close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 14 Определенный интеграл. Теорема Ньютона-Лейбница. Методы интегрирования определенного интеграла.

код для вставкиСкачать
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Лекция 14
Определённый интеграл. Теорема Ньютона-Лейбница. Методы
интегрирования определённого интеграла.
Вопросы:
1. Понятие определённого интеграла.
2. Теорема о среднем значении.
3. Формула Ньютона-Лейбница.
4. Замена переменной в определённом интеграле.
5. Интегрирование по частям в определённом интеграле.
6. Несобственные интегралы первого и второго рода.
7. Вычисление площадей плоских фигур.
8. Вычисление объёмов тел вращения.
9. Экономические приложения определённого интеграла.
10. Понятие двойного интеграла.
7.1 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
7.1.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Широкое применение в различных областях науки, в том числе в экономике,
математическом моделировании, имеет место одно из основных понятий
математического анализа — определенный интеграл. Рассмотрим некоторые
задачи, приводящие к определенному интегралу.
Задача 1. Пусть на отрезке a  x  b определена непрерывная функция
y  f x . Будем предполагать, что на этом отрезке f x  0. Криволинейной
трапецией называют фигуру, ограниченную кривой y  f x , отрезком a, b оси
Ох, прямыми x  a и x  b (рис. 7.1). Для вычисления площади криволинейной
трапеции разделим отрезок a, b (основание трапеции) произвольным образом
a  x0 , x1, x2 , ..., xi 1, xi , .., xn  b
точками
на
n
частей
так,
что
a  x0  x1  x2  ...  xi1  xi  ...  xn  b. Пусть xi  xi  xi 1 i  1,2,3,...,n — длина этих
частей. Наибольшую из этих разностей в дальнейшем будем обозначать
  max xk .
Через каждую точку деления проведем прямую, параллельно оси Оy, до
пересечения с кривой y  f x . Заменим каждую элементарную трапецию
прямоугольником с основанием xi и высотой f i , где i — произвольная
точка отрезка  xi1, xi . Площадь каждого такого прямоугольника равна f i xi .
1
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
y
f i 
x
0 a  x0 1 x1 2 x2
xi  1 i
xi
xn  1 n xn  b
Рис. 7.1
Сумму площадей всех этих прямоугольников f 1  x1  f 2  x2  ...  f n  xn 
n
  f i  xi
можно рассматривать как приближенную величину площади
i 1
криволинейной трапеции, т. е.
n
S   f i xi .
i 1
Чтобы найти точное значение площади криволинейной трапеции надо перейти
к пределу, при   0. Таким образом,
n
S  lim  f i  xi .
 0
(7.1)
i 1
Задача 2. Известно, что потребление электроэнергии в течение суток
меняется. Предположим, что f (t ) — функция, характеризующая потребление
электроэнергии, где t — время. Требуется определить количество
электроэнергии, потребленной за период времени [t1, t2 ] .
Решение. Общее количество потребляемой электроэнергии можно
рассматривать как сумму количеств электроэнергии, потребляемой на малых
промежутках от t до t  t . Если предположить, что в течение этого промежутка
f (t ) не меняется, то суммарный объем потребленной электроэнергии равен
t2
 f (t)t и
t t1
t2
Q  lim  f (t )t .
t 0
t t1
На практике это действие осуществляется счетчиками электроэнергии.
7.1.2. Определение определенного интеграла
К нахождению пределов сумм вида (7.1) приводят различные задачи.
Рассмотрим такую задачу в общем виде.
Пусть на отрезке a  x  b определена функция y  f x . Разделим отрезок
a, b произвольным образом точками a  x0 , x1, x2 , ..., xi 1, xi , .., xn  b на n
a  x0  x1  x2  ...  xi 1  xi  ...xn  b.
частей
так,
что
Пусть
2
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
xi  xi  xi 1 i  1,2,3,...,n — длина этих частей, наибольшую из этих разностей в
дальнейшем будем обозначать   max xk .
В каждом промежутке  xi 1, xi  , длиной xi  xi  xi 1 возьмем произвольную
точку i и вычислим соответствующие значения функции f i i  1, 2, 3, ..., n .
n
Составим сумму In   f i  xi , которая называется интегральной суммой для
i 1
функции y  f x на отрезке a, b.
Определение 7.1. Если предел последовательности интегральных сумм при
стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала разбиения
существует,
конечен
и
не
зависит
от
способа
выбора
точек
x1, x2 , ..., xi 1, xi , .., xn и точек 1, 2 , ..., i 1, i , .., n , то говорят, что функция
f (x) интегрируема на [a, b] .
Определение 7.2. Этот предел называют определенным интегралом от
функции y  f x на отрезке a, b и обозначают
b
 f (x)dx  lim
n
max xi 0
a
 f ( )x .
i
i 1
i
(7.2)
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами
интегрирования; f (x) — подынтегральной функцией; f ( x)dx f (x) —
подынтегральным выражением; отрезок a, b— промежутком интегрирования; х
— переменной интегрирования.
Теорема 1. Необходимое условие интегрируемости функции. Если функция
интегрируема на отрезке [a, b] , то она ограничена на [a, b] .
Теорема 2. Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция
y  f ( x) определена на отрезке [a, b] и непрерывна на (a, b) , то она интегрируема
на [a, b] .
Теорема 3. Кусочно-непрерывная (с конечным числом точек разрыва) и
ограниченная на отрезке [a, b] функция y  f ( x) интегрируема.
Определения интегральной суммы и определенного интеграла естественно
обобщаются на случай а > b.
Геометрический смысл определенного интеграла. Если функция f (x)
неотрицательна на отрезке a, b, где a  b, то
b
под кривой y  f (x) на a, b.
a
 f ( x)dx численно равен площади
7.1.3. Основные свойства определенного интеграла
Замечание. В определенном интеграле не имеет значения, какой буквой
обозначать переменную интегрирования:
b
b
a
a
 f (x)dx   f (t)dt.
3
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Из определения определенного интеграла вытекают следующие его свойства.
b
1.  dx  b  a.
a
b
2.
a
 f (x)dx   f (x)dx.
a
a
3.
b
 f (x)dx  0.
a
4. Если f ( x)  0 , то
b
 f (x)dx  0 .
a
b
c
b
a
a
c
 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx , причем точка с может не принадлежать отрезку
5.
a, b.
b
b
b
a
a
6.  [ f1 ( x)  f2 ( x)]dx   f1 ( x)dx   f2 (x)dx.
a
b
b
a
a
7.  Cf ( x)dx  C  f ( x)dx , где С — постоянная.
8. Если функции f (x) и g(x) интегрируемы на отрезке на a, b, a  b и
f ( x)  gx для всех xa,b, то
b
b

f(x)dx  g(x)dx.
a
a
9. Оценка определенного интеграла: если m  f ( x)  M на [a,b], a  b, то
b
m b - a    f(x)dx M b - a  .
(7.3)
a
10.
b
b
a
a
 f ( x)dx   | f ( x) | dx .
11. Теорема о среднем значении. Если функция y  f (x) непрерывна на
отрезке [a,b], a  b, то найдется такое значение  a,b, что
b
 f  x dx  f  b - a .
(7.4)
a
Эта теорема имеет важную геометрическую интерпретацию. Пусть
f ( x)  0 на a, b. Теорема о среднем утверждает: найдется такая точка  из
отрезка a, b (рис. 7.2), что площадь под кривой y  f (x) равна площади
прямоугольника со сторонами f ( ) и b  a .
y
f  
y  f x
x
0 a ξ
b
4
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Рис.7.2
12. Если f ( x)  0 и c, d   a, b , то
d
b
c
a
 f  x dx   f  x dx .
7.1.4. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула НьютонаЛейбница
Вычисление определенного интеграла по определению очень сложно и
реально может быть проведено для двух-трех простейших функций. Хотя из
данного определения не следует, что между неопределенным и определенным
интегралами есть какая-либо зависимость, на самом деле они очень тесно
связаны.
Теорема. Если функция y  f (x) непрерывна на a, b, то
для всех x a, b (по свойству 12).

x 2 
Например,   t dt   x 2 ,
a


x

  f(t)dt  f (x)


a

(7.5)

2
 x t 2dt 

  x
 2  sin t  2  sin x .
a

Доказательство.
x
Обозначим   x    f t  dt . Нужно доказать, что  x  f  x . Для этого
a
применим определение производной. Пусть x — приращение аргумента. Тогда
  x     x  x    x  

xx
 f t  dt 
x
Теперь   x  lim
x0
xx
x
a
a
 f t  dt   f t  dt 
По теореме
 f ( )  x  x  х   f ( )x.
о среднем
f ( )x
 lim f ( ). Функция y  f (x) непрерывна в точке х,
x0
x
поэтому lim f ( )  f ( x). Наконец lim f ( )  lim f ( ), так как ξ лежит между х и
 x
 x
x0
x  x.
Из этой теоремы легко получить формулу для вычисления определенного
x
интеграла. По доказанной теореме   x    f t  dt — первообразная для функции
a
f (x). Поэтому Fx  x  C — произвольная первообразная для f (x). Получим:
x
F  x    f t  dt  C .
a
Найдем постоянную С.
a
F  a    f t  dt  C  0  C, C  F  a  .
a
5
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Следовательно,
x
 f t  dt  F  x  F  a .
a
Отсюда получаем формулу, называемую формулой Ньютона-Лейбница:
b
 f  x dx  F  x
b
a
 F b   F  a  ,
(7.6)
a
где F (x) — некоторая первообразная для f (x) , т.е. F ( x)  f ( x) .
Пример 7.1. Вычислить
2
dx
.
4x  8

1
Решение.
2

1
2
dx
2
1

4x  8 
2
4x  8 4
1

 12  16  4   12 4  2  1.
4  2  8  4   1  8 

Пример 7.2. Вычислить
4
dx

 cos
2
x
.
6
Решение.

4
dx

 cos
6
2



3
 tgx 4  tg  tg  1 
.

x
4
6
3
6
7.1.5. Замена переменной в определенном интеграле
Теорема.

b
 f  x dx  f  t   t  dt ,
(7.7)
a
где x  φt  — функция, непрерывная вместе со своей производной φt  на
отрезке α  t  β, a  φ  α  , b  φ  β  , а f  φ t  — функция, непрерывная на [α,β].
Доказательство. Пусть F  x  — первообразная для функции f  x  на отрезке
a, b. Тогда F  t  — первообразная функции f  t   t  на [α,β].

Действительно  F  t   F  t   t   f  t   t . Применяя дважды формулу
Ньютона — Лейбница, получаем

b

a
 f  t   t  dt  F      F     F b  F a    f  x  dx.
a
Замечание. Если f (x) — нечетная функция, т. е. f (x)   f ( x) , то
 f  x dx 0 .
a
Если f (x) — четная функция, т. е. f (x)  f ( x) , то
Пример 7.3. Вычислить
e
a
a
a
0
 f  x dx 2 f  x dx .
2
ln x
dx .
x
1

6
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
dx
 dt ; если x  1, то t  0 ; если x  e, то t  1. Тогда
x
e
1
ln2 x
dx x 1 e
1 1 1
1
1 x dx  t  ln x, dt  x , t 0 1  0 t 2dx  3 t3 0  3 13  03   3 .
Решение. Положим ln x  t;
Пример 7.4. Вычислить
4

0
xdx
x2  9
.
1
xdx  d ( x2  9)
xdx
2

2
1
x 9
x2  9  t, xdx  dt
2
4

0
1
1 25 dt 1 25 1
1t2
    t  2 dt  1
29 t 2 9
2 2
x 0 4
t 9 25

25
 t
25
9
 5  3  2.
9
4
dx
.
0 1 x
Пример 7.5. Вычислить 
dx
, откуда dx  2 xdu  udu . Когда
2 x
переменная х изменяется от 0 до 4, то переменная u  x изменяется от 0 до 2.
Решение. Положим
x  u . Тогда du 
Таким образом, после замены переменной у определенного интеграла изменяются
пределы интегрирования. Итак, имеем
2
2
2
dx
2udu
udu 2 
1 
0 1 x  0 1 u  20 1 u 20 1 1 u  du 2 u  ln u 1  0  4  2ln3  4  ln9 .
4
Замечание. Отсюда видно, что разница в применении замены переменной в
неопределенном и определенном интеграле состоит в том, что во втором случае
не приходится возвращаться к старой переменной, так как при замене переменной
изменяются также и пределы интегрирования.
7.1.6. Интегрирование по частям в определенном интеграле
Теорема.
b
b
b
 udv uv a   vdu ,
a
(7.8)
a
где u  ux, v  vx — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [а,b].
Доказательство. Применим формулу Ньютона — Лейбница к равенству
uxvx  uxvx  uxvx. Получим
b
b

 u  x v  x dx   u  x v  x dx   u  x  v  x dx .
b
a
b
a
a
b
Отсюда  udv  uv a   vdu, т.к. по определению дифференциала du  udx, dv  vdx.
a
b
a
1
Пример 7.6. Вычислить  xe x dx .
0
7
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим
u  x, dv  e xdx , откуда du  dx, v  e x . Тогда
1
 xe
x
dx 
0
ux
du  dx
dv  e dx v   e dx  e
x
x
x
  xe
x 1
0
  e x dx  1 e1    0  e0   e x 0 
1
1
0
1
1 1
e2
   0   e1  e0     1 
.
e
e e
e

4
u  x, du  dx
Пример 7.7.  x sin xdx 

dv  sin xdx, v   cos x
0

 x cos x

0
4
4
  cos xdx   x cos x  sin x 

0
4

0



2
  cos  sin  (0  cos0  sin 0) 
(4   ) .
4
4
4
8
1
Пример 7.8. Вычислить  e x dx .
0
Решение. Сначала воспользуемся методом замены переменных, затем
проинтегрируем полученный интеграл по частям.
1
x
 e dx 
0
x  t, x  t 2
dx  2tdt
x 0 1
t 0 1
1
 2 et  tdt 
0
u t
du  dt
dv  e dt v  et
t

1
 1 1

 2  t et 0   et dt   2 tet  et   2(e1  e1 )  2(0  e0 )  2 .
0
0


7.2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
7.2.1. Несобственные интегралы первого рода
До сих пор рассматривались интегралы ограниченных функций на конечном
промежутке [a, b] . Расширим понятие определенного интеграла на бесконечный
промежуток интегрирования или неограниченную подынтегральную функцию.
Пусть функция y  f ( x) определена при a  x   и интегрируема на каждом
промежутке [a, b]  a,  .
Определение 7.3. Под несобственным интегралом первого рода от функции
y  f (x) в пределах от а до   (или несобственным интегралом с бесконечными
пределами интегрирования) понимается предел функции
b
 b   f  x  dx при
a
b   :

b
 f (x)dx  lim  b  lim  f ( x)dx .
a
b
b
(7.9)
a
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл
называется сходящимся; если же предел не существует или бесконечен, —
расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы:
8
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
b
 f ( x)dx  lim


 f ( x)dx ,

c
(7.10)
a a


b
с
b
f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim  f ( x) dx ,

a
c
b
a
где с — произвольное число.
(7.11)
с

Пример 7.8. Вычислить несобственный интеграл  cosxdx (или установить его
0
расходимость).
Решение. Рассмотрим
b
lim  cos xdx  lim sin x b
(sin b  sin 0)  lim sin b — предел не существует.
0  blim
b
b

b
0
Следовательно, несобственный интеграл расходится.
1
dx
.
2
 x
1 dx
1 1
1

lim
(
1

)  1 , то есть
Решение. Найдем lim  2  lim   
a  a x
a x  a
a 
a
Пример 7.9. Вычислить несобственный интеграл 
1
dx
 x 2 =1.

Значит, данный несобственный интеграл сходится.

dx
.
2
 1  x
Пример 7.10. Найти 
1
— четная,
1  x2

b
 dx
 dx
b
dx
dx


2
.Тогда

lim

lim
arctg
x
 lim arctg b  .


2
2


2
2
b

b

b

0
2
 1  x
0 1 x
0 1 x
0 1 x
Решение. Подынтегральная функция
Таким образом,

dx
 1 x

2
f x  
поэтому,
  — несобственный интеграл сходится.
Иногда в приложениях достаточно определить сходимость или расходимость
несобственного интеграла, а непосредственные вычисления (x) невозможны, в
этом случае можно использовать следующий прием.
Теорема (признак сравнения). Если на a,  заданы две неотрицательные,
интегрируемые на каждом конечном промежутке функции f1( x) и f 2 ( x) и
f1( x)  f 2 ( x) , то из сходимости интеграла от f 2 ( x) следует сходимость интеграла
от f1 ( x) ; из расходимости интеграла от f1 ( x) следует расходимость интеграла от
f 2 ( x) .
Пример 7.11. Исследовать интеграл


1
Решение.


dx
1  x4

dx
1  x4
на сходимость.
— неберущийся, но f1 ( x) 
1
1
не превосходит 2 при
x
1  x4
1
1
x  1, а  2 dx    1 — сходящийся, следовательно, интеграл
x1
1 x


1
dx
1  x4
—
сходящийся.
9
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
7.2.2. Несобственные интегралы второго рода
Определение 7.4. Рассмотрим функцию f (x) , заданную на конечном
промежутке [a, b] , интегрируемую в каждом промежутке [a   , b],   0 , но
неограниченную на [a, b] . Под несобственным интегралом второго рода от
функции y  f (x) (или несобственным интегралом от неограниченной функции)
понимается предел функции F (b)  F (a  ) 
b
f ( x)dx при ε  0 :

a
b
b
F (a   ) .
 f (x)  lim
 f (x)dx  F (b)  lim


0
a
0
a
(7.12)
Если предел в правой части (7.12) конечен, то говорят, что несобственный
интеграл сходится. Если же предел не существует или бесконечен, то
несобственный интеграл расходится.
Замечание. С помощью замены x  a 
1
интеграл второго рода сводится к
t
интегралам первого рода.
Аналогично, если f (x) неограничена при x  b , тогда
b
b
 f (x)dx  lim  f (x)dx  lim F (b   )  F (a) .
 0
a
(7.13)
 0
a
Если f (x) задана на конечном промежутке [a, b] , интегрируема в каждом
промежутке [a, c  ε] и [c   , b],   0 , но неограничена на [a, b] (точка с — точка
разрыва второго рода), тогда по свойству 5:
b
c
b
a
a
c
 f (x)dx  f (x)dx   f (x)dx  lim
Несобственный
интеграл
 0
b
 f (x)dx
c 

f ( x)dx  lim
a
(где
 0
b

f ( x)dx.
(7.14)
c
f (c)  , a  c  b )
называется
a
сходящимся, если существуют оба конечных предела в правой части равенства, и
расходящимся, если не существует хотя бы один из них.
Замечание. Признак сравнения, сформулированный для несобственных
интегралов первого рода, остается верным и для интегралов второго рода. Для
применения признака сравнения важно иметь набор «эталонных» интегралов.
Таковыми чаще всего служат следующие интегралы:

1.
dx
x
p
, сходящийся при p  1 для несобственных интегралов 1-го рода и
a
расходящийся при p  1;
b
2.
dx
 ( x  a)
p
, сходящийся при p  1 для несобственных интегралов 2-го рода и
a
расходящийся при p  1.
1 dx
Пример 7.12. Найти  .
0 x
10
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Решение. Подынтегральная функция f ( x) 
1
в точке x=0 неограниченная, а
x
1
1
1
dx
dx
потому имеем   lim   limln x  lim(ln1 ln a)   . Несобственный интеграл
a

0
a

0
a a0
0 x
0 x
расходится.
7.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
7.3.1. Вычисления площадей плоских фигур
Первоначально понятие определенного интеграла было дано на примере
вычисления площади некоторой достаточно простой плоской фигуры —
криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком [a, b] оси Ox , сверху —
непрерывной кривой y  f ( x)  0 , с боков отрезками прямых x  a, x  b (рис.7.1).
Эта площадь S выражается интегралом
b
S   f ( x)dx .
(7.15)
a
фигуры,
ограниченной
двумя
кривыми
y  f1(x)
y  f2 (x)  f1(x)  f2 (x) и двумя прямыми x  a и x  b находится по формуле
Площадь
b
b
b
S   f2 ( x)dx   f1 (x)dx   [ f 2 (x)  f1(x)]dx .
a
a
и
(7.16)
a
Эта формула верна при любом расположении относительно оси Ox графиков
функций y  f1 ( x) и y  f2 ( x) .
Пример 7.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми y  3 x и
y  x2 .
Решение. Находим точки пересечения этих кривых
x1  0, x2  1. Следовательно,
1
S 
0

3
3
x  x 2 , x  x6 , откуда
1
 3x 43 x3 
3 1 5
x  x dx  
    
(кв. ед.).
3  0 4 3 12
 4
2

Пример 7.14. Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями y  x2 - 2 и
y  x (рис.7.3).
Решение. Найдем координаты точек пересечения
y  x2  2
y
2
параболы y  x -2 и прямой y  x , решив систему этих
В yx
уравнений: А(-1; -1) и В(2; 2). На отрезке
[-1, 2] выполнено неравенство x  x2-2 . Воспользуемся
-1 0
формулой (7.16), где f 2 x  x , f1x  x2-2 . Абсциссы
точек А и В пересечения наших линий зададут пределы
D 2 x
интегрирования.
А
Рис.7.3
11
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.


S   x   x2  2 dx 
2
1
2
x2 2 x3 2

 2x 
1
2 1 3 1
1
1
 (4  (1)2 )  (23  (1)3 )  2(2  (1))  4,5(ед2 ) .
2
3
Пример 7.15. Найти площадь фигуры, ограниченной линией y  e x , x  0 .
Решение.

S   e x dx  e x
0

0
 0  e0  1 (кв. ед.).
7.3.2. Вычисление объемов тел вращения
Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции,
ограниченной кривой y  f ( x) , осью Оx и двумя вертикалями x  a и x  b , вокруг
оси Оx, выражается формулой:
b
Vx    f 2 ( x)dx .
(7.17)
a
Если тело получается от вращения непрерывной неотрицательной функции
x  f ( y) , y c, d  вокруг оси Оy, то его объем вычисляется по формуле:
d
Vy    f 2 ( y)dy .
(7.18)
c
Пример 7.16. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры,
ограниченной одной полуволной синусоиды y  sin x и отрезком 0  x   оси Оx
вокруг: а) оси Оx (рис. 7.4) и б) оси Oy (рис. 7.5).
Решение.
y
 x
0



1  cos2x
  sin 2x  2
Vx   sin xdx  
dx   x 
 .
2
2
2 0 2
0
0
Рис.7.4
2
y
 x
0
Рис.7.5


Vy  2 x sin xdx  2(x cos x  sin x)  22 .
0
0
Пример 7.17. Найти объем тела вращения относительно оси Oy фигуры,
ограниченной линиями y  3 x и y  x 2 .
Решение. Необходимо преобразовать
функции
к
виду
x  f (y) :
x  y3 , x 2  y . Точки пересечения этих кривых x1  0 и x2  1. Тогда
1
 y 2 y7 
1 1 5
Vy    ( y  y )dy             (куб. ед.).
 2 7  14
 2 7 0
0
1
6
12
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Пример 7.18. Найти объем тела вращения фигуры, образованной линией
x
y  e 2 , относительно ее асимптоты при x  0 .
Решение. Поскольку lim e
 2x
x 
 0 , то уравнение горизонтальной асимптоты
y  0 и необходимо использовать формулы объема тела вращения относительно
оси Ox :


Vx    e x dx   e x 0  0   e0   (ед. куб.).
0
7.4. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Пример 7.19. В задаче 2 (п. 7.1.1) потребление электроэнергии можно
рассматривать как кусочно-непрерывную, ограниченную на [t1, t2 ] функцию.
Поэтому:
t2
t2
t t1
t1
lim  f (t )dt   f (t )dt .
t 0
Пример 7.20. Предположим, что годовой доход D  F (t ) есть функция
времени t . Пусть удельная норма процента равна p и проценты исчисляются
непрерывно. Определить дисконтированный объем дохода, полученного за k лет.
(Дисконтирование — определение начальной суммы по известной конечной
величине).
Решение. За промежуток времени от t до t  t , при непрерывном начислении
процентов, дисконтируемый доход составит:
F (t )t
 F (t )e pt t ,
pt
e
а на отрезке [0, k ] он будет равен
t2 k
k
t1 0
0
lim  F (t )e pt t   F (t )e pt dt .
t 0
В частности, если годовой
дисконтированная величина
k
k
доход
постоянен
и
f (t )  a ,
то
его
k
a
a
D0   a e dt  a e dt   e pt  (1  ekp ) .
p
p
0
0
0
 pt
 pt
Пример 7.21. Найти дисконтированный доход за три года при процентной
ставке 6%, если начальные капиталовложения составляют 10 млн. грн и
планируется ежегодно увеличивать капиталовложения на 1млн грн.
Решение. Очевидно, что капиталовложения определяются формулой
f n  10  1 n  10  n. При непрерывном дисконтировании текущая стоимость
дохода равна f nern . Поэтому дисконтированная сумма вложений равна
3
K0   10  ne rn dn  32 млн. грн.
0
13
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Пример 7.22. Кривая Лоренца — зависимость процента дохода от процента
населения, который оно имеет (рис.7.6). При равномерном распределении
доходов кривая Лоренца вырождается в прямую — биссектрису ОА, а поэтому
площадь фигуры ОАВ между биссектрисой ОА и кривой Лоренца, отнесенная к
площади треугольника ОАС (коэффициент Джини) характеризирует степень
неравенства в распределении доходов населения.
A
100(1)%
Доля
дохода
yx
B
C x
100(1)% Доля
населения
населения
Рис. 7.6
0
1
По данным исследований в распределении доходов в одной стране кривая
Лоренца ОВА может быть записана уравнением y  1  1  x 2 , где х — доля
населения, у — доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини.
Решение.
K Джини 
SOBA
S
 1  OBAC  1  2SOBAC ,
SOAC
SOAC
1
2
поскольку SOAC  , то
1


1
1
1
SOBAC   1  1  x dx  dx  1  x dx 1  
0

2
 1 
0
2
2
0
0

0

x  sin t
1  x dx 
dx  cos tdt
x  1, t 

2 
x  0, t  0
2

1  cos 2t
1 1
1 

2
1  sin t cos tdt 1   cos tdt 1  
dt 1   t  sin 2t   1    1  . О
2
2 2
2 2
4
0
0
0
2
2
2
2


тсюда K  1  21     1  0,57.

4
2
Достаточно высокое значение K показывает неравномерное распределение
доходов среди населения в государстве.
Пример 7.23. Численность населения определяется формулой y  y0ekt , где
y0 — число жителей в начальный момент времени, k — коэффициент прироста,
t — число лет. Потребление некоторого продукта в единицу времени
пропорционально числу жителей и коэффициент пропорциональности равен q . В
этом случае функция «потребления» P(t ) имеет вид P(t)  q  y  q  y0  ekt . Найти
объем потребления этого продукта на промежутке от t1 до t2 .
Решение. На малом промежутке времени от t до t  t количество жителей
можно считать постоянным и в этом случае требуемое количество продукта
Q  pt  q  y0ekt t .
14
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Тогда на промежутке [t1, t2 ]
t2
Q   qy0ekt dt 
t1
qy0 kt2 kt1
e  e  .
k
Пример 7.24. В 1996 году население района было 120 тыс. человек, за 5 лет
выросло до 132 тыс. человек. Найдем коэффициент прироста населения k .
Решение. По условию y0  120, y  132, t  5 . Следовательно,
т.е. y  y0 e0,019t
132  120e5k , k  0,2 ln1,1  0,019,
и для q  0,8 за 5 лет необходимое количество продукта
0,8 120 0,0195
Q
e
 1  5558 (ед.)
0,019


7.5. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
7.5.1. Понятие двойного интеграла
По аналогии с интегралами одной переменной y  f ( x) можно построить
интегральное исчисление функций нескольких переменных. Соответствующие
интегралы называются кратными интегралами.
Пусть f x, y — любая функция двух переменных, непрерывная в некоторой
области D, ограниченной замкнутой линией. Разобьем область D на некоторое
число n областей произвольной формы и будем называть их частичными
областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке,
обозначим их через 1, 2 ,..., n , а их площади — через Δ1,Δ2 ,...,Δn .
1  P1
 n  Pn
D
 i  Pi
 2  P2
D
Рис.7.7
В каждой частичной области выберем по произвольной точке Pi xi , yi  и
составим сумму
n
I n   f  xi , yi Δi ,
(7.19)
i 1
где f xi , yi  — значение функции в точке Pi xi , yi  .
Сумма I n в (7.19) называется n-ой интегральной суммой для функции f x, y
в области D, соответствующей данному разбиению этой области на n частичных
областей.
15
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
Диаметром области называется наибольшее расстояние между точками ее
границы.
Определение 7.5. Двойным интегралом от функции f x, y по области D
называется предел, к которому стремится последовательность n-ых интегральных
сумм при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.
Записывается это следующим образом:
n
lim
maxdiam i 0
 f  x , y Δ
i
i 1
i
i

 f  x, y  d

D
 f  x, y  dxdy .
D
Здесь f  x, y  d — подынтегральное выражение, f x, y — подынтегральная
функция, d — элемент площади, D — область интегрирования, x, y —
переменные интегрирования.
Теорема существования двойного интеграла. Если функция f x, y
непрерывна в ограниченной области D (граница которой состоит из конечного
числа непрерывных линий, уравнения которых могут быть заданы в виде y  f  x 
или x  g  y  ), то ее n-я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к
нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т. е. двойной
интеграл не зависит от способа разбиения области D на частичные области  i и
от выбора в них точек Pi xi , yi  .
7.5.2. Сведение двойного интеграла к повторному
Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению
двух определенных интегралов.
Пусть область D является прямоугольником со сторонами, параллельными
осям координат.
d
y
c
0
a
b
x
Рис. 7.8
Теорема. Если функция z  f ( x, y) непрерывна в прямоугольной области D ,
то она интегрируема в D и
b d
d b




f
(
x
,
y
)
dxdy

f
(
x
,
y
)
dy
dx

f
(
x
,
y
)
dx



 dy .
D
a c


c a


Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к повторному
интегрированию — вычисляются однократные интегралы, причем, как и в случае
дифференциального исчисления, интегрируя по x , с переменной y действуем как
с постоянной величиной и наоборот. Записывается это равенство также в виде:
b
d
d
b
a
c
c
a
 f  x, y  dxdy   dx f  x, y  dy   dy  f x, y  dx .
D
(7.20)
16
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
В случае произвольной области D , поместим ее в прямоугольник со
сторонами, параллельными осям координат (рис. 7.9) так, чтобы эту область
можно было записать одним из двух способов с помощью неравенств:
 a  x  b,
D
 y1  x   y  y2  x  ,
или
 y  b,
D  x  ya 
x  x2  y .
1
y
d
y  y2 x
x  x1  y
D
x  x2  y 
y  y1x
c
0
a
b
x
Рис. 7.9
Тогда двойной интеграл по области D вычисляется по формулам:
b
 f  x, y  dxdy   dx
D
y2  x
  f  x, y  dy
a
y1 x
d
x2  y 
c
x1 y
или
(7.21)
 f  x, y  dxdy   dy   f  x, y  dx .
D
(7.22)
Нужно только помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных
принимается при интегрировании за постоянную. Таким образом, вычисление
двойного интеграла сводится к повторному (или двукратному) интегрированию.
 1 1 
Пример 7.25. Найти двойной интеграл  1 x  y  dxdy по прямоугольной
3 4 
D 
области D   x, y  : 1  x  1, 2  y  2 .
Решение.
2
1
2
1
1 
1 
1 2
 1
 1
 1
D 1 3 x  4 y  dxdy  1 dx2 1 3 x  4 y  dy  1 y  3 xy  8 y  2dx 
1
2 
 4 

   4  x dx   4x  x2   8
3 
3  1

1 
1
или
17
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
1
2
1
2
1 
1 
 1
 1
 1 2 1 
D 1 3 x  4 y  dxdy  2 dy11 3 x  4 y  dx  2  x  6 x  4 xy  1dy 
2
1 
 1 

   2  y dy   2 y  y 2   8.
2 
4  2

2 

Пример 7.26. Вычислить  y sin xydxdy , где D  ( x, y) : 0  x  ,0  y  1 .
2


D
2
Решение.
 2

y
sin
xydxdy

y
sin
xydx
dy .
D
0 0


1
Вычислим однократный интеграл


2
1
1

1
1
 
sin
xydx

cos
xy
  cos y  cos0  1 cos y  ,
0
y
y
2
y
y
2 
0
2
затем подставим
1
 
2
 
1
 


1  cos
y  dy   y  sin y  
y
sin
xydxdy

y

1

cos
y
dy




D
0 y 
2 
2 
2 0
 
0
1
1
2 
2

2

 (1  0)   sin  sin 0   1   sin  1  .
 2

2


Пример
7.27.
Найти
интеграл  x  y dxdy
двойной
по
области
D,
D
ограниченной линиями y  x и y  x2 .
Решение.
y
1
yx
y  x2
D
0
1
x
Рис. 7.10
x
1
1
 2 x2 3 x4 
 x3 x4 x5 
1 2
3

x

y
dxdy

dx
x

y
dy

xy

y
dx

x


x

dx







     .
D
0 x2
0  2  x2 0  2
2
 2 4 10  0 20
1
x
1
18
Модуль 2. Тема 2. Интегральное исчисление.
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.: Высш.шк.,
1981.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Основная
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш.
Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.:
Инфра-М, 1997.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.
— М.: Финансы и статистика, 2003.
Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное
пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для
вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. — Минск,
1968.
Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу
высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.:
Экономическое образование, 1989.
Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. —
М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1977.
19
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
1 123 Кб
Теги
лекция, интеграл, теорема, метод, определенное, интегрированный, ньютона, лейбниц
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа