close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

f - Тольяттинский государственный университет

код для вставкиСкачать
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Тольяттинский государственный университет
Кафедра «Материаловедение и механика материалов»
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
по дисциплине
«Сопротивление материалов»
Часть I
Методическое пособие для студентов в рамках технологии 30/70
для строительных специальностей
Содержание
1. Установочная лекция к модулю №1. Основные понятия, гипотезы, интегральные уравнения равновесия.
Общие теоремы, ВСФ, метод сечений. Построение эпюр ............................................................................................4
1.1. Краткая историческая справка ............................................................................................................................4
1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов........................................................................4
1.3. Метод сечений ......................................................................................................................................................6
1.4. Эпюры внутренних силовых факторов ..............................................................................................................8
1.5. Правило знаков ВСФ............................................................................................................................................9
1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе......................................................................................................12
1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе.............................................................................14
1.8. Понятие о напряжении. Интегральные уравнения равновесия ......................................................................15
1.9. Понятие о перемещении и деформации ...........................................................................................................17
1.10. Теорема Кастилиано.........................................................................................................................................18
1.11. Теорема Бетти-Максвелла ...............................................................................................................................19
1.12. Основные принципы сопротивления материалов .........................................................................................21
1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения .............................................................23
1.14. Основные виды расчетов .................................................................................................................................23
2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка задачи оценки прочности и жесткости. Механические
характеристики материалов ...........................................................................................................................................24
2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии ......................................................................................24
2.2. Испытания материалов на растяжение-сжатие................................................................................................25
2.3. Допускаемые напряжения .................................................................................................................................32
2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на механические характеристики......................33
2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания ...................................................................................35
2.6. Предельное состояние конструкции .................................................................................................................36
3. Установочная лекция к модулю №3. Растяжение-сжатие: прочность жесткость, энергия, интеграл Мора.......37
3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии ................................................................37
3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии .....................................................................38
3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия...............................................................................................39
3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически определимых систем при растяжении–
сжатии.........................................................................................................................................................................40
4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические характеристики плоских сечений ...................................42
4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений ....................................................................42
4.1.1. Площадь сечения .......................................................................................................................................42
4.1.2. Статические моменты площади................................................................................................................42
4.1.3. Моменты инерции......................................................................................................................................43
4.1.4. Радиусы инерции .......................................................................................................................................44
4.2. Основные теоремы о моментах инерции..........................................................................................................44
4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным .................................44
4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур...............................................................................45
4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат ................................................................47
4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции.....................................................................................48
5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х
прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием ..........................................................................................................50
5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе ..................................................................................................50
5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких материалов .......................................52
5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного изгиба...........................................56
5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе ............................................................................................61
5.5. Интеграл Мора для случая изгиба ....................................................................................................................61
5.6. Численные методы решения интеграла Мора..................................................................................................63
2
5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)............................................................................................................63
5.6.2. Способ Верещагина ...................................................................................................................................64
5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки .....................................................................................65
5.8. Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения.
Уравнение начальных параметров...........................................................................................................................66
5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе ..................................................................68
5.10. Косой изгиб.......................................................................................................................................................69
5.11. Внецентренное растяжение-сжатие ................................................................................................................73
6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение: прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора ......................76
6.1. Чистый сдвиг и его особенности.......................................................................................................................76
6.2. Кручение стержней круглого профиля.............................................................................................................77
6.3. Потенциальная энергия деформации кручения ...............................................................................................79
6.4. Интеграл Мора для случая кручения ................................................................................................................80
6.5. Кручение стержней некруглого профиля.........................................................................................................82
6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом ............................................................................................84
6.7. Практические расчеты на срез и смятие...........................................................................................................86
6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений ..........................................................................................86
6.7.2. Сварные соединения..................................................................................................................................87
3
1. Установочная лекция к модулю №1. Основные
понятия, гипотезы, интегральные уравнения
равновесия. Общие теоремы, ВСФ, метод сечений.
Построение эпюр
1.1. Краткая историческая справка
Создание прочных, надежных конструкций издавна интересует человечество. Используя
метод проб и ошибок, а также, заимствуя некоторые решения у природы, были достигнуты
значительные практические успехи. Вместе с тем, этот путь был отмечен техническими
катастрофами и гибелью людей.
Историческим началом науки о прочности принято считать пятнадцатое столетие. Век
Великих Географических открытий был ознаменован бурным развитием кораблестроения,
военной техники и астрономии. Это, в свою очередь, вызвало необходимость решения многих
задач прочности. Так, известно, что Леонардо да Винчи занимался испытанием канатов на
прочность и пытался решить задачу о прочности двухопорных балок. Однако, поскольку
Леонардо никогда не публиковал своих работ, основателем сопротивления материалов как
науки считается Галилео Галилей, который занимался испытанием деревянных балок на изгиб и
написал об этом книгу.
Большой вклад в развитие науки о прочности внесло открытие интегрального и
дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем.
В 1676 году английский ученый Роберт Гук опубликовал закон деформирования упругих тел
(каково удлинение, такова сила), являющийся основным законом сопротивления материалов.
В 1809 году Томас Юнг ввел понятие модуля упругости, а в 1822 – Огюстен Луи Коши ввел
понятие напряжения. Это дало возможность записать закон Гука в современном виде.
В 1829 году французский инженер и ученый Анри Навье издал первое руководство по
сопротивлению материалов. Дальнейшее развитие этой науки было вызвано бурным развитием
промышленности и транспорта и связано с трудами таких ученых, как Эйлер, Кастилиано,
Максвелл, Кулон, Мор, Журавский, Ясинский и др.
Первый учебник «Сопротивление материалов» был написан великим русским ученым С.П.
Тимошенко.
1.2. Методологические аспекты курса сопротивления материалов
Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов
конструкций. Под прочностью понимается способность элемента конструкции выдерживать
заданные нагрузки, не разрушаясь. Под жесткостью понимается способность выдерживать
нагрузки при ограниченных деформациях. Под устойчивостью понимают способность
элемента конструкции сохранять наперед заданную форму упругого равновесия.
Другими словами, задача сопротивления материалов – обеспечение прочностной
надежности элементов конструкций.
Модель прочностной надежности любого элемента состоит из совокупности следующих
моделей:
модель прочностной надежности
модель
материала
модель
формы
модель
нагружения
модель
разрушения
По уровню описания структурного состояния материала различают:
4
физические
модели
материалов
инженернофизические
инженерные
Инженерная модель материала, принятая в сопротивлении материалов, наделена
следующими свойствами (в некоторых источниках известными как гипотезы относительно
свойств материала):
• сплошность (материал непрерывно заполняет весь объем элемента конструкции);
• однородность (свойства материала в каждой точке одинаковы);
• изотропность (свойства материала во всех направлениях одинаковы);
• идеальная упругость (для материала выполняется закон Гука).
По геометрическим признакам элементов конструкций различают:
стержни
модели
формы
пластины и
оболочки
объемные
тела
Внешние силовые воздействия классифицируют в зависимости от их поведения во времени,
а также по степени локализации:
сосредоточенные силы
модели
нагружения
стационарные
распределенные силы
нестационарные
объемные силы
Виды разрушения могут быть представлены следующими моделями разрушения:
статические
малоцикловые
модели
разрушения
усталостные
длительной прочности
Применение моделей прочностной надежности позволяет перейти от реального объекта к
расчетной схеме, и этой задачей занимаются специальные дисциплины. Сопротивление
5
материалов занимается анализом расчетных схем, т.е. оценкой прочности, жесткости и
устойчивости. Для решения этих задач необходимо знание внутренних силовых факторов,
возникающих в материале конструкции в ответ на внешнее воздействие. Рассмотрим метод для
их определения.
1.3. Метод сечений
Метод сечений служит для определения внутренних силовых факторов (ВСФ). Под ВСФ
будем понимать те изменения сил взаимодействия между элементарными частицами вещества,
которые происходят в ответ на внешние воздействия.
Рассмотрим физическое тело, нагруженное самоуравновешенной системой сил:
Произвольной плоскостью разделяем объект на две части (A и B):
В сечении каждой части возникают внутренние силы, заменяющие действие отсеченной
части.
Внутренние силы в сечении части А, согласно 3-му закону Ньютона, равны по величине и
противоположны по направлению внутренним силам в сечении части В. Следовательно, для
определения внутренних сил достаточно рассмотреть одну из частей.
Оставим для рассмотрения часть А. Предварительно введем следующую систему координат:
оси x и y лежат в плоскости сечения, ось z нормальна ему. Центр координат расположим в
геометрическом центре сечения.
6
Заменим систему внутренних сил главным вектором сил R и главным моментом M .
Проекции R на координатные оси:
Qx, Qy – поперечные силы;
N – продольная сила.
Главный момент разложим на три составляющие:
Mx, My – изгибающие моменты;
Mz – крутящий момент.
Определяем ВСФ из уравнений статики.
Рассмотрим сумму проекций сил, действующих на оставленную часть, на ось z:
ост.ч.
ост.ч.
ост.ч.
i
i
i
∑ Fiz = 0 : N +
∑ Fizвнеш. = 0 , т.е. сила N должна быть равна по величине ∑ Fizвнеш. и
противоположно направлена. Это можно записать в виде:
N=
ост.ч.
∑i Fizвнеш. .
Рассуждая таким же образом, можно записать следующие соотношения:
ост.ч.
∑F
N=
Qx =
Qy =
внеш.
iz
i
ост.ч.
∑F
внеш.
ix
i
ост.ч.
(1.1)
∑F
внеш.
iy
i
Рассмотрев сумму моментов относительно осей координат, получим:
Mz =
Mx =
My =
ост.ч.
∑M
z
( Fi внеш. )
∑M
x
( Fi внеш. )
∑M
y
( Fi внеш. )
i
ост.ч.
i
ост.ч.
i
7
(1.2)
Алгоритм метода сечений
1. Сделать сечение в произвольном или интересующем месте элемента конструкции.
2. Для рассмотрения оставить одну из двух частей.
3. Составить уравнения статического равновесия (1.1) или (1.2).
Классификация простейших видов нагружения
1. Растяжение-сжатие – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях элемента
конструкции действует только продольная сила N, а остальные пять внутренних силовых
факторов равны нулю.
2. Изгиб (чистый изгиб) – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях элемента
конструкции действует только изгибающий момент. Если, кроме изгибающего момента,
возникает поперечная сила, изгиб называется поперечным.
3. Сдвиг (срез) – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях элемента
конструкции действует только поперечная сила.
4. Кручение – вид нагружения, при котором в поперечных сечениях элемента конструкции
действует только крутящий момент Mz.
1.4. Эпюры внутренних силовых факторов
Для более наглядного представления характера изменения внутренних силовых факторов
вдоль оси конструкции строят их графики.
Графики изменения внутренних силовых факторов вдоль продольной оси стержня
называются эпюрами.
Эпюры внутренних силовых факторов, как правило, строят для того, чтобы наметить
опасные сечения, т.е. сечения, в которых существует большая вероятность наступления
разрушения из-за того, что там внутренние силовые факторы достигают наибольших значений.
Эпюры строятся по определенным правилам.
Алгоритм построения эпюр ВСФ
1. Стержень разбить на участки (в пределах каждого участка внутренние силовые факторы
изменяются по одной закономерности). Границами участков являются сечения, где:
- приложены внешние сосредоточенные усилия (сила, момент);
- начинается или заканчивается распределенная нагрузка;
- имеется перелом оси стержня.
2. В пределах каждого участка, применяя метод сечений и учитывая правило знаков,
получить аналитическую зависимость (1.1) или (1.2) изменения каждого ВСФ (или, зная
характер изменения ВСФ, определить его значения в граничных сечениях участка).
3. Построить графики (эпюры) этих зависимостей вдоль оси стержня, соблюдая следующие
правила:
- провести базовую линию эпюры параллельно оси конструкции;
- ординаты эпюры в выбранном масштабе откладывать от базисной линии;
8
- в характерных (граничных) сечениях указать абсолютные значения ординат (без указания
размерности);
- поле эпюры штриховать линиями, перпендикулярными базисной линии;
- знак ВСФ ставить в кружочке в положительной (+) и в отрицательной (-) областях эпюры;
- рядом с базисной линией нанести обозначение ВСФ и его размерность.
1.5. Правило знаков ВСФ
В сопротивлении материалов для каждого внутреннего силового фактора принято вполне
определенное правило знаков.
Правило знаков для продольной силы N
Продольная сила считается положительной, если вызывающая её внешняя сила
относительно рассматриваемого сечения растягивает стержень:
F
F
F
N>0
F
растяжение
F
F
F
N<0
F
сжатие
Правило знаков для поперечной силы Qy (Qx)
Поперечная сила считается положительной, если вызывающая её внешняя сила действует
относительно рассматриваемого сечения по часовой стрелке:
9
по часовой
q
q
F
Q y >0
F
по часовой
против часовой
q
F
q
F
Q y <0 против часовой
Правило знаков для изгибающего момента Мх (Му)
Эпюра изгибающего момента строится на растянутом контуре:
F
q
M x >0
откладывать вниз
M
M
q
F
q
F
Ординату момента
откладывать в сторону
растянутых волокон
M x <0
откладывать вверх
F
q
M
M
10
Например:
Знак внутри эпюры Мх не ставится.
Правило знаков для крутящего момента Мz
Крутящий момент считается положительным, если вызывающий его внешний крутящий
момент действует относительно рассматриваемого сечения против часовой стрелки:
11
M z >0
М
М
y
y
z
x
z
x
против часовой стрелки
M z <0
М
М
y
x
y
z
z
x
по часовой стрелке
1.6. Пример построения эпюр ВСФ при изгибе
П р и м е р . Для нагруженной консольной балки построить эпюры Qy и Мх
12
1. Построение эпюры Qy.
В данном случае будет один участок: 0≤z≤2l.
Для произвольного сечения с координатой z:
Qy(z)=-F+q*z.
Получена линейная зависимость, для построения графика которой нужны значения функции
Qy(z) в начале и конце участка:
Q y ( 0 ) = −2 q ⋅ l + q ⋅ 0 = −2 q ⋅ l ;
Q y ( 2l ) = −2q ⋅ l + q ⋅ 2l = 0 .
2. Построение эпюры Mx.
Рассмотрим два участка балки.
1-й участок: 0≤z1≤l:
M x ( z1 ) = 2ql ⋅ z1 − q ⋅ z1 ⋅
z1
2
Получена квадратичная зависимость, для построения графика которой нужны значения
функции Мх(z1) в начале и конце участка:
В начале участка M x (0) = 2ql ⋅ 0 − q ⋅ 0 ⋅
В конце участка M x (l ) = 2ql ⋅ l − q ⋅ l ⋅
0
= 0.
2
l
= 1,5ql 2 .
2
2-й участок: 0≤z2≤l:
M x ( z 2 ) = 2ql ⋅ ( z2 + l ) − q ⋅ ( z2 + l ) ⋅
13
( z2 + l )
+ ql 2 .
2
Получена квадратичная зависимость, для построения графика которой нужны значения
функции Мх(z2) в начале и конце участка:
l
+ ql 2 = 2,5ql 2 .
2
2l
+ ql 2 = 3ql 2 .
В конце участка M x (l ) = 2ql ⋅ 2l − q ⋅ 2l ⋅
2
В начале участка M x (0) = 2ql ⋅ l − q ⋅ l ⋅
1.7. Дифференциальные зависимости между ВСФ при изгибе
Рассмотрим двухопорную балку, нагруженную произвольной нагрузкой qz.
В окрестностях точки B вырежем бесконечно малый участок балки длиной dz. В силу
малости участка можно принять q=const:
Запишем условия статического равновесия:
n
dQ y
i
dz
∑ Fiy =0 : Q y + q ⋅ dz − Q y − dQ y = 0 ⇒ q =
n
dz
∑ M B (Fi ) = 0 :Qy ⋅ dz + M x + q ⋅ dz ⋅ 2
i
Слагаемым q ⋅ dz ⋅
dz
можно пренебречь, тогда
2
dM x
Qy =
dz
d 2M x
q=
dz 2
(1.3)
− M x − dM x = 0 .
(1.4)
(1.5)
Зависимость (1.4) используется для анализа возрастания или убывания функции Mx слева
направо:
если Qy>0, то Mx возрастает;
если Qy<0, то Mx убывает;
если q=0, Qy=const, то Mx=Qy*z+C – наклонная прямая;
если q=const, то Qy=q*z+D – наклонная прямая,
z2
M x = q + Dz + B – квадратичная парабола, где C, D, B – постоянные интегрирования.
2
14
Основные закономерности при построении эпюр Qy и Mx
1. От действия сосредоточенной силы на эпюре Qy – скачок на величину силы в сторону
знака ее воздействия; на эпюре Mx – перелом, острие которого направлено в сторону
действия силы.
2. От сосредоточенной пары сил на эпюре Mx – скачок на величину пары в сторону,
противоположную знаку ее воздействия.
3. Если участок пустой (ничем не загружен), на эпюре Qy – прямая, параллельная базе; на
эпюре Mx – прямолинейная зависимость.
4. Если участок загружен равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q, то на
эпюре Qy – наклонная прямая с угловым коэффициентом, равным q; на эпюре Mx –
квадратичная парабола, выпуклость которой направлена в сторону действия
распределенной нагрузки.
5. Если на участке действия распределенной нагрузки на эпюре Qy наклонная прямая
пересекает базу, то в соответствующем сечении на эпюре Mx – экстремум.
1.8. Понятие о напряжении. Интегральные уравнения равновесия
Рассмотрим тело, нагруженное самоуравновешенной системой сил.
Выделим произвольное сечение данного тела.
15
Пусть величина площади сечения равна А. Выделим элементарную площадку dA с
координатами x, y. В связи с тем, что площадка dA бесконечно мала, примем закон изменения
внутренних сил, действующих на ней, равномерным, что позволяет заменить эти силы только
главным вектором силы dR.
Введем следующие обозначения:
dN
= σ – нормальное напряжение;
dA
dQ y
dQx
= τ zy ,
= τ zx – касательные напряжения.
dA
dA
В обозначениях касательного напряжения первый индекс указывает ось, перпендикулярную
площадке, второй – ось, в направлении которой оно действует.
Размерность напряжений – Па [Н/м2].
Полный вектор напряжений P =
σ 2 + τ zy2 + τ zx2 .
На основании вышесказанного:
dN = σ ⋅ dA , dQ y = τ zy ⋅ dA , dQx = τ zx ⋅ dA ,
то есть
N = ∫ σ dA
A
Q y = ∫ τ zy dA
A
Qx = ∫ τ zx dA
A
16
(1.6)
Элементарные изгибающие моменты могут быть записаны:
dМ y = dN ⋅ x ,
dМ x = dN ⋅ y ,
dМ z = dQ y ⋅ x + dQx ⋅ y .
Следовательно:
M y = ∫ σ ⋅ x ⋅ dA
A
M x = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA
(1.7)
A
M z = ∫ (τ zy ⋅ x − τ zx ⋅ y )dA
A
Выражения (1.6) и (1.7) называются интегральными уравнениями равновесия.
1.9. Понятие о перемещении и деформации
Рассмотрим физический объект произвольной формы в декартовой системе координат.
Зафиксируем внутри тела точку В до приложения внешних сил. Предположим, что В1 –
положение точки В после приложения внешних сил.
Тогда вектор ВВ1 можно считать вектором полного перемещения точки В. u, v, w –
проекции вектора полного перемещения на оси x, y, z соответственно.
Зафиксируем до приложения сил точки В и С, расстояние между которыми равно s. Пусть
точки В1 и С1 - новые положения точек В и С после приложения системы внешних сил.
Предположим, что расстояние между ними равно s+Δs.
17
Δs – абсолютное изменение длины отрезка ВС - называется абсолютная линейной деформацией.
Величина
Δs
- это относительная линейная деформация.
Δs → 0 s
ε = lim
Кроме линейных деформаций существуют также угловые деформации. Проиллюстрируем
их. Выделим точки О, В, С до приложения к объекту внешних сил. Пусть О1, В1, С1 –
положения выбранных точек после нагружения объекта.
Тогда, γ = lim
О→ В
О→С
(В Оˆ С
)
− В 1 Оˆ 1 С 1 - угловая деформация.
1.10. Теорема Кастилиано
Теорема Кастилиано предназначена для определения перемещений точек упругой системы.
Частная производная от потенциальной энергии деформации системы по силе равняется
перемещению точки приложения данной силы по ее направлению.
Если u – потенциальная энергия деформации, накопленная в объеме тела под действием
системы внешних сил {Fn}, то
∂u
= δn ,
∂Fn
где δn – перемещение n-й точки.
Доказательство проведем, рассмотрев два порядка приложения внешних сил.
1 порядок
1. Нагрузим тело системой сил {Fn}. При этом тело приобретает потенциальную энергию
деформации u.
2. Увеличим силу Fn на бесконечно малую величину dFn. Потенциальная энергия получит
приращение
∂u
dF .
∂Fn n
Таким образом, суммарная потенциальная энергия будет равна u +
18
∂u
dFn
∂Fn
2 порядок
1. Нагрузим тело в точке n бесконечно малой силой dFn, при этом точка n получит
перемещение dσn. Потенциальную энергию деформации определим как работу этой силы по
теореме Клапейрона:
1
I = dFn ⋅ dδ n .
2
2. Приложим к телу систему внешних сил {Fn}, в результате точка n получит
дополнительное перемещение σn. Потенциальная энергия деформации тела увеличится на
величину u, и, кроме того, сила dFn совершит дополнительную работу на перемещении σn:
I = dFn ⋅ δ n .
В результате при втором порядке приложения внешних сил потенциальная энергия
деформации определяется как
1
dFn ⋅ dδ n + u + dFn ⋅ σ n .
2
Предполагая, что величина потенциальной энергии деформации тела не зависит от порядка
приложения сил, получим
u+
∂u
1
dFn = dFn ⋅ dδ n + u + dFn ⋅ δ n .
∂Fn
2
1
dF ⋅ dδ n можно пренебречь в силу того, что это величина второго порядка
2 n
∂u
малости. Тогда
dF = dFn ⋅ δ n , откуда:
∂Fn n
Слагаемым
∂u
= δ n , что и требовалось доказать.
∂Fn
Недостатком теоремы Кастилиано является то, что с ее помощью можно определять
перемещения только тех точек упругой системы, к которым приложены внешние силы.
1.11. Теорема Бетти-Максвелла
Теорема Бетти (теорема о взаимности работ)
Работа силы первого состояния на перемещении, вызванном силой второго состояния,
равняется работе силы второго состояния на перемещении, вызванном силой первого
состояния:
19
F1δ12 = F2δ 21
Первый индекс в обозначении перемещений показывает точку и направление перемещения,
второй – причину перемещения.
Докажем теорему, рассмотрев два порядка приложения сил.
1 порядок
1. Нагрузим балку силой F1.
Потенциальную энергию деформации определим как работу силы F1 на перемещении σ11:
u1 =
1
F1 ⋅ δ 11 .
2
2. Добавим силу F2.
Приращение потенциальной энергии деформации определим как сумму работ силы F2 на
перемещении σ22 и силы F1 на перемещении σ12:
Δu1 =
1
F2 ⋅ δ 22 + F1 ⋅ δ 12 .
2
2 порядок
1. Нагрузим балку силой F2.
Потенциальную энергию деформации определим как работу силы F2 на перемещении σ22:
u2 =
1
F2 ⋅ δ 22 .
2
2. Добавим силу F1.
Приращение потенциальной энергии деформации определим как сумму работ силы F1 на
перемещении σ11 и силы F2 на перемещении σ21:
Δu2 =
1
F1 ⋅ δ 11 + F2 ⋅ δ 21 .
2
20
Предполагая, что от порядка приложения сил потенциальная энергия деформации не
зависит, приравняем потенциальные энергии деформации полученные при первом и втором
порядке приложения сил F1 и F2:
u1 + Δu1 = u2 + Δu2 - то есть
1
1
1
1
F1 ⋅ δ11 + F2 ⋅ δ 22 + F1 ⋅ δ12 = F2 ⋅ δ 22 + F1 ⋅ δ11 + F2 ⋅ δ 21 ,
2
2
2
2
откуда F1δ12=F2δ21, что и требовалось доказать.
Теорема Максвелла (теорема о взаимности единичных перемещений)
Теорема Максвелла - это теорема о взаимности работ для частного случая нагружения
системы, когда F1=F2=1. Очевидно, что при этом δ12=δ21.
Перемещение точки первого состояния под действием единичной силы второго состояния
равняется перемещению точки второго состояния под действием единичной силы первого
состояния.
1.12. Основные принципы сопротивления материалов
Принцип неизменности первоначальных геометрических размеров
Основан на малости упругих деформаций, которые составляют всего 0,001…0,005%, что
дает возможность пренебрегать изменениями в расположении внешних сил и составлять
уравнения статики для недеформируемого состояния системы. В качестве примера рассмотрим
следующую стержневую конструкцию, для которой необходимо оценить прочность и
жесткость стержней, являющихся функцией внутренней силы N.
Под действием силы F первоначальный угол α положения стержней изменяется до
некоторой величины α*, заранее неизвестной и зависящей от величины деформации стержней.
Последнюю можно определить лишь при знании внутренней силы N, которая равна реакции R в
точке крепления стержней, определяемой из уравнения статического равновесия. В свою
очередь в уравнение статического уравнения входит угол положения стержня. Таким образом,
если использовать деформируемую систему, то задача становится неразрешимой. Принцип
неизменности первоначальных геометрических размеров позволяет решить задачу об
определении внутренней силы N, используя недеформируемое состояние системы. Из суммы
проекций на вертикальную ось имеем:
2Rcosα=F,
откуда продольные усилия в стержнях
N =R=
F
.
2 cos α
Принцип суперпозиции (принцип независимости действия сил)
Рассмотрим балку, нагруженную силами F1, F2 и F3:
21
Обозначим перемещение точки C под действием каждой из этих сил, приложенной по
отдельности, соответственно σc(F1), σc(F2) и σc(F3)
Тогда в пределах области упругих деформаций перемещение точки C под действием всех
сил
σc(F1,F2,F3)=σc(F1)+σc(F2)+σc(F3)
Результат действия совокупности факторов равен сумме результатов от действия
каждого фактора в отдельности.
Принцип Сен-Венана
Особенность приложения внешней нагрузки оказывает влияние на результат ее действия
лишь на расстоянии от точки ее приложения меньше характерного размера поперечного
сечения.
Для иллюстрации рассмотрим три стержня одинаковых геометрических размеров с одними
и теми же условиями закрепления, но с различным способом приложения силы F.
Напряжение, возникающее в поперечных сечениях стержней, в основном объеме одинаково
и не зависит от характера приложения внешней нагрузки.
22
1.13. Потенциальная энергия деформации в общем случае нагружения
В общем случае нагружения, как известно, возникает шесть ВСФ (N, Qx, Qy, Mx, My, Mz).
Потенциальная энергия деформации является функцией внутренних силовых факторов. На
основе принципа независимости действия сил потенциальную энергию деформации
нагруженного тела можно определить следующим образом:
(
)
U N , Qx , Q y , M x , M y , M z = U ( N ) + U (Qx ) + U (Q y ) + U (M x ) + U (M y ) + U (M z ).
1.14. Основные виды расчетов
Метод расчета по допускаемым напряжениям
Алгоритм метода:
1. Выявляют точку в объеме элемента конструкции, в которой возникает максимальное
напряжение. Для этого сначала определяют положение опасного сечения, а затем в этом
сечении ищут положение опасной точки.
2. В соответствии с видом деформации рассчитывают величину максимального
напряжения.
3. Сопоставляют расчетное максимальное напряжение с предельно допустимым,
полученным на основе эксперимента.
Условие прочности может быть записано в виде:
σmax≤[σ],
где [σ]– предельно допустимая величина напряжения.
Метод расчета по разрушающим нагрузкам
Данным методом определяют не максимальное напряжение в точке, а величину предельной
нагрузки, которую может выдержать конструкция, не разрушаясь или не изменяя существенно
свою форму. Ее сопоставляют с рабочей нагрузкой и делают вывод о работоспособности
конструкции.
Fпред
[F ]
=n
Метод расчета по допускаемым перемещениям (расчет на жесткость)
Применяется в зависимости от требований, предъявляемых к конструкции во время ее
эксплуатации.
23
2. Установочная лекция к модулю №2. Постановка
задачи оценки прочности и жесткости. Механические
характеристики материалов
2.1. Напряжения и деформации при растяжении-сжатии
Рассмотрим стержень, нагруженный сосредоточенной силой F. До нагружения его длина
была равна l, а после нагружения она изменилась на Δl.
Определим напряжения, возникающие в поперечных сечениях стержня, для этого
рассмотрим три стороны задачи.
1. Статическая сторона задачи.
В данном случае нагружения возникает только один внутренний силовой фактор –
продольная сила N, для которой ранее было получено интегральное уравнение равновесия в
виде:
N = ∫ σ ⋅ dA
(2.1)
A
2. Геометрическая сторона задачи.
Введем следующую гипотезу: сечения плоские и недеформированные до приложения
внешней нагрузки остаются такими же и после приложения внешней силы, перемещаясь под
действием ее параллельно поступательно (гипотеза плоских сечений, или гипотеза Бернулли).
Следовательно, каждое продольное волокно (стержень с бесконечно малым поперечным
сечением), составляющее заданный стержень, деформируется одинаково, то есть абсолютная
деформация
Δl = const
и относительная деформация
ε=
Δl
= const
l
(2.2)
3. Физическая сторона задачи.
Запишем закон Гука в напряжениях и деформациях:
σ = Eε
где E – модуль упругости первого рода (модуль Юнга) – физическая константа материала,
измеряемая в единицах напряжения.
24
(2.3)
Подставим выражение (2.3) в формулу (2.1):
N = ∫ Eε dA .
A
С учетом соотношения (2.2):
N = Eε ∫ dA = Eε A ,
A
откуда относительная и абсолютная деформация
N
,
EA
Nl
.
Δl = ε l =
EA
ε=
Таким образом, напряжение в поперечных сечениях стержня
σ = Eε = E
N
N
= .
EA A
2.2. Испытания материалов на растяжение-сжатие
Испытание на растяжение
Испытание на растяжение производится на образцах двух типов: цилиндрических и
плоских.
Цилиндрические образцы могут быть нормальные (с расчетной длиной lрасч=10d) и
укороченные (с lрасч=5d). Для плоских образцов при вычислении расчетной длины образца
используется диаметр круга, равновеликого поперечному сечению рабочей части образца.
В процессе растяжения, реализуемого на специальных испытательных машинах,
автоматически записывается диаграмма испытания в координатах сила – удлинение (рабочая,
или индикаторная диаграмма). Для малоуглеродистой стали эта диаграмма выглядит
следующим образом:
Рассмотрим основные участки диаграммы.
OB – участок упругости.
25
После нагружения в пределах этого участка образец возвращается в исходное состояние.
Такая деформация, полностью исчезающая после разгрузки, называется упругой. Механизм
упругой деформации – изменение расстояния между атомами.
BC – участок общей текучести (площадка текучести).
На этом участке на поверхности образца появляется сетка линий, направленных под углом
приблизительно 45° к оси растяжения – линии Чернова-Людерса. Эти линии свидетельствуют о
появлении нового механизма деформации, заключающегося в сдвиге атомных слоев друг
относительно друга. Из-за этих сдвигов после разгрузки образец не возвращается в исходное
состояние, приобретая остаточную, или пластическую, деформацию. Пластическая деформация
сопровождается нагревом образца, изменением его электропроводности и магнитных свойств, а
также акустическим излучением.
CD – участок упрочнения.
Пластическая деформация изменяет внутреннюю структуру материала, в результате чего
образец снова проявляет сопротивление деформированию, и растягивающая сила повышается.
DK – участок местной текучести.
Точка D диаграммы соответствует появлению на образце локального сужения – шейки.
Дальнейшая деформация локализуется в этой области, и за счет уменьшения площади
поперечного сечения необходимая для растяжения сила снижается. Точка K соответствует
разделению образца на части. Разрыв происходит в самом тонком месте шейки.
Чтобы исключить влияние геометрических размеров образца, рабочая диаграмма
перестраивается в условную (в координатах напряжение – деформация:
Полученная диаграмма называется условной потому, что при вычислении напряжения и
деформации сила и удлинение относятся не к действительным, а к начальным значениям
соответственно площади поперечного сечения и длины образца.
На условной диаграмме выделяют следующие характерные точки:
σпц – предел пропорциональности: максимальное напряжение, до которого справедлив закон
Гука (т.е. наблюдается прямая пропорциональная зависимость между напряжением и
деформацией);
σу – предел упругости: максимальное напряжение, до которого в материале не возникает
пластических деформаций;
σт – предел текучести: напряжение, при котором наблюдается рост деформации при
постоянном напряжении;
σв – предел прочности (или временное сопротивление разрыву): максимальное напряжение,
которое может выдержать образец без разрушения.
В момент разрыва истинное напряжение, отнесенное к действительной площади сечения,
существенно выше предела прочности.
За пределами участка упругости в любой точке диаграммы полная деформация εполн состоит
из упругой εупр и пластической εпл составляющих:
26
Если прекратить нагружение в точке G и снять нагрузку, то разгрузка произойдет по закону
Гука, т.е. по линии, параллельной участку упругости (отрезок GO1). Таким образом, отрезок
OO1 определяет величину остаточной деформации образца, а отрезок O1O2 – величину упругой
деформации на момент разрыва.
Механические характеристики материалов
Механические характеристики материалов, определяемые при растяжении, можно разделить
на три группы.
1. Характеристики упругих свойств.
Модуль упругости первого рода (модуль Юнга).
Модуль Юнга характеризует жесткость материала (физический смысл) и равен тангенсу
угла наклона участка упругости OB условной диаграммы к оси абсцисс E = tgα
(геометрический смысл). Для основных марок стали E = 2·105 МПа, для меди E = 1,2·105 МПа,
для алюминия E = 0,7·105 МПа.
Коэффициент Пуассона.
Удлинению стержня при растяжении в продольном направлении сопутствует сжатие в
поперечном направлении:
При этом относительная линейная деформация определяется как
ε=
l1 − l
l
Δl
,
l
=
а относительная поперечная деформация –
ε′ =
a − a1
a
=
b − b1
b
.
За коэффициент Пуассона принимают модуль отношения поперечной деформации к
продольной:
μ=
ε′
.
ε
Коэффициент Пуассона изменяется от 0 (для пробки) до 0,5 (для резины). Для основных
марок стали μ = 0,25 ÷ 0,35 .
27
Иногда к характеристикам упругости относят также предел пропорциональности σпц и
предел упругости σу.
2. Характеристики прочности:
– предел текучести σт,
– предел прочности σв.
Если диаграмма растяжения не имеет площадки текучести, то определяют условный предел
текучести σ0,2 – напряжение, соответствующее величине остаточной деформации 0,2%.
Для некоторых материалов величину условного предела текучести определяют при
остаточной деформации 0,5% (σ0,5). Используется также понятие условного предела упругости
σ0,001 или σ0,005 – напряжение, соответствующее величине остаточной деформации 0,001 или
0,005%.
3. Характеристики пластичности.
Относительное остаточное удлинение при разрыве:
δ=
lк − l0
l0
⋅100% ,
где l0 – начальная длина образца (до испытания), lк – конечная длина образца (после
разрушения).
Относительное остаточное удлинение при разрыве можно определить непосредственно по
диаграмме растяжения, проведя из точки разрыва линию, параллельную участку упругости, до
пересечения с осью абсцисс (отрезок OL):
Относительное остаточное сужение при разрыве:
ψ=
A0 − Aш
A0
⋅100% ,
где A0 и Aш – площадь поперечного сечения рабочей части соответственно до и после
испытания (в месте образования шейки).
Испытание на сжатие
При испытании на сжатие металлов используются цилиндрические образцы с отношением
высоты к диаметру 1…3:
28
Для строительных материалов используются кубические образцы с длиной грани 100 или
150 мм.
Испытание на сжатие используется редко в силу того, что между плитами испытательной
машины и торцевыми поверхностями образца возникает сила трения, нарушающая одноосное
напряженно-деформированное состояние, в результате чего определяемые характеристики
прочности не могут использоваться в расчетах на прочность. Для устранения силы трения
используются следующие приемы:
• нанесение парафинового слоя на торцевые поверхности образца;
• использование плиты специальной конструкции.
Угол конуса рассчитывают таким, чтобы расклинивающая сила компенсировала силу
трения.
Пластичные и хрупкие материалы
По величине относительного остаточного удлинения при разрыве принято различать:
- пластичные материалы – способные получать без разрушения большие остаточные
деформации (δ > 10%);
- хрупкие материалы – способные разрушаться без образования заметных остаточных
деформаций (δ < 5%).
При испытаниях на растяжение:
1 – пластичный материал;
2 – хрупкий материал.
Пластичные и хрупкие материалы отличаются также по характеру разрушения. Пластичные
материалы перед разрывом образуют заметную шейку, а разрушение происходит под углом
примерно 45° к оси растяжения (последнее хорошо видно на плоских образцах). Хрупкие
29
материалы разрушаются по плоскости, нормальной оси растяжения, практически без
образования шейки.
Сравним результаты испытаний на растяжение и сжатие для пластичных материалов:
σ
2
1
σт
ε
1 – растяжение;
2 – сжатие.
Считается, что для пластичных материалов пределы текучести при растяжении и сжатии
равны друг другу: σтр≈σтс.
Другой особенностью испытания на сжатие пластичных материалов является то, что их не
удается довести до разрушения, т.к. они сплющиваются в тонкий диск. По этим причинам
пластичные материалы на сжатие практически не испытывают.
Для хрупких материалов диаграммы испытаний на растяжение и сжатие подобны друг
другу:
σ
σвс
σвр
2
1
ε
1 – растяжение;
2 – сжатие.
Хрупкие материалы при испытании на сжатие разрушаются, при этом оказывается, что
предел прочности при растяжении меньше, чем при сжатии: σвр<σвс.
Существует также группа материалов, которые способны при растяжении воспринимать
большие нагрузки, чем при сжатии. Это в основном волокнистые материалы, а из металлов –
магний.
Для волокнистых материалов характерна анизотропия механических свойств. Например,
при испытаниях на сжатие дерева:
30
σ
1
2
ε
1 – дерево вдоль волокон;
2 – дерево поперек волокон.
Наклеп. Эффект Баушингера. Гистерезис
Если нагрузить образец до точки G, а затем произвести разгрузку, то при повторном
нагружении диаграмма растяжения пойдет по пути O1GK:
Явление повышения прочностных свойств материала (σпц, σу и σт) и снижения пластических
(δ) в результате предварительного нагружения выше предела текучести называется наклепом
(или деформационным упрочнением). Если после такого нагружения выдержать образец в
течение 100 и более часов, то при этом повышается и предел прочности. Это явление
называется естественным старением.
Наклеп может быть частично или полностью устранен термической обработкой.
При сжатии нагружение выше предела текучести, так же, как и при растяжении, вызывает
явление наклепа. Однако наклеп, вызванный растяжением, снижает σпц и σт при сжатии. Это
явление называется эффектом Баушингера.
Если рассмотреть диаграмму растяжения при большом разрешении по оси деформаций, то
станет заметно, что линии разгрузки GO1 и нагрузки O1G образуют петлю – петлю гистерезиса:
Явление гистерезиса можно определить как необратимую потерю энергии деформации в
результате несовпадения кривой нагружения с кривой разгрузки. При свободных колебаниях
гистерезис является причиной постепенного затухания колебательного процесса.
31
При анализе диаграмм растяжения и сжатия явлением гистерезиса пренебрегают.
2.3. Допускаемые напряжения
Детали машин и других конструкций должны удовлетворять условиям прочности и
жесткости, т.е. под действием приложенных нагрузок они не должны разрушаться и получать
недопустимые деформации. В большинстве машиностроительных конструкций не
допускаются, как правило, остаточные деформации.
В пластичных материалах при σ>σТ возникают значительные остаточные деформации; в
хрупких материалах остаточные деформации обычно незначительны, а при σ>σВ происходит
разрушение. Таким образом, для деталей, изготовленных из пластичного материала, опасным
напряжением можно считать предел текучести σт или σ0,2, а для деталей из хрупкого материала
– временное сопротивление (предел прочности) σв.
Естественно, что эти напряжения не могут быть приняты в качестве допускаемых. Их
следует уменьшить настолько, чтобы в эксплуатационных условиях действующие напряжения
всегда были меньше предела упругости. Таким образом, допускаемое напряжение может быть
определено по формуле:
σо
[σ ] =
n
,
где σ о – опасное напряжение (σт или σв); n – коэффициент запаса прочности, показывающий,
во сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного.
Значение коэффициента запаса прочности зависит от многих факторов, из которых
основными являются:
- состояние материала (хрупкое или пластичное);
- характер приложения нагрузки (статическая, динамическая или повторно-переменная);
- неоднородность материала;
- неточность задания величин внешних нагрузок;
- приближенность расчетных схем и некоторая приближенность расчетных формул;
- долговечность и значимость конструкции.
Для пластичных материалов при статическом нагружении
[σ ] =
σо
n
=
σт
nт
(2.4)
где nт – коэффициент запаса по текучести. На основании длительной практики конструирования
для сталей при статической нагрузке принимается nт = 1,4…1,6.
Для хрупких материалов при статических нагрузках
[σ ] =
σо
n
=
σв
nв
(2.5)
где nв – коэффициент запаса по пределу прочности. Принимают, что nв = 2,5…3,0.
Допускаемые напряжения [σ], получаемые по формулам (2.4) и (2.5), называют обычно
основными допускаемыми напряжениями.
Иногда допускаемые напряжения на растяжение обозначают через [σ+] или [σ]р, а на сжатие
– через [σ–] или [σ]с. Хрупкие материалы обычно лучше сопротивляются сжатию, чем
растяжению, и для них [σ–]>[σ+]. Для сталей и большинства других пластичных материалов
можно принять [σ+]=[σ-]и обозначать допускаемые напряжения в таком случае через [σ] без
индекса.
32
От правильного выбора величины допускаемых напряжений зависит, с одной стороны,
прочностная надежность проектируемой конструкции, а с другой – ее экономичность
(количество затрачиваемого материала). Значения допускаемых напряжений и коэффициентов
запаса устанавливаются для строительных конструкций – строительными нормами и правилами
(СНиП), для машиностроительных – внутриотраслевыми заводскими нормами (ТУ).
2.4. Влияние скорости деформации, температуры и времени на
механические характеристики
Нормальными условиями при проведении механических испытаний считаются температура
20°С и скорость деформации
dε
1
= (0,01…3)
. Условия эксплуатации реальных
dt
мин
конструкций могут существенно отличаться от указанных.
Влияние скорости деформации
При быстром нагружении более резко проявляется свойство хрупкости, а при медленном –
свойство пластичности. Так, при ударном воздействии возрастают характеристики прочности
(причем предел текучести увеличивается в большей степени, чем предел прочности) и
снижаются характеристики пластичности. Модуль Юнга практически не изменяется при
изменении скорости деформации.
Для малоуглеродистой стали:
σ
2
1 – статическое нагружение;
1
2 – динамическое нагружение.
ε
Влияние температуры и времени
Повышение температуры приводит к снижению величины предела текучести σтр и модуля
Юнга.
33
σ, МПа
E, ГПа
800
220
E
700
180
σвр
600
140
500
400
δ, %
300
45
σтр
200
35
δ
100
25
0
0
100
200
300
400
15
500
t, oC
При температуре более 250ºС у углеродистых сталей образуется окалина, происходит резкое
снижение прочностных свойств, поэтому использовать углеродистые стали при температуре
выше 250ºС не рекомендуется. Легированные стали и цветные металлы при нагреве
обнаруживают монотонное возрастание относительного остаточного удлинения и снижение
пределов прочности и текучести на растяжение.
Способность материала противостоять изменению химического состава при высоких
температурах называется жаростойкостью. Жаропрочностью называется способность сохранять
прочностные качества при высоких температурах.
Если, кроме воздействия температуры, материал испытывает длительное силовое
воздействие, то возникает явление, называемое ползучестью – рост пластической деформации
во времени в условиях повышенной температуры при постоянном напряжении.
В условиях ползучести работают лопатки турбин, тепловыделяющие элементы атомных
реакторов.
ε
III +
Стадии ползучести:
I – затухающая ползучесть
II – установившаяся ползучесть
III – ускоренная ползучесть
II
I
T, час
С ростом напряжения скорость ползучести возрастает (σ1<σ2<σ3):
ε
+σ3
+σ2
+σ1
T, час
34
Ползучести сопутствует явление релаксации напряжений – снижение напряжения при
постоянной деформации. Это явление особенно характерно для крепежных изделий.
σ
T, час
Полная деформация состоит из упругой и пластической составляющих:
ε = ε у + ε пл = const
.
Рост пластической деформации в результате ползучести вызывает уменьшение упругой
деформации, что, в соответствии с законом Гука, приводит к снижению напряжений.
Испытания на релаксацию напряжений проводят на релаксационных кольцах И.А. Одинга,
представляющих собой кольца равного сопротивления изгибу. Данная схема позволяет
дистанционно снимать изменения напряжения.
2.5. Основные типы схематизации диаграммы испытания
Используют в основном три типа схематизации диаграмм испытания:
идеально упругий материал
идеально упруго-пластичный материал (диаграмма Прандтля)
идеально упругий упрочняющийся материал
35
При расчете по допускаемым напряжениям используется модель идеально упругого
материала, при расчете по разрушающим нагрузкам – модель идеально упруго-пластичного
материала.
2.6. Предельное состояние конструкции
Под предельным состоянием конструкции понимают такое ее состояние, при котором она
теряет способность сопротивляться внешним воздействиям или перестает удовлетворять
предъявляемым к ней эксплуатационным требованиям.
Различают три вида предельных состояний:
по несущей способности: при достижении этого состояния конструкция теряет способность
сопротивляться внешнему воздействию или получает такие остаточные деформации, которые
не удовлетворяют требованиям эксплуатации;
по развитию чрезмерных деформаций от статических или динамических нагрузок, при
которых в конструкции, сохраняющей прочность, появляются необратимые деформации, не
удовлетворяющие эксплуатационным требованиям;
по образованию и развитию трещин, когда в конструкции, сохраняющей прочность,
появляются трещины, вследствие чего дальнейшая эксплуатация становится невозможной
(потеря водонепроницаемости, опасность коррозии).
36
3. Установочная лекция к модулю №3. Растяжениесжатие: прочность жесткость, энергия, интеграл Мора
3.1. Исследование напряженного состояния при растяжении–сжатии
Задача исследования напряженного состояния заключается в определении зависимости
величины вектора напряжения в точке от положения секущей площадки. Для этого сделаем
сечение стержня под произвольным углом α. Aα - величина площади произвольного сечения, А
– величина площади сечения перпендикулярного к продольной оси стержня.
Определим напряжения на площадке
Aα .
P=
где Aα =
N N cos α
=
,
Aα
A
A
cos α
N
= σ z - напряжение в поперечном сечении, перпендикулярном продольной оси. Тогда:
A
P=σzcosα.
Разложим вектор напряжения Р на две составляющие – нормальную σα и касательную τα:
σ α = P cos α = σ z cos 2 α ,
1
2
τ α = P sin α = σ z sin 2α .
Изменяя угол наклона площадки Aα, получим:
⎧
1. при α = 0 : ⎪⎨σ α = σ z = A
⎪⎩τ α = 0
N
⎧σ = 0
2. при α = 90 : ⎨ α
⎩τ α = 0
1
N
⎧
⎪⎪σ α = 2 σ z = 2 A
3. при α = 45 : ⎨
⎪τ = 1 σ = N
⎪⎩ α 2 z 2 A
37
Выводы:
1. Максимальное нормальное напряжение возникает в сечениях, перпендикулярных
продольной оси.
2. Продольные волокна стержней не давят друг на друга в направлении осей поперечного
сечения.
3. Максимальное касательное напряжение возникает на площадках, наклоненных под
углом 45º к продольной оси стержня.
На основе этих выводов можно объяснить особенности деформации и разрушения
материалов при испытаниях на растяжение. Так, пластическая деформация на начальной стадии
(образование полос Чернова-Людерса) и разрушение пластичных материалов происходят по
плоскостям действия максимальных касательных напряжений. Для хрупких материалов
сдвиговой механизм деформации затруднен, поэтому их разрушение происходит по плоскости
действия максимальных нормальных напряжений.
3.2. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии
Определим потенциальную энергию деформации стержня, нагруженного сосредоточенной
силой F.
Запишем уравнение энергетического баланса:
I=U+K,
где: I – работа внешних сил, приложенных к стержню,
U – потенциальная энергия деформации,
K – кинетическая энергия.
Предполагая, что нагружение статическое, т.е. масса стержня не получает ускорения, K=0.
Работу внешних сил определим по теореме Клапейрона:
I=
1
1
FΔl = NΔl .
2
2
Подставим в эту формулу полученное ранее выражение для удлинения Δl =
Nl
:
EA
1 N 2l
.
I =U =
2 EA
Для стержня с переменной площадью поперечного сечения (A = A(z)), нагруженного
распределенной силой (N = N(z)), потенциальная энергия деформации определяется через
интеграл:
N 2 ( z)
I =U = ∫
dz
l 2 EA( z )
38
(3.1)
3.3. Интеграл Мора для случая растяжения-сжатия
Интеграл Мора используется для определения перемещений точек произвольных сечений
элементов конструкций. Выведем интеграл Мора для случая растяжения-сжатия. Для простоты
рассмотрим стержень постоянной жесткости поперечного сечения, нагруженного
сосредоточенной силой F.
Определим перемещение произвольного сечения C стержня, используя теорему Кастилиано.
Функция продольной силы для любого сечения этого стержня N=N(F).
Т. к. в точке С отсутствует внешняя сила, использовать напрямую теорему Кастилиано для
опредления перемещения нельзя. Поэтому приложим в точке С фиктивную силу Ф.
Функция продольной силы примет вид:
N=N(F)+N1*Ф
где N1 – коэффициент пропорциональности.
Определим физический смысл коэффициента N1. Для этого снимем внешнюю силу F, а
фиктивную силу Ф приравняем к единице:
Функция продольной силы при F = 0, Ф = 1 будет равна:
N = 0 + N1 ⋅ 1 = N1
Таким образом, N1 – это внутренняя продольная сила, возникающая при условии разгрузки
элемента конструкции от внешних сил и нагружении в точку, перемещение которой
определяется, единичной безразмерной силой.
Потенциальная энергия деформации, в соответствии с формулой (3.1),
( N ( F ) + N1Φ ) 2 dz
U =∫
.
2 EA
l
Для определения перемещения точки С используем теорему Кастилиано:
δc =
2( N ( F ) + N1Φ ) N1dz
∂U
=∫
.
∂Φ l
2 EA
39
Поскольку на самом деле никакой силы в сечении C нет (т.е. Ф=0), то
δc = ∫
l
N ( F ) ⋅ N1
dz .
EA
Это выражение называется интегралом Мора и применяется для определения перемещений
точек произвольных сечений элементов конструкций.
Обобщая на k-тое количество участков по N(z) и A(z), перемещение по методу Мора может
быть определено:
k
δc = ∑∫
i =1 li
N i ( F ) ⋅ N1i
dzi
( EA) i
3.4. Практические расчеты на прочность и жесткость статически
определимых систем при растяжении–сжатии
Условие прочности:
σ max =
Условие жесткости:
N
≤ [σ ].
A max
δ max ≤ [δ ], или
∑ Δli ≤ [δ ],
i
где δmax – величина максимального перемещения поперечных сечений стержня вследствие
деформации, [δ] – допускаемое перемещение, обычно назначаемое из условий эксплуатации.
П р и м е р . Проверить на прочность и жесткость стержень, нагруженный системой
продольных сил.
Дано: [σ]=160 МПа, А=4 см2.
1. Проверка на прочность.
1.1. Строим эпюру продольных сил N(F)
1.2. Определяем напряжения по участкам и в характерных сечениях бруса:
σ DC
σ DL
N 50 ⋅ 10 −3 МН
= =
= 125 МПа
A
4 ⋅ 10 −4 м 2
− 10 ⋅10 −3 МН
N
=
=
= −50 МПа
0,5 A 0,5 ⋅ 4 ⋅10 −4 м 2
40
σ
ниж
L
− 10 ⋅ 10 −3 МН
=
= −25 МПа
4 ⋅10 −4 м 2
1.3. Записываем условие прочности:
σmax=125 МПа<[σ]=160 МПа, откуда следует что брус прочен.
2. Проверка на жесткость.
Для оценки жесткости определяем перемещение точек B, L, D, C по методу Мора.
2.1. Разгрузим стержень от внешних сил и приложим в точку B единичную безразмерную
силу. Эпюра продольной силы для этого случая N1B . Находим перемещение с помощью
интеграла Мора:
δB =
0,5 м
∫
0
20 z ⋅ 1
10 z 2
dz =
EA
EA
0,5 м
=
0
2,5
.
EA
2.2. Таким же образом поступим для остальных точек находим:
1м
(10 − 20 z ) ⋅ 1
10 z − 10 z 2
δL = ∫
dz =
EA
EA
0
1м
= 0;
0
0,5 м
0,5 м
(10 − 20 z ) ⋅1
10 ⋅ 1
20 z
dz − ∫
dz =0 −
δD = ∫
EA
EA 0
0
0 0,5 EA
1м
1м
=−
10
;
EA
0,5 м
1м
(10 − 20 z ) ⋅ 1
10 ⋅ 1
50 ⋅ 1
10 50 40
δC = ∫
+
=
.
dz − ∫
dz + ∫
dz = −
EA
EA
EA
EA
EA
EA
0
,
5
0
0
0
2.3. Запишем условие жесткости:
δ max =
40
≤ [δ ] ,
EA
41
4. Установочная лекция к модулю №4. Геометрические
характеристики плоских сечений
4.1. Определение геометрических характеристик плоских сечений
4.1.1. Площадь сечения
Простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения является площадь A,
которую можно определить:
A = ∫ dA ,
A
где dA – площадь элементарной площадки.
4.1.2. Статические моменты площади
Рассмотрим сечение произвольной формы площадью A. Выделим элементарную площадку
dA с координатами x и y.
Интегралы
S x = ∫ ydA ; S y = ∫ xdA
A
A
называются статическими моментами площади сечения относительно осей x и y,
соответственно.
Пусть точка C является центром тяжести сечения. Тогда, зная ее координаты, величины
статических моментов можно определить:
S x = yC A ; S y = xC A .
Статические моменты используются при определении координат центра тяжести (ЦТ)
сложной фигуры.
Алгоритм определения координат ЦТ сложной фигуры
1. Разбить сложную фигуру на простые, положения точек ЦТ которых известны.
2. Задать вспомогательную систему координат, в которой будут определяться координаты
точки ЦТ сложной фигуры.
3. Определить статические моменты простых фигур относительно осей вспомогательной
системы координат.
4. Определить координаты точки ЦТ по следующим формулам:
42
∑S
=
∑A
xi
yC
i
; xC
i
∑S
=
∑A
yi
i
,
i
i
i
где i – номер простой фигуры, x и y – вспомогательные оси.
Пример.
Определить координаты центра тяжести следующей фигуры:
Так как данная фигура имеет ось симметрии (ось y), точка ее центра тяжести будет
находиться на этой оси.
Разделим фигуру на два прямоугольника с центрами тяжести в точках CI и CII. Выберем
вспомогательную ось совпадающей с центром тяжести одной из фигур (ось xC ).
II
Статический момент вертикального прямоугольника относительно вспомогательной оси
xC :
II
S xI = AI ⋅ 4a = 48a 3 .
C II
Статический момент горизонтального прямоугольника относительно вспомогательной оси
xC :
II
S xII = 0 .
C II
Координата точки центра тяжести фигуры относительно оси xC :
II
48a 3
yC =
= 1,71a .
16a 2 + 12a 2
4.1.3. Моменты инерции
Рассмотрим сечение произвольной формы площадью A. Выделим элементарную площадку
dA с координатами x и y и радиус-вектором ρ .
43
Осевыми моментами инерции сечения называются интегралы
J x = ∫ y 2 dA J y = ∫ x 2 dA
(4.1)
J xy = ∫ xydA
(4.2)
A
,
Центробежным моментом инерции называется интеграл
A
A
Полярным моментом инерции называется интеграл
J ρ = ∫ ρ 2 dA
(4.3)
A
Так как
ρ 2 = x 2 + y 2 , то
Jρ = Jx + J y ,
т.е. полярный момент инерции сечения относительно заданной точки равен сумме осевых
моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту
точку.
4.1.4. Радиусы инерции
Величины, определяемые по формулам:
ix =
Jx
; iy =
A
Jy
A
, – называются радиусами инерции относительно осей x и y
соответственно
4.2. Основные теоремы о моментах инерции
4.2.1. Теорема о моментах инерции относительно осей, параллельных центральным
Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси равен моменту инерции
относительно центральной оси параллельной данной плюс произведение квадрата расстояния
между осями на площадь сечения.
Центробежный момент инерции сечения относительно произвольных осей координат
равен центробежному моменту инерции относительно центральных осей параллельных
данным плюс произведение площади сечения на расстояния между осями.
Рассмотрим сечение произвольной формы площадью A. Пусть оси x и y являются
центральными (т.е. проходящими через центр тяжести сечения), и известны моменты инерции
Jx, Jy, Jxy. Требуется определить моменты инерции J x , J y , J x y относительно осей x1 и y1,
1
1
1 1
смещенных параллельно центральным осям на расстояния a и b соответственно.
44
Координаты элементарной площадки dA в системе координат (x1, y1):
x1=x+b; y1=y+a.
По определению осевого момента инерции (4.1)
J x1 = ∫ ( y + a ) 2 dA = J x + 2a ∫ ydA + a 2 A ,
A
где
A
∫A ydA = S x = 0 .
Таким образом,
J x1 = J x + a 2 A
(4.4)
Рассуждая аналогичным образом, можно получить
J y = J y + b2 A
(4.5)
1
По определению центробежного момента инерции (4.2):
J x y = ∫ x1 y1dA = ∫ ( y + a)( x + b)dA = J xy + abA .
1 1
A
A
4.2.2. Вычисление моментов инерций простейших фигур
Прямоугольник.
Сначала определим моменты инерции прямоугольника относительно осей x1 и y1.
Выделим на расстоянии y1 от оси x1 элементарную площадку dA высотой dy1 и шириной,
равной ширине прямоугольника:
По определению осевого момента инерции (4.1)
J x1 = ∫ y12 dA .
A
Заменим интеграл по площади интегралом по высоте
h
y13
bh 3
J x1 = ∫ y bdy1 = b
=
.
3 0
3
0
h
2
1
Аналогично
45
hb 3
Jy1 =
.
3
Моменты инерции относительно центральных осей x и y определим, пользуясь теоремой о
моментах инерции относительно осей, параллельных центральным (4.4):
2
bh 3 bh 3 bh 3
⎛h⎞
−
=
.
J x = J x1 − ⎜ ⎟ bh =
3
4
12
⎝2⎠
Аналогично
Jy =
hb3
.
12
Круг.
Определим полярный момент инерции круга. Выделим на расстоянии
элементарный слой dA толщиной
dρ .
ρ
от центра круга
По определению полярного момента инерции (4.3)
J ρ = ∫ ρ 2 dA .
A
Заменим интеграл по площади интегралом по радиусу
d /2
Jρ =
∫
ρ 2πρdρ = 2π
2
0
d /2
∫
ρ dρ = 2π
3
0
ρ4
4
d /2
=
0
πd 4
32
.
Так как Jp=Jx+Jy и для круга Jx=Jy, то осевой момент инерции
Jx =
Jρ
2
=
πd 4
64
.
Прямоугольный треугольник.
Определим момент инерции треугольника относительно оси x1, совпадающей с его нижней
стороной.
46
Выделим на расстоянии y1 от оси x1 элементарную площадку dA высотой dy1. Ширина
площадки из подобия треугольников:
by = b
1
h − y1
.
h
Момент инерции
h
J x1
y13
2
2 b( h − y1 )
dy1 = b
= ∫ y1 dA = ∫ y1
h
3
A
0
h
0
b y14
−
h 4
h
0
bh 3 bh 3 bh 3 .
=
−
=
3
4
12
Относительно центральной оси
2
3
3
bh3
⎛ h ⎞ bh bh bh
=
−
=
.
Jx = Jx − ⎜ ⎟
1
12 18
36
⎝3⎠ 2
Аналогично для второй оси
hb3
hb3
Jy =
; Jy =
.
1
12
36
4.2.3. Теорема о моментах инерции при повороте осей координат
Рассмотрим сечение произвольной формы площадью A. Пусть известны моменты инерции
относительно осей x и y: Jx, Jy, Jxy. Требуется определить моменты инерции J x , J y , J x y
1
1
1 1
относительно осей x1 и y1, повернутых по отношению к осям x и y на угол α.
Выделим в окрестности точки K с координатами x и y элементарную площадку dA.
Координаты площадки dA в повернутой системе координат:
x1 = OC + BD = x ⋅ cos α + y ⋅ sin α ,
y1 = KD − CB = y ⋅ cos α − x ⋅ sin α .
Осевые моменты инерции:
J x1 = ∫ y12 dA = ∫ ( y cos α − x sin α ) 2 dA = J x cos 2 α + J y sin 2 α − J xy sin 2α ,
A
A
J y = ∫ x dA = ∫ ( x cos α + y sin α ) 2 dA = J ycos 2 α + J x sin 2 α + J xy sin 2α .
1
2
1
A
A
Сложив попарно левые и правые части полученных уравнений, найдем:
J x1 + J y1 = J x + J y .
Таким образом, сумма моментов инерции относительно осей прямоугольной системы
координат не изменяется при их повороте. Как было показано выше, эта сумма равна
полярному моменту инерции относительно начала координат.
47
Центробежный момент инерции:
J x1 y1 = ∫ x1 y1dA = ∫ ( x cosα + y sin α )( y cosα − x sin α )dA =
A
A
sin 2α
sin 2α
+ Jx
− J xy sin 2 α =
2
2
Jx − Jy
= J xy cos 2α +
sin 2α
2
= J xy cos 2 α − J y
4.3. Понятие о главных осях. Главные моменты инерции
Главными осями называются такие оси координат, относительно которых центробежный
момент инерции равен нулю.
Пользуясь теоремой о моментах инерции при повороте осей координат, найдем положение
главных осей:
J x y = J xy cos 2α +
Jx − Jy
sin 2α = 0 .
2
1 1
Разделим каждое из слагаемых на cos 2α :
J xy + tg 2α
Jx − Jy
2
= 0,
откуда
tg 2α = −
2 J xy
Jx − Jy
.
Полученный угол α откладывается против часовой стрелки относительно исходной системы
координатных осей.
Моменты инерции в главных осях координат принимают экстремальные значения. Для
доказательства возьмем первую производную от J x по α и приравняем ее к нулю:
1
dJ x1
= − J x 2 sin α cos α + 2 J y cos α sin α − J xy ⋅ 2 cos 2α =
dα
= 2( J y cos α sin α − J x sin α cos α − J xy cos 2α ) = 0
Или:
Jy − Jx
2
sin 2α − J xy cos 2α = 0 , откуда tg 2α = −
2 J xy
Jx − Jy
,
то есть среди множества осей, которые можно провести через заданную точку именно
относительно главных осей осевые моменты инерции принимают экстремальные значения.
Взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна совпадает с осью симметрии,
являются главными осями.
48
Очевидно, что каждой элементарной площадке, расположенной по одну сторону от оси
симметрии, соответствует точно такая же по другую сторону, для которой произведение
координат отличается только знаком. Таким образом, центробежный момент инерции
J xy = ∫ xydA = 0 .
A
Главные оси можно провести через любую точку сечения, однако наибольший интерес
представляют главные оси, проходящие через центр тяжести (главные центральные оси).
Интересно, что, если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой
(Jx = Jy, Jxy = 0), то, согласно теореме о моментах инерции при повороте осей координат, у этого
сечения любая центральная ось является главной и все главные центральные моменты инерции
одинаковы. В некоторых случаях такие фигуры легко указать: они имеют более двух осей
симметрии (равносторонний треугольник, квадрат, другие правильные многоугольники, круг,
кольцо).
49
5. Установочная лекция к модулю №5. Изгиб: прочность,
жесткость, энергия, интеграл Мора. Сочетание 2-х
прямых изгибов, изгиб с растяжением-сжатием
5.1. Нормальные напряжения при чистом изгибе
Чистым изгибом называется такой вид изгиба, при котором возникает только один
внутренний силовой фактор: изгибающий момент. Такой вид деформации возникает, например,
при четырехточечном изгибе:
Для случая чистого изгиба справедлива гипотеза Бернулли: сечения, плоские до приложения
внешней силы, остаются такими же и после нагружения, поворачиваясь друг относительно
друга на некоторый угол.
Для определения напряжений рассмотрим три стороны задачи.
1. Статическая сторона задачи.
Воспользуемся интегральными уравнениями равновесия (1.6) и (1.7):
N = ∫ σdA M x = ∫ σydA M y = ∫ σxdA
(5.1)
A
A
,
,
2. Геометрическая сторона задачи.
Вырежем из балки элемент длиной dz. После приложения нагрузки он выглядит следующим
образом:
A
ρ - радиус нейтральной линии. Нейтральной линией называется след нейтрального слоя,
разделяющего балку на области растяжения и сжатия.
dθ - угол поворота сечения.
ab = dz – длина нейтральной линии для выбранного элемента.
50
Выделим волокно длиной a1b1 на расстоянии y от нейтральной линии. До деформации его
длина равнялась ab. Относительное изменение длины волокна:
εa b =
1 1
a1b1 − ab ( ρ + y )dθ − ρdθ y
=
=
ab
ρdθ
ρ
(5.2)
3. Физическая сторона задачи.
Запишем закон Гука в напряжениях и деформациях:
σ = Eε
(5.3)
Подставим выражение (5.2) в формулу (5.3):
σ = Ey
1
(5.4)
ρ
Тогда из (5.1):
M x = ∫ Ey 2
A
1
ρ
dA =
E
y dA .
ρ∫
2
A
Учитывая определение (4.1), получим:
Mx =
EJ x
ρ
, откуда
1
ρ
=
Mx
EJ x
(5.5)
Произведение EJx называется жесткостью поперечного сечения при изгибе.
Подставим (5.5) в (5.4):
σ = Ey
Mx Mxy
=
.
EJ x
Jx
Таким образом, абсолютная величина напряжения тем выше, чем больше расстояние y от
нейтральной линии. Максимальное напряжение:
σ max =
M x ymax
,
Jx
где ymax – расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленной точки сечения.
Введем следующее обозначение:
Jx
= Wx - момент сопротивления, тогда условие прочности при чистом изгибе можно
ymax
записать следующим образом:
σ max =
Mx
≤ [σ] .
Wx
Для отыскания положения нейтральной линии в области поперечного сечения привлечем
оставшиеся два интегральных уравнения равновесия (5.1):
E
E
E
y ⋅ dA = ∫ y ⋅ dA = S x = 0
ρA
ρ
A ρ
,
N =∫
откуда Sx=0, т.е. ось x является центральной.
51
E
E
E
yx ⋅ dA = ∫ yx ⋅ dA = J xy = 0 ,
ρA
ρ
A ρ
My = ∫
откуда Jxy=0, т.е. ось x – главная.
В ы в о д : нейтральная линия является главной центральной осью поперечного сечения.
Для случая прямоугольного сечения можно утверждать, что ось x – нейтральная.
Таким образом, в отличие от случая растяжения-сжатия, где напряжение постоянно в любой
точке поперечного сечения, при чистом изгибе напряжение по высоте сечения изменяется по
линейному закону.
5.2. Особенности расчета на прочность балок из пластичных и хрупких
материалов
При проектировании элементов конструкции, работающих на изгиб целесообразно
использовать сечения с размерами, удовлетворяющими условиям:
σmaxс=[σ]c…..σmaxρ=[σ]ρ
где σmaxс и σmaxρ – напряжения в наиболее удаленных от нейтральной линии точках сечения,
соответственно для сжатой и растянутой его части.
Пластичный материал
Для пластичного материала [σ]ρ=[σ]c. В данном случае рационально использовать
симметричные профили (при этом σmaxρ=σmaxс).
Экономичными являются профили с уменьшенной металлоемкостью в области нейтральной
линии, такие как двутавр и швеллер. Показателем экономичности является удельный момент
сопротивления w =
x
Wx . Чем выше величина w , тем профиль более экономичен.
x
3
A
wx=0,141.
Для круга
Для кольца d/D=0,7
wx=0,294.
Для двутавра №10
wx=0,955.
Для двутавра №20
wx=1,33
Сечение следует располагать таким образом, чтобы силовой фактор действовал в плоскости
максимальной жесткости.
52
Случай 2 более выгодный, т.к.
Wx( 2 ) > Wx(1)
Простое увеличение размеров сечения не всегда эффективно. Так, если у круглого сечения
вырезать сегменты высотой в пределах 0,11d, получится более экономичный профиль, чем
сплошной круг.
Хрупкий материал
Для хрупкого материала
[σ ]c
[σ ]p
> 0 , поэтому в данном случае целесообразно использовать
несимметричные относительно нейтральной линии профили, например, тавровый:
Размеры поперечного сечения должны удовлетворять двум условиям:
σ max с =
σ max р =
M x ymax с
Jx
M x ymax р
Jx
≤ [σ]с
(5.6)
≤ [σ ] р
(5.7)
Из подобия треугольников эпюры σ(Мх) следует, что
Если
σ max с ymax с
.
=
σ max р ymax р
ymax с [σ]с
>
, опасными являются сжатые волокна и расчет на прочность следует
ymax р [σ] р
вести по формуле (5.6).
53
Если
ymax с [σ]с
<
, опасными являются растянутые волокна и расчет на прочность следует
ymax р [σ] р
вести по формуле (5.7).
З а д а ч а . Подобрать для данной балки размер поперечного сечения a. q=10 кН/м, l=1 м.
Материал балки хрупкий, [σ]ρ=100 МПа, [σ]с=300 МПа.
1. Определяем положение опасного сечения. Для этого строим эпюры поперечной силы Qy
и изгибающего момента Mx. По эпюре Mx заключаем, что опасным является участок BC
max
2
c M x = 2ql = 20 кН ⋅ м . Вид деформации на участке BC – чистый изгиб.
2. Определяем положение опасного волокна в опасном сечении.
Сначала найдем положение точки центра тяжести сечения (это даст положение нейтральной
линии).
Разделяем сечение на два прямоугольника с центрами тяжести в точках C1 и C2. Выберем
вспомогательную ось совпадающей с центром тяжести одной из фигур (ось xC2 ).
Статический момент сечения относительно вспомогательной оси находим как сумму
статических моментов составляющих фигур относительно этой оси:
S xС = S x(1) + S x(2) = 6a ⋅ 2a ⋅ 4a + 0 = 48a 3 .
2
C2
C2
54
Расстояние от точки центра тяжести фигуры до оси xC :
2
Sx
48a 3
yC =
=
= 2a .
A 16a 2 + 16a 2
С2
По эпюре Mx находим, что нижняя относительно нейтральной линии часть сечения
испытывает сжатие (эпюра Mx строится на растянутом контуре):
Так как σ max p > σ max c , а [σ]ρ<[σ]с, то заданное расположение профиля на опорах
нерационально. Целесообразно повернуть сечение на 180º.
Определяем, какие волокна являются опасными. Сравним отношение расстояний до
наиболее удаленных сжатого и растянутого волокон с отношением соответствующих
допускаемых напряжений:
ymax с 5a [σ]с 300 МПа
=
<
=
,
ymax р 3a [σ] р 100 МПа
следовательно, опасны растянутые волокна, и условие прочности следует записать в виде
σ max р =
M x ymax р
Jx
≤ [σ ] р ,
C
где J xC - момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной линии (главный
центральный момент инерции).
Момент инерции J xC определяем как сумму моментов инерции простых фигур,
составляющих сечение, относительно главной центральной оси.
Для фигуры 1, используя формулу (4.4):
J x(1)
C
2a ⋅ (6a ) 3
=
+ (2a ) 2 ⋅ 12a 2 = 36a 4 + 48a 4 = 84a 4 .
12
=
J x(1)
C1
+ b12 A1
=
J x(2)
C2
+ b22 A2
Для фигуры 2
J x(2)
C
6a ⋅ ( 2a ) 3
=
+ (2a ) 2 ⋅ 12a 2 = 4a 4 + 48a 4 = 52a 4 .
12
55
Момент инерции сечения
J xC = J x(1) + J x(2) = 84a 4 + 52a 4 = 136a 4 .
C
C
Возвращаемся к условию прочности:
σ max р
M xmax ⋅ 3a
=
≤ [σ ] р ,
136a 4
Откуда
[a ] = 3
M xmax ⋅ 3
136 ⋅ [σ] р
=3
20 кН ⋅ м ⋅ 3
= 3 4,41 ⋅ 10 −6 = 1,64 ⋅ 10 −2 м .
3
2
136 ⋅ 100 ⋅ 10 кН/м
5.3. Определение касательных напряжений в случае прямого поперечного
изгиба
Изгиб называется поперечным, если кроме изгибающего момента в сечениях элемента
конструкции возникает поперечная сила.
Если при чистом изгибе поперечные сечения балки остаются плоскими, то при поперечном
они искривляются, т.е. в данном случае гипотеза Бернулли не применима.
Рассмотрим консольную балку, нагруженную на свободном конце силой F.
Вырежем элементарный участок балки длиной dz. На торцевых площадках этого элемента
действуют вызванные поперечными силами касательные напряжения. Примем закон
распределения касательных напряжений по ширине сечения равномерным.
56
Плоскостью, параллельной нейтральному слою и отстоящей от него на расстояние y,
отсечем часть рассматриваемого элемента с площадью торца A*. Докажем наличие на нижней
грани отсеченной части касательных напряжений.
Рассмотрим элемент отсеченной части высотой dy.
Из условий равновесия этого элемента можно заключить, что касательные напряжения
действуют не только в поперечных, но и в продольных сечениях балки, параллельных
нейтральному слою.
Запишем сумму моментов, вызванных действием касательных напряжений, относительно
оси x:
τ zy ⋅ b* ⋅ dy ⋅ dz = τ yz ⋅ b* ⋅ dz ⋅ dy ,
Откуда
τxy=τyz.
Это так называемый закон парности касательных напряжений: на взаимно перпендикулярных
площадках действуют равные по величине и противоположные по направлению касательные
напряжения.
Обозначим N* равнодействующую нормальных напряжений, действующих на одном из
торцов отсеченного участка A*. Равнодействующая нормальных напряжений, действующих на
противоположном торце, равна N*+dN*.
57
Воспользуемся интегральным уравнением равновесия
N * = ∫ σdA * ,
A*
и формулой для нормального напряжения
σ=
M x y1
,
Jx
где y1 – расстояние от нейтрального слоя до элементарной площадки dA* отсеченной части.
Получим
N* =
M x y1
Mx
dA
*
=
∫
Jx
A* J x
∫ y1dA* =
A*
Mx *
S ,
Jx x
*
где S x – статический момент отсеченной части.
Приращение равнодействующей dN* пропорционально приращению изгибающего момента
dMx на участке dz:
dN * =
dM x *
S
Jx x
Сумма проекций всех сил, действующих на отсеченной части, на ось z
∑F
i
*
iz
= 0:
N * + τ yz ⋅ dz ⋅ b* = N * + dN * ,
Откуда
dM x S x*
dN *
.
τ yz =
=
dz ⋅ b * dz ⋅ b* J x
Учитывая, что
dM x
= Qy
dz
τ yz = τ zy =
Qy S x*
b* J x
.
Полученное выражение называется формулой Журавского. В этой формуле:
*
x
S - статический момент части площади поперечного сечения, отсекаемый на том уровне
относительно оси изгиба, где определяется величина τ;
Jx - момент инерции всего сечения относительно оси изгиба;
b* - ширина поперечного сечения на том уровне относительно оси изгиба, где определяется
величина τ.
Формула Журавского справедлива для сечений с отношением высоты к ширине h/b>2.
Искривление поперечных сечений от действия Qy незначительно влияет на закон
нормальных напряжений, поэтому им в инженерных расчетах пренебрегают.
Определим закон изменения τ по высоте сечения для прямоугольного профиля.
58
Статический момент части сечения, отсекаемой на уровне y от нейтральной линии
2
hy hy y 2 ⎞
h2 ⎛ 4 y 2 ⎞
⎛h
⎞ ⎛h y⎞ ⎛h
S x* = ⎜ − y ⎟b ⋅ ⎜ + ⎟ = ⎜⎜ +
− − ⎟⎟b = ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟b
4
4
2 ⎠
8 ⎝
h ⎠
⎝2
⎠ ⎝4 2⎠ ⎝ 8
bh 3
, получим зависимость
Учитывая, что момент инерции для прямоугольника J x =
12
⎛ 4 y2 ⎞
bh 2 ⎛ 4 y 2 ⎞
⎜1 − 2 ⎟⎟ Q y ⋅ 3⎜⎜1 − 2 ⎟⎟
Qy ⋅
8 ⎜⎝
h ⎠
h ⎠
⎝
τ ( y) =
.
=
bh 3
hb
b
12
Определим значения касательных напряжений в точках, наиболее удаленных от
нейтральной линии:
h⎞
⎛
τ⎜ y = ± ⎟ = 0
2⎠
⎝
и в точках, лежащих на нейтральной линии:
τ ( y = 0) =
3 Qy
.
2 A
Таким образом, касательные напряжения меняются по высоте сечения по квадратичной
зависимости, достигая максимума на нейтральной оси.
З а д а ч а . Определить касательные напряжения при поперечном изгибе балки двутаврового
сечения.
59
Момент инерции сечения относительно главной центральной оси
3
⎛ 8a ⋅ a 3
2
2 ⎞ a ⋅ (8a )
⎜
⎟
J x = 2⋅⎜
+ ( 4,5a ) ⋅ 8a ⎟ +
= 79,37 a 4 .
12
⎝ 12
⎠
На уровне 0-0:
*
статический момент отсеченной части S x = 0 , следовательно касательные напряжения:
τ0-0=0.
На уровне 1-1:
*
2
3
статический момент отсеченной части S x (1−1) = 8a ⋅ 4,5a = 36a ,
*
ширина сечения b(1−1) = 8a , касательные напряжения:
τ 1−1 =
Qy S x*(1−1)
b(*1−1) J x
F ⋅ 36a 3
ql
=
=
0
,
1
.
8a ⋅ 79,37a 4
a2
На уровне 2-2:
*
так как b( 2−2 ) =
1 *
b , касательные напряжения:
8 (1−1)
τ 2−2 = 8τ 1−1 = 0,91
ql
.
a2
На уровне 3-3:
*
3
2
3
статический момент отсеченной части S x ( 3−3) = 36a + 4a ⋅ 2a = 44a ,
*
ширина сечения b( 3−3) = a , касательные напряжения:
τ 3−3 =
Qy S x*(3−3)
b(*3−3) J x
=
2ql ⋅ 44a 3
ql
=
1
,
11
.
a ⋅ 79,37a 4
a2
Таким образом, касательные напряжения максимальны на нейтральной линии, т.е. там, где
нормальные напряжения равны нулю. Вместе с тем, для тонкостенных сечений следует
обращать внимание на места перехода от стенок к полкам, где одновременно действуют
большие по величине нормальные и касательные напряжения.
60
5.4. Потенциальная энергия деформации при изгибе
Определим потенциальную энергию деформации консольной балки, нагруженной в
свободном сечении сосредоточенной парой сил с моментом M. Под действием этой пары сил
нейтральная линия балки примет радиус кривизны ρ, а свободное сечение повернется на угол
Θ.
Составим уравнение энергетического баланса:
I=U+K,
где I – работа внешних сил, приложенных к стержню,
U – потенциальная энергия деформации,
K – кинетическая энергия.
Для случай статического нагружения имеем: I=U.
Работу внешних сил определим по теореме Клапейрона: I =
Выразив угол
1
M Θ
2 x
Θ через радиус кривизны нейтральной линии: Θ =
l
ρ
, и используя формулу
2
1 Mx
1 M xl
, получим: I =
(5.5): =
ρ EJ x
2 EJ x
Тогда потенциальная энергия деформации для случая M x = f ( z ) :
U =I =∫
M x2 ( z ) dz
l
2 EJ x
5.5. Интеграл Мора для случая изгиба
Определим перемещение произвольного сечения C консольной балки, нагруженной в
свободном сечении сосредоточенной силой F. Обозначим функцию внутреннего изгибающего
момента, возникающего в сечениях балки, Mx(F).
Приложим в точке С фиктивную силу Ф – это даст возможность использовать для
определения искомого перемещения теорему Кастилиано.
61
Функция внутреннего изгибающего момента с учетом сил F и Ф:
Mx=Mx(F)+M1Ф,
где M1 – коэффициент пропорциональности.
Для определения физического смысла коэффициента M1 разгрузим балку от силы F, силу Ф
приравняем к единице
тогда
Mx=Mx(0)+M1*1=M1.
Таким образом, M1 – это внутренний изгибающий момент, возникающий при разгрузке
балки от внешних сил и нагружении ее единичной безразмерной силой, приложенной в
направлении искомого перемещения.
Потенциальная энергия деформации с учетом сил F и Ф:
U =∫
[M
l
( F ) + M 1Φ ] dz
.
2 EJ x
2
x
Искомое перемещение определяем, применяя теорему Кастилиано:
δC =
2[M x ( F ) + M 1Φ ]M 1dz
∂U
=∫
.
∂Φ l
2 EJ x
Так как в исходной системе Ф=0, окончательно получим
δC = ∫
l
M x ( F ) M 1dz
.
EJ x
Полученное выражение называется интегралом Мора при изгибе.
Обобщая на случай k рабочих участков, имеем
k
δ=∑
∫
i =1 l i
M xi ( F ) M 1i
( EJ x ) i
dzi
(5.8)
В случае, когда необходимо определить не линейное перемещение, а угол поворота сечения,
для получения функции M1 к интересующему нас сечению разгруженной от внешних нагрузок
балки прикладывается единичный безразмерный момент.
Пример.
62
Определить перемещение среднего сечения двухопорной балки, нагруженной
распределенной нагрузкой.
Для определения перемещения точки C методом Мора, необходимы две функции
внутреннего изгибающего момента: от действия внешних сил и от действия единичной
безразмерной силы, приложенной в точке C к разгруженной балке в направлении искомого
перемещения.
Составляем и решаем интеграл Мора.
⎛ ql
qz 2 ⎞⎛ 1 ⎞
l 2
⎜
⎟⎜ z ⎟
−
z
l 2⎜
4
4
⎛ ql ⋅ z 3
⎞
2
2 ⎟⎠⎝ 2 ⎠
5ql 4
⋅
q
z
ql 4
⎝
⎟ = ql
−
dz = 2⎜⎜
δC = 2 ∫
−
=
⎟
6 ⋅ 8 EJ x 16 ⋅ 8 EJ x 384 EJ x
EJ x
0
⎝ 4 EJ x ⋅ 3 4 EJ x ⋅ 4 ⎠
0
5.6. Численные методы решения интеграла Мора
5.6.1. Метод парабол (метод Симпсона)
Функция M1 в интеграле Мора всегда является линейной, а функция M(F) в общем случае
(при равномерно распределенной нагрузке) является квадратичной параболой. Произведение
этих функций, таким образом, в общем случае есть параболическая функция, интеграл от
которой можно вычислить по формуле Симпсона:
l
M ( F )M 1
l
л
л
ср
ср
пр
пр
∫0 EJ dz = 6 EJ ( M ( F )M 1 + 4M ( F )M 1 + M ( F ) M 1 ) .
x
x
63
Рассмотрим вычисление интеграла Мора по методу Симпсона в ранее рассмотренном
примере:
δC = 2
l 2 ⎛
3ql 2 l ql 2 l ⎞
l
5ql 3
5ql 3
⎜⎜ 0 + 4 ⋅
.
⋅ +
⋅ ⎟⎟ =
⋅
=
6 EJ x ⎝
32 8 8 4 ⎠ 6 EJ x 8 ⋅ 8 384 EJ x
5.6.2. Способ Верещагина
Пусть на участке длиной l грузовая эпюра ограничена функцией f1(z), единичная эпюра –
функцией f2(z).
Рассмотрим интеграл вида:
l
I = ∫ f1 ( z ) f 2 ( z )dz .
0
Поскольку функция f2(z) всегда является линейной, то есть f2(z)=b+kz, то
l
l
0
0
l
I = ∫ f1 ( z )(b + kz )dz =b ∫ f1 ( z )dz + k ∫ f1 ( z ) z ⋅ dz .
0
l
Учитывая, что площадь грузовой эпюры равна Ω1 =
l
∫0 f1 ( z )dz , можно записать
I = bΩ1 + k ∫ z ⋅ dΩ1 ,
0
64
l
где интеграл
∫0 z ⋅ dΩ1 представляет собой статический момент площади грузовой эпюры
относительно оси y и может быть вычислен
l
∫0 z ⋅ dΩ1 = Ω1 zц.т. ,
где zц..т. - абсцисса точки центра тяжести грузовой эпюры.
Окончательно получаем
I = bΩ1 + kΩ1 ⋅ zц .т. = Ω1 (b + k ⋅ zц .т. ) = Ω1 f 2 ( zц .т. ) .
Таким образом, по правилу Верещагина интеграл Мора определяется как произведение
площади грузовой эпюры Ω1 на расположенную под центром тяжести грузовой эпюры
ординату единичной эпюры f2(zц.т.), отнесенное к жесткости поперечного сечения EJx. Если
грузовая эпюра является линейной, то произведение в формуле Верещагина обладает свойством
коммутативности.
Пример.
Определить перемещение среднего сечения консольной балки:
Поскольку обе эпюры являются линейными, при вычислении способом Верещагина возьмем
площадь единичной эпюры и ординату грузовой эпюры, соответствующую положению точки
центра тяжести единичной эпюры:
δС =
1 l 2 5 Fl
5Fl 3
⋅ ⋅
=
.
EJ x 8 6
48EJ x
5.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
Определим функцию изогнутой оси балки y(z).
65
Из дифференциальной геометрии известно, что кривизну плоской кривой можно определить
1
y′′
=
.
ρ (1 + y′2 )3 / 2
Очевидно, что в области упругого деформирования угол наклона касательной к изогнутой
оси балки Θ → 0 , то есть
Θ ≈ tgΘ = y ′ → 0 .
Следовательно, величиной y′ в приведенной выше формуле можно пренебречь, тогда
2
1
= y′′ .
ρ
С другой стороны, в соответствии с формулой (5.5),
1
ρ
=
Mx
.
EJ x
Таким образом, дифференциальное уравнение упругой линии балки имеет вид
y′′ =
Mx
EJ x
.
С учетом дифференциальных зависимостей при изгибе
dQ y
dM x
=q
= Qy ;
dz
dz
получим следующие выражения для внутренних силовых факторов:
y′′EJ x = M x ; y′′′EJ x = Q y ; y IV EJ x = q .
5.8. Определение перемещений методом непосредственного
интегрирования дифференциального уравнения. Уравнение начальных
параметров
Пример.
Определить перемещение среднего сечения консольной балки:
Эпюра внутреннего изгибающего момента для данного случая описывается функцией
Mx=Fz,
дифференциальное уравнение упругой линии балки
66
y′′ =
Mx
Fz
=
.
EJ x EJ x
Функция угла поворота сечений балки
l
y′ = ∫
0
Fz
Fz 2
dz =
+C ,
2 EJ x
EJ x
функция перемещения точек балки
⎛ Fz 2
⎞
Fz 3
y = ∫ ⎜⎜
+ C ⎟⎟dz =
+ Cz + D ,
2
6
EJ
EJ
0⎝
x
x
⎠
l
где C и D – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (условий
закрепления балки).
В рассматриваемом случае граничные условия: y(z=l)=0; y’(z=l)=0.
Применяя второе условие, получим
Fl 2
Fl 2
+ C = 0 , откуда C = −
.
2 EJ x
2 EJ x
Из первого условия
Fl 3
+ Cl + D = 0 , откуда
6 EJ x
Fl 3
Fl 3
Fl 3
Fl 3
D=−
− Cl = −
+
=
.
6 EJ x
6 EJ x 2 EJ x 3EJ x
Окончательно
F 3 Fl 2
Fl 3
y=
z −
z+
.
6 EJ x
2 EJ x
3EJ x
Перемещение среднего сечения балки
⎛
y⎜ z =
⎝
l⎞
F l3
Fl 2 l
Fl 3
5Fl 3
=
⋅
−
⋅
+
=
.
⎟
2 ⎠ 6 EJ x 8 2 EJ x 2 3EJ x 48 EJ x
Это совпадает со значением, вычисленным ранее по формуле Верещагина.
На основе метода непосредственного интегрирования получено уравнение начальных
параметров:
M 0 z 2 F0 z 3 q0 z 4 q0 ( z − c) 4
EJ x y ( z ) = EJ x y0 + EJ x Θ 0 z +
+
+
−
+
2!
3!
4!
4!
M i ( z − ai ) 2
Fi ( z − bi ) 3 qi ( z − d i ) 4
qi ( z −l i ) 4
+∑
+∑
+
−∑
2!
3!
4!
4!
i
i
i
где: y0, Θ 0 - линейное перемещение и угол поворота балки в начале координат
(геометрические начальные параметры),
M0, F0, q0 - силовые факторы в начале координат (статические начальные параметры),
ai, bi, di, ei – координаты приложения сосредоточенных силовых факторов Fi, Mi, начала и конца
участков распределенной нагрузки qi.
Начало координат всегда помещается в крайнюю левую точку балки.
67
Знаки слагаемых: сосредоточенные и распределенные силы Fi и qi считаются
положительными, если они направлены вверх, момент сосредоточенной пары сил Mi считается
положительным, если пара сил действует по часовой стрелке.
5.9. Расчет на прочность и жесткость балки при поперечном изгибе
Пример.
Для заданной балки двутаврового поперечного определить из расчета на прочность номер
двутавра и провести расчет на жесткость. Материал балки – сталь Ст3 с допускаемым
напряжением [σ]=160 МПа, допускаемый прогиб [f]=(0,0005÷0,001)·3 м.
Расчет на прочность.
Для определения положения опасного сечения построим эпюры Qy и Мх. Из эпюры Мх
очевидно, что опасным является сечение D.
Условие прочности:
σ max = σ D =
55 кН ⋅ м
≤ [σ ] ,
Wx
откуда требуемый момент сопротивления
68
55 ⋅103 Н ⋅ м
[Wx ] = 160 ⋅106 Н м 2 = 343,75 см3 .
Находим в сортаменте двутавр №27 с моментом сопротивления Wx=371см3 и моментом
инерции Jx=5010см4.
Расчет на жесткость.
Определим прогибы характерных сечений балки D, K, L по методу Мора. Для этого
построим эпюры единичных моментов, прикладывая к разгруженной от внешних сил балке
единичные силы к точкам D, K и L.
1
δD = ∫
(70 z − 15 z ) 2 z
2
EJ x
0
1
δK = ∫
0
1
δ L = −∫
0
3 dz +
(70 z − 15 z )1 z
2
3 dz +
EJ x
(70 z − 15z ) 13 z
2
EJ x
dz −
1
1⎞
1 ⎛
1
1 ⎞ 64,03
1 ⎛
2
⎜ 25 ⋅ + 4 ⋅ 41,25 ⋅ + 50 ⋅ ⎟ +
⎜ 50 ⋅ + 4 ⋅ 47,5 ⋅ ⎟ =
6 EJ x ⎝
3
2
3 ⎠ 6 EJ x ⎝
3
6 ⎠ EJ x
1 ⎞ 42
2
2⎞
1 ⎛
1
1
1 ⎛
⎜ 25 ⋅ + 4 ⋅ 41,25 ⋅ + 50 ⋅ ⎟ +
⎜ 50 ⋅ + 4 ⋅ 47,5 ⋅ ⎟ =
3 ⎠ EJ x
3
3 ⎠ 6 EJ x ⎝
2
3
6 EJ x ⎝
1 ⎛
1
1
2⎞
1 ⎛
2
5
⎞
⎜ 25 ⋅ + 4 ⋅ 41,25 ⋅ + 50 ⋅ ⎟ −
⎜ 50 ⋅ + 4 ⋅ 47,5 ⋅ + 30 ⋅1⎟ −
6 EJ x ⎝
3
2
3 ⎠ 6 EJ x ⎝
3
6
⎠
1
30 z 2
74,17
−∫
dz = −
EJ x
0 EJ x
Максимальный прогиб
δ max = δ L =
74,17
74,17 кН ⋅ м
= 7,4 ⋅ 10 −3 м .
=
8
2
−8
4
EJ x
2 ⋅ 10 кН м ⋅ 5010 ⋅ 10 м
Так как δmax>[f]=3мм, то номер двутавра, подобранный из условия прочности, не
обеспечивает жесткость конструкции.
Условие жесткости:
74,17
≤ [ f ],
EJ x
откуда требуемый момент инерции
[J ] = 74[,17] =
x
E f
74,17 кН ⋅ м
= 12380 см 4 .
8
2
−3
2 ⋅10 кН м ⋅ 3 ⋅ 10 м
Выбираем в сортаменте двутавр №36 с моментом инерции Jx=13380см4.
5.10. Косой изгиб
Косым изгибом называется такой вид изгиба, когда силовая линия не совпадает ни с одной
из главных центральных осей поперечного сечения.
Рассмотрим балку произвольного поперечного сечения, нагруженную сосредоточенной
парой сил, плоскость действия которой наклонена под углом α к оси x сечения.
69
Разложим пару сил на составляющие:
Mx=Msinα,
My=Mcosα.
На основании принципа суперпозиции, величина нормального напряжения в точке сечения с
координатами x и y равна:
σ( M ) = σ( M x , M y ) = σ( M x ) + σ( M y ) =
Mxy M yx
.
+
Jx
Jy
Найдем положение нейтральной линии:
σ н.л. =
M x y н . л . M y xн . л .
+
= 0,
Jx
Jy
откуда
yн. л. = −
M y Jx
x - уравнение прямой линии, проходящей через начало координат.
M x J y н. л.
Учитывая, что
My
Mx
= ctgα , можно записать
yн. л. = −ctgα
Jx
x .
J y н. л.
Таким образом, если уравнение силовой линии:
yс. л. = tgα ⋅ xс. л. = kxс. л. ,
то для нейтральной линии:
y н. л. = −
1 Jx
x .
k J y н. л.
Из аналитической геометрии известно, что условие перпендикулярности двух прямых
y1=k1x и y2=k2x:
k1 = −
70
1
.
k2
Jx
1
≠ 1 и k1 ≠ − , что означает,
Jy
k2
Для общего случая поперечного сечения J x ≠ J y , т.е.
что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна силовой линии.
Угловой коэффициент нейтральной линии:
tgβ = −ctgα
Jx
.
Jy
Максимальное напряжение действует в точке, наиболее удаленной от нейтральной линии
Условие прочности при изгибе в двух плоскостях для опасной точки K с координатами xK,
yK, определяемыми относительно главных центральных осей сечения:
σ max =
M max y K
+
x
Jx
M max xK
y
Jy
≤ [σ ].
Если форма сечения такова, что опасная точка имеет координаты xK=xmax, yK=ymax
(например, прямоугольник, двутавр, швеллер),
то условие прочности можно записать через моменты сопротивления:
σ max =
M max
x
Wx
+
M max
y
Wy
≤ [σ ] .
Для таких форм поперечного сечения, как круг и все правильные многоугольники, у которых
все центральные оси – главные, случай косого изгиба невозможен. Для таких сечений условие
прочности можно записать следующим образом:
σ max =
где M
max
Σ
M maxumax
Σ
Jx
≤ [σ] ,
= M x2 + M y2 - результирующий изгибающий момент, umax – кратчайшее
расстояние от нейтральной линии до опасной точки
71
Так как для круглого сечения u max =
d
= ymax , условие прочности в данном случае можно
2
записать как при обычном прямом изгибе:
σ max =
M max
Σ
Wx
≤ [σ ] .
Для квадратного сечения условие прочности может быть записано в том же виде, что и для
прямоугольного.
Полное перемещение при косом изгибе определяют через перемещения в направлениях
главных центральных осей δx и δy:
δ = δ x2 + δ y2 .
Пример.
Определить полное перемещение концевого сечения консольной балки прямоугольного
сечения, нагруженной сосредоточенной силой F.
Проекции силы F на главные центральные оси поперечного сечения:
Fx=Fsinα,
Fy=Fcosα.
Перемещение по направлению оси x находим методом Мора:
72
l
δy = ∫
C
M x ( F )M 1
x
EJ x
0
l
F cos α ⋅ z ⋅ z
F cos α ⋅ l 3
dz = ∫
dz =
.
EJ x
EJ x
0
Аналогично, перемещение по направлению оси y:
δx
C
F sin α ⋅ l 3
=
.
EJ y
Полное перемещение:
δ = δ +δ
2
xС
2
yС
Fl 3
=
3E
cos 2 α sin 2 α
+
.
J x2
J y2
5.11. Внецентренное растяжение-сжатие
Рассмотрим стержень, нагруженный в точке сечения с координатами xF, yF силой F,
параллельной продольной оси z.
Это случай внецентренного сжатия.
В сечениях стержня возникают следующие внутренние силовые факторы:
N = F ; M y = Fx F ; M x = FyF .
Суммарное нормальное напряжение от действия этих факторов возникает в точке сечения с
координатами x, y:
σΣ =
M
F My
F Fx ⋅ x Fy ⋅ y
x+ x y = + F + F
+
A Jy
Jx
A
Jy
Jx
С целью нахождения опасных точек сечения определим положение нейтральной линии, для
этого приравняем напряжение, возникающее в точках нейтральной линии, к нулю:
σ н. л.
⎛
⎞
⎜
⎟
F ⎜ x F xн . л . y F y н . л . ⎟
=
+
1+
= 0,
Jy
Jx ⎟
A⎜
⎜
⎟
A ⎠
⎝
A
откуда уравнение нейтральной линии имеет следующий вид:
73
1+
где ix =
Jx
,i =
A y
Jy
A
xF xн. л. yF yн. л.
+
= 0,
i y2
ix2
- радиусы инерции сечения.
Определим длины отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат:
ix2
xн. л. = 0 ⇒ yн. л. =
yF
y н . л . = 0 ⇒ xн . л . =
i y2
xF
,
.
Условия прочности при внецентренном растяжении-сжатии:
σ Σ max ≤ [σ ]р , σ Σ max ≤ [σ ]с .
с
р
Аналогично данному виду деформации ведется расчет на прочность элементов конструкции,
работающих при совместном действии изгиба и растяжения-сжатия.
Пример.
Рассмотрим консольную балку, испытывающую прямой изгиб и растяжение.
Под действием дополнительного напряжения от продольной силы нейтральная линия
смещается от главной центральной оси поперечного сечения:
Если σ( N ) =
N
≤ 5%[σ max ( M z )], учитывать влияние N необязательно.
A
Ядро сечения
Ядром сечения называется область в окрестности точки центра тяжести, при приложении в
которую внешней продольной силы, в сечении будут возникать нормальные напряжения одного
знака. Это особенно важно для конструкций, изготовленных из хрупких материалов, которые
сжатию сопротивляются лучше, чем растяжению.
74
Пример.
Построим ядро прямоугольного сечения при внецентренном растяжении-сжатии.
Определим такую точку приложения силы, чтобы нейтральная линия совпадала с линией 11.
Длины отрезков, отсекаемых нейтральной линией на осях координат:
h
yн. л. = , xн. л. = ∞ .
2
Координаты точки приложения силы:
yF = −
2
Так как радиус инерции ix =
ix2
y н. л.
, xF = −
i y2
xн . л .
= 0.
h2
,
12
yF = −
h2 2
h
⋅ =− .
12 h
6
Рассуждая аналогичным образом, можно получить, что для совмещения нейтральной линии
с линией 2-2, силу необходимо приложить в точку с координатами
h
xF = 0 , y F = .
6
Для линии 3-3:
b
xн . л . = − , y н . л . = ∞ .
2
b2
Учитывая, что i =
,
12
2
y
b2 2 b
yF = 0 , xF = ⋅ = .
12 b 6
Аналогично для линии 4-4
b
yF = 0 , xF = − .
6
Соединяя найденные точки, получим ядро сечения.
75
6. Установочная лекция к модулю №6. Кручение:
прочность, жесткость, энергия, интеграл Мора
6.1. Чистый сдвиг и его особенности
Сдвигом называется вид деформации, предшествующей срезу.
Рассмотрим тонкостенную трубку, нагруженную скручивающими моментами. Нанесем на
поверхность трубки до нагружения сетку с прямоугольными ячейками. После нагружения
ячейки станут параллелограммами:
Выделим из стенки трубы элементарный параллелепипед.
На горизонтальных площадках выделенного элемента действуют касательные напряжения
τzx, образующие пару сил. Исходя из условий статического равновесия, на смежных
вертикальных площадках должны возникнуть напряжения τxz. Составим уравнение равновесия:
∑M
y
= 0 ⇒τ zx ⋅ sδ ⋅ h = τ xz ⋅ hδ ⋅ s ,
Откуда
τzx=τxz - закон парности касательных напряжений.
Напряженное состояние, при котором на гранях элемента действуют только касательные
напряжения, называется чистым сдвигом.
Результатом действия касательных напряжений является появление смещения Δs
(абсолютный сдвиг) и угла γ (угол сдвига). В силу малости деформаций:
γ ≈ tgγ =
Δs
,
h
поэтому угол сдвига называется также относительным сдвигом.
Испытание материалов в условиях чистого сдвига проводят при кручении тонкостенных
трубчатых образцов. По результатам испытания строят диаграмму сдвига:
76
Диаграмма сдвига качественно сходна с диаграммами растяжения и сжатия. На начальном
участке диаграммы наблюдается линейная зависимость между касательным напряжением и
углом сдвига:
τ = Gγ
(6.1)
(6.1) – закон Гука при сдвиге, где коэффициент пропорциональности G называется модулем
сдвига или модулем упругости второго рода.
Установлено, что характеристики сдвига связаны с характеристиками растяжения. Так, для
изотропных материалов выполняется следующее соотношение между модулями упругости:
G=
E
.
2(1 + μ )
Кроме того, для большинства материалов предел текучести при сдвиге τ т может быть
выражен через предел текучести при растяжении σ т :
τт =
σт
3
≈ 0,6σ т
6.2. Кручение стержней круглого профиля
При кручении стержней круглого профиля справедлива гипотеза Бернулли: поперечные
сечения, плоские до приложения внешнего момента, остаются плоскими и после нагружения,
поворачиваясь относительно друг друга на некоторый угол.
Рассмотрим консольный стержень круглого поперечного сечения, нагруженный в концевом
сечении моментом Mz. Свободное сечение стержня поворачивается на угол ϕ (абсолютный угол
закручивания).
Выведем формулы для определения напряжений и перемещений стержня, рассмотрев три
стороны задачи.
1. Статическая сторона задачи
Воспользуемся интегральным уравнением равновесия, связывающим крутящий момент с
касательным напряжением:
M z = ∫ τρ ⋅ dA
A
77
(6.2)
2. Геометрическая сторона задачи
Выделим элемент стержня длиной dz. В результате кручения торцевые сечения этого
элемента поворачиваются, причем точки B и C переходят в положения B1 и C2.
O2.
Выделим в правом торцевом сечении дугу D1D2 на расстоянии ρ от центра тяжести сечения
Выразим длину дуги через угол сдвига
γ
и элементарный угол закручивания
dϕ :
D1D2 = dz ⋅ γ ,
D1D2 = ρ ⋅ dϕ ,
Откуда
ρ ⋅ dϕ = dz ⋅ γ ,
и угол сдвига
γ=
dϕ
ρ.
dz
Введем следующее обозначение:
dϕ
= Θ - относительный угол закручивания, тогда
dz
γ = Θρ
(6.3)
3. Физическая сторона задачи
Подставим выражение (6.3) в формулу (6.1):
τ = GΘρ
78
(6.4)
Полученное выражение подставляем в формулу (6.2):
M z = ∫ GΘρ 2 dA = GΘ ∫ ρ 2 dA = GΘJ ρ ,
A
A
откуда относительный угол закручивания
Θ=
Mz
GJ ρ
(6.5)
где GJρ - жесткость поперечного сечения при кручении.
Подставляя (6.5) в (6.4), получим формулу для касательных напряжений:
τ = GΘρ =
M zρ
.
Jρ
Таким образом, касательные напряжения при кручении изменяются по радиусу сечения
линейно:
Наибольшее касательное напряжение находится на расстоянии радиуса от центра кручения.
M zr
,
Jρ
τ max =
где r – радиус поперечного сечения стержня.
Таким образом, условие прочности при кручении
τ max
где Wρ =
Jρ
r
M zmax
=
≤ [τ ],
Wρ
- полярный момент сопротивления.
Для круглого сечения
Wρ =
πd 4 2
⋅
32 d
=
πd 3
16
.
Условие жесткости при кручении может быть записано через относительный угол
закручивания
Θ max
M zmax
=
≤ [Θ] ,
GJ ρ
либо через абсолютный угол закручивания
ϕ = ∫ Θdz = ∫
l
l
M z dz
, ϕ max ≤ [ϕ ] .
GJ ρ
6.3. Потенциальная энергия деформации кручения
Рассмотрим стержень, нагруженный скручивающим моментом Mz.
79
Закон нагружения стержня:
откуда работу внешнего момента можно определить по теореме Клапейрона как
I=
1
M ϕ,
2 z
где ϕ - угол поворота сечения, в котором приложен момент Mz.
При статическом нагружении уравнение энергетического баланса
I=U,
откуда, учитывая, что
ϕ = ∫ Θdz , а также формулу (6.5), найдем потенциальную энергию
l
деформации при кручении:
M z2 dz
.
U =∫
l 2GJ ρ
6.4. Интеграл Мора для случая кручения
Определим угол поворота произвольного сечения C консольного стержня, нагруженного в
свободном сечении скручивающим моментом.
Пусть внутренний крутящий момент для этого случая равен Mz=Mz(F).
Для определения угла поворота можно использовать теорему Кастилиано, но она применима
лишь для сечений, в которых приложены внешние нагрузки. Чтобы обойти это неудобство,
приложим в сечении C фиктивный момент Φ:
Теперь внутренний крутящий момент будет равен M z = M z ( F ) + M 1 z Φ .
Для определения коэффициента пропорциональности M 1z разгрузим стержень от внешней
нагрузки, а фиктивный момент Φ приравняем к единице:
80
При этом внутренний крутящий момент M z = M z (0) + M 1 z ⋅ 1 = M 1 z . Таким образом, M 1 z
– это внутренний момент, возникающий в сечениях элемента конструкции, если разгрузить его
от внешних факторов, а к сечению, угол поворота которого определяется, приложить
единичный безразмерный момент.
Потенциальная энергия деформации с учетом моментов Mz и Φ
U =∫
(M
( F ) + M 1 z Φ ) dz
2
z
2GJ ρ
l
.
Применяя теорему Кастилиано и учитывая, что на самом деле Φ = 0 , находим искомый угол
поворота:
ϕc =
M ( F ) M 1z dz
∂U
=∫ z
.
∂Φ Φ = 0 l
GJ ρ
Полученное выражение есть интеграл Мора при кручении.
Для случая k рабочих участков:
k
ϕ =∑∫
i =1 li
M z i ( F ) M 1z
(GJ ρ )i
i
dzi
Задача 1.
Для стержня, жестко защемленного одним концом, подобрать диаметр поперечного сечения
из условий прочности и жесткости, если допускаемое напряжение на сдвиг [τ]=100 МПа,
модуль сдвига G=8*104 Мпа, допускаемый угол закручивания [Θ] = 1град/м .
Для определения положения опасного сечения построим эпюру внутреннего крутящего
момента Мz от внешних нагрузок.
Условие прочности:
81
τ max
M zmax 16 M zmax
=
=
≤ [τ ] ,
πd 3
Wρ
откуда необходимый диаметр
[d ] =
3
16M zmax
π [τ ]
=3
16 ⋅ 50 кН ⋅ м
= 0,136 м .
3,14 ⋅ 100 ⋅ 103 кН/м 2
Построим эпюру абсолютных углов закручивания по характерным сечениям:
0,5
(10 − 20 z )dz 10 z − 10 z 2
ϕ (0,5 м) = ∫
=
GJ
GJ ρ
0
ρ
0,5
=
0
2,5
,
GJ ρ
1
ϕ1− 0
10 z − 10 z 2
=
= 0,
GJ ρ
0
ϕ 2 − 0 = ϕ1− 0 + ϕ 2 −1 = 0 +
ϕ3 − 0 = ϕ 2 − 0 + ϕ3 − 2 =
30 ⋅ 1 30
=
,
GJ ρ GJ ρ
30 50 ⋅ 1 80
+
=
.
GJ ρ GJ ρ GJ ρ
Максимальный относительный угол закручивания
Θ max =
ϕ max
L
=
80 кН ⋅ м ⋅ м ⋅ 32
= 0,01 рад/м = 0,57 град/м
3 м ⋅ 8 ⋅ 10 кН/м 2 ⋅ 3,14 ⋅ 13,64 ⋅ 10 − 8 м 4
7
это меньше, чем [Θ] = 1град/м , т.е. условие жесткости выполняется.
6.5. Кручение стержней некруглого профиля
Рассмотрим стержень прямоугольного сечения, работающий на кручение.
Определение напряжений и перемещений такого стержня является сложной задачей,
которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Связано это с тем, что при
кручении стержней некруглого профиля гипотеза Бернулли неприменима. Поперечные сечения
депланируют (искривляются):
Кручение называется свободным, если депланация сечений одинакова по всей длине
стержня, и стесненным, если депланация разных сечений различна. Стесненное кручение
можно создать, если жестко защемить один из торцов стержня, а к свободному – приложить
крутящий момент.
Докажем, что при кручении в угловых точках прямоугольного сечения касательное
напряжение отсутствует. Доказательство проведем от обратного.
82
Предположим, что в ближайшей к нам угловой точке возникает вектор касательного
напряжения τ. Разложим этот вектор на две составляющие τzx и τzy. Так как боковые стороны
стержня свободны от силового воздействия, то касательные напряжения на площадках,
смежных с рассматриваемой, τxz=τyz=0. Это означает, что, согласно закону парности
касательных напряжений, τzy=τzx=0 и, следовательно, τ=0. Таким образом, при кручении в
угловых точках прямоугольного сечения касательных напряжений нет.
Закон распределения касательных напряжений для прямоугольного сечения получен
методами математической теории упругости и имеет следующий вид:
Максимальное касательное напряжение возникает посередине длинной стороны сечения и
определяется по формуле:
τ max =
Mz
,
Wкр
причем момент сопротивления при кручении равен
Wкр = αb 3 ,
где b – короткая сторона сечения,
α - табличный коэффициент, зависящий от отношения h/b.
Касательное напряжение, действующее посередине короткой стороны, может быть найдено
по формуле
τ * = γτ max ,
где γ - табличный коэффициент, зависящий от отношения h/b.
Относительный угол закручивания определяется по формуле, аналогичной (6.5):
Θ=
Mz
,
GJ кр
83
где момент инерции при кручении Jкр=βb4,
β - табличный коэффициент, зависящий от отношения h/b.
hb
1,0
1,2
1,5
1,75
2,0
2,5
3,0
α
0,208
0,263
0,346
0,418
0,493
0,645
0,801
β
γ
0,141
1,000
0,199
0,935
0,294
0,859
0,375
0,820
0,457
0,795
0,622
0,766
0,790
0,753
6.6. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом
Рассмотрим цилиндрическую винтовую пружину, навитую из проволоки диаметром d, с
диаметром витка D и относительно малым шагом навивки. Определим внутренние силы,
возникающие в пружине при её сжатии силами F. Для этого воспользуемся методом сечений:
Из условий равновесия верхней отсеченной части заключаем, что в поперечном сечении
пружины возникают поперечная сила и крутящий момент:
Qy = F , M z =
FD
.
2
Каждый из этих силовых факторов является обобщением касательных напряжений:
Считая, что поперечные силы равномерно распределены по сечению,
84
τ (Qy ) =
Qy
A
=
F
.
A
Для напряжений от кручения воспользуемся формулой
τ max ( M z ) =
Mz
.
Wρ
Опасной точкой сечения является точка C на внутренней стороне пружины, для которой
τ max = τ (Qy ) + τ max ( M z ) =
4 F 16 FD 8 FD ⎛
d ⎞
1+
+
=
⎟.
2
3
3 ⎜
2πd
πd
πd ⎝ 2 D ⎠
Для приближенных расчетов можно пользоваться формулой
τ max ≈
8FD
,
πd 3
для более точных расчетов следует использовать формулу
8FD
,
πd 3
τ max = k
в которой
k=
где Cn =
4Cn + 1
,
4Cn − 4
d
- индекс пружины.
D
Cn
4
5
6
7
8
9
10
k
1,42
1,31
1,25
1,21
1,18
1,16
1,14
Определим осадку пружины.
При статическом нагружении работа внешних сил полностью переходит в потенциальную
энергию деформации пружины:
I=U
Используя формулы, полученные в разделе (6.3), можно записать:
M z2 dz
1
Fλ = ∫
,
2
l 2GJ ρ
где
λ
– осадка пружины.
Преобразуем это уравнение к виду
F 2 D 2 ⋅ πD ⋅ n ⋅ 32
Fλ =
,
4 ⋅ Gπd 4
откуда осадка пружины равна
8FD3n
λ=
,
Gd 4
где n – число витков пружины.
85
6.7. Практические расчеты на срез и смятие
6.7.1. Расчет болтовых и заклепочных соединений
Соединить друг с другом два листа можно, используя шов из заклепок. При этом сама
заклепка работает на срез:
Учитывая, что в момент среза касательные напряжения равномерно распределены по
сечению, условие прочности на срез можно записать:
Fср
τ ср =
≤ [τ ]ср ,
Aср
где площадь среза определяется по формуле:
Aср =
πd з2
4
im
где i – число заклепок в шве, dз – диаметр заклепки.
m – количество плоскостей среза.
При использовании т.н. двусрезных заклепок m=2:
Допускаемое напряжение на срез составляет
[τ ]ср = (0,25 ÷ 0,35)σ т .
Разрушение заклепочных соединений возможно также при смятии стенок отверстия под
заклепку:
Расчет на смятие производится по формуле:
σ см =
F
≤ [σ ]см ,
Aсм
в которой площадь смятия может быть определена:
Aсм = δ d з i ,
где δ – толщина листа.
Для малоуглеродистых сталей допускаемое напряжение на смятие [σ]см=100/110 МПа, для
среднеуглеродистых сталей [σ]см=140/170 МПа.
86
Аналогично заклепочным рассчитываются болтовые соединения. Рассмотренные формулы
можно использовать также для шпоночных и шлицевых соединений.
6.7.2. Сварные соединения
Соединение двух листов может быть выполнено с помощью сварки.
Стыковые сварные соединения работают на разрыв:
Условие прочности:
σр =
Fср
lδ
≤ [σ ].
Кроме стыковых, используется соединение листов внахлест:
Такие соединения работают на срез по биссекторной плоскости:
Условие прочности:
τ ср =
Fср
0,7kl
где k – катет шва.
87
≤ [τ ],
Документ
Категория
Физико-математические науки
Просмотров
215
Размер файла
1 318 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа