close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 10 Функции нескольких переменных

код для вставкиСкачать
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Лекция 10
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Вопросы:
1. Открытые и замкнутые множества. Граничные и внутренние точки
множества.
2. Области, задаваемые неравенствами.
3. Понятие функции двух переменных.
4. Способы задания функции двух переменных.
5. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции.
6. Частные производные.
7. Полный дифференциал функции.
5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
5.1.1. Открытые и замкнутые множества. Граничные и внутренние точки
множества
M  x1, x2 ,..., xn 
Определение
5.1.
n-мерной
точкой
называют
последовательность n действительных чисел x1, x2 ,..., xn . Сами числа x1, x2 ,..., xn
называют координатами точки М. Множество всех n -мерных точек составляет nмерное пространство Rn.
Определение 5.2. Расстоянием между точками M  x1, x2 ,..., xn  и N  y1, y2 ,..., yn 
называют число
 M , N  
 y1  x1    y2  x2   ...   yn  xn  
2
2
2
n
 y  x 
i 1
i
i
2
.
Определение 5.3.  -окрестностью S  M0  точки M 0 в n -мерном
пространстве Rn называют множество всех точек M  Rn таких, что   M , M0    ,
т.е. точки круга с центром в точке М0, где  — некоторое положительное число.
Определение 5.4. Точку M 0 называют внутренней точкой множества D точек
n -мерного пространства Rn , если она входит в множество D вместе с некоторой
окрестностью S  M0  .
Определение 5.5. Точку M 0 называют граничной точкой множества D, если
каждая окрестность точки M 0 содержит как точки из множества D, так и точки, не
принадлежащие этому множеству.
Определение 5.6. Множество всех граничных точек множества D называется
границей этого множества.
1
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
М1 — граничная точка
M0


М2 — внутренняя точка
M1
M2
М3 — граничная точка

M3

Определение 5.7. Множество D в Rn называют открытым, если все точки
множества D являются внутренними.
Определение 5.8. Множество D в Rn называют замкнутым, если оно
содержит все свои граничные точки.
Определение 5.9. Множество D точек в Rn называется связным, если любые
две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, все точки
которой принадлежат этому множеству.
5.1.2. Области, задаваемые неравенствами
Определение 5.10. Всякое открытое и связное множество в Rn принято
называть областью.
Все определения данные в п. 5.1.1 справедливы для области.
Часто встречаются области, определенные следующим образом.
Пусть имеются две функции, определенные и непрерывные в замкнутом
промежутке [а,b]: y=f(x), у=g(x).
Допустим, кроме того, что g(x) <f(x) для a<x<b.
Это означает, что график функции f(x) находится над графиком функции g(x)
(за исключением, быть может, концов интервала, в которых возможно f(x) =g(x)).
Множество точек (x,у), удовлетворяющих неравенствам: а<x<b, g(x)<у <f(x),
образует связную область, границей которой служат графики функций f(x), g(x) и
прямолинейные отрезки, соединяющие соответствующие концы этих кривых.
Очевидно, что в некоторых случаях эти отрезки сводятся к точкам.
5.1.3. Понятие функции двух переменных
При изучении многих вопросов экономики, естествознания и других наук
часто приходится иметь дело с такими зависимостями между несколькими
переменными величинами, когда численные значения одной из них полностью
определяются значениями нескольких величин. Так, например, спрос d на данный
продукт зависит от его цены x и наличных ресурсов потребителей y.
2
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Эта часть курса высшей математики посвящается изучению такого вида
зависимостей. Далее вводятся функции нескольких переменных, и изучается
аппарат исследования таких функций.
По аналогии с функцией одной переменной можно дать определение функции
двух переменных.
Определение 5.11. Если каждой паре чисел (x,y) из некоторого множества D,
((x,y) D) по некоторому правилу ставится в соответствие единственное
действительное число z  R , то говорят, что на множестве D задана функция двух
переменных.
При этом x и y называются независимыми переменными (аргументами), z —
зависимой переменной, множество D — областью определения функции, а E —
множеством значений функции.
Обозначения функции двух переменных: z=z(x,y), z=f(x,y), z=h(x,y), или
у=f(x1,x2) и т.д.
Замечание. Так как каждой паре чисел (x,y) соответствует единственная точка
P(x,y) плоскости Oxy и, обратно, каждой точке P(x,y) соответствует единственная
пара чисел (x,y), то функцию двух переменных можно рассматривать как
функцию точки P(x, y) и вместо записи z=f(x, y) писать z=f(P), а областью
определения функции в этом случае будет некоторое множество точек {P}
плоскости.
5.1.4. Способы задания функции двух переменных
Как и в случае одной переменной, способы задания функции двух переменных
могут быть различными (табличным, графическим, аналитическим).
Если функция двух переменных задана с помощью аналитического выражения
без каких-либо дополнительных условий, то областью ее определения принято
считать множество всех таких точек плоскости Oxy, для которых это выражение
имеет смысл и дает действительное значение функции.
Областью определения функции двух переменных может быть вся плоскость
Oxy или ее некоторая часть, некоторая область.
Пример 5.1. Найти область определения функции z  x 2  y .
Решение. Областью определения этой
функции является множество всех точек,
x2  y
для
которых
выражение
определено, т.е. множество точек, для
которых x2  y  0 , или y  x2 . Множество
всех таких точек находится ниже параболы
y=x2, включая саму кривую (рис.5.1).
Рис. 5.1
Пример 5.2. Найти область определения функции
z  4  x2  y 2  ln y  x2 .


3
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Решение.
y
2
2
2
2

4  x  y  0, 
x  y  4,
D


2
2


 y  x  0.
y  x .
y  x2
Первое неравенство определяет круг
радиуса 2 с центром в начале координат,
второе — множество точек, лежащих выше
параболы y=x2 (рис. 5.2).
D
2
0
x
x2  y 2  4
Рис.5.2.
График функции двух переменных z  f  x, y  , вообще говоря, представляет
собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве (рис.5.3.)
Замечание. Поскольку построить Сечение по- z
z  f x, y 
поверхность в пространстве достаточно вехности
плоскостью
трудная задача, то для облегчения
z C
образного представления функции двух
переменных используют линии уровня.
Для функции z=f(x,y) эти линии Линии уровня
f x, y   C
определяются системой уравнений z=C и
z=f(x,y).
y
D
x
Рис. 5.3
Пример 5.3. Для функции z=x +y найти линии уровня z=0, z=1, z=4, z=9.
Решение. Для z=0 получаем уравнение линии 0=x2+y2, это точка (0,0). Другие
линии уровня имеют вид x2+y2=1, x2+y2=4, x2+y2=9. Это окружности с центром в
точке (0,0) и радиусами R=1, R=2, R=3.
Из аналитической геометрии известно, что множество всех троек чисел (x,y,z)
образует координатное пространство. При этом каждой тройке чисел (x,y,z) в
пространстве соответствует точка P(x,y,z). Если вместо множества D точек
плоскости возьмем множество D точек трехмерного пространства, то совершенно
аналогично можно дать определение функции трех переменных: u=f(P) или
u=f(x,y,z).
Подобным образом можно ввести понятие функции четырех, пяти и вообще n
переменных u=f(x1,x2,…, xn).
2
2
5.1.5. Некоторые многофакторные функции, используемые в экономике
Функция полезности u=f(x1,x2,…,xn) — субъективная числовая оценка
полезности набора товаров x1,x2,…,xn. Линии уровня для функции полезности
4
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
называются кривыми безразличия, поскольку ни один из соответствующих
наборов товаров не имеет преимущества перед другими.
Функция издержек I(Y)=I(y1,y2,…,yn) — зависимость издержек в стоимостной
форме от объемов y1,y2,…,yn выпускаемой продукции.
Производственная функция Y=f(x1,x2,…,xn) — зависимость объема или
стоимости выпускаемой продукции от объемов x1,x2,…,xn перерабатываемых
ресурсов. Линии уровня производственной функции называются изоквантами.
В экономической литературе часто используется производственная функция
Кобба-Дугласа, которая является функцией двух переменных z  AK L , где z —
объем выпущенной продукции, K — объем основных фондов, L — объем
трудовых ресурсов, A, ,  — определенные постоянные,    1 .
В дальнейшем будем подробно рассматривать функции двух переменных,
поскольку все определения и теоремы могут быть обобщены на функции трех и
более переменных.
5.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
5.2.1. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции
Определение 5.12. Число А называется пределом функции z  f x, y  при
x  x0 и y  y0 (или в точке M0 x0 , y0  ), если для любого, сколь угодно малого
положительного числа   0 , найдется окрестность точки x0 , y0 , такая, что для
всех точек x, y  из этой окрестности, быть может за исключением точки x0 , y0 ,
выполняется неравенство f  x, y   A   .
Обозначается предел так: lim f x, y   A или lim f M   A .
x  x0
y  y0
M M 0
Определение 5.13. Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке P0(a,b),
если limf(x,y)=f(a,b) или lim f (М )  f(a,b).
xa
yb
M

M0
Замечание. Функция z  f x, y  будет непрерывной в точке x0 , y0 , если она:
1) определена в точке x0 , y0 ;
2) имеет конечный предел при x  x0 и y  y0 ;
3) этот предел равен значению функции в точке x0 , y0 , т.е.
lim f x, y   f x0 , y0 .
x  x0
y  y0
Определение 5.14. Функция называется непрерывной в некоторой области,
если она непрерывна в каждой точке этой области.
5
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Функции двух и большего числа переменных, непрерывные в замкнутой
ограниченной области, обладают свойствами, аналогичными свойствам функций
одной независимой переменной, непрерывных на отрезке. Например, имеет место
следующая теорема.
Теорема. Если функция z=f(P) непрерывна в ограниченной замкнутой
области, то она в этой области:
1) ограничена, т.е. существует N=const такая, что для всех точек из этой
области выполняется: f  P  N ;
2) имеет наименьшее m и наибольшее M значения;
3) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение,
заключенное между m и M.
5.2.2. Частные производные
Пусть на некотором множестве D определена функция z=f(P). Возьмем
произвольную точку P(x,y)D и придадим переменной x произвольное
приращение x , оставляя значение переменной у неизменным. При этом x
таково, что точка (x+ x ,y)D. Тогда соответствующее приращение функции
 x z=f(x+ x ,y)–f(x,y)
называется частным приращением функции по переменной x в точке P(x,y).
Аналогично определяется частное приращение функции по переменной у:
 y z=f(x,y+ y )–f(x,y).
Определение 5.15. Если существует конечный предел
lim
x0
x z
, то он
x
называется частной производной функции z=f(x,y) в точке P(x,y) по переменной
х и обозначается
lim
x0
x z
 f x  x, y  .
x
Аналогично определяется частная производная функции z=f(x,y) по
переменной у:
у z
 f у'  x, y  .
у0 у
дz дz
Частные производные так же обозначаются zx , zy или , .
дx дy
lim
Из определения 5.15 следует, что частная производная функции двух
переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной
переменной при фиксированном значении второй переменной. Поэтому
вычисление частных производных производится по формулам и правилам
нахождения производных функций одной переменной.
Рассмотрим примеры вычисления частных производных.
6
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
z z
функции
,
x y
z  ln 3x2 y  x5 y8  3 y4  6x9 10 .

z 3x2 y  x5 y8  3y 4  6x9  10 x
6xy  5x4 y8  54x8
Решение.


.
x
3x2 y  x5 y8  3y 4  6x9  10
3x2 y  x5 y8  3y 4  6x9  10
Пример 5.4. Найти частные производные





z 3x2 y  x5 y8  3 y 4  6x9  10 y
3x2  8x5 y 7  12y 3

 2
.
y
3x2 y  x5 y8  3 y 4  6x9  10
3x y  x5 y8  3 y 4  6x9  10
x
z z
Пример 5.5. Найти частные производные
функции z  arcsin 2 .
,
x y
y
Решение.

 x
 y2 
 x
 x
2x
1 2
 

y
 y
2
z
1
y
y
2x
y

 4 2  4 2 , z   



.
2
x
y x
y  x y
y

x
y
y

x
 x
 x
1  2 
1   
y 
y 
2
2
3
y
2
4
2
4
2
2
Пример 5.6. Пусть производственная функция z=F(K,L) выражает
зависимость объема выпущенной продукции от факторов производства: K —
объема основных фондов либо в стоимостном, либо в количественном
выражении, L — объема трудовых ресурсов (число рабочих, число человеко-дней
и т.д.).
Основными
экономико-математическими
характеристиками
производственной функции являются: средняя производительность труда
средняя фондоотдача
z
;
L
z
.
K
Наряду со средними показателями при анализе производственных функций
играют роль и предельные характеристики функций.
Предельная
производительность
труда
дF
дL
характеризует
величину
дополнительного эффекта от каждой дополнительной единицы затраченного
труда в данной точке (K,L).
Для производственной функции Кобба-Дугласа
имеем:
z  AK L
дF
z
 AK  L1   , т.е. предельная производительность труда пропорциональна
дL
L
средней производительности.
Аналогично определяется предельная фондоотдача
дF
.
дK
Применяемые в экономических исследованиях относительные производные
(эластичности) для функции Кобба-Дугласа равны EK  z   , EL  z   .
7
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Пример 5.7. На предприятии с объемом фондов 10 млрд. грн., количеством
работников 1000 человек запланировано повышение выпуска продукции на 3%,
для этого необходимо увеличить объем фондов на 6% или количество работников
на 9%. Найти выражение функции Кобба-Дугласа, среднюю фондоотдачу и
предельную фондоотдачу, если в 2000 году один работник производил за год
продукции на 1 млрд. грн.
Решение. Из условия следует, что  =3/6=1/2,  =3/9=1/3, таким образом
1 1
z  AK 2 L3 .
Подставляя
данные
условия,
получим
уравнение
1 1
2 3
1061000=А(1010)1/2(1000)1/3. Следовательно, А=1000 и z  1000K L . Средняя
фондоотдача
F
z
z
    0,05.
 0,1 , предельная фондоотдача
K
K
R
5.2.3. Полный дифференциал
Определение 5.16. Полным приращением функции z=f(P) в точке P(x,y),
соответствующим приращениям x и y переменных x и y называется выражение
Δz=f(x+ x ,y+ y )–f(x,y).
(5.1)
Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных
приращений, т. е. z  x z   y z .
Определение 5.17. Функция z=f(P) называется дифференцируемой в точке
P(x,y), если ее полное приращение (5.1) в этой точке может быть представлено в
виде
Δz=A x +B y +α( x , y ) x +β( x , y ) y ,
где A и B не зависят от x и y , а α( x , y ) и β( x , y ) — бесконечно малые
функции при x →0, y →0 (т.е.  x    y   0 ).
Теорема 1. (Необходимое условие дифференцируемости). Если функция
z=f(P) дифференцируема в точке P(x,y), то она имеет в этой точке частные
производные fx´(x,y) и fy´(x,y), причем fx´(x,y)=A, fy´(x,y)=B.
Теорема 2. (Достаточное условие дифференцируемости). Если функция
z=f(P) имеет частные производные в некоторой окрестности точки P(x,y) и эти
производные непрерывны в самой точке P(x,y), то эта функция дифференцируема
в точке P(x,y).
Замечание. Понятие дифференцируемости для функции трех и более
переменных вводится аналогично понятию, рассмотренному для функции двух
переменных.
Определение 5.18. Дифференциалом dz дифференцируемой в точке P(x,y)
функции z=f(P) называется линейная относительно приращений x и y часть
полного приращения этой функции, т.е.
dz=A x +B y .
(5.2)
Используя теорему 1, выражение (5.2) можно записать следующим образом
2
2
8
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
dz=fx´(x,y) x +fy´(x,y) y .
(5.3)
Если положить z=x, то dz=dx=1 x +0 y , т.е. dx= x , аналогично dy= y и
дифференциал (5.3) можно записать как
dz=fx´(x,y)dx+fy´(x,y)dy.
Таким образом, полный дифференциал функции z  f x, y  вычисляется по
формуле
dz 
или
dz 
z
z
x  y
x
y
z
z
dx  dy.
x
y
(5.4)
Аналогично полный дифференциал функции трех аргументов u  f x, y, z 
u
u
u
dx  dy  dz.
x
y
z
Замечание. Из определения следует, что z  dz . Этим широко пользуются в
вычисляется по формуле du 
приближенных вычислениях, т.к. дифференциал обычно легче подсчитать, чем
полное приращение.
Пример 5.8. Дана функция z  arctg
Решение.
дz

дx
1
 x y
1  

x y
2

x y
. Найти dz.
x y
 2y
y
 2
,
2
( x  y)
x  y2
Следовательно,
dz 
дz

дy
1
 x y
1  

x y
2

2x
x
 2
.
2
( x  y)
x  y2
z
z
xdy  ydx
dx  dy  2 2 .
x
x
x y
Пример 5.9. Найти полное приращение и полный дифференциал функции
z  xy2 при изменении x, y от точки M 1; 2 до точки P0,98; 2,03.
Решение.
x  0,98 1  0,02; y  2,03  2  0,03;
z  f  P  f  M   0,98  2,032 1 22  0,038482 ;
дz
дz
dz  x  y  y2x  2xyy dz  22   0,02  2 1 2  0,03  0,04.
дx
дy
Очевидно, что z  dz 0,038482 0,04 .
Пример 5.10. Вычислить приближенно 0,982,04.
Рассмотрим функцию z=xу.
z
z
x  y  z  x y  x y  yx y1x  x y ln xy.
x
y
x  1, x  0.02, y  2, y  0,04.
 x  x yy  x y 
9
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
0,982,04  12  2  12 1   0,02  12  ln 1  0,04  0,96.
Вычисление
с
помощью
калькулятора
дает
следующий
результат
0,982,04  0,95962420... .
10
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.: Высш.шк.,
1981.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Основная
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш.
Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.:
Инфра-М, 1997.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.
— М.: Финансы и статистика, 2003.
Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное
пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для
вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. — Минск,
1968.
Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу
высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.:
Экономическое образование, 1989.
Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. —
М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1977.
11
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
15
Размер файла
611 Кб
Теги
лекция, несколько, функции, переменных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа