close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 12 Метод наименьших квадратов, условный экстремум.

код для вставкиСкачать
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Лекция 12
Метод наименьших квадратов. Условный экстремум. Производные неявных
функций.
Вопросы:
1. Условный экстремум.
2. Экстремум функции нескольких переменных (общий случай.)
3. Условный экстремум (общий случай).
4. Метод наименьших квадратов.
5.3.3. Условный экстремум
До сих пор рассматривался экстремум функции в предположении, что x и y —
независимые переменные, определенных в D. В подобных случаях максимумы и
минимумы называются абсолютными.
Рассмотрим теперь случай, когда переменные, от которых зависит функция
z  f  x,y  , связаны некоторым соотношением (x;y)=0 (уравнением связи). В
этих случаях максимумы и минимумы называются условными.
Разрешим уравнение (x, y)=0 относительно y, получим функцию, зависящую от х:
y=(x).
Подставляя это выражение в функцию z=f(x, y), получим функцию одной
переменной x, т.е. придем к задаче отыскания абсолютного экстремума.
Пример 5.18. Найти экстремум функции двух переменных z  xy при условии
2x  y  4.
Решение.
Из
уравнения
связи
Следовательно,
y  4  2x .
z  x4  2x  4x  2x , z  4  4x  0 при x  1, причем y  4  2  1  2 ,
z1  4  0 . Поэтому функция имеет в точке 1;2 минимум z  1 2  2.
Этот прием мы применяли в последнем примере при нахождении
наибольшего и наименьшего значений функции z  x2  y2 на границе области
x2+y2=4. Но разрешение уравнения (x,y)=0 относительно y бывает иногда
затруднительно или даже невыполнимо. Поэтому укажем другой способ решения
задачи, метод множителей Лагранжа.
Отыскание условного экстремума сводится в этом случае к исследованию на
обычный экстремум так называемой функции Лагранжа
L=f(x,y)+(x,y),
где  — неопределенный постоянный множитель (множитель Лагранжа).
Необходимыми условиями экстремума будут:
2
min
1
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
 L'x  f x'  'x  0,
 '
'
'
Ly  f y  y  0,
 L'  ( x, y)  0.
 
Из этой системы трех уравнений находятся неизвестные значения: x, y, .
Вопрос о существовании и характере условного экстремума можно решить на
основании достаточного условия экстремума для функции Лагранжа. А именно,
если  для функции Lx, y,  в стационарной точке положителен, то в этой точке
имеется условный максимум функции f x, y , если A  0 (или C  0 ), и условный
минимум, если A  0 (или C  0 ).
При решении практических задач, в большинстве случаев, наперед ясно какой
экстремум будет в критической точке, и поэтому критические точки
дополнительно не исследуются.
1
1 1
Пример 5.19. Найти экстремум функции z=x+y при условии, что 2  2  .
2
x
y
Решение. Рассмотрим функцию Лагранжа
 1
1 1
L( x, y,  )  x  y   2  2  .
2
y
x
Имеем
1
1 1
2
2
L'  2  2  .
L'x  1  3 ;
L'y  1  3 ;
x
x
y
y
2
Из системы уравнений (необходимое условие экстремума)

2
 0,
1 
x


2
 0,
1 
y

1
1
1
 0
 
y
2
x
3
3
2
2
находим, что
x1  y1  2, 1  4 , x2  y2  2, 2  4 .
Частные производные второго порядка имеют вид
L 
''
xx
6
~ А,
x
4
L  0 ~ В,
''
xy
L 
''
yy
6
~С.
y
4
Следовательно:
(M1 )  L L   L
''
''
xx yy

2
''
xy
362
 AC  B  4 4 .
x y
2
Для точки M1(-2, -2) и =-4 получаем
2
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
(M 1 ) 
4
 0,
9
'
L'xx

x  2
y  2
  4
3
 0.
2
Таким образом, M1(-2, -2) — точка максимума.
Для M2(2, 2) и =4 находим:
(M 2 ) 
9
 0,
4
'
L'xx
x  y 2
 4

3
 0.
2
Следовательно, M2(2, 2) — точка минимума.
Итак, данная функция z=x+y имеет два условных экстремума:
zmax=z|x=y=-2=-4; zmin=z|x=y=2=4.
В заключение приведем пример применения рассмотренного метода к
решению экономических задач.
Пример 5.20. Предприятие располагает двумя способами производства
некоторого продукта. Общие издержки производства при каждом способе зависят
от произведенных количеств x и y следующим образом:
U1(x)=a0+a1x+a2x2;
a0, a1, a2 > 0;
2
U2(y)=b0+b1y+b2y ;
b0, b1, b2 > 0.
Таким образом, суммарные издержки
U(x, y) = U1(x) + U2(y).
За некоторый промежуток времени предприятие должно произвести ровно C
единиц продукта, x+y=C, комбинируя его производство различными способами
так, чтобы минимизировать общую стоимость. Функция Лагранжа для этой
задачи будет
L(x,y,)=a0+a1x+a2x2+b0+b1y+b2y2+(C-x-y),
L'x  a1  2a 2 x    0,
 '
L y  b1  2b2 y    0,
 '
L  C  x  y  0.
Решая систему, получаем
b2
b  a1
x0 
C 1
;
a2  b2
2(a2  b2 )
a2
b a
y0 
C 1 1 .
a2  b2
2(a2  b2 )
Здесь необходимо отметить, что эти решения имеют смысл только тогда,
когда x0 и y0 неотрицательны. Из написанных выше выражений следует, что это
условие выполнено, если
 a  b1 b1  a1 
.
C  max 1
,
2a2 
 2b2
3
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Пример 5.21. Производственная функция Кобба-Дугласа Q  50L K не
имеет конечного максимума. Но на практике объемы ресурсов ограничены, в этом
случае решение соответствующей производственной проблемы сводится к
решению задачи на условный экстремум.
Фирма собирается вложить 45000$ в увеличение выпуска продукции, причем
стоимость единицы труда – 100$, единицы капитала – 300$. При каком
распределении денежных ресурсов фирма получит наибольшее увеличение
объема выпуска продукции?
Решение. Согласно условию, надо найти maxQ, если 100L+300К=45000.
Отсюда L=450–3K и
⅔ ⅓
Q(K)=50(450–3K) K , где 0≤K≤150.
-⅓
⅔ 2
Q΄(К)=50·⅔·(-3)(450–3К) К⅓ +50·⅓(450–3К) K 3 .
После упрощения, получим
2/ 3
Q´(К)=150
50  K
2
K ( 450  3K )
3
1
3
1/ 3
.
Приравнивая Q´(К) к нулю, находим К1=50, L1=300.
Для определения наибольшего значения функции Q´(К) на отрезке [0;150]
надо выбрать большее из значений Q(0), Q(50), Q(150).
К 0=0, L0=450, Q(0)=0.
⅔ ⅓
⅔
К1=50, L1=300, Q(50)=50·300 50 =2500·6 ≈8250.
К2=150, L2=0, Q(150)=0.
Таким образом, при вложении 45000$ можно получить увеличение объема
производства в 8250 единиц.
5.3.4. Экстремум функции нескольких переменных (общий случай)
Пусть дана дифференцируемая функция u=f(x1,x2,…,xn).
Необходимым условием существования экстремума является обращение в
нуль частных производных первого порядка.
Таким образом, координаты критических точек находим, решая систему
уравнений
 f x'1 ( x1 , x2 ,..., xn )  0,
 '
 f x2 ( x1, x2 ,..., xn )  0,

.............................
 f ' ( x , x ,..., x )  0.
n
 xn 1 2
Критические точки являются точками возможного экстремума.
4
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Приведем достаточное условие экстремума.
Рассмотрим определитель
( P) 
f x''1x1
f x''1x2
...
f x''1xn
f x''2 x1
f x''2 x2 ...
f x''2 xn
...
f x''n x1
... ... ...
f x''n x2 ... f x''n xn
.
Если главные миноры
1  f ;
''
x1x1
2 
f x''1x1
f x''1x2
f x''2 x1
f x''2 x2
;
f x''1x1
f x''1x2
f x''1x3
3  f x''2 x1
f x''2 x2
f x''2 x3 ,..., n  ( P)
f x''3x1
f x''3x2
f x''3x3
положительны, то точка P является точкой локального минимума функции.
Если же 1<0, 2>0, 3<0,…, т.е. знаки главных миноров чередуются в
указанном порядке, то P — точка максимума.
5.3.5. Условный экстремум (общий случай)
Если находится условный экстремум функции многих переменных с
несколькими уравнениями связи, то аналогично вводят в функцию Лагранжа и
столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.
Пусть требуется найти максимумы и минимумы функции u=f(x1,x2,…,xn) от n
переменных xi, которые связаны n соотношениями:
i(x1, x2,…,xn)=0 (i=1,2,…,m), m<n.
В этом случае функция Лагранжа имеет вид
m
L( x1, x2 ,..., xn , 1,..., m )  f ( x1, x2 ,..., xn )  i i ( x1, x2 ,..., xn ).
i 1
Здесь i — множители Лагранжа.
Необходимые условия экстремума
'

Lx j  0
 '

Li  0
( j  1, 2,..., n),
(i  1,..., m).
.
5.3.6. Метод наименьших квадратов
В различных исследованиях приходится пользоваться формулами,
составленными на основании данного эксперимента. Одним из способов
получения таких формул является метод наименьших квадратов.
Пусть на основании данного эксперимента необходимо установить
функциональную зависимость между двумя величинами, например, между
5
чение похности
оскостью
C
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
производительностью труда и себестоимостью продукции. Производим n
измерений и по результатам которых составляем таблицу:
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn
При этом вид функции y = f(x) устанавливается или из теоретических
исследований, или по характеру расположения на координатной плоскости
экспериментальных точек. Пусть, например, точки, взятые из таблицы,
группируются около некоторой прямой. В данном случае естественно
предположить, что зависимость между x и y линейная y=ax+b.
Эта формула является приближенной, т.к. точки (x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn) могут
не лежать на прямой. По методу наименьших квадратов в качестве неизвестных
параметров f x выбирают такие значения, при которых сумма квадратов
отклонений i теоретических значений f xi , найденных по эмпирической
формуле y  f x  , от соответствующих опытных значений yi , т. е.
n
n
S  i2   ( f xi   yi )2 была минимальной.
i 1
y
i 1
A2 x2 , y2 
2
A3 x3 , y3 
y  f x
An xn , yn 
i
3
n
Ai xi , yi 
1
A1x1, y1 
0
x1
x2
x3
xi
xn
x
Рассмотрим сумму квадратов отклонений
S (a, b)   yi   axi  b ,
n
2
i 1
где xi, yi — заданные числа, коэффициенты a и b — неизвестные величины,
подлежащие определению, т.е. S (a, b) можно рассматривать как функцию двух
переменных a и b и исследовать ее на экстремум.
Составим систему уравнений
n
 S

0
,
  2(axi  b yi ) xi  0,
 a

или i n1

 S  0;
  2(ax  b y )  0.
i
i
 b
i 1
(5.5)
После преобразований систему уравнений можно представить в виде
6
-
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
n
n
 n 2
a
x

b
x

xi yi ,


i
  i
i 1
i 1
i 1
 n
n
a x  bn  y .

i
i
 
i 1
i 1
Эта система называется нормальной системой уравнений и имеет
единственное решение, так как ее определитель
n
det A 
 xi
i 1
n
i 1
 xi
 0 (а точнее det A  0 , что можно доказать непосредственным
n
i 1
упрощением или методом математической индукции при n  2 ).
Если экспериментальные данные таковы, что при построении графика они
примерно располагаются на гиперболе, то можно искать приближенную
зависимость в форме
c
y d.
x
Аналогично изложенному выше, может быть получена система двух
уравнений для определения неизвестных параметров с, d:
y

ю
е поти
стью
n
 xi2
n
 n 1 
 n 1
yi
  2   c      d   ,
i 1 xi
 i1 x2i 
 i1 xi 
y 
x
 n 1   c  n  d  n y .


i
 
i 1
 i1 xi 



0




2
x
2
Если
данные таковы,
x 2  yэкспериментальные
4
что при построении графика они примерно располагаются по параболе, то можно
искать приближенную зависимость в форме
y=ax2+bx+c.
Аналогично может быть получена система трех уравнений первой степени для
определения неизвестных параметров a, b и c:

y


0





x
n
n
n
 n 4
3
2
a
x

b
x

c
x

xi2 yi ,



i
i
  i
i 1
i 1
i 1
 i 1 2
n
n
n
n
y

x

3
2
a xi  b xi  c xi   xi yi ,
i 1
i 1
i 1
 i 1
n
n
 n 2
a2 xi  b xi  cn   yi .
i 1
i 1
 i 1
x2  y 2  4
7
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
Пример 5.16. Полученные из опыта значения функции y при различных
значениях переменной x приведены в таблице
X
0
1
1,5
2,1
3
Y
2,9
6,3
7,9
10,0
13,2
Предполагая, что между переменными х и у линейная зависимость, найти
эмпирическую формулу вида y  ax  b , используя метод наименьших квадратов.
Решение. Построив соответствующие точки, убеждаемся, что они
расположены примерно на прямой. Следовательно, зависимость между x и y
близка к линейной y=ax+b. Составим расчетную таблицу
xi2
i
xi
yi
xi yi
1
0
2,9
0,00
0,00
2
1,0
6,3
1,00
6,30
3
1,5
7,9
2,25
11,85
4
2,1
10,0
4,41
21,00
5
3,0
13,2
9,00
39,60
7,6
40,3
16,66
78,75

Составим систему уравнений вида (5.5):
16,66a  7,6b  78,75,

7,6a  5b  40,3.
Решая эту систему, находим a=3,42; b=2,86. Отсюда формула искомой прямой
y=3,42x+2,86.
Аналитическая функция, приближенно заменяющая табличные данные,
полученные опытным путем, может быть разных видов: обратнопропорциональной, показательной и т.д.
8
Модуль 2. Тема 1. Дифференциальное исчисление.
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.: Высш.шк.,
1981.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Основная
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш.
Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.:
Инфра-М, 1997.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.
— М.: Финансы и статистика, 2003.
Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное
пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для
вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. — Минск,
1968.
Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу
высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.:
Экономическое образование, 1989.
Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. —
М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1977.
9
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
378 Кб
Теги
лекция, метод, наименьших, условные, квадратов, экстремума
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа