close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 5

код для вставкиСкачать
Лекция 5. МАГНЕТИЗМ
1. Магнитное поле. Закон Био – Савара - Лапласа
Магнитное поле описывается вектором напряженности Н. Для однородной
изотропной среды вектор магнитной индукции
B
, связан с вектором напряженности
следующим соотношением:
B  μ0 μ H
A
(где ед. измерения В=Тл, Н =
,
м
)
(1)
где 0 — магнитная постоянная,  — магнитная проницаемость среды,
показывающая, во сколько раз магнитное поле макротоков Н усиливается за счет поля
микротоков среды.
Закон Био - Савара - Лапласа для проводника с током I, элемент которого dl
создает в некоторой точке А индукцию поля
dB
dB 
где
dl
, записывается в виде

 0  I dl , r
4
r
3
,
(2)
— вектор, по модулю равный длине dl элемента проводника и совпадающий пo
направлению с током,
r
— радиус-вектор, проведенный из элемента dl проводника в
точку А поля, r — модуль радиуса вектора r .
Направление
dl


dl
и
r
, т.е.
перпендикулярно плоскости, в которой они лежат, и
совпадает с касательной к линии магнитной индукции.
r
I
перпендикулярно
dB
Это направление может быть найдено по правилу
нахождения линий магнитной индукции (правилу правого

C
винта): направление вращения головки винта дает
направление
dB
dB
, если
поступательное
движение
винта
соответствует направлению тока в
Рис. 5.1.
элементе.
Модуль вектора
dB
определяется выражением
dB 
 0  Idl sin 
4
r
2
,
(3)
где  — угол между векторами
dl
иr.
Для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип
суперпозиции:
магнитная
индукция
результирующего
поля,
создаваемого
несколькими токами или движущимися зарядами, равна векторной сумме магнитных
индукций складываемых полей, создаваемых каждым током или движущимся зарядом
в отдельности:
n
B 

Bi
.
(4)
i 1
Расчет характеристик магнитного поля ( B и
H
) по приведенным формулам в
общем случае довольно сложен. Однако если распределение тока имеет определенную
симметрию, то применение закона Био-Савара-Лапласа совместно с принципом
суперпозиции позволяет довольно просто рассчитать конкретные поля. Рассмотрим
два примера.
Магнитное поле прямого тока — тока, текущего по тонкому прямому проводу
бесконечной длины. В произвольной точке А, удаленной от оси проводника на
расстояние R, векторы
dB
от всех элементов тока имеют одинаковое направление,
перпендикулярное плоскости чертежа («от нас»).
Поэтому сложение векторов
I
сложением

d
r
rd

модулей.
В
можно заменить
качестве
постоянной
интегрирования выберем угол  (угол между векторами
b
dl
их
dB
dl
и r ), выразив через него все остальные величины. Из этого
следует, что
r 
R
sin 
,
dl 
r d
sin 
(радиус дуги СD вследствие малости dl равен r, и угол
FDC по этой же причине можно считать
Рис. 5.2.
прямым). Подставив эти выражения в (3), получим, что
магнитная индукция, создаваемая одним элементом проводника равна
dB 
 0I
4 R
sin  d 
,
(5)
Так как угол  для всех элементов прямого тока изменяется в пределах от 0 до , то,
согласно (4) и (5)
B 

dB 

0 I
4
 sin  d  
R
0 2I
4
0
,
R
следовательно, магнитная индукция поля прямого тока
B 
0 2I
4
.
(6)
R
Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Все элементы
кругового проводника с током создают в центре магнитное поле одинакового
направления - вдоль нормали от витка.
Поэтому сложение векторов
dB
можно заменить
сложением их модулей. Так как все элементы проводника
dl
R

перпендикулярны радиусу-вектору (sin  = 1) и расстояние
dB
n
всех элементов проводника до центра кругового тока
одинаково и равно R, то, согласно (16.3),
I
dB 
Рис. 16.3.
Тогда
B 
dB

0
I
4
R
2
 dl

 0I
4 R
2
2 R   0 
I
μ0 μ
4π
I
R
2
dl
.
.
R
Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового проводника с током
B  0
I
.
R
2. Работа перемещения контура с током в магнитном поле
Допустим, что провод с током может свободно перемещаться во внешнем
магнитном
поле.
Внешнее
полем
будем
предполагать
однородным
и
перпендикулярным к плоскости контура.
При указанных на рисунке направлениях
I

тока и поля сила будет направлена вправо и
равна
F
B
l
F  IBl
где
l
,
- длина перемещающегося участка тока.
На пути dx эта сила совершит работу
dx
Рис. 5.4.
dA  F  dx  IBldx
Произведение
индукции
d
ldx
.
равно заштрихованной площади, а
Bldx
- потоку магнитной
через эту площадь. Поэтому можно написать, что
dA  I  d 
где
d
,
(7)
- поток магнитной индукции, пересекаемый проводником при его движении.
Полученный результат легко обобщить на случай неоднородного поля. Для этого
проводник нужно разбить на участки
и сложить элементарные работы,
dl
совершаемые над каждым участком (в пределах каждой малой площадки
dl dx
магнитную индукцию можно считать постоянной).
Если вектор
образует с нормалью к контуру угол , отличный от нуля,
B
направления силы составит с направлением перемещения также угол  и
dA  F cos  dx  IB n ldx
где
B n  B cos 
Произведение
- составляющая вектора
B n ldx
есть
d
,
по направлению нормали к площадке
B
ldx
.
- поток, пересекаемый проводником. Таким образом и в
этом случае мы приходим к формуле (7).
Заметим, что совершается не за счет магнитного поля, а за счет источника,
поддерживающего ток в контуре.
Найдем работу, совершаемую над
1

1

dF
0
н
к
замкнутым контуром с током при его
перемещении
в
магнитное
поле.
Предположим, что контур остается в одной
плоскости. Силы, приложенные к участку


2
2
контура 1-2, образуют с направлением
перемещения острые углы. Следовательно,
Рис. 5.5.
совершаемая ими работа А1 положительна.
Эта работа пропорциональна силе тока и пересеченному потоку магнитной индукции
A1  I  
0
 
к
.
Силы, действующие на участок 2-1, образуют с направлением перемещения
тупые углы. Поэтому совершаемая ими работа А2 отрицательна
A 2   I 
0
 
н
.
Работа, совершаемая над всем контуром, равна
A  A1  A 2  I  
0
 
к
  I  0
A  I  
 
н
  I  к
 
н

.
3. Сила Лоренца
Сила, действующая на электрический заряд q, движущийся в магнитном поле со
скоростью  , называется силой Лоренца и выражается формулой
 ,
F  qB
где
B
— индукция магнитного поля, в котором заряд движется.
Направление силы Лоренца определяется с помощью правила левой руки: если
ладонь левой руки расположить так, что бы в нее входил вектор
B
, а четыре
вытянутых пальца направить вдоль вектора

совпадают,

(для q> 0 направления I и
для q<0—противоположны), то отогнутый большой палец покажет направление силы,
действующей на положительный заряд.
Модуль силы Лоренца равен
, где  - угол между  и
F  q  B sin 
B
. Отметим,
что магнитное поле не действует на покоящийся электрический заряд. В этом
существенное отличие магнитного поля от электрического. Магнитное поле
действует только на движущиеся в нем заряды.
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции
вектора
B
): циркуляция вектора
произведению
магнитной
B
по произвольному замкнутому контуру равна
постоянной
0
на
алгебраическую
сумму
токов,
охватываемых этим контуром:
n

L
B dl 

L
Bl dl   0  I k
,
k 1
где п — число проводников с токами, охватываемых
контуром L произвольной
формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром.
Положительным считается ток, на правление которого связано с направлением обхода
по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается
отрицательным.
4.Закон Ампера
Французский физик А.Ампер в 1820г подробно исследовал действие магнитного
поля на проводники с током и пришел к выводу, что сила
F
, действующая на
прямолинейный проводник с током, помещенный в однородное магнитное поле, прямо
пропорциональна силе тока
I
в проводнике, его длине
l
, магнитной индукции В и
синусу угла  между направлением тока в проводнике и вектором
F  k  I  B  l  sin 
B
:
.
Закон Ампера легко обобщить на случай неоднородного магнитного поля и
проводника произвольной формы. Магнитное поле называется однородным, если
векторы индукции во всех точках этого поля одинаковы, т.е. численно равны и имеют
одинаковые направления.
Бесконечно малый элемент
проводника любой формы можно считать
dl
прямолинейным, а магнитное поле в области, занятой элементом
можно считать
dl
однородным.
Поэтому в общем случае закон Ампера имеет вид:

dF  k  I  B  dl  sin d l ,
где
dF
- сила, действующая на элемент проводника длиной
между векторами
dl

B
dl
(проведенным в направлении тока
,
(8)
, а угол  заменен углом
) и
I
пропорциональности зависит от выбора единиц измерения I , В,
l
всех этих величин в единицах одной и той же системы единиц
и
B
F
. Коэффициент
. При измерении
k 1
(исключением
является только система единиц Гаусса). Поэтому в дальнейшем коэффициент
k
в
законе Ампера мы будем опускать.
Закон Апмпера позволяет определить численное значение магнитной индукции
В. Предположим, что элемент проводника
направлению магнитного поля
sin d l ,

dl
I
перпендикулярен к
  , тогда закон Ампера можно записать в
B 1
виде:
B 
с током
1 dF
I dl
.
Из этой формулы следует, что магнитная индукция
B
численно равна силе,
действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет
электрический ток единичной силы и который расположен  к направлению
магнитного
поля.
Таким
образом
магнитная
индукция
является
характеристикой магнитного поля подобно тому, как напряженность
силовой
является
E
силовой характеристикой электростатического поля.
Закон Ампера, записанный в форме (8), не указывает направление силы
показали опыты, направление силы
dF
перпендикулярно к плоскости, образованной векторами
dF
. Как
можно найти по правилу левой руки. Однако
лучше пользоваться более универсальным правилом: вектор
из конца вектора
dF
вращение от вектора
dl
dl
и
к вектору
B
B
направлен
таким образом, чтобы
по кратчайшему пути
происходило против часовой стрелки. Иными словами вектор
направлению с векторным произведением
dF
dF
совпадает по
d l , B  . Из математики известно, что модуль
векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между
ними:
d l , B   dl  B  sin d l , B  .
Поэтому можно записать закон Ампера в векторной форме следующим образом:

d F  I  d l, B
.
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
256 Кб
Теги
лекция
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа