close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

лекция 9 Исследование функций и построение графиков

код для вставкиСкачать
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Лекция 9
Дослідження функцій та побудова графиків.
Вопросы:
1. Зростання та спадання функцій.
2. Опуклість, угнутість функцій.
3. Екстремуми функцій.
4. Асимптоти функцій.
5. Точки перегину.
6. Дослідження функцій та побудова графіків.
4.2. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
4.2.1. Теоремы Ролля, Лагранжа и формула Тейлора
Теорема Ролля. Если функция
y  f  x
дифференцируема в интервале (а,b) и
непрерывна на отрезке [a,b],
f  a   f b
, то в интервале (а,b)
f  0
найдется хотя бы одно значение x   , при котором  
(Рис. 4.7).
Если, в частности,   ,   , то теорема Ролля означает, что
между двумя корнями функции содержится хотя бы один корень ее производной.
f a 0
f b 0
y
y
A
f a 
f b
a
1 2
f b
f a 
х
0
B
0
b
Рис. 4.7
х
 b
a
Рис. 4.8
 
Теорема Лагранжа (о конечном приращении). Если функция
непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале (а,b), то в этом
интервале найдется хотя бы одно значение x   , при котором выполняется
y f x
равенство
f b  f  a   f   b  a 
.
F  x  f  x 
f b  f  a 
 x  a
ba
.
Доказательство. Рассмотрим функцию
Эта функция непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема в интервале
(а,b), так как этим условиям удовлетворяет функция
f  x
. Очевидно, что и
1
F  a   F b  f  a 
. Поэтому функция F  x  удовлетворяет условиям теоремы
Ролля. Следовательно, существует
f    
  a    b

такое, что F    0 , то
f b  f  a 
f b  f  a 
0
f    
ba
ba
. Отсюда получаем
, что и требова-
есть
лось доказать.
Эти теоремы имеют такой геометрический смысл: на дуге АВ непре-
  , имеющей в каждой внутренней точке определенную
рывной кривой
касательную (не параллельную оси Оу), найдется хотя бы одна внутренняя
точка, в которой касательная параллельна хорде АВ. (Для теоремы Ролля и
хорда АВ, и касательная параллельны оси Ох.) (Рис. 4.7).
y f x
Формула Тейлора. Функция   , дифференцируемая n  1 раз в некотором интервале, содержащем точку а, может быть представлена в этом интервале в виде суммы многочлена n-й степени и остаточного члена Rn :
f x
f '(a)
f "(a)
f (n) (a)
2
f ( x)  f (a) 
( x  a) 
( x  a)  ... 
( x  a)n  Rn .
1!
2!
n!
( n1)
f
()
Rn 
( x  a)n1,
  a   x  a
(n 1)!
где a    x или
, причем 0    1.
4.2.2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
Пусть функции f(х) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности
g x  0
точки x0 и  
в этой окрестности за исключением точки x0 . Если
lim f  x   lim g  x   0
lim f  x   lim g  x   
xx
или xx
, т. е. отношение этих функций в
x

x
0 представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то
точке
xx0
xx0
0
0
lim
xx0
 x
f ( x)  0  
f ( x)
  ,   lim
x

x
g ( x)  0    x0  g( x)
при условии, что существует предел отношения производных. ( x0 может
быть и  ).
f ( x)
Если частное g( x) в точке x0 также неопределенность вида 0/0 или ∞/∞
g  x 
f   x
и производные
и
удовлетворяют соответствующим условиям, то
следует перейти к отношению вторых производных и т.д.
В случае неопределенности вида 0 или   следует алгебраически
преобразовать данную функцию так, чтобы привести ее к неопределенности
вида 0/0 или ∞/∞ и далее воспользоваться правилом Лопиталя.
В случае неопределенности вида 00, ∞0 или 1∞ следует прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.
Доказывать теорему в общем случае не будем, а ограничимся одним
частным случаем, разъясняющим суть дела.
2
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Пусть функции f  x  и g  x определены и непрерывны в некоторой
окрестности точки x0 и знаменатель g  x не обращается в нуль в точках этой
окрестности, за исключением самой точки x0 . Пусть f  x0   g  x0   0, суще
ствуют производные f  x  и g  x в точке x0 , причем g  x0   0. Тогда
f ( x) f '( x0 )

.
xx0 g ( x)
g '( x0 )
f  x0   0 g  x0   0
lim
Доказательство. Поскольку
и
, то
f ( x)  f ( x0 )
f ( x)  f ( x0 )
lim
xx0
f ( x)  f ( x0 )
x  x0
x  x0
f ( x0 )
f ( x)
lim
 lim
 lim


xx0 g ( x)
xx0 g ( x)  f ( x )
x x0 g ( x)  f ( x )
g ( x)  f ( x0 ) g ( x0 )
0
0
lim
xx0
x  x0
x  x0
в силу
определения производной.
x2 1  ln x
lim
x
Пример 4. 18. Найти x1 e  e .
Решение. Числитель и знаменатель стремятся к нулю при x 1 , а потому имеем неопределенность вида 0/0. Воспользуемся правилом Лопиталя, т.
е. рассмотрим предел отношения производных заданных функций:

x2 1  ln x 

x2 1  ln x  0 
2x  1/ x 3
lim
    lim
lim

x

x1
x1
e e
ex
e
 0  x1  ex  e
x  sin x
lim
3
Пример 4.19. Найти x0 x
.
.
Решение. Это — неопределенность вида 0/0. Имеем


x  sin x 
1  cos x 


x  sin x  0 
1  cos x  0 
sin x 1
lim
    lim
 lim
    lim
 lim

3
2
x0
x0
x0
x0 6x
x
3
x
0
6
3 
2 
 0  x0


x
3x
 
 
, так
sin x
lim
1
как n0 x
. Здесь правило Лопиталя применено дважды.
xex / 2
lim
x
Пример 4.20. Найти x x  e .
Решение. В данном случае имеет место неопределенность вида ∞/∞.
Находим
x
1 x/2
x
x
ex / 2 (1  )
e (2  ) 1
2
xex / 2   
2  lim 2
2  lim
2      1 lim 1/ 2  0
lim
    lim
 
x
x
x
x
/
2
x/2
x x  e
x
e
2 x e
   x 1 e
   2 x (1/ 2)e
.
lim(sin x)x
Пример 4.21. Найти x0
.
Решение. Это — неопределенность вида 0°. Обозначим данный предел
через А, т. е.
A  lim(sin x)x
x0
, и прологарифмируем его. Вычислим предел лога-
3
рифма данной функции, применяя правило Лопиталя (после преобразования
к неопределенности вида ∞/∞):
lnsin x   
cos x / sin x
x2 cos x
x
    lim


lim
  lim( x cos x 
)0
2
x0 1/ x
x0 sin x
x0
sin x
   x0 1/ x
.
ln A  lim
0
Следовательно, A  e  1.
4.2.3. Возрастание и убывание функции
Напомним определение из п.3.1.4. Функция
f  x
называется возрас-
тающей (убывающей) в некотором интервале  a, b  , если для любых
 x1  x2  выполняется неравенство f  x1   f  x2  (соответственно
f  x1   f  x2 
(Рис. 4.9, 4.10). Возрастающие и убывающие функции назы-
x1, x2   a, b
ваются монотонными.
y
y
f  x1 
0
f  x1 
f x 2 
x1
x2
x
Рис. 4.9
0
x1
f x2 
x2
x
Рис. 4.10
Теорема. Необходимый признак монотонности.
1) Если функция
f  x
в интервале возрастает, то ее производная
f   x
f   x   0.
на этом интервале неотрицательна:
f x
2) Если функция f x в интервале убывает, то ее производная   на
этом интервале неположительная:
3) Если функция
f  x
f   x   0.
в интервале не изменяется (константа), то ее про-
изводная   на этом интервале тождественно равна нулю.
Доказательство. Докажем второе утверждение, остальные два доказыf x
y f  x  x   f  x 

x
ваются аналогично. Рассмотрим отношение x
( x и x  x
принадлежат интервалу). Числитель и знаменатель в этом отношении имеют
противоположные знаки. Потому предел этого отношения при x  0 непоy
 f   x  0
ложительный, т. е. x0 x
.
lim
Теорема. Достаточный признак монотонности.
4
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.

1) Если производная f  x  функции f  x  всюду в интервале положи-
тельна, то функция f  x  в этом интервале возрастает.

f x
2) Если производная f  x  от функции   всюду в интервале отрица-
f  x
тельна, то функция
в этом интервале убывает.
f   x
3) Если производная
от функции
f  x
всюду в интервале равна
нулю, то функция   в этом интервале не изменяется (константа).
Доказательство. Докажем первое утверждение. Возьмем в рассматриваемом интервале две произвольные точки x1 и x2 , причем пусть x1  x2 . По
f x
 x1    x2 . Если
f x  f x  0,
f x  f  x1  ,
то и  2   1 
т .е.  2 
ч.т.д.
формуле Лагранжа
f  x2   f  x1   f    x2  x1  ,
f     0,
то
так как и x2  x1  0,
Аналогично доказываются остальные два случая.
4.2.4. Экстремум функции
Определение 4.7. Точка х0 называется точкой максимума функции
f x  , если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство
f  x   f  x0 
.
Определение 4.8. Точка х0 называется точкой минимума функции
f  x
ство
, если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравен-
f  x   f  x0  .
(Рис. 4.11, Рис. 4.12).
y
y
y
f  x0 
f x 
х
0
x0 Х
х
f x 
f  x0 
0
Рис. 4.11
x0 Х
Рис. 4.12
х
0
х
х
Рис. 4.13
Определение 4.9. Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точка максимума или минимума функции называется
точкой ее экстремума.
Теорема. Необходимое условие экстремума. Если функция
точке x0 , имеет экстремум, то производная
существует.
f   x0 
f  x
в
обращается в нуль или не
f   x0   0
Точка x0 , в которой
называется стационарной точкой. Точки, в
 
  не существует называются критическими
которых
или
точками I рода. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
f x 0
f x
5
Теорема. Достаточные условия экстремума.
Правило 1. Если функция   непрерывна в точке x0 и дифференцируема в некоторой окрестности этой точки, за исключением, возможно, самой
точки x0 и при переходе через точку x0 производная функции меняет знак с
f x
  , а если
плюса на минус, то точка x0 есть точка максимума функции
с минуса на плюс, то точка минимума.
Если же при переходе через точку x0 производная функции не меняет
y f x
  экстремума не имеет.
знак то в точке х0 функции
Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда производная меняет знак с плюса на минус. Это значит, что слева от точки x0
y f x
функция возрастает, т. е.
f  x   f  x0  ,
f  x0   f  x  ,
а справа — убывает т. е.
ч.т.д.
Правило 2. Если в окрестности точки x  x0 вторая производная непре-
рывна, причем
f   x0   0
,а
f   x0   0
экстремум, а именно максимум, если
, то функция
f   x0   0
Доказательство. Рассмотрим случай
f  x
в точке x0 имеет
, и минимум, если
f   x0   0
. Так как
f   x0   0
f   x 
.
непре-
f   x0   0
рывна, то существует некоторая окрестность точки x0 , в которой
.
Тогда в этой окрестности функция
f   x0   0
выполнено
f   x
будет убывающей. Но при x  x0
. Следовательно, при переходе (слева направо) через
точку x0 функция   меняет знак с «плюса» на «минус». А это значит, что
в точке x0 функция имеет максимум.
f x
 n1


 x0   0, f n  x0   0. В
Правило 3. Пусть f  x0   0, f  x0   0,..., f
этом случае функция
f  x
имеет в точке х0 экстремум, если n — четное чис-
 n
 n
ло, а именно, максимум при f  x0   0 и минимум при f  x0   0. Если же
n — нечетное число, то функция
f  x
в точке х0 экстремума не имеет.
Для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции
f  x
на отрезке   нужно из значений функции на границах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку, выбрать наибольшее (наименьшее).
Пример 4.22. Найти интервалы монотонности, экстремумы функции
a, b
y  3  x2  4
2
и построить ее график.
Решение.
1.
D  y   R.
6
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
4
x
y   3 2
.
3
x

4
2.
4
x
3 2
 0,
3. Находим критические точки первого рода: y  0 при 3 x  4
2
x  0. y не существует при x  4  0, x  2 .
4. Критические точки разбили область определения на интервалы. Определяем знаки производной на каждом интервале.
Знак y
-
+
min
max
 ; 2 -2
x
y
y

-
+
х
min
 2;0
+
0
min
3
0
 0;2
2
 2;
0
-

+
0
min
16
max
ymin  y  2  y  2  0.
y
ymax  y 0  3 4  1,587.
3
y  при х 2,0 2,  ,
16
x
y  при х 2,0 2, .
-2
0
2
Строим график.
Рис. 4.14
Пример 4.23. Найти интервалы монотонности, экстремумы функции
y  x ln x и построить ее график.
Решение.
1.
D  y    0, .
x
y  ln x   ln x 1
x
2.
.
1
x .
e
3. Находим критические точки первого рода. y  0 при ln x 1  0,
y не существует: в области определения производная везде существу-
ет.
4. Критическая точка разбила область определения на интервалы. Определяем знаки производной на каждом интервале.
Знак y
Функция
не определена
x
+ х
-
0;e 
1
e
e1
0
min
1
e
1
; 
y  при х   0, e1  ,
ymin  y  e
1
  e
1
,
y  при х  e1, 
y  0  lim x ln x  0  
,
x0
ln x
1/ x
 lim
  lim x  0
x0 x
x0 1/ x2

 x0
 lim
.
7
y
y
-
0
min
+
e1
Строим график.
Если
e1
y
0
x
- e1
y  0.
Если
y  0.
Рис. 4.15
4.2.5. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба
  называется вогнутым (выОпределение 4.10. График функции
пуклым вверх) в интервале (а,b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (Рис. 4.16 ).
y f x
  называется выпуклым (выОпределение 4.11. График функции
пуклым вниз) в интервале (а,b), если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала (рис. 4.17).
y f x
M
M
Рис. 4.16
M
Рис. 4.17
Рис. 4.18
Теорема. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика
функции. Если
f   x   0
этом интервале; если же
выпуклый.
в интервале (а,b), то график функции вогнутый в
f   x   0
, то в интервале (а,b) график функции —
Определение 4.12. Точка  0  0  графика функции, отделяющая выпуклую его часть от вогнутой, называется точкой перегиба, причем в этой
точке должна существовать единая касательная. (Рис. 4.18).
Если x0 — абсцисса точки перегиба графика функции y  f x , то вторая
x,f x
производная  0 
или  0  не существует. Точки, в которых f x  0
или f x не существует, называются критическими точками II рода.
Если х0 — критическая точка II рода и при переходе через эту точку втоf  x  0
f  x
рая производная меняет знак, то точка x0 , f x0  является точкой перегиба.
Причем в этой точке функция должна быть непрерывной и должна существовать единая касательная. Если вторая производная не меняет знак, то перегиба в данной точке не будет.
8
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
4.2.6. Общая схема исследования функций и построения их графиков
При исследовании функций и построении их графиков рекомендуется
использовать следующую схему.
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на четность — нечетность.
3. Исследовать периодичность функции.
4. Исследовать на непрерывность и поведение функции на концах интервалов
определения. Найти вертикальные асимптоты..
5. Исследовать поведение функции при х стремящемся к бесконечности,
найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
6. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
7. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
8. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
9 .Построить график.
10 .Найти область изменения функции.
Заметим, что исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.
y
x2
2( x 1)3 и построить ее график.
Пример 4.24. Исследовать функцию
Решение.
1. Область определения (, 1) (1, ), т.е. x  1.
 y( x);
( x)2
y( x) 

2( x 1)3  y( x), то функция ни четная ни нечетная, т. е.
2. Так как
общего вида (график функции несимметричен относительно оси ординат
и начала координат).
3. Функция непериодичная.
4. x  1 — вертикальная асимптота, так как пределы функции при
x  1 0 (слева) и при x  1  0 (справа) бесконечны, т.е.
x2
 ,
x10 2( x  1)3
x2
 
x10 2( x  1)3
.
5. Наклонные асимптоты находим в виде y  kx  b , где
lim
lim
x3
f ( x)
x2
1
1
2( x  1)2
 
k  lim
 lim
 lim
    lim
 .
2
x
x

x

x

1
x
x
2( x  1)   
2(1  )2 2
x
9
 x3
1 
x3  x( x2  2x  1)
b  lim  f ( x)  kx  lim 

x

lim

x
x 2( x  1)2 2  x
2( x  1)2


1
2
x3  x 3  2 x 2  x
2x2  x
2x2  x
 
x  1.
lim
  lim
  lim 2
     lim
2
2
4
2
x
x


x


x



2( x  1)
2( x  1)
2x  4x  2  
2  2
x x
1
y  x 1
2
Прямая
— наклонная асимптота.
6. Экстремумы и интервалы монотонности функции.


x  x  1  x  1 x
y 
2
3
2
3

2x  14
3x2 x  12  2x  1x3

2x  14
x2 x  13x  3  2x x2 x  3

.
2x  14
2x  13
y  0 при х  3  0 и при х 2  0 т.е. при х  -3 и х  0.
y не существутпри х  1  0 т.е. при х  -1.
Знаки производной изображены на рисунке.
Знак y
+
-3
+
-1
max
Не определена
+
х
0
Экстремума
нет
3
Таким образом, x  3 есть точка максимума fmax  f (3)  3 .
4
Функция убывает на интервале [-3,-1) и возрастает на итералах (-,-3] и (-1,  ).
7. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
,
 x 3  3x 2  (3x 2  6x)((x  1) 3 )  3( x  1) 2 ( x 3  3x 2 )
 
y  

3
6
2
(
x

1
)
2
(
x

1
)


x( x  1) 2 ((3x  6)(x  1)  3( x 2  3x) x(3x 2  6x  3x  6  3x 2  9x)
3x


.
6
4
2( x  1)
2( x  1)
( x  1) 4
y  0 при х  0, y не существует при х  -1.
Знаки второй производной изображены на чертеже.
Знак y
_
+
_
-1
Не
определена
0
Перегиб
х
Таким образом, функция вогнута (выпукла вверх) на интегралах (-∞,-1)
и (-1,0] и выпукла (выпукла вниз) на интервале[0,∞).
10
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
x  0  точка перегиба, уперегиба  0.
8. f(0)=0. Уравнение f(0)=0 имеет единственное решение х=0, т. е. График
функции пересекает оси в начале координат (0,0).
x
y
y
 ,3
+
-
y
-3
0
-
3
 3,1
-1
-

Ø

3
4
1,0
+
-
0,
+
+
0
Точка
перегиба
Не
сущ.
max
0
0
0
9. График функции изображен на чертеже.
x
y
-3
0
1
x 1
2
y
-3,75
10. Е(у)=(-∞,+∞).
4.2.7. Экономические приложения производной.
Эластичность функции.
Предельный анализ
Производные применяются в экономике для получения так называемых
предельных издержек, предельной выручки, предельной прибыли и т. п. Слово «предельный» означает производную или скорость изменения. Если
функция   выражает количество произведенной однородной продукции K
за время t, то Kt  — производительность труда в момент t (предельная проK t
11
изводительность). Если функция S x выражает издержки производства однородной продукции в количестве х, то Sx выражает предельные издержки
производства (характеризирует приближенно дополнительные затраты на
производство единицы дополнительной продукции). Если Px прибыль от
продажи х единиц товара то Px предельная прибыль. Одним из основных
законов теории производства утверждает: Оптимальный для производства
Уровень выпуска товара определяется равенством граничных затрат и предельного дохода.
То есть уровень выпуска x0 является оптимальным, для производства,
если MS  x0   MD  x0  , где MS — предельные затраты; MD — предельный доход. Это следует из того, что прибыль C  x  равна C  x   D  x   S  x  . Макси




мальная прибыль будет при C  x   D  x   S  x   0, то есть D  x   S  x  .
S
AS  x   .
x Минимум этой величины достигается в
Средние издержки
S  x  S
S

 0, S  ,
2
AS  x   0,

x
x т. е. MS  x   AS  x  .
точке
Функция потребления и сбережения. Доход у населения разбивается
на две части: одну часть C y (функция потребления) оно тратит на потребление, а другую S y (функция сбережения) оставляет на сбережения. ОчеdC  y  dS  y 

 1.
y  C  y  S  y
dy
видно, что
и dy
dC
dS
и
dy
dy — предельные склонности к потреблению и сбережению.
Издержки хранения. Совокупные издержки производства товара состоят из издержек его производства и издержек хранения. Пусть товар завозится
на склад партиями по х штук в партии, а расходуется с постоянной скоростью.
V
Тогда наполняемость склада зависит от времени
x
t и задается функцией, график которой изображен на
x
чертеже. Здесь V —число единиц товара на складе,
2
0
t0
t
x
2 — средняя наполняем ость склада, t0 — время ис-
пользования партии.
Эластичность. Эластичность (относительная производная) функции
показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция yx при
изменении независимой переменной х на1%. Эластичность функции yx
определяется по формуле
Ex  y   η 
x dy
y dx .
12
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Для упрощения процесса дифференцирования (особенно произведения
степенных функций) иногда используется логарифмическая производная
d
1 dy
 ln y  
dx
y dx .
d
 ln y 
dx

d
 ln x 
dx
В терминах логарифмических производных
.


x

x
p
Если известна функция спроса
, можно предельную выручку по
 p dx 
dR d
dx
  xp   x  p  x 1 
  x 1  .
dp
 x dp 
отношению к цене dp dp
Если y — спрос, x — цена, то при:
1)
2)
Ex  y   1
Ex  y   1
 
— спрос считают эластичным,
— неэластичным,
3) Ex y  1 — с единичной эластичностью.
Есть другие определения эластичности.
Имеют место формулы:
1
u
Ex uv   Ex u   Ex  v  , Ex    Ex u   Ex  v  , Ex  y  
Ey  x 
v
.
Пример 4.25. Зависимость между себестоимостью единицы продукции
y(тыс.грн.) и выпуском продукции (тыс.грн.) выражается функцией
y  0,4 x  100. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции
на 50 тыс. грн.
Решение. Определяем эластичность
x dy
x
x
Ex y   
  0,4 
.
y dx 0,4x 100
x  250
50
Ex50  y  
 0,25,
50  250
При x  50
т. е. при выпуске продукции на 50тыс.
грн. Увеличение ее на 1%приведет к снижению себестоимости на 0,25%.
Пример 4.26. Производственная функция имеет вид QL  300 L  4L. ,
где L – численность работающих, Q(L)- объем производства.
Найти предельную производительность труда. Провести анализ.
Решение. Предельная производительность труда равна
Q  L  
 1 1 1 
dQ
150
 300  L2   4 
 4.
dL
L
2

Вычислим предельную производительность при разной численности рабочих L.
L
1
4
9
100 1405 1406,25 1407
2500
22500
QL
296 584
864
2600 5624
5625
5625
5000 -748490
96
26
4,0
4,
3,9
2
-3,364
QL / L 296 146
13
146
71
46
11
0,0
0
-0,0
-1
-3,6
QL
Из таблицы видно что предельная производительность труда уменьшается с ростом числа рабочих и начиная с 1407 становится отрицательной. Такая ситуация часто наблюдается на практике. Аналитически это означает что
производственные функции, как правило,
Д
Q
вогнутые, т. е. QL  0 .
Наконец, дадим еще раз, экономиче5600
ский смысл первой, второй и третьей
производной на примере производитель5000
ности труда.
4000
Таким образом, производственная
функция возрастающая QL  0 и во3000 1000 1407 2000 3000 L
2000
гнутая QL  0 . График нашей функции имеет вид, изображенный на рисунке. То, что функция стала убывать значит, что область ее определения отрезок, лежащий между 0 и1407.
Количество персонала L
10
11
12
13
14
15
1000
1001
1002
Количество продукции.
Q  300 L  4L
908,6833 950,9874 991,2305 1029,665 1066,497 1101,895 5486,833 5487,575
5488,315
Средняя производительность.
Q/ L
90,86833 86,4534 82,60254 79,20503 76,17837 73,45967 5,486833 5,482093
5,47736
Предельная производительность: Изменение объема выпускаемой продукции при увеличении числа персонала на единицу.
Q  150/ L  4
43,43416 41,2267 39,30127 37,60251 36,08919 34,72983 0,743416 0,741047
0,73868
Характер изменения предельной производительности: С ростом числа персонала предельная производительность уменьшается.
-2,37171 -2,05576 -1,80422
-1,6001
Q  75/ L3/ 2
-1,43176 -1,29099 -0,00237 -0,00237
-0,00236
Темп изменения предельной производительности: С ростом числа персонала предельная производительность уменьшается с уменьшающимся темпом.
Q  112,5/ L5/ 2
0,355756 0,280331 0,225527 0,184627 0,153402 0,129099 3,56E-06 3,55E-06
3,54E-06
Обратите внимание на то, как связаны между собой строки.
Например 41,2267  43,43416  2,37171 .
Понятие вогнутости функции находит свою интерпретацию в экономической теории. Одним из основных экономических законов — закон убывающей доходности, который формулируется так: с ростом производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса
(трудового, технологического и других) с некоторого момента убывает. Этот
14
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
закон означает, что функция y  f x, которая выражает зависимость выпуска продукции от вложенных ресурсов, есть функция вогнутая.
Другим важным понятием экономической теории является функция полезности U x, где х — товар; U — полезность. Эта функция дает субъективную оценку товара для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективную оценку для общества в целом. Закон убывающей полезности такой:
с ростом количества товара, дополнительная полезность каждой новой единицы продукции с некоторого момента бывает. Это означает, что функция
полезности вогнута.
Пример 4.27. Эпидемия медленно распространяется среди населения.
 5

A  t   200  t 2  t 2 

 , где t — число
Число заболевших определяется формулой
недель, прошедших с момента начала эпидемии. Найти скорость изменения
числа заболевших в момент времени: a) t  1; b) t  4; c) t  9.
15
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.:
Высш.шк., 1981.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Основная
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред.
Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.:
Инфра-М, 1997.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике. — М.: Финансы и статистика, 2003.
Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное
пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие
для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. —
Минск, 1968.
Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу
высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.:
Экономическое образование, 1989.
Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. — М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука,
1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1977.
16
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
19
Размер файла
1 180 Кб
Теги
лекция, построение, графиков, функции, исследование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа