_2+x_3=0@(-〖2x〗_3+x_4=0)¦(-6x_1+x_2+7x_3-3x_4=0))┤ {█(x_1=x_4/8@x_2=x_4/4@x_3=x_4/2)┤ b_3=(1,2,4,8)
β=1:
{█(-x_1+x_2=0@-x_2+x_3=0@(-x_3+x_4=0)¦(-6x_1+x_2+7x_3-2x_4=0))┤ {█(x_1=x_4@x_2=x_4@x_3=x_4 )┤ b_4=(1,1,1,1)
Диагональная матрица в базисе e=(e_1,e,e_3,e) имеет вид:
(■(■(-3&0@0&-1)&■(0&0@0&0)@■(0&0@0&0)&■(2&0@0&1)))
MATLAB:
>>A=[0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;-6 1 7 -1];
>>[V,D]=eig(A)
V =
-129/3694 1/2 -747/6887 1/2 376/3589 -1/2 -1494/6887 1/2 -1139/3624 1/2 -1535/3538 1/2 1139/1208 -1/2 -1535/1769 1/2 D =
-3 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1
Задание 1.3.
Для матрицы A=(■(1&4i&0@-4i&1&0@0&0&1)) найти диагональную матрицу D и унитарную (ортогональную) матрицу U и проверить результат с помощью функции eig()
Выполнение
|■(1-β&4i&0@-4i&1-β&0@0&0&1-β)|=-(β-5)(β-1)(β+3)=0
β=-3, β=1, β=5
D=(■(-3&0&0@0&1&0@0&0&5))
β=-3:
{█(4x_1+4ix_2=0@-4ix_1+4x_2=0@4x_3=0)┤ {█(x_1=-ix_2@x_2=x_2@x_3=0)┤ b_1=(-i,1,0)
β=1:
{█(4ix_2=0@-4ix_1=0@4x_3=0)┤ {█(x_1=0@x_2=0)┤ b_2=(0,0,1)
β=5:
{█(-4x_1+4ix_2=0@-4ix_1-4x_2=0@-4x_3=0)┤ {█(x_1=ix_2@x_2=x_2@x_3=0)┤ b_3=(i,1,0)
T_b=(■(-i&0&i@1&0&1@0&1&0))Матрица перехода в собственный базис U=A^(-1) T_b=(-■(-i&0&-i@1&0&1@0&1&0))
MATLAB:
>>[T,D]=eig(A)
T =
0 + 985/1393i 0 0 + 985/1393i -985/1393 0 985/1393 0 1 0 D =
-3 0 0 0 1 0 0 0 5 Задание 2.1.
Определить, является ли положительно определённой квадратичная форма
f(x_1,x_2,x_3 )=x_1^2-2x_2^2+x_3^2+2x_1 x_2+4x_1 x_3+2x_2 x_3
Выполнение
A=(■(1&1&2@1&-2&1@2&1&1)). Найдём её угловые миноры β=1>0, β=-3<0. следовательно не является положительно определенной.
Задание 2.2.
Методом Лагранжа привести форму к каноническому виду
f(x)=x_1 x_2-3x_1 x_3+2x_2 x_3=-(x_1/2+x_2 )^2+(x_2 〖+x〗_3 )^2+(x_1/2-3x_3 )^2-8〖x_3〗^2
Задание 2.3.
Найти ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду
f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_1 x_2+4x_1 x_3+4x_2 x_3
A=(■(1&2&2@2&1&2@2&2&1))
|■(1-β&2&2@2&1-β&2@2&2&1-β)|=-(β-5) (β+1)^2=0
β=-1, β=5
β=-1:
{█(2x_1+2x_2+2x_3=0@2x_1+2x_2+2x_3=0@2x_1+2x_2+2x_3=0)┤ { x_1=-x_2-x_3 ┤ ■(a_1=(-1,0,1)@a_2=(-1,1,0))
Векторы a_1, a_2 не ортогональны друг другу, поэтому применим к ним процесс ортогонализации. Получим, что b_1=(-1,0,1), b_2=(-1/2,1,-1/2)
β=5:
{█(-4x_1+2x_2+2x_3=0@2x_1-4x_2+2x_3=0@2x_1+2x_2-4x_3=0) {█(x_1=x_3@x_2=x_3 )┤ a_3=(1,1,1)┤
e_1=(-1/√2,0, 1/√2), e_2=(-1/√6,2/√6,-1/√6), e_3=(1/√3, 1/√3, 1/√3)
Матрица перехода от исходного базиса к e_1,e_2,e_3 T=(■(-1/√2&-1/√6&1/√3@0&2/√6&1/√3@1/√2&-1/√6&1/√3))
Преобразование координат: (■(x_1^'@x_2^'@x_3^' ))=(■(-1/√2&0&1/√2@-1/√6&2/√6&-1/√6@1/√3&1/√3&1/√3))(■(x_1@x_2@x_3 ))
Канонический вид: f(x)=-x_1^2-x_2^2+5x_3^2
Документ
Категория
Разное
Просмотров
25
Размер файла
32 Кб
Теги
модуль
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа