close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определённый интеграл

код для вставкиСкачать
Определённый
интеграл
Задача о площади
y f x Y
a x1 x 2 x3
x n 2 x n 1 b
X
S i f C i x i x i 1 x i 1 C i
xi
a x 0 x 1 x 2 x 3 ..... x n 2 x n 1 x n b
n
S ступ
. фигуры
Si
i 1
n
S кр . тр . f C i x i x i 1 i 1
n
S кр . тр . f C i x i
i 1
n
S lim f C i x i
x i 0 i 1
Определённый интеграл
• Пусть на сегменте a ; b задана
функция y f x :
1) с помощью точек деления
a x 0 x 1 x 2 x 3 ..... x n 2 x n 1 x n b
разобьем сегмент на n
сегментов
x
0
; x1 ,
x
1
малых
; x 2 ,..., x n 1 ; x n 2) в каждом малом сегменте x i 1 ; x i выбираем произвольно точку C i и
умножим значение функции в этой точке
на длину сегмента: f C x .
3) составим сумму (интегральную)
i
n
n
f C i x i .
i 1
i
Если интегральная сумма n имеет
предел, который не зависит ни от
способа разбиения сегмента a ; b ,ни
от выбора точек C в каждом малом
сегменте, то этот предел называется
определённым интегралом от
функции f x на a ; b .
i
b
n
f ( x ) dx lim
a
xi 0
n f C i x i
i 1
Геометрический смысл
определённого интеграла.
b
S a
f ( x ) dx
Свойства
определённого
интеграла
b
1.
a
f ( x ) dx f ( x ) dx
a
b
a
2.
f (x) 0
a
b
b
3. kf ( x ) dx k f ( x ) dx , k-любое число
a
a
b
b
4.
(f
1
( x ) f 2 ( x )) dx b
f 1 ( x ) dx f 2 ( x ) dx
a
a
a
5.Аддитивность определённого интеграла. Для
любых чисел a,b,c справедливо:
b
a
c
f ( x ) dx a
b
f ( x ) dx c
f ( x ) dx
a ; b 6) Если на
f x 0, то
b
f x dx 0 .
a
7) Если на a ; b f x x b
b
a
a
f x dx x dx
Формула Ньютона-Лейбница.
Если F(x) есть какая-либо первообразная
от непрерывной на [ a, b] функции f(x), то
справедлива формула
Ньютона-Лейбница:
b
a
f ( x ) dx F ( b ) F ( a )
Пример.
0 ,5
0
dx
1 x
arcsin x
2
0 ,5
0
arcsin 0 , 5 arcsin 0 6
Методы
интегрирования
x z
9
4
dx
x 1
2
3
dx 2 z dz
x 4; z 2
2
2 z dz
z 1
x 9; z 3
3
2
z 1 1
z 1
2
2z
3
2
3
1 dz 2 1 dz z 1
2 2 ln z 1
3
2
6 4 2 ln 4 2 ln 3 2 ln
9
16
Интегрирование по частям в
определённом интеграле.
b
udv
u
v
a
b
b
a
a
vdu
u x ; du dx
x cos x dx dv cos x dx
0
x sin x
v cos x dx sin x
0
sin x dx 0
sin 0 sin 0 cos x 0 0 0 cos cos 0 1 1 2
Геометрические
приложения
определенного
интеграла
• 1. Если y f x непрерывна и
положительна, то S кр . тр . с основанием
a ; b ограниченной сверху графиком
этой функции можно найти по формуле
b
S f x dx
a
2. Если f x 0 на a ; b .
f x 0
b
b
a
a
S f x dx f x dx
b
S a
f ( x ) dx
y
y=-f(x)
0 a
b
x
y=f(x)
3.Рассмотрим случай, когда фигура
ограничена сверху графиком функции
y f x , снизу графиком функции
y x .
b
S f
(
x
)
(
x
)
dx
a
y
y=f(x)
y= ( x )
0
a
b
x
y
y=e
x
1
1
0
x
y=-x2
1
S (e
0
x
x ) dx ( e 2
x
x
3
3
1
) e 1
0
1
3
e
2
3
Y
f x aa
x
b
X
• Объем тела, образованного вращением
трапеции вокруг оси OX:
b
V f x dx
2
a
• Объем тела, образованного вращением
трапеции вокруг оси OY:
d
V g y dy
2
c
Несобственные
интегралы
• Несобственным интегралом с
бесконечной верхней границей от
непрерывной функции f x называется
предел определенного интеграла
b
f x dx
a
при условии, что b :
b
f x dx lim f x dx
a
b a
• Если этот предел конечное число, то
f x dx
a
существует или сходится.
• Если этот предел не существует( или
равен бесконечности), то говорят, что
интеграл не существует или расходится.
b
b
f ( x ) dx lim
a f ( x ) dx
a
c
f ( x ) dx f ( x ) dx c
f ( x ) dx
Пример.
0
dx
1 x
2
lim arctgx
lim ( arctgb
b b b
0
arctg 0 ) 2
• Несобственный интеграл от разрывной
функции при приближении x к числу b
слева называется
c
lim f x dx :
c b0 a
b
c
a
c b0 a
f x dx lim f x dx
• Аналогично, если функция f x разрывна при приближении x справа к
точке a
b
b
a
c a0 c
f x dx lim f x dx .
• Если функция разрывна в точке d a ; b b
d
b
a
a
d
f x dx f x dx f x dx
Документ
Категория
Презентации по математике
Просмотров
329
Размер файла
276 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа