close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

(Пирогова Тимофеева) Числовые и степенные ряды

код для вставки
учебно-методическое пособие
Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего профессионального образования
«Уральский государственный университет путей сообщения»
Кафедра «Высшая и прикладная математика»
И. Н. Пирогова
Г. А.Тимофеева
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Учебно-методическое пособие
по дисциплине «Математика» для студентов
всех специальностей
Екатеринбург
Издательство УрГУПС
2014
УДК517
П33
П33
Пирогова, И. Н.
Числовые и степенные ряды : учебно-метод. пособие / И. Н. Пирогова, Г. А. Тимофеева. – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2014. – 71, [1] с.
Учебно-методическое пособие подготовлено в соответствии с требованиями ФГОС к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки дипломированных бакалавров и специалистов по циклу «Общие математические
и естественнонаучные дисциплины» государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования. Предназначено для проведения
лекционных, практических занятий и организации самостоятельной работы студентов. Предлагаемая система дидактических материалов составлена на основе
обобщения учебной литературы, рекомендуемой Министерством образования РФ,
и многолетнего педагогического опыта профессорско-преподавательского коллектива кафедры «Высшая и прикладная математика» УрГУПС.
Соответствуют структуре изучения темы «Ряды» по дисциплинам «Математика» и «Математический анализ» всех специальностей.
УДК517
Печатается по решению
редакционно-издательского совета университета
Авторы:
И. Н. Пирогова, доцент кафедры «Высшая и прикладная
математика», УрГУПС
Г. А.Тимофеева, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры
«Высшая и прикладная математика», УрГУПС
Рецензенты: С. С. Титов, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Высшая и прикладная математика», УрГУПС
А. Н. Сысекин, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой «Прикладная математика», УрФУ
© Уральский государственный университет
путей сообщения (УрГУПС), 2014
Оглавление
Введение ..........................................................................................................4
1. Методические указания по самостоятельной работе студентов................5
2. Краткие теоретические сведения................................................................6
2.1. Знакоположительные ряды ................................................................6
2.1.1. Основные понятия .....................................................................6
2.1.2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных
рядов .........................................................................................12
2.1.2. Знакопеременные ряды ........................................................... 20
2.1.3. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница....................... 21
2.1.4. Степенные ряды ....................................................................... 26
2.1.5. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена ................................................... 36
2.1.6. Приближенные вычисления с помощью рядов.
Вычисление значений функций ..............................................37
3. Задания для типового расчета ................................................................... 46
4. Подготовка к тестированию...................................................................... 58
5. Варианты контрольной работы по теме «Ряды» ...................................... 63
6. Примерные вопросы к экзамену .............................................................. 68
7. Методические советы по подготовке к сдаче экзамена ........................... 69
8. Библиографический список ..................................................................... 71
3
Введение
Цель данного пособия – помочь студенту освоить тему «Ряды»,
которая, как показывает практика, оказывается очень трудной для
восприятия студентов. Эта тема входит в состав курса «Математика»
или «Математический анализ» для студентов и бакалавров экономических и технических специальностей всех форм обучения. Авторы
систематизировали основной материал и изложили его в доступной
форме. В учебно-методическом пособии приведены основные теоретические сведения по теме «Ряды», подробно разобраны примеры
решения задач по каждому разделу. Для организации самостоятельной работы студентов в пособии приводится 30 вариантов заданий
типового расчета, а также задачи тестового типа для самостоятельного решения. Все это направлено для наилучшей подготовки студентов к итоговой аттестации по дисциплине, в том числе к прохождению итогового тестирования.
Содержание пособия ориентировано на применение математических методов к решению прикладных задач. В основу материала
положены классическая теория математического анализа и современная практика её применения, использовались авторские разработки коллектива кафедры «Высшая и прикладная математика»
УрГУПС. Цель изучения темы совпадает с целью изучения всего курса «Математика».
Цель дисциплины: последовательное формирование математической картины мира, определяющей общекультурные и профессиональные компетенции.
Задачи изучения дисциплины:
– развить логическое и алгоритмическое мышления студентов;
– воспитать культуру применения математических и информационных технологий для решения прикладных задач аналитическими и вычислительными методами;
– освоить математические методы исследования реальных процессов и явлений.
Изучение дисциплины направлено на формирование общекультурных компетенций:
ОК-1 – владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору
путей её достижения.
4
Изучение дисциплины направлено на формирование профессиональных компетенций:
– способность собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социальноэкономических показателей, характеризующих деятельность
хозяйствующих субъектов (ПК-1);
– способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5).
Требования к результатам освоения темы «Ряды»
(в соответствии с ФГОС подготовки бакалавра и ООП)
В результате изучения дисциплины студент должен:
знать основные свойства и применение рядов;
уметь исследовать ряды на сходимость;
владеть методами приближенных вычислений с помощью рядов.
1. Методические указания
по самостоятельной работе студентов
Самостоятельная работа студентов является одной из важнейших составляющих учебного процесса, в ходе которого происходит
формирование знаний, умений и навыков и в дальнейшем обеспечивается усвоение студентом приемов познавательной деятельности и формирование способности решать профессиональные и научные задачи.
При изучении математики в вузе основной самостоятельной работой студентов является решение прикладных задач по изучаемому теоретическому материалу, выработка необходимых знаний и умений.
В данном разделе в соответствии с учебной программой содержатся краткие теоретические сведения и примеры решения задач. Самостоятельная работа над предложенным учебным материалом поможет
студентам выполнить необходимые контрольные работы и подготовиться к сдаче итогового экзамена.
5
2. Краткие теоретические сведения
2.1. Знакоположительные ряды
2.1.1. Основные понятия
Определение
Пусть задана бесконечная последовательность чисел a1, a2,…, an,…
Сумма бесконечного числа слагаемых
∞
a1 + a2 + ... + an + ... = ∑ an
(1)
n =1
называется числовым рядом, числа ai(i = 1,2,… – членами ряда.
∞
Если слагаемыми ряда являются функции ∑ u ( x ), то ряд назыn =1
вается функциональным.
n
Виды числовых рядов
Если все члены числового ряда имеют положительный знак, то
ряд называется знакоположительным.
Если знаки слагаемых различны, то ряд называется знакопеременным.
В частности, если знаки чередуются, то ряд называется знакочередующимся.
Примеры
Ряд 1 +
1 1 1
+ + + ... является знакоположительным,
2 4 8
1 1 1 1
+ − + − ... – знакочередующимся.
2 3 4 5
x2 x3
Пример функционального ряда: 1 + x +
+
+ ... .
2
3
ряд 1 −
6
Задачи для самостоятельного решения
Определить, какой ряд является числовым, а какой функциональным. Если это числовой ряд, то определить, знакоположительный он
или знакочередующийся:
∞
∞
5n
(−1)n ( x − 1)n
( −1)n
, 2) ∑
, 3) ∑
,
n
2
n⋅2
n =1 n !
n =1
n =1 n + 2n
∞
∞
( x + 2)n
( −1)n n
4) ∑
, 5)∑
.
2
n =1 n(n + 2)
n =1 (n + 1)
∞
1) ∑
Будем рассматривать суммы конечных числа членов числового
∞
ряда
∑а
n =1
∞
n
: S1 = a1 ; S 2 = a2 + a2 , …; S n = a1 + a2 + …an ;
Частичной суммой Sn называется сумма n первых членов ряда
∑а .
n =1
n
Рассмотрим числовую последовательность частичных сумм {Sn}.
Определение
Если существует конечный предел последовательности частичных сумм: lim S n = S то ряд числовой ряд (1) называется сходящимn →∞
ся, а число S называется суммой ряда.
Если последовательность {Sn} расходится, то ряд (1) называется
расходящимся.
Пример 1
∞
Для ряда
5n
∑ n!
n =1
найти a4, S1, S2, S3.
Решение
S1 =
51
52
53
= 5, S 2 = 5 + = 17,5, S 3 = 5 + 12,5 + = 38,3.
1!
2!
3!
7
Найдем a4 : a4 =
54
= 26,04.
4!
Пример 2
Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии: a + aq + aq 2 + ... + aq n −1 + ..., a ≠ 0.
Решение
Если q ≠ 1, то для n-й частичной суммы имеем известное выражение S n = a + aq + aq 2 + ... + aq n −1 =
a − aq n
. В случае | q | < 1 существует
1−q
⎛ a
a n⎞
a
−
предел lim S n = lim ⎜
q ⎟=
, т. е. данный ряд сходится
n →∞
n →∞ 1 − q
1−q ⎠ 1−q
⎝
∞
a
a
и его сумма есть число S, равное
. Получили, что ∑ aq n −1 =
1−q
1
−
q
n =1
при | q | < 1. Если | q | > 1, то | qn | → ∞ при n → ∞, и последовательность
частичных сумм предела не имеет. Геометрическая прогрессия в этом
случае является расходящимся рядом.
При q = 1 геометрическая прогрессия имеет вид a + a + … + a...,
⎧+∞ ¾ÊÄÁ B > поэтому MJN 4 O = MJN OB = ⎨
O →∞
O →∞
⎩−∞ ¾ÊÄÁ B < т. е. ряд является расходящимся.
При q = –1 имеем
∞
∑(−1)
n −1
a = a − a + a − a + ...( −1)n −1 a + ....
n =1
Образуем частичные суммы S1 = a, S2 = a – a = 0, S3 = S2 + a =
= а,..., т. е.
⎧B ÈÉÁ O ƾоËÆÇÅ
4O = ⎨
⎩ ÈÉÁ O оËÆÇÅ
Такая последовательность частичных сумм при n → ∞ предела не
имеет, ряд расходится.
8
Итак, геометрическая прогрессия сходится при |q| < 1 и расходится при | q | ≥ 1.
Пример 3
∞
Дан ряд
1
∑ n(n + 1). Найти сумму n первых членов ряда, доказать
n =1
сходимость ряда, пользуясь определением, и найти сумму ряда.
Решение
Рассмотрим n-й член ряда и представим его в более удобном виде
an =
1
(n + 1) − 1 1
1
=
= −
.
n(n + 1) n(n + 1) n n + 1
Составим сумму n первых членов ряда:
⎛ 1 ⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 1 ⎞
S n = a1 + a2 + ... + an = ⎜1 − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ...
⎝ 2⎠ ⎝2 3⎠ ⎝3 4⎠
1
1
1
1 ⎞
1
⎛
⎞ ⎛
... + ⎜
− ⎟+⎜ −
=1−
.
⎟
n +1
⎝ n −1 n ⎠ ⎝ n n +1 ⎠
1 ⎞
⎛
Отсюда lim S n = lim ⎜1 −
⎟ = 1, т.е. данный ряд сходится и его
n →∞
n →∞
⎝ n +1 ⎠
∞
сумма равна 1, то есть
1
∑ n(n + 1) = 1.
n =1
Задачи для самостоятельного решения
(−1)n n
найти а3. Вычислить S1, S2, S3.
∑
2
n =1 (n + 1)
∞
1) Для ряда
3n + 2n
2) Для ряда ∑ 6n
найти а4. Вычислить S1, S2, S3.
n =1
∞
∞
3) Дан ряд
1
∑ n(n + 3).
n =1
Найти сумму n первых членов ряда, дока-
зать сходимость ряда, пользуясь определением, и найти сумму ряда.
9
Ответы
1) a3 = −
2) a4 =
3
1
1
31
; S1 = − ; S 2 = − ; S 3 = −
.
16
36
4
144
97
5
293
11405
; S1 = = 0,8; S 3 =
= 1,4; S 5 =
= 1,5.
1296
6
216
7776
1⎛ 1 1
1
1
1 ⎞
11
3) S n = ⎜1 + + −
−
−
, S= .
⎟
3 ⎝ 2 3 n +1 n + 2 n + 3 ⎠
18
Некоторые свойства сходящихся рядов
Если в ряду (1) a1 + a2 + ... + an + an +1 + ... + an + N + ... отбросить n первых членов ряда, то получится ряд an +1 + an + 2 + ... + an + N + ... (2), называемый остатком ряда (1) после n-го члена ряда, или n-м остатком
ряда. В случае сходимости ряда (2) его сумму называют остаточной
суммой и обозначают rn:
rn = an +1 + an + 2 + ... + an + N + ... .
Теорема 1
Если сходится ряд (1), то сходится и любой из его остатков (2)
и наоборот.
Следствие
Если ряд (1) сходится, то его остаточные суммы rn при n → ∞ стремятся к нулю:
lim rn = 0.
n →∞
Теорема 2
Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать. Получившиеся ряды тоже будут сходящимися.
Теорема 3
Если все члены сходящегося ряда (1) почленно умножить на число
C ≠ 0, то полученный ряд также сходится.
10
Теорема 4
Необходимый признак сходимости ряда
Если ряд сходится, то предел n-го члена ряда равен нулю:
lim an = 0.
n →∞
∞
1
1
Например, ряд ∑ 2
сходится и lim 2
= 0.
n →∞ n + 2
n =1 n + 2
Но этот признак не является достаточным для сходимости ряда.
∞
1
∑
Так, например, ряд
расходится (будет доказано далее), хотя
n =1 n
1
lim = 0.
n →∞ n
Теорема 5
Достаточный признак расходимости ряда
Если предел n-го члена ряда не равен нулю lim an ≠ 0, то ряд расхоn →∞
дится.
Пример 1
∞
Рассмотрим сходимость ряда
n
∑ 2n + 3.
n =1
Решение
Используем достаточный признак расходимости.
n
1
lim an = lim
= ≠ 0, и поэтому ряд расходится.
n→∞
n →∞
2n + 3 2
Пример 2
∞
2n 2 − 5
.
2
−n+6
Исследовать сходимость числового ряда ∑ n
n =3
Решение
Для этого ряда удобно использовать достаточный признак расходимости. Найдем предел n-го члена ряда:
2n 2 − 5
2n 2
lim an = lim 2
= lim 2 = 2 ≠ 0. Следовательно, ряд расхоn →∞
n →∞ n − n + 6
n →∞ n
дится.
11
Пример 3
3n + 2
∞
Исследовать сходимость ряда
∑ ln 3n − 1 .
n =1
Решение
Общий член ряда имеет вид an = ln
на ряда: lim an = lim ln
n →∞
n →∞
3n + 2
. Найдем предел n-го чле3n − 1
3n + 2
3 ⎞
⎛
= lim ln ⎜1 +
⎟ = ln(1 + 0) = ln1 = 0.
→∞
n
3n − 1
⎝ 3n − 1 ⎠
Следовательно, требуется дополнительное исследование. Воспользуемся определением сходимости ряда. Найдем выражение для
частичных сумм ряда:
5
8
⎛ 3n − 1 ⎞
⎛ 3n + 2 ⎞
S n = a1 + a2 + ... + an = ln + ln + ... + ln ⎜
+ ln ⎜
⎟
⎟=
2
5
⎝ 3n − 4 ⎠
⎝ 3n − 1 ⎠
3n − 1 3n + 2 ⎞
⎛ 5 8 11
⎛ 3n + 2 ⎞
= ln ⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅
⋅
= ln ⎜
⎟
⎟ = ∞.
3n − 4 3n − 1 ⎠
⎝2 5 8
⎝ 2 ⎠
Следовательно, наш ряд расходится.
2.1.2. Достаточные признаки сходимости
знакоположительных рядов
Признаки сравнения
Рассмотрим далее признаки сравнения для знакоположитель∞
ных рядов. Будем считать, что ряд
∑b
n =1
n
– эталонный, т. е. с извест-
ной сходимостью (расходимостью). В качестве эталонных рядов берут следующие.
∞
1.
∑ aq
n
– бесконечная геометрическая прогрессия, которая схо-
n =1
дится при | q | < 1 и расходится при | q | ≥ 1.
∞
1
2. Гармонический ряд ∑ расходится.
∞
n =1 n
1
3. Обобщенный гармонический ряд ∑ s . Он сходится при s > 1
n
n =1
и расходится при s < 1. (О сходимости и расходимости второго
и третьего эталонных рядов будет сказано позднее.)
12
Теорема 6
∞
Если ряд
∞
то ряд
∑a
n =1
∑b
n =1
n
сходится, и, начиная с некоторого номера n: 0 ≤ аn ≤ bn,
тоже сходится.
n
Пример
∞
1
∑ 3 (n + 2).
Исследовать сходимость ряда
n =1
n
Решение
Возьмем в качестве эталонного ряда бесконечно убывающую гео∞
1
1
метрическую прогрессию: ∑ n , q = <1 – ряд сходится. Сравним
3
n =1 3
члены исходного и эталонного рядов:
1
1
1
1
> 2 , ... 3n > 3n (n + 2) ,... .
2
3 3 ⋅4
1 1
>
,
3 3⋅3
∞
По теореме 1 ряд
1
∑ 3 (n + 2)
n =1
n
сходится.
Теорема 7
Если ряд ∑ bn расходится, bn ≥ 0, и, начиная с некоторого номера n,
∞
n =1
выполняется неравенство an ≥ bn, то ряд
∑a
n =1
n
тоже расходится.
Пример
5n + 1
.
n
n =1 2
∞
Исследовать сходимость ряда:
∑
Решение
∞
5n
. Он расходится, так как
∑
n
n =1 2
5
это геометрическая прогрессия со знаменателем q = > 1. Сравним
2
члены исходного и эталонного рядов:
Возьмем в качестве эталонного ряд
13
6 5 26 25 126 125 5n + 1 5n
> ,
> ,
>
... n > n . Следовательно, по теоре2 2
4
4
8
8
2
2
5n + 1
расходится.
n
n =1 2
∞
ме 2 исходный ряд
∑
Теорема 8
∞
an
= k, где k –
bn
∞
n =1
конечное число, отличное от нуля, то ряд ∑ an , an ≥ 0, соответственn =1
но, тоже сходится (расходится).
Если ряд
∑b
n
сходится (расходится), bn ≥ 0, и lim
n →∞
Пример
n2 + 5
.
∑
4
n = 2 4n − 8n − 5
∞
Исследовать сходимость ряда
Решение
n2 + 5
Общий член ряда равен an = 4
. Возьмем за эталонный
4n − 8n − 5
∞
∞
1
ряд ∑ bn = ∑ 2 , Он сходится (s = 2 > 1).
n =1
n =1 n
an
(n 2 + 5)n 2
1
= lim
= ≠ 0. Следовательно, исn →∞ b
n →∞ (4n 4 − 8n − 5)
4
n
Рассмотрим lim
ходный ряд тоже сходится (теорема 8).
Замечание
Для подбора эталонных рядов используются эквивалентные бесконечно большие величины. Как известно, многочлен
an x n + an −1 x n −1 + ... + a0 степени n при n → ∞ эквивалентен своему старшему члену anxn, так как
an x n + an −1 x n −1 + ... + a0
= 1.
n →∞
an x n
lim
При решении предыдущей задачи n2 + 5 заменяем эквивалентной бесконечно большой функцией n2, а многочлен 4n4 – 8n – 5 эквивалентен 4n4. Получаем, что ряд для сравнения имеет общее сла14
n2
1
=
, поэтому для сравнения выбран эталонный
4n4 4n2
∞
∞
1
ряд ∑ bn = ∑ 2 .
n
n =1
n =1
гаемое вида
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать на сходимость ряды
∞
∞
∞
1
1
7n − 3
1. ∑ 3
. 2. ∑ n . 3. ∑ 2
.
n =1 n + 5
n =1 3n − 2n + 5
n =1 6 n
∞
∞
n+9
3n + 5
4n 2 + 5
5. ∑ n +1
. 6. ∑ 2n
.
.
3
(n + 3)
n =1 5
n =1 6 (3n + 7)
n =1 9n − 2n + 3
∞
4. ∑
6n 2 + 4
.
3
n =1 4n − 2n + 9
∞
7. ∑
Ответы
1. Сходится. 2. Сходится. 3. Сходится.
5. Сходится. 6. Сходится. 7. Расходится.
4. Расходится.
Признак Даламбера
Теорема 9
Пусть задан знакоположительный ряд a1 + a2 + ... + an и существуa
ет предел lim n +1 = L. Тогда, если L < 1, то ряд сходится, а если L > 1,
n →∞ a
n
ряд расходится. Если L = 1, то неизвестно, сходится или расходится
ряд, и вопрос о сходимости ряда надо решать другими методами.
Пример 1
∞
1. Исследовать сходимость ряда
5n
.
∑
n =1 (n + 1)!
Решение
Будем использовать признак Даламбера. Имеем
15
an =
5n
5n +1
, an +1 =
.
(n + 1)!
(n + 2)!
Вычислим предел
an +1
5n +1 (n + 1)!
5(n + 1)!
5
= lim
= lim
= lim
= 0, L = 0 < 1
n →∞ a
n →∞ (n + 2)!⋅ 5n
n →∞ (n + 1)!⋅ (n + 2)
n →∞ n + 2
n
и по признаку Даламбера наш ряд сходится. Здесь было использовано свойство факториала (n + 2)! = (n + 1)!(n + 2).
lim
Пример 2
∞
Исследовать сходимость ряда
∑n
n =1
2n
.
3
+3
Решение
Применим опять признак Даламбера.
an =
an +1
2n
2n +1
2n +1 ((n + 1)3 + 3)
,
a
=
,
lim
=
lim
= 2,
n +1
n →∞
n3 + 3
(n + 1)3 + 3 n →∞ an
2n (n3 + 3)
L = 2 > 1. По признаку Даламбера ряд расходится.
Пример 3
∞
Исследовать сходимость ряда
n!
∑n
n =1
n
.
Решение
Применим опять признак Даламбера
an =
a
n!
(n + 1)!
(n + 1)!⋅ nn
,an +1 =
lim n +1 = lim
=
n
n
n →∞ (n + 1)n +1 ⋅ n !
n
(n + 1) , n →∞ an
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n ⋅ (n + 1) ⋅ nn
1 ⋅ nn
= lim
= lim
=
+
1
n
n →∞ (n + 1)
⋅1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ n n →∞ (n + 1)n +1
n
−( n +1) −( n +1)
n
⎡⎛
⎤
1 ⎞
−1 ⎞
⎛
= lim ⎜1 −
=
lim
1
+
= e −1 < 1.
⎢
⎥
⎟
⎜
⎟
n →∞
n →∞
n
+
1
n
+
1
⎝
⎠
⎠
⎣⎢⎝
⎦⎥
16
Следовательно, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать на сходимость ряды.
∞
∞
∞
∞
7n (2n 2 + 1)
100n
2n + 1
2n
.
. 4. ∑
1. ∑ n . 2. ∑
. 3. ∑
(n + 7)!
4
n =1
n =1 (n + 1)!
n =1
n =1 (n + 3)
π
∞
n
(2n + 1)!
3
.
5. ∑
. 6. ∑
10n
(
n
+
5)!
n =1
n =1
∞
sin
Ответы
1. Сходится.
3. Сходится.
5. Сходится.
2. Расходится.
4. Сходится.
6. Расходится.
Интегральный признак сходимости рядов
Теорема 10
∞
Пусть задан числовой знакоположительный ряд
∑ a , члены котоn =1
n
рого монотонно убывают, то есть an+1 ≤ an. Подберем функцию f(x) так,
что an = f(n). Эта функция должна быть положительна, непрерывна и
монотонно убывать в области [1,∞). Тогда, если несобственный инте∞
грал
∫ f ( x )dx
сходится, то и исходный ряд сходится; если интеграл
1
расходится, то и ряд расходится.
Пример 1
∞
Исследовать сходимость ряда
число.
1
∑n ,
n =1
17
s
s – любое положительное
Решение
1
1
. Функция f ( x ) = s удовлетворяет (как
ns
x
и исследуемый ряд) всем условиям теоремы 9. Исследуем сходимость
несобственного интеграла при s ≠ 1:
Имеем an = f (n) =
⎧ 1
b
dx
dx
1 1− s b ⎪⎪ 1−s , s >1;
= lim
x | =⎨
∫1 x s = lim
1
b →∞ ∫ x s
b →∞ 1 − s
1
⎪
⎪⎩ +∞, s <1.
∞
∞
При s = 1
dx
∫x
1
b
dx
= ln x
1 x
= lim ∫
b →∞
b
1
= +∞.
Следовательно, данный ряд сходится при степени s >1 и расходится при s ≤ 1.
Пример 2
∞
Исследовать сходимость ряда:
arctg(n)
.
2
n =1 1 + n
∑
Решение
arctg(n)
Рассмотрим общий член ряда an = 2
и функцию
n +1
arctgx
f (x) =
. Вычислим несобственный интеграл
1+ x2
∞
arctg( x )
(arctgx )2 b
dx
lim
arctg
xd
(arctg
x
)
lim
=
=
|1 =
∫1 1 + x 2
b →∞ ∫
b →∞
2
1
b
2
2
2
⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 3π
.
= lim(arctgb)2 − (arctg1)2 = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ =
b →∞
16
⎝2⎠ ⎝4⎠
Напомним, что d (arctgx ) =
∞
ный интеграл
ряд сходится.
arctgx
∫ 1+ x
2
dx
. Таким образом, несобствен1+ x2
dx сходится. Следовательно, и исследуемый
1
18
Пример 3
∞
Исследовать сходимость ряда
2
∑ (n + 5)ln(n
n =1
+ 5)
.
Решение
Применим при исследовании сходимости данного ряда интегральный признак
an =
2
2
⇒ f (x ) =
,
(n + 5)ln(n + 5)
( x + 5)ln( x + 5)
∞
2dx
2dx
=
∫1 ( x + 5)ln( x + 5) = lim
b →∞ ∫ ( x + 5)ln( x + 5)
1
b
d (ln( x + 5))
b
= lim 2 ln ln( x + 5) 1 =
b →∞
ln(
x
+
5)
1
b
= lim 2 ∫
b →∞
= 2 lim ln ln(b + 5) − 2 ln ln 6 = ∞.
b →∞
Интеграл расходится, значит, и ряд расходится. Здесь мы испольdx
зовали свойство дифференциала d (ln( x + 5)) =
.
x +5
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать на сходимость ряды.
∞
∞
∞
1
ln(n + 2)
1
.
. 3. ∑
1. ∑
. 2. ∑
n =1 (n + 1) n + 1
n =1 (n + 2)
n =1 (n + 1)ln(n + 1)
∞
1
n
.
. 5. ∑ n
2
(
n
+
4)
n
n =1 e
n =1
∞
4. ∑
2
Ответы
1. Расходится.
3. Сходится.
5. Сходится.
2. Расходится.
4. Сходится.
19
Признак Коши
Теорема 11
∞
Если для ряда
∑a
n =1
n
с положительными членами существует предел
lim n an = L, то при L < 1 ряд сходится, если L > 1, то ряд расходитn →∞
ся. Если L = 1, то неизвестно, сходится ли ряд, и требуется дополнительное исследование.
Пример
∞
Исследовать сходимость ряда
1
∑n
n =1
n
.
Решение
Общий член ряда имеет вид an =
lim n an = lim n
n →∞
n →∞
1
. Применим признак Коши:
nn
1
1
= lim = 0 < 1.
n
n
→∞
n
n
Следовательно, наш ряд сходится.
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать на сходимость ряды
n
n
∞
∞
⎛ 2n + 1 ⎞
⎛ 5n + 1 ⎞
1. ∑ ⎜
. 2. ∑ ⎜
⎟
⎟ .
n =1 ⎝ 3n − 2 ⎠
n =1 ⎝ 3n − 2 ⎠
Ответы
Сходится. 2. Расходится.
2.1.2. Знакопеременные ряды
Теорема о сходимости знакопеременного ряда
Рассмотрим ряды, члены которых могут быть числами положительными, отрицательными, и равными нулю. Такие ряды называются знакопеременными.
20
Теорема 11
∞
∑u ,
Пусть дан ряд
n =1
∞
сходится ряд
n =1
∞
что ряд
∑u
n =1
∑u
n
n
n
где un имеет произвольный знак. Тогда, если
, то сходится и исходный ряд. При этом говорят,
сходится абсолютно.
Определение
Если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то ряд называется условно сходящимся.
Пример
sin nα
.
2
+1
n =1
∞
Исследовать сходимость ряда
∑n
Решение
Общий член ряда равен un=
знаку sin nα. Рассмотрим ряд
sin nα
и имеет знак, соответствующий
n2 + 1
sin nα
∞
∑n
. Этот ряд имеет только поло+1
жительные знаки. Используем признак сравнения (теорему 1):
2
n =1
sin nα
n2 + 1
∞
≤
1
1
< .
n2 + 1 n2
∞
1
сходится как эталонный. Тогда ∑ 2
сходится.
n
+1
n =1
n =1
∞ sin nα
Следовательно, и ряд ∑ 2
сходится. Согласно признаку сравn =1 n + 1
∞
sin nα
нения, ряд ∑ 2
сходится абсолютно.
n =1 n + 1
Ряд
1
∑n
2
2.1.3. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
Определение
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд, имеющий вид
21
∞
∑(−1)
n +1
n =1
un = u1 − u2 + u3 − u4 + ... + ( −1)n +1 un + ..., где un > 0.
Теорема 12
∞
∑(−1)
Если ряд знакочередующийся
n +1
n =1
un и его члены убывают по аб-
солютной величине u1 > u2 > ... > un > ..., при этом абсолютная величина n-го члена ряда стремится к нулю при n→∞, то есть lim un = 0, то
n →∞
данный ряд сходится.
Пример
Исследовать сходимость ряда
∞
∑(−1)
n =1
n +1
n+2
.
n + 5n + 9
2
(1)
Решение
По теореме Лейбница
n+3
n+3
n+2
= 2
. Проверим,
un = 2
, un +1 =
2
(n + 1) + 5(n + 1) + 9 n + 7n + 15
n + 5n + 9
n+2
n+3
>
. Решая это неравенn 2 + 5n + 9 n 2 + 7n + 15
ство, мы получим более простое неравенство: n 2 + 5n + 3 > 0. Последнее неравенство справедливо для всех n: n ≥ 1, значит, исходное нераn+2
n
венство также справедливо. Кроме того, lim 2
= lim 2 = 0 и,
n →∞ n + 5n + 9
n →∞ n
∞
n+2
следовательно, ряд ∑ (−1)n +1 2
сходится по признаку Лейбn + 5n + 9
n =1
ница. Следует продолжить исследование и ответить на вопрос о характере сходимости данного ряда.
∞
n+2
Для этого надо изучить сходимость ряда ∑ 2
, составленn
+ 5n + 9
n =1
ного из абсолютных величин.
Применим теорему 3 признака сравнения. За эталонный
∞
1
n+2
1
,vn = . Отсюда
ряд следует взять ряд ∑ . Тогда un = 2
n
n + 5n + 9
n =1 n
что un > un+1 для всех n:
un
(n + 2)n
n2
= lim 2
= lim 2 = 1.
n →∞ v
n →∞ n + 5n + 9
n →∞ n
n
lim
22
Предел равен 1, а эталонный ряд расходится. Поэтому ряд
n+2
расходится и, следовательно, ряд (1) сходится условно.
∑
2
n
+ 5n + 9
n =1
∞
Большое практическое значение имеет свойство знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница.
Теорема об оценке остатка знакочередующегося ряда
∞
Пусть S – сумма знакочередующегося ряда
∑(−1)
n =1
n +1
un , сходящегося
по признаку Лейбница, а rn – сумма его остатка после n-го члена, так
что rn = ±(un +1 − un + 2 + ...), тогда rn < un +1 .
Таким образом, для сходящегося знакочередующегося ряда его
сумма не превышает по абсолютной величине первого члена ряда
S ≤ u1 , а остаток ряда – первого из отброшенных членов ряда.
Правило исследования знакочередующегося ряда
∞
1) Ряд
∑(−1)
n =1
n +1
un , un > 0
(2)
исследуется по признаку Лейбница.
2) Если ряд (2) сходится, то следует уточнить характер сходимости ряда (сходится абсолютно или условно). Для этого исследуется
на сходимость ряд из абсолютных величин
∞
∑u ;
(3)
n
n =1
а) если ряд (3) сходится, то ряд (2) сходится абсолютно;
б) если ряд (3) расходится, то ряд (2) сходится условно.
3) Если lim un ≠ 0, то ряд (2) расходится по достаточному признаn →∞
ку расходимости.
Пример
∞
Исследовать сходимость ряда
∑n
n =1
23
(−1)n
2n − 1
.
Решение
Этот ряд знакочередующийся, поэтому начнем с признака Лейбница:
un =
1
> un +1 =
n 2n − 1
lim un = lim
n →∞
n →∞
1
(n + 1) 2n + 1
1
n 2n − 1
,
= 0.
Следовательно, наш ряд сходится. Далее решим вопрос, как он
сходится – абсолютно или условно. Составим ряд из абсолютных
величин
∞
∑n
n =1
∞
∑n
1
2n − 1
.
1
. Он сходится, так как степень n
n
равна 1,5 (т.е. больше 1). Сравним ряды: ряд из модулей и выбран1
1
ный эталонный ряд. Тогда un =
и vn =
.
n 2n − 1
n n
Возьмем эталонный ряд
n =1
Найдем lim
n →∞
un
1
n n
= lim
=
≠ 0.
n
→∞
vn
2
n 2n − 1
Значит, наш ряд из модулей сходится. Но тогда исходный ряд сходится абсолютно.
Замечание
В некоторых задачах проверка одного из условий сходимости ряда
по признаку Лейбница может представлять существенные сложности. Тогда следует попробовать сразу исследовать ряд из абсолютных величин на сходимость с помощью изученных ранее признаков
сходимости знакоположительных рядов. Если окажется, что полученный ряд сходится, то исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
24
Пример 1
∞
Исследовать на сходимость ряд
∑(−1)
n =1
n
2n +1
.
(n + 1)!
Решение
2n +1
являn →∞
n!
ется довольно сложной задачей, так как применение правила Лопиталя невозможно.
∞
2n +1
. ПрименяПереходим к исследованию ряда из модулей ∑
n =1 n !
ем признак Даламбера и находим отношение последующего члена
к предыдущему:
Ряд знакочередующийся, но вычисление предела lim
an +1
2n + 2 ⋅ n !
2
= lim
= lim
= 0.
n →∞ a
n →∞ (n + 1)!⋅ 2n
n →∞ n + 1
n
lim
Так как предел меньше 1, то ряд из модулей сходится и, следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.
Пример 2
∞
Найти сумму ряда
∑(−1)
n =1
n
1
с точностью до 0,0001.
(n + 1)(2n)!
Решение
1
. Члены этого ряда удовлетворяют
(n + 1)(2n)!
условиям признака Лейбница:
1 1
1
члены ряда убывают: <
<
< ....
4 72 2880
1
lim
= 0,
n →∞ (n + 1)(2n)!
У данного ряда un =
следовательно, данный ряд сходится. Для того чтобы определить количество членов ряда в его сумме с заданной точностью, найдем его
члены и будем вычислять до тех пор, пока не найдем член, по моду1
лю меньший, чем 0,0001 =
:
10000
1
1
1
1
1
1
u1 = >
, u2 =
>
, u3 =
>
,
4 10000
72 10000
2880 10000
25
u4 =
1
1
<
.
201600 10000
Таким образом, для достижения требуемой точности достаточно вычислить S3: S − S 3 < u4 < 0,0001, т. е. достаточно взять три первых члена ряда:
1 1
1
681
S ≈ S3 = − +
−
=−
≈ −0,236458 ≈ −0,2365.
4 72 2880
2880
Задачи для самостоятельного решения
Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.
∞
1. ∑ (−1)
n
n =1
∞
3. ∑ (−1)
n
n =1
∞
5. ∑ (−1)
n =1
n
(−1)n
.
4
n =1 (n + 1)ln (n + 1)
∞
100n
.
(n + 1)!
2. ∑
2n +1
.
3n +1 (2n + 1)
4. ∑ (−1)
2n
.
(n + 4)
6.
2
∞
n
n3 − 1
n=2
∞
∑(−1)
n =1
n
n
.
3n
.
n +2
Ответы
1. Сходится абсолютно.
3. Сходится абсолютно.
5. Сходится условно.
2. Сходится абсолютно.
4. Сходится условно.
6. Расходится.
2.1.4. Степенные ряды
Область сходимости степенного ряда
Определение
Функциональный ряд вида
∞
a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + ... + an ( x − x0 )n = ∑ an ( x − x0 )n ,
(*)
n =1
где a0, a1, …, an – постоянные коэффициенты, называется степенным рядом.
26
В частности, если х0 = 0, то степенной ряд (*) принимает вид
∞
∑a x
n =1
n
n
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... .
(**)
При исследовании сходимости функционального ряда определяют область сходимости данного ряда, то есть находят те значения x,
при которых ряд сходится. Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1
Частный случай степенного ряда (**) – геометрическая прогрессия 1 + x + x 2 + x 3 + ... Она сходится при | x | < 1 и расходится при
| x | ≥ 1. Здесь области сходимости – интервал (–1; 1), а сумма ряда
1
S (x) =
определена на этом интервале.
1− x
Пример 2
1
также является геометрической
xn
1
прогрессией. Если ее знаменатель q = по модулю меньше единицы
x
1
1
< 1, то прогрессия будет сходиться, а при
≥ 1 – расходиться, т. е.
x
x
область сходимости этого ряда – объединение двух интервалов: (–∞; 1)
и (1; +∞).
Ряд с общим членом an ( x ) =
Пример 3
∞
Ряд
∑n! x
2n
является знакоположительным при любом значе-
n =1
нии x. Область сходимости данного ряда содержит только точку х = 0,
так как при х ≠ 0 не выполняется необходимый признак сходимости ряда.
Надо отметить, что в точке х = 0 всякий степенной ряд (**) сходится. Сходимость степенного ряда в остальных точках определяется с помощью основной теоремы в теории степенных рядов.
27
Теорема Абеля
Если степенной ряд (*) сходится при x = x0, то он будет сходиться
для всех x таких, что | x | < | x0 |. Если степенной ряд (*) расходится при
x = x0, то он будет расходиться при любом x: | x | > | x0 |.
Определение
Симметричный относительно начала координат интервал (– R; R),
в каждой точке которого ряд сходится, называют интервалом сходимости степенного ряда, R – радиусом сходимости.
Теорема об интервале сходимости
Для любого степенного ряда вида (**) существует интервал (–R; R)
такой, что во всех точках этого интервала ряд сходится абсолютно,
а в точках, для которых | x | > R, ряд расходится.
Радиус сходимости степенного ряда можно найти с помощью признака Даламбера:
|an |
.
n →∞ | a
n +1 |
R = lim
(4)
Действительно, по признаку Даламбера ряд сходится, если
u
a x n +1
a
lim n +1 = lim n +1 n = x lim n +1 < 1. То есть ряд сходится при тех
→∞
n →∞ u
n →∞
n
an
an x
n
значениях х, для которых
x <
1
a
lim n +1
n →∞ a
n
= lim
n →∞
an
.
an +1
Радиус сходимости степенного ряда можно найти и с помощью
радикального признака Коши
R=
1
lim n an
.
(5)
n →∞
В точках x = R, x = –R ряд может как сходиться, так и расходиться. Поэтому, чтобы уточнить область сходимости степенного ряда,
28
следует дополнительно исследовать сходимость на концах интервала сходимости.
Примеры
∞
1. Для ряда
xn
∑n
n =1
2
найти интервал сходимости и исследовать схо-
димость на концах.
Решение
Пользуясь признаком Даламбера, находим
un +1
x n +1 n 2
n2
=
⋅ n = x⋅
.
2
un
(n + 1) x
(n + 1)2
2
Тогда lim un +1 = x ⋅ lim n
= x . Ряд абсолютно сходится при
n →∞ u
n →∞ (n + 1)2
n
условии |x| < 1.
∞
1
Подставим в исходный ряд х = 1 и получим ряд ∑ 2 , сходимость
n
n =1
которого была установлена ранее. Следовательно, точка х = 1 входит
в область сходимости.
∞
(−1)n
, абсолютная сходимость
∑
Подставим х = –1 и получим ряд
2
n =1 n
которого вытекает их сходимости знакоположительного ряда. Тогда
и точка х = –1 входит в область сходимости. Итак, область сходимости степенного ряда – отрезок –1 ≤ х ≤ 1.
∞
x 2n
2. Найти область сходимости ряда ∑
.
n =1 n !
Этот ряд является знакоположительным при любом значении x.
Найдем его область сходимости (модуль опускаем, так как ряд знакоположительный).
2 n +1
x ( )n !
x2
lim
= lim
= 0 < 1 при любом x. Это значит, что об2
n
n →∞ (n + 1)! x
n →∞ n + 1
ласть сходимости данного степенного ряда – вся числовая ось.
∞
n
2 1
n
3. Найти область сходимости ряда ∑ (−1) sin ( x − 2) .
n
n =1
29
Решение
Найдем радиус сходимости
1
n =
1
n +1
(−1) sin 2
n +1
1
2 1
sin
n = lim n 2 = 1.
= lim
n →∞
n →∞
1
1
sin 2
n +1
(n + 1)2
c
R = lim n = lim
n →∞ c
n →∞
n +1
(−1)n sin 2
Тогда |x – 2| < 1, или –1 < x – 2< 1, т. е. 1 < x < 3.
Выясним поведение ряда на концах интервала сходимости.
∞
∞
n
2 1
n
2 1
Если x = 1, то ряд принимает вид ∑ (−1) sin ( −1) = ∑ sin .
n
n
n =1
n =1
∞
1 1
1 1
1
< , sin 2 < 2 , а ряд ∑ 2 есть
n n
n n
n =1 n
сходящийся гармонический ряд, то по признаку сравнения данный
ряд сходится.
∞
1
На правом конце x = 3 степенной ряд принимает вид ∑ (−1)n sin 2 ,
n
n =1
т. е. является знакочередующимся рядом и по достаточному признаку сходимости знакопеременного ряда сходится, т. к. сходится ряд из
модулей. Итак, область сходимости исходного ряда 1 ≤ x ≤ 3.
∞
3n x 2n
4. Найти область сходимости ряда ∑
.
4
n
n =1 (2n + 1) ⋅ 5
Решение
∞
3n t n
. НайСделаем замену t = x 2, тогда ряд примет вид ∑
4
n
n =1 (2n + 1) ⋅ 5
дем интервал сходимости ряда
Так как при любом n ≥ 1: sin
lim
n →∞
un +1
3n +1
(2n + 1)4 5n
3
= t ⋅ lim
⋅
=t
< 1.
n
4
n
+
1
n →∞
un
3
5
(2n + 3) 5
30
5
5
<t <
. На концах интервала
3
3
∞
1
5
n
t =−
ряд принимает вид ∑ (–1)
и сходится по призна(2n + 1)4
3
n =1
∞
1
5
ку Лейбница. При t =
ряд равен ∑
4 и он сходится как
3
n =1 (2n + 1)
гармонический ряд. Итак, область сходимости равна
Тогда интервал сходимости −
−
5
5
≤t ≤
.
3
3
5
5
Возвращаясь к переменной х, получим −
≤ x2 ≤
, откуда
3
3
4
4
45
45
−
≤x ≤
.
3
3
Области сходимости произвольного степенного ряда
∞
Область сходимости степенного ряда вида
∑а (x − x
n =1
n
0
)n , пред-
ставляющего сумму степеней (x – x0), это интервал (x0 – R, x0+ R)
с центром в точке x = x0 и радиусом сходимости R, где радиус сходимости определяется по формулам (4) или (5).
Нахождение области сходимости ряда (*), как правило, проводят с помощью признака Даламбера; для исследования сходимости
на концах интервала используют другие признаки сходимости числовых рядов (признаки сравнения, интегральный признак, признак
Лейбница).
Использование признака Даламбера или радикального признака
Коши на концах интервала сходимости не дает информации о сходимости ряда, так как всегда получается единица.
Примеры
( x − 1)n ⋅ n
, исследовать схо∑
3
n
n = 2 3 (n − 2)
∞
1. Найти интервал сходимости ряда
димость на концах интервала.
31
Решение
Обозначим un =
( x − 1)n ⋅ n
3n ⋅ (n3 − 2)
, un +1 =
( x − 1)n +1 (n + 1)
3n +1 ((n + 1)3 − 2)
.
Рассмотрим
x −1
u
(n3 − 2) ⋅ (n + 1) x − 1
n4 x − 1
lim n +1 =
lim
=
lim 4 =
< 1, x − 1 < 3,
3
n →∞ u
3 n →∞ n ⋅ ((n + 1) − 2)
3 n →∞ n
3
n
–3 < x – 1 < 3, тогда –2 < x < 4.
Исследуем сходимость на концах найденного интервала: х = –2.
Подставим этот x в наш степенной ряд и получим следующий чисn
n
∞
∞
ловой ряд: ∑ (−3) n = ∑ ( −1) n .
3
3
n
n = 2 3 (n − 2)
n=2 n − 2
Этот ряд знакочередующийся, поэтому применим признак
n
Лейбница для исследования его сходимости un = 3
. Имеем
n −2
n
n +1
n
n
un = 3
> un +1 =
и lim un = lim 3
= lim 3 = 0.
n →∞
n →∞ n − 2
n →∞ n
n −2
(n + 1)3 − 2
Следовательно, наш ряд сходится.
∞
(−1)n n
Определим, как сходится ряд ∑ 3
. Рассмотрим ряд из абсоn=2 n − 2
∞
n
.
лютных величин ∑ 3
n=2 n − 2
∞
Эталонный ряд
1
∑n
n=2
2
сходится. Применим теорему 3 признака
un
n3
= lim 3
= 1 ≠ 0.
n →∞ v
n →∞ n − 2
n
сравнения: lim
Следовательно, ряд из модулей сходится. Тогда исходный ряд сходится абсолютно.
Пусть х = 4. При подстановке в степенной ряд получим знакополо∞
n
жительный ряд ∑ 3
, сходимость которого была доказана ранее.
n
−2
n=2
Ответ: область сходимости степенного ряда: [–2; 4].
( x + 1)n
и исследовать его
∑
n
n =1 n ⋅ 5
∞
2. Найти интервал сходимости ряда
сходимость на концах интервала.
32
Решение
Воспользуемся признаком Даламбера:
lim
n →∞
x +1
un +1
( x + 1)n +1 5n ⋅ n
= lim
=
< 1.
n n +1
n
→∞
un
5
( x + 1) 5 ⋅ (n + 1)
Следовательно, данный ряд сходится в промежутке |x + 1| <5, т. е.
–6 < x < 4. Исследуем сходимость на концах.
Подставим в исходный ряд х = –6, получим числовой ряд с об(−5)n ( −1)n
щим членом un =
=
; по признаку Лейбница ряд сходится
n
n ⋅ 5n
(условно). При х = 4 получаем гармонический ряд с общим членом
1
un = , а следовательно, расходящийся.
n
Итак, на левом конце интервала сходимости наш ряд сходится
условно, во всех внутренних точках интервала (–6,4) сходимость абсолютная, на правом конце ряд расходится. Таким образом, область
сходимости степенного ряда есть множество [–6,4).
n
⎛ 4n + 3 ⎞ n
∑
⎜
⎟ x .
n = 2 ⎝ 3n − 2 ⎠
∞
3. Найти радиус сходимости степенного ряда
Решение
R=
1
lim n an
=
n →∞
1
⎛ 4n + 3 ⎞
lim n ⎜
⎟
n →∞ ⎝ 3n − 2 ⎠
n
= = lim
n →∞
3n − 2 3
= .
4n + 3 4
∞
⎛ 2⎞
4. Найти радиус сходимости степенного ряда ∑ ⎜1 + ⎟
n⎠
n=2 ⎝
Решение
R=
1
lim n an
n →∞
=
n
1
⎛ 2⎞
lim n ⎜1 + ⎟
n →∞ ⎝
n⎠
33
n2
⎛ 2⎞
= = lim ⎜1 + ⎟ = e 2 .
n →∞
⎝ n⎠
− n2
xn.
Задачи для самостоятельного решения
Найти области сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах.
∞
( x + 3)n n
n =1
3n +1 4n + 2
1. ∑
∞
( x + 6)n
n =1
9n 5n 2 + 7
. 2. ∑
( x − 6)n (n + 2)
.
3
n
n =1 6 (5n + 3n − 1)
∞
. 3. ∑
∞
( x − 7)n
(n − 1)( x + 6)n 5.
.
.
∑
n
n =1 7
n 2 − 2n + 7
9n 2 + 6n − 1
n=2
∞
4. ∑
Ответы
1. –6 ≤ х < 6; 2. –15 ≤ х < 3; 3. –0 ≤ х < 12;
4. –7 ≤ х < –5; 5. –0 ≤ х < 14.
Свойства степенного ряда
Далее сформулируем ряд свойств степенного ряда. Обозначим через S(x) сумму степенного ряда:
S(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn… .
(***)
Пусть радиус сходимости этого ряда известен и равен R.
Свойство 1
Сумма S(x) степенного ряда (***) непрерывна в каждой точке области сходимости, в частности для всех x из интервала (–R; R).
Свойство 2
Ряд a1 + 2a2x + 3a3x2 + …+ nanxn–1 +…, полученный из ряда (***)
почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости
R и сумму, равную производной функции S(x), то есть
∞
∑ na x
n =1
n
n −1
= S ′( x ) при x ∈ (−R;R ).
34
Свойство 3
Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке
[x1, x2], принадлежащем области сходимости исходного ряда, то есть
при условии выполнения неравенства – R < x1 < x2 < R.
В частности, при 0 < x < R выполняется равенство
x
∫ S (t )dt = a0 x + a1
0
x2
x n +1
+ ... + an
+ ....
2
n +1
Примеры
1. Найти сумму ряда −2 x + 4 x 3 − 6 x 5 + 8 x 7 − ...( −1)n (2n) x 2n −1 при
x ∈ (−1;1).
Решение
Почленно проинтегрируем данный ряд на отрезке [0; х]:
x
∫ (−2t + 4t
3
− 6t 5 + 8t 7 − ...( −1)2n −1 (2n)t 2n −1 )dt =
0
= − x 2 + x 4 − x 6 + x 8 − ... + ( −1)2n −1 x 2n .
b
Это геометрический ряд, сумма которого равна S ( x ) = 1 , где
1−q
−x 2
b1 = − x 2 , q = − x 2 . Тогда S ( x ) =
.
Возвращаясь
к
исходному
1+ x2
ряду, находим его сумму дифференцированием S(x). Итак, сумма
′
⎛ −x 2 ⎞
2x
=−
.
исходного ряда равна S ′( x ) = ⎜
2 ⎟
(1 + x 2 )2
⎝1+ x ⎠
2. Найти сумму ряда x +
x2 x3
+
+ ... при x ∈ (−1;1) .
2
3
Решение
Почленно продифференцируем ряд в интервале сходимости
⎛
⎞
x2 x3
+
+ ... ⎟ ′ = 1 + x + x 2 + ....
⎜x +
2
3
⎝
⎠
35
Найдем сумму данного геометрического ряда
1
b
. Сумму исходноS ′( x ) = 1 , где b1 = 1, q = x. Тогда S ′( x ) =
1−q
1− x
го ряда находим интегрированием на отрезке [0; x]:
1
dt = − ln 1 − x
1− x
0
x
S (x) = ∫
x
0
= − ln 1 − x .
2.1.5. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
Если функция y = f(x) имеет производные любого порядка в точке x0 и в ее окрестности, то для этой функции можно составить ряд
Тейлора:
f ( x ) → f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) +
f ′′( x0 )
( x − x0 )2 + ....
2!
Если x0 = 0, то получаем ряд Маклорена
f ( x ) → f (0) + f ′(0) x +
f ′′(0) 2
x + ....
2!
Будем использовать ряды Тейлора для приближенных вычислений значений функций, определенных интегралов, а также при решении дифференциальных уравнений. Для этого запишем ряды Маклорена для некоторых известных функций и интервалы сходимости
этих рядов [1]:
sin x = x −
x3 x5
x 2n −1
+
− ... + ( −1)n −1 ⋅
+ ... , (–∞; +∞),
3! 5!
(2n − 1)!
cos x = 1 −
x2 x4
x 2n
+
− ... + ( −1)n ⋅
+ ... , (–∞; +∞),
2! 4!
(2n)!
ex =1+ x +
(1 + x )m =1 + mx +
x2
xn
+ ... +
+ ... , (–∞; +∞),
2!
n!
m(m − 1) 2
m(m − 1)...(m − (n − 1)) n
x + ... +
x + ..., (–1;1),
2!
n!
36
arctg x = x −
x3 x5
x 2n −1
+
− ... + ( −1)n −1 ⋅
+ ..., [−1;1],
3
5
2n − 1
1 x3
1 ⋅ 3 ⋅ ...(2n − 1) x 2n +1
arcsinx = x + ⋅ + ... +
⋅
+ ..., [–1;1],
2 3
2 ⋅ 4 ⋅ ...(2n) 2n + 1
ln(1 + x ) = x −
x2 x3
xn
+
− ... + ( −1)n −1 ⋅
+ ..., [–1;1].
2
3
n
2.1.6. Приближенные вычисления с помощью рядов.
Вычисление значений функций
Рассмотрим на примере, как можно вычислить значение функции с использованием ее разложения в ряд Тейлора.
Примеры
1. Вычислить sin 5° с точностью до Δ = 10–6.
Решение
Прежде всего, надо перевести 5° в радианы:
2π
π
⋅5 = .
360
36
Затем запишем разложение sin x в ряд Маклорена и вычислим знаπ
:
чение ряда в точке x =
36
5
sin
π
π 1 ( π)3 1 ⎛ π ⎞
=
− ⋅
+ ⋅
− ...
36 36 3! (36)3 5! ⎜⎝ 36 ⎟⎠
Ряд сходящийся, знакочередующийся, члены ряда по абсолютной величине монотонно убывают, поэтому остаточный член ряда
не превышает первого из отброшенных членов ряда (согласно теореме Лейбница).
Оценим третий член ряда:
5
1 ⎛ π ⎞
1
1
5
⋅ ⎜ ⎟ < ⋅ (0,1)5 =
⋅10 −5 = ⋅10 −7 < Δ.
5! ⎝ 36 ⎠ 5!
120
6
37
Следовательно, для вычисления sin 5° с указанной точностью достаточно оставить два члена ряда
3
sin
π
π 1⎛ π ⎞
≈
−
= 0,0871558.
36 36 3! ⎜⎝ 36 ⎟⎠
Нам нужно оставить в каждом члене ряда семь знаков после запятой, чтобы не ухудшить точность вычисления.
2. Найти разложение в ряд Маклорена функции
y = x + 1, ( x0 = 0).
Решение
1
Используем разложение в ряд функции (1 + х)m, где m = . По2
этому
1
1
1+ x =1+ x − 2 x2 +
2
2 2!
1⋅3 3 1⋅3 ⋅5 4
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ...(2n − 3) n
+ 3
x − 4
x + ... + ( −1)n −1
x + ....
2 ⋅ 3!
2 ⋅ 4!
2n ⋅ n !
Здесь x – любое число из отрезка (–1: 1).
3. Разложить в ряд по степеням (х – 1) функцию y = e3x.
Решение
Представим данную функцию в виде
y = e3x = e3 ⋅ e
3(x −1)
.
Используем разложение функций в ряд Маклорена
y =e
3(x −1)
= 1 + 3( x − 1) +
32
33
3n ( x − 1)n
( x − 1)2 + ( x − 1)3 + ... +
+ ....
2!
3!
n!
3n ( x − 1)n
.
n!
n=0
∞
3x
3 3( x −1)
= e3 ∑
Откуда y = e = e e
4. Разложить в ряд по степеням х функцию y = ex ln(1 + x).
38
Решение
В интервале (–1: 1) существуют разложения в ряд Маклорена
функций y = ex и y = ln(1 + x). По правилу умножения рядов получим:
⎛ ⎛ x2 ⎞
⎞ ⎛ x3
⎛ x2 ⎞ x2 ⎞
y = e x ln(1 + x ) = 1 ⋅ x + ⎜⎜1 ⋅ ⎜ − ⎟ + x ⋅ x ⎟⎟ + ⎜⎜1 ⋅ + x ⎜ − ⎟ +
x ⎟⎟ + ... =
⎝ 2 ⎠ 2! ⎠
⎝ ⎝ 2 ⎠
⎠ ⎝ 3
=x+
x2 x3
+
+ ...
2
3
5. Разложить в ряд по степеням х функцию y = arcsin x.
Решение
Заметим,
что производная данной функции равна
1
y ′ = (arcsin x )′ =
. Данная функция может быть разложена
1− x2
x 2 1 ⋅ 3x 4
1
в степенной ряд: y =
=1+
+
+ ....
2 22 ⋅ 2!
1− x2
x
Учитывая, что arcsin x = ∫
dx
, тогда искомый ряд найдем поч1− x2
ленным интегрированием данного ряда на отрезке [0; x].
Итак,
0
x
arcsin x = ∫
0
dx
1− x2
=x+
x
= ∫ dx +
0
1 2
1⋅3
x dx + 2
x 4 dx + ... =
2 ∫o
2 ⋅ 2! ∫0
x
x
1 3
1⋅3
x + 2
x 5 + ....
2 ⋅3
2 ⋅ 2!⋅ 5
Задачи для самостоятельного решения
Найти разложение в ряд Маклорена следующих функций, указать
области сходимости полученных рядов.
1. y = cos x 2 ( x0 = 0). 2. y = arctg2 x ( x0 = 0).
2
3x
3. y = e ( x0 = 0). 4. y = sin x ( x0 = 0).
39
Ответы
1. y = 1 −
x4 x8
x 4n
+
− ... + ( −1)n
+ ..., область сходимости (–∞;
2! 4!
(2n)!
+∞).
8 x 3 32 x 5
(2 x )2n −1
+
− ... + ( −1)n −1
+ ..., область сходимо3
5
2n − 1
сти [–0,5; 0,5].
9x 2
(3 x )n
+ ... +
+ ..., область сходимости (–∞; +∞).
3. y = 1 + 3 x +
2!
n!
2. y = 2 x −
2
4
2n
4. y = 2 x − 8 x + ... + ( −1)n +1 (2 x ) + ..., область сходимости (–∞;
2!
4!
2(2n)!
+∞).
Вычисление интегралов с помощью рядов
b
Решим задачу вычисления интеграла
∫ f ( x )dx.
Если подын-
a
тегральную функцию f(x) можно разложить в степенной ряд
f ( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2 + ... + cn x n + ..., сходящийся в некотором промежутке (–R; R), и если отрезок [a; b]принадлежит этому промежутку,
b
x2 b
b
то имеет место равенство ∫ f ( x )dx = c0 x a + c1
+ ... .
2 a
a
Поэтому для вычисления заданного интеграла с заданной степенью точности достаточно с нужной точностью найти сумму числового ряда, стоящего в правой части последнего равенства. Рассмотрим
на конкретном примере применение рядов Тейлора при вычислении интегралов.
Примеры
1
1. Вычислить
∫e
−x2
dx, оставив три члена ряда в разложении ex,
0
оценить погрешность вычислений.
Решение
Используем разложение в ряд функции ex и заменим x на (–x2). Запишем ряд Тейлора для нашей подынтегральной функции:
40
2
e−x = 1 − x 2 +
x4 x6
−
+ ...,
2! 3!
1
⎛
⎞
x3 x5
x7
1 1
1
−x2
e
dx
=
x
−
+
−
+ ... ⎟ = 1 − + −
+ ... .
⎜
∫0
3
2!
⋅
5
3!
⋅
7
3
10
42
⎝
⎠0
1
Если мы оставим три члена ряда, то, поскольку ряд знакочередующийся, погрешность вычисления оценивается модулем четвертого члена ряда, т. е.
Δ<
1
= 0,024 < 0,003.
42
Тогда, оставив три слагаемых, мы получим
1
∫e
−x2
dx ≅ 1 − 0,333 + 0,1 = 0,767.
0
1
–4
2. Вычислить с точностью до 10 интеграл
sin x
dx .
x
0
∫
Решение
Используя разложение в ряд sin x, находим:
sin x
x2 x4 x6
=1−
+
−
+ ... . Поэтому
x
3! 5! 7!
1
⎡
⎤
sin x
x3
x5
x7
1
1
1
∫0 x dx = ⎢⎣ x − 3!⋅ 3 + 5 ⋅ 5! − 7 ⋅ 7! + ...⎥⎦ =1 − 3 ⋅ 3! + 5 ⋅ 5! − 7 ⋅ 7! + ... .
0
1
Ищем слагаемое, меньшее заданной точности. Им будет
1
= 0,00003 < 10 −4. Тогда интеграл приближенно (с заданной точ7 ⋅ 7!
ностью) равен сумме трех первых слагаемых:
1
sin x
1
1
dx ≈ 1 − +
≈ 0,9461.
x
18 600
0
∫
41
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить данные интегралы с помощью рядов с точностью
0,001.
0,5
1. ∫
0
dx
1 + x3
0,4
. 2. ∫
0
ln(1 + x 2 )
dx .
x
1
0,2
0
0
3. ∫ x 4 cos xdx . 4. ∫ e − x dx .
2
Ответы
1. 0,492 (взято два члена ряда); 2. 0,077 (два члена ряда);
3. 0,134 (три члена ряда); 4. 0,197 (два члена ряда).
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Часто в задачах прикладного характера встречаются дифференциальные уравнения, решения которых не являются элементарными
функциями или не к ним нельзя применить известные методы решения. Тогда решения находят в виде разложения функции в степенной ряд. Существуют два подхода при нахождении этого ряда. Рассмотрим их на примерах.
Метод последовательного дифференцирования
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения y′ = f(x, y), удовлетворяющее начальным условиям
y(x0) = y0. Обозначим через y(x) это решение. Представим искомое
решение в виде ряда Тейлора по степеням разности x – x0:
y( x ) = y( x0 ) +
y ′( x0 )
y ′′( x0 )
( x − x0 ) +
( x − x0 )2 + ... .
1!
2!
Начальные условия определяют первый из коэффициентов ряда
y(x0) = y0. Подставив в правую часть уравнения x = x0, найдем y′(x0) =
= f(x0, y0). Для отыскания y″(x0) дифференцируем заданное уравнение
по аргументу x и вновь подставляем в полученное равенство x = x0.
42
Продолжаем этот процесс и найдем остальные коэффициенты разложения функции в ряд.
Примеры
Найдем решение уравнения y′ = 3xy – e2x, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, взяв четыре члена разложения, отличные от нуля.
Решение
Найдем решение в виде степенного ряда
y = y (0) + y ′(0) x +
y ′′(0) 2 y ′′′(0) 3
x +
x + ...,
2!
3!
y (0) = 1, y ′(0) = 3 ⋅ 0 ⋅1 − e 0 = −1.
Будем дифференцировать заданное уравнение по переменной x:
y ′′ = 3 y + 3 x ⋅ y ′ − 2e 2 x , y ′′(0) = 3 − 2 = 1,
y ′′′ = 3 y ′ + 3 y ′ + 3 xy ′′ − 4e 2 x , y ′′′(0) = −6 − 4 = −10.
Подставим найденные значения в ряд. Тогда функция будет иметь
вид
y( x ) ≅ 1 − x +
x 2 10 x 3
x 2 5x 3
−
≅1− x +
−
.
2!
3!
2
3
2. Найти приближенное решение дифференциального уравнения
y″ = y2 + x, удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1, y′(0) = 0,
взяв первые три члена разложения в степенной ряд.
Решение
Найдем решение в виде степенного ряда
y = y (0) + y ′(0) x +
y ′′(0) 2 y ′′′(0) 3
x +
x + ...;
2!
3!
нам заданы y(0), y′(0), найдем y″(0) = 1.
43
Выполним дифференцирование исходного уравнения и найдем
значение производных yIII(0), yIV(0):
y III = 2 yy ′ + 1, y III (0) = 2 ⋅1 ⋅ 0 + 1 = 1;
y IV = 2 yy ′′ + 2 y ′y ′, y IV (0) = 2 ⋅1 ⋅1 + 2 ⋅ 0 ⋅ 0 = 2.
Наш ряд примет вид
y( x ) = 1 +
x 2 x 3 2x 4
x2 x3 x4
+
+
+ ... = 1 +
+
+
+ ... .
2! 3!
4!
2
6 12
Метод неопределенных коэффициентов
В данном методе решение дифференциального уравнения y′ = f(x, y) или y″ = f(x, y, y′) представляют степенным рядом
y ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + ..., где a0, a1, a2… – неопределенные коэффициенты. Свойства степенного ряда позволяют дифференцировать его:
y ′( x ) = a1 + 2a2 ( x − x0 ) + 3a3 ( x − x0 )2 + ...,
y ′′( x ) = 2a2 + 6a3 ( x − x0 ) + ....
Подставим полученные ряды в дифференциальное уравнение вместо y и производных и приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях разности (x – x0) в его левой и правой частях. Получим систему алгебраических уравнений с неизвестными a0, a1, a2… .
Пример
Найти приближенное решение дифференциального уравнения
y″ = y + x, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y′(0) = 0,
взяв первые четыре ненулевые члена разложения решения в степенной ряд.
Решение
Будем искать решение уравнения в виде
y ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + .... .
44
Положив x0 = 0, найдем a0 = y(0) = 1. Для y′(x) и y″(x) получаем
разложения
y ′( x ) = a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + ...,
y ′′( x ) = 2a2 + 6a3 x + ... .
Положив в первом из них x0 = 0, найдем a1 = y′(0) = 0.
Подставив полученные ряды вместо y и y″ в дифференциальное
уравнение, получим:
2a2 + 6a3 x + 12a4 x 2 + ... = x + a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + a4 x 4 + ...,
1
1
откуда 2a2 = a0 или a2 = , 6a3 = 1 + a1 , a3 = , 12a4 = a2 , откуда
6
2
1
a4 = .
24
Найденные значения коэффициентов подставляем в ряд
1
1
1 4
y( x ) = 1 + x 2 + x 3 +
x + ... .
2
6
24
Задачи для самостоятельного решения
Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
x2
1. y ′ = y + , y(0) = 1 (три члена ряда).
y
2. y ′ = x 2 y 2 − 1, y(0) = 1 (три ненулевых члена ряда).
3. y ′′ = ye x , y(0) =1, y′(0) = 0 (четыре ненулевых члена ряда).
4. y ′′ = 1 + y + xy ′, y(0) =1, y′(0) = 1 (четыре члена ряда).
Ответы
1. y = 1 + x +
3. y = 1 +
x3
x2
+ ... .
+ ... . 2. y = 1 − x +
3
2
x3
x 2 x 3 2x 4
2
+ ... .
+
+
+ ... , 4. y = 1 + x + x +
2
2! 3!
4!
45
3. Задания для типового расчета
Задача 1
Исследовать сходимость числового ряда с помощью признака
сравнения.
1.
∞
n+5
n =1
n n +6
∑
2
∞
3.
∑n
n=2
3
∞
∑
n =1
∞
2n + 9
n =1
(4n + 1) n3 + 16
∑
∑ 3n
n =1
3n + 5
9
n + 2(n + 3)
6.
∞
.
8.
∑
n =1
n3 + 2n + 1
.
2
n =1 n + 10
∞
∑n
n =1
∑
n =1
∞
15.
n =1
∞
17.
5n − 3
.
2
+ 2n + 10
3n + 1
.
4
+ 2n + 7
3n − 2
n =1
∞
19.
∑
n =1
n + 2(3n + 7)
10.
n3 + 4n + 2
.
∑
n 2 + 17
n =1
12.
∑n
n =1
2
∑ (n + 3)
5
2
∞
(n + 1) 2n + 7
∑n
.
.
∞
3n − 2
∞
13.
4n + 7
n =1
∑
11.
n+8
∑ (n + 5)
∞
9.
3
∞
.
.
3n − 2
.
+ 27n + 10
∞
4.
n+4
∑ (n − 2)
n =3
7.
2.
2n − 3
.
+ 3n + 7
∞
5.
.
4n − 3
8
n 2 + 5(n + 2)
.
14.
6n + 9
.
− 3n + 15
∞
5n + 9
n =1
(n + 4) 3n 2 + 8
∑
∞
16.
2
∑ 3n
n =1
7n − 6
.
− n2 + 9
4
5n − 3
∞
.
18.
∑ (n + 7)
.
20.
∑
n =1
∞
46
n =1
7n − 5
.
10
n + 4(n + 4)
3
.
.
n2 + 1
.
n + 12
∞
21.
∑
n =1
∞
23.
∑ 4n
n =1
∑
n =3
2n + 3
.
−n+6
(n − 2) n + 9
n =1
.
4n 2
.
3
− 2n + 3
n −3
.
− 2n + 5
∞
4n − 5
n=2
(n + 6) 9n 2 + 1
26.
∑
28.
∑n
n =1
3
.
n +4
.
− 2n + 9
10n − 4
.
2
3
n
+ 3n − 8
n=2
∞
∑ 4n
n =1
2
∞
11n + 3
.
2
+ 4n + 7
∞
29.
∑n
n =1
2
∑n
n3 + 3
.
4n + 9
∞
24.
5n + 2
∞
27.
∑
n =1
2
∞
25.
∞
22.
30. ∑
Задача 2
Исследовать сходимость числового ряда с помощью предельного признака сравнения.
∞
1.
∑
n =1
n+5
n +6
2
∞
3.
∑n
n=2
n =3
7.
∞
∑
n =1
n =1
2
3n + 5
n =1
.
1
.
+ 10
∑ arcsin n
∑ 3n
6.
∑ (n + 5)
8.
∑
n =1
3
n+8
n =1
2
1
.
+ 2n + 10
n =1
∑ tg n
∞
47
∑n
n =1
.
n 2 + 2(5n + 7)
n =1
12.
4n + 7
5n
∞
10.
.
2
.
+ 27n + 10
4.
∞
∞
11.
n3 + 16
∞
.
n + 2 ⋅ (9n − 1)
∑ sin n
2n + 9
∞
9n
∞
9.
n =1
3
.
+ 3n + 7
∑ (n − 2)
∑
2.
n+4
∞
5.
3
∞
.
2
2
2
.
+ 17
2
.
− 3n + 15
.
3n − 2
.
∑
n
n =1 (n + 1)(3 + 2)
∞
∑n
15.
n =1
∞
∑2
17.
n =1
2n
4n − 3
n
∞
n +5
2
n =1
∞
∑n
21.
n =1
n =1
n =1
.
n2 + 1
.
+ 12
n =3
(n − 2) n + 9
∞
∑ tg 4n
n =1
∑
22.
∑ 4n
10
n3 + 4
n =1
4
∑n
n =1
.
11n
.
2
+ 4n + 7
.
.
n3 + 3
.
4
+9
∞
4n
.
∑
3
n
n =1 (n + 3)(4 + 2)
29.
20.
24.
6
.
− n2 + 9
7n − 5
n
n =1
∞
27.
∑5
n =1
.
5n
18.
∞
4
5n + 2
∞
∑
25.
4
∞
.
2n 2 + 3
.
2
−n+6
∞
∑ 3n
16.
∑ 4n
23.
3n 2 + 8
n =1
∞
8
∑
19.
∑
14.
∞
1
.
+ 2n + 7
4
5n + 9
∞
∞
13.
2
n2 − 3
.
− 2n + 5
∞
4n − 5
n=2
(n + 6) 9n 4 + 1
26.
∑
28.
∑ sin n
∞
n =1
∞
3
30. ∑ arcsin
n=2
.
4
.
− 2n + 9
10n
.
3n + 3n − 8
2
Задача 3
Исследовать сходимость числового ряда с помощью признака Даламбера.
(2n + 1)(n 2 + 3)
.
(n + 1)!
n =1
∞
1. ∑
∞
2n
.
n =1 (2n)!
2. ∑
72 n
.
n =1 (2n − 1)!
∞
8. ∑
∞
9n
.
n
n =1 (n + 2)!4
9. ∑
48
∞
(n + 9)
n =1
5
3. ∑
n
.
(3n + 2)!
.
2
n =1 (n + 1)
∞
10. ∑
(n + 3)!
.
6n
n =1
∞
(n + 1)(n + 2)
.
3n
n =1
11. ∑
n +1
.
n
n =1 8
12. ∑ sin
∞
4. ∑
∞
5. ∑
∞
10n
.
n =1 (n + 2)!
6. ∑
∞
2n
.
n =1 (n + 3)
7. ∑
∞
∞
n =1
∞
7n
.
n =1 (n + 7)!
13. ∑
∞
5n
.
n =1 (n + 2)!
14. ∑
23. ∑ sin
(2n − 1)(n + 1)
.
6n
n =1
24. ∑
2n − 1
.
n
n =1 (n + 1)3
25. ∑
n2 + 5
.
2n
n =1
26. ∑
n +1
.
n
n =1 2
27. ∑
(2n + 3)!
.
3n
n =1
28.
∞
16. ∑
∞
17. ∑
∞
18. ∑
∞
19. ∑
n =1
∞
∞
4n
.
n =1 (n + 3)!
(n + 2)!
.
8n
n =1
∞
∞
5n
.
n =1 (2n − 1)!
2n (n + 1)2
.
7n +1
n =1
∞
∑
∞
29. ∑
(n3 + 2)
.
n =1 (n + 3)!
30. ∑
∞
22. ∑
.
(n + 1)!
.
n
n =1 100
10n
.
n =1 (n + 2)!
21. ∑
2
n +1
∞
∞
20. ∑
π
∞
4n
.
n =1 (2n − 1)!
15. ∑
π
.
3n
9n
.
n =1 (2n + 3)!
(n + 4)!
.
3n
n =1
∞
49
Задача 4
Исследовать сходимость числового ряда с помощью интегрального признака Коши.
ln(n + 3)
.
n =1 (n + 3)
∞
∞
1
.
n =1 (n + 2)ln(n + 2)
2. ∑
1. ∑
∞
3. ∑
n =1
1
(n + 2) n + 2
∞
2n
.
n =1 (n + 14)
4. ∑
.
2
1
∞
∞
en
5. ∑ 2 .
n =1 n
n
.
n
e
n =1
6. ∑
∞
ln 3 (n + 2)
.
n =1 (n + 2)
2n
.
2
n =1 n + 1
8. ∑
ln 2 n
.
n
n=2
10. ∑
∞
7. ∑
∞
8n
.
2
(4
n
+ 3)3
n =1
∞
9. ∑
∞
11. ∑ (n + 4)e
− (n + 4 )
2
∞
12. ∑ (n + 1)2 e −( n +1) .
.
n =1
n =1
∞
∞
1
.
(3
n
+ 2)2
n =1
14. ∑ 5
13. ∑
∞
1
n =1
(n + 4) ln(n + 4)
15. ∑
∞
2n
.
− 3)2
(
n
n=2
n =1
∞
23. ∑
n =1
2
1
3n + 6
16. ∑
n =1
n =1
∞
21. ∑ 3
∞ 3
.
18. ∑
3
n =1
19. ∑
n =1
∞
17. ∑ n 2e − n .
∞
3
1
6n − 1
ln(n + 5)
.
(n + 5)
n +3
e
n+3
ln(n + 2)
.
n+2
.
∞
1
.
2
(2
n
−
3)ln
(2n − 3)
n =3
20. ∑
∞
.
.
1
22. ∑
3
n =1 (3n − 1) 3n − 1
∞
24. ∑
n =1
50
e
2 n −1
2n − 1
.
.
∞
25. ∑
n =1
n +1
e
n +1
∞
1
n =1
(2n + 1) (2n + 1)3
26. ∑
.
ln 2 (n + 1)
.
n =1 (n + 1)
.
n+5
.
n +5
n =1 e
∞
∞
27. ∑
28. ∑
∞
2n
.
2
3
n =1 (3n − 1)
∞
1
.
4
n =1 (2n + 3)
30. ∑
29. ∑
Задача 5
Исследовать сходимость знакочередующегося ряда.
∞
1. ∑ (−1)n
n =1
∞
3. ∑ (−1)n
n=2
∞
5. ∑ (−1)n
2. ∑
2
.
(n + 1)2
4. ∑ (−1)n
2n
6. ∑ (−1)n
n
n =1
∞
7. ∑ (−1)
∞
9. ∑ (−1)n
n =1
n =1
∞
8. ∑ (−1)n
.
n =1
2n + 1
.
(n + 3)!
∞
n =1
∞
13. ∑ ( −1)n
n =1
∞
15. ∑ ( −1)n
n=2
17. ∑ ( −1)n
n =1
n =1
∞
n + n
11. ∑ (−1)n
∞
∞
.
5
n
n =1
(−1)n
.
4
n =1 (n + 2)
∞
80n
.
(n + 2)!
2
n
3n + 1
.
4n + 2
4n + 3
.
(n + 2)!
∞
10. ∑ (−1)n
n=2
2n − 1
.
(n + 1)!
n +1
2n
.
3 (2n + 1)
n
∞
12. ∑ (−1)n
n =1
∞
14. ∑ (−1)n
.
n +1
n4 − 1
n =1
.
2
.
2
(n + 4)
n
∞
16. ∑ (−1)n
n =1
∞
18. ∑ (−1)n
n =1
51
n 2 + 3n
.
n3 − 1
1
.
(n + 1)ln(n + 1)
1
.
(2n − 1)8n
3n
.
(n + 1)
2n + 1
.
(n + 3)!
∞
19. ∑ (−1)n
n =1
∞
21. ∑ (−1)n
n =1
∞
23. ∑ (−1)n
n =1
∞
25. ∑ (−1)n
n =1
∞
27. ∑ (−1)n
n =1
∞
29. ∑ (−1)n
n =1
2n
n +3
2
.
∞
20. ∑ (−1)n
n =1
1
.
(n + 1)3n
22. ∑ (−1)
n+3
.
3n + 2
24. ∑ (−1)n
∞
n
n =1
∞
n =1
2
∞
n
.
(n + 2)!
26. ∑ (−1)n
1
.
n(n + 11)
28. ∑ ( −1)n
n2 + 3
.
3n + 4
30. ∑ (−1)n
n =1
∞
n =1
∞
n =1
3n + 1
.
(n + 5)!
n+4
.
n3 + 1
4n
.
n(2n + 1)
3n
.
n2
1
.
(2n + 1) ⋅ 6n + 2
5n
(2n − 1)
.
Задача 6
Найти интервал сходимости степенного ряда, исследовать сходимость на концах.
n
( x − 1)n
.
2
n =1 2 (n − 3n + 10)
∞
1. ∑
n
2⎞
⎛
3n ⎜ x − ⎟
∞
3⎠
2. ∑ ⎝
.
n
n =1
∞
( x − 5)n
n =1
5n 4n 2 + 4n − 5
( x + 1)2n +1
.
4n n
n =1
4. ∑
( x + 2)n
.
n
n =1 4 (3n + 5)
6. ∑
2n +1 ( x − 4)n
.
3n 2 − 2
n =1
8. ∑
∞
3. ∑
( x + 5)n (n − 1)
.
4n
n =1
∞
∞
5. ∑
n+5
( x + 3)n +1 .
n =1 7n − 1
∞
∞
7. ∑
∞
( x − 3)n
n =1
5n n 2 + 4n + 8
9. ∑
.
.
(n − 2)( x − 3)n
.
6n − 4
n =1
∞
10. ∑
52
∞
( x + 6)n
n =1
9n 5n3 + 7
( x + 3)n n
11. ∑
.
3n +1
n =1
12. ∑
(n + 7)x n
.
n =1 3n − 2
14. ∑
(n − 1)( x + 6)n
.
n 2 − 2n + 7
n=2
16. ∑
( x − 5)n
.
3
n = 2 n + 2n − 3
18. ∑
∞
( x + 5)n
n =1
5n n3 + 4
20. ∑
∞
( x − 6)n
.
n
3
n =1 6 (5n + 3n − 1)
∞
∞
13. ∑
∞
15. ∑
∞
17. ∑
19. ∑
.
.
( x − 4)n
.
2
n
n =1 4 (n − 3n + 7)
∞
21. ∑
( x − 7)n n
.
7n
n =1
∞
( x + 7)n
.
4
n = 2 5 (n − 3n + 6)
∞
n
∞
( x − 8)n
n=2
8n n3 + 3n − 6
.
( x + 8)2n +1
.
2
n =1 9 (5n + 6n + 10)
∞
22. ∑
n
n
( x + 3)n
.
2
n
n =1 4 (2n − 3n + 9)
∞
23. ∑
3⎞
⎛
4n ⎜ x + ⎟
∞
4⎠
24. ∑ 2 ⎝
.
n =1 n + 6n + 10
∞
( x − 5)n
n=2
6n 3n 2 + 5n − 9
( x + 9)2n
.
n
n =1 4 (3n + 6)
26. ∑
( x − 7)n
.
2
n = 2 7 (n − 5n + 4)
28. ∑
( x − 4)n
.
4
n =1 6 (n + 3n − 1)
30. ∑
∞
25. ∑
∞
27. ∑
n
∞
29. ∑
n
.
( x − 4)n
.
2
n
n =1 8 (3n + 5n + 11)
∞
∞
( x + 4)n
n =1
6n 3n3 + 5n 2 − 1
.
Задача 7
Разложить в ряд по степеням, указанным в задании, следующие
функции:
1. y = ln(2 + x) по x.
3. y = sinx2 по x.
2. y = e
−
x
2
1
x
по x.
4. y = e по x.
53
5. y = e2x по (x – 3).
7. y = 1 – cos(x2)по x.
6. y = sin 3x по x.
8. y = arctg3x по x.
9. y = e3x по x.
11. y = sin x2 по x.
13. y = ln(1 + x2) по x.
10. y = x по (x –1).
12. y = ln(2x + 6) по x.
14. y = ex – e–x по x.
15. y = cos2x по x.
16. y = ln
17. y = xsin5x по x.
1+ x
по x.
1− x
18. y = 3 + e–x по x.
19. y = ln(x + 3) по x.
20. y =
21. y = ln(4 + x) по x.
23. y = e4x по (x –2).
4
22. y = x + 1 по x.
24. y = (2 – ex) по x.
25. y = lnx по (x –1).
26. y =
arctgx
по x.
x
sin5x
по x.
x
28. y = 1 – cos3x по x.
27. y = x2e–x по x.
29. y = x5 – 5x3 + x по (x –2).
30. y = x8 – 2x7 + 5x6 – x + 3 по (x –1).
Задача 8
Вычислить определенный интеграл с точностью до 10–4.
0,2
0,4
1. ∫ e − x dx .
2. ∫ cos x 2dx .
3
0
0
1
3
3. ∫ sin x 2dx .
0
0,1
5. ∫ x 2 ⋅ arctgxdx .
0
0,3
7. ∫
0
xdx
1+ x
3
.
0,3
4. ∫ 3 1 + x 3 dx .
0
0,2
6. ∫ (1 − e x )dx .
2
0
0,2
8. ∫
0
ln(1 + x 2 )
dx .
x
54
0,4
9. ∫ x 4 cos xdx .
0
0,2
11. ∫
0
ln(1 + x 3 )
dx .
x
0,3
10. ∫ xe − x dx .
0
0,5
12. ∫
0
0,2
13. ∫ 1 + x 2 dx .
15. ∫ x arctgx 2dx .
0
0,5
17. ∫
0
sin x
dx .
x
0,5
19. ∫ x 2 cos xdx .
0
0,3
21. ∫ x 2e x dx .
2
0
23. ∫ x cos x 2dx .
0
25. ∫
0
arctgx
dx .
x
0,2
27. ∫ x 2 cos xdx .
0
0,5
29. ∫
0
64 + x 3
.
∫
xe − x dx .
0
0,1
16. ∫
0
ln(1 + 3 x 2 )
dx .
x
0,3
18. ∫ cos(3 x 2 )dx .
0
0,5
20. ∫ e
1
− x2
6
dx .
0
0,5
22. ∫ cos x 3dx .
0
0,2
0,3
0,2
dx
3
0,25
14.
0
0,6
2
dx
3
1 + x3
⎛ x2
⎞
24. ∫ ln ⎜
+ 1 ⎟dx .
⎝ 3
⎠
0
1
26. ∫
0
dx
4
0,3
16 + x 4
28. ∫ e −2 x dx .
2
0
0,3
.
.
x
30. ∫ x 2 arctg dx .
2
0
55
Задача 9
Представить в виде степенного ряда решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям (для
уравнения первого порядка считать четыре члена ряда, для уравнения второго порядка – пять):
1. y = x2y – y',
y(0) = 1, y′(0) = 5.
2. y ′ = y 2 + x 3 ,
y(0) = 0,5.
3. y ′′ = ye + 1 ,
y(0) = 2, y′(0) = 1.
2
4. y ′ = y + x y,
y(0) = 1.
5. y ′ = x + xy ,
y(0) = 1.
6. y ′ = x y − 1,
y(0) = 1.
7. y ′ = ye
y(0) = 0.
x
2
2
2
2
−1 ,
2x
y
,
( x + 1)2
+ xy 2 ,
2
8. y ′ = 4 y +
y(0) = 1.
9. y ′ = e
10. y' = x + y2,
y(0) = 0.
y(0) = 1.
2
11. y ′ = xy + y ,
y(0) =1.
2
2
12. y ′ = y − x ,
y(0) = 1.
13. y ′ = ye
y(0) = 1.
2x
2x
+ 1,
14. y ′′ = x y,
2
y(0) = y' (0) = 1.
15. y ′′ = ye + x ,
y(0) = 1, y' (0) = 0.
16. y ′′ = − x y ′ − 2 xy + 1 ,
17. y ′′ = 1 − y − xy ′,
y(0)= y'(0) = 0.
18. y ′′ = −2 xy,
19. y ′′ = y cos x + x,
y(0) = y' (0) = 1.
x
2
2
y(0) = y' (0) = 0.
y(0) = 1, y′(0) = 0.
2
20. y ′ = 2cos x − xy ,
21. y ′′ = x − y − xy ′,
y(0) = y'(0) = 0.
22. y ′′ = x − y − xy ′,
y(0) = y'(0) = 1.
2
23. y ′ = y − x,
y(0) = 1.
24. y ′ = y + ye ,
2
4x
y(0) = 1.
y(0) = 0.
56
3
25. y ′ = 2 x y + cos x,
y(0) = 0.
26. y ′′ = xy ′ − y ,
y(0) = 1, y′(0) = 2.
27. y ′′ = y ′ + 3 x y,
y(0) = 4, y′(0) = –2.
2
3
28. y ′ = x y + y ,
y(0) = 1.
29. y ′′ = xy − y ′,
y(0) = 2, y′(0) = 1.
30. y ′ = x + 2 y ,
y(0) = 0.
2
2
2
2
57
4. Подготовка к тестированию
Важной компонентой учебного процесса в настоящее время является тестирование, проводимое на сайте i-exam. Задачи, входящие
в него, отвечают требованиям, изложенным на сайте. Приведем их.
Структура содержания интернет-тренажера по дисциплине «Математика» представляет тематическое наполнение отдельных ее разделов (дидактических единиц) и перечень учебных элементов. Выделенные разделы дисциплины (дидактические единицы), их тематическое
раскрытие зафиксированы в структуре и положены в основу тестовых заданий банка дисциплины, используемого для работы в рамках
системы «Интернет-тренажеры в сфере образования».
Содержание интернет-тренажера по дисциплине включает код
элемента содержания и название элемента содержания (темы задания). Первый разряд в записи кода элемента содержания указывает
на номер группы заданий, связанных с уровнем сложности заданий
изучаемой дисциплины (1 уровень – для начинающих, 2 – базовый,
3 – повышенный). Второй разряд в записи кода элемента содержания указывает на номер дидактической единицы (раздела) дисциплины, а третий разряд идентифицирует номер темы задания. Например,
код элемента содержания 2-01-02 указывает, что элемент содержания принадлежит базовому уровню, первой дидактической единице
(ДЕ) «Линейная алгебра» и второй теме в этой ДЕ, которая называется «Линейные операции над матрицами». Все коды элементов содержания и наименования элементов содержания распределяются
в предложенном порядке для каждой дидактической единицы.
Перечень учебных элементов отражает требования к знаниям
и умениям, которые студент должен приобрести в результате освоения дисциплины или отдельных ее разделов. Приведем этот перечень для раздела «Ряды».
Код элемента
1-10-01
Содержание интернет-тренажера
по дисциплине
Знать: определение общего члена числовой последовательности, определение и свойства бесконечно малых последовательностей
Числовые после- Уметь: вычислять пределы числовых последовадовательности
тельностей при n → ∞; находить члены числовой
последовательности с помощью формулы общего
члена; применять свойства бесконечно малых последовательностей для вычисления пределов
Тема
58
Код элемента
Тема
1-10-02
Сходимости числовых рядов
1-10-03
Область сходимости степенного ряда
1-10-04
Ряд Тейлора
(Маклорена)
2-10-01
Числовые последовательности
2-10-02
Сходимости числовых рядов
Содержание интернет-тренажера
по дисциплине
Знать: определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии; сходящиеся и расходящиеся гармонические ряды, признаки Коши
и Даламбера, необходимый признак сходимости
ряда, теорему Лейбница
Уметь: вычислять сумму бесконечно убывающей
геометрической прогрессии; применять основные признаки сходимости рядов с произвольными членами; устанавливать абсолютную и условную сходимость рядов
Знать: определение области сходимости степенного ряда; формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
Уметь: преобразовывать степенные ряды и вычислять их радиусы сходимости; находить область
сходимости степенного ряда
Знать: определение ряда Маклорена; структуру
ряда Маклорена и выражения для рядов часто используемых функций; определение коэффициентов ряда Тейлора
Уметь: получать разложение функции в ряд Маклорена; находить ряды Маклорена функций на
основе известных рядов; находить коэффициенты ряда Тейлора
Знать: определение общего члена числовой последовательности; свойства монотонных и ограниченных последовательностей; замечательные
пределы; критерий Коши сходимости последовательностей
Уметь: вычислять пределы числовых последовательностей при n → ∞; находить члены числовой
последовательности с помощью формулы общего члена; доказывать монотонность и ограниченность последовательностей; использовать замечательные пределы; применять критерий Коши для
исследования сходимости последовательностей
Знать: формулу для вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии; сходящиеся и расходящиеся гармонические ряды,
признаки Коши и Даламбера, необходимый признак сходимости ряда, теорему Лейбница
Уметь: вычислять сумму сходящегося числового
ряда; применять основные признаки сходимости
рядов с произвольными членами; устанавливать
абсолютную и условную сходимость рядов
59
Код элемента
Тема
2-10-03
Область сходимости числового ряда
2-10-04
Ряд Тейлора
(Маклорена)
3-10-01
Числовые последовательности
3-10-02
Сходимость
положительных
рядов
3-10-03
Сходимость рядов с произвольными членами
3-10-04
Функциональные последовательности и ряды
Содержание интернет-тренажера
по дисциплине
Знать: определение области сходимости степенного ряда; формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
Уметь: преобразовывать степенные ряды и вычислять их радиусы сходимости; исследовать сходимость ряда на границах интервала сходимости
Знать: формулу ряда Маклорена функции; определение коэффициентов ряда Маклорена; формулу ряда Тейлора и методы определения его области сходимости; способы разложения функций
в ряды Тейлора
Уметь: преобразовывать ряды и применять ряды
Маклорена и Тейлора основных функций; находить коэффициенты ряда Тейлора и ряда Маклорена
Знать: определение предела числовой последовательности; свойства эквивалентных бесконечно
малых последовательностей; определения частичных, нижнего и верхнего пределов последовательности
Уметь: находить пределы числовых последовательностей при n → ∞; находить предел последовательности, заданной рекуррентным соотношением; использовать эквивалентные бесконечно
малые последовательности и величины для вычисления пределов; находить нижний и верхний
пределы последовательности
Знать: признаки сравнения, Даламбера и Коши
сходимости рядов с положительными членами;
интегральный признак Коши
Уметь: исследовать ряды с положительными членами на сходимость (расходимость), применяя
признаки Даламбера, Коши и интегральный признак Коши
Знать: определение сходимости числовых рядов;
признаки сходимости рядов; теорему Лейбница;
определение абсолютной и условной сходимости ряда
Уметь: исследовать числовой ряд на сходимость; исследовать ряды с произвольными членами на сходимость (условную и абсолютную), применяя теорему Лейбница и различные признаки сходимости
Знать: принципы исследования сходимости и равномерной сходимости функциональных рядов
Уметь: применять признаки сходимости рядов
для исследования абсолютной, условной и равномерной сходимости функциональных рядов
60
Код элемента
Тема
3-10-05
Область сходимости степенного ряда
3-10-06
Ряд Тейлора
(Маклорена)
3-10-07
Ряд Тейлора и
Маклорена для
функций нескольких переменных
Содержание интернет-тренажера
по дисциплине
Знать: определение радиуса сходимости степенного ряда; формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
Уметь: вычислять радиус сходимости степенного
ряда и исследовать сходимость ряда на границах
интервала сходимости; находить верхний предел
последовательности
Знать: формулу ряда Маклорена для функции;
структуру ряда Маклорена и выражения для рядов часто используемых функций; формулу ряда
Тейлора и методы определения его области сходимости; способы разложения функций в ряды
Тейлора
Уметь: преобразовывать ряды и применять ряды
Маклорена и Тейлора основных функций; вычислять коэффициенты ряда Маклорена
Знать: формулы рядов Маклорена и Тейлора для
функции двух переменных
Уметь: находить коэффициенты в формулах Маклорена и Тейлора; строить ряды Маклорена и
Тейлора функций двух переменных разными методами; применять ряды Тейлора и Маклорена
для вычисления приближённых значений функции
Далее мы приводим примеры заданий, которые встречаются в тестах интернет-тренажеров и которые полезно прорешать при подготовке к экзамену и тестированию.
В каждом задании выбрать из представленных ответов правильный.
∞
1. Радиус сходимости степенного ряда
∑ a ( x + 3)
n =1
n
n
равен 5.
Тогда интервал сходимости этого ряда имеет вид
а) (–8; 2), б) (–2; 8), в) (–5; 5), г) [–8; 2].
2. Числовая последовательность задана рекуррентным соотношением an +1 = 2an − 3an −1 , a2 = −1, a1 = 1. Тогда а4 = ?
Варианты ответа: а) –8, б) –20, в) 4, г) –7.
∞
3. Даны числовые ряды а)
∑(−1)
n
1
3
n
n =1
рите из следующих утверждений верное:
1) ряд А сходится, ряд Б расходится;
61
∞
и б)
∑(−1)
n =1
n
3n
. Выбе4n + 1
2) ряд А расходится, ряд Б расходится;
3) ряд А сходится, ряд Б сходится;
4) ряд А расходится, ряд Б сходится;
∞
4. Сумма числового ряда
1
∑ (n + 3)(n + 4)
равна
n =1
1
1
1
1
.
а) , б)
, в) , г)
20
4
12
7
5. Ряд Маклорена для функции f ( x ) = cos
∞
а)
∑(−1)
n =1
n
x
имеет вид
2
x 2n
1 ∞
x 2n
, б) ∑ (−1)n
,
2 n =1
(2n)!
2 (2n)!
2n
2n
∞
в) 2 (−1)n x , г)
∑
(2n)!
n =1
∞
∑(−1)n +1
n =1
x 2n
.
22n (2n)!
6. Радиус сходимости степенного ряда
∞
3n
x n равен:
∑
n
n =1 (6n − 1)2
а)
2
2
2
, б) , в) 3 2 , г) .
3
9
3
2
2 2 6 1 10
7. Общий член числовой последовательности − , , − , , − ...
7 5 13 2 19
имеет вид
2n
2(n + 1)
n
, б) аn = ( −1)n +1
,
а) аn = ( −1)
3n + 4
3n + 4
в) аn =
2n
2n
, г) аn = ( −1)n +1
.
3n + 4
3n + 4
2n + 3n
равна
6n
n =1
∞
8. Сумма числового ряда
∑
3
7
а) , б)
, в) 5, г) 1.
2
12
62
5. Варианты контрольной работы по теме «Ряды»
Вариант 1
∞
1. Исследовать сходимость числового ряда
1
∑ n ln
n=2
2
n
.
(−1)n n
.
∑
2
n=2 n − 1
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
( x + 4)n
.
∑
2
n =1 n + 5
∞
3. Найти область сходимости степенного ряда
1
4. Вычислить интеграл
∫e
−
x2
2
dx с точностью до 0,01.
0
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд реx
шения дифференциального уравнения y ′ = 2 + x − ye , y (0) = 1.
Вариант 2
∞
1. Исследовать сходимость числового ряда
2n
∑ n! .
n =1
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
∑
n =1
(−1)n
n 2 + 2n
.
(−1)n ( x − 1)n
.
2n n
n =1
∞
3. Найти область сходимости степенного ряда
1 3
4. Вычислить интеграл
∫
0
∑
1 + x3
dx с точностью до 0,001.
8
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y ′ = e x + xy, y (0) = 2.
Вариант 3
∞
1. Исследовать сходимость числового ряда
∑n
n =1
63
1
.
+ 4n + 5
(−1)n n
.
2n
n =1
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
2
∑
( x − 3)n
.
∑
n =1 n(2n + 1)
∞
3. Найти область сходимости степенного ряда
1
2
4. Вычислить интеграл
∫ cos( x
2
)dx с точностью до 0,001.
0
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y ′ = x 2 y − e 2 x , y (0) = 1.
Вариант 4
∞
1. Исследовать сходимость числового ряда
∑
n =1
2. Выяснить характер сходимости ряда
n +1
.
3n
(−1)n n
.
∑
2
n =1 (n + 1)
∞
( x + 4)n
.
2
n =1 n + 5
∞
3. Найти область сходимости степенного ряда
∑
⎛ x2 ⎞
⎟ dx с точностью до 0,01.
2 ⎠
0
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
1
4. Вычислить интеграл
∫ arctg ⎜⎝
y ′′ = xy ′ + 2 y (sin x + 1), y (0) = 1, y ′(0) = 0.
Вариант 5
∞
1. Исследовать сходимость числового ряда
∑
n =1
n
n2 + 1
.
(−1)n +1 n
.
3n
n =1
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
∑
∞
3. Найти область сходимости степенного ряда
∑
n =1
64
2n + 1
.
⎛
x3 ⎞
ln
1
+
⎜
∫0 ⎝ 5 ⎟⎠ dx.
1
4. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл
( x + 8)n
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения y ′′ = y ′x − y, y (0) = 1, y ′(0) = 1.
Вариант 6
(n + 1)!
.
3n
n =1
∞
1. Исследовать сходимость числового ряда
∑
(−1)n +1 n
.
2
n =1 n + 1
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
∑
( x − 5)n
.
n
n =1 n ⋅ 5
∞
∑
3. Найти область сходимости степенного ряда
1
2 5
4. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл
∫
0
1+ x2
dx .
4
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной
ряд решения дифференциального уравнения у" = 5у' – ху + cosx2,
y (0) = − 1, y ′(0) = 1.
Вариант 7
∞
1. Исследовать сходимость числового ряда
n
∑ n + 1.
n =1
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
∑2
n =1
(−1)n
n +1
n
.
n( x + 3)n
.
2n − 1
n =1
∞
3. Найти область сходимости степенного ряда
∑
0,5
4. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл
∫
ln(1 + 5 x 3 )dx .
0
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
y ′′ = e 2 x − 7 y + x 2 y ′,
y (0) = 2,
65
y ′(0) = −1.
Вариант 8
n2
∞
1. Исследовать сходимость числового ряда
∑ n! .
n =1
(−1)n −1 n
.
+ 1)2
n =1
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
∑ (n
n( x + 6)n
.
2n
n =1
∞
3. Найти область сходимости степенного ряда
∑
0,5
4. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл
∫
2
x 2e − x dx .
0
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
y ′′ = 3 y ′ − x 2 y + cos x 2 , y (0) = − 1, y ′(0) = 1.
Вариант 9
∞
1. Исследовать сходимость ряда
∑n
n =1
2
n
.
+1
(−1)n n
.
∑
n =1 (n + 1)!
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
( x + 4)n
.
n2
n =1
∞
3. Найти область сходимости степенного ряда
0,3
4. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл
∫
0
∑
1+ x2
dx .
4
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
y ′′ = (3 x + 2) y ′ − y + xy,
y (0) = 1, y ′(0) = 2.
Вариант 10
∞
1. Исследовать сходимость ряда
∑
n =1
66
n +1
.
n2
(−1)n n
.
∑
n
n =1 2 + 1
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
( x + 1)n
.
n
n =1 n ⋅ 3
∞
3. Найти область сходимости степенного ряда
∑
1
4. Вычислить с точностью до 0,01 интеграл
∫ x sin( x
3
)dx .
0
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения
y ′′ = 3 x ( y + 1) − x 2 + y ′,
y (0) = 4, y ′(0) = 1.
Вариант 11
2n 2 + 2
.
2
n =1 n − 1
∞
1. Исследовать сходимость ряда
∑
(−1)n −1
.
2
−n
n=2
∞
2. Выяснить характер сходимости ряда
∑n
( x + 1)n
3. Найти область сходимости степенного ряда ∑ n ⋅10n .
n =1
∞
0,5
4. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл
∫
x 1 + x 2 dx .
0
5. Написать первые четыре члена разложения в степенной ряд ре2
шения дифференциального уравнения y ′ = x y + 2, y (0) = 2.
67
6. Примерные вопросы к экзамену
1. Понятие ряда, числовые и функциональные ряды.
2. Понятие суммы ряда, сходимости, необходимый признак сходимости ряда.
3. Знакоположительные ряды. Определение сходимости рядов
с помощью признаков сравнения.
4. Интегральный признак сходимости. Сходимость стандартных
рядов.
5. Признак Даламбера. Примеры.
6. Радикальный признак Коши. Примеры.
7. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная
и условная сходимость.
8. Степенные ряды. Теорема об области сходимости степенного
ряда.
9. Ряд Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных
функций в ряд Маклорена.
10. Свойства сходящихся степенных рядов.
11. Применение рядов для приближенных вычислений определенных интегралов.
12. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов.
68
7. Методические советы по подготовке
к сдаче экзамена
Главная задача высшего профессионального образования – подготовка квалифицированных специалистов. Для того чтобы завершить курс обучения конкретной дисциплины, проверить сложившуюся у студента систему понятий и выявить уровень полученных
знаний, умений и навыков проводят итоговую аттестацию в форме
зачета (для проверки практических умений и навыков) или экзамена
(оценка уровня теоретической и практической подготовки).
Но экзамен это и в первую очередь активный процесс обучения
и воспитания. Обучающее значение экзаменов состоит в том, что студент в период экзаменационной сессии вновь обращается к пройденному материалу, перечитывает конспект лекций или другую учебную
литературу. Он не только повторяет, но и закрепляет полученные знания, а иногда и открывает что-то новое для себя.
Процесс подготовки и сдачи экзамена стимулирует трудолюбие,
принципиальность, ответственное отношение к делу, развивает чувство справедливости, уважения к науке, вузу, преподавателю. В этом
состоит воспитательная роль экзамена.
Основное оценивающее значение экзамена заключается в том,
что он подводит итоги, как знаниям студентов, так и всей учебной
работе по данному предмету.
Экзамен по математике предусматривает оценку теоретических
знаний студентов и практических умений решения типовых задач.
Поэтому в ходе подготовки к экзамену студенту необходимо повторить изученный теоретический материал, а также основные методы
решения математических задач. В идеале, к экзамену необходимо начинать готовиться с первой лекции, практического занятия. В этом
случае приобретаемые знания и умения усваиваются логически последовательно и своевременно закрепляются приобретением практических умений и навыков решения задач.
При подготовке к экзамену лучше использовать конспекты лекций, прочитанные преподавателем. В качестве дополнительного
источника теоретических знаний используются учебные пособия
из основного списка литературы, а также математические словари
и справочники. Для выполнения практической части экзаменационного билета необходимо прорешать основные типы задач, которые
были разобраны на практических занятиях. В качестве дополнитель69
ных источников возможно использование учебных пособий, содержащих примеры задач и описание их решений.
Экзаменационные билеты содержат теоретические и практические
вопросы. В ходе подготовки к ответу необходимо написать основные
математические положения, теоремы, формулы, если необходимо
сделать чертеж, а также полностью оформить решение задач.
На экзамене преподаватель может задать студенту дополнительные и уточняющие вопросы. Дополнительные вопросы задаются
помимо вопросов экзаменационного билета и связаны с плохим ответом на вопросы билета. Уточняющие вопросы задаются в рамках
билета и направлены на уточнение мысли студента.
Можно выделить следующие критерии, которыми обычно руководствуется преподаватель на экзамене:
1) правильность ответов на вопросы (верное, четкое и достаточно
глубокое изложение основного теоретического материала);
2) полнота, логическая последовательность и одновременно лаконичность ответа;
3) умение связывать теорию с практикой, анализировать условие
и решать типовые задачи;
4) умение оценить и показать правильность полученных ответов;
5) грамотное комментирование, приведение примеров, изображение чертежей;
6) общая культура речи и поведения.
Критерий выставления оценки на ответ на экзамене:
– оценка «отлично»: ответ всесторонне и глубоко освещает теоретический вопрос, устанавливает взаимосвязь теории с практикой,
показывает умения решать типовые задачи, оценивать правильность
полученных результатов;
– оценка «хорошо»: ответ соответствует основным предъявляемым требованиям, студент хорошо владеет материалом, однако не
всегда обстоятельно проводит изложение, либо не полностью или
с неточностями решаются практические задачи;
– оценка «удовлетворительно»: ответ неполно раскрывает поставленные вопросы, студент поверхностно владеет материалом, решение
практической задачи вызывает определенные трудности;
– оценка «неудовлетворительно»: дан неправильный ответ на теоретический вопрос, студент не показывает необходимые минимальные
знания по предмету, а также не может решить практические задачи.
Таким образом, преподаватель оценивает как знания, полученные
при изучении курса математики в вузе, так и форму их изложения,
понимание и умение применить эти знания на практике.
70
8. Библиографический список
1. Высшая математика для экономистов : учеб. для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш. Кремер
и др.; под ред. проф. Н. Ш. Кремера. – 3-е изд. – М. : ЮНИТИДАНА, 2006. – 479 с. (Сер. : «Золотой фонд российских учебников»).
2. Высшая математика для экономистов : практикум для студентов
вузов, обучающихся по экономическим специальностям / Н.Ш.
Кремер и др.; под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб.
и доп. – М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2007. –479 с.(Сер. : «Золотой фонд
российских учебников»).
3. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: учебник. – 5-е изд., испр.
и доп. – М. : Дело, 2006. – 720с.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике : ч. 2. –
М. : Айрис-пресс, 2006. – 280 с.
5. Числовые и степенные ряды : учебно-метод. пособие / И. Н. Пирогова, Г.А.Тимофеева. – Екатеринбург : Изд-во УрГУПС, 2008. – 55 с.
71
Учебное издание
Пирогова Ирина Николаевна
Тимофеева Галина Адольфовна
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Учебно-методическое пособие
по дисциплине «Математика»
для студентов всех специальностей
и всех форм обучения
Редактор Л. С. Барышникова
Верстка Н. А. Журавлевой
Подписано в печать 12.12.2014. Формат 60×84/16.
Бумага офсетная. Усл. печ. л. 4,2.
Тираж 100 экз. Заказ 77.
Издательство УрГУПС
620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66
Автор
cild.of.panic
Документ
Категория
Образование
Просмотров
5
Размер файла
316 Кб
Теги
trening2018
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа