close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

2297 ispulov n.a o matrichnoy formulirovke zadach otrajeniya - prelomleniya termouprugith voln n n. a.ispulov a. k. seythanova

код для вставкиСкачать
ISSN 1811-1807
РЫЛЫМИ ЖУРНАЛ
С ТОРАЙГЫРОВ АТЫНДАРЫ
s .:X s
J f i P
L
Павлодар
memaekettik
УНИВЕРСИТЕТ!
Ф
И
ЗН
К
А
-М
А
Т
Е
М
А
Т
И
К
А
Л
Ы
КС
Е
РИ
И
ПМУ ХАБАРШЫСЫ
ВЕСТНИК ПГУ
УДК 539.3:534.2
Н. А. Испулов, А. К. Сейтханова
О МАТРИЧНОЙ ФОРМУЛИРОВКЕ ЗАДАЧ
ОТРАЖЕНИЯ - ПРЕЛОМЛЕНИЯ
ТЕРМОУПРУГИХ ВОЛН
Актуальность исследования закономерностей волновых
процессов в упругих средах с термомеханическим эффектом
связана с необходимостью решения теоретических и прикладных
задач
геофизики,
сейсмологии,
механики
композитных
материалов и т.д. Связанные уравнения движения и уравнения
129
серия ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ. 2013. №1
теплопроводности отличаются сложностью и обилием физико­
механических параметров. В связи с этим интенсивно
развивается раздел механики деформируемого твердого тела, термоупругость. В рамках этого направления, опираясь на
использование определенных физико-механических свойств
анизотропных средах, изучаются связанные тепловые и
механические поля.
В данной статье приведена матричная формулировка задач
отражения - преломления термоупругих волн на границах
раздела различных сред.
Термоупругость описывает
широкий
круг явлений,
являясь
обобщением теорий упругости и теплопроводности. Принципиально
важным является связанность полей деформации и температуры.
Пусть
границей
раздела
двух
однородных
анизотропных
полупространств является плоскость z=0. Прямые и обратные волны в
этих средах задаются матрицантами прямых (7*) и обратных (7” )
волн. Матрицанты первой среды обозначим через
магрицант
прямых
волн
второй
среды
через
V.
7/
и 7'г, а
Матричная
постановка и решение данной задачи сводится к следующему.
Падающие, отраженные и преломленные волны задаются в виде
И Д ]:
й»под =71*
п
1 н>О
(I)
w amp = T I'w J
(2)
(3 )
где вектора wtiad, w
, wnp - содержат смещения точек среды м., и,, и,,
компоненты тензора напряжений стк , а к , а к и компоненты теплового
поля 9, q , ; Тх*, Т~ и Г2! определяются через соответствующие
матрицы коэффициентов, т. е. содержат физико-механические
параметры сред, частоту, и, х и у компоненты волновых векторов; й'п
- вектор определяющий амплитуды падающих воли; wr - вектор
определяющий
амплитуды
отраженных
волн;
определяющий амплитуды преломленных волн.
w,
-
вектор
130
ISSN 1811-1807. Вестник ПГУ
штшлтйшыюляжашшятыюьштшттпюваятжштюливьштшшшш»
На границе должны выполняться условия:
™па<)(0) = Тх (0)vv0 = vv0
^
™отр (0) = Г,' (0) W, = W,
(5)
w„p(0) = T2*(0)w,=w ,
Из (4)-(6) становиться ясным физический смысл векторов w0, ivr,
w,. Это вектора определяющие смещения точек среды (и., их, иу),
компоненты тензора напряжений (а а , а я , а >:), а также компоненты
теплового поля ( в , q . ) на границе раздела сред. Условия (4)-(6) также
связывают между собой значения на границе раздела смещения и. и
компоненту напряжения
смещения ил и компоненту напряжения
а к , смещения иу и компоненту напряжения а г , а также в и q ..
Для решения задачи отражения волн необходимо записать
граничные условия. Так как в векторы столбцы входят смещения,
нормальные к границе компоненты напряжения и касательные к
границе составляющие теплового поля, то первое условие (4)
запишется следующим естественным образом:
4 +4=*,
(7)
Помимо этого условия ставится матричное условие, которое
является следствием непрерывности решений:
т; К
I В ! 1 т; ф ) ч
(8)
Решая совместно (7) и (8) для векторов wr и й>, получим:
К щ
(0) - Г ( 0 ) ) '(2Г(0)-Т2*(0)Н
w, 1 [ £ + (т; (0) - р (0» -‘(т; (0 ) - г ; (0 » К
Введем обозначение
с ( Г (0 ) (0 ))-' (Т; (0 ) 1 Ы (0))
I
Ц
(9)
(Ю)
(И )
II
С)
g
Тогда (9) и (10) можно переписать
Ц = [£ + G]vv0
(12)
(13)
серия ФИЗИКО-МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ. 2013. №1
Таким образом, из (2)-(3), (9)-(10)
преломленных волн запишутся в виде:
131
поля отраженных
и
(14)
wv =t ; ( e +g )w0
(15)
Выражения (14) и (15) являются решениями поставленной
задачи. Из выражения (11) видно, что матрица G определяется
матрицантами прямых и обратных волн при z=0.
Матрицанты прямых и обратных волн при г=0 равны:
|
Г'(Ь)=1(£±,аЛ,
где
1
(17)
кк(к + к)
R = (ВУ +(а+—у/а: - Л ){В)
' '
2
w
(18)
Связанные уравнения термоупругости отличаются обилием
упругих и термомеханических параметров. В связи с этим, в
настоящее время, матричные методы являются наиболее
-конструктивными и эффективными.
В рамках метода матрицанта усредненный матрицант,
описывающий
распространение
связанных
гармонических
термоупругих волн в анизотропных средах с термомсханическим
эффектом имеет вид [3]:
7^, =| n + - z E | E cosfet-^sinfcj-^r—^ f ^ E c o s ^ i^ s in ^ j
■ И *
— = BW
dz
w = {u.,<j..,ux,oK,u y,o r ,e,q_)
Матрицы к, P определяются формулами:
Р Р гЕ
1_
lif t
I 1
Ж = — --- =------ Е
Р=
2
(20)
132
ISSN 1811-1807. Вестник ПГУ
И' - вектор, содержащий компоненты упругих и тепловых полей,
О- приращение температуры, q. - поток тепловой энергии.
Р,,Р3 являются корнями характеристического уравнения следующих из
условия [4J:
d et(P -A E ) = 0
Значения волновых чисел к и х определяются из разложения
соответствующих уравнений дисперсии термоупругих волн. В данном
случае они имеют вид:
i - K
о
Й
1
H
2
1 1
(21)
В Д и Д в соответствии с (20) сохранены члены вплоть до а 2.
Рассмотрим одномерное распространение термоупругих волн в
анизотропной среде тетрагональной сингонии классов 4, 4 , 4 /т с
матрицей коэффициентов В в виде:
0
В =
0
Ьг.
bo
0
0
0
0
0
0
0
0
+ fin )
h
=
где
b„
(22)
К
Ьц = -о )гр
°Г
Е
С
т
ц
Ь „-
1
Здесь сцщ сзз - упругие модули, р - плотность среды,
коэффициент теплопроводности, сЕ - теплопроводность при
постоянной деформации,/7/j, р3} - термомеханические коэффициенты.
С учетом затухания термоупругих волн, волновые числа к и /
могут быть представлены:
/ .з з
-
k = k0 - i k {.
X = X o ~ ‘Z i;
2 - + +о0
к,,%, - коэффициенты затухания упругих и тепловых волн.
Для волн распространяющихся вдоль положительной оси Z из
(19) получен матрицант:
серия ФИЗИКО-МА ТЕМА ТИЧЕСКАЯ. 2013. №1
т; *UK+~E\E-&y^A\K-LE
'X
133
(23)
Обратные волны (распространения в областьг<о;г -»-=»)
описываются матрицантом имеющим аналогичное представление:
Ш жШ” 2ш_ А Ш
ШШ
Ш Ял
_ ||)
щ. Ш
§ А
(24)
Граничные условия. Рассмотрим контакт двух термоупругих
полупространств. При z=0 матрицанты (23) и (24) могут быть
представлены в виде:
Г * = -Е Т /? ;
0
(25)
2
где
Сш\в
2«Л kX I
4'V ^
Пусть wn- поле падающих волн,
преломленных волн. Тогда:
отраженных и wi -
г0х + т е = 7 ; ^ приг=0
(26)
или
f i f i - /?0V + Q # + Roy „ = { 1 е - R, ¥
(27)
Учитывая непрерывность полей на контакте сред (7), получим:
Щ
(28)
С учетом (27) выражение (28) есть искомое граничное условие
для векторов ЩШЩИ в матричной форме.
В (7) и (28) неизвестны вектора w„ к w,. Подстановка (7) в (28)
дает уравнение:
{R0 + R,)Wr = { R ,- R i)wc
(29)
откуда следует формула для поля отраженных волн WK:
(30)
Поле iv, определяется формулой (7).
Матрица R в (25) может быть представлена в форме:
134
ISSN 1811-1807. Вестник ПГУ
R
=
Щ й Г ^ -) №
-< л . * p J * + * e 1p
(31)
где
Ра
bl2b2l. рго —ЬцЬф
17 2171
А^у1{Р10-РгоУ-^!АА
(32)
Таким образом, в данной статье приведена матричная
формулировка задач отражения —преломления термоупругих волн на
границах раздела различных сред.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Тлеукенов, С.К., Ильясов, М.Н., Досумбеков, К.Р.
О матричной формулировке задачи отражения и преломления
термоупругих волн // Материалы международной научной
конференции «Вторые Ержановские чтения», г. Актобе, 2007 г.
2 Тлеукенов, С.К., Досумбеков, К.Р., Сейтханова, А.К.
О коэффициентах отражения и преломления упругих и термоупругих
волн // Материалы международной научной конференции «Вторые
Ержановские чтения», г. Актобе, 2007 г.
3 Сейтханова, А.К. О задаче отражения - преломления упругой
волны на границе термоупругого полупространства // Вестник ПГУ.
Серия Физико-математическая, № 4, Павлодар, НИЦ ПГУ им.
С. Торайгырова, 2010 г.
4. Тлеукенов, С.К. Метод матрицанта. - Павлодар: НИЦ ПГУ
им. С. Торайгырова, 2004. —148 с.
Павлодарский государственный университет
имени С. Торайгырова, Павлодар.
Материал поступил в редакцию 05.06.13.
Н. А. Испулов, А. К. Сейтханова
Термосершмд!
толкындардын
матрицалык формулировка»»!
шагылу-сыну
есептердш
серия ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ. 2013. №1
135
S886IB8lfflQ6IB9l5888lffl658Q89B9550a69@863B8B960e989l59E0l90H6BB06!li5BS$!59BBRi)68!5e9l!SSW,!BR9H9B
С. Торайгыров атындап>1 Павлодар
мемлекегпк университет!, Павлодар к.
Материал 05.06.13 редакциям тусть
N. A. /spufov, А. К. Seifkhanova
The matrix formulation
thermoelastic waves
o f problems o f reflection-refraction o f
Pavlodar State University named after S. Toraigyrov, Pavlodar.
Material received on 05.06.13.
Термомеханикалык, эффекпимен болатын cepni.vdi орталарда
толкршдык, процестердщ зацдыльщтарды зерттеу актуалдыгы.
геофизика,
сейсмология.
композитпйк
материалдардыц
механикасыныц теориязык, жопе крлданбалы ecenmepdi umuyiude
кржетттг^мен байланысты. Байланыскаи цозгалыс тецдеулер!
.мен
жылуотюзгпипйк
тецдеулер/
физика—
механикальщ
параметрлердщ курделм мен кон болуымен ерекшелеиедг. Осыгап
байланысты деформацияланатын кртты дене механикасыныц термосертмдЫк деген тарауы ^арк/ынды дамып Ke.iedi. Осы
багыпинын аясында анизотропты орталардыц кейСнр физикамеханикалык, крсиеттерт крлдана отырын. байланысцан жылульщ
жене механикальщ opicmep зерттелесУ.
Бериген маццлада opmyp.ii орталардыц шекаралардыц
бел1мдер 1uded термосершмдi толкындардыц шагылу-сыну
есептердщ матрицалык, формулировкасы келтгрглген.
The urgency o f research o f laws o f wave processes in elastic
environments with thermo mechanical effect is connected with
necessity o f the decision o f theoretical and applied problems o f
geophysics, seismology, mechanics of composite materials etc.
Connected equations o f movement and the heat conductivity equation
differ complexity and an abundance o f physical-mechanical
parameters. In this connection the section o f mechanics o f a
deformable firm body, - tliermo elasticity intensively develops. Within
the limits o f this direction, leaning against use o f certain physicalmechanical properties anisotropic environments, the connected
thermal and mechanicalfields are studied.
In this article the matrix formulation of problems o f reflection —
refraction o f thermoelastic waves is given in demarcations o f various
environments.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
218 Кб
Теги
prelomleniya, otrajeniya, formulirovki, 2297, zadachi, voln, ispulov, matrichnye, seythanova, termouprugith
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа