close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 6

код для вставкиСкачать
Лекция 6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1. Свободные электромагнитные колебания
Среди различных колебательных процессов особое место занимают
электромагнитные
электрические
колебания.
величины
При
электромагнитных
периодически
изменяются,
колебаниях
и
которые
сопровождаются взаимными превращениями электрических и магнитных
полей. Электромагнитные колебания возникают в колебательном контуре.
Колебательные контур состоит из последовательно соединенных конденсатора
емкостью С, активного сопротивления R и катушки индуктивности L.(Рис.1)
Рис.1
Рассмотрим последовательные стадии колебательного процесса в
идеализированном контуре, сопротивление которого пренебрежимо мало
(R~0). Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор предварительно
заряжают, сообщая его обкладкам заряды ±q. Тогда в начальный момент
времени t = 0 между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле,
энергия
1
которого
q
2
.
Если
замкнуть
конденсатор
на
катушку
2C
индуктивности, он начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со
временем ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться,
а энергия магнитного поля катушки (она равна
1
L q
2
) - возрастать. Так как
2
(R~0).Согласно
W 
1
2 C
q
2

1
2
закону
 L  q
2
 const
сохранения
энергии,
полная
энергия
, так как она на нагревание не расходуется.
Поэтому в момент
t 
1
T
, когда конденсатор полностью разрядится,
4
энергия электрического поля обращается в нуль, а энергия магнитного поля
(следовательно, и ток) достигает наибольшего значения. Начиная с этого
момента, ток в контуре будет убывать; следовательно, начнет ослабевать
магнитное поле катушки, и в ней индуцируется ток, который течет (согласно
правилу Ленца) в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора.
Конденсатор
начнет
перезаряжаться,
возникнет
электрическое
поле,
стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд
на обкладках конденсатора достигнет максимума. Далее те же процессы начнут
протекать в обратном направлении, и система к моменту времени t = T придет в
первоначальное состояние. После этого начнется повторение рассмотренного
цикла разрядки–зарядки конденсатора. Если бы потерь энергии не было, то в
контуре совершались бы периодические незатухающие колебания, т. е.
периодически изменялись (колебались) бы заряд q на обкладках конденсатора,
напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего через катушку
индуктивности. Следовательно, в контуре возникают электрические колебания,
причем
колебания
сопровождаются
последовательными
превращениями
энергии электрического поля в магнитное и наоборот. Электрические колебания
в колебательном контуре можно сопоставить с механическими колебаниями
маятника, сопровождающимися взаимными превращениями потенциальной и
кинетической энергий маятника.
Согласно закону Ома для контура, содержащего катушку индуктивности L
, конденсатор емкостью С, и резистор сопротивлением R
IR  U
где
–
IR-напряжение
конденсаторе, 
 L
dI
на
c
  ,
резисторе,
U c
(1)
q
-
напряжение
на
C
- э.д.с. самоиндукции, возникающая в катушке при
dt
протекании в ней электрического тока. (Единственная э.д.с. в контуре).
При замене ε уравнение (1) преобразуется
L
dI
 IR 
dt
Разделив
(2)
на
и
L,
учтем,
q
 0.
(2)
C
что
I 
dq
и
 q
q 
dI
,
получим
dt
dt
дифференциальное уравнение колебаний заряда q в контуре:
q 
R
q 
L
1
q  0
.
(3)
LC
В данном колебательном контуре внешняя э.д.с отсутствует, поэтому
рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания. При
условии,
когда
Колебания
R=0.
в
контуре
свободные
и
являются
гармоническими. Тогда из (21.3) получим дифференциальное уравнение,
свободных гармонических колебаний заряда в контуре.
q 
1
LC
где –
0 
2
1
q  q   0 q  0
2
,
(4)
.
LC
Решение такого дифференциального уравнения представлено в виде
q  q max cos(  t   )
,
(5)
qmax –амплитуда колебаний электрического заряда на конденсаторе с
циклической частотой,
1
0 
называемой собственной частотой контура.
LC
Период свободных электромагнитных колебаний определяется формулой
Томсона
T  2 
LC
.
(6)
Сила тока в колебательном контуре
I  q    0 q max sin(  0 t   0 )  I max cos(  0 t   o  
где I max
  0q
2
)
,
(7)
- амплитуда силы тока.
Напряжение на конденсаторе
U
c

q
C

q max
C
 cos(  0 t   0 )  U
max
cos(  0 t   0 )
,
(8)
где U
max

q max
- амплитуда напряжения.
C
Из выражений (7) и (8) вытекает, что колебания тока I опережают по фазе
колебания заряда q на

2
, т.е. когда ток достигает максимального значения,
заряд (а также и напряжение) обращается в нуль и наоборот.
2. Затухающие колебания в электрическом колебательном контуре
При наличии в колебательном контуре активного сопротивления R
дифференциальное уравнение затухающих колебаний заряда в колебательном
контуре описывается уравнением (3)
Введем коэффициент затухания
R
 
.
(9)
2L
Уравнение (3) можно переписать в виде
q  2   q   0 q  0 .
2
(10)
Решением данного уравнения является выражение
q  q max  e
  t
cos(   t   ) ,
(11)
частота ω затухающих колебаний в колебательном контуре, как видно, зависит
от параметров контура и описывается уравнением:
 
2
 1
R


2
 LC
4L





.
(12)
Логарифмический декремент затухания определяется формулой (11), а
добротность электрического контура также определяется его параметрами
Q 
1
L
R
C
.
(13)
При увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний
растет и при
  0
превращается в бесконечность, т.е. движение перестает
быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина стремится к
нолю. Такой процесс называется апериодическим. В технике это называется
демпфированием.
Стрелки
индикаторов
обеспечивают
измерительных
уровня)
плавное
приборов
обычно
(вольтметров,
соединяются
затухание
с
амперметров,
демпферами,
критических
отклонений.
которые
Если
бы
демпфирование было слишком слабым, то стрелка долго колебалась бы, прежде
чем установиться на определенном значении. Если бы оно было очень велико,
то стрелка медленно бы ползла к правильному значению и не успевала
отслеживать быстрые изменения уровня записи.
3. Вынужденные электромагнитные колебания
В электромагнитных вынужденных колебаниях роль вынуждающей силы
играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по
гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение:
U U
cos  t
.
(14)
Тогда уравнение вынужденных электромагнитных колебаний с учетом
m
уравнения (4) будет иметь вид:
q 
R
L
1
q 
q 
U
LC
cos   t
m
.
(15)
L
Используя преобразования в (21.10) придем к уравнению
q  2   q   0 q 
2
U
m
cos  t
.
(16)
L
Решение уравнения (16) проводится аналогично как и, для механических
вынужденных колебаний. Максимальное значение заряда для частного решения
уравнения (16), с учетом формул (9) и (12), можно представить в виде:
U
qm 
 
tg  0 
R
 ( L 
2
R
1
C
,
m
1
C
)
(17)
2
.
(18)
 L
4. Экспериментальное получение электромагнитных волн
Существование
электромагнитных
волн
—
переменного
электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной
скоростью,— вытекает из уравнений Максвелла. Решающую роль для
утверждения максвелловской теории сыграли опыты Герца доказавшие, что
электрические и магнитные поля действительно распространяются в виде волн,
поведение которых полностью описывается уравнениями Максвелла.
Источником электромагнитных волн в действительности может быть
любой электрический колебательный контур или проводник, по которому течет
переменный электрический ток, так как для возбуждения электромагнитных
волн необходимо создать в пространстве переменное электрическое поле (ток
смещения)
или
соответственно
переменное
магнитное
поле.
Однако
излучающая способность источника определяется его формой, размерами и
частотой колебаний. Чтобы излучение играло заметную роль, необходимо
увеличить объем пространства, в котором переменное электромагнитное поле
создается. Поэтому для получения электромагнитных волн непригодны
закрытые колебательные контуры, так как в них электрическое поле
сосредоточено между обкладками конденсатора, а магнитное — внутри
катушки индуктивности.
Рис. 2.
Герц в своих опытах, уменьшая число витков катушки и площадь пластин
конденсатора, а также раздвигая их, совершил переход от закрытого
колебательного контура к открытому колебательному контуру (вибратору
Герца), показанному на рис.2, представляющему собой два стержня,
разделенных искровым промежутком. Если в закрытом колебательном контуре
переменное электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, то в
открытом оно заполняет окружающее контур пространство, что существенно
повышает интенсивность электромагнитного излучения. Колебания в такой
системе поддерживаются за счет источника э.д.с, подключенного к обкладкам
конденсатора, а искровой промежуток применяется для того, чтобы увеличить
разность потенциалов, до которой первоначально заряжаются обкладки.
Для возбуждения электромагнитных волн вибратор Герца В подключался
к индуктору И. Когда напряжение на искровом промежутке достигало
пробивного значения, возникала искра, закорачивающая обе половины
вибратора, и в нем возникали свободные затухающие
колебания. При
исчезновении искры контур размыкался и колебания прекращались. Затем
индуктор снова заряжал конденсатор, возникала искра и в контуре опять
наблюдались колебания и т. д. Для регистрации электромагнитных волн Герц
пользовался вторым вибратором, резонатор Р, который имел такую же частоту
собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т. е. настроенным в
резонанс с вибратором. Когда электромагнитные волны достигали резонатора,
то в его зазоре проскакивала электрическая искра. Электромагнитные волны,
обладая широким диапазоном частот (или длин волн λ = c/v, где с — скорость
электромагнитных волн в вакууме), отличаются друг от друга по способам их
генерации
и
регистрации,
а
также
по
своим
свойствам.
Поэтому
электромагнитные волны делятся на несколько видов: радиоволны, световые
волны, рентгеновское и γ - излучения (табл.24.1.). Следует отметить, что
границы между различными видами электромагнитных волн довольно условны.
Таблица 1.
Шкала электромагнитных волн
Вид излучения
Длина волны, м
Частота
Гц
волны, Источник излучения
Радиоволны
Вибратор
Герца
Колебательный
контур
Массовый
излучатель Ламповый
генератор
103—10-4
3-105—3-1012
Инфракрасное
излучение
Видимый свет
5·10-4—8·10-7
6·1011— 3,75·1014
8·10-7-4·10-7
ультрафиолетовое
излучение Рентгеновское
излучение  - излучение
4·10-7—10-9
3,75·1014—
7,5·1014
7,5-1014—3·1017
2·10-9—6·10-12
1,5-1017—5-1019
Трубки Рентгена
<6·10-12
>5·1019
Источники
радиоактивного
Лампы,
Лазеры
распада.
Ядерные
процессы
Космические
процессы
5. Дифференциальное уравнение электромагнитной волны
Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является
существование электромагнитных волн. Для однородной и изотропной среды
вдали от зарядов и токов, создающих электромагнитное поле, из уравнений
Максвелла следует, что векторы напряженностей

E
и

H
переменного
электромагнитного поля удовлетворяют волновому уравнению типа (22.13)

E 
1

2


2
 E
t
2

2

1  H
H 

2
2

t
,
(19)
,
(20)
где Δ - Оператор Лапласа, υ–фазовая скорость.
Всякая функция,удовлетворяющая уравнениям
(19)
и(20), описывает
некоторую волну. Следовательно, электромагнитные поля действительно могут
существовать
в
виде
электромагнитных
волн.
Фазовая
скорость
электромагнитных волн определяется выражением:
 
где
c 
1
0  0
1
0  0

1
 

c
 
,
(21)
скорость электромагнитной волны, ε0 и μ0 - соответственно
электрическая и магнитная постоянные, ε и μ— соответственно электрическая
и магнитная проницаемости среды.
В вакууме (при ε = 1 и μ = 1) скорость распространения
электромагнитных волн совпадает со скоростью с. Так как εμ > 1, то скорость
распространения электромагнитных волн в веществе всегда меньше, чем в
вакууме.
При вычислении скорости распространения электромагнитного поля по
формуле (24.3) получается результат, достаточно хорошо совпадающий с
экспериментальными данными, если учитывать зависимость ε и μ от частоты.
Совпадение же размерного коэффициента в (21) со скоростью распространения
света в вакууме указывает на глубокую связь между электромагнитными и
оптическими явлениями, позволившую Максвеллу создать электромагнитную
теорию света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные
волны.
Следствием
теории
Максвелла
электромагнитных волн: векторы

E
и

H
является
поперечность
напряженностей электрического и
магнитного полей волны взаимно перпендикулярны (на рис.24.2.) показана
моментальная «фотография» плоской электромагнитной волны) и лежат в
плоскости, перпендикулярной вектору v скорости распространения волны,
причем векторы

E
,

H
и

v
образуют правовинтовую систему. Из уравнений
Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы

E
и

H
всегда колеблются в одинаковых фазах (см. рис. 24.2), причем мгновенные
значения

E
и

H
в любой точке связаны соотношением
 0  E 
Следовательно,
Е
и
Н
0  H
одновременно
.
(22.)
достигают
максимума,
одновременно обращаются в нуль и т. д.
От волновых уравнений (19) и (20) можно перейти к уравнениям
2
2
 Ez
x

2
2
 H
x
2
1  Ez

2
t
2
,
(23)
2
y

1  H

2
t
2
y
,
(24)
где соответственно индексы у и z при H и E подчеркивают лишь то, что
векторы

E
и

H
направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей z и у.
Рис.24.2.
Уравнениям
(23)
и
(24)
удовлетворяют,
в
частности,
плоские
монохроматические электромагнитные волны (электромагнитные волны одной
строго определенной частоты), описываемые уравнениями
E z  E 0 cos(   t  k  x   )
H
y
 H
0
,
cos(   t  k  x   )
(25)
,
(26)
где Е0 и Н0 — соответственно амплитуды напряженностей электрического и
магнитного полей, ω— круговая частота волны, k =ω/ — волновое число, φ—
начальные фазы колебаний в точках с координатой х = 0. В уравнениях (25) и
(26) φ одинаково, так как колебания электрического и магнитного векторов в
электромагнитной волне происходят с одинаковой фазой.
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
450 Кб
Теги
лекция
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа