close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 11 Производная по направлению. Градиент функции.

код для вставкиСкачать
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Лекция 11
Производная по направлению. Градиент функции.
Вопросы:
1. Частные производные высших порядков.
2. Производная по направлению. Градиент.
3. Экстремум функции.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.
5.2.4. Частные производные высших порядков
Пусть частные производные fx' (x,y) и fy'(x,y) функции z=f(P), определенной на
некотором множестве D, существуют в каждой точке этого множества. В этом
случае частные производные представляют собой функции двух переменных x и
y, определенные на D. Назовем их частными производными первого порядка.
Определение 5.19. Частные производные по переменным x и y от функций
fx'(x,y) и fy' (x,y) в точке P  D , если они существуют, называются производными
второго порядка относительно функции f(P) в этой точке. Они обозначаются
символами
д2 z
д2 z
''
''
 f xx
( x, y)  f x(2) ( x, y);
 f xy
( x, y) 
2
дx дy
дx
д2 z
д2 z
''
''
 f yy
( x, y)  f y(2) ( x, y);
 f yx
( x, y) 
2
дy
дx
дy
2
2
(2)
f xy
( x, y)
(2)
f yx
( x, y) .
''
''
( x, y) и f yx
( x, y) называются
Частные производные второго порядка вида f xy
смешанными частными производными.
Пример 5.11. Найти частные производные
z  ex
2
 y2
.
Решение.


z z  2 z  2 z  2 z  2 z
функции
,
,
,
,
,
x y x 2 y 2 xy yx


2
2
2
2
z x 2  y 2 2 2 '
z x 2  y 2 2 2 '
e
x  y x  2xex  y ,
e
x  y y  2 yex  y .
x
y
 
 
 z
  z 
  4xye
 z     2xe
xy
y  x 


2 z
' x2  y 2
x2  y 2 '
x2  y 2
x2  y 2
x2  y 2
2 x2  y 2
2 x2  y 2

2
(
x
)
e

2
x
e

2
e

2
x

2
xe

2
e

4
x
e

2
1

2
x
e
.
x
x
x2
2 z
' x2  y 2
x2  y 2 '
x2  y 2
x2  y 2
x2  y 2
2 x2  y 2
2 x2  y 2

2
(
y
)
e

2
y
e

2
e

2
y

2
ye

2
e

4
y
e

2
1

2
y
e
.
y
y
y 2
2
xy
x2  y2 '
y
x2  y2

,

2
2
2 z
  z 
   2 y e x  y
 zyx
yx
x  y 

  4xye
'
x
x2  y 2
.
Пример 5.12. Найти частные производные второго порядка функции
z  x3  4x2 y2  5xy .
Решение. Имеем:
дz
дz
 3x2  8xy2  5 y;
 8x2 y  5x . Следовательно,
дx
дy
1
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
2
д2 z
д2 z
д2 z
2 д z
 8x 2 .

6
x

8
y
;


16
xy

5
;
2
дxдy дyдx
дx2
дy
''
Теорема. Если в некоторой окрестности точки P(x,y) производные f xy
( x, y) и
''
f yx
( x, y) существуют и непрерывны в самой точке P, то они равны между собой в
этой точке, т.е.
f xy'' ( x, y)  f yx'' ( x, y) .
Аналогично вводятся понятия частных производных 3-го, 4-го, …, n-го
порядков с соответствующей символикой и доказывается теорема о смешанных
производных любого порядка.
5.2.5. Производная по направлению. Градиент
Рассмотрим функцию z=f(P), определенную на некотором множестве D и
единичный вектор l  cos ,cos   cos ,sin  произвольного направления.
y

a
M1x  Δx,y  Δy
y  y
M x,y 

y
x
0
x  x
x
Рис. 5.4.
Для характеристики скорости изменения функции в точке P(x,y) в
направлении l введем понятие производной по направлению.
Через точку М проведем прямую параллельно вектору l и возьмем на ней
точку М1(x+ x ,y+ y ) (рис.5.4). Функция f(М) получит при этом полное
приращение
Δz=f(x+ x ,y+ y )–f(x,y).
Определение 5.20. Предел отношения
z
при MM1  0 , ( M  M1 ), если он
ММ1
существует, называется производной функции z=f(М) в точке М(x,y) по
направлению вектора l и обозначается
дz
z
z
, т.е. lim
 .
MM 0 MM
l
дl
1
1
Если функция f(М) дифференцируема в точке М, то учитывая, что
x  MM1 cos  , y  MM1 cos  , производная в данном направлении определяется
формулой
дz дz
дz
дz
дz
 cos   cos   cos   sin  .
дl дx
дy
дx
дy
(5.5)
2
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Пример 5.13. Вычислить производную функции z=x2+y2x в точке P(1;2) по
направлению вектора PP1 , где P1(3;0).
Решение. Находим единичный вектор l данного направления:
PP1  2; 2  2i  2 j ; PP1  2 2 ; l 
Отсюда cos  
PP1 2i  2 j 1
1


i
j.
2 2
2
2
PP1
1
1
, cos    .
2
2
Частные производные функции в точке P(1;2):
fx´(x,y)=2x+y2, fy´(x,y)=2xy, fx´(1,2)=6, fy´(1,2)=4. Следовательно,
дz
1
1
 6
 4
 2.
дl
2
2
Определение 5.21. Градиентом функции z=f(P) в точке P(x,y) называется
вектор, проекции которого на координатные оси совпадают с соответствующими
дz дz
, , взятыми в точке P(x,y).
дx дy
 дz дz 
Он обозначается grad z   ;  .
 дx дy 
частными производными
Используя понятие градиента функции, представим формулу (5.5) в виде
скалярного произведения векторов


дz дz
дz
 cos   cos   grad z, l .
дl дx
дy
Так как l  1, то, учитывая определение скалярного произведения, имеем
дz
 grad z cos ,
дl
где  — угол между градиентом и вектором l .
Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению
будет наибольшей при cos   1    0 , т.е. когда направление вектора l совпадает
с направлением градиента z, при этом
дz
 grad z .
дl
Таким образом, градиент функции z=f(P) в точке P(x,y) характеризует
направление и величину максимального роста этой функции в точке P(x,y).
Замечание. Аналогично определяется производная по направлению для
функции трех переменных u  f x, y, z . При этом справедлива формула
дu дu
дu
дu
 cos   cos  cos  ,
дl дx
дy
дz
3
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
cos ,cos ,cos  — направляющие
 дu дu дu 
градиент grad u   , ,  .
 дx дy дz 
где
косинусы, т.е.
cos2   cos2  cos2   1 ,
Пример 5.14. Найти производную функции u  xy2 z 3 в точке М(3;2;1) в
направлении вектора MN , где N(5;4;2).
Решение. Найдем координаты вектора MN и его направляющие косинусы:
MN  a  (5  3;4  2;2  1)  (2;2;1) ,
cos  
2
2

;
22  22  12 3
cos  
2
2

;
22  22 12 3
cos  
1
1

.
22  22  12 3
Значения частных производных:
 u 
u
u
u
u
u
 y 2 z 3;
 2xyz3;
 3xy2 z 2 ;    4;    12;    36.
x
y
z
 x M
 z M
 y M
Следовательно, дu  4  2  12  2  36  1  22 2 .
дl
3
3
3
3
Градиент в произвольной точке равен gradz  y 2 z 3 ,2xyz3 ,3xy2 z 2  , а в точке М



gradz  4,12,36 или gradz  4i  12 j  36k .
5.3. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
5.3.1. Экстремум функции
Пусть функция z  f ( x, y) определена на некотором множестве D и P0 ( x0 , y0 ) —
некоторая точка этого множества.
Определение 5.22. Функция z  f ( x,y ) имеет в точке P0 локальный
максимум, если для любой точки P из некоторой окрестности точки P0
выполняется неравенство f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) .
Определение 5.23. Функция z= f(x, y) имеет в точке P0 локальный минимум,
если для любой точки P из некоторой окрестности точки P0 выполняется
неравенство f ( x, y)  f ( x0 , y0 ) .
Такие точки называются точками экстремума.
Теорема (Необходимое условие существования экстремума).
Если P0 ( x0 , y0 ) есть точка экстремума функции z = f(x, y), то
f x' (x0 , y0 )  0 , f y' ( x0 , y0 )  0
в предположении, что указанные частные производные существуют в точке
P0 ( x0 , y0 ) .
Определение 5.24. Точки, в которых частные производные равны нулю,
называются стационарными точками.
Не всякая стационарная точка является точкой экстремума.
Теорема (Достаточное условие экстремума).
4
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Пусть в точке P0(х0,у0) возможного экстремума и некоторой ее окрестности
функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные 2-го порядка.
Обозначим через A  f xx( x0 , y0 ) , C  f yy (x0 , y0 ) , B  f xy (x0 , y0 ) и
(P0 ) 
A B
 AC  B2 .
B C
Тогда:
а) если (P0 )  0 , то в точке P0 функция имеет экстремум, причем при A  0 —
локальный максимум, при A  0 — локальный минимум;
б) если ( P0 )  0 , то в точке P0(х0,у0) нет экстремума;
в) в случае (P0 )  0 точка P0(х0,у0) может быть, а может и не быть точкой
экстремума. В этом случае необходимы дополнительные исследования.
Пример 5.15. Найти экстремум функции z  x3  y 3  3xy .
Решение.
1) Находим частные производные первого порядка
zx 
z
z
 3x 2  3y, zy   3y 2  3x.
x
y
2) Воспользовавшись необходимыми
стационарные точки:
условиями
экстремума, находим
 z
2
2
 x  0, 3x2  3 y  0,
 x  y  0,  y  x ,




 z
 2
 2

2
3
y

3
x

0.
y

x

0.
x

y
.





  0. 
 y
2
2
2

 y  0, y2  1,
 y  x ,  y  x ,
 y  x ,



 1
4
4
x  x . 
 x  x  0. 
 x 1  x   0.  x1  0, x2  1.

Имеется две стационарные точки: M1(0,0), M2 (1,1).
3) Находим частные производные второго порядка:
2 z
 6x~A,
x2
2 z
2 z
 3~B,
 6 y~C.
xy
y2
4) Находим значения вторых производных и дискриминанта AC  B2 в
стационарных точках, делаем выводы относительно экстремума функции.
Точка
M1(0,0) : A  6  0  0, B  -3, C  6  0  0, AC-B2  0  9  9  0 
экстремума в точке M1 нет.
M 2 (1,1) : A  6  1  6, B  -3, C  6  1  6, AC-B2  36  9  27  0, C  6  0 
Точка
экстремум в точке M2 (1,1) есть, причем минимум. Величина этого минимума
zmin  13 13  311  1 .
Пример 5.16. Найти экстремум функции z=3xy–x2y–xy2.
Решение. Находим частные производные первого порядка
5
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
z'x  3 y  2xy  y2 .
z'y  3x  x2  2xy
Приравняв эти производные нулю, получаем систему уравнений
3 y  2xy  y 2  0,
.

2
3x  x  2xy  0.
Решаем ее:
 y(3  2x  y)  0,
.

x(3  x  2 y)  0.
Таким образом, решение этой системы сводится к четырем системам:
 x  0 x  0
y  0
3  2x  y  0
, 
, 
, 
.

 y  0 3  2x  y  0 3  x  2 y  0 3  x  2 y  0
Решения этих систем дают критические точки: P1(0;0), P2(0;3), P3(3;0), P4(1;1).
Теперь находим частные производные второго порядка


z  2 y ~ А; z  3  2x  2 y ~ В; z   2x ~ С.
xx
xy
yy
Находим значения вторых производных и дискриминанта AC  B2
стационарных точках, делаем выводы относительно экстремума функции.
= 4xy–(3-2x-2y)2.
Тогда:
(P1) = - 9 < 0, в точке P1 экстремума нет;
(P2) = - 9 < 0, в точке P2 экстремума нет;
(P3) = - 9 < 0, в точке P3 экстремума нет;
(P4) = 3 >0, А =-2<0; P4 — точка максимума.
Итак, данная функция имеет максимум в точке P4, равный z(P4) = 1.
в
5.3.2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
Пусть функция z=f(x, y) непрерывна в ограниченной замкнутой области D и
дифференцируема в этой области.
Тогда она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения
(глобальный максимум и минимум), которые достигаются или внутри области
или на ее границе. Если наибольшее или наименьшее значения функция
принимает во внутренних точках D, то эти точки, очевидно, являются точками
экстремума функции z=f(x, y). Таким образом, точки, в которых функция
принимает наибольшее или наименьшее значения являются либо точками
экстремума функции, либо граничными точками области D.
Итак, чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции в
ограниченной замкнутой области D, следует определить значение функции в
критических точках, лежащих внутри D, а также ее наименьшее и наибольшее
значения на границе области D. Наибольшее и наименьшее значение из всех
6
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
перечисленных значений являются соответственно наибольшим и наименьшим
значениями функции z=(x, y) в области D.
Пример 5.17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x2–y2 в
круге x2+y24.
Решение. Частные производные первого порядка:
z'x  2x;
z'y  2 y.
Решая систему уравнений
 2х  0,

 2 х  0,
получим одну критическую точку P0(0, 0), в которой значение функции z(P0)=0.
Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границе, т.е.
на окружности x2+y2=4. Для точек этой окружности функцию z=x2–y2 можно
представить как функцию одной переменной x:
z=x2–(4-x2)=2x2–4,
причем -2x2. Следовательно, нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции двух переменных x2+y2=4 сводится к нахождению
наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной z=2x2–4 на
отрезке [-2;2]. Найдем критические точки этой функции на интервале (-2;2):
z  4x  4x  0 ,
откуда получаем критическую точку x=0.
Вычислим значения функции в критической точке и на концах интервала.
Имеем
z 0  4, z  2  4, z  2  4 .
Сравнивая значения функции в критической точке P0 внутри области и
полученные значения на границе, определяем, что наибольшее значение z=x2–y2 в
круге x2+y24 принимает в точках M1(-2;0) и M2(2;0) окружности x2+y2=4, а
наименьшее — в точках M3(0;2) и M4 (0;-2) той же окружности, причем:
zнаиб=4; zнаим=-4.
7
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.: Высш.шк.,
1981.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Основная
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш.
Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.:
Инфра-М, 1997.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.
— М.: Финансы и статистика, 2003.
Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное
пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для
вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. — Минск,
1968.
Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу
высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.:
Экономическое образование, 1989.
Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. —
М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1977.
8
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
359 Кб
Теги
лекция, направления, градиент, функции, производной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа