close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3181 duzelbaev s.t.kuderin m.kh injenerlik mehanika iii

код для вставкиСкачать
624.04
Д87
С.Т. Дүзслбасв, М. Қ. Кудерин
і
һМ
Қазақстан Республикасыныц Білім және ғылым мннистрлігі
С. Тораигыров атындағы Павлодар мемлекеттік университеті
С.Т. Дүзелбаев, М.Қ. Кудерин
ник
ОҚУ ҚҮРАЛЫ
жогары кэсіптік мамандар дайындайтын
техникалық оку орындарының студенттеріне арнапған
қайта басып шыгарылган
ш
Павлодар
УД К 531:62(075.8)=943.42
ББК 30.12 1я7
Д 87
'Ч .
ҚРБ ГМ жогарьі жэне жогары оку орнынаи кейінгі касіптік вілім
жоніндегі Республикалык Оқу-әдіетемелік Кецесі «Сэулею» жэие
«Қүрылыс» мамандыкгарына оку куралы репнде усынган
ГЬкфжазгандар.бсков
^ ^
Л.Я. Гумилев атындшы Еуразиялық ріттық
университеттіц профессоры;
Ж.Б. Бакиров - т.г.д.р
унтерситеттің профессоры.
Қараганды
ж
мемлекеттік
.
техникалың
Дүзелбаев С.Т.* Кудерин М.Қ.
Д 87 Инженерлік механнка 3: Жогары кәсіптік мамандар дайындаитын
техникалык оку орындарының студенттеріне арналган оку қүралыУ Павлодар: «Кереку», 2010. - 2 1 6 б., кдйта басып шыгарылган,
кслісімшарт № 180
ЩВІЧ 9965-31-180-3
«И н ж ен ср л ік механика 3» пәні 050729
«Құрылыс» мамандандарын
дайындаудагы кәсіби пэндердің бірі болып табылады. Аталмыш курс
гимараттарды кинсматикалық талдау, көпаралыкты аркалықты есептеу,
статикалык аныкталган жакгаулардың орын ауыстыруларын анықтау,
• 00
статикалык аныкталмаган жактаулар, күш эдісі, орын ауыстыру эдісі,
фсрмаларды ессптеу, үш топсалы арка тақырыптарын қамтиды.
Оку күралы пэн бойынша дэрістен, семестрлік жүмысгардың
тапсырмалар жинагынан турады.
УДК 531:62(075Л)=943.42
ББК 30.121я7
15ВЫ 9965-31 -1 80-3
С.Торайғыров
атындағы ГІМУ-дің
академик С.Бейсембае© Дүзелбасв С.Т., Кудерин М.Қ.» 2010
© С. Торайгыров атындагы ПМУ, 2010
1 Дәріс
Кіріспе
осы уақытта теориялық механика, материалдар
кедергісі жэне құрылыс механикасын қамтитын кешенді пэн болып табылады.
Пәнді игеру 050420 «Сәулет» және 050729 «Құрылыс» саласындагы маманды
дайындауда
бакалавр
құрылысшының
академиялық
дәрежесі
мен
квалификациясын анықтауга өте қажетті.
«Инженерлік механика» гимараттардың әрбір элементтеріне үнемді және
сенімді жүмыс істеуіне кепілдік бере отырып, лайықты материалды таңдауга
және олардың көлденең өлшемдерін анықтауга көмектеседі, ал сонымен қатар
кері есепті де шешеді — түргызылган немесе жобаланган конструкцияның
өлшемдерінің жеткіліктігін тексеру, ягни бүл пэннің міндеті салмагы жагынан
жеңіл, қатаңдыгы мен беріктігі жогары, өзі арзан конструкциялардың жобасын
есептеу болып табьшады.
«Инженерлік механика» курсы үш бөлімнен түрады: «Инженерлік
механгаса
«Инженерлік механика I» пэні 050420 «Сәулет» және 050729 «Қүрылыс»
мамандандарын дайындаудагы негізгі пәндердің бірі болып табылады. Бүл
пәнде гимараттар мен олардың элементтерінің тепе-теңдік күйін зерттеудің
жэне оларды беріктікке, қатаңдыққа және орнықтылыққа есептеудің эдістері
баяндалады.
Аталмыш курс теориялық механиканың статика бөлімі мен материалдар
кедергісінің созылу мен сыгылу, иілу жэне орнықтылық тақырыптарын
қамтыган.
«Теориялық механика» мен «Материалдар кедергісінің» бөлімдерінен
түратын «Инженерлік механика П» пэні 050729 «Қүрылыс» саласындагы
маманды дайындайтын кэсіби пэндер цикліне енеді.
«Теориялық механика» бөлімінде нүктенің кинематикасы мен
динамикасы, қатты дененің қарапайым қозгалысы қарастырылады.
«Материалдар кедергісі» бөлімінде бүралу, күрделі қарсыласу, қигаш
иілу, центрден тыс сыгылу деформацияларын беріктік пен қатаңдыққа
есептеуді, ал сонымен қатар статикалық анықталган жақтаулардың ішкі күш
факторларының эпюраларын түргызуды қамтиды.
«Инженерлік
механика III»
пәні
«Қүрылыс
механикасының»
гимараттарды кинематикапық талдау, көпаралықты арқалықты есептеу,
статикалық анықталган жақтаулардың орын ауыстыруларын анықтау,
статикалық анықталмаган жақтаулар, күш әдісі, орын ауыстыру әдісі,
фермапарды есептеу, үш топсалы арка тақырыптарын қамтиды және кәсіби
пэндер циклінё жатады.
м сА ан и к а»,
3
Бұл оқу құралы «Инженерлік механика III» курсына арналып дәрістерді,
семестрлік жұмыстардың тапсырмалар жинагын камтыған.
Негізгі түсініктер мен аны қтам алар. Қүрылыс механикасы пәні
құрылыс бакалаврларын даярлауда үлкен осчь алатын пэн. Бұл жаңа оқу
багдарламасы бойынша «Инженерлік механика III» атымен аталады және
«Инженерлік механика I», «Инженерлік механика II» пәндерінің жалгасы
болып табылады.
«Инженерлік механика III» пәнінің негізгі мақсаты тұгас инженерлік
құрылымдардың және
гимараттардың беріктігін,
қатаңдыгын
және
орнықтылыгын есептеуді студенттерге үйрету. «Инженерлік механика Щ»
пәнінде де «Материалдар кедергісі» пәнінде қарастырылган сұрақтар
талқыланады, бірақ «Материалдар кедергісі» пәнінде жекелеген стерженьдер
мен арқалыктар есептелінсе, «Инженерлік механика III» пэнінде стерженьдер
мен арқалықтар біріккен жүйелерді, ягни тұтас құрылымды немесе гимаратты
есептеу іске асырылады.
«Инженерлік механика ІП» пәнінің тәсілдері математика, физика,
теориялық механика, материалдар кедергісі пәндерінің заңдылықтарына және
практикадагы нақты құрылымдар мен гимараттардың жұмысын бақылау
қорытындыларына
негізделеді.
Бұл
пән
студенттерді,
болашақ
құрылысшыларды, инженерлік құрылымдарды, көпірлерді және азаматтық
гимараттарды есептейтін арнайы пәндерді игеруге дайындайды.
Құрылымдар мен гимараттарды беріктікке есептеу кезінде, құрылыс
механикасының тәсілдері, олардың элементтерінің өлшемдерін анықтауда,
оларға сырттан әсер етуші күштерден қирап қалу қаупін болдырмауды
қамтамасыз етеді.
Құрылымдар мен гимараттарды қатаңдыққа есептеу, олардьщ сырттан
әсер ететін күштерден пішімі мен өлшемдерін өзгерту шамасы, гимараттардың
өз қызметтерін дұрыс атқаруына кедергі жасамайтындай деңгейде болуьга
қамтамасыз етеді.
Орнықтылыққа есептеу инженерлік құрылымдардьщ, көпірлердің және
азаматтық гимараттардың өз қызметтерін атқару барысында бастапқы берілген
орнықты орны мен формасын сақтап тұруын қамтамасыз етеді.
4
Жүк
көтеруші
құрылымдардың
беріктігін,
қатаңдыгын
және
орнықтылыгын есептеу үшін нақты инженерлік құрылымдардың, кепірлердің
жэне азаматтық гимараттардың есептеу схемаларын қарастырады. Бұл
схемаларда құрылымдардың элементтерін, бір-бірімен байланысын, тіректерін,
сыртқы күштерді идеалды түрге (оңайлатылган түрі) келтіріп алады, себебі
құрылымның элементтерінің барлық геометрияльщ өлшемдері мен формасын
және бір-бірімен әсерлесуінің түрін дәл және толық ескеру өте үлкен
қиындықтар тугызады, кейде тіпті мүмкін болмайды.
Қүрылымның схемасы дегеніміз оның нақты түрінің, оган түсірілетін
жүктемелердің ерекшеліктерін және құрылымның осы әсерге қарсы тұру
мүмкіндігін ескеріп сызылатын оңайлатылган кескіні. Мысалы, арқалық және
багана сияқты стержень тәрізді құрылым элементтері схема түрінде олардың
4
өсімсн сәикес келепи түзу сызықтармен көрсетіледі. Құрылымның есептеу
схемаіары әр түрлі жүйедегі түрде көрсетілуі мүмкін: топсалы-стерженьдер
жүйесі, рама тәріздес, пластина тәріздес тх.с. III. 1 - ІІІ.5 суреттер. Есептеу
практикасында қажетті дәлдікке байланысты бір қүрылымньщ өзіне әр түрлі
есептеу схемаларын қабылдауға тура келеді. Әдетте алдын-ала есептеулерді
жүргізу үшін жүйенің оңайлатылған схемасын, ал ақтық есегітеулер үшін
күрделі түрдегі дәл схемалар қарастьфылады.
Нақты құрылымның көрнекі мысалы ретінде III. 1, а - суреттегі фсрманы
айтуга болады, оның элементтерінің қосылған түйіндері (узлы) дәнекерленген
қосылыстар болып табылады. Осы ферманың оңайлатылған есептеу схемасы
III. 1, Ь - суретте кескінделген топсалы-стерженьдер жүйесі болса, ал күрделі
және дәл схемасы қатаң түйіндермен қосылган рамалар жүйесі, III. 1, с - сурет,
болып табылады.
III. 1 - сурет
Оңайлатылган есептеу схемасын қолмен есептеуге болады, ал күрделі дәл
есептеу схемасын тек электронды есептеу машинасының көмегімен есептейді,
өйткені бүл жагдайда жогаргы дәрежелі алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге
гура келеді. Егер қүрылымның элементтерінің үзындығы оның қима өлшемінен
он есе және одан да жогары болса, ягни 10Һ<1 шарты орындалса, III. 1 - ші
суретте көрсетілген нақты құрылымды оңайлатылган есептеу схемасы бойынша
есептеу жеткілікті дәлдіктегі қорытынды береді.
Құрылымның қаңқасы, оның құраушы элементтерінің бір-бірімен
жазық және кеңістік болып
бөлінеді. Жазық құрылымдар практикада сирек кездеседі, бірақ олар кеңістік
құрылымдардың құраушысы ретінде оңайлатылған есептеу схемасын құрып
кеңістік құрылымдарды есептеуге мүмкіндік береді.
Кеңістік және жазық құрылымдар келесі жалпылама белгілері арқылы
жекелеген кластарға бөлінеді:
құрылымды
құрайтын
элементтерінің
геометриялық
түріне
байланысты;
- элементтерінің түйіндерде байланысу түріне байланысты;
- құрылымның жұмыс істеу үрдісіне байланысты.
Құрылымды құрайтын элементтерінің геометриялық т у р і н е байланысты
стерженьдерден тұратын (Ш.1..Ш.5 - суретгер), пластиналар мен
қабыршықгардан тұратын (Ш.6 - сурет), массивті денелерден (ІП.7 - суоет)
тұратын болып бөлінеді.
^
’
а>
Ъ)
С)
III.2 - сурет
Элементтерінщ түйіндерде байланысу түріне байланысты топсалы
(фермалар, үш топсалы жүйелер ІІІ.З - сурет), қатаң (ІІІ.4 - сурет) және аралас
(комбинированныи) байланысқан түйіндерден тұратын (ІІІ.5 - сурет) болып
оөлінеді.
'
Құрылымның жүмыс істеу үрдісіне байланысты арқалықтар (ІП.2 - сурет)
аркадар (ПІ З сурет), рамалар (ІІІ.4 - сурет), фермалар және аспалы жүйелер
(ІІІ.5 - сурет) болып бөлінеді.
^
г
6
Ь)
(!)
V*
Уо
еі
Ь
ІІІ.З - сурет
Арқалықтарға тек вертикаль багыттағы күштер әсер ететін болса, оның
тіректерінде тек вертикаль тірек реакциялары туындайды, ал горизонталь тірек
реакциясы нөлге тең болады, ягни Н л = 0. Вертикаль багыттағы күштер
әсерінен оның тіректерінде тек вертикаль тірек реакциялары туындайтын
жүйелер тежемесіз (распорсыз) (горизонталь тірек реакциясы - тежеме күші
нөлге тең) деп аталады.
Арка (доға) тәрізді жүйелер дегеніміз дөңес жағы жоғары қарап түратын
өсі түзу, қисық немесе рама тәрізді стерженьдерден түратын құрылым (Ш.З сурет). Аркалы қүрылымдардың тіректерінде вертикаль күштер әсерінен тек
вертикаль тірек реакциялары гана туындап қоймай, горизонталь тірек
реакциялары да туындайды. Ол тірек реакциялары темсеме (распор) деп
аталады. Ш.З, а - суреттегі арканың тежеме күші Н л нөлге тең, ал қалган бес
жүйедегі тежеме күштері нөлге тең болмайды.
7
о
III .4 - сурет
Кейбір немесе барлық туйіндерінде бір-бірімен қатаң бекітілген
стерженьдер жүйесі рама деп аталады (ПІ.4 - сурет). Раманы құрайтын
стерженьдер, жүктеме әсерінен иілуге, созылу мен сығылуга немесе иіліп
созылуга немесе сыгылуға ұшырайды.
Элементтері тек созушы немесе сығушы күштерге ұшырайтын құрылым
ферма деп аталады (III. 1 - сурет).
Элементтері тек созушы күштерге ұшырайтын иілгіш стерженьдерден
тұратын жүйелер аспалы жүйелер деп аталады (ПІ.5 - сурет).
III.5 - сурет
Жазық пластиналар мен қисық бетгі қабыршыктар ІІІ.6 | суретге жэне
массивті дене ІІІ.7 - суретте көрсетілген.
III.6 - сурет
III.7 - сурет
8
Тіректер. Тіректердің түрлері сан алуан болып келеді, бірақ схема
түрінде оларды келесі үш түрге келтіруге болатынын «Инженерлік механика I»
пәнінен білеміз: қатаң бекітпе, топсалы жылжымайтын, топсалы жылжымалы.
Сыртқы күштердің түрлері. Қүрылыс механикасы пәнінде күштер
көлемдік және беттік деп, қадалган және таралып әсер ететін деп, актив
(белсенді жүктемелер) және пассивті (тірек реакциялары) деп, статикалық және
динамикапық болып бөлінеді. Бүл үгымдар материалдар кедергісінде де
көрсетілген болатын. Сыртқы (белсенді) күштер көлемдік және бетгік болып
келеді. Көлемдік күштерге электромагниттік, екпін және дененің салмақ
күштері жатады.
Көлемдік күштердің ішінде қүрылыс механикасы үшін екпін күштері мен
дененің сапмақ күші үлкен орын алады. Беттік күштер қүрылым элементтерінің
бір-бірімен жанасқанда олардың арасында туындайтын күштер екені белгілі.
Қадапган күш шартты түрде дене бетінің бір нүктесіне түсірілген күш деп
карастырылады, ал шын мәнінде ол күштер дене бетінің азгантай бөлігіне әсер
ететін күштер болып табылады.
Практикада барлық қүрылым элементтері кеңістікте еркін болмайды,
олар бір-бірімен немесе тіректермен байланысты болып келеді. Актив күштер
(жүктеме күштер) әдетте белгілі болады немесе қүрылымның түріне және
қандай қызмет атқаратынына байланысты есептеп табуга болады, тіректің
реакция күштері (пассив күштер) актив күштерге тәуелді болып келедіде
алдын-ала белгісіз болгандықган анықтауды қажет етеді.
Динамикалық күштер уақытқа байланысты шамасы, кейде әсер ету
багытыда өзгеріп отыратын күштер.
ИІ. 1 Ғимараттарды кинематикалық талдау
Геометрияльщ өзгеретін және өзгермейтін жүйелер, Жүйенің
еркіндік дэрежесі Геометриялық өзгермейтін жүйелерді
қүрастыру белгілері Лезде өзгеретін жүйелер. Геометрнялық
өзгермейтін
стерженді
жүйелердің
статикалық
анықталгандыгының шарттары
Геометриялық өзгеретін жэне өзгермейтін жүйелер. Қүрылыс
құрылымдарда және гимараттарда тек қана геометриялық өзгермейтін
жүйелер қолданылады. Ғ имараттарды, қүрылымдарды кинематикапық
талдаудың мақсаты оның геометриялық өзгермейтіндігін анықтау болып
табылады. Ғимараттардың жэне қүрылымдардың кинематикапық талдауы екі
сатыдан түрады.
1-саты. Жүйенің еркіндік дэрежесімен сипатталатын геометриялық
өзгеретіндігін немесе өзгермейтіндігін анықтау;
2-саты. Жүйенің геометриялық қаңқасын талдау (стерженьдердің және
топсалардың орналасуы), лездік геометриялық озгермелі жүйенің болуы.
Кез келген құрылым немесе гимарат сыртқы күштер әсерінен өлшемдері
мен формасын өзгертеді. Егер осындай өзгерістер жүйенің элементтерінің
деформациялануы арқылы орын алатын болса, ондай жүйелер гвометрияльщ
өзгермейтін жүйелер деп аталады, ал жүйенің элементтерінің салыстырмалы
қозгалыстары олар деформацияланбай-ақ іске асатын болса, ол жүйе
геометриялық озгеретін жүйе деп аталады.
V4
Га
о
о
Л'
дг
III.8 - сурет
Жазықтық бетіндегі нүктенің орны екі координатпен анықталады
ғеді), демек нүктенің жазықтық бетіндегі еркіндік дәрежесі екіге тең.
нүктесі
байланыс деп аталады. Егер жүйенің
дәрежесі болса, оны жою үшін қосымша байланыстар орнату керек болады, ал
олардың жалпы саны жүйенің еркіндік дәрежесінің санынан кем болмауы
керек. Қүрылыс механикасында, кинематикалық талдау кезінде, жекелеген
геометриялық өзгермейтін жазық жүйені дискі деп атайды. Дискінің
жазықтықтагы орны тәуелсіз үш координатпен беріледі, ягни дискінің кез
келгеннүктесінің х , у координаттарымен және осы нүктенің айналасындагы
а бүрылу бұрышымен анықталады (III.8 - сурет). Сондықтан дискінің, ал
қабылдауга
еркіндік дэрежесі
Жүйені геометриялық өзгермейтін жагдайга келтіретін байланыстар саны
жеткілікті байланыстар деп аталады, ал егер қайсы бір байланысты алып
тастағаннан жүйе геометриялық өзгермейтін жагдайда қалатын болса, ол
байланыс артық байланыс болып табылады.
Бірнеше дискілерден түратын жэне бір-бірімен топсалар арқылы немесе
стерженьдер арқылы қозгалмайтын денемен (мысалы, жермен) байланысқан
жүиенің еркіндік дәрежесін анықтайық. Ол үшін қарапайым және күрделі
топсалар туралы ұгым енгізейік.
Екі дискіні немесе екі стерженьдерді немесе оларды жермен, ягни
қозгалмайтын денемен жалгастыратын топса қарапайым топса деп аталады.
Ал бір түйінде бірнеше (екіден көп) дискілер мен стерженьдерді
жалгастыратын топсалар күрделі топсалар деп аталады (III.9 сурет).
10
аі
і
)
З6
ІІІ.9 - сурет.
III.9, а - суретте қарапайым топса, ап II 1.9, Ь, с - суреттерде күрделі
топсалардың түрлері көрсетілген. Саны п -ге тең дискілер мен стерженьдер
түйісетін күрделі топса п -1 -ге тең қарапайым топсаға тең болады.
Жазық жүйелерде еркін тұрған дискінің үш еркіндігі бар, ап қарапайым
топса оның еркіндік дәрежесін екіге төмендететін болса, тіректегі стерженьь
бірге кемітеді, олай болса жүйеніц еркіндік дэрежесі келесі өрнекпен
анықталады:
№ = З Д - Ж Щ - Ш б,
(111.1)
мұндагы Д - дискілер саны; Г-қарапайым топсалар саны; Ст-тіректегі
стерженьдер саны; К б - қатаң бекітпе саны; IV -жүйенің еркіндік дәрежесі.
Егер IV > 0 жүйенің байланысы оны геометриялық өзгермейтін етуге
жеткіліксіз болады, жүйе механизмге айнапады.
Енді IV = 0 болса және ол байланыстар тиімді орнатылса, жүйе
геометриялық өзгермейтін болады және жүйенің барлық белгісіз тірек
реакцияларын статиканың тепе-теңдік теңдеулерімен анықтауға болады.
Осындай жүйелер статикалық анықталган жүйелер деп атапады.
Ал егер IV <0 болса және ол байланыстар тиімді орнатылса, жүйе
геометриялық өзгермейтін, бірақ артық байланыстары болатын жүйе болып
табылады. Осындай жүйелер статикапық анықталмаған жүйелер деп аталады.
Сонымен, жүйе геометриялық өзгермейтін болу үшін келесі шарт
орындалуы қажет:
ЗД - 2 Т - С Г - ЗК6 £ 0.
'
(ІІІ.2)
Осы шартты пайдаланып III. 10 - суретте көрсетілген жүйелердің еркіндік
дәрежесін есептейік. III. 10, а - суреттегі стерженьдер жүйесі үшін дискілер
саны стерженьдер санына тең, топса саны үшке тең, тірсктегі стерженьдер саны
үшке тең, сондықтан бүл жүйенің еркіндік дәрежесі
^ = 3 -3 -2 * 3 -3 = 0
11
нөлге тең.
С°„НДЫКтан *Үйе ^еткілікті дәрежеде байланыстары бар геометоиялык
өзгермеитін жүие болып табылады.
^
III. 10 —сурет
Ал
жүйе геометриялық өзгеретін жүйе
^ = 3*4-2-4-3 = 1
аталган
салыстырғанда орналасу тәртібін
өзгерментіндшн анықтауға болады.
I
і «Р *
—-
қарастырып,
жүйенің
геометриялық
__
» » *
Бұл үмбұрымтың
қатаңдыгы деп аталады.
Енді геометриялық өзгермейтін жүйелеолі шш Ушш
жалғасқан қатаң үшбұрышқа тізбектеп бір түзудің бойь
стерженьнен тапатын тлппапст^
. 00ИЬІНДа жатпаитын, екі
болады. Осындай тәсілмен қ ұ р а с т ь г о ы ^ ^ ^ ^ ^ Т1збекті і И И Ш І Қажет
(ІН. 11 _ сурет)
әс,лмен кұрастырьшған жүие жазық ферма деп аталады
ЁаШР
III. 11 —сурет
Бұл ферма негізгі үшбұрышқа (1-2-3) тізбектеп, алдымен 2-4 және 3-4,
одан кеиін оган 3-5 және 4-5 сол сияқты жалгастыра отырып, ең соңында 7-9
және 8-9 стерженьдерін қосу арқылы алынган, ал бұл жүйе геометриялық
өзгермеитін жүие болып табылады. Негізгі үшбүрыш үш стерженьнен және үш
түйіннен тұрады, ал келесі оған жалганатын түйіндер саны (А* - 3 ) екі
стерженьге жалғанады.
Геометриялық өзгермейтін фермадағы стерженьдер саны келесі
теңдеуден табылады.
Д = Ъ+ 2-(К-Ъ),
(ИІ.З)
жақшаны ашып
(Ш.4)
жүйе геометриялық
Егер стерженьдер саны Д < 2 - К —3 болса, онда ферма құрамындағы
стерженьдер саны жүйенің геометриялық өзгермейтін болуына жеткіліксіз
екенін көрсетеді. Мысалы, III. 12, Ь - суреттегі жүйе үшін дискі саны Д = 4
және
түйін
саны
К = 4,
ал
талап
бойынша
дискінің
саны
Д —2'К 3 —2*4 3 —5 болуы керек еді, яғни Д < 2 К —Ъ стерженьдер саны
жүйе
Дискілерді
(стержен ьдерді)
тиімді
(дұрыс)
орналастырмаған
жагдайда Д < 2 К - 3 шарты орындалса да жүйе геометриялық өзгермелі болып
қалуы мүмкін (III. 12 - сурет). Стерженьдер саны Д = 15, түйіндер саны
К=9, олай болса (ІІІ.4) шарт орындалады, бірақ жүйе геометриялық
өзгермелі, себебі оның оң жақ бөлігі топсалы төртбұрыштан тұрады.
ІП.12 - сурет
Жүйенің геометриялық қаңқасын талдау жүйедегі стерженьдер мен
байланыстардың орналасуын аиықтаудан басталады. Осы жерде лездік
геометрияпық озгермелі жүйенің болатынын айта кету керек. Лездік
геометриялық өзгермелі жүйе геометриялық өзгермейтін жүйенің ерекше түрі,
ол шексіз кіші орын ауыстыруга мүмкіндік беретін жүйе болып табылады.
Осындай жүйелердің бірнешеуі III. 13 —суретге көрсетілген.
13
III. 13 р сурет
III. 13, а - бір өстің бойындагы топсалы жалғасқан екі стержень; III. 13, Ъ бір нуктеде өстері қиылысатын үш немесе одан да көп стерженьдермен
бекітілген дискі; III. 13, с - әр түрлі ұзындықтагы өстері параллель үш немесе
одан да көп стерженьдермен бекітілген дискі.
Мұндай жүйелерді немесе осьшарға ұқсас жүйелерді іс жүзінде
(практикада) қолдануға болмайды.
Топсалы түйінді жазықтықта екі еркіндік дәрежесі бар нүкте ретінде
қарастьфуға болады, сондықтан геометриялық өзгермейтін жүйелерді
құрастырғанда түйіндер кем деғенде екі стерженьмен (байланыс) жалғасуы
керек. Екі дискінің бір-бірімен салыстырмалы үш еркіндігі болады, сондықган
олар геометриялық өзгермейтін жүйелерді құрау үшін кем дегенде үш
байланыста болуы керек. Осы айтылғандарды және лездік геометриялық
өзгермелі жүйелердің сипаттарын ескеріп, геометриялық өзгермейтін
жүйелердің белгісі ретінде келесі тұжырымдарды жасауға болады:
а) бір-бірімен топса және осы топса үстінен өтпейтін стержень арқылы
жалғасқан екі дискі (III. 14, а - сурет);
б) өстері бір нүктеде қиылыспайтын және бір-біріне параллель емес үш
стержень арқылы жалғасқан екі дискі (III. 14, Ь - сурет);
в) дискіге топсалары бір сызықтың бойында жатпайтын екі стержень
арқылы жалгасқан түиіні бар жүйе (III. 14, с - сурет).
О)
III. 14 - сурет.
14
II?.2 Коп аралыкты статикалық анықталған арқалықтар
Еркіндік дэрежесі Қабатты схемасын ңуру. Негізгі, ілінбелі
жэне көмекші арқальщтарды анықтау. Жеке арқалықтардагы
көлденең күштер , июші моменттердің эпюраларын түргызу.
Көлденең күштер мен июші моменттердің жалпы эпюралары .
Еркіндік дэрежесі. «Инженерлік механика I» пәнінде арқалықтардың
жазық иілуі кезінде оның көлденең қималарында көлденең күш
және июші
момент М туындайтынын жэне ол ішкі күш факторлары қима тәсілімен
анықталатынын оқып үйренген болатынбыз. Біз қарастырган осы есептерде
арқалықтар бір тіректі қатаң бекітілген немесе екі тіректі топсалы бекітілген
болатын еді.
Қүрылыс практикасында осындай арқалықтардың жүк көтеру қабілетін
арттыру үшін оган қосымша тіректер орнатылады да, есеп статикалық
анықталган болу үшін арқапыққа ішкі
топсалар
орнатады.
Осындай
көптіректі ішкі топсалары бар арқалықтың бір мысалы III. 15 — суретте
көрсетілген.
I
ІІІ.15-сурет
Жүйенің еркіндік дәрежесін анықтау
анықталады
(Ш.1)
теңдеуді қолданып
IV = З Д - 2 Т - С т- Ъ К 6 = 1 2 - 6 - 6 - 0 = 0,
мүндагы Д = 4, Т = 3, Ст= 6, К6 = 0.
«Б» әрпімен байланыстар санын белгілеп,
анықталгандыгын келесі шарт бойынша табамыз.
жүйенің
Б - Т ш $ 3,
*
статикалық
(Ш.5)
мүндагы 3 - саны статиканың теңдеулерінің саны. Біздің есебімізде Тш = 3
Б —6 - ішкі топсалар саны, сондықтан (III.5) шарт орындалады.
Демек, бүл жүйе геометриялық өзгермейтін және статикалық анықталган
жүйе болып табылады.
Қабатты схемалар күру. Мүндай есептер қабатты схемалар түзу
арқылы шешіледі. Қабатты схемаларды түргызу үшін алдымен негізгі
арқалықты тауып оган тізбектеп жалғанган келесі аркалықтарды ішкі тоиеалар
15
і
орналасқан қимадан ажырату арқылы жүргізіледі. Негізгі арқалық тұгырга
(жерге) үш байланыс арқылы бекітіліп, геометриялық өзгермейтін жүйе
қүрайтын арқалық болып табылады, ол біздің мысалымызда 1 —арқалық (III. 15
сурет). Әрбір ішкі топсалы байланыс дискілердің (біздің жағдайда
арқалықтардың) салыстырмалы қозғалысына екі шектеу қоятын болғандықтан,
негізгі 1 —арқалықтан ажыратылған 2 —арқалықтың топсадан босатылған үшы,
дәл осы қимада негізгі арқальпсгың үстіне топсалы жылжымайтын тірекпен
бекітіледі (III. 16 - сурет). Енді келесі 3 - арқалықтың топсадан босатылған үшы
сәйкес 2 —арқалықтың үстіне топсалы жылжымайтын тірекпен бекітіледі. Дәл
осындай тәсілмен қалған арқалықтар да бірінің үстіне бірі орнатылып, көп
аралықты ішкі топсалары бар статикалық анықталған арқалықтың қабатты
схемасы алынады (III. 16 - сурет).
III. 16 - сурет
Есепті шешу ең үстіңгі қабатга орнапасқан, яғни біздің мысалымыздагы
4 - арқалықтан басталады. Суретген көрініп тұрғандай әрбір қабаттағы арқалық
екі тіректі статикалық анықталған арқалық болып табылады. Үстіңгі 4 арқалықтың Г3топсасы түсындағы тірек реакциясының күші осы күшке кері
бағытта алынған астыңғы 3 - арқалыққа түсірілген қадалған (қадалған) күш
болып табылады (III. 17 - сурет).
III. 17 - сурет
16
Ал 3 —арқалықтың Т2 тірек реакциясы 2 - арқалыққа, ал оның Т{ тірек
реакциясы бірінші негізгі арқалыққа қадалған күш гүрінде түсіріледі (III. 17 |
сурет). Осы схемадан көрініп түрғандай әрбір арқалық жеке есептеліп, ішкі күш
факторлары — көлденең күш пен июші моменттердің эпюрлері түрғызылады.
Ол эпюрлер бастапқы берілген көп аралықты ішкі топсалары бар статикалық
анықталган арқальйсгың астына түрғызылады. Ішкі топсалардың тұсында июші
момент нөлге тең болатынын айта кету керек.
Көп аралықты ішкі топсалары бар статикалық анықталған арқалықтың
ішкі топсалары жоқ, сол берілген тіректерге жеке-жеке бекітілген
арқалықтармен салыстырғанда жүк көтеру қабілеті едәуір жоғары болады.
Мысал ретінде бұған, III. 18- суретте келтірілген екі жағдайды салыстырып, көз
жеткізуге болады.
III. 18 - сурет
III. 18, а - суретте тұтас аралықты жеке-жеке орнапасқан арқалықтардағы
ең үлкен июші моменттің шамасы т=1-ҒІ4 болатыны, ал III. 18, Ь - суретте
дәл сондай күштермен жүктелген ішкі топсасы бар арқалықта ең үлкен июші
моменттің шамасы т —ҺҒ / 6 болатыны көрініп тұр, яғни басқа барлық
жағдайлары бірдей болғанда, ішкі топсасы бар арқалықтың жүк көтеру қабілеті
1,5 есе жогары болады.
Топсаларды орналастырғанда жүйенің геометриялық өзгермейтін болуын
қамтамасыз ету қажет. Топсалы-консольды арқалықты дұрыс құру үшін оның
әрбір аралығында екіден артық емес топсалар орнапасуы қажет, екі топсалы
аралықтар кемінде бір аралықтан кейін орнапастыру керек. Егер барлық
тіректер топсалы болса, шеткі бір аралықтан басқа аралықтарда бір топсалы
аралықтарды бірінен кейін бірін орналастыруға болады.
17
С.Торайғыров
атындағы ПМУ-дің
акадөмик С.Бөйсвмбаө
атындағы ғылыми
Топсалы-консольды арқалықтың тірек реакцияларын, моменттер мен
көлденең күштерді аналитикалық, графиктік және кинематикалық тәсілдермен
анықтауға болады.
1) Аналитикалық тәсіл бір аралықты статикалық анықталған
арқалықтарды есептеуден еш аиырмашылығы жоқ деп айтуга болады.
2) Көп аралықты статикалық анықталған топсалы-консольды арқалықты
графикалық тәсілмен есептеу жіптік және күштік көпбүрышты қолдануга
негізделген.
3) Топсалы-консольды арқалықтың тірек реакцияларын, моменттер мен
көлденең күштерді кинематикалық тәсілмен анықтау Лагранж теоремасын,
яғни мүмкінді орын алмастыру принципін қолдануға негізделген.
Көп аралықты статикалық анықталған топсалы-консольды арқалықты
аналитикалық тәсілмен есептеу жолын келесі мысалда қарастырайық.
П Ч ~ мьісал. Үшаралықты статикалық анықталган топсалы-консольды
арқалықтың ішкі күш әсерлерінің эпюраларын тұрғызыңыз (III. 19 о - сурег)
Қ =25 к Н ; Ғг =ЪОкН-,д~\йкНІм-, / , = 2 м ; / г _ І * ; I, = 3 м-,
,, = 3 * .'
Щеіиуі: Есепті шыгармас бұрын берілген арқалықтың геометриялык
өзгермейтіндігін тексерейік. Берілген арқалықтың тірек стерженьдері Сті = 5,
олай болса қажетті аралық топсалардың саны
Т = Ст ,ір - 3 = 5 - 3 = х2, .
Енді топсалы-консольды арқалықтың қабатты схемаларын түземіз, ол
үшін ішкі топсалар орналасқан қимадан ортадағы ИЕ арқалықты ажыратып,
екі шеткі арқалықгардың үстіне топсалы жылжымайтын және жылжитын
'пректермен орналастырамыз (III. 19, Ь - сурет). Сонда екі шеткі АО және
ЕН арқалықтары негізгі арқалықты қүраса, ортаңғы ӘЕ ілмелі арқалықгы
құрайды.
Ішкі күш әсерлерінің эпюраларын түрғызуды алдымен ілмелі ӘЕ
арқалығынан жүргіземіз (III. 19, с - сурет).
Арқалық тек бір қалыпты таралған күшпен жүктелген, сондықтан тірек
реакциялары өзара тең
Л0 = Л£ = ? /3/ 2 = 10-3/2 = 15 кН.
М және 0 эпюраларын сипаттамалы нүктелердегі ординаталар бойынша
тұрғызамыз (III. 19, с - сурет).
Ш Ш Ш ЛШ ШШ
1 5 * 1 0 -3 щ -\5 к Н .
18
тюрасы кН.м
(/ - 'шюрасы кН
111.19 - сурет
Ю
О
арқалықтың ұиітарында шамасы жагынан тең де таңбасы жагына
қарама-қарсы, яғни <2 арқалықтың ортаңғы қимасында нөлге тең, ал ол қимада
ию моменті экстремальды мәнге тең.
А_<7А = 15.2_10.|=11,25ісЯл<.
М о = М Е =0.
2.
о
2
о
Анықталган реакцияларды АО жэне ЕН негізгі арқалықтардың сэйкес
қималарына қарама-қарсы багытта түсіреміз де, олардың тірек реакцияларын
анықтаймыз және ішкі күш әсерлерінің эпюраларын тұргызамыз.
АО арқалыгының тірек реакцияларын келесі тепе-теңдік теңдеулерінен
анықтаимыз
% М А = 0; Лс ./1- ғ і | - т г о (/1+ /2) = 0 ;
2]МС=0;
КА 1 , - Ғ Х-1
± + КВ 12 = 0.
Сан мәндерін қойып, теңдеулерді шешсек КА =5кН; Кв = 35 кН. Олардың
дұрыстығын
теңдеуіментексеругеболады.
Ішкі күш эсерлерінің сипаттамалы нүктелердегі ординаталары:
Яс =()[) = КА - Ғ \ + К 0 = 5 -2 5 + 35 = 15кН;
М а ~ М 0 = 0;
М в = к 4 •/, =5-1 = 5кНм;
м с = к л-һ ~ ғ \ ~ = 5 -2 - 2 5 1 = -1 5 к Н м ;
Анықталган ординаталар бойынша сәйкес эпюраларды түсіреміз (III. 19, сі
- сурет).
р. . . , Щдт ЩУйРШШШД Щ
Осы жолмен ЕН арқалыгын қарастырсақ:
реакциялардың шамалары
Кғ = 40 кН; Ки = 5 кН,
ішкі күш әсерлерінің сәйкес ординаталары
& = е ™ — Д е = - 1 5 кЯ;
6 Г = ОсЛ= -Л £ +
= -15 + 40 = 25 кЯ;
6 * = £// =~ИЕ +Кғ - Ғ г = - \ 5 + Л0-Ъ0 = -5кН .
М Е = М Н = 0;
М Ғ = - К Е /4 = - 1 5 1 = -15«-Ям;
м с = “ л £ - К + у 1 + к ғ у = ~ 15' 2 + 40-1 = ЮкЯлі.
Анықталған ординаталар бойынша ЕН арқалығының М және £>
эпюраларын тұрғызамыз (111.19, е - сурет).
Енді ЛГ>, ОЕ және ЕН арқалықтарының сәйкес М және £> эшораларын
бір түзудің бойына түрғызып, берілғен үшаралықты статикалық анықталған
топсалы-консольды арқалықтың ішкі күш әсерлерінің эпюраларын аламыз
(ПІ-1 9 ,/ £ - сурет).
Байқағандарыңыздай, көпралықты статикалық анықталған топсалыконсольды арқалықтың қабатты схемаларын түзегеннен кейінғі есептеу, шын
мәнінде, қарапайым бір аралықты арқалықтарды есептеуғе келіп тіреледі.
ІІІ.З Сыртқы күштердің жүмысы
Сыртқы күштердің жүмысы. Серпімді деформаңиялардың
потенциалдық энергиясы . Орын ауыстыру мен жүмыстың
байланысы туралы теорема
Материалдар кедергісі пәнінде арқалықтың деформациясын, иілген өстің
жуықгалған дифференциалды теңдеуін интегралдау тәсілі арқылы анықтаган
болатынбыз. Бірақ бұл тәсілді тұтас инженерлік құрылымның орын
аустыруларын анықтауға қолдану жарамсыз, немесе күрделі болады.
Сондықтан құрылымның деформацияларын анықтауға ыңғайлы, серпімді
деформаңияланған жүйенің потенциалды энергиясының және сыртқы күштер
жұмысының өзғеру заңдылықтарына негізделген, энергетикалың тэсіл
қолданылады.
Деформацияланған дене белгілі бір шамадағы жұмыс атқара алатыны
белгші, ^яғни ол дене деформациялану кезінде потенциялды энергия
жинақтайды.
Демек,
дененің
деформациялану
кезінде
жинақгаған
потенциялды ^ энергиясы, сол денені деформациялауға кеткен толық
энергияның қайгатын бөлігі болып табылады. Сондықтан бұл энергия дененің
қайтатын (әсер етуші күшті алып тастағанда жойылып кететін)
деформациясымен, ягни серпімді деформациясымен байланысты болады.
Статикалық жолмен түсірілген сыртқы күштер әсерінен, серпімді
деформацияланған денелердің деформациялануға кеткен толық энергиясын, сол
дененщ жинаған потенциялды энергиясына тең деп есептеуге болады, себебі
энергияның жылуға, ішкі үйкеліске және басқа факторлар арқылы қоршаған
ортаға тарап кетуі өте аз болады. Дененің деформациялануына кететін толық
энергия сыртқы күштердің жасаған жұмысына тең болатыны белгілі. Бұл
тұжырым энергияның саңталу заңы деп аталады. Сондықган серпімді
деформацияланған денелердің жинақтаған потенциялды энергиясы С/, сан
жағынан, сыртқы күштердің денені деформациялау кезінде жасаған жұмысына
А тең болады.
г±
V = А•
(ІІІ.6)
Потенциялды энерғия мен жасаған жұмысты тұжырымдау нақты болу
үшін жалпыпама күш және жалпылама деформация ұгымдарын енгіземіз.
Жалпылама күш Ң деп денені деформациялайтын кез келгенсыртқы күштер
жыиынтыгын, ал ж алпылама деформация деп сол күиітің жасаган
жүмысын анықтау үшін, жалпылама күшті көбейту керек болатын және
жалпылама күшке сәйкес келетін орын ауыстыруды 3 , айтады. Мысалы
Ш.20 - суретте көрсетілген
күшіне сәйкес келетін жалпылама деформация
(орын ауыстыру)
К нүктесінің Ак орын ауыстыруның осы күштің
бағытына түсірілген проекциясы болып табылады. Жұп күштердің (момент)
жалпылама деформациясы болып сол жазықтықта орын алатын бұрышчық
орын ауыстыру (бұрыштық деформация) болып табылады.
Ғі
іП.20 - сурет
111.21 - сурет
Гук заңына бағынатын сызықты серпімді деформацияланатын, 111.21 суретте кескінделген, арқалықтың потенциялды энергиясын анықтайық. Олай
болса осы арқалыққа түсірілген күштердің әрқайсысы жалпылама күш, ал сол
күштерге сәйкес орын ауыстырулар жалпылама деформациялар екені белгілі.
Қадалған күштерге сәйкес келетін жалпылама деформациялар сол күштердің
түсірілген нүктесінің иілу мөлшері болса, қадалған июші моменттің жалпылама
деформациясы сол қиманың бүрылу бүрышына сәйкес келеді.
Кез келгенсерпімді (сызықгы немесе сызықсыз деформацияланатын)
материал үшін оның деформациясының потенциалды энергиясы денені жүктеу
үрдісіне тәуелді болмайды, соның ішінде күштердің түсірілу ретіне де тәуелді
емес.
Бүл энергияның шамасы тек денеге әсер етуші жалпылама күштер мен
оган сәйкес келетін жалпылама деформациялардың мәндеріне байланысты
болады деген сөз. Сондықтан серпімді дененің деформациясының потенциалды
энергиясын есептегенде, жүктелуді қарапайым жүктелу деп қарастыруга
болады, ягни жалпылама күштер жүктелу барысыида тек бір параметрге
(мысалы уақытқа) пропорционал өзгереді делінеді.
Олай болса Ң күшінің әсерінен жйнақталатын дененің сызықты серпімді
деформациясының потенциалды энергиясын
(III.7)
түрінде, ягни 111.22 - суретте кескінделген штрихталган үшбүрыштың ауданы
ретінде анықтауга болады.
(ИІ.7) өрнеіі француз галымы (1799-1864) Кіапейрон теоремасын
түжырымдайды: сыртңы күиітердің нщты жүмысы күштің күш түскен
нүктенің күш багытындагы орын ауыстьіруына көбейтіндісінің жартысына
тең.
Денеге әсер ететін барлық п
күштердің жүмысы әрбір жекелеген күштің
өзіне
сэйкес
деформацияда
жасаған
жүмыстарының қосындысына тең болады.
Олай болса барлық күштердің жасаған
толық жүмысы тең.
Атол
III.22 - сурет
1=1
(Ш.8)
Енді
(ІІІ.6)
өрнекті
есксріп
арқалықтың деформациясының потенциалды энергиясын келесі түрде жазуға
болады.
Ц ғш т зһ
і=\
(ш .9)
Сызыцты серпімді деформацияланатын дененің статикалъщ жүктелуі
кезіндегі потенцисиіды энергиясы жалпылама күиітер мен оган сәйкес келетін
жалпылама деформациялардың көбейтіндісінің жартысына тең.
Эненргияның сақталу заңына сүйене отырып, сызықты серпімді
деформацияланатын дененің статикалық жүктелуі кезіндегі потенциалды
энергиясын ішкі күштер арқылы өрнектейік. Ол үшін статикалық жолмен
жүктелген және статикалық тепе-теңдікте түрган сыртқы күштер жүйесі әсер
ететін стерженьді қарастырып, оның потенциялды энергиясын есептейік.
Стерженьнің схемасы III.23, а - суретте кескінделген.
ІІІ.23 - сурет
Стерженьнің денесінен үзындыгы шексіз кіші <іх бөлігін жеке
қарастырамыз (ІІІ.23, Ь - сурет). Бүл бөліктің сол жақ шетін шартты түрде
қозгалмайды деп қарастырсақ онда оң жақ қимадагы ішкі күштерді осы белікке
әсер ететін сыртқы күштер деп есептеуге болады.
24
'
Жалпылама күштер мен оған сәйкес келетін жалпылама деформациялар
әр түрлі деформация түріне байланысты келесі өрнектермен анықталатыны
бұрыннан белгілі болатын. III.23, Ь - суреттегі бөлік үшін бойлық деформация
4 = А/ = ——, бұрылу бұрышы 8. =сіӨ = —— , бұралу бұрышы 5{ = сІ(р =
£/
ыгысу деформациясы Щ= Да =
,
болғандықтан, ішкі күштердің сһс
СА
элементіндегі толық элементар жұмысы
сІА = сІАм + сіАт4 сІАу + сІА0,
немесе
1[
М сһс
М„с1х
N±0
т
О сіх
сіА = Ц
м
/
^
+
М
^
^
—
+
Т
—
+
М
—
+
к
О
^
^
+
к
П
^
—
ОI
2
171
У
Т77
ГМ
Г? А
ШШ
А
У ^У
/
сіА өрнегін әрбір аралықтың ұзындығы / деңгейінде интегралдап,
арқалыктың барлық аралықтары бойынша қосындысын анықтап, Клапейрон
теоремасын қолданып, кеңістік есептер үшін, стерженьнің потенциалды
энергиясы келесі түрде аламыз
2Е12
Щ 2Е1у
^ ) г О І к Щ 2ЕА
И
Н
|
**} “ 2СА Щ у 2СА
(111.10)
Ал жазық есептерге потенциалды энергия тек үш ішкі күштер арқылы
анықталады
мұндагы
А г8]{у)ск
,
Ш
А р І іг р У
Ш
көлденең күштің әсерінен қимада туындаитын жанама кернеулердің әркелкі
таралуын ескеретін коэффициенттер, олар киманың формасы мен өлшемдеріне
гана тәуелді.
Кастильяно
теоремасын
қолдану,
жүйенің
деформациясының
потенциалды энергиясын пайдаланып, жүйенің кез келгеннүктесінің
(қимасының), кез келгенбагыттагы орын ауыстыру деформациясын анықтауга
мүмкіндік береді. Кастильяно теоремасының ернегін қорытып шығару үшін
111.24
суретте кескінделген арқалықтың деформациялануы кезіндегі
потенциалды энергиясын қарастырамыз.
т
111.24 - сурет
жүйесінің қалай түсірілгеніне қарамастан,
оның серпімді деформациялануынан жинақтаған потенциалды энергиясының
шамасы V , арқальщтың деформациядан кейінгі соңғы орнына ғана тәуелді,
йғни арқалыққа әсер етуші күнггер жүйесіндегі жалпылама күштердің түсірілу
ретіне тәуелсіз болады.
Сондықтан деформацияланған
арқалықгың
потенциалды энергиясы II тек қана оған әсер ететін жалпылама күштердің
функциясы болып табылады.
Енді 111.24, а - суреттегідей Ғ( күшіне шексіз кіші өсімше (ІҒ{ берейік,
осы кезде жүктелген жүйенің потенциалды энергиясы өзгереді, яғни ол да
шексіз кіші өсімше алады. Жүйенің потенциалды энергиясының өзгеруі, II
күрделі функция болғандықтан, келесі шамаға тең болады.
V =
ЩЩ
ӨҒ:
‘
Жүйенің потенциалды энергиясы күштердің түсірілу ретіне тәуелсіз
болатындықтан, арқалыққа әсер етуші күштердің түсірілу ретін өзгертейік, яғни
алдымен арқалыққа еІҒ, күшін сосын барлық қалған күштерді түсірейік.
Осындай жағдайда 111.24, Ь - суреттегідей сІҒ, жалпылама күшінің әсерінен
арқалық осы күштің бағытында сіб^ шамасына орын ауыстырады. Ал одан
кейін, аркалықты басқа барлық күштермен жүктеген кездегі жүйенің
потенциалды энергиясы келесі өрнекпен анықталады.
(III. 14)
2
Жүйенің потенциалды энергиясы күштердің түсірілу ретіне тәуелсіз
болатындықтан, (111.13) және (111.14) шамалар бір-біріне тең болуы керек,
26
осыдан оларды теңестіріп, үқсас мүшелерін қысқартып және шексіз кіші
шамалардың көбейтіндісін ескермей келесі өрнекті аламыз.
1
Ш
0 : т ---'
дҒ:
(III. 15)
•
Бүл өрнек, серпімді деформацияланган жүйеніц потенциалды
энергиясынан жалпылама күги арңылы алынган дербес туындысы, сол күшке
сәйкес келетін жалпылама деформацияга (орын ауыстыруга) тец болады деп
оқылады-да итальяндьгқ инженердің (1847-1884) атымен аталатын Кастильяно
теоремасы делінеді. (III. 15) өрнектен алынатын қорытынды оң таңбалы болса
жалпылама орын ауыстырудың бағыты жалпылама күшке бағыттас, ал теріс
таңбалы болса кері бағытталған болып табылады. Еғер арқалыққа (қүрылымға)
жалпылама күш түсірілмеғен нүктелердің орын ауыстыруларын Кастильяно
теоремасын қолданып анықтау қажет болса, сол нүктеге (қимаға) анықталуы
қажет орын ауыстырудың бағыты мен түріне сәйкес келетін жалған күш
түсіруге тура келеді. Бүл жағдайда жүйенің потенциалды энергиясы жалған
күшті ескере отырып анықталады-да, одан Кастильяно теоремасын қолданып
жалған күш бойынша дербес туынды алынады, сосын алынған қорытындыдағы
жалған күшті нөлге теңестіре салады.
Орын ауыстыру мен жүмыстың байланысы туралы теорема. Жүмыс
пен орын ауыстырулардың өзаралығын орнату үшін III.25 - суретте
кескінделген жүйені қарастырайық.
Ь
111.25 - сурет
Жүйеге екі Ғ, және Ғ2 күштері әсер етеді. Күштер статикапық жолмен
түсіріледі. Күш әсерінің тәуелсіздік принципін пайдапанып арқалықты екі түрлі
тәсілмен жүктейік. Алдымен арқалыққа Ғ} түсірейік III.25, а - сурет, ап екінші
кезекте Ғ2 күшімен жүктейік. Арқалықты осылай жүктеу кезінде күштердің
жасаған жүмысы келесі шамаға тең болады.
Ау2 “
Ғ\ "^ц +
^2 *^22 +
‘ ^12 *
27
і
(III. 16)
ьнді керісінше, арқалықты алдымен Ғ2 содан кейін Ғ^ күшімен жүктейік
111.25, Ь - сурет.
•
Арқалықты былай жүктеу кезінде күштердің жасаған жүмысы келесі
шамаға тең болады
А г\ = 2 Ғ І
+ Һ Ғ 2 822 + Ғ 2 -^ 21-
(III. 17)
екі индекспен белгіленген, оның бірінші
индекісі деформация анықталатын нүктедегі күштің багыты мен нөмірі, агг
екінші индекісі осы деформация нөмірі қандай күштің әсерінен болганын
көрсетеді. Мысалы, 1 , бұл орын ауыстыру нөмірі бірінші күштің бағыты мен
сол күштің әсерінен болган деформация. Ал Щ нөмірі бірінші күштің
багытымен нөмірі екінші күпггің әсерінен болган деформация т.с.с.
Арқалықтың деформациялануы кезіндегі күштердің жұмысының толық
мәні ол күштерді қандай ретпен түсіргенге тәуелсіз болғандықтан (III. 16) және
(III. 17) өрнектердің мәндері тең болуы керек, осыдан
Ғ \
• ^12 =
Ғ2
-^2і •
(ПІ.18)
Бұл теңдік күштер атқарган жүмыстың өзаралыгы деп аталады. Бұл
теңдік екі күштерге ғана тән емес, ол сондай-ақ күштер жүйесі үшінде
орындалады. Сонымен екі күштер жүйесі жасаған жұмыстың озаралығы келесі
теорема түрінде тұжырымдалады. Бірінші жалпылама күштер жүйесінің сал
жүйедегі күштердің түсірілген нүктелерінің екінші жсиіпылама күіитер
жүиестің эсерінен орын ауыстыруларындагы жасаган жүмысы, екінші
жүйедегі күштердің сол күштер түсірілген нүктелердің, бірінші жүйедегі
күштер эсерінен болган орын ауыстыруларында жасаган жүмысына тең. Бұл
теорема жасалған жүмыстыц өзаралыгы туралы теорема деп аталады.
Осы тұжырымды Бетти теоремасы деп те атайды.
Егер (III. 18) өрнекте жалпылама күштер бір-біріне тең болса Ғ - Ғ
немесе олар бірлік күш болса, яғни Ғх = 1, Ғ2 = 1, онда орын ауыстырулардың
өзаралыгы туралы теореманы аламыз, ол келесі теқцеу түрінде өрнектеледі
~ Л і*
(11.19)
Апынған теңдікті Максвел теоремасы немесе принципі деп те атайды:
сертмді жүйенің екі бірлік к]пп үшін екінші бірлік күиі зсерінен бірінші бірлік
күиі багытында туындаган орын ауыстыру біріниіі бірлік күштің екіниіі бірлік
күги багытында туындататын орын аүыстыруына тең.
ІІІ.2
- мысал. Егер екі тіректі топсалы бекітілген арқалықтың (ІІІ.26
сурет) ортасында әсер ететін қадалған күштен арқалықтың оң жақ шеткі
28
ғі2
І
.
-
кимасы Ө = ■- — бүрышқа бұрылатын болса, сол қимага түсірілген М июші
16ЕІ
моментінің әсерінен арқалықгың ортасындағы иілу мөлшері 8 неге тең болар
еді?
Ғ
Шешуі: Атқарылган жүмыстың
келесі теңцікті жаза аламыз.
16 Е І *
осыдан,
т •/
*
о
=
-----------------
\6Е1
болатынын табамыз.
ІІІ.З
- мысал. II 1.27 I суретте көрсетілгендей арқалыққа оның ортасынан
Ғ күші әсер етеді, сол күштің әсерінен оң жақ шеткі қимадагы иілу мөлшері
Ғ13
.
2і = оЧг *
сол КҮШТІ оң жақ шетк* қимага орналастырсақ, ортадагы
32ЕІ
щ
іі
қимадагы
иілу мөлшері неге тең болар еді?
Шешуі: Орын ауыстырулар өзаралыгы теоремасының теңдеуін
пайдаланып күштер бір-біріне тең болгандықтан келесі өрнекті жазамыз.
Ғ
І 3
^2=^21=
1 32 ЕІ
—
2$
ІІІ.4 Орын ауыстыруды а н ы қ т а у д ы ң жалпы адістері
Кұрьиіыс механикасында орын ауыстыруды белгілеу . Орын
ауыстыру формуласы . Мор интеграл м. Температуралық орын
ауыстыру. Орын ауыстыруды анықтау техникасы . Верещагин
ереж есі
...яҚұрылыс мехаиикасында
формуласы. Қуры
күштердін әсерінен туындайтын
түсіну қажет
орын
ауыстыруды
бедгілеу,
Ормн
қабылданган:
- негізінен сыртқы
орын ауыстыруларды белгілейді. Оны
индекс
осыны туындататын күш әсерін керсетеді;
- т күшінің багытында п бірлік
күші әсерінен туындаған орын ауыстыру.
Егерде төменгі индекстері бірдей болса, мысалы
немесе 3 , сәйкес
күштердің әсерінен, сол күштердің бағытында туындайтын орын ауыстырулар.
Кастильяно теоремасын (III. 11) өрнекке қолданайық. Бүл өрнектегі
интегралдың астында түрған функциялар (А/, Л\ £)), үзындыққа х және
жалпылама
болгандықтан
дербес туынды
х
^11
дҒ,
х* №
5Л /,
- *ЕІ, дҒ<
^
гіУ
дЫ ,
г,
^
30, 4
+XІ т г : ' Т Г Ғ
— ' — сіх,
**)ЕА дҒ(
*** 3 СА Щ
(111.20)
к
Осы формуланы пайдаланып, қарапайым деформацияларды анықтау
формуласын керсетейік.
Мысалы,
қарапайым
созылу
деформациясында
стерженьнің
потенциялдық энергиясы
и .И І.
2ЕА
Осыдан бойлық күш бойынша дербес туынды алсақ:
д и NI А9
---- 2 — 3 д /, ■
&Ү ЕА
Иілу деформаииясы үшін потенциялдык энергия
щ
1
V
Щ ш
\ Iш
Егер интегралдың шектері тұрақты болса, қиманың орын ауыстыруы мен
бұрылу бұрышы келесі формулалармен табуга болады
дИ
Уі =
дҒі
М, дМ,
-а х ,
I
М . дМ
сіх.
ЕІ дМ:
ӘМ:
ІП.4 - мысал. Бір үшы қатаң бекітілген, үзындыгы /, қатаңдығы Е1г
тұрақты, арқалықтың екінші ұшына моменті М қос күш түсірілген (111.28 сурет). Көрсетілген арқалықтың бос үшының бүрылу бүрышы мен иілу
мөлшерін анықтаңыз.
М
/
III.28 - сурет
Ш емуі: 1. Арқалықтың үзындығы х аралығын қиып алып ішкі июші
момент М 2 = М скенін табамыз.
Арқалық таза иілетін жағдайда болғандықтан басқа ішкі күштер нөлге тең
болады. Сондықтан (111.20) теңдеудің тек бір ғана мүшесі пайдаланылады.
дМ
дМ
Өт
дМ. дМ
= 1 болгандықтан июші момент орналасқан 'қиманың бурылу
дМ ~ дМ
бұрышы тең болады.
Мщ ,
I
Е 1*, * д М
—~ах
і
I Е1:
31
ш
ЕІ
радгтн.
Алынған қорытынды оң таңбалы болып анықталды сондықтан бұл
бұрылу бұрышының багыты июші моменттің багытына багыттас болганы.
2. Енді арқалықтың иілу мөлшерін анықтау үшін Кастильяно
теоремасының өрнегін бүл есепке тікелей қолдана алмаймыз, өйткені сызықтық
деформация анықталатын қимада оның багытына және түріне сәйкес келетін
жалпыланган күш, яғни қадалган күш жоқ. Сондықтан 111.28 - суретте
көрсетілгеніндей арқапықтың бос үшына иілу мөлшерінің бағытына сай келетін
жалган (жалпылама) қадалған күшті Ғж түсіреміз., Осындай жағдайда ішкі
июші момент М 2 = М - Ғ ж -х болатыны белгілі. Интегралдың астындағы
өрнектен дербес туындыны жалған күш бойынша алатын болсақ, келесі өрнекті
аламыз.
д М 2 _ д(М - Ға х)
Щ
дҒа
"
болғандықтан жалған күш орналасқан қиманың иілу мөлшері мынаган тең
болады
8ж
Щ = Я н ■'(-■*)*=
(-■*)*=I
см.
Бүл жерде интегралдың астындағы өрнектен жалған күш арқылы дербес
туынды алынғаннан кейін жапган күш нөлге* теңестірілген. Алынған
қорытындының теріс таңбалы болып шығуы, иілу мөлшерінің бағыты жалған
күштің бағытына қарсы багытталғанын көрсетеді, яғни арқалық жогары қарай
иіледі.
ІІІ.5
- мысал. 111.29 - суретте көрсетілген қисық сызықты АВ раманың Ғ
күші әсерінен болатын В қимасының горизонталь орын ауыстыруын анықтау
керек болсын. Мүндагы қисық стерженьнің өсі шеңбердің төрттен бірін
қүрайды, қатаңдығы ЕІг түрақты.
Шешуі:
қи мас ы нд а гор изо нтал ь
багыттагы жалпыланган күш болмағандықтан
сол жерге жалган күш Ғж түсіреміз. Бүл жерде
дх айнымалының орнына ш = гсіа болатынын
және
а бүрышының 0 < а < я / 2 аралықта
өзгеретінін ескеріп.
/Т
III.29 - сурет
іМ . д М .
гсІ а
1
Е
І
.
д
Ғ
ж
о
Енді С кимасы үшін июші моменттің өрнегін түргызамыз.
(а)
м . = ғ ■Ш - ғ ж в ә = ғ св - ғ ж■(ов -О й )=
= Ғ ■г ■5ІП а - Ғж ■I • (і | С08 а )
Ц
Бұл өрнектен Ғж күші арқылы алынган дербес туынды мынаган тең
болады
Ш -г = - г - (л
(1 - с о з а \;.
дҒа
(в)
Енді (б) өрнегіндегі Ғж күшін нөлге теңестіріп қалганын және (в)
өрнектерін (а) өрнегіне қойып интефалдаганнан кейін келесі қорытындыны
аламыз.
~
г Ғ-г$т а
і
1
В
Ғг
г.
1
э
дж= | ------ —------ г {\-со5а) г сіа = - ——— р п щ (1-соза) сіа =
Еһ
ЕІг 0
Ғ г3
1--- I
М і
Ғ
-Г
3
— С 08 С
СЧ---СОЗ 2ос / л = --------- .
4
) /0
2ЕІ2
1
еріс таңбамен анықталған қорытынды іздеп отырған орын ауыстырудың
бағыты жалған күшке кері болатынын көрсетеді.
Мор ин гегралы. Орын ауыстыруларды Кастильиано теоремасы бойынша
анықтаудың негізгі кемшілігі бар, ол мынада, тек жалпылама күш түскен
қиманың сол күштің бағытындағы орын ауыстыруын анықтауға болады. Ал, іс
жүзінде кез келгенстержендік жүйедегі кез келгенкүштен жэне кез келгенбағыт
бойынша туындайтын орын ауыстыруды анықтаудың маңызы зор. Мысалы,
статикалық анықталмаған жүйелерді есептеуде алатын орны ерекше.
Әр түрлі конструкциялардың орын ауыстыруларын анықтаудың әмбебап
әдісін, яғни жалпылама формуласын шығару үшін кез келгенжүйенің екі
жағдайын қарастырайық (111,30 - сурет).
Жазық қүрылымның, яғни жүйенің кез келгеннүктесінің берілген
жүктемеден белгілі бір бағыттағы орын ауыстыруын анықтау қажет делік. Бүл
есепті жүйенің екінші жағдайындағы ішкі күштердің сол* жүйенің бірінші
жағдайындағы орын ауыстыруларында жасайтын мүкіндік жүмыстарын
есептеу арқылы шешуге болады.
Қүрыл
Мүнан
әсерінен туындайтын жағдайды нсщшы немесе оісүктсме күй (мүкшеліе
жагдай) деп атайды.
Бірінші жагдайда берілген жүйеге қандай да бір сыртқы күштер мен
моменттер, кез келгенбагытта әсер етсін делік (111.30, а - сурет). Екінші
жагдайда (111.30, Ь - сурет), ізденді орын ауыстыру багытында, жүйеге тек
шамасы бірге тең бірлік күш Ғ М 1 түсірілген (сызықтық орын ауыстыруды
анықтау үшін бірлік қадалган күш Ғ = 1, ал бүрылу бұрышы үшін
момент М = 1 түсіріледі).
бірлік
бгрінніі
жагОаіі
екінип
жа/дан
111.30 - сурет
Бірлік күш Ғ —1 ізденді орын ауыстыру А]Ғ багытында түсірілгендіктен,
Ғ = 1 күшінің бірінші жагдайдагы күш әсерлерінен туындайтын орын
ауыстыруда жасалатын жұмысы
Ағ і —Ғ •Ац? —1*А\Ғ —
Бірлік күй жагдайында арқалықтың кез келгенкіші элементіне (III.30, Ь сурет) Ғ күші әсерінен туындайтын А/,, //, және £?, ішкі күштері әсер етеді
(сызықша ішкі күш әсерлерінің бірлік күш әсерінен туындаганын көрсетеді).
Бірінші жагдайда осы М {9 ІУ, және | | ішкі күштері бағытында сІӨғ ,
48Ғщ Лүғ орын ауыстырулары болады, мұндағы сІӨғ — іргелес қималардың
өзара көлбеу бұрышы; с/8ғ - элементтің абсолюттік ұзаруы; сІүғ - іргелес
қималардың өзара ыгысуы.
Жұмыстың өзарапығы туралы теорема бойынша, ягни екінші жагдайдағы
күштің бірінші жағдайдагы орын ауыстырудагы жасаган жұмысы, бірінші
жағдайдағы күштердің екінші жағдайдағы орын ауыстыруларында жасаған
жұмысына теңдігінен, мынаны аламыз
/
/
34
/
Жүйенің серпімді күйі жагдайындагы с/х элементінің деформацияларын
Гук заңына сүйене отырып бірінші жагдайдагы ішкі күштер арқылы өрнектейік
Осы деформация мәндерін (111.21) өрнегінің оң жагына қойсақ, келесі
өрнекті аламыз
ІЭ Д Ш І И І 18н
я
Сонымен, орын ауыстыруды анықтайтын жалпылама формула алдық.
Бүл формула Максвелл - Мор формуласы деп, ал оган кіретін интегралдар Мор
шнпегралдары деп аталады.
Максвелл Д.К. (1831-1879) агылшын галымы, физик және механик, Мор
Х.О. (1835-1918) неміс галымы, механик.
Максвелл - Мор формуласы, Кастильяно теоремасын тікелей
пайдаланганнан оңайырақ болады, сондықтан іс жүзінде жазық стерженді
конструкцияларды есептеулерде көбінесе Максвелл - Мор тәсілі қолданылады.
Мысалы, арқалықтарды, рамалық жүйелерді, аркаларды және фермаларды.
(III.22) өрнекке сәйкес, кез келгенорын ауыстыруды анықтау оң жақтагы
анықталган интегралды есептеуге келтіріледі, ягни бірлік күйдің ішкі
күштерінің жүктеме күйдегі орын ауыстыруда жасалуы мүмкін жүмыстарын
есептеуге.
Щт орын ауыстырудың таңбасы (111.22) теңдеуінің оң жагының
таңбасымен анықталады, ягни ішкі күштердің мүмкіндік жүмыстарының
таңбасымен. Егер (111.22) формуласының оң жагы оң таңба беретін болса, онда
Ғ = 1 күшінің бірінші жагдайдагы күш әсерлерінен туындайтын А1/г орын
ауыстыруда жасалатын жүмысы оң таңбалы, ягни орын ауыстыру бірлік күш
Ғ = I багытымен сәйкес келеді. Егер М^ және М ғ стерженьь өсінің бір
жагындагы жатқан шеткі талшықтарды созатын болса, М ХМ Ғ көбейтіндісі оң
таңбалы деп есептеледі.
Кейбір жагдайларда (III.22) формуласындагы индекстер толыгымен
әріппен алмастырылады, мысалы т және т, онда формула мынадай түрде
жазылады
II
/ ЕІ.
Ш
ЕА
'Ш - СА
(ІП-23)
і
Егер құрылым стерженьдерінін барлыгы бір материалдан жасалып және
әрбір стерженьнің өлшемдері осы стержень бойы тұрақты болса, (III.23)
формуласын былайша келтіруге болады
Л“-" ~ Х гЩ : \М тМпсіх+
\МтМпсЬ+
ІСЪОА-
(ІП.24)
Сонымен, орын ауыстыру анықталган формулалар бойынша келесі
тәртіппен анықталады:
1) берілген жүктемеден туындайтын М ғ , Ығ және д г ішкі күштерін кез
келгенқиманың х координатасының функциясы рсгінде орнегі гүргызылады;
2) ізденді орын ауыстыру бағытында, оган сәйкес бірлік күш түсіріледі
(сызықтық орын ауыстыруды анықтау_үшін бірлік қадалган күш Ғ = 1, ал
бүрылу бүрышы үшін - бірлік момент М = 1);
3) бірлік күштен туындайтын Л7„
және 0 ішкі күштерін кез
келгенқиманың х координатасының^функциясы ретінде өрнегі анықгалады;
4)анықгалған М ғ ,
@ғ , М }, Щ және Щ ішкі күштерінің өрнектерін
(Ш.23) немесе (Ш-24) формулапарының оң жағына қойып және барлық
құрылым үшін әрбір аралық бойынша интефапдап, ізденді орын ауыстыру
Атп анықталады.
ІІІ.6
күішмен
- мысал. Ш.31, а - суретге кескінделген екі топсалы арқалық
ортасынан
жүктелген,
арқалықтың
қатаңдығы
ЕІ^
тұрақгы.
анықтаныз
Ш.31 - сурет
Ш ешуи Алдымен Ғ күшінің әсерінен туындайтын тірек реакцияларын
табамыз, олар Кл = /? „ = Ғ /2 (ІІІ.31, Ь - сурет). Онан кейін арқалықгың А
кимасына шамасы бірге тең июші момент түсіріп, осы моменттің әсерінен
туындайтын тірек реакцияларын табамыз (ІІІ.ЗІ, с - сурет), олар
8 Я | 1/1
тең болады.
Жазық иілген арқалык үшін деформация келесі өрнекпен есептеледі.
36
Й
М -М
і
сЬс
Е і'
/
Июші моменттердің мәндері әр аралыққа жеке анықталады.
Берілген жүктемеден туындайтын июші моменттердің аналитикалық
өрнектері (111.31, Ь - сурет):
а) бірінші аралық үшін 0 < х, <1/2:
м '*
ғ
хі
•
2
б) екінші аралық үшін 0 < х2 ^ //2:
Ғ
і
М
г2
Бірлік моменттен туындайтын июші
өрнектері (111.31, с - сурет):
а) бірінші аралық үшін 0 < хх < //2:
I
/
моменттердщ
аналитикалық
1
б) екінші аралық үшін 0 < х г <1/2:
М ,*2
1
= 7 * 2 -
Анықталган өрнектерді жогаргы келтірілген формулага енгізіп,
арқалықтың оң жақтағы тірек қимасының ізденді бүрылу бүрышын әр
аралықтагы интеіралдардың қосындысы ретінде анықтаймыз
1ғ
■
Ө,=
1/2
г
і
Еһ
Ғ х}
4
Е12
V
22
і М л -Мл
ЕІ_
1/2
і
х,і 1
о
/
ғШ
Ғ х
ғ-х;
+
6ІЕ1: .
к
37
ЕІ.
. ІҒ
I
л + и
ЕІ.
0
/
_
Алынған бұрылу бүрышының оң таңбасы, бүл деформацияның біз
түсірген жалған бірге тең моменттің бағытына бағыттас екенін көрсетеді.
ІІІ.7
I мысал. 111.32 | суретте кескінделген тік бұрышты раманың бо
ұшының вертикаль орын ауыстьфуын табыңыз. Есепті шешу кезінде бойлық
күштің әсерін ескеріңіз. Берілгені: Қоставр №24, 1г = 3 4 6 0 сл»4, А = 34,8сл<2,
Е = 2 -105МПа, ^ = 10 кН/ м, I = 2 м .
ІІІ.32 - сурет
Шешуі: Раманың қимасындагы июші момент пен бойлық күшті және
рама екі аралықтан түратынын ескеріп, іздеп отырған орын ауыстыру үшін
келесі өрнекті жазуга болады
Деформация анықталатын қимаға вертикаль бағытта Ғ = 1 күшін
түсіреміз (111.32, с - сурет). Суретте кескінделген координаттар жүйесіне сәйкес
әр аралық үшін сыртқы күштер (ІП.32, Ь - сурет) және бірлік күш (Ш.32, с сурет). әсерінен туындайтын ішкі июші моменттермен мен бойлық күштердің
аналитикалық өрнектерін жазамыз.
Берілген жүктемеден туындайтын июші моменттердің аналитикалық
врнектері (III.32, Ь - сурет):
а) бірінші аралық раманың бос үшы (беларқасы) үшін 0 < < /:
б) екінші аралық раманың баганы үшін 0 < х7 <21:
Ч'1
М 22
N.
2
а-1
Бірлік күштен туындайтын июші моменттердің аналитикалық өрнектері
(111.32, с - сурет):
а) бірінші аралық раманың бос үшы (беларқасы) үшін 0 < х, < I :
М 21
1 •X
М = 0:
б) екінші аралық раманың бағаны үшін 0 < дг2 < 2/
М
N
і і
1.
Енді жоғарыдағы интегралды әр аралық үзындығына байланысты
интегралдап және қорытындысын қоса отырып, іздеген орьш ауыстыруды
табамыз.
/
-
0
дх\
8 ЕІ
21-
(^
і)
2
ЕІ т
і
0
(-0
ЕІ
0
21
д
і
3*
2
+
2Ы.
0
21
0
ЕА
сіх
=
21
Ф:
ЕА
щ
, ■
ЕА
8£/
0
2,6041 \0~2 м
Орын ауыстыру оң таңбамен анықталды демек ол бірлік қадалғанған
күштің бағытымен бағыттас болғаны, яғни біздің мысалымызда төмен қарай.
III. 8 - мысал. Формасы шеңбердің жартысына тең болатын қисық
стерженьь қадалған момент М арқылы жүктелген (ІІІ.ЗЗ, а - сурет). Егер А/,
г, ЕІ=- түрақты болса, стержньнің бос үшының вертикаль *орын ауыстыруы
неге тең?
Шеилуі: Қисық стержень үшін ізденді орын ауыстыру шамасын келесі
интеграпды есептеумен анықтаймыз
3!
гсіа
0
£ /,
39
Бұл жерде жалған кұштің орнына бірлік Ғ = 1 күшті алып В қимасына
вертикаль бағытта түсіреміз (ІІІ.ЗЗ, с - сурет). Сыртқы июші момент (ІІІ.ЗЗ, Ь сурет). пен бірлік күштер (ІІІ.ЗЗ, с - сурет). әсерінен туындайтын ішкі июші
моменттердің өрнектерін табамыз. Ол үшін кез келген С қимасын ойша
жүргізіп, қиманың оң жагын қарастыра отырып, ішкі күштердің келесі
аналитикалық өрнектерін жаза аламыз.
М г = м 9 М . = -1 • ӘВ = -\(О В - 0£>) = —л*(і - соз а ).
ІІІ.ЗЗ - сурет
Осы өрнекті жоғарыдағы интегралдың астына қойып келесі мәнді аламыз
«
■
ягМ_ - М 7
Н
і В
лг -т г (і —с т а )
,
тг2 ,
1
— Щ— Щ Ш Ш Ш 8Р
<1
і
тг2
ж
п
.
Алынған қорытындының алдындағы теріс таңба вертикаль орын
ауыстырудың біз багыттаған бірлік күштің бағытына кері, яғни жоғары
бағытталғаньга көрсетеді.
Температуралық орын ауыстыру. Ғимараттар мен имараттарда орын
ауыстырулар тек сьіртқы күш әсерлерінен емес, температуралық әсерден де
туындайды. Статикалық анықталған изотропты жүйелерде температуралық
орын ауыстыру еркін түрде жүреді, сондықтан жүйе элементтерінде ешқандай
қосымша күштер туындамайды. Түзу сызықты стерженьді бірқалыпты
қыздырсақ, яғни қиманың биіктігі бойымен температураны бірдей Ы шамага
өсірсек, ол бойлық күш әсерінсіз ұзарады (111.34, а - сурет). Бұл жағдайда
стерженьнің абсолюттік ұзаруы Д/, = а/Д/ -ге тең, мұндағы а - температуралық
сызықтық ұлгаю коэффициенті.
Егерде осындай стерженьді бірқалыпты қыздырмаса, яғни төменгі
талшықтары Д/-ге қыздырылып, жоғарғы талшықтары Д/-ге суытылса, ол
иілкді (111.34, Ь - сурет). Егерде температуралық әсер стерженьнің ұзына бойы
тұрақты болса, стерженьнің иілуі таза иілу жағдайына ұқсайды.
40
III.34 - еурет
Түзу сызықты стержень қиманың биіктігі бойымен бірқалыпты
қыздырмаган және температуралық әсер стерженьнің үзына бойы түрақты
болған жагдайдагы температуралық орын ауыстыруды анықтауға Мор
интегралын қалай қолдануға болатынын анықтайық. Температураның Д/
өзгеру шамасын ыңғайлы болу үшін әрі қарай жәй I деп белгілейік.
Арқалықтың жоғарғы талшықтары -ге, төменгісі х2-ге қыздырылсын. >і 2.
(111.35, а9Ь - сурет).
сп
атцһ
О.ТцҺ
III.35 - сурет
41
Бірқалыпты қыздырмаған жагдайда стержень иіледі және өс бойымен
созылады. Қарапайымдылық үшін киманың биіктігі бойымен температура
сызықтың заңмен өзгереді деп қарастырайық.
Температура әсерінен орын алатын деформацияларды анықтауға
Максвелл-Мор формуласын келесі түрде жазуга болады:
А к, -
мүндагы
2
\м к
л
_ М -сЬс
Д<2>,-----— —
-;Д<Р, +£
.
+2 0 і
-Ах,
Ь у,,
(111.21)
стерженьнің ұзындығы дх элементінің шеткі
қималарының сыртқы күштер әсерінен салыстьфмалы бүрылуы (111.35, с ч * _ N - сіх
сурет),
—
- сол қималардың сыртқы күштер әсерінен стерженьнің өсі
күпггер
СА
жылжуы
Енді &<Рі >
,
4 Уі
деформациялары сыртқы күш әсерінен емес
температура әсерінен десек (111.21) формуланы қолданып температура әсерінен
болатын орын ауыстыруларды да есептеуге болады.
Үзындыгы сһс болатын элемент Ш.35, с - суретте көрсетілген. Бүл
элементтің үстіңгі беті
ал астыңгы беті (2 температурасына қыздырылган
болса, және ол сызықты заңдылық бойынша өзгерсе, ал материалдьщ
температуралық сызықтық ұлғаю коэффициенті (X - ға тең болса, бүл
элементтің өсі бойымен ұзаруын келесі түрде анықталады
а і 2(іх^ 1 л
~ Т ~
а{и+ і,)ск
~ Т ~ ) 'г '1=—
2
-
Щ Щ
ал шеткі қималарының бұрылуы,
Iі
Температураның әсерінен ығысу деформациясы болмайды, сондықтан
теңдеу
әсерінен болатын деформацияны келесі түрде анықтаймыз
— -
у
. .
.
. . .
.
у
‘
■
V
/ I
*
(111.24)
;
2
Д^/ есептеу кезінде қосынды қүрылымның барлық аралықтары мен
стерженьдеріне орындалады. Ал өрнекті интегралдау тек температурасы
өзгерген элементтер арқылы жүргізіледі. Егер құрылым элементтері түзу
сызықты болса онда:
к (іх — 0)мк
және
о
а
,
|Д ^кс/х —
о
«О і - * 2)
А* В и і і К п
мүндағы СОм лІ , (&щк
екенін ескерсек
, .а (Г |Ф * 2 )
1 .. 2 Н Я I у
(ІІІ*25)
бірге тең күштің әсерінен болатын ішкі күш
факторлары эпюраларының аудандары.
Әрбір стержені бірқалыпты қыздырылған топсалы-стерженді фермалар
үшін температуралық орын ауыстыру былайша анықталады:
Мүндағы /-стерженьнің үзындығы; г0 - ферманың берілген стерженінің
қыздыру температурасы, ол стерженьнен стерженьге өзгереді.
Орын ауыстырудың таңба ережесін, жоғарыда келтірілгендей, М кА(р(
,&х( мүмкін жүмыстардың таңбасымен анықтаймыз, яғни: 1) егер
бірлік Мк моменттің бағыты, температура әсерінен қималардың өзара бүрылу
бағытымен сәйкес келсе, онда М кк(р( көбейтіндісінің таңбасы оң болады; 2)
егер бірлік N к күші әсері созылу туындатса, температура әсерінен стерженьь
А^/ үзарса, онда Ы;кА х ( көбейтіндісі де оң таңбапы болады. Температура
әсерінен болатын деформацияларды есептегенде бойлық күш әсерін есксрмсй
кетуге болмайды.
Орын ауыстыруды анықтау техникасы. Верещагин ережесі.
Конструкциялық қүрылымдарда т>ындайтын орын ауыстыруды Мор
интегралының көмегімен анықтаган кезде интеграл астындагы функциялардың
аналитикалық өрнектерін түрғызу кажет. Егер сырткы күш әсерлерінің ию
моментінің аналитикалык теңдеуі күрделі болса және аралықтардың қатаңдыгы
43
і
I
айнымалы шама болса интегралды ссептеу қиындау болады. Сондықтан егср
ішкі күш факторларының біреуінің аналитикалық теңдеуі түзу сызықты болса
және алынған аралық шегінде элементтердің өсі түзу және катаңдыгы түрақты
болып келсе,
Мор
интегральш
есептеуді
ГМ тМ пфс
типті
интефалды
есептеудің арнаулы тәсілін қолданып, оңайлатуга болады. Бұл шарт
элементтері түзу сызықты болып келетін арқалықтарга, рамаларга және
көптіректі ішкі топсасы бар арқалықтарга әрқашан жарамды, өйткені шамасы
бірге тең жалпылама күштердің (момент пен қадалған күш) эпюрлері әрқашан
түзу сызықты болатыны белгілі.
|
Мысал ретінде 111.36 - суретте көрсетілген сыртқы күштерден
туындайтын ішкі күш факторының қисық сызықты эпюрін (а) және бірге тең
жалпылама күшінің әсерінен туындайтын ішкі күш факторының түзу сызықты
эпюрін (Ь) қарастырайық.
Д/Л(.ү) - 'тюрпсы
\1п( Л7
Ь)
М т(х ) - эпюрасы
М т(уч
III.36 - сурет
і
• ' ?
ГМ тМ псЬс
интегралын есептейік.
Мүндағы М п - сыртқы
0
' ' 'й
күштердің әсерінен кез келгенқимада туындайтын ию моменті, А/да-бірлік
күштің әсерінен сол қимада пайда болатын бірлік ию моменті. М псЬс
. .. • - Енді
көбейтіндісін
М п жүктеме эпюрасының СОғ ауданының шексіз кіші
апаңшасының (штрихталған) ауданы сісо деп қабылдауға болады. Ал түзу
сызықты эпюрдің ординаталарын М т = д: • Ща (111.36, Ь - сурет) десек келесі
өрнекті жазуымызға болады.
44
у
1
I_
/
^ М тМ псЬс = і&а ^хсісо.
о
о
(111.26)
Мұндағы ^ХСІО) интегралы М п жүктеме эпюрасының С0Ғ ауданының
0
ордината өсіне қарағандағы статикалық моменті екені көрініп тұр, ал СОғ
ауданының ауырлық центрі белгілі болса, онда статикалық моментті жүктеме
эпюрасының СОғ ауданы мен оның центрінен ордината өсіне дейінгі хс
қашықтыққа көбейткенге тең, яғни
/
\хеій) = хсй)ғ
(ИІ.27)
0
Енді (111.27) өрнекті (III.26) өрнекке қойып және М т = х^ •
ескеріп Мор интегралын келесі оңай жолмен есептеуге болады.
/
| М тМ псЬ = соғ •М с .
о
екенін
(111.28)
Сонымен орын ауыстыруды Мор интегралымен есептеуді, сыртқы
күгитер эпюрініц ауданын СОғ сол ауданныц ауырльщ центрініц түсындагы
бірге тец күіитер эпюрлерініц ординатасына М с көбейтумен алмастыруга
болады (111.36, Ь - сурет).
Енді жазық иілу кезінде арқалықтар мен рамалардың орын
ауыстыруларын Мор интегралымен анықтауды Верещагин тәсіліне келтіретін
болсақ (III.24) өрнекті келесі жалпы түрде жазуға болады
д
__
(Ор '
~Е І
мүндагы
Ф/г~сыртқы
*
күштердің әсерінен болатын
(1ІІ,29)
%
июші
моменттер
эпюрасының ауданы; М с — сыртқы күштер эпюрасының ауданының ауырлық
центрі түсындағы, бірлік күштер эпюрасының ординатасы.
Бірнеше аралықтан түратын арқалықтар мен рамалар үшін (111.29)
элементтер өсі түзу сызықты және әр түрлі аралықтардың көлденең қималар
қатаңдықтары түрақты болса, Мор интегралын Верещагин ережесін пайдалана
отырып есептеу колайлы болады. Верещагиннің ережесі бойынша түсірілген
бірлік күші багытындагы киманын орын ауыстыру шамасы, әр түрлі аралықта
45
берілген жүктемелердің июші моменттері эпюрінің ауданын сол эпюрлердің
ауырлык центрінің тұсындагы бірлік июші момент эпюрінің ординатасыніа
көбейтіп, көбейтінділерін қосқанга тең. Сонымен, Верещагиннің орын
ауыстыруды анықтау өрнегі
_
(4> м с
д- =? т й т '
Ш
ШЖ\
мұндагы соғ - берілген жүктемелердің М ғ нюші моменттер эпюраларының
аудандары; Л/С( - М ғ эпюрасы аудандарының ауырлық центрі тұсындагы
бірлік июші момент эпюрасының ординаталары.
Верещагин ережесі бойынша орын ауыстыруды анықтауды эморлерді
көбейту тәсілі немесе Верещагин тэсілі деп атайды. Бұл тәсілде, негізінен
арқалық пен жақтаулардың аралықтарындагы қисық сызықпен шектелген июші
момент эпюрлерінің ауданы алынып, сызықтық июші момент эпюрлерінің
ординатасына көбейтеді, ал егер аралықгарда екі эпюр де сызықты болса,
қайсысының ауданын, қайсысының ординатасын алса да бәрібір. Мысалы, егер
сызықты М, және М к эпюраларын көбейту қажет болса (III.37, а —сурет), онда
М { эпюрасының щ ауданын оның ауырлық центріне сәйкес М к эпюрінен
алынатын М Ск ординатына көбейтіндісі (0{М Ск алса немесе М к эпюрасының
й)к ауданын оның ауырлық центріне сәйкес М { эпюрінен алынатын
ординатына көбейтіндісін о кМ с алсаболганы.
Мг
Егер аудан мен ордината алынатын аралықтагы эпюрлер білеу өсінің бір
жагьшда болса, со^рМ^ көбейтіндісі оң таңбалы, ал егер эпюрлер білеу өсінің
әр жагында тұрғызылса, теріс таңбалы болып есептеледі.
Аралықтағы эпюр күрделі пішінді болса, ол қарапайым пішіндерге
жіктеліп, эр пішін үшін Верещагин тәсілі жеке қолданылады да нәтижелері
қосылады.
:
Трапеция пішінді екі эпюра көбейтілген жағдайда, олардың бірінің
ауырлық центрін анықтаудың қажеті жоқ. Осы эпюралардың бірін екі
үшбұрышқа бөліп, олардың аудандарын екінші эпюрадан алынған,
үшбұрыштардың ауырлық центрлеріне сәйкес келетін, ординаталарға көбейтсе
болғаны. Мысалы, 111.37, Ъ - суретте келтірілген жағдай үшін
( о М с
В '! хі
А'і(2а Ъ ,
= — - - М , + ------М п = ----- — + —1+
2
4
2
п
2 I 3 3 1
я/
немесе
( о М с = —{2Аа + 2ВЬ+АЬ + Ва).
6
46
(111.31)
Ьұл формуланы эпюрлерді көбейтудің трапеңия ереэісесі деп атайды
а)
М{ тюрасы
л
В
а
Ь
)ііюрасы
Ь
а
а
ІІІ.37 - сурет
Осы формуламен «бұралган» трапеция пішінді эпюраларды көбейтуге
қолдануга болады, бұл жагдайда таңбалары бірдей ординаталардың
көбейтіндісі оң, ал таңбалары әр түрлі ординаталардың көбейтіндісі теріс
таңбамен алынады. Мысалы, 111.37, с I суретте келтірілген жагдаидың
/
эпюраларының көбейтіндісі со Мс = - ( 2 А а - 2 В Ь + А Ь - В а \ ал 111.37, сі
6
суретте келтірілген жагдай үшін со • Мс = - ( - 2 А а - 2 ВЬ + АЬ - Ва).
6
47
(111.29) формуласы көбейтілетін эпюралардың бірі үшбұрыиі немесе екеуі
Де үшбұрыш болған жағдайда да эпюраларды көбейтуге колдануга болады. Бұл
жағдайда үшбұрышты бір ұшының ординатасы нөлге тең трапеция деп
қарастыруға болады. Мысалы, III.37, е - суретте келтірілген жагдай үшін
эпюралардың көбейтіндісі со - М с = ~(:2Аа + АЬ).
і
^
Трапеция ережесін жалпы жағдайда келесі түрде жазуға болады:
а ) М с = - ( ± 2 Аа ± 2 ВЬ ± А Ь ± Ва).
о
(111.32)
«Бұралған» трапеция пішінді эпюраны басқа да пішінді эпюраға
көбейтуді, 111.37, / - суретте келтірілгендей, «бұралған» трапеция пішінді
эпюраны екі үшбұрышқа жіктеп жүргізуге де болады.
Егер көбейтілетін эпюралардың бірі квадраттық параболамен шектелген
болса (бір қалыпты таралган д жүктемесінен), онда оны басқа эпюрамен
көбейту үшін трапециялық және параболалық эпюралардың қосындысы немесе
айырымы ретінде қарастыруга болады. (Параболалық эпюраның аралық
ортасындағы мэні е = ^ /2 /8). 111.38, а - суретте көрсетілген эпюралардың
көбейтіндісі (о •М с = —(2 Аа + 2 ВЬ + АЬ + Ва )н— еіс. Бұл өрнекке е = С 9
—
а +Ь
және с = --шамаларын қойып, ықшамдасақ
•шк
со •М с = —(Ла + 4Сс + ВЬ)
6
^
өрнепн аламыз.
111.38, Ь - суретте келтірілген эпюралардың көбейтіндісі
0) • М с = - ( 2 Аа + 2ВЬ + АЬ + В а ) - ~ е І с ,
г»
А +В
а +Ь
ьұл өрнекке е = ^ - С және с =
шамаларын қойсақ нәтижесі
жоғарыда алынған өрнектей болады
й>-Мс = - ( А а + 4Сс + ВЬ).
О
(ІІІ.ЗЗ)
Бұл формуланы эпюрлерді көбейтудің Сшіпсон ережесі деп атайды, ол
жалпы жагдайда былайша жазылады:
4Я
со •М с = ^ (± Аа ± 4 Сс ± ВЬ)
(111.34)
ПІ.38 - сурет
Верещагин тәсілін қолданып есептер шыгарганда әр түрлі пішінді
эпюралардың аудандарын есептеп және олардың ауырлық центрлерін
аныктауга тура келеді. Сондықтан III. 1 — кестеде жиі кездесетін қарапайым
геометриялық пішіндердің (фигуралардың) аудандары мен ауырлық
центрлерінің мәндерін анықтайтын өрнектер келтірілген.
Верещагин тәсілі орын ауыстырумен қатар потенциалдық энергияны
анықтауды да қолдануға болады.
«
49
III. 1 - кесте
Статикалық анықталган жүйелердің орын ауыстыру
шамаларын анықтауға іиысалдар
ІІІ.9 - мысал. 111.39, а - суретте көрсетілген аралықтың А қимасының
иілу мөлшері мен бұрылу бұрышын анықтаныз.
Шешуі: Мор тэсілі.
анықтау үшін 111.39, с
суретте
көрсетілгендей етіп бірлік күйді таңдап
аламыз. Бірлік күштің кез келген
қимадағы
июші
моменті
М х = - I- х = - х -ке тең, ал беріл ген
жүктеменің алғашқы аралықтағы июші
моменті М ғ = 0 болса, екінші аралықта
М ғ = М 0 (111.39, Ь | сурет). Бірлік күш
Ғк = 1 бағытындағы берілген жүктеме
әсерінен болатын иілу мөлшері:
1гМ ҒМ ксіх
ЕІ
І-2а
2а
1
ЗМ0а
| М 0(~х)сіх = ЕІ а
2ЕІ
мұндағы теріс таңба иілу мөлшерінің
бағытының бірлік күш бағытына қарамақарсы екенін көрсетеді.
III.39 - сурет
Бұрылу бұрышын анықтау үшін бірлік күйді 111.39, е - суретіндей етіп
аламыз. Бұл жағдайда кез келген қимадағы бірлік июші момент М { = 1,
қимасының бұрылу бұрышы:
Д кғ
0
ЕІ
а
_ М 0а
ЕІ
Верещагин тәсілі. Берілген жүктеменің июші моментінің ауданы, о ғ
(111.39, Ь - сурет), бұл ауданнның ауырлық орталығына сәйкес келетін бірлік
июші
момент
эпюрінің
(Ғ = 1
бірлік
күшінен)
ординатасы
Мс = -1 -За/2 = -Ъа/2 (III.39, сі - сурет).
(і)
(111.30) өрнегінен:
_ г _ й ф м р _ М 0а ( - З а / 2 )
д
'
ЕІ
Ы
3М 0£ _
=
2Е1
Я
М ғ эпюрінің ауырлық центірінің тұсына келетін М к = 1 - дің бірлік
июші момнет эпюрінің ординатасы М с = 1 (111.39, / - сурет), онда ізденді
бұрылу бұрышы:
А
=р _
[Ғ
А
ЕІ
_ М 0а - 1 _
ЕІ ~
М 0а
ЕГ
ПІ.10 - іиысал. Шашыранды д күшімен жүктелген қос тіректі аралықтың
ең үлкен иілу мөлшері мен тірек қималарының бұрылу бұрыштарын анықганыз
(ПІ.40, а - сурет).
1
й
Ш ешу: Берілген жүктемеден аралықтың тірек реакцияларын анықтаймыз
(111.40, Ь - сурет)
% М в =Я а . і - ? £ - = 0;
=
I
0.
Бүдан,
, •
щ
Й | , ..
' м
Әрине, аралықтың ортаңғы қимасының иілу мөлшері ең үлкен
болатындығы айқын. Сондықтан осы қимада арқалықты Ғ = 1 бірлік күшімен
жүктеп, тірек реакцияларын анықтаймыз (111.40, сі- сурет).
Мор тэсілі. Арқалық екі аралыққа бөлінеді. Бірінші аралықтағы кез
келгенқимадагы жүктеме моменті:
Ь)
С)
Һ
еі
Й
■
Ш
111.40 - сурет
'
‘
-7
'л
*
■' ^ и В к Г і Ж ' ' ' ■I
'Я * * . ’
•-■•“■ гд- і
.• . . V г « і ; _
;«
Екінші аралықты арқалықтың оң ұшынан бастап қарастырсақ, онда
жүктеме моментінің өрнегі мынадай болады:
(2) _ 0 л
Осы аралықтардың кез
өрнектерінің түрлері мынадаи:
•
я*1 _ Щ 'й
2
ш
келгенкимасындагы
•
53
бірлік
июші
момент
1
м \1) = 1 х{I м\2)1 1 х2
'
2 і
1
2 2
1
Енді ең үлкен иілу мөлшерін анықтаймыз:
■ЗИіНиЯШВ
Арқалық симметриялы жүктелгендіктен интеграл тек бірінші аралықта
есептеліп, нәтижесі екі еселенген. Соңғы нәтижедегі оң таңба иілу мөлшерінің
бағытының бірлік күш бағытына сәйкес келетінін нүсқайды.
жүйені
суретте
құрамыз
М^ =
Көрсетілген
анықтаймыз:
М ? 1= 1 х2.
қиманың
бүрылу
ӨЛ= АКҒ=
М2^
КҒ Ү \ М^ ЕІ
бұрышын
- 1 ' ^ 1~
«
төмендегі
! 111
/ '
интегралдан
В‘
І
24£/
Осы сияқты екінші аралыққа құрылған жүктемелік және бірлік
моментгердің көбейтіндісінен интеграл алсақ, нәтижесі дәл осындай болды,
яғни:
\
! ,
И
1
*2 ■
/
Що
* 1
24£/
Арқалық симметриялы жүктелгендіктен тірек қималарының бұрылу
бұрыштары өзаратең болады, яғни ӨВ=ӨА.
Верещагин тәсіпі. Берілген жүктеменің июші момент эпюрі 111.40, с суретте көрсетілген. Бірлік күш (Ғ к =1) пен бірлік момент (М к =1) июші
моменттерінің эпюрлері де ІІІ.40, е, § - суреттерінде көрсетілген. М, бірлік
эпюрі екі сызықты аралықтан тұратындықтан, оны екі бөлікке бөлеміз. Онда
ізделінді иілу мөлшерін анықтаушы өрнек қосынды түрінде болады:
» 1
Г = — ___ +
ЕІ
______ш
ЕІ
54
мұндагы
1 1 1Ш
2 •Щ
I
■* • »
1
-
3
8
2
Щ
24
параболалық үшбұрыштың ауданы
(III. 1 - кестені қараңыз).
(2 )
(і)
соғ мен (оғ аудандарының ауырлық центрі түсына келетін А/, эпюрінің
МСх =
ординаталарын аЬс мен асіе үшбүрыштарының (111.40, е - сурет)
ұқсастықтарынан аныкгаймыз.
&аЬс оокасіе болгандықган,
Ьс
ас
сіе
ае
немесе
ии
ап-сіе
ае
мұндагы
5 / 5 /
ас = - • = ;
8 2 16
/
ш = ;
4
/
ае =
2
Олай болса,
5/ /
о> __ аа(\) _ 16 4 _ 51
1
32
2
Сонымен,
£ / 24 32
384Е/
Л/2 эпюрінің бір ғана сызықты аралықтан тұратындыгына және жүктеме
эпюрінің симметриялыгына байланысты, тірек қимасының' бүрылу бүрышы
шамасын жүктеме эпюрінің толық ауданын
алынатын М ^ = 1 /2
анықтасақ,
_дІ3
соғ =
-ні
ординатасына (111.40, § -
,
Ө
з
=ө шш щ
В
ЕІ
24 Е1 ‘
М2 эпюрінен
12
сурет) көбейту арқылы
III. 11 - мы сал. Егер жүктеме қимасының иілу мөлшері 0,6 см болса,
кимасы № 33 қоставрлы жай аралықтың аралық ортасына түсірілген Ғ
жүктемесінің шамасы қандай болады (111.41, а - сурет): / = 4 м\ Е « 2 • 105МПа.
Шешуі:
Верещагин
тзсиім
Ғ
пайдапану жүктемелік және бірлік эпюрді
(і)
түргызуды қажет етеді (111.41, Ь, сі - сурет).
Мүнда да екі аралықты қарастыру қажет.
Арқапықтың
симметриялы
1/2
1/2
жүктелгеніне қараи, жүктеме қимасының
иілу
мөлшерін,
бірінші
аралықтың
эпюрлерін
көбейтіп,
нәтижесін
екі
еселеп
Ъ)
анықтаймыз.
Әр аралық шектерінде екі эпюр де
сызықты
болгандықтан,
қайсысының
ауданын, қайсысының ординатасын алса
да бәрібір. Бірінші аралық шегі арасында
жүктеме эпюрі ауданы:
•
#
©
1 ҒІ I _ ғ г
2 4 2 “ 16
Бұл
ауданның
ауырлық центрі
.
.
2 / /
аралықтың сол жақ тірепнен
----- -- 3 2 3
қашықтықта
жатыр, сондықтан оған
сәйкес бірлік эпюр ординатасы:
III.41 -с у р е т
с\
(ІІІ.30) өрнегінен алатынымыз:
2 ҒІ2 I
/=
ЕІ 16 6
ҒІ
48£/
Есептің шарты бойынша
ҒГ
48 ЕІ
< 0,6см = 0,006,м,
бұдан
0,006 • 48 • ЕІ
Ғ =
з
I
56
-1 = 1
2 ’3 ~ 6
мундагы / = / , = 9840 см = 9840 10 8 м4 (8239-89 МЕҮЛ).
Соъгы өрнекке сан мәндерін қойсақ, Ғ = 88,6 кН болып шыгады.
111.12 - мысал. Бір ұшы қатаң бекітілген, үзындыгы I = Зм арқалық
екінші ұшында Ғ = 20 кН күшпен жүктелген. Беріктік және қатаңдық
шарттарынан арқалықтың екі швеллерден құрылған қимасын анықтаныз.
Арқалықтың мүмкіндік кернеуі а аеіт= 160МПа, мүмкіндік иілу мөлшері
һйт
1/4 °0 (ИІ.42, а Ц сурет).
Шешуі: Июші моменттің ең үлкен
с шамасы
®
Мтах = - Ғ / = ~20-3 = -60 кНм.
Беріктік шартынан
моментін анықтаимыз
цг = ^
= 60.1(^
(Та<,т 160- 1 0 6
қажетті
7
5
і
о
кедергі
- 6 л < з
Олай болса, арқалықтың беріктігінің
сортамент бойынша кедергі моменті мынаған
тең
= 2-192 = 384см* =384 ІО^м3,
яғни берілген арқалықгың беріктігін екі №22
111*42 - сурет
швеллер (8240-89 МЕҮЛ) қамтамасыз етеді.
Екінші жағынан берілген арқалықтың ең
үлкен иілу мөлшері жүктеменің түсу
қимасында және оның шамасын эпюрлерді (7.6, Ъ, с —сурет) көбейту тәсілімен
анықтасақ
..
ғі
і
і
Ш
, _ 0)ҒМС = 2
3 = ҒІ
ЕІ.
ЕІ.
ЗЕІ.
Арқалықтың қатандық шарты мынадай
/ =
ҒГ
I
< { , =
3Еі: Ш
400
Б-үдан аралықтың қажетті екпін моментін анықтаймыз
, = 4 0 0 .Я = 400 20.10>.3’
ЪЕ
3-2*10
,
.
Сортамент бойынша №33 екі швеллердің екпін моменттері (8240-89
МЕҮЛ)
1 = 2 • 7980 = 15960см4 = 15960 • 10‘8 м*
тең.
Сонымен, алгашқы швеллердің қатандық шартын қамтамасыз етпейтін
болгандықтан, арқалықты екі №33 швеллерден құрастырылган
ретінде
қабылдаймыз.
Ш .13 - мы сал.
Жазық аралыгы шашыранды жүкпен жүктелген
бұрыштама арқалықгың (ІП.43, а - сурет) бос үшының тік және жазық багытта
орын ауыстыруы мен бұрылу бүрышын анықтаныз. һ = 0,5/; І2 = 2/,.
Шешуі: Есепті Верещагин тәсіпімен шешейік. Сәйкес бірлік және
жүктеме эпюрлері. III.43, Ь - е —суреттерінде көрсетілген.
Арқалықтың бос үшының тік орын ауыстыру шамасын анықтау үшін Мх
мен М ғ эшррлерін көбейтуіміз қажет:
/
0)
4 2)м «
ЕІ
ЕІ2
1у
\3
\
\
3
ЧІ
/ /
■һ ■I
/
4
2
/
+
ЕІі
ЕІ
ЧІ + д13һ _ ді
ъЕІ, 2ЕІ
4ЕІ і
Жазық орын ауыстыруды анықтаганда М 2 мен М ғ эпюрлері көбейтіледі
\ -.2
яі
■һһ
(ғ)
(
2)
0)1' ■МС2
Ш
Джаз
Еһ
ЕІ
32 ЕІ
Анықталган шаманың таңбасы жазық орын ауыстырудың шынайы
багыты таңдап алынган бірлік күш багытына қарама-қарсы екендігін көрсетеді.
т
«с
ипттТіниітп
,
һ
а
ш
Ь)
11
е>
111.43 - сурет
Осы жерде аралықтың бос ұшының толық орын ауыстыру шамасын
геометриялық орта ретінде анықтауга болады:
Д - ' А тЫ + Д дгОТ
4
ЕІ
\
+
ч65<у/
32£/,
-
32 ЕІ\)
Енді, қажетті бұрылу бұрышын М} пен М ғ эпюрлерін көбейту арқылы
анықтаймыз:
0=
<у|,)Л/(3)
ЕІ.
(2 ) . А і )
1 Ч1
/
3 2 /
£7
59
+
ЯІ
2
£ /,
7д/3
24 £ /
#
щ
Сонымен,
д
.
? /4 •
Д
1 1
жаз
4 £ /, ’
? /4
•
ө-
32ЕІ, ’
V
24Е/ , '
5
Енді тік орын ауыстыру мен бүрылу бұрышын Симпсон ережесімен
есептеуді келтірейік. Ол үшін алдымен бірінші бірлік ию моменті эпюрасының
үшбүрышты пішінді эпюраның және жүктеме ию моменті эпюрасының
параболамен шектелген бөлігінің аралық ортасындагы мәндерін анықтайық.
І
£0) —
2
8
Олай болса,
4и/\*
/
- • / + 46ЕІ \ 2
8
\
2
1... Я1 -Һ І
ЕІ2 2
+0
/
\
т +чіҺ =
8£/,
4 Йі
91 + ЯГҺ
1 У2 •ҺЛ Ъ—ШМ
4£/,
/
Ө=
• 1+ 4 • .. —• 1+ 0 +
6£7 і V 2
8
/ ЕІ2
і
4£/і
24 ЕІі
Есептеулер көрсеткендей нәтижелері бірдей.
111.14 - мысал. Берілген жақтаудың (ІП.44, а - сурет) >4 қимасының иілу
мөлшері мен В қимасының бүрылу бүрышын анықтаныз.
Шешуі: Жақтаудың бүкіл шыбықтары түзу сызықты және қатандықтары
да бірдей. Есептеуде Мор интегралын Верещагин тәсілімен есептеу орынды.
111.44, а,с және е - суреттерінде жүктеме мен бірлік күштерімен
жүктелген жақтау көрсетілген, ал ІП.44, Ь, й және / - суреттерінде сәйкес
иілу моментінің эпюрлері келтірілген. А
қимасының
иілу
мөлшерін
анықтау үшін Щ, және М ғ эпюрлерін көбейтеміз (111.38 І мысалды
қараңыз):
сі
ЕІ
+
іо(р М (с]
ЕІ
ЕІ
/о
2
Л
2 да а 5 а
2
3
8
2
8
4
і _ ч
/
ЕІ
5да4
384 ЕІ
қимасының бүрылу бүрышын М 2 мен М ғ эпюрлерін көбейту арқылы
анықтаимыз
орталыгы түсына сәйкес ординаталарды М2 эпюрінен анықтайық. Арнаулы
кесте бойынша (111.45 - сурет)
60
С)
Ғк=1
Г'
е>
61
аа = 0,5;
Ъс = 1;
а / Ък
е/ =
ак
111.45 -сурет
ак Пш
3 а
•0,5
8 2
а
2
3
16
Бұдан,
м ? )Л +2 = н
2 2 16 16
Сонымен,
2 аа
3
сг _ V
ЕІ
8
а
2
\
5
16
ЕІ
2 ^а2 а | 11
З' 8
V
+
21*16
24£7
Енді ^ мен 0в -ны Симпсон ережесімен есептейік. Ол үшін бірінші
жүктеме
бөлігінің (Ш.46, а
сурет) жарты арапық ортасындағы мәндерін анықтайық.
1•а
С (,) =
8
С (Ғ) = з да
32
Олай болса,
/
^=2-
32
\
8
2 т
8 4
59а 4
384£7
есептеу үшін екінші бірлік ию моментінің үшбүрышты пішінді
эпюрасының аралық ортасындағы мэнін анықтайық (111.46, Ь - сурет):
(2)_
1
С
7
62
111.46 - сурет
Бұрылу бұрышы
а
г
^а
0 + 4Өв —
6ЕІ V
8
1
2
+0
Есептеулер көрсеткендей нәтижелері бірдей.
»
63
Яа
24ЕІ
ІІІ.5 Статикалық анықталмаган жүйслер. Күш әдісі
Статинальщ
анықталмаган
есгтпер
жэне
олардың
ерекшеліктері, Жүйенің
стшпикил ық анықталмагандық
дәрежесі. Күш эдісі. Күш әдісінің канондық теңдеулері (КӘКТ).
КӘКТ коэффициентпгеріп анықтау жэне оларды тексеру.
Қарапайым
статикалық
анықталмаган
арқалықтарды
(жүйелерді) күш эдісімен есептеу. Статикалық анықталмаган
рамаларды күш эдісімен есептеу
С татикалы қ аны қталм аған есептер және оларды ң ерскшеліктері.
Жүйенің статикалы қ аны қталм ағанды қ дәрежесі. Практикада жүйелердің
жүк көтеру қабілетін арттыру үшін көп тіректі статикалық анықтапмаган
қүрылымдар жиі қолданылады. Осындай есептерді беріктікке есептеу үшін
қүрылым элементтерінің қимасындағы ішкі күш факторларын анықтауға тура
келеді. Әдетте ішкі күштер қима тәсілімен анықталатындықтан, алдымен
жүйенің тірек реакцияларын табу қажет болады, ал бүл әрекет жүйенің
статикалық анықталмағандығын ашу деп аталады. Жүйенің статикалық
анықталмағандығын ашу үшін алдымен оның статикалық анықталмағандық
дэрежесін, яғни тірек реакциялар санының статиканың теңдеулер санынан
қаншасы артық екенін білуіміз керек.
Белгісіз күштердің шамасын тек тепе-тендік тендеулерінен анықтауға
болмайтын геометриялық өзгермейтін жүйелер статикалық анықталмаган
жүйелер деп аталады. Мұндай жүйелерде тепе-тендікке қажетті деңгейден
артық байланыстар болады. Сондықтан да статикалық анықталмаған жүйелерді
есептеуде қосымша теңдеулерді пайдалануға тура келеді. Бүл теңдеулердің
саны
статикалық
анықталмаган
дэрежесімен
немесе
артық
байланыстардың санымен анықталады. Жүйенің анықталатын белгісіз
күштері мен статикалық теңдеулер санының арасындағы айырмасы жүйенің
статикалық анықталмагандық дэрежесі деп аталады.
Жүйелер артық байланыстардың түрлеріне қатысты екіге бөлінеді: артык
байланысы тірек болатын жүйелер сырттай статикалық анықталмаган деп
аталады, ал артық ішкі байланыстары бар жүйелер іштей статикалық
анықталмаган деп атайды.
|
Статикалық анықталмағандық дәрежесі п келесі талдаулар негіздерінде
анықталуы мүмкін:
а) статикалық
(111.36)
мүндагы о — анықталушы күштердің саны; т — статиканың тепе-теңдік
теңдеулерінің саны;
б) кинематикалық
п - - Ъ Д + 2Ш + С 0;
64
(111.37)
немесе
п = ЗК + Ш ,
(ІИ.38)
мұндағы Д - диск саны; Ш
қарапайым топсапар саны;
тірек
байланыстарының саны; К - тұйық контурлар саны.
Төменгі суреттерде статикалық анықталмаған арқалыққа (111.47 -сурет)
және статикалық анықталмаған рамаларға (111.48 -сурет) мысалдар келтірілген.
Осы жүйелердің статикалық және кинематикалық анықталмағандық дәрежесін
анықтаңыз.
т
Ь)
о
777^7*
III.47 - сурет
т
ь>
ғ
С)
/
Ш1
і)
ғ
XXI
111.48 - сурет
Диск дегеніміз жүйені құрайтын геометриялық өзгермейтін элементтер
екенін білеміз. Дискілер санын анықтау үшін есептеу жүйесінің топсалары мен
тіректерін алып тастап, одан кейін жүйенің қанша геометриялық өзгермейтін
элементтерден тұратынын санау қажет.
Қарапайым топса саны дискілер арасындагы топсаларды есептеумен
анықталады, бірақ бұған тірек топсалары кірмейді.
Тірек байланыстарының саны тіректегі стерженьдердің санына тең.
Қозғалмалы топса - бір стерженьнен тұратыны, қозгалмайтын топса - екі, ал
қатаң бекіту үш тіректі стерженьдерге пара-пар екені белгілі.
Бір қатар элементтерден құралатын, бір-бірімен қатаң (топсасыз)
бекітілген және тұйық тізбек құрайтын контур түйьщ контур деп аталады.
Күш әдісі. Күш әдісінің канондық теңдеулері (КӘКТ). КӘКТ
коэффицненттерін ан ы қтау және оларды тексеру. Статикалық анықталмаған
жүйелерді есептеудің негізгі әдістерінің бірі - белгісіз ретінде күш алынатын
әдіс, сондықтан ол күш эдісі деп аталады.
Күш әдісімен есептеуде берілген статикалық анықталмаған жүйеден,
негізгі жүие деп аталатын геометриялық өзгермейтін статикалық анықгалған
жүйеге өтеді. Негізгі жүйе берілгеннен артық байланыстарды алып тастап,
оларды әсер етуші белгісіз Х ( (/ = 1,2,...«) күштерімен алмастыру арқылы
алынады. Негізгі жүйені таңдап алудың үлкен маңызы бар, өйткені есептеудің
дэлдігі мен өнімділігі соған байланысты. Қолайлы алынған негізгі жүйе
есептеуді жеңілдетеді.
Негізгі жүйені тандап алғаннан кейін тепе - теңдік шарттарына қосымша
теңдеулер құрылады, олардың саны артық белгісіздердің санына немесе
жүйенің статикалық анықталмағандық дәрежесіне тең болады.
Бұл теңдеулердің эрқайсысы әр белгісіз күш бағытындағы барлық
белгісіз күштердің жэне берілген жүктеме әсерлерінен болатын орын ауыстыру
шамалары нөлге тең екендігін көрсетеді, себебі берілген жүйеде осы
бағыттарда байланыстар бар, сондықтан орын ауыстырулар болмайды.
Қосымша орын ауыстыру теңдеулері күш әдісінің канондық теңдеулері
деп аталады, өйткені олар белгілі бір заңдылықпен құрылады және оны
былайша жазып көрсетуге болады:
8п Х \ + 8 п Х г + ... + 3\пХ п + Д|Ғ =0;
$ 1 \Х \ + 8 П Х 2 + - +
+ 4 Ғ =
1 + ^„2Х 2 + —+ $т
мұндагы 6и,Зп ,...,6]п,62і, 622,
күштері
багытындағы
бірлік
.
.
+ &„Ғ = 0 ’
.
Л^/^Ікүштері
66
39.
- негізгі жүйедегі белгісіз Щ
әсерінен
туындайтын
орын
ауыстырулар;
— негізгі жүйедегі белгісіз күштері багытындагы
сыртқы жүктемелер әсерінен туындайтын орын ауыстырулар.
Канондық теңдеудегі 8ік, ДіҒ орын ауыстырулардың шамалары Мор
әдісімен немесе Верещагин тәсілімен анықталады. Әдетте бұл жагдайда,
арқалықтар мен жақтаулар үшін жанама және бойлық күш әсерлері
ескерілмейді, тек июші моменттер ғана ескеріледі.
Әдетте өсі қисық элементтер үшін Мор әдісі қолданылады, ол бойынша
#|
с
V
сіх
с
гА/, сіх
.
V-»
штмшт
в* і Iп I■ ШШ і Щп Iі~шеГ2 ; ■ 1щ
|
п I
я
шв
мүндағы МІ9МК- і және к бірлік күштерінің сәйкес июші моменттерінің
өрнектері;
- берілген жүктемелердің июші моменттерінің аналитикалық
түрі.
Егер (III.40) Мор интегралы астындағы функция сызықты болған
жағдайда, 8ІК мен АіҒ орын ауыстыру шамаларын Верещагин тәсілімен
есептеген қолаилы.
мүндағы сок мен соғ — бірлік к және сыртқы жүктеменің сәйкес июші
моменттер эпюраларының аудандары; М с^ мен МСғ - сок мен соғ
аудандарының ауырлық ортапықтары түсына сәйкес келетін бірлік күшінің
июші момент эпюрінің ординатасы.
Мор интегралын Верещагин тәсілімен қатар, егер аралықтағы түзу
сызықты эпюралар көбейтілетін болса, «трапеция ережесін», ал егер
көбейтілетін эпюралардың бірі қисық сызықты болса, Симпсон ережесін
пайдаланып есептеген тиімді.
(ІІІ.ЗІ) немесе (III.34) - өрнектерінің негізінде есептелетін, таңбалары
бірдей (<?я, ) орын ауыстырулар эрқашанда оң таңбалы және нөлге тең емес,
олар бас орын ауыстырулар деп аталады. Таңбалы әр түрлі {5ІКІ8КІ) орын
ауыстырулар оң да, теріс те және нөлге тең болуы мүмкін және олар қосалқы
орын ауыстырулар деп аталады. (8п, 8КК) - орын ауыстырулары бас
коэффициенттер, 8ІК- қосалқы
коэффициенттері, ал АіҒ - күш әдісінің
канондық теңдеулерінің бос мүшелері деп те аталады.
Есептелінген канондық теңдеулердің коэффициенттері мен бос
мүшелерін тексеру қажет. Ол үшін қосынды бірлік эпюрі М5 түрғызылып,
шартты орын ауыстырулар есептелінеді:
67
8» = Ү
2^1
л /
= V Гмш
м ғ**х
• и
“
г
| 4ғ * 2- і Ш
II /
.
ап.42)
немесе
<У.МС,
5* =
6)рМс
.
•
(ін.43)
анықталған
есептелген 8а шамасы әр бағытта және әр бірлік күштерден жеке есептелген
бірлік орын ауыстыру шамаларын қосумен анықталатын қосынды
Қоэффициентке, ал АлҒ коэффициентті бос мүшелердің қосындысына тең
болуы қажет, ягни
\ ғ =У\Ш■
* « = £ * /» ;
(иі.44)
Кері жагдайда, есептеулер қате болганы, оларды түзету қажет.
Барлық коэффициенттер мен бос мүшелерді анықтаганнан кейін (111.39)
канондық теңдеу шешіледі. Бүдан кейін есептеу анықталган артық белгісіздер
мен сыртқы жүктемелердің М, 0 және N эпюраларын түргызуга келтіріледі.
Ақыргы июші моментгер эпюрасын түрғызу үшін мына өрнекті пайдалануга
болады:
М = М Ғ +Ү^ М .Х ,.
(111.45)
Есептеу нәтижесінде ақыргы июші моменттер эпюрасын түрғызып,
дүрыстығын
жүйесінің
теңдігі
2. Кинематикалық (деформациялық) тексеру. Алынып тасталған
теңділ
тексеріледі, ягни
А
гММ:СІх
гММЛх
Ш Еі ,һ тг
=
0
>
н
ем
есе
А
»=I
г
р,
•
т
т і Е1,
(ш-46)
Белгілі дифференциалдық тәуелділік негізінде июші моменттер эпюрасы
М бойынша жанама күш эпюрасы £? түргызылады.
~сһс
I
68
(Ш.47)
о
мұыдағы
£ - берілген жүйенің карастырылушы элементінің сыртқы
жүЛемелерден болатын жанама күші; Мон,М сол - ақырғы июші моменттер
эпюрасындағы, қарастырылушы элементтің ұштарындағы моменттердің мәні; /
- қарастырылушы элемент ұзындығы.
Егер
қарастырылушы
элементтің
өсін
июші
моменттермен
сәйкестендіргенде қарастырылушы бұрылу сағат тілімен бағыттас болса,
жанама, күш оң таңбалы деп есептеледі.
Жанама күштер эпюрасы 2 бойынша, түйіндерді бөліп алу тәсілімен
бойлық күш эторасіі N тұрғызылады.
Егер бойлық күш стерженьді созатын болса, олар оң таңбалы деп
есептеледі.
0
және N эпюралары статикалық тексеріледі, яғни активті және
реактивті күштердің екі өстерге проекцияларының қосындысы нөлге тең болуы
қажет.
Бұл жұмыста статикалық анықталмаған жақтауларды күш әдісімен
есептеу ғана қарастырылады.
Рама деп түзу не қисық сызықты элементтерден құрылған, түйіндерінде
қатаң (немесе бір бөлігі топсамен) қосылған жүйелерді айтатынымыз белгілі.
Статикалық анықталмаған рамаларды есептеу кезінде берілген жүйенің
симметриялығын пайдалану қажет, ол есептеуді жеңілдетуге мүмкіндік береді.
Симметриялы жүйе деп, геометриялық өске симметриясымен қатар
симметриялы орналасқан элементтерді қатаңдықтары бір-біріне тең болатын
жүйелерді айтамыз.
Симметриялы жүйеге симметриялы не айқас симметриялы жүктеме әсер
етсе, қосалқы орын ауыстырулармен қатар канондық теңдеулер жүйесінің
кейбір бос мүшелері де нөлге тең болып шығуы мүмкін, яғни симметриялы
жүиеге симметриялы жүктеме әсер етсе айқас симметриялы белгісіздер нөлге
тең болады. Ал айқас симметриялы жүктеме әсер етсе, симметриялы белгісіздер
нөлге тең болады.
Сонымен, статикалық анықталмаған жүиелерді күш әдісімен есептеу
келесі тәртіпте жүргізіледі:
1. Жүйенің статикалық анықталмағандық дәрежесі анықталады.
2. Негізгі жүйе таңдалынады.
3. Күш әдісінің канондық теңдеулері құрылады.
4. Канондықтеңдеулер бірігіп шешіледі.
5. Июші моменттің ақырғы эпюрасы тұрғызылады.
6. Оның дұрыстығы тексеріледі.
7. Жанама және бойлық күштердің эпюрасы тұрғызылады.
8. Осы эпюралардың дұрыстығы тексеріледі.
69
анықталмаған аркалықтарды (жүйел
аны қталмағ
есептеу
Ш.15 —мысал. Консольды екі аралықты арқалық қарқындығы ц таралган
жүктемемен, Ғ күшімен және моменті М қос күшпен жүктелген (111.49, а - сурет).
й = 9м , а = 2 0 кН/м леп кабыллай отыпып. есептін ке.песі шарттарын
орындаңыз
1) күш әдісімен есептің статикалық анықталмаганын ашыңыз. Ию
моментінің эпюрін түрғызыңыз.
2) арқалықтың қоставрлы пішінді көлденең қимасьга іріктеп алыңыз.
Мүмкіндік кернеу о а(іт - 160 МПа .
Шешуі: Қарастырылып отырган есептеу сызбасы бір рет статикалық
анықталмаған арқалық. Күш әдісінің алшритміне сәйкес, алдымен негізгі жүйе
таңдалып алынады. Негізгі жүйені оң жақтағы тіректі алып тастап және оны
белгісіз Х х күшімен алмастыра отырп аламыз (111.49, Ъ- сурет).
Х х шамасы күш эдісінің канондық теңдеуінен анықталады
8и •Х х+ 4/г = 0 мұнан Х х= - ^
және / \ ғ орын ауыстыруларын (46) Симпсон формуласымен
есептейік. Кейбір оқулықтарда осы формуланың мынадай түрдегі
жазылымын кездестіреміз:
А=
~'' ( М* МБ
Ғ | А М р М р + М СМ С)
6ЕІІ.
мұндағы
/,• - эпюрлер көбейтілетін аралықтардың ұзындығы;
м?,м *,Щ
1} аралығының басындағы,
соңындағы бірінш і июші моменттің ординаталары;
мБ
ғ ,м?,мсғ -
I\
аралығының басындағы,
соңындағы екінші июші моменттің ординаталары.
70
ортасындағы
жэне
ортасындагы
және
аа2 8
:У | - тюрисьи кНм
а
г/ /2 !
ш
<1
Зсіа2 %
2 іб
ЛІр - ш юрасы, кНм
Л ^ - шюрасьи кНм
9с/(Г 64
М г - 'шюрасы, кНм
аа2 V
111.49 - сурет
71
Канондық теңдеудің коэффициенттерін есептеу үшін бірлік жэне
жүктемелік ию моменттерінің эпюралары тургызылады. Бірлік жэне
жүктемелік ию моменттерінің эпюраларының сызбасы 111.49, с, / - суретте
көрсетілген.
жэне 4 ғ коэфициенттері
, коэфициенті Зк, =
өрнегімен есептеледі.
М, бірлік эпюрасы үш аралықтан тұрады (біреуі нөлдік), сондықтан
эпюралардың көбейтілуі тек екі аралықта жүргізіледі:
1
I!
ш
$
аі _ _ . а а
^\ а
а а „ „і
0-0 + 4 — •—+ а *а +
а а + 4- • + 0 -0
б\
2 2
1 6
2 2
Л
4,/г коэффиценті
лтшЯШ
Е1_
і
-а
аі0 0 - 4 а ^
4 ,=
ЕІ 61
2 16
2<7<23
3ЕІ.
^ өрнегімен.
8
-а
\
8
Л
а
А
Ч
а
4* *0-02
8
9^а
48£/.
Анықталган Ш жэне
қойып Хг -ді есептейміз
коэфициенттерінің мэндерін канондық теңдеуге
9дд
48 ЕІ2
2^а
ЪЕІ.
Ща
32
Статикалық анықталмаган арқалықтың М , июші моментінің ординаты төмендегі өрнекпен есептеледі
М2 = М Р + М,-ЛГ,.
М, * ию моменті, ординаталары А', есе үлкейтілген алгашқы бірлік
моментін білдіреді.
М . июші моменттің эпюраларының ординаталары М ғ және М^-Х^
эпюраларының сэйкес ординаталарының қосындысымен анықталады (II 1.2 кесте).
Я
ІІІ.2 - кесте
А ралықтар
Эпю ралардың ординаталары (кНм)
Сол жақтағы аралық:
,.
- ._ .
-М ғ
-
басы
0
ортасы
соңы
-М 3
-ң -* ,
0
0
-Ъ ца1 /16
9да 2/64
- Зда2 / 64
-З д а 2 /8
9 ? а 2 / 32
- З д а 2 /32
99а 2 / 32
—З^а2 /32
0
9да2/64
9да2/64
да2/8
0
да2/ 8
Оң жақтағы аралық:
ортасы
соңы
Консоль:
00
гм
т
1
басы
—
басы
да2 /8
0
Ы
ОО
—
ортасы
ца21%
0
? а 2/ 8
соңы
? а 2/ 8
0
? а 2/ 8
Арқалықтың қауыпты қимасы — оң жақтагы
Мтах = ца2 / 8. Арқалықтың көлденең қимасын іріктеу
іу >
•
Щп
консольды аралық,
18 - с г—
І
20:^ -- 4 11-266•1о~3м3=і266 сл(3
^ 8-160-10
Мұндай мән кестеде жоқ. Өстік кедергі моментінің жақын мәндері
ЙР, » 1231 см3 және IV, =1589см3.
Ең алдымен жақын кіші мәнді алып, арқалықтың материалында
туындайтын ең үлкен нақты кернеуді анықтаймыз
М,
да2
20-81 -103
сг £
таі = 4
=
= 165 МПа.
IV.
8-0'. 8-1231-10
ЩШ
• *'■
Ш о
Соңынан, арқалықтың жүктелу шамасын анықтасақ
<*-.
^«,/ш
., 00% = 165
160
-100% = 3,125%
Енді жақын үлкен мэнді алып, арқалықтың материалында туындайтын
ең үлкен нақты ксрнеу
а
мг
Жг
20
81
•
103
_
~ °
л = \21МПа
8-1589-10
ааг
8-РГг
болса, арқалықтың жүктелу шамасы
а і - а ант -Ю
0%=
СаЛт
160
0-100%=-20,625%
екенін аламыз.
1
Екі жагдайды салыстыра отырып, беріктікті қамтамасыз ететін ±5%
ауытқудан кем, бірінші жағдайдағы, ягни арқапықтың ізденді көлденең
қимасы ретінде өстік кедергі моменті И^г =1231см3 № 45-ші қоставрды
қабылдаймыз.
ІІІ.16
—мы сал. 111.50, а —суретте көрсетілген жақтау тіректерінің жазы
реакцияларын анықтаңыз. Рама шыбықтарының қима қатаңдықтары бірдей.
9 = 10 кН/м; I = Лм\
һ = 5м.
Шеилуі: Рама бір рет статикалық анықталмаган. III.50, Ь, с, сі —
суреттерінде негізгі жүйенің кейбір түрлері келтірілген. Есептеу үшін 111.50, Ъсуретте көрсетілген нүсқаны қарастыраиық.
Артық белгісіз Х х күшін анықтау үшін (III.39) канондық теңдеуін
пайдаланайық
<5ц.АГ| + Д|р = 0 .
£п , А]Ғ коэффиценттерін анықтау үшін негізгі жүйені жекелей берілген
жүктеме мен бірлік күшімен жүктейік (III.55, е,
сурет). Стерженьдер түзу
сызықты болгандықтан, коэффициенттерді анықтауда Верещагин тәсілін
пайдаланган қолайлылау. М ғ және М х июші момент эпюралары 111.50, §, һ суреттрінде көрсетілген.
Зп коэффициенті М х эпюрін өзін-өзіне көбейту арқылы анықтаймыз.
Бірінші мысалдагы коэффициенттерді анықтау тәсіліне толыгырақ
тоқталайық.
Әрбір аралықтың М } бірлік эпюрінің
сох және
аудандарын
анықтаймыз:
1 1 і 7
т ■= —• һ • 1• /7 = — ;
і
2
2
0)
(2)
/II»
іх
со\ 1= / • 1• һ = //?;
74
ҺЛ-Һ
һ2
со\ 1= -------- = — .
<з)
2
2
Ш
(!)
сһ
с>
<?/
■V,
/>
<1
/
X
п
111.50 - сурет
75
Бүл аудандардың ауырлық центрінің түсына келетін бірлік эпюралрдың
ординалаталарын таңдап алсақ, сәйкесінше былай болып шыгады:
1 4 (0
3 і г.
м с\ = 2
2й2
(і) , I ,
М с\ ’ = \ һ = һ-,
. . (і) 2Һ
Мс\ = —
Верещагин тәсілі бойынша, төмендегі өрнекпен
есептеиміз.
,
коэффицентін
Аудандар мен ординаталардың шамаларын қойсақ:
*
1
А* 2 . . . . * 2 -2 , л
=
і—
һ Іһтһ ~\— ■ һ
11 ЕІ. 2 3
2 3
т
(2 һ + 31)
ЗЕІ,
7
А,ғ коэффиценті М ғ пен М, эпюраларын көбейтумен анықталады. Ол
үшін Мғ жүктеме эпюрінің әрбір аралыгының 0)ғ \ со^р және а)ғ ^ аудандарын,
осы аудандардың ауырлық центрінің түстарына сәйкес бірлік М, эпюрасының
ординаталарын анықтайық:
1 0;
Мс{'ғ ] = 0.
Енді Верещагин тәсілімен канондық теңдеудің бос мүшесін анықтаймыз.
Лғ =
( 4 Ч ? + 4 2Ч Й + 4 3Ч ^ ) =
1 Гф 3 5А
ЕІЛ 3
§й2/ .
^
+
“Л + 0
8
4
цһъ
(5А + 6/1
2 4 £ /_ 4
'
Көбейтілетін эпюралардың (ІІІ.50, £, һ - сурет) раманың стерженьдерінің
әртүрлі жақтарында тұргызылуына байланысты бұл жерде минус таңбасы
қойылган.
?
76
$
мен А1Ғ шамаларын канондық теңдеуге қойсақ,
— (2һ + 3І І — ^ — (5һ + 6/) = 0.
ЗЕІ2
т
2\Е1,
'
Бұдан
ШШШШЖ
I Ш
І ®
10 5(5 5-4-6 4)
8 -(2 -5 + 3-4) ” 13-92" " -
111.17 - мысал. 111.51, а - суретте көрсетілген жақтаудың М , 0 және N
эпюраларын тұрғызыңыз. Жақтаудың барлық шыбықтарының қатаңдықтары
бірдей. ц = 20 кНIм\
I = 4л<;
А= блі.
Шешуі: Жүйе екі рет статикалық анықталмаған. Негізгі жүйені топсалы
тіректің реакцияларын артық белгісіздер ретінде қабылдайық (111.51, Ъ- сурет)
Х \ = Н А және Х 2 =УА артық белгісіздерді А қимасының жазық және тік
бағыттағы орын ауыстыруларының нөлге тең екендігін көрсететін қосымша екі
теңдеуден анықтаймыз.
Бұл жағдайдағы канондық тендеулердің түрі мынадай:
8иХ х + Зі^Х^ + А|/г = 0 ;
З^^Х^ + 822^2 + А*)уг = 0 .
Өзара орын ауыстыру теоремасы бойынша
8ц
Канондық теңдеулердің коффиценттерін анықтау үшін негізгі жүйені
алдымен берілген жүктемемен жүктеп М ғ жүктеме эпюрасын (III.50, с сурет), ал сонан кейін бірлік Х\ =1 (Ш.50, сі - сурет), және Х 2 =1 (111*51, е сурет) күштерімен жүктеп М 19М 2 июші момент эпюраларын түргызамыз.
8и орын ауыстыру шамасын эпюрасын өзін-өзіне көбейтіп анықтаймыз:
Онда Верещагин тәсілі бойыиша,
I
1 [ 1 2Һ 1 і 1
Оі | = ----- 1 — ------ \ - 1- һһ
ЕІЛ 2 3
һ
(һ + 3/1
3ЕІ
Осыған ұқсас жолымен, 8 22 бас коэффицентінің шамасы М2 эпюрін өзінөзіне көбейту арқылы анықталады.
М 2 эпюрінің аралықтарының аудандары мән сәйкес ординаталары:
М с (12) _ 0 ,
а4 ') = 0 ;
а>(2)
1,-ыЛ
2
2
(
2)
МС2
3
3
Верещагин тәсілі бойынша алатынымыз:
8 22
1
ЕІ
0+
V
/ 2 2/
\
/
3ЕІ
2 ’3/
Қосалқы Зп мен 81Х коэффиценттері бірлік М х және М 2 эпюраларын
көбейтумен анықталады (ІП.51, <1} е - сурет). Мысалы, М } және М2
эторасынан әр аралықтардың эпюраларының аудандарын алайық:
һ
=
2
о)і2) = \ Һ І :
(
2
)
М2 эпюрасынан (111.51, сі —сурет) ©, және со\г) аудандарының ауырлық
(
2
)
центрлері тұстарына сәйкес Л/ с |2 және М ^ ординаталарын аламыз.
М с(2) = 0; Мс{2 ] = - • 1•/ = 2
2
2
Сонымен, М,, және М 2 эпюраларын көбейту арқылы 8п мен <?21
коэффицентгерін аныктаймыз:
1
21
\
Һ
— ■0 - Іһ ■2
78
2
Л/2
2 £/_
Ъ)
X г= н
(һ
©
III.51 - сурет
79
III.51 - суретінің жалгасы.
1.92
36602
III.51 - сурет
80
Л1Ғ пен А 2Ғ бос мүшелерін жүктеме эпюрасының (111.51, с - сурет) соғ {
аудандарьш, осы аудандардың ауырлық орталығы тұсына сәйкес М х мен М2
бірл^к эпюраларынан алынатын сәйкес ординаталарға көбейтіп аныкгаймыз:
1
0- —-\-һ + -1^— 1-һ
ЕІг V 3
3 2
6Е і '
\
ЕІЛ
3
2
4
/
8 £ /,
Анықталған
і >Зщ? 1Иш Л р
жэне А2Ғ шамаларын канондық
теңдеулерге қойып және Е12 -ке қысқартып, артық белгісіздерді ( Х { мен Х 2)
аньпсгайтын теңдеулер жүйесін аламыз:
һ \ , „л _
Һ12
(һ + зі)х . х г + @ -= < к
3
2
ь
/, һ және д мәндерін қойғаннан кейін канондық теңдеулер мына түрге
келедг.
2І6ІГ, - 4 8 Х 7 +1280 = 0;
- 4 8 ^ + 2 1 , 3 3 ^ - 6 4 = 0.
Бүл теңдеулерді шеше отырып,
X, =-1,48 кН;
X 7 І 33,3 к # ,
екенін анықтаймыз.
Ақырғы М эпюрін тұрғызу үшін жақтау шыбықтарының берілген
қималарындағы июші моментердің мәндерін есегітейміз:
М в - X. • Л = -1,48 ■6 = - 8,88 кНм;
Я
>
Мс = Х.һ +
-
Ш Ш - 1 ,4 8 - 6 + 20-4 -3 3 ,3 -4 = 17,92кНм
81
ВС аралыгындагы июші моменттін ен үлксн мэнін анықтау ушш июші
моменттің жалпы теңдеуін жазайық:
2
2
Соңғы теңдеуден хг бойынша туынды алып, нөлге теңестірейік
осыдан
_ Х 2 33,3
~ — = --- ~ 1,67л<
о----------- 20
Бң үлкен июші моменті:
= -3 6 ,6 кНм.
^шах 1 1 1,48 • 6 1 33,3 • 1,671
Ақыргы июші моменттердің, жанама және бойлық күш эпюралары (111.51,
/ , §, һ - суреттерінде) көрсетілген.
ІП. 18
мы сал. Берілген жақтаудың (III.52, а - сурет) статикалық
анықталмагандығын анықтаңыз жэне ішкі күш әсерлерінің эпюраларын
тұрғызыңыз. М = 4 0 кНм\ д = 10 кН/ м; / = 6 м\ һ = 8 ж; / 2 / / , = 1/2.
Шеіиуі: Берілген жақтауда тірек реакцияларының алты құраушылары
бар. Әдеттегідей, жазық күш жүйелері үшін үш тепе-теңдік теңдеуін жэне
аралық топса есебінде тағы да бір қосымша теңдеу құруға болады. Сонымен
7? = 6 - 3 - 1 = 2 жүйе екі рет статикалықанықталмаған.
Негізгі жүйені жақтауды С топсасында кесіп, таңдап аламыз жэне
кесілген жердегі бойлық жэне жанама күштерді артық белгісіздер деп
қабылдаймыз.
III.52, Ь —суретте берілген жүктемелер мен ізденді артық белгісіздермен
жүктелген негізгі жүйе көрсетілген.
Күш әдісінің канондық теңдеулерін жазайық:
8\\Хх+б\2Х 2 +Л\Ғ = 0 ;
82\Х\ 4- б22X24-
82
=0.
Һ:
сһ
Ш1
111.52 - сурет
Бұл теңдеулердегі мен орын ауыстырулары жактаудың екі бөлігінің ©зара
сэйкес орын ауыстыруларын түжырымдайды.
Орын ауыстыруларды аныктау үшін Верещагин тәсілін пайдаланамыз.
III.52, с, <і және е — суреттерінде, сәйкес М {іМ г бірлік эпюралары мен М ғ
жүктеме эпюрасы көрсетілген.
М | эпюрасының айқас симметриялы екенін, ал М 2 эпюрасының
симметриялы екенін атап өтейік.
Сәйкес эпюраларды көбейтіп, орын ауыстыруларды анықтаймыз:
* 1 ' 1, 7 *. 2 I . 1 і, . і, 11 1 *
1
1 1/ . 1 2 . 1
А
—
1
°\і “*'ііГ'
----- А* 1 • • + — — . і
Ь 4ЕІ, 2 2
2 3 2 ЕІг
2 2 £7, 2 2
23
2
, _1 . і / і /
£7 2
2
/3
Һ-І2
I ,
12ЕІ, + 4ЕІг ~ 24Щ ^
2
'һ '1 'һ *1
^і2
.
-~А-1-А-1-^ = 0.
Бүл жай симметриялы және айқас симметриялы эпюраларды бір-біріне
көбейтіп, анықталатын орын ауыстырулар әрқашанда нөлге тең болады деп
тұжырымдауга мүмкіндік береді.
°22 ~
і
^2
~ •һ *1*һ • - • 1 •һ + ^ ^ •һ • 1 - Һ• ^ • 1•һ =
2
з
Е12 2
3
3£/
И ІЖ -Й ір
і . чі2 I і л
і а
/
іғ "" ~
— ' —— • 1 ----------- й *— *1 *—һ0 ---------- - М Л _
£ / , 3 8 2 4 2 ЕІ2
8
2
£У2 2
2
256Ш
\ғ ~
дһг
16ЕІ-,
МҺІ
4ЕҺ
ді4
256£7,
Ы / 2
4м);
16Е і У +
Л Һ + ^ Щ&Й ^ Л һ = - * (д/2- 6 м )
2
£ /, 2
4
16£/, ™
7
р 'һ ^
Ыг
8
Анықталган <5 мен Д шамаларын канондықтеңдеулерге қойсақ,
24 (7 + 6/г)^ і " 256 1 16 ^
1
Х г-\У -Ш )= 0.
84
+ 4А/) = 0;
теңдеулеріне келеміз.
/, һ, ц жэне М мәндерін қойсақ, бұдан
Х х=20,65 кН;
X? = 1,4 ІкЯ .
Ішкі күш әсерлерінің эпюрапары III.53, а, Ъ, с —суреттерінде көрсетілген
сп
16.95
16,95
56,31
1(167
28.23
о
т
1.41
2065
III.53 - сурет
85
- мысал. Берілген рама үшін (111.54, а - сурет) Ғ -40кН\
д - І О к Н / м ; 1 —6м; һ —8 ; І2 : I, —1:2 деп қабылдап, есептің кслесі
шарттарын орындаңыз:
1 ) июші моменттердің, жанама және бойлық күштердің элюраларын
тұрғызыңыз;
2 ) түрғызылған эпюралардың дүрыстығын тексеріңіз.
Шешуі: Ең алдымен жақтаудың статикалық анықгалмау дәрежесін
есептейік. Жақтаудың топсалы тіректерінің алты реакциясы бар. Оларды
анықтау үшін статиканың үш теңдеуі мен аралық Ғ топсасы арқылы
анықгалатын қосымша бір теңдеуді пайдалануға болады. Сонымен,
п = 6 —3 —1= 2 , яғни жүйе екі рет статикалықанықталмаған.
Кейбір қосалқы орын ауыстырулар нөлге айналуы үшін неғізгі жүйені
жақтаудың симметриялығын сақтай отырып таңцап алайық. Осы жағдайда
жақтау Ғ топсасында кесіледі де, кесілғен жердегі бойлық және жанама
күштерді артық белгісіздер деп қабылданады. Берілген жүктемелер және артық
белгісіздермен жүктелген негізгі жүйе III.54, Ь —суретге көрсетілген.
Күш әдісінің канондық теңдеулері шыбықтың кесілген үштарының жазық
және тік бағытта бір-бірінен ажырасып кетпейтінін білдіреді.
ІІІ.19
+ £ і2Х 2 + 4 г = 0 ;
Теңдеулердің
үшін М,
және М 2 бірлік июші моментгер эпюрасын (111.54, с, аI —суреттер) және М ғ
жүктеме эпюрасын (111.54, е, / - сурет), сонымен қатар анықгалған шамаларды
тексеру үшін М5 = М Х+ М 2 қосынды бірлік эпюрасын (ІП.55, а - сурет)
түрғызамыз. Күш эдісінің канондық теңдеулерінің коэффициенттері мен бос
мүшелерін Верещагин тәсілімен есептейміз.
х
\л
8 '3 2 .
1
8-8 2 „
1
8-3 2
•■ • -8+
• • -8+ •
-8+
ЕІ, 2 3
ЕІ2 2 3
£/,2
3
1
д\тм\м\Ш
Ш
. 1
Н
8-8 2
128
1024
405,3
2 ■і I ш 1н і 11?
Ц1»Ж=Ш1т6'3-2-б+1
ІШЯ
1
■
і
н
1 £ / , 2 3 + Ж 2 3 6+
, 1 6-3 2 , 216 108
+ -- -----;г* •О~ ---- ~ -—£ /, 2 3
£/, Щ
ГІІ.54 -сурет
87
Тексеру:
х =м
\л - Л
\л / =
1
1
£ /,
хл
1
6*3
2
1
8-8
2
. -14+
. 6+
•
. -8 +
2 3
£/, 2 3
ЕІ2 2 3
4
‘
3
„
2
6-6 2
1 2-3 2
1 8-8 2 . 344 1024 513,3
+ ---------- - ~ •о + — ------ • 2 +
•
• - •8 =
+
=
Еіі 2 3
£ / , 2 3
Е1г 2 3
Е1. ЪЕІг
Е1,
1
о , о
§■*
405,3
ЕІ2
108
ЕІ2
5133
ЕІ2
Бұдан
I + ^12 + ^21 + ^22 - Щ '»
яғни тексеру шарты орындалады.
л
-= м
аа м 1
320 3 2 о
І
2-320-8
5
_
1
120-3
2
„
, - м ғ = - ------------------- 8 •
• -8 +
• ........ -8
£ / , 2
3
ЕІ2
3
8
£ /,
2
3
1600 25600
9333,3
£ /,
ЪЕІг
ЕІг ’
А
4г
и
=м 0 ■М ғ
1
320-3
2
I
1
120-3
5
1
120-3
2
и
=— • . . .6- •
1— 1
. -6
£ / , 2
3
£ /,
2
6 £ /,
2
3
_ _ 3540 _ _ 1770
ых ~ щ '
*£рЯ В
Тексеру:
л
и
Ш
Азғ = М5 -М ғ =
1
-
3
2
0
3
2
і/.
• - - - • 14-
£ / , 2
+ 1 120-3 2 2 _
£ /,
2
3
3
2-320-8
5
_
1
120-3
5
|
•
. 8•
• -6 +
Ыг
3
8
£ / , 2
6
1
5140 _ 25600 _ _ 11103.3
£7,
3 £ /, ~
£ /, ‘
?
Байқаганымыздай
шартыда орындалады.
Сонымен, анықталган шамалар дұрыс есептелген. Бұл шамаларды
канондық теңдеулерге қойып және оларды ЕІ2 катаңдыққа қысқартып, А", мен
Х 2-н\ анықтаймыз:
88
у -
X
Л ғ _ 9333,3
= 23,0кН;
405,3
1770 Ш
Х2= - " =
= 16,4кН.
822
108
4
М, және М2 бірлік эпюраларыньщ ординаталарын X, мен Х г артық
белгісіздердің мәндеріне көбейте отырып, «түзетілген» М {Х х және М2Х 2
бірлік июші момент эпюраларын түрғызамыз (111.55, Ь, с - сурет).
92.133
III.55 - сурет
Ақыргы июші моменттгер эпюрасы /V/ -ді МхХ у, М2Х 2 (111.55, 6 , с сурет) және Мһ (III.54, / - сурет), эпюраларын өзара коса отырып, ягни (Ш.45)
орнегін пайдалана отырып тұргызамыз (III.55, с/ - сурет).
89
СЕ аралығындагы июші моменттің ең үлкен мәнін анықтау үшін
тіректердің реакциясын анықтап СЕ аралығының жалпы июші моментінің
теңдеуін қүрайық.
Ол үшін негізгі жүйені аныкгалган күштер мен берілген жүктмелермен
жүктейік (Щ.56, а - сурет).
|
Ғ=40кН Гі г М. Н З кН
НегіЗкН
'гг92, ІЗЗкН
III.56 - сурет
£ М сш = -УЛЦ - Ч* - Ү С 1 + Н С-Һ = Ъ
Ү Х і = Нс - д һ + Х | = 0 ;
Бұдан
Нс = 57 кН\ Ул = 12,533 к/7; Ус = 3,867 кН
Ъ М °ғ =
~
Ғ
2
+
У о 1 Н о һ = 0;
+
Х ^ = Я о - ^ , = 0;
яғни
Нв = 23 кН; У„ = 68,533 кН; V. =92,133 кН.
90
СЕ аралыгының июші моменті
дх
^ се —Н с.х ~
2
сіМСЕ
гг
х =
й — = 5,7 м.
Щахт ш Ш
щ
Ш
ш
I
Бұдан
Ч
10
Олай болса,
М СЕ
10 5 7 2
=57*5,7------Ш
й
=
162,45
хйи;
-э./д*
2
10-4^
М се ^ 1 1 57 •4 1 2 - = 148 І р
Ақыргы июші моменттер эпюрасына статикалық тексеру жүргізейік. Ол
үшін жақтаудың барлық түйіндерінің тепе-теңдікте болуы қарастырылады, яғни
кез келгентүйіндегі моменттердің қосындысы нөлге тең болуы қажет (ІІІ.57, а, Ь
- сурет):
М А = 0;
Мв = 0; Мс = 0 ; М 0 = 0; Мғ = 0 .
М эпюрін статикапық
жолмен
тексеру қажет, бірақ
Р.Х-/
жеткіліксіз. Себебі
205.6
ол жекеленген эпю1$4
рапарды дүрыс не
III.57 -су р ет
бурыс қосқандЬіғы#
мызды ғана көрсете
алады.
Сондықтан
нәтижелі тексерісті кинематикапық тексеріс қана (111.46) бере алады. Ол
үшін ақырғы М эпюрін М$ эпюріне көбейткенде, б.үл кебейтіндінің
нәтижесі нөлге тең болуы қажет.
1
Д ,= Л /,-А / = ЕІ
37,6-3 2
I 98,4-6 2 ,
■14 + --------- ---------- 6 3
Еі
2
3
8 (0-0 + 4-148-4 + 136-8)+—
£ /, 6
ЕІ
91
— -1-49,2 +
3
1
1
3 ( - 21,6(2-6 + 3)+ 49,2(2 -3 + 6 ) ) -
ЕІ,I 6
+—
ЕІ,
205,6 -3 2
ЕІ
- ^ ^ • - • 8 = — (-4871,2 + 4840,1)=
2
3
£ /,
2
2+
ЗМ
£ /,
31,1100% л . . 0/
ягни қателік —
— = 0,64% құраиды, ол есептеу кезіндегі жуықтауларга
4871,2
байланысты.
Жанама күш эпюрасы £) -ді июші момент эпюрасы М бойынша
тұргызамыз (111.47) өрнекті қараңыз). Жанама күштің таңбасы жогарыда
қабылданган ереже бойынша анықталады.
а) АЕ - стержені
37.6
<2л =<2е = 3 ”’" Г~ = 1 2,533 асЯ;
3
Ь) ЕҒ - стержені
98 4 - 0
Ь)
6
с) СЕ - стержені
« -5 7 кН;
= -4 0 + —
с)
40
е £ = 40 + ° " 81 3 6 = 23 кН;
с[)ҒС - стержені
= 20 + - 21^ ~-° = 16,4 кЯ;
6
0 С I -2 0 + ° - ^
6
= -23,6 кН-,
е) СВ - стержені
<2с = Яв = °
205.6
( 205- ) 168,533 кЯ;
3
/) /) £ - стержені
-1 8 4 -0
8
0
= -2 3 кН
Анықталган шамалар бойынша тұрғызылган
жанама күштер эпюрасы 0 111.55, е III.58 - сурет
суретінде көрсетілген.
Жақгаудың түйіндерін кесіп алу
тәсілімен 0 эпюрасы бойынша бойлық күштері эпюрасы іҮ - ді тұргызамыз
(Ш.59 - сурет).
I
92
а)
о) ] Г * = 0 ;
NАЕ
л
Ш I о.
2,533
Ь)
с)
Ь) У х = 0;
16,4-12.535
- 23 = 0 ;
Ме ғ =23 кН
с ) У Г = 0 ; ЫСЕ - 16,4 + 1 2,533 = 0 ;
ЖС£ =3,867 кН.
А)
е)
ға
В
9 Т Х = 0;
ЙШ -2 3 = 0;
е ) У Х = 0;
Мв а =0.
ІУГО= 2 3 кН
68.533
0
63.533+40-16.4
ШШШЖ
- 68,533 - 40 + 16,4 = 0;
Ыос =92,133 кН.
Бойлық күштер эпюрасы 111.55, / суретте көрсетілген.
III.59 - сурет
£) мен N эпюраларын тексеру бүкіл
жақтудың
тепе-тендігін
қарастырумен
шектеледі. III.56, Ь - суретте берілген жүкт.емелермен жане
эпюраларынан
алынган күштермен жүктелген жақтау көрсетілген. Егер осы жүйенің X пен У
өстеріне проекциялары нөлге тең болса, <2 мен N эпюраларының дұрыс
болганы.
Бул жагдайда
•
•
У Х = 0 ; Нс + Н о - д һ = 0; ^ Ү = 0; Үс - Ғ + Ув + Ус + Үй = 0.
Сан мәндерін қойсақ
57 + 23 - 80 = 0;
12,533 - 40 - 68,533 + 3,867 + 92,133 = 0
Сонымен берілген жақтау үшін ішкі күш әсерлерінің эпюраларын
толыгымен түргыздық және есептің шартына сәйкес олардың дұрыстыгын да
тексердік.
р
III.6 Статикалык аныкталмаган жүйелер. Орын ауыстыру әдісі
Статикалың
анықталмаган
жүйенің
кинематикалық
анықталмаган дәрежеси Орын ауыстыру әдісі. Орын
ауыстырудың эдісінің канондық теңдеулері (ОАӘКТ). Бірлік
орын ауыстырудан болган стерженьнің реакциясының кестелік
мэндері ОАӘКТ коэффиңиенттерін табу тэсілдері. ОАӘКТ
коэффициенттерін табудың дүрыстыгын тексеру. ОАӘКТ
шешімі Түзетілген этораларды түргызу. Ішкі күш эсерлерінің
ақыргы эпюраларын түргызу. Бүкіл раманың тепе-теңдігін
тексеру
Егер күш тәсіліндегідей белгісіздер ретінде, артық байланыстардагы
күпггерді емес, керісінше түйіндердегі сызықты және бұрыштық орын
ауыстыруларды қарастырсақ, кейбір жагдайларда статикалық анықталмаган
рамаларды есептеуде орын ауыстыру тәсілін қолдану есепті шешуді едәуір
оңайлатады. Орын ауыстырулардың шамасын анықтаганнан кейін қажетті
күштерді де табуга болады. Осындай әдіспен статикалық анықталмаган
есептерді шешу оры н ауы сты ру немесе деформация тәсілі деп аталады.
Раманың белгісіз ретінде қабылданатын бүрыштық орын ауыстыруы,
оның қатаң түйіндерінің бүрылу бүрыштары болып табылады. Қатаң түйін
дегеніміз кем дегенде екі стерженьнің бір-бірімен қатаң біріктірілген түйіні
(қосылысы). Егер жүйенің қандай да бір түйінінде бірнеше қатаң бекітілген
стерженьдер топтары біріктірілсе, сол түйіндегі қатаң түйіндер саны топтар
санына тең болады.
Раманың деформациялануы кезінде оның қатаң түйіндеріне біріктірілген
стерженьдердің осы түйінге бекітілген қималарының бүрылу бұрыштары бірбіріне тең болады. Сондықтан белгісіз бүрылу бұрыштарының саны, раманың
тірекке бекітілмеген қатаң түйіндерінің санына тең.
Белгісіз сызықты орын ауыстырулардың санын анықтаган кезде
стерженьдердің деформациясына бойлық және көлденең күштердің әсерін
ескермеуге болады, себебі рамаларда осы күштердің әсерінен туындайтын орын
ауыстырулар өте мардымсыз болады.
III.60, а
суретте
горизонталь
күштің
әсерінен
раманың
деформациялануы көрсетілген. Иілу деформациясымен салыстырганда бойлық
деформациялар шексіз кіші шама болгандықтан раманың барлық түйіні
горизонталь багытта бірдей, бірақ белгісіз д-шамасына орын ауыстырады деуге
болады. Ал суреттен көрініп тұрганындай түйіндердің белгісіз бұрыштық орын
ауыстырулары төртке тең. Сонымен осы раманың орын ауыстыру тәсілімен
есептегендегі белгісіздер саны тең болады.
п = пС
о
94
(111.48)
мукдағы пс 1 сызықтық орын ауыстырулар саны; пй = 4 —бұрыштық орын
ауыстырулар саны.
Сонымен белгісіздердің жалпы саны беске тең болды.
Белгісіз сызыкты деформациялардың санын анықтау үшін барлық аралық
түйіндер мен қатаң бекітпелерге толық топсалар енгіземіз де жүйе геметриялық
өзгермейтіндей болу үшін неше байланыс қажет екенін анықтаймыз (111.60, Ъ сурет). Осы байланыстар саны белгісіз сызықты орын ауыстырулар санына тең
болады.
Ь)
ІІІ.60 - сурет.
Күш тәсіліндегідей орын ауыстыру тәсілінде де берілген статикапық
анықтапмаган жүйені статикапық анықтапган негізгі жүйеге келтіріп алады,
бірақ бұл жерде күш тәсіліндегідей артық байланыстарды алып тастаудың
орнына, керісінше түйіндердің сызықтық және бұрыштық деформацияларын
шектейтін қосымша байланыстар енгізіледі. Бұл қосымша байланыстар
орнатылганнан кейін рама қарапайым бір немесе екі ұшынан қатаң бекітілген
арқалықтар жыйынтыгына айнапады, ал олардың шешімі алдын ала белгілі
және кестелерге (ІІІ.З - кесте) енгізіліп қойылады. Негізгі жүйені берілген
жүйеге эквивалентті ету үшін оның түйіндеріне қосымша қойылган
байланыстар багытымен сызықты және бұрыштық орын ауыстырулар береді.
Енді негізгі жүйедегі осы белгісіз орын ауыстыруларды, қосымша енгізілген
байланыстарда реактивті к\'ш пен моменттер болмайтындай етіп таңдайды
(есептеп табады), себебі ол күш факторлары бастапқы жүйеде жоқ болатын.
Түйінге енгізілетін қатаң бекітпе тек бұрыштық қозгалысты шектейді де
түйіннің сызыктық орын ауыстыруына кедергі жасамайтынын ескерту кажет.
М\ ндай оайланыс гарда тек реактивті момент т\ъіндаГіды.
Орын ауыстыру тәсілінің канондық теңдеуі. Орын ауыстыру тәсілі,
бұрыштық қозгалысты шектейтін қосымша байланыста реактивті моменттің
және сызықты қозғалысты шектейтін қосымша байланыста күштің
теңдеулер
сызыкты
болады.
_____ 111,3 - кесте
Жүктелу схемасы
М„ эторі,
реакциялары
және тірек Анықгауышөрнектері
________
Щ Ш а бұлжердегі
һ -қиманыңбиікпп.
3 £Уа(Д/)
96
III.3 —кестенің жалғасы.
Жүктел/ схемасы
Ми эпюрі, жэне
реакциялары
5
г|1
тірек Анықтауыш өрнектері
Щ-тгх2Л ;
м „ = -т?2ХҒІ;
мс = 2т)гХгҒІ\
Л,=дг 20 + 2 п)Ғ;
Кв =г,Ч\ + 2х)Ғ.
ВІ
Ч""- ►« *
>
/
----+1
«-- —
Ч
ш
12
1
яі
Ш
24
4Е£
I
2К/
Ма =
<
Р
л\
I
р 1> =-7Г<Рл
6К/
Ш
I
ш
-тг-Л = ------ ш;
- М А=МВ
=
ІА
-і—
'л
һ
ВІ
М
Мв
/
12£У
/
I
12£У
Д = — |— у /
г
Щ
5
л
"
1
2Һ
бұлжердегі
й-қиманыцбиіктігі.
1
Д.4 =
= ®
Мысал ретінде III.61, а - суретте көрсетілген раманың канондық теңдеуін
құрастырайық. Бұл жүйенің негізгі жүйесі ретінде 111.61, Ь - суретте
кескінделген схеманы аламыз, ол 1 -түйінге орнатылған тірек стержені және 2 түйінге қойылған қатаң бекітпе арқылы алынған. Ал III, с - суретте берілген
жүйеге эквивалентті жүйе корсетілген, яғни бүл жүйеде бірінші түйін 2 Х, ал
екіншітүйін 2 2 қозғалыстар жасай алады.
Негізгі жүйедегі 1-ші түйінге енгізілген стерженьдегі туындайтын күшті
келесі түрде жазуға болады.
(111*48)
97
мүндағы Л,, - бірінші топсаға орнатылған стерженьдегі 2 ,тең орын ауыстыру
эсерінен туындайтын күш; Я12 - бірінші топсаға орнатылған стерженьдегі
екінші түйіннің 2 2 теч бүрылуынан туындайтын күш; К\Р- бірінші топсаға
орнатылған стерженьдегі сыртқы күштердің әсерінен туындайтын күш.
Теңдеуге кіретін күштердің индекісіндегі екінші цифр осы күштің қандай
әсердің себебінен туындайтынын көрсетеді.
Ь)
а)
1
2
1_
2
с)
2
5ҒІ
32
1)
е)
6 ЕІ.
I2 '
III.61 -сурет
98
/?,, және Л,2 күштеріи келесі түрде жазайық
және
^12 ~ ^ 2 ГІ2
Ки = 2 .гп;
і - бірінші стерженьдегі 2Г, = 1см. орын ауыстыруға сәйкес
Мүндағы
күш; /*12-сол стерженьдегі екінші түйіннің 2 2 = 1 рад. бұрылу бұрышына сәйкес
күш.
Шын мәнінде бірінші стерженьдегі күш нөлге тең болгандықтан келесі
теңдеуді аламыз
К\ —2\Ги # 2 гГ\2 + К\р —0
(111.49)
Енді дәл осылай етіп реактивті моментті Щ деп белгілесек келесі
теңдеуді жаза аламыз.
/?2=2\Г2\ +2 2г12 + К2Р = 0
(111.50)
мүндагы *2 Г бірінші топсаның 2 { =1 см. орын ауыстыруына сәйкес келетін
екінші түйіндегі реактивті момент;
екінші түйіндегі сол түйіннің 2 2 = 1 рад.
бүрылу деформациясына сәйкес реактивті момент; К2Р - екіші түйіндегі сыртқы
күштер әсерінен туындайтын реактивті момент.
Жалпы, егер белгісіз орын ауыстырулардың саны п —ге тең болса орын
ауыстыру тәсілінің канонды теңдеуін келесі түрде жазуға болады.
і
Г\\2\ + гх22 2 + “*+ Г\п^п + К\р =0;
г2\2\ + г222 2 + . . . +
г2п2 п + ^гр =
Гп \2 \ + гп г 2 2 ♦ - І Гппг п + К
р
(111.51)
= 1
Канондык теңдеудің бос мүшелері
жүктеме
2Р
пР
реакциялары деп аталады.
(111.51) теңдеулер жүйесін матрица түрінде былай жазуға болады.
К2 + КР = 0.
(111.52)
Мүндағы:
г2\ /
• ••
/ I//
• • •
п2и
***
-
канонды
• • •
Гші
с имметри ял ы матри цас ы;
Ш
П,2
• • •
99
теңдеулердің
коэффициенттерінің
2і
2=
2
белгісіз орын ауыстырулардың багана матрицасы;
2п
КР =
кIр
я2 Р
- күштер реакциясының багана матрицасы.
япР
Белгісіз орын
анықтауға болады.
ауыстыруларды
келесі
2 = -К~1КР *
матрицалық теңдеу
түрінде
(ПІ.53)
мұндағы К 1 —кері матрица.
Канонды теңдеулердің коэффициенттері мен бос мүшелерін анықтау.
Канонды теңдеулердің коэффициенттерін анықтаудың екі тәсілі бар:
1 ) статикалық, ол статиканың тепе-теңдік теңдеулерін қолдануға
негізделген;
2 ) жүмыстың өзаралығы теоремасына негізделген жаппы тәсіл.
Статикалық тәсіл тағандары (стойкасы) вертикал рамалар үшін қолдануға өте
қарапайым әрі орындауга жеңіл эдіс болып табылады. Бұл әдісті пайдапанғанда
шешілген есептің қорытындысын тексеру өте оңай болып келеді. Бірақ
тағандары (стойкасы) көлбеу орналасқан рамалар үшін, тағандардағы бойлық
күштердің тепе-теңдік теңдеулеріне қосылып кететіндігінен, бұл тәсілді
қолдану күрделеніп кетеді, сондықтан мұндай рамаларды шешуге жалпы
тәсілді қолданған ыңғайлы болады. Жалпы тәсілді қолданғанда канонды
теңдеулердің коэффициенттерін анықтау сәйкес эпюрлерді көбейту арқылы
орындалады.
‘ і Г
і
Статикалыц тэсіл. Канонды теңдеулердің коэффициенттерін осы тәсіл
бойынша анықтау үшін алдымен негізгі жүйеде, раманың стерженьдерінде
сыртқы күштердің 111.619 сі - суретте көрсетілген жэне раманың түйіндеріндегі
бірлік орын ауыстырулар
= Ісм. және 2 г = Ірад. әсерінен туындайтын июші
моменттердің 111.61, е, / - суреттерде көрсетілген, эпюрлері тұргызылады. Бұл
эпюрлерді тұрғызу үшін III.3 - кестеде келтірілген екі ұшы қатаң және бір ұшы
қатаң, ал екінші ұшы топсалы бекітілген арқалықтар үшін тұргызылған дайын
эпюрлер пайдаланылады.
100
Канонды теңдеулердің (III.51 - теңдеу) коэффициенттері өзіміз 1 —ші
топсаға енгізген стерженьдегі реактивті күш ретінде, раманың кесіп алган
бөлігілдегі күштердің тепе-теңдік теңдеулерінен анықталады. Раманың тіректен
ажыраіылып, сыртқы күштер және тірек реакциялары арқылы жүктелген
кескіні Ш.62, а —суретте көрсетілген. Ал бірлік орын ауыстырулар әсерінен
болатын тірек реакциялары III.62, Ь және 111.62, с —суреттерде көрсетілген.
с) Гу2
<*)
12 ЕІ2
/
3
2 ЕІ
1
6 ЕІ
12
III.62 - сурет
Көлденең күштердің мәндері раманың сәйкес тагандарының (стойкалары)
тірек реакцияларына тең, олар ІІІ.З - кестеден анықталады.
Енді барлық күштердің, III. 62, а - суреттен, горизонталь өске
проекцияларының қосындысы нөлге тең болатын шарттан
п ғ + -----Ш 2Ғ
Ш=
К\Р —----16
2
13Ғ
16
болатынын, 111.61, е - суреттен және III.3 — кестеден, III.62, Ь - суреттегі
раманың бөлігінің теңдеуінен
п11
3Е Л 2
/
12 ЕІг
3
/
15 ЕІ
з
I
болатынын, және III.62, с - суреттегі күштердің теңдеуінен
6 ЕІ„
12
ш
болатынын табамыз.
Екінші канонды теңдеудің коэффициенттерін табу үшін, олар қатаң
бекіту қойылган түйіндегі реактивті моменттер болып табылады, бекітілген
түйіннің тепе-теңдігін карастырамыз.
101
Ол үшін 111.61, сі - суретті және 111.63, а - суретіндегі түйіннің тепе-теңдік
теңдеуінен
ҒІ
Ғ1
Я2Р +
0 ; К 2Р
Ум
8
8
болатынын, дәл осылай II 1.61, е және III.62, с - суреттеріне сүйене отырып
Ум
6ЕІ
21
/
6 ЕІ
0;
2
2!
/
2
болатынын, соңында 111.61,/'және III.62, с - суреттеріне сүйене отырып
4 ЕІ
Ум
I
+
ЪЕІ
ІЕ І
0;
I
22
I
болатынын табамыз.
Канонды теңдеулердің коэффициенттерінің таңі
реактивті күш пен моменттердің бағыты біз таңдап
ауыстырулардың бағытына бағыттас болса.
с)
Ь)
а)
болады егер,
белгісіз орын
ЪЕІ.
I
Я
6ЕІ.
АЕІ.
8
12
I
III .63 - сурет
Табылған коэффициенттерді (111.49) және (111.50) өрнектерге қоя отырып
канонды теңдеулер жүйесін аламыз.
15И . ,
~~Р
6£ / ,
13
16
6 ЕІ. _
7 £ /. _ . ҒІ
^г.+— -2 ,+ — = о
8
/
Бұл теңдеулер жүйесінің шешімі келесі мәндерді береді:
102
£
2
г
1 ~ 1104 Е Іг ’
= 1
2 ” 23 ЕІг '
—
Табылган белгісіздердің мәндерін М| және М^ моменттерінің эпюрлеріне
көбейтіп сәйкес ординаталарын жүктеме эпюрінің ординаталарына қосу
арқылы 111.64 ~ суреттегі июші моменттің қорытынды эпюрі түргызылган.
Ординаталарды қосу келесі өрнек арқылы орындалады.
АГ* = М ,2 Х+ М 72 2 + М ғ
(111.54)
144
—— ҒІ
16-69
16-69
516
ҒІ
16-69
111.64 - сурет
111.64 - суреттегі түргызылган июші моменттің эпюркнхң дүрыстыгын
қатаң байланыс орнатқан 2 - ші түйінге тірелетін 1-2 және 2-3 стерженьдердегі
моменттердің бір-біріне теңдігі көрсетеді, яғни
К2 + - Ғ 1 - — Ғ1 = 0
2 23
23
себебі К2 = 0 .
Бүдан өзге, түргызылган июші моменттің эпюрінің дүрыстыгын кәдімгі
күш тәсілі бойынша тагыда тексеруге болады. Ол үшін негізгі статикалық
анықталган жүйеге алдын-ала деформадиясы нөлге тең бағытқа бірлік күш
түсіріледі де оның эпюрі түрғызылады, ол 111.65 - суретте көрсетілген. Бүл
жағдайдағы тексеру қорытынды июші моменттің эпюрін бірлік күш эпюріне
көбейту болып табылады, егер есеп дүрыс шешілген болса, оның қорытындысы
нөлге тең болуы керек.
Ж(ілпы тэсіи Мысал ретінде III.66 , а - суретте кескінделген жүк
көтергіш кранның рама тәріздес қүрылымын қарастырайық. Қабылданған
эквивалентті жүйе II 1 .66 , һ - суретте келтірілген.
103
ғ
1I \
Ъ)
г / і9
ІІІІ
■
Ғ
2/
11
I
7
22
гЧ
А
к> 2 ;
і
РЪ
35
2 £7
і&
А
1
4 КІ
/
1
Л
2ЕІ
II 1.66 - сурет
104
2К І
Егер негізгі жүйедегі М 3 эпюра шамасы 2 3 = 1 бұрыштық қозгапыстан
орын алган болса III.66 , с - сурет, ал М 5 эпюра шамасы Щ = 1 бұрыштық
қозгалыс әсерінен туындайды 111 .66 , сі - сурет.
Үыінші бірлік орын ауыстырудан, 111.66, Ь - сурет, туындайтын
күштердіі\ бесінші орын ауыстырулардагы, 111 .66 , с - сурет, жасаған жұмысы
келесі өрнеклен анықталады.
^ 35
Г 53 11 і
мүндағы /53 - бүрыіьтық қозғалыстың 2.5 = 1 , бағытындағы үшінші орын
ауыстырудан туындайтын реакция күші.
Атқарылған жұмыстың өзаралығы теоремасына сай бесінші орын
ауыстырудан, III.66 , с - сурет, туындайтын күштердің үшінші орын
ауыстырулардағы, III.66 , Ъ- сурет, жасаған жұмысына тең болады.
Сыртқы күштердің жұмысы ішкі күш факторларының жұмысына тең
болатындықтан, оны келесі өрнекпен есептеуге болады.
мұндагы
және М 3 бірлік орын ауыстырулар 7.5 = 1 және 2.3 = 1 әсерінен
туындайтын июші моменттердің аналитикалық өрнектері, интегралдарды қосу
барлық арапықтар үшін атқарылады.
Ал Т35 = II53 болатындықтан
(III.55)
Дәл осылай етіп
(III.56)
Осы өрнектердегі қосындынын астындағы интегралдарды раманың
тікбұрышты аралықтары үшін ЕІ: = сопзі- тұрақты болгандықтан, Верещагин
тэсілі бойынша эпюрлерді көбейту арқылы есептейміз.
Енді (ІИ.55) және (III.56) өрнектерді салыстыра отырып тірек
реакцияларының озаралығынан келесі теңдікті аламыз.
105
Г53 "
35 •
(Ш.57)
Бұл өрнекті, канонды теңдеулердің коэффициенттерін, статикалық \
тәсілмен анықтаған кезде де қолданған ыңғайлы болады.
і
Мысал ретінде (111.57) өрнектегі коэффициентті анықтайық.
М 5 және М 3 бірлік орын ауыстырулар 2 5 = 1 және
2 3 = 1 әсерінен
туындайтын июші моменттердің эпюрлері III.66 , с, 4 - суреттерде көрсетілген.
Бұл қорытындыны статикалық тәсілді қолданыпта алуға болады 111.66, е
сурет.
г\\у
коэффициенттерін табу үшін, әрбір бірлік орын
аустырулардан туындайтын июші моменттер эпюрлерін өзін-өзіне көбейту
керек.
'Щ
Енді сыртқы күштерден туындайтын реакцияларды анықтайық. Жүйенің
екі түрлі, мысалы сыртқы күштер әсерінен, 1 1 1 .6 6 , / - сурет, жэне 2 3 = 1
әсерінен 1 1 1 .66 , с - сурет, жүктелген жағдайларын қарастырайық.
Ғ сыртқы күштер әсерінен туындайтын күштердің үшінші 2^= 1 орьш
ауыстыру бағытында жасаған жұмысы тең болады.
Тғ з —Ғ б ғъ + ЯҒ2 •1
I
I
I
1
(ІН-58)
Ал үшінші орын ауыстыру
= 1 әсерінен туындайтын күштердің сыртқы 1
күштер әсерінен туындайтын орын ауыстырулардағы жұмысы нөлге тең |
болады, себебі бұл жағдайда сыртқы күш ретінде тірек реакциялары болып
отыр. Сондықтан,
I
(III.59)
жалпы түрде.
і
Бүл жердегі 3 Ғп —негізгі статикапық анықталмаган жүйеденің 2^=1
орын ауыстыру арқылы жүктегендегі Ғ күшінің бағытындағы орын ауыстыруы.
Егер (111.59) - өрнектегі Ғ = 1 десек
(111.60)
106
сипаттаитын
врнек.
8 Ғп орын ауыстыруының мэнін Мор тәсілімен есептеуге
Мр
болады. Ол үшін раманың, барлық артық байланыстарын, оның ішінде
реакциясы анықталатын байланысты, алып тастау арқылы алынган статикалық
анықталган схемасының біріне, орын ауыстыру анықталатын нүктеге және
оның бағыты бойынша бірлік күш түсіреміз. Раманың осылай жүктелуі III.66 , §
/
і - деп
- суретте кескінделген және ол жүктелудің июші моментін
беягілейміз.
Олай болса
м
8 Ғп
Е /"
,и. ■
1
(111.61)
к/
Осы алынган мәнді (III.58) өрнекке қоя отырып
к пҒ
ғү, \м[ -М"‘к
(III.62)
Ю
Енді Ғ күшін интегралдың астына түсірсек және
п кепесі
ыз
ескеріп
келесі впнекті
өрнекті алам
аламыз
К пҒ
ҒМ^
м!ғ
екенін
М ғ‘ с18
м
П
іі
(1 1 1 .6 3 )
ю
мүндағы М ғ - сыртқы күш Ғ әсерінен туындайтын июші моменттің эпюрінің
ординатасы.
Сонымен сыртқы күш Ғәсерінен туындайтын, п —ші бірлік орын
ауыстыру бағытындағы реакцияларды табу үшін, сыртқы күш Ғ әсерінен
туындайтын июші моменттің эпюрін, п -ш і бірлік орын ауыстыру әсерінен
туындайтын июші моментке көбейту керек жэне алынған мәнінің алдындағы
таңбасын керіге ауыстыру керек.
Мысал ретінде III.66 , а - суретте көрсетілген раманың Кзғ реакциясын
есептейік.
Язғ
1 (Ғ І . Ш
—
ЕІЛ 4
/
—
|
Ж
/.
4
— . /. ——
1 ҒІ
і
П
1 Г
2ЕІ.
2І
/
----------------------------------
/ 2
4
/ /
ЕІI 4
4
ЕІ. Л
Ғ[
І I
8
Мүндай корытындыны, үшінші түйіннің тепе-теңдігін қарастырып,
статикалык тәсілмен есептегенде - де алуга болатын еді 111 .66 , / - сурет.
107
суретте
Сыртқы күштер әсерінен туындайтын ішкі күш факторларының эпюрлерін
тұрғызу керек.
2
1
Ғ= 32 кН
12ЕҺ 9ЕІ
0 = 1 2 кН/м
1=бм
III.67 - сурет
Шеіиуі: К
бірге тең, яғни
геометриялық
жүиені
ету үшін бір тірек стерженін енгізуіміз керек. III.68 , Ъ- сурет, яғни пс = 1.
Ъ)
тп
111.68 - сурет
Олай болса
п = пи+ пд = 1+ 1 = 2, яғни жүйенің кинематикалық
анықталмағандық дәрежесі екіге тең.
1
Негізгі жүйені таңдау кезінде 1 -ш і қатаң түйінге оның бұрылу бұрышын
тежейтін қатаң бекіту енгіземіз, ал 1 —ші және 2 —ші тұйіндердің горизонталь
бағыттағы сызықтық орын ауыстыруын тежейтін тірек стерженін енгіземіз
кинематикалық
жүйенщ
саны
байланыстардың
Енгізілген
анықтапмағандық дәрежесіне тең. Таңдалып алынған негізгі жүйе
кинематикалық анықталған жүйе, яғни оның барлық түйіндерінің орын
ауыстырулары белгілі (олар нөлге тең).
Енгізілген байланыстардағы барлық әсерлерден туындайтын тірек
реакцияларының қосындысы нөлге тең болуы керек деген шарттан орын
ауыстыру тәсілінің канонды теңдеуін жаза аламыз.
12
ія-)\2\ +
2
IА
ғ —0
108
Бұг теңдеудегі белгісіздер: 2Г/ —бірінші түйіннің бұрылу бү.рышы; 7%
(1-2) беларқаның горизонталь багытта орын ауыстыруы.
111.69 - сурет
Канонды теңдеулердің коэффициенттері мен бос мүшелерін табу үшін,
негізгі жүйеде М /(/ = 1 —
бірлік орын ауыстырулар және
сыртқы
күштер әсерінен туындайтын июші моменттердің эпюрлерін, 3 —ші кестенің
көмегімен түргызып аламыз, олар III.70, а, Ь, және с суреттерде көрсетілген.
2)
мғ
III.70 - сурет
Теңдеулер жүйесінің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін және бос
мүшелерін табу үшін 1 - ші түйінді бөліп алып және оған сәйкес келетін
қималардагы июші моменттердің мәндерін көрсетеміз III.71 - сурет.
а)
Ь)
с)
111.71 - сурет
ІШ
Бөлініп алынған 1 - ші түйіншң тепе-теңдігінен статиканың теңдеулерін
түзу арқылы бірінші канонды теңдеудің коэффициенттерін және бос мүшелерін
табамыз.
г„ - 1 2 £ / ~ 6 £ / = 0 ; ги = 1 8 Ш
гп + 6 К / = 0;
КІҒ - 9 + 36 = 0;
ги = —вК І
Я]Ғ = - 2 7
Горизонталь багыттағы орын ауыстыруды тежеуге арнапған стерженьдегі,
яғни 2 2 - нің бағытындағы күштерді табу үшін раманы барлық тіректерінен
ажыратып, олардың әсерін тірек реакцияларымен алмастырамыз II 1.72 - сурет.
Бұл жерде тағыда 3 —ші кестедегі дайын мәндерді пайдапанамыз.
2, = 1
к 2Ғ
а)
Г ш”_
•«----3-9 £ /
һу
12-9 К І АРГ
-----1— = 4 £7
Һ
К7
18
III.72 - сурет
III.72, а, Ь және с суреттердегі рамалардың әрбір желісі үшін статиканың
теңдеуін жеке-жеке, барлық күштердің горизонталь өске проекциялары нөлге
тең теңдеулері ретінде жазып, олардан екінші канонды теңдеудің
коэффициенттері мен бос мүшесін табамыз.
И
Ц
ғ гср=0,
г2, + 6 £ / = 0 ;
г22 - 4 Ш р Ш Щ Щ г22 = Щ
гг І = - 6 Е / ,
. К2Ғ + 3 6 - 1 8 = 0;
I
Л2 Ғ = - 1 8
Табылған коэффициенттер мен бос мүшелерді канонды теңдеудегі
орындарына қоя отырып, келесі теңдеулер жүйесін аламыз.
27
1 8 2 . - 6 2 , ------ = 0;
1
2
£
/
- 6 2 . + 5 2 , - — = 0.
1
- т
110
Ёкініш тендеудщ барлык мүшелерін 1,2 коэффициентіне көбейтіп
белгісізінің алдындағы коэффициентін теңестіреміз, сосын екі теңдеуді
біріне косу арқылы 2 \ - ді есептеп табамыз, яғни.
10,82, - і М = о
осыдан
45
г і= —
;
ШШ
9
г 22= —
Щ
Теңдеудің шешімінің дүрыстығын тексеру:
1 8 . М _ 6 . А ^ 2 7 = 1 1 _ І 1 = о£/
ы
ы
ш
ы
, 4,5
9
18
45
45
_
—6 *
Һ5
=
1
= 0.
КІ
К / КІ
КІ к /
Енді берілген жүйедегі қорытынды (толық) июші моменттердің эпюрін
келесі формуланы қолдану арқылы түрғызуга болады.
щк
X:'
М ,2 /(і = 1 —2) - бірлік орын ауыстьфулар осерінен туындаған июші
моменттердің табылған сәйкес орын ауыстыруларға көбейтіндісі, яғни
түзетілген эпюрлер. Осындай түзетілген эпюрлер мен қорытынды июші
моменттердің эпюрлері 111,73 - суретте көрсетілген.
54
III.73 - сурет
Қорытынды июші момснттің эпюрінің дүрыстыгын тексеру келесі түрде
• •
жүрпзіледі:
статикалық тексеру, жүйенің түйіндері оган түсіп түрган моменттердің
эсерінен тепе-теңдікте болуы керек;
ПІ
Ол үшін 1 — ші түйінді жүйеден қиып алайық III.74, а - сурет. Түйінге
әсер ететін моменттердің қосындысы нөлге теңболуы керек, ягни.
= 9 -9 = 0
Хі^І/3
ДС|=1/3
1
<*)
9
111.74 - сурет
кинематикалық тексеру, берілген жүйеде Х\ — күші түсірілген
нүктелерінің салыстырмалы орын ауыстырулары нөлге тең болуы керек. Ол
таңдап
х\=\/3 әсерінен туындайтын июші моменттің М
сол жүйеде
түрғызамыз.
С
Енді М і және Мтол. эпюрлерін көбейтеміз
9 Е М іғ
'27-3^3
V
2
,
(2
-•1 +
2
13
36-3^2
12-9-3^ 1
8
2-1
\
2
3
■1
93
N
1
•
2
1
з
3 ,3 7 5 -3 ,3 7 5 = 0 .
Июші моменттің қорытынды эпюрін пайдаланып, берілген жүйедегі
көлденең күштер мен бойлық күштердің эпюрлерін тұрғызамыз. Олардың
мәнін анықтау күш тәсіліндегідей әдіспен есептеледі. Ягни:
2
2 — 0 - болганда 0 Й { =
3
27 кН;
2 = 3 м болса, 0 Л_| = 27 - 36 = - 9 кН.
= 17.5кН ;
б ,.,
112
-43,5
= -14,5кН;
3
0 , . й = — = 9кН.
Осы мәндер бойынша тұрғызылған көлденең күштер эпюрі 111.75, а суретге көрсетілген.
Ь)
ПІ.75 - сурет
Бойлық күштің эпюрін түрғызу үшін июші момент пен көлденең күштің
түрғызылған эпюрін пайдаланамыз. Ол үшін көлденең күштің эпюріндеғі 1 - ші
және 2 - ші түйіндерді қиып аламыз 111.76, а, Ь - суреттер.
й)
\, МІК
Ь)
111.76 - сурет
Бірінші түйіннің тепе-теңдігінен, III.76, а —сурет, күштерді горизонталь
өске проекциялап:
болатынын, осыдан
= - 9 кН.
Күштерді вертикаль өске проекциялап
Щ
-
1
7
,
5
=
0
;
Л
Г
ы
=
-
1
7
, 5
к
Н
.
Екінші топсапы түйіннің тепе-теңдігінен, III.76, Ь - сурет, күштерді
горизонтапь өске проекциялап:
-
9
=
0
;
/
У
2 А .
в
-
9
к
Н
.
Күштерді вертикаль еске проекциялап:
І
М
ч ч
-14,5 = 0;
Л ^ ,= -14,5к Н
Алынган мәндер бойынша тұрғызылған бойлық күш гердің эшорі III.76, Ь
- суретте көрсетілген.
Берілген жүйедегі түрғызылған барлық ( М тол,
ІУ) эпюрлердің
дұрыстығьш тексеру үшін, раманы барлық тіректерінен босатып, олардың
рамаға әсерін тірек реакцияларымен алмастырамыз, ал тірек реакциялары өз
кезегінде түрғызылған эпюрлерден алынады III.77 —сурет.
Ш.77 - сурет
Енді берілген жүйедегі барлық тепе-теңдік теңдеулерін қүрып олардың
орындалатынына көз жеткіземіз.
3 6 - 2 7 - 9 = 0;
1 7 , 5 - 3 2 + 14,5 = 0;
+ 3 6 - 3 2 - 3 + 2 7 - 3 6 - 1 , 5 + 14, 5- 6 = 0.
Бұл берілген жүйедегі
тұрғызылгандығын көрсетеді.
барлық
114
ішкі
күштердің
эпюрлері
дұрыс
ІІІ.7 Үш т о п с а л ы ж үйелер. А р к а л а р мен р а м а л а р
Жалпы түсініктер.
Үш топсалы аркалардагы тірек
реакцияларын анықтау. Аркадагы ішкі куштерді анықтау* Үш
топсалы рамалардагы тірек реакцияларын анықтау. Үш
топсалы рамалардагы ішкі күштерді анықтау
ф
Жалпы түсініктер. Үш топсалы жүйелер деп бір-бірімен және жермен
топсалар арқылы байланысқан екі дискіден тұратын статикалық анықталған
жүйені айтады. Осындай жүйелердің қарапайым түрлері 111.78, а9Ь - суреттерде
көрсетілген.
Ь)
в
III. 78 - сурет
Егер «С» топсасы, А-В тірек топсаларынан жоғары орналасса аркалы
III.78, а - сурет, ап төмен орналасса III.78, Ь - сурет, аспалы үш топсалы
жүйелер деп аталады.
Үш топсалы жүйелер геометриялық өзгермейтін жүйелер болып
табылады, себебі жетіспей тұрған үшінші дискінің орнын, Д\ және Д2
дискілерін біріктіріп тұрған тіректер атқарады. Егер Д\ және Д 2 дискілері қисық
өсті стерженьдер болса, онда олар үш топсалы аркалар болып 111.79, а - сурет,
ал Д\ және Д 2 дискілері түзу немесе сынық стерженьдер болса 111.79, Ь - сурет,
олар үш топсалы рамалар болып атапады.
III.79 - сурет
V
1 15
Егер дискілер ферма тәрізді болса, ол үш топсалы фермалы арка деп
аталады III.80, а - сурет. Екі тірек топсаларының арасы арканың үзындыгы
(пролет) деп, ал «С» топсасынан тірек топсаларын қосатын түзуге дейінгі
аралық / - көтерілу стреласы деп аталады III.80, Ъ - сурет.
Үш топсалы жүйелер симметриялы немесе ассимметриялы болып келеді.
Симметриялы жүйелерде ортадагы топса «С» жүйенің симмегрия өсінде, ал
тірек топсалары бір деңгейде орналасады. Ассимметриялы жүйелердің тірек
топсалары әр түрлі деңгейде орналасуы мүмкін III.80, Ъ - сурет.
°)
Д\
С
Дг
111.80 - сурет
■-
Үш топсалы жүйенің Ял жэне Яв тірек реакциялары екі қүраушыларыиан
түрады, мысалы 111.81, а - суретте көрсетілген аркада тірек реакциялары төрт
параметрмен, ягни НА, Н&, Ул және Ув қүраушыларымен сипатталады.
Бүл белгісіз тірек реакциялары статиканың тепе-теңдік үш теңдеуі
арқылы және «С» топсасының айнапасындагы оң жақ немесе сол бөліктегі
күштердің моменттерінің қосындысы нөлге тең болатын теңдеуін пайдаланып
анықтаймыз. Сондықтан үш топсалы жүйелерде белгісіз төрт тірек
қүраушылары болганымен есеп статикапық анықтапган болып табылады.
Сыртқы күштер вертикаль багытта әсер етсе де үш топсалы жүйелердің
тірек реакциялары Кл және Кв көлбеу орнапасады, ягни арка жагдайында III.78,
а - сурет, сыртқы вертикаль күштер де тіректерді бір-бірінен алшақтатуга, ал
аспалы жүйе жагдайында 111.78, Ъ - сурет, керісінше жақындатуга тырысады.
Сондықтан жүйеге әсер ететін вертикаль күштерден тіректерде, оларды
керетін (алшақтататын немесе жақындататын) күштердің (распорная сила)
туындауы үш топсалы жүйелердің ерекшелігі болып табылады. Осыган
байланысты үш топсалы жүйелердің тіректері горизонталь күштерді де
қабылдай алатындай етіп жасалады. Егер осы тіректерді керетін күштерді жою
керек болса, онда дискілердің арасына тартпа (затяжка) қойылады III.82 сурет.
\
III.82 —ші суретте кескінделген жүйелер үш топсалы тартпалы жүйелер
деп аталады. Егер тартпа А және В тіректер тұсына орнатылса (III.82, а - сурет)
жүйедегі ішкі күштердің шамасы өзгермейді, ап егер тартпа 111.82, Ъ суреттегідей орналасса онда оның ішкі күшерінің таралу заңдылыгы өзгереді.
Аркалы жүйелер көпірлер салуга, өндірістік және азамагтык
гимараттарды түргызуда т. с. с. колданылады.
116
III.81 -сурет
III.82- сурет
Үш топсалы аркаларды есептеу. Аркаиы
есептеу
оның
тірек
реакцияларын анықтаудан бастапады. Ол үшін 111.81, а - суреттегі жүйені
қарастырамыз. Статиканың тепе-теңдік теңдеулерін келесі ретпен жазган
ыңгайлы болады:
х > ,і —0 . осыдан
Ув - құраушысы;
осыдан
Н $ - кұраушысы;
/ , М Я - 0 , осыдан
Vл - құраушысы;
(НІ.64)
£ м - —Оэ осыдан Н А - құраушысы анықталады.
Мысал ретінде 111.81, а - суреттегі жұйенің тірек реакцияларын табайық.
Н л —күшін табу үшін сол жақ бөліктегі күштердің «С» топсасына
қарагандагы моменттерінің қосындысын нөлге теңестіреміз.
8 _ УЛI ғ,у 1 - «,)- Ц (/ - Уһ )_ м§
/
/
‘
Мұндагы М с —111.81, А - суретте көрсетілген қарапайым арқалықтын
«С» қимасындағы сол жақ бөлігіндегі күштердің июші моменті, яғни арқалы қ
моменті деп аталады.
. •
^
- күшія табу үшін оң жақ бөліктегі күштердің «С» топсасына
қарағандағы моменттерінің қосындысын нөлге теңестіреміз.
0;
Ғ 2(ь, - І і) + н в / - ү в12 = 0 ;
= ғ в/ - ғ 2( б ,- / ,) = м Г
/
/
■
Мұндағы М с — Ш.81, Ъ - суретте көрсетілген қарапайым арқалықтың
«С» қимасындағы оң жақ бөлігіндегі күштердің июші моменті.
Егер жүйеге әсер етуші сыртқы күштер вертикаль бағытта түсірілген
болса, онда тартпадағы керуші күш «С» топсасындагы ар қ ал ы қ моменгін
арканың көтерілу стреласы / -ке бөлгенге гең болады. Бұл кезде тірек
топсаларындағы горизонталь құраушы күштер бір-біріне тең және қарамақарсы бағытталған болады, яғни НА = Н в~ Н.
Тірек күштерінің дүрыс анықталғандығын тексеру үшін келесі теңдеуді
колданады: £ Ғу = 0 . Бұл жүйеге түсірілген барлық күштердің, оның ішінде
тірек реакцияларының, вертикаль өске проекцияларының қосындысы нөлге тең
болады деген теңдеу.
Егер арканың тіректері әр түрлі деңгейлерде орналасатын болса, III.83, а сурет, онда тірек реакциясының горизонталь қүраушысыньщ орнына көлбеу,
ягни екі тіректі қосатын түзу бойымен бағытталған құрушысын тапқан ыңғайлы
болады ІП.83, Ь - сурет.
т
ПІ.83 —сурет
^ в және Н {в мэндері анықталғаннан кейін а-бұры ш ы ны ң
көмегімен горизонталь жэне вертикаль тірек реакцияларын есептеп табуга
болады.
V
V I + Н ' Зіп а
V
=
V
1
үв
ү в - Н 'в 8іп а
н I І Н 'л Сох а
Н в
(111.65)
Н 'в Соз а
\
119
III. 21 - мысал. Суретте (III.84 - сурет) көрсетілген арка үшін тірек
реакцияларын табыңыз. / = 12м; Ғ =2кН; / = 4м; д = 2кнім; хғ = 3м.
Арканың өсі екінші дәрежелі параболаның келесі өрнегімен сипатталады:
III.84 - сурет
Шеіиуі: Алдымен жүйенің тірек реакцияларын УА және
ол үшін (111.64) формулаларды пайдаланамыз.
А).
У,1-й'П
У М ,= 0 ;
Ғ - = 0.
------------------ 1------------------
2 ч4
Ш3 .,Н І_І/
^ 3-144 2 12
а -1 + Ғ — 2 ------- + -----8
4 _
8
4
/
12
2
114
12
4
= 9,5 кН.
\
Б).
У Мв
0;
/ /
/
—4" — + <7
8
V4 2
/
В).
/ / п
Г
/
1
ғ --- 1--- + а ----- = 0 2 4
1
2/
3 1 2 _? 144
+
4
8
12
54
12
= 4,5 КН.
ш
Я .4. і
К .6 - Ғ З
/
2 7 -6
4
120
21
4
1 5 ,2 5 кН.
анықтаймыз,
Жүйеге түсірілген күштер вертикаль бағытта әсер ететіндіктен,
горизонталь тірек реакциялары бір-біріне тең, яғни Н А = Н В = 5,25 кН болады. *
I
Қорытындының дүрыстығын
тексеру:
Ғу -
0;
ҮА + Ү в - Ғ ~ Ч 1- = 4,5 + 9 , 5 - 2 - 2 — = 0
2
2
Тірек реакциялары дүрыс анықталды.
Ішкі күштерді есептеу. Ішкі күштерді аныкгау үшін, олардың бағыты
туралы келесі тэртіпті енгіземіз 111.85 - сурет:
V
*
+
V
+т
%
ПІ.85 —сурет
ІП.81 - суреттегі арканың ішкі күштерін анықтайық, оның қимасы 111.86 суретте көрсетілген.
111.86
- сурет
Арканың «#с» қимасында июші момент тк, бойлық N к және көлденен
()к күштер туындайды. Ол күштер кслесі теңдеулерден анықталады:
т
(111.66)
N.
0
Бүл жерде координаттар жүйесінің орны мен бағыты арканың үзындығы
бойымен өзгеріп отырады. Әдетте «II» өсі арканың қимадагы қисық өсіне
жанама, ал «V» өсі оган перпендикуляр бағытталады III.86 , а - сурет.
Статиканың теңдеулерін (111.66) жазған кезде ішкі күштердің оң бағыты
ретінде III.85 - суретте қабылданган тәртіпті пайдаланамыз, бүл жерде бойлық
күш сығушы болса, ол оң таңбамен алынады.
Сонымен қарастырылып отырган қимага мынадай теңдеулер түргызамыз:
Щ - УАх к + н аУа Щ Ш ~ аі)+Ғи ІУ к-У ғ)= Ъ
- й к +ҮЛ| й <Рк - І С°5 <Рк - р |щ <Рк~Н А8ІП<Рк 1 1
- Е 1 УЛВ <Рк - Ғіу іШ <Рк I Ғіх СОЗ | А + Н л С 0 5 фі —0.
(ІП.67)
Осы теңдеулерден ішкі күш әсерлерін есептейтін келесі теңдеулерді
аламыз
|
т к = УАх к ~ н
Ок
I |І с ° 8(Рк -
аУл
~ Ғ іУ (х к ~ а і ) “ ғ и (У* - У ғ )»
Ғ іу с о з(р к - Ғ іх 8Іп(рк - Н А 5іп<рк ;
М к = Ү А Щ <рк - Ғ іу 8ІП Щ 1 Ғ іх СО$ <Рк + Н А СОЗ (рк ,
мүндағы (рк - «к» қимасындағы арканың өсіне жанама мен горизонталь өстің
арасындағы бүрыш;
5
у ^ - арканың өсіндегі «к» қимасының координаттары;
^іх “ ^ і күшінің вертикаль және горизонталь қүраушылары; Щ , у ғ - Ғ{
күшінің түсірілген нүктесінің абциссасы мен ординатасы.
Жүйеге әсер етуші сыртқы күштер тек вертикаль багытталған болса, онда
жоғарыдағы ішкі күштердің формуласын келесі түрде ықшамдал жазуға
болады.
0
гг
т = шА—Н -у к\
(2к = б * созр* - Я з і п ^ ;
(111.68)
= б і° - з і п % +Н-С05<рк,
___
0
/Л
0
V,
.
.
.
мұндагы /и А жэне (у к қарапаиым екі тіректі арқалықтың қимасындағы
арқалы қ моменті мен ар қал ы қ көлденең күш 111.86, Ь - сурет. Арканың
қисық өсі күрделі заңдылықпен өрнектелген жағдайда ішкі күштер арканы
теңдей бөліктерге бөлу арқылы есептеледі.
Жоғарыдағы (111.66,
111.68) формулалар, арканың қисық өсі қандай
өрнекпен берілсе де, оның кез келгенқимасындағы ішкі күштерді есептеуге
мүмкіндік береді. Үш топсалы жүйелерде (111.68) - өрнектен көрініп
тұрғанындай арканың қимасындағы июші моменттер, ұзындығы бірдей және
бірдей күштермен жүктелген
қарапайым арқалықтың қимасындағы
моменттерден әрқашанда кіші болады. Егер, арканы жасағанда, оның формасын
бүкіл ұзына бойына т к - 0 болатындай етіп таңдасақ, ол арканың ең тиііиді
пішімі болып табылады. Ягни:
т
о
т
Н
о
(III.69)
Таралып әсер ететін күштерден «^» арканың ең тиімді пішімі, барлық
топсалар арқылы өтетін екінші дәрежелі парабола болып табылады 111.87 сурет.
Я
гтттггптш ш
III.87 - сурет
(/
Оның формуласы
Ук ~ Щ х \
ш ш ш ш яш ш ш ш ш ш ^
г ^ш ш я ш ш ш щ ш щ ш щ ш ш
Арканың қисық өсіне жанама мен абцисса өсінің арасындағы бұрыштың
Фк
х —қа тәуелділігін орнату үшін, арканың қисық өсінің тендеуін <ос»
дифференциалдаймыз
—
=у'
4 /
2х},
(111.70)
Осыдан сол бұрыштың келесі тригонометриялық функцияларын табамыз:
81П <рк
2 2 і_ ;
(ш.7і)
+ ' 8 9к
1
со%<рк
=
+ * 8 <Рк
(III.72)
теңцеумен
сипатгалады:
- Я+ /,
о
/
мұндағы /? =
2
I2 ; зш <рк = -------1~2х ;
8/
2 /?
қимасындагы
(111.73)
У
+
К
/
соз^ ^
/?
теңдеу
С V
координатына сәйкес келетін ішкі күштердің мәндерін есептейміз. Алынган
қорытындылар бойынша олардың эпюрлерін тұргызамыз.
111.22
- мы сал. Берілген арка үшін (III.83 - сурет) ішкі күштерді анықт
олардың эпюрін тұрғызыңыз. Бұл арканың тірек реакцияларын алдыңгы
мысалда аныктаған болатынбыз.
Шешуі: 1. Арканы теңдей 12 — арапыққа болеміз, сосын (III.70) —
формуланы пайдаланып арапықтардың шекарасына сәйкес келетін кималардың
геометриялық сипаттамаларын табамыз.
'8 <Рк = у ' = у ~ ( ! ~ 2 х \
124
= у ^ (і2 -2
0)
8ігкр0 = 0,8;
1)
^
=“
Щ<Рг = —
-( 1 2 - 2 - 1 ) = 1 , 1 1 1 ;
Соз<рг = 0,669;
р р =—
Соз<р2 = 0,747;
(1 2 ! 2 • 3) = 0,667;
8іп<Ръ = 0,555;
4)
|
1 2 - 4 ) = 0,444;
(і 2 - 3) •3 = 3,0 м.
^ 1 2 3 056; .
^= 1 2 °3 і'.
<р = 0 .
= 7 7 7 (1 2 - 2 ‘б) = 0 ,0 ;
144
5/л^ 6 = 0 ;
1 1 З З М 2 '.
Со5<р5 1 0,976; >-5 = -— (і 2 - 5) • 5 = 3,889 м.
1 0,217;
Ж
4-4/
ч
.У2 = — —(і 2 - 2) - 2 = 2,222 м
Соз<р4 = 0,914; У4 = Т Т гО 2 ~ 4) - 4 = 3,556м.
^ і = Т Т 7 О 2 - 2 - 5) = 0,222;
144
6)
4-4/
ч
у, =
- (12 - 1) • 1 = 1,222 м.
Соз<ръ = 0,832; У3 =
8іп<Рі = 0,406;
5)
= 4 8 °® !^
1 1 1 1 • Ц ! 0,889;
8іп<р2 = 0,664;
3)
= 5 3°0Ъ'.
Соз<р0 = 0,6; у 0 = ү ~ ( і 2 - 0 ) - 0 = 0 м
8іп<рх = 0,743;
2)
0)=1,333;
Со5<р6 = 1,0; л = ү ^ ( і 2 - б ) - 6 = 4 ,0 м.
7, 8 , 9, 10, 11, 12 - қималар 1, 2, 3, 4, 5, 6 - қималарга симметриилы
болады, сондықтан оларды 4 —кестеге енгіземіз.
2. Жогарыдагы қарастырган қималардагы июші момеиттер келесі (111.68)ші өрнекпен есептеледі.
ю
тк = т к - Н у к ;
0) т 0 = т° - Н •у 0 = 0 - 0 = 0
1) т , = яі,в - Н • у, = К, • л-, - Н -у, = 4,5 • 1 - 5,25 • 1,222 = -1,91 кНм
2) т , = ет? - / / • у , = V. • х , - Н • V, = 4,5 • 2 - 5,25 ■2,222 = -2,665 кНм
-• '
*•»
^
- *
‘
*
ат
—
3) тъ=т°ъ- н
у 2 =ҮА•х3 —Н ■у 3 = 4,5 •3 - 5,25 ■3,0
4) т. = т\
1 3 ) - н •І
И
3. Енді қалган қималарга, III.88
есептеп кестеге енгіземіз.
2,25 кНм
1 1 8 1 2 1 18,6691 -2,25 кНм
суреттен, а р қ ал ы қ моменттерін
д —2кН/м
Зм
1
Зм
1л
6м
1.
12м
*—
----------------------
»
III.88 - сурет
т5 ~
0
' х5
ғ ( х 5 —3) —4,5 • 5 —2 • 2 = 18,5 кНм
т/
хб
-6
тб = У А ' хб
З ) —4,5 • 6 —2 - 3 —21,0 кНм
ШІ Ц ШШМ
0
г/
8 ~~ *А ' Х%~~
0
о
т
о
т
10
№
т
4 , 5 - 7 - 2 - 4 - 2 — = 2 2 ,5 кНм
2
хц
■*9 - Ң
“
II - з ) -
= 4 , 5 - 8 - 2 - 5 - 2 - 2 = 22,0 кНм
6)2
(
з)-
Лі
2
2
2
10
У . х- і о " ^ \^0
«м = Ул х и
1
(* 7
2
1
—
811 •1 1И і 111я
2
и
2
= 4,5 • 9 - 2 • 6 —2 • 4,5 = 19,5 кНм
4 , 5 - 1 0 - 2 - 7 - 2 -8 = 1 5 , 0 ^
= 4,5 ■1 1 - 2 ■8 - 2 • 1 2 ,2 = 8,5 кНм
= 4,512-2 9 - 2
І 8 = 0 кНм
Алынган қорытынды бойынша 0,
12 қималар үшін /77? анықтап (кестедегі 7 - бағанага енгіземіз) және эшорін түрғызамыз 111.89
.
сурет. Одан кейін Ң • у к - мәндерін есептеп кестенің 1 1 бағанасына енгіземіз
де қалған 5,..., 12 | қималар үшін, (111.68) - өрнекпен, Щ ,
ГПп . мәндерін
анықгап, оларды да кестеге енгіземіз (кестедегі 14 - бағана) жэне эпюрін
тұргызамыз.
4.
Қимадағы көлденең күш
( 111 .68 ) - өрнекпен есептеледі
қорытындысы кестенщ 15-ші бағанасына енгізіледі. Ол үшін алдымен
арқалықтағы барлық 0 , ..., 12 қимапары үшін арқалы қты ң көлденең күшін
анықтауымызга тура келеді.
Ш
б
7
~ У Л ~ Ғ ~ д ( х 7 - б) = 4 , 5 - 2 - 2 -1 = 0 ,5 КН;
08° = ^ - ^ - ? ( * » - б ) = 4 , 5 - 2 - 2 - 2 = -1,5кН ;
6
9
= үл ~ ғ ~ я (х9 “ 6) = 4,5 - 2 - 2 • 3 = -3 ,5 кН;
0°о ~ У л ~ Ғ ~ ч(х \о “ б) = 4,5 - 2 - 2 • 4 = -5 ,5 КН;
й і = Кі ~ Ғ —я(х\і “ б ) = 4,5 —2 —2 • 5 = —7,5 кН;
б і 2 ~ ^ а ~ Ғ —ч(х\2 —б) = 4,5 - 2 —2 •6 = —9,5 кН;
Бұл алынган маглұматтарды да кестеге енгіземіз, кестенің 8 ~ші баганасы.
Бұдан кейін 0* - дің, Соз(рк және 8іпфк табылган мәндері бойынша 0* *Соз<рк
және Н *8іп<рк көбейтінділерін есептеп кестеге енгіземіз (сәйкес 9, 12
баганалар). Одан кейін Ц|- нің корытынды мәнін (III. 68 ) - өрнекпен есептейміз
де кестенің 15 -ш і бағанасына енгіземіз және эпюрін тұргызамыз.
а)
2кН/м
б)
Ув = 9,5 кН
Үл = 4,5кН
в)
г)
д)
е)
ж)
111.89 - сурет
128
ІІІ.4 - кесте
129
I
#1 1 0 0 • Соз<р0 - Н • «
0
1 4,5 •0,6 - 5,25 • 0 ,8 1 -1,5 кН;
Щ | § | • Со8<рх - Н ■8іп<рх 1 4,5 • 0,669 - 5,25 • 0,743 = -0 ,8 9 кН;
н
Дэл осылай етіп қалған барлық қималар үшін есептейміз. Кестенің 15 ші бағанасының мәндері бойынша й В нің эпюрін түрғызамыз.
5. Қимадағы бойлық күштер (111.68) - ші өрнекпен есептелінеді.
N к = (2І • 8іп<рк + Н • Соз(р к.
Бүл өрнекті пайдалану үшін, алдымен барлық 12 қимаға
0 к *8іп<рк
және Н *Со8 <рк көбейтінділерін есептеп, кестеге енгізіп аламыз (сәйкес 9 , 13
бағаналар).
|
N. = 0 О
° • 8іп<р0 + Н -Соя<р0 = 4,5 • 0,8 + 5,25 ■0,6 = 6 ,7 5 КН;
■8іп<рх + Н • Соз<рх = 4,5 • 0,743 + 5,25 • 0,669 = 6,85 кН;
Ы2 = 0>\ • 8іп<рг + Н • Соз<р2 = 4,5 • 0,664 + 5,25 • 0,747 = 6,91КН;
Дэл осылай етіп қалған барлық қималар үшін есептейміз. Кестенің 16 шы бағанасының мәндері бойынша N к-~ нің эпюрін түрғызамыз.
Ішкі күштердің арасындағы дифференциалды байланысты және осы
байланыстан туындайтын салдарын пайдаланып, ішкі күштердің тұрғызылған
эпюрлерінің дұрыстығын тексереміз.
Эпюрден көрініп тұрғанындай 2-3 және 3-4 қималар арасында, сол сияқты
9 - шы қимада көлденең күш нөлге тең, сондықтан июші моменттің мәндері
осы қималарда экстремумдарына жетеді. Ғ —күшінің түсірілген қимасында
көлденең күш пен бойлық күштердің қимасында күрт өзгерістер (секірістер), ал
июші моменттің эпюріне жүргізілген жанаманың
багытының өзгеруі
байқалады.
Көлденең күштің эпюріндегі күрт өзгерістің шамасы тең:
0,831 +0 , 8 3 4 = 1,665кН.
Бұл Ғ - күшінің V - өсіне проекциясының мэніне тең.
Ғу = Ғ •Соз<р. = 2 • 0,832 = 1,664 КН.
130
Сол сияқты бойлы қ күштің эпюріндегі секіріс тең:
6,866-5,756 = 1,1 ІкН.
Бүл Ғ - күшінің V - өсіне проекциясының мәніне тең.
Ғи = Ғ - 5іп<рз = 2 • 0,555 = 1,11 кН.
Демек ішкі күштердің эпюрлері дүрыс түргызылган.
Арканың беріктігі оның қимасында туындайтын барлық ішкі күштердің
әсерін ескере отырып есептеледі.
V
131
III. 8 Ж азы қ фермалар
Жалпы түсінікіпер, ферма түрлері. Жай фермаларды
қозгалмайтын
жүктемелерге
аналитикалық
есептеу.
Түйіндерді кесіп алу әдісі. Тура қима эдісі
Арқалықтардың жазық
анықталатынын білеміз.
иілуі
кезінде тік
кернеу
келесі
өрнекпен
Бүл кернеудің арқалықтың қимасындағы таралуы 111.90 —суретте көрсетілген.
М
х
III. 90 - сурет
Суреттен көрініп тұрғанындай арқалықтың қимасында кернеу әркелкі
таралады да арқалықтың материалы жұк көтеруге толығымен қатыспайды, яғни
бейтарап қабатқа жақын орналасқан қабаттар өте аз жүктелген болып келеді.
Ал егер, жүйені жасау барысында оның элементтерін иілуге емес, тек
созылып немесе тек сығылуға жұмыс істейтіндей етіп орналастырсақ,
құрылымның жүк көтеру қабілетін арттырып салмағын едәуір жеңілдеткен
болар едік. Себебі бұл жағдайда кернеу қима бетіне біркелкі таралып,
материалдың бүкіл денесі (қабаттары) бірдей жүктелетіні белгілі.
Сондықтан құрылымды жобалау барысында, мүмкін болғанынша, оның
жүк көтеруші элементтері тек бойлық күшті кабылдайтындай етіп жасаған
тиімді болады. Осындай талаптарға лайықты құрылымның қаңқасы ферма деп
аталады, ол туралы және олардың түрлері туралы курстың басында қысқаша
айтып кеткен болатынбыз.
Үш стерженьнен тұратын бір-бірімен топсалы жалгасқан 111.91, а суретте көрсетілген жүйені қарастырайық.
111.91 —сурет
Бұл жүйедегі стерженьдер түзу өсті болып келеді де бір-бірімен топсалар
арқылы жалгасады және олардың өстері топсалардың орталыгынан өтетіндей
етіп құрастырылады, сондықтан олар тек бойлық күш әсеріне үшырайды.
Себебі, егер стерженьдердің қимасындагы күштер 57 және | | күштері
III.91, Ь - суретте көрсетілгендей багытталган десек, ягни олардың қүраушысы
июші моменттер тугызатындай болып багытталса, онда стерженьдер «А»
топсасында айналып кеткен болар еді, ал 111.91, а - суреттегі қүрылымда ондай
жагдай орын алуы мүмкін емес, сондықтан стерженьдерге әсер ететін күштер
тек олардың бойымен багытталатын,
жэне И2 күштері болып табылады.
Жүйенің элементтерінде июші моменттердің туындамауын қамтамасыз
ету үшін, мүндай жүйелерде сыртқы күштер мен тірек күштері де тек
қүрылымның түйіндеріне түсірілген болуы керек.
Сонымен қорыта келе, келесі анықтаманы беруге болады: бір-бірімен
топсалар арқылы жалгастырылган өсі түзу стерженьдерден түратын, әсер етуші
күштер тек түйіндеріне түсірілетін геометриялық өзгермейтін құрылым ферма
деп аталады. Оның мысалы III. 1, а - суретте көрсетілген.
Фермалар ж азы қ деп (егер оны құрайтын стерженьдердің өстері бір
жазықтықтың бетінде жататын болса) және ксцістік деп (егер оны құрайгын
стерженьдердің өстері бір жазықтықтың бетінде жатпайтын болса) аталады.
Кеңістік фермаларды есептеуді бірнеше жазық фермалар есебіне
келтіруге болатындықтан, бұдан әрі тек жазық фермаларды есептеуді
қарастырамыз.
Раскос
үстіңгі беларқа
стойка
Ферманың тіректерінің арасы оның үзындыгы пролет I деп аталады.
Ферманың сыртқы контурында орналасқан стерженьдер үстіңгі және төменгі
беларқалар деп, вертикаль орналасқан стерженьдер стойка, ал көлбеу
орналасқандары раскос деп аталады (111.92 - сурет). Ферманың горизонталь
бағыттагы кез келген көрші түйіндерінің арасы панель деп аталады.
Фермалар қүрылыста өте кең қолданылады, оның басты себебі ферманың
салмагының өте аздығына қарамастан үлкен жүк көтере алатындығында.
Фермалар өндірістік ғимараттар мен көпірлерді тұрғызуда, электр тасымалдау
жүйесінің бағаналарының, биік мачталардың, жүк көтеретін крандардың
стреласының, көліктер, кемелер және үшақтардың қаңқаларын жасауда
қолданылады.
Фермалар олардың формасына, решеткасының қүрылымына, тіректерге
бекітілуіне т.с.с. түрлерге бөлінеді. Фермаларға қойылатын негізгі талап
олардың геометриялық өзгермейтін болуы. Ферманың геометриялық
өзгермейтіндігінің шарты келесі формуламен өрнектеледі:
(Ш 75)
мүндағы: к — ферманың қүрамындағы түйіндер саны; 5 1 ферманың
қүрамындағы стерженьдер саны.
Егер 5 > 2/с-З болса, ферманың қүрамында артық байланыс болғаны.
Ал егер 5 < 2к-3 болса, ферманың қүрамындағы байланыстар саны
фермағаның геометриялық өзгермейтін болуына жеткіліксіз екенін көрсетеді.
Жоғарыда жазылған (111.75) шарт ферманың геометриялық өзгермейтін
болуына қажетті бірақ жеткіліксіз болып табылады. Сондықтан ферманың
қаңқасының қүрылымын, оның стерженьдерінің бір-бірімен дүрыс тізбектеліп
жалғануын қамтамасыз ету керек болады.
Ферманыц тірек реакцияларын анықтау. Ол үшін бүкіл фермаға
статиканың үш тепе-теңдік теңдеуін жазамыз. Мысал ретінде 111.93 —суретте
көрсетілген қарапайым жазық ферманы қарастырайық. Берілгені: һ = сі = Зм;
Ғ = 4кН.
Статиканың теңдеулерін «В» тірегіне жазамыз:
У т„ = 0 :
| К Ар | ш
ҒбаГ
| Ғ5сІ + Ғ \6 +
рҒ2сІ |
Ғсі = 0
т
«А» нүктесінің айналасындағы моменттердің
тірегіндегі тірек реакциясын анықтаймыз:
қосындысынан
]Г тА = 0: Квбсі— ҒбсІ -Ғ5сі- Ғ4сІ - ҒЗсі -Ғ2сІ-Ғс1 = 0 :
«В»
'
к
_
ғ{зеі+ 5сі+ы |
в
Зй? + га + а)
бсі
Ғ/2
Ғ
ғш
бсі
ғ
Ғ
ЗҒ = 4 - 3 = 12 кН.
ғ
ғ
Ғ/2
I
з]
5\('6
VУ
һ
111.93 - сурет
^ ... ' .:^ : .
-9^'*
^ I- ..Я' 1
Й^‘П~'
Тексеру: ]ГҒ^, = 0 : Кл - — - Ғ - Ғ - Ғ - Ғ - Ғ - — + Кв = 2 4 - 2 4 = 0.
г;_
Ш *
^
М яф
Демек тірек реакциялары дұрыс анықталган.
Ферманың элементтеріндегі бойлық күштерді анықтау. Ферманың
элементтеріндегі бойлық күштерді анықтау үшін қима тәсілі арқылы ферманың
түйіндерін немесе кейбір бөліктерін бөліп алып олардың тепе-теңдіктерін
қарастьтрамыз. Бүл кезде жалпы саны 2К — 3 теңдеілер түзіледі. Ферманың
түйіндерін немесе бөліктерін бөліп алыу амалы, стерженьдердегі бойлық
күштер оңай анықталатындай етіп орындалуы қажет. Бойлық күштерді анықтау
ферманы беріктікке есептеу үшін жүргізіледі.
Момент нүктелері тәсілі. Бүл тәсіл ферманы, біріншіден екі бөлікке
бөлгенде тек үш стержень қыйылатындай және олардың өстсрі бір нүктеде
түйіспейтіндей жагдайда, екіншіден бойлық күш анықталатын стержень созсіз
қыйылатын болуы керек және оның осі момент нүктесінен өтпейтін жагдайда
қолданылады.
Қиып апган бөлік үшін, қиып алган қимадагы қалган екі стерженьнің
өсінің қыиылысқан нүктесі айналасындагы моменттердің қосындысы нөлге тең
деген теңтеуін жазамыз. Бүл момент алатын нүкте момент нүктесі деп
аталады. Тепе-теңдік теңдеуін жазган кезде барлық ішкі күштер қиманың
сыртқы нормалы багытына багыттас деп қабылданады.
I - I
II
1.93 — суретте көрсетілген ферманың сол болігін
жақ
жазықтыгымен қиып алыгі жеке карастырайық (ІП.94 - сурет). Үстіңгі
беларқадагы күштерді «О», томенгі беларқадагы күшті «І.Ь>,» раскостагы күшті
«О», ал стойкадагы күшті «V» деп белгілейік. Мысал ретінде О^ 5 және
6
күштерінін мәнін табайық.
III.94 - сурет
Алдымен момент нүктесі тәсілімен 0 3_5 күшін табамыз. Ол үшін III.94 суреттегі момент нүктесі (6 — шы түйін) айналасындағы сыртқы, ішкі және
• *
тірек күштерінің моменттерінің қосындысын жазамыз
2 > 6 = 0 ; - К л 2сІ + — 2сі + Ғсі - 0 3_5Һ = 0;
(111.76)
Осыдан
Ғ
- 4 Ғсі
,,
Оз_5 = ------------ 1 -----------1 ---------1--------= —— - = -16кН.
Һ
Һ
Һ
- К а 2 сі + — 2<і + Ғ<і
_ 2 Ғ 2 сі + 2Ғ(І
Егер 111.93 - суреттегі ферманы қарапайым арқалық деп қарастырсақ
(111.95 - сурет), О э_5 күшін келесі формула бойынша анықтай аламыз.
К
Оъ.5 = — .
о
(Ш.77)
£^
#
'
ш;:
Мүндағы:
- қарапайым арқалықтың бөліп алған сол жақ бөлігіндегі
күштердің «6 » момент нүктесі (6 - шы түйін) айналасындағы моменттердің
қосындысы.
П роекциялау тәсілі. Енді Л3.6,
і /4_6 күштерін анықтау үшін бөліп
алған бөлікке проекциялау тәсілін қолданамыз. Бүл тәсілді монент т эсілііі
қолдануға болмайтын жоғдайда пайдаланады.
III.95 - суретте кескінделген бөлік үшін, Ьт
А_ь және
стерженьдерінің
өстері бір-бірімен қиылыспайтын болгандықтан
күшін аныктау үшін
136
монент тәсілін қолдцнуға болмайды, сондықтан барлық күштерді вертикаль
өске проекцияласақ ке;;есі теңдеуді аламыз:
~ - ғ - о3_ьсо8а =о.
Осыдан
п
З Ғ -1 ,5 Ғ
Соза
І,5Ғ
Созсс
6
0,707 “ ’
***’
мұндағы а ** 45 .
Ғ/2
III .95 - сурет
Енді С/4_6 күшін анықтау үшін барлық күштерді ғоризонталь өске
проекциялап қосындысын нөлғе теңестіреміз.
= 0;
0^5+г/4_6 + £>з^8іпа =0.
Осыдан
і/ 4-6 = ~Оу.5 - В у ^ іп а = - ( - 1 6 ) - 8,48 ■0,707 = 10 кН.
Бұл тәсіл, үстіңгі және төменғі беларқалары параллель фермалардың
стойкасы мен раскостарындағы күштерді есептегенге ыңғайлы болады.
Түйіндерді кесіп алу тэсілі. Бұл тәсіл бойынша ферманың түйіндері
бірінен кейін бірі жеке-жеке кесіп алынады да олардың тепе-теңдігі
қарастырылады (111.96, а, Ь - суреттер). Мысал ретінде алдымен 5 —ші түйінді
кесіп апайық, себебі осының апдындағы тәсілдер бойынша осы түйіге
жалғасатын бір стержендегі бойлық күш 0 3_5 бізге белгілі де қалған екі
стержендегі күштер белгісіз. Әдетте түйіндерді кесіп алу шеткі екі стержень
түйісетін түйіндерден басталады, яғни қиып алған бір түйінде екі белгісізден
аспауы керек.
ІІІІ
\\
137
\
ғ
+ц
6-8
ІИ.96 - сурет
Үшінші түйіннің (111.96, а —сурет) тепе-теңцігін қарастырамыз.
теңдеуін жазамыз. —Ғ —У5_6 = 0; осыдан. У5_6 = —Ғ = - 4 кН. 0 5_3 = 0 5_7 бүл
күштер бір-біріне тең қарама-қарсы бағытталған, жалпы
болады. Сондықтан барлық күштердің горизонталь өске проекцияларының
қосындысын нөлге теңестіріп
0 5_3 = 0 5_7 = - 12кН
болатынын табамыз.
Енді 6 —шы түйіннің (ІП.96, Ъ—сурет) тепе-теңдігін қарастырамыз.
Бүл түйіндегі белгілілер: У6_5 = У5_6 = -4 кН,
£>6_з = А -6 = 8Э48 кі |
^ 6-4 = ^ 4-6 =1°кН . Белгісіздер: £)б.7, С/б^.
Алдымен барлық күштерді венртикаль өске проекциялаймыз.
Ш
У Ғ = Э^Сова + Щ I В^Сощ = 0|
осыдан
^
Щ
<- Л хСоза
1 — Й И к -------І -2,82 кН
Соза
Енді барлық күштердің горизонталь өске проекцияларының қосындысын
нөлге теңестіріп, келесі теңдеуді аламыз.
Цй а-^6-41ШмШш I
1й.і IІ
осыдан
і 10+8,48-0 ,7 0 7 -(- 2.82)- 0,707= 18кН.
Осылай тізбектёй келе барлық стерженьдердегі бойлық күштерді табуға
болады. Бұл тәсілдің бір кемшілігі дрбір қарастырып отырған түйіндегі белгілі
күштер оның алдындағы түйінді қарастырганда анықталған күштер болып
табылады. Егер қандай да бір күш қате есептелген болса, онда одан кейінгі
анықталған күштердің бәрі қате болатындығы жэне теңдеулердің құрамына
тригонометриялық функциялардың көптеп кіруіне байланысты оларды
есептеуде қыйындық туындатады.
Бірақ кейбір жекелеген жеғдайларда бұл тәсілді қолдану өте тиімді
болады, мысалы Ш.97 - суретте келтірілген жағдайлар:
1. Екі стерженьді түйінге сыртқы күш түсірілмесе, онда
4= 0
болады (111.97, а - сурет);
2. Екі стерженьді түйінге түсірілген сыртқы күштің бағыты бір
стерженьнің бойымен багытталса, онда //,_2 = -Ғ , //,_3 = 0. болады (111.97, Ь сурет);
3. Үш стерженді түиінге сыртқы күш түсірілмесе және екі стерженьнің өсі
бір түзудің бойында орналасса, онда осы екі стерженьдердегі күштер бір-біріне
тең әрі қарама-қарсы бағытталган, ал үшінші стерженьдегі күш нөлге тең
болады Л^_, = -ЛГ,_5, #з_4 =0 (111.97, с —сурет);
4. Үш стерженьді түйінде екі стерженьнің өсі бір түзудің бойында
орналасса, ал сыртқы күш үшінші стерженьнің бойымен бағытталса онда осы
екі стерженьдердегі күштер бір-біріне тең әрі қарама-қарсы бағытталған
болады да, үшінші стерженьдегі
күш сыртқы күшке тең болады
Щ = "^з-я
= ~Ғ (ІІІ.97, сі - сурет).
Ь)
Ф
111.97 - сурет
Әдетте фермаларды есептеу кезінде осы тәсілдердің бәрі қолданылады,
әркезде қайсы тәсілмен есептеген ыңгайлы және оңай болса сол тәсіл
қолданылады.
Жоғарыдағы есептеу тәсілдері арқылы элементтеріндегі бойлык күштері
анықталып эпюрлері тұрғызылган екі түрлі ферманың желісі III.98 - суретте
келтірілген. Бойлық күштерді сан мэнімен есептеу көп рет қайталанып және
өте көп орын алатындықтан шешімнің қорытынды мәндері әр элементке I
тұргызылған эпюрде келтірілген.
Тш I
Есептің берілгені: Ғ = ЮкН, Ғ/ ЩЗОкН, һ ~<і- 5м, I = бсі =30м.
1
Берілген фермалардың элементтеріндегі бойлық күштердің эпюрін I
тұргызу керек.
Щ. I
111.98 - сурет
Беларқасы параллель және үшбұрышты фермалардың элементтеріндігі
бойлық күштерді салыстыра отырып келесі тұжырымдарды жасауға болады:
1. Фермаға әсер етуші күштер бірдей болған жағдайда, егер олардың
ұзындықтары мен биіктіктері бірдей болса беларқасы параллель ферма
үшбұрышты фермамен салыстырғанда екі есеге жуық кем жүктелетінін көреміз
(111.99, а, Ъ - суреттердегі эпюрларді салыстыр);
2. Осыған орай үшбұрышты ферма беларкасы параллель фермамен
салыстырганта тиімсіз, себебі оны жасауга әлдеқайда көп материал кетеді.
140
111.99 - сурет
,
-•
141
.
| I
\
2 Семестрлік жұмыстардың
тап сы рм алар жинағы
Студенттер «Инженерлік механика» курсы бойынша толық білімді, тек
жаттыгу сабақтарында теориялық ахуалды есептерді шешіп бекітумен, сонымен
қатар семестрлік жұмыстарын (СЖ) орындаумен ала алады.
Студенттің семестрлік жүмысының есептер саны берілген мамандықтың
оқу графигіне сәйкес анықталады.
1
«Инженерлік механика 3» пәні бойынша студенттердің екі семестрлік
жүмыс (СЖ) орындауы қарастырылган. Студенттердің СЖ орындау мақсаты олар конструкция элементтеріне, күштік жэне деформациялық талдау жасауға,
олардың беріктігін, қатаңдыгын және орнықтылығын бағалауға іс жүзінде
машықтыққа ие болу, соныменен қатар инженерлік қүжаттарды БКДЖ сәйкес
қалыптастыру мен хатгау ережелерін меңгеру.
№ 1 СЖ екі есептен турады:
1 - есеп. «Статикалық анықталған қарапайым раманы есептеу».
2 - есеп. «Статикалық анықталған көпаралықты арқалықты есептеу».
№ 2 СЖ екі есептен түрады:
1 - есеп. «Статикалық анықгалмаған раманы күш әдісімен есептеу».
\
2, а —есеп. «Статикалық анықталмаған раманы орын ауыстыру әдісімен
есептеу» немесе
%
2, Ь - есеп. «Статикалық анықталған үш топсалы арканы есептеу».
СЖ А4 форматындағы жазу кағазының парақтарында орындалады және
конструкторлық қүжаттардың бірыңғай жүйесінің (КҚБЖ) талаптарына сәйкес
толтырылады.
|
0
1
ІН.2.1 «Инженерлік механнка ІІЬ> пәні бойынша студенттердің
семестрлік ж үмыстарының тапсы рм алары
Бірінші семестрлік жумыс тапсы рмалары
1 есеп! Статикалық анықталған рамаға келесі есептеулерді жүргізіңіз
(ПІ.2.11 сурет):
1) ию моментінің, көлденең және бойлық күштердің эпюраларын
түағызыңыз;
2) раманың түйіндерінің статикалық тепе-теңдік шарттарын қарастыра
отырып түағызылған М , (2 жэне N эпюраларының дүрыстығын тексеріңіз.
Раманың жүктемесі мен сызықтық өлшемдері студент шифрының
соңындағы екінші санымен іріктеледі (ІІІ.2.1- кесте).
Есептеу сызбасы студент шифрының соңғы бірінші санымен анықталады
(ПІ.2.2 - кесте).
ІІІ.2.1 —кесте
|
шифрдың соңындагы екінші сан
0
1
2
4
3
5
6
7
8
Ғ,.кН
26
30
34
38
34
32
Ғ2, кН
30
28
26
М, кН/м
55 50 45 40
35
55 50
45
40
Ці, кН/м
20
22
24
26
12
14
$2, кН/м
16
18
20
а, м
3,0 3,2 3,4 3,6 2,4 2,6 2,8 3,0
3,2
Ь, м
2,0 1,8 1,6 1,4 1,8 1,6 1,4 2,0
1,8
с, м
1,2 1,4 1,2 1 і,о 1,4 1,2 1,0 1,4
1,2
һ, м
2,0 2,5 | 3,0 3,5 2,5 2,0 3,0 3,5
4,0
9
40
35
28
3,4
1,6
1,0
4,5
ІІІ.2.2 - кесте
Есептеу
сызбасы
0
1
IX
X
шифрдың соңгы бірінші саны
4
6
7
2
3
5
VII
VIII
П
143
I
VI
V
8
9
IV
III
I
ғ
Яі ч
ііш ш
а
Х ХІХ Х Ш
V
Яі
\хххххххх
Ғі
1X2X1
III
Яі
Ғг I
\х х х х х т
іЗКХХХХ
СІ
/V
і
з г
л
III.2.1 - сурет
144
2
есеп: Статикалық анықталған көпаралықты арқалықтың берілген схемасына өзара әсер схемасын тұрғызыңыз және М мен эпюраларын тұағызыңыз
(ІП.2.2 - сурет).
Арқалықтың жүктемесі және сызықтық өлшемдері студент шифрының
соңғы екінші санымен анықталады (ІП.2.3 —кесте).
Есептеу сызбасы студент шифрыньщ соңғы бірінші санымен анықталады
(ІП.2.4 - кесте).
ПІ.2.3 —кесте
Ғ,,кН
Ғ2, кН
Ць кН/м
<72, кН/м
а, м
Ь, м
с, м
сі, м
0
8
10
15
6
1,5
3,0
1,0
2,0
1
6
15
8
10
1,0
2,0
1,5
3,0
шифрдың соңгы екінші саны
2
3
4
5
і
6
15
10
12
8
10
12
8
6
12
8
10
15
12
10
8
12
6
8
1
12
10
6
8
12
2,0 3,0 3,0 2,0
1,5 2,0
1,5 2,0
1,0
1,0 3,0 3,0
1,0 3,0 2,0
1,5 2,0
1,0
3,0
1,0
1,0
1,5
1,0
1,5
8
14
8
10
6
3,0
1,5
1,0
2,0
9
12
6
8
10
1,0
3,0
2,0
1,5
шифрдың соңғы бірінші саны
4
6
2
3
5
7
VIII VII I
III
VI
II
8
V
9
IV
ІП.2.4 —кесте
Есептеу
сызбасы
0
X
1
IX
/
II
иі
НІ.2.2 - сурет
145
\
ІІ.2.2 —суреттің жалғасы
і
ГХОо
а
ПІ
1 һ
с
а
Ъ 1
г г п
а
IX
А
■
X
ПІ.2.2 I сурет
Екінші семестрлік жүмыс тапсы рм алары
1 —есеп: Статикалық анықталмаған рамаға келесі есептеулерді жүргізіңіз
(ІІІ.2.3 - сурет):
1) жүйенің статикалық анықталмаған дәрежесін анықтаңыз;
жүйесін таңдап
таңдап
М { июші моменттерінің эпюраларын түрғызыңыз;
4)
Верещагин тәсілімен эпюраларды көбейту арқылы күш әдісін
канондық теңдеудің 8ц бірлік орын ауыстыруларын және 4 Ғ бос мүшелерін
(жүктемелік орын ауыстыру) анықтаңыз және олардың дүрыстығын тексеріңіз;
5) түрғызылған
теңдеулерді шешіп белгісіз X* күштерін
тексеріңіз;
6) анықталған Х { күштердің июші
А/, = М { •Х ( тәуелділігі бойынша түрғызыңыз;
моменттерінің
эпюраларын
7) суперпозиция принципін қолдана отырыи акырғы М = М ғ +^ГАІ і - Х і
июші моменттердің эпюраларын тұрғызыңыз;
8) берілғен раманың көлданаң £? жэне бойлық N күпггерінің эпюраларын
түағьізыңыз;
9) рамаға тұтас және оның жекеленген түйіндеріне деформациялық және
статикалық тексеру жүргізе отырьш түағызылған М,
(), және N
этораларының дүрыстығын тексеріңіз.
Раманың жүктемесі мен сызықтық өлшемдері студент шифрының
соңындағы екінші санымен іріктеледі (ІИ.2.5 - кесте).
Есептеу сызбасы студент шифрының соңғы бірінші санымен анықталады
(Ш.2.6 - кесте).
.
ІП.2.5 —кесте
9
2,8
1,6
1,0
6
3,0
2,0
1,2
8
шифрдың соңындагы
2
3
4
5
30
26
45
50
24
18
14
16
3,4 3,6 3,8
3,2
1,8
1,6
1,4 3,0
1,2
1,4
1,2
6
8
8
10
1:2
2:3
1:3
■0
26
Ғ и кН
Ғ2,к Н
Ғъ, кН/м
кН/м
Щ
2і кН/м
дз, кН/м
а, м
Ь, м
с, м
һ, м
е і2
1
24
22
20
1:2
2:3
1:3
екінш і сан
7
6
34
8
9
40
28
55
26
28
16
4,0
1,4
1,0
10
4,2
2,0
1,4
12
18
4,4
1,8
1,2
10
1:2
2:3
3:4
1:2
8
9
I
IV
II
4,6
1,6
1,0
12
к
НІ.2.6 - кесте
Есептеу
сызбасы
-
0
1
шифрдың соңғы бірінші саны
5
7
4
6
3
2
VIII
V
VII
■ -
..
IX
-
147
VI
ііі
X
I
Я
II
і
/і
Чз
V
Ш Ш Ш 1Ш 2ІП
IV
ііі
НЕ
а '-
I 2 Яі
Чз
/
Яі І і Л ~
а
П
ІИ.2.3 - сурет
148
Ш.2.3 - суреттің жалғасы
VIII
Яі
а
12222
а
IX
X
1'
Яз
У
III.2.3 - сурет
есеп: Статикалық анықталмаған рамаға келесі есептеулерді
2, а
жүргізіңіз (ГО.2.4 - сурет):
1) жүйенің кинематикалық анықталмаған дәрежесін анықтаңыз;
2) раманың негізгі жүйесін таңдап алыңыз;
3) раманың таңдап алынған негізгі жүйесіне жүктемелік М ғ және бірлік
А/, июші моменттерінің эпюраларын түргызыңыз;
4) Верещагин тәсілімен эпюраларды көбейту арқылы орын ауыстыру
әдісінің канондық теңдеудің і\. бірлік реакцияларын және КіҒ бос мүшелерін
(жүктемелік реакциялары) анықтаңыз және олардың дүрыстыгын тексеріңіз;
5) түргызылган канондық теңдеулерді шешіп раманың түйіндерінің
белгісіз 2Г, орын ауыстыруларын анықтаңыз және оның дүрыстыгын тексеріңіз;
в
149
6) раманың түйіндерінің анықталған
орын ауыстыруларынан туындай-
тын июші моменттерінің эпюраларын Л/, = М ( •
тәуелділігі бойынша
түргызыңыз;
1
7) суперпозиция принципін қолдана отырып ақыргы М = М ғ + У \ М { •
июші моменттердің эпюраларын түргызыңыз;
8) берілген раманьщ көлданаң £? және бойлық N күштерінің эпюраларын
түагызыңыз;
9) түтас рамага статикалық тексеру жүргізе отырып түағызылган М, (),
және N эпюраларының дүрыстыгын тексеріңіз.
Раманың жүктемесі мен сызықтық өлшемдері студент шифрының
соңындагы екінші санымен іріктеледі (ІІІ.2.7 —кесте).
Есептеу сызбасы студент шифрының соңгы бірінші санымен анықталады
(ПІ.2.8 - кесте).
:
ІІІ.2.7 —кесте
28
12
4
8
3
10
3
6
4
шнифрдың
соңындағы
екінш
і
сан
нш в
7
4
5
6
3
2
30
26
22
20
16
24
15
16
10
14
10
20
14
11
13
7
8
9
4
3
2
4
3
5
10
6
4 ! 5
9
11
6
4
3
2
5
2
1:2
2:3
1:3
1
0
18
Ғ ,,к Н
Ғ2, кН
ф, кН/м
Ш кН/м
1, м
а, м
Һһ м
Шм
ЕІриг
28
24
Щш
1:3
2:3
_
1:2
2:3
8
34
9
24
18
22
15
5
12
7
10
4
7
6
3:4
1:2
-■, ,
ІІІ.2.8 - кесте
Есептеу
сызбасы
0
1
IV
VIII
ш ифрдың соңғы бірінші саны
4
6
7
3
5
2
X
I
V
150
VII
II
IX
8
9
VI
III
V III
Һі
/
III.2.4 - сурет
151
2,
Ь - есеп: Статикалық анықталған болат, дөңгелек және төртбұрышты
көлденең қималы үш топсалы арқалыққа келесі есептеулерді жүргізіңіз (Ш.2.5 сурет):
, -Г".
т
•;'
1) тірек реакцияларын анықтаңыз;
2) ию моментінің, көлданаң және бойлық күштердің эпюраларын
түағызыңыз;
1
3) шамалы қисықты білеудің сығылып-иілуінің беріктік шартынан
арканың көлденең қимасының өлшемдерін анықтаңыз.
Арқа материалының аққыштық шегі Я = 240 МПа .
Арқалықтың жүктемесі Ғ, Щ, сызықтық өлшемдері /, / , коэффициент а
мен беріктік қор коэффициенті пу студент шифрының соңындағы екінші
санымен іріктеледі (ІІІ.2.3 —кесте).
Есептеу сызбасы студент іішфрының соңғы бірінші санымен анықталады
(ІІІ.2.4 - кесте).
* 1
ІІІ.2.9 - кесте
Ш
Ғ, кН
д, кН/м
/, м
/
М
к
0
120
28
24
6
2,0
1
100
30
30
8
1,5
ши фрды ң соңындағы екінш і сан
2
4
5
з
7
6
90
80
70
150
140
110
32
34
36
38
40
44
36
42
48
24
30
36
10
12
14
10
12
14
?0
2,0
1,0
1,0
1,5
1,5
8
130
46
42
16
2,0
9
100
48
48
18
1,5
1ІІ.2.10 - кесте
0
Есептеу
сызбасы
.• V
і
IX
ш ифрдың
соңғы
бірінші
саыы
-------2
3
4
5
6
7
8
9
VI
III
VII
I
IV
VIII
X
II
Ш Ш ХШ
ч
ШІІШХІШХІ
Л !£і1і2іКXXXX
III.2.5 - сурет
\
153
V
Студенттердің семестрлік ж үмыстарын
әдістемелік нүсқаулар
ьірінш і семестрлік ж умыс тапсы рм алары ны ң орындалуы. Бірінші
есепті шешуге «Қию әдісі», «Ішкі күш әсерлері», «Тік иілген арқалықтардың
көлденең және ию моменттерінің эпюраларын тұргызу», «Жазық статикалық
анықталган рамалардың ішкі күш факторларының эпюраларын түргызу»
тақырыптарын қайталап, төменде қарастырылатын мысалдарды талдаганнан
кейін кіріскен жөн болады.
Рама деп, стержендерінің барлыгы немесе кейбірі өзара қатаң бекітілген
стержендік жүйені айтады.
'Щ
Жазық раманың барлық элементтерінің өстері, жүктеме жазықтыгымен
сәйкес келетін, бір жазықтықта жатады және ол раманың барлық элементтері
үшін бас жазықтық болып табылады.
5Щ
Жазық раманың стержендерінің кез-келген көлденең қимасында туындайтын ішкі күш факторлары, жалпы жагдайда үш ішкі күштер факторына
келтіріледі: бойлық күш
көлденең күш | | | және ию моменті М 2. Бүл
жагдайда х өсі барлық стержендердің бойлық өсі бойымен багытталган, ап 2
және у өстері көлденең қиманың бас орталық екпін өстерімен сәйкес келеді
және олардың ішінде 2 өсі жүктеме жазықтыгына перпендикуляр багытталады.
Кез келген қимадагы бойлы қ күш Nх шама жагынан қиманың бір
жагында жатқан барлық сыртқы күштердің бойлық өске (қисық сызықты
стержендер үшін қарастырылушы қиманың өсіне жүргізілген жанамага)
түсірілген проекцияларының алгебралық қосындысына тең.
Бойлық созушы күш оң, ал сыгушы күш теріс таңбалы деп саналады.
Көлденең күш
шамасы көлденең қиманың бір жагына әсср етуіпі
сыртқы күштердің қима жазықтыгындагы проекцияларының алгебралық
қосындысына тең. Раманың көлденең күшінің таңба ережесі арқалық үшін
қабылданган ережедей.
11
Бойлық және көлденең күш таңбапарының ережесі ІІІ.2.6 — суретте
көрсетілген.
.
Д
Июші
момент
шамасы
колденең
і
қиманың бір жагында эсер етуші сыртқы
күштердің
осы
қиманың
ауырлық
центрінен
+Л’
1
+ІУ
I............ і
і
өтетін
бейтарап
өске
қарагандагы
1
1
моменттерінің алгебралық қосындысына тең.
I
+(? У
Ию моментінің ординаталарын созылган
талшықтықтарды түргызуды қабылдайық. Бүл
жагдайда М : эпюрасына таңба қоюдың қажеті
болмайды.
Арқалық үшін ию моменті, көлденең
күш және бір қалыпты таралган сыртқы
ІН 2.6 - сурет
күштің
карқындылыгы
арасындагы
дйфференциалдьгқ
байланыстардан
154
ч
түзу
қалады.
Рама үшін &
ж әне М
түргызудың
атап өткен жөн, рама үшін
таралған күштің басы мен соңы, сыртқы қадалған күш нен қос күш түсірілген
орындармен қатар, раманың іргелес элементтерінің өстері қиылысатын
түиіндер де аралықтардың шегі болып саналады.
III.2.1
мысал. Жазық статикалық анықталған раманың N
түрғызыңыз
Оу және
Шешуі
анықтамау үынн, ішкі күш эпюраларын іұрғызуды бос ұшьгаан бастап
жүргізген ыңғайлы.
Рама төрт аралықтан түрады. Жоғарыда келтірілген таңбалар ережесін
сақтаи отырып, эрбір аралықтың бойлық және көлденең күштердің ию
моменттерінің теңдеулерін қүрамыз.
Бірінші аралықтың кез келген қимасындағы ішкі күш әсерлерін анықтау
үшін 1-1
қимасын жүргізіп, қиманың төменгі бөлігінің
теңдіпн
қарастырып, осы қимадағы ИхХ, д у, және М д -ті анықтайық (Ш-2 .7 , ъ -сурет)
Қарастырылатын бөліктің үзындығы - айнымалы х, шама. 0 <х, < а.
^ ,1 = 0 ;
б , ,=<?•*,;
мл *=
Яа*
теңдеулерден
параболамен
х} = 0 болганда
= 0,
Мл = 0;
хх=а болғанда
М:, =
()у1 =да,
эпюрасы көлбеу түзу сызықпен, ал М 2]
Ш
0^,1 эпюрасын раманың карастырылып отырған стерженнің өсіне сыртқы
күштің бағытында түрғызамыз. Бірінші аралықта ЛЛаралығының оң жағы
созылатындықтан М л эпюрасы стержень өсінің оң жагында түрғызылады.
г аралықтарында сәикес қималар жүргізіп,
теңдігін қарастыра отырып, Ых, ()у және
М2-дің өрнектерін түрғызамыз.
үшш
шама,0 ^ х 2 <а)
айнымалы х2
2
Щі =да = сот і ;
Щ2 = 0 ;
М :2 =>-
= соті,
Ф
аа
N - тюрасы, кН
(> - эіиорасы, кН
т
е)
III.2.7 - сурет
156
щм]а
Бойлық күш тұрақгы, оң таңбалы болып шықгы, яғни бұл
стержень созылады. Щ эторасы стержень ө
тұрғызылады
тұрғызылады
Үшінші аралық үшін (қарастырылатын бөліктің ұзындығы - айнымалы х.
шама,0 < х3 £ а )
Щ І - Ча - сопзі ;
= -Ғ =
= сот і ;
2
х} = 0 болғанда
= I болғанда
М г3 = —- 1
М , =-
2
.
буз эпюрасын Ғ күшінің бағытында раманың қарастырылып отырған
стержень өсінің төменгі жағында, ал М 23 эпюрасын стержень өсінің С
тұрғызылады
созылған талшықтар жағында.
Төртінші аралық үшін (қарастырылатын бөліктің үзындығы - айнымалы
х4 шама,0 < х4 <2а )
Мх4 = -д а = сопзі;
0 4 =да = сопзі;
М г4 = -да\ хА- ~ \ - д а 2 = -дах4 - Ң - ;
х4 = 0 болғанда
М 7&т - -
2
дг4 = 2а болғанда
Л/.. = Ш ■:
V•
4
2
0 у4 эпюрасын ОЕ стержені өсінің сол жағында, ал М :4 оң жағында
тұрғызылады.
Берілген раманың Л^,
және М г эпюралары ІІІ.2.7, с, сі. е - суретте
көрсетілген.
Тұрғызылған эпюралардың дұрыстығын тексеру үшін мынадай
түжырымды пайдалануға болады: жүктелген раманың кез-келген кесіліп
157
і
\
4
•
•
алынған түиіні, оған алып тастаған элементтердің әсерін алмастырушы, күштер ;
мен моменттердің әсерінен тепе-теңдікте болуы тиіс.
I
В және С түйіндерінің тепе-теңдігін қарастырайық (ІИ.2.8, а, Ъ - сурет). Ц
Осы нүктелерге әсер етуші күштердің тепе-теңдігі
Мез-О.Засг2
V
Ш3 = Ш
0,5(]а*
\Л/ІМг4=0,5(іс?
X
ИІ.2.8 - сурет
В түйіні үшін
Х = 0,
- 0 ,1 + #*2 = - д а + 9« = 0;
^ М в =0,
Мл - М і2 = 0,5да2 - 0,59а2 = 0.
С түйіні үшін
X = 0,
()уА- Ы х3 = д а - д а = 0-,
Х 7 = 0»
- б уз + Ш ^ = д а - д а = 0 \
У Мс =0,
Мі4 - Мг3 = 0,5^а2 - 0,5<?а2 = 0 .
I
Мүнан біз, берілген раманың эпюраларының дүрыс түргызылгандыгын
байқаймыз.
III.2.2 — мы сал. Жазық статикалық анықталған раманың Ңх,
және
М"
эпюраларын түрғызыңыз (III.2.9, а - сурет). Ғ = 10 к Н , а = 5 кН/м , а = 2 м .
Л V [^
‘!г:УСгПі®..^:'
: ' - - -у
'
і1.
:
-ЧЩ-;..■,£ДДтзЩ ріУ V' ,>*
Шешуі: Раманың тіректерін ойша алып тастап, олардың әсерін
тіректердің КА, Кв және Н в реакцияларымен алмастырамыз (III.2.9, Ь - сурет).
Тірек реакцияларын анықтаймыз. Ол үшін үш тепе-теңдік теңдеуін
қүрамыз
V М А = 0 , НА • 2а + Ғ •а - д • 2а •а = 0,
мүнан
п
2 аа2 —Ға 2 - 5 - 4 - 1 0 - 2 _ _г
а ,=
=
= 5 /сЯ ;
л
2а
4
158
!
в
0,
Яв -2а + Ғ •а + д -2а -а = 0
сонды қтан
р _ 2да2+Ға 2-5-4 + Ю-2
Кв = ------------ = -------- І ------ = 15 кН;
2а
4
і
Е ^-0 ,
Ғ - Н в = 0 немесе Н в = Ғ = 10к Н .
Реакциялардьщ дүрыс анықталғанын тексерейік
=
&л +КВ —^ - 2 а = 5 + 15 —5-4 = 0 (дұрыс).
Раманың барлық аралықтарына Мх, £)у және М г өрнектерін құрамыз
I - 1 қимасы (0 < лс, < 2 м)
11 = Щ1-5 к Н ,
<
2УЛ ,
Кі= о.
II - II қимасы ( 0 < х 2 <2 м)
Оу2 = - Ғ = -ЮкН;
Н,г = ~Кл = ~5кН ,
М г2 = - Ғ - х , = -1 0 - х2>
х2 =0 болганда
М г2 = 0;
х2 = 2м болғанда
М ^ = - 1 0 - 2 = - 2 0 кНм
III - ІП қимасы(0 < х 3 < 4 м)
N . = - Ғ =-\0кН,
б,з
=ка~чхз ;
М .з^Я ^Х з-Ғ а-^-;
х} = 0 болганда
= 4л/ болганда
<2Уз = 5* Н >
Мгу = -2 0 кНм ;
е , 3 =-15дсЛ/,
5-4
А/., = 5 - 4 - 1 0 * 2 —
= -4 0 кНм
2
159
»
\
<*)
Ъ)
Гс
в\
1 ^
>
1 с
I
*
ІА ^
в I
2сі
с)
й)
N - эпюрасы, кН
() - эпюрасы, кН
5
IIIII
•!
©
|
т
г
1_І_ІЛ11 I I I 11 1 1
Кщ
15
5
Ча
<В
е)
-© -1
М - эпюрасы, кНм
ІП.2.9 - сурет
160
Бұл £Ш аралығың ұштарындағы көлденең күш ординаталарының
мәндерінің таңбалары әртүрлі, яғни қандайда бір қимада £?,3 = 0 , сондықган
осы қимада июші момент экстремальды мәнге тең б о л а д ы .
мұнан
*
_
&
з —
?
I
I
— — ІЛ І.
5
Олай болса
хг = \м болғанда
Мг, = 5 1 - 1 0 - 2 - ~ ^ = -17,5кЯ*
IV - IV қимасы (0 < х4 < 4 м)
Нха *
= -1 5 кН,
<2у4 = Н в = ЮкН ,
М г4 = - Н в 'х4;
М г4 = 0;
х4 = 0 болғанда
х4 = 4м болғанда
М г4 = -1 0 • 4 = -40кЯл*.
Берілген раманың
^ және Л/2 эпюралары ІП.2.9, с, сі, е - суретте
көрсетілген.
Статикалық тексеру үшін раманың С және £) түйіндерін кесіп аламыз
(II.2.10 —сурет) және оған ішкі күштер мен моменттерді түсіріп тепе-теңдігін
тексереміз.
V
0 тЗ = 5 А
^
С |—
' ҚіЗ =10
ОгЗ —15
^ Х3=10
0 ,4 = 1 0
0 ,2 = 1 0
М гз= 4 0
М
і
-
4
ІИ .2.10-сурет
С түйіні үшін
£ * = 0,
==-10 + 10 = 0;
6
0
\ф /
К<=15
Ү Л /с = 0 ,
- М г) + М ,2 = - 20 + 20 = 0
£> түйіні үшін
Х * = 0,
^ 3 - ^ 4 = 1 0 -1 0 = 0 ;
£ Г = 0,
- а , + ІУл4 =-15 + 15 = 0;
£ М С=0,
М іЪ - М гЛ = 4 0 - 4 0 = 0.
Мүнан біз берілген раманың эпюраларының дүрыс түрғызылгандығын
байқаймыз.
111.23
~ мысал. Берілген статикалық анықталған рама үшін (II 1.2.11,
сурет) Ғ = Л0кН\ ^ = 1 0 # с ///ік ; / = 6м; һ ~ 8 м деп қабылдап, есептің келесі
шарттарын орындаңыз
жанама
түрғызыңыз;
• •
2) түрғызылған эпкоралардың дүрыстығын тексе[
Шешуі: Берілген рама үш топсалы рамага жатады. Раманың
үштарындагы тіректерде тік КЛ,ЯВ реакцияларымен қатар керме Н А»Н в реакциялар да туындайды. Бір қарағанда, әдетте жазық жүйеге тек үш тепе-теңдік
теңдеуі қүрылатындықтан, есеп статикалық анықталмаған сияқты. Шын
мэнінде, аралықтағы топса қосымша бір тепе-теңдік теңдеуін түрғызуға
мүмкіндік береді, өйткені аралыкгагы топсага қарагандагы, раманың оң және
сол жағындагы элементтеріне әсер ететін активті және реактивті күштердің
моментгері нөлге тең. Сонымен берілген раманың тепе-теңдік теңдеулерін
түрғызайық
Л
Е ^ = 0 ,
Кв-21-дҺ2 - Ғ - Һ =0;
% М В =0 ,
- Кл •21 - дҺ + Ғ ^ / = 0;
= 0,
2 > = °>
- Я л 1+ Ч2 - Н А Һ = 0;
я һ - Н А- Н в = 0.
162
Ь)
NИ
М
I
А)
(2 —эпюрасы, кН
56,67
16,67
т
16,67
56.67
27,5
е) М - эпюрасы, кНм
ІІІ.2.11 - сурет
163
Анықталган реакциялардың шамаларының дұрыстыгын тексеру үшін
барлық күштің у өсіне проекциясын түргызайық
£ К = 0,
- Ғ - К А+Кв =0 немесе -4 0 -1 6 ,6 7 + 56,67 = 0.
Сонымен, ЯА,ЯВ реакциялары дүрыс анықталған.
1.
Раманың ішкі күш әсерлерінің эпюраларын түрғызу үшін оның барл
аралықтарына
және М 2 өрнектерін қүрамыз.
I - 1 қимасы (0 < х, < 8 м)
NхХ =КА = 16,61к Н ,
ОуХ = Н А- Чх х,
х, = 0 болғанда
0 у1 = 52,5к Н ,
х, = 8л< болғанда
(?уХ= 52,5 - 1 0 •8 = -21,5кН ;
М г1 = Н А хх- ^ - .
Мл = 0 ;
М гХ= 52,5 •8 -
'І
= 100кНм.
П - II қимасы (0 < х2 <6 м )
ИХІ = ~Ч •һ + н л = -1 0 •8 + 52,5 = -21,ЪкН ;
<2у г = -К л = - \ 6,61к Н ;
М * ‘ Н л Һ - * £ - Я л х2
I
;
М і2 = - 1ООкНм;
^ 2 = 0 болғанда
х2 = 6м болғанда
1 0 .С2
М г2 = 52,5-8 -------— -16,67 6 = 0.
III - III қимасы (0 <: х3 й 8 м)
А^з = -К в = -56,61 к Н ;
<2у3 = Н в = 21,5кН ;
М г3 = —Нд -Х3.
164
і
х3= 0
болғанда
К о=0;
М2з = -27,5 •8 = -220кНм.
ху = 8м болғанда
IV - IV қимасы (0 ^ х4 < 3 м)
Мх4 = - Я „ I -27,5кН ;
|
= -56,67/сЯ ;
Л/г4 = - Н в •һ + Кв • х4.
х4 = 0 болғанда
М г4 = -220кНм;
х4 = Злс болғанда
Л/г4 = -27,5 •8 + 56,67 •3 = -50 кНм
V - V қимасы (0 ^ х5 < 3 м)
в
= Ғ - /?в = 40 - 56,67 = -16,67к Я ;
А/г5 = - Я я -Л -Ғ -* 5 + Л я -| - + х5
х5 = 0 болғанда
М г5
50 кНм;
х* т Зм болғаңда
М 2 5 -2 7 ,5 -8 -4 0 -3 + 56,67-6 = 0.
Берілғен раманың
0 және А/, эпюралары ІИ.2.11, с, й?. е - суретте
көрсетілғен.
2. Тұрғызылған эпюралардың дұрыстығын тексеру үшін С және £
түйіндерінің тепе-теңдігін тексерейік (ІІІ.2.12 - сурет).
С түйіні үшін
- ЛГ,2 = 27,5 - 27,5 = 0;
- ^ . - 1 + ^ 2 = - ! 6-6 7 + 16-6 7 = 0 ;
м с =о,
- Л / ., + А / г.,2 = - 1 0 0 + 100 = 0.
165
\
1 1 = 16,67
V
______
Ш »
I
Щ}=100
Мх2=27,5
К 4 =27,5 “
0,4=16,67
"" Б
Оуі =27,5
Мг4=200
^^шйш^^шшшщшЫішШ Ш яшШ шшШ Ш
МгЗ=200
і9 г Л5г7 =16,67
Кф/
ЖШ =56,67
ІІІ.2.12 - сурет
Е түйіні үшін
Ү^Х = 0,
- ()у3 + N ,4 = -27,5 + 27,5 = 0;
£ У = 0,
^ г3- а 4 =16,67-16,67 = 0;
]Г М с = 0,
- М г3 + М гА = -200 + 200 = 0.
Мүнан біз, берілген раманың эпюраларының дүрыс тұрғызылғандығын
байқаймыз.
Екінші есепті шешуге «Көп аралықты статикалық анықталған
арқалықтар» тақырыбын қайталап, онда қарастырылған есеппен бірге төменде
келтірілген мысалды талдағаннан кейін кіріскен жөн болады.
ІІІ.2.4
- мысал. Берілген статикалық анықталған топсалы көпаралықг
арқалық үшін (ІІІ.2.13, а - сурет) К т б к Ш , Ғ7 = З к Н , ах т І З Ш І м ,
<у2 =1,В/сЯ/ м у а =
2 м деп қабылдап, келесі шарттарын орындаңыз:
талдау
2) июші моменттердің М және жанама күштердің
эпюраларын
түрғыңыз.
Шешуі: Жүйенің еркіндік дәрежесін аңықтаймыз
И^ = 3 ' Д - 2 - Г - С г -3-/іГд = 3 * 3 - 2 - 2 - 2 - 3 - 1 = 0
Бүл жүйе геометриялық өзгермейтін және статикалық анықталған жүйе
болып табылады.
Енді топсалы - консольды арқалықты қабатты схемаларын түземіз. Сонда
ОС және ВЕ аралықтары негізгі арқалықты қүраса, ал СО ілмелі арқалықты
қүрайды (ІІІ.2.1 3 ,6 - сурет).
Алдымен ілмелі С О арқалықтың тірек реакцияларын анықтап, ішкі күш
әсерлерінің эпюраларын түрғызамыз. Қарастырылатын арқалықтың тепе-теңдік
теңдеулері
166
М эпюрасы, кНлг
к а 1111цц ц ^
(2 эпюрасы,
26,554
14,45
М шюрпсы, кНлг
6,719
О эпиурасы, кН
10,87
26,554
14,45
М тюрасы, кНлг
6,719
£ упюрасы, кН
2,719
10,87
III 2.13 - сурет
167
£ А /С = 0,
- Қ ■сі - Ғ2 [сі + Ь)+Я„ (сі + Ь + с) = 0;
Ү М о =0,
Ғг {Ь + с ) + Ғ 2 - ( с ) - К с {сІ + Ь + с) = 0.
Осы теңдеулерден
°
<і+4 + с
ІЙ і
4,8
д с 1 1 § І І С)-+-^ . С- 1 16* ± ? * = 4,25 Й .
с
а + Ъ+ с
4,8
Тексеру
= 0,
- К 0 - Я с + Ғ] + Ғ2 = 0;
4,75• 103 -4 ,2 5 • 103 + З Ю3 + 6 -Ю 3 = 0 .
СО арқалықтың М және 0 эпюраларын тұрғызамыз:
1 аралықта (0 < хх < 2 л<)
бі = Л С =4,25 /сЯ,
х, = 0 болғанда М А = 0 ,
М,
•*,,
хл = 2 м болғанда М, = 8,5 кНм
2 аралықта (2 л* < х 2 '£ 3,6 л<)
0 2 = Л С - ^ І = 4 ,2 5 -6 =-1,75 кЯ ;
М 2= /?сХ 5- Ғ 2 -(х5-(/),
х2 = 2 м болғанда М5 = 8,5 #сЯ/и, х 2 = 3,6
болғанда М2 = 5,7 кЙм.
3 аралықга (0 < х 6 < с)
0з = -Л п = -4,75 к Н , М3 =
*%,
х3 = 0 болғанда А/3 = 0 , х3 = 1,2 м болғанда Мъ =5,7 кЯм.
Анықталған шамалар бойынша С£) арқалықтың М және 0 эпюраларын
тұрғызамыз (ІІІ.2.13, с - сурет).
168
Енді негізгі Ш арқалықты қарастырамыз (ІІІ.2ЛЗ, с і - сурет), ол бір ұшы
қатаң тіректі (консольды) арқалық болғандықтан, М және ^ эгпораларын
арқапықтың бос ұшыкан бастап қарастьфп тұрғызамыз.
4 аралық (0 <
а)
т ,
0 , - - К о - Чг.х„
М4 = -Л 0 .х4- * 2 ^ ,
хА= 0 болғанда 0» = -4,75кЯ, М 4 = 0 ,
|р
Н3,4ж болғанда (24 =-10,87 к # , М4 =-4,75 3 ,4 - - -
2
* .
Қарастырылган М |: арқалықтың М және д эпюраларын ПІ.2.13, с і - суретте көрсетідген.
Негізгі 0 С арқалықтың (ІІІ.2.13, е —сурет) тірек реакцияларын келесі тепе-теңдік теңдеулерінен анықтап, М жэне
эпюраларын тұргызамыз
■ В
2
у л /,= о ,
2
■
2
2
Н
Мұнан
Явш-----------1-----§---і
і—
=4
,5
І1
<
с
Н
,
О
1,0
_ * с .с _ 9 і ^ + 9 ' ( а + Ь)2
Ь
1,6
Тексеру
&л + к в~Чі (а + ь + с ) - я с = 0 ,
15,219 + 4,531-15.5-4,25 = 0.
ОС аркалықтың М жэне £) эпюраларын тұргызамыз:
5 аралык (0 <; дг5 £ 3,4 м)
169
= 15,219 к Н .
05 =-<7Г*5,
х5 = 0
Я5 = 0,
болғанда
х5 = 3,4 л< болғанда
М і= - * к - ү - ,
Л/5 = 0,
0 5 = - 4 /сЯ, М5 =-14,45 /сНм.
6 аралық (3,4 м й х6 й 5 м)
бб =
2
~ 9 і ' х6> ^ б =
*(^2 —а )
^
Щ
4
х6 = 3,4лі болғанда ^ = 6,719к//, М6 =-14,45 кНм,
х6 = 5м болғанда <2б = 2,719к //, М6 = -6,9 кНм.
1 аралық (0 < х7 < 1,2 лі)
07 =
+ Я\
' Х1
» ^7 “
I*7
1
»
х7 = 0 болғанда 0 7 = 4,25 к / / , М7 = 0,
х7 = 1,2 л< болғанда £?7 = 7,25 /сЯ, Л/7 =-6,9 /сЯм.
ОС арқалықгың А/және 0 эпюраларын тұрғызамыз (ІН.2.13, е —сурет).
Енді ОС, С£>, Д £ арқалықтарының сәйкес М және
эпюраларын бір
түзудің бойына тұрғызьш, берілғен үшаралықты статикалық анықталған топсолы-консольды арқалықтың ішкі күштер әсерлерінің эпюраларьш саламыз
(ПІ.2.13 , / %- сурет).
Екінші семестрлік жүмыс тапсы рм алары ны ң орындалуы. Бірінші
есепті шешуге «Қию әдісі», «Ішкі күш әсерлері», «Жазық статикалық
анықталған рамалардың ішкі күш факторларының эпюраларын түрғызу»,
«Статикалық анықталмаған жүйелер», «Күш әдісі», «Статикалық анықталмаған
рамаларды күш әдісімен есептеу» тақырыптарын қайталап, ондағы есептерді
және төменде қарастырылатын мысалды талдағаннан кейін кіріскен жөн болаДЫ.
щ
| V- г
\
*Д ... / ::
III.2.5 - мысал. Статикапық аныкггалмаған рамаға келесі есептеулерді
жүргізіңіз (ІИ.2.146 а - сурет):
1) жүйенің стагикалық анықталмаған дәрежесін анықгаңыз;
2) раманың негізгі жүйесін таңдап алыңыз;
170
3) раманың таңдап алынған негізгі жүйесіне жүктемелік М ғ жэне бірлік
М; иіоші моменттерінің эпюраларын түрғызыңыз;
4) Верещагин Тәсілімен эпюраларды көбейту арқылы күш әдісінің
канондық теңдеудің 8ц бірлік орын ауыстыруларын және / \ ғ бос мүшелерін
(жүктемелік орын ауыстыру) анықтаңыз және олардың дүрыстығын тексеріңіз;
5) түрғызылған канондық теңдеулерді шешіп белгісіз Х { күштерін
тексеріңіз;
6) анықталған Х % күштердің июші моменттерінің эпюраларын
М{ ШМ( *X; тәуелділігі бойынша түрғызыңыз;
7) суперпозиция принципін қолдана отырып ақырғы М = М ғ + ' Ғ М І-ХІ
июші моменттердің эпюраларын түрғызыңыз;
8) берілген раманың көлданаң £) және бойлық N күштерінің эпюраларын
түағызыңыз;
9) рамаға түтас және оның жекеленген түйіндеріне деформациялық және
статикалық тексеру жүргізе отырып түағызылған М , (), және N
эпюраларының дүрыстығын тексеріңіз.
Шешуі: 1 Жүйенің статикалъщ аныңталмаган дәрежесін анықтау.
Раманың статикалық
анықталмау дәрежесін келесі формуламен
есептеледі
п = ЗК —Ш ,
мүндағы К - жүйедегі түйықталган контурлар саны, тіректі қоса есептегенде;
Ш - жүйедегі дара топсалардың саны, тіректі қоса есептегенде.
Қарастырылған мысалда, егер ойша жерді қоссақ (ІИ.2.14, а - суреттегі
пунктир сызықты қараңыз), К = 2, Ш = 4, п = 3-2 - 4 = 2 болады. Сонымен,
берілген рама екі рет статикалық анықталмаған немесе басқаша айтқанда екі
артық байланысы бар.
2
Негізгі жүйені таңдау. Күш әдісімен есептеуде берілген статикалық
анықталмаған жүйеден, негізгі жүйе деп аталатын геометриялық өзгермейтін
статикалық анықталған жүйеге отетіні бізге белгілі. Негізгі жүйе берілгеннен
артық байланыстарды алып тастап, оларды әсер етуші белгісіз Х { (і‘= 1,2,...л)
күштерімен алмастыру арқылы алынады. Негізгі жүйені таңдап алудың үлкен
маңызы бар, өйткені есептеудің дәлдігі мен өнімділігі соған байланысты.
Қолайлы алынган негізгі жүйе есептеуді жеңілдетеді.
ІИ.2.14, Ь, с, сі - суретгерде келтірілген негізгі жүйелердің үш түрінің
біріншісінің есептеуге ең қолайлы екенін аңгарамыз, өЙткені бүл жағдайда:
- тірек реакцияларын анықтаудың қажеті жоқ;
- бүл жүйедегі Х ,= \, Ху- \, Ғ және ц жүктемелерінің әрқайсысыиын
әсерінен түргызылатын ию моментінің эпюралары жүйенің аздаган
аралықтарында таралады жәнс қарапайым геометриялық фигураларды
171
кескіндейді. Бұл дегеніміз канондық теңдеулердің коэффициенттерін есептеуді
жеңілдетеді деген сөз.
.,
-уШ
Сонымен есептемелік негізгі жүйе үшін 1 нүсқаны таңдап аламыз.
$=2кН/м
£=3м
Л=4кН
1/2
2 нүсқа
Ь)
1 нүсқа
//2= 1 5м
(!)
ІИ.2.14 - сурет
172
3 нүсқа
3 Бірлік М} мен М 2 және жүктемелік М^ мен М ғ июиіі моменттерініц
гларын тұргызу. Іріктеп алынған негізгі жүйені Щ = 1, Х ?=1 және
жүктемелерімен алма-кезек жүктемен
жүктемелік М ҒУ М (ІИ.2.14, §, һ сурет) эпюраларын түргызамыз
түргызу. Канондық теңдеулердің
оелгісіздердің санына немесе жүиенің статикалық анықталмагандық дәрежесіне
тең болады. Бүл теңдеулердің әрқайсысы әр белгісіз күш бағытындағы барлық
белгісіз күштердің жэне берілген жүктеме әсерлерінен болатын орын ауыстыру
шамалары нөлге тең екендігін көрсетеді, себебі берілген жүйеде осы
болмайды
түрі
\^\ +
2
Ғ ~~
Өзара орын ауыстыру теоремасы бойынша
^12 ~^2Г
Канондық теңдеулердің коффиценттерін анықтау үшін негізгі жүйені алдымен бірлік ЛГі=1 (III.2.14, е - сурет) және ^ 2 = 1 (ІИ.2Л4, / - сурет),
күштерімен жүктеп, ал сонан кейін берілген ^ және Ғ жүктемелерімен
(ІИ.2.14, £, һ —сурет) жүктеп, А/,, М2, М ц және М ғ июші моменттердің
эпюрлерін түргызамыз.
1------------0 * * . 1 1 * * 2 г 108
д --------2 *6 • 6 + ----- - —■6 •6 •—• 6 = ----- ;
1 ЕІ2
Еіх 2
3
ЕІ2
ЕІ2 2
ЕІ.
2
£/_
£ = 2 — •-•2 -2 --2 +— - 2 - 3 - 2 = —
22
ЕІ2 2
3
ЕІ.
ЕІ2
■
1
3
ЕІ. 2-6
2 - 3 - 6 - —-6
2
1
Лд ~ ЕІ 6 -2 -9
2
Е1~
2
307.125
2
£7^
2
ЕІ.
ЕІ
2
131.625
(3-6 + 3> = ЕІ
2
2
ЕІ 2
1 . . 9 . 2 . - + — .1 .9 - 3 - 2 = 27
ЕІ
2
2
5
Коэффициепттердіц дүрыс аныцталганын тексеру. Есептелінг
канондық теңдеулердің коэффициенттері мен бос мүшелерін тексеру қажет. Ол
үшін қосынды бірлік эпюрі М^ түрғызылып (ІИ.2.14, к -сурет), шартты орын
ауыстырулар есептелінеді:
мъ(мғ + —а
М )фс
МІсһс
п/
ПI
ЕІ
Егер коэффициентер мен бос мүшелер дүрыс анықталган болса, онда
есептелген 355 шамасы әр багытта және әр бірлік күштерден жеке есептелген
бірлік орын ауыстыру шамаларын қосумен анықгалатын қосынды коэффиии- I
ентке, ал А^ғ коэффициентті бос мүшелердің қосындысына тең болуы қажет, |
ягни
I
1 4 ;
108 1 2 1 5 1 215
5 —<5|) + З х2+ $2\ + ^22 ~
Е1г ЕІ 2 ЕІ 2
8
11.333
ЕІ 2
68.333
ЕІ
1 3
1 2
= — - [ б - 6 + 4 -4 ; + 6-4 + 4 -б ]+ -^г т [2-(г4-4 + 1 -і; +
£7, 6
I
+ 4 .1 + 1 . 4 ] + _ 1 _ . І . 2 - 2 - - - 2 + — . І - З - З - - ^ ^ ^
1 Ж
2
3
ЕІ, 2
174
3
ЕІ,
І 4 . 4 , +4 .+ 4 ,+ 4
е і2
е і2
еһ
еһ
еі
Ағч = - 7Ғг----- г - ^ - 2 1 8 - —- - ~ [ 2 Ү 4 18 + 1-6> + 4-6 + 1-18]Е12 2
£ /, 6
т
1
£7,
6
1 6+4
1 3-9
л „
339.75
Ь-(2-Ъ + —) ---------------- 2 -9 -------------- ^3-4 + 1) = 2
£ /2 2
£ /, 12
ЕІ
Бүдан
+ <?І2 +<521 +<*22 _ ^ві
4 ғ + ^ гғ ~ А Ғд
шартыда орындалады, ягни анықталган шамалар дұрыс есептелген.
6 Канондыц тецдеулер жүйесін шегиу жэне олардың дүрыстыгын тексеру. Анықталган коэффициенттер мен бос мүшелерді канондық теңдеулерге
қойып жэне оларды Е12 қатаңдыққа қысқартамыз, сонда
ІО Щ
-2 5 .5 * ,
-
25.5Х2
-
307.125-131.625
=
0;
+
11.333^2
+
72 + 27
=
0.
Теңдеулер жүйесін шешіп, белгісіз Х х мен Х 2 күштерінің шамаларын
анықтаимыз
X, = 4.267 кН\
Х2 * 0.865 кН.
Белгісіздердің есептеулерінің дүрыстыгын тексеру үшін анықталган Х\
жэне Хг мәндерін бастапқы теңдеулерге қоямыз
108 •4,267 - 25,5 •0,865 - 438,750 = 460,836 - 460,808 « 0;
- 25,5 •4,267 +11,333 -0,865 - 438,750 = -108,808 +108,803 * 0.
7
Ақыргы ию моментінің этораларын түргызу. Ақыргы ию моменті
эпюраларының ординаталарын кесте түрінде (III.2.II - кесте) есептеген
тиімділеу, ол үшін ию моментінін таңбаларын ескере отырып (III.2.15, Ь - кесте)
раманың сипаттамалары қималарын нөмірлеу керек.
175
2,8665м
л=2кН/м
шах
/Һ 7 3
2,8665м
түніні
С түніні
5.071кНм
3,12КкНм
6,80ІкН м
5>733
1,73кНм
С түшні
В түівні
0,267кН
0,267кН
0,865кН
0,865кН
5,733кН
Р=4кН
4,267кН
1,398кНм
0,865кН
НІ.2.15 - сурет
176
5,733кН
0,865кН
Ақырғы июші моменттгер эпюрасы М -ді «түзетілген» МхХ х және МгХ 2
біп.тік июші момент эпюралары (ІИ.2.15, с, сі - сурет) мен жүктемелік М ғ , М
(111.2.14, £, һ - сурет) эпюраларын өзара қоса отырып, ягни (111.45) өрнегін
пайдалана отырып тұрғызамыз
м ^ м ^ м ^ ү м .-х ,
(/ = 1,2).
«Түзетілген» М хХ х жэне М 2Х 2 эпюраларын М х және М 2 бірлік
эпюраларыньщ ординаталарын (ІІІ.2.14, е , / - сурет), сәйкес, Х { мен Х 2 артық
белгісіздердің мэндеріне, таңбаларын ескере отырып, көбейтіп тұргызамыз
41
м,х(= Щ •л г ,.
Осылайша тұрғызылған М хХ х және М гХ 2 эпюралары III.2.14, / және
ІІІ.2.15, а - суреттерде кескінделген.
ІП.2.11 - кесте
Қиманың
М хХ х,
нөмірі
Н-м
0
25.602
1
25.602
25.602
2
12.801
3
4
0
0
5
12.801
6
6.400
7
8
6.400
0
9
мғ ,
м„,
кН-м
-9.0
-9.0
-9.0
0
0
0
0
0
0
0
кНм
-18.0
-18.0
-18.0
-6.0
0
0
-6.0
0
0
0
#
М 2Х 2,
кН-м
0
-1.73
-1.73
-1.73
-1.73
0
0
0
0
0
М,
кН-м
-1.398
-3.128
-3.128
5.071
-1.730
0
6.801
6.400
6.400
0
Раманың 2—3 аралығындағы ақырғы ию моменттері эпюрасы
қисықсызықты болғандықтан (П.2.15, с - сурет), оны дәлірек тұрғызу үшін ию
моментінің экстремальды мәнін аньщтаймыз. Ол үшін статикалық
анықгалмаған жүйеден бөлініп алынған 2-3 элементін қараСтырамыз (11.2.15, (1
- сурет). Бүл ригельге бірқалыпты таралған күш = 2 кН/м жэне тіректік екі
момент Мі = -3.128 кНм және М^ = 5.071 кНм әсер етеді.
Алдымен тірек реакцияларын анықтаймыз
."ГіЛ-.;||р
'•••.'• - 'л' "
-
•-
Е Л/2( ^ ) = -Л 3 *3 - 5,071 - 3Д28 +
177
2*3^
= 0;
_
2-3
^ М |( Ғ і )= Л 2 -3-5,071-3,128 + —- — = 0,
мүнан і ?2 ~ 5,733 кН және /?з = 0,267 кН.
Тепе-теңдік теңдеуін құрып реакциялардың дұрыс-бүрыс анықталганын
тексереміз
= Л2 +Л 3 - я - 3 = 5 ,7 2 2 -0 ,2 6 7 -6 = 6 - 6 = 0.
0 = 0, ал М = Мех/ болатын қиманың
координатасын
дифференциальдық тәуелділікті қолданып анықтаймыз
келесі
іШ ^ = 0 {х)=К2 - д х = 0 ,
ах
Мұнан
* = Хва =
о
2
= 2,8665^.
Онда осы қима үшін
дх '.
? •2 86652
=Л,х і -----— -3.128=5.733-28665------- 5--------3.128=5,099кНм.
ех1 ^ ехі
2
2
Анықгалган ординаталар бойынша ақыргы июші моменттердің М эпюралары тұрғызылады (ІІІ.2Л5, с - сурет).
Тұргызылган М эпюраларыныц дұрыстыгын тексеру. Статикалық тексеру жүргізу үшін раманың тірек түйіндерінен басқа түйіндерді кесіп алып,
оларға барлық әсер етуші моменттерді түсіремізде олардьщ тепе-теңдігін
тексереміз. Қарастырылушы мысалда В жэне С түйіндерін кесіп аламыз және
олардың тепе-теңдігін тексереміз
€
•
В түйіні: ^ М в = ЗД28 - ЗД28 = 0.
Стүйіні: У М С = 5,071 + 1,73-6,801 = 0.
В және С түйіндерінің тепе-теңдігі сақталады. Түйіннің тепе-теңдік
шартының орындалуы қажеттілік шарт болып табылады бірақ жеткіліксіз.
Ақырғы июші “моменттердің дүрыстығының жеткілікті шарты болып М эпюрасын пайдаланып берілген жүйенің деформациялық тексеруді қанагаттандыруы,
оның мәнісі алып тасталған байланыстардың багыттарында түйіндерде орын
ауыстырудың болмайтындығын дәлелдеу, ягни
к 1> м м
7 =1 0
“
/
Есептеуге ыңғайлы болу үшін раманың 2—3 аралығындағы қисықсызықты
М эпюрасын трапеция мен параболлаға бөлу тиімді. Онда
Д
8
+
■
• 7 [ 2 а 4 - 6 + 3)128-4;+3,128-6 + 1,4-4]+
Ш2 6
ЭІЬІү
М + 1; + т = г [ 2 •Г-3,128 •4 + 5,071-1; - ЗД28 • 1+ 5,071 •4]+
^
-”
*
*■
+ — - ^ • 2 1 , 7 3 ~ - 2 + - ^ - [ 2 - ( г6,8-3+6,4 1,5; + 6,8 1,5 + 6,4-3]+
ЕІ- 2
3
6 £ /і2
*
+ ---------6,4 -1,5 — 1,5 » 0.
ЕІХ 2 .
3
0 ♦,эпюрасын
түргызу.
Жанама
күш
эпюрасы
0
-ді
июші
момент
эпюрасы
^
М бойынша түрғызамыз (111.47) өрнекті қараңыз).
0-7 аралыгы. Бүл аралықта сыртқы күш жоқ, сондықтан 0 ° = 0 . 0 о_,-ді
(111.47) өрнектен анықтаймыз
Й
-3 .1 2 8 -^ -1 .3 9 8 ;
л о _ гг
0о_, ------------------------- = -0.865 кН.
2-3 аралыгы. Бүл аралыққа қарқындығы <7 = 2 кН/м бірқалыпты таралған
күш әсер етеді, сондықтан
¥
5,071 - Г-3,198; „ „ в0#7„
^
У2-3 = — Чх + -------------------- = 3 - 2х + 2,733 = 5,733 - 2х,
2
3
мүнан х = 0 болғанда 0^ = 5,733 к#;
х = 3м болғанда 0 3 = 5,733 - 6 = -0,267 к//.
4 -5 арал ы гы .
0 4_3 = — ------= 0,865 «•//.
179
6 -7 аралыгы.
-б,
4
-(-б,т
)
шт
т
Ув-7 Ш-------------------- = 0,267 кН.
8 -9 аралыгы.
(?8_9 = ------— = -4,267 кН.
II
Анықталган ординаталар бойынша @ эпюрасын түрғызамыз (ІИ .2.15,/ сурет).
Щ
’ ~ 4.,/ ^ -^іГ-тЧ | :'4' у '
- |Я
N эпюрасын түргызу. 0 эпюрасынан раманың кесіп алынатын
түйіндерінің р Щ . = 0 және ^ ] Ғ У= 0 тепетеңдік шарттары бойынша бойлық
күштерідің N эпюраларын түрғызамыз. Теріс жанама күшті кесіп алынған
түйінді сағат тілі жүрісіне қарсы, ал оң таңбалысын сағат тілі жүрісі бағытында
айналдыратындай бағыттаймыз. Түйіннен бағыттылған N бойлық күшті оң
таңбалы деп, яғни бағана мен ригель созылады деп қарастырамыз.
В түйінін бөліп алып, тепе-теңдік теңдеуін түзейміз
% Ғ Х= 0 ,
ЛГ2_з + 0,865 = 0 , # 2_з = -0,865 кН;
2Х =0,
ЛГ,_0 + 5,733 = 0,
ІУ,_0 = -5,733кН.
Теріс таңбалар бағана мен ригельдің бойлық күштерінің бағыттары дүрыс
алынбағанын көрсетеді, сондықтан бағана мен ригель нақты созылуға емес
сығылуға жүмыс жасайды.
С түйінін қарастырудан
Ү,Ғх = 0 ,
Ы6_9 - 0,865 + 0,865 = 0, ЛГ6_9 = 0 ;
£ > у = 0, _ лг4_5 -1,267 + 0,267 = 0 ,
ЛГ4_5= 0.
Әрбір аралық үшін анықталған шамалар бойынша N эпюрасын
түрғызамыз.
1
!
(Щ
9
Толыц рамага статикалык, тексеру жүргізу. Толық рамаға статикал
тексеру жүргізу
N және М эпюраларының дүрыс түрғызылғандағын
нақтылау үшін жүргізіледі. Ол үшін берілген раманы тіректерден босатамыз
және олардың әсерін осы қималарды туындайтын
N және М ішкі
күштермен алмастырамыз. Олардың мәндері сәйкес (?, N және М эпюраларынан алынады. Ішкі күштердің бағыты олардың таңбасына сәйкес болуы тиіс.
Сондықтан:
] Г Ғ Т= 0 ,
0,865-0,865 = 0 ,
180
0 = 0;
2 Х = 0 , 5,733 + 4,267 - 6 - 4 = 0 ,
0 = 0;
£ Л / , = 0 , 1,3-8 + - ^ + 4-4,5-4,267-6 = -2 7 + 27 = 0, 0 = 0.
Тепе-теңдік теңдеулері орындалады, сондықтан рама дұрыс есептелген.
Екінші а есепті шешуге «Қию әдісі», «Ішкі күш әсерлері», «Жазық
статикалық анықталған рамалардың ішкі күш факторларының эпюраларын
тұрғызу», «Статикалық анықталмаған жүйелер», «Күш әдісі», «Статикалық
анықталмаған рамаларды күш әдісімен есептеу», «Статикалық анықталмаған
рамаларды орын ауыстыру әдісімен есептеу» тақырыптарын қайталап, төменде
қарастырылған мысалды талдап, статикалық анықталмаган рамаларды орын
ауыстыру әдісімен есептеуді игергеннен кейін кіріскен абзал.
ПІ.2.6 —мысал. Екі рет статикалық, бір рет кинематикалық анықталмаған
рамага келесі есептеулерді жүргізіңіз (ІП.2.16, а - сурет):
1) жүйенің кинематикалық анықталмаған дәрежесін анықтаңыз;
2) раманың негізгі жүйесін таңдап алыңыз;
3) раманың таңдап алынган негізгі жүйесіне жүктемелік М ғ және бірлік
Мі июші моменттерінің эпюраларын тұрғызыңыз;
4) Верещагин тәсілімен эпюраларды көбейту арқылы орын ауыстыру
әдісінің канондық теңдеудің
бірлік реакцияларын және ЯіҒ бос мүшелерін
(жүктемелік реакциялары) анықтаңыз және олардың дұрыстыгын тексеріңіз;
5) тұрғызылган канондық теңдеулерді шешіп раманың түйіндерінің
белгісіз 2 § орын ауыстыруларын анықтаңыз және оның дұрыстығын тексеріңіз;
6) раманың түйіндерінің анықталған 2 { орын ауыстыруларынан туындайтын июші моменттерінің эпюраларын М ( = М { •2 { тәуелділігі бойынша
тұрғызыңыз;
_
7) суперпозиция принципін қолдана отырып ақырғы М = М ғ +
\2 (
июші моменттердің, көлданаң £? және бойлық N күштердің эпюраларын
тұағызыңыз;
8) тұтас рамаға статикалық тексеру жүргізе отырып тұағызылған М ,
және N эпюраларының дұрыстығын тексеріңіз.
Шешуі: 1. Раманың кинематикалық анықталмау дәрежесін анықтау.
Раманың кинематикалық анықталмау дәрежесін пк келесі формула негізінде
анықтаймыз
пк - * с + пб>
181
мұндағы пс -стержендер қосылыстарының қатаң түйіндерінің белгісіз серпімді
сызықтық орын ауыстаруларының саны; пб — стержендер қосылыстарынын
қатаң түйіндерінің белгісіз серпімді бұрыштық орын ауыстаруларының саны.
Берілген раманың стержендерін қатаң қосатын тек бір түйін гана бар, ол
рама деформацияланғанда бір еркін серпімді бұрыштық орын ауыстаруын
туындатуын тудыруы мүмкін, сондықтан пб = 1.
Сонымен, раманың кинематикалық анықталмау дәрежесі
ик = 0 + 1 = 1.
т
2. Раманың негізгі жүйесін (НЖ) сұрыптау. Әрбір раманың НЖ біреу ғана
болады, өйткені оның схемасы раманың түйіндерінің орын ауыстыру сипатына
(майысу және/немесе бұрылу) және кинематикалық анықталмау дәрежесіне
байланысты. Берілген кинематикалық анықталмаган жүйеден кинематикалық
анықталган жүйеге ауысу стержендердің қосылу түйіндеріне, берілген сыртқы
күштердің әсеріне байланысты туындайтын деформациялар негізіндегі,
серпімді орын ауыстыру багытында (майысу және/немесе бұрылу) қосымша
байланыстарды енгізу арқылы іске асырылады.
Негізгі жүйеге қойылатын шарттар мынадай: 1) стержень тәріздес байланыстарды енгізгенде берілген топсалы жүйенің геометриясы өзгермейтін болу
керек; 2) негізгі жүйеге барынша аз қосымша байланыстар енгізіп, жүйені екі
ұшы қатаң бекітілген, немесе бір ұшы топсалы, екіншісі қатаң тіректі жекеленген арқалықтарга жіктелуі керек.
1
Қарастырылып отырған раманың НЖ 1 түйінде қатаң тіректі енгізумен
қалыптасады (НІ.2.16, Ь - сурет). Соның нәтижесінде рама ұштары сәйкесінше
бекітілген жеке-жеке иілетін екі 0-1 және 1-2 стержендерге бөлінеді.
3. Рамың негізгі жүйесінің жүктемелік М ғ және бірлік М{ июші
моменттерінің эпюраларын тұргызу. Белгілідей, иілетін дара стержендердін
ішкі күш әсерлерінің эпюраларын тұргызу мен тірек реакцияларын анықтау
жақсы зерттелген және әртүрлі жүктелген арқалықгар үшін оқулықгарда,
анықтамаларды және т.б. техникалық әдебиеттерде келтірілген. Төменде,
статикапық анықталмаган раманы орын ауыстыру әдісімен есептеуде, оларды
дайын түрінде қолдануды көрсетеміз.
.ЦИ
Алдымен раманың НЖ тек 1-2 ригелге түсірілген берілген ц таралған
күштен туындайтын ию моментінің М°ғ жүктемемелік эпюрасын тұргызамыз
(ІИ.2.16, (і | сурет). Осы суретте
1 и 2 ригелінің ұштарындагы тірек
реакцияларының және иілу моментінің сипаттамалы ординаталары есептелген
формулалар келтірілген.
|
НІ.2.16, е - суретінде НЖ 1 түйінінің еріксіз 2 і= 1 бірлік бұрышқа
бұрылуының (III.2.16, с - суретінде осы бұрылыстың схемасы көрсетілген)
нәтижесіндегі иілу моментінің М х бірлік эпюрасы келтірілген. Мұнда осы
жүктемеден туындайтын 0-1 және 1-2 стержендерінің сәйкес ұштарының
қимасындағы тірек реакциялары мен июші моментің ординаталары анықталған
стандартты және түрлендірілген формулалар келтірілген.
ь)
^ ^ - 7 2 кН' Мр
- эпюрасы,
М 2. --эпюрасы,
кНм
кНяі
Һ)
5,33кН
12 кН
Ш 64 =5.33 кН
12 ЕІ
3Е1 .64
„
1Г и ' І2,іН
- эпюрасы,
кНм
ІП.2.16 - сурет
183
я
%
4.
Орын ауыстыру әдісінің канондық теңдеулерінің бірлік жэ
жүктемелік реакцияларын анықтау. Жалпы жағдайда,
орын
ауыстыру
әдісінің канондық теңдеуі п теңдеулерден түрады, п = пб :
Гц -2, + г12 2 г +... + г1й - 2 п +К?ғ =0;
Г2\ *
ГпХ
**22 * ^ 2
Г2п *
* 2 | + Гя12 *2^ + .*• +
Гт
+ ^2^
*2 И + -йд/г
0,
мүндаға Е°ғ — берілген сыртқы жүктемелерден НЖ енгізілген қатаң тіректегі
немесе тіректік стержендегі реактивті момент немесе реактивті күш; / | - НЖ ]
түйінін 2у = 1 бірлік бүрышқа бүрылуынан і түйініндегі қатаң тіректің
реактивтік моменті немесе у түйінінің 2у = 1 бірлік сызықтық орын ауыстыруынан і түйініндегі сызықтық байланыстағы реактивтік күш.
Бір рет кинематикалық анықталмаған раманың орын ауыстыру әдісінің
канондық теңдеуі былайша
Гц • 2 | +Л||г = 0 .
Ш
гп жэне Я*ғ шамаларының мэндері эмбебап Верещагин эдісімен сэйкес
ию моменттерін көбейтумен (сэйкесінше М \ хМ , и М°ғ х М і) есептеуге болады. Егер рама тік және көлденең стержендерден қүрылған болса (көлбеу стержендер болмайды), онда г,, мен К°ғ шамапары сэйкес эпюрапардан түйіндерді
кесіп алып жэне осы түйіндерінің тепе-теңдік шарттарын тексеру жолымен өге
қарапайым есептеуге болады.
Ж
М\ бірлік эпюрасынан өзара перпендикуляр, 1 түйіннің ауырлық
центріне өте жақын орналасқан, екі қимамен 1 түйінін кесіп алып жэне оның
тепе-теңдігін қарастырып, моменттер тепе-теңдік теңдеуін түрғызамыз (ІИ.2.16,
8 “ сурет
і
■щ '
+ ^ + £ 7 = 0.
Мүндағы
ЕІ
в
- ДД
жэне ЕІ моменттері М\ бірлік эпюрасының 1 түйін
2
төңірегінен (III.2 .1 6 ,/- сурет) алынады, онда 1 түйінін 2 \ =1 бірлік бүрышқа
бүғаннан болатын НЖ осы түйіндегі г,, =1,5£У бірлік реактивті моментті аламыз.
184
і
Мүман кейін, осы сияқты, М ғ жүктеме эпюрасынан 1 түйінін кесіп алып
және оның тепе-теңцігін қарэстырып, моменттер тепе-теңдік тендсуін
түргызамыз (ПІ.2.16, £ —сурет)
ф
96 = 0.
Мүнан НЖ берілген сыртқы ^ жүктемемесінен 1 түйінінде енгізілген
қатаң тіректің реактивті моментін анықтаймыз
К\Ғ = -9 6 кНм,
мүн,
жүктеме
теңдеулерді шешіп раманың түйінінің
2, орын ауыстыруын анықтаңыз және оның дүрыстыгын тексереміз, ол үшін
теқдеуге
1,5£/-2І - 9 6 = 0,
мүнан берілген рамаға берілген сыртқы күштерінің әсерінен 1 түйінде туындайтын бүрылу бүрышын аламыз;
2, = “
ы
I
Оң таңбамен алынған 2, шамасы, НЖ схемасында көрсетілген 1 түйіннің
бүрылу бүрыш бағыты дүрыс алынғанын аңғартады (ПІ.2.16, Ь - сурет).
6.
2/ бүрыштық орын ауыстырудың иіле моментінің эпюрасын түрғызу.
' Шамасы анықталған 2, бүрылу бүрышы әсерінің М х ию моменті эпюрасы,
суперпозиция принципі негізінде, алғашқы М\ бірлік моментінің барлық ординаталары анықталған 2, мәніне көбейтіліп түрғызылады (ІП .2.16,/- сурет)
А/. =А /і -2,.
7.
Берілген раманың ақыргы ию моментінің, көлденең және бойлық күш
эпюраларын түрғызу. Берілген статикалық анықталмаған раманың, М 2 июші
момент эпюраларының ординаталары М ғ жэне Л/, • 2, эпюраларының
сэйкес ординаталарының қосындысымен анықталады (ПІ.2.17, а - сурет)
М и = М°ғ + М I • 2, = М°ғ + Л /,.
185
ь)
а)
М 2 = 1 2 8 кНм
и
1
♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ » \ \ і ... Ң■ш 5'33 кң
84 кН
64------4и
х*=4.б7
м
«----- :----- эн
ю
Н0=5,33 кН
8и
і г
У0 =60 кН
<0
с)
**=4.67м.
ІП.2.17 - сурет
і
1-2 ригел бойындағы июші моменттің М
ең үлкен мэнін анықгау үшін
июші моменттің жалпы теңдеүін жазаЗық (1ІІ.2.17, Ь - сурет):
дх
М = Ү2 - х 2
Соңгы теңдеуден х бойынша туынды алып, нөлге теңестірейік:
ам = Ү2 - 9*2 = 0,
сЬс
осыдан
Ү2 = —
84 = «4,67
і м.
2• = —
д
18
Ең үлкеет июші моменті:
11 і№ г:к1184 •4,67 -
М тах = У 2 ' Х
2
186
~ 4,6І - = 68 кНм
2
Ақырғы июші моменттердің, жанама жэне бойлық күш эпюралары
(ПІ.2.17, с,
суреттерінде) көрсетілген.
8. Раманың тепе-теңдігін статикалық тексер>. Ш.2.17, Ь - суреті негізінде
раманың тепе-теңдігін тексерейік. Ол үшін рамага әсер ететін еркін орналасқан
күштер жүйесінің тепе-теңдігік теңдеулерін түргызайық.
Күиггердің көлденең х өсіне проекцияларының тепе-теңдігі:
Н 0 —Н 2 = 0;
5,33-5,33 = 05,
0 = 0.
Күштердің тік у өсіне проекцияларының тепе-теңдігі:
£ / % = 0; Қ, + К2 - 4 - 8 = 0; 60 + 8 4 -1 8 -8 = 0 ; 0 = 0.
Жазықтықтың кез-келген нүктесіне қарагандагы күш моменттерінің тепетеңдігі, мысалы, 2 нектеге қарағандагы:
Х м 2г=0; ?-8 -4 + Я о - 6 - Ғ о .8 - Л /2 = 0;
18-8-4 + 5 ,3 3 -6 -6 0 -8 -1 2 8 = 0; 0 = 0.
Сонымен, есептеу нәтижесі раманың актив жэне пассив күш әсерлері тепе-теңді кте түрғанын көрсетеді.
Екінші Ь есепті шешуге «Үш топсалы арка» тақырыбын қайталап,
төменде қарастырылған мысалды талдағаннан кейін кіріскен жөн болады.
.я
р
ІІІ.2.7 - мысал. Түтас үш топсалы параболалық арқаға (ПІ.2.18 - сурет)
• •
келесі есептеулерді жүргізіңіз:
1) арқа өсінің көрсетілген нүктелеріндегі геометриялық сипаттамаларын
есептеңіз жэне оның өсін сызыңыз;
2) берілген сыртқы күштерден туындайтын тірек реакцияларын
анықтаңыз;
3) арқаның ішкі күш әсерлерінің эпюраларын түрғызыңыз.
Арқаның ені
/ = 16л/, еңсе биіктігі / = 4 м . Ғ} = 20к//, Ғ2 =40к//,
<7 = 20кН/м. Арқа өсінің теңдеуі у = - —•(/-х -д :2) -
квадраттық парабола, ал
жүктеме сипаты ІИ.2.18 - суретте келтірілген.
Шешуі:
1 Арца өсінің көрсетілген нүктелеріндегі геометриялъщ сипаттамаларын есептеу жэне арқаның осін сызу. Арқа өсінің теңдеуін дифференециалдап, арқаның өсін түрғызу үшін жэне кейінгі есептеулерге қажетті
орталық өстің белгіленген нүктелерінің X: , у^ координаттарын білу үшін, арқа
өсінің әрбір /
нүктесіне түсірілген жанаманың
анықтайтын өрнекті аламыз
187
<р( еңкіштік бүрышын
сһс
ф 4
Ш.2.18 - сурет
Арқа енін I 2 метрден тең 8 бөлікке бөлейік. Арқа өсінің сәйкес
нүктелерін сол жақтагы тірек центрінен бастап оң жақтағы тірек центріне дейін
нөмірлейік, ягни 1 ден 9 дейін (ІІІ.2.19, а - сурет). Арқаның орталық өсінің
әрбір нүктелері үшін
у -9 щ 9 &Шщ, ет щ
және басқада есептелетін
параметрлердің мәндерін 2 - кестеге түсіреміз. Есептелген шамалар бойынша
арқаның өсін түрғызамыз. Бүл жерде атап өтетін жәйт, арқаның оң жақгағы
бөлігінде
і£<р және зігкр шамалары теріс таңбалы.
2 Тірек реакцияпарын анъщтау. Ең алдымен тіректердің тік реакцияларын
анықтаймыз:
Щ
М д = -Л |/ +
-12 + Ғх-6 + 9*10-5 = 0,
мүнан
уЩ
0
Ш--------- 1--------- =
/
12Ғ2 +6Ғх+ 50^
-------------------------- =
16
12 • 40 + 6 • 20 +
.
Ү М У= Л«, 1 - Ғ { Л 0 - Ғ г 4 - д 1011 = 0 ,
мұнан
|
10Ғ. + 4Ғ2 +1 Юо 10-20 + 4-40 + 110-20 й
Лд =
‘
'=
=160 к Н .
I
16
Тексеру:
188
У Ү. = Л, + іг9
-
Ғ2
-
Ғ.
-
ч
■10 = 0 ;
100 + 1 6 0 - 4 0 - 2 0 - 2 0 10 = 0.
і
л
I
л Д а Я і ~ Ң <>£-$. сондьіқтан, сол және оң жақтағы тіректердің керме ре|
акциялары өзара тең, бағыттары қарама-қарсы //, = / / 9 = Н .
I
Керме реакциясңін арқаның сол жақтағы бөлігіне әсер ететін барлық
і күиггердің арқа кілті С -ға қарағандағы моменттерінің алгебралық
г қосындысының нөлге теңдігі шартынан анықтаймыз, яғни С топсасында ию
•
в
I моментінің нөлге теңдігі жөніндеп шарттан.
Статика теңдеуінен
X ^ с(с)=
*8 + / г2 *4 + 9 ’2*1 + Я - / = 0,
онда
я
Л Л - 4 ^ - 2 , = 8 .100 - 4 .4 0 - 2.20 = |50|<я
/
4
Керме реакциясының дұрыс анықталғанын тексеру үшін арқаның оң
жақгағы бөлігіне әсер ететін барлық күштердің С топсасына қарағандағы
моменттерінің алгебралық қосындысының нөлге теңдігі шартын пайдаланамыз:
Ү ,М с{о) = ^ - 8 - ^ * 4 - ^ - 2 - * - 8 - 4 = 0;
160-8-150* 4 - 2 0 -2 -2 0 -8 * 4 = 0. (дұрыс)
3 М,(?
және N эпюраларын түргызу. Арқа тек тік бағыттағы
жүктеулермен жүктелгендіктен, эпюраларды түрғызу үшін белгілі формулаларды қолданамыз:
Мх = М°х - Н у \
Щх = 0 ° •соз <р- Н •зіп (р;
Их =-(<2° зіп<р + Н созр) ,
мүндағы М°х , 0і°х - үзындыгы арқаның еніне тең және арқалыққа түсірілген
жүктеме сияқты жүктелген қарапайым қос тіректі арқалықтың абсциссасы <сх»
көлденең қимада әсер етуші сэйкес жанама күш пен июші момент.
189
М х > б* -арқалы қ эпюралары мен аркалықтың есептеу схемасы ИІ.2.19,
Ь, с, сі - суреттерде көрсетілген. Эпюралардың есептелген ординаталары мынадай:
\
%
^
М ° = 0; 2ц0) = Л| = 100кН (1 қимаға өте жақын оң жақтагы қима);
М 2 = /?,: 2 = 100 •2 = 200кЯл»;
( £ = Л2 = 10 0 к # ;
М \ = Л ,-4 = 100-4 = 400кЯд<;
вз(с) =
= 1ООкН (3 қимага өте жақын сол жақтағы қима);
вз(о)=
_ Ғ2 = 100 - 40 = 60кН (3 қимаға өте жақын оң жақтагы қима);
М \ = Л, - 6 - Ғ2 -2 = 1 0 0 -6 -4 0 -2 = 520кНм;
М°А = Л, - Ғ2 = 100 - 40 = 60к Н ;
3
Л/3° = /?,- 8 - Ғ 2 - 4 - д -2-1 = 1 0 0 -8 -4 0 -4 -2 0 -2 = 600кНм;
()',■ = /?, - Ғ2 - ^ • 2 = 100 - 40 - 20 •2 = 20к Н ;
М°ь = /г, -6 ~ 9 -6 -3 = 1 6 0 -6 -2 0 -6 -3 = 600кЯ«;
2б(с) = - ^9 + ^ '6 = —160 + 20-6 = —40кН (6 қимага өте жақын сол жақтагы
қима);
..}
бб(о)=
+ ^ 6 —Ғ| = -160 + 2 0 -6 -2 0 = —20кН (6 қимага өте жақын оң
жақтагы қима);
Щ
Л/7° = & ,- 4 - 9 - 4 - 2 = 1 6 0 -4 -2 0 -4 -2 = 480кЯ ;
б 7° =-/г9 + 9 -4 = -160 + 20-4 = -8 0 к Я ;
Л/8° = Л, •2 - ц •2 •1 = 160 • 2 - 20 • 2 •1= 2 8 0 кЯ ;
= 20 кН
Н9 =160 кН
=100 кН
Р» =Ш кН
Ь)
АГ -зпюрасы,
кНм
*2 -эпюрасы,
КН
М- эпюрасы,
кНм
0- эпюрасы,
кН
№ эпюрасы,
кН
ПІ.2.19 - сурет
0« = - Л + ?52 = -160 + 20 - 2 = -1 2 0 к # ;
М% = 0 ;
0? = -К^ = -160кН (9 қимага өте жақын сол жақтагы қима);
М° және 0 " мәндерін.... - кестеге енгіземіз
19!
111.2.12 -кесте
Есептелетін параметрлер
*л
х координатасы
4/ ( І - х - х 2)
ш
ш
<р= агсщ
1
Г4 /(1 - 2х)
Өлш.
бір.
м
м
А рканың кимасындағы есептелген параметр-
1
0
0
2
2
4
4
6
1,75 3,0
3,75
26
14
град
45
3
37
0,71 0,6 0,45 0,25
0,71 0,8 0,9 0,97
кНм 0 200 400 520
-
зіпх
€05 X
№
о
•
I
н
кНм
0 -62,5 -50 -42,5
<2і = 0 ° СОЗ <Рі~Н 5ІП <р{
0о0 чо
і 1
Щ = - ( 0 ° ш (рі + Н С08 фг )
7
8
9
12
14
16
4,0 3,75
3,0
1,75
0
-26
-37 -45
0
-14
0 -0,25 -0,45 -0,6 -0,71
1,0 0,97 0,9 0.8 0,71
600 600 480 280 0
0
100 100 100 60 20
60
кН -35 -10 22,5 20,7 20
-13,5
-160,5 -150
кН -175 -180
кН
оа
лер
5 | 6
10
8
37,5
30
17,5
0
-20 -80 -120 -160
-40
18,1 -4,5 -6 -7
-1,3
-151 -171 -192 -217
-156
Жоғарыда келтірілген формулалармен арқаның 1..9 қималары үшін есептелген ішкі күш әсерлерінің шамалары да Ш.2.12 —кестеге келтірілген.
М, (У және N эпюраларын арқалықтың орталық өсінің бойына қараганда
горизонталь базаға түрғызған тиімділеу. Арқаның ию моментінің эпюрасын,
қарапайым арқалықтардағыдай, созылған талшықтарда түрғызу қажет, яғни
М -нің оң ординаталарын арқаның төменгі беттерінде салу қажет (ІН.2.19, е,/, §
- сурет).
Л
192
сурақтар
Қүрылыс;
Қүрылыс
қандай?
3 Есептеу схемасы деген не, ол не үшін керек?
4 Ғимараттардың есептеу схемаларының қандай түрлері бар?
5 Төмендегі суретте схема түрінде кескінделген жүйелерді ат
О)
орны
Ь)
х
6 Жүйенің еркіндік дэрежесі деген не жэне ол тірек реакцияларымен
қалай байланысты?
7 Топсалы жылжьшалы жазық тірек неше еркіндік дәрежелі?
8 Топсалы жылжымайтын жазық тірек неше еркіндік дәрежелі?
9 Қатаң бекітпе жазық тірек неше еркіндік дэрежелі?
10 Күштердің қандай түрлері бар?
жүиелерге
а)
Ь)
С)
сГ>
е)
12 Келесі суреттегі жүйелерге қабатты схемаларын түргызыңыз
сп
Ь)
13 Жалпылама күштер мен жалпылама деформациялар дегеніміз не, жэне
олардың арасында қандай байланыс бар?
193
14 Сызықты серпімді деформациялар дегеніміз не?
жүйелерге
4
ды?
I
Жүйен ң потенциалды энергиясы неге тең болады?
17
Егер жалпылама күш июші момент болса жалпылама орын ауысты
қандай болады?
Ж I
жалпылама
стыру қандай болады?
19 Жалпылама орын ауыстырудың таңбасы теріс болып анықталса ол нені I
көрсетеді?
# |
20 Кастильяно теоремасын жалпылама күш түсірілмеген қимадағы орын I
ауыстыруларды анықтауға қолдануға бола ма?
21 Максвелл - Мор формуласының Кастильяно теоремасын тікелей
пайдаланғаннан ерекшелігі;
22 Максвелл - Мор формуласын қорутып шығаруда сыртқы күштер мен I
ішкі күш факторларының байланысы қандай?
~
:
I
23 Максвелл - Мор формуласының қолдану ерекшеліктері қандай?
I
24 Кастильяно теоремасьш пайдаланып кез келген қимадағы деформацияларды анықтауга бола ма?
25
тх шамалары нені көрсетеді?
26 Максвелл-Мор формуласындағы Мор интегралын Верещагин |
тәсілімен есептеу қандай жағдайда мүмкін болады?
27 Деформациялар түріне байланысты қандай жалпыланған бірлік күштер
түсіру керек болады?
а
■в
28 Бірлік- күштер қай жерге және қандай багытта түсіріледі?
29 Сыртқы күштер мен бірлік күштердің әсерінен туындайтын ішкі күш
факторларының эпюрлері түзу сызықты болған жағдайда қасы эпюрдің ауданын, ал қайсы эпюрдің ординатасын алуға болады?
30 Күрделі эпюрлердің ауданы қалай есептеледі?
31 Формасы күрделі эпюрлерді көбейту қалай орындалады?
32 Есептелінетін деформация шамасына бойлық және көлденең
күштердің үлёсі июші моменттен болатын деформациямен салыстырғанда
қандай болады?
Ш
33 Орын ауыстыру тәсіліндегі негізгі жүйенің күш тәсілдегісінен
айырмасы қандай?
34 Орын ауыстыру тәсілінде бірлік әсер ретінде нелер қабылданады?
35 Орын ауыстыру тәсілінің күш тәсілінен қандай артықшылығы бар?
36 Орын ауыстыру тәсілінің кононды теңдеуінің коэффициенттері
нені көрсетеді?
?
37 Орын ауыстыру тәсілінде қатаң түйіндерге қандай шектеулер
қойылады?
1
38 Орын ауыстыру тәсілінде қүрылым элементерінің ұзындығының
өзгеруі ескеріле ме?
39 Орын ауыстыру тәсілінде жүйенің кинематикалық анықталмағандық
194
дәрежесі қалай анықталады, неге тең?
40 Сызықтық орын ауыстырулар саны қалай анықталады?
41 Бұр^іштық орын ауыстырулар саны қалай аныкталады?
42 Түйіндерге енгізілген қатан бекітулер сызықтық орын ауыстыруға
шектеу қояды ма?
43 г« - нені сипаттайды?
44 Яу—нені сипаттайды?
45 г» - таңбасы қандай болуы мүмкін?
46 гц - таңбасы әрқашанда қандай болады?
47 Негізгі жүйедегі қүрылымньщ элементтері неге айналады?
48 Орын ауыстыру тәсілінде негізгі жүйедегі июші моменттердің
эгаорлері қалай түрғызылады?
49 Орын ауыстыру тәсілінде негізгі жүйедегі тірек күштері қалай
анықталады?
50 Кестелік эпюрлер дегеніміз не?
51 Кононды теңдеулердің коэффициентгері және бос мүшелері
қандай тәсілдермен есептеледі?
52 Қорытынды июші моменттер эпюрі қалай түрғызылады?
53 Қорытынды көлденең күш пен бойлық күштер эпюрлері қалай
түргызылады?
54 Жалпы алынган қорытындының дұрыстығы қалай тексеріледі?
55 Июші моменттің эпюрінің дұрыстығы қалай тексеріледі?
56 Үш топсалы арканың жұмысы мен кәдімгі арқалықтың жұмысын
салыстырыңыз.
57 Үш топсалы арканың арқалықтан артықшылығы мен кемшіліктерін
атаңыз.
58 Не себепті үш топсалы аркалар қүрылыста кең қолданылады?
59.Үш топсалы арканың тіректерінде қандай реакциялар туындайды?
60 Қандай жағдайда арканың тіректеріндегі горизонталь тірек реакциялары бір біріне тең болады?
61 Қандай жағдайда арканың формасы тиімді форма деп аталады?
62 Егер арканың қимасындағы июші моменттер нөлге тең болса ол тиімді
ме немесе тиімсіз бе?
63 Үш топсалы арканың арқалық июші моменті және арқалық көлденең
күштері дегеніміз не?
64 Үш топсалы арканың тіректерінде белгісіз тірек реақцияларының неше
қүраушысы болады?
65 Неліктен үш топсалы арка статикалық анықталған есеп болып табылады?
66 Үш топсалы аспалы жүйе дегеніміз қандай жүйе?
67 Үш топсалы арканың көтерілу стреласы дегеніміз не?
68 Үш топсалы арка неше дискіден тұрады?
69 Үш топсалы жүйелердің қандай түрлері бар?
70 Үш топсалы арканың қимасында қандай ішкі күштер туындайды?
195
71 Үш топсалы арканың қимасындағы ішкі күштерді табу үшін неге ол
теңдей бөліктерге бөлінеді?
72 Үш топсалы арканың қүрамына тартпаны (распор) енгізудің неге
қажеті бар?
73 Тіректері әртүрлі деңгейде орналасқан арканың тірек реакциялары
қалай анықталады?
74 Егер аркага әсер етуші сыртқы күштер горизонтқа көлбеу орналасса,
оның горизонталь тірек реакциялары қандай болар еді?
75 Үш топсалы арканың қимасындагы ішкі күштердің қайсысы қауіпті, ол
қандай күштің әсерінен беріктікке есептеледі?
76 Ферма дегеніміз қандай қүрылым?
77 Ферманың кәдімгі арқалықтан қандай айырмашылыгы бар?
78 Арқапықтың орнына ферманы қолдану тиімді ме әлде тиімсіз бе?
79 Ферманың геометриялы өзгермейтіндік шарты қандай?
80 Ферманың элементтері мен арқалықтың қимасындағы кернеулердің
таралуыньщ қандай ерекшеліктері бар?
81 Ферманы есептеудің қандай тәсілдері бар?
82 Ферманың эламенттері қандай деформацияга үшырайды?
83 Ферманы беріктікке ссептеу дегеніміз не?
84 Ферманың формасының қандай түрі тиімді?
85 Түйіндерді кесіп алу арқылы бойлық күштерді анықтаудың қандай
кемшіліктері немесе артықшылықтары бар?
86 Суретте кескінделген екі ферманың қайсысындагы раскостарда тек созушы бойлық күштер туындайды?
ш
87 Алдыңгы суреттегі фермалардың қайсысында бойлық күші нөлге тең
стойкалары бар?
88 Ферманың үстіңгі беларқасы қандай, созатын ба немесе сыгатын ба,
күшке үшырайды?
89 Момент нүктесі тәсілі қалай және қандай жагдайда орындалады?
90 Проекция тәсілі қалай және қандай жагдайда орындалады?
91 Түйіндерді кесіп алу тәсілінде түйінге тоғысатын стерженьдердің
белгісіз бойлық күштері қаншадан аспауы керек?
92 Фермага әсер ететін күштер не себепті түйіндерге түсірілуі керек?
93 Стерженьдердің қимасында қандай ішкі күштер туындайды?
94 Стерженьдердің өстері мен топсалардың өстері қалай орналасуы керек?
95 Ферманың қисық өсті стержендері бола ма?
96 Ферманың түйіндері шын мәнінде топса ма жоқ қатаң бекітпе ме?
Қосымшалар
Қосымша А
(анықтамалық)
Көіиіртекті конструкциялық болаттардың
механикалық сипаттамалары
Болаттың
маркасы
болғандағы
салыстырма
узаруы %
кем емес
МПа
35ХМ
40ХН
50ХН
40ХФА
38ХМЮА
12ХНЗА
20ХНЗА
ЗОХНЗА
40ХНМА
ЗОХГСА
197
Қосымш а Б
(анықтамал ық)
Шойынның механикалың сипаттамалары
9
Б еріктік шегі
Ш ойын
бураусығудыц
июдіц
созудың
матеаи
ды ң ти
<т„
риалы
ц
280
500
120
СЧ 12-28
240
320
650
СЧ 15-36
150
350
700
180
СЧ 18-36
400
280
210
750
СЧ 21 -40
440
300
СЧ 24-44
240
850
480
350
280
1000
СЧ 28-48
390
520
1100
СЧ 32-52
320
400
560
1200
СЧ 35-56
350
460
600
380
1400
СЧ 38-60
480-510
ВЧ 40-10.
400
1600-1700
1860-2000
500
ВЧ 50• Ш
Ш 740-790
1,5
ВЧ 60-2
2040-2290
660-810
600
Ескертпе: келесі шойындардың сг аққыштық шегі
ВЧ 40-10
ВЧ 50-1,5
ВЧ 60-2
-
300
380
420
198
Брннелл
қатты лы гы
НВ
1430-2290
1630-2290
1700-2290
1710-2410
1870-2170
1700-2410
1870-2550
1970-2690
2070-2690
1560-1970
1870-2550
1970-2690
,
I
ш
Қосымша В
(анықтамалық)
Кейбір материалдардың берікғік шегі
беріктік шегі
созғанда
сыққанда
М Па
2
3
140-180
600-1000
210-250
До 1400
М атериал
\ 1
Қарапайым сұр шойын
Үсақ түйіршікті сұр шойын
Пластмассалар
Бакелит
20-30
Целлулоид
50-70
Текстолит
85-100
Гетинакс
150-170
Бакелизирелінген фанера
130
ІАғаш
/
ылғалдығы
1
5
%
/
.....—
---- ----—
ж
-- --------------------------------------Қарағай талшық бойымен
80
|Қарағай талшыққа кесекөлденең
Шырша талшық бойымен
65
!
Шырша тапшыққа кесекөлденең
Емен талшық бойымен
95
Емен талшыққа кесекөлденең
[Тасгар *
Гранит
30
Құмтас
| 20
Әктас
Кірпіш
Бетон
0,2-0,5
Ертіндідегі тас қалақ
199
|
80-100
—
130-250
150-180
115
,
40
5
35
4
50
15
. 1
1
120-260
40-150
50-150
7,4-30
5-35
2,5-9
Қосымша Г
(анықтамалық)
Серпімді модульдер мен Пуассон коэффициенттері
С серпімділік
модулі,Л/77а
Пуассон
коэффицент
1
2
3
4,5* 10э
(8 ,0 -8 ,1)-104
(8,(Н-8,1)-104
4,0-104
4,9-104
4
0,23+0,27
о
1
Б
серпімділік
модулі, МПа
СЛ
•ь
М атериал
о
•
Ақ, сұр шойын
Ковкий чугун
1,55-105
Көміртекті болат
(2,05-=-2,1)-105
Қоспалы болат
(2,1-2,2)-105
Илемделген мыс
1,1-Ю5
Суық созылган мыс
1,3-10*
Құйылған мыс
0,84-105
Жәмшілген
1,15-105
4,2-104
фосфорлы қола
Суық созылған жез
(0,91-0,99)-10
(3,5-3,7)-Ю4
Жәмшілген
1,0-1 о^
кемелік жез
Жәмшілген
4,0-104
1,1-10*
маргенцті қолаз
Жәмшілген
0,09-10*
(2,6-2,7)-104
алюминий
Созылған
0,7-Ю5
алюмин сым
Құйылған
1,05-10*
4,2-Ю4
алюминді қола
Жәмшілген
0,71-10*
|
2,7-Ю4
дюралюмин
Жэмшілген мырыш
0,84- Ю5
I
3,2-Ю4
Қорғасын
11---------0,17-Ю5
0,70- Ю4
7- -Мұз
(0,23+0,3) Ю4
Щыны
0,56-Ю5
2,2-104
Г ранит
0,49-105
Әктас
0,42-Ю5
і
^Ш Н Н
Мәрмәр
0,56-10*
Құмтас
0,18-Ю5
200
4
-
0,32+0,35
0,32+0,42
0,36
0,35
0,32+0,36
•
иЕЕИнн
0,27
0,42
О
О
ч#
--
0,24+0,28
0,25+0,30
0,31+0,34
V'^ ш
0,25
—
Г қосы м ш асы ны ң ж алғасы
[Тас қалақ'
(0,9-0,1>105
граниттен
0,06-10"
әктастан
і (0,027-0,030) я
кірпһптен
Бетон беріктік шегі, МПа
(0,146-0,196)-105
10
(0,164-0,214)-105
15
(0,182-0,232)-Ю5
20
Ағаш талшық
(0,1 +0,12)-10Ь
бойымен
(0,005^0,01) I I ?
Ағаш талшыққа
кесекөлденең
0,00008-10"
Көқсағыз
(0,06-0,1 )• 103
Текстолиі
(0,01-0,17)-105
Гетинакс
43-Ю5
Бакелит
н •
|
•
т
0,16-0,18
0,16-0,18
0,16-0,18
0,055-Ю4
\
|-
-
0,47
*
0,36
«
201
Қосымша Д
(аны қтамалық)
Созу мен сыгудың негізгі мүмкіндік кернеулерінің
жуық ш ам алары
М атериал
1
!
Куйылған сұр шойын
Болат Ст. 2
Болат Ст. 3
Көпірлік болат Ст. 3
Көміртекті
машинажасау
(конструқциялық) болаты
Көміртекті
машинажасау
(конструкциялық) болаты
Мыс
Жез
Қола
Алюминий
Алюминді қола
Дюралюминии
Текстолит
Г етинакс
Бакелизирелінген фанера
Қарағай талшық бойымен
Қарагай талшыққа кесекөлденең
Емен талшық бойымен
Емен талшыққа кесекөлденең
202
мүмкіндік кернеу
созылу
1 сы ғы лу
МПа
3
2
120-150
2 5 -8 0
140
160
140
60 - 250
100 - 400 және жогвры
30 - 120
7 0 -1 4 0
7 0 -1 2 0
3 0 -8 0
80 - 120
8 0 - 150
3 0 -4 0
5 0 -7 0
4 0 -5 0
7 -1 0
—
9 -1 3
1 0 -1 2
1,5 - 2,0
1 3 -1 5
2,0 - 3,5
1
д
0>
д
н
о
ю
!*Г
3
&
• гН
>
—
4
Й
}*
н
3
сх н
3о ь<
Я
С
ЕГ а
с
О
д Ъ4
2
0
сз
(м
&
х
ц
з
сс5
2
82"
н
і I I
-5: -о
и
н
#X
я
ю
я
X
09
я
X
I-
•^
ко
«■
я
а03
к
X
1
-о
&
• рН
н
X
•н
ж
<и
0)
X
•м
Й
юсб
«■
ю
*
Н
1
• г Н
•г ся
3 1
І
сз
3
Л *р
« ж
0)
. 1 °§
> 1и 2
203
204
о
N
ОІШ
СТч О
м
о О1
о О
т
ігГ оо
«о 40 г^ 1
ІО
О 04
ЩЧ11
го!
01
»Г>1*-"
оо
ІО
Оо
Г4
ОІ
сч Іг^ сч
ОІО
о Н 00
тісп
«N
>(•»35 IІ»П
04
Со 81
т
ГЛI
« I
о
V* I
о о
о о
о
^■4
О
О
І 40 п**
г4І:00 04
100
см
1
А 1
1%]
ЙІ
чч I1
VII1
ом о о
м #»
ГЧОч
о о о
о о о
ГЧ п к
т »г> 40
■1
+ 1
й||
N
ь-%
«/■Г
о
А 1
о о
А 1
о
А11
1
й||
Iтг
о о
о о
һг
ІО
О
Іо
Һ Н 40
#ч|
о
о
#1
40
Іг*-
о
гл
гм
о о
«п »п
о чо
^ 1
»л »л
гч
\ой | о м <п*
»Л Һо ҺО
«п
»Г>1»Л
|§
04 Оч,с-*
о о о
тг I г-* | о
о
40
V
■
-- А
N N гл
N
іЛ
»г» чО# оо
А11
^
о
гч ^ І ^ 40
45
о о о
о о о
о
ПІ* оо* »о
гя ОІ сп
гм
о о о о
о о о о
г і «п оо
140 ІО І оо
сч ТІ*
ГЧ! гч!1т 1т
сч
О
О
сч
«Л ІЛҺО
о
ю
о0 \0о о
,
*|
I
»
о^іоісм т
1
О
I
1
1
V*
о
о
о
і
о
*
■
—
«
1
оо
40
іт^чо 0 [ _
|
»Г)1
IОч
«
/"
*
!
г-*
I
оо
|
о
Г
ІО
оо
г^
I
40
ОО ОмО''
^ ТІ^ІТГ
Лк
V* |
9 ^ 4
#ч
#
>
|
*
*
|
»
4
Г^іооіооіоо оо іоо
о (Й|о «ч о о о
т}*
»п ІГ**1сл
о 104 Iһ* §* см
т Ьз* |»л>1ІгЧ 00
П
о С
Г
^
*
оо 04
км
1со
ІсмІN
о
о
Оч
сп »г>
сч
ІІЧО
«п «Л
о о
о о
оо
т
Г
ш
сп
т о
о
сч
г^-
сміг^
0*1 СП
«
сч
оо о40 п
о
г
ч
і
*
и
от 1т Г"
сл
л
04
I
оо оо оо
•ц
м
•
*
>
тГСЧГ*ПГ» 40
сч
N М
»о
сч |го|т
м
т
о
О ІО
м
г-~
+
оо
оо т
*ГЛІГЛ
/">|Г-М*У"н
О
Ічо
СМІСЧІГЧІСЧ (N1
сч
О
т
т
ю
V
©
г*
г^г^сч
сяігч Ы*Нз* 'о Иі*м|»л«
СЧІСЧІГ^ІСЧ сч гч гч
оо
ГО
гч|
о о
о 1
іт
Iоо
һф
т |
оо |г— ічо|гч
04 л1о вк1 г>| «ч| * І л
С4 га
О
оо
40
А 11
О
О
О
о
о
о
О I'ОIо оог^оо
п
|
гі
М
я ш »г> Г"гчігчкм смісчісп
Г4
оо
20$
»Г
> 40
•*
О
оо
ОІ«Г»
£
206
3 »
<
г
2
4о 04 40 гч,
*Г> г—
IІОО т і о о о
гч г- о
4Г' 0
Iгч
%
Оч 0
т ф «чт #ч оо оо 04 ° . о
;оо л ГЧГ-«/“
|ІОО
«104#Ч
»1 #ч| і# ГІФ г-»1оо
оо т I^ «г> тг г- 40 г- оо о
і ; »л
«г> 40 е*> 0 4
ГП т Н т і т і * »л»
• #ч|
о Iт гч
Iкгь
о оо «п
гЧг*- оо
С ^ ІГ Ч |4 0
«і/* 4 0 4 0
оо оо 04 тг
оо о\ 04
04 К г
40
#4
гч ОІГЧ 40 О «Л 00
о
О Ог I
<ч <ч п гГігі я ш
Оч
Оч
г*
«ч|
г*
гч |о о о о о о ОІОІО ОІОІО
ОО 40 ОІГ^
«л с п і С5Я 04
40ГЧ
п о г> о> о г-Г4| л ГМ
ІГ
Ч
40
т гм
#
*
|
I
чө 40 I
М
п
*
т
г- ОО Г і «л)|оо|т т |г СЛІГ- о
«34 Оч
ОО О
сч
гч ГЧІГ4ІСЛ гчігчіт
•чГ
г
г
ГіІ
Г|
«ч|
ОІО
0 •>140О
ЮIООІ
СОІСЛ
о.
&
5
л
а
*
с
рь °14
оо I—I
о\
Б* <ш о
о о іо '
О
Оч ОО ОО
04 г- оо I—11—40 04|00|00 Г-|Г40 «п «/■>
От
гч гч гч т сл т СЛ
«4| С
гч|
N
I
о
09
I
2
я
2.
Е1
««ГЧІОч Ітіг
4 0 4 0 |« П
«VI
#*1
«Ч
о
о о о г~- г- о |о ОІО
гч о
ОО «л
«ЧІ т. «*
оо* «л>г гм о оо «г> оо Оч гм ^40104
гм
гГМ1Г**І«Г> гЧо\
г- 04
гм гм гм
гм
оо
о
\|п
«/•>
мг^# В Й
ЧОІЧО 00 Ш Р
«VI
«ч|
ЛІ
«V
«Ч
•к
5
3
69
г> Іоо
04 оо.
8 0 2 СҺ оо
Ш
’ г4
'іч 1
м
л
6т»
А
һев
&
е?І
>
£1
г-ИГ «п 3:
40ІС0ІГЧ
Ш т|ГМСЧ
«*І е. гГш 'Т
Нігчігі ПІГМІСМ гч ГМ
04 | ОО
о 04 ГЧ4©
СО гм 04
ООІОО
04104
00
г^
40
гчо
1
40
40
«
V
I
л
#41
«Ч|
см гм ГМ г4 ГМІГМ ГМІГЧ ГЧІГЧІгі|<ч
о о
г- п- о ІО о СО гм 40 гм *т /| "« г» >|С| 4Ч0 І|00|04 мэ
|0 ' о ОО|С
гч ^ то |ооо|о
04
1
0
4
о
—
40
І40І
04
г~-#1 «ъ| #к| *|Һг«*һо
«
4
#
%
1
«
V
| «* г*40 I40 I«/"> 04 40І ОІ 40 оо 04 оо чоЬ—
2
тіг^іп«гм
Г
О
40
р
«л
«
Л
о
40
40
I
«
О
ІІ о
04
оо
гГ
*
»
04І40
гм1
т
1
И
#
тІтМ«л
гм
Ігмісмісм
гм
со
г*
ІЧ
«4
е.
«
н
і»
«VI
Г*|
«VI
«*
*|
«V
«41
«VI
о
о
«л
о
ф
04
ІО
О
|Г^
о
^
м
г
ч
і
о
кг
т
40КИЛ
т
|
—
іО\|«г>
гг
|т|гм
гм 0|04
т і т гм гм гм
»л «ОIті’1Г*>| Г' 00 00 ооIоо1Г- 104 04 04
гм гм" Г4І гмігчігм гм гм Г М ІГ М ІГ І
«л>
N
I
N
0
|0
о о о 40 о
0 4 г ч «г> г я о о І о
.о о
04
«лһо
40
о
о
о
04
г
М
т
і
«
г
>
і
т
гч
оо
о
«
V
I
«
«
і
*г
«л
«
*
о
] *«і * 00* т г - 0 4«4| т #к
«%
| #1 «I •%
оо
г - 04 4 0
т
Очіт
1
041
«
п
40
40
4
0
і
т
т |г г
«л т "Зт
гмІгм гм
гм т
о ОІО
т *І оо
т 04 40
«л «л> 40
«VI
о
о
о
г00
04
№
см
тіоо
оо
40
«л
*I(4| т гм
100 I*•—
40
оч 40
гм
о
т
Т
|*
;
г
>
4
3
*
■
04
Щ
04
о
о
м
Г
ч
гт
и
эч
40' «лЛ V
г
і
#
а
I
]
А
І
о
I
гі
ОI
т
40
04
г*ч
0 4 (00 0 4
чОГГ^4'
«/£ 40*104
Һ1Г>!
«гГ 40 Г- ҺсГ1
оо
мт\ I
і
Г- Iоо ТІ- «Лк «Л 40 оо
40
«л
Я* си
41
м
I I I
о тН«/"Ч
40
о
40
т
40
40
т.*
40
*/*і I
I
•
‘
I
«
Л
I
40
'Т
г**|оо О | «Л>140Iг-1 оо
о
г*
«п
Г"
г-
«л#1
г*
» рмв
тш
3
С
• 0/Ш
О
«о
400
«л
207
04
—
С
Ч
о
о
св
00 40
г>л гос «п чо#1
Ч£> О- оо 04
оо
оо
*
пт
о фт 3
тш
*
оо 04
0 оо 4 0 о о о о о о О* 0 0
4т9
т
00
04
01* # і
04
04
40
ш
е
#
#
г
*
44
т
т
о ОІ ГО ІГІ о о 04 *о о* о
04 ОІ 01
т
О
»
04 т о»
04
00
«л
*о
о*
о* о>
*л
г н см сч т
ІГ>
ІЛ> #14 0 о-* о*
*г>
#
к
*
»
•ч
*■ # 40
гч 04 сч С'1 N 04 04 04 ОІ 04 04 о»01 04 оГ
Ф
& о
*
т
оо
04
Оч
оі
04 т
04 о
# ш
04 т
40
04
оГ
т
о о
г
о т
РП сп
о о О О о о о о О о о о о О* 0 О О О о
т о #»г- V)#
§ тт о тт 04т т т т о 01 00 *Л 04 40
*л о
оо т 4 0 Оч оо «л 04 оо*о 40
40 40
04 т
«п тГ »г> 40 40 о- оо О' о* оо
т
а\
о» 4 0 «л 0 4 оо о- 4 0 4 0 *л о^
*/“» »л» ІГ)
О о.
о* о~ о- 0 4
г
■
ш
т
т
О
40
о.
св
£
6? «
т
оо оо
ІГі
оо ОО 4 0 V)
0 4 04 0 4 Оч 0 4 0 4 0 4
о\
оо
04 0 4
В
хв
л
I
с.
§
о о о
оо т «V 0
т огч 01
С
I 58.
л
т
&
3
яя
о о О
о »п
о о о о о* о о 0 О о О о оо
ТГ 0 0 оо
о
04
о
тГ
04
т
т ооШ
04с о г04*ч о
40
04
01
»ч
Гк
*
с
с
#
с
ш т
01
*п
о 40 т
оо т оо т 04 о
о "'3' 4 0 0 4 о
01
А
> 40 о- 00 0 4
т т ті- т т
о- оо
4 0 *п *
9
оо
о о\ оо 4 0 ІЛ
ті*
оот
о г*о т о с ос «п*
т
т
# •чт т сп т т ГО т т т т гл т т
04
3
Е
оо
#
Оч оо
оо ооо чо
оо# оот оо#1 оо о- о*# о*т 40
04# п
сЛ СЛ гЛ т т т т
н
сч
иг
о
о* о
о О о
спгОіло
V
40*ч о О«
о
£ ГЛ о о 40 О 04
40 т
оо Оч
4>
и
о.
5
о о о т оо о о о о о О
о о о
о с о’ с о 04С* 00 о о #1 0 о О о т оо о 0 т О
о оо 40 т т т
т ■^г
*
г
і*п г4-1
0 0 \ №\
і
г
>4 0 оо 0 т 04 о т оо т О 0 4
О'
01 04
04 01 04 т т т г|- 01 т
т
Ф
14 5
^ 8
о
г- *о
04 о 00 о- 4 0
Т}♦-V <г "Т ГГ т*-лг^ о* о- о о- г^л о
г4 04 04 гч 04 04 01 оГоГ0 4 ОІ 0 4 т
оо
ю т
Ог о «V о о
т т т т
о Оч оо о
о 04 04 т
т оГ 04 т
04
тт
т
N
I
N
о о
г- о
г і оіп
о о о
0
о
Г"Л т о чГ о * 4 0*
«Vт т 04 01 ■'ф 4 0 оо 00
01
40 г- оо О оо 04 о
О О оо
т
»пт
О*
40•*
04
о о о о о о оо о о о
0 о о о о о 4 0#1 о о т о
оГ
о- 04 0 4 о о
40 оо
о- о т *г> 40 о* 04
01 т
т
04 04 04 04
X
сч
3
х
св
г
«=:
&
4
О
сз
*
X
5
3
в«
Я 5
Ч и
>%
св
ао Чз
4 е*
*В X
а> св 2
Н
о 5 3
•с
4
2* 6 ф
т оо О
.
40 т Гч ОО
оо 04 о
о
о о о о о г~- т о о о 0 о о о% о 0 о
т •
т счоо«чоо 40 01 00 т » о о 01 04#
>Очг40*т Очг» 4 0•»
оГ О- о оГт *л о- о 04 т *гі 0 4 оГ 4 0 о 04
оО!
01 04 04 04
*/">
*40
*г>
ооГо ОІ
40
*
/~
)
#
1 о
о
О
І
О оо 04
40
2
5
о
оо
о
04
О
О
оо
04
о
го
.5 с•М
Е я
оо
о
04
*П 4 0 о
о
оо
ю
г^ 00 о о о о о о о о о см 0 4 сч
о
о
о
о
о
о
о
г-п 04 40* V©
«п
т
г>
сч
4
0
о
т
00
г^.
о
г»
о
«
А
>
о
ф
*
ТГ оо
40 «гГ Г"* 0\
40 04 04
«
/
■
>
т
Г"
т
о
тГ
г^.
04
о
о
Г'
сч сч
гч сч <ч
см гч сч см т
СМсм см т т сп
гГ
г
ІЛ тсо •^г т*п 4сп0 о
гч
■'З*
Г<
#*
*
#4
•>
«1
#«
#
сл
оо оо с
ч
о
г^
»
Г
5
о
о
о
«
г
>
0 4 Г" «п т о
*
/
"
>
оо0 4 о
сч т т сп т
г>
«п•4 4 0 Г'
«V 4 0 4 0
#
го т сп сп т со С"> сп СО сп сл т сл
^г т|*чГ •^*
•^г ТГ ■^г
г
о о о о о о о
г- 00 с4 см сч
с
Л
і/ч оо 40 г- Оч
СМ ГІ
с^
&
в.
л
4
08
ев
5
£
2
*
м
л
#*
г*
#*
#»
#<
г
о о о о о о о от о о о о
оосч *л
■'Г о тГ
«Г> 4 0
оо
т|*
о іп гс
п
04
сч <ч сп сч сп сп т ■^г ю см
тГ
40
#*
#1
#4
г
г
. ’
#1
#к
#ъ
г»
#
#
о о о о о
г- «о о
о
со
о^
со
сг> 3 4 0 Г' о
о
#
04 о
о
г04 о
о> г^ чо
4 0 іг»
о 4 0 оо г- »л т о\ оо г- 4 0
с
п
см
сп
сЛІЛ
СО т #»
Г
"
г^
04 04 04 04
■5Г
гч гч гі сч гі с4 сч оГ сч см сч СМсч сч 04 см см сл со с
пт СГ» со сп
*
ТІ*
о г «пп
Г" о
о т
2
&
г*
т
сп
т
ІП
і
€4
оо о о о о о
тг«*о * о * о о о
40 сч
0 4 ■^ о
00 сч ГЛ
о
сч
г
<г
о о о о
о о о о
оо
чг СЧ
см 0 4
сч
СМсм
•ч
Г' 0 4
Очг о г
о г40 о
сч т
#1
#і
г^*
тГ
г^
сп
•^г о
смо
0 4 о^
т
•^Г т
#«
л
#4
о о о о о о
о о о о о о
«о
оо 4 0
04
г- сп оо сп 00
т т
л
>
■^г «Г1 «
*
г
#1
#*
тт
л
х
л
3
5
оо 4 0 сч
г- чо
сч оо »/~> г^- 4 0 СЛ 4 0 СП 0 4
«о
со
г^
со
о
о
оо оо г- г^ сч см см с
40#< 40 40 «п# оо оо оо оо# г- с тГ
1'м
л
■тг
ЧІ* т*- чз*
-з* іо «л «г> «г» »г> «г»
4 0 40 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0
#*
я
4Рі
#*
#
л
і
о\ оо см о
г^ сч т о #
2
?
сч
т о
о
40
о
и-> •о г-
<У
ІГ>
и
Си
о>
%
щ
в
ф
о о о о о о о о
о о о # о о о *• о #» о
со 04
го
о
сч
Г' 3
сп
*Г| 4 0 г- оо г- оо о
т
#*
г
г>
40
ю
00
о
о
?4
#4
о см о О
оо4 0 04 о О
Г*« см о 0 4
оо ■# оо см •^г
40 см т
40
«V
#
#*
О
о
о
«о
тГ
о о о
о о о
см 4 0
4 0 4 0 40
оо
40 о
сч
«г
*4
ф
о
о
оо
гг
см
сч
1/~) СП 0 4 40 4 0 «
л
>
г- «
40
о
см о оо т|- СП
с
ч
N Оч г- со
о оооо
о оооо оо оо
сп СОф со 4 0 4 0 «г» и~щ>
4 0 4 0г 4 0 о
Щ 0 4г« 0 4 О' Оч о
тГ гГ ■^г
•^г ■^*
ТГ ■^г ^г
со т т ГЛ т СЛ СЛ сп сп т ■^г
г
г»
г
с
#»
#ч
г
«4
«V
•<
вч
с
#>
#4
*
N
I
N
«о 4 0
#. -V г-*#
и 2' о Г"
и 4Г)
СЧ т
Л Л
о
е£в
Ч
г«
#«
о
о
г^
сч
т
#
о
о
о
40
т
#
оо О о о о о о
о о о о о о 4 0 оо оо о
о о о # о о о р г- •<г#* СО о о #> О#1 о 0 о о г о
4 0 «г» 0 4 0 4
г^ оо о
С
Л
04 40 с
сч
м
сч сч
Г4- 0 4
о 4о0 гсч оо т 4 0
о т
см 'З*
г- оо 0 4 1
■^* «Гі ■^г іо 4 0 ю г- 0 4
г
4Һ -
«ч
г>
г
*
#4
г н
о 04 о о о о
о
00 смг 4 0г 0 4 г< о со 0 4
00 сп Г' сл 0 4 сч гГ оо
сч С
4І со €МСЧ гч
X Ім
« 3 5
5 >> о
5 л
Л
о о о
оо оч о
оо
г^ '■э* 0 4
со 4 сч
с
#
о о о о о СП 0о4о 00 0о4 о
*> т г г О
■^г оо г^г т »✓
г- см 0 4 ^г СО
сһ г^
«г» сп
мсм т сч т
сЛ т г
г
г
#<
о о о о о о
оо тГ
тГ •^г сп
■^* г^ со 0 4 ■^г о
сп сп
«л о
г
г
#>
•Ч
ез
£
х
0 0 вв
х4>
н
<>
<0
х а
Т
з
2 «
х
* «
1 і -о
х
5
оо о с^ ш оо 0 4 о N чг
2
5
о
сч
іп
сч
СЧ
*/*>
см
40
04
о
тГ
мо
о с
04
оо о
о
«
г
»
о
40
«г»
40
ГП
X
•X
.І
С
си
«
і
2
209
сч
40
ооо
см
іл 4 0
т
т
# я»»/•> ОО#4
ОО 4 0 т
оо
Г< о т
О
»л» 4 0 г*- о- 00
40 40 о- оо
см
о% т о
04 тш #ч
оо оо ог
»л *
г
>*Г)
ОІ О »о 0 4 о т оі »Г) т
ІЛ0
• оо«ч ос 0 49> от о» оо 0 4
»4 0#ч о- оо«
»
Г
)
»л чп 4 0 ІГ> 4 0 4 0 4 0 4 0
г>
т
0
о
Гі
0
мг>
г
о о
оо
о О 40 О
*тгс г сч о
тг
О
» г >
ІГІ
О# О о0 ос о
о о о о
0 чо
о т 4»
40 о* 0 0 оо
>т 0 4
г^ г
о
04 т
оЗ о
г- о^
о о
0
0 4 т оо'
оо 4 0 01
»л> 40 04 0
01
Ог
г
СІ
3
о* о
ІЛ
04
т
ш
04
о
о
о
т
о і
т
#і
о*
о-
0
04
т
т
01
О о о•ъ О* о0 о* ое от о
*ГІ 0 4 »о 0 4 іг>
04 о 00
»г> 4 0
04 оо
оо 0 4 0 4
<л о
4 0 оо о- о т 4 0
04 т т т ТГ
04
ОО 4 0
оо 4 0
тГ
о«
о.
§
т Оч оо О
т
оо ч о
* 40
/
"
>
»о о>•ч0 4«чОч 04*0 4•>Очс 0 4
»П »
л
>
0 »
г»
т т т т т т т т т т СЛ т
Оч
2
св
ем
р °
*
м
А
I
С>4
5
9
9
0
о о т
сч О о о о
ог о #чгг 0 4*О о о о0
о о о> »о о 04 »о о 4 0
ІГ
і
»л ■^ о 40
о
»
г
> 4 0 г- оо О' 00 00 0 4 о
€*
5
3
9
о
:
л
^г о «Гі
■
'
З
-тоо
о о о Оч 04 оо г оо
- о*
40 40 г
чо
тщ
с
3
н
§
£
I
£
о
и
о.
н
ь
€4
ш
т
N
ф
оч
4 0«V
ІЛ
«1
»о
т
О т о о о о 0 4 оо
О
Vш
г о о о9 о о о о
04 г- оо оо 0 4 4 0 0 4 о * о
»п о
00 00 т оо «г> о
т
т
Оч
т 04
04 04
о*
04
04* оо#1
ГГ
Г
5
4 0 0 4 оо
О І 0 0« 04
#*
«I
0 4 оо
0 0 оо о о
т
оо
04 т т
о
04 о
о*
»л
04
Гі
Ш
о о о о
о о О» Оч
ог о 04е 40 т Ор
ео о о
чо 40 т *Г\
ся
2 тт т
г
>Оч г- 0 4
т »0
о\ »
00
т Г^
04 о »
п о\04
гч Г4 т 04 т т т
о
т
т #ч 04 0 4*ъ 0 40 * 0 4■ 0 4
т
о
т »о о оо ОО » о О І 0 4
о^ ч о
оо »п ОІ
> о г О*л о *г 4 0 4 0#4 »л> і л г»
9 о*г* 40 4 0*ч »п# 4 0ІЧ»/■
о- о- оо оо 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4
о О-
9
1°
0 4«
I ооС
т
04 Оі
О о
■'ф 04г 04
»г> 4 0 40" 4 0 4 0
тг о о о о о о о
»пс о »г> оГ* о* ош о«V
»л О І
о т
о
04
40 40
04 »п о
т т
т
Г**
«г> о
»п V» 40
ОІ гг
04 т
»г>
00
4 0 О -9> 40
«г
»л
40 0 4
т »Л 4 0 04 0тГ1
т
04
ОІ
04
оо
04
3
о
т
04
»о
04
оо 4 0 о т
о о о оо
40
40
40
о
о
о- О І
о о о о о
о о о о п О І0 оо т0
о
о* о* О
40
о
04 о
* 04
«л » л 4 0
40
40
40
40 т
ОО
# о
о
40 о
о>
о* о9
о
о
40
40
т
3
04
ОІ
»л>
04
4 0 4 0г» »л
о
о о
N
I
N
о о 4 0 оо о о о
0
0
ог т о
о о о*
о
4 0 о от
т
о 0 0 40 0 1 4 0 0 4 40
т
0 1 т 4 0 оо о оо о > 0
40
■^г
40
40г» 0
ш*
ш
Гі
«ч
0
40 0
0
тГ
о
О} о
V© 0 1
00
4 0 оо т г Г
о
0 1 04 т т г Г 0 1 т
о 0 оо
оо 0 1
оо оГ О І
т
»п
0
о о оо о о о о о 04 о О І о* 04 4о*
т »г>с о т с
4 0 ■^г о
* Оч
04 40 о
о оо оо о 4 0 4о0 04 т
т гг
40 о
04 04
4 0 4 0 о - оо 0 4
ш
Ш
3 кестенің жалғасы
04
X
5
л
Ім
х
5С( 2V
я
2
0
>>
Л
5
01
04 т
Оч0 тГГ*
40
о о о
04 40
с
оо о о Т |40
»п
9
04
О
0
01
40
0
04
40
04
т г* оо
40 40 40
о
о
о о*
о- о* оо
»Г>
0
»г>
г
0
0
9
\ 4
»4
8
сз
2
8
аа>
04
«&
2
а>
5
■
С
)
»г> оо
о
00
ф
8
1
с
• яш
а4>
2о
3!
оо
0
01
04
т
■^г 4 0
оо о
04
ОІ
»
г
>О
04 т
тГ
40
40
00
0
01
оі
о і
о
о
0
01
ОІ
о
о
ОІ
ОІ
»л>
04
04
210
04
ОІ
»
г
>оо о
О І 04 т
Ескерту: жұлдызшамен белгіленген бұрыштамалар тұтынушылардың арнайы тапсырысымен жасалады.
3 2
V© 40 04 о о о
о
о
»
г
> О' 4 0 Г- ог 040 оо
:г
Оч сч
п о оо т
о с
т т ■
'
3
- »л> т т
ОуI*—
*1^Г[*—
«
ХЯ ‘IV I в э э в р \ [
о
г
Ш*
П Ш П ( 1 ^ 9 5П 1Э Э М Й З
40 оо о о 04
40 гт
т
40
с
м
0
4
| оо #
0 4•I| 40#
«ЧІ «1
о
ч
ч
СЧІСМ г
м С
І с
мг
чт с
пт | тг 4 0
Г*- «О
Оч СП'ІСМ-
#4|
*Г
і
О
ч
с
м
04
сп
огмгчоо г
- оо оо
т 00
о
СЛ т с
о
Лтф ш
п|«п «г
»С
г^һИИ1
#ЧІ
м И г»
* с
о іо іо іо о о о ОІО о о о о
СМ|Г- —« гч
ю 9|
*
оо
*—ІСЧ 40 Г' гм
#
#4
г-40
|т
ю
04 Оч Оч оо
т т #1 т # <*■>
о оіо о
тГ
: #»
•ч
•V
81*
^ОУ
з
ІО
#«
гм іт 1
04 40 г
и?г
чтНоо о оо с
ч
04
г.^т
«о
(Ч тГ Н Кг «г> 0 4 см
о с
п
о0 ІЛҺ
•ч <ч ^ һ т
см
#
*
І
#
»
о
о
о
о о о
гм'
с
ч СМсл тГ «п 4 0 І Г - 04
« г >
п ЖЧІ1
ч
>•
А |
■ч
і
^ 1
Ь
•ІР*
•>
#ч|
ю о к оо гмгм
оо г
м
о »1
о о^Iо г
іо
г
лт ТМСМ еп
о
«л
40
г>
ОI ^ Iм^
§
«г>
40
#
#4
см 4 0 т ООІСМ о
оо оо о о
(Ч#<
гм СМІСМ с
м
о\
00
т
—
1
т о
ч 40 ОО с
м
оо
<
ч
40 ^
оо
«
г
>
04
»Г
і«г>
4
0
40
Гоо
г
—
г^
I
о
о
04 о
ш
в #4 г* * 4 0 40 ш «41 #«оо 04«V04А
1
О І О І О І О о о о ОІО о о о о 0 ( 0 о о ОІ о
ГЧ I — ' К г о ч
ГІ-К І 4Л>ГЧІ ІГ» |п
*#
|
I
о
іч
ю
00
а
5
и
с
авв
I
а
3
1
3
а
е ^
Н
§
3
■ а -8
6
ю
2
о
ю
ЗГ!
н
X
ш
#4
Г
> >о
оо г
оо
т |ч о тг оо І
40
04
Г
Л
м
м«
т г
мI # Г
І
ог^* о
О
г^ оо*|о с
ч
|
*
* *Г
п
ОІОІОІО о о о о
о
40
Г
—40
оо
40 о спп «/">
г
м гм сп т |т г «г>
СМ04
«Л»| Г^-0
І
04
г\
*|
п
т
г
г.|
#ч
сч
со (ЧIг-1 04
о о
о
ООР40 04 оо
>
ИЛ
V)|||НЛг «/•
400*40 00 оо Г" г-#« 04
#
Ч
І
|І|
О І О І О І О о о о оіо о о о о
О
«ч
г
I
•ч
^
* 5&>
Л
&
м
{й
н
сл
«
г
#
^ Ко «Л ІП
н
0
ю
м
‘3
2
«
о о 04 00 оо г- 4 0 4 0
> >Л#»| Юг § 9> 40# 40«>г
Iоо# оо#4
С
О
ҺЗ*я| #ч||^Г
^г ю »л
-»г» 40#4* Г^#
оо9 ОО
ГЧІ
«
л|
О І О І О І О о о о О І О о о о о оіо о о О І О о
Т го т г*і т 43* т
г т н*
а.
©
н
04 40 О оо
40
О
О
40
04 «/■> г^ тГ (Ч см
г
мIс
о тГ «г> 40
04
«г>
#41
*
#
0 4
ОО
гм
о
оо Иі- т
о
40
«о
«
/
"
>
г
40 «Г»
Г'І
о
ч0 4 о о <ч г
мГМІГЧ с
мг
#«
©
и
гм 04
с
мһлһо 40 г- С
Л оо
с
л40
4»
СМ
Һг#
ІІІ
*
#ЧІ
ч|«П«\һ
|.г# ІЛ0о
с
мс
м
О ІО ІО ІО о
и Ф
2
с->
«>
о
г .*;»
(N140
•
о
п40 с
о
пт о
С
Чс
ш 04 ог 04 г-«V #4 о#ч
т С
Л ч
*г«л
О
о
#
40
о^
0 4
Оф
ІО »
(Ч (Ч
О ІО ІО
N
I
N
«4І
мт
о
г^ оо|£ с
оосл Ог сп# 40
40#> Оч|ГЛ
0
со Ьо 04 со 0 4
4 0 г^
г
ч
оо
#»І
#
•4
«V
« г >
4
•м
г
Ш
3
іянві/Хв
а>
1
40
04
С
П1^0 04
г г ОО ■
т 04 00«ч.
Ш Ж Н С И ІИ )]
оо о оо
оо
о г
мГ" оо
,^г
т
«л
> ГГО 04#" Оч 40
о•V 40#4ГМ •*оо #<
^г һт ТГ «л С"
мс
мт
гм т N т с
мс
#
#4
#4
зЯ
«в
&
3
н
ь
иО
гпіІШіШі сп
л 8«
X
«
40
5 3
9> 5
Р
4
9
ф
а>
в
о
«п о
см
'О
р
I I
еС °X
о
с
ч
С*1
гм
«п со
с
м
с
п
«п
«г>
«/">Iгг «л 4 0 00
т
г
л
о
г
м
«г
>
г
м
о
с
о
оо
см
см
сп
40
сл
о
г
м
т
о
Т
Г
о
’
Ч
Г
«л
о
«л>
чо
«л>
со
40
г
м
#«
4 0#1
о
т
00
(Ч
г
м
г
м
т
І
Л
с
м
рь
гг
#»
« г »
#4
тг
211
т
«п
сл
40
ІГ>
<ГІ
ГГ
^г
т
40*
■ #4
|
4,99
і
1 12,30 !
і
5,69
ЛМ‘1*1| вээввд
>■
»
"■
к“^чіивИ
вч
—
—««Ш
І
г04
т
Го
һ* о
о!
О
ч
О
ч
т
04
г«лл Г4-моо;#*СЧ| оорц04#»
т щг-*А «лл тГ 04г, т пт т г #4I4-#»Г-І#Ч
І
Г4 »/у 40 оо 40 УО00 оо1041 00| 04
«л
гГ
о
»
л
>
г^
40
т
сч
С
о
|>
N
0
N
0
»о
о
40
юЗ|
04
00
О
О
00
00
04
04
О
О
5
отГ «*5» т т т 00
ІГІ#чт #»т #»т #»т * т #»т #»т ч-#і ТШ #>
т'Vт л »лг*»Г>Ф
#
ч
#
*
#
і
#
*
>
ічішчіІАд мшэмйз О О о О о о о о о О о О о о о о 01 о о о
^
т
оо
оо
т
т
гг
о
о
о
о
ооо осч «л
гч оо* о г*оо
°
ю
сч
О
ч
00
т
«л
«л
3
о
40
#
һ
#
ъ
Д
І
м
ш
Щ
#
*
р
ь
#
*
(
#
«
•
*
ч
_
і
в
і
*
•
40
сч
оо
40
оо
оо
сч
г^
Г
Л
о
о
^лі
V
©
0|
Оч сч тг
|мН
е**
т чг «л
сч сч сч сч счі т т
и
оо
гоо О
04
сч
іл
т
у
<
N
1
оо
V
*
С
Ч
>
о]
о
ч
.
#
»
40
Т <4 сч#«1т #>
<4 со#*51» #ъоГ*"І| сч#*40 хг »п »л#*'04#404 #», сч#*сч#ьт!#%
сч сч сч сч
см сч! сГ сч сч сч т т т! т т т , т т
40
оо
«л!
т
40
40'
о
оо
сч
ч>
»л
О
ч
т
I4сч
О іН#чсч N СЧ.І«чгН#» #4•*Ф
«А
«л#«!п сч#1т #*і #һ| **•#»»л> «п «лім #4$#»
#
1
М
•—
*
»—
■4
!
о 5'
#*.
; *о>
см
3
1
к* вч ~#/| оо Оч оо<00 СЧ;о\ оо Оч Оч ООсч сч ООШ 40 *о
о
О»іо#У01л »л;С
оня о сч#1»СЧІ N#*счт<4#чСЧ
:т іцт #|4т #ч;іт #ч н
•|Е а «2
О
ч
Ч
е«и
■
щ
о
1 СЧІ
'Ы
0 |
і
1
1
і
Ү
ъ
2ея1 ә
оо
и
го
оо
оо
гсч
оо
т
00
т
04
00
I
#
*
»
#
м
с^
»п
_
т
#
»
#
*
гч
ю!
40
іг>
(Ч
V
©
.
#
һ
т
оо
А
.
#
*
О
О
!
#
*
#
*
■
;
,
л
#
Ы
ф
л
#
4
сч
о
о
і
00
1
і
т
о
т
сч
«л
ш
г
|
гн
#
-ч
г^
оо
О
ч
00
сч
сч
сч!
и
гн
2І
сч сч т
ьX
т
#
ш
т
г—
оо
О
О
04
оо
сч
о
о!
40
«л
^О
1
«л
сч
сч
п*
т
*
П
соо
г*п
соо
оо
*Ш
*Ч
м
#
ч
4
4
#
*
щ
#
і
)
г
.
#
*
#
*
ф
#
»
Г
«
І
#
4
о
щ
1
гн |“Н
1
>>
м
1
я03 >> «ч
с«- оЧО 40 сч
оо
оо
О
О
;
'
ч
Г
40
сч
1
*
Л
Г
4
о
С
4
40
оо!
04
»
л
>
40
•
4
)
•
•
І
м
#
4
г
*
о
г
»
л
#
%
г
*
#
Ъ
|
#
і
|
#
1
г
#
4
а
п
04
г
»
ш
04
о
«о
І>!
А
>; оо
оо
сч
сч
о\ \2 тг оо сч 2*1»СлЧ
т
т
сч
т
сч|
!
1
сч
т:
т
«л
с
д
3
і
н
»о
»
л
>
О
Ч
1
оо
сч
О
О
оо
40
І
т
'
о
1
¥т
04
оо! «п
04
оо
«л
Н
!
»•-1
сч
#
-н
?
2
т
г
*
4
т
т
«л
оо
оо,
»п
»л
оо
«Л
|
;*
Ш
ф
»
Г
О
<ч
#
ч
#
ч
2 1
«
і
#
\
#
ч
•*
ы
о
1
т
сч сч сч СМсч сч сч]сч сч сч сч СЧ сч т т т т т т
4и) <
N
о«
4н> 1
40
40
|
»л
«
Л
І
сч
ш
*> оо сч
оо
оо
оо
О
О
40
04
N *
ГЧ
оо
04
т
«л
о
о*
оч
іо
т
40
О
ч
о
оо
сч
оо
сч
г
ч
Г
ч
■
>
#
%
#
^
#
*
|
N
2
»
*
оо
сч 40
ті
«
Л
Ф
1
Ч|
оо
40
ОІ
40
О
ч
«л
о
оо
С
Ч
|
С
Ч
о
**-1 о
счі ті г|-і ч «Л»о т 40 40 с- 04 04 сч «п сч 1»л
я
1
#ч|
#4
#4
м
#ъ
г.
#4,
Гч
г.
ф
ІЧ
•
■ашвві
1 "»
#4
4РЬ
*•
#ъ
г*
#4
#4
#»
^7,п
1
,И ІЭ
гМ
#ч
иічнвии^
*ч
•*
в
#4
һ -
г*
#ч
#*
40 «г> т тг» 40
сч
сч і«л
« г>
»4
1' 4
*-*
«к
*»Н І
V
з
40
г -
оо
< Л
ч©
40 с*«
ОО
»л Һо |оо 40 г~- оо о
»л>
1
40
т
іл>
40
------------
•
«О
2
ш
»л
о
*/*>
о
іл>
о
о
»л
о
о
00
чо
оо
ІІІ _____ _
к.
<. V
о
о
40#4
«о
о?
т я*
40
04
О
00 о
1
іЛ
40
о
#
Пішін
номері
4 кестенің жалғасы
Қиманың
өлшемдері
іянві/у
Св
Г
^
оо
І
Г
"
"
І
04
*
£
>
С
"
ю
»о
40
04
«п|
сч
*Ч
р
Н
40
һ1
*
»л сч т ■^г т »г>
О
О
»
л
>
»л
*
*
•
ч
іп
оо 04 40 г^- 00 04 огН г- 00 Г—
4 04
ю
1
»п
к
*о
оо
4 0
оо
о
о
— ......
°12
чоііт
о\ оо
о Ісь
ЛМ ‘м | В Э Э С |Д [
•Ч І
оо
іяіліясІЛд міхэәмйд о
О ІО
«V
гчЫ" т
счКо
О
М СЧ ОІ
о- ^1о
04
Оч
гч го Iсп
04
Оч
т
О ІО О
ОІ о оо
04 Оч оо
со сп ;гг>
о о о
о
о о
л|
о
#ч
VV
О ІО
о
о\
■
'
З
*
*ЧІ
94
оі
жЧ
«ь»1
1»
1
*оісп
О
-ЬзС П І40
л|
•*
^о 40
гч
гч N и
513
гчсчІгч сч
#ч|
м
04 ООҺо
гч Г4 ГЧ
•^Іспісч
гя
ГЧI(N1041
чо ^ 1оч т*- оо
04
0 4 оо о »л» 0 4
(N1кч »о һзт т »л 4 0 4 0
сч 4 4 0 4 0• Оч 4 0 оо 0 4 4 0
ОІ сч1СП С«1
1
1
о
04
«
чт
т
40г
ч
сч т
Т— «
ао
со Iо*
г Н
. фк|
#у{
»—
#ч
1
«ч 1
NА 1
»—
гчІо
гчГЧ С>і
сч
40
ОІгч
гчN
сп
тісоісо
»п
«ч
40140
Оч
«л СО
»п ю
с+\
»л
04
04
оо
ю
сп
гт .
пнвш
чо
Г—4
т
1о о
оо
О
40
о
о
п
оо|о
I04
- ОО
шянвми^
Т
з
оо
N
ООо
<чО
Оо 04о 04
О
<41
о
о
«3
X ’Вш
4>
э м
іе
О
с
щШШЛ
ШЩШ
г*
о
40
213
ОО
ОІ һз- 40
П айдаланы лған ә д е б н е п ер:
1 Айталиев Ш.М., Дүзелбаев С.Т. Матреиалдар кедергісі: Есептер
шығаруға арналган оқу құралы, 1 - бөлім. - Павлодар: Рауан, 1991. —176 б.
2 Айталиев Ш.М., Дүзелбаев С.Т. Матреиалдар кедергісі: Есептер
шығаруга арналган оқу құралы, 1 - бөлім. —Павлодар: ПМУ РББ, 2007. - 256 б.
3 Айталиев Ш.М., Дүзелбаев С.Т. Матреиалдар кедергісі: Есептер
шыгаруга арналган оқу қүралы, 2 —бөлім. —Павлодар: ПМУ РББ, 2007. — 240 б.
4 АлександровА.И., Потанов И.Д., Державин Б.П. Сопротивление
материалов: Учеб. для вузов.—2-е изд. испр..—М.: Высш. шк., 2001. ~ 560 с.
5 Байнатов Ж. Қүрылыс механикасы, /Статикалық анықталган жүйелер,
оқу құралы. - Алматы: РБК, 1993. - 140 б.
6 Байнатов Ж. Құрылыс механикасы, /Статикалық анықталмаған
жүйелер, оқу құралы. —Алматы: РБК, 1995. —256 б.
7 Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов: Учеб. для техн.
вузов. —М.: Высш. шк., 1989. —624 с.
8 Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: Учебник для
строительных специальностей вузов. —М.: Высшая шк., 1986. —607с.
9 Дүзелбаев С.Т. Матреиалдар кедергісі: Есептер шыгаруга арналган оқу
қүралы, 2 - бөлім. —Павлодар: Рауан, 1996. —196 б.
10 Дүзелбаев С.Т. Материалдар кедергісі, есептеу-сызба жұмыстарының
тапсырмалар жинағы: Жогары және орта кәсіптік мамандар дайындайтын
техникалық оқу орындары студенттері үшін арналган оқу қүралы. —Павлодар:
ПМУ ҒБО, 2007. - 120 б.
11 Дүзелбаев С.Т. Механика. Жоғары кәсіптік мамандар дайындайтын
техникалық оқу орындары студенттеріне арналган оқулық. —Павлодар: ПМУ
ҒБО, 2006. - 308 б.
12 Дүзелбаев С.Т. Механика пәнінің өздік жүмыс тапсырмаларының
жинагы: Жогары кәсіптік мамандар дайындайтын техникалық оқу орындары
студенттеріне арналған оқу құралы. - Павлодар: ПМУ ҒБО, 2007. —110 6.
13 Дүзелбаев С.Т. Конструкция элементтерінің механикасы: Есептер
шыгаруга арналган оқу қүралы. —Павлодар: «Кереку», 2009. — 358 б.
14 Дүзелбаев С.Т. Конструкция элементтерінің механикасы: Семестрлік
жүмыстарынң тапсырмалар жинагьі мен зертханалық практикумы. —Павлодар:
«Кереку», 2009. — 284 б.
15 Дүзелбаев С.Т., Арапов Б.Р., Айнабеков А.И., Жүсіпбеков А.Ж.
Инженерлік механика: Оқулық жоғары кәсіптік мамандар дайындайтын
техникалық оқу орындарының студенттері үшін арналган. —Астана: Е¥У РБО,
2008. - 376 б.
16 Дүзелбаев С.Т. Инженерлік механика: Жогары кәсіптік мамандар
дайындайтын техникалық оқу орындарының студенттеріне арналган оқулық, 2
басылым. - Астана: Е¥У РБО, 2008. - 370 б.
17 Дүзелбаев С.Т. Инженерлік механика: Семестрлік жүмыстардың
тапсырмалар жинағы. Оқу қүралы жоғары кәсіптік мамандар дайындайтын
техникалық оқу орындарының студенттері үшін арналған. - Астана: Е¥У ҒБО
2008.-192 6.
18 Елмұратов С.Қ., Елмұратова А.Ф., Дүзелбаев С.Т. Механика: орысшақазақіла терминологиялық сөздік /Жалпы редакциясын басқарған э.ғ.д.,
профессор Е. Арын. - Павлодар: ЭКО ҒӨФ, 2007. -2 9 1 б.
19 Жадрасинов Н.Т., Винокуров Л.П. Құрылыс механикасы: Оқу құралы.
Қарағанды: ҚарМТУ, 2001. —224 б.
20 Жүнісбеков С., Қадырбаев А. Материалдар кедергісі: оқулық. Алматы: «Бастау», 2008. - 373 б.
21 Киселев В.А Строительная механика. Государственное издательство
литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам. - М.:
1 9 8 0 -5 1 8 с. *
\
22 Қазақша-орысша, орысша-қазақша терминологиялық сөздік: 7 том,
Машинажасау /жалпы редакциясын басқарған п.ғ.д., профессор А.Қ.
Құсайынов. - Алматы: Рауан, 2000. - 288 б.
23 Қазақша-орысша, орысша-қазақша терминологиялық сөздік: 4 том,
Механика және машинатану /жалпы редакциясын басқарган п.ғ.д., профессор
А.Қ Құсайынов. —Алматы: Рауан, 2000. —328 б.
24 Үркімбаев М.Ф, Жүнісов С. Материалдар кедергісі теориясының
негіздері: Техникалық жоғары оқу орындары студенттеріне арналган оқулық. —
Алматы: Білім, 1994. —224 б.
25 Писаренко Г.С., Агарев В. А., Квитка А. Л. и др. Сопротивление
материалов /Под. ред. Г.С. Писаренко. - Киев: Вища шк., 1974. - 672 с.
26 Рахымбекова З.М. Материалдар механикасы: Оқулық. 3 басылым/ Алматы: «Эверо», 2007. —308 бет.
27 Рахымбекова З.М. Материалдар механикасының есептер жинағы:
Техникалық жоғары оқу орындарының студенттеріне арналган оқу құралы. —
Алматы: «Дәуір», 2008. —248 бет.
28 Руководство к практическим занятиям по курсу строительной
механиҚи (статика стержневых систем): Учебное пособие для студентов вузов
/Под ред. Клейна Г.К. —М.: Высш. шк., 1980. —384 с.
29 Сборник задач по сопротивлению материалов: учеб. пособие для
вузов /Под ред. А. С. Вольмира. —М.: Наука, 1985. —408 с.
30 Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащенников Б.Я., Шапошников
Н.Н. Строительная механика. Стержневые системы. —М.: Стройиздат, 1981.—
512 с.
31 Снитко Н.К. Строительная механика: Учебник для вузов. - М.:
Высшая школа, 1980.-431 с.
32 Степин П.А. Сопротивление материалов: учеб. для немашиностроит.
спец. вузов. —8-е изд. —М.: Высш. шк., 1988. —367 с.
215
*
щ
0
■
*
М азмуны
I Дәріс
3
Кіріспе................................................................................................................. ....... *
III. 1 Ғимараттарды кинемагикалық талдау....................................................... ....9
111.2 Көп аралықты статикалық анықталган арқалықтар..................... .......... .... 15
111.3 Сыртқы күштердің жұмысы........................................................................ .... 22
111.4 Орын ауыстыруды анықтаудың жалпы әдістері...................................... ....30
II 1.5 Стагикалық анықталмаған жүйелер. Күш эдісі........................................ ....64
ш
Ш.6 Статикалық анықталмаған жүйелер. Орын ауыстыру әдісі................... ....94
111.7 Үш топсалы жүйелер. Аркалар. мен рамалар............................ ............ .... ^
111.8 Жазык фермалар..................................................................................................132
2 Семестрлік жұмыстардыц
тапсы рм алар ж инагы
142
III.2.1 «Инженерлік механика III» пәні бойынша студенттердің
семестрлік жұмыстарының тапсырмалары....................................................... ... 143
Бірінші семестрлік жүмыс тапсырмалары....................................................... 143
Екінші семестрлік жүмыс тапсырмалары................................................. ........146
ІІІ.2.2 Сіуденттердің семестрлік жұмыстарын орындауға арналған
эдістемелік нұсқаулар........................................................................................... ....154
Қайталауга арналған сұрақтар...................................................................... ....... 193
Қосымшалар...................................................................................................... .......19?
1Іайдаланған әдебиеттер ................................................................................. .......214
Дүзелбаев Сайлаубек Тілеубайүлы
Кудерин Марат Қырықбайұлы
ИНЖЕНЕРЛІК МЕХАНИКА 3
Оқу құралы
жоғары кэсіптік мамандар дайындайтын
техникалық оқу орындарының студенттеріне арналған
Техникалық редакторы Г.Н. Сейтахметова
Жауапты хатшы Г. Н. Мусина
Басуга 18.06.2010 ж.
Әріп түрі Тішев.
Пішімі 29,7 х 4 2 / г • Офссттік кагаз.
Шартты баспа табағы 5,84. Тарапымы бОдана.
Тапсырыс 1383
«КЕРЕКУ» баспасы
С. Торайгыров атындагы
Павлодар мемлекстгік университсті
140008, Павлодар к., Ломов к., 64
* -4
Л
Д ҮЗЕЛБЛ ЕВ Оііишубек Ш еубаиуры
1951
ж.
Қастанйч облысы
іУ/іиекоі
іуданыһың кһіршкол ауы.іыида тугап. )./п к
қазсқ. От басыЛьі Екі гслаіы, Ьес в&шреді
]97С Ж- С М Кнроь амын@шы ЯЪміг
меласхеттік
учаеерситетін
'Механакг.»
мамандыгы бойыаша Оіпчроі.
05.21.11 - ъАьточобиль жолоары мен
азродр^м ңуршысы * м эне 35 . 23.02 - «Негіз
.жяне
фтдамтт»
мсіуіанОықтириның
тушсіидсгі ғыяыми еңбектсріһің иэъижесінОс.
пехиш:а гышмОарычың ллндидаты
гылыми дэреженщ иегепі Ж лК ооценпи.
Еңбек жольг
- 1976-1992 тж. Темірлщ’ қичасында ҚарХІҺ ж орш ош ь
чмодтық-ЖГ,Ю :Ш Ш Ш І мепалчургия унстит/ты! ж-,мыі ,с<га)і:
му,:апм. АФ З л аьындіиы (4,;су ЩІ затд-ЖТОО ж*іпышх»и>:а<ык
фмл-.к»жтініц декіны. дотчт;
' - 1992-1Ш ж.ж. К.аМТУ доцекпи ж?не Қси.Ш і -Оің Ақсу
іхии.ыіпехнико іыь, факультх'п:іі:ң декмы.
_
І09(і-200і ж.ж. жексм^пшік Г.мок ипіср.іы -ггехникшық
*Даш яі* ког!еЛ м .‘Щдиректоры:
- 2001 2007 ж.ж. С. Торайгырье атинОс.яы ГіМ. -і | | | Н Ш
Істеді. 2><03-2'Ю7 ж ж . «Ьіашыня ‘
Лрастыру негидерһ хафідік.сыіың
шьсгрМіісі:
- Ы
»ку .ж шнкич бастап Л. Н. Гумшіев итынОсиы £ураз>я.м,
ъ-ттақ
>„иверсит?тШ)е жумыс кг.іеиді. «Мотеуатмгм жти
ақыршптық Щ Ш Ш Ш Ж Ф ^ ь т е т іш н .\кха;,ика» ^ д р а с ы и ы ң
доцетт.
. _. Ғы ІЫМИШітШЩШ СЦІҺЛ^ТІ-ІІҢ нмп<.ме.;і Ң - осспа жхмысы.
соның ішінде Щ |І кцж дары Щ Ш Ш М
* * * " » 'шмд* 1
оф іы қ
т н 33 аф іцра.і.пты меміексттік ш г һ
Ш т грначмр
::і-сЧргісікеч есегияір шыжЬучі арпмған ж іи .кате.гмаЮар хсл-ъчеі
'ссепяи..жр!нде ЭЕМ ЩШфЩв арнеъан гш ақ ‘и::іч )егі ая&тіқы іх у
угі ра иһ.еоың авторы.
Музыка комчьптер л>
ксмпнечпщшс т.хника. гм-кінбіг.ы
крогыншічар: $ М Щ М аіһСШ Г _/7« -Т.ігһо ?«*■:*!. Щ Щ
Ш і. 8САІУ ж-яне т.С. қизыкташіы х м е Щж< ан;һ қохдашми.
Өмі.м.і; іГ•паны.иы■щ жақсының оар.іыгы бизалар \іит. і угінг.
жумыс.жи ерыгцге қаьіырма.
_
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
42
Размер файла
13 194 Кб
Теги
kuderin, injenerlik, mehanika, duzelbaev, iii, 3181
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа