close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Заголовок слайда отсутствует

код для вставкиСкачать
Элементы теории перколяции
Аппроксимация эффективной среды
J
Когда все связи одинаковы и
проводимости их ik=m , то
k
l
k
l
i kl 2J
2J
,
z m
z
J
m sh
z
sh m 1 2
,
Если проводимости ik всех связей разные, то нужно усреднить выражение
i kl
kl
J i kl
sh
i kl J
,
kl
1
kl sh
Считая, что по-прежнему
2
1
2J
и ikl z
получим
2
z
kl m z
kl= 1 o r 0
0 .4
0 .2
kl
2
1
d= 2
kl = 1 o r 1 /2
0 .6
,
m
sh m z
d= 3
0 .8
0
d= 2
d= 3
0
0 .2
0 .4
0 .6
x
0 .8
1
Проблемы аналитических решений перколяционных задач
Ниже порога x < xc
n1 x (1 x )
4
n 2 2 x (1 x )
2
x 6
n 3 2 x (1 x ) 4 x (1 x )
3
n=4
8
3
7
sn
s
s
n=5
n=6
Два типичных типа перколяционных задач:
1. Определение порогов.
Аналитические решения существуют только для размерностей
d=1,d=
и нескольких конкретных задач с размерностью d = 2 .
2. Поведение функций вблизи порога (определение критических индексов)
Пример: Мощность бесконечного кластера P(x)
1
x
P(x) sn
s
x xc
s
0
P (x)
x xc
0
xc
x
1
x=
0.58
< xc
x=
0.60
xc
Перколяция в задаче узлов
x=
0.62
> xc
на квадратной решетке
160160
Из книги
J. Feder, Fractals (Plenum Press, 1988)
Есть русский перевод
Дж. Федер, Фракталы, 1991)
Перколяционные пороги для типичных решеток
Is и Ib эмпирические инварианты, Ib d /(d1)
Увеличение числа ближайших соседей
(рост радиуса взаимодействия)
= 3
Каждый узел связан с
тремя слоями
ближайших соседей.
В кластер входит 4 узла
= 4
Каждый узел связан с
четырьмя слоями
ближайших соседей.
В кластер входит 7 узлов
Перколяция в системе случайных узлов
3D
П
р
о
с
т
а
я
к
у
б
и
ч
е
с
к
а
я
О
б
ъ
е
м
н
о
Г
р
а
н
е
ц
е
н
т
р
и
р
о
в
а
н
н
а
я ц
е
н
т
р
и
р
о
в
а
н
н
а
я
Ч
и
с
л
о
3 1 2 3
1
2 3
1 2
с
л
о
е
в
Ч
и
с
л
оz
8 2
6 8 1
4 2
6 1
8 4
2
2 1
с
о
с
е
д
е
й 6 1
К
о
н
ц
е
н
т
р
.
0
.3
10
.1
40
.0
90
.1
90
.1
40
.0
6
.1
00
.2
50
.1
80
x
c
zx
c
1
.8
42
.4
52
.4
71
.8
42
.4
52
.5
2
.5
21
.9
42
.4
52
Когда радиус взаимодействия r много больше периода решетки,
существенно лишь количество узлов внутри этого радиуса, т.е.
4
(N - концентрация),
3
r N
3
а их взаимное расположение (симметрия решетки) несущественно.
4
3
r N c Bc
3
( 3)
2 .7 ,
r N c Bc
2
(2)
4 .4
Континуальные задачи
U min U ( r ) U max ,
U (r ) 0
S1 + S2 =1
Для размерности d = 2
на пороге
S1
S2
S1 = S2 =1/2
Функция U(r) предполагается статистически симметричной
относительно преобразования U
U
и статистически изотропной
Окрестность перколяционного перехода
Статфункции концентрации открытых узлов
Вспомогательные функции
q(r,x) вероятность того, что узел на расстоянии r от открытого
узла тоже открыт и принадлежит тому же конечному кластеру
q(0)=1, q(a)=x
w(s,x) вероятность того, что открытый узел
принадлежит к конечному кластеру с s узлами
Основные функции
Мощность бесконечного кластера P(x);
Среднее число узлов конечного кластера S(x);
S ( x) q(r) r
sw ( s ) s
2
s
sn s
P(xс)= 0
S(xс)= 2
s ns
s
s
sn s
x(xс) = Корреляционная длина x(x);
x ( x) w(s) sn s
r
2
r q(r)
r
q(r)
2
r
r q(r)
S ( x)
Основной постулат :
В окрестности перколяционного перехода P, S и x степенные
функции разности | x xc |
P ( x ) ( x xc ) ,
S ( x ) | x xc |
x ( x ) | x xc |
x > xc
Критические индексы и одинаковы по обе стороны порога
Значения критических индексов
d=2
5/36
d=3
P
x
4/3 0.875
43/18 1.795
S
Аналогия с фазовыми переходами
второго рода
0.417
Концентрация
Мощность
бесконечного
кластера Р
x
Получены
аналитически
Получены
численно
х
Температура Т
Параметр
порядка
Корреляционная
длина
x
Электропроводность бесконечного кластера
вблизи порога
Токонесущий остов и
мертвые концы в
бесконечном кластере
вблизи порога
протекания
J. Feder, Fractals (Plenum Press, 1988)
Есть русский перевод
Дж. Федер, Фракталы, 1991)
Из книги
Задача: Найти сопротивление простой кубической решетки,
связи в которой имеют сопротивления в экспоненциально
большом интервале значений
R R0e ,
0 u u0 ,
u
u 0 >> 1,
u случайная величина, с вероятностью F(u)=const=1/u0
принимающая любые значения из разрешенного интервала.
Постепенно включаем связи, начиная с самых высокопроводящих (u=0) до
тех пор, пока при некотором uc
uc
x F ( u ) du
0
uc
u0
xc ,
u c x c u 0 ( 0 . 25 u 0 ).
Чтобы по бесконечному кластеру пошел ток, порог xc должен быть
превышен на Dx = xxc= Du/u0 . Корреляционная длина при этом конечна
u
x a 0
Du x
Токонесушая структура
перколяционного кластера имеет вид
сетки (двумерной или трехмерной) с
размером ячейки x и с сопротивлением
между двумя узлами порядка
R x R 0 exp( u c D u )
Удельное сопротивление такой 3D сетки
Du
e
u0
uc ν
R x x R 0 exp( u c D u ) a R 0 ae u 0
D
u
(Du)
имеет минимум при Du = 0.875,так что (e / = 2.7 и
ν
0
2 . 7 R 0 ae u 2 . 7 R 0 ae
uc
u0
4
0 . 875
u0
Документ
Категория
Презентации
Просмотров
18
Размер файла
2 166 Кб
Теги
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа