close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 13 Первоообразная функция. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования

код для вставкиСкачать
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Лекция 13
Первообразная функция. Неопределенный интеграл.
Методы интегрирования.
Вопросы:
1. Первообразная функции и неопределенный интеграл.
2. Основные формулы, используемые при интегрировании.
3. Основные методы интегрирования:
а) Непосредственное интегрирование;
б) Интегрирование методом замены переменной;
в) Интегрирование по частям.
4. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на
простейшие дроби.
5. Интегрирование некоторых видов иррациональностей.
6. Интегрирование тригонометрических функций.
6.1. ПОНЯТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
6.1.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл
Как известно, математические операции встречаются попарно, образуя
пары двух взаимообратных действий. Например, сложение и вычитание,
умножение и деление, потенцирование и логарифмирование. При этом
прямые действия почти всегда однозначны, а обратные действия чаще всего
многозначные.
В
предшествующем
разделе
рассматривалась
операция
дифференцирования, когда по известной функции y  f ( x) , определялась ее
производная. Рассмотрим обратную задачу: по известной функции f ( x)
найти функцию F ( x) , что
(6.1)
F ( x)  f ( x) .
Определение 6.1. Функция F ( x) называется первообразной для функции
f ( x) в некотором промежутке [a, b] , если в каждой точке этого промежутка
выполнено равенство (6.1).
Нахождение первообразной F ( x) для данной функции f ( x) называют
интегрированием. Например, для f ( x)  3x2 первообразными являются
функции F1(x)  x3 , F2 (x)  x3  7 и все функции ( x)  x3  C , где C —
произвольная постоянная.
Теорема 1. Если F1 ( x) и F2 ( x) — две первообразные для функции f ( x) на
[a, b] , то разность между ними равна постоянному числу.



Доказательство.
 F2  x  F1  x   F2  x   F1  x  f  x  f  x  0 . По
следствию из теоремы Лагранжа, если производная функции на некотором
отрезке равна нулю, то функция на этом отрезке постоянная. Следовательно,
существует число С такое, что F2  x   F1  x   C .
1
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Отсюда следует, что если для функции f ( x) найдена одна первообразная
F ( x) , то совокупность всех первообразных для f ( x) имеет вид F ( x)  C , где C
— постоянная величина.
y
y  F2 x  F1x  C
C
y  F1x
x
Рис. 6.1
Определение 6.2. Если F ( x) является первообразной для f ( x) , то
выражение F ( x)  C называется неопределенным интегралом от функции
f ( x) и обозначается символом  f ( x)dx .
Следовательно, по определению
 f (x)dx  F (x)  C ,
если F ( x)  f ( x) .
Знак  — символ интеграла, функция
f ( x)
— подынтегральная
функция, f ( x)dx — подынтегральное выражение, x — переменная
интегрирования.
Теорема 2. Если функция является непрерывной на некотором отрезке, то
она интегрируема на этом отрезке.
6.1.2. Основные формулы, используемые при интегрировании
Выпишем важнейшие формулы, используемые при интегрировании,
которые включают основные свойства неопределенного интеграла и
интегралы от простейших функций.
Основные свойства неопределенного интеграла:
  f (x)dx  f (x).
2. d   f ( x)dx   f ( x)dx.
1.
3.  dF ( x)  F ( x)  C .
4.  F ( x)dx  F ( x)  C .
5.  [ f1 ( x)  f2 ( x)]dx   f1 ( x)dx  f2 ( x)dx .
6.  af ( x)dx  a f ( x)dx , a  const .
Таблица неопределенных интегралов
1.  dx  x  C .
2.  x dx 
x 1
 C,   1.
 1
2
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
dx
 x   x dx  ln | x | C .
4.  sin xdx   cos x  C .
5.  cos xdx  sin x  C .
dx
6. 
 tgx  C .
cos x
3.
1
2
dx
 sin x  ctgx  C .
8.  e dx  e  C .
7.
2
x
x
ax
9.  a dx 
C .
ln a
dx
10. 
 arctgx  C  arcctgx  C .
1  x2
dx
 arcsin x  C   arccos x  C .
11. 
1  x2
dx
1
x
12.  2 2  arctg  C .
a x a
a
dx
x
13.  2 2  arcsin  C .
a
a x
dx
1
xa
14.  2 2  ln
C .
a  x 2a x  a
dx
15.  2 2  ln | x  x2  a2 | C .
x a
16.  tgxdx   ln cos x  C .
x
17.  ctgxdx  ln sin x  C .
18.
x
19.

xdx
1
 ln x2  a2  C .
2
a 2
xdx
 x2  a2  C .
2
2
x a
2
6.2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
6.2.1. Непосредственное интегрирование
Непосредственное интегрирование основано на использовании основных
свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов от основных
элементарных функций и тождественного преобразования (если необходимо)
подынтегральной функции.
1
 f (kx  b)dx  k
F (kx  b)  C , т.е. подынтегральная
функция отличается от табличной тем,
некоторая линейная функция от x .

Пример 6.1. Найти интеграл  sin  3x 
что вместо аргумента x стоит
1. Используется формула


dx .
12 
3
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Решение. Здесь kx  b  3x 
вид

, следовательно, первообразная будет иметь
12
1
1 

F (kx  b)   cos  3x   и
k
3 
12 

1



 sin  3x  12  dx   3 cos  3x  12   C .
dx
1
 4  5x   5 ln | 4  5x | C .
Но не всегда применение этой формулы столь очевидно.
Пример 6.2. Найти интеграл

dx
4 x2  4 x  5
.
Решение. Подынтегральная функция в этом случае отличается от
табличных интегралов, поэтому проведем следующее преобразование
2
4 x2  4 x  5 
Это действие
называется
  4x2  4x 1  4   2x 1  22 .
выделением полного квадрата и очень часто при интегрировании выражений,
содержащих квадратичный трехчлен, его необходимо использовать. В
результате видим, что kx  b  2x 1 и

2.
dx
4 x2  4 x  5
Используются
 f (x)dx  f (x)dx .
dx


1
ln 2x 1 (2x 1)2  22  C 
2
(2x 1)2  22
1
 ln 2x 1 4x2  4x  5  C .
2
правила  af ( x)dx  a f ( x)dx
и
 [ f (x)  f (x)]dx 
1
2
Эти правила применяются в том случае, если
подынтегральная функция записана в виде произведения или частного
простейших функций. (Правил для интегрирования произведения или
частного функций не существует!).
Пример 6.3.
1
2

3

x 1
2
x 3  2x 3  1
2
1
 1
dx

dx    x 3  2x 3   dx 
 x

x
x

2
1
2
dx 3x 3
1
  x 3 dx  2 x 3 dx   
 2  3x 3  ln | x | C .
x
2
x
x
x
x
x
 1 e tgxe dx   e  tgxdx   e dx   tgxdx   e  ln | cos x | C .
2
1
Часто, при использовании этого метода, эффективен следующий прием.
Пример 6.4.
dx
dx
1
1
4
 2
 2
dx   2
dx 
4
2
2
x
x (4  x ) x (4  x )
4 x (4  x2 )
1 (4  x2 )  x2
1
4  x2
1
x2
  2
dx   2
dx   2
dx 
4 x (4  x2 )
4 x (4  x2 )
4 x (4  x2 )
1 1
1 dx
1
1
dx
  2 dx  
  x2dx   2 2 
2
4 x
4 4 x 4
4 2 x
1
1 x
1 1
x
1 1
x
 
  arctg  C    arctg  C .
4 1 4 2
2
4x 8
2
 4x
2
4
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
6.2.2. Интегрирование методом замены переменной
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с
помощью подстановок следующих видов.
1. Применяется формула  f (( x))( x)dx   f (t )dt , которая является
аналогом формулы дифференцирования сложной функции. Для выбора
новой
переменной
интегрирования
используется
определение
дифференциала dy  f   x  dx  ydx .
Этот метод непосредственного интегрирования имеет свое название —
внесение под знак дифференциала.
Пример 6.5.
e
sin x
cos xdx  d
cos xdx 
  cos xdx  d (sin x)   e dx  e  C  e
t
t
sin x
t  sin x cos xdx  dt
C .
Пример 6.6.
x2 1 2
 dx
xdx
1
2
2

 9  x4  9  x4  xdx  2
´1
t  x , xdx  dt
2
1
dt
1 1
t
1
x2
  2 2    arctg  C  arctg  C .
2 3 t
2 3
3
6
3
4
x 1
x3dx  d  d ( x4  a)
3
x dx
1
3
4 4

 9  x4  9  x4  x dx 
´1
4
3
t  9  x , x dx  dt
4
1 1
1
1
  dx  ln | t | C  ln | 9  x4 | C .
4 t
4
4
xdx  d
Пример 6.7.
1
1
cos 4xdx  d sin 4x   d (2  5sin 4x)
4
20

 3 2  5sin 4x cos 4xdx 
1
t  2  5sin 4x cos 4xdx   dt
20
4
1
1 1
1 3t 3
3
4
   3 tdt    t 3 dt   
 C   (2  5sin 4x) 3  C .
20
20
20 4
80
Следует обратить внимание на то, что после того как найдена
первообразная функция f (t ) , необходимо произвести обратную замену и
вернуться к исходной переменной.
(2ln x  3)3
Пример 6.8. Найти интеграл 
dx .
x
Решение.
Перепишем
данный
интеграл
в
виде
 (2ln x  3)
3
1
dx .
x
Производная выражения 2ln x  3 равна 2/х, а второй множитель 1/x
отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2.
Следовательно,
5
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
1
1
2
2dx
dx   (2ln x  3)3 dx 
 d  2ln x  3 
x
2
x
x
1
1
  (2ln x  3)3d  2ln x  3  (2ln x  3)4  C.
2
8
 (2ln x  3)
3
2. Замена переменной в неопределенном интеграле производится также с
помощью подстановки вида x   t  , где x   t  — монотонная, непрерывно
дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены
переменной в этом случае:
(6.2)
 f (x)dx   f ((t))(t)dt .
Этот метод применяется, если предшествующие два метода не дали
результата, замена подбирается таким образом, чтобы появились функции,
содержащиеся в таблице основных интегралов.
Докажем эту формулу. Найдем производные левой и правой частей.



 
 x  f(x)t   f( t  ) t  .

  f  t t  dt   f  t t  .
 f(x)dx
t

 f(x)dx
x
t
t
Так как производные равны, то левая и правая части (6.2) по следствию из
теоремы Лагранжа отличаются на некоторую постоянную, ч.т.д.
Пример 6.9.
dx
 1
x

x  t,
x  t2,
dx  2tdt
 2
tdt

1 t
(t 1) 1
1 

dt  2 1 
 dt 
1 t
 1 t 
 2(t  ln |1 t |)  C  2( x  ln |1 x |)  C .
sin 2 x
dx .
Пример 6.10. Найти интеграл 
3  cos4 x
Решение. Сделаем подстановку cos2 x  t , тогда 2 cos x sin xdx  dt , т.е.
sin 2 x
dt
dx  
sin 2xdx  dt , и 
. Тогда
4
2
3  cos x
3t
sin 2x
t
cos2 x
 3  cos4 x dx   arcsin 3  C   arcsin 3  C .
 2
6.2.3. Интегрирование по частям
Интегрирование по частям основано на использовании формулы
 udv  uv   vdu ,
где u  ux, v  vx — непрерывно дифференцируемые функции от х на
отрезке [а,b].
Доказательство. Проинтегрируем равенство
d uv   vdu  udv .
 d uv  vdu   udv  uv   vdu   udv   udv uv   vdu , ч.т.д.
6
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Эта формула дает возможность свести вычисление
интеграла
 u dv к вычислению
 v du , если он легче интегрируется. При этом за
u берется такая
функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv — та часть
подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть
найден.
Так, например, для интегралов вида  P  x  eax dx ,  P  x  sin axdx ,
 P  x  cos axdx , где P  x 
— многочлен, за u следует принять P  x  , а за dv —
соответственно выражения eax , sin ax , cosax ; для интегралов вида  P  x  ln xdx ,
 P  x arcsin axdx ,  P  x arccos axdx
за u принимаются соответственно функции
ln x , arcsin ax , arccosax , а за dv — выражение P  x  dx .
Пример 6.11. Найти интеграл  ln xdx .
Решение.
 ln xdx 
u  ln x
dv  dx
1
du  dx
1
x  x  ln x   x  dx  x  ln x   dx  x  ln x  x  C .
x
vx
Пример 6.12. Найти интеграл  xsin xdx .
Решение.
ux
du  dx
 x sin xdx  dv  sin xdx v   cos x   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C.
Если бы выражения u и dv мы выбрали иначе, например u  sin x, dv  xdx ,
x2
то получили бы du  cos xdx, v  , откуда
2
u  sin x du  cos xdx 1 2
x2
1 2
1 2
 x sin xdx  dv  xdx v  x2 2  2 x sin x   2  cos xdx 2 x sin x  2  x cos xdx
и пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный, так как степень
сомножителя при тригонометрической функции повысилась на единицу.
Пример 6.13.
2
 x sin xdx 
ux
du  dx
u  x2
du  2xdx
 x2 cos x  2 x cos xdx 

dv  cos xdx v  sin x
dv  sin xdx v   cos x


 x2 cos x  2 x sin x   sin xdx  x2 cos x  2x sin x  2cos x  C.
То есть в одном интеграле иногда приходится применять несколько раз
этот метод интегрирования.
Пример 6.14.
x2 1
dx
xdx

d
 d ( x2  1)
u  arctgx du 
xdx
2 2


1  x2  xarctgx  
 arctgxdx 
1  x2
1
2
dv  dx v  x
t  1  x , dx  dt
2
1 dt
1
1
 xarctgx   xarctgx  ln | t | C  xarctgx  ln |1 x2 | C .
2 t
2
2
Пример 6.15.
7
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
u  eax
du  aeaxdx
eax cos bx a ax
I   e sin bxdx 
  e cos bxdx 
 cos bx  
dv  sin bxdx v 
b
b
b
ax
u  e ax
du  aeaxdx

e ax cosbx a  e ax sin bx a ax
 
  e sin bxdx 
sin bx  
dv  cosbxdx v 
b
b
b
b

b
aeax sin bx  beax cosbx a 2 ax
aeax sin bx  beax cosbx a 2

e
sin
bxdx

 2 I.

b2
b2
b2
b
2
ax
ax
ax
 a  ae sin bx  be cosbx
e a sin bx  b cosbx
Отсюда I 1  2  
I 
.
2
2
2
b
b
a

b


6.3. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ИНТЕГРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
6.3.1. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения
на простейшие дроби
Под рациональной дробью понимается отношение двух многочленов
P( x)
. Рациональную дробь называют правильной, если степень многочлена
Q( x)
P( x) , стоящего в числителе, меньше степени многочлена Q( x) , стоящего в
знаменателе.
Перед интегрированием рациональной дроби
P( x)
Q( x)
надо сделать
следующие алгебраические преобразования и вычисления:
1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую
часть, т. е. представить в виде
P ( x)
P ( x)
 M  x  1 ,
Q( x)
Q( x)
где M  x  — многочлен, а
2) разложить
множители:
P1 ( x)
правильная рациональная дробь;
Q( x)
знаменатель дроби
линейные и
квадратичные
Q  x   x  a  ...   x2  px  q  ...,
m
где
на
n
p2
 q  0 , т.е. трехчлен x2  px  q не имеет действительных корней;
4
3)
методом
неопределенных
коэффициентов
правильную
рациональную
дробь
разложить
на
простейшие
дроби
вида
Am
B x  Cn
, 2 n
, m  1, n  1 :
m
( x  a) ( x  px  q)n
Am
B x  Cn
P1 ( x)
A
A2
B x  C1
B x  C2
 1 
 ... 
 ...  2 1
 2 2
 ...  2 n
 ...
2
m
2
Q( x) x  a ( x  a)
( x  a)
x  px  q ( x  px  q)
( x  px  q)n
4)
вычислить
неопределенные
коэффициенты
A1, A2 ,..., Am , B1, C1, B2 , C2 ,...Bn , Cn ,..., для чего привести последнее равенство к
общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в
8
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
левой и правой частях полученного тождества и решить получившуюся
систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно
определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном
тождестве переменной х произвольные числовые значения. Часто бывает
полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.
В результате интегрирование рациональной дроби сведется к
нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных
дробей. Простейшие рациональные дроби интегрируются с помощью
следующих формул:
A
1.
 x  adx  Aln x  a  C .
2.
 (x  a) dx  (1 n)(x  a)
3.
x
A
A
n
2
n1
C .
Ax  B
A
2B  Ap
2x  p
dx  ln | x2  px 1| 
arctg
C .
2
 px  q
2
4q  p
4q  p2
При интегрировании интегралов третьего вида, как правило, не
используют эту формулу, а делают непосредственно преобразования. Такие
интегралы можно интегрировать выделением полного квадрата в
знаменателе (см. пример 6.2).
Пример 6.16.
5  2x
1
5  2x
1
5  2x
dx   2
dx   2
dx 
 8x  26
2 x  4x 13
2 x  4x  4  4 13
x  2  t,
1
5  2x
1 5  2  t  2
1 1  2t
 
dx 
 
dt   2 dt 
2
2
x  t  2, dx  dt 2
2  x  2  9
t 9
2 t 9
 2x
2
1  2t 
1
1
1
1
t
dt   2 dt   ln t 2  9 
arctg  C 
2

2 t 9
2 t 9
2
23
3
1
1
x2
1
1
x2
2
  ln  x  2  9 
arctg
 C   ln  x2  4x 13  arctg
 C.
2
23
3
2
6
3
Ax  B
Дроби вида 2
интегрируют, понижая степень знаменателя (см.
( x  px  q)n

в справочниках).
x 2  2x  6
Пример 6.17. Найти интеграл 
dx .
( x  1)( x  2)( x  4)
Решение. Так как каждый из биномов x 1, x  2, x  4 входит в знаменатель
в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть
представлена в виде суммы простейших дробей I типа:
x2  2 x  6
A
B
C



.
( x  1)( x  2)( x  4) x  1 x  2 x  4
Освобождаемся от знаменателя:
x  2x  6  A( x  2)( x  4)  B( x 1)( x  4)  C( x  1)( x  2) .
2
Следовательно,
x  2x  6  A x2  6x  8  B  x2  5x  4  C  x2  3x  2 .
2
9
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:
x  2x  6   A  B  C  x2   6 A  5B  3C  x  8A  4B  2C  .
2
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
уравнений
 A  B  C  1,

6 A  5B  3C  2,
8 A  4B  2C  6,

из которой найдем: A  3, B  7, C  5 .
Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид
x2  2 x  6
3
7
5
.



( x 1)( x  2)( x  4) x 1 x  2 x  4
Неизвестные А, В, С в разложении можно было определить и иначе.
После освобождения в равенстве от знаменателя можно придать х столько
частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном
случае три частных значения.
Особенно удобно придавать х значения, являющиеся вещественными
корнями знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера.
После освобождения от знаменателя мы получили
x2  2x  6  A( x  2)( x  4)  B( x 1)( x  4)  C( x 1)( x  2) .
Действительными корнями знаменателя являются числа 1, 2 и 4.
Положим в этом равенстве x  1 , тогда
12  2 1 6  A(1 2)(1 4)  B(11)(1 4)  C(1 1)(1  2) ,
откуда 9  3A , т. е. A  3 .
Полагая x  2 , получаем 14  2B , т. е. B  7.
Полагая x  4, будем иметь 30  6C, т.е. C  5.
В результате получились те же значения, что и при первом способе
определения неизвестных. Таким образом,
x2  2 x  6
dx
dx
dx
 (x 1)(x  2)(x  4) dx  3 x 1  7 x  2  5 x  4  3ln | x 1| 7ln | x  2 | 5ln | x  4 | C 
( x 1)3 ( x  4)5
 ln
 C.
( x  2)7
Пример 6.18. Разложение рациональных дробей на простейшие
осуществляется по схеме:
x5  5x4  3x2  2x  6 3
31x  30
,
 x  3x2  3x 12  2
2
x  2x  3
x  2x  3
31x  30
31x  30
A
B



.
2
x  2x  3 ( x 1)( x  3) x 1 x  3
Напишем еще разложение дробей на простейшие без нахождения
коэффициентов:
B3
A A
B
B2
C
C2
x 2  5x  4
 1  22  1 

 1 
,
3
2
2
3
2
x x x 1  x 1  x 1 x  3  x  32
x  x 1  x  3
10
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
4 x2  x
Ax  B
C
D
E
 2



.
2
2
2
 x  2 x  6  x  2  x  4 x  2 x  6 x  2  x  2 x  4
6.3.2. Интегрирование некоторых видов иррациональностей
Обозначим через R u, v  функцию, которая построена лишь с помощью
четырех арифметических действий над аргументами u и v: сложения,
вычитания, умножения, деления.
Например, R u, v   u2  6u8v4  9v  5, R u, v  
3u7  5u2v8  9v5  5
.
2366 v  u  9v
При интегрировании иррациональных выражений делают замену, чтобы
освободится от иррациональности и свести интегрирование к
интегрированию рациональной дроби.
1.  R x, n x dx  t  n x , x  t n , dx  nt n1dt  n R t n , t  t n1dt .


Пример 6.19.
dx
6t 5dt
t3  1 1
6
5
6
 x  3 x  t  x , x  t , dx  6t dt   t 3  t 2  6 t  1 dt 
t 1 t 2  t 1 dt
dt
 6
 6
 6 t 2  t  1 dt  6ln t  1  С 
t 1
t 1 
 2t 3  3t 2  6t  6ln t 1  С  2 x  33 x  6 6 x  6ln 6 x  1  C .

2.  R x, n

ax  b 
dx.
cx  d 
ax  b
t nd  b
Этот интеграл находится подстановкой t 
.
,  ad  cb  0 , x 
cx  d
a  ct n
n

4.  R  x,
5.  R  x,

a
a sin tdt
 a a sin t  a sin tdt
x  a dx  x 
, dx 
  R
,
.

cos t
cos t
 cos t cos t  cos t
adt
adt  adt

x  a dx  x  a tg t , dx 
  R  a tg t ,
.
cos t
cos t  cos t

3.  R x, a2  x2 dx  x  a sin t, dx  a cos tdt   R  a sin t , a cos t a cos tdt.
2
2
2
2
2
2
2
2
Пример 6.20.

16  x2 dx  x  4sin t, dx  4cos tdt   16 16sin 2 t 4cos tdt 
  16 1  sin2 t  4cos tdt   16cos2 t 4cos tdt   4cos t 4cos tdt  16 cos2 tdt 


x
x
 sin 2t 
 8 1  cos 2t dt  8  t 
 C  8t  4sin 2t  C  8arcsin  4sin 2arcsin  C 

2 
4
4

2
x
x
x
x
x
x x
 8arcsin  8sin arcsin  cosarcsin  C  8arcsin  2x  1   C  8arcsin  16  x2 .
4
4
4
4
16
4 2
Проверка:
11
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.

x x

2
16  x   8 
 8 arcsin 
4 2


1
16  x 2
x2
 


2
x2 4
2 16  x 2
1
16
8
16  x2 1 16  x2 16
8
16  x2
16  x2
8


 




 16  x2 .
2
2
2
2
2
2
2
2
16  x
16  x
16  x
16  x
1
6.3.3. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида  R sin x,cos x dx сводятся к интегралам от дробнорациональной функции с помощью универсальной тригонометрической
x
2
подстановки tg  t .
2sin x 2 cos x 2
2tg x 2
2t
sin x  2

=
,
2
2
2
sin x 2  cos x 2 1  tg x 2 1  t
cos2 x 2  sin2 x 2 1  tg2 x 2 1  t 2
2dt
.
cos x  2


, dx 
2
2
2
1 t 2
sin x 2  cos x 2 1  tg x 2 1  t
2t
tg x 2  t sin x 
 2t 1  t 2  2dt
1 t 2
R
sin
x
,cos
x
dx


R
,
.





2dt
1 t 2   1 t 2 1 t 2  1 t 2
dx 
cos x 
1 t 2
1 t 2
Таким образом, получилась дробно-рациональная функция аргумента t.
Пример 6.21.
x
tg  t
dx
2
 5  3cos x 
2dt
dx 
1 t 2
x  2arctg t

2dt
1 t
1 t 2
1 t   5  311 tt
2
dt

5 1  t   31  t 2 




dt
1
t
1
1 x

 arctg  C  arctg  tg   C .
2
4t
2
2
2
2 2
cos x 
2
2
2
2
2
2. Интегрирование произведений синусов и косинусов производится с
помощью формул:
1
1
sin  cos   sin     sin    ,
sin  sin   cos    cos    ,
2
2
1
cos  cos   cos     cos    .
2
Пример 6.22.
sin5x cos9 x 
1
1
1
 sin5x cos9xdx   1 sin14x  sin 4x  2  sin14x  sin 4x  dx  8 cos 4x- 28 cos14x  C.
2
12
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
3. Интегрирование четных степеней синусов и косинусов производится
понижением степени по формулам sin2  
Пример 6.23.
 sin

4
xdx   sin x  dx  
2
2
1 cos2
,
2
1 cos 2x 2 dx  1
1 2cos 2x  cos
4
4
cos2  
2
1 cos2
.
2
2 x  dx 
1 
1  cos4 x 
1
3
1
1
1  2 cos2 x 
dx    3  4 cos2 x  cos4 x dx  x  sin 2 x  sin 4 x  C.

4 
2
8
8
4
32

4. Интегрирование нечетных степеней синусов и косинусов производится
с помощью замены функции.
Пример 6.24.


sin x  t
cos3 x
cos2 x cos x
1  sin 2 x cos x
dx

dx

dx


 sin4 x
 sin4 x

cos xdx  dt
sin 4 x
1  t 2 dt
dt
dt t 3 1
1
1


 t4
 t 4  t 2   3  t  C   3sin3 x  sin x  C.


Можно использовать следующие подстановки:
R t 
dt .
1 t 2
R t 
dt
R
ctg
x
dx

ctg
x

t
,
x

arcctg
t
,
dx







 1 t 2 dt .
1 t 2
R t 
dt
x
x
R
e
dx

e

t
,
x

ln
t
,
dx


dt .



t  t
dt
 R  tg xdx  tg x  t, x  arctg t, dx  1 t
2

6.3.4. Об интегралах, неберущихся в элементарных функциях
Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда
является элементарной функцией, то первообразная от элементарной
функции может быть неэлементарной функцией, т.е. не представимой одним
аналитическим выражением с конечным числом элементарных действий. Это
следующие интегралы:
e
 x2
dx,
 sin x dx,  cos x dx, 
2
2
sin x
dx,
x

cos x
dx,
x
dx
 ln x
и т.д.
Поскольку многие из этих функций встречаются при решении
конкретных задач, то их значения вычисляются с помощью приближенных
методов, рядов, составляются таблицы значений при различных x .
13
Модуль2. Тема 2. Интегральное исчисление.
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.:
Высш.шк., 1981.
2. Бугров
Я.С.,
Никольский
С.М.
Высшая
математика.
Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Основная
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред.
Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.:
Инфра-М, 1997.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в
экономике. — М.: Финансы и статистика, 2003.
Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное
пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие
для вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. —
Минск, 1968.
Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу
высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.:
Экономическое образование, 1989.
Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и
задачах. — М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука,
1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1977.
14
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
14
Размер файла
673 Кб
Теги
лекция, интеграл, первоообразная, метод, функции, интегрированный, неопределенн
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа