close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1875 mubarakov a.m geometriya kursi boiinsha zdik jane bakhilau jumistari l.m. mubarakov e.a. tuyakov.d.i. kabenov

код для вставкиСкачать
Мубараков A.M., Туяков Е.А., Кабенов Д.И.
ГЕОМ ЕТРИЯ КУРСЫ БОЙЫ НШ А
Э31НД1К Ж Э Н Е БАКЫ ЛАУ
Ж ¥М Ы С ТА Р Ы
Казакстан Республикасынын п>шым жэне ош м министрл 1П
С. Тбрайгыров атынлагы Павлодар мемлекетпк университеп
«Математика жэне информатика» кафедрасы
ГЕОМЕТРИЯ КУРСЫ БОЙЫНША
031НД1К ЖЭНЕ БАКЫЛАУ
Ж ¥М ЫСТ АРЫ
Павлодар
УДК372.85Ц07)
БЬК 74.262.21и7
\ т
Б а с и т а С .Т орайгы ров атындагы Павлодар м е м л с к с т к
у ни верен'reriHiH и .м ы м и Kciieci усы ига л
11iкiр oepyini.iep:
Б.Ь. Ь айм уканов - Ы Лл гьЩсарнм атыилагы Казак oi.niM Лкалсмиясынып
профессоры. пела! 01 и ка гылымларынын ликторы.
Ь.А. Н айм анов - С. То рай г ы ров атындагы Павлодар
м см лскеп in
\ инверсию rinin лоиснм. пела! огика гылммларынын кайлила! ы.
ISBN 9965-568-19-1
Мубараков Л.М., Гуяков Е.А., Кабснов Д.И.
М89 Геометрия курсы боиынша е з й о к жене бакылау жумыстары:
Оку-ол1стеме:пк куралы. -Павлодар: С. Торайгыров атындагы
Павлодар мемлекетпк университет!. 2002. 82 бет.
Бул оку куралы у н и в е р с и т е т н «Математика». «М атематика
жоне физика» маманлыкгары боиынша окитын студенгтерд1
«Математиканы окытулын зд1стемесЬ> жоне «Есептерл! ш ёш \те
окыту а д к т е м е а » пенлер1 аркылы келешек мамандыкка лайындауга
арналган. Сонымен oipre. ол жалпы бЫ м беретж мектёптердщ. баска
да эр Турл1 орта б Ы м бепетж <
гика
м угал п и ер ж е пайлалы болмак. [Г
С . Торайгыров
атындагы П М У - д щ
академик С . Б е й с е | б а
атындагы ш л ы ш т
ISBN 9965-568-19-1
е в |
%
К1ТАПХАНАСЫ
£ М \бараков Л.М., Гуяков С.А.. Кабенов Д.11.. 2003
© С.ГораЙГЫров атындагы Павлодар мемлекеттж университет!. 2003
А л гы с е з
М ектепте м атем ати к ал ы к б ш щ бсруд! ж е т ш о р у , беритетш
бш м
мен кж ерлнстщ м азм у н ы м ен гана ем ес, онын.
си паты м ен де бай лан ы сты . О ку ш ы л ар ал ган б ш м д е р ш
п ракти к ад а к ездесш к ал аты н ж агдайларда ко л дан а бшулер1
к ер ек , 6ip сезб ен ай ткан да б М м о р ек е т п болуы тш с.
Э р е к е т п бЫ мд1 ка л ы птасты р уды н дэстурл1 ж олы —
м у га л 1м н щ берш ген б ш м н щ — м агы насы н аш аты н турл1
м ы салдар кеЛт^ру! о к у ш ы л ар д ы н дай ы н д ы к до реж елерш е,
тан ы м д ы к
орёкеттер!
мен
п си х и к ал ы к
npoixecTepiHiH
ерекш ел1гш е
сэ й к ес
арнайы
дай ы ндалган
децгейл1к
тап сы рм ал ар оры ндауы . есептер ш ы гаруы болы п табы лады .
М атем ати каны
о к ы ту
н эти ж есш
к етер у деп
басты
багы ттарды н 6ipi о к у ш ы л ар д ы н саб ак у с л а д е е з д т н е н
ж ум ы с icTeyminiK р о м н к у ш ей ту болм ак. О сы ж и н а к
мугал^мдерге
саб ак
у сп и д е
о ку ш ы л ар д ы н
езд^гш ен
оры ндайты н ж ум ы сы н н егу р л ы м ти ш ш уй ы м дасты руга,
с о н д а й -а к о к у ш ы л ар д ы н игерген б ш м ш бак ы л ау у ш ш
арн ал ы п отыр
Усы ныл ып оты рган е з 1* ш к ж эн е бакы лау ж ум ы стар
ж и н агы н ы н н е л з п ерекщ ёлш тер1:
1. Ш агы н квлем д! KiTarrra 9 -ш ы сы ны бы ны н геометрия
курсы бой ы нш а тексеру ж у м ы стары ны н т о л ы к ж иы нты гы
берш ген. Б ак ы л ау ж ум ы стары 6ip саб ак к а, ал взд^к (вз
б е й м е н ж асайты н) ж ум ы стары 20-40 м и н утка ш ам алан ган.
d p 6 ip бак ы л ау ж ум ы сы ны н атауы нда он ы н такы ры бы
берш ген.
2. Т ексеру ж ум ы стар ж инагы ар к ы л ы д и ф ф ер ен ц и ал д ы к
б ак ы л ау етк1зуге болады: тап сы рм алар А, В, С денгейлер!
бой ы н ш а берш ген. “А ” денгей] м1ндетп турде менгеруге
THicri багдарлам а талаптары на арналган; “ В” д е н г е й —
курдел гктщ орташ а денгеШ ; “ С ” денгей1 лиц ей , гим нази я,
м ектепте м атем атиканы тер евдетш окы туга арналган.
3. К т а п т щ 6ip ай н ал ы м ы н да op6ip уш д ен гей д щ ею
н ускасы берш ген , сонды ктан о к у ш ы л ар ор ден гейд щ
тап сы рм ал ары н салы сты ра оты ры п , езд ер ш щ б ш м ш е сай
ден гейш тандайды .
4. Т ексеру ж ум ы стары ны н такы ры бы мен м азм уны А.В.
П огорелов пен J1.C. А тан асянн ы н геометрия о к у л ы гы н а
н еп зд ел ген , 6ipaK та усы ны лы п оты рган тапсы рм аларды
баск а о к у л ы к тар м ен ж ум ы с ж асаганда да беруге болады.
3
0 -1 Уксас турлекщру жэне оныц кдсиеттер1
Нускя А!
Нускд А2
С А
С АД
Бершгеш: ABC жоне А,В,С, ушбурыштары уксас
ZA=42°
ZB=25°
ZB, -да табындар.
ZC, -да табындар.
Бершгеж: ABC жэне А,В,С, ушбурыштары уксас.
х пен y-Ti табындар.
3 Тен кабыргалы ушбур­
ышка. уксас ушбурыш та.
тен кабыргалы ушбурыш
болатынын долелдендер.
3 Тен буШрл1 ушбурышка
уксас ушбурыш та, тен
буШрл1 ушбурыш болатынын долелдендер.
Нускд В2
Нускд В1
Бершгеш: ABC мен А,В,С, ушбурыштары уксас.
ABC ушбурышынын бурыштарын табындар.
к
2 Уш бурыш тын кабыргалары ны н катынасы 3:5:6
катынасындай болса, онда
ен улкен ж эне ен Kiuii
кабы ргалары ны н айырмасы 9 см болатын, бершген
уш буры ш ка уксас уш бур­
ыш тын
кабы ргалары н
табындар.
2 Уш бурыш тын кабыргаларынын. катынасы 2:4:5
катынасындай болса, онда
ен у лкен ж эне ен Kiiiii кабы ргалары ны ц косындысы
28 см болатын, бершген
уш буры ш ка уксас ушбурыштын
кабыргаларын
табындар.
3 KaTeTrepi а ж эне в, ал гипотенузасы с болатын тнс бурышты уш бурыш KaTerrepi а, ж эне в,, ал гипотенузасы с, болты н T1K бурышты уш буры ш ка уксас.
а
в
—- ■»—
аа. + вв. = сс.
а. в,
болатынын долелдендер.
Нуска С2
Нус ка C I
1
ABCD ж эне A ,B ,C |D |
денес
тертбурыштары
уксас.
Егер
ZA,=80°
ZB:ZC:ZD=5:2:7,
болса,
онда ABCD тертбурышынын бурыштарын табындар.
1
ABCD ж эне A ^ C i D ,
денес
тертбурыштары
уксас.
Егер
ZA,=100°,
ZB:ZC:ZD=8:7:11
болса,
онда ABCD тертбурыш ынын бурыштарын табындар.
2 Т ен буШрл1 уш бурыш ­
тын табаны мен кабыргасы
30 см ж эне 25 см. Егер бер­
шген
уш бурыш ка уксас
уш бурыш ты н
табанына
TycipLnreH 6HiKTiri 4 см бол­
са, онда онын кабыргалар­
ын табындар.
2 Ромбынын диагоналдары
3 см жэне 4см. Бершген
ромбыга уксас, кабыргасы
20 см-ге тен ромбынын
диагоналдарын табындар.
3 Кдбыргалары а, в, с жэне
в, с, d болатын ушбурыштар уксас. У ксасты к коэф-
3
Кабыргалары а, в, с
ж эне в, с, d болатын
ушбурыштар
уксас.
У ксасты к
коэф-
5
1
ф ициенп
- - г е тен
ф ициенп
MYMKjH
болуы
м ум квд
б о л м ай ты н ы н
до л ел д ен д ер.
2-ге т е н б о л у ы
б о л м а й ты н ы н
до л ел д ен д ер .
0 -2 Ушбурыштардьщ уксастык, б елпа
Н уска А2
Н ускд А1
1 В
Б ерш геш : ZA =ZC
Б ерш геш : Z B = Z D
АОВ ж оне C O D у ш б у р ы ш т ар ы н ы н у ксасты гы н долелд енд ер.
С уретте берш гендер бой ы н ш а у ш б у р ы ш тар уксас па? Н еге?
D
10
Б ерш геш : ZA =ZD .
ZA=ZD
болаты ны н
долелдендер.
Б ерш геш : Z B = Z E .
ZA=ZD
болаты ны н
долелдендер.
б
Нускд В1
Нускд В2
табындар жоне олардын уксастыгын долелдендер.
2
А
2
N4 2
С Т'"1Ь ""Т
в
ABC жэне DBA ушбурыштарынын уксас болатынын
долелдендер.
3
BipiHmi ушбурыштын
кабыргалары
катынасы
4:6:7 катынасындай болса,
ал eKiHiui ушбурыштынтын
кабыргалары 24 см. 36 см
жоне 42 см-ге тен. Ушбурыштардын бурыштарынын
тенД1г1н долелдендер.
3
BipiH m i ушбурыштын
кабыргалары 21 см, 27 см
жоне 12 см-ге тен, ал екш uii ушбурыштын кабыргаларынын катынасы 7:9:4
катынасындай болса, онда
ушбурыштардыц
бурыштарынын тенл»пн дэлелдендер.
Нускд С2
Нускд С1
EepuireHi: A D lB C ; C EiA B .
ABC жоне DBE ушбурыштарынын уксастыгын долелдендер.
?
Суреттерден тен бурыштарды табындар жоне олардын
уксастыгын долелдендер.
3 Догал
3 С уш р
бурыштары тен болатын, ал диагоналдары осы бурыштардын
биссектрисалары болып табылатын, TiK бурышты eid
трапецияны н уксастыгын долелдендер.
0 -3 Tin бурышты ушбурыштардыц ук.састыгы.
Ушбурыштын бурыштарыньщ биссектрисасьшьщ
кдсиет!
Нускд А2
Нускд А1
В
1 В
Суретте кескш делген TiK бурышты ушбурыштардын
уксастыгын долелдендер.
2
В
A
D
В
2
С
А 9
D
Бершгеш: ZABC=90°; BD1AC;
16
С
АВ=15см; ВС=20см
AD=9 cm;
BD —бипстйтн табындар.
D C = 16 cm
3 ABC ушбурышында ен
улкен АВ кабыргасы 40 см.
BD биссектрисасы АС ка­
быргасын узындыктары 15
см жэне 24 см-ге тен кесшдшерге беледг ABC ушбурышынын
периметрш
табындар.
3 К.абыргалары 25 см жэне
40 см болатын ушбурышта,
онын бершген кабыргаларынын
бурышынын
биссектрисасы журпзшген.
Ол ушбурыштын ymiHmi
кабыргасын Kiuiici 15 см
болатын
ею
кесшдпе
бёлед 1.
Ушбурыштын
периметрш табындар.
Нускд В2
Нуск* В1
Бершген!: ABCD — парал­
лелограмм;
BE1AD,
B F lC D . ABE жэне CBF
ушбурыштарыныц
уксастыгын
дэлелдецдер.
Бершгеш: ABC - ушбурыш.
AD.LBC, CE-LAB.
AD В жэне СЕВ ушбурыштарынын
уксастыгын
долелдендер.
Бершгеш: ZABC=90°; BD1AC;
BD=24 см; AD:DC=9:16
BD=12 см; DC - A D*7 cm
ABC ушбурышынын периметрш табындар.
9
3 TiK бурышгы ушбурыштын бшктш, онын гипотенузасын 12,6 см жоне 22.4
см-ге тен кеаняйлерге б еледь Ушбурыштын tjk бурышынын
биссектрисасы
бвлген гипотенузанын кесш диерш табындар.
3 TiK бурышты ушбурышбурышынык биссоктрисасы, онын гипотелу засып узындыктары 15
см жоне 20 см-ге тен кесшдшерге беледь Ушбурыштын
6HiKTiri
бел ген
гипотенузанын кеащйлерш
табындар.
тын TiK
Н у скд С 2
Н ускд С1
1
О
Бершгеш: АА,1ВС; ВВ,±АС.
Суреттеп барлык уксас TiK бурышты ушбурыштар жуптарын
аныктандар жоне олардын уксастыгын долелдендер.
Бершгенг. ZABC=90°: BDIAC;
АВ=15 см; DC=16 см
ВС=40 см; DC=32 см
ABC ушбурышынын периметрш табындар.
3 TiK бурышты ушбурыш­
тын катеТ| 28 см. Гипотенузага TuicTi нукте op6ip ка­
теттен 12 см кашыктыкта.
Ушбурыштын периметрш
3 TiK бурышты ушбурыш­
тын катей 18 см. Осы
катет-ке
тшеп
нукте
гипотенуза
мен
екщий
катеттен 8 см кашыктыкта.
10
Ушбурыштын
табындар.
периметрш
табындар.
Б -1 Ушбурыштардьщ уксастыгы
Нускд AI
Нускд А2
1 Ушбурыштын кабыргалары 6 см, 7 см жэне 8 см.
Периметр! 84 см-ге тен
болса,
онда
бершген
ушбурышка уксас ушбурыштын
кабыргаларын
табындар.
1 Ушбурыштын кабыргаларынын катынасы 2:5:6
катынасындай болса, онын
периметр! 39 см-ге тен
берЬтген ушбурышка уксас
ушбурыштын кабыргалар­
ын табындар.
Бершгеш: АВ=24 см; СВ=16
см; МВ=15 см; NC=6 см;
MN=20 см. MBN жоне ABC
ушбурыштарынын
уксастыгын долелдендер. АС
кабыргасын табындар.
Бершгеш: АО=15 см; ВО=8
см; АС=27 см; D0=10 см;
ВС=16 см. AOD жоне СОВ
ушбурыштарынын
уксас тыгын долелдендер. AD
кабыргасын табындар.
3 Егер ушбурыштын ею
3 Егер ушбурыштын, exi
кабыргасынын
айырмасы
кабыргасынын косындысы
28 см болса, ал олардын
91 см болса, ал олардын
арасындагы бурыштын бис­
арасындагы
бурыштын
сектрисасы, yuiiHuii кабыр­
биссектрисасы
yiuiHiiii
гасын 43 см жоне 29 см-ге
кабыргасын катынасы 5:8
тен кейндшерге беледк
катынасынла беледь
Осы eKi кабырганы Табындар.
11
Пуска В2
Нускд В1
1 Eid тен бушрл1 ушбур­
ыштын
табандарындагы
бурыштары тен. B ipiH m i
ушбурыштын табаны мен
бушр
кабыргасынын
катынасы 6:5 катынасын­
дай. Егер eKiHiui ушбурыш­
тын периметр! 48 см болса,
онын
кабыргаларын
табындар.
1 EKi тен бушрл1 ушбур­
ыштын табандарына карсы
жаткан бурыштары тец.
B ip im u i
ушбурыштын
табаны мен бушр кабырга­
сы 16 см жоне 10 см-ге тен.
Егер eK iH iu i ушбурыштын
периметр! 18 см болса,
онын кабыргаларын табын­
дар.
Бершгеш:
АВI I CD;
AB:CD=3:5,
СВ=64
см.
АО -СО = ВО ■DO болатынын
долелдендер. ВО жоне СО
табындар.
Бершгеш:
ABCD
трапеция:
АО:СО=7:3,
BD=40 см. ВО • АО = СО DO
болатынын
долелдендер.
ВО жоне DO табындар.
3
Ромбынын
улкен
диагоналы,
онын догал
бурышынын
тебесшен
журпзшген бимсппн 10 см
жоне 6 см-ге тен K ecinaiлсрге беледь Ромбынын
периметрии табындар.
3 Тен бYЙipлi ушбурышка
iurreft сызылган шенбердщ
neHTpi, табанына журпзш ­
ген медианасын 20 см жоне
12 см-ге тен кесщщлерге
беледь
Ушбурыштын
периметрш табындар.
Нуска С2
Нускр С1
1 TiK бурышты ушбурыш­
тын гипотенузасы мен катeTi 21 см жоне 75 см, ал
eKiHiui
TiK
бурышты
1 TiK бурышты ушбурыш­
тын катеттер1 10 см жоне 24
см-ге тен, ал екший TiK
бурышты ушбурыштын
12
гипотенузасы мен катетш щ
каты насы 13:5 каты насы ндай. Берш ген уш буры ш тарды н
перим етрлерш ш
каты насы 2:3 каты насы ндай. EidHiui уш буры ш ты н
кабы ргалары н табындар.
уш буры ш ты н катеттерш щ
катынасы 7:24 каты насы ндай. Беригген уш буры ш тарды н
п ерим етрлерш щ
катынасы 3:2 каты насы ндай. Ек1нш1 уш буры ш ты н
кабы ргалары н табындар.
Б ер 1лгеш :
A BCD
~
трапеция;
ZABC=ACD;
AD=18 см; АС=12 см. ВС
табаны н табындар.
Бершгеш: ABCD — TiK
трапеция;
бурыш ты
ВС=36
см;
ZACD=90°;
AD табанын
АС=60 см
табындар.
3 Д огал буры ш ы ны н Te6eci
арк ы л ы ж урпзш ген ромбын ы н диагоналы , он ы н бш кTirin 10 см ж оне 6 см-ге тен
кесш дш ерге беледь Ромбыны н перйм етрш табындар.
3 Т ен буй1рл1 уш буры ш ка
1Штей сы зы лган ш енбердш
центру оны н табанына
тус!р!лген медианасын 20
см жоне 12 см-ге тен к ес ш ­
дш ерге бвлед|. У ш буры ш ­
ты н периметрш табындар.
0 - 4 1штей сызылган бурыш тур алы теорема жене
онын; салдары
Суретте бершгендер боиынша
x-Ti
табындар.
2
Шенбердщ
бойынан
алынган нуктеден, онын
диаметршщ
шеттерше
дейшп аракашыктык 18 см
жоне 24 см-ге тен,- Щенбердщ радиусын табындар.
2 Шенбердщ радиусы 5 см.
Шенбер бойынан алынган
нуктеден, онын диаметр­
шщ шеттерше дейшп аракашыктыкты табындар.
Осы кеаншлердщ катына­
сы 3:4 катынасындай.
3 Ек1 хорда киылысканда
олардын 6ipeyi 20 см жоне
4 см-ге тен, ал екшшкй —
6ip б о л т екшил б е л т н е н 2
см-ге
кем
кеашнлерге
беленедь EKiHmi хорданын
узындыгын табындар.
3 Узындыгы 24 см-ге тен
хорда
екшдй
хордамен
киылысканда, оны 10 см
жоне 8 см-ге тен кесшдн
лерге беледь Bipimni хорда­
нын кеаш илерш щ узынды­
гын табындар.
Н у ск д В 1
Бер1лгеш:
а=21°;
р=49°.
Суретте
берыгендер
боиынша x-Ti табындар.
Беригеш:
Суретте
бойынша
а=19°;
(3=47°.
бершгендер
x-Ti
табындар.
2
Шенбердщ нуктесшен
туаршген
перпендикуляр
онын диаметрш катынасы
9:16 катынасындай кеащ йлерге белед1. Шенбердщ
радиусы 25 см. Перпенди-
2
Шенбердщ нуктесшен
туарктген 24 см-ге тен
перпендикуляр,
онын
диаметрш узындыктарынын
айырмасы 14 см-ге тен
кесшшлерге беледк Шен-
кулярды н
табындар.
бердан радиусын табындар.
узЫНДЫГЫН
3 E ki хорда киы лы сканда,
олардын 6ipeyi eKimuiciHiH
3 E ki хорда киы лы сканда,
оларды н 6ipeyi 3 см жоне
12 см-ге тен кеандш ерге,
ал eiciHUitci как. белш едь
Екш ип хорданын узындыгын табындар.
- - б ел н ш кияды. Егер
3
6ipiHiui хорда киы лы сканда
8 см жоне 9 см-ге тен
кесшдшерге б ел iнее, онда
екш ий хорданын узындыгын табындар.
Нускд С2
Нускд C I
1
а * 12°; р=64°.
а * 18°; р*46°.
Суретте бёршгендер бойынша x-Ti табындар.
2 У зындыгы 48 см хорда
диаметрге
перпендикуляр
жоне оны катынасы 9:16
катынасындай кеанш лерге
беледь Ш енбердщ радиус­
ын табындар.
2 Узындыгы 24 см хорда
диаметрге
перпендикуляр
ж эне оны 6ipeyiHiH узы н­
дыгы 9 см-ге тен к е а ш й лерге беледь Ш енбердщ
радиусын
табындар.
3 Ш енбердщ радиусы 11
см. А нуктес1 аркы лы втеTiH, ш енбердщ центршен 7
см каш ы кты кта узындыгы
18 см хорда журпзш ген.
3. В н у к т е а ш енбердщ
хордасын 6 см ж эне 12 смге тен кеепш лерге беледь
Егер В н у к т е а ш енбердщ
центршен 7 см каш ы кты кта
15
Хорданы А нуктес1 бел ётш
кесш дш ердщ узы нды ктарын табындар.
болса,
онда
диаметрш
ш ен бер дщ
табындар.
0 -5 Косинустар теоремасы. Параллелограммньщ
кабыргалары мен диагоналдарыньщ катынасы
Нускд А1
Нускд А2
1 У ш буры ш ты н кабы рга­
лары 3 см ж эне 8 см, ал
оларды н
арасындагы
бурыш
60°-ка
тен.
У ш бурыш тын
периметрш
табындар.
1 У ш бурыш тын кабы рга­
лары 3 см жоне 5 см, ал
оларды н
арасындагы
бурыш
120°-ка
тен.
У ш буры ш ты н
периметрш
табындар.
2 У ш бурыш тын кабы рга­
лары 3 см, 5 см жоне 7 см.
У ш буры ш ты н 7 см-ге тен
кабы ргасы на карсы ж агкап
буры ш ы н табындар.
2 У ш бурыш тын кабы рга­
лары 3 см, 7 см жоне 8 см.
У ш бурыш тын 7 см-ге тен
кабыргасына карсы ж аткан
буры ш ы н табындар.
3
П араллелограммньщ
кабы ргалары 7 см ж оне 9
см, ал диагоналдарыньщ
катынасы 4:7 каты насы ндай.
П араллелограммньщ
диагоналдарын табындар.
3
П араллелограммньщ
диагоналдары 7 см ж оне 11
см,
ал
кабы ргалары ньщ
катынасы 6:7 каты насы ндай.
П араллелограммньщ
кабы ргалары н табындар.
Нускд В2
Нускд В1
1
30°-ка тен буры ш тьщ
кабы ргалары нан,
оны н
тебесш ен 4 см жоне 2л/з см
каш ы кты кта
ею
нукте
белпленген. Осы нуктелерд1н
аракаш ы кты ктары н
табындар.
1
45°-ка тен бурышты н
кабыргалары нан,
онын
тобесш ен 17 см жоне 12-У2
см каш ы кты кта ею нукте
белпленген. Осы нуктелердщ аракаш ыкты ктары н
табындар.
16
2
Ушбурыштын
eKi
кабыргасы 3 см жэне 7 см,
ал
улкен
кабыргасына
карсы жаткан бурышы 60°ка тен.
а) ушбурыштын ушшин
кабыргасын табындар.
б)
ушшип
кабыргасына
карсы
жаткан
бурышы
догал бурыш болатынын
длелдендер.
2
Ушбурыштын
eKi
кабыргасы 5 см жоне 7 см,
ал
улкен
кабыргасына
карсы жаткан бурышы 60°ка т е н
а) ушбурыштын yiuiHiui
кабыргасын табындар.
б)
ушшип
кабыргасына
карсы
жаткан
бурышы
cyftip бурыш болатынын
длелдендер.
3
Параллелограмнын
диагоналдары 19 см жоне
23 см-ге тен, ал онын
периметр!
58
см.
Параллелограмнын
кабыргаларын табындар.
3
Параллелограмнын
диагона лдарынын
косындысы 22 см, ал онын
кабыргалары 7 см жоне 9
см.
Параллело 1рамны н
диагоналдарын табындар.
Нускд С2
Нускд С1
1
Ушбурыштын
exi
кабыргасы 7 см жоне 8 смге
тен,
ал
олардын
арасындагы
бурыштын
1
Ушбурыштын
eKi
кабыргасы 4 см жоне 8 смге
тен,
ал
олардын
арасындагы
бурыштын
синусы - J - . Ушбурыштын
синусы Щ-. Ушбурыштын
ушшип кабыргасын табын­
дар. Есептщ неше luemiMi
бар?
yuiiHiiii кабыргасын табын­
дар. Есептщ неше uieiuiMi
бар?
2 Кабыргалары 6 см, 10 см
жоне
14
см-ге
тен
ушбурыш шенберге iuiTeft
сызылган.
Ушбурыштын
Kiiui
кабыргаларымен
жасалган бурышка сойкес
центр лш
бурышты
табындар.
2 Кабыргалары 6 см, 14 см
жоне 16 см-ге тен ушбур­
ыш шенберге шггёй сызыл­
ган. Ушбурыштын ен Kiuii
жоне ен улкен кабырга­
ларымен жасалган бурышка
сойкес центрлж бурышты
ТЗОы нда р г
С. Торайгыров
атындагы ПМУ-дщ
академик
Бейсем бае в
атындагы гылыми
К1ТАПХАНАСЫ
3 Ушбурыштын eici кабыргасынын айырмасы 2 см-ге
тен, ал yiuimiii кабыргасы­
на туарш ген медианасы 4
см.
Егер
ушбурыштын
уцпшш кабыргасы 14 см
болса, он да ушбурыштын
периметрш
табындар.
3 Ушбурыштын exi кабыргасы 7 см жоне 9 см-ге тен.
YiuiHiui
кабыргасына
Tycipmren медианасы, осы
кабыргадан 1 см-ге Kiiiii.
Ушбурыштын периметрш
табындар.
6 - 6 Синустар теоремасы жэне оньщ салдарлары
Нускд А2
Нускд А1
Су.ретте бершгендер бойынша x-Ti табындар.
2
ABC ушбурышында
ZB=35°,
ZC=25°.
Ушбурыштын ен улкен
кабыргасын
аныктандар.
Жауабынды Tycimrip.
2
ABC ушбурышында
ZA=110°,
ZB=55°.
Ушбурыштын
ен
кшп
кабыргасын
аныктандар.
Жауабынды
туащ пр.
3
Ушбурыштын бурыш тарыньщ 6ipi 30°-ка тен, ал
осы ушбурышка сырттай
сызылган
шенбердщ
диаметр! 14 см. Бершген
бурышка
карсы жаткан
кабырганы табындар.
3
ABC ушбурышында
ZB=45°,
АС=4л/2
см.
Ушбурышка сырттай сыз­
ылган шенбердщ диаметрш
табындар.
18
D
A
В
В
С
D
Суретте 6epi л гендер бойынш а AB-Hi ернекте.
2
ABC ушбурышында
ZC=90°,
ZA=15°,
CDбиссектриса. Егер АС= ,3
см болса, онда AD-ны
табындар.
2
Тен буй1рл1 ABC
уш бурыш ында АВ табаны
.2 см. ал табанындагы
бурышы
30°.
AD —
биссектрисасын табындар.
3 У ш буры ш ка сырттай
сы зылган ш енбердщ радиу­
сы , оны н кабыргаларыньщ
6ipiHe тен. Осы кабыргага
карсы ж аткан бурышты
табындар. Есептщ неше
ш еш 1м 1 бар?
3 Уш бурыш тын а кабыргасымен уш бурыш ка сырттай
сызылган шенберш н R
радиусы a= ft-/2 катынасымен орнектелген. Осы
кабыргага карсы ж аткан
бурышты табындар. Есептщ
неше uieiuiMi бар?
Нускд С2
Нускд С1
Бершгеш:
ZCDB=P;
табындар.
Б е р ш гет: ABC ушбурышыны н
A D -биссектрисасы;
B D =a,
ZB=p,
ZBAD=a.
AC — табындар.
19
АС= в;
ZB^y.
ZA=a;
BD-
2
ABCD параллелограмында
М
нуктес!
ВС
кабыргасынын ортасы. В
бурышы догал бурыш екёш
б е л гш болса, онда MAD
ж эне MDA бурыштарын
салыстыр.
2
ABCD параллелограмында
М
нуктес!
ВС
кабыргасынын
ортасы.
ZM D A > ZM AD екеш
белгш
болса,
онда
параллелограмнын кандай
бурышы
c y ftp
бурыш
болатынын аныктандар.
3
Ушбурыш тын
exi
кабыргасы 4 см жоне
см-ге
тен,
ал
уипшш
кабыргасы
уш бурыш ка
сырттай сызылган шецбердщ радиусына тен. Ymium i
кабырганын
узындыгы
кандай болуы мумкш?
3
Ушбурыш тын
exi
кабыргасы 4 см жоне 3-У2
см-ге
тен.
YiuiHiui
с
кабыргасынын
узындыгы
кандай, егер осы уш буры ш ­
ка
сырттай
сы зылган
шенбердщ R радиусымен
c=RV2 катысымен байланыскан болса.
Б-2 Ушбурыштарды шешу
Нускд А2
Нускд А1
1
Егер ZA=45°; ZB=75°;
АВ=2>/3 см болса, онда
ABC
ушбурышын
шсилндер.
1
Егер ZB=30°; ZC=105°;
АС=4 см болса, онда ABC
ушбурышын
шеинндер.
2
Параллелограмнын
диагоналдары 12 см жоне
20
см,
ал
олардын
арасындагы бурышы 60°-ка
тен.
Параллелограмнын
кабыргаларын табындар.
2
П араллелограмнын
кабыргалары 10 см жоне 16
см. ал олардын арасындагы
бурышы
60°-ка
тен.
Параллелограмнын
диагоналдарын табындар.
3 TiK бурышты ушбурышта
онын,
бурыштарынын
6ipeyi а , ал осы бурышка
ipreflec жаткан катет! а-га
тен. Ушбурыштын TiK бур-
3 TiK бурышты ушбурышта
гипотенузасы с, ал cyftip
бурыштарынын 6ipeyi р-га
тен. Екший cyftip бурышын
с
жэне
I
аркылы
20
ышынын биссектрисасын а
ж эне а аркылы ернектендер
ернектендер.
Нускд В1
Нускд В2
1 Егер ZB=150°; АВ=7-Уз
см: ВС=1 см болса, онда
ABC
ушбурышын
шеииндер.
1 Егер ZC=135°; ВС=6>/2
см; АС=2 см болса, онда
ABC
ушбурышын
шешщдер.
2
Параллелограмнын d
диагоналы, онын бурышын
а мен р бурыштарына беледГ
Параллелограмнын
кабыргаларын табындар.
2 TiK бурышты трапециянын улкен диагоналы d
жэне ол онын Kiuii табанымен а бурыш жасайды.
Трапециянын дога л бурышы р-га тен. Трапеция­
нын Kiuii табанын жэне
улкен буЙ1р кабыргасын
табындар.
3
Шенберде жаткан А
нуктесшен АВ=8 см жэне
АС= 4>/э
см
хордалары
журпзшген. Егер бершген
хордалардьщ орталарынын
аракашыктыгы 2 см болса,
онда ABC ушбурышынын
бурыштары мен шенбердщ
радиусын табындар.
3 Шенберге ш тей сызыл­
ган ABC ушбурышынын
орта сызыктары 3 см. Зл/З
см жоне 6 см-ге тен. ABC
ушбурышынын бурыштары
мен шецбердод радиусын
табындар.
Нускд С2
Нускд С1
1 Егер ZB=60°; ВС=8 см;
АС=7 см болса, онда ABC
ушбурышын шецпндер.
1 Егер ZA=45°; ВС=5 см;
АВ=4л/2см болса, онда ABC
2
Параллелограмнын
кабыргаларыньщ 6ipeyi
екшшгешен 8 см-ге артык.
2
21
ушбурышын шешщдер.
Параллелограмнын
(2^2 + 2) см-ге
тен. Егер параллелограмын
периметрх
Егер о н ы н диагоналдары ы н 6ipeyi кабы ргалары м ен
30° ж оне 45° буры ш тар
ж асайты н
болса,
онда
п ар ал лел орам н ы н
периметрп! табы ндар.
диагоналдары н ы н
6ipeyi
он ы н кабы ргалары м ен 30°
ж оне
45°
бу ры ш тар
ж асайты н
болса,
онда
п араллелограм н ы н к аб ы р галары н табы ндар.
3 Радиусы 8 см ш енберге
ш т е й , eKi кабы ргасы 16 см
ж оне
8-Уз
см-ге
тен
уш буры ш
сы зы лган.
У ш буры ш ты н
тебелер1
ш eнбepдiн догасы н кандай
каты наста
бел етш ш
аны ктандар.
3
У ш буры ш ты н тебелер!
сырттай сы зы лган шецберд1
2:3:7 каты насы нда б ел ед ь
У ш буры ш ты н
ен
Kimi
кабы ргасы
6 см -ге тен
болса,
онда
ш ен бер д щ
радиусы н
табы ндар.
0 - 7 Д ец ес копбурыш
Нускд А2
Нускд А1
1 Егер д ен ес бесбуры ш ты ц
градусты к
ел ш ем д ерш щ
каты насы
3:4:5:7:8
каты насы ндай болса, онда
оны н
буры ш тары н
табындар.
1 Егер дец ес бесбуры ш ты н
градусты к
е л ш ем д ер ш щ
каты насы
1:5:15:16:17
каты насы ндай болса, онда
он ы н
буры ш тары н
табындар.
2
Д ен ес п — буры ш ты н
iuiKi
буры ш тары ны н
косы нды сы он ы н сы рткы
буры ш тары ны н
косы нды сы нан 1,5 есе арты к. п — д1
табындар.
2
Д енес п — бу ры ш ты н
сы рткы
буры ш тары ны н
косынды сы
он ы н
iiUKi
буры ш тары ны н
косы н ды сы нан 360°-ка кем. п — д1
табындар.
3
Д ен ес тертбуры ш ты н
догал буры ш тары ны н саны
уш еуден арты к болм айты нын долелдендер.
3
К епбуры ш ты ц сы рткы
буры ш тары ны н
1ш1нде
догал бурыш тары уш еуден
арты к
болуы
мумк1н
болм айты ны н долелдендер.
гг
Нускд В1
Нускд В2
1 Егер денес бесбурыштын
eKiHixii бурышынан бастап
op6ip
Keiieci
бурышы
алдынгысынан 30°-ка артык
болса, онын бурыштарын
табындар.
1 Егер денес тертбурыш­
тын eKiHiui бурышынан
бастап op6ip к е л е а бурышы
алдынгысынан 40°-ка K i m i
болса бурыштарын табын­
дар.
2
Денес тертбурыштын
ш
уш
бурышынын
косындысы
300°-ка тен.
Бершген imKi бурыштарга
сойкес,
тербурыштын
сырткы
бурыштарынын
косындысын табындар.
2
Денес алтыбурыштын
сырткы бес бурышынын
косындысы
3 0 0 -ка тен.
Бершген сырткы бурыш­
тарга сойкес, алтыбурыш­
тын imKi бурыштарынын
косындысын табындар.
3 Денес жепбурыштын ен
улкен бурышы 128° болуы
мумкш
бе? Жауабынлы
3 Денес жепбурыштын ен
к uni бурышы 130° болуы
мумкш
бе? Жауабынды
TyciHflip.
TyciHflip.
Нускд С2
Нускд С1
1 Егер денес алтыбурыштын кез келген табектес
уш бурышынын косынды­
сы туракты, ал осы бурыштардын градустык елш емдер! 6, 13 жоне 17 сандарына пропорционал болса,
онда онын бурыштарын
табындар.
1 Егер денес сепзбурыштын кершшес eKi бурышы­
нын айырмашылыгы 10°
болып,
ал
кез
келген
кершшес eKi бурышынын
косындысы туракты болса,
онда онын бурыштарын
табындар.
2 Денес бесбурыштын iuiKi
уш бурышынын косынды­
сы 400°-ка тен. Бершген
iuiKi бурыштармен сыбайлас
емес, бесбурыштын
сырткы
бурыштарынын
косындысын табындар.
2
Децес бесбурыштын
сырткы уш бурышынын
косындысы 250°-ка тек.
Бершген сырткы бурыш­
тармен
сыбайлас,
емес
бесбурыштын iuiKi бурыш­
тарынын косындысын
23
табындар.
3 Денес жетобурыштын бес
бурышынын
косындысы
калган
exi бурышынын
косындысынан Kimi болуы
мумкш
бе? Жауабынды
тусйцЦр:
3 Денес алтыбурыштын eKi
бурышынын .... косындысы
калган терт бурышынын
косындысынан
улкен
болуы
мумкш
бе?
Жауабынды
тус 1ншр.
0 -8 Дуры с кепбурыштар. Дурыс кепбурыштарга
штей жэне сырттай сызылган ушбурыштарга арналган
формулалар
1
Нускд А1
Нускд А2
1 Егер дурыс кепбурыштын iuiKi бурышы 108°- ка
тен болса, онын кабыргаларынын санын табындар.
1 Егер дурыс кепбурыш ­
тын сырткы бурышы 45°-ка
тен болса, онын тебелерь
HiH
санын
табындар.
2 Радиусы 2-у/З см шенберге дурыс ушбурыш сызыл­
ган. Табындар: а) ушбур­
ыштын
кабыргасын;
б)
ушбурышка iiiiTeft сызыл­
ган шенбердщ радиусын.
2
Радиусы 2 см шенбер
шаршыга iuiTeft сызылган.
Табындар: а) шаршыньщ
кабыргасын; б) шаршыга
сыртгай сызылган шенбер­
дщ радиусын.
3
Дурыс сепзбурыштын
op6ip екший тебесш т!збектей косканда тертбурыш
шыкты. Осы тертбурыштын
дурыс тертбурыш болатынын долелдендер.
3
Дурыс бесзбурыштын
кабыргаларынын орталарын т!збектей косканда бесбурыш шыкты. Осы бесбурыштын дурыс бесбурыш
болатынын долелдендер.
Нускд В1
1
IuiKi бурышы центрлнс
бурышынан 3 есе артык
дурыс
кепбурыштын
кабыргаларынын
санын
Нускд В2
1 Центрлж бурышы iuiKi
бурышынан 2 есе кем
дурыс
кепбурыштын
кабыргаларынын
санын
табындар.
табындар.
2 Дурыс уш бурыш ка ццтей
жоне . сырттай
сызылган
ш ецберлердщ радиустарыны н айырмасы 4 см-ге тец.
Осы радиустарды табындар.
2
Ш арш ыга iurreft Жоне
сырттай сы зылган ш енбер­
лердщ
радиустарынын
кебейпндкл 4-У2 см 2-ге тен.
Осы радиустарды табындар.
3
Дурыс бесбурыштын
диагоналы , оны н кабыргалары ны н 6ipiHe параллель
болатынын долелдендер.
3 К ез келген дурыс к еп бурыштын
сырткы
бурышы, онын центрлж
бурышына тен болатынын
долелдендер.
Нускд С1
Нускд С2
1 E ki дурыс квпбурыштын
сы рткы
бурышынын
айырмаш ылыгы 30° болып,
ал оларды н iuiKi бурыштарыны н косындыларынын
айырмаш ылыгы 360° болса,
онда op6ip кепбурыштьщ
кабы ргалары ньщ
санын
табындар.
1 Ек1 дурыс квпбуры ш тын
центрлж
бурыш ынын
айырмаш ылыгы 20° болып,
ал олардын 1ш к 1 бурыштарынын косынды ларынын
айырмаш ылыгы 540° болса,
онда ep6ip квпбуры ш тын
кабы ргалары ны н
санын
табындар.
2
Ш енберге шхтей ABC
дуры с уш бурыш ы сы зыл­
ган.
ВС
кабыргасына
ш арш ы салынган ж эне оган
сырттай ш енбер сызылган.
Егер ВС=6 см, ал шенберлер ВС-ньщ eKi жагында
жатса, онда ш енберлердщ
центрлерж щ аракаш ыктыгын табындар.
2
Eid ш енбердщ ортак
хордасы 6 см-ге тен жоне
ол 6ip шенбер уш ^н оган
шггей сызылган алтыбурыштын
кабыргасы,
ал
екЬш п шенбер уш1н оган
1штей сызылган дурыс уш ­
бурыштын кабыргасы. Егер
ш ецберлер хорданын 6ip
жагында жатса, олардын
центрлерш щ аракаш ыкты гын
табындар.
25
3
Дурыс бесбурыштын
кабыргаларында тен к^абыргалы ушбурыштар салынган. Бесбурышта жатпайтын
тебе л е pi,
баска
дурыс
бесбурыштын
тебелер]
болатынын долелдендер.
3
Дурыс бесбурыштын
диагоналдары киылысканда
дурыс бесбурыш жасайтынын долелдендер.
@-9 Шецбердщ узындыгы. Бурыштьщ радиандык
annieyiini
Нускд А2
Нускд А1
белиш
1
Бершген
центрл1к
бурышка
сойкес
дога
5
белнш
шенбердщ
—
курайды.
Табындар:
а)
центрлж
бурыштын
градустык жэне радиандык
елшеушйн;
б)
егер
шецбердщ радиусы 4 см
болса, доганын узындыгын.
курайды
Табындар:
а)
бурыштын
центрлж
градустык жэне радиандык
елшеушйн;
б)
егер
шенбердщ радиусы 4 см
болса, доганын узындыгын.
2 Бурыштарынын косын­
дысы Зл радианга тен денес
кепбурыштын
кабыргаларыныц санын табындар.
2 Бурыштарынын косын­
дысы 5л радианга тен денес
кепбурыштын
кабыргаЛарынын санын табындар.
3 Узындыгы 4-У2 см хорда,
90°-ка тен доганы кередк
Ш енбердщ
узындыгын
табындар.
3 Узындыгы 8л/з л см болатын шенберге, 60°-ка тен
доганы
керетш
хорда
журпзшген.
Хорда н ын
узындыгын
табьншар.
1
Бершген
центрл1к
бурышка
сойкес
дога
шенбердщ
11
Нускд В2
Нускд В1
♦о-1
12
1
12
Радиусы — см шенберл
ден узындыгы 10 см дога
1 Радиусы — см шенберл
ден узындыгы 9 см дога
2&
ал ы н ган .
Табындар:
а)
д о ган ы н ф ад у ст ы к жоне
р ади ан ды к елш еуиш н; б) 2
радианга
тен
ц ентрлж
б у р ы ш к а сойкес, ш енбер­
д щ догасы ны н узындыгын.
алы нган.
Табындар:
а)
доганы н ф а д у с т ы к ж эне
радианды к елш еуш ц н ; б) 3
радианга
тен
ц ентрлж
буры ш ка сойкес, ш ен бер­
д щ догасы ны н узы ндыгын.
2
2
Егер дуры с к еп б уры ш ­
Егер дуры с кеп б у р ы ш ­
ты н ц ен трл ж буры ш ы - - к е
5
тен болса, онда оны н ш т а
буры ш тары ны н косындысы
мен
кабы ргалары ны н
сан ы н табындар.
ты н ц ентрлж буры ш ы —-ке
3 У зы нды гы бл/3 см хорда,
ш ен берд щ
догасы н
1:2
каты насы нда беледЬ Ш ы кк ан etci доганы н улкещ ш Й
узы нды гы н табындар.
3
Х орданыц
uierrepi
ш ецбердщ
догасы н
1:3
катынасында беледа. Егер
ш ы кк ан
exi
доганы н
у л к еш н щ
узындыгы
6л
болса,
онда
хорданы н
узы ндыгын
табындар.
тен болса, онда оны н iiuKi
буры ш тары ны н косынды сы
мен
кабы ргалары ны н
саны н табындар.
Нускд С2
Нускд С1
1 Радиусы 12 см ш енбердщ
догасы ны н
узы ндыгы,
шенбердщ;
узы нды гы ны н
1 Радиусы 12 см ш енбердщ
до гасы н ы н
узындыгы,
ш ен берд щ узы ндыгынын 6
б в л н ш курайды. Табындар:
а) берщ ген доганы н ф а д у с ­
ты к
ж оне
радианды к
е л ш еу ш п н ; б) узындыгы
берщ ген доганы н узы ндыгы на тен болаты н ektim ii
ш ец берд щ радиусын.
—
белйгш
курайды.
Табындар: а) бёрш ген до га­
ны н
ф ад у сты к
жоне
радианды к елщ еуц щ н ; б)
узындыгы берш ген ш енбер­
д щ узы ны гы на тен болаты н
екш ип
ш ецбердщ
радиусын.
2?
2 Егер дурыс кепбурыштыц сырткы бурыштарынын жэне iuiKi 6ip бурыш8л
ынын
косындысы
2 Егер дурыс кепбурыш тын сырткы жэне iuiKi
бурыштарынын косындысы
8л-ге тен болса, онын
центрлйс
бурышынын
радиандык
влш еу ш ш
табындар.
— -ке
тен болса, онын центрл1к
бурышынын
радиандык
ел ш еуш ш табындар.
3
Дурыс квпбурыштын
кабыргасы керетш сырттай
сызылган шенбердщ догасы
60°. Сонда iurreft сызылган
дурыс
квпбурыштын
кабыргасы канша?
3
Дурыс квпбурыштын
кабыргасы керетш сырттай
сызылган шенбердщ догасы
30°. Сонда шггей сызылган
дурыс
квпбурыштын
кабыргасы
канша?
Б-3 Кепбурыштар
Нускд А1
Нускд А2
1
Дурыс квпбурыштын
НИК! бурышы, онын сырткы
бурышынан 3 есе артык.
Егер квпбурыштын периeTpi 96 см болса, онын
кабыргасын табындар.
1
Дурыс квпбурыштын
кабыргасы 5 см-ге тен, ал
онын iuiKi бурышы сырткы
бурышынан 108°-ка артык.
Квпбурыштын периметрш
табындар.
2
Егер шенбердщ 72°-ка
тен центрл1к бурышына
узындыгы
2л см дога
сойкес келсе, онда шенбер­
дщ узындыгын мен радиус­
ын табындар.
2
Шенбердщ узындыгы
24л см. 45°-ка тен центрлж
бурышка сойкес доганын
узындыгы мен шенбердщ
радиусын
табындар.
3 Шенберге сырттай сыз­
ылган дурыс ушбурыштын
кабыргасы 12-Jb см-ге тен.
Бершген шенберге нитей
сызылган дурыс алтыбурыштын кабыргасын
3 Шенберге йитей сызыл­
ган дурыс алтыбурыштын
кабыргасы 8 см-ге тен.
Бершген шенберге сырттай
сызылган
шаршынын
кабыргасын
табындар.
28
табындар.
4 Радиусы 6 см шенберге
сырттай сызылган дурыс
квпбурыштын керш ш ес eKi
кабыргасынын
жанасу
нуктелер1, узындыгы 4я смге тен доганы шектеЩц.
Квпбурыштын периметрш
табындар.
4
Радиусы 6 см-ге тен
шенберге ш тей сызылган
дурыс
квпбурыштын
кабыргасы, узындыгы Зл см
болатын
доганы
кередь
Квпбурыш тын периметрш
табындар.
Нускд В1
Нускд В2
1
Дурыс квпбурыштын
периетр! 84 см-ге тен, ал
iuiKi
бурыштарынын
косындысы
сырткы
бурыштарынын косындысынан
540°-ка
артык.
Квпбурыш тын кабыргасын
табындар.
квпбурыштын
бурыштарынын
косындысы
сырткы
бурыштарынын косындысынан 3 есе артык. Егер
квпбурыштын
кабыргасы
10
см
болса,
онын
периметрш табындар.
2 Шенберге ш тей 36°-ка
тен бурыш сызылган. Егер
шенбердщ радиусы 5 см
болса,
онда
бурыштын
кабыргаларыньщ арасында
орналаскан
доганын
узындыгын табындар.
2 Радиусы 12 см шенберге
ш тей
бурыш сызылган.
EFep бурыштын кабыргаларынын арасында орна­
ласкан доганын узындыгы
8л см-ге тен болса, доганын
бурыштык
елшеушпн
табындар.
3
BmKTiri 9 см-ге тен
дурыс ушбурышка сырттай
шенбер
сызылган,
ал
шенберге сырттай дурыс
алтыбурыш
сызылган.
Онын периметрш табындар.
3
Диагоналы 8-У2 см
шаршыга ш тей
шенбер
сызылган,
ал
шенберге
ш тей дурыс алтыбурыш
сызылган. Онын перйметрiH табындар.
4
Дурыс кепбурышка
сырттай сызылган шенбер-
4
Дурыс кепбурышка
ш тей сызылган шенбердщ
29
1
Дурыс
iuiKi
дан узындыгы 12л см-ге
тен, ал оны н кабыргасыны н узындыгы 4 -Л см.
Кепбуры ш ты н
кабы рга­
ларынын санын табындар.
дщ узындыгы 24л см-ге
тен, ал оны н кабыргасыны н узындыгы 12л/3 см.
Кепбуры ш ты н
кабыргаларынын санын табындар.
Нускд С2
Нускд С1
1 Егер дурыс кепбурыш тын
eKi
бурышынын
косындысы калган бурыш­
тарыны н
косындысынан
108°-ка Kiuii болса, онда
оны н
кабыргаларынын
санын табындар.
1 Егер дурыс кепбуры ш тыц
бес
бурыш ынын
косындысы калган буры ш ­
тарынын
косындысынан
270°-ка артык болса, онда
оны н
кабыргаларынын
санын табындар.
2 Радиусы 12 см шенберге
сырттай 30°-ка тен бурыш
сызылган. Бурыш кабыргаларымен жанаскан ш енбер­
дщ кшй догасынын узын­
дыгын табындар.
2 Бурыш ка iuiTeft радиусы
12 см ш енбер сызылган.
Бурыш
кабыргаларымен
ж анаскан шенбердщ улкен
догасынын узындыгы 14л
см.
Бершген
бурыштын
градустык
елш еуш ш
табындар.
3 Радиусы 4л/3см шенбер­
ге сырттай дурыс ушбурыш
сызылган.
Ушбурыштын
тебелер1 мен 6mKTiKTepiHiH
созындысына дурыс алтыбурыш салынган жоне оган
ш тей
eKiHiui
шецбер
сызылган. Осы шенбердщ
радиусын табындар.
3 Радиусы 8>/Зсм ш енбер­
ге сырттай дурыс ушбурыш
сызылган.
Ушбурыш тын
тебелер1 мен бш ктж терш щ
созындысына дурыс алтыбурыш салынган жоне оган
йштей
eKiHiui
ш енбер
сызылган. Осы шенбердщ
радиусын табындар.
4 Ш енберге сырттай сыз­
ылган дурыс кепбурыштын
шенбермен жанасу нуктелер1 габектей косылган.
а) ш ы ккан кепбурыштын
4 Шенберге iuiTeft сы зы л­
ган дурыс кепбурыш ты н
тебелер! аркылы ш енбер­
ге жанамалар ж урпзш ген.
а) жанамалар киылысканда
30
бершген кепбурыш ка уксас
болатынын долелдендер.
6) егер уксастык коэф ф и­
циент! 2-ге тен болса, онда
кепбурыштын
кабырга­
ларынын санын табындар.
пайда болган кепбурыш
бершген кепбурыш ка уксас
болатынын долелдендер.
б) егер уксастык коэф ф и-
2
циент! —s= - ге тен болса,
м
онда
кепбурыштын
кабыргаларынын
санын
табындар.
9 -1 0 TiK тертбурыштын, шаршыныц, параллелограмм ныц ауданы
Нускд А2
Нускд А1
1
Параллелограмнын
кабыргалары S см жэне 12
см, ал онын бурыштары­
нын 6ipeyi 150°-ка тен.
Параллелограмнын
ауданын табындар.
1
Параллелограмнын 6 i p
кабыргасы 14 см, ал осы
кабыргага туйрш ген 6 n i K r i r i 5 см-ге тен. Параллелограмныц
ауданын
табындар.
2
TiK тертбурыштын
периметр! 52 см, ал онын
кабыргаларынын катынасы
4:9 катынасындай.
а)
TiK
тертбурыштын
ауданын табындар.
б) ауданы t i k тертбурыш­
тын ауданына тен шаршынын кабыргасын табындар.
2
TiK тертбурыштын
кабыргаларынын катынасы
9:1 катынасындай, ал олардын айырмасы 32 см-ге тен.
а)
йк
тертбурыштын
ауданын табындар.
б) ауданы тис тертбурыш­
тын ауданына тен шаршынын кабыргасын табындар.
3
Параллелограмнын
б т к т 1ктер! 3 см жоне 4 см,
ал онын ауданы 48 см2-ге
тец.
Параллелограммньщ
периметрш табындар.
3
Параллелограмнын
кабыргаларынын
6ipeyi
екшипсшен 3 есе артык, ал
олардын
арасындагы
бурыш 30°-ка тен. Егер
онын ауданы 24 см2 болса,
онын периметрш табындар.
31
Нускд В2
Нускд В1
1
Параллелограмнын
периметр!
66
см.
Eki
бурышынын катынасы 1:5
катынасындай,
ал
eKi
кабыргасынын
катынасы
2:9
катынасындай.
Параллелограмнын ауданын табындар.
1
Параллелограмнын
44
см.
EK i
бурышынын
айырмасы
120°, ал eKi кабыргасынын
айырмасы 2 см. П аралле­
лограмнын
ауданын
табындар.
2
TiK тортбурыштын
диагоналы, онын кабыргаларынан 2 см жоне 16 см-ге
артык.
а)
TiK
тортбурыштын
ауданын табындар.
б) периметр! TiK тертбурыштын периметрше тен
шаршынын
ауданын
табындар.
2
TiK тортбурыштын
кабыргалары, онын диагоналынан 4 см жоне 8 см-ге
3 Параллелограмнын бинс4 см жоне 6 см. ал
онын
кабыргаларыньщ
6 ip e y i eK iH iui кабыргасынан
4 см-ге артык. Параллело­
грамнын
периметрш
табындар.
3
Параллелограмнын
периметр! 28 см, ал онын
6niKTiKTepi 3 см жоне 4 смге тен. Параллелограмнын
ауданын табындар.
nepH M eTpi
K iuii.
а)
TiK
тортбурыштын
ауданын табындар.
б) периметр! TiK тертбурыштын периметрше тен
шаршынын
ауданын
табындар.
TiKTepi
Нускд С2
Нускд С1
1
Параллелограмнын
кабыргалары 12 см жоне 9
см-ге тен, ал онын бш ктж T ep iH in
арасындагы
бурышы 30°. Параллело­
грамнын ауданын табын­
дар.
ъг
1
Параллелограмнын
9 см жоне 12
см-ге тен, ал онын кабыргаларынын
арасындагы
бурышы 30°. Параллело­
грамнын ауданын табын­
дар.
6niK TiKTepi
Ауданы
81
см2-ге
тен
ш арщыга
шггей
tik
тертбуры ш сызылган. TiK
тертбуры ш тын
тебелер!
ш арш ы ны н кабыргаларын
катынасы 2:1 катынасында
белед1 (суретп кара). TiK
тертбурыш тын
ауданын
табындар.
К,абыргалары 3 см ж эне 6
см-ге тен TiK тертбуры ш ка
[щ т е й
параллелограмм
сызылган.
П араллело­
грамнын
тебелер1
TiK
тертбурыштын кабыргаларын катынасы 2:1 каты нас­
ында беледй (суретп кара).
П араллелограмнын аудан­
ын табындар.
3
Параллелограмнын
кабы ргалары 12 см ж эне 18
см, ал оны н бш ктйстерш ц
6ipeyi
15
см-ге
тек.
П араллелоф ам ньщ eKiHiui
бийстшн табындар.
3
П араллелоф ам ньщ
6niKTiKTepi 15 см ж эне 10
см, ал оныц кабы ргалары ­
нын 6ipeyi 12 см-ге тен.
Параллелограмнын eKiHiui
кабыргасын табындар.
0 -1 1 Ушбурыштын ауданы
Нускд А2
Нускд А1
1
В
1
]В
V
\ю
8 \
1
\
D
Бершгеш:
АВ=ВС=4см;
ZC=75“. ABC ушбурыш ы нын ауданын табындар.
Бер1лгеш:
АВ=ВС=10см;
BD1AC; BD=8 см. ABC
ушбурыш ынын ауданын
S3
табындар.
2 К,абыргалары 11 см, 25
см жоне 30 см болатын
уш бурыш ты н
ен
улкен
б ш к т т н табыцдар.
2 Кабыргалары 25 см, 29
см жоне 36 см болатын
уш бурыш тын
ен
Kimi
б ш к т т н табындар.
3 TiK бурышты уш бурыш ­
ты н б ш ктш гипотенузаны
узындыктары 18 см жоне 32
см-ге
тен
кеандш ерге
беледь
Ушбурыш тын
ауданын табындар.
3 TiK бурышты уш буры ш ­
ты н кате-ri 20 см-ге тец, ал
онын гипотенузага т у а р ш ген проекциясы
16 см.
Ушбурыш тын
ауданын
табындар.
Нускд В2
Нускд В1
Бершгеш:
BDJAC;
ZBAC=135°; АС=2 см: AD=4
см. ABC ушбурышынын
ауданын табындар.
Бершгеш: BD1AC; Z=45°:
AD=6 см; DC=4 см. ABC
ушбурыш ынын
ауданын
табындар.
2 Тен бушрл1 трапециянын
буШр кабыргасы 25 см,
диагоналы 30 см, ал K im i
табаны
11
см-ге
тен.
Трапециянын
бш кттн
табындар.
2
Параллелограммньщ
кабыргалары 13 см жоне 14
см, ал диагоналдарыньщ
6ipeyi 15 см. П араллелограммнын ен Kimi б ш к т т н
табындар.
3 TiK бурышты ушбурыш­
тын
TiK
бурышынын
биссектрисасы гипотенуза­
ны айырмасы 5 см-ге тен
кеащ цлерге бвледь Егер
3 TiK бурышты уш бурыш ­
тын
cyftip
бурышынын
биссектрисасы
катетщ
6ipeyi екш ппсш ен 2 см-ге
Kimi кеандш ерге бвледь
34
у ш б у р ы ш ты н катеттерш щ
к аты н асы 3:4 каты насы ндай
б о л са,
онын
ауданы н
табы ндар.
Егер уш б уры ш ты н гипоте
нузасы мен е к ш д й катета
н щ каты н асы 5:4 каты нас
ындай болса, о н ы н аудан
ын табы ндар.
С уретте берццендер бой ы нш а ABC уш б у р ы ш ы н ы н ауданы н
табы ндар.
2
A BC уш б уры ш ы ны н
ау дан ы 36 см г. B K :K D =1:2
каты н асы н дай болаты н, BD
бю й тп й ёН
К
Нуктес 1
ал ы н ган . А К С уш б у р ы ш ­
ы н ы н ауданы н табы ндар.
2
ABC уш б у р ы ш ы н ы н
ауданы 36 с м 2. А К :К С = 1 :5
каты насы ндай болаты н, АС
кабы ргасы нан К н у к т е а
алы н ган. К В С у ш б у р ы ш ­
ы ны н ауданы н табы ндар.
3 TiK буры ш ты уш б уры ш ­
ты н катеттерш е ж ур п зш ген
м еднан алары л/52 см ж оне
773 см -ге тен. У ш б уры ш ­
ты н аудан ы н табы ндар.
3 TiK буры ш ты у ш б у р ы ш ­
ты н
гипотенузасы на
ж у р п зш ген
меднаналары
2>/Гз см ж оне 5 см -ге тен.
У ш буры ш ты н
ауданы н
табы ндар.
55
0 -1 2 Трапецияныц ауданы. Тертбурыштын
ауданы
Нускд А2
1
В
щ
/
А
12
С
8
п
К
\l0
" '
\
;
D
Суретте бершгендер бойынш а трапецияньщ ауданын
табындар.
2
Егер
ромбынын
периметр!
42
см,
ал
диагоналдарынын катынасы
5:12 катынасындай болса,
онын ауданын табындар.
2
Егер
ромбынын
периметр!
20
см,
ал
диагоналдарынын
косындысы 14 см болса,
онын ауданын табындар.
3 Трапецияньщ ауданы 24
см2. Егер трапецияныц орта
сызыгы 8 см болса, оны н
табандарыныц аракаш ы ктыгын табындар.
3 TiK бурышты трапециянын кшй буш р кабыргасы
4 см-ге тец. Егер трапециян ы н ауданы 36 см2 болса,
орта сызыгын табындар.
Нускд В2
Суретте бершгендер бойынша ABCD трапециясыныц
ауданын табындар.
56
2
Ромбынын диагоналдары нын
катынасы
8:15
катынасындай, ал ауданы
240 см2. Ромбынын пери­
метрш табындар.
2
Ромбынын диагонал­
дары нын айырмасы 14 см,
ал
ауданы
120
см2.
Ромбынын
периметрш
табындар.
3 Тен бущ рл! трапецйянын
диагоналы
оны н
6yftip
кабыргасына перпендику­
л яр.
Егер
трапецйянын
табандары 7 см жоне 25 см
болса, онда трапецйянын
ауданы н табындар.
3 Т ец буЙ 1рл! трапецйяны н
диагоналы
оны н
буй!р
кабыргасына перпендику­
ляр.
Егер трапецйяны н
6mKTiri 12 см, ал диагоналы
20 см-ге тен болса, онда
ауданын
трапецйяны н
табындар.
Суретте бершгендер бойынша ABCD трапециясынын
ауданын табындар.
2
Ромбынын диагоналдары ны н 6ipeyi 30 см, ал
ауданы 600 см2. Ромбынын
б ш к т т н табындар.
2 Ромбынын 6HiKTiri мен
диагоналдарынын катынасы
12:15:20 катынасындай, ал
периметр! 100 см. Ромбы­
нын ауданын табындар.
3 Т ен буМрл! трапецйянын
диагоналдары езара перпен­
дикуляр. Егер трапецйянын
табандары 7 см жоне 13 см
болса, онда трапецйянын
ауданын табындар.
3 Тен буШрл1 трапецйянын
диагоналдары езара перпен­
дикуляр. Егер трапецйянын
диагоналдарынын киы лысу
нуктес 1 табандарынан 5 см
жоне 6 см каш ы кты кта
болса, онда трапецйяны н
5?
ауданын
табындар.
0 -1 3 ¥к,сас фигуралардьщ аудандары. Децгелектщ жэне оньщ бвл1ктершщ ауданы
Нускд А2
Нускд А1
1 У ксас ушбурыштардын
аудандарынын
катынасы
4:9 катынасындай. BipiHmi
уш бурыш тын кабыргасы 8
см-ге тен. Екш нй уш бур­
ыштын сэйкес кабыргасын
табындар.
1 У ксас ушбурыштардын
кабыргалары 15 см жоне 25
см-ге тен. Бершген уш бур­
ыштардын
аудандарынын
катынасын
табындар.
2 К>абыргасы 4 см-ге тен
шаршыга шггей сызылган
денгелектщ
ауданын
табындар.
2 Кабыргасы 3 .3 см-ге тен
дурыс ушбурыш ка сырттай
сызылган
денгелектщ
ауданын
табындар.
3
Денгелек сектордын
ауданы 9л см2-ге тен. Егер
осы сектрга сэйкес центр­
л ж бурышы 90°-ка тен
болса, онда денгелектщ
радиусын табындар.
3 Д енгелектщ радиусы 6
см. Ауданы 12л см2-ге тен
денгелек секторга сойкес
центрлж бурышты табы н­
дар.
Нускд В2
Нускд В1
1
Ушбурыштын орта
сызы-гы
бершген
ушбурыштан ауданы
15
см2-ге тен ушбурыш кияды.
Бершген
ушбурыштын
ауданын табындар.
1
Ауданы 48 см2-ге тен
ушбурыштын орта сызыгы
ж урпзш ген. Ушбурыш тын
ш ы ккан
белж терщ щ
аудандарын табындар.
2 Кабыргалары 18 см, 24
см жоне 30 см болатын
ушбурышка шггей сы зыл­
ган денгелектщ ауданын
2 Кабыргалары 16 см, 30
см ж эне 34 см болатын
ушбурышка сырттай сы зы л­
ган денгелектщ ауданын
ЪЪ
табындар.
табындар.
3 Д енгелектщ радиусы 6
см. Егер денге лек сегментке сойкес центрлш бурышы
60°-ка тен болса, оны н
ауданын табындар.
3 Д енгелектщ радиусы 6
см. Егер денгелек сегментке сойкес центрлж бурышы
3 0 0 -к а тен болса, оны н
ауданын табындар.
Нускд С2
Нускд С1
1 У ш бурыш тын табанына
параллель тузу, оны аудандары нын
катынасы
4:3
катынасындай
болатын
уш бурыш пен трапецияга
беледг Ш ы ккан уш бурыш ­
тын периметр! 20 см-ге тен.
Бершген
ушбурыштын
периметрш табындар.
1 Ушбурыш тын табанына
параллель тузу, уш бурыш тан ауданы калган б е л т н щ
ауданынан 8 есе кш п бола­
тын
уш бурыш
кияды.
У лкен
уш бурыш ты н
периметр! 27 см.
Kiuii
уш бурыш тын
периметрш
табындар.
2 KaTerrepi 21 см жоне 28
см-ге тен TiK бурышты
уш буры ш ка, центр! гипотенузада
болатын
шггей
жарты денгелек сызылган.
Жарты денгелектщ аудан­
ын табындар.
2
Катеттершщ катынасы
3:4
катынасындай
т!к
бурышты
уш буры ш ка,
ауданы 72л см2-ге тен, ал
центр1 гипотенузада бола­
тын шггей жарты денгелек
сызылган.
Ушбурыш тын
периметрш табындар.
3 Ц ентрлж бурышы 60°-ка
тен
денгелек
секторга
1штей, радиусы R денгелек
сызылган. Осы денгелектщ
ауданын табындар.
3 ЦентрЛ 1к бурышы 60°-ка
тен
денгелек
секторга
шггей, радиусы г денгелек
сызылган.
Сектордын
ауданын табындар.
39
Б -4 Фигуралардьщ ауландары
Нускд А1
Нускд А2
1
ABC ушбурышында
АВ=8
см,
АС=5
см,
ZA:ZB:ZC=3:4:11.
Y шбурышты н
ауданын
табындар.
1 ABC ушбурышында BD
б и ж тт журпзшген. Егер
АВ=25 см, ВС=26 см, BD=24
см болса, онда ушбурыш­
тын ауданын табындар.
2 Ромбынын ауданы 120
см2, ал онын диагоналынын
6ipeyi екшнпсшен 14 см-ге
артык.
Ромбынын
диагоналдарын табындар.
2
Ромбынын диагонал­
дарынын катынасы 8:15
катынасындай, ал ауданы
240 см2 тен. Ромбынын
диагоналдарын табындар.
3 Ушбурышка штей сыз­
ылган шенбердщ радиусы 3
см,
ал
ушбурыштын
периметр! 20 см болса,
онын ауданын табындар.
3 Ушбурышка йнтей сыз­
ылган шенбердщ радиусы 4
см, ал ушбурыштын ауда­
ны 18 см2, болса онын
периметрш табындар.
4 TiK бурышты трапециянын бушр кабыргалары 12
см жоне 13 см. ал табандарынын
катынасы
4:9
катынасындай болса, онын
ауданын табындар.
4 TiK бурышты трапециянын табандары 4 см жоне 9
см, ал бушр кабыргаларыныц 6ipeyi екшипсшен 1 см
артык болса, онын ауданын
табындар.
Нускд В2
Нускд В1
1 Тен бушрл* ушбурыш­
тын периметр! 36 см. ал
онын
табаны
10 см.
Ушбурыштын
ауданын
табындар.
1 Тен буШрл! ушбурыш­
тын 6yftip кабыргасы 17 см.
онын периметр! 50 см.
Ушбурыштын
ауданын
табындар.
2
Периметр! 24 см, ал
ауданы
18 см2-ге тен
ромбынын бурыштарын
2 Ауданы 98 см2 ромбынын
бурыштарынын 6ipeyi 150°ка
тен.
Ромбынын
40
табыцдар.
периметрш
табындар.
3 Тен бушрл! ушбурыш­
тын периметр! 128 см, ал
онын
табаны
48
см.
Y шбурышка'
штей
сызылган
шенбердщ
радиусын табындар.
3 Тен буШрл1 ушбурыш­
тын буШр кабыргасы 40 см,
ал
табанына
туаршген
6HiKTiri 32 см. Ушбурышка
сырттай сызылган шенбер­
дщ радиусын табындар.
4 Табандары 15 см жоне 33
см, ал диагоналдары cyftip
бурыштарынын биссектрисалары болатын тен буШрл1
трапециянын
ауданын
табындар.
4 Табандары 15 см жоне 33
см, ал диагоналдары догал
бурыштарынын биссектрисалары болатын тен буй!рл1
трапециянын
ауданын
табындар.
Нускд С2
Нуска С 1
1 Тен кабыргалы ушбур­
ыштын б ш к тт
12 см.
Бершген ушбурыштын орта
сызыктары аркылы жасалган ушбурыштын ауданын
табындар.
1 Тен кабыргалы ушбур­
ыштын б ш к т т 12 см.
Бершген
ушбурыштын
кабыргалары орта сызык­
тары болатын ушбурыштын
ауданын табындар.
2 Ауданы 2400 см2-ге тен
ромбыга, радиусы 24 см
ш тей шецбер сызылган.
Ромбынын диагоналдарын
табындар.
2 Ромбыга iurreH сызылган
шенбердщ жанасу нуктеа
ромбынын кабыргасын 9 см
жоне 16 см-ге тен кеашйлерге беледь Ромбынын
диагоналдарын табындар.
3 TiK бурышты ушбурыш­
тын ауданы 24 см2-ге тен,
ал
сырттай
сызылган
шенбердщ радиусы 5 см.
Ушбурышка
шггей
сызылган
шенбердщ
радиусын табындар.
3 Tix бурышты ушбурыш­
тын периметр! 24 см-re тен,
ал ш тей сызылган шенбер­
дщ радиусы 2 см. Ушбур­
ышка сырттай сызылган
шенбердщ
радиусын
табындар.
И
4
Трапецияныц буйДр
кабыргалары жэне бгактт
сэйкесшше 30 см, 25 см
жэне 24 см-ге тен. Егер
трапецияныц догал бурыш­
тарынын биссектрисалары
улкен табанында киылысатын болса, онын ауданын
табындар.
4
Трапецияньщ буШр
кабыргалары жэне б ш к тт
сэйкесшше 30 см, 25 см
жэне 24 см-ге тец. Егер
трапецияньщ cyftip бурыш­
тарынын биссектрисалары
Kimi табанында киылысатын болса, онын ауданын
табындар.
Б-5 Жылдык бакылау жумысы
Нускд А1
Нускд А2
ауданын.
1 Ушбурыштын eKi кабыр­
гасы 6 см жэне 10 см-ге
тен, ал олардын арасында­
гы бурышы 120°. Табындар:
а) ушбурыштын периметрiH;
б)
ушбурыштын
ауданын.
2
Шаршыга сырттай
сызылган
денгелектщ
ауданы 8л см2-ге тен.
Шаршыныц кабыргасы мен
ауданын табындар.
2
Дурыс тертбурышка
пытей сызылган шенбердщ
узындыгы
8л
см.
Тертбурыштын кабыргасы
мен ауданын табындар.
3 TiK бурышты ушбурыш­
тын биссектрисасы, онын
катетш 12 см жоне 20 см-ге
тен кеандшерге беледь
Ушбурыштын
ауданын
табындар.
3 TiK бурышты ушбурыш­
тын биссектрисасы, онын
гипотенузасын 20 см жоне
15 см-ге тец кеыщцлерге
беледь
Ушбурыштын
ауданын табындар.
1 Ушбурыштын eKi кабыр­
гасы 6 см жэне 16 см-ге
тен, ал олардын арасында­
гы бурышы 60°. Табындар:
а) ушбурыштын периметрiH;
б)
ушбурыштын
Нускд В1
Нускд В2
1
ABC ушбурышында
ZB=120°, АВ=7 см, АС=13
см. Табындар: а) ушбурыш-
1 Ушбурыштын кабырга­
лары 3 см жоне 7 см-ге тец,
ал
олардын
улкешне
hQ.
б)
карсы жаткан бурышы 60°.
Табындар: а) ушбурыштын
периметрш; б) ушбурыш­
тын ауданын.
2
Дурыс ушбурыштын
ауданы 12>/з см2-ге тен.
Ушбурышка шггей сызыл­
ган денгелектщ ауданы мен
денгелекке
сырттай
сызылган
шаршынын
ауданын табындар.
2
Дурыс ушбурыштын
ауданы 12-Уз см2-ге тенYшбурышка
сырттай
сызылган
денгелектщ
ауданы мен денгелекке
шггей сызылган шаршынын
ауданын табындар.
3 Ик бурышты трапеция­
нын
диагоналы
сутр
бурышты как белед1 де, ал
екшип диагоналды катына­
сы 8:5 катынасында белеш.
Егер трапециянын бийстт
12 см болса, онын ауданын
табындар.
3 TiK бурышты трапеция­
нын
диагоналы
догал
бурышты как беледо де, ал
екшип диагоналды катына­
сы 2:5 катынасында белеш.
Егер трапециянын Kimi
буШр кабыргасы 24 см
болса,
онын
ауданын
табындар.
тын
периметрш;
ушбурыштын ауданын.
Нускд С1
Нускд С2
1 Ушбурыштын 6ip кабыр­
гасы 7 см, баска eid кабыр­
гасынын айырмасы 5 см-ге
тен, ал олардын арасында­
гы бурышы 60°. Табындар:
а) ушбурыштын периметрш;
б)
ушбурыштын
ауданын.
1 Ушбурыштын exi кабыр­
гасынын косындысы 16 см.
ал олардын арасындагы
бурышы 120°. Ушбурыш­
тын ушшип кабыргасы 14
см-ге тен. Табындар: а)
ушбурыштын периметрш;
б) ушбурыштын ауданын.
2 Шенберге iuiTeft жоне
сырттай сызылган дурыс
алтыбурыштардын аудан­
дарынын косындысы 14->/з
см2-ге тен. Бершген
шецбермен шектелген ден-
2 Шенберге шггей жоне
сырттай сызылган дурыс
алтыбурыштардын аудан­
дарынын айырмасы 2-Уз
см2-ге
тен.
Бершген
шенбердщ
узындыгын
45
гелектщ ауданы н табындар.
табындар.
3 Тен б у ш р л 1 трапецйяны н
Kiuii табаны 6 y ftip кабырга­
сы на тен, ал диагоналдары
киы лы су
нуктесщ е
5:11
каты наска белш едь Егер
трапецйяны н бш ктит 20 см
болса,
оны н
ауданын
табындар.
3 Т ен б у ш р л 1 трапецйяны н
улкен табаны б у ж р кабы р­
гасына тен, ал диагон ал ­
дары ки ы лы су нуктеспш е
3:13 каты наска белш едь
Егер трапец йяны н б ш к тю
20 см болса, о н ы н ауданын
табындар.
6-1 Векторлардьщ координаторы
Нускд А1
Нускд А2
а{3;-2}, в{-1;1} векторлары бершген.
1 Векторлардьщ координаттарын табындар
m = —За,
п = а + 2в
т = —4в,
п = а + Зв
2 т жоне п векторларын i жоне j координаттык
векторларына жжтеп жазындар.
3 m жоне п векторларына коллинеар векторларды
табындар, мундагы:
к{- 8;0}, 1{0;8}, р{- 3;2}, г{- 8;8}
4 с векторын к жоне 1 векторларына жжтендер,
мундагы:
с = 2г
с = -3г
Нускд В1
Нускд В2
а{- 5;l{, в{0;-3}, с{4;-2} векторлары бершген.
1 Векторлардын координаттарын табындар.
m = -а + 2в - с ,
m = а - Зв + 2 с ,
п = 2а - * в + 4с
3
п = —2а + в — с
2
2 m жоне п векторларын i жоне j координаттык
векторларына ж1ктеп жазындар.
3 m жоне п векторларына коллинеар векторларды
табындар, мундагы:
k{- 6;5},|{1;2},р{5;-25},г{- 8;-4}
4 d векторын а жоне в векторларына жжтендер,
мундагы:
d{-10;5}
d{-5;-7}
/15
Нускд Cl
Нусед С2
а{х;-2}, в{2;-4}, с{-3;б} векторлары бер1лген.
1
ш = -а
i
" V
Векторлардын координаттарын табындар.
+ з(в -с).
т = 3 (а-в )+ с .
l l
1 . 1 1
V V
П= - 4 а+ '2 В +3С
2 ш жоне п векторларын i жоне j координаттык
векторларына жжтеп жазындар.
3 x-TiH кандай мошнде а жоне ш векторлары коллинеар?
4 d векторын в жоне с векторларына
жжтендер, мундагы:
d{4;-8}
d{3;-6}
0 - 2 Координаталарымен бершген карапайым
есептер
Нускд А1
Нускд А2
А(1;-2), В(3;6), С(5;-2) нуктелер1 бершген.
1 Векторлардын координаттарын табындар
АВ, СВ
АС, СА
2 KecinaiHi как белетш К нуктес1н1н координаттарын
табындар, мундагы:
АВ
ВС
3 Медиананын узындыгын табындар, мундагы:
СК
АК
4. Егер D(7;6) болса, онда
ABCD
тортбурышы
параллелограмм бола ма?
4. Егер D (-l;6) болса, онда
ADBC
тертбурышы
параллелограмм бола ма9
№
Нускд В1
Нускд В2
MN - ABC ушбурышынын орта сызыгы,
МеАВ, NeBC
1 В жоне С нуктелершщ координаттарын табындар, егер
A(-l;3), М(3;4), N(4;2)
A(l;3), М(4;0), N(3;-2)
2 AN жэне СМ медианаларынын узындыктарын табындар.
3 Параллелограммнын уш T e 6 e c i А, В жоне С нуктелер1нде
жатыр. Егер тертший тебесшщ координаттары он болса,
онда оны табындар.
4 Е(0;1) нуктес1 АС кабыргасына тшсп бола ма?
Нускд С1
Нускд С2
MN —ABC ушбурышынын орта сызыгы,
МеАВ, NeBC, О - медианаларды н киы лы су HyKTeci.
1 Ушбурыштын тебелершщ координаттарын табындар, егер
М(2;-1), N (0;-1), 0(1;-2)
М(0;-3), N(-2;3), 0(-1;2)
2 AN жоне СМ медианаларынын узындыктарын табындар.
3 Ромбынын уш Te6eci А, В жэне С нуктелер^нде жатыр.
Онын тертжпй тебесшщ координаттарын табындар.
4. К(2;-3) нуктес! AN
медианасында жататынын
жоне оны 1:2 катынасында
белетшш долелдендер.
4. K(-2;l) нуктеа AN
медианасында жататынын
жоне оны 1:2 катынасында
бвлеттшн долелдендер.
0 -3 Шенбердщ тевдеу!
Нускд А1
Нускд А2
1 Мына тендеумен бер1лген шенберд1 сал
(х - 2)2 + (у + З)2 - 9
(х + З)2 + (у - 2)2 = 4
2
Центр! 0(4 ;-6 ) HyKTeci болатын ш е н б е р д щ
тецдеуш жазындар,
ордината ociMeH жанасатын.
абсцисса ociMeH жанасатын.
3
Егер А(6;0), В(-6;4)
болса, онда АВ (х+ 2)2+ (у —
1)2=25 шецбершщ хордасы
болатынын долелдендер.
3
Егер А(0;-2), В(4;6)
болса, онда АВ (х—4)2+ (у —
1)2=25 шецбершщ хордасы
болатынын долелдендер.
Нускд В2
Нускд В 1
1
Мына тендеумен бершген шецберд1 сал
х2 + (у + 2)2 = 20
(х + 2)2 + у2 = 18
2
К оординатор басы жоне А(6;0) нуктеа аркылы
ететш, радиусы 3 2 -ге тец шецбердщ тецдеуш жазындар.
Ш ецбердщ uei-nrpi мына тузулерде жатыр, мундагы:
у = х.
у = -х.
3
Егер А(7;1), В(-1;3)
болса, онда АВ (х—3)2+ (у —
2)2=17 шецбердщ хордасы
болатынын долелдендер.
3
Егер А(5;2), В(-1;0)
болса, онда АВ (х -2 )2+ ( у 1 )2==10 шецбердщ хордасы
болатынын долелдендер.
Нускд С1
Нускд С2
1
Мына тецдеумен бер1лген шецберд1 сал
х2 — 4х + у 2 + 6у 8 = 0
х2 + 4х + у 2 — 6у +3 = О
2 Радиусы 5-ке тец, мына нуктелер аркылы етет1н
шецберд1ц тецдеу1н жазындар, мундагы:
А(-4;0) жоне В(4;2)
А(-2;1) жоне В(6; 1)
3 ABCD тертбурышыныц TypiH аныктацдар.
Мумкш болса, тертбурышка 1штей сызылган
шецбердщ тецдеуш жазындар, мундагы:
А(-3;1), В(1;5), С(5;1),
D (l;-3)
А(-1;4), В(2;1), С (-1;-2),
D (-4 ;l)
№
0 - 4 Тузудщ тендер
Нускд А1
Нускд А2
1 Мына нукте аркылы ететш жэне координаттар ocrepiHe
параллель болатын, тузудщ тендеуш жазындар, мундагы:
А(-2;7)
В(-7;2)
2
Тузу мына тендеумен бершген
2х - Зу + 6 = 0
2х —Зу —6 = О
а)
Осы тузуд1 сызындар.
б) Тузудщ координаттар оамен киылысу нуктелершщ
координаттарын табындар.
в) Осы тузумен жэне координаттар оамен жасалган
ушбурыштын ауданын табындар.
Нускд В1
Нускд В2
1 Мына нуктелер аркылы ететш тузудщ тендеуш
жазындар, мундагы:
А(0; 1), В(2;3)
А(0;2), В(1;1)
2
Тузулер мына тендеулермен бершген
Зх + 2у —9 = 0, у + 3 = 0
х - 2у + 3 = 0, х - 2 = 0
а) Осы тузулерд! 6ip координаттык жуйеге салындар.
б) Осы тузулердщ координаттар ociMeH киылысу
нуктелершщ координаттарын табындар.
в) ордината ociMeH
в) абсцисса ociMeH
жоне осы тузулермен жасалган ушбурыштын ауданын
табындар.
Нускд С1
Нускд С2
1 Мына нуктелер аркылы ететш тузудщ тендеуш
жазындар, мундагы:
А(-3:5). В(6;2)
А(-3;4), В(6;-2)
2
Тузулер мына тендеулермен бершген
Зх + 4у — 5 * 0, у + 1 = 0,
4х - Зу + 11 = 0, х - 1 = 0,
Зх - 4у - 13 - 0
4х + Зу + 5 * 0
^9
а) Осы тузулерд1 6ip координатты к жуйеге салыцдар.
б) Осы тузулердщ координаттар о а м е н киы лы су
нукте'лерГнщ координаттары н табындар.
в) Осы тузулермен ж асалган уш буры ш ты н ауданы н
табындар.
Б - 1 Координаттар т э с ш
Нускд А1
Нускд А2
Нуктелер! берш ген
А(0;-3), В(-1;0), С(5;2)
А(-1;0), В(0:3), С(6;1)
1 а) АВ векторынын узындыгын жоне координатасы н
табындар.
б) АВ векторын i жоне j координатты к векторлары на
жж тендер.
2 а) Центр1 А н ук теан д е жоне радиусы АВ болатын
ш енбердщ тендеуш жазындар.
б) Осы шенберге мына нукте raicT i бола ма?
D (6;- l)
D (5;-2)
3 АВ Ty3yiHiH тендеу1н жазындар.
4 а) АВ жоне C D векторлары ны н колли неар
болатынын долелдендер.
б) ABCD тертбурыш болаты ны н долелдендер.
Нускд В1
Нускд В2
Н уктелер1 берш ген
А (0;-3), В(-1;0), С(5;2),
А (-1;0), В(0;3), С(6;1),
D(0;-4)
D (-2;0)
1 а) а = AB + 3A D -
СА векторы ны н узындыгын
жоне координатасын табындар.
б) к векторын i жоне j координатты к векторлары на
ж ж тендер.
50
2 а) Диаметр! АВ болатын шенбердщ тендеуш жазындар.
б) С жоне D нуктелер! мен шенбердщ езара орналасуын
аныктандар.
3
BD тузушщ тендеуш
жазындар-
3
АС тузушщ тецдеуш
жазындар.
4 ABCD шаршы болатынын долелдендер.
Нуска С1
Нускд С2
Нуктелер! бершген
А(2;3), В(-2;0), С(2;-3)
А(-2;3), В(2;0), С(-2;-3)
1 ВО (О — координаттар басы) векторын АВ жэне
СВ координаттык векторларына жжтецдер.
2* ABC ушбурышына сырттай сызылган шенбердщ
тецдеуш жазындар.
3 ABC ушбурышыныц CD медианасы жататын тузудщ
тендеу1н жазындар.
4 Шаршыныц eKi Te6eci А жэне С нуктелер^нде жатыр.
Осы шаршынын баска eKi тебесшщ координаттарын
табындар.
0 -5 Бурыштыц синусы, косинусы, тангенс!
Нускд А1
Нускд А2
1 sin а-ны табындар, егер
c o sa = -
I
cosa— _3
2 А бурышын салындар, егер
cos A
3
А 5
=5
° 1 2
51
3 0 рнект1 ыкшамда:
а) (1 - cosa)(l +. cosa);
а) (1 - sina)(l + sina);
б) ; 1 + sin2a - cos2a;
б) 1 + cos2a - cos2a;
в) (tgacosa)2 - 1
[ sin a | _ i
I tga J
Нускд B1
sina=
Нускд B2
1 cos a -ны табыцдар, erep
24
40
sm a=
25
41
2 А бурышын салындар, erep
cosA =- ^
cosA = - 5
5
,
12 .
3 0рнект1 ыкшамда:
а) (cosa+sina)(cosa-sina)+
a) (sina-cosa)(sina+cosa)+
2sin2a;
2cos2a;
_v cosJa - l
б)
;
cosasina
в) sinacosatga+cos2a
6)
c o s a s in a .
. <
sin‘ a -1
в) tg2acos2a+cos2a
Нускд Cl
Нускд C2
1 tg a -ны табыцдар, erep
sina=
24
25
cosa=
5
12
2 А бурышын салындар, erep
sinA—
5
sinA— ^
12,
52
3 epHeKTi ыкшамда:
a) 2sinJa + cos4a - sin4a;
a) 2cos2a + sin4a - cos4a;
6)
в)
cos a - s in a
- cosasina;
c o sa -sin a
, -c o s 'a -tg a
cos' a
6)
cos asm a
+ cosasina;
cos a + sin a
B)
, - tg 'a - s in 'a
cos a
0 -6 Ушбурыштын ауданы туралы теорема.
Синустар теоремасы
Нускд А2
Нускд А1
1
ABC ушбурышында
АВ=6.3 см, АС=8 см,
ZA=60°. Осы ушбурыштын
ауданын табындар.
1
ABC ушбурышында
ВС=11 2 см, АС=8 см,
ZC=45°. Осы ушбурыштын
ауданын табындар.
2
Ушбурыштын exi
кабыргасы 7 см жоне 98
см-ге тен, ал олардын
улкешне карсы жаткан
бурышы
45°-ка
тен.
Ушбурыштын
калган
бурыштарын табындар.
2
Ушбурыштын ею
кабыргасы 6 см жэне 4 3
см-ге тен, ал олардын
улкешне карсы жаткан
бурышы
60°-ка
тен.
Ушбурыштын
калган
бурыштарын
табынаар.
3 Ушбурыштын кабыргасы
18 см, ал сырттай сызылган
шенбердщ радиусы 6 3 см.
Бершген кабыргага карсы
жаткан бурышты табындар.
Есептщ неше uieiuiMi бар?
3 Шенбердщ диаметр! 12
см, ал iurreft сызылган
ушбурыштын
кабыргасы
6 .2 см. Бершген кабыргага
карсы жаткан бурышты
табындар. Есептщ неше
uieiuiMi бар?
Нускд В2
Нускд В1
1 Ушбурыштын ек! кабыр­
гасы 17 см жоне 8 см-ге
тен, ал олардын арасында-
55
1 Ушбурыштын ею кабыр­
гасы 20 см жоне 14 см-ге
тен, ал олардын арасын-
дапл бурышытын косинусы
дагы бурыш ытын косинусы
15 -ке тен. Ушбурыштын
17
ауданын табындар.
ауданын табындар.
2 Ушбурыштын кабыргасы 5 .6 см-ге тен, ал оган
ipreflec жаткан бурыштар
15° жоне 45°. Ушбурыштын
орташа
кабыргасын
табындар.
2 Ушбурыштын ен кшп
кабыргасы 7 2 см-ге тен,
ал
ушбурыштын
eKi
бурышы 105° жоне 45°.
У шбурыштын
орташа
кабыргасын табындар.
3 Сыртгай сызылган шен­
бердщ радиусы ушбурыш­
тын кабыргасына тен жэне
eK iH iui кабыргасынан
.2
есе артык. Ушбурыштын
бурыштарын
табындар.
Есептщ неше iu e iu iM i бар?
3 Ушбурыштын eKi кабыр­
гасы жоне сырттай сызыл­
ган шенбердщ радиусынын
катынастары
.3: .2:1
катынасындай. Ушбурыш­
тын бурыштарын табындар.
Есептщ неше iu e iu iM i бар?
-
Нускд С 1
-ке тен. Ушбурыштын
Нускд С2
1 Ушбурыштын eKi кабыр­
гасы 7 .3 см жэне 12 см-ге
тен, ал олардын биссектри­
салары yiuiHiui кабыргасында . 30° бурыш жасап
киылысады. Ушбурыштын
ауданын табындар.
1 Ушбурыштын eKi кабыр­
гасы 5 3 см жоне 6 см-ге
тен, ал осы кабыргаларга
T y c ip w re H
бийспктерй 60°
бурыш жасап киылысады.
Ушбурыштын
ауданын
табындар.
2
Ушбурыштын
eKi
бурышы 30° жоне 135°, ал
оларга
карсы
жаткан
кабыргалардыц айырмасы
s( .2 - 1) см-ге тен. Осы
кдбыргзларды, табындар.
2
Ушбурыштын
eKi
бурышы 45° жоне 120°, ал
оларга
карсы
жаткан
кабыргалардын косындысы
з(.6 + 2) см-ге тен- Осы
кабыргаларды табындар.
3 ABC ушбурышында BD
медианасы журпз1лТен.
3 ABC ушбурышында BD
медианасы
Журпзшген.
54
ZABC—75°.
ZDBC=45°.
DBC ушбурышына сырттай
сызылган
шенбердщ
радиусы 2 см-ге тец. ABD
ушбурышына сырттай сыз­
ылган шенбердщ радиусын
табындар.
ZABC=105°, А 0 1 2 2 см.
DBC ушбурышына сырттай
сызылган
шенбердщ
радиусы 2 . 6 см-ге тен.
ABD ушбурышына сырттай
сызылган
шенбердщ
радиусын табыцдар.
0 - 7 Косинустар теоремасы. Ушбурыштарды шешу
Нускд А1
Нускд А2
1 Ушбурыштын eKi кабыр­
гасы 5 см жоне 6 см-ге тен,
ал олардын арасындагы
бурышы 120°. Ушбурыш­
тын yuHHiui кабыргасын
табындар.
1 Ушбурыштын eKi кабыр­
гасы S см жоне 21 см-ге
тен, ал олардын арасында­
гы бурышы 60°. Ушбурыш­
тын yiuimui кабыргасын
табындар.
2
Параллелограммнын
бурышы 45°-ка тен, ал
онын кабыргалары 7 2 см
жоне 17 см. Параллело­
граммнын
ауданы
мен
улкен
диагоналын
табындар.
2
Параллелограммнын
бурышы 150°-ка тен, ал
онын кабыргалары 11 см
жоне 3.3 см. Параллело­
граммнын ауданы мен кнш
диагоналын табындар.
3 Егер ВС=10 3 см, АВ=20
см, ZB=30° болса, онда ABC
ушбурышын шешщдер.
3 Егер ВС= 4 .2 см, АС=7
см, ZC=45° болса, онда
ABC
ушбурышын
шеинцдер.
Нускд В2
Нускд В1
1 Ушбурыштын кабырга­
лары 7 см. 13 см жоне 15
см-ге тен. Ушбурыштын
орташа кабыргасына карсы
жаткан
бурышты
табындар.
1 Ушбурыштын кабырга­
лары 7 см, 37 см жоне 40
см-ге тен. Ушбурыштын
орташа кабыргасына карсы
жатка н
бурышты
табындар.
55
2 Парал ле лограммда 120°ка тен догал буры ш ы ны н
биссектрисасы
оны н
кабыргасын суш р буры ш ы ­
нан бастап 15 см жоне 10
см
кеандш ерге
беледг
Параллелограммньщ
биссектрисасы мен улкен
диагоналын
табындар.
2 Параллелограмшш 60°-Ка
тен
cyftip
бурыш ынын
биссектрисасы
онын
кабыргасын догал бурышы­
нан бастап 25 см жоне 15
см
кеандш ерге
беледг
П араллелограммньщ
биссектрисасы
мен
Kiuii
диагоналын
табындар.
3 Егер ВС=5 2 см, АС=7
см, ZC=135° болса, онда
ABC
уш бурыш ын
шеипндер.
3 Егер АС=3 2 см, АВ=2
см, ZA-1500 болса, онда
ABC
ушбурышын
шеипндер.
Нускд С 1
Нускд С2
1 Ушбурыштын тебесш ен
журпзш ген биссектрисасы,
карсы жаткан кабырганы
21 см жоне 35 см-ге тен
кеандш ерге
белее.
Ал
калган eKi кабыргасынын
айырмасы' 16 см-ге тен
болса, онда уш бурыш тын
бурыштарын табындар.
1 Ушбурыштын периметр!
30 см-ге тен. Ушбурыштын
14 см-ге тен кабыргасын
биссетриса катынасы 3:5
катынасында белее, онда
ушбурыш тын осы кабырга­
сын табындар.
2 Егер параллелограммньщ
диагоналдарыньщ
квадра­
ты, онын кабыргаларынын
айырмасынын
толымсыз
квадратына тен болса, онда
параллелограммньщ
бурыштарын табындар.
2 Егер параллелограммньщ
диагоналдарыньщ
квадра­
ты, онын кабыргаларынын
косындысыньщ толымсыз
квадратына тен болса, онда
параллелограммньщ
бурыштарын табындар.
3
Егер
АС=
см,
о н д а 1' 'ABC
шеипндер.
3 Егер ВС=8 3 см, АС=7
см, ZB=30° болса, онда ABC
ушбурышын шеипндер.
ВС=25
см,
ZA=45° болса,
ушбурыш ын
56
0 -8 Векторлардьщ скаляр кобейтщща
Нускд А1
Нускд А2
1 а жэне в векторларыньщ скаляр кебейтснддсш
табындар, мундагы:
а) а = 3, в = 2, z(a,e)= 135®;
а) а =4, в=3, z(a,B)=120°;
б) а{2;-3}, в{-4;2}
б) a{-4;l}, в{3;-1>
2 а жэне в векторларыньщ арасындагы бурыштын
косинусын табындар, мундагы:
а{7;24}, в{7;0}
а{0;-4}, в{20;-15}
3
а + в есептендер, егер
а = в = 1, z(a,e)= 30° болса.
3
а - в есептендер, егер
а' = в = 1, ^(а,в)=45°болса.
4 ВА жэне ВС векторлары перпендикуляр болатынын
долелдендер, мундагы:
А(0;1), В(2;-1), С(4;1)
А(0;1), В(2;3), С(-1;6)
Нускд В1
Нускд В2
1 а жэне в векторларыньщ скаляр кебейтшдкпн
табындар, мундагы:
а) а{- .7;l} в = 3,
а) а = 2 , в{-2;2 .2},
Да,в)=45";
^(а,в)=300;
б )аз:т-< -2п, в = 2п - ш ,
б) а = р - Зк в = 3к + р, к = 2 ,
m « 3 , п =2
р =1
2
а жэне в векторларыньщ арасындагы бурыштын
косинусын табындар, мундагы:
a s с —d, в = с + 2d, с: = d = J,
а = с + d , в* с —2d, с = d = I,
z(c,d)=90“;
z(c,d)=90°;
3 2а - в есептендер, егер
» а |, в =3 3, ^(а,в)=150”
3 а - 2в, есептендер, егер
а =4, в = 2, ^(а,в)«=120и
5?
болса.
болса.
4 а жоне в векторлары перпендикуляр болатын,
ш^н’щ М онт табындар, мундагы:
а{ш;-8}, в{4;3}
а{-2;|}, в{9;т}
Нускд С1
Нускд С2
1 а жоне в векторларынын скаляр кебейтащйсш
табындар, мундагы: .
а) а = 2т - Зп, в = т + 2п,
а ) а = 2т + 3п, в = т - 2п,
z(m ,n)= 135", т = 4 , n = 1
z(m ,n)= 150°, т = 1 , п =3
б) а(2а - в) = 8 , а = 2
б) (а + 2в)в = 18, в =3
2
а жоне в 6ipniK векторларынын арасындагы
бурышты табындар, erep
а-З в
жоне
а-0 ,2 в
0.4а-2в жоне
З а -в
векторлары перпендикуляр
векторлары перпендикуляр
болса.
болса.
3 в векторына коллинеар болатын, а векторынын
координатасын табындар, мундагы:
.в{1;—2}, а в = 1 0
в{2;—1}, а - в = 1 5
4
а{1;4} жоне
а + Хв векторы в векторына
перпендикуляр болатын Xныц мон1н табындар.
в{—3;2} векторлары бершген.
а + А.в векторы а векторына
перпендикуляр болатын Xны н
монш
табындар.
Б-2. Ушбурыштын, кдбыргалары мен бурыштарыньщ арасындагы кдтыстар
Нускд А2
Нускд А1
1
П араллелофам мны н
бурышы 120°-ка тен. Улкен
диагоналы 14 см, ал кабыргаларынын 6ipi 10 см.
58
1
Параллелограммнын
бурышы 60°-ка тен. Kiuii
диагоналы 7 см, ал кабыргаларыньщ 6ipi 5 см.
Параллелограмнын пери­
метр!
мен
ауданын
табындар.
Параллелограмнын пери­
метр!
мен
ауданын
табындар. J
2
Егер ZA=45°, ZB=75°,
А В=2.3 см болса, онда
ABC
ушбурышын
шеипндер.
2 Егер ZB=30°, ZC=105°,
АВ=4 см болса, онда ABC
ушбурышын шешщдер.
3
А(0;0), В(2;2), С(5;-1)
нуктелер! бершген. АС -СВ
векторларынын
скаляр
кебейгпнщсш
табындар.
ABC
уш бурышы
TiK
бурышты
ушбурыш
болатынын долелдендер.
3
А(0;0), В(1;-1), С(4;2)
нуктелер! бершген. ВС •АС
векторларынын
скаляр
кебейпндюш
табындар.
ABC
ушбурышы
TiK
бурышты
ушбурыш
болатынын долелдендер.
Нускд В1
Нускд В2
1
Параллелограммньщ
бурышы
120°-ка
тен,
кабыргаларынын катынасы
5:8 катынасындай, Kimi
диагоналы 14 см. Параллелограммнын
улкен
диагоналы мен ауданын
табындар.
1
Параллелограммньщ
бурышы 60°-ка тен, кабыр­
галарынын айырмасы 4 см,
ал
улкен диагоналы 14
см-ге тен. Параллелограммнын Kimi диагоналы мен
ауданын табындар.
2 Егер АВ=7 3 см, ВС=1
см, ZB=I50° болса, онда
ABC
ушбурышын
шеш1ндер.
2 Егер ВС=6 2 см, АС=2
см, ZC=135° болса, онда
ABC
ушбурышын
шеийндер.
3
А(0;0), В(2;2), С(5;1)
нуктелер1
бершген.
А Б-(вС -С а) векторлары­
нын скаляр кебейтшдгсш
табындар. ABC ушбурышы
догал бурышты ушбурыш
болатынын долелдендер.
3
А(0;0), В(2;1), С(1;-1)
нуктелер!
берщген.
АС ■(ВС - АВ) векторлары­
нын скаляр кобейтащисш
табындар. ABC ушбурышы
суШр бурышты ушбурыш
болатынын
долелдендер.
59
Нускд Cl
Нускд С2
1
Бурышы 120°-ка тен
параллелограммнын ауданы
40.3 см2, ал ек1 кабырга­
сынын айырмасы 11 см.
Параллелограммнын
диагоналдарын табындар.
1
Бурышы 60°-ка тек
параллелограммнын ауданы
210 3 см2, ал периметр! 88
см.
Параллелограммнын
диагоналдарын табындар.
2 Егер ВС=8 см, АС=7 см,
ZB=60° болса, онда ABC
ушбурышын шеилндер.
2 Егер АВ=4 2 см, ВС=5
см, ZA=45° болса, онда ABC
ушбурышын
шешщдер.
3 А(3;-2), В(1;4), С(-1;к)
бершген.
а)
нуктелер!
табывдар:
АВ •(АС - ВС)+ ВС •(СВ - АВ - АС)
б) k-ныц кандай м отнде АС
жоне
ВС
векторлары
перпендикуляр?
3 А(2;-3), В(-1;2), С(к ;1)
нуктелер!
бершген.
а)
табындар:
АВ •(АС - ВС)+ ВС •(СВ - АВ + АС)
б) k-ньщ кандай мошнде
АС жоне ВС векторлары
перпендикуляр?
0 -9 Дурыс кепбурыштар
Нускд А2
Нускд А1
1
Дурыс сепзбурыштьщ
бурышын табындар.
1 Дурыс онембурыштын
бурышын
табындар.
2 Шенберге ш тей дурыс
ушбурыш Пен тортбурыш
сызылган.
Ушбурыштын
периметр! 6 . 6 см. Тертбурыштын периметрш табын­
дар.
2 Шенберге сырттай дурыс
ушбурыш пен тертбурыш
сызылган.
Ушбурыштын
периметр! 9 .3 см. Тертбурыштын периметрш табын­
дар.
3 Егер дурыс ушбурышка
сырттай сызылган шенбер­
дщ радиусы 7 см болса,
онын ауданын табындар.
3 Егер дурыс ушбурышка
ш тей сызылган шенбердщ
раган шенбердщ ра, онын
ауданын табындар.
60
Нускд В1
Нускд В2
1 Егер дурыс кепбурыш­
тын op6ip бурышы 144°-ка
тец болса, онда онын
кабыргаларынын
санын
табындар.
1 Егер дурыс кепбурыш­
тын op6ip бурышы 15б°-ка
тец болса, онда онын
кабыргаларынын
санын
табындар.
2 Шенберге шлей сызыл­
ган дурыс ушбурыштын
периметра сырттай сызыл­
ган
алтыбурыштын
периметршен 3.3
см-ге
Kiuii. Шецбердщ радиусын
табындар.
2 Шенберге сырттай сыз­
ылган дурыс тертбурыштын
периметра 1штей сызылган
алтыбурыштын периметрь
нен 6 см-ге артык- Шенбер­
дщ радиусын табындар.
3
Дурыс алтыбурыштын
ауданын S=2 Зг2 формуласымен есептеуге болатынын
долелдендер, мундагы гшггей сызылган шецбердщ
радиусы.
3
Дурыс алтыбурыштын
ауданын
S= 3 3 R2
формуласымен
есептеуге
болатынын
долелдендер,
мундагы
R-сырттай
сызылган
шецбердщ
радиусы.
Нускд С2
Нускд С 1
1 Егер дурыс кепбурыш­
тын сырткы бурышы iuiK i
бурышынан 11 есе K iuii
болса, онын кабыргалары­
нын санын табындар.
1 Егер дурыс кепбурыш­
тын
iuiK i
бурышынын
сырткы
бурышына
катынасы 13:2 катынасын­
дай болса болса, онын
кабыргаларынын
санын
табындар.
2
Дурыс сепзбурыштыц
кабыргасын
as—R 2 - 2
формуласымен
есептеуге
болатынын
долелдендер,
мундагы R-сырттай сызыл-
2 Дурыс онеыбурыштыц
кабыргасын a ^ R 2 - 3
формуласымен
есептеуге
болатынын
долелдендер,
мундагы R-сырттай сызыл-
6±
га» шенбердщ радиусы.
ган шенбердщ радиусы.
3
К,абыргасы а дурыс
сепзбурыштьщ
ауданы
S = а ’( 2 +1) формуласымен
есептелетшш долелдендер.
3
К,абыргасы а дурыс
онеюбурыштьЩ
ауданы
S = 3a’(2+ .3)
формуласымен
есептелетшш
долелдендер.
10 Шецбердщ узындыгы. Децгелектщ ауданы.
Децгелек сектордыц ауданы
Нускд А1
Нускд А2
1 Ш аршынын ауданы S.
Табындар: а) 1штей сызыл­
ган шенбердщ узындыгын;
б) Керпплес eKi жанасу
нуктелершщ
арасындагы
доганын узындыгын; в)
1штей сызылган шенберде
жатпайтын
шаршынын
белжтерш щ ауданын.
1
Шаршынын ауданы S.
Табындар:
а)
Сырттай
сызылган
шенбердщ
узындыгын;
б)
Шаршы
енетш доганын узындыгын;
в) Денгелектщ шаршыда
жатпайтын
белиш щ
ауданын.
2 Радиусы 10 см шенбердщ
догасынын узындыгы 4л
см-ге
тен.
Денгелек
сектордын
ауданын
табындар.
2 Радиусы 6 см шенбердщ
денгелек
секторынын
ауданы 9л2 см-ге тен.
Догасынын
узындыгын
табындар.
3 TiK бурышты ушбурыш­
тын катеттер1 15 см жоне 20
см-ге тен. Гипотенузага
туарш ген бшктйк диаметр!
болатын шенбердщ узын­
дыгын табындар.
3 TiK бурышты ушбурыш­
тын катеттер1 12 см жоне 16
см-ге тен. Гипотенузага
туйршген медиана диаметр!
болатын, шенбердщузындыгын табындар.
Нускд В2
Нускд В!
1 Шаршынын ауданы S.
Табындар: а) Сырттай сыз-
1 Шаршынын ауданы S.
Табындар: а) 1штей сызыл-
62
ган шенбердщ узындыгын;
б) Керишлес ею жанасу
нуктелершщ
арасындагы
доганын узындыгын; в)
1штей сызылган шецберде
жатпайтын
ушбурыштын
белйстершщ ауданын.
ылган шенбердщ узынды­
гын;
б) ,, Ушбурыштын
кабыргасы ене-пн доганын
узындыгын; в) Сырттай
сызылган
шецберде
жатпайтын
ушбурыштын
белйстершщ
ауданын.
2 Тен буШрл! ушбурыш­
тын табанындагы бурышы
80°-ка тен, ал табанына
журпзшген 18 см-ге тен
6HiKTiri, диаметр! болатын
шенбер салынган. Ушбур­
ыштын шинде жататын
шенбердщ
догасынын
узындыгын табындар.
2 Тен буй!рл1 ушбурыш­
тын табанындагы бурышы
80°-ка тен, ал табанына
журпзшген 4 3 см-ге тен
б ш к т т , диаметр! болатын
шенбер салынган. Ушбур­
ыштын шинде жатпайтын
шенбердщ
догасынын
узындыгын
табындар.
3
Денгелек секторынын
ауданы 6л2 см-ге тен, ал
шенбердщ радиусы 4 см.
Осы
сектрды
керетш
хорданын
узындыгын
табындар.
3 Узындыгы 3 .2 + 2 см
хорда, градустык елшеуш!
135°-ка тен доганы кередь
Осы догага THicTi денгелек
секторынын
ауданын
табындар.
Нускд С2
Нускд С1
1
Дурыс сепзбурыштын
ауданы S. Табындар: а)
сырттай сызылган шенбер­
дщ узындыгын; б) Квпбур­
ыштын кабыргасы керетш
доганын узындыгын; в)
1штей сызылган шенберде
жатпайтын тортбурыштын
белйстершщ ауданын.
1 Дурыс онек!бурыштын
ауданы S. Табындар: а)
Сырттай сызылган шенбер­
дщ узындыгын; б) Квпбур­
ыштын кабыргасы керетш
доганын узындыгын; в)
1штей сызылган шенберде
жатпайтын тортбурыштын
белжтершщ
ауданын.
2
Гипотенузасы 4 .3 см
жоне су№р бурышы 30°-ка
тен TiK бурышты ушбур-
2
Гипотенузасы 4 3 см
жоне cyftip бурышы 30°-ка
тен TiK бурышты ушбур-
65
ы ш ты н
ул к еи
icaxeTi
диаметр! болаты н, ден гел ек
салы нган.
Д ен гелектщ
уш буры ш та
жатпайты н,
гипотенуза кияты н б е л ш нщ ауданы н табындар.
ыш тын
улкен
катет!
диаметр! болатын, д ен гелек
салы нган.
Д ен гелектщ
уш бурыш та жататын б е л 1п HiH
ауданын
табындар.
3
Д ен гелек секторы ны н
ауданы 6л2 см-ге тен, ал
доганы н узындыгы 2л см.
Осы
сектрга
шггей
сы зы лган
ш енбердщ
узындыгын табындар.
3 Д енгелек секторга iurreft
сы зылган ш енбердщ ради у­
сы, сектрдын радиусы нан
3 есе Kiuii. Егер сектордьщ
ауданы
24л2 см-ге
тен
болса, онда ш те й сы зы лган
шенберд!н
узындыгын
табындар.
Б-3 Ш ецбердщ узындыгы жэне денгелектщ
ауданы
Нускд А1
Нускд А2
1
Д уры с кепбуры ш ты н
сы рткы буры ш ы , оны н iuiKi
буры ш ы нан 150°-ка Kimi.
Егер кепбуры ш ты н кабы р­
гасы 6 см болса, оны н
периметрш табындар.
1
Д урыс кепбуры ш ты н
сырткы бурышы, оны н iuiKi
бурыш ынан 4 есе Kimi. Егер
кепбуры ш ты н кабыргасы 6
см болса, оны н периметрш
табындар.
2 Д урыс уш буры ш ка сы рт­
тай сы зы лган ш енбердщ
узындыгы 16л см-ге тен.
Осы
уш буры ш ка
iuiTeft
сы зы лган
ш енбердщ
узындыгын табындар.
2 Дурыс уш буры ш ка ш т е й
сы зылган
ден гел ектщ
ауданы 16л см2-ге тен. Осы
уш буры ш ка
сырттай
сызылган
ден гел ектщ
ауданын табындар.
3 У зындыгы 30л см ш ен ­
бердщ центрл!к буры ш ы
84°-ка тен. Табындар: а)
Осы
буры ш
п р ел етш
доганы н узындыгын;
3 Узындыгы 36л см ш ен ­
берге
шггей
сы зы лган
бурыш 35°-ка тен- Т аб ы н ­
дар: а) Осы бурыш т1релетш
доганын
узындыгын;
б) Осы догамен шектелген
сектордын
ауданын.
б) Осы догамен шектелген
сектордын ауданын.
Нускд В1
Нускд В2
1
Дурыс квпбурыштын
сырткы
бурыштарынын
косындысы, онын
iuiKi
бурыштарынын косындысынан 3,5 есе кщн. Егер
квпбурыштын
периметр!
144
см
болса,
онын
кабыргасын табындар.
1
Дурыс кепбурыштын
бурышынын косын­
дысы,
онын
сырткы
бурыштарынын косындысынан 720°-ка артык. Егер
кепбурыштын
периметр!
144
см
болса,
онын
кабыргасын
табындар.
2 Дурыс ушбурышка iurreft
жоне сырттай сызылган
шенберлердш
узындыктарынын косындысы 7 Зл
см-ге тен. Ушбурыштын
периметрш табындар.
2 Дурыс ушбурышка шггей
жэне сырттай сызылган
шенберлердш
узындыктарынын айырмасы 2 . Зл
см-ге тен. Ушбурыштын
ауданын табындар.
3 Хорда керетш доганын
узындыгы 30л см-ге тен, ал
осы хорда мен онын uieTi
аркылы журпзшген радиус
жасайтын бурыш 15°- ка
тен. Осы догамен шектел­
ген сектордын ауданын
табындар.
3 Ем радиустын арасында­
гы бурыш, осы eKi радиус­
тын уштарын керспн хордамен 6ip радиустын арасын­
дагы бурыштан 4 есе улкен.
Егер осы догамен шектелген
сектордын ауданы 48л см2ге тен болса, онда осы хорда
керетш Kiuii доганын узындыгын табындар.
iuiKi
Нускд С2
Нускд С1
1
Дурыс кепбурыштын
iuiKi exi бурышынын жоне
сырткы алты бурышынын
косындысы 7б8°-ка тек.
Осы кепбурыштын
кабыргаларынын санын
1
Дурыс квпбурыштын
терт бурышынын жоне
сырткы жел бурышынын
косындысы 435°-ка тен.
Осы квпбурыштын
iuuKi
кабыргаларыньщ саны н
€5
табындар.
табындар.
2
Дурыс
кепбурышк,а
сырттай сызылган шецберД1Н. узындыгы, оган нитей
сызылган
шенбердщ
2
Дурыс
квпбурышка
iurreft сызылган денгелект'щ ауданы, оган сырттай
сызылган
двнгелектщ
ауданынан 4 есе K i m i . Егер
кепбурыштын ауданы 4 3
см2-ге тен болса, онын
периметрш
табындар.
узындыгынан
~ 3
есе
артык. Егер кепбурыштын
периметр!
12 см-re тен
болса,
онын
ауданын
табындар.
3
Шенбердщ радиусы 2
см-re
тец.
Хорда
мен
радиустын
арасындагы
бурыш, осы хордага радиус
пен шенбердщ центршен
журпзиген перпендикулярдын арасындагы бурыштан
45°-ка
K im i.
Бер1лген
хОрдамен жоне осы хорда
керетш
K im i
догамен
шектелген
фигуранын
ауданын табындар.
3
Шенбердщ радиусы 2
см-ге тен. EKi радиус пен
хорда аракылы жасалган
ушбурыштын бурыштарынын
катынасы
3:2:3
катынасындай.
Берьтген
хордамен жоне осы хорда
керетш
улкен
догамен
шектелген
фигуранын
ауданын табындар.
0-11 Крзгалыс TYciHiri
Н ускд А1
Нускд А2
1
А(1;4) жоне В(-3;-4)
нYKтeлepi
бершген.
АВ
кeciндiciнe
симметриялы
фигураны салындар: а) Ох
ось1не катысты:, б) С(-1;0)
нуктес1не катысты.
1
А(4;4) жоне В(-6:-1)
нуктелер1
берьтген.
АВ
кеспцпсше
симметриялы
фигураны салындар: а) Оу
осыне катысты; б) С(0;2)
нуктесше
катысты.
2 Тен кабыргалы ушбурыштыц неше симметрия
осы бар? Жауабыцды
2
Шаршынын
неше
симметрия
ось!
бар?
Жауабынды
сызбамен
66
с ы зб а м е н т у а н ш р .
тусйш р.
3 Ж азы кты кты н ц ентрлж
с и м м е тр и я с ы
ар к ы л ы :
о с ь к е п а р а л л е л ь ту зу , ось к е
п а р а л л е л ь ту зу ге б е й н ел е HeTiHiH до л ел д ен д ер .
3
Ж азы кты кты н ц ен тр л ж
си м м етр и я сы
аркы лы :
о сь к е п е р п е н д и к у л я р т у зу
езш е
бейнеленепнш
д о л е л д е н д ер .
Нускд В1
Нускд В2
1 A B C D т ж тер тб у р ы ш ы
б е р ш ген . О сы тертб у ры ш
бейнеленетш
ф и гу р ан ы
са л ы н д а р :
а)
Центр1
А
н у к т е с щ д е бол аты н ц ен т р ­
л ж си м м етр и я д а; б) О сы
BD
б о л а ты н
осьлк
си м м етр и я д а.
1 A B C D t i k т е р тб у р ы ш ы
бер1лген. О сы те р тб у р ы ш
бейнеленетш
ф и гу р ан ы
са л ы н д ар :
a)
UeHTpi
А
н у к т е с 1нде б о л а т ы н ц ен тр л ж си м м етр и я д а; б) Ocbi
АВ
б о л а ты н
ocbTiK
си м м етр и яд а.
2
Ш а р ш ы болы п таб ы л м ай ты н
р о м б ы н ы н неш е
с и м м етр и я
осы
бар?
Ж а у аб ы н д ы
сы збам ен
к ер с ет.
2
Ш ар ш ы б о л ы п т а б ы л м ай ты н TiK т е р т б у р ы ш т ы н
неш е с и м м етр и я о сы бар?
Ж а у аб ы н д ы
сы зб ам ен
к ер сет.
3 К ,озгалы ста п ер п е н д и к у ­
л я р т у з у л е р п ер п е н д и к у л я р
ту зу л е р ге
б е й н ел е н етш ш
д о л е л д е н д ер .
3 К о зга л ы ст а к и ы л ы с а т ы н
ту зу л е р к и ы л ы с а т ы н т у з у ­
л ерге
б е й н е л е н е т!н 1н
до л ел д ен д ер .
Нускд СI
I
U e n rp i О н у к т е а н д е , ал
диам етр»
АВ
болаты н
ш е н б е р бершген.. Б ерш ген
ш ен б ер
б ей н ел ен етш
ф игураны
салы ндар:
а)
U enTpi К HyKTeci болаты н
ц е н т р л ж си м м етри яда, егер
К А О -н ы п ортасы ; б) О сы
C D б о л а ты н о с ь л к си м -
Нускд С2
1 Центр1 О н у к т е а н д е . ал
диаметр?
АВ
б о л а ты н
ш ен б ер б е р ш ген , Б ер ш ген
ш ен б ер
б е й н ел е н етш
ф и гу р ан ы
са л ы н д а р :
а)
Ц ентр! К n y K reci б о л аты н
ц е н т р л ж си м м етр и я д а. егер
- А К :К В = 3 :1 ; б) О сы C D
б ол аты н о с ь т ж си м м етр и я -
м етриида.
C D lA B ,
да.
C D lA B ,
C D =AB.
C D = 1 АВ.
2
Т е н к а б ы р га л ы A BC
уш буры ш ы
берш ген.
С и м м етр и я д а ВС ту зу ш е
к аты сты у ш б у р ы ш к о ш е т ш
ф и г у р ан ы
сал ы н д ар .
Ц ентрдж
си м м етр и я н ы н
кем епм ен
дол
сондай
ф и г у р а н ы ал у г а бол а ма?
Е гер б о л са, о н д а си м м етри я
ц ен т р ш к ер с ет.
2
Т ен к аб ы р га л ы A B C
уш буры ш ы
б е р ш ген .
С и м м етри яд а В н у к т е с ш е
каты сты у ш б у р ы ш к о ш е т ш
ф и гуран ы сал ы н д ар . OcbTiK
си м м етр и я н ы н
кем епм ен
д ол сондай ф и гу р ан ы а л у г а
бола ма? Егер бо л са, о н д а
си м м етрия о сы н корсет.
3
Егер 6 ip р о м б ы н ы н
к аб ы р гасы
м ен
cyttip
б у р ы ш ы с о й к е с ш ш е eKiHiui
р о м б ы н ы н к аб ы р гасы м ен
с у ш р б у р ы ш ы н а тен б ол са,
о н да
к о зга л ы с
TyciHiriH
и ай д ал а н ы п , eKi р о м б ы н ы н
тен
б о л аты н ы н
д о л е л д е н д ер .
3
Егер 6 ip р о м б ы н ы н
ди агон ал дары
сойкесш ш е
ек ш и п ро м б ы н ы н д и а г о нал д ары н а тен б о л са, о н д а
ко згал ы с TyciHirin п а й д ал ан ы п , eKi р о м б ы н ы н т е н
б о л аты н ы н
д о л е л д е н д ер .
0 -1 2
Параллель Keuiipy жэне буру
Н ускд А1
Н ускд А2
1
ABCD
—ш арш ы сы
бер ш ген , О -д и аго н ал д ар ы ны ц
киы лы су
nyKTeci.
Ш а р ш ы н ы АО векторы н а
параллель
коипргенде
ш ы гаты н ф и гу р ан ы с а л ы ц дар.
1
ABCD
—ш ар ш ы с ы
берш ген, О -д и аго н ал д ар ы нын
к и ы л ы су
nyKTeci.
Ш арш ы н ы ОС в е к т о р ы н а
п ар ал л ел ь
к еи н р ген д е
ш ы гаты н ф и гу р ан ы с а л ы н ­
дар.
2 Центр1 О HyKTeci б о л а ­
ты н ш ен б ер берш ген. АВ
ди ам етр ш н у к тес ш ен а й ­
2 C D хордасы н О n y K T e ciнен ай н ал л ы ра сагат т ш ш е
О к а р а м а -к ар с ы
б агы тта
68
налдыра
сагат
тш ш щ
багытымен 135°-ка бурганда
шыгатын А |В| диаметрш
салындар.
120°-ка бурганда шыгатын
C,D , хордасын салындар.
3
Т ен кабыргалы ABC
уш буры ш ында, М, N жэне
К нуктелер1 сэйкесш ш е
АВ, ВС ж эне АС кабы рга­
лары ны н
орталары.
У ш бурыш тын
ортасынан
айналдыра
сагат
тш ш щ
багытымен 120°-ка бурганда
MN —н щ орта сызыгы N K нын
орта
сызыгына
KemeTiHiH долелдендер.
3
Тен кабыргалы ABC
ушбурыш ында, М , N жоне
К нуктелер1 сойкесш ш е
АВ, ВС жоне АС кабы рга­
лары ны н
орталары.
Y ш бурыш тын
ортасынан
айналдыра
сагат
тш ш е
карама-карсы багытта 120°ка бурганда АК Kecimiici
ВМ кеандю ш е кеш етш ш
долелдендер.
Нускд В1
Нускд В2
1
A BCD —параллело­
граммы
бершген.
П араллель кеппргенде А
нуктеа
В
нуктесш е
к еш к еш б е л гш . Осылай
кеипргенде
D
nyKTeci
кандай
нуктеге
Keiuefli?
Ж ауабынды туащ й р.
1
ABCD —параллело-граммы
бершген.
П араллель кеинргенде В
н уктеа
С
нуктесш е
кеш кеш белш п. Осылай
кеипргенде
А
нуктеа
кандай
нуктеге
кеш ед1?
Жауабынды туац ш р.
2 ABCD —шаршысы бершген. С нуктесш ен айнал­
дыра сагат тш ш щ багыты­
мен 90°-ка бурганда ш ыккан фигураны салындар.
2 ABCD —шарш ысы берш ген. А нуктесш ен ай н ал­
дыра сагат тш ш е карамакарсы
багытта
90°-ка
бурганда ш ы ккан ф игура­
ны салындар.
3
П араллель Keuiipyfli
пайдаланып, табандарыныц
6ipiHiH бурыштары жоне
табаны
бойынш а
трапецияны сал.
3
Параллель K euiipyfli
пайдаланып, табандары мен
диагоналдары
бойынш а
трапецияны сал.
69
Нускд С2
Нускд C l
Бурыш жоне оны н
нукте
бершген.
Буры ш ты н кабы ргалары нан
параллель
кепнргенде,
To 6e ci
6ipiH ini
нуктеде
бейн елен етж жоне бершген
нукТёге бейнеленетш е к 1
н ук’т еш табындар.
1
Бурыш
ж оне
осы
буры ш пен
сы байлас
буры ш ты н
ш йнде
нукте
берш ген.
Б уры ш ты н
кабы ргалары нан п араллель
кеипргенде берш ген нукте
6ipiHimciHtte
б ей н ел ен етж
жоне
буры ш ты н
твбес!
екш ш ю 1не бейн еленетш eKi
н уктеш табындар.
2 ABCD —ш арш ысы берш ­
ген.
ВС
кабы ргасы ны н
ортасынан айналдыра сагат
тiлiн iн багытымен 90°-ка
бурганда ш ы к кан фигураны салындар.
2 ABCD —ш арш ы сы берш ­
ген.
AD
кабы ргасы н ы н
ортасынан айналды ра сагат
тш ш е карам а-карсы багытта 90°-ка бурганда ш ы к кан
фигураны
салы ндар.
3
Eici А жоне В нуктес1
мен киы лы саты н с жоне d
тузулер1 бершген. ABCD
параллелограм ы н, С жоне
D тебелер! сойкес с жоне d
ту зу л ер 1нде
жататындай
етш , сал.
3 Т узу, ш енбер ж оне оларда жатпайтын A HyKTeci
бершген. A BCD ш арш ы сын, В T e6eci берш ген тузуде, ал D тебес! берш ген
ш енберде ж ататындай eTin,
сал.
1
iuiiiieH
Б-4 К,озгалыс
Нускд А1
Нускд А2
1
Нуктелер1 бершген
А (-2;-1), В(1;2), С(2;0)
А(1;-1), В(3;1), С(0;2)
Э ртурл1 терт сызбада салындар:
а) С нуктесш е катысты АВ K eciw iiciH e снм м етрнялы А,В,
к еанщ сш ;
б) АВ осы не катысты AC K eciw iiciH e снм м етрнялы А2С 2
KeciHfliciH;
?о
в) АВ кеанднлн АС векторына параллель кениргенде
шыккан А3В3 KeciHiiiciH;
г) AC кеанщ сш В нуктесшен айналдыра сагат т ш н е карамакарсы багытта 90°-ка бурганда ш ыккан А,В4 KeciwuciH.
А|, В,, А2, С2, А3, В3, А,, В4 нуктелерш щ координаталарын
керсет.
2
К.андай шартты канагаттандыруы кажет,
exi
тен
кабыргалы
ушбурыш,
параллель кеинрудш кемепмен олардын 6ipeyiH екшшкл
аркылы шыгарып алу уипн?
e x i шаршы,
3
Дурыс ушбурышты,
онын центршен айналдыра
240°-ка бурганда ушбурыштын езш е бейнеленетшш
долелдендер.
3 Ш аршыны, онын диагоналдарынын
киылысу
нуктесшен айналдыра 270°ка бурганда шаршынын
езше
бейнеленетшш
долелдендер.
Нускэ В1
Нускд В2
1
Нуктелер! бершген
А (-1;2), В(4;0), С<-1;-2)
А(3;-2), В (-1;0), С(3;2)
Эртурл! терт сызбада салындар:
a) D (l;-1) нуктесше катысты ABC ушбурьппына
симметриялы А,В,С, ушбурышын;
б) 6ipinmi жоне yiuimiii координаттык бурыштардын
биссектрисаларына катысты ABC ушбурышына
симметриялы А2В2С2 ушбурышын;
в) ABC ушбурышын - 1 ВС векторына параллель кепйргенде
шыккан А3В3С3 ушбурышын;
г) ABC ушбурышын ВН б ш к т т н щ табанынан айналдыра
сагат Т1лш щ багытымен 90°-ка бурганда ш ыккан А,В4С4
ушбурышын.
Ш ыккан нуктелердщ координаталарын керсет!ндер.
?1
2 Мынадай параллель K euiipyfli орындауга бола ма,
мундагы:
у = * х Ty3yi х — 2у + 4 =0
у = - х тузу! х + Зу —12 =0
тузуш е
Ж ауабынды
тузуше
Жауабынды
бейнеленетш ?
TyciHflip.
бейнеленетш ?
ту а щ й р .
3. Дурыс жиырматертбурышты,
онын
центрщ ен
айналдыра 75°-ка бурганда
жиырматертбурыштын
e 3iHe
бейнеленетш ш
долелдендер.
3. Дурыс тогызбурышты,
оны н центрш ен айналдыра
80°-ка бурганда тогызбурыш ты н езш е бейнеленетш iH долелдендер.
Нускд С2
Нускд С1
1
Нуктелер1 бершген
А(-3;4), В(5;-2), С(-3;-2)
А(-3;-4), В(5;2), С(-3;2)
Эртурл1 терт сызбада салындар:
a) ABC уш бурыш ына iuiTeft сызылган шенбердщ центрш е
катысты ABC ушбурыш ына симметриялы А ^ С ,
уш бурышын;
б) АСВ буры ш ынын биссектрисасы тш сп оське катысты
ABC уш бурыш ына симметриялы А2В2С2 уш бурышын;
в) ABC ушбурышын АВ + СА векторына параллель
кеипргенде ш ы ккан А3В3С3 ушбурышын;
г) ABC уш бурыш ын х-1=0 жоне у+1=0 тузулерш щ киы лы су
нуктесш айналдыра сагат тш ш щ багытымен 270°-ка
: бурганда ш ы ккан A t B ^ ушбурышын.
Ш ы ккан нуктелердщ координаталарын керсет^ндер.
2 Мынадай параллель Keiuipyfli орындауга бола ма, мунда:
х: + у г =17 шенбер1
xJ + y 2=27
шецбер!
х2—2х+4у+у2_ 12=0
у 2+ 6х+х2—2у—17=0
шенберш е
бейнеленетш?
шенберше
бейнеленетш ?
Ж ауабынды TyciHflip.
Жауабынды TyciHflip.
3. АВ жоне C D KeciHfliflepi
тен. АВ жоне CD KeciHfliJiepi беттесетш буруды
1-2
3. Кдндай да 6ip буруда А
н у к теа В нуктесш е, ал С
н у к теа D нуктесш е бейне-
орындауга
долелдендер-
болатынын
ленедь Буру бурышынын
кандай можнде А, В, С, D
нуктелер!
6ip
тузудщ
бойында
жатады?
Жауабтарын-ды
тус!нщр!цдер.
Б-5 Жылдык, бакылау жумысы
Нускд А1
Нускд А2
1 Ушбурыштын eKi кабыр­
гасы 9 см жоне 56 см, ал
олардын
арасындагы
бурыш
120°-ка
тен.
Ушбурыштын
периметр!
мен ауданын табыцдар.
1 Ушбурыштын ею кабыр­
гасы 13 см жэне 48 см, ал
олардын
арасындагы
бурыш
60°-ка
тен.
Ушбурыштын
периметр!
мен ауданын табындар.
2
Шенберге сырттай
сызылган
шаршынын
ауданы 16 см2-ге тец. Осы
шенберге ш тей сызылган
дурыс
ушбурыштын
ауданын табыцдар.
2 Шенберге ш тей сызыл­
ган шаршынын ауданы 1ё
см2-ге тец. Осы шенберге
сырттай сызылган дурыс
ушбурыштын
ауданын
табыцдар.
3
ABC ушбурышында
ABC ушбурышында АВ=17
ABC ушбурышында АВ=25
см. АС=®15 см, ВС=8 см
см, АС=24 см, ВС=7 см
Табыцдар:
a) AB AC, ВА ВС, СА СВ
б) ушбурышка сырттай сызылган шенбердщ узындыгын;
в) ушбурышка штей сызылган децгелектщ ауданын.
Нускд В2
Нускд В1
1 Ушбурыштын ею кабыр­
гасы 9 см жэне 21 см, ал
олардын улкенше карсы
жаткан бурыш 60°-ка тец.
Ушбурыштын периметр!
ЧЪ
1 Ушбурыштын exi кабыр­
гасы 33 см жэне 37 см, ал
олардыц улкенше карсы
жаткан бурыш 120°-ка тец.
Ушбурыштын периметр!
мен ауданын табындар.
мен ауданын табындар.
2 Шенберге сырттай сыз­
ылган дурыс тертбурыштын
жэне шенберге шггей сыз­
ылган дурыс ушбурыштын
аудандарынын косындысы
(б4 + 12 .з)
см2-ге
тен.
Шенбердщ
-узындыгын
табындар.
2 Шенберге сырттай сыз­
ылган дурыс ушбурыштын
жоне шенберге шггей сыз­
ылган шаршынын аудан­
дарынын
айырмасы
(48 ,3 - 32)
с м 2- г е
тен.
Шенбердщ
узындыгын
табындар-
3
ABC ушбурышында
АВ= ВС=20 см, АС=24 см
АВ= ВС=15 см, АС=24 см
Табындар:
a) AB AC, ВА ВС, СА-СВ
б) ушбурышка сырттай сызылган шенбердщ узындыгын;
в) ушбурышка in r r e f t сызылган денгелектщ ауданын.
Нускд С1
Нускд С2
1 Ушбурыштын 6ip кабыр­
гасы екшпйсшен 11 см
улкен, олардын арасындагы
бурыш 120°-ка тен, ал
y u iiH iu i кабыргасы 19 см.
Ушбурыштын
периметр!
мен ауданын табындар.
1 Ушбурыштын 6ip кабыр­
гасы е к ш п п с ш е н 4,2 есе
артык, олардын арасындагы
бурыш 60°-ка тен, ал
y iu iH iu i кабыргасы 19 см.
Ушбурыштын
периметр!
мен ауданын табындар.
2. Шенберге iiirreft сызыл­
ган дурыс ушбурыштын
жоне дурыс тертбурыштын
кабыргаларынын айырмасы
2 см-ге тен. Осы шенберге
сырттай сызылган дурыс
алтыбурьпитын периметрiH табындар.
2. Шенберге сырттай сыз­
ылган дурыс алтыбурыштын жоне дурыс ушбурыш­
тын
кабыргаларынын
косындысы 8 см-ге тен.
Осы шенберге iurreft сыз­
ылган
шаршынын
пе­
риметрш табындар.
3 ABCD трапециясына ш тей шенбер сызуга болады,
мундагы:
AB=CD=5 см, ВС=1 см,
АВ—CD=5 см, ВС=2 см,
AD=8 см
AD=9 см
Табыцдар:
а) (А С -В С)-AD, (DA + BD)-BC
б) трапецияга ш тей сызылган шенбердщ узындыгын;
в) трапецияга сырттай сызылган децгелектщ ауданын.
45
Жауаптары
П огорел ое бойы нш а
В-1
1
2
А1
А2
В1
В2
С1
С2
24, 28, 32
см
32 см
6, 15, 18
см
20 см
5, 5, 8 см
15, 36, 39
см
8 см
14, 28, 50
см
100 см
35 жоне
56 см
58 жэне
86 см
15, 15, 18
см
24 жэне
40 см
15 жэне
20 см
80 см
128 см
3
■
А1
з а
1
2
28 жэне
12 см
21 жэне
17 см
A2
B1
ZC=60°, вс=2л /2см ,
А С » 3,8 см
ZA=45°, BC=4 V2 c m ,
A B «7,7 cm
ZA »2°, AC=13cm,
Z C *28°
14 жэне 2 v l9 см
14 жэне 2 л/l 29 см
sin(l 35° - а )
dsinP
sin (a + (3) ’ sin (a + p)
30°, 60°, 90°, 4 cm
csin(3
a sin а
3
d s in a
s in fl3 5 ° -% )
-
-
В2
Cl
C2
1
ZA«37°, АВ=10см,
ZC *8°
2
d s in ( p - a )
ZA«98°, АВ=Зсм,
ZC«22° немесе
ZA«82°, АВ=5см,
ZC « 38°
(32V2 + 48) cm
Z B «8°, AC=1cm,
Z C » 127° немесе
ZB «82°, AB=7cm,
ZC »53°
1 жэне -n/ 2 см
1:2:3
6 CM
d sin a
sinP
- sinp
30°, 60°, 90°, 6 CM
3
4
2 4 л /2 с м
\
50 cm
I
E S I
A1
1
10
2
10 c m
3
4
78
cm 2
ж/е
24см
12
cm
cm2
12
cm
B2
80 cm
Cl
5
cm
C2
8 cm
1 2 с м , Зл
2я см
10 л с м
CM
16 CM
2 4 л /з с м
2 4 cm
18 cm
3 6 л /з с м
3
6
3
6
Cl
C2
A2
204
cm 2
16см ж/е
30см
25 cm
78 c m 2
B1
60
c m 2 cm
30° ж/е
150°
30 см2
288 c m 2
1 -е
B2
120
56
cm 2
cm
9 cm
432 c m 2
12 л/з см
60 ж /е
80c м
2 см
1620 c m 2
m
2
B1
О
О
А2
cm
lO n cm,
5cm
6 CM
12
e
0
40
>
3
4
cm
192 л/з см
30 ж/е
40см
5 cm
1020
cm2
Б-5
1а)
I б)
2
з
1а)
1 б)
2
3
А1
36 см
А2
30 см
В1
28 см
24л/3см 2
4 см, 16 см :
384 см2
В2
18 см
15 л/з см :
8 см, 64 см:
294 см2
С1
18 см
14л/3см
234 см5
С2
6 жоне 10 см
бл/3 см2
4л см2, 32 см2
504 см*
6л/3см 2
4л см2
800 см2
14л/3см2
4я см
384 см2
Атанасян бойынша
Б -1
1 а)
А1
1 б)
2 а)
1 2 б)
j з—
—j
1
2
3
L*
1
I 2
И
А2
{-1 ;3>, vTo
{1 ;3>, л/Го
- i + 3j
хЧ(у+3)г=Ю
жок.
i + 3j
(х+1)3+у*=10
у=-3х - 3
у=3х + 3
ЖОК.
В1
В2
{13;-11], -у/290
{-117}. у/290
13i —11j
х:+(у13)3=5
шенбердщ
сыртында
у=3х —4
i-!7j
(х-1)г+(У-3)'=5
шенбердщ
сырты нда
у=-3х + 4 *
С2
С1
--А В --С В
4
4
(х + 1,125)2+ у: * 3,125
9х — 4у + 6 ~ 0
(8;3), (8;-3) немесс (-4;3), (-4;-3) (-8;3), (-8;-3) немесе (4;3), (4;-3)
немесе (-5;0)т ( 1;0)
немесе (5;0), (-1;0)
- - А В - -С В
4
4
(х - 1,125)’ + у3 = 3,1253
9х + 4у —6 = 0
Cl
26 cm;
cm ;
2л/379
80л/з см3
CM
ZA=45°. | Z A * 2 " . Г 2 а Т з 7°, j Z A « 98°,
ZC=60U,
ВС=4л/2 АС=13см, ! AB=I0cm, AB=3cm,
1 BC=2s/2
Z C *8"
Z C »22°
ZC * 28°
CM.
CM.
немесе
A B «7,7
AC «3.8
ZA
« 82°,
CM
см
АВ=5см,
zC *38°
0
a) 40
18
“ 6”
Й Г
6 ) 0 ;. , 2 J
i___________ I
~ л Г
32 см;
30 см:
A2
26 cm;
20-\/3 см:
B1
*22,7
1-7
B2
«8,7см;
1 ЗОл/З см:
C2
19 cm;
Т гоТ cm
/B * 8 " .
A C = Icm ,
ZC=127°
немесе
Z B « 82".
АВ=7см.
ZC «53°
a) 34
6) 3; -2
in n
1
2
3 a)
3 6)
I f il
1
A1
144 cm
8л см,.
Scm
7n cm
52,5
A2
60 cm
64л см2
B1
16 CM
21cm
7л см
540л см'
cm:
63л см2
A1
A,(6;l)
B,(3;-2)
A,(-2;-l)
C ,(-l;3)
A,(2;0)
B,(5;3)
A,(4;-l)
СЛЗ;3)
A2
A,(-l;5)
B,(-3;3)
A3( 1 1 )
C :(4;-2)
A3(0;2)
B}(2;4)
Ai(5;-I)
Cj(2;-2)
2
ЕЗЭ
l
А1
126 см, 126л/3 см2
2
2
Зл/З см2
225; 64; 0
17л см
9л см2
В2
77 см, 231 л/3 /4 см2
16л см2
За)
3 б)
3 в)
288; -63; 288
25л см
16л см2
За)
3 б)
3 в)
1
B2
18 cm
9л/з
cm 2
8л см
B1
A,(3;-4)
B,(-2;-2)
C ,(3;-l)
A2(2;-l)
B,(0;4)
C ,(-2;-1)
Aj(-3; 1)
B,(l;-1)
Cj(-3;-3)
A,(1;0)
B4( - 1;-4)
C4(-3;0)
болады
B2
A ,(-l;4)
B,(3;2)
C,(-1;0)
-A,(-2;3)
B,(0;-1)
C,(2;3)
Aj(l;-3)
B j(-3;-l)
C }( 1; 1)
Ац(Г.О)
B4(3;4)
C j(5;0)
болады
А2
104 см, 156л/3 см2
ci
....
6 л/з см2
C2
24
12 cm
(1.5л-л/2 ) ( 1,5я+ - Л )
CM2
CM2
Cl
A,(l:-4)
B,(-7;2)
C,(I;2)
A,(3;-2)
B,(-3;6)
C,(-3;-2)
Aj(5;4)
B,(13;-2)
C 3(5;-2)
Ai(-4;-5)
B4(2;3)
СЛ-2.-5)
болады
C2
A,(l;4)
B,(-7;-2)
C ,(l;-2)
A,(3;2)
B,(-3;-6)
C,(-3;2)
A,(5;-4)
B3(13;2)
C,(5;2)
Ai(4;-5)
B4(-2;3)
C4(-2;5)
болады
В1
54 см, 54-Уз см2
8л см
24>/3 см 2
576; 49 0
25л см
9л см 2
С1
40 см, 20-Уз см 2
288; 112; 288
25л см
36л см 2
С2
45 см, 105-Уз /4 см 2
8(3-+--ч/б )см
24; -6
4л см
1025л/64 см3
4-Уб см
36; -4
Зл см
425л/18 см2
^8
Э дебиеттер
1. А.В. Погорелов. Геометрия: орта мектептщ 7-11 сыныптарына арналган окулык. —А.: Рауан, 1995. — 384 б.
2. Б. Жанбырбаев жоне т.б. Геометрия есептершщ жинагы. 9,
10 — сыныптар. -А .: Мектеп, 1979. — 196 б.
3. Л.С. Атанасян. Геометрия 7-9. —М., 1990. — 336 б.
4. А.П. Киселев жоне т.б. Геометрия, планиметрия. —М.,
1995.
5. Л.М. Лоповок. Геометриядан есептер жинагы 6-8. ~ К .,
1985.
6 . 6 М.С. Собко жоне т.б. Геометрия. 9-ы сыныпта жазбаша
емтихан втюзуге арналган тапсырмалар. —Л., 1997.
7. Б.Г. Зив жоне т.б. 7-11 сыныптарга арналган геометриядан
есептер. —М.: Просвещение, 1991. — 171 б.
8. B.C. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный
курс геометрии. —М.: Просвещение, 1992. — 320 с.
Мазмуны
©-1
0-2
0 -3
Б-1
0 -4
0 -5
0 -6
Б-2
0 -7
0 -8
0 -9
Б-3
0-10
0-11
0-12
0-13
Б-4
Б-5
0-1
0 -2
0 -3
0 -4
Б-1
0 -5
0 -6
0 -7
0 -8
Алгы сез
3
Погорелое бойынша
4
Уксас турлещцру жоне онын icacHerrepi
4
Ушбурыштардын уксастык белгшер!
6
TiK бурышты ушбурыштардын уксастыгы
8
Уксас турлещйру
Щ
1штей сызылган бурыш туралы теорема жоне
13
онын салдарлары
Косинустар теоремасы. Параллелограмнын
16
кабыргалары мен диагоналдарыньщ арасындагы
катыстар
Синустар теоремасы жоне онын салдарлары
18
Ушбурыштарды шешу
20
Донес копбурыштар
22
Дурыс копбурыштар. Дурыс кепбурыштарга iurre 24
жоне сырттай сызылган шецберлердщ радиустарь
уцпн формулалар
Шенбердщ узындыгы. Бурыштын радиандык
26
елшеу1ин
Копбурыштар
28
TiK тертбурыштын, шаршынын, параллелограмм- 31
нын ауданы
Ушбурыштын ауданы
33
Трапециянын ауданы. Тертбурыштын ауданы
35
Уксас фигуралардын аудандары. Денгелектщ
38
жоне онын белжтершщ ауданы
Фигуралардын аудандары
40
Жылдык бакылау жумысы
42
Атанасян бойынша
45
Вектордын координаторы
45
Координаттармен бершген карапайым есептер
46
Шенберд1н тецдеу1
47
Тузудщ тевдеу1
49
Координаттар тосш1
50
Бурыштын синусы, косинусы, тангенс!
51
Ушбурыштын ауданы туралы теорема. Синустар
53
теоремасы
Косинустар теоремасы
55
Скаляр кебейпнш
57
80
Б-2
0 -9
0-10
Б-3
0-11
0-12
Б-4
Б-5
Ушбурыштын кабыргалары мен бурыштарынын
арасындагы катыстар
Дурыс кепбурыштар
Шенбердщ узындыгы, денгелектщ ауданы,
денгелек сектордын ауданы
Шенбердщ узындыгы жэне денгелектщ ауданы
Козгалыс угымы
Параллель Keuiipy жэне буру
Козгалыс
Жылдык бакылау жумысы
Жауаптары
Эдебиетгер
Мазмуны
/
S1
58
60
62
64
66
68
70
73
76
79
80
O/y V - o d icm p m iK
хуралы
Мубараков Акан Мукашулы
Туяков Есенкелд! Алыбайулы
Кабенов Дэурен Иманбекулы
Г Е О М Е Т Р И Я К У РС Ы Б О Й Ы Н Ш А
031Н Д 1К Ж Э Н Е БА К Ы Л А У Ж У М Ы С Т А Р Ы
Басуга 27.03.03. tfimiM i 60x84/16. О фсетпк кагаз. Эрш Typi
"Times". Ш артты баспа табагы 2,83. Таралымы 100 дана.
Тапсырыс № 86. Багасы кел1ам бойынша.
С. Торайгыров атындагы Павлодар мемлекегпк
университет!.
637000. Павлодар каласы, Ломов Koureci - 64.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
1 620 Кб
Теги
kurs, bakhilau, 1875, jane, jumistari, mubarakov, zdik, boiinsha, kabenov, geometrija, tuyakov
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа