close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

1730 nursultanov k diskretti matematikalikh logika k. nursultanov

код для вставкиСкачать
КАЖИ Н У Р С У Л Т А Н О В
ДИСКРЕГГ/
МЛ ТЕМАТИКАЛЫК
R ЛОГИКА
швшшшшшшшшявшшшшяшшляшшшш
К А ЗА К С Т Л Н РРГГГУ КЛИК АСЫ ЫЛ1М ЖУН1 ГЫЛЫМ
£
М И Н И С ТРЛ 1П
ПКЖПР1М A I ЬГНДАНЫ СБМ ЕЙ M f V U I F k l Г П К У Н И Н Г РС И Т Т П
J i
2$
мЯКШ Ш М т ^:: ^
"■ 11 I
в
й
ШШКШшШШш •В
S
ш ищ Ж Я Й Р' ж Ш Д
КАЖИ НУРСУЛТАНОВ
Я§
§§
g p t
* ф Ъ №
'e m -
-
ДИСКРЕТТ1
МАТЕМАТИКАЛЫК
ЛОГИКА
У ниверситстпн « М атематика» ж ан е «И нф орм атика» мамандыгы
бойынша двртс алатын студенттер)н е. орга м сктептщ , гимназия мен
ш цейдш математиканы терендетш окытатын сы ны птар uioKiprrepiHC
армалтан оку куралы
В
|
§
I
Зк
Щ
5
5}
ц
|§
и
щ
©
1
1и
ц
щ
Ц
С е м е й - 2002
§
^
$
К- Нурсултанов - Дискретп математикалык логика. Ш акэр 1М атындагы
Семей мемлекетпк университет!.- Семей, 2002. - 328 бет.
ISBN 9965-492-26-3
niKip берушшер: Шыгыс Казакстан техникалык университетжщ
профессоры, ф.м.г.д. - Н.Г. Хисамиев:
Шэкэрш
атындагы
Семей
мемлекетпк
университетшш доценп. ф.м.г.к. - Э.П.Мустафаев
Бул
оку
куралы
университеттщ
физика-математика
факультет! нде «математика» жэне «информатика» мамандыктары
бойынша бшм алатын студенгтерге арналган. Оны университеттщ баска
жогары оку орындарынын. гуманитарлык, табигаттану факультеттершщ
студенттерше жене де математиканы тереидетш окытатын орта
мекгеппн. гимназияиын, колледждщ жэне лииейдщ шэюрттерже,
сонымен катар, математика мен математикалык логика саласында
«шпнен 61Л1М1Н толыктап, кемелдендфгкл келетшдердщ баршасына
усынуга болады.
Басма?a IlloKopiM атындагы Семей мемлекетпк университетшщ
f ылыми-адкпемелш пенса усынган.
ISBN-9965-49^-26i<>
7!
ЩжК/
Ш '
С к Нурсултанов
© Швкерни атындагы СМУ, 2002
2
Ш
! Li>J
Математика мен югнка «н коне, м . >hi i жас жоне «желаем « т е м е
к(ид|ктсс его пои. (Han лойекпк л; >лел ciin, бупнт 1 мектеп
магематмкасынла калт калдырылмай окыгылым келс жагкаи <1>а г,.
(б I о (>2 ■»о IS) не it НифогорОыц (б i О 580-500) георсмаларын, \numxni
(О I в / 1
денвлерж жопе /.«к тд fii § h J56-300) ш п р и гаж т .с .с
ежелп л \ iiiioiiiit a.'ii ашкы айгулы матемагиктеримм oi не ми р а с б о п
жегкем мураларыи а гай аламьн
Алдынгы агамам огкен apt ы шмаидык айтул ы ойшылднрдын
лапагер.'пк окуы жоме еолпрдмц aopicKepaiK енбектер} аркасынла йу«м
I омами о) мм казыиальм ы гаia акыл аормст’не с у йенin жасалган
. tрис тате tt> тгокасы ( Ipui'mom? н, f Органоны), гылыми ма тема тканым
1 ум> мши hoK.int) Ihilташ ииры (Пикни) Ъеметтnepi) еыилм туп
ipreTttcrbiK гылыми жауНарлармсм голыкканын оркеииет гармхы жаксы
б'шеai. I-нклид Бастамалары. бул купле, «Аксиома гикал ык математика»
немесе «Элементар геометрия курсы» т.с.с. лег ем атаулармен орта 61л1м
береги» мектепrepaiи баршасынаа neriiri оку no«i ретшде куш бугшге
деГин yncMi журп млin кедед».
Аристотель Органоны (Ой каруы) ка ирг i гылым жуйес1 мен оку
ypaicinae oiapa магыналас ортурл! мынадай баляма сездермен аталады:
Арнспютс. ib Органоны пункт ы -Лэстур нк iwhkii Нионымдыч; югнка
"Кжкснкачыц.кк'чко ч К а т м .югнка -Формаяьдыц логшга
Эубаста грекпм "logos (ой, сок угым. Manic) деген байыргы
сомнеи туымлап opic алган .югнка деген атауыш со», бул кундс. уш
турл‘| угыми магынада жумсалады.
IjipiiiiuiacH, логика сой аркылы объект ив гi дуние нэрсслер! мем
кубылыс гарынык даму урдюндеп багдарлык багытгар. реттегнми
замдылыкгар белпленедг Осыган карап, логика ceii казак гимне кисын,
кисындама деген согдермен аударылып жур.
Объсктнвп’к дуние нэрселершщ жарагылыми жэне даму урдклн
карасгыратын логмкамы объекпшчпйк .ю гнка деп атайды. Объектигпк
логика аясында «Окигалар логикасы», «Таным логикасы», «Эрекетгер
логикасы» т.с.с. деген угыми атаулар мен пондер жуйес1 eMipre келген.
Еммипдещ .ю гнка coii аркылы объектмвпк дуние нврселерш
бейнелейтш ойлау ypnicinin зянлылыктары мен басты багдарлары
белп.ченелг Осымлай магынада жумсалатын логикалы к iiLudi
суФмктилммк логика дейдг
Логика co3i алдынгы айтылгамдармем катар yuiiHtut 6ip магынада
кен*нен колдан ылалы. Онда «Логика- дурыс ойлау калыптары
(форматары), амалдары ж эне к,агидалары (зацдары) туралы гылым»
деген угыми аныктама басшылыкка алынады.
\ сынылыи отыртан оку куралымда логика сез», непзжен, осы
сонгы у utiHuii магынасында устемйрек жумсалады.
Колданыстык nop.\tmi мен аясы осыншама кенейгеи логика пож
н:аз!рп кезде коп кырлы, сан салалы opicri де оркенд1 гылым жуйесш
тузед!. Онын басты тармактары катарында Д и а л е к т и к а i ы а, л о г и к а ,
м одальдьщ
( к и ж е н ш и .и к
пей
м ум кт дЫ к)
логикасы ,
колдаш ниы
л о г и к а , м а т е м а т и к и л ы ц л о г и к а т.с.с. деп аталатын озйнн арнаулы
эертгемн Hopceci жэне машыктык эдкл бар ар алуан логика пэн дер i
t)Mipre келдк С олардын iuiiw ien б у п н п заманда айрыкша кенш
а>дарарлык бастылардын oipi м а т е м а т и к а м и к , л о г и к а noni боп
табылады. Математикалык логиканын барлык логика саладары гшжде
ерекше орын» а койылуынын аз!нд1к ce6e6i бар.
Бфтвщшен, математикалык логика бор рылымга бастамшы opi
уйткы болган математика мен логиканын одактасуынан тугаи аса
Iюр менд! о Г?кару ы боп табылады.
Екиишден,
бупж i
математикалык
логика
информатика
и е п з ж р ш т жопе компьютерли тех н и кан ын теориясы мен TUii боп
иызмет аткарады.
М атем ати калы к логика пэшнщ тууына математикалык анализ
бен eceirreyiai машинанын туп атасы, улы математик В Л е й б н и ц (1 6 4 6 1716) ашкан екинк санау ж уй еа не непзделген «Есептемелер oitepi» атты
енбел бас там шы бо.наны тарихка аян шындык. В Л ей бн н ц п н идеясын
жаидандырып^жалгастырушы агылшын логин api математип Д ж о р д ж
Б уль (1 8 1 5 -1 8 6 4 ) болган. В.Лснбництш ех ш к санау жу нее in д еп
есептемелер, Дж. Буль алгебрасы жоне математикалык логика rrcwi
iquipri жоне математикалык логика rami Kaiipr i заман математикасынын
« Д и с к р е т н ы я г и и и ж ы р ш щ ы м а т е м ш п и к а п деп аталатын тармагынын
6ip оркенд! с :ыасы на жатады. Ал д и с к р е т п и м а т е м а т и к а t ы /\ л о г и к и
информация лар теориясынын, комггьютсрл*к техника тЫ ш н жоне
алгоритм дер теориясынын б у п н п математикасы бои саналады.
Ка зip математика мектеби окудьш бас там и opi узтгйшз отш етж
турлаулы
ж» ретшде уием» окытылып келедг Ал математиканын
сынары - логика 1918 жыллан 6epi карай кенсс елдершле бастауыш я
орта чектептерде турлаулы дари пан ретшде окытылып корген емес.
Осы оку ку рал ымен таныекан орктм логикасыз математика жоне
магематикасыз клика деген
ол не? - деп ойланса, сила ftii ко iдеген
мак с аттик му рат ка жетпк деп бдоешз.
Оку куралым к;>м1лдеид1{йп1 6acnata m ip/icyre акыл*кецес!мен
бо/йскеи рецситеиттер
ф ч ». до к горы, профессор НJ Хисамиенке,
ф.-м * кандидаты, до цент А М.Мустафаепка жоне осы кгтаптыи жарык
кору же* «.фдем жас»*ан жауакерш 1лт шеггсул* «ЬАИГ» c e p iir r c v T ir iH iH
ие? epi Тшшакожа Ьектур мырзага шыиайы кон1ллси шыккан
ри юшмльпмм дм oi.mtpifi, ал ш е айпмы и.
А «тор
4
I -бошм
1• rapay.
IMAТЕМ А'ГИКЛИЫ Ц HOI ИКЛ1 Л
К1РК ПК ТАРЛУЛАРЫ
MA ТЕМА ГИКАЛЫК ВАСТАЛЫМДАР ЖОН1
БАСТАПКЫ Ш Д Е Л Д Е М Е Л ЕР
Философия (Линк ii.iKH.iMn I ijiimi aJWWM'.rijm а у м о м
ашык к а т а н . г я б н т г ien а т м т м у >ы жттшп d r r v i f i i u f
a-flltN ГГ ИИ С11МЛГ1И
Ьу I Я11Ш1ТЫЦ .VWUlftHI
ytMoypwui.
9ti(fWitK г е е . геометриалмк пишнлерлен ry и и*и M T fU fm n
tmiHiii в |д п л 1 м л 9 0 . Г ены га ими они а л м г м ш м т м м ш
у ям штвптыи (Цр с е т и m уга алмайды
ГалклаоГмшмЙ 11ро6м|»1мх щ частср
Мосиод. Наука- 1 ' 41 бег
S /.
А л га ш ц ы м ат ем ат и калы к,
м ек т еп , о н ы ц дам уы м ен д а гд а р уы
А риф м етикалы к математиканы н
аргы а I асы Пифагор
Бул кунде буюл еркенметп халык т ана ш ннш твлсеиндей
тутынатын «М ат емат ика» (грекше: "mathematika" - (Siл: ми ипм) деген
атауыш cm б ш м кеш сппнде, алгаш рст, бпдш замамымьпдьщ ар
жагындагы 6-5 гасырларда колданыла бастаган. Ол г р е т н “mathema"
(б ш м , тану) дейтш байыргы сетш щ жэне де “tcchmka** (ic мер лне. енер.
искусство) деген сеинен калган М а журнагынын 6ipiryiHeii жасалган
туынды сез боп табылады. Сейтш, «М атематикам аталымынмн зубаста
вЫ м и онер немесе Лигш и т ану леген магм нала жумсалганын айкын
керемп.
Бупнп б т т н оргада кеншен белгш dpi беделд! oip ютаби
булакТЬВД деректемесже суйенсек, "m athem atika” emit ежелгт грек
ойшылдарынын арасында «коы канары », «нуряы .жарык>у немесе
агарт у араты» деген керкеми тен ем дт аныктама кызметшде кешнеи
колданылса керек.
М ы с а л ы . «Адамнын кез! жарыкты - ауадан, ал жаны жарыкты
гткиЬетапкадан алады» - деген гибротты niKip Зенон, Аристотель сынды
ежелп дуние ойшылдарынын аузынан туспейпн акылман с е з болган
(Ф.Роузснтал. Торжество знания Пер. с англ. М., «Наука»-1978., 163бет. 30-ескертпе).
Алдынгы айтылгандардан математика деген атами сездщ ,
зубаста, адам жаны мен ойын б ш м нурымен жарыктандыратын
агартушы пен аты репнде туып. калыптасканын ж ене онын сол байыргы
магынасында зл 1 кунге дейш айнымай колданылып келе жатканын
ангару, б|зше. киын емес. Kaaipri заманда галамдык мэшЬур бш м ге.
машыкты свзге айналган м а т е м а т и ка пвш адамзат тарихындагы ен
5
алгашкы математикалык гибадатхана - Пифагор мектебтде е м ф г е
келген. Бул ойдеректщ аныктыгы мен акикаттыгын буюл элеми
данагерлк бш м нщ 6ipiHini устазы, ойтану логикасынын тупатасы
Аристотель Стагерити (б.з.б.384-322) хаюмнщ сездер1мен айгактауга
болады. Ол езшщ метафизика (грекше: “Meta ta phyisika”- физикадан
кешип тану немесе табигатка шеспе танысу) деп аталатын ен алгашкы
данагерлж енбепнде Пифагордын, пифагоршшдердщ математикалык
жэне дуниетанымдык окуы жайлы сан мэрте сарамалар жасайды.
Bipimni устаз былай деген:
Бурын жопе цайр пифагоршшдер деп аталатын адамдар математиканы
оцып, уйрепу opi зерттеумеи шугыпданып, оны ец fiipiinui боп дамыпщап жоне
де, оны кемел игерт алган соц. оны (ягни математиканы) Сюр бармыс
бастамалирыныц (Ълемепттерйнц) бастамасы деп санаган.
Математикалык; бастамалар iiuindeei 03inii{ жаритылысы жагынан ец
илгашцьп бастама - ол сап жоне сандар арасындагы гармония miineeiMdiK) боп
табылады. Сол себептi пифагориилдерд/ц уйгарьшынша: «Бир олем - гармония
жопе сап»... Сонымен цатар, пифагориплдер. Норсе атаулы - саппыц
елттеушш (имитациясы, каипрмеп) - деп бшгеп. (27. 75-76, 79- беттер).
Аристотельдщ бул ой дэйектемелж сездерше суйене отырып,
Пифагор окуынын таными сипаты жэне тагылыми кызмеп жайлы
б1рнеше турлаулы тужырыми ойлар айтуга болады.
♦
Аристотель заманында жэне одан бурынгы гасырларда (б.з.б. 6-4
f f .) Пифагордын философиялык кезкарасын жэне онын математикалык
окуын терен уккан, беюм устанган эр: оны уагыздаушы пифагоршшдер
атты ойшылдар eMip кешкен.
♦
Пифагоршшдердщ кулл1с1 бас устаз Пифагордын e3i айткан
«Бардын 6api - сан» деген ойурандык калыптаманы кагида туткан.
♦
Пифагор окуынын ен баскы 9pi басты тупмешстж ойбейнеа, ягни
логосы (грекше: “logos” - сез, угыми ой) сан туралы угыми ой боп
табылады.
Сан немесе сантану деген угыми сез галамдык бш м и пэндерде
арифметика (грекше: arithm os” сан ) деген термин аркылы
белгшенш керсетшедк
♦
Пифагорды арифметикалык; математиканын немесе сандьщ
математиканын аргызамандык атасы деп атауга болады.
Тарихнамалык таныстырмалар. Мнесархулы Пифагор Самоси
(6.3.6.580-500) Жерорта тещзшдеп Самос аралында e M ip re келген. Онын
экес1 Мнесарх шебер тасмусшпи, аукатты саудагер жэне саяхатшы адам
болса керек. Пифагордын uiemeci Пифаида ханымды буюл арал халкы
киeлiк касиет! бар эйел санап, зор кад1р туткан. Пифагор деген eciM ,
онын анасы атындагы «Пифая» (киел1 касиет) деген сезге сэйкес
койылыпты.
Пифагордын енер мен бш м ге деген кабшеп мен куштарлыгы
балгын бала жасынан байкалган. Ocipece, онын саз бен сурет eH e p iH e
дарындылыгы 5-6 жасынан айкын танылыпты. Пифагор бала жасынан
балуандар куресше жэне баска дене сайыстарына жш катынасып
отырган. Ол 15-16 жаска толган шагында буюл Греция ела бойынша
6
дэстурл1 турде етюзшетш олимпиадалык ойындар сайысына катынасып,
онда жас ecnipiMflep арасындагы жудырыктасу (бокс) eHepiHiH жулдегер1
атагына иегер болады. Есейген 20-40 жас арасындагы ж1герл1 жнтгпк
кезещнщ басым капш ш гш Пифагор бш1м Hepi мен балын жинау
саяхаттарына жумсайды.
Ол, ен eyeni, Жерорта тещзшвд Kiiiii азиялык жагасында
орналаскан айлак(пристань) Милет шаЬарына барады. Бул кезде эй гш
жеп данышпаннын бастаушысы Фалес Милети (6.3.6.625-547 ж.ш.)
непзш калаган тунгыш даналык гибадатхана - Милет мектебшш
кемелше келш, дву1рлеп турган шагы болатын.
Милет мектебшщ окуына жаксы каныккан Пифагор ежелп
Мысыр журтына барып, онда аргызамандык кадыми пергауындар
(фараондар) заманынан мирас боп калган, мол бш м и жэне мэдени
корыктармен кеншен танысады.
Пифагор Мысыр журтынын тарихи жэне таными мирастык
табыстарымен танысып болган сон 12 жыл бойы багы замандык Багдат,
ягни ежелп Вавилония елш аралайды. Сейтш, ол тарихта бурын Таяу
жэне Орта Шыгыс елдер1нде OMip кешкен ойшыл абыздардын гылыми
мурасын терен игередь
Пифагор кырык жаска жетш, кемелше келген шагында ез отаны
Самосс аралына оралады. Елше келгамен езш щ eMip бойы кексеген
кекейкест1 арманын icKe асыруга жумсайды.Самосс аралынык жэне
онын манайын мекендеген баска елдщ бинм мен онер суйер жастарын
топтастыратын
мектеби
кауымдастык
уйымдастырады.
Осы
кауымдастык Пифагор гетериясы (сырластары) деп аталган. Б ш м
тарихына ол 6ipimui Пифагор мектеб1 деген атпен енген. Алайда, бул
мектептщ гумыры узак болмаган. Пифагор Самоста мектеп ашкан кезде
аралга Поликрат Самосси каЬар атты аяр api ашушан адам билеуш1
болган. Поликраттын аямас каЬарына душар болган Пифагор Самостагы
мектеб1н жауып, онтуст1к Италияга кашып баруга мажбур болады.
Сондап>1 Кротон каласында Пифагор аз гетериясын жанадан
уйымдастырады. Пифагордын бул мектеб1 б ш м мен мэдениеттщ
байсалды да багдарлы дамуы yuiin cepniHfli dpi нэтижел1 ыкпал еткен
айтулы мектеби оку болган. Соны гылым тарихындагы 6ipiHUii
математикалык мектеп деп атайды.
Пифагор Самоси б.з.б. 580 жылы, сексенге толган карт шагында
анер мен еркениеттщ 6ip каскай жауы Килон Кротони атты KaHimepfliH
колынан каза табады. Килон Пифагорды куз айында бакшанын imiHe
куып Kipri3eni де, курап турган буршакка от койып ертеп ж1бередь
1.2. Дэлелдемдж математика жэне алгашкы
дэлелдемгерлер
Математика есептемелж ережелерден, сызбалык салулардан
жэне непздемел1к дэлелдемелерден тузшген дэлд1 api дэлелдемдж
бш ми пэн катарына жатады. Осыган орай бугал математикалык есептер
уш улкен такырыптык тарапка белшш карастырылады. Олар: 1) есептеп
7
табу ece6i, 2) сызбалап салу ece6i жэне 3) непздеп дэлелдеу есеб).
Аныгында, табу жэне салу ecemepi растыгы алдынала делелденген
ережелер мен сызбалык тилндерге суйену аркылы шеипледь
Математикалык
ойлау
жэне акпарлау rini аныктама
(деф иниция), аксиома жэне теорема деп аталатын уш турпаггы
логикалык-математикалык сэйлемнен тузшедь Аталмыш сейлемдердщ
эркайсысы « с щ щ а т » ( а ) немесе « ж а л г а н » (ж ) деген eKi rypfli акикаттык
мэнш щ 6ipeyiH жэне тек кана солардын 6ipeyiH кабылдайтын
карапайым пiкipлepдeн курастырып жасалган курмалас хабарлы сейлем
боп табылады. Бул C0Йлeмдiк курылымнын алгашкы eKeyi (аныктама
мен аксиома) акикаттыгы дэлелаз аян ягни эркашан акикат немесе
тенбе-тен акикат пшрлер класына (сыныбына) тиeciлi болады. Сонда
акикаттыгын я жалгандыгын дэлелдеуд! кажет eTeriH математикалык
сейлем теорема деп аталады.
С ей т т , мынадай жалпы галамдык ойтужырымдар айтуга болады:
• Ойтуйшдж (тезистж) талабынын акикат я жалган ек е н ш дэлелдеу
кажет болатын математикалык сейлем теорема деп аталады.
• Аксиомалык, аныктамалык жэне теоремалык сейлемдерден тузшген
математикалык курылым дэлелдемел1'к математика деп угылады.
Математиканы дэледдещцруге тунгыш атсалыскан тарихтан аргы
гасырларда, ягни б .д .б . замандарда eMip кешкен табигаттану, элемтану
ж эн е жалпы ралами дуниетану ойшылдары мектебжщ окуы мен еюддер!
жайындагы деректерт кестедеп K e n rip in вт уд! орынды санап отырмыз.
Аргызамандык алгашкы дэлелдемгер ойшылдар
Бастами
Устиными урапды co3i
| логосы
(мишстемеа)
3
2
1
Фалес Милети (6.3.6.540 -482).
•
Бэр! - су жан
Тунгыш
данагерлж
гибалатханаicnerrec козгалыс.
Милет мектебтц бас устазы. Ралами
Су
I • Долелдепгеп
жет> данышпаннын Gipimuici. Ен
шыпдыц цани - j
алгашкы
дэйектеми
дэлелдем гер,
долд! шындыц.
математик.
I • Bapi - шектеуЫз-,
Анаксимандр Милети (б.з.б.бЮj
дж жэне м<
Аиейрон
546).Фалесп'н шэк/’рг/. Жергс лкесш ен |
'/
козгалыс.
кагылган
каданын
(гномоннын)I (шекгеус'пдЫ)
Д апагф лЫ мектеп жопе опыц
бас устазы
квленкесш е карап, уакыт влш еу эдюш ]
I • Ацырсыздьщ Oopin;
ашкан математик. Жер каргасы улпсш
цамтиды
жопе j
fiopin Сшсцариды.
тунгыш моделдеуш /.
Апейрос
Анаксимен (б.з.б. 585-525). Фалес пен
Bapi - ayа жэне aya
Анаксимандр окушысы. А й мен Кун (uieicrcycii ayа )
icnerrec козгалыс.
тутылуынын математикалык занын
Апей/юп- апейросалгаш зерттеуип.
тыц 6ip мопдмк
касиет/._______
I
2
Гераклид
Эфесси(б.з.б.540 -480). j
Таным тарихына «логос» (соз, ой,
ойлы сез) угымын тунгыш енпзген
ойшыл.
Анаксагор Клазомени (6.3.6.500-428).
Акырсыз аздар жайлы угымды
аныктауга алгаш умтылган ойшыл
математик.
От, ОТТЫ о й
(логос)
Гомеомерия
(Нэрсе урыгы)
Пифагор Самоси (б.з.б.580-500).
Бардын
6dpiH
санмен
жене
геометриялык шшшмен моделдеуге
умтылган
туцгыш
делелдемгер
математик.
Самосс аралында жэне Италиядагы
Кротон каласында Heri3i каланган
гетерия (сырластар) атты мектеби
кауымдастыктын уйымдастырушысы
жене сонын бас устазы.
3
•
Kepi - от,, оггы ой
жэне козгалыс.
•
Сезш
- от,
ал
ащылга Сшгыигап от
- нагыз $ydipemmi
куш.
•
bepi - нэрселер
урыгы
жэне
галами акыл (нус).
•
Аздыц eif азы жоц,
аздан да аз оркашан
табылады.
Bepi - сан жэне
•
Сан
(Арифмос)
сандардагыга
уксас
уйлеами
гармониялык
козгалыс.
•
•
•
Демокрит(б.з.б.460-370). Материялык
кезкарастагы
алгашкы
атомшыл
данагер.
Атом
(бвлшбеетж)
Зенон
Элейский
(б.з.б.490-430).
Аристотельдш
айтуынша
Зенон
диалектикалык ойлау жене дуниетану
эдгсжщ туцгыш жасаушысы. Дел ел деудеп Kepi уйгаруга непзделген
жанамалап дэлелдеу амалыын кенщен
колданган данагер ойшыл. Акырлы
жэне
акырсыз
KeHicTiicreri
болымдылык пен болымсыздык жайлы
ойпайым- дауга арналган тыгырык
(грекше: “aporia”- шыгар жол жок)
деп аталатын uieiiiyi киын логикалык
проблемаларды тунгыш
усынган
танымгер.
•
Жан оледи жиратушы ж ок
•
Bepi - кайшылыктар Kypeci.
•
Бос KeificmiK, коппик
жоне
цозгилыс
жок,.
Зенопныц
«Ахнлжелияк, жоне macбаца».
Жебе жоне «ста­
дион»
деп атала­
тын тыгырьщтары
(апорилары)
математикалык
ойлау y/)diciH куш
буг'шге дейш шыгуы
К'Иын
шытырмин
пайымдармен
шырмап келед /’.
•
•
1
9
сында козгалатын
шар тер!здес дене.
Bepi -атом жэне
бос
кещепктеп
козгалыс
•
Кайшылык
|
Э у бащы жоне ец
бас ты данышпан ол сан*
Жан олмегШ, ол
басщ жан uecine
ауысады.
Жер -Кун айнала-
1 _______
Платон (Аплатон) Афини(б.з.б.427347)-Афины
каласынын тумасы.
Сократтын шэюрл .Аристотельдщ i
устазы api лосы. Ол Пифагор окуын
езшщ объективтнс идея (ойбсйне)
туралы ойымсн уластыра жалгасИдея
тырады.
(ойбейне)
Платон Афины каласы манында
б.з.б.385 жылы Академия деген
данагерлж мектеп ашкан. Платон
академиясы б1здщ заманымыздын 529
жылы император Юстиниан жауып
_______
тастайды.
•
bapi - объектива
ойбейне (идея).
•
Математикалык;
формалар ой бейне
мен с е ш ш нарсеа/киы к,
цызмет
апщариды.
• Гчометрияны
щ щ ейт п.
идам
Акидемияги
бас
сщ пасып!
Казактын халыктык данагер1 Шэкэр1м Кудайберд1улы езшщ
«Уш анык» атты дуниетанымдык енбегшде «Адам акикатты тек бас
кез1мен гана емес, акыл кез1мен кередоьдейдь Шынайы шындыкты
акыл кез1мен танып бшу терен де тшмд1 жене сен!мд1 де cepniww тану
сатысы боп табылады. Ралами акикатты акыл кезгмен танудын 6ip
перменд1 каруы санатына математикалык моделдеу аркылы тану eflici
жатады. Алдынгы келпршген кестелк тарихи деректемелерд1 салыстыра
саралап карайтын болсак, акылмен тану урд1еш ен алгаш рет
математикаландырган ойшылдын Пифагор болганын анык байкаймыз.
Пифагор математикасы дереюлз ойбейне (абстракциялык идея) - сан
угымына непзделген математика боп табылады. Пифагор окуы бойынша
математикалык саннын еу баекы epi ен басты бастамшысы, белшбейтш
TynKi Tyftipi (атомы) 6iv саны немесе онын шшшдме ynrici (моделО
геометриялык нукте деп саналган. Сол себегтп Пифагорды гылым
тарихшылары аргы замангы ойшылдар арасындагы тунгыш атомшыл
математик деп санайды.
Сандарга колданылатын практикалык есептеу амалдары мен
ережелш катынастардан тузшген математикалык курылым, Пифагор
заманында, логистика деп аталган. Ал сандык немесе щнюдшк
ойбейнелерге
теориялык
максатпен
журизшген
пайымдык
ойкорытуларды силлогистика деген сезбен атайды.
Логика мен силлогистика логикалык ойкорытудын ягни
логикалык делелдеудщ бастамалык кадамы екещпп айкын ахуал. Сол
c e 6 e n T i Пифагор ой бейнен! алгаш математикаландырушы гана емес, ол
математиканы тунгыш логикаландырушы танымгер деп саналады.
Сонымен, ce3iM децгешндеп селкеу1 мол, ce3iri кеп карабайыр
математикалык едк дэлелдемгер ойшылдар заманында кайта туып,
ceHiMi нык, cepniHi карымды да, сындарлы нагыз математикалык
курылым дережесше кетершдь Атап айтканда, делелдеми делд!
математика fleyipi басталды.
10
Долелдемдж математика
логикасы
Сандык есептеу математикасы
__________(логистика)_____
Ойпайымдык сараптану
математикасы (силлогистика)
Ойкорыту (делелдеу) математикасы
Интуитивтж
(ойтусшспк)
дэлелдеу
индуктивтж
(ойменгер1мдж)
делелдеу
Дедуктивтж
(ойтушндж)
дэлелдеу
Пифагор мектебшде алгаш ем5рге келген жэне сонда окытылган
дэлелдемд1 математикалык б ш м салалары тарихи эдебиеттерде
Пифагор квадривиумы (латынша: quadrivium - торгикнама) деген сез
т1ркеспен аталады.
Сазтану (музыкатану) окуы
Пифагор квадривиумы
( терттжнамасы)
—
Сантану (арифметикатану) окуы
Пшштану (геометриятану) окуы
Жулдызтану (астрономиятану) окуы
1.3.
Влш еу математикасы. елшемсгз кеЫндппн
ашылуы жэне Пифагор математикасынын дагдаруы
Пифагор сандар математикасын (арифметикасын) пйшндер
математикасынын (геометриянын) бастамаларымен жуйел1 турде етене
кабыстыруга арнайы атсалыскан пшшпп-математик.
Сол себетч
Пифагор математикасы тунгыш арифметикаланган геометрия деп
аталады. Пифагордын бул бастамасы, кешн, алгебраланган геометрия
немесе аналитикалык; геометрия деп аталган тьщ сипатты пеннщ eMipre
келуше алгаш ашылган какпа epi cepniHfli себеп болган.
Пифагор математикасында сандык б!рл!к геометриялык
бастамшы пшйн - нукте аркылы элпеттенедь Ал, аргы заман
математиктершщ: «Ненщ еилкрндай бвлт жок; болса, сол нукте» - деп
аныкгаганын жаксы 6шем1з.
Осы айтылгандарга орай б ш м
тарихшылары Пифагорды алгашкы атомшыл математик деп атаган.
Пифагор 6ip санына геометриялык нуктет сейкес бейне етш койганнан
кешн ек! санын ертурл! ет нукте аркылы кескшдейдь Осымен
байланысты ол АВ кесшд! жене онын узындык елшем! туралы угыми
меселеге токталады. Сейтш, сандар математикасындагы «санау амалы»,
«санау 6ipfliri», «санактама» деген байыргы угыми атауыштармен катар
ещй шшшдер математикасы на кажетп «елшеу амалы», «елшеу 6ipfliri»,
«елшем» жане «шама» деген тын уплми ойлар мен атауыш сездер
жасала бастайды.
Санау, сондай-ак, елшеу амалдарынын нэтижеа' кандай да 6ip
сандылыкты есептеуге келпретш анык. Санау амалы аркылы тузшетш
сандылык санактама деп аталады. Ал елшеу аркылы табылатын
сандылык шама деген сезбен аталады. Сонымен, математика элемшде
сан угымымен етене ш ктес санактама жэне шама деп аталатын ею
турл1 атауыш сез пайда болады. Олардын ерекшелж касиеттер!, бул
кунде, жиын теориясынын т!я! аркылы сипатталады. Жиындар
математикасында санактаманы ыдыранкы (дискретп) жиыннын, ал
шаманы у з ш с а з (континуитета) жиыннын мысалы деп карастырады.
Дуниетану гылымдарында нэрсенщ я кубылыстын танымдык
белгшерш сандылык, 6emi жэне сапалъщ белг! деген eKi топка бвлш
карастырады.
Танылатын нэрсенщ санау немесе елшеу амалы аркылы табылган
кандай да 6ip санмен элпеттенетш касиеп мен катынасын сол нэрсенщ
сандылык, 6emici немесе сандык; синаты деп атайды. Ал танымдагы
нэрсен!н саналуы немесе елшену? мумкш емес, ягни санмен
элпеттенбейтш касиет! мен катынасын сол нэрсенщ сапалык б ел п а
немесе сапалык сипаттамасы деп атайды.
Кесшдшщ узындыгын, сондай-ак, баска да геометриялык
шшшдер елшемш математикалык тургыдан аягащ караушы ойшыл
Пифагор болганын жогарьща айттык. Сол ce6enTi Пифагорды тунгыш
математик-влшемгер немесе математик-таразышы деп те атайды.
Алдынгы айтылгандармен катар Пифагор циркуль мен сызгышты
пайдаланып геометриялык салу есептерш шешуге де ерекше назар
аударган. Ол дурыс квпбурыштарды салу, щецбердi тен белЫке белу
жэне дурыс кепжацтарды салу т.с.с салу есептерш шешумен букш eMip
бойы шугылданып, бул салада елеул! табыстарга кол жетюзген. Пифагор
шешкен карапайым салу ecemepi тугелдей дерлпс Heri3ri салу ecenTepi
деген айдармен мектептерде KyHi бупнге дейщ окытылып келед!.
Сондай Heri3ri тарихи салу e c en T ep iH iH 6 i p парасы 6ipni« шаршынын
(квадраттын) диагонал! туралы есептер топтамасы боп табылады.
1-есеп.(Шаошыны eKi еселеу есебИ. Ауданы бершген шаршы
ауданынан ею есе артык болатын шаршы сал.________________________
X
Д,
( Бершген!: АВСД-шаршы, АВ=а,
Д а С
I
S=a
X S=x2
! Тапсырма:
SX=2S0
болатын
а S =а2
шаршыны сал.
А
и
А\
И|
12
llletuvi.________________________
Анализ. Есеп шешшген болсын,ягни
х2=2а2 (1). Будан х2=а2+а2 (2).
TiK бурышты ААВС-дан Пифагор
теоремасы бойынша АС = АВ +ВС
немесе d2=a2+ а2(3 ).
(2) мен (3) тещцктерден х =d => x=d
Салу.
1. AC=d
кесшдьдиагональ
салынады.
2. AC=d диагональга ауданы
болатын шаршы салынады.
Дэлелдеу. 2-суреттен Sd=Sa+Sa = 2Sa.
Sx=Sd=2Sa.
Зерттеу. 1. А, С ею нукте аркылы
d=AC диагональ-кесшдш! кашанда
салуга болады жэне ол 6ipey гана.
2. Ауданы Sa болатын шаршыны
кашанда салуга болады жэне ол
6ipey гана.
Сейтш, есеп iueiuyi бар болады жэне
ол тек 6ipey гана:__________________
2-су'рет.
Есте устар ел сез1
Тартылган сый тарихтанБул Пифагор «шалбары».
Пифагорды дагдартк/лн,
1^ария есеп сардары.
3-есеп (Темиеш(кубты) ею еселеу ece6i. Колем!
текшен!н келем1нен eKi есе артык болатын текшей! сап.
Бершгет: Уа= а болатын текше
Тапсырма. Vx=2Va , х =2а болатын
текшеш с ал.
берш ен
Тарихнама. Бул есеп Пифагор-Платон заманынан 6epi карай
белгш тарихи есеп боп табылады. Койылуы жагынан алганда, текшеш
ею еселеу ece6i- шаршыны eKi еселеу есебшщ KeHicTiKTeri жалпыланган
жагдайы. Есепт!н uieuiyi а= 1 болганда х= V2 KeciHfliHi салуга кеп саяды.
Мундай кеыщ ат сызгыш пен циркульд! пайдаланып салуга
болмайтындыгы дэлелденген ахуал. Демек, текшей! ею еселеу ece6i
шешшмейтш классикалык уш есегйщ 6ipi боп саналады.
3-есеп (Олшемс'п Kecmdi туралы есеп). Бершген шаршы
диагонат онын кабыргасымен елшемдес болмайды.________
Г
Бершгеш: АВСД-шаршы, АВ=ВС= СД =
=ДА=я АС.=А
Тапсырма. d мен а елшемдес болмайа
тынын дэлелдеу керек.
Л
В
LUeiuvi. Алдымен, елшемдес KeciHiii жэне елшемдес емес
KeciHAi деген угымдардын мазмунын айкындап алган лэз!м.
д /
V
13
Аныктама. Айталык, 6i3re АС жене АВ ем Keciiifli бершсш. Осы
екеушщ GipeyiH (меселен, АВ -ны ) елш ем б1рл!П деп алуымызга
болады.
Егер — цатынасы к,андай да 6ip — турИШега цысцартылмайтын
АВ
п
белш ек сан аркы лы врнекш елепин болса, о нда АС ж о н е А В KeciHduiepin
влш ем дес кес'тдЫер деп ат айды .
Егер
кртынасы щандай да 6ip — inypindezi цысцартылмайтын
АВ
п
белшек сан аркылы ернектелмейпин болса, онда АС мен АВ Kecindinephi
влшемдес емес кестдер деп атайды. Олшемдес емес кес 'тд\лерд1 елшем/
жок; кестдшер немесе елш емйз кес'тдЫер деген сездермен де атайды.
Карастырып отырган ecenTi шешуге кешем1з. Мунда делелдеу
Kepi уйгару efliciMeH журпзшедк
Айталык, бершген шаршынын диагонаш шаршы кабыргасымен
елшемдес болсын. Сонда алдынгы айтылган аныктамага сейкес
мынадай тендш тура болуы тшс:
= — (1 ). Мунда ш, neN жене ш, п
АВ
п
сандарынын eKeyi б1рдей жуп сан бола алмайды. Егер KepiciHme болса,
онда — кыскаратын белшек боп шыгар едк Осындагы (1) тещпктен
п
мынаны жазуга болады
АВ~
= —г
щ
(2) . Пифагор теоремасы бойынша
=2
ДАВС-дан А С2 = 2АВ2. Будан
(3) болады. (2) жене (3)
тещпктерден -V- = 2 . Будан т 2 =2п2 (4). Сонгы тещпктен ш2 - жуп сан.
п~
Сол себеггп ш-жуп сан болады, ягни ш = 2к (5) . (4) мен (5) -тен
4k2=2n , ягни 2к = п2 (6) . Будан п2 - жуп сан, ендеше п- жуп сан болуы
тшс.
Сейтш, делелдеудщ нетижесшде m, п сандарынын eK eyi де жуп
сан деген корытынды ойга келдк. Бул делелдеу басындагы уйгарымга
кайшы келедь Осы кайшылык уйгарудын кате, ал есеп тужырымынын
акикат ой екещйгш айгактайды.
Карастырылган 1-есепте АВСД шаршынын AC=d диагонаш
еркашан бар болатын кесщщ, ал сонгы З-ecenTiH nieuiyi бойынша d
диагональ елшем1 жок, ягни eiu6ip санмен ернектелмейтш кеаш н боп
шыгады. Сейтш, Бардыц 6api - сан деп уагыздайтын Пифагор окуы
шындыкка жанаспайтын жалган уагыз боп шыгады. Осы ахуал Пифагор
мен пифагорнплдер ушш жарык кунде ашык аспаннан жай тускендей
веер еткен.
Пифагордщ бшмеак uieKiprrepi оган «Eapi сан болса, онда
шаршы диагоналте сейкес келепйй сан кене?» - деген сауалды
жамырап коя бастайды. Бул тосын сауалга карт устаз толымды жауап
бере алмай тосылып калады, дагдарыстык куй кешедь внер мен бш мнш
14
eurrecrepi осы урымтал c e n i утымды пайдаланып, ойшыл математики
KyFbiHFa ушыратады. Жауыккан душпандардан кашып журген Пифагор
Килон кашшер жауыздын колынан капияда каза табады.
Ойтушндемелер.
• Пифагор математикасында елшем! жок кесшдшщ (б!рлж
шаршынын d диагонал!) ашылуы букш галам математикасын
айыгуы 2500 жылга созылган дагдарыска тап еткен. Муны
жаЬандык математиканын 6ipiHiui дагдарысы деп атайды.
• ЖаЬандык математика 6ipiHiui дагдарыстык ахуалдан 19-гасырдын
аягы 20-гасырдын басында гана толык айыккан. Оган Карл
Вейерштрасс (1815-1891), Р.Дедекинд (1831-1916), Г.Кантор (18451918) жене Д.Гильберт (1862-1946) сынды улы математиктердщ
иррационал сан угымын ашуы жене соган суйенш нактылы сандар
теориясын жасауы медеткер болган.
• Накты сандар жиынынын гылыми теориясы жасалуынын аркасында
кесшд1 узындыгынын елш емш аныктаумен катар “елш еу
т еориясы " немесе "ж иы н елш ем Г ’ деп аталатын математикалык
тын гылым саласы eMipre келдь
• Пифагор математикасына TynKi тугыр болган дискретпйк, ягни
ы ды ращ ы
сандык жиындар (N мен Q) K a 3 ip ri кезде
континуитеттт, ягни узш сЫ з жиынга (R) кенейтшедь Сейтт,
ipre тасы Пифагор мектебшде каланган дискретпк математикамен
катар R накты сандар жиынына непзделген жана континуитепитк
(узшмхпз) математика eMip кеше бастайды.
§2. Т эрт т т елген крст ар ж ен е е к ш к санау ж \йест дег1
есеп т еу м ат ем ат икасы
2.1. Санау ж ене е к ш к санау жуйесшдег1 есептеу математикасы
Санау амалы “6ip” санынан басталады. Атап айтканда, санау
ypflici “6ip” аркылы 6ip-6ipjien санаумен icKe асырылады. Ал есептеу
урд1с!не “eKi” саны непз боп табылады. “6ipee 6ipdi косу” аркылы exi
саны аныкталады. Сейтт, крсу амалы ен алгашкы есептеу амалы боп
саналатынын кереупз.
Ауызею тшдш жене математикалык колданыстарда “кос” жене
“ею” деген сездер 6ip ойдын ортак белилемее* ягни тен магыналы
баламасы perinae жумсалады. К,ос жене ею сездершщ арасындагы
осындай теркшдес туыстык жене турмыстагы тутыныстык сипатгары
казактын акпеюл акынларынын 6ipi Телеген Айбергеновтщ “EKi” деп
аталатын елецшде былайша бейнеленген:
Кейде, досым, свйлеймш мен екеу боп,
Ею ой каз1р аллы. меж мекендеп.
15
E ip а д а м н ы н о й ы i3ri.
Кос рельс зымыратар посзды.
Кос шекпен домбырага куй келер,
Кандай осем пар ат жеккен куймелср.
Омырауынан бурипк жарып кос алма ак,
Музыкалы кыз OMipi басталмак,
Кос канатпен кыран ушар аспаидап,
Бакытымды жасаймын мен кос колдап.
(Т.Айбергснов.Бф юйым бар. Алматы
"Жазушы”, 1989. 56-бет).
Ттршшж пен т ш м 1зге кария заманнан астаса араласып, кабыса
кайнасып KipiKKeH кос = п ар = ег1з = ж уп = екеу деген сездер жинамы
аркылы
айшыкталып
елпеттенген
ем 1ри
м эн д ш к тер
мен
oйбeйнeлiктepдiн баршасын математика т ш н д е кос деген жалгыз ауыз
угыми атауыш сезбен гана моделденедк
Математикада кос угымын eKi элементтен туратын жиын аркылы
аныктайды.
Айталык А={а, b} (1) eKi э л е м е н т жиын б ерш ен . Онын а, b
тузушалер1, жаратылыми т е п жагынан алганда, тыскаргы дуниедеп кез
келген заттык нэрселер немесе iuiKi саналык сарайдагы б ел гш 6ip
ойбейнелер немесе угыми белплемелер болуы ыктимал.
1-аныктама. Егер де б е р ш е н ею эл ем ен та жиын тузуш ш ерш щ
ретгелгми тэртГб! б ел гш болса немесе eKi элементтен кайсысын 6ipiHiui,
кайсысын еюнпп деп алуга болатыны алдын ала айкындалган болса,
онда мундай жиынды крс немесе пар деп атайды.
Косты былайша белплейдг. А= (а, Ь) (2) немесе А =< а,Ь > (2 ).
Мундагы 1) а, b - тузущшер! костын щ ост ас немесе жуптас
элементтер1 деп аталады. Атап айтканда, а - 6ipiHiiii костас элемент, b eKiHmi костас элемент. Оларды сэйкес турде а=аи Ь=а; деп те белгшейдь
Сонда кос былайша да белгшенедй
A=(ai,a2) (3) А= < аь а2> (3 )
Бершген А жиын элементтершен костар тузу амалын
костастыру немесе ж упт аст ыру деген сездермен атайды.
Мысалы. А= {а, b } ею эл е м е ж и жиыннан костастыру аркылы
мынадай терт TYpлi кос куруга болады:
А |= (а, а ), As = ( а, b ), Аз = (b, а), А4= (b, Ь ).
Айталык, б е г е А= {аь a ;,..., а,,}, В= {bi, b i,..., bm} ею жиын
бершсш.
2-аныктама. Беръпрен А жэне В ею жиынды костастырудан
тузшген барлык мумюн костар жиынын, сол жиындардын
т ет е
к е б е й т ш д ш деп атайды. А ж эне В жиындардын тете кебейтнш Ы
былайша белпленеда:
Ах В={( aw, Ь, ) | а^еА , b e B , k = l,2 ,...,n ; г=1,2,...,гп}=
16
( ai, b| ), ( a,, b21
( ab bn
(a2, b, ), ( a2, d2) , ( a 2)bm
_ •<
(4)
( aH1 bi), ( an, b2
( an, bni)
Егер A=B болса, онда AxB=AxA=A2 деп жазылады.
АхВ тете кебейтшдш, кебшесе, «Пифагор-Декарт кебейттдШ»
деп те атайды. Осыган орай АхА=А~ костар жиынын «тете квадрат
(шаршы)» немесе «шаршы» деген сездермен де атаймыз.
Егер А= {а|,а2......а„} жиыны бершген болса, онда А2 ПифагорДекарт шаршысы былайша аныкталады жэне елпеттенш ернектеледк
''(а,, а,), (а ,, а2),..., ( а,, а„)
( а 2, aii X ( а 2,а 2 ),..., ( а 2,а„)
А =
[ 1 {( а,, а] ), | аь а2 ),
Са„, aj ), ( ап, а2
( ап, ап
( аь а„), ( а2, a i) , ( а2, а2),..., ( а2, а Д ( а„, ), ( а„, а„),..., (а„, а„)}. (5)
1-мысал. А= {а,Ь} жиынынан тузшген барлык костар жиынын, ягни А
Пифагор-Декарт кебейтшд1сш аныкта жене оны алттеп жаз.
А2 = {Аь А2, А3, А4} = { ( а ,а ), (а, b ), ( Ь, а), ( Ь, Ь)} = ( а, а ), ( а, b )
. (Ь, а ), (Ь, Ь)
2-мысал. А= {1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, 8,9 } жиын бершген. Осы дан А2 жаз.
'(1,1), ( 1 , 2
(1,9)
( 2 , 1 ) , ( 2, 2 ) , ..., (2, 9 )
> _
( 9 ,1 ) , ( 9 , 2 ),..., (9 , 9 )
= {(1,1), (1,2),..., (1,9), (2,1), (2,2)......(2,9), (9,1), (9,2),..., (9,9)}. (6)
Бупнп буюл галамдагы бастауыш бшм1 бар ер адам мулт1кс1з
жатка 6inyi шарт 6ip бш ми кестел!к кару бар. Ол оку жарагы
mxn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ч •
Пифагордын кебейту (белу) KecTeci. 6-9=54; 63:7=9.
8
6
4
7 *
3
5
1
2
8
6
7 |
3
4
5
1
2
16
14
j
12
6
4
8
10
2
24
21
18
9
15
6
12
3
32
28 :
24
12
20
8
16
4
40
35 !
30
10
15
25
20
5
48
42 |
36
18
30
12
24
6
7
8
9
14
21
24
16
27
18
. 1 С ,|■<:. .
28
32
36
35
40
45
sirt.'i'
у нм• брейте гiжн
к?т:*пхаиарЬ1
р у ч н а я 6f.б ли от енэ
ЛаЕ
рек о го госу.гг,
42
48
54
49 i
56 ;
63
л
56
64
72
9
9
18
27
36
!
1
j
i
45 1
54 ▼
63
72
81
--- --
Осындагы А: костар жиынына непзделш ерте дуниеде жасалган
Пифагордын кебейту кестесшдеп математикалык ойды б1здш дэу1рдеп
17- гасырда ем!р сурген улагат устаз, улы математик Рене Декарт ( 15961650) аналитикалык геометрия лэжн жасауымен байланысты
Пифагордын кебейту кестесшдеп математикалык ойды OMipre кайта
жангыртып оралткан. Сол себегт АхА = А“ костар жиыны ПисЬагорДекарт квбейт'шд'ю. немесе квадраты деген свздермен аталады.
Сейтш,
Декарт геометриясынын, сондай-ак, Декарт
кебейтшд!сж1н туп булагы Пифагор математикасынан бастау алганын
байкаймыз.
Косарланган костар жиынынын iiui-нде дуние танымгерлер! ерте
кезден ерекше ден койып карастырган 6ip парасы бар. Олар
“кассыластар косы немесе “ерегеспе ег/'здер" деп аталады.
Бупнп математикаланган логика тш нде карсылас костарды
былайша тусщвдрмелеп аныктауга болады.
Аныктама. Егерде бершген ( а, b ) костын 6ipiHUii Mymeci рniKip, ал eKiHLui Mymeci онын Р -TepicTeMi аркылы сипатталатын болса,
онда (а, в) косты (Р, _Р) карсыластар косы деп атайды.
Мундагы (р, р) белпЫ (р, р емес) деген ойды ернектейдь
Пифагор окуы бойынша букш галамдык болмыс атаулынын 6api
(акырлы, ак,ырсыз) немесе (шектеул!, шектеуаз) улгкймен тузшген он
турл1 карсылас костар жиынынан жаралган, солардан турады, солармен
баскарылады жене солар аркылы танылады. Осындай берш камтитын,
epi баршага ортак он Typni карсылас костарды Пифагор костары деп
атайды._________________________________ ________________________
Пифагордын костары (П), ГЬ.... Пю)
_________
П|= ( акырлы, акырсыз), Пг= ( так, жуп), Пj = (6ip, кеп), П4= (онкай, солакай),
П5 = ( еркек, ургашьО, Пб = (тыныштык, козгалыс), П7 = (тузу, кисык), П8 =
(жарык, карангы), П« = (жаксы, жаман), Пю - (шаршы, сопак).
(27,76-бет)._____________
.
______________
Ш
.
Ойтушндемелер
• Пифагордын сандык математикасына тугырлык негй erin «так, сан»
жене «жуп сан» деген eKi карсылас мушеден тузтлген кос алынган.
Ka3ipri замандык белплемелер аркылы аталмыш костардан туратын N
табиги сандар жиынын былайша ернектеп керсетуге болады.
N = 0(2)7 -1, 2п) = (1,2)и (3,4) и
M
f/l?
(2/7-1,2и)и-- - =
= {1,3,5.-% 2и-1,--)и {2,4,---, 2п, ■} = {1,2Д-,я,---)
• Пифагордын карсыластар косы жанды жене жансыз дуниедеп
козгалыстык урд1ст1н математикалык модельДёунщ боп табылады.
• Пифагордын карсыластар тобы галами симметриялык кубылыстар
мен курылымдардын математикалык моделдеугщ1 боп табылады.
• Пифагордын карсыластар косы гармониялык уйлеЫмнщ (саздык
еуенн1н, всеми KepiHicTiH, кемел бтайнш) математикалык
модельдеу1ш1 боп табылады.
18
2.2. Акылмен акпараятану тЫ жане
еуенд1 сынау алгебрасы
Кандай да 6ip галаматтын сырын ашу, сипатын угу уипн, ayeni,
онын акпарлауыш тшн б1лу лэз1м. Тшн жет1к бшмей турып, тупн
тусшуге болмайтыны - атмсактан аян акикаттык.
Ралами галаматтардын 6ip гажаби мысалы адамдар арасындагы
гашыктык катынасы екенше еш куман жок. Бул катынас адам жанынын
аса кастерл!, api барынша курдел! де нэзш акпараттык арнасы боп
табылады. Рашыктардын тшдйс арнасы: «из», «жок» немесе «суйедЬ>,
«суймейд1», деген ею мушеден тузшген щарсылас цос улйсшдеп ымдыкбелп аркылы муяпкздз акпарат алмасатын мангшк акпаршы жуйе
екешн байкау, б1зше, киын емес. Осы адами катынасты айкын таныган
акын Абай «Рашыцтыц mini —ntuicii пил, козбен кор де, iumen б'ш»деп, деп басып дал айткан. Сейтш, гашыктык акпарат алмасу тип
сырттай сергек сезшумен катар, 1штей акыл-оймен пайымдау аркылы
гана анык угылатын аса курдел! логикалык Tin екешн кердж.
Адамнын жан apeKeriHeH туындап тарайтын «гашыктык» жэне
«кумарлык» атты ею турл1 сез1ми акпараттар айырмашылыгын Абай
айшыкты елен жолдарымен былайша айкындаган.
FaiubityiibiK;, цумарльщ пен - ол ею жол,
Кумарлык 6ip nenci ymiH болады сол.
Сенен артык жан жок деп гашык; болдым,
Мен не болсам болайын, сен аман бол.
(Абай Кунанбаев.Алматы-1957,98-бет).
¥лы устазынын бул ойын IIl9K9piM акын e3iHiH «Махаббат пен
кумарлык» атты елешнде былайша жалпылап жалгастырады.
Эрине, 6ip кумарсыз oMip каран,
Ондай жаннын тура алмас оты сенбей.
Суйтсе де ифрат (максима) бар, тафрит (минимал) бар,
Жарай ма соны айырып реттемей.
Не кылсан кыл, адамга махаббат деп,
Мейлш сек, мейлш уйрет, айла 1зденбей.
Ол cyioiii шын болсын, жалган емес,
Булдыр болма езше-езщ сенбей.
(Шэкарйм.Шыгармалары. Алматы,«Жазушы»-1988.62-бет).
Осы елен шумактарынан гашыктык катынас тш дегешяш 6 y riH ri
акпаратнамалык (информатикалык) бшм тургысынан алып Караганда
езара эквивалент (тенмагыналы, тенгершмелнс) мынадай карсылас
костар аркылы тузшетш пйлдт ернек немесе пилдт цурылым екешн
керем!3.
(Бар, жок)~(акикат, жалган)~(ифрат, тафрит)~
~ (максима, минимал)~(тым артык, тым кем)~куз, курдым)~(1, 0).
Eip-6ipiM eH магыналас езара тенгермел1к костар Ti36eciH, Ka3ipri
кезде, ащюраттык, санещтау крстары{АСК) немесе логикалык,
19
сарапт ау цостары (ЛСК) деп атайды. Bi3 оларды, шартты турде,
щанымдъщ т аразылау щостары (ТТК) деген сез TipKeciiwen атауды
орынды санап отырмыз. Абай езш щ 6ip еленшде тану логикасы туралы
ез ойын былай паш еткеи.
Вас жогары жаралган. мойын томен,
Карашы, дене б1ткен репмен.
Iciniii басы ■peniiii танымицтыц,
Иман бьпмес тагатты кабыл демен.
(3. I - том, 245-бет).
1ст1н рет1н танудын ягни танылатын нэрсенщ логикалык
курылымы мен аткаратын кызметш угудын ш ыркау шыны акыл
таразысы жене сонын казылык уюм1 екенш Абай еленмен былайша
баян еткен:
Наданга арам акылды кулакка 1пмек,
Бул созден ертепш тез уйренбек.
Рас сездщ k im бш ер касиепн?
Дкылсыз шынга сенбей, жокка сенбек.
Акылды кара кылды кырыкка болмек,
Эрнврсеге езшдей бага бермек.
Гаразы да, казы да вз бойында,
Наданнын суйенгеш кеп пен дурмек. (3.1 -том, 26-27 б.).
Абай кептеген елендерш де ойлау логикасынын ен пермещ н
каруы ак^ыл екенш сан мерте кайтапай отырып, езш щ гахлиялык кара
сездерш де “акыл”, “акыл куаты”, “акылды адам” деген угыми атауыш
сездердщ логикалык мазмуны мен магынасын ашуга арнайы токталып
етедь
Ол былай дейдк
• Ю мде-юм сырттан ecmin б'1лу, квр т бйчу eeKmdi нэрселерЫ кебеш тп
алса, ол-квп жиганы бар адам: сынап, орындысын, орынсызын- б э р ’т
де баганагы ж ыйган нэрселер1нен есеп к,ылып, к;арап табады. Булай
emin бул харекетке т уа нген адамды акылды дейм1з(3. 2-т.2 16-бет).
• Тон цуатыменен сырттан тауып, сыртта сацтайтын (нэрсенщ)аты дэулет, iutmezi жан щуатыменен ж ыйган нэрсенщ аты- ацыл. (3.
2-том, 216-бет)
• Пайда, залалды айыратугын к,уаттыц аты —а^ыл. (Сонда. 218-бет).
Абайдын жантанымдык (психологиялык) ж ене ойтанымдык
(логикалык) кезкарастарын, онын ой корыту жене дэлелдеу жайындагы
логикалык калыптары мен кагидаларын Ш экэргм ез тетесш ен epicT eT e,
еней ернектеп еленмен былайша баян еткен:_________________
Акыл. жан жане ниш
Акыл деген елшеуаз 6ip жары к нур,
Сол нурды тан камы ушш жан жумсан жур.
Тагдырдын киын, сырлы сикырымен
Жан тэнге, акыл жанга матаулы тур.
(6,1988.155-бет)
|
“Жарайды”-деп,унаса, бас иземек,
Жек корсе, жшркенш д1р1лдемек.
Журепншн тип жок, ымбалы сол,
¥гмп ал да бола квр соган квмек.
(Сонда, 58-бет).
ТиуекелдЫ немесе ыктималдык
ой бет ним
[ Казакта жок акылмен ой бекггпек.
А к ы л . с е з ш ж опе онт уш нд ем е
Ойланыз акыл-б|л!м кайда болмак,
20
j Денеде, кандай орын-жайла болмак?
j Бшу, нану, унату- акыл ici
| Кайтсе зиян, кайткенде пайда болмак?
Тэн сезш, кулак ecrin, кезбен кврмек,
Мурын Hie, Т1л дэмнен хабар бермек.
Бесеушен мидагы ой хабар алып,
Жаксы, жаман api icri сол тексермек.
Ой сонда неше толгау шимай салмак,
Кайтсе жеш келер деп елшеуге алмак.
Дал солай кылайын дсп унаганда,
Эдшетп журепн 6ip козгалмак.
Bip бил1К сол журектен шыгарылмак,
I
!
I
Денеге ол шымырлап асер кылмак.
Ойынды дурыс дей мс, T epic д е й ме,
Сол арасын аныктап байка 6ipax.
Нэпа унаса болтаны, 6api бп пек.
Тоуекел дел ат койып щтималга
Байлауы жок нэрседен пайда кутпек.
Ыупимипдыц eciri екеу болмак,
IiuiHe пайда, зиян... 6api толмак.
Нысананы сыгалап дэлдеп атпай,
Кезш жумып ок аткан кайтш онбак?
(Сонда. 59 беттер)
Акыл. допел жопе хаки кат
Таза акыл акты барлайды,
Дэлелаз свзд1 алмайды.
Танитын жанга кез болса,
Хакикат жердс калмайды
(Сонда. 233-бет).
Б упн п акпаратнамалык б ш м теориясы мен технологиясынын
неп з1н математикалык логика ж эне ыктималдыктар теориясынын
бастамалары калайды. Математикалык логика р У (акикат, жалган)деген еюмуш елж кос аркылы аныкталатын р, q, г сиякты карапайым
пш рлерден тузшген врнек не курылым боп табылады. Ал,
ыктималдыктар теориясынын тшше (пайда болады, пайда болмайды) деген ею м уш елк кос аркылы аныкталатын А, В, С т.с.с. карапайым
окигалардын р(А), р(В), р(С) ыктималдыктарынан жасалган эрнек
немесе курылым жатады.
ILIaKepiM елеш ндеп «ыктималдыктын e c ir i екеу болмак» деген
сез TipKeci: «болатын А окиганын ыктималдыгы р(А)=1», ал «болмайтын
А окиганын ыктималдыгы р(А)=0” деген ойга мензенш.
Символдык немесе математикалык белплемелер тип устеми гылымдык
Tinre айналган бу п н п заманда акпарлаушы жуйелер тш н щ елшбш ушш
(р, р емес) немесе (р, р) улпсш деп _косты any колайлы api тшмд1
жагдаят боп табылады. Мундагы р, р дегешм1з карсылас магынапы
жэне тен ыктималды карапайым niKip жэне онын терютемеЫ осындай р
карапайым niKipfli ойлау логикасынын бвлЫ беатк(атомарлъщ) ninipi
деп атайды. «Атом» ce3i мен угымынын шыгу терюш, колдану аясы
жайында IIIeKepiM езш щ «Уш
анык»
атты дуниетанымдык
шыгармасында мынадай деректер келпредь
• Есю заманнын 6iniM flinepi эр HepceHiH туши H e m i неден жаралганын
тексершдамам HepceHiH Heri3i терт нэрсе деп б1лген. Онысы - от, су,
топырак, ауа. Олардан кеюнп бш мдш ер ол терт HepceHiH ер 6 ip e y i элде
неше непзден жаралганын таба- таба жакынырак кезде ... эр дененщ
кезге шнбейтш юшкентай тараулардан косылып жаралганын тауып, ол
юшкентайды канша усактаса да акырында, TinTi, белуге келмейтш
болады Сол белжуге келмейтш туп непздердщ атын европаша атом
(белшбес) деп атап, арабша мадда (созъщша) немесе эсер (гз немесе
к;илдын;ша) деп атады... Сейтш барша нэрсе сол атомдардын 6ip-6ipine
косылганынан дене жасап, элде неше турге тусш, 6ipi-6ipiHe epiuin,
жаралып жатканын тапкан. Муны алгашкы тапкан ион-грек журтынын
Пифагор деген 6miMflici (7, 8-бет).
•
EHfli жан туралы ой журпзген бщ мдш ердщ сезш айталык: Герман
Шефлер деген бьймд1 айтады: Жан атом куатынан куралган - 6ip куат.
Донуареман атты бшмпаздын айтуынша: эр тамырда электрия
бар; ой - денедел атомдар козгалысынын ecepi (Сонда. 12-бет).
Бул узшдшерден Шэкэр1мге одан бурынгы жэне онын ез
тусындагы жаратылыстанушы философтардын галами эл'шби эрттер'ш
жене бвлтбестемелЫ (атомарлык;) б ш м жайлы кезкарастары жаксы
таныс болганын байкау киын емес. Шэкэр1м атап керсеткеншдей
табигаттагы тамам нэрсенщ H eri3i немесе галам элшбишщ e p im r e p i (Роэ)
мына 4 нэрседен тузшген: Рээ = {от, су, топырак,, ауа). Мундагы a p 6 i p
зат-эритй Пифагор мен Платон оларга белгш 6 i p геометриялык n iiiiiH
(дурыс кепжак) сэйкес койып зерттеген. Шэкэргм ез шыгармаларында,
e c i p e c e , «козгалыстын кайнар K63i мен туп c e 6 e 6 i - атом» деп
туащнретш Пифагор (б.д.д.580-500) мен Демокрит (б.д.д.460-370 ж.
шамасы) окуына K e6ipeK назар аударган. М атериалиста кезкарастагы
дуние танымгерлер1 белшбеснамалык (атомистикалык) ш м непзш
алгаш калаушылардын 6 ip e y i деп санайтын Демокрит жайлы ез ойын
Шэкэр1м былайша баян етедк
•
Барлык дуниеге карасан тасы, агашы баска еамдш тер, хайуандар,
адамдар, су, от сиякты, T inT i, 6 ip iH e - 6 ip i уксамайды. Бул неш
керсетед]? Бул эр нэрсе калай болса солай кез1 келгенд^ктен c e 6 e 6 i n e
карай жаралып жатыр. Оны (дуниеш) былай болсын деп жаратушы жок
екеш осыдан мэШм дейдь Бул Райсадан уш жуз жыл бурынгы Демокрит
ce3i (Сонда. 11 -бет).
Ислами окудан ешкашан айнымаган Ш экэрш кажы Демокриттщ
дуниедеп осу, турлену т.с.с. козгалыс атаулы атом эрекеттер1 мен
эсершен басталады деген тупю TyciHiMiH дурыс санай отырып, онын
«Осылай болсын деп жаратушы жок» деген атеистш ой тужырымына
табынбайды, оган кумэндэнш карайды. Бул орайда ол T ipi ем1рдш бас
козгаушысы жан жэне карама-карсы ejci мушеден тузшгеи (р, р)
н,остар (парлар) деп туЫщнретш Пифагор окуына басымырак бешл
бередк
ЖаЬандык жаратылыми_болмыс атаулынын баршасы (бар. жок,),
(болады, болмайды),ягни (р, р) улпсш деп тен ыктималды, карсылас
eкiмYшeлiк костардан туындайтыны жэне тузшепш кептеген кене
журттын зерек танымгерлерше ерте кезден-ак таныс болган.
Мысалы. Ежелл Кытай данагерлер) окуында янь (жарык), инь
(карангы) деп аталатын карсылас ею иероглиф аркылы мынадай
галамдык бастамшы костар тузшген.
(янь, инь)~ (жарык,карангы)~(кун, тун)~(ак, кара)~(жаз, кыс)~
~ ( т у у , е л у ) ~ ( ж а н у , е ш у ) ~(он, T e p ic )
22
Барлап карасак, бул костардын бгрвдип M yuieci 6 ip iH iu i мушесше,
ал e p H u i i M y u ie ci еюнин мушесше баламалы боп келетшш байкауга
болады.
Пифагор окуында (р, р) улпсшде тузшген керегар eKi мушел1
костар м энгш к козгалыс динамикасынын, сонымен катар олар эуенд1
ундеспктщ жэне эсеми уйлеЫмдж гармониясынын модел1 деп
карастырылган.
Пифагор окуы бойынша гармония (грекше: “ harmoniKos”ундеамд1, yfuieciMfli немесе елшемдО эуендш к пен эдем ш к елшем! боп
табылатын тен ыктималды (р, р) улпсш деп eKi KepeFap мэнплш
карсыластын б1рлес1мшен тузьледь Бул ойын Пифагор «Eip дегетмЬ
жуп пен тсиупыц гармспшялъщ 6ipjteciMi»-jxen аныктаган.
Элеми акындар арасында гармонияны айшыкты тшмен алгаш
айкындап аныктаган адам орыстын улы кеменгер акыны А.С.Пушкин
(1799-1837) болган. Ол езшщ еленмен жазылган «Моцарт жэне
Сальери» деген драмалык шыгармасында 6 iT ic n e c eKi еш бас кейшкердщ
6 ip i сазгер Сальеридщ c a 3 i e T in гармония жайындагы аз ойын былайша
паш етедь
... Звуки умертвив,
0ЛТ)рш унш дыбыстын,
Музыку я разъял, как труп. Поверил
Саз эуенш бексерл1м. Гармонияны
Мен алгебрамен тексерд!м.
Я алгеброй гармонию.
А.С.Пушкин. Драматические произведения. Проза. М.-1980. Моцарт н Сальери. 113-бет.
Ралами саз эуешн алгебра аркылы алгаш тексерш, онын
математикасын тунгыш жасаган кеменгер Пифагор болганы тарихка аян
шындыККазакта елец кисыны (логикасы) мен киюын (ритмш) жэне у л п а
мен унасымын (гармониясын) алгаш рет елецмен ернектеп айтушылар
Абай мен Шэкэр1м болган.
0HHiH жайын алты ауыз еленмен уктыра бшген сазгер акын Абай
елещц гармониялык уйлеам деп угып, оган мынадай аныктама бередь
I
Оле/f деген - ор создп{ у/шсымы,
Соз цосарлык,, орай. тыжарасымы (3, 1-том, 69-бет).
Устазы Абайдын эр сезш кагида туткан Шэкэр1м шешецщкп ер
косатын гсмердщ iciM eH салыстыра кеп, саз сейлеу енерш езд1пнен
былайша сипаттайды:
Ер цосцапга у^саиды соз спйлемек,
I К,исмндырып жымпишып цойсим демек (6, 59-бет).
2.3.
Эмбебап жиын. акикаттану жэне
акпартану алгебрасы
Тану теориясы мен технологиясын теревдрек математикаландыру
максаты ушш 6 y r iH ri замангы гылымда универсаль (эмбебап) жиын
23
(U), кур жиын (0 ) жэне кардинал сан немесе жиын куаты деген тын
угыми ойлар, атауыш сездер жене арнаулы белплемелер енпзшген.
Эмбебап жиын немесе универсум (U) деп карастырып отырган
кандай да 6ip такырыптык меселе аукымында камтылатын барлык
мумюн объектшер жиынын угады. Ал курамында бершген касиет тен
болатын б1рде 6ip элемент жок жиын к,ур жиын (0 ) делшедг U
универсумнын куаты немесе кардинал саны 6ip, ал кур жиыннын куаты
нолге тен деп алынады, ягни куат(и)=1, куат(0)=О.
Абай езшщ дуниетаными меселелерше арналган гаклиялык кара
сездершде универсум (эмбебап) жиын, 6ip саны туралы угымга жэне
елшеу амалы жайлы меселеге арнайы токталып етедь
Абай-Шакэр1мнщ амбебанкер (универсум), елшеу жене олшемЫздж туралы
___________________________ ойлары______S______ __ ___________ __
♦ Буюл галами вмбебапкер (универсум) деп сегп турЛ1 таными сипат б)рл1л тен
болатын Алла тагала угылады.
Алла тагаланы
Хаят(ем1р сурущь), Рылым (гылымгер), КуДфет (куд!ретш1), 'I
тану сипаттары
Басар (Kepyuii), Самих (естуип), Ирада (калаушы, кызыгушы)!
Калам (сейлеуцл), Такин (болдырушы, жаратушы)
(3. П-т.195-бет.Шекэр1м Кудайбердгулы.
Мусылмандык шарты .Алматы-1993.11-бег).
♦ Акикатты тану акылмен елшеу аркылы басталалы.
• 0 p6ip жаксы нэрсенш ejimeyi бар, елшеушен асса-жарамайды.
• Элшеуш бшмек - 6ip улкен ic. (Сонда. 217-бет.).
• Алла тагала - елшеуаз (акырсыз, шектеуЫз), б1здш акылымыз - елшеуль
0 лшеул1 мен олшеуазд! бглуге болмайды.(Сонда. 197-бст.).
♦ «Eip» - с а н а у м ен е л ш е у б а с т а м а с ы api ту п к ! т и я н а п и . «Eip» д егеш м 1 з « б ар » ,
(
« н е л » дегеш м 13 « ж о к » .
•
Б;з Алла тагала «6ip» дейм1з, «бар» дейм13,ол «6ip» лемекшк теакылымызга угымнын 6ip тиянагы ушш айтылган сез. Болмаса ол «6iр»
демекшнс те Алла тагалага лайыкты келмейд! (Сонда. 197-бет).
• Единица - жаксысы
Единица кеткеиде,
Ерген eni бейне нел.
Не болады енкей нел?
Единица нелсгз-ак
(Сонда. 1-том, 94-95 бет).
0 з басындык болар сол.
♦ Олшеу - таза акылмен тану жэне тамэмдапмас урд1с.
• Акылмен сыналмаган ic булдырлау.
Кез, кулак, кол, мурын, тш,- 6api алдайды,
TeTiri- таза акылмен омфп сы/шу!
(6. 199-бет).
• Карацгы мен жарыкты ЖYpмiз елшеп,
«Кунпрт, жарык, карангы, камеею» -деп.
Жыл мен ай, сагат, минут, секунд дейм!з,
Секундты мын беледй хроноскоп
Жуйрж оймен оны да боле берсек,
Кетпей ме ен аягы ecenci3 боп?
Жаралыс жумбагынын ici елшеус1з,
Бшмм деген, бшмед1м дегенге есеп (Сонда, 200-бет).
24
Ралами елшемдес уйлеЫмджтщ, гармониялык ундест1ктщ сыры
мен сипатын айкындап ашуга, терендеп тексеруге жэне саралап,
сараптаут пэрмещй пайдасы тиетш алгебраньщ бас бэйтереп, бул
кунде, 6ip -6ipiMeH тамырлас б1рнеше тараптык тармактарга таратылып
карастырылады.
Ж иындар алгебрасынын эл'тбш (Ж А д)
ЖАЭ = < Жж, U, , п , и , \, С, е , с , = >
Жж - А, В, С - жиындар жиынтыгы.
U - эмбебап (универсал) жиын, куаты (U) = 1 (6ip).
0 - кур жиын, куаты ( 0 )— 0 (нел).
о , и , \, С - киылысу, 6ipiry, айыру амалдары.
е , с:, — - тшстещпру, камту.тенеспру катынастары.
П ш рлер алгебрасынын эл'тбш (ПАЭ)
ПАЭ < Пж, —I, &, v,
>
Пж- р, q, г - пшрлер жиыны, а - акикат, ж - жалган,
- 1, &, v, — — логикалык амалдар, з - тенмагыналылык катынасы.
Окигалар алгебрасынын элгпбш (ОАЭ)
ОАЭ =< Ож, U, V, 0, 1, р(А), +, -, •, =>
Ож А, В, С- кездейсок окигалар жиыны,
U- шубэаз окига, V-мумкш емес окига,
р(А)- А кездейсок окиганын ыктималдыга, p(U)=l, p(V)=0.
+, -, • -окигаларга колданылатын амалдар, = - окигалар арасындагы
тещцк катынасы.
Осындагы кестелш келпр1мдердеп “6ip” мен “нел” алгебра
атаулынын 6epi ушш арнайы аталатын элементтер екенш байкау киын
емес. Соларды алгебранын айрыкша айтулы элементтер / немесе
ерекше ecenm eviiui мен влшеу!ш 1 деп атайды.
“ B ip ” мен “нелдщ” сандык алгебра ушш де 6 i регей бастауыш
элементтер! боп табылатынын жаксы бшем^з. Абай айткандай “ 6 i p ”
дегетм1з угыми ойдын уйыстырушы epi TipeicriK тиянагы боп табылады.
“Eip болмаса вцкей нолден вшмд '1 ой, м энд '1 нэрсе тумайды ". “Нел” мен
“б1рден” тузшген мына {0,1}- eKi элемента жиын Буль алгебрасы атты
тутас 6ip, тын математикалык бшм саласын e M ip re келпрдг K a 3 ip r i
математикалык; логика, окигалар ыцтималдыгы жэне ацпараттар
25
теориясы
атты
дискретпик
математика
тараптары
Буль
алгебрасынын мысалдык, кернектемелер1 жэне модельдж колданбасы
боп табылады.
Буль алгебрасы деген аталыми сез осы пэннщ непзш алгаш
калаушы будан 150 жыл бурыныракта OMip сурген агылшын математип
epi логип Джордж Бульдщ (1815-1864) курмет1 ушш койылган. Дж.Буль
- буюл гумырында ешкандай арнаулы орта яки жогары оку орнынан
сабак алмаган, ездш нен окып жетшген галым.Ол Пифагордын, Аплатон
мен Аристотельдщ, Евклид пен Архимедтщ жэне Декарт пен
Лейбництщ логикалык, сондай-ак, математикалык шыгармалары мен
окуын жетйс б ш п , оларды ез тетесш ен терендете, кенейте
кемелдещпрген. Дж.Бульдщ Логиканъщ математикалык анализ! жэне
ойлау зацдарыньщ зерттемелерi деген такырыпта жазылган енбектер1
бугш п «Буль алгебрасы» атты гылыми жэне оку пэнш щ туп таганын
алгаш калаган шыгармалар боп табылады.
Ею элемента {0,1} жиынга нетсздеп жасалган Буль алгебрасы
(бар, жок), (р, р) немесе (1,0) улпсш деп м энп 6 iT ic n e c карсылас
костардын акпараттык 6 i p моделдем! ёкенш есте устаган абзал.
Пифагор-Буль математикасына таными таган болган карсылас
костардын 6ip парасын казактын хаюм ойлы акындары Абай мен
Шэкэр1м ез шыгармаларында жыр еткен.
Меселен, Абай пифагорлык керегар костардын 6ip парасын
м энп 6iiicnec «Сепз батыр» деген бейнеш сезбен атап, оларды былайша
жумбакпен баян еткен:
Абай жумбагы
Алла мыкты жараткан с е т батыр.
Баягыдан согысып ЭЛ1 жатыр.
Кезек-кезек жыгысып. жатыи-турып.
KiM жыгары 6enrici3 туб1нде акыр.
Шеи 1\м
Муны тапсам ойланып. акын дещ з,
Таба алмасам. акылды болар нем1з?
Кыс бенен жаз, кун мен тун, так пенен жуп.
Жаксылык пен жамандык - болды сеп з.
(3. 1 -т ., 142-бет).
Абай костары = {(кыс. жаз). (кун. тун), (так, жуп), (жаксы, жаман)}
Пифагор мен Абайдын: гармония - карама-карсылыктар K ep ici
мен келю1м1 деген диалектикалык ойларын Шэкэр1м ез тетесшен
дэйектей дамытып, e p ic T e T e енеп пайдаланады. Ол ез шыгармаларында
(еркек, эйел), (жан, дене), (пайда, зиян), (шын, e T ip iK ), (он, T e p ic ),
(кернеу, кемесю) т.с.с. 6 ip iK c e де бщшйейтш костар гуралы мэселелерге
токтала келш, тупю ойын 6 ip шумак елен-жумбакпен былайша
т у т ндейдг.
Швкар1м ж умбагы
________________________ LUetuyi
Ж умбак айтып не керек ауре кылмак.
Eip де емес, тамам саннын 6ipi де емес.
Не улкен, не к1шкене, ipi д е емес.
Keperi сол: ойланып ой ашылмак.
Элемде эр нэрсенан карсысы бар.
Рылым тапкан сипатгын 6ipi онда жок,
«Бар» карсысы «жок» ед> осы жумбак.
Бул жумбак ani д е емес. Tipi д с емес.
(6. 277-378 беттер).
IllsKapiM костары = {(6ip, нел), (ipi. усак). (Tipi, жансыз). (бар, жок)}
26
Ойтушндеме
•
Бупнп бш м бшгшен алып Караганда букш галами дуние нэрсе
(материя), куат (энергия) жене аппарат (информация) деп аталатын уш
турл! бастамыш мэндш ктен тузшедк
•
Нэрсе, куат жэне аппарат атты галами галаматтар, бул кунде,
логикалы-математикалык, жэне заттъщ-математикалык, моделдеу
эдгамен танылады, зертгелед1 жэне игершедь Заттык-математикалык
моделдеу куралы катарына цифрлык электрондык ecenTeyiui машина
(компьютер) жатады.
•
Бугшп замангы галами дуние сыры мен сипатын танып б1лу
(акикат, жалган), (он, Tepic), (бар, жок) немесе (1 ,0 ) деген ею мушелш
элшбимен ернектелетш акпаратгык тш «сездерт аркылы icKe
асырылады.
• (Бар, жок) немесе (1,0) улпсш деп костар букш адамзат мэдениет1
мен еркениет1 тарихындагы ен алгашкы есептеу e a i c i еЮЛ1й санау
жуйесшщ цифрлык белплемелер! жэне есептеу непзш калаушы деп
T yciH flip efli.
•
Санаудын ондык жуйеа жасалуына адамнын eKi колындагы он
саусац саны себепкер болган десек, онда екш к санау жуйесшщ e M ip re
келуше кос колдын санын бeлгiлeйтiн eKi M e flire p болган деу1м1зге,
эбден, болады.
•
Адамнын акылмен ойлау логикасы, K a 3 ip ri электрондык есёптёуш
машина, ыктималды-акпараттык есептемелер жэне Буль алгебрасы
екш к санау системасынын математикалык улплемес! боп табылады.
§3.
Казына математиканын Kaiipei замандык
колданыстары
3.1. Пифагор ариФметикасы мен геометриясынын
Ka3ipri замандык жанарган жангырыктары
Бул орайда, б\з, кария ЩрщШ цазына-мат емат ика деп Пифагор
жэне пифагоршшдерден каз!рп гылымга мирас боп жеткен
математикалык мура мэл1меттерд1 атап отырмыз.
Бшм тарихына «математика», ягни «бшмгерлж encpi»
аталымын алгаш енпзген Пифагордын ез окуын таратуда «6opi- сан »
деген ойуранды талмай устанганы тарихи шындык. Сондыктан, адамзат
мэдениет! тарихындагы эуелп математиканы Пифагордыц сандык;
27
математикасы немесе Пифагордыц арифметикалык, математикасы
деген сездермен атайды. Ал Пифагордын езш математикалык бшм
тарихындагы Щрщт. математик деп санайды.
BipiHiui математик сандык математика туралы шмд1 6ip
(монода) саны жэне жалпы табиги (натурал) сан жайлы угыми ойды
аныктаудан бастаган.
Пифагордын аныктауы бойынша: Сан дегешм'я б/рлер
(монодалар) цосындысы.
Мысалы. 1). 2= 1+1 (Ей бгрдщ косындысы).
2). 3 = 1+1 + 1 (Уш б1рдщ косындысы).
3). n = 1+ 1+ 1+...+1 (п бгрдвдкосындысы).
Пифагор математикасында «6ip» саны айрыкша сан ретшде
аккула алынып карастырылган. Ол «б1рдщ» мынадай басты
ерекшел1ктерш атап кврсетедк
■
Бэр саннын басы - 6ip.
■
JBipjai кураушы - бфдщ e3i, ягни 1=1 .
■
Bip жупка косылса, оны так етедь ягни 2+l=3.Eip такка косылса,
оны жуп етедз‘,ягни 3+1=4.
Сондыктан да 6ipdi (моноданы) жуптык так деп атайды.
Пифагор заманында « нел», «он», «тepic» туралы туашктер ел1
тумаган кез. BipiHiui математик казгрп табиги сан деген угымды
былайша аныктаган.
Аныктама. Сан дегешмгз жуптьщ-тацтыц, жуптардыц жэне
тацтардьщ 6ipiziMi.
N= {1 М 2 , A ,..., 2n,...}u[3,5,...,2n+l,...} = { 1 ,2 ,3 ,..., n,...}.
Пифагор «6iр» саныньщ жэне сандар косындысынын
аныктамасына суйене отырып, сандар арасындагы «тен» (б/рдей, =),
«кем» (аз немесе Kiiui <), «артык» (кеп, улкен >) деген катынастарды
аныктадды жэне олардын басты касиеттерш (зандарын) дэледдеп
керсетедг
Мысалы. 1). п -2 , т=3. 2+3=(1+1)+(1+1+1) =1+1+1+1+1+1=5.
3+2=( 1+I + 1)+(1+1)= 1+1+1+1+1=5. Демек, 2 *-3=3+2
(Косылгыштардын орнын ауыстыру заны).
2). 2 x 3 = 3+3 = (1+1+1)+ (1 +1+1) = 6.
3 x 2 = 2+2+2 = (1+ 1)+ (1 + 1)+(1 + 1) = 6. Демек, 2 x 3 = 3 x 2 .
А л д ы н г ы айтылгандардан Пифагор тунгыш танымгер математик
кана емес, математикалык бшмге окыткан ен 6ipiHiui устаз да болганын
байкау ки ы н емес. Ол езш щ шэюрттерше сандар жайлы сабактарында
сан угы м ы жэне o fан колданылатын амалдар туралы алгашкы
28
аныктамалык мэл1меттерд1 уйретумен катар эралуан есептеу ереже лepi н
де жаттаткан.
Мысалы. Ka3ipri мектешйн ар окытушысы жадында жатка
сактауы THic Пифагор к ест ей деп аталатын есептеу ережеа бар. Ол
кесте m жэне n eKi натурал саннын m х п кeбeйтiндiciн жэне сол eKi
саннын ш:п белшдгсш табу ушш кажетп epi онтайлы есептеу куралы
боп табылады.
Пифагор заманында санды цифрлармен белгшеу aflici элi тумаган
кез. BipiHiui математик алгашкы торт саннын элпеттемеа ретшде сан
eciMiH керсететш атауыш сездерд! жэне соларга сэйкес келетш
геометриялык niiiiiHflepfli пайдаланган.
П и ф а го р м а т ем а т и ка сы н ы н геом ет риялы к эл п ет т ем есi
Eip (монада)
1
•
нукте, нокат
[ бастамшы]
Ею (диада)
Уш (триада)
2
4
3
--- »- - • ---
г
тузу
(аныктамсыздьп^
Терт (тетрада)
а
жазыктык
Ганыктамдылык ]
А
г дене, KCHicrriK
келемдшж пен
^ кешстж улпс!
Сан тш нде аныкталган угыми ойды осылайша пшпндер тшнде
моделдеп элпеттейтш Пифагор математикасы геом ет рияланган
м а т ем ат и ка деп аталады. Бул танымдык математикада Kflcuemmi
т ет рада ( уш ппкт ем е), щасиетпп т ет ракт ада (т ерпиш кт ем е) деген
кастерлi атауыш сездермен катар «бастамшы - бipлiк», «аныктамсыз екшк», «аныктамды - уштш», «кемел сан», «таре сан» т.с.с. деген
кептеген тын угыми атауыш сездер колданыска енед!.
Пифагордыц арифметикалык; ушттпемеа (П,,,,,,,/,. уш) жэне
I___________ Пифагордыц геометриялык, ушпйктемеы (П,шм »ш) ___________
! Парифм. уШ
.= 1 бастамыш-бхрлк, аныктамсыз- екшк, аныктамды - у ц т к }
немесе Пдркфн.ущ, —| 1 , 2 , 3 j
* ............1
•
• ............. 2
•
•
• ..........3
__1_+ 2 + 3 = 6 (кемел сан)
Пгеом.уш. = {нукте, тузу, жазыктык}
__ __________
Пифагор математикасында к,асиетпй сан немесе айрьщша
айтулы сан деген айдарлы атакка ие болган сардар сандардын тагы 6ip
тобы Пифагор тераюпасы( терттжтемей) деп аталады.
29
Пифагордын арифметикалык жене геометриялык тортпктемеа'
__________(тетрактасы)
П ирифм;ТврТ.
{ I 1 2, 3,4},
Пге0м:торг. = {нукте, тузу, жазыктык, дене}
1
2
Псг={1, 2, 3,4}
1 + 2 + 3 + 4 = 1 0 - пюре сан.
Тетракга - табигаттын бас булагы,
Туп T y 6 ip , мэнп сенбес шамшырагы.
Анасы - ол бэр галамнын, элем шеп,
Аталар декада (10) деп сан турагы.
_______________________ ПифагоршЫдер гимн, ойураны.
Пифагор мен пифагоршшдер сан угымын, олардын касиеттер!
мен арасындагы басты реттемдйс катынастарын, сандарга колданылатын
непзп амалдарды жэне сандардын геометриялык элпеттемесш (шшшдЦ
кескшдемесш) тагайындап алганнан кешн, табиги сан жиынынын
элементтер1 арасындагы
ш ктеспк
карым-катынастарды,
ягни
Фу н к п и я л ы к тэуелдшкп
немесе кызметпк байланысты зерттей
бастайды. Сонын нэтижесшде бш ми ортада математикалык пропорция
(латынша: "proportio” —шамаластьщ, влшемдеспйк) деген белсецщ де
ыкпалды угыми ой калыптаскан. Осымен байланысты Пифагор окуында
уш турл1 пропорция жэне оган сэйкес уш турл1 математикалык орта деп
аталатын айтулы шамалык сандар (r,g, h) бшши колданыска тугаал1всг1
енедь
________ Пифагор пропорциялары мен орта шамалары _
1. Арифметикалык п р о п о р ц и я жэне арифметикалык орта
г = г - b
арифм. пропорция,
а+b
г —------
- арифм.орта.
Мысалы. а-5, Ь=3, г=?
Есептеме.
---------------
г = - - - = 4.
2
г =4
Дэлелдеме. 5 —4 = 4 —3 <=>5 + 3=4 + 4<=>8 = 8.
2. Геометриялык пропорция жэне геометриялык орта
а : g = g : b | - геометриялык пропорция, g =Ja b \ -геометриялык
орта.
Мысалы. а =9, в = 4, g - ?
Есептеме. g =
^9 4 = 6.
Лолелдеме. —= —о —= —о 3 -2 = 2-3 <=>6 = 6.
6 4
2 2
3. Гармониялык
(b
пропорция
жене гармониялык орта
2
- h ) : b = (h I а) : а - гармониялык пропорция. Будан h =-— - не
+
а
,
la b
П = ------
а+ Ь
Ь
- гармониялык орта.
Мысалы. ; 1 = 6 , Ь = 1 2 , h - ?
Есептеме а = 2
6 + 12
h=g
18
Пэлелдемв. ( 1 2 - 8 ) : 12 = (8 - 6 ): 6 о 4 : 12 = 2 : 6 «
1 : 3 = 1 : 3.
Тарихта математика деген айдарлы атты алгаш алган
математикалык бш м нщ Пифагор математикасы болганын кердж.
Эдетте, Пифагор математикасы деген бул атауыш сез «пифагоршшдер
математикасы» деп айтылатын жинактамалык ойдын шартты баламасы
ретшде жумсалады. Мундагы пифагоршшдер сезшщ аукымына
Пифагор мею пебт щ бас устазы Пифагордын ез1, онын алдынан дер1с
алган кеп uiaKiprrepi, тетелес 1збасарлары мен бнпми жактастары
тутастай камтылады.
Пифагоршшдер мектебi Италиянын оцтустшнде Пифагор
заманында eMip кешкен талапкой танымгерлер мен талантты
математиктердщ басын 6 i p ортага 6 ip iK rip e T iH , тарихка аян
математикалык ужыми когам болган. Эубаскы Пифагор мектеб1
гетерия немесе этерия (грекше: « h e ta i r e ia » - сырлас одак, купия кауым)
деп аталган. Тарихи деректерге Караганда Пифагордын тунгыш
гетериясында жыл сайын ею мыннан астам пифагоршшдер f le p ic
тындайтын болган. Аты элемге эйг1л1 пифагоршшдер катарына мыналар
жатады: Архит Таренти (б.з.б. 428-365), Гиппас Метапонти (б.з.б. 450
жыл шамасы», Филолай Кротони (б.з.б. 440 жыл шамасы), Евдокс
Книди (б.з.б.407-357), Алкмеон Кротони (б.з.б. Y - гасырдын алгашкы
жартысы).
Осында аталып еткен пифагорш1лдер аты-женшдеп 6ipih™i
турган сез сол тулганын - eciMiH, ал ондага еюнил сез сонын туган
каласынын атын керсетед1.
Мысалы. Архит Таренти «Тарентпк Архит» немесе «Тарентте
туган Архит» деген ойды бицйредь
Сонымен, адамдар бiлiмiнiн тарихында б1р1нш! туган ен ежелп
api тунгыш математика Пифагор математикасы болганына кез1м1з жетт1.
31
Пифагор езшщ «Eopi - сан» деген ойуранына сэйкес тунгыш
математиканын туп тугыры (базасы немесе фундамент!) етш натурал
сандар жиынын (N) алган. Бш м тарихшылары мундай пифагорлык
математиканы алгашцы арифметикалык, (сандык) математика деп
атайды.
Арифметика (грекше: “arithmos”+”tehcnika”-caH+enep) деген сез
казакша сезбе-сез аударганда сайта ну oueoi немесе сандык
математика деген ойды бшд1редг.
Пифагордын арифметикасы туптугыры (базасы) табиги сандар
жиынына непзделген математикалык курылым (структура) боп
табылады. Мундагы N -натурал (табиги) сандар жиыны ешкандай
атауыштык нэрселерге басы байлаулы емес, заттык нысандардан
кулантаза арылган толык дереказ (абстрактылы) 6 y r iH сандардан
тузшген жиын.
Сондыктан,
Пифагор
математикасы
дереказ
математиканын бастамасы деп аталады. Онын устше Пифагор табиги
сандарга колданылатын амалдардьщ непзп зандарын жене сандар
арасындагы реттешмдш катынастардын басты касиеттерш дэлелдеп
непздеуге умтылады. Осыган карап гылым тарихшылары Пифагорды
дэлелдемдт математиканын 6ipinmi жасаушысы деп те атайды.
Пифагор натурал сандардын нэрселер санамын аныктайтын
санауыштык кызме^мен катар олардын нэрселер ретш тэрпптейтш
pemmeviiuniiK кызметш де жаксы бшген. Сол себепт1 Пифагор сан тек
бэр нэрсенщ басы гана емес, сан эр нэрсенщ жаратушы T9Hipi,
баскаратын 9M ipuiici, жандылардын жаны жэне саналылардын акыл-ойы
деп дэрштеген.
Пифагордын санды тэшр туту сарынын уагыздайтын окуы бш м
мен мэдениет тарихында арифмология, ягни сандык сарсандама
(мистика) деп атайды.
Пифагор
мен
пифагорцплдердщ
таза
арифметикалык
математиканы терт турл! непзп геометриялык тш ш демелер аркылы
элпеггегеш туралы жогарыда айтылды. Осылайша геометриялык
тш|ндемемен моделденген Пифагор математикасын аткЬмепшкаланган
геометрия немесе геометрияланган арифметика deudi.
Арифметикалык математиканын туп тугыры болатын натурал
сандар жиыны (N) K a3 ip ri замандык математикада дискретт!к (латынша:
discretus - Y3iflicTi жиын. ягни ыдыранкы жиын деп каралады.
Аныктама. Егер М жиындагы кез келген хк элеменпишц одан вцге
М жиынынан 6ipde-6ip элемент к,амтымайтын аймагы бар болса, онда
хк элеменшпй сол жиынньщ оцашаланган элеметт деп атайды.
Kin онашаланган нуктелерден тузшген М жиынды дискретпй
(ыдыраццы) жиын дейдг. Дискретт! М жиынды ip re ra c T b iK H eri3 етш
жасалган математикалык курылым дискретт! математика деп
аталады.
32
Ойтушн
•
Бш м тарихындагы логикалык дэлелдеуге непзделген .тунгыш
дискретп
математика
Пифагордын
арифметикалык
(сандык)
математикасы болган.
■
Пифагордын «сан дегешмдз тэшр, оган табыну лэз1м» - деп
уагыздайтын окуы арифмология, ягни сандык мистикалы (сарсан)
математика деген сезбен аталады.
■
Пифагордын санды геометриялык тциндермен моделдеу аркылы
тузген математикасы арифметикаланган геометрия немесе дискретп
емес (у зш саз) математика деп аталады.
3.2. Сазтану жэне гарыштану математикасы
Сан математикасы бар галамнын басы dpi баскарушысы деген
ойтушмш паш еткеннен кешн Пифагор сол TynKi тужырымын айкындай
тусу yuiiH эсеми едем ш к пен эуещп уйлес!мд!к занын зерттеумен
шугылданган. Осы максатпен ол домбра шепшн узындыгы £ болатын
6ip талшыгыи А жэне В кулакшага K ep in беютедь Бул талшыкты
Пифагор монохорда (жалгыз щ ек) деп атаган. Осы жалгыз ш ек кepiлгeн
АВ тактайшаны Пифагор езара тен 12 пернеге кертш белшектеген.
Сонда <?=12.
Косындысы Ю-Fa тен болатын мынадай сандар жиыны
Пифагордын сандык тертпктемеа деп аталатынын бшемгз. Пса„.торт= {1,
2, 3, 4}. Осыны басшылыкка ала отырып, Пифагор монохордасы
I 1 1
прелген тиект1 жылжыту аркылы онын узындыгын
улестерге
2 3 4
б!рт1ндеп кыскартады. Сонда ( шект1н тербел1стег1 бел1йшн узындыгы,
сэйкес турде, былайша аныкталады:
( =12 (бастапкы интервал)
I 2
3 4
5
6 7
8 9 10 II 12
2
2 12
В ( г = - ( = —— = 8 (квинта сатысы)
------ * В
4 /5 (
( з=—t =
4
4
= 9 (кварта сатысы)
Пифагор осы акустикалык тэжгрибеЫ нэтижесшде мынадай
корытындыларга келген:
•
I ш ек узындыпл -
улеске кыскарганда онын тербелктеп
бошгшш (£,) дыбыс уш (тоны) октава (С) сатысына жогарылайды.
•
( 1шек - улеске кыскарганда онын тербелетш бел1пнщ (£,)
дыбыс ун1 (тоны) квинтага (G) кетершедк
•
? ш ек — улеске кыскарту онын тербелютеп б в л т н щ ((, ) дыбыс
4
ун1н кварта (F) сатысына жогарылатады.
• Саз математикасынын эу баскы элш пеа мен алгебрасы, MiHe,
осылайша жасалган. Мундагы {6, 8, 9, 12} сандар жиыны Пифагордын
саздъщ тврпитктемесi деп аталады: N = {6, 8, 9, 10}.
Саздар математикасында гармониялык орта (h) жэне
арифметикалык орта (г) деген угыми атаулар унем! колданылады.
Олардын бершген а жэне b сандар ушш былайша аныкталатынын
бшем1з:
_
2аЬ
_а+ Ъ
а+Ь
Г
2~~
Пифагордын саздык тертт1ктемес1ндеп 8, 9 ортангы сандар 6, 12
шети сандардын гармониялык жэне арифметиткалык ортасы боп
табылады.
1
2-612
6+12
72
9
J
6 + 12
2
Мысалы. п = --------= — = 8.
--------------
18
2
г = ------- I — =9.
Егер де саздык интервалдан 6 ip уакытта алынган ею дыбыс 6 ip ундест1к уйлес!ми (пропорционал) катыста болса, онда ондай
интервалды гармониялык интеувалдау деп атайды.
Мысалдар.
1. 12: 9 = 8 : 6 => 4 : 3 = 4 : 3 (кварта ушш).
4. 1 2: 8 = 9 : 6 = > 3 : 2 = 3 : 2 (квинтаушш).
Сонымен, тербелютеп iiiieK дыбысы ун1н1Н a o t m r i , жогарылыгы
жэне эуездш п мен эуенд!л1П ягни ундест1к уйлес1м{ (гармониясы)
тербел1ствд
1шек
узындыгынын
белгш
6 ip
математикалык
зандылыктарына тэуелд1 болатындыгын алгаш ашкан тапкышкер деп
Пифагорды тануга болатынын керем1з.
Жинактап айтканда:
■ Пифагор - ayendi ундвр уйлесщтщ (гармониясыныц) математикалык,
зацы мен моделш алгаш жасаушы.
■ Пифагор - саз математикасыныц атасы.
Саздык дыбыс уш, физика ijiiMi тургысынан алганда/аса курдел!
де кызыкты акустикалык кубылыс боп табылады. Сонын математикалык
сыры мен сипатын ашканнан кешн Пифагор взшш бетми тэж1рибел1к
6 ip iH e
34
табысы мен табиги талантын заттык ягни денелш галамды TepeHipeK
танып б 1луге жумсай бастайды. Ол бурынгы жене ез кезшдеп
ойшылдардын танымдык устанымына суйенш,сез1ми кабылдауы мумюн
заттык дене атаулыны терт турл1 тупнепздж кураушыдан тузшед! деп
санаган. Оларды 6i3 шартты турде Пифагордын заттык, тврппшктемеа
Шшт торп) деп ЭТаЙМЫЗ.
п мттврт= {от, су, жер, ауа}
Пифагор окуы бойынша бар нэрсенщ 6epi - сан мен сандык
гармонияга ягни уйлеЫмге непзделген тузйпм. Ал акцкрттьщ,
реттШк, эсемдийк жене симметриялык, деп аталатын уплми ойлар
гармониянын (уйлеамдйсгщ) сапалык кэрсеткшп боп табылады.
Пифагордын ез сез1мен айтсак: РеттШк пен симметрия - эдемтк opi
aceAidiK, epi тгимдшк пен пайдапылъщ, ал ассимметрия - сурецйздЫ apt
зияндылыц.
Арифметикаланган геометриялык математиканын атасы Пифагор
езшщ галами заттык тертпктемесш геометрияланган тшшдеме аркылы
моделдеуге алгаш атсалыскандардын 6ipeyi болган. Симметриялык
нерселер гармониянын басты ynrici деп уккан жене сол ойды урд!с
уагыздаган Пифагор симметрия осьтерщщ саны барынша кеп болатын
денелер мен шшшдерд! заттык нэрселердщ модел1 ретшде утымды
пайдаланган. Ол терт rypni дурыс кепжактарды жэне сфераны галами
нэрселердщ гарыштык математикасын элштеушкй немесе геометриялык
моделдемеа деп аныктаган.
Пифагор денелрг жэне твртпйктемелер
Пифагор денелер1
1. Тетраэдр (тертжак) немесе пирамида.
2. Гексаэдр (алтыжак) немесе куб.
3. Октаэдр (сепзжак).
4. Икосаэдр (жиырмажак).
5. Сфера (шар 6 eT i) <=> додекаэдр (12-жак).
Пифагордын денел1к тврттЫтемесг.
Г
тетраэдр, икосаэдр, гексаэдр, октаэдр,
Пденлврт = | додекаэдр (12-жак) <=> сфера (шар 6eTi)
Пит.тврт = { от, су, топырак, ауа } .
Мунда: от о тетраэдр (пирамида); топырак <=> гексаэдр (куб);
Су о икосаэдр (20-жак); ауа <=> октаэдр (8-жак).
Я9 I
2
3
4
= {октава, квинта, кварта, f }.
12______________________ Мунда е= 12 перне.
35
3.3. Пифагор-Платон денелеЫ жэне алтын кима ece6i
Пифагордын “Eapi - сап” - деп уагыздаган окуын ежелп
дуниенщ алып акылдыларынын 6 ip i Платон (б.з.б. 427-347) “Eopi объективна идея” деген ездш ой устанымымен уластыра, ор1стете
пайдаланган. Платон жене онын математик u ie K ip rre p i Пифагордын
кепжакты денелер жайындагы ашкан жаналыктарын терендете зерттеп,
байыта дамыткан. Сол себетч Пифагор денелерш математикалык
вдебиеттерде KyHi 6 y riH re дейш Платон denenepi немесе ПифагорПлатон денелер! деп атайды. Пифагор-Платон денелершщ гылыми
колданыстары мен касиеттерше ейгш кеменгер математик Леонард
Эйлер (1707-1783) айрыкша квщл белген. Сонын нетижеЫнде каз1рп
мектеп математикасында урд!с окытылып келе жаткан Эйлер теоремасы
делелденедк Пифагор-Платон денелер! жене олар жайындагы Эйлер
теоремасы дискретпк математиканын субел! меселелершш 6 ip i боп
саналады.____________
Пифагор- Платон денелер! жане Эйлер теоремасы
е-тебелер; f-жактар, к- кырлар саны
е
f
к
Жактар nim iH i
Кепжактын аты
4
4
6
Тетраэдр (пирамида)
Дурыс ушбурыштар
6
8
12
октаэдр
Дурыс ушбурыштар
12
20
30
икосаэдр
Дурыс ушбурыштар
8
6
12
Гексаэдр (куб)
Шаршылар (квадраттар)
20
12
20
додекаэдр
Дурыс бесбурыштар
Пифагор дурыс кепбурыштармен уш турл! кепжактык денен1
карастырган. Атап айтканда, ол гексаэдр (куб), тетраэдр (пирамида)
жэне додекаэдр (Пентагон) деп аталатын денелер жактарынын
турлерше, салынуына жэне басты касиеттерше токталган (Л. Ван-дер
Варден. «Пробуждающаяся наука», М., 1959, 139-бет).
Тетраэдрдщ жактары - 4 дурыс ушбурыштан, гексаэдр - 6 дурыс
тертбурыштан (шаршы), ал додекаэдр жактары - 12 дурыс бесбурыштан
(пентагоннан) тузшет1нш Пифагор жаксы белген. Сонымен катар ол
осындагы дурыс ушбурышты, квадратты, дурыс бесбурышты сызгыш
жене циркульд1н жердем!мен салудын улплерш алгаш керсеткен.
36
Мысалы.
Бесбурыштын а кабыргасы бойынан оны шетю жене
орта
Л
_________В
F
катынаста белетш К нуктеш тап.
Шешу1. Бул есеп бупнп мектептерде ею турл1
едюпен шешшедк
1-тош. (Алгебралык шешу). АВ= а, КВ= X болсьш.
Сонда АК= а - х. ДАВЕ ~ AKBF. Осыдан мынадай пропорция
куруга
болады: BF : ВК = BE :ВА немесе (а -х ): х = х : а .
Будан мынадай квадрат тендеу шыгады: х2= а(а - х) не х2 + ах
а = 0. Осыдан
II
н
ЮН1
Сонымен,
"Т/*ГЧ
(1)
V5
2
Будан
Q
2
КВ = х = — а - - ;
J T -I
х = а 4------ и 0,6 а
(2)
2
КВ и 0,62а
2-edicmeMe. Геометриялык шешуи
Салу жоспары
Салудыц орындалуы.
1. АВ=а кесшдгсш сап.
2. AB-LBE тузуш сап.
3. ВЕ=— кесшдюш сап.
2
4. АЕ- гипотенуза.
5. С0|(Е,ВЕ) шенбер1н сап.
Мундагы Е-центр, ВЕрадиус.
Дэлелдеу'1 . Мунда:
6. аь(А, АД) шенбер1н сап.
АС=х,
7. Сонда С нукте табылады, В Е = |. АС = АД =
АС=КВ.
АВ = а,
= АЕ-ДЕ= — а - - = В К .
2
2
Бупнп мектеп математикасында терендетшп eтiлeтiн ежелп
дуниетц бул айтулы кене ece6i ш лы м тарихында ертурл1 сездермен
аталган. Рылыми математиканын атасы Евклид (б.з.б.365-300) аталмыш
ecenTi «Кеспадш meTKi жэне орта катынаста бел» деп баяндаган. Ал,
кайта ерлеу заманынын зангар ойшыл математип, механип epi
cypenuici Леонардо да Винчи (1452-1519) ол есепке «Алтын кима» ece6i
37
немесе «Алтын пропорция» ece6i деп ат койган. Леонардо да Винчидщ
uiOKipTTepi мен 1збасарлары бул керкеми бейнел) сезд1 «Теш’р кимасы»
немесе «Кудай кимасы» деген сездермен де эспеттеп айтатын болган.
Алтын киманы Пифагор кес'шдШ гармониялык ею бвл'шке к,ию деген
сезбен атаган.
Алгашкы койылуы жэне шешшу1 Пифагор заманынан бастау
алган бул тарихи айтулы есептщ осылайша эралуан айшыкты сездермен
эспеттелш, узак eMip кешущщ ездгк сыры мен ce6e6i бар.
Алтын KfUMtt немесе гармониялык, бвлЫке кцю ece6i енердеп,
гылымдагы жэне табигаттагы сымбатты сулулыкты, сазды сарыннын
сырын ашатын жэне сынын сипаттайтын зан математикасы боп
табылады.
Математик Пифагор - сан жэне саз гылымы мен енерше тел
танымал тулга. Ол музыка тарихында саз эуеш уншщ (тоннын)
елшпелйс интервалын жэне саз дыбыстарынын математикалык зандарын
алгаш ашкан танымгер деп саналады. Кдзфп физиканын акустикалык
бел1м1нде сазтану жэне сымбат енершде жш epi кен тутынылатын
гармония (грекше: “liamionis"- уйлеамдЫ, ундеспик, пропорция
( латынша: "proportio"- елшемдеатк) деген угымдар мен атауыш
сездер гылыми жэне мэдени e M ip re алгаш рет Пифагордын ез усынысы
не онын шэкфттершщ енбектер1 аркылы енген.
Математикалык колданыста жи1 тутынылатын орта шамалао
немесе орта мэндер деп аталатын пропорциялык катынасты алгаш
ашушы Пифагор болган.
Аныктама. Егер бершген а, с, в уш шама т1збесшщ с ортангысы
былайгы ею шетк1 муш ёсш н функциясы боп келсе, онда с-ны а мен внын орта мэш деп атайды.
Егер де орта мэн пропорциялык катынас туршде бершсе, онда
мундай пропорция узш са з пропорция делшедь
Пифагор жэне онын шэюрттер! уш турл! узщюс1з пропорцияны
карастырган. Олар: арифметикалык; пропорция, геометриялык
пропорция жэне гармониялык; пропорция деген сездермен аталады.
•
•
а-m = т -b - арифметикалык пропорция. Будан m =
арифметикалык орта.
а : g = g I b - геометриялык пропорция. Будан
■sAab геометриялык орта.
•
g“ =
—
ab.
(a-h) : a = (h - b) - гармониялык пропорция. Будан h =
a
не
,
2 ab
h = ------ - гармониялык орта.
a+ b
38
g
=
2 ■
+
b
Пифагор математикасындагы, сондай-ак Ka3ipri мектеп окуында
аталмыш уш математикалык ортанын езара ара катынасын айкындап
сипатгайтын мынадай теорема дэлелденедь
Теорема.
m, g, h орта мэндер арасындагы мынадай катынас
а+Ь
2
Пифагор мектебшщ шэюрттер1 сонгы жазылган тенс1зд1ктердщ
дурыстыгын геометриялык шшшдемеге суйенш дэлелдейтш болган
жэне де ш, g, h орта кесшдшерд1 салу ащсщ де жет1к менгерген.
С
Бершгеш: АВ - диаметр, AB=2r, ZC диаметрге
прелетщ
бурыш,
ZC=90°
АД=а, ДВ=Ь, KD1AB, D E 10C
А
В
Д/К
1) ОС= ^-?-\2)JXC=-Jab-,
3) ЕС=— ; 4) СЕ < DC <ОС
а+Ь
Бугш п замандык физика, математика галымы мен оку пэндершде
гармониялъщ mep6enic, гармониялыц щма, гармониялык; Kjamap,
/и.с.с.угыми ойлар кешнен тутынылып, epicTeTe зерттелщ кеяед!
Сазтану кшшнде, сурет салу, сэулеткерлж жэне сымбаттау анероиде
гармониялык пропорция мен орта шама угымы жeтeкшiлiк кызмет
аткарады. Гармония аталымы Пифагордан 6epi карай куш бупнге дешн
музыка ^грекше: “musiko музвнер/, «муза» - грек мифологиясындагы
шабыт кудайы Муза ханым eciMi) деген угыми сезбен баламалас аталым
ретшде катарласа колданылып келедь Сазтануга (музыкатану) окьггу
жуйесшде гармония пэш эуендж ундер уйлеамш щ зандарын ашып,
онын колдану кагидасын уйрететш теориялык жэне практикалык ш м
деп карастырады. Сонда Пифагор математикасындагы гармониялык
интервал, гармониялык катар жэне гармониялык тетрада, т.с.с. деген
угымдар басшылыкка алынады.
3.4. Пифагор теоремасы. щцйндж сандар жэне
сандар теориясы
Пифагордын математика жэне математикалык модельдеу
саласындагы тага 6ip тамаша табысы - ол онын эй гш “Пифагор
теоремасын " дэлeлдeyi болып табылады.
•
Пифагор теоремасы. Бурышы ZC =90°, ал кабыргал
АС=Ь, ВС=а, АВ=с болатын т к бурышты ABC ушбурыш ушш мынадай
тещик тура болады а2+ Ь2= с2.
39
Пифагор дэлелдеу/.
Бершген!: ЛАВС-TiK бурышты,
АВ=с, ВС=а, АС=в
ECJ.AB, АЕ=В), ЕВ=а
Sb=B2, Sa=a2, Sc=c2
Д/к
а*+ в“= а' немесе
Sa + Sa = Sc
Дэлелдеу/.
а‘ = c-ai , в ’= с-в,. Осыдан
аг+ в2= с(а,+ в,) . Будан аг+ в2= с 2
немесе S„ + S*= S ..
Пифагор теоремасында бейнеленген сандык жене геометриялык
ойлар галами ойшылдарга Пифагор заманынан кеп бурын мел1м болган.
Алайда бул теореманын жуйел! делелдемш алгаш орындаушы Пифагор
болган. Бул теоремамен айналыскан математиктердщ K eft6 ip i оган
езшше айдарлы аттар койган. Мэселен, математика тарихында Пифагор
теоремасынын “Жуз еиз теоремасы”, “Калындык теоремасы”,
“Карлыгаш теоремасы” т.с.с. айшыкты атаулар кез1гедь Пифагоршыл
взшкой математиктердщ 6ipi бул теореманы “Пифагор шалбары” деп те
атаган. Осы езшдеме айдармен аталган Пифагор теоремасынын мазмуны
мынадай елец-шумактармен айтылып ж у р . __________________
Пифагордын шалбары,
Шалбардын 6ip долбары.
TiK бурышты - ушкш,
Уш кабырга - уш турли
Торкез шаршы - кос бапак,
Белд1’кше де - торкурак.
9 + 1 6 = 25,
Балак кезш санап бак,
32+ 4 2 = 5 2.
Беядшее шыгар шакпа-шак.
J
Ka3ipri заман математикасынын “Сандар теориясы” деген
саласында а2 + Ь2 = с2 туршдеп аныкталмагандык тендеуге шешу
болатын (а, в, с) уитк сандарды Пифагор сандары деп атайды.
40
Пифагор сандарын есептеп табуга ереже ретшде колданылатын
мынадай теорема дэлелденген.
Теорема. Егер m>n болатын rn, п сандары ортак 6anriiuTepi жок
жэне eK ey i де 6ip уакытта так сан бола алмайтын натурал сандар болса,
онда
а =р - q ' , b= 2pq жэне с =р + q" тенджтершен TYзiлeтiн (а, b,
с) Пифагор сандары болады.
Аныктамалык Heri3i Пифагор окуында алгаш каланган Пифагор
математикасы нын тагы 6ip узак гумырлы, кен epicri тамаша саласы
Ka3ipri сандар теоуиясына байланысты мэселелер боп келедь
Пифагордын 631 “IJiwindiK сандар" ("Фигуралы сандар") деген
айдармен атаган математикалык угыми ойлар мен есептер тобы бугшп
сандар теориясы мен алгебрасында “Акырлы сан кртарын щосындылау"
деген такырыппен карастырылады.
Пии'шдЫ сандарматематикасыньщ мысалдары
• Ушбурыштык сандар
•
•
Аныктама. Алгашкы п натурал санлардын Sn =1+2+...+п
косындысы ушбурыштык сан деп аталады.
• •
• •
Теорема. S„ ушбурыштык сан ушш мыналай тендк
и(я + 1)
Л
п(п +1)
тура болады: S„ ==-------- немесе > а к = —------ - .
2
tfy
2
•
»
•
•
I
I
•
•
•
•
«
•
•
Аныктама. Алгашкы так санлардын S7„-|
косындысы квадрат сандар деп аталады
Теорема. S->„.i квдрат сандар ушш мыналай тенлж
болады: S2n -i = 1+3 + 5 +...+ (2n - 1) = n2.
•
i• - А• ' 1
1
• • •
Квадраттык (шаршы) сандар
*
*
•
Л к твртбурыштык сандар
Аныктама. Алгашкы п жуп санларлын косынлысы
S2n= 2+4+...+2п тертбурыштык
сандар деп аталады.
Теорема. S->„ жуп санларлын косынлысы
мынаган тен болады: S2n= п (п+1).
Пифагор мектебшщ окуында сан угымына онын касиеттер1 мен
катынастарына байланысты эралуан салыстырмалы саралау (анализдеу),
квркеми кврнемлеу (иллюстрациялау), ауыстырмалы айшыктау
(метафоралау), тенгермелей TeHecTipy (эпитеттеу) т.с.с эдеби жэне
логикалык аныктау эдicтepi кещнен колданылган.
41
Мысалы.
Бупнп
замандык бш м и
математиканын тш
казынасында Пифагор окуы жэне онын a flic i а с е р те н тунган коптеген
атауыш сездер бар. Солардын катарына K a3 ip ri "жуп сан", “так, сап'",
“цурама сан", "дэрежел1к сан", "бареже кврсетюшпик can" т.с.с.
угыми атауыштармен катар "кемел сан" ( I +2+3=6), "достас сан"
(220,284), "мэртебел! сан"немесе “пюре сан"(10 саны), "эйел сан (2),
"еркек сан" (3), "неке сан" (5), т.с.с. деген айшыкты элпеттеме сездер
енедь
Пифагор окуында карастырылган “достас сандар” жене “жай
сандар” угымы бул кунде былайша аныкталады.
Аныктама. Eipeyi (а) екшшшнщ мепш/кпи 6влгштер1
к;осындысынан тузшген (а, в) Kfic сан достас сандар деп аталады.
Мысалы. (220, 284) - дос сандар. вйткеш 220 = 1+2+4+71+142,
284 = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110. Мундагы Б/, = {1,2, 4, 71, 142}
жиыны 284 санынын, ал Бя={1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110} жиыны 220
санынын менцикп белпштер1 боп табылады.
Аныктама. Егер р саны 1 санына жэне взте гана бвЛ1нсе, онда р
жай сан деп аталады. Жай сан бола алмайтын сандардыц бэрг к,урама
сан deninedi.
Мектеп математикасында Пифагор заманынан 6epi карай
мынадай теорема урд1с окылып келедь
Теорема (Арифметиканын нег/зг/ теоремасы). Кез келген п
натурал санды ( 1 ден баска) жай сан немесе жай сандардын кебейгпщцс!
деп карауга болады.___________
JП =
p"t . р" \.. р ‘
. Мундагы pi, р2, . . . , р т - жай сандар.
Арифметиканын
жай
кебейтюштер
жайындагы
Heri3ri
теоремасына суйен1п, бершген (а, в) ею санынын Б(д, в) - ен улкен ортак
6enrimi (EYOE) туралы жалпы тусш!к бершедг. Ал Б(а, в) TyciHiK
бойынша взара жай сан деп аталатын аса манызды математикалык ой
былайша аныкталады.
Аныктама. Егер де а жэне в eKi санныц ец улкен ортак; бвлгшг 1
-ге тец болса, онда олар взара жай сандар деп аталады.
3.5. Пифагор окуынын
тан ы м ды к ж ен е
тагы л ы м ды к тарм актары
Пифагор окуынын ыкпалы аркасында галамдык гылыми тш
корыгын байыткан тагы 6ip сездер парасы катарына "космос" (гарыш),
' философия"(данагерл 1к), "психо" (жан), "логос" (ой, ак;ыл), "логия”
(оку, ш м ) деген атауыш сез б е л г ш е р жинамы жатады.
Космос (rpeKiiie:”kosmos”- peттeлiм, терт1птеу1ш, гарыш) деген
сезд]
Пифагор е ж е л г !
гректердщ
киял-аныздарында
кещ нен
колданылган «хаос» (грекше: «сЛао5»-бейберекетт1к, б е й р е т т ш к , тук
42
тусгшкспздак) деген аталымнын карама-карсы магынасын бйш ретш
атауыш сез калпында тутынылган.
Ka3ipri кезде космос (гарыш) ce3i тертштелген галами дуние
немесе реттелген элеми кегоспк деген магынада жумсалады.
философия (грекше: “phileo”+ “sophio”) ce3i даналыкты сукнш,
данагерлш fjiiMi деген магынада тутынылады.
Пифагордын 6ip ш ею рп одан «Сен юмсщ?» - деп сураганда,
устазы «философпын, данагермш» деп epi кыска, epi нуска жауап берсе
керек. Рылым тарихшыларынын айггуынша философия жене философ
сездер} гылым елемше осылай енген.
Пифагор окуында псчхо (жан) жене логос (ой) ce3i 6ip 6ipiMeH
катарласа астасып колданылады. Грек тш н д е п «логос»м немесе «логия»
ce3i казакшага сезбе сез аударганда «ойлы сез», «акылды сез», «iлiми
сез» немесе «тану», «ойлау», «ш м » деген магынада жумсалады. Осыган
орай психология деген атауыш сез, бул кунде, «жантану», ягни
«жантану туралы сез» деген атауыштармен аталып жур.
Пифагор мен пифaгopшiлдep жан деп жан neci Tipi болуынын
бастамасын уккан. Сонымен катар, Пифагор жан ешкашан елмейтш тек
6ip жан иесшен eKiHmi 6ip жан иесше ауысып отыратын м эц гш к нврсе
деп туЫщцрген.
Пифагордын математикалык сан, м енгш к жан жене карамакарсылар гармониясы жайындагы кезкарасын жан-жакты саралап, оны
6i3re жeткiзyшi 6ipiHini галами устаз Аристотель болганын б1лем1з. Ол
езш щ жан туралы деп аталатын айтулы енбепнде жан мен ойды
зерделеп зертгей келш, адам жаныньщ еу баскы ею козгаушы кушш
арнайы атап керсетедь
Аристотельдщ пш рш ш е: Адам жанын цозгауга бастамшы
болатын туп т урт кш к себеп ол эрекеттесуге жетектейтш армани
цулшыныс ж ене ацылмани толганыс боп табылады (Аристотель. Соч. в
четырех томах. М., 1976. т. 1,442-443 беттер).
Халкымыздын хаюм акыны Абай «Адамнын жанкумары бшмекке кумарлык» - деп аныктаган. Бул кагидалык акикат сезд1н
Аристотель ойымен астасып жатканын байкау киын емес.
Сейтш, Пифагор окуы таза сан мен сазтану жайындагы немесе
тек жан мен ой зерттемдж б ш м гана емес, ол дерютеуге уйретудщ
максаты мен мазмунын жене теориясы мен технологиясын аныктауга
KeMeri тиетт логикалык ш м екенд1пне кез1м1з жеткендей болды.
Пифагор окуы жене Пифагор математикасы жайында сез еткенде
Пифагор мектеб1 деген аталыми сезге арнайы назар аударган лез1м.
Пифагор Meicre6iHiH туп кадалык казыгын б.з.б. 540 жылдар
шамасында Италиянын онтусппндеп Кратон ш ah ары нда Пифагор ез
колымен каккан алгашкы Пифагор MeKTe6i гетерия (сырласхана,
чупияхана) деп аталган. Шындыгында да, Пифагор сырласханасы тек ой
пiкipлepi гана езектес жандар емес, олар рухани eMipi, дуние мулю ортак
ужымдас кауым болган. Гетерия MYшeлepi кабыргалары “Алтын кима”
43
нуктелершен тузшген жулдыз тэр 1зда бесбурышты (пентагонды) 6 ip астыртын
араласатын
ымбыл-белп
(пароль)
ретшде
пайдаланган. Кейб1р тарихи деректерге Караганда Пифагор гетериясын
Д1ни немесе саяси максатты коздеген жасырын кауымдастык деп те
карайтын болган. Калай дегенмен, сырласшыл Пифагор мектебшш
Италия калаларында 200 жылдай уакыт бойы (6.3.6.540-340) OMip
кешкен1 тарихи шындык. Пифагор мектебшен т1келей тэл1м алган жэне
онда ездер1 дэрю берген алгашкы рифагоршшдер санатында мыналар
аталады: Архит Торенти (б.з.б.428-365), Гиппас Метапонти (6.3.6.450
ж.ш.), Филолай Кротони (6.3.6.470 ж.ш.), Алкемеон Кротони (6.3.6.500
ж), Евдокс Книди (6.3.6.408-355).
Пифагор мектебшде жургшлген дэргстер езшщ мазмуны жэне
окыту сипатына карай 2 улкен топка белшетш болган. Олардын 6ipeyiH
математика (бшмнама), ал екшМШн акусматика (гибратнама) деп
атайтын болган. Осымен байланысты пифагоршшдер арасында
математиктер (бшмгерлер) жэне акусматиктер (гибраткерлер) деп
аталатын устаздар кызмет ететщ болган.
Математиктер, кебшесе, акылмен ойлауга, ягни логикага
непзделген дэлелдемдпс б'ш\м бастамаларымен шугылданган. Ал
акусматиктер канатты сез улпЫмен айтылатын акусмаларды ягни
гибраттык ойларды уагыздайтын болган.
6ipiM eH
Пифагор акусмалары (гибратнамалары)
Даналардын данасы - сан.
Эсемд1ктщ эсем! - гармония (уйлеамдш к).
Кущтшердщ K ym Tici - акыл.
Денелер мен тчпндердщ ен кел1ёШщ - шар мен сфера, денгелек
пен шенбер.
Уйде карлыгаш устама (Ею жузд] адаммен достаспа).
Таразыны аттама (Kicire киянат жасама).
Отты пышакг’н кеспе (ызакор адамга тйюпе).
________
Досым - еюнш; мен. _____ | ; _
♦
Пифагор окуы математика жене акусматика деп атала
ею айрык, катарлас 6ел1мнен турган. Математиканын бiлiми тану enepi
деген угыми ойды бейнелейтшш басында айттык. Акусматика грекше
«акусма» (ecTiгендер, есте калгандар) деген сезден жасалган аталым. Ол
тел!ми тербиелеу деген магынада жумсалган. Сейтш, Пифагор окуын
былайша таркатып керсетуге болады.
44
2-тарау.
ЖИЫН ЖЭНЕ ЖИЫНДАР АЛГЕБРАСЫ
Математика - логикалык идеялар поэзиясы.
А. Эйнштейн (1879-1955)
Математика - гылымнан да зорырак. ол гылым T iJii.
Н. Бор (1885-1962)
Ж иындар теориясы математикалык кеменгерл^ктш
керемет'1, аскар шыны боп табылады.
Д. Гильберт (1862-1943).
§1. Ж иын туралы алгаш кы угымдар
мен эл т п ем к белгшемелер
1.1.
Жиын деген!м1з не?
Жиын - жиындар теориясынын ен карапайым. эу баекы жене
угымы. Алгашкы угым болгандыктан, жиын уилмынан
бурын аталатын жане оны аныктауга жумсалатын TeicriK угым жок.
Баскаша айтканда, жиын угымын одан баска ешкандай байыргы угымды
пайдалану аркылы ойлау логикасынын кагидаларына суйешп, 6ip гана
0ЙтуЙ1Мд1к сейлеммен аныктау мумюн емес. Алайда, аныктамалык
суреттеми сездер аркылы жане нактылы дэйектж мысалдармен жиын
туралы угымнын мазмунын айкындап ашуга жэне де онын магынасын
саралап туаш нруге эбден болады. Ол ymiH «жиын» сез1мен магыналас,
сонын косарлы синоним! боп келетш: «жиналым» = «жинам»(набор) =
«жинак» = «жиынтык» (немесе «топ»)= «топтама» = «топталым» т.с.с.
сездерд1 пайдалануга тура келедь Сонымен катар жиын угымын
TyciHflipy ушш eHflipicTiK ем1рде, гылыми жумыста кешнен танымал
угыми аталым «объект» деген сез де тутынылады.
Объект I латыннын «objektum» (нэрсе, зат) деген сезшен
алынган жалпыгылымдык угыми сез. Онын угыми магынасы былайша
аныкталады:
А ны ктам а. Б1зд1 коршаган дуниенщ бутш 6ipfliK деп карауга
болатын белгш 6ip бел1мшесш объект дейдь
Адамнын дуниетану кызметшде танушынын (субъектшщ) тану
эрекет1 багытталган танылушы нэрсеш де объект деген 6ip сезбен атап
керсетедь Таными магынасында жумсалганда объект сез1 сырткы
элемдеп материалдык затты, кубылысты немесе щма акыл-сана
дуниесш деп угыми ягни идеялык HapceHi белгшеп керсетедк
Косалкы TvciHiK. «Объект»
угымы мен «жиналым» деген
сездерд[ колдана отырып «жиын» туралы угыми ойды суреттеми
аныктамалык сезбен былайша сипаттап аныктауга болады.
Эркайсысына тэн, кандай да 6ip сипаттаушы ортак касиет!
немесе 6enrici бойынша 6ipiKTipwreH объекгшер жиналымын жиын
деп угады.
т ут угелш
|
45
Жиын теориясын алгаш жасаушы математик Георг Кантор (18451918) шыгармасында жиын угымына мынадай аныктама бередь
«Жиын деп туйЫпм!з (интуициямыз)
немесе зердем1з
(интеллекпм1з, акыл-ойымыз) аркылы айкын ажыратылып аныкталатын
нэрселердщ (объектшердщ) кандай да 6ip М бутшге 6ipiKTipmMffl
угамыз» [Г.Кантор. Труды по теории множеств. Москва. «Наука»-1985,
173-бет].
Жекеленген жиындар латын элшбиштн бас эрттер1мен
белгшенед!. Мэселен, А, В, С, Е, М, N, Р, Q, R, X, Y, Z, т.с.с.эрштер
жиын угымыньщ эyeлri элшпелш бедгщемелер1 боп табылады. Жиынды
кураушы объекгшер (нэрселер мен угымдар) жиын элементтер! деп
аталады. Жиын элементтер! латын элшбшнщ rami эрштер1мен
белгшенедь Мысалы, а, Ь, с, е, m, n, р, q, г, х, у, z, т.с.с. эрштер жиын
элементтершщ белплемелер! санатында жумсалады. А жиынды
кураушы а элементтщ сипаттаушы касиеттщ белпсш А жиыннын
аталымы аркылы ангартылады.
«а объект А жиынга т и е а элемент» деген акпарлы-логикалык
сейлем жиындар теориясында былайша жазып керсепледк ае А (1).
Бул белп: «а элемент А жиыннын э л е м е н т , «а элемент А
жиынга тиес1 элемент», «а элемент А жиынга енед1 (немесе к1ред1)»-деп
те окылады.
1-мысал. А - жуп сандар жиыны. а=7, в=6. а, в сандардын
кайсысы А-га ra e c i, кайсысы THeci емес?
Жауабы. а е А, веА .
2-мысал. X - казак хандары. к=Кенесары, p=BipiHmi Петр.
Булардын кайсысы X жиынга юред!, кайсысы юрмейдТ?
Жауабы. к е X, р g X.
а е А акпарлы n iK ip flin T e p ic re M e c i былайша б e л г iл e н e д i:
а 6 А немесе а е А яки а г А (2)
Егер а е А болса, онда бул ойды жиын теориясында былайша да
жазып керсетедк А={а} (3)
Сонгы белплемелйс жазудагы a nimin (фигура) жакшалар белгкч
табиги сейлеу TiniMi3fleri «жиын» ce3iHin математикалык шартты
белплемеа санатында жумсалады. Мысалы. А={а} - белпск «А жиын а
элементтен жасалады» немесе «А жиын а элементтен турады» - деп
айтылады немесе окылады.
А жиын жаратылымы жагынан алганда кандай да 6ip ортак
белпс! ягни касиет1 бойынша кез келген элементтж объект1ден
жасалуы ыктимал. А жиын элементтершщ аталмыш ортак касиет1 сол
жиыннын аталыми ягни ес1ми сезшде керсет1лед1. Соган карап, А
жиыннын а элементтерше тен, ортак касиеттщ сипатын aHFapyFa, угуга
болады.
М ысалдар. 1) А - ондык санау жуйес!ндег1 цифрлар жиыны
А={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
46
В - «окуш ы» - деген сездеп epinmep жиыны В” {о, к, у, ш, ы }.
3) С - адам колындагы саусактар жиыны .
С = {Бас бармак, сук кол, ортан кол, аты жок кол, шынашак).
4) Д - такта косындагы ж азу ж эне сы зу куралдары.
Д= {бор, сызгыш, циркуль, уш кш сызгыш J.
5) Е - А байдын «Ескещцр» дастаньш дагы тарихи тулгалар жиыны.
Е= {Филипп, Ескещир, Аристотель}.
С ейтш , жиын д е г е ш л т тусшу! онай, аныкталуы киын, ал
колдану аясы орасан кен алгаш кы математикалык угым болып
табылады.
2)
1.2. Жиыннын берьчу тесшдер!
Егерде кез келген объект (нэрсе яки угым) туралы онын осы
жиынга тиеЫ немесе THeci емес екещ цп туралы п ш р л ж ой айта алатын
болсак, сонда гана, 6i3, бул жиынды бершген жиын деп айта аламыз.
Жиын, непзш де, ею rypni жолмен берш едк 1) жиын элементтерш
атактау
санамалау аркылы берш едь 2) Жиын элементтерш щ
сипаттаушы каси еп (белгйл) белгш1 6ip т1лд1к курал аркылы ернектеу
жолымен берш едь Бул жолдын алгаш кысын элементтерд1 санамалау
т э с ш , ал сонгысын элементтерд1 сипаттау Tecini деп атайды.
1. Ж иынды элементтер/'н санамалау т э а л 1мен беру. Мунда
п ш ш д ш жакш а шинде А жиыннын элементгер1 акырлы тобекш е я
акырсыз т о б е к турш де т а ш п жазылады: А={а, в, с, d, е}, А ={аь
аг,—,as}, А — {а|, а2,...,а4,...}.
Мысалдар. 1) А дегешм1з 7 ж ене одан кем натурал сандар
жиыны. А жиыннын элементтер]н санамалау тэс ш м е н бepiлyi былайша
жазылады:
А={1, 2, 3 ,4 , 5, 6 ,7 } .
2) В - так сандар жиыны. В жиыны элементтер! санамалау afliciMeH
былайша берш едк
В= {1, 3, 5, 7,...,2п-1,...}.
Ж иыннын элементтерд! санамалау т эс ш м ен бepiлy жолын
логикаланган белгш емелер т ш н д е былайш а жазып керсетуге болады:
х е А о А={х}; Xi, x j .....ХпеА <=> А ={хь Хг,..., Хп}. Мундагы <=> (карама-карсы багытталган кос жебе) б е л п а « хеА » - улгю ш деп
акпарлы-логикалык сейлемнщ 6ip-6ipiMeH тенмагыналас ягни уеымдас
сейлемдер екенш бейнелейд!. Рылыми п л д е оларды езара эквивалентпйк
(тен герш м д 1к) угыми сейлемдер деп те атайды.
2. Ж иынды элементтершщ сипапипамалык Kacuemmepi аркылы
беру. Бул тесщ ш колданган кезде А жиынын тузетш х элeмeнтiн
ти п н ш к жакша ншне жазады да содан кеш н кос нукте белпсш немесе
тш ш е сызык кояды.
а Н х: Р ( х )^ не А= {х| Р(х)}.
47
Осыдан кешн кос нуктенщ {тисше сызыктын) он жагында х
элемента сипаттайтын басты касиетгн (белпсш) сейлеу тш ндеп немесе
логикалы-математикалык Р(х) сейлеммен жазып керсетедк
1-мысал. А = {х: х- Казакстан свзшдеп дауыссыз дыбыстар}»
{К, 3,С,Т,Н}.
2-мысал. В={х| «х - 5 тен артпайтын натурал сандар»} о {х|
xeN жане х<5}<=> {х: x eN а х < 5 } о {х : x eN & х < 5 } <=> {1,2,3,4,5 } .
3-мысал. С = {х: х дегетмгз х" - 2 -0 тeндeyiнiн накты
туб1рлержщ жиыны} о {х| хе R д х" - 2=0} <=> {- V 2 ; у 2 }.
4-мысал. Д={М(х,у)| |0М|=4 д (х, у) е R2} <=> {(х, у):
х2+у:=22} <=> {М | О центр! Оху координат
жазыктыгынын бас нуктесшде
орналаскан, радиусы R=2
болатын со(0,2) шенбер}.
5-мысал. С = { х | х > - 2 д х е Z}= {х | х е [-2, -1, 0, 1, 2, 3,...)}.
!-2 |
*0 *1 *2 *3 \
'
" х
'
Ескертпе.
Жиыннын берщу тас1лдер1 туралы алдынгы
айтылгандарга суйенш, кез келген X жиынды былайша бершген деп
жазып керсетуге болады:
Х = {х |х е X} о {х| «х дегешмо Х - к е тиесш элементтер}.
Мысалы. N={n| n6 N} = {п| “п деген1м1з N - ге тиесш
сандар»}= {1, 2, 3, 4,..., п,...}.
1.3.
Жиындар арасындагы каты настар
Айталык А жане В ею жиын бершген болсын. Эркайсысынын
элементтерше так 'ипаттаушы ортак касиеттерше назар аудара отырып,
солардын арасында болуы мумюн басты катынастарды аныктаймыз.
1.
Тенд1к каг. ынасы. 1-аныктама. Егер А жэне В жиынд
б1рдей элементтерден жасалган болса , онда бул жиындар 6 ip -6 ip iH e тен
жиындар деп аталады. Бул аныктама тешпк катынасы (=) аркылы
былайша белгшенш жазылады: А =В (1).
Егер де А жиын мен В жиын тен болмаса, онда олардын
арасындагы катынасты былайша жазып керсетед1: А * В (2).
Мысалдар. 1. А={1, 2, 3, 4, 5}, В={3, 2, 1, 4, 5}. Мундагы А
жэне В жиындар элементтер1 жиындык сипаттаушы белпа бойынша
б1рдей , олар тек элементтершщ орналасу peTi бойынша гана эр турл1
боп келетшш байкаймыз. Жиын тенд!п туралы аныктамада жиын
элементтершац peTi туралы еш нэрсе айтылмаган, тек элементтердш
б1рдей болуы туралы гана атап керсетшген. Демек, А мен В тен
жиындар боп табылады. А=В ягни {1, 2, 3, 4, 5}={3, 2, 1, 4, 5}.
48
2. А={ 1, 2, 3, 4, 5}, С={3, 2, 2, 1,4, 4, 5}. А жиын бес элементтен,
ал С жиын жет1 элементтен турады. Сонгы С жиында А жиыннын 2
жене 4 сандары аркылы жазылган ею элемент! eKi марте кайталанган.
Одан А жэне С жиындар элементтершщ 6ipdeuniK белпсше ешкандай
нуксан келмейдк Ендеше А=С деп карауы м ы зга болады.
Ескертпе.
1-аныктамада колданылган «б1рдей элементтер» деген сез TipKeci туащ прме сез гана. Ол математикалык угым санатына
жатпайды. А жэне В ею жиын арасындагы тендж катынасы бурын
аталган «жиынга THeci болу» деп айтылатын алгашкы катынастык угым
аркылы былайша аныкталады.
2-аныктама. Егер де А жиыннын ep6ip элемент! В жиынына
THeci болса жэне сол мезетте В жиыннын ер элемент! А жиынга THeci
болса, онда А жене В тен ж иындар деп аталады жене былайша
жазылып керсетшедг. А=В.
Мысалдар. 1. А={а, в, с } , В={в, с, а}.
а е А —> а е В , в е А -» b g B , с е А -> с е В, ягни А жиыннын ер
элемент! В жиынга THeci екенш KepeMi3. Сондай-ак, в еВ -> В€А, с е В —>
с е А, а е В - » е А , ягни В жиыннын ер элeмeнтi А-га THeci. Олай болса, 2аныктама бойынша А=В.
2. А={а, в, с}, С={а, а, в, в, в,с}. Сез жок А=В.
3. А={а, в, с}, Д= {е, к, d}. Мунда: А * Д .
4. Е={х I (х - 2 )(х - 3)(х - 1)=0 тендеудщ тубфлер1}, М= {х Iх<4 д
xg N} . Е= {3, 2, 1} жене М= {1, 2, 3 } . Демек, Е = М.
2
- камт у катынасы ж эне iu m жиын. Айталык А жене В
жиын бершсш.
1-аныктама. Егер де А жиыннын ep6ip х элемент! В жиынга
тиес! элемент болса, онда А жиыны В жиынга камтылатын жиын, ал В
жиыны А-ны камтитын жиын деп аталады.
Камту катынасы жиын теориясында былайша белгшенедк А с В
(1) немесе А с В (2). Бул жагдайда: (1), (2) - ернектер «А жиыны В
жиынга камтылады» деп айтылады. Мундагы: « А сВ ернегш «катан
камтылу катынасы», ал А с В ернегш «катан емес камтылу катынасы»
дейдь Сонгы ернек « А с В жене А=В» деп кабаттаскан ойды белгшейд!.
Ескертпе. 1) Казак тш!ндеп 6ip-6ipiHe магыналас «барлык» =
«6epi» = «тугел» = «ep6ip» = «кез келген» = «ем м ест = «еркайсысы»
т.с.с. аныкталмаган eciMfliK тулгасындагы сездер тобын логика пен!нде
жалпылык кванторы деп аталатын мынадай V - арнаулы белпмен жазып
керсетедь
Мысалы. (VxeM)P(x) -белг1леу ернеп сейлеу т!л!м1зде былайша
айтылады: «М жиынга THeci барлык (ep6ip, кез келген т.с.с.) х элемент Р
касиетке иегер (немесе х элементке Р касиет тен) деп айтылады жене
окылады.
49
2) Vжалпылык
кванторлау
амалын
жене
жиын
математикасынын элш пелж белгш ерш пайдаланып белплем елер т ш н д е
мынадай логикалы-акпараттык сейлем жазуга болады:
(V x ):[x e А=> х е В] немесе (V x):[A (x)->B(x)j (3)
Бул сейлем казакшага былай аударылып айтылады жене
окылады: «Егер барлык х элемент А жиынга тиес! болса, онда ep6ip х
элемент В жиынга да ra e c i болады». Болмаса (3) ернек былайша
айтылады: «Егер барлык х элемент А-га тиес! болса, онда ep6ip х-тщ Вга raeci екендю шыгады».
Алдынгы l-mi жене 2-uii ескертпелерд! ескере отырып, А с В камтылу катынасын белплемелер т ш н д е былайш а аныктап жазуга
болады.
2-аныктама.
d ef
А с В о Vx: [хе А—» хе В]
def
(4)
немесе B d A o Vx: [х е А-> х е В]
Мундагы «def» - белпс! латынша «defmitio» (аныктама, шектеме)
деген угыми сездщ алгашкы буыны. Осындагы жазылган сейлемд!
былайша саралап айтуга болады.
Егер А жиынына тиес! ep6ip х элемент В жиынга да т и е а болса
ж ене солай болганда гана А жиынын В жиыны камтиды дейш.
3-аныктама. Егер А жиын В жиынга камтылатын жиын болса,
онда А жиынын В жиынынын iшю жиыны немесе ж иыншасы деп
атайды.
Сейтш , егер А с В немесе А с В болса, онда А жиын В жиыннын
жиыншасы немесе iuiKi жиыны деп каралады.
Жиындар арасындагы камту катынасы туралы аныктамасына
т^келей суйенш, бул катынаска тэн мынадай ею каси ето б1рден айтуга
болады.
1. А сА -рефлекст1к (ез1ндш1к) касиет. 0 p 6 ip А жиын сол
жиыннын езш е imKi жиын болады: (VA)[A с А ] .
2. Егер А с В жене В с С болса, онда А с С. Транзитивтж
(кецйр1мдш к) касиет.
Егер А жиыны В жиынга ж эне В жиыны С га жиынша болса,
онда А жиыны С жиынга жиынша болады , ягни
(VA,B,C) [ А с В л В с С = > А с С ] .
Эйлер - Венн диаграммасы. Жиын угымын жене жиындар
арасындагы катынасты кернекшеп керсету уш ш бершген А жиында
кандай да 6ip К шенбермен коршалган денгелек нуктелер1 аркылы ойша
кескшдейм1з. Кей жагдайда К-шенбер орнына эллипс тэрпдес туйык
сызыктар алуга да болады.
50
А жиыннын нуктелершш геометриялык бейнесш кесюндейпн
денгелек Эйлер-Венн диаграммасы деп аталады
Тарихи деректеме. Леонард Эйлер (1707-1783) - Швейцария
математип. Джон Венн (1834 - 1923) - Англия математип жэне
инженерь Эйлер-Венн диаграммасы жиын математикасын кернеюлеу
куралы ретшде жш жумсалады.
1-м ы сал . В - сыныптагы окушылар жиыны, А - осы сыныпта
окитын улдар жиыны. Сонда А жиынын В жиыннын жиыншасы деп
карауга болады ягни А с В. Бул катынас Эйлер-Венн диаграммасы
бойынша былайша кесюнделт керсетшедк
2-м ы сал . N - натура
М - жуп сандар жиык_ИВЯЯ- . . H i I R
Камту катынасы мен жиынша (шш жиын) угымдарына суйене
отырып, А, В ею жиыннын т е н д т жайында кагидалык ереже айтуга
болады.
Е реж е. Егер А жиыны В-нын жэне В жиыны А-нын iund жиыны
(жиыншасы) болса, онда А мен В тен жиындар болады:
1.4.
Ж и ы н турлер»
Жиын теориясында айрыкша кызмет аткаратын уш туря] айтулы
жиындар бар. Олар: 1) кур жиын, 2) 6 ip жиын жэне 3) эмбебап
(универсал) жиын.
1-ан ы к там а. Бгрде 6 ip элемент! жок жиын к у р
ж и ы н деп
аталады. Кур жиын былайша белпленедк 0 . Кур жиын 0 кез келген А
жиыннын ш ш ж и ы н ы боп табылады: 0 с А.
Мысалдар. I. А - шынайы дуниедеп мыстан кемтрлер жиыны А= 0 .
2. В - Марста болган адамдар жиыны В = 0 .
3. С - х + 3 =0 тендеушщ накты туб1рлер жиыны. С = 0 .
2-ан ы к там а. Егер де А жиынына а - жалгыз элемент кана тиеЫ
болса, онда А - 6ip элемент mi жиын деп аталады. А={а}, ае А<=> ае{а}.
51
Мысалдар. 1) А - XYIII - гасырда б1ртутас казак мемлекетш
курган казак хандарынын жиыны: А={Аблайхан}-б1р элемента жиын.
2)
В - 6 санынын жай саннан туратын белпштер1 жиыны. В={
6ip элемента жиын.
3-аныктама. Карастырып отырган мэселе аукымында кезшетш
жиын атаулынын 6api жиыншасы боп келетш кандай да 6ip
турактандырылган U жиынын э м б еб а п (универсал) жиын деп атайды.
1-мысал. Мектепте окылатын алгебра пеншде карастырылатын
мвсепелер ушш R - накты сандар жиыны универсимум ягни эмбебап
жиын боп табылады, ягни U = R.
Ескертпе. Жалпы турде алганда U - универсал жиын угымы
салыстырмалы угым санатына жатады. Мэселен, орта мектептщ
бастауыш сыныбында окылатын математика пешнщ мэселелер1 ушш Z*
- он танбалы бутш сандар жиыны эмбебап жиын (универсимум) боп
табылады. Ал планиметрия курсында окылатын геометрия мэceлeлepi
ушш жазыктыктагы нуктелер жиынынан туратын шшшдер жиыны U универсал жиын боп табылады.
Тумндеме. Кез келген А жиын U универсал (эмбебап) жиыннын
жиыншасы болады: (VA) [A c U].
А кырлы ж эн е акы рсы з ж иы ндар. Жиындарды турлж топтарга
белш сипаттамалау (классификациялау), кебшесе, жиын элементтер]
сандарынын мелшерше карай журпзшетшш байкадык. Бер1лген А
жиыны элементтер! санын п (А) деп белгшейм1з. Сонда п(0) =0 - кур
жиын, элементшш саны нел болады. п ({а})=1 - 6ip элемента жиын,
элементшш саны 6ig болады. п({а, в})=2 - ею элемента жиын,
элементтершщ саны ею болады. Буюл жиындар елемш жиын
элементтер! санынын мелшерше карай а кы рлы ж и ы н жене а кы рсы з
ж иы н деп аталатын eKi улкен ж!ктнс топка белш карастырады.
TyftciKriK ягни интуициялык кабылдау денгей1нде аталмыш
жиындар жайындагы угымга мынадай аныктамалык ойлар айтуга
болады.
Аныктама. Егер жиын элементтер! саны кандайда 6ip акырлы
сан аркылы ернекку мумк1н болса, онда бул жиын а кы рлы ж иы н деп
аталады.
Егер де жиын элементтер! санын ешкандай акырлы санмен
ернектеу мумюн болмаса, онда мундай жиын а кы р сы з жиын деп
угылады.
Акырлы жиын жайындагы аныктамалык ойды айтылган жиын
элементтер! санын ернектейтш акырлы саннын белгш болуы анык
аталып керсетшу! мш дета шарт емес. Сондай 6ip саннын бар екешне
кез жетерлш кем!Л сен1мн1н болуы басты талап боп табылады.
Айтылган аныктама, басында атап керсеткен1м1здей, туйс!к
денгешнде кабылданган аныктамалык ой гана. Акырлы жене акырсыз
52
жиын жайындагы ойлау логикасына непзделген нагыз аныктамага
кешшрек токталамыз.
Аныктамага алгысвз санатында айтылган аныктамалык ойга
туаяш рме мысалдар кел,прем1з.
М ысалдар. Осы мысалда Kejrripin отырган жиындар iuiiHAe кай
жиыннын -акырлы ж иын, ал кайсысы акырсыз жиын екенш атап
к в р сеттз.
1. А - он колдапл саусактар жиыны п(А)=5. Демек, А - акырлы жиын.
2. В - Бас бармактагы буындар жиыны. п(В)=2, демек, В-да акырлы
жиын.
3. С - бас бармакты тузетш жасуша (клеткалар) жиыны. п(С) =п орасан улкен, 6ipaK акырлы сан. Демек, С - акырлы жиын.
4. Д - жазыктыкта бершген Mj, М2 - eKi нукте аркылы ететш а тузулер
жиыны. п(Д)=жалгыз тузу. Демек, Д - акырлы жиын.
5. Е - жазыктыкта бершген М - 6ip нукте аркылы ететш тузулер
жиыны. п(Е)= сансыз кеп. Демек, Е - акырсыз жиын.
6. 0 - кур жиын. п(0)=О. Демек, кур жиын - акырлы.
7. F=[a, в] - сегменттеп (немесе кесшдщеп) нуктелер жиыны. n(F)=
п( {х: а < х < в}) - сансыз кеп, демек акырсыз жиын.
8. N - натурал сандар жиыны. n(N)= сансыз кеп, демек N - акырсыз
жиын.
9. F - апта ш ш деп кундер жиыны. n(F)=7, демек F - акырлы жиын.
10. G - елемдеп жулдыздар жиыны. n(G)= сансыз кеп, демек G акырсыз жиын.
1.5.
Э квивалента жиындар
Айталык А, В ею жиын бершген жене де акеА , вП1е В болсын
дешк.
1-аныктама. Егер кандай да 6 i p б е л гш f - сейкестеу ep ex < e c i
амалы , заны) бойынша ак элементке bm- элемент сейкес
койылса, онда f -сэйкеспк ак-ны bm-re бейнелед/ дейдь
Бул аныктама белплемелер тшшде былайша epнeктeлiп
квpceтiлeдi:
f: ак- > bm немесе ак -- - -> bm ( 1 ) .
Мунда: bm -элемент ак- нын бейнесг, ал ак элемент bm - нщ
ту п бей нес i деп аталады.
2-аныктама. Егер f - сейкестеу ережеа А жиыннын ep6ip ак
элементен В жиыннын 6ip bm элeмeнтiнe бейнелесе жене, K e p ic iH m e , В
жиыннын ep6ip bm элементш А жиыннын 6ip ак элементше бейнелейтш
болса, онда f ережеш 6ipdeH-6ip сэйкестендхру ереж еа дейдь Ал А
жене В жиындары араларында езара 6ip менЫ сэйкеат к тагаиындаяган
жиындар деп аталады.
3-аныктама. Егер де f сейкестешцру ережеа аркылы А жене В
жиындары арасында езара 6ip мэщи сейкестш тагайындалган жиындар
( T 0 p r i 6 i,
53
болса, онда буларды эквивалента (тенгер1мдес) жиындар деп атайды.
Тенгер1мдес ягни эквивалента жиындар былайша белпленедк
А ~ В не А <-> В (2).
А жэне В эквивалента жиындарды Эйлер-Венн диаграммасы
аркылы былайша кернекшеп керсетуге болады:
Эквивалента жиындар арасында езара б!рмэшн сэйкестж
тагайындайтын f - 6 ip M e -6 ip сэйкестеу ережесш K a3ipri заманш гылым
тш нде биективттк бейнелеу деген угыми сезбен (терминмен) атап
керсетедь
А ~ В болганда А тупбейне жиын, ал В - бейне жиын деп
аталады.
Эквивапентпй жнындардын касиеттерш. Тенгер^мдес жиын
угымынын
аныктамасына
тнселей
суйенш
эквиваленттшк
(тенгер1мдеспк) катынасынын мынадай басты ■касиеттерш атауга
болады.
1. 9p6ip А жиын ез!мен эквивалента (тенгер1мдес) болады: А ~ А
(рефлексивтж, ез1нд!лж касиет1).
2. Егер А жиын В жиынына эквивалента (тецгер1мдес) болса,
онда В жиыны А жиынга да эквивалента болады: А ~ В болса, онда В ~
А (симметриялылык ягни мелшерлестж касиет1).
3. Егер А ~ В, В - С болса, онда А ~ С (транзитивпк ягни
кв1шр1мдш к касиет!).
Мысалдар. Бер^лген жиындардын эквивалента (тенгер!мдО
болатынына ке: жетюзшз жэне сондагы сэйкестж ережесш атап
керсетщ13.
1. А - он кс \ саусактарынын жиыны. В - он колга киетш биалай
(перчатка) саусакшаларынын жиыны. А= {бб, ск, ок, ак, шк}. Мунда: бб бас бармак, ск - сук кол, ок - ортан кол, ак - аты жок кол, шк - шынашак.
В= {бс, сс, ос, ас, шс}. Мунда: бс - бас саусакша, сс - сук
саусакша, ос - ортангы саусакша, ас - аты жок саусакша, шк - шынашак
саусакша.
F - биалайдын жасалу T9pTi6i бойынша эр саусакка 6ip саусакша
сэйкес келед1 жэне эр саусакшага 6ip гана саусак кшледь Демек, f:
А<->В ягни А ~ В. Мундагы f - мынадай костар жиыны аркылы
аныкталады: f={(66, бс), (ск, сс), (ок, ,ос), (ак, ас), (шк, шс)}.
2. N7 ={х| xeN л [1, 7]}={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, Ак - апта [щщдеп
кундер жиыны. Ак= { дс, сс, ср, бс, жм, см, жк}.
q - кунпзбе ережес! бойынша: 1 2 3 4 5 6 7
£ t f S i'
54
Ф 1 S § I Ф I
дс cc cp ос жм CM ЖК
q: Ак
N7, AK ~ N7 ; У ={(1, дс), (2, cc), (3, cp), (4, бс),
(5, жм), (6, см), (7,жк)}.
3. N ,2 ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} о [1, 12] - 1 мен 12
арасындагы натурал сандар жиыны. Жа ={ кан, ак, нау, кек, мам, мау,
ипл, там, кыр, каз, кар, желт}- жыл шмндеп ай аттарынын жиыны.
Жылдык айпзбе TepTi6i бойынша: h: Ж а<-> Nn , Жа ~ N 12 h = {(1, кан), (2, а к ),..., ( 12, желт)}.
4. N37 =[1, 37] - натурал сандар жиынынын 37 санынан туратын
кесшдй С37 - сыныптагы шэюрттер жиыны. Сынып журналына т1ркелген
окушылар Ti3iMi бойынша fi: С37 <-» N 37, С37 ~ N 37.
5. N 2n -1 = {1,3, 5,...,2п - 1,...} - так натурал сандар жиыны.
N 211 = {2, 4, 6, ..., 2п,...} - жуп сандар жиыны. Осыларды
былайша кестедеп жазайык:
Njn-i
12. ---N2n
1
3
5
2
4
6
2п - 1
2п
Осы кестел1к ереже бойынша 1«-> 2, 3
4 ,..., 2п - 1
Демек, fi: N2n -1
N 2n , N2n -1 ~ Njn 6. N= {1, 2 ,3 ,..., n , ...}, N 2rj ={2, 4, 6......2n,...}.
N
f -.
lj
N 2n
1
2
3
2
4
6
2п,...
n
...
2n
Осы кестеден: N <-» Nan , N ~ N2n .
Баскаша айтканда, N I акырсыз натурал сандар жиыны езш щ
жиыншасы (fund жиыны) болатын N 2n - жуп сандар жиынымен
э к в и в а л е н т (тенгер1мд!к) болатынын байкаймыз.
03iHiH жиыншасымен тенгермелес (эквивалентт1) болу касиет1 0
- кур жиыннан енге em6ip акырлы жиынга тэн емес касиет. Озшщ
жиыншасына тенгермелес болу ер е к ш е л т тек акырсыз жиындарга гана
тен касиет екешн есте туту лэз1м!
= {1,2, 3,4,... , n,... }, E =■{1.
2’ 3’
N
1
E
1
2
J
2
3
n
1
3
1
n
55
n
Курылган кестелж ережеге суйешп, U : Е
N. Осыдан Е «-» N
деген корытынды айтуга болады.
8. М ={х| х е R д 1 < х < 3} <=> [1, 3].
К = {у I y e R, 2 < у < 6}=[2,6]; у=2х, у: А <-» В.
f5 : М <-» К , М ~ К. F5 ={(х,у)|хеМ л уеК}={(х,у) 11<х<3 л
2<у<6}.
fs : [1, 3] ++[2, 6] , [ 1, 3] ~ [2, 6] . [1, 3 ], [2, 6] - сейкес турде ох
жене оу осьтерше орналаскан сегменттер1 ягни кесшдшер! нуктелер
жиыны. Мунда: у=2х функция ох осьтеп [1, 3] сегменп онымен
эквивалента болатын оу осьтеп [2, 6] сегментке бейнеленуин ретшде
карастырылады.
Жиындар арасындагы эквиваленттшйе катынасы (~) жене
эквивалент жиындар угымы бурын туйск (интуиция) денгейшде
аныкталган акырлы жене акырсыз жиын туралы угымды ойлау
логикасынын кагидалары сайма-сай етш жанарта аныктауга мумкшдгк
жасайды. Ол yuiiH N - акырсыз жиын боп табылатын N- натурал сандар
жиынынын Nn - киындысы деген косалкы угым кабылданады.
1-аныктама. N - натурал сандар жиыны 1-ден п-ге дешнп
мушелерш (элементтерш) тугелдей камтитын белшшесш осы жиыннын
алгашкы Nn - киындысы деп атап , оны былайша белплеп жазамыз:
Nn = [1 ,2 ,3 ,..., п].
Мысалдар. 1) Ns =[1, 2, 3, 4, 5], 2), N7=[l, 2, 3, 4, 5, 6,7],
3) Ni2=[l, 2, 3, 4,..., 10, l i , 12], 4) N 100=[l, 2, 3,..., 99, 100], 5)N,ooo=(l,
2,..., 1999, 2000].
2-аныктама. Егер А жиын натурал сандар жиынынын Nn алгашкы киындысымен эквивалент (тенгер1мдес) болса, онда А жиын
да акырлы жиын деп аталады.
Аталып отырган жиындардын акырлы жиын екещйгш айтылган
аныктамага суйен1п керсетем1з.
Мысалдар. Г) Э - казак елшбишдеп epinTep жиыны, ягни
Э
= {А, Э, Б, В,..., Ь, Э, Ю, Я}:, N42 =[1, 42] - натурал санд
жиынынын 1 жене 42 арасындагы сандар жиынынын киындысы.
Э ~ N42. Демек, 0 - акырлы жиын.
2) Ж - Иса Пайгамбар (Христос кудай) деу1ршен 2000 жылга
дей1н еткен кун пзбелш жылдар жиыны. Ж ~ N2000 • Демек, Ж - акырлы
жиын.
56
1.6. Т ен к у атт ы
ж и ы н д ар
3-аныктама. взара эк вивалент (тенгер1мдес) жиындар тен
куатты жиындар деп аталады. А жэне В жиындардын тенкуаттылыгы
былайша жазылып керсет1лед1: |А| = |В| немесе куатА = куатВ (1).
Эквиваленттшк (~) катынасынын касиегпк бас белплер1 рефлексивпк (езш дш к), симметриялылык (мелшерлестк) жэне
транзитивтж (кеипр1м дш к) касиеттерше суйенер болсак, онда тен
куатты жиындар тобын, эркайсысына уш турл! аталмыш бас касиеттер
тэн болатын 6ip жиындар жинамасына (наборына) жинактауга болады.
4-аныктама. Тен куатты жиындар жиынтыгын тен куатты
жиындар сыныбы (класы) деп атайды.
Тен куатты жиындар (ТКЖ) сыныбына тиесг. 1) 9p6ip жиын
сондагы 6ip еюл жиынга тен куатты болады (транзитивтж касиет), 2)
9p6ip ею жиын езара тен куатты болады (симметриялылык касиеп), 3)
ep6ip жиын 03iMeH 03i тек куатты болады (рефлексивпк KacHeri).
5-аныктама. Жекеленген ТКЖ сыныбына оган енетш жиын
атаулынын эркайсысына тэн ортак 6ip р сипаттаушы белгш сэйкес
коюга болады. Осындай ТКЖ сыныбын сипаттайтын ц - белп Hi сол
ТКЖ-дар сыныбынын куаты немесе кардинал саны деп атайды.
Айталык, карастырып отырган ТКЖ сыныбынын е к ш А жиыны
болсын. Сонда А жиынымен тен куатты болатын барлык жиындар
сыныбынын куаты былайша белпленедк ц = |А| = куат(ТКЖ).
Мысалдар. 1) А| =N5=[1, 5] - натурал сандар киындысы, А2 - он
колдагы саусактар жиыны, Аз - он колга арналган биалай
саусактарынын жиыны, А4 -«Текен» деген сезд1 тузепн epiirrep жиыны,
А5 - «50213» санды Ty3eriH epinTep жиыны, Аб - Жер шарындагы бес
курылык жиыны, А7 - бестас ойынындагы тастар жиыны, А* - Дурыс
бесбурыш кабыргаларынын жиыны, А<>- дурыс бесбурыш тобелершщ
жиыны, Аю - сол колдагы саусактар жиыны. Осындагы жиындар
жиынтыгы = {А|, Аг, A3, А4 , А5, А«, А7, А*, А9, Аю }- ТКЖ сыныбын
(класын) Ty3eTiHi анык. Мундагы А|=А3 - осы ТКЖ сыныбынын eкiлi
боп табылады. Сондыктан бул жиындардын кардинал саны ягни куаты
n(Ns)=5 саны болып табылады.
2) 0 - кур жиынмен куатты болатын барлык ТКЖ -6epi
сыныбынын кардинал саны ц = |0 | = п(0 ) = 0 ягни нел саны болады.
3) А={а}- 6ip э л е м е н т жиынга тен куаттас болатын барлык
ТКЖ сыныбынын куаты р. - кардинал саны 1 ягни «6ip» саны болады.
4) В ={0, 1} - eKi э л е м е н т жиынга N2 =[0, 1] - киындыга куаттас
болатын ТКЖ-дар сыныбынын куаты ц = 2 болады.
5) С ={а, в, с} - уш эл е м е н т жиынга ягни N3 =[1, 3] -киындыга
куаттас болатын ТКЖ-дар сыныбынын куаты ц = п болады.
Туйшдеме. Henai жене кез келген п -натурал санды сейкес
турде, кур жиыннын жэне п - элементтен туратын акырлы жиындардын
57
тен куатты жиындар сыныбынын р - куаты немесе кардинал саны деп
аныктауга болады.
М ысалы. l(6ip) дегешм1з 6ip э л е м е н т , тен куатты барлык
жиындар сыныбынын куаты (кардинал саны) боп табылады.
2(еш) дегешм1з ек1 элемента, тен куатты барлык жиындар
сыныбынын куаты т.с.с. п (п - натурал сан) дегешм13 п элементп' , тен
куатты барлык жиындар сыныбынын куаты.
О
(нол) дегешм1з 0 - кур жиыннын тен куатты болатын барл
тен куатты жиындар сыныбынын куаты.
Жиын куаты жэне ТЗ^Ж-дар сыныбына катысты логикалык жэне
математикалык ойтушндеу жайындагы алдынгы айтылгандардын
баршасын акырсыз жиындар ушан де жалпылап кайталауга болады. Ол
ушш, эуелй санакты жиын туралы угымга токталган лэз1м.
N - натурал сандар жиыны бершсш, ягни N={1, 2,...,п,...}.
N - натурал сандар жиыны - сан атаулынын тунгышы, epi
олардын Tynipreci. Сонымен катар ол математика тарихында ен 6ipiHiui
ашылган жэне дэйекп турде дэлелденген акырсыз сандык жиын
санатында мел^м болды. Сондыктан, N жиынына онымен тен куатты
болатын жиындар сыныбынын бастапкы екш жиыны деп карау лэзгм.
1-аныктама.
N
натурал сандар жиынымен эквивалента
болатын А жиынды санакты жиын деп атайды. Сейтш, егер А ~ N (1)
болса, онда А жиыны санакты жиын санатына жатады дей аламыз. N
жиын акырсыз, ендеше оган тенгер1мдес болатын А жиын да санаксыз
болады.
А ~ N болгандыктан, А жиын мен N жиын элементтер1 арасында
6ipMe-6ip сэйкеспйл1к катынасы тагайындалды. Сондыктан А жиын
элементтерш N натурал сан мушелер!мен былайша нем1рлеп жазуга
болады:
А ={а|, аг, а3,..., ап,...}.
Сонгы айтылган ойтушнге суйешп, санакты жиынга мынадай
аныктама беруге болады.
2-аны ктама. Егер А жиын элементтерш натурал сандар аркылы
нем1рлеп, А жиыны былайша А={1, 2, 3, ..., п,...} (2) ернектелш
жазылса, онда А жиын санакты жиын деп аталады.
М ысалдар. 1) А={1, 3, 5,..., 2п - 1,...} - так сандар жиыны . А ~
<vN, демек А так сандар жиыны санакты жиын.
2) В={2, 4, 6,..., 2п,...} - жуп сандар жиыны. В ~ N , демек В - жуп
сандар жиыны санакты жиын.
3) Е={1, 1/2, 1/3,...,1/п,...}. Е ~ N, ендеше Е-де санакты жиын.
Осы карастырып еткен мысалдардагы жиындар тобына назар
аударсак, олардын тен куатты жиындар (ТЮК) сыныбын (класын)
курайтынын байкау киын емес. Сондыктан, санакты жиындар жинамы
белгш 6ip ТКЖ-дар сыныбын тузед1 дей аламыз. N натурал сандар
жиыны да санакты жиындар сыныбынын екш жиыны боп табылады.
58
3-ан ы к там а. N натурал сандар жиынынын куатын К п (алефо
ягни алеф-нел) куат деп атайды. Мундагы: К - «алеф» белпс! мен
аталымы еж елп еврей элш бш ш н 6ipiHUii эрпш щ танбалануы мен аталуы
боп табылады. Оны гылымга жиындар теориясынын атасы Г. Кантор
енпзген.
Сонымен, N жане онымен тен куатты барлык санакты жиындар
куаты «Ко - алефо» куатты жиын боп табылатынын керем1з. Мундагы
Ко - санакты жиындар куатын ернектейтш кардинал сан.
Ж иындар теориясында санакты жане баска акырсыз жиындарга
(атысты мынадай теориялык ойтужырымдар дэлелденедь
• Кез келген В акырсыз жиыннын А санакты iimci жиыны болады. А
с В => А ~ N.
• Жинакты жиыннын кез келген iu m А акырсыз жиыны да санакты
болады. B c N a A c B = > A ~ N .
• В акырсыз жиыннан А санакты iu m жиынды шыгарып тастаганда
шыгатын В \ А айырма жиын акырсыз болады.
• Акырсыз жиындар арасында А санакты жиыннын К 0 - куаты ен
Kiuii куат боп табылады.
Акырсыз жиындар теориясында R накты сандар жиыны мен (0,1)
- аралыгында жаткан М нуктелер жиынынын куаты арнайы турде
зерттелдк Сонда (0, 1) аралыгындагы М - нуктелер жиыны мен R - накты
сандар жиынынын тенгермелес жиындар е к е н д т дэлелденедг М ~ R не
(0, 1) ~ R. Осыган карап, R - накты сандар жиыны мен (0,1)
аралыгындагы М - нуктелер жиыны тен куаттас жиын деген теоремалык
ойтужырым жасалады.
4 -ан ы к там а. R - накты сандар жиынына немесе (0, 1) аралыгындагы М - нуктелер жиынын тен куаттас болатын жиындарда
континуум куатты жиын деп атайды. Континуум куатты жиыннын
куаты ягни кардинал саны - латынша С - эршмен белпленедь
Континуум - латынша «continuum» (у зш с а з , ыдырамсыз, тутас) деген
сезден алынган. Ол «Континуум» ce3i латын ш щ е п «дискретпк»
(y3iflicTi, ыдыранкы, жекеленген) деген сезш е карама-карсы магынада
жумсалады.
Туйш деме.
• N = {1, 2, 3, ..., п, ...} - натурал сандар жиыны дискретп ягни
ыдыранкы жиын.
• R - нактылы сандар жиыны у з ш с а з ягни континуум куатты жиын.
• N - натурал сандар жиыны, Ко - алеф нал куатгы жиын.
• R - накты сандар жиыны С континуум куатты жиын.
• N с R. Демек, К 0 < С.
Жиын туралы 1 - 5 баптарда айтылгандарды жинактай келш,
жиындар теориясы т ш (ЖТТ) элшбишвд алгашкы сулбасын (схемасын)
былайша жазып ернектеуге болады:
59
Эжтт = {U, 0 , А, В, X, Y, =, с , с ,
Ко, е}
1)
U - эмбебап (универсал) жиын, 2) 0 - кур жиын, 3)A ,B,X
эмбебап жиынга тиеа саптагы жиындар, 4) = - тещпк катынасы, 5) с , с
- камту катынасы, 6) ~ - тенгермелеспк (эквивалентпк), 7) N0 санакты жиындардын куаты ягни кардинал сан,
8) С - континуум
жиыннын куаты, кардинал сан.
§2. Жиынга жумсалатып алгебралык амалдар
Ka3ipri кезде, кен магынада алып Караганда, алгебра деп касиет1
жагынан сандарга косу жэне кебейту амалы тер^здес амалдар
тагайындалган, жаратылысы алуан турл! объекгшер (векторлар,
окигапар, пшрлер, жиындар т.с.с.) жуйеа туралы математикалык гылым
саласын атайды. Жиындар алгебрасында амал колданылатын непзп
объект жиын боп табылады.
Бершген А жене В жиындардан ушшпн жана С жиынды шыгарып алу
ymiH журпзшетш ерекеттерд! амал (оператор) дейдк Алдымен, бШгу
жэне киылысу деп аталатын ею алгебралык амалды карастырамыз.
2.1. Eipuv амалы
Айталык А, В жэне С жиындар бершсш. Соларга жиындар теориясында
жумсалатын алгебралык амал - 6ipirv былайша аныкталады.
1-аныктама. Бершген А мен В жиындарынын ен болмаганда 6ipeyiHe
(ягни А немесе В -га) тиес! болатын жэне тек солардан гана туратын
элементар жиыны А мен В жиындардын б/р/гу/ немесе косындысы деп
аталады.
А, В жиындарынын 6ipiryi (косындысы) былайша белпленедк
С -А о В (1).
А, В ею жиынныл. С - 6ipiryi туралы угыми аныктаманы бёлплём'елер
тшнде былайша ж зып керсетуге болады:
&J
I
I
С=АиВ<=> { х I хеА немесе хеВ}, С= {х | хеА v хеВ} (2).
Мундагы «немесе» (v) - жалгаулыгы «х элемент не А-га, не Вга, не А мен В-нын екеуше де б1рдей тиес1» - деген бзркйрмелйс
магынада жумсалады. С =AuB - 6ipiry амалынын угыми мазмунын
Эйлер-Венн диаграммасын пайдалану аркылы былайша кернею турде
ашып керсетуге болады:
A /r //T T W P m m n h $
Диаграммада С=АиВ
JГ)
штрихталып керсет1лген.
Мысалдар. 1 - мысал. А - «сеп з» деген сездеп , В - «сан» деген
сездеп epinTep жиыны , А= {с, е, г, i з } , В = {с, а, н} . С=АиВ?
60
Аныктама бойынша С жиын не А-га , не В-га, не А мен В-га
б^рдей енетш apinTep жиынынан турады. Демек, С={с, е , г, i, з, а, н}.
Ескертпе. 1) Ортак элементтер! бар А, В жиындарынын С
6ipiryiH тапкан кезде А мен В дагы ортак элементтер бгрден гана
алы нады.
2) А, В eKi жиыннын 6ipiryi жайындагы аныктаманы А, В, Д, Е саны акырлы жиындар ушш жалпылап айтуга болады:
С = А и В и Д и Е не С= AiU A iU ...u A n , С -
ДГ»|
Ак , мунда п - акырлы
сан.
3) Егер А, В жиындардын ортак элементтер! жок болса, онда С
6ipiryiHe А мен В - га THeci элементтердщ 6api тугелдей THeci болады.
2-мысал. А={1,3,5,7}, В={2, 4, 6, 8}. С=АиВ ?
С={1, 3, 5, 7, 2 ,4 ,6 , 8}={1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8}.
3 - мысал. А={1, 2, 5, 8}, В ={2,4, 8, 10}, Е={3, 4, 5}. C=A uBuE?
С={1, 2, 5, 8, 4, 10, 3} = {1, 2, 3,4, 5, 8, 10}.
4 -мысал. (Эзш есеп). EKi еке, eKi бала жэне атасы мен немереЫ
жолаушылап келедк Жолаушылар саны нешеу?
Шешу. Сырт калыбына Караганда бул есепте А, В, Е уш жиын
6ipiierip^eH: А={ата, эке},
В={аке, немере},
Е={ата, немере}.
C =A uB uE?
С={ата, эке, немере}, п(С)=3.
5 - мысал. А= {1,4, 7,9,1 1 }, С=АиА?
C=AuA= {1,4, 7 ,9 , 11} = А.
6 - мысал. А - оку тобындагы улдар жиыны, В - оку тобындагы
кыздар жиыны. С =А и В ?
С - оку тобындагы студенттер жиыны.
7 - мысал. А - оку тобындагы уздш окитын студенттер жиыны, В
- оку тобындагы жатакханада туратын студенттер жиыны. С=А и В ?
С - Оку тобындагы узд^к окнтын немесе жатакханада туратын
студенттер жиыны.
Eipizv_____амалынын_____касиеттери
Жиындар 6ipiryiHiH
аныктамасынан тiкeлeй корытылатын онын басты касиеттерж атауга
болады. Оларды 6ipiev зандары деп те атайды.
1. А и 0 = А - жиын мен кур жиыннын 6ipiry касиеп.
2. А и В = В и А ~ коммутативпк (орын зуыстрымдылык) ззц.
3. А и ( В и С ) =(А и В) и С - ассоциативтж(тер1мдшк) зан.
4. А и А = А -идемпотенттшк (азгер[мс1зд1к) зан.
5. Егер А с В болса, онда А и В= В - жутылымдык зан.
6. U и A=U, мунда U- эмбебап ягни универсал жиын,
__демек A c U.
61
Е скертпелер. 1)
Bipiry амалынын 1-3 касиеттер1 сандар
алгебрасы улин де тура болады: 1. а+0=а,
2. а+в =в+а,
3.
(а+в)+с=а+(в+с). Соган карап, A uB =C - 6ipiry амалын жиындарды косу
амалы деп те атайды жене оны былайша жазып керсетедк С=А+В .
2) Идемпотенттш касиет тек сандар алгебрасы ушш тек 0 саны ушш
гана тура болады: 0 +0=0.
3) EipiryfliH жутылымдык касиет! сандар алгебрасында жок касиет.
2.2.
Киылысу амалы
А, В ж эне С жиындар бершсш. Осыларга жиындар теориясында
колданылатын алгебралык амал - киылысу амалы былайша аныкталады.
1-аныктама. Бершген А жэне В жиындарынын эркайсысына
ягни А мен В-га THeci болатын элементтерден жэне тек солардан гана
туратын элементтер жиынын А мен В жиындарынын к н ы л ы с у ы немесе
квбештнЫс1 деп атайды.
А мен В жиындарынын С киылысуы былайша белгшенедк С= A nB (1)
А, В жиындардын киылысуы туралы угыми аныктаманы
белллем елер т ш н д е былайша жазып керсетуге болады:
I
I
С = А п В <^> (X | х е А жене хеВ }, С = { х | х е А л х е В) (2)
С=А о В - киылысу амалынын угыми мазмунына Эйлер - Венн
диаграммасы аркылы былайша кернею турде атап керсетуге болады.
М ысаг тар. 1 - мысал. А={1, 2, 5, 8}, В=(2, 4, 8, 10}
С = А г\В = {1,8}, мунда 2, 8 е А жене 2, 8 еВ ягни 2 мен 8 А, В
жиындарга б)рдей Heci, ортак элементтер.
2-мысал. А={1, 2, 5, 8), В = { 3 ,4 ,7 ,9 } . С=АпВ?
С = 0 , 0 йткен1‘ А мен В - ларга 61'рдей тиес1 ортак элементтер жок.
3-мысал. А - каладагы барлык балалар жиыны, В - каладаш
барлык ер адамдар жиыны. С -А п В ?
С - каладагы барлык улдар жиыны.
4-мысал. А - «сепз» сезш деп epinrep жиыны, В - «сан» сезшдеп
э р т т е р ж и ы н ы : А={с, е, г, i, з), В -{с , а, н}. С=АпВ?
С = А г)В = {с}- 6ip эл е м е н т ' жиын, ейткеш с е А, с е В.
5-мыса л. А - ромбы лар жиыны, В - tjk тертбурыштар жиыны,
Е - тертбурыштар жиыны . С=А п В п Е ?
С -А п В п Е - квадраттар
62
6-мысал. К - д е н г е л е к т е п барлык нуктелер ж иы ны , М О - цен тр де жаткан ц ен тр л 1К буры ш ты н нук телер жиыны.
Е=КпМ?
Te6eci
Е=КпМ - штрихталган денгелек секторындагы нуктелер жиыны.
7-мыса л. | х - 2 1< 1 тенс!здтш н memyi болатын нуктелер жиынын
тап.
Шешу. | x - 2 | < l o - l < x - 2 < l o l < x < 3 o { x | x -со < х < 3
жэне 1 < х < о о } о [1,3].
в
8-мысал. N ={1, 2,..., п,...} - натурал сандар жиыны,
М={2, 4, 6,..., 2 п ,...} - жуп сандар жиыны.
E=NnM ={2,4, 6,
2п,...} = М.
9-мысал. М= {2,4, 6 ,...,2 п ,...} , К={1, 3, 5,..., 2п - 1,...}.
F=M п К = 0 .
Киылысу
амалынын
Kacuemmepi.
Жиындар киылысуы
аныктамасынан тжелей корытылатын онын басты касиеттерш атауга
болады. Буларды киылысу зандары деп те атайды.
1. А п 0 = 0 - жиыннын кур жиынмен киылысу заны.
2. А пВ = ВпА - коммутативт1к (ауыстырымдылык) заны.
3. A n(B nC )= (А пВ)г\С - ассоциативтйс (тер1мдшк) заны.
4. А пА = А - идемпотентпк (езгер1мс1зд1к) заны.
5. Егер А с В болса, онда Аг>В=А - жутылымдык заны.
6. U nA = F, мунда U -эмбебап (универсал) жиын киылысу жэне
6ipizv амалдарынын Kacuemmepi. Жиындарга колданылатын киылысу
амалы, кейде, жиындарды кебейту амалы деп аталады жэне оган
сандарды кебейтуде колданылатын А* В не АВ белгкл
пайдаланылады.
7. А о (В и С ) = ArvB u AriC не A(BuC) = АВ О АС -дистрибутивтш
(улеспр1мдшш) 6ipiHuii зан не киылысудын 6ipiryre Караганда
улеспр1м дш к заны.
8.
A u B n C = (A u B )n (A u C )
неАиВ«С
|
(AuB)«(AuC)дистрибутивпк (улеспр1МД1к) eKiHmi зан
не 6ipiryre Караганда
Yлecтipiмдiлiк зан.
Дэлелдеу. A uB C = (АиВ)*(АиС)
(8). Колайлылык ушщ
Е=АиВС, M =(AuB)«(AuC) деп аламыз. Дэлелдеу керек: Е=М (9). Бул
TenaiKTi дэлелдеу ушш Е еМ (10) жэне М еЕ (11) - деп делелдену1 THic.
63
1) Айталык, х еЕ болсын, онда хеА иВС . Будан а) хеА немесе б)
хеВС. Осы ею жагдайды жеке-жеке карастырамыз: а) Айталык, хеА,
онда хеА и В жэне хеА иС . Сондыктан, х е (A uB )a(A uC ), ягни хеМ ,
демек ЕсМ. б) хеВС => хеВ жэне хеС. Мунда хеВ , сондыктан xeAwB
жэне хеС, сод себегт хеА иС , ендеше хе(А иВ )(А иС ), ягни хеМ ,
демек ЕсМ. Сонымен, а)-б) жагдайларда ЕсМ (10) дэделдендк
2) Айталык, хеМ болсын, онда xe(A uB )(A uC ). Будан: х еА и В
жэне xeA uC . xeAuB=> хеА немесе хеВ (а), хеАиС=> хеА немесе
хеС (Р). (а) мен (Р) => хеА немесе хеА.
Айталык, хеА , онда
хеАоВС=> хеЕ ягни МсЕ. Айталык, xgA, онда (а) мен (Р) бойынша
хеВС, демек хеДиВС=> хеЕ ягни
М с Е (11) дэлелдендь
Дэлелденген (10) мен (11) ден Е с М жэне М с Е , сонда Е=М (9)
дэлелдендк Будан: AuBC = (AuB)(AuC).
2.3. Жиындар айырымы жене жиынга толыктау амалы
1-аныктама. Бершген А жэне В арасындагы айырма деп А
жиыннын В жиынга THeci емес элементтершен жэне тек солардан гана
туратын С жиынын айтады. Оны былайша белгшейдк С=А \ В (1)
1-аныктама улпамен В жэне А жиындары арасындагы Е=В \ А
айырма туралы угымды аныктауга болады. Бул аныктамаларды
белплемелер тш нде былайша жазады:
А \В = {х| хе А жэнехйВ} не А\ В = { х I х е А л xgB} (1)
В \ А = {х I хеВ жэне х«гА} не В \ А= {х | х еВ л хйА} (2)
Эйлер- Венн диаграммасы бойынша С=А \ В былайша
корсетЬ””™---------------- —-----------
С=>
С=В\А
Мысалдав. 1. А={6, 9, 12,15}, В={6, 12, 24}, С= А\В и Е=В\А?
А\В={9, 15}, В\А= {24}.
2. А - тенбушрл1 ушбурыштар жиыны, В - тжбурышты
ушбурыштар жиыны. С=А\В - тенбуйфш ушбурыштар жиыны. Е=В\А
- тенбушрл1емес т1кбурышты ушбурыштар жиыны.
3. А={1, 2, 3}, В={1, 2 ,3 ,4 , 5}. С=А\В, Е=В\А?
С =А \В =0, Е=В\А={4, 5}.
Симметриялык айырма немесе дизыонктивпйк косынды
С=А\В =А
Е=В\А=В
64
АпВ * 0
2-аныктама.
Не А\В, не В\А айырмага THeci болатын
элементтерден жэне тек сондай гана элементтерден туратын F жиынды
А жане В жиындар арасындагы сим м еп ю и яш к айырма деп атайды. Оны
былайша белллейдк
F = АД В = (А \ В) U (В \ А) (1)
2 - аныктамадагы колданылган «не» - жалгаулыгы бул жагдайда
«не ол» , «не бул» деген ажыратпалык (дизъюнктивпк) мап>1насында eKi
марте кайталанып
жумсалып
отыр.
Сондыктан, жиындардын
симметриялык айырмасын «аж ырат палы 6ipiKinipv»
(ажыратпалы
дизъюнктивт 1к косынды) деп те атайды. Ажыратпалы дизъюнктивтж
косындыны былайша белгшейдк
F = А ® В = (А \В) и (В \ А) (2)
3-анытама.
А , В жиындардын аж ырат палык 6ipiKinipvi
(немесе симметриялык айырмасы) деп сол ею жиыннын тек гана
6ipeyiH e THeci (не А-га, не B-ra THeci) болатын элементтерден жэне тек
сондай гана элементтерден туратын F жиынды айтады.
Симметриялык айырма мен F ажыратпа косынды туралы 1-аныктаманы жэне 2-аныктаманы белллемелер тш нде былайша керсетуге
болады:
F = А А В = (А\В) vj (В\А )={х | х е А л х е В } u {х I х е В л х г А } (2)
F = А Ф В = (А\В) и (В\А)= {х | х е А л x g B } и {х Iх е В л х г А } =
= {x |x e A V x e B } (3)
Мундагы: «V»- белп «немесе» - жалгаулык, «не ол, не бул» деген ажыратпалык магынасын врнектейдь
М ысал. А={ 1 , 2 , 3 , 4 } , В = { 3 , 4, 5, 6}. F=A А В, F=A © В?
Шешу. А \В = (1 . 2 1 . В\А={5, 6}.
F = ( A \ B ) u ( B \А) = { 1 , 2 } и {5, 6} = { 1 , 2, 5 , 6 }.
Жиынга толыктыру амалы. Айталык А с В болатын А жэне
В ею жиын 6epiflciH.
А ны ктам а. В жиынынын А жиынга THeci емес элементтерш
жэне тек сондай гана элементтерден туратын Св А жиынды А
жиынынын В жиынга толыктырушысы деп атайды.
В мен А жиындары арасындагы айырма угымын пайдаланып, Св
А толыктауды былайша ернектеп жазуга болады:
1-мысал. В - кандай да 6ip оку сыныбындагы окушылар жиыны
болсын, А - сол сыныптагы кыздар жиыны . Св А= Ав -?
65
Cjj A = Ав =B VA - сыныптагы улдар жиыны.
Ав = В \ А - белплеушдеп Ав - толыктыруы А жиынын В
жиынга толыктырушы жиын болатынын керект. Осыган орай: 1) Св
А = Ав
- жиынды толыктаушы жиын,
2) А - жиынды
толыктырылатын жиын. ал 3) В-жиынды толыгатын жиын деп
атауга болады. Жиындар теориясында толыгатын жиын санатында,
кебшесе, U - эмбебап (универсиум, универсал) жиын алынады.
Жиындарды кернеюлеп бейнелеу уш>н Эйлер-Венн диаграммасын
колданган кезде U -эмбебап жиын тш тертбурыш аркылы кесюнделедь
Кез келген А жиын бершсе, ол сезаз U - жиынга жиынша боп табылады
, ягни А с U.
U
A cU болгандыктан А жиыннын 11-га
толыктаушы болатыны аныкталады.
Св А = Ав = U \А не А —U \ А (4).
А = { х |х е U a x ^A} (5).
(U-эмбебап жиын деп алынган кезде Аи - белпдеп U
apni
жазылмайды)
А = U \ А - толыктаушы жиынды Эйлер-Венн диаграммасы
аркылы былайша кескшдеп керсетуге болады:
U U —Т1к тертбурыш нуктелершщ жиыны,
А - денгелекше iniiHfleri нуктелер жиыны,
А-штрихталган сызбадагы нуктелер жиыны.
А - толыктаушы жиын аныктамасына
жэне кернектш к диаграммасына суйенш,
онын 61’рнеше касиеттерш атауга болады.
Толыктаушынын Kacuemmepi
1. A u A -U .
2. А п А = 0 .
3. А = А - инволюция заны, байыргылану (бастапкы турге
____
келтфу) заны.
4. А п В - А и В де-Морганнын6ipiHmiзаны.
5. А и В - А п В де-Морганнын еюнш! заны.
Де-Морган занынын кернекшк жане логикалык
mvcmdipMeci
Д е -Морганнын 1 -теоремасын А п В = A u B карастырайык.
Онын бул теоремасы мынадай сейлемге косарлы боп келедк
Ек/
жиыннын киылысуынын толыктаушысы олардын
толыктауыштарынын 6ipiryiH e тен болады.
66
I
I
а)
А п В жэне б) А и В жиындарын Эйлер-Венн
диаграммасын пайдаланып былайша кернекшеуге болады:
а)
'
г
1)
1) U жиыннын тш сызыктармен
шрихталган белш А-га тен.
2)
2) U жиыннын жатык сызыктармен
ыйврихталган белю В -га тек.
3) U - дын кандайда 6ip сызыкпен
штрихталган аумагы А и В- Fa тен.
а)
мен б) диаграммаларды салыстыра пайымдай карасак. а)-да
штрихталган аумак пен б)-дагы штрихталмаган аумактын бгрдей
шшшдемелер екенш керем1з. Демек, А пВ = А и В .
Де-Морганнын екшии занын да осы эдгспен кернекшеп керсетуге
болады. Де-Морганнын зандарын «немесе» (v) жэне «жэне» (л) - деген
жапгаулыктардын логикалык магынасына суйене отырып, пайымдау
аркылы дэлелдеуге болады.
1)U жиынга толыктаудын аныктамасы бойынша
А п В = {х I х £ АпВ} (1)._
2) х й А пВ = > х й А немесе х г В, будан х е А немесе х е В, ягни х
е А и В (2). Сейтш, {х Iх g А п В} = {х | х е А и х е_ В}_(3)
3) Алдынгы (1) жэне (3) тедщктерден А п В = А и В .
Тарихи дерек. Дэлелденген зандарды Шотландиянын эйгш математип
жэне логип Августус де - Морган (1806-1871) гылым тарихында алгаш
ашып, онын акикатгыгын ез! делелдеген. Сол себенп бул зандар деМорган зандары деп аталады.
Мысалдар. 1-мысал. U - барлык ушбурыштар жиыны, А барлык тенбушрл! ушбурыштар жиыны, В - барлык тж бурышты
ушбурыштар жиыны. ____
Тапсырма. 1) А пВ - кандай жиын? 2) А и В - кандай жиын?
3) А п В жене А и В жиындарды салыстырып караныз.
IHeinv. 1). А пВ - «Тен бушрл1 ушбурыштар жэне т1кбурышты
ушбурыштар жиыны емес».
2) А и В - «Тен бYЙipлi ушбурыштар емес немесе тжбурышты
ушбурыштар жиыны емес».
____
3) Алдынгы eKi жиынды ойша салыстырайык: АпВ = А и В.
2-мысал. (Логикалык пайым ece6i). «Ертен кун суык болады (р)
жэне ертен кун жанбырлы болады (q)» - деу дурыс болмайды, сонда
Штрихталган нуктелер
жиыны А пВ -Fa тен.
U жиыннын штрихталмаган нуктелер жиыны
А пВ -га тен.
67
жэне тек кана сонда, егер де «ертен кун суык болмаса ( р ) немесе ертен
кун жанбырлы болмаса ( q )»:
рдq = рv q.
3-мысал. (Логикалык пайым). «Егер окушы алгебраны бшмесе
( Р ) жэне де геометрияны бшмесе ( q )», сонда жэне тек сонда гана
«окушы алгебраны бшед1 (р) немесе окушы геометрияны бшед! (q)» деу дурыс болмайды.
рд q = рv q
§3.
Кос жоне косарлык катынас
3.1. Кос жайында тусппктемелер
«Кос» C03i мен угымы халкымыздын тарихи санасында ежелден
калыптаскан байыргы нэрселер.
Мэселен, 1) «Кос кол», «кос уыс», «кос аяк», «кос канат», «кос
етш>, «кос кел», «кос ат», «кос оба», «кос бурым» т.с.с. атауыш сэздер
халкымыздын ежелдеп тел сездер! боп табылады.
2) «Кемтр косак», «косагынмен коса агар», «косактагы козы»,
«Бурынгы есю бид! турсам барлап, макалдап айтады екен сез к о с ­
а р я а п» (Абай), «колынан к о с а у ы з д ы 6ip тастамайды, LLIypnuji
кара мылтык Иван берген» (Иса Байзаков. Акбепе дастаны).
Аталып еткен «косак», «косар», «косауыз» сездер! - «кос»
сезшен жасалган тшдж туындылар.
3) Тшм1здеп «жуп», «пар», «ею», «екйпк», «екеу», «епз»
сездершщ эркайсысы «кос» сезше баламалас синонимдер сездерже
жатады.
4) «Кос сез» математикалык угыми атауыш (терминдж)
санатында да кещнен колданылады.
Мысалы. (х, у) - сандык кос жазыктыктагы М нуктесшщ кос
координатасы: «х - абсциссасы, ягни 6ipiHmi координаты, у ординатасы, ягни еюнип координаты» деп аталады.
■
,.v)dvdy - кос интеграл, мунда сол жактагы (сырткы)
интеграл -6ipiHiui, ал он жактагы (ium) интеграл еюшш тужырым
делшедь
АН* векторын (А,В) - кос нукте аныктайды, мунда: А - 6ipmiui
нукте - вектордын басы, ал В - екишн нукте вектордын ушы деп
аталады.
♦
а = х i + у j - векторы (х, у) коспен аныкталады. х пен у вектордын координаталары, ал х i , у j - вектордын компоненттер1
дел^нед!.
3.2. Кос угымы жэне костасу катынастары
Математика пэш мен гылымында к о с немесе п а р угымы (а,
в) не <а, в> - белг1лер1мен ернектеледк Костар: (ab а2), (а2, аз) тургнде
68
де белпленш жазылады. а, в - элементтерд! костын координаттары,
компоненттер1 немесе мушелер! деп атайды.
Айталык кез келген объектшерден туратын ею элемента жиын
бершсш: М ={а, в}.
1-аныктама. Егер eKi жиыннын кай элемент! 6ipiHuii жэне
кайсы элемент! еюнип eKeHi тагайындалган болса, онда мундай жиынды
кос немесе пар деп атайды.
Кос былайша ернектеледк а=(а, в) не а = <а, в> (i). Жиын
элeмeнттepiнiн орнадасу peTiH тертштеу амалы элементтерд1 натурал
санга сэйкес кою (бейнелеу) ягни нвм1рлеу аркылы icKe асырылады.
Сондыктан, кос угымын бейнелеу тш нде былайша аныктап айтуга
болады.
2-аны ктам а. Егер кез келген eKi элемента жиын натурал сандар
жиынынын N2= [l, 2] киындысына езара б!рмэнш турде бейнеленетш
болса, онда мундай жиынды кос немесе пар деп атайды.
Айталык, М={а, в} - eKi э л е м е н т жиын бершген болсын. Егер
M<-»N2 немесе {а, в}<-> [ 1, 2] деп бейнеленген болса, онда М жиын
элементтер! а=(а, в) - косты тузетш болады.
Костын басты Kacuemmepi
1. а=(а, в) - кос мушелершш ягни компоненттергнвд perriK T9pTi6i
катан сакталады, ягни мушелер1 орнын ауыстыруга болмайды.
2. Баскаша айтканда, а - кос ymiH a - костын 6ipimiii муш еа, ал в екшип мушеЫ деп угылады.
3. а=(а, в), Р=(с, d ) - ею кос олардын сэйкес мушедер1 тен
болганда жэне тек сонда гана тен костар деп каралады, ягни
(а, в) = (c,d) <=> (а=с жэне B = d ) .
Сонымен, (а, в) кос дегешм1з орналасу тэрт1б| реттелш, ею
элементтен косарланган жиын екенш керем1з. 0 p6ip (а, в) кос а мен в
элементтер! арасындагы белгш 6ip f - бинарлык (косарлык) катынасты
ягни сэйкестйсп бейнелейд!. Сондыктан (а, в) косты f - катынас аркылы
былайша белгшеп жазуга болады:
м
(а, в) о a f в немесе f(a, в)=р
Казак тiлiндeгi «кос» сез!нен «косар», «костас», «косарлама»,
«косарлас» деген туынды сездер жасалган. Олар «екеуаралык
катынасы» немесе «екшктер» (2-л!ктер) деген магыналы ойга сэйкес
келед!. Осы улпмен: «ушпктер» (3-т!ктер), «тертоктер» (4-TiKTep) т.с.с.
«эщцктер» (п-д!ктер) деген жасанды аталымдар айтуга болады. Сонда
Ka3ipri заман алгебрасында кенгнен колданьшатын: «бинар», «тернар»
т.с.с. «энар» (п-ар) деген угыми аталымдарды: «б!рл!ктер», «косар» (2Л1ктер ), «уштнсгер» (З-тгктер), «энд!ктер» (п-д!ктер) деп казакша айтуга
ебден болады деп ойлаймыз.
69
«Кос» жене «косарлама» деген угыми сездердщ магынасын
жалпылау максатын кездеп, алда: «б1рл1ктеме», «еюлеме», «уштеме»,
«терттеме», т.с.с. «п-деме» (эндеме) деген упами аталымдар
аныкталатын болады.
Эуел1 «Декарттык кебейпндт туралы угым га токталуга тура
келедк
А жене В ею жиын бершген болсын.
1-аныктама. Eipim ui координаты А жиынга, еюнпп координаты
В жиынга THeci болатын барлык костар жиынын жене сондай косардан
гана туратын жиынды А мен В жиыннын декарттык кебейтш дк!
немесе т»ке кебейтшд! деп атайды.
Бул аныктаманы былайша белгшеп жазады:
А хВ
{(х, у) |х е А , уеВ}.
Тарихнама.
Рене Декарт (1596 -1650) - француз математип.
Аналитикалык геометрия гылымынын атасы. «Координат жуйесЬ>,
«нукте координаты», «костар жиыны» туралы угымды алгаш рет Декарт
енпзген. Данышпан математикин курмеп ymiH А х В кебейтшд! Декарт
кебейтшднн деп аталады.
1-мысал. А={а, Ь, с, d,e}, B={m, n, k}. A x . B - ?
A x B={(a, m), (a, n), (a, k), (b, m), (b, n), (b, k), (c, m), (c, n), (c, k),
(d, m), (d, n), (d, k), (e, m), (e, n), (e, k)}.
2-мысал. A={1, 2, 3}, B={1, 2, 3,4}. A x В - ? жене В x A -?
1)A x B= {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1),
(3,2), (3,3), (3,4)}.
2) В x A ={(1, 1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), 3, 1), (3, 2), (3, 3),
(4,1), (4, 2), (4, 3)}.
Мунда: (1,4)еАхВ, 6ipaK ( 1 , 4)eBxA; ( 2 , 4)eAxB, 6ipaK
( 2 , 4)g BxA, ( 3 , 4)e AxB, 6ipaK (3, 4) g BxA. Сондай-ак,
(4, 1) 6 BxA, 6ipaK (4, 1) g AxB. C efrrin, А х В ^ В х А.(декарттык
кебейтшд1 коммутативт1 (орынауыстырымды) емес).
Егер А=В болса, онда АхВ = АхА = А" болады. А" - белп А
жиындагы декарттык квадрат деп аталады.
2-аныктама. А жиыны элементтершен жасалган барлык костар жиыны
А ' декарттык квадрат деп аталады.
А2 <=> {(х, у ) | х е А л у е А} (2)
1-мысал. А={а, Ь, с}. А2-?
А2 = АхА = {(а, а), (а, Ь), (а, с), (Ь, а), (Ь, Ь), (Ь, с), (с, а), (с, Ь), (с, с)}.
2-мысал. М ={ Ь 2,3.4}. М2 -?
70
(U).(l,2),(l,3),(l,4)
М‘ =
(2.1), (2,2), (2^3), (2,4)
(3.1),(3,2),(3,3),(3,4)
(4.1),(4,2),(4,3),(4,4)
•
U
•
•
•
т
3-мысал.
Е=[0, 2] - сегментгеп нуктелер жиыны, баскаша
айтканда: Е={х 10 < х < 2 д х е R}. Е2 -?
Е"={(х, у) I х е Е л у еЕ }= {(х, у) | 0< х < 2 жэне О < у < 2}.
3.3. Костасу катынасынын касиеттер! мен мысалдары
А,
В жиындар бершсш. Ах В - декарттык кебейтнда курылг
дешк. А * 0 , В * 0 .
1-аныктама. А жэне В жиындары элементтершен жасалган Ах В костар жиынынын кез келген р
жиыншасын
А, В жиындары
элементтершщ арасындагы бинарлык (косарламдык) катынас деп
атайды.
Баскаша айтканда, егер р с А х В болса, онда р - imKi жиын А, В
жиындары элементтер! арасындагы косарламдык (бинарлык) катынас
деп аталады. Сейтш , (х, у) е А х В болса, онда (х, у) е р немесе х р у
деп карауга болады. Мундагы х р у - беллш «х элементтщ у-ке р
катынасы бар» - деген магыналы ойды бшд1редк «х р у» - бинарлык
катынас «х-тщ у-тен кем болуы (<)» катынасын бейнелейдь «а || в» катысы «а Ty3yiHiH в тузуге параллель болу (||)» катынасын керсетед1 .
«С iHi Т» 6ejn'ifleMeci аркылы «Сансызбай Телегеннщ irnci» - деген
туыстык (iHuiiK) катынаста бейнелеуге болады. «п! га» - белп «п саны т -
71
ге калдыксыз белшу ( i ) -катынасын бейнелейд). Болмаса « т саны п-нщ
б елп ш » болатынын керсетедь
1-мысал. А = { 1 ,2 ,3 } , В={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. х еА , уеВ . р сА хВ .
р: « х саны у-тщ белпни» ягни р: « у !х » , р - косарламдык
катынасты костар жиыны туршде жазып корсетниз.
Ш ешу. 1) А х В - декарттык кобейтш дш аныктаймыз.
Ах В ={(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,1) (2,2), (2,3), (2,4), (2,
5), (2,6), (2,7), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5) , (3,6), (3,7)}.
2) АхВ - костар жиынынан у -екшш! компонент х - 6ipiHuii
компонентке белшетш (х, у) - костарды Tepin алып, р- жиын курамыз:
р = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6)}.
р с АхВ, демек р - жиыны «х элемент у-тщ белпии» - деген
косарламдык
ягни бинарлык
(екшемдш) катынастын математика
тш нде жазылган улгш (моделО боп табылады.
2-мысал. А={1, 2, 3} жиын бершген. х, у е А р: «у: х» - р- ны
кос туршде аныктап жаз.
1) А2 = {(1,1), ( 1,2), (1,3), (2, 1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}.
2) р ={(1,1),(1,2), (1,3), (2,2),(3,3)}. Демек, р с А2.
3-мысал. М - «Кыз Ж1бек» дастанындагы бас тулгалар жиыны,
ягни М={Телеген, Ж1бек, Бекежан}={Т, Ж, Б}, х, у еМ , р: «х гашык уке». р катынасты костар тш нде жаз.
М2={(Т, Т), (Т, Ж), (Т,Б), (Ж, Т), (Ж, Ж), (Ж, Б), (Б, Т), (Б,
Ж),(Б,Б)}.
р ={(Т, Ж), (Ж, Т), (Ж, Б), (Б, Ж)}.
3.4. Катынас туралы жалпыламалы к ойтужыры мдар
1) Кос (ii ip) жэне косарламдык (бинарлык) катынас угымына
бейнелеу жэне д< тура кебейту (декарттык кебейтшдО амалдары
аркылы математикалык аныктама беруге болады. Баскаша айтканда,
жиын теориясында кос жэне косарламдык катынас угымынын
математикалык моделш (улпсш) жасаудын Heri3i каланады.
2) Косарламдык катынасты АхВ декарттык кебейтшдшш
жиыншасы (1шк1 жиыны) санатында аныктау, р - бинарлык катынастын
бершушш кэптеген эд1стер1н1н 6‘ipeyi гана боп табылады. р катынастын «графтар аркылы 6epinyi», «кесте аркылы 6epinyi» деп
аталатын ед!стерд1н бер1лу эд1стер1не алда арнайы токталамыз.
3) «Кос» жэне «косарламалык катынас» угымын жалпылау
аркылы «п-д1ктеме» (энд1ктеме) немесе «кортеж» деп аталтын жана
угым жасалады.
Айталык А - кез келген объектшерден жасалган жиын болсын. N натурал сандар жиынынын алгашкы п косындысын алып, оны былайша
белг'шейшз!
N n = {1,2,
72
Содан сон Nn киындынын А жиындагы кандай да 6ip бейнеан
курамыз. Баскаша айтканда А- жиын элементтер™н 6ip жиынын
былайша Н0м1рлейм1з: 1—> Х| , 2—> х2,..., п—> хп. Мундагы 1, 2, 3,...,
n eN , ал Щ, х2,..., Хп е А. Содан кешн А жиын элeмeнттepiнiн аталмыш
жинамын perriK Tepi6iH сактап, былайша жазамыз: a =(xj, х2,
хп) .
1-аны ктам а. Мушелершщ орналасу peTi Nn = [ 1 , п]- натурал сан
киындысы аркылы тертштелген жиын элементтершщ а = (Х|, х2, ..., хп)
жинамы узындыгы L=n болатын корт еж деп атайды.
Осы аныктама бойынша L =2 болатын а 2 =(xi, х2) - кортеж
сс2=(х,у) - косты белпленш. Ал L=3 болатын аз=(Х|, х2, х3) - кортеж деп
a 3=(x,y,z) уитктем еш угамыз. Узындыгы L=n болатын an =(xi, X:,..., Хп)
- кортеж деп peTi тертштелш жазылган п-д1ктемеш (эщпктемеж)
атайтын боламыз.
4) АхВ = {(х,у) | х б А л уеВ } декарттык кебейтшд) жиындагы
угымды жаппылап, А ь А:,..., Ап жиындардын декарттык кебейтшд1Ы
туршде аныктаманы былайша жазып керсетуге болады:
А)Х А2 х Ап -{(X], Xi,..., Хп)| Xi gAj a \ 2 eA ^a.-.a хпе Ап}.
5) Егер А| =Аз —... = Ап = А болса, онда А<п> - декарттык дэреже
былайша аныкталады: А(П>= {(х!,х2,..., хп) | Х1€А л х2е А л ...л х пеА}.
А, В жене С уш жиыннын А х В х С - декарттык кебейтшд1с1
бершген болсын. АхВхС = {(х, у, z ) | х еА л у е В л zeC}.
АхВхС - декарттык кебейтшджщ кез келген р - жиыншасын А,
В, С жиын элементтер! арасындагы тернарлык (у ц тктерл 1к) катынас
деп атайды. Баскаша айтканда, егер р с АхВхС болса, онда (х, у, г) ер
болады деп каралады жене р -тернарлык ягни у п т к т е р катынасы деп
аталады. Егер А=В=С болса, онда А3 = {(х, у, z) | х еА л уеА л zeA}.
Бул жагдайда р с А3 б олса, онда р - катынасын А жиындагы тернарлык
катынас дейдь
Бинарлык (косарлык немесе екш ктерлж) жэне тернарлык
(ушт1ктерл1к) катынас угымын непзге ала отырып унарлык (б1рл1ктерл1к
ягни Ьлйстерлш) жэне энд1ктерл1к (п-д1ктерл1к) катынас жайындагы
угымын аныктауга болады.
Айталык саны п болатын А, В,С,...,М жиындар бершс^н.
АхВ хСх...хМ = {(х), х2,..., хп ( xi g A а х2е В л х3 д ...л хпеМ}.
Егер р с А хВхСх...хМ болса, онда р - катынасы А, В, С,..., М
жиындардагы энарлык (энд1ктерл1к) катынас деп аталады.
Егер А=В=С=...=М болса, онда Ап - декарттык дэрежес1 былай
аныкталады: А 11 = {(xi, х2,...,хп) I Xi е А д х2 е А д ...л х п вА}. Егер р
катынас А - декарттык дэреженщ жиыншасы ягни р с А п болса, онда
р - катынасын А жиындагы энарлык (энд1ктершк, п-д1ктершк) катынас
деп атайды.
Егер р - катынас А бершген жиын элементтершщ ездж
касиеттерш гана бейнелейтш болса, онда р- катынасын унарлык ( 173
л1ктерлш)
катынас деп атайды. Бул катынас былайша жазылып
керсетшедк р с А 1.
Сонымен, жиын аралык жэне жиынша р - катынас неше
жиыннын жэне неше элементтщ арасынлагы катынасты бейнелейтшше
карай
унитарлык (б1рлжтерлш),
бинарлык (косарлык
немесе
екшктерлж), тернарлык (уш тш ерлж ) т.с.с. энарлык (энд1ктерл1к, пд 1ктерлж) болып б1рнеше топка балшетшш кердгк.
р катынастар ездерше тэн касиеттерге сайкес peniminiK катынас.
эквивалептпик катынас, тендж катынас, тешлздж катынас, уксастык
катынас т.с.с. сыныптарга белшедь Олардын кейб1рше алда арнайы
токталамыз.
Жиындар теориясындагы сайкес бейнелеу амалы АхВ -декарттык
кебейтшд1 жэне А* -декарттык дэрежелеу амалдары жиындагы амал
(операция) дегешм1з не? - деген сауалга нактылы жауап айтуга
мумюндж жасайды.
§4. Бершген жиындагы костасу амалы
4.1. Костасу амалынын аныктамасы
Айталык, б1зге, элементтер1 кез келген рбъектщен туратын М
жиыны бершсш. М жиынын элементтершен алынып реттелген барлык
костар жиыны М2 декарттык кабейтшдш1 курган делпс, ягни
М: = {(х,у)|хе М л уеМ } (1).
1-аныктама. Егер де М - декарттык кебейпщ пдеп ap6ip (а, в)
коска кандай да 6ip f - ереже бойынша бер^лген М жиыннын 6ip
cerMemi сайкес койылатын болса, онда f - ережеш М жиындагы амал
<операция) дс.1 атайды. Мундагы f - ереже (а, в) - кос мушелерше
жумсалатындыктан f - амалды косарлык ягни бинарлык амал дейда
Бейнелеу белплер1 аркылы f - амал
(операция) былайша
ернектелш керсетшед1:
f : М2 —> М (1). Мундагы f: (а, в)—> с (2)
немесе f(a, в)=с (3), (а,в)е М2 (4), с е М (5). Мундагы с элементш а,
в - элементтерд^н композиииясы деп атайды. F(a, в)=с тенДГгш былайша
a f в=с (6) немесе мына турде (а, в) —> с (7) жазып карсетед1.
Сонымен, f - ереже косарлык амал аталуы ушгн онын мынадай
уш талапты канагаттандыруы шарт екенш керем1з:
1). М - жиыннын ap6ip (а, в) - кос элементше осы жиыннын 6ip с
элемент! сайкес келу1 т и к (бармыстык талап). 2). Мундай с - элемент
6ipey гана болуы шарт (жалгыздылык талап) жане 3). с - элемент
бершген М жиынына тшст] болуы керек (жабыктылык талап).
1-мысал. M=N, N= {1, 2, 3, ..., n,...}. f| - ереже деп сандарды
косу m+n амалын карастырамыз, ягни f(m, n)=m+n не m f n = m+n деп
аламыз.
74
(1, 2 )e N', f ( l, 2) = 1+2 = 3 (3 бар,
ftl, 2) = I + 2=3 немесе lf2=3.
жалгыз гана), 3 e N . Демек,
(2, 3 )6 N~, f(2, 3 )= 2+ 3= 5.5eN . Демек, f(26 3)=2+3=5 немесе 2 f 3=5.
V(n, m )eN", f(n,m)=n+m=k, k e N . Демек, f(n,m)—> n+m, n f m=k.
К оры ты нды . F(m,n)=m+n немесе m f n - ею натурал санды косу
ереж еа косарлык амалдын Heri3ri уш талабын (бармыстык, жалгыздык
жане жабыктылык) б1рдей канагаттандыратынын керем13. Сондыктан,
Дш,п)—> m+n немесе га f n=m+n косу ережесш N - жиындагы косарлык
амал деп карауга болады.
2-мысал. N - жиындагы (m,n) - ею натурал сан ушш f(m,n)=m- п
немесе m f n = m n - кебейту ер еж еа де N - жиындагы басты уш
талабын тугелдей канагаттандыратынына коз жетюзуге болады. Демек,
N - жиындагы га f n = ш • п - кебейту амалын косарлык амал деп
атайды.
3-мысал. N ={1, 2, 3,..., п,...}. f - ереже санатында сандарды
азайту (-) амалын алып карастырайык.
(5, 3)eN ~, g(5, 3)=5 - 3= 2, 2 e N . Демек, f: (5, 3)-»5 - 3 = 2 e N .
(5, 7)eN", g(5, 7)=5 - 7 =-2, -2 « N . Демек, f: (5, 7) - косты N
жиында бейнелемейш.
Баскаша айтканда, алгебралык амал аныктамасынын 3-шарты
сакталмайды. Ендеше N - натурал сандар жиынында натурал сандарды
азайту амалы аныкталмайды.
4-мысал.
U - кез келген жиындардан туратын ембебап
(универсал) жиын болсын. A c U ж эне B c N болсын. (А, В) - коска
h=A kj В - 6ipiry амалын сэйкес кояйык. h: (A u B ) -> А и В. A u B = С
жиын бар epi жалгыз ж эне С с U.
Демек, A u B - 6ipiry амалы U жиындагы алгебралык амал болып
табылады.
5-мыса л. U - жиындагы f(A, В) = А о В - киылысу амалы да U
жиында акикаттаган алгебралык амал санатына жатады.
6-мысал.
Комбинаторикалык анализде жш тутынылатын
ауыстыру деген бейнелеу амалы бар. Алдымен сонын аныктамасына
токталып етел1к.
Айталык, А={а, в,...,с} жиын бершсш.
1-аныктама.
Бер1лген А жиыннын эрбдр а элементан сол
жиынга тиклч баска 6ip элементке Keuiipyfli ауыстыру деп атайды. Бул
ауыстыру былайша жазылады: a-» f(a). Мунда а элемент f(a)-ra
кеш1р1лед1, «а элемент f(a)-MeH бейнеленд1» немесе «а-га f(a) сейкес
койылады» деп атайды.
А={а, в,..., с} жиыны элементтерш ауыстыру былайша жазылып
керсет1лед1:
75
q=
’
\<р(а).<р(в),<р(с))
(1) . Мунда бершген жиын элементшщ
эркайсысы астына соган сейкес ауыстыратын элемент Ti3inin жазылган.
Егер А= {1, 2, 3, ..., п}- натурал сандар киындысы болса, онда
coFaH сейкес q- ауыстыру былайша жазылады:
1.2,3,
,я Y ^JJ
<р\,<р2,(рЗ,...,<рп)
Мундагы <р\.<р2,<рЗ.....(рп
деген1м1з 1, 2, 3,..., п - элементтен
жасалган
Рп - алмастыруларды керсетед!. Рп - алмастырулар саны Рп
=1-2-...-п=п! болады. Сонгы айтылгандарга сейкес Рп - ауыстыру саны п!
болатынын керем1з.
Мысалы. Айталык А={1, 2, 3} - уш элементтен туратын жиын
бершген болсын.
Бершген жиын
элементтершен
жасалатын
алмастырулар саны Рз -1- 2 -3 = 6 болады. Сондыктан, А жиын
элементтен жасалатын ауыстырулар саны q6 болады.
q° = f J23J ■Мунда: 1—>1, 2-»2,3-»3.
qi Ш щ Я 2 - + 3 ,
3->2.
Щ =(^ 1з ) ' МунДа| 1—>2, 2 -> 1 ,3—>3.
Чз e f ^ j ■ м УВДа: 1-> 2 ,2 -» 3 ,3 -> 1.
123 ^
q4=l ( I. Мунда: 1->3 ,2 —>1, 3->2.
q.<s= (
]. Мунда: 1—>3,2—>2,3—>1.
1321)
Бершген А жиыннан жасалган алдынгы бейнелеулер 6 элементтен
туратын ауыстырулар жиынын курайды: M={qo, qi, q2, q3, q<q?}M жиындагы кез келген eKi ауыстыруды тобектей колданудан
шыккан eKi ауыстырудын нетижес1 М жиынга тиеа ауыстыру болады.
Баскаша айтканда, М жиын элементтерше т1збектей жасалган ауыстыру
М - деп косарлык (бинарлык) амал боп табылады. Мундай бинарлык
амалды qx жэне qni - ауыстыруларды кебейту деп атайды жене мундай
кебейту амалын былайша жазып керсетедк q^ qm=qn (3) . Мунда: к, т ,
пе {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
М жиындагы ауыстыруларды кебейту амалын
орындау улпск
■i
'
Ш Я Щ
("123
123^ П гз)
k213 j 1 132 J
А 23
l312 J
=^4
76
Ойтуйшдемелер. 1) Ауыстыруларды кебейткен кезде
коммутативTiK (орын ауыстырымдылык) зан орындалмайды. Qi . q2 * q2 . qi.
M жиындагы ауыстырулрды кебейту осы жиындагы косарлык
ягни бинарлык амал боп табылады.
М жиындагы ауыстыруларды кебейту амалын орындауга арналган
мынадай кебейту кестесш куруга болады ( 1-кесте).
1-кесте
З-ini дг>реже.1и ауыс;Tbipyj1арды кебейту кестес1
45
Яо
Я2
Яз
Я'
Я«
qo
Яо
Я2
Яз
Я4
Я1
Яз
и Я> 42 Яо Я4 Я?
Яз
Яо
42
Я4
Яг
я1 Я5 Яз
Я5
Яз
Яз
Я4 Яо
Яг
Я1
q4
Я4 Яз
Я5
Яо
Я)
Яг
ц Я5 Я4 Яз Яг Я|
Яо
К орытынды . М - ауыстырулар жиынында аныкталган р . q кебейту амалынын косарлы алгебралык амалдын уш талабын тугелдей
канагаттандыратынына кез жeткiзy киын емес. Ендеше М - ауыстырулар
жиынындагы ауыстырымды кебейту ережеа qk . qn, - осы М жиындагы
косарлы-апгебралык амал боп табылады.
7-мысал. Айталык тенкабыргапы (дурыс) ушбурыш ДАВС-га О
- центршен ез1мен e3i бетгесетшдей eTin буру TYpлeндipмeci журпзшетш
болсын. Сол турленшрме нетижесгнде Д ABC -нын уш турл1 жагдайын
алуга болады. Осы ушбурышты О центршен ез1мен ез1 бетгесетшдей
турге келтаретш барлык буруларды темендепше белгшейм1з: 1) Ro - 0°
бурышка буру; мунда: А->А, В-»В, С->С. 2) R, - 120° бурышка буру;
мунда:
77
Сейтш, дурыс ААВС - ны центршен бурудын нэтижеа мынадай
бурулар жиынын курайтынын керем1з:
M={R<b Ri, R2}. М жиыннан
(R: • R2) 6ip косты алып, соларды пзбектей композициялаймыз. Мундай
композициялау ережесш М жиындагы буруларды кебейту деп атайды
жэне оны былайша белп лещи: Rk° R j.
М жиындагы eKi буру композициясы бинарлык-алгебралык амал
болатынын керсету киын емес.
Мысал. f(R2, R2) -> R2* R2 - ?
R2: Д ABC -> A BCA ; R2: Д ВСА-» Д CAB. Сейтш, R2 • R2 =R,
болады.
А
В
В
С
A
A
Мундагы (R2*R2)gM~, RjeM . Осылайша пайымдау аркылы
E=(Ro,Ri,R2) жиындагы пзбектей орындалатын амалдын (буруларды
кебейтудщ) бинарлык-алгебралык амал болатынына кез жетюзу киын
емес. Онын устше E=(R0, Ri , R2) жиында орындалатын бурулар
кебейтшдюшщ KecTeciH куруга болады (2-кесте).
2-кесте
R2
Ro
Ri
r2
Ro
Ro
R,
R2
Ro
R.
R,
K,
К2
КГ' ■Ro
Ойтуйш ■\еме. 1) М жиындагы бинарлык (косарлы) амал деп М
жиыннан алыптжасалган ep6ip (а, в) коска М жиыннын 6ip с - элементш
сейкес KejTripeTiH epeжeнi (занды, композицияны) айтады.
Косарлы амалды жалпы турде былайша белплейм1з: а ®в =с (1).
2 ) Бинарлык амал угымы жиындар теориясы мен бейнелеу
амалынын тшнде былайша жазылады: М2 - жиынды М жиынга
бейнелеуш М жиындагы бинарлык операция деп атайды.
f: М2 -> М, f(a,b)= с не a f d = с. с элемент а, в элементтердш
композициясы.
3) М жиындагы бинарлык амал алгебралык амал деп саналыну
ушш, бул косарлык амалга сандарды косу жене кебейту амалдарына
тура болатын касиеттер тен болуы тшс.
4.2. Алгебралык амал аксиомалары
Алдынгы бапта алгебра деп амал жене онын касиеттер! мен
турлер1 турасындагы математикалык гылым саласы аталатыны
78
айтылады. Ал математикалык гылыми ойлар, непзшен, уш турл1 сейлем
аркылы акпарланады. Ол сейлемдер: 1) аныктама. 2) аксиома жене 3)
теорема. Аныктама аркылы угыми ойлар енпзшедь ал теорема делелдеу
аркылы кабылданатын математикалык ойтужырым.
Аксиома (грекше «axioma» - лайыкты ой, мэнд1 бастама) деп
белгш 6ip теорияны непздеу жэне сонын баска акикат сейлемдерш
корытып шыгару ymiH кабылданган акикаттыгы дэлелс13 аян,
тупшыгарымдык сейлемд1 айтады. Аксиомага непзделш акпаратталган
ен алгашкы гылым саласы тарихка Евклид (б.з.б.Ш-г.) «Бастамалары»
деген атпен мэл1м болган геометрия пэш боп табылады.
Геометрия пэншде карастырып отырган niiiiiHre тэн касиеттерд1
акпараттайтын жэне мазмунынын акикаттыгы дэлелденбей кабылданган
хабарлы сейлемд1 геометриялык аксиома деп угады.
Мысалдар. 1. Жазыктыктагы кез келген тузуге т и е а болатын
нукте бар жене сол тузуге т и е а болмайтын нукте табылады.
2. Жазыктыктагы кез келген ер турш ею нукте аркылы тузу
журпзуге болады жэне ол тузу - 6ipey гана.
3. Eip тузу бойында жатпайтын уш нукте аркылы жазыктык
журпзуге болады жэне ол жазыктык - 6ipey гана.
Аксиома тек геометриянын тел сейлем1 емес. Математиканын
баска салаларында да аксиома жэне аксиомалык пайымдаулар кеншен
пайдаланылады. 0 p6ip гылыми пэннвд зерттеу о б ъ ек п а мен эдгсше
сэйкес ездщ аксиомасы аныкталады.
Мысалы. R - накты сандар жиынында карастырылатын «косу»(+) жэне
«кебейту» (•) амалдарына сейкес мектеп математикасында мынадай
аксиомалар кабылданатынын мектептеп оку математикасынан бшем1з.
I. Накты сандарды косу аксиомалары
1-аксиома, а+в = в + а-косудын коммутативтак (орын ауыстырымдылык)
касиеть
2-аксиома. а+(в+с)=(а+в)+с -косудын ассоциативт[к (тepiмдiлiк) касиеп.
3-аксиома. а+0=а- косудын нелге карагандагы касиеть
4-аксиома. а+(-а)=0 - косудын карама-карсы элементше карагандагы
касиет1. Мундагы а, в, с, 0, (-a) eR .
II. Накты сандарды кебейту аксиомалары
1-аксиома, а • в = в «а. Кебейтудщ коммутативт1к (орын
ауыстырымдылык) заны.
2-аксиома, а • (в • с) = (а • в) • с .Кебейтудщ ассоциативт^к (тер!мд1л1к)
заны
3-аксиома, а • 1 = а . Кебейтудщ б1рл!к элементане карагандагы касиеп'.
4-аксиома, а • — =1 (а ^ 0) не а • а "1 = 1. Кобейтуд1н Kepi элемент1не
, 1
-к
( - =а ) карагандагы касиеть
а
79
5-аксиома, а* (в + с)= ав +ас
Кебейтудщ косуга карагандагы
дистрибутив™ (ynecTipiMfliK) касиеп. Мундагы а, в, с, 1, а ' е R.
Бул аксиомалар R жиынга енпзшген (ягни R жиындагы) косу Ж
жэне кебейту (•) амалдарынын ен непзп немесе эу баскы ягни
тушргелщ касиеттерж сипаттайды.
Аталып еткен аксиомаларды R накты сандар жиынындагы (+)
жэне (•) - бинарлык амалдарынын алгебралык аксиомалары деп
атайды.
Е й орынды алгебралык амал жайындагы алдынгы айтылган
угымдар мен белплемелерд1 гылыми тургыдан б1рынгайлап жалпылау
максатымеи математикада аксиоматикалык едгспен г р у п п а (топ) деп
аталатын дереюлз угым енпзшген. Бул угым г р у п п о и д жэне
жартыгруппа (полугруппа) деген угымдарга непзделт аныкталады.
Егер МхМ немесе М“ декарттык кебейтшдшщ кандай да 6ip
жиыншасына тиюп (а, в) - кос элементп М жиындагы 6ip с - элементке
бейнелейтш кандай да 6ip f - ереже бершсе, онда осы ереженщ ею
орындык амал (бинарлык немесе косарлы амал) деп атайтынын бшешз.
Мундагы «амал» - деген аталыми сез (термин) орнына «операция»,
«композиция» - деген халыкаралык аталымдар да жш жумсалады.
а жене в элементтер1 арасында ею орындык амал (операция,
композиция) эр турл1тэсшдермен белгшенедк f(a, в)=с (функционалдык
белгшеу), a f в = с (ара катынастык белгшеу), (а, в) e f (жиындык
белгшеу ), а* в =с (композициялык белплеу), а * в = с (группалык
белгшеу).
Алдынгы белгшеулердеп М жиыннан алынган (а, в) - костын
элементтерш f амалдын мушелер1 (компоненттерО, ал с-ны сол амалдын
нэтижес! (композиииянын нэтижеа) деп атайды.
N, Z, Q жэне R сандык жиындар yuiiH f ею орынды алгебралык
амал санатында аталмыш жиындар элементше колданылатын: «косу»
(+), «алу» (-), «кебейту» (•) жэне «белу» (:) деп аталатын амалдар
катыстырылады. Ал, кеб!несе, геометриялык турлещцрулерге (буру,
Keuiipy т.с.с.) катысты ек! орынды амалдар композициялык белп (о денгелекше) аркылы жазылып керсет1лед1. Ал, группа угымына Т1келей
байланысты eKi орынды амалды жулдызша (*) - белпЫ аркылы жазатын
боламыз: а * в =с.
Ею орынды алгебралык амал туралы мэселелерд1 акпараттаган
кезде, кей жагдайда, eKi Typni терминдер мен белплемелерд! колдануга
тура келед{. Олар: 1) мультипликативт1к (кебейпмдш) белплеме мен
аталым жэне 2) аддитивпк (косылымдык) белгшемелер мен аталым деп
аталады. Ke6emiMfliK (мультипликативпк) амал кезшде а • в=с - белпс!
былайша жазылады: а-в=с не ав=с. Мунда а ■ в беяпс! а мен в-нын
Ke6eftTiHjici. ал с - кебейпнд! деп аталады, а, в - кебейтюштер деген
сезбен аталады. EKi орынды косылымдык (аддитивпк) амал бершген
80
кезде а * в=с белп а + в = с туршде жазылады. Мундагы а, в косылгыштар. ал с - косынлы деп аталады.
G - жиында бершген группа (топ) угымын аныктау ушш
мынадай кос (пар) ягни узындыгы О-re тен кортеж карастырылады. а
=< G,* > не a=(G ,*) (1). Мундагы: 1) G -(*) - eKi орынды алгебралык 6ip
амал енпзген жиын. Мундай жиында группоид
немесе базалык
группоид (тугырлык группапар) деп атайды. 2) (*) - белп G - тугырлык
жиынга енпзшген f - eKi орынды амал. Оны a - группаны жасаушы амал
деп атаймыз.
G - тугырлык группоид пен (*) - жасаушы амалдан туратын
a = < G, *> - кос группа (топ) деп аталуы уипн а * в = с ею орынды
амалдын басты касиеттерш айкындайтын белгш 6ip аксиомалар ж уйеа
кабылданган. Сол аксиомалар жуйесш алгебранын группалык
аксиомалары дейдь Алдымен жартыгруппа аксиомаларынын ж уйеа
жайындагы мэселелерге токталамыз.
Жартыгруппа аксиомалары
Айталык a = < G, * > - кос бершген болсын.
А|. (Жабыктык аксиомасы). G жиындагы кез келген (а, в) кос
элемент 0 шш а * в eKi орынды амалдын с - нэтиж еа табылады жэне ол
G жиынга THeci болады.____________________ _____ I
V(a. в)е G,3c е G: а * в =с
шт.
А2. (Тер1мдпнк ягни ассоциативтак аксиомасы). G жиындагы кез
келген а, в, с уш элемент ушш мынадай тещик тура болады:
V(a, в, c)eG : а * (в * с)= (а * в)* с
(2 )-
А3. (Бейтарап ягни нейтрал элемент жайындагы аксиома). G
жиындагы кез келген а элемент ушш теменп тендж тура болатындай, G
жиында е элемент бар^
V а е G, 3 е е G: а * е = е * а = а ' (3)
Мундагы е - элемент (*) - eKi орынды амалдын бейтарап ягни
нейтрал элемента деп аталады.
Егерде
(х)
eKi
орынды
амал
ymiH
кобейтамдж
(мультипликативтак) аталым мен белплер жумсалатын болса, онда бул
амалдын нейтрал элементан «б1’рл1к» элемент деп атайды жэне е=1 деп
белгшенед^ ягни ах 1= 1ха=а.
Аталып еткен А 2 жэне Аз аксиомалар жуйесше суйене отырып,
жартыгруппа (жарты топ) угымын былайша 6ip сейлеммен аныктап
айтуга болады.
1-аны ктам а. Егер а = < G, * > -костагы (*) eKi орынды амалга
жабыктылык (A |), TepiMflifliK (Аг) жэне бейтарап элемента жайындагы
81
(Аз) уш аксиоманыц талаптары тугелдей орындалса, онда G жиыны
жарты группа (жарты топ) деп аталады.
Ж арты группа жайындага аныктама аясын кенейту аркылы
группа (топ) туралы угымы енлзш едь Ол ушш жарты группа
аксиомалар жуйесш А4 - аксиомамен (симметриялык элемент
жайы ндагы аксиомамен) толыктыру кажет.
А4. (Симметриялык немесе Kepi элемент туралы аксиома)
Va eG , 3 а ' : а * а! = а! * а= е
немесе
/_ 1
-1
-1
а = — =а : а * а =е
(4)
Группа аксиомаларынын жуйеа'
А) (Ж абыктык аксиомасы) а = < G, * > - кос бершген.
G - группоид я г н и (*) - ею орынды 6ip амал енпзшген жиын
Va, в е G, Эсе G: а * Ь = с
(1)
Аз ГГер|‘м д ш к . ягни ассоциативп'к аксиомасы)
(2)
Va, в, c e G : (а * в)*с = а *(в * с)
Аз (Бейтарап, ягни нейтрал элемент туралы аксиома)
Va е G, Эе eG : а * е = е * а=а
Егер (*) -кебейп'мдж : а • 1=1 • а=а
Егер (*) -косылымдык: а +0=0+а=а
(3)
А» (Симметриялык немесе Kepi элемент туралы аксиома)
Va е G, 3 д! е G: а * а/= a * а = е
немесе
(4)
а * а"1= а'' * а=е
А} (Орын ауыстырымдык. ягни коммутативпк аксиома)
Уа, в е G,
а * в=в * а
J (5)
Ескертпе.
Егер (*) - амал ушш А? аксиоманын талабы
орындалса, онда G - ны Абель группасы деп атайды. Нильс Абель (18021829) - Норвегия математип. Алгебралык тендеулер шешу/н зерттеуде
группа угымын алгаш колданушынын 6ipi. Сонын нэтижесшде ол 5-mi
дэреж елi алгебралык тендеулерд{ радикалдар аркылы шешуге
82
болмайтынын тунгыш рет дэлелдеген. Группа аксиомалары
алгебралык амал аксиомаларынын алгашкысы жэне тушргелюй.
Аталган алгебралык аксиомалары жуйесж пайдаланып группа
угамын былайша аныктауга болады.
2-аныктама. Егер а =< G, * > -костагы (*) - ею орынды амалга
жабыктык (At), тер1мдшк (Аз) , бейтарап элемент жайындагы (Аз)
аксиомаларымен катар симметриялык (Kepi) элемент жайындагы (А4)
аксиома туГелдей орындалатын болса, онда G - группоид (жиыны)
группа (тон) деп аталады. Ал, егер де Aj - As аксиомалары тура болса,
онда бул группа Абель группасы (коммутативтж) делшедь
1-Мысал. ai=< N,* >, N ={1, 2, 3, ..., п,...} -топ тугырнамалык
(группоид) жиын, (•) - N - ге eнгiзiлreн ею орынды амал. а - кандай да
6ip алгебралык жуйе Кез келген п, ш - eKi натурал саннын квбейпщпЫ
к-натурал сан болады.
A|. VnjmeN, 3keN: n • m=k.
A2. Vn, m, k eN: n | (m • k)=(n • m) • k.
A3. Vn e N, 31 eN: n • 1 = 1 1 n=n.
A4. Vn e N: n • п = 1 болатын п7 саны жок. Симметриялык
аксиомасы орындалмайды.
А5. Кез келген п, m - ею натурал сандардын квбeйтiндici
коммутативт} болады, ягни Vn, m eN , n • m= m • n. Коммутативтж
аксиома орындалады.
Корытынды. а | =< N, • > - кос жарты группалык алгебра
санатына
жатады.
Мунда
As
-коммутативтж
аксиома
орындалатындыктан a t =<N, • > - косын Абелдж жарты группа деу1м1зге
болады.
2-мысал. a 2 = < Z , + > , Z= { ...,-3 ,-2 , 1,0, 1 ,2,3 ,...}- бутш
сандар жиыны , (+) 1 косу амалы. а2- кандай алгебралык жуйе?
A|. V(a, B ) e Z , 3ceZ: а+в = с (жабыктык аксиома тура)
A:. V(a, в, c)eZ : а+(в+с)=(а+в)+с (ассоциативт1к аксиома тура).
A3. VaeZ, 3 OeZ: а + 0 + 0 + а = а (нейтрал, ягни бейтарап
элемент аксиомасы тура).
А4. Va eZ, 3(-а): а+(-а) = (-а)+а=0 (а! симметриялык, ягни (-а) - карамакарсы элемент аксиомасы тура).
As. V(a, B)eZ: а + в= в + а.
Корытынды.
1) А| - А4 группалык аксиомалар жуйеы
орындалатындыктан, а 2=< Z, + > -кос группа (топ) боп табылады. 2) А*
жэне А^ - аксиомалар косылымдык (аддитивт1к) амал ушш тура
болатындыктан, а 2 = < Z, + > - группа (топ) аддитивтпс группа (топ) деп
аталады. 3) As (коммутативтж) аксиома да тура болатыны себенп
ат=< Z ,+ > - аддитивтж группа dpi абелд!к аддитивт!к группасы (тобы)
деп аталады.
83
3-мысал. а 3 = < R1, • > . Мунда: R 1 =R \{0} - нелден ещ е накты
сандар жиыны; (•) - R1 - жиындагы кебейту амалы. a 3 =<R' , • > -кос
кандай алгебра?
А| . V(x, у)е R , З ге R1: х • y=z (жабыктык аксиомасы тура).
Аг- V(x, у, г) е R1 , х *(у • z)=(x • у)* z (ассоциативтш аксиома
тура).
A3. V xeR 1 , Ее e R 1 : х • е= е • х=х (х*1 =1»х=х) (нейтрал ягни
б1рлпс элемент аксиомасы тура).
А4. V xeR 1 , Зх1 е R1 : х* х '= х 1 • х=е
(х*х'! =х'' • х=1).
(Симметриялык, ягни Kepi элемент аксиомасы тура болады. х1= х '= - ) .
X
А5. V(x, y)eR ‘ : х • у=у • х (коммутативтж аксиома тура).
К орытынды . a 3= <R', • > - косты Абелдщ мультипликативп к
группасы деп атауга болады.
4-мысал. a 4= <R' , +> , Мунда: R1 = R\{0}, (+) - R 1 жиындаш
косу амалы. a 4= <R' , + > - кандай алгебра?
A|. V(x, y ) e R ', 3 z e R 1 : x+y=z, (жабыктык аксиомасы тура).
Аг- V(x, у, z ) g R ' : x+(y+z)=(x+y)+z (ассоциативтмс аксиома
тура).
A 3. Vxe R1, BeeR1 , х+е=е+х=х (х+0=0+х=х, е=0). (нейтрал ягни
«нелд1к» элемент туралы аксиома тура).
A4.V xeR1 , I x e R 1 : х+х,=х|+х=е
(х+(-х)=(-х)+х=0).
(симметриялык ягни «карама-карсы» элемент аксиомасы тура).
As. V (x,y)eR ': х+у=у+х (коммутатйвтк аксиома тура).
Корытынды. сц =< R 1 , + > - косты Абелдщ аддитивтш группасы
деп карауга болады.
5-мысал. as = < V, + > -кос бершген. V={0, а, ^ с^
- векторлык
кещспк, (+) - осы кешстйсте векторларды косу амалы. as - кандай
алгебрага жатады?
А|Э ^е
=
(1)
Аг-V( а, Ь, с )eV: а + ( b + с )=( а + b )+ с (2)
А3. V i e V , 3 £ e V : t + 1) = о6^ ;?= d*
(3)
А4. V~te V^3(- ^)eJV ^>+>(= £ ^ ) +1f = o* (4)
As. V( b )eV: а + b = b + а
(5)
К орытынды .
as =< V, + > -косты Абелдщ аддитивтж
(косылымдык) группасы (тобы) деп атауга болады.
6-мысал. а 6 =<М, о > - кос бер1лген. Мунда: М = {Ro, Ri, R2}дурыс ушбурышты S3 центршен бурулар жиыны; о - М жиындагы
бурылуды т1збектей кебейту ягни композициялык амалы. а 6 - кандай
алгебра болатынын аныктаныз.
Алдынгы байыптамадан белгш Д-ты буру кестесш пайдаланып,
М жиынына енпзшген (о) - композиция ушш группа аксиомаларын
тексерем^з.
84
Ro
Ro
Ri
R:
R.
Ri
R2
Ro
Г
Г
о
Ro
Ri
R,
R,
Ro
R,
А|. М - жиындагы кез келген eKi элементшщ композициясы осы
М -r e THicTi болатыны кестедеп анык KopiHefli R0 ° Ro =Ro , R| °R 0~R| ,
RioRo^R:, т.с.с.
A 3.
M - жиын элементтер1 ушш тер1мдшк аксиомасы тура
болады. R0 ° (Ri oR2)=(Ro°Ri) 6R3 <=> Ro° Ro=Ri °R 3 <=> Ro =Ro •
A 3. R| oR0=R, жэне Ro 0 R| = R|. Демек, R| ° Ro= Ro 0 Ri =Ri •
e = R0 - нейтрал элемент.
A4.R0 - ге симметриялык (K epi)
элемент R0‘I=Ro- ейткеш
Ro°Ro-RoRi - r e симметриялык (K epi) элемент R f '1 =R2, ейткеш
Ri oR 3=R2oR | =RoR 3- ге симметриялык элемент
ейткеш
R2° Ri = R i ° R 2=Ro- M - жиыннын Ro, Ri, R 3 элементтерщ щ еркайсысына
Kepi элемент болатынын KepeMi3.
4.3. Геометриялык козгалыс турлер1 жэне топ угымы
Эйелдер арасынан шыккан ейгш галым математик, француз
журтынын кеменгер кызы София Жермен (1776 - 1831) ханымньщ
аузынан шыккан мынадай кагидалык канатты сез бар: «Алгебра
дегешм1з тек белплемелер аркылы жазылган геометрия, ал геометрия гйшшдемелермен елпетгенген алгебра гана» (А. И Кострикин. Введение
в алгебру, Москва «Наука» - 1977, 15-бет).
София сезш ж акикаттыгына айкынырак кез жетюзу ушш, eyeni,
геометриялык белплеу жене бейнелеу амалынын басты 6 ip парасы
козгалыс туралы yFbiMFa токталу жен деп бшем1з.
Рылымга математика ce 3i мен угымын алгаш енпзген Самоси
Пифагор (6.3.6.580 -500 жж) «Математика - сан» деп аныктаган.
Пифагор окуы бойынша сан - б 1рл1ктен турады. Б1рлак дегенйшз нукте.
Ею дегешм1з тузу, уш дегешм!з жазыктык. , терт дeгeнiмiз кетспик
немесе д е н е .
3
1
•
Eip - нукте
2
-- •
•
•
EKi - тузу
/\
/1\
К4
•-----•
Уш - жазыктык
•'
»
Т ерт - дене,
кеш сл к
Пифагор математикасынын эящиеяйс белплемесь
85
Пифагор тарихта тунгыш
рет сандык математиканын
геометриялык улпсш (моделш) жасайды. Сондыктан, Пифагор
математикасы - гылым тарихындагы ен алгашкы, геометрияланган
алгебра деп каралады. Алайда, Пифагор геометриясы - «козгапыс»
урдюшен мулде ада, тапжылмас тастай боп каткан математика.
Казактын данышпан акыны Шэкэр1м сез1мен айгсак, «Жарылыс
басы - козгапыс, козгауга керек колгабыс» (Шэкэр1М. Шыгармалары.
Алматы, «Жазушы» -1988 ж., 230-бет). Козгалыс угымы болмаса Евклид
«Бастамаларынын» eMipre келу1 де негайбыл жагдаят едь Пифагор
математикасына «козгапыс» туралы ойды алгаш дарытып, онын бойына
жан б т р ге н 6 ip in m i кудыреткер гылыми геометриянын атасы Евклид
(б.з.б.356-300) болган. Ол ф, , ф 2 - геометриялык шшшдердш
(фигурапардын) езара «тенесмуЬ>, «тенеамш, « 6 errecy i» жэне
« 6 e rr e c iM i» деген косалкы ерекеттер мен амапдарды математикадагы
«козгалыс» жэне «конгруэнгп» деп аталатын математикалык туптекке
жататын угымдарды енпзу жэне пайдалану максатындагы колгабыстар
санатында ете утымды тутынган.
Ka3ipri заман математикасындагы жш тутынылатын «козгалыс»
жэне «конгруэнгпк» (тенеамдж) деген ipreni epi езекп'к угымдарды
Евклид енбектершде: «беттесу», «беттесшм», «тенесу», «тенесшм»,
«турлещнру», «TYpлeндipiлiм», «жылжыту, «жылжым» т.с.с. халыктык
байыргы сездермен акпаратталады.
Мысалы. Бершген F| , F2 - ею катарлас шшш арасындагы Fj =F>
тeнeciмдiк ягни конгруэнгпк немесе «тен болу» (=) катынасы Евклид
геометриясында куш булнге деш н кандай да 6ip турлещдру аркылы
6 ipiHiH устше екш ипсш дэлме - дэл келп’рш салган кезде эр нуктеа‘
6i рме - б ip беттесетш ш ш ш дер (фигуралар) деп аныкталады.
86
2-бешм. О Й Л А У Д Ь Щ Ф О РМ А Л ЬДЫ К ЛОГИ КАСЫ
1 - пгарау. УГЫМДАР МЕН ПАЙЫМДАР ЛОГИКАСЫ
Л огиканы н грамматикамен ортак жайлары бар:
грамматика сездер уш ш зандар жасап бсреД1, мунын
логикадан айырмаш ылыгы бар. ейткеш грамматика бул
зандарды тек б е л гш 6ip халыктын сезлерш е лаймктам
жасайды , ал логика барлык халыктардыц сеэдсрж е
жарантын жалпы кагидалар жасайды.
Обу Насыр ел-Фарабн
Омбебап
болады.
математиканы
с-лсстстпелж
логика
деугс
Вильгельм Лейбниц
§1. Угым логикасы
Ыл)КТ| - биж тут,
V гымды - улы тут.
Жусуп Баласагуни
1.1.
Логика
сез1
мен
логика
neHi
«Логика » сез1, эу баста, ежелп гректер т ш н д еп «logos» (сез, ой,
сана) деген сезш ен шыгып калыптаскан. Б ш м тарихын зерттеушшер
«логика» сез1н алгаш енпзген адам - ол ежелп грек бiлiмпaзы Демокрит
(6.3.6.460-370) болган деп керсетедь Демокрит «Ойлау ережелер!» деген
гылыми енбек жазган. Осы тарихи шыгарманын айдарлык такырыбына
«логика» пэншщ аты келш шыккан.
Логика басында дуниетану мэселелерш зерттейтш жалпы
философиялык бш м н щ 6ip сапасы ретшде дуниеге келедь Ол дара пэн
боп б.з.б. IY гасырда калыптаскан. Оздж зерттегш eflici жэне зертгеу
н эрсеа бар логика атты дара пэннщ непзш алгаш рет элемнщ 6ipiHiui
устазы атанган эй г ш бш м паз, ежелп грек данагер! Аристотель
(б.з.б.З 84-322)
калаган.
Рылыми
бш м нщ
тарихшылары
мен
танымгерлер1 Аристотель логикасын акикатты ашу жэне непздеу каруы
(органон) немесе «дэлелдеу туралы гылым» деп атайды.
Орта гасырлык Кдзакстандагы байыргы шаЬарлардын 6ipi
Отырар (арабша аты Фараб) каласынын тел тумасы, элемнщ екшип
устазы (Аристотельден кешнп устаз) атанган Э бу Насыр эл-Фараби
(870-950) Аристотель логикасын терен талдау, кемелденшре кенейту
жене жалпак жаЬанга жарлап тарату жумыстарымен узак жылдар бойы
айналысады. Ол езш щ философияны окып уйренуге кажегп бш мдер
Ti3iMiH аныктайтын енбепнде т!лтану окуын 6ipiHUii, ал логиканы еюнпи
орынга койып карастырады (1 ,1 1 5-бет).
Еюшш устаз тагы 6ip шыгармасында логиканы сездер
грамматикасымен салыстыра карайды. «Грамматика - деп пайымдайды
ол,- адамдардьщ сейлеу т ш н калай туралайтынын карастыратын болса,
87
логика гылыми кателер наберу K aiepi тугаи туста адам ойынын дурыс
болуын солай туралап отырады» (1 ,1 39-бет).
Алдынгы айтылгандардан, логиканы акикатка жету ymiH калай
дурыс ойлай бшу керек е к е н д т н зерттейтш гылым деп карауга
болатынын керемаз. Логика пэншщ накты максаты мен мазмунын
айкын ашып туанш ру ушш, эуел1, «ойлау», «акикат ой», «дурыс ой»
деген угымдардын мазмунын айкындап алган абзал.
Ойлау адам акылы мен санасынын эрекептк кызметше жатады.
Адамнын ойлау органы - ми. Онын ойлау кызметс туралы угым
«бейнелеу» жане «тану» деп аталатын туптектж угымдар аркылы
аныкталады.
1-аныктама. Айналадагы нэрселер мен кубылыстардын адам
санасындагы бейнеленуш
тану деп атайды. Танудын нетижесш
таным немесе бШм дейдь Тану эрекет! icKe асырылу сипатына карай
eKi турл! денгейге жгктеши карастырылады: 1) ce3iM денгешндеп тану;
2) акыл - ой. ой - сана денгешндеп тану .
Ce3iM аркылы тану кызмеп туйсшу. кабылдау жэне елестету деп
аталатын амалдар жуйеа аркылы icKe асырылады. Буларды тжелей тану
немесе алшактамай тану жолдары деп те атайды. Тжелей (аулактамай)
танудын ездш логикасы бар, оны сезу логикасы деп атайды. Бул
логиканын аукымында: «куаныш», «ренин», «yM iTreHic», «TYнiлic» т.с.с.
угымдар карастырылады.
Акыл-ой ягни саналы (рационалды) TyciHiM децгейшдёп тану
Kbi3Meri ойлау. пайымдау. угыну эрекеттер! аркылы аткарылады.
Буларды, кебшесе, тжелей емес тану немесе аулактатып тану деп те
атайды.
2-ань, тама. Ойлау деп шынайы ем1рдеп нэрселер мен
кубылыстардыд соз аркылы адам санасындагы TYpлeндipiлyiн айтады.
Cefirin, шлау дег:ен1м13 акыл - ойлаудын тануы ягни бейнелеу
немесе турлещпру эрекеттер1 аркылы icKe асырылатын ми кызмет1
eKeHiH керем1з. Айналамыздагы танылатын нэрселер мен кубылыстарды
6 ip сэзбен айтканда, затиялы к нэрселер немесе заттык нэрселер деп
карауга болады. Ал затиялык нэрселердщ адам санасындагы кеипрмесш
(кесюн1н, cyperiH , бейнесш) санауялы к нэрселер (идеялар, ойлар) деп
атайтын боламыз.
Акыл-ойга уялаган санауялык бейненщ затиялык формасы
(калыбы) сез болып табылады. Сез-ойлын сырткы кабы немесе калыбы
(формасы) болып есептеледь
Сейт1п, ойлау амалынын калыбы мен каруы сейлеу TiniHiH
ce3flepi боп саналатынын керемгз. Сез адам санасындагы нышандык
бeлгiлeмeci (символикасы), калыптамасы (формасы) жене ойды
тугызушы, жасаушы боп кызмет аткарады. «Сез сезден туады,
сейлемесе кайдан туады» деген халык даналыгы сездщ осындай ой
88
тудыратын, ой сактайтын жэне ойды жетюзетш кушретп касиет!мен
байланысты айтылган деу1м1зге болады.
Алдынгы айтылгандарды т ш е тиек, ойга аркау ете отырып,
логика пэнш былайша аныктау Fa болады.
3-аныктама. Логика - акикат жэне дурыс ойлаудын формасы
(калыбы), зандары мен ережелер1 туралы там*.
Ойлаудын формасы (калыбы) деп шынайы ем1рдеп нерселердщ
касиеттер! мен катынастарын бейнелеу эдютерш атайды. Логика
пешнде, Heri3iHeH, уш турл1 ойлау калыбы карастырылады. Олар: 1)
«угым»; 2) «пайым»
жэне 3) «ойкорыту» деп аталады. Ойлау
формаларыныц эркайсысына белгш 6ip тулгалык курылым тэн болып
келедь Бул курылымдарды ернектеп керсету Yшiн арнаулы
белплемелер
(символикалар)
ж уйеа
колданылады.
Осындай
белплемелер тш н де ернектелген ойды формальданган (калыптанган)
ой деп атайды. Ой бггкеннщ нактылы мазмуны жене айкын курылымы
болады. Ой мазмунын сол ой бейнелейтш нэрселердщ касие-rrepi мен
катынастары жасайды. Ойдын калыбы (формасы) немесе курылымы
(структурасы) боп ой белшектерш курмаластыру жолдары саналады. Ол
мазмунына карай акикат жене жалган болып еюге белшедь
4-аныктама. Шынайы eMip H epceci мен кубылысынын адам
санасында делме-дэл жэне беюм бейнеленуш акикат ой деп атайды.
Акикат ойга карама-карсы мазмундагы бейнелеуд1 жалган ой деген сез
аркылы атап керсетедк
Сейтш, «акикат ой» немесе кыскаша «акикат» деп мазмуны
шынайы шындыкты делме-дел бейнелейтш ой гана айтылатынын
керем1з. Егер ой мазмуны жагынан шынайы шындыкка сэйкеспейтш
болса, ягни шындыкты бурмалайтын болса, ондай ойды «жалган ой»
катарына жаткызуга болады.
Формасы (калыбы) немесе структурасы (курылымы) жагынан
алганда ой дурыс (тура) ой жэне дурыс емес (кате) ой боп eKi Ж1кке
белшедь
Ойдын акикаттыгы мен дурыстыгы эркашан 6ip-6ipiMeH етене
байланыста боп келед).
Тану барысында анык акикатка жету ymik мынадай ек! шарттын
мулт1кс1з орындалуы лэз1м: 1) ойлауга аркау болатын туптугырлык,
бастамалык ойлар акикат болуы шарт; 2) ой курылымы жагынан дурыс
болуы THic.
Ойдын акикат api дурыс болуын уйымдастыратын жэне
кадагалайтын бтйми пэн логика деп аталады.
1.2
Угым
жэне онын логикалык
сипаттамалары
Б ш м танымгерлер1 «угымды» гылыми ойдын Kipniuii я
ю ртш темдж формасы (калыбы) деп бейнел1 сезбен аныктайды. Оку
89
эдебиеттершщ кейб1ршде «угым - ойлау логикасынын атомы немесе
атомдык элемент» деген аныктама да колданылады. Формальдык
логика пэншде «угым» туралы аныктама «белп» немесе «касиет» деп
аталатын туптектж угыми сез аркылы енпэшедь Карастырылып
отырган eKi нэрсешн 6 ip -6 ip in e уксастыгын немесе 6ip-6ipiHeH
айырмашылыгын керсететш ерекш елтн сол нерселердщ касиеп деп
атайды. Ал, нэрседе айтылмыш касиеттщ немесе катынастын бар
ек е н д т я жоктыгы сол нерсенщ белпс! деп саналады.
Мысалы. Алдымыздагы жазу ушш жайылган 6ip парак кагазды
жене пеш алдындагы жагуга екелген кенирдш туш рш ш и салыстырып
карайык. Кагаздын касиегпк белгшерше, онын: ак т у с т ш т , жазу
жабдыгы ек ен д т, Teric б еттш п жене агаштан жасалган колтума нерсе
болатындыгы сиякты ерекшел1ктерш жаткызуга болады. Ал кем!рге тэн
касиегпк белплер деп онын: тусшщ каралыгын, отка жару ymiH
колданылатындыгын, жылу беретшдцш, жер койнынан алынган табиги
нерсе екендтн, т.с.с. белплерш атай аламыз.
Сейтш, танудагы ep6ip нерсенш тек сол нерсеге гана тен
болатын толып жаткан касиегпк белплер! немесе айырмашылык
белплер1болатынын керем1з.
Танудагы нэрселердщ белпсш м ендш к белп (немесе елеул1
белп, басты белп) жене беймендш к белп (елеуЫз белп, косалкы белп)
деп eKi улкен жжке айырып атайды.
1-аныктама. Карастырып отырган HepceHiH оны баскалардан
айырып тану ymiH жекелеп алганда кажегп болатын, ал тутастай
алганда ж еткш кп болатын касиеттерш сол HepceHiH м ендш к (елеулП
белпс1 деп атайды.
1-мысал. Зат репнде алып Караганда, алтыннын м ендш к беЛпЫ
катарына онын: 1) «металл екендйт»; 2) «кундылыгы»; 3) «белгш 6ip
сыбагалы салмагы барлыгы» жатады. Ал алтынга тэн «TyciHiH сары
болуы», «жаркыраган ушкыны» онын беймендш к (елеуаз) касиеттер!
боп саналады. Халкымыздын «Жылтыраганнын 6 e p i алтын емес» деген
канатты ce3i алтыннын беймендш к касиетш сипаттайтын 6ip айгак
болып табылады.
2-мысал. Математика пеншде жш колданылатын «квадрат»
(шаршы) деген угымды айтылмыш аныктама тургысынан талдап
кepeлiк. Бул угымнын м ендш к белпзд - «тертбурыш болуы»; «барлык
кабыргалары тен болуы» жене «барлык бурыштары тен болуы». Ал
квадрат кабыргаларынын узындык туркы жене олардын калай
орналаскандыгы сиякты K acH errepi онын елеуаз белплер1 катарына
жатады.
EHfli «угым дегешм1з не?» деген сауалга нактылы жауап болатын
аныктамага токталамыз.
2-аныктама. Угым деп HepceHi я кубылысты онын мендш к
белгга бойынша адам санасында бейнелейтш ойлау формасын
(калыбын) айтады.
90
Жекелеген угь!МДы латын алфавитшщ А, В, С, D, Р,... бас
opirrrepiMeH немесе А |, А:,..., Ап,... эрштер1мен белплеп жазады. 0p6ip
угым ез1н курайтын eKi логикалык кырымен сипатталады. А-угымнын
логикалык сипаттаушылары катарына онын мазмуны (МА) мен K0лeмi
Ц Ц жатады.
3-ан ы к там а. HepceHiH угым аркылы бейнеленген м ен д ш к
белгшершщ жиынтыгын сол угымнын мазмуны деп аталады. Егер
угымды А деп белгшесек, онда онын мазмунын МА аркылы белплеп
керсетуге болады.
4-ан ы к там а. А угымнын келем1 (VA) деп эркайсысына осы yFbiM
мазмунына THicTi белплер тэн болатын нерселер жиынын (класын
немесе сыныбын) айтады.
А угымнын мазмуны мен келемш сол уп>1мнын логикалык
сипаттаушылары дейдь
1-м ы сал. «Адам» деген угымнын логикалык сипаттаушыларын
атап керсет.
Адамга тэн касиеттер: «жан и е а екенд!п»; «ею аякты екещпп»;
«денесшщ тутастай ту к п eMecTiri»; «сейлейпнш п»; «акыл-санасы
барлыгы»; «кауымдастыгы» т.с.с.
Булардын iuiiitae м ен д ш к белгшерше: «жан иеЫ екендш»;
«акыл-санасы ньщ барлыгы»; « сей л ей тш д т» жатады. Ал, «ею
аяктылыгы»; «денесш ш жаланаштыгы»; «кауымдастыгы» беймэндш к
касиеп немесе е л еу аз б е л п и болып табылады.
Сейтш , «Адам деген1м1з акыл-санасы бар, сейлейтш жан Heci».
Бул угымнын мазмуны М А ={саналылыгы, сейлейтшдйп, жан иесшдйт}.
Ал, онын келем1 VA={Ka3ipri адамдар, бурынгы вткен юсшер, болашакта
туатын адамдар}.
Т арихи ан ы з. Ежелп грек данагер1 Аристотельдщ устазы Платон
(б.з.б.427-347) жастау кезшде: «Адам - eKi аякты, тукЫз жануар» деп
аныктаса керек. Сонда онын батыл да пайымшыл 6ip ш ею рп Платон
flepicreMeciHe жунш жулган тауыкты ала келш, «Мше, ceHiH адамын»деп устаздын алдына лактырып тастаган екен. Ш эю рпш н осындай
байкампаз да батыл сынынан кешн, Платон угымды аныктаган кезде
нэрсен1н манд1 жэне бейменд! белп л ерш дурыс ажыратуга ерекше кeнiл
бeлeтiн болса керек.
2-м ы сал.
Математика пeнiндe карастырылатын «шенбер»
угымыньщ логикалык сипаттамаларын атап керсет.
Шешу}. Мш={«жазыктыктагы туйык сызыктыгы», «сызык
нуктелершщ 6ip нуктеден бершген кеаш цге тен кашыктыкта жатуы»}.
Viu= {«Ka3ipri сызылган шенбер», «бурын сызылган шенбер», «ещи
сызылган шенбер»}.
«Ш енбер» угымынын беймендшж касиет! деп мыналарды атауга
болады: «Ш енбердщ кашан сызылгандыгы», «центрмщ кай жерден
алынгандып>1», «радиусынын узындып.!» т.с.с.
91
1.3.
Угымнын
т урл ерI
Логика пэш угымды колемше жэне мазмунына карай эр алуан
турлерге белш карастырады. Угым келемше карай: «бфл1к угым»;
«жалпы угым» жэне «нелдш угым» деп аталатын уш турге белшедь
1-аныктама. Келем! жалгыз гана нэрседен туратын угым б1рд[к
угым деп аталады.
Мысалы. «Алматы каласы»; «бес саны»; «EpTic езенЬ>; «Ай»;
«Казакстан Республикасы».
2-аны ктам а. Келемше eKi жэне одан артык нэрселер
камтылатын угымдар жалпы угым делшедь
Мысалы. «Адам»; «натурал сан»; «химиялык элемент»;
«планета»; «мемлекет».
3-аныктама. Келемше б1рде 6 ip нэрсе THicrri емес угымды
нелдж угым деп атайды.
М ысалы. «М энгш к двигатель»; «абсолют кара нэрсе»;
«мыстан»; «шеказдш».
Мазмунына карай алганда угам терт турге белшш аталады.
Олар: 1) конкретп (нактылы) угым жэне 2) абстрактылы (дереказ)
угым; 3) б ек тм д ж (растамалык) угым; 4) бекерлемелк (терютемелж)
угым.
4-аныктама. Тану нэрсесш тутас калпында бейнелейтш угымды
KOHKpeTTi (нактылы) угым д ей т. Ал нэрсенш езше емес, онын касиеп
мен катынасын бейнелейтш угымды абстрактылы (дерекмз) угым деп
атайды.
Мысалы. «Мынау - устел»; «Мше- адам»; «Ушбурыш дегешм13
мынадай шит’ндеме» - деген угымдар конкретп угымдар катарына
жатады. Ал, « 7шбурыш» дегешмю 6ip тузуйвд бойында жатпайтын уш
HyKTeHiH жиы тыгы» - деген аныктама аркылы бершген угым
абстрактылы (дереказ) угымнын мысалы болып саналады. Сондай-ак,
«ерлш>, «салмак», «тещпк», «уксастык» сиякты угымдардын барлыгы
дереказ угымдар катарына жатады.
5-аныктама. Карастырып отырган нэрседе белгш 6ip бeлriнiн
бар екен дтн бейнелейтш угымды бек т м д1к (бастамалык) угым
дейдь Ал, нэрседе угымына карай енетш касиеттш жоктыгын
бейнелейтш угымды бекерлемелж (терктем елж ) угым дейдь
Мысалы.
«Шектеулиик»,
«peттiлiк»,
«хабарланыстык»
бектмдйс угым болып табылады. Ал «шектеуаздж», «бейретжпш>,
«бейхабарлылык» бeкepлeмeлiк угымга жатады.
1.4.
Угымдар
математикасы
Алдынала ескертпе.
Угымдар математикасы деп угымдар
арасындагы катынастар мен угымдарга колданылатын амалдар жуйесш
92
атап отырмыз. Логика пэншде угымдар арасындагы ер алуан катынастар
карастырылады. Бул орайда 6i3 угымнын келем1 бойынша аныкталатын
катынастарга токталамыз. Ал , угым келем1 математикада «жиын», ал
логика пэшнде «класс» (сынып) деп аталатын бастамалык у ш м аркылы
сипатталады.
Угымдар
арасындагы
катынастар
1-аныктама. Егер А жене В ею угымнын VA, V B келемдер1
тутастай немесе iminapa б1рдей боп (ягни кабаттасып) келсе, онда
буларды уйлес!мд1 угымдар деп атайды. Ал, егер А жене В
угымдарынын VA, V B келемдер! ешкашан бiрдей болмаса (ягни
абаттаспаса), онда булар уйлеамс13 угымдар делшедь
Уйлешмд! угымдарды: 1) тенбе-тен угымдар: 2) багынышты
угымдар жене 3) киылыскан угымдар деп те уш топка белш карайды.
2-аны ктам а. Bip гана нэрсеш бейнелейтш ею угымды тенбе-тен
угым деп атайды. Тенбе-тен угымнын кeлeмдepi толыгынан кабаттасып
келедй Сондыктан, тенбе-тен угым деп толык кабаттасып келетш
угымдарды айтады.
3-аныктама. BipeymiH келем1 еюнппсше камтылып келетш
угымдарды багынышты угымдар дейдь Ал, егерде А жэне В
угымдарынын VA жэне VB келемдер1 iiniHapa гана кабаттасып келетш
болса, онда оларды киылыскан угымдар деп атайды.
Угымдар арасындагы катынастарды «Эйлер денгелектерт деп
аталатын диаграммапар (сызбанамалар) аркылы кернеюлеп керсетуге
болады.
УйлеЫмаз угымдар
Уйлеамд! угымдар
I
Тенбе-тен
угымдар
киылыскан угымдар
Багынышты
угымдар
Мысалы. Вероятен угымдарды келе\п бойынша сызбанамалар
аокылы кернеюлеп керсет.
1) А>= «агаш» , В;= «темтр».
2) Аз= ^агаш», Вз= «емен», С3= «шырпы»;
3) А;— «Алматы - Казакстандагы ен улкен кала», В:= «АстанаКазакстан Республикасынын астанасы».
4) А4- «рационал сан», В4= «иррационал сан».
93
5) А5= «натурал сан», В5= «жуп сан», С5= «так сан».
6) А«= «онга дешнп жай сандар», В«= «онга деш нп так сандар».
7) А7= «натурал сандар жиыны»,
«б1рден басталатын он
танбалы бутш сандар жиыны».
8) \ д - «тен кабыргалы ушбурыш», Во= «Дурыс ушбурыш».
Шешу]; Алдынала ескерту. Колайлылык ушш осында жэне
будан былай угым келемш сол угымды белплейтш epin аркылы
белгшеп жазамыз. Сонымен катар угымды бейнелейтш жиындарга
(кластарга) колданылатын: «киылысу», «6ipiry», «азайту», «толыктыру»
амалдары жэне «тендж», «камтылу» катынастары жалпы алгебра
курсынан окырмандарга белгш деп санап, олардын белплемелерш
осында колданатын боламыз.
Енд1 мысалда бершген уш мдарды жеке-жеке талдауга кешелж.
1) А| п В| = 0 , демек А| мен В| у й л еам аз угымдар { 1-сызбаУ
2) Взс Аз жэне С3с Аз , демек Вз пен Сз Аз- га Караганда
багынышты угымдар (2-сызба).
3) Аг=В2 , демек Ai мен Вг тенбеs'
тен угымдар (3-сызба).
( А г , В2 J 3-сызба.
Т ектiк жэне турлiк угымдар
туралы тусiнiк
Айтальь б!зге В с А болатын е й угым бершсш (4-сызба).
Аныктама.
Беригён В угымына Караганда
колем! аукымдылау (кендеу) боп келетш А
угымды тект!к угым деп атайды.
4-сызба
Ал, келем1 А тектж угым келемже камтылатын В угымды А
тект1к угымнын ty p i немесе турл1к угым деп атайды.
1-мысал. А= «агаш», В = «емен» болсын. Сонда ВсА. Демек,
«агаш» - тектж угым, ал «емен» - онын Typi боп саналады.
2-мысал. А= «натурал сандар жиыны», В= «жуп сандар жиыны»
болсын. Мунда А- тектж угым, ал В- турлж угым.
3-мысал. А= «тертбурыш», В= «параллелограмм» угымдары
болсын. Сонда «тертбурыш» - тектж угым деп аталса, ал
«параллелограмм» - турлж угым делшед1.
EHfli багыныштылас уй л еам аз угымдар арасындагы катынаска
токталуга тура келедк Мундай угымдар арасында «кайшылыкты
(контродикторлык) катынас» жене «карсы (контрарлык) катынас» деп
94
аталатын eKi турл1 катынас кезжедь Олардын мазмуны былайша
аныкталады.
А ны ктам а. Кайшылык катынасы 6ipeyi белгш 6ip белплерге
ие болатын, ал eKiHiuici сол белп Hi ешкандай жана белпж атап
керсетпестен бекерлейтш багыныштас eKi угым арасында гана болады.
Мундай угымдарды кайшы угымдар деп атайды.
A
A yFbiMFa багыныштылас боп келетш В жэне В
кайшы
угымдарды
сызбанама
аркылы
кернекшеп керсетуге болады (5-сызба).
5-сызба.
М ысалы. 1) А= «туе» угымы, В= «ак», В = «ак емес»
угымдар болсын. Сонда ВсА, ВсА, В о В = 0 , В и в = А болатынын
керем13. Сондыктан. В, В угымдары А га Караганда багыныштылас
угымдар жене езара кайшы угымдар.
Осы мысалга суйене отырып, кайшы угымдар мен кайшылык
катынасы туралы мынадай жагдаяттарды атап керсетуге болады:
1) Кайшылык катынасы бекерлемд1к жэне соган сэйкес
келетш б ек тм д ж угымдар арасында гана болады.
2) Кайшы угымдардын кeлeмiндe ортак немесе кабаттаскан
жагдай болуы мумкш емес.
3) В жене В ею кайшы угымнын келем1 А тектж угымнын
келемш тугелдей камтитын болады.
Карсы
угымдар
жэне
карама-карсы
катынас
Аныктама. Карама-карсылык катынасы 6ipeyi екшипешде
жок жана белпж' атап керсету аркылы бекерлейтш багыныштылас ею
угымнын арасында гана болады. Мундай ею угымды карсы угымдар
деп атайды. Карсы угымдар арасындагы айтылмыш катынасты карамакарсылык (немесе карсыластык) катынасы дейдь Карсыластык
катынасын сызбанама аркылы кесюндеп керсетуге болады (6-сызба).
М ысалы. А= «туе», В= «ак», С—«кара»
угымдары болсын. Сонда ВсА, СсА. Демек,
В мен С угымдары A Fa багыныштылас
угымдар болатынын KepeMi3. Сонымен
катар, ВпС = 0 , ягни В мен С уйлеЫмаз
угымдарга жатады.
6-сызба.
Ал 6ipaK та ВиС * А, ягни В жене С карсы угымдардын кeлeмi
А текпк угым келемш тугелдей камтымайды. Демек, В мен С карсы
угымдар арасында олардын екеуше де тшеи емес уцншш 6 ip угым бар
дей аламыз.
95
Мэселен, В = «ак» туе пен С = «кара» туспн арасында олардын
ешкайсысынын келемше енбейтш Д= «жасыл» туе, Е= «кызыл» туе
т.с.с. тустер жататыны анык.
Угымдарга колданылатын
амалдар
Алдынала ескертпелер. 1) Угымдарга колданылатын амал
деп бершген 6ip я б1рнеше угымнан жана угым жасау ушш
орындалатын логикалык эрекеттерд! айтады.
2) Кез келген угымнын келем1 белгш 6ip жалпы белплерге ие
болатын нэрселердщ жиыны (класы) деп каралатынын бiлeмiз.
Сондыктан угымга колданылатын амал деп сол угым бейнелейтш
жиынга (класка) колданылатын амалды айтатын боламыз. Мундай
жиындарга (кластарга): «Gipiry», «киылысу», «айыру», «толыктыру»
деп аталатын терт амал колданылатынын алгебра курсынан жаксы
бщещз;
3) А угымынын келемш осында жэне будан былай жиын
аркылы былайша белгшейтш боламыз: V a=A.
4) Кернекшк ущш жиынга колданылатын амалдарды «ЭйлерВенн диаграммасы (сызбанамасы)» деп аталатын кернекшк куралымен
кесиндеп керсетем13 (7-сызба). Мунда: U - эмбебап (универсал)
жиынды, ал А - бершген жиынды керсетедь
5) Логикада U - эмбебап жиынды пайымдау класы деп атайды.
U
j Кейде пайымдау класын «заттык облыс» деген
А^)
сезбен де атап керсетедь
j 7-сызба.
Шод угымдарЕа колданылатын амалдарга (ягни кластарга
колданылатын амалдарга) жеке-жеке токталып етем1з.
I. У г ы м д а р
косындысы
Аныктама. Бершген А жэне В угымдардын косындысы деп
келем1 AuB 6ipiriMre тен болатын ушшцп С угымын айтады.
EKi угымнын косындысын A u B = С немесе А+В=С аркылы
белгшеп керсетедь
М ысалы. А= «эдшетт1 еогыс», В= «вдiлeтciз согыс» десек,
онда А+В=С косындысы С= «согыс» деген угымды бейнелейдь
Угымдар косындысын сызбанамалар аркылы былайша
кескшдеп керсетуге болады (8, 9 -сызбалар).
8 - сызба.
96
1-KaneniK кесте.
________ Угымдар косындысынын касиеттер!________
1. Au B=Bua - коммутативтш (ауыстырымд.) зан.
2. Au(BuC)=(AoB)uC - ассоциативт!к (тер1мд.) зан.
3. АиА = А -идемпотентпк (булжымастык) зан.
4. AuU=U - угым мен пайымдау класынын косындысы.
5. А и 0 = А - угым мен кур жиын угамынын косындысы.
6. Au А = U -угым мен кайшы угымнын косындысы.
II. У г ы м д а р
Ke6eftTiHjici
Аныктама. А жэне В угымдарынын квбештта деп Vc колем! АпВ = С киылысымга тек болатын жана С угымын айтады. Ею
угымнын кебейтшдюш былайша белплеп жазады:
АпВ = С немесе А* В = С.
Мысалы. Айталык А= «эйел» угымы, В= «мугалгм» угымы
болсын. Сонда С=АпВ деп С= «мугалима» угымын алуга болады.
Угымдар кебейтшдю сызбанамалар аркылы былайша
кернеюленш керсетшед1 (10, 11-сызбалар).
С
10-сызба.
С=АпВ
11 -сызба. в=АпВ=С
2-кэлел1К кесте.
Угымдар кебейтшдкшщ касиеттерь
1. АпВ = ВпА -коммутативтш (ауыстырымдылык) зан.
2. Ап(ВпС) =(АпВ)пС -ассоциативтж (тер^мдшк) зан.
3. АпА =А - идемпотентпк (булжымастык) зан.
4. An(BuC)=AnBuAnC - дистрибутивен (улест.) 6ipiHmi зан.
5. AuBnC=(AuB)n(AuC) -дистрибутивт1к (улест.) еюнпп зан.
6. А п 0 = 0 угым мен нелд!к угымнын кебейгшдесь
7. Ап А =0 -угым мен кайшы угымнын кебейтшдкл.
8. AnU=A - угым мен пайымдау класынын кебейгпщпа.
III. У г ы м д а р а й ы р ы м ы
толыктамасы
мен
Алдынала ескерту. Угымдар келемш бейнелейтш жиындар
(кластар) ушш аныкталган «6ipiry» (и) жэне «киылысу» (п)
амалдарынын касиеттер1 (зандары) сандарга колданылатын «косу» жене
«кебейту» амалдары ymiH орындалатын касиеттерге кеп жагынан уксас
екенш байкаймыз. Сол уксастыкка суйенш, «угымдар косындысы»
жэне «угымдар кебейпнша» деген атауыш сездер колдандык.
Айтылмыш зандар бул амалдарды саны еюден артык угымдар ушш де
97
жалпылауга болатынын корсетедь Сонымен катар «угымдарды косу»
амалынын аныктамасы мен касиеттерже суйене отырып, «угымдар
айырымы» жэне «угымдар толыктырмасы» деген тагы ею амалды
аныктауга болады.
Айталык Va=A жэне Ув=В болсын. U - пайымдау класын
алайык.
Аныктама А класынын В класына енбейтш элементтержен
туратын С класты бейнелеуип угымды А жэне В угымдарынын
айырымы деп атайды. А, В жиындар айырымын былайша белплеп
жазады:
А\В=С немесе А - В = С.
Айырым угымын сызбанамалар аркылы былайша корнеюлеп
керсетуге болады (12,13 - сызбалар):
С =А\В.
12-сызба.
С=А\В. 13-сызба.
Аныктама. U пайымдау класы мен А класынын айырымын А
угымынын толыктамасы деп атайды. Бул угымды былайша белплеп
сыныптар) алгебрасынан туратынын байкауга болады. Ал алгебра
атаулы белгш 6ip безршемелйс Т1л элшбш аркылы жасалган структура
(курылым) боп табылатынын Шшшз. Демек, угымдар алгебрасынын
элтбш (L) деген жасанды атауыш сезд1 пайдалануга болады.
________________________________ З-кэделж кесте._______
¥гымдар алгебрасынын элшбш (L)
L=<C А, В, 0 , U, n ,u , \, =,с, ( ) ^
Мундагы:
1) А, В - угымдарды бейнелейтж кластар (жиындар)
2) 0 -нолд1к жиын (кур жиын), U- эмбебап (универсал) жиын
3) п, и, \ - упымдарга колданылатын амалдар
4) - , с - угымдар арасындагы катынастар.
5) ( ) - жакшалар.___________________ ___________ _______
98
Тапсы рма-есеп. 1. U - мектептеп окушылар жиыны, А мектептеп кыздар жиыны, В - осы мектептеп тогызыншы сынып
окушыларынын жиыны, ал С - мектептеп уздж окушылар жиыны.
U, А, В, С жиындарды Эйлер двкгелектер1 бойынша кескшде,
(AnBnC *0) жэне X=(BuC)nA жиынын сызба аркылы керсет.
2.
U - педагогикалык колледждщ окушылары, А - о
кыздардын жиыны, В - сол колледждщ уздж окушылар жиыны, С сондагы волейбол секциясынын мушелер жиыны.
U, А, В, С жиындарын Эйлер деигелектер1 аркылы кескшде,
(АоВоС * 0 жэне Х=АпВ \ С жиынын сызба аркылы керсет.
С ез жэне Ф реге у ш б у р ы ш ы
Угым адамнын табиги сейлеу тш н де сез немесе сездер TipKeci
аркылы бершетшш кердж. Мысалы: «Ушбурыш», «Ушбурыштын орта
сызыгы», «шенбер», «шенбердщ диаметрЬ> т.с.с. сездер мен сез
TipKecTepi б елгш 6 ip угымнын атауышы яки атауыштык eciMi боп
табылады. Кандай да болмасын танылган я танылатын нэрсенщ сез
аркылы белгшенген аты я eciMi болуы занды ахуал, «мыннын TyciH
таныганша, 6ipfliH атын бш> деген халыктык кагида осындай ахуалдан
туындаса керек. Сондай-ак, ер нэрсеге койылатын атауыш еамд!
данагер халкымыз: «Жаратканга жабыскан касиет» - деп жумбак eTin те
айткан. Свйтш, e p 6 ip угымнын атауыш сез аркылы бeлгiлeнeтiнiн
кердж. Угым - ойлаудын, ал сез - сейлеу кызметшщ 6ipniK куралы
екен1н 6ifleMi3. 9 p 6 ip сез ауызша айтканда жекеленген дыбыстан,
жазган кезде эр1птерден тузшедь Дыбыс пен эрш заттык нэрселер.
Сондыктан, сезд} угымнын немесе ойдын заттык кабы я калыбы деп
карастырады. Ой сездщ imjci астары ягни мазмуны боп табылады. Ой
кандай да 6 ip нэрсенщ санадагы бейнеа, кеилрмеа ретшде туатынын
бшем1з. Ой бeйнeлeйтiн затиялык HepceHi свздш мот деп атайды.
С ей тт, e p 6 ip атауыш сез (eciM ) уш Typni кырдан туратынын KepeMi3.
Тану барысындагы сезге жуктелетщ осындай уш Typni кызметп
HeMicriH белгш математип жене логип Г. Фреге (1848-1925)
ушбурыштык шшшдеме аркылы кернекшеп керсеткен. Сол ушкш
шшшдемеш Фреге ушбурышы деп атайды.
Фреге ушбурышыньщ курылымы мен ryciHflipMeci
3) угым (магына)
1 )нэрсе(мэн)
Рылыми аталымдары:
1) Денотат (нэрсе)
2) Символика (белп)
3) Концепт (угым)
TvciHaipMeci:
Фреге ашкан ушбурыш,
Ушбурышы - уш Typni ic
E ipi- белп, 6ipi-M9H,
Магына - 6ipi, дуп-дурыс.
99
1.5. У г ы м д ы
аныктау
амалы
Аныктама аныкталатын нерсснж ен жакын
те имен, сонмн тур аЙырмашылыгын ажыратып корсету
аркылы жасалады.
Платон (28.441-442 бб)
Аныктама - логикалык амалдын 6ip турi боп табылады.
Аныктамалык амал аркылы колданыска енпзшетш угымнын мазмуны
ашылады жэне сол угымды белплейтш атауыш сездщ (eciMHin,
терминнщ) магынасы тагайындалады. Аныктама аркылы нешн
аныкталатынына карай реаллык аныктама (нэрсенщ аныктамасы) жэне
номиналдык аныктама) (нэрсе еамжщ ягни атауышынын аныктамасы)
боп eKi топка белшедк Былыми пэндерде «аныктама» латыннын
«d eflnitio» (дефиниция) деген свз 1
‘мен айтылады. Бул свзт казакша
«uieKTeyuii», «шектеме», «шектеуш» деп аударуга болады. Сонда
аныктама амалы 6ip нэрсеш eKiHmi 6ip нэрседен ажыратып керсететш
шeктeмeлiк щрал деген магынаны бщшредь Орысша «определение»
деген угыми сез «предел» (шек) сезжен жасалган туынды созге жатады.
Кез келген аныктамада аныкталатын угым (definiendum,
кыскаша «dfd») жэне аныктауыш угым (definiens, кыскаша «dfn») деп
аталатын eKi угым катысады.
Угымды аныктау аныкталатын нэрсенщ осы угымда
бейнеленген барлык мэндшк (елеулО белп'лерщ атап керсетуге кеп
саяды. Бул мэселе, Ke6iHece, аныкталатын угымды бурын аныкталган
баска 6ip угымнын келемше камту аркылы шeшiлeдi. Осылайша угым
аныктауды логика пэншде: «угымды ен жакын тепн жэне тур
аЙырмашылыгын атап керсету аркылы аныктау» деп атайды.
Угымды нэрсенщ теп мен турше карай аныктау едюш гылымга
алгаш енлзуш ). фистотелдщ устазы Платон болган.
Угымды T^ri мен Typi бойынша аныктауга мысалдар келпрем1’з.
Мысалы. Кабыргалары тен параллелограмм ромб деп аталады.
Мунда: А= «ромб». Бул угымнын мазмуны МА= {параллелограмм
болады», «кабыргалары тен болады»}. Ал VA ={«каз]'рп ромб»,
«б урынгы ромб», «келешектеп ромб»}. Ромбынын ен жакын тектж
угымы - «параллелограмм», онын туpi - кабыргалары тен
параллелограмм.
Мысалы. Логика - адам ойынын курылымын жэне занын
зерттейтш гылым.
Бул аныктамада: А = «логика» - аныкталатын угым (dfd),
В = «Рылым» угымы - аныктагыш угым (dfn). А угымнын ен жакын тел
- «гылым», ал онын rypi - «ойдын курылымы мен занын зерттейтш
гылым» деген угым болып табылады.
100
§2. Пайымдар логикасы
Bipey укпас бул соэдк 6ipey угар.
Еагасын пайым кылмай. ац-тан калар.
Абай (3. 1-т ,43-бет)
2.1.
П айым жане
онын
курылымы
А ны ктам а. Пайым деп шынайы OMip нэрсесшде (я нэрселерде)
кандай да 6 ip белгшщ барлыгын я жок екенш бейнелейтш ойды (ой
формасын) айтады.
Ойлау нэрсесше (заттык нэрселер мен кубылыстарга) тэн
белгшщ барлыгын корсететш ойды - дектимд'тя растамдык ой. ал сол
белгшщ жоктыгын бицнретш ойды бекерлеме.ук я теЫстемдш ой деп
атайды.
Сейтш, пайым деп ойлау нэрсесшде кандай да 6ip нэрсенщ
барлыгын беютетш (растайтын) немесе бекерлейтш (тер1стейтш) ойды
айтатынын керем13. Ойлау формалары (калыптары) угым мен пайы мпм
пайдалана отырып аткарылатын ой кызмет1 «пайымдау» немесе
«парыктау» деп аталады.
Бейнел1 тшмен айтканда, угымды ойдын «K ipniuii», «тужрЬ>
немесе «атомы» деп атайды. Соган орай, пайымды ойдын «байламы»,
«туйнп» немесе «молекуласы» деген бейнел! создермен атап керсетедь
Жай пайым е й угымнан ягни ею ю ртш тен (eKi тушрден, eKi
атомнан) туратын ой байламы (ой тушж, ой молекуласы) боп табылады.
Пайым угымдары (ягни KipniuiTepi) косымша байланыстыргыш
жапгаулыктар аркылы 6ipiK Tip^efli. Бш м и тшде пайым: S (субъект)
жэне Р(предикат) деп аталатын eKi KipniiirriK угымнан жэне де
«болады», «болмайды» деген жалгаулык создерден турады.
0p6ip жай пайымнан формалык курылымы мынадай калыптама
аркылы керсетшедк
(I)
Немесе
(II)
S дегежм^з емес
Мунда: S -пайым субъекпа, Р - пайымнын предикаты деп
аталады. Олар тутастай алганда пайымнын mevmiHdepi делшедь Ал
«болады», «болмайды» немесе «емес» деген байланыстыргыш
косымшапар логикалык жапгаулыктар деп аталады.
Пайымды жазу аркылы баяндалган кезде ыкшамдырак болу ymiH
«дегежм1з болады» жэне «дегежм1з болмайды» деген улпдеп т1ркестер
калдырылып кетедг Сонда пайымнын ыкшамдалган калыптамалары
мына турде жазылып керсетшедк
101
£-Р
(III)
S - P -емес
Бул калыптама, кебшесе, 6ip формула туршде былайша жазып
керсет! лед1:
S-Р
(IY)
Мундаш сызыкша (-) белп а сез туршде айтылганда «...дегешм1з
болады» жене «...дегешм1з болмайды» деген eici жалгамалык сездерд1
керсетедь
Сейтш, S - Р улпсшдеп пайым аныктамасын мынадай
калыптамалык ернек аркылы жазып керсетуге болады:
(Y)
Пайым аныктамасындагы S - субъект жэне Р - предикат деп
аталатын терминдердщ уш мдык магыналары былайша аныкталады:
Субъект деп пайымда не (я юм) туралы сез болса, соны айтады.
Сейтш, субъект дегешм1з заттык нэрсенщ ез1 емес сол нэрсе туралы
бейнеленген угым екешнпн керем1з. Пайымда субъект, Ke6iHece, S
эршмен белгшенедь Бул белп латынша «subjektum» (бастауыш) деген
сездщ бастапкы эрпшен алынган.
Предикат деп
пайымнын мазмунында субъект туралы не
айтылса соны угады. Айкынырак айтканда, предикат деп пайымдагы
субъект аркылы бейнеленген нэрсе туралы ненщ бектлетш ш немесе
нен1Ц бекерленет1н1н керсетет1н угымлы атайды.
Предикат Р ерп1мен белпленед1. Бул белп латынша
«praedikatum» (баяндауыш, айтуыш) деген сездщ 6ipiHmi эрпшен
алынган. Сез аркылы бершген пайымнын тулгалык курылымында
субъект (бастауыш) жэне предикат (баяндауыш) деп аталатын ею
турлаулы мушенщ болатындыгын б1лем1з. Осы ею турлаулы
мушелерд1н атынан логикалык угымдар: «субъект» пен «предикат»
калыптаскан. Алайда, логикалык пайымдардагы бул терминдер
ездер1н1н бастапкы магыналарына эркашан сэйкес келе бермейдь Осы
айтылгандарды мысалдармен TyciHflipeniK.
1-мысал. «5 - так сан» деген жай хабарлы сейлемд! субъекгшь
предикаттык пайым тургысынан талданыз.
Шешуь Бул сейлемде S - субъект деп «5» санын, ал Р - предикат
ретшде «так сан болу» касиетш алуга болады.
2-мысал. «Абай - сазгер акын».
IHemvi. Бул сейпрмде: S = «Абай», Р = «сазгер акын».
3-мысал. -«Абылай - казак е л т щ ханы болмаган».
Шешу». Мунда: S= «Абылай», Р= «казак елшщ ханы болмаган».
4-мысал. «5- так сан емес».
Шешу|. Мунда: S = «5», Р= «так сан емес».
102
Осындагы к ел п р ш ен мысалдардын баршде субъект боп 6ip Fana
нврсе алынганына назар аударыныз. Сонымен катар, S - Р улпсшдеп
пайымдарлын аркайсысын «акикат пайым» жэне «жалган пайым» деп
eKi топка бвлiп карауга болатынын байкаймыз.
Жалпы турде алганда, пайым дегешм1з шынайы дуниедег1
нэрсенщ адам санасындагы бейнелену формасы екен дтн бшем1з. Соны
аркау ете отырып пайымнын акикаттыгы жене жалгандыгы туралы
сипаттамаларын аныктауга болады.
Аныктама. Шынайы дуние H apceci мен кубылысын нактылы
жане дэлме - дал бейнелейтш пайымды акикат пайым дейдк Ал шынайы
дуние H apceci мен кубылысын бейнактылык жане далме-дал емес
калыппен бейнелейтш пайым жалган пайым деп аталады.
Колайлылык ушш «акикат» пайымды «а» apni, ал «жалган»
пайымды «ж» аршмен белплеп керсетедей Осы айтылган «а» жэне «ж»
белплерш пайымнын акикаттык мэндео1 деп атайды.
Алдынгы карастырылып вткен 1-4 мысалдардагы жай
пайымдарга олардын тулгалык курылымы тургысынан барлап карайтын
болсак, бул пайымдардын Р предикаты жалгыз субъектшщ кандай да 6ip
касиетш бейнелейтшш байкаймыз. Сондыктан, ондагы Р предикатты
«касиет-предикат» немесе «6ip орынды предикат» деп атайды. Осы
айтылгандарга орай, касиет-предикаттан туратын жай пайымды «касиетпайым»деген сезбен атап керсетедк
Пайым угымынын мазмунын терен аша тусу ушш тагы бipнeшe
мысалдар келаре кетем4з.
5-мысал.
«1В бен 25 езара жай сандар» деген сейлемге
субъектш-предикаттык пайым тургысынан логикалык талдау жасаныз.
Ш ешуь Бул сейлем аркылы тек 6ip нврсе гана емес, eKi б1рдей
сан (18 бен 25) туралы бекгпадшк ойды бейнелейтш пайым берш п
отырганын байкаймыз. Демек, бул сейлемд1 eKi бастауыш (субъект)
жэне 6ip баяндауыш (предикатган) жасалган курылым деп карауымызга
болады. Мунда:
S= «18 бен 25 сандары», Р= «езара жай сандар
болады». Бул мысалдагы Р предикат 18 бен 25 сандарынын арасындагы
«езара жай сан болу» катынасын бейнелейтшш KepeMi3. Сондыктан, Р
предикат «катынас предикаты» немесе «ею орынды предикат» деп
аталады. Соган сэйкес карастырылып отырган пайымды да «катынаспайым» дейш.
Жалпы алганда, катынас-пайымды мынадай сез-калыптама
аркылы ернектеп керсетуге болады: «х пен у - езара жай сандар».
Осындагы х, у айнымалыларга туракгандырылган сандык мэндер беру
аркылы карастырып отырган пайымнын акикаттык менш аныктауга
болады.
Меселен. х=18, у=25 болганда, «18 бен 25 - езара жай сандар» = а;
х=18, у=15 болганда, «18 бен 25 - езара жай сандар» = ж, т.с.с.
6-мысал. «18 саны 3 ке б елш едт - деген сейлемге субъектшпредикаттык пайым тургысынан талдау жасаныз.
103
llleuivi. Бул сейлемд1 «18 саны» деген 6ip нэрсенщ «з ке
белш гш тш н» сипаттайтын касиет-предикат деп карауга болады.
Сондай-ак, оны «х белшед1 у ке» деген улгще бершген катынас-пайым
немесе eKi орынды пайым деп карауга какымыэ бар.
7-мысал. а) «В нукте А мен С нуктелершщ арасында жатады»;
б) «Ахмет пен Омар Семейге Kerri» деген сойлемдерд! 6ip орынды
пайым немесе ею орынды пайым деп карауга болады.
Алдынгы карастырылып еткен мысалдардан жай пайымдардын
ею турлаулы Myuieci - бастауыш жене баяндауышы бар карапайым
сейлем аркылы бершетшш байкауга болады. Алайда, табиги сейлеу
т ш м 1 зд е айтылмыш улп yHeMi сактала бермейдк Кей жагдайда жай
пайымнын не субъеюта не предикаты айкын турде керсетшмей, тек 6 ip
сезбен я eKi сезбен гана 6 e p in y i м ум ю н. Баска 6 ip жагдайларда
пайымнын субъекпа мен предикаты б1рнешеленген сездер TipKeci
аркылы д а бep iл eдi.
8-мысал. а) «Желдегп» деген жене «мынау не?» деген сауалга
кайырылатын жауап туйе деген 6 ip сезден гана туратын ойларды жай
пайым тургысынан талдап TyciHflipiri3.
Illeuryi. а) «Желдегп» деген 6 ip мушелш хабарлы ойды, сырт
Караганда, бейсубъектш (субъект жок) пайым деп угуга болады. Ал,
егер осы ойдын курылымдык 6ixiMi мен туйтерю ндк мэшсше зейш
аудара карасак, онда онын ездж субъекгнл жене предикаты бар пайым
екешне кез жетюзу киын ic емес. «Желдегп» сез!, шын менщде, «жел»
деген субъектщен жене «(согып) кетп» деген предикаттан 6ip irin
жасалган курдел1 курама пайымды бейнелейд!.
б)
«Туйе» деген жалгыз гана жауап сезден туратын ойды S
улпсшдеп жай пайымнын предикаты деп карауга болады. Осы жауап
сез «Бул - туйе» деген ойды бицпредь Ауызша кыскартылып
айтылгандыктаь пайымнын су бъ екла болатын «бул» деген сез тусш
калган.
9-мысал. «Казакстан Республикасынын Конституциясы ата
занымыз болып табылады» деген сейлемд! жай пайымнын тулгасы
тургысынан талданыз.
Ш ешу1. Мунда: «Казакстан Республикасынын Конституциясы»
деген сездер TipKeci пайымнын субъ екла, ал «ата зан болып табылады»
деген TipKec сонын предикаты болады.
Алдынгы талданган 1-9 мысалдарга суйене отырып, логикалык
пайым мен грамматикалык сейлемдердщ арасында белгш 6 ip байланыс
орын алатынын жене де олардын 6ip-6ipiHeH айырмашылыктары д а
барын атап керсетуге болады:
1)
Табиги тшмаздеп сейлемдер пайымнын затиялык кабы нем
формасы (калыбы) боп табылады. Пайымнын 6 e p i де грамматикалык
сейлем аркылы бершедь Ал 6ipaK та сейлемищ 6 e p i пайым бола
104
апмайды. М еселен, сураулы жене л е г т сейлемдер пайым емес. Пайым
тек хабарлы сейлем аркылы бершедь
2)
Жай пайым кашанда уш мушеден FaHa турады. Олар:
субъект, а) предикат жене б) логикалык жагиама сез. Грамматикалык
хабарлы сейлем 6ip сезден, eKi сезден немесе кептеген сездер т1ркес1нен
жасалуы ыкгимал. Сонымен катар грамматикалык 6ip сейлемде
турлаулы мушелер (бастауыш пен баяндауыш) жэне турлаусыз мушелер
(аныктауыш, пысыктауыш, толыктауыш) тугелдей кез1гетш жагдайлар
болады.
2.2. П а й ы м д ы л о г и к а л ы - м а т е м а т и к а л ы к
сипаттамалары бойынша топтастыру
Пайым предикатынын сипатына карай «касиет-предикат» жэне
«катынас предикат» деп eKi топка белшетшш 6ineMi3. Рылыми логика
т ш н д е олардын 6ipiHiuiciH - «атрибутивен пайым», ал екшыпсш
«релятивтж пайым» деп атайды. Осы айтылгандармен катар
«бармыстык» (экзистинциялык - бар болушылык) деп аталатын пайым
карастырылады. Бармыстык пайымнын предикаты кандай да 6 ip
нэрсенщ я кубылыстын бар немесе жок екенш бейнелейдь Мысалы: I)
«Андромеда туманы» деген угым бар кубылысты бешмдеЩн; 2)
«Мыстан к ем тр » деген угым дуниеде жок эдеби тулга ретшде
колданылады.
Ceirrin, предикатынын мазмуны бойынша пайым «касиетпайым»; «катынас-пайым» жэне «бармыстык пайым» деп аталатын уш
улкен топка белш етш ш KepeMi3.
Касиет-пайым (атрибутивтж пайым) езш щ сапасы мен
сандылыгына карай топтастырылады. Bi3 пайымнын сапалык жене
сандылык ерекшелштерш олардын логикалы - математикалык
сипаттамалары деген шартты сезбен атап отырмыз.
I. П а й ы м д ы с а п а л ы к с и п а т т а м а с ы
бойынша топтау
Пайым ез1нщ сапалык сипаттамасы бойынша б е к т м д ж
(растамдык) жене бекерлемелж (тepicтeмeлiк) пайым деп eKi топка
башнедк ,
EeKimiMdiK деп пайымдау нэрсесшде кандай да 6ip белгшщ бар
екеашгш бейнелейтш пайым аталады. Б е к т м д ж пайым мынадай
калыптамамен бершедк
S дегешм1з Р немесе S - P
Мысалы. «5 - жай сан».
Бекерлемел'ис деп пайымдау нэрсесшде кандай да 6ip белгшщ
жоктыгы туралы айтылатын пайымды айтады.
105
Бекерлемелж пайым мынадай калыптама аркылы бершедп
S дегеюнш Р болмайды
немесе
S - Р емес
Мысалы. 1) «5 - жуп сан емес»; 2) «5 саны 13- ке белпш
болмайды»; 3) «5 саны 13 ке белпш емес; 4) «13 ке белпш 5 саны емес».
II. П а й ы м д ы с а н д ы л ы к с и п а т т а м а с ы
бойынша топтау
Пайымды 6ip нэрсе яки нэрсенщ беяш ш ес! немесе Нэрселердщ
барлыгы туралы элденендей ой бектлед! немесе бекерленедь
Пайымнын осындай ерекшелнстерщ онын сандылык сипаттамасы деп
атайды. Пайымдар сандылык сипаттамасына карай: 1) «бгрлйс пайым»;
2) «дербеспк пайым» жэне 3) «жалпылык пайым» деп уш топка беледь
E 'w n iK пайым деп 6ip нэрсе туралы элденеш бекЩ ейй немесе
бекерлейтш пайымды айтады.
Б1рлш пайымнын калыптамасы мынадай болып келедг
Бул S дегешм1з Р
Бул S дегешм^з Р емес
Мысалы. Бул Сократ - ежелп гректер ойшылы.
Бул Сократ - ежелп гректер ойшылы емес.
Дербес пайым деп пайымдалып отырган нэрселер жиынынын
бел1мшес! жайында елденеш беютетш я бекерлейтш пайым айтылады.
Дербест*. пайым мынадай калыптама аркылы керсетшедг
Кейб1р S де! ;н1м1з Р
Kefi6ip S дегешм1з Р емес.
немесе
1шшара S деген!М13 Р
|шйара S дегешм!3 Р емес.
Мысалы. 1) Keft6ip акын - сазгер; 2) Keft6ip акын - сазгер емес;
3) 1шшара сан 5- ке белшед1; 4) imiHapa сан 5 ке белшбешп; 5) 7- ге
бвл1нбейт1н сандар бар; 6) 7- ге белшетш сандар бар.
Жалпылык пайым деп пайымдалып отырган нэрселердщ кулл1а
туралы элденеш бекггетш я бекерлейтш пайымды айтады.
Жалпылык пайымнын калыптамасы мынадай улпде жазылып
керсетшедк
Барлык S дегешмаз Р болады.
Барлык S деген1м1з Р болмайды (емес).
Мысалы. Барлык адам - ажалды.
106
Eiu6ip адам - мэнгш к емес.
III. П а й ы м д ы с а п а л ы к ж а н е
с и п а т т а м а л а р ын а карай
сандылык
топтау
0 p 6 ip пайымга белгш 6ip сапалык жэне сандылык сипаттаманын
eKeyi де б 1рдей тэн боп келетшдей жагдайлар кездеседь Сапалык пен
сандылык сипаттамалары бойынша пайым терт топка белшедп 1)
жалпы-бектмдж
пайым;
2)
жалпыбекерлемдж
пайым;
3)
дербесбек тм дж (imiHapa б ек т м д ж ) пайым; 4) дербестерютемдж
(iium apa бекерлемдж) пайым.
1.
Жалпыбекптмдш пайым деп сандылыгы жагынан - жалпылы
ал сапалык сипаты бойынша б ек т м д ж боп келетш пайым аталады.
Мунын калыптамасы былайша ернектеледк
Барлык S дегешм1з Р болады.
немесе
Барлык S -TiH M9Hici P.
Бул калыптама дэстурлж логикада кыскаша былай жазылады:
SAP
немесе
SaP
Мундагы «А» немесе «а» бедос! eTin латынша «affirmo»
(беютемш, растаймын) деген сездщ 6ipiHini турган дауысты 9pni
алынган.
Мысалы. «Кез келген адамнын енбек етуге хукы бар» деген
сейлем жaлпыбeкiтiмдiк пайым боп табылады.
2.
Жалпыбекерлемдш деп сандыгы жагынан - жалпылык,
сапалык сипаты бойынша бекерлемелж боп келетш пайым аталады.
Жалпыбекерлемдж пайымды мынадай
калыптама аркылы
ернектеп керсетеш:_______________________
Em6ip S дегешм1з Р емес.
немесе
Б1рде - 6ip S деген!Mi3 Р болмайды.
немесе
Кез келген S - Tin м эш а Р емес.
Дэстурги
жазады:
логикада
SEP
бул
калыптамаларды
немесе
былайша
белплеп
SeP
Мундагы «Е» немесе «е» бел п а erin, латыннын «n eg o »
(бекерлеймш, тер1стеймш) деген eTicTiK сезшщ 6ipiHiui турган дауысты
apni алынган.
107
Мысалы.
«Б[рде
6ip
г алым
формуламен
ойламайды»
(А .Эйнш тейн) - деген сейлем ж алпы бекерлем дк пайымга жатады.
3.
Д е р б е с б е к т м д к деп сандылыгы жагынан -дербес, ал сапал
сипаты бойынш а бекерлем елк боп келетш пайым аталады.
Д ербесбектм дк
пайымды
мынадай
калыптама
аркылы
ернектейм1з:
Kefi6ip S дегёщ шз Р.
немесе
1цпнара S-tih Meriici Р
Бул калыптамаларды кы скаш а былайша белплеп жазады:
S IP
немесе
S iP
М ундагы: «I» немесе «i» белплер1 латынш а «affirmo» (бегатемш) деген
eTicTiKTiH еюш ш турган дауысты epni.
Мысалы. «Keft6ip студент у з д к окиды» деген сейлемд1
д е р б е с б е к т м д к пайым деп карауга болады.
4.
Дербесбекерлемел1к деп сандылыгы - дербес, ал сапал
сипаты бойынш а бекерлемелк боп келетш пайым аталады.
М ундай пайымнын калыптамасы былайша жазылады:
Keft6ip S деген1м1з Р емес.
немесе
1шшара S дегешм1з Р болмайды.
Бул калыптамаларды Аристотель логикасында былайша жазады:
немесе
SOP
SoP
М ундагы «О» немесе «о» б е л п а ретш де латынша «nego»
(тергстеймш;) деген сездеп еюнш! турган дауысты epin алынган.
Мысалы. «Кейб1р ейгш1 математиктер евклидт1к емес
геометрияны укпаган» деген сейлем дербесбекерлемел1к пайымга мысал
болады.
2.3.
Пайымды логикалык катынасы
бойынша топтамалау
Пайымдар ездерш ш арасындагы логикалык катынасына карай
б1рнеше топка белш ш карастырылады. Bi3 солардын гш йен тертеу1н
атап етем 1з: 1) категориялык пайым; 2) шартты пайым; 3) конъю нктивтк
(кабатгамалык) пайым жене 4) дизъю нктивтк (ажыратпалык) пайым.
1.
Категориялык пайым деп ешкандай шартсыз турде елде
туралы бек1тет1н я тер]стейтш карапайым пайымды айтады.
Мысалы. 1) «Абай - акын»; 2) «5 - жуп сан емес».
Категориялык пайым калыптама аркылы былайша жазылады:
S flereHiMi3 Р
жене
S дегешм!з Р емес
108
2.
Шартты пайым деп «егер..., сонда...» - деген логикал
жалгаулык аркылы катынастын ею жай пайымнан курылган курдел1
пайымды айтады. 0 p 6 ip шартты пайым непз» жопе салдары деп
аталатын ею бвл1мшеден куралады. Шартты пайымнын кандай да 6ip
нэрсе я кубылыс бар болатындыгы (немесе болмайтындыгы) туралы
орнектейтш бэл1м1н онын «непзЬ> я «шарты» деп аталады. Ал шартты
пайымнын Heri3i кандай ойга TipeK болатынын ернектейтш бол1м! сонын
«салдары» деп аталады.
Егер шартты пайымнын непзш А, ал салдарын В деп белплесек,
онда бул пайымнын тулгалык курылымын мынадай калыптама аркылы
ернектеуге болады:
Егер А, онда В
(I)
Мундагы
«Егер...,
онда...»
деген
логикалык
жалгау
сезд!
математикалык логика пэншщ тш нде «импликациялау амалы» деп
атайды жэне бул амалды мынадай жебе тэрвдес (—>) аркылы жазады.
Сейтш, шартты пайымды калыптама Typinae былайша ернектейдк
А -> В
fir)
Бул калыптаманы ауызею айтканда: «Егер А болса, онда В болады» деп
окиды.
Мысалы. 1) «Егер д е н е т кыздырса (А), онда онын колем!
улгаяды (В)». Бул сейлемд 1 былайша белплеп жазуга болады: А —> В.
Шартты пайымнын мундай турш математикалык логика пеншде
импликативпй niKip (сабактас niKip) деп атайды.
Ka3ipri замандык формальданган логиканын тiлiндe шартты
пайым (немесе сабактас niKip) угымы былайша аныкталады:
А
а
а
ж
ж
А —» В
а
ж
а
а
В
а
ж
а
ж
1-аныктама. А жэне В угымлардан туратын
шартты пайым (сабактас nirap) деп А
Hemi- «а», ал салдары - «ж» болганда жэне
тек сонда гана «ж» болатын А -»В курдел1
пайымды айтады (15-сызба).
Шартты пайымнын тагы 6ip Typi тенгермелг
пайым деп аталады. Ол былайша белпленедк
Ао В
немесе А ~ В .
А
а
а
ж
ж
В
а
ж
а
ж
А<->В
а
ж
ж
а
(эквиваленто)
2-аныктама. Бершген А жэне В пайымнын
эркайсысы «а» немесе «ж» болганда жэне
тек сонда гана «а» болатын А<-»В шартты
пайымды тенгермелш (эквивалентпик)
пайым деп атайды (16-сызба).
(16-сызба).
109
Конъюнкпшвпйк <кабаттамалык) пайым деп субъекпсшё
барлык аталган предикаттар кажегп турде тшстс' боп келетш курдел1
пайым аталады. Баскаша айтканда, субъекпсше барлык предикат
ортактасып (кабаттасып) келетш курдел1 пайымды конъюнюпивпик
пайым дейдй
Кабаттамалык пайым мынадай калыптама тургнде жазылады:
S дегешм^з Р| жэне Р2 жэне Рз немесе
А
а
ВлС
Мундагы: 1) «л» -белп «жене» деген логикалык жалгаулыктын
математикалык логика тшнде белплеп керсеплуГ 2) А = «S дегёшмй
Pi»; В = «S дегешм1з Р2»; С = «S дегешм1з Рз» калыптамалары аркылы
бершген жай пайымдар.
Мысалы. «5 - натурал сан жене так сан epi жай сан» деген
сейлемд1 кабаттамалык пайым туршде былайша жазуга болады:
А
Мунда: А=
А
а
а
ж
ж
В
а
ж
а
ж
АлВ
а
ж
ж
ж
А
В
А
С
«5 -натурал сан», В= «5 -так сан», С= «5- жай сан»
Конъюнктивтш (кабаттамалык) пайымды
акикаттык KecTeci аркылы аныктауга болады
(17- сызба).
17-сызба.
4.
Дизъюнктивпйк (ажыратымдык) пайым деп «неме
жалгаулыгы аркылы жасалатын курдел1 пайым аталады.
Логика пешнде «немесе» жалгаулыгынын колдану сипатына карай
ажыратымдык пайым eKi турге белшш карастырылады. Олар:
а) айыра-ажыратымдык пайым (катан-ажыратымдык пайым);
е) б1р1кт1ре-ажыратымдык пайым (катан емес ажыратымдык пайым).
а) Айыра-ажыратымдык пайым мынадай улпдеп калыптама аркылы
ернектелш керсет1лед!МЩ ^Щ ^Щ ЦЩ НН
S flereHiMi3 не Рь не Р2 (I) немесе A v B (П)
Мундагы: « v »- белп «немесе» жалгаулыгынын «немесе,..., немесе»
деп eKi рет кайталанатынын керсетедь
Мысалы. «Акылбай -Кунанбайдын не баласы, не немерест.
Айыра - ажыратымдык пайымнын аныктамасын акикаттык мендер
А
а
а
ж
ж
в
а
ж
а
ж
А
V
ж
а
а
ж
В
Кестеде А жене В пайымдарынын eKeyi б1рдей
«а» немесе «ж» деген мен кабылдаганда
жене тек сонда гана айыра-ажыратымдык
пайым «ж» деген мен кабылдайды, ал калга
жагдайларда онын мет «а» болады (18-сызба).
НО
e) EipiKinipe - ажыоатымдык пайымдау кезжде
жалгаулыгы мынадай калыптама улпсшде колданылады:
S дегешм1з Pi немесе Р-.
«немесе»
(I)
Бул калыптама математикалык логика тшнде былайша жазылып
керсетшедк A v В; Мунда: A=S —Р ,, В= S - Р2 .
BipiKTipe-ажыратымдык пайымнын аныктамасын
м эндер KecTeci аркылы керсетуге болады (19-сызба).
А
а
а
ж
ж
В AvB
а
a
ж
a
а
a
ж
ж
2.4.
акикаттык
Кестеден А жэне В пайымдарынын ен болмаганда
6ipeyi «а» болганда жэне тек сонда гана 6ipiicripeажыратымдык пайымнын «а» деген мэн кабылдайтынын керем13 (19-сызба)..
19-сызба.
Пайым
жэне
пропозиционалдык
Ф у нкция
Алдымен
пропозиционалдык функция немесе логикалык
функция деген угымнын магынасын ашып алайык.
Логикада пропозиционалдык (Ьункиия деп мэндердш облысы
белгш 6ip акикаттык мэндер кабылдайтын пайымдар болып келетш
функция
аталады.
Тулгалык
курылымы
жагынан
алганда
пропозиционалдык функция
грамматикалык сэйлемге уксас болып
келедь Мундай
функциянын байыргы сейлемнен басты 6ip
айырмашылыгы онын курылымында кандай да 6ip нэрселер жиынынан
мэн кабылдайтын айнымалынын бар болуы боп табылады.
1-мысал. «х - жай сан» деген грамматикалык сейлемд1 алайык.
Бул сейлем осы алынган калпында пайым бола алмайды. Алайда,
ондагы х белпс13 айнымалыга: х=6, х=4 т.с.с. нактылы мэндер бершсе,
онда бул сейлем «а» жэне «ж» деген акикаттык мэндер кабылдайтын
болады. Сондыктан, карастырылып отырган сейлемд! логикалык
функция немесе пропозиционалдык функция деп атайды. Логика
пэншде пропозиционалдык функция былайша белгшенедк Р(х) = «х жай сан».
2-мысал. «х - зангер» деген сейлемд1 алайык. Мундагы х белпиз айнымалыга мынадай жиыннан мэндер беруге болады:
Д={сот, Tepreyuii, адвокат, прокурор, инженер, окытушы}.
Егер х = «тергеуип» болганда, «тергеуш1 -зангер» = а;
Егер х= «инженер» болганда, «инженер -зангер» = ж; т.с.с.
Демек,
Р(х)
— «х
- зангер»
деген
пайымдаманы
пропозиционалдык немесе логикалык функция деп карауга болады.
3-мысал. «х+у=12» деген тендеуд! алайык. Мундагы х пен у
белпЫз айнымалылар А={4, 5, 6,7} жиын элементтержен курылган А костарды кабылдайтын болсын, ягни (х,у)еА.
Мундагы А={(4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (5,4), (5,5), (5,6), (5,7), (6,4),
(6,5), (6,6), (6,7), (7,4), (7,5), (7,6), (7,7)}.
Егер де (4,4) болса, онда «4+4= 12»=ж;
Егер де (5,7) болса, онда «5+7= 12»=а;
Егер де (7,5) болса, онда «7+5=12»=а; т.с.с.
Сейтт, Р(х,у)= «х+у=12» тендеуш А облыста аныкталган
пропозиционалдык немесе логикалык функция деп карауга болатынына
кез жетюздш.
Тарихи деректеме. «Пропозиционалдык функция» деген угыми
сейлемд1 гылымга алгаш рет агылшын математип, философы жэне
логип Б.Рассел (1872-1970) енпзген. Ал «логикалык функция» деген
сезд1 HeMic математип жэне логип Готлиб Фреге (1848-1925) тунгыш
рет колданган. Логика пэнше квантор угымы мен белпсш жуйел1 турде
енпзуцп талым осы Г.Фреге болган.
2-тарау. ОЙ Л АУ ЗАНДАРЫ ЖЭНЕ ОЙКОРЫ ТУ ЛОГИКАСЫ
§]. Ойлаудыц nezbzi зацдары
Бул галамды кердщ , елшеуше акылын жетпейд!, Kejiicri
керг'мдтне жене кандай лайыкты жарастыкты законымен
жаратылып, онын ешб1ршщ бузылмайтугынын Kepeciu.
Абай ( 3. 2 том, 182-бет).
1.1.
Ойлау
кагидалары
логикалык зандар
жене
Ойлау дег^нгм1з шынайы дуние нэрсеяёршщ адам санасында
белсенд1 турде бейнелену1 екенш б1лем13. Мундай бейнелену
бейберекетт1к калыппен icxe асырылмайды. Аныгында, адамнын ойлары
кандай да 6ip уйлес1мд! логикалык байланыстар аукымында етедь Бул
байланыстар, туптеп келгенде, шынайы дуниедег1 нэрселер арасындагы
завдылыктардын адам санасындагы бейнеяещш боп табылады. Осындай
зандылыктар дэстурл1-логикада ойлау зандары деп аталган.
Непзш Аристотель бастап калаган дэстуршк логикада ойлау заны
деп угым мен пайым аркылы ернектелген санамыздагы ойлар
арасындагы кажетп де мэщп ш ш байланыстар угылады. Ойлаудын
осындай кептеген логикалык зандары щшен негсзгг зандар деп аталатын
терт кагидага айрыкша токталып етуге тура келедь Олар: 1) тенбетендж заны: 2 ) кайш ы лы к заны: 3) viuiHini жоктык заны: 4)
жетк1л1кт1 непздеу заны.
112
Бул логикалык терт
занды
бiлiми
эдебиеттерде
ойлау
принциптеп, ойлау аксиомалары немесе ойлау кагидалары деп те
атайды. Айтылмыш ойлау кагидалары (тенбе-тещцк заны, кайшылык
заны, yuiiraiii жоктык заны жене ж етк ш к п непздеу заны) дэстурл!к
логика п э н ш щ аукымында ашылып, сонын т ш
аркылы калыптанган
тарихи ережелер болып табылады. Алгашкы ymeyi гылымга Аристотель
мен эл-Фараби логикасы аркылы МЭЛ1М болган кагидалар. Ал ойлау
кагидасынын TepTiHiiiici -ж ет кт к/м н егЬ деу занын 17-гасырдын улы
математип В.Лейбниц алгаш ашкан. Сондыктан бул капитаны тарихи
К1таптарда В.Лейбниц заны деп те атайды.
Ka3ipri замангы формальданган математикалык логика пэншш
тш нде логикалык зан туралы угым былайша аныкталады: «Логикалык
зан немесе логиканын заны дегешм!з логикалык турактылар мен
айнымалылардан туратын жэне кез келген кур емес заттык облыста
акикат мэн кабылдайтын ернек болып табылады (30, 98-бет)..
Сейтш, каз!рп замандык математикалык логиканын тшмен
айтканда пшрлер логикасындагы эркашан акикат немесе тенбе-тен
акикат болатын кез келген формуланы логикалык зан деп те атайды.
Ойлау логикасынын терт кагидасы да тавтологиялык формула аркылы
ернектеледь
1.2.
О й л а у д ы н
л оги кал ы к
зандары
Логика зандарынын imiRneri терт басты занды ойлау ережелер!
немесе ойлау кагидалары (принциптер1 немесе критерийлерО деп
атайтынын бшем!з. Евдй солардын эркайсысына жеке-жеке токтапып
етем!з.
I.
Тенбе-тендЫ заны. Ойлаудын 6ipiHiui кагидасы тенбе-те
заны сез туршде былайша аныкталады: Б ел гш 6ip нэрсе ж айындагы кез
келген ой осы пайымдау аукымында канша марте кайталанса да
мазмуны ж агынан озт е-езi тенбе-тен болып калуы muic.
М ы с а л ы . Егер «Кар -ак тусп нэрсе» десек, онда бул угым кар
ymiH ешкашан езгермейтш ой болып калуы тшс.
Тенбе-тендш занын логикалык формулалар тур1нде былайша
жазып керсетед!:
^
1.
2.
А н А. Бул былайша окылады: «А дегенашз А».
А —>А. «А-дан А шыгады» деп окылады.
3.
А
4.
~.А. «А мен А эквивалента (тенгер1мд|)» -деп окылады.
V x [А(х)-> А(х)]. «карастырылып отырган кез келген х
нэрсеге А касиет тэн болса, онда осы А касиет х-ке тен».
II.
Кайшылык заны. Бул зан сез туршде былай айтылады:
кайшы пайым 6ip уакытта акикат бола алмайды. олардын 6ipevi
кажетпи т урде ж алган болады.
Баскаша айтканда: BipimH дурыс дегенш екшнис! TepicrefrriH ею
пш рдщ 6 ip e y i жалган болуы THic.
Мысалы. Кагазды 6ip уакытга ep i ак, ep i ак емес (меселен,
коныр) деп тупну мумюн емес.
Белплемелш калыптама аркылы кайшылык заны былайша
ернектеледк
1.
А л А = ж. Окылуы: «А дегешм1з А-емес».
2. А л А=а. Окылуы: «А жене онын Tepicreyi A 6ip уакытта
акикат болуы мумюн емес».
Мысалы. «Кус ушады жене ол ушпайды деу дурыс емес».
Ескертпе. Кайшылык заны 6ip-6ipme кайшы зан туралы
айтылган заннын аты да осыдан келш шыккан. Сонымен катар, бул зан
ойлау кызметшде болуы мумюн кайшылык ахуалды терюке шыгарады.
Сондыктан, бул занныц кайшылыксыздык заны деп аталуы дурыс.
III.
Y utiHiui жоктык заны. Ойлаудын бул кагидасы сез тур
былайша айтылады: ISip нэрсе туралы 6ip мезетте жэне тек 6ip гана
катысында айтылган eKi кайшы пайымнын 6ipevi кажепит турде
акикат. ал ектшт жалган болады: Уштштт болуы мумкш емес.
Бул занды пайымдау тшнде былайша айтуга болады: Eipeyinae
растайтын ойды eicmmici терютейтш ею пайымнын 6ipeyi сезаз акикат,
ал eKiHmici жалган болады; олардын арасында ушшнп болуы мумюн
емес. Будан eKi кайшы пайым 6ip уакытта акикат та, жалган да болуы
мумюн емес; олардын 6ipeyi сезЫз акикат, ёюйййй жалган болады;
ушшнп жок деген корытынды жасалады.
YmiHmi жоктык занын колданганда, 6ip нерседе кандай да 6ip
касиет (катынас) бар десек, сонда В-ны гана емес B-eMecTi гана бар
AeyiMi3re болады.
Мысалы. Пайымдагы нерсе не кара, не кара-емес болуы керек.
У ш ш ш 1 жок заны белплемелш калыптамалар т1л!нде былайша
жазылып керсет!лед1:
IY. Жеткшкпи нег{здеу заны. Табиги сейлеу тшм1зде ойлаудын
жеткшюп непздеу кагидасы былайша айтылады: Кез келген акикат ой.
акикаттыгы бурын тагайындалган баска 6ip акикат ойга негЫделт
тшс.
Пайымнын акикаттыгын непздеу ymiH кел^ршеи баска
пайымды карастырылып отырган пайымнын логикалык непздемеа деп
атайды. Ал непздеме ретшде алынган пайымнан туындайтын пайымды
непздемелш пайымнын салдары дейдь
Калыптама тур1нде жетюлАкт!
непздеу
заны
былайша
ернектелед!:
1. А бар, ейткеш В бар.
2. А-нын бар болуы, ол В-нын бар болуы.
ПТ
Жеткипкп непздеу заны ойдын дэлелд1 екендтне кепш бола алады.
Айтылмыш терт кагидалык зандардын 6ipeyiHiH сакталмауы
ойдын дэлелЫз, непзыз болуына экеп согады.
1.3. Ойлау кагидасына карсы математикалык ойлар
Ойлау кагидалары адам ойынын акикаттыгын кадагалайтын зан
epi оны акикатка бастайтын кару боп табылады. Сондыктан, айтылмыш
терт кагиданы акыл алгебрасынын айнымас аксиомасы деп те атайды.
Алайда, Ka3ipri замандык математиктер арасында бул кагидаларга карсы
дау айтатындар да бар. Олар ез пайымдарын растап 6eKiTy ym iH
антиномиялар (кагидага карсылыктар) деп аталатын сырткы сипаты
карапайым, ал сыры жумбак, эр алуан есептер кеяпршедь Сондай
антиномияшыл математиктердщ 6 ip eyi 20-гасыр математикасынын
Heri3iH калауга улкен улес коскан хапыкаралык Нобель сыйлыгынын
nerepi Бертран Рассел болган. Ол жиын теориясы мен формальдык
логика эд1стерше
непзделш курылган осы замандык гылыми
математика туралы ез ойын былай тушндейдк «Математика - езщщ не
туралы айтып отырганын жэне айтып отырганынын акикат екендшн
анык бшмейтш гылым».
Б.Рассел бул ойын растау уш ш ойлау кагидаларына карсы
кeлeтiн 6ipH eine антиномиялык мысалдар усынган. Сонын 6ip eyi «Жиындар жумбагы», ал eKiHiuici -«Шаштараздагы шатак» деп аталады.
«Жиын жумбагы» туралы есеп. Кундел1кп eMipae Ke3ireTiH
жиындар арасында e3i осы карастырылып отырган жиыннын элемент!
бола алатын жиынды атап керсету киын. Меселен, барлык сиырлар
жиыны сиыр бола алмайды. Сондай-ак, барлык домбыраньщ домбыра
бола алмайтыны да анык. Мундай ахуалды халкымыз «Тамам жабы
жиылып тулпар болмас, тамам карга жиылып сункар болмас» деген
канатты сезбен бейнелеп керсетед1. Осындай e3i карастырып отырган
жиыннын элемент! бола алмайтын жиынды Б.Рассел «дурыс жиын»
немесе «кэд1мп жиын» деп атайды. Сонымен катар, галымдар
дуниесшде ез! карастырылып отырган жиынга элемент боп KipeTiH
жиындар да кез1гедь Мысалы, барлык жиындар жиыны, сез жок,
жиыннын элeмeнтi болады. Мундай жиынды Б. Рассел «дурыс емес
жиын» немесе «ерекше жиын» деп атайды. Содан сон, ол барлык Д дурыс жиындардан туратын М жиынды алып карастырады. Ондай
жиынды белплемелер тиннде былайша жазып керсетуге болады:
М о {Д |Д е Д }.
Осы курылган М жиынга байланысты мынадай ею сауал коюга
болады: 1) М жиыны езше тиесш бола ма, ягни М е М ?
езше T H ecm i болмай ма, ягни М й М ?
2) М жиыны
1.
Айталык, М е М болсын. Онда аныктама (df) бойынша М
дегеШшз1 езше ез1 элемент бола алмайтын жане тек гана сондай
жиындардынжиыны болгандыктан, М е М = М е М .
Баскаша айтканда, егер М е М болса, онда М е М (1).
2. Айталык, М е М болсын. Онда М жиынынын аныктамасы (df)
бойынша М е М . Баскаша айтканда, егер М е М , онда М е М .
Сейтш, М туралы койылган ею сауалга жауап !здеудщ
нетижесшде 6ip-6ipiHe кайшы келетш ею тужырым жасауга болатынын
керем1з. Бул тужырымдар ею кайшы niKip 6ip уакытта акикат бола
алмайды деп беютетш ойлау кагидасына карсы тужырымдар болып
саналады. Осыган карап, Б. Рассел жиындар теориясы кайшылыксыздык
кагидасына багынбайтын логикалык курылым деген корытынды
жасайды. Ал, бул логиктердщ кайшылыксыздык занынан тыс туратын
тужырымдардын 6ipiH «жалган ой» деп карайтынын бшем1з. Сондыктан
да, Б.Рассел Ka3ipri замандагы математикага кумэнд* кезбен карайды.
Б.Рассел математика жайындагы езшщ Внэмшый ойын
«Шаштараздагы шатак» деп аталатын есебшде ары карай epicTeTe
туседь
Шаштапаздагы шатак есеп. Ауылдык 6ip aKiM жергшюп
шаштараз туралы мынадай жарлык жариялаган: «Шаштараз будан
былай ез сакалын 63i ала алмайтын жене тек сондай гана еркектердщ
сакалын алатын болсын».
Осы жарлыкка байланысты «шаштараз ез сакалын 63i anyFa TnicTi
ме?» деген сауал кеп туады.
Егер бул сауалга куп десек, онда шаштараз e3i сакалын ала
алмайтын еркектер тобына жатуы тше. Сондыктан, жарлыкка сайкес ол
аз сакалын e3i алмауы керек.
Егер шаштараз сакалын e3i алмайды десек, онда ол ез сакалын e3i
ала алмайтын адам болып табылады. Сондыктан, еюмнщ жарлыгы
бойынша ол езшщ сакалын алуы ™ic.
Сейтш, шаштараз e3i кырынбаган жагдайда гана жэне тек сонда гана ез
сакалын e3i алатын болады. Бул ешкашан мумюн емес ахуал.
Б.Расселшн ойлау кагидаларына карсы айтылган айтылмыш ею ece6i
K a3ipri замандык математикалык бiлiмдi логикалык дагдарыска
ушыраткан анык апатты есептер болды. Бул дагдарыстан математика
KyHi бугшге дейш толык айыккан жок.
116
§2.
Ойкррыту , оныц mypnepi мен adicmepi
Ой артынан ой туар,
Желге м1нсен ж е-тзбес.
Абай (3,1 т., 226-6.)
5.1. О й к о р ы т у д ы н
аныктамасы
жалпы
сипаттамалары
мен
Аныктама. Ойкорыту деп 6ip я 6ipHeuie бастапкы пайымдардан
жана пайым шыгарып алатын ойлау формасын (калыбын) айтады.
Бастапкы пайымды (я пайымдарды) -ойкорытудын алгы берт.ш
(алгылыгы немесе алгыламасы), ал алгылыктан шыгатын сонгы
пайымды ойкорыту тужырымы (тужырымдамасы) деп атайды.
Ойкорытудын тужырымын онын салдары . нэтижеа немесе
корытындысы деген сездермен атап керсетедь Соган орай, ойкорыту
алгыламасы онын нег1здемес 1. бастапкы берммп деген сездермен де
айтылады. Осы айтылгандардан ойкорытудын бурынгы белгш бшмнен
жана б ш м шыгарып алу куралы екенш байкау, б1зше, киын ic емес. Кез
келген ойкорыту амалынын аукымында уш турл1 б ш м камтылатынын
айырып карау абзал: 1) Бастапкы бш м. Бул бшмнен жана бш м
корытылады; ол ойкорыту алгыламасындагы бш м болып табылады.
2) Корытылган б ш м . Ол тужырым аукымындагы б ш м болып
саналады.
3) Непздемелш |ш м . Бул б ш м тужырымды алгыламадан
корытып шыгарудын зацды нэтиже екещппн непздейтш бшмге
жатады.
Ойкорыту амалы ондагы алгыламалык бершмнщ санына карай
eKi турге белшедь Eip гана алгыбершмнен тужырым жасауды пйкелей
ойкорыту немесе аулактамай ойкорыту дейдь Ал саны ею жане одан
артык алгылыктарга суйенш жасалган ойкорытуды пйкелей ойкорыту
немесе аулактап ойкорыту деп атайды.
Т iк ел е й о й к о р ы т у а м а л ы н ы н
ад i с т е р i
Bip гана алгыбершмнен жасалган тужырымдык ойды тжелей
(аулактамай) ойкорыту деп аталатыны элпнде айтылды. Трелей
ойкорытудын ею турл1 басты aflici бар. Олар: 1. Айналдыру (obversio);
2. Ауыстыру (conversio).
Айналдыру деп орындалу нэтижеа нде бершген пайымга
магынасы жагынан тенмагыналы болатын, ал курылымы одан баскаша
болатындай етш жасалган турлецщру амалын айтады.
Мысалы. «Кез келген параллелограмм - тертбурыш», демек,
«Bipfle-6ip параллелограмды тертбурыш емес деуге болмайды».
1ске
Айналдыру амалы мынадай схемалык (сулбалык) - улг* бойынша
асырылады:_______ ___________
■ _ ' •_ _ ; _ _
;
‘|
1. А пайым Е пайымга былайша айналдырылады:
«Барлык S дегешм1з Р» -> «Em6ip S дегежм1з Р-емес болмайды».
Мысалы. «Барлык металл - элемент» -> «Eiii6ip металл элемент
емес
болмайды».
2. Е пайым А пайымына былайша айналдырылады:
«Eui6ip S дегетм1з Р емес» —►«Барлык S дегешм!з Р емес».
Мысалы. «Em6ip адам - мшЫз болмайды» —> «Барлык адам мшаз
емес».
3. J пайым Q пайымына былайша айналдырылады:
«Keft6ip S дегетм1з Р» —> «КейбХр S деген1м1з Р-емес болмайды».
Мысалы. «Кей адам сетм дт -> «Кей адам сешмд1 емес болмайды».
4. Q пайым J пайымына былайша айналдырылады:
«Keft6ip S дегетм1з Р -емес» -> «Keft6ip. S дегешм1з Р-емес
болмайды».
Мысалы. «Keft6ip адамдар сешмда емес» —> «Кей адам сешмд]
емес болады».
V гШ
Ауыстыру
деп бастапкы пайымнын субъекпсш корытынды
пайымга - предикат, ал предикатын корытынды пайымга субъект ететш
турлещиру амалын айтады.
Ауыстыру жалпы турде мынадай сулбалык-улп бойынша icKe
асырылады:
демек
(1)
Ескертпе. Ауыстыру амалынын нетижесшде пайымнын сапалык
сипаты езгермейщ. Баскаша айтканда, бастапкы пайым бектмдш
(бекерлемелж) п а ш м болса, онда корытынды пайым да б е к т м д ж
(бек ерл ем ел ш ) каг тында калады. Ал, 6ipaKTa пайымнын сандылык
жагына сак болу абзал. Болмаса, ойкорыту кезшде ерескел категе
урынуымыз ыктимал.
Мысалы. «Барлык кустар - жануар» деген акикат пайымды
алайык. Осыган ауыстыру амалын колдансак, онын нэтижесшде
мынадай жана пайым келш шыгады: «Барлык жануарлар - кус». Бул
пайымнын кисынсыз жалган сез екендйгш е ешкандай кумен жок.
Мундай кател1кт1н кету ce6e6i мынада: бастапкы
берш ген пайымдагы субъект (S) -«кустар» угымы-
нын келем1 сондагы предикат (Р) -«жануар»
угымы келемшщ бел!мшес1 гана болып келед1
(20-сызба).
118
Сондыктан, ауыстыру амалын колданган кезде кисынсыз категе
урынып отырмыз.
Ауыстыру аркылы ой корытылган кезде пайым угымдары
сандылык сипаты жагынан калай езгеретшше карай ауыстыру eKi топка
батнедй 1) таза ауыстыру жэне 2) шектвмдЫ ауыстыру.
1 ) Ауыстыру амалын колданган кезде пайымнын сандылык
сипаты езгермейтш болса, онда мундай ойкорытуды «.таза ауыстыру»
деп атайды.
Мысалы. «Kefi6ip студенттер -оку уздш», демек «Кейб1р оку
узд1п -студент».
Жалпы турде алганда, таза ауыстыру амалы мынадай сулбалык улп бойынша icKe асырылады:__________________________________
«Keft6ip S дегешм1з Р» —> «Кейб1р Р дегешм!3 S».
2) Ауыстыру амалын колдану барысында пайымнын сандылыгы
езгер1ске ушырайтын болса, онда мундай ойкорытуды
шектемЫк ауыстыру дейдь
Мысалы. «Барлык адамдар - ажалды». Демек, «Кейб1р
ажалдылар -адам».
Шектемдж ауыстыру аркылы ойкорыту темендегщей сулбалыкулллер бойынша орындалатынын керем1‘з:
6ipuiaMa
«Барлык S дегеш м 1з Р» -> «Кейб1р S дегеш м13 Р».
Мунда: А -жалпыбектмдж пайым, J -дербесбектмдак пайымга
ауысатынын керем1з.
Жалпы турде алганда, бекерлемелж пайым шектеуаз турде
ауыстырылады. Онын сулбалык - улпсгн былайша жазып керсетуге
болады: _____________________________________________________________
«Eiu6ip S дегешм1з Р болмайды» -> «Em6ip Р дегешмй S
болмайды»
Мысалы. «Eui6ip баскыншылык эдiлeттi согыс болмайды»,
демек «Eai6ip эдiлeттi согыс баскыншылык болмайды».
ДербесбеюпимдЫ пайымдар эр Typni сулбалык-улплер аркылы
ауыстырылады.
«Kefi6ip S дегешм13 Р» -> «Кейб1р Р дегешм!з S»
Мысалы. «Keft6ip жазушылар - Нобель сыйлыгынын иегерт».
Демек, «Нобель сыйлыгынын кейб1р лауреаты -жазушылар».
Айкындалган дербесбектмдш пайымдагы ауыстыру мынадай
сулбалык-улл бойынша журпзшедй___________________________________
«Тек кейб1р S дегешм1з Р» —> «Барлык Р дегежм!3 S»
119
Мысалы. «Тек кейб1р натурал сандар -жай сан». Демек, «Барлык
жай сандар -натурал сандар».
Ауыстыру амалы шартты пайымдар ушш де белгш 6ip сулбалыкулгшермен icKe асырылады. Шартты пайымдардагы ауыстыру ею топка
белшедк 1) контрапозициялык ауыстыру; 2) конверсиялык ауыстыру.
1. Контрапозициялык ауыстыру аркылы ойкорыту мынадай
сулбалык-улп бойынша журпзшедк_______________________________ _ 1
«Егер А, онда В; демек, егер В болмаса, онда А болмайды».
Бул улгш белплемелж тмде былайша жазып керсетед1:
А -> B s В -> А
Мысалы. «Егер жасалган келайм занга сэйкес келмесе, онда ол
жарамсыз деп табылады; демек, егер келюхм жарамсыз деп табылса,
онда ол зацга сэйкес болмайды».
2. Конверсиялык ауыстыру логика пэншде «тенгермелж»
(эквивалентпк) ауыстыру деп те аталады.
Конверсиялык ауыстыру аркылы ойкорыту мынадай сулбалыкулп бойынша орындалады:
«Егер А, онда В; демек, егер В, онда А»
немесе (А ~ В) —>)В ~ А)
Осыган дейш 6i3 нкелей ойкорьггу амалдарын карастырып
келдис. Енда тшелей емес, ягни аулактап ойкорытудын турлер1 мен
эд1стер1не токталамыз. Алгы бершмдершщ саны eKi жэне одан артык
болып келетш ойкорыту амалын аулактап ойкорыту (тшелей емес
ойкорыту) деп атайды. Аулактап ойкорытуды ондагы пайымдау
амалынын максаттык багдарына карай eKi турге айыра карастырады.
Олар: 1) дедуктивпйк ойкорыту жэне 2) индуктивпйк ойкорыту.
Дедуктивпик ойкорыту деп тужырымдык ойды келем1 жагынан
одан кен аукымды ойдан тужырымдайтын аулактамалык ойкорытуды
айтады.
Индуктивпик ойкорытудын тужырымдык ой жекелеген ойларды
жалпылау аркылы тужырымдалады.
Дедуктивен ойкорытудын ен бастапкысы жэне бастысы
силлогизмд1к ойкорыту боп табылады. Силлогизмднс ойкорытуды
баяндауга кешем1з.
120
2.2. С и л л о г и з м , о н ы н т у л г а с ы ме н
турлсрi
Силлогизм, бул барлык мэш элi кунге дети
толык угылмай келе жаткам езгеше 6ip эмбебап
математика болып табылады.
В.Лейбниц (30. 2 т.,492-493 б.)
Силлогизм
f l ereHi Mi 3 не?
Силлогизм грекше «sillogismus» (есептемелеу, корытындылау)
деген сезден шыгып, колданыска енген. Логика пэшнде бул сез ею
алгылама жэне тужырымнан туратын дедуктивтж ойкорыту амалын
керсетед!. Силлогизмд1к ойкорыту онын алгыламалары мен тужырымы
кандай пайымдардан жасалганына карай уш турл1 топка белшедк 1)
категориялык силлогизм; 2) шартты силлогизм жэне 3) шарттыажыратымдык силлогизм.
I.
Кате
Категориялык силлогизм деп eKi ал гы лам асы ж ен е туж ы ры м ы
к атегори ялы к п ай ы м дар болы п келетш д ед у к ти в тж ой коры туды айтады.
Категориялык силлогизмнщ тулгалык курылымын былайша
белплеп керсетедк
М сР
Sс М
Sс Р
Жиын тшндеп
белгшешм1
М — Р
S— М
S— Р
Логикалык улпдеп белгшешм1
Эйлер денгелектер! аркылы
белгшежмь
21-сызба.
Мундагы М , Р, S - угымдар сиялогизмшщ тепминлер! деп
аталады. S -Ti Kirni термин. Р-ны улкен термин, ал М-д1 ортангы термин
деп атайды. М — Р мен S — М Д1 силлогизмн1н алгыбер1л1мдер1 немесе
алгыламалары деп, ал S — Р пайымды силлогизмн1н туж ы ры м ы деп
атайды. Тужырымнын субъект!с1н (S -Ti) Kirni термин, ал предикатын
(Р-ны) улкен термин дейдь Осыган сэйкес, силлогизмнщ Kiuii термин
енетш алгыламасын - Kiiui алгылама немесе екшип алгылама деп, ал
улкен термин енетш алгыламаны улкен алгылама немесе 6ipiHiui
алгылама деп те атайды. K efi6ip ретте, Р мен S терминдердг
cиллoгизмнiн meTKi терминдер! деген сезбен атап керсетед1. М-нщ орта
термин! деп немесе орташа термин деп аталатынын айттык.
Силлогизмнщ М орта термин! онын улкен термит (Р) мен Kiuii
терминше (S-ке) дэнекерл!к кызмет аткарады, ягни оларды 6ip-6ipiMeH
121
байланыстырып турады. Атап айтканда, орта термин (М) улкен терминд1
(Р) Kiuii терминмен (S-пен) салыстыру кызметш аткарады.
Мысалы. Мынадай ойкорытуды силлогизмнщ тулгалык
курылымы жагынан талдап керсет.
Барлык адам (М) -ажалдан кутылмайды (Р)
Коркыт ( S) -адам (М)
Коркыт (S) -ажалдан кутылмайды (F)
Мунда: М = «адам» - орта термин; Р= «адам ажалдан
кутылмайды»-улкен термин; S= «Коркыт» -кпш термин.
С и л л о г и з м н 1 н т улг алык
п1 имндемелер1
Категориялык силлогизм 63iniH тулгалык курылымы жагынан
алганда «силлогизм фигуралары (тшшдерО» деп аталатын терт TypJii
улпге бещшп карастырылады.
Eivimui тшЫдемеде орта термин (М) улкен алгыламанын
(М — Р) субъектю, ал Kiuii алгыламанын (S — М ) предикаты боп
орналасады. B ipim ui шшшдемет мынадай сулбалык улпде жазуга
болады:
М ^- Р
S
М
S— Р
Мысалы. Бар адам (М) -ажалды (Р)
Коркыт (S) -адам (М)
Коркыт (S) -ажалды (Р)
I - пйшндеме.
EKimui тиандеме Улкен алгыламанын предикаты ретнде орта
термин алынады.
ркшии шшшдемет мынадай сулбалык-улпде жазып керсетедк
Мысалы. Ажалды (Р) - бер адам (М)
Р— М I
S — 'М |
Коркыт (S) -адам (М)_______
S— Р
Коркыт (S) -ажалды (Р)
li-шшшдеме.
YudHiui тш'шдемеде орта термин ею алгыламада да субъект
болып келедк
Ушщип щн!ндемен1 мынадай сулбалык-улг1де жазады:
М — Р
Мысалы. Бар адам (М)- ажалды (Р)
М — S
E i p адам (М) -Коркыт (S)
S— Р
Ш-шипндеме.
Коркыт (S) -ажалды (Р)
Твртшип тш'шдемеде
орта термин улкен алгыламадагы
предикат, ал Kiuii алгыламадагы субъект орнында турады.
Бул шшшдемет мынадай сулбалык-улплеме туршде жазады:
122
Р —гМ
Мысалы.
M ~ _s
S— Р
Ажалды (Р) -бар адам (М)
Eip адам (М) -Коркыт (S)
Коркыт (S) - ажалды (Р)
IY-nimiHfleM e.
Силлогизмн1н
модус!
туралы
T Y ciH iK T ep
«Модус» атауышы «modus» (тур, елшем, ад!с| деген сезден
алынган. Логика пэншде силлогизм модустер! деп 6ip-6ipiHeH кураушы
алгыламалык жэне тужырымдык пайымдары кабылдайтын сандылык
жэне сапалык сипаттамалары бойынша айырылатын силлогизм
тшшдершщтурлерш айтады.
Категориялык силлогизмнщ модустер1 А, Е, J, О эрштершен
белпленетш сандылык сипаттамалар аркылы жазылып керсетшедь
Силлогизмнщ эр пшиндемесше айтылмыш сипаттамалар уш эрштен
келедк Олардын жалпы санын есептеп табу мынадай улп бойынша
Б1рден алганда:
Екщен алганда:
Уштен алганда:
А
АА
ААА
АА Е
AAJ
ААО
Е
АЕ
АЕА
АЕЕ
AEJ
АЕО
J
AJ
AJA
AJE
AJJ
AJO
О
АО
АОА
АОЕ
AOJ
АОО
Сонгы жазылган кестелш мэндерден 16x4=64 силлогизм жасауга
болатынын керем13. Булардын эркайсысы 6ip йщшдеп силлогизм
модустер1 болып табылады. Сондыктан, силлогизмнщ терт тш ш ш ен
64x4=256 модустер жасауга болады деген корытынды айта аламыз.
Алайда, 256 силлогизм тугелдей дерлш акикат мэн кабылдамайды.
Баскаша айтканда, 256 силлогизмнщ бэр! б1рдей дурыс силлогизм бола
алмайды. Логиктер айтылмыш силлогизм модустершщ 19-ы гана дурыс
модус (акикат ойкорьггу) болатынын дэлелдеп керсеткен.
Категориялык силлогизмнщ дурыс модустерш былайша берем1з:
Категориялык c и л л o г и з м н iн дурыс MOflycrepi
2- d m rv D a
З-фигура
4-фигура
1-фигура
AAJ
AAJ
ЕАЕ
ААА
JAJ
АЕЕ
АЕЕ
ЕАЕ
AJJ
JAJ
ЕЮ
AJJ
ЕАО
АОО
ЕАО
ЕЮ
ОАО
ЕЮ
EJO
123
Логиканы окып уйренушшердщ бул дурыс модустерд1 жатка
6inyi кажет. Соларды жаттау жолын жешлдету ушш орта гасырлардагы
еуропалык устаздар латын тшшде мынадай елен шумагын киыстырган:
Barbara, Celaren, Darii, Ferio (que), Prioris;
Cesare, Camestres, Festiono, Baroko, (Sekundae);
Tertia, Darapti, Disamis, Datisi, Felapton;
Bokardo, Ferison, (hadet, guarta, insuper, addit);
Bramantir, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison;
Бул шумактын жолдарындагы жакшадан тыскары турган ap6ip
сез категориялык силлогизмнщ кандай да 6ip дурыс модусше сэйкес
келедь Атап айтканда, сол сейкес сездеп дауысты ерщтёрдщ TepiMi осы
модустщ магынасын ашып керсететш болады. Меселен, «Barbara»
сезшдег! дауысты эрштердщ «ааа» деген TepiMi силлогизмнщ
1-тшшдемесшдеп «ААА» модусше сейкес келедь Ал, «Celaren»
сезшдеп «еае» деген epirrrep TepiMi осы щщШДеменщ «ЕАЕ» модусш
белгшейд!. Сондай-ак, «Вагоко» сезшдеп «аоо» дауысты epinTep TepiMi
2-шшшдемедеп «АОО» модусш керсетедь Сейтш, «Вагвага» жене
«Вагоко» модустерш былайша таратып керсете аламыз:
«Вагвага» M onvci.
«Вагоко» модусь
М аР
РаМ
S аМ
SоМ
S а Р
S оР
Категориялык силлогизмнщ модустерше нактылы мысалдар келпрешк.
1-мысал. 1-пшпндеменщ «Вагвага» модусше.
Барлык жырткыш жануар (М) -етпен коректенеда (Р).
Жолбарыс (S) -жырткыш жануар (М)._______________
А: Жолбарыс (S) -етпен коректенед1 (Р).
МаР
S аМ
/ Х М
S аР
( ( /Г Н
) /22-сызба.
2-мысал. 1-шшшдеменщ «Darii» модусше.
А: Барлык жырткыш жануарлар (М) -етпен коректенед! (Р).
s: Кейб1р уй жануарлары (S) -жырткыш жануар (М).
s: Кейб1р уй жануарлары (S) -етпен коректенед1 (Р).
МаР
S бМ
23-сызба.
3-мысал. 2-шшшдемен$н «Cesare» модусше.
Е: Ешб[р едш адам (Р) -кунипл емес (М).
124
А: Данккумардын 6epi S) -к у н ш ш (МУ_____
Е: Eiu6ip данккумар адам (S) -едал емес (Р).
РеМ
_______
--ч
SaM
24-сызба.
I.
4-мысал.
М еР
Em6ip жай белшек (М) -иррационал сан болмайды (Р).
S i М
Кейб1р накты сан S) -жай белшек (М).
S оР
КеиОф накты сан (S) -иррационал сан оолмаиды
II. Р е М
S i М
S 1 Р
III.
Eui6ip иррационал сан (Р) -жай белшек болмайды (М).
Keft6ip накты сан (S) -жай белшек ( М ) . _________ __
Keft6ip накты сан (S) -иррационал сан болмайды (Р)
М еР
Em6ip жай белшек (М) -иррационал сан болмайды (Р).
М i S
Kefi6ip жай белшек ГМ> -д у р ы с белшек (S').___________
S о Р Kefi6ip дурыс белшек (S) - иррационал сан болмайды (Р).
IY. Р е М Eiu6ip иррационал сан (Р) -жай белшек болмайды (М).
М i S Em6ip жай белшек (~М) -трансцендентп сан болмайды (S).
S о Р
Keft6ip трансцендент сан (З)-иррационал сан болмайды (Р).
(4-мысал Н.В.Метельскийдщ «Дидактика математики» деген
итабынан алынды. Минск, «БГУ» -1992 ж., 142-бет).
2. Ш а р т т ы
силлогизмдер
Бершген силлогизмдеп ей алгыламанын 6ipeyi немесе eKeyi де
шартты пайым болып келетш болса, онда мундай силлогизмд1 шартты
силлогизм деп атайды. Шартты силлогизм eKi топка белшедк 1) шартты
-категориялык силлогизм жене 2) таза шартты силлогизм.
Улкен алгыламасы шартты пайым, ал Kiuii алгыламасы
категориялык пайым болып келетш силлогизмд! шартты-категориялык
силлогизм деп атайды. Ею алгыламасы да шартты пайым болатын
силлогизмд1 таза шартты силлогизм дейд1.
I.
Шартты-категориялык силлогизм б!рнеше модустерге бвтн
карастырылады. Сол модустердщ бфнешеу^не токталып етем1з.
1)
Модус поненс (немесе конструкциялык модус, я
курастырмалы модус). Бурын атап керсеткешм!здей шартты пайым
мынадай сулбалык-улплемемен жасалады: «Егер А дегешмЬ В болса,
онда С flereHiMi3 Д болады». Мундагы: «А дегешм1з В» -деген шартты
125
пайымнын «непздемеЫ», ал «С дегешм1з Д» деген пайым онын «салдары» деп аталады.
Осы айтылгандарды ескере отырып, модус поненс силлогизмш
мынадай сулбалык-улпмен ернектеп керсетуге болады:
А дегешм13 В болса, онда С дегешм1з Д.
А дегешм!з В.
Демек, С дёгёшмТз Д.
1-мысал. Егер жанбыр жауып турса, онда жер су болады.
Жанбыр жауып тур._____________________________
Демек, жер су болады.
2-мысал. Егер п саны 10-га белшсе, онда п саны 5-ке белшедь
пеаны 10-га белшед1___________________________
Демек, п саны 5-ке белшедь
2)
Модус толленс (немесе деструкциялык ягни киратпа мод
Мундагы толленс латынша «tollens» (жою, кирату, бузу) деген сезден
алынган.
Модус толленс силлогизмшщ еулбалык-уягшемесш мынадай турде
жазып керсетедк__________________________
Егер А дегешм^з В болса, онда С дегешм!з Д.
С дегешмз Д-емес._______________________
Демек, А дегешм^з В-емес.
Мысалы.
Егер жанбыр жауып турса, онда жер су болад '.
Жер су емес.
Демек, жанбыр жауып турган жок.
II.
Таза шартты силлогизм туралы тустк. Мундай силлогизмнщ
ею алгыламасы да шартты пайым болып табылады.
Мысалы. Егер ушбурыш TiK бурышты болса, онда онын улкен
бурышына карсы жагында улкен кабыргасы жатады.
Егер де ушбурыш тйс бурышты болмаса, онда онын
улкен бурышынын карсы жагында улкен кабыргасы
жатады.
Ушбурыштын улкен бурышынын карсы
еркашан улкен кабыргасы жатады.
2.3. Дэлелдеу.
онын
куры лы мы
жагында
мен турлер!
Дэлелдеу дегешиш акикат пайымдауларга
непзделген ойкорыту жэне болжамдарга cyfienin
дэлелдсмел)к пайымдаулар.
Платон (28,433-бет).
126
1. Делелдеу жэне бекерлеу амалдарынын аныктамасы. Логика
пэншде дэлелдеу деп «акикат» пайымды» непздеу амалын карастырады.
Ал «акикат пайым» деп шынайы OMip нэрселершш адам санасындагы
дэлме-дэл жэне дурыс бейнелену} угылатынын бшем1з. Сонымен катар,
ойлау KbBMeriHiH «жеткшкп непздеу» деп аталатын кагидасы бойынша
9 p 6 ip акикат пайымнын нелштен акикат саналатындыгы толык
T y cim u p in y i шарт.
Акикаттыгы тжелей кабыллav нэтижесшде тагайындалатын
пайымдар бар. Соган мысал erin: «Кар - ак тусп зат»; «Бутш - езшщ
бел1мшес1нен улкен» деген пайымдарды келпруге болады. Мундай
пайымдарды халыктык тшде «айдай анык акикат»; «куменсга акикат
пайым» деген сездермен атап Kepcerefli. Жалпы бш ми Т1лде: кумэназ
акикат пайымдарды «тнселей акикат пайым»; «акикаттыгы аян пайым»
немесе «дэлел тшемейтш пайым» деген сездер аркылы белплейдь
Логика мен математика пэндершде делелаз кабылданатын акикат
пайымдарды «аксиома» немесе «постулат» деп атайды.
Акикаттыгы пкелей аян емес пайымнын акикат я акикат
болмайтындыгы дэлелдеу аркылы керсетшедь
Барынша кен магынасында алып Караганда дэлелдеу деп белгш
6ip пайымнын нел1кген акикат болатындыгын туЫщцру едасш айтады.
Осы кен келемд1 магынасында алып караган кезде делелдеудц ойкорыту
немесе «/та корыту амалдарынын 6ip формасы (калыбы) деп карауга
болады. Айкындап айтканда, карастырып отырган пайымнын
акикатгыгын (я жалгандыгьга) айгактау уш!н жумсалатын ойкорытуды
дэлелдеу деп угады.
Дэлелдеу дегетм1з пайымдау аркылы ойкорыту амалынын басты
6ip кемелденген сатысы болып табылады. Логиктер мен математиктер
двлелдеуд1 математикалык амалдын 6ip rypi деп карастырады.
Логикалык математика пеншщ талабы тургысынан делелдеу амалы
былайша аныкталады.
Аныктама. Дэлелдеу деп кандай да 6ip тужырымдык ойдын
акикатгыгын аныктыгы мен акикаттыгы бурын тагайындалган баска 6ip
ойларга суйене отырып тужырымдалатын пайымды айтады.
Логика пэншде делелдеу амалы пайымнын акикатгыгын
керсету максатында жумсалуымен катар бул амал пайымнын
жалгандыгын непздеу ушш де колданылады. Мундай жагдайда
делелдеу пайымнын жалгандыгын mepicKe шыгарады
немесе
жалгандыгын бекерлейдi деп Kepcerefli.
Сейтш, бекерлеу дегешмй мазмуны тургысынан алганда
ерекше 6ip делелдеу амалы болып табылады. Делелдеу логикалык амал
ретшде пайымнын акикатгыгын непздеп керсететш болса, ал бекерлеу
сол пайымнын жалгандыгын непздейтш амал катарына жатады.
И.
Дэлелдеуд'т курылымдык сипаттамалары.
Кез келген
делелдеу уш lypfli курылымдык сипаттамадан турады. Олар: 1) тезис; 2)
127
аргумент (айгактамалар,
демонстрация деп аталады.
дэлелдемелер,
непздемелер)
жэне
3)
1) Тезис деп акикаттыгы дэлелденетш пайымды айтады.
Бекерлеу амалы ушш жалгандыгы дэлелденетш пайым тезис деп
аталады.
2) Аргумент (айгактама) деп тезист! дэлелдеу, непздеу ушш
келпршетш пайымдар аталады.Тезисй дэлелдеу дегеш Miз сонын акикат
я жалган пайым екешн непздеуге жеткмикп болатын айгактамаларды
(аргументтердО келт!ру жумыстары болып табылады. Дэлелдеу
устшдеп аргумента басты Typnepi катарына: кагидалар, зандар,
аксиомалар, аныктамалар жэне бурын дэлелденген тужырымдык ойлар
жатады.
3) Демонстрация (дэлелдеудщ эйплемесР деп тезис пен
аргументтерд1 логикалык байланыстар жолы, эд)С1 угылады. Сейтш,
демонстрация дэлелдеудщ курылымдык белгмшеа1 гана емес, онын
ушшпй
сипаттаушысы болып
табылады.
Айкындап
айтканда,
дэлелдеудщ эйгшемеа (демонстрациясы) деп ойкорытулар пйзбеа
угылады. Бул Ti36e дэлелдеу алгыламаларынан онын Щзщте дейш
жалгасады.
III.
Дэлелдеудщ mvpjiepi. Дэлелдеу орындалу тэсщне кар
тура дэлелдеу жэне жанама дэлелдеу деген ею турге белшед!.
Тура дэлелдеу деп тезис аргументтер аркылы тжелей
непзделетш дэлелдеущ айтады.
Жанама дэлелдеу деп тезис акикаттыгын антитезистщ
жалгандыгын керсету жолымен непздейтш дэледдеуд1 айтады.
Антитезис деп тезиске кайшы келетш пайымды айтады.
Жанама дэлелдеу кезшде А-емес деген антитезистщ жалгандыгын
дэлелдеген сон ушшцп жок заныныц талабына сэйкес А тезистщ акикат
екендщне квз1м1з жетедь Жанама дэлелдеуд1н мундай Typi келеназджке
келпру (reductio ad absurdum) эдаы деп аталады. Математика пешнде
келен^здщке келиру эдил аркылы дэлелдеу Kepi уйгару бойынша
дэлелдеу немесе <r:epi кeлтipiм» ЭД1с1мён дэлелдеу деп аталады.
Мысалы. Ею бурышы тен ушбурыштын сол бурыштарга карсы
жаткан кабыргаларг да тен болатынын дэлелде.
Дэлелдеу. ABC ушбурышында Z A = a ;Z B = 0 жэне а = Р
болсын.
АС=ВС болатынын KepceTyiMi3 керек. Оны
дэлелдеу ушш «АС * ВС» деген антитезистщ
жалгандыгын кер,сетем!з (25-сызба).
«АС * ВС» деген пайым «АС < ВС» немесе
В
«АС > ВС» деген ею пайымдарга тенмагыналы
25-сызба
болады. Сондыктан, олардын эркайсысын
жеке- жеке карастырамыз.
128
Айталык, «АС<ВС» болсын. Онда а > (3 болады (мунда:
«Ушбурышта улкен кабыргага карсы улкен бурыш жатады» - деген
теоремага суйещцк). (3 < а катынасынын орындалатындыгы теорема
шартында бершген «=>» катынасына кайшы келедь Ендеше yiiiiHUii жок
заны бойынша «АС=ВС» болуы THic.
Енд1 «АС > ВС» уйгарым жасаймыз. Сонын нэтижесшде тагы да
кайшы корытындыга келпру аркылы «АС=ВС» болатынын керем1з.
Сонымен, дэлелдеуге бершген мысалдын шешу! толыгынан аныкталды.
Дэлелдеу амалы логикалык ойкорытудын непзп rypi екендт
туралы айтылды. Ал, дедуктивнк ойкорыту, непзшен, силлогизм
аркылы icKe асырылатынын бiлeмiз. Cиллoгиcтiк ойкорыту Ti36eciHe
суйене отырып, дэлелдеу амалын журпзудщ мысалына токталамыз.
Теорема. Ушбурыштын ыпю бурыштарынын косындысы 180°-ка тен
болады (А.В.Погорелов. Геометрия, 7-11 кл.,Алматы, Рауан-1991,
52-53 б.).
Бершгеш: 1 ABC, ZA B C =Z1,
B _ ^ __________ Д_________
§ BCA=Z2, Z C A B = Z 3
/Г \ 4
Дэлелдеу керек: Z 1+Z2+Z3= 180°.
/
\
Дэлелдеу!. Бершген ушбурыштын
/
\
В Te6eci аркылы A C -га параллель ВД А / з _______ 2 \ С
(АС|| ВД) тузу!н журпзем1з. ВД rpyi26-сызба.
HiH бойынан А, Д Hyicrenepi ВС Ty3yiHiH эр жагында жататындай етш Д
HyKTeciH белплейашз (26-сызба).
Осы бершгёндерге суйене отырып жур1зшген дэлелдеу
пайымдарынын
мынадай
силлогиспк
ойкорытулар
Ti36eciHeH
туратынына кез жетизуге болады:
1-силлогизм (СП.
1) Озара параллель ВД, АС тузулерщ ВС ymiHini тузумен киганда
шыгатын imxi айкыш бурыштар тен болады.
2) Z 7 tB C ^ Z 4 жэне Z A C B = Z 2 - iniKi айкыш бурыштар.________
3) ZД B C =ZA C B , ягни Z4=Z2.
2-силлогизм (С2).
1) Озара параллель ВД, AC eKi тузуд! АВ ушшпп тузумен киганда
шыгатын тустас бурыштарынын косындысы 180° -ка тен болады.
2) Z A B Д. Z B A C -тустас бурыштар.______________________________
3) Z A B Д +ZB A C = 180°, ягни Zl+Z4+Z3=180°.
3-силлогизм (СЗ).
1) Z 1+Z4+Z3= 180° тендишдеп тен бурыштык шамаларды 6ip6ipiMeH ауыстыруга болады.
2) Z 4= Z 2 (Cl-бойынша).
3) Zl+Z2+Z3=180uд.к.о.е.
Осы келпршген мысалга карап, математикалык ойкорыту
амалынын жаратылысы жайында арнайы зерттеулер журпзген эйгин
129
француз математип Анри Пуанкаре (1884-1912) айткан мына пшрдщ
акикаттыгына, б1зше, толык илануга болады.
«Кайталандырмалау (рекурренциялау) anici аркылы ойкорытудын
басты 6ip сипаттамасы деп кисапсыз кеп силлогизмнщ 6ip формула
аукымында жинакталуын угуга болады (А.Пуанкаре. О науке. Москва
«Наука»-1983 г., 18-бет).
Силлогизмд1 логикалы-математикалык дэлелдеу барысында
барынша жш epi пэрмещц жумсалатын ойкорыту амалы деп багалауга
болады.
2.4. Пайымдык жэне силлогизмд!к ойкорыту
предикаттар тшнде
Аристотельдщ дестурлж логикасында пайымнын сандылык
сипатгамалары «барлык», « e p 6 ip » , «тугел» немесе «кейб1р», «шшара»,
«ара -тура» деген сиякты сездермен бершетшш бшем1з. Олар дестурлк
логика пеншде (А, Е, I, О) немесе (а, е, i, о) деген epirrrepM eH
бeлгiлeнeтiнi туралы да айтылады.
Пайымдардын бул сандылык сипатгамалары Ka3ipri замангы
математикалык логика пешнде «квантор» деп аталатын арнаулы
белгшеме аркылы жазылып кepceтiлeдi. Мундагы «квантор» деген
атауыш сез латынша «quantum» (каншама) деген магынадагы сезшен
алынган. Логикалык термин ретшде «квантор» ce3i P ( x ) - n iK ip n iK
форманы немесе пропозиционалдык функцияны «акикат» я «жалган»
деп айтарлык niKipre келпретш операция (амал) ретшде жумсалады.
Баскаша айтканда, квантор амалы Р(х)- 6ip орынды предикатты niKipre
айналдыратын кванторлау (немесе квантификациялау) операциясы деп
аталады.
Математикалык логика пэншде eKi турл1 кванторлау амалы
колданылады. Олар: 1) V -жалпылау кванторы жене 2) 3- бармыстык
кванторы немесе бар болушылык кванторы деп аталады. Мундагы: V немюше - « alle» (барлыгы) деген, ал 1 - бёйН м HeMic таяшдеп
«existieren» (бар болымдык, бармыстык) деген сездершш бастапкы
epinTepiHeH турленд!р1л1п алынган. Мынадай Vx -ернекп «барлык х-тер
ymiH» немесе «ep 6ip х ушш» деп окиды. Ал, Зх ернекп «данара х-тер
ушш» немесе «кеййр х ymiH» деп окиды. Мундагы x-Ti «кванторлык
айнымалы» деп атайды.
Аристотель логикасында сандылыгы жагынан алып Караганда
терт турл1 пайым карастырылатынын б1лем!з. Соларды кванторлау
амалы аркылы калайша эрнектеуге болатынына жеке-жеке токталып
етем4з.
1.
S а Р -жалпыбектмдк пайым сез Typinae мынадай калыпт
аркылы бершедк «Барлык S деген4м1з Р».
Бул пайымды кванторлау амалы аркылы былайша ернектеуге
болады:
Vx (егер х деген S болса, онда х дегенМз Р)
немесе Vx [S(x)—>Р(х)].
130
Сонгы ернек былайша окылады: «Егер кез келген х нэрсе S
касиетке ие болса, онда сол нэрсеге Р касиет тэн болады».
2.
S е Р - жалпыбекерлемел1к пайым сез туршде былайш
айтылады: «Б1рде-б1р S дегешмв Р-емес».
Бул пайымды кванторлау аркылы былайша ернектеуге болады:
Vx (егер х деген S болса, онда х дёгешлиз Р-емес)
немесе Vx [S(x)-> Р(х)].
Бул калыптама былайша окылады: «S касиетке ие болатын кез
келген х нэрсеге Р касиет тэн болмайды». Муны былайша да окуга
болады: «S касиетке ие болатын б1рде 6ip х нэрсеге Р касиет тэн емес».
3.
S i Р- iiuiHapa бектмд!к пайым ауызша былайша айтылад
«Кейб1р S
дегешм1з Р». Бул пайымды квантор аркылы былайша
ернектеуге болады:
Зх (х дегетм1з S жэне х дегетм1з Р)
немесе Зх [S(x) л Р(х)].
Бул калыптама сез туршде былай окылады:
«S жэне Р касиеттер тэн болатындай х нэрсе бар».
4.
S о Р - iuimapa пайым ауызша мынадай сездермен айтылад
«Кейб1р S дегешм1з Р-емес». Муны квантор аркылы былайша жазып
керсетуге болады:
-----------------------------Зх (х дегешм13 S жэне х дегётм13 Р - емес)
немесе
Зх [S(x) л Р(х)].
Бул калыптама сез туршде былайша окылады: «S касиетке ие
болатын жэне Р касиет тэн емес х нэрсе бар».
Мысалы. «Кейб1р студент узд!к окымайды» деген пайымды
квантор аркылы былайша айтуга болады:
Эх (х дегешм!з студент жэне х -уздж емес).
Баскаша айтканда: «Студент деп аталатын, 6ipaK оку озаты емес х
деген бар».
Алдынгы айтылгандарды жинактай келш, пайымдардын терт
ту эш жиындар мен предикаттар туршде былайша кестедеп жазамыз:
Предикаттар
Пайым
Жиындар
S аР ~
ScP немесе S-P=0
Vx [S(x)=>P(x)]
sV p
S п Р=0
Vx[S(x)=> Р(х)]
|
r s 'i P '"
ЙЁ§
!S О Р=0
1•
j S \Р * 0 немесе ScP
131
3x[S(x) л Р(х)]
Зх [S(x) л Р(х)].
Осы кестеш пайдалана отырып, силлогизмнщ кез келген модусш
предикаттар логикасынын тшне аударып жазуга болады.
1-мысал.
1-шшшдеменщ «Вагвага» модус»' былайша
ернектелед1:
М аР
Vx [М(х)=> Р(х)]
Vx [S(x)=> М(х)]
S aM
SaP
Vx [S(x)=> P(x)J
2-мысал.
З-шшядеменщ «Darapti” модуи предикаттар
логикасынын тшне былайша аударылады:
MaP
Vx (M(x)=> P(x)]
Vx [M(x)=> S(x)]
MaS
S iP
Bx [S(x)=> P(x)]
3-мысал. 4-тшшдеменвд «Felapton» модусш предикаттар
PeM
M aS
SoP
Vx[P(x)=> M(x|
Vx[M(x) => S(x)]
3x [S(x)=> P(x)]
4-мысал.
|-щ рй|ш ейщ
«Ferio» модуещ предикапар
логикасымен
катар
жиындар алгебрасы жэне Эйлер-Венн
сызбанамасынын (диаграммасынын) ш нде былайша жазып керсетуге
болады.
______________ _
М еР
S iM
М п Р= 0
Sn М *0
ТоТ"
132
М
3-бел1м. М А Т Е М А Т И К А Л Ы К Л О Г И К А Б А С Т А М А Л А Р Ы
/ -тарау. П1К1РЛЕР ЛОГИКАСЫ ЖЭНЕ АЛГЕБРАСЫ
Барынша кен магынасында алым Караганда символикалык
(белплемелж)
логика
дёгешиш
мынадай
ерекшел1ктермен
снпатталатын гылыми пен боп табылады:
а) ол непзшен сандылык сипаттамасы жок катынастарлы
карастырады: б) ол долд1 мэндер мен кажетт1 салдарларды зерттейдк
в) онын басты каруы - операциялык (амалдамалык) белгшемелер боп
табылады.
Э. Беркли
§1. П ш р ж эне ткгрлЫ формалар
1.1.
IliKip
д е г е н i м iз не?
Ш юр математикалык логиканын бастапкы угымы жэне зерттеу
нэрселю боп табылады. Логикалык угым ретшде пш рдщ мазмунын
мынадай аныктама аркылы ашып керсетуге болады.
Аныктама. Шк'ю деп мазмуны туралы акикат я жалган деген eKi
тужырымнын 6 ip ey iH гана жасауга болатын хабарлы сейлемд1 угады.
IliKip латын еййбишщ р, q, г, s т.с.с. немесе х, у, z т.с.с. каш
ерштермен белпленш жазылады. Оларды, кейде, pi, р2, рз т.с.с. немесе
Х|, х2, Хз т.с.с. тертшпен нем!рлеп те керсетедь Аныктамада айтылган
«акикат» сезш кыскаша «а» epni жене «жалган» ce3iH «ж» epni аркылы
белплейдь Кейде «а=1» жене «ж=0» деген белплемелер де
колданылады.
Сейтш, р шк1рд1 белплемелер аркылы былайша белплеп
аныктауга болады:
г а, егер р акикат болса
Р =
J
(1)
ж, егер р жалган болса
^
немесе
[ 1, егер х=1 болса
H i[ 0, егер х=0 болса
(2)
Осындагы (1) не (2) калыптамаларга сейкес аныкталатын жене
жана niKip болатын бел1мшеа жок р, q, г, s т.с.с. пшрлерд1 элементар
(жай) пшрлер деп атайды. Жай пiкipлepдi белплейтш р, q, г т.с.с.
epinrepfli жай айнымалылар немесе элементар айнымалылар дейдь «а»
жене «ж » ерштерд1 немесе «1» мен «О» цифрларын туракты пшрлер
немесе логикалык турактылар дейд!. Мына {а, ж} немесе {1, 0} ею
элемента жиындарды жай пшрлердщ акикаттык мендер жиыны дейдь
133
Мысалы. Бершген сейлемнщ кайсысы niKip
кайсысын n i Ki p деп карауга болмайтынын атап керсетшз.
болатынын,
1 . pi = «Ассалаумагалейкум», р2 = «Барында оралыннын кул де
ойна», р3 = «Логика пенш унатасын ба?», р4 = «EKi жарты - 6ip бутш»,
Р5= «Адамнан баска кулетш жан Heci жок».
2 . qi = «Ею жерде eKi - терт», q: — «EKi дeгeнiм - егеу», q3 = «6
i
i
2
3
саны 3-тен ею есе улкен сан», q4= «х саны 3 еселж сан», qj= «- саны 3
4
ке еселж сан».
4
3. S]= «2+2=5-1», Si- «2=- », S3= «6=3-2», S4= «Зх=6», S5= «s=vt»,
мундагы s - козгалыстагы дененщ журген жолы, v - сол дененщ
жылдамдыгы, t -жумсалган уакыт.
4. Г|= «Алматы - Кдзакстан Республикасынын онтустж
астанасы», Гт = «Кызылорда каласы - Казакстаннын астанасы болган»,
Гз = «Семей каласы - Казакстаннын астанасы», г4= «Орынбор - казак
елшщ астаналык каласы болган», Г5 = «Астана - Казакстан
Республикасынын астанасы».
5. К|= «Институт ютаиханасьщда 342072 ютап бар», к; = «лсаныньщ ондык бвлшекке жгктелгмшщ жузмыныншы орындагы цифры
7 ге тен», к3 = «хп + у11 = zn» тецдеушщ п>2 болганда 6yriH мэшп
uieinynepi жок».
Uleiuvi. 1 . П ш рдш аныктамасы бойынша п ш р хабарлы сейлем
болуы жэне онын мазмуны туралы «а» немесе «ж» деген ею
тужырымнын 6ipeyiH жэне тек кана 6 ip eyiH гана айта алатындай болуы
шарт. pi, р2 лешгс сейлем улпсшдеп тщщк калыптамалар, ал рз -сураулы
сейлем. Олардын мазмуны туралы «акикат» я «жалган» деген тужырым
жасау мумюн емес. Демек, буларды niKip деп аныктауга болмайды. р4, р5
сейлемдердщ eKeyi де «а» деген мэн кабылдайтын niKip, ягни р4 = а
жэне р5 е= а.
2. qi = а болатын niKip. Ш - хабарлы сейлем улпанде
бер1лгенмен, онын мазмуны туралы «акикат» я «жалган» тужырым
жасауга непз жок. Демек, q: -Hi де niKip деп Kecin айтуга болмайды. q3
туралы q3 = а болатын niKip деп айтуга болады. q4 сейлем niKip бола
алмайды. ©йткеш, х ке нактылы мэн бермей турганда бул сейлем
туралы «а» не «ж» деген тужырым айтуга болмайды. q$ сейлем тшдк
6iTiMi бойынша дурыс жасалмаган курылым боп табылады. 0 йткен1,
белшек сандар ymiH «есеш болады» деген катынастык сез
колданылмайды. Демек, qs сейлем niKip бола алмайды.
3. S|, Si, S3, S5 пшрлер жэне Si = a, Si s a, s3 = a, sj s a. s4 niKip бола
алмайды, ейткеш курамында х белпй^ бар.
4. Г| = а, Гг= а, Гз —а, г4 —а, Г5 = а.
5. Институт ютапханасында дэл 6 yriH неше KiTan барын ешюмн 1'н
6iflMeyi эбден мумкш. Алайда, арнайы тексеру максатымен KiTan санаГы
134
журпзше калса, осы сейлемнщ мазмуны «акикат» я «жалган» екенше
кез жетюзуге болады. Демек, К| сейлемд1 niKip деп карауга кукымыз бар.
к> сейлем туралы да осындай ой айтуга болады. Кз калыптамалык
сейлемд! б ш м тарихшылары Ферманын улы теоремасы деп атайды. Бул
теореманын «акикаттыгы» немесе «жалгандыгы» туралы мэселе ani
щешшген жок. Дегенмен, математиктердш басым кепшшг! Ферма
теоремасынын акикаттыгы я жалгандыгы туралы мэселе кайткенде 6ip
uiemuiefli деген ойды куаттайды. Сондыктан, Кз сейлемд! де niKip деп
карамаймыз.
1.2.
П iк iрлiк
калыптама
т у сiн iк
туралы
Курамында белгйаз айнымалы боп келген хабарлы сейлемд! niKip
деп карауга болмайтынын айтканбыз. Онын себебш де бшем!з. вйткеш
ондай сейлемнщ магынасы туралы «акикат» я «жалган» деп бекшмдак
ой айту мумюн емес.
1-мысал. pi(x) — «х -так сан»; рг(х) = «х -15 Tin белпьш»; рз(х) =
«х - Казакстан Республикасынын астанасы»; р4(х)= «х - казакстандык
тунгыш гарышкер»; ps(x)= «х+5=7».
Бул сездж курылымдардын эмбес! хабарлы сейлем Yлгiciндe
бершгенмен оларды nixip деп корытындылауга Heri3 жок. вйткеш,
олардын мазмуны туралы «акикат» я «жалган» деген eKi тужырым айту
мумюн емес. Егерде осы сейлемдердеп х айнымалынын орнына Senrifli
6ip нэрсел1к жиыннан алынган нактылы мэндер койылса, сонда олар,
шын мэншде, niKipre айналады ягни олар туралы «а» я «ж» деген
тужырымга келем!з.
Зе N болганда, pi (3) = «3 -так сан» = а.
2 е N болганда, pi (2) = «2 -так сан» = ж.
4 е N болганда рз (4) - «4 саны 15 тщ белгш!» = ж.
3e N болганда, р? (3) = «3 саны 15 TiH белгшй» —а.
Айталык, А -казакстандык калалар жиыны болсын.
х = Семей болганда, рз (Семей = «Семей -Казакстаннын астанасы»= ж.
х = Астана болганда рз (Астана) = «Астана -Казакстаннын астанасы»= а.
В -казакстандык адамдар жиыны болсын.
х=Ахмет болса, р4(Ахмет) = «Ахмет - казакстандык тунгыш
гарышкер» = ж; х=Токтар болса, р4(Токтар) = «Токтар -казакстандык
тунгыш гарышкер» = а.
N -натурал сандар жиыны бершсш.
х=3 болганды, р5(3)= «3+5=7»=ж; х=2 болса, р5(2)=»2+5=7»=а.
2-мысал. Qi(x,y) = «х<у»; Qa(x,y) = «х деген Kici у -тщ iHici»;
Q 3 (х, у)= «х окулыктын авторы -у»; Q 4(x, у)= «х + у = 6»; Q 5(x, у) =
«х[|у».
А :={(3, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 3), (4, 4), (5, 3), (5, 5)}.
135
х=3, у=4 болганда, Qi (3,4)-- «3<4» = а; х=4, у=3 болганда,
Qi(4,3)= «4<3»=а, х=4, у=4 болганда, Qi(4,4)= «4<4» = ж; т.с.с.
Осындай жолмен арнайы курылган В', С", Д‘ жене Е"
жиындарынан (х,у) нактылы кос мэндерд1 ала отырып, Q:(x,y), Qj(x,y),
Q 4(x,y) жэне Qs(x,y) сейлемдердщ де niKip болатынын керсету киын
емес.
Осы талданып еткен мысалдар niKipjiiK форма (калыптама) деген
косалкы угым енпзуге себепкер болады.
Аныктама. Курамында б ел п аз айнымалы шама бар хабарлы
сейлем ул п сш деп калыптамадагы б ел п й зг е кандай да 6ip нэрселер
жиынтыгынан алынган нактылы мэндер бершген кезде калыптама
niKipre айналса, онда бул калыптаманы гйюрлйс форма (калыптама) деп
атайды.
Ескертпе. Пайымдар туралы сез еткенде курамында белпаз
шамалар бар пайымдардын пропозициялык функциялар деп аталатынын
ecKepTin eTKeH6i3 (1-тарау, 3.4). Сонымен, салыстыра карасак, ®Шрлис
калыптаманы да пропозициялык функция деп карауга болатынын
KepeMi3. П ш рлж калыптаманы кей ретте «niKip-функция» немесе
«предикат-функция» деп те атайды. Бул мэселеге осы жумыстын
предикаттар логикасы деп аталатын тарауында кеюрек токталганбыз.
§ 2.
П ш рлер алгебрасы жэне оныц формалары
(цалыптамалары)
2.1.
Шюрлер
алгебрасынын амалдары
Ka3ipri замандык гылыми тглре ал геб р а деп белгш 6ip жиын
элементтерше сандарга жумсалатын амалдарга уксас колданылатын
а м а л д а р м ен солардын к а с и е т ш зе р т т ей т ш 61л 1ми паня1 айтады. Осы
тургыдан алып Караганда, пшрлерге колданылатын логикалык амалдар
жиынтыгын а л геб р а деп атауга болатынын керсетуге болады.
Элементар пшрлерден туратын А={р, q, г,...Д}жиыны бершсш.
Мундагы р, q, r,...,s, t - элементар пшрлер. Кайсыбхр ретте муны A={pi,
Ра,—Рп}- улпанде де белплеп жазамыз.
Математикалык логика бершген Р 6ip пiкipдeн немесе р мен q eKi
пшрден жана niKip тудыру ymiH колданылатын ерекегпк едастё^щ
логикалык амал немесе логикалык операция деп атайды. Математикалык
логика пэндершде олардын эркайсысына арнаулы атауыш сез бершп,
ернектеуш1 белгшемелер бeкiтiлгeн (1 -кесте).
136
1- к е с т е .
Heri3ri логикалык амалдар сипаттамасы
Атауыш ce3flepi
Сез аркылы
Белплемелер
айтылуы
«емес» амалы, T e p ic T e y амалы
Р емес
Р
р жэне q
р л q, р & q
р немесе q
Р v q, p+q
р•q
Егер р, онда q
Р сонда жэне тек
кана сонда, кашан
р -> q
р
q, р - q
«жене» амал конъюнк- ция
(кабаттама) амалы, кебейту
«немесе»
амалы,
дизъ­
юнкция (ажыратпалау) амалы
импликация (сабактас- тыру)
амалы
эквиваленция
(тенесйрмелеу) амалы
q
Айтылмыш логикалык амалдарды жеке-жеке аныктап, олардын
басты касиеттерш (зандарын) баяндаймыз.
I.
Tepicmev амалы.
Аныктама. Р niKipiHiH mepicmevi деп Р акикат болганда жэне тек
сонда гана жалган болатын, ал Р жалган болганда жэне тек сонда гана
акикат болатын Р жана пшрд! айтады. Р пш рдщ терютемесш былайша
белллейдп Р немесе -iP. Муны «Р-емес» деп окиды.
TepicmevdiH акикаттык кестей
niKip
Р
а
ж
TepicTeMe
Р
ж
а
ГНюр
TepicTeMe
Р
Р
1
0
0
1
niKip атаулынын хабарлы сейлем аркылы аныкталатынын
айттык.
Сондыктан,
ep6ip
n iK ip fli
информативтьлогикалык
(хабарнамалы-логикалык) курылым деп карауга кукымыз бар. Осыган
орай р пшрдщ «хабарнамалык мэндерт деген угыми сез енпзуге
болады. р n iK ip туралы айтуга болатын «ие» деген растаушы (куптаушы,
беютуип) ой мен сол пшрдщ мазмунын «жок» деп бекерлейтш
T e p ic T e y m i ойды р пшрдщ «хабарнамалык» мэндер1 деп атаймыз. «Иэ»,
«жок» улпсщдеп eKi элемент жиындар р логикалык айнымалынын
хабарнамалык мэндер жиыны деп аталады.
р пшрдо терютеу амалын хабарнамалык мэндер K e cT ec i
(таблица) жэне диаграмма (сызбанама) аркылы кернеюлеп аныктауга
болады (27, 28-сызбалар).
137
е
р
1 £Х
ИЭ
жок
Сызбанама
ГГ) ~
рI
I
из
жок
ИЭ I
ЖОК
I
27-сызба.
28-сызба.
1-мысал. р = «Абай - Кунанбайдын улы» = а.
р = «Абай - Кунанбайдын улы емес» = ж.
2-мысал. р = «2+3 = 7» = ж.
р= «2+3 =7» («2 мен 3 тщ косындысы 7- ге тен емес»)
«2 + 3 * 7» - а.
Т ерiстеу
1.
амалынын зандары
(касиеттерр
р =-i р = р -кос TepicTey заны (кос терютеуш Tycipy заны).
Тер1стеудщ TepicTeyi бершген й ш р м ен тенмагыналы болады.
(Ескертпе.
Осында
жене
будан
былай
«==»
«тенмагыналы» немесе «тенбе-тен» деп окиды).
Кос TepicTey занынын дурыстыгын мысал аркылы
белпт
дэлелдеп
керсетуге болады.
Мысалы. р^= «Абай -Кунанбайдын улы» = а.
р = «Абай -Кунанбайдын улы емес» = ж.
~рг= «Абай - Кунанбайдын улы емес деу дурыс емес» = р - а.
Кесте аркылы делелдеу
р
а
ж
Р
ж
а
P
а
ж
29-сызбадагы кестенщ 1 жэне 2
багандарын салыстыра отырып,
р = р болатынын керем1*з.
29-сызба
II. К о н ь ю н к ц и я л а у ( к а б а т т а м д а у )
амалы
Аныктама.
Бершген р жэне q ей ш’юрдщ конъюнкциясы
(кабаттамасы) деп солардын eK eyi де акикат болганда жэне тек сонда
гана акикат болатын р a q =г жана гакхрда айтады.
р л q амалын ауызша сезбен: «р жэне q» я «р 9pi q» яки «р да q»
деп окиды. Мундагы «л» белпсшш орнына, кейде, « & » белпсш
пайдаланады. г-д1 р, q гашрлердвд кабаттамасы дейд1.
Конъюнкциялау (кабаттамдау) амалын онын «акикаттык кестеЫ»,
«хабарнамалык K ecT eci» жэне «диаграмма» (сызбанама) аркылы
кернеюлеп аныктауга болады.
138
Акикаттык кестелер»
Пшрлер
Р
а
а
ж
ж
Я
а
ж
а
ж
кабаттама
PAq
а
ж
ж
ж
Пшолео
Р
1
1
0
0
Хабарнамалык кесте
Пшрлер
Р
ие
ие
жок
жок
Я
ие
жок
ие
жок
кабаттама
Я
1
0
1
0
p *q
1
0
0
0
Сызбанама
кабаттама
Р ЛЯ
ие
жок
жок
жок
31 -сызба.
30-сызба.
Кдбатталу амалынын акикаттык кестеЫне зер сап карасаныз,
еюшш кестеден бул амалдын сандарды (1 мен 0 да) кебейту амалына
уксас нэтиже беретшдшн байкауга болады. Сондыктан, пшрлерд1
кабаттау амалын, кейде, «пшрлерд! кебейту» амалы деп те атайды жэне
оны р *q - «кебейтщщ» аркылы беягЩеп жазады. Мундагы р, q
пшрлерш «кебейпштер» деп атайды.
1-мысал. р = «2+2 — 4», q = «2+3 = 7». Сонда р л q = «2+2=4»
жене «2+3=7» = а л ж = ж. СебебУ «2+2=4» = а, «2+3=7» = ж.
2-ммсал. Мынадай 2< 3< 5 кос тенс1зд1кт! р, q eKi ижгррод
кабаттамасы (конъюнкциясы) деп KapayFa болады, ягни «2< 3< 5» = pAq
= = «2<3» л «3< 5» = а«а = а. Мундагы: р = «2<3» = а , q = «3<5» = а.
3-мысал. «Ромбынын диагоналдары езара перпендикуляр болады
жене онын тебесшдеп бурыштары как белщед!».
Мунда: р = «Ромбынын диагоналдары езара перпендикуляр»,
q = «Ромбынын диагоналдары онын бурыштарын как беледт. Бершген
сейлемд! логикалык белплемелер аркылы былайша жазып керсетуге
болады:
r = pAq.
Кабаттамдау
амалынын
каеиеттер1
(зандары)
р a q = q а р -орын ауыстыру (коммутативпк) заны.
1. рл (q а г) = (р л q) л г **тер^мдшк (ассовдативтгк) заны.
2. р а р = р -идемпотенттдк (булжымастык) заны.
3. р • р = ж немесе р • р = 0 кайшылык заны.
4. р • а = р немесе р • 1 = р
а • ж = ж немесе р • 0 = 0 -туракты пгюрлермен
кабаттамдау зандары.
139
Бул завдардыц кай-кайсысын болмасын кесте эд!а аркылы
дэлелдеп керсетуге болады. Мысал ретшде кайшылык заны мен орын
ауыстырымдык занынын делелдемелерше токталып етелш.
Кайшылык
>ят
т■
р
а
ж
—
Р
рд р
Ж
ж
ж
а
немесе
Р
Р
1
0
0
1
— =—
р*0—
р
.
0
Орын ауыстыру занынын делелдемеа
р
q
а
а
ж
ж
а
ж
а
ж
рдЯ
а
ж
ж
ж
ЯЛР
Р
1
1
0
а
ж
ж
ж
0
q
1
0
1
0
P*q
1
0
0
0
q*P
1
0
0
0
Кестедеп З-ini жене 4-mi багандарды салыстыра келш, рд q =q др
болатынын керем1з.
Ескертпе. Кабаттамдау амалы ущ*н «орын ауыстыру» жене
«теру» завдарынын орындалатындыгын делелдеу бул амалдын
«кебейту» деп аталуын аныктай, непздей туседг. Сонымен катар,
кабаттамдау амалын саны екщен артык пшрлер ушш де колдануга
болатынына кез жетюзшедь р1э р2,..., рп пшрлерден туратын
кабаттаманы ыкшам турде былай жазып керсетедп
п
А Р1с= Р | Л Р 2 Л . . . Л Р п = Р | . Р 2 . . . Р п .
1C - I
Мундагы рьрг,..., рп пшрлерд! кебейтюштер деп атайды.
III.
Дизъюнкциялау (ажыратпалау) амалы
EKi niKipai 6ip-6ipiHeH ажыратпалау амалы ауызша сейлеу тщне
«немесе» деген логикалык жалгаулык аркылы журпзшет1’н1н басында
айтканбыз. Байыргы сейлеу тшийазде «немесе» жалгаулыгы: 1) «айыра
ажыратпалау», 2) «6ipiKTipe ажыратпалау» деп аталатын ею магынада
жумсалады.
1-мысал. «Мен ертен 2 де ауылда не жайлауда боламын» деген
сейлемдеп уагдалы ойдын eKeyi б^рдей орындалуы мумкш емес. вйткеш
адам арасы алшак жаткан eKi орында 6ip уакытта болуы еш мумкш емес.
Мундай жагдайда «немесе» жалгаулыгы «айыра ажыратпалау»
магынасында жумсалады. Мундай ажыратпалау «не,..., не», «немесе...
немесе» деген улпде айтылады.
140
Айыра ажыратпалау амалын мынадай « V » белплеме аркылы
жазып кэрсетедь
2-мысал. «Мен жайлауда ертен кущцзп сагат 2 де немесе тунп
сагат 2 де боламын» деген сейлемдеп ею окиганын да болуы ыктимал.
Астында журдек K eniri бар адам жайлауга тэулж ш щ де кувдиз де тунде
де катынай алады. Сондыктан, мунда «немесе» жалгаульцы « б'ю'шпире
ажыратпалау» амалы ретшде жумсалып отыр.
Енд! айтылмыш ажыратпалау амалынын эр турше жеке-жеке
токталып етем1з.
ажыратпалау (катан емес
ажыратпалау) амалы
E ip iK T ip e
Аныктама. Бершген р жэне q
ею шюрдщ ШтктЬре
ажыратпасы (катан емес дизъюнкция) деп солардьщ ен болмаганда
6ipeyi акикат болганда жэне тек сонда гана акикат болатын р v q = г
жана тюрд1 айтады. Мундагы г nkipfli р, q йщрлердщ ажыратпасы
(дизъюнкциясы) дейдь р v q белгш} ауызша сезбен «р немесе q» деп
айтады.
Bipiicripe ажыратпалау амалын онын «акикаттык кестест,
«хабарнамалык KecTeci» жэне диаграммасы (сызбанамасы) аркылы
KepHeKi турде бейнелеп аныктауга болады (32,33 сызбалар).
Акикаттык кестелер
П4к4рлер
Ажыратпа
EfiKipflep
Р
а
а
ж
ж
pvq
av а =а
av ж=а
» v а=а
жvж=ж
Р
1
I
0
0
q
а
ж
а
ж
немесе
энамапык KecTeci
Пшрлер
Р
я
q
1
0
1
0
Ажыратпа
pvq
1 V 1 = 1
1v 0 = 1
Ov 1= 1
0 vO = 0
Сызбанама
Ажыратпа
pvq
ИЭ
ИЭ
ИЭ
ИЭ
жок
ИЭ
ИЭ
жок ИЭ
жок
жок
жок
32- сызбалар.
33-сызба.
1-мысал. «3 < 7» тeнciздiriн логикалык ажыратпалау амалынын
аныктамасы тургысынан талдап кэрелж. Математика Tiflinfle бершген
бул сейлемд1 eKi карапайым niKip деп карауга болады:
р = «3<7» = a, q = «3=7» = ж. Сонда «3<7» = «3<7» немесе
141
«3=7» = a v ж = а. Демек, р v q = «3 < 7».
2-мысал. Математика тшнде «5 < 5» сейлемi бершген. Мунда р
= «5<5» = ж, q = «5=5» = а. Демек, р v q = «5<5» = «5<5» немесе «5=5»
=экуа = а.
3-мысал. «7 < 3» сейлемiH талдайык. Мунда: р= «7< 3»=ж, q=
=«7=3»=ж. Демек, р v q= «7 < 3»= «7< 3» немесе «7=3»=ж v ж=ж.
Cefrrin, «а < в» улпсшдеп тена'здис кашанда eKi пшрдщ
дизьюнкциясы (ажыратпасы) боп саналатынын керем1з.
EipiKTipe ажыратпалау (катан емес
ажыратпалау) амалынын KacHeirepi
1.
2.
3.
4.
p v q s q v p -орын ауыстыру (коммутативтйс) заны.
р v(q v г) = (р v q) v г -тер1мдшк (ассоциативтпс) заны.
р v р = а немесе р v р =1 -уцпнцп жоктык заны.
pA(qvr)spAqvpAr
| -дистрибутнвтк (улест.) 1-зан
немесе
P(q v r)=pq v р г
5. р v q л г з (pv q) л (pv г)
-улесттрШдшАктщ (дистриб.) 2-заны
немесе
p v q * r = (p v q )(p v r )
6. р л (р v q) I р
I
немесе
жутылудын 1-заны.
р (q v q) = р
7. р v(pAq) s р
немесе
жутылудын 2-заны.
Р v pq и р
pAq= рv q
немесе
9. p v q = p a q
немесе
p v q = p* q
10. р v a s а
немесе
рv Iз ]
-де-Морганнын 1-заны.
де-Морганнын 2-заны.
-туракты шкфлермен ажыратпалау заны.
11. р V ж = р
немесе
рv 0= р
142
Айтылмыш зандардын вркайсысын кестелеу эд1амен дэлелдеуге
болады. Б1з, бул орайда, ynecTipiMflifliicriH 2-занын (5-калыптаманы)
дэлелдеуге токталамыз.
Мысалы. р v qr s (p vq)(p v г) тенбе-тещппшн тура (акикат)
болатынын кестелеу anici аркылы дэлелдеп керсет.
IHeiuyi. р, q, г -уш элементар айнымалыдан акикаттык KecTeciн
курамыз. Мунда курылатын кесте жолдарынын саны g=2 калыптама
бойынша аныкталады. Бул орайда п=3 болгандыктан, кесте жолдарынын
саны g=2 =8 болады. Ал кестедеп багандар саны айнымалылар саны мен
бершген калыптамадагы амалдар санына сэйкес аныкталады. Бул
жагдайда жалпы саны беске тен ( v , a , v , a , v ) логикалык амалдар жэне уш
элементар айнымалы (р, q, г) катысады. Демек, курылатын кестедеп
багандар саны в=3+5=8 болады. Сейтш, койылган ecenTi шешу ymiH,
эyeлi, 8 жолдан жэне 8 баганнан туратын кесте курамыз.
1
2
4
5
6
7
8
qr
pvq
а
а
pvr
а
а
(pvq)(pvr)
а
а
Р
1. а
2. а
q
3
г
а
а
а
ж
а
ж
pvqr
а
а
3.
а
ж
а
ж
а
а
а
а
4.
а
ж
ж
ж
а
а
а
а
5.
ж
а
а
а
а
а
а
а
6.
ж
а
ж
ж
ж
а
ж
ж
7.
ж
ж
а
ж
ж
ж
а
ж
8.
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
Акикаттык KecTeciH толтыру жэне катыстырып отырган
калыптама- нын акикаттыгын дэлелдеп керсету пайымдаулары былайша
журпзшедк
I-кадам. Алгашкы уш баганга р, q, г элементар айнымалылар
орналастырылады. Сонан сон осы элементар айнымалылар кабылдауы
мумкш эр тYpлi акикаттык мэндер жинамы жазылады. Мунда кателж
болмауы жэне р, q, г айнымалылар кабылдай алатын акикаттык
мэндердш барлык мумкш мэш тугелдей камтылуы ушш мынадай
кэделж ережеш басшылыкка алу абзал: алдымен, г айнымалынын
акикаттык мэндерш жогарыдан тэмен карайгы багытпен алма-кезек
ауыскан калпында (а, ж), (а,ж) т.с.с. тугелдей Ti3in жазып шыгу керек;
сонан кешн q айнымалынын акикаттык мэндерш eKi еселенген калыппен
(а,а),(ж,ж),(а,а),(ж,ж) т.с.с. алма-кезек ауыстырылып жазылады, ал р -
143
нын мендерш жацагы процесс бойынша (а,а,а,а), (ж,ж,ж,ж) туршде жазу
керек.
Н-кадам. q мен г дш мэндерш ескере отырып, 4-багандагы qr
кабаттаманын мэндер! жазылады.
Ш-кадам. р мен qr мэндер! бойынша 5-багандагы pvqr
ажыратпалаудьщ мандер1 жазылады.
IY-кадам. р v q жэне p v г ажыратпалардын мэндер1 жазылады.
Y -кадам. 6 жэне 7 багандардагы акикаттык мэндерш ескере
отырып (pvq)(pvr) кабаттама жазылган 8-баган толтырылады.
YI-кадам. 5 жэне 8 багандардагы акикаттык мэндердт салыстыра
келш, олардын акикаттык мэндер1щй Шрдей екендшйе кез жетк1зем1з.
Демек, pvqr & (pvq)(pvr). д.к.о.е.
Bipiicripe ажыратпалау (катан емес ажыратпалау немесе катан
емес дизъюнкциялау) амалынын калган касиеттерш (зандарын)
осылайша акикаттык мендер кестесш куру аркылы делелдеуге болады.
Ескертпе. Дизъюнкция (6ipiicripe ажыратпалау) амалын, кеп
ретте, пшрлерд1 косу амалы деп атайды жене pvq=r белгющш орнына
p+q=r белпш колданады. Уйткещ, ажыратпалау (дизъюнкциялау)
амалынын акикаттык кестесшен мынадай ернектер жазуга болатынын
керем1з: lvO=l, Ov 1=1 жэне 0v0=0. Будан ажыратпалау амалынын
нэтижеа кеп жагдайда О мен 1 ге колданылатын косу амалына пара-пар
болатын нетиже беретшш байкауга болады. Осыган карап, 6ipiicripe
ажыратпалау амалын пшрлерд1 косу деп атайды.
Сонымен катар, 6ipiicripe ажыратпалау амалы ушш орындалатын
зандардын 6ip шамасы сандарга колданылатын косу амалынын
зандарына уксас боп келетшш байкаймыз. Сондыктан, 6ipiicripe
ажыратпалау амалынын аныктамасы мен касиеттер1 pi, р2,..., рп шШрЛер
уш1н де тура болады. Бул пшрлер y m i H 6ipiicripe ажыратпалау амалы
ыкшам турде былайша жазылады:
п
V р к.
к=1
Муны былайша таратып жазуга болады:
п
V p K= p i v p 2 v . . . v p n = Р1 + Р2+-.+ РПк=1
Мундагы рь р2 ,—, Рп шйряерда косылгыштар деп атайды.
Айыра
а ж ы р а т п а л а у ( катан а ж ы р а т ­
п а ла у ) а м а л ы
Аныктама. Бершген p,q eKi пшрдш айыра ажыратпасы
<катан дизъюнкииясы) деп олардын 6ipeyi акикат болганда жене тек
сонда гана акикат болатын р vq=r жана йЩрда айтады. Мундагы г
144
niKip® p,q пшрлердщ айыра ажыратпасы дейдь p v q белпш ауызша
сезбен «не р, не q» деп айтады.
Айыра ажыратпалау амалын кестелеу аркылы эр Typni жолмен
аныктауга болады (34,35 сызбалар).
Акикаттык кестелер1
Пшрлер
P
a
a
ж
ж
Ажыратпа
Пшрлер
РУ Я
ж
а
а
ж
Я
a
ж
a
ж
Р
1
1
0
0
Я
1
0
1
0
Ажыратпа
РУЯ
0
1
1
0
Сызбанама
Хабарнамалык кесте
Ажыратпа
Пшрлер
p ^ q
P
а
ИЭ
ИЭ
ИЭ
жок
жок
жок
ИЭ
ИЭ
жок
жок
жок
ИЭ
жок
35-сызба.
34-сызбалар.
Мысалы. Темендеп сейлемдерд1 пшрлер алгебрасынын тшнде
жазып керсет: 1. «15 саны 3 ке жэне 5 ке белшедт. 2. «1 саны не курама
сан, немесе жай сан». 3. «Белщёктщ бел1мш б!рнеще есеге кем1ткенде,
не онын алымын б!рнеше есеге арттырганда, белшек сонша есе артады».
Hfeinvi. 1) р = «15 саны 3 ке белшедЬ> = а;
q= «15 саны 5 ке белшедт = а.
pAq = «15 саны 3 ке белшед1 жэне 15 саны 5 ке белшедЬ) = «ava» = а.
2)
р = «1 саны -курама сан» = ж; q = «1 саны -жай сан» = ж.
Р У q = «1 саны не курама сан, 1 саны не жай сан» = "ж v ж» = ж.
3) р = «Белшект'щ бел1мш р!рнеще есе кем^кенде, белшек сонша
есе артады» = а;
q = «Белшектш алымын 6ipHeuie есе арттырганда, белшек сонша
есе артады» = а. Демек, р v_q = а.
Айыра
а ж ы р а т п а л а у (катан емес
а ж ы р а т п а л а у ) к а с и ет т е р i
py.4s (pAq)v
р A ,f|
немесе
р y q s р q v pq
145
Айыра ажыратпалау (катан емес дизъюнкциялау) амалын
кабаттамдау, терютемдеу жэне 6ipiKTipe ажыратпалау амалы аркылы
эрнектеуге болады.
IY. Имиликаииялау (сабактасым) амалы
Аныктама. Бершген р жэне q
ею пйардщ импликаииясы
( сабактасымы) деп р niKip акикат, q niKip жалган болганда жэне тек
сонда гана жалган болатын р —>q = г жана пшрди айтады.
Мундагы г д1 р мен q eKi шюрдщ сабактасымы: р- ны
сабактасымнын непзк ал q -ды сабактасымнын салдары дейдк
Ауызша р -> q сабактасымды «Егер р болса, онда q болады» -деп
айтады.
Сабактасым амалынын айтылмыш аныктамасын акикаттык кесте
аркылы былайша эрнектеуге болады (36-сызбалар):
Акикаттык кестелер1
№к!рлер
Р q
а а
а ж
ж а
ж ж
Шюолео
Сабактасым
Р —* Ч
а
ж
а
а
Р
1
1
0
0
q
1
0
1
0
Сабактасым
p-^q
1
0
1
1
36 -сызбалар.
Сабактасым
амалынын
к ас иет i
p->q = pvq.
Сабактасым амалын терютеу жэне ажыратпалау
(дизъюнкциялау) аркылы эрнектеуге болады.
Осы касиетп кестелеу эдасшен дэлелдешк.
Дэлелдеу керек: p ^ q s p v q .
1
2
Р
а
а
ж
ж
q
а
ж
а
ж
3
4
p->q
Р
ж
ж
а
а
а
ж
а
а
5
p vq
а
ж
а
а
Осы кестедеп 3 жэне 5 багандарды салыстырсак, р -> q = pv q
болатынын KopeMi3.
Сабактасым
амалынын
хабарнамалык
KecTeci
мен
сызбанамасын курган кезде онын дэлелденген касиен басшылыкка
алынады.
146
Сызбанама
Хабарнамапык кесте
Йтариер
Сабактасым
Р-+Ч
(
ИЭ
ИЭ
V
жок
жок
ИЭ
ИЭ
Р q
ИЭ
ИЭ
жок
жок
р
/ ) q
Ж ° к 1 / ИЭ
^)
ИЭ
жок
38-сызба.
37-сызба.
журпзшген
Мысалы.
Кесшдшщ
ортасы
аркылы
перпендикулярдык бойындагы кез келген нукте кесшдшщ уштарынан
б1рдей кашыктыкта жатады. Осы сейлемд! йшрлер алгебрасынын
формуласы аркылы жазып корсет.
д
vК
А
с
2. Р2= «С Д ± А В ».
3. Рз= «Ке СД».
4. q = «КА = КВ».
Сейтш, pi л р2 л рз —> q.
В 39-сызба.
Y. Эквиваленциялау (тенгермелеу) амалы
Аныктама. Бер1лген р, q ек« пшрдщ эквиваленциясы
(тенгермеЫ) деп солардын eKeyi де акикат немесе жалган болганда
жэне сонда гана акикат болатын р
q = г жана nixeipfli айтады.
Ауызша сезбен р «-» q ернепн «р мен q тенгер!мд1 пшрлер» деп
айтады. Болмаса, «р сонда жэне тек сонда, кашан q» деп те айтылады.
р «-»q эрнег! былайша да айтылады: «q, егер жэне тек кана егер р
болса». Эдебиетгерде р, q eKi пшрд1н TeHrepiMiH (эквиваленциясын)
былайша да белг1леп жазады: р ~ q.
E K i иисгодщ р <~» q T eH rep iM iH акикаттык KecTeci аркылы былайша
аныктап керсетуге болады (40- сызбалар).
Акикаттык KecTeci
П1К1рлер Тенгерме
Пшрлер
Тенгерме
p<->q
q
р
р<-*я
Р
q
1 " Г'
а
а
а
I
ж
1
а
ж
0
0
I
а
ж
немесе
0
ж
0
ж
а
0
0
1
ж
40-сызбалар
147
Те ц г е р м е
амалынын
к а с и е т т е pi
1. р <->q = (р —> q)A(q —» р). Тенгермелеу амалын сабактасым
жэне кабаттамдау амалдары аркылы ернектеуге болады.
2. р
q э ( р v q)A ( q v р). Тенгермелеу амалын
терютемдеу, ажыратпалау жэне кабаттамдау амалдары
аркылы эрнектеуге болады .____________________________
Тенгермелеу амалынын касиеттерш кестелеу амалын колданып
дэлелдеуге болады. Оган ез тетешзден кез жеткЫшздер.
Мысалы. Эквиваленциялау амалынын мына р <->q =(р -> q)A(q
-> р) касиетш геометриянын мынадай теоремасы аркылы кернеюлеп
тусщщруге болады.
Теорема. Тертбурыш параллелограмм болу ушш онын
диагоналдары киылысу нуктеЫ аркылы как белшу1 кажетп жэне
жеткшкп (р
q).
Бул теореманын дэлeлдeyi мынадай eKi теореманын акикаттыгын
6ipiH e H сон 6 ip iH дэлелдеуге пара-пар сэйлемдер боп табылады:
I Егер тортбурыш
параллелограмм болса,
онда онын
диагоналдары киылысу нуктеанде как белшед1 (р -» q);
2.
Егер тертбурыштын диагоналдары киылысу нуктесшде
белшсе, онда ол тертбурыш параллелограмм болады (q —> р).
2.2. Шкшлер алгебрасынын эл1пбш
мен калыптамалары
Алгебраны формальданган т1лд!к курылым деп карауга болатыны
белпщ ахуал. Сондыктан, п1к1рлер алгебрасынын белгш 6ip ёзнйбЙ
(алфавит!) жэне сол ашпби нег!з1нде жасалган формулалары
(калыптамалары) болуы тшс.
EliKipnep элшбш деп белг!лемелерд1н мынадай жиналымы
аталады:
Этк,Р={а, ж, р, q,r, х, у, г,-, л, v, v, <-»•,
=,( )}.
Мундагы: а, ж -туракты п1к1рлер; p,q,r -элементар пшрлер;
-, л, v, у,
<-> - логикалык амалдар; г - тенмагыналылык
катынасы ж эне() - жакшалар.________________________________
Ещи аМрлер алгебрасынын калыптамасы (формуласы) туралы
угымнын аныктамасына токталамыз.
Аныктама. Пшрлер логикасынын алгебралык формуласы
(калыптамасы) деп мыналар аталады:
1) а, ж -туракты пшрлерд1 формулалар (калыптама) деп атайды.
2)
р, q, г -элементар айнымалы пшрлерд1 формула дейш.
148
3) Erep F| мен F-> формулалар болса, онда соларга логикалык
амалдарды колдану аркылы жасалатын эрнектердщ 6epi калыптама
(формула) боп саналады, ягни Fj , F| v F2, F| a F2, F| v F2 ,F| - > F ;,
Ft <->Fn ернектер1н формулалар деп атайды.
4) Осы 1-3 пункттерде айтылгандардан енге формула болмайды.
Ескертпелер. 1. Алдагы уакытта «пшрлер логикасынын
алгебралык формуласы» деген шубалан TipKecTiH орнына «формула»
немесе «калыптама» деген 6ip сезд! гана колданамыз.
2.
Формулаларды пайдаланган кезде жакшаларды TmMfli жумса
ушш мынадай жагдаяттарды еске туткан жен: a) TepicTey 6enriciHiH
астында турган формула жакшага алынбайды.
Мысалы. F| л F2 деп жазады.
б) Формулада кабаттамдау жэне ажыратпалау амалдары катар
келсе, кабаттамдау амалын ажыратпалаудан куцтрек амал деп
санайды. Сондыктан, кабаттамдау амалын жакшага алмайды.
Мысалы. F| v (Fi л F3) орнына F| v F2« F3 деп жазады.
в) жакшага алу ережеа бойынша калыптамада канша жакша
ашылса, сонша жакша жабылуы шарт.
Мысалы.
(Fi — >• (F2 v F3) <-> ( Fi д F2) - калыптама дурыс
курылмаган. уйткеш мунда уш жакша ашылып, ^ю жакша жабылган.
Дурысы былай болуы керек: (Fi -»_(F2 v F3)
( Fi д F3)) немесе былай
жазылуы тшс: (Fi -> (F2 v F3)
F| д F3) .
Тенмагыналы формулалар жэне
тенмагыналы турлеширулер
Pi, р2,..., рп логикалык элементар айнымалылар бершсш, ягни
рк е{а, ж} , к=1, 2,..., п. Осы айнымалылардан жасалган Fj(pi, р2,..., р п )
жэне F2(pi, р2,..., р п ) ею формуланы алып карастырамыз.
Аныктама. Егерде Fi(pj, р2,..., рп) жэне F2(pi, р2... рп) ею
калыптама олардагы pi, р2,..., рп элементар айнымалылардын кез келген
мэндершде б1рдей мэндер кабылдайтын болса, онда F| мен F2 -лерд!
тенмагыналы формулалар деп атайды.
Тенмагыналы калыптамаларды былайша белгшейдк Fi s F2
немесе Fi(pi, р2,..., рп) = F2(p>, р2,..., рп). Муны былайша окиды: «F| мен
Fi формулалары тенмагыналы», «=» -бела тенмагыналылык катынасы
деп аталады.
Ескертпе. Мына ею opHeicri Ft
F2 жэне Fi = F2 6 ip - 6ipiH eH
айыра 6 in y абзал. B ip iH m i калыптамадагы «<->» белг1 «тенгермелеу
амалын»
кэрсетед1.
Ал
екшш!
калыптамадагы
«=»
белп
«тенмагыналылык
катынасын»
белплейш.
Эквиваленциялау
(тенгермелеу) амалы кейб1р окулыктарда Fi ~ F2 немесе F| «->F2 ернектер
аркылы да белпленш жазылады. Ал, тенмагыналылык катынасын
149
былайша F,=F2 белгшейгш окулыктар да бар (В.И.Игошин.
Математическая логика и теория алгоритмов. Саратов-1991.,31-бет).
Тенмагыналылыктын касиеттер!
Логикалык формулалар арасындагы тенмагыналылык катынасы
жайындагы аныктамага суйене отырып, бул катынастын мынадай жалпы
касиеттерш атап керсетуге болады:
1 . 9p6ip F формула езше -63i тенмагыналы болады, ягни F s F
рефлексивтж (езшшщщк) касиеп.
2. Егер Fi з F2 болса, онда F2 з F болады. Симметриялылык
(кайырылмалык) касиеп.
3. Егер Fi з F2 жэне F2 з Рз, онда Fi з F3. Транзитивтк
(кецлр1мдшк) касиеп.
Карастырып отырган Fi, F2 eKi калыптаманын тенмагыналылыгы
солардын
акикаттык
KecTeciH
куру
аркылы
дэлелденедь
Тенмагыналылык катынасын кестелеу аркылы дэлелдеу мынадай улпережемен орындалады:
Y л ri е р е же
1-кадам. Эр калыптаманын акикаттык мэндер кестеа курылады
(K e cTeH i эр калыптамага жеке-жеке куруга немесе 6 ip кесте етш те
куруга болады).
2 -кадам. Курылган кесте бойынша калыптамалардын акикаттык
мэндер1 салыстырылады. Осы салыстырылган мэндер б1рдей болса, онда
калыптамалар тенмагыналы деген корытынды жасалады.
Мысалы. р <->q s р • q v p q болатынын дэлелдещз^
Дэлелдеу. 1-кадам. Fi= р <->q жэне F2= р • q vpq
калыптамалардын акикаттык кестесш курамыз.__________ _______________
6
1
2
3
4
5
7
8
F2= р q v pq
F,=p<-»q
q
pq
р
Р* q
Р
q
а
а
а
а
а
ж
ж
ж
ж
а
ж
ж
ж
а
ж
ж
а
ж
ж
ж
ж
а
ж
ж
ж
ж
а
а
а
ж
а
а
2-кадам. KecTeHiн 7 жэне 8 багандарындагы Fj мен F2
калыптамалардын акикаттык мэндерш салыстыру аркылы олардын
б!рдей екен1не K63iMi3 жетед1.
Демек, F2 з Fi, я гн и р q = р * qvpq.
150
2.3. Ф орм улаларды
тен м агы н алы турлеш пру
Бершген F| формуланы (калыптаманы) тенмагыналылык
касиеттерше суйене отырып, онымен тенмагыналы болатын F?
формуламен ауыстыру касиеттерш F: формуланы тенмагыналы
турленд1ру деп атайды.
Турлещцршетш F| калыптаманын кез келген бел1мшесш де
формула деп карауга болатыны, 6i3iue, тусшжп ахуал. Сондыктан,
бершген калыптаманын кез келген бетмшесш, кажеттшк талабына сай
оган тенмагыналы калыптамамен ауыстырып турленд1руге болады.
Калыптамаларды тенмагыналы турлешпру - бершген калыптаманы
карапайым турге келпру ушш, сондай-ак eKi калыптаманын
тенмагыналы екешн дэлелдеп корсету y m iH жумсалады.
Осы айтылган юпеттес есеитерд1 шешуд1 тез жэне тшмд1 icKe
асыру
ушш
акикаттыгы
бурын
дэлелденген,
тенмагыналы
калыптамалардын белгш 6 ip туракты Ti3iM iH есте туту шарт. Оларды 6i3
шартты турде «непзп тенмагыналылык калыптамалары» немесе «есте
тутылатын есептемелер» деп атадык (1-кэделш кесте).
1 -кедел~1к кесте
Н епзп тенмагыналы к алыптамалар немесе есептемелер
—
I. Терютемеге катысты есептемелер
I р = р - кос TepicTey заны.
а = ж;
ж = а - туракты гйюрлерд! TepicTey.
II. Конъюнкиияга катысты есептемелер
3.
р Aq = q л р - орынауыстыру заны.
р A(q л г) = (р л q ) л г - тертмдшк немесе ассоц. заны.
р л р = р - идемпотенттш (булжымастык) заны.
р а р = ж немесе р • р = 0 - кайшылык заны.
р • а = р немесе р *1 = р - а турактымен кабаттастыру заны.
р • ж з= ж немесе р • 0 = 0 - ж турактымен кабаттастыру заны.
4.
5.
6.
7.
8.
III. Дизъюнкиияга (ажыратпалаvaci) катысты есептемелер
Ескертпе. Мунда 6ipiKTipe (катан емес) дизъюнкциялау
амалына катысты калыптамалар алынган.
9.
p v q = q v p - орынауыстыру (коммутативт1к) заны.
10.
р v ( q v г) = (р v q ) v г -тepiмдiлiк (ассоциативтш) заны.
р v р s р - идемпотенттж (булжымастык) заны.
р v р н а немесе p v р = 1 - уш1нш! жок заны.
р д (q v г) = pq v рг -дистрибутивак (улест.) I-заны.
р v qr s (р v q) A(pv г) - дйстрибутивтж (улест.) 2-заны.
р л(р v q ) s p - жутылудын 1-заны.
р v р a q = р - жутылудын 2-заны.
pq = р v q - де-Морганнын 1-заны.
р v q = р л q - де-Морганнын 2-заны.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
151
19. p v a s а немесе р v 1 = 1 -а турактымен ажыратпалау заны.
20. р v ж s р немесе р v 0 Щр -ж турактымен ажыратпалау заны.
IY. Катан дизъюнкинялауга (айыра ажыратпалауга)
кртысты есептемелер
21. р у q = р q v pq -катан дизъюнкиияны косу мен кебейту
аркылы ернектеу заны.
22. p y q s p <-»q-айыра ажыратпалаудытенгермелеу аркылы
ернектеу заны.
Y. Импликаиняга (сабактасымга) катысты есептемелер
23. р
q з p v q - импликацияны косу амалы аркылы ернектеу
заны.
24. а —> а = а, а —» ж = ж
-а, ж туракты пшрлерд1 имплиж
а = а, ж -> а з а
кациялау (сабактастыру) заны.
YI. Эквиваленцияга (тенгермеге) катысты есептемелер
25. р
q = (р
q) л (q ~> р) * эквиваленцияны импликация
аркылы ернектеу заны.
26. р <->q = ( р v q)( q v р) -эквиваленцияны косу мен кебейту
аркылы ернектеу заны.
1-мысал.
Тенмагыналы
турлещпру
э,щс1мен
тэмендеп
катынастын тура болатынын дэлелдешз:
р -> qjs q -> р .
IUeiuvi. Fi(p, q) = р —> q жэне F2= q —> р деп белплеп аламыз.
Сонан сон бершген катынастын сол жагында турган Fi(p, q) формулага
тенмагыналы турленд1ру eceптeмeлepiнiн 1-кестесшдеп формулаларды
пайдалану аркылы тенмагыналы турлещцрулер жасаймыз. Сонын
нэтижесшде Fi = F2 болатынын керем1з.
Ескерту. Турлещиру барысын непздейтш эралуан тусшд1рулер
улпп TiK сызыктар шшде кврсетшп отырады.
кос бекерлеу зацын
1-кесте, Y
Fi(p, q)=p ->q з колданамыз, 1-кесте = p-»q = 23-есептемеш
1, 1-есептеме
де-Морганнын 2-заны,
1-кесте, 18-есептеме
пайдаланамыз
■ рл q * р s р кос бекерлеу
зацы
де-Морганнын 1-заны
* рл q з 1-кесте, 111,17 -есептеме
s qvp =
Ажыратпалаудын орынр vq = ауыстыру заны, 1-кесте
III, 9-есептеме
р v q = р -> q,
I-кесте, Y, 23-есептеме н q-> р = Рг(р, q).
152
2-мысал. р —»(q -> г) s р • q -> г тенмагыналы катынастын тура
екенш тенмагыналы турленд1ру жэне кестелеу эдгстер1 аркылы
дэлелдещз.
U le H iv i. 1 ) Тенмагыналы турленд1ру аркылы дэлелдеу
F,(p, q, r)=p -> (q-*r) s
1-кесте, Y, 23-есептеме бойынша
p-»(q-*r) = p v( q v r)
де-Морганнын 1-заны, ягни 1-кесте, III,
17-есептеме бойынша p v q s p*q
1-кесте, Y, 23-есептеме
бойынша р v q = р —> q
pv( qv r):
= p«q v г =
s p . q - ^ r р F>(р,q, г).
2) Кестелеу аркылы дэлелдеу
1
р
а
а
а
а
ж
ж
ж
2
q
а
а
ж
ж
а
ж
ж
3
г
а
ж
а
ж
ж
а
ж
4
q-»r
а
ж
а
а
ж
а
а
5
F i=P—>(q—>г)
а
ж
а
а
а
а
а
6
p *q
а
а
ж
ж
ж
ж
ж
7
F2=p • q-»r
а
ж
а
а
а
а
а
Кестедеп 5-uii жэне 7-ini багандарды салыстыру аркылы Fi =Fi,
ягни р—>(q-> г) = pq—> г болатынын корем1з.
2.4.
Шюрлер алгебрасынын формулаларын
(калыптамаларын) топтамалау
Шйрлер алгебрасынын формулалары ездерщщ кабылдайтын
акикаттык мэндер1н!н сипаттарына карай ущ турш топка бэлшщ
крастырылады. Олар: 1) тенбе-тен акикат; 2) тенбе-тен жалган жэне
3) орындалатын формула.
Осында
жэне
будан
былай
логикалык
элементар
айнымалыларды, кебшесе, х, у, г немесе Х|, х2,..., Хп эр1шер1мен
белгшейд1.
Ал
бул
айнымалылардын
кабылдауы
мумкш
турактандырылган мэндершщ жиналымы р, q, г немесе рь рз,..., рп
opirrrepi аркылы белпленетш болады.
Айталык, 6i3re Х |, Х з ,..., Хп элементар айнымалылардан жасалган
F(xi, х з , ... , Хп) формуласы бершсш.
153
1-аныктама. Erep F(xi, x2,.., Хп) формула ондагы X|, x2,..., хп
логикалык айнымалыларга кез келген pi, р2,..., рп тиянакты жиналым
берген кезде унем1 «а» деген мэн кабылдайтын болса, онда F(x>, х2,..., Хп)
формула тенбе-тен акикат Формула деп аталады.Ал гылыми тшде
тенбе-тен акикат формуланы тавтология деген сэзбен де атап
керсетедь
Тенбе-тен акикат немесе тавтологиялык формуланы логиканын
заны деп атайды. 9p6ip логикалык занды ягни тенбе-тен акикат
формуланы немесе тавтологияны былайша жазып кэрсетедк 1= F(Xj, х2,
хп) .
2-аныктама. Егер F(X|, х2,..., хп) формула Х|, Хг,..., Хп логикалык
айнымалыларга кез келген pi, р2,..., рп тиянакты жиналым берген кезде
«ж» деген мэн кабылдайтын болса, онда бул формуланы тенбе-тен
жалган формула деп атайды.
Тенбе-тен жалган формуланы, кейде, эркашан жалган формула
немесе орындалмайтын формула деп те атайды.
3-аныктама. Егер F(X|, х2,..., хп) формула ондагы Х|, х2,...,хп
логикалык айнымалылардын белгш 6ip pi, р2,..., рп тиянакты мэндер
жиналымында «а» деген мэн кабылдайтын болса, ягни Keft6ip pi, р2,..., рп
жиналымы ymiH F(xi, х2,..., хп) = а болса, онда F(xi, х2,..., хп) калыптама
орындалатын формула деп аталады.
Бершген F(X|,..., Хп) формула айтылмыш 3 формуланын
кайсысына жататындыгын айырып корсету ece6iH шешйгу проблемасы
деп атайды.
Мысалы. Кестелеу aniciH колдану аркылы мына формулалардын
шешшу проблемаларын жеке-жеке iuein in керсетшз:
1. F|(x, у)= (х* у <-> х) v х* у.
2. F2(x , у, z)=xy—>z.
3. F3(x, у>= (х
у)(х • у v х • у).
4. F4(x , у, z)=(xy-> (х <-> z).
Bi3 мунда алдынгы eKi формуланын шeшiмiн керсетем13, ал сонгы
ею формуланы 03iHi3 шeшiнiз.
Шешуь 1-Формуланын memiMi.______________ ________ ___________
X
а
а
ж
ж
X
У
У х* у
а
ж
ж
ж
ж
ж
а
а
а
а
ж
ж
а
а
ж
Ж
Демек, l=Fi(x, у).
х* у
а
ж
а
а
х* у
ж
а
а
а
154
X
ху
а
ж
ж
ж
Fi(x,y)
а
а
а
а
Щ('х, у, z) —х у —> Z
Z
ху
F2(x, у, 2)
У
а
а
а
а
а
а
а
ж
а
ж
а
ж
а
ж
а
а
ж
а
ж
ж
ж
а
а
ж
а
ж
а
а
ж
ж
ж
ж
а
а
ж
ж
а
ж
ж
ж
Демек, F2(x, у, z) орындалатын формула.
X
§3.
К,алыптанган формалар жэне шешшш проблемалары
3.1.
Карапайым
косынды
мен карапайым
кебейт1нд»
Логикалык элементар айнымалылардан немесе
тер1стемелершен жасалган дизъюнкцияны
элементар
косынды (карапайым косынды) деп атайды. Элементар косынды (ЭК)
6ip немесе 6ipHeuie косылгыштардан^гуруы ыктимал.
Мысалы. ЭК=х; ЭК-х v у v z v t; 3 K =X|V x2 v Хз v...v xn2-аныктама.
Логикалык элементар айнымалылар немесе
олардын терютемелершен
жасалган конъюнкцияны элементар
квбейттЫ (карайпайым кебейпщп) деп атайды. Элементар кебейтшд!
(ЭК) 6ip немесе б1рнеше кебейткштерден туруы мумкш.
Мысалы. ЭК=у; ЭК=ху; ЭК=Х| •х2»...«хп.
Элементар косынды мен элементар кебейтйща ушш шешшу
проблемасын щ ещ удщ арнайы ережелерш корытып айтуга болады. Ол
ережелер мынадай теоремаларга суйеш п жасалады.
1-теорема. Элементар косынды (ЭК) тенбе-тен акикат болуы
ушш онын курамында элементар айнымалы рк, ал екщ циа сонын
Tepicrreyi рк болатын ен болмаганда 6ip пар косылгыштардын (рк, Рк)
болуы кзжегп жене жетк1л1кт1.
Дэлелдеу1. Кажет/шлю. Айталык ЭК=Р| v p2v p3v р4=а болсын.
(Bis айкындык ушш терт косылгыш алдык. Одан теореманын
жалпылыгына нуксан келмейд!). ЭК-нын курамына 6ipfle-6ip айнымалы
езщ1Н TepicTeyiMeH 6ipre енбейтш болсын деп аламыз. Осы уйгарымды
устана отырып, ЭК-дагы TepicTey белпа ycTiHe койылмаган рк
айнымалыларга «ж» деген, ал TepicTey 6enrici устше койылган рк -ларга
«а» деген мен 6epeMi3. Сонда жу avav ж s а. Будан жvжvжvж =а, ягни
ж = а болады. Сейтш, 6i3 кайшы уйгарымга келдгк, демек теореманын
кажеттшк шартынын тура екенгн KepeMi3. Баскаша айтканда, «а» деген
1- аныктама.
олардын
155
мэн кабылдайтын ЭК-нын курамында 6ipeyi айнымалы, ал еюнипа' сол
айнымалынын repicTeyi болатын ен болмаганда 6ip пар косылгыш, сез
жок, бар болады.
Жеткшкпйлш. Айталык ЭК-нын курамында 6ipeyi айнымалы,
ал exiHUiici сонын Tepicreyi болатын ен болмаганда 6ip пар косылгыш
бар болсын. Мысалы: 3K =piV p2v p3v p2v p3v p4 болсын. ЭК-а деп
двлелдеу керек.
Бершген ЭК-га тенмагыналы турлещирулер жасау аркылы оны
мынадай калыпка келтфуге болады:
3K=(p2v p2)v(piv p3v P3V p4)s|l-кесте, III, 12-есеп.бойын. p2v p2= a |s
= av (pjv p3v p3v p4) = |1 -кесте,III, 19-есептеме бойынша a v p щ a j = a.
2-теорема. Элементар кебейтшд! (ЭК) тенбе-тен жалган болуы
уш1н оныц курамында 6ipeyi рк элементар айнымалы, ал екншпс! онын
TepicTeyi рк болатын ен болмаганда 6ip пар квбейтюштердщ (рк. Рк)
болуы кажетп жэне жеткшкп.
Бул теорема 1-теоремадагы жолмен рк л р« = ж; р«ж=0 жэне
0л0=0 зандарына суйене отырып дэлелденед1.
3.2.
Калыптанган Форманын ею туpi
Пшрлер алгебрасынын кез келген формуласын тенмагыналы
турлещйрулер жэрдем!мен элементар косындылар мен элементар
квбейтшдшерден туратын формалык калыпка келпруге болады. Мундай
калыптык форманын eKi Typi бар: 1) дизъюнктивтж калыптанган форма
(ДКФ) жэне конъюнктивйк калыптанган форма (ККФ).
Айтылмыш формалар логика иэнвде былайша аныкталады:
Айталык Pi, р2,..., рп -элементар айнымалылардан туратын F(pi,
р2,..., рп) формула бершсш.
1-аныктама.
Бер1лген
F(pi,
р2,...,
рп)
формуланын
дизъюнктивпнк калыптанган Формасы (ДКФ) деп соган тенмагыналы
турлещйрулер жасау аркылы табылган жэне курамына формуладагы
элементар айнымалылардын барлыгы енетш элементар кобейт1ндшерд1Н
дизъюнкциясын айтады.
F формуланын ДКФ-рын ДКФ(Р) деп жазады жэне ол сол F ке
тенмагыналы болады, ягни F(pi,..., рп) = ДКФ(Р).
2-аныктама. Бершген F(pi,..., рп) формуланын конъюнктивпйк
калыптанган Формасы деп соган тенмагыналы турлещйрулер жасау
аркылы табылган жэне курамына F формуладагы элементар
айнымалылардын 6opi де енетш
элементар косындылардын
конъюнкциясын айтады.
F формуланын ККФ(Р) сол формуланын e3iHe тен болады, ягни
F (P b - , P n ) = ККФ(Р).
156
Бершген F формуланын ДКФ(Р) мен ККФ(Р) тутастай алганда FTiH калыпты формалары деп аталады. Мынадай теоремалык тужырым
айтуга болады:
Теорема. Кез келген F(pi,..., рп) формуланы оган саны акырлы
тенмагыналы турлещцрулер жасау аркылы кандай да 6ip ДКФ(Р)-га я
ККФ(Р)-га келт1руге болады.
Бул теоремалык сейлемд! дэлелдеудщ жолы мынадай жалпы
улп-ережеге непзделш журпзшедк
Улп-ереже. 1. Бершген F формулага p-»q s p v q жэне р <-»q s
s( p v q)( q v p) тенмагыналыларды колдану аркылы F-TiH курамындагы
импликация (—») жэне эквиваленция (<->) белплер1 бар башмшелерш
шыгарып тастайды.
2. F формулага р л q а р v q , р v q = р л q де-Морганнын
зандарвш жэне р = р кос TepicTey занын колдану аркылы Tepicrey
белпс1 тек элементар айнымалылардын устшде болатындай erin
тенмагыналы турленд1рулер жасалады.
3. F формулага улест1р1мд1л1к (дистрибутив™) зандарын колдану
аркылы F Teri элементар кэбейт1ндолерд!н дизъюнкциясына (не
керюшше, элементар кэбейт1нд1лердщ конъюнкциясына) келт1р1лед1.
1-мысал. F(p, q, r)=(p ~ q) (р -»• г) формуланын ДКФ(Р)-сын
табыныз.
Шешу|. F(p,q,r)=(p ~ q)(p -> г) = Тенмагын. Турлендiр.колданамыз:
Р ~ Я = ( PAq)( qvp)
p(q v r) = pq v рг улеспр.
p->rI pv r| s ( p v q)( q v p)( p v r )s занды eKi рет кайталап
колданамыз
= ( р q v p r v q qvqp)( pvr ) = p q p v pr p v q q pv
Осы ернеюп ДКФ(Р) деп алуга
vqp р v р qrv prrv q qr v qpr s болады.Алайда p p=0, p«0=0
жэне pp=p формулаларын пайдаланып, TypneHflipyfli ары карай
жалгастырамыз
= p r v O v O v р qrv p r v O s
p v 0 = p формуласы бойынша
s p r v p q r v pr = p v p = .p формуласын пайдаланамыз) г p r v p q r
Сейтш, ДКФ(Р)= p r v p q г болатынын KepeMi3.
157
Ескертпе. Бул мысалда F формуласынын ДКФ(Р)-сы 6 ip e y емес,
болатынын байкаймыз. ККФ(Р) туралы да осыны айтуга
болады.
2-мысал. F(x,y)=(x -> у)(у -» х) о (х <-»у) формуланы кандай да
6ip ККФ(Р)-га келйрж жазыныз.
6 ip H em e y
Шешу!.
F(x,y)=(x -> у)(у —> х) <->(х
у) s ( xv у)( yv х)<-»( xv у) ( yv х)=
= (( XV у)( у v x ) v ( xvy)( yvx))(( х vy)( y vx ) v( x v y)( у vx)) =
де-Морганнын хду = x v у жэне x = x кос
TepicTey занын колданамыз
=
( x-y V у- x v( X V y)( yv x))(x- yv y- X v( X V y)( у vx)) S
x- у v y- x дизъюнкцияга x vyr =(x vy)(xv г)^-ш^улест1р1мдшк
занын колданамыз. x- у v у■x_=(x- у v y)(x- y v x) -(y v x)(y v y)
( xvx)( x v y) = (yvx)( xv y)
= ((y V x)( X V y) v( X v y)( у V x))((y V x)( X V y) v( XV y)( yv x)) =
= | x v у v г = (xv y)(x v г) занын тагы да кайталап колданамыз [Ш
((у V х)( X V у) V ( x_vy))((y V х)( х v_y)( yv х))((у vx)(jc V y)v
v( X V y))-((y VxX X V y) v(_y V x)) = (( _ X V y) V (yv X ))( ( X V y) V
v ( XV y)). (( yv x)_v(yvTc))-(( yv x) v( X V y))(( x_v y) v(y V x)) p
з ((_xv y) V ( x v y))(( у v x) v(y v x)v( yv x)v( xv y)) =
= ( x v y v y v x ).( x v y v x v y)(( у V x) V (y V x))( у V XV XV у)( X V у V у v х)-( X V yv XV у)( у VX V X V у)( у vxvy vx)
( уV XV XV у)-( XV у V у V х)-( XV у V XV у). ( у V XV X V у) =
Осы табылган ернек ККФ(Р)-нын 6ipeyi боп табылады х v х=х Is
занына суйене отырып, муны ары карай турленд1руге болады I
а
s( jcv у v х)( _xv у v_y)(_yv х v
xv уv_x)( |х v у v у)( уv xv х)•( yv X vy)-( yv XV х)( XV yv х)( XV у V у)( У V X V х).
Бул табылган ернеюч де i3flen табылган ККФ(Р) деп жазуга болады.
Cenrin, бершген F формуланын eKi щйй ККФ(Р) аныкталады.
158
3.3.
Ш еш Ы м
проблемасы н
формалар
аркылы
к ал ы п тан ган
шешу
F(pb р;,..., рп) пшрлер алгебрасы формуланын тенбе-тен акикат,
тенбе-тен
жалган
я
орындалатын
формалардын
кайсысына
жататындыгын аныктау ece6iH шештм провлемасы деп аталатынын
б!лем!з. Ол проблеманы шешу ушш, буган дешн, тек гана кестелеу
эдюш колданып келдж. Ш еш ш м проблемасын кеп ретте F формуланы
ДКФ(Р) - Fa немесе ККФ(Р) -га келт1ру аркылы шешу тжмд1рек болады.
Калыпты формаларды пайдаланып шешшм проблемасын шешу
ережелер} мынадай теоремаларга непзделш айтылады.
1-теорема. Кез келген ДКФ(Г) тенбе-тен жалган болуы ушш
онын op6ip косылгышында 6ipeyi рк -элементар айнымалы, ал eKiHiiiici
сол айнымалынын TepicTeMeci рк болатын ен болмаганда 6ip пар рк, рк
кобейтиштердщ бар болуы кажетп жэне жеткшюч.
Дэлелдеуь Кажеттшп. Айталык ДКФ(Е)
болсын. ДКФ(Р)-нщ
ep6ip Myineci (косындысы) элементар кебейтшд! улпсшде боп келетшш
бшем1з.
Егер ДКФ(Р)-гы 6ip элементар косылгыш «акикат» болса, онда
ДКФ(Е) = а болады. Бул кажеттшк шартына кайшы келедь Сондыктан,
ДКФ(Р)-нын 9 p 6ip косылгышы «ж» деген мэн кабылдайтын болуы тшс.
Ал элементар кебейпщп «ж» болуы ушш онын курамында 6 ip eyi рк элементар айнымалы, ал eKiHiuici онын рк - TepicTeyi болатындай ен
болмаганда 6 ip пар рк- Рк - кебейткшггер болуы шарт. Осымен
теореманын кажеттшк шарты дэлелдендк
Жеткшктшгь Бул шартты дэлелдеудеп пайымдау былайша
журпзшедп айталык F формуланын ДКФ(Р)-шн 9 p 6 ip мушесшде 6 ip e y i
рк -айнымалы, ал eK iH iu ici онын^- рк T e p ic T e y i болатындай рк- рк 6 ip
пар кебейтшд1 бар болсын. рю рк=0 немесе рк- Рк=ж. Сонда ДКФ(Р) нын 9 p 6 i p мушес! «ж» деген мэн кабылдайды. Ендеше ДКФ(Р)=ж, ягни
F тенбе-тен жалган формула болады. Д.к.о.е.
2-теорема. Кез келген ККФ(Р) тенбе-тен акикат болуы ушш
онын эрб1р кебейтюппндеп элементар косындынын курамында 6ipeyi рк
- айнымалы, ал екшшгасол айнымалынын TepicTeyi рк болатын ен
болмаганда 6ip пар рк- рк косылгыштардын бар болуы немесе «а»
туракты косылгыштын бар болуы кажетп жэне жeткiлiктi.
Теореманы дэлелдеу алдынгы теоремага уксас жолмен
ЖYpгiзiлeдi. Осындагы дэлелденген l-mi жэне 2-m i теоремаларга суйене
отырып, пшрлер алгебрасынын бершген F формуласы ушш ш еш ш м
проблемасын аныктайтын улп-ереже корытып айтуга болады.
Ул п -ереже. 1. Бершген F формуланын ДКФ(Р) немесе ККФ(Е)
табылады.
2.
Егерде ДКФ(Е)-нын 9p6ip косылгышындагы элемента
кебейтшдшщ курамында 6ipeyi рк - элементар айнымалы, ал eKiHiuici
159
сол айнымалынын рк - тер!етемеа болатын ен кем1 6ip пар рк-рк
кэбейтюштер бар болса, онда бершген F тенбе-тен жалган формула
немесе эркашан жалган формула боп табылады.
3. Егерде ККФ(Р)-ньщ ap6ip кебейткйщндеп элементар
косындынын курамында 6ipeyi рк - айнымалы, ал eiriHiuici сол
айнымалынын рк - терютемеЫ болатын ен кем1 6ip пар рк-рк
косылгыштар бар болса, онда F формула тенбе-тен акикат формула
немесе эркашан акикат формула (тавтология) боп табылады.
4. Егерде ДКФ(Р) ymiH 2-пунктте айтылгандар, ал ККФ(Р) ушш 3пунктте айтылгандар орындалмаса, онда F формула орындалатын
формула боп табылады.
1-мысал. Калыпты формага келтгру аркылы мына формуланын
F(p, q) = (р —> q)- р л q тенбе-тен жалган ягни орындалмайтын формула
болатынын дэлелдещз.
Illeuryi. 1-кадам. F формуланын ДКФ(Р)-сын табамыз:
F(p,qHp -> q)pA q = ( pv q)p q s pp qv qp q. ДКФ(Р)=( pp) qv(q q)p.
2-кадам. ДКФ(Р)-нын ap6ip косылгышы жеке-жеке алып карасак,
олардын 6ipiHmiciHe р мен р, ал екшип косылгышта q мен q
кебейтюштер бар екенш керем13. Демек, ДКФ(Р) ^ж. Ендеше эркашан
F(p> q) = 0 болады.
2-мысал. Калыпты формага келпру аркылы
F(p, q, г)=(р-> q)(q -> г) —>(р -> г) формуланын тенбе-тен акикат
(тавтология)болатынын дэлелдешз.
LUeiiivi.
1-калам. F формуланын ККФ(Р)"СЫН табамыз: F(p,q,r)=(p -> q)•(q -> О -> (р -» г) s ( р vq)( q v г) Я р vr) 1 1 р vq)( qvr) v( pv
vr ) =p q v q r v ( p v r ) s ( q rv p)(q r_v q) v(_ p v jr) = (p v q)(p v r)
( qvq) ( q v r)vj p v r) s (p v q)(p v r)( q v r) v( p v r) f§ p v г v pv
v q) ( p v r v p v r)( p v r v q v r).
ККФ(Р)=( p vpvr vq) ( p v p v r v r)(r v r v p v q).
2-калам. ККФ(Р)-ньщ 1|кебейтищшде p v p = a; 2-mi кебейтюшшде
rv г - а болатынын корем1з. Демек, ККФ(Р) = а.
Ендеше F(p,q,r) = (р -> q)(q -*■г) -> (р -> г) = а.
3-мысал.
Калыпты
формага
келт1ру
эдкймен
мына
калыптаманын орындалатын формула болатынын дэлелдещз жэне
кестелеу 9flici аркылы айкынды турде керсетвдз:
F(x, у, z)= |х-4 у)(у -> г) Ы (х -> г).
3.4.
Кемел калыптанган формулалар
Пшрлер
алгебрасынын
F(xj,
X:,...,
Хп)
калыптанган
формулаларынын ©з1н eKi турге бэлщ карастырады. Олар: 1) кемел
дизъюнктивный калыптанган Форма (КДКФ) жэне 2) кемел
160
копыонкттт'/к каяыптанган форма (КККФ) деп атайды. Бул кемел
калыптанган
формулалардын
мазмунды
магыналары
мынадай
аныктамалар аркылы ашылып корсетшедк
1-аныктама. Бершген F(xb х;,..., Хп) логикалык формуланын
КДКФ-сы деп F формуланын торт шартты канагаттандыратын
днзъюнктнвтж калыпты формасын (ДКФ-сын) айтады:
1-шарт. ДКФ-да бiрдей ек! косынды болмауы керек.
2-шарт. ДКФ-нын eui6ip косылгышында бгрдей eKi кобейткш болмауы
тшс.
3-шарт^ ДКФ-нын ешбтр косылгышында хк элементар айнымалы жоне
онын Хк T ep icreyi eH 6eyi шарт.
4-шарт. КФ-нын opoip косылгышында Xj, x i,...,x n тугелдей енетш
болуы шарт. Мундагы х,к = хк немесе х.к= хк, к=1,2,..., п.
Ескертпс. Айтылган аныктаманын 3-шартына сэйкес тенбе-тен
жалган (орындалмайтын) F формуланын кемел дизъюнктивтж формасы
болмайтынын есте туту абзал.
Кемел днзъюнктнвтж калыпты формуланын бар болуы жэне
жалгыздыгы туралы мынадай теорема айтуга болады:
1-теорема. (КДКФ-нын бар болуы жэне жалгыздыгы туралы).
Егерде F(xb х?,..., хп| формула тенбе-тен жалган болмаса, онда бул
формуланын КДКФ-сы бар болады жэне ол форма 6ipey гана болады.
Дэлелдеу!. Айталык F(X|,..., хц) * ж. Сонда F формуланы
тенбе-тен турлендГрулер аркылы кандай да 6ip ДКФ-га келт1руге болады
жоне ДКФ(Р)*ж .
Осы табылган ДК,Ф(Р)-га мынадай тенмагыналы формулаларды
колданамыз: р л р= р, pvp з р, рл р = ж, р л ж =ж, pv жщ р. Сонын
нэтижеа'нде ДКФ(Р)-нын аныктамасындагы 1-3 шарттар орындалатын
жагдайга келнруге болады. Сонан сон ДКФ(Е) |щ ш кемел формула
аныктамасынын 4-шарты орындалмайтын кандай да 6ip Д к косылгышын
алып карастырамыз.
Айталык,, осы Дк косылгыштын курамында Хк айнымалы жок
болсын. Сонда Xkv хкз I болатынжэне Дк а1з Д к екенш ecKepin,
былайша жазамыз: Д к = Дк д (xK v хк)
а хк v Дк а х к .
Сойтт, ДКФ(Е)-га хк айнымалы енпзшед! Бул КДКФ(Р)-нын 4шарты да оркашан орындалатынын корсетедк Сонгы табылган ДКФ(Р)
ymiH 1-4 шарттарды тагы да тексерем1з. Сонын нэтижесжде F(X|,..., Хп)
= ж болса, онда F(xi,..., хц) формуланын КДКФ(Р) оркашан бар
болатынын жоне онын жалгыз гана екендгпне кез толык жетюзшдь
2-аныктама. Бершген F(X|,..., хц) логикалык формуланын
ККФ(Р) деп F формуланын мынадай терт шартты канагаттандыратын
конъюнктивтж калыпты формасын (ККФ) айтады:
1-шарт. ККФ-да б1,рдей ею; кобейткш] болмауы керек.
2-шарт. ККФ-нын ешб!р кобейтюипнде бiрдей ек« косылгыш болмауы
тис.
З-шарт. ККФ-нын eui6ip кобенткишнде хк элементар айнымалы жэне
онын Хк Tep ic Teyi eKeyi б1рдей eH6eyi шарт.
161
4-шарт. ККФ-нык np6ip кобейткчшшде х\, х'з,..., х'ц тугелдей
косылгыш ретшде енетш болуы шарт. Мундагы х'к=Хк немесе х'к= хк
(к=1,2,...,п).
Есксптпе. Антылган аныктаманын 3-шартына сэйкес тецбе-тен
акикат (тавтология) формуланын кемел конъюнктивт1к калыптанган
формасы болмайды.
Кемел конъюн-ктивтщ калыптанган форманын бар болуы жэне
жалгыздыгы туралы мынадай теорема айтылады:
2-теорема. (КККФ-нын бар болуы жоне жалгыздыгы туралы).
Егерде F(X|, хэ.... Хп) формула тенбе-тен акикат болмаса, онда бул
формуланын КККФ-сы кашанда бар болады жэне ол форма 6ipey гана
болады.
Дэлелдеу! I-теореманын дэлелдеу жолына уксас журпзшедй
1-мысал. F(.\,y)=x л у
у — ДКФ(Р)-га келт1рем1з =
x y v x v y s x v y v x y s
х v у v х-
у
=
х = х л (у v
у ),
у = У A^(X V X
Щ X (у V у ) V у (х V х ) V X V 5
pvp=p
xyvy
XV V х у vy-x v
у
XV X у =
бойынша
\ s ху
=
ху V X у V ух V X у.
Демек, КДКФ(Р)= х у v х у v у х v х у .
2-мысял. F(x,y)=(x —I у)х у формуланын КККФ(Р) -сын табыныз.
Шешу».
F(x,y)= (х —>у)х у = ( х v у)х у =
х те у косылгыш, ал у те х косылгыш жок. Сондыктан,
х ке у у=0 ди ал у ке х х=0 д\ косамыз
=( X V у)(х V у у)( У V X X — ХАХ з
= ( XV
х бойынша (X V у)( yvx)=xv у
у)(х V у)(х V у)( у V х ) .
1зделт отырган
§4.
КККф(Р)= ( x v y ) ( x v y ) ( x v у)( у v х).
Формальдапган логикалык; цорыту
есептемслер\
4.1. Логикалык салдар жэне оны
копыту епежелерй
Алдымен х, у eKi элементар пшрдщ х —> у импликаииялау
О’леспрмелеу) амалынын акикаттык мэндерше шолу жасап отел|'к. Бул
162
F(x,y)=x —> у формуланын акикаттык мэндер1 ондагы х пен у
айнымалылар кабылдайтын акикаттык мэндер жиынына байланысты
аныкталатынын импликациялау амалынын аныктамасынан б1лем13. Атап
айтканда:
F(x,y)=x —> у формуланын акикаттык мэндер1 былайша
аныкталады: F(a,a)=a—> а н а, Р(а,ж)=а —>ж = ж, Р(ж,а)=ж -> а = а,
Р(ж,ж)= ж —> ж s а.
Сейтш, импликациялык формула ондагы х,у айнымалылар (а,а),
(ж,а) жэне (ж,ж) жиналымдарды кабылдайтын кезде «а» деген мэнге ие
болатынын керем1з. Bi3 булардыц шпнен (а,а) жиналымды гана аккула
алып карастырамыз. Соган сэйкес мынадай жана уплми аныктама
айтуга болады:
Аныктама. Егерде х niKip акикат болганда у niKip эрдайым
акикат болса, онда у Ti х-тщ логикалык салдары деп атайды. «у niKip х
пш рдщ логикалык салдары» деген ойды белгшемелер тшнде былайша
жазып керсетедк х
у немесе х 1= у. Мундагы мынадай: « ■ » немесе
« 1= « белплемелер «корытылу» катынасынын белпа деп аталады. Мына
«х 1= у» орнек «х тен у niKip корытылады» немесе «у niKip х пшрден
корытылады» деп окылады.
х -> у формуласы х жэне у бершген eKi пшрден жана niKip
тудыратын импликациялык (шеспр1мд!к) амалды белплейтшш 6ifleMi3.
Ал х I— у (немесе х 1= у) логикалык салдар (немесе корыту) х пен у
пшрлершщ арасындагы катынасты белплеп керсетедь Сонымен катар х
пен у птарлердщ арасындагы логикалык салдар болу катынасы х —> у
импликациясы тенбе-тен акикат болган жагдайда жэне тек кана сонда
болуы мумюн. ейткеш у niKip х- тщ логикалык салдары болуы ушш
«х —а», ал «у = ж» деген жагдай орындалуы ешкашан мумюн емес. х
-* у формула тенбе-тен акикат формула (немесе тавтология) болу
жагдаяты былайша белпленш керсетшетшш бшем1з: 1=х —>у.
CeHTin, мынадай корытынды ой айтуга болады: Логикалык
салдар жайындагы кез келген акикат ой акикат импликация боп
саналады, ал 6 ipaK кез келген импликация амалынан логикалык салдар
кеп шыкпайды. х —* у = а ягни 1= х —> у болганда жэне тек сонда гана х
тен у niKipfli логикалык салдар ретшде корытуга болатындыгы туралы
айта аламыз.
Мысалы. 1) «3+4=9» -» «5 - 2=3». Мунда «а» деген мэн
кабылдайтын х -> у импликация амалы бершген. Алайда, будан х|-у
болатын логикалык салдар катынасы кеп шыкпайды.
2). «3+4=7» -> «5- 2=3». Мунда да «а» деген мэн кабылдайтын
х—> у импликация амалы бершген. Сонымен катар, будан х I- у болатын
логикалык салдар катынасы кеп шыгады деуш!зге болады.
1-аныктамада айтылган логикалык салдар туралы катынасты
былайша жалпылауга болады:
Теорема.
(Логикалык салдар болу белпсО. у айнымалы х
айнымалынын логикалык салдары болу уш ш х —> у формуланын тенбетен акикат формула (тавтология) болуы кажегп жэне жеткшвсп.
163
ЛэлелдеуЬ Кажеттшп. Айталык х 1—у, ягни х=а болганда у=а.
Сондыктан, х -> у s а. Импликациянын аныктамасы бойынша х=а, у=ж
болганда жэне тек сонда гана х —» у = ж бола алады. Теореманын шарты
бойынша х I-у болгандыктан х=а, у=ж болуы мумюн емес. Демек, х I—у
болганда (=х -> у деп корытынды жасауга болады. Осыдан теореманын
кажеттшк шарты дэлелдендк
Жеткшктшп. Айталык 1= х -> у болсын. Онда х -> у=а
болатыны анык. Ешп х=а болсын деп уйгарамыз. Сонда х -> у=а болу
ymiH у = а болуы тшс. Демек, х 1-а деп айтуга какымыз бар. Д.к.о.е.
Аныктама.
(Жалпылык
аныктама).
Егерде
пшрлер
алгебрасынын Fi, pv.-.j Fn формулалары тугелдей акикат болганда F
формула эркашан акикат болса, онда F Ti
Fi, F2,..., Fn
формулалардын логикалык салдары деп атайды. Егерде F формула F|,
F2,..., Fn формулалардын логикалык салдары болса, онда F Ti F|, F2,..., Fn
формулалардан корытылатын формула деп те атайды. Формуладагы
корытылу немесе логикалык салдар болу катынасын былайша жазып
керсетедк Fi, F2,..., Fn I—F немесе 1= Fi, F2,..., Fn -» F.
Теорема.
(Логикалык салдар белпсшщ жалпыламасы). F
формула Fi, F2,...,Fn -дын (п>2) логикалык салдары болу ушш (немесе Fi,
F2... Fn 1= F болуы ушш) F|A F2a ...a Fn—» F формуланын тенбе-тен
акикат (тавтология) болуы кажегп жэне жеткилктк
Дэлелдеу|. Математикалык индукция эдю1мен онай журпзшед1.
Айтылмыш теорема мынадай уш турл1 логикалык сейлемдердщ 6 ip 6ipiH eH тенмагыналы екёщдан айгактайды:
1). 9 F2,..., Fn 1=F )IF , a F2a ...a Fn-> F.
2). (F,, F2,.„, Fn 1= F) I I F , a F2 a . . . a Fn^ F.
n
3). F|, F2,..., Fn 1=F) = 1= a Fk ->F.
k =1
Логикалык салдар жайындагы алдынгы айтылгандарга суйене
отырып, F формула F|, F2,..., Fn формулалардын логикалык салдары
болатындыгын корытып шыгарудын мынадай есептемел1к ережесщ
айтуга болады:
п
Есептеме-ереже. 1-кадам. Ф=Р|
a
F2 a . . . a Fn-> F немесе Ф= Л Fk -> F
к=1
формуласы курастырылады.
2-кадам. Ф формуланын тенбе-тец акикат (тавтология) болатыны
дэлелденедь Баскаша айтканда, 1= Ф немесе 1= F| a F2a ... a Fn—> F, ягни
п
1= Л Fk -> F болатыны дэлелденедк
к=1
164
3-кадам. F|, F2.... Fn f= F деп жазылады. Й F2,..., Fn (1) ернепн
мынадай улплермен де жазып керсетеДк
F|
F i,F 2.....Fn
(2) немесе
Fn
(3)
F
F
(1), (2) жэне (3) ернектемелердеп Fj, F2,..., Fn - непздемелер.
Мысалы. x, x -> у t= у болатынын корытып шыгарыныз.
U leiuyi. 1-кадам. Мунда F |-x , F2=x—> у, F=y деп карауга болады.
Ф формуланы курамыз:
Ф= F| л F2—> F =хл(х—» у) —> у.
2-кадам. Ф формуланы дэлелдейм1з. Мунда бурыннан белгш
«кестелеу» жэне «калыпты форма» деп аталатын ею эдютщ 6ipeyi гана
колданылады.
Бул орайда, 6i3, айтылмыш eKi ашске де токталып 9TeMi3.
Кестелеу ап ici
X
х -> у
хл(хду)
Ф=хл(х—>у)->у
У
а
а
а
а
а
а
ж
ж
ж
а
а
ж
а
ж
а
ж
ж
а
ж
а
Калыпты формага келттру eaici
Ф
формуланы
тенмагыналы
турлещирулер
конъюнктивпк калыпты форма (ККФ) улпсш е келпрем!з:
аркылы
Ф=хл(х-> у)-» у = хл( х v у)-» у = х л( х v у) v у s х v х л y v
У®
S х л y v ( X V у) = ( X V у V х)( x v y v у) = ( x v x v y ) ( x v y v у) =
= ала=а.
3-кадам. 1= х л(х—» у)-» у болгандыктан, у формуланы х, х-> у
формулалардан логикалык салдар ретшде корытылады fleyiMi3re болады.
Демек, х,х—» у |- у
немесе
4.2. Нег1зг!
х, х-> у
У
корыту
ягни
ережелер1
х—> у
X
У
-
Математикалык логиканын басты максаты логиканын зандарын
формальдык жолмен непздеу ягни дэлелдеу eKeHiH бшем1з. Мундай
дэлелдеу амалы белгш 6ip корыту ережелершщ жуйесш колдану
аркылы icKe асырылады. Олар дэстурлж логикада ой корыту еоежелерi
деп аталады. Bi3 оларды «nezi3zi корыту ережелеро> (НКЕ) немесе
165
«нег 1зг 1 есептемелм ереэюелер» (НЕЕ) деген сезбен атап отырмыз (2
кэделш кесте).
________________________________________________2-кэделж кесте,
Непзп корыту ережелер1
I. Модус Поненс ереж еа (МПЕ) немесе корыту ережеа (КЕ)
х-> у, х I- у - (МПЕ немесе КЕ)
немесе
яки
X - > у ,х
1. х —> у
I
У
2. х
I
З .у
Мысалы.
]. Егер 1074 саны цифрларынын косындысы 3 ке белшее (х),
онда бул сан 3 ке бел шед1 (у).
2. 1074 саны цифрларынын косындысы 3 ке белшед! (х).
3. 1074 саны 3 ке башнед 1' (у).
2. М одус т олленс ереж еа (М Т Е ) немесе Терктемелеу ережеа (ТЕ)
j х -> у, у /—х j
х -» у , у
I
- (МТЕ немесе ТЕ).
немесе
яки
I 1. х —> у
2- У
3. х
М ы сал ы . 1. Егер бершген квпбурыш дурыс квпбурыш болса (х),
онда оган штей шенбер сызуга болады (у).
2. Бершген квпбурышка /штей шенбер сызуга болмайды ( у)
3. Бершген квпбурыш дурыс квпбурыш емес ( х).
3. Ж ай карам а-карсы лау ереж еа (ЖККЕ) немесе жай контрапо- j
зи и и я л а у ереж еа (Ж К Е )
х —>у
х -> у I- у -» х
I-(ЖККЕ)
- (ЖККЕ) немесе i
у —> X
М ы сал ы . Егер ушбурыштын кабыргаларь! ТёЦ ббЛса (к), онда
онын бурыштары тен болады (у).__________ ______
Егер ушбурыштын бурыштары тен болмаса ( у), онда
онын кабыргалары тен болмайды ( х).
К урдел/ карам а-карсы лау ережеа (КККЕ) немесе кенейплген/
контрап озиин ялау ереж еа (ККПЕ)
Ж
I ШМ: Z_
ху —> z /- х 2 -> у / -(КККЕ) немесе j х г -> у
- (ККПЕ)
Мысалы. Егер менщ акшам болса (х), ауырмасам (у), онда жазгы
каникул кезшде Тургастан каласына саяхатка барам (z).
Егер меншакшам болса (х) жэне Турюстан каласына саяхатка
бармасам ( z), онда денсаулытымнын жаксы емес .
5. Кеш1р1мд|-логикалык ереже (KJIE) немесе силлогизмдж ереже
(СЕ)
х —> z
-(КЛЕ)
У. У
немесе
У. У~
- (КЛЕ) немесе
Мысалы. 1. Егер ушбурыш тенбуш рт болса (х), онда онын ею
кабыргасы тен болады (у).
2. Егер ушбурыштын ею кабыргасы тен болса (у), онда
онын ею бурышы тен болады (z).
3. Егер ушбурыш тeнбYЙipлi болса (х), онда оньщ ею
бурышы тен болады (z).
6. Тенгерме енпзу ережеа (ТЕЕ) немесе эквиваленция енттзу
ережеа (ЭЕЕ)
- (ТЕЕ)
немесе
- (ТЕЕ) немесе
У. У
X у
Мысалы.
1. Егер ушбурыштын а жэне в кабыргалары тен болса (х), онда
онын осы кабыргаларга карсы жаткан бурыштары тен болады (у).
2. Егер ушбурыштын а жэне в кабыргаларына карсы жаткан бурыштары тен болса (у), онда оныц а жэне в кабыргалары тен болады (х).
3. Ушбурыштын а жэне в кабыргалары соларга карсы жаткан
бурыштары тен болганда (у) жэне тек сонда гана тен болады (х).
7. TeHrepiMfli
тыскарылау
ережеа
(ТТЕ)
эквиваленцияны тыскарылау ережеа (ЭТЕ)
х
х
у V- х -> у
у I- у -» X
- (ТТЕ) немесе
167
х
у
х —» у
жэне
х «-» у
у —> х
немесе
- (ТТЕ)
Мысалы.
(х > у) *-> (у < х)
немесе
(х > у) <-» (у < х )
х > у) -» (у < х)
(у < х) -» (х > у)
8. Кебейтпе енЬзу ережеа (КЕЕ) немесе конъюнкция енпзу
ережеа (КЕЕ)
- (КЕЕ)
Мысалы.
3 <х
х <5
- (КЕЕ)
(3 < х)(х < 5)
ху
ягни
3<х<5.
9. Кебейтпет тыскарылау ережеа (КТЕ) немесе конъюнкцияны
тыскарылау ережеа (КТЕ)
немесе
ху
жэне ху
-(КТЕ)
3<х<5
3<х<5
3< х
жене
х<5
10. Косындылама енпзу ережес1 (КЕЕ) немесе дизъюнкция енпзу
ереж1 Ч (ДЕЕ)
Мысалы.
- (КЕЕ)
Мысалы.
немесе
X
...— жэне
хvу
У
у
V
X
а=О
(а > 0) v (а =0)
а> О
( а > 0) v (а=0)
Косындыламаны тыскарылау ережес! (КТЕ)
дизъюнкцияиы тыскарылау ережес1. (ДТЕ)
XV
у,
X (-
у
(КТЕ) немесе
Мысалы.
а > 0 v а =0
а> О
(а > 0) v (а=0)
168
немесе
§ 5. Формальды - логикалык, есептемелер
5.1. Табиги жэне аксиоматикалык
к о р ы т у туралы тусшжтемелер
n iK ip
Пшрлер логикасында дэстурлж логикадагы «ойкорыту» немесе
«дэлелдеу» деген сездермен катар «пшрлер корыту», «формула
корьггу» немесе «корыту есептемеЫ» деген амалдык атауыштар жиi
колданылады. Бул амалдардын мазмундык магынасын аныктап корсету
алдында «табиги корыту» жэне «аксиоматикалык корыту» деген угыми
сездер туралы айтып етуге тура келедь
«Табиги корытуда - деп керсетед1 белгш агылшын логип epi
математип Р.Л.Гудстейн, - аксиомалар болмайды, онда тек корыту
ережелершщ Ti36eci гана жумсалады» (16, 42-бет).
Ka3ipri замандык формальданган логика пешнде тек корыту
ережелерше гана суйенш корыту есептемелерш 1ске асыратын «табиги
корыту» деп аталатын есептемелеу жолы колданылады. Мунда корыту
ережелер1мен коса «пшрлер аксиомасы» деп аталатын тенбе-тен акикат
(тавтологиялык) формулалардын белгш б!р турактандырылган Ti3iMi
тутынылады (3-кэдел 1к кесте).
3-кэдел;к кесте
Пшрлер есептемесшщ аксиомалары
1. Импликацияга байланысты аксиомалар
1':,А ШШШШМ
2. (А -> (В -» С))-> ((А 4- В)-> (А-> С)).
II. Импликация мен конъюнкцияга байланысты аксиомалар
1. А л В -> А.
2. А л В -^В.
3. (А -> В)-> ((А - » С ) - > (А-> В л С)).
III. Импликация мен дизъюнкцияга байланысты аксиомалар
1. A - > A v B .
2. В —> A v B .
(А -» С) -» ((В-> С) - » (A v В) -» С)).
IY. Импликация мен TepicTevre байланысты аксиомалар
1. (А —» В) -» ( В —> А).
2. А -> ~К. 3. А -» А.
Осы 3-кэдел1к кестедеп А, В, С, т.с.с. белгшемелершщ
эркайсысы L логикалы-математикалык тш эл1ппес1нде бершген Ft, F2,...,
Fn формулалар деп караймыз. Сондай-ак, 2-кедел1К кестедеп х, у, г
белг1лемел1к epinTepfli де L логикалы-математикалык тшдщ F|, F2,..., Fn
формулалары деп карауга какымыз бар. Бул айтылмыш ойлардын
акикаттыгы ауыстыру ережес! деп аталатын логикалык корыту
ережесш е непзделш керсет 1лед 1.
Ауыстыру ережеа. Айталык логикалы-математикалык тш
эл!ппес1нщ кандай да 6 ip А эрп 1нен туратын F(..., А,...) формуласы
бершсШ. Егерде F корытылатын формула болса, онда А ер тн Ф
169
формуламен ауыстырганда пайда болатын 5=5ФА (F) формула, ол да
корытылатын формула болады. Баскаша айтканда, егер 1= F болса, онда
1= S деп карауга хукымыз бар.
5.2. П тр л ер есептемесшдеп делелдеу ( корыту ) амалы
Делелдеу уш Typjii денгейде угылады. Онын ен теменп
децгейжде
си
долелдеу
барысындагы
пайммдауларды
укканыныз ушш шаттанасыз. Ал дэлелдеуд] орындауда ез
шаманыз келген кезде cia онын орташа денгешне жеткен
боласыз. Дэлелдеуд! бекерлей 6iay кабшетше онын ен уетшп
ягни жогары денге Mine жеткен кезде гана ие бола аласыз.
Карл Поппер
Логикалык делелдеу амалы ойкорытудын 6ip дербес жагдайы
екенш басында ескерткенб!з. Енд! формула корыту жайындагы алдынгы
айтылгандарга суйене отырып пшрлер есептемесшдеп делелдеу немесе
корышу угымынын жалпы формалдык аныктамасына токталайык.
Айталык L элшбш аркылы жасалган логикалы-математикалык
теория пшрлер алгебрасынын формулаларынан, корьггу ережелершен
туратын болсын.
Fi, F2j..., Fn пшрлер формуласынан F формула корытылады
немесе
F={F|, F2,..., Fn} формулалар жиынынан F формуланын
корытылатындыгы дэлелденеЫ деген тужырымдык сейлем L элшбш
тшнде былайша жазылып керсетмед}:
F,, F2,..., Fn 1 F (1) немесе F I- F (1 1 ).
Пшрлер есептемелер! ндеп F формуланын корытылатындыгы
туралы угым былайша аныкталады:
А н и к. ама.
Егерде L элшбшнш Ttairifleri логикадыматематикалы» теориянын Ф|, Фг,—. Фп (2) формулалары теменде
аталган ею шаргты канагаттандыратындай eTin табылса:
Ь Фк формуланын еркайсысы не Fi, F2,..., Fn алгы бершгендердщ
6 ipeyi болып келсе, не L теориясынын аксиомасы болса немесе алгы
бер1лгендерден L
корыту ережелерш колдану аркылы
шыгарылган формула болса.
2.
Фк формулалардын ен сонгысы F формулага тенесетш бо
онда F формуланы Fj, F2,..., Fn формулалардан корытылатын формула
деп атайды. F формуланы L елшбш тшнде логикалы-математикалык
формуласы деп те атайды.
Егер F={F|, F2,..., Fn} формуласы жиынынан F формуланын
корытылу ейплемеи (демонстрациясы) керсетщетш болса, онда F-Ti
корытылатын Формула дейд1. Мундагы F формулалар жиынын корыту
нег1здемелер1 немесе алгыламалары деп атайды.
Егер F формула F=0 кур жиыннан корытылатын болса, онда F Ti
аксиомадан корытылатын формула дейд1 жэне оны былайша 1= F
белгшеп жазады. Мундагы F формуланы долелденепин формула деп те
(I
170
атайды. Бул жагдайда Ф ь Ф:,..., Фи формулаларды F формуланын
дэлёлдеЫ дейдь
П т р л е р есептемесшдеп дэлелдеу (корыту) амалын мысалдар
аркылы туащйрелш.
Мысалы. F|=p -> q, Fv=r —» s, Fj= q s формулаларынан F= p r
формуласын табиги эд 1спен корытып шыгарыныз, ягни F|, F;,..., F3 1- F
болатынын аксиомалар жуйесше жупнбестен, тек корыту ережелерше
гана суйенш дэлелдеу керек.
Дэлелдеу1
Fk - айгактамалар
жэне тезис
Ф)= £ S
ф 2= q
Фз~ s
Ф 4=р_-> q
ф 5= р
Ф б = г ~> S
ф?= г
Фя= р- r=F
Туашктемелер
Непздеме болгандыктан
Ф| -ден КТЕ (конъюнкцияны тыскарылау
ережеа) бойынша
ФгДен КТЕ бойынша
Непздеме (алгылама) болгандыктан
Ф 2 мен Ф 4 -ден ТЕ (тер1стемелеу) ережеа
бойынша
Алгылама болгандыктан
Фз пен Ф7 -ден ТЕ бойынша
Ф5 пен Ф7 -ден КЕЕ (конъюнкцияны
енпзу ережеа) бойынша
Мундагы: 1. Ф|, Ф2,..., Ф 8 формулалар Ti36eci дэлелдеудщ
аныктамадагы 1-шарт талабын канагаттандыратындай eTin курылган.
2. Сонымен катар Ф*=Р= р- г болатынын керем1з.
Ендеш е р —» q , г —> s, q- si— р г .
2-мыса л. Ь А -> А болатынын дэлелдещз.
Дэлелдеу.
Фк айгактамалар
"|Тус ]ннсгемелер
жэне F тезис
Пйнрлер есептемесшдеп
Ф,=(А ->(В-> С ))-»
->((А-»В)—>(А—» С)) 1 .2 -аксиомасы
Фг=А—>(В—>А)-»(( А—»В)—> SAc ^ i ) алмастыру ережеа бойынша
1.1 аксиома бойынша
—>(А-»А))
Ф: мен Фз тен МП ережеп бойынша
Фз= А—»(В~» А)
R ден пш рлер есептемесгаде эркашан.
Ф4=(А ->В)->(А-»А)
корытылатын
формула алынады
Ф5=Я
S А(Фз) ауыстыру ережеа бойынша
Ф6= й —>(В—►R)
Фз пен Ф 6 дан МП ережеа бойынша
Ф?=В-> R
8 Ав(Ф?) бойынша
Ф8=А -> R
SRb^-i) бойынша
Фф=(А —►R)—>(А—>А)
Ф*, Ф9 дан МП ережеа бойынша
Фю=А-> A=F
Сейтш, Ф|, Ф:,..., Ф!0 корытылатын формулалар т1збепнен
Фю = 1= А -» А болатынын керем13.
S.3. Дедукция теоремасы жэне онын салдары
Теорема (Дедукиия теоремасы). Erep F b Fi,..., Fn I- F (1) болса,
онда Fi, F2, Fn-i I— (Fn—> F) (2).
Сезбен айтканда: Erep F формула Fb Fi,..., Fn формулаларынан
корытылатын болса, онда Fn-> F формуласы Fb Fi,..., Fn-i
формулалардан корытылатын болады.
Делелдеу. Керюшше уйгарамыз. Баскаша айтканда, Fn-»F
формуласы Fi, F2,..., Fn-i формулалардан корытылмасын деп алайык.
Сонда логикалык салдар жайындагы угымнын аныктамасына сэйкес
F|,.„, Fn-i алгы бершмдер акикат болганда Fn-»F =ж болатындай
элементар айнымалылардын белгш 6ip мэндер жинамы бар болатыны
анык.
Ал
Fn—>Р=ж болатын тенмагыналылык катынасынан
импликациянын аныктамасы бойынша Fn = a, F = ж болатындыгы кеп
шыгады. Бул жагдай теорема шартында бершген (1) катынаска кайшы
келедь Ендеше б^здщ уйгаруымыз кате, демек, (2) катынас тура болады.
Салдар. Егер F формула F|, F2,..., Fn формулалардан
корытылатын болса, онда F|-» (F2->(... (Fn—> F)...)) формула
корытылатын формула болады.
Баскаша айтканда: Егер F|,..., Fn I- F (1) болса, онда
I- F|—KF2—>(...(Fn—>F)...))
( 2).
Делелдеу. Математикалык индукция эдюш колданамыз.
Егер п=1 болса, онда салдар былайша жазылады: егер Fn-»F, онда
Осы пайымдауды п мэрте кайтапай отырып, ен сонында,
мынадай катынаска келем1з:
F, —>(Рг -^(...(Fn-> F)...))).
1-мысал. p - » q , q —> r I—p —> г болатынын дедукция теоремасына
суйенш дэлелдещз.
_____ Д а л е л д е у ь ________________________________________
Тусшррмелер
Фк айгактамалар
жэне дэлелдеу
Айгактама болгандыктан
Ф|=р—> q
Алгылама бойынша
Ф2= р
Ф|, Ф2, МП epejiceci бойынша
Фз-q
Алгылама болгандыктан
Ф4= q -> г
Фз, Ф4 тен МП бойынша
Ф5= г
Ф|, Ф2, Ф4-ден корыту аныктамасы бойынша
р-> q, q-> г, р—>г
Дедукция теоремасы бойынша
р-> q, q -> г I- р -> г
I
72
II
2-мысал. Дедукция теоремасынын салдарына суйенш, мынадай
формуланын орындалатындыгын дэлелдещз:
1= (р -> q) -> ((q-> г)—>(р -» г)).
Дэлелдеу. Алдынгы дэлелденген р —> q, q —> г I—р —> г щдарлш
тужырымга дедукция теоремасынын салдары eKi мэрте кайталап
колданылады. Сонда 1= (p-»q)-+((q-»r)-»(p-»r)).
3-мысал. Алмастыру epeжeciн колдану аркылы
1= (F,->F2) ((F;—>F3)—> (F,->F3)) тужырымынын орындалатынын
дэлелдешз.
Дэлелдеу. Алдынгы еюнип мысалда корытылган формула Ф|
болсын. Сонда Oi=(p—» q)-»((q—>г)—»(р—> г)). Осы формулага алмастыру
ережесш 6ipriHflen колданамыз:
Фг= SFIP (Ф|)=(Р,-> q)-> ((q-> r)-> (F,-> г)).
Фз~ 5 Р2ч(Ф9=(®;i—> F2)—>((F2—»r)—» (F| -» r)).
Ф^Б
г(Ф з)=(Р i
F2)—> ((F 2—> F3)—> (F 1— > F3)).
Сэйтш, (Fi—> F2)-> ((F2 -> F3) -> (F,-> F3)).
Бул корытылган формуладан мынадай корыту ережесш жазуга
болады:
F2, F2 -> F3
(СЕ - силлогизм ережеа)
5.4. Логикашылдар багдарламасы жэне
Гедель теоремалары.
Акыл мен хауас барлы гы н
Бш мейлур ж урек, с ез ед у р
Мутэкеллнмин «мантикин»
Бекер боска езедур.
Абай (3. 1 т.,214-6.)
Логика не теореманы не онын дапелдеуш, TinTi ешнэрсеж де
аш пайды . Б1э моселснщ дедуктивтж (корытушылык) ж агына кеб1рек
К0Н1Л белемп дс математикалык агымнын белсендшпнен кез жазып
каламыз. Логикалык калыптамалар сол белсендшктщ тек сырткы
сэндемес! гана боп табылады. Логиканы сулу эйелдш вз1 емес. онын
всем khImi деп бшу керек.
М. Клайн
Ойшыл танымгерлер гылым непздерш зерттеуии галымдар жэне
улагатты устаздар логика бш м ш е онын кэделш жумсалу сипаттарына
карай эралуан квзкараспен карайды. Нактылы мазмунынан мулде ада,
кэбшесе, дши жорамал жобадагы ойды уагыздайтын калыптамалык
ойкорыту эдюш гылым тарихшылары схоластикалык бйпм деп атайды.
Абай заманындагы казак медреселершде етшген осындай сипаттагы
логика пэж «Мутэкэллимин Мантикин» (Сезуар логика немесе
дшмэрлык логикасы) деп аталган. Кызыл евзден туратын кысыр
логиканын не акылга, не туйакке (хауаска) типзер пайдасы жок eKeHiH
173
Абай жаксы ацгарган. Сондыктан да, жалан калыптан туратын жадагай
ойкорыту efliciH - «Мутэкэллимин мантикин, бекер боска езедур» - деп
елпре сынайды.
Схоластикалык логика немесе мутэкэллимин мантикишй
логиканын еск1рген, сыры ашылып эбден сыналган yiirici деп коямыз.
Сонымен катар, логиканын гылыми сынга алынып журген логистика деп
аталатын тагы 6ip саласы бар. Логистиканы зерттеумен айналысатын
адамдарды логикашылдар деп атайды. Логикашылдар уагыздайтын
бш ми багытты логииизм» деген сезбен атап керсетедк
Г. Лейбниц «логика» сезш эубаста «ойкорыту есептемеа» деген
магынада колданды. Успм1здеп гасырдыц бас кезшде «логистика» деп
формальдык
логиканы
аксиоматикалы-математикалык
эдюпен
зерттейтш пэщй атай бастайды. K a3ipri кезде логистика сезиин
синонимы репнде «силлогистикалык логика» немесе «математикалык
логика» деген TipKecrep жщ колданылады.
Математиканы логиканын 6ip саласы деп карайтын гылымитанымдык багытты «логицизм концепциясы» деп атайды. Бул
концепциялык бш мнщ аукымында логика деп дедуктивтш пайымдаулар
теориясын угатын болады.
Логицизм багытындагы идеянын туп терюш 17-гасырда eM ip
сурген Г.Лейбницке барып саяды. Ол «математиканы логикага келт1ру»
туралы тунгыш niKip айтушы болган. Математиканы логикадан
туындайтын бш м деп карайтын 20-гасырдагы логикашылдардын 6 ip e y i
Бертран Рассел болган. Ол «Логика-математиканыц жас кез1, ал
математика-логиканын есейген шагы»- деп аныктайды (224-бет).
Логи шшлдар устанган жол логика мен математиканы
формальданд* оу багытына барып уштасады. Формалдандыру деп ойлау
кызметш дэл,м угымдар мен тужырымдар аркылы бейнелеуд} угады.
Бул тургыдан алганда ойлау нэтижелер!н табиги т1лдщ создер1 аркылы
бейнелеу формальдандырудын бастамасы боп табылады. Бул багытты
ары карай терендете op icT ery арнаулы белгшемелер енпзу аркылы
жасанды пйлдер жасауга барып уласады. Логикалык формальдандыру
niKip кошту мен дэлелдеу амалдарын аныктау жэне оларды орындауга
байланысты боп келедк
Логика
мен
математиканы
формальдандыру
туралы
багдарламаны успм1здеп гасырдын бас кезшде нем!стщ эйгш
математиг1 Давид Гильберт (1862-1943) усынган. Ол таза математиканы
логикага келпрш карау жайындагы логицизм багытына карсы болган.
Гильберт математиканы тутастай логикага келттруге болмайтынын
дэлелдеп керсетед 1. Онын багдарламасы бойынша классикалык
математиканы
формальданган
аксиоматикалык
жуйе
аркылы
ернектеуге, ал сонан сон бул жуйенщ кайшылыксыз екенш дэлелдеп
керсетуге болады. Формальданган жуйенш кайшылыксыздыгы деген ой
былайша аныкталады:
174
Аныктама. Кабылданган аксиомаларга суйену аркылы жэне
керсетшген корыту ережелерш дэлд 1 колдана отьуэып, бершген
формальдык жуйеден Ф жэне онын Tepiereyi болатын Ф формуланын
екеуш де 6ip уакытта корытыи шыгаруга болмайтын формальданган
жуйеж кайшылыксыз жуйе деп атайды.
Белплемелер тшнде формальданган кайшылыксыз жуйеш
былайша белплеп корсётедк ____ _
Ф л Ф.
Карастырып отырган формальдык жуйенщ кайшылыксыз екенш
дэлелдеу бул жуйеден тыскары турган (ягни одан кеюн келетш) баска
6ip математикалык теорияны колдануга тура келедь Формальданган
математикалык
теорияны
зерттейтш
иэщц
Д.
Гильберт
метаматематика немесе дэлелдеулер теориясы деп атайды.
Д.Гильберт ез1 бастап негшн капаган метаматематика
(дэлелдеулер теориясы) ш мшщ аукымында логикашылдар мен
формализм жолындагылардын гылыми багдарламасы ешкашан толык
icKe аспайтын кур киял екен дт дэлелденген.
Логиканы формализмшшдер багдарламасынын орындалмайтынын
алгаш дэлелдеп кэрсеткен адам Австриянын эйгш математип Курт
Гедель (1906-1978) болган.
К.Гедель айтылмыш проблеманы айкындау жэне дэлелдеу ушш
«тш», «эрш», «элифби» жэне «сэз» угымдарын белгшемелгк логика п э т
тургысынан карап талдайды. Сонда ол мынадай уйгарымдык ойга
келедк «Т1лде дэлелденбейтщ беют1мдхк акикат ой кашан да табылады».
Осы жалпы логикалык тезисп дэлелдеп корсету барысында К.Гедель
«толык емест1к теоремапары» деп аталатын eKi теорема айтып, оларды
дэлелдеп кэрсетед1, Бул орайда 613 К. Гeдeльдiн толык eмecтiлiк туралы
6 ip iH u ii жэне eKiHffli теоремаларын дэлелс1з келлр!п этем^з.
Гедельдщ 1-теоремасы (Толык емеспк туралы). Егер
арифметиканын z формальдык жуйес1 кайшылыксыз болса, онда бул
жуйеде формальды шешшмейт!н Ф сойлем бар болады ягни не Ф не Ф
формуласы z жуйенщ теоремалары бола алмайды.
Гедельд1н 1-теоремасынан мазмундык арифметиканы тутастай
формальдандыруга болмайтындыгы туралы салдар кеп шыгады. Бул
классикалык математиканы формальдауга болады деген ойды
куаттайтын Д. Гильберт багдарламасын жокка шыгарды.
К.Гедельд1н формальданган арифметикасынын толык eMecTiri
туралы 1-теоремасы онын 2-теоремасымен тжелей байланысты боп
гКеледЬ EKeyi де 1931 жылы дэлелденген.
Гедельдщ_____ 2-теоремасы.
(Кайшылыксыз_____ жуйенщ
дэлелденбейтшдш туралы). Егер формальданган арифметикалык жуйе
кайшылыксыз жуйе болса, онда осы жуйенщ куралымен z-тщ
кайшылыксыздыгын дэлелдеуге болмайды.
175
Гедельдщ e3i бул метатеорияларын «математика принциптершщ
формальды шешшмейтш тужырымдары жэне оларга уксас жуйелер
туралы» деп атаган.
Гедельдщ 1-uii (толык еместж туралы) теоремасынан мынадай
тужырымга
келуге
болады:
егер
арифметиканы
камтитын
формальданган жуйе кайшылыксыз болса, онда ол жуйе толык емес
болады, баскаша айтканда, z жуйенщ тш н д е ернектелген, oipaK та не
дэлелдеуге, не бекерлеуге болмайтын Ф-акикат тужырым z жуйедеи
табылады.
Ал Гедельдщ 2-mi кайшылыксыздык туралы теоремасынан
мынадай корытынды жасай аламыз: егер арифметика жэне оны
камтитын z формальдык жуйе кайшылыксыз болса, онда бул
кайшыльщсыздыкты осы жуйенщ тш н д е жасалган метаил денгейшде
дэлелдеуге болмайды.
К.Гедель теоремаларынын логикатану мен метаматематикатану
т ш y m iH манызы орасан зор болганына кумэн жок. Бул теоремалар
логикашылдар мен формализмшшдер багдарламасын icKe асыру ушш
бейкайрат енбек етуден сактайтын тоскауыл болды. Сонымен катар
максатсыз жэне мазмунсыз формальданган кур сулдер схоластикалык
логика - мутэкэллимин мантикин жолын устангандарга да Абай
свзшдеп icnerrec сыни соккы болады.
2-тарау.
БУЛЬ АЛГЕБРАСЫ ЖЭНЕ ЛОГИКАЛЫК,
ЕСЕПТЕР
«Логиканын математикалык талдамасы» туралы
трактатта, 6i3, аламнын ойлау кызметж жузеге асыратын
занларды зерттсп, соларды есептеудщ белплемелж тш
аркылы орнектеуге, ал сонын аркасында логика гылымы
мен онын эдкггерш жасауга тырысамыэ.
Дж.Буль
§1. Буль жэне оныц алгебрасы
1.1. БЫми мамандыгы жок 6iрегей математик
Агылшыннын логик математип Джордж Буль (1815-1864) гылым
тарихына ез1нгн танкаларлык тамаша талантымен танылган адам. Оны
коп ретте «Адам ойынын алгебрасын ашушы» деген ocnerri сездермен
эздектеп атайды. Мундай бага Дж.Бульдщ атына айтылган энщейш
9cipe соз емес. Аныгында да, Дж. Бульд1н «Логиканын математикалык
талдамасы» (1847 ж.) жэне «Ойлау зандарын зерттеу» (1854 ж.) дейпн
гылыми трактаттары Ka3ipri замандык математикалык логика амалдары
мен есептеу машиналары аркылы адам миынын ойлау кызметш
улплемелеуге (модельдеуге) жумсалатын гылыми бастама epi тугырлык
TipeK боп табылады. Bip кызыгы Джордж Буль жогары дэрежел1 немесе
)
\
176
орта денгейдеп ешкандай кэаби мамандык, арнаулы Siл1м алмаган
адам. Ол Ирландиянын Линкольн деген каласындагы 6ip карапайым
енбеккер ет 1кшшщ жануясында 1815 жылы дуниеге келген. Джордждын
мектептен алган 6uiiMi бастауыш класс келемшде гана. Bipa3 уакыт
сауда-саттык училищесшде окыганы бар. Аристотель мен Лейбниц
енбектерш Джордж Буль тек ез тетесшен окып уйренген. Онын ашкан
гылыми жаналыктарынын ш ш д еп ен айтулысы адамнын ойлау зандары
болып табылады. Заманалык зангар математик epi логик Бертран
Расселдын сез1мен айтар болсак: «Таза математика Бульдщ «Ойлау
зандары» деген енбелнде ашылган».
Дж.Бульдщ аскан дарыны, ашкан жаналыктары ез заманында-ак
зор багага ие болган. Арнайы алган не орта, не жогары бшм1 жоктыгына
карамастан, Дж. Бульге университет профессоры деген атак бершген. Ол
кептеген жылдар бойы Ирландиядагы тандаулы университеттершш
6ipeyiane математикадан дэр 1стер окыган.
Джордж Буль бакытты еке epi абыройлы азамат болган. K im де
болса кумарта окитын эйгiлi «Бегелек» романынын авторы Этель
Войнич Дж. Бульдщ кш д тн ен тараган бес кыздын ен кенжеЫ едь
Математик логиктщ Этелге тетелес улкен кызы Алиса экесшщ жолын
куып, математиканы ез тетесшен уйренген, ол математикага едэу1р
елеуш жаналыктар коскан. Дж.Бульдын Люси деген кызы химия
гылымындагы зерттеушшер арасынан шыккан ен алгашкы эйелпрофессор рет1нде тарихка енген. Аспан элем вдеп ай бетшен ашылган
казан шукырлардын 6ipeyi осы аскан логик, эй гш математик Дж.
Бульдщ курметше «Буль казаншукыры» деп атаган.
Алдынгы айтылгандардын 6epi арнаулы бйпми мамандыгы жок
Дж. Бульд1Н, шын мэншде, 6ipryap б1регей математик epi логик
болганын айгактайды деп ойлаймыз.
1.2.
Буль
алгебрасынын элементтер!
мен амалдары
Аныктама. Б уль алгебрасынын элеметптер! деп 0 мен 1
белгшемелерщ, сондай-ак осы eKeyiH жене тек сол екеущ гана ез1не мен
erin кабылдайтын х, у, г, т.с.с. айнымалыларды атайды.
О
мен 1 цифрлык белгшемелерщ Буль турактылары дейдь А
мен 1 -лерд! ез 1не мен ретлнде кабылдайтын х, у, z epin белг!лемелерд1
Буль айнымалылары немесе Бульдщ элементар айнымапылары деп те
атайды.
Буль айнымапыларын, кейде, Х|, x j,..., хп деп, 6ip гана х epniH
нем 1рлеу аркылы да белгш еп жазады. Олардын еркайсысы тек 0 мен 1
Буль турактыларын ез1не мен ретшде кабылдай апады. «Х| айнымалы О
деген Буль турактысын кабылдайды» деген ой былайша жазылып
керсет1лед1: Х |= 0 . Сондай-ак, «Х |=1» жазуы «Х| айнымалы 1 деген Буль
турактысын кабылдайды» деген ойдын белплемес1 боп табылады.
177
Элементтер! Буль турактылары боп келетш Б={0,1} - ею элеменгп
жиынды Буль ж и ы н ы деп атайды. Егер х - Буль айнымалысы болса, онда
хеБ немесе х е {0,1} деп жазуга болады. Сонымен катар, «хе{0,1}»
деген жазу «х-Буль жиынына тщета айнымалы» немесе «х айнымалы
Буль жиынына жатады» деген ойларды белплеп керсетедь
Буль турактылары 0 мен 1 д! тек сандык белплеме деп укпау
керек. Олар, аныгында, нэрселер мен кубылыстардын ею турл1 киырлык
(полярлык) кушн я сипатын бшд1ретш белплеме ретшде жумсалады.
Мысалы. 0 белпЫ аркылы нэрсенщ -«суык», ал 1 белпамен
«ыстык» деген кушн белплеп жазуга болады. Сонда нэрсенщ «суык,
ыстык» деген ею элементпк жиынмен сипатталатын ахуалдык куШн
(0,1) деген Буль косы аркылы ернектеп корсете аламыз. Баскаша
айтканда, нэрсе денесшщ кызулык сипаттамасын Буль алгебрасы
аркылы бейнелеуге болады дейм1з.
Буль алгебрасынын (0,1) косы аркылы нэpceлepдiн тагы талай
кырларын сипаттап бейнелеуге болады.
Мысалы. Нэрсенщ туслк сипаттамасын керсететш «(ак, кара)»косын «(0,1)» деп белплеп аламыз. Сондай-ак, шюрлак ойлар
сипаттаушысы «(жалган, акикат)» деген eKi элементпк жиынды (0,1)Буль косымен белплейм1з. Ыктималдыктар теориясынын алгашкы
угымдарынан туратын «(кершбейд1, керщдц)» деген ек! сезд! жиынга да
(0,1) косы балама бола алады. Математикалык тацбалар тузетш «(минус,
плюс)» деген сездерди сондай-ак, «(жок, бар)» - деген акпаратнамалык
(информативен) сездерд! де (0, 1) косымен бейнелеп керсетуге болады.
Оск айтылып еткен мысалдардан-ак Буль ашкан алгебранын
колдану аясы каншалыкты кен де еркенд1 екенш, б1зше, айкын анлауга
болады. Ога ■толыгырак кез жетюзу ушш, эуел1, Буль айнымалысына
колданылатын амал (операция) туралы угымды тиянакты турде аныктап
алу абзал жол деп бшем1з.
Айталык б1зге (х,у)еБ немесе (х,у)б{0,1} болатын х, у Буль
айнымалылары бершсш. Осы х пен у айнымалыларга колданылатын
Буль амалы туралы угым (х,у) Буль косын Б={0,1} жиынына бейнелеу
аркылы аныкталады.
Аныктама. Егер де х,у eKi айнымалыдан туратын (х,у) -Буль
косынын Б={0,1} жиынындагы бейнес! болатындай z айнымалы
табылып, керсеттетш болса, онда Б жиында Б уль амалы (операииясы)
аныкталган дейдь
Егер де Б= {0,1} жиында Буль амалы аныкталган болса, онда осы
Б жиыны Б уль алгебрасы деп аталады.
Буль алгебрасынын кепке танымал улплемеа (ягни модел1
немесе мысалы) катарына ез1м1з бурын карастырып еткен «Пшрлер
алгебрасын» жаткызуга болады. Мунда х - Буль айнымалысын пiкipлep
алгебрасынын турактыларымен былайша байланысатынын бшемаз:
178
О, егер х = жалган (ж) болса,
X=
I, егер х = акикат (а) болса .
Буль айнымалысына осылайша пшрлш мен 6epin карау аркылы
пшрлер алгебрасынын амалдарын Буль жиынында аныктауга болады.
Атап айтканда, пшрлер есептемесшщ амалдары тугелдей Буль
алгебрасынын амалдары боп табылады. Олар темендепше белпленедк
1) х - айнымалыны TepicTey (инверсиялау, «емес») амалы;
2) х л у -айнымалыларды кабаттамалау (конъюнкциялау, «ж ене») амалы;
3) х v у -айнымалыларды ажыратпалау (дизъюнкциялау, «немесе)
амалы;
4) х—>у -сабактастырмалау (импликациялау) амалы;
5) 5) х~у- тенгермелеу (эквиваленциялау) амалы.
Буль алгебрасынын амалдарын соларга енетш айнымалылар
саньща карай б1рнеше топтарга белш карастырады. Олар: б1рлемдш
(1-лемд1к, ун-арлык), еюлемдж (2-лемдж, би-нарлык), ушлемдж
(З-лемдж), т.с.с. эн-лемд!к (п-арлык) амалдар деп аталады. Ei3 солардын
еркайсысына жеке-жеке токталып етем1з.
Айтылмыш Буль амалдарын дерекЫз (абстрактылы) Буль
айнымалылары ушан аныктаймыз.
Айталык x,y,z - кандай накты нерседен жаратылганы беймелгм
дереказ Буль айнымалылары болсын. Баскаша айтканда, x,y,ze{0,l}
болатын айнымалыларды карастырамыз. Сонымен катар Б={0,1} -Буль
жиынында «=» белпамен жазылатын «тйдак» катынасы аныкталган
деп уйгарамыз.
Буль алгебрасынын алдынгы аталып еткен амалдарын былайша
кестелеп аныктауга болады:
1. Инверсиялау амалы
2. Eipitcripe дизъюнкциялау амалы
Айнымалылар Б1р1кт.дизъюнкц.
XV у
X
V
0
0
0
п
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
3. Ажырата дизъюнкиилау амалы
4. Конъюнкциялау амалы
(З-кес:ге)
(4-кесте)
Ажырат.дизъюнк.
Айнымалы
конъюнкц.
Айнымалы
XA V
XV у
х
X У
....у .
1
1
1
0 '
1 "1------I
и
...... 0
1
I
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
Айнымалы
X
0
Инверсиялау
X
1
179
5. И м п л и к ац и ял ау амалы
6. Эквиваленциялау амалы
Айньшалы Импликациялау
х
х -> у
У
1■ 1
1
1
0
0
0
1
I
0
0
1
Айн]лмалы Эквиваленциялау
X
х~у
У
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Бурын карастырган пдаряер алгебрасы мен пайымдык кластар
алгебрасындагы амалдардын баршасы осындагы кестелер аркылы
аныкталган Дж. Буль амалдарынын ягни операцияларынын мысалдык
кернектемелер1
(интерпретациясы)
боп табылады. Пшрлер
алгебрасынын, сондай-ак, пайымдар алгебрасынын операциялары ушш
белгш алгебралык зандар жуйеа орындалатынын бшем1з.
Буль алгебрасынын операциялары ушш сандар мен пшрлер
амалдарына тура болатын кептеген зандылыктар мен касиеттер
орындалады. Оларды Буль амалдарынын KacHerrepi (зандары) деп
атайды. Буль алгебрасынын амалдарына тен зандар Т1-31‘мш 4-кэдел1’к
кестеде келп"рем1з.
4-кэдел1-к кесте _____
Буль алгебрасынын амалдарына тэн касиеттер (зандар)
I. Инверсияга катысты касиеттер
1. X X - кос инверсия заны.
2.
7= 0
х
=
1
1 j - туракты пш рлер инверсиясы.
II. Конъюнкцияга катысты касиеттер
3 х а у = У а х - орын ауыстыру заны.
4 х л (у a z) s (х а у) a z -тер 1‘м дш к не ассоц. заны.
5. х а х = х - идемпотентп'к (булжымастык) заны.
0 х- х = 0 - кайшылык заны.
У х . 1 = х - 1 туракты пш рмен кабаттасу заны.
8 х . о s 0 - 0 турактымен кабаттасу заны.
III. Дизъюнкцияга (ажыратпалауга) катысты зацДЩ?
д х v y=yA
x
- орын ауыстыру заны.
10 x v ( y v z ) S ( x v y ) v z - тер1МД1Л1кзаны.
1 х v х = х - идемпотентп’к (булжымастык) заны.
12 х v х - I - yuiiHiin жоктык заны.
3 Х-(У v z) = Х‘У v xz ‘ дистрибутивт!к (улест.) 1-зан.
y Z = (x v у)(х v z) - дистрибутивтш (улест.) 2-зан.
15. х л(х v o ) = x - жутылудын 1-заны.
16. х v х л у s х - жутылудын 2-заны.
17. х у = x v у - де-Морганнын 1-заны.
18 . х v у = х л у - де-Морганнын 2-заны.
19. х v 1 s i - 1 туракты пш рмен ажыратпалау заны.
20. х v 0 s ж - 0 турактымен ажыратпалау заны.
1Y. Катан дизъюнкииялауга катысты зандар
21. х у у = х у v ху I катан дизъюнкцияны кебейту мен косу
аркылы ернектеу заны.
22. х у у = х<->у - айыраажыратпалаудытенгермелеу аркылы
ернектеу заны.
Y.
Импликацияга (сабактасымга) катысты зандар
23. х —» у = x v y - импликацияны косу амалы аркылы
ернектеу заны.
24. 1-»0 = 0,1 -* 1 = 1 1 - 1 , 0 туракты пшрл^рд! имплика0—>I = 0 ,0 —> 0 = О Г циялау заны.
YI. Эквиваленцияга (тснгермеге) катысты касиеттер
25. х <-» у я (х
у)(у —> х) - эквиваленцияны импликация
аркылы ернектеу заны.
26. х <-» у s ( х v у)( у v х) - эквиваленцияны косу
мен кебейту аркылы ернектеу заны.
—>
Буль алгебрасы типнЫ элшпеа
Буль алгебрасын барлык баска алгебралар сею дщ жасанды
белгшемел1к тш деп карайды. Онын ТШД1К ел ш б ш н былайша кескшдеп
жазуга болады:
Буль алгебрасы = “С A, 0,l,x,y,z, , л, v, v, — <-», = ( )
Гфща:
1) А= {0, 1} - eici элеменгп жиын; 2) ОД - Буль турактылары; 3) x,y,zБуль айнымалылары; 4)
, л, v, v,
<-> - Буль амалдары; 5) = Бульдын тецбе-тевдш катынасы; 6) ( ) - Буль жакшалары.
§2. Буль алгебрасыныц квпмушелер1
2.1. Буль полиномы (кепмушесО туралы туйшктер
Сандар апгебрасында 6ip, ei<i я кеп айнымалылардан жасалган
полином (кепмуше) туралы угымдар колданылатынын 6ineMi3.
1-мысал. х айнымалыдан жасалган алгебралык кепмушелер
былайша белгш енед!: Р0(х)=5; Qo(x)=0, Ro(x)=a. Булар 6ip белпазд!
нeлiншi дережел4 кепмушелер (полиномдар) деп аталады.
181
Р,(х) = х; Qi(x) - 2х+3; Ri(x) = ах + b. Буларды 6ip беллазд|'
6ipiHiiii дэрежел! кепмушелер деп атайды.
Осы улпмен: у = ах‘ +Ьх+с - квадрат ушмуше жэне
у=апх п+ап-|Х ‘'+...+а|Х+ао - n-ini дэрежел] полином.
Сонымен катар (х,у) ею айнымалыдан туратын алгебралык
6ipMyme жэне кепмуше туралы зерттеулер журпзедк
2-мысал. у=ах+ву+с; y=aiix2+ 2 ai 2xy+a22y :+ 2 aiox+2 a2oy+aoo улпсш деп кепмушелер (полиномдар) туралы мэселелер аналитикалык
геометрия жэне алгебра курсында карастырылады.
3-мысал. Алгебралык кепмуше угымы б!рмуше аркылы
аныкталады. Кебейтшд1 туршде жазылган мынадай алгебралык бутш
ернекп 6ipMViue деп атайды: AxKym...z" немесе ax |kx2m...xns. Мундагы
А*0, а*0 - сандык коэффициенттер; к, m, s, п - танбалы бутш сандар.
Б1рмушелер косындысынан туратын полиномды алгебралык
кепмуше деп атайды. max(k+m+...+s)=n санын Рп(Х|, Х2,...,ХП) кепмушенщ
дереж еа деп атайды.
Ря(Х|,Х2,...,Хп)=Х| х 22хз +х2|Х32Хз+Х2Х4з
кепмушенщ
д ереж еа
п=3+2+3=8 ге тен.
Осы келпршген мысалдарды улг-i ете отырып, еюлеме
айнымалылардан туратын Буль алгебрасынын полиномы (кепмушеа)
туралы угымды аныктауга болады.
А ны ктам а. 1) Буль турактылары 0 мен 1 полином болады; 2)
x,y,z немесе Xi,X2,...,Xn; yi, у2,..., уп -epinTepi аркылы белпленген Буль
айнымалылары полином болады; 3) Егер Р| мен Р2 полиномдар болса,
онда Р|, (P,vP2), Р|лР2, Р |—>Р2, Р|<->Р2 ернектер1 полином болады.
1-3 пункттерде керсеталгендерден енге Буль полиномдары
болмайды.
1-мысал. P|=0, Р2=1 полином деп угылады. Егер x,y,z Буль
айнымалылары болса, онда Qi=x, Q2=y, Q 3=z полином деп каралады.
Сондай-ак, xi,x2,...,xne{0,l} болса, онда Х|, х 2,...,хп - Буль
айнымапыларынын еркайсысын полином деп угамыз.
2-мысал.
Pi(x,y)=xvy, 0|(х,у)=хлу
алгебралык
ернектер
полиномдар болады. Демек, PivQi=(xvy)v(xAy) sxvyvxy ернеп де
полином болады.
3-мысал. P(xi, x2)=xi—>х2 ; Q(X|, х2, хз)= X|V (х3—>• х2); R(x4, Xs) = х4д
xs •
Егер X], х2, Хз, х4) х$ epinTepi Буль алгебрасынын айнымалылары болса,
онда Р, Q, R epHeicrepi Буль полиномы болады. Ал булардан курылган
PaQ=(X|->
х 2)(
X|v(x3-> х2);
Qv R= xiv(x3—> x2)v х4л Xs
Q= X|V(X3~> х2) ;
ep H eicrep i
182
полиномдар болып есептеледь
2.2.
Б уль полином ы ны н
к ал ы п ты
Ф ормалары
Буль айнымалыларына колданылатын алгебралык амалдар
арасында 6ip-6ipiHe тэуелдш к байланыстар ягни тенмагыналылык
катынастар барын байкаймыз (4-кэдел1к кестеш караныз).
Мысалы. х —> у = xv у, x - > y s ( xv у)( yv х), x(yv z) = xyv xz,
xy = XV у, ХА у = XV у, X S x.
Айтылмыш тэуелдшк катынастар пшрлер алгебрасындагы
формулалар ушш де тура болганын бшем1з. Сондагы карастырылган
ЭК-«элементар косынды» жэне ЭК-«элементар кебейтшди> деген
косымша угымдарды еске TycipeMi3. Соларга уксас ЭД-«элементар
дизъюнкция», ЭК-«элементар конъюнкция» деген жана косалкы
угымдар аныкталады.
1-аныктама. Жекелеген Буль айнымалысын немесе онын
инверсиясын (бурмаламасын яки терютемесш) элементар полином деп
атайды.
Мысалы. х жэне х; у жэне у, т.с.с .элементар полином деп
угалады. Сондай-ак Х|, х2,..., Хп айнымалылар жэне Х|, х2,..., хп
инверсияларды да элементар полином деп атайтын боламыз.
2-аныктама. БЙрнеше элементар полиномдардан жасалган
дизъюнкцияны (косындыны) элементар дизъюнкция (Д) деп атайды. Ал
б1рнеше элементар полиномдардан туратын конъюнкцияны элементар
конъюнкция (К) дейш.
Мысалы.
1. pp=xv xv у;
Д2= xvyv х v z;
Дз=Х|У X2V X3 V X4 V х5.
Буларды элементар косындылар деп атап былайша да белгшеп жазады:
К)=х+х+ у; Кг= x+y+x+z; Кз=Х|+ х2+_хз+ х4+ XsK i = x a x a ул у; К2=хлул хл z ; К3- Х | лх2л Х3 Л Х 4 .
Буларды элементар кебейт!нд1 деп этап, былайша да жазып керсетедк
К|=хх у у ; К2=ху х г ; Кз= х>х2 х3х4 .
Элементар дизъюнкция (Д) жэне элементар конъюнкция (К)
туралы айтылмыш аныктамаларга суйене отырып, Буль алгебрасы Р
полиномынын «Дизъюнктивтш калыпьтык формасы» (ДКФ(Р)) жэне
онын «Конъюнктивтш калыпты формасы» (ККФ(Р)) туралы угымдарды
аныктауга болады.
3-аныктама. Р-Буль полиномынын ДКФ(Р) деп сол Р полиномга
тенмагыналы болатын жэне Kj б1рнеше элементар конъюнкциялардын
дизъюнкциясынан туратын полиномды айтады.
Формулалар тш нде айтканда: егер P=K|vK2v...vK p (1) болса,
онда
п
ДКФ(Р)= V К; (2). Мундагы К -элементар конъюнкциялар (i=l,2,...,p).
i= l
183
4-ан ы ктам а. Р-Буль полиномынын ККФ(Р) деп сол Р
полиномга тенмагыналы болатын жэне Д, б1рнеше элементар
дизъюнкциялардьщ конъюнкцияларынан туратын полиномды айтады.
Формулалар тшнде айтканда: егер р = Д| лДп л...лД Р(1) болса, онда
Р
ККФ(Р)= А Щ (2). Мундагы: Д - элементар дизъюнкциялар (i=l,...,p).
i=l
Буль алгебрасынын зандарына суйене отырып, мынадай
теореманы дэлелдеуге болады.
Теорема. Кез келген Буль полиномын не ДКФ не ККФ аркылы
кашанда орнектеп жазуга болады.
Дэлелдеуш ез тотенпден орынданыз.
1-мысал. P(x,y,z)=(XA(yv z)v(y <-»z) -Буль полиномын ДКФ(Р)га келтарщ^з.
IUeuiyi. Р(х,у,г)=хл(уv z)v(y <-»z) # Iде-Морган зандарын, кос
занын жэне х<-»у s ( xvy)( yvx) тендтн пайдаланымыз | =
хл (yvz) = ху v xz - дистрибутивах
s xv у л z v ( yv z)( zv у) ее hfhh жакша ашу занын колданамыз
TepicTey
= x v ) . v у z v yyv z z v zy. Мунда: yy=z z s О, yzv у z=1.
Осыдан есептщ ш ейим ш былайша жазуга болады:
ДКФ(Р) = х v yz v zy v у z.
2-мысал. P(x,y,z)=x A ( y v z) полиномынын ККФ(Р) -сын табыныз
XV у A z=(xvy)(xvz) дисШешу». P(x,y,z)= х л ( у v z ) s x v у л z = трибут 2-занды пайдалан.
= ( xv у)( xv г). Осыдан ККФ(Р)=( xv у)( xv z).
Ескертпе.
Р(Х|,
х2,..., Хп) Буль полиномынын кемел
дизъюнктивтш калыпты Формасы (КДКФ) жэне кемел конъюнктива к
калыпты формасы (КККФ) туралы угымдар енпз 1лу1 кажет. Бул
угымдар жене олардын колданылуы жайындагы мэселелер ntKipnep
алгебрасында айтылган ахуалдарга уксас журпзшетшд1ктен, 6i3, оларга
бул орайда токталып жатпаймыз.
§3.
3.1.
Буль функциясы жане Буль полиномы
Буль ф ункц иясы ту р алы ж ал п ы
ту с М к те р
Айталык 6i3re А={0,1} eKi элемента жиын бершсш. Осы жиында
аныкталган х|,хз,...,хм Буль айнымалыларын алып карастырамыз, ягни
184
Х ь —Д п б А . Сонымен катар Х|,Х 2,...,Х п айнымалылардын (xi,x2.... Хп)
тэртштелген п жиналымын немесе «п-лемесш» (кортежш) алып
карастыратын боламыз. п-лемлер жиналымы былайша жазылып
керсетшеттю
алгебра
иэншен
белгш
деп
караймыз:
(х |,х 2,...,хп) е А и*{0,1 }п.
1-ан ы к там а. Егерде Х|,Х:,--.,Хп -Буль айнымалыларынын {0,1 }п
жиыннан алынган ep6ip ( х ......,х п ) жиналымына у Буль айнымалынын
{0,1} жиындагы 6ip меж сэйкес келетш болса, онда {0,1 }п жиынында
xi,x2,...,xn аргументт4н f ( X | , X 2,.. ., X n ) Буль функциясы бершген дейш.
{ 0 , 1 } 1жиынын f ( X |, . . . , X n ) функциянын аныкталу облысы, ал { 0 , 1 }
жиынды осы функциянын мэндершщ жиыны деп атайды. Функциянын
аныкталу облысы мен мэндершщ жиыны сэйкес турде былайша
белгшенш жазылады:
Д(0={0,1 }п, Е(Г) ={0,1}.
Д жиында f Буль функциясы аныкталган деген сез белплемелер
тiлiндe былайша жазылады:
у = f(xi,x 2,...,xn) немесе £Д-»Е ягни
f:{0,l}n->{0,l}.
2-аны ктам а. Егерде Д жиында аныкталган f(xi,x 2,...,xn) жэне
g (X i,...,X n ) Буль функциялары ...... .
айнымалылардын кез келген
жиналымында {0,1) жиынындагы 6ip гана у элементке сейкес келетш
болса, онда f жене g фунцияларды езара тен функциялар деп атайды.
Бул аныктама белплемелер тш нде былайша жазылып керсетшедк
f(X b X 2 ,...,X n )= g ( X l,X 2 ,...,X n ) .
3.2. Буль полиномы жэне функциясы
Б 1зге P(x,y,z)=x yv z формуласы аркылы ернектелген Буль
кепмушеЫ (полиномы) бершсш. Мунда: x,y,ze{0,l}. Осы x,y,z уш
айнымалынын мэндершен жасалуы мумюн эр турл1 барлык
«ушлемдер» (уш айнымалыдан туратын жиналымдар) мынадай жиын
курайды:
М={0Д}(2,х{0Д}={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}х{0,1 }={(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0),
(0 , 1, 1), ( 1,0 ,0 ), ( 1,0 , 1), ( 1, 1,0 ), ( 1, 1, 1) } = { 0,1 }(3).
Мундагы эр турл1 барлык «З-лемдердщ» жалпы саны d=2 =8.
P(x,y,z)=:x y v z кепмушен 1н ep6ip «3-лемге» сейкес келет1н дербес
мэндерш жеке-жеке былайша есептеп табамыз:
(0,0,0) уш 1Н Р(0,0,0) —0- jjvO = 0-1 v0 s 0v0 s 0.
(1,0,1) уш1н Р( 1,0,1) = 1• 0v I = 1•1v 1 = 1v I = 1. т.с.с.
P(x,y,z) кепмушен1н M жиындагы 3-лемдерге сэйкес барлык
мэндерш табу ушш, кеп ретте, кестел^к эд 1си пайдалану колайлырак
боп келед1 (кестеHi караныз):
185
X
0
0
0
0
1
1
1
1
У
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
У
1
1
0
1
1
1
0
1
0
х у
0
0
0
0
1
1
0
0
P(x,y,z)=x y v z
0
1
0
i
1
i
0
1
Осы мысалдан мынадай жалпыламалык корытынды жасауга
болады: Р(хьх2,...,хп) кепмушелшн {0,1 }<п> жиында аныкталган
f(xi,x2,...,xri) функциясын Бульдщ ею мэщц функциясы деп карауга
болады, ягни fe {0,1}.
3.3.
Буль ф ункц иясы
жэне полином ы
Айталык 6i3re xi,x2,.~,Хп аргументтерден туратын f(xi,x 2,...,xn)
Бульдщ еюмэщц функциясы бершген. Мынадай теореманы дэлелдеуге
болады
1-теорема, п аргументтен туратын f(xi,x 2,...,xn) ею мэнд1 Буль
функциясын онын кэп м у ш ел т аркылы ернектеуге болады. Атап
айтканда, мынадай тенбе-тещцк тура болады:
f(xi,x2,...,xn) = f ( l .....I)xix 2.»xn_v f(l^...,l,0)xi...xn-i xnv ...v
v f(0,...,0) x, x2... xn
(a).
Бул тенбе-тещпктщ он жагындагы кепмушещн жасалу жолын
угу, б 1зше, киын емес.
Мундагы косылгыш f функциянын дербес мэш мен Буль
айнымалыларыньщ кебейпщпсшен туратынын керем 1з.
f функциянын дербес мэндер 1 х, айнымалылар мэндер 1ш я белгш
6 ip жинамына сайкес алынган, ал екшш! кебейткштер х, айнымалы
немесе онын X; инверсиясынан турады. Сонымен катар инверсия белпЫ
астында 6 ip iH uii кэбейтюште «0» деген мэн кабылдайтын жэне тек кана
сондай айнымалылар енпзшген. Мэселен, f(l ДО, 1,0,1 )Х| х 2 Х3Х4 х 5х6
ceKijmi боп келедк
Бул айтылгандардын ycTiHe (а) тещцктеп кепмушен1н курамына
айтылып еткен icnerrec косылгыштар тугелдей енетшш керем 1з.
Осылайша курылган (а) т ен д тн д еп полиномнын f(X |,...X n) Буль
функциясын б1рмэнд1 гурде аныктайтынына кез жетюзуге болады. Ол
1Кб
ymiH х ьх;,...,хп аргументке
мэндер 6epeMi3.
{0,1}
жиыннан калауымызша алынган
Айталык Х| = 0, Xisl,..., Хр=0 болсын. Сонда f(xlv..,xn) функцияны
меж мынадай болады: f(0,1,...,0).
Ещи (а) формуланын он жагындагы Р(х|,х2,...,хп) кепмушенщ Х| з
SO, х2= 1,...,Хп= 0 жиналымга сэйкес мэнш табамыз:
Р(0,1.... 0 ) s Д0,1,...,0)- 01-...• 1 = Щ | .....0 ) 1 К . . - 1 = f(0;i.... 0).
2-теорема. f(xi,x:,...,xn) Буль функциясын полином аркылы
былайша ернектеп жазуга болады:
f(X|,X2,—,Xn) = ( f ( l , l , . . . , l ) X | X v ... X n V ...V f(0,0,...,0)- X r Хо-...• Хп (P).
Дэлелдеу1 П.С.Новиков. Элементы математической логики.М., 1973,5758 6.
§4. Буль функциясыныц саны ж эне myp.iepi
4.1.
Eip аргум ент^ Буль функциясы
А={0,1} жиында бершген 6ip х айнымалынын y=f(xjj Буль
функциясын алып карастырамыз. Осы f(x) функциянын жалпы саны
нешеу болатындыгын Т1келей есептеп табу киын емес.
1) х=0 болганда, fo(0)=0; fi(0)=l туршдеп eKi функция шыгады.
2) х-1 болганда, f2(l)=0; f3(l)=l туршдеп eKi функция болады.
Сейтш, х айнымалылар саны п=1 болганда fKфункциялар саны
d = 4 1 = 2 : болатынын KepeMi3.
f(x): {0,1}—>{0,1} бейнелеуш icKe асыратын барлык fic(x) Буль
функциясынын d=4 жалпы саны мен мэндерш мынадай кесте бойынша
аныктауга болады:
0
1
fo(x)
0
0
F,(x)
0
1
f2(x)
1
0
f3(x)
1
1
Осы кестеде керсетшген f0(x), fi(x), f2(x), fj(x) функцияларынын
аныкталатыны
Буль
айнымалылары
мен
полиномы
туралы
айтылгандардан белгш болатын. Олар былайша аталады:
1) fo(x)=0 - нелдж туракты функция.
2) f|(x)=x_- элементар айнымалы функция.
3) fv(x)= х - инверсиялык функция.
4) f3(x)=l - 6 <рл1к туракты функция.
187
Осы
*к(х)
айтылгандардын берщ мынадай 6ip кэдшк кестеге
I x аргумент
функц.белпле-
Функциянын аты
Meci
f«(x)
0
0
0
f|(x )
1
X
||x )
0
1
Ш
1
1
0
X
1
Функциялар саны:
4.2
Ек1
Нел константа немесе нел-|
функция
х айнымалы
х инверсия
б1рл1Ктуракты
d =22=4
аргументт1
Буль
Функциясы
А"={0,1}~ жиында бершген х жене у ею айнымалынын f(x,y) Буль функциясынын былайша аныкталатынын бшем^з:
fk(x,y.' {0,1}-* {0,1} •.
Айтылмыш fK(x,y) Буль функциясынын саны мен мендерш
мынадай кесте аркылы ернектеп керсетуге болады (6-кеделш кесте).
б-кеделж кесте
белгшемеа
x,y аргументтер
Функциянын
Гк(х,у)
аты
1
1 Функциянын
функ - x 0 0
циялар У o
1
1 0
Нел туракты
0
0 0
0
0
fo(x,y)
Конъюнкция
(жене)
XА У
1
0
0
0
f i(x,y)
у-ке
токтау,«х,
6ipaK
1 0 х Ay
0
0
f2(x,y)
у
емес»
не х —> У
у ке тэуелаз
X
1
1
0
0
fi( x y )
х
ке токтау, «у,
у
Д
х
не
____
1 0 0
0
£t(x,y)
у -> X 6ipaK х емес»
х ке теуелаз
g У I --------1
1 0
0
fi(x.v)
ц^у
---1 0
1
0
f6(x,y)
Дизъюнкция
х
v
y
1 1
1
0
(немесе)
f?(x,y)
Пиро жебеа
х J'Y
0
0
0
1
jw ^ y i—
1
0
0
1
у -Tin инверсиясы
U&LI —
1 и
0
1
у-тщ импликациясы
у X
1 1
0
1
х -тщ инверсиясы
jv S J ^ L («емес» амалы)
f,;(X ,y)
х ___ _
0
1
0
1
х-тщ импликациясы
—■
— Шеффер штрихы
1
1 0
1
flj(X>^l—
-------------— Бгрлк туракты
1 0
1
1
—■
1
]
1
1
fislXjXbJ2 |$ ж $
функциялар саны d=
188
) \
А ={0,1}" жиында аныкталган ею мэщй Буль функциясын саны
мен турлер1 турплсынан зерттеудш нэтижесшде, кептеген жана амалдар
мен кызыкты полиномдык формулалар ашылганын керем1з. Солардын
арасында «Пиро жебеЫ» ( f 8) жэне «Шеффер штрихы» (fi4) бар. Пиро
жебес1 мынадай х ! у белп аркылы жазылып керсетшедг Оны «х те, у те
емес» деп окиды. Буль алгебрасынын амалы ретшде «Пиро жебесЬ>
кесте аркылы былайша аныкталады (40-сызба):
X У
0 0
1 0
0 1
1
1
1. x i у з XVI ._
2. х4 у = х л у.
х4 у
1
0
0
0
3. х ! у = х / у.
Пиро жебесш, кейде,дизъюнкция TepicTeMeci
деп те аныктайды.
40-сызба.
ШеФФер штрихы мынадай х/у белп аркылы жазылады. Муны
«х жэне у дурыс емес» деп окиды. Шеффер штрихын конъюнкциянын
TepicTeMeci деп те аныктайды.
Буль алгебрасынын амалы ретшде алганда Шеффер штрихы
кесте аркылы былайша аныкталады (41-сызба).
X
0
0
1
1
у
0
1
0
1
Касиеттерк
I х/у ='х_А у .
2. х/у г x v у.
3. х/х = х.
4. х/у = х—> у.
х/у
1
1
1
0
Ескертпе. Шеффер штрихы аркылы пшрлер
барлык амалдарын ернектеуге болады.
алгебрасынын
4.3. п аргументтен туратын Буль функциясы
п аргументтен туратын f(xi,x2,...,xn) Буль функциясы былайша
аныкталады:
fCx.,x2,...,xn): {0,1 }<п>—> {0,1} (1).
Мунда (х|,х2,—,хп) тэрт1птелген жиналым А ={0,1}" декарттык
дэрежеге тиeciлi боп келед1, ал fe {0,1}.
f(xi,x2,...,xn) функциянын саны мен турлер1 туралы мынадай
теорема дэлелдеуге болады:
Теорема.(Буль функциясынын саны туралы). п аргументтен
2П
туратын fjc(xi,x2,.-.>x,)) жалпы саны d=2 санына тен болады (Мундагы п
саны аргументтердщ санын корсетед|).
189
Дэлелдеу1 (В.И.Игошин штабы бойынша окыныз, 48,76-77 беттер).
п аргументтен туратын Гк(х|,...,х„) функциянын саны мен турлерш кесте
туршде кескшдеп керсетуге болады (7-кесте).
7-кесте
'-"■■Фущшиялар
(х ь х2, . . . х г 0 ^ — _
f2
F,
f,
fo
fa-2 F r.,
1
(0,0,...,0)
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
(0,0.... 1)
(1,1,..1)
0
1
0
1
0
1
§5. Буль алгебрасы жэне электрондыконтактыльщ жуйелер
5.1.
Контактылык жуйелер алгебрасынын элшбщ
Электронды немесе релейл1 контактылык жуйе деп электр кезше
Т1ркейг1н x,y,z контактылардын (коскыштардын), жедшж сымдардан
жене де жуйеде токтын бар я жок екешн мэл 1мдейтш дабылдык
элементтен (мэселен, электр шамынан я конырауынан) туратын
курылымды айтады.
х-контакт «ажыратылган» жене «косылган» деп аталатын eKi
куйдщ 6i, ^ушде гана бола алады.
X
X
х-тщ «ажыратылган» (аж.) жагдайы
х-тщ «косылган» (кос.)
жагдайы.
х контактынын бул ек! ахуалын былайша бeлгiлeп жазамыз:
0, егер х - ажыратылган болса,
1, егер х - косылган болса.
Сондай-ак, f дабылдык элемент - шам да eKi куйдщ тек 6ipeyinne
гана болады:
1)
f шам - «жанган (жан.), 2) f шам - «ешкен» (еш.) деп кар
болады.
f - дабылдык элементтш жагдайларын былайша белплеп
жазатын боламыз:
Г0, егер f жумыс аткармаса (шам ешсе).
f= I I I , егер f жумыс аткарса (шам жанса).
Электронды - контактылык жуйен1 карастырудын, Heri3iHeH, eKi
турл4 yflrici бар екенш бшем!3. Олар: 1) контактыларды т1збектей косу
190
(т.к.) жэне 2) контактыларды параллель (жарыстыра) косу (п.к.) деген
сездермен аталды.
Щ _______/ у ____
Ф--------1 f(x,y)
42-сызба. Контактыларды пзбектей косу ynrici.
л
/
f (х,у) 43-сызба.
Контактыларды параллель косу ynrici.
У
Енд1 осы контактылык жуйелердщ жумыс аткарымдык
сипаттарын талдап керелж. Сонда мыналарды байкау киын емес.
Контактыларды
тобектей
косу
жуйесг,
ондагы
х,у
контактылардын eKeyi б^рдей косылганда (х=1,у=1) жэне тек сонда FaHa
жумыс аткаратынын (ягни f(x,y)=l болатынын) керем^з.
Бул корытындыны мынадай кесте тур1нде кэрнекшеп жазуга болады:
Контактылар
Бул кестеден f(x,y)=XAy деп
Сигналдык
карауга
болатынын кэреипз.
(дабыл)
эле­
X
У
менттер
х л у формуланы контактылар
конъюнкциясы (кабаттамасы,
1
1
1
логикалык кебейтшдюО дейдй
0
0
1
Енд1 43-сызбадагы х,у контак0
1
0
0
0
0
тыларды параллель коскан
жуйеш алып талдаймыз.
Сонда мынадай корытындыга келуге болады:
Контактыларды параллель косу жуйеа ондагы х, у контактылардын
ен болмаганда 6ipeyi косылганда (ягни х=1 болганда) жэне тек сонда
гана жумыска косылатынын (ягни f(x,y)=l болатынын) керем13 (кестеш
Бул кестеден f(x,y)=xv у деп
карауга болатынын керем!з.
X
xv у формуланы контактылар
f(x, у)
У
1
1
1
дизъюнкциясы (ажыратылымы)
п
1
1
я логикалык косындысы деп
1
атайды. Электрлж жуйелерд!
0
1
0
0
0
карастырган кезде мынадай
6ip х контактылы жуйенщ
жумысына ден койган абзал.
Мунда х контактыга сигнал бергенде (х-1 болганда) жуйе жумыс
icT eyiH токтатады (ягни f(x)=0 болады). Керюшше, х контактыга сигнал
туспесе, ол жуйе жумыс ютейтш, ягни f(x)=l болады.
Контактылар
Сигналдык
элемент
191
"X"
►f(х)=0
I I
Бул айтылган контактылык жуйенщ жумысын мынадай кесте
Конт. сигналд.элемент
Кестеден f(x)= х деп карауга болатынын
0
керем!з. Мундагы х формуланы х контак“ FTxFr
1
f(x)=0
тыньщ инверсиясы деп атауга болады.
Алдынш
айтылгандарга
баксак,
пшрлер алгебрасынын уш турлаулы амалы - TepicTey, конъюнкциялау
жэне дизъюнкциялау операцияларынын эркайсысынан электрл!контактылык жуйенщ белгш 6ip курылымы (структурасы) аркылы
улплемелеп (модельдеп) керсетуге болады. Ал пшрлер логикасынын
калган eKi амалын (импликация мен эквиваленция) айтылмыш уш
турлаулы_амалдар аркылы былайша ернектеуге болатынын б!лем1з:
х—> у = xv у жэне х <-»у= = ( xv у)( yv х). Мундагы F,(x,y)=x -> у,
Ф|(х,у)= xv у жэне F2(x,y)=x <-» у, Ф2(х,у)=( xv у)( yv х) деп аламыз.
Сонда мынадай электрльконтактылык жуйелер куруга болады:
Й
_____
Fi(x,y)-
Ф<(х,у)
X х
F :(x ,y )‘
Фг(х,у)
v
Сонымен элекгрл1-контактылык жуйе (ЭКЖ) мен пшрлер
алгебрасынын формулалары арасында 6ipMe-6ip кецпрмелш байланыс
бар деген тужырымдык ой айтуга болады. Сол себептд электрл1контактылык жуйеш контактылар алгебрасы (КА) деп атауга какымыз
бар.
Контактылар алгебрасы уш операциядан жэне «s» белпамен
керсетшген катынастан турады.Контактылык амалдарды сэйкес турде
«инвертор» (-), «конъюнктор» (д) жэне «дизъюнктор» (v) операциялары
деп атайды. Ал «=» катынасы курылымдары эр турл!, ал 6 ip a K аткаратын
кызметтер1 бгрдей eKi контактылык жуйенщ арасындагы катынасты
керсетед}. Сондыктан, «=» белпсш «тенкызметтес контактылы жуйелер»
деп атайды.
Сейтш, контактылар алгебрасы (КА) тш нщ элшбш деп мынадай
бeлгiлeмeлepдi атайтын боламыз:
L ka= < А, 0, 1, х, у, Z,
92
, a ,v , = , ( ) > •
Мунда:
контактылар; 0
3)
белплейдй 4)
1) А-электронды-контактылык жиын; 2) 0,1 - туракты
- агытылган контакт; 1 - косылган контакт;
x,y,z
айнымалы контактылар, оларды Х|,Х:,...,Хп деп
, a ,v - контактылык операциялар; 5) ( ) - жакшапар.
5.2. Контактылар алгебрасынын Формуласы
мен зандары
Контактылар
алгебрасы
мен
пшрлер
алгебрасында
колданылатын амалдар, катынастар жане элшбшпк белплемелер
арасында 6ipMe-6ip сэйкестшк барын корсетпк. Сондыктан, пшрлер
алгебрасынын формулалары жэне зандары туралы бурын айтылган
аныктамалар мен тужырымдык ойлардын 6opi контактылык алгебра
ушш де тура болады деп карауга болады. Сол себенп контактылар
алгебрасы жалпы турде алганда Буль алгебрасынын 6ip улплемелш
(модельд^к) мысалы деп карастырылады. Бул айтылгандарга мысалдар
келт1ру аркылы коз жетюзуге болады.
Мысалдар. 1. Буль алгебрасынын бер1лген формуласын
контактылык алгебранын сулбасы (КАС) аркылы керсетшз:
хл(у v z ) —X A y v x A Z (улесгпр1мдшктщ 2-заны)
Шешу». 1) х л(у v z) = х л у v x a z. Мынадай белгшемелер
енпзем^з: F(x,y,z) = х л(у v г), Ф(х,у,г) = х л у v x a z .
Осы F пен Ф формулалардын эркайсысы ушш электрль
контактылык сулба (жуйе) (ЭКС) сызамыз:
~*T(x,y,z)= х л(у v z).
У
у-
”Ф(х,у, z)=xy V XZ .
2) F(x,y,z) жэне Ф(х,у,г) сулбалык курылымдардын кызмегпк
X
0
0
г 0
0
1
1
1
1
У
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
F пен Ф дын кызметпк мэндер!.
ху
у VZ
F= х(у v z)
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
193
XZ
0
0
0
0
0
1
1
1
Ф=ху V XZ
0
0
0
0
0
1
1
I
3)
Кестедеп F жене Ф функциялары турган багандарды салыстыра
карап, олардын «кызмегпк мэндер1» б1рдей екенш керем!з.
ч - М Ш
Ф
1
у
\
\у
ЯГНИ XA(yVZ) = XAy VXAZ.
2-М Ы С аЛ .
у =X]Xi( X|X;V Х| Xi) V X1Х2Х3 -Буль функциясын
электрл1 icKe косатын контактылык жуйенад сулбасын (схемасын)
курыныз.
Xi--------- Х-»
3-мысал. Бершген схемага сэйкес келетш (хьх;,хз,х4) Буль функциясын
жазыныз. "
Рй '
Х|
I
Хз
У Х3___/
X Г
У Хз
-Л ,
F(x,y,z) жене Ф(х,у,г) сулбалык курылымдардын кызмегпк
мэндерш керсетшген жолмен контактылар алгебрасы ушш мынадай
зандарды делелдеп керсетуге болады.
~х у yz = (х у у)(х у z) - улеспр1мдшктш 2 - зан
I
Z
x(xv у) s х
- жутылудын 2-заны.
xv (у v z) = (х v у) v z - дизъюнкцияны!|тер1мд.заны.
II
194
х л х=0
х v х=1
/х
^X
- кайшылык заны
- ушшры жоктык заны.
1
О
I
унем1 ажаратылган контакт
1- yHeMi косылган контакт
ху = x v у немесе (ху)'=х' v у 1 Де-Морган заны
/
"\х
/
I X----- у ------° ) ' = -
"V
5.3. Б уль
тендеулер» жане логикалы к
есептер
Курамында Буль айнымалысы (белпЫз!) бар тендеуд! Буль
деп атайды. Буль тендеуш шешу онын элементтер!, амалдары
аныктамасына жане амалдардын зандарына непзделген. Мунда Буль
тендеуш шешудж жалпы жэне арнаулы ед1стерше токталмаймыз.
Keft6ip нактылы мазмунды есептерге катысты тендеулерд 1 шешу кезжде
колданылатын логикалык пайымдарды колдану мысалдары туралы гана
сез етемЬ.
1-мысал. х v у=0 (1) тевдеуд1 шеш.
Шешу Ек1 айнымалынын дизъюнкциясы туралы аныктама
бойынша х=0, у=0 болганда жэне тек сонда гана (1) тенд!к тура болады.
Демек, х=0, у=0 осы тендеуге шешу боп табылады.
2-мысал. Айталык а - Бульдщ бершген элемент! болсын. х v а=0
(2) тендеуш шешу керек.
Шешу. 1-мысалдагы пайымдау бойынша а=0 болганда, тек сонда
гана (2) тендеудщ meuiiMi болады жэне ол шешу х=0 болады.
3-мысал. х v а= I (3) тендеуш шеш. а-бершген элемент.
T e m ie v i
195
Шешу. EKi жагдай карастыру кажет.
1) а=0 болсын.. Онда х v 0=1. Будан х=1 болатындыгы шыгады.
2) а=1 болсын. x v 1---1. Онда х=0 немесе х=1 болады.
Ка расты рылган 1-mi жэне 2-iui жавдайларды ескерсек, онда
бер1лген тендеудщ жалпы шецпмш х= av z (4) тендеу! туршде жазуга
болады. Мундагы z - ершм^зше алынган элемент. Ол z=0, z=l бола
алады.
Егер а=0 болса, онда а=1 болады.Бул жагдайда (4) ернектен
мынау шыгады: х= lv z=l. Егер а=1 болса, онда а=0 болады. Ал (4) -тен
x=z болатыны шыгады. Демек, х=0 немесе х=1 болады дей аламыз.
Сейтш, х= av z (4) формуланы бершген (3) тендеудщ жалпы uieujyi
деп карауга болатынын керем1з.
4-мысал. х л у=1 (5) тендеушщ шещущ табыныз.
_____
Шешу. Бершген (5) тендеуд1 былайша жазуга болады: х л у = Т.
Будан х л у = 0. Де-Морган_ заны бойынша х v у = 0. Будан
1-мысадцын шешуше сэйкес х = 0, у = 0 болатыны шыгады. Ал
булардан х =1, у =1 деп карауга болады. Сейтш, (5) тендеудщ х=1,у=]
болатын жалгыз rneuiyi болатынын керем1з.
5-мысал. х л а=0 (6) тендеуд1 шенпшз. Мунда а - бершген
элемент, х- белпаз айнымалы.
Шешу. Бул тендеуш З-мысалдагы (3) тендеудщ шешу жолын
пайдаланып шешуге болады. Ол ушш (6) тендеуге инверсиялау
(T ep icrey ) амалын колданамыз: х л а = 0, x v а =1 (7).
З-мысалдагы (4) формуланы пайдаланып (7) Тендеудщ шешуш
былайша 1здейм1з: х = a v t немесе х =_а v t. Осынын е й жагын
инверсиялаймыз. Сонда х = av t . Будан х= а л t . Мундагы t = у деп
белгшейм1з. Сонда х= а л у. Сейтш, (6) тендеудщ жалпы inernyi х= а
л у (8) формуласы болады. Мунда у= t (9).
6-мысал. хла=1 (51) . Мундагы а бершген, ал х белпаз элемент.
Алдынгы мысалдагы тендеуге сэйкес (6) тендеудщ а=1 болганда жене
тек сонда гана iueuiyi бар болады жене ол жалгыз шешу х=1 болады.
7-мысал. (П.С.Порецкий ece6i). Мынадай а л х v b л х=1 (10)
тендеудщ шешуш табыныз. Мундагы a, b 1 Буль алгебрасынын берщГен
элементтер!. х - Буль белпстан табу керек.
Шешу. 1) р v q v г s ( p v q)(pvr) - улестгргмдмс 2-ии занды 2
марте пайдаланып, (10) тендеудщ сол жагындагы ернект1
кебейтюштерге ж[ктейм1з:
(ах v b)(axv x ) s l ; (b v a)(bv х)( xv a)(xv х) =1(11).
2)
Конъюнкциянын аныктамасы бойынша мундагы ep
элементар кебейткш 1 ге тен болуы тшс, ягни b v а)=1, bv х=1, xv а=1
жэне xv х=1. Мундагы х v х=1 формула уцпнил жок занын бейнелейдк
Ол тенбе-тен акикат формула боп саналады. Сондыктан, бул формула
(11) тендеудщ, демек, (10) тендеудщ шенпмже ыкпал жасамайды.
II
Cefrrin, шешу! 1зделш отырган (10) тендеудщ шешулерш мына
карапайым тендеулерд! карастыру аркылы табамыз:
a v Ь=1 (11.1), х v b=l (11.2) жэне х v а=1 (11.3). Мундагы av
Ь=1 (11.1) тещпгшщ орындалуы П.С.Пореикий тендеушщ ((10)
тендеудщ) uieuiyi бар болуы ушш кажетп шарт боп табылады. Сонымен
катар, (11.1) тендш айтылмыш тендеу шеымм бар болуына ж еткш кп де
шарт бола алады. Енд1 (11.2) жэне (11.3) тендеулерд1 пайдаланып (11)
тендеудщ П.С.Порецкий шешуш табу жолдарын талдаймыз.
х v b =1 (11.3) тендеудщ жалпы шепим! былайша табылады: х = bv t
(12) (3-мысалдаш (4) формула). Мундагы t - кез келген Буль
айнымалысы.
Будан x = b v t “ b л t, ягни х = Ь л t (13).
(11.3) мен (13) формулалардан мынаны жазуга болады: a v b л t = 1.
Буган улеспр!мд1ктщ 2-занын колдансак, мынау шыгады:
(a v b)(a v t) =1 (14).
(11.1) бойынша a v b = 1. Сондыктан, ( 14) формуладан a v t = 1. Будан
av t = 0 немесе а = 0. Ал будан жэне 5-мысалдан
t = а л у ягни t = а л у (15).
(12)
жэне (15) формулалардан х = b v а л у (16). Осы табыл
(16) формула П.С.Порецкий тендеушщ (10) жалпы шеннм! болады.
Ескертпе. (16) формуланы турлещцрш, пайдалануга колайлы
симметриялык калыпка келпрем1з. Ол ушш мынадай тенмагыналы
турлеширулер жасалады:
t= t л 1 a t л(у а у) s t л у V t А у (17).
(17) формуладан t = b деп аламыз. Сонда Ь н b A y v Ьл у (18).
(16) мен (18) ден мынаны жазуга болады:
х = b A y v Ь л у v a A y = Ь л у v ( Ь л у у а л у ) = Ь л y v ( b v а)у
(\9 )._
_ .
Ал b v а = а болатыны айкын. Сондыктан, х = а л у v Ьл у (20).
Сейт1п, мынадай теорема дэлелденд!:
Теорема, а л х v. Ь л х = 1 (10). П.С.Порецкий тендеу^шн шешу!
бар болуы ymiH a v b = 1 (11.2) тенд1пн1н орындалуы кажетт1 жэне
жеткшкг1. Сонымен катар (11.3) шарт орындалган_кезде П.С.Порецкий
тендеушщ толык шецпм! мынадай х г а л у v Ь л у (20) формула
аркылы табылады.
Ескерту. (20) формуланын он жагындагы у-тщ орнына х Буль
айнымалысын койсак, онда мынадай формула шыгады:
хгалхуЬлх
197
(21).
Бул формуланы да П.С. Порецкий тендеуш щ uiemiMi деп карауга
болады.
Тарихи дерекгеме. Платон Сергеевич Порецкий (1846-1907)
орыс ел ш ц математип api астрономы. Харьков университет! н
тэмамдаган. Ол орыс математиктершш арасында тунгыш рет Казан
университетшде математикалык логика пэш бойынша лекция окыган.
П.С.Порецкий 1884 жылы жариялаган «Логикалык тендеулерд! шешу
эдютерЬ деген енбепнде Буль алгебрасын теориялык жагынан байытып,
онын колдану аясын KeHirri. Логикалык тендеулерд1 шешу жолдарын
каре erri.
ХИКАЯТТЫ КЫЗЫК ЕСЕПТЕР
Fа па м ат г а ш ы к т ар
Университет жатакханасынын 6ip белмесшде алты ж гщ турып
жатты. Олар: Акан, Оспан, Бейсен, Муса жэне де «математикер» деген
ат танылган Ерсовет пен «тергеуыд» атанган Туркеш едд. Бул орайда
математикер мен Tepreyiuim алгашкы тертеушен алабетен айырып
отыруымыздын езшдак ce6e6i бар. Алдымен, ол TepTeyi эдебиет
факультетшщ 6ip бвлiмшeciндe 6ip курста окиды. вздерь тары, 6ip
ауылдан. Eip м ектегт 6ipre 6iTipin келсе керек. Мунда да тврт жыл бойы
жуптары. 6ip жазбады. TepTeyiHiH тесектер! катар турады. TepTeyi оку
залына 6ip е барып, кешеш 6ipre аралайтын. Кыл аягы емтихандарга да
TepTeyi 6ipre eHin, б1рдей 6aFa алып шыгатындарын кайтерещ! Бул
TepTeyi осындагы 6ip институтта окитын жене ездер1 сёкши 6ip-6ipiHe
ушреек терт жолдас кызбен 6ip мезетте танысты да, олармен катар терт
жыл бойы тату-тегп достык eMip к еп т . Кыздардын аттары: Леззат,
Сара, Гулзия жэне Дана болатын. Айтылмыш терт ж т тт ш бул терт
кызбен терт жыл бойы достасканын елгще айттык. Шындыгында, сол
жылдары булардын арасында шынайы да сыпайы достык кана болды.
BipaK «Тац атпайын десе, кун коймайды» дегендей, келе-келе достык
пешлдерш махаббатка айырбастап алгандарын ездер1 де байкамай
калган. Eip кызыгы: эр ж т тт ш ез кещлще туйгеш болганымен, кай кыз
кайсысын суйетшш бшувд булар терт жыл гюнде 6ip парыктамапты. Ал,
махаббатта кыз шешнмн сонгы yKiM екеш машм. Кыз кырагы демей ме,
оларга жйгнтердщ ансары да анык болган. Эркайсысыныц журеп бул
жiгiттepдiн кайсысын калайтыны туралы мэселен! булар TinTi
элдекашан шeшiп те кояды. Дегенмен, ездер! бастап сыр ашуга кыз
жолы незйк болатын едеттен аса алмайды. Сырларын жаксы бшген
достары олардын сыртынан «Раламат гашыктар» деп эзшдесетщ. Bipfle
Ерматематик пен Туркеш -тергеуын eKeyi сол «Раламат гашыктардын»
сырын ашпак болады. Ертешнде тергеушп гашыктармен шесе бакшадагы
сешлге шыкты. Серуен кез1нде ана терт ж тттен онашаланган 6ip кага
6epicTe Туркеш терт кызга: «KiM мына ж1пттердщ кайсысын унатады?»
198
-деген сауалды койып улгердь Мундайда сыр бермеуге кыздардан уста
юм бар. Эуел 1, тук тусшбеген бейнемен сынкылдаса Kynicin, сыбырласаШYЙipкeлeciп алган кыздар Т у р кеи т кагыта кеп:
К Тектен-тек тергеупп негып жур десек!...
■ Бэсе, деймш -ау, кара мунын онай олжа, жещл коржын таппагын.
■ 03iH Шерлок Холмска (агылшын жазушысы А.Конан Дойльдщ
(1859-1930) кылмысты icTep жайындагы эйпл1 энпмелершщ бас
кейшкерО балайтын бар тергеушшщ бэз-баягы эдет1 де, эйтпесе...
■ Эйтпегенде ангарлы адам осындай сырды кыздан сурар ма екен.
Bcipece, купия бггкеншн кулпын ашатын Tepreymi болам деп журген
ж т т ойланып, 63i табар болмас па?!
Туркештщ олардан куткеш де осы payeurri жауаптар едь Тшге
тиек етер сездщ орайы келген сон, тш катуына тура келдь
■ «Tepreymi» табарын табар ед! гой, 6ipaK-...
■ Неге 6ipaKKa ш л калдыныз?
■ ...6ipaK С1здер icTiH акикатына жету максатымен кояйын деп
отырган косымша 6ip колкамды орындайтын болсаныздар!
■ Койып кервдз.
Туркеш «математикт1н» уйрет1нд!С1 бойынша нкемдей отырып
кыздарды осылай ойыстырып экелген сон, былай дед!:
■ Э рим аз калаганын дара атауга ибалык жасап тартынар.
Сондыктан анкета icnerri курылган кагаз бойынша жауап 6epin
кер1шздер.
■ М акул!
Ол жалма-жан койын дэптер1шн 6ip бетше «математикер»
кулагына куйып берген нускауларга сайкес курылган теменг1
сурактарды жазып шыкты:
1. Лэззат пен Сара юмд1 суйед!?
2. Гулзия мен Лэззат ше?
3. Дана мен Сара ше?
Осы кагазды кыздарга бере турып, мынаны e c K e p rr i:
■ Мунда эр топтагы суракка кайтарар жауаптын 6ipeyi шын,
eKinmici жалган болуы шарт.
Кыздар кауымы бул усынысты куана кабылдап, орындауга
кулшына KipicTi. Жумбактаган астарлы эз1лмен жауап катысуга казак
кыздарынан асатын кумар да тшмар жан бар ма. Кыздар езара
шушркелесш алган сон, мына бр жумбак етш киыстырган сездерд!
кагазга Tycipin, Туркешке табыс eTri:
Yip топ кып жауап жаздык, апып костан:
Лэззат-Акан жэне Сара-Оспан;
Гулзия-Акан, Лэззат-Муса; Акан-Дана,
Сара-Бейсен; асыктар жубын тоскан.
Эр топта кос жауаптын 6ipeyi шын,
EKiHmici eT ipiK , ойдан коскан.
Аныгын айырмасан e riK iu i бол,
Tepreymi атанганша тепн, бостан.
199
«Математикердщ» Туркешке тергеушшк жасап «61Л1П кел» деген
деректер1 де, мше, осы болатын. Келген шаруасынын тынганын бшген
ол, енд1 аял етпедь «Уйде ойланып келуге мурсат бер 1ндер»-деп,
кыздармен тез коштасып, жатакханага тже тартты.
Анык «айыпкердЬ> аныктауга болатын есеп деген, мщз, осы деп,
акелген маглуматтарга «математикер» дан риза болды. Суйткенше
fler6ipi кашып, ана Tepreyi де жетп. Bipeyi б!рден юрштар, «математикке
телм1ре карап калган. Ерматематик «Еаламат гашыктар» есебш шешуд1
мынадай сездермен бастады:
■ Кыздар жауаптарын мынадай ретпен топтал айткан гой:
1. Лэззат Аканды, Сара Оспанды унатады.
2. Гудзия Аканга, Лэззат Мусара рашык.
3. Дана Аканды, Сара Бейсенш суйед!.
Ещй осы сейлемдерд1 «Ойлау алгебрасынын» тшше аударуга
атсалысуымыз керек. Ондары басты нэрсе nixip угымы екеюн
бшес1ндер. Ал, кэне, ездерщ ойлап айтындаршы, бул жауаптардын
барлыгы неше пшрден турады?
■ Эр жауапта еюден, барлыгы алты niKip бар, - деп жауап катты
Туркеш. «Математикер» оран басын изеп, дурыс деген ишарат берш де:
■ Эр топтагы пiкipлepдiн акикаттыры туралы не айтылган?-деп
Оспанга карады.
Оспан еш багелместен:
- Кыздардын аздер 1 эр топташ
пшрлер; in 6 ipeyiH акикат, еюншюш жалган деп атап керсётнш рой дед 1.
■ Туп-тура. Ещй ceHiH басты бакталасын Бейсенд] 6 ip байкап
карейш, - деп, «математикер» кулана кулщ алды да, Бейсенге карап
сезш жал гады:
■ Эр топтагы жауаптар 6 ip-6 ipiMeH кандай жалгаулыктар
аркылы уштастырьшган?
■ Ондапл п трлердщ 6 ip-6 ipiMeH немесе жалгаулыгы аркылы
байланысатыны жауаптардын мазмунынан ап-айкын танылып тур,-деп,
Бейсен ун катты.
Осыдан сон «математикер»:
■ Бейсеншн бул айтканы дурыс екейдайне шуба келт 1ретшдер
жок па?-деп сурак койды да, олардын бэрше жагалай кез жупртш атп.
Олар укканын унс1здшпен танытты. Енд! «математикердщ» алдында
жаткан кагазга каламымен жаза отырып сайледк 1) ЛА; Со; 2) ГА; Лм;
3) Да! Сб .
Мундагы бас apinTep - кыздар атынын алгашкы apni де; ал
олардын таменп жагындагы apinTep ж1пттер атынын алгашкы apni.
■ Кэне, Акан, сен ещй осы белгшеулерд1 пайдаланып, кыздар
жауабын формула туршде ернектеп керш .
Акан асып-сасуды бшмейтш мангаз ж1ггг. Жазуы маржандай
т1з1лген эдем1 болатын. Бул жолы да сол байыргы салтынан танган жок.
Ол сайлей пайымдап:
200
■ Кыздар жауабынын эр тобындагы
пш рлер немесе
жалгаулыгы аркылы дэнекерлест турганын жана Бейсен айтты. Ал,
немесе жалгаулыгын тюрлерд1 косу амалы деп угамыз. Сондыктан,
кыздар жауабынын формула туршде жазылуы, менше, былай бoлap,-дeдi
де, сэл ойланып калды. Артынша, кутгы баспадан шыккандай гып, мына
формулаларды кагазга Tycipfli:
I) JIAv C 0; 2) Гд v Лм; 3) Дд v Сь .
Акан жазуын 6iTipreH сон, Ерматематнк оларга ортак тагы 6ip
сауал тастады:
■ Бул формулалардын акикат я жалган болатындыгы туралы
не айта аласындар?
1ш1ндеп ен кушыкеип - Муса: «Дэу де болса ещпп кезек MeHiKi
шыгар»,-деп, 6apiH 6ip кулд1рт алды да, былайша жауап катты:
■ Eip косылгыш акикат болса-ак, косындынын акикат
болатынын бшем!3. Ендеше бул формулалардын ymeyi де акикат
болатын формулалар. Демек, мынадай тещнктер жазуымызга, эбден,
болады:
Лд v Co-1 (1), Г ду Й ( ^ | (2), ДдУ С0=1 (3).
«Математикер», «О, мынаны карап кой» дегендей, таныркаган
кейшпен MycaFa одырая тенш капты. Муса болса, ол басын кегж итт ап,
мыкынын таянган калпы, пансына cipecin тур. Цыран топыр кулюден тш
ката апмай олар калды. Sip заматта математикердщ:
■ Жетер, ecenTi аяктайык - деп, зеки шыккан дыбысы ес
жидырып, 6api сонын аузына карап капты.
Олардын кулюден сап болып ездерще ездер1 келгенш кэргеннен
кешн, «математикер» кайта сез бастады:
■ Есептщ жауабы «Лэззат юмд! жэне Сара кай жiriттi жэне...»
деген сиякты сейлем боп шыгатыны айкын. Сонымен катар мундагы ani
eciM i беймаглум кап турган жiгiттep аты аныкталганнан кешн, бул
сейлем акикат болуы тгас. Бул айтылгандардан кыздар ece6iHin жауабын
пшрлердщ 1-ге тен болатын кебейтшд1а турнде табу KepeicririH
KepeM i3. Сондыктан Муса жазган элп (1), (2) тенд1ктерд1 мушелеп
кебейтем 1з: (ЛдУ C o ) ( r Av Лм)=1 .
BipHiui улеспр1мд1к заны аркасында жакшаларды ашуга болады:
ЛАГд v ЛдЛм v С0Гд v С0ЛМ=1 (4). Мунда ЛАГА=0 (жалган),
бйткеш есеп шарты бойынша, Леззат пен Гулзия eKeyi бьрдей Аканга
гашык болуы мумюн емес. Сондай-ак, ЛАЛм=0 (жалган), ce6e6i Леззат
ею Ж1п г п б1рдей cyioi шындыкка уйлеспейдь Осы айтылгандар
непзшде (4) тещиктен мынау шыгады: C0r Av СоЛм=1 (5).
Ещц (3) жэне (5) TenfliKTepfli мушелеп кебейтем1з:
COav CB)-(C0r Av СоЛм)=1.
Будан ДдСоГд v ДдСоЛм v С бСоГа v С бС оЛ м=1 (6).
Мунда да есеп шарты бойынша ею кыз 6ip ж й т т cyroi жэне eKi
жштке гашык болуы мумюн емесгпктен, ДАС0Гл=С бС0Гд=0 жэне
С бСоЛ м=0.
201
Сейтш, (6) тещпктен ДАС0Лм=1 (7). Кебейтадщ акикат (1 ге тен)
болгандыктан, эр кебейтю ит акикат (1 ге тен) деп караймыз. Демек,
Дл= 1, Со=1, Лм= 1.
Осыдан кейш «математикер» мен болдым дегендей, колындагы
каламын устел устше сарт етюзш коя салды.
Сейтш, олар Дананын Аканды, Саранын Оспанды, Лезаттын
Мусаны жене Гулзиянын Бейсенд! еуйетшдда делелденгенше акикат
сешц.
«Раламат гашыктар» есебж Ерматематик осылай есептеп шешкен
едь Баксак, мундай ecenTi Буль будан жуз жыл бурын шешкен екен гой.
Те р е з е
сы н ды р г ап
т ен т ек
к iM ?
Бупн алгашкы сабактан кейшп узмйс кёзшде 8-сынып
терезес1н1н 6ip кезш окушылардын 6ipeyi сындырып койды. Бул
бузакылык Рахым, Дэурен, Мурат, Текен деген терт баланын 6ipeyimH
колынан келген! хак.
Туркеш «Tepreymi» туртшбей журе ме. Эр окушыга суыртпактай
сурак коюмен егжей-тегжейше жете отырып, ол акыры, терезеш
сындырган тентеюгщ KiM ёкёшн аныктауга болатын ecenTi шешуге
жеткш кп шарт боларлык жауапты окушылардан алып улгерген екен.
Сол жауаптардын ретке KetoipmfeH Typi мынадай:
Рахым: 1. Мен ешкандай айыпты eMecniH.
2. Tinri терезенщ касына жакындагам да жок. Узш с бойы
партада отырган кушмде KiTan окумен болдым.
3. Терезеш и м сындырганын Мурат 6i:jiepfc
Мурат: 1. Мен терезеш сындыргам жок.
2. Оны icrereH Рахым.
3. Менщ юнэл1 емес екешме Деурен айгак, ейткеш узш с
кезшде мен сонымен енпмелест, касында болдым.
Дэурен: 1. Терезе сындырган мен eMecniH.
2. Мен Муратпен кептен аразбын, онымен сейлеспеймш де,
узш с аяктала бергенде, KiTan окып отырган Рахымнын касына бардым.
3. Терезе сындырган Текен.
Твкен: 1. Жок, терезеш сындырган мен eMecniH.
2. Сындырган Мурат.
3. Дэуренжн мен сындырды деген! жала.
Окушыларды кажап кайта сураганда, олардын эркайсысы берген
жауаптарынын 6ipeyi гана eTipiK, ал eKeyi шындык екен ^й я айтысты.
Осы фактихерге суйенш, терезе сындырган тентектш KiM екен®
аныктау керек.
Есептш ережелж шешу!. Рахымнын 6ipimni жауабын Р|, еюшш
жауабын Р2, ал уипшшсш Рз epinTepi аркылы белплешк. Сонымен катар
окушылардын eTipiK берген жауабын сол жауабынын TepicTeyi туршде
202
белплеуге келюем1з. Маселен, Рахымнын 6ipi«mi жауабын eTipiK десек,
онда ол Р| аркылы белгшенедг
Есеп шарты бойынша логика тш мен айтканда, Рахым
жауаптарынын eKeyi акикат та, 6ipeyi жалган. Сондыктан, онын кай
жауабы жалган е к е н д т женжде уш турл! уйгарым жасауга болады:
1. Айталык Рахымнын 6ipiHiui жауабы (Pi) жэне емкий жауабы
(Р2) акикат жэне де yiniHUii жауабы ( Р3) жалган болсын. Бул
уйгарындыны «ойлау алгебрасынын» формуласы туршде былайша
ернектей аламыз:
Р|Р2 Рз-
2.
Айталык Рахымнын б1р1нш1_жауабы (Р|) жэне ушшпн жа
(Рз) акикат жэне де екшип жауабы ( Р2) жалган болсын. Сонда Р] Р2Рз
формуласы шыгады.
3.
Айталык Рахымнын екшип жэне ушшии жауаптары
жэне де 6ipinmi жауабы жалган болса, онда Р|Р2Рз болады.
Жалпы алганда, осы уш уйгарындынын ен болмаганда 6ipeyi
ш ындык болатындыктан, мынадай тещ йк жаза аламыз:
Р,Р2 P3v P , P2P3v Р,Р2Р3= 1 (1)
Рахымнан баска окушылардыц жауаптарына да дэп осындай
талдаулар жасай отырып, мына тендеулерд! курамыз:
М |М 2 М 3 v
M 2M 3_v М 1М 2М 3— 1 (2)
ДгДг Д з У J X \
^|Д гДз=1
1
Т ,Т 2 T 3 v T , Т 2Т 3 v Т ,Т 2Тз=
(3)
(4 )
Егер окушылар жауаптарын байыппен байкап карайтын болсак,
онда TeKeHHiH 6ipiHmi жауабы мен ушшцп жауабы тенмагыналы
п ш р л ер екенш ангару киын емес, демек Т | =Тз. Осыдан Т \= Т3. Осы
тещуктерге суйенш, (4) тендеуд! былайша жазамыз:
Т |Т 2 T |V
V T, Т 2Т , v
т,т2т,= I
Бул теддеуд1 кэбейту ymiH орындалатын ауыстырымдылык жэне
тергмдинк заны бойынша турленд 1рем 1з;_
Сонда (Т,- T i > T j v ( T , T , > T2 v_( Т,-Т,)-Т2» 1.
Мунда кайшылык заны непзш де Tj Т ^ з 0, ал булжымастык заны
бойынша Т 1-Т| = Т|. Сондыктан, OT2 v T p T2 v О- Т 2 = 1. Ал будан,
Tt Т 2=1 болатындыгы шыгады. Кебейтвди акикат болса, ондагы ap6ip
кебейтиш акикат болуы тшс. Демек, Т ( = 1, Т2 = 1. Тергстеудщ
аныктамасы бойынша Т2Ш 1 т е ц д т н е н Т 2 = 0 болады деймлз. Ceirrin,
Текенн1н 6ipiHlni жауабы акикат, ал екшип жауабы жалган ек ен д тн е
кез жeткiздiк. Ендеше, терезеш сындырушы Текен емес жэне онын
Мурат сындырды fleyi жалган.
TeKeHHiH жауабын талдаудан шыккан корытындыга карап,
Дэуреннщ «Tepe3eHi сындырган Текен» дeyi жала eKeHiH KepeMi3.
Демек, Дз= 0, ал будан осы тенджтер непзшде (3) тещйктен мынау
шыгады: Д гД 2 Д з= 1203
Ал, будан Д| s 1, Д 2 s 1 жэне Дэ = 1. Баскаша айтканда,
Дэуреннщ 6ipinm i жэне eiciHiiii жауаптары акикат. Сондыктан, терезе
сындырган Дэурен емес жэне онын Муратпен араз екенд1п, узш с
кезшде ютап окып отырган Рахымнын касына баруы шындык.
Енд1 Мураттын жауабын карастырсак, онын уил'шш жауабы
мен Дэуреннщ еюннп жауабы 6ip-6ipiHe карама-карсы екежн
байкаймыз. Сондыктан, М.* s Д2 деп алуымызга болады. Элгще
KopceTyiMi3 бойынша
Д? s 1. Ендеше Дз з 0. Демек, М3 щ 0. Сонгы
теншктщ непзшде жогарыдагы (2) формула былайша аныкталады: М |‘
"М2 Мз = 1.
Осы тенд^ктен М| = l , M 2s 1 жэне Мз =1 болатындылы
шыгады.
Свйт1п, Мураттын 6ipiHiui, eKiHmi жауаптары акикат
болгандыктан, терезен1 сындырган Рахым деген корытынды жасаймыз
С ай ы с к ер м а т е м а т и к т е р ж э н е
сарапшы л логик
Семей
каласында
окушы
м атематиктерд i н.
облыстык
олимпиадасы еткен едь Онда бес ауданнан 6ip-6ip окушы жулдегер боп
озык шыкты. Олар: Ахметова Айша, Уэлиев Сэкен, Сарсенов Телеу,
Дэлелова Лэз^м жэне Ерюмбекова Хадиш а болатын. Казылар
алкасыныц шегшмшщ хак болу камын кезеген сарапшылар, эу баста,
окушылардын кайсысы кай ауданнан келгеш туралы нактылы
деректемелер алмаган болатын. Сондыктан, сарапшынын терагасына
жулдел1к сый беретш окушынын кайсысы кай ауданнан екен 1"н
К0рсетет1н косымша мэл1мет кажет болды. Терага мундай акпаратты
аныктау туралы тапсырманы сарапшылар алкасынын беЛсенд1 M ym eci
Сапар логикке тапсырды. Буль алгебрасынын эдю терш е жет1к Сапардын
айтылмыш акпараттык тапсырманы логикалык тендеу аркылы шешпек
болганына тан калмассыз деп ойлаймыз.
Логик Сапар жулдегер бес окушыны жинап алган сон оларга
мынадай есеп-сауал усынган: эркайсысын KiMHiH кай ауданнан келгенгн
Kepcerin, маган ек 1 турл 1 жауап жазып бер1ндер. Сол жауаптын 6ipeyi
шын. ал eKiHiuici eiipiK болуы т и к . Соган карап KiMHiH кай ауданнан
келгешн сарапшылар алкасы аныктайтын болады. Бул ecenri эр окушы
да ш еш епн болсын. Дурыс жэне езгеден ерекше есепкерге косымша
устеме сыйлык бepiлeдi.
Окушылар сарапшы л о г и к и койган сауалына былайша жауап
берген:
Ахметова Айша: Мен Кекпектщен келдам, ал Дэлелова Жэзам таскескенд4к.
204
Уелиева Секен: Мен Кекпектщен келдом, ал Серсенов Телеу Жарма ауданынан.
Серсенов Телеу: Кекпектщен мен келд^м, ал Делелова Лез1максуаттык.
Делелова Лэз1м: Мен Таскескеннен келд1м, ал Ерюмбекова
Хадиша Шардан келд].
Еркгмбекова Х алита: Менд шынында, Шардан келд1м, ал
Ахметова Айша Аксуатта турады.
Логиктш шешу1. 1. Эр окушынын жауабын фамилиясындагы
бас epinTiH теменп жагына келген ауданы атындагы 6ipiHiui epniH кою
аркылы белплейм1з. Мысалы «Ахметова Айша Кекпектщен келдЬ> деген
сейлем «Ак» - деп белгшенедк
Есенин шарты бойынша окушынын 6ip жауабы шын, ал eKiHUjici
eTipiK (ягни шындыктын TepicreMeci) болуы тшс. Осы айтылгандарга
сейкес окушылар жауабын мынадай тендеулер аркылы жазуга болады:
Ак Дт v АкДт = 1 11)
Ук Q kv УкСж s 1 (2)
Ск Да v С кДа = 1 (3)
Дт Еш v Дт Еш = 1 (4)
Еш Ад v ЕщАд —1 (5)
2. Алдымен (1) жене (2) тендеулерш мушелеп кебейтем1з.
Ак ДтУк Сж v АкДтУк Сж v Ак Дт УкС* v Ак Дт УкСж=1
( 6)
Есеп шарты бойынша ep6ip жулдегер окушы ер Typni ауданнан
келген. Сондыктан Ахметованын жене Уелиеванын eKeyi б1рдей
Кекпектщен келу1 мумюн емес ягни А кУк=0 болады. Сондыктан, сонгы
тенд!к мынатурге келедк
Ак ДтУк СЖv Ак Дт УкСж У Ак Дт УкСж ^1 (7)
3. Осы (7) тендеу мен (3) тещшсп мушелеп кебейтем1з:
_ АкДтУк СжСк Да^А к Д т У кСжС к ЦаУ АкДт УкОкСк J|iV
v АкДт УкСж С к Д аУ АкДтУк Сж С к Д а v А к Дт У кСж С к Д а =1.
Мунда УкСк —О, АКСК = 0. Сонда СЖСК= 0, Дт ДА= 0.
Ceirrin, сонгы табылган кебейпндщен мынау кеп шыгады:
Ак Дт УкСж Ск Д а = 1 (8)
4. Шыккан (8) тендеу мен (4) тецщкп мушелеп кебейтем^з:
Ак Дт УкСк Ск Д а Д т Еш у_Ак_Дт УкСж Ск Д а Д тЕш =1 •
Мунда Дт Дт s 0 -Сонда Ак Дт УкСж Ск Да Д тЕщ * 1 (9).
Егер Сж s 1 болса, онда сез жок Ск = 1 (ягни Серсенов
Жармалык болса, онын Кекпектшк eMecTiri де рас). Сондай-ак, егер
Да = 1 болса, Дт= 1 болады. Сондыктан, (9) тещпкте Сж мен ДА
кебейтк1штерд1 калтыруга болады. Баскаша айтканда, (9) тещпкп
былайша ыкшам турге Kemipin жазуга болады:
Ак УкСж ДаЕш = 1
(Ю).
5. Акыргы шыккан (10) тендеуд] (5) тендеуге мушелеп кебейтем1з:
205
Ак УкОк Д аЕ щЗ ш _Аа v А к У кС ж Д аЕ ш EmiA a = 1 •
Мунда ЕщЕ ш ^ Е щ , Еш Ет = 0 . Сондыктан, А к УкСж Д аЕ ш А а = 1.
Ак — 1 болса, Ад s 1 (Айша кэкпектш к болса, онда онын аксуаттык
емес ei<eHi шындык). Сейтш, Ак УкСж Д аЕш s 1•
Будан: Ахметова Айша - Кекпеюпден, Сэрсенов Телеу - Жармадан.
Дэлелова Лэз[м - Аксуаттан, Ерюмбекова Хадиша - Шардан деген
корытынды шыгады. Демек, Уэлиев Сэкен - Таскескеннен болганы.
Д элелова
Л а з i м и i н u i e u i v i . Логиктщ усынган
ece6iH Дэлелова Ээз1м логикалык теддеуда курмай-ак,
ауызша
пайымдау аркылы ез тетесш ен онай шешкен. Й эзш былайша
пайымдаган: 1) Айталык Айша, аныгында, кекиектш ж болсын. Онда
есептщ шарты бойынша Айшанын екшын ce3i жалган болуы тшс, ягни
Лэз1мшц таскескещ да дегеш, шынында, efipik сэз.
2) Эр окушы эр Typni ауданнан келгендгктен, Уэлиевтщ
Кекпектщен келд]М дегеш де eTipiK, ендеше онын «Сэрсенов Телеу жармалык» - дегеш шын сез.
3) Сондай-ак, Сэрсеновтын Кекиектщен келдш дегеш eTipiK.
Ендеше ол Делелова Лез1мнщ Аксуаттан кёйгенщ дэл тауып отыр.
4) Дэлелова Лез1мнш ез басы Таскескеннен кещнм деп жорта
айткан , демек, Ерюмбекова Хадиша Шардан келген окушы.
5) Хадиша Шардан келген. Демек, ол Айша Ахметова Аксуаттан
келген д<'п, эд е м , жалган айткан. Делелованьщ бер ce3i де делелдь
Сондыктан, оган сарапшылар атынан устемше улкен сый бёрЬпген.
Данагер математик, дара физик Исаак Ньютон (1643-1727):
«Окытуда терен теориядан repi тете жолмен тез уктыратын есепкерлжке
уйрету лэзгм» - деп жайдан жай айтпаган гой.
3-таоау. П Р Е Д И К А Т Т А Р Л О Г И К А С Ы
МЕН Е С Е П Т Е М Е С 1
Кез келген катсгориялык пайым предикат пен
субъектшен куралады жене соларга бвл>мшеленед|. Кез
келген предикат пен субъект - кандай да 6 i p идеяны
бейнелейтш айтылым не кандай да айтылым аркылы
бейнеленетш идея болады. Кез келген айтылым аркылы
бейнеленетш идея не универсалия (амбебаптама) не
индивид (жекелеме) боп табылады.
Эбу Насыр ол Фараби
§1. Предикаттар логикасы дегетмЬ не?
...Индивндтш
(жекелемдж)
айнымалыларды
енпзудщ
аркасында.
6 i3 .
пшрлер
логикасынан
предикаттар туралы угымга келдж.
Д. Гильберт.П.Бернайс
206
1.1.
Пайым предикатыньщ
сипаттамасы
логикалык,
Логика дегешмпз ойлау калыптары (формалары) мен ежелерш
зерттейтш жэне соларга окытатын пэн екенд 1п туралы, 6 i3, осы
окулыктын 1-б©Л1м 1нде айткан ед 1к. Сондай-ак, ойлау калыбынын гутас
T yftipi (атомы немесе ю ртш О -категориялык пайым жайынла да
айтылган болатын. Категориялык пайым символикалык логика
(белплемел 1к логика) тш нде калыптамалар (формулалар) аркылы
былайша жазылып кэрсепледк
S дегешм1з Р болады
немесе
S дегешм13 Р
(Б ектм д ш пайым)
S деген1м13 Р болмайды
немесе
(Бекерлемдш пайым)
S дегешм1з Р емес
Бул калыптамалардын ыкшамдалган ynrici былайша белгшенедк
S -P
(1)
S - Р емес
(2]
Мундагы S б ел п а - пайым субьектка , ал Р - пайымнын
предикаты деп аталады. Ал «-« (сызыкша) белпс! - «дегешм13 болады»,
«дегешм1з болмайды» деген eTicTiK тулгасындагы жалгамалык косымша
С03Д1 бейнелейдь Бул сездерд 1 «логикалык ж ал гама» деп атайды.
Сейтш, эрб!р карапайым пайымнын «субъект» (S) жэне
«предикат» (Р) деп аталатын ею турлаулы (непзп) мушеден туратынына
кез жетюзем13.
Мысалы. 1. «Уш - так сан»; 2. «Yin - так сан емес»; 3. «Коркыт
- кобызшы болган»; 4. «Коркыт - кобызшы болмаган».
Бул хабарлы сейпемдердщ эркайсысын тутас тушрыпк (атомдык)
пайым деп карауга болады. Олардын турлаулы мушелер{ - субъевгпа (S)
пен предикатын (Р)-ны сэйкес турде былайша белгтлеп керсетуге
болады:
1). S|= «уш», Р) = «так сан болады».
2). Si= «уш», Pi= «так сан болмайды»=»так сан емес».
3). S3= «Коркыт», Pj= «кобызшы болгаи».
4). S4= «Коркыт», Р4=»кобызшы болмаган»= «кобызшы емес».
Пайымдык сойлемд1 курайтын турлаулы eKi муше - «субъект»
(S) пен «предикат» (Р) пайымнын терминдер1 деп аталады. «Субъект»
207
терм и т (латынша: «subjektum» (Tipeyiui, тушрнама), ал «предикат»
(латынша: «praedikatum » (айтуыш, баяндауыш) деген сезшен алынган.
Пайым субъекпа (S') пайымдык ойлау нерсесшщ (затыньщ
немесе объекпсшщ) адам санасындагы бейнелеибес! боп табылады.
Ойлау объекпсшщ пайым субъекпсшде бейнеленген касиеп немесе
катынасы туралы баяндайтын сезд1 немесе сездер пркесш логика
пеншде пайым предикаты (баяндауышы) деп атайды.
1-мысал. «Уш - так сан», «Уш - жуп сан» деген пайымдарды
карастырайык. Мунда S= «уш» - субъект болады; ал «так сан», «жуп
сан» деген сездер Tipiceci «уш» санынын касиетш бейнелейтш
предикаттык ягни баяндауыштык муше кызметш аткарады.
2 -мысал .
«3<5», «3>5» жене «3=5» деген уш турл!
карапайым сейлемдер бершген. Мунда: S = «уш»-субъект болады. Ал «5
тен кем болады», «5 тен артык» жене «5 ке тен» деген сездер TipKece
бершген пайымдарга сейкес предикаттар (баяндауыштар) боп табылады.
Бул предикаттар 3 пен 5 сандарынын арасында «K im i», «улкен» жене
«тен» деген катынастарды сипаттайды. Сондыктан, мундагы
предикаттар катынасты бейнелейтш баяндауыш деп угылады.
Жалпы турде алганда, «S-Р» улпсшдеп калыптама аркылы
бершген пайым предикатын (Р-ны) субъектшщ (S-тщ) логикалык
баяндауышы немесе п ш р л к сипаттаушысы деп атауга болады. Бул
аныктамалык ойды кыскаша былай белгшеп жазады: P=P(S). Мундай
белгшемеш «пшр-функция» деп те атауга болады.
niKip - функция немесе логикалык баяндауыш S- субъектшщ
бершген ep6ip MeHiHe «акикат» (а) я «жалган» (ж) деген ек! акикаттык
мэннщ 6ipeyiH гана сейкес коятынын байкау киын емес.
3-мысал. «Уш - так сан» жене «Уш - так сан емес» деген eKi
пайымдык сейлемд1 алып карастыралык. Мунда: S| = «3»; S§ = «3»;
Pi = «Так сан»; Р2= «так сан емес». Р) = Р| (3) = а, Р2= Р (3) = ж.
Осы келпршген мысалдардан «S -Р» улпсщдёп пайымнын Р
предикатын (баяндауышын) S - субъектшщ (бастауыштын) логикалык
функциясы деп карауга болатынын айкын ангарамыз.
Сонымен, пайым предикатынын логикалык сипаттаушысы niKip-функпия боп табылатынын KepeMi3.
1.2. Жалан сейлем мушелер» жэне
пайым терминдер8
Tiл мен ой- ежелден етене епз, Kyfliperri кубылыстар. «Тш - деп
керсетед1 казактьщ бас тшгер галымы Ахмет Байтурсынов,- адамнын
адамдык бeлгiciнiн зоры, жумсайтын каруынын 6ipi» (А.Байтурсынов.
Тш тагылымы. Алматы-1992, 173-бет). Tin - сезден, ал сез - дыбыс пен
ерттен
куралады, ой-сейлем аркылы
ернектеяедь AxMerriH
аныктауынша: «Сейлем дегенШз создердАн басын курастырып 6ipey
208
айткан ой» (Сонда, 263-бет). Сейлем iuiiaaeri сездер сейлем мушелеп!
деп аталады. Сейлем Mvuienepi турлаулы муше жэне турлаусыз муше
боп ею топка белшедь
«Сейлем болган жерде - деп керсетед1 Tinrep галым,- калмай
айтылатын сездер немесе калса да калгандыгы сезш п туратын турлаулы
муше болады» (Сонда, 265-бет).
Мысалдар. 1). «Асыл - тастан, акыл - жастан»; 2). «Жыгылган
куреске тоймайды»; 3). «Аузы куйген урлеп imefli».
Мундагы 6ipiH U ii сейлемд1 «шыгады» деген сездщ калып
койганы айкын сезшш тур. Ал, еюний жэне ушшип сейлемдерде «адам»
сезшщ Tycin капганын анык ангаруга болады Демек, бул калып койган
сездерд) сейкес сейлемдердщ турлаулы мушес! деп карауга какымыз
бар. Сейлемнщ турлаулы мушелер1 екеу. Олар: 1) бас муше. 2) баяншы
муше. Бас мушеш жещдшк уипн - бастауыш деп, ал баяншы баяндауыш деп аталады.
Сейлем iiuiHfleri сездер байланатын казык сез - сейлемнщ бас
MYiueci (бастауыш) деп аталады. Сейлемде кандай да 6ip ойлау H epceci
(o6b eirrici) сез болады. Сол нэрсенш (объектшщ) атын ягни eciMiH
керсететш сез сейлемнщ бас мушеа’ (бастауышы ягни cy6beKTici) боп
табылады. Бас муше (бастауыш) аркылы бейнеленген «нэрсешц сырынсипатын, жайын, амалын, болмысын» айтып баяндайтын сез «баяншы
муше» (Айтылмыш шыг. 265-бет) - деп аталады.
Сейлемдеп айтылган ойга казык болатын нэрсенщ атын
керсетет1н сез бас мушенщ (бастауыштын) 1шю б ел п а боп табылады.
Ал сол нэрсенвд сырын-сипатын, жайы-кушн, амал-эрекетш, бармыстьщ
болмысын баян ететш сез баяншы ягни баяндауыш мушенщ ища
белпсш аныктайды. Сейлемнщ турлаулы мушелер! - бастауыш пен
баяндауыш, Ахмет Байтурсынов атап керсеткендей, ездер1н1н
айтылмыш imKi белгшер1мен катар тыскы белплер1 аркылы да
аныкталады.
Бас мушенщ (бастауыштын) тыскы белгшерп «им?», «не?»деген сурауларга жауап беру боп табылады. Ал баяншы мушенщ
(баяндауыштын) тыскы белгшер!, непз1нен, «не етпек?», «не кылмак?»,
«кайтпек?», «не болмак?», «нел1ктен?», «немене?», «капай?», «юмд[ю?»,
«кайсы?», «нен!Ю?» - деген сауалдарга жауап беру аркылы танылады.
Мысалы.
1). «Бала ойнайды», 2). «От жанады» деген
сейлемдердщ турлаулы мушелерш imKi жэне тыскы 6enrinepi бойынша
аныктап керсетем^з.
1-сейлемдеп ой KiM турасында айтылып отыр?- Бала турасында
айтылган. 2-сейлемдеп ой не жайында айтылып отыр? - От жайында
айтылган.
Сейпп. 1-mi жене 2-mi сейлемдерде сез «бала» мен «от» хакында
сейленгенш керем1з. Олай болса, бул ею сез imKi бeлгiлepi бойынша
бершген сейлемдерге сейкес турде бас муше (бастауыш) боп табылады.
209
Енд) сол сездердщ тыскы белплерш тауып каралык. Оны табу
ушш «юм?», «не?» деген сурау салу кажет. Сол с у pay Fa кай сез жауап
берсе, сол сез бастауыш болмак.
1-uii сейлем у ш т : «юм ойнайды?» - «Бала»; 2-uii сейлем ушш:
«не жанды?»- «От». Сейтш, карастырып отырган сейлемдерде «юм?»,
«не?»- деген cypayFa жауап болатын сездер: «бала» мен «от» болып
шыкты. Олай болса, бул сездерге бастауыштын тыскы белгш бар болып
табылады. 1шю жэне тыскы ею белгш де б1рдей бар болган сон «бала»,
«от» деген сездерд1 мысалда бершген сейлемдердщ бас Mymeci
(бастауыш) бола алады.
Осы мысалдан сейлемнщ бас Mymeci (бастауышы) болатын сез,
эуель атау тулгасындагы зат eciM екешн байкау киын емес. Ахмет
Байтурсынов езшщ «тш-курал» атты тш таныткыш ютабында, непзшен,
тогыз турл1 казакша сез топтары бастауыш болуы мумюн екешн
нактылы мысалмен атап керсетедь Ондай сез топтары: 1) зат eciM, 2)
сын eciM, 3) сан eciM, 4) ес1мдш, 5) ericTiK, 6) устеу, 7) демеу, 8)
жалгаулык, 9) одагай жене 6yTiH сейлемдер (Сонда. 268- бет).
Ахмет Байтурсынов айтылмыш енбегшде сейлемнщ екшин
турлаулы Mymeci - баяндауышты (баяншы мщыёнй танып. табудын
мынагчй ережесш усынган.
оаяндауыштану ережесь Алдымен алынган сэйлемнщ iiiiiHfleri
бастауы: >ын тауып, сонан сон бастауыш атаган HepceHiH не сырсипатын, не амал - эрекетш, не жай - жапсарын, не болмыстык
бармысын KepceTeTiH сезд1 табу керек. Бул сез баяндауыштын таю
белгш не сейкес табылган сез боп саналады. Сол | е щ баяндауыштын
тыскы бeлrici бойынша тауып керсету кажет.
М ы салы . 1) Кой ypiicri. 2) Адам айкайлады. Мунда, l-iui
сейлемде- «кой» ce3i, ал 2-mi сейлемде «адам» ce3 i ею белгш бойынша
да бастауыш
^Sori табылады. Сонымен 6ip re l-mi сейлемдеп «ypiicri» деген сез койдын
не icTereHiH, ал 2-mi сейлемдеп «айкайлады» деген сез адамнын не
ктегенш KepceTin тур. Сондыктан, «ypiicri» жене «айкайлады» деген
eTicTix тулгалы сездер баяншы сездщ щ р бeлriciнe сейкес баяндауыш
болуы тшс. EHfli сол сездерд1 баяндауыштын тыскы белгш бойынша
тауып керем!з. Ол ymiH алынган сейлемдер ш ш д еп кай сез баяндауыш
сурауларына жауап берер екен деп карау керек.
l-mi сейлем ymiH: «Кой не erri?»- «Ypiicri», 2-mi сейлем ymiH:
«Адам не кылды?»- «айкайлады». Мунда «не erri?», «не кылды?» деген
баяндауыш сурауларына жауап 6epin турган тагы да сол аталмыш
«ypiicri» жене «айкайлады» деген сездер екешн KepeMi3. ImKi жэне
тыскы белплер1 б1рдей келген сон «ypiicri» жэне «айкайлады» деген
eTicTiK сездер мысалда алынган сейлемдердщ баяндауышы (баян сезО
боп саналады.
210
Карастырып еткен мысалга суй ен т, эуел1 баяндауыш болатын
свз табы - ericTiK деп айта аламыз. Ахмет Байтурсынов сейлемнш
баяншы Mymeci болатын свздерд1 талдап, зерттей к ел т жет1 турл) сез
табынын баяндауыш бола алатынын атап керсеткен. Олар: 1) eTicriK;
eTicTiicriH eciMme жэне кесемше турлерк 2) сын eciM; 3) есш дк; 4) зат
eciM; 5) сан eciM; 6) етк и к пен одагай сез; 7) бутш сейлем (4. 271- 273
беттер).
Тек бастауышы мен баяндауышы бар ею мушел» сейлемд1 тш
бинмшде жалан сейлем деп атайды. Ал субъект мен предикаттан
туратын хабарлы сейлемнш ягни айтылмыш eKi мушеден туратын niKipфункцияны логика пэншде пайым деп атайтынын алдынгы пунктте атап
керсеткенб1з. Сонымен катар S - Р улпсш деп eKi мушел1 пайымнын s cy6beicrici осы пайым аркылы ернектелген жалан хабарлы сейлемге бастауыш боп, ал Р - предикат сол сейлемнш баяндауышы боп
табылады.
Сейтш, жалан хабарлы сейлемнш бастауышы мен баяндауышы
сол сойлем аркылы ернектелген S -Р пайымнын сейкес терминдер1 субъект (S) пен предикат (Р) пайымнын - логикалык бастауышы деп,
ал Р - предикатты сол пайымнын логикалык баяндауышы деп атайды.
1.3. Предикаттар
жене
логикасы , онын т ш
эл ш бт
Беннслеп айтканда пш рлер логнкасы н—« М олекул ярлык»
логика, ал предикаттар логикасын «атомарлы к» логика
дсп атаумм ы зга болады.
Л.А.Калужнин
Карапайым nmpniK ceйлeмдepдi «субъект» (бастауыш) жене
«предикат» (баяндауыш) деп аталатын eKi M yu ^ i пайымга (жалан
немесе атомарлык сейлемге) ж ^ е п караудын нэтижесшде предикаттар
логикасы немесе баяндауыштао логикасы деген жана угым енпзшген.
Сонда предикаттар логикасы пшрлер логикасынын терендетше
кенейплген жалгасы боп табылады. Пшрлер теориясы математикалык
логиканын тугырлык жене ен карапайым бел1мшеа боп табылатынын
бурыннан бшем!з. Онын амалдары мен epeжeлepi математикадагы
логикалык тужырымдарды зерттеу жене окыту ушщ кажегп курал боп
табылады. Алайда математикалык сейлем атаулынын берш пшрлер
логикасынын тщщк куралы аркылы жазып керсету мумкш емес. Ойткеш
ep6ip карапайым пiкipдi бейнелейтш хабарлы сейлем онын тек
акикаттык мендер1 тургысынан гана сипатталып карастырылады. Бул
сейлемнш iuii атомарлык мушелер} - субъект (бастауыш) жене предикат
(баяндауыш)
туралы
мвceлeлepдi
пшрлер
логикасы
талдап
карастырмайды.
Предикаттар логикасы карапайым пшрлердщ курылымын
субъект (бастауыш) пен предикатка (баяндауышка) ж1ктеп талдаудан
басталады. 0 p 6 ip карапайым niKip ойлау объекпсшщ (HapceciHiH)
кандай да 6ip касиетш я ой объектшершщ (нэрселершщ) катынасын
бейнелейтшш бшем1з. Мундай «касиет» пен «катынас» Р предикат
(баяндауыш я баяншы) аркылы бейнеленетшш
алдынгы пунктте
ангартып айттык. «Касиет» я «катынас» Р предикат аркылы
сипатталатын (немесе баяндалатын) ойлау объектюш (субъектш) заттык
айнымалылар немесе индивидтж (жекелемелк) айнымалылар деп
атайды.
Заттык немесе индивщ тк айнымалыларды будан былай х, у,
т.с.с. эр!птермен белплеп K0pceTeMi3. Заттык (и н д и в и и г к ) айнымалылар
кеп жагдайда былайша нем1рленш те керсетшедк Xi, Xi,..., xn.
Карапайым
немесе
элементар
пш рлж
(пропорционалдык)
айнымалыларды р, q, г, т.с.с. немесе pi,qi,rt,т.с.с. деп белпленш. Р, Q, R,
т.с.с. ерштермен предикаттык айнымалылар белпленедь Булар кейде
былайша нем1рленщ те керсетш едк Pt, Qi , R ls т.с.с.
Предикаттык функциялар 1- орынды, 2-орынды, т.с.с. к-орынды
боп жасалады. Pk, Qk, Rk, т.с.с. белплер к-орынды предикат
функ ияларды белплейд!.
Заттык немесе индивидгас айнымалылар MeHflepi кандай да 6 ip А
жиындь заттык (немесе индивидйк) айнымалылар облысы деп атайды.
BipfliK индивидтepдi индивидтж (жекелемеЯк) турактылар немесе
MeHmiKTi еЫмдер (атауыштар) деп атайды. Индивидт!к турактыларды а,
в, с,... немесе а„ в,, с„... деп белплеп жазады.
Предикаттык
айнымалыларга
niKip-айнымалыларга
колданылатын логикалык амалдардын баршасы жумсалынады. Атап
айтканда: 1) TepicTey амалын (-), 2) конъюнкциялау немесе кабаттамалау
амалын (л), 3) дизъюнкциялау немесе ажыратпалау амалын (v), 4)
импликациялау немесе сабактастырмалау амалын (—>) жэне 5)
эквиваленциялау немесе тенгермелеу
амалын (<->) предикаттар
логикасы ymiH де аныктауга болады Осымен катар предикаттар
логикасында «кванторлар» деп жана eKi амал енпзшедк Олар: 1) Vжалпылык квантор мен 2) 3- бармыстык кванторы. Мына (Эх)Р(х) жазу
«барлык х айнымалы Р касиеттщ иеа» немесе «0p6ip х айнымалыга Р
касиет тэн» деп окылады. Ал мынадай (Зх)Р(х) жазуды «Kefi6ip х
айнымалы Р касиеттш иео!» немесе «Р касиет тэн болатын кандай да 6ip
х бар» деп окиды. Предикаттык айнымалылар мен предикат- функция
угымына суйене отырып предикаттар логикасынын Ф Формуласы жэне
ол формулалардын тенмагыналылыгы туралы угымдар енгайледа.
Формулалар арасындагы тенмагыналылык
катынасы
былайша
белпленш керсетшедк Ф,е=Ф2.
212
Алдынгы айтылгандардын 6api предикаттар логикасынын тшдж
белплемелер! боп табылады. Осы белплемелер непз/нде предикаттар
логикасы Т1Л1Н1'н элшбш туралы угымдар аныкталады._________________
Предикаттар логикасы п'лшш элш бт (алфавит)') делш мынадай
жиын аталалы:
вцркдиклт = {a,JK,p,q,r,x,y,z,a,b,c,Pk,Qk,Rk:; ', v, а,-> ,<-> ,V ,3 ,* ,(,)}
Мундагы: I) а,ж - туракты пшрлер; 2) р^,г-пш рл 1К карапайым
айнымалылар;
3) x,y,z- заттын немесе жекелемелш (индивидтгк) айнымалылар;
4) а,в,с- жекелемел!к турактылар немесе менцпкпк
атауыштар (еамдер);
I
5) Р ,Qfc,Rk- к-орынды предикат-функциялар;
I
6) , v, л, ->,<-> - логикалык амалдар;
7) V,3 - кванторлык амалдар;
Я) s - тенмагыналылык катынас;
9) (,) - х жакшалар мен yrip бёяйшёрЬ
_______________________________________________ _
______________________________________________
§2. Предикаттар логикасыныц математикасы
Предикаттар
логикасы
зерттеу
объектшершш кез келген облысына
ортак
логикалык зандарды сол объекттлерде бершген
предикаттар (ягни касиеттер мен катынастар)
бойынша
карастыратын
математикалык
логиканын бшнмшеск
Математиканын энциклопедиялык
с е з д т . Москва-1988 ж..ЗЗО-бет.
2.1 Б»р жане кеп орынды niKip - функииялар
nixip - функцияны бос калдмрмлган
орындар толтырылуын кажет ететш сауалнамалык
(аикеталык) калыптама (формулалар) деп карауга
болады.
Альфред Тарский
«niKip-функция» угымы предикаттар логикасындагы ен алгаш кы
жене езект4к басты математикалык угым боп табылады. Алгебра мен
математикалык анализ пэндершен X - сандык айнымалынын у =f(x) (1),
z=f(x,y) (2) формулалары аркылы бершген f epniH «сэйкеспк ереже»
немесе функииянын сипаттаушысы деп атайды.
1
аныктама. Егер f - сейкеспк ереже D облыстагы х -тж ep6ip
м этне у айнымалынын 6ip манш сейкес коятын болса, онда D облыста
y=f(x) 6ip айнымалынын функциясы аныкталган дейш.
2
- аныктама. Егер f- сэйкесик ереже D облыстагы х пен у
(х,у) ep6ip кос мэш не z айнымалынын 6ip менш сейкес койса, онла D
облыста z=f(x) exi айнымалынын функциясы аныкталган дейд1.
Осы аныкталган математикалык угымдарды предикаттар
логикасы элемш е де Keuiipin карауга болады. Осы максатпен «niKipфункция» немесе «пропозиционалдык функция» деген угымдар
енпзшедо.
Айталык
х-заттык
(индивидтк
ягни
жекелемдш)
айнымалыларынан туратын А облыс 6epiuciH. А облыста аныкталган
Р=Р(х) функцияны алып, мынадай угымга аныктама 6epeMi3.
1
- аныктама. Егер Р сэйкеспк ереже (немесе сипаттаушы
облыстан алынган х-тщ ep6ip мэш не Р=Р(х) айнымалынын «акикат» (а)
немесе «жалган (ж) деген eKi мэннщ 6ipeyiH сэйкес коятын болса, онда Р
айнымалыны х - заттык айнымалынын niKip - функциясы деп атайды.
Мысалдар карастыралык.
1
- мысал. А облысы казактын аты анызга айналган эй
адамдарынын жиыны болсын:
А={Асанкайгы, Койлыбай, Букар, Коркыт, Абылай}.
х е А деп карап, мынадай хабарлы сейлем куралык:
Р: «х - кобызшы».
Бул грамматикалык 6iTiMi жагынан алганда nixip re уксас хабарлы
сейлем. Алайда оны niKip деп айтуга болмайды. вйткеш Р сейлемд1 осы
калпында «акикат» я «жалган» деуге болмайды. Сондай-ак, ол сейлем
дэлелдеуге я жокка шыгаруга болатын анык тужырымдык ойды
ернектемейдк Р сейлемдеп х-тщ орнына А жиындагы Kici аттарын
койган кезде гана бул сейлем niKip бола алады.
х= Асанкайгы болганда, Р: «Асанкайгы - кобызшы» =ж.
х=Койлыбай болганда, Р: «Койлыбай - кобызшы» = а, т.с.с.
Сейтш, Р сейлемнщ А жиындагы х - заттык айнымалылардьщ
эркайсысына «акикат» (а) немесе «жалГан» (ж) деген eKi мэннщ 6ipeyiH
сэйкес коятынын KepeMi3. Олай болса, Р сей л ем р А жиында аныкталган
niKip - функция деп карауымызга болады дей аламыз.
Р: «х - кобызшы» деген сез болатын пайым деп карауымызга
болады.
Сондыктан, Р сейлемд 1 К - предикаттын функциясы деп карауга
какымыз бар ягни Р= К(х). Мундагы К - бeлгici предикат болатын
«кобызшы» ce3iHiH бастапкы эрптн керсетеда.
Сонымен, К(х) niKip-ф ун к ц и я мынадай пайымдык сейлем аркылы
аныктапатынын KepeMi3:
К(х) = «х - кобызшы».
Субъею та немесе субъектшерО заттык айнымалы боп келетш
пайымды, 6 i3, пайымдык сейлем немесе пгарлпс сейлем деп атаймыз.
214
Заттык
айнымалылардын
орнына
заттык
(жекелемд1к)
турактыларды койган кезде пайымдык сейлем nixipre айналады, ягни
бул сейлем «а» немесе «ж» деген мэн кабылдайды.
Сонымен, мынадай корытынды ереже айта аламыз.
Егер
пайымдык
(немесе
пшрлш)
сейлемдеп
заттык
айнымалынын орнына заттык турактыны койган кезде бул сейлем niKip
болса, онда бершген пайымдык сейлемд* niRip-функция деп
карауымызга болады.
2 - мысал. A=R - нактылы сандар жиыны . хе А.
Р(х): «х - 6 yriH сан» деген сейлемд1 алайык.
Муны субъект - «х-сан», ал предикаты «бутш сан» деген
сездерден туратын пайымдык сейлем деп карауга болады. Б-белпа
ретшде «Бутш сан» деген предикат сездш 6ipiHiui apni алынып отыр.
Сонда «х - так сан» деген ею мушел1 сейлемд1 apin белгшемеЫ аркылы
кыскаша былай жазып керсетуге болады: «х - Т». Бул калыптаманы
«субъект (х) - предикативтш (Т)» немесе «Бастауышты (х) баяндауыштын (Т) пайымнын б ел п а боп табылады. Мундай пайымдык
сейлемнш Т предикатын функция
угымыныц математикалык
аныктамасына суйенш, Т=Т(х) улпсш деп niKip - функция деп
карауымызга болады. Буган кез жетюзу ушш х-ке натурал сандар
жиынынан капауымызша алынган мэндер 6epeMi3.
х = 3 болганда, Т(3) = «3 - так сан» = а.
х = 4 болганда, Т(4) = «4 - так сан» = ж.
х = 5 болганда, Т(5) = «5 - так сан» = а.
Осыдан Т белпнщ п ш рлж айнымалы болатынын керем1з. Буган
коса «Так сан» деген баяндауыш (предикат сездш - жиындагы ep6ip х-ке
«а» немесе «ж» деген ею акикаттык мэшнщ 6ipeyiH сэйкес коятыны
байкалады. Сондыктан, T(x)-Ti «niKip-функция», далiрек айтканда
«предикат - функция» немесе «баяндауыш - функция» деп карауга
какымыз бар. Осы талданган мысалдар аркылы кернеюленш кepceтiлгeн
дэйектерге суйене отырып, назарда болуы кажет 6ipHeuie ангартпа ойлар
айтуга болады.
1-ангартпа. 1) «х - кобызшы», 2) «х - так сан» сиякты 6 ip гана
бeлгiciз х-субъектщен (бастауыштан) туратын пайымдагы х epniH сол
пайымнан niKip шыгарып алу ушш калдырылган бос орын деп карауга
болатынын KepeMi3. Мысалы, айтылмыш l-uii жэне 2-uii мысалдарда
толтыратын бос орындар калдырылган «сауалнамалык (анкеталык)
калыптама» (формула) деп карап, былайша жазуга болады: 1) «...
дегешм1з кобызшы», 2) «...дегешм1з так сан». Осы капыптамалардагы
бос орынга А жиынында керсеплген белпл4 енерпаз кiciлepдiн атын
немесе натурал санды кою аркылы niKip жасалады.
«Коркыт - кобызшы адам» = а.
«Букар - кобызшы адам» = ж.
«4 - так сан» = ж; «5 - так сан» = а.
215
Карастырып еткен сейлем тер1здес 6ip белпазд 1 бастауыштан
(субъектщен) туратын пайымдык сейлемд1 6ip орынды niKip-функция»
деп атайды. Мундай niKip - функция, кебшесе, «6ip орынды предикат»
дел in те аталады.
Алдынгы мысалдардан 6ip орынды предикаттын субъект!с1
орнына койылатын х заттык айнымалынын кандай да 6ip касиеп туралы
баяндайтынын байкауга болады. Соган карап, 6ip орынды предикатты
касиет-предикат немесе касиет-баяндауыш деген сезбен де атайды.
2-ангартпа. 1-uii жене 2-мысалдардаш К(х) = «х - кобызшы»
деген жене Т(х) = «х- так сан» деген пшр-функцияны немесе касиетпредикатты (касиет-баяндауышты) кесте аркылы кернекшеп керсетуге
болады. Мундагы кестеш предикаттын «матрицалык кестест деп
атайды
1). К(х) = «х - кобызшы» деген niRip-функциянын матрицалык KecTeci
_____
гк.- к* гшъ'ъ
(Мунда х е А)._____ _______ Асан
Койлыбай
Букар
Коркыт
Аблай
ж
а
ж
а
ж
Ж ..
2)Т(х) = «х - так сан» деген пшр-функциянын матрицалык KecTeci
(xeN).
1
X
2
3
4
7
5
6
Т(х)
а
ж
а
ж
а
а
ж
3-ангартпа. Осы карастырылган К(х) жэне Т(х) птрфункцияларды математикалык бейнелеу амалынын тшнде былайша
белгшеп жазып керсетуге болады:_________________
К(х)
VxeA -> (а, ж}
Бул ернектеме аркылы мынадай тужырымдык ой ел1птенген:
К(х) niKip-функция А жиынындагы эр6ip х заттык (жекелеме)
айнымалыга (а,ж} жиыннын 6ip элементш сейкес кояды. Кыскаша
айтканда, К(х) шюр-функция А жиынын {а,ж) жиында бейнелеу! дейЛ1Бул ойды былайша да белплеп жазады:
К(х):А-> {а, ж}
Алдынгы талданган Т(х) niKip-функция ушш де осындай
ангартпалык ойлар айтуга болады:
_
VxeN -> {а, ж}
немесе
2 /6
Т(х): N -> fa,ж}
3-мысал.
А-казактын
халык
дастандарындагы
бас
каЬармандарынын аттары болсын:
А= {Баян,Козы, Кодар, Айбас, Ай, Тансык,Телеген, Ж1бек, Каршыга,
Шеге}.
Жазба турде пайдалануга колайлы болу ушгн А жиында
керсетшген xici аттарын олардын алгашкы эрштерш орналасу TepTi6i
бойынша неьцрлеп белплеп, былайша кыскартып жазамыз:
А={Б, Ki, Кг, А,, Аг,Т|, Т2,Ж, Кз, Ш}.
А жиынында аныкталган мынадай пайымдык сейлем бершсш
делж: «х - у-ке гашык» немесе «х гашык у-ке». Мунда х, уеА, х кыздардын , у - улдардын аттары.
А жиында берш п отырган осы пайымдык сейлемд 1 х жэне у ею
заттык (немесе жекелемдмс) айнымалынын F(x,y) niKip-функция немесе
«F-предикат-функция» деп карауымызга болады. Баскаша айтканда,
айтылмыш пайым - сейлемд! пайымдар логикасы тiлiндe былайша
белплеп жазуга болады :
F(x,y) =«х гашык у-ке».
Буган айкын кез жетюзу ушш А жиында керсетшген кiciлep
аттарын кос-костан сейкес келетш niKipniK мэндерш аныктаймыз:
(Б, КО болса, F(B, КО = «Баян гашык Козыга» = а.
(Б, Кг) болса, Р(Б, Кг) = «Баян гашык Кодарга»=ж.
(Б, АО болса, Р(Б, АО - «Баян гашык Айбаска»=ж, т.с.с.
С е й т т , F(x,y) = «х гашык у-ке» з «х - у-ке гашык» деген
ynrifleri пайымдык сейлемдерд1 «я!юр-функция» немесе «баяндауыш функция» деп карауга болатынын KepeMi3. Бул функция х пен у деп
аталатын eKi адамнын арасындагы Рашыктык катынасты
немесе
гашыктык байланысты бейнелейдй Сондыктан, F(x,y)- eKi орындык
предикат -функцияны гылыми жэне оку эдебиеттершде «катынас предикат» деп те атайды.
EKi орынды предикат - функцияны (катынас - предикатты)
матрицалык кесте туршде кернеюлеп керсетуге болады. F(x,y) = «х
гашык у-ке» деген предикат - функциянын матрицалык кестеа, х, у е А,
____________ ______________ _____________
х - кыздар, у - жшттер.
Ж 1бек (Ж)
Тансык (Т|)
у/х
Баян (Б)
Ай (А:)
ж
ж
а
Ж
Козы (КО
ж
ж
ж
ж
Кодар (Кг)
ж
ж
ж
ж
Айбас (АО
а
ж
ж
Телеген (Т>)
ж
ж
ж
ж
ж
Каршыга (Кз)
ж
ж
Шеге (Ш)
ж
ж
Осы кестеге суйенш, F(x) = «х гашык у-ке» - деген пайымдык
сейлемд1 математикалык бейнелеу тш нде былайша жазып керсетуге
болады:
F(x,y)
(х,у) еА : -> {а, ж}
217
Мундагы А2
белпс! А жиындагы элементтерден алып
жасалган (х,у) костар жиынын керсетедь
4-мысал i. А - 6ip орынды натурал сандар жиыны болсын, ягни
А = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
А жиында «х < у», ягни «х кем у-тен» улгю ндеп пайымдык
сейлем бершген. Мундагы х, у е N.
Бул катынасты А жиында аныкталган ею орынды «баяндауышфункция» немесе «предикат-функция» деп карауымызга болады.
Баскаша айтканда, былайша жазуга болады:
К(х,у) = «х < у» = «х кем у - тен». Мундагы К б ел п а «кем» деген
алгебралык ара катынастьщ 6ipmmi арйанен алынып отыр. Сонда К(х,у)
ягни «х < у» катынасын былайша «хКу» деп жазуга да болады.
К(х,у) катынас предикаттык niKip-функция болатынын керсету
ущш осы катынастын матрицалык кестесш курамыз.
К(х,у) =«х< у» деген ею орынды предикаттын матрицалык
KecTeci, х,у еА={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
х/у
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
2
а
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
3
а
а
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
4
а
а
а
ж
ж
ж
ж
ж
ж
5
а
а
а
а
ж
ж
ж
ж
ж
6
а
а
а
а
а
ж
ж
ж
ж
7
а
а
а
а
а
а
ж
ж
ж
8
а
а
а
а
а
а
а
ж
ж
9
а
а
а
а
а
а
а
а
ж
Осы кестен1
математикалык бейнелеу тш нде былайша
ернектеп жазуга болады:____________________
J(x,y)
(х,у) eN 2 —>
{а,ж}
5-мысал.
К={1,2,3,4,...,п,...}-натурал сандар жиынында
мынадай пайымдык сейлем бершген:
Б(х,у) = «х саны у-тщ бeлгiшi», х,у eN.
Б(х,у) сейлемдТ N -натурал сандар жиынында аныкталган eKi
орынды предикат немесе eKi орынды niKip-функция деп карауга болады.
Буган Б(х,у) пайымдык сейлемнщ матрицалык KecTeci айгак бола алады.
Б(х,у) ш «х саны y-TiH белгшй» деген ею орынды предикатфункциянын матрицалык кестеЫ, х,у eN.
218
У/х
1
2
3
4
5
1
а
а
а
а
а
2
ж
а
ж
а
а
3
ж
ж
а
ж
ж
4
ж
ж
ж
а
ж
5
ж
ж
ж
ж
а
6
ж
ж
ж
ж
ж
7
ж
ж
ж
ж
ж
8
ж
ж
ж
ж
ж
9
ж
ж
ж
ж
ж
10
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
п
ж
ж
ж
ж
ж
Кестеш математикалык бейнелеу тш нде былайша жазамыз:
К(х,у)
Ш -»
{а, ж}
6-мысал. N={1,2,3,...,п,...} - натурал сандар жиынында K(x,y,z) =
«х, у сандарынын косындысы z болады» = «x+y=z» деген пайымдык
сейлем бершген.
K(x,y,z) сейлемд1 уш орынды предикат немесе уш орынды niKipфункция деп карауга болады.
(2.3.5) болса, ягни К(2,3,5) з «2 мен 3 тщ косындысы 5» = а.
(2.3.6) болса, ягни К(2,3,6) = «2 мен 3 тш косындысы 6» =ж.
(1,7,8) болса, онда К( 1,7,8) з «1 мен 7 нщ косындысы 8» = а, т.с.с.
6-мысалдагы K(x,y,z) niKip-функцияны математикалык бейнелеу
тш нде былайша жазып керсетуге болады:
K(x,y,z)
V (x,y,z) e N 3 -» {а, ж}
Мундагы N 3 - дегешмЬ жиын элементтершен алып курылган
барлык (x,y,z) уштемелер (узындыгы 3 ке тен кортеждер) жиыны. N3
белпсш «декарттык кубы» деп те атайды.
7-мысал. A={aj, а:, а3, гц, а5, а6} - жазыктыкта жаткан тузулер
жиыны болсын( 1-сызба). А жиынында П(х,у)= «х||у» = «х тузу1 у тузу1не
параллель» деген пайымдык сейлем бершген. Мунда х,у еА. А бершген
тузулер жиынындагы П(х,у) - пapaллeльдiк катынасын ею орынды
niKip-функция деп карауга болады.
(а|, а4) болса, П(а 1,а4) = «а|||а 4» = а.
(ai, as) болса, П(а|, as) = «ai||as» = ж.
(а:,аз) болса, П(а;, а3) = «а;||аз» = а, т.с.с.
1 - сызба.
С ей тт, П(х,у) = «х||у» деген пайымдык сейлемд1 бейнелеу
тш нде былайша ернектеп жазуга болатынын KepeMi3:
219
П(х, у)
(х,у) е А 2
{а, ж}
8 - мысал. Айталык А жиыны Казакстаннын калалары болсын:
А={Турюстан, Орынбор, Кызылорда, Алматы, Астана}={Т,0, К. А |, А2}.
Р(х) г «х - Казакстаннын астанасы» .
Ел аузындагы жане тарихи кужаттарга суйенсек, Р(х) сейлемнщ А
жиында тенбе-тен акикат (ягни унем1 акикат болатын й ш р - функция
ек ен д т н е кез жетюзуге болады). Баскаша айтканда, А жиында бершген
Р(х)= «х - Казакстаннын астаналык каласы» деген пайым-сейленш
математикалык бейнелеу тш н д е былайша жазып керсете аламыз:
РйГ"
А ----------►{а, ж}
9- мысал. А={а|, а2, аз, ал} - казак ел1 eMipiHfleri есте каларлык елеуш
тарихи окигалар жиынынан турады.
а|= 551 жылы кене турк ш ер KeceMi Бумын каган деген мертебел 1 атакты
иеленген.
а2= 7J1 жылы турю елш щ отаншыл батыры Култепн кайтыс болтан.
а3= 17' 3 жылы казактар Сыр бойын мекен еткен.
а4= 1731 жылы Kiuii жуз казактары Ресей патшалыгынын карамапяна
енедь
А жиында мынадай пайымдык сейлем аныкталган:
К(х,у) = {х окига у окигадан кешн болган»}. К(х,у) сейлемнщ ею
орынды niKip-функция болатынын керсету киын емес. Сонымен, A={ai,
а2, а3, ал} жиында бершген К(х,у) пайымдык сейлемд! б ей н ел ш тiлдe
былайша жазуга болады:
К(х,у)
{а, ж}.
10 - мысал. А - R накты сандар жиынында аныкталган х, у eKi саннын
квадраттары айырымын ернектеипн тенбе-тещпк бершсш:
X2 - у2 =(х -у)(х +у).
Бул Е(х,у) = «х пен у ею саннын квадраттарынын айырымы»
туралы формула R накты сандар облысынан алынган (х,у) барлык
костар ymiH, сез жок, «а» деген мен кабылдайды. Демек, Е(х,у)=х'у"=(х-у)(х-у) формуланы R облыста тенбе-тен акикат болатын niKipфункция деп карауга болады. Баскаша айтканда, Е(х,у) пайымдык
сейлемд! мынадай «катынас-предикат» деп аныктауга болады:
220
11
-мысап. A=R накты сандар облысында «х+1=х» дег
пайымдык формула бершген болсын.
Бул формуланы R облыста былайша аныктаган: F(x) * «х+1=х»;
«х ке 1 Д1 косканда х шыгады» деген пайымдык сейлем туршде жазып
керсетуге болады. F(x) пайымдык сейлем R облыстагы ep 6ip х ушж «х»
деген мен кабылдайтын niKip-функция деп карауга болады. Баскаша
айтканда, F(x) тенбе-тен жалган тю р -ф у н к ц и я боп табылады. Оны
былайша аныктауга болады:
2.2. Предикаттарга
колданылатын
амалдар
Баяндауыш болатын сез бастауыш
атаган
нэрсеш ц не сыр - сипа гын. не
амалын, не жайын» не болмысын корсету
керек...
А. Байтурсынов.
Алдынала ангартпалар. 1-ангартпа. Айталык кандай да 6ip
заттык айнымалылардын А жиынында аныкталган 6 ip орынды яки кеп
орынды Р мен Q предикаттар бершген болсын. Р мен Q кеп орынды
предикаттар болган ретге, айкындык ушш, олардыц eKeyi де сандары
6ipfleft заттык айнымалылардан турады деп уйгарамыз. Мысалы Р(х,у)
жене Q(x,y); P(x,y,z) жэне Q(x,y,z); P(xi,x2...хп) жэне Q(x,y,z) болады
деп аламыз.
2-ангартпа. А жиында аныкталган P(xi, х2,..., х„) предикат
бершсш. Мунда х ь х2, х 3,..., хп е А . Осындагы x i х2, Хэ,..., хп - заттык
айнымалылар мэндерш щ (аь а2,..., ап) жиналымына Р предикаттык P(at,
а2,...,ап) дербес мэш сэйкес келедг Р предикаттык бул мэнш «а» немесе
«ж» деген eKi мэннщ 6ipeyiH кабылдайтын niKip деп карауымызга
болады. Айтылмыш «а» жэне «ж» логикалык е й мэнд| предикаттык
«акикаттык м эн д ер т деп атайды.
Сейтш, Р предикаттык айнымалынын {а, ж} ею элементпк
жиынга THeci болатынын KepeMi3, ягни Р е {а, ж}.
3
-ангартпа. Айталык Р(хь х2,..., хп) жэне Q(X|, х2,..., х„)
жиынында аныкталган п - орынды предикаттар болсын. Осы eKi
предикат арасындагы тенмагыналылык катынасы (=) жиындагы угымды
былайша аныктауга болады.
Аныктама. Егер де P(xj, х2,..., х„) жэне Q(xi, х2,..., хм) eKi
предикат А жиындагы xi.x2,...,xn заттык айнымалылар M9HflepifiiH кез
келген жиында б1рдей «а» деген не eKeyi де бгрдей «ж» деген мэндер
кабылдайтын болсын), онда Р мен Q тенмагыналы предикаттар деп
аталады. Тенмагыналы предикаттарды былайша жазып керсетедн
Р(Х|, х2,..., хп) =Q(X), х2,.„, хп) .
221
1-мысал . А = R накты сандар облысында х+2 = 0, x+2cosn=0
тендеулер1 бершиЖ Бул тендеулердщ вркайсысы сейкес турде х=2
болганда «а», ал х-тад баска барлык мумкш мэндершде «ж» деген
акикаттык мэндер кабылдайтын Р(х) жэне Q(x) 6ip орынды предикаттар
деп карауымызга болады. Сондыктан, (х+2=0) (x+2cosn=0) ягни Р(х)
=Q(x).
2
-мысал. X2 - 4 > 0 жэне
1x1 > 2. Бул тенс|здгкте
эркайсысын (-оо, -2) и ( 2, +°о) жиынындагы жэне тек сон дары х-твд
мэндер1 ушш «а» деген мэндер кабылдайды. Демек, буларды да сэйкес
турде Р(х) жэне Q(x) - 6ip орынды предикаттар деп карауга какымыз
бар.
(х2 - 2>0) J (1х1>2) ягни Р(х)= Q(x).
4-ангартпа.
Предикаттар
арасында
орындалатын
тенмагыналылык (=) катынасы уш турл1 танымал касиетке ие болатын
тенгермелк (эквиваленгпк) катынастар жуйесше жатады. Атап
айтканда, тенмагыналылык катынасы ушш мына касиеттер кашанда
тура болады:
1. Р =-Р оз1ндшк (рефлексивт1к) касиет;
2. Егер P=Q болса, онда Q s P epcini - карсылык
(симметриялылык) касиет;
3. Егер Р= Q жэне QsR болса, онда PsR - кеишр1мдшк
(транзитивт 1к) касиет.
Осы аталган касиеттерге суйене отырып, кандайда 6ip Р|
предикатты онымен тенмагыналы болатын баска 6ip Р: предикат
аркылы алмастыруга болады. Мундай алмастыруларды тенмагыналы
турлещнру деп атайды.
5-ангартпа.
Бершген 6ip предикаттан немесе б1рнеше
предикаттардан кандай да 6ip жана предикаттын жасалуын бер1лген
предикатка (я предикаттарга) колданылган амал (операция) деп аталады.
А жиында аныкталган Р=Р(Х|, х2,..., хп), Q(xi, Хг,..., х„)
предикаттар бершген болсын. Сонда Р, Q предикаттык айнымалыларды
{а, ж} - ею элементт! Буль жиынына тиеа болатын логикалык
функциялар деп карауга болатынын бшем1з, ягни Р з{а, ж}, Q={a, ж}.
Олай болса, пшрлерге колданылатын амалдардын куадсш Р
жэне Q предикаттарга да жумсауга болады. Атап айтканда, мынадай бес
логикалык амалдар предикаттар логикасынын да непзп амалдары боп
табылады:
1. Р(х) - TepicTey амалы (« ем ес» амалы).
2. Р(х)л Q(x) - кабаттамдау (конъюнкциялау) амалы («жэне»
амалы), логикалык «кебейту» амалы.
3. P(x)v Q(x) - ажыратпалау (дизъюнкциялау) амалы («немесе»
амалы, логикалык «косу» амалы, 6ipiicripe ажаратпалау амалы.
4. Р(х) ->Q(x) - сабактастыру (импликациялау) амалы («Егер
Р(х), сонда Q(x)» улпс1ндеп амал).
222
5.
P(x) « Q (x ) - тенгермелеу (эквиваленциялау) амалы («Р(
егер жэне тек кана erep Q(x)» улпсшдеп амал).
6
-ангартпа. Р мен Q предикаттык айнымалыларды
кабылдайтын акикаттык мандер1 осы предикаттарга енетш заттык
аргументтер санына теуелд] емес.
Сондыктан, 6i3 пшрлер
алгебрасынын амалдарын тек Р(х) пен Q(x) 6ip орынды предикаттар
ушш гана аныктаймыз. Бул аныктамалардын 6api кепорынды
предикаттар ушш де жарамды бола алады.
Предикаттарга колданылатын айтылым бес амалдын бас басына жекелей токталып етем1з.
/. Предикатты mepicmey амалы
1
-аныктама. А жиынында аныкталган Р(х) предикаттын т е
с - т е м е с i деп аныкталу облысы осы А жиыны болатын жэне А
жиынынын Р(х) предикат жалган болатындай жэне тек сондай x-T epi
ушш FaHa а к и - к а т болатын Р(х) предикатты айтады.
Бул
аныктаманын
мазмунын
Эйлер-Венн
сызбанамасы
(диаграммасы) аркылы кернекшеп TyciHflipyre болады (1-сызба).
Р(х) предикат бершген А жиыны осы
предикаттын пермешмен eKi жиыншага
бел1мшеленедк 6ip жиыншада А жиыннын
Р(х) предикат «а» деген мэн кабылдайтын
элементтер! жатса, екщ ш жиыншага Р(х)
предикат «ж» деген мэндер кабылдайтындай элементтер1 тиес! болады.
1-сызба.
BipiHiui жиынша (сызбадагы денгелек iiu iaae жаткан элементтер
жиыны), сез жок, Р(х) предикаттын Тр - акикаттык мэндер жиыны боп
табылады. Сонда А тш тертбурыштын (P(x)-TiH аныкталу облысынын)
денгелек сыртында жаткан нуктелерш (тж тертбурыштын параллель
сызыктармен штрихталган бел1мшелерш) Р(х) предикаттын «жалган»
деген
мендер
кабылдайтын
жиыншасы
деп
карауымызга
болады. Баскаша айтканда, осы сонгы белхмше
Р(х) тер 1стеме
предикаттын акикаттык облысы(Т р) боп
табылады. Сызбадан Т р =А\Тр (1) болатынын керем!з. Мунда ТрсА
болгандыктан, А\Тр айырманы Тр жиыннын А жиынга толыктаушысы
( Тр) деп карауга хукымыз бар. Сондыктан, былайша тужырым жасауга
болады:
Т р = Тр
(2)
шщ
Сонгы жазылган (2) тещпк мынадай теоремалык тужырымнын
делелдеу! боп табылады
Теорема. Р(х) терютеме предикаттын акикаттык облысы (Т р)
бершген Р(х) предикат акикаттык облысынын (Тр -нын) А жиынга
дейшп толыктаушысына ( ТР) тен болады.
Делелдеу. (Жогарыда кeлтipiлдi).
223
Предикатты терктеу амалынын аныктамасын б1рнеше нактылы
мысалдар аркылы т у а щ й р т етем13.
1-мысал. A=R нактылы сандар жиынында «х>5» деген предикат
бершген.
1. Осы предикаттын TepicTeMeci кандай предикат болатынын
жазып корсет.
2. Бершген предикаттын акикаттык облысын жазып корсет.
3. Терютеме предикаттын акикаттык облысын жазып корсет.
Шешу. x eR , R(x) s «х>5».
1. xeR , R(x) = «х^5».
2. Tp=[5, +оо), Т P=R\ [5,+оо)=(-оо,5).
3. Т р =(-оо, 5).
2
-мысал. А - барлык тертбурыштар жиыны. А жи
мынадай niKip-сейлем бершген: Р(х) щ «Диагоналдары езара
перпендикуляр боп кeлeтiн кез келген х тертбурыш ромб болады». Осы
Р(х) пшрдщ T epicT eM e niKipi калай айтылады?
Шешу. Р(х) = «Диагоналдары перпендикуляр болганымен ромб
болмайтын х тертбурыш бар».
Р(х)- T epicT eM e пМрдщ акикат екенше 2 - сызбадагы вдщшдеме делел бола алады.
V
Осы мысалдан Р(х)= ж, ал Р(х) = а болатынын
' с
в \
/
KepeM i3.
Я |>
/ 2-сызба.
3
-мысал. А={0,1,2,3,...,10} сандар жиынында Р(х) ш х'-5
предикат бер1лген. Осы предикат ушш мына есеп-тапсырманы
орынданыз: а) Тр акикаттык облысын аныктаныз; е) Р(х) TepicTeMe
предикатты жазып керсетЫз; б) Т р акикаттык облысын табыныз; в) ТР
мен Т р акикаттык облыстарды Эйлер - Венн сызбанамасы
(диаграммасы) аркылы ернектевдз.
Шешу. а) Х |= 0 , Х := 5 сандары х - 5х=0 тендеушщ туб1рлерг.
Предикаттар логикасынын тш нде айтканда Р(0)= а жене Р(5) = а
болады. Демек1Тр= {0,5}.
е) Р(х)= «х2 - 5х =0» s «х2 - 5х *0».
б) Т Р = А \Т Р = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} = ТР.
4
-мысал. А - барлык ушбурыштар жиынында Д(х)= «х - до
бурышты ушбурыш» - деген предикат (баяндауыш - функция) бершген.
Осы Д(х) - предикат ymiH мына есеп- тапсырмаларды орынданыз: а) Д(х)
- Tin Д(х) терютемелж (бекерлемелйс) предикатын жазып керсет; е)
II
Ш
Д(х) предикаттын акикаттык облысын (Тя) жазыныз; б) Д(х) терютеме
предикаттын акикаттык облысын (Тд) тауып жазыныз; в) Д(х) жэне
Д(х) предикаттардын акикаттык облыстарын Эйлер-Венн сызбалары
аркылы кернекшеп керсетвдз.
Шешу. а) Бершген^ Д(х) пш рлж сейлем бектм дж пайым
улпсшде бершген. Ендеше Д(х) терютеуин пайымдык сейлем улпсшде
былайша айтылуы тшс: Д(х) = «х - догал бурышты ушбурыш емес»- «х
- догал бурышты ушбурыш болмайды». э)Тд а «Барлык догал бурышты
ушбурыштар». б) Т 5 = «Барлык cyfiip бурышты жэне TiK бурышты
ушбурыштар».
в)
А
4- сызба.
5 -мысал. А - жазыктыктагы тузулер жиыны. Осы жиында eKi
орынды мынадай кос предикаттар бершген:
а) Р(х,у) = «х тузу! у тузуш е параллель»;
б) Q(x,y) а «х тузу у тузуш киып етеда.
В - K eH icTiicreri тузулер жиыны. Осы жиында мынадай ею
орынды предикаттар бершген:
a) R(x,y) —х тузу у тузуше параллель»;
S(x,y) = «х тузу у тузуш киып етедЬ>.
Мына есеп-тапсырмага жауап 6epiHi3:
а) Р(х, у) жене Q(x,y) предикаттарынын 6ipeyi екшшсше
терютеме бола ала ма?
б) Р(х, у) жэне S(x, у) предикаттарынын 6ipeyi eKimuiciHe
терютеме боп табыла ма?
Шешу. a) «Q(x, у) s р(х, у)» жэне «Р(х,у)=
Q (х, у) деп карауга болады.
б) «S(x,y) а
р(х,у)» немесе «Р(х,у)= s(x,y) деп карауга
болмайды.
Корытынды ангаотпалап.
1
-ангартпа. А облыста аныкталган Р=Р(х) 6 ip орынды
функния деп S бастауышынын (субъект1тн) орнын толтыру уш 1н бос
калдырылган мынадай «...дегешм1з Р болады» калыптаманы угатын
боламыз. Егер осындагы бос орынга А жиынынан алынган х заттык
айнымалыны коятын болсак, онда Р(х) былайша жазьшып керсетшедг:
Р(х) а «х дегенШ13 Р болады» немесе Р(х) = «х - Р».
«х - Р» улпсш деп бастауыштын орны бос калдырылып
баяндауыш (предикат) кана керсетшетшд1ктен Р(х) 6ip орынды niKipфункцияны баскаша « 6ip орынды предикат» деп те атайды.
225
niK
С е й т т , будан былай «пш р-ф ункция» немесе «логикалык
функция» деген езара магыналас сездерден жасалган угымды
«предикат» деген сезбен гана атайтын боламыз.
2-ангартпа. Айталык б1зге кандай да 6ip х заттык айнымалы
мэндерш щ А жиыны бершсш, ягни А = {aj, а;,,..., а,,}, х еА . Сонымен
катар {а, ж} немесе {1,0} - ею элем ента Буль жиынын аламыз. Мунда:
а= «акикат» = 1 жене ж = «жалган»=0 деген мэндер кабылдайды.
А жиынында аныкталган Р=Р(х) niKip-функция бершген болсын.
Осы белплемелерге суйенш, 6ip орынды предикат угымын былайша
аныктауга болады:
А н ы к там а.
А жиынында аныкталган Р=Р(х) 6ip орынды
предикат деп х заттык аргумент! А жиынга THicTi болатын, ал Р-нын
барлык мэндер} {а, ж} жиынга тиесии боп келетш Р=Р(х) niKipфункцияны атайды.
Мундай предикат х заттык айнымалынын касиетш баяндаушы
сипаттама боп табылады. С е й т т , предикаттар логикасында Р(х) 6 ip
орынды предикат деп «А жиынга ти есш х элемент Р касиетке иемдещц»
- аг ен тужырымдык ой угылатынын KepeMi3.
А жиынын Р(х) предикаттык аныкталу облысы деп атайды, ягни
Д(Р) А. Ал Б={а, ж} немесе Б={1,0}-Буль жиынын Р=Р(х)- предикат
мэндерш щ жиыны дейдц Сондыктан, Е(Р)={а, ж} немесе Е(Р)={1,0}
деп каралады.
3
-ангартпа. Айталык Р=Р(х) жиында аныкталган 6ip орын
предикат болсын. Егер Р = а яки Р т ж болмаса Р предикаттын А
жиынды Т жэне В=А\Т eKi iuiri жиынга б елетЫ анык. Т жиынга А
жиыннын касиетке иемейз® болатын элементтер1 енёдь Баскаша
айтканда, V xeT : Р(х)= а. Ал В жиынга А жиыннын Р касиет тэн емес
элементтер1 жатады. Сондыктан, V xeB : Р(х) = ж деп карауга болады.
А н ы ктам а. Р=Р(х) предикатка аныкталу облысы болатын А
жиыннын Р=Р(х) предикат «а» деген мэн кабылдайтын Тр- бёй|щ рёсш
(imKi жиынын) Р предикаттык акикаттык облысы деп атайды.
Жалпы турде апганда, Тр с А боп келедк
Мысалы. А={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9} - 9 цифрдан куралган бутш сандар
жиыны болсын. Осы жиында бершген: Р(х) s «х - жай сан» деген 6ip
орынды предикат, Р предикаттын Тр акикаттык облысы деп мына
жиынды атауга болады: Тр ={2,3,5,7}. уйткеш, Vx е Т Р: Р(х) s а болады.
4-ангартпа.
А={а|, а2, ..., а„} - жиынын х, у ею заттык
айнымалылар мвндершш жиыны деп карастырамыз.
Айталык х,уеА . х пен у айнымалынын А жиындагы ep6ip кос
(пар) мэнш (а^аз), (а|,аз) т.с.с. тэртттелген eKi элемещ т! жиын TypiHfle
жазып керсетедь Рылыми эдебиеттерде мундай тэрйптелген eKi
элемента костарды (парларды) ягни 6ipiHLui элемент1 мен еюнш]
элемент! атап керсетй^ен немесе нем!рленген костарды «ею-лембелер»
(2-лембелер немесе узындыгы 2-ге тен кортеждер) деп атайды.
226
)
А жиыны элементтершен жасалган барлык мумюн костар
(парлер немесе еюлембелер) жиыны алгебра пэншде А2 деп белпленед|'.
А‘ белпсш АхА - декарттык кебейтшд1 немесе декарттык квадрат деп
атайды.
А‘={(а|,а|), (а,,а2)„.., (а,,ап), (а2,а |),..., (а2ап),..., (ап,а|), (ап,а2),..., (а„,ап)}.
Осы баяндалган косалкы угымдар мен белплемелерге суйене
отырып, А жиында аныкталган ею орынды предикат угымын былайша
аныктауга болады:
Аныктама. А" жиынында аныкталган Р =Р(х,у) ею орынды
предикат деп (х,у) кос заттык аргумента А2 жиынга тиесш болатын, ал
Р-нын барлык мэндер1 {а,ж} жиынга тиесш боп келетш Р=Р(х,у) niKipфункцияны айтады.
А" костар (еюлембелер) жиынын Р(х,у) предикаттын аныкталу
облысы, ал {а,ж} жиынды осы предикат мэндершщ жиыны деп
каралады ягни Д(Р) = А2 , Е(Р) = {а,ж}.
Курамында х жане у eKi заттык (жекелемдж) айнымалы болатын
Р(х,у) ею орынды предикат х пен у айнымалылардын арасындакы
кандайда 6ip Р катынасты (байланысты) баян етедь
Сондыктан, Р(х,у) ею орынды предикаты «катынас-предикат»
деп те аталады.
Аныктама. Р=Р(х,у) eKi орынды предикатка аныкталу облысы
болатын А‘ костар жиынынын Р=Р(х,у) предикат тек «а» деген мэн
кабылдайтын Три1 - бел1мшесш (iiUKi жиынын) Р=Р(х,у) предикаттын
акикаттык облысы деп атайды.
Мысалы. А = {1,2,3} жиын бершген.
А2= {(1,1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2,2), (2, 3), (3, 1), (3,2), (3, 3)}.
Р = Р(х, у) щ «х<у», (х,у)е А 2. Т2= {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}.
5 - ангартпа. Алдынгы баяндалган 1-2 ангартпаларда курамы 6ip
заттык айнымалыдан (х) туратын Р(х) предикаттын 6ip орынды предикат
деп аталатынын, курамында х, у eKi заттык айнымалы бар х, у, z уш
айнымалы енетш Р(х, у, z) предикатты уш орынды предикат деп атайды.
Кеп орынды предикат туралы угымды жалпылап аныктау y m iH
«нел орынды предикат» деген аныктама айтуга болады.
Аныктама. IliKipfli немесе Р шюрлж элементар айнымалыны
нел орынды препикат деп атайды.
Р(хь х2,..., Хп) - п-орынды предикат, ягни п а р гу м е н т предикатфункция туралы угым енпзуге болады. Ол ymiH, еуелй «тертштелген плембе» немесе узындыгы п болатын «кортеж» деген косалкы угым
аныкталуы кажет, «п-лембе» угымы «кос» (2-лембе немесе «пар»)
угымынын жалпыланган жагдайы боп табылады.
Айталык ешкайсысы кур емес А |, А 2,...,А„ жиындар 6 e p in c iH ,
ягни А| *0, Аз*0,..., А п ^ .
Аныктама. Х |€А |, ХгеА:,..., ХпеАп болатын (xi, Xi,..., Хп) п
элемента жиынды «п-лембе» немесе «энлембе» деп атайды.
227
Математикалык эдебиеттерде «энлембе» узындыгы п-ге тен кортеж деп
те аталады.
Аныктама. Эркайсысы кур жиын емес А|, Аг,..., Ап жиындардан
жасалган барлык мумкш (Х|, Хг,..., Хп) «энлембелер» жиынын А|Х А2х...х
Ап - декарттык кебейтшд1 деп атайды.
Егер А|=А2=...= Ап болса, онда Ajx А2х...х Ап^А - декарттык
дареже деген сезбен аталады.
Декарттык кебейтшд! жэне декарттык дэреже туралы косалкы
угымдарга суйещга п-орынды предикаттар туралы уплмдарды былайша
аныктап айтуга болады:
Аныктама. Аь Ап,..., Ап заттык айнымалылар жиындарда
аныкталган п-орынды Р(Х), х2,..., хп) предикат деп Д(Р) аныкталу облысы
А 1ХА2Х...ХАП декарттык кебейпщп болатын, ал Р - нын мэндерщщ
жиыны Е(Р) = {а, ж} - Буль жиыны боп келген п-орынды niK ipфункцияны айтады.
Мундай предикат функциялык
бейнелеу тш нде былайша
аныкталып жазылады:
Р(Х|, х2.... Хп)
{а, ж}
А 1Х А 2 Х ...Х А П
=>
Р = Р(х,, х2,..., хп)
Р (Х |,
Осы аныктаманын улпЫмен А жиында аныкталган п-орынды
х2,..., Хп) предикат туралы угымды былайша белплеп аныктайды:
Р (Х |,Х 2.... хп)
Ап
=>
{а, ж}
(хь х2,..., Хп)е Ап , Ре {а, ж}
Р = Р(Х], х2,..., хп)
1-мысал. А|={1, 2, 3}, А2={2, 4} жиындары бершген. Х|еА|, Хге
Аг, P(xi, х2) | «Х|<Хг деген ею орынды предикатты функциялык бейнелеу
тшшде жазып керсетвдз. Сонымен катар Р(Х|, х2) предикаттын Тр
акикаттык облысын аныктап жазыныз.
Шешу. Ен алдымен, А|ХА2 - декарттык кебейтшдш курамыз:
А,хА2 - {(1,2), а , 4), (2,2), (2, 4), (3,2), (3,4)}.
Р (Х |, х2) = «Х |<Х 2» niKip - функциянын матрицалык KecTeci (xi,x2)
е AixA2.
Р=Р(х., х2)
(Х|,Х2)
Х )< Х 2
а
1<2
(1,2)
1< 4
а
П . 4)
ж
2<2
(2, 2)
а
z< 4
(z:w ~
ж
(3,2)
3 <2
3 <4
а
(3, 4)
II
228
A|XA;
P(xi,x:)
=> {а, ж}; Тр = {(!., 2), (1 ,4), (2, 4), (3, 4)}.
2 - мысал. А= {1, 2, 3} жиын жэне онда Q(X|, xi)= «Х|+Хз=5»
деген exi орынды предикат бершген. Д(<3) мен TQ ды табу керек.
Шешу. Алдымен декарттык квадрат - А2 курамыз:
А‘ = {(1,1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1),(3, 2), (3,3)}.
Q(xi, Хп) = «Х|+Х;» niRip-функциянын матрицалык кестесш
х:)
(1,1)
(X),
ш
(1,3)
(2,1)
(2, 2)
(2, 3)
___(3,1)
(3,2)
(3,3)
В
Q(x, у)
1
<а,ж);
Х|+Х2=5
1+1=5
1+2=5
1+3=5
2+ 1=5
2+2=5
2+ 3=5
3+1=5
3+2=5
3+3=5
Q=Q(x|, х2)
ж
ж
ж
ж
ж
а
ж
а
ж
Д(0)=А2; Т0={(2, 3), (3, 2)}.
6-ангартпа. Алдыцгы айтылгандардан niKip-функциялардын
ягни предикаттардьщ эр турл! эдктермен 6epmyi мумкш екенш керем13.
Атап айтканда, 6ip орынды жэне кеп орынды предикаттар курамында
белг1С!з1 бар пайымдык немесе niKip-сейлем аркылы бершедь Олар
тендеу мен теназдгктер туршде бершетш болады. Сондай-ак
предикаттар матрицалык кесте туршде де бepiлeдi.
2.
Предикаттарды кабаттамдау
(конъюнкциялау) амалы
Айталык Р(х) пен Q(x) - х заттык айнымалылардын жиынында
аныкталган предикаттар болсын. Сонымен катар Р(х) предикаттын
акикаттык облысы - Тр, ал Q(x) предикаттык акикаттык облысы Tq
болсын деп уйгарамыз.
1-аныктама. А жиында аныкталган Р(х) жэне Q(x) eKi
предикаттын кабаттамы (конъюнкциясы) деп А жиынынын бастапкы eKi
предикаты б 1рдей «акикат» деген мэн кабылдайтын х элементтер1 ушан
жэне тек сол элементтер1 уиин гана «акикат» деген мэнге ие болатын
S(x) ушшип предикатты айтады.
229
Бершген Р(х) жэне Q(x) eKi предикаттын S(x) кабаттамасын
(конъюнкциясын) былайша белплеп жазады:
S ( x ) = P ( x )a Q ( x )
(1 )
Р[(х), Р2(х),..., Рц(х) предикаттардын S(x) кабаттамасын
айтылмыш айнымалыны жалпылай отырып, аныктайды жэне оны былай
белплейдк
S(x) = Р |(Х ) А Р2(х) А . . . л Р(х)
немесе
п
S(x) р а Рк(х)
к=1
Ею жэне саны одан кэп предикаттар (баяндауыштар)
кабаттамасын табу ушш журпзетш ликалык амал эрекеттерд! ягни
предикаттарды кабаттамдау (конъюнкциялау) амалы дейдь
Егер Р(х), Q(x) кабатталынушы eKi предикаттын акикаттык
облысы, сэйкес турде, Тр мен T q
жиындары болса, онда S(x)
кабаттамалык предикаттын Ts
акикаттык облысы Тр
мен T q
жиындардын киылысуына тен болады:
Ts-TpnTq.
Бул айтылгандарды Эйлер-Венн сызбанамасы аркылы кернеюлеп
керсетуге болады (5-сызба).
Т=Т р п Т0
5 - сызба.
Кабаттамдау амалына катысты айтылгандарды нактылы
мысалдармен талдамалап тусшд1рем1з.
1 - мысал. Айталык А - барлык амалдар жиыны болсын жэне
осы жиында: Р(х) = «х - казакстандык», Q(x) = «х - студент» деген
касиет-предикат (6ip орынды предикат) бершген дешк.
Есеп - тапсырма. а) А жиында аныкталган S( x )=P(x )a Q(x ) кабаттамалык (конъюнкциялык) предикатты сез Typiaae жазып
керсетдаз;
б) Тр, Tq жэне Ts - жиындарын аныктап жазыныз.
Шешу. a) S(x) = «х - казакстандык жэне х - студент» а «х казакстандык студент».
б) Тр - ез елшде жэне шетелдерде туратын Казакстан
Республикасы азаматтарынын жиыны.
T q- барлык студенттер жиыны. Т$=Тр n T q - казакстандык
студенттер жиыны.
2 - мысал. А= {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} жиынында мынадай 6ip
орынды предикаттар бершген: Р(х) = «х < 7», Q(x) = «х - жай сан».
II
230
Есеп - тапсы рм алар.
S(x)= P ( x ) a Q ( x ) - кабаттамалык
предикатты жазыныз.
а) Тр, Tq жене Ts - жиындарын аныктаныз;
б) А, Тр, T q жэне Ts жиындарын Эйлер-Венн сызбанамасымен
кернекшеп керсетпнз.
Ш ешу. a). S(x) = Р(х) л Q(x) * «х саны 7 ден кем жэне жай сан», хе А.
э) Т Р= {1,2, 3,4, 5, 6}, TQ= {2, 3.5, 7}, Ts = TpnT0 = {2,3,5}
б) 6 - сызбаны карацыз.
А
9 ----- ------------ . 1 0
/1
6 /2
\
|Ч
1 4
(з 5 )
)
T s —Т р П T q
-----
6 - сызба.
- мысал. А = R - нактылы сандар жиынында мына
предикаттар бершген: Р(х) = «х>-5», Q(x) = «х < 5».
Есеп - тапсырмалар. а) Тр жэне T q - акикаттык облыстарын
табыныз; э)
S(x)=P(x)aQ(x) - кабаттамдык (конъюнкциялык)
предикатты жазып керсетдаз; б) Ts - акикаттык облысты тауып
жазыныз.
Шешу. а) Тр жене х>5 тешлздычтн meuiyi боп табылады.
Сондай-ак Tq жиын х<5 - т е н а з д т н щ шеппмдер болсын, ягни Тр=(-00,
-5), TQ= (5,+оо).
э) S(x) = P(x )a Q(x ) = «(x>-5)a(x<5)» = «-5<х<5» а «|х|<5». Сейтш,
S(x) » P(x )a Q(x ) = |х|<5.
Ts- жиыны, сез жок, |х|<5 тенейздтнщ uieuiyi болатын х нактылы
сандар жиынынан турады. Демек, Ts= (-5; 5).
Сезаралык ангартпалар. 1-ангартпа.
Предикаттарды
кабаттамдау амалы |х| < а жэне |х| < а теназд1ктерш шешу барысында
жш жэне ти 1МД1 колданылады.
Мысалы. |х| ^3 тенс1здтн шеипшз. Бершген тецаздакп
тенгермешк турленд1рулер аркылы турленд1р1шз.
|х| < 3 о -3 < х < 3 (-3 < х) л (х < 3) ав Р(х) л Q(x) = S(x).
Осыдан Ts=[ -3; 3] болатынын керем1з. Демек,
бершген
тенс1зд1кт1н memiMi [-3; 3] сегмент! боп табылады.
2-аягартпа.
Предикаттар кабаттамасы (конъюнкциясы)
тендеулер системасынын шешу! туралы угыммен де ткелей байланысты
боп келедь OFaH кез жетгазу ушш мынадай eKi тендеулер жуйесш алып
карауга болады:
3
Мундагы ep6ip тендеуд! eKi орынды предикат деп карастыра аламыз:
Р(х, у) s «F(x, у)=0»; Q(x, у)= «Ф(х, у)=0». Сонда (1) тендеулер
жуйесшщ Тр жэне T q акикаттык облыстардын киылысуынан туратыны
анык ахуал. Баскаша айтканда, (1) теддеулерш Р(х, у) жэне Q(x, у)
предикаттардын кабаттамасы (конъюнкциясы) деп карауга болады.
CoFan карап (1) тендеулер жуйесш F(x,y)=0 жэне Ф(х,у)=0 ею
тендеулердщ кабаттамасы (конъюнкциясы) деп те атайды. Сондыктан,
1)
2) х' + у ! = 0 о ( х = 0 | л ( у = 0).
3. Предикаттарды
(дизъюнкциялау)
ажыратпалау
амалы
Айталык А жиынында аныкталган Р(х) жэне Q(x) 6ip орынды eKi
претикат бepiлciн. Осы eKi предикаттын ажыратпасы (дизъюнкциясы)
былайша аныкталады:
1-аныктама.
А жиында аныкталган Р(х) жэне Q(x) ею
предикаттын ажыратпасы (дизъюнкииясы) деп А жиыннын бастапкы
eKi предикаттын ец болмаганда 6ipeyi «акикат» деген мэн кабылдайтын
х элeмeнттepi Yшiн жэне тек сол элементтер1 ушш гана «акикат» деген
мэнге ие болатын S(x) ушшип предикатты айтады. Бершген Р(х) жэне
Q(x) exi предикаттын S(x) ажыратымын (дизъюнкциясын) былайша
белплеп жазады:
S(x)= Р(х) a Q(x)
( 1)
Мундагы Р(х) пен Q(x) - ажыратылушы (дизъюнкцияланушы)
предикаттар, ал S(x) - Ti сол предикаттардын ажыратылымы деп
аталады.
Алдынгы аныктаманы аркау ете отырып, Р|(х), Р 2(х),...,Рп(х) предикаттардын ажыратылымы туралы угымды жалпыламалап
аныктауга жэне оны былайша белгшеп жазуга болады:
S(x) = Р,(х) v P2(x)v ...v Рп(х)
немесе
п
S(x) = V Рк(х)
к=1
232
1
(2)
Exi жэне саны одан кеп предикаттар (баяндауыштар)
ажыратпасын табу уипн журпзшетш логикалык амал-эрекеттерд1
ажыратпалау (дизъюнкциялау) деп атайды.
Егер Р(х), Q(x) - ажыратылушы eKi предикаттын акикаттык
облыстары сэйкес турде Тр жэне Tq жиындары болса, онда S(x)
ажыратпалык предикаттын T s - акикаттык облысы айтылмыш eKi
жиыннын 6ipiryiHe тен болады, ягни T s = T P u T q
Бул айтылгандарды сызбанама аркылы былайша кернеюлеп
керсетуге болады (7 - сызба).
А
T s=T puT q
7 - сызба.
Ажыратпалау амалынын мазмундык сипаттамалары мен
колданыстык мумюнд1ктерш нактылы мысалдар кeлтipe отырып
туашйремйз.
1мысал. А кандай да 6ip факультеттеп студенттер жиы
болсын. Осы А жиында Р(х) жэне Q(x) eKi предикат бершген. Р(х)= «х еюнип курс студент»), Q(x)= «х - домбырашы студент».
Есеп-тапсьюмалар. a) S(x) | ажыратпа предикатты жазып
KepceTiHi3. б) Т р, Tq жене Ts акикаттык облыстарын атап жазьщыз.
Шешу. a) S(x) s P(x)v Q(x) $ «х - eKiHmi курс студенп немесе
домбырашы». б) Тр - факультетпн ею ш й курсындагы барлык
студенттер жиыны,Tq - факультеттеп барлык домбырашы студенттер
жиыны.Тв-факультеттеп eKiHmi курс студенттершш немесе домбырашы
cтyдeнттepдiн жиыны =TpuTQ.
2 - мысал. А - R нактылы сандар жиыны. Осында: Р(х) = «х<-3»
жене Q(x)= «х>3» деген предикаттар бершсш. Сонда S(x) = P(x)v Q(x) s
;«x<-3»v «х>3» s |x| >3 деп карауга болады. TP= (-<ю;-3), Tq= (3;+оо), ал Ts
= TpuTq ягни Ts= (-а>;-3) 6 (3;+°о).
Сезаралык
ангартпалар.
1-ангартпа.
Предикаттарды
ажыратпалау (дизъюнкциялау) амалы Е(х) Ф(х) = 0 (1) тецдеуш шешу
жолындагы пайымдаулармен пкелей байланыста боп келедь (1) тещип
орындалуы (акикат болуы) ymiH ондагы ею кебейтюштщ ец болмаганда
6ipeyi нелге тен болуы THic. Сондыктан, (1) тендеут TYбipлepiнiн жиыны
F(x)=0 (а) жэне Ф(х)=0 (б) eKi тендеу туб1рлершщ 6ipiryiHeH туратыны
анык. Сол ce6enTi (а) жене (б) тендеулер1н ажыратылымдык
(дизъюнктивтш) тендеулер деп атайды. Эрбгр ажыратпалык тендеуi
сэйкес турде Р(х) жэне Q(x) предикаттар деп карауга болады. Ts = Три
vT Q жиыны (1) тендеуд!н memyi боп табылады.
Мысалы. х: - 2х=0 TeaaeyiH шеш 1жз.
Шешу. х2- 2х = 0 о х(х - 2) = 0 о (х = 0)v (х - 2 = 0)<=>(х = 0)v
v(x=2) s P(x)v Q(x) = S(x). T P = {0}, T q = {2}, T s = {0, 2}- бершген
тевдеудщ шеш^мдер жиыны. Жауабы {0, 2}.
233
2 - ангартпа. Предикаттарды ажыратпалау амалы Р(х)Ф(х) > О
(2), Р(х)Ф(х)<0 (3) тенс1зд1ктерга шешу жолымен байланысты боп келедь
1/ V^ Q
ф
ж э н е К |л| ^
о
(а)
(б) eKi жуйенщ шеинмдерщщ 6 ipiryiH табу керек. Бул
мынадай Р a (F(x)>0) л (Ф(х)>0), Q э (F(x)<0) л (Ф(х)<0) предикат
ажыратпасы болатын S(x) - предикаттын акикаттык облысын табу керек
деген сез.
Мысалы. (х - 3)(х+2) > 0 теназдИ н шецпщз.
Ш ешу. Бершген тец й зд ктщ мынадай ек! тенс1зд1ктер жуйесше
тенмагыналы болатынына кез жетюзу киын емес:
х - 3 > 0
. .
х +2> 0
f л- — 3 < О
(х + 2 < О
Р(х) S | А 3 > ° о (х-3>0)л (х+2>0) о (х>3). л (х > -2 )о (х>3).
(.г + 2 > О
Демек, Тр=(3;+оо).
Q(x) = |^ + 2 < о ^ (х_3<0) А (х+2<0) <=>(х<3)л(х<-2 о(х<-2).
Демек, TQ=(-oo; -2).
Бастапкы бершген тецЫзджтвд uieuiiMi T s =
T Pu T q
- 6 ipiryi
болады.
1
1-1 1о
I й I
Жауабы: ( -оо ,-2 ) и ( 3, +<*>).
4. Предикаттарды сабактастыру
(импликациялау) амалы
А жиында аныкталган Р(х) жене Q(x) eKi предикат бершген. Осы
eKi предикаттын сабактасымы (импликациясы) былайша белгщенедг:
Р(х) => Q(x) s S(x).
EKi предикаттын логикалык сабактасымы туралы угым былайша
аныкталады:
1-аныктама. А жиында аныкталган Р(х) жене Q(x) eKi
предикаттын сабактасымы (импликациясы)
деп А жиыннын Р(х)
предикат «акикат», Q(x) предикат «жалган» деген мен кабылдайтын х
элементтер! ymiH жене тек сол элементтер уцпн гана «жалган» деген
мен кабылдайтын ушшпп 6ip S(x) предикатты айтады.
Р(х) пен Q(x) ею предикаттын сабактасымы (импликациясы)
былайша бедгшенеда:
S(x)s Р(х) => Q(x)
(1) . Мунда Р(х) сабактасымныц нeгiздeмeci. ал Q(x) - сабактасымнын салдары деп
аталады. Сабактасымнын непздемесш кейде онык «алгыламасы» немесе
«алгышарты», «аттанымы» деп те атайды.
Айталык Р(х) непздеменщ акикаттык облысы ТР, ал Q(x)
салдардын акикаттык облысын аныктау ушш былайша пайымдаймыэ: I- аныктама бойынша Р(х) => Q(x) = S(x) предикат Р(х) - акикат жэне
Q(x) - жалган болганда тек сонда гана «жалган» деген мэн кабылдайды.
Бул
Р(х) => Q(x) предикаты Тр п ТР жиынынын толыктаушысы
акикаттык
'облысы боп табылады, ягни Ts= TPn TQ . Осыдан де-Морганнын
жиындар киылысуына арналган заны бойынша былайша жазуга болады:
T s = Тр и Т о ш Т р и Тг
flFHH T s - T pw T r
(2 )
Сейтш, мынадай теоремалык тужырым дэлелденд1:
Теорема (Сабактасымнын акикаттык облысы туралы). S(x)
= =P(x)=>Q(x) сабактасымдык предикаттын акикаттык облысы (Ts)
непздемелш предикат облысынын А жиынга толыктаушысы ( ТР) мен
салдарлык предикаттын акикаттык облысынын (T q) 6 ipiryiHe тен
болады.
Сезаралык ангартпалар. 1- ангартпа. Алдынгы дэлелденген
T s=T p^T q (2) тещцкке суйене отырып предикаттар сабактасымы уш!Н
бурын
П1к>рлер
сабактасымы
туралы
дэлелденген
мынадай
тенмагыналылык тура болатынын керем1з:________
Р(х)=> Q(x)= P(x) v Q(x)
(3)
2
- ангартпа. Алдынгы дэлелденген Ts = ТРu Т q (2) тенд1кт1
Эйлер- Венн диаграммасы бойынша былайша кернекшеп кескшдеуге
болады:
T S = TpU T q
8 - сызба.
3
- ангартпа. Р(х)=> Q(x)=S(x) сабактасымдык предикат ТРс
болганда жэне тек сонда гана А жиындагы барлык х-тер ушш «акикат»
деген мэн кабылдайды (9 - сызба).
9-сызба.
235
2 - аныктама. Егер S(x) = Р(х) => Q(x) предикат А жиынындагы
барлык х-тер ушш «акикат» деген мен кабылдайтын болса, онда S(x)
предикатты тенбе - тен акикат предикат деп атайды.
3 - аныктама. Егер де S(x) тенбе - тен акикат предикат болса,
онда Q(x) предикатты Р(х) предикаттын логикалык салдары немесе
логикалык корытылымы деп атайды.
Тенбе - тен акикат формула былайша белпленедк |=Р(х) => Q(x).
Ал Q(x) предикат Р(х) - Tin логикалык салдары (немесе
корытылымы) деген тужырым былайша белпленга жазылады: Р(х)
l-Q(x).
EKi предикаттын сабактасымы (импликациясы) туралы угымнын
мазмунын жэне сабактасу амалынын кейб1р ерекшел1ктерш мысалдар
аркылы ашып керсетелш.
1
- мысал. А={1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} сандык жиын берш
Осы жиында мынадай ею предикат аныкталган:
Р(х) = «х - 3-ке есел1 сан», Q(x) = «х - жуп сан».
Есеп-тапсырмалар.
a) S(x) з Р(х) => Q(x) сабактасымдык
предикатты жазыныз. э) Тр, Tq жэне Ts - акикаттык облыстарды
аныктаныз.
б)
А, Тр, T q жене T s жиындарды Эйлер - Венн сызбанам
бойынша кесюндещз.
Ш ешу. a) S(x) = Р(х) => Q(x) $ «Егер х саны 3 ке есел1 болса,
онда ол - жуп сан».
э ) Т Р= {3, 6, 9 } ,Tq ={2, 4 ,6 , 8, 10},ТР= А \ Т р = {1,2,4, 5, 7, 8,
10). Ts = T pu Tq = {1,2, 4, 5, 7, 8, 10} и {2,4, 6, 8, 10} - { 1 , 2 ,4 , 5, 6, 7, 8,
10}.
М Д М
Ts~ Тр1чЛд
А
10 - сызба.
2
мы сал.
A=R нактылы сандар жиынында мынадай
предикат аныкталган: Р(х) В «х - натурал сан», Q(x) = « х - бутш сан».
Есеп-тапсырма. a) S(x) - сабактасымдык предикатты жазыныз.
э ) Тр, T q акикаттык облыстарын табыныз. б) Q(x)
предикат Р(х)
предикаттын логикалын салдары болатынына кез жeткiзiнiз.
Ш ешу. Р(х)=> Q(x) = «Егер х натурал сан болса, онда ол - бутш
сан».
э) ТР= N, T q = Z . б) N 6 Z, ягни Тр е Tq. Демек, |= Р(х) => Q(x),
ягни Р(х) |— Q(x).
С езаралы к ангартпалар. 1-ангартпа. Егер Р(х) => Q(x)
сабактасымдык предикатта Q(x) предикат Р(х) предикаттын логикалык
236
салдары болса, онда Q(x) - Ti Р(х) - Tin каж еттШ к шарты деп атайды,
ал Р(х) - Ti Q(x)-TiH жеткЫкт» шарты дейдь
Алдынгы мысалдагы сабактасымдык предикаттын логикалык
курылымын осы аталган уп>ши сездер тургысынан тарата талдап бшген
абзал.
Р(х) => Q(x) ■ «Егер х - натурал сан болса, онда ол - бутш сан».
Мундагы Kypfleni сейлемд! 1 - ангартпада аталган угымдарды колдану
аркылы былайша езгертш айтуга болады :
1. х саны натурал сан болуы ушш, онын бутш сан болуы к аж erri.
2. х бутш сан болуы ymiH, онын натурал сан болуы жеткшктк
2-ангартпа. Т р = T q болган жагдайда Р(х) пен Q(x)
предикаттарын тенгермелш (эквиваленииялык) предикаттар деп атайды.
Ею тенгермелж (эквиваленииялык) предикаттар былайша
белпленедк
Р(х) о Q(x) немесе Р(х) ~ Q(x).
2 - ангартпа. Егер Р(х) пен Q(x) предикаттар А жиында тенгермелж
предикаттар болса, онда олардын 6ipeyi еюннйсше кажетп_жене
ж еткш кп шарттар деп аталады.
5. Предикаттарды
тенгермелеу
эквиваленциялау амалы
1-аныктама. А жиынында Р(х) жене Q(x) ею предикаттын
тенгермеЫ деп А жиынынын бершген предикаттардын eKeyi б1рдей
«акикат» я eKeyi б (рдей «жалган» деген мэндер кабылдайтын х
элементтер1 ymiH жене тек солар ушш гана акикат болатын S(x) yiuiHini
предикатты айтады. Р(х) пен Q(x) ею предикаттын тенгермесш былайша
белгшеп жазады:
S(x) з Р(х) о Q(x)
немесе
S(x) а Р(х) - Q(x)
(1)
(2)
Алдынгы айтылган 2 - ангартпадан Р(х) <=> 0(х) болады. Тр=Т0
болатынын есте устау абзал.
Ангартпа. Кез келген алгебралык тевдеуд! предикат деп карауга
болатыны жайында будан бурынырак айтылды. Карастырылатын
тендеудеп айнымалынын санына сейкес тендеу-предикаттар 6ip
орынды, exi орынды т.с.с п-орынды боп келед[. Bi3 бул орайда 6ip
белпазден туратын тендеулер туралы гана сез eTeMi3.
Айкындык ymiH мынадай eKi тендеу бершген болсын дейш:
fi(x) = qi(x) (1) ; f2(x) = Ял(х) (2)
1-аныктама. Егер де (1) тендеудщ барлык шeшiмi (Ty6ipi) (2)
тендеуге шеамм (Ty6ip) болса, ал (2) тендеудщ барлык uieiuiMflepi
(туб1рлер0 (1) тендеуге шецпм (ry6ip) бола алса, онда (1) жэне (2)
237
тендеулерд1 тенгермел1 Сэквивалент')
тендеулер дсп атайды.
Тенгермел1 тендеулерд1 былайша белплеп керсетедк
(f,(x) = qi(x)) о (f2(x) = q2(x )).
1 - мысал. Зх - 6 = 0 жэне 7х - 4= 4х + 2 тенгермел1 тендеулер
болады. (Зх - 6=0) <=> (7х - 4= 4х + 2). Ойткеш бул тендеулердщ екеуше
де х=2 саны шеилм боп табылады. Олардын одан баска шеипмдер! жок.
2 - мысал. х2 - 4 = 0 жене |х| =2 тендеулер! де тенгермел)
тендеулер. Ойткеш олардын екеуше де Х|=2, х2=-2 сандары шеийм бола
алады. Карастырып отырган тендеулердщ булардан баска шеш!мдер1
жок. Егер предикаттар тш нде Р(х) ■ х - 4 = 0, Q(x) = |х|=2 деп алсак,
Тр={-2; 2} жэне Т0={-2; 2} ягни Тр= Tq болады. Сондыктан, Р(х) о Q(x)
деп немесе (х - 4 =0) о (|х| = 2) деп жазуга хакымыз бар.
3 - мысал. Х+2=0 жэне х2 - 4 = 0 тендеулер! тенгермел!
(эквивалента) бола алмайды. ©йткеш еюшш тендеудщ Х| = -2, х2 = 2
деген eKi Ty6ipi бар, ал 6ipiHiuici х= -2 деген жалгыз гана Ty6ipi бар
тгчдеу боп табылады.
Осы тендеудщ машнасын логикалык тургыдан айкындай тусу
ymi; мынадай аныктаманы ойга туйру абзал.
2-аныктама. Егерде fi(x)=qi(x) тендеудщ барлык шеиимдер!
(туб1рлер!) f2(x)= q2(x) тендеудщ де шеипмдер! (туб1рлер1) боп келсе,
онда екшип тендеуш 6ipiHiiii тендеудщ салдары деп атайды.
Бул аныктаманы былай белплеп керсетедк
(fI (x)=q i(х)) =>(f2(x)=q2(x)).
Мысалы. Алдынгы 3 - мысалда карастырылган тeндeyлepдi
аныктамага суйенш былайша жазуга болады:
(х +2=0)=> (х2- 4=0).
Аныктап айтканда, х‘ - 4=0 тендеуш х+2=0 тендеудщ салдары
дейдк
Осы айтылгандардын 6epiH жинактай кеп, тендеулер арасындагы
тенгермелш (эквивалентпк) катынасын былайша аныктауга болады.
Айталык мынадай еш тендеу бершёщ F=0 (1) жэне Ф=0 (2).
3-аныктама. Егерде (1) жэне (2) тендеулердщ эркайсысы
eKiHmiciHin салдары боп келсе, онда оларды тeнгepмeлi (эквивалента)
тендеулер дейдь
Белгшемелер тшшде бул аныктаманы былайша жазып керсетуге
болады:
Егер (F=0) => (Ф=0) а (Ф=0)=> (F=0) болса, онда (Р=0)о(Ф=0).
6.
Предикаттарга колданылатын
санактамдау ( кванторлау) амалдар
Квантор термин! латыннын «guantum» (нешеу, каншама) деген
сезшен жасалган. Кванторлау амалы предикаттын акикаттык MeHiH
сандылык KepceTKimi жагынан сипаттайды. Айкындап айтканда квантор
238
аркылы аныкталу облысындагы заттык айнымалынын каншасында Р
предикат «а» немесе «ж» деген мэн кабылдайтыны туралы мэл 1мет
6epinefli. Сол c e6 errri кванторлау амалын предикаттык niKip болатын
M9HiHe санакшы амал немесе предикатты санактамдау амалы деп
карайды.
Сейтш, кванторлау (санактамдау) амалы, непзшен, предикатты
niKipre айналдыру ушш жумсалатынын керем|'з.
Математикалык логика пэншде eKi TYpлi квантор (санактама)
колданылады:
1) V -жалпылык кванторы (санактамасы. Мундагы V- белп
немюше «АПе» (барлыгы) деген сездш алгашкы эрпш тенкерт жазудан
калыптаскан. Р(х) предикаттагы х-ке V - жалпылык кванторын
колданатындыгы былайша кepceтiлeдi: (V еА) Р(х). Бул niKip ыкшам
турде V х Р(х) деп те жазылады.
2)
3
бар болушылык немесе бармыстык кванторы
(санактамасы). Мундагы 3 - б ел п а HeMic тш н деп « e x is tie r e n » (бар
болу, бармыстык) деген сездш 6 ip im u i эрпш Kepi бурып жазудан
орныккан. Р(х) предикаттагы х-ке
Эх- бармыстык квантор
колданылатындыгы былайша керсетшедк (ЗхеА)Р(х). Бул белп ыкшам
турде ЗхР(х) деп жазылады.
Айталык А жиында Р(х) 6ip орынды предикат бершсш.
1 - аныктама. Р(х) предикаттан V хР(х) niKipre немесе ЗхР(х)
niKipre кошу амалын Р(х) предикатты кванторлау (санактамдау) деп
атайды.
Осы аныктамадан V кванторлау амалы (санактамалау) Р(х)
предикатка VxP(x) пш рд! сэйкес коятын ереже екенш байкаймыз.
Соидай-ак, 3- кванторлау амалын (санактамасын) Р(х) предикатка ЗхР(х)
пiкipдi сэйкес коятын ереже деп карауга болады.
Айтылмыш eKi ереже - предикаттын белгшемелйк мазмунын
терещрек TyciHy ymiH олардын сэйлеу тшм^здеп маганасын аша тусу
абзал. Осы максатпен VxP(x) жэне ЗхР(х) кванторланган пiкipлepдi
жеке-жеке алып талдаймыз. Мынадай жазуды VxP(x) ауыз-eKi сезбен
айтканда: «х-ке жалпылык кванторы шндЬ> немесе «х-ке жалпылык
кванторы жумсалды» деп окылады. VxP(x) белгкл математикалык
логика тш нде: «А жиындагы барлык х-тер ушш Р(х) предикат «а»
(немесе «ж») деген мэн кабылдайды» деп окылады.
(VxeA)P(x) бeлгici былайша да окылады: «А жиындагы op6ip х
ушш Р(х) предикат «а» (не «ж») деген мэн кабылдайтын niKip боп
табылады».
Р(х) предикат х заттык айнымалынын Р касиетш бейнелейтшж,
сондыктан онын «касиет - предикат» деп аталатынын бурын айткан
болатынбыз. Сол ce6enTi vP(x) niKipfli сэйлеу тш нде былайша да
айтады: «А жиындагы х тш бэр 1не Р касиет тэн болады». Бул niKip
мынадай niKipre тенмагыналы бола алады: «А жиындагы х тугелдей Р
касиетке иелт.
239
Осы айтылгандардан табиги сэйлеу тдоА М зд е V - жалпылык
кванторы «барлык», «кез келген», «ap6ip», «тугел», «6api» т.с.с.
саздермен белгшенетшш ангаруга болады.
Айталык Р(х) предикаттын аныкталу облысы болатын А жиыны х
заттык айнымалынын аь а;,..., ап мэндершен жасалган дел1к, ягни
А={а|, а;,..., ап} жане хеА болсын. Сонда VxP(x) = «Барлык х-ке р касиет
тан болады» - деген niKip мынадай Р(а|), Р(а 2),...,Р(ап) пш рлердщ
кабаттамасынан туратыны анык: «Барлык х-ке Р касиет тан» = «ai -re Р
касиет тан» жэне «а2-ге Р касиет тан», т.с.с. «ап -re Р касиет тан». Бул
тенмагыналы свйлемдерд1 логикалык белплемелер тш нде былайша
жазады:
VxP(x) = Р(а|)лР(а2)л...лР(ап) (1)
немесе
п
VxP(x) |
л Р(ак)
к--=1
(2)
1 - мысал. А={1, 3, 5, 7, 9}. А жиында мынадай Р(х) предикат
аныкталган: Р(х)= «х - так сан». Осы предикаттагы х ке V - жаппьшык
предикатын (санактамасын) жумсау аркылы niKip курамыз.
VxP(x) s «А жиындагы барлык х - так сан». Сонгы niftipfli
пш рлер кабаттамасы (конъюнкциясы) аркылы ернектеп жазамыз:
VxP(x) —Р( 1) л Р(3) А Р(5) а Р(7)
немесе
5
А
Р(9)
VxP(x) в л Р(хк), мундагы х«еА.
к=1
1
- ангартпа. Алдынгы (1) жэне (2) калыптамалар A={ai, а2
аП} жиында аныкталган Р(х) предикаттан жасалган VxP(x) иш рдщ
акикаттыгын немесе жалгандыгын айкындаудын epeжeciн айтуга TipeK
бола алады.
Ереже. А={а|, а2,..., ап} жиында VxP(x) - тщ акикат niKip
болатынын бшу ymiH А жиынында аь а2,..., ап элементтердщ эркайсысы
ymiH Р(аО. Р(а2),..., Р(ап) тш рлерд 1н баршасы «акикат» деген мэн
кабылдайтынына пкелей немесе кандай да 6ip жанама жолмен коз
жетюзу лэз4м. Ал VxP(x) пш рдщ А жиында жалган niKip болатындыгын
аныктау уш!н А жиынынан кандай да 6ip жалгыз ак элемент табылып,
Р(ак) - нын жалган niKip болатынына каз жетюзу ж еткш кп болады.
Айтылмыш
epeжeнiн
колдану
жолдарын
мысалдармен
TyciHflipeMi3.
1 - мы сал. А={0, 1, 2, 3, 4, 5}, Р(х) s «х+2>х».
240
Есеп-тапсырма. VxP(x) - niicipiHiH акикаттык м е н т аныктаныз.
Шешу Р(0) = «0+2>0» а а ; Р( 1) а «1+2>0» = а ; Р(2) = «2+2>0 а а;
Р(3) = «3+2>0 а а; Р(4) а «4+2>0» = а; Р(5) а «5+2>0 =>а.
Демек, VxP(x) = а.
2 - мысал. N ={1, 2, 3...... п,...}. Р(х) = «Кершшес уш натурал
саннын косындысы 3-ке белшедЬ> = «х+(х+1)+(х+2) косынды 3 ке
белшедЬ).
Есеп-тапсырма . VxP(x) - niKipimH акикаттык мэнш аныктаныз.
Шешу. N - натурал сандар жиынындагы барлык элементтерд1
тугесе карау мумюн емес. Сондыктан, ecenTiH memyiH жанама жолмен
i3fleyre тура келедь
Атап айтканда, кершшес саннын косындысын былайша
турленд!рем 1з:
х+(х+1 )+(х+2) = Зх+З = 3(х+1). Сейтш, Р(х) предикатын былайша
жазуга болады:
Р(х) а «3(х+1) саны 3 ке белшедЬ). Осыдан VxP(x)=a
болатындыгы айкын кершедь
3 - мысал. А={ 1, 2, 3,...,п,...} жиынында мынадай предикат
бершген:
Р (х )а « 2 2 +1 саны - жай сан».
Tiкeлeй тексеру аркылы мынадай шюрлер шыгарып алуга
болады.
2
2
Р( 1) = «2 +1 - жай сан» = а; Р(2) =
+1 - жай сан» = а;
Р(3) = «2 , +1 - жай сан» = а; Р(4) = «2 +1 - жай сан» = а;
Р(5) = «2 +1 - жай сан» = «23~ +1 - жай сан» = ж. Yйткеш 232 +1
сань1 641 ге бел!нед! (©31Н13 есептеп кез жетюзвдз). Демек, VnP(n) =
«2 +1 - жай сан» = ж болатынына кезпжетюзщщ.
Тарихи деректеме. VnP(n)=2‘ +1 - жай сан» деген пшрд1 ен
алгаш рет француздын эй гш математип Ферма (1601 - 1665) айткан.
Ферма niK ipim H жалган екен д тн Швейцариянын улы математип
Леонард Эйлер (1707 -1783) дэлелдеген.
Ещц А жиындагы Р(х) предикатка 3 - бармыстык кванторын
(санактамасын) жумсау аркылы жасалган (ЗхеА)Р(х) niKipimH
мазмундык магынасын, колданыстык ерекшел]’ктерш карастыруга
кешемп.
Айталык А жиында Р(х) предикат бершген болсын. (ЗхеА)Р(х) белпсш «Р(х) предикаттагы х айнымалыга бармыстык кванторы
(санактамасы) шшген дейм1з. Болмаса «х айнымалыга бар болу
кванторы жумсалган» деп те караймыз. х-ке 3 -бармыстык кванторды
жумсау эрекетш бармыстык кванторлау амалы деп атайды.
А жиында аныкталган Р(х) предикатка бармыстык кванторлау
амалынын колданылуы Р(х) предикатка ЭхР(х) - niKipiH сэйкес кояды.
Сейтш, ЭхР(х) белпсш niK ip деп караймыз. Сондыктан, ЭхР(х) белп «а»
немесе «ж» деген ею мэннщ 6 ip ey iH e иелш жасайтын болады.
Осы айтылгандарга суйешп, ЗхР(х) белпсш былайша окуымызга
болады: ЗхР(х) а «А жиында Р(х) болатындай х элемент бар» = «А
241
жиында Р(х) болатындай кандай да 6ip х элемент табылады» = «А
жиында Р(х) болатындай ен болмаганда 6ip х элемент бар».
Р(х) предикат х элеменгпн Р касиетiH бейнелейтшш бшемЬ.
Соган суйенш, ЭхР(х) ninipiн былайша да окуга болады:
ВхР(х) — «А жиынында Р касиетке иел1 х элемент бар» = «А
жиынында Р касиет тэн болатын кандай да 6ip х элемент бар» = «А
жиында Р касиетке иел1 болатын х элемент табылады».
Сейтш, 3 - бармыстык кванторы ауыз-eKi турде: «Кандай да 6 ip » f
«Keft6ip», «белгш 6ip», «iiniHapa», т.с.с. сездермен белпленетш)'н
керем1з.
А={аь а2,..., ап} жиында аныкталган Р(х) предикат бершген делк.
Осы предикатка 3 -бармыстык кванторлау (санактамдау) амалын
колдансак, мынадай niKip пайда болады:
ЗхР(х) s «А жиында Р(х) болатындай х элемент табылады».
ЗхР(х) nixipi А жиыннын ен болмаганда 6ip а элемент! ушш Р(а) .. ;икат болганда жене тек сонда гана акикат бола алатыны белгш ахуал.
Осм айтылгандарга суйенш, A={ai, а2,..., ап} жиында аныкталган Р(х)
предикатка 3 - бармыстык кванторлау амалын жумсаудан шыгатын 3
хР(х) nixipi Р(ак) - барлык дербес пш рлердщ дизъюнкииясымен б!рдей
болады деген тужырым айтуга болады:
ЭхР(х) = P(ai)vP(a 2)v...vP(an)
немесе
п
ЗхР(х) = v Р(ак)
к=1
(3)
(4)
V
- жалпылык жене 3 - бармыстык кванторлары ш нген я
кванторлау амалдары жумсалган VxP(x) жене ЗхР(х) - пш рлерш щ
логикалык мазмунын салыстыра ашу жене акикаттык мендерш аныктау
максатын кездеп 6ipH eiue мысалдар келтлрем5з.
1 - мысал. Мына шюрлердк 1) байыргы сейлеу тшм1зде жазып
керсепш з жене 2) олардын акикаттык мэндерш аныктаныз:
а) (Эхе R)(x2< 0) ; б) (Vxe R)(x2> 0).
Шешу. A=R жене Р(х) = «х‘< 0». ЗхР(х) * «Зх(х'< 0)» деп карауга
болады. (ЗхеР)(х~<0)=ж.
a)
(3xeR)(x <0) = «R - нактылы сандар жиынында х‘<0 болат
кандай да 6ip х табылады» = «Р жиынында х < 0 болатын ен болмаганда
6ip х бар» = «Р жиынынан х табылып, х'<о болады»; б) Мунда A=R,
Q(x) = «х‘<0». Демек, Vx Q(x)= vx(x2> 0) деп карауга болады.
1)
Vx Q(x) niKipfli сейлеу TiniMi3fle былайша жазып керсет
болады: VxQ(x) = Vx(x‘ >0) = «R - нактылы сандар жнынындагы барлык
х-тер ушш х > 0» —«R жиынындагы ep6ip х - TiH квадраты он танбалы
сан болады».
242
2) (VxeR)Q(x) s Vx(x2>0) = а, ягни VxQ(x) a Vx(x2 >0) niKipi акикат
niKip боп табылады.
3) 2 -мысал.
Теменде бершген niKip - сейлемдердщ
эркайсысына предикаттык белплерд1 жэне кванторлау амалын
колданып жазыныз. Сондагы шыгатын эр пш рдщ акикаттык мэндерш
KepceTiHi3.
а) «х"=4 Tenniri тура болатындай х нактылы сан бар».
Мундагы P|(x) = «х - нактылы саннын квадраты 4 ке тен». б) «Кез
келген натурал сан - жуп сан».
VxeN)Pi(x)=x. Мунда Р2(х)= «х натурал саны - жуп сан».
в)«5х=х+1 болатын нактылы сан бар». (VxeR)P3(x) = а, мунда Р3(х)=»х нактылы саны 5х=х+1 тендеущщ шeшiмi». г) «Квадраты 2- ге тен
болатын х рационал сан жок» = «х'=2 тендеуше Ty6ip болатын х
рационал сан болмайды».( 3xeQ)P4(x), ( 3xeQ)P4(x) * а. Мундагы Q рационал сандар жиыны, ал Р4(х) = «х - квадраты 2-ге тен болатын
рационал сан».
3-мысал. Бершген Р(х) предикаттагы х заттык айнымалыны осы
предикат «а» деген мэн кабылдайтын niK ip болатындай eTin 6 ip
квантормен байлап керсетвдз. Щ х) = «|х |= -х»; э) Р2(х) а «х‘+2<0»; б)
Р3(х) s «х ушбурышындагы iuiK i бурыштарынын косындысы 2d-Fa тен»;
в) Р4(х) = «х деген адамнын аты терт эргатен турады»; г) Ps(x) * « s in x *
3».
Шешу. a) (3xeR)P|(x) * «|х|=-х болатын х нактылы саны бар = а;
э) (3xeR)Pj(x) а «х +2<0 болатын х нактылы саны жок (болмайды,
табылмайды)»=а; б) VxP3(x) = «Барлык (кез келген) ушбурыштагы iuiKi
бурыштардын косындысы 2d - га тен»=а; в) ЗхР4(х) = «Аты торт эрштен
туратын адам бар»=а. (Мэселен, «Абай»); г) VxP5(x) s «sinx*3=a.
4-мысал. А жиынында мынадай предикаттар бершген:
Р| (х)= «х тендеуд4н накты T y 6 ip i бар». P 2( x ) s «х - есеп meiuyfli
унатады». Р3(х)= «п - дурыс кепбурыш». Осы предикаттардан 3бармыстык кванторы аркылы мынадай пш рлер жасалган: а) Эх Р|(х);
э) Эх Р2(х); б) Зх Рз(п). Осы пiкipлepдi сейлеу т ш м 1'зде жазып
K9pceTiHi3.
Шешу. а) Зх Р|(х) = «Нактылы ry6ipi болмайтын тендеу бар»,
э) Эх Р2(х) а «Есеп tueiuyai унатпайтын адам бар», б) Эп Р3(п) = «Дурыс
емес кепбурыш бар» а « Кепбурыштын 6epi б1рдей дурыс кепбурыш
болмайды».
5-мыса л. А жиында мынадай предикаттар бершген: Р|(х)= «х
рационал саннын квадраты 2-ге тен»; Р2(х)=»у-тщ анасы бар»; Р3(х)=
«х-бейажалды адам». Осы предикаттарга кванторлык (санактамалык
сездерд! колдану аркылы мынадай пшрлер жасалган: а) «Квадраты 2 ге
тен болатын рационал сан болмайды»; э) «Анасы жок адам болмайды»;
б) «Bipae 6ip адам бейажалды емес» Осы пшр-сейлемдерд! жалпылык
квантор мен предикат белпсш колдану аркылы ернектеп жазыныз жене
сол пшрлердщ акикаттык менде;рш керсетащз.
Шешу. a) VxeR)( Р|(х) = «Кез келген х рационал саннын
квадраты 2-ге тен болмайды» = «Кез келген х рационал сан ymiH х’
243
2» =a; a) (Vxe А) Р2(х) • «Эр х адамнын анасы болады» = а; б) (Vxe
А)Рз(х)е «Бэр х адам ажалды», А - адамдар жиыны, хеА.
*
7. Кванторларды (санактамдарды)
Tepicrey амалы
А жиында аныкталган Р(х) предикатты жэне VxP(x) пен 3xQ(x)
ею пшрш алып карастырамыз. Мундагы Vx жане Эх кванторларды
(санактамдарды) епздес кванторлар деп атайды. Ал VxP(x) жэне 3xQ(x)
пшрлершдеп x-Ti кванторлармен байланган айнымалылар деген сезбен
атайды. х заттык айнымалысы квантормен байланган Р(х) предикат
болудан азаттанып , niKip санатына KenieriHiH жогарыда талдап
кёрсетпк.
EHfli кванторлау амалдарынын ездерш Tepicrey амалы туралы
угымды талдап тусшд1руге кешем!з.
VxP(x) - белпсшщ «кез келген х ушш Р(х) болады» деп
окылатынын 6^eMi3. Осыган сэйкес VxP(x) белпсш: «Кез келген х
ушш Р(х) акикат болатыны дурыс емес» деп окимыз. Сонгы пшрден:
«Р(х) жалган болатын х-тщ бар» деген тужырым шыгатыны анык. Бул
тужырымдык nixipfli кванторланган предикаттар тiлiндe Эх Р(х) *
белпЫ аркылы жазып керсетуге болады.
Сейтш, мынадай тенмагыналы п ш р л ер катынасын ж азуга
болатынын K6peMi3:
V хР(х) —Эх Р(х)
(1).
Осыган карап мынадай ереже айтуга болады:
1-ереже. Жалпылык кванторын Tepicrey амалы бершген
кванторды онымен епздес кванторга ауыстырады, ал кванторга
койылган Tepicrey 6enrici одан кешн турган предикатка кешед1.
ЗхР(х) белг1с{н алдынгыша пайымдау efliciM eH ry c iH flip e талдау
аркылы мынадай тенмагыналылык катынасынын тура болатынына кез
ж етизуге болады:
ЗР(х) = Vx Р(х)
(2)
2-ереже.
Бармыстык кванторын Tepicrey амалы бершген
кванторда онымен епздес кванторга ауыстырады, ал кванторга
койылган Tepicrey белгйп одан кешн турган предикатка кешедк
Ангартпа. Егер Р(х) предикаттын аныкталу облысы A={ai, а2,...,
ап} - акырлы жиын болса, онда алдынгы жазылган (1) жене (2)
тенмагыналы катынастарда пшрлер алгебрасынын формулалары
аркылы корытынды шыгаруга болады.
п
де-Морган занын жумсаймыз
1) VxP(x) = л Р(ак) = Pi V Po V ...V Рп = Р| Л Р 1 Л ...Л Рп
к=1
244
п
■ v Р(ак) У Эх Р(х)
к=1
п
2) ВхР(х) = v Р(ак) =
K^l
(1)
де-Морган заны бойынша
_________
P,vP2v...vP„ = Р|Л РгА.-.л Рп
а
П
I а Р(ак) | V Р(х)
к=1
(2)
Кеп оры нды жане 6ip орынды предикаттарды
кванторлау ж айы ндагы арнаулы ангартпалар
1-ангартпа. Р(х) 6 ip орынды предикатты кванторлау амалы ягни
х айнымалыны квантормен байлау предикаты niKipre айналдыратынын
кердш. Осы i36 eH пайымдай отырып п-орынды предикатты кванторлау
(санактамдау) туралы жалпы угымды аныктауга болады.
Айталык А жиында аныкталган п-орынды Р(Х|, х2,..., Хк)
предикат бершсш. Мунда п>1, х,, х2,..., хпеА.
Р(Х|, х2,..., хп) предикаттан мынадай (VxKeA)P(X|, х2)... Хп) немесе мынадай (Эх«е
€ А )Р (х ь X:,..., хк, -.Хп) предикаттык сейлемге кещуд! бершген Р(Х|, х2,...,
Хк,..., Хп) предикатты Хк айнымалы квантормен байланган айнымалы
д ей т. Карастырып отырган предикаттагы Хк-дан баска (п-1)
айнымалыны ерюши айнымалылар деп атайды. Хк
айнымалысы
квантормен байланган айтылмыш предикаттык сейлемнщ eKeyi де (п-1)
6 ip орынды предикаттар боп табылады.
2-ангартпа. Кеп орынды предикаттан кванторлау амалы аркылы
nKip шыгарып алу ушш онын алдынды предикатта каншама айнымалы
болса, сонша квантор койылуы тшс. Баскаша айтканда, бершген
предикаттагы ap 6 ip айнымалы белгш 6 ip квантормен байлану керек.
Айкындык ушш 6 ip мысал кехгпрелш.
1-мысал. N={1, 2, 3, ..., п, ...} - натурал сандар жиынында
аныкталган мынадай предикат бершсш.
Б(Х|, х2) = «х, саны х2~ге белш едт, Х|, x2eN.
Кванторлау амалынын жэрдемгмен Б(Х|, х2) ею орынды
предикаттан мынадай пш рлер жасауга болады:
1 ) VX|,VX2E(X1, х2) = «Кез келген х, жане кез келген х 2 уш1н Х| саны х2ге
бел!нед 1» = ж.
2) VX2,VX|B(X|,X2) s «Кез келген Х| жене кез келген х2 ушш х2 саны х г
дщ белпил болады» =ж.
3) ЗХ|,ЭХ2Б(Х|, х2) = «Х| табылып жэне х2 табылып, Х| саны х2 - Hi
белетш болады» = «Х| саны x 2- H i белетшдей Х|бар жэне х 2 бар» = а.
245
4) 3x,, Зх2В(х,, х 2) а «х2 жэне Х| тпбылып, х2 саны Х| - дщ белпци
болады»® а.
5) Зх, VX2B(X|, х2) а «Х| табылып, ол кез келген х2- ге белшедо> в ж.
6) Vx2, ЭХ| Б(Х|, х2) в «Кез келген х2 ушш Х| табылып, Х| х2 - ге
белшеди>в а.
7) VX|,3X2B(X|, х2)в «Кез келген Х| ушш х2 табылып, xt саны х2 ге
белшедЬ>в а.
8) Эх2, VX|B(X|, х2) = «х2табылып, ол кез келген х,-дщ болпии болады»
в а, мундай белпш 1-лж болып табылады.
Осы келтсршген мысалга суйене отырып, б1рнеше тужырымдык
ангартпалар айтуга болады.
1-ангартпа. Алдынгы мысалдагы 1-uii жэне 2-m i пшрлердщ
eKeyi де «жалган» жэне олардын магынасы да б i рдей eKeHiH корем1з.
Сондай-ак З-uii жэне 4-m i пшрлердщ де eKeyi де «акикат» жэне
магынасы жагынан да б1рдейлшн байкаймыз. Алайда, 1-uii мен 2-uii
жэне З-uii мен 4-m i пiкipлepдiн курылымы 6ip-6ipiHeH олардагы аттас
к^нторлардын орналасу TapTi6i бойынша гана айырылатыны айкын
KbpiHin тур. Осыган карап, мынадай жалпы тужырымдык ой айтуга
болады.
Тужырымдама. Кеп орынды предикаттарды кванторлау амалы
аркылы niKip жасаган кезде аттас кванторлардын орнын ауыстырганнан
пшрдщ акикаттык мэш жэне магынасы езгермейдь Баскаша айтканда,
мынадай тенмагыналы ернек жазуга болады:
Vxi, Vx2P(xi х 2) = VX2, VX|P(Xi ,Х 2)
Эх,, 3x2p(xi Х2) В ЗХ2, Зх, Р(Х| X;)
(1)
(2)
2-ангартпа. Алдынгы карастырылган мысалдагы 5-oii пш рдщ
«жалган», ал 6-шы пшрдщ «акикат» eKeHiH KepeMi3. Ал олардын
б т м д ж курылымы 6ip-6ipiMeH аттас (епздес) емес кванторлардын
орналасу Tepri6i бойынша гана айырылады. Сёйтга, аттас емес
кванторлардын орнын
ауыстырган кезде кванторланган пшрлердщ
акикаттык меш мен магынасы езгер^ке ушырайтынын KepeMi3. Осыган
суйешп, мынадай жалпы тужырымдык ой айтуга болады:
Тужырымдама. Кеп орынды предикаттардан кванторлау амалы
аркылы niKip жасаган кезде аттас кванторлардын орындарын
ауыстыруга болады, ал аттас емес кванторлардын орындарын
ауыстыруга болмайды.
3-ангартпа.(Тежсмд1к квантор туралы). Математикалык
сейлемдерд1 карастырган кезде б т м д ж курылымы мынадай пшрлер
жю ушырасады: 1) «Р касиетке иел! кез келген х нерсеге Q касиет тен».
2)
«Р касиетке иеш нерселер м н д е Q касиетке де
болатын нерселер бар».
246
Предикаттар логикасынын тш нде 1-iui сейлемд 1 былайша
ернектеп ж а з а д ы : ---------------------------Ух(Р(х)=> Q(x))
(3)
Айтылмыш сейлемд1 былайша жазып керсетедк
(VxP(x))=> Q(x)
(4)
(3) немесе (4) пш рлердеп V - жалпылык кванторынын
перменше Р(х) предикатындагы х-ке багынышты болады. Сондыктан,
(3) формуланы ((4) формуланы) тежемдж жалпылык кванторымен
байланган формула деп атайды. Осындай жагдайда V - кванторын
тежемдж квантор дейдь Ал (3), (4) формулаларды Р(х) жэне Q(x) eKi
предикатты тежемдж жалпылык кванторымен байланыстыру амалы деп
атайды.
М ысал.
R нактылы сандар облысында мынадай
кванторланган niKip-сейлем бершген: «1 ден артык барлык х накты
сандар ушш х-тщ ондык логарифм} нелден артык сан болады».
Бул n iK ip fli предикаттар мен V - тежемдж квантор белпсш
пайдаланып былайша жазып керсетуге болады:
(VxeR)((x>l)=> (lqx>0)).
Мунда: Р(х)= «х>1», Q(x) * «lqx>0», xeR.
З-ангартпанын бас шеншде айтылган 2-mi ceйлeмдi предикаттар
логикасынын тш н де былайша белплеп жазуга болады:
Зх(Р(х)) Л Q(x))
немесе
(ЗР(х)) (Q(x))
(5)
(6)
Мундагы Эх немесе ЗР - белпсш теж ем дж бармыстык кванторы
дейдь Ал (5), (6) формулаларды Р(х) пен Q(x) предикаттарын тежемтк
бармыстык предикаттармен байланыстыру Формуласы деп атайды.
М ы салы . «Квадраты (-1 )-ге тен болатын накты сан бар» - деген
жалган niicipfli тежемд4 бармыстык кванторды пайдаланып былайша
жазуга болады:
(3x)((xeR)(x = -1)) = ж.
4
- ангартпа (С анды к кванторлар туралы). Математикал
сейлемдер мен есептердщ айтылымында кандай да 6ip HepceHi
сандылык мелшер1 жагынан сипаттайтын мынадай сездер мен сездер
Tipxeci жш ушырайды: «ен болмаганда 6ip п», «аз легенде 6ip п», «п-нен
артык емес», «п жене тек кана п» (немесе «делме-дел п», «дэдш п»),
Мундагы п - натурал сан, ягни neN .
Осы аталып еткен туракты сез TipKecrepiH логика пэшнде
«сандык кванторлар (санактамдар)» деп атайды. Оларды V- жалпылык
жэне 3- бармыстык кванторлары аркылы ернектеп жазуга болады.
Математикалык сейлемдерд1 сандык квантор аркылы белг;леп жазган
247
кезде тещ пк катынасын (ягни «=» белпсш ) колдануга тура келедь
Мундай ретте т е Ж к катынасын (тенесу немесе беттесу катынасын)
«тещпк предикаты» деп те атайды.
«Сандык кванторлар» мен «тещпк предикатын колданудын
магынасы мен жолдарын керсету ушш мысалдар келт1рем1з.
1-мы сал. Айталык А жиында Р(х) предикат бершген болсын,
ягни п=1 деп аламыз. Сонда «А жиынында ен аз дегенде 6ip объект Р
касиетке иел1 болады» деп бершген сейлемге «А жиында Р касиетке ие
болатын х элемент бар» деген сейлемнщ тенмагыналы боп келетш дш
аян ахуал. Олай болса бершген сейлемдеп 3- бармысты сандык
кванторды пайдалану аркылы оны мынадай niKip турщде жазуга болады:
(ЗхеА )Р(х) = «Ен болмаганда 6ip х элемент Р касиетке иелЬ>.
2-м ы сал. «А жиында саны б1рден аспайтын элемент Р касиетке
иелЬ> деген cefrneMfli алып карайык. Бул бершген сейлем, сез жок, «Егер
/ жиында Р касиетке ие болатын элементтер болса, онда олар тенел1мд1
бо^зды» деген сейлеммен тенмагыналы болады. Осыны ecKepin,
6epi.:reH сейлемд1 «сандылык кванторын» жэне «тещпк» предикатпен
байланымын былайша жазып керсетуге болады: (Vx,Vy) [Р(х) л Р(у) =>
(х=у)] s «А жиында саны 1 ден аспайтын элемент Р касиетке иел1
болады» —«Егер А жиында Р касиетке Hejii болатын элементтер болса,
онда олар езара тенешмД; болады».
3-м ы сал. «А жиындагы 6ip жэне тек 6ip гана элемент Р касиетке
иелЬ> деген сейлемд 1 алайык. Сонгы сейлем алдынгы карастырган 1-mi
жэне 2-mi сейлемдерге б;рдей тенмагыналы сейлем боп табылады.
Осындай сейлемд1 предикаттар тiлiндe жазып керсету ушш 3 / - б е л п а
енпзшген. 3 / - белпсш «бар болу жалгыз болу» немесе «бармыстык
жене жалгыздык» кванторы деп те атайды.
Бармыстык жэне жалгыздык кванторын пайдаланып алдынгы
cemieMfli былайша белгшеп керсетуге болады:
Э/х Р(х) s «А жиында 6ip жэне тек 6ip гана элемент Р касиетке
иелЬ>.
М ысалга математикалык анализ пэншде дэлелденген мынадай
теоремалык сейлемд1 алайык:
«Кез келген жинакта Ti36eKTiH ineri болады жэне ол тек 6ipey
гана болады».
Бул сейлемд! бармыстык жэне жалгыздык кванторынын
жэрдем1мен былайша жазады:
v { x n }((3a)(lim xn=a) => (в/ a )(lim xn=a)).
Ангартпа. Сонымен, 6i3 предикаттарга, непзш ен, бес TYpлi
логикалык
амалмен
(TepicTey,
кабаттамдау,
ажыратпалау,
сабактастырмалау жэне тенгермелеу амалдарымен) катар eKi турл5
санактамдау (жалпылык жэне бармыстык кванторлау) амалы
колданылатынын атап етпк. Айтылмыш амалдардын эркайсысы
такырып
айдарында
Ахмет
Байтурсыновтын
сез1мен
атап
KepceTKeHiMi3fleH «Бастауыш (ягни субъект) атаган нэрсенвд не сыр248
с ипаты н, не амалын, не жайын, не болмысын» бейнелейдк Буларды
логикалык тшмен айкындап айтсак, предикатка колданылатын ap6ip
амал не субъектшщ касиетш сипаттау ушш немесе субъегплердщ
арасындагы катынасты бейнелеу ушш колданылады.
0p6ip субъект мен предикаттан туратын пайымды жай сейлем
деп карайтын болсак, онда карапайым предикаттарга амал колданудан
жасалган предикатты жай сейлем немесе курмалас сейлем деп карауга
какымыз бар.
Бершген предикаттар жэне оларга амал колданудан жасалган
жана предикаттар непзшде предикаттар логикасынын формуласы
туралы угым аныкталады.
§3. Предикаттар есептемесшщ формулалары
Предикаттар есептемеа сойлемнщ б тм д ж
курылымын TipeK етш жалгаулыктарды,
предикаттарды жоме кванторларды туты на тын
корытулар теориясымен айналысады.
Роберт Р.Столл
Ангартпа. Кванторлау амалы тек заттык айнымалыга гана
жумсалынатын предикаттык есептемелер жуйесш тар магыналы
предикаттык есептемелер немесе 6ipimiri perri предикаттык есептемелер
деп атайды. Б1з тек 6ipiHiui perri предикаттык есептемелерд1 гана
карастырамыз.
3.1. Предикаттар
уралы
есептемесшщ Формуласы
жалпы угым
Предикаттар есептемесшщ формуласы (калыптамасы) туралы
угымды аныктау ушш, басында, аталып еткен предикаттар тшшщ
элшбшн пайдаланамыз._________________________________________
ЭпрЕдикАГ={а,ж,р,я,г, x,y,z,a,b,c,Plc,QK,RK, л , v,=>,<=>,V,3,=,()}•
Предикаттык тiлдiн элшбилш белплемелерше суйене отырып,
предикаттар есептемесшщ формуласын аныктау пшрлер логикасынын
формуласын аныктауга уксас улп бойынша айтылады (Математикалык
логика бастамаларынын 1-бел1М 1).
«Предикаттар ecenTeMeciHiH формуласы» деген сездер TipKeci
алда «предикаттар алгебрасынын формуласы» деген угыммен 6ip
магынада колданылатынын ескерген жен.
Аныктама
(Формуланын аныктамасы). Предикаттар
есептемесшщ
F формуласы деп темендеп аталып отырган
белплемелерд1 жэне сол белллемелердщ саны акырлы нэбесш айтады:
1) Кез келген Р , Qc, R° - нел орынды предикат F формула деп
аталады (Баскаша айтканда: а, ж - пш рлж турактылар жэне кез келген р,
q, г пшрлис айнымалылар F формула делшедО.
2 ) Курамындага барлык х ь х 2.... Хп- заттык айнымалылар
epiicri айнымалы боп келетш PtK’(xi, х2,..., Хп) к-орынды предикатты F
формула деп атайды.
3) Егер F - формула, ал х - онын курамындагы заттык
айнымалы болса, онда Vx F (сондай-ак 3xF) ернеп де формула деп
аталады (мундагы: х - квантормен байланган айнымалы, ал F
формуласынын курамындагы калган заттык айнымалылардын 6epi
epiKTi айнымалы деп аталады).
4) Егер Fi мен F2 формулалар болса, онда Ft. Fia F2j Fiv F2,
F|=> F2 жэне F| 0 F2 epHeicrepi де формула деп аталтын болады.
5) Аныктаманын 1-4 пункттер1нде аталгандардан баска
ешкандай ернек формула боп саналмайды.
Осы аныктаманын l-iui жене 2-iui пункттершде атап
керсетшген нел - орынды жэне к - орынды предикаттарды элементар
формулалар немесе атомарлык формулалар деп атайды. Ал элементар
емес формулаларды курмалас формула дейдк Kefl6 ip эдебиеттерде
элементар (атомарлык) формуланы бейнел1 атаумен - «сез» деп , ал
курмалас формуланы «сейлем» деп те атайды.
Жазуга колайлы болу ушш F<K I (хь х2, ..., хп) к - орынды
предикаттын керсетюшшдеп (к) белпсш калдырып былайша жазуга
болады: F(xi, х2)..., Хп). Формула угымы туралы алдынгы айтылмыш
аныктамадан пшрлер есептемесшщ барлык формуласын предикаттар
логикасынын да формуласы деп карауга болатынын KepeMi3.
Айкындык ушш квантордын жумсалу облысы немесе
квантордын ыкпалдык (ягни есер ететш) облысы деген косымша угым
енпзшедь
Аныктама. Егер F дегешм1з курамына Хк epiKTi к заттык
айнымалы енетш формула болса, онда vxi F жэне 3 x 1 F - ернектер
курамына енетш барлык Хп байланган айнымалы болатын формулалар
боп табылады. Осындай жагдайда F формуланы сейкес турде Vx/ жэне
ЗХ|‘ - кванторларынын жумсалу облысы немесе ыкпалдык облысы деп
атайды.
Формула угымынын мазмунын аша керсету жене оны
жадымызда тутуды жещлдету ymiH мысалдар келт1рем1з.
1-мысал р, q, г - пш рлж айнымалылар F формула бола алады.
Сондай-ак, Р(х), Q(x,y), R(x,y, z), S(xi , x2, x3) предикаттар да формула
боп саналады. Мундагы х, у, z, х ь х2, х 3 белгщер! кандай да 6 ip А
жиыннан алынган заттык айнымалылар, ягни х, у, г, Щ х2, х3е А. Ал Р,
О, R - предикаттык айнымалылар , ягни Р, Q, Re {а, ж}. Сонгы
предикаттардагы заттык айнымалылардын кез келгенш немесе 6 ep iH де
V жене 3 кванторларымен байлау аркылы формулалар жасауга
250
болады. М эселен,
ЗхР(х), Vx, ЗуР(х,у), Vxi,3x2, \/ХзР(Х|, х2, Xj)
врнектер1 формула боп табылады.
2-мысал. F= By, VxP(x,y)=> VzQ ( z ) a (P v S(x)) - ернекп формула
деп атауга болады. Бул ернекп мынадай элементар (атомарлык)
формулалардан жасалган курмалас формула деп караймыз.
1) F| —Р(х, у) - формула (2 - пункт бойынша ею орынды предикат).
2) F2= Зу, Vx Р(х,у) - формула (3-пункт бойынша).
3) F3- Vz Q(z) - формула (3-пункт бойынша).
4) F4= Р - формула (1-пункт бойынша).
5) F5= S(x) - формула (2-пункт бойынша).
6) F6.= Р v S(x), F7= Vz Q ( z ) a (P v S(x)) - формула.
7) F - F2 => F6 - формула (4- пункт бойынша).
Сейтш, F формула болатынына кез жетюзшдь
3.2. Предикаттык Формулалар топтамасы
Формула туралы алдынгы айтылгандарга ден койып карасак, F
предикаттык формуласын кандай да 6ip логикалык функция деп карауга
болатынын байкау киып емес. Мундай F функциянын аргумент P,Q, R
т.с.с. предикаттык айнымалылар мен x,y,z epiicri (квантормен
байланбаган) айнымалылар болып табылады. Баскаша айтканда, F=F(P,
Q, R,x,y,z) деп карауымызга болады. Мундагы P,Q,Re {а,ж}, x,y,zeA, А сол предикаттардын аныкталу облысы болатын бершген жиын.
1-аны ктам а. Erep F| жене F2 eKi формула предикаттык жене
epiicri заттык айнымалылардын 6ip гана функциясын ернектейтш болса,
баскаша айтканда, F| мен F: формулалардын eKeyi де айтылмыш
айнымалылардын кез келген б1рдей жинамында не «а», не «ж» деген мэн
кабылдайтын болса, онда F|
мен Р2
формуланы
тенгермела
(эквивалента) Формулалар деп атайды. Тенгермел1 формулаларды
былайша жазып керсетедк Р| ~ Р2 немесе Fj<=> Р2 .
1-ангартпа. Предикаттык есептемелер форму ласы Ft мен Р2
жайындагы тенгермелж (эквивапентпк) угымы пшрлер логикасындагы
Ф1 мен ф2 формулалардын тенгермелшп (эквивaлeнттiлiri) туралы
формуланын жалпыламасы боп табылады.
Ф1 жэне ф2
niicipniK формулаларды курамында заттык
айнымалылар жок, тек р, q, г элементар пшрлер мен а, ж - пшрлш
турактылардан (ягни нел peTriK предикаттардан) туратын формулалар
деп караймыз.
2-аныктама. Курамында epiicri заттык айнымалы жок формула жабы к. ал epiicri заттык айнымалы бар формула ашык формула деп
аталады.
Айталык 6i3re курамында А жиыннан алынган заттык жене
предикаттык айнымалылары бар F формула бершсш.
Егер осы F формуладагы ap6ip предикаттын орнына А жиында
... аныкталган белгш 6ip предикатты кояр болсак, онда F формула А
жиынында аныкталган кандай да 6ip белпл1 предикатка айналатын
болады. Мундай ретте, егер бершген бастапкы формула жабык болса,
251
онда айтылмыш белгш предикат нел орынды предикат ягни пш рлж
формула шыгады.
Егерде бершген бастапкы формула ашык болса, онда сонгы
шыккан белгш предикат б1рнеше заттык айнымалыдан туратын
предикат-функция боп табылады. Егер осы предикат-функцняга заттык
айнымалылар орнына А жиыннан айкынды мэндер койылатын болса,
онда бастапкы формула кандай да 6 ip айкын niKipre айналатын болады.
3-аны ктам а. Предикаттар есептемесшдеп F формулалардан
алдынгы айтылмыш эдюпен шыгарылып алынган niKipfli F формуланын
А жиындагы интерпретациясы (кесюндемеср деп атайды. Ал бершген
формулага интерпретация (кесюндеме) болатын пш-рд! аныктауды сол
формуланы ннтерпретациялау (кесюндемелеу) деп атайды.
И нтерпретаииялау срежесГ Бершген F жабык формуланы А
жиынында ннтерпретациялау (кесюндемелеу) мынадай кадамдардан
турады:
1-кадам. А заттык айнымалылар жиыны бершедь
2-кадам. п-орынлы предикаттык белгшемеге eHeriH ep6ip
пре/икаттык ершке А жиында аныкталган п - орынды предикатты
сейкес кояды.
3-кадам.
0 p 6 ip
нел орынды предикатка (ягни пш рлж
айнымалыга) eKi акикаттык меннщ 6 ip e y iH сайкес кояды.
Егер де F формула ашык болса, онда алдынгыларга тагы 6ip
калам косылады.
4-кадам. Формулага eHeTiH ap6ip epiKTi айнымалыга А жиыннан
заттык элемент сейкес койылады.
Мысал. F формуласы бершген: F = 3y,VxP(x) => (Q(x)Aq). Осы
формуланы интерпретациялап керсетвдз.
Ш ешу. Бершген формула ашык. Соган алдынгы айтылган
ережеш колданамыз.
1-кадам. А={ 1, 2} жиын аламыз.
2-кадам. Р предикаттык е р т к е Р(х,у) eKi орынды предикатты
сейкес коямыз. Ол ymiH, еуелц А2 декарттык квадратты аныктаймыз:
А ' ={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}. А жиында аныкталган Р(х,у) ею орынды
предикат-функцияны мынадай кесте тур1нде беруге болады:
(1,1)
а
(1,2)
ж
(2,2)
ж
(2,1)
а
Сондай-ак А жиында аныкталган 6ip орынды Q(x) предикатфункцияны кесте аркылы былайша аныктауга болады:
1.
Q (х):
__
252
1
*1
а
ж
3-кадам. Нел орынды q предикатка (ягни пшрлж айнымалыга)
«а» деген мэн беремо.
4-кадам. Q(x) предикатындагы х - epiKTi айнымалы. Соган А
жиындагы 1 деген мэщц берем1з. Сонда Q(x) - Tin кестеси бойынша
Q(l)=a болатыны шыУады.
Осы баяндалган интерпретация (кесюндемелеу) нэтижесшде F
формуланын «а» деген мэн кабылдайтынына кез жетюзуге болады.
Шындыгында
да,
1)
эуел1
бершген
сабактаспалык
(импликативт^к) формуланын Зу,\/хР(х)-непздемес1 «а» деген мэн
кабылдайтын болады. Р(х,у) - тщ кестелж бершмшде Р( 1,1 )=а жэне
Р(2,1)=а болатынын керем1з. Будан «у-тщ кандай да 6ip мэш табылып
(мэселен, у=1 бар боп) кез келген х ушш (ягни х=1, х=2 ушш) предикат
«а» деген мэн кабылдайды» деген тужырым жасауга болады. Бул
тужырым предикаттар логикасы тш нде былайша жазылады:
3yVxP(x,y) = а(1).
F формуланын салдары боп табылатын Q(x) л q - формула да «а»
деген мэн кабылдайды ягни Q(x) л q = а (2). вйткеш алуымыз бойынша
Q(x) =а жэне q = а.
Сейтш, (1) жене (2) ернектерден F= а болатыны шыгады. Егер де
х=2 жэне q = ж мэндерш кабылдайтын болса, онда F = ж болатынына кез
жетюзе аламыз (ез 1шз тексер1п керщ1з).
2-мыса л Айталык 6i3re F=Vx3y Р(х,у) формула бершс^н. Осы
формуланы кандай да 6ip А жиында интерпретациялау (кескшдемелеу)
аркылы KepceTiHi3.
IlTemv. l -кадам. А заттык айнымалылар жиыны ретшде мынадай
жиынды алуга болады: А={х/х - еркек адамдар}.
2-кадам. А жиында аныкталган мынадай Р(х,у) = «х адам y-TiH
eKeci» - eKi орынды предикатты сэйкес коюга болады.
3-кадам. Бершген F формуланын интерпретациясы мынадай
niKip боп шыгады: F=Vx3yP(x, у) = «9p6ip х экешн у улы бар» = ж.
Демек, «ж» деген мэн кабылдайтын осы сонгы niKip бершген F=Vx'
VyP(x,y) формуланын А= {х/х- еркектер} жиынындагы интерпретациясы
боп табылады.
F=Vx3yP(x,y)
формуланы
будан
баскаша
жолмен
де
интерпретациялауга болады.
1-кодам. Айталык А= N - натурал сандар жиыны болсын.
2-кадам. N - жиында аныкталган мынадай ею орынды Р(х,у)
предикатты алуга болады: Р(х,у)= «х < у».
3-кадам. Бершген F=Vx Vy Р(х,у) формулага мынадай п ш р л к
сейлемд1 сэйкес коюга болады:
F=vx Зу Р(х,у) = Vx Эу (х < у) з «0p6ip х натурал саннан артык
болатын у саны бар» = а.
Осы акикат niKip F=Vx3y Р(х,у)= «Vx3y (х< у) формуланын N натурал сандар жиынындагы интерпретациясы (кесюндемесО боп
табылады.
253
Карастырып отырган F=Vx3y Р(х,у) формуласыиын тагы да талай
интерпретацияларын жасап керсетуге болады. Меселен, А жиыны
ретшде жазыктыктагы тузулер жиынын аламыз. Ал Р(х,у) =»х || у» деп
карауга болады.Осы бершгендерге суйенш, F=vx3y Р(х,у) формуланы А
жиында оз1н1з интерпретациялап керсетшз.
3-мысал. А= N натурал сандар жиыны нда аныкталган
F a (P(x,y,z) => Q(x,y,z) => R формуланы N натурал сандар
жиынында интерпретациялап керсетвдз. Мунда P(x,y,z)=x»y=z,
Q(x,y,z)=x+y=z; x,y,z eN. Ал P нел орынды жалган предикат ягни Р~ж
деп алынган, меселен, Р = «2=4». Сонда бершген F формуланын А
жиындагы интерпретациясын табу ережеа былайша журпзшедк
1-кадам. N - натурал сандар жиынын аламыз.
2-кадам. P(x,y,z) = x-y=z, Q(x,y,z) = x+y=z уш орынды
предикаттарды жэне Р=ж нел орынды (ягни пшрл!К предикатты)
аламыз, ягни Р= «2=4»=ж деп караймыз.Сонда F формула мынадай ашык
формула TypiHe келпршедк F = 3z((x- y=z) => (x+y=z) => (2=4)).
3-кадам. Осы F еш орынды предикаттагы х,у epiicri eKi
айнымалынын орнына N жиыннан алынган айкын нэрселерд!
(сандарды) койып, нэтижеанде кандай пшрлер шыгатынын байкап
керем4з.Мына 3z ((х y=z) => (x+y=z))-eK i орынды предикат, ондагы х
пен у TiH орнына кандай натурал сандар койылса да акикат niKip боп
табылады (еш натурал саннын кебейтшд1а жэне косындысы кашанда
бар болады). Осыган суйенш, m, п натурал сандар ушан мынадай niKip
жазуга болады:
3z((m n =z)=> (m+n=z)).
Мынадай теназд1ктер ш- п * к жэне ш+п *■к болатындай к санын
кашанда табуга болады. Олай болса, ш n=k жэне ш+п=к болатындыгы
жалган, сол себетч ( т п=к)=> (ш+п=к) = «акикат».
Ендеше 3z((mn=z)=> (m+n=k)) = «а».
Сол себепп 3z((m n=z)=> (m+n=z)=> (2=4)=ж.
Сонгы жазылган niK ip бастапкы бершген F=3z(P(x,y,z)=> Q(x,y,z))
=>R- ашык формуланын 6 ip интерпретациясы боп табылады.
Предикаттар алгебрасы формуласынын интерпретациясына
(кесшндемесше) суйене отырып, формулаларды улкен терт TYpлi ж1кке
белш топтамалауга (классификациялауга) болады. Ондай топтамалар
былайша аталады: 1) А жиында орындалатын формулалар, 2) А жиында
бекерленетш формула, 3) А жиында тенбе-тен акикат формула, 4) А
жиында тенбе-тен жалган формула.
Предикаттар ecenTeMeciHiH (алгебрасынын) аталган терт
формуласын жеке-жеке аныктаймыз.
Айталык А заттык айнымалылар жиыны жэне сол жиында
кандай да 6ip айкынды (конкретп) Р предикат бершген болсын.
Егер предикаттар алгебрасынын F формуласындагы барлык
предикаттык айнымалылардын орнына кандай да 6ip айкынды
254
предикатты коятын болсак, онда F формула белгш 6ip айкынды
предикатка айналады. F формуланы топтамалау сонгы айтылмыш
айкынды предикаттын акикаттык мэншщ сипатына карай жасалады.
1-аныктама. Егер де F формуладагы предикаттык айнымалылар
орнына М жиында бершген айкынды предикаттык белгш 6ip
койылымынан шыгатын предикат «а» деген мэн кабылдайтын болса,
онда F формула А жиында орындалатын формула деп аталады.
2-аныктама. Егер де F формуладагы предикаттык айнымалылар
орнына М жиында бершген айкынды предикаттын белгш 6ip
койылымынан шыгатын предикат «ж» деген мэн кабылдайтын болса,
онда F формула А жиында бекерленетш формула деп аталады.
3-аныктама. Егер де F формуладагы предикаттык айнымалылар
орнына М жиында бершген кандай болмасын айкынды предикаттын кез
келген койылымынан шыгатын предикат «а» деген мэн кабылдайтын
болса, онда F формула А жиында тенбе-тен акикат формула деп аталады.
4-аныктама. Егер де F формуладагы предикаттык айнымалылар
орнына М жиында бершген кандай да болмасын айкынды предикаттын
кез келген койылымынан шыгатын предикат «ж» деген мэн
кабылдайтын болса, онда F формула А жиында тенбе-тен жалган
формула деп аталады.
Осы аныктамалардын мазмунын ашуга кемектесетш 6ip мысал
келпрем1з.
1-мысал. (Осы жэне келеЫ мысалдар мынадай ютаптан алынып
отыр: В.И.Игошин. Задачник-практикум по математической логике,
учебное пособие для студентов-заочников. М., «Просвещение»-1986,
112-117 беттер).
Предикаттар алгебрасынын мына формуласы орындалатын
формула бола ма ?
F= (Зх)(Зу)[Р(х) л Р(у)].
Шешу. 1) Карастырып отырган формуладагы Р(х) жэне Р(у)
предикаттарды N - натурал сандар жиынында бершген мынадай
айкынды предикаттармен ауыстырамыз:
Р(х) з «х - жуп сан»; Р(у) = «у - жуп сан емес».
Сонда F формуладан мынадай айкынды предикат шыгады:
F —Р(х) л Р(у) = (х - жуп сан) л (у - так сан).
2)
F формула бул предикатка мынадай акикат тюрд) сэй
кояды: F= (эх)(3у) [Р(х) л Р(у)] ■ «Натурал сандар ишнде х - жуп жэне у
- так сан бар» = а. Демек, F формула, сез жок, орындалатын формула
боп табылады.
§4.
Жалпымэндшк
формулалары
4.1 Жалпымэшилж формуланын аныктамасы
Предикаттар есептемесшщ (немесе алгебрасынын) F формуласы
эралуан облыста интерпретациялануы мумюн екешн кердж. Осыган
255
суйенш, F формуланын жалпымэндшп туралы угамды былайша 6ip
сейлеммен гана аныктауга болады:
1-аныктама.
Егер де F формула езшш кез келген
интерпретациясында (кесюндемеанде) «а» деген мэн кабылдайтын
болса, онда бул формуланы жалпымэндшк (тавтологиялык) формула
деп атайды.
Жалпымэндшк формуласын былайша белплеп жазады: l=F.
Жалпымэндшк формуланы, кебшесе, «тавтология» деп те атайды.
Сонда
1= F белплеме F формуланын тавтология болатынын керсетедк
Пшрлер алгебрасындагы тенбе-тен акикат формула атаулынын 6api
жалпымэндшк (тавтологиялык) формула катарына жатады.
Предикаттар алгебрасы формулаларынын ондагы предикаттык
айнымалыларды кандай да 6ip айкынды предикаттармен алмастыру
аркылы предикатка келт1ршетшш жогарыда айттык. Соган суйене
отырып, предикаттар алгебрасынын жалпымэндшк формуласы туралы
V ымды былайша да аныктайды.
2-аныктама.
Егерде
предикаттар
алгебрасынын
F
фор 'уласындапл предикаттык айнымалылар орнына кайсы 6ip жиынды
бершген айкынды предикаттардын кез келген койылымынан шыгатын
предикат «а» деген мэнш кабылдайтын болса, онда F формуланы
жaлпымэндiлiк (тавтологиялык) формула деп атайды. Оны былайша
белплеп керсетедк
1=F .
Дербес жагдайды алып Караганда пшрлер алгебрасындагы тенбетен формула атаулынын 6api жалпымэндшк формула (тавтология) боп
табылатыны жайында жогарыда айтылды. Пшрлер логикасы
формуласынын жалпымэндшк (ягни тавтология) болатындыгын
тагайындау ушш кещнен колданылатын арнаулы eKi турй! ереже барын
бшем1з. Олар: 1) «кестелеу ережеа» жэне 2) «калыптанган формалар
ережеа» деп аталады (Ол осы ютаптын 1-бел1мшде айтылган). Ал
предикаттар алгебрасындагы формуланын жалпымэндшгш (тавтология
болатындыгын) дэлелдеуге колданылатын мундай жарамды жалпы
ережелер ( алгоритмдер) жок.
Keft6ip
предикаттык
формулалардын
жалпымэндшпне
(тавтология болатынына) 1-2 аныктамаларра суйене отырып, косалкы
логикалык пайымдаулар жург!зу аркылы кез жетюзуге болады. Сондай
пайымдаулардын yflrici ретшде алынган б!рнеше мысалга токталып
етем1з.
1-мысал. F = vxP(x) => Р(у) формула жалпымэндшк формула
(ягни тавтология) болады деп дэлелдешз.
Шешу. Кайсыб1р М жиында Р белпге y-TiH кандай да 6ip
мэншде «ж» деген мэн кабылдайтындай Р(у) айкын предикатты сэйкес
KoroFa болады дешк (Мундай уйгарымды былай жасауга болады:
Мэселен, Р(у)= «у - так болатын натурал сан» десек, онда Р(2)=ж
болады). Демек, vxP(x) =ж болады. Ендеше сабактасым (импликация)
256
амалынын аныктамасы бойынша vxP(x)->P(y) = а болады ягни l=F
болатыны делелденд!.
2-мысал. F = эхР(х) -> vxP(x) формуланын жалпымэндшк
(тавтология болмайтынын дэлелдещз.
Шешу. F формуланын жалпымэндшк емесппн дэлелдеу ушш
осы формула «ж» деген мэнге ие болатындай F формуланын 6ip
интерпретациясын (кескшдемесш) атап керсету м<етКшкт1 болады.
Айталык А={1, 2} жиында Р(х)=»х- жай сан» деген предикат
бершсш. Онда сез жок эхР(х) = а, ал vxP(x) = ж болады. Сондыктан,
сабактасым амалынын аныктамасы бойынша эх Р(х)=> vxP(x) = ж.
Ендеше карастырып отырган F = зхР(х)=> vxP(x) формуласын
жалпымэндшк формула деп атауга непз жок, ягни F - тавтология емес.
3-мысал. Мына формула жалпымэндипк формула бола ма?
F = (vx)[P(x)=> Q(x)] =>(R j x)P(x) => (3x)Q(x)] (1).
Есеп-тапсырма. 1=F?
Шешу. А жиында Р(х) жэне Q(x) предикаттары аныкталган
болсын. Солардан курьшган F формула тавтология болмасын деп
уйгарайык. Онда сабактасым (импликация) амалынын аныктамасы
бойынша: (vx)[P(x)=> Q(x)] э а (2) жэне зхР(х)=> 3Q(x)= ж (3) болуы THic.
Осындагы (3) ернектен мынадай пшрлер жазуга болады: зхР(х) = а (4 ),
3xQ(x) = ж (5). (4) формула бойынша А жиыннан 6ip Х| элемент
табылып, Р (Х |) =а (6) болатынын керсетедь
(5) тещцк
орындалатындыктан, Q(x) = ж (7) болады. (6) мен (7) бойынша Р(а) =>
Q(a) —ж (8) болады.
Бул (8) формула уйгарудан шыккан (vx)[P(x)-> Q(x)] = а (9)
формулага кайшы келед1. Осы кайшылык 6i3fliH уйгаруымыздын кате
екендйтн керсетед1. Демек, 1=F болады деп айта аламыз.
4-мысал. Мына формула жалпымэндшк формула бола ма?
F = (vx)[P(x) =>Q(x)] о [(зх)(Р(х) =>(vx)(Q(x))].
Есеп-тапсырма. WF -?
Шешу. F формула курамындагы Р(х) пен Q(x) предикаттар N hL
натурал сандар жиынында аныкталган болсын. Ал, Р(х) пен Q(x)
JJIJV U IT *
1
W V i/lT IJV lU
l\|U U n u n ilM U I U l
Ж у /» у
11W II
* 4
предикаттар мынадай айкынды предикаттар болсын дешк:
Р(х) а «х саны 4 ке белшед!» (1), Q(x) е «х - жуп сан» (2).
Сонда мынадай пшрлер айтуга болады:
Vx [р(х) =>Q(x)] I «4 ке белшетш барлык сан - жуп» = а (3)
(Зх)[(Зх)(Р(х)) => (V[)(Q)l(x))] = «Егер 4-ке белшетш сан бар
болса, онда барлык натурал сан жуп болады» =ж (4).
Демек, F формула 1=F бола алмайды.
5-мысал. Пшрлер алгебрасынын F=P v Р формуласы тенбе-тен
акикат формула боп табылатынын бшемгз. Белплемелер тшшде
айтканда WF деп каралады ягни Р v Р = а (1) немесе Р v Р =1 (2) деп
жазуга болады.
257
F = P v P формуласынын тенбе-тен акикат (тавтология)
болатындыгы дэстурлж логика типнде <<ушшщ|1 жок заны» деп
аталатынын бшем!з.
Есеп-тапсырма. Пшрлер алгебрасынын 1= F = (Pv Р) - тенбетен акикат формуласындагы Р пшрлгк айнымалынын орнына Р(Х|, х2,.„,
Хп)
п-орынды
предикатты
койганда
шыгатын
Р|=Р(Х|,Х2,—,Хп)лР(х!,Х2,...,Хп) формуласы жалпымэндшк формула
болатынын дэлелдещз.
Шешу. Айталык Ро дегешм1з кайсы 6ip А жиында бершген порынды айкынды предикат болсын дешк. Ал, (аь а2,..., ап) дегешм1з А
жиындагы заттык айнымалылардын кез келген мэндер! болсын. Ро айкынды предикаттын жэне онын Ро терютемесшщ (ai, а2,..., ап)
элементтерге сэйкес мэндер1 болатын P0(ai, а2,..., ап), Ро(аь а2,..., ал)
пшрлерд1 табамыз. Сонан сон бул екеуш F формуладагы орындарына
койсак ymiHiiiici жоктык заны бойынша мынадай катынастар жазуга
болады:
Po(ai, а2,..., ап) v Po(ai, а2,..., ап) = 1 (3)
немесе
Ро(а|, а2,..., ап) у Pofai, а2,..., ап) s а
(4)
(3)
немесе (4) ернектердеп Ро деп отырганымыз Р - предикат
айнымалынын кез келген мэн! боп табылады. Ал, (а|, а2,..., ап) Дегешм1з
А жиындагы х ь х2,..„ Хп заттык айнымалылардын кез келген жиналымы
деп каралып отыр. Ендеше, F|= Р(хь х2,..., х п ) а Р(Х|, х2,..., хп)
формуланы жалпымэнд1лк (тавтологиялык) формула деп карауга
болады, ягни 1=F немесе 1= P(xi, х2,..., хп) л Р(х!5х2,..., Хп).
Осы каралган мысалдан пiкipлep алгебрасынын тенбе-тен акикат
(тавтологиялык) фомуласынан предикаттар логикасынын кептеген
жалпымэндшк формулаларын (тавтологиясын) шыгарып алуга
болатынын керемаз. Ол ушш пшрлер алгебрасынын тенбе-тен
формуласындагы элементар п1к1рлерд1, предикаттык айнымалылармен
ауыстыру жеткшкт1 болады. Бул ережелш тужырымнын дурыстыгы
мынадай теорема аркылы непзделед1.
Теорема. (Пк1рлер Формуласынан предикаттар логикасынын
жалпымэнд1л1к Формуласын шыгарып алу туралы).
Шюрлер
алгебрасынын
тенбе-тен
акикат
формуласындагы
пшрлж
айнымалыларды кайсы 6ip предикаттык айнымалылармен ауыстырудан
пайда болатын формула жалпымэндш1к (тавтологиялык) формула
болады (Дэлелдеу!н озш з орынданыз).
4.2.
Предикаттык тенмагыналы Формулалар мен
тенмагыналы турленлтулеп
Айталык Хь X:,..., xneA, P(xt, х2,..., хп) жэне Q(xi, х2)..., хп) А
жиында аныкталган п-орынды предикаттар болсын. Демек, Р,Ое{а,ж}. Р
258
мен Q предикаттык айнымалылар, ал х:, х:,..., хц - заттык айнымалылар
бол табылады.
Предикаттык формулалардын тенмагыналы лыгы туралы угымды
аныктау y m iH , эуелй предикаттардын тенмагыналылыгы туралы угымды
аныктап алу кажет.
1-аныктама. А жиында аныкталган Р (Х |, Х2,...,Х ц) жэне Q(xt,
Х з,..., Хп) предикаттар хь х2,.-., Хп заттык айнымалылардын болуы мумкш
мэндершщ кез келген жиынында б1рден акикаттык мэндерге иел1 болса,
онда бул eKi предикатты тенмагыналы предикаттар деп атайды.
Тенмагыналы предикаттарды былайша жазып керсетедк
P (X |, X j,..., ХП)
=
Q (X |, Xi......Хп)
(1 )
Мысалы. А рационал сандар жиынында мынадай ею орынды
предикаттар бершсш: Р)х, у) = «х3 - у3 = 0», Q(x, у) = «(х -у)(х2+ху+у)=0».
А жиында х, у рационал сандардын бершген тендеулерге шегшм болуы
мумкш мэндершщ кез келген жиынында Р(х,у) жэне Q(x,y) eKi
орындык предикаттар б1рдей «а» деген немесе «ж» деген акикаттык
мэндер кабылдайды. Демек, Р(х,у) = Q(x,y) болады. Предикаттардын
тенмагыналылык катынасы (=) мен предикаттарга колданылатын тенгермел1к ягни
эквиваленттшк (<=>) амалынын арасындагы байланыс бар. Бул
байланысты мынадай теоремалык тужырым туршде алуга болады.
Теорема. Р(Х|, Хг,—, Хп) жэне Q(xi, Х2,...,Хп) предикаттары
тенмагыналы болу ymiH мына формуланын Р(Х|, х2,..., Хп) <=>Q(X|, Х2,—,
Хп) жалпы мэщц (тавтология) болуы кажетт1 жэне жетк1л1кт{.
Бул теореманы белгшемелер т1л1нде былайша таратып жазуга
болады: Егер «Р з Q» болса, онда « |= Р сэ Q» болады жэне , кер1сшше,
егер «1= «Р <=>Q» болса, онда «Р = Q» болады.
Бул теореманын дэлелдеу! ешкандай киындык тудырмайды деп
ойлаймыз. Теорема предикаттардын тенмагыналы болуынын кажетт1
жэне жетк1л!кт1 шарттарын керсететццпктен, оны аныктама рет1нде
пайдалануга да какымыз бар.
Аныктама. Егер 1=Р <=>Q болса, онда Р = Q болады дейдк
Предикаттар арасындагы Р г Q тенмагыналылык катынасы ymiH
niKipnep алгебрасындагы icnerrec мынадай уш касиет тура болады:
1. Р = Р - взшшщцйс ягни рефлексивт!к касиет.
2. Егер Р = Q болса, онда Q = Р-карсыламалык
ягни
симметриялылык касиет.
3. Erep Р s Q жэне Q = R болса, онда Р = R -кeшipiмдiлiк ягни
Транзитивт1к касиет.
Предикаттар арасындагы тенмагыналылык катынасы туралы
угымга суйене отырып, предикаттык Формулалардын тенмагыналылыгы
туралы угымды аныктауга болады.
259
Айталык F| жэне F; eKi предикаттык формулалар бершген
болсын. F| * F: туралы угым былайша аныкталады:
3-аныктама.
Егер
р ,,
F>
предикаттык
формулалар
курылымындагы элементар формулаларды кез келген лредикаттармен
ауыстырудан шыгатын сэйкес предикаттар тенмагыналы болса, онда F|
жэне F: формулаларды тенмагыналы формулалар деп атайды жэне
оларды былайша жазып кврсетед!:
F| sF i .
Теорема. F|
болганда жэне тек сонда гана 1= Ft о Fi болады.
Баскаша айтканда: F| <=> F2 формула жалпымэндшк формула болу ушш
F| мен Р2 формулалардын тенмагыналы болуы кажетп жэне жеткиш т.
Теореманы дэлелдеу жалпымэндшк жэне тенмагыналылык
угымдарынын аныктамасына ткелей суйену аркылы оцай орындалады.
Сондыктан, оны дэлелдеуге токталып жатпаймыз.
Предикаттык формулалар арасындагы тенмагыналылык (=)
катынасына суйену аркылы бурын шюрлер алгебрасында корсеплген
жолмен «формуланы тенмагыналы турлещпру» деген угымды аныктауга
болады.
4-аныктама. Бер1лген предикаттык формуладан оны немесе
оньщ кандай да 6ip курамдык бвлгмшесш тенмагыналы формуламен
ауыстыру аркылы кандай да 6ip жана формулага квшуда бастапкы
формуланы тенмагыналы турленд1ру деп атайды.
Предикаттар алгебрасында тенмагыналы турлецщру жш
колданылатын есептемелк куралдын 6 ip e y i боп табылады. Мундай
турленд1рулерд1 тшмд! жумсау уш1Н предикаттык H e ri3 ri тенмагыналы
Формулалар немесе предикаттар алгебрасынын непзп зандары деп
аталатын формулалар Ti3iMiH жаттамалык жадта устау абзал.
4.3. Предикаттар алгебрасынын н еп зп тенм агыналы лы к
(НТМ) жэне неп зп ж алпы м эндш к (НЖМ) Формулалары
Квантор амалы жумсалган 6ip орынды предикаттар ушш кашанда
орындалатынын теорема ретшде дэлелдеуге болатын темендеп
предикаттык формулалар Ti3iMiH предикаттар алгебрасынын непзп
зандары немесе предикаттын
непзп тенмагыналылык немесе
жалпымэндшк формулалары деп атайды.
Heri3ri тенм агы налы лы к (НТМ) формулаларынын Ti3iMi
I. Кванторларды mepicmev зандаоы (немесе де-Мовгсшнын
кванторлык зандары жэне олардын салдарлары
1. VxP(x) s 3 х_Р(х)
2. ЗхР(х) s;Vx Р(х)
3. VxP(x) —_Эх ?(х)
4. ЗхРГх) ■ Ух Р(х)
260
//. Кванторларды конъюнкция мен дизыонкииялар
аркылы кеииру зандары
1. Vx[P(x) Л Q(x)] a VxP(x) A VxQ(x)
2. Вх[Р(х) v Q(x)] з ЭхР(х) v 3xQ(x)
3. Vx[P(x) v Q] з VxP(x) v Q. Мундагы Q - нел орынды предикат
4. Зх[Р(х) л Q] з ЗхР(х) a Q
немесе шгарлш айнымалы.
/ / / Кванторларды импликация аркылы квииру зандары
1.
2.
3.
4.
Vx[P(x) => Q] з Зх[Р(х) => Q]
Зх[Р(х) => Q] з Vx[P(x) => Q]
Vx[Q => Р(х) a [Q => VxP(x)]
3x[Q => Р(х)] = [Q => ЗхР(х)]
Мундагы Q -нел орынды предикат.
/Y. Жалпылык кванторын шеткершеу баомыстык кванторын
emi3\> зандары
1. VxP(x) => Р(у)
2. Р(у) => зхР(х)
Y. Кванторлардын орнын ауыстыру зандары
1. ЗхЭуР(х, у) <=>VyVxP(x,y)
2. 3yVxP(x, у) => Vx3yP(x, у)
3. 3. 3yVxP(x,y)=>Vx3yP(x,y)
Ангартпалар. 1-ангартпа. Осынын алдындагы пунктте
тенмагыналы жене тенмэши формулалар арасында 6ipeyiH eKiHuiiciHiH
салдары деп карауга болатын байланыс барлыгын атап керсеткенб4з.
Сол байланыска суйену аркылы предикаттар алгебрасындагы «непзп
тенмагыналы» (НТМ) формулалардын то1мшдеп 1-Y формулалардын
«Heri3ri жалпыменд1л!К» (НЖМ) тавтология (1=) жене эквиваленттшж
(о )
белгшерш пайдаланып «непзп
жалпымендшк» (НЖМ)
формулалардын мынадай 1-Y жуйесш жазуга болады.
Н епзп жалпымэнд!л 1к (НЖМ) формулалар Т131М1
I. Кванторларды mepicmev зандары
1. 1= V х Р(х) о Зх Р(х)
2. 1= V хР(х) <=>VX Р(х)
3. 1= VxP(x) о Зх Р(х)
4. 1=ЗхР(х) о Vx Р(Х)
261
II. Кванторларды конъюнкиия мен дизъюнкция аркылы
Kowipv зандары
1.
2.
3.
4.
1=Vx[P(x) л Q(x)] <=> [VxP(x) л VxQ(x)]
1=Эх[Р(х) v Q(x)] <=> [ЭхР(х) v 3xQ(x)
1= Vx[P(x) л Q] о [VxP(x) v Q]
|= Эх[Р(х) л Q] <=> [ЗхР(х) л Q], Мундагы О - н е л
орынды предикат.
III. Квашпорларды импликация аркылы K o v u ip y (Ьормулалары
1. 1= Vx[P(x) => О] <=> Эх[Р(х) => Q]
2. 1=Зх[Р(х) => Q] о Vx[P(x) => Q]
3. 1= Vx[Q => Р(х)] <=>[Q => хР(х)]
4. 1=3x[Q => Р(х)] <=> [Q => хР(х)]. Мундагы
Q-нел орынды предикат
IY. Жалпылык кванторын шеткерЫеу жэне бармыстык
кванторын енг\зу зандары
I 1=VxP(x) => Р(у)
2. |= Р(У) => ЭхР(х)
Y. Кванторлардын орнын ауыстыру зандары
1. 1=Vx VyP(x, у) <=>Vy VxP(x, у)
2. 1= Зх ЗуР(х, у) о Vy VxP(x, у)
3. к Зу VxP(x,y) <=> Vx ЭуР(х, у)
2-ангартпа.
НТМ жэне НЖМ формулалардын эркайсысын
жеке-жеке алганда теорема деп карап дэлелдеуге болады. Олардын
кейб1реулершщ дэлелдеулер1 (мэселен, НТМ формулаларынын 1| , Ь)
бурын мысал ретшде карастырылып та етть Бю енд! улп ретшде I-Y
формулалардын кейб1реулерш FaHa дэлелдеп керсетем!з. Калгандарын
окырманнын ез тетес1нен дэлелдеуш е калдырамыз.
1-НТМ.
V хР(х) s j x Р(х, у).
Дэлелдеу1. Айталык V хР(х) = а (1) болсын. Онда мына niKip
VxP(x)= ж болады. Демек, Р(х) предикаттын А - аныкталу облысында
Р касиетке иел1 болатындай_6it? х бар болуы тшс, ягни Зх P ( x ) s а (2).
(1) жене (2) ернектерден V х Р(х) = Эх Р (х ). Д.к.о.е.
Ii -НТМ формула тура болса, онда 1| - НЖМ формула да, сезаз,
тура болады. Сондыктан, мынадай формула да дэлeлдeндi деуге болады:
262
1= V_x P(x) о Эх P(x).
Ь -HTM . vxP(x) = В X P(x).
Дэлелдеук Дэлелденетш катынастын он жагындагы формуланы
алып, оран Ь - зацды_колданамыз.
3 х P(x)=Vx Р(х) —I кос T epicT ey заны бойынша Р=Р I = VxP(x).
Осыдан Ь формуланын тура екендгп_ шыгады. Демек, 13 -НЖМ
формуласы да тура болады: 1= VxP(x) о Зх Р(х).
IIi -H T M . Bx[P(x)vQ(x)] = ЗхР(х) V 3xQ(x).
(Бармыстык кванторы дизъюнкция амалына Караганда улест1р1мд1
болады).
Дэлелдеук Айтапык Р(х) жэне Q(x) предикаттар A{ai, а2,...,ап} акырлы жиында бершген болсын. Сонда бармыстык кванторынын
аныктамасына суйенш былайша жазуга болады:
Зх[Р(х) v Q(x)] = (Р(а,) v Q (a ,)J v р (а,) vQ (a2)]v...y[P(an) vQ (an)] =[P(a, )v
n
П
^Р(аг^ ...у P(an)l v[Q(ai)vQ(a2)v...vQ(an)] з v P(aK) v Q(aK) =
K=1
K=1
e3xP(x)v3 xQ(x).
Осы дэлелденген формуладан II2 - НЖМ формуласынын тура
болатындыгы шыгады:
k[P(x) v Q(x)] <=> [ЗхР(х) v 3xQ (x)].
IIIг НЖМ формуланын тура болатынын дэлелдеу керек:
h Vx[P(x)=> Q] о Зх[Р(х) => Q]
(1)
Дэлелдеук Бул формуладагы Q-нел орынды предикат (немесе
п ш р т к айнымалы) болатындыгы айтылган-ды. Сондай-ак, Q -ды х тен
баска кез келген у айнымалынын п-орынды предикаты деп карауга
какымыз бар. Б«з колайлылык ущш Q(y) - 6ip орынды предикат деп
аламыз. Мундагы у квантормен байланбаган, кез келген (х тен баскаша)
epijcri айнымалы. Осындай алгышарттардан кешн (1) формуланы
жалпымэщц (тавтология) болмасын деп уйгарамыз. Онда A, Ai
жиындарда аныкталган Р|(х) жэне Qi(x) ею айкындык функция
табылып, оларды (1) формуладагы Р(х) пен Q(x) TiH орнына койсак,
бекерлемелж болатын мынадай формула шыгуы тшс:
vx[P,(x) =» Qi(y)] о зх[Р.(х) => Qi(y)]
(2)
Бул (2) формула бекерлемелгк болгандыктан, мундагы у-тщ
орнына А| жиыннан айкындалып алынган в нарсеш кояр болсак, онда
мынадай жалган формула шыгады:
vxlPj(x) => Q i ( b ) j О [ЭхР|(х) => Q i ( b ) j = а
(3)
Ею
предикаттан
курылган
тенгермеяж
(эквиваленгпк)
формуланын аныктамасы бойынша (3) катынас орындалуы ушш
кураушы формулалар ер турш акикаттык мэндерге иел1 болуы тше.
Сондыктан, тенмагыналы (3) формуладан мумюн болатын eKi ахуалга
айырып карауга болады:
263
jVx[P,(x) =>Q,(b)] > a
[З х [Р |(х )= > 0 ,(Ь )]н ж
j Уд-^д-)
И-
(4)
(5)
=ж
[3x\P(x)^>Q(b)\ = a
(6)
Алдымен I - ахуалды жеке алып карастырамыз. Сондагы еюнщ
формуладан сабактасым амалынын аныктамасы бойынша мыналар
шыгады:
VxP|(x) в а (6), ал Q i( b )= ж (7). Мундагы бар болу кванторынын
аныктамасы бойынша Р|(х) орындалатын формула деген корытынды
айтуымызга болады, ягни А жиыннан кандай да 6ip ак деген мэн
табылып, Р|(ак) = а (8) деп карай аламыз, акеА.
Ещй 1~ахуалдагы 6ipiHiiii формулага оралайык. Жалпылык
кванторынын аныктамасы бойынша осы формуладан мына формуланы:
P i(x)=Q i(b) тенбе-тен акикат деп карауга какымыз бар. Олай
болса А жиындагы кез келген ак ушш былайша жаза аламыз:
Pi(a)=> Qi (в) = а (9)
Ал (8) мен (9) дан сабактасым амалынын аныктамасы бойынша
мынау шыгады: Р|(а) => Q i( b ) = а=>ж =ж (10).
Сейт1п, (9) мен (10) - дан кайшылык кеп шыкты. Осы кайшылык
I - ахуал орындапганда б!ЗД1ц уйгаруымыздын кате екендтн керсетед!.
Ендеше осы ахуал аукымында алып Караганда ш, - НЖМ формуланын
тавтология болатыны дэлeлдeндi дейм1з.
II
ахуалды жекелеп карастыруга токталамыз. Сондагы 6ipiH
катынаска суйенсек жэне жалпылык кванторынын аныктамасын
басшылыкка алсак, онда P|(x)=Q i(b) формуланы бекерлемдш формула
деп карауга какымыз бар ягни F жиындагы кандай да 6ip ак уш н
былайша жазуга болады:
акеA, Pi(aK) => Qi(b)= ж (11).
Сабактасым амалынын аныктамасы бойынша (11) формуладан
мыналар шыгады:
VaKeAJ Pi(aK)=a, Q i( b ) = ж (12).
li
- ахуалдагы ек 1нш! формуладан СМв)=ж болгандыктан, 3xPi(
ж
(13) болатындыгы кеп шыгады. Сонгы (13) катынас Pi(x)
предикаттын тенбе-тен жалган болатындыгын керсетед!. Ендеше А
жиындагы кандай да 6ip ак ушш Р(ак) =ж (14) болуы тшс. Бул
корытынды (12) катынастардын 6ipiHmiciMeH уйлеспейд1. Осы
кайшылык н ахуалдагы уйгарудын да кате екенше непз бола алады.
CefiTin, I жене II ахуалда да кайшылыкка тап боламыз. Бул (1)
жалпымэнд1л1кт1н (тавтологиянын) тура екениМн керсетед1. III, - НЖМ
формуланын туралыгынан III) -НТМ -нщ орындалатындыгы кеп
шыгады.
IY |-НЖМ формуланын тура
болатындыгын далелдеуге
токталамыз.
264
1=vxP(x) => Р(у) (1)
Далелдеу. Бул формуланы А жиында аныкталган Р предикаттык
айнымалы мен у -еркш айнымалынын функциясы дел карауга болады.
Р(х) предикаттык акикаттык облысын Тр деп белплетк. Егер ТрсА
болса, онда мына niK ip VxP(x) = ж (2) болады. Демек, сабактасым
(импликация) аныктамасы бойынша vxP(x) => Р(у) = а (3) болады. Ал,
егер Тр =А болса, онда vxP(x)=a (4) болатыны анык. Будан уеА болса,
онда Р(у)=а (5) болады. Демек, (4) пен (5)- ден vxP(x) => Р(у) = а (6).
Сонымен, (3) жене (6)-дан мынау шыгады: 1=vxP(x) => Р(у).
IYi- НЖМ формуланы делелдешк: 1=Р(у) => ЗхР(х)
Делелдеу. (1) формуланын тура болатындыгын дэлелдеуд1 ею
жавдайга белш караймыз.
1-жагдай. Айталык Тр=0 - кур жиын болсын. Онда А жиындагы
кез келген у ушш Р(у)=ж (2) болады. Осыган карап, сабактасымдык(импликативт1к)
амалдын аныктамасынан 1-жагдай да
эркашан Р(у) => зхР(х) = а (3) деп тужырым жасауга болады.
2-жагдай. Айталык Тр* 0 - кур жиын болмасын. Онда вхР(х) =а
(4) болатын кандай да 6ip х бар болады. Ендеше сабактасымнын
аныктамасы бойынша бул жагдайда да: Р(у) => эхР(х) ■ а (5) болады.
1-mi жене 2-mi жагдайды 6ipiicripin айтар болсак, онда мына
катынас тура болады дей аламыз: 1= Р(у) => зхР(х) = а. Д.к.о.е.
Y| -НЖМ формуласын дэлелдешк: 3yvxP(x,y) I— vxay P(x,y) (1).
Дэлелдеу. Kepi уйгару эдгамен пайымдау аркылы дэлелдейм^з.
Айталык (1) формула тавтология болмасын. Онда А жиында аныкталган
Pi(x,y) айкынды предикат табылып, оны 6 ipiHUii формуладагы Р(х,у) Tin орнына койганда, бул формула «ж» деген мэн кабылдайтын болады,
ягни 3yVxP| (х,у) => VxByP] (х,у) а ж (2). Будан сабактасым амалынын
аныктамасы непзшде мынадай катынастардын тура болатындыгы
шыгады: 3yVx Pi(x,y) = а
(3); Vx3yPi(x,y) = ж (4). Мундагы (3)
катынастан бармыстык кванторынын аныктамасы бойынша у - ке
тэуелд1 VxP(x,y) предикаты орындалатын предикат болатындыгы
шыгады. Демек, у=в десек, VxP|(x, в)=а (5) болады. Сонгы (5)
катынастан Р|(х,в) предикаттык А жиында х айнымалыга Караганда
тенбе-тен акикат болатынын керем13. Сол себепт1 А жиында х-тщ
предикаты болатын ЭуР|(х,у) - 6ip орынды предикат осы А жиында «а»
деген мен кабылдайды, ягни ЗуР|(х, у) = а (6).
(5) мен (6) -дан мынаны жазуга болады: Vx3yP|(x,y) =а (7). Бул
(4)- катынаска кайшы келедь Демек, 6i3flin уйгаруымыз (2) кате. Ендеше
бастапкы тужырым тура болады.
4.4. Келт1р1лген Форма жене келкт1р1лген
калы пты формалар
Предикаттар есептемес1ндеп тенмагыналы турленд1рулер амалы
бepiлгeн формуланы кандай да 6ip тутынуга ынгайлы турге келт1руге
265
мумюндж жасайды. Осындай ынгайланган формалардын 6ip rypi
келт1р1лген Форма деп аталады. Айталык F в Ф болсын.
А ны ктам а. F предикаттар алгебрасындагы Ф формула элементар
формула болса немесе ол элементар формулаларга TepicTey,
конъюнкциялау, дизъюнкциялау амалдарын колданудан гана шыккан
формула болса, онда Ф формуланы F формуланын келт1ршген формасы
деп атайды.
F формуланы бурын дэлелденген непзп тенмагыналы (НТМ-д!)
формулаларды тутынып келпршген Ф - формага (КФ-га) келт1руге
болады. Сонда, кебшесе, мынадай НТМ формулалар жумсалады:
VxP(x) = Эх Р_(х)
(1)
ЗхР(х) sVx _ Р(х)
(2)
Р(х) => Q(x) = Р(х) v Q(x> (3)
Р(х) о Q(x) —[ Р(х) v Q(x)] л [ Q(x) v Р(х)]
(4)
1-мысал.
F = ЗхР(х) -» VyQ(y) - формуланын келпршген
формасын (КФ(Р)-ын) табыныз.
Шеь ’у. F в ВхР(х) -> VyQ(y) = 12-3 НТМ формулаларын пайдаланамыз I=
s Vx Р(х) v VyQ(y) s I кос T e p ic re y жэне де-Морган зандарын
пайдаланамыз: р = р, р v q = р a q | = Vx [Р(х) A3yQ(y)] =
э 13xP(x)sVx Р(х) (2) - НТМ формуласын пайдаланамыз | =
в Vx [Р(х) а Зу Q(y)].
Суйп®, Ф = КФ (F)= Vx[P(x) д Эу Q(y)].
2-мысал. F в Vx3yP(x,y) - * Q(x) = Vx3yP(x,y) v Q(x)s3x3y P(x,y) v
v Q (x ) = 3xvy P(x,y)vQ(x).
Ф=КФ(Р)в 3xVy P(x,y)vQ(x).
3-мысал. F(x) в Vx[P(x)-> Q(x)] a 3 x [R (x )a S (x)] формуласынын
терютемесшщ келт1р1лген формасын табыныз.
Шешу. Vx[P(x)->Q(x)] л 3x[R(x) л S(x)] в Vx[ P(x)vQ(x)] л 3x[R(x )aS(x)] =
bVx[ P(x)vQ (x)] v
3x[R(x) л S(x)] в 3x[
v S (x )]b 3 x [P (x )a Q (x )]v V x [ R (x ) v
P (x )a
Q (x )] vV x[ R (x )v
S(x)].
Ф=КФ( F)=3x [P(x) a Q(x)] v Vx [ R(x)v S(x)J.
2-аныктама. Егер предикаттар алгебрасындагы F формула ушш
ондагы квантор атаулынын 6api Ф формуланын алдында туратын болса
266
жене ол кванторлардын бершщ ыкпалы сол Фк формуланын акырына
дейш таралатын болса, онда F формуланы келпршген калыптага форма
деп атайды.
Мысал. F|= Vx3y[P(x)AQ(x)] - кел1ст1ршген калыпты форма боп
табылады. F;= Vx[3yQ(y)vP(x)] - келюпршген калыпты форма бола
алмайды.
Темендеп теореманы дэлелдетк.
Теорема. Предикаттар алгебрасынын ер формуласы унпн
кeлicтipiлгeн калыпты форма (ККФ) бар болады.
Бул теореманын дэлелдеуш мысал аркылы тусшдарем1з.
Мысалы. Heri3ri тенмагыналылык (НТМ) формулаларды
пайдалану аркылы предикаттар алгебрасынын мынадай кел1стфшмегсн
формуласын келют1ршген калыптагы формага келпрш жазыныз.
F=3y[P(x)=>Q(x)]=>vy[P(y)vVzQ(z)] (1)
Шешу. F=3y[P(x)=> Q(y)]=> Vy[P(x)vVzQ(x)] =
1-mi TiK жакша мен 2-uii тш жакшадагы у айнымалы ер турл1
квантормен байланган. Солардын ыкпалынан жанылмас ушш
ектии жакшадагы y-Ti t деп белплейм1з.
-
Зу(Р(х)=> Q(y)J=> Vt[P(t) V VzQ(z)] s
2-mi tik жакша iiuiRaeri t айнымалыга Vz - квантор ыкпал
= жасамайды. Сондыктан мына НТМ формуланы Vx[Q->P(x)] = =
$[Q v VxP(x)] пайдаланып, Vz - Ti TiK жакша алдына шыгаруга
какымыз бар.
э
=
Зу[Р(х) => Q(y)] => Vt Vz [P(t) v Q(z)] p
Vt, Vz кванторлары 1-uii TiK жакша щцндеп x пен у -ке ыкпал
жасамайды. Ендеше Vt мен Vz- Ti елп формулага суйенш,
=
жалпы жакша алдына шыгаруымызга болады
s3x Vt {[P(x)=>Q(y)]=>[P(t) л Q(z)]}.
Сонымен, вделШщ отырган
KKO(F) =3yVtVz{P(x)=> Q(y)]=>[P(t) v Q(z)]}.
4.5. Математикалык сейлемдердт
предикаттар плшде жазылуы
Математикалык ёейлемдерщ предикаттар алгебрасы тшшде
жазып керсетудгн 6 ip H eo ie нактылы мысалдарына токталамыз.
267
1-м ы сал. «Кез келген натурал сан нелден аргык болады» деген
сейлемд1 предикаттар тш н де жазып керсетш з.
Шешу. Бул сейлемд1 предикаттар тш н д е эр турл! жолмен
ернектеуге болады.
1-жолы.
Алдымен, бершген сейлемд1 онымен тенмагыналы
болатын жана сейлемге былайша турлещнрш жазамыз:
«Кез келген х - натурал сан нолден артык болады» = «Кез келген
х ушш, егер х - натурал сан болса, онда ол нелден артык болады». Будан
бершген сейлемд1 предикаттар тш м ен былайша жазуга болатыны
шыгады:
Vx[P(x)=> Q(x)] (1). Мундагы Р(х) = «х е N», ал Q(x)= «х>0».
2-жолы. «Кез келген х ушш» деген жалпылык кванторынын
орнына «N - жиынга тиесш барлык х ушш» деген шектемд) жалпылык
кванторын пайдаланамыз. Сонда бершген сейлем мынадай ыкшам
белпмен жазылып керсетшедк
(VxeN)[x>0].
2-мысал. N-натурал сандар жиынында eKi предикат бершген:
Р(х) = «х - так сан»; Q(x) = «х - жай сан». Осыларды пайдаланып,
мы адай терт сейлемд1 предикаттар тш н де жазып керсепгаз:
а) «Кез келген так сан жай сан болады» .(1).
е) «Eui6ip так сан жай сан болмайды»
(2).
б) «Кейб 1р так сан - жай сан»
(3).
в) «Keft6ip так сан жай сан болмайды (4).
Шешу. (1) сейлемд! онымен тенмагыналы болатындай сейлемге
былайша турленд1руге болады: «Кез келген х так сан жай сан болады» т
«Кез келген х ушш, егер х - так болса, онда х - жай сан болады». Сонгы
сейлемд1 предикаттар тш н де былайша жазуга болады: VxP(x) =>Q(x).
е) Бер1лген (2) сейлемд! былайша турленд1р1п жазуга болады:
«Eiu6ip х - так сан жай сан болмайды» = «Кез келген х у ш ш , егер х - так
сан болса, онда х - жай сан болмайды».Бул сейлем предикаттар тш нде
былайша жазылады: Vx[P(x)=> Q(x)].
б) Бершген (3) сейлемд1 былайша турлещнрешз: «Kefi6ip х - так
сан - жай сан» s «х саны табылып, ол epi так, epi жай сан бола алады».
Бул сейлем предикаттар алгебрасынын т 1Л1Нде мынадай формула
аркылы жазылады: Эх[Р(х) aQ([x)] .
в) (4) сейлемд1 предикаттар логикасы тшшде былайша жазуга
болады: Зх[Р(х) a Q(x)] .
3-мысал.
Математикага окытуда Ke3ireTiH теоремалык
сейлемдердщ 6epiH предикаттар логикасынын тш н де ернектеп жазуга
болады.
Мысал ушш мектеп математикасынан белгш мынадай терт
теореманы алып караймыз:
а)
Егер п - натурал саны цифрларынын косындысы 3-ке белi
онда п саны 3-ке белшедк
268
э)
Егер R тертбурыш tik тертбурыш болса, онда оны
диагоналдары тен болады.
б) Бурыш биссектрисасынын бойында жаткан нукте бурыш
кабыргаларынан б1рдей кашыктыкта болады.
б1) Егер М нукте бурыш биссектрисасынын бойында жатса, онда
бул нукте онын кабыргаларынан б1рдей кашыктыкта болады.
в) Ромбынын диагоналдары езара перпендикуляр болады.
в1) Егер Р параллелограмм ромб болса, онда онын диагоналдары
езара перпендикуляр болады.
Мундагы б ) жене в1) сейлемдер олардын алдындапл б), в)
сейлемдерд» турлеширш айтылып отыр. Осы келпршген теоремалардын
еркайсысын предикаттар тш нде жазып керсетш13.
Шешу. a) (VneN)P|(n)=>Qi(n)], N - натурал сандар жиыны;
е) (V reR)P2(r)=Q2(r )], R - тертбурыштар жиыны;
б)
(М е Б)[Рз(М)=0з(М)] , Б - биссектриса бойындагы нуктеле
жиыны. в) (S e n )P 4(S)=Q4(S )], П - параллелограмдар жиыны.
Осы жазылган мысалдарды жалпылау аркылы кез келген
математикалык теореманы предикаттык логика тш нде мынадай
формула туршде жазуга болатынын керем!з:
(VxeA)P(x)=> Q(x) (1)
Осы формуладан математикалык теореманын б т м д ж курылымы
уш турлх бел1мшеден турады деп атап керсетуге болады:
1). (V xeA )- теореманын тусгщйрмелмс бел1м1;
2). Р(х) - теореманын шарты;
Q(x) - теореманын тужырымы немесе корытындысы.
(I) - формулага суйенш, теореманы терт турш топтамалык
турлерге айырып карауга болады:
1). (V xeA)P(x) => Q(x) (I)
(I) формула тур1нде жазылган теореманы бер1лген теорема дейм!з,
2). (I) - бер1лген теореманын Р(х) шарты мен Q(x) тужырымы
екеушщ орнын ауыстырудан жасалган теореманы бершген теоремага
Kepi теорема деп атайды.
(У хе A) Q(x) => Р(х)
(II)
3)._1 - бершген теореманын Р(х) шарты мен Q(x) тужырымын
олардын Р(х) жене Q(x) - тepicтeмeлepiмeн ауыстырганда жасалатын
теореманы бершген (I) теоремага карама-карсы теорема деп атайды.
(V xeA )[ Р(х)=> Q(x)]
(Ш)
4). BepinreH теоремага карама-карсы теореманын шарты Р(х) пен
тужырымы Q(x)
- нын орындарын ауыстыру аркылы жасалган
теореманы Kepi теоремага карама-карсы теорема деп атайды.
(V xeA )[ Q(x) р
269
Р(х)]
(IY)
4-mapciy. ПРЕДИКАТТЫК,
ЕСЕПТЕМЕЛЕР ЖОПЕ
АКСИОМА ТИКАЛЫК, ТЕОРИЯЛА Р
Геометрия аксиомаларыи ормыктыру жэне
оларлын ара катынастарын зерггеу - ол Евклид
заманынан 6cpi карай талам гамаша математикалык
шыгармага такырып болгам ссек. Бул ссеп б1здщ
KenicriK туралы ту<пнтм1эге лопж алы к та л да у
жасауга жстелейдТ.
Д.Г ильберт
§1. Предикаттар алгебрасынын
аксиоматикалык, бастамалары
Осында ж ене булан былаи...аксиоманы
ернектеГгпн формулаларды аксномалар деп
атаймыз.
Д. Г ильберт
I.I.
Аксиоматикалык адй: туралы
алдынала ангартпалар
Осы замандык гылым тщш де «Рылыми математика» немесе
«Теориялык математика» деген угыми сездер «аксиоматикалык
математика» деген сездер TipKeciniH 6ip синонимд1к баламасы ретшде
жумсалады. «Аксиома» (axiom a) казак т ш н д е «лайыктама», «лайыкты
niKip), «6epiK бедел», «сешмд1 сез» деген магынаны бейнелейтш грек
ce3i. Бул байыргы сезд1 «бастапкы жене жалпылык акикат ой» деген
магынасында Аристотельдщ логикалык енбектершен кезжглрешз.
Аксиома сез 1 акикаттыгы двлелденбей кабылданатын жене
делелдеуге бастапкы непздеме боп саналатын математикалык сейлем
ретшде ерте дуниенщ Аристотельмен замандас эй п л | математип
Евклидтщ (б.з.б. 356-300) «Бастамалар» атты енбепнде алгаш рет
колданые табады.
Мысалы. «Кез келген ею нукте аркылы тузу журпзуге болады
жене ол тек 6ipey гана болады». Бул тужырымдык сейлем Евклид
енпзген аксиомалар жуйесшщ 6ipeyi боп табылады.
Осы замангы корытымдык (дедуктивтж) немесе дэлелдемд1к
теория тургысында алып Караганда аксиома угымы былайша
аныкталады:
Аныктама. Дедуктивтж (корытымдык) теориялар аукымында
аксиома деп таза логикалык куралдар жердем!мен кандай да 6ip
теориянын бастапкы деп атапатын жагдаяттарынан баска барлык
мазмунын корытып шыгарып алуга болатын ен алгашкы непздемелш
жагдайларын айтады.
Кабылданган аксиомалар жуйесше суйене отырып, кандай да 6ip
теорияны (теореманы) жасау т э с ш н аксиоматикалык эдю
дейш.
Кандай да болмасын гылыми пенш аксиоматикалык ед!спен куруды
270
дедуктивтк (корытымдылык немесе дэлелдемелш) жол деген сездермен
де атап керсетедь
Белгш
6ip дедуктивтж
аксиоматикалык
(дэлелдемдж,
аксиоматикалык) эдюпен жасау барысы мынадай алемд1К улпмен
журпзшедг
алдымен осы пан аукымында аныктамасын эйплеп айтпай-ак
касиеттерш TyciHyre болатын саны акырлы бастапкы нэрселер мен
угымдар ipiiaenin алынадм;
бастапкы нарселер мен угымдардын касиеттерш жэне ара
катынастарын тагайындайтын аксиомалар жуйеа кабылданады;
алынган бастапкы угымдар мен кабы лданган
жуйесшен
курылып
отырган
теориянын
калган
тужырымдарына (теоремаларына) жумсалатын корыту
аныктайды;
ак си о м ал ар
тео р и ял ы к
ер еж елер ш
Курылган аксиоматикалык теорияны нактылы
нэрселер
жиынында жузеге асыру ymiH онын белпл1 6ip интерпретациясын
(немесе моделш) алып пайдаланады.
Аксиоматикалык теориянын интерпретациясы (немесе модел!)
туралы угым былайша аныкталады.
2-аныктама. Карастырып отырган аксиоматикалык теориянын
бастапкы нэрселер1 мен угымдары бершген жэне теориянын
аксиомалары тутастай орындалатын кур емес кез келген М жиынды осы
теориянын интерпретациясы (кескшдемеа) немесе модел1 (улгшемес!)
деп атайды.
Карастырып отырган теориядагы бастапкы угымдар мен
аксиомаларды ipiirren алу жалпы турде epitcri боп саналганымен, олар
логика пэншде системалардын
эквиполенттшп
(жуйелердщ
тенмэндшп) деп аталатын гылыми пайымдаудын булжымас талабымен
шектеледь Логика пэншде VP- келемдер1 б1рдей, ал Мр - мазмундары эр
rypni боп келетш eKi угым эквиполенгп (мэндес) угымдар деп аталады.
Аксиоматикалык теориялардагы бастапкы угымдар мен
аксиомалар атаулы пшрлер тш!нде бершетш болады. Сондыктан, будан
былай аксиоматикалык теорияны пшрлер системасы (жуйесО деп
карастыратын боламыз. Сонда системалардын эквиполентпп туралы
угым былайша аныкталады:
3-аныктама. Айталык карастырып отырган аксиоматикалык
теориянын ею турл1 пшрлер системасы (жуйеа) бершсш. Егер 6ipmmi
жуйенщ ep6ip nixipi екшпп жуйеден корытылып шыгарылган болса
жане, KepiciHiue, еюнин жуйенщ кез келген niKipi 6ipmmi жуйеден
корытылар болса, онда бул eKi жуйеш тенмэнш жуйелер (эквивалент
системалар) деп атайды.
Математика мен логикада niKip деп аксиома мен теоремалардьг
угатынын еске туткан абзал.
Сейтш, дедуктивп аксиоматикалык теориянын аксиоматикалык
тугыры (базасы) бфмэщй турде аныкталмайтынын байкаймыз. Атап
айтканда, белгш 6ip теорияны таган (база) exin алынган аксиомалар
жуйеа алуан Typni болуы ыктимал. BipaK олардын 6api б1рдей уш турл!
271
логикалы к талапка м у г т к а з багынышты болуы тшс. Ол талаптарды
аксиомалар жуйесш щ булжымас логикалык шарттары деп атауга
болады.
Мундай
булжымас
талаптар
былай
аныктапады:
1) кайшылыксыздык шарты, 2) толыктык шарты жене 3) тэуелЫздш
шарты.
Аксиомалар жуйеЫ атаулынын 6epi офдей багынышты болуы
THicTi айтылмыш уш логикалык талаптын эркайсысынын мазмундык
сипаттамаларын жеке-жеке айкын жэне нык бшу абзал.
Аксиомалар жуйесшщ кайшылыксыздык шарты. Бершген
аксиомалар жуйесшен 6ip eyi - niKip (р), eKiHiiiici онын TepicTeyi ( р)
болатын р жэне р ею карама-карсы гаюрлерд1 ешкашан корытып
ш ыгаруга болмайды. Осы талап орындалатын аксиомалар жуйеа’н,
демек, аксиоматикалык теорияны кайшылыксыз теория деп атайды.
Баскаш а айтканда, осы теория аукымындага em 6ip пш рдщ акикаттыгы
e p i дэлелденш , api бекерленбейтш болса, онда мундай теория
кайш ылы ксы з теория деп аталады.
Аксиомалар жуйесшщ кайшылыксыздыгы осы жуйенщ кандай
д а 6 ip моделш (улгшемесщ) куру аркылы журлзшу! мумюн. Мундай
модельдщ курылуы, жалпы турде, осы жуйенщ кайшылыксыз
болатынын ту п к ш к п делелдей алмайтынын есте туткан абзал.
Айтылмыш модель(улгшеме) осы теориянын баска 6ip заттык облыс
т Ы н д е й дурыс KeiuipMeci гана боп табылады.
Аксиомалар ж уйестш толыктык шарты. Егер кабьшданган
аксиомалар жуйесше осы жуйеден тутыныстагы корыту ережелерш
пайдалана отырып корытылмаган га’юрл1К жана тужырым пркелгенде
кайшылыктагы жуйе шыгатын болса, онда бул жуйеш тар магынадагы
толы к ж уйе (немесе Пост магынасындагы толык жуйе) деп атайды.
Аксиомалык жуйес 1 тар магынада толык болатын теорияны тар
магынадагы толыктык шарты орындалатын аксиоматикалык теория
дейдь
Егер де аксиоматикалык теориянын терминдер» аукымында
айтылган р жэне р ею шюрл 1к тужырымнын eKeyiH де теорема деп
карауга болса, онда бул теорияны кен магынадагы (немесе абсолют)
толык теория деп атайды.
Кез келген кен магынадагы (абсолют) толык теория тар
магыналы (Пост магынасында) толык теория боп саналады.
Аксиомалар жунес|‘н|'н тэуелс1'зд1к шарты. Карастырып
отырган аксиомалар жуйес1шц 6ipue-6ip аксиомасын сол жуйедеп баска
аксиомалардын логикалык салдары ретшде корытып шыгаруга
болмайды. Осы логикалык тужырымды аксиомалар жуйесшш
тэyeлciздiк шарты деп атайды. Кандай да болмасын аксиоманын сол
аксиома тиесш жуйеге тэуелс 1’з екендшн тагайындау ушш аукымында
зе р т те л т отырган аксиомадан енге аксиомалардын барлыгы уиин тура
болатындай аксиомалар жуйесшщ моделш (улгшемесщ) тауып корсету
жетк 1'л 1кт 1 болады.
Мысалы. Геометрия курсында евклидтш геометрия аксиомалары
ж у й ес iHiH
тэуелс13Д1П
дэл ел д е н ш п
кврсетшедй
Ол
ушш
272
Н.И.Лобачевский (1792-1856) геометриясын евклидпк геометриянын 6ip
М модел! (улплемес!) болатындыгы керсетшедь М моделыпк жуйеде
Евклидтш параллель тузулер жайындагы аксиомасы (постулаты) сол
аксиоманын TepicTeMeci рет1нде алынады.
Евклид геометриясынын Лобачевский геометриясы улпсшдеп М
- моделдвд бар екен дтн керсету евклидпк геометрия аксиомалары
жуйесшдеп параллель тузулер жайындагы аксиоманын сол жуйедеп
баска аксиомаларга тэуелшз екешне дэлел бола алады.
Дедуктивтьаксиоматикалык ЭД1С бшмд1 формалдандырудын
бастамасы боп табылатынын бурый айтканбыз. Ойлау логикасын алгаш
формалдандыру Аристотельден (б.з.б.384-322), ал математикалык бш м
салаларын формалдандыру эд1сш колдану онын тустасы Евклид
енбектершен басталганын да б 1лем 1з.
«0зшщ кездеген максаты мен эдктерш айкын ангарып тусшгендеп кврсетед1 устш^здеп h f h h ХХ-гасырдын айтулы математиктершщ
жасырын алкасы атанган эйгш Н.Бурбаки, - дэл осы «дедуктивтж
математика» кейшп келген жуз жылдыктардын ен бойында жасалган
философиялык жэне математикалык ойлардын таган тасы боп каланды.
Шз, 6i:pi«ini жагынан, математиканын улпсгн «формальданган
логиканын» дамуы аркасында формалданган тщдердщ калай
жасалганын керсек, еганцн жагынан, XIX гасырдын бас кезшен 6epi
карай математиканын басты угымдарына деген кызыгушылыктын,
олардын жаратылысын танып белуге деген талпыныстын барынша арта
тускенш анык ангарамыз» (22, 10-бет).
Математиканы формалдандыру жэне оны логикалык тургыдан
непздеу мэселесшщ XIX гасырдагы пионер! HeMicTiH эйгнн математип
Давид Гильберт (1862-1943) болган.
«Гильбертпн идеялары - деп жазады белгш ресеюпк математик
api логик Петр Сергеевич Новиков (1901-1975), - математиканы непздеу
мэселелершде бетбурыстык кадам, ал аксиоматикалык эдютщ даму
барысындагы бастамалык сэт боп табылады» (24, 18-бет).
Математика
мен
логиканы
формалдандыру
аркылы
математиканын бастамалык мэселелерш зерттеу, гылым тарихында
математиканы непздеудщ формалдык багдарламасы деп аталады.
Математиканы непздеудщ формалданган программасын алгаш
усынушы Д.Гильберт болган.
Ол логиканы
формалдандыру
багдарламасын пшрлер алгебрасы мен предикаттар есептемесшщ
аксиоматикалык теориясын куру аркылы icKe асыруга тырыскан.
1.2.
Предикаттар
есептемесжш аксиомалары
Пшрлер алгебрасы тш н щ элшбш предикаттар логикасы т ш
элшбишщ жиыншасы болып табылатынын жогарыда айтканбыз.
Сондыктан, niKipniK турактылар (а,ж), пшрл!к айнымалылар А,В,С,...
предикаттык белгшемелер катарына жатады. Онын устше логикалык
амалдар мен катынастардын (-, a ,v ,=>,o ,=,V,3,( )) белгшемелер1
предикаттык бастапкы нэрселер мен угымдарга да жумсалатыны туралы
273
жогарыда
айтылды.
Сондыктан,
предикаттар
есептемеа
аксиомаларынын жуйеЫ пшрлер есептемеа аксиомаларынын тщмш
толыктыру аркылы жасалатыны анык. Б)'з осыида П.С.Новиков
шыгармасынан алынган аксиомалар Ti3iMiH келпрш отырмыз (24, 192193 беттер).
___________________________________ 1 - кэдешк кесте____________•
Предикаттар есептемеа аксиомаларынын жуйес! (системасы)
I. Импликацияга байланысты аксиомалар
I. А -»(В —> А) (В - алгылама енпзу аксиомасы)
2- (А -> (В—>С))—>((А—>В)—>(А -»С)).
II. Импликация мен конъюнкцияга байланысты аксиомалар
1 . А л В -»А;
2. А л В->В
3. (А—>В)-»(( А-»С)—>(А->В аС)).
III. Импликация мен дизъюнкцияга байланысты аксиомалар
1. A-»AvB; 2. B-fcAvB.
3. (А -*С) R ((В—>С)—»(AvB-»C)).
IY. Импликация мен Tepicrevre байланысты аксиомалар
1. (А-»В)-»( В-» А); 2. А -» А 3. А ->А
Кванторларга байланысты аксиомалар
1. VxF(x)-»F(y); 2. F(y)->3xF(x)._____________________________
Ангартпалар.
1-ангартпа.
Кестедеп А, В, С
ерттер пшрлш
жене
предикаттык айнымалылар деп угылады. F(x), F(y) - предикаттар
ecenTeMeciHiH калауымызша epiKTi турде алынган формулалары, х кванторлармен байланган заттык айнымалы, ал у - еркш заттык
айнымалы.
2-ангартпа. Кестедеп I-IY формулалардын 6api бурын пшрлер
алгебрасында карастырылган тенбе-тен акикат (ягни тавтологиялык)
формулалар (осы щтаитьщ | пб;елш1, 4-кэделк кесте, 179 -бет).
Ауыстыру ережесшщ талабына сейкес сол формулалардагы йшрлщ
айнымалылар орнында предикаттык айнымалыларды койсак, онда сол
алмастырудын шыгындысы боп табылатын I-IY формула атаулы
тугелдей жалиымандш'к (ягни тавтологиялык) формулалар боп
табылады. Ал кестедеп Y формуланын eKeyi де жаппай мендо формула
болатындыгын алдынгы
пунктте дэлелдеп корсеток. Сейтш,
предикаттар ecenTeMeciHiH аксиомалары тугелдей тавтологиялык (1= )
формула екендтне кез жето деп бiлeмiз.
3-ангартпа. Кестеде келпршш отырган аксиомалар жуйес)н
академик П.С.Новиковтын шыгармасынан алынганын атап керсеткенб1з.
Бул аксиоматикалык жуйенщ туп непзш калаушы Д.Гильберт болган
(Д.Гильберт. Основания геометрии. М-Л., 1948,367-368 беттер).
П.С.Новиков Д.Гильберт аксиомаларынын жуйесш б1ршама жанарта
274
ыкшамдап пайдаланган. Сонлыкган,
6t3 кестедеп I-Y аксиомалар
системасын Гильберт-Новиков (Г-Н) аксиомаларынын жуйеа деп
атайтын боламыз.
Екш логиканык предикаттар есептемесшщ (алгебрасынын) осы
кестедеп аксиомалар жуйесш непзге ала отырып, дедуктивт!к корыту
немесе дедуктивтгк дэлелдеу мэселелерш калай шешетгщппне
токталамыз.
1.3.
Формальдык система жэне онын
алгашкы угымдары
Алдынгы пуиктте кестеленш керсетшген Гильберт-Новиков
аксиомаларынын жуйеа логика мен математиканы формапдандырудын
6ip ynrici боп табылады. Осы улпш ары карай epicTere тусу ушш,
алдымен,
формалдык система (калыптамалык жуйе) туралы угымнын мазмунын
ашып аныктаган абзал.
Кандай да 6ip формалдык система (ФС) бершген деп карау ушш,
еуель мынадай косымша угымдар Ti3iMi аныкталган болуы тшс.
I. Саны акырлы аь а2,..., ап тэртштелген туракты белплерден
туратын А жиыны ФС -тшгон элмбм (алфавит!) деп аталады: Эфс={а|,
а2,.-, ап} (1).
Мундагы ai, а2....ап - элементтерд! ЭФС - элшбшнщ «apirrrepi» немесе
« белплемелер>» деп атайды.
Мысалы. 1) Казак тшнщ элшбш (0кт) былайша жазылады:
0кг ={а, э, б, в,..., ю, я}.
2) Сандар тшнщ элшбиш (Эст) былайша белгшейм!3:
0ст={О, 1,2, 3,4, 5,6, 7, 8,9}.
II. 0 - элшби эрштершщ саны кез келген акырлы сызыктык
т!збесш жазу керек болсын. Мундай тобеш 0 - элшбидщ «ce3i» деп
атайды.
Мысалы. «0сем», «бала», «ою», «гоябу» т1збелер1 0«;т - казак
элшбшнщ «сездер1» деп аталады. Формалдык система тургысынан алып
Караганда элшбидеп «сез» атаулынын магынасы бола 6epMeyi мумюн.
Мэселен, 0кг - казак элшбшндеп «юябу» Ti36eci беймагынапы «саз»
боп табылады.
0<ьст элшбшнщ магынасы бар сездерш «ернек» деп атаймыз.
ернектш 6 ip Typi «терм» деп аталады. Терм дегешм!з зертгеу
o6beKTiciHiH (ягни ойлау субъекпсшн) атын ягни атауыш eciMiH
белплейпн саз немесе ернек магынасында колданылады. Предикаттар
тшнде айтканда терм деп карапайым заттык айнымалыларды угамыз.
Сандар алгебрасында терм деп саннын атын немесе сан
атауышынын формасын айтады.
Мысалы. 5 саны, 545, 5+3, ягни 8 сандары терм, сондай-ак х+3
саны да терм деп каралады.
275
III.
Термдерден, оларга колданылатын амалдардан жэне терм
арасындагы катынастардан туратын ернек Формула деп аталады.
Термдер мен амалдардын кез келген акырлы сызыктык тазбесш
формула (Ф) деп атайды.
IY.
Формулалар жиынынан «дурыс курылган формулалар»
(ДКФ) деп аталатын жиыншаны белin аламыз. Ол ушш формалдык
системанын аксиомалары (ФСА) тагайындалуы керек.
Формалдык системанын аксиомалар жуйеа тагайындалса, онда
системанын формулаларын дурыс курылган формулалар (ДКФ) деп
атайды.
ДКФ арасындагы катынасты тагайындауга колданылатын Fi,
Fa,—, Fn саны акырлы ережелер жиыны тагайындапады. Осы ережелерд1
корыту ережелер! деп атайды.
Осы айтылгандарга суйене отырып мынадай угымдарды
аныктауга болады.
1-аныктама. Элшби жэне ондагы эрштер, сездер, термдер,
ернектер жэне формулалар ушш аксиомалар жуйеа мен корыту
ережелер! тагайындалган жуйет Формалданган система (калыптанган
жуйг'' деп атайды.
2-аныктама. Формалдык системадагы (ФС) дурыс курылган
форму, гпардын (ДКФ-ДЫн) Ф ь Фз,—, Фп кез келген т^збесшдеп 9p6ip
Фк дегешм1з (1<к<п жэне k g N ): 1) не Ф С аксиомаларынын 6ipeyi болса;
2) не корыту ережелер! аркылы алдынгы ДКФ-дан корытылган болса,
онда Ф], Фг,..., Фп формулаларды формалдык системадагы корытулар
деп атайды.
3-аныктама. Егер дурыс курылган Ф ymiH: 1) Ф|, Ф;,..., Ф п
корытулар бар болса, 2) осы корытулардын сонгы Фп формуласы Ф
болса, онда Ф формуланы осы формалдык системадагы корытылатын
Формула немесе осы ФС-нын теоремасы деп атайды.
Бул аныктаманы былайша белплеп жазады: Ф|, Ф;>,..., Ф п !— Ф
(1) . (1) белплемещ « Ф формула Ф|, Ф 2,..., Ф п формулалардан
корытылады» немесе «Ф формула Ф|, Ф 2,..., Фп формулалардын
салдары» деп айтады.
3-аныктамага суйене отырып, Ф|, Ф^,..., Фп I -Ф (1) болатындыга
туралы угым былайша да аныкталады:
4-аныктама. Ф формула Ф|, Ф;,..., Фп ДКФ-дан корытылады
дейм4з сонда, тек гана сонда, кашан темендеп талаптар орындалатындай
ДКФ-ДЫН мына Ti36eci бар екещнгш керсетемаз: Fi,F2,-.-, Fn (2).
Мунда: 1) Р=Ф, 2) Fk (1^ х <п аксиомалар немесе Ф| Фг,- •» Фп
алгышарттар немесе корыту ережелер! бойынша алдынгы ДКФ-лардан
тшелей шыгарылган салдарлар. 4-аныктамага суйенш, Ф|, Ф;, ..., Фп|—
f~ Ф деген корыту (дэлелдеу) есебш шешуд1н жалпы алгоритм!н (ережесш)
айтуга болады. Ол y m iH б1рнеше косалкы угымдар мен белплемелерге
токтапу керек.
276
Корытылатын (1) есептеп Ф|, Ф;,..., Фп формулалар Т1збепн
корытудын anFbi
шарттары
немесе алгыламалары (уйгарынгипотезалары) деп атайды. Корытудын алгыламалык уйгармаларын
(гипотезаларын) былайша F={®i, Ф:,..., Фп} белплеп жазады. Сонда
корыту ece6i ыкшам турде былайша керсетшедк F|— Ф (2)
Алгы шарты болмайтын корыту былайша жазылады: |— Ф (3).
Осы айтылгандардын бэрш жинактай келш, мынадай жалпыламалык
ангартпалар айтуга болады.
Ангартпалар
1-ангартпа. Кез келген формалдык системаны (ФС-ны) мынадай
терттемдж аркылы беруге болады: < Т, Q, А, Е>. Мундагы Т -термдер
мен амалдар жиыны, Q-дурыс курылган формулалардын (ДКФ)
курастырулары, А-аксиомалар жуйеа, Е- корыту ережелершщ жиыны.
2-ангартпа. Алгыламалардан салдарлар корыту угымынын
мынадай касиеттерге иел1 болатынын есте тутыныз:
1. Егер ГсП жэне Г(— Ф болса, онда П|— Ф.
Сез туршде айтканда:
Егер Ф формула Г алгыламадан
корытылатын болса, онда бул формула Г алгыламага жанадан алгылама
косылып кенейтшген П алгыламадан да корытылатын болады.
2. Г|— Ф болады сонда жэне тек кана сонда, кашан Г жиыннын
ГТ(— Ф болатындай П iiU K i жиыны бар болса.
3. Айталык Г с П болсын. Егер П жиыннан алынган кез келген F
формула ую н Г|— F жэне П|— Ф болса, онда Г)— Ф .
Баскаша айтканда.: П даты кез келген F формула Г ден
корытылса, онда Ф формула П дан корытылатын болса, онда Ф формула
Г ден корытылады.
§2.
Предикаттык, есептемелер жене
формальдык, система
Формага сштеу-баскаларын буркемелаеу боп
табылады.
Вальтер Скот
2.1. Шюрлер алгебрасы - формальдык
системанын 6ipinmi улпс1
Шкхрлер алгебрасын нел1нш1 орынды предикат деп к а р а у г а
болатындыгы жайында алдынгы ангартпаларда ecKeprin айтканбыз.
Сондыктан, предикаттык eceптeмeлepдi формальдык система ретшде
карастыру мэселес1 пшрлер алгебрасынан басталуы жен деп бшем!з.
Баскаша айтканда, шйряер алгебрасын будан былай 6ipiHmi формалдык
система (ФС|) деп карайтын боламыз.
277
Алдымен, пшрлер алгебрасын жасаушы курылымдарлан
формалдык системага тэн т е р т к белплерд1 <Т, О, А, £> тугелдей
тауып атауга болатынын керсетем1з.
1. Пшрлер алгебрасы тш ш н ездж ©лшбш (Э щюр) барын б1’лем13.
Мундагы р, q, г немесе pi, р?,..., рп деп жазылган пшрлж
айнымалыларды Т -термдш жиын деп KapayFa болады. Формалдык
системалар тшнде пшрлш айнымалыларды «элементар айнымалылар»
немесе «атомдар» деп атайды.
2. П ш рл ер елшбшндел «емес» (-), «жэне» (л ) , «немесе» (V),
«Егер... болса, онда...» (->), «Егер... сонда жане тек кана сонда...» ( о )
сиякты амалдар жене ( ,) - жакшалар белпа жердем^мен ФС|-нщ дурыс
курылган формалары (ДКФ) жасалады.
3. Предикаттар есептемесшдеп I-IY аксиомалар ФСгНЩ А
аксиомалар жуйеа боп табылады.
4. П ш рл ер
алгебрасында
(ягни
ФС|-де)
тавтологиялык
(жалпымэндшк) формулалар корытуга арналган ережелер жиыны
барын бшем1з.
Мысал ретшде Ф(Р) - ауыстыру ережесш жэне НКЕ- непзл
корыту ережелерш атауга болады (Осы ю'таптын 1-бел1м1Н караныз).
Сейтш, пшрлер алгебрасы аукымында Е корыту ережелер1
жиынынын бар екенщгше квз1м1Э жегп дейм1з.
<Т, Q, А, Е> - TeprriKTeri шарттардын 6api орындалатындыктан
пшрлер алгебрасын формалданган 6ipiHini система ягни ФС) деп
карауга какымыз бар.
Енш осы ФС| - де дурыс корытылган формулаларды (ДКФ)
корытудын улплерш накты мысалдар аркылы керсетуге кешем1з.
Ангартпалар.
1.
Пшрлер
алгебрасындагы
формальдьщ
корытудын (немесе дэлелдеудщ) угымдары, улплер1 мен нактылы
мысалдары туралы бурын да 6ipmaMa айтылган болатын (Осы ютаптын
I-6eniMi). Осындагы корытылатын мысалдар сол айтылгандарды
толыктырудын жалгасы боп табылады.
2.
Айтуга жане жазуга колайлы болуы ушш, будан былай
«дурыс корытылган формула» (ДКФ) деген уш сезден туратын угыми
TipKecTi, кебшесе, «формула» деген 6ip сезбен гана атайтын боламыз.
1-мысал. Айталык х - шюрлер алгебрасынын кез келген 6ip
формуласы, ал р - корытылатын формула болсын.
|— х—>р деп (ягни «х—> р корытылады» деп) делелдеу керек.
Дэлелдеу Корыту (корыту) барысын ютаптын 1-бел1Мшде
керсетшгендей eTin мынадай кестелш улпмен журпзем!з. Осында жене
будан былай корытылатын формуланы Ф эршмен, ал бершген
формулаларды Ф|, Фа,-., Фп epinTepiMeH бeлгiлeп жазамыз. Ал корыту
(дэлелдеу) барысында аныкталатын айгактык формулалар Ti36eciH F|,
F?,...Fn деп белплейтш боламыз. Сонда корытылатын формула былайша
жазылады: |— Ф =|— х-»р.
278
Fk- айгактамалар
J .F|~A-> (B-»A)
lF;=y->(B-> У)
3. F3=y-> (x-> y)
4.. F4=p-» (x-> p)
5. F,= p
6 . F6= |= x-»p - |=Ф
Tyci ндlрмелер
I j -аксиома альшды
8лУ(Ф|) -ауыстыру ережеа (АЕ) _
_____
SrX(^ z) -АЕ колданылды
Sy (F3) -АЕ колданылды ______ _
Bepiflyi бойынша немесе алгы шарт
болгандыктан
4 пен 5 ке Модус Поненс (МП)
ережеа
колданылды х-»у, х|— у (МП)
Bipi'Hffli формалдык жуйеде (ФС|) пшрлер алгебрасынан белгш
дедукция теоремасы мен онын салдары жи! колданылады. Соларды еске
Tycipin етем1з.
Дедукиия теоремасы. Егер F|, Fn,..., Fn)— F болса, онда Fi, Fi,...,
Fn-i|— (Fn-> F) (2)
Дедукиия теоремасынын салдары.
Erep Fj, Fi,..., Fn|— F
(3)
болса, онда h~ (Fi->(F2(... Fn-i->Fn)...))) (4)
2-мысал. (Силлогизм ережеа). Erep F|=A->B, F;=B—>С
формулалары корытылатын формула болса, онда А->С корытылатын
формула болады, ягни F>, F-.I— F немесе А—>В, В—> С|— А-> С (1)
TyciHfli рмелер
Fk-айгактамалар (дэлел)
Алгылама болгандыктан
1. Fr* |— А->В
Алгылама болгандыктан
2. F2= |— В->С
1 жене 2 МРЕ бойынша
3. Fi=Al— С
Дедукция теоремасынын
4. Р4= |
— (А-»В)—>(В—>С)—>(А-»С)
салдары бойынша
1 жене 4-тен МРЕ
5. Fj= [— (В->С)->(А->С)
бойынша
2 жене 5-тен МРЕ
6. F6= |— А-* С= |— F
бойынша
3-мысал. (Силлогизмшн баскаша Typi). Егер А|— В, С|—Д
жене В, Д|— Е болса, онда А, С|— Е .
Делелдеулер
1-F,=C, Р2=Д
2. F-H— С—>Д
3. F4=B, Р,=Д|— е
3. F4—В, Fб~!—Д-»Е
5. F4=B, F7 = 1—С->Е
Туанщрмелер
Алгыламалык бершмдер
Дедукция теоремасы
Алгыламалык бершмдер
Дедукция теоремасы
2 мен 4- тен 2-мысалдагы
силлогизм ережеа бойынша
279
6. Fjj—|— В—>(С—>Е)
7. F, =А, Р4 =В
8. F| о= |— А—>В
9. F 11= |— А-»(С-»Е)
Дедукция теоремасы
Алгыламалык бершмдер
Дедукция теоремасы
6 мен 8-ден силлогизм бойынша
4-мысал. (Алгыламаларды ауыстыру ережеа).
Егер |— А—»(В-»С) болса, онда|— В-»(А-»С).
Шешу_____________________________ __________
TYciндipмeлep
Дэлелдеулер
Алгыламалык бершмдер
1. Fi=A —>С—> С), F2=B, F3=A
Алгыламалык бершмдер.
2. F, =А->(В-»С), F3=A
Модус Поненс (МП) ережеа
3. F4= I— b ->c
Алгыламалык бершмдер
4. F4= 1— B->C, F2=B
Модус Поненс ережеа
5. Fs= С
Алгыламалык бершмдер
6.Fi=A-»(B-»C),F2=B, f 3 = a , f 5|— С
Дедукция ережеа
7. F6=(A->(B->C))->(B->(A-»C))
1 мен 7-ден МРЕ
8. F7= 1— (B-> (A—> C)
2.2 Eipimni perri предикаттык есептемелер - формальдык системанын еюний улп«
Предикаттар есептемес!нде «6ipiHuii perri» деген аныктама сез
кванторлык амалдардын тек заттык айнымалыларга FaHa жумсалатынын
KepceTeTiHiH бурын айтканбыз. BipiHuii perri предикаттын есептемелерш
будан былай екшхш формалдык система (ФС2) деп KapayFa болады. Бул
ФС2-нын ездж елшбш ( Э п р е д и к а т ) барын 6meMi3.
Сондай-ак, ФС2 болатын предикаттык есептемелер <Т, Q, А, Е>
TeprriK
пен толык сипатталады. BipiHiui perri предикаттык
eceптeмeлepдi eKiHuii perri формальданган система (ФС?) деп караган
кезде термдер арнаулы ереже бойынша жасалады.
Ф С? -дагы термдерд'т жасалу ережес/' (ТЖЕ)
1. Кез келген заттык айнымалы немесе заттык туракты терм болады.
2. Егер |ст | функциялык белплеме, tb t2,..., tn - термдер болса,
fkm(t|, tn,..., tn) I терм болады. Мундагы ш - белпа аргументтершщ
санын керсетед!, 1 <т <п.
3. Айтылмыш 1- 2 ережелерден баска терм жасайтын ереже жок.
Сейтт, ФС2 1 ны сипаттайтын Т - термдер жиыны аныкталды дейм1з.
ФС2- нын атомдарын (ягни атомарлык формалары немесе элементар
формулаларын) жасау ережесш де еске Tycipin етелж.
ФС? - нын амалдарынын немесе элементар Формулаларынын жасалу ережеа
Кез келген айнымалы niKip (немесе гощрдмс айнымалы) атом
(немесе элементар формула) болады.
280
t. Егер Рк" - предикаттык айнымалы, ал t|, t2,..., tn - термдер
болса, онда Рк (t|,
tn) атом (элементар формула) болады.
2. Айтылмыш 1-2 ережелерден баска атом (элементар формула)
жасайтын ереже жок.
Осы айтылган i36eH Ф С2 - дагы жалпы предикаттык
есептемелердщ формуласын жасаудын жалпы ережесш былайша
аиыктап айтура болады.
ФС г-нын формулаларыныц жалпы epejiceci
1. Кез келген атом (элементар формула) ФС2 *нын формулалары
болады.
2. Егер F пен Ф формулалар жэне х заттык айнымалы болса, онда
мына ернектер Ф С2- нын формулалары болады: F, Р->Ф, РлФ, FvФ, 3xF
жене VxF.
3. Ф С2 - нын айтылмыш 1-2 ережеден баска формула жасайтын
epeжeлepi жок.
Ангартпалар. 1) Жакша белплерш
формулаларды топтап
карастыру ушш жумсайтын боламыз.
2) Формулалардагы epiKTi жене квантормен байланган
айнымалылар эр турл! эрштермен белпленетш болады. Егер кванторлау
амалдары жумсалган кезде 6ip квантор екшппсшщ ыкпалдык
аукымында болса, онда осы кванторлармен байланган айнымалылар эр
турл1 эрштермен белпленетш болады.
Осы айтылгандар ФС2 - да ягни предикаттар алгебрасында Q формулалар курастыруга болатынына жэне онда формулалардын калай
жасалатынына толык коз жетюзедк
Формалдык
екгнип
системада
(ФС2-да)
предикаттык
есептемелердщ Гильберт-Новиков бойынша кабылданган аксиомалар
жуйеа тутынылатынын б1лем13. Бул аксиомалар жуйесшдеп I-IY
аксиомалар тобы пшрлер алгебрасынын да (ягни Ф С2-нын да)
аксиомасы боп табылатыны туралы кезшде айтканбыз.
Предикаттар есептемесшде пшрлер алгебрасынын I-IY
аксиомалар жуйесше Y топтагы (кванторларга байланысты аксиомалар
тобындагы) мына eKi аксиома иркеледк
I. VxP(x)=> Р(у); 2. Р(у) =>ЭхР(х).
Бул айтылгандар предикаттар есептемесш eKimui формалдык
система (ФС2) деп карауга Heri3 болатын А аксиомалар жуйеа де бар
екендтн керсетедь Формалдык системанын басты 6ip курал - карулык
сипаттамасы корыту ережелер! боп табылады. Бул орайда предикаттар
есептемесшщ корыту ережелерте кешре к токтауга тура келедк
Предикаттар алгебрасындагы корыту ережелер1 туралы
мэселелер1 кэп жагынан, жалпымэндшк
Формулалар
(немесе
тавтология) туралы угаммен байланысты боп келедь Сондыктан, (ФС2дагы) корыту ережелер! туралы мэселеге т1келей кэшуден бурын, эуел!,
тавтологиялык (жалпымэндшк) формулаларга катысты Kefi6ip ойлар
мен белплемелерге косымша токталып етуге тура келедь
281
Айталык А жиында аныкталган Р(х) предикат бершген болсын.
Бул уйгарымдык ойдан аныкталу облысы (Д) - А жиыны, ал мэндершщ
жиыны (Е) - Б={а,ж} ек> элемент Буль жиыны болатын Р(х) функция
бершген деген корытынды жасауга болатынын б1лем13. Осы улпмен А
жиында бершген Р1(Х|, х?,..., Хп) - п орынды предикатты да логикалык
функция деп аныктауга болатынын б1лем1з.
Р(хь X:....Хп)
А(П) ----------► {а, ж}
д ( Р <п>
А (П)
ж эне
Е ( р «п)
^
(1)
ж}
Предикаттар ecenTeMeciHiH формуласы туралы угымды бшем1з.
Предикаттар есептемесшдеп формулалар ушш кандай да 6ip
интерпретация (кесюндеме) белгш болган жагдайда жэне тек сонда гана
осы формуланы кураушы белплемелерд) магынасы бар белплемелер деп
каралатын болады.
Айталык предикаттар алгебрасынын формуласы ушш кур жиын
емес и жиын кандай да 6ip интерпретация болсын. Осы и интерпретация аукымында epitcri айнымалысы жок (ягни бэр
айнымалысы квантормен байланган) формула пшрлш айнымалы боп
табыл ды. Мунда формула не «акикат» немесе «жалган» деген ею
мэншщ 6ipeyiHe гана иел1 болады.
Ал и - интерпретацияга сэйкес
формула курамында epiicri айнымалылар (квантормен байланбаган)
формулалар болса, онда бул формулалар и - интерпретациялык
облыстагы айнымалылардын белгш 6ip жиынында «а» деген, ал сол
айнымалылардын еюнии 6ip жиынында «ж» деген мэн кабылдайтын
болады.
Осы айтылгандарды мысалдармен тушшрелйс.
1 -мысал. Предикаттар есептемесшщ мынадай формуласы
бер1лген: P“(fr(xi, Хз), а|). Мундагы ал - заттык туракты, Х|, xj - заттык
айнымалылар, ff(xi, \
2) -ек1 заттык айнымалылардан туратын функция,
Р -ею орынды предикат.
Осы формуланын магынасын ашып корсету ушш онын 6ip и интерпретациясы ретшде u=Zo - он танбалы 6yriH сандар жиынын алып
карастыралык. Сонда карастырып отырган формула курамындагы
белплемелерге кандай да 6ip нактылы интерпретация жасауга болады.
Мэселен, А“(х, у) = «х>у», fi (Xj, х2) = «Х1+Х2» жэне «а|=5» деп алсак,
онда карастырып отырган формула былайша интерпретацияланып
керсетшедг.
A'(f| (Х|, Хз), а|) = «X|+Xi>5» .
2-мысал.
Предикаттар
алгебрасынын
Vx(P(x)=>Q(f(x),a))
формуласы бер1лген. Соган мынадай интерпретация алынган болсын:
u={l,2}, а=2, f(l)=2, f(2)=l. Р(х) - 6ip орынды предикат. Сондыктан, ол
и - интерпретациялык жиында мынадай ею мэнге гана иел1 болады: Р( 1)
282
жене Р(2). Ал Q(f(x), а) - ею орынды предикат. Сол себепп Q - предикат
и -жиында мынадай мендерге гана иел1 бола алады: Q( 1, 1), Q(l, 2), Q(2,
1), Q(2, 2). CoHFbi айтылгандарды ескере отырып, формуладагы Р(х)
жэне Q(f(x),a) предикаттардын акикаттык мэндерш былайша кестелеп
керсете аламыэ
_________________ _________ _________ _________
Р(2)
Q(2, 1) 0(2, 2)
Q (l,2)
0(1,1)
Р(1)
а
ж
ж
ж
а
а
Осы айтылгандарды басшылыкка ала отырып, мысалдагы
бершген формуланын акикаттык мэнш аныктауга кешем1з.
Егер х=1 болса, онда F( 1)=Р( I )-»Q(f( I ), 2)=P(1)-»Q(2, 2)за->аз а.
Егер х=2 болса, онда F(2)=F(2)->Q(f(2),2)=F(2)—>Q(1,2)= ж—>жза.
Сейтш, бершген форма осындагы керсеплген интерпретация
аукымында акикат формула боп табылады. Осында карастырган
мысалдарды ойга аркау, тшге тиек ете отырып, мынадай жалпы ангартпа
айтуга болады.
Ангартпа. Егер де предикаттар алгебрасындагы карастырып
отырган F формуланын и интерпретациясы акырлы жиын болса,
интерпретациясы акырлы жиын болса, и(п жиын элементтерш (п
дегешм1з F формуладагы айнымалылар саны) тугесе алумен сынау
аркылы F формуланын акикаттыгын я жалгандыгын ic жузжде
тагайындауга болатыны жалпылама шындык. Алайда, п айнымалылар
саны ескен сайын бул «тугесе сынау ашсшщ» тшмдшк жагы темендеп,
киындыгы арта туседь Ал п акырсыз болса, бул эд!с мулде жарамсыз
боп интерпретациялау (моделдеу) eflici, кеп ретте, пайдалы нэтиже
бермейдь Мундай жагдайда аксиоматикалы -дедуктивт1к корыту немесе
логикалык корыту aaici б1рден 6 ip кажетпи жол боп табылатынын есте
туту абзал. Сонымен катар формулалардын жалпымэндшк (тавтология)
болатындыгы,
орындалатындыгы
(кайшылыксыздыгы)
жэне
бекерлемдт туралы угымдары есте 6epiK тутынылуы шарт.
Аныктамалар. 1. Формальданган предикаттык системадагы
(ФСгДагы) F формула осы формуланын кез келген интерпретациясы «а»
деген мэн кабылдаса, онда F формула жалпымэнд1 формула (немесе
тавтология) деп аталады. Ол былайша жазылып кэрсетшедк |=F.
2. Егер ФС2-дагы F формула осы формуланын ен болмаганда 6ip
интерпретациясында «а» деген мэн кабылдайтын болса, онда F
формуланы орындалатын (кайшылыксыз) формула деп атайды.
3. Егер Ф С :-дагы F формула осы формуланын ен болмаганда 6ip
интерпретациясында «ж» деген мэн кабылдайтын болса, онда F
формуланы бекерлемдт формула деп атайды.
Мынадай жалпы тужырымдарды есте туту абзал.
Егер F жалпымэнда формула болса, онда F орындалатын формула
бола алмайды.
F формула F -бекерлемдж формула болганда жэне тек сонда гана
орындалатын формула бола алады.
283
Алдынгы ангартпадан айтылган ойларды тусшд!руге жане
бекпуге арнапган мысалдар келт1рем1з.
1-мысал. Предикаттар алгебрасындагы VxP(x)=>P(y) формуласы
жалпымэщц (тавтология) болады деп дэлелдещз.
Шешу. Бул мысал бурын теорема ретшде дэлелденш керсетшген
болатын. Енш бул формуланы формалдык жуйенщ (ФСУнщ) 6ip
мысалы рет1нде алып карастырып отырмыз. Мунда бул дэлелдеудщ Kepi
уйгару afliciH колданамыз.
Айталык алынып отырган формула тавтология болмасын. Онда
бул формула езшщ кандай да 6ip и - интерпретациясында «ж» деген
мэн кабылдауы тшс. Олай болса импликация амалынын аныктамасы
бойынша V x P ( x ) s а, ал Р(у) = ж болады. Жиындагы барлык х-тер Yшiн
Р(х)= а болса, онда осы жиындагы у ушш Р(у)=ж болуы еш мумкш емес.
Осы кайшылык б1здщ уйгаруымыз кате, ал есеп тужырымы тура екенш
керсетед!.
Белгшемелер тшнде былайша жазуга болады:
|=VxP(x)=> Р(у).
2-мысал. 3xP(x)=>VxP(x) формуласы жалпымэнд! (тавтология)
болатынын KapceTiHi3.
Шешу. Айталык о={а, ж} - жиыны бершген формуланын
интерпр ^ациялау облысы болсын. Р(а) = «а», Р(в)= «ж» деген мэн
кабылдасын деп уйгарамыз. Онда импликация амалынын аныктамасы
бойынша бершген формуланы былайша жаза аламыз: Р(а)-»Р(в)=а ->
жнж. Демек, |=ВхР(х)->УхР(х) деп карауга болмайды.
Ангартпалар. 1. Алдагы уакытта Г|— Ф жэне |— Ф немесе Ф
деген белплемелердщ арасындагы езара байланыс пен олардын 6 ip 6ipiHeH айырмашыльщты айырып караган абзал екенш ескертем)з.
Айталык Г - кур жиын емес, ягни Г * 0 болатын жиын болсын.
Егер Ф формула Г жиын мен Ф С2 - дагы аксиомалар жуйес1нен
корытылатын болсын, онда Ф-ны Г-ден корытылатын Формула немесе
Ф-ны Г-HiH салдарлык кооытындысы деп атайды. Бул ойды былайша
жазып кврсетедй Г|— Ф.
Ал, егерде Ф формула тщелей тек аксиомалар жуйес1нен (Г=0
болганда) корытылатын болса, онда Ф-ны теорема немесе 6ip сазбен
«корытылым» деп атайтын боламыз. Теореманы (немесе корытылымды)
былайша жазып Kapcerefli:|— Ф немесе |= Ф.
2.
Алдынгы айтылгандарга карап, формулалар арасында
логикалык сабактастык (сапдарластык) катынасы мен корытылымдык)
катынасы арасында терен уксастык барын айкын ангаруга болады.
Сонда мынаган назар аударган абзал: формулалар арасындагы
салдарлык катынас, Ka6iHece,формулаларды интерпретациялау аркылы
сипатталады да корытылу катынасы сол формалдык системанын аз
аукымында аныкталатын болады. Сондыктан, формулалардагы
284
сабактасымдык
(салдарлык)
катынас,
кашанда,
формуланын
семантикалык (магыналык) сипаттамасы тургысынан аныкталады да. ал
формулалар жуйесшдеп корытылу катынасы сол формулаларды
сшттксиспйк сипаттамалары бойынша аныкталады дейм1з.
Дал осындай ангартпаны тавтология мен теопемалар ушш де
жасауга болады.
Атап айтканда, кез келген теореманы тавтология деп корсету
киын емес. Мэселен, кез келген аксиоманы тавтология деп карауга
болады. Сондай-ак, пшрлер алгебрасында бурын дэлелденген корыту
ережелершщ 6 e p iH тавтология деп карауга какымыз бар. Мэселен, р—>q д
р|— q
немесе р—>q
_Е_____
(МР)
q
уппсшдеп epeжeнi мынадай тавтология деп карауымызга болады:
(— (р—>q)A р—I q.
Осы айтылгандардын бэрш жинактай келт, мынадай eKi
тужырымдык ойды теорема туршде айтуга болады:
1-теорема. Ф формула пшрлер алгебрасынын тавтологиясы
болганда жэне тек сонда гана теорема бола алады.
Осы теоремага суйене отырып, пшрлер логикасынын (ягни ФСг
нын) непзп формалданган системасы боп табылатын мынадай тагы 6ip
теорема айтуга болады.
2-теорема.
Пшрлер логикасында формулалар арасындагы
логикалык сабактасымдык катынасы жэне формуланын корытылу
катынасы б1рдей магыналы боп келедь
Дэлелдеу. Алдымен, Ф формула Ф (, Ф:,..., Фп формулалардын
логикалык салдары болады деген угымнын аныктамасын ойга туарелш.
Аныктама.
Айталык Ф|, Фг,..., Фп жэне Ф пшрлер
алгебрасынын формулалары болсын. Егер де осы формулалардын Ф|,
Ф 2,..., Фп формулалар «а» деген мэн кабылдайтын кез келген
интерпретациясында Ф формула да «а» деген мэнге иел1 болса, онда Ф
формуланы Ф|, Ф :....Ф п формулалардын логикалык салдары (кыскаша
салдары) деп атайды. Бул аныктаманы былайша жазып керсетед!: Ф|,
Ф 2,..., Ф п |— Ф.
Осы аныктамага жэне пшрлер алгебрасындагы тавтологиялык
формула туралы угымга суйене отырып, мынадай тужырымды
дэлелдеуге болады.
Теорема. (Пшрлер алгебрасы Форм у ласынын салдар болуынын
кажетт! жэне лсётк!л1кт{ шарты). Ф формула
Ф|, Фд,..., Фп
формулалардын салдары болу ушан мына формуланын
п
л Ф к —> Ф тавтология болуы кажетт! жэне жeткiлiктi.
к=1
285
Формулалар тшнде айтсак: Ф|, Ф 2,..., Фп |— Ф болуы ушш
п
ш л ф к—
>ф болуы кажегп жэне жеткшкп.
к I
Бул теорема пшрлер алгебрасында дэлелденген болатын. Осыган
суйене отырып, 2-теореманы дэлелдеу ешкандай киындыкка туспешн
(Оны езщ!з орынданыз).
Туййшк
туж ы ры м .
Формалдык
система
туралы
айтылгандардын бэрш жинактай келт, тушндемелж тужырым айтуга
болады.BipiHiui perri предикаттар есептемесш пшрлер алгебрасынын
кенейтшм] деп карау керек. Сондай ттарлер алгебрасынын эшпбш
предикаттык
айнымалылар
жэне
кванторлык
амапдармен
толыктырылады. Ал, пшрлер алгебрасынын
I- 1Y топтардагы
аксиомаларына предикаттар алгебрасынын кванторлармен байланысты
Y топтагы eKi аксиомасы косылады. Пшрлер логикасындагы барлык
корыту ережелер1 предикаттар алгебрасында да тура колданыс табады.
Атап айтканда: барлык аксиомалар корытылатын формула болады.
Ауыстыру ережес! корытылатын форма болады. Модус Поненс ережеа
предикаттар алгебрасынын формулалары ушш де орындалатын болады.
Осы айтылгандармен катар пшрлер алгебрасынын кенейтшм1 боп
табылатын формалданган еинщ система (ФС2) - предикаттык
есептемелердщ эзше тэн ережелер тобы да бар. Енд1 соларды
карастыруга кэшем1з
§3. Предикаттар есептемесшдег1 ойкррыту оdieтеpi мен
формула цорыту ережелер1
Акикатты 1здеп табу ушш a;tic кажет.
(Акылга аркаулык ерсжслерден)
Рене Декарт.
Егер iciM енеш лессн ретж таи.
Абай.
3.1. Ойкорыту
алдынала
эдктер! туралы
ангартпалар
Адамзаттын алгашкы устазы деген атпен тарихка машЬур болган
ежелп дуниенщ ен алып ойшылы Аристотель (б.з.б.384-322 жж.)
формалдык ойкорыту логикасынын непзш калаушы болганын бшем13.
Ол ойлау формалары (калыптары) - угым, пайым жэне ойкорыту
улгшерш тарихта 6 ip iH iui боп ашып, оларды алгаш рет элвдби
эрштер1мен белгшеп кэрсеткен. Сондыктан, Аристотель ойлаудын
калыптары мен кагидаларын формалдык эдюпен тунгыш баяндаушы
боп есептеледь Ka3ipri замангы дифференциалдык жэне интегралдык
286
есептемелердщ непзж алгаш калаган математик Г.В.Лейбниц (16461716) Аристотельдщ силлогист!к ойкорыту ережесш: «...бар сыры ani
кунге дешн анык ашылып болмаган эмбебаптык математика» (31, 2 т.,
492-493 беттер) -деп аса зор багалаган.
Элшбшпк epiirrepfli математика угымдарын белплеуге колдаиу
aaici, Аристотель логикасы eMipre келген заманнан кешнп арада 2000
жылдай уакыт еткен сон гана кещнеи жумсала бастайды. Математиканы
булайша формалдандыру iciHe алгаш атсалыскандар XYI1 гасырда eMip
сурген француз математиктер1 Француа Виет (1540-1603) жэне Рене
Декарт (1596-1650) болган. Ф.Виет шлым тарихында «алгебранын
атасы», ал Р. Декартты «аналитикалык геометриянын жасаушысы» деп
атайды. Аналитикалык геометриянын атасы Р. Декарт «Акылга
аркаулык ережелер» (Правила для руководства ума) деген эйгш акыл
устартымдык енбепнде: «мейл! не сан; не пшпн; не жулдыз; не дыбыс
болсын баршасынын реттшгш немесе олшемш зерттейтш кандай да 6ip
эмбебап пэн бар, бул пэн эмбебаптык математика аталуы ттс» (11, 90бет) деп керсеткен. Ол езшщ эмбебаптык математикасын геометриянын
апгашкы угымдары мен нэрсел1ктерш алгебрапык тендеулер аркылы
ернектеуден бастаган. Декарт бшм тарихында 6ipiHmi боп
математикалык айнымалы шама туралы угымдарды аныктайды. Ол
айнымалы шама деп багыты туракты, ал 6ipaK узындыгы езгерш
отыратын кесшдш! атаган. M ine, осыдан бастап «нуктетн координаты»,
«нуктеш турлещйру», «нуктеж бейнелеу» туралы бастапкы угымдар
гылымга б1ртждеп ене бастайды. Декарттык айнымалы шама туралы
угымнын аркасында каз!рп математика «функция», «формула»,
«бейнелеу», «козгалыс» т.с.с. угымдар жасалды. «Функция» угымын
гылымга алгаш рет Г.Лейбниц енпзген. Ол Аристотельдщ ойлау
логикасы мен Декарттын аналитикалык геометриясында устанылган
жалпы ой корытымдык жэне есептемдш эдгсп басшылыкка ала отырып,
адамнын буюл ойлау кызметш тек кана математиканын тинмен
баяндайгын эмбебап пэн жасауды езше гылыми багдар етш усынган.
Г.Лейбниц осындай максатпен «Акыл математикасы», «Эмбебаптык
есептемелердщ элементтерЬ деген гылыми трактаттар жазган. Лейбниц
математикалык логика пэшн жасау туралы тугырнамалык пшрлер
айтумен катар ол niKipiH icKe асыру жолында танкаларлык тамаша
талпыныстар жасаган. Атап айтканда, ол бшм тарихында тунгыш рет
екиик санау жуйесшщ акыл математикасы ymiH аткаратын элшбил1к
кызметш дэл болжап, дурыс айткан. Онын еюл!к санау жэне
эмбебаптык белгшемелеу жайындагы ойлары кешн Буль алгебрасынын
Н. Винер ашкан кибернетика гылымынын жэне Ka3ipri электронды
есептепш машиналар тшшщ жасалуына тагандык непз болганы тарихи
шындык. Осы айтылгандармен катар Г.Лейбниц Аристотельдш
ойкорыту логикасын зерттеу барысында формальдык ойлаудын терп'шш
заны - толык непздеу занын алгаш ашып, оны гылыми жумыстарына
кешнен тутынады. Лейбництщ сезхмен ойлаудын тертннш заны былай
287
айтылады: «Бар нэрсенщ 6epi езшш бар екендшн толык непздеу! тгас.
Бул занды Г.Лейбниц т эш тбел ш немесе дэйектж (фактылык)
акикаттыгын растайтын кагида (ягни ереже) деп тутынган. Ал акылдан
ягни акыл мен ойкорытудан туындайтын ойдын акикаттыгын ол тек
кайшылык заны растайды деп б1лген. Сейтт, Лейбництш логикалык,
акикатты еюге болт караганын керем1з: 1. акыл акикаты жэне
2.тэж1рибелж двйектер (фактылар) акикаты. Ол акыл акикатынкорытымдык (дедуктивтж) ойлауга тан айнымас кажеттшк, ал
фактылар
(дэйектер)
акикатын
емгрде
кез№етш
кубылмалы
кездейсоктык деп уккан.
Осы талданып еткен тарихи деректемелердщ 6apiH салыстыра
жинактай отырып, мынадай жалпы ангартпалык ойлар айтуга болатын
сеюлдь
1-ангартпа.Акыл аркылы формалдык ойкорыту логикасы (ягни
формалданган
дедуктивтж ойкорыту логикасы) Аристотельдш
силлогистикалык_ойкорыту aaiciMeH басталады.
2-ангартпа. Аристотельдщ силлогистикалык ойкорыту эдюше
декарттык
айнымалы
шамалар
туралы
идеясына Лейбництщ
эмбебаптык математика жасау жайындагы багдарламасын колдану
аркылы осы замангы математикалык логика naHiHiH аукымында жузеге
асырыль.. I отырган формула корыту eflicTepi мен ереЖелер! жасалган.
Бул айтылган ангартпалардан ойдын акикаттыгына коз жетюзу
ушш, эуел!, дедуктивп ойкорыту жэне дедуктивтж дэлелдеу деген
угымдарды мазмунын айкынырак ашып корсету кажет.
3.2. Дедуктивтж ойкорыту жэне
дедуктивтж дэлелдеу
Дедукция латын тшндеп
«deductio» (корыту) деген созден
алынып жасалган бшми атауыш соз. Бул соз езщщ байыргы тшдак
магынасы бойынша алып Караганда жалпылык ойдан дербес немесе
жекелеген ой шыгарып алу аркылы ойкорыту деп угылады. Баскаша
айтканда, дедукция ойдан ой тугызу туралы боп немесе ойдан ой
шыгарып алудын логикалык 6ip амалы боп саналады. Шыгынды ойды корытынды деп, ал корытындыны шыгаратын ойды немесе ойларды
алгыламалык ойлар. кыскаша, аягыламалар деп атайды. 0p6ip ой
кандайда 6ip мэндшк магынага иел1 болады. Сол мэндшкп втм деп
атайды. Рылыми танымдык жэне оку - эдicтeмeлiк жумыстарында
дедукция сез 1 индукция деген созбен косарласа колданылады. Мундагы
индукция латыннын «inductio»(MeH3ey, козеу) деген созшен алынган.
Дедукция соз1нщ косарласы рет1нде индукция соз 1 дербес ойлардан
немесе жекелеген деректемелерден (фактылардан) жалпылык ой
тужырымдау деген магынада тутынылады. Осы айтылгандардан
дедукция мен индукция дегешм]з ойкорыту ушш жумсалатын ойлау
288
кызметшш карама-карсы багыттас eKi Typjii козгалысын бейнелейтш
угыми сездер (терминдер) екенш керем^з. Дедуктивтш ойкорыту
устшдеп ой козгалыстары жалпылык бшмдерден жекелеген немесе
дербес бшмдерге карай багытталатын болады. Ал индуктивтш ойкорыту
барысында жумсалатын ойлау кызмет!, KepiciHme, жеклеген немесе
дербес бшмдерден жалпылык бшмдерге бет тузеген багытпен
журпзшедь Bip сезбен айтканда, дедуктивтш жолмен ойлаган кезде баска
жалпылык ойлардан жана ой ко рытылады. Ал индуктивтш ойлау
кезшде жекелеген ойдан жана 6ip ойга мензеу жасалады. Ka3ipri
замандык ойлау логикасында дедукция немесе дедуктивтш ойкорыту
амалы былайша аныкталады.
Аныктама. Дедуктивтш ойкорыту деп жалпылык аукымы мол
бшмдерд! бейнелейтш алшламалык ойлардан кажепит турде
корытылатын жане жалпылык аукымы алгыламалык ойдан аз болатын
корытынды ойдьщ шыгарылуын айтады. (А.Д.Гетманов. Логика, М.,
«Высшая школа»-1986, 128-бет).
Нактылы aMip шындыгын тану барысында б!з жана бшмдермен
толыгып отырамыз. Бул бшмдердш б1ршамасы сырткы дуние Hapcenepi
жэне кубылыстар мен сез1мдш мушелер1м1здщ тшелей эсерлену1
аркылы кабылданды. Мундай 6miMfli тете бглшдер деп атаймыз. Ал
бшмдердш басым капшшп бурыннан ез1м1зге танымал бшмдерден
шыгарылып алынган жана бшм боп табылады. Осындай бшмд 1
корытылган б т м деп атайды.
Алдынгы аныктамадан корытылган бшм жасаудын 6ip
логикалык формасы (ynrici) дедуктивтш ойкорыту боп саналатынын
керем1з.
Дедуктивтш корытынды шыгарып алу ушш алгыламалар деп
аталатын ею турл! бшмге иегерл! болу кажет екенш байкаймыз. Атап
айтканда олар: 1) аукымы мол бшмд1 камтитын жалпылык алгылама
жэне
2) аукымы аз бшмд-i камтитын жекелемдш немесе дербес
алгылама боп табылады. Жалпылык алгылама, эдетте, даяр немесе
бурыннан белгш б1я!м боп келед!. Бутан гылым зандары, кагидалары
аксиомалар, аныктамалар, бурын корытылган формулалар мен
дэлелденген теоремалар т.б. танымал акикат ахуалдар мен жагдаяттар
жатады.
Жекелемелш немесе дербес алгыламалар ретшде, кабшесе,
пайымдаушы танымгердщ я зерттеушшш аздак niKipi, уйгарымы
алынады.
Дедуктивтш ойкорытудын алдынгы кел^ршен аныктамасынан
мундай логикалык амалдын жалпылык алгыламасы деп дербес бшмге
кашуд! FaHa карсетиейтшш байкауга болады. Ойкорьггу дедуктивт! болу
ушш ол амалдын eKi турш шартка мYЛтiкciз багынуы THic екенш
каремхз: 1) ойкорыту багдары жалпылык бшмнен дербес бiлiмгe карай
багытталуы шарт жане 2) корытынды ой алгыламалардан кажетп (ягни
сазаз немесе мшдетп) турде шыгуы ттс.
289
Алдынгы
айтылган
туЫшйрмеге
суйенш,
дедуктивтк
ойкорыту аркылы кашанда нанымлы корытынды немесе акикат
корытынды ой шыгарылады деуге болады.
Дедуктивп ойкорытудын осындай ерекшелш ескерuiin, оны
дэлелдемдж ойкоры ту eaici деп те атайды.
Сейтш, жалпы турде алганда логикалык ойкорыту амалы
корытудын Р - алгыламасы жэне Q - к оры ты нд ы сы деп аталатын eKi
мушесшщ
арасындагы
байланыс белгшемелмс логика тшнде
импликация аркылы жазылып керсетшедп Р-> Q.
Дедуктивтж ойкорыту кезшде Q - корытынды Р - алгыламадан
кажетп турде корытылып шыгуы тшс. Мунда кажегп шыгу Р мен Q
арасындагы мазмундык байланыска тэуеяд» болмайды, ол тек Р мен Q
арасындагы логикалык ягни формалдык байланыс аркылы гана
сипатталуы тшс. Атап айтканда, егер дедукзжп ойкорытудагы Р
алгылама акикат болса, онда Q корытынды кажегп турде акикат
болады. Р алгылама мен Q корытындынын арасындагы осындай
кажеттшк байланыс болса, онда Q мен Р-нын логикалык салдары деп
аталатынын бурын айтканбыз. Егер Q корытынды Р-нын логикалык
салдары болса, онда бул ойкорытындысын белплемелер тшнде
былайша жазып керсетедк Р|— Q. Осы белп Q-дын Р -дан дедуктивп
жолмен корытылатынын керсетедь Осы айтылгандардан дедуктивт!
ойкорыту Q корытынды ойдын куменс1з акикаттыгына кёщй бола
апатындыгын керсетед1 деп ойлаймыз.
Логикалык зерттеулерде дедуктивт1к ойкорытумен катар
ыктималдык ойкорыту деп аталатын ойкорыту амалы жш ушырасады.
Дедуктивт^к ойкорытудан шыгатын корытынды кашанда акикат болады
дедш. Ал, ыктималдык ойкорыту амалы аркылы жасалатын корытынды
ой еркашан акикат бола бермейд!. СоУан 6ip мысал келтарш етел1к.
Мысалы. Егер Сарсенов мектеп M y flip i болса, онда ол оку
жумысын уйымдастыруды жаксы 6ineni.
Сарсенов оку жумысын уйымдастыруды жаксы 61лед1.
Демек, Сарсенов - мектеп Myflipi
Бул мысалдагы ойкорыту барысындагы корытынды ой
(Сарсеновтын мектеп Myflipi болуы) алгышарттардан кажегп (мшдегп)
турде шыкпайды. Ойткеш Сарсенов оку жумысын уйымдастыру
мэселелер1н муд1р болмай-ак жаксы б?1Лу1 ыктимал. Сондыктан, бул
мысалдагы ойкорыту алгыламалардын логикалык салдары бола
алмайды. Мундай ойкорыту амалы ыктималдык ойкорыту тобына
жатады дей аламыз.
Сонымен, дедуктивтж ойкорытудын басты 6ip логикалык
ерекшелт алгыламалык шарттарда камтылган белгМ бМмдерге суйене
отырып, кандай да 6ip жана бшмд; ашу я тужырымдау боп
табылатынын керд!к. Ал алгыламалык ойлаудан жана ой тужырымдап
шыгару корышу ережелер! аркылы icKe асырылады.
290
Ойкорыту амалын зертгеу жэне оны топтарга белш карастыру формалдык талдау аркылы орындалады. Логикалык ойкорытудагы
формалдык талдау жасау ушш эуел1 онын непзп курылымдык
6ipfliicrepi - корыту логикасын. пайымдар логикасын жэне угымдар
логикасын танып 6iny кажет. Пайымдар логикасы денгешнде жасалган
ойкорытулар, угымдар денгейшдеп ойкорытулармен акикаттыгы
жагынан эркашан б1рдей болмайды. Сондыктан, пайымдар денгейшде
жасаган ойкорытуларды, кеп жагдайда, субъективт! - предикативтж
угымдар денгейше дейш терендеп карау дурыс болады. Ойкорытуларга
булайша талдау жасау осы замандык логиканын - ш'к1рлер логикасы
жэне предикаттар логикасы деп аталатын eKi саласымен тжелей
байланыста боп келедь
Ойкорыту логикасын угымдар логикасы денгешнде талдамалап
карастыру дестурлш логикада силлогизмдж ойкорытулар аркылы
орындалатынын бшем1з. Ал, силлогизмд!к ойкорытулар субъективтж
пайымдаудан турады. Олай болса предикаттар логикасынын жэрдем1мен
ойкорыту логикасын угымдар денгейшде терендеп эерттеуге болады.
Осыган кез жетк1зу уш^н дедуктивт1к ойкорытудын силлогизм улпс1не
б1рнеше мысалдар келт1рш етем13.
1-мысал. Кез келген рационал сан -нактылы сан
5 -рационал сан________________________
Демек, 5 -нактылы сан.
2-мысал. Кез келген квадрат -TiKтертбурыш
АВСД -квадрат_____________________
Демек, АВСД -TiK тертбурыш.
3-мысал. Бер адам -ажалды
Коркыт - алам______________
Демек, Коркыт -ажалды.
4-мысал. KYЛлi кус -жануар
Самурык - кус_____________
Демек, самурык -жануар.
5-мысал. Физика-математика факультетшде окитын эр студент алгебрадан дэргс тындаган
Жомарт -физика -математика факультетшщ студент{
Ьндеше, Жомарт -алгеЬрадан дэр!с тындаган.
Осы келпршген мысалдардын баршасы гпш мазмуны жагынан
эралуан болганымен, сырткы бшмшк курылымы бойынша алганда
олардын б1рдей калыптамалардан (формалардан) туратынын байкау
киын емес.
Кванторланган
предикаттар
ecenTeMeciHiH
тшшде
1-5
мысалдарды мынадай 6ip улпдещ формуламен жазып керсетуге болады:
291
Vx[PK(x)=>QK(x)], Рк(а)
немесе
(М а)
Vx[PK(x)]=> Q k(x )
Рк(а)
(I)
Q k.(а)
Бул формуладагы предикаттар мен пшрлер белпа 1-мысалда
мынадай магынадага ойларды белгшейдк х - сандар белгкй, заттык
айнымалылар.
Р,(х) = «х -рационал сан» - предикаттык айнымалы.
Qi(x) —«х - нактылы сан» - предикаттык айнымалы.
х = а -заттык туракты.
Р, (5) s «5 -рационал сан» - предикаттык туракты немесе niKip.
Vx[Pi(x)=?! Q , (х)]= « Егер кез келген х рационал сан болса, онда х
саны нактылы сан болады» - niKip.
Q;(5) = «5 - рационал сан » -niKip.
(I) формуланы 2- 5 мысалдар уинн дал осы улпмен талдау киын
емес. Мэселен, 3-мысалды былайша талдауга болады:
х -адамдар аты, ягни заттык айнымалы.
Р3(х) = « х адам» - предикаттык айнымалылар
Q:j( x ) = «х - ажалды» - предикаттык айнымалы.
х - Коркыт -заттык туракты.
Р3(Коркыт)= « Коркыт - адам» - niKip немесе предикаттык
туракты.
Ух[Рз(х)=> Q3(x)]= «Егер кез келген х адам болса, онда ол
ажалды болады»- niKip.
Q3(x) = «Коркыт - ажалды» -niKip немесе предикаттык туракты.
(калган 2, 4, 5 мысалдарды осындай улпмен ёзвдз талдап
керйиз).
Силлогизм формалары (калыптары) аркылы дедуктивтж
ойкорытудын карастырып еткен мысалдарынан мынадай ангартпалык
ойлар айтуга болады.
1-ангартпа. Пайымдык ойкорыту ягни пшрлер алгебрасы
денгешндеп ойкорыту формалдык курылымнын ш ш угыми денгешне
ой жупртуге мумюншк жасамайды. Бул денгейдеп ойкорыту амалын
Абай акыннын керкем сездер1мен бейнелеп айтар болсак пайымдардын
тек сырткы KyMiciH гана пайдалану онын « i n алтыннан» аулак калады.
2-ангартпа. Абай акын будан дэл жуз бес жыл бурын ягни 1895
жылы елен свзбен мынадай ангартпа айткан:
Журтым-ай, шалкактамай сезге тусш,
Ойланшы, сыртын койып, сездЩ iuiiH.
Ыржандамай тындасан нен кетедК
Шыгарган сез емес кой энггме ушш;
(А.Кунанбаев. Шыг.,Алматы-1957 ж.1 том, 173-бет).
292
Кай тшдеп кайсы белгшеме аркылы бершген нендей сез
болмасын, онын ойлык магынасын сол белплеме сездщ iuiiHe ущлу
аркылы гана угынатынымыз хак. Абай осыган мензеп отыр. Логикалык
ойкорыту кезшде пайымнын iuiiHe увдлу ягни онын ituKi байланысын
Tycinin талдау термдер. предикаттар жене кванторлар аркылы гана icKe
асырылатынын корем1з.
3-ангартпа. Дедуктивтж ойкорыгудын 6ip келел1 кен саласын
дедуктивтж делелдеу деп атайды.
Дэлелдеу амалы туралы угым бурын пшрлер алгебрасында
аныкталган болатын.
Аныктама. Дэлелдеу деп кандай да 6ip тужырымнын
акикаттыгын акикаттыгы бурыннан аян баска 6ip ойларга суйене
отырып тагайындайтын логикалык амалды айтамыз. Мундай
тужырымдык корытындыны дэлелдеулер логикасында «тезис» дейдк
Ойкорыту логикасында «тезистЬ> дербес пайым немесе жекелемелж
пайым деп караймыз. Сонда «тезисен» акикаттыгын жалпылык пайым
аукымына алу аркылы дэлелдеуге болады. Осындай дэлелдеу эд1сш
дедуктивтж дэлелдеу дейд1.
Мысалы. Тезис - «4 - жуп сан». Жалпылык пайым - «2-ге
белшетш саинын бэр1 жуп сан». Дедуктивтж дэлелдеу -«2-ге белшетш
саннын 6epi -жуп сан, ал 4 саны 2-ге белшеда, демек, 4 -жуп сан».
4-ангартпа. Дедуктивтж ойкорыту мен дедуктивтж дэлелдеудщ
мынадай басты сипаттамаларын еске туту кажет: а) Р -алгыламалыктар
мен Q - корытынды (тезис) арасындагы логикалык байланыс «егер сонда» жалгаулык жэрдем!мен бершедь Формалдык тшмен айткан
мундай байланыс мынадай P=>Q импликациялык амал аркылы
ернектеледь Сол ce6enTi Р - алиллама акикат болганда дедуктивтж
ойкорытудын (дэлелдеудщ) корытындысы (тезис) ешкашан жалган
болмайды. э) Дедуктивт1к ойкорыту жэне дедуктивтж дэлелдеулер
барысында туралыгы алдынала тагайындалган корыту ережелер1 гана
жумсалады. б)
Дедуктивтж ойкорытудан, сондай-ак дедуктивт1к
дэлелдеуден шыккан нэтижeнiн акикаттыгына (егер шарттары акикат
болса) шубес1з сен[ммен карауга болады.
3.3. Предикаттар логикасындагы к о р ы т у
ережелер! мен есептемелер!
Дедуктивт1к ойкорыту мен дэлелдеудщ арнаулы корыту
ережелер1 аркылы жузеге асырылатынын алдынгы пунктте атап
KepcerriK. корыту ережес1 деп ойкорыту барысында алгыламалардан
корытындыга (тезиске) кешу уцпн колданылатын акикаттыгы
тагайындалган белгш б'ф кагидалар мен калыптамалар жиынтыгын
угамыз.
Дедуктивт1к ойкорыту логикасындагы пайымдауларды корыту
ережелер1 тек пшрлж денгейден терендеп угымдык денгейде ягни
293
заттык айнымалылар децгешнде журпзшетшш де жогарыда атап
керсеткенб1з.
Сонлыктан,
пшрлер
алгебрасын
предикаттар
есептемесшщ iuiKi жиыны деп карауга какымыз бар. Баскаша айтканда,
бурын пшрлер логикасында дэлелденген жэне корыту ушш
колданылган непзп корыту ережелершж барлыгын предикаттар
логикасынын корыту формулалары деп атайтын боламыз. Тек сондагы
x,y,z- пiкipлiк айнымалыларды Р, Q, R, т.с.с. предикаттык
айнымалылармен ауыстыратын боламыз.
Предикаттар логикасынын корыту ережелер!
1. Корытындылау е р е ж е а (КЕ) немесе М о д у с Поненс ережеа
Р=> Q
Р
(КЕ) немесе Р=> Q, Р|— О (МПЕ)
Q
2. Тер1стемелеу ережеа (ТЕ) немесе Модус Толенс ережеа
_Р =>Q
Q_
(ТЕ)
P=>Q, Ql— Р (МТЕ)
Р
3. Жай карама-карсылау ережеа (ЖККЕ)
Р=> Q
1
~
=(ЖККЕ)
Р =>Q |— Q=> Р (ЖККЕ)
Q => Р
4. Курдел! карама-карсылау ережеа (КККЕ)
PQ =>Р
-- 1---1
(КККЕ)
PQ => Р|— Р P=>Q (КККЕ)
Р Р=> Q
5. Силлогизм ережеа (СЕ)
Р =>Q
Q=>R
(СЕ)
P=>Q, Q=>R|— P=>R (СЕ)
P =>R
6. Эквиваленция (тенгерме) енпзу е р е ж е а (ЭЕЕ)
P=>Q
Q =>Р
(ЭЕЕ)
P=>Q, Q =>Р|— P « Q (ЭЕЕ)
P o Q '
7. Эквиваленцияны тыскарылау epeжeci (ЭТЕ)
Р cz>Q
PoQ
(ЭТЕ)
P<r> Q|— Р =>Q
жэне
жэне
PoQ
Q =>Р
P<=>Q|— Q =>Р (ЭТЕ)
294
8. Конъюнкция енпзу ережеа (КЕЕ)
P .Q
(КЕЕ)
Р, Q|— Pa Q (КЕЕ)
Р aQ
9. Конъюнкцияны тыскарылау ережеа (КТЕ)
P aQ
Р
(КТЕ)
Р a Q|— Р немесе
немесе
P aQ
Pa QH-Q
(КТЕ)
Q
10. Дизъюнкиияны енпзу ережеа (ЛЕЕ)
Р
PvQ
(ДЕЕ)
Р|— PvQ немесе
немесе
___ Q—
Q|— Pn/Q
PvQ
11. Импликация енпзу ережеа (ИЕЕ)
- £ --(ИЕЕ)
Р(— P=>Q
Р =>Q
(ИЕЕ)
12. Дизъюнкиияны тыскарылау ережеа (ДТЕ)
PvQ, Р
Q
жэне
жэне
PvQ, Р|— Q
PvQ, Ql— Р (ДТЕ)
PvQ, I
(ДТЕ)
р
13. Импликаиияны тыскарылау ережеа (ИТЕ) немесе Модус
Поненс ережеа (МПЕ)
P-»Q, Р
Q
(ИТЕ) не (МПЕ)
14. Алгыламаларды алмастыру ережеа (ААЕ).
P=>(Q=>R)
Q=>(P =>R)
(ААЕ)
15. Кос TepicTev ережес1 (КТЕ).
Р
Р
(КТЕ)
РI— Р
Осы кестеде келтсршген непзп корыту ережелершщ эркайсысы
niKipflep алгебрасынын (н0лiншi ретп предикаттык) тавтологиялык
формуласы рет!нде бурын дэлелденген болатын. Сонымен катар
пшрлер логикасында кабылданган I-IY аксиомалар жуйеан корытуга
295
TyFbip (непздеме) eTin алу аркылы жэне айтылмыш корыту ережелерш
колдана отырып пшрлер логикасындагы теоремаларды корытудын
мысалдары кэрсетшген болатын.
Предикаттар есептемесшщ 6ip аксиоматикалык жуйеЫ пшрлер
алгебрасындагы алдынгы айтылган I-IY аксиомалар тобын мынадай eKi
аксиомамен толыктыру аркылы жасалганын бшем1з.
Y|. VxP(x)=>P(y) (куллшк немесе баршалык аксиомасы. Бул
аксиома сэйлеу тшнде былайша айтылады:
«Егер куши х айнымалы Р касиетке иегерл1 болса, онда кез келген
у айнымалы Р касиетке иегерла болады».
У2. Р(у)=>ЗхР(х) (Бармыстык немесе бар болушылык аксиомасы.
Бул аксиома сэйлеу тшм 1зде былайша айтылады:
«Егер Р касиетке кандай да 6ip айнымалы иегерл1 болса, онда Р
касиетке иегерл1 болатын х айнымалы бар болады).
Осы Y| | Y 2 аксиомаларга суйене отырып, предикаттар
есептемесшщ жогарыдагы кестеде керсетшген Heri3ri
к оры ту
кестелерш б!рнеше косымша корыту ережелер1мен толыктыруга болады.
Бул косымша корыту ережелерш атап корсету ушш, eyeni, кенейплген
предикаттар логикасында (PL-теорияда) корыту формулаларын
жасаудын жалпы ережелерше токталып отуге тура келедк
\нгартпа. Формалдандыру сипатына карай предикаттар
есептемс~1 (предикаттар алгебрасы немесе теориясы) eKi улкен ж^кке
болшш
аралады. Б1рщш1с|н пшрлер алгебрасы немесе пшрлер
есептемеЫ деп атап келдш Формалданган системалар тшнде пшрли-с
есептемелер жуйесш L - теория деп атайды. Ал заттык айнымалы мен
турактылардын предикаттык айнымалылар мен турактылардан жэне
V, В - кванторлык амалдардан туратын формалданган логикалык жуйеш
«PL -теория» деген шартты сэзбен атап керсетедь
Енд|
PL-теория
денгейшдеп
предикаттар
логикасында
корытылатын формулалар жасаудын ережелерш карастыра бастаймыз.
3.4. Предикаттар логикасында(РЬ-теорияда) корытылатыгн
формулалар жасаудын, жалпы ережелер1
I. Корытындылау ережеи (КЕ) немесе Модус Поненс (МР)
Егер G, G=>H - корытылатын формулалар болса, онда Н
корытылатын формула болады.
G =>Н
G
(КЕ немесе МР)
Н
G =>Н, Gf—Н
II.
Айнымалыны ауыстырудын жалпы ере
Hi. Айнымалы niKipfli э у ы с т ы р у ережесь Айталык Ф=Ф(Р) формула курамында Р айнымалы nixip бар формула болсын. Сонда Ф
формуладагы Р эрштш бэрш темендеп а| жэне а; ею шартты
296
канагаттандыратындай erin алынтн <р ернекпен ауыстыруымыэга
болады:
аО <р формуладагы ерюн айнымалылар бершген Ф
формуладагы байланган айнымалылардан баскаша ар|птермен
белпленед!. Сондай-ак, <р формуладагы байланган айнымалылар да
бершген Ф формуладагы еркш айнымалылардан баскаша эршпен
белгшену1 THic. а2) Егер Ф формуладагы Р пшрлйс айнымалы кандай да
6ip эршпен белпленген квантордын ыкпал керсететш облысына енген
болса, онда бул apin tp ернекке енбеу| керек.
1-аныктама. Бершген Ф=Ф(Р) формуладагы Р айнымалыны аь а2
шартгарды канагаттандыратындай eTin алынган <р формула аркылы
ауыстыруды Р-нын орнына ф щ кою аркылы ауыстыру деп атайды.
Осындай орнына кою аркылы ауыстыруды былайша жазып
керсетедп F = S p ^ Ф(Р). Сонда Р - пшрлж айнымалынын орнына <р
формуланы кою аркылы орындалатын ережеж 6ip сейлеммен былайша
айтуга болады
Ереже (Айнымалы niKipfli ауыстыру ережесО. Егер Ф = Ф(Р)
жаппымэнд1 формула болса, ал <р формула at жэне а2 шарттарга сайма сай келетш ернек болса, онда Р ны <р - мен ауыстырудан шыккан
Бр?7Ф(Р) формула корытылатын формула болады, ягни
I— Бр^ФСР) немесе Ф(Р)|— Бр^ФСР).
Мысал. Ф(Р) =VxVyVz[PvzAH(z, x)a(PvF(x, у))] формула
бершс!Н. Мунда: Р - пшрлш айнымалы, х, у, z - заттык айнымалылар. Н
пен F - предикаттык белгшемелер. Р айнымалы Vx, Vy
кванторларынын ыкпалы бар облыска енед1. Сондыктан, II] ережен1н а2
шарты бойынша Р айнымалы Vx^(x) немесе 3x^(jc)- формулалармен
ауыстыруга болмайды. 0йткен1 ондай ауыстыру жасалса, онда ауыстыру
ережесшш ai nyHtcri бузылар ед1.
Мысалдагы Ф формуланы мынадай формуламен ауыстыруга
болады: p=VzVt[PvH(z,t)v q л F(z, t)]. 0йткен1 сонгы <р -формула
орнына кою ережесшщ аь жене а2 пункпне де сай етш алынган.
SP^ (Ф)=УхVy{VzVt[PAH(z, t)v q л F(z, t)]vVzH(z, х)л
a VzVIPa H(z, t)vqA F(z, t)vP(x, y))J}.
Сонгы шыккан ернек, сез жок, формула боп табылады.
III. Предикаттык айнымалыларды ауыстыру ережес!
Айталык Ф=Ф(Р) формуладагы F предикаттык айнымалы (ягни
айнымалы предикаттар) болсын. Айкындап айтканда, F - айнымалы порынды предикат немесе п - орынды предикаттан жасалган формула деп
аламыз. Сонымен катар jfe t2,.„, tn - айнымалылардан туратын <р ~ср{ ti,
t2... tn) - баска 6ip формуланы алып карастырамыз. Ф=Ф(Р)
формуладагы F предикаттык айнымалыны <р формуламен ауыстыру
ережес^н аныктау ушш мынадай В|, в2ею шартты канагаттандыратындай
erin алынган <р формула курылуы керек.
297
Bi) ip - re енетш epiicri айнымалы жэне кванторлармен байланган
айнымалылар I - аныктаманын юрюпеде айтылган й
\- шартка сайма-сай
болуы кажет. Атап айтканда, <р формуладагы ерюн айнымалылар
бершген Ф формуладагы байланган айнымалылардан баскаша эршпен
байлануы керек. Сондай-ак, <р формуладагы байланган айнымалылар да
бершген Ф формуладагы ерюн айнымалылардан баскаша эршпен
белплену1 тшс.
в2) Егер Ф формуладагы F предикаттык айнымалы кандай да 6ip
o p in T i байлайтын квантордын ыкпалдык облысында болса, онда бул эрш
(р формуланын курамына енбейтш болуы тшс.
Осы айтылгандарды жинактай келш, F айнымалы предикатты
ауыстыру ережеа н 6ip сейлеммен былайша айтуга болады.
Ереже. (Айнымалы предикатты ауыстыру ережесО. Егер Ф=Ф(Р)
жалпымэшп формула болса, ал <р формула алдынгы В|, в2 шарттарга
сайма-сай келетш формула болса, онда F айнымалы предикатты <р - мен
ауыстырудан шыгатын БрдаФ(Р) формула корытылатын формула
болады, ягни |=Sf^(F) немесе Ф(Р)|— 8Р^Ф(Р).
Мысалы.
Ф(Р)=УхЗуЗг[Е(х,у^ F(x,z))].
Мундагы
Vx,3yкванторларынын ыкпалдык облысында жаткан F(x, у) формуланы eKi
орынды айнымалы предикат деп карауга болады. Осы предикаттык
айнымалыны мынадай формуламен ауыстырамыз: ф=УиЗфН(и,
t|)vH(<p, t2)]. (ф формуланын Bi мен в2 шарттарга сайма-сай келетшше
е.зщщ кез жетюзйшз).
___________________
8фрФ(Р)^\з^у32{УиЗф[Н(и,х^Н(ф,у)^УиЗф[Н(и,х^Н(ф,2)]}.
Мундагы |= S,p^(F) -корытылатын формула болады.
Алдынгы жалпы турде кен магынасымен баяндалып еткен
айнымалы niKipfli ауыстыру жене айнымалы предикатты ауыстыру
жайындагы айтылмыш жалпы ею ережеге суйене отырып, предикаттар
логикасында жш тутынылатын ауыстыру ережелершщ тагы б1рнеше
дербес ережелерш атап етуге болады.
III. Предикаттар логикасындагы ауыстыру аркылы
корытудын колданбалык дербес ережелер1
Алдынгы карастырылып еткен айнымалыларды ауыстыру
жайындагы жалпы ережелер предикаттар есептемесшдеп корытуларга
тiкeлeй колдануга еркашан тшмд1 бола бермейд1. Сол жалпы ережелерге
суйене отырып, корыту кэделерше жарамды б^рнеше колданбалык
дербес ережелер (немесе кэделж ережелер) айтуга болады.
1. EpiKmi заттык айнымалыны ауыстыру ережеа
Егер Ф предикаттар есептемесшщ корытылатын формуласы
болса, ал Ф 1 формула Ф формуладан ондагы кез келген epiKTi
айнымалыны тугелдей баска 6ip epiicri заттык айнымалымен
298
ауыстырылып алу аркылы жасалса, онда Ф 1 формула предикаттар
есептемесшщ корытылатын формуласы боп табылады.
Формулалар тшмен айтканда: |=ф=>ф' немесе Ф|— Ф 1.
Мысалы. Ф =VxF(x)=>Q(y)[( F(y)=> 3xQ(x)].
8у'(Ф)-?жвне Sy (Ф) -? _
SyZ^ ) = V x [F(x)=>Q(z)]a [ F(z)=>3xQ(x)] - корытылатын формула
болады. Sy (Ф) - ауыстыру формула бола алмайды. Уйткеш бершген Ф
формулада у ерюн айнымалы емес, ол V- квантор амалынын ыкпалдык
облысында жатыр. Сондыктан Sy (Ф) ауыстыруын жасауга болмайды.
2. Байланган заттык айнымалыларды кайта атау ережес'1
Егер Ф предикаттар есептемесшщ корытылатын формуласы
болса,
онда
Ф
формуладан
осындагы
барлык байланган
айнымалыларды байланган баска айнымалылармен ауыстыру аркылы
жасалынган Ф 1формула корытылатын формула болады.
Мысалы. Ф(х) =3xF(x)=>VxQ(x) - корытылатын формула
болсын. Осындагы Зх кванторы ыкпалындагы x-Ti у деп, ал Vx кванторы
ыкпалдык облысындагы x-Ti z-пен кайта атауга (ауыстыруга) болады.
Сол ауыстыру нэтижесшде мынадай корытылатын формула шыгады:
3yF(y)=> V z Q(z).
3. Кванторларды байлау ережеа.
1-ереже. Егер А=>Ф(х) корытылатын формула болса жэне А
формуланын курамында х ерюн айнымалы болмаса, онда Ау УхФ(х ) формула корытылатын формула болады.
Баскаша айтканда: Егер |=А=»Ф(х) болса, онда |=A=>Vx Ф(х)
немесе А|— УхФ(х) яки
— --- .
ЧхФ{х)
Бул ережеш квантормен байланудын 6ipiHUii ережеа (КББЕ1 деп
атайды. Айтылмыш ережеш, кэбшесе, «жалпылык кванторымен байлау
ережеа» (ЖКБЕ) деп немесе «жаппылау ережеа) (ЖЕ) деген сэзбен де
атайды. Kefi6ip логикалык шыгармалары «жалпылык квантормен байлау
ережеа'» деген сездщ орнына «V кванторын енп’зу ережеа» деген сэз де
колданылады.
2-ереже. Егер Ф(х)=>А корытылатын формула болса жэне А
формуланын курамында х ерюн айнымалы болмаса, онда ЗхФ(х)=>А
формула корытылатын формула болады. Баскаша айтканда:
Егер
|=Ф(х)=>А болса, онда |=хФ(х)=эА немесе ЗхФ(х)|— А.
Бул ережеш квантормен байлаудын еюшш ережеа (КБЕЕ) деп
атайды. Айтылмыш ережеш, кэбшесе, «Бармыстык кванторымен байлау
ережеа» немесе «3 кванторын енпзу ережеа» деген сэзбен атайды.
ЗхФ(х)|— А катынаска карап, бул ережеш кейб1р репе
«кванторды тыскарылау ережеа» (КТЕ) деп атайды.
4. Нактылау (конкретпилеу) ережеа. А формула х -ке тэуелаз
болган жагдайда Ф(х)=>А формуладан ЗхФ(х)=>А формуласы логикалык
салдар ретшде корытылатын болады ягни
Ф(х)=>А
(КЕ) немесе Ф(х)=>А|— ЗхФ(х)=>А.
ЗхФ(х)=>А
299
Нактылау ережеа сейлеу тшмгаде былайша айтылады: Егер де
Ф касиетке иегерл1 х айнымалы бар болса, онда ол А касиетке де иегерш
болады.
5.
Логикалык функция енгпу ережеа.
Предикат
логикасынын аксиомалар жуйесшдеп |=VxP(x)=>P(y) формулада у ерш
айнымалы боп табылады. Сондыктан, |=VxP(x)=>P(y) формуланы у-тщ
функциясы деп карауга какымыз бар. Ал |-УхР(х)=>Р(у) болгандыктан.
Сонгы формуланы логикалык функция к о р ы т у ережеа деп
атайды (А.А.Столяр. Логическое введение в математику, Минск
«Вышейшая школа»- 1971, 145-146 беттер).
6. EipniK енгпу ережеа (БЕЕ) немесе жекелемелеу ережеа.
Алдыкгы баяндалып еткен логикалык функция корыту
ережесшдеп у-тщ орнына заттык турактынын кандай да 6ip а деген
нактыламалык мэйгн берсек, онда былайша жазуга болады:
VxP(x) I— Р(а)
Ух Р(х)
Р(а)
(БЕЕ)
(Аталмыш KiTan, 144-бет).
7.
EipniK енгпу аркылы корытындылау ережес1 (БЕ
Алдынгы баяндалган |=VxP(x)=>P(a) формуладагы VxP(x)
формуласынын
орнына
мына
формуланы
карауга
болады:
Vx[P(x)=>Q(x)]. Сонда (БЕЕ) бойынша былайжазуга болады:
VxP(x)=> Q(x)
Р(а) => Q(a)
(*)
Ал пшрлер алгебрасынан белгыи корытындылау ережеа (КЕ)
бойынша былайша жазуга болады:
Р(а) => Q(a), Р(а)
Q(a)
(**)
Осы (*) жене (♦*) формулалардан мынау шыгады:
Vx[P(x)=> Q(x)], Р(а)
Щ
(БЕКЕ)
немесе
Vx[P(x)=> Q(x)], Р(а)|— Q(a)
300
Математикалык логика пэшне «Предикаттар есептемеЫ»
(Исчисление предикатов) деген угыми ойды гылымга алгаш енпзу'ып
адам - ол логика мен математиканы формалдандыру туралы эдктщ
атасы вйпл1 Д.Гильберт болганын бурын да айтканбыз. Ол езшщ
«Математиканын непздемелер!» атты шыгармасында «Предикаттар
есептемесЬ> деп жалпы жэне дербес пайымдамалар аркылы байыргы
ойкорыту эдгстершщ баршасын формалдандыру yiuiH колдануга
болатын ережелер жуйесшщ жасалуын айтамыз» -деген .
Логика пэншде аристотелдж дэстурл1 ойкорыту немесе байыргы
ойкорыту деп субъектш-предикативтж пайым аркылы логикалык
сейлемнщ iuiK i мендшк мазмуны бойынша жасалган ойтужырымды
угатынын бшем1з. Олай болса, предикаттык есептемелер аркылы
журпзшетш корытулар мен двлелдеудш мазмундык жагына терендеп
етслуге мумюндж жасайды.
Предикаттар есептемесшдеп к о р ы т у амалы предикаттар
Формуласына предикаттык куралдар колдану аркылы журпзшетш
болалы.
Предикаттар
формуласынын
куралымында
предикаттык,
логикалык жэне жекелемелж (индивидпк) белгшемелер болады. Ал
предикаттык
куралдар
катарына:
предикаттар
логикасынын
аксиомалары, алгыламалык бершмдер, жалпы мендшп бурын
дэлелденген формулалар жэне корыту ережелер1 жатады.
Предикаттар есептемесшдеп корыту амалы бурын пшрлер
логикасынын формулалары турасында айтылган корыту амалынын
жалпыламалык жалгасы ретшде аныкталады.
Пшрлер логикасында (L-теория тшнде) «Ft, F?,..., Fn формулалардан F формула корытылады» деген тужырымдык сейлем
белгшеулер аркылы былайша жазылып керсетшетш болады: Г)— F (1).
Мундагы r={F|, F:,..., Fn} жиыны корытудын алгы шарттары деп
аталады
Предикаттар логикасында (PL- теория тшшде) r={F|,F2,...Fn}
алгышарттардан F формуланы корытып шыгару амалы былайша
аныкталады
Аныктама. Егер предикаттар логикасынын В ь Bj,..., Bm (2)
формулалары темендеп ею шартты канагаттандыратындай eTin
курылса:
1-шарт.
Вк-формулалардын
еркайсысы
не
предикаттар
ecenTeMeciHiH аксиомасы, не алдынгы бершген я корытылган
формулалардан оларга Heri3ri ею косымша корыту ережелерш колдану
аркылы корытылган болса;
2-шарт. Корытылган формулалардан (2) тобесшдеп ен сонгы
Вт формула боп шыкса (ягни Вт=В болса), онда В формула
Г=А|,А;,...Ап} - алгы шарттык формуладан корытылады дейдь Бул
аныктама былайша жазылып керсетшедк Aj, А А п |— (3) яки Г|— В
(4).
301
Ангартпа. PL - теорияда (предикаттар есептемесшде) Y топтын
мына eKi аксиомасы тагайындалган болатын:
Y|. VxP(x)=>Q(y) (V - жалпылык кванторын енпзу акс.);
Y 2. Р(у)=>Эх Q(x) - (3 - бармыстык кванторын енпзу акс.).
Осы аксиомаларга суйенш, мынадай косымша терт ереже
айтылганын есте туту шарт:
1-ереже. Егер Г|— Р(х) болса, онда Г|— VxP(x) (V - жалпылык
кванторын енпзу ережеЫ, ЖКЕЕ).
2-ереже. VxP(x)|— Р(у) (V - жалпылык кванторын тыскарылау
ережеа’, ЖКТЕ).
3-ереже. Р(у)(— ЗхР(х) (Э -бармыстык кванторын енпзу ережеа,
БКЕЕ).
4-ереже.
Егер Г, Р(х)-»А, онда Г,ЗхР(х)(— А (3- бармыстык
кванторын тыскарылау ережеа, БКТЕ).
Предикаттар есептемесшде (PL- теория тшшде) дэлелдеу
(корыту) амалын орындауга 6ip мысал кeлтipeмiз.
М ы сал. Мына корытудын д