close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3031 elmuratov s. k. elmuratova a. f osnovi nauchnih issledovaniy i planirovanie eksperimenta

код для вставкиСкачать
С. К. Ельмуратов, А . Ф . Ельмуратова
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИИ
И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
п
к
ш
р
ш
н
ц
Павлодар
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет
им. С Торайгырова
С. К. Ельмуратов, А. Ф. Ельмуратова
основы
НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ
И ПЛАНИРОВАНИЕ
ЭКСПЕРИМЕНТА
Учебное пособие
для магистрантов строительных специальностей
высших учебных заведений
Павлодар
Кереку
2014
УДК 519
ББК 38.5я73
Е56
Рекомендовано к изданию Учёным советом Павлодарского
государственного университета им. С. Торайгырова
Рецензенты:
Б. Ж. Унайбаев - д-р техн. наук, проф., ректор Екибастузского
инженерно-технического института им. К. Сатпаева;
Е. Б. Аринов - д-р ф.-м. наук, проф., заведующий кафедрой
физики и математики Жезказганского университета имени
О. А. Байконурова;
М. К. Кудерин - д-р техн. наук, проф., декан архитектурностроительного
факультета
Павлодарского
государственного
университета им. С. Торайгырова.
Ельмуратов С. К., Ельмуратова А. Ф.
Е56 Основы научных исследований и планирование эксперимента:
учебное пособие для магистрантов строительных специальностей
высших
учебных
заведений
/
С.
К.
Ельмуратов,
А. Ф. Ельмуратова. - Павлодар : Кереку, 2014. - 77 с.
18ВЫ 978-601-238-120-7
В учебном пособии излагаются основы и методы научных
теоретических и экспериментальных исследований.
Приведен пример построения планов эксперимента и методов
обработки результатов опытов.
Учебное
пособие
рекомендуется
для
магистрантов
строительных специалын
УДК 624.001.4(075.8)
ББК 38.5я73
18ВЫ 978-601-238-120-7
© Ельмуратов
© ПГУ
За достоверность материалов, грамматические и орфографические ошибки
ответственность несут авторы и составители
Ведение
В настоящее время не только сам процесс открытий и не только
процесс доведения этих открытий до приемлемой практически
реализуемой формы, но и процесс передачи и освоения результатов
научно-технического прогресса (НТО) требует участия науки. Многие
другие проблемы жизни общества, которые ранее решались на базе
интуиции или здравого смысла, на опыте поколений, сейчас требуют
активного и целенаправленного вмешательства, участия науки. Ни
один серьезный вопрос в современных условиях нельзя эффективно
решить, не опираясь на науку.
Общество не может способствовать научному прогрессу, не создав
научную теорию, научные основы управления. Явление ускорения
темпов НТО имеет конкретные, количественно оценимые формы
проявления в мире науки, например, заметно учащаются такие события,
как уточнение и обновление взглядов, тенденций, концепций, методов
исследования, принятых в той или иной конкретной научной
дисциплине. При этом происходит не только ускорение реализации
результатов исследования, но каждый раз это ускорение приводит к
качественным характеристикам, к обновлению параметров
и
возможностей технических средств.
Высокие темпы освоения нововведений необходимы, чтобы
оставить пользователю достаточно общественно необходимого времени
для получения отдачи от морально не устаревшего нововведения.
Традиционные методы исследований связаны с экспериментами,
которые требуют больших затрат, сил и средств, т.к. являются
«пассивными» — основаны на поочередном варьировании отдельных
независимых переменных в условиях, когда остальные стремятся
сохранить неизменными.
Эксперименты, как правило, являются многофакторными и связаны с
оптимизацией качества материалов, отысканием оптимальных условии
проведения технологических процессов, разработкой наиболее
рациональных конструкций оборудования и т.д. Системы, которые
служат объектом таких исследований, очень часто являются такими
сложными, что не поддаются теоретическому изучению в разумные
сроки. Поэтому, несмотря на значительный объем выполненных
научно-исследовательских
работ,
из-за
отсутствия
реальной
возможности достаточно полно изучить значительное число объектов
исследования, как следствие, многие решения принимаются на
основании информации, имеющей случайный характер, и поэтому
далеки от оптимальных.
3
Исходя из выше изложенного возникает необходимость поиска пути,
позволяющего вести исследовательскую работу ускоренными темпами
и обеспечивающим принятие решений, близких к оптимальным. Этим
путем и явились статистические методы планирования эксперимента,
предложенные английским статистиком Рональдом Фишером. Он
впервые показал целесообразность одновременного варьирования всеми
факторами в противовес широко распространенному однофакторному
Эксперименту.
Совершенствование высшего образования предъявляет новые
возросшие требования к знаниям молодых специалистов, их
творческому развитию, умению находить наиболее рациональные
конструктивные, технологические, организационные и экономические
решения; хорошо ориентироваться в отборе научной информации;
ставить и решать различные принципиально новые вопросы.
Выполнение поставленных задач возможно в случае вооружения
молодых специалистов новейшими знаниями в области научных
исследований. Это обязывает высшую школу широко привлекать
магистрантов к проведению научных исследований . Важным этапом
развития высшей школы является введение в учебный процесс нового
предмета ” Основы научных исследований ", в котором рассматри­
ваются методология и методы научных исследований, а также
способы их организации.
" Основы научных исследований " обязывает всех магистрантов
освоить элементы
методики
научных
исследований, что
способствует развитию рационального творческого мышления;
организации их оптимальной мыслительной деятельности. В результате
изучения теоретического курса и выполнения исследований по
выбранной теме магистрант должен освоить методологию и методику
научных исследований, а также уметь отбирать и анализировать
необходимую информацию, формулировать цель
и
задачи,
разрабатывать теоретические предпосылки, планировать и проводить
эксперимент, отрабатывать результаты измерений и оценивать
погрешности и наблюдения, сопоставлять результаты эксперимента с
теоретическими предпосылками.
Решению всех этих проблем и
посвящено настоящее учебное пособие.
4
1 Теоретические и эмпирические исследования
Наука - сфера исследовательской деятельности, направленная на
получение новых знании о природе, обществе и мышлении.
Являясь следствием общественного разделения труда, наука
возникает вслед за отделением умственного труда от физического и
превращением познавательной деятельности в специфический род
занятий особой группы людей.
Необходимость научного подхода в материальном производстве, в
экономике и в политике, в сфере управления и в системе образования
заставляет науку развиваться более быстрыми темпами, чем любую
другую отрасль деятельности.
1.1
Цели, задачи и стадии теоретических исследований
Целью теоретических исследований является выделение в процессе
синтеза знаний существенных связей между исследуемым объектом и
окружающей средой,
объяснение и обобщение результатов
эмпирического исследования, выявление общих закономерностей и их
формализация.
Задачами теоретического исследования являются:
- обобщение результатов исследования, наховдение общих
закономерностей путем обработки и интерпретации опытных данных;
- расширение результатов исследования на ряд подобных объектов
без повторения всего объема исследований;
- изучение объекта, недоступного для непосредственного
исследования;
- повышение надежности экспериментального исследования
объекта (обоснования параметров и условий наблюдения, точности
измерений).
Теоретические исследования включают:
- анализ физической сущности процессов, явлений;
- формулирование гипотезы исследования;
- построение (разработка) физической модели;
- проведение математического исследования;
- анализ теоретических решений;
- формулирование выводов.
Если не удается выполнить математическое исследование, то
формулируется рабочая гипотеза в словесной форме с привлечением
графиков, таблиц и т.д.
В технических науках необходимо стремиться к применению
математической формализации выдвинутых гипотез и выводов.
5
В процессе, теоретических исследований приходится непрерывно
ставить и решать разнообразные по типам и сложности задачи в форме
противоречий теоретических моделей, требующих разрешения.
Структурно любая задача включает условия и требования
Условия - это определение информационной системы, из которой
следует исходить при решении задачи.
Требования - это цель, к которой нужно стремиться в результате
решения.
Условия и требования могут быть исходными, привлеченными и
ИСКОВЫМИ.
~
Исходные условия даются в первоначальной формулировке задачи
(исходные данные). Если их оказывается недостаточно для решения
задачи, то исследователь вынужден привлекать новые данные,
называемые привлеченными.
Искомые данные или искомые условия - это привлеченные
условия, которые требуется отыскать в процессе решения задачи.
Процесс проведения теоретических исследований состоит обычно
из нескольких стадий.
Оперативная стадия включает проверку возможности устранения
технического противоречия, оценку возможных изменений в среде,
окружающей объект, анализ возможности переноса решения задачи из
других отраслей знания или использования «прообразов» природы.
Вторая стадия исследования является синтетической, в процессе
которой определяется влияние изменения одной части объекта на
построение других его частей, определяются необходимые изменения
других объектов, работающих совместно с данным, оценивается
возможность применения найденной технической идеи при решении
других задач.
Выполнение названных предварительных стадий дает возможность
приступить к стадии постановки задачи, в процессе которой
определяется конечная цель решения задачи, выбирается наиболее
эффективный путь ее решения и определяются требуемые
количественные показатели.
Постановка задачи является наиболее трудной частью ее решения.
Преобразование в начале расплывчатой формулировки задачи в четкую,
определенную часто облегчает решение задач.
Аналитическая стадия включает определение идеального конечного
результата, выявляются помехи, мешающие получению идеального
результата, и их причины, определяются условия, обеспечивающие
получение идеального результата с целью найти, при каких условиях
исчезнет «помеха».
6
Теоретическое исследование завершается формированием теории,
не обязательно связанной с построением ее математического аппарата.
Теория проходит в своем развитии различные стадии от качественного
объяснения и количественного измерения процессов до их
формализации и в зависимости от стадии может быть представлена как
в виде качественных правил, так и в виде математических уравнений
(соотношений).
1.2 Выбор направления научного исследования и этапы
научно-исследовательской работы
Цель научного исследования - всестороннее, достоверное изучение
объекта, процесса или явления; их структуры, связей и отношений на
основе разработанных в науке принципов и методов познания, а также
получение и внедрение в производство (практику) полезных для
человека результатов.
Любое научное исследование имеет свой объект и предмет.
Объектом научного исследования является материальная или
идеальная система.
Предмет —это структура системы, закономерности взаимодействия
элементов внутри системы и вне ее, закономерности развития,
различные свойства, качества и т.д.
Научные исследования классифицируются по видам связи с
общественным производством и степени важности для народного
хозяйства; целевому назначению; источникам финансирования и
длительности ведения исследования.
По видам связи с общественным производством научные
исследования подразделяются на работы, направленные на создание
новых технологических процессов, машин, конструкций, повышение
эффективности производства, улучшение условий труда, развитие
личности человека и т.п.
По целевому назначению выделяют три вида научных
исследований: фундаментальные, прикладные и разработки.
Фундаментальные исследования направлены на открытие и
изучение новых явлений и законов природы, на создание новых
принципов исследования. Их целью является расширение научного
знания общества, установление того, что может быть использовано в
практической деятельности человека.
Такие исследования ведутся на границе известного и неизвестного,
обладают наибольшей степенью неопределенности.
Прикладные исследования направлены на нахождение способов
использования
законов
природы
для
создания
новых
и
7
совершенствования существующих средств и способов человеческой
деятельности. Их цель - установление того, как можно использовать
научные знания, полученные в результате фундаментальных
исследований, в практической деятельности человека.
В результате прикладных исследований на основе научных
понятий создаются технические понятия. Прикладные исследования, в
свою очередь, подразделяются на поисковые, научно-исследовательские
и опытно-конструкторские работы.
Поисковые исследования направлены на установление факторов,
влияющих на объект, отыскание путей создания новых технологий и
техники
на основе способов, предложенных
в результате
фундаментальных
исследований.
В
результате
научноисследовательских работ создаются новые технологии, опытные
установки, приборы и т.п.
Целью
опытно-конструкторских
работ
является
подбор
конструктивных характеристик, определяющих логическую основу
конструкции.
В результате фундаментальных и прикладных исследований
формируется новая научная и научно-техническая информация.
Целенаправленный процесс преобразования такой информации в
форму, пригодную для освоения в промышленности, обычно называется
разработкой. Она направлена на создание новой техники, материалов,
технологии или совершенствование существующих. Конечной целью
разработки является подготовка материалов прикладных исследований
к внедрению.
Каждую научно-исследовательскую работу можно отнести к
определенному направлению.
Под научным направлением понимается наука или комплекс наук,
в области которых ведутся исследования. В связи с этим различают:
техническое,
биологическое,
социальное,
физико-техническое,
историческое и т.п. направления с возможной последующей
детализацией.
Основой научного направления является специальная наука или
ряд специальных наук, входящих в ту или иную научную отрасль, а
также специальные методы исследования и технические устройства.
Структурными единицами научного направления являются
комплексные проблемы, проблемы, темы и научные вопросы.
Комплексная проблема представляет собой совокупность проблем,
объединенных единой целью.
Проблема — это совокупность сложных теоретических и
практических задач, решения которых назрели в обществе.
8
Тема научного исследования является составной частью проблемы.
В результате исследований по теме получают ответы на определенный
круг научных вопросов, охватывающих часть проблемы.
Обобщение результатов ответов по комплексу тем может дать
решение научной проблемы.
Под научными вопросами обычно понимаются мелкие научные
задачи, относящиеся к конкретной теме научного исследования.
Научно-исследовательская работа выполняется в определенной
последовательности:
1 ) вначале формулируется сама тема в результате общего
ознакомления с проблемой, в рамках которой предстоит выполнить
исследование и разрабатывается основной исходный предплановый
документ - технико-экономическое обоснование (ТЭО) темы.
При этом указываются причины разработки (ее обоснование),
приводится краткий литературный обзор, в котором описываются уже
достигнутый уровень исследований и ранее полученные результаты.
Особое внимание уделяется еще не решенным вопросам, обоснованию,
актуальности и значимости работы для отрасли и народного хозяйства
страны. Такой обзор позволяет наметить методы решения, задачи и
этапы исследования, определить конечную цель выполнения темы.
Сюда входят
патентная
проработка темы
и
определение
целесообразности закупки лицензий.
На
стадии
составления
ТЭО
устанавливается
область
использования ожидаемых результатов НИР, возможность их
практической
реализации
в
данной
отрасли,
определяется
предполагаемый (потенциальный) экономический эффект за период
применения новой техники (зависящей от продолжительности
разработки НИР и ОКР, этапов завершения и внедрения отдельных
вопросов). Кроме экономического эффекта в ТЭО указываются
предполагаемые социальные результаты (рост производительности
труда, качества продукции, повышение уровня безопасности и
производственной санитарии, обеспечение охраны природы и
окружающей среды).
В результате составления ТЭО делается вывод о целесообразности
и необходимости выполнения НИР и ОКР;
2 ) целью теоретических исследований является изучение
физической сущности предмета. В результате обосновывается
физическая модель, разрабатываются математические модели и
анализируются
полученные
таким
образом
предварительные
результаты;
3 ) перед организацией
экспериментальных
исследований
9
разрабатываются задачи, выбираются методика и программы
эксперимента. Его эффективность существенно зависит от выбора
средств измерений.
При решении этих задач
необходимо
руководствоваться инструкциями и ГОСТами.
Принимаемые методические решения формулируются в виде
методических указаний на проведение эксперимента;
4) после разработки методик исследования составляется рабочий
план, в котором указываются объем экспериментальных работ, методы,
техника, трудоемкость и сроки;
5) После завершения теоретических и экспериментальных
исследований проводится общий анализ полученных результатов,
осуществляется сопоставление гипотезы с результатами эксперимента.
В результате анализа расхождений уточняются теоретические модели. В
случае необходимости проводятся дополнительные эксперименты.
Затем формулируются научные и производственные выводы,
составляется научно-технический отчет;
6) следующим этапом разработки темы является внедрение
результатов исследовании в производство и определение их
действительной экономической эффективности.
Успешное выполнение перечисленных этапов работы дает
возможность представить образец к государственным испытаниям, в
результате которых образец запускается в серийное производство.
Разработчики при этом осуществляют контроль и дают консультации.
Внедрение завершается оформлением акта экономической
эффективности результатов исследования.
Оценку народнохозяйственной необходимости разработки тем
необходимо определять численными критериями, простейшим из
которых является критерий экономической эффективности
Зи
где Эп - предполагаемый экономический эффект от внедрения;
Зи - затраты на научные исследования.
Чем больше значение к 3 , тем выше ее народнохозяйственная
эффективность темы.
Однако критерий к 3 не учитывает объем внедряемой продукции,
период внедрения, поэтому более объективным является критерий,
вычисляемый по формуле
10
ь
’
с
г
Ш
-
где С р - стоимость продукции за год после освоения научного
исследования и внедрения в производство;
Т - продолжительность производственного внедрения в годах;
3(9 - общие затраты на выполнение научного исследования.
Экономичность является важнейшим критерием перспективности
темы. Однако при оценке крупных тем этого критерия оказывается
недостаточным и требуется более общая оценка, учитывающая и другие
показатели. В этом случае часто используется экспертная оценка,
которая
выполняется
специально
подобранным
составом
высококвалифицированных экспертов.
Современное общество во всех его элементах и во всех видах его
деятельности пронизано влиянием науки и техники. В наши дни наука
становится во все большей мере производительной силой общества.
Технические науки есть специфическая система знания о
целенаправленном преобразовании природных тел и процессов в
технические
объекты,
о
методах
конструктивно-технической
деятельности, а также о способах функционирования технических
объектов в системе общественного производства.
1.3 Методы теоретических и эмпирических исследований
Метод - это способ достижения цели, который объединяет
субъективные и объективные моменты познания.
Метод объективен, так как в разрабатываемой теории позволяет
отражать действительность и ее взаимосвязи. Таким образом, метод
является программой построения и практического применения теории.
Одновременно метод субъективен, так как является орудием
мышления исследователя и в качестве такового включает в себя его
субъективные особенности.
Методы можно разделить на:
- общенаучные (т.е. для всех наук);
- частные (т.е. для определенных наук);
- специальные или специфические (для данной науки).
Такое разделение методов всегда условно, так как по мере развития
познания один научный метод может переходить из одной категории в
другую.
К общенаучным методам относятся: наблюдение, сравнение, счет,
измерение, эксперимент, обобщение, абстрагирование, формализация.
11
анализ и синтез, индукция и дедукция, аналогия, моделирование,
идеализация, ранжирование, а также аксиоматический, гипотетический,
исторический и системные методы.
Наблюдение - это способ познаний объективного мира,
основанный на непосредственном восприятии предметов и явлений при
помощи органов чувств без вмешательства в процесс со стороны
исследователя.
Сравнение - это установление различия между объектами
материального мира или нахождение в них общего, осуществляемое как
при помощи органов чувств, так и при помощи специальных устройств.
Счет - это нахождение числа, определяющего количественное
соотношение
однотипных
объектов
или
их
параметров,
характеризующих те или иные свойства.
Измерение - это физический процесс определения численного
значения некоторой величины путем сравнения ее с эталоном.
Эксперимент - одна из сфер человеческой практики, в которой
подвергается проверке истинность выдвигаемых гипотез или
выявляются закономерности объективного мира.
В процессе эксперимента исследователь вмешивается в изучаемый
процесс с целью познания, при этом одни условия опыта изолируются,
другие исключаются, третьи усиливаются или ослабляются.
Экспериментальное изучение объекта или явления имеет определенные
преимущества по сравнению с наблюдением, так как позволяет изучать
явления в «чистом виде» при помощи устранения побочных факторов.
Обобщение - определение общего понятия, в котором находит
отражение главное, основное, характеризующее объекты данного
класса. Это средство для образования новых научных понятий,
формулирования законов и теорий.
Абстрагирование - это мысленное отвлечение от несущественных
свойств, связей, отношений предметов и выделение нескольких сторон,
интересующих исследователя. Оно, как правило, осуществляется в два
этапа. На первом этапе определяются несущественные свойства, связи и
т.д. На втором - исследуемый объект заменяют другим, более простым,
представляющим собой упрощенную модель, сохраняющую главное в
сложном.
Формализация - отображение объекта или явления в знаковой
форме какого-либо искусственного языка (математики, химии и т.д) и
обеспечение возможности исследования реальных объектов и их
свойств через формальное исследование соответствующих знаков.
Аксиоматический метод —способ построения научной теории, при
котором некоторые утверждения (аксиомы) принимаются без
12
доказательств и затем используются для получения остальных знании
по определенным логическим правилам.
Анализ —метод познания при помощи расчленения или разложения
предметов исследования (объектов, свойств и т.д.) на составные части.
В связи с этим анализ составляет основу аналитического метода
исследований.
Синтез - соединение отдельных сторон предмета в единое целое.
Анализ и синтез взаимосвязаны, они представляют собой единство
проти воп оложностей.
Важными понятиями в теории познания являются: индукция умозаключение от фактов к некоторой гипотезе (общему утверждению)
и дедукция —умозаключение, в котором вывод о некотором элементе
множества делается на основании знания общих свойств всего
множества.
Таким образом, дедукция и индукция - взаимообратные методы
познания, широко использующие частные методы формальной логики.
Одним из методов научного познания является аналогия,
посредством которой достигается знание о предметах и явлениях на
основании того, что они имеют сходство с другими. Аналогия тесно
связана с моделированием или модельным экспериментом.
Гипотетический метод познания предполагает разработку научной
гипотезы на основе изучения физической, химической и т.п. сущности
исследуемого явления с помощью описанных выше способов познания
и затем формулирование гипотезы, составление расчетной схемы
алгоритма (модели), ее изучение, анализ, разработка теоретических
положений.
При гипотетическом методе познания исследователь нередко
прибегает к идеализации - это мысленное конструирование объектов,
которые практически неосуществимы (например, идеальный газ,
абсолютно твердое тело). В результате идеализации реальные объекты
лишаются некоторых присущих им свойств и наделяются
гипотетическими свойствами.
При исследованиях сложных систем с многообразными связями,
характеризуемыми как непрерывностью и детерминированностью, так и
дискретностью и случайностью, используются системные методы
(исследование операций, теория массового обслуживания, теория
управления, теория множеств и др.).
В настоящее время такие методы получили широкое
распространение в значительной степени в связи с развитием ЭВМ.
13
Разнообразные методы научного познания условно подразделяются
на ряд уровней: эмпирический, экспериментально-теоретический,
теоретический и метатеоретический уровни.
Методы эмпирического уровня: наблюдение, сравнение, счет,
измерение, анкетный опрос, собеседование, тесты, метод проб и
ошибок.Методы этой группы конкретно связаны с изучаемыми
явлениями и используются на этапе формирования научной гипотезы.
Методы экспериментально-теоретического уровня: эксперимент,
анализ и синтез, индукция и дедукция, моделирование, гипотетический,
исторический и логические методы.
Эти методы помогают исследователю обнаружить те или иные
достоверные факты, объективные проявления
в протекании
исследуемых процессов. С помощью этих методов производится
накопление фактов, их перекрестная проверка.
Методы теоретического уровня: абстрагирование, идеализация,
формализация, анализ и синтез, индукция и дедукция, аксиоматика,
обобщение и т.д.
На теоретическом уровне производятся логическое исследование
собранных фактов, выработка понятий, суждений, делаются
умозаключения.
На теоретическом уровне научное мышление освобождается от
эмпирической описательности, создает теоретические обобщения.
Таким образом, новое теоретическое содержание знаний надстраивается
над эмпирическими знаниями.
К методам метатеоретического уровня относят диалектический
метод и метод системного анализа.
С помощью этих методов исследуются сами теории ^ и
разрабатываются пути их построения, изучается система положений и
понятий данной теории, устанавливаются границы ее применения,
способы
введения
новых
понятий,
обосновываются
пути
синтезирования нескольких теорий.
При изучении сложных, взаимосвязанных друг с другом проблем
используется системный анализ, получивший широкое применение в
различных сферах научной деятельности человека, и в частности в
логике, математике, общей теории систем и т.д.
В основе системного анализа лежит понятие системы, под которой
понимается множество объектов (компонентов), обладающих заранее
определенными свойствами с фиксированными между ними
отношениями.
;•
7;:
На базе этого понятия производится учет связей, используются
количественные сравнения всех альтернатив для того, чтобы
14
сознательно выбрать наилучшее решение, оцениваемое каким-либо
критерием, например измеримостью, эффективностью, надежностью и
т.п.
Системный анализ используется для исследования таких сложных
систем, как экономика отдельной отрасли,
промышленного
предприятия, объединения, при планировании и организации
технологии комплексных строительных процессов, выполняемых
несколькими строительными организациями, и др.
Системный анализ складывается из основных четырех этапов:
Первый заключается в постановке задачи - определяют объект,
цели и задачи исследования, а также критерии для изучения и
управления объектом. Неправильная или неполная постановка целей
может свести на нет результаты всего последующего анализа.
Во время второго этапа очерчиваются границы изучаемой системы
и определяется ее структура. Объекты и процессы, имеющие отношение
к поставленной цели, разбиваются на собственно изучаемую систему и
внешнюю среду.
Третий, важнейший этап системного анализа заключается в
составлении математической модели исследуемой системы. Вначале
производят параметризацию системы, описывают выделенные элементы
системы и их взаимодействие. В зависимости от особенностей
процессов используют тот или иной математический аппарат для
анализа системы в целом.
Если исследуются сложные системы, именуемые как обобщенные
динамические системы, характеризуемые большим количеством
параметров различной природы, то в целях упрощения математического
описания их расчленяют на подсистемы, выделяют типовые
подсистемы, производят стандартизацию связей для различных уровней
иерархии однотипных систем.
В результате третьего этапа системного анализа формируются
законченные математические модели системы, описанные на
формальном, например алгоритмическом, языке.
Четвертый этап - анализ полученной математической модели,
определение ее экстремальных условий с целью оптимизации и
формулирование выводов.
Оптимизация
заключается
в
нахождении
оптимума
рассматриваемой функции (математической модели исследуемой
системы, процесса) и соответственно нахождения оптимальных условий
поведения данной системы или протекания данного процесса. Оценку
оптимизации производят по критериям, принимающим в таких случаях
экстремальные значения.
15
2 Экспериментальные исследования
2.1 Классификация, типы и задачи эксперимента
Важнейшей составной частью научных исследованииявляеягся
эксперимент, основой которого является научно поставленный опыт
точно учитываемыми и управляемыми условиями.
Само слово эксперимент происходит от лат. ехрептепШ т - проба,
ОПЫТ.
В научном языке и исследовательской работе термин
«эксперимент» обычно используется в значении, обш емдляцелогоряд
сопряженных
понятий:
опыт,
целенаправленное
«бпю ие,
воспроизведение объекта познания, организация особых условии его
постановка о „ ь т ,в
и
наблюдение „осле^ем ого явления в 1
п т и п П Я Ю Ш И Х С Л с Д И 1 Ь за
-----------
позволяющил М А
г
^
понятие «эксперимент»
при повторении этих условии. Само по сеое ПОНМ1" с
;
означает
означает действие, направленное на создание условии
осуществления того или иного явления и по возможности наибо
частого т.е. не осложняемого другими явлениями.
^
Основной целью эксперимента являются выявление свойств
исследуемых объектов, проверка справедливости гипотез и на это
основе широкое и глубокое изучение темы научного исследованияПостановка и организация эксперимента определяются его
назначением.
Они различаются:
- по способу
искусственных);
- по целям
формирования
^ ^
условии (естественных
, -, • •
(преобразующие,
.■. ~- ■"
констатирующие,
исследования
контролирующие, поисковые, решающие),
- по организации проведения (лабораторные, натурные, полевые,
производственные и т.п.);
- по структуре изучаемых объектов и явлений (простые, сложные),
- по характеру внешних воздействий на объект исследования
(вещественные, энергетические, информационные);
- по характеру взаимодействия средства экспериментального
исследования с объектом исследования (обычный и модельный),
- по типу моделей, исследуемых в эксперименте (материальный и
мысленный);
- по контролируемым величинам (пассивный и активный);
- по числу варьируемых факторов (однофакторный
16
и
многофакторный);
- по характеру изучаемых объектов или явлений (технологические,
социометрические) и т.п.
Для классификации могут быть использованы и другие признаки.
Естественный эксперимент предполагает проведение опытов в
естественных условиях существования объекта исследования (чаще
всего используется в биологических, социальных, педагогических и
психологических науках).
Искусственный
эксперимент
предполагает
формирование
искусственных условий (широко применяется в естественных и
технических науках).
Преобразующий (созидательный) эксперимент включает активное
изменение структуры и функций объекта исследования в соответствии с
выдвинутой гипотезой, формирование новых связен и отношений
между компонентами объекта или между исследуемым объектом и
другими объектами. Исследователь в соответствии со вскрытыми
тенденциями развития объекта исследования преднамеренно создает
условия, которые должны способствовать формированию новых
свойств и качеств объекта.
Констатирующий эксперимент используется для проверки
определенных предположений. В процессе этого эксперимента
констатируется наличие определенной связи между воздействием на
объект исследования и результатом, выявляется наличие определенных
фактов.
Контролирующий эксперимент сводится к контролю за
результатами внешних воздействий на объект исследования с учетом
его состояния, характера воздействия и ожидаемого эффекта.
Поисковый эксперимент проводится в том случае, если затруднена
классификация факторов, влияющих на изучаемое явление вследствие
отсутствия достаточных предварительных (априорных) данных. По
результатам поискового эксперимента устанавливается значимость
факторов, осуществляется отсеивание незначимых.
Решающий эксперимент ставится для проверки справедливости
основных положений фундаментальных теорий в том случае, когда две
или несколько гипотез одинаково согласуются со многими явлениями.
Это согласие приводит к затруднению, какую именно из гипотез считать
правильной.
Решающий эксперимент дает такие факты, которые согласуются с
одной из гипотез и противоречат другой.
Лабораторный эксперимент проводится в лабораторных условиях с
применением типовых приббров, специальных моделирующих
,7
установок, стендов, оборудования и т.д.
Чаще всего в лабораторном эксперименте изучается не сам объект,
а его образец. Этот эксперимент позволяет доброкачественно, с
требуемой повторностью изучить влияние одних характеристик при
варьировании других, получить хорошую научную информацию с
минимальными затратами времени и ресурсов. Однако такой
эксперимент не всегда полностью моделирует реальный ход изучаемого
процесса, поэтому возникает потребность в проведении натурного
эксперимента.
Натурный эксперимент проводится в естественных условиях и на
реальных объектах. Этот вид эксперимента часто используется в
процессе натурных испытаний изготовленных систем. В зависимости от
места проведения испытаний натурные эксперименты подразделяются
на производственные, полевые, полигонные, полунатурные и т.п.
Практически во всех случаях основная научная проблема
натурного эксперимента - обеспечить достаточное соответствие
(адекватность) условий эксперимента реальной ситуации, в которой
будет работать впоследствии создаваемый объект.
Центральными задачами натурного эксперимента являются:
- изучение характеристик воздействия среды на испытуемый
объект;
- идентификация статистических и динамических параметров
объекта;
- оценка эффективности функционирования объекта и проверка его
на соответствие заданным требованиям.
Эксперименты могут быть открытыми и закрытыми, они широко
распространены в психологии, социологии, педагогике. В открытом
эксперименте его задачи открыто объясняются испытуемым,
в закрытом — в целях получения объективных данных эти задачи
скрываются от испытуемого.
Простой эксперимент используется для изучения объектов, не
имеющих разветвленной структуры, с небольшим количеством
взаимосвязанных и взаимодействующих элементов, выполняющих
простейшие функции.
В сложном эксперименте изучаются явления или объекты с
разветвленной структурой (можно выделить иерархические уровни) и
большим количеством взаимосвязанных и взаимодействующих
элементов, выполняющих сложные функции. Высокая степень
связности элементов приводит к тому, что изменение состояния какоголибо элемента или связи влечет за собой изменение состояния многих
других элементов системы. В сложных объектах исследования
18
возможно наличие нескольких разных структур, нескольких разных
целей.
Информационный эксперимент используется для изучения
воздействия определенной (различной по форме и содержанию)
информации на объект исследования (чаще всего информационный
эксперимент используется в биологии, психологии, социологии,
кибернетике и т.п.). С помощью этого эксперимента изучается
изменение состояния объекта исследования под влиянием сообщаемой
ему информации.
Вещественный эксперимент предполагает изучение влияния
различных вещественных факторов на состояние объекта исследования.
Например, влияние различных добавок на качество стали и т.п.
Энергетический эксперимент
используется для
изучения
воздействия
различных
видов
энергии
(электромагнитной,
механической, тепловой и т.д.) на объект исследования. Этот тип
эксперимента широко распространен в естественных науках.
Обычный
(или
классический)
эксперимент
включает
экспериментатора как познающего субъекта; объект или предмет
экспериментального исследования и средства (инструменты, приборы,
экспериментальные установки), при помощи которых осуществляется
эксперимент.
В обычном эксперименте экспериментальные средства
непосредственно взаимодействуют с объектом исследования. Они
являются посредниками между экспериментатором и объектом
исследования.
Модельный эксперимент в отличие от обычного имеет дело с
моделью исследуемого объекта.
Модель входит в состав
экспериментальной установки, замещая не только объект исследования,
но часто и условия, в которых изучается некоторый объект,
Модельный
эксперимент
при
расширении
возможностей
экспериментального исследования одновременно имеет и ряд
недостатков, связанных с тем, что различие между моделью и реальным
объектом может стать источником ошибок и, кроме того, экстраполяция
результатов изучения поведения модели на моделируемый объект
требует дополнительных затрат времени и теоретического обоснования
правомочности такой экстраполяции.
Различие между орудиями эксперимента при моделировании
позволяет выделить мысленный и материальный эксперимент.
Орудиями мысленного (умственного) эксперимента являются
мысленные модели исследуемых объектов или явлений (чувственные
образы, образно-знаковые модели, знаковые модели). Для обозначения
19
мысленного
эксперимента
иногда
пользуются
терминами:
идеализированный или воображаемый эксперимент.
Мьюленный эксперимент является одной из форм умственной
деятельности
познающего
субъекта,
в
процессе
которой
воспроизводится в воображении структура реального э^ еРиме^
Структура мысленного эксперимента включает, построение
мысленной модели объекта исследования, идеализированных условии
эксперимента и воздействий на объект; сознательное и планомерное
изменение, комбинирование условий эксперимента и воздействии на
объект; сознательное и точное применение на всех стадиях
эксперимента объективных законов науки, благодаря чему исключается
абсолютный произвол. В результате такого эксперимента формируются
ВЫВОДЫ.
структуру
в материальном эксперименте используются материальные, а не
идеальные объемы исследования. Основное отличие материального
эксперимента от мысленного в том, что реальный эксперимент
представляет собой форму объективной материальной связи сознания с
внешним миром, между тем как мысленный эксперимент является
специфической формой теоретической деятельности субъекта.
Пассивный эксперимент предусматривает измерение только
выбранных показателей (параметров, переменных) в результате
наблюдения за объектом без искусственного вмешательства в его
функционирование.
Примерами пассивного эксперимента является наблюдение за:
- интенсивностью, составом, скоростями движения транспортных
потоков;
- числом заболеваний вообще или какой-либо определенной
болезнью;
- работоспособностью определенной группы лиц;
- показателями, изменяющимися с возрастом;
- числом дорожно-транспортных происшествий и т.п.
Пассивный эксперимент, по существу, является наблюдением,
которое сопровождается инструментальным измерением выбранных
показателей состояния объекта исследования.
Активный эксперимент связан с выбором специальных входных
сигналов (факторов) и контролирует вход и выход исследуемой
системы.
Однофакторный эксперимент предполагает:
- выделение нужных факторов;
- стабилизацию мешающих факторов;
20
поочередное варьирование интересующих исследователя
факторов.
Стратегия многофакторного эксперимента состоит в том, что
варьируются все переменные сразу и каждый эффект оценивается по
результатам всех опытов, проведенных в данной серии экспериментов.
Технологический эксперимент направлен на изучение элементов
технологического процесса (продукции, оборудования, деятельности
работников и т.п.) или процесса в целом.
Социометрический эксперимент используется для измерения
существующих
межличностных,
социально-психологических
отношений в малых группах с целью их последующего изменения.
Для проведения эксперимента любого типа необходимо:
- разработать гипотезу, подлежащую проверке;
- создать программы экспериментальных работ;
определить способы и приемы вмешательства в объект
исследования;
обеспечить
условия
для
осуществления
процедуры
экспериментальных работ;
- разработать пути и приемы фиксирования хода и результатов
эксперимента;
- подготовить средства эксперимента (приборы, установки, модели
и т.п.);
обеспечить эксперимент необходимым обслуживающим
персоналом.
2.2 Методика проведения эксперимента
Особое значение имеет правильная разработка методик
эксперимента.
Методика — это совокупное и. мыслительных и физических
операций, размещенных в определенной последовательности, в
соответствии с которой достигается цель исследования.
При разработке методик проведения эксперимента необходимо
предусматривать:
- проведение предварительного целенаправленного наблюдения
над изучаемым объектом или явлением с целью определения исходных
данных (гипотез, выбора варьирующих факторов);
- создание условий, в которых возможно экспериментирование
(подбор объектов для экспериментального воздействия, устранение
влияния случайных факторов);
- определение пределов измерений; систематическое наблюдение за
ходом развития изучаемого явления и точные описания фактов;
21
- проведение систематической регистрации измерений и оценок
фактов различными средствами и способами;
- создание повторяющихся ситуаций, изменение характера условии
и перекрестные воздействия, создание усложненных ситуаций с целью
подтверждения или опровержения ранее полученных данных;
- переход от эмпирического изучения к логическим обобщениям, к
анализу и теоретической обработке полученного фактического
материала.
Л
Перед каждым экспериментом составляется его план (программа;,
который включает:
- цель и задачи эксперимента;
- выбор варьирующих факторов;
- обоснование объема эксперимента, числа опытов;
- порядок реализации опытов, определение последовательности
изменения факторов;
- выбор шага изменения факторов, задание интервалов между
будущими экспериментальными точками;
- обоснование средств измерений;
- описание проведения эксперимента;
- обоснование способов обработки и анализа результатов
эксперимента.
Результаты экспериментов должны отвечать трем статистическим
требованиям:
- требование эффективности оценок, т.е. минимальность дисперсии
отклонения относительно неизвестного параметра;
- требование состоятельности оценок, т.е. при увеличении числа
наблюдений оценка параметра должна стремиться к его истинному
значению;
^ "
V ..... * , .
- требование несмещенности оценок М отсутствие систематических
ошибок в процессе вычисления параметров.
Важнейшей проблемой при проведении и обработке эксперимента
является совместимость этих трех требований.
При разработке плана-программы эксперимента всегда необходимо
стремиться к его упрощению, наглядности без потери точности и
достоверности. Это достигается предварительным анализом и
сопоставлением результатов измерений одного и того же параметра
различными техническими средствами, а также методов обработки
полученных результатов.
22
3 Планирование эксперимента
3.1 Основные понятия и определения
Применение планирования эксперимента делает поведение
экспериментатора целенаправленным и организованным, существенно
способствует повышению производительности его труда и надежности
полученных результатов. Важным достоинством метода является его
универсальность, пригодность в огромном большинстве областей
исследования, интересующих современного человека. Интерес
исследователей к планированию эксперимента вполне понятен,
перспектива сократить число опытов, найти оптимум, получить
количественные оценки влияния факторов и определить ошибки —
крайне привлекательна.
Но, когда экспериментатор делает попытку познакомиться с
планированием эксперимента, он часто сталкивается с серьезными
трудностями. Больше того, иногда он просто неверно применяет методы
планирования или выбирает не самый оптимальный для данной
ситуации путь исследования, или допускает еще какие-нибудь досадные
ошибки. При этом снижается эффективность его работы и появляется
опасность дискредитации важного и полезного направления.
Большинство научных исследований связано с экспериментом. Он
проводится в лабораториях, на производстве, на опытных полях и
участках, в клиниках и т.д. Эксперимент может быть физическим,
психологическим или модельным. Он может непосредственно
проводиться на объекте или на его модели. Модель обычно отличается
от объекта масштабом, а иногда природой.
Если модель достаточно точно описывает объект, то эксперимент
на объекте может быть заменен экспериментом на модели. В последнее
время наряду с физическими моделями все большее распространение
получают абстрактные математические модели. Можно получать новые
сведения об объекте, экспериментируя на модели, если она достаточно
точно описывает объект.
Эксперимент занимает центральное место в науке. Однако
возникает вопрос, насколько эффективно он используется. Джон
Бернал, например, отмечал, что научные исследования организуются и
проводятся настолько хаотично, что их коэффициент полезного
действия может быть оценен величиной порядка 2%. Для того чтобы
повысить эффективность исследований, требуется нечто совершенно
новое. Одним
из возможных путей
является
применение
математических
методов,
построение
математической
теории
планирования эксперимента.
23
Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и
условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения
поставленной задачи с требуемой точностью. При этом существенно
следующее:
- стремление к минимизации общего числа опытов;
- одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс, по специальным правилам —алгоритмам,
- использование математического аппарата, формализующего
многие действия экспериментатора;
- выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные
решения после каждой серии экспериментов.
Задачи, для решения которых может использоваться планирование
эксперимента, чрезвычайно разнообразны.
Поиск оптимальных условий, построение интерполяционных
формул, выбор существенных факторов, оценка и уточнение констант
теоретических моделей (например, кинетических), выбор наиболее
приемлемых из некоторого множества гипотез о механизме явлений,
исследование диаграмм состав-свойство - вот примеры задач, при
решении которых применяется планирование эксперимента. Можно
сказать, что там, где есть эксперимент, имеет место и наука о его
проведении - планирование эксперимента.
Поиск оптимальных условий является одной из наиболее
распространенных научно-технических задач. Они возникают в тот
момент, когда установлена возможность проведения процесса и
необходимо найти наилучшие (оптимальные в некотором смысле)
условия его реализации. Следует подчеркнуть, что всегда необходимо
четко формулировать, в каком смысле условия должны быть
оптимальными. Этим определяется выбор цели исследования. Точная
формулировка цели в значительной мере определяет успех
исследования.
Задачи, сформулированные аналогичным образом, называются
задачами оптимизации.
Процесс их решения называется процессом оптимизации или
просто
оптимизацией.
Выбор
оптимального
состава
многокомпонентных
смесей
или
сплавов,
повышение
производительности действующих установок, повышение качества
продукции, снижение затрат на ее получение — это примеры задач
оптимизации.
Эксперимент, который ставится для решения задач оптимизации,
называется экстремальным. Это название связано с глубокой аналогией
между оптимизацией и поиском экстремума некоторой функции.
24
Рассмотрим следующие две задачи:
1) пПрочность бетона в значительной степени определяется маркой
цемента, количеством наполнителя и количеством воды. Требуется
установить связь между прочностью бетона и названными факторами;
2 ) надежность некоторого полупроводникового прибора зависит от
ряда технологических факторов. Требуется так подобрать значения этих
факторов, чтобы надежность прибора повысилась.
Чтобы выяснить, какая из этих задач является экстремальной,
укажем на признак, отличающий экстремальные задачи. Задача является
экстремальной, если цель ее состоит в поиске экстремума некоторой
функции. Чтобы установить, какая из двух задач является
экстремальной, надо обратиться к их формулировкам и выяснить, где
удовлетворяются требования экстремальности. В задаче 1 требуется
установить связь между прочностью бетона и тремя факторами. Здесь
не определено, какая прочность является оптимальной, и не требуется
ее оптимизировать. В задаче 2 необходимо повысить надежность
прибора. Сама постановка задачи указывает на то, что существующая
надежность не удовлетворяет экспериментатора и требуется поиск
таких условий, при которых ее значения повысятся. Задачи назовем
интерполяционными, а типа 2 - экстремальными.
Определим еще ряд важных понятий, первое из которых - «объект
исследования». Для описания объекта исследования удобно
пользоваться представлением о кибернетической системе, которая
схематически изображена на рисунке. Иногда такую кибернетическую
систему называют «черным ящиком» или «черным телом».
«Црио*
пм
Рисунок 1 —Схема черного ящика
Стрелки справа изображают численные характеристики целей
исследования. Их обозначают буквой игрек (у)
и называют
параметрами оптимизации. В литературе можно встретить другие
названия: критерий оптимизации, целевая функция, выход «черного
ящика» и т.д.
25
Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность
воздействовать на поведение «черного ящика». Все способы такого
воздействия обозначают буквой икс (х) и называют входными
параметрами или факторами
При решении задачи будем использовать математические модели
объекта исследования. Под математической моделью понимают
уравнение, связывающее параметр оптимизации с факторами. Это
уравнение в общем виде можно записать так:
У
(р(Х у,
Х п) ,
где символ <р ( ), как обычно в математике, заменяет слова:
«функция от». Такая функция называется функцией отклика.
Каждый фактор может принимать в опыте одно из нескольких
значений. Такие значения будем называть уровнями. Может оказаться,
что фактор способен принимать бесконечно много значений
(непрерывный ряд). Однако на практике точность, с которой
устанавливается некоторое значение, не беспредельна. Фиксированный
набор уровней факторов (т.е. установление каждого фактора на
некоторый уровень) определяет одно из возможных состояний «черного
ящика». Одновременно это есть условия проведения одного из
возможных опытов. Если перебрать все возможные наборы состояний,
то мы получим полное множество различных состояний данного
«ящика». Одновременно это будет число возможных различных опытов.
Чтобы узнать число различных состояний, достаточно число
уровней факторов (если оно для всех факторов одинаково) возвести в
степень числа факторов к: рк, где р - число уровней. Простая система с
пятью факторами на пяти уровнях имеет 3125 состояний, а для десяти
факторов на четырех уровнях их уже свыше миллиона!
В этих условиях экспериментатор просто вынужден отказаться от
таких экспериментов, которые включают все возможные опыты.
перебор слишком велик. Тогда возникает вопрос о количестве опытов,
которые надо включить в эксперимент, чтобы решить поставленную
задачу. Этот вопрос можно решить с помощью планирования
эксперимента.
Однако нужно иметь в виду, что при планировании эксперимента
не безразлично, какими свойствами обладает объект исследования.
Укажем два основных требования, с которыми приходится считаться.
Прежде всего, существенно, воспроизводятся ли на объекте результаты
эксперимента. Выбираются некоторые уровни для всех факторов и в
этих условиях проводится эксперимент. Затем повторяют его несколько
26
раз через неравные промежутки времени и сравнивают значения
параметра оптимизации. Разброс этих значений характеризует
воспроизводимость результатов. Если он не превышает некоторой
заранее заданной величины (требований к точности эксперимента), то
объект удовлетворяет требованию воспроизводимости результатов, а
если превышает, то не удовлетворяет этому требованию. Будем
рассматривать только такие объекты, для которых требование
воспроизводимости выполняется.
Планирование эксперимента предполагает активное вмешательство
в процесс и возможность выбора в каждом опыте тех уровней факторов,
которые представляют интерес. Поэтому такой эксперимент называется
активным. Объект, на котором возможен активный эксперимент,
называется управляемым. Это и есть второе требование к объекту
исследования.
На практике нет абсолютно управляемых объектов. На реальный
объект обычно действуют как управляемые, так и неуправляемые
факторы. Неуправляемые факторы влияют на воспроизводимость
эксперимента и являются причиной ее нарушения. Если требования
воспроизводимости не выполняются, приходится обращаться к активно­
пассивному эксперименту.
Возможно, плохая воспроизводимость объясняется действием
фактора, систематически изменяющегося (дрейфующего) во времени.
Тогда нужно обращаться к специальным методам планирования.
Наконец, возможно, что все факторы неуправляемы. В этом случае
возникает задача установления связи между параметром оптимизации и
факторами по результатам наблюдений за поведением объекта, или, как
говорят, по результатам пассивного эксперимента.
Планирование экстремального эксперимента — это метод выбора
количества и условий проведения опытов, минимально необходимых
для отыскания оптимальных условий, т. е. для решения поставленной
задачи.
Важнейшей задачей методов обработки полученной в ходе
эксперимента информации является задача построения математической
модели изучаемого явления, процесса, объекта. Ее можно использовать
и при анализе процессов и при проектировании объектов. Другой
задачей обработки полученной в ходе эксперимента информации
является задача оптимизации, т.е. нахождения такой комбинации
влияющих независимых переменных, при которой выбранный
показатель оптимальности принимает экстремальное значение.
Планирование эксперимента - выбор плана эксперимента,
удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий
27
направленных на разработку стратегии экспериментирования (от
получения априорной информации до получения работоспособной
математической модели или определения оптимальных условий). Это
целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях
неполного знания механизма изучаемого явления.
Под планом эксперимента понимается совокупность данных,
определяющих число, условия и порядок реализации опытов. Под
словом опыт в данном случае имеется в виду отдельная, элементарная
часть
эксперимента.
Соответственно,
понятие
планирование
эксперимента,
определяемое
как
процесс
разработки
плана
эксперимента, включает в себя все, что делается по разработке
стратегии экспериментирования от начальных до заключительных
этапов изучения объекта исследования, т.е. от получения априорной
информации до создания работоспособной математической модел^
объекта исследования или определения оптимальных условий.
Планирование способствует значительной интенсификации труда
исследователя и сокращению затрат на эксперимент, повышению
достоверности полученных результатов исследования.
Основным математическим аппаратом теории планирования
эксперимента является теория вероятностей и математическая
статистика
Многомерное факторное пространство - это множество точек,
каждая из которых соответствует определенной комбинации факторов.
Область возможных комбинаций факторов называется областью
возможных (допустимых) планов эксперимента.
Вектор, образуемый выходными параметрами-характеристиками
свойств или качеств объекта, называют откликом, а зависимость
отклика от рассматриваемых факторов - функцией отклика.
Геометрическое представление функции отклика в факторном
пространстве называют поверхностью отклика. Функцию отклика
называют также целевой функцией, имея в виду, что при планировании
эксперимента с целью нахождения оптимальных условий она является
критерием оптимальности.
Планирование эксперимента проводится в несколько этапов:
- постановка задачи (определение цели эксперимента, выяснение
исходной ситуации, оценка допустимых затрат времени и средств,
установление типа задачи);
- сбор априорной информации (получение литературы, опрос
специалистов и т.п.);
- выбор способа решения и стратегии его реализации (установление
типа модели, выявление возможных влияющих факторов, выявление
28
выходных параметров, выбор целевых функций, создание необходимых
нестандартных технических средств, формулировка статистических
задач, выбор или разработка алгоритмов программ обработки
экспериментальных данных).
Основными концепциями современного подхода к организации
эксперимента
являются
рандомизация,
многофакторность
и
автоматизация.
Сущность рандомизации состоит в следующем. Любое
экспериментальное исследование проводится, как правило, в условиях
действия систематических ошибок и факторов, которые трудно
поддаются учету и контролю. При традиционном подходе к
эксперименту исследователи нередко пытаются отделить изучаемое
явление от мешающих факторов, как это можно сделать в
детерминированных объектах с хорошо изученной структурой.
Очевидно, что в недетерминированных объектах с огромным
количеством
случайных
факторов
ценность
эксперимента,
проведенного в особых условиях, не может быть высокой.
Концепция рандомизации предлагает принципиально новый подход
к организации выборочных данных эксперимента. План эксперимента
составляется таким образом, чтобы рандомизировать, то есть сделать
случайными в пространстве и во времени, систематически действующие
мешающие факторы. Тогда эти факторы можно рассматривать как
случайные величины и, следовательно, учесть статистически их влияние
в
значении
ошибки
эксперимента.
Иными
словами,
в
противоположность традиционному подходу к эксперименту со
стремлением стабилизировать мешающие факторы рандомизация
внесла концепцию случая в эксперимент.
Принцип
многофакторности
отражает
новый
подход
к
эксперименту в задачах с многими факторами. При изучении объектов с
несколькими факторами согласно этому принципу исследователю
предлагается ставить опыты так, чтобы варьировать все факторы сразу в
отличие от традиционного подхода, когда исследователь пытается
изучать действие каждого фактора при поочередном варьировании.
Организация эксперимента с применением многофакторных схем
варьирования позволяет повысить точностью оценок параметров
подбираемых моделей для недетерминированных объектов, точнее
оценить чувствительность выходной зависимой переменной объекта к
вариации изучаемых входных независимых переменных.
Развитие технических программных средств вычислительной
техники дает возможность говорить о новой концепции в организации
научных исследований - автоматизации эксперимента. Технические
29
средства вычислительных комплексов позволяют на качественно новом
уровне по точности, быстродействию и наглядности решать задачи
сбора, переработай и отображения информации. Программные средства
предоставляют исследователю новые возможности организации
процесса анализа данных, создания автоматически управляемой
последовательности процедур анализа, использования интерактивного
режима работы с пакетами прикладных программ.
Среди основных методов планирования, применяемых на разных
этапах исследования, используют:
- планирование отсеивающего эксперимента, основное значение
которого выделение из всей совокупности факторов группы
существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному
изучению;
- планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е.
составление планов для объектов с качественными факторами;
- планирование регрессионного эксперимента, позволяющего
получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);
- планирование экстремального эксперимента, в котором главная
задача - экспериментальная оптимизация объекта исследования;
- планирование при изучении динамических процессов и т.д.
При пассивном эксперименте существуют только факторы в виде
входных контролируемых, но неуправляемых переменных, и
экспериментатор находится в положении пассивного наблюдателя.
Задача планирования в этом случае сводится к оптимальной
организации сбора информации и решению таких вопросов, как выбор
количества и частоты измерений, выбор метода обработки результатов
измерений.
Наиболее часто целью пассивного эксперимента является
построение математической модели объекта, которая может
рассматриваться либо как хорошо, либо как плохо организованный
объект. В хорошо организованном объекте имеют место определенные
процессы, в которых взаимосвязи входных и выходных параметров
устанавливаются в виде детерминированных функций. Поэтому такие
объекты называют детерминированными. Плохо организованные или
диффузные объекты представляют собой статистические модели.
Методы исследования с использованием таких моделей не требуют
детального изучения механизма процессов и явлений, протекающих в
объекте.
Однофакторный пассивный эксперимент проводится путем
выполнения п пар измерений в дискретные моменты времени
единственного входного параметра х и соответствующих значений
30
выходного параметра у. Аналитическая зависимость между этими
параметрами
вследствие случайного характера возмущающих
воздействий рассматривается в виде зависимости математического
ожидания у от значения х , носящей название регрессионной.
Целью однофакторного пассивного эксперимента является
построение
регрессионной
модели.
Следует
отметить,
что
регрессионная модель является приближенной оценкой истинной
регрессионной зависимости. Для построения модели следует провести
обоснованный выбор аппроксимирующей функции. Критериями выбора
являются простота, удобство пользования, обеспечение требуемой
точности аппроксимации, адекватность. Адекватная регрессионная
модель позволяет предсказывать с требуемой точностью значения
выходной величины в некоторой области значений входной.
Чаще всего регрессионная модель представляется с помощью
аппроксимирующей функцией в виде полинома
у = а\ + а2 5х + —§ ат *хШ~ •
Приняв такую модель, следует определиться в порядке полинома,
после чего вычислить параметры а\, <Л2
В общем случае результаты измерения 1\ значения выходной
величины и ее значения у х определяемые регрессионной зависимостью
от входного фактора X/, не совпадают, т.е. отлична от нуля разность
Ц К р 1 — у'Х9 что связано с наличием погрешности измерения и
возмущающих воздействий. Обычно считают, что Д* не зависит от
значения у (т.е. аддитивна) и подчиняется нормальному закону
распределения с нулевым математическим ожиданием.
Если выполнено п измерений, то их результаты можно записать в
виде:
2
1_1
/ 1 = 1 а ; х { + А]
7=1
т
1-1
/2=Ха,х4 + Ш
т
Ш= I
п
31
Эта система уравнений линейна относительно
Для нахождения
оценок Щ из условия минимума А; необходимо добиться равенства
нулю всех частных производных функций по Щ. Получим систему
нормальных уравнений:
,-_1 ч »_1
и,
т
1=1
7=1
)*/
Л
=0-
Сгруппировав все коэффициенты при неизвестных в] и записав
уравнения системы в стандартном виде можно вычислить искомые
параметры а$ методом определителей.
Многофакторный пассивный эксперимент дает п значений
выходного параметра у объекта, соответствующих измерениям п
совокупностей значений выходных параметров:
X/
Х]2 г
• • •
9 %1Ь
%2Ь %22 у ••• у ^2к>
Хп], Хд2 у••• >**пкл>
где Хц - значение] входного параметра в I -м измерении,
В качестве регрессионной модели принимается линейный
многочлен вида
у = ао + Л/Х/ +(22X2+ ... +
3.2 Параметр оптимизации
При планировании экстремального эксперимента очень важно
определить параметр, который нужно оптимизировать. Сделать это
совсем не так просто, как кажется на первый взгляд. Цель исследования
должна быть сформулирована очень четко и допускать количественную
оценку. Будем называть характеристику цели, заданную количественно,
параметром оптимизации. Параметр оптимизации является реакцией
(откликом) на воздействие факторов, которые определяют поведение
выбранной
вами
системы.
Реакция
объекта
многогранна,
многоаспектна. Выбор того аспекта, который представляет наибольший
интерес, как раз и задается целью исследования.
32
При традиционном нематематическом подходе исследователь
стремится как-то учесть разные аспекты, взвесить их и принять
согласованное решение о том, какой опыт лучше. Однако разные
экспериментаторы проведут сравнение опытов неодинаково.
Прежде чем сформулировать требования к параметрам
оптимизации и рекомендации по их выбору, познакомимся с
различными видами параметров.
Виды параметров оптимизации. В зависимости от объекта и цели
исследования
параметры
оптимизации
могут
быть
весьма
разнообразными. Чтобы ориентироваться в этом многообразии, введем
некоторую классификацию. Реальные ситуации, как правило, сложны.
Они часто требуют одновременного учета нескольких, иногда очень
многих,
параметров.
В
принципе
каждый
объект
может
характеризоваться сразу всей совокупностью параметров. Движение к
оптимуму
возможно,
если
выбран
единственный
параметр
оптимизации. Тогда прочие характеристики процесса уже не выступают
в качестве параметров оптимизации, а служат ограничениями. Другой
путь - построение обобщенного параметра оптимизации как некоторой
функции от множества исходных.
Экономические параметры оптимизации, такие, как прибыль,
себестоимость и рентабельность, обычно используются при
исследовании действующих промышленных объектов, тогда как
затраты на эксперимент имеет смысл оценивать в любых
исследованиях, в том числе и лабораторных. Если цена опытов
одинакова, затраты на эксперимент пропорциональны числу опытов,
которые необходимо поставить для решения данной задачи. Это в
значительной мере определяет выбор плана эксперимента.
Среди
технико-экономических
параметров
наибольшее
распространение имеет производительность. Такие параметры, как
долговечность, надежность и стабильность, связаны с длительными
наблюдениями. Имеется некоторый опыт их использования при
изучении
дорогостоящих
ответственных
объектов,
например
радиоэлектронной аппаратуры.
Почти во всех исследованиях приходится учитывать количество и
качество получаемого продукта. Как меру количества продукта
используют выход, например, процент выхода химической реакции,
выход годных изделий.
Показатели качества чрезвычайно разнообразны. Характеристики
количества и качества продукта образуют группу технико­
технологических параметров.
33
С ростом сложности объекта возрастает роль психологических
аспектов взаимодействия человека или животного с объектом. Так, при
выборе оптимальной организации рабочего места оператора параметром
оптимизации может служить число ошибочных действий в различных
возможных ситуациях. Сюда относятся задачи выработки условных
рефлексов типа задачи «крысы в лабиринте».
При решении задачи технической эстетики или сравнении
произведений искусства возникает потребность в эстетических
параметрах.
Требования к параметру оптимизации. Параметр оптимизации это признак, по которому экспериментатор оптимизирует процесс. Он
должен быть количественным, задаваться числом. Его надо уметь
измерять при любой возможной комбинации выбранных уровней
факторов. Множество значений, которые может принимать параметр
оптимизации, называется областью его определения. Области
определения
могут
быть
непрерывными
и
дискретными,
ограниченными и неограниченными. Например, выход реакции — это
параметр оптимизации с непрерывной ограниченной областью
определения.
Уметь измерять параметр оптимизации - это значит располагать
подходящим прибором. В ряде случаев такого прибора может не
существовать или он слишком дорог. Если нет способа количественного
измерения результата, то приходится воспользоваться приемом,
называемым ранжированием (ранговым подходом). При этом
параметрам оптимизации присваиваются оценки - ранги по заранее
выбранной шкале: двухбалльной, пятибалльной и т. д. Ранговый
параметр имеет дискретную ограниченную область определения. В
простейшем случае область содержит два значения (да, нет; хорошо,
плохо). Это может соответствовать, например, годной продукции и
браку.
Ранг —это количественная оценка параметра оптимизации, но она
носит условный (субъективный) характер. Мы ставим в соответствие
качественному признаку некоторое число - ранг.
Для каждого физически измеряемого параметра оптимизации
можно построить ранговый аналог. Потребность в построении такого
аналога возникает, если имеющиеся в распоряжении исследователя
численные характеристики неточны или неизвестен способ построения
удовлетворительных численных оценок. При прочих равных условиях
всегда нужно отдавать предпочтение физическому измерению, так как
ранговый подход менее чувствителен и с его помощью трудно изучать
тонкие эффекты.
34
Параметр оптимизации должен выражаться одним числом. Еще
одно требование, связанное с количественной природой параметра
оптимизации, - однозначность в статистическом смысле. Заданному
набору значений факторов должно соответствовать одно с точностью до
ошибки эксперимента значение параметра оптимизации. (Однако
обратное неверно: одному и тому же значению параметра могут
соответствовать разные наборы значений факторов.)
Для успешного достижения цели исследования необходимо, чтобы
параметр оптимизации действительно оценивал эффективность
функционирования системы в заранее выбранном смысле. Это
требование является главным, определяющим корректность постановки
задачи.
Представление об эффективности не остается постоянным в ходе
исследования. Оно меняется по мере накопления информации и в
зависимости от достигнутых результатов. Это приводит к
последовательному подходу при выборе параметра оптимизации. Так,
например, на первых стадиях исследования технологических процессов
в качестве параметра оптимизации часто используется выход продукта.
Однако в дальнейшем, когда возможность повышения выхода
исчерпана, нас начинают интересовать такие параметры, как
себестоимость, чистота продукта и т.д.
Говоря об оценке эффективности функционирования системы,
важно помнить, что речь идет о системе в целом. Часто система состоит
из ряда подсистем, каждая из которых может оцениваться своим
локальным параметром оптимизации. При этом оптимальность каждой
из подсистем по своему параметру оптимизации «не исключает
возможности гибели системы в целом».
Мало иметь эффективный параметр оптимизации. Надо еще, чтобы
он был эффективный в статистическом смысле. Фактически это
требование сводится к выбору параметра оптимизации, который
определяется с наибольшей возможной точностью. (Если и эта точность
недостаточна, тогда приходится обращаться к увеличению числа
повторных опытов.)
Пусть, например, исследователя интересует исследование
прочностных характеристик некоторого сплава. В качестве меры
прочности можно использовать как прочность на разрыв, так и
макротвердость. Поскольку эти характеристики функционально
связаны, то с точки зрения эффективности они эквивалентны. Однако,
точность измерения первой характеристики существенно выше, чем
второй. Требование статистической эффективности заставляет отдать
предпочтение прочности на разрыв.
35
Следующее требование к параметру оптимизации
требование
универсальности или полноты. Под универсальностью параметра
оптимизации понимается его способность всесторонне характеризовать
объект. В частности, технологические параметры оптимизации
экономику,
учитывают
они
не
недостаточно универсальны:
параметры
обобщенные
например,
Универсальностью обладают,
----- ЩЩ!
оптимизации, которые строятся как функции от нескольких частных
параметров.
Желательно, чтобы параметр оптимизации имел физическии смысл,
был простым и легко вычисляемым.
Требование физического смысла связано с последующей
интерпретацией результатов эксперимента. Не представляет труда
объяснить, что значит максимум извлечения, максимум содержания
ценного компонента. Эти и подобные им технологические параметры
оптимизации имеют ясный физический смысл, но иногда для них может
не выполняться, например, требование статистической эффективности.
Тогда рекомендуется переходить к преобразованию параметра
оптимизации.
Второе требование часто также оказывается весьма существенным.
Щ
Для процессов разделения термодинамические параметры оптимизации
более универсальны. Однако на практике ими пользуются мало: их
расчет довольно труден.
Пожалуй, из этих двух требований первое является более
существенным, потому что часто удается найти идеальную
характеристику системы и сравнить ее с реальной характеристикой.
Иногда при этом целесообразно нормировать параметр с тем, чтобы он
принимал значения от нуля до единицы.
выборе
при
и
пожеланий
Кроме высказанных требований
параметра оптимизации нужно еще иметь в виду, что параметр
оптимизации в некоторой степени оказывает влияние на вид
математической модели исследуемого объекта. Экономические
параметры, в силу их аддитивной природы, легче представляются
простыми функциями, чем физико-химические показатели. Не случайно
методы линейного программирования, основанные на простых моделях,
получили широкое распространение именно в экономике. Температура
плавления сплава является, как известно, сложной, многоэкстремальной
характеристикой состава, тогда как стоимость сплава зависит от состава
линейно.
Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные
преимущества. Но на практике чаще всего приходится учитывать
несколько выходных параметров. Иногда их число довольно велико.
36
Так, например, при производстве резиновых и пластмассовых изделии
приходится
учитывать
физико-механические,
технологические,
экономические, художественно-эстетические и другие параметры
(прочность, эластичность, относительное удлинение, способность смеси
прилипать к форме и т. д.). Математические модели можно построить
для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать
несколько функций невозможно.
Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с точки
зрения цели исследования, при ограничениях, налагаемых другими
функциями. Поэтому из многих выходных параметров выбирается один
в качестве параметра оптимизации, а остальные служат ограничениями.
Всегда полезно исследовать возможность уменьшения числа выходных
параметров.
После того как выбран объект исследования и функция отклика,
нужно включить в рассмотрение все существенные факторы, которые
могут влиять на процесс. Если какой-либо существенный фактор
окажется неучтенным, то это может привести к неприятным
последствиям. Так, если неучтенный фактор произвольно флуктуировал
- принимал случайные значения, которые экспериментатор не
контролировал, - это значительно увеличит ошибку опыта. При
поддержании фактора на некотором фиксированном уровне может быть
получено ложное представление об оптимуме, так как нет гарантии, что
фиксированный уровень является оптимальным.
Если число факторов больше пятнадцати, нужно обратиться к
методам отсеивания несущественных факторов. Здесь можно
воспользоваться формализацией априорной информации, методом
случайного баланса, планами Плаккета-Бермана и др. Иногда эти планы
применяются и при меньшем числе факторов.
3.3 Определение фактора
Фактором
называется
измеряемая
переменная
величина,
принимающая в некоторый момент времени определенное значение.
Факторы соответствуют способам воздействия на объект исследования.
Каждый фактор имеет область определения. Мы будем считать
фактор заданным, если вместе с его названием указана область его
определения. Под областью определения понимается совокупность всех
значений, которые в принципе может принимать данный фактор. Ясно,
что совокупность значений фактора, которая используется в
эксперименте, является подмножеством из множества значений,
образующих область определения.
37
Область определения может быть непрерывной и дискретной.
Однако
в
задачах
планирования
эксперимента,
которые
рассматриваются в данном пособии, всегда используются дискретные
области определения. Так, для факторов с непрерывной областью
определения, таких, как температура, время, количество вещества и т.п.,
всегда выбираются дискретные множества уровней. В практических
задачах области определения факторов, как правило, ограничены.
Ограничения могут носить принципиальный либо технический
характер.
Произведем классификацию факторов в зависимости от того,
является ли фактор переменной величиной, которую можно оценивать
количественно: измерять, взвешивать, титровать и т.п., или же он некоторая переменная, характеризующаяся качественными свойствами.
Известно, что факторы разделяются на количественные и
качественные. Качественные факторы — это разные вещества, разные
технологические способы, аппараты, исполнители и т.д.
Хотя качественным факторам не соответствует числовая шкала в том
смысле, как это понимается для количественных факторов, однако
можно построить условную порядковую шкалу, которая ставит в
соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда,
т. е. производит кодирование. Порядок уровней может быть произволен,
но после кодирования он фиксируется.
В ряде случаев граница между понятием качественного и
количественного фактора весьма условна.
Требования, предъявляемые к факторам при планировании
эксперимента. При планировании эксперимента факторы должны быть
управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное
значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение всего
опыта, т.е. может управлять фактором. В этом состоит особенность
«активного» эксперимента. Планировать эксперимент можно только в
том случае, если уровни факторов подчиняются воле экспериментатора.
Чтобы
точно
определить
фактор,
нужно
указать
последовательность действий (операций), с помощью которых
устанавливаются его конкретные значения (уровни). Такое определение
фактора будем называть операциональным. Так, если фактором
является давление в некотором аппарате, то совершенно необходимо
указать, в какой точке и с помощью какого прибора оно измеряется и
как оно устанавливается. Введение операционального определения
обеспечивает однозначное понимание фактора.
С операциональным определением связаны выбор размерности
фактора и точность его фиксирования. Экспериментатор хорошо
38
ориентируется в том, какую размерность нужно использовать. Это
действительно так в тех случаях, когда существует устоявшаяся
традиция, построены измерительные шкалы, приборы, созданы эталоны
и т.д. Так обстоит дело при измерении температуры, времени, давления
и т.д. Но бывает, что выбор размерности превращается в весьма
трудную проблему выбора измерительных шкал.
Замена одной измерительной шкалы другой называется
преобразованием шкал. Оно может быть использовано для упрощения
модели объекта.
Точность замера факторов должна быть возможно более высокой.
Степень точности определяется диапазоном изменения факторов. При
изучении процесса, который длится десятки часов, нет необходимости
учитывать доли минуты, а в быстрых процессах необходимо учитывать,
быть может, доли секунды.
Факторы должны быть непосредственными воздействиями на
объект. Факторы должны быть однозначны. Трудно управлять
фактором, который, является функцией других факторов. Но в
планировании могут участвовать сложные факторы, такие, как
соотношения между компонентами, их логарифмы и т.п.
Необходимость введения сложных факторов возникает при
желании представить динамические особенности объекта в статической
форме. Пусть, например, требуется найти оптимальный режим подъема
температуры в реакторе. Если относительно температуры известно, что
она должна нарастать линейно, то в качестве фактора вместо функции (в
данном случае линейной) можно использовать тангенс угла наклона, т.е.
градиент. Положение усложняется, когда исходная температура не
зафиксирована. Тогда ее приходится вводить в качестве еще одного
фактора.
Требования к совокупности факторов. При планировании
эксперимента обычно одновременно изменяется несколько факторов.
Поэтому очень важно сформулировать требования, которые
предъявляются к совокупности факторов.
Прежде
всего,
выдвигается
требование
совместимости.
Совместимость факторов означает, что все их комбинации
осуществимы и безопасны. Это очень важное требование.
Несовместимость факторов может наблюдаться на границах областей их
определения. Избавиться от нее можно сокращением областей.
Положение усложняется, если несовместимость проявляется внутри
областей определения. Одно из возможных решений - разбиение на
подобласти и решение двух отдельных задач.
39
При планировании эксперимента важна независимость факторов,
т.е. возможность установления фактора на любом уровне вне
зависимости от уровней других факторов. Если это условие
невыполнимо, то невозможно планировать эксперимент. Отсюда
вытекает второе требование - отсутствие корреляции между факторами.
Требование некоррелированности не означает, что между значениями
факторов нет никакой связи. Достаточно, чтобы связь не была
линейной.
3.4 Выбор модели
Под моделью будем понимать вид функции отклика
У
фС^1» х 2'» •••» *к)*
Выбрать модель - значит выбрать вид этой функции, записать ее
уравнение. Тогда останется спланировать и провести эксперимент для
оценки численных значений констант (коэффициентов) этого
уравнения.
Модели бывают разные. Моделей бывает много. Чтобы выбрать
одну из них, надо понять, что мы хотим от модели, какие требования мы
к ней предъявляем.
Очевидно, что главное требование к модели — это способность
предсказывать направление дальнейших опытов, причем предсказывать
с требуемой точностью. Так как до получения модели мы не знаем,
какое направление нам понадобится, то естественно требовать, чтобы
точность предсказания во всех возможных направлениях была
одинакова.
Это значит, что в некоторой подобласти, в которую входят и
координаты выполненных опытов, предсказанное с помощью модели
значение отклика не должно отличаться от фактического больше чем на
некоторую заранее заданную величину. Модель, которая удовлетворяет
такому или какому-либо аналогичному требованию, называется
адекватной. Проверка выполнимости этого требования называется
проверкой
адекватности
модели.
Разработаны
специальные
статистические методы, с помощью которых проверяется адекватность.
Если
несколько
различных
моделей
отвечают
нужным
требованиям, то следует предпочесть ту из них, которая является самой
простой.
40
Если рассмотреть логарифмическую функцию. На некотором
отрезке [ХтП9 лгтах] она I удовлетворительной точностью описывается
двумя уравнениями:
у = 1о 8 ьх,
у = Ъх.
Но второе уравнении проще и в нем Ь — коэффициент, который
можно оценить, например, по результатам эксперимента.
Простота —вещь относительная. Если заранее не сформулировать
точно, что называется простым, а что сложным, то невозможно
произвести выбор. В дальнейшем, когда это возможно, будем искать
модель среди полиномов т к. это наиболее простой, удобный и
математически разработанный класс моделей.
Выпишем полиномы для случая двух факторов. Они будут
различаться по максимальным степеням входящих в них переменных.
Полином нулевой степени:
у = Ь0.
Полином первой степени:
У = Ъо + Ъ\Х\ + Ь2*2-
Полином второй степени:
2
у = Ь0 + Ь,XI + Ъ2Х2 + Ьп х,Х2 + Ьц X, + 1)22*2 •
Полиномиальные модели. Таким образом, неизвестная функция
отклика представлена полиномом. Операция замены одной функции
другой, в каком-то смысле эквивалентной функцией называется
аппроксимацией.
Эксперимент нужен только для того, чтобы найти численные
значения
коэффициентов
полинома.
Поэтому
чем
больше
коэффициентов, тем больше опытов окажется необходимым. А каждый
экспериментатор стремится сократить их число. Значит, надо найти
такой полином, который содержит как можно меньше коэффициентов,
но удовлетворяет требованиям, предъявленным к модели. Чем ниже
41
степень полинома при заданном числе факторов, тем меньше в нем
коэффициентов.
Вопрос в том, как выбрать подобласть в факторном пространстве,
чтобы линейная модель оказалась адекватной. Условие аналитичности
функции отклика гарантирует эту возможность. Всегда существует
такая окрестность любой точки (точнее, почти любой точки), в которой
линейная модель адекватна. Размер такой области заранее не известен,
но адекватность, как вы помните, можно проверять по результатам
эксперимента. Значит, выбрав сначала произвольную подобласть, рано
или поздно, найдется ее требуемые размеры. И как только это случится,
воспользуемся движением по градиенту.
На следующем этапе будем искать линейную модель уже в другой
подобласти. Цикл повторяется до тех пор, пока движение по градиенту
не перестанет давать эффект. Это значит, что исследователь попал в
область, близкую к оптимуму. Такая область называется «почти
стационарной». Здесь линейная модель уже не нужна. Либо попаданием
в почти стационарную область задача решена, либо надо переходить к
полиномам более высоких степеней, например второй степени, чтобы
подробнее описать область оптимума.
Удачный выбор подобласти имеет большое значение для успеха
всей работы. Он связан с интуитивными решениями, которые
принимает экспериментатор на каждом этапе.
Кроме задачи оптимизации, иногда возникает задача построения
интерполяционной модели. Тогда необходимо последовательно
увеличивать степень полинома до тех пор, пока модель не окажется
адекватной. Если адекватной оказывается линейная, или неполная
квадратная модель (без членов, содержащих квадраты факторов), то ее
построение аналогично тому, что требуется для оптимизации.
Принятие решений перед планированием эксперимента. При
выборе области эксперимента, прежде всего надо оценить границы
областей определения факторов. При этом необходимо учитываться
ограничения нескольких типов. Первый тип — принципиальные
ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены
ни при каких обстоятельствах. Например, если фактор —температура, то
нижним пределом будет абсолютный нуль. Второй тип —ограничения,
связанные с технико-экономическими соображениями, например, со
стоимостью сырья, дефицитностью отдельных компонентов, временем
ведения процесса. Третий тип ограничений, с которым чаще всего
приходится иметь дело, определяется конкретными условиями
проведения
процесса,
Например,
существующей
аппаратурой,
технологией, организацией. В реакторе, изготовленном из некоторого
42
материала, температуру нельзя поднять выше температуры плавления
этого материала или выше рабочей температуры данного катализатора.
Оптимизация обычно начинается в условиях, когда объект уже
подвергался некоторым исследованиям. Информацию, содержащуюся в
результатах предыдущих исследований, будем называть априорной (т.е.
полученной до начала эксперимента). Можно использовать априорную
информацию для получения представления о параметре оптимизации, о
факторах, о наилучших условиях ведения процесса и характере
поверхности отклика, т.е. о том, как сильно меняется параметр
оптимизации при небольших изменениях значений факторов, а также о
кривизне поверхности. Для этого можно использовать графики (или
таблицы) однофакторных экспериментов, осуществлявшихся в
предыдущих исследованиях или описанных в литературе. Если
однофакторную зависимость нельзя представить линейным уравнением
(в рассматриваемой области), то в многомерном случае, несомненно,
будет существенная кривизна. Обратное утверждение, к сожалению, не
очевидно.
Итак, выбор экспериментальной области факторного пространства
связан с тщательным анализом априорной информации.
Далее в области определения надо найти локальную подобласть для
планирования эксперимента. Процедура выбора этой подобласти
включает два этапа: выбор основного уровня и выбор интервалов
варьирования.
Выбор основного уровня. Наилучшим условиям, определенным из
анализа априорной информации, соответствует комбинация (или
несколько комбинаций) уровней факторов. Каждая комбинация
является многомерной точкой в факторном пространстве. Ее можно
рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента.
Назовем ее основным (нулевым) уровнем. Построение плана
эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек,
симметричных относительно нулевого уровня.
В разных случаях исследователь располагает различными
сведениями об области наилучших условий. Если имеются сведения о
координатах одной наилучшей точки и нет информации о границах
определения факторов, то остается рассматривать эту точку в качестве
основного уровня. Аналогичное решение принимается, если границы
известны и наилучшие условия лежат внутри области.
Положение, усложняется, если эта точка лежит на границе (или
весьма близко к границе) области. Тогда приходится основной уровень
выбирать с некоторым сдвигом от наилучших условий.
43
Может случиться, что координаты наилучшей точки неизвестны, но
есть сведения о некоторой подобласти, в которой процесс идет
достаточно хорошо. Тогда основной уровень выбирается либо в центре,
либо в случайной точке этой подобласти. Сведения о подобласти можно
получить, анализируя изученные ранее подобные процессы, из
теоретических соображений или из предыдущего эксперимента.
Наконец, возможен случай с несколькими эквивалентными
точками, координаты которых различны, Когда отсутствуют
дополнительные данные (технологического, экономического характера
и т. д.), выбор произволен. Конечно, если эксперимент недорог и
требует немного времени, можно приступить к построению планов
экспериментов вокруг нескольких точек.
После того как нулевой уровень выбран, переходим к следующему
шагу - выбору интервалов варьирования.
Выбор интервалов варьирования. Теперь цель состоит в том,
чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на которых он будет
варьироваться в эксперименте.
Представьте себе координатную ось, на которой откладываются
значения данного фактора, для определенности — температуры. Пусть
основной уровень уже выоран и равен 100° С. Это значение
изображается точкой. Тогда два интересующих нас уровня можно
изобразить двумя точками, симметричными относительно первой.
Будем называть один из этих уровней верхним, а второй — нижним.
Обычно за верхний уровень принимается тот, который соответствует
большему значению фактора, хотя это не обязательно, а для
качественных факторов вообще безразлично.
Интервалом варьирования факторов называется некоторое число
(свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню
дает верхний, а вычитание —нижний уровни фактора. Другими словами,
интервал варьирования — это расстояние на координатной оси между
основным и верхним (или нижним) уровнем. Таким образом, задача
выбора уровней сводится к более простой задаче выбора интервала
варьирования.
Заметим еще, что для упрощения записи условий эксперимента и
обработки экспериментальных данных масштабы по осям выбираются
так, чтобы верхний уровень соответствовал + 1, нижний - 1, а основной |
нулю. Для факторов с непрерывной областью определения это всегда
можно сделать с помощью преобразования
Х -Х о
сЬс
44
где Х н - нормированное значение фактора;
X - натуральное значение фактора;
Хо - натуральное значение основного уровня фактора;
дх —интервал варьирования фактора.
Для качественных факторов, имеющих два уровня, один уровень
обозначается + 1, а другой —1; порядок уровней не имеет значения.
Пусть процесс определяется четырьмя факторами. Основной
уровень и интервалы варьирования выбраны следующим образом.
Основной уровень
3
Интервал варьирования 2
30
10
1,5
1
15
Ю
Остановимся на первом факторе. Отметим на координатной оси три
уровня: нижний, основной и верхний.
Натуральные значения
1
Кодированные значения —1
2
3
x
0
5
+1
Нужно найти кодированное значение для Х\ = 2,0. Это значение
лежит между 1,0 и 3,0, т.е. между - 1 и 0 в кодированном масштабе. Так
как в натуральном масштабе 2,0 лежит посередине между 1,0 и 3,0; то
ему соответствует - 0,5 в кодированном масштабе.
На выбор интервалов варьирования накладываются естественные
ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть
меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень
фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С
другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы
верхний или нижний уровни оказались за пределами области
определения. Внутри этих ограничений обычно еще остается
значительная неопределенность выбора, которая устраняется с
помощью интуитивных решений.
Выбор интервалов варьирования - задача трудная, так как она
связана с неформализованным этапом планирования эксперимента.
Точность фиксирования факторов определяется точностью
приборов и стабильностью уровня в ходе опыта. Для упрощения схемы
принятия решений введем приближенную классификацию, полагая, что
есть низкая, средняя и высокая точности. Можно, например, считать,
что поддержание температуры в реакторе с погрешностью не более 1 %
соответствует высокой, ее более 5 % —средней, а более 16 % —низкой
точности.
45
Источником сведений о кривизне поверхности отклика могут
служить уже упоминавшиеся графики однофакторных зависимостей, а
также теоретические соображения. Из графиков сведения о кривизне
можно получить визуально. Некоторое представление о кривизне дает
анализ табличных данных, так как наличию кривизны соответствует
непропорциональное
изменение
параметра
оптимизации
при
равномерном изменении фактора. Будем различать три случая: функция
отклика линейна, функция отклика существенно нелинейна и
информация о кривизне отсутствует.
Наконец, полезно знать, в каких диапазонах меняются значения
параметра оптимизации в разных точках факторного пространства. Если
имеются результаты некоторого множества опытов, то всегда можно
найти наибольшее или наименьшее значения параметра оптимизации.
Разность между этими значениями будем называть диапазоном
изменения параметра оптимизации для данного множества опытов.
Условимся различать широкий и узкий диапазоны. Диапазон будет
узким, если он несущественно отличается от разброса значений
параметра оптимизации в повторных опытах. (Этот разброс определяет
ошибку опыта.) В противном случае будем считать диапазон широким.
Учтем также случай, когда информация отсутствует. Итак, для принятия
решений используется априорная информация о точности фиксирования
факторов, кривизне поверхности отклика и диапазоне изменения
параметра оптимизации. Каждое сочетание градаций перечисленных
признаков определяет ситуацию, в которой нужно принимать решение.
Для интервалов также введем градацию. Будем рассматривать
широкий, средний и узкий интервалы варьирования, а также случай,
когда трудно принять однозначное решение. Размер интервала
варьирования составляет некоторую долю от области определения
фактора. Можно, например, условиться о следующем: если интервал
составляет не более 10% от области определения, считать его узким, не
более 30% - средним и в остальных случаях —широким. Это, конечно,
весьма условно, и в каждой конкретной задаче приходится специально
определять эти понятия, которые зависят не только от размера области
определения, но и от характера поверхности отклика, и от точности
фиксирования факторов.
Наибольшие трудности возникают, когда поверхность отклика
нелинейна Появляется противоречие между низкой точностью
фиксирования факторов и кривизной. Первая требует расширения
интервала, а вторая - сужения. Решение оказывается неоднозначным.
Приходится рассматривать дополнительные рекомендации. Прежде
всего, нужно выяснить, нельзя ли увеличить точность эксперимента
46
либо за счет инженерных решений, либо за счет увеличения числа
повторных опытов. Если это возможно, то решения принимаются для
средней точности фиксирования факторов. Если это невозможно, то для
принятия решения нет достаточных оснований и оно становится
интуитивным.
Характерен выбор среднего интервала варьирования. Лишь в случае
нелинейной поверхности и широкого диапазона рекомендуется узкий
интервал варьирования. При сочетаниях линейной поверхности с узким
диапазоном и отсутствием информации о диапазоне выбирается
широкий интервал варьирования.
Сочетание высокой точности с нелинейностью поверхности всегда
приводит к выбору узкого интервала. Довольно часто выбирается
средний интервал и лишь в двух случаях широкий. После выбора
основного уровня и интервалов варьирования факторов, можно
приступить к построению плана проведения эксперимента.
3.5
Полный факторный эксперимент типа 2
Первый этап планирования эксперимента для получения линейной
модели основан на варьировании факторов на двух уровнях. В этом
случае, если число факторов известно, можно сразу найти число
опытов, необходимое для реализации всех возможных сочетаний
уровней факторов.
Простая формула, которая для этого используется
N = 2 *,
где N - число опытов;
к - число факторов;
2 - число уровней.
В общем случае эксперимент, в котором реализуются все
возможные сочетания уровней факторов, называется полным
факторным экспериментом.
Если выбранная модель включает только линейные члены
полинома и их произведения, то для оценки всех параметров модели
используется план эксперимента с варьированием всех факторов на
двух уровнях. Такие планы принято называть планами типа 2 , где
2 = N - число всех возможных опытов, п - количество варьируемых
факторов.
Полный факторный эксперимент может быть предложен
исследователю как один из способов построения математической
модели (идентификации) недетерминированного объекта. Этот способ
47
оказывается наиболее предпочтительным в тех случаях, когда
отсутствует априорная информация для обоснования структуры модели
с позиций физико-химических представлений процессов, происходящих
в объекте, отсутствует количественная оценка степени влияния
изучаемых факторов на выходную переменную объекта, его выходной
показатель.
Нетрудно написать все сочетания уровней в эксперименте с двумя
факторами. Напомним, что в планировании эксперимента используются
кодированные значения факторов: +1 и -1 (часто для простоты записи
единицы опускают). Условия эксперимента можно записать в виде
таблицы, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы значениям факторов. Будем называть такие таблицы матрицами
(репликами) планирования эксперимента.
Матрица планирования 2 для двух факторов показана в таблице 1.
Таблица 1 - Матрица планирования для двух факторов
г
Матрица планирования
Выход
Номер опыта
У
*2
*1
-1
-1
1
У1
-1
+1
У2
1
2
+1
-1
Уз
3
+ 1
+1
4
У4
------------ ------------------------------------------------
Каждый столбец в матрице планирования называют векторстолбцом, а каждую строку - вектор-строкой.
Таким образом, имеется два вектора-столбца независимых
переменных и один вектор-столбец параметра оптимизаций. То, что
записано в этой таблице в алгебраической форме, можно изобразить
геометрически. Найдем в области определения факторов точку,
соответствующую основному уровню, и проведем через нее новые оси
координат, параллельные осям натуральных значений факторов.
Далее, выберем масштабы по новым осям так, чтобы интервал
варьирования для каждого фактора равнялся единице. Тогда условия
проведения опытов будут соответствовать вершинам квадрата, центром
которого является основной уровень, а каждая сторона параллельна
одной из осей координат и равна двум интервалам. Номера вершин
квадрата соответствуют номерам опытов в матрице планирования.
Площадь, ограниченная квадратом, называется областью эксперимента.
Иногда
удобнее
считать
областью
эксперимента
площадь,
ограниченную окружностью, описывающей квадрат. В задачах
ЩИ*- к
48
интерполяции область эксперимента есть область предсказываемых
значений у . Запись матрицы планирования, особенно для многих
факторов, громоздка. Для ее сокращения удобно ввести условные
буквенные обозначения строк. Это делается следующим образом.
Порядковый номер фактора ставится в соответствие строчной букве
латинского алфавита: Х\ - а, Х2 - Ь, ... и т.д. Если теперь для строки
матрицы планирования выписать латинские буквы только для факторов,
находящихся на верхних уровнях, то условия опыта будут заданы
однозначно. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях условимся
обозначать (1). Матрица планирования вместе с принятыми буквенными
обозначениями приведена в таблице 2 .
Теперь вместо полной записи матрицы планирования можно
пользоваться только буквенными обозначениями.
Номер
опыта
1
2
3
4
Матрица планирования
XI
-1
+1
-1
+1
*2
-1
Буквенные
обозначения
ггтпк
(1)
н
а
+1
Ь
_________ + 1
аЬ
Отклик
У
У1
У2
уз
У4_______
Ниже приведена буквенная запись еще одного плана: с, Ь, а, аЬс,
(1), Ьс, ас, аЬ. Матрица планирования приведена в таблица 3.
Таким образом, построен полный факторный эксперимент 2 . Он
имеет восемь опытов и включает все возможные комбинации уровней
трех факторов.
Таблица 3 - Пример матрицы планирования для трех факторов
49
Если для двух факторов все возможные комбинации уровней легко
найти прямым перебором (или просто запомнить), то с ростом числа
факторов возникает необходимость в некотором приеме построения
матриц. Из многих возможных обычно используется три приема,
основанных на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам
большей размерности. Рассмотрим первый.
При добавлении нового фактора каждая комбинация уровней
исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним
уровнями нового фактора. Отсюда естественно появляется прием:
записать исходный план для одного уровня нового фактора, а затем
для
Этот прием распространяется на построение
любой размерности.
ля этого
1ведем правило
Рассмотрим второй прием,
перемножения столбцов матрицы. При построчном перемножении двух
столбцов матрицы произведение единиц с одноименными знаками дает
+1, а с разноименными -1 . Воспользовавшись этим правилом, получим
для случая, который мы рассматриваем, вектор-столбец произведения
Л 1х2 в исходном плане. Далее повторим еще раз исходный план, а у
Этот
любой
сложнее, чем первый.
Третий прием основан на правиле чередования знаков. В первом
столбце знаки меняются поочередно, во втором столбце они чередуются
через два, в третьем - через 4, в четвертом - через 8 и т.д. по степеням
Ьвойки.
1 I
^ Щ
войства полного факторного эксперимента типа 2к . Говоря о
определяют
свойствах матриц, мы имеем
того, чтобы
получить модель, обладающую некоторыми оптимальными свойствами.
Это значит, что оценки коэффициентов модели должны быть
наилучшими и что точность предсказания параметра оптимизации не
должна зависеть от направления в факторном пространстве, ибо заранее
предстоит
построения
относительно
формулируется следующим, образом: алгебраическая сумма элементов
■столбца каждого
-у*
50
где} - номер фактора;
/ - номер опыта;
п —число опытов.
Второе свойство - так называемое условие нормировки формулируется следующим образом: сумма квадратов элементов
каждого столбца равна числу опытов, или
п
у
I Щ = п*
1=1
Это следствие того, что значения факторов в матрице задаются +1 и
- 1.
Итак, рассмотрены свойства отдельных столбцов матрицы
планирования. Теперь остановимся на свойстве совокупности столбцов.
Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов
матрицы равна нулю, или .
п
Ш
Это важное свойство называется ортогональностью матрицы
планирования.
Последнее, четвертое свойство называется ротатабельностью, т.е.
точки в матрице планирования подбираются так, что точность
предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных
расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления.
Пусть даны две матрицы планирования:
XI
Х2
X/
Х2
-1
+1
-1
+1
-1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
+1
+1
-1
+1
-1
Проверим, как выполняются все три свойства для каждой из матриц.
Первое свойство выполняется для всех столбцов обеих матриц.
Действительно, для первого столбца матрицы а) имеем:
( - 1) + (+ 1) + ( - 1) + (+ 1) = 0.
Аналогичный результат получается для всех других столбцов.
Второе свойство - также выполняется для обеих матриц.
С третьим свойством, однако, дело обстоит иначе. Если для матрицы
а) формула ортогональности выполняется, то в случае б) это не так.
Действительно,
(-1) (+ 1) | (+ 1) (- 1) + (- 1) (+ 1) + (+1Х-1) 1 | | 1 0.
Полный факторный эксперимент и математическая модель.
Вернемся к матрице 23. Для движения к точке оптимума нужна
линейная модель
У = Ь0 + 1)1*1+ Ьгх2.
Наша цель - найти по результатам эксперимента значения
неизвестных коэффициентов модели. Можно утверждать, что
эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная
модель
Л = Ро + р1* 1+ р2*2
адекватна. Греческие буквы использованы для обозначения «истинных»
генеральных значений соответствующих неизвестных. Эксперимент,
содержащий конечное число опытов, позволяет только получить
выборочные оценки для коэффициентов уравнения
у —Ьо + + Ъ1*1 + ... + ЬкХьИх точность и надежность зависят от свойств выборки и
нуждаются в статистической проверке.
После проведения опытов во всех точках факторного пространства
необходимо найти коэффициенты уравнения регрессии. Для этого
воспользуемся методом наименьших квадратов.
52
I) А
2
ф = 1 (У гУ |)
1=1
тт;
Л
V| * ^
1Ь0 »»«»Ь|^)
А
Ф = К И х1,...,Х[с,Ь0 ,.-1 Ь к )-У ,)
2
Ы
Поскольку
ГЭФ
=0
5Ь0
дФ
=о
дъ к
то после дифференцирования получим
ЭФ
”
5Ь0
п
= 2Х ((р (^| »•«»^|( Ь0
5
1=]
9— Э
Ь|{ )
У
])
дф
—0,
•••
Эф
“
аьк
п
д<р Л
) ~ У |) “
—0,
= 2 Х ( ? С*1
ца
*=1
Для линейной регрессии при к = 2:
У] = ^ ( ^ П ^ 21’Ьо5Ь1,Ь2 ),
У[ =Ьо #Ь^лгц + Ь 2^ . ;
продифференцировав по коэффициентам, получим:
дф
Я>0
= 1,
дф
5Ь|
дф
~ хи
Запишем уравнения в полной форме:
53
дЪ2
= х21
+ Ъ2Х2\ “ У1) х 1 = ° ’
1 (Ь 0 + И
1=1
п
1 (Ь0 #
+ Ь2^ 2ё У1) х -^11 ” 0 »
1=1
п
(Ь
1
+ Ь\Х Ц
0
Ь Х {- У
1
2
2
1
'X Х 2 \ = о
1
и=1
Отсюда следует
( 1 1 )Ь 0 + ( 1 Ч 1)Ь 1 + ( 1 хй ) х Ь 2 = 1 У1,
1=1
1=1
( *
1
3
1
1
1
1
1=1
В
1=1
Ш В + ^п)х
1
1=1
1
1
1
ш
1=1
щ
1=1
I{ I х2\ ) х ь0 + (щ Я )1 1 + 1Й й Р ) 1 ь21 Щ Ш
1=1
1=1
Щ = п,
1=1
разделим
й
■
Г
1
каждое
'
ш
П
Ь0 + ( - Щ
1
в Я ш
и-
1
уравнение
ш
п
п
1
п 1=1
I п
на
н
+ ( - Х > 2 1)х Ь 2 = -
п 1=1
1 п
1=1
п
н
П
р |б
п 1=1
1 п
2
1 п
^ )х Ь0 + ( - §§й Й |§ + ( - Х в д и )хЬ =-Щ йШ
1
1
2
" |=1
пм
ЮМ
I п
п
п
2
п
( - 1 *2*) х Ь о + ( - Ш И ) х Ь 1 + ( - ЕХ21 ) х Ь2 = — Е х 2{Уг
II П 1= 1
1
П 1=1
1
ИЙ!
0 1=1
1
§ 1=1
Отсюда, принимая в расчет свойства матрицы планирования
получим следующие формулы для вычисления коэффициентов
54
1 п
ь
0
= -
1 у . »
п 1=1
1 п
Ь1 = - ШЩШх*
14=1
1 п
Ь2 = - Х^ 21У1п 1=1
или в общем виде
Ь 1= - 1 *нУь
П 1=1
Таким образом, благодаря кодированию факторов расчет
коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру.
Для подсчета коэффициента Ъ\ используется вектор-столбец XI а
для \>2 - столбец Х2 » Остается неясным, как найти Ъо. Если наше
уравнение у = Ъо + Ъ\Х\+
справедливо, то оно верно и для средних
арифметических значений переменных: у = Ъо + Ь\х 1+ 02 * 2. Но в
силу свойства симметрии х \ = Зг2 = 0. Следовательно, у ~ Ъо. т.е Ъо
есть среднее арифметическое значение параметра оптимизации. Чтобы
его получить, необходимо сложить все у и разделить на число опытов.
Чтобы привести эту процедуру в соответствие с формулой для
вычисления коэффициентов, в матрицу планирования удобно ввести
вектор-столбец фиктивной переменной Хо, которая принимает во всех
опытах значение +1. Это было уже учтено в записи формулы, где у
принимало значения от 0 до к.
Теперь есть все необходимое, чтобы найти неизвестные
коэффициенты линейной модели
У = Ъо + Ъ\Х\+ Ъ2*2
Коэффициенты при независимых переменных указывают на
степень влияния факторов. Чем больше численная величина
коэффициента, тем большее влияние оказывает фактор. Если
коэффициент имеет знак плюс, то с увеличением значения фактора
параметр оптимизации увеличивается, а если минус, то уменьшается.
Величина коэффициента соответствует вкладу данного фактора в
55
величину параметра оптимизации при переходе фактора с нулевого
уровня на верхний или нижний.
Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего к
верхнему уровню. Вклад, определенный таким образом, называется
эффектом фактора (иногда его называют основным или главным
эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту. Для
качественных факторов, варьируемых на двух уровнях, основной
уровень не имеет физического смысла Поэтому понятие «эффект
фактора» является здесь естественным.
Планируя эксперимент, на первом этапе экспериментатор
стремимся получить линейную модель. Однако у него нет гарантии, что
в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной
моделью. Существуют способы проверки пригодности линейной
модели.
* ч .,
Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем,
что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится
другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место эффект
взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент
позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого
надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец
произведения двух факторов. При вычислении коэффициента,
соответствующего эффекту взаимодействия, с новым вектор-столбцом
можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора Для
полного факторного эксперимента 22 матрица планирования с учетом
эффекта взаимодействия представлена таблице 4. Очень важно, что при
добавлении столбцов эффектов взаимодействий все рассмотренные
свойства матриц планирования сохраняются.
2
Таблица 4 - Матрица планирования эксперимента 2
с учетом
взаимодействия факторов
_______________________________________
Факторы и их сочетание
Отклик
Номер опыта
У
X,
Х[Х2
В
Х2
1с*
Р —
1
+1
-1
-1
+1
У1
/О ШтШШт
+1
+1
-1
-1
У2
-1
+1
-1
Уз
+1
+1
+1
У4
3
4
+
1
+1
I
Теперь модель
выглядит следующим образом:
...
у = Ъо х0 + Ъ1 XI + Ъ2 Х2 + Ь12х {х2
Коэффициент 012 вычисляется обычным путем.
Столбцы X/ и Х2 задают планирование - по ним непосредственно
определяются условия опытов, а столбцы Хо и Х7Х2 служат только для
расчета.
Обращаем внимание на то, что при оптимизации надо стремиться
сделать эффекты взаимодействия возможно меньшими.
В задачах интерполяции, напротив, их выявление часто важно и
интересно.
Покажем на примере еще один способ расчета коэффициентов,
известный под названием метода Иетса. Все операции по расчету
приведены в таблице 5
ш ш -
’
<
. З Д
;1
Таблица 5 - Таблица расчетов
У1
У2
Уз
У4
У1+У2
УЗ+У4
У2-У1
Ш Ят
У/ +У 2 +У 3 +У 4
**
111
3
+ 11
2
1+
I
У4 - Уз -У 2 1 У1
Слева в этой таблице выписан вектор-столбец значений параметра
оптимизации. Первая операция (2-й столбец) состоит в попарном
сложении и вычитании этих значений, причем верхнее число
вычитается из нижнего. Вторая операция (3-й столбец) состоит в том же
действии, но уже с числами второго столбца.
Если теперь числа, оказавшиеся в третьем столбце, разделить на
число опытов, то получим значения коэффициентов. Операции
сложения и вычитания повторяются столько раз, сколько имеется
факторов.
57
4 Пример планирования эксперимента и обработки результатов
Рассмотрим
методы
построения
планов
эксперимента,
статистической обработки полученных результатов и их интерпретация.
Объектом исследований является установка для статико­
динамического продавливания труб-кожухов в грунт. В качестве
входных параметров (влияющих факторов) рекомендуется использовать
регулировочные характеристики машины: энергию ударного устройства
А и частоту со ударного устройства и силу Р статического напора. В
качестве выходного показателя (отклика) выбирается наиболее важная
характеристика процесса проходки - скорость подвижной трубы,
которая в общем случае является функцией от влияющих факторов, т.е.
М тР)
(4.1)
Задача состоит в том, чтобы выяснить какие параметры машины
оказывают наиболее существенное влияние на скорость трубы, а также
установить характер этого влияния.
1. Выбор модели процесса и плана эксперимента
Центральным вопросом теории планирования эксперимента
является вопрос о выборе математической модели, которая бы
адекватно описывала исследуемый процесс. При бестраншейной
прокладке трубопроводов заранее оценить характер и степень влияния
параметров машины на скорость подвижной трубы, а, следовательно,
записать конкретный аналитический вид функции (4.1) весьма
затруднительно, однако, какой бы сложной функцией это влияние не
описывалось, его можно представить в виде полинома. На первом этапе
эксперимента рекомендуется математическая модель представить в виде
полинома первого порядка, тем самым предполагая, что скорость трубы
зависит только от линейных эффектов параметров машины: А, со, Р.
Проведение эксперимента предшествует решение вопроса о выборе
области экспериментирования, которая в наибольшей степени
интересует экспериментатора. Локальная область задается выбором
основных уровней А, со, Р (центра эксперимента) и интервалов их
варьирования. Для построения более простых планов все факторы
будем изменять на двух уровнях. Верхний уровень получается
прибавлением к основному уровню интервала варьирования, нижний отниманием интервала от основного уровня. Для упрощения записи
плана эксперимента и облегчения обработки результатов фактора и их
уровня представляется в кодированном виде.
Обозначим: А = X /, й) = х 2 , Р = х 3 , уровни факторов запишем в
58
кодированном виде, как + 1, причем верхний уровень факторов примем
за + 1, нижний - за ( - 1), как показано в таблице 6 .
Таблица 6 - Уровни и интервалы варьирования факторов
Ш
Р
А,
|
Уровни
Н
Гц
Дж
Основной уровень
А
Интервал
варьирования
Верхний уровень
А + И]
Нижний уровень
А —И/
Кодовое
обозначение
0
т
Р
ь2
Ьз
т + И2
Р+И3
+1
т —И2
Р -И 3
-1
Теперь рекомендуемую математическую модель запишем в виде
полинома первой степени, имеющего вид:
л
У = Ь0 + Ъхх х + Ь2х 2 + Ь3х 3,
(4.2)
где V - скорость трубы, предсказанная уровнем (4.2)
Коэффициенты Ъо , Ь/ , Ъ2 , Ъз оцениваются по результатам
проведенных опытов.
После выбора математической модели и определения уровней и
интервалов варьирования переходим к построению плана эксперимента.
Т. к. мы имеем три фактора, изменяющихся на 2-х уровнях, то построим
полный факторный план типа 2 , в котором реализуются все возможные
сочетания уровней факторов. Количество необходимых для этого
опытов определяются по формуле
N = 2 К = 2 3 =8,
где к - количество факторов
Для оценки ошибки воспроизводимости все опыты дублировались.
Для избежания систематических ошибок порядок проведения опытов
выбран по таблице случайных чисел [1]. Здесь столбцы X/ , х? , Хз
определяют условия проведения опыта фиктивный столбец Хо служит
для оценки параметра Ьо, в столбец V записывается среднее значение
скорости, по результатам двух параллельных. Матрица планирования
эксперимента 1-го порядка приведена в таблице 7 .
59
Таблица 7 —Матрица планирования эксперимента 1-го порядка
Факторы
Отклик
Порядок
Номер проведения
V
х3
Х2
XI
опыта 2-х паралл.
х0
опытов
-1
-1
-1
+1
V,
1
8', 13'
-1
-1
+1
+1
Уг
3' 12'
2
-1
+1
-1
V,
+1
11', 15'
3
+1
-1
+1
+1
6 ', 14'
4
+1
-1
+1
-1
2', 4'
5
+1
-1
+1
+1
V*
5', 7'
6
+1
+1
-1
+1
Щ
1', 9'
7
+1
+1
+1
+1
V,
10', 16'
8
Для непосредственного ведения опытов и записи результатов
лучше использовать таблицу 8 , в которой запись матрица планирования
ведется в натуральных единицах измерения факторов.
Таблица 8 содержит 8 строк и 8 столбцов. В первом столбце
показаны номера двойных опытов 1, 2 ,...8 , во втором й
последовательность проведения всех опытов Г, 2',... 16'. Столбцы 3, 4, 5
содержат информацию о численных значения А, со, Р4, при которых
производится опыт. Столбцы 6 , 7, 8 заполняются после проведения
опытов.
■I
I\ я
Таблица 8 - Порядок проведения эксперимента и результаты опытов.
Условия проведения
| Порядок
!
Результаты опытов
опытов
Номер | проведения
опыта параллель­
т,
А,
V',
V",
Ж
V,
ных опытов
Дж
н
м/с
м/с
Гц !
м/с
1
1
А - к 1 ш - к2 Р - к 3
8'; 12'
V,'
VI
У{
2
А + Ау ш к2 Р - к3
3';12'
V2
УЯ
2
У2
_____
-
3
«
С
1
1Г;13'
А-И!
ш + к2
Г -к3
Уз
Vз'
Vз
6 '; 14'
Ал- Ау
ш + кг
Г -к3
У4
V*
^4
2';4'
А- Ау
ш - А2
Р + к3
Уз
У$
^5
^5'*7'
?/ ■Вй А + Ау
А- Ау
1';9'
ш к}
Г + к3
Уб
Ч
^6
Уу
V?
V?
Уз
Ув
^8
7
67
1
|
8
1
!0';16'
Ал- Ау
-
т + к2 Г + к з
ш
+ к2
Г + к3
60
Согласно порядку проведения первым проводится параллельный
опыт Г (столбец 2), он соответствует условиям проведения двойного
опыта под номером 7 (столбец 1). Поэтому зацаем энергию ударного
устройства равную (А - И,), частоту ударов (со + Н2) и величину
напорной с и л ы ^ + АД Проводим опыт и результат измерения
скорости подвижной трубы помещаем в столбец 6 обозначенную в
таблице 8 как У у .
Затем проводится параллельный опыт 2', который соответствует
условиям двойного опыта под номером 5, т.е. энергию задаем по
величине (А - И,), частоту ( а - И,) напорную силу (Г + И3).
Производится опыт, а результат измерения скорости V, записывается в
столбец 6 строка 5. Далее производятся повторные опыты под номерами
3’, 4,)... 16 (столбец 2) по условиям двойных опытов, соответствующих
параллельным (столбец 1). Отметим, что, например, параллельный опыт
9' проводится при тех условиях, что и опыт Г, т.к. оба являются
параллельными (дублирующими) опытами двойного опыта 7, однако
результат опыта 9', обозначенный в таблице У7 заносится в столбец 7.
Непременным условием проведения всех опытов является
поддержание значений факторов на заданном уровне в течение всего
конкретного опыта
После завершения эксперимента рассчитываются среднее значение
двойных опытов по формуле
(4.3)
2
Результаты средних значений записывают в столбец 3.
2. Обработка результатов эксперимента I порядка.
Для количественного исследования влияния входных параметров
на результат опыта применяем методы дисперсного анализа [2 ]:
1)
сначала
производится
оценка
дисперсии
среднего
арифметического в каждой строке плана
(4.4)
п(п -1)
где V,* - результат отдельного параллельного опыта;
V - среднее значение двойного опыта;
61
^ - номер параллельного опыта, ц = 1, 2 ;
/ - номер строки / = 1, 2 ,.. . 8 .
Данные для формулы (4.4) берутся из таблицы 8, результат
записывают в таблицу 9.
Таблица 9 - Дисперсия среднего арифметического в каждой строке плана
№
Дисперсия 5?
№
Дисперсия 8Г2
2 ) после вычисления дисперсий следует убедиться в их
однородности. Проверку на однородность проводим по критерию
Кохрена [2].
•" ' ^ . ' О . ^ • •
С
8 I-2ш ах
(4.5)
8
15Г2
1=1
где
1 /шах ~ максимальная дисперсия, выбранная по таблице 9;
* 2
.
- сумма всех дисперсий.
Полученное по формуле (4.5) расчетное значение критерия Кохрена
сравниваем с табличным при степенях свободы п - 1 = 1 и N —8,
62
где п - количество параллельных опытов;
N —количество двойных опытов.
По таблице в [3] находим С = 0,679;
3)
если экспериментальное значение О меньше, чем табличное, то
дисперсия об однородности не отвергается, что позволяет рассчитать
усредненную дисперсию воспроизводимости (дисперсию ошибки всего
эксперимента)
Ш
1 /=1
о2
О
{V)
}
Г
( 4
9
*6 )
где N - количество двойных опытов (т.е. число строк в матрице
планирования);
4)
используя результаты эксперимента, определим коэффициенты
полинома (4.2) методом наименьших квадратов
N __
С
,
=
^
(4.7)
-------------------
N
где X/, - значение /-г о фактора в /-ом опыте.
Практически числитель в формуле (4.7) получается умножением
столбца Уи на столбцы Хо , Х\ ,
, х 3 в матрице планирования, т.е.
имеем:
Ь
_ У . + У2 + У з + У 4 + У 5 + У б + У 7 + У 8
0
8
У . + У 2 - У 3 + У4 - У 5 + У б - У 7 + У 8
8
у
Ь2
у
+УГ+У
у
у
+ у + у
8
у .- у 2- у э- у 4+ у3+ у6+ у7+ уж
Ьз
8
5)
вычислив все коэффициенты регрессии (4.2) необходимо
проверить гипотезу об адекватности модели. Проверку проводим по
63
критерию Фишера [2]. Для этого сначала рассчитываем значение
скорости, предсказанное по уравнению (4 .2 )
V} = Ъо —Ъ\ —Ъ2 —Ьз
\ 2 = Ь0 + Ъ \- Ь 2 - Ь3
Ъ = Ь0 - Ьг + Ъ2 - Ъг
^4 =
Ъо + Ъ\ + Ъ2 — &з
У& =
~
Ъ\ — Ъ2
У(>~Ъо + Ъ \ - Ъ 2
^7 =
+ 63
+
Ъ3
Ъо — Ъ\ + Ъ2 + Ъг
^8 =
+
Ъ\ + Ъ2 + Ъг
Составим таблицу 10 расчета дисперсии адекватности, записав в
нее значения средних V, , полученных по эксперименту, значения V;
рассчитанных по формуле (4.9) и вычислив разницу между ними
Затем вычисляем дисперсию адекватности по формуле
N _
„
К У -Ч )
—
.
/ = м - Р,
где /
- число степеней свободы, связанное с дисперсией
адекватности;
N —число опытов;
р - число оцениваемых коэффициентов полинома (4.2).
Расчетное значение критерия Фишера (Г - критерия) определяется
отношением дисперсии адекватности к дисперсии воспроизводимости
эксперимента
с2
Р г
*
{V}
64
Табличное
значение,
определяемое
степенями
свободы
у ' = д г _ ^ = 8 - 4 = 4; И(п - 1 ) = 8(2 -1 ) = 8 равно 3, 84. [3]. Если
расчетное значение меньше табличного, то гипотеза об адекватности не
отвергается.
Таблица 10 - Расчет дисперсии адекватности
У/
V,
V,
~
V,
гм
№
<>
1
|>
Л
А
V,
VI
VI - V I
(V,
-
VI )2
(У 2
-
У2 )2
1
1
Ъ
у2
Ю
2
1
Л
А
3
Ъ
у3
У з-У 3
(У? - Уз )2
у4 - у 4
(У4
У 5-У 5
(У5
У7 - У 7
(У?
-
У? )2
у8 - у 8
(У8
-
У8 )2
А
4
У4
У4
1
1
| )2
А
5
Уз
У5
6
Уб
Уз )2
1
<>
Оч
ы
А
-
Уб
А
7
V?
V?
А
8
У8
У»
6)
если математическая модель адекватно описывает результаты
эксперимента, то проводится проверка коэффициентов регрессии на
значимость. Проверка необходима для исключения из модели
второстепенных эффектов, оказывающих незначительное влияние на
исследуемый процесс.
Проверка проводим по критерию Стьюдента [2].
Рассчитаем дисперсии коэффициентов регрессии
е 2_
с 2 _ {V}
8
Доверительный интервал для коэффициентов
65
Лбу
=
±
1
$
{
Ь
)
где / - критерий Стьюдента
^{ 6} = л / ^ } ”
Для I - критерия при уровне значимости а 10 ,0 5 и степени свободы
N (п - 1) = 8 имеем / —2,31
Му = ± 2 ,3 1 5 ^ }
Коэффициент регрессии значим, если его абсолютная величина
больше доверительного интервала. Если коэффициент незначим, то он
отбрасывается и производится проверка модели на адекватность по
пункту 5.
Интерпретация
Вопрос об интерпретации полученных результатов рассматривается
в два этапа. На первом этапе устанавливается, в какой мере каждый
параметр влияет на скорость подвижной трубы. Количественной мерой
этого влияния служит величина коэффициента регрессии, причем, чем
больше коэффициент, тем сильнее влияет фактор. О характере влияния
фактора можно судить по знаку коэффициента. Если коэффициент
имеет положительный знак, то это означает, что с увеличением фактора,
увеличивается скорость трубы, если коэффициент имеет отрицательный
знак, то скорость увеличивается с увеличением данного фактора.
На втором этапе описываются оптимальные условия, т.е.
описываются такие значения факторов, при которых скорость трубы
достигает максимальной величины, либо значения удовлетворяющие
экспериментатора. Здесь можно пользоваться двухмерными сечениями
- геометрическими образами, с помощью которых изображаются
контурные кривые ( кривые равного выхода ) для двух факторов при
неизменном третьем. Это дает возможность проследить, при каких
сочетаниях факторов можно получить некоторое постоянное значение
отклика [3].
Планирование эксперимента II порядка
В случае если выбранная математическая модель неадекватна
экспериментальным данным, то эксперимент необходимо продолжить.
Математическая модель представляется полиномом, заключающим
квадратичные члены и члены, характеризующие парные эффекты
66
взаимодействия. Для нахождения оценок коэффициентов регрессии
используются композиционные ортогональные и рототабельные планы
Бокса.
В матрице планирования II порядка, построенной на основе плана
Бокса, в качестве ядра (центральной точки) используются точки полного
факторного плана, т.е. точки плана I порядка, которые дополняются так
называемыми “звездными” точками равноудаленными от центра на
величину плеча + а. Эти точки определяются из условия
ортогональности и рототабельности [2 ].
С учетом вычисленных значений “звездных” точек определяет
уровни и интервалы варьирования факторов по формулам согласно
таблицы 11.
Таблица 11 - Уровни и интервалы варьирования
Наименован
не входных
параметров
Энергия
ударного
•йства
Уровни
Кодовые
названия
Частота
ударов
Напорная
сила
Расчет, произведенный для трех влияющих факторов, дает
следующие результаты:
- необходимое количество опытов Д^= 23;
- количество параллельных опытов п = 5;
- величина “звездного” плеча а = + 1,7.
Прежде, чем записать уравнение полинома (регрессии) отметим,
что для выполнения условий ортогональности, имеющего большое
значение для получения независимых оценок коэффициентов регрессии,
необходимо, чтобы квадратичные члены полинома были преобразованы
по формуле
Х|
где
2 * - 2а 2
X}
У
<р= -----------= 0,6
N
67
(р,
Таблица 121 Матрица
Тогда полиномиальная модель второго порядка примет вид.
V = Ь0 + Х Й Й + Ьп(х\ -<р)+ Ь22( х % -< р )+ Ь 33 (х | -<р) +
/=1
+
. .
Обозначив Ьо = Ь о - < р (Ь„ I И
регрессии
68
+ В
^ -
, упростим уравнение
V=
К + Ъ , Х >1
ИВ
(4.8)
1 Ь„х? + |% Й |
в
Матрица планирования II порядка приведена в таблице 12.
Столбцы * 1 ,х2 ,*з определяют условия проведения опыта, а
х*2 , х *
,х*
,х х
,х х
,х
х 3 , служат
для
обработки
столбцы
результатов эксперимента. При установлении уровней и интервалов
экспериментатор
вправе
изменить
их
варьирования
для
факторо
оароприцмлдм#*
л---- хг щ;
*
значение в нужную сторону. В таблице 13 дается порядок и условия
проведения опытов в натуральных единицах.
2
Таблица 13 - Порядок
2
1
2
1
3
2
оведения опытов
69
Продолжедае
таблицы
13
Порядок
и
условия
проведенияопытов
'
----Л
нрил
Порядок
проведения
№ параллельн
ых опытов
Результаты опытов
Условия проведения; опытов
Ж
Параллельные опыты
А
ТВ
18
А
ш
19
А
р
р
V 18
'
ш
р
V
У1'9
20
А
хп
р
V20
'
&
А
ш
р
V 21
' !
А
ш
р
V
'
V 22
А
ш
р
------ --------------22
23
1—-—
■—
1
III
II
I
IV
V
Среднее
значение
V23
'
Если уровни, ране использованные устраивают его, то можно
использовать и результаты опытов, проведенных по матрице
планирования I порядка.
Первым проводится параллельный опыт под номером 1 (строка 5).
Условия проведения этого опыта: энергия удара равна (А - Ау), частота
ударов равна (со - /ь), напорная сила равна ( Г + Аз). Опыт повторяется
5 раз. Результаты записываются в таблицу. Далее проводится опыт 2
(строка 8 ), при условиях: (А + Ау), (со + Н2\ Щ + Аз). Результаты пяти
параллельных опытов записываются в таблицу и т.д. Отметим, что у
опытов с 15 по 23 одинаковые условия проведения (все факторы
находятся на нулевых уровнях, то соответствует значениям А, т , Р ),
поэтому можно считать, что проводится один опыт под номером 4 при 9
параллелях, и использовать это обстоятельства при обработке
результатов, т.е. считаем, что проведено 15 опытов, причем, 14 опытов
имеют по 5 параллельных, а 15 дублируется 9 раз.
Но в момент вычисления регрессии, во избежание дополнительных
математических трудностей, примем во внимание все 23 опыта считая,
что каждый повторялся по 5 раз, и в опытах с 15 по 23 параллельные
испытания давали один и тот же результат.
Например, в опыте 15 все пять дублей дали результат
■
1
ЯI и
70
1
1
1
1
у 15
со средним значением У ^ = У |5
После завершения эксперимента определяется среднее значения У{
каждой строке плана по формуле
У ;= = ^ -,
/-1Д ....15
п
где
п - количество параллельных опытов.
Коэффициенты регрессии Ъ, вычисляются согласно таблице 12
Сначала рассчитаем величину а
а » = V ,+ У + У + У + У + У + V , + V , + . . . . + У , , ,
2
3
4
5
6
«у = - V,+ У2- V,+ У4- У5+ У6- У7+ V,+1,7 V, -1,7 У10,
а , = - V, - У2+ У3+ У4- У5- У6 + У7+ V ,+ 1 ,7 V,, -1 ,7 У12,
ВвИЙУ2- У 3- У 4+ У 5+ У 6+ У 7+ У 8+ 1 ,7 У |3- 1 , 7 У 14,
а// = 0,4 ( V,+ У2+ V, + ...+ V,) + 2,3( V, + У10)
0 ,6 ( У„ + У|2 + Ун + ... + V23)»
0221 0,4( V ,| V,+.. В р ) 1 2,3( V,; + У12) 1
—0.6( У, + У|0 + Ун + У|3+™+ Ув ) |
Щ10,4( V,+ У2+...+ V,) +2,3( У,з + У,4) - ОДУ, + У10+ У„ + Ц +Ш +... +Я ),
а, 2 = У -^ -У з -У .-У з + Ч -У т + У ,,
а,з= У,-У2+У,-У 4-У5+У6- У 7+У„
ШШ Ч + у 2- у - у 4- у . - у + у 7+у,
затем рассчитаем 6 /
.
Оя
Ьп = — ;
У
23
,
О/
6/ = — — ;
7
1 3 ,7 8
,
а2
6? = — — ;
л
71
1 3 ,7 8
и
а3
Ьз = —
л
13,78
ш тИ т
Щ
ш шш
16,54’
■
, _ а 12 .
Ь12- - ^ ~ ,
Ь = !!1Щ
8 I
Ь23 = —
а 22
и
Щ
- а 33
16,54
8
.
Обработка результатов эксперимента II порядка:
1)
прежде всего, необходимо проверить результаты на выброс.
Проверка проводится в том случае, если какой-либо результат вызывает
сомнение (например, резко отличается по величине от остальных, ему
Для
упорядочивают
У , < У 2< . . . < У П
или У , > У 2 > . . > У „
в любом случае VI вычисляется статистика
экстремальное значение скорости. Затем
V I-у2
М=
VI-У„
Если М превосходит табличное значение, то результат данного
опыта У, либо отбрасывается, либо заменяется средним значением.
Л
_
^
Табличные значения М приведены в [2];
2 ) после устранения выброса рассчитывается среднее значение
каждой строке плана
п
I V/
<?=1
V.1 =
/= 1,2 ,...,и
п
где п - количество параллельных опытов;
3)
учитывая требования регрессионного анализа, проводится
проверка на нормальность распределения. Для этого вычисляется
дисперсия каждой строке плана по формуле:
72
Г № - у ,) 2
5 -2 = Я
п —1
и стандартное отклонение
где
Уд —результат параллельного опыты;
V,-- среднее значение в строке;
п —количество параллельных опытов.
Вычисляют среднее отклонение
1 (у 6 - у ^+1)2
Д=
л-1
Если
превышают
б) примерно 2/3 отклонений Д,- меньше 5;
в) половина всех Д, меньше 0,6755, то распределение результатов
считается нормальным;
однородности дисперсии.
4 ) теперь следует убедиться
Однородность проверяем по критерию Бартлена, согласно которому
вычисляется дисперсия
А
Т
2
5и I г*
и=1
и рассчитывается величина
в
2,3026^218 5 ^ , - 1 г и 18 5«
73
2
(4.9)
1
1
где с = 1+
+
ги
1
2
г = п и -1
1 число степеней свободой дисперсии;
г = 2 > и - общее число степеней свободы;
N —число сравниваемых дисперсий.
Вычисленное значение
критерия
Бартлена
х 2 сравнивается с
табличным х 2 при статистической надежности а
= 0,05 и числе
степеней свободы N —1 [1]. Если х меньше х , то гипотеза об
однородности дисперсий не отвергается. Если дисперсии однородны, то
рассчитанная по формуле (4.9) дисперсия принимается за дисперсию
всего эксперимента;
5 ) проверка коэффициентов регрессии на значимость проводится
для исключения из рассмотрения коэффициентов, оказывающих не
существенное влияние на результат.
Проверка проводится по критерию Стьюдента. Коэффициент
регрессии считается значимым, если его абсолютная величина больше
интервала,
м ч а ,,,
где
^
- среднее квадратичное отклонение всего
эксперимента
п=
-
сумма
квадратов
факторов
матрицы
планирования, равная диагональным элементам информационной
матрицы для соответствующих коэффициентов регрессии;
/ ^ у - критерий Стьюдента при заданном уровне
значимости а = 0,05 и число степеней свободы / = N 1 1;
6 ) проверка математической модели на адекватность. Для этого
А
определяется значение V , полученное из уравнения (4.8), т.е.
^1 щЩ ~Ь\ -1*2 -Ьт, + 0,4(61 + Ь22 + ^Зз)+^12 Ш Й + ^23
1
Я
= ^0 + Ь \ - Ь 2 - Ь з + 0,4(бц +^22 + *33)_ *12 ~^13 +й23
= *0 ~Ь\ + 6 2 - 6 3 + 0 ,4(бц +622 + 6 зз)+ 6 12 ~Ь\$ - Ъ ц
74
У1У = *0 +Ъ\ +Ь2 -Ь з + 0 , ф ц + Ь 22 +Ьзз)-Ь\2 + Ь\3 ~ Ъ2Ъ
У \ = Ь 0 —Ь\ - *2 + *3 + 0,4(^11 + Ь22 + * З з)+ * 1 2 -Ь\з ~*23
= *0 +*1 ~ Ъ 2 + *3 + 0,4(*ц + Ь 22 + * зз) —*12 + Ь\з —Ь23
Ууп = Ь 0 - Ь ] + Ь 2 + *3 + 0,4(*ц + ь 22 + *3з ) “ *12 -* 1 3 + 6 23
Уущ = *0 +*1 +*2 + 6 з + 0 ,4 (6 п + 622 + * З з)+ ^12 + Ь 13 + Ь 2Ъ
Ук = *о + !’7*1 + 2,3*11 + 0,6(*22 + ^33 )
Ух = *0 " Ь7&1 + 2,3*! 1 - 0,6(622 + *33 )
УХ1 = *о + 1, 7*2 + 0,66] 1 + 2 ,3*22 " 0,6*33
Ухи =*о - 1,7*2 + 0 ,6 *11 + 2 ,3*22 “ 0,6*33
Ух!ц = *о + 1,7*з —0,6*11 ~ 1,6*22 + 2,3*33
Ух! = *0 -1,7*2 ~ 0,6*11 - !>6*22 + 2^*33
У ху = *0 “ 0 ,6 (*11 + *22 + *33 )
Рассчитаем дисперсию адекватности по формуле
о 2 _ Х гы(^и^и)^
=
где
/
1
каждой
Уи - среднее арифметическое параллельных опытов
в и-тои точке плана;
\ и - предсказанное по уравнению регрессии значение
шя
в м-тои точке плана;
/у = Ы - а - число степеней свободы;
а - число значащих коэффициентов регрессии.
Проверка на адекватность математической модели производится по
критерию Фишера. Вычисляем расчетное значение критерия Фишера
о2
II
По таблице в [1] определяем табличное значение при уровне
значимости а = 0,05 и степеням свободы = N —а и V; = /V— 1
75
Если расчетное значение /^-критерия не превосходит табличного, то
гипотеза об адекватности не отвергается.
После проведения всех проверок переходят к интерпретированию
полученных результатов и выработке рекомендаций по установлению
технико-экономических показателей исследуемои установки.
Таким образом, в разделе подробно рассмотрены основные понятия
планирования эксперимента: задачи, виды, тактика и стратегия
экспериментов типы, выбор факторов и треоования к ним.
Для проведения эксперимента любого типа необходимо:
- разработать гипотезу, подлежащую проверке;
- создать программы экспериментальных работ;
- определить способы и приемы вмешательства в объект
исследования:
- обеспечить
условия
для
осуществления
процедуры
экспериментальных работ;
- определить способы и приемы вмешательства в объект
исследования;
- обеспечить
условия
для
осуществления
процедуры
экспериментальных работ.
76
Литература
1 Задгинидзе И. Г. Планирование эксперимента для исследования
многокомпонентных систем. - М .: Наука, 1976. - 367 с.
2 Закс Л. Статистическое оценивание. —М. : Статистика, 1986. 598 с.
3 Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников и инженеров. - М .: Наука, 1973. —832 с.
4 Кожухар В. М. Основы научных исследований : учебное пособие.
- М .: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2 0 1 0 .-2 1 6 с.
5 Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в
технике и науке. Методы обработки данных. - М .: Мир, 1980. - 610 с.
6 Шамина О. Б. Методы научно-технического творчества: синтез
новых технических решений : учебное пособие. - Томск : Изд-во ТПУ,
2 0 1 0 .-9 0 с.
7 Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий /
Ю. П. Адлер, Е. В. Маркова, Ю. В. Грановский. —2-е изд., перераб. и
доп. - М .: Наука, 1976. - 279 с.
8 Рузавин Г. И. Методология научного исследования : учебное
пособие для вузов. - М .: ЮНИТ-ДАНА, 1999. - 317 с.
9 Бургин М. С., Кузнецов В. И. Введение в современную точную
методологию науки: Структуры систем знания : пособие для студентов
вузов. —М .: АО «Аспект Пресс», 1994. —304 с.
77
Содержание
1
2
3
4
Введение
Теоретические и эмпирические исследования
Экспериментальные исследования
Планирование эксперимента
Пример планирования эксперимента и обработки результатов
Литература
-3
5
16
23
58
щ
С. К. Ельмуратов, А. Ф. Ельмуратова
ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИИ
И ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Учебное пособие
Технический редактор Б. В. Нургожина
Ответственный секретарь А. К. Темиргалинова
Подписано в печать 30.06.2014 г.
Гарнитура Т!ше8.
Формат 29,7 х 42
Бумага офсетная.
Усл.печл. 3,27 Тираж 300 экз.
Заказ № 2362
Издательство «КЕРЕКУ»
Павлодарского государственного университета
им. С. Торайгырова
140008, г. Павлодар, ул. Ломова, 64
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
3 764 Кб
Теги
osnovy, eksperimente, 3031, elmuratov, elmuratova, nauchnie, planirovanie, issledovanie
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа