close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3355 krasnov m.l. makarenko g.i. kiselev a.i variacionnoe ischislenie

код для вставкиСкачать
'Избранные главы
В Ы С Ш Е Й
М А Т Е М А Т И К И
для инженеров и студентов втузов
ЗАДАЧИ и УПРАЖНЕНИЯ
М Л К Р А С Н О В , Г И МАКАРЕНКО, А.И .КИ СЕЛЕВ
ВАРИАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕ НИЕ
ш
ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕ
ДЛ Я ИНЖ ЕНЕРОВ И СТУДЕН ТО В В
ЗАДАЧИ
И УПРАЖНЕНИЯ
М. Л. КРАСН О В, Г. И. М АКАРЕН КО ,
А . И. К И С Е Л Е В
ВАРИАЦИОННОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Ц опущ ено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия
д л я студентов высших технических учебны х заведений
И ЗД А Т Е Л Ь С Т В О «Н А У К А »
ГЛ А В Н А Я Р Е Д А К Ц И Я
ФИ ЗИ КО -М АТЕМ АТИ ЧЕСКО Й Л И Т Е РА Т У РЫ
МОСКВА
1973
517.2
К 78
У Д К 519.3
вариационное исчисление, К р а с н о в М. Л. , М а ­
к а р е н к о Г. И., К и с е л е в А. И. Главная редак­
ция
физико-математической
литературы
изд-ва
«Н аук а», 1973.
Предлагаемый задачник посвящен важ н о м у раз­
делу математики — вариационному исчислению.
По стилю и методике изложения предмета он не­
посредственно примыкает к ранее изданным книгам
тех ж е авторов «Функции комплексного переменного.
Операционное исчисление. Теория устойчивости» и
«Интегральные уравнения».
В начале каж дого раздела приводятся необходи­
мые теоретические сведения (определения, теоремы,
формулы) и подробно разбираются типовые примеры,
1
Задачник содержит свыше ста разобранных при­
меров и 230 задач для самостоятельного решения.
Задачи снабжены.ответами, в ряде случаев даю т­
ся указания к решению.
Илл, — 24. Библ. — 23.
©
И здательство «Н а у к а », 1973 г.
0 2 2 3 -1 8 1 7
* '042 (02)-73
П РЕ Д И С Л О В И Е
Современному инженеру часто приходится иметь
дело с задачами, которые требуют от него хорошей
математической подготовки и твердых навыков в при­
менении разнообразных математических методов. Р ас­
ширение математического кругозора инженеров не­
мало способствует новым достижениям техники.
Вариационное исчисление является одним из наи­
более важных для приложений разделов классиче­
ского математического анализа. В настоящее время
в ряде втузов вариационное исчисление включено в
обязательную программу курса высшей математики.
Большое количество задач по вариационному исчис­
лению содержится в известном сборнике задач
Н. М. Гюнтера и Р. О. Кузьмина. Однако эти задачи,
в большинстве своем довольно трудные, даны без
указаний к их решению, поэтому начинающему они
бывают часто не по силам. Много хороших задач
рассеяно по многочисленным курсам вариационного
исчисления, но некоторые из этих курсов стали би б­
лиографической редкостью.
Авторы задались целыо дать некоторый минимум
задач по основным разделам классического вариа­
ционного исчисления и сознательно не касались во­
просов, связанных с теорией оптимального управ­
ления.
1
s
ПРЕДИСЛОВИЕ
4
При составлении настоящего задачника авторы
ориентировались в основном на книги Л. Э. Эльсгольца «Дифференциальные уравнения и вариацион­
ное исчисление» и Л.
Ц лафа «Вариационное ис­
числение и интегральные уравнения» (справочное ру­
ководство).
.
Ш
'
Ш :1
Считаем своим приятным долгом горячо поблагода­
рить доцентов Н. X. Розова и Л. Я. Цлафа за ряд цен­
ных замечаний и советов, которые помогли нам в ра­
боте над книгой. Пользуемся случаем выразить при­
знательность сотрудникам кафедры высшей матема­
тики МЭИ, которые также помогали нам при напи­
сании книги.
; 1
Все замечания и предложения, направленные на
улучшение книги, нами будут приняты с благодар­
ностью.
М . Л . Краснов,
Г. И. Макаренко,
Москва — Дубна, 1972 г,
Н , К иселев
П Р Е Д В А Р И Т Е Л Ь Н Ы Е ЗАМЕЧАНИЯ
!. Если А — произвольное множество элементов, то утвер­
ждение сэлемент а принадлежит множеству А » символически
записывается так: a g A
Запись а ф А (или а Ш А ) означает, что элемент а не при­
надлежит множеству А .
Если А и В — множества, то утверждение <А является под множеством множества В » (символически: A cz В) означает, что
всякий элемент х множества А принадлежит и множеству 5 .
2. Объединение и пересечение двух множеств А и В опре­
деляются следующим образом:
Объединение A U В = [х\ х & А или х е В ) есть совокупность
элементов х, принадлежащих хотя бы одному из множеств А
и В;
пересечение А {] В = {х\ х ^ А, х ^ В] — совокупность эле­
ментов х, принадлежащих как Л, так и В.
3. Если А — некоторое множество вещественных чисел, то
верхней гранью (точной верхней гранью) А называется наимень­
шее вещественное число А1, такое, что а ^ М для всех а е / 1 .
Иными словами, М — верхняя грань Л, если для любого a g / 1
имеем а ^ AJ, но каково бы ни было е > 0, хотя бы и как
угодно малое, найдется по крайней мере один элемент
та­
кой, что М — е < Ъ.
Если такого числа не существует, то в качестве верхней
грани А принимается +оо.
В обоих случаях верхняя грань множества А обозначается
sup Л. Аналогичное определение дается и для нижней грани мно жества Л, обозначаемой inf Л.
4. Л инейны й пространством называется множество R эле­
ментов х, у, г, . . . произвольной природы, для которых опреде­
лены операции сложения и умножения их на числа, причем вы­
полнены следующие аксиомы:
1) х + у = *у+ х;
2) (х + у) + 2 = х + (у + г)\
3) существует такой элемент 0 (нулевой элемент), что
х + 0 = х для любого х е R;
4) для каждого х е R существует такой элемент —х (про­
тивоположный элемент), что х + (—х) = 0;
5) 1 • х *=* х;
6) a (fix) — (ар) х\
7) (а + 0) * « ах + Рх;
8) а (х + у) ах + а у.
ПРЕД ВАРИТЕЛЬНЫ Е ЗАМЕЧАНИЯ
6
с л ине(іное пространство R назы вается нормированным, если
к аж д о м у м е м е н T x e R поставлено в соответствие недтрииадействительное число II х ||- норма этого элемента, при-
чем:
1 ) ц х || а » 0 только при х * 0 ;
3 ) Іі” + г/|1 < l u V + ’ll ^ ll
(аксиома треугольника дл я нору).
6 . Множество М элементов
xt у, г, . . . любс^ й ПРп
пеменвается метрическим пространством, если к а ^
р^ьное дейтов jc, у из М поставлено в соответствие неотрицательное
ствительное число р ( х , у) такое, что
_
/аксиома
1 ) р (jc, у) = 0 тогда и только тогда, когда *
У \
то ж д е с тв а);
.
2 ) п (х и) = р ( у , х ) (аксиома симметрии),
3 о Л
+ р ( 1/ г ) ^ р ( М ) (аксиома треугольника).
Число р (-*ГУ) называется расстоянием между элементами
^Всякое линейное нормированное пр ост р анство является
метрическим: достаточно положить р ( х , у ) = \\х
у*.
ых
7. Пространство С[а, Ь] — пространство всех
р Р
на [а, Ь] функций у (х):
||г/||г = m ax |у (х) |.
Пространство С , [а, Ь] — пространство всех функций ^ у (х ),
непрерывных на [а, Ь] вместе со своей первой производной.
|| у IIг == m a x І У ( Х) І +
max | /
I
а^х^Ь
а^х^Ь
( х ) |.
Пространство С п[а, Ь] — пространство всех функций # (•*), не
прерывных на [а, Ь] вместе с производными до п-то порядка
включительно (л — фиксированное натуральное число).
II у IIс = 2
ш ах
1#§ Р (х ) I-
Иногда в С п[а, Ь] норму элемента у ( х ) определяют таю
||у ||=
m ax { |у (х ) I, |у' (х ) |...........I У(л) ( * ) I }•
а< *< &
ГЛАВА
I
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ
П ЕРЕМ ЕННЫ Х
многих
§ 1. Безусловный экстремум
Пусть в некоторой области D евклидова п -мерного простран­
ства Еп задана функция /(хь х2, . . . . *п) или, коротко, f ( x ) .
Мы скаж ем , что в точке х<>e D функция }(х) достигает
своего наибольшего ( наименьшего) значения , если какова бы ни
была точка х е D, имеем:
/(* )< f М
(f ( * ) > f М У
Т е о р е м а В е й е р ш т р а с с а . Всякая ф ункция , непрерыв­
ная в замкнутой ограниченной области, достигает в ней своего
наибольшего и наименьшего значений.
О п р е д е л е н и е 1. Пусть функция f ( x ) определена в обла­
сти D с £ п. Точка х <0- = (х^,
хJ ) g D
называется точкой
строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума)
функции /(х), если существует т а к а я окрестность Q (x(0)) точки
что выполняется неравенство f ( x) <Z /(х(0)) (соответственно
/(*) > f ( r f 0))) дл я всех точек х е Q(x<°>) ПА х Ф х<°>.
Точка строгого максимума (соответственно строгого мини­
мума) характеризуется тем, что
Af = f (х) — f (х<0)) < 0
(соответственно A f > 0)
при всех х Щ Q(x<°>) П А х Ф х<°>.
Если ж е для точки х<°> существует т а к а я окрестность
Q(x<°>), что для всех точек x e f i (х(0)) П D выполняется условие
/(х) ^ /(х<°>) (соответственно f ( x ) ^ /(*(0))Ь то точка х<®> назы ­
вается просто точкой максимума (соответственно точкой мини­
мума
О п р е д е л е н и е 2. Точки максимума и минимума функции
/(х) называются точками экстремума этой функции.
1. П ользуясь
функций:
a)
определением,
f {ху, хЛ = х\ + х\\
найти
точки
экстремума
8
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
х] + х #
х {+ х2 ф О %
|
, 2 + Х | - 0;
б) / ( * , . * 2) - f
®) f
1» ^2) = * 1
[ГЛ. 1
*2
Т е о р е м а 1 (необходимое условие экстрем ум а). Пусть
функция / (*), х = ( * ь * 2,
* п ), определена в некоторой ок­
рестности точки х {0} = (x°lt х?2,
^|)- Если эта точ/са является
точкой экстремума функции f ( x ) и если в этой точке существуют
производные
ёШ і
дхі
(/ = 1 , 2 , , . . , я) , го они равны нулю
дЦхЩ
дх,
О
0 ' = 1, 2,
л).
“
£слы функция f(x) дифференцируема в точке экстремума х®\
то ее дифференциал равен нулю в этой точке: df ( x ( ° ) ) = 0 .
П р и м е р 1. Найти точки экстремума функции г = # - f у 2.
Р е ш е н и е . Точки экстремума находятся среди точек, для
которых d z = 0. В нашем случае d z = 2х d x + 2у d y . Условие
^2 = 0 выполняется в единственной точке х = 0, у = 0. В с а ­
мом деле, если х = у = 0, то dz = 0. Обратно, пусть d z = 0;
пользуясь произвольностью dx и rfi/, выберем dy = 0 , тогда 0 =
= d z = 2* dx и в силу произвольности dx отсюда следует, что
х = 0. Аналогично получаем, что и */ = 0. В точке (0 ,0 ) имеем
2 = 0, во всех ж е других точках г = х 2 + У2 > 0. Поэтому
точка ( 0 , 0 ) является точкой строгого минимума дл я функции
2 = х2 4- У' Если расширить класс функций, в котором ищется экстре­
мум, включив функции не дифференцируемые в отдельных точ­
ках, приходим к следующему н е о б х о д и м о м у у с л о в и ю
экстремума.
Если
есть точка экстремума функции f ( x 1, * 2, . . . » *п)> го
в этой точке каждая частная производная ИЁИ (* = 1* 2 ,
я)
ох1
либо равна нулю , либо не существует.
П р и м е р 2. Рассмотрим верхнюю полость конуса г2 =
2 + 1/2, 2 ^ 0 . Очевидно, в точке. 0 (0 ,0 ) функция г имеет
dz
дz
минимум. Но в этой точке
■ и -щ - не существуют.
О п р е д е л е н и е 3. Точки, в которых выполняется необхо­
димое условие экстремума функции / (*), называются критиче­
скими точками этой функции.
Точки х<°>, в которых Щ х Щ = 0, называются стационар­
ными точками функции f ( x) .
Условие d f ( х(0)) = 0 эквивалентно условию
а мд , , Ш
« - и
*
БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
9
Наличие критической точки еще не гарантирует наличие экс*
тремума функции. Например, для функции z = x2 — y 2 точка
(О, 0 ) есть стационарная точка, но экстремума функции z в этой
точке нет: в любой как угодно малой окрестности точки ( 0 , 0 )
функция принимает как положительные, так и отрицательные
значения.
1®. Достаточные условия строгого экстремума
О п р е д е л е н и е 4. Квадратичная форма
п
А(х)
А (лгр * 2>
аИ ~
- 2
ai j x ix j>
.ip #
и j =
I
2, . . . ,
П,
называется положительно (соответственно отрицательно) опреселенной , если Л (х ) > 0 (соответственно А (я) < 0 ) для любой
точки х е Е , д: ^ 0, и обращается в нуль только при х = 0,
т. е. при Х\ = х$ = . . . =j Хп = 0 .
Квадратичная форма называется неотрицательной, если она
никогда не принимает отрицательных значении. Например, формы
+ *2 + . . . +
и ( х { + х 2 + . . . + х п) 2 являются не­
отрицательными формами. Первая из них является положитель­
но определенной, так как она обращается в нуль только при
Х\ = %. = . . . В х п = 0; вторая форма у ж е не будет положи­
тельно определенной, так как она обращается в нуль, например,
при *1 = 1, *2 = - 1, *3 =
= ... =
= 0.
Квадратичная форма, являющаяся положительно или отри­
цательно определенной, называется определенной квадратичной
формой .
Квадратичная форма, принимающая как положительные, так
и отрицательные значения, называется неопределенной.
Т е о р е м а 2 (достаточные условия строгого экстремума)*
Пусть функция / (*) определена и имеет непрерывные производи
ные второго порядка в некоторой окрестности точки
Л*?* * 2» • • х °п) и пусть
является стационарной точкой функ ции / ( х ) . Если квадратичная форма
A ( d x u d x 2,.......... d x n) ^
~d x f d x ' d xi d x P
S
<! )
/./= 1
9
9
t
т. e. второй дифференциал функции f в точке jc<°>, является по*
ложительно определенной (отрицательно определенной) квадрат
тичной формой , то точка х№ является точкой строгого минимума
(соответственно точкой строгого максимума ) ; если квадратичная
форма ( 1) является неопределенной9 то в точке х^) экстремума
нет,
to
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(ГЛ. I
Критерий Сильвестра положительной определенности
дратичной формы. Д л я того чтобы квадратичная форма
( 2)
а, ШШһ
А (х) — A (x j, x-2t • • *> Xfi)
ква­
1
,
2
,
я,
была
положительно
опре­
у которой ai j
0 j l 1 I* J
деленной, необходимо и достаточно, чтобы
0ц> °*
ш
0ц
а\2
021
а22
а\2
V
о
Ф
а21
ай\
022
а ъ\ 032
aj2 • • • 0 т
а 22 • • •
#3.
023 > 0,
а зз
>0.
• • •»
Шп2 • • • Опп
Д л я того чтобы квадратичная форма (2) была отрицательно
аяОПРНИПЙ
а л < 0,
НРПЙУПЛИМП И ЛПСТЯТОЧНО. Ч Т О б Ы
аи
а 12
а 2\
й22
On
> 0,
а 12
••
022
••
• • •»
•
0ц
#12
013
021
022
023
031
032
а 33
&П2
• •
•«
01Л
02rt
Ф
0щ
< 0,
( - - 1 )п >
• 0/т
Случай п = 2. Пусть функция f ( x , y ) определена и имеет не­
прерывные частные производные второго у.орядка в некоторой
окрестности точки (*о> Уо) и пусть (х0, Уо) является стационар­
ной точкой, т. е.
>
( 3)
f'x (х 0> Уо) = f'y ( * 0- Уо) = 1
Тогда, если в точке § ж у о)
fIXX*f у у
m
i > I
(4)
то она является точкой экстремума, а именно максимума, если
в ней
,
г/
XX < о
и минимума, если
fxx > 0
(fyy > °>-
БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
11
Если ж е в точке (х0, у 0)
f•XXIf у"у - if*.
)2 < О
V/х у ' ^
то экстремума в точке (хоf у 0) нет. Наконец, когда
fI XXI
” f у у - . ( \1
f "х у «' Щ u
в точке (*о, Ій|» то в ней экстремум может быть, а может и не
быть. В этом последнем случае требуется дополнительное иссле­
дование.
П р и м е р 3. Рассмотрим функции г = х 4 + у 4у z === —х 4 —
У» z =
Точка ( 0 , 0 ) является стационарной точкой
для каж дой из этих функций и в этой точке для каждой из них
*хх I I Я В ! 1 1
Нетрудно видеть, что точка ( 0 , 0 ) является точкой мини­
мума для первой функции, точкой максимума — для второй и не
является точкой экстремума для третьей. В самом деле, во всех
трех случаях г ( 0 , 0 ) = 0 , но в первом случае в любой окрест­
ности точки ( 0 ,0 ), кроме самой точки, значения функции поло­
жительные, во втором — отрицательные, а в третьем
случае
функция z === х 4 — у в любой близости от начала координат при­
нимает к а к положительные значения (например, при х Ф 0 ,
У = 0), так и отрицательные (например, при х = 0, у Ф 0 ).
П р и м е р 4. Найти экстремум функции трех переменных
f = х 2 + у 2 + z 2 — х у + х — 2 г.
Р е ш е н и е . Найдем стационарные точки заданной функ­
ции /. Д л я этого составим систему уравнений
К
2х — у + 1 = 0 ,
ш
2у - х = 0 ,
Ё1
2z — 2 = 0 ,
дх
дУ
dz
реш ая которую, получим х 0 = — — , у 0 = — І - , г 0 = 1.
f•ZX « =0 ,
Р§ получим
52
|М
&21 “ = - 1,
а31 ~ =0 ,
II
*^*Ь
Составим квадратичную форму ( 1) в
Имеем
Г
'XX Р * 2 ,
' ху = - 1 ,
=2,
Г
1ух - » - 1,
=0 ,
012 “= - 1,
<*22 == 2 ,
°32 с= 0 ,
точке Р 0 f —
V
/"
=
•XZ : 0 ,
1уг =о,
f•гг ш* 2 .
°13 != 0 ,
023 » 0 ,
а зэ = 2,
8
8
1
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
12
так что
Й ц > 0,
2
—1
— 1
а 21 а22
1 О
2
2
012
011
1
2
О
О 2
О
(ГЛ. I
3>0,
6 > 0.
Используя критерий Сильвестра, заключаем, что квадратичная
форма — положительно определенная, а значит, согласно тео­
реме 2 , точка Ро является точкой строгого минимума, причем
/ (Я о )--у .
Пример
5. Найти экстремум функции д вух переменных
х 3у 2 (6
У\
Р е ш е н и е. Найдем стационарные точки:
2
«fS
О,
4 х 3у
3 х*у
18л:2#
\ 2 х ъу — 2 х 4у — 3 х 3у
О,
откуда х\ = 0, ^i = 0 и х2 = 3 , у 2 = 2. Получили две стацио­
нарные точки Р|( 0 , 0 ) и Рг(3, 2 ).
Найдем вторые производные заданной функции
гг
6
х
у
3,
1
2
x
4
36
х
у
XX
п
3
2х
12х
УУ
гг
9
х
2у2.
8
д
с3у
36
д
г
у
ху
ft
ГГ
ГГ
г\
Н
Н
В точке______________
Р j имеем XX
г уу
г ху
т а к что г х х * г уу
0 , и вопрос о наличии экстр ем ум а в этой точке
ш
остается открытым. Д л я решения этого вопроса надо привлечь
старшие производные.
В точке Р2 имеем z"xx =* —144, z ry y = — 162, z " y =* — 108.
гг
гг
( гг \2 ^ л
Очевидно, х х * гz уLу - - [\zгLх .у.)Y > 0, “а т4Са1Х
кХ к а к ~ХХ 0, то в точке
Р 2 (3, 2 ) имеет место максимум, причем z max Щ ffp-
Исследовать на максимум и минимум следующие
функции:
2. f
2 у 2.
1)
(*
х* + У* ~ 2*2 + 4х у — 2у 2.
3. f
(х2 + у 2)
4. f
5. f
1+ х - у
V i + х2 + у
§ Я
БЕЗУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
в. f — х +
4- — + —
13
( х > 0, у > О, z > 0 ).
8. / = sinл:-sinг/-sin(л:Ң-у) (0<д:<я, 0<#<я)
7» I Ш й|
9* / =
х у Я у 2 — 2х М у .
• х\ X. . Щ (1 — х х — 2дс2 — . . I — Пхп)
(*i > 0 , J?2 > 0, . . . , хл > 0).
10. Показать, что функция z = (1 Ц е У ) с о $ х
у е у имеет бесконечное множество максимумов и
ни одного минимума.
11. Является ли достаточным для минимума функ­
ции
в точке М0(х0,уо) условие, чтобы эта функ­
ция имела минимум вдоль каждой прямой, проходя­
щей через точку
Рассмотреть пример
~ { х — у 2) (2х — у 2).
12. Показать, что в отличие от функции одной пе­
ременной уж е для функции двух переменных суще­
ствование в области D единственного экстремума
максимума или минимума — еще не означает, что
этот экстремум обязательно доставляет наибольшее
или наименьшее значение функции во всей области.
Рассмотреть примеры:
f(x,y)
М0?
f(x,y) =
а) z = х2 — у 2 + 2е~х\
o o < x < -f-°°,
— °о < г/ < -|- оо;
б) z — Ш — 4х2 Ң- 2х у — у 2,
D {-5 < * < 5 ; -1
1}.
13. Пусть дана периодическая с периодом 2л
функция / ( л ) . Среди всех тригонометрических много­
членов л-го порядка
-у-Ц2 (сс*coskx-j-pfesinkx)
п
fc=»l
путем подбора коэффициентов a*,, ^ требуется найти
тот многочлен, для которого среднеквадратичное
уклонение, определяемое равенством
Я
А2 ____ 1
п
f (х) —
6" ~ 2я
Я
шШі
(a * cos kx + рл sin kx) d x 9
—2
i
имеет наименьшее значение.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
І4
[ГЛ. I
2 °. Метод наискорейшего (градиентного) спуска. Пусть ста­
вится задача об отыскании минимума функции /(х), где х ==
(х\9 Х2, . . . , х т ). Возьмем некоторую точку х {}= ^х°[9 х \ 9
х^)
и вычислим в этой точке градиент функции /(х)
т
4
(
/
0\
V
g r a d f (х°) = V
d f ( x ° ) et.
щ
mm
где ei, в 2, . . . , e n — ортонормированный базис в пространстве R ,
Если grad / (x°) Ф 0, то полагаем
ь = X°k — A, (g r a d / (дс°), ek)
( f e = l , 2.......... т),
где hi >* 0 достаточно мало*. Если g rad /(х1) Ф 0, то полагаем
1
A2 ( g r a d f ( х 1), <?*),
(/*2 > 0 ),
и вообще, если grad f { x n~l) Ф О, то
xk = x k ~ l —
( x n~ l), e k)
( k = 1, 2, . . . . m),
(A „ > 0 ).
При определенных условиях (см. [18]) получаем монотонно убы ­
вающую последовательность § ( ш Щ Если х п - + х и х — точка
минимума функции /(х), то grad Д х п)-> -0 при я - ^ о о .
П р и м е р 6 . Найти точку минимума функции f ( x) = х2.
Р е ш е н и е . Возьмем, например, точку х° = 1. Имеем
g ra d f (х°) = 2 х°/ = 2 / =#=0 .
Поэтому
х ! = х° — Һ • 2 == 1 — 2А,
где
Һ > 0,
Д алее,
g r a d ! ( х 1) = 2 ( 1 - 2 /г)/.
Если Һ Ф - ^ ,
то g ra d / ( х 1)
0 и
х 2 = х 1 — 2 Л (1 - 2 /i) = ( l — 2 А)2.
Продолжая этот процесс, находим
х п — ( 1 — 2h)n.
Ясно, что если 0 <£ Һ •< 1, то x n -> 0 при л-*- оо. Точка х = 0
есть точка минимума функции f ( x ) = х2. Если ж е
A=
£
то
х 1 = 0 , g r a d / ( x I) = 0 , и мы получаем стационарную п о сл ед о ва­
тельность {0}, предел которой есть нуль.
П р и м е р 7. Найти точку минимума функции f ( x , y ) =
= х 2 + у 2.
Р е ш е н и е . Возьмем, например, точку (1 ,1 ), т. е, х° = 1,
у 0 = 1, Находим
g r a d / ( 1, 1) = Ш + 2 /.
§ 21
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Т ак к а к g r a d f ( 1, 1)
0, то полагаем
= х° — 2x°h = 1 — 2 К
Имеем
У1 — У° ~ 2y°h = I — 2Һ.
(А > 0 )
g r a d / f x 1, г/') = 2(1 - 2 Л ) / + 2( 1 - 2А) / Ф 0
'<
I
*!
поэтому берем
** = * ’ - 2 * ’ . Л = ( 1 - 2Л)*,
У2 =
- 2у' • һ = (1 - 2/*)*.
/
\
(һ ф —Ү
\
2/
1
■
-
2
П родолжая этот процесс, получим
* * = (1 — 2Д)"
Уп = ( \ - 2 һ ) п,
так что при 0 < һ < 1 будем иметь последовательность точек
™ п ( х \ у " ) , сходящуюся к точке минимума М ( 0 , 0 ) заданной
функции. Очевидно, что
g ra d / (х п9 у п) = 2 ( 1 — 2h)n / + 2 ( 1 — 2h)n j -> 0
при
п -> оо.
Итак, точка минимума функции f {х, у) = я 2 -f-t /2 есть точка
(0 , 0 )
Методом градиентного спуска найти точку минимума функции
•
*
х 2 + у 2 — 2 х + 4у + 5.
§ 2. Условный экстремум
Пусть имеем функцию г = f ( x u Щ . . . , х п) от п перемен­
ных, определенную в некоторой области D пространства Е п.
Пусть, кроме того, на Х\%Х2,
х п наложено еще т допол­
нительных условий ( т < п):
-f
Фі (х\, х2,
*л) = 0, |
*' • -• • • •- • • «г * • - /
Фш (^ 1» Х2» • • •» Хп) == Of ^
~^
^
называемых уравнениями связи.
Пусть дс(0 = ( х ° , х % , лс®) — внутренняя точка области D.
Говорят, что / (* ,. х2, х п) имеет в точке (х°, х%......... х°п)
условны й м а кси м ум (соответственно условны й ми н и му м) , если
неравенство
/ (jfj, Х2г ■• • 1 Xп) ^ f
*2’ •••* * я )
(2)
(соответственно / ( * ,, * 2.......... хп) > f (tf, jcg............ дс°)) выпол­
няется в некоторой окрестности точки (jk|; х%.......... х°п) при
16
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
[ГЛ. I
• ••» х п) и ( x j, *2.......... Х°п) уд о вл етворяют уравнениям связи ( 1).
П р и м е р 1. Функция z = х2 + у 2 имеет безусловный мини­
мум в точке (0 ,0 ), равный нулю. Присоединим уравнение связи
х + у — 1 = 0 , т. е. будем искать минимум аппликат точек по­
верхности z = х2 + у 2 лишь для тех значений х и у, которые
удовлетворяют уравнению х + У — 1 = 0 . Условный минимум не
может достигаться в точке ( 0 , 0 ), так как эта последняя не удо­
влетворяет уравнению связи. Разрешим уравнение связи х +
-)- у — 1 = 0 относительно у и подставим найденное значение
J в уравнение поверхности. Получим г = х2 + (1 —
у = \- х ) 2-—( ікцию одной переменной. Исследуя ее на экстремум,
1
1
ч
В силу уравнения связи найдем
найдем Xкр
z mln
2
Укр 5=5 о4U
Точка
1
2
1
1
2
есть вершина параболы, получен-
Z = X2 + у 2 плоскостью X + у
ной в net
м . 1 У— 0 .
Аналогично можно поступить и в более общем случае.
Пусть ищется условный экстремум функции z = f { x , y ) при
наличии связи <р( х, у) = 0 . Допустим, что при рассматриваемых
значениях х и у уравнение ф ( х, у) = 0 определяет у как одно­
значную дифференцируемую функцию у = ^ ( * ) . П одставляя в
функцию f ( x , y ) вместо у функцию *ф|х), получаем функцию одйого переменного х: г = f(x, if ( л) ) = F(x) . Экстремум (без­
условный) функции Ғ (х) является искомым условным экстрему­
мом функции f ( x , y ) при наличии связи ф (х, у) = 0 . Этот способ практически не всегда удобен, так как он требует фактического решения уравнения ф{*,J ) - = 0 относительно какой-либо
переменной.
Д ля отыскания экстремальных значений функции г =
f ( x \ , x 2, . . . , х п ) при наличии связей ( 1) пользуются методом
Неопределенных множителей Л агранж а.
Метод множителей Лагранжа. Предположим, что:
1) функции f ( x 1, х2. . . . . Хп) и ф»(* 1, % . . . , х п) ( і = 1 ,
пг) имеют непрерывные частные производные первого по2,
области D:
рядка
дфI
I
2 ) пг
п и ранг матрицы
1, 2 , • • • » m , I
дх I
1, 2, . . . , п% в каждой точке области D равен т.
1
Составляется новая функция (функция Л агр ан ж а)
• •
в
т
(3)
где Хі — неопределенные постоянные множители.
Функция Ф(х\, х 2,
х п ) исследуется на безусловный экс­
тремум, т. е. составляется система уравнений
дФ
дФ
дФ
0 > • • •»
0,
0,
(4)
дхп
дхх
дх1
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
17
из которой и из т уравнений связи
фі ** 0 »
ф] ** 0 » в • • t
Ф/tj тя О
определяются значения параметров Хг, 12г . . . , к т и координаты
(x h Хъ . . . , Хц) возможных точек экстремума.
Условия (4) являются необходимыми условиями экстре­
мума как функции Л агр ан ж а, так и исходной функции г =
.*■» 1\Хи Ш . . . . Хп>.
Если точка ( х ^ х®,
х^)
является
точкой условного
экстремума для функции /(хlf х2, . . . , x n) t то она является ста­
ционарной точкой для функции Л агранж а, т. е. в этой точке
дФ
=* 0 (/ = 1, 2, . . . , я).
Чтобы исследовать стационарную
точку (л'р х?, . . . , Хд) функции Л агр ан ж а Ф ( х 1? х 2, . . . , х п )
на условный экстремум, надо составить квадратичную форму
£ ( d x p rfx.?, •**, d x nmm/n) =
21
^і \
/»
(®)
т. е. второй дифференциал функции Л агранж а в этой точке с уче­
том условий
дф.
дф.
dtp,
~ d x ^ d x ' **" ~дх^ djfa + ••• + "5 J - d x n = 0 (i = I, 2 , . . . . m). ( 6 )
Если квадратичная форма ( 5 ) — определенная, то в точке
( х , , х \,
х®) будет строгий условный экстремум, а именно:
строгий условный максимум, если квадратичная форма (5)
отрицательно определенная, и строгий условный минимум, если
квадратичная форма (5) — положительно определенная.
Если ж е квадратичная форма (5) — неопределенная, то точ­
ка ( х р х^, . . . » х д) не является точкой условного экстремума.
Таким образом, наличие в точке (х^, xS, . . . , х^) безуслов­
ного максимума (минимума) для функции Л агр ан ж а (при най­
денных значениях Яь А*, . . . , Хт ) влечет за собой наличие в
этой точке условного максимума (минимума) для функции г
f ( x ь х2, . . . , х п) при наличии связей
(^|> *2’ ***•
===®
=я= К 2, »»•) пі).
Отсутствие безусловного экстремума для функции Л агранж а
Ф (% , х2, . . . , Хп) еще не означает отсутствие условного экстре­
м ум а дл я функции /(х|, х2,
х п).
П р и м е р 2. Найти экстремум функции г = ху при усло­
вии у — X = 0 .
/Ъ /У п }
Р е ш е н и е . Составляем функцию Л агр ан ж а
D £ j fa у 7 У
Ф (X, у) = &у + А {у — с)
с.
Т о р 1> и ,
SL-rг *I?
\Лft
11 *'4
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
18
[ГЛ. I
и выписываем соответствующую систему для определения Я и ко
ординат возможных точек экстремума:
дФ
дх
у — X = О,
дФ
ду
(7)
0.
У
Из первого уравнения находим X = у. П одставляя во второе, по­
лучим х + У = 0. Итак,
- *
X
И І = о,
0,
У
откуда х = у = 0. При этом получаем X = 0. Таким образом,
соответствующая функция Л агр ан ж а имеет вид Ф (х , у) = ху.
В точке (0 ,0 ) Ф ( х, у) не имеет безусловного экстремума, однако
условный экстремум функции z = х у при условии у = х имеется.
Действительно, в этом случае мы имеем z = х2, откуда видно,
что в точке ( 0 , 0 ) есть условный минимум.
П р и м е р 3. Найти условный экстремум функции
( 8)
f { x , у, г) = х у г
при условиях
ф! (* , У, z) = x + y — z — 3 = 0,
ф2 (*> У, z) = х ■— у
(9)
z — 8 = 0.
Р е ш е н и е . Составим функцию Л агр ан ж а
Ф (*, у , z) = x y z + Xt ( х + у — 2 — 3) + Х2 ( х — у — г — 8 )
II
N
и выпишем систему уравнений для определения параметров Х\,
Я2 и координат возможных точек экстремума:
дФ
Я] * f Я2 == 0,
+
дх
дФ
= XZ + А| -— Я2 = = о,
ду
(
10
)
дФ
*= ху —— *1 - “ Х2 = 0,
dz
~
Х+ у
3 = 0,
- У
8 = 0.
Р еш ая систему уравнений (10), получим
Я]
11
32 ’
А
231
32 ’
11
4 •
У
11
29
4 в
§
А
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
19
Второй дифференциал функции Ф (лг, у , г ) равен
“ ’ф ~
“У! + Т Г
* * ■+
+
В нашем случае
( 11 )
d 2Ф = 2 z d x d y + 2y d x d z + 2х d y d z .
Воспользовавшись условиями связи (9), получим
d x + d y — d z = О,
d x — d y — d z = 0,
о т к у д а dx = d z t d y = 0. П одставляя это в ( 11 ), получим
В (dx) = % dx2.
стационарной точке
В = — 5 dx 2 < 0 ,
11
5
11 1
~4 ~> ~~~2 > " 4~J имеем максимум, равный
В
Пример
при условии
т.
=
е. в
005
точке
4. Найти экстрем ум функции z = cos 2 х + cos 2 у
я
Щ *Ш Ш
Решение.
фЯ
Ш Щ
Составляем функцию Л агр ан ж а
У) = cos 2 х + cos21 4 - 1
xI Щ
и выписываем систему уравнений дл я определения параметра я
и координат возможных точек экстремума
дФ
дх
дФ
ду
2 cos х sin х — Я = 0 ,
2 cos у sin у + Я = 0 ,
я
У - х - ~ = 0 j
или
sin 2дг = — Я,,
(12)
sin 2 0 = А,
( 13 )
В
И з (12) и (13) имеем sin 2х + sin 2у = 0 или
##
2 sin (дс + у) cos (у — х) Щ 0 .
(15)
20
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
V2
Согласно (14) имеем cos ( у — х)
[ГЛ. I
Ф 0, а потому из (15)
2
получаем, что sin (х + у) = 0 , о тк уд а
k = 0, ±1, ±2, .. •
* + у = kn,
(16)
Р еш ая совместно уравнения (14) и (16), б удем иметь
kn
~2
п
8 ’
h% j п
У
k = 0, ± 1 , ± 2, . . .
~Г + Т '
(17)
Находим вторые производные функции Ф (х, у):
д2Ф
дх2
В точках Pk
д2Ф
д х ду
2 cos 2х,
kn
~2
фXX
" .ф "уу
п
kn
8 '
.
2
0,
п
ду
2 cos 2у,
2
имеем
~8
4 cos I k n
д2Ф
T jc o s ( * « + ■ ?
2 cos 2 kn = 2 > 0 .
Значит, в точках
k = 2tx
Р һ есть условный экстр ем ум . Д ал ее, при
д2Ф
дх2
У 2 < 0,
2П
а потому в точках Р 2п — условный максимум
2 тах — 1 “Ь
При k = 2n + 1 б уд ет
д 2Ф
дх2
V 2 > 0,
2П+ 1
то есть в точках Pzn+i — условный минимум
1^2
2mln — 1
2
В следующих задачах найти условный экстремум.
14. f — х у при х2 у 2 = I .
15. /
х2 + у
У
При 2 +» 3
16. / = х у г при условиях х
4 - 2X
8
.
е ху при х 4- у
а.
1.
у
z — Ъ, х у 4 - 1/2 4 *
§ 4
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
19. f = х — 2 у + 2 z при х2
+
у2
- f z 2=
21
9.
20. jp= sin a: sin у sin z при x + у - f г — i l ,
у > 0, z > 0.
21. Доказать неравенство
j!4
L£~ >
'
п > 1 '
х > 0 '
*>0,
У>°-
22. Найти наибольшее значение произведения
x y z t неотрицательных чисел х, у, z, t при условии,
что их сумма сохраняет постоянную величину х 423. Найти кратчайшее расстояние от точки Af (1 ,0 )
д о эллипса 4лт2 -(- 9у 2 — 36.
24. Найти расстояние между параболой у = хг и
прямой х — у = 5.
25. Найти стороны прямоугольника максимальной
площади, вписанного в круг х2 у 2 — R 2.
26. В шар радиуса R вписать цилиндр с наиболь­
шей полной поверхностью.
*
ГЛАВА
И
ЭКСТРЕМУМ Ф УН КЦ И О Н АЛ О В
§ 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства
1°. Определения функционала. Близость кривых. Пусть дан
некоторый класс М функций у ( х ) . Если каж дой функции у { х ) Ш
е М по некоторому закону поставлено в соответствие определен­
ное число /, то говорят, что в классе М определен функционал %
и пишут / = /Гу (х ) 1.
^ , 1
Класс М функций у ( х ) , на котором определен функционал
J [ y ( x ) l называется областью задания функционала.
П р и м е р 1. Пусть М — С[0, 1] — совокупность всех непре­
рывных функций у ( х ) , заданных на отрезке [0 , 1], и йусть
.г
/ [у (А-)]
=J
у (X) dx.
( 1)
Тогда J[y(x)] есть функционал от у( х) : каж дой функции у ( х ) ш.
е С[0, 1] отвечает определенное значение /[#]. П одставляя в (1)
вместо у ( х ) конкретные функции, мы будем получать соответ­
ствующие значения J[y]. Так, если у ( х ) = 1, то
1
о
если у (х ) == е*, то
1
.И
/
j [ e x ] = J ех d x = е — 1;
О
если у (х) = cos я х , то
х
*г'
1
Г cos я х
J [cos nx] =
ff| ;
^
о
d x = 0.
j
.
'
-;
-
-у ^
П р и м е р 2. Пусть М щ С$а, Ь] — класс функций у (х ),
имеющих непрерывную производную на отрезке [а, 6], и пусть
1 ІУ (х)] = у* (лг0),
где
х 0 е [а , Ь\.
(2)
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
23
Ясно, что J[y(x)] есть функционал, определенный в указанном
классе функций: каждой функции из этого класса ставится в
соответствие определенное число — значение производной этой
функции в фиксированной точке Хо.
Если, например, а = 1, b = 3 и Хо = 2, то для у( х) = х 2
имеем:
\
\
/ [х2] Щ 2х \х==2 = 4;
д л я у (х) = х 2 + 1 получим / [ х 2 + 1] = 4; дл я у (х) = In (1 + х)
будем иметь / [ In (1 + х)] = --------
= —
1
X х—2
3
П р и м е р 3. Пусть М = С[— 1, 1] — класс функций у ( х ) ,
непрерывных на отрезке [— 1, I], и пусть ф(я, у ) — заданная
функция, определенная и непрерывная для всех — 1 ^ х ^ 1 и
для всех действительных у . Тогда
I
I ІУ (* )] =
J ф [х, у ( 4 1 dx
(3)
Ш
б уд ет функционалом, определенным на указанном классе функ­
ций. Например, если <р (х, у) = — * 2 , то дл я у ( х ) = х имеем
L.
.
JМ Щ
J "i' ll
х2
= 0 , а при у (х) = 1 + х имеем
—I
1
/ [1 + х ] =
= ІП V 5 - arctg 2.
|
-I
П р и м е р 4. Пусть М = С\[а, Ь] — класс функций у ( х ) 9
имеющих непрерывную производную у' ( х) на отрезке [а, Ь].
Тогда
ь
1 \У (* )]
1 f V i+
у ' 2 (* ) d x
(4)
а
будет функционалом, определенным на этом классе функций.
Функционал (4) геометрически вы раж ает длину дуги кривой
у = у{х) с концами в точках А (а, у (а)) и В (Ь, у(Ь)).
Вариацией или приращением 6у аргумента у (х) функцио­
нала 1[у(х)] называется разность м еж д у двум я функциями у ( х )
и Уе(х), принадлежащими выбранному классу М функций:
Ьу = У (х) — Уо (х).
(5)
Д л я класса k раз дифференцируемых функций имеем
у
= Ьу{к) (х).
(б)
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
24
Говорят, что кривые у = у ( х ) и у = у \ ( х ) , заданные на отрезке
[а, Ь]у близки в смысле близости нулевого порядка , если |у ( х )
— У\(х ) \ мала на [а, Ь\. Геометрически это означает, что эти
кривые на отрезке [а, Ь] близки по ординатам .
Будем говорить, что кривые у = у ( х ) и у = Уі(х), зад ан ­
ные на отрезке [а, Ь], близки в смысле близости первого порядка,
если |у ( х ) —
и у ( х ) — у х (х) малы на [а, Ь]. Геометри­
чески это означает, что кривые на отрезке [а, Ь] близки как по
ординатам, так и по направлениям касательных в соответствую­
щих точках.
*
-.
Кривые у = у ( х ) и у = У \ ( х ) близки в смысле близости
k -го порядка , если модули
У ( х ) — у. ( х )
у ' ( * ) — у\ (х)
••
у < * >
{х) _ ут
{ х
)
малы на [а, Ъ]•
Если кривые близки в смысле близости k-ro порядка, то они
тем более близки в смысле близости любого меньшего порядка.
п
е
лг
/
\
Sin
П2Х
П р и м е р 5 . Кривые у (х) = — - — , где п достаточно ве­
лико, и у\ (х) s O на [0 , л] близки в смысле близости нулевого
порядка, гак как модуль разности
sin п*х
п
у М — у 1 (*)
1
п
т. е. на всем отрезке [0 , л] эта разность по модулю м ала при до
статочно большом п.
^ ^
Близости первого порядка нет, так как
у\(х)
/(* )
2я
и, например, в точках х
п2
П cos п х
имеем ! / ( * ) — У Л * )
п и,
значит, |у ( х ) — у\ ( х ) м ож ет быть сделан к а к угодно боль­
шим при п достаточно большом.
sin пх
П р и м е р 6 . Кривые у (х)
г д е п достаточно
велико, . и у у (х) з з 0
первого п орядка, ибо
на
[ 0, я ]
близки
смысле
У(х) — У\(х)
sm пх
п2
1
п
y'[x)-yU x)
cos пх
п
1
И
м алы .
п
близости
§ ЗІ
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
25
В следующ их примерах установить порядок блиTU
І/ПІІПТ
TV
зости кривых
cos яд:
я2 + 1
27. »(*)
28. у { х ) 29. # (х )
О на [0, 2я]
sin Jt
я
У I (х)
О на [0, л].
sin
Уі(х)
0*на [0, 1].
я
Расстоянием между кривыми у
f ( x ) n y = f l (х) ( я < х < Ь),
г д е f (х) и f i ( x ) непрерывные на [а, b] функции, назы вается неотрицательное число р, р ав­
ное м ак си м ум у | f, (х) —
— / (х) | на отрезке а ^ х ^ Ь :
p = p [/ i (х), f (х)] =
= ш ах I /, (* ) - / (х) |. (7)
а^х^Ь
Пример
7.
Найти
расстояние р м е ж д у кри­
выми у — х и у = х 2 на от­
резке [0 , 1] (рис. 1).
Р е ш е н и е . По опреде
лению р = шах | х 2 — х
или р =
(х — х 2). На
шах
Рис. 1.
концах отрезка [ 0 , 1] функция У
Н айдем максимум функции у
1 — 2 jc;
У
х — х 2 обращ ается в нуль.
- * 2 на отрезке [ 0 , 1]. Имеем
О
У
jj_
при
29
так что
P
ш ах
у
( * - х 2) |
I
4
В следующих примерах найти расстояния между
данными кривыми на указанных интервалах.
30. / (х)
хе
о,
[0 , 2 ].
КІ
31. /( * )
32. f{x)
sin 2х,
І (л) Ц Sin
/. ( * )
In X,
[о, у ] .
[ е ~ \ е].
Пусть кривые у = /( х) и у = /і (-г) имеют на отрезке Га. 6]
непрерывные производные я-го порядка.
{ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
26
Расстоянием п-го порядка между кривыми у = f ( x) и у
= f j (я) называется наибольший из максимумов следующих ве
личин:
- ■■г *■’
11 Ц - 1 В I.
If'i
(A -
f Я L • . *r 1И
m
-
f* (x)
на отрезке [а, Ь]. Будем обозначать это расстояние так
Р* = 9п [/i (*)• /
n
v
1
*
1
ШI шах
>
О
/W (ж) _ ,<*> ш
тах
a
<
x
<
(8 )
&
Данное на стр. 25 определение расстояния м е ж д у кривыми я в ­
ляется в смысле нового определения расстоянием нулевого по­
рядка.
' Щ
;
П р и м е р 8 . Найти расстояние первого порядка м е ж д у кри­
выми д х ) = х2 и f \ (x) = Xs на отрезке 0 ^ х ^ 1.
Р е ш е н и е . Найдем производные данных функций f (х ) =
2 х , f [ ( x ) = З х 2 и рассмотрим функции У\(х) = х 2 — х 3и уг(х) =
2х — Зх2. Найдем их наибольшие значения на отрезке [0, 1].
Рис. 2
Имеем у { = 2 х — Зх2. Приравнивая эту производную нулю, находим стационарные точки функции yi ( x) : х\
У\ 1*=о — Ц» У\ I
О, х 2
2
4
2^*; значение ^ і(х ) на правом конце равно
2
м
^i(l)
0. Отсюда
Ро
ш ах
Д алее,
Iх
шах
0<х<1
( х 2 — х 3)
4
27 •
I з]
ФУНКЦИОНАЛ, ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
27
Н аЦ ем теперь расстояние р„ нулевого порядка м еж ду производ­
ными / '(*) = 2х и / '( * ) = Зх2:
•
р° =
шах
о<
I
=
шах
1
| 2 х — З*2 |.
м т П т о Т І И“і ФтУ" КЦ" “ У = |2j£ — 3Jca I (рис. 2). Из рисунка
* ■ --! Z Z ™
к
р"аГоого порядка
Pi = ш ах (ро, ро) = 1.
33. Найти расстояние первого порядка м еж ду кри­
выми f ( x ) — In х, fi(x) = x на отрезке [е~1,е].
о4. Найти расстояние второго порядка м еж ду кри­
выми f ( x ) = x, f i ( x ) = — соз л; на о*грезке 0, ■—
35. Найти расстояние 1001-го порядка м еж ду кри­
выми f ( x ) = е*,. /, (х) = л: на отрезке [0,1].
е-окрестностью п -го п о р я д к а к р и в о й у = f i x) (а ^ х ^ Ь)
n f “ f aZ l f . 0B0KynH0CT^ крив?,х
рядка которых от кривои у = / (дг) меньше е:
расстояния Л-ГО по-
Ря = Ря [ / (* ), fi (* )] < е.
(9 )
^-окрестность нулевого порядка называют си л ьн ой е-окрест ­
ностью ф ункции у = /(*).
С*™** е-окрестность кривой у = f(x) состоит из кривых,
расположенных в полоске ширины 2 е вокруг кривой у == f ( x) .
тіпг е' окРестность первого порядка называют слабой е-окрестностью функции у = f ( x) .
*
2°. Непрерывность функционала. Функционал Ли(х) 1 опре­
деленный в классе М функций у ( х) , называется непреры вны м
ала 1 ~т<*°кХ‘' В смысле близости п- го порядка, если для любого
л'п*»#«•«. 1 - , __^о
^ і 1
1
^ такое, что для всех допу­
стимых функции у = у ( х) , удовлетворяющих условиям
I У ( х ) ~ У о [х) |<т|, \ у ' ( х ) —у ц( х ) |< т1.......... \ у {п)( х ) - у {0п)( х ) < ц ,
выполняется неравенство | % ( * ) ] - % 0(*)]| < е. Иными сло­
вами, \1\у(х)] — % „ ( * ) ] I < 8 , если
Рп [у (х), у 0 (* )] < rj.
Функционал, не являющийся непрерывным в смысле близо
СТ|* ^"Г0 порядка, будем называть разрывным в смысле указан
ной близости. Полагая
У'Н) (*) — у{0к) ( х ) + ае>№(дс)
##
(Л = 0, 1,2, . . . , л),
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
28
со
(л*)
—
произвольная
функция
из
некоторый
параметр,
а
где а класса ЛЯ, замечаем, что
(Д
е
=
0
,
1
,
2
,
л),
<
*
>
(х)
lim У{к)(х)
Уо
а->0
и определение непрерывности
можно записать так:
функционала
при У ( х )
^
Уо(х)
lim / [t/o (* ) + а® (*)3 = 1 [Уо (* )]•
а-*0
П р и м е р 9. Показать, что функционал
1
J [у (*)] = J IУ (х) + 2у' (*)] dxс,
О
определенный в пространстве Ci[0, 1], непрерывен на функции
и0(х) = х в смысле близости первого порядка.
Р е ш е н и е . Возьмем произвольное число е > 0. Покажем,
что существует число г\ > 0 такое, что |J[y(x)]
/[*]| < в, к а к
только \ у(х) — х| <1 т| и |у' ( х) — 1| <С т|- Имеем
1
/ [У (*)] - / [х]
f [у (*) + 2у' (*)
2] d x
О
1
I
J j у ( 1 1 1 \dx +^2 J \ y '{ x ) - \ \ d x ,
оІ
о
Выберем т! = -| -. Т огда дл я всех у ( д с ) е С і [ 0 , 1], д л я которых
у ( х ) — дс|<
3
И
І (х)
Н< 3
будем иметь
Н у ( x ) ) - J [ x ] |< 8.
Итак, для всякого е > 0 существует г\ > 0, например,
Ч — ’з'*
такое, что как только p \\y (x )t х] <£ т], то |J\y{x)\ — 7[*]| < е.
Это и означает, согласно определению, что данный функционал
непрерывен на функции уо = х в смысле близости первого по­
рядка. Легко видеть, что этот функционал непрерывен в смысле
близости первого порядка на любой кривой у ( х ) s C і[0 , I].
П р и м е р 10. Рассмотрим функционал
/ [/ (* )]- г
ы ,
где функции f (х) s Cj[a, b] и х 0 е [а, Ь]. ^
Этот функционал разрывен на любой функции f ( x ) в смысле
близости нулевого порядка, В самом деле, пусть <р(х) такова.
§ Э§
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
29
что ф.(хо)
4 и |ф(х) | <с г\ на отрезке [а, Ь]. Возьмем функцию
ң х ) = То(х) Ж cp(x)t г д е /oW § £ Ш І Тогда/' ( * 0) ‘e /n(*n) + I.
Очевидно, что p[f(x), f0(x)] < т), т. е. кривые V ) а Ш
Й В К И Л Ь б? изости нулевого порядка. В то ж е время
люйгЛH S I l 1 В '* т - е- Значения функционала не близки при
любой близости нулевого порядка аргументов f (x) и f0(x)
бы
ни°бшш
„У^.е
пТВи
У8“
Т
®
>
°f
/
™
eilH0
6
<
1)
такое,
что
каково
оы ни оыло г) > 0 , найдутся f ( x ) такие, что
Ро [/, /о] < Т1
и
| / [Л -/ [/ о ]| > е .
нулевогоНпорядкааЗРЬШНОСТЬ функционала ЯЛ в смысле близости
г™ і ! ° КаЖем’ И этот Функционал непрерывен в смысле близости первого порядка.
'
Возьмем любое е > 0 . Имеем
•«
-
’ VS 7TV Ж
,
—
'(f W W [/„
деТ имет; ™
Ш
^
(* „ )-Й (* о
П Р .1 то ПРИ
1 [ / <*)] -
Ш ] < ц бу-
/ [/о (*>] | < е ,
что и требовалось доказать. Этот пример показывает, что из не­
прерывности функционала в смысле близости /г-го порядка не
следует, вообще говоря, непрерывность функционала в смысле
близости более низкого порядка.
П р и м е р 11 . Рассмотрим функционал
п
1 [у (* )] == Г у ' 2 ( х ) dx,
о
определенный в пространстве С,[ 0 , я]. Покажем, что данный функ
пнонал на функции у 0(х) == 0 разрывен в смысле близости ну
левого порядка.
7
Действительно, пусть у 0 (х) == 0 на [ 0, л ] и у п (х) = 21И.п х .
Тогда ро [^ о (*)> Уп(х)] = — • и ро -> 0 при п-> оо.
С другой стороны, разность
я
о
не зависит от п. Таким образом, при
оо J[yn {x)] не стре
мится к /[#о(х)] == 0 , и следовательно, данный функционал раз
рывен в смысле близости нулевого порядка на функции уо(х) ш
#1
ЭКСТРЕМУМ Ф У НКЦИОНАЛОВ
30
(ГЛ. п
Предоставляем читателю доказать, что рассмотренный функ­
ционал непрерывен на функции Уо(*) 533 0 в смысле близости
первого порядка.
Исследовать на непрерывность следующие функ­
ционалы.
„
36. / [у (х) ] = у {х0) , где функции у(х)& С [а,Ь ] и
Kb <= [а, 6], в смысле близости нулевого порядка.
37.
J [у(х)] = т а х \ у (х ) \, где функции
рывны на отрезке [а, Ь] (в смысле близости нулевого
порядка).
38.
0, если у(х) принимает хотя бы одно
отрицательное значение,
J [*/(*)]— j
А
если y(x)zz= 0,
1, если у (*) > 0, причем у (*) Ф 0,
в смысле близости нулевого порядка.
39. J [у | Я =
1
f і
иШШКн
У ' і х) \d x > ВДе функции у ( х ) имеют
’г
непрерывные первые производные на отрезке [0, 1]:
а) в смысле близости нулевого порядка; б) в смысле
близости первого порядка.
40. J \у (*)] = J р Я
у '2 (*) dx на функции у0{х)
где функции у(х) ш С\ [0, п\: а) в смысле близости
нулевого порядка; б) в смысле близости первого по­
рядка.
я
41. / [у (*)] §§ | (1 + 2 y'\x))dx на функции у 0 {х)
О
'
_Ш ? %5:£ ^ !ш й © З Э Д 1
где функции г/ (х) в Сг [0 > л], в смысле близости пер­
вого порядка.
Пример
12Г П оказать, что функционал
1
/ [у рЙ = J *3 V 1 + у* Щ Щ
о
определенный на множестве функций у{х) е С [ 0 , 1], непрерывен
на функции уо(х) т х 2 в смысле близости нулевого порядка.
§
Щ
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
31
Р е ш е н и е . Положим у { х ) = х 2 + аг\(х), где ш Я ш Ш
а — к а к угодно мало,
^
•
1
* .
1 І У (*)] = 1
11,
[х2 + а л (х )] = j X 3 У 1 + (х г + atj (х ))2 dx
0
1
J х3 У 1 + * 4 + 2ахг Т1(х) + а 2т)2 (х) d x .
Ж",
■
:
Р
-
'
1 -
Переходя к пределу при а - » - 0 , получим из этого равенства
Г x ? V \ + x * d x < = ] [jc2]
lim / [у (х )] =
J
а-» 0
О
что и означает непрерывность функционала на функции у 0 =
стра?ствРоефДу нкций \
І | линейное нормированное про-
. ®унишон“ ^ ЩЙ J’ определенный в пространстве М, назы­
вается лине иным , если он удовлетворяет условиям:
Р
где с
2)
L [ c y ( x ) ] = c * L [ y ( х)],
произвольная постоянная,
L h/i ( x) + y 2 (x)] = L [ y l (x)] + L [ y 2 (x)],
г д е щ ( х ) е М и у г (х ) е= Af.
Например, функционал
&
I р '(*Й = J [у' (х) + j (х)] rfx,
а
определенный в пространстве Сi [а, Ь]у очевидно, является линеиным.
Другое определение линейности функционала:
Функционал L[y( x) ] называется линейным , если он 1) непре-*рывен и 2 ) для любых у\{х) е М и Уг(х) s М удовлетворяет
условию
L [Уі (х) + у 2 (* )] = L [Ы (*)] + L [у2 (*)].
42. Показать эквивалентность приведенных выше
определений линейности функционала.
43. Показать, что функционал L [у (х)] = у (х0) —
линейный.
44. Показать, что если L \ y ( x ) ] — линейный функционал и отношение
уо 1 [ у ( х ) ] за 0.
т Q
при ||у (х) || 3 О,
32
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
ІГЛ. II
3°. Вариация функционала. Пусть функционал 1\и{х)\ задан
на множестве М функций у ( х ) . Приращением функционала
ц у {х) 1 отвечающим приращению Ьу (х) аргумента, называется
величина
v
;
i
Д/ — А / [у (х )] = / [у (х ) + Ь у (х ) ] — / [ у (х )]
{10)
(Ьу (х ) = у (х ) — у (х ), гд е у (х ) е М, у (х ) s М).
П р и м е р 13. Найти приращение функционала
1
/ [у (л)] —
J
|
/•
У (х) у ' (* ) dx,
о
определенного в пространстве С г [а, Ь% если у ( х ) = х , у г ( х ) = х * .
Р е ш е н и е . Имеем
3 Щ іІ|ш Ш
1
1
1
Г х 22 х d x — J х • 1 • d x * » J
Д/ = / [х 2] — / [х] =
о
о
;
; .
(2х 3 ~ х ) d x = 0 .
о
45. Найти приращение функционала, рассмотрен­
ного в примере 13, положив у ( х ) = ех% У\{х) = 1.
О п р е д е л е н и е . Если прирашеине функционала
А/ = / [у (* ) + % ] — /
(*)1
можно представить в виде
Д/ = L [ у ( х ) , 6 у ] + Р ( у ( х ) , 6 у)ЦвуВ,
где Ц у ( х ) , 6 #] — линейный по отношению к бу функционал и
Р(#(х ). 6 i/) —►0 при К р - * 0 , то линейная по отношению к Ьу
часть приращения функционала, т. е. Ц у ( х ) ,
называется ва­
риацией функционала и обозначается 6J. В этом случае функ­
ционал J[y(x)] называется дифференцируемым в точке у ( х ) .
46. Показать, что вариация
6/
функционала
^ [*/(*)] (если она существует) определяется един­
ственным образом.
Пример
14. Показать, что функционал
м Ш: ■
ь
,и р г | " ; l
J [ y { x ) ] = J У (x ) dx,
-'.•в"1*,
m “
заданный в пространстве С [а, &], дифференцируем в каждой
точке у{х) этого пространства.
§
К
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
33
Решение.
1 Ф М
- / foj
Г
J
г
[У (* ) + Ьу (* )] d x - j y M d x = j бу (* ) dx.
Таким образом, Д / — J b y ( x ) d x .
Это
и есть
линейный
функционал относительно бу ( х ) . В данном случае все приращеЛ н / ^ У1о ЦИ0НаЛа свел0(;ь ^ линейному функционалу относительно
°У{х). Рассматриваемый функционал дифференцируем в каждой
точке у ( х ) и его вариация 6 /
а
47.
Показать, что всякий линейный непрерывный
функционал J [ y ] всегда дифференцируем.
Пример
15. Показать, что функционал
Ь
J
I [у] =
У2 (х) dx,
определенный в пространстве С[а, Ь], дифференцируем в каждой
точке у ( х ) .
■
Р е ш е н и е . Имеем
Г^^
-
---- ---------- 1------ —
d x — [ У2 (х) d x
а
= / ^ ^
*
Ь
=
J 2у
ъ
(х) by (jc) d x
а
+ J
’■ -'
(ду (х)У dx.
г-
'
(II)
а
Первый интеграл в правой части ( 11 ) при каждой фиксированнои функции у ( х ) является линейным относительно Ьу\х) функ­
ционалом. Оценим второй интеграл в правой части ( 11 ). Имеем
dx—
I б и (х) I2 d x
ъ
Й Р Й в Ш Я й / d x ^ (Ь - a) Wby ( х )||
Ш — а ) II b y II ) • II b y J.
2
М. ЛL Краснов в др.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
34
(ГЛ. II
При ИЬу !| -> 0 величина
(Ь — а) 1 b y 1 Ш 0.
Таким образом, приращение А/ функционала представимо в виде
суммы L[#, б#] и добавки, имеющей второй порядок малости от*
носнтельно Ц6 //Ц. Согласно определению, данный функционал яв­
ляется дифференцируемым в точке у ( х ) и его вариация
67 = 2 j у (х) by (х) dx.
48. Для
функционала J [ у ( х) ] =* ] y 2( x ) d x полоо
жить у — 2х, 6у = ах2 и сравнить б / с А / при а * = 1;
- 0 , 1 0,01.
4
49. Д ля функционала / [у(*)] = J x y 3( x ) d x полоо
жить v = ejr, б и — ах. Сравнить А / с б / при о « > 1 ;
0, 1; 0, 01.
50. Проверить дифференцируемость
функционалов:
следующих
1) / М = 1/(а ) в пространстве С [а, Ь].
2) J[ y ] = г/ (а) в пространстве С, [а, Ь\.
3) ] [у] = У \ - f у ' 2 (а) в пространстве С, [а, Ь].
4) ] \у] — \ у { а ) \ в пространстве С [а, Ь].
51. Показать, что функционал / 2[у] дифференци­
руем, если дифференцируем J[y]. Написать вариацию
я м
52. Показать, что функционал
ь
j [ y ] = Г f{x, y(x))dx,
%шР-
4к
определенный в пространстве С[а, 6], где f (x, у ) — не­
прерывная функция своих аргументов, обладающая
непрерывными частными производными до второго
порядка
включительно
в
области
а ^ х ^ Ь,
5 Ij
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
— °° < у < + о о ,
имеет вид
дифференцируем
и его
65
вариация
ъ
а
Пример
16. Рассмотрим функционал
ь
а
определенныГі в пространстве С][а, Ь\ непрерывных функций у ( х )
на отрезке [а, 6 ], обладающих непрерывными производными пер­
вого порядка. Функция f (х, у , у') непрерывна по совокупности
своих аргументов и имеет непрерывные частные производные до
2 -го порядка включительно в области
Я <
* ^
6,
---- ОО <
^
<
+
ОО,
---- о о < £ / ' <
+
ОО.
Найдем приращение функционала Д/, отвечающее приращению
Оу (х) аргумента, где 6у (х) е= С, [а, Ь]. Имеем
ь
д/ [у W ] =
j [/ (*. У + бу, у ’ + бу ' ) - / (лт, у, у')] dx.
(12)
а
По формуле Тейлора
f ( x , у + 6у, у ' + бу') - f (х, у, у ' ) =
гд е R (х, у , у \ by, 6у' ) — остаточный член формулы Тейлора.
П о д ставл яя (13) в (12), получим
Ъ
? -
i "
SЛ .
а
Ъ
а
Первое слагаемое в правой части (14) линейно относительно 8у
и 6у'. Пусть всс вторые частные производные функции }(х, у %у')
по у и у' не превосходят, по абсолютной величине некоторой
ГЛ II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
36
константы Af > 0 в ограниченной по у и у' области. Тогда спра­
ведлива оценка
һ
ъ
f I R (х, У, у ' , by, b y ' ) I d x < 2 M
a
J й 61/ II2 d x =
2 М [b — a) ]| by Ц*.
a
Здесь II b y !| =
m ax
( |b y |, |b y ' |) .
Таким образом,
второе
слагаемое в правой части (14) — второго порядка малости отно­
сительно Нбу'Н. Следовательно, согласно определению, функционал
J[y] дифференцируем в пространстве Cj[a, b] и его вариация
имеет вид
'/
•v
^
a
Пример
17. Найти вариацию функционала
1
/ [i/] =
J ( у ' е у + х у 2) dx.
-1
Р е ш е н и е . Функция f(x , у , у') = у'е» + ху2, очевидно, не­
прерывна по совокупности переменных х, у и у \ имеет частные
производные всех порядков по у и у \ ограниченные в любой
ограниченной области изменения переменных у и у \ Поэтому
данный функционал дифференцируем в пространстве С 2[— 1, 1]
и его вариация согласно формуле (15) равна
1
а/
[ ( у ' е у + 2 ху ) b y + е у b y ' ] dx,
-і
53. Для функционала
J\y
(*)] = J (y'y +
xy'3)d x
* ( * - l)
положить у — In л , Ьу = — j z r y — и сравнить Д / [ у ( д с ) ]
с 6 / [г/ (jc)] при &== 1; 0,1; 0,01.
64. Д ля функционала
1
1 [у
(■*)] = J (А '2— У2) dx
о
положить
у = jc2,
б у = k x z;
с б / [у (л)] при А = 1; 0,1; 0,01.
сравнить
Д / [ у (дс)]
ГЧ
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
37
\
я
55. Для функционала J [ y ( х ) ] = J y ' * s m x d x полоу = S in Ху
ЖИТЬ
b y — k COS X)
о
сравнить
Д J[ y{ x) \
с 6 / [у(л)] для k = ~ 1; 0,3; 0,03.
56. Показать, что если функция f (^ і ^І» ^ 2» •••* %т+1)
имеет непрерывные производные 2-го порядка по всем
аргументам в области а < д с < й , — оо < z* < - f оо
( k = \ , 2,
т - f - 1), то функционал
ъ
I [ y ] = \ f [ x, у(х), у ' ( х ) ..........y (m' ( x ) \ d x
*
a
..
. \
■'
дифференцируем в пространстве Ст [ а , Ь] и его вариа­
ция имеет вид
. '
ь
м = \ ( ■ § ь« + Ц
* » '■ +
06)
4®. Второе определение вариации функционала.
В а р и а ц и ей
функционала J[y(x )] в точке у = */(х) называется значение про­
изводной функционала J[y(x) + аЬу(х)] по параметру а , когда
а а 0:
V"/
• -г': "у ■1л:'", f -
б/ =
& (х) + а б// (* )]
( 17 )
Если существует вариация функционала как главная линейная часть его приращения, т. е. в смысле первого определения,
то существует и вариация как значение производной по пара­
метру а при а = 0 и эти вариации совпадают.
П р и м е р 18. Пользуясь вторым определением, найти ва­
риацию функционала
ъ
I [У
г_ у-; --; 7 ,j ; .■
(*)] — J уМ*) dx.
а
.
ЯШ
Й
р
Р е ш е н и е . Вариация этого функционала в смысле первого
определения равна
ь
Ьу
= 2 Г у (х) by (х) dx
а
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
38
9
Р
(см. пример 15). Найдем вариацию функционала J[y]t пользуясь
вторым определением вариации. Имеем
ь
1 ІУ (х) + а б у (х)] =* J [ у (х) + а Ь у ( х ) ] 2 d x .
а
Тогда
~,
' Ш'. 'г Л
:V
*У1';Т
■
;
+ a by ] == 2 J (jl + а 6 y) d# d *
a
и, следовательно,
b
Ы = - ^ J \ y + a b y ] \a^=0= 2
j ybydx.
a
Вариации функционала в смысле первого и второго опреде­
лений совпадают.
Д ля следующих функционалов найти вариацию в
соответствующих пространствах в смысле второго
определения.
57. /[*/] =
J
( х + у) dx.
а
Ъ
58. J [ y ] =
J
{y2 — y'2)dx.
а
• . '7-¥-
59. J \y\ = «/2(0)
В
' -. ■
-v"'--- /:;У
1
Щ
1 1 xy + y /2)dx.
o
. .t 'Ш=
Я
60. / [г/] =
/
J у' s i n у dx.
о
...
•
' 61. Найти вариацию функционала
^ \У\> Уъ • • • * f/n]==
* ъ
'
===: J /(■*» У] (•*)> * •
а
\
■: ;
'• v>-
-
^/л (•*)> |^| (*^)» • • •» \fti С^))d%i
§ $
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
39
где 7 — непрерывная функция своих аргументов, имеющая непрерывные частные производные по всем своим
аргументам в некоторой ограниченной^области G из­
менения последних.
J L 3 М е 4 3 Н И е‘ ^ тоРое определение вариации функционала
несколько шире первого в том смысле, что существуют функцио­
налы, из приращения которых нельзя выделить главной линейной
части, но вариация в смысле второго определения существует.
Покажем это на примере функций, для которых сформулирован­
ное утверждение равносильно тому, что существование производ« 1 л/ 10 любомУ направлению недостаточно для существования
дифференциала функции.
Пусть
7 ('-* У) 1
-у г Д г р Г * " f si" 2 а
Ф\ 0).
где р и q>— полярные координаты точки (дг, у ) . Частные произ­
водные
и
существуют в каж дой точке и в начале коор­
динат равны нулю, но дифференциал d f не существует в начале
координат. В самом деле, при наличии d f градиент функции f
в начале координат равнялся бы в этом случае нулю, а потому
равнялась бы нулю производная по любому направлению
■
^
. М еж д у тем, как легко убедиться,
т о , о)
dl
1
.
~ 2 S1" ф’
что вообще отлично от нуля. Здесь ф — угол, образованный век­
тором I с осью Ох.
. В торая вариация функционала. Функционал /[х , у ] , зави­
сящий от двух элементов х и у (принадлежащих некоторому ли^
неиному пространству), называется билинейным, если при фик­
сированном х он представляет собой линейный функционал от у,
а при фиксированном у — линейный функционал от х. Таким’
образом, функционал J[x, у] билинеен, если
5
I t°i*i + « 2*2. у] — etiJ [дг,, у] ф а21 [х2, у],
1 [*. РіУі + ||§Й1 =
[*, у Л + М I*. у2]
Полагая в билинейном функционале у = х, получаем выражение У[х, х\, называемое квадратичным функционалом.
Билинеиный функционал в конечномерном пространстве на­
зывается билинейной формой.
Квадратичный функционал J[xt х] называется положительно
определенным , если / [х, х] > 0 для любого ненулевого элемента х.
40
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. IT
Например,
1) Выражение
/ [*. у] =
J
Л ( 0 * (/) у (/)
л.
а
где A l t ) — фиксированная непрерывная функция, представляет
ь
собой билинейный функционал, а
I
а
ный функционал в пространстве С|а, Ь]9 причем если A ( t ) > 0
при всех t е [а, Ь\%то этот квадратичный функционал будет по­
ложительно определенным.
2) Выражение
ь
J
,
[А Щ X2 Щ + В ( t ) x
(0
x ' ( t ) + C (/) X?2 (/)] d t
а
представляет собой пример квадратичного функционала, опреде­
ленного для всех функций из пространства C \ a t Ь].
3) Интеграл
ь ъ
к
(s, /) х (s) у Ж d s dt,
а а
где K(s, t) — фиксированная функция двух переменных, является
билинейным функционалом в С[а, Ь).
О п р е д е л е н и е . Пусгь /[*/]““ функционал, определенный в
каком-либо линейном нормированном пространстве.
Мы скаж ем , что функционал /[//] имеет вторую вариацию,
если его приращение А/ = J[y + 6 */] — J\y] можно записать в
виде
-Н , . '
V'
Д/ = | , [бу) + у и [бу] I І II 6у р ,
(18)
где L\[8y] — линейный функционал, Ц[Ъу] — квадратичный функ­
ционал, а р - > 0 при Ц6 #Ц-> 0 .
Квадратичный функционал L£by\ будем называть второй ва­
риацией (вторым дифференциалом) функционала J[y] и обозна­
чать б2/.
. л1
Вторая вариация функционала (если она существует) опре­
деляется однозначно.
П р и м е р 19. Найти вторую вариацию функционала
1
Й Я Я Ш ІІІЙ
о
определенного в пространстве Ci[0, 1] функций */(*)•
§ 3]
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
4!
Р е ш е н и е . Имеем
AJ = J[y + b y ] - J [ y \
1
U (У + Ьу)2 + ( у ' + Ьу')* - х у 2 - у ' 3] dx
О
1
j [2ху Ьу + х (бу ) 2 + 3 у ' 2 бу ' + 3 у ' (бу ' ) 2 + ( б у ') 3] dx
о
’ J ( 2ху бу + З у ' 2 b y ' ) d x +
о
1
1
+ J Г* (Ьу)2 + з у ' (бу ' ) 2] d x + Г (b y ')3 d x .
0
О
(19)
При фиксированном у ( х ) первое слагаемое правой части (19Т’
есть линейный относительно бу ( х ) функционал; второе слагав*
ЧаСТИ есть кваДРличный функционал. Наконец, пооценку третье слагаемое правой части допускает очевидную
1
1
/о Щ !
dx
(шах |Ьу'
|)*
1
J |бу ' |d x
<
о
J |Ьу' |dx \\Ьу\\
о
(норма в смысле пространства С,[ 0 , 1]), откуда видно что это
слагаемое представимо в виде р-||бу|р, где р 1 1 при І | Ш І
Согласно определению, данный функционал имеет вторую вариацию о2/ и она равна
1
б2/ = 2 J [х ( Ьу) 2 + Зу' ( b y ' ) 2] dx.
О
о*, док азать, что квадратичный функционал диф­
ференцируем, и найти его вторую вариацию.
63. Написать
вторую
вариацию
функционала
е , где г (у) дважды дифференцируемый функ«
ционал.
64. Показать, что функционалы вида
ь
1 [у\ — J ғ (X, у,
а
«
у') dx
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
42
'
[ГЛ. II
в пространстве Ci[a, b) являются дважды дифферен­
цируемыми, если подынтегральная функция Ғ обла­
дает непрерывными производными до третьего по­
рядка включительно, и найти выражение для второй
вариации.
Введем функцию Ф ( а ) = J[y + аЪу]. Вторая вариация б2/
функционала J[y] определяется так ж е через вторую производную
функции Ф {а] в точке а = 0:
Щш
щ
da2
а= 0
Д л я функционалов интегрального типа, которые мы будем
преимущественно рассматривать, оба эти определения совпадают,
Найти вторые вариации
65. J [ y ] = | F(x, у, у ' .......... yM )dx.
а
66. / [ * / ] = Г J Ғ( х, у, z, z x, z y) d x d y .
G
67. / [ у it • • • j Уп\ — J Р (**> У и •**> У У р •• * * y j d x
а
6 °. Экстремум
функционала. Необходимое условие экстре­
мума. Говорят, что функционал J[y(x)] достигает на кривой
у = уъ(х) максимума, если значения функционала /[#(*)] на
любой близкой к у = Уо{х) кривой не больше, чем J[yo(x)], т. е.
А/ = / [у (х)] — I [уо (* )] < ОЕсли А / < О, причем А / = О только при у ( х ) щ у 0{х), то
говорят, что на кривой у = уо(х) достигается строгий максимум.
Аналогично определяется кривая у = Уо(х), на которой реа­
лизуется минимум. В этом случае А/ ^ 0 на всех кривых, близ­
ких к кривой у == Уо(х).
П р и м е р 20. П оказать, что функционал
^
1
1 [У ( * ) ] -
| (** 1 1 § d x
О
на кривой у ( х ) s 0 достигает строгого минимума.
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
43
Р е ш е н и е . Д л я любой непрерывной на [0, 1] функции у ( х)
имеем
1
І
Д / = / [у ( * ) ] - / [ 0 ] = f ( x * + g » ) d x - Г x * d x = \ y * d x > 0 ,
о
о
О
причем знак равенства достигается только при у ( х) === О
Л и (х \ Т Т ^ Л ^ Л^ Ы
^ экстремумы Говорят, что функционал
м кгиииип
кривои у — Уо(х) си л ь н о го относительного
м аксим ума , если для всех допустимых кривых у == ц(х) распо­
ложенных в некоторой е-окрестности нулевого порядка'кривой
У — Уо\х )> имеем
г
| [у (*)] < / [у0 (*)}.
цйонала ™ 9 определяется си л ьный относительный минимум функ-
—
ЧТ° ФУНКЦИ0Нал % ( * ) ] достигает на кривой у =
с Т и м м ,™ .
относ“\ ельног° м аксим ума , если для всех д о л ­
етим ых кривых у = у ( х) , расположенных в некоторой е-окрест­
ности первого порядка кривой у = у 0(х), имеем
/ [у W ] < 1 [у0 (*)].
фун4ион0алИаЧН° ° Пределяется слабый относительный
минимум
и слабые) функционала
называют относительными экстремумами.
не наоборотСИЛЬНЫЙ эксгремум есть в то ж е время и слабый, но
Экстремум функционала 1\у] на всей совокупности функций
на которых он определен, называется абсолютным экстремумом.
лтиг.™ЯКИИ абсолютныи экстремум является слабым и сильным
относительным экстремумом, но не всякий относительный экстремум оудет абсолютным.
1
П р и м е р 21. Рассмотрим функционал
я
о
вию ^ т — /Лrrf — n n
^ Б М Щ Удовлетворяющих услоmvm r n ~ ?
Я
0 т Резок
л] оси Ох дает слабый мини­
мум I. В самом деле, для у
0 имеем / = 0, а для кривых
расположенных в е-окрестности первого порядка этого отрезка;
іяМ Ш любое положительное число, меньшее единицы, имеем
А. п
к что подьштегРальное выражение положительно при
пСЛо Д0ВаТеЛЬН°2 ФУНКЦИ0На^ обращается в нуль лишь
при у — 0. Значит, на функции у = 0 достигается слабый мини-
о
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
44
Сильный ж е минимум не достигается. Достаточно положить
у (х ) = —j=r sin пх.
V п
Тогда
/ [у (* )] = —
п
I
sin2 пх (1 Щ п cos2 пх) d x
о
л
, sin 2 пх d x ----- 7- I sin 2 2 пх d x щ 77 —— -=•
п J
4 J
2п
8
о
/
о
и при я достаточно большом для наших кривых / < 0. С д р у­
гой стороны, все эти кривые при п достаточно большом л еж ат
в сколь угодно малой окрестности нулевого порядка кривой
у = 0. Итак, сильный минимум не достигается при у = 0.
П р и м е р 22 (Вейерштрасс). Рассмотрим функционал
j
J[y]=\xY*dx,
у ( - 1 ) ------ 1,
* ( ! ) - I.
-1
Имеем И > 0 на отрезке [—1, 1], причем J[y] = 0 только при
у ' (х) т 0, т. е. у ( х ) == С = const. Функция у (х) « а С принад­
лежит к классу Cj[— 1, 1] функций, имеющих на отрезке [— 1, 1]
непрерывную производную первого порядка, но не удовлетворяет
заданным краевым условиям. Следовательно, J[y] 5> 0 для всех
у ( х ) е Cj[— 1, 1], удовлетворяющих
условиям у ( — 1) = — 1,
i/(l) = 1. Таким образом, функционал имеет нижнюю грань, но
она не достигается на кривых у ( х ) g Ci[— 1, 1]. В самом деле,
рассмотрим однопараметрическое семейство кривых
a r c tg ~
Уа § й = --------- f t .
a r c tg —г
6 а
а > 0.
Эти кривые удовлетворяют краевым условиям у а (— 1) = — 1,
у а (\) = 1. В пределе при а - > 0 получим функцию
Г —1,
если
0,
если
если
у {х) = <
I + 1,
— 1 ^ х < 0,
х — 0,
0 < х ^ 1,
или у ( х ) = s g n x (рис. 3),
Эта функция принадлежит к классу функций, кусочно-диф­
ференцируемых на отрезке [— 1, 1].
§31
ФУНКЦИОНАЛ. ВАРИАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛА
Имеем
1
j _____ а х 2 d x
-1
(<*2 + х 2) a rc tg
2а
Г
а
х2dx
2а
Ясно, что /Q/ аІ^ О при а - * 0 . На предельной функции й(х)
удовлетворяющей краевым условиям у ( — 1) = — 1, у ( \ ) = 1*
функционал J\у] принимает значение, равное нулю: J\y] = 0 . *
Ук
Рис. 3.
Таким образом, функционал J[y\ достигает своего минимума
на кривои у ( х ) = sgn х, которая принадлежит к классу функций,
кусочно-дифференцируемых на отрезке [— 1, 1], но не принадле­
ж ит классу Cjf—1, 1].
г
*
г
^
м а (необходимое условие экстремума функционала),
с е л и дифференцируемый функционал J\y(x)] достигает экстре­
мума при у = Уо(х), где уо(х) — внутренняя точка области опре­
деления функционала , то при у = у 0(х) имеем
М [Уо (*)] = 0 .
( 20 )
Функции, для которых 6J = 0, будем называть стационар ными функциями.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
46
[ГЛ. I f
Используя необходимое условие экстремума (20)
и основные леммы вариационного исчисления [15],
найти функциональные уравнения для определения
стационарных функций следующих функционалов:
ь ь
6 8 . / [ф] = J \ К ( s , t) ф (s ) ф (t) d s d t +
a a
+ J ф2 (s ) d s — 2 J ф (s ) f (s) ds,
a
где K (s ,t) — заданная
a
непрерывная симметрическая
a^ s
функция от s и t в области D \ ^
^ [; f ( s ) — за-:
данная непрерывная функция на [a, Ь]\ ф (х )— иско^
мый непрерывный функциональный аргумент.
,
4 -0 0
69. / [ф] =
f [ р {х) ф'2 (х) + 2ф (л + 1) ф (* — 1)
J
ф2(дс) — 2q>(х) f (х)] d х,
где функциональный аргумент ф(х) непрерывен и
имеет кусочно-непрерывные производные во всем ин­
тервале — о о < С х < + ° о ; р(х) имеет непрерывную
производную, f(x) — непрерывна.
70. / [ф] = J [р (х) ф'* + q \х) ф2 (*) — 2ф (х) / (*)] dx,
Щ
*о
ИШ - " - : ? :
ФШ
=
Фо»
ф (* і) =
’
ф і.
где р(х) имеет непрерывную производную, q( x) и
[(х) непрерывны и функциональный аргумент ф (*)
дважды непрерывно дифференцируем.
§ 4. Простейшая задача вариационного исчисления.
Уравнение Эйлера
Пусть функция F( х, у, у' ) имеет непрерывные частные про­
изводные по всем аргументам до второго порядка включительно.
Среди всех функций у ( х) , имеющих непрерывную производ­
ную и удовлетворяющих граничным условиям
у ( а ) = А,
y ( b ) = B,
(1)
цьоналуУ ^ уНКиию’ кот°Рая Доставляет слабый экстремум функ-
1 [у
(*)] = Г ғ (х, у, у ') dx.
(2)
а
Другими словами, простейшая задача вариационного исчисления
состоит в отыскании слабого экстремума функционала вида ( 2 )
всех гладких кривых, соединяющих две заданные
Т е о р е м а 1. Д л я того чтобы функционал ( 2 ), определен­
ный на множестве функций у = у ( х ) , имеющих непрерывную
nePe y fo производную и удовлетворяющих граничным условиям
( 1) достигал на данной функции у (х ) экстремума , необходи­
мо ), чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера
(
з
)
Интегральные кривые уравнения Эйлера называются экстревнц.ЯМи ^л а гРанжевы к Ривые) • Уравнение Эйлера в развернутом
У" (х) ҒиЩ + у ' (х) Ғ ш + Ғ ху, - Ғ у Щ 0
(Ғу,у, ф 0).
(4)
Уравнение (4) представляет собой дифференциальное ур ав­
нение второго порядка, так что его общее решение должно зави­
сеть от двух произвольных постоянных. Значения этих постоян­
ных, вообще говоря, определяются из граничных условий ( 1 ).
Экстремум функционала (2) может реализоваться только на
тех экстремалях, которые удовлетворяют условиям ( 1).
К раевая задача
9 В И Я = о,
у
dx у
у ( а ) = А, у (Ь) = В
?
(5)
не всегда имеет решение, а если решение существует, то оно мо­
ж ет быть не единственным.
П р и м е р 1. На каких кривых может достигать экстремума
функционал
][у{х)\—
( y ,2 — 2 x y ) d x ,
.
у ( I) = 0
у (2) — — 1?
1
*
* \ Это условие необходимо для слабого экстремума. Так как
всякий сильный экстремум является в то ж е время и слабым, то
любое условие, необходимое для слабого экстремума, необходимо
и для сильного.
I#
(ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
48
Р е ш е н и е . Здесь Ғ( х, у, у') =
— 2ху, так что уравне­
ние Эйлера имеет вид у" + х = 0, Общее решение уравнения
Эйлера есть
ХЪ
у ( х ) --------- g - + С\Х + С*.
Граничные условия даю т
опреде-тения С 4 и С 2:
систему линейных
уравнений
для
C i + C 2 = -jg-» j
2С\ + ^2 = “g *
j
Отсюда Сі = 4 - . Со = 0. Следовательно, экстр ем ум м о ж ет до6
сти гаться лишь на кривой
у = -£ ( 1 -
**).
П р и м е р 2. Найти экстремали функционала
/ [«/ (*)] —J (З-v— у) У dx,
1
•
*
удовлетворяю щ ие граничным условиям
Решение.
Уравнение
Эйлера
*/ (1) = 1, У |3) = 4 — .
имеет
вид
Зх — 2у = 0,
о т к у д а У (х) = ^ х .
3
Т ак к а к экстрем аль */ = у *
не
удо вл етво р яет
условию
0 ( 1 ) = 1 , то данная вариационная задача решения не имеет.
П р и м е р 3. Найти экстремали функционала
2я
о
удовлетворяющие граничным условиям с/( 0) = 1, у ( 2 л ) = 1 .
Р е ш е н и е . Уравнение Эйлера имеет вид у ' -f* у * 0; его
общим решением является
м
у (х ) = Cj cos х + С 2 sin х.
Используя граничные условия, получим
у (х ) = cos х + С sin х,
где С — произвольная постоянная.
I 41
про стейш а я
49
за д а ч а
\ Таким образом, поставленная вариационная задача
бесчисленное множество решений.
имеет
Найти экстремали следующих функционалов:
о
71. J [ y ] =
j ( l 2 x y - у ' г) dx; у ( - 1 ) = 1 , у ( 0 ) = 0 .
2
Щ Ф: р| '% ■'
1
.. Щ
72. J [ y \ = \ (у'* + 2 у у ' + у 2) dx; у ( 1) = 1, у ( 2 ) = 0 .
1
4
I .
73. / [г/] =
f
щ
)
V y { \ + y'*)dx] у (0) = у (I) =
У2
О
1
74. / Ы =
J B § jj|
1/ ( 0) = I y ( l ) = t 4 .
о
я
75. / [у] =
J (4# cos а: +
у' 2 — # 2) d * ;
у (0) = 0,
1
76. / [у] =
J {у'2 — у 2 — у) е2х d r ,
1
77. / [г/] =
у (я) = 0.
1/ ( 0 ) = 0 ,
у ( 1)
-1
J (у'г — 2 х у ) dx; у ( — 1) = — 1, у ( 1 ) = 1 .
-1
о
78. J [ y ] ~
J {у'2 — 2 x y ) d x ;
у(—
1)=
0, у ( 0 ) = 2 .
-I
7 9 . J [у] =
\ { ху' 2 + у у' ) d х; y ( l ) = 0, у ( е ) = 1.
1
Уравнение Эйлера (3) для функционала (2) есть дифферен­
циальное уравнение второго порядка, так что решение у = у( х)
уравнения Эйлера должно иметь вторую производную у"( х) . О д­
нако бывают случаи, когда функция, на которой функционал
Ъ
J[y]=
J
F ( х, у , у ' ) d x достигает экстремума, не является дваж -
а
ды дифференцируемой.
##
0
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
50
[ГЛ, II
П р и м е р 4. Функционал
1
Л Й * )]= =
[ У* (х) ( \ — у ' ( х ) У d x
-1
при граничных условиях
У (-0-0,
^(1)= 1
достигает своего минимума, равного нулю, на функции
V \ Х) = 1
0
при
ж <0,
х
при
х>0.
Хотя функция v ( x) и не имеет второй производной, она удовле­
творяет сответствующему уравнению Эйлера.
Действительно, так как F(x, у %у') Щ у 2( 1 — у ' ) 2, то полагая
у = v ( x ) , получим уравнение Эйлера
2о (1 — о ') 2 + l | j - [2ог (1 — о ')] = 0.
(6)
Но согласно определению функции v( x) будем иметь на {— 1, I]s
Fv*
щ
—2v2(l
—
у ')
е =
0,
а значит, и
=
0 ,
и хотя ур ав ­
нение Эйлера ( 6) формально имеет второй порядок, a v r/(x) не
существует, подстановка v ( x) в уравнение Эйлера обращает его
в тождество.
£
•’
..г
Т е о р е м а 2. Пусть у = у ( х ) есть решение уравнения Эй­
лера
ҒУ ~ ~ І х
ҒУ ' Ш ° ‘
Если функция Ғ ( х , у уу') имеет непрерывные частные производ­
ные д о второго порядка включительно , то во всех точках ( х , у ) ,
в которых
Ру'у' Ы У Ж
у ' (* )) Ф 0,
(7)
функция у = у ( х ) имеет непрерывную вторую производную.
С л е д с т в и е . Экстремаль у = у ( х ) может иметь излом
только в тех точках, гд е Ғ и, и, = 0.
Т ак, в примере 4 Fy ryr = * 2 y 2 обращается в нуль в точ­
ках оси Ох; экстремаль имеет излом в точке jc = 0.
Т е о р е м а 3 (Бернштейн). Пусть имеем уравнение
у" = Ғ { х , у , у ' ) .
( 8)
Если функции F, Fv, Ғ у , непрерывны в каждой конечной точке
( х , у ) для любого конечного у ' и если существуют такая кон ­
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
51
станта fe > 0 и такие, ограниченные в каждой конечной части
плоскости функции
а = а (х, у ) > 0 ,
Р = Р( аг, у ) > О,
-i'VJjX* % | | У> У') > Аг,
ЧТО
■ ■ ■ v
(9)
( 10)
I ^ (*» у, #') | < а у ' 2 + р,
то через любые две точки плоскости (а, А) и ( 6, В), имеющие
различные абсциссы (а Ф Ь), проходит одна и только одна ин­
тегральная кривая у = ф(х) уравнения (8).
П р и м е р 5. Д оказать, что через любые две точки пло­
скости с различными абсциссами проходит одна и только одна
экстремаль функционала
| | | | ( у ,г — l ) d x .
ВИ
Решение.
имеет вид
Уравнение Эйлера для данного функционала
у" = 2 у (1 + У,г),
и теорема 3 применима. В самом деле, в данном случае
Ғ{ х , У, У') = 2 у ( 1 + у ' * )
и
F „ = 2 ( l + y /2) > 2 = jfe.
Д алее,
I F i x , у, у ' ) \ = * \ 2 у { \ + у ' г) \ ^ 2 \ у \ у ' 2 + 2 \ y \ .
т а к что а = р = 2 | ^ | > 0.
П р и м е р 6. Показать, что не через всякие две точки пло­
скости с различными абсциссами можно провести экстремаль
функционала
Решение.
Уравнение Эйлера имеет вид
у" = 2 у (1 + у ' 2) \
( 11 )
и теорема 3 не применима, так как условие ( 10) не выполняется
(Ғ(х,У*У') растет по у' быстрее, чем вторая степень у'). Однако
отсюда еще не следует, что не через всякие две точки с различ­
ными абсциссами можно провести экстремаль.
П о лагая в уравнении ( 11 ) у' = р у у" =
Р ^ - = 2 у ( \ + p*)’l*
или
Р dp
(1+
р 2)’1*
2у d y .
получим
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
52
И нтегрируя, находим
—
— С илн
V 1 + Р2
(С - у1) V 1 w
Отсюда
_____________ f
V 1 - (У2 - С )1
dy
dx
<s-
5 = I.
( 12)
у2- С
где С — вещественная постоянная.
Нетрудно проверить, что для всех значений у , удовлетво­
ряющих, например, условиям 0 ^ у ^ Ь% где b > У Ү 9 ни при
каком допустимом значении постоянной С правая часть (12) не
будет вещественной.
80.
Показать, что через любые две точки плос­
кости проходит одна и только одна экстремаль функ­
ционала
____________
/fo w lПример
1
+
7. Д оказать, что всякое уравнение
у" ( х) = f (х, у, у ' )
(13)
является уравнением Эйлера для некоторого функционала
/ [»(* )]
1) К ак
= J
Р ( х , у, у') dx.
(14)
определяется
функция F( xt у, у')
по функции
yV
І
-к Ш '
2) Найти все функционалы, для которых экстремалями я в ­
ляю тся прямые
у (х) = С і Х + С 2.
Решение.
нение Эйлера
Будем искать функционал, для которого ур ав ­
~ Р у’х ~ Гу'уУ' ~ Р у у У " = 0
совпадает с уравнением (13).
место тождество по х, у , у':
( 15)
Это значит, что должно иметь
,\
ғу — Ғух — ғу'у • у' — Ругу • / (*, у, у') т о.
Дифференцируя это тождество по у', получим
0.
Положим и = Fy'tf, то гда д л я функции и получим уравнение
в частных производных:
ди . , ди . . ди . .
п
/1СЧ
Ш + у ~df+ l W
+ T y'' 1 1 1
( }
Ml
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
53
Таккм образом, нахождение функционала, т. е. нахождение
функции г ( х , у , у ' ) , сводится к интегрированию линейного ур ав­
нения в частных производных (16) и к последующей квадратуре.
Рассмотрим второй вопрос. В этом случае уравнение Эйлера
должно иметь вид у" = 0 и для функции и получаем в силу (16)
уравнение
£
+
о.
(17)
Проинтегрируем это уравнение.
Уравнение характеристик имеет вид
dx
dy _ dyr
1 “ Г “ "Г*
Интегрируя эту систему, получаем
у ' = С I,
j f e C|X + Ci,
откуда С 2 = у — ху'. Поэтому общее решение уравнения (17)
таково:
'
Ч
J
^ '
и (|, у, у ') = Ф W * y — х у ' \
где Ф — произвольная дифференцируемая функция своих ар гу­
ментов. Отсюда
5
яг.
^ С4 у, z) = а (*, у) + zp (дг, у) + J ( г — f) Ф (/, у — /дг) d t, (18)
0
*
.
где а ( х , у) и Р ( х , у ) — произвольные функции своих аргументов,
удовлетворяющие соотношению
.
да
ду
дй
дх
-
Из решения видно, что существует бесконечное множество вариа­
ционных задач, для которых уравнение (13) является уравне­
нием Эйлера.
Простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
1°. F не зависит от у*: F = Ғ ( х , у ) .
В этом случае уравнение Эйлера имеет вид
р у (*. у ) = 0.
(19)
Решение этого конечного уравнения не содержит элементов про­
извола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным
условиям у (а) = А, у(Ь) = В.
Лишь в исключительных случаях, когда кривая (19) про­
ходит через граничные точки (а, А) и ( Ь, В ), существует кривая,
на которой может достигаться экстремум.
П р и м е р 8. Найти экстремали функционала
Ш
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
54
ГГЛ. II
Р е ш е и и е. Уравнение Эйлера имеет вид 2х — 2 у = 0, т. е.
у = х. Так как граничные условия удовлетворяются, то на пряя /2
мой у = х интеграл f y ( 2 x — y ) d x может достигать экстремума.
о
'
При других граничных условиях, например', у ( 0) = 0,
"
у
'•
-
*= 1|
экстремаль у = х не проходит через граничные точки ( 0, 0) и
л
ү,
Л
11 ,
так что при этих граничных условиях вариационная з а ­
дача не имеет решения.
2°. Ғ зависит от у' линейно, т. е.
Ғ (х, у , у ' ) = М (х, у) + N ф , у) у'.
Уравнение Эйлера в этом случае имеет вид
1д у
0.
І дІх
(20)
Полученное уравнение, как и в случае 1°, является конечным, а
не дифференциальным уравнением. Кривая, определяемая ур авдМ
нением - g — —
dN
^
вообще говоря, не удовлетворяет гра­
ничным условиям, и, значит, вариационная задача, как правило,
не имеет решения в классе непрерывных функций. Если в неп
л
Ш
dN
л
которой области и плоскости х Оу
--------- == 0, то вы раж е­
ние Ғ( х, у %у') = М ( х у у ) d x + N( x, y ) d y
ференциалом и функционал
ь
J ІУ f t ) ] “
является
полным
диф­
Ш В)
J F ( ху у, у') d x =
J
(Mdx + Ndy)
(а , А)
а
не
зависит от пути интегрирования: значение функционала
Цу \х )\ — одно и то ж е на допустимых кривых. Вариационная
задач а теряет смысл.
П р и м е р 9. Исследовать на экстремум функционал
ь
Щі
'
■
J \ y ( х ) ] = \ ( у 2 + 2ху у ' ) dx,
у ( а) — А,
у { Ь ) — В.
а
Решение.
дМ
ду
Здесь F линейно зависит от у'. Имеем
2ЩУ,
d N n
-т гг = 2У
дх
Ж
и
дМ
dN
rt
- з - ------- д — = 0,
ду
дх
значит, подынтегральное выражение (у2 + 2хуу') dx есть полный дифференциал. Следовательно, интеграл не зависит от пути
Ml
простейш ая
задача
S3
интегрирования:
ь
^ [у (•*)] —
J
(в; В)
J
(У2 d x + 2ху d y ) =
а
d ( ху2) =
{а. А)
= ху2
= ЬВ2 -
а А 2,
по какой бы кривой у ( х ) , проходящей через точки (а, А) и
( Ь , В ), мы ни интегрировали. Вариационная задача не имеет
смысла.
3°. F зависит лишь от у \ т . е. F == F(y' ).
Уравнение Эйлера имеет вид
=
Й
(21)
В этом случае экстремалями являются всевозможные прямые ли­
нии
•
у т с 1.x + с 2%
где С\ и С2 — произвольные постоянные.
П р и м е р 10. Найти экстремали функционала
ь
/ [у (* )] =
J
__________
V 1+
у'2 (х) dx,
'
у (а) = А,
у (Ь) = В.
а
Этот функционал определяет длину кривой, соединяющей точки
(а, А) и (Ь9В). Геометрически задача сводится к разысканию
кратчайшей линии, соединяющей данные точки.
Р е ш е н и е . Уравнение Эйлера имеет вид у"(х) = 0 . Общее
решение
у (х) = С хх + С2.
Экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям у (а) — А и
у(Ь) = Вр есть, очевидно, прямая, проходящая через точки
(а, А) и (Ь, В) :
В —А ,
ч * л
у = - т ----- (■£ а) + А.
о —а
4°. F не зависит от у, т. е. F == F(x, у').
В этом случае уравнение Эйлера
Щ (* . У') -
(*> У ) “ 0» откуда
Си
(22)
где Сі — произвольная постоянная.
Уравнение (22) есть дифференциальное уравнение первого
порядка. Интегрируя его, находим экстремали задачи.
о
ГГЛ.ІГ
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
56
П р и м е р 11. Среди кривых, соединяющих точки А (1, 3) и
В (2, 5), найти т у , на которой м о ж ет достигаться экстремум
функционала
^
1 [у (* )] =
■
1
Решение.
J У'( * ) ( ! +
* У (* )) dx,
1
Т ак
Эйлера имеет вид
'
к а к F не зависит от у, то уравнение
/ у (*, у') = 0, или
о тк уд а
’
1 + 2х2у ' = С ,.
Q
Т огда у ' = ■
|
(1 + 2 * У ) = О,
С
1—С
т а к что # (* ) = — + С 2> гДе с і = -----
Таким образом, экстрем алям и я в л я е т с я семейство гипербол.
Выделим экстремаль, проходящую через заданные точки. Д л я
определения постоянных Cj и С 2 составляем систему
3 = C j + с 2,
с]
б = дйр + р |
*
о т к у д а С j = — 4, С 2 = 7. И ском ая экстремаль
4
*/(*) = 7 ------ .
5°. Ғ не зависит явно от х У т. е. F = F ( y t y'J. В этом слу­
чае уравнение Эйлера принимает вид
Щ-
** ~ * W *
a I
Умножив обе части этого уравнения на у \ в левой части полу­
чим точную производную, т. е. -щ - (F — у ' • Fy,) = 0, о тк уд а
F - y ' - F y, * = C {,
(23)
где Ci — произвольная постоянная. Это уравнение может быть
проинтегрировано путем разрешения относительно у' и разделе­
ния переменных или путем введения параметра.
П р и м е р 12. (Наименьшее сопротивление потоку.) Опреде­
лить форму твердого тела, движущ егося в потоке газа с наимень­
шим сопротивлением. Будем для простоты рассматривать тело
вращения (рис. 4).
Р е ш е н и е . Считая, что плотность газа достаточно мала и
молекулы отражаю тся от поверхности тела зеркально, для нор­
мальной составляющей давления будем иметь следующее выра*
жение;
<
> \
р = 2ро 2 sin 2 Ө. •
(24)
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
57
Зьесь р — плотность газа, v — скорость газа относительно тела,
Ө — угол м еж ду скоростью и ее тангенциальной составляющей.
Давление перпендикулярно к поверхности, так что можно
Направление
потока
газа
Рис. 4.
записать составляющую силы по оси Ох, действующую на кольцо
шириной ( l + у' У12 d x и радиусом у ( х ) , в виде
d F = 2ри2 sin 2 Ө [ 2 тгу ( l + у ' 2)^2] sin Ө dx.
(25)
Полная сила, действующая в положительном направлении оси
Ох, равна
I
F=
J
4яри 2
sin3Өу (і +
у ' 2)^1 d x .
(26)
Чтобы упростить задачу, предположим
Sin Ө = ------- — -VV *» у
(1 + У'2) 1*
Тогда сила сопротивления будет равна
I
F = 4яри 2
J
у /3у d x .
(27)
о
Задача состоит в том, чтобы найти такую функцию у ( х ) %при
которой F принимает наименьшее возможное значение, причем
У (0) = 0,
у (/) *= /?.
(28)
68
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
Уравнение Эйлера для функционала (27) имеет вид
у '3 - з - ^
( у у ' 2) = 0 . '
(29)
Частное решение у = 0 этого уравнения неприемлемо в силу
граничных условий (28). Уравнение (29) можно переписать
в виде
;
^ V ' '•
у ,а + Ъуу'у" = 0.
(30)
Умножая обе части (30) на у \ замечаем, что л евая часть есть
І у ' 3уУ'
Интегрируя, найдем
r
i i f
Отсюда
г
1
(s i)
И спользуя граничные условия (28), получим
ф
С і= ~ ,
С * = О,
откуда
11 1 (тГт. е. контур с заданными конечными точками, при котором сопро
тивление тела минимально, является параболой степени 3/4.
П р и м е р 13. Найти экстремаль функционала
/ [у т
а
Г 1 / 1 + '2
- — dxt
У
проходящую через заданные точки (а, Л ) и (Ь, Б ), лежащие в верх­
ней полуплоскости.
Р е ш е н и е . Так к а к подынтегральная функция не содержит
явно х, то уравнение Эйлера согласно (23) дает
y j — .j
*
¥ 0 Щ
1
После упрощений получим у у 1 + у' = С ь г д е C t
с,
2 ->
О
о
л'
Интегрируя последнее уравнение, найдем (* + С2) + */ = = С , —
семейство окружностей с центром на оси Ох. Искомой будет та
экстремаль, которая проходит через заданные точки. З адача
имеет единственное решение, так к а к через любые две точки,
■
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
59
ліж ащ и е в верхней полуплоскости, проходит одна и только одна
полуокружность с центром на оси Ох.
З а м е ч а н и е . Согласно принципу Ферма путь светового
луча, распространяющегося в неоднородной двумерной среде со
скоростью v(x, у) , является экстремалью функционала
П у]
х9
У \ + у
V (X, у)
dx.
Если скорость света v пропорциональна у, то как видно из
разобранного примера, световые лучи представляют собою дуги
окружностей, центры которых л еж ат на оси Ох.
Пусть задана кривая q. Оптической длиной кривой q назо­
вем время Т (q), в течение которого проходится эта кривая при
движении по ней со скоростью света v ( x t y).
Будем рассматривать верхнюю полуплоскость у > 0 как
оптическую среду, в которой скорость света в каждой точке
равна ординате этой точки v = у. Лучами света в этой среде
будут, как мы видели, полуокружности с центрами на оси Ох.
Можно показать, что часть A D полуокружности q, один из кон­
цов которой лежит на оси Ох , имеет бесконечную оптическую
длину (рис. 5). Точки оси Ох будем называть поэтому беско­
нечно удаленными. Будем считать полуокружности с центрами
на оси Ох прямыми , оптические длины д уг таких полуокружно­
стей — их длинами , углами м еж ду такими прямыми — углы ме­
ж д у касательными к полуокружностям в тс«ке их пересечения.
Получим плоскую геометрию, в которой сохраняются многие
положения обычной геометрии. Например, через две точки можно
провести одну и только одну прямую (через две точки на полу­
плоскости можно провести только одну полуокружность с цен­
тром на оси Ох). Параллельными будем считать две прямые ,
имеющие общую бесконечно удаленную точку (т. е. две полу­
окружности, касающиеся друг друга в точке В , лежащей на
оси Ох). Тогда через данну.о точку Л, не лежащую на прямой q.
'
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
60
ГГЛ. тг
можно провести две прямые q\ и <72* параллельные q. Прямые ,
которые проходят через точку А и л еж ат в вертикальных углах
I и III, пересекают прямую q\ прямые, лежащие в углах II и
IV, — ее не пересекают.
Рис. 6.
^
Мы получили так называемую модель П уанкаре геометрии
Лобачевского на плоскости (рис. 6 ),
Найти экстремали функционалов:
ь
81. / [ у (*)] =
J [2х у
+ (х2 + е«) у'] dx\
Л,
У (а)
В
у (Ь)
1
82. /
[г/(Jt)] = J
(еу - \ - ху' ) d х; у ( 0) = 0 , г/( 1)
а.
о
Я/4
83. J [ y ( x ) \
ІУ'
y 2) d x ] i/(0)
I
®
І 2
2
о
я
84. J [ y ( x ) ]
IО 1
f)dx;
i/( 0 ) =
у'*)dx; у
(0) =
1 , у (л )
1
85. J [ y ( x ) \ =
J(*+
о
86. / [ у (*)] =
1,
t/(l) = 2.
1
f { у 2 + У,г) dx; у ( 0) = 0, у (1) = 1.
0
1
«41
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
ві
1
J
87. J [у (*)] =
( у'* - f 4 у 2) dx;
у (0) = е2,
у ( 1)
I.
О
1
88. Ц у (*)]
y 2) d x \ у ( 0 ) — 1, у ( 1)
е,
о
89. / [у (*)] = \ ( х у ' + у'*) <*•«.
а
(к + - f )
90. / [// (jc)]
а
91. Показать, что линейный функционал
ь
j [у
(*)] = J
[р (х) у ' + д ( х ) у + Г (дс)] dx,
а
где р ( д с ) е С ,[ а , b\, q ( x ) ^ C [ a , b\ , r { x ) ^ C [ a , b ], не
имеет экстремумов.
92. Пусть дан функционал
ь
J [у (*)] — J F(x, у, у') d x
и граничные условия у ( а ) = А, у{Ь)
В.
Показать, что если к подынтегральному выраже*
иию F ( x , y , y ' ) d x добавить полный дифференциал лю­
бой функции и = и ( х , у ) , то уравнение Эйлера оста­
нется прежним.
93. J [у (*)] = [ ( у 2 + У'2 + 2 ye*) dx.
а
я/2
94. J [ y { x ) \
У
У
8у ch х) dx,
О
2, у ( I
95. Найти экстремали функционала
У І 0)
J [у (X)]
Ф0
Хп (у у dx
л
2 ch 2
*
[ГЛ. IT
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
62
и показать, что при п ^ 1 две точки, лежащие по
разные стороны от оси Оу, не могут быть соединены
экстремалью.
Вариационные задачи в параметрической форме. В ряде з а ­
дач более удобно, а порой и просто необходимо, пользоваться
параметрическим заданием линий
1 1
I
*о < * < ' I.
где функции ф(0 и *ф(/) непрерывны и имеют кусочно-непрерывные производные, причем ф2( 0 + Ф2( 0 Ф 0.
Пусть дан функционал
/с =
J F (t, х, у , X, у ) d t = J
dx
гд е x — d t , у
F (t, х, у , i , у ) d t,
dy
dt .
(32)
Я
,
;
Чтобы значения функционала (32) зависели от линии, а не
от ее параметризации, которая мож ет осущ ествляться различ­
ными способами, необходимо и достаточно, чтобы подынтеграль-»
ная функция не содерж ала явно параметр t и была положитель­
но однородной перво# степени по аргументам * , у:
F (х, у, kx, k y) — kF (* , у, х, у ),
k>0.
(33)
Например, в функционале
/с= J
х d y — у dx
подынтегральная функция положительно однородна первой сте
пени. В самом деле, здесь
ғ (* , у, х, у ) = х у — у х
и очевидно
F М, у , kx, ky) = kF (* , у , 4 у).
Если линия С:
У = -ф(О
доставляет функционалу Jc экстремум в классе линий С, соеди­
няющих данные точки \хо,уо) и (* ь jfi), то функции <р(t) и ib(/)
ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
63
удовлегворяют уравнениям Эйлера
Г . — Щ- щ
1
- »•
(34)
Одно из уравнений (34) есть следствие другого.
Вейерштрассова форма уравнения Эйлера
1
““ & &
(35)
Ғ і • (* а + У2)'1'
Здесь г — радиус кривизны экстремали, Fi — общее значение от­
ношений
• • __ Рлуу•• __ лFх•уЙ
Щ __ F хх
а
Пример
- *у
щ
14. Найти экстремали функционала
/с= J
у 2у ' 2 йх.
(О, 0)
Р е ш е н и е . Поскольку возможны экстремали, которые пере­
секаются прямыми, параллельными оси Оу более, чем в одной
точке, перейдем к рассмотрению задачи в параметрической
форме.
- *
Считая x = x( t ) , у = */(/), находим, что подынтегральная
2
2 У
,
.
функция имеет вид у 2 • -—у * и является положительно однородЁир
ной первой степени относительно х и у.
Первое из уравнений (34) принимает вид
о ткуд а
Интегрируя последнее уравнение, находим
у .■ ’
У2 ** 2С%х + C l,
Из условия прохождения экстремали через начало коорди­
нат находим, что С 2 = 0. Второе граничное условие дает
сС | = ~— , так что окончательно
1Х\
а
М
У
\
я
[Г Л И
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
64
Пример
15. Найти экстремали функционала
*і
Г [ f x - + у 1 + а 2 ( х у - j/i)] dt .
1С =
щ
Р е ш е н и е . П олагая
F (JC, у, У ) = У і ! + } ' + а 2 ( х у — ух) ,
видим, что функция Ғ положительно однородна первой степени
относительно і н у .
■
Воспользуемся вейерштрассовой формой уравнения Эйлера*
Им еем .
-ЯрШ м >:
..
Г хдв
Fu t * ~
F\ ” —
~
2+ p f h * jg Q
Поэтому уравнение (35) принимает в данном случае вид
1
2а*.
1 ш
Таким образом, кривизна —
и ш
™
^ т а к
экстремали постоянна. С ледова­
тельно, экстремали — дуги окружности,
окружности, если
* (/,) - * ш
в
частности,
полные
|
Найти экстремали функционалов:
(*і> Уі)
м2 _и*к*
— Л — dt.
X
'
Щ
*
96. Jc
фшЪ
( Г 2 'г/2 - з Л 2
9 7 . / q s== J
^"""" " ■ Л »
& О)
Щ-Ш
„
.
98. / с =
I (/С • У * 2 + у 2 — x y ) d t , К > 0 — const.
§ 5. Обобщения простейшей задачи
вариационного исчисления
1°. Функционалы, зависящие от производных высшего поряд­
ка. П усть имеем функционал
«
/ [у ( * ) ] =
j
F U , у (х ), у (л:), . . . , У(п) {х)) d x ,
( 1)
ОБОБЩЕНИЯ
ПРОСТЕЙШЕЙ
ЗАДАЧИ
65
где Ғ — функция, дифференцируемая п + 2 раза по всем аргу
ментам, у ( х ) & С п[хо, *i], а граничные условия имеют вид
У
(*о)5=8Уо*
У
(*о) ^Уо* • • •> У^п ^ (*о)8=3У{оП Й
У ( * і) = Уі»
..........У(я~ 1>(* | )= 3 {/1', ' 1). *
Экстремалями функционала (1) при условиях (2) являются
интегральные кризые уравнения Эйлера — Пуассона:
r > ~ h ? F, ’ + - & V - Пример
+ < - 1>“т й ғ ' > = ° -
<3>
1. Найти экстремаль функционала
I
1 ІУ (*)] =
J (360**0 -
у"*) d x ,
0
* ( 0 ) = 0,
Решение.
у ' (0) = 1,
у (I) = 0 ,
у ' ( 0 = 2,5.
Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид
360** +
( - 2у") = 0
или
ylV (х) =
180л:2;
его общее решение
+ С хх 3 + С 2*2 + Сз* + С4.
у (х) = у
Используя граничные условия, получим
С| — у ,
С , = — 3,
С , = 1,
С 4 = 0.
Искомая экстремаль
М (* )“ у ^ + у ^ ~ 3 * * + г .
'
-
Рассмотрим задачу, в которой на границе заданы не все
условия ( 2 ), а меньшее их число, так что в общем решении ур ав ­
нения Эйлера после использования граничных условий еще
остаются свободные постоянные. Д л я решения такой задачи не­
обходимо найти вариацию функционала ( 1 ), преобразовать ее
с учетом заданных граничных условий и, приравняв вариацию
нулю, получить дополнительные условия на границе.
П р и м е р 2. Найти кривую у = у ( х ) %реализующую экстре­
мальное значение функционала
*
/ [у\ = у
J ( у Т dx
а
(4)
при условиях
У (а) =»0,
3
М, Л.*Драснов я др.
у (Ь) — 0.
(Б)
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
66
Решение.
[ГЛ. II
Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид
0 V) (х ) — 0.
Его общее решение
у (* ) = С, + С 2х + С3х* + С 4*5
( 6)
содержит четыре произвольных постоянных С* (I = 1 ,2 ,3 ,4 ) , и
для их определения заданных граничных условий (5) недоста­
точно. Поэтому, согласно вышесказанному, находим вариацию
функционала (4). Получим
ъ
б/ [у] =
J
(7)
у" (by") dx.
а
Интегрируя (7) по частям д важ д ы , будем иметь
Ы
[у] =
\Г
(*) Ьу' (*) \ba -
ь
J у " ' {х) b y ' (ж)d x =
а
Ъ
= у" (* ) Ьу' (х) \ьа - у ' " (х) Ьу (х) \ba +
J
y ilV) (X) Ьу (х) dx.
а
( 8)
I
Выражение ( 8) должно обращаться в нуль на экстремали
У(х ) функционала (4). Из произвольности функции Ьу(х) сле­
дует, что у {1У)(х) = 0 ; это есть уравнение Эйлера — Пуассона
для функционала (4 ). Но если интеграл в правой части ( 8) об­
ращается в нуль, то краевое выражение
[у" (* ) bxf (х) - у " ' (х) Ьу (х)] \ьа
т а к ж е должно обращаться в нуль тождественно.
Так как 6 у ( а ) = 6у(Ь) = 0 (концы закреплены), то полу­
чаем, что должно быть
і
У" (Ь) 6у' ( b ) - y " ( a ) b y ' ( a ) = 0 .
В силу произвольности величин йу'(Ь) и b y ' (а) необходимо
получаем
у" (а ) = 0,
у" (Ь) = 0.
(9)
Условия (9) вместе с условиями (5) однозначно выделяют
экстремаль из семейства ( 6) : у ( х ) г з 0.
2°. Функционалы, зависящие от т функций. Д л я функцио­
нала, зависящего от т функций y i ( x ) , . . . , у т(х),
^ [Уі> У'2> • " » Ут[ =
^ Ү*» У\9 У2’ • • • * Ущ* У1*У2' • • ' I Упи
I
ОБОБЩЕНИЯ
ПРОСТЕЙШЕЙ
ЗАДАЧИ
67
при граничных условиях вида
Ук ( * і) =
Ук( хо) = У°к>
(k = l, 2,
т),
(II)
экстремали находятся из следующей системы дифференциальных
уравнений второго порядка:
F , = 0
yk
—~
F
Чк
( k = 1 , 2,
m),
( 12)
называемых системой уравнений Эйлера.
П р и м е р 3. Найти экстремали функционала
J
/ [у (х), z (* )] =
{ у ' 2 + z 2 + z ' 2) dx
1
при граничных условиях
у ( I) — I,
Решение.
у ( 2 ) = 2;
z ( I) = 0,
г ( 2) = 1.
Система уравнений (12) в данном случае имеет
вид
іЛ = 0,
z" = 0.
Решая эту систему, находим
2 = Сз^Л + С+е х*
у = С]ДГ + Сг,
В силу граничных условий имеем
С\ = 1,
С 2 = 0,
С з = —2
г»
С4
так что искомая экстремаль:
sh (х — 1)
sh 1
z==
есть пространственная кривая, являю щ аяся пересечением двух
цилиндрических поверхностей.
П р и м е р 4. Найти экстремали функционала
п
I [У (х ). 2 (а-)] =
Г (2 у г - 2у* + у ' 2 «
z'*) dx,
если
у ( 0) « 0,
3*
I#
у ( п ) = 1,
2 ( 0) = 0,
2 (Л)=Я— I.
[ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
68
Решение.
Система уравнений (12) имеет вид
у» + 2 у - г
Щ ж
откуда, исключая функцию г, получим
yW + 2y" + y = 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
_
Cl
у(х) =
COS X
+ С2 sin
X
+
X
(С3COS X + Ci sin
jc).
В силу граничных условий у { 0) = 0, у { л ) = \ получаем С i = 0Э
Сз ----------- , и значит,
л
х
у (л:) — С2 sin х + С4* sin ж -------cos х.
3- .
'’;д\ ^
Л‘*■
~ ■"
5- --
: ,,<**1|
Функцию z найдем из условия, что z = у" + 2у. Имеем
z = С2 sin х + С 4 (2 cos х + х sin х) + — (2 sin x — x cos x).
Постоянные C 2 и C 4 находим из граничных условий 2 ( 0) = О,
г (л) = — 1, что д а е т С 4 = 0, С2 — произвольно. Тогда
2 = С 2 sin х + — (2 sin X — X cos х).
Семейство экстремалей:
r>
I
X
X
и = С 2 sin X ------- COS X,
г
я
z = С2 sin х + — (2 sin х — х cos х),
J
гд е С2 — произвольная постоянная.
3°. Функционалы, зависящ ие от функций нескольких н еза­
висимых переменных. Рассмотрим функционал вида
1 [г {х, у) ] =
JJ
F (* , у, г,
И щ d x dy ,
(13)
D
где F — трижды дифференцируемая функция своих аргументов, и
предположим, что ищется функция 2 = г (х , у) , непрерывная вм е­
сте со своими производными до второго порядка включительно
в области D, принимающая на границе Г области D заданные
значения и дающая экстремум функционалу (13).
Если на поверхности 2 = г (х , у) реализуется экстремум
функционала (13), то функция г = г (х , у) удовлетворяет у р а в ­
нению Эйлера — Остроградского
Г ‘ ~ ~ Һ ,ғ ,) — W ( ғ , ) = ° '
0 ,1
§ Қ
ОБОБЩЕНИЯ
V
где — -- {Ғр} и
д
ПРОСТЕЙШЕЙ
ЗАДАЧИ
69
{Fq} — полные частные производные по х и
по у соответственно:
д
{Fp) = Ғ рх + Ғ
dx
Pz
д
c* 4 . P
2
qy
-Г
t
q
z
dy
dz
dp
dq
+
Fpq
+
ғ
РР
dx
dx
dx '
dp
dq
Pd Z
y + ?ЯР
+ Fqq
dy
dy'
Здесь дл я краткости обозначено
dz
d x ~~
dz
&y
(15)
(16)
Я~
~
Уравнение (14) представляет собой необходимое условие
экстремума функционала (13). Оно является уравнением второго
порядка в частных производных, причем ищется решение z =
= z(x, у) , принимающее на границе Г заданные значения.
П р и м е р 5. Написать уравнение Эйлера — Остроградского
д л я функционала
1 [ г (*. У)\
ь> v
D
dz \2
dx
/
dy
d x dy.
Решение.
Имеем F (х, y t z t p y q)
q zt так что со­
P
В Ш .
d
гласно (14) получим
( — 2q) = 0 или
(2р)
ох
dy
d 2z
dx2
d 2z
dy2
0.
Д л я функционала
J [z ( х ь х 2, .
JJ
...
£>
J
х п)]
F ( x 1,
•••» Xfit zt p\f p2, •••» Pn) d x I
••• dxn I (17)
dz
(& = 1, 2 , . . л), необходимое условие экстре­
где
dx
мума вы раж ается следующим уравнением Эйлера — О строградского:
п
F
v
О
(18)
<=1
или в развернутом виде
п
Ғ
(
V
(**1 '
п
Ғ
др I
+ Ғ
. п. 4- Ү 1 Ғ
xl pl ^ zpi Pl
pl pJ d x ,
0
(19)
/= 1
Решение этого уравнения — функция г = z( x\ ,
- • .. Хп) — на
границе Г л-мерной области D должна удовлетворять заданным
Граничным условиям.
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
70
Пример
6. Найти условия, при которых функция
г(х±9 * 2, . . . . Хп), принимающая заданные значения на границе
Г области Q, д ает минимум интегралу Дирихле
» <
И
2
М
(-
d x , d x 2 . . . d x n.
n
Р е ш е н и е . В этом случае F = "V. I -f-2 - ^ , т. e. F не за
I чд*і
*=I
висит явно от х ь х2, . . . , x rt, z. Следовательно,
17
Г
’
*7
- Л
Г
xipl
zh
Wi
’
,
2
ПРИ
I — U
[
0
при
і Ф /,
и по формуле (19) получим
п
/
/=1
дх2
0
или
Az = 0
(д-мерное уравнение Л апласа).
З а м е ч а н и е . Если под знак интеграла входят производные
функции z(x , у) до порядка я, то уравнение Эйлера — Остроград­
ского имеет вид
' • - ■ Һ <ғ*«> - W
+
2 дх ду
{Ғ г уу) ~
. . . + < - ') “ - S r { f i
J= 0 .
(SO)
п
П р и м е р 7. Написать уравнение Эйлера — О строградского
д л я функционала
J [г (*, у)]
ш
)
а * <*
‘
D
Р е ш е н и е . Имеем
-
-
(
И
Г
+
(
0
)
!
+ 2
ШШ:
-
1
1
1
§ §
ОБОБЩЕНИЯ
ПРОСТЕЙШЕЙ
JI
ЗАДАЧИ
Согласно ( 20) находим
+2
ИЛИ
д*г
д*г
, „
, д Аг
(г w ) - 0
с,
ч
дх2% 2 + д«/< “ f **’ У^'
дх* +
Последнее уравнение коротко записывается так:
■V
ДДг = f (х, у).
Найти экстремали следующих функционалов:
1
99. J [у (л)] = J {у* + 2у ' 2 + */"*) dx;
j/( 0) = 0,
у ( 1) = 0 ,
</'(0) = 1,
у ' ( 1) = - s h l .
о
100. /[*/(*)] = J (240у -1
У( 0) = 0 ,
у (-1 )= 1 ,
0 '(О) = О,
*/'(— !) = — 4,5,
у " ( - 1) = 16,
у " ( 0) = 0 .
Ь
Г{у +
101. / g (*)] =
у") dx;
а
У (а) = Уо>
У Щ = у I»
у' (а) = #о>
у 1 1 = iii*
Ь
102. / [у (л)] = Г ( у ' 2 + у / ' )
а
y ( a ) = A lt
у ' { а ) — А2,
y ( b ) = B lt
у'(Ь) = В2.
I
103. / 1
gj J
=
{у'* + У"3) dx;
о
у (0) = 0,
0 (l) = s h l ,
у ' ( 0) = 1,
/ ( l ) = chl
104. Найти экстремаль функционала
1
П У \ = \ \ ( У ")2 d x
И * ■■
>* Ш Я ж ш ш & Ы
Ё іШ в І І Н
[ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
72
при условиях
!г(0)
О,
у'О)
О,
У'( 0)
1
л/4
ТС
0,
У ( 0)
2 (0 )
1,
У 4
z '*) dx;
4 у 2 + у'
f (2 z
105. j [ y ( x ) , z ( x ) \
л
4
г
О,
1.
I
106. J [ y (х), г (л)}
-1
I/d)
2,
*/(— 1 )
О,
2 х у - y ' * + Ar-]
dx\
3
г(1)
г(-1)
1,
1
я/2
2 і/г) dx\
107. / [г/ ( jc), г (л)]
О
У ( 0)
108. /
О,
[і/ (л),
п
1.
1
У 2
2 (*)] =
2 (0 )
J {у'2 +
я
О,
2
1.
?'* + 2 y ) d x \
О
у { 0)
1,
2 ’
2 (0 )
О,
2 ( 1)
1.
109. Показать, что уравнения Эйлера для функ­
ционала
J [у, 2] ==
J
F (х , у , у', г, г') d x
допускают следующие первые интегралы:
дҒ
С, если Ғ не содержит у\
1 ) ду'
, дҒ
С,
если
F
не
содержит
х.
2
2) Ғ
У ду'
dz'
Написать уравнения Эйлера — Остроградского для
функционалов:
110. J [ z ( х, у))
тл
дг \1 _j_ I dz
4
+ 12г / (х, t/)j d x d y .
ду
дх
D
ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
112. J [ z ( x lf Х2,
- ^(^і* *1*)
73
*„)] —
z -j- 2 z f (Xj, I»*, ля) ] d>X\ dx 2 • • • dXfim
113. Вывести дифференциальное уравнение мини­
мальных поверхностей.
114. Найти экстремаль функционала
1 I
J [г (х, г/)] = Г Гегу sin zy d xd y
оо
v
при условиях z ( x , 0) = 0 , z ( x , 1) — 1.
§ 6. Инвариантность уравнения Эйлера
Если функционал
1М= J
ғ (х, у, у ') d x
преобразуется посредством замены независимой переменной или
одновременной заменой искомой функции и независимой перемен­
ной, то экстремали функционала по-прежнему находятся из ур ав­
нения Эйлера, составленного для преобразованного подынтеграль­
ного выражения. В этом и состоит инвариантность уравнения
Эйлеоа.
[усть * =г х (и, и), у =* у (и, о), причем
_! Хо
Уа
Тогда
Ф 0,
Уи
J ғ (х, У, у') dx
F \ х (и, о), у (и, v),
Уи + УхРи
Х и + X0v'u) du
Хц "I* X v Vu
Ф(и. Of О dtt
{ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
74
и экстремали исходного функционала определяются из уравнения
Эйлера д л я функционала
J ф ( « , v, v'u) d u :
Ф о
Пример
Ли
Ф,у = 0.
*
I. Найти экстремали функционала
Фі
/ [ r ] =
f
V г2 +
г ' 2 d<f,
где
г =
г(< р ).
ф.
Р е ш е н и е . Уравнение Эйлера для этого функционала
V
7
T
І •
d* \ V
7 2
I
*
0.
ш
Замена переменных х = г cos <р, у = г sin <р дает
V r 2 + r ' 2 dw = V l + ^ d x ,
и мы приходим к функционалу вида
ъ
/ Ы = J V 1+
W dx,
а
для которого уравнение Эйлера есть у" = 0, так что
у = С\Х + С*.
Значит, экстремали исходного функционала даю тся уравнениями
Г S in ф =
С\Г cos ф
+
С2,
где Ci и Сг — произвольные постоянные.
П р и м е р 2. Найти экстремали функционала
- In 2
/[</]= Г ЯрУ* - вV)
о
Р е ш е н и е . Уравнение Эйлера для данного
имеет вид
у " - У + е2ху - 0.
Сделаем замену переменных
х=\п щ
y = v*
функционала
ИНВАРИАНТНОСТЬ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
75
Тогда исходный функционал преобразуется к виду
2
/. [V]
I
~
2
= Г ( е “ 1пШ
W
і,
I
e,n V ) = Г (o'* - 02)
2-
-
;
Щ
■ I* ’ ' ’
:'
:
‘
Ш
^8
Щ
'
V ' “• Г ' -
- ' f S
-
I
Ш
и для него уравнение Эйлера и" + v = 0 легко интегрируется:
о = С| cos и + С 2 sin и.
Переходя к первоначальным координатам х , у, получим уравне­
ние экстремалей в виде
у = С\ cos е* + С 2 sin
115. Найти экстремали функционала
Ф
і
______________________________
/ = J г sinфV г 2 + r/2d<p.
Ф
>
116. Показать, что экстремали функционала
Ф
.
/ = J / (г sinф) VГ2 + г'* С?ф
Фо
всегда находятся в квадратурах.
117. Найти экстремали функционала
£
*
J—
_______
ь
J
jc2-j- г/2V 1+
•Т •
у'* d x .
а
К ак и для случая одного переменного, уравнение Эйлера —
Остроградского инвариантно относительно преобразований коор­
динат.
1*1
П р и м е р 3. Записать уравнение Л апласа
~ *
7Г = 0
дхг + -л
дуг
д 2г
I
1
д 2г
(I )
в полярных координатах.
Р е ш е н и е . Рассмотрим функционал
О [г (х, у)]
= JJ
(г\
+ z 2y) d x dy,
о
Уравнение Эйлера — Остроградского для функционала есть как
раз уравнение (1). Перейдем в функционале от декартовых
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
76
координат {х, у) к полярным координатам (р, ф ): * =* Р cos ф,
у === р sin ф. Имеем
др
cos ф
дх
др
ду
Sin ф,
дф
Sin ф
~дх
р
дф
COS
ф
р
Отсюда
D [г (р, <р)]
аФ
* дх
т
2
+
-
f
j
-
Л
р
*
р
G
( pzp + " р z * ) d p dq>*
Составляя уравнение Эйлера — Остроградского для послед­
него интеграла, придем к уравнению Л ап ласа в полярных коор­
динатах:
j
р
г ФФ + р^рр + ^р — о*
§ 7. Поле экстремалей
Семейство кривых у = у ( х , с) образует собственное поле
в заданной области D плоскости х О у у если через каж дую точку
(х, у) этой области проходит одна и только одна кривая семей­
ства у = у ( х , с),
1
г
,v
Угловой коэффициент р ( х , у ) касательной к кривой семей­
ства у = у( х, с ) , проходящей через точку (х, у ) , называется каклоном поля в точке (х, у ) .
Семейство кривых у = у ( х , с ) образует центральное поле
в области D плоскости хОу, если эти кривые покрывают без
самопересечений всю область D и исходят из одной точки (*о
лежащ ей вне области D. Точка (хо,Уо) называется центром
пучка кривых.
П р и м е р 1. Внутри круга х2 + у 2 ^ 1 семейство кривых
у = Сех, где С — произвольная постоянная, в частности, С = О
образует собственное поле, т а к как эти кривые нигде не пере­
секаются и через каж дую точку (х, у) кр уга проходит одна и
только одна кривая этого семейства (рис. 7 ), Наклон поля
в произвольной точке ( х , у) равен
1
Р (х, у) щ Сех Щ у.
П р и м е р 2. Семейство парабол у = (х + С )2 внутри круга
х2 + у 2 ^ 1 собственного поля не образует, так как различные
кривые семейства пересекаются внутри круга и не покрывают
всю область (рис. 8).
»
П р и м е р 3. Семейство кривых у = Сх образует централь-.
ное поле в области х > 0.
-------
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
ик
Рис. 7,
Рис. 8.
I
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
78
Образуют ли поле (собственное или центральное)
следующие семейства кривых в указанных областях:
118. у — С ’ tg х\
119. у — С * cos л;
a)
б)
120. y = U - C ) 3 ; 4
121. у — С ( х2 — 2х);
а)
- .у
ү < х < я ; в) | х | < я .
+ Т - ^ 1’
< 1; б) — 1 ^ д с < 3 ; в)
/
Л \-
'■vi
VYj.-
122. у = С • sin U — ү ] ;
a) - f
б)
у < х < я ; в) | < ж < 2я.
123. у = ех+с\ д^ + У2^ ! »
Если поле (собственное или центральное) образовано семейством экстремалей некоторой вариационной задачи, то оно назы­
вается полем экстремалей.
П р и м е р 4. Рассмотрим функционал
1
/ ЦгЗ =
I
у,%dx.
О
Его экстремалями являю тся прямые у = С\Х + Сг. Семейство
экстремалей у = С 2 образует собственное поле, а семейство
экстремалей у = С хх образует центральное поле с центром
в начале координат.
124. Для функционала
а
/ [у ] = J {у '2 + у ) d x ,
о
а >
0,
указать собственное и центральное поле экстремалей.
125. То ж е — для функционала
Я/4
/ [ у ] = J { у ' 2 — У2 + К + 4t)dx.
О
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
79
Пусть кривая у = у ( х ) является экстремалью функционала
*і
Я р = / ғШ
> У’ у') dx>
Хй
проходящей через точки Л (хо, у о) и B ( x i t y t ).
Говорят, что экстремаль у = у ( х ) включена в собственное
поле экстремалей, если найдено семейство экстремалей у = у ( х , С ),
образующее поле, содержащее при некотором значении С = Со
экстремаль у = у ( х ) , причем эта экстремаль у ■= у (х) не лежит
на границе области Д в которой семейство у = у ( х , С ) образует
поле.
Ғсли пучок экстремалей с центром в точке (xq\ у о) в окрест­
ности экстремали у = у ( х ) , проходящей через ту ж е точку, об­
разует поле, то говорят, что найдено центральное поле , включаю­
щее данную экстремаль у = у ( х ) . За параметр семейства у =
— У( х, С) принимается угловой коэффициент касательной к кри­
вым пучка в точке (лго, уо).
П р и м е р 5. Рассмотрим простейшую вариационную з а ­
дачу дл я функционала
2
]\у}=
J
( у , э + sin* * ) dx.
о
~
!
а) Пусть к ( 0 ) = 1 , у ( 2 ) = 1. Семейство экстрамалей дан­
ного функционала определяется уравнением у = CiX + Со. З а­
данным граничным условиям удовлетворяет экстремаль у = I.
Эта экстремаль включается в собственное поле экстремалей
У = Сг, где Сг — произвольная постоянная.
б) Пусть у ( 0) = 0, у (2) = 4. Экстремалью, отвечающей
этим граничным условиям, является прямая у = 2х, которая
включается в центральное поле экстремалей у\ = С\Х (С t — про­
извольная постоянная) с центром в точке 0 ( 0, 0).
П р и м е р 6. Рассмотрим простейшую вариационную задачу
I
-1
1
2
2 / ( - 0 = 0, у ( 1 ) = 4 Решение уравнения Эйлера имеет вид у = х 2 + С\Х + С 2
•
'
'
х
3
Э кстрем аль этой задачи у = х2 + —------- г можно включить в соб^ '-Уг.
4
4
ственное поле экстремалей у = х 2 + - j + С 2 (рис. 9),
о
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
80
еле
вариационных задач можно включить в поле экстре­
малей (собственное или центральное).
Рис. 9.
1
А
126. J [ y ]
У
2лсу) dx; i/( 0)
0.
о
1
127. / [у] = J {2еху + у ' 2) dx; у { 0 ) = 1 , у { 1)
о
у ' 2) d x
128. ] [ у )
(а > 0 , а Ф kn);
о
У
(0) = 0,
у (а)
0.
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕН
Определение.
плоских кривых.
Пусть
имеем
семейство
81
Ф (х, у, С) = О
С-дискриминантом этого семейства называется геометриче­
ское место точек, определяемое системой уравнений
| Ц I
С)
дФ (х, у , С)
дС
= I
}
О)
В общем случае в состав С-дискриминанта входят огибающие
семейства, геометрическое место узловых точек и геометрическое
место точек заострения.
Огибающей семейства Ф ( х , у , С ) = 0 называется кривая, ко­
торая в каждой своей точке касается некоторой кривой данного
семейства и каж дого участка которой касается бесконечное мно­
жество кривых семейства.
Если имеем пучок кривых с центром в точке А (хо, у о), то
центр пучка принадлежит С-дискриминанту.
П р и м е р 7. Найти С-дискриминант семейства кривых и
ь.
Р е ш е н и е . Уравнения ( 1 ) в данном случае имеют а д д
у _ ( х _ С ) * « 0,
2 (дг — С) = 0,
откуда у = 0. Нетрудно проверить, что линия у = 0 есть оги­
бающая данного семейства. В самом деле, в любой точке лг = х 0
линия у = 0 имеет общую касательную с соответствующей кри­
вой семейства у = (х — дго)*. Д алее, какой бы малый участок
линии у = 0 мы ни взяли, его касается бесконечное множество
кривых данного семейства. В данном случае С-дискриминант со­
стоит из одной огибающей.
В следующих примерах найти С-дискриминанты
заданных семейств.
130. у — Сх + С2.
-131. у (С ~ х) — С2 = 0.
132. ( х — С)2 + у 2= 1 .
Если д уга АВ кривой у == у ( х ) имеет отличную от А общую
точку А* с С-дискриминантом пучка У
у ( х, С) с центром
в точке А, содержащего данную кривую, то точка А* называется
точкой сопряженной с точкой А.
П р и м е р 8. Рассмотрим однопараметрическое семейство
кривых у ** С sin х, С-дискриминант этого семейства опреде­
ляется уравнениями
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
82
[ГЛ. II
т. е. представляет собой дискретное множество точек (А я , 0) ,
Л в 0 , ± 1 , ± 2 (точки пересечения синусоиды с осью Ох) . Взяв,
например, С = 2, получим кривую у = 2 sin х , принадлежащую
данному пучку синусоид с центром в точке 0 ( 0 , 0 ) . Если другой
конец В (рис. 10) дуги кривой у = 2 sin х имеет абсциссу
х е (л, 2 л ) , то д уга ОВ будет содерж ать еше одну точку
(кроме точки 0 ( 0 , 0 ) ) , принадлежащую С-дискриминанту, а
именно точку О* (л, 0 ), которая будет сопряженной с точкой
0 ( 0 , 0 ) . Если 0 С х с л, то точек, сопряженных с точкой
О (0 ,0 ) , на д уге О В нет.
133. Д ано семейство кривых у — С- ( х — 1)дг. Най­
ти точку, сопряженную с точкой 0 ( 0, 0 ).
134. Д ано семейство кривых г/ = С • sh я. Найти
точку, сопряженную с точкой 0 ( 0 , 0 ).
1°. Достаточное условие Якоби возможности включения
экстремали в центральное поле экстремалей. Д л я того чтобы
д у гу А В экстремали можно было включить в центральное поле
экстремалей с центром в точке Л (х0, х/о), достаточно, чтобы
точка Л*, сопряженная с точкой Л, не л еж ал а на д уге АВ.
П р и м е р 9. Рассмотрим функционал
j
а
j[y
(xjl- J
( y,2- 9 y 2+ e x' - l ) d x ,
0
У (0) = 0,
Щ
> -L
у (а) Ы 0.
Проверить возможность включения
тральное поле экстремалей с центром
Р е ш е н и е . Уравнение Эйлера
имеет вид у" + 9у = 0. Его общее
4- Са cos Зх.
экстремали у = 0 в цен­
в точке 0 ( 0, 0).
д л я данного функционала
решение у [ х ) = C i s i n 3 x + ,
j
kit
Если а # | Щ '*
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
83
f г^!г.
число, то
^ ^ I^ <экстремалью, удо­
k — целое
!.
влетворяющей заданным граничным условиям, является прямая
У = О' Если рассмотреть однопараметрическое семейство экстре­
малей yi = Ci sin Зх, то, как легко проверить, С-дискриминант
, 0j ,
этого семейства состоит из точек
п
поэтому, если а < т о
k — целое
число;
точки, сопряженной с точкой 0 ( 0, 0),
на экстремали у = 0 не будет, и тогда эту экстремаль, очевидно,
можно включить в центральное поле экстремалей с центром
V “Ш
Ғ
яДеУ .
Й
'1 /
в точке 0 ( 0 , 0 ) . Если ж е а ^ — , то на экстремали у = 0 будет
-
:
'.±
, р :
в '41-
содержаться по крайней мере одна точка, сопряженная с точ­
кой 0 ( 0 , 0 ) , и достаточное условие Якоби не выполняется,
В этом случае экстремали у = С i sin 3jc поля не образуют.
Аналитическая форма условия Якоби. Пусть имеем простей­
шую вариационную задачу
Гғ
1 \У (* )] =
(х, у, у') dx]
J
Хо
У(*о) = Уо,
У( х і ) = Уі.
Если решение и = и(х) уравнения Якоби
Их
) U
dx
У*У,и') m
®
удовлетворяющее условию и(х о) — 0, обращается в нуль еще
в какой-нибудь точке интервала х 0 < х < x it то сопряженная
с А (Хо, у о) точка А* лежит на дуге АВ экстремали (точка В
имеет координаты ( х и у \ ) ) .
Если существует решение и(х) уравнения Якоби, удовлетво­
ряющее условию и( х о) = 0 и не обращающееся в нуль ни в одной
точке полуинтервала х 0 < х
х и то на дуге АВ нет точек,
сопряженных с А. В этом случае д у гу А В экстремали можно
включить в центральное поле экстремалей с центром в точке
А ( х 0, уо).
; /
‘
В уравнении (2) в функции Fyy (х, у , у'), Fyyt ( у % *, у') и
Fy,y, ( x , у , у ' ) вместо у ( х ) надо подставить правую часть урав*
нения экстремали у = у( х, Со).
П р и м е р 10. Выполнено ли условие Якоби для экстремали
функционала
а
J [У <*)] =
ГW 2 +
* г) dx.
О
проходящей через точки 0 ( 0 ,0 ) и В (а, 3) ?
,ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
84
Р е ш е н и е . Уравнение Якоби в данном случае имеет вид
л" = 0. Его общее решение: и(х) = С\Х + Сг- Из условия
w ( 0 ) = 0 находим, что С 2 = 0, так что и = С\Х. Ни при каком
значении а > 0 эти решения и = С\Х (С* ф 0) в нуль не обра­
щаются. Значит, точки, сопряженной с точкой 0 ( 0 , 0 ) , на дуге
ОВ экстремали нет. Следовательно, ее можно включить в цен­
тральное поле экстремалей с центром в точке 0 ( 0 , 0 ) . Нетрудно
проверить, что искомой экстремалью является прямая У = ~
которая, очевидно, включается в центральное поле экстремалей
у =
С і* .
•" •
Пример
функционала
. \
11. Выполнено ли условие Якоби для экстремали
а
( а Ф ( п + 4 ”) 31
. .
■ -4'
Ң у \ ~ J ( у '2 ~ *У2 + е ~ * ) d x >
• .
^
0
- V
проходящей через точки i4 (0 ,0) и В (а, 0 )?
/
Р е ш е н и е . Уравнение Якоби имеет вид и" + 4а = 0. Его
общее решение
и (х) = С, sin 2х + С 2 cos 2х.
Из условия м ( 0) = 0
находим, что Сг === 0, так что и(х)
Ci s i n 2*. Если а < ~ , то функция и(х) не обращается в нуль
Щ
. я
при 0 -< х ^ а, и условие Якоби выполнено; если ж е а > - ^ 9
то решение уравнения Якоби и = С i sin 2х обращается в нуль
в точке * = т г , принадлежащей отрезку [0, а], и на дуге экстре­
мали у = 0 (0
х ^ о) находится точка, сопряженная с точ­
кой /1(0,0). Таким образом, при а > - ~
щ
5
не сущ ествует централь-
ного поля экстремалей, включающего данную экстремаль.
В следующих задачах проверить выполнимость ус-.
ловия Якоби.
.
1
135. J [ y ] = J { l 2 x y - f y ' 2 + x2) d x ‘,
-1
у ( — I) = —2 ,
i / ( l ) = 0.
136. / [ « / ] = J {у'* + 9 у 2 — Здс) d x ; у (0) = 0, у (а) = 0 .
о
137. ] [у]
1
- J (1 +
о
y '* )d x \
у ( 0 ) = у ( 1) = 0 .
$7)
ПОЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
85
а
138. J [ y ] = j у 'е * dx; у { 0) = 1, у ( а ) = Ь
(а > 0).
О
2я
139. / [у] =
у (0) = 0 , у (2л) = 1.
Г { у' 2 — у 2) dx;
О
140.
Показать, что если подынтегральная функция
функционала
ь
J \y ]=
J Р(х,
у 1) dx
а
не содержит явно у, то каждая экстремаль всегда может быть включена в поле экстремалей.
З а м е ч а н и е . Условие Якоби является необходимым для
достижения экстремума функционала /[*/(*)], т. е. на экстре­
мали А В У реализующей экстремум, сопряженная с А точка не
может леж ать в интервале х 0 < х < Х\. Например, для функцио*
нала
а
Пу] = Г (*'4+ 1) dx,
у ( 0) = у (а) = 0,
О
минимум достигается на экстремали у ( х ) f jj 0. На этой экстре
мали нет точек, сопряженных с точкой 0 ( 0, 0),
П р и м е р 12. Д л я функционала
5
J[y]= | (У
2—у'2)
I я
dx,
у ( 0)
Ц 0,
у (
1
= 0,
о
на экстремали у ( х ) е= 0 экстремум не достигается потому, что
^0, ~ я|
в интервале
лежит, сопряженная с точкой 0 ( 0, 0)
точка О* (я , 0) (ибо решением уравнения Якоби о " + и = 0, об­
ращающимся в нуль при х = 0, является и(х) = C i sin х, и u(.t)
обращается в нуль также и в точке x * = n s | o ,
ят.
В самом деле, в качестве «близкой» к у ^ 0 кривой возьмем
-
.
4
sin -=- ПХ
Кривую у п (х) = »-----^ 2—
I»
-
/е
V
, для которой условия у (0) а=я у I — J = 0
[ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
86
/
4
4
очевидно выполняются, а у п (х) ==-^- cos п -g- х. Тогда получим
/ [ 0] = 0, а
. 4
sin -р- пх
5
п2
я
Мп \
sin2 |-рГ“ Х
J
пг
о
7 я
dx
0
4 ' 2 cos 2
4П- x I aJ x
2 I -=
bn J
V5
5я / 1
Sn2 V n2
16
<0
25
при любом целом n ^ 2. Следовательно, экстремаль */(x) s= 0
не доставляет минимум данному функционалу, так к а к сущ е­
ствуют близкие к у ( х ) === 0 кривые, на которых значения функ­
ционала отрицательны. Возьмем теперь семейство кривых
1 4
!/n (x) = — sin -г- х, обладающих близостью любого порядка по
х 9
п
5
отношению к кривой у { х) = 0. Л егко видеть, что
,,
-
А
1 \я .]=
1п
J
J 2^ 4
о
о
*^
Следовательно, экстремаль у ( х ) = 0 не доставляет и максимума
данному функционалу.
141. Пусть в функционале
Ну]=
Г
1
*/. y ' ) d x
а
подынтегральная функция F имеет ограниченные част­
ные производные третьего порядка по переменным у,
у' во всякой ограниченной области изменения у и у'.
Показать, что если у = у (х) и у = у ( х ) + ті (лг) — две
близкие экстремали, то с точностью до величины выс­
шего порядка малости сравнительно с расстоянием
первого порядка между этими экстремалями функция
т)(х) удовлетворяет уравнению Якоби:
Fyyr\ + F y r v f - 4 z (ҒууГ) I | Я Н
= о.
§ Л
37
П О ЛЕ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
ф
2°. Достаточные условия Л еж андра. Достаточным условием
для включения экстремали функционала
=Jғ
*Ы
(х, у , у ' ) dx;
X*
У (*о) = Уо.
У (JCi) = У\
в поле экстремалей является выполнение усиленного условия
Лежандра .
Оно состоит в требовании выполнения неравенства
F у* у* > 0
во всех точках рассматриваемой экстремали
Х€=[Х0, * ,]).
,
П р и м е р 13. Д ан функционал
(т. е. при всех
2
1 \у] =
J (у'* +
о
у (0 )= 1 ,
у'2) dx;
у (2) = 5.
Экстремали —- прямые y = CiX + C 2. Искомой экстремалью, удо­
влетворяющей заданным граничным условиям, является прямая
у = * 2 х + I.
В данном случае Fy,y, = 12#/2 + 2
и во всех точках экс­
тремали у == 2х - f - 1 имеем Fy ,y , = 50 > 0 . Усиленное условие Л е­
ж андра выполнено и, следовательно, экстремаль у = 2х + 1 мо­
жет быть включена в поле экстремалей.
Это видно и непосредственно. Экстремаль у = 2х + 1 содер­
жится в однопараметрическом семействе экстремалей у = 2* + <х
( а — параметр), образующих собственное поле.
П р и м е р 14. Д ан функционал
1
J (*У2+ 12i/*) dx-,
—1
I/ ( “ О == — 1 .
вид
* ( 1 ) - 1.
Р е ш е н и е . Уравнение Эйлера для этого функционала имеет
х 2у" + 2ху' — 12# = 0.
ш~
Его общее решение —
у = * С\Х* 4* С 2х " 4.
Поставленным граничным уловиям удовлетворяет экстремаль
у=*х*.
■■
0 Р
■ ""
■ ■"
; Г'-
|ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
88
Ее нельзя включить в поле. Единственным однопараметрияеским
семейством экстремалей, содержащим ее, является семейство
у = а х 8. Последнее не покрывает области, содержащей точку
с абсциссой х == 0 (через точки оси Оу с ординатами, отличными
от нуля, экстремали этого семейства не проходят).
В данном случае Fyfy, = 2 х 2, и условие Л еж ан др а не вы ­
полняется при х = 0.
Проверить возможность включения экстремали в
поле для следующих функционалов:
1
.
г
' “
142. / Ы — J (у* 1— у / 3) dx; у ( 0) = 0 , ^ ( 1) = 0 .
'
о
а
143. / ы
' '
'гг--';’ '
-
= | у '3 dx; у (0) = 0, у ( а ) = Ь > 0.
о
144. / [у] =
Гп (у)
V 1 + у ' 2 (х) dx;
Хл
ШШШт
У(хі ) — Уи п { у ) > 0
145. J [ y ] = \ { G y ' 2 - y ' * ) d x ;
о
у (0) = 0 , у (а) = Ь,
а > 0, 6 > 0
§ 8. Достаточные условия экстремума функционала
Рассматривается простейшая вариационная задач а д л я функ­
ционала
Х\
/ [у] = J
F (х, у, у ') dx,
У(х0) = Уо,
ЩЩ) = Уі‘
(1)
(2)
Iе. Достаточные условия Веиерштрасса. Функцией Вейер штрасса Е( х, у , р, у') назы вается функция, определяемая равен­
ством
Е(ж, у
,р
, у')
Ғ (х , у, у ' ) — Ғ ( х , у, р) — ( у ' — р) Ғ р (х, у, р ),
(3)
где р = р (х, у) — наклон поля экстремалей рассматриваемой в а ­
риационной задачи ( 1 ) — ( 2 ) в точке (х, у) .
Достаточные условия слабого экстремума.
Кривая С доставляет слабый экстремум функционалу ( l ) g
если:
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
89
U к р и в а я С является экстремалью функционала (1), у д о ­
влетворяющей граничным условиям ( 2 ) , г. е. является решением
уравнения Эйлера для функционала ( 1 ) , удовлетворяющим усло­
виям ( 2 ).
2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей\
в частности, это будет7 если выполнено условие Якоби.
3. Функция Вейерштрасса Е( х % у , рч у') должна сохранять
знак во всех точках (х, #), близких к экстремали С, и для близ к и х к р (хг у) значений у'. Функционал J[y] будет иметь максимум
на С, если Е ^ 0, и минимум , если Е Jg* 0.
Достаточные условия сильного экстремума.
Кривая С доставляет сильный экстремум функционалу (I)**
1. Кривая С является экстремалью функционала ( 1) у довлетворяющей граничным условиям ( 2 ).
2. Экстремаль С может быть включена в поле экстремалей.
3. Функция Вейерштрасса Е(х, у, р, у') сохраняет знак во
всех точках (х, у ) , близких к экстремали С, и для произвольных
значений у . При £ ^ 0 будет максимум, а при £ ^ 0 — мини­
мум.
>
V
З а м е ч а н и е . Условие Вейерштрасса необходимо для нали­
чия экстремума в следующем смысле — если в точках экстремали
для некоторых значений у ' функция Е имеет противоположные
знаки, то сильный экстремум не достигается. Если это свойство
имеет место при сколь угодно близких к р значениях у \ то не
достигается и слабый экстремум.
w П р и м е р 1. Исследовать *на экстремум функционал
I
|[у] —J
W 3 + У ') dx,
у(
0) =
0,
у(
1)=
2.
о
Р е ш е н и е. Уравнение Эйлера для данного функционала
имеет вид у*у" = 0, так что экстремалями являются прямые
у ( х ) = CiX + Сг. Экстремалью, удовлетворяющей заданным гра­
ничным условиям, является прямая у = 2х. Наклон поля в точ­
к а х этой экстремали р = 2. Очевидно, данная экстремаль у = 2х
включается в центральное поле экстремалей у = Сх с центром
в точке 0 ( 0 , 0 ) . Нетрудно такж е проверить, что в данном слу­
чае выполнено условие Якоби. Уравнение Якоби в данном слу*
чае имеет вид —
( 6у 'и ') = 0, где в силу уравнения экстре­
мали имеем у ' = 2 . Следовательно, уравнение Якоби примет вид
и (х) = 0, откуда и (х) m С\Х + С*. Из условия и (0) = 0 полу­
чаем С2 = 0. Так как это решение и Щ С\х при С { Ф 0, кроме
точки х = 0, нигде в нуль не обращается, то условие Якоби вы­
полнено.
Составляем функцию Вейерштрасса:
W—р
у(у'+ 2р).
£(•*, У, Р, у') — у'3 + у’ - р 3 - р - (у' - р) (3р *+ 1)=н
Ш
90
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
(ГЛ. II
Первый множитель всегда неотрицателен при любых у \ а вто­
рой положителен при значениях у \ близких к 2. Следовательно,
выполнены все условия существования слабого минимума. Од­
нако, к а к легко видеть, если у ' < —4, то функция £ будет у ж е
отрицательной, и достаточное условие сильного экстремума не
выполняется, т а к к а к в усло­
виях сильного экстремума тре­
буется, чтобы функция Веиерштрасса Е сохраняла знак при
любых значениях у'. Учитывая
замечание на стр. 89, заклю ­
чаем, что сильного экстремума
в данном случае нет.
П р и м е р 2. Исследовать
на экстремум функционал
1
х + 2у + ^ у
П у]
У (0) Я о,
1
/2
dx,
У( 0 = 0 .
Р е ш е н и е . Уравнение Эй­
лера для этого функционала
имеет вид у ” = 2. Э кстремаля­
ми являю тся параболы у Щ
= х 2 + С\Х 4- С2. Экстремаль,
удовлетворяющая
граничным
условиям, есть у Щ х2 — х. Со­
ставляем
уравнение
Якоби
/
/
0.
i ( и ' ) = 0 или и
dx
Его общее решение и(х) Ж
= С \Х + С2. Условие и( 0) =
= 0 д ает С2 = 0, а так к а к
Рис. 11.
и ( х ) = С \ Х при Сі Ф 0 нигде
на отрезке [0, 1] в нуль не об0, то условие Якоби выполняется, и
ращ ается, кроме точки х
- х можно включить в центральное
значит, экстремаль у
■ ■ Н Й Й Й ІЙ ІШ ІЙ Н Й І ’
2
поле экстремалей с центром в точке 0 (0, 0), а именно: у = х2 +
+ Сх (рис. 11). Функция Вейерштрасса имеет вид Е ( х , у , р , у ' ) =
1 ( ^ ' —. п)2 #Отсюда видно, что для произвольных значений у'
2
( у ' — р ) 2^ 0.
будет Е
Следовательно, на экстремали у
х данный функционал достигает сильного минимума, ко-
торыи равен
Я
В
Исследовать
ционалы.
В
В
на
1
экстремум
I
следующие
функ
§ 8)
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
9J
1
1
/2
dx; у (0)
J е уу ' 2 dx; у (0)
0, « ( 1)
146. 1 \ у ]
[у3 + 2 У
о
147. J [у]
е
1
In 4.
о
148. / Ы
dx; у ( 1) = 1, у (2)
4.
1 У
а
149. J [ y ]
Г ^ г ; ^ (0) = 0 , у ( а )
у
г-
о
Ь, а > О, Ь > О
1
/2
150. / [у]
+ *)«/ dx; у (0) =*= 0, г/ ( 1)
1.
О
л/2
1. у ( 2
151. / Ы
О
152. J [ y ) =
J у'(\ +
-1
х2у ' ) dx; у {— 1)
1.
1, 0 (2)
4
1
3
-1
2°. Достаточные условия Л еж андра. Пусть функция F( x9y t y')
имеет непрерывную частную производную г у/у, (*, у, у ') и пусть
экстремаль С включена в поле экстремалей.
Если на экстремали С имеем Fy,y, > 0 , то на кривой С до ­
стигается слабый минимум; если Ғу,у, < 0 на экстремали С, то
на ней достигается слабый максимум функционала ( 1). Эти усло­
вия называются усиленными условиями Лежандра .
В том случае, когда Fy, tJ, (xf у, у ' ) ^ 0
в точках (х, у ) %
близких к экстремали С, при произвольных значениях у \ т.»
имеем сильный минимум, а в случае, когда для указнных значе­
ний аргументов Fу'у* (х, у , у ') < 0, имеем сильный максимум.
П р и м е р 3. Исследовать на экстремум функционал
1
П у]
О
Д
) <*АГ,
У (0) = 0,
о
( а — любое действительное число).
У( О
2
[ГЛ. (I
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
Р е ш е н и е . Так к а к подынтегральная функция зависит
только от у \ то экстремалями являю тся прямые у = С\Х + Сг»
Эктремалью, удовлетворяющей граничным условиям, будет пря­
мая у = —2х, которая может быть включена в центральное поле
экстремалей у = Сх. На этой экстремали наклон поля р = —2.
Д алее находим Ғ у *уг « 6#'.
На данной экстремали имеем
— ! 2 < 0, т. е. на линии у = — 2х достигается слабый
максимум функционала. При произвольных значениях у ' знак
Fyty, не сохраняется, следовательно, достаточные условия силь­
ного м аксим ума не выполняются.
Функция Вейерштрасса £ (* , y t р, у ') в данном случае имеет
вид
Е ( 4 Уг Р, У') = (У' — Р) 2 ( У' + 2Р)
и при некоторых значениях у' она имеет противоположные знаки.
Учитывая замечание на стр. 89, получим, что сильного макси­
м ум а нет.
"
' ..
П р и м е р 4. Исследовать на экстремум функционал
/ [у] = J («»' + з) dx,
у
(0) = 0,
у (2) == I.
о '
Д
Р е ш е н и е . Экстремалями являю тся прямые у = С\Х + Сг .
Экстремалью, удовлетворяющей граничным условиям, является
прямая у ф —-; она может быть включена в центральное поле
экстремалей у = Сх. В данном случае
Fy,y, ( x t у , у ' ) = е у > 0
х
при любых значениях у . Следовательно, на экстремали у — н"
.
.
функционал имеет сильный минимум.
П р и м е р 5. Исследовать на экстремум функционал /
VTT7
I Ы
dx,
У (0) = 0,
у (а ) = УI.
Г у
Р е ш е н и е . Подынтегральная функция не зависит явно от х,
следовательно, получаем F — у ' 'Ғ у ' = Сі или в нашем случае
y
s
j
p
Я
І
g
Ц
у~я V і + V 2
Vh
"
откуда
---------- -}
—= Ci
1r - у У і + у' *
или
y (l
+ у 'г) = С і .
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
93
. Положим у ' = ctg у . Б удем иметь у = С х sin 2
где С, =
________________________ _____________________________________
т р (1 — cos /). Д алее,
_
<*У
а * ----------- Г
ct g —
С, s i n / Л
------------/ =
2 ct g —
л /
si n2 — dt .
Интегрируя, получим
r>
x—
I (1 — cos /) d t
С j ,,
I ---------- 2--------- 858~2~^
s,n *) + C 2*
Итак,
x = C, (/ — sin /) + C2,
у = Ci (1 — cos /)
параметрические уравнения семейства циклоид. Из условия
у ( 0) = 0 находим, что Сг = 0. Пучок циклоид
* = С ( t — sin Ц
у Щ С (1 — сое Щ
образует центральное поле с центром в точке 0 (0, 0), включаю
щее экстремаль
х Щ R (/ — sin /),
— cos о , І Н І І Н І Н І І И І І І И Ц
где R определено из условия прохождения циклоиды через вто­
рую граничную точку B ( a t y t ) t если а < 2л/? (рис. 12).
Рис. 12.
Используем условие Л еж ан др а. Имеем
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
94
ІГЛ. II
при любых значениях у'. Значит, д л я а < 2 nR на циклоиде
х Ц /? ( t Ц sin /),
у — R ( 1 — cos t)
данный функционал имеет сильный минимум.
Используя условие Лежандра, исследовать
дующие функционалы на экстремум:
154. J [ y ] —
J { у '2 +
x 2) d x \ i/( 0) = — 1, у ( 1) =
еле
1.
о
3
155. J [ y ] = \ - ^ d x , у (2) = 4, у (3) = 9.
2
2
156. J [ y ] =
J { x y ri — 2yy'*)dx\
1/ ( 1) = 0 , y ( 2) = 1
1
a
157. J [ y ] =
f ( l - e - « ' 2) d x - , y ( 0 ) = 0 , y ( a ) = b { a > 0 )
0
158. J [ y ] =
1
J
y y ,2dx\ y { 0 ) = p > 0 , у (I) — q > 0.
о
159. Исследовать на экстремум функционал
1
J [ y ] = [ { гу' 2 + у 2 + x ^ d x ,
у ( 0) = 0 ,
i/( l) = l,
о
при различных значениях параметра е.
П р и м е р 6. (Задача Эйлера). Стержень длиною I опирается
своими концами и подвержен давлению Р. При определенном
значении Р (критическая сила Эйлера) происходит продольный
изгиб стержня. Требуется определить наименьшую
величину
силы Р, дающую продольный изгиб.
Р е ш е н и е . Пусть Е — модуль упругости, I — наименьший
момент инерции поперечных сечений стержня, р — радиус кри­
визны, ф — угол касательной с осью.
Потенциальная энергия изгиба определяется формулой
§ Я]
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
95
При опускании конца стержня на величину
/
о
= J (1— cos ф) d S
о
потенциальная энергия стержня уменьшается на
I
U 2 = Р а = PI — Р
J
cos ф dS.
о
Если потенциальная энергия до деформации была равна нулю,
то после деформации она выразится формулой
I
j
1 Е1 1 + Р cos ф d S — PI.
2
Р
U = Ut — U
dS
Так как р
то
jjjj- и (в случае малых значений ф) cos ф « 1
/
Ф
2 *
I
U
dS
о
1
2
о
е п
-£ гУ
- р *’
dx.
В случае равновесия потенциальная энергия принимает ми
нимальное значение. Поэтому решение задачи сводится к опре
делению минимума интеграла
I
Ш I* ) ? - «
/[ф]
о
В данном случае
F
й уравнение Эйлера принимает вид
Ф* + а 2ф = 0, гд е а 2
Р
ЕI
Общий интеграл этого уравнения будет
Ф == C i sin a x + С2 cos ax.
Так как при малых значениях ф имеем tg ф «
tg Ф == у '9 то
у ' == C i sin a x + С 2 cos a x $
•#
ф и, кроме того,
{ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
96
откуда
,
, .
Ci cos а х . С 2 sin а х . п
У ( х ) -------------- | ------ + ------- ------- + С.
Если нижний конец стержня находится в начале координат,
то при х = 0 будет у = 0, а значит, С 4 = С = 0 и
у (х) = — - sin а х .
Проверим выполнение условий Л еж ан др а
видно, что условие Л еж ан др а выполнено:
и Якоби. Оче­
д 2Ғ
----------------------- — ------- 2Е І > 0.
ду'2
Уравнение Якоби имеет вид
E Iz ” + P z = 0
или
z " + a 2z = 0,
причем г (0 ) = 0. Поэтому решение уравнения Якоби будет
z = A sin ах.
jj%І :
Функция z обращ ается в нуль при x k ===~~^~ (k — 1» 2, -••)• т а к
что условие Якоби б уд ет выполнено, если
— . Отсюда
г > ф - в:
Наименьшее значение критической силы Эйлера будет
-2
Р mln
~
При ЭТОМ
С 2 . ЙИ
у = — Sin
a
/
есть уравнение кривой изгиба.
3°. Фигуратриса. Пусть имеем функционал
и
1
[у] =
J ғ (ж. У. у') dx.
Будем считать х и у параметрами и рассмотрим функцию
Y = F (x y у, у') как функцию аргумента у'. График этой функции
ьна плоскости переменных ( у \ Ү) называется фигуратрисой. Не­
трудно проверить, что функция Вейерштрасса Е (х ,
р, у') есть
разность ординат фигуратрисы и касательной к ней, проведен­
ной в точке с абсциссой у' = р. Знакопостоянство функции Вей­
ерштрасса для некоторых значений у' означает, что фигуратриса
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
97
лежит ядд касательной или под ней для указанных значений у \
В этом случае имеет место слабый экстремум. Если фигуратриса
лежит с одной стороны от касательной для всех значений у' и
для значений параметров х и у, близких к точкам экстремали,
то имеет место сильный экстремум.
Достаточное условие Л еж андра в этих терминах выглядит
так: если для всех точек (хі у ) ъ близких к экстремали, фигура­
триса всюду выпукла или вогнута; то имеет место сальный экс­
тремум.
\ . \
Пример
7. Исследовать на экстремум функционал
а
\
l \ y ] = \ y ' t d x (а > 0);
-ш
г/ (0) = 0,
у ( а ) = Ь,
-*
Ь > 0.
О
Р е ш е н и е . Экстремалями являются прямые у = С ix + Сг.
Искомая экстремаль определяется уравнением
# = ~ х.
Она
включается в центральное поле экстремалей. В данном случае
фигуратрисой является парабола У «=* у ' 2 (рис. 13). Легко ви­
деть, что фигуратриса целиком лежит над касательной, прове­
денной к ней в точке р =** —
вательно, экстремаль
сильный минимум.
4
М. Л, Ж раснов я др.
ft
при любых а и Ь, а Ф 0. Следо-
' ■1
— х доставляет данному функционалу
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
98
Пример
8. Исследовать на экстремум функционал
а
П
\ y , 3 dx-,
у]
у ( 0) = 0,
у [а) = Ь,
Ъ > 0.
О
Искомой
Решение.
У
— х,
экстремалью
является
прямая
которая включается в центральное поле экстремалей
1
= Сх, с центром в точке 0 ( 0 , 0 ) . Фигуратрисой является куби­
ческая парабола Y = у' (рис. 14), Д л я значений у \ достаточно
у
близких к значению р = — ,
фигуратриса лежит над касатель­
ной к ней, проведенной в точке с абсциссой у'
Ь
. Из рис. 14
а
видно, что фигуратриса пересекает касательную в точке с абс;
,
2Ь
_
циссой у ------------- и левее этой точки расположена над касаа
Ь
тельной. Значит, на экстремали у = ~ х
достигается слабый ми­
нимум.
Заметим, что если р
0 (это отвечает случаю Ъ
0, экс
тремалью является отрезок оси О х), то касательной к фигура
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
99
трисе является ось О у \ а сама точка 0 ( 0 ,0 ) является точкой
перегиба фигуратрисы. Учитывая замечание на стр. 89, видим,
что в сколь угодно малой окрестности точки 0 ( 0 ,0 ) фигура­
триса имеет положительные и отрицательные ординаты. Значит,
функция Вейерштрасса £ имеет противоположные знаки при
сколь угодно близких к р = 0 значениях у \ и следовательно, в
этом случае не достигается и слабый экстремум.
П р и м е р 9. Показать, что экстремаль у = 0 вариационной
задачи
/ [у] == J (у'г — уу'3)
I '
Щ
'
; ,' ;
г/ (0) = «у(1) ==о
'
v % ;:: ЙШЙС
доставляет слабый минимум функционалу.
Р е ш е н и е . Условие Л еж андра в данном случае дает
щ т U o = <2 ~ Я
И
= 2 > °'
т. е. на экстремали £/ = 0 достигается слабый минимум. Пока­
жем, что на ней сильный минимум не достигается. Построим фигуратрису Y = у ' 2 — у у '
для значений у > 0 (рис. 15). Из
рис. 15 видно, что касательная к фигуратрисе, проведенная в точ­
ке с абсциссой р = 0, пересекает фигуратрису в точке
' - Т' у у :
"V ^
-■ '
.:v ШШ''
Таким образом, для точек (х, у ) , где у > 0, близких к точкам
экстремали у = 0, функция Вейерштрасса £ при значениях у',
меньших
глятл
положительна, а при у г
я я м р т т я и т п й-я ГТП
отрицательна. Со-
8Q. СИЛЬНОГО МИНИМҮМЭ НӨТ. АнаЛОГИЧ-
ное явление имеет место и для у < 0.
Этот пример характерен тем, что из выполнения условия
Ғ , / > 0 н а экстремали дл я любых у' не следует наличия сильного экстремума.
4*
**
гг Л. н
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
100
С помощью фигуратрисы исследовать на экстре­
мум следующие функционалы:
■
-7 ’
160. J [ y ] =
1
J (1 +
15 '
х ) у ,г d x \
у ( 0) = 0,
у { 1) = - 2 .
О
2
161. / Ы = =
f y ' ( l + x2y ' ) d x ;
y ( — l) = y ( 2 ) = l .
—1
4
а
162. / [у] =
J
(1 — €-«"*)dx;
о
у (0) = 0,
у(а) — Ь
(а >
0, &> 0).
(а >
0, &>0).
а
163. / Ы =
J
(бі/,г — i/'4 + y y ' ) d x ;
0
у ( 0 ) = 0, у ( а ) — Ь
З а м е ч а н и е . Достаточное условие экстремума по второй
вариации.
Неотрицательность второй вариации необходима, но не до­
статочна для того, чтобы функционал J [у] достигал на данной
кривой минимума.
П р и м е р 10. Рассмотрим функционал
I
1 [у] =
-
.
■
J Уг (* ) [* — У (* )] dx
в пространстве С ( 0 , 1). Уравнение Эйлера имеет вид Fv = 0 или
у = 0. Вторая вариация функционала на экстремали у = 0,
0 < х < 1
1
ЬЧ [0, 6 у] - Г ж (бу)2 dx
' . ' Й іід а Ш І
-
J
fЩ
положительна для каж дой 6 у # 0. Однако функционал / [у] при­
нимает в любой окрестности нуля и отрицательные значения; до­
статочно при заданном е > 0 взять функцию
_
( — х + г9 0 < х < е,
0,
*> е.
Тогда 1[Уъ\ — ----- g - < 0 для любого е > 0 .
I fS\
V
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
101
О п р е д е л е н и е . Квадратичный функционал L z(Һ) , зад ан ­
ный в некотором нормированном пространстве, называется стиль­
но положительным, если существует такое постоянное к > 0, что
(А) >к\\
для всех Һ.
\
Достаточное условие
м и н и м у м а . Д л я того что-
бы функционал 1 [у], определенный в нормированном простран­
стве, имел в стационарной точке у = уо минимум , достаточно,
чтобы при у — уо его вторая вариация была сильно положи­
тельна, т. е. чтобы выполнялось условие
ЬЧ [Уо, by ] > k \ \ b y \ \ \
г д е k = const, k > 0 .
4°. Пусть ищется экстрем ум функционала
Ш Ж Уи • Щ Уп\
(4)
Хщ
зависящего от п функций У \ ( х ) , у 2 ( х) ........... Уп( х) при гранич
ных условиях
Ук (хо)
Усиленным
У/гО* Уk (* l)
усл ови ем
Уhi
№
Л еж а н д р а
* п )‘
назы вается
(5)
требование
выполнения неравенств
И р!
.
Ғ у'yf ЩII
F
F , ,
У \У 1
F
, ,
У2 У\
/
У \У \
F , ,
F
У \У 2
F / ,
,
> 0 , ««if
. ,
У2У\
У2 У2
F , Г
F , , ... F
У \У 2
, ,
У \У п
F , . ... F , ,
У2У2
Ш и
F , , ...F t
УПУ2
>0
(б)
г
УрУ-п
во всех точках рассматриваемой экстремали функционала (4).
Усиленным условием Якоби называется требование, чтобы
отрезок [хо, Xi] не содержал точки, сопряженной с точкой а *о .
Усиленное условие Л еж андра (6) в соединении с усиленным
условием Якоби обеспечивают существование по крайней мере
слабого минимума функционала (4),
{ГЛ. 1|
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
102
П р и м е р 11. Исследовать на экстремум функционал
1
/ \у, А =
Г( у ' 2 +
г ' 2) d x .
(7)
о
у (0) = 0,
г (0) == 0,
у (1 )-1 .
z ( l ) = 2.
( 8)
Р е ш е н и е . Уравнения Эйлера дл я функционала (7):
//
о,
о,
У
т а к что
у ( х ) = С х + С2х
2*> ]
. / /
г (х)
ШС 3 +
С 4Х. J
Используя условия (8), получим
с1
0,
С
1,
С
0,
С А= 2.
И скомая экстремаль
у(* )
(9)
г (х) = 2х
есть прямая, проходящ ая через начало координат.
Имеем
Ғу ’у ’
2'
^V z'
0,
О,
Ғ
г
'
г
'
—
2
Усиленное условие Л еж ан др а выполняется:
Ғ У 'У '
2 > 0,
Ғ У 'У ’
Ғ г 'у '
Ғ у 'г'
2
0
Ғг 'г '
0
2
4>0
( 10)
Проверим теперь выполнимость усиленного условия Якоби.
Одно из определений сопряженной точки таково (см. [3]).
Пусть имеем семейство экстремалей функционала (4), вы хо дя­
щих из начальной точки (хо, Уto, . • *, у по) под близкими м е ж д у
собой, но линейно независимыми направлениями.
Точка х* е [х0, Xi] называется сопряженной с точкой xq, если
существует последовательность экстремалей, выходящих из на­
чальной точки и как угодно близких к данной экстремали, т а к а я ,
что к а ж д а я из этих экстремалей пересекает данную экстремаль
и абсциссы точек пересечения сходятся к точке х \
В данном примере экстремалями являются прямые (9). Все
экстремали, выходящие из точки ( 0 ,0 ,0 ) , пересекают экстремаль
(9) только в этой точке. Следовательно, отрезок [0, 1] изменения
х не содержит точки, сопряженной с точкой Хо = 0. Таким обра­
зом, выполнены и усиленное условие Л еж ан дра и усиленное ус­
ловие Якоби, так что экстремаль (9) доставляет функционалу
(7) слабый минимум.
§ 93
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
103
Исследовать на экстремум следующие функцио­
налы:
■v v
W. : '
J
164. J [ y ( x ) , z( x) ] =
'
•
‘Ч
•'
V;
7
1
Y 1+ у* +
Д
‘
-
щ Я
dx,
:;LЩ
V.
•'
V
^ / 0 ) = 0 . у ( 1) = 2 , 2 ( 0 ) = О, 2 ( 1 ) = 4 .
\
1
gt.
165. J [у (х), Щ 1 = j ( у' 2 + М + 4z ) dx,
0
У( 0) = 0, у ( 1 ) = 1 , z (0)В 0, z ( l ) = 0.
§ 9. Условный экстремум
1°. Изопериметрическая задача. Пусть даны две функции
p H У, у') И G(x, у , |||
Среди всех кривых у = у ( х ) & Сі [х0, Л
вдоль которых
функционал
Л1
О (х, у , у ') К
А"[у] я J
принимает заданное значение /, определить
функционал
IН '
ту,
для которой
хг
■Ч#1 = | ғ Щ у , Ш' ^
*0
принимает экстремальное значение.
Относительно функций F и G предполагаем, что они имеют
непрерывные частные производные первого и второго порядков
при Хо щ х ^ Xi и при произвольных значениях переменных
Ц у'Т е о р е м а Э й л е р а . Если кривая у = у( х) дает экстре­
мум функционалу
\ '
‘
Ы
= J ғ {Я
У> y ' ) d x
( 1)
х9
при усл ови я х
. *1я
К Й§ ==
I ( X, у, у ' ) d x = I, у (х 0) = у а, у (ж,) — у и
«
(2)
*
х»
4110)
и если у = у ( х ) не является экстремалью функционала К , то
существует константа А такая, что кривая у = г/(jc) есть
104
[ГЛ. I I
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
экстремаль функционала
р
L ш* [ [Ғ (х, У* V') +
(*> У» У')] Щ
(3)
*0
П р и м е р 1. (Задача Дидоиы.) Среди замкнутых кривых
длины 21 найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.
Р е ш е н и е . Заметим прежде всего, что рассматриваемая
кривая должна быть выпуклой. В самом деле, в противном слу­
чае существовала бы прямая L (рис. 16) т а к а я , что если зер­
кально отразить в ней кусок границы BCD , то получим область
большей площади, чем первоначальная, при той ж е длине гра­
ницы,
V' ■
ЩШМр заметим, что всяк ая прямая, которая делит пополам
замкнутую кривую, ограничивающую наибольшую площадь, бу­
дет делить пополам и сам у эту площадь. В самом деле, допустим
противное и пусть прямая L\ не обладает этим свойством. Отра­
зив тогда зеркально около L\ ту часть фигуры, которая имеет
большую площадь, мы получили бы кривую той ж е длины, но
ограничивающую большую площадь.
Выбирая за ось Ох любую из прямых, делящих кривую по­
полам, приходим к следующей постановке задачи.
Найти линию у = у ( х ) , у ( —а) = у (а) = 0, которая при з а ­
данной длине / > 2 а ограничивает вместе с отрезком —а ^ х ^ а
оси Ох наибольшую площадь. Таким образом, задача свелась
к разысканию экстремума функционала
l\y(x)]=*
J У С*) dx,
при дополнительном условии,
а
K[y(x)]r=
у ( — а) = у { а ) = 0,
(4)
ЧТО
__________________________
j V l + y ' 2( x ) d x = l
( 1 > 2 а).
(5 )
? $
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
J0U
С оставляем вспомогательную функцию
Н — Ғ + ЛО = у (х) + А Ү \ + у ' 2 (х)
(6)
и рассматриваем вспомогательный функционал
а
L=
J Я (х, у, у ' ) dx.
(7)
—а
Уравнение Эйлера дл я функционала (7) имеет вид
d (
dx
Ху'
V l + у
(
1,
2
о тк уд а
V
......... = х + С
У н -» '2
Р азреш ая последнее уравнение относительно у ' , находим
dy _
dx
х + С,
у А* -
(8)
( х + С ,) 2
Интегрируя уравнение (8), получим
(* + С,)2 + (у + С2)2 = Я,2
— окружность радиуса Я с центром в точке (—Ct, —С»). Пси
стоянные Ci, С 2 и параметр Я. определяем из граничных условий
у (—а) = у (а) = 0 и изопериметрического условия (5). Имеем
2
_
,
Г
/„
_\2
С£ = А — (С , - в) ,
СІ = Я2 - (C l + а)2,
о ткуда
С, = 0,
т а к что
= /Я 2—
—Y
С , = К Я2 - а 2
■— а 2
и
у'
\П ?
Тогда условие (5) д ает
а
JC=fl
I T p t r p - = Л arcsin X j£=—а
—а
или
2А arcsin
в
[ГЛ. $
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
106
Решая это трансцендентное относительно
уравнение, находим
некоторое значение
Я = Хо, а затем находим величину С 2
У^О -
а
'2
•
/■-
I
а
Нетрудно заметить, что уравнение -j- = sm
решение. Действительно, полагая
к
2а х
виду s i n / = - 7- / ,
/
всегда имеет
= t, свед ем это уравнение
2а
. .
условия задачи - у - = а < 1 .
гд е в силу
Функция у = s m t имеет в точке / = 0 наклон касательной
я
а функция у = a t имеет меньший наклон. Следовательно, гр а­
фики этих функций имеют, кроме точки 0 ( 0 , 0 ) , еще по крайней
мере одну точку пересечения.
Закон взаимности изопериметрических задач. Экстремали
функционала
X1
j [у
(*)] = J ғ (*> У, у') dx
х9
при дополнительном условии
■щ
К [у (* )] =
J€
(х, у , у ' ) d x = const
Х0
совпадают с экстремалями функционала К [ у { х ) ] при условии
J [ y ( x ) ] = const.
.
С помощью закона взаимности из задачи Дидоны получаем
следующий результат: среди всех замкнутых линий , ограничи­
вающих заданную площадь , линией минимальной длины является
окружность.
Этот результат легко получить непосредственно, если вос­
пользоваться параметрической формой вариационной задачи.
Пусть
I
x = x ( t ) , [х (/0) = 1
I
Ш шШ Ш
111
y = y { t ) , [у (/о) | У
i
*
f
1
есть уравнения произвольно!) замкнутой линии. Вопрос сводится
к разысканию экстремума функционала
И + И
dt
при условии
( ху Я у х ) d x == С.
Вводя в рассмотрение функцию
Ғ = ( & 2 + Ш Ё + Ь ( х у - У*).
'
$ 9]
получаем
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
107
(см. стр. 64), что для кривой, дающей экстремум,
1
— постоянна:
г
г
Значит, искомая экстремаль — окружность.
С помощью закона взаимности могут быть решены без вся­
ких вычислений некоторые «вариационные» задачу элементарной
геометрии.
П р и м е р 2. Показать, что: 1) из всех треугольников, имею­
щих заданное основание и заданный периметр, наибольшую пло­
щадь имеет равнобедренный треугольник; 2) при заданной пло­
щади и заданном основании равнобедренный треугольник имеет
наименьший периметр.
Р е ш е н и е . 1) Возьмем эллипс, фокусами которого служ ат
концы основания рассматриваемых треугольников (рис. 17). Из
УН
с О(о,Ь)
Рис. 17.
свойства эллипса заключаем, что все треугольники АС В имеют
один и тот ж е периметр. Очевидно, что наибольшую площадь бу­
дет иметь треугольник с наибольшей высотой, что отвечает слу­
чаю, когда вершина треугольника совпадает с вершиной Со эл­
липса. Треугольник А С 0В в этом случае — равнобедренный.
2)
Согласно закону взаимности наименьший периметр при
заданной площади и заданном основании имеет равнобедренный
треугольник.
П р и м е р 3. Найти минимум интеграла
я
О
[гл. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
108
Р е ш е н и е . Составим вспомогательный функционал
я
I M - J (у'г + Щ
dx
О
и выпишем д л я него уравнение Эйлера
ФУ') — |
2Щ —
или
у" — Ху — 0.
(9)
Характеристическое уравнение г 2—Я = 0 или г ь 2 = ± У Х . Ясно,
что Я должно быть меньше нуля, т а к к а к если допустить, что
Я > 0 , то %
общее решение уравнения (9) б уд ет иметь вид # =
Сj
* + С^е
х и граничные условия $ (0) = у ( я ) I I 0
б у д у т удо влетво р яться только при Щ == О, С2 = 0, т. е. при
* / (х )= 0 . Но в таком случае не б уд ет выполняться условие
st
Ж
ё
7
y 2 ( x ) d x = 1. Аналогично в случае Я = 0 решением уравнения
о
. .. к У г:
Эйлера (9), удовлетворяющ им заданным граничным условиям
б у д е т функция у (х)*==0. П оэтому считаем Я < 0, т а к что г Ь2 =
= ± Y — Я U и общим решением уравнения (9) будет у =
= C i sin}^ — Я х + С 2 cos У — Я х. Условие у ( 0) = 0 д а е т С 2 = 0,
а условие */(я) = 0 д а е т — Я = &2 ( £ = 1 , 2, . . . ) . И так, у ( х ) = *
С I sin kx, г д е Cj пока не определено. Воспользовавшись уело'
'
я
вием связи J V
о
(х) й х Ш , получим
я
J С] sin2 k x d x —
1,
о
о т к у д а Ci =
А - 1 Значит, у ( х ) =
^ - s l n k x . Но среди
экстрем алей у = ± * j / * s i n kx, проходящих через точки (0, 0)
и (я , 0), условию Якоби удовлетворяю т только д в е , а именно
у (х) = ±
sin pV Н а этих экстр ем ал ях
я
/ [у] =
я
у ' 2 (х) d x =
о
Г — cos2 х d x = 1.
о
П р и м е р 4. (З адач а Кельвина.) Пусть плоскость X O Y по­
кры та массой с непрерывной плотностью |х(jc, у ) и пусть на пло­
скости дан а кусочно-гладкая кривая С и на ней две точки
P i и Р*.
5 9]
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
109
Среди всех кривых заданной длины /, соединяющих точки
Р 1 и Р 2, найти ту, которая вместе с дугой Р АР 2 кривой С огра«
ничивает область D с максимальной массой. Точки Я и Щ моі
гут совпадать.
Р е ш е н и е . Введем функцию
у (*> У) = J И ( X, у ) dx.
Тогда, согласно формуле Грина
И (х, у) d x <*y = j
d x d y = I V dy,
где контур Г состоит из кривой L и участка Р 2Р\ данной кри­
вой С. Интеграл вдоль этого последнего участка имеет известное
значение, которое мы обозначим через К. Поэтому, считая, что
кривая L задана параметрически
у= у
получаем
JJ И *,
'
Щ
(0.
ft
у) d x d y =
-
jv
(*, у ) $ d t + К.
Щ:
Задача свелась, таким образом, к нахождению максимума
функционала
и
JL ==
J V (х>
у ) у dt
U
при условии, что
J V Хг + у 2 d t r = i '
Введем вспомогательную функцию
F = Vy + b V x 2 + y 2
и воспользуемся
Имеем
dV
“d2x
ху
вейерштрассовой формой уравнения Э йлеру
:
'•-'* •'' С V у ./"К/1
F**
А
XX
*
и х ~ ~
*
U>
.
Г 1—
-а
у2
/'21
•2\*/а *
Шй + 1/ )
так что уравнение Эйлера в форме Вейерштрасса будет имет^
вид
1 dV
А дх 9
09
ПО
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
1ГЛ. II
или, учитывая выражение для функции V(x, у ) ,
1
ц ( х , у)
Я
1
где г — радиус кривизны искомой кривой.
В случае, когда \ i ( x , y ) = const, получаем, что кривизна ис­
комой кривой постоянна и, следовательно, экстремалями я в ­
ляются окружности. Ясно, что они доставляют функционалу / ь
максимум.
Изопериметрическими задачами называют т а к ж е такие в а ­
риационные задачи, в которых требуется определить экстремум
функционала
/ ы ~
tfo* * • • * Уп* Уit Уо* • ••» y S ) d x
f
*0
(^ )
при наличии т а к называемых изопериметрических условий
\
Х\
У[* у 2*• •••» Угj* У\* У2* •••> y n ) d X “—l^
01
(^)
Х9
( і = 1, 2,
m),
гд е l{ — постоянные.
Д л я получения основного необходимого условия в изопериметрической задаче о нахождении экстремума функционала (10)
при наличии связей (11) надо составить вспомогательный функ­
ционал
Ц /
ф ы
тп
= Г
ғ + У а д ^ ,
Хъ |
1=1
'
(>2)
Где hi — постоянные, и написать для него уравнения Эйлера
Произвольные постоянные Си Сг, .
Сап в общем решении си­
стемы уравнений Эйлера и постоянные Яі, Яг, . * . , Я т опреде*
ляются из граничных условий
Уk (*o) V У ш
Уь ( х і) р Ум
fc
•••» п )
и из изопериметрических условий (11):
Х\
d x = li
(i Ш 1, 2, . . m)
Xq
П р и м е р 5. Найти экстремаль в изопериметрической задач е
об экстр ем ум е функционала
1
/ [у ( Д | (* )] = Г ( У 2 + г ' 2 — 4x2' — 4z) d x t
J
у { 0) = 0,
2 (0 ) = 0,
^ (1) = I,
2 ( 1 ) = 1,
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
Лри условии
111
1
J
( у ' 2 — х у ' — z ' 2) d x = 2.
(13)
о
Р е ш е н и е . Составляем вспомогательный функционал
I
Ф
J W * + г ' 2 — 4 * 2 ' — 4 г + А (г/'2 — х у ' — г ' 2)] d *
О
и выписываем д л я него систему уравнений Эйлера
“
Ш
+ 2 Х у ' - Ад:) = О,
N
1
4 * - 2AZ' ) = О,
решая которую, получим
/ \
+ 2C jjt
---------4 ( 1 +
/ \
C 3jc
Я)
.
+
,
^
С-
_
— 2 (1 — А) +
4,
Граничные условия дают
С | - — 2----- »
так что
Сг = 0*
V( x)
С3 = 2 (1 - А ) ,
С4 = 0,
Аде2 + (ЗА - f 4) *
4 (1 + Я)
z (x) = X.
Для
нахождения Я воспользуемся
вием (13). Т ак к а к у ' (х) =
І ^
изопернметрическим уело
+ 4 t а
( х ) = 1, то по
лучаем
1
о
(2Я* + ЗЯ + 4)2
1 6 ( 1 + Я) 2
(2Я* + ЗЯ + 4) *
4 ( 1 + Я)
Н е * — 2,
о т к у д а после простых, но громоздких вы кладок будем иметь
уравнение д л я определения Я:
у (23Я2 + 46Я + 24) = 48 (Я2 + 2Я + 1).
##
[ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
112
Отсюда Л) = — г г и Л2 = — | у .
Подстановкой
в
(13)
убе-
12
ж д а е м с я , что Я2 = — гг- изопериметрическому условию не удо -
10
влетворяет, а Л| = -----j y удо вл етво р яет.
И ско м ая экстремаль определяется уравнениями
, .
7х — Ъх2
2
У( х )
9
z (* ) = х .
П р и м е р 6. Пусть стержень длины / заделан в точках
(*о, Уо) и ( x u y i ) . Из теории упругости известно, что потенциаль­
ная энергия стержня в деформированном состоянии пропорцио­
нальна интегралу, взятому вдоль стержня, от квадр ата его кри­
визны. Примем за независимую переменную длину стержня s 9
отсчитываемую от точки (хо, Уо), и обозначим через Ө(s) угол,
образованный касательной к стержню с осью Ок. Кривизна б у­
дет вы раж аться производной Ө' (s) и интеграл, экстремум кото­
рого ищется, имеет вид
I
J
j
о
Известно, что
d x = cos Өd s t
d y = sin 0 ds,
значит, мы имеем следующие уравнения связи:
* I
I
cos Ө ds = Х\ — Xq9 f s i n 0 d s = y , — y 0.
(14)
0
0
Щ
Кроме того, заделанность стержня равносильна заданию функции
0(5) при s = 0 и s = /: ^
Ө (0) = а,
0 (/) = Ь.
(15)
I
Составим функцию Л агр ан ж а
Ф (0, Ө') = [0' (s )]2 + Я, cos 0 + Я2 sin 0.
Функция Ф не содерж ит независимой переменной s, а потому
можно сразу выписать первый интеграл уравнения Эйлера:
Ө'2 = С + А.1 cos 0 + Я2 sin 0.
В ведем новые постоянные
2 V%\ + 1
(16)
§ 31
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
113
и вместо Ө введем новую переменную
Ө-Ө0
Ф = — 2— 1
л
. Яа
өо = arctg
где
Теперь (16) приводится к виду
dm
Vh
ds
2
У 1 •— k 2 sin2 Ф #
о ткуд а получаем
2
Vh
d(p
,
.
*Г Sq.
У 1 — /г2 sin2 ф
Постоянные h, fc2, Ө0 и s 0 должны определиться из условий
(14) и (15),
_
Д екартовы координаты точек стержня находятся так:
d x = cos Өds = cos (2ф + Ө0) ds,
d y = sin Q d s = sin (2ф + 0O) c/5,
или в силу того, что
2^ф
ds
У Һ У 1 — k2 sin2 ф
получим
dx =
2 cos (2 ф + _е_о).„ йф>
(1 — k 2 sin2 ф)
d y _____ 2 И Ь ±
. йф,
У^/г (1 — k2 sin2 ф)
Ж
о тк уд а х н у определяются при помощи квадр атур .
Найти экстремали в следующих изопериметриче­
ских задачах.
166. Задач а о положении равновесия тяжелой од­
нородной нити под действием силы тяжести.
Среди всех плоских линий длины /, концы которых
лежат в заданных точках М0 (х0, у 0) и М, (*і, г/і), найти
ту, у которой ордината центра тяжести минимальна.
167. J [ y ( x ) ] = j y ' i ( x) dx,
ii# . -
о
1 -
при условии
1
J
о
N
г/(1) = 6,
"
у (х) d x = 3.
168. / [у (л)] =
при условии
у(0)=1,
[ {х2 + y '\x ) ) d x , у (0) = 0, у (1) = 0,
О
y 2( x ) d x = 2.
114
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
ІГЛ. I I
1
| іій | 9 И м ' I
169. /[«/(*)] = I y ' 2{ x) dx,
■ о
у (0) = 0,
у (I)
I
*
1
при условии
ІУ (*) — у ' \ * ) \ d x
1
12 *
о
2°. Вариационной задачей на условный экстремум является
т а к ж е задача Л а гр ан ж а нахождения экстремума функционала
/ [уи . . . » Уп] при условии, что на функции, от которых зависит
функционал /, наложены некоторые связи.
З адач а ставится так. Найти экстремум функционала
Х\
х
Уi (*о)
^/о*
У] f t i)
Ул
О
Ь •••* ^)»
в 1
при наличии условий
Ф*(*, №* •••» 0П) = °
( * = Ь • ••»
т<п),
(18)
которые считаются независимыми.
Т е о р е м а . Функции у i, #2, . . . , |ik, *реализующие экстремум
функционала (17) при наличии условий (18), удовлетворяют при
соответствующем выборе множителей Я,-(х) (i = 1,»2,
т)
уравнениям Эйлера , составленным для функционала
г = \
хп L
dx.
ғ + 2 І* л
і= і
m
Обозначим д л я краткости F + 2 ^*Ф/ — ® ( х > У\* • • •> Уп) •
t=i
Т о гд а функции X. ( * ) и у . (х) определяю тся из уравнений Эй­
л ер а
( і “ ' ...........“ >
и
•
фі (*,
#n) = 0
:
.
.
( i = 1 , . . . , m).
Уравнения ф^ = 0 можно считать уравнениями Эйлера д л я функ­
ционала / » если аргументами функционала считать не только
функции Уи У2, . . . , Уп, но и функции Яі(*)„ Я г(*),
Я т (* ).
П р и м е р 7. Найти кратчайшее расстояние м е ж д у точками
>4(1, — 1, 0) и В (2, 1, — 1), лежащими на поверхности 15* — 7у +
+ г — 22 = 0,
f
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
§г
115
Р е ш е н и е . Известно, что расстояние м еж д у двум я точками
А ( х 0, уо, zo) и В( х и Уи 2 i) на поверхности ф(х, у, z) т 0 опре­
деляется по формуле
I
t = f V 1 + у ' 2 + z ' 2 dx,
где у = y ( x ) t z = z ( x ) .
Надо найти минимум I при условии ф(*, */, г) = 0. В на­
шем случае
v
*
= 1,
Xj = 2,
ф (*, у , 2) = 15* — 7у + г — 22.
%
Составим вспомогательный функционал
2
Г =
J (V
1 + У ,2 + г ' 2 + Я (* ) (15л: - 7 у + z - 22)] d x
и выпишем уравнения Эйлера для него:
.
л ( ,) (-7 )
-
Я
-il /
VV 1+ у'Щ 2
I ' _ 0,
ах\У\+у'* +г
'
Я (х ).1 — ^ - f - 7=
^ =
=
l = °.
(19)
( 20)
Решим систему уравнений (19) — (20), используя условие связи
15* — 7 у + z — 22 = 0.
(21)
Искомые функции у ~ у ( х ) и z = z ( x ) удовлетворяю т следую ­
щим граничным условиям:
у(1 )~ -1,
у (2) — 1;
z (1) = 0,
z (2) = —-1.
(22)
Умножая уравнение (20) на 7 и ск л ад ы вая с (19), получим
'
1
I
■ §
у '+ т
о ткуда
Й + 7* '
V i + у'2 + г ' 2
С ,.
(23)
Из (21) имеем
г' - 7/ -
15.
(24)
Подставляя это значение z ' в (23) и решая полученное диффе­
ренциальное уравнение, найдем у ( х ) ш С%х + Сг. Граничные ус­
ловия (22) дают С j =х 2, С2 = -^-3, так что
у (х) — 2* - 3.
(25)
[ГЛ.. I t
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
116
Из (24) с учетом (25) находим
2 (X) — 1 - х
(26)
(граничные условия для функции (26), очевидно, выполняются).
Из (19) или (20) получаем X (x )= z 0 . Искомое расстояние:
2
- Шк
/=
J V Г+
у '2 + z '2 d x =
Щ
1
i
ВН
Этот результат сразу получается из очевидных геометриче­
ских соображений.
'Щ
3°. Геодезические линии. Пусть поверхность задан а вектор*
ным уравнением
Л
r = r(u,v).
(27)
Геодезической линией называется линия наименьшей длины,
л еж ащ ая на данной поверхности и соединяющая две данные
точки поверхности.
*
Уравнения геодезических линий можно получить как уравне­
ния Эйлера, соответствующие вариационной задаче о нахож де­
нии кратчайшего расстояния на поверхности м еж д у ее д вум я з а ­
данными точками.
\
-JS
Линия, леж ащ ая на поверхности г = г (и, и), может быть за­
дан а параметрическими уравнениями
и = = «(/),
v = v (/).
(28)
Длина ее отрезка м е ж д у точками, соответствующими
ниям t 0 и /, параметра /, равна
; [и, о] =
Г/
значе­
(29)
Ей ' 2 + 2 Fu'v' + Gv ' 2 d t,
г д е £*, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы поверх*
ности (27), т. е.
т
,|
М
М
'
-
№
•
*
)
•
H
w
»
*
)
-
i
З д есь (а , Ь) — скалярное произведение векторов а и Ь.
Д л я функционала (29) система уравнений Эйлера имеет вид
Е аи' 2 + 2Fuu ' v ' + Gttv '2
d
2 ( E u ' + Fv')
V Ей '2 + 2/W + Gv ' 2
dt V Eu '2 + 2 Fu'v' + Gv '2
E vu ' 2 + 2Fvu'y' + G v v '2
d
Fu' + Gv'
V E u ' 2 + 2Fu'v' + Gv ' 3
dt
Y Eu ' 2 + 2Fu'v' + Gv ' 2
(31)
П р и м е р 8. Среди всех кривых на сфере радиуса R, со­
единяющих данные ее две точки, найти кривую кратчайшей дли­
ны (геодезическую кривую ).
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
ІІ7
Р е ш е н и е . Пусть <р— долгота, Ө— широта точки на сфере,
а ф == ф(Ө) — уравнение искомой кривой. В данном случае имеем
г = г (ф, Ө) = X (ф, Ө) і + у (ф, Ө) / + г (Ф , Ө) * .
Поэтому
Е - ( * у ГФ) = R2 sin2 0;
с = ( v г в) = R2>
F = ( r v г ф) = о.
Отсюда по формуле (29) имеем
Ө»
1 ІФ» Ө1
у
*
= R J V dQ2 +
ЯJ
sin2 Ө d y 2 = R J У \ + sin2 Ө• ф'2 (Ө) d&.
••
%
Ө,
ө0
Подынтегральное выражение не содержит
ф(Ө), поэтому уравнение Эйлера будет
—
/„,
=
0
dQ /ф'
гГА“
де
f
искомой
функции
______
sin2
Ө
•
ф'
(Ө)
—
V l + sin2 Ө• ф'2 (Ө)
так что
sin2 Ө• ф' (Ө)
с 1.
V 1 + sin2 Ө■ф'2 (Ө)
Отсюда
ф' (в> ---------------- с ‘
sin Ө V sin2 Ө — С?
-
, /
sin20 I/ 1
С
sin2 Ө
_ _ _____________ Cj____________
I
sin2 Ө
C \d (ctg Ө)
( l — С 2) — C? ctg2 Ө
1^(1 - C?) - Cf ctg2 Ө
Интегрируя, получим
Vl-c2.
Ф (Ө) = arccos —
j?
Ф (0) Ш arccos (C • ctg Ө) + C2,
где
или
■Отсюда
-j,
q
С= — И
.
/ i - с 2
С • ctg Ө= cos [ф (Ө) — C2]
или
ctg Ө= A cos Ф (Ө) + В sin Ф (Ө),
где
cos C2
A~ ~ C ~ '
„
sin C i
B ------- c ~ ‘
Умножая обе части (32) на R sin Ө, получим
R cos Ө= A R cos ф sin 0 + BR sin ф sin Ө
#»
/.
(32)
118
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
[ГЛ. II
или, переходя к декартовым координатам,
z = Ах + By.
Это — уравнение плоскости, проходящей через центр сферы и
пересекающей сферу по большому кругу. Таким образом, крат­
чайшая линия (геодезическая) есть д уга большого круга.
П р и м е р 9. Показать, что в каж дой точке любой геодези­
ческой на поверхности вращения произведение радиуса парал­
лели на синус угла м еж д у геодезической и меридианом есть величина
(теорема
Клеро).
Решение.
Уравнение по­
верхности вращения в цилиндри­
ческих координатах имеет вид
х == р cos ф, у = р sin ф, z = / (р)*
Найдем коэффициенты £, F и Gi
£ = \ + f ,
Р = 0,
С = р8,
так что дифференциал длины д у ­
ги d S на поверхности вращения
имеет вид
d S = / * р2 + ( l + fp2) p ,Z
Геодезические линии на поверхно­
сти вращения являю тся экстрема­
лями функционала
d
JV
Рис. 18.
Р2 + О + /р V
<
p
*
d(P-
Подынтегральная функция не содержит явно ф и потому мы
сразу получаем
—
/
или р2
— const.
=
—■—= const
р2 + ( 1 + / Л р/2
З ам ечая, что p - ^ - = s i n o (рис. 18), полу*
чаем р sin (о = const, что и требовалось до казать.
170. Найти кратчайшее расстояние между точками
А ( \ , 0 , — 1) и й ( 0 , — 1, 1), лежащими на поверхности
х + у + г = 0.
171. Найти геодезические линии круглого цилиндра
г -/ ?.
I
§ 101
ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
"
119
§ Ю. Вариационные задачи с подвижными границами
1°.
Простейшая задача с подвижными границами. Пусть
Ғ — Ғ (х * У>У ) — трижды дифференцируемая функция своих ар­
гументов и пусть в плоскости ХОҮ заданы две кривые
? = ?W
0 = 1|) (х),
и
( 1)
где ф(х) е С| [а, Ь\ и ф(х) g C i [а, b\.
Рассмотрим функционал
J ІУ] = [ F (*> У\ |J)
(2 )
определенный на гладких кривых у = у ( х ) } концы которых
А(хъ, у о) и В( х
£/i) л еж ат на заданных линиях (1), так что
Уо = ф(*о),
Требуется найти экстремум функцио­
нала (2).
Т е о р е м а . Пусть кривая у: у = г/(х) д яег экстремум функ­
i ,
ционалу
/[у ]-
Г
среди всех кривых класса С±, соединяющих две произвольные
точки двух данных кривых у = ф(л'), у = -ф(х). Тогда кривая ү
является экстремалью и в концах Л (х 0, г/0) « В (х ь */і) кривой
ү выполняются условия трансверсальности
[р + (Ф* - у') Ру]
Г :
'
іғ +
= о,
- Ю р У'] U , «
°- }
(3)
Таким образом, для решения простейшей задачи с подвиж­
ными границами надо:
1) Написать и решить соответствующее уравнение Эйлера.
В результате получим семейство экстремалей у = ) ( х, С *, Сг)
зависящее от двух параметров С 4 и Сг.
2) Из условий трансверсальности (3) и из уравнений
/(*о. С и С 2) = ф (х 0),
№
t ( x u C b С 2) = ^ ( х 1)
'
( }
определить постоянные Ci, С2,
3) Вычислить экстремум функционала (2).
П р и м е р 1. Найти условие трансверсальности для функ­
ционала
j
•Ч- , Г ' ' •"
xt
______
1Ы =
J f (х, у ) earct* *
*9
f Ш* у) ф
о.
V I + у ' 2 dx,
(5)
120
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
Р е ш е н и е . Пусть левый конец экстремали закреплен в точ­
ке А ( х о, у 0), а правый конец B ( x i t yi ) мож ет перемешаться по
кривой у = ф (х). Тогда получим
0.
В нашем случае
F1/
V
f (X, у) e arctg *
V
Условие трансверсальности запишется так:
[/ (х, у) earctg » ' У \ + у *
+
о
+ (Ф' - У ' ) f i x , у ) е*гс'*У'
1
Отсюда, в силу условия /(*,«/) # 0, получаем
Ъ '-у'
=
1+ ФУ
.
(6 )
1.
Геометрически условие (6) означает, что экстремали у = у { х )
должны пересекать кривую г/ = ф (х), по которой скользит граЯ
ничная точка
под углом
4 ’
УІ
у*уМ
У = Yll)
Рис. 19
В самом деле, соотношение (6) можно представить так: по­
ложим, что касательная к экстремали в точке В ( х и у \ ) , л е ж а ­
щей на кривой у = ф (х), пересекает ось Ох под углом а , а к а ­
сательная к заданной кривой у = ф ( х ) — под углом Р (рис. 19).
Тогда i g a = y \ tg Р = ф' и л евая часть формулы (6) дает
я
, откуда
t g (р — о ) ; но— 1 = tg ( — - j - j , поэтому р — а
а = Р + — # что и требовалось показать.
s 1«
ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
ret
П р и м е р 2. Найти расстояние м еж ду параболой у = х2 и
прямой х — у = 5.
Р е ш е н и е . Задача сводится к нахождению экстремального
значения интеграла
/2
/
(7)
■«О
при условии, что левый конец экстремали может перемещаться
по кривой у = х2, а правый — по прямой у = х — 5. Таким об­
разом, в нашем случае имеем <р(х) = х2, 1р(х) = х — 5. Общее
решение уравнения Эйлера будет: у = С|Х + С2, где С4 и С*
произвольные постоянные, которые предстоит определить.
Условия трансверсальности (3) имеют вид
|
[
у
т
+
ғ
I(
+ (2 х - у')
О,
Vi+y
[v t+
f
x*=xt
У
+ ( 1 - у')
О,
Vi + У
X=Xi
где у ' = С|. Уравнения (4) в нашем случае принимают вид
^1*0 Н" ^2 в *0*
С \ Х j + С 2 = Xj —
5.
Итак, имеем систему четырех уравнений относительно четырех
неизвестных С і, Са, хо, Xi:
V T + c f + (2 jc0
С,
С і)
0,
V T + cf
]Л + с? + (і - с,)
С»
VI
+ с?
0,
(8)
С 1*0 “1“ ^2 — *0»
ClXj + ^2 = Xj — 5,
решая которую, получим:
Г _____ 1
г
_ 2
*
1
^ в
23
I
[ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
122
>г g
.,
3
Значит, уравнение экстремали есть у = — * + "7" и расстояние
м е ж д у заданными параболой и прямой равно
23
23
8
8
K l + ( - l ) 2 dx = V 2
Ш
V2
8
1
2
2
172. Найти кратчайшее расстояние от точки А ( 1, 0)
до эллипса 4х2 + 9 у 2 = 36.
173. Найти кратчайшее расстояние от точки
А ( — 1,5) до параболы у 2 — х.
174. Найти кратчайшее расстояние между окруж­
ностью х2 -f- у 2 = 1 и прямой х + у = 4.
175. Найти кратчайшее расстояние от точки
А (— 1,3) до прямой у — 1 — З х .
176. Доказать, что для функционала вида
Х\
j[ y ] =
J h ( x , y ) V l + y /2 dx,
Ха
где h(x, у) Ф 0 в граничных точках, условия трансвер­
сальности имеют вид
/ ( * ) = - ^Фгт
'( хт)г
“и
* ' (1* ) ’
уУ' (*)
Щ
т. е. условия трансверсальности сводятся к условиям
ортогональности.
i
2°. Задача с подвижными границами для функционалов вида
l[y, z) =
F ( х У, г, у' , г ’ ) dx.
(9)
о
При исследовании на экстремум функционала (9) считаем, что
хотя бы одна из граничных точек А ( х о, уо> Zo) или В ( х i, у и Z \ )
перемещается по заданной кривой.
Экстремум J [ y , z ] может достигаться лишь на интегральных
кривых системы уравнений Эйлера
ғ, - І г
Ш
Ш
1
\
Ш
Я
( 10)
§
, ,
ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
123
Пусть точка А (хо, уо, %о) закреплена, а другая граничная точка
В ( х і , Уи*\ ) может перемещаться по некоторой кривой заданной
уравнениями
Б
ф (* ),
2 = $ (* )•/
<11j
Условие трансверсальности в этом случае принимает вид
[ғ + (Ч>' — У') ғ у> + (Ф ' — г ' ) Ғ2,] | _
= 0.
(12)
Аналогично выписывается условие трансверсальности и для ле­
вого конца (если он тоже перемещается вдоль некоторой кривой
у = ф ( * ) лч
I= І
(х)
[Ғ + (ф' - у ' ) Fy, + W - г ’ ) Ғ 2,] |
П р и м е р 3. Найти
М (*о, Уо, Zq) до прямой
кратчайшее
= 0.
расстояние
от
точки
у Ц т х р Р,
2 = ПХ+ Щ
Р е ш е н и е . Задача
(минимума) интеграла
сводится
к
нахождению
экстремума
X1
ГV \
1 [у> А =
ail
+ у'г + г ' 2 dx
(13)
при условии, что правый конец экстремали может перемещаться
по прямой
'
z = n x+ q t
I
(И )
т. е. в нашем случае функции ф и *ф имеют соответственно вид
Ф (х) = тх + р,
ф (* ) = nx + q.
Общее решение
будет
соответствующей
системы
уравнений
у = С\У + Cj,
Эйлера
(15)
z = С з* + С4,
где Ci (i = 1, 2, 3, 4) подлежат определению.
Условие трансверсальности (на правом конце) выглядит так
г т т
ч
р ч
< » -л
_
4 =
+
К 1+ У +2
/
і
+ » ,2 + 2'
2
-0,
{ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
124
о тк уд а , в силу того, что у ' ш С ь z ' = C it получим
1 + mC l + п С 3 = 0.
Е *
0
(16)
и
Соотношение (16) вы р аж ает условие перпендикулярности иско­
мой прямой (15) к заданной прямой (14).
Воспользуемся тем, что искомая прямая (15) проходит че­
рез точку М (Хоу уо, Zq) :
у о = С\Х о 4“ С
С
3х 0 *4* С
(17)
а т а к ж е тем, что правый конец перемещается по прямой (14):
C lXl -j" С 2 :
р, 1
тхх
(18}
С 3*1 + С4 = п х х +
Из пяти уравнений (16), (17) и (18) надо определить С i, Сг, Сз,
С4 и xi (Хоу уо, Ш Шу п, ру q — заданные числа). Д л я н ахо ж де­
ния интеграла (13) достаточно знать Х\г С i и Сз. Имеем
_ х 0 + т (уо — р) + п ( z 0 — q)
X l~
1 + п2 + т2
I
( 1 + П 2)(Уо
........ j .... И И М
1
т ( w0 — р) + п ( z 0
(1 + т2) (ZQ
С
р) + fl ( z 0
П одставляя эти величины в (13), получим
Һ = min / [уу z] =
* !/
\z г /
ll
н 1 1 (go-p ) 1 1 (гв-? Т Ғ
х0+ (г/0- р ) + ( zo -< 7 )-----------. 1+ „2 + m2
Если граничная точка Л (%,
?о) неподвижна, а д р угая гр а­
ничная точка B ( x i f y l t z i ) может перемещаться по некоторой по­
верхности z = ф (*, у) у то условия трансверсальности будут:
у
'
е
у
‘
+
W
-
2
'
)
М
U
[V I M vl U
,
-
°
-
1
(
1
9
)
1 11
Условия (19) совместно с уравнением г = ф(х, у)у вообще го­
воря, дают возможность определить две произвольные постоян­
ные в общем решении системы уравнений Эйлера (две другие по­
стоянные определяются из условия прохождения экстремали че­
рез неподвижную точку А (х0, у о, Zo)).
Если подвижной точкой является граничная точка А (я<ь уо, 2о),
то при х — х 0 получаем условия, совершенно аналогичные усло­
виям (19).
в
П р и м е р 4. Найти кратчайшее расстояние от точки А (1, I, I)
до сферы
• ___ Ш -
Ш ш Ш ш Я
11
4 101
г
ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ
ГРАНИЦАМИ
'
125
Р е хіі е н и е. Задача сводится к исследованию на экстремум
функционала
I
I \У. Л =
•
J V l+
І
‘
Л
"
/ V'
V V' : '
(21)
у ' 2 (х) + г ’2 (х) dx,
1
где точка B ( x t , y \ f Zi) должна находиться на сфере (20). Экстре
малями функционала (21) являются прямые
у = С хх + C2f
(22)
z = С ъх + С 4.
Из условия прохождения экстремали (22) через точку /1(1,1, IV
получаем
9 ’
Сі + Сг®» I* І
С3 + С4 = 1. /
(23>
Условия трансверсальности (19) с учетом (22) имеют вид
У
Vl + V T P
+
V l + у'2+ г'2
+
0,
V~l
У
■ V i + у '2+
V 1 + y /S + г ' 2 _
У
(- У )
+
V l + у ' 2 + г'
Vi
Х —у
2
0,
2
X=Xi
откуда после несложных преобразований будем иметь
zi — С8*, = 0,
(24)
C\Z\ — С гУі = 0,
где Хі, #і, Zj — координаты искомой точки В.
Из условия прохождения экстремали
B ( x u y x 9Zi) имеем
Уі = С\Х\ + С2,
(22)
через
(25)
z i = C 3* i + С<.
Из (23), (24) и (25) находим
С1
1. С
о,
с
точку
1, с4= о,
так что уравнение экстремали
У = х,
х.
(26)
Т ак к а к точка В ( * ,, у и z x) долж на л е ж а т ь на сфере (20), то
с учетом (26) получаем, что х \ + х \ + х ] — 1, т. е. х , = ±
/3 \
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
126
Таким образом, получаем д в е точки
в,( т Г 7 Т ' ут)
и
М “ ТТ' ~ W
~ Т ?Г
Нетрудно видеть из геометрических соображений, что экстремаль
(26), соединяющая точку А с точкой В t, д ает функционалу (21)
минимум, равный
1
/mm- J V i + i + i
dx= V
3-1,
1
Vз
.
- ■.
’•
а экстремаль (26), соединяющая точку А с точкой Вг, дает м а к ­
симум
/т а х =
f V3dx = y j + L
1
Уз
- •
s • -
-
З а м е ч а н и е 1. При в ы в о д е . условий трансверсальности
(24) мы брали ф (л:, у) Яр / 1 — х 2 — у 2 . Нетрудно проверить,
что условия (24) сохраняются, если ф (х, у) = — Y~I — х 2 — у 2 .
З а м е ч а н и е 2. Из геометрических соображений видно,
что экстремаль (26) ортогональна сфере х 2 + у 2 + z 2 = 1.
П р и м е р 5. Рассмотрим ту ж е задач у об экстремуме функ­
ционала (21), но в качестве А возьмем центр сферы 0 ( 0 , 0, 0 ).
Р е ш е н и е . Экстремалями функционала являю тся прямые
(22), и условие прохождения экстремали через точку О (0 ,0 ,0 )
сразу д ает Сг = С* = 0.
Условия трансверсальности будут прежними:
Z\ — С зХ| — 0,
(27)
C\Z\ — С$У\ = 0,
а условия на подвижном конце будут
У\ — Сі Хі ,
~
Наконец,
~
(28)
~
%
і
-
>
с*9)
Д л я определения пяти величин С і, Сз, *i, у \ и z j мы имеем
пять соотношений (27), (28), (29), из которых независимыми
являю тся только три:
|||
Щ
У\ — С \Х ь
Ц С3дгь \
(30)
Z\
S
I
1
§ 101
ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
127
И с п о л ^ у я соотношения (30), находим
1
Х\
V \ + с ] + с\
І
У1
.
У і + СІ +СІ
1
V l + с\+ с\ 9
где С 1, Сг — произвольные постоянные.
Этот произвол ясен из геометрических соображений: рас­
стояние от точки О(0 ,0 ,0 ) до сферы (20) одинаково по любому
направлению, т. е. при любых значениях С\ и Сг.
Значение функционала J[y, г] на экстремалях
У = С,дг,
ШИ
равно
1
v l+ C j+Сз
1.
0
Пример
ционала
6. Найти условие трансверсальности для функ­
*t
/ \у> Л = J / (*, У. 2)
+ у'24- z ' 2 dx,
(31)
X,
если точка А (*0,
г 0) закреплена, а точка B ( x x, y u Zi) лежит
на поверхности z === ф{ х , у ) .
Р е ш е н и е . В данном случае условия трансверсальности
-будут
о,
0 + * * • * ' ) ( х*=хI
о
( * ' + Фу • * ' ) IX = X i
X=Xi
1
%
г'
II
_ _
Н
1
/
ф*
к
II
или
—
1
Х=*Х\
Это есть условия параллельности касательного вектора х{ \ уу \ г'}
к искомой экстремали в точке B ( x lt у и Zi)
с вектором
й{ф*, Фу» " " l ) нормали к поверхности г = ф(*, у) в той ж е точ­
ке. Таким образом, для функционалов вида (31) условия транс*
версальности сводятся к условиям ортогональности.
[ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
128
177. Показать, что если условие трансверсальности
совпадает при всех начальных данных с условием ор­
тогональности, то подынтегральная функция Ғл имеет
следующую структуру:
;
F = f ( x , у, z ) V
1 + t/ 'Ч г'*",
где f(x, у, z) есть произвольная дифференцируемая
функция х, у, г.
■: ^
178. Найти кратчайшее расстояние от точки
М (0, 0, 3) до поверхности z = х 2 -j- у 2.
179. Найти кратчайшее расстояние от точки
М (2, 0, 5) до поверхности z — х2 + у 2.
180. Найти кратчайшее расстояние между поверх­
ностями
•Й-+№- + Т - = 1
н
*“ +
+ z2=
181. Исследовать на экстремум функционал
Ц
й Щ • ' І І 31 Щ 1й|1 В Ш :
J [ y , z ] = j ( y ' 2+ z'2+ 2yz)dx
о
v
при условиях: у ( 0) = 0, 2 ( 0 ) = 0 и точка В ( х | уи р>
перемещается по плоскости х — щ 3°. Геодезическое расстояние. Величину интеграла
,
В
| р | | J I (I, у, у') Щ
а
:
(32)
1
взятого вдоль линии ү от точки А до точки В, называют 1-дли­
ной линии ү. Если у — экстремаль, то J [у] называют геодезиче­
ским расстоянием между точками А и В, или ж е J-расстоянием,
а сам у экстремаль — J-прямой .
П р и м е р 7. Найти геодезическое расстояние от точки
>1(0, 0) до точки В ( 1, 1), если это расстояние определяется с по­
мощью функционала
л
/Щ = J У?У'‘г dx.
.
v
А
Р е ш е н и е . Геодезическое расстояние от точки А до точки В
есть значение данного функционала на экстремали, соединяющей
§ !0)
ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ
м>д
эти точки. Уравнение Эйлера
2у у ' г —■
(2 y t y ' ) = 0
или
уу" + у ' 2 = 0 .
Л егко видеть, что
УУ" + У'г = 4 : ;£#')•
так что 2 у у ' ~ С \ и у 7 = С\Х + С 2. Используя граничные усло­
вия у |х=о = 0, у |Х==9І =з 1, получаем Cj == I, С2 = 0. Таким об­
разом, экстремалью, соединяющей точки Л и В, будет парабола
У2 = х.
Далее, 2 / / у'= 1 , уу' = - и
следовательно,
|
=
Геоде­
зическое расстояние м еж ду точками А н В, согласно определе­
нию, равно
1
" 1 .
1
/ (Л, В)
Т
Т'
о
Пусть дана линия & \ ф { х , у ) = 0.
Геодезическим расстоянием точки В , лежащей вне 2 \ до
этой линии; называют геодезическое расстояние точки В до точки
Л е й ' такое, что функционал (32) вычисляется вдоль экстре­
мали у, соединяющей точки В и Л, причем у пересекает линию
& в точке А трансверсально.
J-окружностью (геодезической окружностью) называют ли­
нию, все точки которой находятся на одинаковом геодезическом
расстоянии от заданной точки. Аналогично вводятся понятия
/-эллипса, /-гиперболы.
П р и м е р 8. Найти /-окружность с центром в точке 0 ( 0 ,0 )
радиуса /?, если геодезическое расстояние определяется с по­
мощью функционала
В
1[у] =
Г У2у ' 2 dx.
Г
Р е ш е н и е . Экстремали функционала пересекают геодезиче­
скую окружность трансверсально. Д л я экстремалей имеем (см,
предыдущий пример)
и, следовательно,
/ В # у
g
М. Л /^ р а с н о в и др.
2х
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
130
Из условия трансверсальности
Щ
ч
Щ
находим, что угловой коэффициент касательной к /-окружности
ф' = - г - и, значит, дифференциальное уравнение /-окружности
щ
есть у '
откуда уравнение /-окружности: у к = Сх. ‘ Д л я
нахождения величины С заметим, что на геодезической о кр уж ­
ности лежит точка (С3, С ) , а уравнение геодезического радиуса
9
Х
(т. е. экстремали), проходящего через эту точку, есть у~ ~ - g *
Отсюда у у г = - — и, значит,
2С
с3
сг
1
{уу')г dx
R
€ /
о
о
.
4 С2
С
4 *
Следовательно, С = 4R и геодезическая окружность радиуса R
с центром в начале координат имеет уравнение у к = 4 Rx.
П р и м е р 9. Найти /-окружность радиуса R с центром в
точке 0 ( 0 , 0 ) , если геодезическое расстояние определяется функ­
ционалом
j
В
1
[у] — J V I Ц у '2 (х) dx.
Р е ш е н и е . Экстремалями функционала являю тся прямые
у z= CtX + Cz- Из условия прохождения экстремалей через точку
0 (0 , 0) находим, что С2 = 0, т а к что у = С іх, и значит, у ' =
Як
Условие трансверсальности в данном случае совпадает с ус­
ловием ортогональности, и потому угловой коэффициент к а с а ­
тельной к /-окружности — ф' ----------- г « Следовательно, диффе.V'--..
Щ^:V.і
%х
- ".
'
ренциальное уравнение /-окружности: у ' = ------- . Отсюда ура'С
.
внение /-окружности: х 2 + У2 = С2. На этой окружности лежит
точка (С, 0 ). Уравнение геодезического радиуса, проходящего
через эту точку, есть у — 0, так что у' = 0 и
/? =
[ d x = С.
о
Таким образом, С = /? и уравнение искомой геодезической ок­
ружности радиуса R есть обычное уравнение окружности
х 2 + у* = R \
*
>
■■■ '
• V - ' Л ' 1
§ II]
РАЗРЫ ВНЫ Е ЗАДАЧИ.
ОДНОСТОРОННИЕ
ВАРИАЦИИ
131
З а м е ч а н и е . Введенные понятия позволяют говорить о
неевклидовой геометрии с дифференциалом дуги
>
ds = Ғ [х, у , у ' ) dx.
Если F =
+ У'* (х) * то, как мы видели, /-прямые превра­
щаются в обычные прямые и наша геометрия переходит в обыч­
ную евклидову геометрию.
При произвольной функции F, удовлетворяющей лишь обыч­
ным условиям непрерывности и дифференцируемости по всем
трем аргументам, введенная геометрия мало похожа на обычную
геометрию: через две точки не всегда можно провести /-прямую,
и может случиться, что через две точки проходит несколько
/-прямых и, следовательно, /-расстояние м еж д у двум я точками
не есть однозначная функция координат.
182. Найти геодезическое расстояние от точки
Л (0, 0) до точки 5 ( 1 , 2), если это расстояние опреде­
ляется с помощью функционала
j Ы
p jf +
( у2
у ' 2) dx.
183. Найти геодезическое расстояние от точки
Л(0, 1) до точки В ( 1, 1), если это расстояние опреде­
ляется функционалом
1 Я З | (12д
су + у ' г) dx.
184. Найти /-окружность радиуса R = 8 с центром
в точке 0 ( 0 , 0 ), если геодезическое расстояние опре­
деляется функционалом
J [ y ] = f У'3dx.
§ 11. Разрывные задачи. Односторонние вариации
1°. Разрывные задачи. Экстремаль у = у( х)
*
функционала
xi
У 1 у ] = J Ғ (х, у , У') d x
(I)
Xq
является д важ д ы непрерывно дифференцируемой функцией, если
производная Fy 'y * (*, У (* ), у ' (У)) не обращается в нуль. Встре­
чаются, однако, вариационные задачи, в которых экстремум до­
стигается на кривой, являющейся лишь кусочно-гладкой.
I
*
{ГЛ. II
ЭКСТРЕ-МУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
132
а)
Разрывные
задачи
первого
р о д а . Рассмо­
трим задачу о нахождении экстремума функционала (1 ), считая,
что допустимые Nкривые удовлетворяют граничным условиям
У (*о) Ш уо,
у {х і )
(2)
= Уі
и могут иметь излом в некоторой точке с абсциссой с (хо
jci). Этот излом возможен лишь там, где Fy^ = 0. В точке
излома экстремаль должна удовлетворять условиям Вейерштрас­
с а — Эрдмана * ,
- :ж
V U e - 0 ~ Ff U e + 0 “ ° ' 1
(f - |'ЗД U _ 0- ( '- o '- M U+„ “ 0
Вместе с условиями непрерывности искомой экстремали они по­
зволяют определить координаты точки излома.
На каж дом из д вух отрезков [х0, с] и [cf x i] экстремаль дол­
жна удовлетворять уравнению Эйлера, т. е. дифференциальному
уравнению 2-го порядка. При решении этих д вух уравнений по­
лучаются четыре произвольные постоянные, которые, вообще го­
воря, находятся из граничных условий (2) и условий (3) в точке
излома.
■ * .-т. : ^
П р и м е р 1. Найти ломаные экстремали (если они сущ е­
ствуют) функционала
а
Щ1
* -'I
J Гу] = УМ»! (у'* — уг) dx‘
Р е ш е н и е . Запишем первое из условий (3), которое дол­
жно выполняться в точке излома:
'г
ғ Уи’ 1\х — с —О
п==Ғ«У ' І*jc=c+0
(0 < с < а ) -
В данном Случае оно имеет вид
у' ( с - 0) ~ у ' ( с + 0)
и означает, что производная у' ( х) при х = с непрерывна. Следо­
вательно, точек излома нет. Это видно и из того, что в данном
случае F , , = 2 > О всюду. Поэтому в рассматриваемой задаче
экстремум может достигаться лишь на гладких кривых.
П р и м е р 2. Найти ломаные экстремали функционала
/ { * ] « ! ( у 1* - 6 у ' 2) d x ,
у (0) = 0,
у (2) = О,
о
Щ
допуская, что у ' может иметь одну точку разрыва, отвечающую
абсциссе
х
=
=
=
с.
_
.
’
.
Г
/
Ж
Щ
ь
"
•*-:
Р е ш е н и е . В данном случае Ғу 'у ' = 12у — 12 мож ет об­
ращаться в нуль и поэтому возможно наличие изломов экстре. .. . у
*
'
1
£
§ 11 ]
РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ. ОДНОСТОРОННИЕ
ВАРИАЦИИ
133
малн. Так как подынтегральная функция зависит только от у*, то
экстремалями являются прямые
Г
Положим
У = С\Х -f* С2.
у__ = тх + п
(0 < х < c)t
y ^ = px + q
(с<х<2).
Из граничных условий находим n = 0, q = — 2р, т а к что
= mXj
У+ = р ( х — 2).
(4)
Условие непрерывности экстремали д ает
т с = р ( с — 2).
(5)
Выпишем условия Вейерштрасса — Эрдмана. Имеем
В
Ғу , = 4 у ' 3 — \ 2 у ',
F - y ' - F U' = - 3 y ' 4 + 6 y
Г /
Поскольку у _ = ш, у + = р у получаем
4 т 3 — 1 2 т = 4 р 3 — 12р ,
— 3/rt< + 6 m2 = — 3 р 4 + 6 р 2
или
( т — р) ( т 2 + тр + р 2 — 3) = О,
( 6)
( т 2 — р 2) ( т 2 + р 2 — 2) = 0.
Второе уравнение в (6) сразу дает т = р или т = —р или
т 2 + р2 —- 2 = 0.
4
Решение т = р должно быть отброшено: при нем экстремаль
имеет непрерывную производную, а из условия (5) получаем, что
т в 0, т. е. экстремаль — отрезок оси Ох.
Таким образом, решение системы (6) сводится к решению
следующих систем уравнений:
ЯШШШЖъ-??'
Ш“ — Vi
т2 + тр + р 2 ~ 3
т * + р2 = 2.
т 2 + тр + р 2 = 3.
(7)
( 8)
/•г
•У'
Решение системы (7): m = ! 3 , р = — J 3 и m = — ) 3 , р *■} 3.
Решение системы (8) дает т = р и должно быть отброшено.|
Итак, т = —р и условие непрерывности (5) дает с = 1.
[ГЛ.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
134
и
Следовательно, искомые экстремали;
_
УТ
0< х < I
X,
V 3 U —2),
и
HI
9
0 < х < 1,
X,
1 < х < 2.
т Ш ВМ
185. Найти экстремали с угловой точкой для функ­
ционала
2
2
J[y}=
y " ( y ' - l ) 2dx,
*
4
у (2) = 1.
о
186.
Найти решение с одной угловой точкой в за
даче о минимуме функционала
Пу]= \ ( y '- D H y '+ lf d x ,
у { 0) = 0,
у (4) *= 2,
о
187.
Существуют ли решения с угловыми точками
в задаче об экстремуме функционала
Ң у ] = \ Щй + 2 х у — у 2) dx,
у (дго) = у 0,
у (де,)
У\
Хп
188.
Найти решение с угловой точкой в задаче об
экстремуме функционала
1
. ^
П у ] = | У2 {1 — y ' S) d x ,
у { — 1) = 0,
щ Я Й
-1
189. Найти решение с угловой точкой в задаче о
минимуме функционала
J ( / — 2у ' 2) d x .
Hi
•
I
§ II]
РАЗРЫВНЫЕ
ЗАДАЧИ.
ОДНОСТОРОННИЕ
ВАРИАЦИИ
J3 5
190. В задаче об экстремуме функционала
Ui. Уі)
sin y ' d x
(0. 0)
найти непрерывное решение, а также решение с угло­
вой точкой.
З а м е ч а н и е . Условия (3) Вейерштрасса — Эрдмана допу­
скают следующую геометрическую интерпретацию.
Построим фигуратрису, т. е. кривую Y — F(x, у, у') как
функцию от у'.
Тогда условия (3) означают, что при значениях параметров
х = с, у = Ci, отвечающих угловой точке, фигуратриса должна
иметь общую касательную в точках с абсциссами у _ = г / (с — 0)
* у'+ — у ' (с + 0).
Одновременно получается наглядная интерпретация условия
^у'у' ^
исключающего возможность излома экстремалей.
Действительно, если, например, Fугу' > 0, то фигуратриса вы­
пукла, и касательные к ней,
проведенные в двух разных
точках, не могут совпадать.
Так что экстремаль в этом
случае не может иметь из­
лома.
Рассмотрим опять з а ­
дачу об отыскании лома­
ных экстремалей функцио­
нала (см. пример 2 этого
параграфа). Имеем
1 Ы == Г ( у ' А— бу ' 2) dx,
о
У (0) = о,
У (2) 1 0.
Экстремалями являют­
ся
прямые.
Фигуратриса
Рис. 20.
= у — by
в данном
случае не зависит от точки ( х , у ) . Она имеет общую касатель­
ную в точках с абсциссами у ' = ± У 3 (рис. 20). Поэтому усло­
вия Вейерштрасса — Эрдмана будут выполнены, если в качестве
ломаных экстремалей брать ломаные, звенья которых образуют
я
Ш
угол ±
с осью Ох,
.
На ломаной у\ с одной угловой точкой (рис. 21) функционал
имеет значение / [ ^ i] .= —18. То ж е значение J[y] будет иметь на
ТЭ6
[ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
ломаной уг с д вум я угловыми точками (рис. 22), на ломаной у з
с тремя угловыми точками (рис. 23) и т. д.
X
Рис. 23.
б)
Разрывные
3va д а ч и в т о р о г о р о д а .
Р а зры в­
ными задачами второго рода называют задачи на отыскание экс­
тремума функционала
'
\
J[y]=
J
ғ ( х , у, у') dx,
(9)
у ( х 2) — уг
( 10)
■*1
У ( х 1) = у һ
в котором подынтегральная функция разрывна.
§11]
РАЗРЫВНЫЕ
ЗАДАЧИ, ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ
137
Пусть,
например, Ғ(х, у, у') терпит разрыв вдоль линии
у = Ф( х) и пусть Ғ ( х , у , у ' ) равна Ft ( x 9y 9yT) по одну сторону
линии у = Ф(дг) и равна Ғ 2 (х, у, у') по другую.
В случае существования ломаной экстремали последняя со­
стоит из кусков экстремалей у Щ Уі (х) и у т у г (х) , имеющих
общую точку (с, Ф (с )) на линии разрыва, где с е * ( х и х 2). Д л я
определения ломаной экстремали получаем д ва дифференциаль­
ных уравнения Эйлера, общие решения которых содержат че­
тыре произвольных постоянных Си с 2, Сз, С4. Д л я нахождения
этих постоянных, а такж е абсциссы с точки встречи экстремали
с кривой у = ф ( х ) имеем: 1) д ва граничных условия (10),
2) два условия, требующие, чтобы ординаты концов экстремалей
в точке стыка были равны ординате кривой у = Ф (* ) и, нако­
нец, 3) условие на стыке
-*
Ғ, + (O' - І Э r w | g | _ , , I (O' - 1
F¥ |w + 0 .
(II)
Этих условий, вообще говоря, достаточно для нахождения ло­
маной экстремали.
П р и м е р 3. (Задача о преломлении луча света.) В среде I
свет распространяется с постоянной скоростью v it в среде II —
с постоянной скоростью v 2. Среда I отделена от среды II кри­
вой у = Ф (х ).
Вывести закон преломления луча света, идущего из точки А
среды I в точку В среды II, зная, что луч проходит этот путь
в наименьший промежуток времени.
Р е ш е н и е . Задача сводится к нахождению минимума ин­
теграла
V T Т у
+
«
V,
,2
( 12)
dx,
е
так как первый и второй интегралы в (12) дают время, нужное
для перехода луча из точки А до линии раздела и от линии раз­
дела до точки В.
Имеем разрывную задачу второго рода: здесь
1 1 У ) + В г
1 ----------- г ,
’
Р . V i + y'2
F i ----------- т2
•
Нахождение кусков экстремалей сводится к разысканию экстре­
малей функционала
'
J V 1+ У' 2 dx,
которые, как известно, есть прямые. Следовательно,
У\ — т х + п,
--
§ф
' |Щ|
ці
у 2 — р х + q»
Г
т
~
;■
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
138
Запишем условие (11). Имеем
1 дғ
/
У
t*
, - /*
1+у,
г
^2'
§
11
Ё
Й
У2 1 /
^2
1
ух
ғ \~Уі
9
,
V,
ЙЙ
2
+
у*
) /
l + y'i
1
Оо /
1+^*
П одставляя эти выражения в (11), найдем
1a i f !
1 S ф ,У2
2
v l V r 1 + У\
(13)
1+У2
v2 V
Пусть ү— угол, образованный касательной к линии раздела в точ­
ке с с осью Ох, а — угол левого луча с осью Ох, § — угол пра­
вого луча. Тогда
= tg ү, у± = tg a , y 2 — tg p и условие (13)
примет вид
1 + tg a tg ү
1 + tg p tg ү
V i V \ + tg 2 a
v 2 V 1 + tg 2 p
или
c o s (y
— a)
c o s (y
Vi
—-P)
v2
где ү — a и ү — p — углы м еж д у лучами и касательной к линии
раздела. Вводя вместо них углы ср и Ө м е ж д у нормалью к линии
раздела и лучами, падающим и преломленным, получаем
sin®
01
.
—г-тт = — = const,
sin и
v2
т. е. известный закон преломления луча света.
2°. Односторонние вариации.
нала
Ищется экстремум
функцио­
х7
I
JЫ
**
== J ғ
(*.
у > у ')
dx>
( ,4 >
I
УЩщШШ-
У ( х г) = Уг
ЦЦ
при условии
у — ф (* ) ^ 0
(или у - ф ( х ) < 0 )
(16)
(ограничивающие условия могут быть и более сложного в и д а).
В этом случае искомая экстремаль мож ет состоять из кусков
экстремалей, лежащих в области (16), « к у с к о в . границы у
= ф(*) этой области, В точках сты ка указанных кусков искомая
§
I
I
]
V
139
РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ. ОДНОСТОРОННИЕ ВАРИАЦИИ
экстрем а ль может быть гладкой, но может иметь
точки.
Условие в точке стыка имеет вид
и угловые
[Ғ (х, у, у ' ) — Ғ (х, у, ф') — (ф' — у ') Ғ у, (х, у, у ' ) \ |
х=»дс
0.
Если Ғц,у, ф 0, то в точке стыка М ( х , у ) экстремаль касается границы у = ф(х) области.
П р и м е р 4. Найти кратчайший путь из точки А (—2, 3) в
точку В (2, 3), расположенный в области у ^ х2.
Р е ш е н и е . Задача сводится к нахождению экстремума
функционала
Пу]
J Vl
+ у'2
(JC)dx
(17)
-2
при условиях
у < х 2,
у ( - 2) = 3,
У (2) = 3.
Экстремалями функционала (17) являются прямые
У — Ci + С 2х.
В данном случае
1
Ь + у 'г
(*)],/а
0
и искомая экстремаль будет состоять из кусков прямых AM и
NB, касательных к параболе у = х 2, и куска MO N этой пара­
болы (рис. 24). Обозначим аб­
сциссы точек касания через
х и —х (используем симме­
трию задачи). В точке касания
совпадают ординаты и угловые
коэффициенты прямой и касательной параболы, так что бу­
дем иметь
С, + С2х = х \
С
2х.
(18)
С другой стороны, касательная
должна проходить через точ­
ку В (2 ,3 ), следовательно,
Cj тЬ 2С 2 = 3.
(19)
Рис. 24.
Исключая Ci. и С2 из (18), (19), находим х 2 — Ах + 3 = 0, от­
куда х\ = 1 и хч = + 3 . Второе значение х не подходит. Итак,
х ■= I,
Отсюда
Ci = — 1,
С 2 = 2.
Искомая
экстремаль
##
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ:
140
[ГЛ. II
(единственная) есть
г _ 2 х — 1,
если
— 2 ^ jc ^ — І,
х 2,
если
— І^лс^І,
2 * — 1,
если
1^ х
у = 1
[
2.
Ясно, что она доставляет функционалу (17) минимум.
191. Найти кривые, на которых может достигать­
ся экстремум функционала
Ю
.ф|
у (0) = 0,
J [ y ] = \ v ' b dx,
0
я
#(10) = 0
"
" ■ ■Р '
•' I
Я
при условии, что допустимые кривые не могут прохо­
дить
внутри круга, ограниченного окружностью
(х — 5 ) 2 + У2 == 9.
192. Среди кривых, соединяющих точки А( а , у 0) и
B ( b , y i), найти ту, которая дает экстремальное значе­
ние функционалу
ь
J
М = J у V 1 — у 2у ' 2 d x
а
при условиях у ^
0, 1 — у 2у '2 ^ 0.
§ 12. Теория Гамильтона—Якоби. Вариационные
принципы механики
1°. К аноническая (гам и л ьто н о ва) форма уравнений Эйлера#
Уравнения Эйлера д л я функционала
J[yi> У »•
••» Уп\===
2
“ Jғ
Х\
имеют вид
•
ШйШ
(х>Й§ У ’ •
••» Уп> у'* У >•••*y'n)dx
2
(О
2
Щ,
\
’-
§ lij
ТЕОРИЯ
ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
141
В случае, к о гд а определитель
F
F
, ,
У УУ Х
F
< ,
F
,
. . . F t ,
t> l» n
,
,
. . . F t ,
У2^2
Я
ғ
,
,
,
F
ШЩ1
,
О,
. f *i
,
Уп«2
F t
(3)
/
ШШі
положим
F ’ =Pk
»k
(k = 1, 2 , . . n)
(4)
Из уравнений (4) можно выразить y k через х, Ур у 2, • . у п,
Pb Р2і • • • > Рп%
Ук = ч>к(х ’ Ш ж •••> Уп' Рі< р.2’ • • • I Рп)‘
Функция Н от переменных *, у и у 2>
определяемая равенством
И
у Пу Ри р 2> •
(5 )
Рп>
1 { х > Щ У2> ’ “ > Уп? Уи У2> ■• • • Уп) +
п
+ s
k=\
» у у
*k
( * . УI
•
•
(6 )
• * Уп> У\
называется гамильтонианом для функционала (1).
Гамильтониан удовлетворяет следующим соотношениям:
.дН
dy
дН
~дРь
dx ’
дуь
dp
(7 )
dx
s Уравнения (7) называются канонической или гамильтоновой
системой уравнений Эйлера (2); переменные у и у& . . *, уп,
Pi, р2, . . . , Рп называются каноническими переменными .
З а м е ч а н и е 1. Условие (3) для функционала J[y]
Ш
Ғ Щ у , y ' ) d x д а е т Ғ у,у, ф 0 на [ хь х2].
Х\
З а м е ч а н и е 2. Уравнения (4) разрешимы относительно
y k в целом на отрезке [xi, х 2], вообще говоря, не однозначно. При
выполнении условий теоремы существования неявной функции
имеет место локальная- однозначная разрешимость уравнений (4).
П р и м е р I. Составить каноническую систему уравнений
Эйлера д л я функционала
'Vv -- я
I
|Ц
у 2] = |
О
| 2у] + у\
у2 ) d x
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
142
Решение.
В нашем случае
2
- >
■
/
2
F — F ( x , y v у 2, у\ , у 2) = 2 у і у 2 — 2 у \ + у [ — у 2
П олагаем
1
2
Тогда
Pi — 2у{.
Рг = — 2іЛ -
З десь определитель
ғ '
,
F , ,
«1«2
2
0
F , ,
0
—2
F , ,
У2У 1
У2 У2
Р азр еш ая полученные соотношения относительно
/
і/2* найдем
Pi_
2 *
£l
2 ’
У1
/
Н аходим гамильтониан данного функционала:
Н
Ғ + У\Ғ , + У І Ғ ,
у1
г/?
/
Pi
2 ’
/
Рг
2~
2
2
1/2 )
2^!&2 + % і + г/i
_ Pi
V
2
0
У2:
Используя соотношения
уравнений Эйлера:
dy 1
dp l
dx
(7),
*
Р2
2
получим
£l .
2 '
b j i + 2 Уг\
2</1
[У2 +
каноническую
dy2
dx
Рт_
Р\
Р\
4
4
систем у
)
2 9
= 2y,.
Здесь у , = у I (x), у 2 = у 2 (* ), P i = P i (x), p 2 — P2 {x) являю тся
неизвестными функциями от х.
П р и м е р 2. Составить каноническую систем у уравнений
Эйлера д л я функционала
1 [Уі> У2] — j у \ у \ (*2+ у [ + Уг) d x .
§ 12]
ТЕОРИЯ
‘
Решение.
ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
143
Здесь
Ғ = у\ у\ ( х 2 + у[ + у'2)
Находим частные производные
F > = у \у \.
У\
F ' = у]у%
Уо
Полагаем
Р\
Р‘2 — У\У%
У\У2*
Эти соотношения не со дер ж ат производных
у'2
неизвестных
функций у х и у 2, поэтому у \ и у 2 нельзя выразить через пере­
менные р\ и р 2» Следовательно, д л я этого функционала нельзя
составить гамильтониана. В этом примере условие (3) не вы­
полняется
Ғ , / Ғ , ,
У {У j
0 0
у \у2
0.
Ғ , , Ғ , ,
0 0
«1
У2У2
П р и м е р 3. Составить каноническую систему уравнений
Эйлера для функционала
J хуу'
щ
Решение.
dx.
Имеем
F = х у у ' 3,
Fy, = 3 х у у ’*.
Положим р = З х у у '2. Отсюда
Р
,
3 ху
У
р
* ' = і / Здгу
Данный функционал имеет д в а гамильтониана:
Н
I- ( - ғ + Ш
У'
3ху
✓
2 хуу'
У '—
н.
У
о
3ху
2
( - Ғ + У'Ру,)
3ху
з кз
зу з
р
И
з
ху
[ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
144
В соответствии с этим мы получим д в е канонические системы
уравнений Эйлера:
dy
dx
dp
dx
™
=
-/
дНх
dp
_
V
]
1 •
р
3ху *
1т/ ~
3 I Зхуя
дНг
ду
4х
V
dx
3
3ху •
'
j
\
Злсу®
У
(
j
Составить канонические системы уравнений Эйлерй.
для следующих функционалов:
193. / — J ху У у '
194. / =
195.
dx.
,
J х у у ' 2 dx.
/ = J V x 2+
y2V 1
+
у * dx.
196. / = J" (jy[ + у \ + у'Г) d x .
1
i
197. / =
J (х2 +
198. / =
J ( 2x y l -
н
у у * + y 2y f ) dx.
Щ + М
dx.
2°. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби. Кано*
ническая система уравнений Эйлера (7) является системой у р а ­
внений Эйлера для функционала
и
п
X*
*1
“
РкУк
-*=1
Н (*» Ур • • •» I/п» Яі* • • •» Рл)
І
если у 1, , . . , у п, Ри •••» Рп рассматривать к а к неизвестные функ­
ции от х.
Данный функционал J является решением уравнения в част­
ных производных первого порядка вида
dW , „ /
дх
dW
..........У*'
dW
dW\
л
д у х ’ д y i , ' " , д у п J “ 9*
которое называется уравнением Гамилыона — Якоби^
§ Щ 4
ТЕОРИЯ
145
ГАМИЛЬТОНА — ЯҚОБИ
Т е^э р е м а Я к о б и . Пусть W является полным интегралом
(см. [5]) уравнения Гамильтона — Якоби, удовлетворяющим
условию
d 2W
d 2W
дуі дС\
дух дС2 ••• дуі дСп
d 2W Ш d 2W
d 2W
дУ2 дС\
д у 2 дС2 , м дуг дСп
0.
d 2W
дуп дС\
d 2W
дуп дС2
d2W
дуп дСп
Тогда равенства
dW
дС
dW
дуь
В ь,
(b = 1, 2..........п).
m
где С һ и Вь — произвольные постоянные, дают решение канони­
ческой системы (7), которое зависит от 2п произвольных по­
стоянных.
П р и м е р 4. Найти экстремали функционала
ъ Ул ЛйиІГ:.-! _ . Г У х 2 + у 2 V l + У ' 2 dx
.
Xi
при помощи решения уравнения Гамильтона — Якоби.
Р е ш е н и е . Д л я получения уравнения Гамильтона — Якоби
находим гамильтониан данного функционала. Имеем
Н
У X2 + у 2 — р
Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
dW
дх
dW
ду
Х2 + у
или
О
(8 )
ду
дх
Перепишем уравнение (8) в виде
dW
дх
х2+
dW
ду
О
У
и применим м етод разделения переменных. Ясно, что если по
требовать, чтобы
dW
дх
С,
dW
ду
У
С,
[ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
146
гд е С — произвольная постоянная, то уравнение (8) б уд ет удовлетво р яться. Отсюда находим
dW
dW
Ух2
У у2 + С.
С,
дх
ду
Полный интеграл уравнения (8) будет:
W
Ух2
1
С dx+
С
х у х2
J
У у2+ C dy
С
1
In | * + У х 2 - С 1+ у у V у 2 + С 4*
2
+ -?-inly + K«/s+ c l + с О»
где С и С0 — произвольные постоянные.
Общее решение уравнения Эйлера данного функционала
dW
А
найдем из соотношения ч- — ===— , где А — произвольная по­
дС
стоянная. Имеем
х
1
4 V х2- С
2
х + у х2
С
+
4 (x + Vlc*
С |+
1
I
У
+
+
4 УУ + С
с) V,
с
1
С
I
-|- — 1п | у ~Ь V у 2 Ч" С I -f* —г—ч г
.—
2
4 (y + V y 2 + C ) V y 2 + С
После несложных упрощений получим
In
у + Уу* + с
х + V X2 — С
А или
у
+
Уу2+
с
+ Ух* - с
А
СА
о т к у д а окончательно будем иметь
1 — А2
ху
А
—У
С
А2+ 1
2А
Это — семейство гипербол.
Найти экстремали следующих
функционалов:
199. /
f x y V y ' d x.
200. J
J х у у ' 2 dx; y { 1) = 0, y ( e )
I
1
А
2
ТЕОРИЯ
ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
л2
201. / = J
147
_____________
G( y ) V i + у ' 2dx.
X1
202. Найти минимум функционала
1
/
1
2 У' + УУ' + У' + */) dx,
щ/
о
если значения на концах интервала не даны.
203. Найти функцию поля р(х, у) и само поле
экстремалей, проходящих через начало координат,
функционала
№1Ш
Шу)
./ .
«-2
—
У
(0. 0)
rfjc
( у > 0 ).
204.
Среди линий, соединяющих прямую д: = 0
с точкой М \ { х и у j), где Х\ > 0 , у { > 0, найти ту, кото­
рая дает минимум функционалу
V
/=
I В 1 * у ... d x
( у > 0).
Пусть имеется функционал
х2
Ху
н дано его поле экстремалей у = ф(лг,С). Тогда в каждой точке
поля известно направление трансверсали поля, проходящей че­
рез эту точку. Все трансверсали поля получаются как решения
дифференциального уравнения первогЪ порядка:
= Н [х, ф ( * , С), ф' (х, С )],
/ у I*. Ф ( * . С), ф' (* , С )]
где вместо параметра С, определяющего экстремали поля, надо
подставить его выражение через координаты точек поля. Здесь
Н(х, у , р) — гамильтониан.
П р и м е р 5. Найти трансверсали для поля экстремалей
у = Сх функционала
J
| y f2 dx.
Xi
w
|ГЛ U
экстрем ум ф ун кц и он алов
148
Р е ш е и е . Находим гам я д ь тонна* данного функционала.
Имеем
ғ - * '\
г я *
( Г ,,-2+ 0).
П олагая р — /-*, н ай дем f ' = - у . Т огда
Я = { - у ’г + 2 у ' - у ' ) \
, - j .
Травсверсали подучим, р е ш а і дифференциальное уравнение
V I 9—С*
___ % і ~Жп
Ш*"**
где вместо С надо подставить его выражение через коордннати
точек волв С »
Имеем
>■
Т ак ш С Ф 0t то 1 - ^ * С идн | Д ш Х , О тсю да н В Н
ля
ел ff|ж
^щВШ У И
что семейство гравсверсвдеЙ г* — 5 * — переводы,
: - \%,Щ
205.
Найти трансверсали
у *■* С ж функционала
для
поля экстремалей
** •
Jmm j F ( y ' ) d x .
ІЯ
**
206.
Найти трансверсали
у = х -J- С функционала
для
поля экстремалей
3
/ — | ( V 4 — з * * '* )* * .
207. Найти
у — * — -у:я*
/ -
траисверсали
5
для поля экстремалей
функционала
/Ғ,
j V | / (1 — / V *
( С > 0, д > 0 ,
0).
§- Щ
'
ТЕОРИЯ
ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ
149
Зная уравнение Гамильтона — Якоби
дх
для функционала
х7
/== J
у') dx>
можно восстановить подынтегральную функцию Ғ ( х , у , у ' ) . По­
следняя является решением дифференциального уравнения пер­
вого порядка
Ғ — zF'z == — Н { х , у, ғ '),
'
(9)
где Н { х ,у ,р ) — гамильтониан искомого функционала; F ( x , y , z )
искомая функция (х н у
рассматриваются как параметры).
После нахождения F ( x , y , z ) в нее надо подставить вместо г
производную у*.
З а м е ч а н и е . Уравнение (9) является уравнением Клеро.
Общее решение уравнения Клеро, как правило, отбрасывается,
так как в этом случае подынтегральная функция F ( x , y >y') будет
линейна относительно у' и вариационная задача не всегда раз­
решима (см. § 4 ). Поэтому берется только особое решение у р а в ­
нения Клеро, которое будет являться искомой функцией Ғ(х, у, г).
П р и м е р 6. Уравнение Гамильтона — Якоби для задачи об
х2
<*
экстремуме функционала
/=
дх J
J
\ ду
Найти функцию F (х, у, у').
Р е ш е н и е . Разрешим данное
dW
производной — — • Имеем
уравнение
dW
дх
- / , , 2
Х2 + у 2
V
LdW
\ ду
дх
V
\ ду
НЛЙ
J
Следовательно, гамильтониан
Н = — / х 3 + у 2 - рК
относительно
I га
{ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
Уравнение (9) д л я н ахож ден и я искомой функции F имеет
вид
•"
У" '
11 !Щ I
Y * '
111
’•
Ш
i ||
Продифференцируем по г обе части уравн ени я (10):
** . 1Р*Л„
dF
dF
^ d 2F
dz
dz
dz2
dF WF
dz d z2
Ш
, j
( dF
,
в Я
Ш
ш
*
d 2/7
&
О тб р асы вая случай, к о гд а ■■
а 0 (он Дает общее решение).
получим
dF
dz
- dF
dz
ЯЯ i
iS i У
Р азр еш ая
это
соотношение
относительно
производной
dF
dz 9
найдем
dF
z y х2 + у2
dz
У 1+ z2
(И)
П о дставл яя (11) в (10), б уд ем иметь
В
и а я 1
У\ +
Z 2
1л / 7 1
У
*•<*•+
Y 1+ Z 2
Таким образом, искомая подынтегральная функция имеет вид
$■
Ғ = Ү Щ + у * У \ + у ' 2.
■
В следующих примерах найти функционалы, ес‘ли
известны их уравнения Гамильтона — Якоби:
■ЯН Н
ШШШШ
"
I
I
I
ТЕОРИЯ
ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ
151
3°. Вариационные принципы механики.
а)
Принцип Гамильтона — Остроградского. Пусть имеется
система п материальных точек Af*(*Al у А, z*) (k = 1, 2, . . . , л),
массы которых соответственно равны т А ( Ы 1 Д
п). По­
ложим, что движение системы подчинено связям
Ф/ (х, у, z, t) = 0
( / = 1, 2, . . т ) ,
где
пг < я, (12)
и происходит под действием сил F * ( a * , Үһ, Z k) (k = 1, 2, . . . , я ),
имеющих потенциал (силовую функцию) U = U(Xk,yk,Zk,t):
dU
Кинетическая энергия этой системы будет равна
п
k=\
Пусть из некоторого положения А, соответствующего моменту
времени t = to, эта система переместилась к моменту времени
t = ti в положение В. Из всех возможных перемещений системы
из А в В выбирается класс допустимых движений, а именно тех
движений, которые совместимы с заданными связями и в задан ­
ный промежуток времени [/о. ft] переводят систему из А в В,
Действительное движение системы из положения А в поло­
жение В удовлетворяет необходимому условию 6/ = 0 экстре­
мума интеграла
А
г
13)
Каждому допустимому движению системы соответствует 3/г
функций x * (f), У*( 0 » г * ( 0 ( 6 = 1 , 2, . . . , п), определенных
в промежутке [fo.fi], удовлетворяющих уравнениям (12) и имею­
щих заданные значения на концах промежутка [to, U]. Таким
образом, имеем вариационную задачу со связями (12) и закреп­
ленными границами.
Для решения этой задачи составляется вспомогательная
функция Л агр ан ж а
[ГЛ. и
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
152
и для нее выписывается
градского;
система
уравнений Эйлера — Остро
т
ткх к
дф/
V
X
1
О,
К (О дхи
1=1
т
тк Һ
Y
У, к
/= 1
<?Ф/
о,
/
0.
(о ду
(14)
т
mkz k
z
у
һ
«>
J
/=1
Уравнения (14) совпадают с дифференциальными уравнениями
действительного движения системы.
б)
Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа. Пусть
связи фj и потенциал V не зависят от времени t. В этом случае
имеет место интеграл энергии Т — I) = h = const. Интеграл
Т dt
J
и
назы вается действием. Из интеграла (13) следует, что
t
ti
ti
(T + U) dt = 2 [ T d t
t
U
J
hdt.
t
Д л я действительного движения, по принципу Гамильтона
Остроградского, интеграл действия должен иметь минимальное
значение:
л
v
у.: - щ т _ . ■■
/,
\ ■■■Ш
i
Tdt
/
пип.
и
Принципу
Якоби:
наименьшего
действия
J V 2 (U + h) ds
можно
придать
форму
mm
(ds — дифференциал дуги ү), в которой исключено время.
З а м е ч а н и е L Здесь считаются допустимыми движениями
такие, которые удовлетворяют уравнениям связи срj ( x , y , z ) = 0
(/ = 1 , 2 , . . . , т) и уравнению Т — U = Һ с тем ж е самым зна­
чением hx что и для действительного движ ения, и которые имеют
§ ISO
ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯҚОБИ
153
фиксированное начальное и конечное положения и фиксирован­
ный начальный момент времени to. Конечный момент времени
дл я них не фиксирован.
З а м е ч а н и е 2. Потенциальная энергия входит не в инте­
грал, а в дополнительное условие Т — U Щ Һ, Составляем вспо­
могательную функцию Л агр ан ж а
m
F ^ Y T + j ( u + h) + V i /Ф/
Затем пишем уравнения Эйлера — Остроградского нашей з а ­
дачи, которые являются уравнениями действительного движения:
dU
дю,
* А — щ -+ 2Е
*
/= 1
dU
т
к
Һ
=
-
7 Г
STл
Д
Г
+
дЧ
2
а Ф/
\
Ь
£
і
—
L
1 дН
dU
дф#
” А ' - Я " ' + :22 Й TS7Я
/
=
1
Л
П р и м е р 7. Исходя из принципа наименьшего действия,
найти траекторию материальной точки (единичной массы), дви­
жущейся под действием силы тяжести.
Р е ш е н и е . Направим ось Оу вверх, тогда потенциал силы
тяжести будет равен
W— - g g .
(15)
Согласно принципу наименьшего действия на искомой траек­
тории ү интеграл
(16)
j
должен иметь минимальное значение. Следовательно, траектория
точки будет экстремалью функционала (16). Подставляя (15)
в (16), получим
Й . -V
. хг
"
/ = J К 2 (А — gy) V l + y ' 2 d x .
||
Уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
или
d
W
y
Ж )
,
(
d
W
\
+ U r )
*
n
/
L
- 2 {k ~
л
(17)
(ГЛ. II
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИОНАЛОВ
154
Его полный интеграл будет
I 2 Һ — 2 gy — A 2 dy
IV = А х +
Ах
<2А - 2gy - A*)v ‘ + В,
где А и В — произвольные постоянные.
Находим экстремали функционала (17):
Х + ± {2 Һ - 2 gy - А ^ = С
ИЛИ
А ”
C -c o n st.
В частности, экстремали, проходящие через начало коорди­
нат, найдем из условия 1/(0) = 0. Получаем однопараметрическое
семейство парабол
_______
g
| У 2Һ -А *
„
_____________________________
у~
2А**+
А
212.
Найти траекторию движения точки в плоскости
под действием силы отталкивания от оси Ох, пропор­
циональной расстоянию точки до этой прямой и на­
правленной параллельно оси О у при условии, что интеграл живой силы имеет вид
-г------- 2 ~ ~
г
исхо­
дя из интеграла действия
X,
Г у V 1 + у ' 2d x
/ =
{у > 0).
213. Материальная точка описывает окружность
р = 2R cos ф (р, <р — полярные координаты) радиуса
; *-1 ' - 1
‘ ••
.; *
'
•
f
t
^
■
R под действием центральной силы —5-, обратно про­
порциональной пятой степени расстояния от центра,
находящегося в начале координат. Показать, что на
‘
ЗТ
-:> >
----- o ' <С Фі
~
Ф^
'С* .
ф2 < "2
интеграл действия достигает сильного минимума.
214. Изучить движение материальной точки под
действием притягивающеи центральной силы, пропор­
циональной расстоянию от центра О, исходя из прин­
ципа наименьшего действия и применяя метод Га­
мильтона — Якоби.
Г Л А В А
III
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 13. Конечно-разностный метод Эйлера
Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстре
мум функционала
I Щ (* )] # J I
(х, у, у ') dx;
у
(а) — А,
у (Ь) = В.
(О
а
В методе Эйлера значения функционала (1) рассматриваются
не на произвольных, допустимых в данной вариационной задаче
кривых, а лишь на ломаных, составленных из заданного числа п
прямолинейных звеньев, с заданными асбциссами вершин
а + Ьх,
а + 2 Д*...........
а + (л — 1) Дх,
гд е
Дх = ^ ~ а .
п
На этих ломаных функционал J[y(x)] превращается в функцию
Ф(*/ь Уіу
У п - 1) ординат уи у%
Уп~ 1 вершин ломаной.
Ординаты у и У2Г
у п- 1 выбираются так, чтобы функция
Ф{уи У2,
Уп-\) достигала экстремума, т. е. они определяются
из системы уравнений
дФ
л
°’
’
дФ
ду2
_
" ••••
дФ
----- = 0.
ЩЩ
(2 )
Полученная ломаная является приближенным решением в а ­
риационной задачи (1).
П р и м е р . Найти приближенное решение задачи о мини­
муме функционала
Щ ‘ :у
||^Ц -
Г
1 ІУ (* )] = j. (у'2 + % ) dx;
##
>'
у (0) а у ( 1) = 0.
156
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ . III
Р е ш е н и е . Возьмем Лдс = — =— — 0,2 и положим
5
у , = у (0,2),
У 2 — У (0.4),
(0) = 0,
Уз = у (0,6),
у , = у (0,8).
ys = y ( D = 0 .
Уо — У
Значения производных приближенно заменим по формуле
Т огда
0 ' (0)
о
У1
/
^2 — Уі
0,2
0 ' (0,2)
л\
У 4 — 03
, , Л л\
0з ““ У*
у (0 ,4 )= — — — »
0,2
*
0 — Уі
0,2
v ' (0,8)
Г/ (0,6) = — Q2— *
Данный интеграл зам ен яем суммой по формуле прям оугольн иков
ь
[ f (х) d x » [/ (а ) + / (xi) + f ( x 2) + ••• + f ( x n - 1)1 A*
a
Б удем иметь
У\
Ф (У 1 . Уъ І/з» 0 i)
+
0,2
0t — 0 з
+ 2^2 +
0,2
Л .(У ± И І± \ +
+ %У\ +
0,2
1/2 — 01
0,2
+ 2^з +
0, 2
/
+ 2 ^ 41 • 0 ,2 .
Составляем систему уравнений дл я определения ординат у и у 2t
г/з, yi искомой ломаной:
1
0,2
ЭФ
дух
t'J
Oj
Ө
1
0,2
дуг
і
дФ
дуг
1
0,2
»і
0,02
Уг — УI
02 — 01
0,02
Уз - Уг
03 — 02
0,02
г/4 — Уз
1
дФ _
0,2 * д у і
0,02
0,02
0,02
+ 2 = 0,
+ 2 = 0,
+ 2 = 0,
04 — 03 + -Жі_ + 2
0,02 т 0,02 т
или
201 — 02
- 0,04,
Уі + 2 у 2 — Уз
- 0,04, „
Уг + 2 у 3 — У4
- 0,04,
- 0 ,0 4
Уз + 2у4
0
§ И
МЕТОД РИТЦА. МЕТОД КАНТОРОВИЧА
Решение
этой
у
_
■.
157
у і = —0,08, gg = —0,12,
системы
фттщ-
J - |^
у9 = —0,12,
j p
l/4 = —0,08. Значения точного решения
у щ — -—
W v*
в соответ-
ствующих точках совпадают со значениями приближенного ре­
шения.
Найти приближенные решения задач о минимуме
функционалов: \
!
215. J [ y ] = | {у'2 + y 2 + 2 x y )d x ;
-
-
#
*, (0) = г/(1) = 0.
'
У к а з а н и е. Взять Ал: = 0,2.
р У 1 1Щ
-1 :
'
216. / [ z / l =
а)
у ( 0) =
.j
J (у'* +
0,
б ) ^ (0 ) == 0 ,
у(
‘
*
0 dx;
1) = 0,
0 ( 1 ) = I.
§ 14. Метод Ритца. Метод Канторовича
1°. Метод Ритца. Идея метода состоит в том, что при разы­
скании экстремума функционала J[y(x)] рассматривается не все
пространство допустимых функций, а лишь всевозможные линей­
ные комбинации допустимых функций вида
?„ (*) = 2
.I
й§1
И и Ш І іР іГ ч ' "
w .
(О
А -гЩ и В я
где щ — постоянные, а система {ф* (лг)}, называемая системой
координатных функций , такова, что функции фі (Ц линейно не­
зависимы и образуют в рассматриваемом пространстве полную
систему функций.
Требование, чтобы у п (х) были допустимыми функциями, во­
обще говоря, накладывает на координатные функции ф*(*) не­
которые дополнительные условия типа условий гладкости или
удовлетворения граничным условиям. На таких линейных комби­
нациях функционал ][у(х)] обращается в функцию аргументов
1 [Уп
(дс)] == Ф (а,, ............ оп).
(2)
Находим те значения а*, а г, . . . , а Л, которые доставляют функ­
ции Ф ( а і , а г , . . . . а п) экстремум; для этого решаем систему,
вообще говоря, нелинейных относительно a t , а а,
а п у р ав ­
нений
Щ Ш
*- ^ ОШЛ
‘
99
ө
(і=1, 2, ....
п),
(3)
158
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I l l
и найденные значения а » подставляем в (1). Полученная таким
образом последовательность {уп(х)} является минимизирующей
последовательностью, т. е. такой, для которой последователь­
ность значений функционала {/[*/п (*)]} сходится к минимуму или
к нижней грани значений функционала / [у]. Одиако из того, что
lim J [ y n (x)] = n \ m J [ y ( x ) ] t
П-> оо
еще не следует, что l i m y n (x) = у(х). Минимизирующая послеп -> оо
довательность может и не стремиться к функции, реализующей
экстремум в классе допустимых функций.
Можно указать условия, обеспечивающие существование аб­
солютного минимума функционала и его достижение на функ­
циях {уп(х)Ү
В случае, когда ищется экстремум функционала
х2
f ғ (*> У’ У ' ) Лх>
I [У (* )] =
X
'
y ( x l) = yI,
1
у (* 2) = Щ
эти условия таковы:
1. Функция F ( x t у t г) непрерывна по совокупности своих ар
гументов при любом z и при (х,у) e D , где D — зам кн утая об
ласть плоскости XOY , в которой л е ж а т линии у п (х).
2. Существуют константы а >> 0, р > 1, Р, для которых
Ғ {х, у, z) > а |z \р + Р,
каково бы ни было г и для любой точки (х, у) е D.
3.
Функция F(x1y 1z) имеет непрерывную частную производ­
ную Fz(xi y yz ) 1 причем эта производная для любой точки
{ху у) g D есть неубывающая функция от г (—оо «< г <С + ° ° ) .
Сформулированные выше условия выполняются, в частности,
для функционалов вида
Xi
'
-•
-
%,
j [ y ] 4 [ [р (х) у'г + Я И Уг + 2Г (* ) У] d x ,
if
Ху
y ( Xl) = a,
y ( x 2) = b,
где p ( x ) t q(x), r ( x) — заданные непрерывные на [xu x 2] функции,
причем p{x) имеет непрерывную производную р'(х) и р(х) > О,
q(x) > 0.
Если таким методом определяется абсолютный экстремум
функционала, то приближенное значение минимума функционала
получается с избытком, а максимума — с недостатком. От уд ач ­
ного выбора системы координатных функций {ф* (*)} в значи­
тельной степени зависит успех применения этого метода.
Во многих случаях достаточно взять линейную комбинацию
двух-трех функций ф<(х) для того, чтобы получить вполне удо ­
влетворительное приближение к точному решению,
§ ,41
МЕТОД РИТЦА. МЕТОД ҚАШОРОВИЧА
169
® случае, когда приходится находить приближенно экстоемум функционалов / [* ( * ,, х*
J, зависящих от функций
нескольких независимых переменных, выбирается координатная
система функций
фі (*Ь х2у . . . . Хп), (р2 ( х и Х2,
Хп),
фт (Xj, Х2,
ХП), . . .
и приближенное решение вариационной задачи ищется в виде
т
V
гт
2
а кУк (х 1* х2> *' *» хл)»
где коэффициенты « а — некоторые постоянные числа. Д ля опре­
деления их аналогично предыдущему составляем систему ур ав­
нений
О (k g g 1, 2,
п), где Ф ( а і , ссг,
а п)
ре­
дак
зультат подстановки г т в функционал J [г].
П р и м е р 1. Найти приближенное решение задачи о мини­
муме функционала
I
JШ =
(у* — у 2 + 2xy) dx,
(4)
^(0)=У(1) = 0
(5)
и сравнить с точным решением.
Р е ш е н и е . Систему координатных функций Фа(х) выберем
так:
.
Т
W "
Ф* (*) = ( ! - * ) x k
( * = 1 , 2, . . . ) .
Функции фл(дг), очевидно, удовлетворяют краевым условиям
Фа (0) = Фа (1) = 0, являются линейно независимыми и пред­
ставляют в пространстве С\ [0, 1] полную систему.
При k = 1 получаем У\ ( х ) = a,i(x — х2). Подставляя это
выражение для у i(x) в функционал (4), получим
1 [У\ (* )]
=
I И (1 ~
2 а -)2 -
«^
(дс -
* 2)2 +
2 а
{х (х -
я 2) ] d x
о
1
«1 ( l — 4х + 4х? — х 2 + 2х3 — X4) + 2а j (х2 — * 3)] dx
о
Коэффициент «I находим из уравнения
160
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Ш
о ткуд а at — — { ? . С лсдоитсльяо,
Vi (* ) - -
х '+ 1 5 А
Т о ч н о е р е ш е н и е . Уравнение Эйлера д л я данного фун*цн опала:
|Г + * — *•
Р еш ая это неоднородное линейное уравнение, находим
у (к) — Ci c o t * + Ct * l n x + * .
Используя граничные условия у (0 ) == » ( 1 ) — 0, получим окончателыіо:
я е ш ш ш ш ш ШШШШШШ . л -g.
sin х Ш 4 ш ш ш к т ш ш ш
у (х ) ■■ х — —:—г .
w?
іш ь а ш
&ш 1 w g
Сравним точное решение с приближенным:
Точное решеяяе
Прябдмждеаов р е ш е т е
о
—0,044
—0,070
—0,060
0
о
—0.062
—0.069
—0.052
О
0,00
0^5
0,50
0,75
1,00
Пример
уравнения
2.
Найти приближенное решение нелинейного
Г — і у*.
удовлетворяю щ ее у с л о в и я м у (0) = 4 Т ^ (1 ) = !.
Р е ш е н и е . Этой краевой задаче отвечает вариационная
за д а ч а
I
/ [у] =
f (у'1 4- у») dx:
у (0 ) = 4,
jr (1 ) — 1-
Б уд е м искать решение в виде
у г (х) = 4 — 3..V + а , ( х — х*Х
гд е , очевидно, у\ (х) при любом значении а 5 у д о в л е т в о р я е т з а
данным кр аевы м услови ям .
Имеем
/ [ у ,] = J {{а, (1 - 2х) - 3]* + [4 - Зх + а , ( х - х 5) ] 3} d x t
о
МЕТОД РИТЦА. МЕТОД КАНТОРОВИЧА
161
о ткуд а
*/ Ы
д<1|
{(1 - 2х) • 2 [ « ! (1 - 2jc) - 3] +
о
4- 3 (х — х 2) [4 — 3* + а , (х — х 2) ] 2} dx
dJ \U\]
Условие —
= 0 принимает вид
да.\
9 а , + 4 9 0 а , + 1407 = 0,
л
так что для <Zi = — 3,0413 получаем всюду положительное ре­
шение задачи
Ух ( х )
= 3,0413л2 — 6,0413л: + 4.
а
-
.
Найти приближенные решения следующих задач
0 минимуме функционалов. Сравнить с точным ре­
шением.
217. I [у j g j = I {у'2 + 2у) d r , у ( 0 ) = у ( 1) = 0.
1
'
2
218. J [у (х)\ = j [2х у + у 2 + у'*) d х\ у (0)=г/ (2 )= 0 .
Jv
;
3
;
::
о
219. Найти приближенное решение задачи о мини­
муме интеграла
Шш Ш р ш Ш ш *
J[y{*)\=
1
j • . /Vh 4 vV ^ '^
j ( y ' 2 — k2y 2) d x ;
—1
.С :
.
y ( ~ l ) = y ( l ) = 0t
■■
при дополнительном условии
I
V -
[ y 2{ x ) d x = 1,
'■ Г .
£
—1
%
-
П р и м е р 3. Найти приближенное решение задачи об экст­
рем ум е функционала
ж
1
1
дх )
J [z Ж У)]
В
I
І
\ ду
dx dyt
D
гд е jD — квадр ат: — a < x < a , — а ^ у ^ а и на границе к в а д ­
рата 2 = 0.
Р е ш е н и е . Приближеннре решение будем искать в виде
«о (* . у) И во ( * 2 — а1) (у1 — аг).
6
М, Л. Краснов в др.
162
ПРЯМЫЕ МЁТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. Ш
Очевидно, так построенная функция
(х, у) у д о в л е т в о р я е т
поставленным граничным условиям. П о д став л яя 20 (*> У)*
ШтШ
У)
и
2о
и
(х
уУ)
в
функционал,
получим
после
интегрироо*
II
вания
32
,
256 2 8
ф («о)
1 Ы ----- 45* °оа
Ш ІІ
Далее,
32
512
дФ
в
8
а
а0а
О,
9
45
да0
откуда а 0
5
т а к что z 0 (х, у)
5
(X
16а2
а2) (У
аП
220. Найти приближенное решение задачи об экст
ремуме функционала
dz
дх
J [ z ( x , у))
d x dy ,
D
где D — область, ограниченная эллипсом
2+
у
Ьг
1.
221. Найти приближенное решение z 3 (x, у) задачи
о минимуме функционала
J [ z ( x , у)]
D
d z А2 | { d z \ 2
dx d y ,
dx
^У
где область D : х > 0 , у > 0 , х + у < 1, и функция
z ( x , у) удовлетворяет на границе Г: X = О, у = 0 ,
j t + r / = l , условию z L
у 2.
2°. Метод Канторовича. Этот метод занимает -промежуточное
положение м еж д у точным решением задачи и методом Ритца и
применяется дл я исследования на экстремум функционалов
] a i l дс2. • • •» Ш й !
(6)
зависящих от функций нескольких независимых переменных
(п > 2 ). К ак и в случае метода Ритца, выбираем координатную
систему функций { ф л х2, . . . t х п )} и приближенное решение
ищем в виде
■Й
т
m= 2
a k (Xj) 4*k (XV Х2’ * **! Xn)*
Л
но теперь коэффициенты <%h(xj) являю тся неизвестными функ­
циями одной из независимых переменных.
Функционал (6) на функциях вида (7) превращ ается в функ­
ционал / [ a i ( * j ) , a%{Xj)y
a m(*j)], зависящей от т функций
МЕТОД РИТЦА. МЕТОД КАНТОРОВИЧА
163
ai(Xj\.
(Xjl, . . . , am(Xj). Эти функции выбираются так, чтобы
функционал J достигал экстремума, и определяются из необхо­
димых условий экстремума функционала 7.
Используя метод Канторовича, получаем приближенное ре­
шение, вообще говоря, более точное, чем в методе Ритца при
тех ж е координатных функциях {<р*(хь х2, . . . , х п)} и с тем ж е
числом т членов приближения.
П р и м е р 4. Найти приближенное решение уравнения П уас­
сона
а
а,
Дz
1 в прямоугольнике D :
( 8)
Ь< у^Ь
при условии г т 0 на контуре.
Р е ш е н и е . Уравнение Дz = —1 является уравнением Эй­
лера — Остроградского для функционала
dz у
( dz V
дх) + \д у
Цу]
D
2z dx dy
(9)
Решение ищем в виде
Z, ( х , у) = ( Ь2 — у 2) а (х );
функция z i ( x , y ) , очевидно, удовлетворяет граничным условиям
(8) на прямых у Ш zkb.
Подставляя это значение zi в функционал (9), находим
П г i]
—а
Уравнение Эйлера дл я функционала (10)
5
5
/
/
а
а
4 Ь2
2Ь2
8
b3a 1 dx.
3
(Ю)
(И)
Уравнение (11) есть линейное однородное уравнение с постоян
ными коэффициентами и его общее решение:
5_ х_
*■{• С2 sh
2 ~Ь
а (х) = Cj ch
Ъ^
2*
Постоянные С х и С2 находим из граничных условий
а (—а) —а (а) = 0,
1
что дает С2==0, С i
т а к что
2 ch
а(х)
6*
1
2
ch
I
ch
5
2
б
2
£
Ь
ji
Ь
164
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. III
Таким образом, получаем
2
Х
(Х
,У)------- 2
------ _
сһ
/Та
К
Д л я получения более точного приближения можно и скать реше»
ние задачи в виде
Щ
(* . у ) — (Ь2 — у 2) ctj (-*) + (Ь1 — У2)2 « 2 (*)•
222. Найти приближенное решение уравнения Пуас­
сона Дг = — 1 в области D, являющейся равносторон1/3
ним треугольником, ограниченным прямыми у — ± 3 *
и х = Ь, обращающееся в нуль на границе этой обла­
сти.
’
223. Найти приближенное решение уравнения Дг —
1 в области D, являющейся равнобочной трапецией, ограниченной прямыми
у= ± 3 х и х — U
х = 3 , обращающееся в нуль на границе этой области.
§ 15. Вариационные методы нахождения
собственных значений и собственных функций
Уравнение Ш турма — Лиувилля
—'
(р (х)у') + q (х)у = \у,
(О
где р(х) > 0 имеет непрерывную производную, q{x) — непрерывна, при условиях
у ( а ) = О,
У(Ь) = 0
(2)
для любого действительного или комплексного X всегда имеет
нулевое (тривиальное) решение у
0.
|
Совокупность уравнения (1) и граничных условий (2) назы­
вают краевой задачей Штурма — Лиувилля (1) — (2).
Те значения параметра Я, при которых кр аевая задача
(1) — (2) имеет нетривиальные решения у(х) Ф 0, называются
собственными значениями , а сами эти решения — собственными
функциями данной краевой задачи.
Уравнение (1) есть уравнение Эйлера, отвечающее следую­
щей задаче на условный экстремум: найги минимум функцио­
нала
8
м
ь
J [у ] = J ( ру '* + ЧУ2) d x
(3)
§ 15] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
165
V
при условиях (2) и условии
а
Если некоторая функция у(х) будет решением этой вариа­
ционной задачи, то она будет и решением задачи (1) — (2), от­
личным от тождественного нуля в силу условия (4). Поэтому
собственные значения и собственные функции краевой задачи
Штурма — Лиувилля называют такж е собственными значениями
и собственными функциями функционала (3) при условиях (2)
и (4 ). Собственная функция у(х) называется нормированной , если
у 2 (х) d x = 1 •
а
П р и м е р 1. Найти
функции функционала
собственные
значения
и собственные
3
1 \У] = f [(2 * + З)2 у ' 7 О
if] dx
(5)
при условиях
у (0) = 0,
3
у (3) = 0,
f y2(x)dx = К
J
о
(6)
(?)
Р е ш е н и е . Уравнение Штурма — Лиувилля имеет вид
- VПЛИ
1{2х + 3)1 у ' ] ~ ку
(2х + З)2 у" + 4 (2х + 3) у' + (Я + 1) у = 0.
9
(8)
Уравнение (8) подстановкой 2х + 3 = е1 сводится к линейному
уравнению ([11], стр. 143) с постоянными коэффициентами
-
4 - ^ - + 4 - ^ - + ( Л + 1 ) у = 0.
О)
Его характеристическое уравнение
4к* + 4к + \ + 1 = 0
имеет корни
1 1
(10)
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (Г А III
166
Рассмотрим три случая.
1) Я < 0. Тогда общее решение уравнения (9) б у д ет
у (/) i
1 J M + С2е Ч
г д е k\ и k2 — действительные числа, а значит, общее решение
уразнения (8):
у (х ) = С , (2 * 1 1 ) 1 І С2 (2х + 3 ) 4
Граничные условия (6) даю т
С | • 3*' + Cl3*s = о,
С , • 9*‘ + с 29fts = о,
о т к у д а С 1 = 0, С2 = 0 и у (х) = 0.
2) Я = 0. Т огда
У Щ = (С , + c t) e ~ J ,
2
а значит,
у (х ) — [С і + С2 ІП [(2 х + 3 )]
1
|А2х + 3 ‘
Из граничных условий получаем
С\ “j" С 2 1п 3 = 0,
С , + С2 1п9 = 0,
о т к у д а Ci = 0, С 2 = 0, а значит, у (х) щ 0.
3) Я > 0. Т огда k \ t 2 = — ү Ш *
нения (9):
и общее решение у р а в
ф. '
.
__1 I
y ( t ) — e 2 ( C i cos
/
t + C2 sin^i 2~”
П ереходя к переменной я , получим
Ci cos
У (* )
VT
% In (2х -f* 3) + С2 sin j g g In (2x + 3)
2
]
(ID
V 2x + 3
Граничные услови я (6) дают
С ! cos
Шз ) + С , *
In З) = 0,
( 12)
Ci cos
1° &J + С2 sin ( i g—- In 9 J = 0.
§ Г5! СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
167
Система (12) б удет иметь нетривиальные решения, когда ее
определитель равен нулю:
cos 1Е - In 3^ sin I
2
2
cos I
2
In 3
0
In 9 ) sin I X A - in 9
2
Г
или sin
In 3
/X
к у д а - у - In 3
LA In 3
2
О, т. e. sin (
In 3
0, от-
пл. Собственные значения б удут:
4п2л 2
In2 3
( я = 1, 2, . . . ) .
Беря любое уравнение системы (12), например первое, и под­
ставл яя в него
вместо А, получим
Cj cos п л + С2 sin п л = 0
0, о т к у д а С j ===0. Положив в (11) С 1= 0
или С 1 ( —1)Л
4 п2л 2
получим собственные функции данной задачи
Яд
In2 3
п л In (2х + 3)
и
(п — 1» 2, . • •)#
Уп(х)
V2X + 3
Коэффициенты Сп находим из условия нормировки
у2 (х) dx = 1,
о
что дает
Сп
а значит,
Уп{х)
2
уТпЗ
sin £
2
У 1пЗ
п л In (2х + 3)
( л * 1 , 2, . . . )
\ г 2х + 3
В следующих задачах найти собственные значе
ния и собственные функции:
1
224.
1 [ у \ = [ (У2+ У'")dx,
о
0 (0 )
1
0 (1 )
0,
J y 2 dx
о
1
168
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГГЛ. I I I
4
225. | | р | J x?y'2dx, у {I) = У (2) == О, J y 2d x = I.
1
226. У[у] =
J (6 у 2 +
х2у '*) dx,
1
y ( l ) = y ( e ) = 0,
J у2d x = \ .
1
2л
227. / [ * / ] = [ ( У2 - У'2) dx,
Л
2 л
У (л) = У (2я) = О,
J г/2< / л = 1 .
Л
1
228. J [ y ] = f [3 у 2 - (х + I )2у ' 2\ dx,
О
1
У ( 0 ) ~ У ( 1 ) ==0 , J y 2 d x = 1.
О
Собственные значения и собственные функции вариационной
задачи (3), (2), (4) обладают рядОіМ важ н ы х свойств.
1)
Если кт и Х п — два различных собственных значения
функционала (3), при условиях (2) и (4), а Ут(х) и у п (<) —
соответствующие им собственные функции, то эти функции ут щ
и Уп(х) ортогональны, т. е.
Ут (* ) Уп Ш d x — 0
( т ф п)
а
2) Все собственные значения Кп функционала (3) веще­
ственны.
/'
3) Если Хп есть собственное значение функционала (3), а
Уп (*) — соответствующая нормированная собственная функция,
то
,
:
J ІУп (*)] — Лл.
4)W Наименьшее из собственных значений совпадает с мини
мумом функционала (3) при условиях (2) и (4 ),
§151 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Пример
я
169
2. Д оказать неравенство
я
J у'2 (* )
d x > J у 2 (х) dx,
о
у
(0) =
у
(я) =
0.
я
Решение.
Найдем
min J
у ' 2 (х) dx
при условиях
о
я
J
у 2 (х) d x = 1,
(0) =
у
у ( л ) = 0.
о
Уравнение Эйлера для функционала
я
f W 2 (|) — W (* )] dx
J [у] =
о
и м еет вид
у " + Ху = 0;
у (0) = 0,
у (я) т 0
Собственные функции последней задачи суть у п (х) = sin пх, а
собственные значения А,» = л2.
Наименьшее собственное значение есть Xt = 1, Поэтому,
согласно свойству 4)
min J
y f2 (х) d x = 1.
о
Следовательно,
п
J У2 (*) dx =
для
любой
функции
у (я),
для
которой
1, имеем
я
J
я
у ' 2 (х) d x >
0
J
у 2 (х) dx.
О
~
Н К В Ш
, Ч
sin X
Это неравенство улучшить нельзя, так к а к при у\ ( x j ==
К*
имеем
-1
. п
я
J
о
99
Ух (X) dx =
J
о
1/1
(х) dx =
I.
170
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. III
З а м е ч а н и е . Если
л
I у 2 (х) d x = k 2 ф 1, то зад ач а своо
__
у(х)
введения функции z ( x ) =
^ .
ди тся к предыдущ ей путем
Пользуясь экстремальным определением собственных значе­
ний, укаж ем способы их приближенного вычисления с использо­
ванием метода Ритца. При этом следует иметь в виду, что метод
Ритца дает дл я собственного значения приближение с избытком.
П р и м е р 3. Найти приближенно первое собственное значе­
ние задачи
у " + Х2у = 0,
у ( - 1) = у( 1) = о. |
:
Р е ш е н и е . З адач а о минимуме функционала
к
dx
-I
при условиях
1
У ( — 1) = 1/(1)== 0
и
, J у 2 (х) d x = 1
-1
является изопериметрическои задачей и сводится к задаче о ми­
нимуме функционала
1
/= J
( у ' 2 — х у ) dx,
-1
для которой уравнение Эйлера совпадает с заданным дифферен­
циальным уравнением у " + №у = 0, у ( — 1) = ^ (1 ) = 0.
Общее решение уравнения есть у ( х ) = Ci cos Ах + Сг sin Ях
Из граничных условий находим
Ci cos А ■— С2 sin А = 0, I
ИЙ
(13)
Ci cos A + C2 sin A = 0,
так что условием существования ненулевого решения системы
(13) является условие sin 2А = 0 или
А= —
Таким образом, д л я первого собственного значения имеем
Aj =
j
>
-Z''■'V1%
'
•
у =r cos
и основной тон струны
mt
точно д а е т с я
решением
n * *зх
m
• л a
—
л = — ; первый обертон y = s i n n x 9 А = д; второй
л
Snx .
3
обертон у = c o s — — , А = у я
и т, д.
§ 151 СОБСТВЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
171
Будем искать для сравнения приближенно четные решения
(четные тона струны) в виде многочлена, расположенного по чет­
ным степеням х. Возьмем координатные функции в виде фа (я) =
== х 2к~2 — хгк (k = 1, 2, . . . ) и будем минимизировать функт
ционал 1 на функциях у т (х) = 2 ck^k
Ограничиваясь
fc=l
у\(х) = сіф і(х), будем иметь / = cf (
)» так что Для
определения с і получаем
dct
1\ 3
15
И так как должно быть Сі Ф 0, то щ = 2,5. Беря в качестве у
У = С1Ф1 (* ) + C2V 2 (х),
найдем
.
2/8
У — СҢ З
/_8_
15
j
J6
2 ( 15
2\
105
] +
, Ш
J6
2 \105
315
2
и для определения С\ и Сг получаем систему
dJ
дс\
д!
дс
I 16
1
—
( 16
32 Ч5Д ,
Ш
в
*
+
Ч
Т
5
~
32
Т
0
5
1
/ 16
32 Ц , , / 176
32 , 2
1 lT5“ w
A' ] + *2 І ш і ш т
.
Условием сущ ествования ненулевых решений с\ и с2 последней
системы я в л я е т с я равенство нулю определителя системы, что
д а е т Я1 — 28Я2 + 63 = 0, о тк уд а Я2 = 2,46744,
Щ 25,53256.
Сравним найденные приближенные значения
9
/ ЗХ\2
Точное значение Я| есть ( * * * 2,46740,
есть
и Я2 с точным.
точное
значение
.2
Я2
^ 22,20661, так что полученное приближение для Я]
весьм а точно, в то время к а к дл я второго собственного значе­
ния получено грубое приближение.
П р и м е р 4. Найти первое собственное значение задачи
у " + Я(1 + х 2) у = 0,
У ( - 1 ) = У(1)=*0.
Р е ш е н и е . Возьмем в качестве координатных функций
функции фа(х) = 1 — х 2к ( 6 = 1 , 2, . . . ) , очевидно удовлетво­
ряющие граничным условиям. Принимая
У (* ) = С, (1 - X2) + с2 (1 - * ) ,
м
172
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. f l f
поставим задачу о минимизации функционала
1
J[y}=
| [ / - М 1
Х*)у*]йх,
+
—!
д л я которого данное уравнение есть уравнение Эйлера.
иметь
1
•
. '■ .. _ ■ •
1
2 /8
128 Л , 0
/ 16
/==С* ( Т “ 1 0 5 ) +
1А 5
64
45
\
2 /32
J+ 2 W
Б уд е м
у
5888
3465
Д л я определения с i и сг получаем систему
д!
„
/8
128 І
||Ш § || VТ 1 106
д!
_
-дГг - ■ g
/ 16
§ Г “
/16
)+
2\
5
64 \
І
/32
4Б I j | 202 Щ I
64
\
1
45 J °’ I
5888 Л
3465 I g j I
[
]
Условие сущ ествован и я ненулевого решения последней системы
дает
52А,2 Щ 1068Л + 2079 = 0,
о тк уд а , в з я в меньший корень, находим A,j = 2,1775.
Принцип Рэлея. П усть имеем з а д а ч у о собственных зна­
чениях
v
.
L \у ) = ~ ^ [ p ( x ) ^ j + q ( x ) y = 'Kr(x)y1
а {у ( а ) + $ ху (а) = 0,
/ х
« 2 У (&) +
(Ь) —
cti + P j > 0 ,
9 . э
Л
а 2 + р2 > °»
*
(14)
*15'
где р ( х ) , р ' 1 | | q { x ), г ( х ) непрерывны на [а , &]; р ( х ) > ' 0 на
[а, Ь].
ч
^
Функцию у (х) назовем допустимой (у Ш Ш), если она
д в а ж д ы непрерывно дифференцируема и у д о в л е т в о р я е т к р а е ­
вы м условиям (15).
•
Предположим, что дл я каж дой допустимой функции у (х) вы­
полняется условие:
ipt (у) d x ^ 0.
а
В этом случае кр аевая зад ач а (14) — 15) имеет лишь действи­
тельные собственные значения
Задаче о собственных значениях можно поставить в соответ­
ствие следующую вариационную з а д а ч у :
§ !5] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
173
среди всех допустимых функций у(х) таких, что
r ( x ) y 2 d x > О,
(16)
а
yL(y)dx
найти такую , д л я которой
--------------- ---- min
г ( х ) У2 dy
а
Пусть у = фі(дс) есть решение этой задачи#
Если Аі есть минимальное значение, т. е. если
Яш
I
л
.
т
'
J ф,L ("фj) dx
yL (у) dx
а
IK
Ш Ш а-
Л‘ = „ « о --- ----------------------- 5
J г (х) у 2 d x
J rij)j d x
а
а
то At является наименьшим положительным собственным значе­
нием, а г[?і ( а:) — соответствующей ему собственной функцией.
Если на допустимые функции, кроме условия (16), наложить
еще одно условие
-
ь
г'фху dx = О
а
(условие ортогональности), то задача
J yL (У) dx
а
m in
J гуъ d x
снова будет, иметь некоторое решение njfef*) .
Если Аг— соответствующее минимальное значение, то м бу­
дет следующим по величине (Аг ^ Ai) собственным значением,
а г|?2( х ) — соответствующей ему собственной функцией, ортого­
нальной к \f>t (х ). Вообще, если у ж е известны первые к положи­
тельных собственных значений
174
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. III
и соответствующая им ортогональная система собственных
функций
.
V'\' "V
*ф| ( я ) , ^2
• • •>
(*)»
то следующее собственное значение равно
Г || (У) dx
•»
. а
Ал+і — т , п
и
иШШ
f г у 2 dx
а
причем теперь рассматриваются те допустимые функции у(х),
дл я которых, кроме (16), выполнены следующие дополнительные
условия:
J
г ( jc) фу (* ) У (* ) d x = 0
(v = 1, 2, . . . , k).
а
Если в уравнении (14) функция г(х) > 0 на [а, Ь\ то для
оценки сверху наименьшего положительного собственного значе­
ния Һ часто используют следующее неравенство (принцип
Р э л е я ):
*
Г yL (у) dx
к, Ш °
J r y 2dx
П р и м е р 5. С помощью принципа Рэлея оценить At дл я
следующей краевой задачи:
- у " = Щ>
У'( 0) = 0,
0 ( 1 ) = 0.
Р е ш е н и е . В нашем случае L (у) ш — у", т. е. р (х)
I > 0 , q ( a:) s 0 и г ( * ) = 1 > 0 на [0, I]. Очевидно, а х = 0 ,
pj = 1, а 2 = I, Р2 = 0, так что a j + р j = I > 0, а ] +
= 1 > 0.
В качестве допустимой функции возьмем у (дг) = 1 — х 2\ согласно
§ t5] СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
175
принципу Р эл ея будем иметь
\
і
і
f tjL (у) dx
,
Г 2 (1 — x 2) dx
о
______
Я і < ----- j
i
j r y 2d x
0
~
f (1 - x2) dx
0
\
4^
Отметим, что точное значение
3
8
_ OR
*
15
ft*
= - j - « 2,4674.
В следую щ и х з а д а ч а х оценить н аи м ен ьш и е собст­
венны е значения:
2 2 9 . — у " = 1 { 1 0 — х2) у \ у ( — \ ) = у ( 1 ) = 0.
2 3 0 . — у " = Х у \ у (0) = t / ( l) = 0.
Метод Канторовича (метод приведения к обыкновенным диф­
ференциальным уравнениям) так ж е может быть использован в
задаче разыскания собственных значений и функций. Пусть, на­
пример, имеем уравнение
A2 + Az = 0
в области D и пусть
z |р = 0,
где Г — граница области D.
Будем искать решение в виде
т
*т = 2
к=1
ak W
+ Фо
У)'
причем координатные функции фh(xt y) и неизвестные пока
функции оса(х) выберем так, чтобы z m(x, у) обращались в нуль
всюду на Г. Функции a i ( x ) , а г ( х ) , . . . , cim(x) должны удовле­
творять системе уравнений
J [Azm + Кгт] фй (дс, y ) d y = 0
(ft = I, 2, . . . т)
(17)
щ
и обращаться в нуль при крайних значениях аргумента. Здесь
Dx — сечение области D прямой х = const.
Те значения D ,, при которых система (17) имеет нетри­
виальное решение, д ад ут приближенную величину собственных
значений, а сами решения д ад ут приближение к собственным
функциям.
.
;
00
176
ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ІГЛ. ПГ
П р и м е р 6. Найти приближенно первое собственное зна
чение и первую собственную функцию задачи
г |г « О,
Дг + Я* — 0,
г д е область D — прямоугольник: — а < х < а, — Ь ^ у К, Ь.
Р е ш е н и е . Ищем решение задачи в виде
*1 (*, || — (У2 — Ь7) а х (х).
Уравнение (17) в этом случае примет вид
һ
[ 2 а + (у2
j
—
Ь2) а." + Я (у*
b*) a j (у2
—
—
-b
b*) dy = 0
i
или
1
‘4 '+
( f Л
- I
‘ 3) “ г - 0.
08)
a i ( — a) = a i ( a ) « 0 .
Общее решение (18) есть
а (* ) = Ci sin 1 / Я — ^ 2
*х + ^2 cos
Я — 2^2
х
У читы вая симметрию задачи и выбирая частное решение, полу­
чаем ^
V
. —
С 2 cos у
C i — 0,
Я "" 2^2 ® ==
откуда ясно, что нетривиальное решение получится только, если
K- - h
a = ( 2 k ~ 1}т ;
(2fe - 1 )2 я 2
(2а )2
.
А”
5
2&2 *
В частности, для к = 1 находим
(2а )2 * ( 2Ь)г
вместо точного значения
л2
Я = ~ТК~~2 +
Ошибка меньше 1,3%.
зт2
I Iff СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
177
Д л я первой собственной функции получаем приближение
4
Zi (*, У) —(У1 — ьг) cos .
S В следующих задачах найти приближенно первое
собственное значение;
231. у" + Ъ?У =* 0, у ( 0 ) = у ( 1 ) = 0.
232. у " + * (2 + cos х) у = 0, у (0) ■ у (я) = 0.
233. Найти приближенно первое собственное значе­
ние задачи
Д2 - Ь Я г = 0,
г|Г = 0 ,
где область D — круг единичного радиуса с центром в
начале координат.
ОТВЕТЫ
И УКАЗАНИЯ
о
(0,0); б) ах=1
(0,0);
в точке
fm
в точке
в) э к с т р е м у м а нет. 2. Э кстрем ум а нет. 3. fmla = — 8 в точках
(г/~2, — У 2 ) и ( — V 2 , V 'T ); в точке (0, 0) эк стр ем ум а нет.
4. /т ’,п = 0 в точке (0, 0); в точках окружности х 2 + у г = 1 имеет
место нестрогий максимум. 5. fm ax= K 3 в точке (1, — 1)*®» /min
^
1. a) /min =
в точке
( у . •. 1)* 7- /ш1п = — 1 в
31/Т
/2 я
2я\
( 1, 0).
точке
,
3 Уз"
я
(л
в точке (— • I " ) 5 fmax = ~ ~ Т ~ В точке \ Т * 3 J*
------------g
пЧ-л+2
2
—
»• In,., -
8. /Ш!п
( v + 7 + 2)
*
пр«
х
,
= jn p p p j.
11. Нет. 13. Числа а . и В. долж ны быть коэффициентами Ф урье
1
/ 1
и
,
функции / ( х ) .
14. /га1п = — — в точках
m“ ~yrf ) и
.
1
1 \
1
/ 1
1 \
/
1
—— I —- — I; /тах = — в точках ( ■— , —р=г] и [ -----V2
V2]
2
1/2
V2]
V } 2
1 \
/2/
15. /min = — в точке /— , —
16. f m l n = 4 в точ13
М3
13
4
/ 4 4 7\
к а х (2, 2, 1), ( 1, 2, 2) и (2, 1, 2); /шах = 4
в точках I— , у , y j ,
а
p f 4 * 4 ) зи (4 * у * 4 ) -
2
ш fmix4_ e 4з*
18‘ /ш,п_ 1
в точке f y ; y j ; fmax = 11 в точке ( “ у » “" у ) ' 19- fm in= —19
в точке ( — 1 , 2 , —2); fmax = 9 в точке (1, —2 , 2 ) . 20. fmax = 8
в точке
4 r V 21. У к а з а н и е .
о/
х
И скать минимум функ-
\о
6
■ ■ 1 ■•Т •.
4V 5
ции г = — (хп + і/л) при условии х + У = S . 22. с4. 23.
16
24. — | —.
25. К в а д р а т со стороной a = R
26. Р ад и у с
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
179
\
й
#
2
/ 2
осиоваьия цилиндра г== — Т / 2+ - - = , высота А=/? Т / 2
27. Первый. 28. Близость любого порядка. 29. Близость любого
порядка. 30. р = в *. 31. р = 1. 32. р = е — 1. 33. pi = в
1.
34 р д ,
.X— . 35. р 1001 = в. 36 Непрерывен. 37. Непрерывен.
С6
І ^ .
/
t v sin я * 1
38. Разрывен (рассмотреть последовательность */л (* ) = — —
39. а) Разрывен; б) непрерывен. 40. а) Разрывен; б) неггрерывен.
1
41. Непрерывен. 45. Д/ = -----1— .
—
48.
ы
Д/
<*
1
- 0,1
0,01
1,2
■0,098
0,01002
6/ = а .
5to
Од
1
0,1
0,01
а2
Д/ = а + g ,
II
49. д/ = ^ - = - ^ - а + 66 (( 33 -- е ) а » + 4 - : 6/ = ^ Ц = - ^ а
Л/
6J
a
6,6821
4,7919
1
0,4963
0,4792
0,1
0,0481
0,0479
0,01
50. 1) Д а; 2) да; 3) д а; 4) нет. 51. 6J2 [ y ] = 2 J [y]-6J [у].
53. Д/ = ЗЙ + ~ Г Г fe2; S/ = 3k
Д/
к
4,582
0,3158
0,03016
1
0,1
0,01
5
ft + у А 2; 6 7 - J - f e
3
д/
к
54. Д/
1
- 0,1
0,01
2,810
0,181
0,0168
4
Ж 6/ Й 0;
3
к
55. Д/
—1
0,3
0,03
#1
Л/
3
0,3
0,03
б/
1,667
0,167
0,0167
0/
А/
0
0
0
1,3333
0,1200
0,0012
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
т
О
57. Ы
я
v
J by d x . 58. Ы = 2
J
a
a
(у b y - у ' fit/') d x
dx
1
59. 6/ = 2у (0) • by (0) + J (* 6# + 2i f by')
0
л
60. 6/
J ( y f cos Й 61/ + sin у b y ') dx.
0
6 1 . 6/
dy.
%1
a
дУп
62. 62/ [г/, у ] = 21 [by, by].
63. e V M - e ^ a w f + a V ) .
m
В
65. 62/
a
ft, /= 0
66. 6V
f
b y Ш 6y<z> dx
d y (k) d y (l)
" (б ,)2 + и
,
бг
Ц
.
.
.
... + ғ " ,
, ( b z ' y f j d x dy
z yz y
J
n
67. b2J
tf
a
n
I k=*l
П
+ V
i, *=1
f •
/ Wi
byk J jc.
Уі Уь
1 *
68. Ввести в рассмотрение функционал
/ [ф + сх*п] = Ф (а )
и воспользоваться вторым определением вариации. Требование
б / = 0 приводит к интегральному уравнению
К §§, t) ф (s) d s + ф (/) — f (/) = 0
a
69. По.ступая аналогично тому, как сделано в предыдущем
примере, находим, что функциональное уравнение Эйлера, выра-
18f
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
жаю ш ее обращение в нуль первой вариации, имеет следующий
вид:
(Р Ф ')' - Ф (* + 2) - ф (х - 2) + ф (x) + f (х) — 0.
Это — смешанное дифференциально-разностное уравнение.
ч
sh (2 — х)
70. — (рф ')' + <7Ф= / (х). 71. у = — х 3. 72. у = — sh 1
73. Д ве экстремали
У~
I + ( 3 ± 2 V 2 ) (2х — 1)
4 ( ^ 2 ± 1)
3/------------аIг------------74.
Д ве
экстремали
у = У ( х + О2,
у — і (Зх — I)2 .
75. у = (С + х) sin jc, где С — произвольная постоянная. 76. # =
=
1е~~х + ( І + е) хе х — 1] . 77. у = ~ х
— х 3. 78. у =
х—
—. JL х 3 + 2. 79. = In х. 81. Интеграл не зависит от пути интеШ
грирования; вариационная з а д а ч а . не имеет смысла. 82. у = 0,
если а = 0; при а ф 0 гладкой экстремали не сущ ествует.
83. у = cos х. 84. r/ = co sx + С sin х, гд е С — произвольная по­
стоянная. 85. у = х + 1. 86. у =
87. # =
(1 Л). 88. Нет
экстремалей; уравнение Эйлера не имеет решений. 89. у = С і +
+ C2x ---- 90. Нет экстремалей. 93. y = C i e x+ C 2e ~ x +
xex*
Ш
94. у = 2 ch x.
96. у = Уі Sin - .
97. у = 2*.
98. О кружность
— = /C. 99. y — (l — x ) s h x . 100. у =» — ( л Ч -& е + 1). 101. Экстрем ум а нет. 102. Вариационная задача не имеет смысла, так как
под знаком интеграла стоит полный дифференциал. 103. у ( x ) = s h х.
| j ( * ) « s i n 2x,
104.
=
**• 105- { * ( г \
х * , 32 ± ” * j
2
| z ( * ) ----------2~
8зх
( У <*).=» “ 4 - (** + Ъх 106 \
ь
1
/ % *
108.
I
у ( * ) = * =2- £ + ! .
2 (JC) *= 1.
6).
Г У ( * ) = sin X,
107. < , .
.
I 2 (х) — Sin X.
г
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
182
п
112. 2
д х ( aj (x v *••• * я ) д х Т )
/«ре!
I
2
> :.Г>
в / («*ь
113. Р е ш е н и е . Задача ставится так. Среди поверхностей
z = /(*, у), расположенных над областью D плоскости хОу и
проходящих через заданную замкнутую пространственную кри­
вую, имеющую своей проекцией граничную кривую Г области Dt
найти такую, площадь которой
С
.
5== J J V i + q>l + 4>2y d x d y
D
Щ
К-
минимальна (задача П лато). Д л я этой задачи дифференциаль­
ное уравнение Эйлера есть
.*
д
<Рх
j§ _______ <9у
^ 1
d* V l + t l + t l
А
Ж
«ь
_ 0
Л
Щ V i + fl + fl
или в развернутом виде
Фх* О + ФI ) - 2УхуУх% + Фг/ ! / ( 1 + ФІ) = °*
Это и есть искомое дифференциальное уравнение минимальных
поверхностей. Физическое осуществление минимальной поверх­
ности дает, например, мыльная пленка, н атян утая на проволоч­
ную петлю.
4 1
114. z ( x r у) = у. Задача имеет единственное решение, хотя
граничные условия заданы не на всей границе.
115. г cos ф + С2 = C j In г sin ф + V г 2 sin2 ф — С\
117. х 2 cos С2 — У2 cos С2 — 2ху sin С2 — .С\.
118. Центральное поле. 119. а) Собственное поле; б) цен­
тральное поле; в) поля не образуют. 120. Собственное поле.
121. а) Центральное поле; б) поля не о б р азую т в) собственное
поле. 122. а) Центральное поле; б) собственное поле; в) поля
не образуют. 123. Поля не образуют, так к а к это семейство кри­
вых покрывает не всю область D. 124. у = C i c h x образуют соб­
ственное поле экстремалей; у = С2 sh х образуют центральное
поле экстремалей. 125. у Ш С cos х образуют собственное поле
экстремалей; y = C s i n x образуют центральное поле экстрема­
лей. 126. Экстремаль у = ^ ( 1 — х 2) включается в центральное
ц
I ■
•
поле экстремалей у — С }х -----| г с центром в точке 0 (0, 0).
127. Экстремаль у = ех можно включить в собственное пате
экстремалей у = ех + С. 128. Если а < я , то экстремаль у == О
можно включить в центральное поле экстремален у = С s i n x
183
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
с центром в точке 0 ( 0 , 0 ) . При а > тс семейство кривых
и = С г л п х поля не образует. 129. Экстремаль у = х + 1 вклюх2
чается
в собственное
поле
у =*= х + С.
130. у — ----- — .
131. у
= 0.132. у2 — 1 = 0. 133.0 * ( 1 ,0 ) . 134.Сопряженной
точки нет. 135. Выполняется. 136. Выполняется при любом а.
137. Условие Якоби выполнено. Экстремаль у = 0 можно вклю­
чить и в центральное и в собственное поле экстремалей. 138. УслоЬ— 1 , 1
вне Якоби выполнено. Экстремаль
=
можно
включить в центральное поле экстремалей с центром в точке
Л(0, 1). 139. Условие Якоби не выполнено. 142. Д а. 143. Да.
144. Д а. 145. Д а, но условие Л еж андра выполнено лишь при
— < 1 . 146. На функции у = ех достигается сильный минимум.
а
147. На функции у = 2 In {х + 1) достигается сильныи минимум.
148. На функции у = х2 достигается слабый минимум. 149. На
прямой у — — х достигается слабый минимум. 150. На кривой
In (1 + £ ) достигается сильный минимум. 151. На кривой
“
In 2
у j i j c o s x + sin х достигается сильный максимум. 152. Экстремум
на непрерывных кривых не достигается. 153. На прямой у =
— 2х + 1 достигается слабый минимум. Сильного экстремума
нет. 154. На экстремали у = 2 х — 1 достигается сильный мини­
мум. 155. На экстремали у — х г достигается сильный минимум.
156. На экстремали у — х — 1 достигается слабый минимум.
157. Пои I Ь |< —%=■ на экстремали и — — х
н '
Y2
а
достигается слабый
минимум, а при |b | > - ~г—— слабый максимум. При |Ъ |=
у 2
У£
экстремум
не
достигается.
158.
На
экстремали
у
У Ш Щ — p,/s) * + р8/’]2 при р ф q достигается слабый мини­
мум; при р = q экстремалью является прямая у = р, доставляю­
щая слабый минимум.
sh -^ r
159. а) При е > 0 экстрем аль у = -------- ;— доставляет функ-
Щ
1
ционалу сильный минимум, б) При е < 0 , | в | > - ^ экстремаль
sin
.
Й
У —-------- У \ ? ±
sin 1ттяяг
У \Г
I#
доставляет
функционалу
сильный
максимум
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
184
в) При е = 0 решение экстремальной задачи в классе непрерыв
ных функций не существует.
х-1
Рассмотрим функцию */е (х) = е
(е> 0 ),
являющуюся
решением уравнения Эйлера еу" — у = 0 для данного функцио­
нала. Функция у г (х) удовлетворяет граничному условию у ( 1) = 1
точно, а второму граничному условию у ( 0) = 0 она не удовле­
творяет. Однако lim уг (0) == 0. При е ->• 0 получаем из Уг(х )
в->0
«предельное решение»
У(х)
160.
Экстремаль і/ = -ІпІГ—
дзет
сильный ми­
нимум. 161. На экстремали у(х) = 1 имеем__сильный минимум.
162. На экстремали у {х) = ~г х при — <
U
и
бый минимум, при
ь
V3
— > —2“
достигается ела
*
достигается слабый максимум, при
~
- д а ж е слабый экстремум не достигается. 163. На
а
2
{
щ
я:
t
•
? __ •
прямой у = — х при b С а достигается слабый минимум; при
b > а — слабыймаксимум; при Ь Щ & У 3 — сильный
м акси м ум ,
а при 6 < а 1^3 нет ни сильного минимума, ни сильного макси­
мума. 164. На экстремали у = 2х,
г = 4х достигается слабый
минимум, ~
i
165.^Экстремалью является парабола
У
=
х
_ 2_ v
| * которая
включается в центральное поле экстремалей
У = а>х >
z = х2 + Ы
(S)
(а, Р — параметры), с центром в точке ( 0 ,0 ,0 ) . Выполнение уси­
ленных условий Л еж ан дра очевидно. П окажем, что^ на отрезке
0 < х С 1 не содержится точки **, сопряженной с точкон
х = 0. Д л я этого достаточно убедиться, что экстремали с^*ейства (S) не пересекаются с данной экстремалью при дсе.[0, I].
В самом деле, допустим, что в точке х* е (0, 1] пересекаются
какие-нибудь две экстремали семейства ( S ) . Тогда будем иметь
atx* = а2л \
1
х ? + М * * ***+ рал
}
Отсюда вытекает, что cti = 0С2 и Pi = Р2. Следовательно, ни­
какие две разные экстремали не могут пересекаться. Таким об-
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
разсм, усиленное условие Якоби выполняется на отрезке [0,1] и
вообще на любом отрезке конечной длины.
166.
Семейство экстремалей #( х ) = С і с һ—
-Л. Про­
извольные постоянные Сi, Ci и параметр \ определяются из
условий
- *■;
. Кf ’ | f e '
А
Уо = С , Ch щ
^ - - к
Jfl — С 2
. *0
e f - ®
®
V
T
+
F
A
c
,
H
V
167.
целое число.
й
» » '
у ( лс) = Зле* + 2jc + 1. 168 у (х) = ± 2 sin п яде, где я —
169. у (х) = — ( 2 х — х 2).
z = Ci + С3ф. 172. —р=-.
К5
, 78. - £ j i .
- я,
у , = С, ch £
171. г = R,
170. |^б".
173. |^20. 174. 2 ] ^ — 1. 175. -
179. у ! 7 + 4 / б 7 - | - / б ' ) .
cos Х\ ф 0, то экстремум мож ет
180. 1.
достигаться
10
181.
Если
лишь на прямой
^
* г • Если ж е cos х\ = 0, т. е. Х\ = -г* + пл, г д е п — целое
г = 0 )
*
число, то у ш- Ci sin х, z = — C4 sin ЛГ, гд е С4 — произвольная по# У
* if* !
"V
* '
*
стоянная. 182. / {А, В) — 4 cth 1.183. / Ц
I
'
.
‘
**
J3) Я - ^ - .
*
*
»
* !
:"
" J i .
.
184. у = 2дс3 .
185. Ломаные линии, составленные из отрезков прямых у = х и
н = I или из отрезков прямых у = 0 и у = х —■1, дают абсо1
лютный минимум. П рям ая у = — х д а е т слабый максимум.
186. г/= — я при О ^ д с ^ І ; у — х — 2 при I < х < 4 и у — х при
0 < х < 3; у = — х + 6 при 3 < лг < 4. На той и другой ломаной
функционал достигает абсолютного минимума, 187. Не сущ ест­
вуют.
188. « ==( °* * ^ 0’
189. Экстремали — прямые линии.
х, х > 0. ;
У2
—
У\
< 1, то существуют д в а разрывных решения —
Если
х 2 ' ^1
ломаные линии, параллельные биссектрисам координатных углов.
190. П рям ая I/ = дс: tg ф, соединяющая заданные точки, д а е т сла­
бый максимум, если 0 < tg <р< зх, слабый минимум, если я < tg<p <
< 2л, и т. д. Л оманая линия, составленная из отрезков прямых,
4п — 1
,
тангенс углов наклона которых равен ----- g— 71 ' п
^елое
число), д ает сильный минимум.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
186
191.
3 (х -
10)
10.
34
192. Экстремали — эллипсы
(х + С ,)«
!
(1)
С2
с центрами на оси Ох. Граница допустимой области опреде­
ляется уравнениями у = 0 и (/2 = =Ь2(л: — Сз) (последнее есть
решение уравнения 1 — у 2у '2= 0 ). Параметры С\ и Сг подби­
раются так, чтобы эллипс (1) проходил через заданные точки А
и В . На дуге эллипса функционал достигает максимума. Если
путь от точки А до точки В выбрать по д угам д вух парабол
(и, возможно, по отрезку прямой у = 0 ), то получим разрывное
решение, на котором функционал достигает минимума ( m i n / = 0 ) .
104
195.
dy
dx
dy
dx
x *y i dp — x2y 194 d y = P
— = p7
-TT
4p 2 ’ d x
2p ’
’ dx
2xy ' d x
4xy2 '
p
___
dp __________ У_______
У x2+ у2 — рг '
dx
V x 2 + у 2 — p2
,96 i a = -£L i R L = 0
dx
2 * dx
’ dx
dyz
Pi , dpi
p,
dp2
2і/2 ■ d x
d*
Ay\
.no d y t
1 9 8 ,:d
r
____ J L
dx
2 ’
pt
Г*
dx
dy2 _
'S T ”
dx
' Fz’
f|
199. y 3 = C ,x 3 + C a.
V
= 2y2. 197. p - =
2 ’ dx
ai
dx
2jr,'
Pi
ft *
Ay\
—
y
----- h <?■.
•* / о 2 Ы - с ?
f**3
° 1 , S 'L * #
..
Ф*
f t i
dpi ___ 9
rf*:
’
ҮРг’
ф - = 2х,
dx
“ „ ■
■■■
4
Г
‘
~щ
'
0.
d*
V ,
' A
200. y 3 = In2 x.
»
201. x = C , X
202. На экстрем али у
5
достигается сильный минимум: m in I = — g p
dp2 _ n
2
203. р (х, у)
Экстремали — полуокружности | В V С* j j ( * j j j С 2)г
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
187
с центрами на оси Ох; у — V 2С\Х — х 2 — экстремали, проходя­
щие через . начало О (0, 0); поле — верхняя полуплоскость.
204, Д у га окружности с центром в точке О (0, 0), проходящая
через точку Afj ( х ь у х) д ает сильный минимум. 205. xF
С-
206. Эллипсы Зх2 — 8ху + 6у 2 = С. 207. х 3 + 2у*—Ъху2—2х2у= С .
208. f = V 1 + у ' 9.
209. f = x y V у'.
211. f = * y
| г) ( * V 2 + У2) .
213.
Интеграл
Указание.
-
—
■■ ■
■■■■—
■■
210. f = х у у ' 2.
212. Цепная линия.
/= №
действия
J + 2A X
~
j ^
У
2
*
2
214. Траектории — эллипсы - 77- +
р2 + р' гіф.
2 cos 6
sin2Э
rp
,
,
sh х
r
jti/ = ——- . 215. Точное решение у = ----------- х.
У С (2Һ — С)
k
sh 1
216. Точные решения, а) у ^ 0, б) у — х. 217. Точное решение
1
2 sh х
у = ~ (х2 — х). 218. Точное решение у =
— х. 219. У к а ­
зание:
приближенное
решение
искать
в
у п (х ) =
виде
п
(1 — х 2)
%kx 2k. Точное решение у И со$~~тг •
У к а-
Һ=0
з а н и е: в качестве координатной функции взять ху; тогда
Ъ2
—
Л2
Z. = — —-— г- хи.
221. У к а з а и и е: в качестве координатных
о2 + а2
функций взять фо (х, у) = х 2 + у 2, фі (х, у) = ху (1 — х — у ),
<р2 Щ у) = х 2у ( 1 — х — у),
фЛ (х, у) = хпу { 1 — д: — */). Тогда
2-3 (.v, г/) = х 2 + У2 + х у (1 — х — у) [3,0401 — 0,0562 (х + х )].
222. У к а з а н и е : первое приближение искать в виде Z\ (х, у) =
У2 — -4 -1 а ( х ).
Т огда
z x ( x , y ) — — ^ ( I — т ) (у
а
223.
2 i (jc, у) =
224.
Я „ = 1 + я 2я 2,
Н
£ -
ш
М
в
Ё
^у2 - у * 2) jj j _ g9- 1 — - y z T t f - * - 5 ~ 1
y n ( x ) = ± V 2 sin ляле
Ц
.
/ ЛЯ
( я = 1 , 2 ,...).
.
Ж
,
І Ш
й І
Ж
. Sm I In 2
,
onc ,
225> Хп Я ------І І Р І ---- І Уп Щ — ± - 7 = = — . 226. Яя
у ІП ] р г К *
25 + 4 я2я 2
, ч
JfTt sin ( я я In х)
,
, 0
ч
Ш ---- Щ--------- ,
Уп (х) = ± ---------- гр=------- 1
( п = 1 , 2 , ...),
4
Ух
227. АЛ = 1 — я 2, г/я (х) = ± ’ у
— sin n x (я =
1, 2, . . . ) .
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
188
228.
tin In (I + *)
13 In» 2 + 4п»я»
Ял_
4 In*2
f .
’
___ I
Va{)
»n2
]
V In y j У Г + х
(n— 1, 2 , . . . )
1
229. Берем y = l — x 2, получим
‘35
|
::
Точное значение
•
Я, == -І-. 230. Берем у — х (1 — х), получим Л, < 10. Точное зна­
чение Л , = я 2. 231. Я,2= 1 0 ; точное значение
233. Л, = 6; z , К у ) = а (дс2 + уг — 1).
я 2. 232. Я,, = 0,493.
'V
ЛИТЕРАТУРА
1. А х и е з е р Н. И., Лекции по вариационному исчислению.
Гостехиздат, 1955.
2. Б е р н ш т е й н С. Н., Об уравнениях вариационного исчисле­
ния УМН VIII (1941).
3. Г е л ь ф а н д И. М., Ф о м и н С. В., Вариационное исчисле­
ние, «Н аука», 1969.
4. Г у р с а Э., Курс математического анализа, т. III, ч. 2,
ОНТИ, 1934.
5. Г ю н т е р Н. М., Интегрирование уравнений с частными про­
изводными первого порядка, ГТТИ, 1934.
6. Г ю н т е р Н. М., Курс вариационного исчисления, Гостехиз­
дат, 1941.
7. Г ю н т е р Н. М. , К у з ь м и н Р. О., Сборник задач по выс­
шей математике, т. Ш , Гостехиздат, 1947.
8. Д е м и д о в и ч Б. П., Сборник задач и упражнений по мате­
матическому анализу, «Н аука», 1972.
9. К а н т о р о в и ч Л. В., К р ы л о в В. И., С м и р н о в В. И.,
Вариационное исчисление, М., «Кубуч», 1933.
10. К а н т о р о в и ч Л. В., К р ы л о в В. И., Приближенные ме­
тоды высшего анализа, Физматгиз, 1962.
11. К и с е л е в А. И., К р а с н о в М. Л., М а к а р е н к о Г. И.,
Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравне­
ниям, «Высш ая школа», 1967.
12. К о л л а т ц Л., Численные методы решения дифференциаль­
ных уравнений, ИЛ, 1953.
13. К у д р я в ц е в Л. Д., Математический анализ, т. II, «Высшая
школа», 1970.
14. К у р а н т Р., Г и л ь б е р т Д., Методы математической фи­
зики, т. I, II, Гостехиздат, 1951.
15. Л а в р е н т ь е в М. А., Л ю с т е р н и к Л. А., Курс вариаци­
онного исчисления, Гостехиздат, 1950.
190
ЛИТЕРАТУРА
16. М и х л и н С. Г., Прямые методы в математической физике,
Гостехиздат, 1950.
17. М ы ш к и с А. Д ., Лекции по высшей математике, «Н а у к а »,
1969.
18. Р о ж д е с т в е н с к и й Б. Л., Лекции по математическому
анализу, «Н аук а», 1972.
19. С м и р н о в В. И., Курс высшей математики, т. IV, Физматгиз, 1958.
^ Ш
20. Т о л с т о е Г. П., Курс математического анализа, т. И, « Н а у ­
к а », 1966.
21. Ц л а ф Л. Я., Вариационное исчисление и интегральные у р а в ­
нения, «Н аука», 1970.
22. Ш и л о в Г. Е., Математический анализ (Специальный кур с),
«Н а у к а », 1970.
23. Э л ь с г о л ь ц Л. Э., Дифференциальные уравнения и вариа­
ционное исчисление, «Н а у к а », 1969.
О ГЛ А ВЛ ЕН И Е
П р е д и с л о в и е ..................................................... . . . . . . . .
Предварительные замечания . . ......................................................... 5
3
Г л а в а I. Экстремум функций многих переменных . . . .
7
§ 1. Безусловный экстремум ......................................................... 7
§ 2. Условный э к с т р е м у м ....................... .....
15
Г л а в а II. Экстремум функционалов . . *...................................22
§ 3. Функционал. Вариация функционала и ее свойства 22
§ 4. Простейшая задача
вариационного исчисления.
Уравнение Э й л е р а ........................................ .....
46
§ 5. Обобщения простейшей задачи вариационного ис­
числения ....................................................................
64
§ 6. Инвариантность уравнения Э й л е р а .................................. 73
§ 7. Поле э к с т р е м а л е й ....................... _ ........................................ 76
§ 8. Достаточные условия экстремума функционала . . 88
§ 9. Условный э к с т р е м у м ' .................................. .....
103
§ 10. Вариационные задачи с подвижными границами . 119
§ 11. Разрывные задачи. Односторонние вариации . . . 1 3 1
§ 12. Теория Гамильтона — Якоби. Вариационные принци­
пы м е х а н и к и .....................................................................
. 140
Г л а в а III. Прямые методы вариационного исчисления
.
.155
§ 13. Конечно-разностный метод Э й л е р а .................................. 155
| 14. Метод Ритца. Метод К а н т о р о в и ч а .............................157
§ 15. Вариационные методы нахождения собственных зна­
чений и собственных ф у н к ц и й .............................................. 164
Ответы и указания
......................................................................................178
Л и т е р а т у р а ....................................................................................................... 189
Михаил Леонтьевич Краснов,
Григорий Иванович Макаренко,
Александр Иванович Киселев
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(Серия: «Избранные главы высшей математики
для инженеров и студентов втузов»)
М., 1973 г.,
192 стр. с илл.
Редактор А. Я . Салтыков
Техн. редактор И . Ш■ Аксельрод
Корректоры О- А. Бутусова , 7*. А. Панькова
Сдано в набор 30/ХІ 1972 г.
Подписано к печати
14/IX 1973 г.
Бумага 84X108'/** тип. № 2.
Фнз.
печ. л. 6. Условн. печ. л. 10,08.
Уч.-изд. л. 9,74.
Тираж 42 000 экз.
Т-14467.
Цена книги 34 коп.
Заказ X* 416.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Мипистров
СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
1
Размер файла
9 357 Кб
Теги
3355, makarenko, kiseleva, krasnoy, ischislenie, variacionnoe
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа