close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 8. Производная функции. Правила дифференцирования.

код для вставкиСкачать
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Лекция 8
Тема Похідна функції. Правила диференціювання. Диференціал
функції. Розкриття неозначеностей. Правило Лопіталя
Запитання:
1. Похідна функцій. Задачі, які приводять до поняття похідної.
2. Означення похідної. Її геометричний, механічний та економічний зміст.
Дотична до кривої.
3. Залежність між неперервністю та диференційованістю функції. Правила
диференціювання.
4. Похідні основних елементарних функцій.
5. Похідна неявної функції.
6. Похідні вищих порядків.
7. Означення диференціала функції. Правила знаходження диференціала.
8. Диференціал складної функції. Інваріантність форми диференціала.
9. Застосування диференціала для наближених обчислень.
10. Диференціали вищих порядків.
11. Основні теореми про диференціювання функцій.
12. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коші.
13. Розкриття неозначеностей. Правило Лопіталя. Формула Тейлора.
Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.1. ПРОИЗВОДНАЯ
4.1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
1. Задача о скорости движения. Пусть вдоль некоторой прямой дви-
жется точка по закону s  s t  , где s — путь, пройденный точкой за время t.
Найдем скорость точки в момент t0. К моменту t0 точка прошла путь
s0  s t0  ,
s  s  s t0  t 
а к моменту t0  Δt  — путь 0
. Средняя скорость за промежу-
vcр. 
s
t . Под скоростью точки в момент времени t0 (мгновен-
ток Δt будет
ной скоростью) понимают предел
s
t 0 t
.
v  lim vср.  lim
t 0
2. Задача о производительности труда. Пусть функция Q  Q  L выражает количество Q произведенной продукции L рабочими. Необходимо
найти производительность труда одного дополнительного рабочего к L0 рабочим. Если к L0 рабочим прибавилось ΔL рабочих, тогда, по аналогии с
предыдущей
задачей,
их
средняя
производительность:
1
wcр. 
Q
L
труда
Q  Q  L  L  Q  L 
0
0
Q
L0 L
.
. Поэтому предельная производительность
w  lim wср.  lim
L0
4.1.2. Определение производной
К нахождению пределов, возникающих в предыдущих примерах, приводят многие задачи. Рассмотрим такие задачи в общем виде.
Пусть функция y  f  x  определена на промежутке a, b . Возьмем точку
x a, b
x  x a, b
. Дадим значению х приращение x  0 
. Тогда функция
получит приращение y  f  x  x   f  x  .
Определение 4.1. Производной функции y  f  x  по аргументу х называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот
предел существует:
f  x  x   f  x 
y
 lim
x0 x
x0
x
.
y  lim
Производная
y, f   x  ,
dy df  x 
,
, yx , y t 
dx dx
.
обозначается
несколькими
(4.1)
символами:
Нахождение производной функции называется дифференцированием
этой функции. Функция, имеющая конечную производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех
точках отрезка a, b, называется дифференцируемой на этом отрезке.
Если функция дифференцируема, то ее касательная может быть определена следующим образом.
Задача о касательной. Пусть на плоскости xOy дана непрерывная криM x ,y
вая y  f  x  и точка 0  0 0  на ней. Дадим аргументу x0 приращение x и
M x ,y
перейдем на кривой y  f  x  и точка 0  0 0  на ней. Дадим аргументу x0
M x,f x
приращение x и перейдем на кривой y  f  x  от точки 0  0  0  к точке
M0  x0  x, f  x0  x 
. Проведем секущую M 0 M1 (Рис 4.1).
Определение 4.2. Касательной к кривой y  f x в точке М0 называется предельное положение секущей M 0 M1 при приближении точки М1 к точке
М0.
2
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
M1
y  f x 
y
y  f x 0   x 
Δy
M0
N y  f x 0 
φ
α
0
x0
x
Δx
x0 +Δx
Рис. 4.1
Пусть  — угол наклона секущей,  — угол наклона касательной, k —
угловой коэффициент касательной. Угловой коэффициент секущей
y
x .
Если M1  M0 , то x  0 ,  , tg  tg  k . Поэтому угловой коэффиy
k  lim kM0M1  lim
x0
x0 x
циент касательной
.
kM0M1  tg 
Свойства касательной:
1.
Среди всех прямых, проходящих через точку  0  0  , касательная единственная, которая имеет отклонение большего порядка малости,
x,f x
чем ∆х, от линии y  f  x  .
2.
График функции, дифференцируемой в точке х0 в некоторой
окрестности U x проходит между двумя прямыми, составляющими с касательной произвольно малый угол
f ( x0 )  [ f ( x0 ) ]( x  x0 )  f ( x)  f ( x0 )  [ f ( x0 )  ]( x  x0 ) .
Пример 4.1. Исходя из определений производной, найти производную
0
функции y  x .
Решение. Находим приращение функции: y  x  x  x . Отсюда
y
x  x  x
y
x  x  x
lim
 lim

x
x
x
, x0 x x0
. Таким образом,
y  lim
x0

x  x  x
x


x  x  x
x  x  x

  lim
x0
x  x  x
 lim
x x  x  x x0 x



x
1

.
2 x
x  x  x

4.1.3. Смысл производной
Из анализа задач, приводящих к понятию производной можно сделать
следующие выводы.
3

1. С геометрической точки зрения производная f  x0  есть угловой ко-
эффициент касательной, проведенной к кривой y  f  x  в точке  x0 , f  x0  ,

т.е. k  f  x0  .
Уравнение невертикальной касательной к кривой y  f x в точке
 x , f  x  имеет вид
0
0
Из
kнормали  
условия
y  f  x0   f   x0  x  x0  .
перпендикулярности
(4.2)
прямых
1
k2  
k1
имеем
1
kкасательной , поэтому уравнение нормали (перпендикулярной к касаy  f  x
 x0 , f  x0 
тельной) к линии
в точке
будет иметь вид
y  f ( x0 )  
1
( x  x0 )
f ( x0 )
(4.3)
1 
2 
Углом между двумя кривыми
и
в точке их пересечения М0(х0, у0) называется угол между касательными к этим кривым в точке
М0. Этот угол находится из формулы
y f x
tg 
y f x
f2' ( x0 )  f1' ( x0 )
1  f1' ( x0 )  f2' ( x0 ) .
(4.4)
2. Механический смысл производной: производная пути по времени
s t0 
есть скорость точки в момент t0 :  0   0  .
3. Производная от объема произведенной продукции по числу рабочих
есть предельная производительность труда.
Пример 4.2. Найти уравнение касательной к графику функции
v t  s t
y  f  x   x3  2x2 1
Решение.
В
в точке с абсциссой 2.
этом
примере
x0  2 ,
f   x   3x  4x, f   x0   f   2  3 2  4  2  4
2
2
y0  f  x0   f  2  23  2  22 1  1
,
. Подставляя эти числа в уравнение
  , т. е. y  4x  7 .
(4.2), получаем уравнение
4.1.4. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью
функции
Теорема. Если функция y  f x дифференцируема в точке х0, то она
непрерывна в этой точке.
Доказательство. Если функция дифференцируема в точке х0, то сущеy  1 4 x  2
y
 f   x0 

x
ствует конечный предел
На основании теоремы о связи между
y
 f   x0     x 
бесконечно малыми и пределом функции, можно написать x
,
  x 
x  0
lim
x0
где
—
бесконечно
малая
величина
при
.
Поэтому
4
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
y  f   x0  x    x  x
малых, получаем
. На основании определения и свойств бесконечно
lim y  lim  f   x0  x   x x  0
x0
x0
, т. е. по второму опреде-
лению непрерывности функции y  f  x  непрерывна в точке х0.
Замечание. Из непрерывности функции в точке х0 не следует ее дифференцируемость. Функция может быть непрерывной в точке, но не дифференцируемой.
Пример 4.3. Показать не дифференцируемость в нуле непрерывной
функции y  x .
0  x  0
x  1, x  0,
y
 lim
 lim

x0 x
x0
x0 x
x
 1, x  0, т.
Решение. При x  0 имеем
е. производная в нуле не существует. При x  0 функция непрерывна потому,
lim y  lim  0  x  0   lim x  0
lim
что
(Рис 4.2).
Дифференцируемость функции в точке означает существование в точке
x0
x0
x0
единой невертикальной касательной. Если касательная в точке 0  0 0  вертикальная, то производная функции в точке х0 равна  . Это изображено на
рис 4.3.
M x ,y
y
y
y x
y x
0
х
x1 x2
0
x3 x4 x5
Рис. 4.2
x6
Рис. 4.3
Из геометрического смысла производной на рис. 4.2
y  0  1
.
На рис. 4.3
y  x1   1 y  x2 
,
не существует,
y  x3   
x
y  0  1
,
(или не существу-
1
y  x4   , y  x   0, y  x   
5
6
2
ет),
(или не существует).
4.1.5. Основные правила и формулы дифференцирования
I. c  0 , где с — постоянная, I а. 1  0 .
II. х  1.

III. u  v  u  v.









IV. u  v  u  v  u  v , IV a.  c  u   cu , IV b. u  v  w  u  v  w  u  v  w  u  v  w .

 u  u ' v  v 'u
 v   v2
V.  
, V a.
 u  u
c  c
 
, V b.
cu
 c 
 u    u2
 
.
5
Докажем правило IV. Обозначим y  u  v . 1. Дадим аргументу х приращение x  0. Тогда функции u и v получат наращенные значения u  u и
v  v , а функция y — y  y  u  u  v  v  . 2. Найдем приращение функции
y
y  u  u  v  v   uv  u  v  u v  u v
. 3. Составим отношение x , котоy u
v u v
  v  u    x
x x x
рое представим в виде x x
. 4. Найдем предел этого

x

0
отношения при
. Используя теоремы о пределах, получаем
y
u
v
u
v
lim
 lim  v  u  lim  lim  lim  lim x.  u  v  u  v  u  v  0  u  v  u  v
x0 x
x0 x
x0 x
x0 x x0 x x0
.
4.1.6. Производная сложной функции
Пусть y  f u  и u    x  дифференцируемые, а значит и непрерывные
функции. Докажем, что
yx  fu  ux .
(4.5)

x

u
Придадим x приращение
. Оно вызовет приращение
промежуточного аргумента u, которое в свою очередь повлечет изменение функции y на
некоторую величину y. В силу непрерывности функций при x  0 будут
также u  0 и y  0 .
y
 yu
Предположим, что u  0 . Тогда u0 u
.
lim
Пользуясь теоремой о связи предела и бесконечно малой, можем напи-
y
 yu    u 
lim   u   0
lim   u   0
сать u
, где u0
(или x0
). Перепишем это раy  yu u    u  u
u  0
венство в виде
. Это равенство справедливо и при
и при произвольном α, так как оно превращается в тождество. При u  0 буy
u
u
 yu
   u 
x
x и
дем полагать
. Поэтому x
y
u
u
lim  yu  lim
 lim   u   lim
 yu  ux  0  ux  yu  ux
x0 x
u0 x
u0
x0 x
, ч.т.д.
  u   0
Используя это правило, найдем


   
   
(cos x)'  sin  -x   cos  -x    -x   sin x   1   sin x
2  2 
  2 
.
Используя производную частного, найдем

1
 sin x  cos x  cos x  sin x  sin x
(tgx)'  



2
cos x
cos2 x .
 cos x 
6
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
4.1.7. Производная обратной функции
Пусть функция x  g  y  обратная по отношению к функции y  f  x  ,
g y
причем функции f  x  и   имеют производные соответственно в точках х


 
и y  f  x  . Найдем связь между производными y  f  x   0 и x  g  y  . По-
скольку
x  g  f  x 
при всех х, то по правилу дифференцирования сложной


функции, 1  g  y   f  x  . Отсюда
g  y  
1
f   x
, или кратко



dy 1 
 или
 
1 
dx 
dx
xy 

dy  .
yx 

 ex   ex
Используя это правило, покажем, что
(4.5)
. Имеем:
dy 1
1
1


  y  ex
dx dx d  ln y  1
dy
y
dy
y  ex  x  ln y . Поэтому
. При x  0


 




x  eln x  eln x  eln x   ln x   eln x   x   x1
x
x
.
  
  
Аналогично, используя правила дифференцирования функций, обратной
и сложной функции можно вывести все формулы дифференцирования.
4.1.8. Производные основных элементарных функций. Таблица производных

1.  x   x1

1
1
2.     2
x
 x

1
3. x 
2 x

4.  ex   ex

1a. u   u1  u '

u'
1
2a.     2
u
u

u
3a. u 
2 u

4a.  eu   eu  u '
5. (ax )'  ax  ln a
1
6. (ln x)' 
x
1
7. (loga x)' 
x ln a

8. sin x  cos x
9. (cos x)'   sin x
1
10. (tgx)' 
cos2 x
5a. (au )'  au  ln a  u '
u'
6a. (ln u)' 
u
u
7a. (loga u)' 
u ln a

8a. sin u   cos u  u
9a. (cos u)'   sin u  u'
u'
10a. (tgu)'  2
cos u
 
 
7
11.(ctgx)'  
1
sin2 x
11a. (ctgu)'  
1
12. (arcsin x)' 
13. (arccos x)'  
u'
sin2 u
12a. (arcsin u)' 
1  x2
1
13a. (arccos u)'  
1  x2
1
14. (arctgx)' 
1  x2
1
15. (arcctgx)'  
1  x2
u'
1 u2
u'
1 u2
u'
14a. (arctgu)' 
1  u2
u'
15a. (arcctgu)'  
1  u2
Докажем формулу 6.
1
x x


1
x
ln  x  x   ln x
y
1  x  x 

x
1


x


lim
 lim
 lim ln 

lim
ln
1


ln
e
 .



x0 x
x0

x

0

x

0

x
x  x 
x  
x


sin x  cos x
Аналогично легко получить
.

  13  1 131 1  23
1
x x   x  x  3 2
3
3 x .
  3
 
3
Пример 4.4.
4.1.9. Производные высших порядков
Допустим, что функция f  x  имеет производную f   x  в некотором интервале принадлежащем D(f).
Определение 4.3. Производная от f   x  (если она существует) называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции f  x  и обозначается f   x  :
f   x  x   f   x 

f   x    f   x   lim
.
x0
x
(4.6)
Таким же образом производной третьего порядка или третьей произ-
водной f   x  от функции y  f  x  называется производная от производной
второго порядка. Дадим общее определение.
n
Определение 4.4. Производной n-го порядка f x называется произf  n  x    f  n1  x  .
водная от производной (n-1)-го порядка
.
f   x 
f   x
в точке х определяет скорость изменения
в этой точке или
ускорение изменения функции f  x  при заданном х. Производные высших
порядков
f
 4
 x ,
f
5
 x ,...;
f
III
 x ,
обозначают:
f
IV
 x ,
d2 y d3 y d4 y
,
,
,...;
dx2 dx3 dx4
f V  x  , f VI  x  ,...
Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные
следующих функций.
3
2
Пример 4.5. y  2x  5x  7x  4 .
8
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.







y   2x3   5x2    7x   4  2   x3   5   x2   7   x   4 
Решение.
 2  3x2  5  2x  7 1  0  6x2 10x  7.
y  6x2 10x  7.
3
Пример 4.6. y  x arctgx.

x3

y   x3  arctgx  x3  arctgx   3x2arctgx 
1  x2 .
Решение.
arcsin x
y
.
x
Пример 4.7.
1
 arcsin x

 x
2
x  arcsin x   arcsin x   x 
x  1  x2  arcsin x
1

x

y 


.
x2
x2
x2 1  x2
Решение.
y   2x3  5 .
4
Пример 4.8.
Решение.


3
y  u4 u . 2x3  5x  4u3  6x2   24x2  2x3  5
Пример 4.9.
y  tg  ln x  .
y 
Решение.
.
1
1
1
1

  ln x  
 
.
2
2
cos  ln x 
cos  ln x  x x cos  ln x 
2
x
y  sin3 .
3
Пример 4.10.


x x
x x
x
x 1
x
x
2 x
y  3sin  sin   3sin cos    3sin2  cos   sin2  cos
3 3
3
3 3
3
3 3
3
3.
Решение.
y  ln  x2  5
2
Пример 4.11.
Решение.
y 
.

1
1
2x
  x2  5  2
 2x  2 .
x 5
x 5
x 5
2
4.1.10. Дифференциалы первого и высших порядков
Пусть функция y  f  x  дифференцируема в точке х, т. е. существует
y
 f   x
предел x0 x
. Тогда в окрестности точки согласно теоремы о связи
y
 yx    x ,
lim   x  0
предела и бесконечно малой x
где x0
. Отсюда

y  yx x    x  x,
  x  x
lim
где
бесконечно малая высшего порядка по срав-
нению с x .
Наоборот, если в точке х приращение функции можно представить в
виде
y  Ax  x,
(4.7)
9
где
y  f  x
lim   0
и А — постоянная относительно x величина, то функция
x0

дифференцируема в точке х и A  f  x  . Это легко получить по опре-
Δy
Δy
 A  α  Δx   f   x   lim
 A.
Δx0 Δx
делению производной: Δx
Если A  0 , то первое слагаемое в формуле (4.7) называют главной ли-
нейной частью приращения.
Определение 4.5. Дифференциалом (первого порядка) функции
y  f  x
называется главная часть ее приращения, линейная относительно
приращения аргумента.
Дифференциал функции обозначается dy. По определению dy  f ( x)x .
Для функции у=х дифференциал dy  f ( x)x  1x  x , т.е. дифференциал аргумента равен приращению аргумента: dx  x .
Поэтому часто дают следующее определение: дифференциал функции
равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:
dy  f   x  dx.
(4.8)
Производную часто понимают как отношение двух дифференциалов
f   x 
dy
.
dx
2
Пример 4.12. Найти приращение и дифференциал функции y  x  x при
изменении х от 2 до 1,99.
Решение.
y  1,992 1,99   22  2  0,0299.

dy   x2  x dx   2x 1 dx
,
dx  x  1,99  2  0,01, dy   2  2 1   0,01  0,03. Очевидно, что y  dy .
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Из рисунка 4.4 имеем
dy  f   x  dx  tgdx 
N
αΔx
y
L
M
Δy
dy
α
α
Δx
x
x+Δx
LK
 MK  LK.
MK
Поэтому геометрически дифференциал
представляет собой приращение ординаты
касательной к графику функции в точке М
(х; у).
K
0

x
Рис. 4.4
Из правил дифференцирования следуют правила нахождения дифференциалов:
1.

d U V   U V  dx  U dx V dx  dU  dV .
10
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
2. d U V   VdU  UdV .
 U  VdU UdV
d 
.
2
V
V


3.
4. Инвариантность формы дифференциала. Формула дифференциала не
изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной:
dy  f x u  x  dx  fu u  ux dx  fu u  du.
Если y  f u  и u    x  , то
Если приращение x аргумента мало по абсолютной величине, то
y  dy и f  x  Δx   f  x   f   x  Δx . Используя эту формулу, дифференциал ча-
сто применяют к приближенным вычислениям.
В частности
1)
x  x  x 
1
1
x, 2) ln  x  x   ln x  x, 3) sin  x  x   sin x  cos x x.
x
2 x
Пример 4.13. Вычислить приближенно ln1,01 с помощью дифференциала.
1
ln 1  0,01  ln1   0,01  0,01.
1
Решение. Применим формулу 2):
Надо обратить особое внимание на тот факт, что в приложениях очень
часто дифференциал определяют без нахождения производной как главную
часть приращения.
Для примера рассмотрим две задачи.
Задача 1.
Найти непосредственно дифференциал площади круга.
Дифференциал площади круга приблизительно равен площади заштрихованной полосы. При малых dr площадь полосы приблизительно равна произведению длины окружности на приращение радиуса dr, т.е. dS=2πrdr.
dr
Рис. 4.5
r
Определение 4.6. Дифференциалом второго порядка функции y  f  x 
2
называется дифференциал от дифференциала первого порядка: d y  d  dy  .
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка:
Вообще,
d y  d d
n
n1
y
d 3 y  d d 2 y
.
.
11
 4
 n
3
4
n

Очевидно, что d y  f  x  dx  , d y  f  x  dx  , d y  f  x  dx  , ...
Пример 4.15. Найти дифференциал функции y  arctgx.
3
Решение.
dy 
4
n
dx
1  x2 .
t
Пример 4.16. Найти дифференциал функции s  e .
3
Решение. ds  e 3t dt .
Пример 4.17. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядt3
2
t3
y   2x  3
ков функций s  e ,
.
3
Решение. Имеем
dy  3 2x  3  2dx  6  2x  3 dx
2
2
,
d 2 y  12  2x  3  2   dx   24  2x  3 dx2 d 3 y  48dx3.
2
4.2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Пусть функции f(х) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности

точки x0 и g  x   0 в этой окрестности за исключением точки x0 . Если
lim f  x   lim g  x   0
lim f  x   lim g  x   
xx
или xx
, т. е. отношение этих функций в
точке x  x0 представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то
xx0
xx0
0
0
f ( x)  0  
f ( x)
  ,   lim
xx0 g ( x)
x0 g ( x)
 0   xx
 x

lim
при условии, что существует предел отношения производных. ( x0 может
быть и  ).
f ( x)
Если частное g( x) в точке x0 также неопределенность вида 0/0 или ∞/∞
g  x 
f   x
и производные
и
удовлетворяют соответствующим условиям, то
следует перейти к отношению вторых производных и т.д.
В случае неопределенности вида 0 или   следует алгебраически
преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности
вида 0/0 или ∞/∞ и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
В случае неопределенности вида 00, ∞0 или 1∞ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Доказывать теорему в общем случае не будем, а ограничимся одним
частным случаем, разъясняющим суть дела.
Пусть функции
f  x
и
g  x
определены и непрерывны в некоторой
g x
окрестности точки x0 и знаменатель   не обращается в нуль в точках этой
окрестности, за исключением самой точки x0 . Пусть f  x0   g  x0   0, существуют производные
f  x
g x  0.
g x
и   в точке x0 , причем  0 
Тогда
12
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
f ( x) f '( x0 )

.
xx0 g ( x)
g '( x0 )
f  x0   0 g  x0   0
lim
Доказательство. Поскольку
и
, то
f ( x)  f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
lim
xx0
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
x  x0
f ( x0 )
f ( x)
lim
 lim
 lim


xx0 g ( x)
xx0 g ( x)  f ( x )
x x0 g ( x)  f ( x )
g ( x)  f ( x0 ) g ( x0 )
0
0
lim
xx0
x  x0
x  x0
в силу
определения производной.
x2 1  ln x
x
Пример 4. 18. Найти x1 e  e .
lim
Решение. Числитель и знаменатель стремятся к нулю при x 1 , а потому имеем неопределенность вида 0/0. Воспользуемся правилом Лопиталя, т.
е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций:

x2 1  ln x 

x2 1  ln x  0 
2x  1/ x 3
lim
    lim
lim

x
x1
e e
ex
e
 0  x1  ex  e x1
x  sin x
lim
3
Пример 4.19. Найти x0 x
.
.
Решение. Это — неопределенность вида 0/0. Имеем


x  sin x 
1  cos x 


x  sin x  0 
1  cos x  0 
sin x 1
lim
    lim
 lim
    lim
 lim

3
2
x0
x0
x0
x0 6x
x
3
x
0
6
3 
2 
 0  x0


x
3x
 
 
, так
sin x
lim
1
как n0 x
. Здесь правило Лопиталя применено дважды.
xex / 2
lim
x
Пример 4.20. Найти x x  e .
Решение. В данном случае имеет место неопределенность вида ∞/∞.
Находим
x
1 x/2
x
x
ex / 2 (1  )
e (2  ) 1
2
xex / 2   
2  lim 2
2  lim
2      1 lim 1/ 2  0
lim
    lim
 
x
x
x
x
/
2
x/2
x x  e
x
e
2 x e
   x 1 e
   2 x (1/ 2)e
.
lim(sin x)x
Пример 4.21. Найти x0
.
Решение. Это — неопределенность вида 0°. Обозначим данный предел
A  lim(sin x)x
x0
через А, т. е.
, и прологарифмируем его. Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (после преобразования
к неопределенности вида ∞/∞):
lnsin x   
cos x / sin x
x2 cos x
x
    lim


lim
  lim( x cos x 
)0
2
x0 1/ x
x0 sin x
x0
sin x
   x0 1/ x
.
ln A  lim
0
Следовательно, A  e  1.
13
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.:
Высш.шк., 1981.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Основная
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред.
Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.:
Инфра-М, 1997.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2003.
Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное
пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие
для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. —
Минск, 1968.
Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу
высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.:
Экономическое образование, 1989.
Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука,
1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1977.
14
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
956 Кб
Теги
лекция, функции, правила, дифференцированный, производной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа