close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Системы одновременных уравнений

код для вставкиСкачать
Системы одновременных
уравнений
Лекция по курсу «Эконометрика-2»
Фурманов К.К.,
кафедра математической экономики и эконометрики
НИУ ВШЭ
Немного истории
Основа рынка - взаимодействие спроса и предложения. Как оценить
кривые спроса и предложения?
Генри Мур (Moore, 1914, 1925):
Спрос:
Pt 1 2 Q t t
Предложение:
Q t 1 2 Pt 1 t
Оценивались по отдельности с
помощью МНК с предварительным
удалением тренда
Для некоторых благ Мур обнаружил положительный наклон кривой
спроса и решил, что сделал открытие.
Его результат не убедил других учёных…
Немного истории (2)
Положительная зависимость объёма от цены – скорее кривая предложения…
(R.A. Lehfeldt, P.G. Wright)
Движение кривой спроса при неподвижном предложении приводит к
положительной статистической связи между ценой и объёмом.
Немного истории (3)
А если движутся обе кривые, то статистическая связь не отражает ни
одну из них!
Картинка из работы (Wright, 1928), скопирована из статьи (Stock, Trebbi, 2003)
Немного истории (4)
Вывод: данных о ценах и объёмах недостаточно для
определения спроса и предложения!
ЧТО ДЕЛАТЬ?
Включить в модель дополнительные переменные.
Система уравнений «спрос»-«предложение»
Модель равновесия на рынке скворечников:
Q t 1 2 Pt 3 Y t t ,
Q t 1 2 Pt 3W t t .
- спрос
- предложение
Q – объём производства/потребления скворечников,
P – цена скворечника,
Y – доход потребителя,
W – цена древесины.
Мы считаем, что наблюдаются состояния равновесия, так что
производство и потребление совпадают.
Система призвана определять равновесие (P,Q) при заданных значениях Y
и W.
P и Q – эндогенные переменные (определяемые внутри модели),
Y и W – экзогенные переменные (задаваемые извне).
Система уравнений «спрос»-«предложение» (2)
Экзогенные переменные будем считать детерминированными,
эндогенные – случайными.
В обычной регрессионной модели одна эндогенная переменная
(объясняемая величина) и множество экзогенных (регрессоры).
Решим нашу систему относительно P и Q:
2 3
2 ( t 2 t )
2 1 1 2
2 2
Qt Yt Wt ,
2 2
2 2
2 2
2 2
t 2 t
3
t 2
P ( ) Y
W
.
1
1
t
t
t
2 2
2 2
2 2 2
(хорошо бы проверить, легко мог ошибиться)
Запись системы, в которой левая часть уравнений включает только
эндогенные переменные, а правая - только экзогенные, называется
приведённой формой системы одновременных уравнений.
Первоначальная запись (уравнение спроса + уравнение предложения)
называется структурной формой СОУ.
Система уравнений «спрос»-«предложение» (3)
P коррелирует со случайными ошибками в обеих уравнениях =>
смещение и несостоятельность оценок МНК для коэффициентов
уравнений исходной системы.
Кстати, в прикладной статистике эндогенностью часто называется
именно корреляция объясняющей переменной со случайной ошибкой.
ЧТО ДЕЛАТЬ?
Можно оценить коэффициенты приведённой формы с помощью МНК (в
ней нет проблем с эндогенными объясняющими переменными), а из них
получить коэффициенты структурной формы.
Это - косвенный метод наименьших квадратов (Tinbergen, 1930).
Полученные таким образом оценки состоятельны, если состоятельны
оценки МНК для коэффициентов приведённой формы.
Система уравнений «спрос»-«предложение» (4)
Допустим, мы оценили приведённую форму:
Qˆ 1 0 0 0 .3 Y 0 .2 W ,
t
t
t
ˆ
Pt 5 0 .4 Y t 0 .4 W t .
Отсюда можно вывести спрос и предложение на рынке скворечников:
Qˆ 9 7 .5 0 .5 P 0 .5 Y ,
t
t
t
ˆ
Q t 1 0 3 .7 5 0 .7 5 Pt 0 .5 W t .
- спрос
- предложение
Подумайте:
- Как бы вы интерпретировали коэффициенты структурной формы? А
приведённой?
- Какая форма вид модели кажется вам более привязанной к реальным
данным? Более осмысленной с точки зрения экономической науки?
Система уравнений «спрос»-«предложение» (5)
А если выразить коэффициенты структурной формы не получится?
Ведь система уравнений может не иметь решений или иметь их
бесконечное множество!
Что ж, есть и другие подходы:
- двухшаговый метод наименьших квадратов (он же – метод
инструментальных переменных), включающий косвенный МНК как частный
случай.
- метод максимального правдоподобия,
- метод фиксированной точки,
- и мало ли что ещё.
Двухшаговый МНК
(метод инструментальных переменных)
Описан в работе Филипа Райта «The Tariff on Animal and Vegetable
Oils» (Wright, 1928).
Пусть нужно оценить уравнение Y i 1 2 X 2 , i 3 X 3 , i ... k X k , i i ,
~
где X 2 - эндогенная величина, а все остальные объясняющие
переменные экзогенны (можно рассмотреть и случай нескольких
эндогенных переменных).
Пусть имеется набор инструментальных переменных Z 2 ,..., Z p,
удовлетворяющих условиям:
~
1) тесно коррелируют с X 2,
2) не коррелируют с ,
3) включают хотя бы одну переменную, не входящую в набор X 3 ,..., X
k
.
Двухшаговый МНК (2)
(метод инструментальных переменных)
Шаг 1.
МНК
X
2 ,i
1 2 Z 2 , i ... p Z
p ,i
ˆ
u i X 2 ,i
~
Прогнозы будут близки к истинным значениям X 2 , но при этом
окажутся не эндогенными (т.к. инструменты тесно коррелируют с
но не с ).
Шаг 2.
ˆ
Y i 1 2 X 2 , i 3 X 3 , i ... k X
(IV – instrumental variables).
МНК
i 1 , ..., k
IV
k ,i
IV
~
X 2,
Двухшаговый МНК (3)
(метод инструментальных переменных)
Оценки 1 , ..., k состоятельны (при некоторых условиях – см.,
например, Магнус-Катышев-Пересецкий).
IV
IV
Особым образом нужно рассчитывать стандартные ошибки
(посчитанные обычным способом на втором шаге некорректны, не
учитывают, что на втором шаге в уравнение подставлен прогноз
эндогенной переменной, а не её реальное значение).
Откуда брать инструменты?
Использовать экзогенные переменные из различных уравнений
оцениваемой системы!
Пример: рынок вина в Австралии
По ежегодным данным о винной промышленности в Австралии за
1955-1975 годы оценивается система:
ln Q i 1 2 ln Pi 3 ln Pi 4 ln A i 5 ln Y i i с п р о с
w
ln
Q
ln
P
3 ln A i 4 ln S i i
предлож ение
i
1
2
i
w
b
Q – индекс потребления вина на душу населения,
Pw – индекс цен на вино по отношению к ИПЦ,
Pb – индекс цен на пиво по отношению к ИПЦ,
A - реальные подушевые затраты на рекламу,
S - индекс издержек хранения.
Оценка уравнения спроса с помощью МНК:
ln Q i 23 . 65 1 . 15 ln Pi
( 3 . 91 )
( 0 . 29 )
w
0 . 27 ln Pi 0 . 60 ln A i 3 . 21 ln Y i
b
( 0 . 61 )
( 0 . 45 )
( 0 . 71 )
Коэффициент при цене вина положителен и значим (p-value=0.001)!
Пример: рынок вина в Австралии
Оценим уравнение спроса двухшаговым МНК, взяв в качестве
инструментов все экзогенные переменные системы.
1 шаг.
ln Pi
w
4 . 32 0 . 20 ln Pi 0 . 60 ln A i 2 . 13 ln Y i 0 . 58 ln S i , R
b
2
0 . 785
2 шаг.
ln Q i 26 . 19 0 . 64 ln Pi 0 . 14 ln Pi 0 . 99 ln A i 4 . 08 ln Y i
w
( 4 . 46 )
( 0 . 57 )
b
( 0 . 59 )
( 0 . 56 )
( 1 . 07 )
Стандартные ошибки посчитаны «по-правильному», с поправкой
на двухшаговость.
Коэффициент при цене вина положителен, но хотя бы незначим
(p-value=0.256).
Единственный фактор, значимый на уровне 5%, это доход. На
уровне 10% - ещё и реклама (но со странным знаком). Не ахти
какой прогресс…
Другие виды систем уравнений
• «Будто бы несвязанные регрессии» (Seemingly Unrelated
Regressions – SUR),
• Модель Хекмана (её вы уже проходили),
• Многомерная пробит-модель (система уравнений бинарного
выбора),
• Множественная логит-модель (multinomial logit – тоже
проходили),
• Много чего можно придумать…
НА СЕГОДНЯ ВСЁ!
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
105
Размер файла
180 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа