close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3166 duzelbaev s.t primenenie evm v raschetno-graficheskih rabotah prikladnoy mehaniki

код для вставкиСкачать
БЫД Яі
Дузельбаев С.Т.
расчетно-графических
работах
прикладной механики
Павлодар
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Д узельбаев С.Т.
в расчетно-графических
работах
прикладной механики
I
учебное пособие для студентов вузов и колледжей
>
Павлодар
УДК 531.8+ 539.3/.6 ] : 681.3 (075.8)
ББК- 30.12 + -32.973 ] я-73 —~
Д 8 L —- —
Д81
Дузельбаев С.Т.
Применение ЭВМ в расчетно-графических работах приклад­
ной механики, часть -1: Учеб. пособие для вузов и коллед­
жей. - Павлодар: 111 У им. С .Торайгырова, 2002 - 82 с.
ISBN 9965-539-28-6
Учебное пособие предназначено для студентов высших и сред­
них профессиональных учебных заведений, изучающих курсы
«Прикладная механика», «Сопротивление материалов» и
«Техническая механика». В каждой главе приведены сведения
из теории, примеры расчета и методика применения ЭВМ в
типовых заданиях.
Рецензенты: к.т.н., доцент Сорокин А.Н. (Павлодарский госу­
дарственный университет им. С. Торайгырова) и к.т.н., доцент
Курманов А.К. (Павлодарский университет)
Щ ,
Рекомендовано к печати Ученым советом Павлодарского госу­
дарственного университета им. С. Торайгырова
4310020000
00
(05)-02
ISBN 9965-539-28-6
© Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова
© С.Т. Дузельбаев
Введение в Паскаль
Первая версия языка Паскаль была разработана швейцарским
ученым Никлаусом Виртом в 1968 году. Первоначально язык предна­
значался для целей обучения, поскольку он является достаточно де­
терминированным, т.е. все подчиняется определенным правилам, ис­
ключений из которых не так много. Основные характеристики: отно­
сительно небольшое количество базовых понятий, простой синтаксис,
быстрый компилятор для перевода исходных текстов в машинный
код.
В 1992 г. фирма Borland International выпустила два пакета,
основанных на языке Паскаль: Borland Pascal 7.0 и Turbo Pascal 7.0,
Первый может работать в трех режимах - обычном и защищенном ре­
жимах MS DOS и в системе Windows• Для него необходимо порядка
30 Мбайт на жестком диске и около 2 Мбайт оперативной памяти.
Турбо Паскаль 7.0 работает только в обычном режиме MS DOS и ме­
нее требователен к характеристикам компьютера. Поскольку основ­
ные компоненты, которые мы будем рассматривать в нашем курсе,
совпадают в обоих продуктах, в дальнейшем будет использоваться на­
звание Турбо Паскаль.
Пакет включает в себя алгоритмический язык программирова­
ния высокого уровня, встроенный редактор и среду, предназначенную
для отладки и запуска программ. Кроме того, пакет содержит большой
объем справочной информации (англоязычной). Как известно, языки
программирования делятся на два типа: интерпретаторы и компилято­
ры. Турбо Паскаль относится к компиляторным языкам.
Начало работы
Для начала работы необходимо в строке приглашения операционной системы набрать Turbo и нажать <Enter>. В результате на эк­
ране появится главное окно (Desktop), окно редактора текста и ин­
формационное окно. Чтобы информационное окно исчезло, надо на­
жать <Enter>.
В верхней части главного окна Turbo Pascal находится строка
главного меню, в которой перечислены названия меню, команды ко­
торых используются во время работы в среде программирования. Так,
команды меню File используются для выполнения действий с файла­
ми, меню Compile - для компиляции исходной программы в выпол­
няемую, Options - для настройки среды программирования.
Выбрать нужную команду можно при помощи клавиатуры или
мыши.
С помощью клавиатуры.
• Нажать қлавишу <Ғ10> (в результате один из пунктов меню будет
выделен цветом);
• Используя клавиши перемещения курсора влево и вправо, выде­
лить название нужного пункта меню и нажать клавишу <Enter> (в
результате появится список команд выбранного пункта меню).
• Используя клавиши перемещения вверх и вниз, выделить название
нужной команды и нажать <Enter>.
С помощью мыши:
• Установить указатель мыши на название нужного пункта меню и
щелкнуть левой кнопкой мыши;
• Установить указатель мыши на название нужной команды и щелкнуть левой кнопкой мыши;
Названия одних команд написаны серым цветом, справа от не­
которых стоит многоточие, а рядом с другими - названия функцио­
нальных клавиш или комбинаций клавиш.
Названия команд в списке подчиняются определенным прави­
лам:
Поавило
ltpaonifiv
Название команды выглядит
четко (написано черным
цветом4)
Название команды выглядит
нечетко (написано серым
цветом)
Многоточие после названия
команды
После названия указана
фу нкцион альн ая
кл авиша
или комбинация клавиш
Стрел ка,
расположенная
справа от названия команды
_______ Что это означает
Команда в данный момент доступна,
т.е. может быть выполнена
Команда в данный момент недос­
тупна, т.е. не может быть выполнена
После выбора данной команды поя­
вится диалоговое окно, запраши­
вающее дополнительную информа­
цию для выполнения команды
Комбинация —сокращение команды.
Команду можно выполнить без
предварительного открытия меню
Выбор команды приводит к появле­
нию уточняющего списка команд
Диалоговые окна
ТР использует окна как для запроса необходимой информации,
та и для выдачи информации. Например, при выполнении команды
Open (Открыть), после имени стоит многоточие, появляется окно за­
проса имени файла.
6
В диалоговом окне находятся элементы диалога: командные
кнопки, поля ввода текстовой информации, списки, поля вывода и т.д.
Один из элементов окна диалога выделен цветом, называется теку­
щим. Перемещение по элементам диалога вперед - <ТаЬ>, назад <Shift>+<Tab>
Кнопки команд инициализируют немедленное выполнение дей­
ствия. Если в окне диалога несколько кнопок команд, то одна кнопка
выделяется цветом. Чтобы выполнить действие - нужно щелкнуть на
кнопке.
Поле ввода используется для приема текстовой информации.
Например, при выполнении команды Save (Сохранить) надо задать
имя. Неверно введенный символ удаляется при помощи <Backspace>
и <Delete>. Ввод завершается нажатием <Enter> или при переходе к
другому элементу окна.
Поле списка используется для выбора из нескольких вариантов,
например, файла с текстом программы для загрузки в редактор. Один
из элементов выделен цветом. Список может быть представлен в не­
сколько столбцов. Рядом с полем списка расположена полоса про­
крутки. Бегунок полосы показывает относительное положение теку­
щего элемента в списке.
Поле вывода является информационным. В это поле выводится
дополнительная информация. Например, диалоговое окно Open a File
(Открыть файл) выводит имя текущего каталога и характеристики
файла, имя которого выделено в списке.
После заполнения полей надо нажать командную кнопку. Что­
бы завершить диалог без выполнения команды, следует выбрать
кнопку <Сапсе1> (Отмена). Кроме того, можно щелкнуть на кнопке
Закрыть окно диалога.
После установки среды программирования, при первом ее за­
пуске следует указать каталог для выполняемых программ. В этот ка­
талог компилятор будет помещать файлы выполняемых программ.
Определение каталога производится выбором команды Directories
(Каталоги) из меню Options (Параметры). В поле ввода EXE&TPU
directories этого окна следует ввести имя каталога с указанием пути.
Подготовка текста программы
Чтобы начать набирать текст новой программы, надо из меню
File (Файл) выбрать команду New (Новый). В результате этого будет
открыто окно редактора текста. В верхней части окна находится имя,
автоматически присваиваемое программе, текст которой находится в
Имя
что текст не сохранялся на диске.
Текст программы вводится обычным образом. Использование
отступов позволяет наглядно изобразить структуру программы. Ре­
дактор разработки автоматически выделяет ключевые слова языка
программирования Turbo Pascal (var, begin, end и другие) цветом, что
делает текст программы более выразительным, облегчает восприятие
структуры программы.
Кроме ключевых слов, редактор выделяет комментарии. Как
только программист напечатает символ комментария (открывающую
скобку), текст, стоящий после этой скобки, меняет цвет. После того,
как программист поставит закрывающую скобку, текст, стоящий по­
сле этой скобки, приобретает обычный вид.
Ж
—
Работа с фрагментом текста
Используя возможности редактора по работе с фрагментами
текста, можно сократить время набора текста и облегчить процесс
внесения изменений. Фрагмент текста | это выделенная часть текста:
символ, часть слова, строка, или несколько строк. Фрагмент текста
можно переместить, скопировать, удалить. Команды, используемые
при работе с фрагментами текста, находятся в меню Edit (Правка).
Чтобы выделить фрагмент при помощи клавиатуры, необ­
ходимо:
,
1. Поставить курсор на символ, с которого начинается фраг­
мент.
2. Нажать клавишу <Shift> и, удерживая ее используя клави­
ши перемещения курсора, переместить курсор на послед­
ний символ фрагмента.
3. Отпустить <Shift>.
Выделение с помощью мыши:
11 Установить указатель на первый символ.
2. Нажать левую кнопку мыши, и удерживая ее, переместить
указатель на последний символ фрагмента.
3. Отпустить кнопку.
Перемещение фрагмента
1. Выделить фрагмент
2. Edit - Cut (Вырезать). В результате фрагмент будет удален с
экрана и помещен во внутренний буфер редактора.
3. Установить текстовый курсор за тем символом, после кото­
рого нужно поместить фрагмент.
8
4. Edit - Paste (Вставить)
Копирование фрагмента
1. Выделить фрагмент
2. Edit - Сору (Копировать). В результате копия фрагмента бу­
дет помещена внутренний буфер редактора.
3 Установить текстовый курсор за тем символом, после кото­
рого нужно поместить фрагмент.
4 Edit - Paste (Вставить).
Удаление фрагмента
1. Выделить фрагмент
2. Edit - Clear (Очистить).
А также выделение фрагмента: начало - Ctrl+K-B, конец - Ctrl+K-K,
копирование - Ctrl+K-C, перемещение - Ctrl+K-V, снятие выделения Ctrl+K-H.
Отмена команды редактирования
Если вы случайно удалили нужный фрагмент текста или пере­
местили не туда, куда надо, то можно привести текст к прежнему ви­
ду, отменив выполненную команду Edit - Undo.
системы
При наборе программы можно пользоваться встроенной спрасистемой. Для получения справки по ключевым словам надо
любую
<Ctrl>, нажать <F 1>.
P
J I / D
W
f t H
V
-------- ----------
^
Щ
Ш
w
Сохранение текста программы
Для сохранения программы на диске надо выбрать File (Файл)
-Save (Сохранить). Появляется диалоговое окно Save file as. При на­
писании имени файла следует придерживаться след, правил:
1. Допускается использовать только буквы латинского алфа­
вита и цифры, причем первым символом должна быть буква.
2. Количество символов не должно превышать восьми.
3. Имя файла должно быть связано с его содержимым.
Если текст надо сохранить в другом каталоге, то перед выполнением команды Save, нужно сменить текущий каталог. (File | Change
dir /Сменить каталог/). В появившемся окне в списке Directory tree
(Дерево каталогов) выбрать нужный каталог. Если нужный каталог
9
находится на другом диске, то сначала надо выбрать строку
Опуеге(Диски) и щелкнуть Ок. В открывшемся списке выбрать диск,
затем каталог.
Загрузка текста программы
Если исходная программа находится на диске, то для того что­
бы с ней работать, надо загрузить в редактор текста: File - Open. Если
нужно открыть файл с программой, а в окне редактора находится про­
грамма, работа с которой уже завершена, то вместо кнопки Open надо
использовать кнопку Replace (Заменить).
Другие возможности редактора текста
Окно редактора текста состоит из элементов, для каждого из
которых можно задать цвет символов и цвет фона. Настраиваются
цвета при помощи команды Environment (Среда) меню Options (Пара­
метры) и последующего выбора команды Colors (Цвета). В результате
появится окно настройки цвета, используя которое сначала следует
настроить общий фон окна редактора текста. Для этого надо.
1. Из списка Group (группа) выбрать строку Editor (Редактор).^
2. Из списка Items (Элемент) выбрать Normal Text (Обычный
текст).
**■
3. Выбрать цвет фона, для этого щелкнуть на квадратике нуж­
ного цвета в поле Background (Фон).
4. Выбрать цвет символов, для этого щелкнуть на квадратике
нужного цвета в поле Foreground (Передний план).
Затем следует настроить цвет символов для текста программы.
Для этого надо из списка Group (Группа) выбрать строку Syntax
(Синтаксис, текст программы. После чего. Последовательно выбирая
строки из списка Кеш (Элемент), задать цвет фона и символов для
всех элементов списка (цвет фона следует задать такой же, как для
окна редактора).
Сохранение настроек
Изменения, внесенные в настройки среды программирования
действуют только в текущем сеансе работы. Чтобы Turbo Pascal ис­
пользовал заданные настройки впоследствии, их следует сохранить.
Для этого надо из меню Options (Параметры) выбрать команду Save
TURBO.TP (Сохранить файл Turbo.TP).
Компиляция
Компиляция осуществляется при помощи команды Compile
(Компилировать) меню Compile. Если в тексте программы компилятор
не нашел синтаксических ошибок, то генерируется исполняемый файл
программы, и появляется окно, информирующее об успешном завер­
шении компиляции.
Turbo Pascal поддерживает два режима компиляции:
- в память компьютера (Memory);
- на диск (Disk).
Компиляция в память выполняется быстрее, чем на диск. Од­
нако при этом выполняемая программа может быть запущена только
из среды программирования. Компиляция в память используется
обычно при отладке программы.
При компиляции на диск компилятор создает выполняемую
программу и записывает ее на диск, в файл с расширением ехе. Файлу
выполняемой программы автоматически присваивается имя исходно­
го файла, но расширение pas заменяется на ехе. Режим компиляции
определяется и может быть изменен при помощи команды Destination
(Место назначения) меню Compile.
в
Запуск и завершение работы прораммы
Запуск программы на выполнение Run-Run. Завершение рабо­
ты со средой программирования File (Файл) - Exit (Выход).
ЧАСТЬ h
1 РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
1.1 Основные понятия и зависимости
нагружения
при к о т о р Г в поперечных сечениях стержня (бруса) возникают толь­
ко продольные силы - N, а все другие внутренние силовые фшгорн
ктггаший моменты - I ) равизгибающие
=
^
- 0. методом сечений, она „о
ны нулю, фид
^_____
т 1^ проекций на продольную ось
пичине оавна алгеораичсикип
»
fiovca всех внешних сил по одну сторону от рассматриваемого сече­
н а . Растягивающее усилие считается положительным, сжимающее a t
/V IT T T J A
__
u
отрицетельныМцном сечении бруса при растяжении и сжатии возни­
кают только нормальные напряжения сг и предполагают, что они
распределены равномерно во всех поперечных сечениях растянутых и
сжатых брусьев. Поэтому нормальное напряжение в произвольно по­
перечном сечении бруса определяется отношением продольной силы
в этом сечении к его площади А, т.е.
а принимаются то же, что и для N. РазМПа
По закгау Гука, относительная продольная деформация мри
Правило знаков для
растяжении или сжатии
сг
£=—
Е
( 1.2)
относительная поперечная деформация
Е
<‘-3>
ГДе Е - модуль продольное упругости или модуль упругости первого
рода, а размерность Е та же, что и напряжение;
12
и - коэффициент поперечной деформации или коэффициент
ИМЙИ.І
м г ү р ш бруса подчинится шкту Гуте, то А в м ю п к »
(у корпи икс) бруса Л1 (при А • const, N * cowl) опреде »#•
ется по форму
и
<1 4 |
Nl
RA
где
ЕА • ягесткость п о м р ^ ш г о сечение при (сжатии):
I - длин» бруса.
Усдоаие прочности
<r__ =
А
й сг^_
(1.3)
где
Nmn, <тсшч . продольная сила и нормальное напряжение а опас
поперечном сечении (т.е. а сечении, а котором возникают наи
большие
площадь опасного сечения
&ш * допускаемое напряжение.
Пластические материалы одинаково сопротивляются растяже
принимают
<Т^
(Ту
( 1.6 )
п
где
- предел текучести материалы;
коэффициент запаса прочности.
к известно, хрупкие материалы по-разному сопротивляются
растяжению и сжатию и для них принимают
(1.7)
где
13
^ i> етис- пределы прочности материалы соответственно при
растяж ении и сж атии.
Условие прочности (1.5) позволяет вести расчет следующих задач:
Проектный расчет, т.е. опрел
. пои известных N И СГ^т :
N
А> —
сгadm
( 1. 8 )
П роверочны й расчет, т.е. определение ф д
uup р>гп г попүстимым, пои заданны х
G
max
>О
(1.9)
_
aum.
3. Определение грузоподъемности конструкции, т.е. определение на­
грузки, при известных А и с г ^ :
( 1. 10)
N > А -с ғ ^ .
При расчете бруса, кроме условия прочности, должно выполW
имеющие
бруса следующий вид (при N-const и A const)
*
1 ‘ -
..уД :
ЕА
- '
з
■
,_
_
_
_
_------------------------------— —
—.
_
« «
Г
л м / Л П
П
Л Т ' А
I " )
где
Aladm- допускаемое абсолютное удлинение.
Отметим, что расчет по условию жесткости всегда должен быть
дополнен расчетом на прочность.
Пример 1. Дня заданного ступенчатого бруса (рисунок 1.1а),
построить эпюру продольных сил, нормальных напряжений и пере­
мещений поперечных сечений. Е = 210s МПа. Собственный вес бруса
не учитывать, а = 0,2 м, b = 0,4 м, с = 0,8 м, Аа - 15 См , Аь * 1 см ,
Ас = 5 см2 , F, = 120 кН, Fb= 60 кН, Fe = 20 кН.
Решение. 1. Проектируя внешние силы на ось, определим реак­
цию опоры (рисунок 1.16):
14
а)
F
а
Эпюра N, МН
0.04
+
0.02
0,08
Эпюра а, МПа
+
і
53,33
0.267
40
Эпюра 5*104, м
+
» •
0,533
1,333
Рисунок 1.1
15
I
откуда
R a = Fa - F b+Fc = 120-60 + 20 = 80 кН.
2. Вычислим значения N в сечениях стержня, пользуясь мето­
дом сечений. Для этого последовательно рассекаем стержень плоско­
стями 1-1, 2-2, 3-3.
v
^
Это зависит от загруженности и жесткости стержня. Далее
мысленно отбрасывая каждый раз, часть стержня, лежащую правее
сечения, рассмотрим равновесие оставшейся части. Из уравнений
равновесия каждой оставшейся части получим:
а) в сечении 1-1 (0 < х < 0,2 м)
f
N ft ='iQ
-RЛ
a = -8 0 кН = - 0,08 МН;
б) в сечении 2-2 (0,2 м <> х < 0,6 м)
N b = - R a + Fa = -8 0 + 120 = 40 кН 1 0,04 МН;
в) в сечении 3-3 (0,6 м < х < 1,4 м)
N c = - R a + Fa - F b = -8 0 + 120-60 = -20 кН = -0,02М Н .
В результате расчета получили, что два крайних участка
стержня испытывают деформацию сжатия, а средний участок - растя­
жение.
Выбрав условный масштаб, строим эпюру N (рисунок 1.1 в).
3. Находим нормальные напряжения на каждом участке по
формуле (1.1):
а) на первом участке (0 < х £ 0,2 м)
щ
ш
N.
0,08
___, -п .
а = —L ------- -— г = —53,333 МПа;
' А,
15-10
б) на втором участке (0,2 м < х < 0,6 м)
16
9
Nh
0,04
cr. ш — = — -— - = 40 МПа;
Ab 10-10'4
в) на третьем участке (0,6 м < х < 1,4 м)
Nc
0,02
_
гг = —£- = ----- -— - т -40 МПа.
с Ас
5 -10
Выбрав также масштаб, по этим данным строим эпюру (рису­
нок 1.1 г). Эпюру перемещений строим, начиная от закрепленного
конца (т.к. перемещения сечения равно нулю) определяя перемеще­
ния характерных сечений, как алгебраическую сумму абсолютных де­
формаций (участков), лежащих левее рассматриваемого.
Абсолютные деформации: каждого участка определяем по
формуле (1.4) и они равны:
а) первого участка (0 < х < 0,2 м)
« jSjfc = “
ЕА.
°’^8' в*2- - = -0,523 10~4 м;
2-10 -15-10
б) на втором участке (0,2 м < х < 0,6 м)
л \ь
b
ЕАи
----- ° У ' ° ’4-..| = -0,8-10 '4 м;
2 -10 -10-10
в) на третьем участке (0,6 м < х < 1,4 м)
е
ЕАС
2*10 -5-10
Перемещение соответствующих сечений определяется как ал­
гебраическая сумма абсолютных продольных деформаций участков
стержня, заключенных между рассматриваемым сечением и закреп­
ленным сечением стержня. В рассматриваемом примере.
* а = о;
І І В Н
-0,533-1 g p м;
Sc = 211, + Л ь = -0,533 • 10-4 + 0,8 •10“ = 0,267 • 10 4 м;
§ = л + Н | А\с = -0,533! 10'4 1 0,8 •10~4 -1,6 • 10"4 |
По вычисленным значениям
перемещений (рисунок 1.1 д).
8
М.
-1,333 •1O'4
в масштабе строим эпюру
1.2 Применение ЭВМ к исследованию напряженнодеформированного состояния ступенчатого бруса
Характеристика программы. В программе реализован алго­
ритм решения задачи 1.1.
Программа условно названа «Брус» и текст программы приве­
ден в приложении.
„
Подготовка задачи. Изобразить в масштабе ступенчатый брус
(расчетную схему) и пронумеровать характерные точки бруса
слева направо (рисунок 1.2). Нумерация начинается с нуля. Внешние
сосредоточенные силы вводятся в программу с положительным зна­
ком, если они растягивают брус относительно крайнего правого се­
чения. В противном случае со знаком минус.
А, = 0,0015
А3 = 0,0005
А2 = 0,001
F, = 0,12
F2 = 0,06
Ғ3 = 0,02
w
Рисунок 1.2
Описательная часть. В описательной части программы ис
уются следующие идентификаторы:
М —для количества характерных точек ступенчатого бруса,
18
А[1..М] - массив для величин площадей участков ступенчатого
бруса;
Ц1..М] - массив для величин расстояний между соседними,
характерными точками (массив длины каждого участка бруса);
Е[1..М] - массив для величин модуля упругости первого рода
(массив материала каждого участка бруса);
F[1 ..М] - массив для величин внешних сосредоточенных сил.
При форматировании таблицы данных следует предварительно
привести все разности в мегоньютон и метр.
Вывод результатов счета. На печать выводятся:
N[1..M] - продольные силы;
SIGMA[1..M] - нормальные напряжения;
DELTAL[1..M] - абсолютная деформация участка;
DELTA[1..M+1] - перемещение поперечных сечений бруса в ха­
рактерных точках.
На примере 1.1 покажем формирование исходных данных. Для
этого перерисуем расчетную схему, проведем нумерацию характер­
ных точек с указанием длины и площадей участков, внешних сосредо­
точенных сил в числах.
Элементы массивов исходных данных перечисляются в по­
рядке их нумерации.
Количество характерных точек М == 3. Массивы исходных дан­
ных, приведенных в описательной части имеют вид:
А[1..3] — 0.0015,0.001,0.0005 ;
Ц1..3] =
0.2, 0.4,0.8 ;
Е[1..3] -
2Е+5,2Е+5, Е+51;
F[1..3] = 0.12, -0.06,0.02 •
Элементы массивов перечисляются в порядке их нумерации.
Тогда, таблица исходных данных имеет вид:
ВВОДИТЕ ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Количество характерных точек - М
Введите поэлементно массивы - А[М], L[M], Е[М], F[M]
0.0015,
0.2, 2Е+5, 0.12
0.0010,
0.4, 2Е+5, -0.06
0.0005,
0.8, 2Е+5, 0.02
РЕЗУЛЬТАТЫ СЧЕТА
ПРОДОЛЬНАЯ
СИЛА
НОРМАЛЬНОЕ
НАПРЯЖЕНИЕ
ДЕФОРАЦИЯ
УЧАСТКОВ
-0.08
-53.3333
-5.3333Е-05
0.04
40
0.00008
_0.02
-40
-0.00016
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ХАРАКГЕНЫХ ТОЧЕК
0
0
1
-5.33333Е-05
2
2.66667Е-05
3
-1.33333Е-04
20
2 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
2.1 Основные понятия и зависимости
Для расчета элементов конструкции и деталей машин на проч­
ность, жесткость и устойчивость, прежде всего, необходимо овладеть
методами определения геометрических характеристик поперечных
сечении, так как сопротивление элементов конструкции и деталей
машин различным видам напряжении и деформаций зависит не
только от размеров и материала, но и от очертании оси. Формы попе­
речных сечений и их расположения относительно направления дейст­
вия силовых факторов.
В зависимости от расположения дейсвтующих силовых факто­
ров в сечениях элементов могут возникать напряжения постоянные
или переменные по величине и направлению.
При равномерном распределении напряжении по поперечному
сечению, геометрической характеристикой для расчета на прочность
и жесткость является поперечное сечение, состоящим из бесконечно­
го множества элементарных площадок dA (рисунок 2.1), то площадь
всего сечения А
(2 . 1)
А = [dA
А
Размерность площади единица длины в квадрате (например:
2 2
см , м ).
Если напряжения распределяются неравномерно по переменному сечению, имеющие место при расчетах на изгиб, кручение,
сложное сопротивление, а также при расчетах на устойчивость, ис­
пользуются более сложные геометрические характеристики: статиче­
ские моменты, моменты инерции, моменты сопротивления, радиусы
инерции.
Статические моменты сечения относительно осей Z и Y опре­
деляются интегралом вида:
(2 .2 )
S7 = fydA, Sy = JzdA,
A
A
где
21
i
z
Z
Рисунок 2.2
Рисунок 2.1
Y
z
Рисунок 2.4
Рисунок 2.3
22
z и у - расстояние от элементарной площади dA до соответст­
вующих осей z и у. Статические моменты имеют размерность еди­
ница длины- в кубе (например: см3, м3). Статический момент может
быть положительным, отрицательным и равным нулю.
Если известно площадь и положение центра тяжести сечения, то
статический момент определяется по формуле:
Sz = ус -A,
Sy = zc •А,
(2.3)
где
zc, Ус - координаты центра тяжести сечения относительно про­
извольных осей Z и Y.
Положение центра тяжести сечения, при известной площади и
статического момента определяются:
(2.4)
Yc = S Z/A.
Zn = S y /А,
Статический момент относительно любой оси, проходящей че­
рез центр тяжести сечения всегда равен нулю. Такие оси называются
центральными осями.
Определенные интегралы вида:
Iz = Jy2dA,
(2.5)
Iy = fz2dA,
А
А
называются осевыми (или экваториальными) моментами инерции сечбния относительно осей Z и Y.
относительно
ъ*
П
t
Т
дикулярных
(2.6)
Izy =
А
а полярный момент инерции сечения относительно некоторой точки
(полюсами) (см. рисунок 2.2) - интегралом вида.
(2.7)
\ р = \ p 2dA
23
I
Размерность моментов инерции - единица длины в четвертой
степени (например: см4, м4). Осевые и полярные моменты инерции
всегда положительны, а центробежный момент инерции в зависимо­
сти от положения осей может быть положительным, отрицательным и
равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент
инерции равен нулю, называются главными осями инерций. Относи­
тельно их осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, и
они называются главными осями инерций. Центробежный момент
инерции сечению относительно двух взаимно перпендикулярных
осей, из которых одна или обе совпадают с его осями симметрии, ра­
вен нулю. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения,
называются главными центральными осями, а моменты инерции от­
носительно этих осей - главными центральными моментами инерции.
Радиус инерции сечения относительно соответствующей оси
определяется по форму
(2 .8 )
Моменты инерции для параллельных осей (рисунок 2.3), одна из
которых центральные (YcOcZc)
і, =
Ч В 2а’
I У = I Ус
V + b 2A,’
(2.9)
І ^ = І адс+аЬА’
где
между
(2.9), следует подставлять с учетом их знаков;
I I I
- моменты инерции сечения относительно цен*с’
Ус’
2сУс
г
тральных осей.
Моменты инерции для повернутых осей (рисунок 2.4):
24
V
Iu = I zcos2a + Iysin2a - I zysin2a,
I v = I 2sin2a + Iycos2a + I4rsin2a,
(2.10)
Iuv = ------ 1 sin 2a + 1^00520:.
Положение главных центральных осей инерции вычисляются
по Формуле:
Главные моменты инерции определяются уравнениями:
max
шш
2
Пример 2.1. Найти положение главных центральных осей и вы­
числить главные центральные моменты инерции составного сечения
(рисунок 2.5). Швеллера № 14, уголка 110x70x6,5.
Решение. По таблице сортамента находим площадь, моменты
инерции и координаты центра тяжести каждого элемента. Для швел­
лера № 14: Аш= 15.6 см2; Һ 1 14 см; в Я 5.8 см; g = 1,67 см ; Iz, - 491
см2; Iyi = 45.4 см2 .
Дл* уголка 110x70x6,5: Ау 111,4 см2; gg = 1-58 см (по сорта­
менту I х0); zoy = 3,55 см (по сортаменту - у0 ); 1й = 45,6 см ; 1уг 1 142
см4; tg а = 0,402; Щһ= 26,9 см4 .
В рассматриваемом примере швеллер имеет ось симметрии z,,
следовательно, центробежный момент инерции швеллера относи­
тельно собственных центральных осей равен нулю, а центральные оси
неравнобокого уголка не являются главными, поэтому центробеж­
ный момент инерции относительно этих осей для уголка не равен ну­
лю и вычисляется по формуле:
I ,„ I -
(
I
*
= -{l 42 - 26,9) ■0,402 = -46,3 см*.
25
I
Y it
Y et
Y zt
Рисунок 2.5
26
9
Для нахождения положения центра тяжести составного сечения
в качестве вспомогательных осей выбираем центральные оси z и
у швеллера. Относительно этих осей определим координаты центров
тяжести каждого элемента:
а) швеллера:
Z| = 0;
Уі = 0;
б) уголка:
z2= И -5 + Zo-Zoy= 11 -5 + 1,67-3,55 = 4.12см;
у2 = 14/2 + 0,65 - 1,58 = 6,07 см.
Тогда, координаты центра тяжести составного сечения относи
тельно осей z и у по формуле ( 2.4) равны:
15,6*0 + 11,4-6,07 69,2
-к
г = —’--------------- 1— = —— = 1,74см;
с
15,6 +11,4
27,0
7с
15,6-0 + 11,4-4,12
47
„
|----------1---- -— = ----- = 2,56 см.
15,6 +11,4
27,0
Определяем осевой и центробежный моменты инерции состав­
ного сечения относительно центральных осей Zc и Yc. Определим ко­
ординаты центров тяжести элементов сечения в осях Zc и Yc:
а) для швеллера:
а , = ус
в, = z c
= -2,56 см;
= -l,74 см;
б) для уголка:
.
а2 = 6,07 - 2,56 = 3,51см;
В2 = 4,12 -1,74 = 2,38 см.
Вычислим осевые 1К, 1« и центробежный I^yc моменты инер­
ции
тов инерции составных элементов, используя теоремы для определе
ния моментов инерции сложного сечения и при параллельном пере
носе осей (2.9 ), т.е.
27
I z c = I z i+ a ? A ,+ I z2+a^A2 =
= 491 + ( - 2,5б)2 •15,6 + 45,6 + (3,51)2 • 11,4 = 779,3 см4;
І у с = 1 у 1 + В ?А . + І у 2 + В 2А 2 =
= 45,4 + ( - 1,74)2 • 15,6 +142 + (2,38)2 • 11,41 199,2 см4;
W
= I zlyl + а І ‘ В І
A 1 + I z2y2 + а 2 - в 2 ' А 2 =
= 0 + (-1,74) •(- 2,56) ■15,6 + (- 463)+ 2,38 3,51 • 11,4 = 118,5 см
Направление главных центральных осей определяется величи
ной и знаком угла а:
tg2Я I
21гсус -В 2 1 1 11 1 1 -0,48323;
1ус- 1 го 199,2-779,3
2 а0 = —26°16';
а 0 =-13°08'.
Покажем положение главных центральных осей на чертеже
(рисунок 2.5), отложим угол а по часовой стрелке (в соответствии со
знаком минус).
Определяем величины главных центральных моментов инер­
ции сечения по формуле (2.12):
гmax = ~2 (779,3 + 299,2)± V(779,3 - 299,2)2 + 4 118,52
mi n
= i [l 078,5 ± 535,4] = 539,25 + 267,7 см4.
Откуда:
Imax = 539,25 + 267,7 = 807 см4;
і _іп =
539,25 - 267,7 = 271,5 см4
Проверка:
I1 max• 4-ТАт ш- = I zc +1Аус>•
807 + 271,5 = 779,5 + 299,2;
1078,5 = 1078,5
28
т.е. убедились, что при повороте осей сумма моментов инерции ос­
таются постоянной.
2.2 Применение ЭВМ к определению геометрических
характеристик плоского составного сечения
Характеристика программы. Программа реализует общепри­
нятый алгоритм расчета главных центральных моментов инерции со­
ставного сечения и она условно названа «Сечение» (текст программы
приведен в приложении).
Все исходные данные, входящие в описательную часть про­
граммы, либо являются табличными характеристиками составных
частей сечения, либо вычисляются по известным элементарьым
формулам: Предусматривается вывод на печать промежуточных
данных расчета, которые могут оказаться необходимыми для обна­
ружения ошибок при ручном счете той же задачи.
Подготовка задачи. Заданное сечение изображается в опреде­
ленном масштабе и разбивается на составные части (рисунок 2.5). Со­
ставными частями сечения могут быть стандартные прокатные про­
фили или простые геометрические фигуры. Для каждого элемента
на схеме сечения указывается положение центра тяжести и направле­
ние собственных центральных осей, параллельных сторонам состав­
ного сечения. Для уголковых профилей (равнобоких или неравнобо­
ких) указываются также и направление собственных главных цен­
тральных осей. Все одноименные оси должны быть параллельными
и направлены в одну и туже сторону. Элементы нумеруются в произ­
вольном порядке. Выбираются вспомогательные оси с тем условием,
что их направления должны быть параллельны сторонам составного
сечения. Определяются координаты центров тяжести элементов от­
носительно вспомогательных осей. В случае, когда элементов со­
ставного сечения является уголок, то предварительно вычисляется его
центробежный момент инерции относительно собственных централь­
ных осей по известным формулам.
Описательная часть. В описательной части перечисляются.
N - количество основных элементов сечения;
A[1 ..N] - массив площадей элементов;
Z[1..N] - массив абсцисс центров тяжести элементов относи­
тельно вспомогательной оси Z;
29
I
Y[1..N] - массив ординат центров тяжести элементов относи­
тельно вспомогательной оси Y;
ZJ[] ..N] I массив осевых моментов инерции элементов относи­
тельно собственных центральных осей ординат.
ZYJ[1..N] - массив центральных моментов инерции элементов
относительно собственных центральных осей;
B[1..N], C[1..N] - массивы абсцисс и ординат центров тяжести
элементов относительно центральных осей составного сечения.
Вывод результатов счета. На печать выводятся следующие
геометрические характеристики:
ZC,YC - координаты центров тяжести составного сечения от­
носительно вспомогательных осей:
JZC, JYC, JZYC - соответственно центральные осевые и цен­
тробежный моменты инерции составного сечения;
B[I..N], C[1..N] - координаты центров тяжести элементов от­
носительно центральных осей составного сечения;
ALFA - угол поворота от центральных осей составного сече­
ния к главным U и V в радианах;
JMAX, JMIN- главные центральные моменты инерции сечения.
Размерности величин, полученных в результате машинного
счета, те же, что были приняты при составлении исходных данных
программы.
Для решения рассмотренной задачи с помощью ЭВМ необхо­
димо подготовить исходные данные в следующей форме:
"
№
элементов |
1
~
dm j
см4
Ч
СМ
*zy*
4
см
491
45,6
45,4
142
0
-46,1
А,
Z,
Y
I*
см
см
см
15,6
П ,4 _
0
4,12
0
6,07
-
Количество составных частей сечения равно 2, т.е. N“ 2.
РЕЗУЛЬТАТЫ СЧЕТА
КООРДИНАТЫ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ
ZC=*1.739555
YC=2.562889
КООРДИНАТЫ ЦЕНТРОВ ТЯЖЕСТИ ЭЛЕМЕНТОВ
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ СЕЧЕНИЯ
В
С
1 -1.739555
-2.562889
30
2
2.380445
3.507111
МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ _
ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ
JZC=779.285 JYC=299.205 JZYC=118.622
ГЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ
JMAX = 806.9956
JM1N = 271.4494
ПОЛОЖЕНИЕ ГЛАВНЫХ ОСЕЙ
ALFA = - 13.14874
31
3 КРУЧЕНИЕ
3.1
Основные понятия и зависимости
Кручением называется такой вид деформации, при котором в
поперечных сечениях стержня возникает только один внутренний си­
ловой фактор - крутящий момент Тк. Обычно кручение прямого
стержня происходит под действием внешних скручивающих момен­
тов Т, плоскости действия которых перпендикулярны к его продоль­
ной оси.
Вращающиеся и работающие на кручение стержни называют
валами.
Крутящие моменты Тк, возникающие в поперечных сечениях
вала, определяются по внешним скручивающим моментам с помощью
метода сечения. На основании этого метода крутящий момент в се­
чении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих
моментов, действующих по одну сторону от сечения.
Распределение касательных напряжений в поперечных сечени­
ях вала круглого и кольцевого сечения определяется методами сопро­
тивления материалов.
Касательные напряжения по поперечному сечению вала при
кручении определяются по формуле:
Г= Л . А
( 3 . 1)
где
Тк - крутящий момент в сечении;
р - полярная координата точки, отсчитываемая от центра тяже­
сти вала, в которой вычисляются напряжения;
1р - полярный момент инерции сечения.
Для круглого поперечного сечения
I = ^ = 0,1D 4,
р
32
а для кольце вого-
32
(3 .2 )
(!..~£І2 I о,ID4(1 - с4),
32
-
p
(3.3)
где
D- внешний диаметр вала;
d- внутренний диаметр вала;
c = d/D.
В любой точке поперечного сечения перпендикулярно радиусу,
проходящему через эту точку. Наибольшего значения касательные
напряжения достигают в точках у контура сечения и равны:
Тк
m®*
Р
(3.4)
’
где
Wp - полярный момент сопротивления
Для круглого сплошного сечения
W = — = 0,2D3,
р
16
(3-5)
w
(3.6)
а для кольцевого= я Р ( 1 с ) = 0 2 Р 3(1 -с 4).
р
16
вала
крутящий
имеет одно и тоже значение, а размеры сечения постоянны по всей
длине 1, то полный закручивания определяется из зависимости:
(3.7)
_ы
Условие прочности при кручении вала круглого (сплошного
или кольцевого) поперечного сечения имеет вид:
Т
^ т а х ““ ж17
“
33
adm »
где
ттах - наибольшее касательное напряжение, возникающие в
опасном сечении вала;
Тщах - крутящий момент в опасном сечении вала;
Tadm- допускаемое касательное напряжение при кручении.
Условие жесткости при кручении имеет вид:
Si 1ВВiij
Glp
й
Щ
где
G - модуль сдвига;
GIP- жесткость сечения при кручении;
04dm- допускаемый относительный угол закручивания в рад/м
Если Өант задается в град/м, тогда формула (3.8) имеет вид:
Q
v max
1кот
=1 1
т
ли ір
<; 0
adm
(3 1 0 )
v
/
При определении диаметра валов из условий прочности (3.8)
и жесткости (3.9) или (3.10) из найденных двух значений диаметров
выбирается большее.
Обычно при расчете валов задаются передаваемая мощность N (
в вт или квт или л.с.) и угловая скорость ( в рад/сек) или п (в об/мин).
При этом передаваемый валом, вращающий момент определяется по
одной из следующих формул:
т = —,
С'0
(3.11)
где
Т в нм, N в вт и © в рад/сек;
или
Т = 7162— ,
п
где
Т в Нм, N в л.с. и п в об/мин;
34
(3.12)
или
Т = 9738—,
п
где
(3.13)
•Л?1
Т в Нм, N в квт и п в об/мин.
При расчете вала на кручение, так же как на растяжение и сжа­
тие, рассматривается задачи статически определимые и неопредели­
мые. Расчет статически неопределимых задач производят, используя
дополнительно к условиям статики условия совместности перемеще­
ний, получаемые при рассмотрении деформаций заданной системы.
Пбрядок расчета статически определимого вала проследим на
следующем примере.
Пример ЗЛ. На стальном валу сплошного сечения, вращаю­
щемся со скоростью - 25 рад/сек, насажано четыре шкива (рисунок
3.1а). Один из них (шкив 2) получает от двигателя мощность N0 , а
остальные три шкива передают рабочим машинам мощности N| = 420
л.с., N 2 © 80 квт, N 3 = 120 квт, 1\ = 1,2 м. /2 =1,6 м, /3 =1,5 м.
Требуется:
1) определить мощность N0;
2) построить эпюру крутящих моментов Т;
3 )‘подобрать необходимый диаметр сплошного вала из условий
прочности и жесткости при таат = 80 МПа. Өа<іт = 0,25 рад/м и G =
8Т04 МПа;
4) достроить эпюру касательных напряжений;
5) сравнить вес сплошного вала и равнопрочного ему пустоте­
лого вала, если с = 0,7.
Решение: 1. Мощность No определяем из условия равновесия
вала: *
- N 2 + N 3 + N 0 =0,
откуда
;• I
#
n
0 = n , + n 2- n 3
Чтобы определить величину мощности, передаваемые шкивами,
приведем в одну размерность, т.е. N | в квт
I
%
N1
N2
No
N3
/ / ./ z
7777
7777
Эгпора T, kH*m
Рисунок 3.1
36
N, = 0,736-420 = 309,12 квт,
1
тогда
No = 309,12 + 8 0 - 120 = 269,12 квт.
2. По формуле (3.11) определяем внешние моменты, переда­
ваемые шкивами:
X
= 309>12 . 1 L = 12,365 кН м;
1 о)
25
_
N 0 269,12-103 | Л _ _ „
Т, = —^ = ---- --------- -- 10,765 кН •м;
2 а>
25
„
N , 80-103
„
Т, = —- = ---------= 3,2 кН •м;
3 а»
25
„т - —1
N , ------------гг
120-103 4,8
._ кН„ •м.
(о
25
Определяем крутящие моменты по участкам:
а) участок АВ (левая часть)
Т К1 = - Ti = - 12,363 кН м;
а) участок ВС (левая часть)
т «2 = - Ti + Т2
12,363 + 10,765 - - 1,6 кН м;
в) участок СД (правая часть)
Ткз —• Т4 — “ 4,8 кН*м
По найденным значениям строим эпюры крутящих моментов
(см. рисунок 3.1 в).
3.
Составляя условий прочности и жесткости, для опасного се­
чения, определяем, необходимы диаметр сплошного вала. Таковым
является сечение на участке вала АВ, где ТК| = 12,365 кН-м.
Тогда из условия прочности (3.8)
37
1 1 3p s f i i — = з / 12,365 ‘10 1 0,092
0,2 • r«dm V0,2-80-10
а из условия жесткости (3.9)
m,
1
1 1 4І— Я -----1 I
12’- -.о1
1 0,049 m
M U -G -A * .
V0, l - 810 -0,25
Сравнивая результаты этих расчетов,
принимаем диаметр
сплошного вала D = 100 мм = 0,1 м.
Полярный момент сопротивления сечения
Wp = 0,2-D3 = 0,2-10"3
4.
Построение эпюры касательных напряжений. Определяем по
участкам значения касательных напряжений по формуле (3.4). Т.к. у
нас вал постоянного поперечного сечения, эпюра касательных на­
пряжений будет иметь такой же вид, как и эпюра крутящих момен­
тов:
а) участок АВ
т - _ 12>365 = -61,824 МПа;
0,2-10‘3
б) участок ВС
т
------Ь _ _ = -8 МПа;
0,2-10_3
в) участок СД
48
г, = ------- г = -2 4 МПа.
0,2-10"3
Строим эпюры касательных напряжений (рисунок 3.1 г).
5.
Сравнить вес данного вала и равнопрочного ему пустотело­
го, если дано отношение внутреннего диаметра, полого вала, к его
наружному диаметру.
Ч
38
Исходя из условия равной прочности, наибольшие касательные
напряжения в рассматриваемых валах, должны быть одинаковыми,
т.е.
Тшах _
Т™
_
max
Ь
«ИЛ
т“
0,2 D3
0,2-D? •(! —с4) ’
следовательно
D, = D 3 / - 1 - = 0,1 • з — Ц - = 0,11 м,
1,1 - с 4
у 1-0,7
тогда
d, = c-D, = 0,7-0,11 = 0,08 м.
Отношение весов в этом случае равно отношению площадей
поперечных сечений, поэтому вес полого вала составляет
D?-d?
0,0121 —0,064
= 0,57
D2
0,01
веса сплошного вала.
Или пустотелый вал при условии равной прочности легче
сплошного вала
D
D?-d?
°*01
= 1,75.
0,0121-0,064
%
3.2
Применение ЭВМ к проектировочному
расчету круглого вала при кручении
II
Характеристика программы. В программе реализован алго­
ритм решения примера 3.1. Программой предусмотрен также расчет
на кручение статически-определимого ступенчатого, круглого вала,
т.е. вала переменной жесткости.
Программа условно названа «Кручение» и текст программы
приведен в приложении.
Подготовка задачи. На расчетной схеме нумеруются харак­
терные точки слева на право (рисунок 3.2). В программе внешние па­
ры сил введены с положительным знаком, если они создают моменты,
направленные против хода часовой стрелки, если смотреть на вал со
стороны правого крайнего сечения. В противном случае со знаком
минус.
0,012365
0,010765
0,0032
0,0048
Рисунок 3.2
ш
Описательная часть. В описательном части программы ис­
пользованы следующие идентификаторы:
N - для количества внешних моментов, приложенных к валу;
М - переключатель, при М = 1 программа решает задачу кру­
чения вала постоянной жесткости, а при М = 2 переменной жестко­
сти;
BM[1..N] - массив для величины внешних моментов в порядке
их нумерации слева направо;
L[1..N-1] массив для величин расстояний между соседними
характерными точками, которые указываются слева направо;
DTAU - для величины допускаемого напряжения;
DFI - для величины допускаемого относительного угла закручи­
вания;
'
С - для отношения внутреннего диаметра пустотелого вала к его
внешнему диаметру.
При формировании исходных данных следует предварительно
привести размерности величин DTAU, G, BM[N], L[N-1] в мегоньютон и метр.
- *
40
Вывод результатов счета. На печать выводятся:
NMAX - наибольшее значение крутящего момента;
D[ I ..N-1] - диаметры каждого участка вала;
WP[1..N-1] - полярные моменты сопротивления каждого участка
вала;
IP[l..N -lj - полярные моменты инерции каждого участка вала;
T[1..N-1] - ординаты эпюры крутяоих моментов;
TAU[1 ..N-1}- ординаты эпюры касательных напряжении;
D l, D2 - диаметры пустотелого вала;
RD - отношение масс сплошного вала постоянной жесткости, к
пустотелому.
На примере 3.1 покажем формирование исходных данных. Для
этого перерисуем расчетную схему, проведем нумерацию характер­
ных точек с указанием длины участков и внешних моментов в чис­
лах.
В нашем случае переключатель М = 1, т.е. рассматриваем вал
постоянной жесткости.
По условию задачи количество внешних моментов N = 4, С
0.7, DTAU = 80, DF1 Й0.25, G = 800000.
BM[1..N] = | - 0.012365,0.010765, - 0/0032,0.0048
L[1..3] = 1.2,1.4,1.5
Размерности приведены в мегоньютон и метр.
Таблица исходных данных имеет вид:
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
4,0.7, 80, 0.25, 800000
-0.012365
0.010765
- 0.0032
0.0048
1.2
1.4
1.5
РЕЗУЛЬТАТЫ СЧЕТА
ТМАХ = 0Ю012365
ДИАМЕТР
ПОЛЯРНЫЙ
МОМЕНТ
УЧАСТКОВ
СОПРОТИВЛЕНИЯ
ИНЕРЦИЙ
0.1
0.1
0.1
0.0002
0.0002
0.0002
0.00001
КРУТЯЩИЕ
МОМЕНТЫ
КАСАТЕЛЬНЫЕ
НАПРЯЖЕНИЯ
-0.012365
-0.0016
- 0.0048
-61.824
D1 =0.109584
D2 = 0.0767089
0.00001
0.00001
-8
-24
42
R D = 1.63
4 ИЗГИБ
4.1 Основные понятия и зависимости
Изгибом называется такой вид деформации, при которой в поперечных сечениях бруса возникают поперечные силы и изгибающие
моменты, а остальные внутренние силовые факторы равны нулю.
Прямой брус, работающий на изгиб, называют балкой. Изгиб
называют чистым, есди изгибающий момент является единственным
внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении балки.
Если в поперечных сечениях балки наряду с изгибающими мо­
ментами возникают и поперечные силы, изгиб называют поперечным.
Как чистый, так и поперечный изгиб может быть либо плоским, либо
косым. Плоский изгиб возникает только в том случае, когда плос­
кость действия изгибающего момента в сечении проходит через од­
ну из главных центральных осей поперечного сечения балки. В про­
тивном случае будет испытывать косой изгиб.
Поперечная сила в любом поперечном сечении балки численно
равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех
внешних сил действующих по одну сторону от рассматриваемого се­
чения.
Изгибающий момент в произвольном сечении балки численно
равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно
центра сечения) всех* внешних сил действующих по одну сторону от
рассматриваемого сечения.
Поперечная сила в рассматриваемом сечении считается поло­
жительной, если внешние силы, лежащие слева от сечения направ­
лены снизу вверх, а сйрава - сверху вниз, и отрицательной - в проти­
воположном случае.
Изгибающий момент в рассматриваемом сечении считается
положительным, если внешняя нагрузка изгибает балку выпуклостью
вниз, и отрицательным - в противном случае.
Между изгибающими моментами, поперечной силой и интен­
сивностью распределенной нагрузки существуют дифференциальные
зависимости.
I
dQ
— = q,
dx
dM n
— = Q.
dx
(4.1)
43
I
На основании метода сечений и этих дифференциальных зави­
симостях следуют следующие правила построения эпюр поперечных
сил и изгибающих моментов:
1. На участках балки, где отсутствует распределенная нагрузка,
эпюра Q ограничена прямыми, параллельными базе, а эпюра М - на­
клонными прямыми.
2. На участках балки, несущем равномерно распределенную на­
грузку, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М - квад­
ратичными параболами.
3. В сечениях, где Q = 0, изгибающий момент М достигает экс­
тремального значения (максимального или минимального).
4. На участках, где Q>0, М —возрастает, а на тех участках, где
Q<0, М - убывает.
5. В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы, на
эпюре Q будет скачки на величину и в направлении этих сил, а на
эпюре М - излом.
6 . В сечениях, где к балке приложены сосредоточенные момен­
ты, на эпюре М будет скачки на величину этих моментов, а эпюра Q
без изменений.
.
- ^:
.;
При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки
возникают нормальные и касательные напряжения.
Нормальные напряжения в любой точке, произвольного сечения
определяются по формуле:
и=
М
(4.2)
У»
М* изгибающий момент в рассматриваемом сечении балки:
1* - осевой момент инерций сечения относительно нейтральной
och
Z;
у - расстояние от рассматриваемой точки до нейтральной оси, в
которой вычисляется нормальное напряжение.
Касательные напряжения в произвольной точке, поперечного
сечения определяются по формуле Журавского:
К З)
44
*
Q - поперечная сила в рассматриваемом сечении балки;
Sz - статический момент отсеченной части поперечного сечения,
относительно нейтральной оси;
b - ширена поперечного сечения на уровне рассматриваемой
точки.
В рассматриваемом сечения наибольшего значения нормальные
напряжения достигают на верхних кромках, а касательные на ней­
тральной оси. Величина наибольших напряжений вычисляются по
формуле:
М
<т __=
тшах
(4.4)
QSО
т
,
>
z -Ьо
(4.5)
где
W2 -осевой момент сопротивления сечения относительно ней­
тральной оси;
So - статический момент получения относительно нейтральной
оси;
Ь0 - ширена поперечного сечения на нейтральной оси.
Моменты инерций и сопротивления:
а) для круглого сечения
I
Ж
64 ’
W , = ~ = 0 ,1 D 3,
z 32
где
D - диаметр сечения;
б) для кольцевого сечения
64
яО 3
W, =
( l - c 4) = 0,l-D 3 -(1 -с 4),
32
где
45
I
D - внешний диаметр кольцевого сечения;
с -отношение диаметров кольцевого сечения
в) для прямоугольного сечения
ІЖ
г
12
Wz = ^
6
где
b, Һ - размеры прямоугольного сечения.
условия прочности
ям при прямом изгибе:
где
мент;
Мщ,, - наибольший по абсолютной величине изгибающий мо0 т»\ - наибольшая по абсолютному значению поперечная сила.
Oadm, Tadm- допускаемое нормальное и касательное напряжения.
Пример 4.1. Для балки (рисунок 4.1) простроить эпюры попе­
речных сил Q и изгибающих моментов М. а также определить из рас­
чета на прочность размеры поперечного сечения ( рисунок 4 .2 ) круга
диаметром , кольца с отношением диаметров d/D - 0,9, прямоуголь­
ника соотношением сторон h/b = 2, номер профиля двутавровой про­
катной балки. Собственную массу балки не учитывать.
Материал сталь - СтЗ, о . ^ =160 МПа, G = 2 1 0 s МПа, М = 40
кН м, F = 20 кН- м, q = 100 кН/м.
Решение. 1. Построение эпюры Q и М начинаем из определе­
ние реакций опор А и В, для чего отбросим опоры А и В и балку пред­
ставим как свободное тело, а действующих опор на балку заменяем
реакциями RA и Re (горизонтальная реакция - НА в нашем случае эк­
вивалентно НҮЛЮІ.
46
9
I«
1м
2ч
Рисунок 4 I
в)
а)
ь
*>
Һ
P hcvhok
47
4.2
2«
Таким образом, имеем два неизвестных - R A и RB, для нахож­
дения которых необходимо составить два уравнения равновесия:
1 М А =0,
£ М В=0.
■
Уравнение моментов относительно опоры В позволяет опреде­
лить реакцию Ra:
~ ?
жЩ
Mb ШRa*6 - q-3*4,5 + М + F-2 zf О,
Ra = (100-3-4,5 - 40 - 20-2)/6 = 212 кН.
Реакция Rb определяем из условия равенства нулю суммы мо­
ментов относительно опоры А:
МА= - R B*6 + q-3-1,5 + М + F -8 = 0,
RBI (100-3-1,5 + 40 + 20-8)/61 108 кН.
Проверка. Правильность нахождения реакций опор можно оце­
нить, напрңмер, составив уравнение суммы проекций всех сил на ось
Ү:
£ .I
1Г
ZY = RA- q-3 + RB- Ғ = 0,
и
212- 100-3+108-20 = 0,
320 - 320 = 0.
Балка состоит из четырех участков, в пределах которых выражения будут различны. Для составления аналитических выражений
необходимо рассмотреть четыре сечения между силами :1-1 сечения
правее левой опоры; II-II сечение между концом пролета где действу­
ет распределенная нагрузка и моментом М; сечение 11I-II1 между мо­
ментом М и правой опоры В и четвертое сечение между правой опо­
рой В и силой F. Уравнения и для каждого участка имеет вид:
а) сечение I-I (0 < Xj < 3 м)
Q, = RAT-qxh
Mi = Ra-x, - q-X]2/2,
•*
'*
:
Щ .j.
48
I
:л'
'■Г*'
&’
б) сечение II-II (3 м < х2 ^ 4 м)
'
Q2 = Кл - Я'З
(не зависит от х2) ,
М 2 = Ra-x2 - q-3 (х2 - 1,5),
I
в) сечение Ш-Ш (4 м ^ Хз < 6 м)
■
Q3 = RA- q-З
(не зависит от Хз),
М3 = Ra x - q-3-(x3- 1,5) + М,
3
г) сечение IV-IV (6 м < Х4 Щ8 м)
Q4 = Ra - q-3 + Rb (не зависит от Х4) ,
М4 = Ra-X4 - q-3-(x4 - 1,5) + М + Rb-(x4 - 6),
Из полученных уравнений следует, что поперечная сила на
первом участке изменяется по закону прямой, а на втором, третьем и
четвертом участках постоянна.
Уравнения М показывают, что изгибающий момент на первом
участке изменяется по закону параболы второго порядка, а на вто­
ром, третьем и четвертом участках - по закону прямой.
Для построения эпюры находим их числовые значения на гра­
ницах участков, используя составленные уравнения:
а) сечение 1-1 (0 < Х| < 3 м)
н
при Х| = О
Q| = 212 кН,
М| = О,
при Х| = 3 м
Qi = - 88 кН,
Mi = 186 кН*м.
Найдем экстремального значения момента на участке 1-1. Для
этого возьмем первое производную М| по Х| и приравняв ее нулю,
найдем положение сечения с экстремальным значением М|Г
dM,/dx, * Ra - qx,‘ = 2 1 2 - 100x,# = О,
откуда
49
Эпюра Q, кН
Эпюра М
Рисунок 4.3
50
х,* = 212/100 = 2,12 м.
ш
М
Подставив значение xi* = 2,12 м в уравнение
ну экстремального момента
найдем величи­
М, „ах = 212-2,12 - 50-2,122 = 225 кН м;
б) сечение П-И
при Х2 = 3 м
Q2 = —88 кН,
М2 —186 кН м,
при x2 = 4
Q2 = - 88 кН,
М2 —98 кН-м,
m
в) сечение Ш-ІІІ (< < 6 м)
х3 = 4 м
Q3 = - 8 8 kH,
М3 = 138 кН м,
х3= 6 м
Q3 = - 88 кН,
М 3 = - 38 кНм,
г) сечение IV-IV (< < 8 м)
Х4 = 6 м
Q4 = 20 кН,
М4 — 38 кН-м,
Х4 = 8 м
0 4 ==20 кН,
М4 р 0.
Откладывая вычисленные значения Q и М в соответствующих
характерных сечениях базисной линии, строим эпюры. Вид получен­
ных эпюр показан на рисунках 4.3 в, г.
2. Проектный расчет, т.е. определение размеров поперечных се­
чений. Минимально допустимый момент сопротивления сечения
Я
160-ю4
Для круглого сечения:
W, =0.1-D 3 =1,41-10'3 m\
откуда
Р
51
I
1! Щ
0,1
1 4
0,243
. TfO1 3,14 0,2432
,
А = ----- ■=------- 1------ = 0,0463 м
4
4
Для кольцевого сечения:
Wz = 0.1-D 3 *(1 —0,94) = 1,41 ♦10-3 м3,
откуда
D = з і - 1-’41' 10
£ о,343 м,
0,1 •(1 - 0,9 )
ШШ.
* _ яО 2 •(1 —0.94) 3,14 •0,3432 •(1 - 0,94)
2
л - -------------------- = -------------- 1------------- = 0,0176 м ,
4
4
d = 0,9 •D = 0,9,- 0,343 = 0,309 м.
■
Для прямоугольного сечения:
Wz = — = - Ь 3 = 1,4110-3 м 3
2
6
3
откуда
3-1 41-КГ3
Ь .-Ц — 2
=0,128 м,
h = 2b = 2 0,128 = 0,256 м,
А = bh = 0,128 •0,256 = 0,0328 м
Определяем номера двутаврового сечения (ГОСТ 8239-72). Из
таблицы сортамента выбираем двутавр № 50:
Wz =1570 см3 = 1,57-10'3 м3; А = 97,8 см2 = 0,00978 м2.
Из анализа величин һлощади сечении А можно сделать вывод,
что наиболее экономичным (минимальная масса) является профиль
двутаврового сечения.
52
#
I
4.2 Применение ЭВМ в расчетах
на прочность при изгибе
Характеристика программы. В программе реализован алго­
ритм расчета на прочность статически определимой балки при прямом
изгибе. Количество
видов
внешней
нагрузки
не
ограничивается.
Силы
щ
щ
и моменты, изгибающие балку относительно крайнего правого сече­
ния выпуклостью вниз, считается положительным, а противном слу­
чае - отрицательным. Жесткость балки предполагается постоянным.
Текст программы «Изгиб» приведен в приложении.
Подготовка задачи. Изобразить в масштабе расчетную схему
балки (рисунок 4.4). Пронумеровать характерных точек, которыми яв­
ляются точки приложения сосредоточенных сил и моментов, опорных
реакций, начало и конец распределенных нагрузок. Характерные точ­
ки нумеруются слева направо, начиная с единицы. Выбрать начало
координат в крайней левой точке балки. Предварительно, аналитиче­
ски, определить реакции Опор и провести проверку.
Описательная часть. В описательной части программы ис­
пользуются следующие идентификаторы:
N - число характерных
точек
балки
без
учета
крайнего
правого
I
сечения;
С - отношение диаметров кольцевого сечения;
К - отношение ширины к высоте прямоугольного сечения;
Н - шаг для определения координаты текущего сечения балки;
DSIGMA - допускаемое напряжение;
L[1..N+1] - массив для величины координаты характерных то­
чек балки относительно началы системы отсчета;
Q[1..N] - массив для величины интенсивности распределенной
нагрузки;
F[1 ..N] - массив для величины сосредоточенных сил;
M[1..N] - массив для величины сосредоточенных моментов.
При отсутствии в характерных точках сосредоточенных сил или
моментов, или распределенной нагрузки в соответствующем массиве
проставляются нули. Величины исходных данных L[1..N+1], Q[1..N],
F[1..N], M[1..N] перечисляются в порядке их нумерации слева напра­
во. Предварительно необходимо привести размерность всех исходных
данных в мегоньютон и метр или килоньютон и метр.
Вывод результатов счета* На печать выводятся;
X[1..25*N] - координаты текущего сечения балки;
QS[h.25*N] - ординаты поперечных сил;
MI[1..25*N] - ординаты изгибающих моментов;
53
I
1
I
ММ AX - значение наибольшего изгибающего момента;
D - диаметр круглого сечения;
А - площадь круглого сечения;
D l, D2 - диаметры кольцевого сечения;
А 1 - площадь кольцевого сечения;
b, Һ - размеры прямоугольного сечения;
А2 - площадь прямоугольного сечения;
WZ - момент сопротивления прокатного сечения.
На примере 4.1 составим таблицу исходных данных. Для этого
изобразим в масштабе схему балки, выбрав систему отсчета, проведем
нумерацию характерных точек с указанием их координат и укажем в
числах значения активных и пассивных нагрузок (рисунок 4.4).
q = 100
F = 20
М = 40
5
Rb= 108,3
R a = 2 1 1 ,7
3
•*
4
6
4
►
8
|
►
Рисунок 4.4
Согласно условию рассматриваемой задачи N = 4, С = 0.9, К = 2,
Н = 0.1, DSIGMA = 160000, а массивы исходных данных имеют вид:
L[1..N+1]
0 ,3 ,4 , 6, 8
Q[1..N]-1-100, 0 ,0 ,0
F[1..N] = 1211.7, 0, 0,108.3
M[1..N]= |0 , 0 , 0 , 0 |.
Тогда таблица исходных данных имеет следующий вид:
54
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
4,0.9,2,0.1, 160000
0,3 ,4 , 6,8
-100,211.7,0
0, 0,0
0 ,0 ,4
0 ,108.3,0
РЕЗУЛЬТАТЫ СЧЕТА
КООРДИНАТЫ
ТОЧЕК
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3!0
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
4.0
4.0
4.2
4.4
4.6
ПОПЕРЕЧНАЯ
СИЛА
211.7
.
191.7
171.7
151.7
131.7
• 11.7
91.7
71.7
51.7
31.7
11.7
-8.3
, -28.3
-48.3
-68.3
-88.3
• -88.3
-48.3
-68.3
-88.3
‘ -88.3
-48.3
-68.3
-88.3
-88.3
-48.3
55
ИЗГИБАЮЩИИ
МОМЕНТ
0
40.34
76.68
109.02
137.36
161.70
182.04
198.38
210.72
219.06
223.40
223.74
220.08
212.42
200.76
185.10
185.10
107.44
149.78
132.12
114.46
96.80
136.80
119.14
101.48
83.82
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
5.8
6.0
6.0
6.2
6.4
6.6
6.8
7.0
7.2
7.4
7.6
7.8
8.0
‘
..
-68.3
-88.3
-88.3
-48.3
-68.3
-88.3
-88.3
20
20
20
20
20
20
20
20
20
20
66.16
48.50
30.84
13.18
-4.48
-22.14
-39.80
-39.80
-35.80
-31.80
-27.80
-23.80
-19.80
-15.80
-11.80
-7.80
-3.80
20
0.20
*
НАИБОЛЬШИМ ИЗГИБАЮЩИИ МОМЕНТ
ММАХ = 224.07
РАЗМЕРЫ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Диаметр =0.2410393
Площадь А = 4.560847Е-002
КОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ
Диаметр =0.3440412
. =0.3096371
Площадь А' = 1.765404Е-002
ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Ширина В = 0.1280712
Высота Н = 0.2561425
НОМЕР ДВУТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ
V
56
I
5 УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
5.1 Основные понятия и зависимости
Наименьшее напряжение осевой сжимающей силы, при котором
сжатый стержень теряет способность сохранять прямолинейную
форму равновесия в упругой стадии, называется критическои силои и
вычисляется по формулу *
Эйлера
= E I min
V
(5.1)
Ы)
сг
/ . 4 2 ’
где
Е - модуль продольной упругости материала стержня;
!тш - минимальный момент инерции поперечного сечения
стержня;
|! - коэффициент приведения длины, зависящий от способов за­
крепления стержня;
/ - истинная длина стержня;
ц / - приведенная длина стержня.
На рисунке 5.1 указаны простейшие случаи закрепления стерж­
ней и соответствующие им значения коэффициента.
Напряжения, возникающие в поперечном сечении стержня при
F = Ғст называются критическими:
1
я
1
ш
в я в
р и
в
где
mm
imin *
I
~ минимальный радиус инерции поперечного сече­
ния;
А - площадь поперечного сечения.
Формула Эйлера применима при условии, что критическое на­
пряжение не превышает предела пропорциональности материала
стержня:
I
57
л 2Е
^сг =
(5.3)
я
где
a pr - предел пропорциональности материала стержня.
Записывая формулу (5.3.) относительно гибкости получаем ус
ловие применимости формулы Эйлера в виде
Я > Д рг =л-
Е
G
(5.4)
рг
Например, для стали Ст. 3 А. > 100, для стали Ст.5 А. > 85, для
чугуна X > 80, для дерева X > 70 и т. д.
О
ц=2
Ц = 0,5
Рисунок 5.1
В тех случаях, когда потерия устойчивости стержня наступает
за пределы пропорциональности его материала, критическое напря­
жение можно вычислить по эмпирической формуле Ясинского:
ег = - а —Ь-Я + с Я2, .
где
58
I
(5.5)
а,
b с - опытные коэффициенты, зависящие от материала и
имеющие размерность напряжения.
Для стали Ст.З а = 310 МПа; b = 1,14 МПа; с=0.
Для стали Ст.5 а = 464 МПа; b = 3,62 МПа; с=0.
Для чугуна СЧ а = 776 МПа; b = 12 МПа; с= 0,053 МПа.
Критическая сила вычисляется по формуле:
Ға =ста А.
(5.6)
На ряду, с расчетом по формуле Эйлера и Ясинского широко
производится расчет на устойчивость, по формуле аналогичной
расчету на простое сжатие. ‘
Таблица 5.1
Гибкость
Значения ф для
стали марки
стали марки
чугуна
X
Ст1, Ст2, СтЗ, Ст4
Ст5
1,00
1,00
1,00
0
0,98
0,97
0,99
10
0,91
0,96
0,95
20
0,91
0,94
0,81
30
0,89
0,92
0,69
40
0,57
0,86
0,89
50
0,44
0,86
0,82
60
0,34
0,81
0,76
70
0,70
0,26
0,75
80
0,62
0,20
0,69
90
0,60
0,51
0,16
100
0,52
0,43
0,01
110
т
0,45
0,36
120
0,33
0,40
130
0,29
140
0,36
0,26
150
0,32
0,24
160
0,29
0,21
170
0,26
0,19
0,23
180
0,17
0,21
190
0,19
0,16
200
г
•’ -
-
59
дерева
.
1,00
0,99
0,97
0,93
0,87
0,80
,71
0,60
0,48
0,38
0,31
0,25
0,22
0,18
0,16
0,14
0,12
0,11
0,10
0,09
0,08
Эта практическая формула, применяющаяся при расчете строительных конструкции, имеет вид:
I
(5.7)
Ф - коэффициент уменьшения основного допускаемого напря­
жения (или коэффициент продольного изгиба);
CTadm- основное напряжение на сжатие.
Величина ф зависит от материала и гибкости стержня. Его
значения приведены в таблице 5.1.
Так же как при использовании формулы Эйлера и Ясинского,
расчет по формуле (5.7) может быть проектным, проверочным или
определением допускаемой нагрузки.
Проектный расчет проіюдится методам последовательных при­
ближений, так в начале расчета значение коэффициента зависящего от
гибкости неизвестно. Методика проектного расчета показана в сле­
дующем примере.
Пример 5.1. Стольной стержень длиной / сжимается силой Ғ
(рисунок 5.2а). Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения при
допускаемом напряжении на простое сжатие a adm - 160 МПа (расчет
производить последовательным приближением, предварительно за­
давшись величиной коэффициента ф = 0,5; 2) найти величину крити­
ческой сильь ¥„ и коэффициента запаса устойчивости как отношения
критической силы к заданной. Е 1 2-105 МПа, / = 2,4 м, Ғ = 300 кН.
Решения. Для решения задачи предварительно необходимые
геометрические характеристики сечения и гибкость стержня выража­
ем через известный линейный размер сечения а.
А = 1,5а •а - 1,1а •0,6а = 0,84а2,
л
fA = 0,7 •2,4 _ 4,746
'min
0,354а
а
60
Рисунок 5.2
61
Находим размеры поперечного сечения стержня исходя из уело
вия устойчивости (5.7)
А г- 1
Расчет ведем методом последовательных приближений.
Первое приближение. Принимаем q>i = 0,5, как указано в усло­
вии задачи.
Тогда площадь сечения будет ровна:
А-
"М ? L y » - W
0,5-160-10
.
Этой площади соответствует:
, А
/3,75 10 "3 ЛЛ„
а = п /тт 7 ШJ ------------ = 0,067 м.
0,84 и 0,84
Гибкость стержня будет ровна:
л = V * = 70,84.
0,067
Если обратиться к таблице 5.1, то такому значению гибкости
стержня соответствует коэффициент продольного изгиба.
Я = 70 ... р = 0,81
Я = 80 ... 0 = 0,75
при
Я = 70,84 ... 0 ,'= 0,81 - 0,84 •0,006 = 0,805,
<р\а^т = 0,805-160 = 128,8 МПа,
N
ЗОО-Ю3
о- = _ = ------------ = 80МПа.
А 3,75 • 1О*3
62
Недонапряжение материала составляет:
128,8 80 •100% = 37,89% > 5%
128,8
Второе приближение. Принимаем теперь ср2 среднее значение
S М
2,1 _ •¥
между ф | = 0,805 и ф г 0,5.
1
.
.
—
рс?
t - Л
r jfr:
I ggjjgj В Я Ш М 1 0653.
2 ■
2
При этом значении:
А
300*10
_ 0-71 1А-3 2
А = ------------------ = 2,871*10 3 м \
0,653-160 ТО
тлшші^яж
0,84
V
0,84
Я = 1 1 ^ = 81,83.
0,058
Этому значению А. соответствует коэффициент продольного из­
гиба, которого мы находим по таблице, применяя линейную интерпо­
ляцию:
Я = 81,83 .,. #>2= 0,75-1,83• 0,006 = 0,739,
(р'го ^
= 0,739*160 = 118,24 МПа,
а = — Р.: ■°— = 104,49 МПа.
2,871 • 10-3
Недонапряжение материала составляет:
118,24 -104,49 j 00% = j 163% > 5%
118,24
Третье приближение. Принимаем теперь <рз среднее значение
между ц/2= 0,739 и ф2 = 0,653.
I
63
IЩ
”
Ц
2
j 0,739 1 0,6531
2
При этом значении:
300-103
A = ------- — S— 6- = 2,694 • 10
0,696 160 10
, A
12,694 •10
g jp S g —
m
лл„
°’057 M
л- *2«
0,057
Этому значению А. соответствует коэффициент продольного из­
гиба:
к = 83,26 ... 0 з'= 0,75 - 3,26 •0,006 = 0,73,
Фъ°*т = | w | 160-116,8 МПа,
(у = 300 10 =111,52 МПа.
2,694 •10 "3
116,8 ~ 111,52 100% 1 4 % < 5%
116,8
Окончательно при а = 0,057 м принимаем следующие размеры
поперечного сечения стального стержня:
а = 06057 м,
h = 1,5 а = 1,5 0,0571 0,0855 м.
2 . Определяем коэффициент запаса прочности.
Так как напряжение а = 83,26 < 100, критическое напряжение
находим по формуле (5.5). Для стали СтЗ а = 310 МПа, b = 1,14 МПа,
тогда
сг„ = 3 1 0 -106 —1,14 -106 •83,26 = 215,08 МПа
Критическая сила определяется по формуле (5.6):
Fcr =215,08.- 2,694 • 10"3 = 579,43 кН.
64
Находим значение коэффициента запаса устойчивости
Fcr 579,43 | м
п=
= ---- — = 1,93
V F
300
5.2 ЭВМ В ПРОЕКТНЫХ РАСЧЕТАХ
НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЦЕНТРАЛЬНО СЖАТОЙ СТОЙКИ
Характеристика программы. В программе реализован алго­
ритм проектного расчета центрально сжатой стойки по условию ус­
тойчивости приведенный в примере 5.1. Подбор сечения также прово­
дится методом последовательного приближения. Для определения
в программе заложены формулы, которые получены методом наи­
меньших квадратов.
Если X <100 то
Ф= 1 -0,001бя. + 0,000015-х2-0,00000033х3,
V
если X > 100, то
Ф = 2 - 0,26-А. + 0,0.0012-Х2 - 0,000000211 Я.3.
Поперечное сечение стойки предполагается симметричным, в
общем случае составным, состоящим из любого количества простых
элементов, линейные размеры которых выражаются через общий не­
известный множитель а.
Текст программы, условно названный «Стойка» приведен в
приложении.
Подготовка задачи. Изобразить сечение сжатой стойкой и по­
казать схему закрепления обоих концов стойки. Выписать данные
внешней сжимающей нагрузки - F. истинной ллины - L. коэАЛшш^нт
также
мых геометрических характеристик - А, 1У.
Описательная часть. В описательной части программ ис­
пользуются следующие идентификаторы:
А - для величины площади поперечного сечения стойки, вы­
раженная, через неизвестный линейный размер;
IY - для величины осевого момента инерции поперечного сечетакже выраженная
w
. г и к м й в
65
|
д
F
£ -------------- --------
— У
п
L I для величины истинной длины стойки;
MU - для величины коэффициента приведения длины;
DSIGMA - для величины допускаемого напряжения на проч­
ность;
F - для величины внешней сжимающей нагрузки;
Е - для величины модуля упругости материала стойки.
Предварительно размерность исходных данных необходимо
привести в мегоньютон и метр.
Вывод результатов счета. На печать выводится:
В - линейный размер сечения;
А - площадь поперечного сечения стойки;
1Y - основной момент инерции поперечного сечения стойки;
FI - коэффициент продольного изгиба;
D - сравнительный коэффициент перенапряжения или недонапряжения стойки;
FCR - величина критической силы;
N - коэффициент запаса ухггойчивости.
На примере 5.1 покажем формирование таблицы исходных
данных. Для этого воспользуемся расчетной схемой приведенной на
рисунке 5.2 и выпишем исходных данных из задач: L = 2,4 м; MU =
0,7; DSIGMA ш 160 МПа, F = 0,3 МН, Е = 2Е+5 МПа.
Далее необходимо геометрические характеристики сечения выражаем через неизвестный линейный размер сечения а, как показано
в решении примера 5.1, т.е. А = 84 а2, IY = 1052 а4.
Тогда таблица исходных данных имеет следующий вид:
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
0.84, 0.1052,2.4, 0.7, 160, 0.3, 2Е+5
РЕЗУЛЬТАТЫ СЧЕТА
В = 0.0564852
FI = 0.692605
FCR = 0.574047
А = 2.6808Е-03
D = 4.13251
N =1.91349
66
|
IY = 1 07091Е-06
ПРИЛОЖЕНИЯ
■
Приложение 1.
Механические характеристики углеродистых
конструкционных сталей
Марка
стали
Относительное Ударная
удлинение, % вязкость
при L =10d
не менее Мпа
35ХМ
40ХФА
12ХНЗА
20ХНЗА
ЗОХНЗА
40ХМА
ЗОХГСА
•
67
Приложение 2
Механические характеристики чугуна
Материал
чугуна
СЧ 12-28
СЧ 15-32
СЧ 18-36
СЧ 21-40
СЧ 24-44
СЧ 28-46
СЧ 32-52
СЧ 35-56
СЧ 38-60
ВЧ 40-10
ВЧ 50-1Б5
ВЧ 60-2
Предел прочности при
Растяжении 1 Сжатии
изгибе
МПа
120
150
180
210
240
28
320
350
380
400
500
600
500
650
700
750
850
1000
1100
1200
1400
1600-1700
1860-2000
2040-2290
68
І
280
320
350
400
440
480
520
560
600
-
П
г
вердость
I
1
ПО
кручении у
В'
Бри неллю
нв
1430-2290
240
1630-2290
~
Я 1700-2290
280
1710-2410
300
1870-2170
350
1700-2410
390
1870-2550
400
1970-2690
460
2070-2690
480-510
1560-1970
740-790
1870-2550
660-810
1970-2690 1
Приложение 3
Пределы прочности некоторых материалов
Предел прочности при !
| растяжение
Сжатие
МПа
140-180
600-1000
210-250
До 1400
Материал
1Чугун серый обыкновенный
■Чугун серый мелкозернистый
Пластмассы:
—, Бакелит
у\Ъ'т^^-----^---^ . || іііі
*
Целлулоид
Текстолит
Гетинекс
Бакелизированная фанера
Дерево (при 15% влажности):
Сосна вдоль волокон
Сосна поперек волокон
Ель вдоль волокон
Ель поперек волокон
Дуб вдоль волокон
Дуб поперек волокон
Камни:
Гранит
Песчаник
Известняк
Кирпич
Бетон
| Каменная кладка на растворе
мо-^шмнинмвмшмг^шцацммнцвмм1
1
^
Д в р » ■-?
іп іг іШ
20-30
50-70
85-100
150-170
130
.— - г ^
80-100
Э|
130-250
150-180
115
т
80
Г
[_
6
5
•_
95
1 ;
—
30
20
-V-
"*
*
1
^
—
0Д-0,5
69
1
40
5
35
4
50
15
120-260
40-150
50-150
7,4-30
5-35
2,5-9
Приложение 4
Модули упругости и коэффициент Пуассона
некоторых материалов__________
Материал
Модуль
Модуль уп- | КоэффиУпругости
ругости G,
циент
Е, МПа_________ МПа_____ Пуассона
Чугун серый, белый
(1,15+1,6) 105
4,5 •104
0,23-5-0,27
Ковкий чугун
Углеродистые стали
Легированные стали
Медь прокатная
Медь холоднотянутая
Медь литая
Фосфористая бронза
катаная____________
Латунь
холоднотянутая
Корабельная латунь
катаная____________
Марганцовистая брон
за катаная__________
Алюминий катаный
Алюминиевая проволока тянутая________
Алюминиевая бронза
л и тая_____________
Дуралюмин катаный
Цинк катаный
Свинец
—
---------------— -
Стекло
Гранит
Известняк
Мрамор
Песчаник______
Каменная кладка
из гранита
из известняка
70
в
из кирпича
(0,027-й),03) -105
Бетон при пределе
прочности, МПа
10
(0,1Ш Ш 196)■ 105
(0,164+0,214)• 105
1 15
20
(0,182-0,232) 105
Дерев© вдоль волокон
0,055-104
(0,1+0,12) -105
Дерево поперек
(0,005+0,01)-105 1 В Шш Ш
волокон
wim
яш
т'■■■■
Каучук
І 0,00008 •105
•
Текстолит
(0 ,06+0, 1) •1о5
Гетинакс
(0,1+0,17) III
Бакелит
43 •105
Целлулоид
(14,3+27,5)-105
■
0,16+0,18
0,16+0,18
0,16+0,18
-
0,47
0,36
0,33+038
7
\
Приложение 5
program brus;
const
mmax= 100;
var
j,m:integer;
s:real;
A, L, E, F:array[l..mmax] o f real;
N,sigma,deltal:array[l..mmax] o f real;
delta: array [l..rranax+l] o f real;
begin
write('B вед ите ш');
read(m);
\угһе1п('Введите no элементно A[m],L[m],E[m],F[m]');
forj:= l tom do
readln(A[j],L[j],E[j],F[j]);
шгііеІпСИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ');
writeln('A
L E F');
forj:= l to m do
writeln(A[j]:8 :5,L|j]:7 :3,E[j]:10:2 ,F[j]:10:5);
s:=0 ;
delta[l]:= 0 ;
for j:= l to m do
s:=s+F[j];
N[l]:=-s;
for j:= l to m-1 do
N[j+l]:=N|j]+F[j];
\уте1п(’ПРОДОЛЬНАЯ
НОРМАЛЬНЫЕ
writeln(' СИЛА
НАПРЯЖЕНИЯ
УЧАСТКОВ');
fo rj:= lto m d o
begin
SIGMA[j]:=N[j]/A[j];
DELTAL[j]:=SIGMA[j]*L[j]/E[j];
DELTA[j+ 1]:=DELTA[j]+DELTAL[j];
writeln(N [j]: 10:5,SIGMA[j]:l 0:5,DELTAL[j]: 10:5)
end;
‘
" •
writeln('nEPЕМЕІЦЕНИЕ ХАРАКТЕРНЫХ ТОЧЕК');
for j:= l to m+1 do
writebi(J-l ,DELTA[j]: 10:5)
72
Приложение 6
program sechenie;
const
mmax= 100;
var
j,n:integer;
r,zc,yc,smz,smy,IZC,IYC,IZYC,IMAX,IMIN:real;
Al,alfa,uui,vvi,uvi,ui,vi,rv,ru,uvs,d:real;
A,y,z,ZI,YI,ZYI,B,C:array[l ..mmax] of real;
begin
\угНе('Введите N');
read(N);
\угПе1п('Введите по элементно A[N],Z[N],Y[N],ZI[N],YI[N],ZYT[N]');
for j:= l to n do
begin
end;
\үгке1п('ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ');
writeln('n-,n);
writeln('HOMEP
ПЛОЩАДЬ
КООРДИНАТЫ Ц.Т.
ОТНОСТЕЛЬНО ZOY’);
for j:= l to n do
begin
writeln(j,A[j]:8:3,Zlj]:8:3,Y[j]:8:3);
end;
writeln('MOMEHTbI ИНЕРЦИИ*);
writeln('HOMEP ZI YI ZYI');
for j:= l to n do
begin
writeln(j,ZI[j]:8:3,YI[j]:8:3^YI|j]:8:3);
end;
R:=0;SMZ:=0;SMY:=0;IZC:=0;IYC:=0;IZYC:=0;
for j:= l to n do
begin
r:=r+A[j];
smy:=smy+A[j]*z[j];
smz:=smz+A[j]*y[j]
end;
YC:=SMZ/R; ZC:=SMY/R;
for j:= l to n do
begin
pf
73
CDJ:=ZD]-ZC;
B[j]“ Y[j]-YC;
IZC:=IZC+ZID]+B[j]*B[j]*AD];
IYC:»IYC+YIfi]4CD]*CD]*AM;
IZYC:=IZYC+ZYIJj]+B[j]*C[j]*A[j];
end;
AL:=ARCTAN(2 *IZYC/(IYC-IZC));
ALFA.-AL *28.6479;
UUI:=IZC+IYC; W I:=IZC-IYC;
UVS:=SQRT(W I*W I+4*IZYC*IZYC);
UI:=(UUI+UVS)/2; VI~(UUI-UVS)/2 ;
RU.-SQRT(UT/R); RV:=SQRT(VI/R);
D :=IYC+IZC-UI-VI;
.»./'*«■
UVI:=IZYC*COS(AL)+0.5*VVI*SIN(AL);
writeln('PE3yjIbTАТЫ СЧЕТА')
шгке1п('КООРДИНАТЫ Ц.Т. ФИГУРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО');
writeln('HEHTPAJIbHbIX ОСЕЙ СЕЧЕНИЯ');
writeln('HOMEP
В
С');
for j:= l to n do
begin
writeln(j,BD]:8:3,C[j]:8:3);
end;
writeln('MOMEHTbI ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ');
writeln('OTHOCJTTE.JIbHO ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ');
writelnCIZC^'JZC^rS/IYC-JYCrSrS/IZYC-.IZYCiS:^);
writeln(TЛАВНЫЕ МОМЕНТЫ И РАДИУСЫ ИНЕРЦИИ
СЕЧЕНИЯ');
р
w T iteln (№ '^:8 :3 /V K V I:8 :3 /R U = ^U :8 :3 /R V 4 R V :8 :3 )writeln('HAПPABЛEHИE ГЛАВНЫХ ОСЕЙ ИНЕРЦИИ); ’
writeln('ALFE-,ALFA:8:3);
writeln(TIPOBEPKA');
writeln(,D=’,D,'UVI=’,UVI);
74
Приложение 7
program kruchenie;
const
mmax= 100;
label 1,2 ,3,4,5,6,7,8;
var
ij,n,m:integer;
TMAX
array [l..mmax
mmax]
begin
writeln(’BBeflMTe N, M, C, DTAU
readln(N,M,C,DTAU,DFI,G);
\угйе1п('Введите BM[N]');
for j:= l to n do
read(BM[j]);
writeln(’B ведите L(N)');
for j r=l to n - 1 do
read(L[j]);
readln;
иткеЦ'ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ'
writelnCN, M, C, DTAU, DFI, G’);
writeln(N:7,M:7,C:5:3,DTAU:7:3J
writeln('BHEIlIHHE МОМЕНТЫ1
for j:=l to n do
wn
ПРОЛЕТОВ
forj:=l to n -1 do
writeln(L[j]:7:;
=0
for j:= l to n-2 do
begin
T[J+1]:=T[J]+BM[j+1];
i f TMAX<ABS(TfJ+ 1])
end;
ifM = l then goto 1;
forj:=l to n -1 do
begin
D[j]:=(exp(ln(ABS(T[J]/DTAU))/3))* 100;
if trunc(D[j])<5 then goto 6 ;
i:=0 ;
75
8 : ac:=4+i;
if D[j]<ac then goto 7;
i:=i+l; goto 8 ;
7: D[j]:=ac;
6 : DD:=round(D[j]);
D[j]:=DD/100
end;
goto 2;
1: DD:=exp(ln(TMAX/DTAU)/3);
DR:=exp(ln(TMAX/(0.1*G*DFI))/3); D 1:=DR;
if DD>DR then D1 :=DD;
D1:=D1*100;
if trunc(Dl)<5 then goto 3;
i:=0 ;
•5: ac:=4+i;
if Dl<=ac then goto 4;
i:=i+l; goto 5;
;
4: D 1:=ac; '
11 .1
3: DD:=round(Dl);
DD.-DD/100;
for i:=l to n -1 do
D[i]:=DD;
2 : fo rj:= l to n -1 do
•
begin
WP[j]:=0.2I'tsqr(D[j])*D[j];
IPD];=0-1*sqr(D[j])*sqr(D[j]);
TAU[j]:=T[j]/WP(j];
FI[j+l]:=FItj]+T[j]*L[j]/GAP[j]
end;
readln;
..
writeln('PE3yЛЬТАТЫ СЧЕТА');
writeln('TMAX-,TMAX: 10:5);
writeln('ДИАМЕТР ПОЛЯРНЫЕ
МОМЕНТЫ');
writeln('y4ACTKOB СОПРОТИВЛЕНИЯ ИНЕРЦИЯ');
forj:=l ton-1 do
writeln(D[j]:7:3,WP[j]:10:5,IP[j]:10:5);
^іе1п('КРУТЯЩ ИЕ
КАСАТЕЛЬНЫЕ');
writeln('MOMEHTbI
НАПРЯЖЕНИЯ');
forj:= l to n -1 do
writeln(T[J]: 10:6,TAU[j]:10:5);
writeln('XAPAKTEPHbIE
УГОЛ');
76
writelnO ТОЧКИ
ЗАКРУЧИВАНИЯ');
for j:= l to n do
writelnCJ, FI|j]:20:4);
ifM =l
then
begin
D 1:=DD*exp(ln( 1/(1-C*C*C*C))/3);
D2:*C*D1;
DR:=(slarp 1)-sqr(D2))/sqr(DD);
writeln('Bec полого вала составляет', D R ,' % сплошного вала')
end;
readln
end.
77
Приложение 8
program isgib;
const
>;
nmax= 100;
label 1,2,3,4,5,6,7,8;
var
ij,n,kh:integer;
DSIGMA,D,D 1,D2,H 1,H2,A,A 1,B,MMAX,WZ,BH,HB:real;
QQ,MM,C,H,PI:real;
g
Q,F,M:array[l..nmax] o f real;
L:ARjRAY[l..nmax+l] o f real;
QS,MI,X,QH,MS:array[l ..25*nmax] o f real;
begin
Улгһе1п('Введите N, С, K, ,H, PI, DSIGMA’);
readln(N,C,K,H,PI,DSIGMA);
шгие1п('Введите LfN+1]');
for j . - l to n+1 do
read(L[j]);
writeln('BBeflHTe Q(N),F[N],M[N]');
for j:= l to n do
read(Q[j],F[J],M[J]);
readln;
for j:= l to n do
begin
XMAX[j]:-0;
MIMAXjj]:=0
end;
j:= l; i:=l; X[i]:=0; QH[j]:=0 ; MS[j]:=0;
1: LX:=X[i]-L[j]; BH:=LX*10; LX:=round(BH); LX:=LX/10;
QS[i]:=QH[j]+F[j]+Q[j]*LX;
MI[i]:=MS[jj+F[j]*LX+M[j];
M[i]:=MI[i]+F[j]*LX+0.5*Q[j]*LX*LX;
i:=i+l; X[i]:=X[i-l]+H;
BH:=X[i]*10; X[i]:=round(BH); X[i]:=X[i]/10;
if X[i]-L[j+1]<=0 then goto 1;
QH|j+lJ:=QS[i-l];M S[j+l]:=M I[i-l];
if (QH[j]+F|j]*QH[j+l])>=0 then goto 2 ;
2: j:=3+l; i:=i-l;
if(LD]-L[n+l])<0 then goto 1;
KH:=trunc(L[n+ 1]/H)+ 1;
writeln('PE3yjIbTАТЫ СЧЕТА1);
writeln(’KOOPAHHATbI ПОПЕРЕЧНАЯ ИЗГИБАЮЩИЙ');
writeln(' СЕЧЕНИЯ
СИЛА
МОМЕНТ');
MMAX:=ABS(MI[1]);
for j := 1 to k h d o
begin
BH:=X[i]*10; X[i]:=round(BH); X[i]:=X[i]/10;
i:= 2;
4:
if BH-L[i] o O then goto 3;
QQ:=QS[j]-F[i];
MM:=MI[j]-M[i];
writeln(BH,QQ,MM);
3:
i:=i+l;
if i<=n then goto 4
if MMAX<=abs(MI[j])
then MMAX:=abs(MI[j])
writeln(X[j],QS[j],MI[j]);
if MMAX<=abs(MI[j])
then MMAX:=abs(MI[j])
end;
\угке1п('НАИБОЛЬШИЙ ИЗГИБАЮЩИЙ МОМЕНТ
MMAX=',MMAX);
D:=exp(ln(MMAX/(0.1 *DSIGMA))/3);
A:=PI*sqr(D)/4;
D1 :=exp(ln(MMAX/(0.1*DSIGMA*(1 -C*C*C*C)))/3);
. D2:=C*D1;
A 1:=PI*(sqr(Dl )-sqr(D2))/4;
B:=exp((6*MMAX/sqr(k)/DSIGMA)/3);
H1:=K*B;
A2:=B*H1;
WZ :=MMAX/DSIGMA;
writeln(’PA3MEPbI ПОПЕРЕЧНЫХ CE4EH№f);write!n;
writeln('KPyrЛОГО СЕЧЕНИЯ');
\үгие1п('диаметрD=',D,' площадь A -,a);
иткеІп^ТСОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЯ');
\угке1п('диаметрыD 1=',D 1,'D2=',D2,' площадь A -.A 1);
тке1п('ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ');
writeln('uiHpHHa в - ,B,'высота Һ=',Н);
writeln('HOMEP ДВУТАВРОВОГО СЕЧЕНИЯ');
writeln('MOMeHT сопротивления сечения W -,wz);
writeln('cnacH6o за приятное общение!');
79
■
\
И
%
I
СПИСОК ИСПЛЬЗОВАННЫХ
источников
1. Айталиев Ш.М., ДузельбаевС.Т. Матреиалдар кедергісі: Есептер шығаруға арналған оқу қүралы, 1 | болім.- Алматы: Рауан, 1991176 б.
2. Дүзелбаев С.Т. Матреиалдар кедергісі: Есептер шығаруға арналған оқу кұралы, 2 - бөлім.- Алматы: Рауан, 1996.- 176 б.
3. Винокуров Б.Ф. и др. Сопротивление материалов: Расчетно­
проектировочные работы: Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш шк
1990.-479 с.
4. Вычислительная техника и программирование /Под ред. А.В.
Петрова. - М.: Высш. шк, 1984.- 479 с.
5. Культин Н. Turbo Pascal 7.0.—СПб.: БХВ —Санкт-Петербург
1998.-336 с.
6. Культин Н. Самоучитель. Программирование в Turbo Pascal
7.0 и Delphi-СПб.: БХВ - Санкт-Петербург, 1999.- 404 с.
7. Основы современных компьютерных технологий: Учеб. посо­
бие/ Под ред. А.Д. Хоминенко.-СПб.: КОРОНА принт, 1998,- 448 с.
8. Персональный компьютер в задачах сопротивление материа­
лов: Учеб. пособие для студентов тех. учебн. Заведений /Под ред. Н.И.
Мироненко. - Алматы: Рауан,1992.- 196 с.
9. Прикладная механика: Методические указания и контрольные
задания для студентов-заочников инженерно-технических специаль­
ностей высших учебных заведений / Под. ред. П.Г. Гузенкова. - М.:
Высш. шк, 1984.- 112 с.
10. Прикладная механика: Учебник для вузов / Под ред. Г.Б. Иосилевича. - М.: Высш. шк, 1989,- 351с.
11. Сборник задач по сопротивлению материалов: вузов /Под
ред. А.С. Волмира. - М.: Наука, 1984,- 399 с.
12 . Степин П.А. Сопротивление материалов: Учебник для вузов.
- М.: Высш. шк, 1988.-367 с.
13. Тажибаев С.Д. Қолданбалы механика; Жоғарғы оку орындары студентгеріне арналған оқулық. - Алматы: Білім, 1994. - 336 б.
14. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс: Учебное
пособие.-М.: «Нолидж», 1999 - 616 е.
15. Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Практика программирова­
ния: Учебное пособие. - М.: «Нолидж», 1999.- 627 с.
16. Фигурнов В,Э. IBM PC для пользователя. Краткий курс - М 1
ИНФРА-М, 1998.- 480 с.
80
ш
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
3 403 Кб
Теги
evm, prikladnoj, graficheskih, primenenie, 3166, rabota, mehanika, duzelbaev, raschetno
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа