close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

4253 elmuratov s.k osnovi nauchnih issledovaniy i planirovanie eksperimenta

код для вставкиСкачать
с. к. Елыиуратов,
Й.Ф. Ельмуратова
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЙ
Учебное пособие для магистрантов
с. к. Ельмуратов, А.Ф. Ельмуратова
ОСНОВЫ
НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Учебное пособие
для магистрантов
Эго1граф
Алматы 2016
У Д К 001(075.8)
ББ К 11911
Рекомендовано к изданию Учёным советом Павлодарского
государственного университета им. С. Торайгырова
РЕЦЕНЗЕНТЫ;
Б. Ж . Унайбаев - доктор технических наук, профессор, ректор
Екибастузского
инженерно-технического
института
им.
К.Сатпаева;
Е.Б. Аринов - доктор физико-математических наук, профес-сор,
заведующий кафедрой физики и математики Жезказ-ганского уни­
верситета им. О. А. Байконурова;
М. К. Кудерин - доктор технических наук, профессор, декан ар­
хитектурно-строительного факультета Павлодарского государ­
ственного университета им. С. Торайгырова
Е 57 Ельмуратов С .К .
Основы научных исследований и планирование эксперимента:
учебное пособие / 2-е изд., перераб. и доп. / С.К.Ельмуратов,
А .Ф . Ельмуратова - Алматы; издательство; «Эпифаф», 2016 - 88 с.
I8ВN 978-601-310-307-5
В учебном пособии излагаются основы и методы научньпс теорети­
ческих и экспериментальных исследований.
Приведен пример построения планов эксперимента и методов об­
работки результатов опытов.
Учебное пособие рекомендуется для магистрантов и научных ра­
ботников.
За достоверность материалов, грамматические и орфографические
ошибки ответственность несут авторы и составители
УДК 001(075.8)
Б Б К 72я73
18ВN 978-601-310-307-5
© Ельмуратов С.К., Ельмуратова А .Ф . 2016
© Эпиграф, 2016
ВВЕДЕНИЕ
И 11.Кюящее время не только сам процесс открытий и не тольми м|м>цссс доведения этих открытий до приемлемой практически
|И'||11Н1усмой формы, но и процесс передачи и освоения результа1И11 млучно-технического пр оф есса (НТП) требует участия науки.
Мио| ПС другие проблемы жизни общ ества, которые ранее решались
II.) Паче интуиции или здравого смысла, на опыте поколений, сейчас
||1сбуют активного и целенаправленного вмешательства, участия
науки. Ни один серьезный вопрос в современных условиях нельзя
»(|)<|)сктивно решить, не опираясь на науку.
Обгцество не может способствовать научному прогрессу, не
С01Д11И наумнук» гсорию, научные основы управления. Явление
VI ипроним 1СМ11011 I I 111 имеет конкретные, количественнооценимые
фирмы мронши-нин и мире науки, например, заметно учащаются та­
кие шГн.мим. к.'ш ую чиоинс и обновление взглядов, тенденций,
концепций. М1ЧОДОМ исслсдоиания , принятых в той или иной конкрстиИ ниучной дисциплине. При этом происходит не только
У11(П|ии1и- ргпиишкии р1чу.1|1.п1М)|( исследования, но каждый раз
ми VI кир« мис иришиим к клчос! псиным характеристикам, к обнов1ИЧПМИ (ырпморим II ш) 1МОЖМОСгей гсхнических средств.
И1.К0КИС 1СМП1.1 освоения нововведений необходимы, чтобы
т 111111111. ноль юна гелю достаточно общ ественно необходимого
и р с м п т дмм получения огдачи от морально не устаревш его новов1и-Л111ин
1'а 11111 ПК- IIIII сказывается на совершенствовании высшего
и(|ри (иипнии ( )|| мрс'дьяиляег новые возросшие требования к знаниим ми1|и)||.|,\ ( 110Ц1111Л1К ГИИ, их творческому развитию, умению нахомим. иппГюшч- рациональные конструктивные, технологические, орI .ииппмиимт.к- и жпмомичсские решения; хорошо ориентировать­
ся II о|борс научной 1111«|)ормации; ставить и решать различные
принципиально новые вопр<к1>1.
Выполнение поставленных задач возможно в случае вооруже­
ния молодых специалистов новейшими знаниями в области науч­
ных исследований , Это обязывает высш ую школу широко привле­
кать магистрантов к проведению научных исследований. Важ ­
ным этапом развития высшей школы является введение в учебный
процесс нового предмета " Основы научных исследований ", в ко­
тором расхматриваются методология и методы научных исследо­
ваний , а также способы их организации.
" О сновы
научных
исследований" обязывает всех маги­
странтов освоить элементы методики научных исследований,
что способствует развитию рационального творческого мышления;
организации их оптимальной мыслительной деятельности. В ре­
зультате изучения теоретического курса и выполнения исследова­
ний по выбранной теме магистрант должен освоить методологию
и методику научных исследований , а также ум еть отбирать и
анализировать необходимую информацию, формулировать цель и
задачи, разрабатывать теоретические предпосылки, планировать и
проводить эксперимент, отрабатывать результаты измерений и
оценивать погрешности и наблюдения, сопоставлять результаты
эксперимента с теоретическими предпосылками.
Решению всех
этих проблем и посвящено настояш,ее учебное пособие.
1 ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ЭМПИРИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
(•
Наука - сфера исследовательской деятельности, направленная
на получение новых знаний о природе, общ естве и мышлении.
Яапяясь следствием общ ественного разделения труда, наука
мо чникает вслед за отделением умственного труда от физического и
превращением познавательной деятельности в специфический род
<апя'гий особой группы людей.
Необходимость научного подхода в материальном производСИ1С, I» экономике и в политике, в сфере управления и в системе обри човапия заставляет науку развиваться более быстрыми темпами,
чем лю бую другую опрасль деятельности.
1.1 Цели, шдами и стадии тео р ети ч еск и х исследований
Цс^м.ю теоретических исследований является выделение в
процессе син теза знаний сущ ественных связей между исследуемым
обьскгом и окружающей средой, объяснение и обобщение резульпмои (мпирнчсского исследования, выявление общих закономернок н'И и их формализация.
'}алпчами теоретического исследования являются:
<1боби1сние результатов исследования, нахождение общ их закопомсрмостей путем обработки и интерпретации опытных данных;
- расширение результатов исследования на ряд подобных объскгои без повторения всего объема исследований;
- изучение объекта, недоступного для непосредственного ис­
следования;
повьш1ение надежности экспериментального исследования
об1.скга (обоснования параметров и условий наблюдения, точности
измерений).
Теоретические исследования включают:
- анализ физической сущ ности процессов, явлений;
- формулирование гипотезы исследования;
*
- построение (разработка) физической модели;
- проведение математического исследования;
- анализ теоретических решений;
- формулирование выводов.
Если не удается выполнить математическое исследование, то
формулируется рабочая гипотеза в словесной форме с привлечени­
ем графиков, таблиц и т.д.
В технических науках необходимо стремиться к применению
математической формализации выдвинутых гипотез и выводов.
В процессе, теоретических исследований приходится непре­
рывно ставить и решать разнообразные по типам и сложности зада­
чи в форме противоречий теоретических моделей, требую щ их раз­
решения.
Структурно любая задача включает условия и требования
Условия - это определение информационной системы, из ко­
торой следует исходить при решении задачи.
Требования - это цель, к которой нужно стремиться в резуль­
тате решения.
Условия и требования м огут бы ть исходными, привлеченными
и исковыми.
Исходные условия даются в первоначальной формулировке
задачи (исходные данные). Если их оказывается недостаточно для
решения задачи, то исследователь вынужден привлекать новые дан­
ные, называемые привлеченными.
Искомые данные или искомые условия - это привлеченные
условия, которые требуется отыскать в процессе решения задачи.
Процесс проведения теоретических исследований состоит
обычно из нескольких стадий.
Оперативная стадия включает проверку возможности устране­
ния технического противоречия, оценку возможных изменений в
среде, окружающ ей объект, анализ возможности переноса решения
задачи из других отраслей знания или использования «прообразов»
природы.
Вторая стадия исследования является синтетической, в про­
цессе которой определяется влияние изменения одной части объек­
та на построение других его частей, определяются необходимые
изменения других объектов, работающ их совместно с данным, оце­
нивается возможность применения найденной технической идеи
при решении других задач.
Выполнение названных предварительных стадий дает возмож­
ность приступить к стадии постановки задачи, в процессе которой
определяется конечная цель решения задачи, выбирается наиболее
эффективный путь ее решения и определяются требуемые количе­
ственные показатели.
Постановка задачи является наиболее трудной частью ее ре­
шения. Преобразование в начале распльтчатой формулировки зада­
чи в четкую, определенную часто облегчает решение задач.
Аналитическая стадия включает определение идеального ко­
нечного результата, выявляются помехи, мешающие получению
идеального результата, и их причины, определяются условия, обес­
печивающие получение идеального результата с целью найти, при
каких условиях исчезнет «помеха».
Теоретическое исследование завершается формированием тео­
рии, не обязательно связанной с построением ее математического
аппарата. Теория проходит в своем развитии различные стадии от
качесгвсиного объяснения и количественного измерения процессов
до их формализации и в зависимости от стадии может быть предс гаилсна как в виде качественных правил, так и в виде математиче­
ских уравнений (соотношений).
1.2 Выбор направления научного исследования
и Э1'апы научно-исследовательской работы
Цель научного исследования - всестороннее, достоверное изу­
чение объекта, процесса или явления; их структуры , связей и отно­
шений на основе разработанных в науке принципов и методов по­
знания, а также получение и внедрение в производство (практику)
полезных для человека результатов.
Любое научное исследование имеет свой объект и предмет.
Объектом научного исследования является материальная или
идеальная система.
Предмет - это структура системы, закономерности взаимодей­
ствия элементов внутри системы и вне ее, закономерности развития,
различные свойства, качества и т.д.
Научные исследования классифицируются по видам связи с
общественным производством и степени важности для народного
хозяйства; целевому назначению; источникам финансирования и
длительности ведения исследования.
По видам связи с общественным производством научные ис­
следования подразделяются на работы, направленные на создание
новых технологических процессов, машин, конструкций, повыше­
ние эффективности производства, улучшение условий труда, разви­
тие личности человека и т.п.
По целевому назначению выделяют три вида научных иссле­
дований; фундаментальные, прикладные и разработки.
Фундаментальные исследования направлены на открытие и
изучение новых явлений и законов природы, на создание новых
принципов исследования. Их целью является расширение научного
знания общ ества, установление того, что может быть использовано
в практической деятельности человека.
Такие исследования ведутся на границе известного и неизвест­
ного, обладают наибольшей степенью неопределенности.
Прикладные исследования направлены на нахождение спосо­
бов использования законов природы для создания новых и совер­
шенствования сущ ествую щ их средств и способов человеческой де­
ятельности. Их цель - установление того, как можно использовать
научные знания, полученные в результате фундаментальных иссле­
дований, в практической деятельности человека.
В результате прикладных исследований на основе научных
понятий создаются технические понятия. Прикладные исследова­
ния, в свою очередь, подразделяются на поисковые, научноисследовательские и опытно-конструкторские работы.
Поисковые исследования направлены на установление факто­
ров, влияющих на объект, отыскание путей создания новых техно­
логий и техники на основе способов, предложенных в результате
фундаментальных
исследований.
В
результате
научноисследовательских работ создаются новые технологии, опытные
установки, приборы и т.п.
Целью опытно-конструкторских работ является подбор кон­
структивных характеристик, определяющих логическую основу
конструкции.
В результате фундаментальных и прикладных исследований
формируется новая научная и научно-техническая информация. Це­
ленаправленный процесс преобразования такой информации в фор­
му, пригодную для освоения в промышленности, обычно называет­
ся разработкой. Она направлена на создание новой техники, мате­
риалов, технологии или совершенствование сущ ествую щ их. Конеч­
ной целью разработки является подготовка материалов прикладных
исследований к внедрению.
Каждую научно-исследовательскую работу можно отнести к
определенному направлению.
Под научным направлением понимается наука или комплекс
наук, в области которых ведутся исследования. В связи с этим раз­
личают:
техническое,
биологическое,
социальное,
физикоюхническое, историческое и т.п. направления с возможной после­
дующей детализацией.
Основой научного направления является специальная наука
или ряд специальных наук, входящих в ту или иную научную отрлии., а 1акжс специальные методы исследования и технические
У« ГриЙ 1 111.1
( |рукгурт.1ми единицами научного направления являются
комимпи 111.11- проблемы, нроблемы, темы и научные вопросы.
Комплексная проблема представляет собой совокупность про()||см, ()Г)1.едиисммых единой целью.
11роГ>лсм11 п о совокупность сложных теоретических и прак(и'кч'ких 1/1ДЛМ, решения которых назрели в обществе.
1см;| научного исследования является составной частью проГ);и-м1.1 И результате исследований по теме получают ответы на
определенный круг научных вопросов, охватывающ их часть проГ)1|(*М1.1
( )Г>об|цение результатов ответов по комплексу тем может дать
рсмк ние научной проблемы.
Под научными вопросами обычно понимаются мелкие науч­
ные задачи, относящиеся к конкретной теме научного исследования.
Научно-исследовательская работа выполняется в определен­
ной последовательности.
1.
Вначале формулируется сама тема в результате общ его
ознакомления с проблемой, в рамках которой предстоит выполнить
исследование и разрабатывается основной исходный предплановый
документ - технико-экономическое обоснование (Т Э О ) темы.
При этом указываются причины разработки (ее обоснование),
приводится краткий литературный обзор, в котором описываются
уж е достигнутый уровень исследований и ранее полученные ре­
зультаты. О собое внимание уделяется ещ е не решенным вопросам,
обоснованию, актуальности и значимости работы для отрасли и
9
народного хозяйства страны. Такой обзор позволяет наметить мето­
ды решения, задачи и этапы исследования, определить конечную
цель выполнения темы. С ю да входят патентная проработка темы и
определение целесообразности закупки лицензий.
На стадии составления Т Э О устанавливается область исполь­
зования ожидаемых результатов НИР, возможность их практиче­
ской реализации в данной отрасли, определяется предполагаемый
(потенциальный) экономический эффект за период применения но­
вой техники (зависящей от продолжительности разработки НИР и
О К Р, этапов завершения и внедрения отдельных вопросов). Кроме
экономического эффекта в Т Э О указываются предполагаемые соци­
альные результаты (рост производительности труда, качества про­
дукции, повышение уровня безопасности и производственной сани­
тарии, обеспечение охраны природы и окружающей среды).
В результате составления Т Э О делается вывод о целесообраз­
ности и необходимости выполнения НИР и ОКР.
2 . Целью теоретических исследований является изучение фи­
зической сущ ности предмета. В результате обосновывается физиче­
ская модель, разрабатываются математические модели и анализи­
руются полученные таким образом предварительные результаты.
3 . Перед организацией экспериментальных исследований раз­
рабатываются задачи, выбираются методика и программы экспери­
мента. Его эффективность сущ ественно зависит от выбора средств
измерений. При решении этих задач необходимо руководствоваться
инструкциями и ГО СТами.
Принимаемые методические решения формулируются в виде
методических указаний на проведение эксперимента.
4 . После разработки методик исследования составляется рабо­
чий план, в котором указываются объем экспериментальных работ,
методы, техника, трудоем кость и сроки.
5 . После завершения теоретических и экспериментальных ис­
следований проводится общий анализ полученных результатов,
осущ ествляется сопоставление гипотезы с результатами экспери­
мента. В результате анализа расхождений уточняются теоретиче­
ские модели. В случае необходимости проводятся дополнительные
эксперименты. Затем формулируются научные и производственные
выводы, составляется научно-технический отчет.
10
6.
Следую щ им этапом разработки темы является внедрение ре
зультатов исследований в производство и определение их действи­
тельной экономической эффективности.
Успеш ное выполнение перечисленных этапов работы дает
возможность представить образец к государственным испытаниям,
н результате которых образец запускается в серийное производство.
1*азработчики при этом осущ ествляют контроль и даю т консульта­
ции.
1^иедрение заверщается оформлением акта экономической эф([юкч нвцости результатов исследования.
Оценку народнохозяйственной необходимости разработки тем
1гсобходимо определять численными критериями, простейшим из
когорых яилясгся критерий экономической эффективности
где ')ц
прсдгюлагаемый экономический эффект от внедрения;
1!11 р;| 1Ы на научные исследования.
Чем больше значение к-^, тем выше ее народнохозяйственная
)(|)(|)скгпвпость темы.
()дн;1КО критерий А3 не учитывает объем внедряемой продук­
ции, период внедрения, поэтому более объективным является кригерий, вычисляемый по формуле
Зо
где С/’ - стоимость продукции за год после освоения на)^ного
исследования и внедрения в производство;
Т - продолжительность производственного внедрения в годах;
Зо общие затраты на выполнение научного исследования.
Экономичность является важнейшим критерием перспектив­
ности темы. Однако при оценке крупных тем этого критерия оказы­
вается недостаточным и требуется более общая оценка, учитываюII
щая и другие показатели. В этом случае часто используется экс­
пертная оценка, которая выполняется специально подобранным со­
ставом высококвалифицированных экспертов.
Современное общ ество во всех его элементах и во всех видах
его деятельности пронизано влиянием науки и техники. В наши дни
наука становится во все большей мере производительной силой об­
щества.
Технические науки есть специфическая система знания о це­
ленаправленном преобразовании природных тел и процессов в тех­
нические объекты, о методах конструктивно-технической деятель­
ности, а также о способах функционирования технических объектов
в системе общ ественного производства.
1.3 Методы теоретических и эмпирических исследований
М етод - это способ достижения цели, который объединяет
субъективные и объективные моменты познания.
М етод объективен, так как в разрабатываемой теории позволя­
ет отражать действительность и ее взаимосвязи. Таким образом, ме­
тод является программой построения и практического применения
теории.
Одновременно метод субъективен, так как является орудием
мышления исследователя и в качестве такового включает в себя его
субъективные особенности.
Мет^ды можно разделить на:
- общенаучные (т.е. для всех наук);
- частные (т.е. для определенных наук);
- специальные или специфические (для данной науки).
Такое разделение методов всегда условно, так как по мере раз­
вития познания один научный метод может переходить из одной ка­
тегории в другую .
К общенаучным методам относятся: наблюдение, сравнение,
счет, измерение, эксперимент, обобщение, абстрагирование, форма­
лизация, анализ и синтез, индукция и дедукция, аналогия, модели­
рование, идеализация, ранжирование, а также аксиоматический, ги­
потетический, исторический и системные методы.
Наблюдение - это способ познаний объективного мира, осно­
ванный на непосредственном восприятии предметов и явлений при
12
помощи органов чувств без вмешательства в процесс со стороны
исследователя.
Сравнение - это установление различия между объектами ,ма­
териального мира или нахождение в них общ его, осуществляемое
как при помощи органов чувств, так и при помощи специальных
ус1ройств.
С>1ет - это нахождение числа, определяющего количественное
соогноп1ение однотипных объектов или их параметров, характеричующих тс или иные свойства.
Ичмерсние - это физический процесс определения численного
(начсмня некоторой величины путем сравнения ее с эталоном.
’ )кспсримснг одна из сфер человеческой практики, в которой
иодш |1| п ск я проверке истинность выдвигаемых гипотез или выяв11М10И II шкоиомсрмосги объек1ивного мира.
И м|)(1цсссс жсмеримента исследователь вмешивается в изуча­
емым процесс с целью познания, при этом одни условия опыта изолирукж 'я, другие исключаются, третьи усиливаются или ослабля' )ксмсримста^и.мое изучение объекта или явления имеет
мпродсш ит.н- 11|к мму|цс-с1на по сравнению с наблюдением, так как
||<1иии1нс1 ш у м .т . явления в «чистом виде» при помощи устранения
поЬочмых (|)акторов.
Обобщение - определение общего понятия, в котором находит
()1|)а>ксмие глав1юе, основное, характеризующее объекты данного
класса. '>го средство для образования новых научных понятий,
формулирования законов и теорий.
Абстрагирование - это мысленное отвлечение от несущес т е н н ы х свойств, связей, отношений предметов и выделение не­
скольких сторон, интересующих исследователя. Оно, как правило,
осущ ествляется в два этапа. На первом этапе определяются несущ е­
ственные свойства, связи и т.д. На втором - исследуемый объект
заменяют другим, более простым, представляющим собой упро­
щенную модель, сохраняю щ ую главное в сложном.
Формализация - отображение объекта или явления в знаковой
форме какого-либо искусственного языка (математики, химии и т.д)
и обеспечение возможности исследования реальных объектов и их
свойств через формальное исследование соответствую щ их знаков.
Аксиоматический метод - способ построения научной теории,
при котором некоторые утверждения (аксиомы) принимаются без
13
доказательств и затем используются для получения остальных зна­
ний по определенным логическим правилам.
Анализ - метод познания при помощи расчленения или разло­
жения предметов исследования (объектов, свойств и т.д.) на состав­
ные части. В связи с этим анализ составляет основу аналитического
метода исследований.
Синтез - соединение отдельных сторон предмета в единое це­
лое.
Анализ и синтез взаимосвязаны, они представляют собой
единство противоположностей.
Важными понятиями в теории познания являются: индукция умозаключение от фактов к некоторой гипотезе (общ ему утверж де­
нию) и дедукция - умозаключение, в котором вывод о некотором
элементе множества делается на основании знания общ их свойств
всего множества.
Таким образом, дедукция и индукция - взаимообратные мето­
ды познания, широко использующие частные методы формальной
логики.
Одним из методов научного познания является аналогия, по­
средством которой достигается знание о предметах и явлениях на
основании того, что они имеют сходство с другими. Аналогия тесно
связана с моделированием или модельным экспериментом.
Гипотетический метод познания предполагает разработку
научной гипотезы на основе изучения физической, химической и
т.п. сущ ности исследуемого явления с помощью описанных выше
способов познания и затем формулирование гипотезы, составление
расчетной схемы алгоритма (модели), ее изучение, анализ, разра­
ботка теоретических положений.
При гипотетическом методе познания исследователь нередко
прибегает к идеализации - это мысленное конструирование объек­
тов, которые практически неосуществимы (например, идеальный
газ, абсолютно твердое тело). В результате идеализации реальные
объекты лишаются некоторых присущих им свойств и наделяются
гипотетическими свойствами.
При исследованиях сложных систем с многообразными связя­
ми, характеризуемыми как непрерывностью и детерминированно­
стью , так и дискретностью и случайностью , используются систем-
14
ммс методы (исследование операций, теория массового обслужива­
ния, юория управления, теория множеств и др.).
Н настоящее время такие методы получили широкое распрос грпнение в значительной степени в связи с развитием Э В М .
Разнообразные методы научного познания условно подразде11Я101СЯ па ряд уровней: эмпирический, экспериментально1со|Ч“1ический, теоретический и метатеоретический уровни.
Методы эмпирического уровня: наблюдение, сравнение, счет,
и'шерспие, анкетный опрос, собеседование, тесты , метод проб и
ошибок.М етоды этой группы конкретно связаны с изучаемыми явиоинями и используются на этапе формирования научной гипотезы.
Методы экспериментально-теоретического уровня: эксперим о т , анализ и синтез, индукция и дедукция, моделирование, гипоитичсский, исторический и логические методы.
') I и методы помогают исследователю обнаружить те или иные
л о ск тс р п ы е факты, объективные проявления в протекании исслелусмых процессов. С помощью этих методов производится накоп|Ц |пи- (|тк гон, их перекрестная проверка.
М гтдг.г 1со|)сгичсск()10 уровня: абстрагирование, идеализа­
ции. формаиилпция, анализ и синтез, индукция и дедукция, аксиома1ИКИ. 1)Г1о(')М(0|1ИС и т.д.
11л гсорсгическом уровне производятся логическое исследоваИИ1- со()|1аим1,1х фактов, выработка понятий, суждений, делаются
У М 1 )1 1 1 Н 1 ||()Ч 1 !Ц И Я .
На гсорегическом уровне научное мышление освобождается
1)1 чмпирической описательности, создает теоретические обобщ е­
ния
Гаким образом, новое теоретическое содержание знаний
над».' Iраивается над эмпирическими знаниями.
К методам метатеоретического уровня относят диалектический
мс1 о д и метод системного анализа.
С помощью этих методов исследую тся сами теории и разраба11.и1аются пути и х построения, изз^ается система положений и поИЯ1ИЙ данной теории, устанавливаются границы ее применения,
способы введения новых понятий, обосновываются пути синтезирокания нескольких теорий.
При изучении сложных, взаимосвязанных друг с другом про­
блем используется системный анализ, получивший широкое приме­
15
нение в различных сферах научной деятельности человека, и в
час^тности в логике, математике, общ ей теории систем и т.д.
В основе системного анализа лежит понятие системы, под ко­
торой понимается множество объектов (компонентов), обладающ их
заранее определенными свойствами с фиксированными между ними
отношениями.
На базе этого понятия производится уч ет связей, используются
количественные сравнения всех альтернатив для того, чтобы созна­
тельно выбрать наилучшее решение, оцениваемое каким-либо кри­
терием, например измеримостью, эффективностью, надежностью и
т.п.
Системный анализ используется для исследования таких
сложных систем, как экономика отдельной отрасли, промьппленного предприятия, объединения, при планировании и организации
технологии комплексных строительных процессов, выполняемых
несколькими строительными организациями, и др.
Системный анализ складывается из основны х четырех этапов:
1. Первый заключается в постановке задачи - определяют объ­
ект, цели и задачи исследования, а также критерии для изучения и
управления объектом. Неправильная или неполная постановка це­
лей может свести на нет результаты всего последующ его анализа.
2 . В о время второго этапа очерчиваются границы изучаемой
системы и определяется ее структура. О бъекты и процессы, имею­
щие отношение к поставленной цели, разбиваются на собственно
изучаемую систем у и внеш нюю среду.
3 . Третий, важнейший этап систем ного анализа заключается в
составлении математической модели исследуемой системы. Внача­
ле производят параметризацию системы , описывают выделенные
элементы системы и их взаимодействие. В зависимости от особен­
ностей процессов использую т то т или иной математический аппарат
для анализа системы в целом.
Если исследую тся сложные системы, именуемые как обоб­
щенные динамические системы, характеризуемые большим количе­
ством параметров различной природы, то в целях упрощения мате­
матического описания их расчленяют на подсистемы, выделяют ти­
повые подсистемы, производят стандартизацию связей для различ­
ны х уровней иерархии однотипных систем.
16
в результате третьего этапа системного анализа формируются
законченные математические модели системы, описанные на фор­
мальном, например алгоритмическом, языке.
4.
Четвертый этап - анализ полученной математической моде­
ли, определение ее экстремальных условий с целью оптимизации и
(|)ормулирование выводов.
Оптимизация заключается в нахождении оптимума рассматрииаемой функции (математической модели исследуемой системы,
процесса) и соответственно нахождения оптимальных условий по­
коления данной системы или протекания данного процесса. Оценку
омгимизации производят по критериям, принимающим в таких слу­
чаях экстремальные значения.
I
17
2 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
2.1 Классификация, типы и задачи эксперимента
Важнейшей составной частью научных исследований является
эксперимент, основой которого является научно поставленный опыт
с точно учитываемыми и управляемыми условиями.
С ам о слово эксперимент происходит о т лат. е х р е п т е п Ш т проба, опыт.
В научном языке и исследовательской работе термин «экспе­
римент» обычно используется в значении, общем для целого ряда
сопряженных понятий: опыт, целенаправленное наблюдение, вос­
произведение объекта познания, организация особы х условий его
сущ ествования, проверка предсказания.
В это понятие вкладывается научная постановка опытов и
наблюдение исследуемого явления в точно учитываемых условиях,
позволяющих следить за ходом явлений и воссоздавать его каждый
раз при повторении этих условий. Сам о по себе понятие «экспери­
мент» означает действие, направленное на создание условий в целях
осзоцествления того или иного явления и по возможности наиболее
частого, т.е. не осложняемого другими явлениями.
Основной целью эксперимента являются выявление свойств
исследуемы х объектов, проверка справедливости гипотез и на этой
основе широкое и глубокое изучение темы научного исследования.
Постановка и организация эксперимента определяются его
назначением.
Они различаются;
- по способу формирования условий (естественных и искус­
ственных);
- по целям исследования (преобразующие, констатирующие,
контролирующие, поисковые, решающие);
- по организации проведения (лабораторные, натурные, поле­
вые, производственные и т.п.);
- по структуре изучаемых объектов и явлений (простые, слож­
ные);
- по характеру внешних воздействий на объект исследования
(вещественные, энергетические, информационные);
по характеру взаимодействия средства экспериментального
тхл сд ован и я с объектом исследования (обычный и модельный);
1К) 1ипу моделей, исследуемых в эксперименте (материаль­
ный и мысленный);
но контролируемым величинам (пассивный и активный);
но числу варьируемых факторов (однофакторный и многофиморный);
МО характеру изучаемых объектов или явлений (технологичеI кис, социомегричсские) и т.п.
Дин класси(|)икации могут быть использованы и другие приИИПчИ
1 х к ‘С1 пенный жснеримснт предполагает проведение опытов в
1*1 ич п и ч ты х усломиях существования объекта исследования (чаще
И) 14 и И( МП1Ц, 1У1-1СН и Г)иологичсских, со[(иальных, педагогических и
1)1 ИЦИЦП1 ич1'11>ич ииуках).
11(куи И11'11И1.1Й ж см срим снт предполагает формирование йе­
ну» I 11и'М111.1х услоний (широко применяется в естественны х и техНИЧП кич И<|уК11Х).
11|ич1('|ри 1у|(т1мй (со 1ида1'сльный) эксперимент включает акиииик т м си см и с I |рук1уры и функций объекта исследования в со­
пки II НИИ! I пыдмииуюй 1ИПОТСЗОЙ, формирование новых связен и
инмиш ииП между компонентами объекта или между исследуемым
»|(||.«'кюм II другими объектами. Исследователь в соответствии со
ии.р|.т.1М11 1СМЛСНЦИЯМИ развития объекта исследования преднаме|н ими с'издасг условия, которые должны способствовать формироипиик) новых свойств и качеств объекта.
Конс'1а1ирую1ций эксперимент используется для проверки
опрсдслснных предположений. В процессе этого эксперимента конI киируегся наличие определенной связи между воздействием на
()Г)|.ск1 исследования и результатом, выявляется наличие опредеш-ииых фактов.
К отр оли р ую щ и й эксперимент сводится к контролю за ре•ульшгими внешних воздействий на объект исследования с учетом
с ю состояния, характера воздействия и ожидаемого эффекта.
Поисковый эксперимент проводится в том случае, если за|руднена классификация факторов, влияющих на изучаемое явле­
ние вследствие отсутствия достаточны х предварительных (априор­
ных) данных. По результатам поискового эксперимента устанавли­
19
вается значимость факторов, осущ ествляется отсеивание незначи­
мых.
Решающий эксперимент ставится для проверки справедливо­
сти основны х положений фундаментальных теорий в том случае,
когда две или несколько гипотез одинаково согласуются со многи­
ми явлениями. Э то согласие приводит к затруднению, какую имен­
но из гипотез считать правильной.
Решающий экс^ р и м ен т дает такие факты, которые согласу­
ются с одной из гипотез и противоречат другой.
Лабораторный эксперимент проводится в лабораторных усл о­
виях с применением типовых приборов, специальных моделирую­
щих установок, стендов, оборудования и т.д.
Чаще всего в лабораторном эксперименте изучается не сам
объект, а его образец. Этот эксперимент позволяет доброкачествен­
но, с требуемой повторностью изучить влияние одних характери­
стик при варьировании других, получить хорош ую научную ин­
формацию с минимальными затратами времени и ресурсов. Однако
такой эксперимент не всегда полностью моделирует реальный ход
изучаемого процесса, поэтому возникает потребность в проведении
натурного эксперимента.
Натурный эксперимент проводится в естественны х условиях и
на реальных объектах. Э тот вид эксперимента часто используется в
процессе натурных испытаний изготовленных систем. В зависимо­
сти от места проведения испытаний натурные эксперименты под­
разделяются на производственные, полевые, полигонные, полунатурные и т.п.
Практически во всех случаях основная научная проблема
натурного эксперимента - обеспечить достаточное соответствие
(адекватность) условий эксперимента реальной ситуации, в которой
буд ет работать впоследствии создаваемьсй объект.
Центральными задачами натурного эксперимента являются:
- изучение характеристик воздействия среды на испытуемый
объект;
- идентификация статистических и динамических параметров
объекта;
- оценка эффективности функционирования объекта и провер­
ка его на соответствие заданным требованиям.
20
Эксперименты могут быть открытыми и закрытыми, они ши­
роко распространены в психологии, социологии, педагогике. В откры гч>м эксперименте его задачи открыто объясняются испытуе­
мым, н закрытом - в целях получения объективных данных эти за­
дачи скрываются от испытуемого.
Простой эксперимент используется для изучения объектов, не
мм1-и»|цнх разветвленной структуры, с небольшим количеством взаимосиязаиных и взаимодействующих элементов, выполняюш;их
п р о с к 'й п т с функции.
I» сложном эксперименте изучаются явления или объекты с
р.и111-|1Ч11-ми()й структурой (можно выделить иерархические уровни)
II (>о1|1.мтм количеством взаимосвязанных и взаимодействующих
ш см пиои, т.пюлннющих сложные функции. Высокая степень
I ИМИ1П1 III ш г м с т о и прн иолт к тому, что изменение состояния кахши мисм) ии мпии мни сиязи нлечс'т за собой изменение состояния
МИЧ1 ич цру| 11\ 11К-МГИТОВ системы. В сложных объектах исследова­
нии и(импжмо наличие нескольких разных структур, нескольких
р п 1ИЫЧ 1и-11(-||
I {ифпрмиииоииый ж снсрим ент используется для изучения
1И11И пиролсмк ииой (различной по форме и содержанию) инфирмииш! МП п()|.ск1 исследования (чаще всего информационный
»|ч 11< римсш исио^н.зуется в биологии, психологии, социологии, ки(и |ик111ко II 1.М.). с 1юм0щью этого эксперимента изучается измеигмис ш сюмния объекта исследования под влиянием сообщаемой
(’му тк||ормации.
Исщественный эксперимент предполагает изучение влияния
различных вещественных факторов на состояние объекта исследоиппмя. Например, влияние различных добавок на качество стали и
I II
Энергетический эксперимент используется для изучения воз­
действия различных видов энергии (электромагнитной, механиче( кой, тепловой и т.д.) на объект исследования. Э тот тип эксперим о т а широко распространен в естественных науках.
Обычный (или классический) эксперимент включает эксперим с т а т о р а как познающего субъекта; объект или предмет экспери­
ментального исследования и средства (инструменты, приборы, экс­
периментальные установки), при помощи которых осуществляется
эксперимент.
21
в обычном эксперименте экспериментальные средства непо­
средственно взаимодействуют с объектом исследования. Они явля­
ются посредниками между экспериментатором и объектом исследо­
вания.
Модельный эксперимент в отличие от обычного имеет дело с
моделью исследуемого объекта. М одель входит в состав экспери­
ментальной установки, замещая не только объект исследования, но
часто и условия, в которых изучается некоторый объект.
Модельный эксперимент при расширении возможностей экс­
периментального исследования одновременно имеет и ряд недо­
статков, связанных с тем, что различие между моделью и реальным
объектом может стать источником ошибок и, кроме того, экстрапо­
ляция результатов изучения поведения модели на моделируемый
объект требует дополнительных затрат времени и теоретического
обоснования правомочности такой экстраполяции.
Различие между орудиями эксперимента при моделировании
позволяет выделить мысленный и материальный эксперимент.
Орудиями мысленного (умственного) эксперимента являются
мысленные модели исследуемых объектов или явлений (чувствен­
ные образы, образно-знаковые модели, знаковые модели). Для обо­
значения мысленного эксперимента иногда пользуются терминами;
идеализированный или воображаемый эксперимент.
Мысленный эксперимент является одной из форм умственной
деятельности познающего субъекта, в процессе которой воспроиз­
водится в воображении структура реального эксперимента.
Структура мысленного эксперимента включает: построение
мысленной модели объекта исследования, идеализированных усло­
вий эксперимента и воздействий на объект; сознательное и плано­
мерное изменение, комбинирование условий эксперимента и воз­
действий на объект; сознательное и точное применение на всех ста­
диях эксперимента объективных законов науки, благодаря чему ис­
ключается абсолютный произвол. В результате такого эксперимента
формируются выводы.
Материальный эксперимент имеет аналогичную структуру.
Однако в материальном эксперименте используются материальные,
а не идеальные объекты исследования. О сновное отличие матери­
ального эксперимента от мысленного в том, что реальный экспери­
мент представляет собой форму объективной материальной связи
22
сознания с внешним миром, между тем как мысленный эксперимент
является специфической формой теоретической деятельности суб ъ ­
екта.
Пассивный эксперимент предусматривает измерение только
выбранных показателей (параметров, переменных) в результате
наблюдения за объектом без искусственного вмешательства в его
функцион иро вание.
Примерами пассивного эксперимента является наблюдение за:
- интенсивностью, составом, скоростями движения транспорт­
ных потоков;
- числом заболеваний вообще или какой-либо определенной
болезнью;
- работоспособностью определенной группы лиц;
- показателями, изменяющимися с возрастом;
числом дорожно-транспортных происшествий и т.п.
Пассивный эксперимент, по сущ еству, является наблюдением,
кою рое сопровождается инструментальным измерением выбран­
ных показателей состояния объекта исследования.
Лми11Н1>1Й эксперимент связан с выбором специальных входМ1.1Ч 1 111 налов (факторов) и контролирует вход и выход исследуемой
IIII и мы.
I )д1юфакторный эксперимент предполагает:
выделение нужных факторов;
стабилизацию мешающих факторов;
- поочередное варьирование интересующ их исследователя
(|)акторов.
Стратегия многофакторного эксперимента состоит в том, что
варьируются все переменные сразу и каждый эффект оценивается
но результатам всех опытов, проведенных в данной серии экспери­
ментов.
Технологический эксперимент направлен на изучение элемен10В технологического процесса (продукции, оборудования, деятель­
ности работников и т.п.) или процесса в целом.
Социометрический эксперимент используется для измерения
су1цествующих межличностных, социально-психологических отно­
шений В малых ф уп п ах с целью их последующ его изменения.
Для проведения эксперимента лю бого типа необходимо;
- разработать гипотезу, подлежащую проверке;
23
- создать программы экспериментальных работ;
- определить способы и приемы вмешательства в объект ис­
следования;
- обеспечить условия для осущ ествления процедуры экспери­
ментальных работ;
- разработать пути и приемы фиксирования хода и результатов
эксперимента;
- подготовить средства эксперимента (приборы, установки,
модели и т.п.);
- обеспечить эксперимент необходимым обслуживающим пер­
соналом.
2.2 Методика проведения эксперимента
О собое значение имеет правильная разработка методик экспе­
римента.
М етодика - это совокупное и. мыслительных и физических
операций, размещенных в определенной последовательности, в со ­
ответствии с которой достигается цель исследования.
При разработке методик проведения эксперимента необходимо
предусматривать:
- проведение предварительного целенаправленного наблюде­
ния над изучаемым объектом или явлением с целью определения
исходны х данных (гипотез, выбора варьирующих факторов);
- создание условий, в которых возможно экспериментирова­
ние (подбор объектов для экспериментального воздействия, устр а­
нение влияния случайных факторов);
- определение пределов измерений; систематическое наблю­
дение за ходом развития изучаемого явления и точные описания
фактов;
- проведение систематической регистрации измерений и оце­
нок фактов различными средствами и способами,
- создание повторяющихся ситуаций, изменение характера
условий и перекрестные воздействия, создание услож ненных си ту­
аций с целью подтверждения или опровержения ранее полученных
данных;
24
- переход о т эмпирического изучения к логическим обобщ е­
ниям, к анализу и теоретической обработке полученного фактиче­
ского материала.
Перед каждым экспериментом составляется его план (про­
грамма), который включает:
- цель и задачи эксперимента;
- выбор варьирующих факторов;
- обоснование объема эксперимента, числа опытов;
- порядок реализации опытов, определение последовательно­
сти изменения факторов;
выбор шага изменения факторов, задание интервалов между
будущими экспериментальными точками;
оГ)осн<1панис средств измерений;
<)1тс;и1ис проведения эксперимента;
обоснование способов обработки и анализа результатов экспсримсмга.
1’сзу;и.гаты экспериментов должны отвечать трем статистиче­
ским 1рсГи)иамиям:
||)1-боманис ><1)<|)сюинности оценок, т.е. минимальность дис1к-р1 мм 01ИЛ0НСИИЯ 01 иосительно неизвестного параметра;
|рсб()вание состоятельности оценок, т.е. при увеличении
числа наблюдений оценка параметра должна стремиться к его исп м то м у (начению;
I рсбование несмещенности оценок - отсутствие системати­
ческих ом1ибок в процессе вычисления параметров.
Важнейшей проблемой при проведении и обработке экспери­
мента является совместимость этих трех требований.
При разработке плана-профаммы эксперимента всегда необ­
ходимо стремиться к его упрощению, наглядности без потери точ­
ности и достоверности. Это достигается предварительным анализом
и сопоставлением результатов измерений одного и того же пара­
метра различными техническими средствами, а также методов об­
работки полученных результатов.
25
3 ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
3.1 Основные понятия и определения
Применение планирования эксперимента делает поведение
экспериментатора целенаправленным и организованным, сущ е­
ственно способствует повышению производительности его труда и
надежности полученных результатов. Важным достоинством мето­
да является его универсальность, пригодность в огромном боль­
шинстве областей исследования, интересующ их современного че­
ловека. Интерес исследователей к планированию эксперимента
вполне понятен: перспектива сократить число опытов, найти опти­
мум, получить количественные оценки влияния факторов и опреде­
лить ошибки - крайне привлекательна.
Но, когда экспериментатор делает попытку познакомиться с
планированием эксперимента, он часто сталкивается с серьезными
трудностями, Больше того, иногда он просто неверно применяет
методы планирования или выбирает не самый оптимальный для
данной ситуации путь исследования, или допускает еще какиенибудь досадные ошибки. При этом снижается эффективность его
работы и появляется опасность дискредитации важного и полезного
направления.
Большинство научных исследований связано с экспериментом.
Он проводится в лабораториях, на производстве, на опытных полях
и участках, в клиниках и т.д. Эксперимент может быть физическим,
психологическим или модельным. Он может непосредственно про­
водиться на объекте или на его модели. М одель обычно отличается
от объекта масштабом, а иногда природой.
Если модель достаточно точно описывает объект, то экспери­
мент на объекте может быть заменен экспериментом на модели. В
последнее время наряду с физическими моделями все больш ее рас­
пространение получают абстрактные математические модели.
М ожно получать новые сведения об объекте, экспериментируя на
модели, если она достаточно точно описывает объект.
Эксперимент занимает центральное место в науке. Однако
возникает вопрос, насколько эффективно он используется. Джон
Бернал, например, отмечал, что научные исследования организуют­
ся и проводятся настолько хаотично, что их коэффициент полезного
26
действия может быть оценен величиной порядка 2 % . Для того что­
бы повысить эффективность исследований, требуется нечто совер­
шенно новое. Одним из возможных путей является применение магематических методов, построение математической теории плани­
рования эксперимента.
Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и
условий проведения опытов, необходимых и достаточных для ре­
шения поставленной задачи с требуемой точностью. При этом сушссгвснно следующее;
стремление к минимизации общ его числа опытов;
одновременное варьирование всеми переменными, опреде­
ляющими процесс, по специальным правилам - алгоритмам;
исмольчовлпис м агм ати ч еского аппарата, формализующего
М1101 ис дгйс Iимя жспсриментатора;
т.|(н)р четкой стратегии, позволяющей принимать обосноиапт.н.- рс11к-|1ия после каждой серии экспериментов.
Ч.1лачи, л;|я решения которых может использоваться планироминис Ии П1 р и м с т а , чрезвычайно разнообразны.
Ипщ к пп тм альм ы х условий, построение интерполяционных
||и||1муи, ш.кшр сущ ественных факторов, оценка и уточнение конI 111111 к-о р о тч сск и х моделей (например, кинетических), выбор
||||и(101и.ч- приемлемых из некоторого множества гипотез о механиз­
ме ни)1111пй, исследование диаф ам м состав-свойство - вот примеры
1адач, при решении которых применяется планирование эксперимонга. Можно сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и
наука о его проведении - планирование эксперимента.
11оиск оптимальных условий является одной из наиболее рас­
пространенных научно-технических задач. Они возникают в тот
момент, когда установлена возможность проведения процесса и
необходимо найти наилучшие (оптимальные в некотором смысле)
ус^ювия его реализации. С ледует подчеркнуть, что всегда необхо­
димо четко формулировать, в каком смысле условия должны быть
оптимальными. Этим определяется выбор цели исследования. Точ­
ная формулировка цели в значительной мере определяет усп ех ис­
следования.
Задачи, сформулированные аналогичным образом, называются
задачами оптимизации.
27
Процесс их решения называется процессом оптимизации или
просто оптимизацией. Выбор оптимального состава многокомпо­
нентных смесей или сплавов, повышение производительности дей­
ствую щ их установок, повышение качества продукции, снижение за­
трат на ее получение - это примеры задач оптимизации.
Эксперимент, который ставится для решения задач оптимиза­
ции, называется экстремальным. Это название связано с глубокой
аналогией между оптимизацией и поиском экстремума некоторой
функции. Рассмотрим следующ ие две задачи.
1. Прочность бетона в значительной степени определяется
маркой цемента, количеством наполнителя и количеством воды.
Требуется установить связь между прочностью бетона и названны­
ми факторами.
2 . Надежность некоторого полупроводникового прибора зави­
сит от ряда технологических факторов. Требуется так подобрать
значения этих факторов, чтобы надежность прибора повысилась.
Чтобы выяснить, какая из этих задач является экстремальной,
укажем на признак, отличающий экстремальные задачи. Задача яв­
ляется экстремальной, если цель ее состоит в поиске экстремума
некоторой функции. Чтобы установить, какая из двух задач являет­
ся экстремальной, надо обратиться к их формулировкам и выяснить,
где удовлетворяются требования экстремальности. В задаче 1 тре­
буется установить связь между прочностью бетона и тремя факто­
рами. Здесь не определено, какая прочность является оптимальной,
и не требуется ее оптимизировать, В задаче 2 необходимо повысить
надежность прибора. Сама постановка задачи указывает на то, что
сущ ествую щ ая надежность не удовлетворяет экспериментатора и
требуется поиск таких условий, при которых ее значения повысятся.
Задачи назовем интерполяционными, а типа 2 - экстремальными.
Определим еще ряд важных понятий, первое из которых «объект исследования». Для описания объекта исследования удобно
пользоваться представлением о кибернетической системе, которая
схематически изображена на рисунке. Иногда такую кибернетиче­
скую систем у называют «черным ящиком» или «черным телом».
28
1С1С
Рисунок 1 - Схема черного ящика
Стрелки справа изображают численные характеристики целей
исследования. Их обозначают буквой игрек (у) и называют пара­
метрами оптимизации. В литературе можно встретить другие назва­
ния; кригсрий оптимизации, целевая функция, выход «черного
яиц1ка» и т.д.
проведения эксперимента необходимо иметь возможность
иочдсйс гвовать на поведение «черного ящика». В се способы такого
||(>'1дс11С1 ния обозначают буквой икс (х) и называют входными па|ммо|рлмп или факторами
При решении задачи будем использовать математические мо/и ии 1)Г)|.(.-кга исследования. Под математической моделью понима1о| ураинение, связывающее параметр оптимизации с факторами.
') ю уравнение в общем виде можно записать так:
у = ф(Х/,
Х2, X } , .... Х „) ,
где символ ф ( ), как обычно в математике, заменяет слова:
«функция от». Такая функция называется функцией отклика.
Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких
значений. Такие значения будем называть уровнями. М ож ет ока­
заться, что фактор способен принимать бесконечно много значений
(непрерывный ряд). Однако на практике точность, с которой уста­
навливается некоторое значение, не беспредельна. Фиксированный
набор уровней факторов (т.е. установление каждого фактора на не­
который уровень) определяет одно из возможных состояний «чер­
ного ящика». Одновременно это есть условия проведения одного из
возможных опытов. Если перебрать все возможные наборы состоя­
ний, то мы получим полное множество различных состояний данно29
го «ящика». Одновременно это будет число возможных различных
опытов.
Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число
уровней факторов (если оно для всех факторов одинаково) возвести
в степень числа факторов к; р'', где р - число уровней. Простая си­
стема с пятью факторами на пяти уровнях имеет 3125 состояний, а
для десяти факторов на четырех уровнях их уж е свыш е миллиона!
В этих условиях экспериментатор просто вынужден отказаться
от таких экспериментов, которые включают все возможные опыты:
перебор слишком велик. Тогда возникает вопрос о количестве опы­
тов, которые надо включить в эксперимент, чтобы решить постав­
ленную задачу. Э тот вопрос можно решить с помощью планирова­
ния эксперимента.
Однако нужно иметь в виду, что при планировании экспери­
мента не безразлично, какими свойствами обладает объект исследо­
вания. Укажем два основных требования, с которыми приходится
считаться. Прежде всего, сущ ественно, воспроизводятся ли на объ­
екте результаты эксперимента. Выбираются некоторые уровни для
всех факторов и в этих условиях проводится эксперимент. Затем
повторяют его несколько раз через неравные промежутки времени и
сравнивают значения параметра оптимизации. Разброс этих значе­
ний характеризует воспроизводимость результатов. Если он не пре­
вышает некоторой заранее заданной величины (требований к точно­
сти эксперимента), то объект удовлетворяет требованию воспроиз­
водимости результатов, а если превышает, то не удовлетворяет это­
му требованию. Будем рассматривать только такие объекты, для ко­
торы х требование воспроизводимости выполняется.
Планирование эксперимента предполагает активное вмеша­
тельство в процесс и возможность выбора в каждом опыте тех
уровней факторов, которые представляют интерес. Поэтому такой
эксперимент называется активным. О бъект, на котором возможен
активный эксперимент, называется управляемым. Э то и есть второе
требование к объекту исследования.
^
На практике нет абсолютно управляемых объектов. На реаль­
ный объект обычно действую т как управляемые, так и неуправляе­
мые факторы. Неуправляемые факторы влияют на воспроизводи­
мость эксперимента и являются причиной ее нарушения. Если 1ре-
бования воспроизводимости не выполняются, приходится обра­
щаться к активно-пассивному эксперименту.
Возможно, плохая воспроизводимость объясняется действием
фактора, систематически изменяющегося (дрейфующего) во време­
ни. Тогда нужно обращаться к специальным методам планирования.
11аконец, возможно, что все ф аю оры неуправляемы. В этом случае
возникает задача установления связи между параметром оптимиза­
ции и факторами по результатам наблюдений за поведением объек­
та, или, как говорят, по результатам пассивного эксперимента.
Планирование экстремального эксперимента - это метод вы­
бора количества и условий проведения опытов, минимально необ­
ходимых /Ы1Я отыскания омгимальных условий, т. е. для решения
мосгавлсимой задачи.
И;|Ж1км1тс11 1алачс11 методов обработки полученной в ходе
Ии псримсн|;1 и11(|и)рмации является задача построения математичеМОД1ЛН изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно ис­
тин , шил и. II при анализе процессов и при проектировании объек|пи Дрмп|| шдачсй обработки полученной в ходе эксперимента
миформииии И1111ЯС1СЯ задача оптимизации, т.е. нахождения такой
ьимГитниии илияющих независимых переменных, при которой вы(||)|1т|1.|11 показатель оптимальности принимает экстремальное знаЧ 1'М 1К-
Цианирование эксперимента - выбор плана эксперимента,
уд(пик-ширяющего заданным требованиям, совокупность действий
ианранлснных на разработку стратегии экспериментирования (от
получения априорной информации до получения работоспособной
ми юматической модели или определения оптимальных условий).
>11) целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в
\'слониях неполного знания механизма изучаемого явления.
Под планом эксперимента понимается совокупность данных,
определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Под
словом опыт в данном случае имеется в виду отдельная, элементар­
ная часть эксперимента. Соответственно, понятие планирование
жсперимента, определяемое как процесс разработки плана экспе­
римента, включает в себя все, что делается по разработке стратегии
жспериментирования от начальных до заключительных этапов изу­
чения объекта исследования, т.е. от получения априорной информа­
ции до создания работоспособной математической модели объекта
31
исследования или определения оптимальных условий. Планирова­
ние способствует значительной интенсификации труда исследова­
теля и сокращению затрат на эксперимент, повышению достоверно­
сти полученных результатов исследования.
Основным математическим аппаратом теории планирования
эксперимента является теория вероятностей и математическая ста­
тистика.
М ногомерное факторное пространство - это множество точек,
каждая из которых соответствует определенной комбинации факто­
ров. О бласть возможных комбинаций факторов называется обла­
стью возможных (допустимых) планов эксперимента.
Вектор,
образуемый
выходными
параметрамихарактеристиками свойств или качеств объекта, называют откли­
ком, а зависимость отклика от рассматриваемых факторов - функ­
цией отклика. Геометрическое представление функции отклика в
факторном пространстве называют поверхностью отклика. Ф унк­
цию отклика называют также целевой функцией, имея в виду, что
при планировании эксперимента с целью нахождения оптимальных
условий она является критерием оптимальности.
Планирование эксперимента проводится в несколько этапов:
- постановка задачи (определение цели эксперимента, выясне­
ние исходной ситуации, оценка допустим ы х затрат времени и
средств, установление типа задачи);
- сбор априорной информации (получение литературы, опрос
специалистов и т.п.);
- выбор способа решения и стратегии его реализации (уста­
новление типа модели, выявление возможных влияющих факторов,
выявление выходных параметров, выбор целевых функций, созда­
ние необходимых нестандартных технических средств, формули­
ровка статистических задач, выбор или разработка алгоритмов про­
грамм обработки экспериментальных данных).
Основными концепциями современного подхода к организа­
ции эксперимента являются рандомизация, многофакторность и ав­
томатизация.
С ущ ность рандомизации состоит в следующем. Л ю бое экспе­
риментальное исследование проводится, как правило, в условиях
действия систематических ошибок и факторов, которые трудно
поддаются уч ету и контролю. При традиционном подходе к экспе­
32
рименту исследователи нередко пытаются отделить изучаемое яв­
ление от мешающих факторов, как это можно сделать в детермини­
рованных объектах с хорошо изученной структурой. Очевидно, что
в недетерминированных объектах с огромным количеством случай­
ных факторов ценность эксперимента, проведенного в особы х усло­
виях, не может быть высокой.
Концепция рандомизации предлагает принципиально новый
подход к организации выборочных данных эксперимента. План
эксперимента составляется таким образом, чтобы рандомизировать,
то есть сделать случайными в пространстве и во времени, система­
тически действующ ие мешающие факторы. Тогда эти факторы
можно рассматривать как случайные величины и, следовательно,
учесть сгач истимсски их влияние в значении ошибки эксперимента.
Иными СЛ01С1МИ, и мро1ивоположность традиционному подходу к
1К1111-римсту со стремлением стабилизировать мешающие факторы
р;тд()ми (ация ииссла концепцию случая в эксперимент.
Принцип многофакторности отражает новый подход к экспе1>им<-||1\ и шдачах с многими факторами. При изучении объектов с
ИИ мии.нпмм (|);1К1орами согласно этому принципу исследователю
и|11
я Iчаиить опыты так, чтобы варьировать все факторы
|рц|\ и 01ЛИЧИС от традиционного подхода, когда исследователь
|||.|1ас1си изучать действие каждого фактора при поочередном варьи р о и л т т . Организация эксперимента с применением многофакторИ1.1Ч с\см варьирования позволяет повысить точностью оценок парамс1ро1( подбираемых моделей для недетерминированных объекп)и, точнее оценить чувствительность выходной зависимой пере­
менной объекта к вариации изучаемых входных независимых пере­
менных.
Развитие технических программных средств вычислительной
гсхники дает возможность говорить о новой концепции в организа­
ции научных исследований - автоматизации эксперимента. Техни­
ческие средства вычислительных комплексов позволяют на каче­
ственно новом уровне по точности, быстродействию и наглядности
решать задачи сбора, переработки и отображения информации.
Профаммные средства предоставляют исследователю новые воз­
можности организации процесса анализа данных, создания автома­
тически управляемой последовательности процедур анализа, ис-
33
пользования интерактивного режима работы с пакетами приклад­
ных программ.
Среди основны х методов планирования, применяемых на раз­
ных этапах исследования, используют:
- планирование отсеивающего эксперимента, основное значе­
ние которого выделение из всей совокупности факторов группы
сущ ественных факторов, подлежащих дальнейшему детальному
изучению;
- планирование эксперимента для дисперсионного анализа,
т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;
- планирование регрессионного эксперимента, позволяющего
получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);
- планирование экстремального эксперимента, в котором
главная задача - экспериментальная оптимизация объекта исследо­
вания;
- планирование при изучении динамических процессов и т.д.
При пассивном эксперименте сущ ествую т только факторы в
виде входных контролируемых, но неуправляемых переменных, и
экспериментатор находится в положении пассивного наблюдателя.
Задача планирования в этом случае сводится к оптимальной органи­
зации сбора информации и рещению таких вопросов, как выбор ко­
личества и частоты измерений, выбор метода обработки результа­
тов измерений.
Наиболее часто целью пассивного эксперимента является по­
строение математической модели объекта, которая может рассмат­
риваться либо как хорошо, либо как плохо организованный объект.
В хорошо организованном объекте имеют место определенные про­
цессы, в которых взаимосвязи входньгх и выходных параметров
устанавливаются в виде детерминированных функций. Поэтому та­
кие объекты называют детерминированными. Плохо организован­
ные или диффузные объекты представляют собой статистические
модели. М етоды исследования с использованием таких моделей не
требую т детального изучения механизма процессов и явлений, про­
текаю щ их в объекте.
Однофакторный пассивный эксперимен! проводится путем
выполнения п пар измерений в дискретные моменты времени един­
ственного входного параметра х и соответствую щ их значений вы­
ходного параметра у. Аналитическая зависимость между этими па­
34
раметрами вследствие случайного характера возмущающих воздей­
ствий рассматривается в виде зависимости математического ожидаиия у от значения х, носящей название рефессионной.
Целью однофакторного пассивного эксперимента является поС1рс1ение регрессионной модели. Следует отметить, что регрессион­
ная модель является приближенной оценкой истинной регрессион­
ной зависимости. Для построения модели следует провести обосно­
ванный выбор аппроксимирующей функции. Критериями выбора
являются простота, удобство пользования, обеспечение требуемой
ючности аппроксимации, адекватность. Адекватная регрессионная
модель позволяет предсказывать с требуемой точностью значения
выходной величины в некоторой области значений входной.
Чаще всего регрессионная модель представляется с помощью
аппроксимирующей функцией в виде полинома
к'"-К
Приняв такую модель, следует определиться в порядке поли­
ном;!, после чего вычислить параметры О], 02
И общем случае результаты измерения
значения выходной
исличины и ее значения у, определяемые реф ессионной зависимос гью от входного фактора х „ не совпадают, т.е. отлична от нуля
разность
“ 1| - Уи что связано с наличием погрешности измерения и
возмущающих воздействий. Обычно считают, что
не зависит от
значения у (т.е. аддитивна) и подчиняется нормальному закону рас­
пределения с нулевым математическим ожиданием.
Если выполнено п измерений, то их результаты можно запи­
сать в виде;
т
/1=
у=1
т
■
,
12 = Т а^ х {-^ + А 2
;=1
У=1
35
Эта система уравнений линейна относительно
Для нахож­
дения оценок
из условия минимума Л^ необходимо добиться ра­
венства нулю всех частных производных функций по а^. Получим
систем у нормальных уравнений:
Сгруппировав все коэффициенты при неизвестных о) и записав
уравнения системы в стандартном виде можно вычислить искомые
параметры а^ методом определителей.
М ногофакторный пассивный эксперимент дает п значений вы­
ходного параметра у объекта, соответствую щ их измерениям л сово­
купностей значений выходных параметров:
^11,
^\Ь
Х2], Х22 ,..., Х2Ь
ХпЬ
* - '-у
где д-// - значение/ входного параметра в / -м измерении,
В качестве регрессионной модели принимается линейный мно­
гочлен вида
у ==-ао + а,XI +а2Х2+ ... + щХк.
3.2 Параметр оптимизации
При планировании экстремального эксперимента очень важно
определить параметр, который нужно оптимизировать. Сделать это
совсем не так просто, как кажется на первый взгляд. Цель исследо­
вания должна быть сформулирована очень четко и допускать коли­
чественную оценку. Будем называть характеристику цели, заданную
количественно, параметром оптимизации. Параметр оптимизации
является реакцией (откликом) на воздействие факторов, которые
36
определяют поведение выбранной вами системы. Реакция объекта
многогранна, многоаспектна. Выбор того аспекта, который пред­
ставляет наибольший интерес, как раз и задается целью исследова­
ния.
При традиционном нематематическом подходе исследователь
стремится как-то учесть разные аспекты, взвесить их и принять со­
гласованное решение о том, какой опыт лучше. Однако разные экс­
периментаторы провед>т сравнение опытов неодинаково.
Прежде чем сформулировать требования к параметрам опти­
мизации и рекомендации по их выбору, познакомимся с различны­
ми видами параметров.
Виды пар ам етр ов оптим изации. В зависимости от объекта и
цели исследования параметры оптимизации м огут быть весьма раз­
нообразными. Чтобы ориентироваться в этом многообразии, введем
некоторую классификацию. Реальные ситуации, как правило, слож­
ны. Они часто требую т одновременного учета нескольких, иногда
очень многих, параметров. В принципе каждый объект может ха­
рактеризоваться сразу всей совокупностью параметров. Движение к
о т имуму возможно, если выбран единственный параметр оптимишции. Тогда прочие характеристики процесса уж е не выступают в
качестве параметров оптимизации, а служ ат ограничениями. Другой
нугь - построение обобщенного параметра оптимизации как неко­
торой функции от множества исходных.
Экономические параметры оптимизации, такие, как прибыль,
себестоимость и рентабельность, обычно используются при иссле­
довании действую щ их промышленных объектов, тогда как затратьг
на эксперимент имеет смысл оценивать в лю бых исследованиях, в
том числе и лабораторных. Если цена опытов одинакова, затраты на
эксперимент пропорциональны числу опытов, которые необходимо
поставить для решения данной задачи. Э то в значительной мере
определяет выбор плана эксперимента.
Среди технико-экономических параметров наибольшее рас­
пространение имеет производительность. Такие параметры, как
долговечность, надежность и стабильность, связаны с длительными
наблюдениями. Имеется некоторый опыт их использования при
изучении дорогостоящ их ответственных объектов, например радио­
электронной аппаратуры.
37
Почти во всех исследованиях приходится учитывать количе­
ство и качество получаемого продукта. Как меру количества про­
дукта используют выход, например, процент выхода химической
реакции, выход годных изделий.
Показатели качества чрезвычайно разнообразны. Характери­
стики количества и качества продукта образуют группу технико­
технологических параметров.
С ростом сложности объекта возрастает роль психологических
аспектов взаимодействия человека или животного с объектом. Так,
при выборе оптимальной организации рабочего места оператора па­
раметром оптимизации может служить число ошибочных действий
в различных возможных ситуациях. С ю да относятся задачи выра­
ботки условны х рефлексов типа задачи «крысы в лабиринте».
При решении задачи технической эстетики или сравнении
произведений искусства возникает потребность в эстетических па­
раметрах.
Т р ебо ван и я к п ар ам етр у оптим изации. Параметр оптимиза­
ции - это признак, по которому экспериментатор оптимизирует
процесс. Он должен быть количественным, задаваться числом. Его
надо уметь измерять при любой возможной комбинации выбранных
уровней факторов. М ножество значений, которые может принимать
параметр оптимизации, называется областью его определения. О б­
ласти определения могут бы ть непрерывными и дискретными,
ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции это параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью
определения.
Ум еть измерять параметр оптимизации - это значит распола­
гать подходящим прибором. В ряде случаев такого прибора может
не сущ ествовать или он слишком дорог. Если нет способа количе­
ственного измерения результата, то приходится воспользоваться
приемом, называемым ранжированием (ранговым подходом). При
этом параметрам оптимизации присваиваются оценки - ранги по
заранее выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т. д. Ран­
говый параметр имеет дискретную ограниченную область опреде­
ления. В простейшем случае область содерж ит два значения (да,
нет; хорош о, плохо). Это может соответствовать, например, годной
продукции и браку.
38
Ранг - это количественная оценка параметра оптимизации, но
она носит условный (субъективный) характер. Мы ставим в соот­
ветствие качественному признаку некоторое число - ранг.
Для каждого физически измеряемого параметра оптимизации
можно построить ранговый аналог. Потребность в построении тако­
го аналога возникает, если имеющиеся в распоряжении исследова­
теля численные характеристики неточны или неизвестен способ по­
строения удовлетворительных численных оценок. При прочих рав­
ных условиях всегда нужно отдавать предпочтение физическому
измерению, так как ранговый подход менее чувствителен и с его
помощью трудно изучать тонкие эффекты.
Параметр оптимизации должен выражаться одним числом.
Еще одно требование, связанное с количественной природой пара­
метра оптимизации, - однозначность в статистическом смысле. За­
данному набору значений факторов должно соответствовать одно с
точностью до ошибки эксперимента значение параметра оптимиза­
ции. (Однако обратное неверно: одному и том у же значению пара­
метра м огут соответствовать разные наборы значений факторов.)
Для успеш ного достижения цели исследования необходимо,
чтобы параметр оптимизации действительно оценивал эффектив­
ность функционирования системы в заранее выбранном смысле.
Это требование является главным, определяющим корректность по­
становки задачи.
Представление об эффективности не остается постоянным в
ходе исследования. Оно меняется по мере накопления информации
и в зависимости от достигнуты х результатов. Это приводит к по­
следовательному гюдходу при выборе параметра оптимизации. Так,
например, на первых стадиях исследования технологических про­
цессов в качестве параметра оптимизации часто используется выход
продукта. Однако в дальнейшем, когда возможность повышения
выхода исчерпана, нас начинают интересовать такие параметры, как
себестоимость, чистота продукта и т.д.
Говоря об оценке эффективности функционирования системы,
важно помнить, что речь идет о системе в целом. Часто система со­
стоит из ряда подсистем, каждая из которых может оцениваться
своим локальным параметром оптимизации. При этом оптималь­
ность каждой из подсистем по своем у параметру оптимизации «не
исключает возможности гибели системы в целом».
39
М ало иметь эффективный параметр оптимизации. Надо еще,
чтобы он был эффективный в статистическом смысле. Фактически
это требование сводится к выбору параметра оптимизации, который
определяется с наибольшей возможной точностью. (Если и эта точ­
ность недостаточна, тогда приходится обращаться к увеличению
числа повторных опытов.)
Пусть, например, исследователя интересует исследование
прочностных характеристик некоторого сплава. В качестве меры
прочности можно использовать как прочность на разрыв, так и мак­
ротвердость. Поскольку эти характеристики функционально связа­
ны, то с точки зрения эффективности они эквивалентны. Однако,
точность измерения первой характеристики сущ ественно выше, чем
второй. Требование статистической эффективности заставляет от­
дать предпочтение прочности на разрыв.
Следую щ ее требование к параметру оптимизации - требова­
ние универсальности или полноты. Под универсальностью парамет­
ра оптимизации понимается его способность всесторонне характе­
ризовать объект. В частности, технологические параметры оптими­
зации недостаточно универсальны: они не учитываю т экономику.
Универсальностью обладают, например, обобщенные параметры
оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных
параметров.
Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический
смысл, был простым и легко вычисляемым.
Требование физического смысла связано с последующ ей ин­
терпретацией результатов эксперимента. Не представляет труда
объяснить, что значит максимум извлечения, максимум содержания
ценного ко.мпонента. Эти и подобные им технологические парамет­
ры оптимизации имеют ясный физический смысл, но иногда для
них может не выполняться, например, требование статистической
эффективности. Тогда рекомендуется переходить к преобразованию
параметра оптимизации.
Второе требование часто также оказывается весьма сущ е­
ственным. Для процессов разделения термодинамические парамет­
ры оптимизации более универсальны. Однако на практике ими
пользуются мало; их расчет довольно труден.
Пожалуй, из этих двух требований первое является более су ­
щественным, потому что часто удается найти идеальную характери­
40
стику системы и сравнить ее с реальной характеристикой. Иногда
при этом целесообразно нормировать параметр с тем, чтобы он
принимал значения о т нуля до единицы.
Кроме высказанных требований и пожеланий при выборе па­
раметра оптимизации нужно еще иметь в виду, что параметр опти­
мизации в некоторой степени оказывает влияние на вид математи­
ческой модели исследуемого объекта. Экономические параметры, в
силу их аддитивной природы, легче представляются простыми
функциями, чем физико-химические показатели. Не случайно мето­
ды линейного программирования, основанные на простых моделях,
получили широкое распространение именно в экономике. Темпера­
тура плавления сплава является, как известно, сложной, многоэкс­
тремальной характеристикой состава, тогда как стоимость сплава
зависит от состава линейно.
Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные пре­
имущества. Но на практике чаще всего приходится учитывать не­
сколько выходных параметров. Иногда их число довольно велико.
Так, например, при производстве резиновых и пластмассовых изде­
лий приходится учитывать физико-механические, технологические,
экономические, художественно-эстетические и другие параметры
(прочность, эластичность, относительное удлинение, способность
смеси прилипать к форме и т. д.). М атематические модели можно
построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизи­
ровать несколько функций невозможно.
Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с
точки зрения цели исследования, при ограничениях, налагаемых
другими функциями. Поэтому из многих выходных параметров вы­
бирается один в качестве параметра оптимизации, а остальные слу­
жат ограничениями. В сегда полезно исследовать возможность
уменьшения числа выходных параметров.
После того как выбран объект исследования и функция откли­
ка, нужно включить в рассмотрение все сущ ественные факторы, ко­
торые могут влиять на процесс. Если какой-либо существенный
фактор окажется неучтенным, то это может привести к неприятным
последствиям. Так, если неучтенный фактор произвольно флуктуи­
ровал - принимал случайные значения, которые экспериментатор не
контролировал, - это значительно увеличит ошибку опыта. При
поддержании фактора на некотором фиксированном уровне может
41
быть получено ложное представление об оптимуме, так как нет га­
рантии, что фиксированный уровень является оптимальным.
Если число факторов больше пятнадцати, нужно обратиться к
методам отсеивания несущ ественных факторов. Здесь можно вос­
пользоваться формализацией априорной информации, методом слу­
чайного баланса, планами Плаккета-Бермана и др. Иногда эти пла­
ны применяются и при меньшем числе факторов.
3.3 Определение фактора
Фактором называется измеряемая переменная величина, при­
нимающая в некоторый момент времени определенное значение.
Факторы соответствую т способам воздействия на объект исследо­
вания.
Каждый фактор имеет область определения. М ы будем считать
фактор заданным, если вместе с его названием указана область его
определения. Под областью определения понимается совокупность
всех значений, которые в принципе может принимать данный фак­
тор. Ясно, что совокупность значений фактора, которая использует­
ся в эксперименте, является подмножеством из множества значе­
ний, образующ их область определения.
Область определения может бы ть непрерывной и дискретной.
Однако, в задачах планирования эксперимента, которые рассматри­
ваются в данном пособии, всегда используются дискретные области
определения. Так, для факторов с непрерывной областью определе­
ния, таких, как температура, время, количество вещ ества и т.п., все­
гда выбираются дискретные множества уровней. В практических
задачах области определения факторов, как правило, ограничены.
Ограничения могут носить принципиальный либо технический ха­
рактер.
Произведем классификацию факторов в зависимости от 1«го,
является ли фактор переменной величиной, которую можно оцени­
вать количественно: измерять, взвешивать, титровать и т.п., или же
он - некоторая переменная, характеризующаяся качественными
свойствами.
Известно, что факторы разделяются на количественные и ка­
чественные. Качественные факторы - это разные вещества, разные
технологические способы , аппараты, исполнители и т.д.
42
Хотя качественным факторам не соответствует числовая шка­
ла в том смысле, как это понимается для количественных факторов,
однако можно построить условную порядковую шкалу, которая ста­
вит в соответствие уровням качественного фактора числа натураль­
ного ряда, т. е. производит кодирование. Порядок уровней может
быть произволен, но после кодирования он фиксируется.
В ряде случаев фаница между понятием качественного и ко­
личественного фактора весьма условна.
Требования, предъявляемые к факторам при планирова­
нии эксперимента. При планировании эксперимента факторы
должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор, вы­
брав нужное значение фактора, может его поддерживать постоян­
ным в течение всего опыта, т.е. может управлять фактором. В этом
состоит особенность «активного» эксперимента. Планировать экс­
перимент можно только в том случае, если уровни факторов подчи­
няются воле экспериментатора.
Чтобы точно определить фактор, нужно указать последова­
тельность действий (операций), с помощью которых устанавлива­
ются его конкретные значения (уровни). Такое определение фактора
будем называть операциональным. Так, если фактором является
давление в некотором аппарате, то совершенно необходимо указать,
в какой точке и с помош,ью какого прибора оно измеряется и как
оно устанавливается. Введение операционального определения
обеспечивает однозначное понимание фактора.
С операциональным определением связаны выбор размерности
фактора и точность его фиксирования. Экспериментатор хорошо
ориентируется в том, какую размерность нужно использовать. Это
действительно так в тех случаях, когда существует устоявшаяся
традиция, построены измерительные шкалы, приборы, созданы эта­
лоны и т.д. Так обстоит дело при измерении температуры, времени,
давления и т.д. Но бывает, что выбор размерности превращается в
весьма трудную проблему выбора измерительных шкал.
Замена одной измерительной шкалы другой называется преоб­
разованием шкал. Оно может быть использовано для упрощения
модели объекта.
Точность замера факторов должна быть возможно более высо­
кой. Степень точности определяется диапазоном изменения факто­
ров. При изучении процесса, который длится десятки часов, нет
43
необходимости учитывать доли минуты, а в быстрых процессах
необходимо учитывать, быть может, доли секунды.
Факторы должны быть непосредственными воздействиями на
объект. Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять фак­
тором, который, является функцией других факторов. Но в плани­
ровании могут участвовать сложные факторы, такие, как соотноше­
ния между компонентами, их логарифмы и т.п.
Необходимость введения сложных факторов возникает при
желании представить динамические особенности объекта в статиче­
ской форме. Пусть, например, требуется найти оптимальный режим
подъема температуры в реакторе. Если относительно температуры
известно, что она должна нарастать линейно, то в качестве фактора
вместо функции (в данном случае линейной) можно использовать
тангенс угла наклона, т.е. градиент. Положение усложняется, когда
исходная температура не зафиксирована. Тогда ее приходится вво­
дить в качестве еще одного фактора.
Требования к совокупности факторов. При планировании экс­
перимента обычно одновременно изменяется несколько факторов.
Поэтому очень важно сформулировать требования, которые предъ­
являются к совокупности факторов.
Прежде всего, выдвигается требование совместимости. Совме­
стимость факторов означает, что все их комбинации осуществимы и
безопасньь Это очень важное требование. Несовместимость факто­
ров може+ наблюдаться на границах областей их определения. Из­
бавиться от нее можно сокращением областей. Положение услож­
няется, если несовместимость проявляется внутри областей опреде­
ления. Одно из возможных решений - разбиение на подобласти и
решение двух отдельных задач.
При планировании эксперимента важна независимость факто­
ров, т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне
зависимости от уровней других факторов. Если это условие невы­
полнимо, то невозможно планировать эксперимент. Отсюда вытека­
ет второе требование - отсутствие корреляции межд>' факторами.
Требование некоррелированности не означает, что между значени­
ями факторов нет никакой связи. Достаточно, чтобы связь не была
линейной.
44
3.4 Выбор модели
Под моделью будем понимать вид функции отклика
У = Ц>{Х^,Х2,
...,Лк).
Выбрать модель - значит выбрать вид этой функции, записать
ее уравнение. Тогда останется спланировать и провести экспери­
мент для оценки численных значений констант (коэффициентов)
этого уравнения.
Модели бывают разные. Моделей бывает много. Чтобы вы­
брать одну из них, надо понять, что мы хотим от модели, какие тре­
бования мы к ней предъявляем.
Очевидно, что главное требование к модели - это способность
предсказывать направление дальнейших опытов, причем предска­
зывать с требуемой точностью. Так как до получения модели мы не
чнаем, какое направление нам понадобится, то естественно требо111П1., чтобы точность предсказания во всех возможных направлениих была одинакова.
Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и
координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью моде­
ли значение отклика не должно отличаться от фактического больше
чем на некоторую заранее заданную величину. Модель, которая
удовлетворяет такому или како.му-либо аналогичному требованию,
называется адекватной. Проверка выполнимости этого требования
называется проверкой адекватности модели. Разработаны специаль­
ные статистические методы, с помощью которых проверяется адек­
ватность.
Если несколько различных моделей отвечают нужным требо­
ваниям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой
простой.
Если рассмотреть логарифмическую функцую. На некотором
отрезке [Хп„п, х^ах] она с удовлетворительной точностью описывает­
ся двумя уравнениями:
;; = 1оёь^,
= Ьл.
45
Но второе уравнении проще и в нем Ь ~ коэффициент, который
можно оценить, например, по результатам эксперимента.
Простота - вещь относительная. Если заранее не сформулиро­
вать точно, что называется простым, а что сложным, то невозможно
произвести выбор. В дальнейшем, когда это возможно, будем ис­
кать модель среди полиномов т к. это наиболее простой, удобный и
математически разработанный класс моделей.
Выпишем полиномы для случая двух факторов. Они будут
различаться по максимальным степеням входящих в них перемен­
ных.
Полином нулевой степени:
у = Ьо.
Полином первой степени:
у = Ьо + Ь,Л1 + Ъ2Х2.
Полином второй степени:
у = Ьо + Ь1Л:1 +
Ъ2Х2
+ ЪпХ1Х2
+ ЬиХ\^+Ъ22Х2-
Полиномиальные модели. Таким образом, неизвестная функ­
ция отклика представлена полиномом. Операция замены одной
функции другой, в каком-то смысле эквивалентной функцией назы­
вается аппроксимацией.
Эксперимент нужен только для того, чтобы найти численные
значения коэффициентов полинома. Поэтому чем больше коэффи­
циентов, тем больше опытов окажется необходимым. А каждый
экспериментатор стремится сократить их число. Значит, надо найти
такой полином, который содержит как можно меньше коэффициен­
тов, но удовлетворяет требованиям, предъявленным к модели. Чем^
ниже степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше
в нем коэффициентов.
Вопрос в том, как выбрать подобласть в факторном простран­
стве, чтобы линейная модель оказалась адекватной. Условие анали­
тичности функции отклика гарантирует эту возможность. Всегда
существует такая окрестность любой точки (точнее, почти любой
46
точки), в которой линейная модель адекватна. Размер такой области
заранее не известен, но адекватность, как вы помните, можно про­
верять по результатам эксперимента. Значит, выбрав сначала произ­
вольную подобласть, рано или поздно, найдется ее требуемые раз­
меры. И как только это случится, воспользуемся движением по гра­
диенту.
На следующем этапе будем искать линейную модель уже в
другой подобласти. Цикл повторяется до тех пор, пока движение по
градиенту не перестанет давать эффект. Это значит, что исследова­
тель попал в область, близкую к оптимуму. Такая область называ­
ется «почти стационарной». Здесь линейная модель уже не нужна.
Либо попаданием в почти стационарную область задача решена,
либо надо переходить к полиномам более высоких степеней,
например второй степени, чтобы подробнее описать область опти­
мума.
Удачный выбор подобласти имеет большое значение для успе­
ха всей работы. Он связан с интуитивными решениями, которые
принимает экспериментатор на каждом этапе.
Кроме задачи оптимизации, иногда возникает задача построе­
ния интерполяционной модели. Тогда необходимо последовательно
увеличивать степень полинома до тех пор, пока модель не окажется
адекватной. Если адекватной оказывается линейная, или неполная
квадратная модель (без членов, содержащих квадраты факторов), то
ее построение аналогично тому, что требуется для оптимизации.
Принятие решений перед планированием эксперимента.
При выборе области эксперимента прежде всего надо оценить гра­
ницы областей определения факторов. При этом необходимо учиты­
ваться ограничения нескольких типов. Первый тип —принципиаль­
ные ограничения для значений факторов, которые не могут быть
нарушены ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль. Второй
тип - ограничения, связанные с технико-экономическими соображе­
ниями, например, со стоимостью сырья, дефицитностью отдельных
компонентов, временем ведения процесса. Третий тип ограничений,
с которым чаще всего приходится иметь дело, определяется кон­
кретными условиями проведения процесса. Например, существую­
щей аппаратурой, технологией, организацией. В реакторе, изготов­
ленном из некоторого материала, температуру нельзя поднять выше
47
температ>'ры плавления этого материала или выше рабочей темпе­
ратуры данного катализатора.
Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже
подвергался некоторым исследованиям. Информацию, содержащу­
юся в результатах предыдущих исследований, будем называть
априорной (т.е. полученной до начала эксперимента). Можно ис­
пользовать априорную информацию для получения представления о
параметре оптимизации, о факторах, о наилучших условиях ведения
процесса и характере поверхности отклика, т.е. о том, как сильно
меняется параметр оптимизации при небольших изменениях значе­
ний факторов, а также о кривизне поверхности. Для этого можно
использовать графики (или таблицы) однофакторных эксперимен­
тов, осуществлявшихся в предыдущих исследованиях или описан­
ных в литературе. Если однофакторную зависимость нельзя пред­
ставить линейным уравнением (в рассматриваемой области), то в
многомерном случае, несомненно, будет существенная кривизна.
Обратное утверждение, к сожалению, не очевидно.
Итак, выбор экспериментальной области факторного про­
странства связан с тщательным анализом априорной информации.
Далее в области определения надо найти локальную подоб­
ласть для планирования эксперимента. Процедура выбора этой по­
добласти включает два этапа: выбор основного уровня и выбор ин­
тервалов варьирования.
Выбор основного уровня. Наилучшим условиям, определен­
ным из анализа априорной информации, соответствует комбинация
(или несколько комбинаций) уровней факторов. Каждая комбина­
ция является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее
можно рассматривать как исходную точку для построения плана
эксперимента. Назовем ее основным (нулевым) уровнем. Построе­
ние плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных то­
чек, симметричных относительно нулевого уровня.
В разных случаях исследователь располагает различными све­
дениями об области наилучших условий. Если имеются сведения о
координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах
определения факторов, то остается рассматривать эту точку в каче­
стве основного уровня. Аналогичное решение принимается, если
границы известны и наилучшие условия лежат внутри области.
48
Положение, усложняется, если эта точка лежит на фанице
|и весьма близко к границе) области. Тогда приходится основной
эвень выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий.
Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвест, но есть сведения о некоторой подобласти, в которой процесс
гт достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо
1ентре, либо в случайной точке этой подобласти. Сведения о поэласти можно получить, анализируя изученные ранее подобные
эцессы, из теоретических соображений или из предыдущего эксэимента.
Наконец, возможен случай с несколькими эквивалентными
жами, координаты которых различны. Когда отсутствуют дополгельные данные (технологического, экономического характера и
1.), выбор произволен. Конечно, если эксперимент недорог и трегт немного времени, можно приступить к построению планов
:периментов вокруг нескольких точек.
После того как нулевой уровень выбран, переходим к следуюму шагу - выбору интервалов варьирования.
Выбор интервалов варьирования. Теперь цель состоит в
и, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он
нет варьироваться в эксперименте.
Представьте себе координатную ось, на которой откладываютзначения данного фактора, для определенности - температуры,
сть основной уровень уже выбран и равен 100° С. Это значение
>бражается точкой. Тогда два интересующих нас уровня можно
)бразить двумя точками, симметричными относительно первой,
цем называть один из этих уровней верхним, а второй - нижним,
ычно за верхний уровень принимается тот, который соответствубольшему значению фактора, хотя это не обязательно, а для ка^твенных факторов вообще безразлично.
Интервалом варьирования факторов называется некоторое
:ло (свое для каждого фактора), прибавление которого к основиу уровню дает верхний, а вычитание - нижний уровни фактора,
угими словами, интервал варьирования - это расстояние на коорнатной оси между основным и верхним (или нижним) уровнем.
КИМ образом, задача выбора уровней сводится к более простой
[аче выбора интервала варьирования.
49
Заметим еще, что для упрощения записи условий эксперимен­
та и обработки экспериментальных данных масштабы по осям вы­
бираются так, чтобы верхний уровень соответствовал +1, нижний 1, а основной - нулю. Для факторов с непрерывной областью опре­
деления эт]о всегда можно сделать с помощью преобразования
где Х„ - нормированное значение фактора;
Л '- натуральное значение фактора;
Хо - натуральное значение основного уровня фактора;
с1х - интервал варьирования фактора.
Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уро­
вень обозначается +1, а другой - 1; порядок уровней не имеет зна­
чения.
Пусть процесс определяется четырьмя факторами. Основной
уровень и интервалы варьирования выбраны следующим образом.
Основной уровень
3
Интервал варьирования 2
30
10
1,5
1
15
10
Остановимся на первом факторе. Отметим на координатной
оси три уровня; нижний, основной и верхний.
Натуральные значения
1
Кодированные значения - I
2
х
3
О
5
+1
Нужно найти кодированное значение для х\ = 2 ,0 . Это значе­
ние лежит между 1,0 и 3 ,0 , т.е. между - I и О в кодированном мас­
штабе. Так как в натуральном масштабе 2,0 лежит посередине меж­
ду 1,0 и 3,0 ; то ему соответствует - 0,5 в кодированном масштабе.
На выбор интервалов варьирования накладываются естествен­
ные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может
быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует
уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся нераз­
личимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько
50
большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за предела­
ми области определения. Внутри этих ограничений обычно еще
остается значительная неопределенность выбора, которая устраня­
ется с помощью интуитивных решений.
Вь[бор интервалов варьирования - задача трудная, так как она
связана с неформализованным этапом планирования эксперимента.
Точность фиксирования факторов определяется точностью
приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Для упрощения
схемы принятия решений введем приближенную классификацию,
полагая, что есть низкая, средняя и высокая точности. Можно,
например, считать, что поддержание температуры в реакторе с по­
грешностью не более 1 % соответствует высокой, ее более 5 % средней, а более 16 % - низкой точности.
Источником сведений о кривизне поверхности отклика могут
служить уже упоминавшиеся графики однофакторных зависимо­
стей, а также теоретические соображения. Из графиков сведения о
кривизне можно получить визуально. Некоторое представление о
кривизне дает анализ табличных данных, так как наличию кривизны
соответствует непропорциональное изменение параметра оптими­
зации при равномерном изменении фактора. Будем различать три
случая: функция отЕсиика линейна, функция отклика существенно
нелинейна и информация о кривизне отсутствует.
Наконец, полезно знать, в каких диапазонах меняются значе­
ния параметра оптимизации в разных точках факторного простран­
ства. Если имеются результаты некоторого множества опытов, то
всегда можно найти наибольшее или наименьшее значения пара­
метра оптимизации. Разность между этими значениями будем назы­
вать диапазоном изменения параметра оптимизации для данного
множества опытов. Условимся различать широкий и узкий диапазо­
ны. Диапазон будет узким, если он несущественно отличается от
разброса значений параметра оптимизации в повторных опытах.
(Этот разброс определяет ошибку опыта.) В противном случае бу­
дем считать диапазон широким. Учтем также случай, когда инфор­
мация отсутствует. Итак, для принятия решений используется апри­
орная информация о точности фиксирования факторов, кривизне
поверхности отклика и диапазоне изменения параметра оптимиза­
ции. Каждое сочетание градаций перечисленных признаков опреде­
ляет ситуацию, в которой нужно прини.мать решение.
51
Для интервалов также введем градацию. Будем рассматривать
широкий, средний и узкий интервалы варьирования, а также случай,
когда трудно принять однозначное решение. Размер интервала ва­
рьирования составляет некоторую долю от области определения
фактора. Можно, например, условиться о следующем; если интер­
вал составляет не более 10% от области определения, считать его
узким, не более 30 % - средним и в остальных случаях - широким.
Это, конечно, весьма условно, и в каждой конкретной задаче прихо­
дится специально определять эти понятия, которые зависят не толь­
ко от размера области определения, но и от характера поверхности
отклика, и от точности фиксирования факторов.
Наибольшие трудности возникают, когда поверхность отклика
нелинейна. Появляется противоречие между низкой точностью
фиксирования факторов и кривизной. Первая требует расширения
интервала, а вторая - сужения. Решение оказывается неоднознач­
ным. Приходится рассматривать дополнительные рекомендации.
Прежде всего, нужно выяснить, нельзя ли увеличить точность экс­
перимента либо за счет инженернь(х решений, либо за счет увели­
чения числа повторных опытов. Если это возможно, то решения
принимаются для средней точности фиксирования факторов. Если
это невоз1уюжно, то для принятия решения нет достаточных основа­
ний и оно становится интуитивным.
Характерен выбор среднего интервала варьирования. Лишь в
случае нелинейной поверхности и широкого диапазона рекоменду­
ется узкий интервал варьирования. При сочетаниях линейной по­
верхности с узким диапазоном и отсутствием информации о диапа­
зоне выбирается широкий интервал варьирования.
Сочетание высокой точности с нелинейностью поверхности
всегда приводит к выбору узкого интервала. Довольно часто выби­
рается средний интервал и лишь в двух случаях широкий. После
выбора основного уровня и интервалов варьирования факторов,
можно приступить к построению плана проведения эксперимента.
52
3.5 Полный факторный эксперимент типа 2*^
Первый этап планирования эксперимента для получения ли­
нейной модели основан на варьировании факторов на двух уровнях.
В этом случае, если число факторов известно, можно сразу найти
число опытов, необходимое для реализации всех возможных соче­
таний уровней факторов.
Простая формула, которая для этого используется, N = 2 “, где
N - число опытов, к - число факторов, 2 - число уровней. В общем
случае эксперимент, в котором реализуются все возможные сочета­
ния уровней факторов, называется полным факторным эксперимен­
том.
Если выбранная модель включает только линейные члены по­
линома и их произведения, то для оценки всех параметров модели
используется план эксперимента с варьированием всех факторов на
двух уровнях. Такие планы принято называть планами типа 2”,
где
2 " = N - число всех возможных опытов, и - количество варьи­
руемых факторов.
Полный факторный эксперимент может быть предложен ис­
следователю как один из способов построения математической мо­
дели (идентификации) недетерминированного объекта. Этот способ
оказывается наиболее предпочтительным в тех случаях, когда отсуютвует априорная информация для обоснования структуры моде­
ли с позиций физико-химических представлений процессов, проис­
ходящих в объекте, отсутствует количественная оценка степени
влияния изучаемых факторов на выходную переменную объекта,
его вь[ходной показатель.
Нетрудно написать все сочетания уровней в эксперименте с
двумя факторами. Напомним, что в планировании эксперимента ис­
пользуются кодированные значения факторов: +1 и -1 (часто для
простоты записи единицы опускают). Условия эксперимента можно
записать в виде таблицы, где строки соответствуют различным опы­
там, а столбцы - значениям факторов. Будем называть такие табли­
цы матрицами (репликами) планирования эксперимента.
Матрица планирования 2 ^ для двух факторов показана в таб­
лице 1.
53
Таблица 1 - Матрица планирования для двух факторов
Номер опыта
1
2
3
4
Матрица планирования
Выход
Х2
У
-1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
+1
У1
У2
Уз
У4
Каждый столбец в матрице планирования называют векторстолбцом, а каждую строку - вектор-строкой.
Таким образом, имеется два вектора-столбца независимых пе­
ременных и один вектор-столбец параметра оптимизаций. То, что
записано в этой таблице в алгебраической форме, можно изобразить
геометрически. Найдем в области определения факторов точку, со­
ответствующую основному уровню, и проведем через нее новые
оси координат, параллельные осям натуральных значений факторов.
Далее, выберем масштабы по новым осям так, чтобы интервал
варьирования для каждого фактора равнялся единице. Тогда усло­
вия проведения опытов будут соответствовать вершинам квадрата,
центром которого является основной уровень, а каждая сторона па­
раллельна одной из осей координат и равна двум интервалам. Но­
мера вершин квадрата соответствуют номерам опытов в матрице
планирования. Площадь, о ф а н и ч е н н а я квадратом, называется обла­
стью эксперимента. Иногда удобнее считать областью эксперимен­
та площадь, ограниченную окружностью, описывающей квадрат. В
задачах интерполяции область эксперимента есть область предска­
зываемых значений у.
Запись матрицы планирования, особенно для многих факто­
ров, громоздка. Для ее сокращения удобно ввести условные буквен­
ные обозначения строк.
Это делается следующим образом. Порядковый номер фактора
ставится в соответствие строчной букве латинского алфавита; х \ - а ,
Х2 - Ь, ... И Т.д. Если теперь для строки матрицы планирования вы­
писать латинские буквы только для факторов, находящихся на
верхних уровнях, то условия опыта будут заданы однозначно. Опыт
со всеми факторами на нижних уровнях условимся обозначать (1).
54
Матрица планирования вместе с принятыми буквенными обозначе­
ниями приведена в таблице 2.
Теперь вместо полной записи матрицы планирования можно
пользоваться только буквенными обозначениями.
Таблица 2 - Матрица планирования с буквенными обозначениями
Номер
опыта
Матрица планирования
1
2
3
4
Х|
Х2
Буквенные
обозначе­
ния строк
-1
+1
-1
+1
-]
-1
+1
+ 1
(1)
а
Ь
аЬ
Вы­
ход
У
У1
У2
Уз
У4
Ниже приведена буквенная запись еще одного плана: с, Ь, а,
аЬс, ( 1), Ьс, ас, аЬ. Матрица планирования приведена в таблица 3 .
Таким образом, построен полный факторный эксперимент 2^.
Он имеет восемь опытов и включает все возможные комбинации
уровней трех факторов.
Таблица 3 - Пример матрицы планирования для трех факторов
Номер
опыта
X;
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-1
+1
+1
-1
-I
+1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
Хз
Буквенные
обозначения
строк
+1
-1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
с
У1
Ь
У2
а
Уз
аЬс
У4
( 1)
Уз
Ьс
Уб
ас
У7
аЬ
У8
55
У
.
Если для двух факторов все возможные комбинации уровней
легко найти прямым перебором (или просто запомнить), то с ростом
числа факторов возникает необходимость в некотором приеме по­
строения матриц. Из многих возможных обычно используется три
приема, основанных на переходе от матриц меньшей размерности к
матрицам большей размерности. Рассмотрим первый. При добавле­
нии нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана
встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уровнями но­
вого фактора. Отсюда естественно появляется прием; записать ис­
ходный план для одного уровня нового фактора, а затем повторить
его для другого уровня. Вот как это выглядит при переходе от экс­
перимента. Этот прием распространяется на построение м аф иц лю­
бой размерности.
Рассмотрим второй прием. Для этого введем правило пере­
множения столбцов матрицы. При построчном перемножении двух
столбцов матрицы произведение единиц с одноименными знаками
дает + 1, а с разноименными - 1. Воспользовавшись этим правилом,
получим для случая, который мы рассматриваем, вектор-столбец
произведения Х1Х2 в исходном плане. Далее повторим еще раз ис­
ходный план, а у столбца произведений знаки поменяем на обрат­
ные. Этот прием тоже можно перенести на построение матриц лю­
бой размерности, однако он сложнее, чем первый.
Третий прием основан на правиле чередования знаков. В пер­
вом столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они че­
редуются через два, в третьем - через 4 , в четвертом - через 8 и т.д.
по степеням двойки.
Свойства полного факторного эксперимента типа 2 ** . Гово­
ря о свойствах матриц, мы имеем в виду те из них, которые опреде­
ляют качество модели. Ведь эксперимент и планируется для того,
чтобы получить модель, обладающую некоторыми оптимальными
свойствами. Это значит, что оценки коэффициентов модели должны
быть наилучшими и что точность предсказания параметра оптими­
зации не должна зависеть от направления в факторном простран­
стве, ибо заранее неясно, куда предстоит двигаться в поисках опти­
мума.
56
Два свойства следуют непосредственно из построения матри­
цы. Первое из них - симметричность относительно центра экспери­
м ен та- формулируется следующим, образом: алгебраическая сумма
элементов вектор-столбца каждого фактора равна нулю, или
Цху
- О,
/=1
где ] - номер фактора;
/ - номер опыта;
п - число опытов.
Второе свойство - так называемое условие нормировки - фор­
мулируется следующим образом; сумма квадратов элементов каж­
дого столбца равна числу опытов, или
(=1
Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются
+ 1 и -1 .
Итак, рассмотрены свойства отдельных столбцов матрицы
планирования. Теперь остановимся на свойстве совокупности
столбцов.
Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов
матрицы равна нулю, или .
п
=0,
(=1
Это важное свойство называется ортогональностью матрицы
планирования.
Последнее, четвертое свойство называется ротатабельностью,
т.е. точки в матрице планирования подбираются так, что точность
предсказания значений параметра оптимизации одинакова на рав­
ных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направле­
ния.
57
Пусть даны две матрицы планирования;
X!
X]
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
ДГ2
+1
-1
+1
-1
Проверим, как выполняются все три свойства для каждой из
матриц. Первое свойство выполняется для всех столбцов обеих мат­
риц. Действительно, для первого столбца матрицы а) имеем;
( - 1) + (+ 1) + ( - 1) + ( + 1) = 0 .
Аналогичный результат получается для всех других столбцов.
Второе свойство - также выполняется для обеих матриц.
С третьим свойством, однако, дело обстоит иначе. Если для
матрицы а) формула ортогональности выполняется, то в случае б)
это не так. Действительно,
( - ! ) ( + 1) + ( + 1) ( - 1) + ( _ 1) ( + 1) + (+ 1) ( - 1) = _ 4 9^ 0 .
П олный факторны й эксперимент и математическая мо­
дель. Вернемся к матрице 2 ^. Для движения к точке оптимума
нужна
линейная модель
у = Ьо + Ь,Х|+Ь2Л-2Наша цель - найти по результатам эксперимента значения не­
известных коэффициентов модели. Можно утверждать, что экспе­
римент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная мо­
дель
П = Ро + Р л +
адекватна. Греческие буквы использованы для обозначения
«истинных» генеральных значений соответствующих неизвестных.
58
Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет толь­
ко получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения
у = йо+ + Ь,дг,+ ... +ЬкЛ:к.
Их точность и надежность зависят от свойств выборки и нуж­
даются в статистической проверке.
После проведения опытов во всех точках факторного про­
странства необходимо найти коэффициенты уравнения регрессии.
Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов.
п Л
.
ф = К У г У^)
1=1
Л
V^ =<з(дг,,...,;с1^,Ьо,...,Ь,,)
1=1
Поскольку
ЭФ
=
ЭЬо
ЭФ
ЭЬк
0
=0
то после дифференцирования получим
5Ф
— =2
до>
ЭЬо
1=1
ЭФ
"
( X , , Ь о , . . . , Ь к ) - у ; ) ^ = О,
оЬо
Эй?
—
| 5- = оЭЬк = 2 !(«»(хь...,^ьЬо,-.Ьк) - у1) ЭЬ|(
Для линейной рефессии при к= 2 ;
У(
у,- =Ь о +Ь]Д:,(
59
продифференцировав по коэффициентам, получим:
да
,
ООд
д(р
дю
оЬ|
002
'
Запишем уравнения в полной форме:
п
1(Ь о + Ь1ДС,| +Ъ2Х2{ -У { )х 1 = 0 ,
1=1
п
1(Ьо +
+ Ь2^2{ - У() X:«С1; = о,
(=1
п
1(Ьо +Ь1Х,| +Ь2ДГ2; -У{)хд^2| =01=1
Отсюда следует
(1 1 )Ь о + ( 1 ^ „ ) Ь ,+ ( 1 х21)х Ь 2 = 1 у;,
1=1
1=1
1=1
1=1
( I л;и)Ьо +(1^^Н^)Ь1 +(1;дГ2;Хи)хЬ2 =
1=1
1=1
1=1
1=1
(I: Х2()х Ьо + ( 1 дс,;Л:2{)х Ь1 + ( 1 х2;^)х Ь2 = 1ДГ21У1(=1
(=1
1=1
1=1
п
XI = п,
разделим
каждое
уравнение
на
п
1=1
1 П
1 П
1 П
Ьо + ( - 1 ^ и )х Ь 1 + ( - 1х2;)хЬ 2 = - 1у{,
" 1=1
]
п
п 1=1
1 п
П 1=1
2
I п
1 п
( - 1д^|,)хЬо+ ( - 1X1, )хЬ1+ ( - 1 л:2|ЛГн )>‘ Ь2 = - 1 х1;У|,
1 (=1
"1 =1
П
( - 1-«21)х Ьо +(-Х^И-*21)х Ь1 + ( - 1 л-2,^)х Ь 2 = - 1 дС21У|"1=1
"1 =1
"1=1
" (=1
60
Отсюда, принимая в расчет свойства матрицы планирования,
получим следующие формулы для вычисления коэффициентов
1 п
Ьо=п {=1
1 "
Ь ] = - 1 лГ1;У,,
П 1=1
I "
Ь г= -
п 1=1
или в общем виде
п 1=1
Таким образом, благодаря кодированию факторов расчет ко­
эффициентов превратился в простую арифметическую процедуру.
Для подсчета коэффициента Ьт используется вектор-столбец л:]
а для Ьг - столбец
Х2-
Остается неясным, как найти Ьо. Если наше
уравнение у = Ьо + 61X1+ Ьодгг справедливо, то оно верно и для сред­
них арифметических значений переменных:
у
= Ьо + Ь|?1+ Ьг^г- Но
в силу свойства симметрии г 1 = ^2 = О- Следовательно,
у
= Ьо. т.е Ьо
есть среднее арифметическое значение параметра оптимизации.
Чтобы его получить, необходимо сложить все у и разделить на чис­
ло опытов. Чтобы привести эту процедуру в соответствие с форму­
лой для вычисления коэффициентов, в матрицу планирования удоб­
но ввести вектор-столбец фиктивной переменной хо, которая при­
нимает во всех опытах значение + 1. Это было уже учтено в записи
формулы, где7 принимало значения от Одо к.
Теперь есть все необходимое, чтобы найти неизвестные коэф­
фициенты линейной модели
61
^ = Ьо + Ь,д:,+ Ь2Х2
Коэффициенты при независимых переменных указывают на
степень влияния факторов. Чем больше численная величина коэф­
фициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если коэффици­
ент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора параметр
оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается. Вели­
чина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в вели­
чину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого
уровня на верхний или нижний.
Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от ниж­
него к верхнему уровню. Вклад, определенный таким образом,
называется эффектом фактора (иногда его называют основным или
главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту.
Для качественных факторов, варьируемых на двух уровнях, основ­
ной уровень не имеет физического смысла. Поэтому понятие «эф­
фект фактора» является здесь естественным.
Планируя эксперимент, на первом этапе экспериментатор
стремимся получить линейную модель. Однако у него нет гарантии,
что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается
линейной моделью. Существуют способы проверки пригодности
линейной модели.
Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с
тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором
находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место
эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный экспе­
римент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодей­
ствия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов,
получить столбец произведения двух факторов. При вычислении
коэффициента, соответствующего эффекту взаимодействия, с но­
вым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с векторстолбцом любого фактора. Для полного факторного эксперимента
2^ матрица планирования с учетом эффекта взаимодействия пред­
ставлена таблице 4 . Очень важно, что при добавлении столбцов эф­
фектов взаимодействий все рассмотренные свойства матриц плани­
рования сохраняются.
62
Таблица 4 - Матрица планирования эксперимента 2^
с учетом взаимодействия факторов
Номер опыта
Хо
XI
Х2
Х1Х2
+1
-1
-1
+1
У1
+1
+1
-1
У2
+1
-1
+1
-1
Уз
+1
+1
+1
+1
У^
Теперь модель выглядит следующим образом:
= Ьо Хо + Ь, X; + Ьг Х2 +
Ь12Х,Х2. ■
Коэффициент Ь]2 вычисляется обычным путем.
Столбцы X/ и Х2 задают планирование - по ним непосредствен­
но определяются условия опытов, а столбцы Хо и Х{Х2 служат только
для расчета.
Обращаем внимание на то, что при оптимизации надо стре­
миться сделать эффекты взаимодействия возможно меньшими.
В задачах интерполяции, напротив, их выявление часто важно
и интересно.
Покажем на примере еще один способ расчета коэффициентов,
известный под названием метода Йетса. Все операции по расчету
приведены в таблице 5
Таблица 5 - Таблица расчетов
1
... .......
3
2
+ У2
+ У^
У! + У2 + Уз + у4
У!
У/
У2
Уз
Уз
У2 - У !
УЗ^У4 - У 1- У 2
У^.
У4 - У З
У4 - У З - У 2 + У 1
63
У2 - У , + У 4 - У З
Слева в этой таблице выписан вектор-столбец значений пара­
метра оптимизации. Первая операция ( 2 -й столбец) состоит в по­
парном сложении и вычитании этих значений, причем верхнее чис­
ло вычитается из нижнего. Вторая операция ( 3 -й столбец) состоит в
том же действии, но уже с числами второго столбца.
Если теперь числа, оказавшиеся в третьем столбце, разделить
на число опытов, то получим значения коэффициентов. Операции
сложения и вычитания повторяются столько раз, сколько имеется
факторов.
64
4 ПРИМЕР ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА
И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ
Рассмотрим методы построения планов эксперимента, стати­
стической обработки полученных результатов и их интерпретация.
Объектом исследований является установка для статико­
динамического продавливания труб-кожухов в грунт. В качестве
входных параметров (влияющих факторов) рекомендуется исполь­
зовать регулировочные характеристики машины: энергию ударного
устройства А и частоту о) ударного устройства и силу Р статическо­
го напора. В качестве выходного показателя (отклика) выбирается
наиболее важная характеристика процесса проходки - скорость по­
движной трубы, которая в общем случае является функцией от вли­
яющих факторов, т.е.
(4 . 1)
Задача состоит в том, чтобы выяснить какие параметры маши­
ны оказывают наиболее существенное влияние на скорость трубы, а
также уста1ювить характер этого влияния.
1) Выбор модели процесса и плана эксперимента
Центральным вопросом теории планирования эксперимента
является вопрос о выборе математической модели, которая бы адек­
ватно описывала исследуемый процесс. При бестраншейной про­
кладке трубопроводов заранее оценить характер и степень влияния
параметров машины па скорость подвижной трубы, а, следователь­
но, записать конкретный аналитический вид функции (4 . 1) весьма
затруднительно, однако, какой бы сложной функцией это влияние
не описывалось, его можно представить в виде полинома. На пер­
вом этапе эксперимента рекомендуется математическая модель
представить в виде полинома первого порядка, тем самым предпо­
лагая, что скорость трубы зависит только от линейных эффектов
параметров машины: А, ш, Р. Проведение эксперимента предше­
ствует решение вопроса о выборе области экспериментирования,
которая в наибольшей степени интересует экспериментатора. Ло­
кальная область задается выбором основных уровней А, со, Р (цен­
тра эксперимента) и интервалов их варьирования. Для построения
более простых планов все факторы будем изменять на двух уров65
нях. Верхний уровень получается прибавлением к основному уров­
ню интервала варьирования, нижний - отниманием интервала от
основного уровня. Для упрощения записи плана эксперимента и об­
легчения обработки результатов фактора и их уровня представляет­
ся в кодированном виде.
Обозначим: А = Х1, со = х^, Р = Хз, уровни факторов запишем в
кодированном виде, как + 1, причем верхний уровень факторов
примем за +1, нижний - за (-1), как показано в таблице 6.
Таблица 6 - Уровни и интервалы варьирования факторов
Основной уро­
вень
Интервал варьирования
Верхний уровень
Нижний уровень
Л,
т
Дж
Гц
н
Кодовое
обозначе­
ние
О
г
+
А~Ь,
+1
Иг
Р -- кз
-1
Теперь рекомендуемую математическую модель запишем в
виде полинома первой степени, имеющего вид:
V - Ь ^ + ЬуХу +
где
V -
62-Х-2 + 63X3 ,
(4 .2 )
скорость трубы, предсказанная уровнем (4 .2)
Коэффициенты Ьо, Ь , , Ь2, Ьз оцениваются по результатам про­
веденных опытов.
После выбора математической модели и определения уровней
и интервалов варьирования переходим к построению плана экспе­
римента. Т. к. мы имеем три фактора, изменяющихся на 2 -х уров­
нях, то построим полный факторный план типа 2, в котором реали­
зуются все возможные сочетания уровней факторов. Количество
необходимых для этого опытов определяются по формуле
66
Л^ = 2‘^ =2^ = 8 ,
где к - количество факторов
Для оценки ошибки воспроизводимости все опыты дублирова­
лись. Для избежания систематических ошибок порядок проведения
опытов выбран по таблице случайных чисел [ ].
Здесь столбцы х , , Х2 , хз определяют условия проведения опыта
фиктивный столбец хо служит для оценки параметра Ьр, в столбец V
записывается среднее значение скорости, по результатам двух па­
раллельных. Матрица планирования эксперимента 1-го порядка
приведена в таблице 7.
1
Таблица 7 - Матрица планирования эксперимента 1-го порядка
Но­
мер
опы
та
1
Порядок
проведе­
ния -х
паралл.
опытов
Отклик
Факторы
2
', 13'
8
Хо
X!
Х2
х$
+
- 1
- 1
- 1
-I
- 1
- 1
1
V
V,
3' 12'
+ 1
+
3
1Г, 15'
+ 1
- 1
+
4
6
+ 1
+ 1
- 1
V4
+ 1
- 1
- 1
+ 1
V5
+ 1
+ 1
- 1
+
+ 1
- 1
+
1
+ 1
V?
+ 1
+ 1
+
1
+ 1
V
2
5
6
7
8
', 14'
2', 4'
5', 7'
Г, 9'
1 0
', 16'
+
1
1
1
V
^3
2
1
V
6
8
Для непосредственного ведения опытов и записи результатов
лучше использовать таблицу , в которой запись матрица планиро­
вания ведется в натуральных единицах измерения факторов.
Таблица содержит строк и столбцов. В первом столбце
показаны номера двойных опытов , ,... , во втором - последова­
тельность проведения всех опытов Г, 2',... 16'. Столбцы .3, 4, 5 со8
8
8
8
1
67
2
8
держат информацию о численных значения А, со, Р, при которых
производится опыт. Столбцы , 7, заполняются после проведения
опытов.
6
8
Таблица 8 - Порядок проведения эксперимента и результаты опытов.
Но­
мер
опы
та
Порядок Условия проведения
прове­
опытов
Результаты опы­
тов
д ен и я
парал­
лель­
ны х
А,
т,
Дж
Гц
А- И/
В) - 1т7
А + И]
ш - Ь->
V',
м /с
V” ,
V,
м /с
м /с
Р-Н ,
V,'
V,"
V,
Р-И ,
V2
Н
опытов
3'; 12'
И '; 13'
Л- И,
+
А,
хо +
т
п
5 '; 7'
у:
Р-И ,
у.
А- А/
Р^к^
А + И/
Р+к,
у;
Р+кз
У."
у.
Р +к,
У«
Уя
А- к.
Г;9 '
у.
Р-кг
6';14'
2 ';4 '
V,
т
А + к{
%
Согласно порядку проведения первым проводится параллель­
ный опыт Г (столбец ), он соответствует условиям проведения
двойного опыта под номером 7 (столбец 1). Поэтому задаем энер­
гию ударного устройства равную (А- к/), частоту ударов (со + к 2 ) и
величину напорной силы(Р + к}). Проводим опыт и результат изме­
рения скорости подвижной трубы помещаем в столбец
обозна­
ченную в таблице как У .
2
6
8
7
68
Затем проводится параллельный опыт 2', который соответ­
ствует условиям двойного опыта под номером 5, т.е. энергию зада­
ем по величине (А- к;), частоту (о) - к;) напорную силу (/^ + к^).
Производится опыт, а результат измерения скорости
записыва­
ется в столбец строка 5. Далее производятся повторные опыты под
номерами 3', 4',...16'(столбец 2) по условиям двойных опытов, соот­
ветствующих параллельным (столбец 1). Отметим, что, например,
параллельный опыт 9' проводится при тех условиях, что и опыт Г,
т.к. оба являются параллельными (дублирующими) опытами двой­
ного опыта 7, однако результат опыта 9', обозначенный в таблице
У заносится в столбец 7.
6
7
Непременным условием проведения всех опытов является
поддержание значений факторов на заданном уровне в течение все­
го конкретного опыта.
После завершения эксперимента рассчитываются среднее зна­
чение двойных опытов по формуле
_
V- + V"
У / = ^ ^ , / = 1,2,...,8
(4 .3)
Результаты средних значений записывают в столбец 3.
2) Обработка результатов эксперимента 1 порядка.
Для количественного исследования влияния входных парамет­
ров на результат опыта применяем методы дисперсного анализа [ ].
1.
Сначала производится оценка дисперсии среднего арифме­
тического в каждой строке плана
2
1 (4 , - Ч ) ^
п(п
(4 .4 )
-1 )
где У,),- результат отдельного параллельного опыта;
V. - среднее значение двойного опыта;
д - номер параллельного опыта, ц = , ;
/ - номер строки / = , ,.. . .
1
1
2
8
69
2
_ - V, - У ^ - У з - У + Уз + Уб + Ут + Ув
4
8
5.Вычислив все коэффициенты регрессии (4,2) необходимо
проверить гипотезу об адекватности модели. Проверку проводим по
критерию Фишера [2] Для этого сначала рассчитываем значение
скорости, предсказанное по уравнению (4.2)
V, = йо -
- Ъг - Ьу
\>2 = 6о + 61 - Ьг - />з
Уз = 6о + 62 -- Ьт,
У = Ьо + Ь\ + Ь-1 —Ъ-^
Уз = 6о - 6] - Й2 +
Уб ~ ^0 ^1 “ ^2 + ^3
4
V? = 6о —Ь] + ^>2 +
Уз ~Ъ(! + Ь] + ^>2 + Ьч
Составим таблицу IО расчета дисперсии адекватности, записав
в нее значения средних V, , полученных по экспери.менту, значения
V, рассчитанных по формуле (4.9) и вычислив разницу между ними
Затем вычисляем дисперсию адекватности по формуле
,
Н Ч -Ч )
где / - число степеней свободы, связанное с дисперсией адек­
ватности;
N - число опытов;
р - число оцениваемых коэффициентом полинома (4.2).
Таблица 1 0 - Расчет дисперсии адекватности
72
№
V,
V,
V,
у.
У7
У«
V,
(V,- - V , ) '
V ,-V 1
( У ,- У ,у
У 2-У 2
(У 2-У 2)^
У з-У з
(Уз-У з)^
Ул - У а
(У4 - У 4 )^
у.
V5 - V 5
(У5 - У з Г
Ул
V 6-V 6
(V 6 -V 6 ^
У7
У .- У .
( У ^ - У ,) -
У«
У«-У я
(У8-Ув)^
V,
V.
Расчетное значение критерия Фишера { Р - критерия) определя­
ется отношением дисперсии адекватности к дисперсии воспроизво­
димости эксперимента
/г=
Табличное
значение,
определяемое
степенями
свободы
/ = Л '-р = 8 - 4 = 4;Л^(й-1) = 8 (2 -1 ) = 8 равно 3, 84. [3]. Если расчет­
ное значение меньше табличного, то гипотеза об адекватности не
отвергается.
.
Если математическая модель адекватно описывает результа­
ты эксперимента, то проводится проверка коэффициентов регрессии
на значимость. Проверка необходима для исключения из модели
второстепенных эффектов, оказываюш(их незначительное влияние
на исследуемый процесс.
Проверка проводим по критерию Стьюдента [2].
6
73
Рассчитаем дисперсии коэффициентов регрессии
о2
с?_
- ■8
Доверительный интервал для коэффициентов
где I - критерий Стьюдента
Для / - критерия при уровне значимости а = 0,05 и степени
свободы
N {п - 1) = имеем I = 2,31
8
^Ь^
±2,31
Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величи­
на больше доверительного интервала. Если коэффициент незначим,
то он отбрасывается и производится проверка модели на адекват­
ность по пункту 5.
3) Интерпретация.
Вопрос об интерпретации полученных результатов рассматри­
вается в два этапа. На первом этапе устанавливается, в какой мере
каждый параметр влияет на скорость подвижной трубы. Количе­
ственной мерой этого влияния служит величина коэффициента ре­
грессии, причем, чем больше коэффициент, тем сильнее влйяет
фактор. О характере влияния фактора можно судить по знаку коэф­
фициента. Если коэффициент имеет положительный знак, то это
означает, что с увеличением фактора, увеличивается скорость тру­
бы, если коэффициент имеет отрицательный знак, то скорость уве­
личивается с увеличением данного фактора.
74
На втором этапе описываются оптимальные условия, т.е. опи­
сываются такие значения факторов, при которых скорость трубы
достигает максимальной величины, либо значения удовлетворяю­
щие экспериментатора. Здесь можно пользоваться двухмерными се­
чениями - геометрическими образами, с помощью которых изобра­
жаются контурные кривые ( кривые равного выхода ) для двух фак­
торов при неизменном третьем. Это дает возможность проследить,
при каких сочетаниях факторов можно получить некоторое посто­
янное значение отклика [3].
4) Планирование эксперимента II порядка.
В случае если выбранная математическая модель неадекватна
экспериментальным данным, то эксперимент необходимо продол­
жить. Математическая модель представляется полиномом, заклю­
чающим квадратичные члены и члены, характеризующие парные
эффекты взаимодействия. Для нахождения оценок коэффициентов
регрессии используются композиционные ортогональные и рототабельные планы Бокса.
В матрице планирования II порядка, построенной на осгюве
плана Бокса, в качестве ядра (центральной точки) используются
точки полного факторного плана, т.е. точки плана I порядка, кото­
рые дополняются так называемыми “звездными” точками равноуда­
ленными от центра на величину плеча + а. Эти точки определяются
из условия ортогональности и рототабельности [ ].
С учетом вычисленных значений “звездных” точек определяет
уровни и интервалы варьирования факторов по формулам согласно
таблицы .
2
1 1
Таблица 11 - Уровни и инт^)валы варьирования
Ко­
Наименова­
довые
ние входных
назва
параметров
ния
Энергия
ударного
XI
устройства
Частота
ударов
Х2
Уровни
-1
0
+1
+ 1,7
Л- А,
А
А + И1
А + 1 ,7 И,
т —1x2
т
07 + к 2
т+
- 1,7
А -
т
1,7 /2/
—1,7/?2
75
1,7 /г2
Напорная
сила
Е -\,7кз
Из
\ЛЬз
Расчет, произведенный для трех влияющих факторов, дает
следующие результаты:
- необходимое количество опытов / / = 23;
- количество параллельных опытов « = 5;
- величина “звездного” плеча а = + 1,7.
Прежде, чем записать уравнение полинома (регрессии) отме­
тим, что для выполнения условий оргогональности, имеющего
большое значение для получения независимых оценок коэффициен­
тов регрессии, необходимо, чтобы квадратичные члены полинома
были преобразованы по формуле
X,.♦2 -.г,,
где«? = -
=
N
-(р.
0,6
Тогда полиномиальная модель второго порядка примет вид:
V =Ьо +
+*и(л'1 -<Р) + Ь 2г(х2 - « ?) + 6зз(хз -< р ) +
(=1
+
.
Обозначив
регрессии
Ьо = Ьо - <р (Ь ц + Ъ22 + Ьзз) ,
упростим уравнение
(4.8)
Матрица планирования II порядка приведена в таблице 12.
76
Таблица 12- Матрица планирования II порядка
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
х^-<р ■^2 -Ч>
-1
+1
-1
+1
-1
+1
-1
+1
+ 1,7
-1,7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
+1
0
0
+ 1.7
-1,7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Столбцы
-1
-1
-I
-1
+1
+1
+1
+1
0
0
0
0
-1,7
+1,7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Х1,Х2,Х2
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
2,3
2,3
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
-0,6
-0,6
2,3
2,3
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-<р
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
0,4
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
2,3
2,3
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
-0,6
л,2Д:з
+1
-1
-1
+1
+1
-1
-1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V
х„х^
+1
-1
+1
-I
-1
+1
-1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
+1
+1
-I
-1
-1
-1
+1
+1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V.
V,
V,
V,
V*
V.
V,
V,
V,
V.»
V.,
V,,
V.,
V,,
V.,
V,.
V,,
V»
V,,
V,,
Vп
определяют условия проведения опыта, а
столбцы Х1^, х 1^, х1^,Х1Х2,Х1Х^,Х2Х2,служат ДЛЯ обработки резульгатов эксперимента. При установлении уровней и интервалов варьрования для факторов экспериментатор вправе изменить их значе­
ние в нужную сторону. В таблице 13 дается порядок и условия про5едения опытов в натуральных единицах.
4
77
Таблица 13 - Порядок и условия проведения опытов
Условия проведения опытов
№
Результаты опытов
Па|^аллельные опыты
4>
о1 1с 13
А
07
Р
ё
I
II
III
IV
V
й5 о§
О 3*
<">■ л
о *
V;
у;
V,*
V,”
V,-
V,^'
V,
V;
V:
V;-
V,
1
14'
А-к,
07
Г- кз
2
07'
А+И/
т -к 2
Р-Из
3
15'
А-к,
т -ку
Р-кз
^3
4
13'
А+И,
т-кг
Р- кз
V.
5
09'
А-И)
т-Н^
Р- кз
V,
6
03'
А+к,
т-к^
Р- кз
V.
7
12'
А- к)
ш-к 2
Р- кз
V,
8
01'
А
т-к 2
Р- кз
V*
9
05’
А + \ , 1 к,
т- к 2
Р- кз
V,
10
02'
А - \ , 1 к,
гп
Р
V.»
11
08'
А
ят+1,7Аг
Р
V.,
12
06'
А
ш- \ , 1 к 2
Р
Ч.
13
10'
А
а
Р + \ , 1 кз
V,,
14
И'
А
т
Р - \ , 1 кз
V,.
55
А
т
Р
16
А
т
Р
1 17
А
а
Р
V,;
V,',
18
А
а
Р
V,-,
19
А
т
Р
V,',
20
А
т
Р
V,',.
21
А
т
Р
V4,
22
А
ш
Р
V;,
23
А
т
Р
V;,
+А/
78
Если уровни, ране использованные устраивают его, то можно
использовать и результаты опытов, проведенных по матрице плани­
рования I порядка.
Первым проводится параллельный опыт под номером 1
(строка 5 ). Условия проведения этого опыта; энергия удара рав­
на (у4 - й/), частота ударов равна (со напорная сила равна
(/^ 4 /?)). Опыт повторяется 5 раз. Результаты записываются в
таблицу. Далее проводится опыт 2 (строка 8), при условиях;
(А + ///), (о) + А?), (/^ + /7}) Результаты пяти параллельных
опытов записываются в таблицу и т.д. Отметим, что у опытов
с 15 ио 23 одинаковые условия проведения (все факторы
находятся на нулевых уровнях, то соответствует значениям А,
т, Г ), поэтому можно считзть, что проводится один опыт под
номером 4 при 9 параллелях, и использовать это обстоятельС 1 к а нри обработке результатов, т.е. считаем, что проведено
15 опытов, причем, 14 опытов имеют по 5 параллельных, а 15
дублируется 9 раз.
Но в момент вычисления регрессии, во избежание дополни­
тельных математических трудностей, примем во внимание все 23
оиьпа считая, что каждый повторялся по 5 раз, и в опытах с 15 по
23 параллельные испытания давали один и тот же результат.
11апример, в опыте 15 все пять дублей дали результат
V15 = VГ5 = УГз =
со средним значением У,5 = У|5
После завершения эксперимента определяется среднее значе­
ния V, каждой строке плана по формуле
Ч = ^ , / = 1,2,...,15
гдеи - количество параллельных опытов
Коэффициенты регрессии 6, вычисляются согласно таблице 12.
Сначала рассчитаем величину а,
79
« о = V, + V , + V, + V, + V, + V,. + V, 4- V, + . . . , + V , „
а у = - V, + V , - V , + V, - V, + V, - V, + V, + 1 , 7 V, - 1 , 7 V, „ ,
= а^ = -
V ,- V , + V, + V ,- V V . + V, + V . + 1 , 7 V ,, - 1 , 7 V ,,,
V , - V, - V , - V, + У ,+ V , + V , + У , + 1 ,7 V , , - ! ,7 V ,.,
«/У = 0,4 ( V, + V, + V, + . . . + V,) + 2,3( V, + V,,,) -
-0,6(У,,+У,, ^У,з+„ +У,з),
«22= 0,4(У, + У, + ...+ У,) Н- 2,3(у,, + V,,,)-
-0,6(V,+V,„+V„+V,з+...^-V„),
<з^ 5 = 0 ,4 ( у, + у , + ...+ \7,) н-2 ,3 ( у „ + у „ ) -
- 0,6( V, + У„ ^ У„ + У„ + У,3 +... ^ У„ ),
а! 2 =
У,-У,-У,-У,-У,+У,-У, + У,,
а,з=
У,-^з + У,-У,-У,+ У,-У, + У„
Ч + У ,-У ,-У ,-У -У , + У,+У,.
затем рассчитаем 6,
Ь„=ео_ ь
23
“
и
‘
16,54
^ ^ и
13,78
‘
16,54
^ < 23
13,78
"
^
13,78
16,54
^
5 ) Обработка результатов эксперимента II порядка.
1.Прежде всего, необходимо проверить результаты на выброс.
Проверка проводится в том случае, если какой - либо результат вы­
зывает сомнение (например, резко отличается по величине от
остальных, ему параллельно). Для этого все значения данных па­
80
раллельных опытов упорядочивают либо в сторону увеличения, ли­
бо в сторону уменьшения
У,<У2<..<У„
или У,>У2>...>У„
в любом случае 1- экстремальное значение скорости. Затем
вычисляется статистика
-У2
М = V,
V, - V п
Если М превосходит табличное значение, то результат данно­
го от>1та У) либо отбрасывается, либо заменяется средним значе­
нием. 1 абличные значения М приведены в [2 ],
I После устранения выброса рассчитывается среднее значение
каждой строке плана
I V/
■/= 1,2,...,и
где п - количество параллельных опытов.
2.
Учитывая требования регрессионного анализа, проводится
проверка на нормальность распределения. Для этого вычисляется
') дисперсия каждой строке плана по формуле:
п-\
и стандартное отклонение
«-1
81
где
- результат параллельного опыты;
V, - среднее значение в строке;
п - количество параллельных опытов.
Вычисляют среднее отклонение
V^+|)
_
Д=
/7-1
Если
а) практически все отклонения А, не превышают З.^
б) примерно 2/3 отклонений Д, меньше 5
в) половина всех А/ меньше 0 ,6755 ,
то распределение результатов считается нормальным.
3.
Теперь следует убедиться в однородности дисперсий. Одн
родность проверяем по критерию Бартлена, согласно которому вы­
числяется дисперсия
N
Ъ-г,
и=\
и рассчитывается величина
2,302б [ 21о 5 | ^ | - 1 г„ 1е 5 «^)
где с = 1+
1
_1_
3(Л^ + 1)
=
число степеней свободой дисперсии;
=
- общее число степеней свободы;
Л/- число сравниваемых дисперсий.
г
82
(4 .9)
Вычисленное значение критерия Бартлена
сравнивается с
табличным
при статистической надежности а = 0,05 и числе сте­
пеней свободы N -1 [ 1]. Если
меньше
то гипотеза об одно­
родности дисперсий не отвергается. Если дисперсии однородны, то
рассчитанная по формуле (4 .9) дисперсия принимается за диспер­
сию всего эксперимента.
5 . Проверка коэффициентов регрессии на значимость прово­
дится для исключения из рассмотрения коэффициентов, оказываю­
щих не существенное влияние на результат.
Проверка проводится по критерию Стьюдента. Коэффициент
регрессии считается значимым, если его абсолютная величина
больше интервала, вычисленного по формуле
Д6,
где
~ среднее квадратичное отклонение всег о экс­
перимента
п=
сумма квадратов факторов матрицы планирования,
равная диагональным элементам информационной матрицы для со­
ответствующих коэффициентов регрессии;
1 а , / - критерий Стьюдента при заданном уровне значимости а
= 0,05 и число степеней свободы / = уу-1.
5 .Проверка математической модели на адекватность. Для этого
определяется значение V, полученное из уравнения (4 .8), т.е.
= ^0 +
\'|х
+ ^2
^3 +
I + *22
^ 3 ) + ^12 + ^13 + ^23
+ 1,7^1 + 2,3^11+0,6(622 +'*’33)
= ^0
+ 2,3/>л —0 ,6 (Ь22 ■'■^з)
= Ь()
У х | -1^0 + 1,7/>2 + 0, 6Лц + 2,?>Ь22 - 0,6633
=/)() - 1.7/>2 + 0,66 [| +2,3^22 - 0,6^33
^ Х 111 =^0
1^76з - 0,6Л| 1 - 1,6622 +.2,36зз
^ ’Х 1 ="^’0 - >.7Й2 - 0,66,1 - 1,6622 + 2 .З633
1 + *22
+^3 )
Рассчитаем дисперсию адекватности по формуле
о2
где г„ - число параллельных опытов в каждой строке плана;
У,^- среднее арифметическое и ги параллельных опытов
в 1/-Т0Й точке плана;
V,,- предсказанное по уравнению регрессии значение
в «-той точке плана;
/1 = N - а - число степеней свободы;
а - число значащих коэффициентов регрессии.
Проверка на адекватность математической модели произво­
дится по критерию Фишера. Вычисляем расчетное значение крите­
рия Фишера
с2
Р =
<г2
По таблице в [ 1] определяем табличное значение при уровне
значимости а = 0,05 и степеням свободы У\ = Ы - о . и \'2= N - 1
Если расчетное значение /^-критерия не превосходит таблич­
ного, то гипотеза об адекватности не отвергается.
После проведения всех проверок переходят к интерпретирова­
нию полученных результатов и выработке рекомендаций по уста­
84
новлению технико-экономических показателей исследуемом уста­
новки.
Таким образом, в разделе подробно рассмотрены основные
понятия планирования эксперимента; задачи, виды, тактика и стра­
тегия экспериментов типы, выбор факторов и требования к ним.
Для проведения эксперимента любого типа необходимо;
- разработать гипотезу, подлежащую проверке;
- создать программы экспериментальных работ;
- определить способы и приемы вмешательства в объект ис­
следования;
- обеспечить условия для осуществления процедуры экспери­
ментальных работ;
- определить способы и приемы вмешательства в объект ис­
следования;
- обеспечить условия для осуществления процедуры экспери­
ментальных работ.
85
ЛИТЕРАТУРА
1. Задгинидзе И. Г. Планирование эксперимента для исследо­
вания многокомпонентных систем. Москва : Наука, 1976 , - 367 с.
2 . Закс Л. Статистическое оценивание. - Москва ; Статистика,
1986 . - 598 с,
3 . Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. - Москва : Наука, 1973. - 832 с.
4 . Кожухар В. М. Основы научных исследований : Учебное по­
собие. - М.; Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»,
2010 . -2 1 6 с.
86
СОДЕРЖ АНИЕ
1
1.1
1.2
1.3
2
2.1
2.2
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4
введение
Теоретические и эмпирические исследования
11,ели, задачи и стадии теоретических исследований
Выбор направления научного исследования
и этапы научно-исследовательской работы
Методы теоретических и эмпирических исследований
Экспериментальные исследования
Юшссификация, типы и задачи эксперимента
Методика проведения эксперимента
Планирование эксперимента
Основные понятия и определения
Параметр оптимизации
Определение фактора
Выбор модели
Полный факторный эксперимент типа 2 *
Пример планирования эксперимента и обработки
результатов
Литература
87
3
5
5
7
12
18
18
24
26
6
36
42
45
53
65
86
с . к . Ельмуратов, А.Ф. Ельмуратова
ОСНОВЫ
НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Учебное пособие
для магистрантов
Бумага офсетная Формат 60x100 1/16
Плотность 80ф/м^. Белизна 95%. Печать РЮ О .
Усл.печ.стр. 5. 5. О&ьем 88 стр.
Подготовлено к изданию и отпечатано
в издательстве «Эпифаф»
РК, Алматы, ул. Байтурсынова, 22
тел.: 8 (727) 233 83 89,233 83 43,
233 80 45,233 80 42
е-таЛ : ер1ёгаП2@ т а 11.ш
Эпиграф
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
2 201 Кб
Теги
osnovy, eksperimente, 4253, elmuratov, nauchnie, planirovanie, issledovanie
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа