close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

4229 rustyumova i. p. kuznecova t. a. rustyumova s. t posobie dlya podgotovki k edinomu nacionalnomu testirovaniyu ent po matematike

код для вставкиСкачать
ALMA MATER
И.П. РуСТЮМОВА?
T.A. КУЗНЕЦОВА
c.i^y C T to M O B A
ШШ ш ш е
&$, fjL / 0 2 9 2J i
. 1G к Ш Ы А М Л & С С
Я к С 'Ю Я - С
62*623-А Б - 550.00
51
P88 Рустюмова, И. П.
Пособие для подго­
товки к единому нацио­
нальному тестированию
(ЕНТ) по математике:
учеб .-метод, пособие. Алматы, 2005
ш ш
i> 1
P88
И. П. Р У С Т Ю М О В А
Т. А . К У ЗН Е Ц О В А
С. Т. Р У С Т Ю М О В А
ПОСОБИЕ
ДЛЯ ПОДГОТОВКИ
К ЕДИНОМУ
НАЦИОНАЛЬНОМУ
ТЕСТИРОВАНИЮ (ЕНТ)
ПО МАТЕМАТИКЕ
PRESS
Алматы
2005
Рекомендовано Учебно-методическим советом
Казахской академии образования им. Ы. Л лт ы нсарина
Р ец ен зен ты :
КАН Анатолий Андреевич - заслуженный учитель КазССР,
КАСАТКИН Владимир Борисович - учитель высшей категории
Р у с т ю м о в а И . П ., К у зн е ц о в а Т . А ., Р у с т ю м о в а С . Т . П осо­
бие для подготовки к еди ном у нац и о н ал ьн о м у т ести р о ван и ю
(ЕН Т ) по м атем атике. Учебно-методическое пособие..— А л м а ­
ты: «Зият П ресс», 2005 - 544 с.
ISBN 5-7667-7904-6
Дапнная работа содержит решения тестовых задач часто встречающихся
в ЕНТ по всем разделам математики и геометрии, где проведена
скурмулезная методическая обработка задач и систематизированы методы
их решения Решения задач отражены просто и компактно на высоком
профессиональном уровне, вместе с тем четко выделены основные методы
решения 5адач в тестах ЕНТ.
Учебно-методическое пособие предназначена для подготовки к ЕНТ
учащихся старших классов, абитуриентов, а также для учителей и
преподавателей мятемят_шси- как аример экономного и подробного подхода к
(эаТФрДОяыдольной программы.
BTWHAafbi ПМУ-Д'П
доемик С.Б«й<?вм0а«Ц
^аты ндаш *ыл«ми
I
С ^А П Х А Н А С Ь* *
© Рустюмова И. П.,
Кузнецова Т. А.,
Рустюмова С. Т., 2005
© Зият Пресс, 2005
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта публикация не является учебником или сборником задач по матема­
тике в традиционном понимании. Цель пособия в том, чюбы ознакомить
учащихся с типовыми методами решения тестовых задач, а также научить их
избегать стандартных ошибок, допускаемых поступающими в ВУЗы РК.
Настоящее пособие предназначено в первую очередь для старшеклассни­
ков, готовящихся к сдаче ЕНТ. Оно дает возможность учащимся за короткий
срок ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях по математике из курса
школьной программы.
Материал пособия ориентирован на систематизацию знаний матема­
тических дисциплин и, таким образом, основательную подготовку к ЕНТ.
Материал соответствует программе вступительных экзаменов по математике
и охватывает все разделы школьного курса.
Стоит отметить, что за последние годы общий уровень математической
подготовки выпускников школ резко снизился. Большинство учащихся плохо
владеют простейшей техникой тождественных преобразований, не умеют
строить графики элементарных функций, не обладают пространственным
воображением и не имеют навыков логического мышления (см. табл.).
Результаты, показанные абитуриентами в ЕНТ, являются бесспорной оцен­
кой уровня и качества системы среднего образования в Казахстане.
Статистика показывает, что абитуриенты решают всего 30% тестовых
задач по математике. Кратко изложим требования, которые предъявляются
к математическим знаниям абитуриентов, а также прокомментируем содер­
жание настоящего пособия.
Выпускнику средней школы необходимо твердо владеть формулами
сокращенного умножения, легко делать тождественные преобразования и
оперировать с рациональными степенями. В пособии особое внимание обра­
щается на действия с иррациональными выражениями, умение освобож­
даться от иррациональности в знаменателе и выделять полные квадраты в
иррациональных выражениях.
Навыки в решении рациональных уравнений заключаются не только в
умении решать квадратные уравнения, но и в умении применять теорему
Виета в нестандартных ситуациях, раскладывать многочлены на множители,
вводить новые переменные для понижения степени уравнения. При решении
3
Данные по ЕНТ за 2004 год по РК
(тестирование по математике)
№
Область
Каз.отд.
Рус.отд.
Кол- Ср.
балл
во
Кол- Ср.
во балл
Город
Село
Кол- Ср. Кол- Ср.
балл во балл
во
1 Акмолин­
3314 8,32 6130 9,61 3814 10,34 5630 8,35
ская
2 Алматин­
ская
13695 7,78 5502 9,28 6396 9,13 12801 7,75
3 Актюбинская
6401 7,95 2435 9,91 4554 9,12 4282 7,82
4 Атырауская 5469 8,11 1072 10,66 4128 9,09 2413 7,57
5 Западно-Ка­
захстанская 5198 8,05 3672 9,56 3668 9,58 5202 8,03
6 Мангистау11,03 3308 9,09 2200 7,59
ская
4557 7,96 951
7 ВосточноКазахстанская
9687 8,50 8565 10,53 9441 10,47 8811 8,36
8 Жамбылская 8330 8,04 2433 10,42 4437 9,98 6326 7,60
9 Карагандин­
ская
6460 8,56 9384 10,56 12538 10,24 3306 7,85
10 Кызылординская
7507 7.82 602 10,34 4975 8,37 3134 7,43
11 Южно-Ка­
захстанская 21755 7,70 3072 10.27 9592 8.98 15235 7,41
12 Костанайская
2456 7,88 8193 9,75 5284 10,57 5365 8,09
13 Павлодар­
ская
3403 9,18 5097 11,01 4901 11,59 3299 8,43
14 Северо-Казахстанская 1848 8,52 6497 10,48 2620 12,29 5725 9,02
0,00
1244
10,54 2205 11,53 3449 11,17 0
15 г. Астана
0,00
10,77 7807 12,16 12382 11,64 0
16 г. Алматы 4575
105599 8,19 73617 10,43 95487 10,15 83725 7,92
Итого по РК
Всего
Колво
9444
Ср.
балл
9,16
19197 8,21
8836
6541
8,49
8,53
8870
8,67
5508
8,49\
18252 9,45
10763 8,58
15844 9,74
8109
8,00
24827
8,02
10649 9,32
8200
10,32
8345
3449
12382
179216
10,05
11,17
11,64
9,11
рациональных неравенств требуется свободное владение методом интервалов,
который является основой решения неравенств в других темах курса.
В пособии разобраны элементарные примеры на применение этого метода.
Метод интервалов при решении неравенств особых трудностей, как правило,
не вызывает. Зато количество технических и арифметических ошибок при этом,
4
пожалуй, больше, чем при решении любых других задач. Одна из причин
тому - привычка определять знак функции в различных интервалах непосред­
ственной подстановкой какого-либо значения из этого интервала вместо ана­
лиза знаков. Помимо возможности арифметической ошибки при вычислении
значения функции, иногда бывает, что берется значение из другого интервала,
особенно если разделяющие их числа являются иррациональными. Метод ана­
лиза знаков представляется гораздо более надежным при решении неравенств
методом интервалов.
Решение различных уравнений и неравенств с модулем предполагает не
только знание определения модуля, но и навыки в использовании свойств
модуля при решении сложных задач. Методы решения таких задач демонстри­
руются в пособии на примерах.
В теме “Иррациональные уравнения” ключевую роль играет понятие
равносильности уравнений на данном множестве. Основой школьной про­
граммы по этой теме являются: определение области допустимых значений,
проверка корней после возведения в четную степень или введение дополни­
тельных ограничений на обе части уравнения. Часто встречающийся пробел в
математической подготовке старшеклассников - неумение решать иррацио­
нальные неравенства. Поэтому в параграфе “Иррациональные неравенства”
подробно разобраны примеры решения таких неравенств.
Решение показательных и логарифмических уравнений и неравенств ос­
новано на знании свойств показательной и логарифмической функций. Здесь
также существенную роль играет искусство равносильных преобразований, а
при решении логарифмических неравенств - умение переходить к системе
рациональных неравенств. Примеры, разобранные в соответствующей главе,
иллюстрируют этйИриемы.
Главной проблемой при решении тригонометрических задач является
недостаточное владение формулами тригонометрических преобразований.
Понятно, что запомнить большое количество формул не просто, тем более,
надо не только знать их, но и уметь выбирать самую полезную формулу в
конкретной ситуации. Единственное реальное средство - решение достаточно
большого количества задач.
Одной из самых распространенных ошибок при решении тригонометри­
ческих уравнений является потеря корней при сокращении обеих частей урав­
нения на выражение, содержащее неизвестную, которое может обращаться
в нуль.
Тригонометрические неравенства и преобразования обратных тригоно­
метрических функций, практически не изучаемые в школе из-за недостатка
времени, также широко представлены в пособии и разобраны на конкретных
примерах.
5
Традиционно на экзаменах предлагаются задачи на профессию. Как пра­
вило, эти задачи также требуют особого внимания. Разобранные в пособии
примеры дают представление о решении подобных задач.
При решении текстовых задач крайне необходимо умение анализировать
весь комплекс условий задачи, составлять верные соотношения между задан­
ными и искомыми величинами и записывать их в виде уравнений и нера­
венств.
В отношении геометрических задач главной проблемой является неуме­
ние найти правильный метод решения. Тем не менее, можно отметить наиболее
часто встречающиеся ошибки, основанные на использовании геометричес­
ких соображений, не вытекающих из условия задачи. Нередко к этому подтал­
кивает неудачно выполненный чертеж, например, если изображается равно­
бедренный треугольник, хотя по условию задачи он таким не является, может
возникнуть желание использовать свойства равнобедренного треугольника,
не имеющие места в данной ситуации. Для того чтобы избежать ошибок тако­
го рода, необходимо тщательнее следить за геометрическим обоснованием
рассуждений.
В пособии авторы не стремились восполнить пробелы учащихся в знаниях
по геометрии, так как это потребовало бы значительных методических усилий
и большой работы с графическим материалом. Первоначально мы ограничи­
лись лишь тем, что подобрали интересные и разнообразные тестовые задачи
по геометрии, стараясь охватить основные темы школьного курса математики
по планиметрии, и упорядочили их по объектам изучения: задачи на треуголь­
ники, четырехугольники и окружности.
6
Глава I
Р А Ц И О Н А Л Ь Н Ы Е Ф У НКЦ ИИ
§1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧИСЛОВЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
Обращение периоди­
ческой десятичной дроби
в обыкновенную
1. а) 0,11(7);
б) 1,(36);
в) 0,2(7).
Сокращение
дробей
3. a)
6)
Применение формул
сокращенного
умножения
л/21+л/М
>/7
’
2-Л0 + 4 -2> /2.
л/5 + л/2 —1
2<Л 0-5.
в)
4-VlO ’
9 - 2 л/3
Зл/б-2л/2 ’
I
(л/10-1)2 - 3 .
ч / 1492 - 762 .
»4572-384г ’
д)
_ 712- 2 3 2 + 94 42
Q
6 2 ~ 3 2 2-----
е)
в)>/92-5,3, -25Д2 ;
ж)
'
fn P ^ Ti7
V 130
J _ I 2 7 3 а - 162
+ 17Y
257
’
й
Ш
'V 5-V 2’
! •
в) ____ !____ . 1
V9 + V6+V4’ Щ 0 Ш ’
д)
-Ло - л/Г5 + л/й - л/гТ ’
e ) i+ V 3 + V 9 '
5. а) -!-■* л- ; б)
■л-й/з
У9-У40-У4
V25 >/2 t/3 ’
100
(8**1+8*)2 . ...
и)^- г r r r , keJV;
(4 -4 )
6
Ш
Vio + v r
лД0 + л/3-1 ’
ч 41«"
з ' )т2л-1
г, яеЛ »;
г)-ОД/------------ +
Освобождение
от иррациональности
;е)-
д)
6. а)
б)
1
5 —л/7
12
л/5-1
1+ ■ 22
л/7+л/5
7 + л/5
71
3 + 4л/5
8
11
л/5-1
4+л/5
27 (1,73- U 3)
5,12+ 5,1•4,5+4,5l '
7
Преобразование
двойных радикалов
7.a)Vl7 + 24/30;
Преобразование
числовых выражений,
содержащих радикалы
10. a) V T 5 0 -V 9 6 -J -—
V3 л/б
б)л/»9-2л/34 ;
б)2 л /3 2 --л Я в3
в)>/2+-у/9 + 4л/2 ;
| —л / 5 0 л / 2 -ьЗл/8;
2
2
г)^7 + л/48.
8. а) д/(3 -
2л/3)’ + 3;
6)V(2-V5)2 +V(3->/5): ;
H
S
V 2
2>Яо
2>/3->ft0’
,(>/75 + >/50)(5-2л/б)
л/З-л/2
11. Найдите число,
если 90% этого
числа равны
Преобразование вы ра­
жений, содержащих
степени с рациональ­
ными показателями
12.а)д/2л/2^2 ;
Н
ш
1
д)
7 л/2-1
а
1 _ 205
2°J ■
‘
Г 0-3 1
e)V 3-V 27-V 9-
в) л/28 -1 Ол/3 (5 + л/З);
г)(7з + л/5+ V 3-V 5)2;
л/з + л/2
+ 2л/6.
д)л/16 + ТзТ -л/16- л/зТ ;
е)^12-^80(12^80°-5) \
9. Вычислите 50% от числа
Л = л/4+2 л/ 3 - л/4 - 2 л/3 •
Тождественные преобразования числовых выражений
Приведем основные формулы, необходимые для преобразований число­
вых выражений.
Формулы сокращенного умножения
(а ± Ь)2 = а 2 ± 2аЪ + Ь2
(а ± 6)3 = а3 ± 3а 2Ь + 3ab2 ± Ь3
а 2 - Ь 2 = (а - Ь ){ а + Ь)
а3 ± Щ = (а ± b)(a2 T a b + b2)
Степени
Степень с натуральным показателем
а 1= а
а" = а а - ... а , n e N , a e R
праз
_
а 0 ш II
Степень с целым показателем
а~п = — | а е R, а * 0. п е N
еГ
Степень с рациональным показателем
т
для неотрицательного числа а
а"
Свойства степеней
Я
=
т е Z, n е N
И
■
(а Ь )х
= а* -Ь х
м
Н
Арифметический корень
Определение. Арифметическим корнем степени п ( п е N,
/7
> 1) из нео­
трицательного числа а называется неотрицательное число b такое, что Ь" = а.
Обозначается Уа = Ь.
Тождества. Если л[а существует, то \4а) = а;
2у[а** = |о|,
а е /?;
2л-[1
1я~у1а1п~1 =а, а е R;
\-а
2л-1
г>
= - 2 и v-|/ a 1 я - \ , а е к.
Основные свойства, yfab = "4а ■>[b, a t О, Ь > 0;
J f = _ £ а > 0, А> 0;
у ь уь
/ j—w /—
(л/flrjT =Va'", а > 0 ;
>/$* = $ J a = "'rfci, а > 0;
—
vfl" = \Q 4 а > 0.
В настоящей главе мы сделаем некоторые замечания общего характера по
ряду разделов алгебры и арифметики, касающиеся вопросов, зачастую усколь­
зающих из поля зрения посыпающих, а также разберем некоторые примеры.
—
Обращение периодической десятичной Дроби
в обыкновенную дробь
Правило перевода периодической десятичной дроби в обыкновенную
таково:
Чтобы обратить периодическую десятичную дробь в обыкновенную, надо
из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого
периода, и записать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру
9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей,
сколько цифр между запятой и первым периодом.
Например,
2 1 -2 19
90 ~ 90’
219-2 21?
0,2(19) =
990 ~ 990
0,2(1) =
3,1(73) =
3173-31 _ 3142 _ 1571
990 ” 990 ~ 495 ’
Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную можно
выполнить другим способом.
Рассмотрим обращение чистой и смешанной периодических десятичных
дробей в обыкновенные.
а) Обратим в обыкновенную дробь число 0,(13).
Пусть*=0,(13) = 0,1313...
Умножим чистую периодическую дробь х на такое число, чтобы запятая
переместилась ровно на период вправо. Поскольку в периоде две цифры, надо
перенести запятую на две цифры вправо, а для этого достаточно умножить
число хна 100.
Тогда 100х=0,1313...-100= 13,1313...= 13,(13).
Теперь вычтем х из ЮОх, получим:
100х-х = 13, (13)-0,(13);
99х =13;
13
99'
б) Обратим в обыкновенную дробь число х = 0,2(54).
Перенесем в данной смешанной периодической дроби запятую вправо
так, чтобы получилась чистая периодическая дробь. Для этого достаточно х
умножить на 10, получим 1Ох=2,(54).
Обратим чистую периодическую дробь в обыкновенную так, как мы сде­
лали это в предыдущем примере.
10
Юл = 2,(54) |*100;
1000л: = 254,(54);
1ООО*-10* = 254,(54)-2,(54);
990* = 252;
252 28 14
Х~ 990 ~ 110 ~ 55
1. Задание: Обратите в обыкновенную дробь число:
а) 0,11(7);
б) 1,(36);
в) 0,2(7).
Решение:
а) * = 0,11(7) |*100;
!00лг = 11,(7) |*10;
1000* = 117,(7);
1000*-100* = 106;
900* = 106;
106 53
900 ~ 450’
б)* = 1,(36) |* 100;
100* = 136,(36);
100*-*= 135;
99* = 135;
_ 135 _ 15
~ 99 ~ 11
*'
в)* = 0,2(7) |*10;
10jc = 2,(7) |*10;
Ш х = 21,(1),
100*-10* = 25;
90* = 25;
_ 25 _ 5
~ 90 ~ ?8
Можно обратить периодическую десятичную дробь в обыкновенную,
используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
а) Представим число 5,(4) в виде обыкновенной дроби.
Решение.
Запишем данную периодическую дробь в следующем виде:
5,(4) = 5,444... = 5 + — + — + — + ...= 5 + Л — +
+ ...).
10 100 1000
\10 ГО2 103 )
В скобках записана сумма бесконечно убывающей геометрической про1
.
1
грессии со знаменателем q = — и первым членом о, = — .
\_
s= Ь> = 10 . 1 , 9 . 1
1- q , J_ 10 10 9'
10
1 49
Имеем 5,(4) = 5 + 4 -- = — .
9 9
II
6) Запишем периодическую дробь 1,2(3) в виде обыкновенной.
Решение.
и (3 )= и ззз...= 1 + А +А + ^
+_ 1 Го+...= , + 1 +э ( ^ +т1г ^
+ ...)
1
г
Ь1
1- q
Ю2 .
J _ _1_
‘ 10
1 ■9 - 1 ■
100 ' 10
90*
2 V 1 : , 2 1 37
1,2(3) = 1+— ьЗ — = 1+— + — = — .
w
10
90
10 30 30
Применение формул сокращенного умножения
Формулы сокращенного умножения часто применяются для упрощения
числовых выражений.
2. Задание: Вычислите:
149 - 76
ш7 1
457 -384
|1152-152 1 |2732-162
__
■*■...■
V 130
17 V 257
а) л1 . ~-2
Г) ®3ll
712-232+94-42
6)
622 -322
з а■ ■ ж
i
«,5,1и+ 5,1
—• 4,5 + 4,5'
>.
Решение:
149 -7 6
4572 -3 8 4 2
(149-76)(149+76)
\ (457-384)(457+384)
73-225
225
V73-841
V 841
712 -2 3 2+94-42 (71 - 23)(71+23)+94 •42 48-94+94-42
622 -3 2 2
*
(62-32)(62+32)
”
30-94
94(48 + 42)
9 4 -3 0
12
-3 ;
15
29’
b)V9 j
-5,32 - 25,2- * д/92 •5,32 - 92 •2,82 = ^ 9 2 (5,32 -2 ,8 : )
1 J 9 2 -(5,3-2,8 )(5 3 + 2,8) = 9J2,5-8,I = Щ И И I
V 100
лл _ 11152 —152 1 f
27^ =
V 130
} l7 V 257
0 Д
100130
130
= 40,5;
10
257-289
17)
= 0,3-10 + ----17 = 4;
17
= V * l + 2 > / 7 7 + 7 - ( V i T - V 7 ) Я с Т и ^ / Т ) 2 - (л/ГТ- -/7 ) =
= (л/ГТ + У ? ) - (л /н - д /7) = 4;
2 7 • (1,73 - 1,5?)
g 2 7 - ( l,7 3 - l , 5 3)
6 5,1“ + 5 ,1 -4 ,5 + 4 , 5 2 ~ 32(1,72 + 1,7 1 ,5 + 1,5") ~
1
3 ( 1 ,7 - 1 ,5 ) ( 1 ,7 2 + 1,7-1,5 + 1,52) = 3 . 0 2 = 0 6
1,72 + 1 ,7 • 1,5 + 1,52
Смешение дробей
Сократить дробь - значит разделить числитель и знаменатель дроби на
одно и то же число или выражение.
3. Задание: Сократите дробь:
л/ 2
а )
1 + л/Г4
т=------;
г)
„
2 V 10 + 4 - 2 V 2
б)
V5 +V 2 - 1
_
®)
2 V I0 -5
Г"“ 9
4 - л /Г 0
9 -2 Л
У
i
ЮО"
ж )—-—:— г —г »
3V6 - 2 V 2
V7
,(V io - l)! - 3
;
Ш
,
4 1 8 "
3>
_ ^9 V40-V4
в) “ Г—
— I— 1-^9
V 2 5 -V 2 -V 3
n& N\
Ш
i ^
r
-
"
s W ;
Л 8^'+8*)1 . „
И)
A ll 9 k € jV9
(4
-4
)
6э*Л
.2l+^
Решение:
2л/Го+4-2>/2 2л/5•42"^2-М•V2- 2-Д 2л[2(л[5+л12 [1-2^2;
б)
л /5 + ^ -1
=
>/5 + V 2 - l
V 5 W 2 -1
2V10-5 & (2 Л -4 ъ) _ Ц.
4 -л / Г 0 _ л / 2 -Г2 л/ 2 -л/ 5 ;
% 9 -2 л / з
V2’
л/З-Г З л / З -2 ; _ ( I .
Зл/б-гл/?” л/2 ГЗл/3-2^
V I’
j>/io-i/-3 (J\o-u2-(S)2i
д) Vio+l - T s лЯо+^r-i "
=VFo-i-V3,
^9 л/4 0^4
Vi0+V3-!
л / ? •л/23•5 •л / ?
е)ш ^ щ =
В 1 Шя ’
2
418я
2"+2 •32"
3 )---------------- --- ------------ g
g
2
•32," 2и+1 = 2-3 = 6;
(8*+,+8*/_ r8V8 + i;;2 _ 82A'-92 _ 3-26* _ 3
И)(4* -4*'*/ 4 f4*'V4-i;/ “ 43ft"u -33 " 2“ *2~6 ~ 2‘
= 3-64 = 192;
4
63+v?
62 -6,w?
3 6 -6 lW*
к)---------- - ----------—-* --- ------ 12.
14
в более сложных случаях освобождаются от иррациональности не сразу,
__
а в несколько приемов.
5. Задание: Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.
а)7 2 Ж
;
E>w
b r
.
Д)^
Ш
Г
r)^w; , е)/ЖГ
Решение:
1
V 2 -V 3
" (л /2 + Щ
ЛУ7 2 7 Щ
/2
_
л/2- У з
J 2 - 0 _
- V 3 ) “ ( 7 2 ) " - ( 4л /3 ) :
2 -л /з
= ( У 2 - У З Х 2 +УЗ) = (>/2_ 4/з)(2+VJ);
( 2 - а/3 ) ( 2 + л / 3 )
7
_ _
7л/2 + У З
_ 7>/2+
б>л/2 + ^3
Л
_ 7л/2 + л/3(2 - л/3) _
2 + *$
7>/2 + > /!( 2 - л / 3 ) _
(2 + л/3)(2-л/3)
- У з ) = 7-у/(2 + Л V 2 - л/3 )2 = 7 ч/2 - л /3 ;
+
4-(л/3)2
1
_
V 7 - V2
V 7 -V 2
_ V 7 -V 2
В) \ f i W 2 ~ $ 7 + V 2X V 7 - V 2) ~ (л/7)2 - ( V 2 ) :
(У7-У2)(л/7+ л/2)
~
(V7 -У2)(л/7+ л/2) = (У ? -У 2 )(л /7 + л /2 ).
(л/7-л/2)(Т7+л/2)
1
\
J
л/7-л/2 "
(л /7 ) J - (л /2 )2
л /2 -У з
л/2 + V 3 ~ (л /2 + ^ 3 )( л / 2 - V 3 )
_
=
5
л /2 -3
л/з
(л /2 ): - ( 3
л /3 )2 ~
_ л /2 -У З _
2 - $ Г ~
(л/2 - УЗ)(4 + 23
л/9 + VjTF) ^ (>/2 - З
л/3)(4 + 2 W + ЗД/З) _
~ (2 - W )(4 + 2л/9 + VeT) ~
(2) - (л/9)-
= (V3 - л/2)(4 + 2\/9 + Зл/З);
1
1
_
л /2 + л /з -л /5
Д л/2 + л / з + л / 5 * (л /2 + л /3 ) + л/5 “ ( л/ 2 + - Л + л/ 5 х Л
.
V 2 -Нл/З-л/5
(л/2 + л /3 )М л /5 )2 7^ Г
16
+ л/ з - 7 5 )
л/2 + л/3-л/5 = л/б(л/2+л/3-л/5) =
2л/б
.
12
л/12 + л/Й$ - л/30
2 л /3 + З л /2 -л /3 0
12
е)
12
12
12
З + л/2-л/3
(3 + л/2)->/3
12(3 + yfl + л/З)
(3 + >/2- л/3)(3 + 7 2 + л/3)
12(3 + л/ 2 + л/3) _ 12(3 + л/2+л/3)
(3 + л/2)2 —(>/3)2
8 + 6л/2
6(3 + л/2+>/3)
4 + Зл/2
= 6(3 + V 2 4. V 3 X 4 . 3^ ) g 6(3 + V 2 + ^ X 4 - 3V 2 )
(4 4 Ш ¥ 4 -З л Ш
^ +
-2
= 3(9л/2 - 12 + 6 - 4>/2 + 3>/б - 4>/3) = 3(5л/2 - 6 + Зл/б - 4л/з).
6. Задание: Вычислите:
12
22
а)
5 - > /7
л/
7 +
л/
5
7 +
б)
л /5
71
л/5-1
3 + 4л/5J vл/5 —1 4 + л /5 /
Решение:
Предварительно освободимся от иррациональности в знаменателе.
а)
1
5--J?
J l+ J s
7 +
л/5
2 2 ( 7 - л/5)
9 (5 + л /7)
( 7 + л/5 )(7 — л/?)
18
л/ 7
9(5 + л/7)
22
+•
( 5 - > / 7 ) ( 5 + > /7 )
л /7 - V 5
- л/5
(л /7 + л / 5 ) ( л / 7 - л / 5 )
[ 2 2 (7 -л /5 )
5 + л/7
л/7 - л/5
7 —л/5
44
= - ( 5 + л/7 - л/7 + л/5 + 7 - л /5 ) = 6;
б)
12
л /5-1
71
3+
1 2 (7 5 + 1)
4л/5/ 1 л /5 -1
4 +
>/5j
8(л/5 + 1 )
_________________
1 1 (4 - л / 5 )
(л/5 - 1)(л/5 + 1 )
( 4 + л /5 )(4 - л /5)
I (л/5 —1)(л/5 +1)
12(л/5 + 1)
8(л/5 + О + 11(4 — л /5 )
4
**
71(3 - 4 л /5 )
(3 + 4л/5)(3- 4л/5)
7 1 (3 -4 7 5)
райгыров
атындагы ПМУ-д|ц
академик С.Бейсембле?
атындагы гылыми
= (Эл/5 + 3 + 3 - 4 л / 5 ) - ( 2 л / 5 + 2 + 4 - л / 5 ) = ( 6 - л / !
17
Преобразование двойных радикалов
Выражение вида 1Ja + b-Jc , где а, b и с —некоторые числа, называется
двойным или сложным радикалом.
При преобразовании выражений, содержащих двойные радикалы, часто
оказывается удобным освободиться в двойном радикале от внешнего радикала.
Если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат, то ос­
вободиться от внешнего радикала можно с помощью тождества V ? = \а\.
7
.Задание: Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное
выражение в виде квадрата:
а)л/*7 + 2л/30 ;
б ) |Е р ^ 3 4 ;
в) - ^ 2 + ^ + 4 ^ ;
г) Ф
+ >1а &.
Решение:
a)V m ^V 30 =
|
=|Vl5-bV2| = VT5+V2;
6Wl9- 2V3 4 =V2 + 17- 2>/2 M7
j
= -(л/2 - VT7) = л/Г7-л/2;
в)а/2 + л/9 + 4 ^ I а/2 + л/8 + 1+ 4л/2 |
+ V(2a/2 + 1)2 = л/2 + 2л/2 + 1 =
^ /2
= V(V2 +1)’ = |л/2 + 1| = л/2 +1;
г)^7 +л/48 I л/7 + 4л/3 I л/4 + 3 + 47з I^ /(2 + л/З)2 = л/г+Т з = l i( 4 + 2>/3) |
=
Щ1 2^
1+
11 I| | | |
S
|
,|
j jpj +ц
8. Задание: Вычислите:
а)л/(3-2л/3)2 + 3;
б
д
)
7
1
б
г)(>/з + >/5 + л /з-> /5)2;
7
в)л/28 1Ол/з -(5 + л/з);
Решение:
18
Ж
. л
/
Г
б
^
/
з
Г
;
e )V l2 -> ^ 0 (12 + 800,5) 5.
t.k: 2> V ^
f 'w
2-fi >•>/?•>/3»
2
Б > 3;
3-2-Л <0;
б ь/О 1^
+V(?: ^ ) r = |2 -> /5 |+ ^-'/5 ) = 4 2 - ^ ) + ( 3 - V 5 ) = l;
т.к. 2-V5 <0иЗ-л/5>0;
в )« У 2 8 -1 0 л /з
( 5 + - ^ ) = V 2 5 + 3 - 2 - 5
V
f
(5 + V 3 ) = V ( V 3 - 5 )
(5 + л /3 ) =
=|л/3-5|-(5+л/3) = (5-л/3)-(5+л/3) = 2 5-3 = 22;
г)(л /з|Щ +V3-V5)2 = ^ 3 + л/5 J +2д/(3 + л/5)(3-л/5) +^л/з~ V sJ =
Й З + л/5+2л/4+3-л/5 =10;
fl)Vl6+V^T-VI6-V3T' = 7(16 + ^зТХ16- л/з7) = Vl6- —31 = у/225 —15;
e)Vl2—л/80 (12+8005)* *=Vl2-v>/80 Vl2 +V80 =^/(12-л/80)(12 + л/80) =
= V144 -8 0 = V64 = 4.
9. Задание: Вычислите 50% от числа Л = д/4 + 2л/з - 74-2> /3 .
Решение:
А = V4+2^ - > /4 - 2л/3 = 7(1 + л/3)- -7(1 -л/3)2 = jl + S j - jl--y/Ij =
= 1+л/З-(>/3 -I ) = 2;
i4
2
50% от числа Л составляет-----50 --------50 = 1.
.
100
100
Ответ: 1.
Преобразование числовых выражений, содержащих радикалы
10. Задание: Вычислите:
a) Vi50-V96- |- - L ; 6) 2^ 2-iVii-IVi0-IV2+3V8;
В)
4J 7I
2
------- f f i L
. :
2V3-Vii0;
г) ( У 7 5 + У 5 0 ) ( 5 - 2 л /б )
T 3-V 2
19
б)2л/32- - М
=
2 л /3 0
Г)
-
~ 4 л/50 | | л / 2 + Зл/8 = 8 Л - yfl -
2 > /5 (л /б
+ л /5 ) =
2 л /3 0 -
2 л /3 0
- 1 0
=
- \ л/2 + 6л/2 - Юл/2;
- 1 0 ;
(л/75 + л/50)(5 - 2л/б) _ 5(л/3+У2)(5-2л/б) 1 5(Уз+л/2)(Уз - V2)2 _
V3-V2
л/з-л/2
= 5(л/з +л/2)(л/3- V2) = 5.
—3 —2л/б + 2 + 2^6 —5;
5 - 9 0 %
х
- 1 0 0 %
5
’
90
х ” ю оN
JC=
5 100
50
90
~ 9 "
g5
9'
Ответ: 5 - .
9
Преобразование выражений,
содержащих степени с рациональными показателями
12. Задание: Вычислите;
IJ
л / 2 -1
- 2-0’3•
.9
Решение:
2V2V2 | V2VV24 IV2V24 = ijllp} = VV? = V ? SV32i
L V3 V2 1
.J r l F - Ш В
■
v s" i p
в Щ
■ И
д)
л /2 - l
в 4
=1 3 2
■2°'"•
- / V
--
I
13'
3 4 -( 3 - 7 = 3 2 - 3 4 - 3 ' 2 * 3 ~ 4 = 3 "3-25-
=;-л/2J_2°5(1-2°5jЩ_+1
(л /2 -1 )(л /2 + 1)
-2
*
+2
=
= 2 • +1 -2 • +2= 3:
i)V 3 -^ V 9 -V 2 +^
= 3 V 2 7 -?tX = 9_ 5r T = Q .r Г
64
32
= 9,5.
21
§2. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
РАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Разложение многочленов на множители
t.a)x(x +у - г) + у(х+ у-= )~
-z (x + y ~ z );
3.а)бж2- х -2 ;
б )х 3- З х 2 + 5х-15;
в)9х2-30дсу+24>Г.
в) а2- 2bc + 2ас - ab;
4.о)4х2 -12ху + 8^2;
г) 2а + ас2 ~ а2с -2 с ,
б)Xl+4;
в)х4+х2+ 1;
“в
;
Л
а щ---- , е = -5 —21
4
б)Х3—х —2х —2; .
г) 8 lx4 + 4.
2.а)х6~\;
б ) х 3- х + 2х + 2\
5. Вычислите х3+ ^ у - х у 1-j/3
при х —3,6; у = —2,6.
в) у 3- З у 2 + 6_у - 8;
6. Вычислите хъу + ху*, если ху = Ъ, х —у = 4.
г} а4 - 2 а 3+аг -1;
7. Вычислите y= xi - 11лс2-41х + 9 прих= 14
д) а2 - 2аЬ + Ьг - г1.
Преобразование дробных выражений
8. а)
б)
Зх - ху + 2 у — 6
ху —3X..+ 2 у —6
х,4+ х 7 + К
в)-
а
.
22
2
х(х + 2 ) - у ( у - 2 )
4
а ) ----------------------- при х - —, у = 0,4;
х - у +2
15
}
+1
9 - 4л2 - 4ab -Ь 2
4а2 + 2а6 + 3 6 -9
9 ,£ z £ +£±Z
x + jH х - у ,
10
•+
а4-16
а4 -4 д 3 +8а2 -1 6 а + 16*
* +У i l l : *‘ + У ‘
ху
6Ь
2а- Ь Ь2 - 4а2 2а + b
1+
4а2 - Ь2
3 + 2а + Ь
х
11.а)
х-5
(х - 2)2 ( 2 -х ) 2’
3 | 4 х -6
- 4 х2 - З х - 4
п „ч 1+сг+а
13-а) :—
I- а 3
14. а)
х~ +4
Ах
(х —2)3 (2 -х )3
6)-
5 -х ’
2х V х
x + l j 2 х -3
а-а2
(1-л)3’
а2{а-Ь)
b*+ab
ч
g) --a . / +-=— — т; «)
а3~Ъ3
a2+ab+ b2'
f (аи -Ь ))2 I гт
_ ^2)2;
(а +мЬ)'
Ц
(o
ft)г 1'(fl2
j
1
2
1
а3 + 6
b (cr-a b+ b 2)
b
| а + х + а- Л
- х т —а -Цх )
(х -у Г
( х - у ) - х- - у
(х + у у
(х+ у У + 2(х - У ) + ( х - у)
х—
у-
' i'll
15а)1 ^ г - ; б> - г - :
~ + — г2
у *
17.
х+— 2
х
1
1
(х+ 1Хх+2)
(х + 2)(х+3)
1
х -2
1
х +2
2х
х* +4
(х + 3)(х+4)
4х3
х4 + 16
Преобразование алгебраических выражений, содержащих модули
18. j / = |х| + |2-х|+3|х-3|,если 2 <х< 3
21. ,у = |2х + 3| + |х - 7 |- 5
19. у - |х 4 2 |- 3 х
2
20. у = х + 1 + J* + 5|- |х- 3|
2
х|х-3|
----L
х - х- 6
Зх-х -2
|2-д|
23
Преобразование выражений, содержащих степени с целыми показателями
4 1+- ^ й
24'а)^ щ й
-<i
^
б)(аЬ-2 + а 2Ъ ){а '+ Ъ -у-
^x^+x^+xl
г)
1
В6 х У 5 1ШШ
б )| ^ •т 2и'| •(-3 2 т 'и );
7 )’
х1 + х4 + х6
PЗ хfУ 3 **
,(a'v Tj[—f
и
5 х " 5у 3 ’
Тождественные преобразования
рациональных алгебраических выражений
Важную роль в процессе изучения математики, помимо умения работать
с числами, занимает умение правильно преобразовывать, упрощать, разла­
гать на множители алгебраические выражения.
Техника алгебраических преобразований является вспомогательным, но
очень важным моментом в решении задач самых разных типов.
Тождественные алгебраические преобразования широко используют придо­
казательстве тЦгоем, при исследовании функций, при решенииуравнений и нера­
венств, а также в приложениях алгебры в геометрии, физике и других предметах.
Напомним основные виды преобразований и рассмотрим соответствую­
щие примеры.
- Разложение многочленов на множители.
- Преобразование дробных выражений.
- Преобразование алгебраических выражений, содержащих модули.
- Преобразование выражений, содержащих степени с целыми показателями.
Разложение многочленов на множители
Разложение многочленов на множители применяется при решении алгеб­
раических уравнений, для упрощения выражений, для доказательства спра­
ведливости равенств и ^других случаях.
24
\ \
Разложение многочленов на множители выполняется чаще всего одним
из следующих основных способов:
- вынесение общего множителя за скобки и способ группировки;
- использование формул сокращенного умножения;
- разложение квадратного трехчлена на линейные множители;
- выделение полного квадрата из трехчлена.
В более сложных примерах приходится применять разные способы.
Рассмотрим данные способы разложения многочленов на множители на
примерах.
Вынесение общего множителя за скобки и способ группировки
Этот способ основан на применении распределительного свойства умно­
жения.
1. Задание: Разложите на множители:
а) х ( х +у - г ) + у (х + у - г) - г(х + у - z);
б) хъ- Здг2+ 5х -15;
в) а2 - 2Ьс + 2ас - ab;
1 ,
г) 2а + ас' - а'с - 2с
и наидите значение выражения при
8
с~
, I
4
*
Решение:
а ) x ( x + y - z ) + y ( x + y - z ) - z ( x + y - z ) = (x + y - z ) ( x + y - : ) = (x + y - z f ;
б)х3-Зх2+5х-15 = (х3-Здг) + (5дг-15) = jc2(jc-3) + 5(;c-3) = ( х -3 )( х 2 +5);
в )a2 -2 b c + 2 a c -a b = (а2 - ab) + (2ас - 2Ьс) = а ( а - Ь) + 2 с ( а - Ь ) = (а - Ь ) ( а + 2с);
г)2а + ас2- а'с - 2с = (2а - 2с) - (а 2с - а с2) = 2(а - с) - ас(а - с ) = ( а - с ) ( 2 - а с ) =
Использование формул сокращенного умножения
С помощью формул сокращенного умножения значительно упрощается
разложение на множители.
2. Задание: Разложите на множители:
а) х в - 1;
б)х3- х +2х + 2;
г) а *- 2а* + а2 -1 ;
в) у 3- Зу2 + 6 у -8 ;
d)a2~2ab + b2- z 2.
25
Решение:
а) хь -1 = Й | - 1 1 (х3- Ш 3+1) I (* 10(* + 1)(*2 + х + W*' " х +1);
|
б ) х 3 - х + 2 x + 2 = (x3 - x ) + ( 2 x + 2 ) = x ( x - l ) ( x + l) + 2 (x + l) = (x + l ) ( x ( x - l ) + 2)=j
= (х + 1)(Л-2—х + 2);
в) У - 3 / + 6у - 8 = (у 3 - 8) + (6у - Зу: ) = (У - 2) ( / + 2 у + 4) - Зу(у - 2) = ( v - 2)0>2 - у + 4);
г ) а 4 - 2а3+ а 2 -1 = а V
,
- 2а +1)■1 1 = а 2(а-- 1)2 -1 = (а(а - 1 ) - 1№ < л- 1) + D |
- { а 1 - а - 1)(а2 - а +1);
д)а2-2ab +b2- z 2 = (a -b )2- z 2 = ( a - b - : ) ( a - b + г).
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Если х, и х2 - корни квадратного трехчлена ах2 + Ьх + с, то
ах2 + &с + с = а (х -х ,)(х -х 2) .
Эта формула применяется для разложения квадратного трехчлена на мно­
жители.
3. Задание: Разложите на множители:
а) 6х 2 -
х
-2;
6 ) х 3-
х
-2
х
-2\
в)9х2 -ЗОху + 24уг.
Решение:
а) Решим уравнение:
6х2- X- 2 = бГх-у Т х
6х2- х - 2 = 0;
2
х = —, х, =
;
1 3
2
1
ИИзГх - 1 ) ■гГх + 1 j = (Зх - 2)(2х +1);
б)х3- х - 2 х - 2 = Сх3-х )-(2 х + 2) = х(х2-1 )-2 (х + 1) = х(х-1)(х + 1)-2(х + 1) =
= (х + 1)(х2- х - 2 ) = (х + 1)(х + 1)(х-2) = (х + 1)2(х-2),
т.к. х2- х —2 = 0; х,= 2, х2= —1.
в)
Решим уравнение 9х2- ЗОху + 2 4у = 0 относительно х.
а - 9, Ь = -30_у, с - 24у 2;
D = Ь2 - 4ас = (-ЗО у)2 - 4 • 9 • 24>»2 = 900_у2 - 864>»2 = З6.у2;
9х2 - ЗОху + 24.у2 = 9(х - 2у)^х - ^ y j = (х - 2у) •9^х -
\
26
= (х - 2_у)(9х -12^).
Выделение полного квадрата из трехчлена
Рассмотрим примеры, в которых многочлен можно разложить на множиели путем предварительного преобразования: добавить и вычесть одночлен,
тредставив тем самым многочлен в виде разности квадратов или в видё разногги или суммы кубов.
4. Задание: Разложите на множители:
а)4х2 -12ху + 8у2;
б)х* + 4;
в )х 4 + х 2 +1;
г)81х4 + 4 .
Решение:
а) 4х2 - 12ху + 8у2 = 4х2-12ху + 9у2- 9 у 2+8у2 = (2 х -3 у )2- у 2 =
= (2х - 3у - у )(2 х -З у + у) = (2х - 4у)(2х - 2 у) = 4(х - 2у)(х - у);
б) х* + 4 1 х4 + 4х2 + 4 1 4х2 = (х 2 + 2)2 - (2х)2 = (х2 - 2х + 2)(х2 + 2х + 2);
в ) х 4 + х 2 + 1 = X4 + 2 х 2 + I - х 2 = (х2 + 1)2 - х 2 = ( х 2 - х + 1)(х2 +
Х+
1);
г) 8 1х4 + 4 1 8 1х4 + 4 + 36х2 - 36х2 = (9х2 + 2)2 - Збх2 =
= (9х: + 6х + 2)(9х2 - 6х + 2).
Отметим, что при разложении многочлена на множители, помимо основ­
ных способов, часто используют следующие приемы:
—представление некоторого слагаемого в виде суммы двух слагаемых.
Например:
х3 - Зх + 2 = х3 - 2х - х + 2 = (х3 - х) + (-2 х + 2) = х(х2 - 1 ) - 2(х - 1 ) =
= х (х -1 Х * + 1 ) - 2 ( х - 1 ) = ( х - 1 ) 0 г + х - 2 ) = ( х - 1 ) ( х 2 + 2 х - х - 2 ) =
= (х - 1)(х(х + 2) - (х + 2)) - (х 1 1)(х + 2)(х -1 ) = (х 1 1)2(х + 2);
- введение новой переменной.
Например:
а )(х2 +х + 1)(х2 + х + 2 ) - 12 =
Замена :
х ' + х +1 = а\
= а (а + 1 ) - 12 = а2 + а - 12 =
= a2 + 4 a - 3 a -\2 = a(a + 4 )-3 (a + 4) = (сь+ 4)(а - 3) =
= (х 2 + х +1 + 4)(х2 + х +1 —3) = (х 2 + x +5X jc2 + х - 2 ) =
= (х 2 + x + 5X^2 + 2 х - х - 2 ) = (х 2 + х + 5)(х(х + 2) - (х + 2)) =
= (х 2 + х + 5)(х + 2)(х -1 );
27
Решение:
а) х й - 1 = (х 3)2 - 1 1 (х 3 - 1)(х3 1 1 )
I (х J 1)(х $ 1)(х2 + х + 1)(jt - х +1);
б ) х 3 - х + 2х + 2 = (х 3 - х ) + (2х + 2) = х ( х - 1)(х + 1) + 2(х + 1) = (х + 1)(х(х-1) +
= ( х + 1)( х 2 -
х
+ 2);
e ) y l - 3 y 2+ 6y-& = ( y 3- S ) + ( 6 y - 3 y 2) = ( y - 2 ) ( y 2 + 2y + 4 ) - 3 y ( y - 2 ) =
= O' “ 2)Су2 - у + 4);
г) а 4 - 2 а 3 + а 2 - 1 = а 2{а2 - 2 а + 1) - 1 = а 2( а - 1)2 - 1 = ( а ( а - 1 ) - \)(а (а -1 ) + 1) =
= (а 2 - а - 1)(я2 - а +1);
д ) а 2 - 2 ab + b2 - z 2 - ( a - b ) 2 - z 2 = ( a - b - z ) ( a - b + z ).
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Е с л и х , и х 2 - ко р н и к в а д р а т н о г о т р е х ч л е н а а х 2 + Ьх + с, то
а х 2 +Ьх + с = а (х - х,)(х - х2) .
Эта формула применяется для разложения квадратного трехчлена на мно­
жители.
3. Задание: Разложите на множители:
а) 6х2 - х - 2;
б ) х 3 —х —2х - 2;
в ) 9 х 2 - 3 0 х у + 24у2.
Решение:
а) Решим уравнение:
6х2 - х - 2 = 0;
2
X l ~ 3 ’ X* ~
6х - х - 2 = 6
1
2’
jr* f I x + i ) = 3( Ar‘ f ) ' 2( jr+i ) =<3j:' 2)(2l+l,;
б )х 3—х - 2 х - 2 = (xJ - x } - ( 2 x + 2) = x(x2 - 1 ) - 2 ( х + 1) = х (х -1 )(х + 1)-2 (х + 1) =
= (х + 1)(х2 - х - 2 ) = (х + 1)^х+1)(х-2) = (х + 1)2( х - 2 ) ,
т.к. х2—х - 2 = 0; х, = 2 , х2 = —1.
в)
Решим уравнение 9х2- 3Оху + 24у2 = 0 относительно х.
а —9, Ь = -30>\ с = 24_у2;
Выделение полного квадрата из трехчлена
Рассмотрим примеры, в которых многочлен можно разложить на множи­
тели путем предварительного преобразования: добавить и вычесть одночлен,
представив тем самым многочлен в виде разности квадратов или в виде разно­
сти или суммы кубов.
4. Задание: Разложите на множители:
а)4х2- \2 х у + Иу2ш
,
б)х* + 4;
в )х 4 + х 2 + 1;
г)81х4 + 4 .
Решение:
а) 4 х 2 - 12ху + 8у 2 = 4 х 2 - 1 2х у + 9у 2 - 9у 2 + 8у 2 = (2х - 3у ) 2 - у 2 =
I (2х - 3у - у Х 2 х -З у + у) = (2х - 4у)(2х - 2у) = 4(х - 2у){х - у);
б) хА+ 4 = х4 + 4х 2 1 4 1 4х 2 = (х 2 1 2)2 - (2х )2 1 (х2 - 2 х + 2)(х2 +2х + 2);
в) х4 + х 2 +1 = х 4 + 2х2 + 1- х2 В (х2 + 1): - х 2 = (х2 - х + 1)(х2 + х +1);
г)81х4 + 4 = 81х4 + 4 + 36х2 - 3 6 х 2 = (9х2 + 2)2 - 36х2 1
= (9х2 +6х + 2)(9х2 - 6 х + 2).
Отметим, что при разложении многочлена на множители, помимо основ­
ных способов, часто используют следующие приемы:
- представление некоторого слагаемого в виде суммы двух слагаемых.
Например:
jc3 - Зх + 2 — х] - 2х - х + 2 = (х3 - jc) + (-2 х + 2) = х(х2 - 1 ) 1 2(х - 1 ) =
= х(х - 1)(х +1) - 2(х - 1 ) = (х - 1)(х2 + х - 2) = (х - 1)(х2 + 2х - х - 2) =
= (х - 1)(х(х + 2) - (х + 2 » =г (х - 1)(х + 2)(х - 1 ) = (х - 1)2(х + 2);
- введение новой переменной.
Например:
Зам ена:
а ) ( х 2 + х + 1)(х2 + х + 2 ) - 1 2 =
= а(а + 1 )-1 2 = а 2 + а - 1 2 =
х 2 + х + 1= а
= а 2 + 4 а - З а - 1 2 = а ( а + 4 ) - 3 (а + 4 ) = (сн- 4)(а - 3) =
= (х 2 + х + 1+ 4)(х2 + Х + 1 -3 ) = (х 2 + х + 5 )(х 2 + х - 2 ) =
= (х 2 + х + 5)(х2 + 2х - х - 2) = (х2 + х + 5)(х(х+ 2 ) - (х + 2)) =
= (х 2 + х + 5)(х + 2)(х -1 );
27
Замена:
б) (х + 2 v + 1)(х + 2 у - 5) - (х - 2у)(х - 2 у + 4) + 5 = х + 2у = а,
х-2у-Ь
- (а + \)(а - 5) —Ь(Ь + 4) + 5 = а 2 + а - 5 а - 5 - Ь 2 -4 Ь + 5 =
= а2 - 4а - Ь2 - 4Ъ = (о2 —Ь2) —(4а + 4Ь) =
= (а - 6)(а + 6) 1 4 (а + 6) = (а + 6)(а - Ь —4) =
= (х + 2у + х - 2у)(х + 2у - х + 2у - 4) = 2х(4>> - 4) = 8jc(_y -1).
Используя разложение на множители, удобно вычислять значение некото­
рых выражений.
5. Задание: Найдите значение выражения xl +x2y - x y l - y s при*=3,6; у =-2,6.
Решение:
х 3 + х 2у - ху2 - у 3 = (х3 + х 2у ) - (ху2 + V3) = х 2(х + у ) - у 2(х + у ) =
= {X + У )(х2 - у 2) = (X + у ) 2(х - у ) = (3,6 - 2,6)2 •(3,6 + 2,6) = 6,2.
Ответ: 6,2.
6. Задание: Вычислите значение выражения х3у+ху*, если х - у - 4 \ х у - 3.
Решение:
х3у + ху 3 = ху(х2 + у 2) = ху(х2 —2ху +у 2 + 2ху) = ху((х - у)2 + 2 ху) =
= 3 •(4‘ + 2 •3) = 66.
Ответ: 66.
7. За д а ни е: Н айдите значение функции, заданной формулой
у = х 3- 1\х2-4 1 х + 9 при х = 14.
Решение:
Если сгруппировать три первых члена и вынести х за скобки, то получится
выражение (х2 - 11х - 41)х + 9, более удобное для вычисления. Учитывая
конкретное значение переменной и коэффициенты многочленах2 - И х - 4 1 ,
преобразуем и его аналогичным образом.
Получим у = ( ( х - 11)х-41)х + 9;
_у(14) = (3 1 4 -4 1 )-1 4 + 9 = 1 4 + 9 = 23.
Ответ: 23.
28
Преобразование дробных выражений
Одна из важных и часто встречающихся операций в преобразовании раци­
ональных дробей - это сокращение дроби. Чтобы сократить дробь, нужно, как
известно, ее числитель и знаменатель разложить на множители, а затем раз­
делить их на общий множитель.
Рассмотрим некоторые приемы, которые могут быть полезны при сокра­
щении дробей.
8. Задание: Сократите дробь:
. З х -х у + 2 у -6
4 ------«)— — 1— 5Т’
ч
ху—3х +2 у —6
а 33+1
а -а
+а
\
а4-16
2) :
г
а - 4 а + 8 а -1 6 о + 16
и
7
_ X +JC +1
б) -----1------- ;
х2'- 1
д) Найдите значение дроби
I
х - у +2
—— при х = — , у = 0,4;
15
. _
9-4сг -Aab-b2 3+2а+Ь
е) Определите х из пропорции — I-----------------= ------------ .
4<? +2ab+3b—9
х
Решение:
З х -х у +2 у - 6 _ (Зх - ху) + (2 у - 6) _ - х(у - 3) + 2(у - 3) _
х у -3 х + 2 у - 6 (ху - Зх) + (2у - 6)
х (у -3 ) + 2 (у-3 )
( у - 3 ) (2 - х )
(у-3 )(х +2)
2 -х
х +2 ’
х14+ х 7 + 1 _ х ,4+ х 7 +1 _
х 2' - 1
(д:7)3-1
а” + \
х ,4+ х 7 + 1
_
1
~ ( х 7 -1 )(х ,4+ х 7 +1) “ х 7 - Г
(д " )} + 1
_ (а “ +1)(ды - a " + 1)
а " - а 22+ а” ~ a " ( l - a " + a 22) ~
а " ( а ~ - а " + 1)
а 11 + 1 .
~
а"
’
_______ а 4 -1 6 _______ _________ (а2)2 - 42_________
С а4- 4 а 3+8а2-16а + 16
(а1 - 4 )(а2 + 4 )
(а2 + 4)2 - 4а(а2 + 4)
(а4 + 8а2 + 1 6 )'- (4а3 +1 6а) ~
_ (а - 2 )(а + 2)(а2 + 4 )
(а2 +4)(а2 + 4 - 4а) ~
( а - 2)(а + 2)
а+2
(а -2 )2
~ а - 2*
д)
х(х+ 2)-у(у-2)
х - у +2
_ (х + у)(х - у + 2)
х - у +2
е)
х - у +2
__4_
Ш
9 - 4 а 2- 4 а Ь - Ь 2
4 а2 + 2 ab + 3 6 - 9
9 - ( 2 а + Ь)2
(х2 - у 2) + 2(х + у) _
х -- у
у + 2
х 2+ 2 х - у 2 + 2у
2 _ Ю_ 2
У ~ 15 + 5 1 15 ~ 3
3 + 2а + Ь
х
3 + 2а + Ь
( 4 а - - 9 ) + (2аЬ + ЗЬ)
х
(3 - 2а - 6)(3 + 2а+Ь)
3+2а+Ь_
(2а - 3)(2а + 3) + Ь(2а + 3) “
1
_ (2а 1 3)(2а - 3 + Ь)(3 + 2а + Ь) _
(3 - 2а - Ь)(3 + 2а + Ь)
х = —2а —3.
Действия с алгебраическими дробями
Порядок выполнения действий над алгебраическими дробями такой же,
как для действий над числами: сначала выполняют возведение в степень, за­
тем —умножение и деление и, наконец, сложение и вычитание; при наличии
скобок прежде всего выполняют действие в скобках.
Рассмотрим примеры на действия с алгебраическими дробями.
1
2
(
, >
х - у ( х+ у
х + у~
9. Задание: Упростите выражение
^ +у х - y J
;
ху
Решение:
\jr—v
х - уУ т
ох + у
.
+
х +у
2ху
2 (х 2 + у 2)
± .
х+у
х-у
"» .
%
0
2
м/
2
(х + у ) ( х - у )
хг + у г +2ху
2 ху
(х + ^ ) \
2 ху
(х + у ) 2 _ х 2 + у 2
ху
(д: + у ) ( х - у )
2ху
Ответ:
30
J.
_ х - 2ху + у + х ' + 2ху + у __ 2(х~ + у~)
х-у
\2 п
3)
\X+V
2(х2 + у 2)(х + у ) 2 ■ху>
(х + у ) ( х - у ) 2 х у ( х 2 + у 2)
х +у
х-у'
10. Задание: Упростите выражение:
2
-6 I
2а -Ъ
4
b2 - 4 а 1
VI
4а 2 +Ь2^
Бш
2a + b I
Решение:
„ 2
66
4
От---- г+
2лг-6 Ь2 -4 а 2 2a+b
4a+ 2b-6b-$a+ 4b
4а
(2 a -b )(2 a fb )
4а2- Ь
2)1
40г_|§
4а
,
4а2 +Ь2
4а2-Ь 2 Щ4сг +Ь2
4а~ —Щ
8а2
4а' - Ь 2 4а2- Ь 2
_
4 '2а~*
2а+Ь
2 ,2п+А
66
2а—b
(2a-b)(2a+b)
8а2
4а2—Ь2
4а2—Ь2
4а-(4а2- b 2)
I
(4а2 - Ь 2) $а2
2а
Ответ:------.
2а
11. Задание: Упростите выражение:
х2
25
х2
4
х 2 +4
4х
а )------ + -------; б ) -------- I ---------- в ) --------------- + —
х -5 5 -х
(х - 2)
(2 -х )2
(х - 2)
(2 ~ х У
Решение:
1
Н
1чл
+
25
-х
4
(х -2 )2
25
х2 - 25
(х - 5)(х + 5)
х -5
х -5
(х -5 )
4
х2 —4
(2 -х )2
х~
(х -2 )2
( х - 2 )2
(х -2 )2
х -2 ’
х2 + 4
4х
-------- - +
(х -2 )3 ' (2 -х )3
х2 + 4
(х -2 )3
4х
(х -2 )3
х‘ + 4 —4х
б)
х~
х2
х -5
= х + 5;
(;с- 2)(х + 2)
(х -2 )2
х+2
12. Задание: Упростите выражение
Г 3
,х - 4
(х -2 )3
+■
4 х -6
х -З х -4
(х - 2)2
1
(х -2 )3 х - 2 '
2х 'j
х
Г + lJ 2 х - 3 '
31
Решение:
4х-6
э
2x
3
1)------- + —-------------- 1 --------= --------л --4
x~ - 3.v- 4
x+ I
x -4
2x 2 -
_ 3л- + 3 + 4 л - - 6 + 2л:2 -8 л -
(x
)
2
| l ) ( x 1 4)
2a' - 3
x
x -4
2x li" 4
- 3
( 2 x - 3 ) ( x + 1) _ 2 л г -3
_
.t - 4
x
2 x -3 ~ (x -4 )(2 x -3 ) _ x - 4 '
x
_
Ответ:
x
4x-6
+ ------------------- +
(x + 1)(a'- 4 )
дг + 1
” ( a- | l) ( .v 1 4 ) ” ( jcI l)(.v - 4)
(2x - 3 ) • x
_
U+1
x -4
Приемы раци онального вы полнения тож дественны х преобразований:
1)
Для упрощ ения д робны х раци ональны х вы раж ений нецелесообразно
приведение слагаем ы х к об щ ем у знам енателю без предварительного сокра­
щ ения дроби. Э то следует им еть в виду и в дальнейш ем : перед приведением
дробей к общему знаменателю следует проанализировать, можно ли эти
дроби предварительно сократить.
13. Задание: Упростите выражение: Ч1 + а2+ а
а -а 2
ФШ— S
i — Ш
1- а 3
.( 1 - а ) 3 ’
Ш
a 2(a —b)
b2 +ab
I
а3 + Ь3
г - . -г - + 1
,
в)
а3- Ь 3
а 2 + ab + b2 '
b(a2 —a b + b 2)
а
b
Реш ение:
1 + а~ + а
Г
1
а -а
а(1 - а)
+ (1 - а ) 3, (1 - а)(1 + а 2 + а) + ( I - а)3
1—а + а _
(1 - а)2
„ a2( a - b )
б)
а3 - Ь 3
1
1Ц а~ + а
а
Щ а + ( I - а)2
1
\
(1 - а)2 ’
b2+ab
I ■ a2( a - bI) , L i + b2+ab
а2 + ab + b2 (а —b)(a2 + ab + b2) а2 + ab + b2
+
b2+ab
a2 +ab + b2
= 1;
a '+ a b + b' a + ab+ b‘
a3+b3
a _ ( a + b)(a2 —ab+b2)
b(a2- a b + b2) Ъ
b(a2 —ab + b2)
а _ а +b
b
b
а _ а +Ь - а
b
b
32
-
a2 + ab + b2
Ш
2) При выполнении преобразований выражений вида (а + Ь) • с иногда
бывает более рациональным не выполнять действия в скобках, а воспользо­
ваться распределительным свойством умножения.
14. Задание: Упростите выражение:
а)
гИ < г-* 0 ; Ш Ш Ш В
( а -Ъ )
(а + Ь)~
а +х
а —х
а —х .
г
С* - y f
в)
х2- у 2
(х + у)2
( х2 - у 2)2
( х + у ) 2 + 2(х2 - у 2) + ( х - у ) 2
Решение:
1
а)
I
Г \ (а2 - Ь 2)2 =
(а +ьУ
1
(а - Ь)2
(а + Ь)2
(а - Ь)1 ■(аг + Ь)2
(а - Ь)2 ■(а + Ь)2
(а -Ь )2
(а + Ь)2
I
б) (а2 - х 2
\ а + х а* - х~
= а - х + \ - а - х = \ - 2х:
в)
1
(х-у У
= (а + Ь)2 - (а - Ь)2 = 4 ab;
1 I _ ( а - х)(а + х)
а —х
а +х
2
1
+ —1----- г +
х2 —у 2 (х + уУг Р
X +у
а -х
1
1
---- + -----
Ш
Jf — V
(лг + у)2 + 2(дс: - у 2) + (дг - у)2
X- у
(а - Ь)2 ■(а + Ь)2 =
X + V
(о - х)(а + х)
/
2
2\2
(х - у )
(х I у + х - у)2
(х + у +X - у)
- =
4х
4х2
1.
3) Рассмотрим преобразования дробей, числитель и знаменатель которых
являются дробными выражениями.
Такие дроби обычно называют сложными дробями.
15. Задание: Упростите выражение:
х .у
а)
У
х
.
- + —-2 *
У х
1-1
б ) ------ —
Х+
--2
х
33
Решение:
а)
Используя основное свойство дроби, умножим числитель и знамена­
тель дроби налу.
--L
у х
—+ —- 2
;; х
х
У
У
х,
(Х-у)2
у
х' - у
х г + у 2 - 2ху
'
X
х
у
_
—; ху И---- Х у - 2 Х\
Ху
- + —- 2
У х
_ (х -,у )(х + >0
X
у
— ■ху---- -XV
ху
х +у
~ х-у'
б) Умножим числитель и знаменатель дроби на х.
1-
1
1-
X__ __
х+— 2
Х+ — 2 - х
х -1
х —1
х 2 +1 - 2х
(х 1 1)2
1
16. Задание: Представьте сумму
1
(х+1)(х+2)
(х+2)(х+3)
(х+3)(х+4)
х+1 х+2
х+2
в виде дроби.
Решение:
Заметим, что
(х + 1)(х + 2)
х+1
х+2
Тогда:
\l
1
+(х + 3)(х + 4)
(х + 1)(х + 2)
(х + 2)(х + 3)
___ 1
___ 1 _ = _ J ___ 1
х+3
|
1
х+3
х+4
х+1
3
х+4
(х + 1)(х + 4)
От вет :---------------- .
(х + 1)(х+4)
17. Задание: Упростите выражение
34
2х
х -2
х+2
х 2+4
4х
х4 + 16
Решение:
В этом случае сложение будет рациональнее выполнять последовательно:
сначала сложить две первые дроби, затем к полученной сумме прибавить третью
дробь и, наконец, к сумме первых трех дробей прибавить четвертую дробь.
Имеем:
1
х-2
1
2х
4х3
2х
2х
х+2
лг + 4
х4 + 16
х: - 4
х 2 +4
4х 3
4х3
Г X4 - 1 6
Ответ:
U
х4 + 16
8х7
х4 + 16 ” х * - 2 5 б '
---- .
х -2 5 6
Преобразование алгебраических выражений, содержащих модули
Чтобы хорошо овладеть методикой решения уравнений и неравенств с
модулем, нужно сначала научиться раскрывать сами модули.
В этом случае используют определение модуля а
а, если а > О,
- а, если а < О
и метод промежутков.
Для этого:
1. приравнивают к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, полу­
ченные значения переменной откладывают на числовой оси;
2. исследуют алгебраическое выражение в каждом из полученных про­
межутков.
Рассмотрим несколько примеров на раскрытие модуля.
18. Задание: Записать без знака модуля следую щ ее выражение:
у = [х| + 12-х\ + 3|х - 3|, если 2 < х < 3.
Решение:
2 < х < 3;
у = jx| + 12 - х| + 3|лг - 3| = х - (2 - х) - 3(х - 3 ) = д г-2 + д :-З х + 9 = - х + 7.
19. Задание: Записать без знака модуля выражение у - \ х + 2| - Зх.
Решение:
У ~ |* + 2|-Э* = |
х + 2 - З х , если х + 2 ^ 0 ,
2 - 2х, если х к. -2,
- (х + 2) - Зх, если х + 2 < 0;
- 2 - 4х, если х < -2.
35
20. Задание: Освободиться от знака модуля в выражении:
у - х +1 + |х + 5| - |х - 3 |.
Решение:
1) Определим точки, в которых выражения, стоящие под знаком модуля,
равны нулю , т в. х + 5 = 0, х - 3 =0.
Находим jc= —5, х = 3.
2) Эти точки нанесем на числовую ось, получим три промежутка.
3) Определим знаки каждого выражения, стоящего под знаком модуля на
отдельных промежутках. Эти знаки также укажем на числовой оси следую­
щим образом:
II
-
■
I
■ |
.
х
х-3
.
.5
-
3
+
Полученные комбинации знаков используем при раскрытии модуля:
если * < - 5 , т о у = х + 1 - ( х + 5) + ( х - 3 ) = х + 1 - х - 5 + х - 3 = х - 7 ;
если -5<х<3,то>> = х + 1 + (х + 5) + ( х - 3 ) = х + 1 + х + 5 + х - 3 = Зх + 3;
если х > 3 , то_у = х + 1+ (х + 5 ) - ( х - 3 ) = х + 1 + х + 5 - х + 3 = х + 9 .
х - 7 , если х < -5,
Ответ: у = Зх + 3, если - 5 < х < 3,
х + 9, если х >3.
2 1. Задание: Записать без знака модуля выражение:
у = |2х + 3| I М - 7| - 5.
Решение:
Г
” j
х-7
-1,5
-
7 •
+
если х < —1,5,то у = - (2 х + 3 ) - ( х - 7 ) - 5 | - 2 х - 3 - х + 7 - 5 = - З х - 1
если- 1 ,5 < х < 7 ,то у - (2х + 3 ) - ( х - 7 ) - 5 = 2х + 3 - х + 7 - 5 = х + 5 ;
если х > 7 ,то у = (2х + 3°) + ( x - 7 ) - 5 = 2x + 3 + x - 7 - 5 = 3 x - 9 .
- З х - 1 ,если х < -1,5,
Ответ:
у
=
х + 5, если - 1 , 5 < х < 7 ,
Зх - 9, если х > 7.
36
Рассмотрим, как раскрытие модуля позволяет сократить дроби.
22. Задание: Сократите дробь у = —^ —— .
х —х —6
Решение:
1) Разложим знаменатель на линейные множители: х2- х - 6 = (х - 3)(х+2).
Перепишем дробь: у = — — —У— .
(х -3 )(х + 2)
2) При х = 3, х - - 2 дробь не определена.
3) Теперь раскроем модуль и, по возможности, сократим дробь:
при х - 3 < 0 имеем у =
при х - 3 > 0 имеем у =
•х(х - 3)
- х
(х - 3)(х + 2)
х +2
х(х - 3)
(х - 3)(х + 2)
_
х
х +2
х
--------- ! если х < 3, х Ф -2 ,
х
+
2
Ответ: у =
х
------ , если х > 3.
х +2
3 у _у2 _2
23. Задание: Сократите дробь у = --------------.
|2 - х |
Решение:
Ъ х - х 2- 2
71
- (х2 - Зх + 2)
м
-(х -1 )(х -2 )
л - И
;
;
0
_Л
—(х —1)(х —2) ( х - 1 ) ( х - 2 )
п р и 2 - х > 0, у = — ----- ------- - = ------ ------- - = х —1;
2 -х
х -2
о
-(х -1 )(х -2 )
-(х -1 )(х -2 ) ,
при 2 - х < 0, у = —------- --------- - = — ------ ---------- = 1 - х
-(2 -х )
х -2
Ответ: у = \
х -1 , если х <2,
1- х, если х > 2.
37
Преобразование выражений,
содержащих степени с целыми показателями
Алгебраическое выражение называют рациональным, если оно содержит
переменные, над которыми производятся только операции сложения, вычита­
ния, умножения, деления и возведения в целую степень.
Определение. Если а * 0 и п -натуральное число, то а~" = — .
а
Выражение 0 ” не имеет смысла.
Действия над степенями с целыми показателями выполняются по тем же
правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.
Рассмотрим примеры преобразований рациональных выражений, кото­
рые содержат степени с целыми показателями.
24. Задание: Упростите выражение:
б ) ( а Ь - 2 + а - 2Ь)(а-] + Ь - ' У ];
V 2
1+
в)
V
х " 6 + X -4 + X 2
у
X2 + х 4 + х 6
Решение:
оды
ти
)
Т Т ^ -Т
\Ь -
а ')
•
(а + Ь)(а2 - a b + b2) - a b _ a 2 - ab + b2
crb 2 • (а + Ъ)
38
ab
ГТ
Ь)
=
---- Щ Щ
• --------
^ a b ' ) \ ab )
25. Задание: Выполните действия:
а)
бху
{ - с 2хУ 2j ; 6 )f^ m 2wj -(-32m2/i);
2алЬ 3 6a~*b*
Зх*у~* 5лГ*У ’
-2
г) f ° ' v 1f1 1
W e-j
Решение:
Ьх2у~
•I j c V , - ’
^ - .l c V
с*
81
V
=
| O'
а)
, 6C?>
б)| - т ' п I -(—32/77 /7) = — m V •(-32m и) = — m V ;
64
2
§3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
РАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Метод введения
новой переменной
Метод разложения
на множители
7. х3 - Зх + 2 = 0
И . (х2 + х - 2)(х2 + х - 3) = 12
, , х2+ 2
8. (2х + 1)(х2 - 7х + 6) = (х - 1)2(х + 0,5) 12 .
З х -2
9. х 3 - 5х2 + 9х - 5 = 0
З х -2
I-----
х+ 2
8
3
13. (х2 + 2х): - (х + 1)2 = 55
14. х 4 - 2х3 - х 2 - 2х + 1 = 0
15. (х + З)4 + (х + 5)4 = 16
16. (х - 4)(х - 5)(х - 6)(х - 7 ) = 1680
17. 3(х2 - х + 1)2. - 5(х + 1)(х2 - х + 1) - 2(х + 1)2 = 0
Решение дробнорациональных уравнений
18
3
х
+
33
х -4
- ...
х 2 - 1 Ijc х -1 1
, 9 3 (9 * -3 )
9 х -Ь
/
Нестандартный подход
Z1 . -
13х
2х + х + 3
Здс + 1
Зх - 2
•22.
1
20л-+ 1
7 -5 х
4х + 8
4х2- 1 6
х 2 - 4х + 4
.
1-
2х
2х - 5х + 3
—о
1 - 1 = 1 - 1
х —1 х - 2
х -3 х -4
Методы реш ения рациональных алгебраических уравнений
Линейное уравнение
О пределение. Л инейны м называется уравнение вида:
ах + Ь -0 , а*0.
Такое уравнение им еет один корень, нахождение которого не вызывает
затруднений:
Ъ
х =— .
а
40
1. Задание: Решите уравнение (а - 1)х + 2 = а + 1.
Решение:
( a - I ) x + 2 = a+ 1.
г.
1
а - 1 = I,.
При
аФ 1,
х = ----а -1
При а = 1, уравнение принимает вид 0 ■х + 2 - 2 , поэтому любое действи­
тельное число будет его решением.
Ответ: Если а Ф 1,тох = 1; если а - 1, то х е R .
Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.
2 х 1—х 5х
2. Задание: Решите уравнение —+ —+ ----- = ------1.
2 + х + 1—x _ 5 jt
3 4 ~Ь~~~\2~
Умножив обе части уравнения на 12, получим:
8 + 3jc+ 2 - 2 x = 5jc- 12;
4х = 22;
х~5,5.
Ответ: дг=5,5.
Квадратное уравнение
Определение. Квадратным называется уравнение вида:
ах2+ Ьх + с —0, а Ф0.
В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных
уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.
Умение быстро находить корни квадратного уравнения имеет большое зна­
чение при тестировании.
Известно, что для большинства квадратных уравнений с целыми корнями
(при а = 1) эти корни без труда находятся подбором, основанным на теореме,
обратной теореме Виета. Однако этот способ становится уже практически
неприменимым, если уравнение имеет дробные корни. Для преодоления воз­
никшей трудности используется следующий прием: “перебросить” коэффи­
циент а в свободный член (умножить свободный член на а). После этого найти
корни нового уравнения и разделить их на а.
Рассмотрим этот прием на конкретном примере.
3. Задание: Решите уравнение 12х2+ 1Здг + 3= 0.
Решение:
х 2 +13х + 3-12 = 0;
X, = -4 , х2 = -9.
41
Использование свойств коэффициентов квадратного уравнения
Пусть дано квадратное уравнение ах2+ Ьх + с = 0.
- Если а + Ь + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю),
.
с
то X, = 1, х2 = —.
а
4. Задание: Решите уравнение 345х2 - 1 3 7 * -2 0 8 = 0.
Решение:
345х2- 1 3 7 х - 208 = 0.
Т . к. а + 6 + с = 0
( 3 4 5 - 1 3 7 - 2 0 8 = 0), Я
П
20Я
х, = - — .
345
345
с
- Если а - Ь + с = 0 или Ь = а + с, то х, = -1 , х 2 = — .
а
5. Задание: Решите уравнение 11х2 + 27х + 1 6 = 0.
Решение:
11х2 + 27х+ 16 = 0.
Т. к. 6 = а + с (11 + 16 = 27), то х, = —1, х2 = - — .
Ответ: \
11
;- Н .
/ - Если второй коэффициент b = 2к - четное число, то формулу корней
можно записать в виде:
- к ± у/к2 - ас
х , , = --------------:------ .
а
6. Задание: Решите уравнение Зх2- 14х + 16 = 0.
Решение:
Зх2- 14х+ 16 = 0;
7 ± > /4 9 - 4 8
7±1
xl 2 1 -----------------= — ;
х, 1 2, х2 1
8
Г
Ответ: <2;
8
Эти способы решения квадратных уравнений специального вида позво­
ляют очень быстро и рационально решать многие уравнения.
42
Уравнение со степенью больше 2
Для решения таких уравнений чаще всего применяют следующие методы:
- разложение на множители;
- введение новой переменной.
Метод разложения на множители
Путем группировки слагаемых и применяя формулы сокращенного умно­
жения, приводим исходное уравнение к виду, когда слева записано произведе­
ние нескольких множителей, а справа - нуль. Затем приравниваем к нулю
каждый из множителей.
7 .Задание: Решите уравнение х3- Зх +2 = 0.
Решение:
х3 - Зх + 2 = 0;
х3- х - 2 х + 2 = 0;
х(х2 - 1 ) - 2(х - 1 ) = 0;
х(х - 1)(х +1) - 2(х - 1 ) = 0;
(х - 1)(х2 + х - 2) = 0;
I) х —1 = 0;
х, = 1;
2 )х 2 + х - 2 = 0;
^
Ответ: {-2; l}.
х2 = -2 , х3 = 1.
8. Задание: Решите уравнение (2х + 1)(х2 - 7х + 6) = (х - 1)2(х + 0,5).
Решение:
(2х + 1)(х2 - 7х + 6) = (х - 1)2(х + 0,5);
2(х + 0,5)(х2 - 7х + 6) - (х - 1)2(х + 0,5) = 0;
(х + 0,5)(2х2 - 1 4х +12 - х 2 + 2х -1 ) = 0;
(х + 0,5)(х2 - 12х + 11) = 0;
1) х + 0,5 = 0;
2)х" -1 2 х + 11 = 0;
х2 = 1, Xj = 11!
Ответ: {- 0,5; 1; 11}.
9. Задание: Решите уравнение х3 - 5х2 + 9х - 5 = 0.
Решение:
х3 - 5х2 + 9х - 5 = 0;
х3 - х 2 - 4х2 + 4х + 5 х - 5 = 0;
х 2(х -1 ) - 4х(х -1 ) + 5(х -1 ) = 0;
(х - 1)(х2 - 4х + 5) = 0;
43
2) х2 - 4х + 5 = 0;
решений нет, т. к. D < 0.
1)л— 1 = 0;
х, = 1;
10. Задание: Решите уравнение з(х +
-
Ответ: {!}.
7^1+ —j - 0.
Решение:
ОДЗ: дс э* 0;
Kl+; H +7 J-T+i |=0;
f l + —Т з х - 3 + - ^ - 7 | = 0;
i Y ,Зх + ---з 110
1+ — I
XA
= 0;
X
1) 1+ —= 0;
x
i- u
X
x, = - 1;
2) 3x + — 10 = 0;
Зх* -1 Ox + 3 = 0;
1
,
*1 = “ >*2 = 3-
x2 -1 0 x + 9 = 0;
x, = 1, x, = 9.
J
Метод введения новой переменной
Ишем в уравнении некоторое повторяющееся выражение, которое обо­
значаем за новую переменную, упрощая тем самым вид уравнения.
11. Задание: Решите уравнение (х2 + х - 2)(х2 + х - 3) = 12.
Решение:
(х2 + х - 2 ) ( х 2 + х - 3) = 12.
Обозначим х 2 + х - 3 = а , тогда
44
(а + \)а = 12;
а 2 + 0 - 1 2 = 0;
а, = -4 , а 2 = 3;
1)х2 + х - 3 = -4 ;
х2 + 1 + 1 = 0;
уравнение решений не имеет, т. к. D < 0;
2) х2+ х -
3 = 3;
х2 + х - 6 = 0;
х, = -3 , х2 = 2.
Ответ: {-3;2}.
Рассмотрим уравнение, содержащее взаимно обратные выражения.
12. Задание: Решите уравнение
Решение:
х2 + 2
З х -2
8
З х -2
х2+ 2
3’
х2 +2
Зх - 2
8
Зх - 2
х2 + 2
3
ОДЗ: х * - .
Обозначим а = * ЙЙ .
З х -2
В результате получим уравнение:
1
8
а — = —;
а 3
За2 - 8 а - 3 = 0;
а\ —3, а2 —
;
а,=9, ЦВ-1;
а 2 - 8о - 9 = 0;
l З eх - 2 i
2 )11 + 2
З х -2
х2 - 9х + 8 = 0;
Зх2 + Зх + 4 = 0;
3
х, = 1, х2 = 8;
уравнение решений не имеет, т.к. D< 0.
Ответ: {1; 8}.
В более сложных случаях замена видна лишь после некоторых преобразо­
ваний.
13. Задание: Решите уравнение (х2 + 2х)2 - (х + 1)2 = 55.
Решение:
(xJ + 2х)2 - ( х + 1)2 = 5 5 .
45
Переписав уравнение иначе, а именно: (л2 + 2х)г - (х2 + 2х +1) =
сразу видим замену х 2 + 2х = а.
а2 - а -
5 6
=
5 5
, мы
0 ;
а, = - 7 , а2 = 8;
1)й = -7;
х 2 + 2х + 7 = 0; уравнение решений не имеет, т. к. D <0;
2 )о = 8;
х 2 + 2х - 8 = 0;
Ответ: {-4; 2}.
х, = 2, х2 = -4 .
Интересная замена неизвестного применяется при решении симметри­
ческих уравнений.
Определение. Уравнение вида
апх" + ап_ххп~х+ ... + я ,х + а 0 = 0 назы­
вается симметрическим, если ап = а0, апЛ = ах т.е. если равноудаленные
от концов коэффициенты попарно равны.
14. Задание: Решите симметрическое уравнение:
х 4 - 2х3 - xf - 2х +1 = 0 .
Решение:
х* - 2х3 - х 2 - 2 х +1 = 0 .
Поскольку х = 0 не является решением данного уравнения, то, разделив
обе его части нах2, получим:
2
2
1
х - 2х - 1 — + — = 0;
X
X
Замена: хн— = о .
а ' - 2а - 3 = 0;
at = 3,
а2 = -1 ;
1)х + —= 3;
2)х + —= -1;
х
х
x 2 - 3 x + l = 0;
х 2 + х + 1=0;
3± j5
х,, | — I— ;
2
уравнение решений
не имеет, т. к. D < 0.
h+
Ответ: I
|
/? ]
1.
2 j
В ряде других случаев удобную замену желательно знать заранее. Например:
а) Уравнение вида (х + а)4 + (х + Ь)4 —с сводится к биквадратному, если
а +Ь
сделать замену: х — t --------- .
2
б) Уравнение вида (x + a)(x + 6)(x + c)(x + <i) = е сводится к квадрат­
ному, если а + Ь = с + d.
в) Однородное уравнение а у 2а + byaz a + cz2a = 0 , где а, Ь,с, а - задан­
ные числа, отличные от нуля; у —у(х), z = z(x) —некоторые функции от х сво­
дится к квадратному, если разделить обе части уравнения на z 2a Ф 0 . Тогда
г ^ \ 1а
получаем уравнение: а
У
( ■\ а
+ с = 0.
15. Задание: Решите уравнение (х + З)4 + (х + 5)4 = 16.
Решение:
( х + 3)4 + ( х + 5)4 =16.
Сделаем замену: x - t - 4.
Тогда получим:
( /- 1 ) 4+(Г + 1)4 = 16;
(t2 - 2 t + 1)2 + (t2 + 2 t + 1)2 = 16;
t 4 - 4t 3 + 6r2 - 4t +1 + 1* + 4t 3 + 6 r + 4t +1 = 16;
2/4 + 12fz -1 4 = 0;
f4 + 6/J - 7 = 0.
Замена: t2 = a > 0 .
a 2 + 6a - 7 = 0;
a, = -7, a2 = 1.
47
С учётом t~ = а > 0 отбрасываем а,.
Г =1
+
х, 1 1- 4 = -3, х, I -1 - 4 | -5.
Ответ: {-5;-3}.
16. Задание: Решите уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6)(х - 7) = 1680.
Решение:
(х - 4)(х - 5Хх - 6)(х - 7) = 1680;
(х - 4)(х - 7)(х - 5 ) ( х - 6) = 1680;
(х- - 1 1х + 28Хх2 - 1 1х + 30) = 1680.
Обозначим х2 - 1 1х + 28 = а , тогда
а(а + 2) = 1680;
а2 + 2а -1680 = 0;
а, = -42, а2 = 40;
1)х2-11х + 28 = -42;
х2 - 11х + 70 = 0;
уравнение решений не имеет, т. к. D < 0;
2)х2 - 1 1х + 28 = 40;
х2- И х -12 = 0;
х, = 12, х2 = -1.
Ответ: {-1; 12}.
17 Задание: Решите однородное уравнение:
3(х2- х + 1)2 - 5(х + 1)(х2 - х +1) - 2(х + 1)2 = 0.
Решение:
3(х2 - х + 1)2 - 5(х + 1)(х2 - х +1) ^ 2(х + 1)2 = 0.
Разделим обе части уравнения на (х2 - х + 1)2 * 0
Пусть ~
+*
X —X + 1
48
= а , тогда
х +1 = - З х 2 + Зх —3;
Зх2 —2jc + 4 = 0;
уравнение решений
не имеет, т. к. D < 0.
Ответ: х, 2 =
з± У 1 з
2
Решение дробно-рациональных уравнений
При решении дробно-рациональных уравнений следует учесть, что областью
определения уравнения являются те значения переменной х, при которых зна­
менатели дробей не обращаются в нуль.
При решении дробно-рациональных уравнений целесообразно поступать
следующим образом:
1. найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая
дробь имеет смысл;
2. заменить данное уравйение целым, умножив обе его части на общий
знаменатель;
3. решить получившееся целое уравнение;
4. исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.
■**
3
33
х -4
18. Задание: Решите уравнение —+ —--------= -------- .
х х2 - 1 1х х -1 1
Решение:
3
33
х -4
- + —-------- = -------О Д З :х * 0 ,х * 11;
х х2- И х х - 1 Г
3
33
х -4
—+
= 0;
X х(х-11) х - 1 1
3(х -1 1 ) + 33 - х(х - 4) = 0;
7 х - х 2 = 0;
х, = 0 - не принадлежит ОДЗ,
х2 =
7.
Ответ: {7}.
„
3(9х- 3 ) „
19. Задание: Решите уравнение----------- = 2 +
I»
49
9 х_3 = 2 + 3* + 1
З х -2
Зх —2
9х - 3 = 6х —4 + Зх +1;
9х - 3 = 9х - 3;
2
х - любое число, кроме —.
3
Ответ: х * —.
1
20х + 1
20. Задание: Решите уравнение ------- - ~~г г т
4х + 8 4х - 1 6
2
3
7 - 5х
9 "
7
х -4 х + 4
Решение:
1
_ 20х + 1
4х + 8
4х2 - 1 6
7 -5 х
х2 - 4 х +
1
20х + 1
4(х + 2)
4(х - 2)(х + 2)
4*
7 - 5х
+ ---------* = 0,
(х - 2)2
0
ОДЗ: х * ±2;
(х - 2 || j (20х 11)(х - 2) | (7 - 5х)(4х + 8) = 0;
39х2 - 2 3 х - 6 2 = 0.
, , „й А
,
62
Так как Ь = а + с (-23 = 39 - 62), то х, = —1, х 2 —— .
1
2 39
Г , 62'
Ответ: i -1 ; —
1
39.
Нестандартный подход.
Общих формул нахождения корней алгебраических уравнений высоких
степеней нет, и поэтому об их решениях говорят как об искусстве решать при­
мер нестандартно, придумать “свой метод”, догадаться что-то прибавить и
отнять, выделить полный квадрат, на что-то разделить и умножить и т.д.
' _ .
_
13х
2х
21. Задание: Решите уравнение — ;----------- 1-----;----------- = 6.
2х" + х + 3 2х - 5 х + 3
Решение:
13х
2х
___
3
6,
ОДЗ: х * 1 , х ^ —.
2х2 + х + 3 2х2 - 5х + 3
* 2
Разделим числитель и знаменатель дробей нах Ф0:
13
2
= 6.
3
3
2х +1 + — 2х - 5 + —
X
50
X
Обозначим 2х + —= /.
х
13
2
.
Получим: — 1 + ----- = 6;
/ +1 / - 5
1 3 (/-5 ) + 2(/ + 1) = 6 (/ + 1)(/ - 5);
6 /2 - 39/ + 33 = 0;
2/2 - 1 3 / + 11=0;
/,=1, t2=— .
2
,
■
/ - 1 3/ + 22 = 0;
I =2, /, = 11.
Следовательно: 1) 2x + —= 1;
x
2x2 - x + 3 = 0;
уравнение решений не имеет, т. к. D < 0;
очо
3 = —;
11
2)2х + —
х
2
4х2 - 1 1х + 6 = 0;
3
xi ~ 2, х2 =~.
4
~
-х2-1 Ijc + 24 = 0;
х, =8, х2 = 3.
Ответ: i —; 2
4
1
22. Задание: Решите уравнение------------х - 1 jc- 2
х —3 х - 4
Решение:
1
1
1
1
Г
г г
т»
ОДЗ: х * 1, х* 2 , х * 3 , х*4.
х -1 х - 2 х - 3 х - 4
Сложив попарно дроби: первую и четвертую, вторую и третью, получим:
1
1
1
1
х -1 х - 4 х - 2 х - 3
x -4 + x -l
х -З + х -2
(х -1 )(х -4 ) (х -2 )(х -3 )
2 х -5
2 х -5
(x - lX x - 4 ) (х -2 Х х -3 )
/
(2х - 5)
= 0;
Д х -1 Х х -4 ) (х -2 Х х -3 )
51
1) 2jc—5 = 0;
x, = 2,5;
2) -
!----------------- 1------- = 0;
:(x -$ (x -4 )
(x -2 )(x -3 )
xa - S x + 6 - x 2 + 5 x - 4
(x -lX x -2 X x -3 )(x -4 )= ’
--------------- ---------------- = 0;
(x-lX x-2X x-3X x-4)
уравнение решений не имеет.
S2
Ответ: {2,5}.
§4. МЕТОДЫ РЕШ ЕНИЯ СИСТЕМ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Метод подстановки
х 2 + ху - у 1 = 11,
Метод алгебраического сложения
[х2 - 2 у 2 + х - -6,
3.
х - 2 у - 1 = 0.
[х2- 3 у 2 = - 1 1 .
I
1
1
у -\
у+1
X
*
[х2 + у 2 + х + у = 18,
4.
Метод введения
новых переменных
у
£
х3 + /
= 35.
Системы,
содержащие однородное уравнение
ш ив,
х + у + 1+ ху
ху(х + у) = 30
[х2 - у 2 + х - у = 6.
у 2- х - 5 = 0.
6.
5.
10.
[х 2 + 4 х у - 3 у 2 =1,
[2 х 2 - З х у + у 1 = - 1 .
= 2.
ху
Метод разложения на множители
х+у
х -у
х+ у
10
\9х2- у 2- 3 х + у = 0,
------ — + ------— = — ,
7.
х -у
3
11 .
у =12.
g <х 2+ х у + у 2 = 21, 9 Гх3 + у 3 = 7 ,
х + х у + у = 9.
12.
Iх 2 + у = ху.
у* + ху2 - 2х2 - 0,
х + у = 6.
[х 3у 3 = - 8 .
Д ополнительны е методы
х у - 6,
13.
(х 2 - у 2 = 24,
[ х - у = 4.
16. xz = 2, х > 0, у > 0, г > 0.
>* = 3;
ху + 24 = — ,
Л1
14.
17.
[х 2 + у 2 = 2 5 ,
к
У
=12.
х у -6 = — .
Гху = 4,
15.
|* + >| = 5.
18.
[ * У - / + 2ху = 2,
[з х 2у 2 - 2 у 2 + 8ху = 1.
53
Методы решения систем алгебраических уравнений
Методы решения систем алгебраических уравнений достаточно похожи
на методы решения отдельных уравнений.
При решении систем уравнений можно использовать элементарные пре­
образования, сохраняющие равносильность систем:
а) перестановку местами уравнений;
б) умножение обеих частей уравнения на любое число, отличное от нуля;
в) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на
любое число.
Можно выделить четыре основных метода, используемых при решении
систем:
- метод подстановки;
- метод алгебраического сложения уравнений;
- метод введения новых переменных;
- метод разложения на множители.
Рассмотрим каждый из этих четырех методов в отдельности.
Метод подстановки
Этот метод применим тогда, когда из какого-либо уравнения системы можно
выразить одну переменную через другую и решить получившееся уравнение
с одной переменной. Этим требованиям удовлетворяет любая система, состо­
ящая из уравнения первой степени и уравнения второй степени.
Таким образом, при решении системы двух уравнений с двумя перемен­
ными способом подстановки:
1) выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через
другую;
( 2) подставляют вместо этой переменной полученное выражение во вто-*
рое уравнение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующие значения второй переменной.
\х2+ху-у2 = 11,
1. Задание: Решите систему уравнений j
Решение:
(х 2 + х у - у 2 =11,
\ x - 2 y - l = 0;
х = 2 у + 1.
54
^
j_q
Подставим найденное для х выражение в первое уравнение системы:
(2у + 1)2+(2у+\) у - у 2=1\-,
у 2+4у + 1+ 2у 2+у - у 1- 11 = 0;
4
5у2+5у-10 = 0;
у 2+ у- 2 = 0;
У\ = - 2,
jc, =
= 1; ,
-3 , х2 = 3 .
Ответ: (-3; -2), (3; 1).
_1_____ 1_
I
2. Задание: Решите систему уравнений у - 1 у+1 X
у 2- х - 5 = 0.
Решение:
_1____ ! _ _ !
J / - 1 у+1 X
_1_____ 1_
у 2 - х - 5 = 0;
х - у 2 - 5.
-1
у +1
х'
Из первого уравнения данной системы находим у:
_1_____ 1
у - 1 у+1
2
1
у 2-5 —
1
Г -l“ /- 5 ’
2yJ - I 0 = y J - l ;
У2 =9;
Ла =±3;
х = 4.
Ответ: (4;-3), (4; 3).
Метод алгебраического сложения уравнений
Метод сложения применяется тогда, когда при почленном сложении
правых и левых частей уравнений системы, предварительно умноженных на
некоторые числа, можно получить уравнение с одной переменной, которое
поддается решению.
3. Задание: Решите систему уравнений
х - 2у + х = -6,
хг - З у 3 =- 11.
Решение:
55
х2 + Зх = 4;
хх = -4 , х2 = 1;
х = -4;
1)х
2) jc = 1;
1;
1 ;6- -33/ /= =- 1
-11;
,, = ±3;
у , , = ±2.
1 - 3 / = -1 1 ;
ЯШ
Ответ: (-4; - 3 ) , (—4 ;3 ), ( 1; -2 ), ( 1; 2).
Таким образом, при решении системы двух уравнений с двумя неизвест­
ными способом сложения:
а) умножают левые и правые части уравнений на некоторые числа;
б) складывают почленно левые и правые части уравнений;
в) решают получившееся после сложения уравнение с одной переменной;
г) находят соответствующие значения второй переменной.
4. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
Складывая и вычитая почленно уравнения данной системы, получим:
fjc2 ч- jc — 12 =
0, j x t = -4 , х2 = 3,
[у 3 +у - 6 = 0; [У] = -3 , у г = 2.
Ответ: (-4; -3), (-4; 2), (3; -3 ), (3; 2).
\ху(х + у) = 30,
5. Задание: Решите систему уравнений < 3
jc
/
3
+ у =35.
Решение:
Глу(дг + у ) = 30,
( * 3 +
у
= 3 5 .
Умножим первое уравнение на 3 и сложим со вторым.
В результате получим систему:
х, = 2 , у, = 3;
х, = 3, у 2 = 2.
Ответ: (2; 3), (3; 2).
56
Метод введения новых переменных
Для решения систем уравнений часто применяется метод замены пере­
менных, когда некоторые выражения от исходных переменных принимаются
за новые переменные, в результате чего получается более простая система
уравнений относительно новых переменных. После того как эта система
решена, надо по найденным значениям выбранных нами выражений найти
значения исходных переменных.
х + 1+ у + 1 _
X
у
6. Задание: Решите систему уравнений
х + у + \ + ху
= 2.
ху
Решение:
х+ 1+ у + 1
,1+ -1 +1. + —
1 = -3,
,
X
у
X
у
Х
+ У + 1+ ху
= 2;
ху
1 + -1 + —
1 + .1 = 2.
о
—
У
х ху
—= а,
Введем замену
х
У
а +Ь = - 5
а + Ь - —5,
~ & | а + b + ab - 1; ]аЬ = 6;
,
о, = -2, by = -3,
а. = -3, Ь, = -2.
Для определения х и у получим систему:
1 -2 .
1)
1
X
2)
—= -3.
X
. - 3
,
Ответ:
3’
- = -2.
у
х+ у х - у
— - +— х+ у
7. Задание: Решите систему уравнений х - у
3 ’
х 2 - у 2 = 12.
Решение:
10
—
3
х+У ( х - у
х -у х+у
хг - у 2 = 12;
1
10
Замена:
х+у
------ = а.
х -у
1 10
а + —= —
а
3
*» ] .
х‘ - у = 1
За2 - 10о+3 = 0,
х 2- у г = 12;
1
=
=3
х 2 - у 2 = 12;
57
£±Z- з
(4; 2),
( - 4 ;- 2 ) ;
О твет: (-4; -2), (-4; 2), (4; -2), (4; 2).
Общего правила выбора новых переменных не существует. Но имеется
два вида систем, для которых можно указать подходящую замену:
а) система симметрических уравнений;
б) система уравнений, одно из которых однородно.
Рассмотрим симметрические системы.
Системы, в которых замена х на у и у на х приводит к той же системе
уравнений, называют симметрическими системами. Если левые части обоих
уравнений системы являются симметрическими, полезно ввести новые пере­
менные по следующим формулам: х +у - а, ху = 6.
Отметим еще одну очевидную особенность симметрических систем: если
пара чисел (х0; _у0) является решением симметрической системы, то и пара
(у0; х0) является решением этой системы.
Могут быть полезны следующие представления:
х2 + у 2 = (х + у)2 - 2ху = а2 - 26;
х3 + у 3 = (х + у)(х" - ху + у 2) = (х + у)((х + у)2 - Ъху) = а(а2 - 36);
х4 + у 4 = (х2 + у 2)2 - 2х2у 2 = (о2 - 26)2 - 262.
/ Эти выражения вовсе не обязательно помнить, но нужно уметь выводить
йх самостоятельно.
8. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
В результате этой замены получим систему:
IV -6 = 21,
|о + 6 = 9;
а 2 + о - 30 = 0;
58
\
а, =5, а, = -6;
б, = 4, />2 =15.
Возвращаясь к переменным х и у, имеем совокупность двух систем:
х + у = 5,
ху - 4;
и
\х + у = -6,
[ху = 15.
Вторая из этих систем не имеет решений, а решениями первой системы
служат пары (1; 4), (4; 1).
О тв ет: (1; 4), (4; 1).
\х + у =
К симметрическим системам относится и система вида \
[ху = Ь,
кото-
рую можно решать, пользуясь свойствами корней квадратного уравнения.
9. Задание: Решите систему уравнений
[х 3 + У = 7,
х зУ = -8.
Решение:
fx J + / = 7 ,
[x V = -8 .
Из условия следует, что х5 и у* являются корнями некоторого приведен­
ного квадратного уравнения относительно переменной _.
Составим относительно z уравнение:
z2 - 7г - 8 = 0;
г, =8, z2 = -1 .
В результате получаем:
Гх3 =8,
х ,= 2 ,
1 э
,
[У = - 1
, ИЛИ 1 J о
У, = - !•
[У =8;
fx3 = -1;
х2 =-1,
т
>2 =2.
О тв ет: (-1 ;2 ),(2 ;-1 ).
Метод решения систем, содержащих однородное уравнение
Теперь обратимся к системам, в которых одно из уравнений однородно
или в которых можно выделить однородное уравнение. В однородном урав­
нении каждое слагаемое содержит произведение степеней х и>\ сумма пока­
зателей которых постоянна, а правая часть равна нулю. ■
39
\х + 4ху-3у~ =1,
10. Задание: Решите систему уравнений s ,
,
[2х - 3 ху + у = - 1.
Решение:
х 2 + 4ху - 3у 1 = 1,
2хг - 3 ху + у 1 = —1.
Строго говоря, однородных уравнений в этой системе нет. Но, прибавив
к первому уравнению системы второе, получим равносильную систему
с однородным уравнением второй степени относительно* и у:
[Здг + х у - 2у 2 = 0,
|2х2 - 3 ху + у 2 = -1.
Разделим обе части первого уравнения на у1. Заметим, что у 0, так как в
противном случае из первого уравнения системы получилось бы х = 0, а нуле­
вые значения переменных не удовлетворяют второму уравнению системы.
х
Решим первое уравнение относительно новой переменной а = —.
у
За2 + а - 2 = 0;
а, =—1, т.е. х = —
у,
2
2
щ = —, т.е. х = —у .
3
3
Подставим эти соотношения во второе уравнение исходной системы:
\)х = -у\
2) х - —у\
6у = - 1;
9
решении нет.
У2
у, 2 = ±3.
О твет: (-2; -3), (2; 3).
Метод разложения на множители
Нередко для понижения степени уравнений, входящих в систему, исполь­
зуется прием разложения одного из уравнений на множители и замена исход­
ной системы уравнений равносильной ей совокупностью более простых
систем уравнений.
11 .Задание: Решите систему уравнений
60
9х2 - у 2 - 3 х + у = 0,
х2 +у = ху.
Решение:
(9x2- y I -3x +y =0,
\x2+y =xy,
!)
j(3x-y)(3x +y - l ) =0,
\x2+y =xy;
2)\3x2 + y~l = 0,
[x-+y =xy;
[X +У =ху;
x2 +3x = 3x2;
x2 + ( l- 3 x ) = x (l-3 x );
(2x - 1)2 = 0;
1
1
2x2-3x = 0;
x(2x —3) = 0;
3
x, = 0, x2 = - ;
* 2' Л
2
Ответ: (0; 0), (0,5; -0,5), (1,5; 4,5).
v _ n „ - 9•
У\ —v>Уг ~ ~’
12. Задание: Решите систему уравнений i ^ +Х^
„
[х + у = 6.
Решение:
\у* + ху2- 2х: = 0,
]х +у = 6;
n J y 2- x = 0,
Iх +у = 6;
Ту4 +2х>-2- л у 2- 2 х 2 =0,
|х + у = 6;
\х = у2,
[ у + у - 6 = 0;
1 ,
f(у2 - х)(у2 + 2х) = О,
]х + у = 6;
[х =у2,
\
[у, = -3, уг =2;
(9; —3), (4; 2);
fy’+2x=0. Jx =
Iх + у = 6’
I
[у 2 - 2у +12 = 0;
система решений не имеет.
Ответ: (4; 2), (9; -3).
Дополнительные методы
Рассмотрим на примерах некоторые особые способы решения систем
уравнений с двумя переменными.
13. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
х2 - у 2 =24,
х - у = 4.
fx2 - у 2 =24,
х - у = 4.
Разделив первое уравнение системы на второе уравнение, получим
уравнение первой степени х+ у = 6, которое со вторым уравнением образует
новую систему:
[х + у = 6,
\х -
у =
4;
=
jc
5; jy = 1.
О твет: (5; 1).
i
14. Задание: Решите систему уравнений
ху + 24 = — ,
У I
У
х у - 6 = ^ -.
Решение:
х1,
ху + 24 = —
У
*>>-6 = — .
х
Почленно перемножим уравнения системы:
(ху + 24)(ху - 6) = — •— ;
У х
х2у 2 + 24ху - 6ху -1 4 4 = х2у 2;
\%ху =144;
х у - 8; .
ху =8,
ху = 8,
"Ч
и
40
1
£
/ :
*
— = 2;
хх
О твет: (-4; -2), (4; 2).
8
х =—,
У
У = 16;-
х=
8
,
У
У,
=2, Уг I -2.
ху = 4,
15. Задание: Решите систему уравнений
F +y|= 5-
\ху = 4,
Решение: }х + у\ = 5.
Второе уравнение системы равносильно двум уравнениям: х + у = -5 и
х+_у = 5.
Следовательно, данная система уравнений равносильна совокупности двух
систем уравнений:
V i
\
.
1 )1 ^
4’
|x + j/ = 5.
(1;4),(4;1).
2)\ХУ 4’
[х + У = -5.
Н ?-1 Х Н М >
Ответ: (-4; -1), (-1; -4), (1; 4), (4; 1).
16. Задание: Решите систему уравнений:
лгу = 6,
xz = 2,
х> 0 , у > 0, z> 0.
y z - 3;
Решение:
,
ху- 6
дсг = 2 ,
дс > 0, у > О, z > О.
yz = 3;
Перемножив почленно уравнения системы, получим:
х2 ->2 Z2 =36;
дс • у • Z = 6.
Разделим полученный результат на каждое уравнение системы:
У = 3;
дс = 2.
О твет: (2; 3; 1).
Такие системы очень часто встречаются в задачах по стереометрии.
17. Задание: Решите систему уравнений
дс2 1 ®
дгу = 12.
25,
Решение:
х 2 + у 2 =25,
лги = 12.
Умножим второе уравнение на 2, сложим его с первым. Получим:
(х + у)2 =49.
63
| |(ху=
Х+*12.
“ 7’
2)\Х
\7 ^
[ху+=У12.
(3; 4), (4; 3).
М ;- 3 ) ,( - 3 ;- 4 ) .
О твет: (—4; -3), (-3; -4), (3; 4), (4; 3).
Гд*2у 2 —у 2 + 2ху —2
18. Задание: Решите систему уравнений J
[ З х У - 2 / + 8 л у = 1.
Решение:
j x 2y 2 - у 1 1 2 х у 1 2
J - 2 х У + 2у 2 - 4х>> = -4 ,
I *(-2),
[Зх2у 21 2 у 2 + 8ху = 1;
[Зх2_у2 - 2_у2 + 8ху = 1;
х2у 2 + 4 ху + 3 = 0;
ху12 = -2 ± л / 4 -3 = - 2 ± 1;
Гху = -3 ,
D l, 2 2 . 2 „
Гху = -3 ,
.
3х-у- - 2 у + 8ху = 1;
2)
1 i
.
[у2 1 1;
xy =-U
|ху = - 1,
Зх2у 2 - 2 у 2 + 8ху = 1;
[ у 2 = -3 ;
(-3; 1), (3 ;-1 );
система решений не имеет.
О твет: (-3 ; 1), (3; -1 ).
Чтобы решить систему уравнений нестандартно, нужно проявить опреде­
ленную смекалку, применив искусственные приемы, рекомендуемые в курсе
алгебры.
64
I
§5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Целые рациональные неравенства
1. (х + 2)х(х - 1)(Х - 2) < О
7. х3 -1 0 х 2 +21х > О
2. (2х +1)(3 - х)(х —6) < О
8. 4х2 + 4х +1 < О
3. (х + 3)(3х - 2)5(7 1 jc)3(5x + 8)2 < О
9. (х2 - 1)3(Зх2 +1) <
< (х2 -1 )3( 6 - З х - 5 х 2)
4.
( jc -
1)3(х - 2)2(х - 3)5(х - 4) < О
10. х4 - Зх3 +х2 +3х —2 > О
5. (х - 3)2(х- - 4)(х2 - 9)(х3 + 8)(х + 6)4 > О 11. х4 -1 0 х 2 + 9 < О
6. 15х2 - (5х - 2)(3х +1) < 7х - 8
12. (х2 + х + 3)(х2 +х + 4) < 12
Д роб н о -рац и о н альн ы е н ер авен ства
13>в)(х -1 Х х ± 2 ^ <0;
(-1 -х )5
в)
х2 - 4х -1 2
< 0;
б)
х -2
15
х +2 ’
„ х - Зх + 24 .
6) ----------- < 4;
х - Зх + 3
х +х - 2
<0;
х2 - 4х + 3
(х2 - 5х - 6)(3х2 - 2х - 1)
5 -х
,
(х + 3)2(х2 + х +1)
<1.
б)
х2 + X+ I
17.
а)
Зх3- х 4 +4х2
>0.
х1 +х + 2
х -1
. Зх2 + х -1
4х2 + Зх -1
г ) -- ----------<--------------х —6х —7 (х + 1)(х-7)
15. а)
—
_
в) х < 3 -
14. а)х>
16.
. х3 - Зх2 - х + 3
х + Зх + 2
г) — ;-------------- > 0;
(х2 - 5 х - 6 ) ( 2 + 2 х - 4 х 2) .
5 -х
1
х -2
<.
х+1
х
х -1
1
х -1
4
4
х -2
х -3
1
1
■< •
х - 4 30
65
Системы и совокупности неравенств
Зх - 4 < 8х + 6,
18. 2х -1 > 5л' - 4,
11х-9< 15х +3.
21.
7 - х , 3 + 4х
-------- 3 <---------- 4,
(л- +1)(5 - х) > О,
I I
х 4
(х -3 )2
—х + 5(4 - х) < 2(4 - х).
>0,
а) - 1 < х +х < 12;
23
24. 2х - 3 < —+1,
4
3 - х > 2 + 4х.
(2 - х) (Зх + 1)(х - 3)(1 - х)2 > 0.
25. (Зх - 4)(х - 4) < О,
(х - 4)(х + 4) ^ 0.
х(х +J)(x-5) <0.
22 . (х - 3)(х +1)
19.
х2 - 5 х + 4
■ --------- < О,
20 . х - х + 1
х > 9.
Зх-1 < - + 2,
2
х + х - 6 < О,
, 2 -х 1
б)1-< ------ < 2.
х +1
26.
х(х - 2)3(х +1)2(2х - 3) < О,
(2 - Зх)(х +1) > О,
(х + 1)(3х - 4)(2 - х) < 0.
Методы решения рациональных неравенств
Методы решения рациональных неравенств во многом повторяют методы
решения соответствующих уравнений с добавлением лишь одной, но принци­
пиальной идеи: функция, непрерывная и не обращающаяся в нуль на неко­
тором интервале, сохраняет на нем знак. Это является основой применения
метода интервалов.
Метод интервалов (промежутков)
для решения целых рациональных неравенств
При решении целых рациональных неравенств используется метод интер­
валов, который состоит в следующем.
1
случай. Пусть требуется решить неравенство, состоящее из произведе­
ния линейных множителей (х - а,)(х - а2)(х - а3)...(х - а„) v 0 .
Рассмотрим многочлен P(x) = (x -f lIXx-<^X x-fi^)...(x-aJI) , где
а1,а 2,...,а11 - корни (нули) многочлена. Причем все числа а,,а2,...,ап различ­
ны, а, <а2 < ... < ап.
1)
Числа ах,а 2,...,ап отмечаем на числовой оси точками. Точки изобража­
ются закрашенными кружками, если неравенство нестрогое (<, >), и пустыми
кружками, если неравенство строгое (<, >). Отмеченные точки разбивают всю
числовую ось на промежутки.
66
2) Расставляем знаки на каждом из образовавшихся промежутков. При
этом удобнее начинать с крайнего правого промежутка. Все точки этого
промежутка больше наибольшего корня многочлена, а значит, все линейные
множители Р{х) положительны. Таким образом, Р(х) > 0 в интервале ап < х < оо,
а далее при переходе справа налево через нули левой части неравенства знаки
Р(х) чередуются.
Изменение знаков многочлена Р(х) удобно иллюстрировать с помощью
волнообразной линии, которая проводится, начиная справа сверху, последо­
вательно через все корни многочлена. Волнообразную линию называют
кривой знаков.
3) Решением неравенства Р(х) > 0 будет объединение всех интервалов,
в которых поставлен знак плюс (кривая знаков проходит выше числовой оси).
Решением неравенства Р(х) < 0 будет объединение всех интервалов, в кото­
рых поставлен знак минус (кривая знаков проходит ниже числовой оси).
Для нестрогих неравенств к соответствующим интервалам добавляются их
концы.
Рассмотрим применение метода интервалов к следующим примерам.
1 .Задание: Решите неравенство (ж + 2)х(х —1)(jc —2) < 0.
Решение:
(х + 2)х(х- 1Х*~2)<0.
Найдем нули многочлена:
х = -2 ,х = 0,х= 1,х=^2.
О твет: х е (-2 ; 0) U (1; 2).
2. Задание: Решите неравенство (2х + 1)(3 - х)(х - 6) < 0.
Решение:
(2х+ 1)(3 —jc)( x —6) < 0.
Приведем данное неравенство к стандартному виду, умножив обе его ча­
сти на (—1).
Замечание. При умножении или делении обеих частей неравенства на
отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
(2х+ 1 )(х -3 )(х -6 )> 0 .
Нули многочлена:
х = — , х = 3, х —6.
О твет: х е
2
случай. Рассмотрим общую схему решения рационального неравенства
вида (jc - о,)*' (jc - а2)к' ...(х - ап)к" v 0 . Обозначим многочлен:
Р(х) = (х - я, )*' (х I а2)*J ...(х - а„)*".
а,, а2,...,ап - корни многочлена соответственно кратности кх, кг,...,к„.
Неравенство такого вида решается с помощью обобщенного метода ин­
тервалов:
На числовую ось наносят числа at,a 2,...,an. В интервале справа от наи­
большего из этих чисел ставят знак плюс. Затем на остальных интервалах
расставляют знаки многочлена в зависимости от четности степени, соответ­
ствующей данной точке на числовой оси.
Если к, - четное число, то при переходе через точку х, многочлен сохраня­
ет знак, т.е.
или
х
Если к, - нечетное число, то при переходе через точку jc; многочлен меня­
ет знак, т.е.
или
Таким образом рассматриваются все промежутки.
Решением неравенства Р(х) > 0 будет объединение всех интервалов, в кото­
рых поставлен знак плюс, а решением неравенства Р(х) < 0 будет объединение
всех интервалов, в которых поставлен знак минус.
3. Задание: Решите .неравенство
Решение:
( jc +3)(3 jc -
2)5(7 - х )3(5х + 8 )' < 0 .
(х + 3)(3х - 2)5(7 - х )3(5х + 8)2 < 0.
Приведем данное неравенство к стандартному виду:
(х + 3)(3х - 2)5(х 1 7 ) 3(5х 1 8 )2 > 0.
Нули многочлена:
-,(5)
й(2)
3
5
В скобках указана кратность корня.
5
Ответ: х е
3
Г - 3; I j j U f - j ; -j l U (7; oo).
4. Задание: Решите неравенство (x - 1)3(х - 2)2(x - 3)5(x - 4) < 0.
Решение:
(x - l)J(x - 2)z(x - 3)5(x - 4) < 0.
Нули многочлена:
x = 1(3), x = 2(2),
X
= 3(S), x = 4.
Ответ: ( - oo; l]U{2}U [З;4].
Замечание. Множеством решений нестрогого неравенства Р(х) v 0 явля­
ется объединение двух множеств: множества решений строгого неравенства
Р(х) v 0 и множества решений уравнения Р(х) - 0.
3
случай. Обобщенный метод интервалов можно применять и для реше­
ния неравенства вида:
(х - а, )*’ (х - а, )*-’ ...(х - ап)*" (6,х2 +с,х + с/, )'■...(6mx2 + стх + dni)'” v 0,
в котором дискриминант каждого из квадратных трехчленов
(^ х : + с,х + < / , (bmx2 +cmx +dm) отрицателен. В этом случае исходное
неравенство равносильно неравенству (х - а,)*1(х - а,)*5...(х - а, )*■ v 0 ,
рассмотренному в предыдущем случае.
5. Задание: Решите неравенство (х - З)2(х2 - 4)(х2 - 9)(х3 + 8)(х + б)4 ^ 0.
Решение:
(х - З)2(х2 - 4)(х2 - 9)(х3 + 8)(х + 6)4 > 0;
(х - 3)2(х - 2)(х + 2)(х - 3)(х + 3)(х + 2)(х2 - 2х + 4)(х + 6)4 > 0;
(х - З)3(х - 2)(х + 2)3(х + 3)(х2 - 2х + 4)(х + б)4 > 0;
(х - З)3(х - 2)(х + 2)2(х + 3)(х + 6)4 £ 0.
Нули многочлена:
х = 3(,\ х —2, х —- 2 (2\ х = -3, х » - 6 (4).
69
Ответ: х е {- б} U [- 3; 2] U [З; оо).
Как известно, линейная, квадратичная, степенная, показательная, логариф­
мическая и тригонометрические функции, а также их композиции и функции,
получаемые из них с помощью арифметических действий, непрерывны в сво­
ей области определения. Поэтому метод интервалов можно применять для
решения практически всех неравенств школьного курса. Метод интервалов
позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения
промежутков, границы которых - либо корни соответствующего уравнения,
либо граничные точки области определения неравенства.
Решение целых рациональных неравенств
Целое рациональное неравенство вида а0х" + а,х"~|+ —+a„-ix + a„
можно решить по следующей схеме:
1) Найти корни многочлена Р(х) = а0х" + а,*”-1 + ...+ а„_,х + а„ ■
2) Разложить многочлен на множители.
3) Применить метод интервалов.
6. Задание: Решите неравенство 15х2 - (5х - 2)(3х +1) < 7х —8.
Решение:
15х2 - (5х - 2)(3х +1) < 7х - 8;
15х2 - (15х2 - х - 2) < 7х - 8;
х + 2 < 7х - 8;
/ 6 х - 1 0 >0
|:6;
7. Задание: Решите неравенство х 3 -1 Ох2 + 2 1х > 0 .
Решение:
х 3-1 0 х 2 + 2 1 x ^ 0 .
Разложим левую часть неравенства на множители:
70
x(x2 §10х+ 21) > 0;
х2-1 0 х + 21 =0;
jc, =3, x2 = 7.
x(x-3 X *-7)> 0 ;
x =0, x =3, x = l.
x
Ответ: x e [O; 3]U [7;oo).
8. Задание: Решите неравенство 4x: + 4x +1 < 0.
Решение:
4xz + 4x +1 < 0;
(2x +1)2 < 0;
2
X
Ответ: х €
2
9. Задание: Решите неравенство (x2 - l)J(3x' + 1) < (x2 - 1)3(6 - Зх - 5x2).
Решение:
(x2 - l)3(3x2 +1) < (x2 - 1)3(6 - 3x - 5x2).
Замечание. Нельзя сокращать неравенство на общий множитель.
Перенесем все члены неравенства в левую часть и вынесем множитель
(х2- I)3за скобки:
(х2 - l)J(3x2 +1 - 6 +Зх +5х2) < 0;
(х - 1)3(х + 1)3(8х2 + Зх - 5) < 0;
8х2 +Зх - 5 = 0;
5
X, * -1 , Xj = —
2
8
8
71
О твет: х е {- l}(J —; 1
_8 |
10. Задание: Решите неравенство х* - Зх3 + х2 + Зх - 2 > 0.
Решение:
х 4- Зх3 + х2 + Зх - 2 >0.
Разложим левую часть неравенства на множители:
х4 -З х 3 + х2 + З х -2 = (х4 +х2 - 2 ) - ( З х } -З х) =
= (х4 + 2х2 - х2 - 2) - (Зх3 - Зх) = (х2(х 2 + 2) - (х2 + 2)) - Зх(х2 -1 )
1
В
1 В
= (х 2 + 2)(х2 1) J Зх(х2 1) = (х2 1)(х2 Зх + 2) =
= (х - 1)(х+1Хх - 1)(х - 2) = (х - 1)2(х 1 1)(х - 2);
(х - 1)2(х + 1)(х - 2) > 0;
х = 1(2), х = —1, х = 2.
-1
О твет: х е ( - оо; - l](J {l}U [2; оо).
11 . Задание: Решите неравенство х4 - 1Ох2 + 9 < 0 .
Решение:
х4- 1 0 х2+9<0.
Понизим степень многочлена, обозначив х2 = /, тогда:
/2 -10/ + 9 < 0;
/2- 10/+9 = 0;
Ч /,=9, t2 = l.
(/ -9 )(/ -1 )< 0 ;
(х 2 - 9 ) ( х 2 - 1 ) ^ 0 ;
(х - 3 )(х +3)(х - 1)(х +1) < 0;
Ответ: х € [- 3; - l]U [l; 3].
72
12. Задание: Решите неравенство (дс2 + х + 3)(дс2 + дс + 4) < 12.
Решение:
(дс2 + х + 3)(х2 + дс + 4) < 12.
Обозначим дс2 + дс + 3 = /, тогда:
/(/ + !)< 12;
/ + /-12 < 0;
Г +/-12 = 0;
/. = -4, /2 =3.
(/+ 4)(/-3)< 0;
(дс2 +дс + 7Х*2 +дс)<0;
х2 +дс < 0;
дс(дс+1) < 0.
+
Ответ: х е (-1; 0).
Решение дробно-рациональных неравенств
ш v 0, где Р„(х) и Qm(х) - многочлены
QM )
степеней п и /n соответственно. Такие неравенства называют дробно-рацио­
нальными.
Стандартный метод решения дробно-рациональных неравенств, например,
Рассмотрим неравенства вида
неравенства вида ш ~> 0, состоит в использовании равносильного перехода:
бЛ*)
г 'а д ^ о ,
Рп{*) > 0 о
QA*)
Q m( x ) > 0 ;
Рп(х) < о,
Q J * ) < о.
Применение метода интервалов для решения неравенств такого вида по­
зволяет значительно сократить объем вычислительной работы по сравнению
со стандартным методом равносильного перехода, особенно в тех случаях,
когда степени числителя и знаменателя не ниже второй.
Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов заключа­
ется в следующем:
73
1) Приводим неравенство к стандартному виду.
Р(х)
Рациональную функцию R(x) = "
назовем стандартной, если ее чис­
литель Рп(х) и знаменатель Qm(x) разложены на простые (быть может, кратные)
множители, причем старшие коэффициенты всех множителей положительны.
2) Отмечаем на числовой оси корни числителя и знаменателя. Причем, для
решения нестрогого неравенства, корни числителя изображаем на числовой
оси закрашенными кружками, если, конечно, данный корень не является од­
новременно и корнем знаменателя. Корни знаменателя изображаем пустыми
кружками.
3) Кривая знаков - удобное средство интерпретации интервалов знакопостоянства функции R(x).
Она чертится справа налево, начинаясь над осью Ох, и проходит через все
корни Рп(х) и Qm(xy.
При этом:
-есл и кратность какого-либо корня нечетная, то кривая знаков пересекает
ось Ох, т.е. функция R(x) меняет знак на противоположный;
- если кратность какого-либо корня четная, то кривая знаков остается по
одну сторону от оси Ох, т.е функция R(x) сохраняет знак. Такую точку называ­
ют точкой возврата.
4) Выбираем промежутки, служащие решением данного неравенства:
- если неравенство строгое, ответ состоит только из интервалов;
- если неравенство нестрогое, в ответ включают корни числителя, не явля­
ющиеся корнями знаменателя, и отдельные точки - точки возврата, соответ­
ствующие корням числителя.
Рассмотрим применение метода интервалов на следующих примерах.
13. Задание: Решите неравенства:
'
И
(х~ОС* + 2)2
а) —г\ — 1— <0;
ч х 2 + х - 2 |Р
, чЗх3 - х 4 + 4х2
д ) — I------------ >о.
Ш ---------- i i ;
(- 1- * )
ч
х - 4 х +3
х +х +2
„ х2-4 х -1 2 Л
\
ч х3 - Зх2 - х + 3 А
б---------------------------------------- ) 1— jj 0;
г ) — j — -- ~ > 0 ;
jc —2
х 4*Зх + 2
Решение:
(х -1 )(х + 2 У
а )^
(-1 -х )
(х - 1)(х + 2)2
(-0 + Х ))5
(х -1 )(х + 2)2
74
(х+1У
< 0;
> 0;
корни числителя х = 1, х = - 2 (2);
корни знаменателя хI _ _»«*)
/у/////
-2
-1
Ответ: х е (-оо; - 2) U (-2; -1) U (1; <») ■
х2- 4 х -1 2 = 0;
х, =6, х, = -2;
х*2.
' х -4 х -1 2 I
б )--------------- <0;
х -2
(* - 6 )( х + 2) ^ q
х -2
Ответ: х е ( -
оо; -
2]U (2; б].
. х2 + х - 2
в)—----------- < 0;
х* - 4х + 3
(х + 2 Х х-1)
<0.
(х -З Х х -1 )
Ответ: х е [- 2; l)U (1; 3).
г)
х3 - Зх2 - х +3
>0.
х2 + Зх + 2
Представим числитель в виде произведения:
х31 Зх2 - х + 3 = (х31 Зх2) - (х - 3) = х2(х - З ) - ( х - З ) = (х - 3)(х2 - 1) =
= (х - 3 )( х - 1 ) (х + 1).
Получим неравенство:
(х - 3 )( х - 1 ) (х + 1)
(х + 2)(х +1)
>0.
Ответ: х е (-2 ; - 1 ) U (-1; 1) U (3; оо).
75
Зх3 - х4 + 4х2
> 0;
х~ + х + 2
х4 -З х 3 - 4 х 2
<0;
х2 +х + 2
д)
х2(х2 - З х - 4 )
<0;
х2 + х + 2
х2 + х + 2 = 0;
D < 0 - корней нет.
х 2( х - 4 )( х + 1)<0.
Т
Ответ: х е (-1; 0) U (0; 4 ).
п
Р„ (х)
Р (х)
При решении дробно-рациональных неравенств вида — !----- v —^— & ,( * ) Q.2(x )
следует помнить, что если знак общего знаменателя дробей неизвестен, то
не имеем права на него умножать обе части данного неравенства. Надо переРП1(х)
нести Q (х) Б левую часть неравенства и привести слагаемые к общему
знаменателю. Полученное неравенство
следует решать методом интервалов.
14. Задание: Решите неравенства:
15
х +2
„ х - З х + 24
б )—г— ------- <4;
х -З х +З
а )х >
в) х < 3 г)
х+2
76
> 0;
х —1
1 х ~ 1 < 4х: + Зх - 1
х - 6х - 7 (х + 1)(х - 7)
Решение:
\
15
а) х >
х +2
15
я
х --------->0;
х +2
х 2 + 2х -1 5
”№ '@ тг(х) р»2( * ) 'Qm, W v 0
6 m,(x )Q m2(x)
х2+ 2 х -1 5 = 0;
х, = -5 , х2 =3.
(х+5)(*-ЗК 0
х+2
Ответ: х е (-5; - 2) U ( 3 ; о о ).
х2 - Зх + 24
х - Зх + 3
. х2 - Зх + 24 л
4 -----1----------- >0;
х - Зх + 3
Зх2 - 9 х - 1 2
б)—------ — <4;
х —Зх + З
х2 - Зх - 4
х2 -Зх +З
>0;
>0:
х2—Зх—4 =0;
х, =4, х, =—1.
(х-4Х х +1)>0.
Ответ: х е (-оо; -1) U (4; оо).
в )х < 3 ---- —;
х -1
х - 3 +----- <0;
х -1
х - 4х +4
< 0;
х —I
(х - 2 )2
^0.
х -1
Ответ: х € (-оо; 1)U {2}.
х2-3х +3 =0;
D <0 - корней нет.
Зх* +* -1
4х2+Зх -1
х2- 6 х - 1 (х +1)(х - 7) ’
Зх3+х -1 4х2 +Зх - 1
(х +1)(х - 7) (x + l X x - 7 ) ’
(х +1)(х - 7)
<х+2) го.
(*+1Хдт-7)
X
Ответ: х е ( - оо; - 2]U (-1 ; 0]U (7; оо).
15. Задание: Решите неравенства:
(х 2 - 5х - б)(3х2 - 2х - § ^ (х~ - 5х - 6 )(2 + 2х - 4х2)
5 -х
5 -х
Решение:
(х2- 5х - 6)(3х2 - 2х -1) ^ (х2-5х-6Х2 +2х-4х2)
5 -х
5 —jc
_Су_g
...... ■- (Зх2-2х -1-2-2 х+ 4х2)^0;
5 -х
(х2- 5х - 6Х7х2-4 х -3 ) ^ о
х -5
х
7
Ответ: х е
78
X + Х +1
В данном случае х2+х + 1 > 0, поэтому исходное неравенство равносильно
следующему неравенству:
(х + З)2 < 1;
(х + З)2 -1 < 0;
(х + 2)(х + 4) < 0.
Ответ: х е [- 4; - 2].
16. Задание: Решите неравенство------ — 5 *
х+1 х х -1
Решение:
х -2
1----1
-----<
—
х + 1 х х -1 х - 2
-1
-1
(х+1)х (х - 1)(х - 2)
4 х -2
^0.
х(х+ 1)(х-1Х х-2)
Ответ: х е (-оо; - 1 ) U| 0; — U (i;2 ).
Распространенный прием решения более сложных неравенств - замена
переменных.
_ J____ 4 _ _ 4 _ _ 21
1
17. Задание: Решите неравенство
х -1 х - 2 х - 3 х - 4 30
Решение:
г
_ _ z ! _ +------- *------- < — ;
( jc—1)(jc—4) (дс - 2)(x - 3) 30
_ i _________ 2 _ < ± ;
x2 -5 x +6 x2 - 5x + 4 30
Замена: дс' - 5дс + 4 = /.
— — - — —< 0;
1 + 2 t 30
г2 -2 8 / + 180 A
----------- ------> 0;
30/(/ + 2)
(/-Ю Х/-18) . 0.
30/(/ + 2)
(дс2 —5дс —6)(дг- - 5дс -1 4 ) ^
(дс2 - 5дс + 4)(дс2 - 5х + 6)
(дс - 6)(дс + 1)(лс - 7)(х + 2)
(х - 4)(х 11)(х - 2)(х - 3)
q
____ У//////Х____
~~-2~± А
li~^2
3 ^ ^ 4
6
О твет: х е (-оо; - 2) U (-1; 1) U (2; 3) U (4; 6) U (7; со).
Решение систем и совокупностей рациональных неравенств
Умение решать системы и совокупности неравенств требуется не только в
заданиях, которые начинаются словами “решите систему
Чаще решение
одного неравенства (например, иррационального, логарифмического, с модулем)
сводится к решению равносильных им совокупностей или систем неравенств.
Решение систем неравенств
Если ставится задача найти множество общих решений двух или несколь­
ких неравенств, то говорят, что требуется решить систему неравенств.
Для определения искомого множества решений находим решение каждо­
го неравенства отдельно и отмечаем его на числовой оси. Целесообразно при
этом решение каждого неравенства отмечать на различных числовых осях,
соблюдая упорядоченность значений. Затем находим пересечение получен­
ных множеств.
Рассмотрим на примерах основные случаи, которые получаются при
решении систем неравенств.
80
Предварительно отметим следующие теоремы:
1) Если а, > а2 > .... > ап, то
X > о,,
х > а2,
о
х > av
* > а„>
2) Если t\ > b2 >.... > Ьп, то
v
х<Н
х < Ь2,
о
х<Ьп.
х < Ьп;
18. Задание: Решите систему неравенств:
Зх - 4 < 8х + 6,
• 2х -1 > 5х - 4,
1 1 х - 9 < 15х + 3.
Решение:
Решим каждое неравенство системы:
Зх - 4 < 8х + 6,
2х -1 > 5.г - 4,
11 х -9 < 15х + 3;
5х > -10,
Зх < 3,
4х > -12;
х > -2,
х < 1,
х > -3;
1
Ответ: х е (—2; 1).
19. Задание: Найдите наименьшее целое решение системы неравенств:
1 -х ,
3 +Ах
Решение:
1-х
,
3 + 4.V
5
-------- 3 < -----------4
I Ю,
- х + 5 (4 -х ) < 2(4- х )
|-3;
2
13х>39,
4х > 36;
Гх > 3.
Iх > 9;
35 - 5х - 30 < 6 +8х - 40.
5х + 60 - 1 5х < 24 - 6х;
х > 9.
Наименьшим целым решением из промежутка (9; со) будет 10.
Ответ: 10.
20. Задание: Решите систему неравенств:
х * -5 х + 4
х - х +1
х2 >9.
£ 0,
Решение:
х2 - 5х + 4
х2 - X + 1
х 2 > 9.
S0,
Рассмотрим уравнение х2- х + 1 =0.
Поскольку D <0, уравнение решений не имеет и систему можно перепи­
сать в виде:
х2 - 5х + 4 < 0,
х2 - 9 > 0;
Г (х -4 )(х -1 )< 0 ,
(х -3 )(х + 3) >0.
О твет: х е (3; 4].
21. Задание: Найдите сумму целых решений системы неравенств:
82
х +х - 6 < О,
(х +1)(5 - х) > О,
1 1
х 4
Решение:
х2 +х - 6 < О,
(х +1)(5 - х) > О,
х >4’
(х +3)(х - 2) S О,
(х + 1)(х - 5) < О,
х -4
<0.
4х
Целыми решениями неравенства будут числа 1 и 2. В ответе укажем их
сумму.
Ответ: 3.
22. Задание: Решите систему неравенств:
(х -3 )1
£0,
(х-ЗХх + 1)
(х - 4)(х + 4) й 0.
Решение:
(х-3)2
*0,
(х - ЗХ* +1)
(х-4Х * +4)£ 0.
Замечание. Точка 3 “выколота”, т. к. множитель (х - 3) присутствует и
в знаменателе дроби.
83
Ответ: х е [ - 4 ; - l)U (З; 4].
23. Задание: Решите неравенства:
а ) - 1 < х2 + х < 12;
. 2 -х
б)-1 < ------ < 2.
х +1
Решение:
а) - 1 < х2 + х < 12.
Решить двойное неравенство - значит, решить соответствующую ему сис­
тему неравенств:
Гх2 +х> -1',
(х2 +х +1>0,
ГxeR,
[х2 + х< 12;
[ х2 + х - 12<0;
|(х + 4 )(х -3 ) < 0.
Ответ: х е (-4 ; 3).
2 —х
б) 1 < ——- < 2.
х +1
Запишем соответствующую систему неравенств:
2 -х
Г1—2х „
2х —1
— -> о ,
----- 2tl»
------- £0,
х +1
х +1
х +1
2 -х „
-З х
х
------ ^ 2;
------^ 0;
------>0.
х +1
х +1
х +1
84
Решение совокупностей неравенств
Если ставится задача найти множество всех значений, являющихся реше­
нием хотя бы одного из данных неравенств, то говорят, что надо решить сово­
купность неравенств.
Множество решений совокупности неравенств есть объединение множеств
решений входящих в нее неравенств.
24. Задание: Решите совокупность неравенств:
Зх -1 < —+ 2,
2
2х - 3 < —+1,
4
3 - х >2 + 4х.
Решение:
З х -1 < —+2,
2
2 х - 3 < —+ 1,
А
3 - х >2 +Ах.
85
1) 3jc-1 < - + 2;
2
2 ) 2 x - 3 < —+ 1;
4
3) 3 - x > 2 + 4x;
5x - 1 < 0;
4
16
x <—.
7
wwW XV,
2
X
5
X
7
5
ГЧ I Г'
Объединением этих множеств является промежуток - оо; 2
Ответ: х е -о о ;2— .
25. Задание: Решите совокупность неравенств:
(2 - х)3(Зх + 1)(х - 3)(1 - х)2 > 0,
(Зх - 4)(х - 4) < 0,
х(х + 1)(х - 5) < 0.
Решение:
(2 - х)*(3х + 1)(х - 3)(1 - х)2 > 0,
(Зх - 4)(х - 4) < 0,
х(х + 1)(х - 5) < 0.
' Найдем решение каждого неравенства совокупности:
1) (2 - х)3(Зх + 1 )(х- 3)(1 - х)2 > 0;.
(-(х - 2))3(Зх + 1)(х - 3)(-(х - 1))2 > 0;
(х - 2)3(Зх + !)(* - 3)(х - 1)2 < 0;
2) (Зх - 4)( jc - 4) < 0;
х е (-оо; - 1 ) U(0; 5).
Решение совокупности (объединение промежутков) определяем из ри­
сунка, на котором отмечены решения всех трех неравенств.
Ответ: х е ^ _ °о ;-Л и (0 ;5 ).
26. Задание: Решите конструкцию неравенств:
[ х ( х - 2 ) 3( х + 1)2( 2 х - 3) £ 0 ,
[(2-Зх)(х + 1) > 0,
_(х + 1)(3х - 4)(2 - х) <0.
Решение:
|х(х - 2)3(х +1): (2х - 3) £ 0,
}(2 - Зх)(х +1) > 0,
(х +1)(Зх-4)(2-х)< 0.
Найдем решение каждого компонента совокупности:
jx(x - 2)J(x +1)2(2х - 3) £ 0,
{(2 - Зх)(х +1) > 0;
1х(х - 2)3(х + l)J(2x - 3) < 0,
[(Зх - 2)(х +1) < 0;
87
х е (-1;0 }
2) (х + 1)(3дг - 4)(2 - л) < 0;
(jr + 1)(3jc- 4)( jc - 2) > 0;
je e | - 1 ; - |U(2;oo).
Объединим найденные решения:
Ответ: х е
-
§6. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Метод сведения исходного уравнения
к равносильному уравнению, системе
или совокупности уравнений
х -1
х +3
Метод введения
новой переменной
I. \х - 2 х - 4 = 4
3.
2 . lo g, (1 —х) - 2
4. \2х - 3| = |х + 4| 13. х2 - 4 х = |х-2| + 2
=
1
12. (х + 2)2 = 2|х + 2| + 3
5. |jc |- 4х + 5| = Jjc2- 2х - 1
14.
6. |х2 - 5jr + 7| = \2х - 5|
15.
7.
х -\
2х + \
2х + 1
х —1
4
|х +1|-2
\x\-2x2
8. х - 4 х + 31 = 2х - 5
=
х2 - 4|х| - 2
1
16. ^З.|х + 1|+ —^ = 6(х + 1)2 + —
17. # | 7 Т - 7 й = о,5
Метод, основанный
на раскрытии модуля
по определению
Метод промежутков
10. х 2 - 4|х - 3| - 2х - 7 = 0 18. |1-2х| + |Зх + 2| + |х| = 5 20.
19. |2х + 5|-|3-х| = 0,5
|х-3|
21.
|х-3|-3|х + 1|
7 -7
=1
+ :—-—г = 1
N \х-31
Системы уравнений,
содержащих неизвестные
под знаком модуля
Дополнительные методы
22. |2xJ + 3x-5| + |xJ - l]- ( 2 x + 5)J = 0
\у1(х + У)2 =3,
27.
|х2 + 1 0х -1 l| = 0 24.
.
х -5
х +3
[ y l ( x - y ) 1 = 1.
х -5
х +3
25. |бх2 —5х + 1|= 5х —6х2 - 1 26. |х-|4-х)|-2х = 4
28.
|х - 1|+ у = 0,
2 х - у = 1.
89
Методы решения уравнений с переменной под знаком модуля
По определению У =
[а, если а > О,
[ - а, если а < 0.
При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины (знак
модуля), как правило, используют следующие основные методы:
- сведение исходного уравнения к равносильному уравнению, системе
или совокупности уравнений;
- метод, основанный на раскрытии модуля по определению;
- введение новой переменной;
- метод промежутков.
Рассмотрим каждый из этих методов на примерах.
Метод сведения исходного уравнения к равносильному уравнению,
системе или совокупности уравнений
Приведем некоторые основные типы уравнений, содержащих неизвест­
ную под знаком модуля.
1. Начнем с наиболее простого случая, когда уравнение имеет вид
1/0)1 = 6, b e R.
Если b < 0, то уравнение |/(х) |= b не имеет корней.
Если b = 0, то/(х) = 0.
Если Ь> 0, то |/(х) |= b равносильно совокупности уравнений:
'/ (* ) = Ь,
!_ д *)= -ь.
1. Задание: Решите уравнение |х2- 2х - 4 1= 4.
Решение:
У - 2 х - 8 = 0,
х 2 - 2х - 4 = -4 ;
х 2®! 2х = 0;
х, =0, х2 = 2.
О твет: (-2 ; 0; 2; 4}.
2. Задание: Решите уравнение log, ( 1 - х ) = 2 .
Решение:
lo g ,( ! - x ) = 2;
2
90
II
х 2 - 2х - 4 = 4,
п
1
1
|jc2 — 2 jc —4 1 = 4 ;
ОДЗ: 1 - x > 0 ,x < I.
log, ( 1 - х ) = 2,
I —x =
2J '
lo g ,( l- x ) = -2 ;
l-x =
1- x - —
4
1- x = 4;
x- —
4
x i -3.
Оба корня принадлежат открытому лучу (-оо; 1).
О твет: {-3; —}.
4
х -1
х +3
х +3
О ДЗ:х*-3.
’
х-1 _
.х + 3 ~
х —1 = х + 3,
—1 * 3 ,
х-1 = -х-3;
х = —1.
’
О твет: х = -1.
2. Рассмотрим решение уравнения вида |/(х)| = |g(x)|.
Модули двух чисел равны, если эти числа либо равны, либо являются
противоположными. Поэтому уравнение вида |/(х)| = |g(x)| равносильно
совокупности двух уравнений:
/ (*) = g(x),
f(x ) = -g(x), или 0 ДН0МУ Уравнению:
/ 1(x) = g 2(x).
4. Задание: Решите уравнение |2х - 3| = |х + 4|.
Решение:
|2х-3| = |х + 4|;
3
91
5. Задание: Решите уравнение |jc2 - 4х + 5| = |х2 - 2х - ||
Решение:
|*2 - 4х + 5| = |х2 - 2х - l|;
(х2 - 4х + 5)2 = (л*2 - 2х - 1)2;
(л:2 - 4л' + 5)2 - (л:2 - 2 х - 1)2 = 0;
(л-2 - 4х + 5 - х2 + 2х + 1)(х2 - 4х + 5 + х2 - 2х - 1 ) = 0;
(-2.Y + 6)(2х2 - 6.т + 4) = 0;
4(3 - х)(х2 - Зл' + 2) = 0;
х, = 3, х2 = 1, х3 = 2.
Ответ: {1;2; 3}.
6. Задание: Решите уравнение |х2 1 5х + 7| = |2х - 5|.
Решение:
|х 2 - 5 х + 7| = |2х -5|;
х2 - 5х + 7 = 2х - 5,
х2 - 5х + 7 = -(2х - 5);
7х +12 = 0,
Зх + 2 = 0;
х, = 3. х, = 4,
х, = 1, х2 = 2 .
Ответ: {1; 2; 3; 4}.
7. Задание: Решите уравнение
Решение:
х -1 I. 2х +1
2х + 1| | х -1
2х +1
х -1
ОДЗ: х * — , х * £
2
1 _ 2х + 1
2х + 1 х -1
(х - 1)2 - (2х +1)2
= 0:
(х - 1)(2х +1)
Зх •(-х - 2)
= 0:
(х-1)(2х + 1)
х -1
2х +1
2х +1
х -1
(х - 1)2 +(2х +1)2
= 0;
(х - 1)(2х 11)
5х2 + 2х + 2
= 0;
(х - 1)(2х +1)
х,
решений нет.
= 0 , х 2 =-2;
2)
Ответ: {-2; 0}.
92
х -1
2х + 1
„
3.
Более сложным является случай, когда уравнение имеет вид |/(*)| = g(x).
Из определения модуля следует, что корни уравнения должны удовлетво­
рять условию g(x) > 0 . При выполнении этого условия искомые корни урав­
нения должны также удовлетворять совокупности /(х) = g(x) или f(x) = -g(x).
Значит, уравнение |/(*)j = g(x) равносильно совокупности систем:
f/ W = g(x),
{ g (jc )> 0 ;
8.
[fix') = -g(x),
ИЛИ [g (A )> 0 .
Задание: Решите уравнение
|а 2 -
4х +3| = 2х - 5
Решение:
|дг2 - 4х + з| = 2х - 5;
[х2 - 4 х + 3 = 2дг-5, Га2 - 6
[2 x - 5 > 0;
а
+8 = 0, |х, = 2,х2 =4, ^
[2 а - 5 > 0;
[ а > 2 ,5 ;
*'
^
~
’
(х 2 - 4 а + 3 = - ( 2 а - 5 ) , | а 2 - 2 а - 2 = 0,
|х12 = 1±Тз, ^ _ j + /J
[2а - 5 > 0;
[ а > 2 ,5 ;
[2а - 5 > 0;
_
+
О твет: {l + >/3; 4}.
9. Задание: Решите уравнение 9'3*- - 38х~2.
Решение:
9l3jf-4 _ з**-2.
|3х — 1| =
4 jc — 1;
[За -1 = 4 а -1 , [* = 0,
1)1
<
1
решений нет;
'[ 4 х - 1 £ 0 ;
F
ГЗа
- 1 SB- ( 4 а - 1),
[4 a - 1 2 s O;
'7 а т 2,
1
te is
г
А
2
= —,
7
. 1
2
X ——.
7
О твет: х
**4’
93
Метод, основанный на раскрытии модуля по определению
Один из распространенных приемов, которым пользуются при решении
уравнений с переменной под знаком модуля, состоит в том, что освобождают­
ся от знака модуля, выделяя промежутки, в которых выражение, записанное
под знаком модуля, сохраняет знак.
г Уравнение вида |/(х)| = g(x ) равносильно совокупности систем:
Г/(*) = И и
f(x )> 0;
[- / О ) I g(x),
MIi [/ (х ) < 0.
10. Задание: Решите уравнение дг - 4|х - 3|- 2х - 7 = 0.
Решение:
jc2 - 4|jc - 3| - 2дг - 7 = 0.
Освобождаясь от знака модуля, получим, что данное уравнение равно­
сильно совокупности двух систем:
х1 - 4(х - 3) - 2х - 7 = 0, 1х2 - 6 х + 5 = 0, Гх,=1, х2 =5,
х - 3 > 0;
(х >3;
\х>3;
2)
+ 4 ( х - 3 ) - 2 х - 7 = 0, Гх2 + 2 х - 19 = 0, Г х ,1 1 -1 ±>/20, ^
х - 3 < 0;
[х < 3;
|х < 3;
О твет: {-1 - >/20; 5}.
х 3
11. Задание: Решите уравнение х - -------г = 9 .
\*~Ц
Решение:
х2
— 7
= 9, |х^10, Гх, 2 = ±л/Го,
х> 3;
2) Г
|х>3;
Т ^ 3 ' 9' К : 8, Ы "
(х< 3; [х < 3;
О твет: |-2>/2; 2>/2; -Jio].
94
~ ’
’
X, = л/1 0 ;
’ х3j = ±242.
^
Метод введения новой переменной
Рассмотрим уравнение вида F(j/(x)|)= 0. Заменой |/(х)| = t оно сводит­
ся к системе:
(> (') = О,
[/>0.
В зависимости от вида функции F{t) могут использоваться и другие под­
становки.
12. Задание: Решите уравнение (х + 2)2 = 2|х + 2| + 3.
Решение:
(х + 2)2 = 2|х + 2| + 3.
Замена: |х.+ 2| = /, / > 0.
Поскольку х1 = |х"I = |х|‘ , данное уравнение можно переписать в виде:
/2 - 2/ - 3 = 0;
I, ■=3, /2 ——1,
1)|х+2| = 3;
х + 2 = 3,
х + 2 = -3;
х, = 1,
х2 = —5;
2) |х+2| = -1 - не имеет смысла.
О твет: {-5; 1}.
13. Задание: Решите уравнение хг - 4х = |х - 2| + 2 .
Решение:
х2 - 4х = |х - 2| + 2;
х2 - 4 х + 4 - Jx —2|—2 —4 = 0;
(х —2)2 —|х —2|—6 = 0.
Замена: jx - 2j = t, / £ 0 .
l2- t - 6 = 0;
li ~ “2, t2 = 3;
l)|x —2| = —2 - не имеет смысла;
95
2)|*-2| = 3;
x - 2 = 3,
x - 2 = -3;
x, = 5,
x2 = —1.
Ответ: { -1 ;5 } .
14. Задание: Решите уравнение
4
Решение:
Замена: |х + 1|= /, t > 0, t Ф2.
4
t-2 ~ ’
/2 —2/ —4 = О;
/| = 1 + л / 5 , t 2 = 1 —л / 5 ;
1)|х +1|= 1+л/5;
х +1 = 1+л/5,
х, = л/5,
х+1 = —1—л/5;
х, = —2 —л/5;
2)|х + 1| = 1-л/5 - не имеет смысла.
15. Задание: Решите уравнение
Решение:
х 2 - 4|х|- 2
Замена: |х| = t, t> ОЛ
— = 1;
/ -4 / -2
/—2/2 =/2 - 4 / - 2 ;
З/2 - 5/ - 2 = О;
96
Ответ: {- 2 - л/5;
х2 - 4|х| - 2
1)Н = 2;
*,.2 = ±25
2) |xf =
- не имеет смысла.
Ответ: {±2}.
16. Задание: Решите уравнение |3|х +1|+ —1 = 6(х +1)2 +
10
Решение:
3|х + 1|+ -
= 6(х +1)2 +
10
Замена: |х + 1|= t, t> 0.
3/ + -
= 6/2 +— :
9/2+2/+—= 6/2 +— ;
9
9
З/2 + 2/ -1 = 0:
1) |jc +1|- -1 - не имеет смысла.
2)|* + 1 | Л ;
Ответ:
х +1= — ;
•3
17. Задание: Решите уравнение ^|х| +1 - Jjx[ = 0,5.
Решение:
4
2
3 ’ ~3
-# 1= 0,5 .
Замена: |х| = t, t £ 0.
Тогда исходное уравнение будет равносильно системе:
JVTTT-V/=о,5,
[/£0.
Преобразуем первое уравнение системы:
97
16
Полученное значение t удовлетворяет условию /> 0.
9
Метод промежутков
1. Решение уравнения вида \а{х + Ь\ +1а2х + Ь21+... + \апх + Ьп\= ах + Ь, где
a, at,a 2,...a„ ; b,bv b2,..bn -константы, принадлежащиеR ,x- действительная
переменная, строится по следующей схеме.
Область допустимых значений переменной заданного уравнения разбива­
ется на множества, на каждом из которых знаки подмодульных выражений
постоянны.
На каждом таком множестве исходное уравнение заменяется (с учетом
знаков подмодульных выражений) равносильным ему уравнением, не содер­
жащим абсолютных величин.
Объединение решений полученной таким образом совокупности уравне­
ний является решением заданного уравнения.
/ 18. Задание: Решите уравнение |l - 2х\ + \3х + 2| + Ы = 5 ■
Решение:
|l - 2х\ + |3х + 2| + |х| = 5.
Приравняем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отметим на
числовой оси полученные значения, исследуем уравнение в каждом из полу­
ченных интервалов.
1)х е | -о о ;--| ;
2)x
■H
1 - 2x + 3x + 2 - x = 5;
1 - 2 x - 3 x - 2 - x = 5;
- 6x = 6;
3*5;
X = -le | -a o ;--| ;
в промежутке - - ; 0 |корней нет;
3) x e 0 ;-
4) jce
2
1-2jc+ 3jc + 2 + jc = 5;
2x = 2;
6x = 4;
x = le 0 ;2
2 e (—
l ;oo
x =—
3
v2
Ответ: { - 1 ; —
19. Задание: Решите уравнение |2x +5|- 13- х| = 0,5.
Решение:
|2х +5|-|3-х| = 0,5;
2х+5
3-х
-
+
-2,5
+
+
3
'
х
1) х е (- д а ;-2,5);
2) х € [- 2,5; 3J
3)хе(3;оо>,
- (2х +5 )- (3 - х ) Ф0,5;
- 2 х - 5 - 3 +х = 0,5;
х = -8,5 € (—об; —2,5);
(2х +5) - (3 - х) = 0,5;
2х +5 - 3 +х = 0,5;
Зх I -1,5;
х = -0,5 е [- 2,5; 3J
(2х +5) +(3 - х) = 0,5;
х =-7,5 «(3; сю)
Ответ: (-8,5; -0,5}.
2. Уравнение вида /rd/j(jc)|,|/?(x)|,...,|/,(x)|)= 0, гдеу;(х),/2(х),...,/п(х) некоторые функции действительной переменной х, решается аналогичным
способом, рассмотренным выше.
99
х
20. Задание: Решите уравнение ; : : ------г = 1.
|лг- 3|- 3|лг + 1|
Решение:
и
\х-3\-3\х + Щ
Найдем значения х , при которых обращаются в нуль выражения х - 3 и
х + 1. Это точки х = 3, х = - I . Они делят числовую ось на три интервала, на
каждом из которых рассмотренные выражения сохраняют постоянный знак.
х-3
*
+
х+1
I) х е ( - ° o ;- l) ,
- ( х - 3 ) + 3(х + 1)
= 1;
х
=I*1;
2х + 6
х = -6 е ( - оо; - 1>
-1
+
3
+
х
2) х е [ - 1 ;3 }
3 ) х е (3 ;с о ) ;
---------- *---------- p t
- ( х - 3 ) - 3 ( х +1)
( х - 3 ) - 3 ( х + 1)
Х --1
1 - уравнение
~г~
-4 х
^ ---------к°Р»ей не имеет;
х
---------= 1;1
-2 х -6
х = -2 « (3; оо)
О твет: х - -6.
2 1. Задание: Решите уравнение — + -—
\х\ х- 3|
Решение:
1
1
■~з|
1 « / х е ( -о о ;0 )
2 > х ;| (0 ;3 ),
-X
— + ----------------- 1;
_ _
-(Х -3 )
X
+
х
- ( Х - 3 )
,
З -х
’
х - х - 3 = 0;
, /гг
1 + V13
/
ч
е ( - оо;0),
х
х -3
х2 -
5 х + 3 = 0;
—------ -— § 1;
х х -3
5 + Vl3
2
х -3 х + 3 = 0
„
с ЛТ
уравнение корней не имеет; х _ э -Vi-* |
Ответ: f l - Vl3.~'5 + ТГз]
100
3 ) х е (3 ;о о )
^
Дополнительные методы решения уравнений
с переменной под знаком модуля
1.
В некоторых случаях можно обойтись без раскрытия модуля. Прежде
всего, следует проанализировать структуру уравнения.
22. Задание: Решите уравнение |2х2 + Зх 1 1|+ |х2 - 1|•(2х + 5)2 = 0.
Решение:
|2х2 + Зх - 5| + |х2 - 1|•(2х + 5)2 = 0.
В левой части уравнения имеем сумму двух неотрицательных слагаемых,
а в правой части - нуль. В данном случае левая часть равна нулю только тогда,
когда каждое слагаемое равно нулю.
[2х2 + З х -5 = 0,
Гх, = 1, х, = -2 ,5 ,
[(х2 -1 ) •(2х + 5) = 0; j* , = 1, х2 = -1, х3 = -2,5.
О твет: {-2,5; l}.
23. Задание: Решите уравнение |х2 - 1|+|х2 +1 Ох - 1 l| = 0.
Решение:
|х2 - ll + lx2 + 10х —11|= 0;
х2 -1 = 0,
X, = 1, х2 = -1,
х, =1, хг =-11
[х + 1 0 х -1 1 = 0;
О твет: х - 1 .
2. Рассмотрим уравнение вида |/(х)| = / (х ).
Данное уравнение представляет собой равенство |а |= о, которое по опре­
делению модуля, выполнено тогда и только тогда, когда а >0.
24. Задание: Решите уравнение
Решение:
х -5
х -5
х + 3 х+ 3
х -5
х +3
х -5
х +3
х -5
£ 0.
х+ 3
О твет: х е (—®; - 3)1) [5; оо).
25. Задание: Решите уравнение бх2 - 5х +11= 5х - бх2 - 1 .
Решение:
101
бдг2 - 5х +1|= 5дг - 6хг -1;
|блг - 5jc +1|= ~(6х2 —5х +1);
бдг" - 5х +1 < 0;
I
я{ ш я г°х
3
2
3.
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выра­
жение, также содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутрен­
него модуля, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
26. Задание: Решите уравнение |х - 14 - х||- 2х = 4 .
Решение:
|jc- 14- х||- 2х = 4.
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
х < 4,
\х
4,
хй
<4,
а) • 2дг - 4 = 4 + 2х, . - 4 * 4 , система решений не имеет;
4 + 2х > 0;
[х > -2;
х< 4,
х< 4,
б) <- (2х - 4) = 4 + 2х, - х = 0,
х = 0;
4 + 2x2:0;
\xZ-2;
2)
4 - х < 0,
I \х+ 4 - х\- 2х = 4;
Ответ: х=0.
102
Решение систем уравнений,
содержащих неизвестные под знаком модуля
77
D
7 Л
[дДх + ДО2 =3,
27. Задание: Решите систему уравнений < ______
14 ^ у у - =\.
Решение:
У (Х +у)2 =3, f|x +y| = 3,
=i; [\х- у\=]Последняя система уравнений равносильна совокупности следующих че­
тырех систем:
а)
|х +У = 3,
[х -у = 1;
(х +У = -3,
б)[х -у = -1;
/х + у = 3,
в)[х -у = -1;
[х + у = - 3,
И[ х - у = 1.
Складывая и вычитая уравнения каждой системы совокупности, найдем
ее решения:
(х, =2,
Гх2 = -2 ,
f x j = 1,
к=-1,
U = l;
U g -1;
U = 2;
U = -2.
О твет: (-2; - 1 ) ,( - !; -2), (1; 2), (2; 1).
28. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
|х-1| + у = 0,
2 х - у = 1;
|х - 1|+ у = О,
2 х - у 11.
-У =\х- 1|
2х - у = 1;
2х +|х-1| = 1;
|х - 1|= 1—2х;
х -1 = 1-2 х , [Зх = 2,
1) 1- 2х £ 0;
2)
—(х —1) = I -2 х ,
1- 2х > 0;
система не имеет решений;
х = 0,
О твет: (0;-\).
103
§7. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ
С ПЕРЕМЕННОЙ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
М етод сведения неравенства к равносильному неравенству,
системе или совокупности неравенств
1. (-V2 - дг —3| < 9
6. |х - 3| > |х2 - 3|
2. д < 4 - |д2 - 6 д + 8(
7.
3 .дг2 - 7 д + 12 <|х-4|
х • + 5д + 1
д +6
- 2 х < 5,
10
д-1
-5 I
х +2
х -3 <I -—
2
II.
•И) <3,
8.2(д -1 j £ 16
1х “ 3 } - 2 .
5 + |2x + ll
9 ---- ---------- > 4
+х > 3
5. 3|д - 1|+ х 2 - 7 > 0
10.
Гх2 + х + 1 > - 1 - 4 х - х 2,
и <6-
Метод, основанный
на раскрытии модуля
по определению
2. Найдите наибольшее
целое значение у,
удовлетворяющее
\у-Щ 2.о
неравенству ---------->
у
13.
Ьг + 2|-дг
х
Метод введения новой переменной
14. 2 д 2 -|д| —1 > 0
х 2 - 4 х + 4 |х-2|
16. —
+{
-f—12 < 0
х -6 х +9
17.
<2.
1Ix - 1|
1 - 2lx
1 + 5|1 > 3 + х
20. (|l—х | - 3)(jx + 2| - 5 ) < 0
2х
104
16|х+1|-1 ,
J— < 3
3jx + 1|+1
Метод промежутков
N—| 3 -х
15. х 2 + 6 х -4 | х + 3 (- 1 2 > 0
|х-3)
18. г - Д - > | х | - 2
14+1
Дополнительные методы
22. I|4-л/х—211 > - 5 23.
л/х+ 3 - 1
х2
24. |х2 + х - 20j < х2 + х - 20
25. |х2 + 6х + в| < - х 2 - 6х - 8
—1
>0
Методы решения неравенств с переменной под знаком модуля
Решение неравенств, содержащих модули, в большинстве случаев строит­
ся аналогично решению соответствующих уравнений. Но если при решении
уравнений можно пользоваться проверкой полученных решений, то для слу­
чая неравенств отбросить посторонние решения проверкой может быть зат­
руднительно. Это означает, что при решении неравенств с переменной под
знаком модуля нужно использовать, в основном, равносильные переходы.
При решении неравенств с переменной под знаком модуля используют
следующие основные методы:
- сведение исходного неравенства к равносильному неравенству, системе
или совокупности неравенств;
- метод, основанный на раскрытии модуля по определению;
- введение новой переменной;
- метод промежутков.
Рассмотрим основные типы неравенств с переменной под знаком модуля
и методы их решения.
Метод сведения исходного неравенства к равносильному неравенству,
системе или совокупности неравенств
Рассмотрим несколько простейших неравенств с модулем, структуру реше­
ний которых надо понять и запомнить, а далее использовать в нужных ситуациях.
|/(x)|<g(*)
равносильно системе неравенств
\f(x) < g(x),
[- / (* ) < g(x).
|Д*)| > g(x)
равносильно совокупности неравенств
/(■*) > g(x),
- f ( x ) > g(x).
|/W|v|g(x)|
равносильно неравенству
/ 2(x)vg 2(x)
Замечание. В системе должны выполняться оба неравенства. Система
соответствует союзу “и”.
В совокупности должно выполняться хотя бы одно из неравенств. Сово­
купность соответствует союзу “или”.
В случае нестрогих неравенств все неравенства соответственно заменяют­
ся на нестрогие.
1. Задание: Решите неравенство |х2 - х - 3 < 9.
Решение: |х2 - х - 3| < 9.
105
Данное неравенство равносильно системе неравенств:
Где2 —jc —3 <9,
Где2-д с-1 2 < О,
Где2 - д с - 12 < О,
[ - (дс2 - дс- 3) < 9;
[д:2 —дс—3 > -9 ;
[дс2 - х + 6 > О.
Поскольку неравенство дс2 -де + 6 > О верно для любого значения х, его
можно отбросить.
х2 —дг —12 < 0;
(дс +3)(дс - 4) < 0.
Ответ:
хе
(-3 ;4 ).
2 .Задание: Решите неравенство л г < 4 - | д с 2 - 6 д с + 8|.
Решение:
х <4
- |дс2 -
6х +8|.
Приведем неравенство к виду
системе неравенств:
Где2 - б д с
+8 < 4 - д с ,
[ - (дс2 - бде + 8 ) < 4 - дс;
|дс2 — бде + 8| < 4
Где2 - 5 д с
+ 4
< О,
[дс2 - 7 д с + 1 2 > 0 ;
—х , которое равносильно
Г(дс — 1)(дс — 4 )
Ответ: х е [l; 3]U {4}.
3. Задание: Решите неравенство дс2 - 1х +12 < |х - 4|.
Решение:
дс2
- 7 дс + 1 2 < | дс- 4 | .
Перепишем: |х - 4| > дс2 - 7jc + 1 2 .
< О,
\( х - 3 ) ( д с - 4 ) > 0.
х - 4 > х 2 - 7 х + 12,
—(дс —4) > х1 - 1 х + \2.
Решаем каждое неравенство отдельно:
1) х2 - 8х + 16 < 0;
(х - 4)2 < 0 - решений нет;
2) х2 - 6х + 8 < 0;
(х - 2Хх - 4) < 0.
О твет: х е (2; 4).
4. Задание: Решите неравенство
Решение:
х +5х + 8
+х > 3 .
х +6
х2 + 5х + 8
+ х > 3;
х +6
х2 + 5х + 8
>3 -х ;
х +6
х + 5х +8
> 3 -х ,
х+ 6
^х2 +5х + 8
> 3 -х .
х+ 6
Решаем каждое неравенство:
х2 + 5х + 8
;
1 )-------- ; ----> 3 - х ,
х +6
х2 + 4 х -
5
.
--------- :---->0,
х +6
(х + 5)(х-1)
х +6
>0;
(—6 ;—5) U (1; «о);
х2 +5х + 8
,
2(х +13) Л
2 ) ------------- < х - 3 , —-------- - < 0
х +6
(-1 3 ;-6 ).
107
Решение совокупности состоит из объединения решений двух неравенств.
Ответ: х е (-13; - 6) (J (-6 ; - 5) U (1; °°) •
5. Задание: Решите неравенство 3|х - 1|+ х2 - 7 > 0.
Решение:
3|х - 1|+ х2 - 7 > 0;
3|х-1| > 7 - х 2;
~ 3 (х -1 )> 7 -х 2,
- 3 (х -1) > 7 - х 2;
1) З х-З > 7 - х2;
х2 + Зх-10 > 0;
(х + 5)(х - 2) > 0;
2) - Зх + З > 7 - х г;
х2 - Зх - 4 > 0;
(х + 1)(х - 4) > 0;
Объединяя найденные решения, получаем промежутки (-оо; -1 ) и (2; оо).
6. Задание: Решите неравенство |х - 3| > |х2 - 3|
Решение:
|х-3| >|х2-3|;
(х - 3 ) 2 > (х2- 3 ) 2;
(х - 3 )2 - ( х 2- 3 ) 2 >0;
( х - 3 - х 2 + 3)(х -3 + х 2 - 3 ) > 0;
(х2 -х )(х 2 +х - 6 ) < 0;
х(х - IX* +ЗХ* - 2) < 0.
+
Ответ: х е (-3; 0) U (1; 2).
7. Задание: Решите неравенство
Решение:
—5
х +2
-5
х +2
10
х —1
10
х —1
Замечание. Свойство неравенства: Если а <Ь, то —> —
а Ь
|х+2| 1х-1|
Получаем: — ■ > L-^-Lпри х * -2, х * 1.
5
10
2\х+2| > |х- 1|;
(2(х +2))2 > (х - 1)2;
(2х +4 - х + 1)(2х +4 +х - 1) > 0;
(х +5ХЗх +3) > 0;
(х +5Хх + 1) > 0.
Ответ: х е (-< »;-5) U (-l; 1)11(1;®).
Замечание. Прием возведения в квадрат можно применять и дня решения
неравенств вида )/(х)| v а , если модуль берется от линейной функции, а в
правой части неотрицательное число.
8. Задание: Решите неравенство 2|х - 1|< 16.
Решение:
2|х-1| £ 16;
|*-1|£8;
( х - I ) 2 S64;
х2 - 2х - 63 й 0;
(х + 7)(х - 9) S 0.
109
Ответ: х е [- 7; 9].
2
5 + |2х +1|> 8;
|2x + l|>3;
(2x + l)2 >32;
(2х +1 - 3)(2х +1 + 3) > 0;
(2х - 2)(2jc + 4) > 0;
4(х - 1)(х + 2) > 0.
х
О твет: х е (-o o ;-2]U [l; °°) •
Преимущества данного приема особенно заметны при решении систем
неравенств.
10. Задание: Решите систему неравенств
Решение:
2(х + 2;
И < 6;
х2 < 36;
2
>0,
(х - 6)( jc+ 6) < 0.
-2х <5,
х - 3 <1— ,
2
1 1. Задание: Решите систему неравенств
И да
|х- 3| < 2.
Решение:
-2дг<5,
^, х
х - 3, <1—
,
2
\х—3| < 2;
\х>-2,5,
Зх < 8,
х >-2,5,
3
х >-2,
(х - |)(jc - 5) < 0.
3
-> -1 ,
2
х >-2,
(х-3)1 £4;
х
-2,5
-2,5 <х < 2 —,
х<2-,
2-6
х
+5<0;
2—
3
'/ЛГУ*
X
-2
+
"N.
+
1
ч ч чч
- ^
5
*
X
Ответ: х е 1; 2;
Метод, основанный на раскрытии модуля по определению
Предложенные выше схемы решения неравенств, содержащих один модуль,
оказываются неприменимыми для решения неравенств, в которых модуль вхо­
дит более сложным образом. Такие неравенства будем решать, раскрывая
модуль по определению.
12. Задание: Найдите наибольшее целое значение у, удовлетворяющее не(Г-12)
равенству :------- - > 2.
У
Решение:
По определению модуля: \у - 12| =
у - 12, если у -12 > 0,
\2-у,если —12 < 0.
11 1
Неравенство разбивается на две системы неравенств:
\у > 12,
У <12,
I М Ш 1 2; или 1 2 ^ > 2 .
•У
1 ^
Решаем первую систему:
у > 12,
у >12,
у-1 2
у + 12
<0.
>2;
12
система решений не имеет.
Решаем вторую систему:
у < 12,
у < 12,
12- у
у -4
>2;
<0.
у е ( 0;4).
Наибольшее целое значение у из данного промежутка^=3.
Ответ: 3.
\
Ts ^
+ 2| ““JC
13. Задание: Решите неравенство ------- !---- < 2 .
\х+ 2\-х
Решение: ------ ----- < 2.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:
Гх + 2 > 0,
Гдг + 2 < 0,
\х+2—х
112
_
<2;
\-x-2-х
< 2.
[х +2 > 0, I\ xZ-2.
[х > -2,
2 х - 2 Л \Iх —1 Л
1[ х >0; 1Ь г >0;
° ]1 й
х е (-оо; - 2).
Объединяя полученные решения, записываем ответ.
Ответ: х е (—
«э; 0)U(l;ao).
Метод введения новой переменной
Данным методом решаются неравенства, содержащие |х |и х2 одновре­
менно.
14. Задание: Решите неравенство 2хг - |х|-1 £ 0.
Решение:
2х2 - ДО-1 £ 0.
Т.к. |х |2 = х2 , то исходное неравенство введением новой переменной
|х |= /, сводится к квадратному неравенству относительно г.
2/ *-/ -1 2 0;
2f/ + 0 / - l ) 2 O ;
113
2
Возвращаемся к исходной переменной с учетом того, что модуль всегда
неотрицателен:
1) |дс|<
хе 0;
2) |х| > 1;
х3 *
(х-1Х х + 1)>0.
Ответ: х е (—оо; —l]U [l; 00 ).
15. Задание: Решите неравенство хг + 6х - 4|х + 3|-1 2 > 0 .
Решение:
х2 + 6 х - 4|х + 3|-1 2 > 0.
Преобразуем данное неравенство:
х2 +бх +9 -9 -4 | х + 3|-12 >0;
(х +3)2 -4|х + 3|-21 > 0.
Обозначим |х + 3| = /, / > 0.
ОТ,
|х + 3| > 7;
х2 + 6х + 9 > 49;
х2 + бх - 40 > 0;
(х + 1 0 )(х -4 ) > 0.
114
0
Ответ: х е ( - 00; - 1 0 ) U (4; оо).
16. Задание: Решите неравенство ~ — 4х +4 ^ |х—2| —]2 с 0.
Решение:
х2 - 4х + 4
х -6 х +9
Т. к
х -6 х +9
\х—2|
■—12 < 0.
|jc —
3|
х2 -4 х +4
х‘ - бх + 9
х —2
х -3
дс—3
(х - 2)2
( х - З)2
х -2
х -3
в
|х-3|
х -2
, получаем:
х -3
2
х -2
-1 2 < 0.
х -3
х -2
Обозначим
= /.
х -3
/ +/-12 <0,
/ > 0;
(/ + 4)(/ - 3) < 0,
/ > 0;
0 S / < 3;
х -2
<3;
х -3
х -2
>0,
х -3
х -2
<3;
дг —3
х *3,
х -2
------ <3,
х -3
(2х-7
>0,
х-3
4х-11
>0.
х-3
113
Ответ: х е (-оо; —) U (—;<») •
4
2
16U+II-1
17. Задание: Решите неравенство —г---- г— < 3.
3|х + 1|+ 1
Решение:
1 ф + )| -1 :3
3|х +1|+1
Пусть |дс+1|= i , тогда:
4
О</<-;
7
о^М < ф
1* +11<^
(х + 1)2
(* +1- ^
;
+1 +^ j < 0;
Ответ:
18. Задание: Решите неравенство г г — ^ Ы - 2.
Решение:
W
щ
^ 'r
Обозначим (дс) = /, / > 0.
Т. к. /> 0, решением будет промежуток:
О<f ^ 1;
0<|дс|<1;
V * l;
( jc - IX *+
Ответ:
1) ^ : 0 .
п
Метод промежутков
Неравенства, содержащие два и более модуля, решаются методом проме­
жутков. Как и в случае уравнений, модули нужно раскрыть согласно опреде­
лению, а затем решить совокупность систем неравенств.
19 .Задание: Решите неравенство |х - 1|- 2|х +5| > 3 + х .
Решение:
|х - 1|- 2\х +5| > 3 + х.
1) Найдем корни многочленов, стоящих под знаком модуля, и нанесем их
на числовую ось.
2) Определим знаки подмодульных выражений на трех полученных про­
межутках:
х-1
+
х+5
-
-5
+
1
+
х
3)
Найдем решения неравенства для каждого промежутка отдельно (без­
различно к какому числовому промежутку отнесем граничные точки):
\х <,-5 ,
а) 1 - ( х - 1 ) + 2(х + 5 )> 3 + х;
111 > 3;
-5 < х ^ 1 ,
б) - (х - 1 ) - 2(х + 5) > 3 + х;
1 х + 3 < 0;
(х й -5 ,
х < -5 ;
[-5 < х ^ 1 ,
в)
Решением данного неравенства будет объединение полученных проме­
жутков.
Ответ: х 6 (-оо; - 3 ) .
20. Задание: Решите неравенство (jl - х| - з)(|х + 2| - 5) < 0 .
Реш ение:
118
(jl - х|- 3)(jx + 2|- 5 ) < 0.
1-х
+
+
--------------- 1------------------ 1-----------------►
х+2
-2
+
1
+
х
Рассмотрим решение неравенства на каждом промежутке:
[х <-2,
а) |((1 -
(х < -2,
х) - 3)(-(х + 2) - 5) < 0; {(х + 2)(х + 7) < 0;
-7<х<-2;
( - 2 <х <1,
Г-2 < jc < 1,
б) |((1 - * ) - 3)((х + 2) - 5) < 0; |(х + 2)(х - 3) > 0;
система решений не имеет;
в)
3 < х < 4.
Ответ: х е (-7; - 2) U(3; 4),
119
2х
2 1. Задание: Решите неравенство |х| >
13 -
jcI
Реш ение:
2х
х >
| 3-;
По свойству модуля |3 —лг| = |лг—3| (такая запись более удобна).
W>
2х
: - 3Г
+
X
I1
0
х-3
х < 0,
2х
а) - х > -----;
3 -х
0 < х < 3,
//
2х
б) х > - ----;
3 -х
0 <
120
jc
£ 1;
+
— ■■|1
3
х < 0,
х < 0,
х2 -5 х Л 4 ^ - 5 ) < 0 .
г
- 0;
. 3 —х
. х -3
0 < х < 3,
х-
О < х < 3,
х2 _ " х ( х - 1 )
£0;
х -3
,
+
X
\x>3,
в> Ь >
2x
x -3 ’
x > 5.
Ответ: x e (- o o ; l]U [5;oo).
Дополнительные методы решения неравенств
с переменной под знаком модуля
В заключении рассмотрим несколько частных случаев, когда можно обой­
тись без раскрытия модуля, проанализировав структуру неравенства.
22. Задание: Решите неравенство U - V x - 2 i > - 5 .
Решение:
|4—Vjc—2| >—
5.
Т.к. модуль - величина неотрицательная, то данное неравенство будет вы­
полнено для всех х изОДЗ.
Найдем ОДЗ:
X -
2 > 0;
х > 2.
Ответ: х € |2;оо).
23. Задание: Решите неравенство
л/х + 3 -1
>0.
х2-1
V x + 3 -l
>0.
х -1
Решение данного неравенства записывается из ОДЗ и условия неравен­
ства подмодульного выражения нулю:
Реш ение:
121
х + 3 > О,
х 2: -3,
х > -3 ,
х2 - 1 * 0,
JC ч* ±1,
хф±\,
л/х + 3 - 1
- р Ж* и0 :;
х -1
л/х + З Ф 1;
х Ф—
2.
|
Ответ: х > -3 , х Ф ±1, х Ф -2 .
24. Задание: Решите неравенство |х2 + х - 20| < х2 + х - 20.
Р еш ение:
|х2 + х - 20|< х2 + 1 1 20.
Данное неравенство будет выполнено только гогда, когда х2 + х - 20 > 0;
(х + 5)(х - 4) > 0.
Ответ: х е ( - оо; - 5]U [4; оо).
25. Задание: Решите неравенство |х2 + 6х + 8| < - х 2 - 6х - 8 .
Р еш ение:
|х2 + 6х + 8| < - х 2 - 6х - 8 ;
|х2 + 6х + 8| < - ( х 2 + 6х + 8 ) .
Т. к. модуль не может быть меньше отрицательного числа, значит:
х + 6х + 8 £ 0 ;
(х + 2)(х + 4) < 0.
Ответ: [ - 4 ; - 2].
Резю ме
В данной главе вы ознакомились с базовыми сведениями о методах решения раци­
ональных уравнений и неравенств. В результате изучения данной главы вы должны
овладеть следующими умениями:
выполнять (без калькулятора) действия над числами, заданными в виде обык­
новенных и десятичных дробей и числовыми выражениями;
122
- переводить периодическую десятичную дробь в обыкновенную;
- выполнять тождественные преобразования числовых выражений, содержащих
радикалы;
- выполнять разложение многочленов на множители различными способами;
- производить действия сложения, вычитания, умножения и деления над алгебра­
ическими дробями;
- раскрывать модуль по определению;
- решать уравнения и неравенства первой и второй степени, уравнения и нера­
венства, приводящиеся к ним;
—решать алгебраические уравнения выше второй степени, приводя их к квадратным;
- использовать прямую и обратную теоремы Виета при решении задач;
- решать системы уравнений и неравенств первой и второй степени и приводя­
щиеся к ним;
- уметь решать уравнения и неравенства, содержащие модули.
В данной главе подробно изложены темы: раскрытие модуля, уравнения с моду­
лем, неравенства с модулем, т.к. в общеобразовательной школьной программе эти
темы не рассматриваются.
Теперь вы подготовлены достаточно для того, чтобы начать использовать дан­
ные методы решения рациональных уравнений и неравенств при решении показа­
тельных, логарифмических и тригонометрических уравнений и неравенств.
123
Глава II
И РРАЦИО НАЛЬНЫ Е Ф УН КЦ И И
§1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Разложение
многочленов
на множители
\.а)
2х-л[х
3 .а)
\ - 2 -Jx '
Х + л/х
б)
Х -1 ’
х -9
в)
(•v/x - З)2 *
Упрощение иррациональных
алгебраических выражений
Освобождение от
иррациональности
в знаменателе дроби
х- 2
{ л1х +у1у
Jx +J y
Kyf yf
2 m —Зп
\fa2b '
п
W +VT
п
■Ja +-Jb
ау/а +Ьл[Ь
■fy
-Jy | x - y
x +Jxy x - J x y ) 2-Jxy
г \ [ 7 -\ f^ b + \ [ b 2 '
(х-9)(л/х + 3)~‘
х+ 9 -6 >/х *
д)
е)
( ■ J n - y fm ) 2 + 2 y fn m
m +2 lm- 2
m —2 Mm +2
1
л/х +1 - л/х2 - 1
1
m+ 2
\[а +y[b
■Ja + b + -Ja-b
■Ja +b - -J a -b
lm - 2
m —2 Mm+ 2
л/а +\[b
_ 1 ___
y - \ 6y o f .
Sy 0,15 + 20 ’
■■Jin
■Jim + л/зй
8.
9.
^ .1 Г а -\ Г а :.," Г а
5
л/2- a —
л/а+ 2
г-1
л/ W
2. Найдите наибольшее
_ yfa —V5
значение дроби ------—
<7-5
10.
3л / 7 + ^
+ 3л/бГ
Преобразование иррациональных алгебраических выражений,
содержащих модули
11.а)л/дг2 -Юдг+ 25 + Vjc2 + 6лг + 9, лс£-3;
12. а ) л/а + 2л/а-1;
б) V*2 - бде+ 9 + у/2-х + д - 3 ;
б)д/а + 1—4л/а —3.
в)
124
J b 2 +2 b j 2 +2 +y[P~-2b j 2 +2 , 62: л/2.
Тождественные преобразования
иррациональных алгебраических выражений
Определение. Алгебраическое выражение называется иррациональным,
если оно содержит операции извлечения корня или возведения в степень с рацио­
нальным (не целым) показателем над переменными, от которых оно зависит.
Школьной программой предусмотрено умение выполнять тождественные
преобразования иррациональных алгебраических выражений. Напомним
основные виды преобразований и рассмотрим соответствующие примеры.
- Разложение многочленов на множители. Сокращение дробей.
- Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
- Упрощение иррациональных алгебраических выражений.
- Преобразование иррациональных алгебраических выражений, содер­
жащих модули.
- Преобразование двойных радикалов.
- Преобразование выражений, содержащих степени с рациональными по­
казателями.
Заметим, что в случае, когда для преобразования предложено некоторое
буквенное выражение и не сделано специальных оговорок о значениях букв,
предполагается, что входящие буквы принимают те значения, при которых
выражение имеет смысл.
125
Разложение многочленов на множители
Сокращение дробей
Для преобразования иррациональных алгебраических выражений необ­
ходимо уметь группировать слагаемые, приводить подобные члены, выно­
сить за скобки общие множители, сокращать дроби, грамотно использовать
формулы сокращенного умножения, владеть приемами разложения много­
членов на множители.
1. Задание: Сократите дробь:
2х-у[х
l - 2-v/jc’
yfa+yfb
о ) - г - Г .N
г>
\ У ~ ^6 ^ 0,5
5у 0’2* + 20 ’
Г " , ГГ’
ж)
ayfa+Ьл/ь’
( x - 9 ) ( y f x + 3 )"'
б) x + J x ;
д)
х -\
х -9
g)
0,8
;
(л/х-З)2 ’
+ лг
з)
+х
х°* +х0'6 +х0А+х0’2'
п2 - т 2
ч
е)
, „ 0,6 , „ 0,4
ч х +х
т=—;
x +9 -6 V x
(л/й-л/от)2 +2>/тй’
Решение:
.2 x -yfx
а )
yfx(2-Jx-l)
. . x + yfx
б)
i—
= -у /х ;
т = - = --------------------j = —
1 - 2yfx
x —l
x -9
\-2yfx
-
yfx(-Jx + 1)
л/jс
(yfx ~ l ) ( y f x + 1)
yfx-\
(y fx -3 )2
(л/jc —3)(Vjc -f-3)
yfx+3
(V ^ -3 )2
л / х -3 ’
yfa + ylb
-Ja + y fb
a-Ja + b-Jb
(-fa )3 + (y fb )3
-Ja + y fb
(y fa
+
y fb ) ( a - -Jab + b)
a -y fa b + b
сX-
9)(y[x +3 )'1
- 3)(yfx +3) __ 1
x +9 - 6 -Jx
(yfx + 3)(yfx - 3)2 yfx - 3 ’
^ _______ n 2 -
it/ 2__________
(yfn - y f m ) 2 + 2y fm n
n2 - m 2
_ (n - m )(n + m ) _ ^
n - 2 - J m n + m + 2 y fm n
n+m
ж) y ~l6y°S - >,0,5(/ '5- 16) _ / 5( / И-4Х/-25+4) _ / V й - 4 )
5y°'2S + 20
5 ( / 25 + 4)
И
V
126
08.
П,
5 ( / '25 + 4)
х м (х 0-6 + х 0-4 +х°-2 + 1)
04.
0.
x 0.2(x0.b+ x 0.4+ x 0.2+ l ) - X '
л / а -л / 5
л[а-у/5
1
o —5
( yfa —yfs )(yfa + л/5)
л/о + л/5
Дробь
—
j=— -7= принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель
л/а + л/5
является наименьшим, т.е. при а - 0.
Если а =0, то
л/о + 'л/5
л/5
Значит, наибольшее значение дроби равно -= .
л/5
Ответ:
л/5
Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби
Преобразование иррационального выражения к виду, не содержащему
операции извлечения корня (степеней с рациональным показателем степени),
называют освобождением от иррациональности. Для исключения иррацио­
нальности в знаменателе дроби нужно подобрать простейшее из выражений,
которое в произведении со знаменателем дает рациональное выражение, и
умножить на найденный множитель числитель и знаменатель данной дроби.
Рассмотрим основные случаи освобождения от иррациональности в зна­
менателе дробного выражения.
3. Задание: Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
х- 2
п
б)
«)
п
Решение:
х3- 4
= (дг-2Х * + 2)
х +2 ;
127
б)
в)
Д)
1 \lab~
\fa*b Uab2
\Jab~ _
<*Ь
yfa2 -yfab +\[b*
n^Ja2 -\[ab + \[b2)
ifa +\[b \}a2 —Mab + ^Jb2
______ n______ yfa +\[b
\la2 - IJab +ifb2 \fa +\[b
a +b
n(\[a +Mb)
a +b
х'4-l + Vx“ - 1
V* +1+Vx2- 1
(->lx2+ \)H-(ylxr - I)2
л/х2 + 1-л/х2- 1 -Jx2 + 1+Vx2- 1
yjx2+1 +л/х2- 1
e)
1
yfa—ifb
yfa + yfb . yfa —yfb
y[a—\fb
\[a—ifb -Ja + -Jb
-Ja--Jb -Ja + -Jb
(л/я )2у]$Ь)~
(ifa-y[b)(yfa + yfb)
a -b
1
\Ja--Jb _\fa--Jb (tfa2)2 фЬу/а2 +b2
ж)
\fc+Jb \fc-Jb
3V ? - 6
Qj j f + t f j j +b 2
(\[a - -Jb)(a\[g + ШШ + b2)
a2 - b 3
^ a + b + -J a -b -Ja + b + -J a -b
-Ja + b - - J a - b
+ b A -J a -b )2
+ 6)2 - (л /а - lb ) 2
( л /а
-Ja + b + 4 a - b
(л /а
a +b + 2л/а2 - 62 + a - b
2a + 2-Ja2 - b2
a+b-Q+b
2b
a + -Ja2 - 62
Упрощение иррациональных алгебраических выражений
Порядок выполнения действий в иррациональных выражениях такой же,
как в рациональных.
Приведем примеры упрощения иррациональных выражений.
4. Задание: Упростите выражение:
128
Решение:
VX+y/у
-y/X+Jy
■Jx +3 j y ~ -Jx+ Jy
2ч
■Jx+J y
*у1у - J x + J y
■Jx+yfy
_
8( J y ?
-у/х +njy
4J y
‘Jx+Jy*
^ 1
4J y
8y
jy
2у
Ответ: — .
2у
2т -Зп
/г- 1
+V3п .
vV2w +л/зй
5. Задание: Упростите выражение (-
Решение:
2т-- 3и
с -Л
\(-J2m--J3n)(-J2m+-J3n)
-J2m w ^ +V3”J I—
= (л/2т - л/зп +лЦп)2 = 2т.
srw * —
<— i
+Л| =
Ответ: 2т.
б. Задание: Упростите выражение |
Решение:
4у
у! у
X+
_ л/у
Jxy x-Jxy
_ J y -2y[y
V* * “ >
2) ~2У
4у_
I
4у
-
х -у
J y Jx-y[y--Jx-Jy'\|
yfx{-Jx+Jy 4x-Jy^ T xl
Х-.У
-2>
л[х(х-уУ
Х~У-. Ж.
4x(x-y) 2yfxy
x
Ответ: -2LL.
m+2
1. Задание: Упростите выражение
ffi-2
- 2 +Vm + 2
lm+2 lm -2
\ m -2 ~\m+2
129
Решение:
т +2
т -2 т + 2 т + 2
+1
т +2 +т —2 2т_ т
(+2 Vт -2 _ т -2
1т—2 1т+2 т +2 щ т +2 —т +2 4 ~ 2'
т +2 V т -2 т -2
•2
V
т +2
т-2
Ответ:
8. Задание: Упростите выражение
Решение:
i
I
y f a • y f a • y f a ■... ■5'yfa .
1
j_
i i i '
y f a ■y f a • y f a •...■iXy j a = a 2 - a * - a* - ...- a 512 = a 2 4 8
i
512.
Найдем сумму геометрической прогрессии:
s =Ь1~ЬпЯ^ 2 512 2 _
1- q
j_ l
2
S\2) _ x___1 _ 511
T
512
5 1 2’
2
Sll
Значит, y f a ■y f a ■y f a
Sll
Ответ: a 512.
-...-51у/а = a 512.
В процессе преобразования иррационального выражения в ряде случаев
целесообразно обозначить радикалы новыми переменными и свести задачу к
преобразованию рационального выражения.
Рассмотрим данный прием на конкретных примерах.
у[2 ^ --^ =
9. Задание: Упростите выражение------------ у / а +2
Решение:
у/2-а -
л/4- а
Замена:
■Ja +2
1
-1
Ответ: - у / 2- а.
130
у/2-а= Ь ,
yj2 +а —с.
Ьс-5
о_ —5 ------__ с ____ с _ (^с - 5)Ас = —
Ь——л/2 —а.
5-Ьс (5 - Ьс)с
-1
Ьс
Ьс
10. Задание: Упростите выражение
№ +\laW +№
yfa2 + \[ab + yfb2
Решение:
Замена
rfa* + y/a2b 2 + yfb*
yfa2 +y[ab +\[b2
V^ = x,
yfb =y.
1+ x2y 2+ y 4 (x2 +y 2)2- x2y 2
x~+xy +у
X " + xy +у
{x2+у 2- xy)(x2+у 2+xy) J 1
= ------------1----------- 1---------- = x + у - x y
x
+ xy + y~
зГ Т .з/ 7 7 зГТ
=\a
+ \b - y a b .
Ответ: yfa2 +y[b2 —yfab.
Преобразование иррациональных алгебраических выражений,
содержащих модули
При преобразовании выражений, содержащих радикалы, часто допуска­
ются ошибки. Они вызваны неумением правильно применять определение
арифметического корня и абсолютной величины.
11. Задание: Упростите выражение:
a) Vx2 -1 Ох+ 25 + л/х2 +6х + 9, х < -3 ; б) у/х2- 6 х + 9 + л/2-х + х -
3;
в) y/b2 +2Ьу/2 +2 +у/'Ь2 - 2 Ьу/2 +2 , b>yf2.
Решение:
а ) х й - 3;
у/х2 - 10х + 25 + у/х2 + 6х + 9 = -у/(х-5)2 + yj(x +3)2 - jx - 5| + |х + 3( =
= -(х - 5 ) - ( х + 3) = 5 - х - х - 3 = 2 - 2х;
б ) yfx2- 6 х + 9 + >/2-х + х - 3 = у/(х-3)2 + V 2 - х + х - 3 =
= |х - 3|+ у / 2 - х +х - 3.
Должно быть выполнено следующее условие:
2 - х 2 0 ; хй2.
Значит, |х —3|+ у / 2 - х + х - 3 = 3 - х + у / 2 - х + х - 3 = -v/2- х .
в) 6 s V 2 ;
y/b2+2byf2 + 2 + y/b2-2by/2 + 2 = J ( b 7 S ) 2 + y j ( b - у/2)1 =|б + Л | + 1 й - V 2 I =
= b +y /2 +b - y / 2 = 2b.
131
Преобразование двойных радикалов
12. Задание: Упростите:
а)у]а +2л/а-\;
Решение:
б ) -Ja +l - 4-Ja-3.
а)-\1а +2у[а-\ = yj(y/a- 1)2 +2>/а-Т + 1 =
+1)2 —|л/а-7 + 1|—
= л/аМ + 1,
б) у]а +1 —4 Vа —3 =
—3)" —4-\/а —3 + 4 =
—3 —2 )' = |Va —3 —2j.
Преобразование выражений,
содержащих степени с рациональным^ показателями
Приведем примеры применения свойств степеней с рациональным пока­
зателем в преобразованиях выражений и вычислениях.
13. Задание: Упростите выражение:
д )5 a2b.l—
\-----2b.l—-
а)
4/ -3 ;
х 2 -л/х
e ) —abylSa3b +—abyl\Sab3 - a 2J — - b 2.
2
3
v “
1- а
_
I
I
I
2 а 2 +а 2
ж)
а -1
1 +а 2
' 125а36 6
0 ,0 0 8 с-6 ’
г)
—y/4ab3 +3а
Ъ Ъ
аb
3
/ в, _2 v s
х 3 -х
4~
„3
^
$
х- 1
х2 +х 4 1
X4 +1.
з) 2
1 1
х4 +х2 х 2 +1
Решение:
1 ------i
\ а 5- а *
я)
б) д/х2 •
132
=
г
1 х 2 ■х 4 = а/х4^= х 4;
=а
а\
к 125a3b6
в V0,008c"6
8
_2
rJ.v
JCJ
- jc
г)
5ab2
OOcfC,
j to
Щк 2
°i C ’
-2
JC
J
\и и
i u </
\a
уа
+ 31 Ж =5-Jab —2-Jab —2-Jab + 3-Jab = Л-Jab;
e)]-abJia3b +^-abJlSab3 - a2J ^ ~ b 2] ^ =- a b - 2a jla b +-a b •3bj2ab 2
3
\a
\b 2
3
—a j
——b j - b —= arbj2ab +ab2-J2ab —a-j2ab —b-j2ab = ab-j2ab{a+b)-
- -J2ab(a + b) = (a + b ) (a b j2 a b - -J2ab) = -J2ab(a + 6)(aZ>-1);
J,
I
Jt
_
4
•
ж) 1 - a 2 ff.2 + а I . J - g 2
l+aJ
-2
a 1
a2
l1+
+ e*
J,
i. ,
.
I
м
l
a 2 +a 2
_ a 2 -1 -1 + a 2 - a 2 - a? 2
ЬЩ
^a2
- l |Йa Ь
2 +Ж
lj-
1я*-11/»а+1
^ - l j j
2
o -l~ 1-a
4
JC — 1
I
X2 +1
x2- ■lj|x2+l
V
1
X2
S'
X4 + X 2
7------* 4 + l -
f 1
+
—1**X
З)"з---- Г
I £
x 2+ x 4 7
4.
>
p .,)
1
r*+l
■X4 +1
I
:x 2- l + l = x 2.
133
§2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Метод введения
новой переменной
Метод возведения в степень
обеих частей уравнения
6. 2 х 2 +Зх + л/2х2 +Зх + 9 = 33
. л/х2 + 5х + 1 = 2х - 1
2. л/2.x- 3 = 4 - х
7
3. л/х2 + Зх - 4 = л/2х + 2
4. V x + 5 + л/5
2х + 1
х -1
8. л/х2 + 4х + 8 + л/х2 + 4 х + 4 = yj2(x2 + 4х + 6)
х ——
2
9. л / 2 х -3 +л/4х + 1 = 4
5. л/Зх-1 - л/х- 2 = 3
Дополнительные
методы
Метод разложения
на множители
10. (х2 - 5х - 6
=
Vх - 5
0
И . л / х - 3 - х 2 = 4 л / х -3
13. л/х2 + 5х + 3 - л/х2 + Зх + 2 = 2х +1
х + л/х2 - 1
х-л/ х2 - 1
1 4 . -------? = = + ------ г = = = 34
Х -л / х 2 - 1 Х + л/х - 1
12. л/х2 - 5 х + 6 - Зл/х - 3 - 5 л / х - 2 + 15 = 0
15. л/х2 —6х + 9 +л/х2 + 8х + 16 = 11
Метод анализа уравнения:
а) л/х + 1 + л/20 = л/5
б)л/х2 + 4 + л/х2 + 9 = 4
в)л/х2 + 1 -л / 2 х 2 + 5 = 1
г) л / 4 - х - л / х -6 = 2
16. л/37х + 1 2 - л / 3 1 - 6 х = 2
17. л/2х + 5 +
х —1 = 8
18. V 4 x - l+ V x + T + V x - 6 = 6
Иррациональные уравнения, содержащие корни высших степеней
19. V l 2 - x + V l 4 + x = 2
21. V 2 x - 1 + л / х -1 = 1
20. V l 3 - x + V 2 2 + x = 5
22. У х + 41 + л/41 - х = 4
134
Методы решения иррациональныхуравнений
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неиз­
вестное под знаком радикала.
Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том,
чтобы освободиться от знака радикала и получить рациональное уравнение.
При решении иррациональных уравнений применяют следующие основ­
ные методы:
- возведение в степень обеих частей уравнения;
- введение новой переменной;
- разложение на множители.
Рассмотрим каждый из этих методов.
Метод возведения в степень обеих частей уравнения
Основная идея данного метода состоит в следующем: сначала изолируют
один радикал, затем обе части уравнения возводят в степень, потом снова изо­
лируют радикал и т.д. Следует учесть, что при возведении обеих частей урав­
нения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом слу­
чае обязательна проверка найденных корней подстановкой в исходное уравнение.
При возведении в нечетную степень обеих частей уравнения посторонние
корни не появляются.
Рассмотрим решение простейших ирраииональных уравнений. Так назы­
вают уравнения вида
и
ylf(x) =g(x).
л /7 сф = yjg(x)
К решению простейших иррациональных уравнений в итоге сводится ре­
шение большинства иррациональных уравнений.
Избавиться от радикалов в простейших уравнениях можно возведением в
квадрат. Но, как уже говорилось ранее, при этом могут появиться посторон­
ние корни. Поэтому каждый из найденных корней полученного уравнения
должен быть проверен: является ли он решением простейшего уравнения или
нет. Проверка осуществляется непосредственной подстановкой в исходное
иррациональное уравнение.
1. Задание: Решите уравнение \х2+5х +\ = 2х - 1.
Решение:
•Jx2 +5дг + 1 = 2х - 1 ;
х1 + 5х +1 = Ах1 - 4.x + 1;
133
Зх2 - 9 х = 0;
x, = 0, x 2 = 3.
Проверка:
1) jc = 0;
Vo2 + 5 -0 + 1 = 2 0 - 1 ;
2)x = 3;
1 *-1 ;
V32 + 5 -3 + l = 2 - 3 - 1 ;
5 = 5.
x =0 - посторонний корень;
Ответ: {3}.
В данном случае проверка оказалась довольно простой. Но могут встре­
титься уравнения, корни которых иррациональны, и проверка приводит к очень
сложным вычислениям. В таких случаях лучше решать простейшие иррацио­
нальные уравнения с помощью равносильных преобразований.
Полезно запомнить следующие схемы;
о
т
- ю
«
U (* )a o .
Неравенство g(x) > 0 в этой системе выражает условие, при котором ирра­
циональное уравнение можно возвести в квадрат. Оно “отсекает” посторон­
ние решения и позволяет обходиться без проверки.
2) V ? W = yfgix)
V
V
<=>
1 gW ’
1 / W > 0 (g (x )> 0 ).
В данном случае можно проверять любое из неравенств. На практике, как
правило, выбирают то, которое проще в решении.
2. Задание: Решите уравнение V2.x- 3 = 4 - х .
Реш ение: Данное уравнение равносильно системе;
| 2 х - 3 = ( 4 - х ) 2, | 2 х - 3 = ( 4 - х ) 2,
2 х - 3 = х 2 - 8 х + 16;
(4 -х > 0 ;
х 2 - 1 0 х + 19 = 0;
|х < 4;
х, = 5 - л/б,
х2 = 5 + V6 > 4 посторонний корень.
Ответ: р -л / б }.
3. Задание: Решите уравнение л/х2 + 3 x - 4 = -Jlx + 2 .
Реш ение: Данное уравнение равносильно системе:
136
х2 = - 3 < -1 - посторонний корень.
Ответ: {2}.
Вывод. Если корни, полученные в результате возведения в квадрат, доста­
точно простые (например, целые), то можно не беспокоиться о равносиль­
ности переходов, а просто проверить их непосредственной подстановкой в
исходное уравнение. В случаях, когда проверка затруднительна, нужно акку­
ратно следить за тем , чтобы преобразования были равносильными и не
появились посторонние корни.
Рассмотрим уравнения, содержащие два радикала.
4. Задание: Решите уравнение
Jx +5 + y j 5- x = —.
2
Решение:
(>/х + 5 + V5 -
x f = (jj ;
Х + 5 + 5 - Х + 2-J25
- х2
х2
4
Проверка'.
2л / 25 -Х 2 = — - 1 0 ;
4
2
1)х = —4; I + 3 * - 2 ;
х = —4 - посторонний корень;
V4
100 - 4 х 3 = ------- 5х2 +100;
16
2) х = 0;
2 т/5 * 0 ;
х =0 - посторонний корень;
-------х 2 = 0;
16
х 2(х 2 - 16) = О;
3 )х = 4 ; 3 + 1 * 2 ;
х = 4 - посторонний корень.
Х|,2 ~ ©» Х3.4 = i4 .
Ответ: решений нет.
5. Задание: Решите уравнение -J3x - 1 —у/х—2 =3.
Решение:
у/х-2 = 3, х 2 2;
л/Зх-1 = 3 +yjx-23 jc — 1
9 +x - 2+6- J x - 2;
6-Jx-2 = 2jc —8;
3-Jx-2 - x - 4, x - 4 > 0, x > 4;
л/Зх-1 -
=
9 ( x - 2 ) = x 2 - 8 jc + 16;
x2- 1 7 x + 3 4 = 0;
17 i i ГГй
X| _ i / -r j -v i / ^
17 —Зл/17
x2 = ------ ------- < 4 —посторонний корень.
f l7 + 3 V i7 ]
~
[•
Ответ: j
Метод введения новой переменной
Данный метод, как правило, применяется в том случае, когда в уравнении
неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной
величины. Тогда имеет смысл принять это выражение за новую переменную
и решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом
найти исходную величину. В ряде случаев удачная замена переменной облег­
чает преобразования и упрощает решение задачи.
Рассмотрим метод введения новой переменной на конкретных примерах.
6. Задание: Решите уравнение 2х2 +Зх + л/2х2 +Здс + 9 = 33 .
Решение:
2хг +Зх +у/2х2+Зх+9= 33.
Обозначим \2х2 +Зх +9 = а, а> 0.
Тогда исходное уравнение примет вид:
а 2 + а - 9 = 33;
а2+ а - 42 = 0;
а, = 6, а2 = - 7 < 0.
а = 6, л/2х2 +Зх + 9 = 6.
Замечание: При решении данного уравнения можно не опасаться появле­
ния посторонних корней, так как его правая часть положительна при любых
значениях переменной х.
138
2x 2 + 3х + 9 = 36;
2 x 2 +3 x - 2 7 = 0;
jc ,
9
Ответ:
= — , x 2 =3.
7. Задание: Решите уравнение
I 9
; 3
J ———- - 2.1———= 1
2 jc + 1
Решение:
2' +' - 2. J i z U , .
2х + 1
/2х + 1
Обозначим /------- = а, а > 0.
Тогда исходное уравнение примет вид:
а
а2—а -2 =0',
а, = 2, аг2 = —1 < 0.
|2х + 1
а=2, V T T
2х + 1
т т =4;
2х + 1 = 4х - 4;
2 jc = 5;
х = 2,5.
Ответ: {2,5}.
8. Задание: Решите уравнение:
л/х2 + 4х + 8 + л/х2 + 4jc + 4 = ^2(х2+4х + 6) •
Решение:
л/х2 +4х + 8 + л/х2 +4х + 4 = -^2(х2 +4х + 6).
Обозначим х2 + 4х + 6 = а, а £ 0.
Тогда исходное уравнение примет вид:
■Ja+2 +л/а —2 = л/2a j
139
7
а + 2 + а - 2 + 2-Ja2 - 4 = 2а;
а2- 4 = 0;
а, = 2 , а , = - 2 < 0.
а = 2,
х 2 + 4х + 6 = 2;
х2 + Ах + 4 = 0;
х = -2 .
Ответ: {-2}.
Многие иррациональные уравнения решаются проще, если ввести две вспо­
могательные переменные с последующим переходом к рациональной системе.
9. Задание: Решите уравнение -J2 х -3 + J 4х + 1 = 4 .
Решение:
■j2x-3 + у/4х + \ = 4.
Обозначим:
■J2x~3 = а, а > 0;
л/4х + 1 = 6 ,
6 > 0;
Га2 = 2дс-3,
4
=>
(ft2 = 4 х + 1;
,
,
2а -Ь = -7 .
Тогда можно записать следующую систему уравнений:
2 а 2 - (4 - а)2 + 7 = 0;
2 а 2 - а 2 + 8 а - 1 6 + 7 = 0;
а 2 + 8а - 9 = 0;
а, = 1, а, = - 9 < 0.
а = 1,
л / 2 х -3 = 1;
х -2 .
Ответ: {2}.
Метод разложения на множители
Для решения иррациональных уравнений данным методом следует пользо­
ваться правилом:
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из мно­
жителей, входящих в это произведение, равен нулю, а остальные при этом
имеют смысл.
140
Уравнение -Jf(x) •g(x) = 0 равносильно совокупности двух систем:
/(*) = о,
2JsO 0 = 0,
g(x) - определена;
[/(х)> 0.
flc + 2
10. Задание: Решите уравнение (х2~5х~6)л]------ = 0.
Мх-5
Решение:
(х2- 5х- 6 )J——j = 0;
V x -5
г,
о — Г = 0;
[х2- 5 х - 6 = О,
х2 = 6, х3 = -1,
2) i х +2 .
г
‘
]------ > 0;
1 х*€€ ((-а»;-2]и(5;оо);
х
х, = -2 ;
U -5
Х, = 6
Ответ: {-2; 6}.
11. Задание: Решите уравнение Vx-З
Решение:
-х2 * 4>/х - 3 .
л/ х-3-х2 = 4л/х-3;
л/х -
3 ( х 2 - 4 ) = 0;
1) х - 3_= 0;
х, = 3;
Ответ: {3}.
”
fx2- 4 = 0, fx2 =2, х, » - 2 ,
(х - 3 > 0; (х> 3;
система решений не имеет.
12. Задание: Решите уравнение:
л/х2- 5 х + 6-Зл/х-З -5л/х-2 + 15 = 0-
Решение:
ОДЭ:х*3;
Vx2 - 5х + 6 - Зл/х - 3 - 5^х - 2 + 15 = 0;
Л/ (х -З К х -2 )-3 ^ х ^ З -5 л / ^ 2 + 15 = 0;
л/х^ З ( л/х
(л/х^З -
- 2 - 3) - 5(л/х ^ 2 - 3 ) = 0;
5 )(4 ^ 2 -3) = 0;
л/ x - 3 = 5;
л/х- 2 = 3;
х, = 28.
х2 = 11.
Ответ: {11;28}.
Дополнительные методы решения
иррациональных уравнений
К дополнительным методам решения иррациональных уравнений отно­
сятся следующие методы:
- умножение на сопряженное;
- переход к уравнению с модулем;
- метод “пристального взгляда”;
- использование монотонности функции.
Рассмотрим на примерах каждый из этих методов.
М етод умножения на сопряженное
В основе данного способа решения иррациональных уравнений лежит
формула (yfa - yfbj(-Ja +-Jb) = a - b .
Иногда использование этой формулы облегчает решение.
13. Задание: Решите уравнение л/х2 + 5х + 3 - л/х2 + Зх + 2 = 2х + 1.
Решение:
л/х2 + 5х + 3 —л/х2 +Зх + 2 = 2х +1.
Умножим обе части уравнения на сум м у корней:
[л/х2 + 5х + 3 - л/х2 +3х + 2][л/х2 + 5х + 3 + л/х2 +Зх + 2 ]=
= (2х +1 )(л/х2 + 5х + 3 + л/х2 + Зх + 2|;
/ х2 + 5х + 3 - х 2 - Зх - 2 = (2х + ijyjx2 + 5х + 3 + л/х2 +ЗХ + 2 );
2х +1 = (2х + ф х 2 + 5х + 3 + л/х2 + Зх + 2 );
(2х + l)(Vx2 + 5x + 3 + л/х2 + Зх + 2 - 1)= 0;
1) 2х +1 = 0;
1
2) л/х2 + 5х + 3 + л/х2 +Зх + 2 = 1.
Выполним сложение двух иррациональных уравнений:
142
I
л/ х 2 + 5 х
+ 3 + л/ х 2 + З х + 2 = 1
+
4 х1 +5х + 3 - у1х1 +Зх +2 = 2 х +\;
2-Jx1 +5х +3 = 2х+2;
л/х2 + Sx+З —х +1;
х 2 -1 ;
х2 + 5л+3 = jc2 +2х+Л;
Зх ч» -2;
2
^ ~ 3'
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ:
I 3’ 2
.. , .
_
ЛГ+ л/х2 -1 х-л/х2-1.
14. Задание: Решите уравнение------у..... - - н------- у •■■■ = 34.
х-Ых? —\ х + л/х2 —1
Решение:
:£ ± 2 р , ; £ - р =34.
х —\1х~—1 x+Vj£.-1
Освободимся от иррациональности в знаменателе каждой дроби.
(х +л/? - 1)2+(х - л/х2 - 1)2 =34;
х2 + х2 -1 + 2x4х1-1 + х2 + х2 -1 - 2хл/х2 -1 = 34;
4х2 = 36;
ж, = 3,
= -3.
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: {—3; 3}.
Метод перехода к уравнению с модулем
Данный метод применяется, когда подкоренные выражения в иррацио­
нальном уравнении представляют собой полные квадраты.
15. Задание: Решите уравнение V x - 6 x + 9 + л/х +8х + 16 = 11.
143
Решение:
•Jx2 - 6 х + 9 + yjx2 +8jc + 16 = 11;
V ( x - 3 ) 2 + V (x + 4 )2 =11;
|x-3|+|x + 4| = l l ;
x-3
x+4
+
l) x e ( - o o ;- 4 ) ;
2 ) x e [ - 4 ;3 ] ;
3 )x e (3 ;a > );
- x +3 - x - 4 = ll;
- x +3 +x +4 = ll;
x - 3 +x +4 = ll;
- 2 x - l = 11;
,
л, = - 6 ;
7*11;
решений нет;
2x = 10;
xx2
, = 55.
Ответ: {-6; 5}.
Метод анализа уравнения
Среди иррациональных уравнений встречаются такие, которые не реша­
ются с помощью приведенных выше приемов. В подобных случаях иногда
может оказаться полезным анализ области определения функций, входящих
в уравнение, а также использование свойств корней степени и.
Отметим следующие свойства корней, которыми мы постоянно будем
пользоваться при решении уравнений данным методом:
1. Все корни четной степени являются арифметическими, т.е. если подко­
ренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное
выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выра­
жение положительно, то значение корня положительно.
2. Все корни нечетной степени определены при любом значении подко­
ренного выражения.
3. Функции у = 2у[х и у = 2п*у[х являются возрастающими на своей об­
ласти определения.
В ряде случаев можно установить, что уравнение не имеет решения, не
прибегая к преобразованиям.
а) л/х+Т + л/20 = л/5;
л/х+Т = ->l5.
Арифметический корень не может быть отрицательным числом, поэтому
уравнение решений не имеет.
144
б) л/х2 + 4 + -Jx2+9 = 4;
л/л2 +4 >2;
л/х2+9 >3.
Уравнение не имеет решений.
в) л/х2 + 1 -л/2х2 + 5 = 1;
х2 +1 < 2х2 + 5.
Уравнение не имеет решений.
г) л/4- X - л/х - 6 = 2;
| 4 - х > 0,
{х - 6 > 0;
fx < 4,
[х > 6.
Уравнение не имеет решений.
Использование монотонности функций
Использование монотонности функций, входящих в уравнение, нередко
значительно упрощает техническую часть решения.
Сформулируем два свойства монотонных функций и теорему о корне.
1. Сумма возрастающих (убывающих) функций - функция возрастающая
(соответственно, убывающая) на их общей области определения.
2. Разность возрастающей и убывающей (соответственно, убывающей и
возрастающей) функций - функция возрастающая (убывающая) на их общей
области определения.
3. Теорема о корне.
Пусть у - f i x ) - монотонная на некотором промежутке функция. Тогда
при любом значении а уравнение/(х) = а имеет на этом промежутке не более
одного корня.
Наглядный смысл теоремы о корне: горизонтальная прямая у - а может
пересечь график монотонной функции у =/(х) не более чем в одной точке
(т.е. либо вообще его не пересекает, либо пересекает в единственной точке).
Рассмотрим примеры.
16. Задание: Решите уравнение: л/37х + 12 - -J31 - бх = 2.
Решение: Данное уравнение можно решать стандартным способом, т.е.
почленно возвести промежуточные иррациональные уравнения в квадрат,
найти затем корни полученного квадратного уравнения с многозначными
коэффициентами и произвести после этого отсев возможных посторонних
решений.
145
Однако задача допускает решение “в одну строчку”. Левая часть уравне­
ния - возрастающая в своей области определения функция (первый радикал
при увеличениих, очевидно, возрастает, а второй - убывает, но он вычитается
из первого, поэтому их разность возрастает). Следовательно, уравнение имеет
не более одного решения. Его легко найти: это х = 1.
Ответ: {1}.
17. Задание: Решите уравнение V 2х + 5 + - J x - 1 = 8.
Реш ение: Левая часть уравнения - возрастающая функция. Поэтому су­
ществует не более одного решения данного уравнения. Корень х = 10 легко
найти подбором.
Ответ: {10}.
18. Задание: Решите уравнение v 4 x —1 + \Jx + 1 + У х —6 = 6 .
Р еш ение: Л евая часть данного уравнения - возрастающая функция.
Поэтому найденный подбором корень х = 7 является единственным.
Ответ: {7}.
Иррациональные уравнения, содержащие корни высших степеней
Рассмотрим решение уравнений, содержащ их кубические радикалы.
Основным методом решения таких уравнений является последовательное
возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы:
(а + Ь)3 = а3 +Ь3+ 3ab(a + Ъ);
(а - Ь)3 = а 3 - Ь 3- 3 аЬ(а - Ъ).
19. Задание: Решите уравнение V 1 2 - х + V l4 + x = 2 .
Решение:
V l2 - x + V l4 + x = 2;
( V l 2 - x + V l4 + x)f
=23;
1 2 - x + 14 + x + 3^/(124jc)(14 + x)(> /12-x + V l4 + x )= 8 .
Заменив выражение в скобках на число 2, получим:
26 + 6^ / (1 2 -х)(1 4 + х) = 8;
V( 1 2 - х )(1 4 + х )= - 3 ;
1 6 8 - 2 х - х 2 = -2 7 ;
х 2 + 2 х —195 = 0;
х, =13, х2 = —15.
146
При замене суммы кубических радикалов на 2 мы получили следствие из
данного уравнения, поэтому среди решений могут быть посторонние.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что посторонних корней нет.
Ответ: {-15; 13}.
При решении уравнений, содержащих кубические радикалы, можно ис­
пользовать метод введения двух вспомогательных переменных для последую­
щего перехода к рациональной системе.
20. Задание: Решите уравнение
\J\3-x + \/22+х = 5■
Решение: Обозначим \J13 - х = а , V 22 + х = Ъ ■
13 -х =а\ 22 + х = Ь3 =з>
Составим систему:
аг +Ь3=35.
Si
1
X
и
U)
J a + b = 5,
Ja +b = 5,
ja +b =5,
[а'+Ь1 = 35; [a 2 - ab +b2 = 7; [(a + b)2 -3ab = 7; \
а, =3, I =2;
а2 = 2, Ь2 =3;
1 3 -х = 27;
х, = -14.
Vl 3 - х = 2;
13 - х = 8;
х2 = 5.
Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: {-14;5}.
21. Задание: Решите уравнение V 2x-1 + Vх-1 = 1.
Решение: Данное уравнение может быть решено с помощью возведения
в куб обеих частей уравнения или с помощью введения новых переменных,
как в предыдущих примерах.
Но в данном случае можно обойтись без указанных сложных преобразо­
ваний.
Заметим, что х = 1 является корнем исходного уравнения. Левая часть
уравнения представляет собой сумму двух возрастающих функций и,
следовательно, сама является возрастающей функцией, принимающей
каждое свое значение ровно один раз. Поэтому других корней данное урав­
нение не имеет.
Ответ: {1}.
147
22.
Задание: Решите уравнение \jх + 41 + v 4 1 - х - 4 .
Решение: Обозначим V * + 41 = а, >[л\ —х = Ь ;
а 2 0, 6 2 0 ;
ж + 41=
а*, 4 1 -х = Ь4 => а 4 + 64 = 82.
Составим систему:
Ja +b = 4,
|а4 + 64 =82;
а, =1,
6, = 3;
о2 = 3,
62 =1;
V * + 41 = 1;
х, = -40.
Vx + 41 = 3;
х2 = 40.
Ответ: {-40; 40}.
§3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Метод введения новых переменных
Метод подстановки
=А,
\[х+г[у
л/х +у[у = 10,
х + у = 28.
А
•
6
У ^ + ^Й = 4-
л/х + 3у = 9,
л/2х —1 + д/у + 3 = 3 ,
х - 1 = (л/х+1)у.
н
2 х у - у + 6 х - 3 = 4.
д/2х + 3 у + д / 2 х -3 у = 10,
3. •1
4
4
л/4х2 - 9 у 2 = 16.
х + у = 15.
Метод алгебраического сложения
4
9. •
х ф - у = 0,
2 у 2 + у = 21 + 2;ку.
1
и
г*
$1
II
у«
2\[у = 11.
1
.*■ З^х -
^"1
2^х + 57 у = 5,
Метод разложения на множители
Методы решения систем иррациональных уравнений
Метод подстановки
Данный метод заключается в следующем: из какого-либо уравнения сис­
темы выражаем одно неизвестное через другие и подставляем в оставшиеся
уравнения системы.
1. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
|VT + V J = 4,
[х + у = 28.
\lx+\fy= 4, [\fx+ljy= 4,
х + у = 28;
[ у = 28 - х;
V x+ V 2 8 - х = 4.
149
Возводим в куб:
х + 2 8 - х + 3 ^ х У 2 8 -х (^ / х + ^ 2 8 - х ) = 64;
28 + 3 V x -V 2 8 ^ x 4 = 64;
lJx(2S-x) =3;
х(28 - х) = 27;
х 2 - 28х + 27 = 0;
х, = 1, х2 = 27;
У\ =27, = 1.
Проверка:
1)х = 1, у =27;
2 )х = 27, у = 1;
УГ + \12П= 4 - верно , J V 2 7 + tf = 4 -верно,
^+27 = 28 - верно.
[27 +1 = 28 - верно.
2. Задание: Решите систему уравнений
Ответ: (1; 27), (2£Л).
л/х+3.у = 9,
х - 1 = (л/х + 1)у.
Решение:
О ДЗ:х20.
\4х= 9-Ъу,
л/х +3j/ = 9,
х - 1 = (л/х+1)у; ] х —1 = (л/х + Y)yi
(9-Зу)2-\ = (9-Зу+\)у,
81-54у+ 9,у2 -1 = Юу-Зу2;
1 2 / - 6 4 у + 80 = 0;
Д у2-16>>+20 = 0;
о ^2 = 10
Л =2»
ISO
/ - 1 6 ^ + 60 = 0;
\ $ = 6,
О>i =2;
2)й - ^ ;
^
* | - 9-
Ответ: (9; 2).
у2= 10.
л/х = -1 -уравнение не имеет смысла, т.к. л/х 2 0
3. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
ОДЗ: — > 0 .
У
Рассмотрим первое уравнение
Замена: I— = а, а> 0.
Щ
5
а + 1^ - —
\
а
2
2а2-5 а +2 =0;
а2 -5 а + 4 = 0;
1
ах“ j* 2 ~
а. = 1, а2 = 4.
2)а2 =2;
— =
л
I
2;
—= 4;
; v
Jf = 4х;
И
К
ц*
Tf
II
К
|х + ^ = 15; |х = 3 ;«
(3;12).
с = 4>>;
х = 4_у,
Гх = 12,
х+>» = 15; {.у = 3.
Гх = 3,
\ущ 12.
(12; 3).
Ответ: (3; 12), (12; 3).
Метод алгебраического сложения
Данный метод поясним на примерах.
4. Задание: Решите систему уравнений
2\fx + \fy=St
3 V x - 2 ^ =ll.
1S1
\
Решение:
\2yfx +\[у = 5 Г-2, {4у[х +2\[у = 10,
| 3 ^ - 2 ^ = 11;
[ 3 ^ - 2 ^ = 11.
= 21;
у/х = 3;
х = 243;
6 + у[у = 5;
>/? = - ! ;
^ = —1.
Ответ: (243;—1).
5. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
ОДЗ: х > 0, у >0.
=5
{ v ^ -v ^ = i;
[ V x - ^ = 1;
[V x -^ / v
\[х = 3;
х = 81;
4у[у = 2;
_у = 16.
О т в е т ; (81; 16).
М етод введения новых переменных
Суть данного метода поясним на примерах.
6. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
ОДЗ:х>0,у>0.
Введем замену:
152
у/х = а, а > 0;
rfy - b , b t 0.
Относительно а и Ъсистема запишется:
т Ш = \ Ъ , \аг +Ь2 =10, i(fl +b)2- 2аЬ = 10, |42-2 я 6 = 10,
\{[х+\[у = 4; [а +6 = 4;
\а+Ь = 4;
\а+Ь =4;
Габ = 3,
Га, = 3, (а2 = 1,
1а+ 6 = 4; 1л=1; [Ь2=3.
.Г®
н
1 0 Щ Ы -$•
2)
У * = 1,
Гх. =1,
tfy = 3;
(81;1)
0w eem :(l;81),(81;l).
-8 1 .
(1; 81)
\у/2х- 1 f д/у+З = 3,
7. Задание: Решите систему уравнений \
[2 х у - у + 6 х - 3 = 4.
Решение:
ода:
Ь ^ -з .
Преобразуем левую часть второго уравнения системы:
2 д у - у + 6 х - 3 = у(2х -1 )+ 3(2х -1 ) = ( у +3)(2л -1).
Введем новые переменные: -j2x-\ - а, а 2 0;
yjy+ 3= b, * 2 0.
Исходная система перепишется в виде:
\a +b =3, \a+b = 3, Jat =2, |а2=\,
а2Ь2 = 4; [огб = 2;
1)
к= п
>/2л-1 = 2, |2л - 1= 4,
yJy+3 =1; Ь+3 = 1;
Ь, =2.
иU = -2-
IN
2)
V2x-1 =1,
2jc —1= 1, Jxj = 1,
.77+3=2;
7 + 3 = 4; { > ;= !.
Ответ: {1; l),(2,5;-2).
8. Задание: Решите систему уравнений
U2x +3y + J2 x -3 y = 10,
У4х2- 9 у 2 = 16.
Решение:
2х +Ъу >0,
ОДЗ:
2х-Ъу >0.
Замена:
^2х + 3у = а, а £ 0;
у]2х- Зу =Ь, Ь> 0.
Исходная система примет вид:
а +Ь =10, Га, =2, Га, =8,
аЪ= 16; U = 8 ; 1&,=2.
1)
J2x+3y=2, J2x +3y = 4,
yj2x-3y =8; [2x - 3y = 64;
^ f ^ j c +3y= 8, f2x+3y = 64,
x, =17;
34 + 3>>= 4;
*= -10;
(17;-10).
0meem:(17;-lO),(17; 10).
Метод разложения на множители
9. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
л
х =О
,
x\fx^y = 0,
2у2+
IГх = л0,
= 21 + 2 х у .
Iх , = 0,
7
2 / + у = 21 + 2ху; [ 2 У + у - 2 1 = 0; Iу, = 3, у2 = — .
=
В М
[2у2+у =21 +2ху; [2у2+у =21 +2у2; [.У = 21.
Ответ: (0; -3,5), (0; 3), (21; 21).
154
7
( 0 ;- - ) , (0;3).
2
(21; 21).
§4. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Возведение в степень обеих частей неравенства
Простейшие неравенства
вида
Jf(x) <а и -Jf(x) >а
х +2
2
7Ш Ш
х +4- > 6*
2 . J --х -2
3.
Мхг -Лх > М3-2х
-Jf(x) <g(x), содержащие несколько
радикалов
4f(x) >g(jc)
V /W > л/ iW ,
4. л/Зх-10
> -J6-X
7.
6.
у/х+ 1 > х - 1
Разложение
на множители
х2 - i x - 2л1х2- 8 х < 3 П . ( x - l ) J x 2- x - 2 > 0
3
9.
л/ 2 ^ 7
10.
3 -х
—V2 —х < 2
12 .
х -1 3 х + 40
<0
Анализ ОДЗ и свойства
арифметического корня
14. VIOjc + 5 < - 3
15. л/х2 - 9 > - 2
л1\9х-х2 - 7 8
<1
л/15-
Метод интервалов
16. л/ЗдГ+7 > 2х
Зл[х - л!х +3 > 1
5. л/2х2 - З х - 5 < х - 1
Введение новой
переменной
8.
Неравенства,
Неравенства вида
л/б + Х - Х 2
л/б + Х - Х 2
2х + 5
х +4
Системы иррациональных неравенств
21 . л/х2 - 9 х + 20
йт/7- i йт!х2-\3
17. л/2х + 3 < х
18. л / 1 6 -х 2 < х - 1
22 .
шшшш
I л/4х-7
< х,
> 4.
19. л/х2 - 8 х + 7 > 3 - х
20. л/х + 1 > л / 3 -х
155
Методы решения иррациональных неравенств
При решении иррациональных неравенств, так же как и при решении ир­
рациональных уравнений, основная цель состоит в том, чтобы освободиться
от знака радикала и свести иррациональное неравенство к рациональному.
Основными методами решения иррациональных неравенств являются:
- возведение в степень обеих частей неравенства;
- введение новой переменной;
—разложение на множители;
—метод интервалов.
Рассмотрим каждый из этих методов в отдельности.
Метод возведения в степень обеих частей неравенства
Данный метод решения иррациональных неравенств состоит в преобра­
зовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей нера­
венства в степень. При таких преобразованиях необходимо следить за тем,
чтобы полученное неравенство было равносильно исходному.
При решении иррациональных неравенств пользуются следующими ут­
верждениями.
1. При возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда
получается неравенство, равносильное данному неравенству.
2. Если обе части неравенства возвести в четную степень, то получится
неравенство, равносильное исходному, только в том случае, если обе части
исходного неравенства неотрицательны.
Начнем с решения простейш их иррациональных неравенств вида
y/f(x) <а и yjf(x) > а.
1. Задание: Решите неравенство
Решение:
Перейдем к равносильной системе:
156
Каждое неравенство решаем методом интервалов и выделяем общее
решение.
х +4
2. Задание: Решите неравенство J ------ > 6.
Vх -2
Решение:
х +4 >6.
х -2
Обе части неравенства неотрицательны, возведем их в квадрат:
х +4 , ,
х-2
х +4
-36 >0;
х -2
х +4-36х +12 >0;
х -2
------> 36;
-35*+ 76
х -2
35 *-76
х -2
>0;
<0.
Ошше 2< х< * .
35
--------------3. Задание: Решите неравенство v x J - 4х >\3 - 2х.
157
Решение:
tfx2-4 х > {j3-2x.
Перейдем к равносильному неравенству:
х*-4х> 3 -2х;
х2-2 х -3 > 0 ;
(х - 3)(х +1) >0.
X
Ответ: х е (-oo;-l)U(3;oo). |
Рассмотрим случай, когда неравенства имеют вид 7 / 0 ) > y[g(x)
л/700 < g(x), yjf(x) >g(x) ; где f(x) и g(x) - рациональные выражения.
ОБЯЗАТЕЛЬНОЗАПОМНИТЕ!
ylf(x) >g(x)
V/W > л/я(х)
V/O) < Я(х)
равносильно системе F>авносильно системе равносильно объединениюсистем
/(х)> 0,
f/(x)>g(x),
fg(*) < 0, ^ fg(x) > 0,
g(x) > 0,
jg (x )£ 0 .
I/O ) * 0; " j/ ( x ) * g 2(x).
/ (х ) < g 2(x).
Рассмотрим на примерах решение иррациональных неравенств данного
вида.
4. Задание: Решите неравенство л/Зх-10 > 7 б - х .
Решение:
>/Зх-10 > л/б-х.
Перейдем к равносильной системе:
З х - 1 0 > 6 -х , |4х > 16, Г.
16^-х; 1
(6 -х 2:0;
Ответ:4<хй6.
5. Задание: Решите неравенство V2х2 -З х - 5 < х - 1 .
Решение:
■J2x2-З х -5 < дг-1 равносильно системе неравенств:
2xz - Зх - 5 > О,
2дг - Зх - 5 > О,
х —I > 0,
х - 1 > 0,
2х’
- Зх - 5 < х2- 2х +1:
х2- х - 6 < 0;
2 (x + l ) b r g - l 2 0,
х > 1,
(.v + 2)(х - 3) < 0.
6. Задание: Решите неравенство л/х + 1 > х - 1
Решение:
л/х + 1 > х - 1 .
Сделаем равносильный переход к двум системам неравенств:
[х - 1 < 0 , Гх < 1,
[х + 1> 0 ; | х > - 1 .
Гх—1 > 0,
—1 < х < 1.
Гх >1,
Гх >1,
Iх +1 > х 2 - 2х +1; 1 х 2 - Зх < 0; 1 х (х - 3) < 0.
1£х< 3.
Решением исходного неравенства является объединение решений, запи­
санных выше двух систем неравенств:
-1 £ х < 3.
Ответ: х е [-1; 3).
159
Неравенства, содержащие несколько радикалов
Решение таких неравенств нужно начинать с анализа ОДЗ, а заггем необходи­
мо освободиться от иррациональности путем равносильных преобразований.
7. Задание: Решите неравенство 3-Jx - -Jx +3 > 1.
Решение:
3yfx - -v/x + 3 > L
Перенесем второй радикал в правую часть, чтобы обе части неравенства
стали неотрицательными:
3 "J~x > 1+ Vх + 3;
(3>/1)2 >(1 + >/1+3)2;
9х > 1 + 2->/х+3 + х +3;
8х - 4 > 2л/х + 3;
л/х + 3 < 4х - 2.
Перейдем к равносильной системе:
х > -3 ,
х + 3 > 0,
х > —,
4х - 2 > 0,
г
2
х + 3 < 1бх2 - 1бх + 4;
16х2 - 1 7 х + 1 > 0;
1б(х —1) х — —I > 0.
х
2
16
ОДЗ:
\
////////////////
0
О твет: х> 1.
160
х
Метод введения новой переменной
Часто при решении иррациональных неравенств удобно ввести новую пе­
ременную, чтобы как и при возведении неравенств в натуральную степень,
перейти к рациональным неравенствам.
8. Задание: Решите неравенство х 2 - 8х - 2л/х2 - 8 х < 3.
Решение:
х2 —8х - 2-у1х2 - 8 х < 3.
Обозначим л/х2 - 8 х = а .
Тогда I * * 0’
[а2- 2 а - 3 й 0 ;
\а> О,
|(о + 1 ) (а - 3 ) < 0.
0 й -Jx2 - 8х < 3.
Перейдем к равносильной системе:
[ х 2 - 8 х > 0, J x ( x - 8 ) > 0,
1х2 - 8х £ 9; |(х - 9)(х +1) < 0.
О твет: х е [ - 1; o]U [8; 9].
161
9. Задание: Решите неравенство
Решение:
3
r--j2 -x < 2 .
—->/2 —х < 2.
■а1 .
Обозначим
42-х =а .
а > О,
а > О,
3
—
а 2+ 2 а-3
а
\2~.
_
а <2;
а > 0,
> 0;
(а + З Х а-1)
> 0.
л / 2 -х >1;
2 —х > 1;
Ответ: х< 1.
х< 1.
10. Задание: Решите неравенство
3 -х
< 1.
л/15-л
Решение:
3 -х
< 1.
Обозначим V 1 5 - X = а.
Тоща х = 1 5- а 2.
а > 0,
л
UI
1
L/I
1
а > 0,
.
162
о
----------- 1 < 0;
о
а >0,
(а > в,
а 2 —а —12
j ( а - 4 Х а + 3)
1
а
<0;
< 0.
О< 1 5 - х < 16;
- 1 5 < -х < 1;
Ответ: х е (-1 ; 15).
-1 < х < 1 5 .
Метод разложения на множители
Продемонстрируем данный метод на примерах.
11. Задание: Решите неравенство ( х - 1)л/х2 - х -2 >0.
Решение:
(х —1)л/х2 - х - 2 >0.
Произведение неотрицательно, если его множители одного знака.
х -1 > 0 ,
{х>\,
х2- х - 2 > 0; (ОДЗ) \ (х - 2)(х +1) > 0.
12. Задание: Решите неравенство
Решение:
х -1 3 х + 40
х 2 - 13 х + 40
—. ■■ ■=■-................
V 1 9 х - х 1 - 78
< 0.
<0;
л/19х-х2 - 7 8
163
Ответ: х е (б;8].
_
у[б + х —х 2
13. Задание: Решите неравенство--------------- >
2х + 5
Решение:
у /б + Х - Х 2
х +4
у]б +X- X2
2х +5
л/б + Х — X 2
х +4
Вынесем общий множитель за скобки:
л/б + Х - JC2
6 +х -
1
- 1
к2х + 5 х + 4, И
х2 > 0; (ОДЗ)
1
1
,2х + 5
х +4
-х -1
’
Ответ: х е [ - 2 ;- l]U {з}.
164
х 2 - х - 6 < 0,
(2х + 5)(х + 4)
( jc + 2)( jc - 3) < 0,
> 0;
х +\
(2х + 5Х* + 4)
<0.
Замечание.
При решении аналогичных заданий допускается очень много ошибок.
Многие учащиеся сразу отбрасывают множитель -Jfix ) , видимо, основыва­
ясь на следующих рассуждениях: поскольку по определению >//(*) > 0 , то
для выполнения неравенства нужно, чтобы второй множитель был нужного
знака. В этих рассуждениях две ошибки: во-первых, при отбрасывании одного
множителя расширяется ОДЗ, во-вторых, в случае, когда первый множитель
равен нулю, данное неравенство выполняется и при любом знаке второго
множителя. Первая ошибка приводит к получению посторонних решений,
вторая - к потере решений.
Иногда при решении иррациональных неравенств бывает достаточно
проанализировать ОДЗ и учесть, что значение арифметического корня всегда
неотрицательно.
14. Задание: Решите неравенство yj\0x +5 < - 3 .
Решение:
л/Юх + 5 < -3 Левая часть неравенства неотрицательна при всех значениях х, при кото­
рых она определена, поэтому, не может быть меньше (-3 ). Неравенство реше­
ний не имеет.
15. Задание: Решите неравенство -Jx2- 9 > - 2 .
Решение:
'*
л/*2 - 9 > -2 .
Поскольку левая часть неотрицательна, то она больше правой части при
всех значениях х, удовлетворяющих условию существования радикала, т.е. на ОДЗ.
Найдем ОДЗ: х2- 9 > 0;
(jc-3 )(jc + 3 ) > 0. •'
Ответ: х е(-оо;-3][)^;сс).
Метод интервалов
Рассмо1 рим данный метод для решения иррациональных неравенств вида
f ( x) v 0 .
Алгоритм применения метода:
1. Найдем D (/ ) - промежутки, на которых/(х) непрерывна.
2. Найдем нули функции fix) - значения х, при которыхfix) = 0.
3. Нанесем на числовую ось найденные промежутки и нули функции.
4. Определим интервалы знакопостоянства и в каждом из них поставим
найденный подсчетом или рассуждением знак.
5. Запишем ответ.
165
16. Задание: Решите неравенство УЗх + 1 > 2х.
Решение:
л/Зх + 1 > 2х;
■
у/Зх + 1 - 2х > 0;
1.
f(x) =у/Зх+1- 2 х - непрерывна в каждой точке области определения
Д /) =
1
2. Найдем нули функции:
у/Зх+1 = 2х, х 2 0;
Зх + 1 = 4х2;
4х2- Зх-1 = 0;
х, =1,
х2 =—- (посторонний корень).
4
3
4. Найдем знак значений функции/(х) в каждом из промежутков:
1
- - ;1 | , / (0) = 1 > 0;
х е (1; да),
/(5) = - 6 < 0.
Г
Промежуток |- оо; - —|не рассматривается, т.к. он не входит в D(/).
Ответ: х е
17. Задание: Решите неравенство V2х + 3 < х .
Решение:
л/2х + 3 < х;
V2x + 3 - х < 0;
166
/ (х ) = V2x +3 -x - непрерывна в каждой точке области определения
/>(/) =
3
------:о о
2
Найдем нули функции:
-j2x +3 = х, х >0;
2х+3 =х2;
х2 - 2х - 3 = 0;
х] =3,
хг ——1 —посторонний корень.
3
2
Ответ: х е ( 3 ; о о ).
18.Задание: Решите неравенство у/\6-х2 <х - ]
Решение:
yj\6 —x2 <х —1;
V l6 - х2 - х +1 <0;
f(x) =V1 6 -х 2 - х + 1 - непрерывна в каждой точке области определе­
ния £)(/) = [- 4; 4].
Найдем нули функции:
л/1 6 —х 2 = х - 1 ,
х^1;
16 - х 2 = х 2 - 2 х +1;
2 х 2 - 2 х - 1 5 = 0;
1 + л/зТ
л/зТ
—посторонний корень.
-4
Ответ:
1
+
О
iWTi
(
4
X
1 + л/зТ ;4
167
19. Задание: Решите неравенство л/х2 - 8 х + 7 > 3 - х.
Решение:
л/х2 - 8 х + 7 > 3 - х;
л/х2 - 8 х + 7 - 3 + х > 0;
/ (х ) = л/х2 - 8 х + 7 - 3 + х - непрерывна в каждой точке области опреде­
ления £)(/) = ( - оо; 1]U [7; оо).
Найдем нули функции:
V*2 —8х + 7 = 3 - х,
х S 3;
х 2 - 8х + 7 = 9 - 6х + х 2;
2х = -2 ;
х = -1 .
.
+
-1
Ответ: х е (-оо; - l)U [7;oo).
20. Задание: Решите неравенство л/х + 1 > л/3 —х .
Решение:
л/х + 1 > л/З-х;
л/х + 1 - л/З-х > 0;
/ (х ) = л/х + 1 - л/З-х - непрерывна в каждой точке области определе­
ния £>(/) = [-1 ;з].
Найдем нули функции:
л/х + 1 = л/З-х;
х +1= 3 - х ;
2х = 2;
> * -1 .
'
Х-Г-:-----1
Ответ: х € (l; з].
168
1
+
1
3
X
Решение систем иррациональных неравенств
21. Задание: Решите неравенство -Jx2-9х +20 <-Jx- 1 < Jx2-13
Решение:
■Jx2-9х +20 <л/jT-T < Vx2 -13.
Запишем соответствующую систему неравенств:
> л/jc2-9JC-I-20,
[>/х^-7 й -Jx2-1 3;
х2 - 9х + 20 > 0,
(х - 5)(х - 4) > О,
х -1 > х2 - 9х + 20,
х -1 > О,
х2 -Ю х + 21 < О,
х>1,
х -1 < х2 -13;
х2 - х -1 2 > 0;
22. Задание: Решите систему неравенств
Решение:
(х - 5)(х - 4) > О,
(х - 3 )( х - 7 ) < О,
х>1,
(х - 4)(х + 3) > 0.
J4x-1 < х,
VX + 5 + •>/5 - х >4.
л/4х-7 <х,
л/х+5 + л/5-х > 4.
169
В данном случае рациональнее решить каждое неравенство отдельно, за­
тем выделить общее решение.
1) л/4х-7 < jc ;
7
4х - 7 > О,
х > О,
х>0,
х2 - 4х + 7 > 0;
4 х - 7 < х 2;
2) у/х +5 +■
\j5-x > 4;
ОДЗ: х е [ - 5 ; 5 ] ;
[у/х+5 + - J 5 ~ x j > 4 2;
х +5 + 2Л/(х + 5)(5 - х) + 5 - х > 16;
2л / 25 -х 2 > 6;
У25- х1 >3;
2 5 - х 2 > 9;
х 2 —16 < 0;
(х - 4)(х + 4) < 0;
- 4 < х < 4.
Решение системы:
О твет: х е
170
&
Ч*:
- 4 < х < 4;
7
х е R;
Резюме
В данной главе рассматривались иррациональные алгебраические выражения.
Тождественные преобразования иррациональных выражений зачастую предшеству­
ют решению иррациональных уравнений и неравенств, поэтому они рассмотрены
достаточно подробно и приведены основные приемы преобразований иррациональ­
ных выражений.
Затем изложены методы решения часто встречающихся иррациональных урав­
нений и неравенств.
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующими ум е­
ниями:
- свободно выполнять тождественные преобразования иррациональных выра­
жений, выбирая при этом рациональные способы решения;
- знать определение корня л-ой степени из числа а, арифметического корня л-ой
степени из числа а ;
- использовать свойства арифметического корня л-ой степени при преобразова­
нии выражений;
- решать иррациональные уравнения;
- решать иррациональные неравенства.
171
Глава III
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
§1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Приведение обеих частей
уравнения к одному основанию
Разложение
на множители
X
7. 52х+,- 3-52х"‘ =110
1. 5х -0,2 = 1252 -75
1—7 log: 2 .0 ,2
5,
где Ь- четное простое число
- @
ч
с
8. 2 •12х - Зх+| + 4Х+1 - 6 = 0
!
9. 27х -1 3 •9х +13 •3X+I - 27 = 0
10.
2*'Гх*2- 2 'Гх*у - 2 зУх_1 = 12
5. 7 • Зх+| - 5Х+2 = Зх+4 - 5Х+3
6. 4Х+2 -1 0 -3 * = 2 ■Зх+3 -1 1 •22jc
Введение
новой переменной
11. 25х + 5х+1-6 = 0
17. 3х1'
1 4 = 52х
18. 6 * -2 х = 12
12. 5х - (0,2)* = 4,8
13.
Логарифмирование
обеих частей уравнения
2Гх-2-2~Гх =1
19. 32х"5 = 5х
14. 3 •52х_1 - 2 •5х"1 = 0,2
Решение однородных уравнений
15. 6 -4х -1 3 -6х + 6 -9х = 0
1^6.3 16х + 2-81х = 5 -3 6 х
И скусственные приемы
20. (4 + V i? )х + ( 4 - V l5 )x = 8
22. 2 •3х + 4 х = 3
21. 3х + 4 х = 5х
23.2х + 3х = 2 -5х
172
Методы решения показательныхуравнений
Уравнение называется показательным, если оно содержит неизвестную
величину в показателе степени.
Общих приемов решения показательных уравнений нет. Тем не менее,
можно указать некоторые методы, наиболее часто применяющиеся при
решении показательных уравнений:
- приведение обеих частей уравнения к одному основанию;
- разложение на множители;
- введение новой переменной;
- логарифмирование обеих частей уравнения.
Каждый из этих методов рассмотрим на примерах.
Метод приведения обеих частей уравнения к одному основанию
Этот метод основан на следующей теореме.
Теорема. Если а > 0 и а Ф 1, то уравнения
равносильны.
=
а^х> и / (х ) = g(x)
Ж
1. Задание: Решите уравнение 5* - 0,2 = 125* •-Js .
Решение:
Ж
5х 0,2 = 125*л/5;
Зх
I
5х •5"* = 5 2 -52;
Зх+1
5х' 1 =5 2 ;
.
Х
Зх + 1
=
2
’
.
2х - 2 = Зх +1;
х = -3 .
Ответ: х=-3.
2. Задание: Решите уравнение 0 , 2 ^ = £°81* , гае Ь-четное простое число.
Решение: х > 2, Ь- 2,
0 ,2 ^ = 2 * 4
0 ,2 ^ = |;
0 , 2 ^ = 0,2;
173
л/х - 2 = 1;
О твет: х-Ъ.
х = 3.
(7 ) 1 _ ( 2 \
—
ы
ы
Решение:
х2 - 5 х + 4 = 0;
Ответ: {1;4}.
х, = 4 ,х 2 =1.
/23
4. Задание: Решите уравнение 0 6ч —
I 9
Решение:
0, 6*|
27
125
27
25
125
3
3
ш
5
-2дга +х+24
а
2х2 - х - 1 5 = 0;
,
х, = 3,х2 =
5
х 2 - х - 30 = 0;
х, = 6 ,х 2 = -5 .
Ответ:
5. Задание: Решите уравнение 7 •3*+1 - 5*+2 = 3,+4 - 5Х+3.
Решение:
Данное уравнение содержит степени с двумя различными основаниями.
В таких случаях необходимо собрать в разных частях уравнения степени с
общими основаниями и вынести степени за скобки.
174
7 •Зх+| - 5Х+2 = 3X+41 5 * +3;
^дг+З _^x+2 _ *^x+4 _у ^31+1 ,
5X+I(5 2 - 5) = 3X+I(33 - 7);
5X+I • 20 = 3X+I ■20;
v~ ,
1 i
jc +1 = 0;
Ответ: x--\.
x = —1.
6. Задание: Решите уравнение 4
j -1 0 - 3 * = 2 • Зх+3 - 1 1 • 22x.
Решение:
4 X+2 - 1 0 -3 * = 2 -З х+3 - 1 1 - 2 2jr;
4 Л+2 +11- 2 2x = 2-З х+3 + 1 0 -3 T;
4 х(42 +11) = 3 х ( 2 -З3 + 10);
4 х -27 = 3х -64;
(4Y
(4 )
— = Ы
х = 3.
Ответ: х-Ъ.
Метод разложения на множители
При решении показательных уравнений используется преобразование, со­
стоящее в вынесении общего множителя за скобки. Этот способ применяют тог­
да, когда в результате вынесения за скобки степени с переменным показателем, в
скобках остается алгебраическая сумма, которая является числом или выражением.
Поясним суть метода на примерах.
7. Задание: Решите уравнение 52х+| - 3-52х~* =110.
Решение:
5и.
1 _
з \ ; 5 2 *-1
—
1 Ю
;
52" |(52 - 3 ) = 110;
5 2*"1 = 5;
2х - 1 = 1;
х = 1.
Ответ: х= I.
175
8. Задание: Решите уравнение 2 • 12* —3*+| + 4х* - 6 - 0 .
Решение:
2 1 2 * - 3*+| + 4*+| - 6 = О;
2 • 4* •3* - 3 •3* + 4 • 4* - 2 •3 = О;
2 ■4*(3* + 2) - 3(3* + 2) = О;
(3* + 2)(2 • 4* - 3) = О;
1) 3* + 2 = О - уравнение не имеет решений, т.к. 3* > О;
2) 4 * - - = О;
2
4Ч ;з .
В
х = log4 - = —(lo g2 3 -1 ).
Ответ: —(log2 3 - 1 ) .
9. Задание: Решите уравнение 27* —13 • 9* +13 • 3**’ —27 = О.
Решение:
27* -1 3 -9 * + 13-3*+| - 2 7 = О;
З3* - 1 3 - 3 2* + 13-3-3* - 2 7 = О;
(З3* - 27) - (13 •З2* - 1 3 •3 -3*) = О;
(3* - 3 ) ( 3 2* + 3 •3* + 9) - 1 3 •3*(3* - 3 ) = О;
(3* - 3)(32* - 1 0 •3* + 9) = О;
(3* - 3)(32* - 3* - 9 •3* + 9) = О;
(3* - 3)(3* - 1)(3* - 9) = О;
1) 3* - 3 = 0; 3* = 3; х = 1;
2) 3* - 1 = 0; 3* =1; х = 0;
Ответ: {0; 1; 2}.
3) 3* - 9 = 0; 3* = 9; х = 2.
10. Задание: Решите уравнение 2 3^*+2 —2 3v^ +1 —2 3^*-1 = 1 2 .
Решение:
^Зу[х+2 _23^ +1 _23 1 = 12;
23л/*(22 - 2 — ) = 12,
17 6
х > 0;
2з Л - = 12;
2
2з Л =8;
Зл/х =3;
Ответ: х = 1.
1*1.
Метод введения новой переменной
Уравнение вида Л а 2х + В а* + С = 0 с помощью замены аж=у сводит­
ся к квадратному уравнению Ay2 + By +С = 0 .
Уравнение вида Аах + В а 1 + С = 0 с помощью замены а* =у сводит­
ся к квадратному уравнению Ау2+Су + В = 0 , поскольку а* можно пред1
ставить как —.
У
Новая переменная как правило вводится после преобразования членов
уравнения.
11. Задание: Решите уравнение 25х + 5Х+1-6 = 0 .
Решение:
25х + 5х+| - 6 = 0;
52х + 5-5х - 6 = 0.
Замена: 5х = у
.
у г +5 у - 6 =0;
у, = 1, у 2 = -6;
V 5х = 1;
х = 0;
2) 5х = - 6 - уравнение не имеет смысла, т.к. 5х > 0, х € R.
Ответ: х=0.
12. Задание: Решите уравнение 5х - (0,2)х = 4,8.
Решение:
5х -(0 ,2 )х =4,8;
5 * - — = 4,8.
5х
Замена: 5х = у
1
.
24
177
5у2 - 24у -5 = 0;
Л Ш р
Уг В
у 1 - 2Ау - 25 = 0;
Л - -1. Л - 25.
1) 5* = - - - уравнение не имеет смысла, т.к. 5х > 0. х е R ;
2) 5* =5;
jc = 1.
О твет: jc= 1.
13. Задание: Решите уравнение 2 ^ - 2 •2 '^ = 1.
Решение:
Т Гх- 2 Т 'Гх =1;
jc> 0.
2 *Замена: 2
=у.
у - - - \ = 0;
У
/ -> > -2 = 0;
= -1,
= 2;
1) 2 ^ = -1 - уравнение не имеет смысла, т.к. 2^* > 0, х £ 0;
2)2Л =2;
л/х = \;
х = 1.
Ответ: х = 1.
14. Задание; Решите уравнение 3-52*-1 - 2 - 5 '-1 = 0 ,2 .
Решение:
3-5ы - 2 - 5 '- ' =0,2
|*5;
3 - 5 * - 2 - 5 * = 1.
Замена: 5' = .у.
3 / - 2 > - 1 = 0;
^|=“ »Л = 1 -
/-2 ^ -3 = 0 ;
* = - 1 , Л =3.
1)5* = —— -уравнение не имеет смысла, т.к. 5 ' > 0, х е Л ;
178
2) 5х = I;
х = 0.
Ответ: х=0.
Рассмотрим однородное уравнение вида:
А а2х + В ах Ьх + С Ъ2х = 0.
Данное уравнение состоит из трех членов, которые представляют собой
степени с одинаковыми показателями и разными основаниями. Для решения
подобных уравнений используют метод почленного деления, суть которого в
делении уравнения на одну из степеней.
Разберем ряд примеров на решение однородных уравнений.
15. Задание: Решите уравнение 6 •4х -13 •6х + 6 •9х = 0 .
Решение:
6 -4 х -13-6Х+ 6 -9 х = 0 ;
6 -2 2х-13-2х -3х + 6 - 3 2х = 0
= 4 Х* 0 ;
3х
З2*
6-13— + 6 ~ = 0;
2
2
Ъ
6у2 -13у + 6 = 0;
2
3
яш в
=о.
у2 -13^+36 = 0;
У, = 4, Уг =9.
2)
k2
х = -1 :
.2 .
х = 1.
Ответ: {± 1}.
16. Задание: Решите уравнение 3 •16х + 2 •8 Г = 5 ■36х.
Решение:
3 1 6 х + 2 - 8 Г = 5 -3 6 *;
3-42* - 5 -4х-9х + 2 -9 2х = 0
|:92х * 0 ;
2х
к
- 5 - Г 4>1 + 2 = 0.
*
179
Замена: |— | = у , у > 0.
3 / - 5 у + 2 = 0;
у 2 - 5у # 6 = О;
2
,
Ц Ж л * 1-
у, = 2,‘ У2 i 3.
1 )г
Ж
(!)
2х = 1;
х = 0,5;
4
2) ч99 «
х = 0.
О твет: {0; 0,5}.
Метод логарифмирования обеих частей уравнения
Если уравнение невозможно привести к равенству степеней с одинаковы­
ми основаниями, то приводим обе его части к виду, удобному для логарифми­
рования, логарифмируем и решаем полученное уравнение.
17. Задание: Решите уравнение 3* 4 = 5Хх.
Решение:
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3.
l°g3З*1"4 = log352х;
х 2 - 4 = 2xlog35;
J x2 -- 2xlog 35 - 4 * 0 ;
xl2 =
log35 ± -y/log2X+ 4.
О твет: xl2 =
log35 ± ^ogfi+4.
11- ■
18. Задание: Решите уравнение 6х - 2х = 12.
Решение:
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2.
180
( I
’\
log 2 6 X -2*
= log, 12,
jc* 0
;
v
log2 6* + log2 2X = log2 4 + log23;
~ l°g2(2 •3) + x = 2 + log2 3;
x
l + log23+Jc2 =2x+Jclog23;
x2- (2 + log23)x + (1 + log23) = 0;
2 + к ^ 23±д/4 + 4 к ^ ,3 + к ^ 23 - 4 - 4 к ^ 23 _ 2 + log23 1 log23
2
2
x ,= l, x , = l + log23.
Ответ: {l;l + log23}.
19. Задание: Решите уравнение 32x~s = 5х.
Решение:
Т.к. 5 = 3l08jS, уравнение можно переписать в виде:
2лс-5 = xlog35;
х(2 - log35) = 5;
5
2 - log35
Дополнительные методы решения показательных уравнений
При решении показательных уравнений часто пользуются искусственны­
ми приемами:
Рассмотрим уравнение, содержащее степени, произведение которых рав­
но единице.
20. Задание: Решите уравнение (4 + >/15)* + (4 - у/\5)х = 8.
Решение:
Числа 4 + Vl5 и 4-VT5 являются взаимно обратными числами (или
сопряженными). В самом деле:
181
(4 + V 1 5 X 4 - V l5 ) = 1 6 -1 5 = 1-
Поэтому 4 - Л 5 = ------ т = .
4 + V15
Введем новую переменную t = (4 + у1\5)х, t > 0.
В результате получим уравнение:
t
f2 - 8/ +1 = 0;
Г, = 4 + V T I , /2 = 4 - - Л 1 ;
1) (4-ь>/Г5)Г = 4 + yf\5\
х = 1;
2) (4 + 715^ = 4 - >/l5;
(4 + V i5 )'= — U ;
v
7
лг = —1.
4 + V15
О твет: {± 1/.
При решении уравнений, аналогичных разобранному в выше приведен­
ном примере, терпят неудачу те учащиеся, которые не замечают сопряжен­
ности стоящих в основании чисел.
Для решения некоторых уравнений полезно воспользоваться свойством
монотонной функции.
Суть этого свойства в следующем:
Пусть функция/ (* ) монотонно возрастает, ag (х) монотонно убывает или
константа. Тогда, если уравнение f( x ) = g (х) имеет решение х = х0, то это
решение единственно.
В этом случае можно подобрать корень.
21. Задание: Решите уравнение 3х + 4 х = 5х .
Решение:
Легко заметить, что х = 2 является корнем исходного уравнения. Докажем,
что других корней данное уравнение не имеет, переписав его в виде:
Функция, стоящая в левой части последнего уравнения, монотонно убы­
вает, поскольку основание степени меньше единицы. А функция, стоящая в
182
правой части уравнения, монотонно возрастает. Поэтому данное уравнение
не может иметь более одного решения.
О твет: х = 2.
22. Задание: Решите уравнение 2 •3* + 4х = 3.
Решение:
Очевидно, что 2 •3° + 4° = 3.
Рассмотрим функцию у - 2 •3* + 4х. Т.к. у = 2 •3х и у - 4 х- возрастаю­
щие функции, то у = 2 •3х + 4х - возрастающая функция.
Значит, каждое свое значение функция у - 2 •3х + 4х принимает только
один раз.
Следовательно, х = 0 - единственный корень.
О твет: х = 0.
23. Задание: Решите уравнение 2х + 3* = 2 •5х.
Решение:
Разделим уравнение на 5х > 0:
X
-убывающая функция, аследовательно, уравнение
/(ж) = 2 не может иметь более одного корня.
Очевидно, что этим единственным корнем будет х —0:
Других корней уравнение не имеет.
О твет: х =0.
183
§2. М ЕТО Д Ы Р Е Ш Е Н И Я С И С ТЕМ П О КА ЗА ТЕЛ ЬН Ы Х У Р А В Н ЕН И Й
Метод приведения к одному основанию
82jr+l =32-24'-',
1. ■
4,
5-5*-у = у1252у*'.
3х •9У = 3,
2У~Х
|
21х = 9У,
3. j
1
. 2х ~ 64*
дг1 +7**12 j
32х~' -27х+у =3,
х + у = 6,
.(5* - у )2 = 36.
6 .1
у > 0.
XIх+ 3У = 243.
2х •3^ = 24,
3х -2У =54.
8' =10у,
7" 2х = 5 у.
Метод введения новых переменных
2х + 2 - З х*у = 56,
З1х- 2 У = 725,
3 . 2Х+ 3 Х+У+' = 87.
3 *-л /i* =25.
[ 3 - Т - 3 У =12,
10‘ [7х -Зу =15.
Методы решения систем показательных уравнений
Системы, содержащие показательные уравнения, как правило, решаются
сведением показательного уравнения к алгебраическому и решением полу­
ченной алгебраической системы.
При решении систем показательных уравнений используют два основных
метода:
- метод приведения к одному основанию;
- метод введения новых переменных.
Метод приведения к одному основанию
/Данный метод основан на следующем свойстве степеней: если две степе­
ни равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо
попытаться привести к виду а/(х) = a*(Jf). Отсюда f(x ) - g{x) .
Рассмотрим ряд примеров.
[82,+1 = 32-24>_1,
1. Задание: Решите систему уравнений ^
______
[5-5*-у =л/25:у+|.
184
Решение:
[2 зг-л+1; = 2s -24>_,> (бх + 3 = 5 + 4у -1 , (бх - 4 у = 1,
= 32-24>"\
515Х_> = л/252>+|;
[5,+jr' J 1 5';+I;
[l + х - у = 2у +1; 1х - Зу = 0;
( _J
6 х -4 у = 1, [14_у = 1, У = 14
Ъ_
х = 3у;
х = 3у;
14'
Ответ: I —
I.
14 14
3*-9> =3,
2. Задание: Решите систему уравнений 2У' Х 1
2х _ 64
Решение:
У ■9У = 3,
2J ~ *
1
2* ~ 64’
3*-32'= 3 , \х + 2у = 1 |*2, \2х + 4у = 2,
2 " -2х= 2 -6; 1 -2 х + у = -6 ;
{ - 2х + у - -6 ;
= -4 ;
_ _4
13
5’ * “ 5 '
л
(13 41
Ответ: —;
I.
27х = 9V,
3. Задание: Решите систему уравнений •{
[81х -г-3' =243.
Решение:
27х
= 9У,
81х + 3 ” = 243;
| 3 З Т = 3 2>,
ГЗх = 2 у ,
| 3 4* + 3 ' = З 5;
[ 4 jc - у = 5; [ 2 ,5 х = 5; [ у = 3.
1> = 1,5х,
(х = 2,
Ответ: (2; 3).
Э2*-1•27**' *3,
4. Задание: Решите систему уравнений <
[( 5 х - у ) 2 = 36.
18S
Решение:
•21х*у = 3, Гз2*:1•З 3л+3у
* - .У)2 = 36;
=
3,
\(5х - у )2 = 36;
[5х
+ Зу = 2,
\(5х - у )2 = 36;
5х + 3у = 2 |-(-1), ( - 5 х - 3 у = -2 ,
5х -
= 6;
[5jc—у = 6;
= 4;
>> = -1 ;
jc =
1.
5* + 3у = 2 |-(-О, Г—5дг —3>» = -2,
5х - у = -6 ;
|5х - у = - 6;
- 4 > = -8 ;
_V = 2; л = -0 ,8.
О твет: (1; -1), (-0,8; 2).
л! + 7»»12 _
/
5. Задание: Решите систему уравнений \х + у = 6,
1
у > 0.
Решение:
Из первого уравнения следует, что должны выполняться условия у=\ или
х1+ 1х+ 12 = 0.
Поэтому исходная система уравнений равносильна совокупности трех
систем:
У= 1
Y = - I
У *
О твет: (5; 1), (-4; 10), (-3 ; 9).
186
6. Задание: Решите систему уравнений
2Х-3> = 2 4 ,
3х -2 ' = 5 4 .
Решение:
2х -У = 24, 12х •У = 23
Зх -2> =54; [2V-3х = 2 -З3.
Перемножим данные уравнения системы:
2х •3* •2-у •3х = 23 •3 •2 •З3;
= 2 4-34;
6X+V = 64;
х + _)/ = 4.
Разделим первое уравнение системы на второе:
2х У _ 2 3 3
2У -3* “ 2-33 ’
2Т~Г 22
3х- , " 3j »
ш Hi
3
х-
= 2.
Получим систему
x + j> = 4, Гх = 3,
* - > = 2; |у = 1.
Ответ: (3; 1).
7. Задание: Решите систему уравнений
8х = 10j>,
2х = 5 у.
Решение:
Разделив первое уравнение системы на второе, получим:
щ
2х
2 1 ,2 ;
2х
2Ъ - 2 \
1
х = —.
2
187
Подставляя х = — во второе уравнение, будем иметь:
Л = 5у;
2
У-
V2
Ответ: 1 й
2’ 5
Метод введения новых переменных
Некоторые системы показательных уравнений сводятся к системам ра­
циональных уравнений непосредственной заменой входящих в них степеней
новыми переменными.
\2х + 2 -З х+у =56,
8. Задание: Решите систему уравнений s
(3 •2х + Зх+>+| = 87.
Решение:
j2 x + 2-3x+v =56,
[3 •2х + 3 •3X+V. = 87;
Замена :
2 '= а,
3X+V = 6.
[а + 2Ь = 56,
j
1За+ 36 = 87;
а + 2Ь = 56,
а + Ь = 29;
Ь = 27, а = 2.
2 х = 2,
= 1,
(х = 1,
Зх+,’ = 27; \х + у = 3; [у = 2.
0т*еш ;(1;2).
9. Задание: Решите систему уравнений
|32х- 2 ' =725,
3х - 4 т = 25.
Решение:
[з2х - 2 V= 725, [з2т - 2У = 725,
Замена
3х = a,
М
[Зт - л 1 г = 2 5;
_ 2 2 = 25; .
22 =6.
f(a-6)(a + Z>) = 725, fa + 6 = 29,
la -г» = 25;
188
la - 6 = 25;
а2 - Ъ 2 = 125,
а - Ь = 25;
gg 1 2;
О твет: (3; 2).
10. Задание: Решите систему уравнений
3*7* - 3 ' = 12,
7* -3 ' = 15.
Решение:
Г з -7 '-3^ = 12,
| 7 '-3 ' = 15;
Замена :
7* = а, а > 0;
3 ' = 6, 6 > 0.
[Ъа- b = 12, |
{а* = 15;
{1а(За-12) = 15;
За2-1 2 а -1 5 = 0;
а2 - 4а - 5 = 0;
о, =5,
а, = —1 < 0 - не подходит.
а = 5, |7* =5, J jc= log75,
6 = 3; W = 3 ; Ь = 1.
О твет: (log75; 1).
189
§3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Метод приведения обеих частей неравенства
к степени с одинаковым основанием
. . f l p
" <
у ■ * 1 ■' у -* 7. 0,4х*-2'" 3
>1
”
64
8. 5* > 7
2
9. 7х*+4ле <: (2Х)Х+4
3 .2 - < Д .V32
И .( Л + !^ ( Л - з Г
4. л/27-3-6*’ £ 9 4х
5. 2х*_3 •5х* '3 - 0,01 •(10х-1)3 < 0
6. Й ®
ll.fij
+ 2 '4 j < 1 8
12. З ^ - ' + З ^ - З 2*- 4 ^ ^
> (20,25)2х_7
13. 2Х+2 - 2Х+3 - 2Х+4 > 5Х+1 - 5Х+2
14. 3х + 2Х~‘ - 2*+2 - 3х-1 +
Метод введения новой переменной
15. 0,04х - 2 6 -0,2х + 2 5 ^ 0
Метод интервалов
21.
16. Т х - 3 ‘ 7|+* > 4
42 +5
у
. '
19. 3-16х + 2-81х - 5 - 3 6 * > 0
20.
190
0,2х -0,0 08
л
------ *-----£ 0
х -\0х + 25
4* + 2 х - 4
22. — -— - I
JC-1
17. 2' + 8 > 2 ‘
5 •4х + 2 •25х <, 7 •10х
2Х~3 > 0
23 .
е3х~1- 1
->0
дс+ 8
„
й2
Метод разложения
на множители
24. х 2 -5х - 52+х< 0
Решение систем неравенств
/2У
27. < U J
25. х 2 -2х + 4 > х 2 + 2 х*2
26. 52х*‘ + 6х+| > 3 0 + 5х -30х
( 8 Y * > 27
U J
> 64’
2*’-6*-3.5 < 8^ 2
у/х + 5 > - 6 ,
28. \
1
2х <
8
f e
l l <2,
2 9 .4
2х-' - 3 - 2 Х+2 > -2 3 .
Методы решения показательных неравенств
При решении показательных неравенств используют в основном те же
приемы, что и при решении показательных уравнений, только нужно делать
различие между свойствами показательной функции с основанием большим
единицы и меньшим единицы.
Рассмотрим основные методы решения таких неравенств:
- метод приведения обеих частей неравенства к степени с одинаковым
основанием;
- метод введения новой переменной;
—метод интервалов;
- метод разложения на множители.
Метод приведения обеих частей неравенства
к степени содинаковым основанием
Решение простейших показательных неравенств основано на свойствах
монотонности функции у - сР\
Неравенство
e/w > ак(х)
Неравенство
а Л *) <
равносильно
неравенству
f(x)>g(x)
f(x)<g(x)
е с ли 0 < а < 1
равносильно
неравенству
f(x )< g (x )
f(x )> g (x )
если о > 1
если 0 < о < 1
если a > 1
Множество решений нестрогих неравенств а/(х) S а*(г) или а
< a Kix)
находится как объединение множеств решений соответствующих строгих не­
равенств и уравнения а '(ж) = <г*<х\
191
Учитывая эти свойства, многие простейшие показательные неравенства
решаются методом приведения обеих частей неравенства к степени с одина­
ковым основанием.
( з у * * 10-*'
27
1. Задание: Решите неравенство I — I
<— .
Решение:
27
64
( j Nбдг+10-jr2
jj
Т.к. 0 < -< 1 ,т о бх + 1 0 -х 2 > 3;
4
х2- 6 х - 7 < 0 ;
(jc+ 1)(x -7 ) < 0 .
Ответ: х е (-1 ; 7).
2. Задание: Решите неравенство 4х
>
IgVlO
Решение:
4х
>
lgVTo
Преобразуем правую часть неравенства:
lgVTo _ igio* = 1 ^
2
2
Получаем 4х
4
,
'
> 4 "'.
Т.к. 4> 1,то — 2 £ -1 ;
х
1 . „ 1- х
‘ х -1
— 1 > 0; ------ £ 0 ; ------- < 0.
X
X
X
О тве т: х е (0; l].
192
3. Задание: Решите неравенство 2
Решение:
2 v<
< *1— .
32
i
Данное неравенство определено лишь намножестве натуральных чисел.
Т.к.
2 > 1 , to jc - 6 < — ;
х
х2 -6 х + 5
------------- <0;
(х ~ 1)(* - 5) , 0 Т 7 7 > о
х
Решением исходного неравенства будут числа 2,3,4.
Ответ: {2;3;4}.
4. Задание: Решите неравенство л/27 •З-6*2 > 94х
Решение:
л/27-3-6*1 > 9Ах;
W
з2
я
>з .
Т.к. 3> 1, то - ~ 6 x 2 ZSx;
12.x2 +16jc-3 й 0;
Н
И
Ответ: х е
В
3.1
2’б
5. Задание: Решите неравенство 2х ~3 ■5х1-* - 0,01 •(10*-1)3 < 0.
Решение:
193
2х ~3 -5х ~3- 0,01 (10х' 1)3 < 0 ;
2х' " 3-5х2' 3 < 0 ,0 1 1 0 3х_3;
10х1' 3 < 1 0 '2 103х_3;
10х2" 3 < 103х“5.
Т.к. 10>1,то x 2- 3 < 3 x - 5 ;
х 2 - Зх + 2 < 0;
(х - 1)(х - 2) < 0.
О твет: х е (1; 2).
6. Задание: Решите неравенство
> (20,25)2
Решение:
<хг +JT
> (20,25)2
Поскольку (20,25)2х 7 = 20
данное неравенство равносильно следующему неравенству:
2
,
Т.к. 0 < —< 1,то х + х < 1 4 -4 х ;
9
х + 5 х -1 4 < 0;
(х + 7)(х - 2) ^ 0.
Ответ: х е [ - 7; 2].
7. Задание: Решите неравенство
\
Решение:
(
I
V
0,4х2-2* '3
v
194
1 V
0,4х - 2*-3
J
>1;
j
>1.
Представив 1 = (0,4)°, получим —------- — <0;
х--2х-3
Х ~6
(jf + lX x -3 )
> 0.
-1
3'
О твет: х е (-1; 3) U (6; оо).
X
8. Задание: Решите неравенство 52 > 7 .
Решение:
52 > 7 .
Приведем правую часть неравенства к степени с основанием 5:
X
52 у 5 lo8s 7
Т.к. 5 > 1, то ^ > log57;
х > 21og57.
О твет: х е (Iog549; 00).
9. Задание: Решите неравенство I х
сг у
Решение:
-IX 1 +4.г v / ^ х ч х + 4 .
> (2 х)
7-Г*"+4.Г
>2 х
;
+4.т
Разделим обе части неравенства на 2х + х > 0 .
А
Получим
> 1.
Т.к. — >1 и 1=1 —I , то х + 4х > 0;
ж (ж +4)>0.
Ответ: х е (- 00; - 4]U [О; оо).
Как и в случае решения показательных уравнений, иногда приходится де­
лать преобразования, напрямую не связанные со свойствами показательной
функции.
Рассмотрим следующий пример.
10. Задание: Решите неравенство (л/То + 3^
< (л/Го —з|
Решение:
(л/ш +з)-'3 <:(л/1 0 - з ) 5~2\
Заметим, что (л/Го + з](л/Го —з)= 10 —9 = 1.
Поэтому VlO - 3 = —7= i— = U\0 + з У .
л/10+3 v
'
Подставляя этот результат в исходное неравенство, имеем:
(л/ш+ з } '2 ^ (л/Го+ з } х~'\
Т.к. л /ю + 3 > 1 ,то —jc2 < 2jc —15;
jr2 +2дс-15 > 0;
(х + 5)(jc - 3) > 0.
О твет: х е (—оо; — 5]U [З; <ю).
При решении показательных неравенств пользуются различными частны­
ми приемами для приведения обеих частей неравенства к степени с одинако­
вым основанием. Одним из распространенных приемов является вынесение
общего множителя за скобки.
Рассмотрим данный прием решения показательных неравенств на следу­
ющих примерах.
\ -*г
11. Задание: Решите неравенство I —
Решение:
/ jv *
+ 2*J+3 < 18;
2х1 + 2 * 1 -23 <18;
2*2(1 + 8) < 18;
2х1 -9 <18;
2*2 < 2.
196
+ 2хЧэ < 1 8 .
Т .к .2 > !,т о х 2 <1;
(х-1Х *+ 1)< 0.
х
Ответ: х е (—1; 1).
12. Задание: Решите неравенство З2*-1 + З2*-2 - 32х~4 < 3 1 5 .
Решение:
32' " 4(33+ 3 2 -1 )< 3 1 5 ;
З2* '4 *35 £ 3 1 5 ;
З2*-4 < 9.
Т.к. 3>1, то 2х - 4 й 2;
х£3.
Ответ: х е (- оо;3].
13. Задание: Решите неравенство 2Х+2 - 2Х+3 —2,+4 > 5х+1 —5*+2.
Решение:
Т.к. 0 < —<1,тох>0.
Ответ: х е (0; оо).
5
14. Задание: Решите неравенство 3* + 2,_| - 2*+2 - З*-1 + 2*“3 > 0.
Решение:
3' + Щ - 2Х+2- У х+ 2х' 3 > 0;
Зт- 3xi > 2Х+2- 2х-1- 2,_3;
3
8
197
27
ii'iiL .
г
2I
«\ 2) Я 16
H i
Т.к. —> 1,тодс5:4.
2
Ответ: х е [4;оо).
Метод введения новой переменной
Многие показательные неравенства сводятся к обычным алгебраическим
с помощью введения новой переменной.
Неравенства вида f ( a * ) v 0 при помощи замены переменной t = с? сво­
дятся к решению системы неравенств
/> О,
1/(0 v О,
а затем к решению соответ-
ствующих простейших показательных неравенств.
15. Задание: Решите неравенство 0,04' - 26 •0,2* + 25 < 0 •
Решение:
0,04* - 26 •0,2х + 25 < 0;
0,22х - 26 •0,2х + 25 < 0.
Обозначив t = 0,2х, получим
1 £ / £ 25;
1 £ 0,2х < 25;
- 1 < 1 -1 £ Т.к. 0 < - < 1 ,то - 2 < х < 0 .
5
’
О твет: хе [—2; 0J.
198
t > 0,
/2 - 26/ + 25 < 0;
t > 0,
l( f - 2 5 X / - l) < 0 ;
16. Задание: Решите неравенство 1~* - 3 •71+х > 4.
Решение:
7 "' - 3 •7,+х > 4;
— -3 -7 - 7 ' > 4.
V
Введем переменную t = I х и получим:
/>0,
/> 0,
1 г21'> 4;
|l —2 If2—4/
I
/ > 0,
К>0,
t
> 0:
21Г2+ 4/ -1
<0;
21 t +
н
<0:
О< / < —;
7
г
Л
7
О твет: х е (-оо; -1 ).
17. Задание: Решите неравенство
2х +1
2х -
> 2х.
Решение:
2я + 8
------- > 2 .
2 *-1
Обозначим t= 2 * ,t> 0 .
t+8
----- >/;
/ -1
/ 2 — 2/ — 8
/- 1
<0;
(/-4Х/-*-2)
<0;
/-1
1< f < 4;
1< 2х < 4;
0 < х < 2.
199
18. Задание: Решите неравенство
42 +5
+1
42 +5
Решение:
1
1
2
+1
Преобразуем неравенство к виду
1
1
2 х +5
2 •2х +1
и введем перемен-
ную / = 2х, t> 0.
1
1
/ + 5 2/ + 1
/ -4
у < гт 7 7 7 /. '/ /
*0 ;
if + 5)(2/ +1)
г
0
0 < / < 4;
+
"N .
2х < 4 .
Т.к. 2> 1,то х< 2.
4
2
О твет: х е ( - оо; 2].
Рассмотрим решение однородных показательных неравенств следую­
щего вида А ■а1х + В -a* -bx + С -b2x v 0 . Разделим обе части неравен­
ства, например, на Ъ2х > 0 . Получим равносильное неравенство
2х
(-)
U J
г
>
+В
+ С v 0 . Обозначив
/
f-T
= у > 0 , перейдем к неравенству
второй степени Ay + By + С v 0.
19. Задание: Решите неравенство 3 •16х + 2 •8 I х - 5 ■36х > 0 .
Решение:
3 1 6 х+ 2 -8 Г-5 -3 6 х >0;
3 •4 2х + 2 •92х - 5 •9х •4х > 0
ч 2*
+ 2 -5 -1 -1
>0.
3 - '? .
Введем переменную t =
200
|-е-92х> 0 ;
\t> о,
[З/2- 5/ + 2 > 0;
Г/ > о,
К
0 < / < —, t> 1;
3
1 )°< Ы
< т;
- 1 <i -
н
- 1> -
1
Т.к. 0 < —< 1, то 2х > 1, х> —.
Т.к. О< —< 1,тох<0.
3
2
9
Решением данного неравенства является объединение промежутков.
Ответ: х е
20. Задание: Решите неравенство 5 •4* + 2 •25* < 7-10*.
Решение:
5-4* + 2-25* < 7 10*;
5-12х + 2-52х - 1 -2х-5х < 0
5 -f-l
|+52* > 0 ;
+ 2 - 7 - Г —1 < 0.
Замена: 1— 1 = /, t > 0.
5t2 - I t + 2 < 0;
-s -
s i.
Т.к. 0 < —< 1,то0<д:< 1.
5
О твет: x e [ 0;l].
201
Метод интервалов
При решении показательных неравенств, содержащих произведение или
частное различных функций, можно применять метод интервалов.
■'
0,2х -0 ,008
21. Задание: Решите неравенство -га---------------< 0.
х -1 0 х + 25
Решение:
0,2х -0 ,0 0 8
х~ —1Одеч- 25
Л
< 0;
0,2х - 0,23
. <0.
(х -5 )2
Найдем нули и точки разрыва функции:
0,2х - 0,23 = 0;
(х -5 )2 =0;
х, = 3 ;
х2 = 5.
Подстановкой какого-либо
произвольного значения из данных
интервалов, устанавливаем знаки
функции на интервалах:
•----3
О твет: х е [3; 5) U (5; оо).
4х + 2 х - 4
22. Задание: Решите неравенство --------- j— < 2.
Решение:
4х + 2х - 4
х —1
„
^ 2;
4х + 2х - 4 - 2х + 2
х —1
4х - 2
<0.
х —1
Найдем нули и точки разрыва функции:
4х - 2 = 0;
х -1 = 0;
22х = 2 ;
х2 = 1.
1
+
---------- •
1
2
О тв е т: х €
202
23. Задание: Решите неравенство --------- > 0 .
х+8
Решение:
е3ж~' - 1
л
----------- > 0 .
х+8
Найдем нули и точки разрыва функции:
в3' -1 —1 = 0;
х + 8 = 0;
Зх —1 = 0;
х2 = -8 .
О твет: х е (-оо; - 8) U
+
---------- о-------------3
1
Метод разложения на множители
При решении некоторых показательных неравенств используется преоб­
разование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки и примене­
нии метода группировки.
24. Задание: Решите неравенство х 2 •5* —52+х < 0 .
Решение:
х2 5х- 5 2+х^0;
х2-5х - 5 2 -5х <, 0;
5х(х2 - 25) <, 0.
Т.к. 5* > 0 при любом х, то данное неравенство равносильно следующе­
му неравенству:
* ~ 2 5 - 0’’
(х -5 Х * + 5)£0.
----------- - ^ 7 7 7 7 7 7 7 ^
v
*
^
О твет: х е [ - 5; 5J.
25. Задание: Решите неравенство х2 •2х + 4 > х2 + 2х*2.
Решение:
х2 •2х + 4 ^ х2+ 2Х+2;
х2 •2х + 4 - х2 - 2х •22 ^ 0.
Сгруппируем слагаемые: (х2 ■2х - х2) + (4 - 2х •4) > 0;
203
х 2(2х - 1 ) + 4 ( 1 - 2 х) £ 0 ;
(2х - IX * 2 - 4) > 0.
Полученное неравенство решим методом интервалов.
Найдем нули каждой функции:
2х - 1 = 0 ;
х 2 - 4 = 0;
хх = 0;
х2j = ±2.
Определим знаки функции на промежутках:
+
----------> ■
-2
+
•--------------- » ........
0
2
►
х
О твет: х е [ - 2; 0]U [2; оо).
26. Задание: Решите неравенство 52х+| + 6х+| > 30 + 5х •30х .
Решение:
52х+|+ 6х+1 > 30 + 5х •30х;
52х •5 + 6х •6 - 30 - 52х •6х > 0;
(52х •5 - 30) + (6х ■6 - 52х •6х) > 0;
5(52х- 6 ) + 6х( 6 - 5 2х) > 0 ;
(52х - 6)(5 - 6х) > 0;
(52х - 6)(6Х - 5) < 0.
Найдем нули функции:
5* - 6 = *
6я- 5 = 0;
2х = log56;
вх =5-
x = -lo g 56.
х = log65.
Сравним log, -ч/б и log65 , используя метод “разделения”:
Попытаемся подобрать такое рациональное число, которое разделило бы
Оба логарифма больше 0, но меньше 1. Попробуем сравнить их с
-U |ы
данные числа, т.е. было больше одного из них, но меньше другого.
Iog65 ?
log5V6 ?
log65 ? log664;
з
log5V6 ? logs 54;
з
5 ? 6 4;
л/6 ? 5 4;
54 > 6 3.
36 < 5 .
Значит, log65 > —.
Значит, log5л/6
Таким образом log5л/б < log65.
Решим неравенство методом интервалов:
+
-о------------------ с
log65
О твет: х е |—log56; log65 |.
Решение систем неравенств
27. Задание: Решите систему неравенств
-
•-
Решение:
8
27
64
>*2- 6 х-3,5
Vх*
>
8л/2.
> 27
з
64 ’
2 rjr-6
- o xjr-3
- i , f5
3 < 8 л /2 _
Преобразуем левую часть первого неравенства системы:
2х 2~3' _ 2"2'
jx
3”*
Получаем:
4,
2 * * —бдг—3,5 ^ п3.5
дс< 3,
х —6 х - 7 < 0;
дс< 3,
I(х - 7)(jc+1) < 0.
< 2л,а;
205
Ответ: хе (—1; 3).
■Jx + 5 > -6,
28. Задание: Решите систему неравенств
Решение:
^ х + 5 > 6’ [х + 5 £ 0 ,
1
2х < 2~3;
2Х < - ;
8
Ответ: х е [-5 ;-3 ).
Гх £ -5 ,
jc<
—3.
29. Задание: Решите систему неравенств
V 5x-1 £ 2 ,
2*-' - Ъ 2 " г > -23.
Решение:
fV 5 x -l £ 2 ,
[2х" 1- 3-2*+2 > -23.
Решаемвторое неравенство системы:
2х-1 -3 -2 Х+2 > -2 3 ;
2Х_1(1 -3 -2 3) > -23;
2 '- '. (-23) > -2 3 ;
2*"1 <1;
/ л —1 < 0.
Таким образом, получаем равносильную систему неравенств:
5 х -1 £ 0 ,
5 х -1 £ 4 ,
х -1 <0;
Ж5
х£1,
х< 1.
Ответ: х е
[й-
§4. ТО Ж Д ЕС ТВ ЕН Н Ы Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЛО ГАРИ Ф М И ЧЕС КИ Х ВЫ РА Ж ЕНИ Й
Вычисления на применение
основного логарифмического тождества
1. а) 10
8 ;
Вычисления на применение
определения логарифма
ч yiog72+2 log7з.
З а) log , 49;
д) 4 9 |”' ’ 2^ 1°е*’ " ;
б) logM 3
л/2;
/ I \2+21og, 6
6)1
! ;
B ) 2 6*l°i ' 3 + 103le!;
e) 5 l°t s 4 *Itot’ \
2 .a )8 1 k* ,s + 2 7 l°f,M + 3 ,h t' 7;
В)|08^ . ^ 4 3 ’
Г),0Ч
б ) 7 2 . f 4 9 ^ ’ " ° ' ’ ‘ + 5 - ^ 4);
v
у
}
д) log 12816;
е) log s
в) (0,025)lg2 •(0 ,04 )lg2;
Vs
------
2
r ) V 3 6 logtS + 1 0 Wg2 + 6 * 3 |08,Э6.
Вычисления на применение
формулы логарифма степени
Вычисления на применение формул логариф­
мов произведения, частного и степени
4. а) 3 log2(log4 16) + log05 2;
5. a) log2(0,4) + log2 л/2 + log2 10;
б) logg log4log,16;
б)log6 3 0 - ± lo g l150;
в) logj log4log381;
r)lo g 4 log14196+ logs л/5;
д) log51
+ log7 V49;
е) log 2 logj y f f l .
в) log, (5 + 2л/б) + log, (5 - 2л/б);
г
2
г) log5 1 7 5 - log j 7 - log3 8+31og3 |J;
ч 31og3 2 - lo g j 24
1+ log з 9
e) Ig tg V +lg(g 2‘ + ... + lgfg89\
207
6. а) Вычислите 9х, при х = log, 9 + ^5log, | ;
6) Вычислите 3х, при
х —logj 4 —lg 20 - lg5.
7. log4-—- 2 log4(4x4) \x--2.
4
Вычисления на применение
формулы
log b = -------log„а
1
1
1
4
б) 81108,3 + 2 7 log,36+ 3 ‘og79;
l°g % 2
перехода к другому основанию
9. a) log3 2 •log4 3 •log, 4 •log6 5;
8. а) 2 5 108,45 + 4 9 ‘°8*7;
lo g 2 24
Вычисления на применение формулы
б) log, 5 •log5 10 •log,0 16;
в) logj 4 - log6 5 •log7 6 •log, 7.
log2 192
log ,2 2 ’
10. a) (log, 4 + 91og43 + 6) *
* (log, 4 - 3 logjpg4) log43 - log, 4;
r) lo g 3 1 0 -lg 2 7 ;
Д) log i (l° g 2 3 •log3 2^
б)
4
1- log/ 3
,
8
2 +log2 ;
(logj 3 + log, 2 + l)log2—
(Ни
в) log,218 •log2454 + 5(log,218 - log2454).
—
e )2 5 loe2? + 9 - 4 108,2 —7 log4»9
Вычисления одних логарифмов через другие
11 .Дано:log303 = a,
12. Дано: lg l 96 = a,
log305 = Ь. Найдите Iog308.
lg56 = Ь . Найдите lg 0,175.
13. Дано: log9g56 —а . Найдите log714.
14. Дано: logI4 7 = a, log,45 —Ъ. Найдите log3S 28.
15. Дано: log,227 = а . Найдите log616.
208
Тождественные преобразования логарифмических выражении
При изучении свойств логарифмов следует обратить особое внимание т
то, что все свойства логарифмов следуют из соответствующих свойств степе­
ней, и поэтому для хорошего знания логарифмов надо уметь свободно обра­
щаться со степенями. Такая тесная связь логарифмов и степеней существует
потому, что само определение логарифма дается через понятие степени
Определение. Логарифмом числа b (Ь>0) по основанию а (где а ' 0. а * I )
называется показатель степени х, в которую надо возвести основание а, чтобы
получить число Ь, то есть из се~ b следует т = log i( Ь и наоборот.
Математической записью определения логарифма является так называе­
мое основное логарифмическое тождество:
а'08» ь —b (а > 0, а * 1, b > 0).
Напомним, что всякое положительное число при любом (положительном
и отличном от единицы) основании имеет логарифм, аотрицательные числа и
нуль логарифмов не имеют.
Приведем основные свойства логарифмов
I. log. 1*0.
Ш Ш Щ вЩ
3. loge(Z>•с) = logJ/>j + log„|c|, (be > 0) - логарифм произведения.
4. log. —= logjftl - lo g jc l (be > 0 ) - логарифм частного.
С '
5. tege62# = 2p\oga\b\, (b * 0, p e Z ) - логарифм степени.
6. tege„ b = y-log|a|b, (b > 0, p * 0, p e Z , a * 0, |a|* I).
7. t e g , b = — ■
— , (e-> 0,c Ф 1 ) -переход от одного основания логарифма
tog^or
к другому
В частности, log. b - — -— .
log» в
8. с = log. ас —запись числа через логарифм.
Наша цель состоит в том, чтобы показать, как основные свойства лога­
рифмов применяются для упрощения выражений, вычисления одних лога­
рифмов через другие.
Внимательно разберите с карандашом и бумагой приведенные примеры;
важно понять, где используются перечисленные выше формулы (мы специально проводим преобразования подробно, но почти без пояснений).
209
Вычисления на применениеосновного логарифмического тождества
1. Задание: Вычислите:
а)103" 2'85;
х §
в )2 6+,О8г3 + 1031в3;
д )4 9
*°87 2 - - l° g „ 6 4
2
;
v 2 + 2 lo g | 6
r \ y l° g 7 2+2 log7 3 .
е)5
logyj 4+2 log, 3
Решение:
a)103-2lg5 =103 10'21g5 =103 -10lg5'J =103 -5‘2
2log, 6
/ ! \ 2+ 21og 1 6
6)
-
5
2
B)
6+iog23 +
10
3ig3
p\ y lo g 7 2+2log7 3 _
д)49
_
у
e )
2 649
5k
у
= 2 6
2
'o s23 +
.
=
10
ig33 =
5
|
— log.,.64
_ y log72 J
2tog,4
5
5 = - - 3 6 = 4;
26
.
з
з 3 =219;
,
,
у log7 18 _ | g .
= 4 9 loe?2.49 2 w
2 2 ^ 2 1087 2
» „ « k » ,3
.
у log, 2+log7 Э1 _
log,2— lo g .,64
2 log, 2
= 40;
25
I« ,3 '
,
,
— log , 26
= (7 2) 87 *(7 2) 2
y lo g ^ " * _
2 2
. 2 ~3 _
= 4 2 .3 2 = 1 6 . 9
=
^
1
__
1
8 2
.
’
14 4
2. Задание: Вычислите:
a) 8 l ,og35 + 2 7 108936 + 34,og97;
6 )7 2
^108,9-108,6
49 2
5 -,08Л 4 \
в) (0,025)lg2 •(0,04)lg2;
г) л/3610865 + 1 0 1+lg2 + 6 - 3 log936 .
Решение:
a) 81108,5 + 2 7 l08’ 36 + 34log’ 7 = 3 41°e»s + з 31ое^62 + 3 4|08?j7 _
= 3|08’54 +3 log’63 + 3 log,7J = 5 4 + 6 3 + 7 2 =625 + 216 + 49 = 890;
6 )7 2
210
49|iog79-iog76 + 5 _log7;4
_ ?2 .
3 -l°g 76
^ -2 lo g ,4 \ _
=
= 72(7I " ^ 5 - - ) = 7 2 ( l + i ) = 72.A = 22,5;
в ) (0,025)182 -(0,04),g2 = (0,025 •0,04)lg2 = (0,00l),g2 =(10"3) ,g2 =
= 10ler' *1 ;
8
r)V 3 6 te8‘5 + 1 0 ,+,B2 + 6 -3 log’36 =д/б2,08‘5 +10 10*82 + 6 -3 ,ов,г fiJ
= л/52 + 1 0 -2 + 6 -6 =л/8Т = 9.
Вычисления на применение определения логарифма
3. Задание: Вычислите:
a)log_^49;
B)log0{J) ^ = = ;
д)1о8 ш 16;
6)1ое“ ^ ;
идШЙ"
е °8! Vole
Г) log
Решение:
а) Пусть log , 49 = х.
77
По определениюлогарифма [ — ) = 49,
W7)
t
64* = 25,
^
6)logMV 2 = x ,
В)|08ад'^ 4 3 =Д:’
..
Я Ш
И
fl)log12816 = x,
5 I
_
128'=16,
1 2 —I 1,
1
26х = V ,
2
1
6х = ~,
24 - 2?
21ж= 24,
_
х =-4 ;
1
х =—;
18
3
( ^ Ш
= 2,
'
J
*=п '
1
* =-;
м | го
( 1 ) =Щ!б’ Й М т ) ’’ (!) i l f '
х=
Вычисления на применениеформулы логарифма степени
4. Задание: Вычислите:
а) 3 log2(log416) + log052;
г) log4 log14196 + log5 >/5;
б) log8 log4log216;
д) logs j j = + ,0g7 ^49;
в) log5 log4log381;
e) log2 log2 * $ 2 .
Решение:
а)31og2(log416) + log05 2 = 3 log2(log4 42)+log, 2 =
2
= 3 log, 2 + log,., 2 = 3 -1 = 2;
б) log8 log4 log216 = log8 log4 log, 2* = log, log4 4 = log81 = 0;
в) logs I°g4 logj 81 = logj 1о&» log? 34 = logj ,0g4 4 = loB s 1 =
r) log4 log)4196 + logj V5 = log4 logt4142 + logs S2 = log4 2 + ~ log, 5 =
о 1
1»
^ +1—= —+
1 1— =, 1;
= log . 2
+ —= -^log,
2
2
2'
2
62
2
2
2
д) logj j j = + log? V49 = logj S3 + log7 V = | logs 5 + у log7 7 =
_ 5
2_ 7
“
3~
3
3
’
е) log2 log, yfi/2 = log, log, 28 = log2 ^ = log, 2 '3 = -3 .
8
Вычисления на применениеформул логарифмов произведения,
частного и степени
5. Задание: Вычислите:
Vi I fN
а)log2(0,4)+log2 л/2 + log210;
r)log s 175-logs 7-^ log3 8 + 3 log3
б)log6 30 . Ilo g 6150;
/
2
д ) 3 1 о ^ -1 о | 1 2 4 ;
1+log3 9
в) log1 (5 + 2л/б) + logi (5 - 2>/б);
2
" -1 ‘ ■
2
e) \gtgV +lgtg2‘ + ...+ lg fg89\
Решение:
5
а) log2(0,4) + log, л/2 + log210 = log, (0,4 -л/2 -10) = log24>/2 = log222 =
5i
о = —;
5
= —Iog,2
2
2
б) log, 3 0 -ilo g „ l5 0 = log, 30- log, V l50 = log, -- = = = log, J L = lo g .-^ =
=M og,6^=I;
в) log, (5 + 2л/б) + log, (5 - 2л/б) = log, ((5 + 2л/б)(5 - 2л/б))= log, 1—0;
2
2
2
.
(
- log3
г) log5175 - log57 - ^log38 + 3 log31 j = log5^
, г *\
= log; 25 - log327 = log552 - log333 = 2 - 3 = -1 ;
31og32 - logj 24
1
+ log39
,
8^
log323 - log324 _ ° ёз 24 _ log33"1 _
log33 + log39
log327
1.
log3З3
3’
e)lg/gl° + Igfg2* + ... + lg<&89° = \g(tg\‘ tg2° tg3‘ ...-tg S T tg№ tg№) =
= lg((gl* tg T tgy ...-ctgy c tg T -ctgY) = lg(fg45”) = Ig l = 0.
6. Задание:
а) Вычислите значение 9х, при х = log39 +1,5 log3- ;
б) Вычислите значение 3х, при х = log 2 4 - lg 20 - lg 5 .
Решение:
а) х = logj 9 +1,5 logj i = log3(9 •3“1,5) = log330S = 0,5;
9* = 90,5 = 3;
б) x = log, 4 —lg 20 —lg 5 = log222 - lg(20 •5) = 2 - 2 = 0;
3" =3° =1.
x2
7. Задание: Упростите выражение log4------21og4(4* ) и вычислите его
4
значение при х = -2 .
Решение:
213
*°g4 — 2 log4(4x4) = log4x 2 - log44 - 2 log44 - 21og4x* =
4
= 2 log4|jc| - 1- 2 - 8 log4|jc| = -3 - 6 log4|x|;
при x = -2
log4S —21og4(4x4) = —3 —6log4|—2| = -3-61og2; 2
= - 3 - 6 —= -6.
2
Ответ: -6.
Вычисления на применениеформулы lo g > = — —
log4a
8. Задание: Вычислите:
i $j
i
a )2 5 ,og4S + 4 9 log»7;
44
r)lo g 3 10 1g27;
1
4
ф в !1" ’3 + 27tog*36 + 3 ^ ’ ’ ;
log^M to g ^ .
log%2
д)log, (log, 3-logj 2> .
е)25^ +9.
<7iog4
lo g , 2
logI2 2
Решение:
1
,!
а) 2510865 + 49,og*7 = 2 5 ,og56 + 49,og7®= 5 2l0B56 + 72,°в78. =
= 5i°g561 + 7 iog7el = 6 2 +g2 = 3 6 + 6 4 = 100;
_LL " '
'
б ) 8 1 1 0 8 ,3 + 2 7 i ° g » 3 6
_
4
_ g j h > g , 5 + 2 7 to8 9 36 + 3 4 «og»7 _
341og35+33log}161+34Iog}17 = 3logj5* +33-2-ilog,6
,
= 54 + 6 3 + 7 2 -890;
log2 24 log2 l ^
.J
1
lft„
1
в )——-------- ^ ---- —log. 24---- :----- log, 192log% 2
log,2 2
62
log* 2
62
log,, 2
= log2 24-log2 96-lo g 2 192-log2 12- = log2(12-2)-log2 9 6 -lo g 2(96-2) log2 12 = (1 + log2 12) log2 96-(1 + log2 96)log2 12
214
= log2 96 + log2 121og, 9 6 -lo g 2 12-log, 12-log, 96 = log2 9 6 96
-lo g , 12 = log2 — = log, 8 = log2 23 = 3;
r ) l o g , 1 0 i g 27 = 7i - l g 2 7 = ^
= 3;
lg з
lg3
l°g 2 3
д) log, (log2 3 ■log3 2) = log
= log, 1= 0;
4 V 'log2 3,
4
< i— — ^
6 ) 2 5 ^ 5 + 9 - 4 los<2 _'j\ogm9 _ 2 5 |obs2 + 9 . ^4 . 4 "'og2з
ii
= 5 g5
.
+ 36-2 81
2 log, 3
-7 2
у |o872 32 _
1
= 4 + 3 6 - - - 3 = 5.
9
Вычисления на применение формулы перехода к другому основанию
При решении любых задач, содержащих логарифмы по различным осно­
ваниям, следует запомнить одну рекомендацию, почти не имеющую исклю­
чений: необходимо перейти во всех логарифмах к одному основанию.
9. Задание: Вычислите:
а) logj 2 •log4 3 •logj 4 •log6 5;
б) log2 5 log5 10 log,о 16;
в) logj 4 •log6 5 •log7 6 •log, 7.
Решение:
а) log32 •log43 •logj 4 •log6 5.
Выполняем переход к логарифмам по основанию 3:
Jfe ■
Ш
■ 1log. 2;
log, 2 ■
■
•
=
log34 log35 log, 6
logj 6
б) log,5 1ogs 10 1og,016.
Выполняем переход к логарифмам по основанию 2:
_ log,10 log,16 .
l og25 —*
= log216 = log22 = 4 ;
log25 log210
в) logj 4 •log65 •log76 •log, 7.
Выполняем переход к логарифмам по основанию S:
logs5 logs6 logj 7 logj 4 _
= log, 4 = log,, 2 = - lo g 22 =
logj 4
log, 6 log, 7 logj 8
logj 8
21S
Во многих задачах необходимо использовать формулу перехода к одному
основанию логарифма и затем вводить новые переменные (одну или несколько).
Иллюстрацией сказанного является следующее задание.
10.Задание: Вычислите значение выражения:
a)(log3 4 + 91og4 3 + 6)(log3 4 -3 1 o g 108 4)lo g 4 3 -lo g 3 4;
l- lo g 3
6)
(log 2 3 + log3 2 + 1) log.
2 + ' ° g= i :
в)log, 2 18-log24 54 + 5(log121 8 -log24 54).
Решение:
а) Все логарифмические выражения приведем к основанию 3, после чего
сделаем замену t = log34 .
(log- 4+9 log43 + 6)(log- 4 - 3 logl0g4) log43 - log- 4 =
log. 4+-+6
log- 4
=U +- +6 /-
log-4 -3
3/ M
log3108 = log- (4 •27) =
Jog3_4_>| _ l_
- log34 =
log-108 log34
log- 4 + log- 33 = Iog34+3
J
/2+ 6f + 9
— / =3-
/+ 3) I
t2
1
- / = (<+ 3)- —/ = / + 3 —/ ==3;
/+3
/+3 t
log23 = /,
1- log, 3
6) -------------- a---------2
(log23 + log32 + 1) log2 —
3
I- / 3
+ 3 -/ =
8
logj 2 = - ,
t
g4 = log, - = log22 - logj 3 = 1 -/ ,
g
log2- = log28 - log23 = 3 - /.
l- r
■+ 3 —/ —t + 3 —t = 3;
/ + - + 1 1(1-0
^log218
в) log^ 18 •log2454 + 5(Iogl218 - log2454) = —— - •log2 54 + 5
log,12 log224
log212
log218 = log, (9 •2) = 21og23 + 1,
log212 = log2(3 •4) = log23 + 2,
I ° g 2 24 = log2(3 •8) = log23 + 3,
log254 = log2(27 •2) = 3 log23 + 1,
log23 = t.
216
2/ + 1 3/+1
/+ 2
/+ 3
+5
2/ + 1 3/ +1
t
+2
/+3
log254>
log224^
6/2 + 5/ + l )5
(/ + 2)(/ + 3)
l- / 2
(t + 2)(t + 3)
_
Г+ 5/ + 6
(/ + 2)(/ + 3)
(/ + 2)(/ + 3)
( t 1 2)(t + 3)
Вычисления одних логарифмов через другие
11. Задание: Дано: log303 = a, log305 = 6. Найдите log308.
Решение:
30
log3„ 8 = 3 log302 = 3 log30— £ 3(log3„301 log3(, 15) = 3(1 - log3l)(3 •5)) =
= 3(1 - log*, 3 - Iog,„ 5) = 3(1 - a - b).
О твет: 3( 1 - a - b).
В рассмотренном задании все просто, потому что, во-первых, основания
всех логарифмов одинаковы и, во-вторых, можно выразить число 2 через чис­
ла, логарифмы которых заданы, то есть через числа 30,3 и 5. Очевидно, это не
всегдалегко сделать.
12. Задание: Дано: lg 196 = a, lg 56 = b. Найдите lg 0,175.
Решение:
Таким образом, задача свелась к нахождению lg 7 и lg 2.
Условия задачи можно записать в виде двух равенств:
fig 196 = a, flg(4-49) = a, Jlg 4 + lg49 = flr, |21g2 + 21g7 = а,
[Ig56 = 6;
[lg(8-7) = 6;
[lg8 + lg7 = Z>;
|31g2 + lg7 = 6
| (-2);
J21g2 + 21g7 = a,
[-61 g 2-21g 7 = -2 6;
lg2 =
lg 7 =
- 2 b+a
2b -a
-4
3a-2b
ц
i пн«
З а - 2ft
2b - a
Sa -6b-4
lg 0,175 = ------------ 2 -------------1 ------------------1
4
4
4
13. Задание: Дано: log^ 56 = а. Найдите log7 14.
Решение:
log7 14 = log, (7 •2) = 1+ log, 2.
Задача свелась к нахождению log72.
Перейдем к логарифмам с основанием 7.
Sa-6b-A
О твет: -------------4
log.. 56 = 1о8т56 = log7 8 + log77 = 31og72 + l
98
log798 log749 + Iog72
2 + log72 ’
217
3 log? 2 + 1
л.
2 + log72 “
’
31og72 + 1 = 2a + a log, 2;
1- 2a = (a - 3) log72;
l°g72 =
1-2 a
a -3
Значит, log, 14 = 1+
1- 2a
a - 3 +1 - 2a
-a -2
a +2
cr-3
a -3
a -3
3- a
&
a+2
Ответ: —a r.
3 ~a
14. Задание: Дано: logj4 7 = a, log145 = 6. Найдите log35 28.
Решение:
log
:11
log,. 28
log,435
lo»..(2 l4)
log,,( 5 -7)
log,42 + 1 /
logM5+log,47
l
14
14 7
0+6
_ 1- log,47 +1 _ 2 - a
a+ b
a+ b
Ответ: —— -.
a+6
15 .Задание: Дано: log122 7 = а. Найдите logg 16.
Решение:
log, .6 = 4>og, 2 = 4
^
= "a sg =
l08” 6 log,, у
1 l°g ,i2
Остается вычислить log122. По условию задачи:
log|2 27 = 3 log,, 3 = 3log,, j
= 3(1 - log,, 4) = 3 (1 -2 log,22).
Отсюда 3 - 6 log,22 = a;
3 - a = 61og,2 2;
il°g,22о = —
3~a.
Значит, log616 = — ^ — = ^ 3_ — = ^ —— .
I 3 - д 6-3 + a
3+ a
6
218
О твет:
4 (3 -a)
3+a *
§5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Логарифмические уравнения, решаемые
с помощью определения логарифма
Метод введения
новой переменной
1. a)log5(jc2-l I jc + 43) = 2;
10. log2if = 2 - log, x
б) logJf+1(2jc2 +1) = 2;
11 lg(lg Jt) + lg(lg x }-2) = 0
в ) log , х 2 = -4.
12 lg(0,01jc)- lg(100jc) = 5
Л
13. log, jt + logx9 = 3
2. a)log;(log,jc) = 4;
б) log7(|jc|+ 4) = 2;
2 log? x - 1
14. — j----52----------= 1
log2x + 2 logj jc + 2
в) log2(log5jc) = 1.
Метод приведения логарифмов
к одному основанию
Логарифмические уравнения, решаемые
с помощью основного
логарифмического тождества
3 9 lo g ,d -2 ,) = 5 j c 2 _ 5
15. logI6 х + log, х
4
4lo g 64(j-3 )+ lo g J s _ 5 Q
16. log,
5
5|о*5Л-1е4
17. log^ 2 • log2j 2
=
1в(2-9х - 6 х)
Метод
потенцирования
6. log, (10 — дг) + log, ( jc — 3) = —1 .
6
6
7. log, (х2 + 1) = log, 2 + log, ( jc + 8)
JC log27 X
=
logg,
2
JC ——
log4j 2
Метод логарифмирования
обеих частей уравнения
18. x log2X+2 - 8 = 0
lgjr+5
l- lg ( 2 x - l) + lg(21jc-20)
20. Х 3
ft
log,
log4 jc = 7
19. х 108зЛ = 9х
8. Ig5 + lg(x+10) =
=
X
+
= 105+'8'
lg(y/x + l + l )
lg V x -4 0
Метод разложения на множители
21. л/Зх + 1 8 -log4(jc + 4) = 0
22.
( jc2 -
18jc + 77) •(logT 8х + 3) = 0
23. ln x - lg x - 3 = lg x -3 1 n x
219
j
Методы решения логарифмических уравнений
При решении логарифмических уравнений применяют, как правило, такие
преобразования, которые не приводят к потере корней, но могут привести к
появлению посторонних решений. Поэтому проверка каждого из полученных
корней путем подстановки их в исходное уравнение обязательна, если нет уве­
ренности в равносильности уравнений. Проверку полученных корней можно
заменить нахождением области определения уравнения. Тогда корнями ис­
ходного уравнения могут быть только те числа, которые принадлежат этой
области.
Перечислим некоторые методы решения логарифмических уравнений:
- решение с помощью определения логарифма;
- решение с помощью основного логарифмического тождества;
- метод потенцирования;
- метод введения новой переменной;
- метод приведения логарифмов к одному основанию;
- метод логарифмирования обеих частей уравнения;
- метод разложения на множители.
Рассмотрим каждый из этих методов на примерах.
Логарифмические уравнения,
решаемые спомощью определения логарифма
1. Задание: Решите уравнения:
a)logs(x 2- llx + 43) I
2;
6)logI+1(2x24 -l) | 2;
в) log± х2 = -4 .
Решение:
^
а )logs(x2- l \х + 43) = 2.
По определению логарифма:
х 2 -11х + 43 = 25;
х2-\\х + 18 = 0;
2, х , » 9.
Проверкой убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
О твет: {2; 9}.
.X, =
б)logx+1(2x2+ l) =\2.
По определению логарифма:
2х2 +1 = (х + 1)2;
х 2 —2х = 0;
х, = 0 - посторонний корень, т.к. основание логарифма не равно 1;
220
х
2= 2.
Ответ: {2}.
в) log^*2 = -4;
Л
log , х2 = -4;
s 'i
- 2 log5x2 =-4;
logj x 2 * 2;
x 2 = 25;
x, = 5 , x , = —5.
Проверкой убеждаемся, что обакорня удовлетворяют исходному уравнению.
Замечание: Грубой ошибкой было бы преобразование левой части урав­
нения на основании равенства logs х 2 = 2 log, х , верного лишь при х > 0.
Ответ: {±5}.
2. Задание: Решите уравнения:
a) logjOogj х) = 4;
б) log7(|x) + 4) = 2;
в) log2(logs х) = 1.
Решение:
о) log^(log3х) = 4;
log, (log, х) = 2 или log, (logj х) = -2 ;
logj х = 4;
х, =81.
l° g jx = - ;
4
x2 = \[3.
Проверкой убеждаемся, что обакорня удовлетворяют исходному уравнению.
О твет: {>/3; 8 ljб) log7(|x|+ 4) = 2, ОДЗ: х е Л ;
1x1 + 4 = 49;
|х|=45;
х, =45,* 2 =-45.
Ответ: {±45}.
в) log2(log5х) = 1;
log ,x = 2;
х = 25.
Проверкой убеждаемся, что корень удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: {25}.
221
Логарифмические уравнения,
решаемыеспомощьюосновногологарифмического тождества
Суть данного метода в переходе от уравнения alo8“^<x) = g(x) к уравнению/(х) = g (х).
В данном случае также могут появиться посторонние корни.
3. Задание: Решите уравнение 9l0Bl(1“2x) —Sx2 —5.
Решение:
fl —2дс> О,
9 8,(
) = 5* 2 - 5’
° ДЗ: [5х2 - 5 > 0;
I jc < — ,
2
jc
< — 1;
W > i;
3 2 lo g ,( l- 2 ^ = 5 j c 2 _ 5 ;
3 lo g ,(l-2 x )J = 5 х 2 _ 5 .
(1 -2 jc)2 =5 х 2 -5 ;
jc2 +4 jc- 6
= 0;
x ,= -2 -V T 0 ,
x, = -2 + VlO.
Из двух полученных корнейтолько корень jc, = —2 —VT0 принадлежит ОДЗ,
а х2 = -2 + л/Го не принадлежит ОДЗ и, следовательно, является посторонним
корнем.
Ответ: {- 2 - л/Го}.
4. Задание: Решите уравнение 4 1оём^-3>+1°Ё2 5 = 5 0 .
Решение:
4 1о8ми-з)+1о8г5 = 5 q^ о д 3 : х - 3 > 0 ,х > 3 ;
220oB26(Jf-3)+Iogj5) _ ^ q.
2*°S2(25Vjc—
3) _
25\fx^3> = 50;
3
V ^ 3=2;
x = 11 > 3 - принадлежит ОДЗ.
Ответ: {11}.
5. Задание: Решите уравнение 5 1ов5 х ■lg 4 = lg ( 2 •9 х — 6 г ) .
Решение:
5 I°8 s J r l g 4 = l g ( 2 - 9 x - 6 x ) ;
дг * lg 4 = lg ( 2 - 9 jr — 6 х ) ;
l g 4 T = lg ( 2 - 9 jr - 6 r ) ;
22x = 2-32x- 2 x -3x;
22x + 2 x -3* - 2 - 3 Zx = 0
|:32x* 0 ;
y 2.+ y - 2 = 0;
Уi = i;
у 2 = —2 < 0 - посторонний корень;
x i 0 - посторонний корень, т.к. log5 0 не существует.
О т в е т : решений нет.
Метод потенцирования
М е т о д п о т е н ц и р о в а н и я за к л ю ч а е т с я в переходе от у р а в н е н и я
log„ / ( * )
-
log„ g( x) (a > 0, a * 1)к уравнению / (x) = g (x) при допол­
нительных условиях /(x) > 0, g (x) > 0.
Та ко й переход иногда приводит к появлению посторонних корней. Посто­
ронние корни можно вы яви ть либо с помощью подстановки найденных кор­
ней в исходное логарифмическое уравнение, либо с помощью нахождения
области определения исходного уравнения, т.е.
[/ (* ) > 0,
| g (x) > 0.
6. Задание: Решите уравнение lo g , (10 -
х) + lo g , (х - 3) = - 1 .
Решение:
223
log Д 10-х) + log, (х -3 ) = -1;
6
6
lo g ,(10-x)(x-3) = -1;
6
(10 - jc)(jc- 3) = 6;
1Оде—jc2 -ЗО + Зх = 6;
x2 -13.x+ 36 = О;
x, =4, x2 = 9.
Проверка показывает, что обакорня удовлетворяют исходному уравнению:
1)х = 4, log Д10 - 4) + log, (4 —3) = —1;
6
2) х = 9,
6
-1 + 0 = - 1- верно;
log, (10-9) + log, (9 -3 ) = -1;
6
в
0 + (-1) = -1 - верно.
Ответ: {4; 9}.
7. Задание: Решите уравнение log3(x2 +1) = log32 + log3(x + 8).
Решение:
log3(x2+1) = log32 + log3(x + 8), ОДЗ: x + 8 > 0, x > -8;
log3(x2 +1) = log3(2(x + 8));
x2 +1 = 2jc+ 16;
x2 -2 x -1 5 = 0;.
x, = 5 > -8 - принадлежит ОДЗ;
x2= -3 > -8 - принадлежит ОДЗ.
Ответ: {-3; 5}.
8. Задание: Решите уравнение:
lg5 + lg(x +10) = 1- lg(2x -1 ) + lg(21x - 20).
Решение:
lg 5 + lg(x +10) = 1- lg(2x -1 ) + lg(2 lx - 20);
lg(5(j-H0)) = lg '^ _ ~ | 20); .
2 x -l
1A 2 •(2 lx - 20)
x + 10 = — ^
2x -l
224
2х2- 23х + 30 = 0;
дг, = 10, х, = 1,5.
Сделав проверку, можно убедиться, что оба корня удовлетворяют уравне­
нию.
Ответ: {1,5; 10}.
9. Задание: Решите уравнение —*
—3
lg V jc - 4 0
Решение:
ig ( V x T T + i)
,
lg V jc —4 0
lg ( V x + T + 1 ) = 3 1 g V x - 4 0 ;
lg (V * +
1 + 1) = lg (* - 4 0 );
*Jx + 1 +1 = x - 40;
■yjx+ l - x + 41 = 0.
Сделаемзамену: л/х+Т = /, t > 0. Тогда x - t2- 1.
r - / 2+ 1 + 4 1 = 0 ;
t1-/ -4 2 = 0;
/, = -6 < 0, t2 =7;
ylx + l = 7;
лг + 1 =49;
x = 48.
Проверка:
lg(7 + 1) =3.
lgV 48-40 ~ ’
lg 8
_
---- = 3 - верно.
Ig2
Ответ: {48}.
Метод введения новой переменной
Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразова­
ний исходного уравнения.
Поясним данный метод на примерах.
225
10. Задание: Решите уравнение log, х = 2 - log, х .
Решение:
log, jc = 2 - log, х,
ОДЗ: х > 0;
logj х + logj дс- 2 = 0.
Замена: log, х = t .
t* + t-
2 = 0;
/,=-2, /2 = 1;
1)logjX = -2; ,
х, = —> 0 - принадлежит ОДЗ;
2) log3jc = 1;.
Jc2 =3 > 0 - принадлежит ОДЗ.
Ответ:
11. Задание: Решите уравнение lg(lg х) + lg(lg х3-2) = 0.
Решение:
lg (lg Jc ) + lg ( lg jc 3- 2 ) = 0 ;
l g ( l g x ( l g j c 3* 2 ) ) = I g l ;
lg Jc •(3 lg
x-2) = 1;
3 lg2 x - 2 1 g x - l = 0.
Замена: lg x - t .
312 -2t -1 = 0;
1)lgx = l;
x, = 10;
2)lgjc = - i ;
'
Проверка:
1) x = 10;
lg(lgl0) + lg(lg 103- 2) = 0;
lgl + lgl = 0;
0 = 0 - верно;
1
--
2 ) х = —7 = = 10 3 ;
V l0
_£
lg(lg 10 *) + lg(lg 10-1 - 2) = 0;
l g f - I j + lg(-3) = 0;
х = —j = -
V io
посторонний корень, т.к. Igf — | и lg(—3) не существуют.
л з;
Ответ: {10}.
12. Задание: Решите уравнение lg(0,0 lx ) •lg(l 00х) = 5.
Решение:
lg(0,01x) •lg(100x) = 5,
О Д З:х>0;
(lg 0,01 + lg xXlg 100 + lg x) = 5;
( -2 + lg x)(2 + lg x) = 5.
Замена: lg x = /.
(/ - 2 )(r + 2) = 5;
/2 - 4 = 5;
Г2 - 9 = 0;
=±3’
1) lg x = 3, x, = 1000 > 0 - принадлежит ОДЗ;
2) lg x = -3 , x2 = 0,001 > 0 -принадлйюггОДЗ.
О тлет: {0,001; 1000}.
13. Задание: Решите уравнение log3х + logr 9 = 3 . Решение:
log, х + logr 9 = 3,
logj х + -------- = 3;
lo g ,x
logj х + - -------= 3.
logjX
Замена: log3х = L
О Д З :х> 0 ,х*1 ;
t + —~3;
t
r 2 - 3 f + 2 = 0;
/, = 1, /, = 2;
1) log, x = 1, x, = 3 > 0 —принадлежит ОДЗ;
2) logj x = 2, x2 = 9 > 0 - принадлежит ОДЗ.
Ответ: {3; 9}.
14. Задание: Решите уравнение —
—!-----= 1.
log2JC+ 21og2x + 2
Решение:
log2 х + 21og2x + 2
- I , ОДЗ:ж>0.
Замена: log2 x mt.
^
ь =
1;
/ + 2/ + 2
2гг -1= ?ч-2/+ 2;
t 2 - 2 t - 3 = 0;
f,» - u
/2 * 3;
l )lo g 2x = -1 , jc, = — > 0 - принадлежит ОДЗ;
2) log, x = 3, x , = 8 > 0 - принадлежит ОДЗ.
Ответ: i —;8>.
12 J
Метод приведения логарифмов к одному основанию
Обычно условие задания подсказывает, к какому основаниюследует перейти.
При этом используются формулы:
logab =
log, а
ванию с;
\0%тЬ = — L - ;
log* и
228
(с > 0, с * 1) - формула перехода к логарифму по осно-
log
b = ——log,, b (b > 0, p * 0 - целое число, a * 0, |a |* 1).
2p
11
Как правило, метод приведения к одному основанию “работает” с мето­
дом введения новой переменной.
15. Задание: Решите уравнение logl6 х + log2 х + log4 х = 1.
Решение:
Логарифмы в левой части уравнения приведем к основанию 2.
log2. x + log2 x + log2, х = 7, С)ДЗ:х>0;
—log, х + log, х + ~log, x = 7;
-lo g 2x = 7;
4
l°g 2x = 4;
x = 16 > 0 - принадлежит ОДЗ.
Ответ: {16}.
16. Задание: Решите уравнение log3 x log9 x-log27 x log81 x
2
.
Решение:
2
lo g jX -lo g , x-log27 x-logg, x = - ,
О Д З:х>0;
3
logj x ■Iog3, x •log3, x •log34 x =
1 1 1 - 4
2
2
2 T l ' ° s >x = V
logj X - 16;
1) log, x = 2;
x, = 9 > 0 - принадлежит ОДЗ;
2) log jX = - 2 ;
x2
> 0 - принадлежит ОДЗ.
О твет: |^;9|.
17. Задание: Решите уравнение logr 2 •log2l 2 = log4jt 2.
Решение: Перейдем в обеих частях уравнения к основанию 2.
log2x log2(2x)
log2(4x)
229
__1_______ 1_________ 1 _
log, х 1+ log2х
2 + log2x
Замена: log2 x = t.
1 1 1 ,
t 1+ 1
1
r+ t
2+/
1 .
2+ t'
2 + / = t2 + 1;
t 2- 2 = 0;
t, = л/2, t2 = ->/2;
1)log2x = yf2, xl = 2 J i ;
2) logj X = -V 2 ,
х 2 = 2 -л
.
Проверка:
1)х = 2Л ;
lo g ^ 2 - lo g 22vi 2 = lo g 4^ 2;
л/2(1 + л/2) = 2 + л/2 - верно;
2 )х = 2"Л ;
l° g 2^ 2 •log2 r л 2 = log4 2.л 2;
- л/2(1 - л/2) = 2 - л/2 -верно.
О твет:
2"^|.
Метод логарифмирования обеих частей уравнения
При решении уравнений, содержащих переменную и в основании, и
в показателе степени, используется метод логарифмирования. Если при этом
в показателе степени содержится логарифм, то обе части уравнения надо
прологарифмировать по основанию этого логарифма.
18. Задание: Решите уравнение х 082х+ —8 = 0 .
Решение:
х Ыг *+2 = g
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2.
Io g ,(*"*‘" , ) -lo g 2 8;
(log 2 x + 2) log 2 x = 3;
logj x + 2 log 2 x - 3 = 0.
Замена: Iog2.x=j>.
y2 +2у - 3 =0;
У, = I, y2 ~ -3;
1) log2Jc=l;
= 2;
2) log2x =-3,
i
Xj = —.
Проверка:
l) x = 2, 2 log22+2=8;
23= 8 - верно;
Ответ:
19. Задание: Решите уравнение x log,x = 9х.
Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.
log3X1083* — log39х;
Iog3x = 2 + log3x;
log2x - log3x —2 —0.
Замена:
log3x = t .
t2- t - 2 = 0;
f, = —1, t2 —2;
l)log3x = - l;
1
3»
2) log3x = 2;
x, = 9.
Проверка:
-i
- 3 - верно;
231
2 )х = 9,
(9У°8]9 =81;
92 = 81 - верно.
О тв е т: -j—; 9
lgx-t-S
20. Задание: Решите уравнение х 3 = 1 0 5+1®х .
Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.
lg x ^
= lg l0 5+lgJt,
О Д З:х>0;
(lg X + 5 )lg^
lg2.y+ 2 1g x-15 = 0.
Замена: lg x = t.
t 2 + 2 t -1 5 = 0;
/ ,= - 5 , t2 = 3;
1)lg x = -5 ;
x, = 10_s > 0 - принадлежит ОДЗ;
2) lg x = 3;
x2 = 103 > 0 - принадлежит ОДЗ.
О твет: |l0~5;103}.Метод разложения на множители
21. Задание: Решите уравнение л/Зх + 18 •log4(x + 4) = 0 .
Решение:
л/Зх + 18 •log4(x + 4) = 0;
л/Зх + 18 = 0 или log4(x + 4 ) = 0;
Зх + 18 = 0;
х + 4 = 1;
х, = -6 .
х2 = -3 .
Сделав проверку, получим, что корень х , = -6 не подходит.
О твет: {3}.
232
22. Задание: Решите уравнение ( * 2 - 1 8х + 77) •(log, 8х + 3) = 0 •
Решение:
(х2 - 18х + 77)■ (log, 8х + 3) = О,
х 2 - 1 8 х + 77 = 0
или
О Д З :х > 0 ,х * 2 ;
Iogx 8 x + 3 = 0;
х, = 7 - принадлежит ОДЗ;
g
jc2 = 1 1 —принадлежит ОДЗ.
— = 8х;
х 4 - 1 = 0;
х3 = 1 —принадлежит ОДЗ;
хл = -1 - не принадлежит ОДЗ.
О т в е т : {1; 7; 11}.
23. Задание: Решите уравнение In х ■Igx - 3 = lgjc - 3 In х .
Решение:
In x - lg x - 3 = lg x - 3 1 n x ,
l n x - lg x - 3 - lg x + 31nx = 0;
lg x(ln x - 1 ) + 3(Irfx - 1 ) = 0;
( ln x - l) ( Ig x + 3) = 0;
ln x - 1 = 0 или lgx + 3 = 0;
ln x = 1;
Igx = -3 ;
x ,= e .
x2 = 0,001.
Оба корня принадлежат ОДЗ.
О т в е т : {0,001;е}.
О Д З :х > 0 ;
§6. М ЕТО ДЫ Р Е Ш Е Н И Я С И С ТЕМ Л О ГА РИ Ф М И ЧЕС КИ Х У РА ВН ЕН И Й
Метод потенцирования
rig (jt-> 0 = l,
' jlo g ,(x + ^) = 3,
[\gx-\gy = 2.
з Jlg (x2 + / ) = l + lg8,
|logl5x = l- lo g l5>'.
[IgC* + y ) ~ IgC*~ у) - lg3.
log^foO = 8,
fjO,+,8(I+v) = 50,
[lg(x - ^) + lg(x + >0 = 2 - lg5.
= 0.
log: log,
у)
|21ogs x-log,^ = 0,
(2x-3у
У - 3 , = 4.
| lo g ^ (i-3 ^ + 8 ) - 2.
Метод введения
новых переменных
2lgx + lgy = 2,
8" lgx-21g_y = 1.
У.
’
Системы показательных
и логарифмических уравнений
Ч
У -9х =81,
.Ig(* + j0 2 - lg * = 21g3.
32Л~^ = 81,
log x -lo g r y = ^,
lg V ^ = l + lg3.
xy = 16.
[\ogyx + \ogxy = 2,
10.
3,
log^(jc + y) = 4,
>3,
36_х •2У = 54.
[jc2 - у = 20.
log3x ? - 2 * + y ,~ 3 ,
u ,
у - 2 у +2>- log3х = 4.
Методы решения систем логарифмическихуравнений
Для решения систем логарифмических уравнений используются приемы
решения систем алгебраических уравнений, основные логарифмические свой­
ства и методы решения логарифмических уравнений.
Отметим некоторые способы решения систем логарифмических уравнений:
- метод потенцирования;
- метод введения новых переменных.
234
Метод потенцирования
Поясним суть данного метода на примерах.
I1. Задание:
7 A
D
»■
Решите систему уравнений
\gx-\gy = 2.
Решение:
\g(x-y) = \,
jlg (x-.y ) = l,
Jlg (*-jO = l,
(х - у = 10,
lg x - lg > ’ = 2;
[lgx = IglOO + \gy;
[lgx = lg(lbQy);
[x = 100_y;
x - y = 10,
- x + lOOj' = 0;
99y= 10;
10
у- —;
99
991
1000
X~
99 '
Проверка:
r
99
99J
[lg l0 = l - верно.
[lg 100 = 2 - верно.
(1000 1
О тв е т : ----- ; -
I 99
2. Задание: Решите систему уравнений
vo I о
\
9
log,(x + j0 = 3,
logis X = \—log,5у.
Решение:
log2(x + >0 = 3,
fIog2(x + у ) = 3,
j log2(x + у ) = 3, j x + у = 8,
l o g IS x = 1 - log,, y;
[log,, x + l o g ,5 y = U
| l o g , 5( x v ) = 1;
[ x y = 15.
(3 ;5 ),(5 ;3 ).
Проверка:
1) jc= 3,jv= 5;
log, 8 = 3,
flog2 8 = 3 • верно,
log,, 3 = 1 - log,, 5; [log,, 15 = 1 - верно.
2)x=5,y=3\
235
f
1 - верно.
О т в е т : (3; 5), (5; 3).
flg (x2 + jy2) = l + lg8,
3. Задание: Решите систему уравнений
равнении s
[lg(x + y )- \ g (x - y ) = \g3.
Решение:
Ig(jc" + y 2) = lg 80, x2 + y 2 = 80,
lg(x2 + / ) = ! + Ig8,
X+ у
lg(* + > 0 -ig ( * -;K ) = lg3; lg ——^- = ig3;
X -y
|х2 +>>2 =80,
f4>’2 + j'2 =80, {у2 - 16,
\x = 2у;
\x = 2у;
\x = 2у.
(8; 4), (-8 ;-4 ).
Проверка:
1) х = 8, у = 4;
flg(64 + 16) = 1 + lg8, Jlg80 = lg80 - верно,
\lg 12 —lg4 = lg3;
[lg3 = lg3 - верно.
2) x = -8 , у = -4 ;
j lg(64 +16) = 1+ lg 8 - верно,
[lg(—12) - lg (-4) = lg3 - неверно, т.к. lg(—12) u lg(—4) не существуют
О твет: (8; 4).
4. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
,Q1+Ig(,+V) = 50}
I
Найденные значения х и у удовлетворяют ОДЗ.
О твет: (4,5; 0,5).
236
!°g
S. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
= 8’
х
log3 log, - = 0.
9 У)
ОДЗ: х > О, у > 0, х * 1, log, - > 0.
9 У
По определениюлогарифма имеем:
IX
U
о"
ста
xy = ( ^ f ,
И г
11 * 49
И
j
U-te-l
(3; 27), С~3;- 27).
Парачисел (-3;—27) не входит в ОДЗ.
Ответ: (3; 27).
6. Задание: Решите систему уравнений
Решение:
ОДЗ:х>0,у>0.
21og5x-lo g 5_y = 0,
х2- 3^ = 4.
2 log, х - log5у = 0,
log,x2-log,j> = 0,
х2-3у = 4;
х* —3у = 4;
у = х%
У
х2 = -2.
х2- 3у = 4;
Ответ: системане имеет решений.
|2х = 3у-3,
7. Задание: Решите систему уравнений I
[logЛ (х - 3>>-f 8) = 2 .
Решение:
2х = 3у-3,
2х -З у = -3,
Г2х —3>» = -3, Гх = 3,
log^(x-3j>+8) = 2;
х -З у + 8 = (л/2)2;
[x -3 j/ = -6;
|v = 3.
Проверка:
= 9—3,
Гб = 6 - верно,
(6log^(l
1- 9) = 2; |log^2 = 2 - верно.
О твет: (3; 3).
237
Метод введения новых переменных
2\gx + \gy = 2,
8. Задание: Решите систему уравнений
\gx-2\gy = 1.
Решение:
ОДЗ:х>0,у>0.
Замена
2 lgx + lgy = 2,
Igx = а,
lgx- 21gy = 1;
2а +Ь = 2 |-2, [4а +2Ь = 4,
a-2b = l;
<з-2А = 1:
lgу = Ь.
5а = 5;
а = 1;
Ь = 0;
lg jc= 1; х = 10 >0 - принадлежит ОДЗ;
lgjV =0; у = 1> 0-принадлежит ОДЗ.
О твет: (! <
9. Задание: Решите систему уравнений -
log>
.x-logI ^ = -,
10;
ху = 16.
Решение:
О Д З:х> 0,у> 0,х* 1 ,у * 1.
I log„ х —logxу = —,
logvX-
[ху = 16;
ху = 16;
Замена:
log,x
log,, х = а
Г Г Р
I дгу = 16;
[3а2- 8а - 3 = 0, Г(3а +1)(а - 3) = 0,
[ху = 16;
[ху = 16;
■j, J log ^ х = ——, I У ~ъ _ х
[лу = 16;
2)-
а = 3,
[ху = 16;
[ху = 16;
flogv x = 3, (у 3=:с,
ху = 16; [ду = 16;
1х = —>0 -принадлежит ОДЗ,
[у = 64 > 0 -принадлежит ОДЗ.
[х = 8 > 0 -принадлежит ОДЗ,
[ху = 16; [у = 2 > 0 -принадлежит ОДЗ.
О твет: [ —;64 |, ( 8;2).
log x + log,y = 2,
10. Задание: Решите систему уравнений
х - у = 20.
Решение:
ОДЗ:х>0,.у>0,х* 1,у* 1.
logj x +\ogxy =2,
х2- у = 20;
log v х +■
logj. *
=2, Замена:
log„ x - a
jc2-д; =20;
logj x = 1,
a2- 2a +l =0, fo = 1,
x2- y = 20;
[x2-.y = 20;
(x-5Xx +4) =0,
|x 2-
a +- = 2,
a
x2- y = 20;
(x = y,
x2-x-20 = 0,
7 = 20; [дс2- y = 20; [x = >>;
x =y,
1)
2)
x = 5 >0 -принадлежит ОДЗ,
д; = 5 >0 -принадлежит ОДЗ.
х = -4 <0 -не принадлежит ОДЗ,
д/= -4 <0 -не принадлежит ОДЗ.
О тв е т: (5; 5).
Системы показательных и логарифмических уравнений
Ъу 9х =81,
11. Задание: Решите систему уравнений
lg(* +y f ~ lg* = 21g3.
Решение:
ОДЗ: х >0, х +у * 0.
У-з2,=з4,
|3V-9х =81,
[lg(jc +>>)2-lgJc = 21g3;
Гу = 4-2дс,
* * * # =
X
\-2х,
|>+2х =4,
1 X
г
у =4 - 2x,
1
[у =4 -2х,
7х+16 = 0; {(х-16)(х-1) = 0;.
jc = 16,
> = -28.
2)
дс—1,
>= 2.
(16; -28) - принадлежит ОДЗ.
(1; 2) - принадлежит ОДЗ.
О тв е т: (1; 2), (16; -28),
239
12. Задание: Решите систему уравнений
ЪгГх~Гу = 8!,
= l + lg3.
Решение:
ОДЗ:х>0,.у>0.
Г32 ^ - ^ = 815
| 32 Л - ^ =34^
Ы х-^= 4>
[igV xy = l + lg3; {igV ^ y = lg30; ^/x)M=30;
L/7 = 2i/x-4
\ y fx - Jy = 30;
yfx(2jx -4 ) = 30;
2x —4Vx —30 = 0;
х-2л/х-15 = 0.
О тв е т: (25; 36).
lo g ^ (x + y ) = 4,
13. Задание: Решите систему уравнений
З6' х-2У =54.
Решение:
OJ\3:x+y>Q.
.J log ^ (JC+ >’) = 4> |lo g 2(x + ^) = 2, Гдс+ д; = 4,
| з 6_х •2y = 54;
[Зб“* •2y = 54;
\y = 4 - x ,
(y = 4 -x,
ix = 3,
[64_Jt = 6;
[4 - x = 1;
[ y = l.
fy = 4 - x ,
|36" T-2V = 54; |32-34' x-2
О т в е т : (3; 1).
log3х - 2 у + у = 3,
14. Задание: Решите систему уравнений
у ■2У + 2У •log3х = 4.
Решение:
<ЭДЗ:х>0.
Из первого уравнения системы имеем log3х-Ъ - у + 2у.
Подставив полученное выражение для log3х во второе уравнение, полу­
чим квадратное уравнение относительно 2>:
у 2 ’г+2, ( 3 - у + 2у) = 4-,
У'2у +3-2*- у - 2 у + 2?>'- 4 = 0;
2^ + 3 -2 '-4 = 0.
Замена: 2>’=/,|>0.
i1 + 3 t-4 = 0;
/, = -4< 0, t2 = l;
Ответ: (81; 0).
§7. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Метод перехода к равносильной системе неравенств (основной)
1. log, (дс2 -2дг) > -1
6. log0,(х2 + x - 2 ) > log0i(x + 3)
2. lg(x2 - 5дг + 7) < 0
7. Iog2(- x 2 + 2x + 3) > log2(x2 - x - 2)
2 2,o82(*l ~3jt+2) > з
4.
8. logM x + log20(x +1) < log,0(2x + 6)
Iog0.5х + 3 - “ 2
9. l-2 1 o g ,(x + 2) > log3(x - 3 )
9
10. logjX + log^x+ log, X < 6
3
,
,
х +х _
5. log03log6
<0
х +4
Метод введения
новой переменной
Решение неравенств, содержащих неизвестное
как под знаком логарифма,
так и в основании логарифма
И . logo5х > 25
15. logr(3 - 2 x ) > 1
12. log3x + log3x> 2
16. log2x+3x2 < 1
]3
lg! ,-3 1gar+3 <1
lgx-1
14. l- 5 1 o g I 2 + 61og22 < 0
Метод интервалов
17 |ОВ« ( , + 3
2 x -4
19. x-logj^x2+x + l ) > 0
l o g >U
+
2
log2(x + l)> 2 ,
) < 0
is. log: ( I " 3 )>o
x -25
20.
Решение систем неравенств
, < 0
21. •
х~ 7 <о.
х +5
log05 (X +16) < logo j (X + 2) - 1,
22. * 2 Т
„
— т > 93
lo g ,(x - 3 )
( 1V 2I+I
23. •\ 2 J
>32,
log4(x - 6 )2 <1.
242
Г х 2+4
I ,
>0,
2 4 . ^ “ 16х+64
[lgVx+ 7 > lg(x —5 )—21g2.
Методы решения логарифмических неравенств
Для решения логарифмических неравенств, как правило, применяются те
же методы, что и для соответствующих уравнений, и, по сути дела, на большин­
стве этапов решение уравнений и решение неравенств ведется аналогично.
К числу важных отличий можно отнести два момента. Во-первых, принци­
пиальное значение имеет свойство монотонности функции log0х. Неправиль­
ное применение свойства монотонности (особенно в случае, когда О< а < 1)
приводит к ошибкам. Во-вторых, понятие области допустимых значений при
решении логарифмических неравенств требует более строгого и вниматель­
ного отношения, чем при решении уравнений, поскольку в этом случае при­
надлежность решения к ОДЗ невозможно проверить непосредственной под­
становкой. В связи с этим рекомендуется всегда начинать решение логариф­
мического неравенства с выписывания условий, определяющих ОДЗ.
При решении логарифмических неравенств нужно четко представлять себе,
что логарифмическая функция с основанием большим единицы, монотонно
возрастает, а с основанием меньшим единицы, но положительным, монотон­
но убывает.
Логарифмические неравенства обычно решаются одним из следующих
методов:
- заменой логарифмического неравенства равносильной системой нера­
венств;
- введением новой переменной;
- методом интервалов.
Рассмотрим каждый из этих методов на примерах неравенств, содержа­
щих логарифмы.
Метод перехода к равносильной системе неравенств (основной)
При решении логарифмических неравенств следует избегать преобразо­
ваний, которые могут привести к потере или появлению посторонних реше­
ний, так как в противном случае обоснование правильности ответа является
более сложной задачей, чем решение исходного неравенства. Тем самым, по
существу, основным методом решения логарифмических неравенств является
метод перехода к равносильным неравенствам (системам или совокупностям).
Рассмотрим данный метод сначала на примерах простейших логарифми­
ческих неравенств вида log0/ (x )v A .
При решении простейших логарифмических неравенств следует учиты­
вать область определения логарифмической функции и свойство монотон­
ности: при потенцировании по основанию, большему единицы, знак неравен­
ства сохраняется, а при потенцировании по положительному основанию,
меньшему единицы, знак неравенства меняется на противоположный.
243
1. Задание: Решите неравенство log, (л*2 - 2х) > -1.
Решение:
log, ( jc2 -2 jc) > -1.
3•
Учитывая свойство логарифмической функции с основанием, меньшим
единицы, и область допустимых значений, переходим к равносильной систе­
ме неравенств:
^
2
\\ +\\
J jc 2 — 2 jc > О,
0
Гjc( jc — 2 ) > О,
/
X
jc2~2jc < 3; 1(х + 1)(х-3)<0.
/
-1
у/// //// /
О тве т: х е (-1; 0) U (2; 3).
2. Задание: Решите неравенство lg(jc2- 5jc + 7) < 0
Решение:
lg(x2- 5jc + 7) < 0;
Jx 2-5x + 7 > 0,
[ jc e
[ jc2 -5x + 7 < 1;
[(x - 2 )(x - 3 )< 0 .
R,
О тв е т: 2<x<3.
3. Задание: Решите неравенство 31о8^'г -3jr+2) > 3.
Решение:
3log2(jrJ -3x+2) > у
log2(х 2 - Зх + 2) > 1;
J
jc2
-Зх + 2
> 0,
[х2- Зх + 2 > 2;
х2-Зх +2>2;
х (х
-3)>0.
Ответ: х е (- оо; o]U [З; оо).
244
3
+
>
а ~ь
f
х 4
4. Задание: Решите неравенство log05
■
•■< -2.
Решение:
I
х-4 f _
log05—— <-2;
х+3
х-4
>0,
х+3
х-4
>4;
х+3
х-4
>4;
х+3
х-4 „
4---- <0;
лг+3
Я
р
х+3
Ответ: х е
5. Задание: Решите неравенство log03log6----- < 0
х +4
Решение:
,
,
х2+х л
1°8о.з log6-- —<0;
х+4
I
х2+х ,
log6---—>1;
х+4
х2+х
>0,
х+4
х2+х
>6;
х+4
---->6;
х +4
хг -Зх-24
>0;
х +4
(х-8)(х +3)
>0.
х+4
Ответ: х е (-4;-3)U (8;со).
245
Рассмотрим решение простейших логарифмических неравенств вида
•°8и / (* ) > log„ g (x ).
При а > 1: loga / (х ) > loga g(x ) равносильно системе неравенств:
При 0 < а < 1: loga / (х) > loga g(x) равносильно системе неравенств:
Заметим, что первую систему можно упростить: неравенство/(х ) > 0 вы­
текает из неравенств f(x )> g (х), g (х) > 0, поэтому неравенство/ (г ) > 0 можно
опустить.
Аналогично можно упростить вторую из написанных выше систем: нера­
венство g (х) > О вытекает из неравенствf(x )< g (х),/(х) > 0, поэтому неравен­
ство g (х) > 0 можно опустить.
6. Задание: Решите неравенство log0,(х2+ х - 2) > log0,(х + 3).
Решение:
logo,, (х2+х - 2 ) > iog0,(* + з);
х2+ х —2 > О,
х + 3 > О,
х2+ х - 2 < х + 3;
X
Ответ: х е (->/5;- 2 )U (1; л/5).
246
7. Задание: Решите неравенство log,(-x2+2х +3)> log2(x2- х - 2 ).
Решение:
log, (—jc2 + 2х + 3 ) > log, (х 2 - х - 2 );
- х2 + 2х + 3 > О,
x2- x —2 > 0,
- x2+2x +3 > x2- x - 2;
О твет: 2<х<2,5.
Существует несколько приемов, позволяющих логарифмическое неравен­
ство свести к простейшему. К ним относятся: использование формулы пе­
рехода от одного основания логарифма к другому, применение формул
логарифмирования произведения, степени и частного, сведение к алгебраи­
ческому виду.
Остановимся на рассмотрении некоторых логарифмических неравенств.
8. Задание: Решите неравенство log20х +log20(.x +1) < log20(2x +6).
Решение:
log20X+logjofx +1) <log20(2x+6);
log20(x •(x +1)) <loga (2x +6);
x >0,
x +1 >0,
2x +6 >0,
x(x +1) < 2x +6;
x >0,
x >-1,
x> -3 ,
x2- x - 6 < 0 ;
247
О тве т: 0<х<3.
9. Задание: Решите неравенство 1-2 log, ( jc + 2) > log3( jc - 3 ) .
Решение:
1- 2 log, (jc + 2) > logj (jc - 3);
9
1+ log3(jc + 2) > log3(jc - 3);
log3(3 •( jc + 2)) > log3(jc - 3);
jc + 2
jc -
x > -2,
> 0,
3 > 0,
jc
3(x + 2) > jc - 3;
jc
> 3,
x > -4,5;
О тв е т: x> 3.
> 3.
10. Задание: Решите неравенство lo g 3x + lo g ^ x + lo g , x <6.
у
Решение:
logjjc + log^j x + log, x < 6;
|
logjjc +
2 lo g 3jc - lo g 3Jc < 6;
log3Jc < 3;
fjc > 0,
[jc < 27.
О тв е т: x e (0; 27).
Метод введения новой переменной
При решении логарифмических неравенств данным методом вводится
новая переменная у = log0 jc, и неравенство решается как алгебраическое отно­
сительно переменной у. После этого, решение исходного неравенства сводится
к решению соответствующих простейших неравенств.
Рассмотрим данный метод решения логарифмических неравенств на кон­
кретных примерах.
248
11. Задание: Решите неравенство
Решение:
logj.5 * > 25,
logj 5х > 25
ОДЗ: х > 0.
Обозначим у = log05х.
/-2 5 > 0 ;
(у-5Х>' + 5)>0;
\V X \
у <-5, ;у>5.
Выполним обратную подстановку:
1) у < -5;
2) у > 5;
log0sх < ” 5;
log05х > 5;
х > 0,
х > 0,
В 2
*< i 1 1;
0 <х <
х > 32;
32
О тве т: х е | 0; — |U (32; оо).
12. Задание: Решите неравенство log2х + log3х > 2.
Решение:
log2х + logj х > 2,
Обозначим у = log3х.
ОДЗ:х>0.
у 2+ у - 2 £ 0 ;
(гИ+ 2)(^-1)> 0;
j /<-2,j >>1.
Выполним обратную подстановку:
х>0,
1 )уй -2 ,
log,х < -2,
0 < х £ —;
9
* * ?
2)>2:1,
logj х > 1,
х > 0,
х£3;
х£ 3.
О тве т: х е 0; — и [3 ;« ).
---4 9
249
\сг х —31йх +3
13. Задание: Решите неравенство —----- -----< I .
lgx-1
Решение:
lg! x-31gx+3 .
-5— ------- <1,
lgx-1
Обозначим у = lg х.
л
ОДЗ: х>0, х * 10
z l z M l . 1<0; Ш
щ
^-i
у-1
гт- т
— //////// ^ — — у —
у<1,
lg* < 1;
Jx >о,
[х < 10;
0 <х < 10.
О тве т: х е (0; 10).
14. Задание: Решите неравенство 1- 5log, 2 + 6 log* 2 < 0.
Решение:
l- 5 lo g ,2 + 61og*2<0,
О Д З:х> 0,х*1.
Перейдем к новому основанию логарифма:
i - _ * _ +_ ‘ - < л
log2X log, X
Обозначим у = log2х.
.5 6
_
1— +— <0;
У У
у
(у - 2 )(у - 3 )
У2
'
2 <у <3;
2 < log21 < 3;
4 < х < 8.
О тве т: х е (4; 8).
250
Решение неравенств, содержащих неизвестное
как под знаком логарифма, так и в основании логарифма
Рассмотрим задания, где требуется решить логарифмическое неравенство,
в котором основание логарифма также зависит от л:. При анализе таких нера­
венств правило знаков уже не работает однозначно (так как мы не знаем, в
каких пределах лежит основание логарифма). Поэтому следует рассматривать
два случая: когда основание логарифма больше единицы и когда основание
логарифма положительное, но меньше единицы.
15. Задание: Решите неравенство logx(3 - 2х) > 1.
Решение:
l°gx(3 ~ 2х) > 1;
х >
1,
1) •3 - 2х > 0,
х >
1,
•х < 1,5,
3- 2х > х;
х < 1;
0 < х < 1,
0 < х < 1,
2) 3 - 2х > 0,
3 - 2х < х;
х < 1,5,
решений нет;
решений нет.
х > 1;
О т в е т: решений нет.
16. Задание: Решите неравенство log2l+3 х2 < 1.
Решение:
2х + 3 >1,
Ж х2 >0,
х2 < 2х + 3;
х >-1,
х * 0,
(х - ЗХх + 1) < 0;
х е (-1;0)U (0;3);
251
V
2>
о
0 < 2х + 3 < 1,
х2 > 2х + 3;
0 < 2х + 3 < I,
- 3 < 2х < -2,
х * 0,
х
х2 - 2 х - 3 >0;
(х - 3)(х +1) > 0;
* 0,
-1,5 < х < -1,
х
* 0,
(х - 3)(х + 1) > 0;
Объединяем полученные решения.
О тве т: х е (—1,5; —1) U (—1; 0) U (0; 3).
Метод интервалов
Для решения логарифмических неравенств, содержащих произведение или
частное различных функций, можно применять метод интервалов.
При использовании данного метода полезно запомнить:
loga х > 0, если положительные числа а и х лежат “ по одну сторону от
ёДиницы” ;
logfl х < 0 , если положительные числа а их лежат “ по разные стороны от
единицы” .
log04(x + 3)
------ й 0.
17. Задание: Решите неравенство--- 1
2х -4
Решение:
1Ое° ‘ (Х + 3><0.
ОДЗ: * > -3.
2х-4
Используем метод интервалов на области допустимых значений х:
log04(х + 3) = °;
2х - 4 = 0;
х+3 = 1;
2х = 4;
х, = —2;
х2 = 2.
?
I—
252
2
*X
О т в е т : х е (- 3 ; -2 ]U (2 ; «0-
18. Задание: Решите неравенство ■^ —--- > 0.
х1-25
Решение:
log2(x -3 )
>0,
ОДЗ: х> 3.
х1 - 25
Используем метод интервалов:
log, (х -3 ) = 0;
х - 25 = 0;
х - 3 = 1;
(х - 5)(х +5) = 0;
*,= 4;
х2 =5,
х, = -5 г ОДЗ.
О твет: х е (3; 4) U (5; ® ) .
19. Задание: Решите неравенство х •log0,(х + х + 1) > 0 .
Решение:
х- Iog0I(x2+ х +1) > 0,
ОДЗ: х е Л .
Используем метод интервалов:
х, = 0;
log01(x2+х + 1) = 0;
х: +х + 1= 1;
х(х+1) = 0;
х2=0,
Xj = - I.
------ 1------ о-- 1--1
О твет:х< -1.
20. Задание: Решите неравенство
+^ < 0.
log2(x-3)
Решение:
log3(x +2)
log2(x -3)
<0,
ОДЗ:х>3.
Используем метод интервалов:
log3(x +2) = 0;
log, (х - 3) = 0;
х + 2 = 1;
х-3 = 1;
х, = —1 « ОДЗ;
х2=4.
Г
О твет: 3<х<4.
253
Решение систем неравенств
flog2(x +l)>2,
21. Задание: Решите систему неравенств <х - 7
—^ £ 0 .
Решение:
1х+5
х +Г>4,
х-7
<0;
х +5
Гх>3%
— йО.
[х+5
х +5
О твет: х е (3; 7].
Гl°go.s(* +16) <log05(х +2) -1,
22. Задание: Решите систему неравенств J y ix
[з*-7 >
Решение:
Щ
log0,5(* +16)< log0S(x +2) -1,
щ
log0.5(* +16) < log05
32г+7>32;
х +16 > 0,
х > -16,
х+2 > О,
х > -2,
х > -2,
х +1б£2(х +2),
х < 12,
х < 12.
2х+7> 2;
х > -2,5;
О твет: х е (-2; 12].
23. Задание: Наймите натуральные значениях, удовлетворяющие системе
у IV ™
неравенств
log4(x - 6 )2 й, 1.
254
Решение:
22г"' > 25,
>32,
\2 J
2х-1 >5,
log4(x - 6 ): < 1;
(х - 6 )2 < 4;
х > 3,
-х * 6,
(х - 6 )2 >0, •X Ф 6,
(х - 6 )2-4 ^0 ;
(х - 8)(лг - 4) < 0;
Натуральные числа, являющиеся элементами полученного решения: 4,5,7,8.
О твет: {4; 5; 7; 8}.
§|-------- >0,
24. Задание: Решите систему неравенств х -16х +64
lgVx +7 > lg(x —5) —21g2.
Решение:
х2+4
х -1 бх +64
>0,
lgVx +7 > lg(x-5)-21g2.
1) Решим сначала рациональное неравенство:
х2+4
—-------- >0;
х* -16х +64
х2+4 ’
-----г->0;
х * 8.
(х - 8 )2
2) Решим второе неравенство:
lgVx + 7 > lg(x —5) —2 lg2, ОДЗ: х е (5; да);
lg>/x+7 >lg^—
Vx +7 >
х-5
Получившееся иррациональное неравенство решим методом интервалов:
ОДЗ:х>-7. ч
255
/ (x ) = V x + 7 - ^ ^ .
4
Найдем нули функции:
I — 7~п
х ~ 5
;
■Jx
+ 7 = ----
4
16(х + 7) Щ х2 —1Оде-4- 25;
хг —26х - 87 = 0;
и второго неравенств, получим:
Jx * 8 ,
|5 < х < 29.
О т в е т : х е (5; 8) U (8; 29).
Резюме
В данной главе вы ознакомились с показательными и логарифмическими функ­
циями.
В начале главы были описаны традиционные методы тождественных преобразо­
ваний логарифмических выражений, включая вычисление одних логарифмов через
другие.
Далее мы перешли к рассмотрению методов решения показательных и лога­
рифмических уравнений. Затем были описаны методы решения соответствующих
неравенств.
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующими умениями:
- знать определение логарифма, основные свойства логарифмов;
- применять свойства логарифмов для упрощения логарифмических выражений;
- решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства различны­
ми методами;
- решать системы уравнений, включающих алгебраические, показательные,
логарифмические выражения.
256
Глава IV
Т РИ ГО Н О М ЕТ РИ ЧЕС КИ Е Ф УН КЦ И И
§1. ТО Ж Д ЕСТВЕН Н Ы Е ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТРИГОНОМ ЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖ ЕНИЙ
Формулы для тригонометрических
функций одного и того же аргумента
1.a)2sin2a + >/2cosa + tga,
. „
я
ctga = 1, 0 < a < —;
2
Л\ cos a , ctga = —1, —
я < а < лг;
о)
2
tea
в )
Формулы
приведения
j \
3.a)cos| - l l -яг |;
6)eos>r —2sin
2
, cosar = -0,4;
tga +ctga
a tga = i;
----1
г )ч 3cosar+ 5sin
2cosa-sina
_ sinar- cosar
4 )— ------ctga = —;
sin a - cos a
3
e)cosl05’ -sin!95° + sin(—135°);
v sin420°-sin30°-cos750°
г) --------------------- ;
sin570‘ sin 1230’ -cos660°
d)/gl0= tg20° ■tg30° •tg40° • - tg W .
4
. sin2or -3cos2ar
e) — ~i------— ’ Ш = 3;
2sin a + cos a
.у с ) sinar -cos or, sinar + cosar = a.
4. a) sin(90° - ar) - cos(l 80° - ar) +
+tg{l 80° - ar) - ctg(270° +a );
2 .a )------- - !-— ;
(tga + ctga) •sin' ar
6) sin4or + sin2a ■cos: a + cos2a\
„
37л-
sin(ar 6)
+arjcos(-ar)
cos(ar - 2x)tg(-a - n )
sinar + cosar
I + 2sina-cosa
sin a
sin a
1- cosar
d)\ +
I + cosor
1- cos2a+ tgxa- cos2a
sin ar
e) sin(180° -ar)-
cos2(l 80° +ar)
cos(ar - 270°) ’
sin3(ar-270‘ )cos(360‘ -ar)
/g3(ar - 90°) cos3(ar - 270°)
e) sin6ar + cos6a + 3sin2a •cos2ar.
Формулы сложения аргументов
5. a) sin 15’ ;
б) cos 105”;
e)tg15'-
Формулы двойного аргумента
. . . _
20 п
8.a ) sin 2а, sin а = — и — < аг < п\
29
2
3
Зл’
б ) s in 2а, tga - — и п < а < — ;
257
6.a) cos(a +Р),
3
5
e)l+94/5sin2ar, cos or = —
4
5
cosor =--, COSВ = —
и 270° <a < 360°;
и — < а <л, л < В < — •
2
г) 4 +27cos2or, cosar = —;
2
6)cos(ar - /?),
.
.a
a
d )sinar, sm— l-cos— = 1,4;
2.
2
• " .5*
0
4
sum = ---, cos В = —
13
51
л
2л
Ал
(а ,/ ? - углы III четверти);
е) cos— •cos—-■>cos— ;
9
9
9
' б) /gar, /g(ar - /?) = 2, ain/? = -
ж ) sin 10* ■sin 50’ •sin 70°;
з)
и — < В< л.
4sin 20° •sin 50° •sin 70°
(sin 80°
2
7Г
Л
Л
30
15
30
.
Л
sin(60° + ar)
9.a)
f
a \ . f ' „ arY
l 15' +- sin 75°-l
4,) V
4J
COS-COS-- hSin-Sin—■
7. а)
.
lit
4л
15 ■
1л . 4 л '
sin— cos-- hcos— sin—
30
15
30
Щ sin(45“ + a ) - cos(45° +or)
15
6)
l-4 sin 2ar-cos ar
cos2or-sin2a
sin(45° + or)+cos(45° +ar)’
«)
tga+tg\ ^ - a
\3
l-/go r/gfy-or
г) tga •tg/3 + (tg a +tgfi)ctg(a + P ).
г)
1+ctg2a ■ctga
d)-
tga + ctga
sin22ar-4sin2ar
sin 2ar + 4sin ar-4
tg2a
e)
tg4a - tg2a
ж) (sinar)'1+(/gar)"1;
з) 1
^---r
1—sin-,| 2ar+ —r
258
Формулы
половинного
аргумента
10. a ) cos2— , cos dr = 0,4;
2
б ) sin—;
8
г ) sin*a + cos4or, cos2a = — ;
13
. . ,я
2Ъп
. 2 5л2 7л
а) sin' — + cos — + sin — + cos — ;
8
8
8
8
,
a
. a
1+ cos— sin —
2
.
a
I - cos —
2
13.а)л/з ± tga;
б ) 1+ sin a + cosa;
в) tg9° - tg63' + tg81° - tg2T ;
/
\
/
\
. .
cc ^ A
. •»( a
_„ ]
г)5ш ‘ — + 2p - s i n '---ip ;
^2
)
v.2
|
e )tg ] 12°30';
e)
Формулы преобразования
суммы тригонометрических функций
в произведение
2.
. a
sin —
2
11. a ) sin 4a + cos4a ctg2a, tg2a = 4;
.. cos(a + 32°) + cos(a - 28°)
o )---------------------- ;
sin(88 - a )
е)3 - 4 sin 2| — - a ;
u
/
ж ) sin 47° + sin 6 Г - sin 11° - sin 25°;
1 2cos40° - cos 20°
з--------------- )
sin 20
1
14. a ) cos 2a - cos 3a - cos 4a + cos 5a;
б ) sin4a -cos4a , lg — -0,5;
6 ) sin 4a - sin 5a - sin 6a + sin 7a;
a
_ „
e )sin a и cosa, lg — = -2,4,
1 sin a + 3sin 2a + sin 3a
e )--------------------.
cos a + 3cos 2a + cos 3a
90' <-<135*.
2
A
r
Ч
a )- \
Н
'
\+ lg 2a
259
Формулы преобразования
произведения тригонометрических
функций в сумму
15.a)16sin— sin— , cosar =
2
2
4
л\ sin
• 2ar +sinl
•f—
л +ar11•sinl• f 71- ar j;Л
б)
Вычисление значений
тригонометрических функций
от аркфункций
1 1
. ( . 5лЛ
7
6л)
16. a) arcsinl sin — I - arctg\ tg— j 1
8лЛ
J
f 3;rY|
-arccos^cos— j +arcctg ctgy-— JJ;
в) sin 20° •sin 40° ■sin 80";
б) /g^arcsin^- H +jpl;
г )
2sin70°;
2sinl0“
.
I
( 2\ H
в) c o s |^ / r^ - - J— —J;
2n
4л
6>r
o) cos---hcos---hcos— :
7
7
7
s)sm (arctg(-3));
e) sin 4° -sin 86° - cos 2° •sin 6° +—sin 4°.
2
d) sin^2 arcsin
e)tg(^arcctg3j.3
.1 2
ж ) arcsin —+arcsin— ;
5
13
з) arctg2 +arctg3.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Известно, что школьники испытывают немалые трудности, изучая триго­
нометрию. Причин этому несколько. Укажем две из них: большое количество
формул, которые необходимо помнить, и отсутствие стандартных приемов
преобразований тригонометрических выражений.
Формирование навыков тождественных преобразований тригонометри­
ческих выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется
с помощью достаточно большого числа упражнений.
Выполнение преобразований тригонометрических выражений рекомен­
дуется начинать с анализа структуры данного выражения и составления плана
действий. Иногда могут быть полезны следующие рекомендации:
1.
Если выражение содержит разные тригонометрические функции одного
аргумента, то попробуйте все функции выразить через одну или две функции.
При этом тангенс и котангенс угла чаще всего выражают через синус и коси­
нус этого же угла.
260
2. Если в выражение входят тригонометрические функции от разных аргу­
ментов, то попытайтесь свести все функции к одному аргументу.
3. Формулы приведения могут быть полезны для выражения тригономет­
рической функции через кофункцию.
4. Не забывайте о формулах сокращенного умножения - они могут иногда
помочь в преобразовании тригонометрического выражения.
5. Если в выражении нет нужного слагаемого, то его можно прибавить и
сразу же вычесть. Иногда полезно какое-то слагаемое представить в виде суммы
двух или нескольких слагаемых. Наконец, единицу бывает полезным предста­
вить в виде 1= sin2а +cos2а .
6. Если в выражении нет нужного множителя, то на него можно умножить
и сразу же разделить данное выражение (при условии, что этот множитель
отличен от нуля).
7. Попробуйте применить метод введения вспомогательного угла. В про1
стейших случаях он сводится к замене чисел —; — ; — ; — ; v 3 ; 1тригоно­
метрическими функциями соответствующих углов.
8. Если в выражение входят степени тригонометрических функций, то мож­
но обратиться к преобразованиям, понижающим степени.
9. Если данное выражение является однородным многочленом и-ой сте­
пени относительно sin а , cosar, то преобразование можно выполнять путем
вынесения за скобки cos" а или sin" а .
Характерная особенность преобразований тригонометрических выраже­
ний состоит в том, что к одному и тому же результату, как правило, можно
прийти разными путями. Поэтому по окончании решения полезно время от
времени сопоставлять различные способы преобразования одного и того же
выражения.
Надо помнить, что в тех задачах, где речь идет о преобразовании тригоно­
метрического выражения, всегда предполагается, хотя часто и не оговаривает­
ся в условии задачи, что преобразование предложенного выражения должно
быть проведено в его области определения. То есть только при тех значениях
аргументов, для которых тригонометрическое выражение имеет смысл.
Тождественные преобразования тригонометрических выражений опира­
ются на следующие основные формулы.
- Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.
- Формулы приведения.
- Формулы сложения аргументов.
- Формулы двойного аргумента.
- Формулы половинного аргумента.
261
- Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических фун­
кций в произведение.
- Формулы преобразования произведения тригонометрических функций
в сумму (разность).
Рассмотрим применение каждой из формул на конкретных примерах.
Применение формул
для тригонометрических функций одного и того же аргумента
По значению одной из тригонометрических функций некоторого аргу­
мента можно, используя приведенные ниже формулы, найти значения всех
остальных. Применение этих формул значительно сокращает и упрощает
процесс тригонометрических преобразований.
sin2а +cos2а = 1;
sina (
я
.
Л
cosа (
_v
tga =--- а * —(2п +1), п е Z , ctga =-?---(а *яп, neZh
cosа \
2
)
sin а
tga •ctga = 1 fа *
пе z\
1+tgza =— -— | а Ф —(2я +1), п е Z |;
cos а \
2
)
1+ctg2a =
— (а ф тт, n eZ \
sin а
В скобках указаны значения аргумента, при которых тождества имеют чис­
ловой смысл.
1. Задание: Вычислите:
а) 2sin2а +>/2cosa +tga, если ctga = 1, 0 <а < —;
„
1 я
о )cosa, если ctga =— , — < а< я;
2 2
.
tga
в ) -----, если cosa = -0,4;
tga +ctga
v 3cosa +5sina
г )
, если tga = 1;
2cosa - sin a
sina -cosa\
- 3
д) — ----- — , если ctga =
sin a-cos a
4
. sin2a-3cos2a
е) — j----- 5 » если tga =3;
2sm a +cos a
ж ) sin a-cosa, если sina +cosa =a.
262
.
Решение:
а) Так как ctga = 1, 0 < а < —, то а = — .
2
4
Г п г\2
л/2
2sin2а + л/2 cosar +tga = 2sin2—+ \/2 cos— + tg— = 2- —
4
4
4
12
1
ш
+ л/2--- + 1=
2
= 1+ 1+1=3.
у
В следующих заданиях выражают искомую функцию через данйую, ис­
пользуя тригонометрические формулы с учетом знака в указанном проме­
жутке, затем подставляют данное значение и производят вычисления.
б) Учитывая, что а-угол II четверти, найдем sin ar, cos ar. •
11 ctg1a =
,1 =
sin2ar
1
• 2
4
sin ar = —;
5
2>/5
sin a = --- ;
5
tga
tga +ctga
11
cosa = -,1/1 —4
V 5
в) cosa = -0,4;
HuT)
cosa = ± vl - sin2a ;
tga
tg 'a
sin2a
tga + _ L
tga
tg2a + 1
sin2a + cos2a
= sin2ar = 1- cos2a =
= l- (- 0 ,4 )2 =0,84;
г ) tga = I;
3cos a Ssina
+ ----3cosa + 5sin a . cosa
cosa _ 3 + Stga
2cosa sin a
2 cosa-sina
2 -tg a
cosa
cosa
J
3 + 5-1 .
2-1
d)ctga =
sina- cosa
sin a cosa
sin2a - co s2a
sin3a
sin2a cos2a
sin2a
sin2a
3
ctga
1- ctg 'a
4
_ 1
1-’
16
263
e ) t g a = 3;
s i n 2 or
s in
a - 3 c o s 2a
a
cos
2 s i n 2a + c o s 2a
3 c o s 2a
cos
a
2 s in 2a
c o s 2a
c o s 2 or
c o s 2a
tg2a - 3
9-3
2 / g 2a + l
2 *9 + 1
19
ж ) s in a + c o s a = a ;
+ c o s a ) 2 = a 2;
(s in a
s in 2a + c o s 2a + 2 s i n a
c o s a = a 2;
co sa = a 2-1;
2 s in a
a 2- I
s in a
c o s a =?
2. Зад ан и е: У п р о сти те:
1
----------- ч
(tg a + c tg a )
• 2
sm
a
6 ) s i n 4 a + s i n 2 a •c o s 2 a
4
г)
i
+ c o s2a ;
s in a
s in a
1 - co sa
1+ c o s a
d )l +
1 - c o s 2 a + t g 2a * c o s 2 a
s in 2a
s in a + c o s a
<0— —
---------- ;
1+ 2 s in a
e ) s in 6a + c o s 6a
cosa
+ 3 s i n 2 a •c o s 2 a .
Реш ение:
s in a * c o s a
я)
( ^ g a + c t g a ) •s i n " a
s in a
cosa |
. 2
------ + — —
•s i n a
cosa
s in a J
(s in 2a + co s2a )- s in 2a
v
7
cos a
= c/g a ;
s in a
6 ) s i n 4 a + s i n 2 a •c o s 2 a
= s in 2a + c o s 2a
+ co s2a
= s i n 2 a •( s i n 2 a
+ co s2a ) + co s2a
= 1;
s in a + c o s a
sm a + cos a
l + 2 s in a * c o s a
s in ~ a + cos
a 4-2 s i n a
s in a + c o s a
cos a
(s in a + c o s a )2
s in a
s in a
s in a + s i n ‘a •c o s a — s i n a 4- s i n a * c o s a
1-cosa
1+ c o s a
(1 - c o s a )(14- c o s a )
г)
2 s in a
cosa
2 cosa
= 2 c tg a ;
s in 2 a
264
=
s in a
s in a + c o s a
2 s in a •c o s a
1 -cos
a
. ,
S in 'ОТ
,
2
2
j
sin a +— ;— cos a
~. 2
.. 1- cos a +tg a •cos ar , .
cos a
_ , . 2sm a ,
0)1 +-------—--------= *+------ -- ------- ® l +~ ~ l— = 3’
sin a
sin a
sin a
e)sinr,a +cos6or +3sin2ar •cos2or = (sin2ar)3+ (cos2ar)3+3sin2or-cos2a =
= (sin2a +cos2ar)(sin4ar-sin: ar •cos2ar +cosJ ar) +3sin2ar •cos2a =
=sin4a +2sin2ar-cos2ar +cos4a = (sin2ar +cos2ar)2= 1.
Применение формул приведения
Формулы приведения и формулы периодичности тригонометрических
функций позволяют выразить значение тригонометрической функции угла
любой величины через тригонометрические функции острого угла ar.
Для того чтобы усвоить все формулы приведения, нет необходимости их
запоминать, достаточно уяснить два вопроса: какой знак и какое название будет
иметь функция.
1. Какой знак? Перед приведенной функцией ставится знак, который имеет
исходная функция, если считать, что а-угол I четверти.
2. Какое название? Для углов л ±а и 2л ±а название тригонометричес­
кой функции сохраняется. Для углов —±а и -j-±ar название функции меня­
ется на кофункцию (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).
3. Задание: Вычислите:
a)cos| -11-л J;
в) cos 105° -sin 195” +sin(-135°);
. sin420°-sin30°-cos750°
г)
sin 570° •sin 1230° •cos 660°
37л
6) cos л - 2sin---;
6
d) /gl0° •/g20° •tg30° •tg40° •...■/g80°.
Решение:
3 J!
л )
з )~
6) cos л —2sin
„1 )
(34 ^
Г, , 4
^
(4 л )
=cos 1l —л =cos — л =cos 2л-5 +—л =cos — =
\ 3 J
[з J
[
3 J
\3 J
Л
-cos—
3
6
{
)
= - I -2sinf 6л +— | = -1 -2sin— = —1—2 •—= —2;
6
6
2
e)cosl05” -sinl95° +sin(-135°) = cosl05° -sinl95° -sinl35” =
= cos(90° +15°)-sin(180° +15°)-sin(90° +45”) = -sin 15° +sin 15° - cos 45° =
= _V2.
2 ’
265
. sin420*-sin30*-cos750* _
sin(360* +60*)-sin30*-cos(2-360‘ +30*)
г sin570* sin 1230* cos660* " sin(360* +210*)sin(3-360* +150*)cos(360* +300') “
sin 60'-sin30*-cos30°______________ sin 60" -sin 30° •cos30*__________
sin210* -sin 150* -cos300* sin(180‘ +30’) sin(I80* -30*) cos(270* +30")
sin60*-sin30* cos30*
(-sin30*)-sin30* -sin 30"
sin60*-cos30* _
sin230*
cos230'
sin230°
r ■
- (Jl)1- 3-
~C^
d)tg\0° ■tg20° ■tg30° tg 4 0 °-...tg W =
= tgl 0° •tg20° •tg30° •tg40° ■ctg40° •ctg30° •ctg20‘ •ctgl 0’ = 1.
4. Задание: Упростите:
a)sin(90° -a)-cos(180° - a ) +/g(180° -a)-c<g(270‘ +a);
sin(a - я ) с Ц | +a Jcos(-a)
6)
cos(a - 2n)tg(—a - n)
cos2(180’ +a )
e)sin(180° - a )cos(a-270°)
sin3(a - 270°)cos(360° - a )
tg\a - 90° )cos (a - 270°)
Решение:
a) sin(90° - a ) - cos(l 80° - a ) +tg(180° - a ) - ctg(270° +or) = cosa - (—cosar)+
+(-tg a) - (-tg a) = cosa +cosa - tga +tga —2 cosa;
г)
sin(a - &)ctg^j£ +ajcos(-a)
- sin(^ - a)c/g ^ +a jcos a
^ cos(a - 2n)tg(-a - n)
- sina •(-tga) •cosa
= -------- ------- m-sin a;
cosa •(-tga)
\ ■t\ on°
4 cos2(180° +a )
cos(2;r -a)(-tg(jr+ a))
.
.
cos2(180°+a)
cos(270° - a )
e)sin(180 - a ) ----- 1------ - = sin(180- a ) ----- 1------ - =
cos(a - 270°)
cos2a
(-sina)
cos2a
sina
sin2a+cos2a
sina
1
= sinar-------- = sinar +----- ------------- = ---- ;
. sin3(a-270°)cos(360°-a)
tg (a -90°)cosJ(a -270°)
cos4a
■=cosa.
cos' a . 3
— i— sin a
sin a
266
sina
-sin3(270°-a)cos(360° - a )
-tg (90°-a)cosJ(270°-a)
cos’a cosa
-c<g a(-sinJ a )
Применение формул сложения аргументов
Любую тригонометрическую функцию суммы или разности двух углов
можно выразить через тригонометрические функции этих углов.
sin(a ± Р ) =sin а •cos р ±cosа •sin Р\
cos(а ±р ) =cosa •cos Р +sin а •sin P\
tg(a ± P ) — —
— (a, p ,a + p
I +tga- tgP
ctg(a ±p)= Ct^a
ctgP ±ctga
5. Задание: Вычислите:
a) sin 15°;
6) cos 105°;
—+яп, n e Z);
2
(a ,P ,a +P *m , n& Z).
e)tg75°.
Решение:
a) sin 15° = sin(45° - 30s) = sin 45° •cos 30° - cos 45° •sin 30' =
2 2
2 2
4
6) cos 105° = cos(60° +45*) = cos60° -cos45° - sin 60° -sin 45° =
.1 .й - й Л .й „ - я ъ
2 2
2 2
4
Щ
Я I /g(45° +30) =
. S
------ 1 ~ 2 ± 4 , Н И
1- /g45° •tg30°
3->/3
6
I
6
6. Задание: Вычислите:
.
а.
3
„ 4
лЪп
а) coslar + В), если cosa = — , cos р = — и — < а <п, ж < р < — ;
5
5 2
2
5
4
б)cos(a- Р ), если sina = ——, cosр = - — (а ,Р - углы III четверти);
3 я
п
в) tga, если tg(a - р ) = 2, sinр = - и — < р <я.
Решение:
а) Вычислим sin а и sin р с учетом четверти, которой принадлежат
углы аи р.
sina = Vl-cos2а = ^ - ~ = j ; sin/? = —д/l —cos2р =-^|l-— ■= -—:
267
cos(ar + P ) = cosar •cos/? - sinar •sin P =
- J -I - —J - — I - - J =
12 12 24
~ 25 25 “ 25' '
б)
Вычислим cos а и sin /? с учетом четверти, которой принадлеж
углы огиД
г =—л/l —sin2or =- 11--^r- =
V
169
13
sin /3 = —J l - cos2Д = - J 1- — =
^
V
(Jl\ r i V f
[ 13J 1 s j +lt
V
13J
25
5
I 1
_ 48 ]5 = 63
~ 65 +65 65 ‘
в) Вычислим tg Д
_
г,-- ГТ Т
, 9 4
cos P =-л/l - sin P =- J l --- - — ;
V
V 25
5
Вычислим tg a.
tg(a-P) =2;
tga-tgp
=2;
\+tgatgp
3
/ga-| - 7
4
=2;
1+/gar•I
3
/gar+-
4_ =
_ 2;
, 3
l--/gar
4
3 I
3
/gar + - = 2 --/ga;
ft
,1 ’
25e<r=lj;
1
rgar = - .
268
J sin Д Ъ ( 4\
3
(g/5 =-- — =—-r - — =-- .
cos P 5 у 5J
4
1. Задание: Упростите:
л
л
. л . л
cos— cos— Hsin— sin—
ал
30___ 15____ 30___ 15_.
' . 1л
4л
1л . 4я ’
sm— cos— +cos— sin—
30
15
30
15
g)
'
sin(45° +a ) - cos(45° +or) _
sin(45° +a ) +cos(45° +a ) *
.- , А л
tga +tgi — a
U
/'лi - tea ■te\ —- a
8 ЦШ
гу/ga •tgp +(tga +tgp)ctg(a +/?).
Решение:
Л
Л
.
Л
Л
cos— cos— +sin— sin—
дч
30
15
30
15 |
а) .1 л
4ж
1л . 4л
sin— cos— + COS— sin--
30
15
30
15
*
130 15j
. (In
4л )
sin — + —
^ 30
15 J
cos—
___H
. л
sin —
|
30 ’
2
_ sin(45“ +ar)-cos(45° +ar) sin45° cosar +cos45° sina - cos45° cosa +sin45° sina
-------- —-------------------------sin(45" +a ) +cos(45° +a) sin45° cosar +cos45° sinar +cos45° cosar - sin45° sinar
б)
V2 .
~
V2 .
— sina +— sinar
9
о
V2
V2
— cosa +— cosa
2
2
i
sinar
cosa
~ tga\
J 71
шЩШ т~ а ,
e )------ V — — = tg\ a +T - a I = tg— = f i;
l- /g a - Ц j - a
г) tga ■tgP +(tga +tgP)ctg(a +P ) = tga •tgp +
+'gffX? lSa Щ Р) I
tg a+tgp
= tga tgp + \~ tga tgp = 1.
Применение формул двойного аргумента
Следующие формулы выражают тригонометрические функции произволь­
ного угла через тригонометрические функции угла в два раза меньшего:
sin 2а = 2sin а ■cosот;
cos2а = cos2а - sin2а = 2cos2а - 1= 1- 2sin2а;
2/га (
л
л
,
, J\
0? 2а = — 2-т— а * —+ яи, a ±—+як, п,к е Z ;
\-tg2a [ 2
4
)
cte1а -1 (
лт
'^
ctg2a = — ---- а * — , m е Z
2
ctga I
2J
269
8. Задание: Вычислите:
v . ~
.
20 я
a) sin 2а, если sinar = — и — < а < л:
29 2
• -1
3
Ъл
ojsin2а, если tga = — и л < а < — :
4
2
в) 1+9л/5 sin 2ar, если cosar = — и 270° < ar < 360“
3
2
г ) 4 + 27cos2а , если cosar = —;
3
„ .
.а
а
a) sinar, если sin — +cos — = 1,4;
2
2
.я г
2л
4л
е) cos — •cos---cos— ;
9
9
9
ж ) sin 10° -sin 50° -sin 70°;
з)
4sin20° -sin 50° -sin 70°
sin 80°
Решение:
a) Учитывая, что ar- угол II четверти, получаем:
cosar = -yfl- sin* ar = -,|1 -
20 Y
31
29J “
29’
•.
. 20 f 2 П
840
sin 2a = 2sinar •cosar = 2 --- ---- = ----- .
29 I 29J
841
6) Найдем cos агиз равенства:
\+tg2a = — L - ;
3 '2
i + |4 | =.
2
4)
cos a
’
u
3л
/16
4
Но л <ar < — , поэтому cosar = -./— = — ;
R---- 2
, 16
3
sinar = -VI - cos a = - J 1--- = — ;
V 25
5
sin 2a = 2sin ar-cosar = 2-| —— |-Г- — | = — .
I 5 j t 5 ) 25
e )l +9>/5sin2ar = l +18>/5sina -cosar.
Т.к. угол ar e IV четверти, то sin a = —\/l-cos2ar
1-н9л/5 sin 2а = 1+ 18л/5 -
3 ,3
^)4 + 27cos2ar = 4 + 27(2cos or -1) = 4 + 27-1--11= 4 -3 = 1;
« .
- . а
a
d)sm a = 2sm— -cos—;
2
2
sin — +cos— = 1,4;
■
a
a
2
X A
2
| I a
a . . ..
I sin— +cos— I =1,4;
. , or _ . or
a
2a
sin —+2sm—-cos—+cos — = 1,96;
2
2
2
2
1+sinar = 1,96;
sinar =0,96;
я
2я
Ля
e)-cos— -cos-- cos— .
9
9
9
Воспользуемся искусственным приемом: умножим и разделим заданное
выражение на 2sin —, а затем воспользуемся формулой двойного аргумента.
я
2я
4я _ . я
.2 я
2я
\я
.
cos—-cos-- cos---2sin— sin---cos--- cos— -2
я
2я
4я
g o
g
g
g
g
9
cos—•cos-- cos— =--- --- 1—1----------- —=---1-----i -----1---=
9
9
9
2 si„£
2sin — I -2
9
9
. 4я
4я .
. %я
•K
•fЯ - *11 sin—
sin
sin-- COS — ■2 sin —
,
•* I
9 JL
9 _ 1
9
9
9
„ . я
8
я ,
_ . я
_ . я
4sin —|-2
8sin—
8sm—
8sin —
9
9
9
9
Замечание: Произведение косинусов, аргументы которых удваиваются,
можно упростить умножением и делением его на синус наименьшего угла
с последующим “свертыванием” числителя с помощью формулы двойного
аргумента.
ж )sin 10* -sin50‘ -sin70°.
Умножим и разделим заданное выражение на 2cosl0*.
sin 10* •sin 50' •sin 70* •2cos10* sin 20’ •sin 50* •sin 70* _ sin 20* •sin 50* ■cos20* | -2
2cosl0*
2cosl0‘
2cos10° |-2
_ sin40* sin50'
4cosl0*
sin40* cos40*|-2
4cosl0*|-2
sin80* _ coslO*
8cosl0* 8cosl0*
1
8’
271
50°-sin 70°
3)4sin 20°-sin
sin 80°
4sin 20°-sin 50°-cos20’
sin 80°
2sin 40*-sin 50*
sin 80°
_ 2sin40° -cos40° _ sin 80°
=1.
sin 80°
sin 80°
9. Задание: Упростите:
^
sin(60° +a?)
4sta( 15' +f ) si" ( 75'- f ) .
e)
tgAa - tg2a
l-4sin2ar-cos2ar
cos ar-sin a
а
аЛ|2аг
ж ) (sinar)-1+(tga)*';
l +ctg2a -ctga
з) 1
6)
e)|
*)
sin22at-4sin2ar
sin22ar +4sin2ar-4’
tgia
d)~
tga +ctga
Г—
Г
l^sin ',|2a +—
Решение:
sin(60° +ar)
sin(60° +ar)
4sin( 15° +f ) sin( 75’ - f )
4sin(l5” +^]sin^90°-^15° +| j j
a)
sin
sin(60° +ar)
H I cos^I5° +^ j|
2 -2sin|
(*( « " I ) )
2sm|
2sin| 30° +|jcos^30° +у
=cos^30°+y ^
2sin^30"+^j
l-4sin2ar cos2ar l-sin22ar cos22ar
o ) ----- ------ — ---- = ------ r ----= -----г— = cos2ar;
cos ar-sin ar
cos2ar
cos2a
4l
a
ar> 2ar
e)\ctg --tg-]jg — =
1
- r * i
*7
272
a
* r§
I -tg 2 ja
m
01
2tg= 2:
tg
,- V f
I
I +ctg2a ■ctga
ctg2a - \
1+--------ctga
2ctga
2 +clg2a - \
_____
2
l +ctg2a
ctga
tga+ctga
_ L _ +Ctga
l +ctg! a
2
l +ctg2a
ctga
ctga
ctga
2
v sin22a-4sin2a
4sin2a-cos2a-4sin2a
<*)sin22a +4sin2a -4 4sin2a ■cos2a +4sin2a - 4sin2a - 4cos2a
4sin2a(cos2a - l)
l-cos2a
, sin2a
=--- i
--- —=/^-cr-— — =tg~a— | —tg a;
4cos a(sin or—1)
l-sin a
cos a
tg2a
_
tg2a
tg2a(\-tg22a)
\-tg22a
tg4a-tg2a
2tg2a
\-tg22a
^
tg2a(2-\ +tg22a)
l +tg22a
sin22a
_
cos22a _ cos22a-sin22a =cos4a;
, sin 2a cos' 2a+sin 2a
1+— |-cos 2a
ч» I S I .
1
l
1
cosa 1+cosa
ж ) (sina) + (tga) =—— +-- |
1
------ =
sina tga sina sina
sina
,a
,
.e
a
1+2cos-- 1
2cos —
cos—
9
2
2
®
I -------1-- = ------- 1— = ----1 ctg—;
_ . a
a
- . a
a
.a
°
2
2sin—•cos—
2sm — -cos—
sm —
I-
2
2
2
2
2
3)i ------- Я
!
, = i ------- L -----=1------L — = i j — И
l-sin-'f2a + — )
Г--- ------ r
1---- 1+
. (3 n
-cos 2a
cos 2a
sin — + 2a
I2
_ l_
1
_ ^ cos 2a
1+cos 2a
cos2a + l
cos 2a
J
cos 2a+ \- cos 2a
cos 2a +1
1
cos 2a +1
1
2cos2a
Применение тригонометрических формул половинного аргумента
Формулами половинного аргумента называются формулы, выражающие
значения тригонометрических функций аргумента — через значения триго2
неметрических функций аргумента сг.
273
6 )sin4a-cos4а, если tg— = 0,5:
2
e) sinar и cosar, если tg— = -2,4 и 90* < — < 135'.
2
Решение:
a) tg2a = 4;
2
sin4a +cos4a-c(g2a = 2,* f
l +<g 2a
___ * 8 д2а +1 - « ’ 2» _
l +(g'2a /g2a
(l +/g22a)-/g2a
>g2a
6) tg— = 0,5;
sin4a - cos4a = (sin2a +cos2a)(sin2a-cos2a ) = -(cos2a - sin 2a ) = -cos2a =
\2
. t gaa
l1-___4 = 1= -(2cos‘ a - l) = l-2cos2a = 1-2
= 1-2
1+tg2
i +l
!i- i25 1 25 '
e) tg— = -2,4 и 90' < — < 135°;
2
2
a
-2-2,4 -4,8
480
sin a =-----— = ----- =---- =---1+/ 2 a
1+5,76 6,76
676
2
= —>/l-sin2a = - Jl -f -
120
169
12. Задание: Упростите:
a)
4tga(\-tg2a )
(1 +tg2a )2 ’
tg \ —+ a 1-1
6)
1+tg | - +a
120
169’
169 -120
169-
180' <a < 270'
49-289
169
0+ e2a£-V2a_
\+tg 2a
Решение:
a)
4/ga(l - /g2a ) _ 2 •2tga 1- tg2a
= 2sin 2a ■cos 2a = sin 4a;
(l +/g*a)
1+tg2a 1+tg2a
я
tg‘\ - +a |-1
\-tg-\— +a
1+tg j —+a
1+tg | —+a
71
= -cos( — + 2a | = sin 2a;
6)
276
7-17
169
119
169
v (l +tg2a)2-2tg22a
.
1+2tg2a +tg 'la - 2tgl 2a
2tg2a
e)~-- 1— —— ----- sin 4a -1 =--------- =—-----§------- ~ —
\+tg'2a
l +tg 2a
1+tg 2a
sin22a
i +2tg2a-tg22a-2tg2a-\-tg22a -2tg22a ~ cos22a __
l+ tg22a
l +tg22a , sin22a
л
6
1+— ^—
cos' 2a
-2sin22a
-= -2 sin' 2a.
cos'2a+sin 2a
Применение формул преобразования
суммы (разности) тригонометрических функций в произведение
Часто необходимо сумму тригонометрических функций представить в
виде произведения. Такое преобразование бывает полезно при решении три­
гонометрических уравнений, для того чтобы преобразовать в произведение
левую часть уравнения, у которого правая часть равна нулю. После этого
решение тригонометрического уравнения обычно сводится к решению про­
стейших тригонометрических уравнений.
Следующие формулы позволяют выполнить такие преобразования:
. . 1 „ . а± В
а+ В
sin a ±sin р = 2sin---—cos---—;
2
2
.
а +ft
а-Р
cosa +cos Р = 2cos---—cos---- :
2
.
2
. . а +Р . а - р
cosa -cos В = -2sin---—sin---—:
2
tga± tgP = Si— a - ^
cosa-cos/>
2
ia ,P Ф ^+ лк, к e z \
V
2
)
_ sin(/?±a) / _
ctga ±ctgP =----- -— (a ,p Флп, n e Z )
sina-sin/7
13. Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведения:
v ЛГ . .
а) V3 ±tga;
б)l+ sin a + cosa;
cos(a +32') +cos(a - 28')
д )------ —— --------- ;
sin(88 - a )
.
e)tg9°-tgey+ tgZY -tglT-,
e)3-4sin2( | - a j;
г) sin2| — + 2p j - sin2j — - 2/Л;
ж ) sin 47' +sin 6Г - sin 11” - sin 25';
. 2cos40* -cos20"
3 ) ------ -— ------- .
sin 20
277
Решение:
sinl
sinl—±a\ 2sin\^r±a
3
3
n
~
cosa
cos— cosa
3
6) 1+sin or -tvcosa =( I + cos or)+ sin a =2cos2— + 2 sin— cos — =
2
2
2
а) л/З ±tga =tg^-± tga Щ
= 2cosy^cos^- +sin^-J = 2cosyl sin^90° -y^+ sin^
=2cos ~ 2sin 45° •cosf45° -
=2-J2 cos— cos^45° —
в) tg9° -tg63° +/g81° -tg2T.
Рекомендаиия: Выделите в рассматриваемом выражении те значения три­
гонометрических функций, у которых аргументы в сумме или разности дают
угол, кратный —, затем сгруппируйте ихсоответствующим образом иупростите.
2
(fg9° +tgi Г ) - (/g63° +tg27°) = — |§р | В В
cos9 -cossl
sin 90°
1
1
1
cos63° •cos 27° cos9° •cos(90° —9°) cos(90° - 27°) •cos 27° cos9° •sin 9°
1
sin 27° •cos27°
2
sin 18°
2
sin54°
sin 54° - sin 18° _
sin 18° •cos 36°
sin 18°-sin54°
sin 18° -sin(90° -36°)
. cos36°
=4-----=4;
cos36°
=— (cos(ar +4/3)- cos(a -4/?)) =- —-(-2)sin a •sin 4p - sin a •sin 4p\
„ cos(ar +32°) +cos(ar - 28°)
sin(88° - a )
ar+32° +ar-28°
a +32°- a +28°
2cos------------ cos2
2
sin(88° - a )
_ 2cos(ar+2°) •cos30° _ л/зcos(cr +2°) _ ^
sin(90° - (a +2“))
cos(cir +2°)
.ж?) sin 47° +sin61°-sin 11° -sin 25° = (sin 47° +sin 61°)-(sin 1Г +sin 25°) =
=2sin 54° cos 7° - 2sin 18° cos 7° = 2cos 7°(sin 54° - sin 18”) =
sin 36°
2sin 36° cos 36°
=4cos7 sinl8 -cos36 =2cos7------ cos36 =cos7 •cos 18°
cos(90° —72°)
sin 72'
•„
=cos 7 ----- - cos / ;
sin 72°
2cos40’ —cos20" cos 40° +(cos 40° —cos20°) _ cos(90° —50°) —2sin 10° •sin 30"
sin 20’
sin 20°
tin 20°
_ sin50’ -sinlO’ _ 2sin 20° cos30° _ ^
sin 20°
sin 20°
14. Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведения:
a ) cos 2а - cos За - cos 4а + cos 5а;
в)
б) sin 4а - sin 5а - sin 6а +sin 7а;
sina + 3sin 2а + sin За
cosa +3cos 2а +cos З а '
Решение:
a) cos 2а - cos За - cos 4а +cos 5а =(cos 2 а+cos 5а) - (cos За +cos 4а) =
7а
За л
7а
а _
7ог (
За
а
- 2cos-- cos--- 2cos--- cos— = 2cos— cos--- cos—
2 2
2 2
2V
2
2
_
7a f „ .
. оЛ
.. a .
7a
= 2cos— -2 sin a sin — I = —4sin — sina cos— ;
2
6) sin 4a - sin 5a - sin 6a +sin 7a =(sin 4a +sin 7a)- (sin 5a +sin 6a) =
„ . 11a
3a „ . I la
a _ . lla f
3a
a^
=2sin--- cos--- 2sin----cos —=2sin--- cos--- cos— =
2
2
2 2
2 v 2
2
)
_ . lla f _ .
.
. a .
. 11a
=2sin-- - 2sina •sin— =-4sin — sina -sin-- :
2 I
2
2
2
sina +3sin2a +sin3a
(sin a +sin 3a) +3sin 2a
2sin2a-cosa +3sin2a
e)---------------- =------------------------------------ =
cosa +3cos2a +cos3a (cosa +cos3a)+3cos 2a 2cos 2a cosa+3cos 2a
)
sin 2a(2cosa +3)
-------------- =tgla.
cos2a(2cosa+3)
Применение формул преобразования
произведения тригонометрических функций в сумму (разность)
Часто оказываются полезными формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму (разность). Обычно они используются
при упрощении тригонометрических выражений, при нахождении производ­
ных и интегралов от функций, содержащих тригонометрические выражения,
а также при решении тригонометрических уравнений и неравенств.
279
cosa •cos/? = —(cos(a -/?) +cos(a +p)\
sin a •cos/? = -(sin(a - P ) +sin(a +P)\
sina ■sin /? =—(cos(a - /?) - cos(a +/?))
IS. Задание: Вычислите:
. . a . 3a
3
a)16sin—-sin— , если cosa = —;
2
2
4
(n
H
\i . 1
(n
•sm|
e) sin 20' •sin 40" ■sin 80°;
H
)
г )------ 2sin70‘;
2sin 10°
iv
2я
4n
6л
d) cos — +cos-- vcos— ;
7
7
7
e) sin 4° •sin 86° - cos2° •sin 6° +—sin 4°.
2
Решение:
3:
а)^cosa =—
4
З а '])
a 3a"|\—
a +—
cos( —
-соя
—
16sin^--sin^y = 16 ^|•f cos|
cos|( ^
| |= 8(cosa-cos2a) =
I
12 2 ,1
\2
2I
=8(cosa-2cos2a +l) =8| —-2- — +11=8-—=5;
И
16 J
8
б) sin2a +sin^ ~ +a j •s*n| y ~ a j = s'n2or +
l-cos2a
2
cos2a
2
i f 1^ 1 1
2^ 2 j 2 4
cos2a - cos
3
4
e) sin 20° •sin 40° •sin80°.
В тех случаях, когда необходимо преобразовать в сумму произведение
трех и более тригонометрических функций, формулы применяют повторно.
sin 20° •sin 40° •sin 80° = (sin 20° •sin 80°)- sin 40° =
= - (cos 60°-cos 100°)-sin 40° = - s in 40°- - c o s 100° sin 40° = - s in 40°-
2
280
4
2
4
- ^ •^-(sin(-60°)+sin140°)= —sin40°+— -—sin40° =— ;
2 2
4
8
4
8
2sin10°
2sinl0°
_i-I+2cos80° _2sinl0° _
2sin10*
2sinl0‘
2sinl0°
- . л
ч.
2я
4л
6л (
2л
4л
6яЛ ш7
д)cos——+COS——+COSтт~* I COS--+COS—-4-cos-— 1---- --
я
2я
. я
4л _ . я
6я
2sin — cos— +2sin—-cos— +2sin —-cos-_f ^ 7 v 7
1 1
7
7
2sin —
7
. Зя . я . 5л . Зя
5л
SU1— -sin—+sm——sm— +sin;r-sin—
7
7
7
7___________ 7
я
-sin—
7
. л
*
2sin—
. л-
2sin—
.
1
2* 1
7
7
Рекомендаиия. Суммы cosx +cos2x+.„ +cosnx и sinx+sin 2x4-...+sinих
преобразуют умножением и делением на 2sin ^ с последующим применени­
ем к слагаемым формул преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму или разность.
е)sin4° -sin86*—cos2' -sin6° +—sin4* =^(cos82* - cos90’)- —(sin4° +sin8*) +—sin4* = —sin8* - —sin4* - —sin8* +—sin4* =0.
2
2
2
2
2
2
Вычисление значений тригонометрических функций от аркфункций
При вычислении значений тригонометрических функций от аркфункций
необходимо знать, что:
я
^я
я
я
-- <arcsinx <—, -- <arctgx <—;
2
0 £ arccosx й я,
2
2
2
0 <arcclgx <я\
sin(arcsinх) =х, иcos(arccosx) =х, если |х|£1;
tg(arctgx) ж х, и ctg(arcctgx) * х, если х е Л.
281
arcsin(-jc) = - arcsin jc;
arctg(-x) = -arctg(x);
arccos(-jc) = л —arccosjc;
arcctg(-x) = л - arcctgx.
В тех случаях, когда аргумент выражен через обратные тригонометричес­
кие функции, надо преобразовать данное выражение таким образом, чтобы
можно было воспользоваться определением обратных тригонометрических
функций.
16. Задание: Вычислите:
a) arcsin] sin
] - arctgj tg — I- arccosl cos y ] +a rcct^ ct^ - у j j;
V
7
6)tgI arcsinl
t o
)
.
f
J
2 ) Зл
e)cos arctgi — --X
l з) 2
е)tgi^arcctg3\
e)s\n(arctg(-3));
,
. 3
.1 2
ж ) arcsin—+arcsin— ;
d)sinf2arcsin^-1;
з) arctg2 +curctg3.
5
13
Решение:
•
( • 5* )
J
6яЛ
/
8лЛ
J
( Зя-^Л
a) arcsinl sin— I- arctgI t g - l- arccosl cos — I+arcctg\ c/gl — — 11=
= arcsin ^ sin ^ -y 11-
л +y j j +areag^-c/gyj =
. f . 2л )
J
л
= arcsinl sin — I - arctg\ - tg— |—arcco:s^-cosyj+arcc/g^-c/g y j =
=у -
arct^tg у
Jj- ^л - arccos^cosy j j +л - arcct^ctg y j =
2л л
л
3л л
= — +-- л +—+л --- = —;
7 7
7
7
7
1
| л
6)tg arcsinl — +—
4Д 2
Обозначим arcsi:
*{4)тЛ*тогдаsina = —
и a e IV четверти.
в ( а +| ] - Щ
I f e И
И
И 11
в) cos^arc/g^- y j- ^ Обозначим a r c t J - =a , тогда tga =—^ и a e IV четверти.
2
1+ctg a =
1
sin" a
1+ * = 1
4 sin2a '
■2
4
13
s in a =— ;
2л/13
13
sin a = —
cos^a/r/gj-1 ] " у j = cos[ « -
Y ) = co{ y
” a ) = ~sin a =-| -
г) sin(arc/g(-3)).
Обозначим arctg(-3) =a , тогда tga = -Зи — <a <0.
, 1
1+tg a = — — ;
cos a
1
1+9 = — — ;
cos a
,
2
1
cos a = — ;
Ю
1
з-Ло
sin(arc/g(-3)) =sina =tga ■cosa =-3 •-j== =— — ;
d)sin^2arcsin^j.
Обозначим arcsin—=a , тогда sina = —и a e I четверти.
_____
7
7
V
49
7 ’
_ I 4л/з 8-Л
lin^arcsin^-j = sin 2a = 2sin a •cosa = 2------- ——;
7 7
49
e )td ^ a rc c tg A
Обозначим arcctgi =a , тогда ctga = 3 и a e I четверти.
1+ 9 =
sin2or
• 2
strict
= —1;
sin2or
«
sina = -7=,
10
V IO
cosa = >/l -sin 2a = ./1---- -==■;
io Vio
I a
sina
tg —arcctg3 = Jg— ------- 2 1+cosa
Jjo
v
=
л/10+З
= VTo —3;
V io
.3
.1 2
ж ) arcsin—+arcsin— ;
13
Обозначим:
. 3
• 12 = p;
л
arcsin—
arcsin —= a;
5
13
• p
/? = —
12;
sin
13
P e I четверти;
sina =
a e I четверти;
r" i —
9 =—
4.
Л--cosa = л/
1-sin
a = J ,1---
V
25
5
cos/7 = ^/l-sin2/? = J l - —— = — ■
y
V 169 13
0 <a <—;
2
0 <a +p <я-, т.е. a +/? лежит в области значений арккосинуса.
.3
.1 2
_
arcsin - +arcsin — = а + В;
5
13
/ , ЯЧ
•
• /7 4 5
3 12
16
=--.
cos(a
+ В ) = cosa •cos В/7- sina
•sin
р = --------5 13
Тоща a +р = arccos
5 13
65
16
65
Замечание: Распространенная ошибка при решении таких задач состоит в
том, что не учитывается величина аргумента а+ р. Рассуждают так: по фор­
муле синуса суммы чисел можно записать:
/л
а
. й 3 5 4 12 63
sinia + В )- sina-cosр +cosa-smp ------ н----= — ,
5 13 5 13 65
а затем делается ошибочный вывод о том, что a + Р = arcsinf — |, хотя число
\6 5 j
284
а+
7С
не лежит в области значений арксинуса, так как а + Р > —.
з) arctgl + arctgl.
Обозначим:
arctgl = a ;
arctgl = Д
rga = 2;
tgP = 3;
а е I четверти;
Р е I четверти;
ctga =
ctgP =
я
я— <аг <—;
4
п
2
„
я
— < Р < —;
4
2
— <а +Р <7г, т.е. аг+Р лежит в области значений арккотангенса.
2
arctgl +arctgl = а +Р ;
ctga+ctgP
Тогда а +Р = arcctg(-\) =
JL +i
1 3
6
6
Зя4'
28S
§2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Простейшие
тригонометрические уравнения
Метод разложения
на множители
„ . х .
8. sin —-sinx = 0
2
sinx
9 .
=0
1+ cosx
2. cos 7х----- —1, найдите сумму корней,
10. 2sin2x + sinx = 0
1. 2cos 2х- —1 = Д
\
4)
( 71 —
1Ш1.
принадлежащих интервалу---•
\ 2 2)
3. cos2Зх = —
2
11. 1+ sinx-cos2x = sinx+ cos2x
12. cos3x•cos2x = sin3x-sin2x
4. tg2x = 3
13. cos4x = sinf — + 6x I
U
J
14. a ) sin7x + sin3x = 2cos2x;
5. tg(nx2) = 1
6 )sinx —3cos3x + sin7x = 0, найдите
ж:
JT Л
корни, принадлежащие отрезку - —; у .
6.
C O SX
п
=—
3
Решение тригонометрических уравнений,
левая и правая части которых являются
одноименными тригонометрическими
функциями
7. o)sin5x = —sin дс;
б ) cos3x = cosl2 °;
в ) cos3x = sin х;
a )tg llx = tgx.
Метод введения
новой переменной
15. cos4x-cos5x = cos6x-cos7x
16. cos4— - s in 4— = sin2x
2
2
17. 2sin2x + cos4x = 0
18. 2sin2x - 2 s in 22x + 2sin23x = 1
19. 2cos2x —s in x - 2 = 0 , найдите
число решений, принадлежащих отрез5л> .
ку Гп
0;—
L 2.
Метод введения
вспомогательного угла
20. 2cos2x + 5 sin x - 4 = 0
26. sinx + >/3cosx = 1
21. cos4x + 3sinx-*-sm4x = 2
27. 3cosx + 4sinx = 5
28. Найдите максимум и минимум фун­
22. 3tg2x - 8cos2x +1 = 0
23. 2sin3x-5cos3x = 0
24. sin2x+ 2sinx-cosx-3cos2x = 0
25. 2sin2x + 6 = 13sin2x
286
кции у = 5sinx + 12cosx-7.
/решение уравнений с использованием ограниченности функций у —sinx и у ~ cosx
29.sin: 5x+l
30. sin 4х - cosx = 2
=cos Зх
Уравнения с обратными тригонометрическими функциями
31.
1
■
л
/
2arcsin jr - 7arcsuur+3 =0
I 35. arcsinx = a r c c o s J I ^ x
3 2 .arctg(x2- 3 x - 3 ) = 4
33.6arcsin(x2-6x +8,5) =n
Л"
/ 34. arctg(\ +x ) +arctg(\ ~ x)~~7
I
36. sin(Sarcctgx) = I
Методырешения тригонометрическихуравнений
Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее
неизвестноетольков аргументе тригонометрической функции. Основная цель
прирешениитригонометрических уравнений состоит в преобразовании три­
гонометрических выражений, входящих в уравнение, таким образом, чтобы
рассматриваемое уравнение привелось к нескольким простейшим уравне­
ниям, которыерешаются стандартным способом.
В каждом конкретном примере необходимо найти свой способ преобра­
зованиярассматриваемогоуравнения. Иногда приходится перебирать разные
преобразования, применять различные идеи, прежде чем удастся найти тот
путь, которыйприведетк цели. Успех в решении тригонометрических уравне­
ний будет достигнут при наличии хороших знаний тригонометрических
формулиумений грамотно проводить тригонометрические преобразования,
чтовырабатывается толькодостаточной практикой.
Решение тригонометрического уравнения можно свести к решению не­
сколькихпростейшихтригонометрических уравнений следующими методами:
- разложение на множители;
- введение новой переменной;
- введениевспомогательного угла;
- использование ограниченности функций у - sinx,_y =cosx.
Важноотметить, что форма записи корней тригонометрического уравне­
ниячастозависитоттого, какой метод применяется для решения данного урав­
нения.
Рассмотримосновные типы тригонометрических уравнений и методы их
решения.
287
Решение простейших тригонометрических уравнений
r a il
1. Задание: Решите уравнение 2cos|
Решение:
2cos^2x—^-1 = >/3;
Я
лЛ
>/3
cos 2х-- I = — :
71
„
Л
_
71 . 71
2х-- - ±— I-2ли, п 6 Z;
4
6
_
2х = —±—+ 2ли, я е Z;
4 6
* - ~ ±— + ли, w eZ.
О тве т: х = —± — +7т, n e Z .
8 12
8 12
2. Задание: Решите уравнение cos^7.x принадлежащих интервалу ([
Решение:
я ,л
= -1 и найдите сумму корней,
I.
Г 2* 2.
s|7
jc- — I = -1;
cosl
7х~
7х - — = 7Г+27tn, п е Z;
6
7л „
_
7.x = — + 2ли, и е Z;
6
л 2ли
х = — +---, и е Z.
6
7
Выберем те значения переменной х, которые принадлежат интервалу
7 2, Ш Ш Ш И И Ш
/ =
6
Л
.
л = - I,
7
2л
42
L
5л
X = ------- а ----- с
6
7
-42
2 '2 /
/1 Я1 Л
[
17 7Г (
П= -2. Х = ------- а ------ с I
7Г
_
Щл
42
Л
2 '2
Л Л
2 j 2
Л--3, х
ж + 19л
6 42
6 7
42 |
5л 17л 4л 2л
42 42 ~ 42 ~ Т Г
2’ 2
О твет: ~ .
3. Задание: Решите уравнение cos2Зх = -
2*
Решение:
Используя формулу понижения степени, получим:
l +cos6x 1
2
~2’
cos6x =0;
,
л
ох = — +ли, /16 Z:
2
X —‘
лг
ли
6
1+ — ■ /|
12
7
л
Л77
О твет: х =— +— , „ e z.
12 6
4. Задание: Решите уравнение /g2* =3.
Решение:
tg2x = 3;
/gx = ±л/3;
х - ± — + ли, n e Z .
О тв е т: х = ±—+ли, л е Z.
3
5. Задание: Решите уравнение /g(;cr) = 1.
Решение:
tg(Ttx2)=\;
_2
71
ях =—+ли, п е Z;
4
r2_ I
х --- i-n, flg Z ;
4
289
х = ±—л/4/j + l , где и = 0; 1;2 ;3...
О тве т: х = ±—л/4и +1, п е Z, я > 0.
2
2
6. Задание: Решите уравнение cos* = —.
3
Решение: Поскольку — » 1,04 > 1, уравнение решений не имеет.
3
О тве т: Решений нет.
Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых
являются одноименными тригонометрическими функциями
а - р = 2ли,
l)sin a = sin р,
а = р +2ли,
а +Р = 7Г+2лк; а = л - Р +2лк]
а = (~\)кР +лк, k e Z .
а - Р - 2ли, а - р + 2 т ,
2) cos а = cos р.
а + р = 2лк; а = ~Р + 2лк;
п,к е Z;
п,к € Z;
а = ±Р + 2лк, к е Z.
{а - Р = лп, Га = р + лп,
Р * — +л к ;\ р *:—+лк;
n,k 6 Z.
fa - Р = ли, \а - Р +лп,
[р * лк;
\р * лк;
n,k e Z.
7. Задание: Решите уравнение:
a)sin5x = —sin дг;
б) cos Зх = cos 12°;
e)cos3x = sinx;
e)tg\\x = tgx.
Решение:
o)sin5x = -sinx;
sin5x = sin(-x);
ли
5x - (-x) = 2im,
6x = 2ли,
5x +(-x) = л + 2лк;
4x = л + 2л£;
л
лк
4
2
X = — + ---
О тве т: x = ™ ,x = —(2k +1), n ,k eZ .
3
4
6)cos3x = cos 12°;
Зх = 12° + 2ли,
х = 4° +120°я,
Зх = -12° +2лЛ;
х = -4° +120%;
Ответ: х = ±4° +120°и, и е Z.
290
п,к е Z.
и, А е Z.
e) cos Зх = sin х;
cos3x = cos|-- x I;
Зх =-- x +2m,
2
4x = —+27m.
2
Зх =-- +x + 2nk\
2
2x = —— + 2лк\
2
Л 701
x = — v— ,
8
2
n,k g Z.
x —-- +7ik;
4
О твет: x = —(4n +\),x = —{4k -1), n,ke Z.
8
4
2)/gl lx = fgx;
[ 1Ijc - x = 701,
7t
,
\ x * — + 7& ,'
2
701
—
10
n
—
10
n,k 6 Z;
x ^ — + 7ik;
2
Л
,
* — + 7ik;
2
1
* - + k;
10 2
n *5 +10*.
О тве т: x = — ,гд ел *5 +10А, n ,k e Z .
10
Метод разложения на множители
При решении тригонометрического уравнения данным методом можно
пользоваться всеми известными способами разложения на множители алге­
браических выражений: вынесение за скобки общего множителя, группиров­
ка, применение формул сокращенного умножения. Путем разложения на мно­
жители тригонометрическое уравнение приводится к виду, когдалевая часть произведение тригонометрических функций, а правая часть - нуль. Таким
образом, исходное уравнение распадается на несколько более простых урав­
нений.
Необходимо также знать следующие формулы:
- сложения аргументов тригонометрических функций;
- понижения степени тригонометрических функций;
- преобразования произведения тригонометрических функций в сумму;
- преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.
Перейдем к решению тригонометрических уравнений данным методом.
8. Задание: Решите уравнение sin —•sin х =0.
291
Решение:
sin —-sin x = 0;
2
1) sin — = 0;
2
* = nn, n € Z;
r,
—
2) sin ,v = 0;
x-7tk, к 6 Z.
x = 2ли, я 6 Z;
Очевидно, что множество решений в первом случае является подмноже­
ством решений во втором случае:
я = 0: х = 0;
я = 1:
х = 2л;
А = 0:
х = 0;
А =1:
х = тг;
к
= 2:
х = 2тт.
О тв е т: x = tA, к e Z.
sinx
9. Задание: Решите уравнение ------= 0.
1+cosx
Решение:
sin дг
ку
=0
1+ C O SX
sin х = 0,
n \Is
\o
Ттж
cos* * -1;
Где= ля, я е Z,
1 х *л +2лА, A eZ .
Отбрасывая из множества решений х = ли значения, входящие в серию
х = яг+ 2л£, получаем х = 2лиг, я» е Z .
О тве т: х = 2ят, m e Z .
10. Задание: Решите уравнение 2sin 2х+sin х = 0.
Решение:
2sin 2x+sinx = 0;
4sinx-cosx+sinx = 0;
sinx(4cosx +J) =0;
l)sin x = 0;
x = тгя,
292
я 6 Z;
2)4cosx +l = 0;
1
cosx = — ;
4
I
№
x = ±(;r-arccos-) +2;zfc, keZ.
4
......
i
О твет: x —лп, x = ±(л - arccos—) + 2лк, n,к e Z .
4
11. Задание: Решите уравнение 1+ sin x ■cos 2x = sin x +cos 2x.
Решение:
1+sin x ■cos 2x =sin x +cos 2x\
1+sin x ■
cos 2x - sin x - cos 2x = 0;
(1 - sin jc) -cos 2x •(1 - sin x) =0;
(1 - sin x )(l - cos 2jc) =0;
l)sinx = 1;
2)cos2x = l;
л .
_
x = — b2лп, n e Z;
2x = 2лк, к e Z;
jr = лк, к e Z.
2
О твет: x = — i-2ли, x - лк, n,к e Z.
2
\2. Задание: Решите уравнение cos Зх •cos 2x = sin 3x •sin 2x.
Решение:
cos3x cos2x - sin Зх-sin 2x\
cos3jrcos2x-sin3xsin 2x = 0.
Применим следующую формулу сложения аргументов:
cos(a + Р ) =cosa •cos /5- sin a •sin /3.
cos(3x + 2jc) =0;
cos5x = 0;
,
я
2
_
5x = — ь лп, n e Z;
Л
701
10
5
x = — + — , n eZ .
»~
_
П
701
10
5
_
О твет: x = — + — , n e Z .
13. Задание: Решите уравнение cos4x = s in f^ +6xj.
Решение:
cos4jc =sinl —+ 6x
.2
cos4x =cos6x;
cos6x - cos4jr =0.
Применим следующую формулу преобразования суммы тригонометри­
ческих функций в произведение:
293
о • В +Р ■ а - р
cosа - cos Ра = -2sin---—sin---—.
2
2
—2sin 5jc-sin jc = 0 ;
sin 5xsinx = 0;
1) sin 5x =0;
5 jc =
jc
=
2) sin jc = 0;
ли, n e Z;
ли
— , we Z;
5
jc
=
лк, к e Z.
Решения вида — включают в себя все решения вида лк, при и = 5£.
О тв е т: х = — , и е Z.
5
14. Задание: Решите уравнение:
a ) sin7x +sin3x = 2cos2x;
б) sin x-3cos3x +sin lx = 0. Найдите корни, принадлежащие отрезку
л л
7 '2
Решение:
а) Применим следующую формулу преобразования суммы тригономет­
рических функций в произведение:
^ sm/7
■ а = 2sin---—cos---—.
о • а +Р
а-р
sina +
2
2
2sin5jccos2x = 2c o s 2 jc ;
2cos2x(sin5jc-1) = 0;
l)cos2x = 0;
2) sin5x = 1;
2x = —+ яи, n e Z ;
5x = —+2лк, k e Z ;
2
2
It лп
л 2лк . „
x = —-+— I n e Z ;
x = — +---, к e Z.
4 2
10
5
Л
я ли
л 2лк
, „
О тв е т: х = —+— ,х = — +---, п,к e Z .
4 2
10
5
б) sinx-3cos3x +sin7x = 0;
2sin 4х •cos3x - 3cos3x = 0;
cos3x(2sin4xv3) = 0;
cos3x = 0
294
или
2sin4x-3 = 0;
Зх = — + лк;
2
.
3
sm4x = —;
л лк ,.
х = —+ — , (к е Z ).
I
1
решении нет, т .к . |sin4x| < 1.
Найдем целые решения двойного неравенства:
я я лк я
~4~И Т
5л
лк
?
я
” 72 _ Т “ 1 ’
- —< А < 1;
4
А е {-1; 0; l}.
15. Задание: Решите уравнение cos4* cos5* = cos6* cos7*.
Решение:
Применим следующую формулу преобразования произведения тригоно­
метрических функций в сумму:
cos а •cos /? = —(cos(or + jB) + cos(a - P )\
-^(cos9x + cosx) = —(cos!3x + cosx);
cosl3x = cos9x;
лп
П S Z,
13x = 9x +27Ш,
4x = 27oi,
X = -- ,
1Зх = -9x +2лк\
22x = 2як\
л* . '
x = — , k € Z.
II
2
„
7lk
701
О тве т: x = — , x = — , n.keZ.
11
2
16. Задание: Решите уравнение cos4— sin4—= sin 2x
^
2
2
Решение:
. 4x
.
_
cos — sin —=sin 2x;
f
1
X
, 2xY
COS'—+sin — I cos^ — sin2— I =sin 2x;
2
2
1
1
2Л
cos x = 2sin x •cos x;
cosx(l-2sinx) =0;
1) eosx = 0;
X =--h701, n 6 Z;
2
2) sin x =
x = (-1) — \-7di, keZ.
6
295
О тв е т: х = —+ ли, х = (-1)* — + яй, n.keZ.
2
6
17. Задание: Решите уравнение 2sin2х +cos4jc = 0.
Решение:
Если тригонометрическое уравнение содержит sin х или cos х в четной
степени, то можно применить формулы понижения степени:
. 2ос 1-cosar
,a
1+cosar
sin — =------ ; cos' — =------ .
2
2
2
2
_ 1-cos 2.x
2-------+cos Ax = 0;
2
1+cos Ax - cos 2x = 0;
2 cos22x - cos 2x =0;
cos 2x(2 cos 2x - 1) = 0;
1)cos2jc = 0;
2) cos 2x =
я
„
2x = —+ли, n e Z
2
л ли
x = —+— , n eZ ;
4 2
-
2
_
,7 i
2x = ±—+2л*, k e Z;
3
7i
x = ±— +Ял, A eZ.
6
О тве т: x = —(1 + 2/?), jc = —(6Л:± 1). n,keZ.
A
6
18. Задание: Решите уравнение 2 sin2 x - 2sin2 2x + 2sin2 3jt = 1 .
Решение:
Применим формулу понижения степени.
^ l-cos2x ^ 1 - cos Ах | ^ 1 - cos бх _
2
2
+
2
l-cos2x-(l-cos 4jc) +1-cos6x = 1;
”
’
cos Ах - cos 2х - cos 6 x = 0;
cos Ах - 2cos 4jc •cos 2x = 0;
cos4jc(1 - 2cos 2x) = 0;
1) cos 4.x = 0;
2) cos2jc = —;
7t
_
Ax = — +7m ,neZ;
2
ч
,л
2x = ±—+ 2лЛ, A e Z;
2
3
/Г ЛИ
\
x = — +— , n e Z ;
8 4
. яx = +—+ лк, A eZ .
6
О тве т: x = —(1 +2л), x = —(6A±1), n,keZ.
8
296
6
19. Задание: Найдите число решений уравнения 2 cos2х - sin х - 2 = 0 при-
надлежащих отрезку
1 Щя
Решение:
2 cos2x-sinx-2 = 0;
2(1 —sin2дг)-sinx-2 = 0;
-2sin2x-sinx = 0;
sin x(2 sin x +1) = 0;
l)sinx =0;
x = m , n eZ ;
Sn
h = 0: x = 0 e 0;я = 1: х = 2г e
0; —
2
n = 2: x = 2згe 0;—
2
При других значениях и корни уравнения не попадают в заданный проме­
жуток.
^ .
I
2 ) sin jc = — ;
2
х = (—I)**1—+ лк, k e Z ;
6
I p
x = —— й 0;—
6
2
» ,
7jt
к = 1: x = — e 0;—
6
2
0;—
2.
. 19л:
A=3: x =-- g 0;—
6
2
Число решений уравнения равно S.
О тве т: 5.
297
Метод введения новой переменной
Данный способ решения тригонометрического уравнения заключается в
следующем: исходное уравнение приводится к алгебраическому относитель­
но тригонометрической функции одного аргумента; затем решается полу­
ченное алгебраическое уравнение, что приводит к нескольким простейшим
тригонометрическим уравнениям, из которых находят значения неизвестного.
Часто перед введением новой переменной приходится делать некоторые тож­
дественные преобразования. Если в уравнение входят тригонометрические функ­
ции одного аргумента, то надо выразить эти функции через одну из них, например,
чфеззгис, а потом заменой sinx=а свести исходное уравнение к алгебраическому.
Рассмотрим тригонометрические уравнения, приводящиеся к квадратным.
20. Задание: Решите уравнение 2 cos2x+ 5sinx-4 = 0.
Решение:
2cos2x +5sinx-4 = 0;
2(1 - sin2x) +5sinx-4 = 0;
2sin3x-5sinx + 2 = 0.
Замена: a = sin x.
2az - 5o +2 = 0;
1
a
,
=
2 '
a *
=
2)
sin x = 2 - уравнение решений н
имеет, т.к. | sin х | < 1.
21. Задание: Решите уравнение cos4x + 3sinx-sin4x = 2 .
Решение:
cos4x +3sinx-sin4x = 2;
(l- sin 2x)2+3sinx-sin4x-2 = 0;
2sin2x-3sinx +l = 0.
Замена: a = sin x.
2a2- 3a +1 = 0;
х = (- !)" — + ли, n eZ ;
6
2) sinx = 1;
x = —+2лк, ke Z .
2
О тве т: x = (-1)" —+ли, x = — +2лЛ, n.keZ.
6
2
22. Задание: Решите уравнение 3tg2x - 8cos2x +1 = 0.
Решение: Обозначим a =tg2*, тогда cos2x =----— =--- .
I +lg x l +a
3
l +o
a ------+1= 0;
3o2+4o - 7 = 0;
7
a, =--- посторонний корень, т.к. о >0;
а2=\;
tg2x = 1;
tgx = ±1;
х = ±—+ли, и € Z.
4
О тве т: х = ±— +ли, и е Z.
4
В некоторых случаях тригонометрические уравнения можно свести к ал­
гебраическим относительно tgx. Примерами таких уравнений могут служить
однородные уравнения.
1. Уравнение вида а-sinкх +b coskx = 0 (о *■О, Ь Ф 0) называется однород­
ным уравнением первой степени относительно sin кх, cos кх.
Для того чтобы решить данное уравнение, разделим обе его части на cos кх.
При этом потери корней не происходит, т.к. если cos кх = 0, то из уравнения
следует, что и sin кх =0, что невозможно, поскольку sin2кх +cos2кх = 1.
В результате получаем уравнение a tg кх + Ь = 0.
2. Уравнение вида о -sin2Ах + b -sin кх -cosкх + с ■cos2kx = 0 (a * 0 )
называется однородным уравнением второй степени относительно sin кх,
cos кх. Разделив обе части уравнения на cos2kx, получим равносильное урав­
нение: о •tg2kx +b ■tgkx +с = 0.
Рассмотрим примеры однородных тригонометрических уравнений.
23. Задание: Решите уравнение 2sin Зх - 5cos3x = 0.
Решение:
2sin3x-5cos3x = 0 | :cos3x#0;
2tg3x -5 = 0;
299
5
8
2'
Зх = arctg—+ ли, и е Z;
1
5 701
х - —arctg—+ — , п e Z .
3
2
1
3
5
2
ли
3
Ответ: х = —arctg—+ — , И€ Z.
3
24. Задание: Решите уравнение sin2 дс ч- 2 sinx-cos*- З а м 2* = 0.
Решение:
sin2x + 2 s in x c o s x -3 c o s 2x = 0 | : cos2x * 0 ;
tg2x + 2tgx - 3 = 0.
Замена: о = tg х.
о2 + 2 а - 3 = 0;
а, = -3, а2 = 1;
l)/gx = l;
л
_
х = — + 701, л е Z;
4
2) tgx = -3;
х = -arctg3 + 7ik, к е Z.
Ответ: х = —+ ли, х = ~arctg3 + 7ik, п,к е Z.
25. Задание: Решите уравнение 2 sin2х + 6 = 13sin 2 х .
Решение:
2sin2x + 6 = 13sin2x;
2sin2х + 6(sin2x + cos2x) =.13-2sinx-cosx;
4sin2x -1 3 sin x c o sx + 3cos2x = 0 |
: cos2x * 0 ;
4
tg2x - 13tgx + 3 = 0.
Замена: a = tg x.
4a2-1 3 o + 3 = 0;
1
,
a, = —,
a, = 3;
4 *
=
4
.
x = arctg —+ ли, neZ ;
300
a 2 -1 3 a + 12 = 0;
a, =1, a2 = 12;
2) tgx = 3;
x = arctg3 + 7ik, k e Z .
Ответ: x = arctg—+ 701, x = arctg3 + 7tk, n .keZ .
4
Метод введения вспомогательного угла
Суть данного метода в том, что некоторую величину представляют как
тригонометрическую функцию соответствующего аргумента <р, а затем про­
водят тригонометрические преобразования.
Поясним метод на примерах.
26. Задание: Решите уравнение sin jc -н л/з c o s jc = 1 .
Решение:
sinx + >/3cosx = 1 |
:2;
1 .
л/3
1
—sin х + — cosx = —;
2
2
л .
2
.л
1
cos—sinx + sin—cosx = —;
3
3
2
• / + —)
x\= 1
sin(x
3 2
x+ —= (-1 )я—+ лп, neZ ;
3
6
x = (-l)" —- —+лп, n e Z .
6 3
Ответ: x = (-1)"------- + ли, n eZ.
6
3
27. Задание: Решите уравнение 3cosx + 4sinx = 5.
Решение: Т.к. л/з2+ 4 2 = >/25 = 5, разделим уравнение на 5.
3
4 .
-cosx + —sinx = 1.
5
5
Обозначим sine> = —, cos© = —,<» = arcsin-.
5
5
5
sin (p■cosx + cos0>-sinx = 1;
s\n((p +x) = 1;
<p+x = — у2лп, я 6 Z;
2
x = — д»+2яи, neZ;
2
■*. 2
3
x = —-arcsin- + 2яи, « e Z .
Ответ: x = — arcsin-+ 2яи, я eZ.
2
5
2
5
Рассмотренный способ часто применяется для нахождения максимума и
минимума функций вида у = a-sinx + A-cosx+ с .
28. Задание: Найдите максимумов минимум функции:
у = 5sinx + 1 2 co sx -7 .
301
Решение:
у = 5 sin х +12 cos х - 7;
у = л/52 +122' ■ 5
л/52 +122
• X + ■ 12
sin
-------cosx )-!■Щ
л/52 +122
,i5 .
12
1 „
v = 13 — sm x + — cosx - 7 .
U3
13
)
5
12
.1 2
Обозначим cos© = — , sm® = — , <p= arcsm— .
13
13
13
у = 13(cos 9?sin x + sin q>cos x) - 7;
у = 13sin(x + ^ ) - 7 .
Максимум исходная функция будет достигать при sin(x + ^) = l , т.е.
■Утю = 13-7 = 6
Минимум исходная функция будет достигать при sin(x + ^>) = - 1 , т.е.
= - 1 3 - 7 = -20.
Ответ: Упах = 6, у тп = -20.
Рассмотренный способ решения уравнения вида a s in x + 6-cosx = с
является универсальным. Он также применяется в физике при сложении
гармонических колебаний.
Решение уравнений с использованием ограниченности функций
у = sin x и .у = cosx
29» Задание: Решите уравнение sin25х +1 = cos2Зх.
Решение:.
sin25х +1 = cos2Зх;
sin25х +1 - cos2Зх = 0;
sin25х + sin2Зх = 0.
Т.к. |sin5x| < 1, Isin 3x1 < 1, исходное уравнение равносильно системе:
лп
[5х = яи, n e Z ,
sin3x = 0; |3х = лк, к е Z;
fsin5x = 0,
_
X = --- , П £ Z,
як
х = — , к е Z.
3
Приравнивая правые части двух последних равенств, получаем уравнение
лп лк
I л = 5/,
^ •= — , т.е. Зп = 5к, п,к e Z . Это уравнение имеет решение . ^ ^ / е z
Подставляя значения к или п в решение исходного уравнения, получаем
302
5
Ответ: х = id, / е Z.
30. Задание: Решите уравнение sin Ах - cosx = 2.
Решение:
Т.к. jcosx| < 1, |sin4x| < 1, то исходное уравнение равносильно системе:
8
2
I п
- + —= 1+ 2к:
8
2
4 и -7
8
= 2к:
16
В числителе дроби-------стоит нечетное число, а в знаменателе - четное.
16
Такая дробь не может принимать целые значения, а к е Z . Следовательно,
исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: нет решений.
Приведенные типы уравнений и методы их решений, конечно, не исчер­
пывают все разнообразие тригонометрических уравнений.
Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями
Уравнения вида /(arcsin х) = 0, /(arccosx) = 0 и т.п. решаются методом
введения новой переменной.
31. Задание: Решите уравнение 2 arcsin2х - 1 arcsin х + 3 = 0.
Решение:
2 arcsin2 x -7 arcsin x + 3 = 0Замена: а = arcsin х.
2а2- 7 а +3 = 0;
1
arcsin x = —:
2
x —sin —.
Ответ: x = sin —.
2
2
32. Задание: Решите уравнение arctg(x2 - Зх - 3) = —.
4
Решение:
arctg(x2 - Зх - 3) = —
4 *
Замена: о = х 2 - Зх - 3.
л
arctea = —:
4
л
а = / е —;
4
а = 1;
дс2 —3jc —3 = 1;
jc 2
-
Зх - 4
*i = -1.
=
0;
х2 = 4.
Ответ: {-1;4}.
33. Задание: Решите уравнение 6arcsin(x2 - бх + 8,5) =
Решение:
6arcsin(x2 - б х +8,5) = л ;
arcsinfx2 - бх + 8,5) = —
6'
Замена: а = х 2 - бх + 8,5.
.
л
arcsin а = —;
6
. л
а = sin —:
6
1
а = —:
2
х2 -6 х + 8 Д = 0,5;
х2 - 6 х + 8 = 0;
х, =2, х2 = 4.
Ответ: {2; 4}.
34. Задание: Решите уравнение arctg(l + х) + arctg(\ - х)
Решение:
arctgO+ х) + arctg(1- х) = —.
4
Замена:
arctg(l + x)=a;
tga = 1+ х;
я'
я
— <а<—.
2
2
aretg(\ - т) = fa
tg0 = \~x;
л
я
2
2
---- < в <—.
По условию а+ р =—.
Взявтангенсотобеихчастейуравнения, получим следующееследствие из него:
tg{a + P) = tg^-;
4
tga+tgfi
= 1;
1-tga-tgfi
l+ x + l - x
1-(1 + jcX 1- x)
= 1:
К
х2 = 2;
x = ±V2.
Проверка:
1)х = >/2.
При проверке данного корня потребуется доказать или опровергнуть ра­
венство:
arctg(l + ур2)+aretg( 1- л/2) = —.
4
Замена:
arctg(l+>/2)=а;
a«rfg(l -
tga = \+^2;
tgP = \r & \
я-
Я"
4
2
—< а < —.
л/2) =
р\
~^<Р<о.
4
Значит, 0 < а + р < —;
1-tg a tg p
--------- 1—
1-(1 + л/2)(1-л/2) 1-(1-2)
t
305
n верно.
a + pо = ----2) я = - 7 ? .
arctg(1- л/2) + arctg( 1+ л/2 ) -------верно.
4
Два корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: х = ±ы2.
35. Задание: Решите уравнение arcsin jc = arccos>/l ~ х .
Решение:
arcsin х = arccos л/ l - x .
Замена:
arccos л/l —jc = Р;
arcsin x = a;
sin a = x;
71
71
2
2
— < a < —.
cosyв = л/l —jc;
О йР<,7Г,
sinР > 0;
sinР = л/ l - cos2х = ф - ( 1 - х ) = -Jx.
По условию ог= р.
Значит, а м р -углы I четверти.
Взяв синус от обеих частей уравнения, получим:
sin а = sin/?;
х = у[х, х > 0 ;
х 2 - х = 0;
х(х -1 ) = 0;
х, =0, х2 =1.
Проверка:
1)х=0;
arcsin 0 = arccos 1;
0° = 0е - верно;
2)х= 1;
arcsin 1 = arccos 0;
It
7t
- = - -вер н о .
Ответ: {0; 1}.
36. Задание: Решите уравнение sin(5arcctgx) = 1.
Решение:
306
sin(5arcctgx) = 1.
Замена: arcctgx = a, ctga —x, 0 < a < я
sin 5a = 1;
5a = — + 2яп, n e Z ;
2
я 2яп
a - — + -----, n e Z.
10
S
Поскольку 0 < a < я, то в последнем равенстве п может принимать лишь
значения 0 ,1 ,2 . Тогда найдем соответственно:
я
я
л
а = — , arcctgx = — , х = c tv — :
10
10
10
я
а=—
2
9
я
9лг
а - — , arcctgx =
10
307
х л/з
2. Задание: Решите неравенство cos —< —
Решение:
х л/з
cos—< ----.
з
2
Mg Ш аиВД
Обозначив j = / , получим cos/ < — .
На рисунке выделена соот­
ветствующая дуга I (концы дуги
не входят в рассматриваемое
множество).
ш
а, = arccos -
я
сг, = 2л ---- =
6
п
Пл-
6
а, < <хг \
л
' ,
11я
1 .
— 1-2 n k < t < ---- + 2лЛ,
,
6
6
Перейдем к переменной jc:
л
_
_
jc
1 1л
_
.
— (-2лЛ< —< ---- + 2лЛ,
6
3
6
я
11лг '
-
„
к е Z.
,
_
к е Z;
—+ 6лк < х < ---- + 6лк,
2
2
к € Z.
Ответ: jc е
+ 6я£ j,
+ 6я£;
£eZ .
3. Задание: Решите неравенство -\/3fg^j + ^ j -1 > 0.
Решение:
,
х
1
« .з + б > З Г
л
X Л
__ 1
Пусть —+ — = (, тогда tgt > - 7= .
3 6
V3
Проведем линию тангенсов, которая является касательной к окружности в
точке ( 1; 0).
Период тангенса равен л. Поэтому решения находим на промежутке
л я'
2* ~2.
310
Точки, тангенс которых больше
—f=, принадлежат лучу А Т.
л/3
Значит, а = arctg
>/3
6
—+л к < к —+лк,
keZ;
Я
,
6
2
, ^. Х
Л
Я
.
—+ я £ < —+ — < —+7tk,
6
3 6 2
як< —<—+ як,
3 3
Зя* < х < я- + ЗяЛ,
~
keZ;
ke Z ',
А е Z.
Ответ: х е [Зя*; я-+ Зя*),
к е Z.
4. Задание: Решите неравенство ^JTctg
- х
> - 1
Решение:
■Jlctgi^ - х | > - 1 ;
-л/Зс/ g f x - ^ |> -1 ;
■ряш
л
1
Обозначим х - — = t и решим неравенство ctgt < —
j= .
Проведем линию котангенсов, которая является касательной к окружности
в точке (0; 1).
Период котангенса равен л. Поэтому решения находим на промежутке (0; л).
I
Точки, котангенс которых меньше ^ , принадлежат лучу АК.
1
/г
8. Задание: Решите неравенство cos— cosx - sinx •sin — <
6
6
Решение:
n
i. л
л/з
6
6
2
2
.
COS----COS X - s in X • sin — < -------- 1
Левую часть неравенства преобразуем по формуле косинуса суммы двух
— + 2лк <t < — + 2як,
6
6
к е Z;
5л _ . л
1л „ ,
----- н2лк < — + х < — + 2лЛ,
6
6
6
— + 2яЛ < х < л +2лк,
3
., „
к g Z;
к е Z.
Ответ: х е \ — + 2 л к ;л + 2 л к \
keZ.
9. Задание: Решите неравенство ^sin^ + cos^ | < ^ .
Решение:
Раскроем квадрат суммы двух выражений и воспользуемся формулами:
sin2а + cos2а = 1;
sin 2 а = 2sina-cosa.
. ,х „ . х
х
2х 1
sin' —+ 2sin—-cos—+ cos —5 —;
4
4
4
4 2
. х I
1+ sm —< —;
2 2
■ x
1
sm —s — .
2
2
Замена: —= /.
2
sin/ < — ;
2
. (
П
я
a. = arcsin — = — ;
I 2J
6
я
5л
6
6
a , = -л ч — = ----- ;
'
a 2 < a,;
- — + 2лк < t < ~ — + 2лк,
6
6
- •£%+ 2як < — < ——■+ 2я*,
6
2
6
- — + 4я* < jc <
3
3
+ 4як,
Ijjjl■+ 4
Ответ,
як; — + Аяк
3
к е Z;
к е Z;
keZ.
keZ.
. (л
^
( я _ Л'. л/З
10. Задание: Решите неравенство sinl - ~ 2 х \ - cosl —~2х\> ——.
Решение.
sinf—- 2дг1•cosf—- 2x1 > - — .
I3
J
13
)
4
1
.
Преобразуем левую часть неравенства по формуле: sina ■cosa ——sin 2 a .
1 . (2rt
. \
V3
. (.
I
2л)
3J
-Уз
•
2
- s i n ----- 4x >
2 I 3
§
;
4 ’
-sin 4x----- >
. j|§
2я-'й
sin
4x ----< —л/3
.
I
3J 2
Замена: 4x — —= / .
3
• <
,V--3;
Sinf
2
. л/3 лor, = arcsin— = —:
2
3
л
—4л
3
3
а , = - л ------------ ;
a 2 <a,;
4л
л
- — +2лк<1< —+2т
1
3
^ 3
4л
2я я ^ ,
~ — +2лк<4х- — <—+2лк,
2л
~ — +2лк<4х<л +2лк,
л
як
л
к е Z;
лк
~ e +T s ^ 7 + T
* 6Z'
я ---;
лк -л 1--лк
Ответ: х е ----1
6
к е Z;
2 4
2
ке Z.
11. Задание: Решите неравенство 3 - 4cos2jc < 0.
Решение:
3-4cos2х < 0 .
Используя формулу понижения степени 2 cos2or = 1+ cos 2а, получим:
3 - 2(1 + cos2x) < 0;
1-2cos2x < 0;\
2 c o s 2 jc > 1;
0
1
c o s 2 jt > —.
2
316
Замена: 2 л - 1.
1
cos/ >
2
1 л
а , = arccos—= —;
2 3
1
л
а , = -arccos—= — ;
2
3
а 2 <<*,;
- —+2т
3
- —+ 2я
3
- —+лк <х < — +лк,
6
6
к е Z.
Ответ: х е | ---- + лк; —+лк1
1
6
6
N
кe Z.
™ *+ -cos2jr
1 7 <1.
12. Задание: Решите неравенство 2 А
— sm2jr
2
2
Решение:
Г г
■
— sin2jc + —cos2x <1;
2
2
S
. щ 1 „
1
2
2
2
Введем вспомогательный угол, используя табличные значения:
— sm 2jc+ —cos 2x < —.
в
%
6
— = cos—,
2
1 . л
—= sin—.
2
6 ..
Ш Б
я
Замена: 2x +— =t.
6 ;
1
sin / < —;
2
. 1 л
а. = arcsin—= —;
2 6
_
_ я _ 1л
ас2 < а.;
* /
317
1
7/г
я _ ,
------+ 2як < t < — + 2як,
6
6
к е Z;
7*'
_
л- ж
- — + 2л* < 2х + — < —+ 2як,
6
6 6
4я
+ 2як < 2х < 2як, к е Z;
Т
2ж
+ як < х < як, к е Z.
Т
keZ;
Ответ: * е
^ + л*; ** j,
*eZ.
Замечание. Введением вспомогательного угла мы также могли получить
неравенство cos^2x- j j < I , решением которого будет f - + *к;» ♦
k*Z.
Это вторая форма записи того же множества решений.
13.
Задание: Решите неравенство sin дг > cos х В ответе укажите сумм
натуральных чисел, меньших 10, удовлетворяющих этому неравенству.
Решение:
sin х > cos т,
s in x - c o s x > 0 .
Замечание. Если для решения подобных уравнений один из основных при­
емов - деление на любое из выражений sin х или cos х, то в неравенствах так
поступать нельзя, в силу того, что неизвестен знак делителя; либо придется
рассмотреть два возможных случая.
Решим данное неравенство методом введения вспомогательного угла.
Разделим неравенство на л/2 = Vl1 + 1* •
1
1cosx > 0;
—
jm%mх
—-j—
_ я .
ж
сое —•sin х —sin — cosx > 0:
4
4
sinl х
Замена: x — ■ i
sin t> 0;
4
2як < t < я + 2як.
4
’ 4 || 4
|
’ 4
Натуральные числа, меньшие 10, принадлежащие этим решениям:
1,2,3,8,9.
Ответ:
23.
Метод сведения тригонометрического неравенства
к простейшим путем введения новой переменной
14. Задание: Решите неравенство cos2jt + 3sinjr > -1 .
Решение:
cos2x + 3sinx > - I ;
I - 2 s i n 2x + 3sinx + l > 0 ;
2sin2x - 3 s i n x - 2 < 0.
Замена: sin x - t .
2/2 - 3 / - 2 < 0 ;
— £ t< 2 ,
2
2
— < sinx < 2.
2
Правая часть неравенства выполняется для любого значения х.
у
——+ 2лк <х <---- 1- 2лк,
6
6
к е Z.
Ответ: х е ——+ 2лк; — + 2лк
6
6
ке Z.
I
15. Задание: Решите неравенство — -—+ сtgx - 3 < 0.
„
sin2*
Решение:
1
, + сtgx - 3 < 0;
sin X
1+ctg2x +ctgx- 3 < 0;
+ ctgx - 2 < 0.
Замена: ctg x = /.
/2 + / - 2 < 0;
(/ + 2)(t -1) < 0;
л
a , = arcctg1= —;
4
«2 = ягсс/£(-2) —л —arcctgl;
a, < ar2;
—+ л к < х < я ' - arcctg2 + лА,
к e Z.
Ответ: x e
+л к ;л - arcctgl + n k j
кe Z.
16. Задание: Решите неравенство---- -— < 1 1 - 2cosx.
cosx +1
Решение:
15
< ll-2 c o sx
cosx + 1
Замена: cos x = t.
15
-----<11-2/;
/ +1
320
2/2 - 9/ + 4
------------- < 0;
/ +1
я
Щ
/ +1
«
c o s x < - l;
решений нет;
2 ) - < / < 4;
2
—< cosx < 4;
2
1
cosx > —;
2
1 п
а, = arccos—= —;
'
2
3
1
я
а , = -arccos—= — ;
|
2
3
Ц < а,;
——+ 2лк < х < —+ 2лЛ, -А 6 Z.
3
3
Ответ: х е [ - —+ 2л*; —+ 2яЛ ,
keZ.
I 3
3
/
Неравенства вида /?(sin х, cos" х, sinx-cosx) v 0 , где /? - рациональная
функция, называются однородными неравенствами второй степени относи­
тельно sin х и cos х. Почленным делением на cos2 х или sin2 х такие неравен­
ства приводятся к квадратным относительно tgx или ctgx.
17. Задание: Решите неравенство sin2х + sin 2х - 3cos2х > 0.
Решение:
sin2х + sin 2х - 3cos2х > 0;
sin2 x + 2sinx- cosx - 3cos2x > 0
| : cos2x > 0;
tg2x + 2 tgx - 3 > 0.
321
О 1- t e 2* . 2lgx
I
*
--------- i — 1 -----------T “ > tg X .
I + tg X I + tg2X
Замена: tg x = t.
0 I - / 2 2/
2 ----- - + ---- - > /;
1+/2 1+ /2
t3+2t2- t - 2
<0;
t2+ 1
/2(/ + 2)-(f + 2)
f2 + l
<0;
(/ + 2 )(/-!)(/ + !)
<0;
r 41
/ < - 2 или—1 <f < 1;
1) r <—
2;
tgx <-2;
a = arc/g(-2) = -arctg2;
71
.
- —+70. <x < -arctgl + 7ik,
к e Z.
2 )-l < /< 1;
-1 < tgx< 1;
яa, = arctgl = —;
4
ar2 = arctg(-1) =
4
ar2 <<*,;
я—+ тт< x < — i-7rn,
4
4
n eZ .
I
Ответ: x e \ - j +7±;-arctg2 +7ik^\J^-j +7ini^ +7m\
324
k ,n e Z .
Метод интервалов
Рассмотрим алгоритм решения тригонометрического неравенства мето­
лом интервалов:
1. Приведите неравенство к виду, в котором в одной его части стоит нуль, а
другая его часть (например, левая) представлена в виде произведения.
2. Определите нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части
неравенства.
3. Расставьте на единичной окружности все найденные значения.
4. Определите знак выражения, стоящего в левой части, на любом из полу­
ченных промежутков. Для этого:
а) возьмите произвольное число (р из данного интервала и не совпадаю­
щее ни с одним из ранее полученных чисел;
б) подставьте число <р в левую часть неравенства и определите знак полу­
чившегося выражения.
5. Поставьте на этом интервале контрольную точку ^следующим образом:
если выражение получилось больше нуля, то вставится вне окружности;
если выражение получилось меньше нуля, тоХставится внутри окружности.
6. Начиная с точки Л", проведите плавную линию так, чтобы она проходила
через все отмеченные точки последовательно в порядке обхода единичной
окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вер­
нуться в точку X.
7. Если серии решений дают кратные корни, то надо помнить, что корень
четной кратности не меняет знака выражения, поэтому точка четной кратно­
сти не дает возможность волнообразной линии, идущей от точки X, перейти в
иную область.
8. Определите нужные участки конфигурации, которую образовала про­
веденная линия. Для этого:
а) если выражение, стоящее в левой части неравенства, больше нуля, то
выбираем участки фигуры, лежащие вне окружности;
б) если выражение, стоящее в левой части неравенства, меньше нуля, то
выбираем участки фигуры, расположенные внутри единичной окружности.
9. Отметьте стрелками в положительном направлении те дуги единичной
окружности, которые принадлежат выбранным участкам.
Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.
20. Задание: Решите неравенство cos х •(0,5л/3 - sin jc) > 0.
Решение:
cos* •(0,5л/3 - sin х) > 0;
V3 = 0;
2) s •in x ------
1) co sx = 0;
X
n
= —+ лк,
2
2
keZ;
А= 0:
x =
.
x=—;
3Л
,
к = 1:
2
/1 = 0 :
7t
x = —;
/1 = 1 :
.
л2лx = (-1 )— h л = — :
3
3
3
я = 2:
П = —1 !
4л
~~
2л
- у
x = ( - 1 ) —+ 2л =
3
3
,
it
4лx = ( - 1 ) ----- 7t = ------- ;
t
3
3
—точки стали повторяться, значит, мы нашли все значения х.
Заполним теперь единичную окружность соответствующими точками.
Поставим контрольную точку, положив q>=0.
• ft &
Тогда cosO- sinO-----2
Кривая знаков ведется из­
нутри окружности.
Решению исходного нера­
венства соответствуют дуги ок­
ружности в тех областях, кото­
рые отмечены знаком
При записи окончательного
ответа следует иметь в виду, что
в одной из областей (она пока­
зана пунктирной стрелкой) на­
рушается переход от меньших
значений х к большим. В таком случае следует к меньшему значению
— j прибавить 2 л или от большего значения
отнять 2 л.
Окончательное решение можно записать в виде совокупности интервалов.
326
2л
Зл
1л
Ответ: х € I — + 2лк; — + 2лк U — + 2ли;— + 2лп L
k,neZ
3
2л
или х € I ---- + 2лк] — + 2лк |и ( —+ 2ли;-^- + 2яи |,
2
3
Я
k ,n e Z .
sin Зх ■cos
21. Задание: Решите неравенство
sin 2х
:£0.
Решение:
sin Зх-cos 2 х ---6
< 0.
sin2x
Рассмотрим совокупность уравнений:
I _^
sin Здг = 0,
МЖ
СО!
л лп
X = —+ --- ,
3
sin 2х = 0;
к,п,т 6 Z.
Отметим корни на окружности:
1) * = 0: х = 0;
3)
2
2) л = 0:
л
к = 1:
аиг
к = 2:
х=
к = 3:
х = л;
к =4:
х Я
3
к = 5:
хШ Щ
/и = 0:
х = 0;
т = 11:
/я = 2:
71
х = —;
2
х = /г;
от = 3:
3/г .
х* = —
л = 1:
2л
л = 2:
п = 3:
л
х = —;
3
5л
х=—;
б
_ 4л*”Т ’
1в
Помните, что эти точки не являются решениями
неравенства!
327
Выберем q>= —е 0;
. л
л
sin —•cos —
—> 0.
Проведем кривую знаков,
учитывая кратность некоторых
точек.
Ответ:
(л - , 2 л J .
х 6 —+2 лк\ — + 2л*
12
5л
Зл
—~+2лп;л +2лп U л +2лт; — + 2лт U
3
5л
11л
,
---- 1-2л/;----- 1- 2л/ U |y + 2 /c f|,
3
6
k,n,m,l,teZ.
22. Задание: Решите неравенство sin 2х - sin Зх > 0.
Решение:
sin2x-sin3x > 0;
2 sinf- —1 •cos — > 0;
sin —-cos— < 0.
2
2
Введем новую переменную: —= t.
sin t-cos 5t = 0;
sin / = 0,
cos 5/ = 0;
/ = ли,
л лк
t —— H---- ,
10 5
Найдем серии решений:
1) и = 0:
t =0;
п = 1: / = л\
2)* = 0:
,
,
к = 1:
328
/*£■•
10
л
л
Зл
/ = — + —= — ;
10 5 10
n,k e Z.
к =2:
я
2’
к = 3:
Тяг
10*
* = 4:
9я
10*
* = 5:
4= 6:
* = 7:
к =8:
* = 9:
Пя
10 ’
13л-
10 ’
Зя
2’
17я
10 ’
19я10
( я ЗяЛ
-
Из рисунка видно, что решение 1гг» — I повторится через я, это интервал
Чя 13*^
( я 7яг\ .( 9я
7(Г;"нГ]’ решения г
А
IUl — ;;rJ через период я будут интервалами
(т^НтН329
<
Следовательно, ответ можно записать в виде:
я
'Зл
10
10
,
— + лк < / < — + лк,
я
7л
2
10
— улп < t < ----- 1- ли,
9л
То
к,п,т е Z.
+ ЛШ<1<Л + Лт,
Зл -
— к 2 лк < х < — + 2лк.
5
5
1л _
л + 2ли < х < -----1- 2ли,
5
9л
+ 2лт < х < 2л + 2лт,
Ответ: х е [ —+ 2лА; — + 2лк ] U [ л + 2ли; ^
и
+ 2 л т ;2 л + 2 л т ,
к,п,т е Z.
+ 2ли и
k ,n ,m e Z .
23. Задание: Решите неравенство sin х ■cos 5х < sin 2х ■cos 4 х .
Решение:
sin х ■cos 5х < sin 2х •cos 4х.
По формулам преобразования произведения тригонометрических функ­
ций в сумму, получим:
—(sin6jc + sin(-4x)) < ^(sin6jc + sin(-2x));
sin бх - sin 4х < sin бх - sin 2х\
sin2x-sin4x < 0;
sin 2x - 2 sin 2x •cos 2x < 0;
sin 2jc( 1—2 cos 2x) < 0;
sin2.x(2cos2x-l) > 0;
1) sin 2x = 0;
2x = лк, к € Z;
rik
x = — keZ;
2
330
2) cos 2x = —;
1
2
2x = ± — н2ли, и g Z;
3
* = 0:
х i 0;
х = ± — + ля,
А= I :
х = —;
п = 0:
Л = 2:
х = п;
к = 3:
6
2
neZ ;
х = ± —;
7л-
х=—;
и = 1:
2
дс = ± —+ я =
6
IF ’
5л-
т
Выберем
=у е
sin
Следовательно, А' находится внутри окружности.
Проведем кривую знаков и найдем решения неравенства.
Учитывая периодичность, запишем ответ.
Ответ: х е [ як; —+ як ( jf —+ ля; — + ЯП
V
6
у
V2
к,п е Z.
б
Резюме
Мы начали данную главу с рассмотрения тождественных преобразований триго­
нометрических выражений. Затем изучили методы решения тригонометрических урав­
нений и неравенств. Сначала мы рассмотрели методы решения простейших тригоно­
метрических уравнений и неравенств, затем перешли к обсуждению решений более
сложных заданий
331
В данной главе даны рекомендации по выполнению преобразований тригономет­
рических выражений.
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующими умениями:
- знать значения тригонометрических функций для значения аргументов 0;
я я л л
6 ’ ■4’ 1 ’ 2 ;
- определять знаки тригонометрических функций по четвертям на единичной
окружности;
- применять свойства периодичности тригонометрических функций при вычис­
лении их значений;
- знать основные формулы тригонометрии;
- строить графики тригонометрических функций с учетом их свойств;
- находить значения основных тригонометрических функций по значению одной
из них;
- выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений;
-записывать общее решение простейших тригонометрических уравнений;
- решать простейшие тригонометрические неравенства с помощью единичной
окружности;
- решать тригонометрические уравнения с использованием формул, указанных в
школьной программе;
- решать тригонометрические неравенства методом интервалов;
- преобразовывать и вычислять выражения, связанные с обратными тригоно­
метрическими функциями.
Подробно изложены темы: решение тригонометрических неравенств методом
интервалов и вычисления обратных тригонометрических функций, которые в обще­
образовательной школьной программе не изучаются.
332
Глава V
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ, СВЯЗАННЫХ С ПРОГРЕССИЕЙ
Основные сведения и формулы по прогрессии.
Геометрическая
прогрессия
Арифметическая
. прогрессия
Допустимые
значения
Формула
общего члена
а] и d - любые числа 6| ?*0;
а„ = а, + (n -\)d
Ь ^Ь гГ '
Характеристическое
***-!
+ ^*+1
Q =—
!—!----
bg = bk_t •bl+l
2
свойство
Формула суммы
5я = а , + ° " « =
2
2а. + (п - 1)d
= — -------------- п
2
п первых членов
q* 0
Если q* 1,
о _ b„q~bx _ bx(q" -1 )
q -1
<7-1
Если^=1,
S„=n-b{
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия:
5=
1- q
§1. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Запись условий задачи в виде системы уравнений (через а. и d)
ja 2 +Oj +а4 =12,
Г5, = 88,
' [flj +а4 +а5 = 21;
^’ \a 3+as = lS;
ax, d - l
а7- ?
J a ,+ a ,+ a , = -12,
ja ,- a 2-a} =6,
‘ [о, -fl3 as =80;
а „ о 2,о 3 - ?
' \a l a2 a1 a4 = 24;
al,a2,ai ,..- 7
a, _ ^
°2
al} = 2a6 + 5,
£
[a, + ar2 +flr3 = 2,
Kа+ a 22 + a322 = yИ ;
а„а2,Оз-?
333
8. 52 •5‘*•5е •...•5 " = (0,04)~2*;
Я|7 + OjO *"
7.
х-1
^16 ' ^21 = 150,
9. (х - 1) I (* 1 3) I ... + ( х - 27) = 70
а ,- 1
х-1
Использование свойств арифметической прогрессии
10. -Jx, у/5х+А, л/12дс + 13;
11. Ig2, lg(2* - 6), lg(2x + 34);
х -1
х -1
а, + а2 + аъ + а4 = 40,
12.
а„ + ап_, + ап_2 + ап_г = 104;
п -1
Нестандартные задачи
13.
= 2п2 —Зп;
14. а 3 + а 9 = 8 ;
15. а, = 6;
5 17 - 9
16. а 2 + 2а7а 5 + а \ - (а8 + а 4)2 - 2 .
17. Углы многоугольника образуют ариф­
метическую профессию,
min = 120°,d = 5°. п - 1
Задачи без числовых данных
18. Найдите сумму всех положитель­ 19. Какой член арифметической прогрессии
ных четных двузначных чисел,
получится, если от суммы первых десяти
членов вычитаем девятикратный первый
делящихся на 3 нацело.
член той же прогрессии?
Арифметическая прогрессия
Решение задач составлением системы уравнений
Стандартным методом при решении задач, связанных с арифметической
прогрессией, является запись условий задачи в виде системы уравнений, в
которой неизвестны, как правило, первый член прогрессии и ее разность, а
иногда и количество членов прогрессии. При этом удобнее в начале записать
уравнения через ак, а затем переписать эти уравнения через а, и d. Если полу­
ченную систему удается решить, то профессия считается полностью заданной.
Рассмотрим ряд примеров.
334
I
1.
Задание: Сумма второго, третьего и четвертого членов арифметичес­
кой профессии равна 12, а сумма третьего, четвертого и пятого равна 21.
Найдите первый член и разность этой профессии.
Решение:
По условию имеем систему уравнений:
а2 + а} + ал =12,
а3+а4+а5 =21.
По формуле я-го члена арифметической профессии выразим каждое сла­
гаемое через о, и d, и подставим в систему:
j(a, + d) + (a,+2d) + (a,+3d) = l2,
j3a,+ 6d = \2, ja ,+ 2 d = 4,
\(a,+ 2d) + {a,+3d) + (a,+4d) = 2Y, {3a,+9d = 2\; \a,+ 3d = 7.
Система решается вычитанием: d= 3; a, - -2 .
Ответ: a, = -2 ; d= 3.
2.
Задание: В возрастающей арифметической профессии сумма первых
восьми членов равна 88, а сумма третьего и пятого членов равна 18. Найдите
седьмой член профессии.
Решение:
5, = 88,
2а. + I d а
ао
— 1----- 8 = 88,
2а, + 7d = 22,
2
о, + а, =18;
2а. + 6d = 18.
(о, + 2d) + (а, + 4d) = 18;
Вычитаем уравнения и получаем d= 4; a, = -3 .
а7 = а, + 6d = -3 + 24 = 21.
Ответ: Oj=2\.
3.
Задание: При делении девятого члена арифметической профессии на
ее второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена
этой профессии на ее шестой член в частном получается 2 и в остатке 5.
Найдите первый член и разность профессии.
Решение:
Вся сложность данного задания заключается в составлении второго урав­
нения.
4а, = 3d,
a, j = 2ал + 5;
Ответ: а, = 3; d = 4.
335
4.
Задание: Найдите три первых члена ах, аг, а3арифметической прогрес
сии, если известно, что а, + а} +а} = -12 и а, ■а} ■а, = 80 .
Решение:
Из условия следует:
(-4 - 2й0(-4 + 2d) = -20;
(2</ + 4)(2<*-4) = 20;
(d + 2)(d - 2) = 5;
d1- 4 = 5;
d2 =9;
d = -3, a, = 2, a, = -1, a3 = -4;
d = 3, ax- -10, a2 = -7, a3 = -4.
Ответ: 2; -1; -4 или-10; -7; -4.
5.
Задание: Найдите натуральные числа, образующие арифметическую
прогрессию, если произведение трех и четырех первых ее членов равны со­
ответственно 6 и 24.
Решение:
\аг а2-а3 = 6,
[о, • а2 • а3 •аА = 24.
Разделив второе уравнение системы на первое, получим:
Т.к. Д|, о2, <аг3, о4- натуральные числа, то d= 1.
6. Задание: Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрес-
14
сию, равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна — .
Найдите эти числа.
Решение:
Из условий следует:
(а, + а, + о. = 2,
(a, + (a, + d)+ (а, + 2d) = 2,
|а 2 + Oj +Oj! = — ; I а,2 + (а, + d)z + (а, + 2d)2 = — ;
Q|"+ —H —+
I=
14
d = — а.,
3
°г + « + | 7 - ° . I
,
4
9
16 8
9 3
,
14
9
Л
of н-----к-------- а, + а , ------ = 0;
_ 2
8
6
Л
2а, — а. + — = 0;
3 9
3ej* - 4а, +1 = 0;
|
а,2 - 4а, + 3 = 0;
а\
I
о, = I
а ,= 1 .
|
а, =1Г
п
л -------2 1-- 1 а, 1 1 2
1) 0, = 1 а
а, = 1;
1 3
3 3 3 3 3 3 3
. J 2 ,
I
, 1 2
I
2) а. = 1, d = — 1 = — , а, = 1— = —, а. = - .
'
3
3 J
3 3 3 3
. —
2 ; -1 или 1 2 . I.
1
Ответ: 1;
3 3
3 3
7.
Задание: Сумма семнадцатого и двадцатого членов арифметической
прогрессии равна 35, а произведение шестнадцатого и двадцать первого чле­
нов равно 150. Найдите первый член прогрессии.
337
Решение:
a\t + a20= 35, |(a, + 16cf) + (a, +19cf) = 35, f(a, +15d) + (a, + 2(W) = 35, I
aI6 a2I=150; {(a, +15rf)(e, + 20rf) = 150; {(a, +\5d)(al + 2<W) = 150. I
Обозначим a, + \5d = x, a, + 20с/ = у .
x+ y = 35,
x = 5,
xy = 150;
у = 30;
или
fa1+15d = 5,
Ц +20 d - 30;
5rf = 25;
d = 5;
a, = -70;
fjc = 30,
i
U = 5;
fa,+15</ = 30,
[a, + 20*/ = 5;
5d = -25;
</ = -5;
Ответ: a, =-70 или a, = 105.
a, = 105.
8. Задание: Решите уравнение 52 ■54 •56 •... •53* = (0,04)-28.
Решение:
52 •54 ■56 • • 52x = (0,04)~28;
j2+4+6+...+2« _^j-2^-28.
2 + 4 + 6 + ... + 2x = 56;
fa„ = а ,+ (л -1 )< /,
1^» =
2° "'
f2 + (/i —1)-2 = 2x,
j—
• n = 56;
1+ /? - 1 = x,
[n = x,
|(1 + х)я = 56; |(1 + x )x = 56;
x2 + x - 5 6 = 0;
x x = -8 - не подходит по смыслу задачи,
*2=7.
Ответ: х=7.
9. Задание: Решите уравнение (х -1 ) + (х - 3 )+ ...+ ( х - 27) = 70.
Решение:
(х -1 )+ (х -3 )+ ...+ (х -2 7 ) = 70;
[а„ =Ot+(n-l)d, Г(х—1)+(я—IX—2) = х-27, г _ 14
+1
Т
Гд = 14,
|х = 19.
Ответ: х = 19.
338
7^
Г/»—14
г [(х-14) я = 70; 1х-14 = 5;
Решение задач с использованием свойств арифметической прогрессии
Рассмотрим основные свойства арифметической прогрессии.
1. Каждый член арифметической профессии, начиная со второго, являет­
ся средним арифметическим двух соседних членов:
а = _*_!-----*iL
2
2. В конечной арифметической профессии суммы членов, равноотстоя­
щих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов:
а, + а„ = а , + а„_, = ... =
ак + а„_*+, = 2cr, + d(n -1 ).
Приведем задания на применение основных свойств арифметической про­
грессии.
10. Задание: Найдите все значениях, для каждого из которых следующие
числа л/х, л/5х + 4, Vl2x + 13 являются последовательными членами арифме­
тической профессии.
Решение:
Составим среднее арифметическое:
rz---- — -Jx + -Jl2x + 13
л/5х + 4 = ------------------- ;
2
2л/5х + 4 =л/х + л/12х + 13;
4(5х + 4) = х + 2 jx (\ 2х +13) +1 2х +13;
2л/х(12х+Тз) = 7х+3;
4(12х2 +1 Зх) = 49х2 + 42х + 9;
х
2-1 0 х
+9=
0;
х, = I, XV- 9 .
Ответ: {1;9}.
11. Задание: При каких значениях х, три числа lg 2, lg(2x - 6 ), lg(2x + 34)
образуют арифметическую прогрессию?
Решение:
Составим среднее арифметическое:
l g ( 2 '- 6 ) J M l i i l ) .
2Ig(2x - 6 ) = lg(2 •(2 х + 34));
(2х - 6 ) 2 = 2 (2х + 34).
Замена: 2х = а, а > 0 .
( а - б ) 1 = 2(а + 34);
339
о 2 - 1 4 о - 3 2 = 0;
а, = 16,
а2 = —2 - посторонний корень;
2х = 16;
х = 4.
О т в е т ; {4}.
12.
Задание: Найдите число членов арифметической прогрессии, зная, ч
сумма ее первых четырех членов равна 40, сумма последних четырех равна
104, а сумма всех членов равна 216.
Решение:
Го, + о2 + о3 + о4 = 40,
1 °. +
+
+ fleJ,|== 104.
Складываем эти равенства:
(о, + о„) + (о2 + о„_,) + (о 3 + о„_2) + (о 4 + а„_3) = 144;
4(о, +о„) = 144;
а, + а„ = 36;
— •/1 = 216;
2
и = 12.
Ответ: п = 12.
Решение нестандартных задач на арифметическую прогрессию
Несмотря на то, что предложенная схема решения задач на арифметичес­
кую прогрессию охватывает большинство задач, не редко встречаются задачи,
выходящие за рамки этой схемы - задачи нестандартные.
Рассмотрим ряд примеров.
13.
Задание: Известно, что при любом п сумма 5„ членов некоторой пр
грессии выражается формулой Sn = 2 п1 - 3п . Найдите десятый член прогрессии.
Решение:
При решении задач, в которых используется понятие суммы членов ариф­
метической профессии, удобно применять следующую формулу:
а» = s n - s n-ian = S n -
= 2 п2 - 3п - (2(я - 1)2 - 3(п - 1)) =
= 2п2 - З п - 2п2 + 4и - 2 + Зи - 3 = 4и - 5;
340
а,0 = 4 - 1 0 - 5 = 35.
Ответ: а}0=35.
14.
Задание: Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрес­
сии равна 8. Найдите сумму одиннадцати первых членов этой прогрессии.
Решение:
Из условия следует:
а3 + а9 = 8;
о, + 2d + а^ + 8d = 8;
2а, +1 0d = 8;
1
2а, + 10tf
-11 = - . 11 = 44.
Ответ: 44.
2
15.
Задание: В арифметической прогрессии девятый член равен 6. Найди­
те сумму семнадцати первых членов этой профессии.
Решение:
По условию а, + 8d= 6.
Выразим сумму семнадцати членов профессии:
с _ 2а, +16rf
• 17 = (а, + id) •17 = 6 •17 = 102.
1,7------- 2
Ответ: Sv = 102.
16. Задание: В арифметической профессии вычислите:
а2 + 2а7а5 + а] - (а8 + а4)2 - 2.
Решение:
Первые три слагаемых соберем по формуле квадрата суммы и получим:
of + 2а7а5 + а\ - (а, + а4)2 - 2 = (а, + о,)2 -(а* + а4)2 - 2 =
= (2а, +10 J ) 2 - (2а, + lO d f- 2 = -2.
Ответ: -2.
17. Задание: Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого мно­
гоугольника, наименьший из которых равен 120°, образуют арифметическую
профессию с разностью 5°. Найдите число сторон этого многоугольника.
Решение:
Используя формулы суммы членов арифметической прогрессии и сум
мы внутренних углов л-угольника S„ = 180’(/i - 2), получим:
341
360(л - 2) = (235 + 5п)п;
72(л - 2) = (47 + л)л;
п2 + 41п - 72л +144 = 0;
л2 - 2 5 л + 144 = 0;
л, =9,
л2 = 16 - не удовлетворяет условию задачи, поскольку в этом случае
а,6 = 120° +5° *15 = 195°, а внутренний угол выпуклого л-угольника всегда
меньше 180°.
Ответ: л = 9.
18.
Задание: Найдите сумму всех положительных четных двузначных ч
сел, делящихся на 3 нацело.
Решение:
Из условия следует: а, = 12, d = 6, ап =96.
а„ = а, + ( n - l ) d ;
12 + (л -1 )-6 = 96;
2 + ( л - 1) = 16;
л = 15;
а. +а.II
•п =
2
Ответ: 810.
19.
Задание: Какой член арифметической прогрессии получится, если
суммы первых десяти членов вычесть девятикратный первый член той же про­
грессии?
Решение:
По условию:
2а. + 9 d
5,о - 9 я ( = ---- -------10 —9а, = 10а, +45d - 9 а , = а, + 4 5 d = а^.
Ответ: а4б.
342
§2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Запись условий задачи в виде системы уравнений (через
Ь4 +Ь>= 24,
и q)
А =2,
Ь6-Ь А = 24,
3. 4Д, = 1024,
5Л = 2046;
2. Ьг +Ь} = 3(Ьг +Ь4);
sn= m ;
п-П
я - ? ,9 - ?
г-?
'Ь,+Ь4
13
Ь2 +Ьъ
4 ’
+ b-y + 63 —70,
5.
Ь\'Ь2 Ь} = 8000;
А, = 32;
г>3 -г>! = 9,
6.
А Л Л А -?
М ~ ?
Ь\ ~ ?
* ,Л = 2 7 ,
62 - 64 = 18;
+6} = 12;
b2 + b , - l
Использование свойств геометрической прогрессии
8 . />7 = 2 ;
П и - ?
9. При каких значениях а тройка чисел 1, л / 2 - а , За2образует гео­
метрическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии
Нестандартные
задачи
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия
10. S„ = 4-(3" —1);
13. 5-1,5 =
■Эй.—?
by
М -?
- 5 |00
= 12,
I , f5,o„
I К»
100
14.
5 9 _ ?
[Я’>
by +/), + 63 + ... = 56,
i,"
+&г + ... = 448;
15. —+ x + x + ... + X +... = —, x-
12 *» + А» _ j3- Su
s„
0
16I +! +! j b ?
Комбинированные задачи
на арифметическую и геометрическую прогрессии
П .а ,Ь ,с - арифметическая прогрессия с разностью 4; а, Ь, с + 8 - геометричес­
кая прогрессия, а, Ь, с - 1
18. в], а2, а3 —арифметическая прогрессия; + а2 + а3 = 15; вр а2 + I, а3 + 5 геометрическая прогрессия, а, • а2 • а , —?
19. 6j, й2, —геометрическая профессия; 6,, 262, - арифметическая про­
грессия. q
343
Геометрическая прогрессия
Решение задач составлением системы уравнений
При решении задач на геометрическую прогрессию часто бывает удобно
вместо стандартной записи членов прогрессии bl,b2,bi ... употреблять запись
by, bxq , bxq2... - эта форма явно показывает, что выписанные члены образу­
ют геометрическую прогрессию и зависят от двух параметров Ьх и q.
Стандартным методом решения заданий, связанных с геометрической прогрес­
сией, является запись условий задачи в виде системы уравнений через Ьх и q.
Рассмотрим ряд примеров.
1. Задание: Найдите число членов геометрической профессии, в которой
^4 +Ь5 = 24, Ьь -Ь л = 24 , Sn = 127.
Решение:
{b4 +bs = 24, j V + V 74 =24, \bxq \ \ + q) = 2A,
[66 - 6 4 = 24; \b lqi —b{q3 = 24; \bxq \ q 2 - 1 ) = 24.
Разделим второе уравнение на первое:
icsS*
q+1
q - 1 = 1;
<7 = 2, A, =1.
Т.к. Sn = 127, получим уравнение:
127-' - g - P ;
2-1
2" = 128;
л = 7.
Ответ: n= 7.
2. Задание: Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если
Ь2+Ьг =3(Ьг +Ь4).
Решение:
b2+b} =3(b} +b4);
b}q + btq2 = 3 ^ 2+biqi );
biq(\+ q) = 3b#2(\ + q);
1 = 3q;
1
Ответ: q = - .
3
344
3.
Задание: В геометрической прогрессии Ь} = 2, bn = 1024, Sn = 2046. Най­
дите число ее членов и знаменатель.
Решение:
При решении этой задачи удобнее воспользоваться формулой суммы в
виде S' =
<7-1
Этим мы избежим громоздкого решения системы уравнений.
2046 = - ° 2 4 ' 9 ~ 2 ;
<7-1
1022^ = 2044;
q = 2;
ь ;Щ ^1024 = 2-2*'';
1024 = 2";
Ответ: л = 10, <7=2.
л = 10.
4q2 - 1 7<7 + 4 = 0,
6,<72 = 32;
13
.u
1
l-<7 + ^2
4’ •
=32;
К»
V
13
0
V = 3 2;
1+ q*
q(l + q)
■4.
II >0
u>
6, =32;
13
•О
+
JS-
_S3*4j
Z?, +blq1
,?■
+
1
Решение:
Ьх +ЬЛ 13
1
4.
Задание: Сумма первого и четвертого членов убывающей геометри­
ческой прогрессии относится к сумме второго и третьего членов этой же про­
грессии, как 13:4. Найдите первый член прогрессии, если ее третий член равен 32.
<7 = 7 - <7= 4,
4.
b t f =32;
q = 4 - не подходит, т.к. прогрессия убывающая.
Ответ:Ь, -512.
& =512.
5. Задание: Последовательность (Ьн) - геометрическая прогрессия.
Гб, + Ь2 +£>, = 70,
Найдите Ь, и а, если <
1 4
b^ bj =8000.
Решение:
345
+bxq +bxq2 =70,
Ь,+Ьг +Ь3 = 70, I '
6, b2-Ь, =8000; by-by-qby-q' =8Q00;
t
I I 1 20;
,
20
— (l + qr + 92) = 70;
Я
2q2 -5 q + 2 = 0;
9 = 2, 6, =10;
о = —, b,
2
1
= 40.
Ответ: q = 2, A, = 10или q = ~, 6, = 4 0 .
6.
Задание: Найдите четыре числа, образующих геометрическую прогрес­
сию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого
на 18.
Решение:
Из условия следует:
(:
Разделив второе уравнение системы на первое, получим q = -2.
Тогда Ь, = —— = 3.
q 2- 1
Ьх = 3, 6, = ^<7 = 3-(-2) = -6, b3=btq2 = 3 4 = 12, 64 = % 3 = 3■ (-8) = -2 4 .
Ответ: 3, -6,12,-24.
7.
Задание: Произведение первого и четвертого членов возрастающей гео­
метрической прогрессии с положительными членами равно 27, а сумма вто­
рого и третьего ее членов равна 12. Найдите сумму второго и пятого членов
прогрессии.
Решение:
6, А = 27,
Ь2+Ь3 = 12;
V V < 7 j =27,
t\q + b t f = 12;
144? = 27(1 + 2 ? + ? 2);
16<7 = 3(1 + 2<7 + <72);
346
I
3q2 -10^ + 3 = 0;
q = 3,
q = - (не подходит, т.к. прогрессия возрастающая).
<7= 3, * i= i;
b2+b5 =b,q + b,q4 = bxq( 1+ <?3) = 3(1 + 27) = 84.
Ответ: 84.
Решение задач с использованием свойств геометрической прогрессии
Рассмотрим ряд примеров на геометрическую прогрессию, при решении
которых используются следующие свойства членов геометрической прогрессии:
1. Квадрат каждого члена геометрической профессии, начиная со второ­
го, равен произведению соседних с ним членов:
2. В конечной геомефической профессии произведения членов, равноот­
стоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению крайних
членов:
ъг ья = ь2-ьп_1=ъ3 .ьп_2 = ..,= ь?дп-'.
Приведем примеры применения рассмофенных свойств для решения задач.
8. Задание: Седьмой член геометрической профессии равен 2. Найдите
произведение первых финадцати членов этой профессии.
Решение:
11,3= Ьх-Ь2 ~Ъъ Ь4 ■.„•Ъ13,
Ь\ ■bfj = b2 •Ьх2 = bj •6|, =
•bl0 —b5 •b9 = bb ■bg,
b^~ bt —by,
П , з = & Л ) 6 ‘hf = W
^
W = 8192-
Ответ: 8192.
9. Задание: При каких значениях а тройка чисел 1, V2- а , За2 образует
геомефическую прогрессию. Найдите знаменатель этой прогрессии.
Решение:
Используя свойство членов геомефической профессии, получим:
(у/2- a J = За2;
За? + а - 2 = 0;
347
2
.
а. = -1, а, = —;
,
1)а, = -1;
3
2
2) а2 = —;
^
I, л/3, 3;
q = >l3;
4
’ л/з ’ 3 ’
2
л/3
q = —рг =
3
.
2л/3
_
2>/з
Ответ: Vз и л и ------.
3
Решение нестандартных задач на геометрическую прогрессию
Большие трудности у поступающих вызывают задачи, в которых обычного
применения формул недостаточно. Рассмотрим несколько нестандартных
задач на геометрическую прогрессию.
10.
Задание: Сумма п первых членов геометрической прогрессии выр
жается формулой S n = 4 - ( 3 ” —1). Найдите первый член и знаменатель
геометрической прогрессии.
Решение:
Ъ„ = S„ - 5„., = 4• (3" - 1 ) - 4 • ( У 1-1 ) = 4 - 3 " - 4 - 4 - З"'1+ 4 =
= 4-3"”‘( 3 - 1) = 8-3"-1;
= 8 - 3"-';
= 8, q = 3.
Ответ: 6, = 8, q = 3.
II. Задание: В геометрической прогрессии сумма первых ста девяти чле­
нов больше суммы первых ста членов этой же профессии на 12. Найдите
сумму первых девяти членов этой профессии, если знаменатель профессии
равен q.
Решение:
Из условия следует Sl09 - Sl00 = 12.
Mg'09- I )
6 ,(< Г -1 )
q -1
<7-1
12.
- * 4 v7,09-1 -« 7 ,00 + 1) = 12;
q- 1
A
/ „109
_10<h
-(q"”
-q"*>)
= 12;
9 -1
t, 100
(g9- l ) = 12;
9 -1
348
b,(q9~ 1 ) 1 12
qs - 11
q„100 '
о »
о = Шйр----—1)- = —
12
Найдем
сумму первых девяти членов: 5,
q- 1
q
12
Ответ:---12. Задание: В геометрической профессии ^|8 + ^|9 = 13. Найдите отно__
^6 ■*"^7
шение суммы первых двадцати четырех ее членов к сумме первых ее двенад­
цати членов.
Решение:
Из условия следует:
Ш ^19 _ 13
| -4;:
--------=
ЩйШ
Ь6 + Ьу
= 13;
b tf+ b fl6
b,q'W+q)
= и;
^ 50 + ?)
q>z = 13.
^
6,(924-1 )
|2 , , , , , , и
Составим отношение: —— =
„----- = а +1 = 13 + 1 = 14.
Sl2 4 (9 ,2- 0
Ответ: 14.
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Следует обратить внимание на задачи, связанные с бесконечно убываю­
щей геометрической профессией.
13.
Задание: Сумма членов бесконечно убывающей геомефической
профессии в полтора раза меньше ее первого члена. Найдите отношение
десятого члена к седьмому.
Решение:
По условию:
1- я
l - q = 1,5;
q = -0 ,5 = — ;
2
349
Ответ:
.
8
14.
Задание: Сумма членов бесконечно убывающей геометричес
прогрессии равна 56, а сумма квадратов ее членов равна 448. Найдите эту
прогрессию.
Решение:
21 63
Ответ: 14, — , —
2
8
1
7
15. Задание: Решите уравнение — + х + х 2 + ... + х я + ... = —, гд е|х |< 1.
х
Решение:
2
1
7
Представим уравнение в виде —+ (х + х + ... + х" + ...) = —.
х
2
В скобках записана сумма членов бесконечно убывающей геометричес­
кой прогрессии, где /?, =х, q=x.
I
_ £ _ -!•
1 -х
2*
9х2 - 9х + 2 = 0;
х
ж ,= 1 ,
3
3
0т м т
16. Задание: Чему равна сумма
Решение:
IJ
[2
2 [2
Т2 + V3 + 3 V3
Комбинированные задачи
на арифметическую и геометрическую прогрессии
17.
Задание: Числа а, Ь, с составляют арифметическую профессию с раз­
ностью 4. Найдите эти числа, если а ,Ь ,с+ 8 —последовательные члены геомет­
рической профессии.
Решение:
По условию:
(А.П.)
а,
а,
Ь,
а +4,
с:
а + 8.
с + 8;
а + 16.
Используя свойство членов геометрической профессии, составим уравнение:
(а + 4 )2 = а(а + 16);
а2 + 8а + 16 = а2 + 16а;
8а = 16;
а = 2; Ь = 6; с = 10.
Ответ: 2,6,10.
18.
Задание: Сумма трех положительных чисел, составляющих арифмети­
ческую профессию, равна 15. Если ко второму из них прибавить I, к фетьему
5, а первое оставить без изменения, то получится геомефическая профессия.
Найдите произведение исходных чисел.
Решение:
Из условия следует:
(А.П.) а ,,
а, + d ,
а, + 2d.
(Т.П.) а„ at +d +1,
а, + 2d +5.
Используя условие задачи и свойство членов геомефической профессии,
составим систему уравнений:
fa, + (о, + </) + (a, +2d) = 15,
fa ,+ £ / = 5,
[(a, + d + 1)2 = a,(a, + 2d + 5); [(a, + d + 1)2 = a, (a, + 2d + 5);
( 5 - d + d + \)2 = ( 5 - d ) ( 5 - d + 2d + 5);
36 = ( 5 -< /)(< /+ 10);
d 2 + 5 < / - ! 4 = 0;
d,=2,
d2 = —1 (не удовлетворяет условию задачи).
d = 2, a, = 3, a2 = 5, a3 = 7;
a, a2 a, = 3 - 5 - 7 = 105.
Ответ: 105.
19. Задание: Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если сред­
нее из них удвоить, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаме­
натель данной профессии.
Решение:
Из условия следует:
(Г.П.) Ь,,
b,q,
(А .П .)6 „
2 b,q,
b,q2.
b,q2.
Используя свойство членов арифметической п роф ессии, составим урав­
нение:
2ы , =
2
4<7 = l + g 1;
q1 - 4q +1 = 0;
q ,2 = 2 ± л/3.
Ответ: q, 2 = H л/З.
Резюме
В данной главе вы познакомились с методами решения задан, связанных с про­
грессией.
В начале главы была рассмотрена арифметическая профессия, затем мы перешли
к рассмотрению задач, связанных с геометрической профессией. Далее были рас­
смотрены комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую профессии.
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующими умениями:
—знать основные сведения и формулы по профессии;
—уметь записывать условия задачи в виде системы уравнений;
—уметь использовать свойства прогрессии при решении задач;
—решать нестандартные задачи на профессию;
—решать комбинированные задачи на арифметическую и геометрическую про­
фессии.
352
Глава VI
Р Е Ш Е Н И Е ТЕК С ТО ВЫ Х ЗАДАЧ
Решение текстовых задач у многих учащихся вызывает затруднения. Уни­
версальных методов решения текстовых задач не существует, но, решая такие
задачи, можно придерживаться приведенной ниже схемы:
1. Выбрать неизвестные.
В большинстве случаев удобно за неизвестное взять ту величину, которую
требуется определить в задаче. Такой вариант следует рассматривать в пер­
вую очередь, но это правило не является жестким, иногда проще составить
уравнения, в которые входят другие величины, и лишь после их определения
найти окончательный ответ. Важным моментом является число неизвестных;
чем больше неизвестных, тем легче составлять уравнения (или неравенства),
но при этом усложняется само решение; не надо вводить новые неизвестные,
если какая-то величина элементарно выражается через уже введенные.
2. Составить уравнения (возможно неравенства).
В процессе составления системы уравнений важно использовать все ус­
ловия задачи. Количество уравнений должно совпадать с количеством неиз­
вестных, за исключением случая, когда требуется найти не сами величины,
а лишь некоторое соотношение между ними.
3. Найти нужное неизвестное или нужную комбинацию неизвестных.
Если приходится отбрасывать некоторые корни, полученные в ходе реше­
ния, то это необходимо делать исходя из условий задачи, а не из соображений
здравого смысла.
Текстовые задачи удобно классифицировать по следующим группам:
- задачи на движение;
- задачи на работу и производительность труда;
- задачи на концентрацию и процентное содержание;
-зад ач и на зависимость'между компонентами арифметических действий;
- задачи на проценты.
§1. ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
Основными компонентами этого типа задач являются:
S - пройденный путь, v - скорость, / -в р ем я :
План решения:
1. В качестве неизвестных обычно выбирают расстояние (если оно не зада­
но) или скорости движущихся объектов.
353
2.
Для составления уравнений в таких задачах, как правило, пользуют
следующими соображениями:
а) если, два объекта начинают движение одновременно на встречу друг
S
другу, то до момента их встречи пройдет время, р авн о е------- ;
v,+v2
о)
если объекты начинают движение в разное время, то до момента встр
чи больше времени затрачивает тот, который выходит раньше;
в) если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого рас­
стояния удобно принять за общее неизвестное этой задачи;
г) при движении объектов в одну сторону (v, > v2) время, через которое
S
первый догоняет второго, р ав н о -------- .
I 2
Равномерное движение по прямой
1. Задание: Из двух городов, расстояние между которыми 500 км, одновре­
менно навстречу друг другу выехали трактор и грузовик. Если скорость грузо­
вика в 4 раза больше скорости трактора, и они встретились через 4 часа, то
чему равна скорость трактора?
Решение:
Пусть скорость трактора х (км/ч), тогда скорость грузовика 4х (км/ч).
Учитывая встречное движение, получим:
(х + Ах) ■4 = 500;
5* = 125;
х = 25.
Ответ: 25 км/ч.
2. Задание: Из двух городов, расстояние между которыми 900 км отправля­
ются навстречу друг другу два поезда и встречаются на середине пути. Опре­
делите скорость каждого поезда, если первый вышел на 1час позднее второго,
и со скоростью на 5 км/ч большей, чем скорость второго поезда.
Решение: Обозначим скорость второго поезда х (км/ч)', х>0.
Движение
Величина
1 поезд
S (км)
v (км/ч)
S
вШ
354
Общее
2 поезд
450
450
х +5 ■
X
450
х+5
450
X
на 1 ч меньше |
900
Составим и решим уравнение:
450 450
х
х+5
450(х+ 5 - х) = х(х + 5);
х2+ 5 х - 2250 = 0;
-5 0 - не уд. уел.,
45.
Ответ: 50 км/ч, 45 км/ч.
3.
Задание: Реактивный самолет за 0,5 часа пролетел на 200 км больше, чем
моторный самолет пролетел за 1час. Найдите скорость каждого самолета, если
скорость реактивного самолета в 3 раза больше скорости моторного.
Решение: Обозначим скорость моторного самолета х (км/ч); х > 0.
х, , =
Движение
Величина
реактивный
S = v t (км)
1,5х
моторный
X
|на 200 км б ольше у
V (км/ч)
t (ч)
Зх
0,5
X
1
Составим и решим уравнение:
1,5х - х = 200;
0,5х = 200;
Ответ: 400 км/ч, 1200 км/ч.
Задание: Скорый поезд был задержан у семафора на 16 мин и нагнал
х = 400.
4.
опоздание на перегоне в 192 км, идя со скоростью, превышающей на 10 км/ч
положенную по расписанию. Какова скорость поезда по расписанию?
Решение:
Обозначим скорость поезда по расписанию черезх (км/ч); х > 0.
Движение
Величины
по расписанию
S (км)
v (км/ч)
в действительности
192
192
X
х + 10
S
192
192
V
X
х + 10
/ = - (ч)
^ на 16 мин меньше
355
Is
16 4
16 мин = — = — ч .
60 IS
Составим и решим уравнение:
192
192
4
х
jt + 10 ~ 15*
48
48
1
х х + 10 15*
х 2 +1 Ох-7 2 0 0 = 0;
= 80, х2 - -9 0 - не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: 80 км/ч.
5. Задание: Пассажир поезда знает, что на данном участке пути скорость
поезда равна 40 км/ч. Как только мимо окна начал проходить встречный поезд,
пассажир пустил секундомер и заметил, что встречный поезд проходил мимо
окна в течение Зс. Определите скорость встречного поезда, если известно, что
его длина 75 м.
Решение:
Пусть скорость встречного поезда х (км/ч), х > 0.
Скорость, с которой встречный поезд проходит мимо наблюдающего пас­
сажира, равна х + 40 (км/ч).
0,075 . ч
Время, за которое поезд пройдет мимо пассажира, р ав н о --------(ч).
х + 40
Поскольку 3 с - ------ = ------- ч, составим и решим уравнение:
3600 1200
0,075
1
* + 40 ~ 1200’
х + 40 = 90;
х = 50.
Ответ: 50 км/ч.
6. Задание: Турист проплыл по реке на лодке 90 км, а затем прошел пешком
10 км. При этом на пеший путь было затрачено на 4ч меньше времени, чем на
путь по реке. Если бы турист шел пешком столько времени, сколько он плыл по
реке, а плыл по реке столько времени, сколько шел пешком, то эти расстояния
были бы равны. Сколько времени он шел пешком и сколько плыл по реке?
Решение:
Обозначим скорость движения по реке х (км/ч), а скорость движения пеш­
ком у (км/ч); х,у> 0.
356
Движение
по реке
Величины
по реке
пешком
пешком
90
— У
10
----X
5 = v / (км)
90
10
j
v (км/ч)
X
У
равны
X
У
10
90
X
90
10
X
У
f на 4 ч меньше |
с
X
У
У
Составим и решим систему уравнений:
90 10
х у
' |90_у- 10х = 4ху, (у2- 5 у = 0,
10дг _ 90у
А У
у, = 5;
(х2 = 9у 1;
[х = Зу;
х
у2 = 0 —не удовлетворяет условию задачи.
Если_у = 5,х= 15.
Ответ: 2 ч,6 ч.
7.
Задание: Два бегуна стартовали один за другим с интервалом в дв
минуты. Второй бегун догнал первого на расстоянии 1 км от точки старта, а
пробежав от точки старпга 5 км, он повернул обратно и встретился с первым
бегуном. Эта встреча произошла через 20 мин после старта первого бегуна.
Найдите скорость второго бегуна.
Решение: Обозначим скорости бегунов х (км/ч),у (км/ч);у>х> 0.
Движение
Величины
1 бегун
2 бегун
1 бегун
2 бегун
S = v •/ (км)
1
1
1
—X
3
3
io '
v (км/ч)
X
У
X
У
S
/ = - (ч)
V
1
1
X
У
j m 2 мин (юлыие |
20 мин = —ч
3
18 мин = — ч
10
С учетом того, что 2 мин - — ч составим и решим систему уравнений:
357
1 I _ _L
x
3
у
У
30 ’
f
1 1
= 5+\ 5 - ± х \ ;
___т
Г30(>» —дс) = ху,
9v = 300-10*;
\x(y + 30) = ЪОу,
11Олт = 3 0 0 -9 v ;
1
Ц
Разделим первое уравнение на второе:
J/ + 30 _ _ 3 0 у _
10
~ 3 0 0 -9 ^ ’
(у = 20,
у 2 + 30у -1 ООО = 0;
Ответ: 20 км/ч.
[х = 12.
8.
Задание: Два самолета, вылетевшие одновременно из двух аэродром
А и В, расстояние между которыми равно 2200 км, встретились через 2 часа.
Первый прибыл в пункт В на 4 ч 35 мин раньше, чем второй в пункт/4. Найдите
скорости самолетов.
Решение:
Обозначим скорости самолетов через х (км/ч) и у (км/ч); х,у> 0.
Встречное движение
Величины
S = v •/ (км)
v (км/ч)
S
V
<Ч>
1 самолет
2 самолет
Общие величины
2200
2200
2200
X
У
х+ у
2200
2200
X
У
2
1 на 4 ч 35 мин меньше \
С учетом того, что 4 ч 35 мин = 4 — ч составим систему уравнений:
(х + у) • 2 = 2200,
,
к *
Гх -и>»= 1100,
■<2200 2200 . 7
{
— --------— = 4 — ; [4 8 0 (х -^ ) = ду;
(
Гу = 1100-х,
{
|4 8 0 (2 х -1 100) = х(1100-х);
х2- 1 4 0 х - 480 1100 = 0;
х2- 140*-800-660 = 0;
х, = 800;
х2 = -660 - не удовлетворяет условию задачи;
fx = 800,
{.у = 300.
358
Ответ: 800 км/ч, 300 км/ч.
9.
Задание: Легковая машина за 2 ч проходит столько же километров, сколько
грузовик за 3 ч. Но если скорость легковой машины уменьшить на 30 км/ч, то
она за час пройдет на 10 км меньше, чем грузовик за это же время. Определите
их скорости.
Решение:
Обозначим скорость легковой машины х (км/ч), а грузовика_у (км/ч); х,у> 0.
Величины
Движение
легковая
5 = v -/ (км)
v (км/ч)
t (ч)
грузовик
2х
зу
1 одинаковый }
X
У
3
2
легковая
грузовик
х -3 0
У
| на 10 км меньше t
х -3 0
1
У
1
Составим и решим систему уравнений:
2х = 3у,
\2 x - 3 y = 0,
7 - ( х | 30) =10; { - * + >• = - 2 0 |-2 ;
[2х—3у = 0,
{ - 2х + 2у = -40;
[у = 40,
[х = 60.
Ответ: 60 км/ч, 40 км/ч.
10.
Задание: Из Л в В ииз В в Л одновременно вышли два пешехода. Когда
первый прошел половину пути, второму до конца пути осталось пройти 24 км,
а когда второй прошел половину пути, первому до конца пути осталось прой­
ти 15 км. Сколько километров останется пройти второму пешеходу после того,
как первый закончит переход?
Решение:
Обозначим расстояние между А и В через 5 (км), скорость первого пеше­
ходах (км/ч), второго у (км/ч); 5, х ,у > 0.
Условие
Уравнение
Когда первый прошел половину пути, второму до конца
осталось пройти 24 км.
Когда второй прошел половину пути, первому до конца
эсталось пройти 15 км.
5
5 -2 4
2х
у
5
2у
5 -1 5
х
Составим систему уравнений:
Замена:
S / = 2 5 -4 8 ,
y: t .
5
- = 2 5 -3 0 .
I
Перемножив уравнения (правые и левые части соответственно), получим:
359
5 2 = (2 5 -4 8 )(2 5 -3 0 );
5 2- 525 + 480 = 0;
40,
12
- не уд. условию, т.к. 5 > 24.
2 5 - 4 8 2 -4 0 -4 8 32 _ 4
5
40
40 ~ 5
* 5
Следовательно, после того как первый пешеход закончит переход, второму
останется пройти:
I=
5 - —- v = 4 0 -4 0 - —= 1
Ответ: 8 км.
х '
5
Движение по окружности
При решении задач на данную тему следует учитывать, что:
а) если при одновременном движении двух объектов по окружности из
одной точки, один из них догоняет в первый раз другого, то разность пройден­
ных ими к этому моменту расстояний равна длине окружности;
б) если два объекта движутся по окружности радиуса R с постоянными
скоростями v, и v, в разных направлениях, то время между их встречами
2nR
вычисляется по формуле---------;
V, + v2
в) если два объекта движутся по окружности радиуса R с постоянными
скоростями v, и v2 в одном направлении, то время между их встречами равно
2яЯ
.
—-----, (V, > v2).
v ,- v a
, Ш Ш
11.
Задание: По окружности, длиной 60 м равномерно и в одном направл
нии движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 с скорее дру­
гой. При этом совпадения точек происходят каждый раз через 1 мин. Опреде­
лите скорости точек.
Решение:
Пусть первая точка проходит полный оборот за* (с), тогда вторая точка за* + 5 (с);* > 0 .
Величина
S ( m)
5
v = — (м/с)
/(с)
v, > v2.
360
Движение по окружности
1 точка
2 точка
60
60
60
60
*
*+5
*
*+5
I
Учитывая, что точки движутся по окружности в одном направлении, соста­
вим уравнение:
60
= 60;
60 60
х х+5
х(х +5) =1
60-5
дгг + 5х —300 = 0;
-2 0 - не уд. услов.
•*12
15.
Скорость первой точки 4 м/с, второй 3 ju/c.
Ответ: 4 м/с, 3 м/с.
12.
Задание: По окружности, имеющей длину 1350м, в одном направлении
едут два велосипедиста. Первый обгонял второго каждые 27 мин. При движе­
нии в противоположных направлениях они встречаются каждые 3 мин. Найди­
те скорости велосипедистов.
Решение:
Пусть скорости велосипедистов равны х км/ч, у км/ч; х> у > 0.
Используя формулы для времени движения объектов по окружности, по­
лучим:
1
1,35
20
х +у
х + у = 27,
9
1,35
20 ~ х - у '
1х - у = 3;
jx =15,
(у = 12.
Ответ: 15 км/ч, \2 км/ч.
Движение по реке
В задачах на движение по реке необходимо помнить:
vпо теч + vпротив
__ теч
I/по теч =z Vсаб, 4- Vя п . *»
|/ против
|/
люта
^ - I / теч
теч
— |/
ton
•
теч *
Vсоо.
j. = ---------------—--------I
2
’
I/
^теч
по теч
— 1/
против теч
а
^
13.
Задание: На путь по течению реки пароход затратил 3 ч, а на обратный
путь 5 ч. Скорость течения 5 км/ч. Какова скорость парохода в стоячей воде?
Решение:
Обозначим скорость парохода в стоячей воде х(км/ч); х>5.
361
Движение по реке
Величина
по течению
S = V / (км)
3(х + 5)
v (км/ч)
t (ч)
х +5
против течения
5(*- 5 )
равны
у
дг-5
5
3
Составим уравнение:
3(jc + 5) = 5(jc- 5 ) ;
2х = 40;
х = 20.
Ответ: 20 км/ч.
14.
Задание: Моторная лодка прошла 12 /си против течения реки и 12 км
течению реки, затратив на весь путь против течения на 1 час больше, чем на
путь по течению. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в сто­
ячей воде 9 км/ч.
Решение:
Обозначим скорость течения реки через х (км/ч); 0<х<9.
Движение по реке
Величина
по течению
S (км)
v (км/ч)
S
t =~ (4)
против течения
12
9+х
12
12
9 -х
12
9 +х
f
9-х
на 1 ч больше
|
Составим и решим уравнение:
12
12
9 - х 9+х
х 2 + 24дс -8 1 = 0;
Ответ: 3 км/ч.
- 2 7 - не уд. услов.
jc,
3.
15. Задание: Моторная лодка шла 40 минут по течению реки и 1 час против
течения и за это время прошла 37 км. Найдите скорость лодки в стоячей воде,
если скорость течения реки равна 1,5 км/ч.
Решение:
Обозначим скорость лодки в стоячей воде х (км/ч); х > 1,5.
362
Движение по реке
против течения
Величины
Общие
по течению
S = v t (км)
х —1,5
| ( х + 1,5)
v (км/ч)
величины
37
х - 1,5
х +1,5
2
1
40 мин = - ч
1 (ч)
3
Составим уравнение из первой строки таблицы:
- ( * + 1,5) + (дг-1,5) = 37;
—jc+1 + x -1,5 = 37;
3
- х = 37,5;
3
х = 22,5.
Ответ. 22,5 км/ч.
16.
Задание: Моторная лодка прошла 28 км по течению реки и 25 км против
течения реки, затратив на весь путь столько же времени, сколько ей понадоби­
лось бы на прохождение 54 #см в стоячей воде. Определите скорость лодки
в стоячей воде, если скорость течения равна 2 км/ч.
Решение:
Обозначим скорость лодки в стоячей воде х (км/ч); х > 2.
Движение по реке
Величины
против течения
5 (км)
v (км/ч)
S , .
/ = - (ч)
V
по течению
25
х -2
в стоячей воде
54
X
28
х+2
25 -
28
>f
f
один аковое
54
X
-j-
Составим и решим уравнение:
25
28
54
х - 2 х+2 х
- х 2- 6 х + 216 _
х(х —2)(х + 2)
х1+ 6 * -2 1 6 = 0;
-18 - не уд. услов.
12
Ответ: 12 км/ч.
363
(
17. Задание: Катер проходит 96 км вниз по течению реки от А до В и обрат­
но за 14 часов. Одновременно с катером из А отправился плот. На пути обратно
катер встретил плот на расстоянии 24 км от А. Определите скорость катера в
стоячей воде и скорость течения.
Решение:
Обозначим скорость катера в стоячей воде х (км/ч), скорость течения у
(км /ч);х,у> 0.
Общее
Движение по реке
по теч.
против теч.
Величины
V
плот
96
72
24
-У
х+ у
х-у
У
96
96
96
72
24
х+ у
х-у
х +у
х-у
У
х+ у
S , ,
/ = - (ч)
против теч.
96
96
S ( km)
v (км/ч)
Движение по реке
по теч.
х
14
V
j
Y | одинаковое |
Составим систему уравнений:
96
48
48
96
= 14,
= 7,
х+ у
х-у
96
72
х +у
х +у
24
У'
х-у
4
3
х+ у
х -у
4у(х - у) + 3у(х | у) - (х2 - у 2)
у(х +у ) ( х - у )
У
= 0;
1 х у -х 2 = 0;
х(х - Ту) = 0;
0 - не уд. услов.
*1.2 =
7 у.
х = 7у,
х = 7у,
— + — = 78 у 6у
— = 7;
У
У = 2,
х = 14.
Ответ: 14 к м /ч , 2 icm/ч .
При решении некоторых задач на движение по реке, скоростью течения
можно пренебречь.
18.
Задание: Теплоход должен был пройти по реке 12 км с определенно
скоростью. Фактически первую половину пути он шел со скоростью на 3 км/ч
меньше, и вторую половину со скоростью на 3 км/ч больше, чем ему полага­
лось. На весь путь теплоход затратил 5 ч. На сколько минут он опоздал?
364
Решение.
Пусть скорость теплохода по расписанию х (км/ч); х>0.
Движение
Величины
по расписанию
первая часть пути
вторая часть пути
72
36
х -3
36
х -3
V
36
х+ 3
36
х+3
S( km)
v (км/ч)
S
/ = - (ч)
V
X
72
X
5ч
Y
|
Составим и решим уравнение:
36
36
,
------1 ------ 1 5 ;
х -3 х+3
36(х + 3 + х - 3) = 5(х2 - 9);
5х2 - 72х - 45 = 0;
15,
*ti =
3
------ не уд. у слов.
72
Находим время по расписанию: — = 4,8 (у).
Теплоход опоздал на 5 - 4,8 = ОД (ч).
0,2 ч = —ч = 12 мин.
Ответ: 12 мин.
5
Существует ряд задач, которые рациональнее решать “арифметически”, а
не “алгебраически”. Заметим, что 17-ое задание можно решить арифметичес­
ким способом.
Независимо от того, удаляется катер от плота или приближается к нему,
его скорость относительно плота равна скорости катера в стоячей воде, меня­
ется только направление скорости. Следовательно, катер удаляется от плота за
то же время, что и приближается к нему, т.е. путь в 96 км от А до В пройден за
то же время, что и 72 км от В до встречи с плотом. Значит, скорости катера по
течению и против относятся как 9 6 :7 2 = 4 :3 . Время на путь от А до В и обратно
равно 14 ч. Для того чтобы определить время, затраченное на прямой и обрат­
ный путь, нужно данные 14 ч разделить на две части, относящиеся как 3 :4 .
Имеем: от А до В катер шел 6 ч, обратно - 8 ч. Скорость по течению равна
9 6 :6 = 16 км/ч, против 9 6 :8 = 12 км/ч.
Скорость катера (16 + 12): 2 = 14 км/ч, скорость течения 2 км/ч.
Ответ: 14 км/ч, 2 км/ч.
365
Решим задание №5 по действиям:
1) 75 :3 = 25 м!с = — -----= 90 км/ч - общая скорость.
1000
2) 90 - 40 = 50 км/ч - скорость встречного поезда.
Ответ: 50 км/ч.
19.
Задание: От станции С в направлении D отправился скорый поезд, п
ходящий в час 70 км, а через час от станции D в направлении к С вышел товар­
ный поезд со скоростью 45 км/ч. На каком расстоянии от D встретились поезда,
если длина перегона CD равна 530 км.
Решение:
1) 530—70 = 460 {км) поезда двигались навстречу друг другу.
460
460
2 )
= ------= 4 (ч) до встречи.
70 + 45 115
3) 45 •4 = 180 (км) расстояние от D.
Ответ: 180 км.
§2. ЗАДАЧИ НА РАБОТУ И ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ ТРУДА
Основными компонентами данного типа задач являются: А - работа, t время, N - производительность труда (работа, выполненная в единицу време­
ни): A=N-t.
Рассмотрим несколько простых задач на работу.
1. Задание: По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за
14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 г а больше, чем намечалось по пла­
ну, и поэтому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров было вспахано?
Решение:
Обозначим производительность бригады по плану через х (,га/день); х > 0.
Вспахивание
Величины
по плану
А = N ■t (га)
14 дс
12(jc+ 5 )
| одинаковая f
N (га/день)
t (дни)
X
jc +
14
12
Составим и решим уравнение:
14* = 12(х + 5);
2 * = 60;
х = 30.
366
фактически
5
Производительность по плану 30 га/день, тогда площадь вспаханного поля:
3 0 -1 4 = 4 2 0 га.
Ответ: 420 га.
2.
Задание: Токарь должен был обточить 120 деталей. Применив новый
резец, он стал обтачивать в час на 4 детали больше и благодаря этому вы­
полнил задание на 2ч 30 мин раньше срока. Сколько деталей в час обтачивал
токарь, используя новый резец?
Решение:
Обозначим первую производительность токаря х (дет/ч); х>0.
Изготовление
Величины
старый резец новый резец
А (дет)
N (дет/ч)
120
120
X
х +4
А , .
‘ = N <Ч>
120
120
X
х+4
|на 2 ч 3 0 .иин меньше |
Составим и решим уравнение:
_____
1.
120 120
х
х+4
2’
2 •120(х + 4 - д - ) - 5 р г +
4х)
2х(х Ц 4)
= 0;
х2 + 4 * - 1 9 2 = 0;
—не уд. у слов.
—16
*.2 =
.
12
Производительность токаря, с применением нового резца, 16 дет/ч.
Ответ: 16 деталей.
3.
Задание: Две бригады столяров делали стулья, причем первая бригада
сделала 65 стульев, а вторая 66 стульев. Первая бригада делала за один день на
два стула больше, чем вторая, но работала на один день меньше второй. Сколь­
ко стульев за один день делали две бригады вместе?
Решение:
Обозначим производительность второй бригады х (ст./день), тогда произ­
водительность первой - (х + 2); х > 0.
Величины
Изготовление
1 бригада
А (cm)
N (ст./день)
А,
/ = — (день)
N'
'
65
х+2
65
2 бригада
66
X
66
X
х+2
|на 1 ден ьменьше|
Составим и решим уравнение:
66
65
_
х х+2
х2 + х - 132 = 0;
—12
—не уд. услов.
П.
Производительность второй бригады 11 ст./день, производительность пер­
вой - 1 3 ст./день.
В ответе указываем сумму.
Ответ: 2 4 стула.
4. Задание: Завод по плану должен был изготовить 180 станков к опреде­
ленному сроку. Перевыполняя дневную норму на 2 станка, завод выполнил
задание на 1 день раньше срока. За сколько дней завод выполнил план?
Решение:
Обозначим число дней по плану через х ; х > 0 .
Величины
по плану
А (шт)
А, А
N = — (шт/день)
Составим и решим уравнение:
Изготовление
фактически
180
180
180
180
180
X
х 2 - х - 9 0 = 0;
х , = 10;
х2 = - 9 < 0 —не удовлетворяет
* x~l 1
Г на 2 с т. больше |
X
х -1
t (дни)
180
Х-1
условию задачи.
Ответ: 9 дней.
5. Задание: Рабочий изготовил в назначенный ему срок некоторое число
деталей. Если бы он ежедневно изготовлял их на 10 больше, то выполнил бы
эту работу на 4,5 дня раньше срока, а если бы он изготовлял в день на 5 деталей
меньше, то опоздание составляло бы 3 дня. Сколько деталей и в какой срок
изготовил рабочий?
Решение:
Обозначим количество деталей х, срок изготовления у ;х ,у > 0.
Изготовление деталей
Величины
план
А (дет)
X
X
N (дет/день)
У
а
(О
II
$\Ъ
л
У
1 условие
2 условие
X
X
- + 10
—- 5
.у—4,5
У+ 3
У
У
Составим и решим систему уравнений:
х
+ 10
= у - 4,5,
= у + 3;
-5
ху
х + Юд'
ху
х-5у
= 7 - 4 ,5 ,
= У + 3;
1Оу2 - 4 ,5 х - 4 5 .у = 0,
- 5 у 2 + Зх - 1 5у = 0 1-2;
1 ,5 х -
15у = 0;
х = 50jy;
368
J x = 50y,
\-5y2 +I35y = 0;
у =0
у
не уд. услов.
= 27.
Е сл и у = 2 7 ,х = 1350.
Ответ: 1350 дет, 27 дней.
План решения более сложных задач на совместную работу обычно сво­
дится к следующему:
а) принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за единицу;
б) находим производительность труда каждого рабочего в отдельности,
1
т.е. - где t - время, за которое указанный рабочий может выполнить всю
работу, работая отдельно;
в) находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий
отдельно, за то время, которое он работал;
г) составляем уравнение, приравнивая объем всей работы (т.е. единицу) к
сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненной
отдельно каждым из рабочих (если в условии сказано, что при совместной
работе выполнен весь объем).
6. Задание: Один плотник выполнит некоторую работу за 12 дней, другой
выполнит эту работу за 6 дней. За сколько дней они выполнят эту работу,
работая вместе?
Решение:
1) Принимаем всю работу за 1.
.
.
2 ) Производительность первого плотника — , второго - —.
,л
А
1
3)/ = — = —----- - = 4 дня.
N
- +j2 g
-
Ответ: 4 дня.
7. Задание: Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и
третий, работая вместе, могут выполнить всю работу за 7,5 ч; первый, третий
и пятый вместе - за 5 ч; первый, третий и четвертый вместе - за 6 ч; а второй,
четвертый и пятый вместе - за 4 ч. За какой промежуток времени выполнят эту
работу все 5 человек, работая вместе?
Решение:
Обозначим всю работу за 1.
Пусть производительность каждого из пяти рабочих равна х ,, х2, * 3, х4,х 5.
Составим и решим систему уравнений:
369
I
(х, +х2 + х})-7,5 = 1,
(х, + х 3 + x s) - 5 = 1,
(х, + х , + х 4) - 6 = 1,
(х 2 + х 4 + х , ) - 4 = 1;
2
X, + X, + X, = — ,
1
2
3 15
1
X. + X, + X, = —,
1
3
5 5
<
1
х, + х 3 + х 4 = - ,
о
1
х2 + х 4 + х 5
4
Умножим последнее уравнение на 2 и сложим все четыре уравнения.
В результате получим: 3(х, + х 2 + х 3 + х 4 + х 5) = 1.
Значит, пять человек выполнят работу за 3 ч.
Ответ: 3 ч.
8.
Задание: Две молотилки обмолачивают собранную пшеницу за 4 дня
Если бы одна из них обмолотила половину всей пшеницы, а затем вторая о с­
тальную часть, то вся работа была бы окончена за 9 дней. За сколько дней
каждая молотилка в отдельности могла бы обмолотить всю пшеницу?
Решение:
1)Пусть первая молотилка перерабатывает пшеницу за х дней, а вторая за
у дней; х, у > 0 .
2) Принимая всю работу за 1, имеем:
Величины
Переработка пшеницы
II
1 молотилка
N (1/день)
А ,
1 1 — (день)
N
1 молот.
1
1
1
1
1
У
х
X
X
Переработка
Общее
2 молотилка
1
1
2
2
1
1
1
у
X
X
—
2
У
у
1
4
У
2 молот.
2
“ V _
9 дней
Составим и решим систему уравнений:
У
—+ — = 9;
7
7
1 +I - I
х у 4’
1 ( х + >0 = 9;
Ответ: 12 дней, 6 дней.
370
у+х
ху
х=±П,
4*
х + у = 18;
ху = 72,
у = 6.
х + .у = 18;
1 = 6,
у = 12.
1
9. Задание'. Один трактор может вспахать поле на 1 день скорее, чем вто­
рой. Оба трактора совместно работали 2 дня, а затем оставшуюся часть поля
второй трактор вспахал за 0 ,5 дня. За сколько дней может вспахать это поле
каждый трактор, работая отдельно?
Решение:
Пусть первый трактор вспахивает все поле за х дней, тогда второй - за
(х + 1)день.
Принимая площадь поля за 1, а часть поля, которую они вспашут вместе за
2 дня, за у ( х ,у > 0), получим:
Вспахивание
Величины
A=N t
N (1/день)
/ (день)
Общее
Окончание работы
У
1- у
2 трактор
1 трактор
1
1
1
1
1
X
X
х+1
X+ 1
х
1
1
х+1
х +1
0,5
2
Составим и решим систему уравнений:
I
1
2 = У,
X х+1
1
х+1
0.5 = 1 - у ;
2х + 1
У
4х+:
х (х + !)
2'
х (х + 1)
= у,
I
1
4х + 2
2 (х + 1)
2 (х + 1)
х (х + 1)
= 1;
2х - 7х - 4 = 0;
4,
*п =
—
1
- н е уд. уел.
Ответ: 4 дня, 5 дней.
Задачи на бассейн, который наполняется одновременно разными трубами.
К задачам на работу относятся и часто встречающиеся задачи на перека­
чивание жидкости насосами. В качестве произведенной работы в этом случае
удобно рассматривать объем перекаченной воды.
10. Задание: Бассейн наполняется двумя трубами действующими одно­
временно, за 2 ч. За сколько часов может наполнить бассейн первая труба,
если она действуя одна, наполняет бассейн на 3 ч быстрее, чем вторая?
Решение:
Обозначим время, которое нужно 1 трубе для заполнения х (ч); х > 0.
371
Заполнение бассейна
Величины
2 труба
1 труба
V - N -t
N (1/ч)
| (ч)
Общие величины
1
1
1
1
1
1
I
X
X
х+3
х+3
х
х +3
2
Составим й решим уравнение:
— + — -— 1 -2 = 1; '
х
х + 3)
1
I
1
х х + 3 2*
х2 —л —6 = 0;
дс, = 3, х2 = - 2 < 0 - не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: заЗ ч.
11.
Задание-, Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определ
за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если извест­
но, что из первой трубы в час вытекает на 50% больше воды, чем из второй.
Решение:
Пусть время, за которое заполняет бассейн первая труба х (ч), вторая -
у(ч);х,у>0.
Наполнение
Величины
1 труба
2 труба
V -N -t
1
1
1
1
N = - (l/ч)
t
X
У
1 на 50 % больше |
t(4)
1
Составим и решим систему уравнений:
- + - ■ 6 = 1,
V*
*
372
у)
У
11 11 1 1
х
у
ЙН
3
б’
У
Общее
1
1 1
—+ —
х
у
6
Зу+2у
1
2у2
6’
/ - 1 5 ^ = 0;
|>(>'- 15) = 0;
0 - не уд. уел.
ж
-
.15;
(у = 15,
(х = 10.
Ответ: 10 часов, 15 часов.
12.
Задание: Два насоса различной мощности, работая вместе, наполняют
бассейн за 4 часа. Для наполнения бассейна на половину первому насосу
требуется времени на четыре часа больше, чем второму насосу для наполне­
ния бассейна на три четверти. За какое время может наполнить бассейн
каждый из насосов в отдельности?
Решение:
Пусть первый насос наполняет бассейн за х(ч), второй - за у (ч); х,у> 0.
Объем бассейна принимаем за 1:
Наполнение бассейна
Величина
п
1 насос
N (1/ч)
/= —
N
2 насос
Общее
Наполнение
1 насос
2 насос
1
з
4
1
2
1
х У
X
У
X
Зу
4
1
1
1
1
1
1
X
У
—+ —
2
(ч)
У
X
4
1
|на 4 ч больше |
\*
jb
II
1+
1-
Составим и решим систему уравнений:
у)
II
>ч|
mI
1
К1
12
1
1
\
х
у
4'
2 х -3 у = 16;
4
2 у + ]6 + 3 у
у ■(16 + Зу)
1
4’
5у+16
1
16у + 3у2
4'
Зу2- 4 у - 6 4 = 0;
373
У\.г =
16
Ответ: 16 ч, — ч.
3
13.
Задание : В одном бассейне имеется 200 м3 воды, а в другом 112
Открывают краны, через которые наполняются бассейны. Через сколько ча­
сов количество воды в бассейнах будет одинаковым, если во второй бассейн
вливается в час на 22 м3больше воды, чем в первый?
Решение:
Пусть х (ч) - время, через которое в бассейнах будет одинаковое количе­
ство воды, у
Величины
V = N t (м3)
,3\
- мощность насоса в первом бассейне; х,у> 0.
Наполнение
Составим и решим уравнение:
1 бассейн
2 бассейн
jcy + 200
х(у+ 2 2 )+ 1 1 2
| одинаковый |
N (м3/ч)
1(4)
ху + 20 0 = ху + 22х + 1 1 2 ;
22х = 88;
х = 4.
;у + 22
У
X
ху + 20 0 = х(у + 2 2 ) + 1 12;
X
Ответ: 4 часа.
§3. ЗАДАЧИ НА КОНЦЕНТРАЦИЮ И ПРОЦЕНТНОЕ СОДЕРЖАНИЕ
Задачи предоставленного раздела вызывают наибольшие затруднения.
В данном случае очень важно разобраться в условиях задачи и попытаться
разбить задачу на простейшие.
Введем основные понятия:
Пусть даны три различных вещества А, В и С с массами тА,тв и тс .
М асса смеси, составленной из этих веществ, равна Л/= тА+ тв + тс .
Массовой концентрацией вещества А в смеси (доля чистого вещества в
смеси), называется величина СА, вычисляемая по формуле:
С
-
" А-
М
Шл
тл +т в +тс
М ассовые концентрации СА,С В и Сс связаны равенством:
Са + Св + Сс ~ 1 •
374
Процентным содержанием вещ ества^ в данной смеси называетсяДелич ина Рл %, вы числяемая по формуле: Р 4 = СА • 100 % .
План решения задач:
/. Выбор неизвестных.
В качестве н еи звестны х, чаш е всего выбирают те величины, кохорьге тре­
буется найти.
2. Выбор чистого вещества.
Из вещ еств, фигурирующих в условии задачи, выбирается одно в качестве
чистого вещества. Чаще всего это то вещество, о котором идет речь в требовании
задачи, или вещество, о доле которого в условии содержится больше всего инфор­
мации. При этом, если СА - доля чистого вещества, то (1 -С А) - доля примеси.
3. П ереход к долям.
Если в задаче имею тся процентные содержания, их следует перевести в
доли, и в дальнейш ем работать только с долями.
4. Отслеживание состояния смеси.
На каждом этапе изменения см еси (добавление, изъятие) необходимо опи­
сы вать состояние см еси .
5. Сост авление уравнения.
В результате преобразований, см е сь приходит к итоговому состоянию .
Оно характеризуется величинами тЛ,М,СА, содержащими неизвестные. Урав­
нением, связы ваю щ им эти н еи звестны е, будет: тА= СА ■М.
6. Формирование ответа.
Если в задаче тр ебовал о сь найти то или иное процентное содержание, то
следует полученные доли перевести в процентное содержание.
1. Задание: М орская вода содерж ит 5% соли. Сколько пресной воды нуж­
но добавить к 8 0 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 4 % ?
Решение: П усть требуется добавить х кг пресной воды ; х > 0.
За чистое вещ ество принимаем соль.
Реш ение оф ормляем таблицей:
Состояние
смеси
1
Добавление
Количество
чистого вещества
(тА= М- СА)
Общее
количество
смеси ( М)
0,05 80
0,05 80
80
80 +х
Массовая
концентрация
(СА)
0,05
0,04
Исходя из второй строки таблицы, составим уравнение:
0,05 •80 = (80 +*)• 0,04;
8 0 + х = 100;
х = 20.
Ответ: 20 кг.
375
2. Задание: Имеется 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды. Сколь­
ко килограммов воды надо выпарить, чтобы оставшаяся масса содержала 25%
целлюлозы?
Решение : Пусть следует выпарить х кг воды.
За чистое вещество примем целлюлозу.
Доля воды в целлюлозной массе 0,85, а значит, доля целлюлозы:
1 -0 ,8 5 = 0,15.
Состояние
смеси
Количество
чистого вещества
Общее
количество
смеси (М)
(тА= М С А)
1
Выпаривание
0 ,1 5 -5 0 0
0 ,1 5 -5 0 0
Составим и решим уравнение:
0,15• 500 = ( 5 0 0 - х ) - 0,25;
5 0 0 - х =300;
х = 200.
500
5 0 0 -х
Массовая
концентрация
Ш
0,15
0,25
Ответ: 200 кг.
3.
Задание: Смесь, состоящая из двух веществ, весит 18 кг. После того, к
из нее выделили 40% первого вещества и 25% второго, в ней первого вещества
осталось столько же, сколько второго. Сколько каждого вещества было в смеси?
Решение:
Пусть первого вещ ества в смеси было х (кг), тогда второго 1 8 -х(кг).
Остаток первого вещества в смеси 60% , остаток второго - 75% .
М
тА= М С А
1 вещество
2 вещество
0,6х
0,75(18 - х )
- равны
Составим и решим уравнение:
0,6х = 0,75(18 - х ) ;
0 ,8 х = 1 8 - х ;
х = 10.
X
1 8 -х
0,6
0,75
Ответ: 10 кг, 8 кг.
4.
Задание: В растворе содержится 4 0 % соли. Если добавить 120 гсоли,
в растворе будет содержаться 70% соли. Найдите массу соли в первоначаль­
ном растворе.
Решение:
Пусть масса раствора х (г).
376
Состояние смеси
1
2
1+2
тА = М С А
М
с.
0,4х
120
0,4дг+120
X
0,4
1
0,7
120
х+120
Составим и решим уравнение:
0,4.x + 120 = (jc+ 120)-0,7;
0,3*= 3 6;
х= 120.
Найдем массу чистого вещества в первоначальном растворе:
120-0,4 = 48 (г).
Ответ: 48 г.
5.
Задание: Кусок сплава меди и цинка массой в 36 кг содержит 45% меди.
Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав
содержал 60% меди?
Решение:
Пусть требуется добавить х (кг) меди.
Состояние
смеси
Количество
чистого вещества
(тА = М- СА)
1
16,2
2
1+ 2
X
16,2 + х
Составим и решим уравнение:
16,2 + х = (3 6 + х) •0,6;
0,4х= 5,4;
х = 13,5.
"
Общее
количество
смеси (М)
Массовая
концентрация
(СА)
36
X
36 + х
0,45
1
0,6
Ответ: 13,5 кг.
6.
Задание: Одна бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2 : 3 ,
а другая - в отношении 3 :7 . По сколько ведер нужно взять из каждой бочки, что­
бы составить 12 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3 :5 ?
Решение:
Пусть из одной бочки взяли х ведер, тогда из другой ( 1 2 - х ) ведер.
Отношение спирта к воде в первой бочке 2 : 3 , значит в бочке 40% спирта;
отношение спирта к воде во второй бочке 3 : 7 , значит в бочке 30% спирта.
Отношение спирта к воде в смеси 3 : 5, найдем процентное содержание
спирта:
Здг+5х= 100 (% );
8х = 100;
377
х - 12,5.
Т.е. в смеси 37,5 % спирта.
Состояние смеси
тА= М■СА
М
1 бочка
2 бочка
Смесь
0,4х
X
0,3(1 2-х )
4,5
12 —х
12
с*
0,4
03
0,375
Согласно первому столбцу таблицы, составим уравнение:
0,4* + 0,3(12 —jc ) = 4,5;
0,1 *= 0 ,9 ;
х=9.
Ответ: 9 ведер, 3 ведра.
7.
Задание: Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5%
40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали
с содержанием никеля 30% ?
Решение:
Пусть взяли дг(т) стали первого сорта, тогда стали второго сорта 140 - х(т).
1 сорт
2 сорт
1 сорт + 2 сорт
0 ,0 5 *
0 ,4 (1 4 0 -х )
0,05*+ 0 ,4 (1 4 0 - х )
Составим уравнение:
0,05.x + 0,4( 140—jc)= 140-0,3;
0 , 3 5 j c = 14;
*•=40.
X
X
(тА= М С А)
Общее
количество
смеси (Л/)
и
Количество
чистого вещества
0
1
Состояние
смеси
140
Массовая
концентрация
(СА)
0,05
0,4
0,3
Ответ: 40 т, 100/и.
8.
Задание: Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В перво
растворе содержится 12 г соли, во втором 15 г соли. Если оба раствора сме­
шать, то концентрация полученной смеси составит?
Решение:
Состояние
смеси
Количество
чистого вещества
(тл)
1 раствор
2 раствор
Смешали
378
12
15
27
Общее
количество
Массовая
концентрация
тА
смеси (Л/)
80
120
200
0,15
0,125
X
Рл = СА 100% = 13,5%.
Ответ: 13,5%.
9.
Задание: Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845 г больше,
чем меди. Если к нему добавить некоторое количество чистого серебра, по
1
массе равное ~ массы чистого серебра, первоначально содержащегося в спла­
ве, то получится новый сплав, содержащий 83,5 % серебра. Какова масса спла­
ва и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра?
Решение:
Пусть сплав содержит х г серебра, тогда меди в нем (дс - 1845) г.
Масса сплава (2т - 1845) г.
М
с*
2 х - 1845
1
1
1
-X
3
1
тА
Серебро
Медь
X
( х - 1845)
Добавили
Смешали
1
-х
3
4
—X
3
j-
-X
3
-
1845
0,835
Составим и решим уравнение:
у х = f j x - 1845j - 0,835;
4 jc = (7 jc - 5535) - 0,835;
~
369x = 167-5535;
41x = 167-615;
x = 167-15;
x * 2505.
Серебра в сплаве - 2505 г.
Меди в сплаве - 660 г.
Масса сплава - 3165 г.
Первоначальное процентное содержание серебра:
379
3165
•
100% = —
633
•100% = —
211
100% » 0,791 •100% = 79,1%
Ответ: 3165 г, « 79,1 % .
I
10.
Задание: 40 кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во второ
сосуде чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в первом сосуде. Если во|
второй сосуд добавить 1 кг соли, то количество соли в нем будет в 2 раза]
больше, чем в первом сосуде. Найдите массу раствора, находящегося в первам сосуде.
Решение:
Пусть в 1 сосуде jc (кг) соли, тогда во втором х + 2 (кг).
По условию: (х + 2)+ 1 =2х;
х=3.
Пусть масса раствора в 1 сосуде у (кг).
Состояние
смеси
Количество
чистого вещества
(тл )
3
2
5
Массовая
концентрация
смеси (М)
(СА= ^ )
М
3
У
У
1
о
ГГ
1
Общее
количество
5
40-у
Учитывая, что концентрация соли в сосудах одинаковая, составим уравнение:
3
5
У
40- у
Ответ: 15 кг.
7 = 15.
§4. ЗАДАЧИ НА ЗАВИСИМОСТЬ
МЕЖДУ КОМПОНЕНТАМИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ
Задачи, в которых используется формула числа
1.
Задание: Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то полу
чится в частном 4 и в остатке 3. Если же число разделить на произведение его
цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5. Найдите это число.
Решение:
а,Ь е {0,1,2...9}.
380
ab = Юо + b - искомое двузначное число.
По условию:
J l 0 a + 6 = 4 ( a + 6) + 3,
\2а- b = 1,
jb = 2 a - l ,
} l 0 a + 6 = 3ab + 5;
[IOa + 6 = 3a6 + 5;
|2a2 - 5 a + 2 = 0;
a \= 2 ;
1
a2 = —
не удовлетворяет условию задачи.
Если a = 2 , 6 = 3 .
Ответ. 23.
2. Задание: Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру
поместить вначале, то полученное трехзначное число будет на единицу боль­
ше утроенного первоначального числа. Найдите это число.
Решение:
а,Ь е {0,1,2...9}.
аЬЪ = 100a + 1 ОЬ+ 3 - искомое число.
ЪаЬ = 300 + 10а + Ь - полученное число.
По условию:
300 + 10а + Ь - 3 ( 1 00а +106 + 3) = 1;
290а + 296 = 290;
10а + 6 = 10.
Т.к. а и Ь - цифры, то а = 1 ,6 = 0.
Ответ'. 103.
Задачи, в которых слагаемые пропорциональны некоторым числам
(или дано их отношение)
3. Задание'. При делении числа 190 на части обратно пропорционально
1
числам 3, — и 5 получаются числа?
Решение:
Пусть х - коэффициент пропорциональности.
По условию:
- х + 2х + - х = 190;
3
5
— = 190;
15
х = 75.
Ответ: 25; 150; 15.
381
4. Задание: Найдите три числа, если первое составляет 80% второго, вто9
рое относится к третьему как 0,5: — , а сумма первого и третьего на 70 боль­
ше второго числа.
Решение:
Пусть х, у и z —искомые числа.
По условию:
X
- = 0 ,8,
У
У
9
{ - = 0 ,5 :— ,
z
20
x + z = у + 70;
* _ 4
_4у
У~ 5 ’
5 ’
^ 1 0
z ~ 9 ’
* + z = у + 70;
х = 80,
-z = ^
>> = 1 0 0 ,
10 *
10
z = 90.
70;
Отлет. 80,100,90.
5.
Задание: Склад отпустил 40% имевшийся в запасе муки хлебозаводу
а остальную муку распределил между тремя магазинами в соотношении
0,3 :2,5 :0,8. Сколько муки было на складе в запасе, если известно, что первый
магазин получил на 40 т меньше, чем третий.
Решение:
х - количество муки в запасе.
х - 0,4* = 0,6* - количество оставшейся муки.
0,3у; 2,5у; 0 ,8у - получили магазины.
По условию:
f0,8jy - 0,3у = 40,
Г0,5у = 40,
1> = 80,
(оДу + 2,5у + 0,8_у = 0,6*;
[3,6j> = 0,6*;
{ * = 480.
Ответ: 480 т.
Задачи, где неизвестные являются членами пропорции
6.
Задание: За 2,5 кг баранины заплатили 475 тенге, тогда по той же цен
на 665 тенге баранины можно купить?
Решение:
Количество и стоимость товара находятся в прямой пропорциональной
зависимости:
2,5
,,
382
?
кг
— 475 тенге
—
665 тенге
2.5 | 475
x
665 ’
я 2^665 Я
? =
0твет 2,5кг.
475
95
19
7. Задание: Пешеход прошел путь за 2,5 часа, двигаясь со скоростью 3,6 км/ч.
Сколько времени потратит пешеход, чтобы пройти этот же путь со скоростью
4,5 км/ч?
Решение:
Время и скорость - обратно пропорциональные величины.
3,6 км/ч
2.5 часа —
,,
‘‘
— 4,5 км/ч
9
2 £ _ 4^
х
3,6 ’
х-
^
_ 2j5j_4 _ q
4,5
5 .4 _ 2
Ответ: 2 часа.
5
8. Задание: Сумма первых трех членов пропорции равна 58. Третий член
2
3
составляет —, а второй — первого члена. Найдите четвертый член пропорции.
Решение:
3
2
х, —х, - X - первые три члена пропорции.
3
2
По условию: х + —х + —х = 58:
4
3
29*
— = 58;
12
х = 24.
2 4 ,1 8 ,1 6 -член ы пропорции.
24
16
1816
18 2
Л
а = -------- = ------- = 12.
Ответ: 12.
— -= — ;
18
а
24
3
9. Задание: Найдите четыре числа, образующих пропорцию если извест­
но, что сумма крайних членов равна 14, сумма средних членов равна 11, а
сумма квадратов таких четырех чисел равна 221.
Решение:
a, b ,c ,d - члены пропорции.
По условию:
383
a + d = 14,
b + c = \\,
' a 2 +b2 + c2 + d 2 = 221,
ad = be.
Возведя левые и правые части первых двух уравнений в квадрат и сложив
полученные результаты, находим:
f a 2 + 2 a d + d 2 = 196,
[Ь2 +2Ь с + с г = \21,
а 2 + Ъ2 + с 2 + d 2 + 2(ad + be) = 317;
ad+ bc = 48;
ad = bc = 24;
J ar + d = 1 4 ,
ja</ = 24;
(2; 12), (12; 2);
J7> + c = l l ,
(6c = 24;
(3; 8), (8; 3).
Ответ: 2 ,3 ,8 ,1 2 .
10 .Задание: После выпуска из школы ученики обменялись фотография­
ми. Сколько было учеников, если они обменялись 870 карточками?
Решение:
Пусть выпускников было х, х > 0, тогда каждый отдал (х —1) фотографию.
Составим уравнение:
х(х “ О = 870;
х2 - х - 870 = 0;
_ 29 - не уд. услов.
1,2 -
30.
Ответ:3 0 учеников.
11. Задание: На устройство канализации на протяжении 160 м употребили
150 керамических труб длиной 800 и 1200 мм. Определите количество труб
каждого размера.
Решение:
1) Пусть труб, размером 800 мм, было х, тогда других - ( 1 5 0 - х ) .
2) По условию:
0,8 х + 1,2(15 0 - х ) = 160;
1 8 0 -0 ,4 х = 160;
0,4х= 20;
х = 50
Ответ: 50 труб, 100 труб.
12. Задание: В книге на одной из страниц строки содержат одинаковое
число букв. Если увеличить на 2 число строк на странице и число букв в каж­
дой строке, то число букв на странице увеличится на 150. Если же убавить
384
число букв в строке на 3, а число строк на странице на 5, то число всех букв на
странице уменьшится на 280. Найдите число строк на странице и число букв в
строке.
Решение
Пусть на странице книги дгстроку букв в строке (х,у> 0), тогда на странице
ху букв.
По условию:
I;
[ х + у = 1Ъ |-3,
{ - З х - 5 у = -2 9 5 ;
(Зх + 3^ = 219,
{ - З х - 5 у = -2 9 5 ;
-2 у = -7 6 ;
1х = 35,
{.у = 38.
Ответ: 35 строк, 38 букв.
13.
Задание: Найдите три числа, из которых второе больше первого на
столько, насколько третье больше второго, если известно, что произведение
двух меньших чисел равно 85, а произведение двух больших равно 115.
Решение".
1) Пусть искомые числах,.у, r,z> y> x > 0 .
2) По условию:
У ~ х —z —у,
ху = 85,
yz = \\5;
Ответ: 8,5; 10; 11,5.
14. Задание: Знаменатель дроби меньше квадрата ее числителя на 1. Если к
1
числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше - ;
если от числителя и знаменателя первоначальной дроби отнять по 3, то значение дроби будет равно — . Найдите эту дробь.
Решение:
Пусть числитель дроби - х , знаменатель -у.
По условию:
385
у =х -1 ,
х -3
1
у -3
12
у = х 2 - 1,
7 = 12х —33;
х2- 12х+ 32 = 0;
х, = 8, х2 = 4;
>>1= 63,72= 15-
х+2
1 _
Дополнительно
Дополнительн известно, ч т о -------> —. Очевидно, что решение (8; 63) не
У+2 4
4
удовлетворяет данному неравенству. Поэтому искомая дробь 15
4
Ответ: — .
15
§5. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ
Решение задач на проценты составлением пропорции
Процентом данного числа а называется его сотая часть. Следовательно,
само число составляет 100 процентов. Один процент обозначается символом 1%.
Например,
45% от числа 100 есть 45;
30% от числа 120 есть 120 ■
100
= 36;
42
42% отх е с т ь ------ х = 0 ,4 2 х .
100
При решении задач на проценты некоторая величина Ъ принимается за
100%, ее часть - величина а - принимается за х % и составляется пропорция:
Ь
а
100
— = -----. Из пропорции по двум известным величинам определяют искомую
х
третью, пользуясь основным свойством пропорции: Ь ■х = 100 •а.
1.
Задание: В магазин привезли 14 т капусты, 30% всей капусты продал
Сколько капусты осталось?
Решение:
Оставшаяся часть капусты составляет 1 0 0 % -3 0 % = 70%.
14т —100%.
Привезли:
Осталось:
хт -7 0 % .
^
14 100
Составляем пропорцию: — = — ;
х
70
х=
100
= 98.
Ответ: 9,8 т.
Замечание: Вычислить 30% от 14 т быстрее умножением 0,3 • 14. Зато
способ пропорции “унифицирует” решение задач на проценты, то есть явля386
ется стандартным методом решения. Лучше знать оба способа, а каким вос­
пользоваться при решении задач - пусть каждый выбирает сам.
2. Задание: На факультете учатся 3 6 0 девушек. Если парни составляют 52%
всех студентов, то сколько студентов учатся на данном факультете?
Решение:
Девушки составляют 100% - 52% = 48% всех студентов.
Девушки:
360 чел -4 8 % .
Всего студентов:
х чел -1 0 0 % .
360
Составляем пропорцию: —
48
=— ;
360 100
х = — ------ = 750.
Ответ: 75 0 студентов.
3. Задание: Самолет при перелете из Алматы в Ганновер теряет 8% своего
предполетного веса. Каков был предполетный вес самолета, если в Ганновере
он весил 11040 кг?
Решение:
Предполетный вес:
Вес после полета:
х кг -1 0 0% .
11040кг -9 2 % .
х
10 0
Составляем пропорцию:--------= ------;
11040
92
х = -— ^
92
Ответ'. 12 т.
_ 12000 (кг) = 12 (да).
4. Задание: При продаже товара за 1386 тыс. тенге получено 10% прибыли.
Определите себестоимость товара.
Решение:
Продажа:
Себестоимость:
1386тыс. тенге -1 1 0 % .
х тьщ. тенге -1 0 0 % .
1386 110
Составляем пропорцию: —— = ——;
1386 100
х = -------------= 1260.
Ответ: 1260 тыс. тенге.
110
5. Задание: Банк обещает своим клиентам годовой рост вклада 4%. Если
человек вложит в банк 1200 тенге, то через год получит?
Решение:
Вложил
Получит через год:
1200 тенге —100%.
х тенге -1 0 4 % .
1200
100
Составляем пропорцию:------ -- ——;
х
104
387
1
х = —- — —- = 1248.
Ответ. 1248 тенге.
100
6 . Задание: Перед новым годом магазин снизил цены на товары на 25%. На
сколько тенге понизилась цена на плюшевого мишку, если до снижения цен он
стоил 1980 тенге?
Решение:
Первоначальная цена: 1980тенге-100%.
Цена снижена на:
х тенге -2 5 % .
~
1980 100
Составляем пропорцию:------ = ------;
1980-25
х
25
х = -----------= 495.
100
Ответ: 495 тенге.
7. Задание: Сколько процентов составляет число 40 от своего квадрата?
Решение:
Число:
Квадрат числа:
4 0 -*% .
1600 -100% .
40
х
Составляем пропорцию:
— = у— ;
х=
*РР ж 2,5.
Ответ: 2,5%.
1600
8. Задание: В середине года 1 кг масла стоил 80 тенге, через год оно стоило
уже 360 тенге. На сколько процентов подорожало масло?
Решение:
Первоначальная цена: 80 тенге -1 0 0 % .
Масло подорожало на: 280 тенге —х %.
80
100
Составляем пропорцию:
=— ;
х=
-.!£!? = 350.
Ответ: на 350%.
80
9. Задание: Виноград при сушке теряет 65% своей массы. Сколько изюма
(сушеного винограда) получится из 40 кг свежего винограда?
Решение".
Свежий виноград:
40 кг - 100%.
Изюм:
х к г- 35%.
А
40 100
Составляем пропорцию: — = — ;
х 35
40-35 , .
______, .
х = -------- = 14.
Ответ: 14кг.
100
388
I
10.
Задание: Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом
растворе содержится 12 г соли, а во втором - 15 г соли. Если смешать оба
раствора, то концентрация (в %) полученной смеси составит?
Решение:
Раствор: 200 г —100%.
2 7 г-х % .
Саль:
Составляем пропорцию:
27-100
200
200
100
27
Ответ: 13,5%.
= 13,5.
1 1. Задание: Каждую сторону прямоугольника увеличили на 50%. На сколь­
ко процентов увеличилась площадь прямоугольника?
Решение:
аЬ -100% .
2,25 a b -a b —х%.
ь
а-Ь
1,5а
2,25 аЬ
\,25аЬ\00
= 125.
аЪ
Ответ: на 125%.
12.
Задание: Сторону квадрата увеличили на 20%. На сколько процентов
увеличился периметр?
Решение:
1,2а
а
4,& а-4а-х% .
II
1,2а
00
Р = 4а
4а -1 0 0 % .
0,8а 100
4а
= 20 .
Ответ: на 20%.
13.
Задание. Радиус круга увеличили на 15%. На сколько процентов увели­
чилась площадь круга?
Решение:
яЯ2 -1 0 0 % .
1,3225JiR2-nR 2-x% .
0,3225яЯ2 -100
яГ
= 32,25.
Ответ: на 32,25%.
389
14.
Задание: В течение января цена на яблоки выросла на 30% , а в течени
февраля - на 20% . На сколько процентов поднялась цена за два месяца?
Решение:
Утверждать, что цена выросла на 50%, нельзя, поскольку “первые” 30%
подсчитываются относительно цены в конце декабря, тогда как “вторые”
2 0 % -относительно цены на конец января. Следовательно, за 100% при первом
и втором расчетах принимаются разные величины - цены соответственно в
конце декабря и в конце января. Поэтому будем рассуждать последовательно:
а - 100%.
1 ,5 6 а - а - х % .
0,56а 100
Ответ, на 56%
= 56.
15.
Задание: Один килограмм груш стоит на 20% меньше 1 кг персиков,
1 кг яблок - на 10% меньше 1 кг груш; 1 кг слив стоит на 15% меньше 1 кг
яблок. На сколько процентов 1 кг слив стоит меньше 1 кг персиков?
Решение:
яблоки
а - 100%.
а - 0 ,6 1 2 а - х % .
х =
персики
0,388а 100
= 38,8.
Ответ: на 38,8%.
Сложный процентный рост
Sn = f 1 ±
' & ~ формула сложных процентов.
Формула применима к любой ситуации, когда рассматриваемая величина
за каждый заданный промежуток времени увеличивается или уменьшается на
р процентов, считая от предыдущего ее значения.
390
f
16.
Задание: Какая сумма будет на счете через 4 года, если на него положе
ны 2000 тенге под 3 0 % годовых?
Решение:
Ответ: 5712,2 тенге.
17.
Задание : После двух последовательных снижений цен на одно и то же
число процентов цена фотоаппарата упала с 300 тенге до 192 тенге. На сколько
процентов снижалась цена фотоаппарата каждый раз?
Решение:
1 — — = 0,8;
100
100
лг = 20.
Ответ: на 20% .
18.
Задание: Каким должен быть начальный вклад, чтобы через два год
вклад в банке, начисляющем 30% годовых, возрос до 845000 тенге?
Решение.
391
2
(J
13
10
•5 = 845;
S = 500.
Ответ: 500 тыс. тенге.
Решение задач на проценты алгебраическим методом
19. Задание: Токарь и его ученик должны по плану изготовить за смену 65
деталей. Благодаря тому, что токарь перевыполнил свой план на 10%, а ученик на 20% , они изготовили за смену 74 детали. Сколько деталей по плану должны
были изготовить в отдельности токарь и его ученик?
Решение:
х (дет) —по плану должен изготовить токарь.
6 5 - х (дет) - по плану должен изготовить ученик.
Составим и решим уравнение:
1, lx + 1,2(65 - х ) = 74;
1,1х + 7 8 - 1 ,2 х = 74;
0 ,1 *= 4 ;
х=40.
40 дет по плану должен был изготовить токарь.
25 дет по плану должен был изготовить его ученик.
Ответ: 40 дет; 25 дет.
20. Задание: Турист прошел в первый день 40% маршрута, во второй день
45% оставшегося пути, после чего ему осталось пройти на 6 км больше, чем
он прошел во второй день. Весь маршрут составляет?
Решение:
х (км) - весь маршрут.
0,4 jc (км) - турист прошел в первый день пути.
0,45(х - 0,4х) = 0 ,2 7* (км) - турист прошел во второй день пути.
х - (0 ,4 х + 0 ,2 7 х) = 0,3 Зх (км) - осталось пройти туристу.
Т. к. туристу осталось пройти на 6 км больше, чем он прошел во второй
день, составим и решим уравнение:
0 ,3 3 х -0 ,2 7 х = 6 ;
0,06х= 6;
х = 100.
Ответ: 100км.
2 1 . Задание: Поле вспахивали в течение трех дней. В первый день вспахали
56% всей площади, во второй - 75% оставшегося участка, а в третий - 330 га.
Какова площадь поля?
Решение:
х (га) - площадь поля.
392
0 ,5 6 * (га) - вспахали в первый день.
0,75(х - 0,56х) = 0,33* (га) - вспахали во второй день.
330 га - вспахали в третий день.
Составим и решим уравнение:
0,56х + 0,33* + 330 = * ;
0,11*= 330;
*= 3 0 0 0 .
Ответ-. 3000 га.
22. Задание : Из молока получается 2 1% сливок, а из сливок - 24% масла.
Сколько нужно взять молока, чтобы получить 6 3 0 кг масла?
Решение:
х (кг) молока нужно взять.
0,21* (кг) сливок получится.
0,24 •(0 ,2 1 *)= 0 ,0 5 0 4 * (кг) масла получится.
Составим и решим уравнение:
0,0504х=630;
*= 1 2 5 0 0 .
Ответ: 12500 кг.
23. Задание: Сумма двух чисел равна 120. Найдите эти числа, если 40%
одного числа равны 6 0 % другого.
Решение,
х - первое число.
120—х —второе число.
Составим и решим уравнение:
0 ,4 * = 0 ,6 ( 1 2 0 -* );
0,4* = 7 2 - 0,6г,
х=72.
Ответ: 72; 48.
24. Задание. Две шкурки ценного меха стоимостью 2 2 5 тыс. тенге были
проданы на международном аукционе с прибылью в 4 0 %. Какова стоимость
каждой шкурки, если от первой было получено 25 % прибыли, а от второй - 50 %?
Решение.
х (тыс. тенге) - стоимость первой шкурки.
у (тыс. тенге) - стоимость второй шкурки.
Составим и решим систему уравнений:
+
-0 ,2 5 * --2 2 ,5 ;
* = 9 0 , у = 135.
Ответ: 90 тыс. тенге, 135 тыс. тенге.
393
I
25. Задание: Стоимость 60 экземпляров первого тома и 75 экземпляров
второго тома составляет 270 тыс. тенге. В действительности за все книги
уплачено только 237 тыс. тенге, так как проводилась скидка на первый том
в размере 15%, а на второй том - 10%. Найдите первоначальную цену книг.
Решение:
х (тыс. тенге) - стоимость первого тома.
у (тыс. тенге) - стоимость второго тома.
Составим и решим систему уравнений:
J 6 0 * + 15у = 270,
Г6 0 * + 75 у = 270,
j4x + 5y = 18, |•(-4,5)
(0,85• (6 0 *) + 0,9• (75j/) = 237; (51* + 67,5>> = 237; [l 7 * + 22£у т 79;
Г -18* - 22,Ьу = -81,
[17* + 22,5у = 79;
—* = —2 ;
* = 2 ,_у = 2 .
Ответ: 2000 тенге; 2000 тенге.
26. Задание : Свежие грибы содержат по массе 9 0 % воды, а сухие - 12%
воды. Сколько получится сухих грибов, из 22 кг свежих?
Решение:
Т.к. в свежих грибах 90% воды, то сухого вещества в них 10%.
В сухих грибах сухого вещества 88% .
Состояние смеси
Свежие грибы
Сухие грибы
тЛ= М С А
М
с,
2,2
0 ,8 8 *
22
*
0,1
0,88
Т. к. масса сухого вещества постоянна, составим уравнение:
0,88* = 2,2 ;
* = 2 ,5 .
Ответ: 2,5 кг.
27.
Задание: Сухие фрукты содержат 2 0 % воды, а свежие - 7 2 % воды
Чтобы получить 7 кг сухих фруктов, свежих надо взять?
Решение:
Т.к. в свежих фруктах 72% воды, то сухого вещества в них 28% .
В сухих фруктах сухого вещества 80% .
Состояние смеси
Свежие фрукты
Сухие фрукты
394
тА= М С л
М
Сл
0 ,2 8 *
5,6
х
1
028
0,8
Масса сухого вещества (тА) остается постоянной, поэтому составим и
решим уравнение:
0,28* = 5,6;
I
х = 20.
Ответ: 20 кг.
Р езю м е
В настоящее время на экзаменах предлагается много текстовых задач. Главное,
что объединяет задачи данного типа, это то, что условие задачи формулируется в
виде некоторого текста, без формул и без буквенных обозначений неизвестных.
Умение решать текстовы е задачи зависит от навыков учащихся. Привычка боль­
шинства учащихся рассматривать любую текстовую задачу, как задачу на составле­
ние уравнений может ввести в заблуждение: учащиеся оказываются психологически
неподготовленными к тому что, либо одних уравнений для решения задачи недоста­
точно; либо можно вообщ е обойтись без уравнений.
Прежде всего, необходимо научиться различать основные типы текстовых задач
и уметь решать простейшие из них. В связи с этим, в данной главе рассмотрены
некоторые типы текстовых задач и способы их решения:
- задачи на движение (прямолинейное, по воде, по окружности);
- задачи на работу и производительность труда;
- задачи на концентрацию и процентное содержание;
- задачи на проценты и другие типы текстовы х задач.
К каждому типу текстовых задач даны методические рекомендации по их реше­
нию. Предложенные схем ы решения охваты ваю т практически все текстовые задачи,
встречающиеся в сборниках тестов.
Результаты предварительного анализа текстовой задачи желательно зафиксиро­
вать, записать. Словесная, описательная форма записи не удобна. В задачах на движе­
ние, на работу, на смеси для более удобной записи условия задачи рекомендуется
запись в виде таблицы. Такая запись очень компактна, наглядна и, полностью заменя­
ет саму формулировку исходной задачи.
Очень подробно разобраны решения задач, вызывающие наибольшие затрудне­
ния, это задачи на концентрацию вещ ества в смеси и совместную работу.
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующими навыками:
- решать задачи на движение из одного пункта в другой в одном направлении;
- решать задачи на движение из одного пункта в другой с остановкой в пути;
- решать задачи на движение из разных пунктов навстречу друг другу;
- решать задачи на движение по реке;
- решать задачи, когда объекты движутся по окружности;
- решать задачи на совм естную работу, задачи на планирование и задачи на бас­
сейн, одновременно наполняющийся разными трубами;
- решать задачи на пропорциональное деление;
- решать задачи на прямую и обратную пропорциональность;
- решать задачи на перестановку цифр в числе;
- решать задачи на см еси и сплавы;
- решать задачи на проценты.
395
Глава VII
НАЧАЛА АНАЛИЗА
§1. ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Область определения функции
У~
Область значений функции
8. a )y = x2 - 2 x + 10;
j
X+х
6 )y = - x 2 + 5x - 9.
9. У = 3 - 0,4х
,
. 1+ х2
у = arcsin-------2х
3. у = л/2х- 3 х
2.
4. у = 0 , 5 ^ +
б)у= 2
1
х+1
х —1
5. у =
... 1 =
+ у/х2 - х - 20
л/14 + 5 х - х 2
6. Найдите наименьшее целое х
из области определения функции
у = у/4 Х - Х 2 ■lg(x2 - 1 ) .
7.
л/х2 - 2х
у = —------------
д)у = Ig(5x'
;
в)у = у12х-х2;
11.а ) у = 2ео>х;
1
д) у = 2sin x + cos2x,
т
'
cosx
2 -s in 3 x
х
. х
cos— sin —
2
2
в) j» = sin x -c o sx ;
l o g j( x - l )
.ж ) j/= 3 c o s x -4 s in x .
г) >/= 3 + 2 sin 2 3x,
Периодические функции
Четные и нечетные функции
17. а) / (х ) = 2 х + 2 " ;
12. а) у = — бшлх;
б ) / (х ) = l g ^ ;
в ) / ( х ) = ( 2 - х ) 5 - ( 2 + х )5.
18. а) / (х) = |х|•х 4 + х 2;
в) ^ = cos 5х cos Зх + sin 5x sin Зле;
г) > = 2sin 2 x c o s x - sin x.
13. a) у = cosx + sin 2x;
б) у = cos 4x + sin 2 x.
14. у = arcsin(sinx)
fi ч
d )f(x ) =
Обратные функции
396
а) у
=
б) y ~
б ) / W = , S i H + sinx;
sinx
в) / (х ) = 2 — |х) + х 2;
г) / (*) =
15. у = sin4 x + cos4 jr.
16.
8х + 4).
lg(l - x).
0,5х3 - 5х2 + х;
x + s in x
х +х
.
Функция и ее свойства
Понятие функции было и остается одним из основных понятий математи­
ки школьного курса.
Определение. Функцией называется соответствие между множествами X
и Y, при котором каждому элем енту* из множества встави тся в соответствие
единственный элементу из множества У.
Переменную * называют независимой переменной или аргументом.
Переменную у называют зависимой переменной.
Говорят также, что у является функцией о т *.
Функция называется числовой, если оба множества X и Yсостоят из чисел.
Именно числовые функции являются главным объектом изучения в школь­
ном курсе алгебры.
В данном параграфе рассматриваются следующие темы:
- область определения функции;
- область значений функции;
- периодические функции;
- обратные функции;
- четные и нечетные функции.
О бласть определения функции
Рассмотрим функцию у = / (*), заданную аналитически, т.е. в виде формулы.
Если область определения аналитически заданной функции явно не указа­
на, то такой областью считают множество всех значений аргумента, при кото­
рых имеет смысл аналитическое выражение функции.
Область определения функции у = / (*) принято обозначать символом D(y).
При нахождении области определения функции следует использовать сле­
дующие правила:
1. Дробь имеет смысл, если ее знаменатель отличен от нуля.
2. Корень четной степени существует, если подкоренное выражение нео­
трицательно; корень нечетной степени существует при любом значении под­
коренного выражения.
3. Функция у = а* (а > 0, а * 1 ) определена на множестве всех действитель­
ных чисел, * € R .
4. Логарифм по основанию а (а > 0 , а * 1) существует, если выражение под
знаком логарифма положительно.
5. Областью определения функций у = sin х ,у = cos х,у = a rc tg * ,y = arc c tg *
является множество всех действительных чисел, * е R.
6. Функция у = tg * определена при * * — + яи п е Z . Функция у = c t g *
,
2
определена, если * * ли, n е Z .
7. Функции у = arcsin * и у - arccos * определены, если |* |< 1, т.е. -1 йх < 1.
397
г
1. Задание: Найдите область определения функции у = —----- .
Решение:
х +х
У = - г -— ;
D {yY х 3+ х * 0 ;
д г+ х .
х (х + 1) * 0;
х * 0.
X
Ответ: D(y) = (-оо; 0 ) U (0; оо).
Замечание. Задающее функцию у выражение можно было бы упростить:
X
1
хЧ х
х (х 2 + 1)
х2+ Г
Полученное выражение определено для всех х, т.е. упрощение приводит к
расширению области определения. Поэтому, правильнее находить D (у), не
упрощая выражения для/(х).
1 + х*
2. Задание: Найдите область определения функции у = arcsin------- .
2х
Решение:
.
1+х2
Т
у = arcsin---- .
“
"ц
! а
2х
Согласно п. 7, имеем
l +i1
Z>(y): - 1 < ^
2х
< 1;
Решением системы неравенств будут лишь две точки -1 и 1.
Ответ: D (у) = { - 1; 1 ).
______
3. Задание: Найдите область определения функции у = л/2 - 3 ' .
Решение:
у - V2J - 3 * .
398
.
Учитывая п.2, получим:
D(y): 2х - 3х > 0;
2х > 3х
|: 3х > 0;
f ib .;
- I >1 т.к. 0 < — < 1,
Ответ: D(y) = ( - оо; о ].
х < 0.
Область определения суммы, разности, произведения двух или нескольких
функций есть пересечение областей определения этих функций. Для ее на­
хождения составляется и решается система соответствующих условий.
4 Задание: Найдите область определения функции у = 0,5
J —
г
Решение:
1
х-1
у =0 ,5 ^ + —
С учетом п. 1,2 и 3 область определения данной функции найдем из системы:
[ 4 - х 2 > 0,
f(x -2 X * + 2 )< 0 ,
j g 2 § j х < 2,
[ х - 1 * 0;
[х * 1;
(х * 1.
Ответ: D(y) = [ - 2; l)U (l; 2].
5. Задание: Найдите область определения функции:
1
У=
?+ -Jx2 - х - 2 0
л/14 + 5 х - х 3
Решение:
У-
1
+ -Jx2 - х - 2 0 ;
V l4 + 5 x - x 2
D(y):
х2 - х - 2 0 SO,
14 + 5 x - x z > 0;
(х + 4 ) ( х - 5 ) > 0 ,
/
чччЧ чч\
-4\ ^ —
4-
''у ,
5
X
'_ ///) 7
х
Ответ: D (у)= [5 ; 7).
399
6. Задание: Найдите наименьшее целое х из области определения функции
y = y l4x-x2 lg(x2 - l ) .
Решение:
у = y j4x-x2 ■lg(x2 - 1);
. f4х —х2 > О,
D(y): 1
х 2 - 1 > 0;
Гjc(jc —4 ) < О,
( ( x - 1 ) ( jc + 1 ) > 0 .
44
х
/УУу ь
чччЧ\ч\
'-Т
1
X
Наименьшим целым числом из области определения функции является х=2.
Ответ: х = 2.
1.Задание: Найдите область определения функции у =
■Jx2 - 2х
log5( x - l )
Решение:
■Jx2 - 2х
У=
log5( x - l ) ’
D(y):
х2 - 2 х > 0,
х -1 > 0,
log5(x - 1 ) ф0;
х(х - 2) > 0,
х>1,
х ф
2.
Область значений функции
Часто при исследовании функции важно знать не только область опреде­
ления, но и область значений функции, т.е. в каких границах может изменяться
сама функция.
400
Все значения, которые принимает функция, называют областью значений
функции.
Для области значений функции у - f ( x ) принято обозначение Е (у).
Для нахождения области значений функции пользуются следующим
приемами:
1. использование графика функции;
2. использование аналитических рассуждений;
3. использование ограниченности функций у = sin х, у = cos дс;
4. применение производной (данный прием рассматривается в §3).
Рассмотрим решение некоторых задач на нахождение множества значе­
ний функции.
/. Нахождение области значений функции по ее графику
В случаях квадратичной или показательной функций удобнее схематично
изобразить график данной функции, а затем определить область значений фун­
кции.
8. Задание: Найдите область значений функции:
а ) у -х 1-2 х + 10;
б )у = -х * + 5 х - 9 .
Решение:
а) у =f. х2—2 х + 10.
Графиком данной функции является парабо­
ла с вершиной А(х0; у0) . Координаты вершины
пу
находятся по формулам: х0 = ------ ,у 0 =у(х0). Так
2а
как ветви параболы направлены вверх, вершина
х
У
б )у = -х 2+ 5 х -9 .
Координаты вершины параболы (2,5; -2 ,7 5 ).
2.5
Ветви параболы направлены вниз, значит в вер­
х
шине находится максимальное значение, т.е.
£Су)=(-оо;-2,75].
9. Задание: Найдите область значений функции^= 3 - 0,4*.
Решение:
401
График функции у = - 0 ,4 х + 3
можно построить из графика функ­
ции^ = 0,4* (изображен штриховой
линией) двумя последовательными
преобразованиями: симметрией от­
носительно оси Ох и параллельным
переносом вдоль оси Оу вверх на
3 единицы.
£(у) = (-оо;3).
2.
Н ахождение области значений функции
аналитическими рассуждениями
Множество Е ( / ) значений функции может быть описано как совокуп­
ность всех значений а е R , при которых уравнение f i x ) = а имеет решения.
10. Задание : Найдите множество значений функции:
1
в)у = л/2 х - х 2;
о)у =
х + 1’
б )у = - г2х-
д)у = lg(5x2 - 8х + 4).
х+1
Решение:
° ) у = — г;
Х
+1
х+1
х + 1 = —;
а
1- а
Уравнение имеет решение при а Ф0.
£(>>) = (-оо; 0)U ( 0 ;oo)
л
б) у =
Е(у):
402
2х
х +1
2х
= а;
х2 + 1
2х = ах2 + а.
При а * 0 уравнение ах2 -2 х + а = 0, имеет корни, когда D > 0, т.е.
4 - 4а2 > 0 .
Значит, Е(у) = [ - 1 ; 1].
в) у = л/2х-х2;
ЕХу): - J l x - x 2 = а , а > 0;
х2 -2 х + а2 = 0.
D = 4 - 4а2 > 0 при а е [-1 ;1 ].
Учитывая условие а > 0 , получим а е [0; l].
Е(у) = [0; 1].
Это уравнение имеет решение, если 3 - а2 > 0 , т.е. а € (- ->/3; >/з).
Учитывая условие а > 0, получим Е(у) = [0;л/з).
д) у = lg(5x2 - 8х + 4 );
Е(у): lg(5x2 - 8 х + 4 ) = о;
5xJ - 8 x + 4 = 10e;
5х2 - 8х + ( 4 - 1 0 в) = 0.
Уравнение имеет решение, если D 1 0.
1 6 - 5 ( 4 - 1 0 в) £ 0 ;
5 -10° > 4;
4
10' 2 - ;
5
403
3. Нахождение области значений тригонометрических функций,
используя свойство ограниченности функций у = sin х иу = cos х
(Jsin х| £ 1,
|cosx| < l)
11. Задание: Найдите множество значений функции:
в) у = sin х - cosx;
а)у = Т
d) у = 2 sin х + cos х;
б )у =
1
г) у = 3 + 2 s in 2 3x;
2 - sin Зх
е )у =
cosx
cos —- s in -
2
Решение:
а) у = 2 со,х.
Так к ак-1 < c o s x < 1,
2~\ ^ 2°“ х < 2 ';
| < .у £ 2 ;
£ 0 0 = —;2
.2
б) ^ =
1
2 -s in 3 x
-1 < sin Зх < 1, значит - < у < I , Е(у) =
J-
в) у = sinх- cosx.
1
Приведем функцию к виду у = sinх - cosx = —sin 2 х .
- 1 й sin2x < 1;
1 • 2х <^ —;
1
----1 <^ —sin
2
2
Е(у) =
2
1 I
2 ’ 2.
г) ,y = 3 + 2sin2 3x.
Используя формулы понижения степени, преобразуем функцию:
7 = 3 + 2sin2 Зх = 3 + (1 - cos6x) = - cos 6х + 4;
- 1 й cos6x < 1;
- 1 < - c o s 6x < 1;
3 ^ 4 - cos6x
E(y)=[ 3;5].
404
2
д*с) j/ = 3 c o s x -4 s in x .
5;
д)
у = 2 sin x + cos2 х; •
у = 2 sinx + cos2x = 2 sinx + l - s i n 2x = -(sin 2x - 2 sinx + l) + 2 = - ( s i n x - l )2 + 2.
При sin х = 1 у - 2 .
При sin x = - l у = -2.
£ 0 0 = [ - 2 ; 2 ].
ё)
cosx
у =
X
X
2
2
cos— sin —
Пользуясь формулами:
cos2a = cos2 а - sin2 а ;
я а }I;
sin a = с оI9 —
а+р
а -р
cosa + cos о = 2 cos----- —cos------- :
2
2
преобразуем функшпо:
(
X
. х 4)
2х . j
•
cos— sin—( cos x- + SU1COS--- Sin
I
2
2)I
2
у = ----- 1------- —= 1---- 1------ -------1
------ 2—) = cos—+sin—= cos—+ cosl------ I=
X
. X
x
. X
2
2
2
12 2/
cos—
sin—
cos—
sm—
v
2
2
2
2
= 2c o s i c o / | - i ] = ^
При c o s f ^ —^ J - ± l исходная функция не определена.
-1 < с о я Г "
< 1;
- j 2 < j 2 c o J ± - f ] < j 2;
-
£ (y ) = ( - S S
ж ) у = 3cosx - 4 sin x.
Для преобразования данной функции используем метод вспомогательно­
го угла:
у = 3 c o s x - 4 s in x = 5 f | c o s x - | s i n x j = 5 s in (^ -x ),
3
4
гае sinus = — , соьш = —.
5
5
- 1 < sin(^ - х ) %I;
- 5 £ 5sin(^ - х ) S 5;
Е(у) - [- 5; 5]
40S
Периодические функции
Определение. Функция у = / (дг) называется периодической, если сущ ест­
вует такое число Т > О, что для всех х из области определения х + Т и х - Т
также принадлежат области определения и f ( x + Т) = / ( * - 7 ) =f(x).
Число Т называется периодом функции. Наименьший период функции
называют основным периодом.
Периодическими являю тся все известные тригонометрические функции.
у = sin x
имеют основной период Т0 = 2л\
у = co sx
У -tg x
у = ctgx
имеют основной период Т0 = л .
Если функция у - f ( x ) периодическая и имеет период Т, то функция
Af(kx + b ), где А ,к ,Ь - постоянные, кф 0, также периодична, причем ее период
равен щ (период не зависит отА и Ь).
12. Задание: Найдите период функции:
1 •
а)ч у = -s\nnx\
6) у = 2ct\
71
в) у = co s5 x co s3 x + sin 5 x sin 3 x ;
х
г) у = 2 s in 2 x c o s x -s in x .
¥ _ 3
Решение:
1 sin^x;
•
a)ч v = —
_
2л _
Т = — = 2;
л
б) у
Т=—
2
-Ч н )
= 3 л;
в) у = co sS x co s Зх + sin S x sin Зх.
2л
После упрощения, получим: у = cos 2х, Т = — = л .
г) .у = 2 sin 2дгcos х - sin х.
Используя формулу преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму, получим:
j/ = 2 ~ ( s i n 3 x + s in x ) - s i n x = sin3x, Т = ^~.
Алгебраическая сумма периодических функций будет также периодичес­
кой с основным периодом, равным наименьшему общему кратному перио­
дов ее слагаемых (если периоды соизмеримы).
406
13. Задание: Найдите наименьший положительный период функции:
6) у = co s4x + sin2 х.
o )^ = cosjc + sin2jc;
Решение:
а) у = cos х + sin 2jc;
cosx:
7 J = 2 ;r ;
.
2л
sin 2х: Т, = -т-г = л ;
И
Т = HOK(Tt\T2) = НОК(2л\л) = 2яг;
б) у - cos4x + sin2 х;
l-c o s 2 x
1
2
2
_
1
у = cos4x + -------------= c o s 4 x — cos2x + —;
2
cos 4x: T _ 2л- _ л
l~~4~2’
cos 2x:
2'
тT, = —
2;r = л;
2
2
T 3 - любое число;
(f;*H
T щ HOK(Tt;T2) = HOKj
14. Задание: Найдите период функции: у = arcsin(sin х).
Решение:
у - arcsin(sin х).
По определению периодической функции, число Т является периодом,
если выполняется равенство:/(х + 7) =/(х).
Данная функция является периодической с периодом Т= 2л, т.к.
arcsin(sin (х + 2 л)) = arcsin(sin х).
Ниже построен график функции у = arcsin(sin х).
Ответ: 7’= 2 л:
407
15. Задание-. Найдите наименьший положительный период функции
у = sin 4 х + cos4 х.
Решение:
у = sin4 х + cos4 х;
= —+ —cos4x;
4 4
Ответ: 7 = - .
Т=— - —
4 " 2
2
Обратные функции
В последние годы в тестах стали встречаться задачи на нахождение функ­
ции, обратной к заданной. Чтобы найти в явном виде такую функцию, доста­
точно поменять ролями (местами) буквы, обозначающие функцию и аргу­
мент и решить полученное уравнение (если оно разрешимо) относительно
буквы, обозначающей функцию.
16. Задание: Найдите обратные функции, к следующим функциям:
а )у = -
б
)
у
= lg (l- x ) .
Решение:
Меняя ролями функцию и аргумент, получим:
х = —— или З х = у - 1.
х —1
у = Зх + 1 - функция, обратная к функции у -------- .
6 ) j> = l g ( l - x ) ;
x = lg ( l -у );
1 -у = 10х.
у - 1 - 10х- функция, обратная к функции7 = lg (1 - х ) .
Четные и нечетные функции
Функция / (х), область определения которой симметрична относительно
нуля, называется четной, если для любого х справедливо равенство/ (-х ) =/(*).
Функция fix ), область определения которой симметрична относительно
нуля, называется нечетной, если/(-х) = -/ (х ) для любого значения х.
Если область определения функции не является множеством, симметричным
относительно нуля, то эта функция не относится к классу четных или нечетных
функций.
Функцию, не являющуюся ни четной, ни нечетной, называют функцией
общего вида.
х
Например, функция /(дс) = ------ не является ни четной, ни нечетной фун* + 2
кцией, так как ее область определения есть множество (-o o ;- 2 ) U ( - 2 ; оо), не­
симметричное относительно нуля. В этом случае выражение / (2) = — имеет
смысл, а выражение/ ( - 2 ) не имеет смысла.
Указанные ниже функции являются функциями общего вида:
1) Vx, £ > 0 0 = [0 ;оо)
2) - Ц ;
дг + З
D(y) = (-«>; - 3) U (-3 ; 00);
3 )lg ^ A
1- х
D (y) = (-*o-,l).
17. Задание: Установите четность или нечетность функции:
х+1
а )/ (х ) = 2 ‘ +
2
6 ) /( x ) = l g ^ ;
в ) / ( х ) = ( 2 - х ) 5 - ( 2 + х ) 5.
Реш ение:
а) / (х ) = 2 х + 2 ж;
D (J) = (-«о; оо);
б) / (х ) = lg
х+1
1- х
&(/)'■—— > 0 ,
1- х
/ ( - х ) = 2 х + 2х = / (х ) - функция четная;
х -1
< 0 ; D ( / ) = ( - 1; 1) - симметрична относительно нуля;
-х +1
' х + 1'
/ ( - х ) = lg---------= lg — —
1+ X
1- х
в) / (х ) = ( 2 - х ) 5 -
-I
х+1
= - l g -------= - / ( х ) - функция нечетная;
1- х
(2 + х)5;
Д У ) = Ы ; ® ); / ( - х ) = (2 + х )5 - (2 - х )5 = - ( ( 2 - х )5 - (2 + х)5) = - / ( х ) функция нечетная.
В условиях тестирования, очень важно использовать свойства, позволяю­
щие быстрее исследовать функции на четность, нечетность (не пользуясь оп­
ределением):
1. Сумма четных функций - функция четная.
2. Сумма нечетных функций - функция нечетная.
3. Произведение четных функций - функция четная.
409
4. Произведение двух нечетных функций - функция четная.
5. Произведение четной и нечетной функций - функция нечетная.
6. Если функция / четная (нечетная), то — четная (нечетная).
Приведем примеры нечетных функций (м):
jc2*"1, sin х, tg х, ctg х, 2k~\fx, - j p y ;
и четных функций (ч):
- ■
. Г
х , |х |, cos х, sin х2,
*У = const, tg2х, |ctg x I, sin |X |и т.д.
18. Задание: Выясните четность или нечетность функции:
о) fix ) = |х|•х* + х2;
в) f(x ) = 2 - |х|+ х2;
Л
% Isinxl
.
,
г) / (х) = 0,5xJ - 5х + х;
б) fix ) = Ц— •+sin х;
sinx
л\ /•/ \ Jf+sinx
д)
fix ) = — -----Г .
г +х
Решение:
°) fix ) = |х) -х4 + х 2 - четная;
(ч )(ч ) + (ч)
(»)
,,
Isinxl .
,. , 1
о) fix ) = —— + sm x= sin х -------+ sin х - нечетная;
sinx
sinx
0 0 -0 0
<«)
+ (« )
в) fix ) = 2 - |х|+ х2 - четная;
(ч )-(ч )+ (ч )
г) fix ) = 0,5х3 - 5х2 + х - функция общего вида;
(м )-(ч)+ (н )
(»)
ЛЛfix
f t )\——-—
*+sin—
Jc— четная,
_
о)
х +х
(»)
410
Для определения четности, нечетности функции по ее графику, использу­
ют следующие факты:
1. График четной функции симметричен относительно оси ординат (Оу).
Например:
кУ
♦У
V x
2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например:
У
У
4у
3. Примеры функций общего вида:
/
\
/
3
/
‘ 4/
X
| \- - - - ►
h
‘
411
§2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ
Нахождение производной
согласно таблице производных
элементарных функций
и правилам дифференцирования
1. а ) / (х ) - х* - Зх4 - х + 5;
Производная сложной функции
4. о ) / ( х ) = (х —Зх )
,
б )/ (х ) = л / 5 ^ 7 + — Ц - ,
(3 -х )
б )/(х ) =
/ '(2 ) - ?
— | х 3 - 3 ( х + 1);
4
4
* ) / W = Q g»-2x + ,П( 3 х 2 “ * ) »
в )/ (*)= --4 -;
х х
г)
/ (х ) = 2,5* 2 + 2 0 -Jx-3lfx; г ) / ( х ) = ^ 4х + 4 -> / '(0) - ?
/41)~ ?
е
d)f(x ) = 5 * \[х* - (л[л)3.
2. a)f(x ) = -\/з co sx + cos— + — x2,
3
71
д) f i x ) = cos31 + c/ g ^ - x j,
/ {^ j “?
7t
x = —;
3
6) fix ) = e* sinx,
5- a ) / ( x ) = ^2x - s i n j + l j ,
x = 0;
/'(л/2 ) - ?
e)f(x ) = sinx - -J2x + 2x + 3,
/ (*) = exsin^cos^,
71
4
2 -3 x
г)/ (х ) = ± - ^ ,
d)f(x) =
г )Л
X + X+1
«
=
^
+|
3. a)f(x ) = x2 sin — + xcos —;
д) / (х ) = х 37 Г м ,
6)f(x) = (x2 - 1)(2 - Зх),
6. a) j ' = x I ;
2
f\7t) - ?
е) / (x ) = sin4 x - cos4 x,
x = 2;
x -l
4
2
Л 2) - ?
] - ^
- ?
.
Л 2) - ?
6 ) ^ = x cost;
« )/(*) = f x4 + -i-l-x 4;
e)j/ = x x.
г)f ix ) =
In x -s in x
3 co sx
d ) fix) = — j=—,
vx
« )/ (*) =
412
7. Составьте и решите неравенство:
/ '(1 ) - ?
3 - 2 1 + 4 -3 r
y
,
/ '(0) - ?
Л *)
> 0 , если / (х ) = х 4 - 4 х 2.
8. Составьте и решите уравнение:
f i x ) = / '(5 ) - / '(1 ), если / (х ) =
х - 2х +1
х -3
Производная функции и ее вычисление
Определение. Производной функции / в точке х0 называется предел отно­
шения приращения функции Дf = f ( x 0 + Ах)- / ( х 0) к приращению аргумен­
та Ах при стремлении Ах к нулю.
№
)=
Дг-»0
Дх
Операция нахождения производной функции называется дифференциро­
ванием.
Необходимое условие дифференцируемости функции:
Для того чтобы функция/ (х) была дифференцируема (имела производ­
ную) в точке х0, необходимо, чтобы она была непрерывна в этой точке.
Данное условие не является достаточным.
В таблице приведены основные формулы для нахождения производных.
у —С —const
у = ax + b
у'= 0
у = х2
У'—а
у'= 2х
у = ха
у'= ссса '
1
у = -X
у = sinx
y = tgx
X
у'= cosx
1
cos2x
у = ег
у = lnx
у = arcsin х
у = arctgx
У=х
X
у ——
с
у = х3
y = Jx
у -А
уЛ
у
с
X
у=-
у = COSX
у = Ctgx
У = ех
fix )
/<*)
/ '(*)
Л »)
У =1
, i
у = -с
у'= Зх2
И
,
с
х2
У = - s in x
/= --г г -
SH1 X
X
У = аг
1
1
—
1
■у! —х
1
у - ------ -
У
= log,, х
у = arc cosx
1+ х-
у —arcclgx
у'= а ' In а
У=
1
.
x ln a
Щ
1
' = " l + x>
Правила дифференцирования:
Пусть С - постоянная; и, v - функции. Тогда:
413
1.
(Си)'= Си'.
2. (и + 1/)'= u’+v' (данная формула справедлива для любого конечного чис­
ла слагаемых).
3. (ii*v)'«ifV+v4i.
4
f-Y
UJ
u ' v ~
v*
v 'u
Частные случаи:
[ —1 = - ы ';
\с/ с {
f - j ___ —•v*.
v*
1. Задание: Найдите / '(*). если:
а)/ (x) = x ' - 3 x 4 - x + 5 ;
•5
*)/ (* ) = i _ J L ;
X X*
/%
б )/ (*) = y - - x s - 3 ( x + l ) ;
г)/ (х) = 2,5x2 + 2 0 ^ - 3 * fo
d)f(x) = 5x yfx* - (у/л)1.
Решение:
а) / (x) = x * - 3 x 4 - x + 5 .
Применяя последовательно правила дифференцирования 2) и 1), а также
формулы, получим:
/ '(*) = ( х ') '- 3 ( х 4)'- (х )' +(5)' = 8х7 - 3 4 х 3- 1 + 0 = 8х7-1 2 т 3 - 1 .
б) / (х) = у - | х , -3 (х + 1 );
/ '(х) =
UxsY- \ •(х3)' - 3(х+ 1)' = 1 - 5х4 - - • Зх2 - 3 •1 = х4 - 2Х2 - 3.
4
4
д х )= --4 -X X
4
Преобразуем — = 4 - х '2, тогда:
7
Учитывая, что 5х \[х^ = 5 х х 5 = 5х5, а (л/л-)3-
9
/ ' ( х ) 1 5 ( х 5 ) ' Я ((л/л7) 3) ' 1 5
const, получим:
О Щх ? - 0 = 9 $ с \
2. Задание: Найдите производную функции в заданной точке х0:
а)/ (х) = л/з cosx + cos— + —х2,
3 яб)/(х) = е х sin х, х = 0;
e)/(x) = sin x-V 2x + 2x + 3,
.
. 2 -З х
* )/ (* ) = ------—,
х -1
х = —;
3
х = —;
_
х = 2;
/ '( 1) - ?
d)/(x) = -- - 3 - X +Х + 1
Решение-.
а) / (х) = л/з cos х + cos - + - х2;
3
я
/ '(х) | л/3(совх)' + (cos^ ) ' + —(х 2)' | —л/3 sin х + 0 + — •2х = —л/3 sin х + — .
3
я
я
я
Вычислим:
3
я
2
3
2
б) / (х ) = е х sinx.
Применяя правило дифференцирования 3) и формулы, получим:
/ '(x ) = (ex)'sin x + (sinx)'eT = е х -sinx + co sx -e x = е х(sinx + cosx).
Отсюда /*(0) = e°(sin 0 + cosO) = 1.
в) / (х) = sin х •л/2х + 2х + 3;
/ '(х) = (sin х)' •л/2х + л/2(^ х )' •sin х + ( 2х)' + (3)' =
rz— л/2 .
/-—
sin х _
= cosx •л /2 х + — j= -sm x + 2 + 0 = л/ 2x co sx + - ? = + 2;
2л/х
л/2х
.
я
Г я
я
31П 7
1
л/я _
— = . 2 -----cos—+
z + 2 = - 7=- + 2 = — + 2.
2j
V
2
2
к г/ ч
Л
Г Т
V
*
2
2-З х
х -1
г) / (*) = ----- - .
Используя правило дифференцирования 4) и формулы, получим:
41S
(
_ Г 2 -З д Л _ (2 - Зх)'(х- 1 ) - (х - 1)'(2 - Зле)
“ I х —\ ) ~
(х -1 )2
_ - 3(х - 1) - 1•(2 - Зх)
1
- З х + З - 2 + Зх
(х -1 )2
(х -1 )2
“ (х -1 )2 '
В точке х = 2 имеем /'(2) = — -—- = 1.
(2 -1 )
*)/ (*) =
,
3
X +Х +
1
.
Производную этой функции можно взять по правилу f —j :
/ ' ( * ) = f - i - ^ ---- г] = ~ . ;
Vx2 + x + ly
(х
3(2х+1)
3
+ Х +
1)
. (х 2 + Х + 1У =
6х+3
(х 2 + X + 1)2
(х2 + X + 1)2 ’
Л 1) = - ^ з ^ = -1 .
I
Очень часто в заданиях на вычисление производной, бывает удобнее снача­
ла преобразовать выражение, задающее функцию, а потом дифференцировать.
3. Задание: Найдите производную функции:
а )/ (х ) = х 2 sin ^ + x c o s ^ ;
2
2
б )/ (х ) = (х2 - 1)(2 - Зх),
г)/ (х ) = — ■5*ПХ;
3cosx
/ '( 2 ) - ?
e)/(x) = ^x4+ - i - j x4;
ф / Щ
В Ь
Vx
/ '( 1 ) - ?
g)/(x) = — у 4 ' 3 ,
Л О )-?
Решение.
а)
/ (х ) = х 2 sin — + х cos—.
2
2
Так как sin—= 1, cos—= 0, получим:
б ) / ( х ) = (х 2 - 1 Х 2 - З х ) ;
/ (х ) = (х 2 - 1X2- З х ) = 2 х 2 - 2 - Зх3 + Зх;
/ ' ( х ) = (2х2 - 2 - Зх3 + Зх)' = 4х - 9 х 2 + 3.
/ '(2 ) = 4 - 2 - 9 - 2 2 + 3 = -2 5 .
416
/ (х) = х2, /*(х) = 2х.
e) / (x )» ^ x 4 + p -j-x \
Если раскроем скобки, то получим:
/ (* ) = х* + х,
/'(х) = 8х7 +1.
%
. Inx sinx
г )/ (х ) = — -------Зсозх
Перепишем функцию в виде:
/ (х) = - In x/gr,
/ '(* ) = |[(1пх) •/gr + (fgx)' •InXj =
АЧ
Vx + 1.
d
) /ft( x\
)*—
Vx
Преобразуем функцию:
л/ x+l
Vx
1
,
1
Гх - f x ' f x
f*'
/'(*) =Vfl +4=)
W
2
Ц
e; / (*)= — ——
ч 3 -2 Х+ 4-3x
.
_
3- 2x + 4 - 3 x
1 ( 2Y
---2л/7
2хл/х
_
Так как----------------- 3-1 —I + 4 , то:
r w - 3 { ( | j ) * w - j { f j 4
/ '(0) = з Г -1 In—= 31n—.
Щ)
3
3
Производная сложной функции
(/ (Ф ))) = f\ y ) •V(x), ще v о v(x).
Используя таблицу производных и правило дифференцирования сложных
функций, получим следующие формулы:
417
8) (cos v)' = —sin о ■o'
9) (sin и)' = cos и ■v'
1
10) (tgv)' =. 2 •v'
cos V
1
11) (ctgv)' =
, •o'
sin v
12) (a")' = a° In a •v'
1) (ue)' = aua' ‘ -t/
2) ( J v ) ' - —\*-ut
2yjV
3)
tiS
-
ъ
It
4)
i
----- Г-l/
5) (Inu)' = — l/
u
1
•i/
6) (arcsin u)' = ■.
V l-t»2
7)
13)
(logo
14)
(arccos u)' = —
°У =
,
w-ln a
V>
y ll-u 2
1
(arc(gL>)'= - - 1
t/
l+ ^ z
15)
* o’
1
(arcctgu) = —------ - •u'
1+ о
4. Задание: Найдите производную функции:
в) /(х) =
а)/ (х ) = (х7 - З х 4) 120;
б) f(x ) = J 5 -х 1 + -- 1
(3 -х )
г) f(x ) = е™*х+
,
<)) / ( * ) = cos3^
/ '( 2 ) - *
+ 1п(3х2 - х),
е
,
/'(0) - ?
~
хj,
/ '(1 )-?
Решение:
4 /(х) « (х7 - Зх4) 120.
В соответствии с формулой 1) запишем:
/'(х ) = ((х7- Зх4)120)' = 120(х7- Зх4)"9 (х7- Зх4)’ ш 120(х7-З х 4)|,9(7х6-12х3).
б) f(x ) = j 5 ^ 7 + — i - з - .
Учитывая, что —— — = (3 -х ) " 2 и формулы дифференцирования 1) и2),
получим:
IP***!
/'(х ) м (л/5-х2)'+((3 - х)-2)' =
-2 х
2>/5-х2
/'(2) = 0.
418
2(-1) __ х
(З- i ) 3
1
-(5 -х 2) '+ (-2X3 - х)-3•(3 - х)' =
2V 5-X
, 2
Л/5^1Г + (3-ДС)3 ’
в) / ( * ) - - 31^7 + ln(3x2 - х);
0,5
22х~1, получим:
Так как 0,5'~2т =
Л х) = ф ц -+1п0 х2- хУ’
- Ш Ш В ЗхР С а
)
(2
-х
2 х •2Хх~у- 2 2зг~' In 2 (2 х - 1У •х 2
6 х -1
Зх' - х
2 2*-1 * 2 x ( l - x ln 2 ) + 6 х - 1 _ 2 х (1 -х 1 п 2 )
Зх2 —х
2 2х
бх —1
Зх2 - х ’
/ '(1) = 1- 1п 2 + | = | - 1п2.
г , / (*) = * ” " + А .
е
Применяя последовательно формулы 4), 9) и 3), запишем:
А х ) = (е5т4хУ+ 4 4 г ] Г eSm4T•(sin4хУ + Ч - т 4Ш I•^ ЬхУ =
(е
= е тАх ■cos 4х •( 4 х )' ------ ~
(ебх) 2
= 4 e sin4x •c o s 4 х
/ '(0) = 4е° -
е
)‘
•е6х ■(бх)' =
е6'
= -32.
д) / (х) = cos3j + c / g fj - х j;
/ « - ( ■ * § ) ♦ ( « * £ - * ) ) = W § . ( c o S§ )
= 3cos2 - f - s i n —I f
— 1
------- 7 —----- r- -(-!) = -cos 2 ^sin ^ +
419
-c o s 2—sin—;
/'(*)=
3
,!H)
sin'
? T—
3
L4 /
.
4
5. Задание: Найдите производную функции
e)/ (x ) = ^2x-sin^j- + lj ,
6 )f{x ) = exsin^ cos^ ,
4
4
/ '(V 2 )-?
/'(* )- ?
e) /(x) = sin4x - cos4x,
J- ?
, ) / W - J * ( b +| )-£ ± = L .
/ {§ )■
d )/(x) = x3^ I , j / '( 2 )- ?
Решение:
/(x) - ^2x ■sin —+1
Преобразуем выражение, задающее функцию:
^ x - ^ ' + l j = (х ^ 2+ 1)2;
/'(x) = ((хл/2 + 1)2)' = 2(W 2 +1) •(xV2 +1)' = 2yfl(xyf2 +1);
f(yf2) =6y/2.
6) /(x) = exsin—cos—.
4
4
Преобразуем выражение, задающее функцию:
х. х
х 1 , . х
е sin—cos—= —е sm—;
4
4
2
/ *> -£ (« **§ ) л
2
(ex)'sin^+f sin^ |е*
х . X
X f
е -sm—+cos— — ■ет
2 \ 2 U ;
420
2
Г. х 1
х\
sin—+ —cos— ;
11 2 2
2/
в) f(x ) = sin4 x - c o s 4 x;
sin4 x - cos4 x = (sin2 x + cos2 xXsin 2x - cos2 x) = - cos 2x;
f\ x ) = -(c o s 2x)' = - ( - s in 2x) •(2x)' = 2 sin 2x;
4 ih
г) f(x ) = 3 sinf 2x + ^ j
v . Л
лЛ
- ~~~~ >
Х + 7Г2
X
я 2
7Г2
3sin 2x + — ----------- = 3 c o s 2 x ------------- = 3 c o s 2 x - l ------V
2)
x
x x
x
f\ x ) 1 3(cos2x)' -( 1 ) ' - . 7 Г j = 3(-sin 2x) ■(2x)' - л-2| - - y l |
= - 6 sin 2x + f —1 ;
/ 'fy ^ l = - 6 s in ^ + 122 =Г41.
d) / (x ) = x 3V x - 1;
x3-Jx-\ = в
==л/х7 - x 6 ;
™ \ / Г т ----- S\»
I
/ W | (V *p
/?
r
* 4,
7x6 - 6x5
>
x 5(7 x - 6 )
lx 3-б х 1
/'(2) = 16.
Рассмотрим сложно показательные функции вида j/ = / (х )*(х).
6. Задание: Найдите производную функции:
а ) у = х я;
б) у = х т х;
I
в )у = х \
Решение,
а) у = хг.
1 способ. Так как, у = хг = (glnf)r = ех1вх,т о :
У = е х1п1 •( х Inх )' = е х,пх •(In х + 1) = x r (Inх + 1).
2 способ, у = х х .
Логарифмируем исходную функцию:
421
1пд> = In * ';
1пд> = x l n x .
Дифференцируем обе части данного выражения п о * и, считая, что функ­
ция 1п_у(х) является слож ной функцией, получаем:
— у' = sln jc + l ;
У
/ = >(1п *+1);
У = х-* (In jc-ь 1).
б) у = хстх.
Т а к к а к у = * cosx = (eb'xf ° ' x =
У =е
cos.vln X
,то
- s in х •In x + —■c o s x = X
X
cosx
- s in x •In x .
в )у = Xх.
Логариф мируем:
In у = l n x * = — ln x ;
x
У =y
—5-------5-l n x I = Xх •“ ^"(1—ln x ) = Xх ( 1 - l n x ) .
\X2
x2
Рассмотрим несколько задач, связанных с нахождением производной.
7. Задание: Составьте и решите неравенство:
>. О если / ( х ) = х* - 4 х 2 .
А *)
Решение:
f ( x ) = x* - 4 х 2;
/ '( х ) = 4 х 3 - 8 х .
422
Составим неравенство и решим его методом интервалов:
х* - 4х2
-—
- > 0;
4х} -8 х
х 2( х - 2 ) ( х + 2)
4х(х
-
У ? ){х
+ ->/2)
—J2
^ О
V2
Ответ: х g [- 2; - -J2 )v j (0; Л ) u [2; qo).
8. Задание: Составьте и решите уравнение:
/ '( * ) = / 4 5 ) - /'(О >если /(дс) =
j 2х + 1
дс—3
Решение:
, , ч дс2 - 2 х + 1
/ ( * ) = --------- ; — ;
Х -5
/ '( * ) =
(X2 - 2х + 1)'(х - 3) - (х - 3)’(х2 -2 х + 1)
(х -3 у
(2 х -2 Х х -3 )-(х г -2 х + 1)
(х -3 У
/ '( 5) = 0, / ' ( 1) = 0.
Получим уравнение:
х *-6 х + 5 Л
,
-----------— = 0, х * 3 ;
(х-ЗУ
х 2 - 6 х + 5 = 0;
х, = 5 , х* = 1.
Ответ: {1;5}.
х2 -6 х + 5
(х -3 )2
§3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИС ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОИЗВОДНОЙ
Нахождение интервалов
монотонности функции
4
3
1. a) f ( x ) = —------ -— х 2;
4
3
б ) / (х) = х 2 + - ;
X
Нахождение наибольшего и наименьшего
значений функции на заданном промежутке
4. f i x ) = х3 - 7,5.x2 + 18.x + c o s y - >/з + cos3 х + sin2 х
на отрезке
0 ;— .
хг
в ) f i x ) = —— 6 ln(jc - 1 ) ;
г) f i x ) = л/х2 -б д г;
< *)/ (х ) = х 3 + 3|х|;
е ) f i x ) = s in 2 x + 6 s i n j c - 2 x ,
0 £ х £ 2;г •
.
ч
.
1+ 4 х
2 o )/ W =
;
.
ln 2 x
Г 1 2*
5. f i x ) = ------- на отрезке - ; е
х
[е
, v 2 х + 2 2'*
6- Д х ) = --------------на отрезке (-1 ; 2].
1п2
•
7. / ( x ) = s in .x — sin Эх на отрезке
■
8. Найдите образ отрезка [ - 1; з]
при отображении f (х) = 4х3 -12х9. Найдите множество значений функции:
х -\
ч „ ч
х
1пЗ
в ) / ( * ) = - ---------- — ;
ln x
3
г ) / ( х ) = 2 е х( х 3 + 2 х 2).
Исследование функции
на экстремум
а ) f i x ) = З х 2 + 4 х + 2;
б ) / ( х ) = 2дг2 + 4 - ;
X
в ) f i x ) = л/х + -Х=.
л/х
3. а) / ( х ) = (х + 1)2 (дс - 2 ) 2;
б )f(x ) = -
х
4
4
х
;
в) / ( х ) = -| 4 х + х 2|.
Решение задач на нахождение оптимальных значений
10. Число 180 представить в виде суммы трех положительных слагаемых так, чтобы два
из них относились как 1:2, а произведение всех трех слагаемых было бы наибольшим.
11. В геометрической прогрессии (£„) с положительными членами выполняется ус­
ловие А, = (6, + Ь2)(36, + 4 Ь2) . При каком значении знаменателя прогрессии сумма
четырех первых членов принимает наименьшее значение? Найдите эту сумму.
12. Среди всех равнобедренных треугольников с боковой стороной а найдите тре­
угольник наибольшей площади.
424
Исследование функции с применением производной
Общая схема исследования функции включает в себя такие элементы, как
нахождение промежутков монотонности, точек экстремума, участков выпук­
лости и т.д. Применение производной позволяет значительно упростить эти
исследования.
Нахождение интервалов монотонности функции
С помощью производной можно находить промежутки возрастания и убы­
вания функции. Для этого рекомендуется:
1. Найти область определения функции, если она не указана.
2. Найти производную и критические точки функции, т.е. внутренние точ­
ки области определения функции, в которых ее производная равна нулю, или
не существует. Критическими точками область определения разбивается на
интервалы, на каждом из которых производная сохраняет знак.
Производная не существует в точках разрыва и в точках излома функции.
3. Установить знак производной на каждом из найденных интервалов. Если
на рассматриваемом интервале производная положительна, то на этом интер­
вале функция возрастает. Если функция имеет отрицательную производную
на интервале, то функция убывает на этом интервале.
Рассмотрим некоторые типы задач.
1. Задание: Найдите критические точки функции:
4
з
а) / (x ) = ^ - - ^ - - x J ;
4
г) / (
jc)
= V x2 - б х ;
3
б) f( x ) = x2 + — ;
х
*)/ (*) = у -6 1 п (х -1 );
д) / ( х ) = х 3 + 3|х|;
е)/ (х) = sin 2х + 6 sin х - 2х, найдите кри­
тические точки, принадлежащие интервалу
0 < х < 2 л:
Решение.
Щ Л = ( - «о;»).
Найдем производную:
/'(х) = —•4 х 3 ----- Зх2 —2х = х1 - х 2 - 2х.
4
3
Для нахождения критических точек решаем уравнение / '(х ) = 0 :
х 3 - х 2 - 2 х = 0;
х (х 2 - х - 2 ) = 0;
х, = 0 ,
х 2 = 2, Xj = - 1 .
Ответ: { —1; 0 ; 2).
425
jg
6 )f(x ) = x2+— ;
*
D (f) =(- 00; 0) U (0; оо).
Найдем производную:
1б 2х3-16
/ (х ) =2х— г =--- ;— ;
х2
х2
/'(дс) =0, 2х3-16 = 0;
х = 2.
f\x) не существует в точке х =О, но данная точка не критическая, т.к. не
принадлежит D (/).
О твет: х =2.
в) /(х ) = у-61 п(х-1);
£>(/) =0 ;°°);
1
1
6
х2-х-6
Г (х ) =Т 2х- б .— .(х-1У =х - — Г — —
;
f'(x ) = 0, х2- х - 6 = 0;
х, = 3, х2= -2 е D(f)/'(дс) не существует в точке х =1в £4/) •
О твет: х=3.
г) f(x ) - -Jx2-бх;
D (f) = (-oo;0]U[6;oo>
2дс-6
.■1. ...... , -бх)
ИЛу =■ I-----/ ( * ) * —?===•(-*
2л/х2-6х
2л/х -бх
/'(х ) =0, х - 3 =0;
j
х-3
' -
9
л/х -бх
х =3 «£>(/).
/'(х ) не существует в точкахх=0 их=6, но они не являются внутренними
точками области определения.
О твет: функция не имеет критических точек.
д) /(х ) = х3+3|xJ;
D (f) = (—°о; оо).
Функция /(х ) = х3+3|х| дифференцируема всюду, кроме точки х =0, т.е.
данная точка является критической.
По определению модуля:
/ (* )-
Гх3+3х, х>0,
[х* - Зх, х < 0.
Другие критические точки найдем, продифференцировав функцию и при­
равняв производную к нулю (с учетом неравенств):
426
/'(*)=
Зх2 +3,
х > О,
(Зх - 3,
jc <О;
О зх2+з =о;
2) 3jc2—з =о;
решений нет.
х, = 1>О- не удовлетворяет условию,
х2=-1.
О тве т: {-1;0}.
е) Л х) =sin 2х +6sin х - 2х;
D (f) = (-оо; оо);
/ ’(х) =2cos2x +6cosx-2;
f'(x ) = 0, 2cos2x +6cosx-2 =0;
cos2x +3cosx-l =0;
(2coszx - l) +3cosx-l =0;
2cos2x +3cosx - 2 =0;
cos x, =-2 - решений нет, т.к. |cos х |< 1,
1
л
_ .
.
_
cosx, =—, х, =±—+2як, к 6 Z.
2 2 2
3
Найдем критические точки, принадлежащие интервалу 0 <х <2лг
х = — + 2л = —
к= 1:
к = 0:
* = - j е[о,2я\
3
g [0;2^rl
3
|
*
л
5л
х = — + 2тт = — ,
3
Ответ:
3
л 5яг1
T ’T j
2. Задание: Найдите интервалы возрастания и убывания функции:
■ 1+ 4х
о) f(x ) =
б) Л х ) =
2х-3
(х + 2)2
х -1
ч -
х
1пЗ
lnx
3
«) Л х ) =—
;
г ) Л * ) = 2ех(х 1+2х2).
Решение:
а) Л х ) =
1 )Д Л
1+ 4х
2х-3’
в*#
427
(2х-3)2
(2х-3)2
(2 х - З)2'
3) / ’(•*) всюду отрицательна, значит,/(х) монотонно убывает на £> (/).
О т в е т : функция убывает на (- °о; 1,5)U (l,5; оо).
б) f(x ) =
+2)2 = * 2+4х +4 .
х-1
х-1
1) £>(/) = (-°о; 1)и(1;оо>
7ч /•>/..ч _ (£ +4х +4У(х -1) - (х - 1У(х2+4х +4)
(х-1)2
(2х +4)(х- 1 )- (х2+4х +4) х2-2х-8
(х-1)2
/ '(х ) = 0,
Г
(х-1)2 ’
х2-2х-8 = 0;
х, =4, х2 = -2.
/ '(х ) не существует в точке х = 1, но критической данная точка не будет,
так как не принадлежит области определения.
3 )/'(5 )> 0 ;
/ ’(2) <0;
/'(*)
_
_
+
---------•-------- о---------- •---------- ►
/ '(0 ) < 0;
Л - з»о .
+
**»
^
-2
\
1
\
4
^
*
О тве т: функция возрастает на (- оо; - 2]U [4; оо), убывает на [- 2; l)U (l; 4].
. ,, х
х
1пЗ
/ (* ) = ------—;
Inx
3
х > 0, Гх > 0,
!)£> (/): 1пх * 0;[х 1;
2) f\ x ) = (*У 1п*-(1п*У* _ f M j = hlX~ x 'X
ln2x
I 3 J
ln2x
/ '(x ) = 0, lnx-1 = 0,
x = e.
f\ x ) не существует в точке х = 1г £>(/).
- »ч 2 1 n e - l
1
In* -1
ln2x
О т в е т : функция возрастает на [е; оо), убывает на (0; 1) U (l; е].
г) f(x ) = 2ex(x3+2х2);
1 )/ ?(/ ) = (-«>;°о);
2)
/ '(х ) = 2 (е * -(jc 3 + 2 х 2) +(Зх2+4х)-ех) = 2ех(х3+5х2+4х);
f'(x ) = 0, 2ех(х3+5х2+4х) = 0;
ех *0 , х(х2+5х +4) = 0;
х, =0, х2 = -4, х3= -1.
3)
ПА
/(х )
\
+
^
^
^
\
+
®
X
*
О твет: функция возрастает на [- 4; - l]lj [О; оо), убывает на (- оо; - 4]U [-1; О].
Исследование функции на экстремум
Точка х0 из области определения функции/(х) называется точкой макси­
мума (минимума) данной функции, если существует такая окрестность точки
х0, что для всех х * х0 из указанной окрестности выполняется неравенство
/(х ) < /(х 0) (/ (х ) >Д х0) ) .
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максиму­
мом (минимумом) этой функции:
ш ах/(х) = /(х 0) (m in/(x) = /(x 0)).
Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстре­
мума.
Для нахождения точек экстремума функции необходимо:
1) Найти производную и критические точки функции.
2 ) Исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки.
Если при переходе (слева направо) через критическую точку (в которой
функция определена) производная меняет знак с “ +” на
то данная точка
является точкой максимума.
Если при переходе (слева направо) через критическую тгчку (в которой
функция определена) производная меняет знак с
на “+” , ю данная точка
является точкой минимума.
Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак,
то данная точка не является точкой экстремума рассматриваемой функции.
Сказанное выше можно записать в виде таблицы:
(х0 -<5;х0)
(х0; х0 + S )
+
—
/ '(х ) = 0
Геометрическая иллюстрация
r j$
Вывод
max
m
ха
+
/'(■*) = 0
min
х0
/ '(х ) = 0
+
+
нет
-т¥
,
Sj'1
'н'
II
о
Хо
нет
" п
*0
f\ x )
не сущ.
.
+
шах
Х0
Пх)
не сущ.
+
+
нет
*0
+
Г (х )
не сущ.
min
----- 1--*0
3. Задание: Найдите экстремумы функции:
a ) / (* ) =(х +1)2(х -2 )2;
б) /(дс) =
Решение:
а) /(х ) =(х +1)2(х -2 )2 =(х2-х -2 )2;
1)
D(f) -
4 х
в) Д х ) =-|4х +х2
(- °о ; со);
/ '(х ) =2(х2- х - 2) •(х2- х - 2)' =2(х2- х - 2) •(2х -1);
/ '(х ) = 0,
2(х2 - х - 2)(2х -1) = 0;
х, = 2,
430
1 х3=—
1.
х2=-1,
1
2) / to
+
/С*)
\
-*
min
*
~
У*
+
\
2
min
2
X
%
max
О т в е т : х =-1, х = 2 - точки минимума;
1
х = —- точка максимума.
х 4
б )/ (* )= — — ;
4 X
1 )Ж / ) = Н °;0 )и (0 ;о о );
j f; .
1 4
16-х2
4 х
4х
/ '(х ) = 0, 16-х2 =0;
хи =+4.
/ '(х ) не существует в точке х = 0 г / ?(/).
?
/W
,‘ г
/W
\
+
4
+
*
/ »
“
min
разрыв
*
max
\
4
*
О т в е т : х = -4 - точка минимума;
х = 4 - точка максимума.
в) / (
х
) = - |4 х +
х
2|;
1) D(f) =(-«s°p).
Функция / (х ) = —|4х +х2 дифференцируема всюду, кроме точек х = 0 и
х =-4, данные точки являются критическими.
|-(4х +х2),
х< -4 ы х> 0,
;
Г-4-2х, х с - 4 и х>0,
/00=4
1 4 + 2х, - 4 < х < 0;
4х +х , - 4 < х < 0;
/ '(х ) = 0: -4 - 2х = 0;
4 + 2х = 0;
х = -2 > -4 - не удовлетворяет условию.
3
/м
/ (* )
+
X
х = -2 е (- 4; 0).
+
■*
max
\
min
у
0
max
\
х
О т в е т : х = -4их = 0 - точки максимума;
х = -2 - точка минимума.
431
Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции
на заданном промежутке
Непрерывная на отрезке функция всегда имеет на этом отрезке наиболь­
шее и наименьшее значения. Решение задачи отыскания наибольших и наи­
меньших значений функции на отрезке [а; Ь\ строится по следующей схеме:
1) Вычислить производную функции и найти критические точки.
2) Отбросить критические точки, не принадлежащие отрезку [а; Ь].
3) Вычислить значения функции в оставшихся критических точках и на
концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее
4.Задание: Найдите наименьшее значение функцииfix ) на отрезке “0;-
2
если / ( jc) = jc3- 7,5 jc2 +
432
18jc
+ cos-- л/з + cos
jc + Sin
JC .
Решение:
f ix ) — jc3 -7,5x2+ 18jc +cos-- >/3 + cos2jc +sin2jc =jc3- 7 , 5 j c 2 +
1 8 jc - 1
1
—;
1), 2) £>(/) = (-oo;oo);
f i x ) = 3jc2 - 15jc + 18;
f i x ) —0,
3 (jc2 - 5jc + 6 )
jc, = 2 ,
= 0;
x2 = 3
й
Ц
3) Д 2 ) = 23-7,5-22+18-2-1,5 = 12,5;
Д 0 ) = -1,5;
+ 18-———= 12,25.
2
2
О тве т: min/(jc) = /(0)=-1,5.
1 ,
In2JC
5.Задание. Найдитенаибольшеезначениефункции f ix ) =--- наотрезке
х
e
Решение:
l” 2х;
fft
ix )\ = --х
l ) , 2 ) D ( / ) = (0;oo);
J
_ 2 In jc —In2jc _ lnjc(2-lnjc)
(X ) =
-
-
X
X
f i x ) = 0, In jc(2 - In jc) = 0 ;'
In jc = 0,
2-lnjc = 0;
jc = 1,
;
3 )/
f(X) =~ ~ i 0;
= е;
f(e 2) =
41n2e
4
О твет max /(x ) = /l ~ \ ~ e6. Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
2х + 22-1
/ ( jc ) = -------на отрезке [-1; 2].
In 2
Решение:
2 х Ш22~х
= ——(2* + 2г~х)
f {x ) =
1л2
In 2
*
1),2 ) D ( f ) = (—00; со);
/'(jc) = — (2 1 In 2 + 22" In 2 •(2 - х)')= 2х - 22"х;
In 2
/ '(х ) = 0,
21- 22_х = 0;
2х = 22'*;
х —1;
3) /(1) =
Л -D =
In 2
/(2) = Л -
2 In 2
In 2
О твет: max f(x ) =/ ( - I ) =—— , min/(jr) =/(1) =— .
2 In 2
In 2
7. Задание: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
/ (jc ) = sin jc - - sin 3jc на отрезке 0;-^
Решение:
1), 2) D { f ) = (-00; 00);
/ ( jc ) =
/ ' ( jc) =
sin jc -
— sin 3 jc;
c o s jc —
/ ' ( jc) = 0,
c o s 3 jc
•(3 jc) ' =
c o s j c - c o s 3 jc
c o s j c - c o s 3jc;
= 0;
- 2 sin 2 jc s in (- jc ) = 0;
sin 2 jc -s in x = 0;
sin 2x = 0,
sin x = 0;
£ = 0:
x - Oe 0 ;- ;
4.
л*
x =— ,
2
x = ли,
к =1
. 7
к e Z,
лк
x ~ — , к e Z;
2
n 6 Z;
л
X = — 6 'o ; f ' ;
4.
2
к = 2: x = л в 0; —
4.
433
3) Вычислим:
/(0 ) =0;
J яЛ
.л
1 . Ъл 4
/ — = sin---- sin — = —;
V 2у
2 3
2
3
/
. 3л 1 . 9л _ 4 2 1 V2 _ V2
= sin---- sin
4 3
4
2 ~3 2 ” 3 '
О твет: max f(x ) =/|
V
I- 4
2;l ~ 3 ’
Рассмотрим применение производной для нахождения области значений
функции.
8. Задание: Найдите образ отрезка [-1; 3] при отображении, заданном функ­
цией: / ( х) = 4х3~12х.
Решение:
Чтобы найти образ данного отрезка, нужно найти множество значений
функции f(x ) = 4х3 - 12х для х е [-1; 3J, которое, в силу непрерывности функ­
ции, представляет собой отрезок
r a /W ;psi/(j4
/ '(* ) = 12х2-12;
/ '(* ) = 0, 12х2—12 = 0;
х, = 1,х2=-1;
/(- !)= 8
Л 1 ) =-8
/ ( 3) =72
m iHj/W = /(1) = -8;
m ax/(x) = /(3 ) = 72.
О твет: образом отрезка [-1; 3] при заданном отображении будет отрезок
И ; 72].
9. Задание: Найдите множество значений функции:
a) f (х) = 3х2 +4х +2;
б) f ix ) 1 2хг 1 И
X
Решение:
а) /(х ) = Ъхг + 4х +2;
D (f) = (-co;oo);
f(x )\ max f (x )
E (f ) = remin
D (f)
xeO (/)
434
в) A * ) I Jx +-J=.
\Х
/ '(х) = 6х +4;
ГМ
f\ x ) = 0, х = ~ ;
+
/ (*)
О т в е т '. E ( f ) =
б ) / (х ) = 2х2+ 4 ;
-
,v л .
16 Ах* -16
/ ( х ) = 4 х — - = --- 1— ;
0) IJ (0; об);
х
/ '(х ) = 0,
х
х4 - 4 = 0;
х, 2 = ±л/2.
/(V 2 ) = /(- V 2 ) = 8.
/'W
+
/(■»)
\- ~ И у
^ min '
о
разрыв
\
+
л/2
min
О т в е т : £ (/ ) = [8; оо)
в) А * ) = л/х +
/ )(/ ) = (0 ;°о);
V ?’
/ '(x ) = - W 2л/х
2хл/х
2л/х
1
/ '(х ) = 0, 1- —= 0;
х
х= 1;
/ '( jc) не существует в точке х = 0 е £>(/).
/ 0 ) = 2.
/'(*)
fix )
+
О
ш \*
■
mm
У
О т в е т : Е ( / ) = [2; оо)
Решение задач на нахождение оптимальных значений
Одной из важнейших областей приложения производной является реше­
ние текстовых задач на нахождение наибольших и наименьших значений.
Схема решения таких задач:
1.
Выбирается параметр (переменная) х, через который удобно выраж
ется исследуемая величинах.
433
2. Находится функция, выражающая у через х, т.е. у =/(х ), и область изме­
нения параметра х;
3. Решается задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения
функции^ =Дх) на D (/ ).
10.
Задание: Число 180 представить в виде суммы трех положительн
слагаемых так, чтобы два из них относились как 1:2, а произведение всех трех
слагаемых было бы наибольшим.
Решение:
Обозначим неизвестные слагаемые х,у, г. По условию:
jx +y +z = 180,
[У = 2х;
z = 180-Зх.
D ( / ) в данном случае определяется из условия положительности всех
слагаемых:
х > 0,
-
<2х > 0,
180-Здг > 0;
<
’
|х < 60;
х е (0; 60\
'
Л
Произведение трех слагаемьпс обозначим через/ .
Д х ) = х •у ■г = х •2х •(180 - Зх) = 360х2 - бх3.
/ '(х ) = 720х - 18х2;
/ ’W = 0,
18х2- 720х = 0;
18х(х - 40) = 0;
х, = 0, х2 = 40.
Г (х )
+
V
40
60
\
max
При х = 40, функцияД х ) достигает своего максимума.
О т в е т : 180=40 + 80+60.
11.
Задание: В геометрической прогрессии (£>„) с положительными члена
выполняется условие b, = (А, +Ь2)(ЗЬ, +4Ь2). При каком значении знаменателя
профессии сумма четырех первых членов принимает наименьшее значение?
Найдите эту сумму.
Решение:
Пусть q - знаменатель (bn), q>0.
По условию:
П х)
6, = (6 j+ 6tfX3^ + 4% );
bl =bt(l +q) ( 3 +4q);
436
b, =
1
(1+ <7X3 + 4 ?)
j
У 2 1.1)
(q
Щ
+i
________
^ 3 + ^4
4
Ж
:
ьМ .
I
S '(q )s
S V l)
П +W
= 0, 2?
-2*
Й1Л'
I Ц
min S 4 % ‘
. боковой сторо-
9 ,v треугольников
___ чиКОВ С 00KUO
О тве т Я - 2
2
иобедренныхтрУ1”
гольник наибо
12.
ной а
найдите треУ
решение
щ
лг~ 2х тогда В И = у 1 а ''х'
Пусть лС
Составим функшоо.
с = -АС ■ВН ;
4 ?
I
Г~г
л =--2х-\а
S(x)
-х
2
~ хл‘ а
/~2
~х
Т _ /г 2/д2 —х " ) = у О 2X
V"
д >
—X
,
- V х
D (f):0 < x < a;
2а2х - 4х*
Я * )8
2у1а'х - х
S ’(x) =0,
а 2-2 х г
/ I 1 = 7 " / 1 Т' Т ’
\ а -х
2х2 - а 2 = 0;
- V 2 e D (/ )’
а
S '(* )
+
—о
о
V2
5(дг)
О тв е т: max 5, = —
V2
£
\
шах
437
§4. ПРОИЗВОДНАЯ И УРА ВН ЕН И Е КАСАТЕЛЬНОЙ
х
/4*1) = tgaI > 0;
/ '(* :) = tga2 < 0.
Уравнение касательной (не вертикальной) к графику функции у =f(x) в
точке графика с абсциссой х0 имеет вид:
y = f'(x 0)(x-xn) +f(x u).
Если прямая у - кх + Ь пересекает ось абсцисс и является касательной к
графику функции у = f (x ) в точке х = х0, то угол а между этой прямой и
положительным направлением оси абсцисс удовлетворяет соотношению:
к = tga = /'(*„)•
Отсюда получаем, что: а =
Если функция/ (х) не имеет производной в точке х0, но непрерывна в этой
точке, то у графика функции в этой точке либо вообще нет касательной, либо
есть вертикальная касательная. Например,
у = |х | не имеет касательной в точке графика с абсциссой х = 0;
у = у/х имеет в точке графика с абсциссой х = 0 вертикальную касатель­
ную дс=0.
Рассмотрим примеры решения задач на составление уравнения касательной.
1. Задание: Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функ­
ции f(x ) = ct^ x в точке с абсциссой х = - —?
6
Решение:
438
а =— .
3
•
2л
О твет: а =— .
3
2. Задание: Найдите координаты точек касания, в которых касательные к
Решение:
Находим / '(х ) =---(х + 1)2
(х„ +*)‘
(х„ +1>г =1;
х0+1 = 1,
х0 = О,
_х0+1—-1) _Д"о
2-
Еслих =0, тоу=-2;
если х =-2, т о у - 6.
Имеются две точки касания, удовлетворяющие условию задачи:
(0;-2),(-2;6).
О твет: (0; -2), (-2; 6). ..
3. Задание: Составьте уравнение касательной к графику функции
/■/ )ч =---* 2- 1в точке х0=--2.о
)(х
х
Решение:
Уравнение касательной в точке графика функции с абсциссой х0 имеет
вид у = / '( х0)(х - х 0)+ / (х 0).
По условию:
х0 = -2, /(х 0) = /(-2 ) = т | ;
439
*o = 4
v
(I
v = 1
jc -
/'(*«) = i. /(•*o) =z;
2
— + — = x + —.
4
2
4
Ответ: v =x+—.
4
„___
9. Задание: Найдите точку, в которой касательная к графику функции>'=х2
перпендикулярна прямой 2дс-у + 1=0.
Решение:
Замечание. Прямыеу =кхх +bxviy =к^с +Ь2взаимно перпендикулярны,
если -к2=-1.
Угловой коэффициент касательной: А, =f'(x 0);
угловой коэффициент прямой у - 2х+1: ^ =2;
из условия перпендикулярности находим:
Л, ■2 =-1,
к} - — .
1
2
Значит
*0 =
4
Касательная, проведенная к у =х2, перпендикулярна прямой у = 2х+1
только в точке
10. Задание: В какой точке надо провести касательную к графику функции
3
у =х+—, чтобы она пересекла ось ординат в точке (0; 6)?
х
Решение:
Точка (0; 6) не принадлежит графику функции.
Составим уравнение касательной к графику функции, проходящей через
некоторую точку
442
графика:
3
3
*<>= *„, /(х 0) = х0+— , /'(*(,) = i — j-;
Так как касательная пересекает ось ординат в точке (0; 6), значит эти коор­
динаты удовлетворяют уравнению касательной:
хо J
х0
хо
х0
х0 =1.
Находим ординату точки касания: у0=4.
О твет: (1; 4).
11. Задание: Найдите уравнение общей касательной к графикам функций:
/(х ) = х2 +4jc+8 и g(x) = х2+8х +4.
Решение:
Замечание: Прямая у= кх + Ь является касательной к параболе у = /(х),
тогда и только тогда, когда уравнение/(х)=kx +b имеет единственное решение.
Получим два уравнения: х2+4x +i = кх +b и дг2+8х +4 = кх +6, которые
будут иметь единственные решения в случае, когдадискриминанты равны нулю.
1)х2+4х +8- Ах-6 = 0 ;
2 )х 2
х2+х(4 - * ) +(8 - 6) = 0;
£> =
(4 - к ) 2 - 4 (8 -Ь);
+Sx+4-kx-b = 0;
х2+ х(8-*) +(4 -6 ) = 0;
D
=
(8 - к ) 2 - 4(4 - Ь );
* 2 -8*-16+46 = 0 .
к 2 - 16* +48+46 =
Решаем систему уравнений:
0.
Г*2-8*-16+ 46 = 0,
I:
{* 2- 16* +48 +46 = 0;
8*-64 = 0;
Искомая касательная у = 8х+4.
О твет: у =8х+4.
443
§5. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦ ИИ И Е Е ВЫ ЧИ С Л ЕН И Е
Нахождение интегралов согласно таблице интегралов элементарных функций
и правилам интегрирования
4
1
1
1. * )/ (* ) =— - у + 4 + 3 ;
х 4х
х
2. а )
_
ИМЬ
f COS JC
б) JJ;—
:— dfc
l- s in jc
dx
б )/ (х )= |+ 8 ^ ;
e)^i+ COS JC
в) /(х ) = е2х+3(х + 1)2--;
sin 3jc
г)J"
P ,. .
_
. I t JC 1
3
1
г) / ( j c ) = 2co s--- - I + ■
+•
4 3) ~j5x-2 (3 —2jc)3
cos2jc +2cosjc-3
<bc:
3+co sjc
d>f
4f
7jc +1 Vjt
anc) J
< 0 / ( jc ) = x|jc + 1|.
dx
V4jc +1+V4jc-2*
3. Для функции/ (x ) найдите первообразную, проходящую через точку А:
а) / (•*) = cos jc•cos5jc, А\ - —; —
4 24
1
б ) / ( * ) = 6 jc2
А(3; 55).
2- —
3
Определенный интеграл
4. a) Jjc*Vjcflbc;
5а)к
© 'Й
х
dx
,5 т - 5 ’
6) fsin —-cos—dx;
J
3
0
J3
Jl-2x
ж
б) J( jc2 - 6jc +9)dbc;
* )J
2 jc -
jc 3
- 8
<fr;
7
е) Jfg 2*dbc;
0
ж ) fsin2f — +—labc.
0
J
444
I 2
4j
в \9х2§Ш13х+1 b
б.а) I----1------- сЬс,
о
Здг+1
б) J-
dxr,
' > г г —в) И х -2х +\ dx\
5
г) J(|or +1 +(jc|)d!r.
- r,
rl —2дг ,
#
7. При каком а выполнено равенство J ---- ах = — .
8. Решите неравенство: \х2-х-12 - Jdz <х [cos 2xdx.
О
о
ь
9. Найдите все числа b> 1, для которых J(6 - 4x)dx >6-5b .
I
10. Найдите все А я В, при которых / (* ) = A sin ях + В удовлетворяет условиям:
2
/ '(!) = 2, \f(x)dx = 4.
Первообразная функции и ее вычисление
До настоящего момента мы рассматривали в этом разделе только задания,
связанные с нахождением производной известной функции.
Но нередко возникает обратная задача: по известной производной найти
исходную функцию. Раздел математического анализа, изучающий восстанов­
ление функций по их производным, называется интегральным исчислением.
Определение. Функция F(x ), заданная на отрезке [а; 6], называется перво­
образной для функцииДх), заданной на том же отрезке, если выполнено условие:
Г (х ) = / (* ).
Операция нахождения первообразной по заданной функции называется
интегрированием.
Таким образом, операция интегрирования является обратной к операции
дифференцирования.
Следует отметить, что операция интегрирования (в отличие от операции
дифференцирования) многозначна. Если F (х) - первообразная для функции
/ (х) на некотором промежутке, то существует бесконечно много первообраз­
ных для/(х ) на этом промежутке и все они имеют вид F(x ) +С, где С - произ­
вольная постоянная.
Геометрически это означает, что графики всех первообразных можно полу­
чить из графика некоторой из них сдвигом вдоль оси Оу. Выборам постоянной
443
С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через за­
данную точку, т.е. постоянная С удовлетворяла уравнению:
F(x0) +С=>»0.
Множество всех первообразных F(x ) +С для функции/(х) на некотором
промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается:
|f(x)dx =F(x)+C.
Ниже приведенатаблица основных интегралов:
Гс6с=х+С
J
\axdx=-2—+C
J
In a
JxflEr =y + C
Jsinxc6e =-cosx+C
x”+*
Jx "A =—^y +C,
(# i*-l)
Щ В
Jcos xdx =sin jc+С
f— = lnlxl+С
J x
rdx
1 _
Х- j- — +C
JX
X
f ^X- = tgx+C
J cos x
f
t dx
J-T-j—=-ctgx+C
J sm X
dx
f-?= =2jx +С
f- J=
. x _
=arcsin —+С
fexA =e*+C
f- T ~ T =~ carctg—+ C
J
Jx + a a
a
Чтобы найти неопределенный интеграл (т.е. множество первообразных
для подынтегральной функции), достаточно свести его к табличным. Это час­
то удаётся сделать путем преобразования подынтегрального выражения и
применения основных правил интегрирования:
1. \kf(x)dx =k\f{x)dx, где к—постоянная;
2- /(/(*) ±g(x))dx = jf(x)dx ± \g{x)dx\
3.
если J/(x)dc =F(x)+ C , то jf(kx+b)dx= ^-F(Ax+6)+C, гае к и Ь
постоянные, к * 0.
1. Задание: Найдите общий вид первообразной для функции:
а )Я х ) = - - 4 Т + \ + У , . г) f(x ) =2 co sfj-^ l+ у 3- - + ■-у - у ;
х 4х2 х
*)/ (х ) =|+ 8 ^ ;
3
в) f{x ) = е2* +3(х+1)2
446
\4
sm Зх
3)
V5x-2
д )/(х) =- 1 - + ^ ;
7х+1 Vx
е) /(х ) = xjx+l|.
г 1
(3-2х)
Решение:
«)/<*)=--тЦ-+А+3;
^(*)= jf---V+
™
х 4х
х
\ х 4х -V+
х 3V
)
Применяя последовательно правила интегрирования 2) и 1), получим:
4f —
J i
f ^r + fx-3A +3 fflhc = 4 lnlxl +
4 1?
J
J
1 1 4х
—г-+Зх+С.
2х2
О твет: F (x ) = 41п|х)+-— — г +Зх +С.
4х 2х
£>/<*)=|+8*£;
8
F(x)= if —+8л/х1с£с = - fxA+8 (x7d6t = - — +8 ~ + C = ^+ 7xVx +C.
^3
у
3J
J
3 2
о
б
7
О твет: F(x ) = ^—+7xlfx +С.
6
в) / (х )- * 21 +.3(х+1)2— т у г - •
sin Зх
Применяем правила 2), 1), и 3):
F(x)= J / (x ) * = Je2x^ + 3 J(x + l)2^ - 3
=
= ig 2r + 3(^ - ^ - +3~c/g3x+C= i e 2l+(x+l)3+c/g3x+C.
О тве т: F (x ) - —eu + (x+ l)3+ctg3x+C.
г)/w=2co{!
F(x) = \f(x)dx = 2 Jcoef^ - j j * + 3 J
. 2, . Ц £ . | ) +3. 1
.^
+ J(3“ 2х) 3‘йг =
+1 Ь М 1 .(4 )+ с.
O m .e«: /rW - 6 s in [ | - l] +|V 5 ^ 2
+C.
Я х ) = -^ ~-+- L ;
7дг+1 Vx
F(x) = \f(x)dx = [—-—dx+ Г * =
J
J 7x +l
J \Jx
2
= 3^7x +l +1* 3<&=3‘ y ,nl7jc+1l+:y +C =^ln|7x +l| +| V ? +C.
3
О твет: F(x) =~ ln|7x +l| +-VxT +C.
7
1 2
/(x ) = x|x +l|.
По определению модуля:
x3
rt \
\ x 2 +x, x > - l ,
/ W = j
2
I —X - x
F(X) =
,
,x< -\\
x2
T +T +c" x>~‘•
x3
X2
- T - T + C , r i- 1 .
Поскольку F ( * ) непрерывна на R, t o F (- 1) = lim F ( x ) , а значит:
l i
i t
»->-!
- H +C' =H +C
5 ^ 4
X
О твет: F(x) =
X
I
Т*Т~з
•*i ~l
x3 x2
- у - у + С .,* - !.
2. Задание: Найдите:
e)KHb
e)Jidb
x +4
ЛС) |
Решение.
a)
448
\
KMb
etc
V 4 *+ l+ y4 i- 2 ‘
Преобразовав подынтегральное выражение, получим:
K*+^ =(2+^ =2^+^^ =^+iT+c=2jr+7+c
X3
О твет: 2х +— +С.
6
_
г cos2x ,
б) J — г - Л ;
J l-sinx
fl- sin 2Jt ,
f(l - sin x)(l +sin x ),
r„
[---—— dx = J------- 7----- dx = (1 +sinx)abr =x-cosx+C.
J 1-sinx
J
1-sinx
J
О тве т: x - cos x + C.
f
dx
J l+cosx
r dx
г dx
1 r dx
1 .
x _
x _
I ----- 1 J ----- t = t J --- ~-'Z'2 -tg—+C =tg—+C.
J l +cosx J W
£
cos2— I
2
2
.
в) J------- ;
_ твет: tg —
* + C.
О
2
2
vS'jM*
J
X
J
J
X
X
К ИJ И
JX
X
p *= 1 - й й * |* =
JX
J X
1Vx J
= lnjx) +4-Tx +x +С.
О твет: ln|xj +4vx +x +С.
d)
rcos2x+2 cosx - 3 .
dr,
3+cosx
J
rcos2x +2 cosx ~ 3^ = Hcosx +3Xcosx-l)A = f(cosx_ l)dx =sinjc_ x +C.
*
3+cosx
1
3+cosx
1
О тве т: sinx-x +C.
г x*dx
e )f?T 7 :
■*x2+4
•*
x +4
^x +4
J x +4
I f(x 2 —4)dx +16 f— — =—— 4x +16 la r c t g ^ +C.
J
J x +4 3
2
2
x3
x
О т в е т :--- 4x +8a rctg — +C.
3
449
dx
л/4х+1+-j4x-2
Умножив числитель и знаменатель подынтегрального выражения на со­
пряженное знаменателю, получим:
ж) J
f
-jAx+l --j4x-2
[л/4х + 1- y/4x^2 j
1 [ ,л
tv; ,
----5--- Л=з^+,,Л-
j
- 'r ( 4 ,- 2 ) ^ a . i. < W . i. I. y £ z 2 i> c =
3J
34
3
34
3
2
2
BE^(л/(4* +1)3 - J(4 x - 2 ?)+ C .
lo
Ответ: — (V(4x +1)3- V(4jc-2)j )+ C.
18
3.
Задание: Для функции/(x) найдите первообразную, 1рафик которой
проходитчерез точку А:
я)/(х ) =cosx cosSx, Л| -— \
I. 4 24/
б )/(х ) =бх2---J — , Л(3;55).
Решение:
а) /(х) =cosx-cos5х.
Найдем обпшй вид первообразной для функции
Jcos хcos5xdx =^ |(cos бх +cos4x)dx =^ jcos 6xdx+^ jcos 4xcfcc=
=— sin6x+-sin4x+C.
12
8
Для того, чтобы из всех найденных первообразных выбрать ту, которая
проходит через заданную точку, решим уравнение: F(x0) +С=у0.
1 . (
ЗяЛ
\
„
1
- ^ - T J +-sm(- .)+ C =- ;
— +С =— ;
12
24
С ~ “ IT24
Ответ: Fix) =— sinбх+—sin4х— —.
12
8
24
б) f(x ) =6x26,12-—
450
^ ) =6 j ^ - i f ^
= 6 . ^ - l 4 - 3 ) . 2 ^ + C = 2 , 4 ^ + C.
Первообразная проходит через точку Л (3; 55), значит
2-3’ +^
| +С =55;
55+С =55;
О твет: F(x) =2х3+ J2 - - .
С =0. §
! ^
.
Определенный интеграл
Формула Ньютона - Лейбница:
Если функция / (* ) непрерывна на отрезке [а; 6], то определенный инте­
грал от этой функции на данном отрезке равен приращению любой ее перво­
образной F(x ) на этом отрезке:
\f(x)dx = F(x)\b
a = F(b )- F(a ).
4. Задание. Вычислите:
a) jx ■\fxdx-,
л
б) J — .
I
Решение:
а) jx ■\fxdx = | x*dx =
О
0
—
Я
I
7
7
= —-128 i 54-.
7
7
Ответ: 54—.
7
б) J — = ln llji = ln e - ln - = 2.
| X
в
О твет: 2.
е
е
Основные правила вычисления определенных интегралов:
ь
ь
1. Jkf(x)dx = к J/(x)<fr, к - const.
а
ь
а
ь
ь
2. J(/ (* ) + g(x))dx = \f(x )d x + \g(x)dx.
431
3. Jf(x)dx = Jf(x)dx + \f(x)dx, т с с e[a\b].
a
b
a
€
a
4. \f(x)dx =-\f(x)dx.
a
b
5. °\f{x)dx =0.
5. Задание. Вычислите:
J 0,5x-5
d) Jsin— cos—dr,
о 3
3
J l —2r
4
6) J(x J - 6x +9)А;
e)
г) J — — *—
6
x)
Решение.
8
I
a) J --- — = 2ln|0,5x-5||* = 21nl -21n4 = -ln!6.
10,5x - 5
О тве т:- In 16.
4
l
(x-3)3
6) j(x 2- 6jc+9)dr =J(x - 3)2dx =
3
3
О твет: 21.
О тве т: 13-.
3
г)
452
2гЛ
_l* 4
- 4 +t I
2х
4
---- х+ —
3
х2
= l ^ - 2 +l H i - U 4 | = f
О тлет:
1 3(
2f . 2x .
2x"\ 2
3
2x
[sin— dx = — - cos-= — cos
2
2\
3
J
3
u
J
3
0
4
3
4
яг 3
3 4
л
3 3
8 4
= — cos—+—cosO = — +—=
3
8
О твет:
я
я
\ _2 ,
4
я
fSin2JC ,
я
rl-co s2x ,
4
У
1
Л
2— dx= :J|— 2— lk & =
е) \tg2xdx=\— - dx = j --- J
оcos x
£ cos X
cos x J
= (tgx-x)\* = [tg ^ - ^ j- (tg 0 - 0 ) = \- ^ .
N> | VI
О тве т: 1— .
4
ас) Jsin2^^- +^jdEr = Jcos2^dx = ^ J^l +cos^jdt = ^ x +2sin
= —(2яг+2sin «■)- —(0 +2sin 0) = jr.
О твет: tl
6. Задание'. Вычислите:
'r9x2-1 - у!Зх +1
-dx~,
"tfЗх +1
2
в) jy/x2-2х +1Л ;
о
г) J(|x+l| +|x|)dc.
0
c
Решение:.
VW* -1 - V fejH ф _ '/ j j l r i
Ivx
j| .Зх
1r +
+1l
Зх
+ll
Д
' J*
Зх+
3x
+1
l )I
= jf Зд: -1 - -j-i—
Д
Д
у/Зх+1
О тве т: — .
6
б) f e * * dx = j|^ j- + perj * * j ( e + e'x)dx = (ex- e~x)|
e — +1.
e
О твет: e— +1.
e
Замечание. Если подынтегральная функция представляет собой выраже­
ние, содержащее переменную под знаком модуля, то вычисление определен­
ного интеграла с данными пределами интегрирования можно свести к вычис­
лению суммы определенных интегралов с подынтегральными функциями, не
содержащими переменную под знаком модуля.
2
______
_____________
[х_
Х-1,
2
Х^1,
в) JV x 2-2х +1
j|x - l|& ;
|x-l| =•!
о
о
I l -х, х<1.
Воспользуемся свойством 3) определенного интеграла:
2
1
2
1
2
Jjjc - 1|dx = J|jc - 1|<&+ J|x - ljobc = J(1 - x)dx + J(x -1)dx =
+ | i~ *
= 11 - -- 0 J+ I 2-2--+ 11 = 1.
О твет: 1.
х+1
г) j(|x +l| +|x|)&.
X
Г—2х —1,
|х+1|+|х| =•] 1,
2х +1,
—
-1
—
х <—1,
-1 <х <О,
х£0.
Воспользуемся правилом 3):
1
-1
0
1
J(jx +1|+|х|)& = |(-2х - \)dx + jdx + j(2x +\)dx = (-jc2-x)| ' +xj°t +(x2+x)|^ =
-2
-2
-I
0
= (- l + l + 4-2) +(0 + l) +(l + l- 0 ) = 5.
О т в е т : 5.
Рассмотрим задачи, которые решаются с использованием свойств перво­
образных и интегралов.
7. Задание: При каком значении а выполняется равенство:
454
Решение-.
71z2±dx 1 1 fo1 2x)dx Ik x I x2)
J |3
3
з
2 c- 3 a _
12
~
1
=
2
3 ( f
if a
a2^
e
2 a - 3 a2
*
4.
3’
2a—3a2 = -16;
Зя2- 2 a -16 = 0;
-2,
*1.2 ■ 8
.3'
О т в е т : a = 2— или a — 2.
8.Задание: Решите неравенство -Jx2- x-\2 - jdz < x jcos2xdx.
о
о
Решение:
jdz = z|* = x;
jcos 2xdbc =—sin 2x
„
= —(sin n —sin 0) = 0;
2
•Jx2- x - 1 2 - x < 0 .
Решаем методом интервалов:
f ( x ) = >/x - x - 1 2 - x ;
ОДЗ: (-oo;-3]U(4;®)t
Vx2 -x -1 2 = x;
x1 -x -1 2 = x2;
x = -12.
•12
-3
О т в е т : xe[4;oo)
b
9. Задание: Найдите все числа b > 1, для которых |(6 - 4x)dx £ 6 - Sb.
I
Решение:
i
= (bx- 2xl )| = (b2-2Ьг)- (Ь - 2 ) = -Ь1-Ь +2;
-b2-b +2>6-5b;
b2-4b +4<0;
(b-2)2Z0;
b =2.
О твет: b=2.
10.
Задание: Найдите все числа А и В, при которых функция ви
f(x ) = A sin лх +5 удовлетворяет условиям:
/ '(0 = 2, jf(x)dx = 4.
о
Решение:
f(x ) = Л зтяс +5;
/'(•*) = А-л cosлее,
/'(1) = Ал cosл = 2;
—/4л-—2;
я
2
[(/4sin яг +5)dtc = f[-- sin ляг+В гак =[ - —-—
о
о\ я
(
О твет: А =— , 5=2.
я
456
)
cosлх) +Вх
V * я
0
25 = 4,
5 = 2.
§6. П РИ Л О Ж ЕН И Я О П РЕД ЕЛЕН Н О ГО И Н ТЕГРАЛА
Вычисление площадей плоских фигур
с помощью определенного интеграла
9. Найдите объем тела, полученного
при вращении вокруг оси абсцисс
криволинейной трапеции, ограничен­
ной линиями:
] . а ) у = х1+ 1, у = 0, х - -1, х = 2\
б) у = 4х, уЩ 0, х 1 1 х В 4;
в )у ~ .
„ 2. У - 0, х - 1 ,
(х + 1)
х
-2.
у = -Jx + 1,х =0,х= 1,у = 0.
10. Вычислите объем тела, образо­
ванного вращением вокруг оси
абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной гиперболой ху = 2,
прямыми х = 1, х = 2 и осью абсцисс.
2. а) у = -х2, у = 0, х = 3;
б )у = \1х, у = 0, х = -1.
3. а)>" = 4 х -х2, у = 0, х = 0, х = 5;
л
5л
б) У = cosx, j/ =:0, х = — — , х —к.
6
1
4 а ).у = - ,
X
J
У = х, х = 2;
б )у = 2л[х,
6 - у = 0, х = 0;
11. Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси
абсцисс криволинейной трапеции,
граница которой задана уравнениями:>>= х |х - 2 |,х = 0, л = 3, у = 0.
в),у = х + 3, .у = х2 + 1;
12. Найдите объем тела, полученно­
го вращением вокруг оси Ох фигу­
ры, ограниченной параболой у = х2,
осью ординат и прямой у = 1.
г)>» = sinx, .у = cosx, х = 0;
д )у = л12х, У = у 5. а)> = л/х-1, .У = 1,
б )у = - у ,
X
Вычисление объемов
тел вращения
- О, х = 0;
^ = 1, ^ = 4,
6. _к = х2, ^ = - 7 (х > 0),
1Г
х = 0.
у = 0,
X = 5.
7. у = 4 х , у-\х-2\.
8. а) у = х3 - 4х, ^ = 0;
6 )y = -j— , у - I
Vx + 1
x ~ ~ j>
4
х = 0’
е)j/ = xz-2x+ 2, >>= 2 + 4 x -x 2.
457
Приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур
с помощью определенного интеграла
Используя понятие определенного интеграла, рассмотрим общий метод
вычисления площадей плоских фигур.
1. Определение. Фигура, ограниченная прямыми;/=0,х=а,х =Ь и графи­
ком непрерывной и неотрицательной на [а\ Ь] функцииfix), называется криво­
линейной трапецией.
Площадь криволинейной
трапеции равна
= jf(x )d x .
1. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а ) у = х2+ 1, у = 0, х = -1, х = 2;
б ) у = 4х, у = 0, х = 1, х = 4;
1
, у = 0, х = 1, х = 2.
в) у =
(х+1)
Решение:
а) у - х1+ \, у = 0, х = -1, х = 2)
Ответ: 6.
б) у = Jx , у = 0, х = 1, х = 4;
458
5^=jVxcfct =Jx2A =—x:
14
О твет: — 3
“’' Я н
О твет:
6
2.
Рассмотрим случай, когда у —f (jc), jc е [ а ; й ] - неположительная не
прерывная функция. Тогда график функции расположен ниже оси Ох. Для
вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции следует
использовать формулу:
2. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = -х2, у = 0, х = 3;
Решение:
б) у = \[х, у - 0, х = - I.
а )у - -х2, у - 0, х = 3;
= - |(- х 2)Л = Jx 2ofx =
о
о
О твет: 9.
б) у = \[х, у - 0, х = -1;
-1
4
3.
Пусть функция/(х) непрерывна на [а; 6] и принимает на этом отрез
как положительные, так и отрицательные значения.
В этом случае отрезок [а; Ь\ раз­
бивается на части, в каждой из кото­
рых функция не изменяет свой знак,
затем вычисляются соответствующие
этим частям площади по приведенным
выше формулам. После этого полу­
ченные результаты складываются.
с
Ь
$Ф = ~ \ f (x)dx + \ f( x ) d x
а
с
3. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = 4х - х2, у = 0, х = 0, х = 5;
Ъп
б) у = cosx, у = 0, х =--- , х = п.
6
460
/
Решение:
а) у = 4х - х2, у = 0, х = О, х = 5;
У\
4
»
5^ I J(4x - x2)dx - j(4x -x 2)dx =
'г
ж
64
x3}
'
7
"T
3
1
4V j
5
\
1
1
н
н
II
М В
Б
3
= 13.
3
О твет: 13.
5л
б) > = cosx, 7 = 0, x =--- , х = л;
6
i
Z
Л
Бф = - Jcosxa!x+ Jcosxctc - jcosxafr =
5ж
ж
ж
6
2
2
= -sinxj f, +sinx)J;r -sinx|* =
~6
~2
2
1 7
5*
=4
2
2
О твет: —.
2
4. Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций
f(x )n g (х) а также двумя прямыми х = а и х = 6, где/(х) >g (х) на огрезке [а; 6]
находится по формуле:
ь
$Ф = {(/ "W - g W jc fe .
а
Замечание. Если известно, что
график одной из функций /(х ) или
g (х) лежит выше другого, то мож­
но не выяснять, какой именно, а
воспользоваться формулой:
ь
$Ф = \{f{x )-g (x ))d x .
4. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = —, у = х, х = 2;
х
в) у = х +3, у = Jt2+1;
б) у = 2у[х, 6 - у = 0, х = 0;
г )у = sinx, .у = cosx, х = 0;
д)у = л/2х, ^ =4г-
Решение:
а) У = ~,
У =х, х = 2.
х
Найдем точки пересечения графиков заданных линий:
Г
*'
-тц .
л1- 1=0;
х2=-1- не удовлет­
воряет условию.
s* =
71“n I
з
О твет: — In 2.
2
6) у = 2yfx, 6 -у =0, х =0.
Найдем точки пересечения графиков заданных линий:
у = 2у/х,
\у = 2yfx,
6 - у = 0;
(v =6;
y fx
= 3,
у
V=6
х =9.
9
0
(
|(б-2>/х)аЬс = А
0
2X2
6 х~ ~ Т
2 j0
О тве т: 18.
462
= 54-36 = 18.
0
в)у = х+3, у = х2+1.
Найдем точки пересечения графиков заданных линий:
О тве т: - .
2
г) у = sin х,у= cos х, х = 0.
Найдем точки пересечения графиков у —sin х, у = cos х.
=£ + ^ - 1=Л - 1 .
2
2
О тве т: -Jl - 1.
d )y = V2х, > = у .
Область определения функции у - J l x есть х е [0; ® ).
463
Найдем точки пересечения графиков функций:
V 5 --;
2
2 * |р Ч
4
N
2Э
-О
О тве т: —.
з
0;
х = 0, х, = 2.
(2 *);
( 2 х )2
■Jlx -■
/ з
4*
2x1 1-
2
8 8
4
3 6
3'
J
3
2
2-3
пи, iMfcwY
i
|.
*
5.
Если фигура ограничена прямыми^ = с, у - d(c< d), осью Оу и граф
ком непрерывно возрастающей (убывающей) функции у =f (х) (х > 0), то ее
площадь вычисляется по формуле:
S0 = \(p(x)dx,
С
где <р(х) - функция,
обратная к у =f(x).
5. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = -Jх-1,
у = 1, у = 0, дс= 0;
Решение:
а ) у = л/х-1,
_у = 1, > = 0, х = 0.
Найдем функцию, обратную
к функции у = л/х —1:
x = yjy- l;
х1- у - 1;
=х2+1 - обратная к функ­
ции у = л/х-1.
464
б )у =— ,
х
у = 1, у - 4,
х = 0.
Найдем функцию, обратную к
функции у = — :
х
1
хш 7 '
1
У ~ ~ г ' (* >0)
Гх
4 »
5. = [-= = 2л/х| = 4-2 = 2.
I#
,
О твет: 2.
6.
Если требуется вычислить площадь более сложной фигуры, то старают
ся представить искомую площадь в виде алгебраической суммы площадей
криволинейных трапеций.
6. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = х2, у = — (х > 0), 7 = 0, х = 5.
х
Решение:
Кривые^=х2и у = — при услох
вии х >0 пересекаются в точке х = 1.
—$1 +1^2»
5, = |х2аЬс, 52 = 51
;х 2
S
'
И5
17
15
О твет: — .
IS
7. Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
у = > / х ,7 = | х - 2 ).
Решение:
_
По определению модуля:
fx-2 при x > 2,
У =\
[2 - х при х<2.
Построим графики данных функций и найдем абсциссы точек пересечения:
[У = \х -2\;
1) yfx = х -2, если х>2;
2) yfx = 2 - х, если х < 2;
х = х2- 4х +4;
х2- 5х +4 —0;
х2- 5х +4 = 0;
4 > 2 -не уд. у слов.,
1.
4,
1< 2 -не уд. услов.
У -i
\
\.
у
y = yfx
Искомая площадь равна:
0
О твет:
3
3
2Е
\d
4
\
= S АВСО —S две ~ $ECD'
*•
Л.
4
S ABCD = \Jxdx, S ME = J(2 -x)dx, S ECD = j(x - 2 )dx.
1
I
2
4
2
4
^
‘4
(
х2М2 (х 2
t
Бф = jyfx dx - J(2 -дг)оЬс - J(jc- 2)dx =—yfx* _ 2 х - - \ - \ - - 2 х \
2J , I 2
1 1
2
16 2
14
.3
1
/
2
6‘
13
8.
Задание: Вычислите без рисунка площадь фигуры, ограниченно
линиями:
а) у = х3-4х, у = 0;
1
.
б) у = --- Г, У = 1,
у / х +\
Х
3
=- - ,
4
в )у = х2-2х +2, у = 2 +4х-х2.
Решение:
а ) у = х3- 4х, у = 0.
466
х = 0;
Найдем нули функции:
х* —4jc = 0;
х{х2- 4) = 0;
*1=0,
х2 = 2, х3 - -2.
Функция у =х3-4х будет иметь постоянный знак на промежутке [-2; 0]
и[0;2].
у = х3-4х> 0,если х е [- 2 ;0 ];
у = х3- 4х < 0 , если х е[0 ;2 ].
О
2
(4
Бф= j(x 3-4x)dx-j(x3-4x)dx =\--- 2х
— ~2 х 2 \ = (0-4 + 8)-
- (4 - 8 - 0) = 8
О твет: 8.
1
6) у = -7 = 7 , У= 1, х — —, х = 0.
ух +1
4
Выясним, какой из графиков / (дс) =
/ (* )- £ (* ) =
На промежутке
г-1 =
■ I
4
у[х +\
или g (дс) = 1 лежит выше:
1-л/х+Т
полученная разность положительна, значит
/(x)> g(x).
О твет: —.
4
в).у = х2-2х +2, j>= 2 +4x-x2.
Границы интегрирования найдем из уравнения:
х2-2х+2 = 2 +4х-х1;
х2- Зх =0;
х, = 0, х2=3.
Рассмотрим разность функций на промежутке [0; 3]:
/ (x )- g (x ) = (x2- 2х + 2 )- (2 + 4х-х2) = 2х2 -6x^0Значит, g (x )> /(x ).
з
j
/
2г} У
S4 = Д(2 +4х-х2)- (х а-2х + 2))Лс= |(бх-2х2}& = Зх2— — I =
о
о
\
Ло
= (27 - 1 8 ) - 0 = 9.
О т в е т : 9.
467
Вычисление объемов тел вращения
Объем V тела, полученного в результате
вращения криволинейной трапеции, огра­
ниченной линиями у - fix ) (/ (х) >0),х = а,
х = b (Ь > а) вокруг оси Ох, вычисляется
по формуле:
А
V = л j f 2(x)dx.
9. Задание: Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси
абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
У-
у = л/х +1,х =0,х= 1,7 =0 .
Решение:
у =Vx+X——
Воспользуемся формулой объема
тела вращения:
V = л j(V x + l) dx = л | ( х + \)dx = л
о
о
/-1
( х‘'
0
1
Я В Е =л1 - + 1 1=
X
зп
_
3л
О тве т: — .
2
10. Задание: Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси
абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой ху =2, прямыми
х= 1,х=2 и осью абсцисс.
Решение.
= 4я л -
= 4л1 - —+11= 2л.
О тве т: 2л
11. Задание: Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг
оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями:
у= х\х—2 1,х = 0,х = 3,_v=0.
468
Решение:
з
V = л |(дс|х - 2|)2dx.
0 - *
т I ы fx “ 2’ еслих> 2,
Т.к. х - 2 И
[2-х, если х < 2;
Ж ?!
V = л |(х(2 - х))2dx + J(x(x - 2)fdx = л |(2х - x’^otc + |(х 2- 2xfdx
.0
= jrj(2 x -x 1) I dx = *l(4 x i -4x3+x*)dx = x --
= л 36-81 +
243
=3.6л.
О твет: 3,67i
12. Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох
фигуры, ограниченной параболой^ =х2, осью ординат и прямой = 1.
Решение:
Искомый объем состоит из разности
объемов цилиндра, полученного вра­
щением квадрата ОАВС вокруг оси Ох,
и фигуры, ограниченной параболой
у =х2, осью Ох и прямой х = 1. Поэтому:
V = л j l 2flbr—я-jx 4dx =| ях —л
о
о
\
х^
5
Резюме
“ Основы математического анализа” - единственный раздел математики, изучае­
мый в школе, который не относится к элементарной математике Основным объектом
изучения данного раздела является числовая функция. В данной главе вы ознакоми­
лись со свойствами функций, производной и первообразной функции/ (х ).
В начале главы описаны методы нахождения области определения, области значе­
ния и периода функции. Особое внимание уделялось области значения функции, были
описаны возможные способы ее определения, как алгебраические, так и с использова­
нием элементов математического анализа.
Особенность математического анализа - кинематический подход к функции, где
основной акцент делается на изучение изменения функции в зависимости от изменения
аргумента. Подробно, с многочисленными примерами, изложены методы вычисления
табличных производных, производных сложных и сложно показательных функций.
469
Далее были рассмотрены примеры применения производной для нахождения
уравнения касательных, промежутков монотонности функции, еб экстремумов.
В заключительной части дано определение первообразной функции и правила ее
нахождения. В отличие от обычного подхода в курсе общеобразовательной школьной
программы, введено понятие неопределенного интеграла, как это делается в традици­
онных курсах ВУЗов. По мнению авторов, такой подход должен облегчить преем­
ственность перехода от школьной программы к методике изложения математического
анализа в ВУЗах.
При вычислении интегралов на примерах показаны способы сведения их к
“табличным” .
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующими умениями:
- находить область определения функции;
- находить область значения функции;
- определять четность и нечетность функции;
- находить период функции;
- находить функцию, обратную данной;
- вычислять производные степенной, показательной, логарифмической и триго­
нометрической функций;
- находить производные суммы, произведения и частного;
- находить производную сложной функции;
- записывать уравнение касательной к графику функции, проходящей через
точку х0]
- применять производную к определению промежутков возрастания и убывания
функции;
- с помощью производной находить экстремумы функции, ее наибольшее и наи­
меньшее значения на отрезке;
- находить интегралы, табличные и более сложные;
- вычислять определенные интегралы, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница;
вычислять площади плоских фигур с помощью определенных интегралов.
47ft
I
Глава V III
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ПЛАНИМЕТРИИ
Опыт приемных экзаменов в вузы прошлых лет показывает, что некоторые
разделы теоретического курса геометрии и многие приемы и способы реше­
ния геометрических задач вызывают у поступающих серьезные трудности преж­
де всего из-за того, что требуют четкости и последовательности в рассуждени­
ях, понимания логических связей между различными этапами решения зада­
чи. Ниже мы подробно рассмотрим основные разделы курса элементарной
геометрии. При этом предполагается, что материал программы приемных
экзаменов уже известен читателю в объеме школьных учебников.
Цель раздела - помочь учащимся систематизировать свои знания по реше­
нию задач за курс средней школы, а также ознакомиться с методами решения
некоторых задач.
В отличие от алгебры, в геометрии почти нет стандартных задач, решаю­
щихся по образцам. Практически каждая геометрическая задача требует
“ индивидуального” подхода. В данной главе мы рассмотрим некоторые спо­
собы решения задач, характерные именно для геометрии, покажем различные
приемы и методы, которые используются при решении геометрических задач.
§1. ТРЕУГОЛЬНИКИ
Основные сведения
Произвольный треугольник
а ,Ь ,с - стороны;
а, Р ,у - противолежащие им углы;
р - полупериметр;
R - радиус описанной окружности;
г - радиус вписанной окружности;
S
- площадь треугольника;
На —высота, проведенная к стороне а.
а
S = у]р(р - а)(р - 6Хр - с) (формула Герона)
5 = —b c s i n a
2
R=
4S
- (радиус описанной окружности)
471
г = — (радиус вписанной окружности)
Р
Следует иметь в виду, что:
1. центр окружности, вписанной в треугольник, находится в точке пересе­
чения биссектрис треугольника;
2. центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке
пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
Прямоугольный треугольник
\
ь /
И
/а
а
N.
1
N
са
Сь
Ъ = с-сь
а 1 =с-са
К 1 =CbCa
а2+Ьг = с2 (теорема Пифагора)
с
R = — (центр описанной окружности
2
находится на середине гипотенузы)
а +Ь - с
г -------2
5 = —с ■h
2
„ 1 ,
S = —a b
2
1
S = —о-с-sina
2
если а= 30°, то с =2а
а
а
1Ь
sina = — cosa = - 1ёа = Т ,
р
Ь
с
Ь
C tg a = -
а
Равносторонний треугольник
уС
X
Следует иметь в виду, что:
N
1. Каждая медиана равностороннего треугольника
/6 0
\
,
.
Z------- 1-------л совпадает с биссектрисои и высотой, проведенными из
той же вершины.
2.
Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего тре
гольника совпадают.
Метод поэтапного решения задач с использованием различных теорем
Большой класс задач решается с помощью различных теорем. Условия
подобных задач таковы, что можно непосредственными вычислениями полу­
чить искомый результат.
472
В данном параграфе мы сделаем некоторые замечания общего характера
по ряду теорем геометрии, часто встречающихся в ЕНТ, а также разберем
некоторые задачи.
1.
Рассмотрим теорему о свойстве биссектрисы внутреннего угла треу­
гольника.
Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежа­
щую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам:
_Ъ
Щ с
Длина биссектрисы:
а
26-с-cos/=
6+с
I = 6 с - 6 ,с ,.
I.
Задание: В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 5 соответ­
ственно. Найдите длины отрезков, на которые делит гипотенузу биссектриса
прямого угла.
Решение:
1) АС = УАВ2+ ВС2 =\125 +144 =13.
2) Обозначим АК=х, тогда:
СК= 13-х.
В К - биссектриса ZB, значит
АВ АК
ВС ~ С К ’
12 13-х
5(13-х) = 12х;
65 = 17х;
65
х =— ;
17
АК =— , СК = А С -А К = 13-— = — .
17
17 17
156 65
17 ’ 17
2.
Задание: В треугольнике ABC длины сторон СВ, САиАВ соответствен­
но равны 4,3 и 2. Найдите отношение, в котором точка пересечения биссект­
рис делит биссектрису угла (считая от вершины В).
Решение:
1) Рассмотрим ААВС:
473
В К - биссектриса ZB\
АВ Л К,
ВС ~ КС *
2
х
4 =3-х’
6 - 2х = 4х;
х= l,A K = I;
2) Рассмотрим ДАВ К :
АО - биссектриса ZA\
АВ
АК
ВО
О К'
ВО
О твет: 2:1.
ОК
3.
Задание: Определите площадь треугольника, если две его стороны рав
ны 35 и 14, а биссектриса угла между ними равна 12.
Решение:
2АВ ■ВС ■cosa
АВ +ВС
2-35-14-cosа _
49
В
1) BL =
4 3
24
5 5
25
2) sinar = V1- cos2а = II - — = —;
V 25 5
sin 2ar = 2sin a •cosar = 2 ---- - — :
3)5д.дг
- = 235,2.
> ьлвс =-A
2 B-ВС sin2a = —
2 35 14-25
О твет: 235^2.
2. Рассмотрим свойства медиан в треугольнике.
a) Каждая медиана точкой пересечения
делится в отношении 2:1, считая от вершины.
b ) Три медианы делят треугольник на
6 равновеликих (одинаковых по площади)
треугольников.
c) Длина медианы:
т
= —-J2b2+2с2- а 2 .
2
4.
Задание: Основание треугольника равно 20, медианы боковых сторо
равны 18 и 24. Найдите площадь треугольника.
Решение:
1) Рассмотрим ДАОС:
АО = —ЛК = — 18 = 12;
3
А
с
20
3
ОС = - С Е = - 24 = 16;
3
3
5М0С = у 1 р (р - а )(р - Ь )(р - с ) = л/24-4 12-8 = 12-8 = 96;
J54<<OC= 2* *
•
Ответ: 2%%.
5.
Задание: Стороны треугольника /15Сравны 15,14 и 13.0- точка пере­
сечения медиан. Найдите площадь треугольника А ОВ.
Решение:
g
Sb4Bc=Tjpip-a)(p-b)(p-c) =л/21-6-7-8 = л/72-32-42 =7-3-4 =84;
=
=—■84 =28.
Ответ: 28.
6.
Задание: Основание равнобедренного треугольника >/32, а медиана
боковой стороны 5. Найдите длины боковых сторон.
Решение:
В
3.
кихзадач.
А Е 1 = - (2 -АВ2+2- А С 2- В С 2);
4
25 =—(8х2+64 - 4х2);
4
Ах1=36;
х =3;
АВ =ВС-6.
Ответ: 6; 6.
Рассмотрим применение теоремы синусов для решения геометричес­
475
Теорема
а
sina
си н усо в.
Ь
sin/7
с
= 2R, где R - радиус описанsin у
ной окружности.
7.
Задание: В треугольнике ABC угол С равен 90°, угол А равен 1
АС = >/з. CD - биссектриса треугольника. Найдите длину AD.
Решение:
А
Рассмотрим ДACD:
ZACD = 45°, ZADC = 120° •
По теореме синусов:
AD
AC
sin ZACD ~ sin ZADC ’
iz -Jl
AD
J3
sin 45° ~ sin 120° ’
_
A D ----- Д - ..£ .Л .
P
S
2
О твет: v 2 .
8.Задание: Дан треугольник ABC. ZBAC = a, В С =а. Найдите радиус ок­
ружности, описанной около треугольника ВОС, где О - центр окружности,
вписанной в треугольник ABC.
Решение:
ДВОС: по теореме синусов
а
__
а
2R =
sin ZBOC
a
R=
2sin ZBOC
f
„ Z B +Z C \
. (Z B + Z C \
. (180“ - a '
sin ZBOC =sinl 180-------- I ==sin l--------I =sin l------=sin| 9 0 -- l = cos—.
О тве т:
Значит, R =
2 cos—
2
476
л
'
2cos
4.
Рассмотрим применение теоремы косинусов для решения геометри­
ческих задач.
Теорема косинусов.
с2=a2+b2-2а-b-cosy ■
с
9. Задание: Найдите угол А в треугольнике ABC со сторонами а = 14,
Ь= 16, с= 10.
Решение:
в
По теореме косинусов:
ВС2= АВ2+АС2- 2АВ AC-cosZA;
а в 2+а с 2- в с 2
cosZA --------------=
2A B A C
102+162- 1 4 2 100+2-30 1
16
2 10 16
2 160 ~2*
ZA =60°.
Ответ: ZA =60°.
10. Задание: В треугольнике ABC известны стороны: АВ=3, ВС=5, СА =6.
На стороне АВ взята точка М так, что ВМ= 2АМ, а на стороне ВС взята точка К
так, что 3В К =2КС. Найдите длину отрезка МК.
Решение:
в
Так как ВМ=2АМ, то:
ВМ= 2, АМ= 1.
Так как ЗВК =2КС, то:
ВК=2,СК=Ъ.
Рассмотрим ААВС:
А
с *■ АС2 = АВ2+ ВС2- 2АВ ■ВС ■cos ZB
(т. косинусов);
АВ2+ВС2-АС2 9 +25-36 -2
1
cosZB --------------=--------=— ---- .
2АВ-ВС
2-3-5
30
15
Рассмотрим АМВК: М К2= ВМ 2+В К 2- 2ВМ ■ВК -cos ZB;
М К 2 =4 +4-2-2-2М К 1 8.1— .
V 15
О тве т: М К = 8.1— .
V15
477
i
Метод подобия в геометрических задачах
В данном методе используется подобие некоторых треугольников, обра- "
зовавшихся в результате дополнительных построений.
11.
Задание: В треугольник KMN вписан ромб так, что угол К у них общи
а вершина Е находится на стороне MN. Найдите сторону ромба, если КМ= от, j
KN=n.
М
Решение:
§
&MDE ~ AEPN (по двум углам);
I
MD
DE
РЕ ~ PNт- х _
х
х
п -х
т п - п х - т х + х2 —х2;
т п —х ( т + п ) = 0;
тп
тп
х ------;
KD = —— .
О твет: тП .
т+п
12. Задание: Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипо­
тенузе, разбивает его на два треугольника с площадями 4 и 16. Найдите длину
гипотенузы.
Решение:
1)
AACD ~ ACBD (по двум углам), т.
Z ACD = Z CBD - острые углы с взаимно
перпендикулярными сторонами.
В
Площади подобных фигур относятся как квадраты соответствующих сто­
рон, поэтому:
16 = СВ2
СВ 4 2
4 ~ АС2’
АС~ 2 ” Г
2) ДЛВС - прямоугольный;
S aabc 3 Т
' ВС'щ
20 =-х-2х;
2
х2= 20;
АС = 2у/5, ВС =4>/5;
АВ = yfAC^ +BC2 « -Ло +80 = 10.
О твет: 10.
13. Задание: Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 и боковой
стороной 18. Отрезки какой длины нужно отложить от вершины треугольника
478
на его боковых сторонах, чтобы, соединив их концы, получить трапецию с
периметром, равным 40.
д
Решение:
1) Обозначим В К =BL =х, тогда:
рлки- = 2АК +KL + АС,
2(\%-х) +KL+ 12 =40;
KL =2x-S.
2) AKBL - ААВС (по двум углам);
BK KL
АВ ~ АС ’
х _ 2дс—8
Тв" 12 ’
24х= 144;
х- 6;
BK =BL =6.
О твет: 6.
Метод решения задач путем дополнительных построений
Говоря о методах решения геометрических задач, следует отметить неко­
торые особенности данных методов: большое разнообразие, взаимозаменяе­
мость, трудность формального описания, отсутствие четких границ области
применения. Кроме того, очень часто при решении некоторых достаточно
сложных задач приходится прибегать к использованию комбинаций методов и
приемов.
Уже на первом этапе решения - построение чертежа - можно говорить о
наличии некоторых специальных приемов:
1. если в условии есть медиана треугольника, то стоит попытаться продол­
жить эту медиану на такое же расстояние. При этом получится параллело­
грамм, стороны и одна диагональ которого равны сторонам треугольника, а
вторая диагональ равна удвоенной медиане;
2. продолжение отрезка (отрезков) на определенное расстояние или до
пересечения с заданной прямой.
2
14. Задание: В треугольнике Л5С точка^лежит на стороне AC, AN = -А С,
медиана AM перпендикулярна BN. Найдите площадь треугольника ABC, если
AM ~m ,BN=n.
Решение:
1) Продолжим медиану AM на расстояние, ей равное.
Обозначим Z.BMA = а.
479
А
N
к
q
SABEC - |Ы®Р•A E■sina =—BC-2m-sina =m-BC sina.
Найдем BC •sin a.
2) Построим M K L A E .
AAM K —ДAON (по двум углам);
МК
ON
AK
AN '
1
—n - c
2 _ 3,5x
ON~~2x’
ОЛГ = — =
2n
3,5
7»
5n
lOn
3) BO = BN-ON =n -— =— ;
7
7
ABOM:
50= BM- sin a.
Следовательно: BC ■sin a = 2BM •sin a = 2BO = 2 — =
7
7 '
_
_1 .
_ 1 Ю/i _ 5mn
’ABEC ~ ^
b&ABC ~ ~^ABEC
О тв е т:
-- *
5mn
J5 . Задание: Дан равнобедренный прямоуголь­
ный треугольник ABC. Прямая, проведенная через
вершину прямого угла С, перпендикулярна медиа­
не BD и пересекает гипотенузу в точке М. Найдите
AM
отношение--- .
MB
Решение:
1) Построим АК =СА.
В ДКСВ В А - медиана (по построению).
Докажем, что СЕ - медиана.
2) Обозначим ZK = a,ZB= 9 0 °-a.
480
ВС
1
lg a = — = ~ ;
сл
z
А ВС К :
ABCD: tgZCBD = ^
=>ZCBD = а.
=^,
3) Рассмотрим АС ЕВ:
Z ЕС В = Z Е В С = 90° - а, ДС ЕВ - равнобедренный,
B E - С Е.
4) Рассмотрим А С Е К : Z С К Е = Z К С Е = а, А С ЕК - равнобедренный,
ЕК-С Е.
Значит, К Е = Е В н С Е - медиана.
АВ - медиана по построению.
AM
1
МВ
2
Следовательно--- = —, так как М - точка пересечения медиан треугольника.
Ответ: —.
2
16.
Задание: Найдите углы равнобедренного треугольника, если его вы
сота вдвое меньше биссектрисы угла при основании.
Решение:
Е
1) Обозначим АВ =с, ВС =а.
Продолжим ВА. Построим АЕ =а.
Продолжим ВС. Построим СК =с.
Получим АВЕК - равнобедренный,
Z ВЕК =Z ВКЕ =90° - а.
BL - биссектриса Z В =>BL - высота, BL _L ЕК, EL =LK.
2) По условию 2AD=ВР.
481
AB A D : AD - A B •sin 2a = с •sin 2a;
2AB-BC-cos—
,
,
M BC : B P ----------- 2_= 2-c-g-cosg _2gccosq_
AB + BC
. _
la c cosa
2c-sin 2a =------ :
a+c
2ac cosar
4c -sina -cosar =
a +c
a +c
a +c
2(a+ c)
- л o rr
££ .
EL
.
a
. .
a
3 )A B E L : sinar = — ; sina =--- ; E L = sm a-(a +c) = ------ (a +c) = —.
££
a +c
2(a +c)
2
4) Соединим A c К. Рассмотрим AACK - равнобедренный.
Значит, Z CAK= Z СКА = «(теорема о внешнем угле треугольника).
5) Рассмотрим АА Е К - равнобедренный, т.к. А Е = Е К =а.
Z £= 90° - аг,
Z Е А К =Z ЕКА = Z Е К В - Z А КВ = 9 0 °- а - а = 90°-2а;
Z E + Z EA K + Z ЕКА = 180°;
90° - а+ 90° - 2а+ 90° -2а= 180°;
270°-5а= 180°;
5а=90°;
а = 18°;
Z A B C = Z A C B = 36°;
ZBA C = 180°-2 ZA BC = 108°.
О твет: 36°, 36°, 108°.
Алгебраические методы решения геометрических задач
Большое значение при решении геометрических задач имеют алгебраи­
ческие методы. Алгебра, часто в сочетании с тригонометрией, позволяет
справиться со многими сложными задачами. Суть алгебраического подхода
к геометрическим задачам состоит в том, чтобы для некоторой величины
составить из геометрических соображений уравнение, а затем решить его.
Широкие возможности для использования алгебры в геометрии открывают
метрические соотношения в треугольнике и круге, формулы решения прямо­
угольных треугольников, теоремы синусов и косинусов и т.д.
17.
Задание: Две стороны треугольника а и Ь. Медианы, проведенны
этим сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону.
Решение:
Обозначим: О Е =х, ОВ =2х;
ОК=у,ОА=2у;
482
A O EA : x2 +4 v2 = — ;
4
АОКВ: y 2+4x2=— .
4
Составим систему уравнений:
, . 2 Ь2
х +4у - — ,
4
л 2
^
V2 +4х
=—
;
4
5х2+5у
дг +7 =
АКОЕ: К Е = Jx 2+y2 =
АВ =2КЕ = J a Щ
Ответ:
а2+Ь2
. г2
а_2 +о
20
1 а2+62
| т.к. К Е - средняя линия в ААВС.
а2+Ъ2
18.
Задание: Площадь прямоугольного треугольника равна 24, а гипоте
нуза равна 10. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение:
Обозначим катеты х ну.
ху =48,
X
= 6,
2
W
l f
j o
o
;
l I
+
>
=
1 0 0 -
^ _ a+b-с _ 6 +8-10 _ 4
=
8
^
Г_
2
7
2
~2~
О твет:!.
19.
Задание: В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка
касания делит гипотенузу на отрезки, равные 2 и 3. Найдите радиус этой
окружности.
Решение:
Обозначим х - радиус вписанной окружности.
АВ=2+х;АС=3+х;ВС=5.
483
По теореме Пифагора составим урав­
нение:
(2 +х)2+(3 +х)2 = 52;
\ г
чЗ
V
~К-
2х2+ 10х +13 = 25;
х1+5х - 6 = 0;
х = 1;
3
г = 1.
О твет: 1.
Метод площадей в геометрических задачах
Формулы, выражающие площадь треугольника, могут быть с успехом ис­
пользованы для составления уравнений. В данном методе приравниваются
два выражения для площади треугольника.
20.
Задание: Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами
17,65 и 80.
Наименьшая высота проведена к
большей стороне.
S m bc
= - В Н -А С = —А-80 = 40hr,
S*,т : = yJp {p - o )(p - b X p - c),
a +b +c
р = — -— ;
°длвс = л/81-64-16-1 =9-8-4 = 288;
40/»=288;
О твет: 7,2.
А=7,2.
21.
Задание: В треугольнике ЛВС сторона с = 44, опущенная на нее и
вершины С высота Ис = 15, разность длин сторон а - b = 22. Чему равны
стороны а и А?
Решение:
г
По условию а—Ь=22; Ь= а—22.
SbW = ^/(a +1 l)(a + 11- a )(a +11 - a + 22)(a +11- 44) = ^(a +1 l)(a - 33) •11-33;
11■33•(o +1lXfl - 33) =(15 •22)2;
a2- 22a - 363 = 300;
a2-22a -663 = 0;
a, =39,6, = 17;
a2= 17, не удовлетворяет условию задачи.
О твет: 39; 17.
22. Задание: В треугольнике Л5С известны стороны а, Ьп угол С между
ними. Чему равна длина биссектрисы, исходящей из вершины С?
С
Решение:
Обозначим Z ВСК= а.
З&лвс ~ —ВС -А С •sin ZC = ^-a-6-sin2ar;
В
К
А
S aack = -А С -С К -sina = -b-l-sina;
2
2
S&bck = ~ 5С -С К ■sin а = —а •/ •sin ar;
^йЛВС ~ ^ЛАГК + S&BCK>
1 . . ;
1. , .
1
2
2
. .
—a-o-sin2ar = —b-l -sinar + —а- / -sin ar;
2
a-b-sm2a = /-sinar(a +6);
. ._
_ ,
a-o-sin2ar _ 2a-a-sinar-cosar _
(a +6)sinar
(a+ 6)sinar
2a6cos^—
2
a +6
— ■ ZC
lab cos-О т в е т :----- .
a+b
Метод уравнивания в геометрических задачах
При решении геометрических задач часто используется так называемый
метод уравнивания. Он заключается в следующем: одна из величин, не являю­
щаяся искомой, выражается двумя способами через данные в условии вели­
чины. Такую величину называют опорной. По крайней мере, одно из этих двух
выражений должно содержать величину, которую требуется найти. Тогда, при­
равнивая два выражения, получаем уравнение относительно искомой вели­
чины. Сама же опорная величина при составлении уравнения исключается.
23. Задание: В остроугольном треугольнике/ДОСсо сторонами BC-a\AC=b;
АВ=с проведена высотаАН. Найдите, в каком отношенииточка Н делитсторонуВС.
48S
Решение:
Выразим дважды АН.
ЬЛВН : АН 1 = с2- В Н 2',
М С Н : А Н 2 =Ь2-С Н 2 =Ъг - (а - В Н )2.
Приравняв два данных выражения, получим
д уравнение:
с - ВН = b - (а - ВН ) ;
с2- ВН 2 = Ь2- а 2+2а-ВН- ВН 2
1 г2 , 2
а —и + с
в„ = а2-Ь2+с \
СН = а2а
2а
СН а2+Ь2- с2
ВН ~ а2-Ь2+с2
2, I2
а + о —с
2
2а
а +Ь -с
а2-Ь2+с2
24.
Задание: В треугольнике ABC угол А вдвое больше угла В, АВ =
АС=Ь. Найдите третью строну ВС.
^
Решение:
ОбозначимВС=х, Z B =a, Z A =2а.
х
Ь
По теореме синусов:
sin 2a sina
О твет:
2sina-cosa
х _b
2cosa 1’
sinar
2b
По теореме косинусов: b2= х2+с2- 2х ■с •cosa;
х2+с2-Ь2
2
x -с
x x2+c2-b2
Значит, — =
2b
2x-c
2x2•с = 2b-x2+2b-c2-2b1',
x2(c-b ) = b(c2-b2);
2 v b(c - b){c +b)
X
c^b
x = yjb(c +b).
486
’
О тве т: Jb (c +b ).
Метод вспомогательного элемента в геометрических задачах
Большая группа задач по геометрии решается методом введения вспомо­
гательного элемента, для которого по условию задачи необходимо составить и
решить уравнение. В качестве вспомогательного элемента можно брать ли­
нейный размер или угол. Тогда с помощью пропорций или вспомогательных
геометрических построений составляется уравнение, в котором введенный
элемент как член уравнения сокращается, а найти искомый не представляет
большого труда.
25.
Задание: Во сколько раз площадь равностороннего треугольника боль­
ше площади треугольника, отсекаемого от него прямой, проходящей через
середину его стороны и составляющей угол 60° с этой стороной?
Решение:
Вспомогательный отрезок рекомендуется вводить,
В
если в условии задачи не даны линейные элементы и тре­
буется найти зависимость между площадями.
Пусть А В = ВС =АС = а, тогда E F = FC = ЕС =
- А В ВС sin 60°
а-а
= 4.
а а
- E F Е С sin 60°
2 2
2
О т в е т : в 4 раза.
26.Задание: Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отсто­
ящая от его сторон на расстоянии Ь, с, d. Найдите высоту треугольника.
Решение:
Вспомогательный элемент: сторона
равностороннего треугольника -х.
&АВС.
= - А С ■BD
2
2
= —М К ■А В + —M L •ВС + —M N ■АС =
2
2
2
= —x(b + c + d);
2
—xh = —x(b +с + d);
2
2
h —b + с + d.
Ответ: b + c + d .
487
27.
Задание: Найдите отношение радиуса ок­
ружности, вписанной в равнобедренный прямоу­
гольный треугольник, к высоте, проведенной к ги­
потенузе.
Решение:
/
о
ч.
ного треугольника - х.
ТогдаАС=СВ =х, AB = yflx,CD =
у /*
;У
□^1--- -Ьк
D
yflx
а+ Ь-с
OD =
АС+ СВ-АВ
х +х - Л х
х(2-л /2)
2
2
OD х(2 - л/2) л/2х
CD
2
2
Ответ: V2-1.
W 2(V 2-1)
2 _
2
t
/ 2л
л
Геометрические задачи, распадающиеся на несколько случаев
28.
Задание: Найдите углы равнобедренного треугольника, если известн
что найдется прямая, проходящая через вершину угла при основании, разби­
вающая исходный треугольник на два равнобедренных.
Решение:
1 случай.
2а +2а +3а = 180°;
7
а = 180°;
ос —25 — .
7
Ответ: 25- , 77- ,77- .
7
7
2 случай.
а +2а +2а = 180°;
5а = 180°;
а = 36'.
Ответ: 36°, 72°, 72°.
7
§2. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Основны е сведения
Параллелограмм
а и Ь- смежные стороны;
а - угол между смежными сторонами;
di nd2- диагонали;
<р - угол между диагоналями;
Иа - высота, проведенная к стороне а.
1
S = a ha =a-b-s\na = —dt d2-sin^o
d 2 +d2 =2(a2+b2)
Обе диагонали делят параллелограмм на четыре равновеликих (равных по
площади) треугольника.
Ромб
4 ±А
d 2+d2 =4a2
5 = a2-sina = —d. -d2 = а-И
2
г = — (радиус вписанной окружности)
Прямоугольник
4 =4
s = а -b = —d 2sin
_____ 2
d = л/ a 2 +b2 - диагональ прямоугольника
R = — (радиус описанной окружности)
Квадрат
d. I d , ,
4 = 4,
r
S = а2 = —d2
2
= J L ~ — (радиус описанной окружности)
S
2
Г = — (радиус вписанной окружности)
2
489
Трапеция
аи Ь- основания;
И- высота;
/ - средняя линия;
dt и - диагонали;
(р - угол между диагоналями.
/=
а+Ь
2~
_ а+Ь , , , 1 . ,
S = ----п = / •А = —a. -a, -sme?
2
2
Равнобокая(равнобедренная, равнобочная) трапеция
В
2
С
AB = CD
ZA = Z D
AC=BD
ВК-СЕ
АК=ED,BC=КЕ
ААВК = ADCE —прямоугольные
Следует иметь в виду, что:
1. Если четырехугольник описан около окружности, то суммы его проти­
воположных сторон равны между собой.
2. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противопо­
ложных углов равна 180°.
Метод поэтапного решения задач с использованием различных теорем
В
________
С
1.
Теорема. В параллелограмме сум
квадратов диагоналей равна сумме квадра­
тов всех его сторон.
АС2+BD2=2а7+2Ь2
1.
Задание: Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмм
его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 и 15. Разность длин
сторон параллелограмма равна 7. Найдитедлиныдиагоналейпараллелограмма.
Решение:
АК = 6, КС= 15, АВ= х, ВС = 7 +х\
490
Применим метод уравнивания:
ААВК: ВК1 = АВ2- АК1 = х2- 36;
АВКС: ВК2 = ВС2- СК2 = (7 +х)2- 225;
х2 - 36 = 49 + И х + х2 - 225;
14х= 140;
х = 10;
ЛВ =
10, ВС= 17;
а с = а к +к с =2\;
Д С2 + BD2 = 2(ЛЯ2 + В С 2);
2 12 + BD2 = 2(100 + 289);
BD2 = 33 7, | В I л/ЗЗТ.
Ответ:AC=2\, BD = V337 .
Из всех четырехугольников особенно разнообразные задачи связаны с
трапециями.
2. Соотношения в трапеции:
*)
В
С
MN - средняя линия
HD = MN
S1B,.„ = B H H D
ABCD - равнобедренная трапеция
ACLBD
Значит, BH-HD
Вписать в окружность можно толь­
ко равнобокую трапецию.
В-ЛВГП“ Л* .ОГЛ
491
(
АВ +CD = ВС+AD
Z AOB = 90° - прямой
OE2 = AE -BE
Если в трапецию можно вписать ок­
ружность, то высота данной трапеции
равна диаметру вписанной окружности.
2. Задание: Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высо­
та равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Решение:
Так как трапеция равнобокая и диагонали взаимно перпендикулярны, то
средняя линия трапеции равна ее высоте. Значит, 5 = А2 = 100.
Ответ: 100.
3. Задание: В равнобедренной трапеции длины оснований 21 и 9, а длина
высоты 8. Найдите радиус описанной около трапеции окружности.
---- Решение: |
^
ABHD: HD = —~ td£ . = is ;
BD = л!вН2+HD2 = -у/64+225 = 17;
ААВН: АН = А° -В- = — - = 6;
2
2
АВ = л! а Н 2+ВН2 = >/36 +64 = 10.
Вычислим радиус описанной окружно­
сти около AABD:
R _ a b c _ 10 17 21
45
4--8-21
2
5-17
85
8
8
Значит, радиус описанной около трапеции окружности равен _ .
8
Ответ:
О
4.
Задание: Около трапеции со средней линией 6 описана окружност
Угол между радиусами окружности, проведенными к концам боковой сторо­
ны, равен 120°. Найдите площадь трапеции.
Решение:
ZADB = —ZAOB = 60° (вписанный угол);
492
ABHD:HD=6;
ВН = HD ■
tg60° = 6л/3;
SABcn = HD ■
BH = 6 •бл/з = збл/з.
Ответ: 36>/3.
5.
Задание: Около круга с радиусом 2 описана равнобокая трапеция
площадью 20. Найдите боковые стороны трапеции.
Решение:
а +Ь
•4 = 20;
а +Ь- 10.
Значит, сумма боковых сторон трапеции также равна 10.
Ответ: боковая сторона равна 5.
6.
Задание: Около окружности описана равнобокая трапеция, длины о
нований которойравны 3 и 6. Найдите радиус окружности.
С
В
Решение:
BC+AD = AB +CD:
АВ - CD = -;
2
ДАВН: АН
АР-ВС
6-3
2
2
вн = -Ja b 2- a h 2 = J —
ВН
2
Г ~
Зл/2
~
2
Ответ:
~~
3V2
14
- - = Vie = 3 V 2 ;
4
2
7. Задание: ABCD - трапеция, описанная около окружности. ЛВ = СД
Леса = 16 , 5Z)= 5. Найдите площадь трапеции.
В
Решение:
AB +CD = BC +AD = -Pabcd.
Значит,Л В = C D = 4 ,
££> =
BC +AD. = 4.
ABED: BE = yjBD2-ED2 =>/25-16 =3.
5-ря, = В £ £ / ) = 3-4 = 12.
Ответ: 12.
493
8.
Задание: В равнобокую трапецию вписана окружность. Точка касан
делит боковую сторону в отношении 9:16, высота трапеции равна 24. Найдите
длину среднейлинии трапеции.
Решение:
г = - = 12.
2
__
BE 9
ААВО - прямоугольный, —z = — .
АЕ 16
г2 = ЛЕВЕ;
122 = 16х-9;г,
х= 1;
ВЕ=9;АЕ=\6.
ВС+AD =АВ +CD;
BC+AD=50.
Средняя линия трапеции равна 25.
Отлет: 25.
9.
Задание: Около окружности описана равнобокая трапеция, у которо
боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9. Найдите площадь
трапеции.
Решение:
АЛОВ: г2 = АЕ- BE;
В 4
r = 6;h= 12.
ВС= 4 +4 = 8;
AD= 9 +9=18;
с
ВС +AD и 8 +18 ^
= -------h = — --- 12 = 156.
Ответ: 156.
Метод подобия в геометрических задачах
10.
Задание: Дана трапеция ABCD с основаниями ВС = 12 wAD=21. Най
дите диагональ АС, если Z ABC= Z ACD.
В
494
12
Решение:
Пусть АС=х.
ААВС ~ ЛDCА (по двум углам);
АС _ ВС х__]2
AD~ АС’ 27 ~ х '
х2 =4-3-27;
х= 18.
Ответ: 18.
11.
Задание: На продолжении стороны АВ (за точку В) параллелограмма
ABCD взята точка F. Определите длину отрезка BF, если длина АВ равна 10,
АЕ :С Е= 4,5 : 3 (£- точка пересечения прямой DF с диагональю АС).
F
Решение:
AAFE ~ACDE (по двум углам);
AF _ АЕ 10+jc 4,5
CD~ СЕ’ 10 * 3 ’
30 +3х=45;
Здг= 15;
х = 5;
BF= 5.
Ответ: 5.
Метод решения задач путем дополнительных построений
Основным методом решения задач, в которых фигурируют многоуголь­
ники (чаще всего - четырехугольники), является разбиение многоугольника
на треугольники для того, чтобы можно было использовать обычную технику
решения треугольников.
Отметим несколько стандартных приемов разбиения четырехугольника на
треугольники.
1. В трапеции бывает полезно провести через одну из ее вершин прямую,
параллельную противоположной боковой стороне.
2. Если в условии задачи говорится о диагоналях трапеции, то стандартным
будет дополнительное построение, состоящее в проведении через одну из ее
вершин прямой, параллельной диагонали.
3. В трапеции бывает полезно опустить из вершин верхнего основания
перпендикуляры на нижнее основание.
4. В трапеции можно продолжить боковые стороны до пересечения и рас­
смотреть полученный треугольник.
5. Если в условии задачи фигурирует середина одной или нескольких
сторон четырехугольника, то стоит добавить середины каких-нибудь других
сторон или диагоналей и рассмотреть средние линии соответствующих
треугольников.
Покажем, как работают эти приемы, на конкретных задачах.
12.
Задание: Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины
непараллельных сторон - 20 и 13. Найдите высоту трапеции.
Решение:
Построим СЕ ||АВ.
495
АВСЕ - параллелограмм.
СЕ= 13.
ACED: ED=Ab-AE=25 -4 =21.
По формуле Герона:
^■£о = у /р(р- аХ р- Ь )(р- с) =
= V27-6-14-7 =>/72-22-34 =
= 7-2-9 = 126.
25
1
С другой стороны, 5 ^0 , = —СН ED = -h- 21.
Используя метод площадей, получим:
—А-21 = 126;
2
— =
2
6;
Ответ: 12.
А= 12.
13.
Задание: В трапеции основания 5 и 15, а диагонали 12 и 16. Найди
площадь трапеции.
Решение:
Построим СЕ ||BD.
BCED - параллелограмм.
СЕ= 12/
По формуле Герона;
S ^rf = yjpip- ^K p- bK p- c) =
= 724-4-8-12 = л/82 -42 -32 =
= 8-4-3 = 96.
Г£ = -Л £ •СН = -(AD +DE)CH = AD +BCCH;
BC +AD
СН.
Ответ: 96.
Значит, Уи™ = 96.
14.
Задание: Определите боковые стороны равнобедренной трапеции, ес
ее основания и площадь равны соответственно 8,14 и 44.
Решение:
Построим ВК X AD, CF JLAD.
Постольку проекции боковых сторон равнобедренной трапеции равны, то
3.
496
А
К
F
^
14
ВК= 4.
ААВК: АК = 3, ЯК = 4, тогда гипотенуза
АВ = 5 (египетскийтреугольник).
Ответ: 5.
15.
Задание: В трапеции углы при одном из оснований имеют величины
20° и 70°, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 2. Найди­
те длины оснований трапеции, если длина среднейлинии равна 4.
£
Решение:
Точка £ - пересечение боковых сто­
рон трапеции АВ и CD.
AAED—прямоугольный, т.к.
Z £ = 1 8 0 °- (Z X +Z D ) = 90°.
EL=AL=LD=y.
АВЕС - прямоугольный,
ЕО=ВО-СО=х.
Составим систему уравнений:
х +у = 4,
х- у - - 2;
\EO+OL-EL\
х=\,у=3.
ВС=2х=2\
AD —2y=6.
Ответ: 2 и 6.
16. Задание: Даны основания трапеции аиЬ(а>Ь). Найдите длину отрез­
ка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Решение:
В
Ь
С
Продолжим отрезок PQ до пересечения бо­
ковых сторон в точках А/и N.
ААВС: МР - средняя линия в треугольнике;
МР =
2
ABCD: QN- средняя линия в треугольнике;
Ъ
MV - средняя линия в трапеции АВСЩ
Тогда PQ = MN-MP-QN =
Ответ:
а-.Ь
а +Ь Ъ Ь
2
~
2~ 2
а-Ь
~
2
Алгебраические методы решения геометрических задач
17. Задание: Боковая сторона трапеции разделена на три равные части и из
точек деления проведены к другой стороне отрезки, параллельные основа­
ниям. Найдите длины этих отрезков, если основания трапеции равны 2 и 5.
С
В
Решение:
Обозначим LM = х, KN=y.
Трапеция KBCN:
. . . BC +KN
LM = -- -— й- средняя линия.
Трапеция ALMD:
___ LM +AD
_
KN = -------- средняя линия.
Составим систему уравнений:
2 +у
2
х +5
2
= х,
= У,
2х - у = 2,
x-2y = -5\i-2)-,
2х- у -2,
-2х +4у = 10;
3у= 12;
у = 4,х = 3.
Ответ: 3 и 4.
18. Задание: Найдите стороны прямоугольника ABCD, если отрезок AM,
проведенный из вершины А ксторонеВС, образует Z BAM= 45°, а МС-MB=3.
Периметр прямоугольника равен 24.
Решение:
Обозначим АВ=х, AD —у.
По условию задачи составим систему урав­
нений:
\И.х+у) = 24,
\х+у = 12,
[Cv-x)-x = 3; ~ 2jc+ = 3;
Зх = 9;
х = 3,у=9.
Ответ:3 и 9.
498
19.
Задание: В трапеции ABCD AD и ВС - основания, отношение AD: ВС
составляет 4:3. Площадь трапеции равна 70. Найдите площадь треугольника ЛВС.
В
Зх
Решение:
Пусть ВС= Зх, AD = 4х, ВН=И.
ВС +AD
Зх +4х
1хН
------- ВН = ------ п = --- \
ABCD
2
2
2
С
1хИ
= 70, xh = 20.
2
Тогда:
S ^Rr = —ВН • В С = —А •Зх = -xh = —•20 = 30.
2
2
2
2
Ответ: 30.
20.
Задание: Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр
74 дм, а площадь 3 V ?
Решение:
Обозначим стороны прямоугольника через хи у.
По условию задачи составим систему уравнений:
(Р = 2(х +у),
S = ху,
12(х +у) = 74,
х +у = 37,
х2+2ху +у2 =1369,
\ху = 300;
ху = 300;
-4ху = -1200;
(х-у)2 = 169.
х-у = 13,
1) х+у = 37;
х = 25,
У = 12;
х - у = -13,
2) х +у = 37;
х = 12,
у = 25.
Ответ: \2дмн25дм.
2 1.
Задание: Найдите площадь ромба, если его высота 12, а меньшая диа­
гональ 13.
Решение:
В
С
Обозначим сторону ромба АВ = х.
ABHD . HD = JbD2-BH2 = Vl 69 —144 = 5
(по т. Пифагора).
ААНВ : АН2+ВН2 = АВ2;
(jc-5)j +122 =х2;
jc2-10 x
+ 25 + 144 = х2;
10х= 169;
х = 16,9;
Ответ: 202,8.
499
Метод площадей в геометрических задачах
22.
Задание: Большая сторона параллелограмма равна S, а высоты 2 и 2,5.
Найдите вторую сторону параллелограмма.
Решение:
С
В
Пусть сторона параллелограмма:
CD=x.
ABCD = B H A D = 2-5 = 10;
= BE ■
CD = 2,5х;
2,5х= 10;
х=4.
Ответ: А.
23.
Задание: В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность с радиусом 2. Найдите сторону
ромба.
Пусть CD=х- искомая сторона ромба,
l l w
'
i V3
!,/3
SbDBc = 2Sbim- = 2 — O F ■CD = 2x;
x2S
= 2x;
8>/3
О твет:
8>/3
24. Задание: Высота и диагонали ромба относятся как 12:15:20, а его пери­
метр равен 100. Найдите площадь ромба.
Решение:
В
АВ = P ABCD : 4 = 25.
Обозначим коэффициент пропорционально­
сти через х.
АС=20х;
BD= 15х;
ВН= 12х;
= ^ - Г 2-- 2° * 1 15Х = 150Х2;
500
SABCD= BH-AD = \2х 25;
150x2 = 12x-25;
6x=12;
x =2 , BH-24;
SAm'D = BH AD = 24-25 = — ----= 600.
4
Ответ: 600.
Метод уравнивания в геометрических задачах
25. Задание: Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каж­
дыйего угол на 18° больше каждого угла четырехугольника с равными углами.
Решение:
Обозначим число сторон выпуклого многоугольника за п. Сумма внут­
ренних углов «-угольника равна:
180°(я - 2) = (90° +18°)я;
72° • п = 360°;
п = 5 - число сторон выпуклого многоугольника.
Ответ: 5.
26. Задание: Периметр ромба равен 52. Диагональ ромба отсекает от него
треугольник с периметром 36. Найдите высоту ромба.
Решение:
Л - Р
В
авсо
■4 = 5 2 : 4 = 13;
BD = Рыво ~2АВ = 10.
Обозначим АН =x;HD= 13-х.
13/
3do
ААВН: ВН2 = АВ2-А Н 2 = 132 - х 2;
/
ADBH: ВН2= BD2- tf£>2 = 102-(13-х)2;
с
113-Д /
132- х 2 = 102- (1 3 - х )2;
169-х2 = 100-169 + 2 6 х - х 2;
26х=238;
238
119
26
13 ’
АН =
119
13
ВН = ylAB2-АН2 # 132
В
(169-119)(169 + 119) _
N9
13
>/50-288
V25-2-2144
5-212
13
13
13
132
120
13 ‘
120
Ответ: — .
-
______
13
501
Метод вспомогательного элемента в геометрических задачах
27.
Задание: Средняя линия трапеции с основаниями 4 и 6 разбивает тра
пецию на две фигуры. Найдите отношение площадей этих фигур.
Решение:
В
А
С
Средняя линия:
Н Н .К * М .У
Вспомогательный элемент - отре­
зок ВО = Н О = А.
9^
AD +MN
AD +MN
11
Ответ: — .
11
28. Задание: Через точки Ли Е, принадлежащие сторонам АВ и AD паралле2
1
лограммаABCD и такие, что AR = —АВ, АЕ = - AD , проведена прямая. Найдите
отношение площади параллелограмма к площади полученного треугольника.
В
с
Решение:
Вспомогательные элементы:
АВ = a, AD = b, Z. А = а .
absina
12
1 ,.
--- a - b s m a
2 3 3
Ответ: 9:1.
29.
Задание: В равнобедреннойтрапеции, описаннойоколо круга, острыйуг
при основании равен а. Найдите отношение площади круга к площади трапеции.
А/
С
Решение:
Введем вспомогательный элемент:
АВ = CD - а.
Высота трапеции:
СН —CD-sinZD = a-sina.
Поскольку высота трапеции равна диамет­
ру круга, то:
502
S„ = л-г1 = —я а2 sin2а .
*
4
Согласно свойству сторон описанного четырехугольника:
BC+AD=AB+DC=: 2а.
_
ВС + AD
2а
= -— ---- С Н = y o - s i n a = a
2
sina.
-я-a, -sui'ar
Искомое отношение:
_ 4_
a
sina
1
= —/г-sina.
4
Ответ: 0,25л-sina.
Геометрические задачи, распадающиеся на несколько случаев
30.
Задание: В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан пря
моугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие на катетах. Чему равны стороны прямоугольника, если известно, что они
относятся как 5:2, а гипотенуза треугольника равна 45?
В
Решение:
1 случай.
Задача решается составлением уравнения:
2х +5х +2х=45;
х =5.
Ответ: 10; 25.
2 случай.
Задача решается составлением уравнения:
5х+5х+2х=45;
,5 = 3,75.
х =^ —
4
Ответ: 7,5; 18,75.
31.
Задание: Биссектриса одного угла параллелограмма делитего сторон
на 14 и 28. Найдите периметр параллелограмма.
Решение:
1 случай.
Р = (14 +42)-2= 112.
503
2 случай.
Р = (28 +42)-2= 140.
В сборнике тестов по математике за 2004 г.
В2 №23 дан только ответ 140.
Ответ: 112 или 140.
При решении более сложных геометрических задач одновременно исполь­
зуются несколько методов. Рассмотрим следующий пример.
32. Задание: Длины оснований трапеции а и Ь. Найдите длину отрезка
прямой, параллельной основаниям трапеции и делящей ее на две равновели­
кие фигуры.
Решение:
По условию: 5 ^ = 5 ^ 0.
Введем вспомогательный элемент:
MN=x.
m . C E = * ^ .N F :
а+х
Ь +х
D
NF
СЕ'
Построим СК ||MB, NL ||AM, тогда:
ACKN ~ ANLD (по двум углам).
Метод подобия:
KN CE
LD ~ NF'
Ь—х
СЕ
NF'
NF
СЕ
Метод уравнивания:
а+х
Ь+х
Ь-х
х- а
х2- а2 = Ь2-х2;
2х2 = а2+Ь2;
а2+Ь2
504
Ответ:
а+ Ь 2
Ь-х
§3. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ
Основные сведения
L
В
ОС, ОВ - радиусы окружности;
АВ, АС - касательные;
ОВ±АВ,ОС±АС;
AB=AC,ZBAO=ZCAO;
отрезок KL - хорда;
прямая KL - секущая.
Диаметр окружности, перпендикулярный
хорде, проходит через ее середину.
Обратно: если диаметр проходит через се­
редину хорды, то он ейперпендикулярен.
а- центральныйугол;
Р~ вписанныйугол.
Вписанныйугол равен половине централь­
ного, опирающегося на ту же дугу:
Все вписанные углы, опирающиеся на одну
и ту же дугу, равны.
Все вписанные углы, опирающиеся на диа­
метр, прямые.
505
Длина дуги: / = а -г (угол ав радианах);
/ = — - •а (угол ав градусах).
180
Длина окружности: С = 2л-г.
Площадь круга: S = л -r2.
I
Метод поэтапного решения задач с использованием различных теорем
Рассмотрим несколько теорем, достаточно часто применяющихся при
решении различных задач.
1. Пропорциональные линии в круге.
АЕ • DE = СЕ- BE
АВ? = AC- AD
АВ • АС = АВХ■АС,
1.
Задание: Из точки А, удаленной от окружности на 8, проведена кас
тельная к окружности. Найдите расстояние от точки касания до прямой, про­
ходящей через точку А и центр окружности, если радиус равен S.
Решение:
506
1) ab 2= a c a d ,
А
AB2* 818;
АВ-12.
2) Из AОВА : OB2= АО ОН ;
25 = 13-0#;
он Ж
If
= ^Ш -ОН1= ^ 5 - Щ У = 5^
к а - , .
3)
VI
13Л
g
J
13
V13 13
13
13
Ответ: 4— .
13
2. Задание: В окружности проведана хорда, перпендикулярная радиусу и про­
ходящая через его середину. Найдите этухорду, если диаметр окружности равен 8.
Решение:
AOCD - равнобедренный.
Обозначим СЕ = ED~x.
АЕ ■
ЕВ = СЕ- ED \
I
6-2 = х х ;
х = В 12*У з;
CD = 4л/3.
Ответ: 4т/з.
3. Задание: Хорды МКи РТпересекаются в точке А. Найдите длину хорды
МК, ост АР=2;АТ= 24; AM: КА = 3:4.
Решение:
I
По условию: АМ:КА= 3 :4;
АТ-АР = АМ-АК;
24-2 = Зх-4х;
х2 = 4;
х=*2;
AM=6;AK=S;MK= 14.
Ответ: 14.
507
4.
Задание: Из точки А, не лежащей на окружности, проведены к нейка­
сательная и секущая. Расстояние от точки А до точки касания равно 16, а
до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите
радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на S.
Решение:
в
16
л
1)AB2 = A C A D ;
162 = АС-32;
32
2 > г с .м -А С . 2 = ! . п .
2
Ответ: 13.
2
3)AOFC:
ОС - у]OF2+FC2 = л/25 +144 =13;
R= 13.
5.
Задание: Через точку М, удаленную от центра окружности на расстоя­
ние Ь, проведена секущая МА так, что она делится окружностью пополам:
MB = ВА. Определите длину секущей МА, если радиус окружности равен г.
Решение:
MB ■МА = MD ■
МС ;
х-2х = (Ь-г)ф +г)-,
2х2 = Ь2- г 2;
Ответ: -у/2(62-г2) .
2.
Рассмотрим формулы для радиусов описанной и вписанной окруж­
ностей треугольника.
S
г = ~\
Р
S- площадь треугольника;
а +Ь +с
508
6.
Задание: В равнобедренном треугольнике высота равна 20, а основание
относится к боковой стороне как 4:3. Найдите радиус вписанной окружности.
Решение:
Рассмотрим ABDC:
ВС2 = BD2+CD2(т. Пифагора);
9х2 = 202+4х2;
5х2 = 400;
х2= 80;
в
х = 4->/5;
ВС = ВА = 12л/5, Ж7 = 16л/5;
20 16-У5
40>/5
Ответ: 8.
7. Задание: Из однойточки окружности проведены две хорды длиной 10 и
12. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшейхорды
до большейхорды равно 4.
Решение:
Построим MN- среднюю линию ААВС;
АН-3 (египетскийтреугольник);
АН = -AN, значит AAMN- равнобедренный;
MN=5;BC= 10;
„ а-Ь с
10 10 12
10 10 3 25
R = ----= - у ......... ====== ----- = — .
45
4V16-6-6-4
4 6-2
4
Ответ: — .
4
509
8.
Задание: К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник
основанием 12 и высотой 8, проведена касательная, параллельная основанию.
Найдите длину отрезка данной касательной, заключенного между сторонами
треугольника.
Решение:
\)S^BC = ~BL- АС = —-8-12 = 48.
2) По т. Пифагора:
Df
А
п\ Е
ВС = VBL2+LC2 = V64 +36 = 10;
« г= —
S=—
48 = 3.
ч
3)
р
16
°
OK=OL=3;KL=6 ;
4) АВКЕ—ABLC (по двум углам);
— = — ;- =
BL LC 8
6
2
DE= 3.
Ответ: 3.
Метод подобия в геометрических задачах
9.
Задание: Радиус сектора равен Л, а хорда его дуги равна о. Найдите
радиус круга, вписанного в этот сектор.
Решение:
1) ААВО - равнобедренный, т.к.
А О =ВО =R.
Значит, AN = BN = -.
2
2)AOMQ1~AONA (по двум углам);
ОхМ
ОО,
ЛЛГ “ Ж? ’
R x = -(R-x);
aR ах
R-x = ----- ;
2
. _
j c
2
а-/?
Л + —
= —
;
2R +а
aR
о,л/ =
510
2R +а
Ответ:
aR
2R +a
10.
Задание: Окружность проходит через вершины В, Си/)трапеции ABCD
и касается стороны АВ в точке В. Найдите длину диагонали BD, если длины
оснований трапеции а и Ь.
Решение:
\)ZABD = —u BED
2
I
ZBCD = —u BED
ZABD = Z BCD;
'
2
Z ADB = Z СВД т.к. ВС ||ЛД BD - секущая.
2) Значит, AABD ~ ADCB (по двум углам);
D
AD
BD
b
BD
T 5 ~ BC' BD~ a '
BD = yfab •
Ответ: -Jab.
11.
Задание: Две окружности радиусами 3 и 5 касаются друг друга внеш­
ним образом. Проведены две общие внешние касательные. Найдите расстояние
от точки пересечения данных касательных до центра большей окружности.
Решение:
Обозначим АР=х.
ААОуВ ~ АА02С (по двум углам);
О,В
о2с
(3 О, 3 ]
-- -
П
—
А
Кк
5
\
р2
I
5
I
J
3—
_ * + 39
-.
5 jc+11
3х +33 = 5х+ 15;
н
ОО
А
АО,
АОL
х=9; АР-9’,
АОг=АР +РК+ К02= 9 +6 +5 = 20.
Ответ: 20.
Метод решения задач путем дополнительных построений
Основными этапами, причем достаточно стандартными, являются: выде­
ление треугольников с вершинами в центрах рассматриваемых окружностей,
выражение длин отрезков через известные и неизвестные величины, составле­
ние уравнения. Для составления уравнения, как правило, используют теорему
Пифагора.
12.
Задание: Окружности радиусом В и г касаются друг друга внешним
образом. Найдите длину общей внешней касательной.
511
Решение:
1)Построим ОгА ||КХК2.
К{К,ОгА - прямоугольник.
АКХ= 02К2= г;
0,0,1= АО.2+А О '2
2) ДА0х02 :
(т. Пифагора);
(R +r)2 = (R-r)2+x2;
R2+2R ■
г +г2 = R2- 2R •г+г2+х2;
х
2 = 4 R r ;
КХК2 = 2V F7.
Ответ: 2-jR-r.
13. Задание: Даны две окружности радиусами 12 и 7 с центрами в точках
О, и 02, касающиеся некоторой прямой в точках А/, и М2и лежащие по одну
сторону от данной прямой. Отношение длины отрезка МХМ2к длине отрезка
2yfs
ОхОгравно---. Найдите длину отрезка М]М2.
Решение:
1) Построим 02Е ||МХМ2.
ОгЕМуМ , - прямоугольник.
02Е = М,М2, ЕМ, = 02М2 = 7;
ОхЕ = ОхМх-ЕМ, = 5.
2) Обозначим: О, (Э2= х>
02Е=у.
Используя т. Пифагора и условие задачи составим и решим систему урав­
нений:
0,0,2 = 02£ 2+0,£2,
У = / +52,
х2 = / + 5 2
Л/,М2 _ 2л/5.
Z-2V5.
.х
5 ’•
X —Vsy.2
ОА
”
5 .
4
/ = 100;
у= \0;02Е= 10;
х = 5>/5; 0Х02 = 5л/5;
Ответ: 10.
512
2
14. Задание: Две окружности, радиусы которых 4 и 8, пересекаются под
прямым углом. Определите длину их общей касательной.
Решение:
1) Щ 0 2А : О р2= -Jo,А2+02А2 1 -J\6+(A = 4>/5 .
2) Построим OtE ||КХ
К2.
KlK2EOl - прямоугольник.
КгЕ = *,0, = 4;
KtK2= Е01= х.
Ъ)ЩОгЕ :
02Е = ОгК2- КгЕ = 8-4 = 4;
0{Е = Ш
| |
КхК2= Е О ^ 8.
= л/80-16 = 8;
Ответ: 8.
15. Задание: Две окружности радиусом 9 и 4 внешне касаются друг друга
и прямой. Найдите радиус окружности, вписанной в образовавшийся криво­
линейныйтреугольник.
Решение:
\)03- центр окружности, вписанной в криволинейный треугольник, с
К,К2= О,А = J o tf- O jA 1 = Vl32-52 = Vl44 = 12.
3) Построим через точку 03прямую MN ||КХКГ
т = к хкг=\2 .
513
4) Соединим центры 0 jc 0 3n 0 2c 0 3.
АО, МО): МО? = 0,0? -0,М 2;
МО? = (4 +г)2 - (4 - г)2;
А/О, - 4л/г.
Д02МЭ3: NO? = 020 ? - 0 2N2;
NO? =(9 +г)2- (9 -г)2;
iVO, = 6л/г.
5)MN = MOi +NO,;
4л/г+6л/г = 12;
|
К - 6.
5’
Г36 •
г
-—
25
л
»
36 .
Ответ:
—
25
Алгебраические методы решения геометрических задач
16. Задание: Из точки окружности проведены диаметр и хорда. Длина хор­
ды равна 30, а ее проекция на диаметр меньше радиуса окружности на 7.
Найдите радиус окружности.
Решение:
По теореме о пропорциональных отрезках в
прямоугольном треугольнике:
АВ2 =АЕ-АС;
302 =(Л-7)-2Л;
2R2-\4R- 900 = 0;
R2-1R - 450 = 0;
Л = 25. ;
Ответ: 25.
17. Задание: Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит
каждую из двух других его сторон на отрезки, равные 2 и 23. Найдите радиус
окружности.
Решение:
Обозначим ОЕ=х; KL = BE = 2.
АВ=СВ= 25.
Рассмотрим ДОКЕ - прямоугольный.
514
OE=x,OK=OL-KL=x-2;
KE = LB = AB-AL = 25-x;
Пот. Пифагора:
OE2 = OK2+KE2;
х2 = (х-2)2+(25-х)2;
х2 —х2—4х +4 +625 - 50х + х2;
х:2-54х +629 = 0;
х, = 17;
х2- 37 (не подходит по условию задачи,
Ответ: 17.
18.
Задание: Три окружности попарно касаются друг друга. Отрезки, со
единяющие их центры, образуют прямоугольныйтреугольник. Найдите ради­
ус меньшейокружности, если радиусы двух других равны 6 и4.
Решение:
Обозначим 0,В=х.
Тогда:
OfOj = ОхВ + ВОг —х + 6;
0,0j = 0,А +АО} = х +4;
0203= ОгС +С03= 4 +6 = 10.
Из A0,020j пот. Пифагора
составим ирешим уравнение:
0г0 2= Ор? + О р2;
102 = (х +4)2+(х+6)2;
х2 +10х-24 = 0;
х=2;ОхВ=2.
Ответ: 2.
Метод площадейв геометрических задачах
19.
Задание: В равнобедренныйтреугольник с основанием а вписана ок
ружность радиусом г. Определите периметр треугольника.
Решение:
Обозначим Z ВАС= а.
/ЗАО = Z.OAC = —;
2
OD
AOAD: tg— = -- ■2 AD 1
. n jn
a
2г
SIS
tga -
2tg a
2
H
_
i1
^
■
)—2r
2
a
H л2
a
4a-r
a2-4r2
ABAD: BD = AD ■
tga
° =—
~ • a*-4r*
.2, ° >Г
t_2,
2
2a2-r
^ ■ = ^ с - и > л а ~|
2
2 a - 4r
с
- 1
&ABC ~ 2
2a2 j
a2- Ar2
а*-г
a - 4r
•
P ' r’
a -r
1
~
a2 - 4, 2
r =~
2 Р ’Г'’
2a3 -r = p r (a2 - 4 r2);
P=
2a3
Ответ:
a2 -4r
2a3
a - 4r
Метод уравнивания в геометрических задачах
20.
Задание: Найдите косинус угла при основании равнобедренног
треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной
в треугольник окружности.
Решение:
в
\e
м /
По условию задачи точка пересече­
ния высот лежит внутри треугольника,
поэтому Z В < 90°.
Обозначим: Z BAD = a; OD = г.
°
1
Тогда ZOAD = - , Z ЕАС=90° - а.
2
Рассмотрим ДADO:
AD = OD •ctgZOAD = r •ctg— .
Рассмотрим AADH :
AD = DH •ctgZHAD = 2г ■
ctg(90° - а ).
Имеем: г •ctg— = 2г •ctg(90° - а ) ;
ctg— = 2tga ;
2
tg—
а
2 .
ctg— = 2--- — ,
516
2
.- « ■ §
Ответ:
3
Метод вспомогательного элемента в геометрических задачах
21. Задание: В окружности проведены две хорды АВ = а иАС=Ъ. Длина
дугиАС вдвое больше длиныдугиАВ. Найдитерадиус окружности.
Решение:
л
Проведем ВС.
Вспомогательныйэлемент: Z АСВ ~х.
Тогда Z ЛВС=2х.
a
1) По теореме синусов:
sinx
I a ______ Ъ
sinx 2sinxcosx’
Ь
sin2x
Ъ
Ь
a = —*— ; cosx = — .
2cosx
2a
2) С другойстороны: cos2х +sin2х = 1;
- V i­ cos x = ,/i3)/? =
2sinx
Ш
V4o2-62
4a
2a
a-2a
2V402-b2 yj4a2-b2
Ответ:
22. Задание: В окружность радиусом гвписан равнобедренныйтреуголь­
ник, у которого сумма длиноснования и высоты равна диаметру окружности.
Найдите высотутреугольника.
Решение:
h
г
I
х
Вспомогательный элемент: отрезок AD=x.
Используя свойство пересекающихся хорд и
условие задания, составим и решим систему
уравнений:
х
Di
О
I
ADDC = BDDF,
х2 = А(2г-А),
AC +BD = BF;
2х +А = 2г;
2г = 2х +А,
2г = 2х +А,
х2 = А(2х +А- А);
х = 2И;
2г = 2(2А) +А;
2г = 5А;
Ответ: h = —r.
А = —г.
5
5
23. Задание: Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза
которого делится точкой касания вписанной окружности на отрезки а и А.
Решение:
С
Обозначим через г - радиус
вписанной окружности.
ДЛВС:
AB=AD +DB = a +b;
АС=АЕ +ЕС—а +г;
ВС = BF+FC = Ь +г.
По т. Пифагора:
Я
ЛЯ2 = ЛС2+ ВС2;
(а +А)2= (а +г)2+(А+г)2;
а2+2аА +А2 = а2+2ar +г2+А2+2Аг+г2;
2ab = 2г2 +2г(а +А);
ab = г2 +r(ar +А).
Sмвс = —(AB+AC+BC)r = —(a+b +a+r +b +r)r = (а +А+г)г = г +(а+А)г;
З&авс ~ а^'
Ответ: ab.
Метод “вспомогательной окружности”
Одним из интересных элементарно-геометрических методов является ме­
тод “вспомогательной окружности”. Обычно данный метод характеризуется в
решении следующими оборотами: “Заметим, что точки Л, У,... лежат на одной
окружности...” или “Проведем окружность через точки А", У ,...”. Приведем
несколько примеров.
518
24. Задание: Дан AABC- равносторонний. Из точки А проведен луч и на
немвзята точка Мтак, что Z ВМА - 20°, Z АМС = 30°. Найдите Z ВАМ.
Решение:
Z ABC = 60° (т.к. АЛВС- равно­
сторонний);
Z АМС = 30° (по условию).
Значит, точка 5 - центр окруж­
ности с радиусом АВ (точки А,СиМ
лежат на окружности).
АВ = ВС=ВМ.
Следовательно, ААВМ - равно­
бедренный.
Значит, Z ВАМ= Z ВМА = 20°.
Ответ: 20°.
25. Задание: Медианы/4Л/и 5£ треугольникаЛВС пересекаются вточке О.
Точки 0,М,Е и Слежат на однойокружности. НайдитеАВ, если BE= АМ= 3.
Решение:
В
ОС - диаметр (ААОЕ = АВОМ);
Z ОМС= 90° (т.к. опирается на диаметр);
Z 0 £С =90° (т.к. опирается на диаметр).
Значит, А4ВС - равносторонний.
х
Обозначим: АВ=х, АЕ = —.
2 Пифагора);
М ВБ : Л2? = 5£ +Л£ . (т.
2
лг2
х =9 +— ;
Зх2= 36;
х = 2л/3, /15 = 2у/3.
Ответ: 2л/з.
Геометрические задачи, распадающиеся на несколько случаев
26.
Задание: Найдите радиусы трех попарно касающихся окружностей
центрами в вершинах треугольника со сторонами 8,9,10.
Решение:
1случай. Три окружности касаются друг друга внешним образом.
АВ = 8;ВС= 10;АС=9.
i x'+y = 8.
х +: = 9,
y+z = 10;
519
2(х+д; +г) = 27;
x+y+z= 13,5;
z=5,5;
7=4,5;
х=3,5.
с
Ответ: (3,5; 4,5; 5,5).
2 случай. Две окружности касаются внутренним образом.
а)
Пусть радиус окружности с центром
в точке С равен z.
Г*+ у = 8,
\z-x = 9,
[г- 7 = 10;
2z=27;
z= 13,5;
*=4,5;
>’=3,5.
Ответ: (4,5; 3,5; 13,5).
б)
Пусть радиус окружности с центром
в точке А равен х.
y +z = 10,
• X- у = 8,
X - Z = 9;
2х=27;
*-13,5;
^=5,5;
г=4,5.
Ответ: (13,5; 5,5; 4,5).
520
в) Пусть радиус окружности с центром в точке В равен у.
Ответ: (5,5; 13,5; 3,5).
Резюме
В данной главе вы познакомились с методами решения задач по геометрии. Были
рассмотрены задачи из сборников тестов по математике за 2003 г, 2004 г.
В результате изучения данной главы вы должны овладеть следующим умениями:
- изображать на рисунках геометрические фигуры, указанные в условиях за­
дачи, выделять известные фигуры на чертежах и моделях;
- уметь проводить нужные для решения дополнительные построения: высоту
в треугольнике, радиус, точку касания и т.п.
г уметь решать задачи на вычисление, опираясь на изученные в теоретическом
курсе сведения;
- уметь применять аппарат алгебры и тригонометрии при решении задач на
вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей);
- проводить полные обоснования в ходе решения задач.
521
Глава IX
ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Тема “Координаты и векторы” имеет большое прикладное значение для
решения геометрических задач, а также задач из других областей математики.
Метод координат является самым универсальным методом геометрии.
И тестовые задания включают несколько задач, в которых метод координат
предпочтительней других методов (речь идет о тех заданиях, условие которых
не содержит упоминание о координатах).
§1. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Координаты середины отрезка:
уи
А
Расстояние между двумя точками:
Координаты точки, делящей
отрезок АВ в отношении Я:
AM _
В
ХА
Уравнение прямой
Общее уравнение прямой: ах + by + с = 0 (а2+ Ь2 * 0)
Уравнение прямой
с угловым коэффициентом к:
у = кх + b
522
х
У ‘i
Уравнение прямой, проходящей
через точку М (х0; у0)
с угловым коэффициентом к:
Х м ( х 0,у0)
у=у0+к(х-х0)
;
у ,i
Уравнение прямой
в отрезках на осях:
(0;л)
* +z = ,
т п
(т * 0, п Ф 0)
0
(/я;0)
х
Уравнение прямой, проходящей через
две заданные точки А(х^;у}) и В(х2;у2) :
У~Ух _ х-х,
у ф У, Х2~Х1
А(Х\\У\)
Условие параллельности двух прямых
Ы
Условие перпендикулярности двух прямых
Расстояние от точки М(х0;у0)
II
1
КАг
К о + Ьу0+с\
у1а2+Ь1
до прямой ах +by +с = 0
Уравнение окружности
С центром в начале координат
х1+у2 = г 2,г > 0
С центром в точке М(х0;у0)
(х-х0)2+(у-у0)2 = г 2,г > 0
Любое уравнение вида х2+у2+ах +Ьу +с = 0
задает на плоскости либо окружность, либо точку, либо пустое множество:
V
( х+—а
1
а '+ Ь 2 с.
+( у + —b -------(
2 )
V
2 )
4
523
Прямоугольная декартова система координат в пространстве
B(xB;yB;zB)
Координаты середины отрезка:
С
*Л +Хв .У А +Ув .гА +2В
► У
Расстояние между двумя точками:
АВ = т](хА-хв)2 +(ул-ув)2+(zA~zB)2
*(хА;уА;г,,)
Координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении Л:
— - л = > м (Ха +ХХв Уа +ЛУв * л+Хг*
MB
[ 1+ Л ’ 1+Л * 1+Л
Простейшие задачи в координатах
1.
Задание: Известны координаты вершин треугольника А(2; -1;
В(-3; 5; 2), С(-2; 3; —5). ВМ- медиана треугольника ABC. Найдите длину ВМ.
Решение:
В(-3; 5; 2)
Найдем координаты точки М - середины
отрезка АС:
, / 2 - 2 -1+3 -3-5'
М\---- ;----- ;----
^2
2
2
Л/(0; 1; —4).
Ответ: >/б1.
2.
Задание: В треугольнике ABC MN- средняя линия, М е АВ , N е
Найдите координаты точек В и С, если А(-1; 3), М(3; 4), N(4; 2).
Решение:
1{х \у )
Щ 3;4)
А(-1;3)
Обозначим координаты точки
В(хв;ув).
Т.к. точка М- середина отрез­
ка АВ, имеют место равенства:
3=
1+ х„
-_ З+уд
Тогдахв = 7,.ув = 5.
С(хс ;ус )
524
ВО, 5).
2
Аналогично находим координаты точки С(хс ;ус ) :
Ответ: В (7; 5), С (1; -1).
С(
3. Задание: Найдите периметр ЛMNP, если М(4; 0), N(12; -2 ), Р(5; -9).
Решение:
Найдемдлины сторон треугольника:
MN = 7(4-12)2+(0 +2): = л/68 = 2>/П;
Л7» = V(12 - 5 )2 + ( - 2 + 9 )2 = л/98 = 7л/2;
Л*Р = 7(4-5)2+(0 +9)2 = л/82.
Рлшр=2 у/У7+7л12+^2.
Ответ: 2 л/17 +
7л/2 + л/82.
4. Задание: На прямой х +2у —1 = 0 найдите точку, равноудаленную от
точек (-2; 5) и (0; 1).
Решение:
А(-2;5)
щ
Составим и решим систему уравнений:
fxc +2.yr -l = 0,
{(-2 - хс)2+(5-угУ = (0 - хг)2+(1- уг)2;
[хс +2ус -1 = 0,
(4 +4хг +х2+25-10>'с
=*с +1~2ус +>£;
|х с + 2уг -1 = 0,
W
~2Ус +7 = 0;
хс=~ 3’Ус=2-
Ответ: (—3; 2).
5.
Задание: Точки С(4; 1; -1) и D (0; 5; 5) делят отрезок АВ на три равные
части. Найдитедлину отрезка АВ.
C(4;l;-1) D(0;5; 5)
Решение.
-ф
В(хв;ув;гв)
1) Найдем координаты
точки Л(хА;уА;гА).
Т.к. точка С- середина отрезка AD, ее координаты:
х. +х„
х. +0
-\ = 5 a .+
zd
= L
l±
1
2
z
= _7
2
A(8;-3;-7).
2) Зная, что D - середина отрезка СВ, найдем координаты точки
£(-4; 9; 11).
.
1
3) Длина отрезка АВ = д/(8 +4)2+(-3 - 9)2+(-7 - 11)J = V612 = 6у/п .
Ответ: 6>/l7.
6.
Задание: Точка В делит отрезок АС в отношении 4:1. Найдите координа­
тыточки В, еслиЛ(-1; 3; 2), С(4; 13; 12).
Решение:
ВС
5(3; 11; 10).
Ответ: В (3; 11; 10).
7.
Задание: Найдите координаты центра тяжести треугольника, заданного
своими вершинами: А (2; -1), В (4; 2), С (3; 5).
Решение:
С(3;5)
1) Найдем координаты точки К - середины
стороны ВС:
Я(4; 2)
2) Центр тяжести треугольника - точка пересечения медиан данного треугольника.
Зная, что -- = 2, найдем координаты
А(2;-1)
526
точки М:
МК
м\хл+2хк . Ул+2У,
У 1+ 2
М
1+ 2
2 +2-3,5 -1 +2-3,5
М (3; 2).
Ответ: (3,2).
Запани на аналитическую запись линийна плоскости
8. Задание: Составьте уравнение прямой, изображенной на рисунке.
Решение:
A= tg45°=l.
По формуле уравнения прямой, проходящей че­
4(3; 2) рез точку с заданным угловым коэффициентом имеем:
у = 2+1(х-3);
у —х—1.
Ответ:у=х-\.
9. Задание: Треугольник ЛВС задан своими вершинами А(1; 3), В(5; -7),
С (-1; 9). Составьте уравнение прямой, содержащей медиануЛЛ/треугольника.
Решение:
С(-1;9)
1) Найдем координаты точки М- середины
отрезка ВС:
Я Ц Д -7+gj
А/(2; 1).
2 '
2) Для составления уравнения медианы, вос­
пользуемся формулой уравнения прямой про.ходящейчерез две точки Л(1;3) и М(2; 1):
А/
у-3
х-1
1-3 ” 2-Г
у-3 х-1
-2 " 1 ’
у - 3=-2х+2;
у=-2х +5.
Ответ:у=-2х +5.
10. Задание. Составьте уравнение прямой, параллельнойпрямойу—2х+5=0
и проходящей через точку А(3; -1).
Решение:
Перепишем уравнение данной прямой в виде у = 2х - 5.
Из условия параллельности прямых, следует, что угловой коэффициент
искомой прямойбудет равен 2.
Используя формулу уравнения прямой с заданным угловым коэффи­
циентом, найдем:
527
y=-\ +2(дг-3);
y-2x-l.
Omeem:y=2x-l.
11. Задание: Треугольник ABC задан координатами своих вершин А( 1; 2),
В(2; —2), С (6; 1). Составьте уравнение высоты CD.
Решение:
A(l; 2)
C (6 ;l)
1) Найдем уравнение прямой АВ:
у -2
х-1
- 2 - 2 ~ 2-Г
у - 2 _ дг-1
_у-2 = —4дс+4;
B(2-2)
у=~4х +6.
2) Из условия перпендикулярности прямых, найдем угловой коэффициент
к искомой прямой CD:
к (- 4) = -1;
*= ’.
4
3) Составим уравнение прямой CD, используя угловой коэффициент и
точку С:
У = 1+~(*~6);
4
v=
4
илидг-4 v-2 = 0.
2
Ответ: х-4 у -2 = 0.
12. Задание: Запишите уравнение окружности, центр которой находится
в точке (-3; 2) и которая проходит через точку (0; 6).
Решение:
£(0; 6)
1) Найдем радиус окружности:
г = OK = V(-3-0)2+(2-6)2 = л/25 = 5.
2) Составим уравнение окружности с центром
в точке О (-3; 2):
(x +3)2+Cv-2)2 =25.
(jc +3)2 +(у-2)1 =25.
Ответ:
13. Задание: Расстояние от центра окружности jc2 +2jc +у1- 4у +1= 0 до
начала координат равно?
Решение:
Преобразуем уравнение окружности:
дс2 +2дс +1+у1- 4у +4 +1—1—4 = 0;
528
(x +l)2+ (j>-2)2 = 4.
Координаты центра окружности: (-1; 2).
Расстояние от центра до начала координат: d = yj(-l)2 +22 = л/5 .
Ответ: -У?.
14.
Задание: Составьте уравнение окружности, описанной около треуголь
ника, стороны которого лежат на прямых: х = 0;у = 0; Зх +4у- 12 = 0.
Решение:
1)
Найдем точки пересечени
прямой Зх +4у- 12 = 0 с осями коор­
динат.
С осью OY:
(х = 0,
Зх +4у-\2 = 0;
[х = 0,
ц ц
Щ о,
х = 4;
А (0; 3).
Я 4;0).
2)
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности ле
жит на середине гипотенузы.
Найдем координаты центра окружности:
О
0 +4 3 +0"
0(2; 1,5).
2
2
[
Радиус окружности равен половине длины гипотенузы АВ:
АВ
>/42+32
= 2,5.
2
2
3) Составим уравнение окружности:
г=
(х-2)2+0>-1,5)2 =6,25.
Ответ: (х-2)1 +(у - 1,5)2 = 6,25.
15.
Задание: Напишите уравнение окружности, радиус которой равен 5,
проходящей через точки А (-2; 1) и В (6; 1).
Решение:
Составим уравнение окружности с радиусом 5 и центром (х0;^0):
(х-х0)2+(>->»0)2 =25.
Т.к. точки А (-2; 1) и в (6; 1) принадлежат данной окружности, составим
систему уравнений:
529
Решение геометрических задач методом координат
Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точка­
ми можно использовать для решения более сложных геометрических задач.
Главное при решении геометрических задач координатным методом - удач­
ныйвыбор системы координат: выбор начала координат и направления осей.
Обычно в качестве осей координат выбирают прямые, фигурирующие в ус­
ловии задачи, а также оси симметрии фигур, рассматриваемых в задаче.
Желательно, чтобы система координат естественным образом определялась
условием задачи.
Приведенные ниже задания уже были решены методами элементарной
геометрии, но для их решения можно использовать и метод координат.
16.
Задание: Две стороны треугольника равны а и Ь. Медианы, проведе
ные к этим сторонам взаимно перпендикулярны. Найдите третью сторону.
Решение:
Пусть ВС = а, АС = Ь.
У
Введем систему координат, взяв медианы треугольника в качестве осей координат.
В
Обозначим координаты точек В (0; у),
A (-jc; 0).
А
х
Учитывая, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 :1 (считая от
вершины), получаем:
Так как точка М середина отрезка АС, для точки С (хс ; ус) имеют место
равенства:
— X + X ,-
У
0 = — ^-Цдгс = х;
С (х -у).
0 + JV
~~2
2 I
У
'г
4Ь2- а г
Найдем расстояния ВС и АС:
\a= yjx2+4у2,
ia2=x2+4y2,
[Ь= ^4х2+у1\ \b2=4x2+y2\
х =
15
г 4а2-Ь2
У 1 — гг—
Искомое расстояние АВ будет:
\4Ь2 - а 2 4о- - 6 2
Я
Г г --- 1
AB = J x 2 +у = J ------ 1
1
1
v
Ответ:
V
v
15
15
fob2 +3а2
\а2+Ь2
------- = , ------ 1
V
15
V
5
^
17.
Задание: Медианы, проведенные к катетам прямоугольного треуголь­
ника, равны а и Ь. Найдите гипотенузу.
У
Решение:
Пусть АМ= а, ВК = Ь.
Введем систему координат, выбрав в ка­
честве осей координат катеты треугольника.
Обозначим координаты точек А(0; 2у),
В(2х;0).
Тогда координаты других точек будут:
М(х;0),К(0;у).
Длина гипотенузы: АВ = J(2x)2+(2у)2 = 2-Jx2+у1.
Найдем расстояния AMи ВК:
' г -4а2-Ъ1
I ; +(2у-0) ,
\а2 = х ±4у ,
у = - тг-
|| = <J(2x-0)2+(0-y)2;
V 2 = 4x2 +У2’
х =
2 !ЗЬ2+За:
+б2
2 4Ь2- а 2
15
Найдем гипотенузу:
( 4а 2-Ь2
АВ
-
&
Ответ: 2
Г
15
15
а2+Ь2
531
§2. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
Векторами называются величины, которые
a
характеризуются численным значением и на­
правлением.
А
Г
АВ
Векторы на плоскости
Длина вектора |а —расстояние от начала век­
тора, до его конца.
\Ц= у1(хв - ха)2+(ув - у А)2
^ ^ ^ В ( х в,ув)
Координаты вектора А В(ах',а ) вычисляются
по формулам:
а1=хв-хА,а у =ув-у/
Длина вектора в координатах:
А(хА;уА)
|а|= 7 ° * +а1 •
Координаты вектора не изменяются при парал­
лельном переносе.
У равных векторов соответствующие координа­
ты равны.
Действия над векторами
Если
а{ах,ау)
и b(bx;by) , то:
а +Ь = (ах+Ьх;ау+Ьу);
а-Ь = (ах-Ьх;ау-Ьу);
:
Ха - (Лах;Лау), ЛеЯ;
аа
+ /ЗЬ =
(аах + /ЗЬх;аау + /ЗЬу),
'
а ,Р е R .
Я
532
2
?
Разложение вектора
по координатным векторам
Уi
ау
Д
Если а(ах,а у),т о а = ax i +ay-j .
^ а /|
0
,
«х
х
Коллинеарные векторы
Коллинеарныминазываются векторы, лежащие
на однойпрямойили на параллельных прямых.
Условие коллинеарности векторов a(ax;av)
и b(bx;by) в координатном представлении:
^- = — = /1.
к
к
аз
a, i t а2 - сонаправленные векторы
a, t 'l а4 - противопо­
ложно направленные
векторы
Ортогональные векторы
а
а 1 Ь <=>Z(a,b) = 90°
Условие ортогональности векторов a(ax',av)
и b(bx;by) на плоскости:
ах-Ь,+ау Ьу = 0.
Ь
a Lb - ортогональные
векторы
Скалярное умножение векторов
Скалярнымпроизведениемдвух векторов а и Ъ
•А
называется число, равное произведению длин
этих векторов на косинус угла ф между ними:
0° < <р< 90°
a-b = jaj-|A|-cos^.
Скалярное произведение векторов а(ах;ау) и
b(bx;by) выражается через координаты:
а-Ь = ая Ьх+ау Ьу.
Модуль вектора: |e|= -Ja-a = Ja .
.
Ь
а
а •Ь > 0
<р= 90° => а •Ь = 0
т
Ь
--г
V
.
6 __
90° < р < 180° =>
<0
533
Применение скалярного произведения к решению задач
cos Z(a,6) =
мм
В координатном представлении: cos Z (a, b) =
Векторы в пространстве
Если координаты началаЛ(хА;уА;гА) и конца вектора B(xB',yB;zB) , то
координаты вектора: АВ(хв —хА\ув —yA',zB —zA) .
Длина вектора a(ax\av\az) , заданного своими координатами:
Н = т]ах +а1+ а\•
Если
а(ах,ау;а_) и b(bx;by;bz) , то:
а + Ъ= (ах +Ъх\ау +Ъу\а. + Ъ_);
а-Ь = {ах-Ъх\ау- Ъу\а. - Ь.);
Ла = (Лах;Лау;Ла.), Л е Л;
а а +рЪ = ( аах + Р>Ъх\аау + рЬу\аа2+ pb.\ а,р
е Л;
а •Ъ= а • bT+av
• ЬУ + а. •b
У
*
--
cos Z (a ,b ) =
ax-bx+av-bv+a-b.
f—...
Л ^
-Jax+а1+а\’
—угол между векторами.
+by+b~
ar
°v
О.
ЬУ
ь.
,
Условие коллинеарности векторов: ——= —=- = — = Я .
Условие ортогональности векторов: ax-bx+av-bv+az-b, = 0.
534
Рассмотрим решение типовых задач, встречающихся в тестах.
Задание: Найдите координаты конца вектора а(-2; 1; 3), если его начало
1.
совпадает с точкой А(5; 4; -1).
Решение:
Используя формулы нахождения координат вектора, получим:
—2=дс-5,
1 =у-4,
3=z+ 1,
Л (5;4;-1)
х —3;
у = 5;
1| 2.
Ответ: В(3; 5; 2).
2.
Задание: Даны векторы: <з(3;-2) и Ь(-3; 4). Найдите координаты вектора
2а - ЗА.
Решение:
а(3;-2), 6(-3;4);
2а(6;-4), 36(-9;12);
Ответ: (15;-16).
2а - 36 = (6 - (—9);—4-12) = (15;-16).
3.
Задание: Даны координаты точек А (-3; 2; -1), В (2; -1; -3), С( 1; -4; 3),
D (-1; 2; -2). Найдите |2АВ + 3CdI .
Решение:
А (-3; 2; -1), В (2; -1; -3), С(1; -4; 3), D (-1; 2; -2).
.
Найдем координаты векторов АВ и CD:
АВ(2 +3;-1-2;-3 +1), ЛД(5;-3;-2);
CD(-1 -1; 2 +4; - 2 - 3), СХ>(-2;6;-5).
2ЛЯ(10;-6М), 3CD(-6;18;-15);
2ЛВ+3GD = (10- 6; - 6 +18; - 4 -15) = (4; 12;-19);
\2АВ+ЗСВ =
+\22+(-19)2 = -J52\.
Ответ: J 521.
4.
Задание: Вычислите длину вектора о = (/я - Зл) - (3/я - 4л), если даны
координаты векторов п(2; 4; 5), т(1; 0; 1).
Решение.
а = {т- Зл) - (3/л- 4л) = я - 2/л;
л(2;4;5), 2т(2;0;2);
а =
л- 2 т
= (2 - 2; 4 - 0; 5 -
2) = (0; 4; 3);
Ответ: 5.
535
S.
Задание: Длина вектора а(т;т +1;2) меньше 3 для всех значений т
принадлежащих множеству?
Решение:
|а| = Jm2+(m +l)2 +22 < 3;
л/2/и2 +2/И +5 < 3;
2т2+2т - 4 < 0;
/и2+т - 2 < 0;
(/и +2)(/и -1) < 0;
т е (-2;!).
Ответ : (-2; 1).
6. Задание: При каком значении а векторы АВ и CD коллинеарны, если
А (-2; -1; 2), В (4; -3; 6), С(-1; а-1; 1), D (-4; -1; а).
Решение:
АВ(4 +2; - 3+1; 6 - 2), ЛВ(6;-2; 4);
GD(—4+1; -1 - а +1; а -1), СО(-3;-а;а-1).
„
V*
6 - 2 4
Условие коллинеарности векторов: — = — ---- .
-3
Тогда
-3• (-2) , _ ,
- а = --- -— -= 1, а = -\,
6
—а
а —I
I
-3-4
_
а - 1= --- = -2, а = -\.
6
Ответ:-1.
7. Задание-. Есливектор а (1; 2т +1; - 2) перпендикуляренвектору b(m\1; 2т ) ,
то т равно?
Решение:
Из условия ортогональности векторов получим:
1да + (2/я + 1)1 + (-2)-2да = 0;
1- /и = 0;
т - 1.
\
Omeem: 1.
8. Задание: Если вектор а(х;у; 3) перпендикулярен вектору 6(3; 1;-1) и оси
OY, то сумма х +у равна?
Решение:
Из условия a Lb получим: х■
3+у •1+3• (-1) = 0;
3дс+7=3.
536
На оси OYвозьмем единичныйвектор ДО; 1;0).
Из условия
a L j
получим: х 0 +_у-1+3 0 = 0;
у = 0.
3х +у = 3,
У = 0;
(у = 0,
х_ j
х+у= 1.
Ответ. 1.
9. Задание: Даны точки Л( 1; -2) и 5(2; 4), тогда разложение вектора АВ по
координатным векторам равно?
Решение:
Найдем координаты вектора: АВ(2 - 1; 4 +2), АВ(1; 6).
Тогда АВ = / +6у.
Ответ: i +6 j.
10. Задание: Ы = 2, 4|= 3, а угол между ними равен 135°. Вычислите ска­
лярное произведение векторов.
Решение:
~- П П
Г л/21
г
а-Ь= а -Ы-cos135° = 2-3= -3V2.
И П
{ 2)
Ответ: -3>/2.
11. Задание: Сторона равностороннего треугольникаABC равна l.MnNсередины отрезков АВ и ВС соответственно, тогда MN •СА равно?
Решение:
MNCA = И
I N
•Icil •cos180° = - •1-(-1) = — .
I
2
2
Ответ: — .
2
12. Задание: Даны координаты точек: >4(1; —1; -4), В(-3; -1; 0), С(-1; 2; 5),
D(2; —3; 1). Найдите косинус угла между векторами ЛЯ и CD.
Решение:
АВ(-3 -1; -1 +1; 0 +4), ЛВ(-4;0;4);
CD(2+l;-3-2;l-5), CD(3;-5;-4).
— _
- 4 •3 +0 •(-5) +4 •(-4)
-28
cos Z.(AB,CD) = <
■ — —I
■— гг гг ~
V(~4)2+02+4 •д/З2+(-5) +(-4)
4V2-5V2
•
^
Ответ:-0,7.
13.
Задание: Даны векторы а(3;-1; 4), Ь(2; 1; 3) и с = а - 6. Найдите кос
нус угла между векторами с и 6.
Решение:
Найдем координаты вектора с :
с(3-2;-1-1;4-3), с(1;-2;1).
cosZ(c,b) =
Ответ:
Ь2+(-2)1+1*3
3
3
J l 2+ (- 2 )2 + 12 • л/22 + 12 + З2
л/б-л/Й
2л/21
3
2л/2Т
14.
Задание: В треугольнике с вершинами в точках Л(3; -2; 1), 5(3; 0;
С(1; 2; 5) угол, образованный медианой ВМ и основанием АС равен?
Решение:
Найдем угол между векторами MB и МА.
1) Координаты точки М:
, / 3 +1 -2 +2 1+5'
М\-- ;---- ;--
I 2
2; 5)
2
2
М(2;0;3).
2) Координаты векторов MB и МА:
МВ(3- 2; 0-0; 2-3), Л/В(1;0;-1);
МА(3 - 2; - 2 —0; 1- 3), МА(\;-2;-2).
11+0-(-2)+(-!)■ (-2)
3) cosа =
Vl2+о2+(-1)2 •yjl2+(-2)2+(-2)2
л/2-3
>/2 ’
а = arccos—т=;
л/2
яяа = —•
Ответ:
4
4
15.
Задание: Вычислите площадь параллелограмма, построенного на ве
торах а(0; 2; 1) и 6(1; 0; 2).
538
Решение:
Sabcd -
AD- AB- sin (p.
AD = |ft|= Vl2+02+22 = V5;
AB = |o(= Vo2+22+12 =V5;
0 1 + 2-0 + 1-2
>/21
sin9? = A/l- co s> = Jl-| - I * — .
2
•
л/21
= л/5-л/i-ly- = j2\.
Таким образом,
Ответ: -Jl1.
16. Задание. Векторы a,b, с единичнойдлиныобразуют попарно углы
60°. Найдите угол ф между векторами а и Ъ+с.
Решение:
cos© =
а-(Ь+с1
|а
cos<р=
—=г;
a b +a c
Я
Ш
'
Найдем e-6 = |^-|Aj cosZ(e,6) = l-l —
а■
с = |а|•|cj•cosZ(а, с) = 1•1•|
^;
|й+^|= д/сЛ+с)2 = -Jb2+2Ьс+с2 =V l+ 21bcos60°+ l=^;
1 1
> 2+2
” * шШ
1.
1 *'
1
V3
q>= arccos—р
Ответ, arccos-^.
539
17. Задание: Векторы а и Ь образуют угол 60°, вектор с им перпенди­
кулярен. Найдите абсолютную величину вектора а + Ь + с, если а, Ь, с единичные векторы.
Решение:
► У
•
р ;
о(1;0;0), 6(— —;0), с(0;0;1);
2 2
1
Л
а+ й + с= 1+ —+ 0; 0 + —— + 0; 0 + 0 +1
2
Г
т
"I
/9
2
3
,
\
>
Гз. л/з.Л
К
2’ 2 ’ J
_
а + 6+ с = ./ —+ —+ 1 = 2 .
I
I V4 4
Ответ: 2.
Резюме
м
После изучения данного раздела "Координаты и векторы” учащиеся должны
овладеть следующими умениями:
- уметь решать простейшие задачи в координатах (находить середину отрезка,
длину отрезка, равноудаленные точки)
- уметь записывать уравнение прямой, заданной различными элементами;
- уметь записывать уравнение окружности;
- уметь находить координаты вектора, длину вектора;
- уметь вычислять координаты суммы и разности векторов;
-уметь вычислять скалярное произведение векторов и угол между векторами;
- уметь использовать координаты и векторы при решении геометрических за­
дач.
540
По результатам и опыту работы в Центре дополнительного образования на кур­
сах по подготовке к тестированию по математике выработались общие рекомендации,
которые мы Вам приводим.
СОВЕТЫ ТЕСТИРУЕМЫМ
1. Прежде чем приступить к изучению очередной темы, сделайте для себя листокшпаргалку. Он не должен быть маленьким по размеру, на нём чётко должны быть
записаны основные формулы. Эта шпаргалка поможет вам, находясь всё время перед
глазами, во-первых, быстрее запомнить основные формулы, во-вторых, сэкономить
ваше время, ведь для поиска нужного свойства не нужно будет листать страницы учеб­
ника, и, наконец, когда вы отправитесь на экзамен, многие из выписанных вами фактов
крепко “засядут” в вашей памяти, так что потребность в шпаргалке отпадёт сама собой.
2. Основной метод решения большинства неравенств - метод интервалов. Обра­
тите особое внимание на изучение этого раздела. Совет: "Овладейте методом ин­
тервалов —это залог вашего успеха! ”
3. Отвечайте на вопросы теста в порядке их предложения. Если некоторые задания
вызовут у вас затруднения, оставьте их на потом. Сначала выполните всё то, что нетребует
повышенных усилий. Не тратьте зря время. К сложным для вас задачам вернётесь позже.
4. Будьте готовы к тому, что в процессе решения вы можете допустить ошибку. К
примеру, полученный вами ответ не совпадает ни с одним из предложенных вариантов. Не
пытайтесь найти ошибку, проверяя своё решение. Вряд ли вы её заметите, а если и найдё­
те, то потратите на это немало времени. Лучше всего отложить решение этого примера на
время, а затем решить его заново. Помните', поиск ошибок—дело неблагодарное!
5. Не спешите с решениями, внимательно прочитайте условие задачи (двойное
прочтение не помешает). При тестировании ваши записи никого не интересуют, тем не
менее, не экономьте на них время. Решение “в уме” часто приводит к ошибкам, кото­
рые при повторных проверках трудно найти.
6. Решая уравнение, не пытайтесь найти его область определения (так называемое
ОДЗ). Проще и быстрее найти корни и сделать проверку, что поможет избавиться от
посторонних корней. Проверка - не только важная, но и нужная вещь! Ведь если вы
случайно допустили ошибку (например, арифметическую), проверка подскажет, что
надо вернуться и исправить её. Запомните совет: “При решении уравнений клю­
чевые слова: уравнение—проверка'.'.'.”
7. Если требуется найти сумму или произведение корней квадратного уравнения,
вспомните теорему Виста. Но при этом не забудьте проверить: “А есть ли корни?”
(т.е. определить знак дискриминанта).
8. Наиболее частая ошибка при решении неравенств - умножение (или деление)
его обеих частей на выражение, содержащее неизвестную переменную. Если вы не
знаете, какой у этого выражения знак (ведь оно зависит от неизвестного), то делать
этого нельзя. При умножении на положительное число знак неравенства сохраняется,
если множитель отрицателен —знак меняется на противоположный. А какой знак у
вашего выражения? Следующий совет: “Перенесите обе части неравенства в одну
сторону, вынесите общий множитель за скобки".
9. Если при решении систем неравенств все неравенства с одинаковыми знаками,
вспомните присказку: “Больше большего, меньше меньшего”.
10.Коварство показательных и логарифмических неравенств заключается в величине
основания степени или логарифма Запомните словосочетание: “Коварное основание!!!”
11.Геометрическая интерпретация при решении задач - половина успеха. Если
есть возможность графически изобразить требуемую от вас ситуацию, сделайте это.
Желаемвам
успехов!
541
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров Б.И. и др. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.:
Изд-во “МГУ”, 1972.
2. Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. М.: Просве­
щение, 1989.
3. Бородуля И. Т. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.
М.: Просвещение, 1968.
4. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по мате­
матике. Алгебра. М.: Наука, 1988.
5. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по мате­
матике. Начала анализа. М.: Наука, 1990.
6. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по мате­
матике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1987.
7. Говоров В.Н., ДыбовП.Т. и др. Сборник конкурсных задач по математике. М.:
Наука, 1986.
8. Дорофеев Г.В. к др. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.:
Наука, 1972.
9. Зорин В.В. Пособие по математике для поступающих в вузы. М.: Наука, 1973.
10. Ивлев Б.М., Земляков А.Н. и др. Сборник задач по алгебре и началам анализа.
М.: Просвещение, 1978.
11. Крамор B.C. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал
анализа. М.: Просвещение, 1990.
12. Кравцев С.В., Макаров Ю.Н. и др. Методы решения задач по алгебре. От
простых до самых сложных. М.: Экзамен, 2001.
13. Мирошникова М.М. и др. Контроль знаний по математике с применением
ЭВМ. М.: Высшая школа, 1990.
14. Соболь Б.В., Виноградова И.Ю. и др. Пособие для подготовки к единому
государственному экзамену и централизованному тестированию по математике.
Ростов-на-Дону: Феникс, 2004.
15. Цыпкин А.Г., ПинскийА.И. Справочное пособие по методам решения задач по
математике для средней школы. М.: Наука, 1983.
16. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. Справочник для старшеклассников
и поступающих в вузы. М.: АСТ-Пресс Школа, 2004.
17. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике. Решение
задач. М.: Просвещение, 1991.
18. Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции. Киев:
Наукова думка, 1987.
542
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................ ................................ .................... 3
Глава I.
Рациональные функции......................................................................7^
§1. Тождественные преобразования числовых выражений..................... 7
§2. Тождественные преобразования рациональных
алгебраических выражений............................................................ 22
§3. Методы решения рациональных алгебраических уравнений........... 40
§4. Методы решения систем алгебраических уравнений.............„г.......53
§5. Методы решения рациональных неравенств........................' ......... 65*
§6. Методы решения уравнений с переменной под знаком модуля....... 89
§7. Методы решения неравенств с переменной под знаком модуля......104 '■
ГлаваII.
Иррациональные функции..............................................................124
§1. Тождественные преобразования иррациональных
алгебраических выражений.......................................................... 124
§2. Методы решения иррациональных уравнений.............................. 134
§3. Методы решения систем иррациональных уравнений................... 149
§4. Методы решения иррациональных неравенств............................. 155
Глава III. Показательная и логарифмическая функции............................... 172
§1. Методы решения показательных уравнений..................................172
§2. Методы решения систем показательных уравнений.......................184
§3. Методы решения показательных неравенств................................. 190
§4. Тождественные преобразования логарифмических выражений......207
§5. Методы решения логарифмических уравнений.............................219
§6. Методы решения систем логарифмических уравнений..................234
§7. Методы решения логарифмических неравенств............................ 242
ГлаваIV.
Тригонометрические функции........................................................ 257
§1. Тождественные преобразования тригонометрических выражений...257
§2. Методы решения тригонометрических уравнений........................ 286
§3. Методы решения тригонометрических неравенств....................... 308
Глава V.
Решение задач, связанных с прогрессией....................................... 333
§1. Арифметическая прогрессия.........................................................333
§2 Геометрическая прогрессия.......................................................... 343
Глава VI. Решение текстовых задач.................................................................353
§1. Задачи на движение.......................................................................353
§2. Задачи на работу и производительность труда.............................. 366
§3. Задачи на концентрацию и процентное содержание........................374
543
§4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических
действий........................................................................................ 380
§5. Задачи на проценты.........................................................................386
Глава I'll. Начала анализа................................................................................... 396
§ 1.
§2.
§3.
§4.
§5.
§6.
Функция и ее свойства.................................. ................................. 396
Производная функции и ее вычисление.......................................... 412
Исследование функций с применением производной......................424
Производная и уравнение касательной........................................... 438
Первообразная функции и ее вычисление.......................................444
Приложение определенного интеграла........................................... 457
Глава VIII. Методы решения задач по планиметрии..........................................471
§1. Треугольники................................................................................. 471
§2. Четырехугольники......................................................................... 489
§3. Окружность и круг..........................................................................505
Глава IX. Элементы аналитической геометрии и векторной алгебры..........522
§ 1. Декартовы координаты........................'.......................................... 522
§2, Векторы на плоскости и в пространстве......................................... 532
Советы тестируемым..................................................................... ..'.................... 541
Список литературы................................................................................................ 542
Ассоциация частных организаций среднего образования
Комплексный проект по подготовке к ЕНТ
Руководитель проекта Г. БЕЙСЕМБАЕВ
ИРИНА ПАВЛОВНА РУСТЮ М ОВА
ТА ТЬЯН А А ЛЕКСЕЕВНА КУЗНЕЦОВА
СВЕТЛАНА ТЮ ЛЮ ГО Н О В Н А РУСТЮ М ОВА
Пособие для подготовки к единому национальному
тестированию (ЕН Т) по математике
(Учебно-методическое пособие)
Ответственный редактор Омирбекова М.
Художественный редактор Кенжалиева Д.
Технический редактор Шаяхмет Г.
Подписано в печать 05.01.2005 г.
Формат 60x84 1\16. Печать офсетная.
Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 34.0. Тираж 1500.
Заказ № 67. Цена договорная.
«Зият Пресс» 8(3272)728 670, 8300 799 0616
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
178
Размер файла
10 570 Кб
Теги
kuznecov, 4229, posobie, matematiki, nacionalnomu, podgotovki, edinomu, dlya, rustyumova, ent, testirovanii
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа