close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Лекция 15 Дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные и однородные уравнения первого порядка.

код для вставкиСкачать
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
Лекция 15
Дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные и однородные
уравнения первого порядка.
Вопросы:
1. Понятие дифференциального уравнения. Задача Коши. Общее и частное
решения.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка.
3. Методы решения дифференциальных уравнений первого порядка:
а ) дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными;
б) дифференциальные уравнения с разделёнными переменными;
в) однородные уравнения;
г) линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Изучение предшествующих разделов высшей математики показало, что
исследование зависимостей между величинами с помощью математического
аппарата удобно производить в том случае, когда эта зависимость задана
аналитическим выражением y=f(x). Но иногда в процессе моделирования
некоторого экономического явления или процесса получаются другие формы
задания соответствующих зависимостей.
Вернемся к изучению вопроса о цене равновесия между спросом d и
предложением s. Простейшая математическая модель рассмотрена в первом
разделе. Практика показывает, что неизменной цена товара может быть только в
течение небольшого промежутка времени. Естественно, что тенденция
формирования цены товара р влияет на величину и спроса и предложения s.
Математически тенденция формирования цены может быть задана производной
по времени p 
dp
. Зависимости величины спроса и предложения от цены товара
dt
могут быть в этом случае:
s  a0  a1 p  a2 p; d  b0  b1 p  b2 p .
Приравняв эти выражения, получаем следующее уравнение для определения
цены равновесия:
a0  a1 p  a2 p  b0  b1 p  b2 p
или
p  a2  b2   p  a1  b1   a0  b0  0 .
Как найти из этого уравнения цену в момент времени Т? Что является
решением этого уравнения?
Изучению и решению такого типа уравнений посвящен этот раздел курса
высшей математики.
9.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ЗАДАЧА КОШИ. ОБЩЕЕ И
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЯ
1
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
Определение 9.1. Дифференциальным уравнением называется уравнение,
связывающее независимые переменные, искомую функцию этих переменных и
производные (или дифференциалы) этой функции.
Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным;
если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется
дифференциальным уравнением в частных производных.
Определение 9.2. Наивысший порядок производной, входящей в уравнение,
называется порядком дифференциального уравнения.
Например:
1) x3 y  4xy  e x — обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка;
2)
d2y
dy
 4xy  x2 — обыкновенное дифференциальное уравнение второго
2
dx
dx
порядка;
3) x3 y  4xy  y — обыкновенное дифференциальное уравнение третьего
порядка;
4) x2
дz
дz
 y 2  0 — дифференциальное уравнение в частных производных
дх
ду
первого порядка.
Далее рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения,
причем слово «обыкновенные» будем опускать.
В общем случае дифференциальное уравнение n–го порядка можно записать
следующим образом
(9.1)
F x, y, y,..., yn  0 ,
где F — некоторая функция от n  2 переменных, n  1.
Определение 9.3. Дифференциальное уравнение n–го порядка называется
разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид
y n  f x, y, y,..., yn1 ,
(9.2)




где f — некоторая функция от n  1 переменных.
Определение 9.4. Решением дифференциального уравнения n–го порядка
называется такая дифференцируемая n раз функция y  x, которая при
подстановке в уравнение вместо неизвестной функции y и ее производных,
обращает его в тождество.
Пример 9.1. Решить уравнение y  x .
x2
Решение. Запишем уравнение в виде  y  x . Отсюда y   xdx   C1 , тогда
2
 x2

x3
y  x      C1  dx   C1x  C2 , где C1 , C2 — произвольные постоянные.
6
2

Пример 9.2. Решить уравнение y  sin x .
Решение. y   cos x  C1 ,
2
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
y   sin x  C1x  C2 ,
y  x   cos x 
тогда
C1x2
 C2 x  C3 .
2
Здесь
C1, C2 , C3
—
произвольные постоянные.
Отсюда можно предположить, что решение дифференциального уравнения n–
го порядка должно зависеть от n произвольных постоянных. Потому, не соблюдая
строгости, можно дать следующие определения.
Определение 9.5. Общим решением дифференциального уравнения n–го
порядка называется такая функция y    x, C1, C2 ,..., Cn  , зависящая от x, C1, C2 ,..., Cn ,
которая является решением уравнения при любых значениях постоянных
C1, C2 ,..., Cn .
Определение 9.6. Если общее решение задано в неявном виде
Φ x, y, C1, C2 ,..., Cn   0 ,
то оно называется общим интегралом.
Определение 9.7. Частным решением дифференциального уравнения
называется решение, полученное из общего решения при некоторых конкретных
числовых значениях постоянных C1, C2 ,...,Cn .
Определение 9.8. Решение, которое не получатся из общего ни при каких
значениях постоянных C1, C2 ,...,Cn называется особым решением.
Для дифференциального уравнения n–го порядка рассматривается задача
Коши, которая ставится так: найти решение дифференциального уравнения (9.1),
которое при x  x0 удовлетворяет условиям
y  x0   y0 , y  x0   y0 , ..., yn1  x0   y0n1 ,
где y0 , y0 , ..., y0n 1 — произвольные наперед заданные числа. Взятые вместе
числа x , y , y , ..., yn1 называются начальными данными.
0
0
0
0
Задача Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка:
y  f  x, y  ,
y  x0   y0
для уравнения второго порядка:
y  f  x, y, y ,
y  x0   y0 ,
y  x0   y0 ,
или
y  f  x, y  ,
y x x  y0 ,
0
y  f  x, y, y ,
или y xx  y0 ,
0
y x x  y0 .
0
Определение 9.9. Операция нахождения решений дифференциального
уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Интегрирование дифференциального уравнения зависит от его порядка и вида
функции F x, y, y,..., yn .


Далее рассматриваются некоторые виды дифференциальных уравнений,
достаточно часто встречающиеся при моделировании экономических процессов и
методы их интегрирования.
9.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
3
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
С простейшими дифференциальными уравнениями первого порядка y'=f(x) мы
уже встречались в разделе «Неопределенный интеграл», когда определяли
первообразную y=F(x).
Например, для y'=cosx первообразной является функция у=sinx, но не только
она, по теореме 1 (гл. 6, 6.1.1), первообразными являются все функции вида
y=sinx+C, где С — произвольная постоянная.
В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка может быть
записано в виде
F (x, y, y')=0,
(9.3)
но часто бывает удобнее разрешить это уравнение относительно y' и записать в
так называемой приведенной форме
y'=f(x, y).
Для такого уравнения справедлива следующая теорема.
Теорема 1 (о существовании и единственности решения). Если в уравнении
y'=f(x, y) функция f(x, y) и ее частная производная
f
непрерывны в некоторой
y
области D на плоскости 0xy, содержащей точку M(x0, y0), то существует
единственное решение этого уравнения у=(x), удовлетворяющее условию
у0=(x0).
Это значит, что существует единственное решение у=(x) такое, что график
функции проходит через точку M(x0, y0).
Условие, что при x=x0 должно быть у=у0 называется начальным условием.
Определение 9.10. Общим решением дифференциального уравнения первого
порядка называется функция у=(x, С), которая зависит от одного произвольного
постоянного С и является решением дифференциального уравнения при любом
конкретном значении постоянного С=С0.
Каково бы ни было начальное условие у=у0, х=х0, можно найти значение
С=С0, такое чтобы функция у=(x, С) удовлетворяла начальному условию. При
этом предполагается, что (х0, у0) принадлежит области, в которой выполнены
условия теоремы о существовании и единственности решения.
Если общее решение задано в виде Φ(x, y, C)=0, то оно называется общим
интегралом.
Определение 9.11. Частным решением называется решение у=(x, С0),
полученное из общего решения путем задания определенного численного
значения произвольной постоянной С=С0 (Φ(x, y, C0)=0 — частный интеграл).
Таким образом y=sinx+C — общее решение уравнения y'=cosx, y=sinx—
2
2
частное решение при С=0, y  sin x 
— частное решение при C  
.
2
2
Определение частного решения, удовлетворяющего данным начальным
условиям, называется решением задачи Коши.
Определение 9.12. График решения у=(x) уравнения (9.3) называется
интегральной кривой.
4
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
Таким образом, решить задачу Коши для уравнения (9.3) — это значит найти
интегральную кривую, проходящую через точку (x0, y0).
9.3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Рассмотрим несколько частных случаев решения дифференциальных
уравнений первого порядка в зависимости от вида правой части f(x, y). Поскольку
производную можно записать как отношение дифференциалов y  x 
некоторых случаях вместо записи
dy
 f x, y или dy=f(x, y)dx.
dx
y  f  x, y 
dy
, то в
dx
будем использовать запись
9.3.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Определение 9.13. Если правая часть f  x, y  может быть представлена в виде
произведения двух сомножителей, один из которых зависит только от х, второй от
у, т.е.
f(x, y)=f1(x)·f2(y),
то уравнение
dy=f1(x)·f2(y)dx
(9.5)
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Оно преобразуется к уравнению вида
dy
 f xdx ,
f 2  y 1
в котором переменные х и у "разделены". Вычислив первообразные функций
 f1  x dx F1  x  C1 ,
dy
 f  y  F  y   C ,
2
2
2
находим общий интеграл такого уравнения
F2(y)=F1(x)+С,
где C  C1  C2 .
Пример 9.3. Найти зависимость цены на некоторый товар от времени, если
известна скорость изменения этой цены
dp
1
   p  30 .
dt
9
1
Решение. Полагая f1 (t )   , f2(p)=p–30, получаем
9
dp
1
  dt , т. е.
p  30
9
dp
1
 p  30   9  dt .
Поскольку интегралы правой и левой части табличные, то нет необходимости
в сложных преобразованиях и можно сразу выписать результат
5
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
1
ln p  30   t  c .
9
Разрешая относительно p, получим
1
 t
p  c  e 9  30 .
Если в некоторый исходный момент времени t0=0 цена товара была известна и
1
 0
р0=40, можно найти соответствующее частное решение 40  C  e 9  30 , отсюда
С=10. Тогда частное решение, удовлетворяющее начальным условиям p t 0  40 ,

t
9
p  10  e  30 .
Пример 9.4. В настоящее время средний темп прироста населения Земли 5
человек на каждую тысячу за год. Определить каким будет население в 2100
году?
Решение. Обозначим x(t) население в момент времени t. Тогда в момент t+Δt
x
население составит х+Δх, отношение
— средняя скорость прироста населения.
t
Предел этого отношения при Δt→0 будет lim
t 0
x
 x .
t
По условию х'=0,005x и, следовательно, dx=0,005xdt, где f1(t)=0,005, f2(x)=x,
отсюда
dx
 0,005dt ,
x
dx
 x  0,005 dt ,
ln x  0,005t  C
и x  C  e0,005t — общее решение.
Подставив начальные условия t0=2000 и x0=6·109, найдем С0:
6·109=С·е0,005·2000, 6·109=С·е10 и, значит, С0=6·109·е-10. Тогда частное решение
имеет вид: x=6·109·e-10·e0,005t.
При t  2100 находим
x  6 109  e10  e0,0052100  6 109  e0,5 , x  9,8 109.
Т.е. если тенденция прироста населения сохранится, то к 2100 оно будет около 10
миллиардов человек.
Замечание. Уравнение вида x  kx с решением x  Cekt часто встречаются в
практических исследованиях, при описании так называемых процессов «рождения
и гибели». В биологии так определяется количество особей в популяции, в
медицине — количество заболевших инфекционными заболеваниями, в
экономике — количество предметов, находящихся в использовании и т.д.
Например, если стоит задача определения загруженности дорог, необходимо
учесть количество автомашин, использующих эти трассы. Коэффициент
пропорциональности k  k1  k2 , где k1 — количество автомашин, выпущенных
автозаводами (или закупленных населением изучаемого района), k2 — количество
машин выбывших из употребления (аварии, естественный износ и т.п.).
6
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
Пример 9.5. При реализации товара число потенциальных покупателей N
человек, в момент времени t товар приобретен x(t) клиентами. Определить
тенденцию роста производства для удовлетворения спроса на данный товар.
Решение. Постановка этой задачи похожа на пример 9.4, но необходимо
учесть насыщение рынка. Следовательно,
dx
dx
 kdt ,
 kx  N  x  ,
x  N  x
dt
1
1
1
1 1
1 dx 1
dx
 
  ,
 
 k  dt .

x  N  x N N  k N x
N x N Nx
Разрешив относительно х, получим,
x
N
, A  e cN .
 Nkt
1  Ae
Это уравнение логистической кривой, часто используемой в экономике при
описании тенденций роста производства предметов потребления, количества
наличных денег в обороте, эффективности рекламы и т.д.
9.3.2. Однородные уравнения
Определение 9.14. Функция f x, y называется однородной функцией
степени n относительно переменных х и y, если при любом   0 справедливо
тождество f   x,  y    n f  x, y  .
Определение 9.15. Уравнение первого порядка y  f x, y называется
однородным относительно x и y, если f x, y есть однородная функция нулевой
степени относительно x и y.
1
Полагая   , в силу однородности f x, y нулевой степени, получаем
x
y
f x, y   f 1, . Это означает, что уравнение однородное, если его можно
 x
представить виде
y
y   .
 x
Его решают с помощью замены u  x 
y  x
,
x
т.е.
y  x   u  x   x . Тогда
y  ux  u. Подставляя в исходное уравнение, получим
ux  u   u  .
du
Или
x  u  u — это уравнение с разделяющимися переменными.
dx
Поэтому
du
dx
du
 
 ln Cx .
 u   u x
 u   u
y
Подставляя после интегрирования u  , получим общий интеграл исходного
x
уравнения.
7
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
y
x
π
2
Пример 9.6. Решить задачу Коши: xy ' y  xtg , y(1)  .
Решение. Данное уравнение однородное. Разделив обе его части на х,
получим
y
y
y'   tg ,
x
x
Сделаем замену
имеем
x  0.
y
 u , или y  xu , тогда y  u  xu . Подставляя в уравнение,
x
u  xu  u  tgu
или
xu  tgu  x
Решаем полученное
переменными:
du
du dx
dx
 tgu  xdu  tgudx 
  ctgudu  .
dx
tgu x
x
дифференциальное
уравнение
с
разделяющимися
dx
 ctgudu   x  ln sin u  ln x  ln C , C  0 ,
ln sin u  ln Cx ,
sin u  Cx  sin u  Cx  C  C1   u  arcsin C1x  .
Сюда включили решение tgu  0 при C1  0 . Возвращаясь к неизвестной функции
y, получаем y  x arcsinCx.

Используя заданное начальное условие, имеем
 1 arcsin C1 1 , откуда
C1  sin
2

 1. Итак, искомое частное решение имеет вид y  x arcsin x .
2
Ответ. y  x arcsin x .
9.3.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 9.16. Дифференциальное уравнение первого порядка называется
линейным, если оно имеет вид
y  f  x  y  g  x  ,
где f x и gx — некоторые функции (непрерывные) переменной х. В случае,
когда функция gx тождественно равна нулю, уравнение называется
однородным, в противном случае — неоднородным.
Рассмотрим один из способов его решения — метод Бернулли.
Решение ищем в виде произведения двух функций y  uv, одна из которых
может быть выбрана произвольно, а другая должна определяться из уравнения.
Так как y  uv  uv, то
uv  uv  f xuv  gx,
uv  uv  f xv  gx.
Выберем v(x) так, чтобы скобка при функции u равнялась нулю. Таким
образом, решение уравнения свелось к решению системы дифференциальных
уравнений:
8
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
 dv
  f xv  0,
 dx
uv  g x.
Из первого уравнения находим какое–либо частное решение v  vx
(постоянная С берется равной 0). Подставляя его значение во второе уравнение
системы, находим ux.
Пример 9.7. Решить уравнение xy'x  1y  3x2e x .
Решение. Ищем решение данного уравнения в виде произведения двух
функций: y  uv, y  uv  uv.
Имеем
xuv  uv  x  1uv  3x2e x
или
xuv  xuv  x  1uv  3x2e x ,
xuv  xv  x  1vu  3x2e x .
Выберем функции u(x) и v(x) так, чтобы
 xv  x  1v  0,

2 x
 xuv  3x e .
Решив полученные уравнения, найдем v(x) и u(x).
Решаем первое уравнение. Разделим переменные:
dv
x 1

dx ,
v
x
dv 
1
  1   dx .
v 
x
Почленно проинтегрируем:
dv 
1
 v     1  x dx  ln v   x  ln x .
1
1
Отсюда v  e x ln x  e x  eln x  e x . Здесь при интегрировании положили
x
C  0 , так как vx — произвольно.
Найдем ux:
1
u( x)e x  3xe x
x
или ux  3x2 , откуда
ux  x3  C.
Окончательно имеем:
y  uxvx  x2e x 
С
x
С x
e .
x
Ответ: y  x2e x  e x .
9
Модуль 2. Тема 3. Дифференциальные уравнения.
ЛИТЕРАТУРА
Для содержательных модулей
1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1-3. — М.: Высш.шк.,
1981.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и
интегральное исчисление. — М.: Наука, 1988.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Основная
Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ Под ред. Н.Ш.
Кремера. — М.: ЮНИТИ, 2003.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. — М.:
Инфра-М, 1997.
Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике.
— М.: Финансы и статистика, 2003.
Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов: Учебное
пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. — 1998.
Практикум по высшей математике для экономистов: Учебное пособие для
вузов/ Под ред. Н.Ш. Кремера. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.
Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. — Минск,
1968.
Руководство к решению задач с экономическим содержанием по курсу
высшей математики./ Под ред. А.И. Карасева и Н.Ш. Кремера. — М.:
Экономическое образование, 1989.
Данко П.Е., Попова А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. —
М.: Высш.шк., 1974.
Сборники задач
1. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. — М.: Наука, 1977.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.:
Наука, 1977.
10
Автор
ДонАгрА-З
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
328 Кб
Теги
первого, лекция, однородные, уравнения, дифференциальной, линейный, порядке
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа