close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

199 jeksembekova v.a. daniyarov t.t. alinova m.sh. fizika

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова
В.А. Жексенбекова, Т.Т. Данияров, М.Ш. Алинова
ФИЗИКА
Учебник
Павлодар
Кереку
2009
УДК 53.07
ББК 22.3я7
А50
Учебник рекомендован к изданию учебно-методической
секцией по специальностям профессионального обучения,
искусства и услуг Республиканского учебно-методического совета
(РУМС) МОН РК при ЮКГУ им. М. Ауэзова, протокол №4 от
22.05.09
Рецензенты:
Т.С. Рамазанов - доктор физико-математических наук,
профессор, КазНУ им. Аль-Фараби, г. Алматы;
С.К. Тлеукенов - доктор физико-математических наук,
профессор, ПГУ им.С.Торайгырова, г. Павлодар;
А.М. Мубараков – доктор педагогических наук,
профессор, Инновационный Евразийский университет, г.
Павлодар.
В.А. Жексембекова, Т.Т. Данияров, М. Ш. Алинова
А50 Физика: учебник.  Павлодар: Кереку, 2009.  370 с.
ISBN 9965 - 9965 - 32 – 910-9
В учебнике обобщен опыт подготовки будущих педагогов
профессионального обучения к профессиональной деятельности через
раскрытие содержания и структуры курса физики с учетом достижений
современной науки и практики.
В курсе физики рассматриваются вопросы, предусмотренные
требованиями стандарта специальности, которые должны обеспечить
будущему педагогу профессионального обучения основы его
теоретической подготовки в различных областях физической науки.
Учебник предназначен для учащихся колледжей и студентов
специальности 0505120 –Профессиональное обучение, педагогов и
работников организаций профессионального образования.
А 1604000000
00(05) - 09
УДК 53.07
ББК 22.3я7
ISBN 9965 - 9965 - 32 – 910-9
 Жексембекова В.А., Данияров Т.Т., Алинова М.Ш., 2009
 ПГУ им. С. Торайгырова, 20099
Введение
Физика как наука. Содержание и структура физики
«Физика»— по-гречески «природа». Наряду с другими
естественными науками физика изучает свойства окружающего нас
мира, строение и свойства материи, законы взаимодействия и
движения материальных тел. Физика — наука о наиболее простых
общих свойствах материи. Среди всех наук о природе физика
занимает особое положение: это есть наука о наиболее общих
свойствах и формах движения материи. Материя находится в
непрерывном движении, под которым понимается всякое изменение
вообще. Движение представляет собой неотъемлемое свойство
материи, которое несотворимо и неуничтожимо, как и сама материя.
Материя существует и движется в пространстве и во времени,
которые являются формами бытия материи.
Процесс познания в физике, как и в любой науке, начинается
либо с наблюдения явлений в естественных условиях, либо со
специально поставленных опытов — экспериментов. Результат
эксперимента, при постановке которого исследователь уже
руководствуется определенной гипотезой, дает возможность
проверить гипотезу, уточнить и расширить ее до степени теории,
установить физический закон, т. е. установить характер объективной
зависимости между различными физическими величинами. Опыт
(наблюдение, эксперимент, практика) является источником всех
наших знаний.
Физические законы устанавливаются на основе обобщения
опытных фактов и выражают объективные закономерности,
существующие в природе. Эти законы обычно формулируются в виде
количественных соотношений между различными величинами.
Основным методом исследования в физике является опыт, т. е.
наблюдение исследуемого явления в точно контролируемых условиях,
позволяющих следить за ходом явления и воссоздавать его каждый
раз при повторении этих условий. Экспериментально могут быть
вызваны явления, которые естественно в природе не наблюдаются.
Например, из числа известных в настоящее время химических
элементов более десяти в природе пока не обнаружены и были
получены искусственным путем с помощью ядерных реакций.
На основе накопленного экспериментального материала
строится предварительное научное предположение о механизме и
взаимосвязи явлений — создается гипотеза. Гипотеза — это научное
предположение, выдвигаемое для объяснения какого-либо факта или
3
явления и требующее проверки и доказательства для того, чтобы стать
научной теорией или законом. Правильность высказанной гипотезы
проверяется посредством постановки соответствующих опытов, путем
выяснения согласия следствий, вытекающих из гипотезы, с
результатами опытов и наблюдений. Успешно прошедшая такую
проверку и доказанная гипотеза превращается в научный закон или
теорию.
Физическая теория представляет собой систему основных
идей, обобщающих опытные данные и отражающих объективные
закономерности природы. Физическая теория дает объяснение целой
области явлений природы с единой точки зрения.
Вся история науки показывает, что процесс познания
материального мира не заканчивается каждым таким кругом — от
опыта к теории и от теории обратно к опыту. Очень скоро
обнаруживаются новые области явлений и накапливаются факты,
объяснение которых не укладывается в рамки существующих теорий
и требует выдвижения новых гипотез.
Научное исследование является единством теории и практики
при решающей роли практики и ведущей роли теории. Без
теоретических обобщений, без указаний теории о разумном
направлении экспериментов невозможно движение науки вперед.
Развитие теоретических представлений происходит посредством
замены одних устаревших теорий другими, более совершенными,
которые по-новому, точнее объясняют возросший круг изученных
явлений и в то же время сохраняют в себе все зерна истины,
имевшиеся в старых теориях.
Цели, которые ставятся при изучении физики в вузах,
многообразны. Важнейшая из них состоит в ознакомлении с
основными
физическими
явлениями,
их
механизмом,
закономерностями
и
практическими
приложениями.
Этим
закладывается физическая основа для изучения последующих
общетехнических и специальных дисциплин. Этими главнейшими
задачами и определяются выбор основных изучаемых разделов
физики и объем их изложения.
То обстоятельство, что изучение физики начинается с изучения
механического движения тел, не случайно и обусловлено не только
исторической последовательностью развития физики. Несмотря на то,
что механическое движение представляет собой самую простую
форму движения, к современному его представлению шли долго.
Особую роль в становлении классической механики играли
исследования И. Ньютона.
4
Перед формулировкой основных законов механики Ньютон
уточняет основные понятия, необходимые для их определения. Одно из
основных следствий законов механики гласит: «Относительные
движения друг по отношению к другу тел, заключенных в каком-либо
пространстве, одинаковы, покоится ли это пространство или движется
равномерно и прямолинейно без вращения». В другом месте Ньютон
утверждает: «Может оказаться, что в действительности не существует
покоящегося тела, к которому можно было бы относить места и
движения прочих», и, таким образом, он считает, что наблюдаемые
нами движения относительны и абсолютного движения не
существует. Но он знает также, что ускоренное движение системы
отсчета проявляется динамически, вызывая явление инерции.
Ньютон принимает, что в природе существует абсолютный
покой, абсолютно неподвижная система отсчета. Это пустое
однородное неподвижное пространство атомистов и Евклида —
чистое вместилище всех вещей. Существенно, что наряду с
абсолютным пространством Ньютон признает и абсолютное время,
текущее само по себе, безотносительно к каким-либо процессам. Вот
как он определяет абсолютное и относительное время и пространство.
«I. Абсолютное, истинное математическое время само по себе и
по самой своей сущности, без всякого отношения к чему-либо
внешнему, протекает равномерно и иначе называется длительностью.
Абсолютное время различается в астрономии от обыкновенного,
солнечного времени, уравнением времени.
Относительное, кажущееся, или обыденное, время - есть или
точная, или изменчивая, постигаемая чувствами, внешняя,
совершаемая при посредстве какого-либо движения мера
продолжительности, употребляемая в обыденной жизни вместо
истинного математического времени, как-то: час, день, месяц, год».
Наше измерение времени, как несовершенное, повседневное (от зари
до зари), так и точное, астрономическое время, дает нам
относительное, или обыденное, время, основанное на наблюдаемых
нами движениях. Эти движения, даже вращение Земли, могут быть не
вполне равномерными, в то время как истинное математическое время
течет само по себе абсолютно равномерно. Постигая относительное
время, конструируя все более и более точные часы, мы имеем в виду
недостижимый идеал, истинное, абсолютное время.
«II. Абсолютное пространство по самой своей сущности
безотносительно к чему бы то ни было внешнему, остается всегда
одинаковым и неподвижным.
5
Относительное пространство есть его мера или какая-либо
ограниченная подвижная часть, которая определяется нашими
чувствами по положению его относительно некоторых тел и которое в
обыденной жизни принимается за пространство неподвижное: так,
например, протяжение пространства подземного воздуха или
надземного, определяемых по их положению относительно Земли»
«III. Место есть часть пространства, занимаемого телом, и по
отношению к пространству бывает или абсолютным, или
относительным»
«IV. Абсолютное движение есть перемещение тела из одного
абсолютного его места в другое, относительное — из относительного
в относительное же».
Из приведенных определений Ньютона вытекает, что:
1) пространство и время обладают объективной реальностью; это
правильно;
2) пространство и время не связаны органически с материей; это
неверно. Такой подход к понятиям о пространстве и времени
метафизичен. Концепция абсолютного пространства— времени,
оторванного от материальных тел и реальных процессов,—
метафизична. Ньютон сам упорно стремился преодолеть отмеченную
выше метафизичность сделанных им определений пространства и
времени. Ньютон видел, что для преодоления метафизичности
необходимо установить связь пространства и времени с материей. Но
из-за тогдашнего невысокого уровня научных познаний выводы
Ньютона, правильные по существу, еще не имели должной широты.
Но, несмотря на это, важно, что основой классической физики
были законы, установленные Ньютоном для движения тел в
абсолютном евклидовом пространстве. По принципу относительности
это пространство представлялось любой системой отсчета, в которой
не проявляется ощутимым образом действие инерционных сил. То
обстоятельство, что абсолютное пространство не ощущается нашими
чувствами, ни в какой мере не поколебало убежденности Ньютона в
том, что понятия об абсолютном пространстве и абсолютном времени
должны быть положены в основу механики. Объективная реальность
абсолютного пространства и абсолютного времени для Ньютона не
подлежала сомнению, поэтому и к понятиям «покой» и «равномерность»
Ньютон относился, как к понятиям, выражающим объективную
реальность, вне зависимости от того, легко или трудно нам распознать
эту реальность. Ньютон говорит: «Может оказаться, что в природе не
существует покоящегося тела, к которому можно было бы относить
места и движения прочих Возможно, что не существует в природе
6
такого равномерного движения, которым время, могло бы измеряться с
совершенной точностью». Ньютон считает, что эти вопросы должны
быть исследованы и изучены. Не останавливаясь ни перед какими
трудностями, Ньютон видел задачу механики и физики в «нахождении
истинных движений тел по причинам, их производящим, по их
проявлениям и по разностям кажущихся движений».
Многие вопросы, возникающие сразу после рождения нового
физического понятия, проясняются постепенно, по мере развития
физики. Это приводит дальше к расширению и уточнению идей
ученых.
Во второй половине XIX в. была создана теория
электромагнитного поля, открыты и изучены электромагнитные
волны. На этой базе началось бурное развитие радиотехники.
Созданная во второй половине XIX века молекулярно-кинетическая
теория исходила из положения, что все тела построены из
мельчайших частичек, находящихся в непрерывном движении. Эти
частички были названы атомами, что по-гречески значит
«неделимые». Однако уже в конце XIX века были обнаружены
испускаемые атомами еще более мелкие (по массе) частички —
отрицательно заряженные электроны. Экспериментальное открытие
электрона, радиоактивности, термоэлектронной эмиссии (испускание
нагретыми металлами электронов), фотоэффекта (вырывание
электронов из металлов под действием света) и других явлений — все
это указывало на то, что атом вещества является сложной системой,
построенной из более мелких частиц. Перед физикой встала проблема
строения атома. И в начале XX века было доказано, что атом имеет
ажурное строение, а в центре его расположено положительно
заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома.
Начало XX столетия ознаменовалось созданием теории
относительности, которая стала ведущей теорией движений со
скоростями, близкими к скорости света, и явилась основой методов
расчета ускорителей заряженных частиц, применяемых в современной
ядерной технике. Этот период характеризуется настойчивыми
попытками проникнуть во внутреннее строение атомов. Ключом к
выяснению строения атомов послужило изучение атомных спектров.
Первый разительный успех в объяснении наблюдаемых спектров
принесла теория атома, развитая Нильсом Бором в 1913 г. Однако эта
теория носила явные черты непоследовательности: наряду с
подчинением движения электрона в атоме законам классической
механики, она налагала на это движение специальные квантовые
ограничения. За эту непоследовательность теории вскоре пришлось
7
расплатиться. После первых успехов в объяснении спектра
простейшего атома — водорода — обнаружилась неспособность
теории Бора объяснить поведение атомов с двумя и большим числом
электронов.
Назрела необходимость создания новой целостной теории
атомов. Начало созданию такой теории было положено в 1924 г.
смелой гипотезой Луи де Бройля. К тому времени было известно, что
свет, будучи волновым процессом, вместе с тем в ряде случаев
обнаруживает корпускулярную природу, т. е. ведет себя как поток
частиц. Введя представление об испускании света отдельными
порциями — квантами, Макс Планк (1858—1947) в 1900 г. решил
задачу об излучении абсолютно черного тела. Таким образом, на
пороге XX столетия появилось понятие кванта, играющее в
современной физике исключительно важную роль и приведшее к
созданию квантовой механики.
Де Бройль высказал мысль, что и частицы вещества, в свою
очередь, должны обнаруживать при определенных условиях волновые
свойства. Гипотеза де Бройля вскоре получила блестящее
экспериментальное подтверждение: было доказано, что с частицами
вещества связан некий волновой процесс, который должен быть учтен
при рассмотрении механики атома. Результатом этого открытия было
создание Э. Шредингером и В. Гейзенбергом новой физической
теории — волновой или квантовой механики. Квантовая механика
достигла поразительных успехов в объяснении атомных процессов и
строения вещества. В тех случаях, когда удалось преодолеть,
математические трудности, были получены результаты, превосходно
согласующиеся с опытом.
Последние 100 лет внесли существенные изменения в
положение физики среди других наук о природе. В 1919 г. удалось
впервые расщепить атомное ядро и показать сложность его строения.
Были открыты многочисленные новые так называемые элементарные
частицы (протон, нейтрон, гипероны, мезоны, нейтрино), и было
показано, что они способны превращаться друг в друга. Используя
современные сверхмощные ускорители ядерных частиц, в 1956 г.
удалось получить новые, ранее не наблюдавшиеся и лишь
теоретически предсказанные физиками частицы — антипротон,
антинейтрон и др.
С каждым таким открытием непрерывно расширялись и
углублялись представления о строении вещества и взаимодействии
элементарных частиц, и возникала необходимость в создании новых
гипотез и развитии новых теорий. Последние годы ознаменовались
8
большими достижениями в области физики элементарных частиц,
термоядерного синтеза, квантовой электроники, физики твердого тела
и т. д.
Итак, начало XX века ознаменовалось в физике коренной
ломкой целого ряда привычных понятий и представлений о строении
вещества. Человек все более и более глубоко проникает в сущность
окружающего его материального мира.
Толчком к развитию физики, как и всех других наук, послужили
практические требования людей. Механика древних египтян и греков
возникла непосредственно в связи с теми запросами, которые были
поставлены тогдашней строительной и военной техникой. Также под
влиянием развивающейся техники и военного дела были сделаны
крупные научные открытия конца XVII и начала XVIII столетий.
Основоположник русской физики и химии М. В. Ломоносов
сочетал свою научную работу с требованиями практики. Его
многочисленные и разнообразные исследования по природе твердых и
жидких тел, оптике, метеорологии, атмосферному электричеству были
связаны с теми или другими практическими задачами.
В начале XIX столетия применение паровых машин сделало
необходимым решение вопроса о наиболее выгодном превращении
тепла в механическую работу. Этот вопрос не мог быть решен при
узкотехническом подходе. После того как в 1824 г. французский
инженер Сади Карно в общем виде рассмотрел проблему о переходе
тепла в работу, можно было действительно увеличить коэффициент
полезного действия тепловых машин. Одновременно работа Карно
послужила фундаментом для возникновения общего учения о
передаче и превращении энергии, получившего впоследствии
название термодинамики. Таким образом, требования практики
приводят к новым физическим открытиям, а эти последние служат
базой для дальнейшего развития техники. Нередко, весьма
теоретические, и отвлеченные на первый взгляд физические открытия
со временем находят самые разнообразные и важные технические
применения. Открытие в 1831 г. Фарадеем электромагнитной
индукции сделало возможным широкое практическое использование
электрических явлений. Открытый в 1869 г. Д. И. Менделеевым
периодический закон не только сыграл исключительную роль в
развитии учения об атомах и природе химических явлений, но и
является руководящим при решении огромного количества
практических задач химии и физики.
В семидесятых годах прошлого столетия Максвелл создал
общую теорию электромагнитных процессов. Исходя из этой теории,
9
он пришел
к выводу о
возможности распространения
электромагнитной энергии в виде волн. В 1888 г. Герц
экспериментально подтвердил правильность этого вывода Максвелла.
Несколькими годами позже открытие Максвелла — Герца было
использовано А. С. Поповым для осуществления радиотелеграфии. В
свою очередь развитие радиотехники открыло перед физиками новые,
исключительно широкие экспериментальные возможности в изучении
свойств природы. Теория Максвелла является фундаментом почти
всех разделов электротехники и радиотехники
Исследования А. Г. Столетова по «актино-электрическим»
явлениям (1888—1889) сыграли существенную роль в выяснении
природы фотоэлектрического эффекта, широко применяемого в
современной технике (телевидение, автоматика и т. д.).
В настоящее время исключительно важные проблемы, которые
способны в корне изменить технику, как, например, непосредственное
практическое использование солнечной энергии или получение
энергии за счет термоядерных реакций требуют для своего решения
дальнейшего глубокого изучения физических явлений. Решение
принципиальных проблем физики элементарных частиц, которые
имеют тесную связь с проблемой ядерных сил, решение проблемы
управляемых термоядерных реакций в настоящее время являются
передним краем наступательного фронта физических наук.
Связь физики с другими науками. Физика теснейшим образом
связана с философией. Крупнейшие открытия в области физики,
такие, как законы сохранения в механике, закон сохранения и
превращения энергии, второй закон термодинамики и др., всегда
являлись ареной острой борьбы между материализмом и идеализмом.
В начале нашего столетия, в связи с потоком открытий современной
физики, эта борьба стала особенно ожесточенной. Идеалистически
настроенные физики и философы пытались и пытаются поныне
использовать конкретные достижения физики, ломку установившихся
физических теорий и представлений для «ниспровержения»
материализма. Верные философские выводы из научных открытий в
области физики всегда подтверждали и подтверждают основные
положения диалектического материализма. Поэтому изучение этих
открытий и их философское обобщение играют важную роль в
формировании подлинно научного мировоззрения.
Последние 100 лет внесли существенные изменения в
положение физики среди других наук о природе. В этот период
физика развивалась такими темпами и достигла таких результатов,
каких не знала ни одна из других естественных наук за всю историю
10
своего существования. Остановимся кратко на связи ядерной физики с
некоторыми другими науками.
Астрофизика наших дней исследует много таких проблем,
успешное решение которых возможно лишь в том случае, если она
будет опираться на достоверные законы физики.
Проблема генерирования энергии в недрах Солнца и других
звезд при высоких температурах и проблема эволюции звезд тесно
связаны с проблемой термоядерных реакций, протекающих в недрах
звезд. Решение проблемы о возрасте космических объектов:
метеоритов, Солнца, звезд, Галактики и доступной нам части
Вселённой, по-видимому, должно проводиться с учетом периодов
распада долгоживущих и «не имеющих родителей» радиоактивных
элементов, например таких, как 92U238, 19K40 и т.д.
Проблема происхождения космических лучей, проблема
«рождения пар» частиц в космических условиях и многие другие
также находятся в тесной связи с проблемами ядерной физики.
Геология, геофизика. Решение вопроса об истории Земли тесно
связано с исследованиями естественной радиоактивности. Для
определения абсолютного возраста Земли и разных ее слоев широко
используются радиоактивные методы. Если определить соотношение
между количеством радиоактивного элемента (урана) и количеством
устойчивых продуктов распада (свинец, гелий) в исследуемой горной
породе, то это даст возможность вычислить возраст исследуемой
породы.
Тепловая история Земли и вопросы современного теплового
состояния ее недр также тесно связаны с проблемами естественной
радиоактивности. В настоящее время широко применяется
радиометрическая аппаратура при разведке и разработке урановых и
ториевых месторождений, в геофизических методах поисков и
разведки нефти, угля и других ископаемых.
Археология. Метод изучения радиоактивности предметов
нашел применение в определении возраста археологических находок,
в. получении важных сведений об историческом прошлом
человечества по этим вещественным историческим находкам. Это
важное «поручение» — рассказать о прожитых веках — выполняет
радиоактивный изотоп углерода 6С14.
Под действием нейтронов космического излучения некоторая
часть ядер азота земной атмосферы превращаются в ядра
радиоактивного углерода 6С14. На протяжении тысячелетней истории
Земли концентрация углерода в атмосфере оставалась практически
постоянной. Они входят в состав органических соединений путем
11
усвоения углекислого газа зелеными листьями. Если растение,
например дерево, погибает и перестает поглощать соединения
углерода из атмосферы, то содержание радиоактивного углерода
постепенно уменьшается, так как он распадается с периодом
полураспада 5568 лет. Через 5568 лет активность (количество)
углерода 6С14 в угле уменьшается в два раза и т. д.
Химия. В результате развития ядерной физики были
искусственно получены новые заурановые элементы, которые не
встречаются в природе. Большим и важным разделом современной
химии является радиохимия, которая изучает химические и физикохимические свойства радиоактивных элементов, разрабатывает
методы выделения и концентрирования радиоактивных изотопов.
Медицина. Естественные и искусственно полученные
радиоактивные изотопы нашли широкое применение в медицине для
диагностики и лечения некоторых заболеваний. Методом меченых
атомов установлено, что кальций входит не только в кости, но и в
нервную систему, цинк играет важную роль в образовании инсулина и
в деятельности белых кровяных шариков. Радиоактивный фосфор
используется для диагностики заболеваний крови, опухоли печени,
заболеваний кожи.
Границы
между
физикой
и
некоторыми"
другими
естественными науками не могут быть установлены резко.
Существуют обширные пограничные области между физикой и
химией, возникли даже особые науки: физическая химия и
химическая физика. Области знания, где физические методы
применяются для изучения более или менее частных вопросов, также
соединяются в особые науки: так возникла например, астрофизика,
изучающая физические явления, в небе, и геофизика, изучающая
физические протекающие в атмосфере Земли и в земной коре.
Физические открытия часто давали толчок к развитию других наук.
Изобретение микроскопа и телескопа ускорило развитие биологии и
астрономии. Открытый физиками спектральный анализ стал одним из
основных методов, астрофизики и т. д.
Известно, что развитие науки и техники определяется
экономическими потребностями общества. Технический уровень
производства в значительной степени зависит от состояния науки.
История развития физики и техники показывает, какое большое
значение имели открытия в физике для создания и развития новых
отраслей техники. Физика явилась фундаментом, на котором выросли
такие новые области техники, как электро- и радиотехника,
электронная и вычислительная техника, приборостроение, ядерная
12
техника и др. Физики вооружают промышленность принципиально
новыми приборами и установками, создают основы новых, более
совершенных методов производства. Быстро развилась физика
полупроводников, почти немедленно получившая практическое
приложение в технике полупроводниковых устройств и приборов.
Краткий методический анализ разделов физики. Механика. В
современной физике основные понятия классической механики не
утратили своего значения, а получили лишь дальнейшее развитие,
обобщение и критическую оценку, с точки зрения пределов их
применимости. При изложении физических основ механики следует
избегать абстрактности механических представлений, максимально
сближая теорию с реальными физическими явлениями и конкретной
природой действующих сил. Ясная физическая и философская
интерпретация представлений классической механики в современной
физике должна явиться основным руководящим началом при
изучении этого раздела программы курса физики.
В начале изложения кинематики точки и поступательного
движения твердого тела следует остановиться на тех представлениях о
свойствах пространства и времени, которые лежат в основе
классической (ньютоновской) механики. В классической механике
пространство и время рассматриваются как объективные формы
существования материи, но в отрыве друг от друга и от движения
материальных тел. Ньютон полагал, что тела и их движение не влияют
ни на ход времени, одинаковый во всех инерциальных системах
отсчета, ни на свойства пространства, описываемые геометрией
Евклида. В ньютоновской механике признается возможность
мгновенной передачи взаимодействий между телами.
При изложении кинематики необходимо использовать
математический аппарат векторной алгебры и дифференциального
исчисления. Следует получить выражения для касательной и
нормальной составляющих ускорения материальной точки в
криволинейном движении и ввести понятие о радиусе кривизны
траектории (на примере плоской траектории).
Колебания здесь рассматриваются, как один из видов движения,
наравне с прямолинейным и вращательным движениями. Для
колебательного движения, как вида движения, необходимо ввести все
кинематические характеристики – скорость, ускорение и т.д. Такое
изложение приводит к значительной экономии времени и на
математической стороне дела и в то же время позволяет наглядно
сравнивать
физические
процессы,
происходящие
при
соответствующих движениях. Это способствует выработке у
13
студентов единого подхода к движениям различной физической
природы. Везде, где возможно, следует использовать графический
метод представления гармонического колебания с помощью
вращающегося вектора. Нужно разъяснить студентам, что любые
колебания линейной системы всегда можно представить в виде
суперпозиции
одновременно
совершающихся
гармонических
колебаний с различными частотами, амплитудами и начальными
фазами. Рассматривая резонанс при вынужденных колебаниях,
необходимо обсудить это явление с энергетической точки зрения.
Изложение динамики материальной точки и поступательного
движения твердого тела должно быть развитием и углублением
соответствующего раздела курса физики средней школы. Внимание
нужно сосредоточить на таких вопросах, как закон движения центра
масс механической системы, закон сохранения импульса и условия
сохранения проекции импульса на ось, работа силы, ее выражение
через криволинейный интеграл и условие независимости работы от
формы траектории, связь кинетической энергии механической
системы с работой сил, приложенных к этой системе. Особенно
тщательно и неторопливо следует излагать вопросы о поле как форме
материи, осуществляющей взаимодействие между частицами
вещества или телами, о потенциальной энергии материальной точки
во внешнем поле (в частности, нужно рассмотреть энергию в поле
центральных сил) и о законе сохранения механической энергии.
Кинематические характеристики вращательного движения
твердого тела и их связь с линейными характеристиками
целесообразно рассматривать непосредственно перед динамикой
вращательного движения. Имеет смысл ввести понятие о моменте
силы и моменте импульса механической системы относительно
неподвижной точки и оси.
Законы сохранения импульса, момента импульса и
механической энергии обычно выводят, основываясь на законах
Ньютона. Поэтому очень важно обратить внимание студентов па то,
что в отличие от законов Ньютона и построенной на них классической
механики, имеющих ограниченные области применимости, законы
сохранения являются универсальными законами, которые отражают
фундаментальные свойства симметрии пространства и времени. Для
иллюстрации универсальности законов сохранения и эффективности
их использования при решении реальных физических задач можно
применить эти законы к расчету удара двух тел.
При изучении темы о неинерциальных системах отсчета и силах
инерции нужно обратить внимание студентов на то, что два основных
14
положения ньютоновской механики, согласно которым ускорение
всегда вызывается силой, а сила всегда обусловлена взаимодействием
между телами, не выполняются одновременно в системах отсчета,
движущихся с ускорением. Полезно обсудить вопрос о том, являются
ли силы инерции «реальными» или «фиктивными».
Молекулярная физика и термодинамики. В начале изложения
этого. раздела курса необходимо разъяснить студентам два
качественно различных и взаимно дополняющих друг друга метода
исследования физических свойств макроскопических систем —
статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический.
Первый лежит в основе молекулярной физики, второй —
термодинамики. Нужно отметить, что свойства огромной
совокупности молекул отличны от свойств каждой отдельной
молекулы. Даже если, как это делается в классической статистической
физике, базирующейся на механической картине мира, можно
считать, что каждая молекула движется по законам ньютоновской
механики, совокупное движение огромного коллектива молекул
обладает
специфическими
закономерностями.
Свойства
макроскопической системы, в конечном счете, определяются
свойствами частиц системы, особенностями их движения и средними
значениями динамических характеристик этих частиц.
Говоря о термодинамическом методе, необходимо четко
сформулировать
определения
таких
основных
понятий
термодинамики, как термодинамическая система, термодинамические
параметры (параметры состояния), равновесное состояние, уравнение
состояния, термодинамический процесс, внутренняя энергия и т. д.
Следует подчеркнуть, что термодинамика, в отличие от молекулярной
физики, не связана с какой-либо конкретной физической картиной
мира. Она основывается на нескольких универсальных принципах —
началах термодинамики, надежно подтвержденных экспериментами.
В этом, с одной стороны, сила термодинамического метода,
пригодного для анализа самых различных физических систем, а с
другой — его слабость. Например, методами термодинамики нельзя
вывести, уравнение состояния системы, нельзя обосновать
существование флуктуации и т. д.
Переходя к рассмотрению молекулярно-кинетической теории
идеального газа, необходимо специально остановиться на той роли,
которую играет в молекулярной физике модель рассматриваемой
системы. Следует подчеркнуть, что выбор этой модели зависит не
только от специфических особенностей системы, но и от того, какие
ее свойства исследуются. Например, при расчете давления газа на
15
стенки сосуда можно, в первом приближении, принять молекулы газа
как упругие шарики малого размера, беспорядочно движущиеся в
сосуде и сталкивающиеся только с его стенками. В то же время для
объяснения процессов установления равновесного распределения
молекул газа, а также закономерностей явлений переноса совершенно
необходимо учитывать столкновения молекул друг с другом, хотя при
этом по-прежнему можно пренебрегать их собственным объемом. В
этой связи весьма поучительно сопоставить на лекции значения
суммарного собственного объема и суммарной площади поверхности
всех молекул газа, находящихся в сосуде, соответственно с объемом
сосуда и площадью поверхности его стенок. Наконец, в молекулярнокинетической теории теплоемкости газа необходимо уже учитывать
внутреннюю структуру молекул. Для объяснения отличия свойств
реальных и идеальных газов необходимо дальнейшее уточнение
модели газа с тем, чтобы она учитывала действие сил взаимного
притяжения и отталкивания молекул, как это сделано, например, в
модели газа Ван-дер-Ваальса.
Следует достаточно обстоятельно рассмотреть такие вопросы,
как молекулярно-кинетическая теория идеальных газов и ее
ограниченность, границы применимости закона равнораспределения
энергии, законы распределения Максвелла и Больцмана.
Первое начало термодинамики целесообразно сформулировать и
записать для малого изменения состояния закрытой системы, т. е.
системы, обменивающейся энергией с внешней средой только путем
теплообмена и совершения работы. Необходимо разъяснить
студентам, что внутренняя энергия в отличие от теплоты и работы
является функцией состояния. Используя выражение для внутренней
энергии идеального газа, полученное от молекулярно-кинетических
представлений, следует записать уравнение первого начала
термодинамики для идеального газа, а затем применить этот закон к
расчету трех изопроцессов и адиабатного процесса идеальных газов. В
заключение можно рассмотреть политропный процесс. Очень полезно
приучать студентов к изображению и распознаванию всевозможных
политропных процессов в различных термодинамических диаграммах.
В особой тщательности изложения нуждается второе начало
термодинамики и его статистическое толкование, а также понятие
энтропии. Очень полезно привести несколько различных
формулировок второго начала термодинамики и показать, что они
полностью эквивалентны. Вряд ли целесообразно излагать
доказательство теоремы Карно о независимости КПД обратимого
цикла Карно от природы рабочего тела. Следует найти выражение для
16
энтропии идеального газа и показать на этом примере, что энтропия в
отличие от количества теплоты является функцией состояния.
Электричество и магнетизм. В электростатике, а затем в
электродинамике впервые в курсе физики более или менее серьезно с
соответствующим математическим аппаратом рассматривается теория
поля. Следует обратить внимание студентов на связь теоремы
Остроградского — Гаусса с законом Кулона и геометрическими
свойствами пространства. Под этим же углом зрения целесообразно
подходить к вопросу о распределении зарядов в проводниках,
находящихся в электростатическом поле. Излагая закон сохранения
электрического заряда, нужно вновь подчеркнуть роль и значение
законов сохранения в физике. Не следует увлекаться расчетами
сложных полей методом суперпозиции. Рекомендуется обратить
основное внимание на физический смысл потенциала и его связь с
напряженностью поля, на графическое представление и анализ
зависимостей напряженности и потенциала от координат для
электростатических
полей,
создаваемых
простейшими
симметричными системами зарядов.
Особого внимания заслуживает круг вопросов, связанных с
расчетом электростатического поля в диэлектрических средах.
Необходимо ввести классификацию зарядов на свободные и
связанные, рассмотреть механизм и рассчитать поляризацию
диэлектриков с неполярными и полярными молекулами.
Электрическое смещение целесообразно ввести в связи с
доказательством теоремы
Остроградского
— Гаусса для
электростатического поля в диэлектрической среде (обычно это
делают на примере поля в диэлектрической среде с неполярными
молекулами). Далее рекомендуется получить условия, которым
удовлетворяют векторы напряженности поля и электрического
смещения на границе раздела двух диэлектрических сред, и
рассмотреть примеры расчета напряженности и потенциала
электростатического поля в диэлектрике. Можно ограничиться
качественным
феноменологическим
описанием
свойств
сегнетоэлектриков.
При изложении вопроса об энергии заряженных проводников и
конденсатора нужно указать, что, оставаясь в рамках электростатики,
нельзя однозначно решить вопрос о локализации этой энергии.
Целесообразно везде, где возможно, пользоваться законом сохранения
и превращения энергии.
Раздел курса о постоянном токе не следует излишне растягивать
на лекциях. При изложении классической электронной теории
17
проводимости металлов нужно рассказать как о достижениях этой
теории, так и о трудностях. В связи с законом Ома необходимо дать
четкое разграничение таких понятий, как разность потенциалов,
электродвижущая сила и электрическое напряжение. Следует также
ввести точечные электрические характеристики и сформулировать
законы постоянного тока в дифференциальной форме.
В качестве основной характеристики магнитного поля следует
вводить магнитную индукцию, основываясь на силовом действии
магнитного поля либо на небольшой элемент проводника с током,
либо на небольшой замкнутый контур с током. Напряженность
магнитного поля целесообразно вводить значительно позднее при
изучении магнитного поля в веществе. Не следует увлекаться
сложными расчетами магнитных полей на основе закона Био— Савара
— Лапласа. Важно подчеркнуть, что для магнитных полей
выполняется принцип суперпозиции. Закон полного тока для поля в
вакууме и теорему Остроградского — Гаусса достаточно показать на
примере магнитного поля прямолинейного проводника с током.
Рассматривая действие магнитного поля на движущийся заряд,
нужно уделить особое внимание вопросу о релятивистском
толковании магнитного взаимодействия, а также анализу
закономерностей движения заряженных частиц в магнитном поле и
практическому использованию этих закономерностей в ускорителях,
МГД-генераторах, масс-спектрометрах и т. д.
Закон электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла
достаточно рассмотреть качественно, на основе опытов. Во втором
случае необходимо остановиться на том, за счет какой энергии
совершается работа индукционного тока. Весьма поучительно
обсудить возникновение ЭДС электромагнитной индукции и
индукционного тока в неподвижном проводящем контуре,
находящемся в переменном магнитном поле.
При рассмотрении магнитных свойств вещества нужно
остановиться на гипотезе молекулярных токов Ампера, а также ввести
понятие макро- и микротоков и намагниченности. Рассматривая
элементарную теорию диа- и парамагнетизма, следует указать на
невозможность всякой классической теории магнитных свойств
вещества. Напряженность магнитного поля целесообразно ввести в
связи с обобщением закона полного тока на магнитное поле в
веществе (обычно это делают на примере поля в диамагнитной среде).
Затем рекомендуется получить условия, которым удовлетворяют
магнитная индукция и напряженность магнитного поля на границе
18
раздела двух сред. Изложение свойств ферромагнетиков должно
носить феноменологический характер.
В заключение нужно рассмотреть основы теории Максвелла для
электромагнитного поля. При этом особое внимание следует обратить
на
физический
смысл
тех
обобщений
экспериментально
установленных законов, которые были сделаны Максвеллом.
Необходимо подчеркнуть относительный характер электрической и
магнитной составляющих электромагнитного поля, т. е. их
зависимость от выбора инерциальной системы отсчета.
Оптика и основы ядерной физики. Волновая оптика
излагается как часть общего учения о распространении волн. Следует
подчеркнуть общность явлений интерференции и дифракции волн
любой природы. Изложение этих явлений должно подготовить
студента к пониманию основ квантовой механики. Наряду с общими
волновыми свойствами нужно отметить специфические особенности
световых волн и их практические приложения. Когерентность и
монохроматичность должны быть связаны с конечной длительностью
свечения отдельного атома. Расчет интерференции многих волн
полезно вести с помощью графического метода. Следует сопоставить
способы наблюдения линий равного наклона и равной толщины.
Необходимо четко сформулировать условия наблюдения
дифракции. При изложении принципа Гюйгенса — Френеля его
нужно рассматривать как расчетный прием, заменяющий строгое, но
очень трудное решение волнового уравнения. При рассмотрении
излучения Вавилова — Черенкова нужно указать, что это
классическое явление можно истолковывать на основе представлений
об интерференции света. Объяснение двойного лучепреломления надо
проводить на основе электромагнитных представлений и с учетом
анизотропии электрических свойств кристаллов. Необходимо
подчеркнуть
значение
поляризационных
эффектов
для
экспериментального доказательства поперечности световых волн, а
также обратить внимание на их практическое применение.
Проблема теплового излучения — важный этап в формировании
научного мировоззрения студентов, так как с теорией равновесного
излучения абсолютно черного тела связан переход от классической
физики к квантовой. Важно подчеркнуть согласие классической
теории с опытом в области малых частот и расхождение в области
больших частот. Необходимо рассмотреть гипотезу Планка о
квантовании энергии осцилляторов. Полный вывод средней энергии
осциллятора и формулы Планка на основе этой гипотезы приводить
19
не обязательно. Необходимо показать, что при малых частотах она
переходит в классическую формулу Рэлея — Джинса.
После анализа трудностей классической физики в истолковании
законов внешнего фотоэффекта нужно остановиться на гипотезе
Эйнштейна о «световых квантах», позднее названных фотонами, т. е.
о дискретной структуре излучения.
При изложении светового давления необходимо остановиться на
опытах П. Н. Лебедева, являющихся образцом экспериментального
искусства и сыгравших большую роль в утверждении
электромагнитной теории света. Следует качественно пояснить
.возникновение светового давления с классической (волновой) точки
зрения и вывести формулу для давления на основе квантовых
представлений. Эффект Комптона нужно рассматривать как наиболее
полное и яркое представление корпускулярных свойств излучения. Он
подтверждает универсальный характер законов сохранения.
Анализ двойственности свойств света должен подготовить
студентов к восприятию двойственности свойств вещества. Важно
подчеркнуть статистический характер попадания фотонов в
отдельные точки экрана. Обсуждая опыты по дифракции электронов,
нужно подчеркнуть их значение как доказательство существования у
частиц вещества волновых свойств. Соотношение неопределенностей
следует рассматривать в связи с корпускулярно-волновым дуализмом
свойств материи. Следует подчеркнуть физический смысл
соотношения неопределенностей как квантового ограничения
применимости понятий классической механики. Затем необходимо
рассмотреть соотношение неопределенностей для энергии и времени.
В заключение нужно указать, что из соотношения неопределенностей
вытекает необходимость описания состояния микрообъекта с
помощью волновой функции, и разъяснить статистический смысл
волновой функции частицы.
Физика атомного ядра. Говоря о составе ядра и его
характеристиках, целесообразно, если позволяет время, начать с
характеристики экспериментальных методов определения массы,
линейных размеров, момента импульса и магнитного момента ядер
атомов. Очень важно привести аргументацию невозможности
существования электронов в ядрах атомов. Говоря о составе ядра и
взаимодействии нуклонов в ядре, нужно рассмотреть свойства
ядерных сил и остановиться на их обменной природе. Дефект массы
должен трактоваться как разность между массой атома данного
изотопа и его массовым числом, т. е. числом нуклонов в ядре. Надо
20
указать на существование зависимости удельной энергии связи ядер
(энергии связи, отнесенной к одному нуклону) от массового числа.
Рассматривая α-распад ядер, следует остановиться на квантовом
механизме этого явления, служащего примером проявления
туннельного эффекта. Важно обратить внимание студентов на
дискретный характер энергетического спектра α-частиц и γизлучения, свидетельствующий о квантовании энергии ядер.
Необходимо специально остановиться на тех трудностях, которые
возникли в согласовании закономерностей β-распада с законами
сохранения энергии и момента импульса, и на том, что выход из этих
трудностей был найден путем введения гипотезы о существовании
нейтрино.
Рассмотрение ядерных реакций целесообразно начать с
описания
опыта
Резерфорда
и
открытия
искусственной
радиоактивности. В этой связи нужно кратко остановиться на
явлениях радиоактивности ядер, а также на явлении электронного
захвата. Следует подчеркнуть, что во всех ядерных реакциях
выполняются законы сохранения энергии, импульса, момента
импульса, электрического заряда (зарядового числа) и массы
(массового числа). Особое внимание нужно уделить реакции деления
тяжелых ядер и ее энергетическому балансу. Для обоснования
реакции деления целесообразно использовать капельную модель ядра
Н. Бора—Л И. Френкеля. В связи с рассмотрением ядерных реакций
синтеза следует остановиться на проблеме осуществления
управляемых термоядерных реакций. Необходимо подчеркнуть
огромное значение этой проблемы, так как ее решение откроет
человечеству неисчерпаемый источник энергии.
В
заключение
нужно
остановиться
на
четырех
фундаментальных взаимодействиях, на классификации, основных
свойствах и взаимных превращениях элементарных частиц, избегая
при этом излишней перегрузки памяти студентов большим
количеством фактических данных. Следует отметить, что
современные представления физики по этим вопросам еще далеки от
завершенности.
21
I Механика
1.1 Кинематика материальной точки
1.1.1 Понятие материальной точки. Система отсчета.
Траектория, путь, перемещение Единицы измерения
Механика – часть физики, которая изучает закономерности
механического движения. Для установления связей и отношений,
которые имеют место в том или ином процессе, необходимо
произвести измерения. Для этого нужно выбрать эталон данной
физической величины и установить способ сравнения этих
физических величин. Для построения системы единиц произвольно
выбирают единицы для нескольких не зависящих друг от друга
физических величин. Эти единицы называются основными.
Основные единицы измерения имеют специальные эталоны
измерения, которые, и хранятся в особых условиях. Остальные же
величины и их единицы выводятся из законов, связывающих эти
величины с основными единицами измерений. Они называются
производными. Построенные по этому принципу системы единиц
носят название абсолютных. Существует несколько систем единиц,
отличающихся выбором тех величин, которые приняты за основные и
для которых установлены специальные эталоны.
В настоящее время в физике согласно Государственному
стандарту (ГОСТ 8.417—81), обязательна к применению Система
Интернациональная (СИ), которая строится на семи основных
единицах — метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела
— и двух дополнительных — радиан и стерадиан.
Метр (м) —длина пути, проходимого светом в вакууме за 1/299
792 458 с.
Килограмм (кг) — масса, равная массе международного
прототипа килограмма (платиноиридиевого цилиндра, хранящегося в
Международном бюро мер и весов в Севре, близ Парижа).
Секунда (с) — время, равное 9 192 631 770 периодам
излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими
уровнями основного состояния атома цезия-133.
Ампер (А) — сила постоянного тока, который при прохождении
по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной
длины и ничтожно малого поперечного сечения, расположенным в
вакууме на расстоянии 1 м один от другого, создает между этими
проводниками силу, равную 2-10-7Н на каждый метр длины.
Кельвин (К) — 1/273,16 часть термодинамической температуры
тройной точки воды.
22
Моль (моль) — количество вещества системы, содержащей
столько же структурных элементов, сколько атомов содержится в
нуклиде 12С массой 0,012 кг.
Кандела (кд) — сила света в заданном направлении источника,
испускающего монохроматическое излучение частотой 540•1012 Гц,
энергетическая сила света которого в этом направлении составляет
1/683 Вт/ср.
Радиан (рад) — угол между двумя радиусами окружности,
длина дуги между которыми равна радиусу.
Стерадиан (ср) — телесный угол с вершиной в центре сферы,
вырезающий на поверхности сферы площадь, равную площади
квадрата со стороной, равной радиусу сферы.
С помощью основных величин можно получить другие
величины либо используя выражения для законов природы, либо
путем целесообразного определения через умножение или деление
основных величин. Например, Скорость = Путь/Время, Работа = Сила
• Путь, Плотность = Масса/Объем, Заряд = Сила тока • Время, и т. д.
При этом необходимо соблюдать правило размерности.
Размерность физической величины есть ее выражение в
основных единицах. Размерности обеих частей физических равенств
должны быть одинаковыми, так как физические законы не могут
зависеть от выбора единиц физических величин. Поэтому можно
проверять с помощью размерности правильность полученных
физических формул.
Для представления физических величин, особенно в формулах,
таблицах или на графиках, используются специальные символы —
обозначения величин. В согласии с международными соглашениями.
Единицы Международной системы (СИ) при практическом
использовании часто оказываются слишком большими или слишком
малыми, поэтому с помощью особых приставок могут быть
образованы десятичные кратные и дольные единицы, если это не
запрещено в отдельных случаях. Сводка этих приставок дана в
специальных справочных таблицах. Существуют некоторые правила
использования приставок. Приведем важнейшие из них:
а) единица измерения не может содержать более одной
приставки.
б) комбинация сокращенного обозначения приставки и единицы
измерения составляют единый символ.
Например, для измерения давления, допускается – исторически
сложившееся единица измерения – мм.рт. столба, или, так как Фарад –
очень крупная единица измерения, в повседневной жизни можно
23
выражать емкость конденсатора долями Фарад: пФ, мФ и т.д. Но при
расчетах необходимо придерживаться определенной системы,
производить все расчеты в одной системе, предпочтительно в СИ.
Главной задачей механики является характеристика движения
тела в пространстве с течением времени. Механическое движение –
это изменение с течением времени взаимного расположения тел или
их частей в пространстве. Чтобы описать механическое движение
применяют ряд научных абстракций, который позволяет отразить
закономерности того или иного вида движения.
Движущееся тело обладает определенными размерами —
протяженностью в пространстве. Иногда форма и размер тела не
влияют на само движение и все процессы в ней. Тогда можно
абстрагироваться от несущественного, незначительного, в условиях
данной задачи, и рассматривать ее как геометрическую точку,
приписав ей массу физического тела. Такая абстракция называется
материальной точкой. Следует указать, что вообще, вводя
абстрактные понятия, в науке отвлекаются от всех свойств тел,
несущественных для рассматриваемого явления, упрощая, таким
образом, задачу и концентрируя внимание на тех свойствах тел,
которые
предопределяют
характер
изучаемого
явления.
Материальной точкой называется тело, размеры которого
пренебрежимо малы по сравнению с масштабами движения.
Изучая более подробно внутренние свойства конкретных тел, мы
можем прийти к понятию твердого тела как системы жестко связанных
между собой материальных точек упругого тела, как системы точек,
способных к небольшим относительным смещениям. С помощью
таких абстракций можно изучить, например, давление газа на стенки
сосуда, в котором он заключен.
Определять положение точки «по отношению к пустому
пространству» невозможно и физически бессмысленно. Можно
определять положение любого тела, в том числе и материальной точки,
лишь по отношению к другому, произвольно выбранному
материальному телу, называемому телом отсчета. Выбранное таким
образом тело условно считается неподвижным. Связывая с этим телом
произвольную систему координат, мы получим систему отсчета
положений материальной точки. Для задания положения этого тела в
пространстве система координат, которая будет каждый раз
показывать ее местоположение в тот или иной момент времени
общепринята трехмерная, простейшая декартовая прямоугольная
система координат (рисунок - 1.1). Положение точки М в этой системе
характеризуется тремя координатами: х — абсцисса, у — ордината и z
24
— аппликата точки: М{х, у, z). Они являются проекциями радиусавектора ОМ=r, проведенного из начала координат в точку М(r).
Вместо координат х, у, z, радиус-вектор r может характеризовать
положение точки в пространстве, задавая, например, его длину /r/ и два
угла: θ, между радиусом-вектором r и осью 0Z и φ между проекцией r
на плоскость XY и осью ОХ, как это показано на чертеже. Такая
система описания движения называется сферической системой
координат.
Во всех случаях, радиус-вектор r и положение точки в
пространстве характеризуются количественно тремя числами,
которые могут меняться независимо друг от друга. Это является
математическим отражением того факта, что пространство
трехмерно. Поскольку три величины, характеризующие положение
точки в пространстве, взаимно независимы, говорят, что материальная
точка обладает тремя степенями свободы, которые описывают
положение материальной точки или твердого тела в любой момент
времени и называются законами движения. Такие уравнения
называют кинематическими уравнениями движения. Для измерения
хода времени, в течение которого происходило движение, необходим
счетчик времени, который также входит, как обязательный для
описания движения, элемент в систему отсчета.
Совокупность последовательных положений, занимаемых
точкой М в процессе ее движения, образует в пространстве линию,
называемую траекторией движущейся точки. На рисунке - 1.2
изображен отрезок траектории.
Рисунок - 1.1
Рисунок - 1.2
В какой-то момент времени t1 точка М занимает на траектории
положение М1, характеризуемое радиус-вектором ОМ1 = r1. Если
материальная точка движется, то ее положение в пространстве с
течением времени меняется:
(1.1)
r = r(t)
25
либо
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
(1.2)
M1M2 = S при этом представляет собой путь, пройденный
точкой М за время ∆t. Вектор M1M2=∆r, проведенный из начального
положения М1 в конечное положение М2, называется вектором
перемещения точки М за время ∆t. При прямолинейном движении |∆r|
= ∆s. В общем случае, как это видно из рисунка, |∆r| ≠∆s, но различие
между ними тем меньше, чем меньше ∆r. Очевидно, что при
произвольном криволинейном движении равенство |∆r|=∆s
соблюдается лишь в пределе для бесконечно малого промежутка
времени, т. е. когда ∆r →0:lim∆s/|∆r| = 1.Из рис. 1.2 видно, чтоr2 = r1
+ |∆r|, или
∆r = r2-rl
(1.3)
т. е. вектор перемещения равен геометрической разности радиусоввекторов конечного и начального положения точки; этот вектор
представляет собой приращение радиуса-вектора и характеризует
изменение положения точки М в пространстве за время ∆t.
1.1.2 Скорость и ускорение произвольно движущейся точки
Траектория
и
перемещение
являются
лишь
чисто
геометрическими характеристиками движения. Два различных
движения, для которых одно и то же перемещение ∆r совершилось за
разные промежутки времени, геометрически одинаковы, но
кинематически совершенно различны. Это различие характеризуется
быстротой изменения положения точки в пространстве, определяемой
отношением
∆r/∆t = vср
(1.4)
Вектор vcp называется средней скоростью движения точки за
время ∆t. Его численное значение |vcp| = | ∆r|/∆t есть скорость такого
равномерного и прямолинейного движения, при котором точка М
перешла бы из положения М1 в положение М2 за тот же промежуток
времени ∆t, за который произошло ее истинное криволинейное
движение по дуге M1M2 (рисунок - 1.3). Вектор vcp как и вектор ∆r,
направлен по секущей M1M2.
26
Переходя к пределу для бесконечно малого промежутка времени
(∆t →0), мы получим вектор истинной, или мгновенной скорости в
точке M1:
vмгн= lim vcp= lim|∆r|/∆t = dr/dt.
(1.5)
Поскольку секущая в пределе совпадает с касательной, то
вектор скорости v направлен по касательной к траектории (рисунок 1.3). Тогда согласно (1.3)
| vмгн| = v = lim|∆S|/∆t = dS/dt
(1.6)
т. е. величина скорости vмгн численно равна пределу отношения длины
пути к промежутку времени, в течение которого это движение
произошло. Математически этот предел приводит к понятию
производной: мгновенная скорость вычисляется как первая
производная от уравнения движения тела.
При прямолинейном движении быстрота изменения величины
скорости v характеризуется ускорением а, которая характеризует те
изменения скорости, которые произойдут за единицу времени.
На рисунке - 1.3 изображен отрезок траектории между двумя
соседними бесконечно близкими точками М1 и М2. Скорости в этих
точках v1 и v2 направлены по касательным к траектории и отличаются
друг от друга по величине и по направлению. Перенесем вектор v2
параллельно самому себе в точку М1 как это показано на рисунке 1.4.
Рисунок - 1.3
Рисунок - 1.4
Соединим теперь конец вектора v1 с концом перенесенного вектора v2
вектором ∆v. Из чертежа видно, что ∆v = v2 —vl, т. е. вектор ∆v есть
геометрическое приращение вектора v за время ∆t. Отношение
27
∆v/∆t =aср
(1.7)
является вектором среднего ускорения за время ∆t, а предел этого
отношения будет вектором истинного, или мгновенного ускорения
а = im аcp= lim ∆v/∆t = dv/dt
(1.8).
Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг
относительно друга с постоянной скоростью v0. Одну из этих систем,
обозначенную на рисунке 1.6 буквой К будем условно считать
неподвижной. Тогда вторая система К' будет двигаться прямолинейно
и равномерно. Выберем координатные оси х, у, z системы К и оси х' , у',
z' системы К' так, чтобы оси х и х' совпадали, а оси у н у', а также z и z'
были параллельны друг другу. Найдем связь между координатами x, у,
z некоторой точки Р в системе К и координатами х', у', z той же точки
в системе К'. Если начать отсчет времени с того момента, когда начала
координат обеих систем совпадали, то, как следует из рисунка - 1.6
x=x'+v0 t. Кроме того, очевидно, что у=у' и z=z'.
Рисунок - 1.5
Рисунок - 1.6
Добавив к этим соотношениям принятое в классической механике
предположение, что время в обеих системах течет одинаковым
образом, т. е. что t=t', получим совокупность четырех уравнений,
называемых преобразованиями Галилея.
x = x' + v0t',
y = y',
z = z',
(1.9)
t = t'
(1.10).
В рамках ньютоновской механики эти формулы оказываются
справедливыми с большой степенью точности. Продифференцировав
28
соотношения (1.9) по времени, найдем связь между скоростями точки Р
по отношению к системам отсчета К и К';
x = x' + v0
у = у'
z = z'
или
или
или
vx = v'x + v0,
vy = v'y
vz = v'z.
(1.11).
Эти три скалярных соотношения эквивалентны следующему
соотношению между вектором скорости v по отношению к системе К и
вектором скорости v' по отношению к системе К':
v = v' + v0
(1.12).
Полученные Галилеем преобразования дают правило сложения
скоростей в классической механике. Следует иметь в виду, что данное
соотношение остается справедливым при произвольном выборе
взаимных направлений координатных осей систем К и К'. Таким
образом, получается следующий результат: параметры, определяющие
изменения состояния движения механических систем, инвариантны
относительно преобразования Галилея. Это положение называется
принципом относительности Галилея.
В общем случае произвольного криволинейного движения
вектор скорости v может меняться и по величине и по направлению.
Поэтому, будет целесообразно характеризовать каждый аспект в
изменении скорости соответствующим ускорением:
- характеризующую быстроту изменения скорости по величине;
- характеризующую быстроту изменения ее по направлению.
Изменение направления вектора скорости за время dt
характеризует вектор аn, который называется нормальным
ускорением. Из чертежа (рисунок 1.7) видно, что оно направлено по
радиусу кривизны (R) сторону вогнутости кривой и вычисляется по
формуле:
аn = v2/R
(1.13).
Изменение величины скорости по времени характеризует
ускорение аτ которое называется касательным, или тангенциальным
ускорением, вычисляется по формуле:
аτ = dv/dt
(1.14).
29
Из рисунка следует, что вектора аn и аτ в каждый момент
времени всегда перпендикулярны в каждой точке траектории, поэтому
полное ускорение а в любой момент времени находится по теореме
Пифагора:
а = √ аn2+ аτ2
(1.15).
В зависимости от вида траектории можно
прямолинейное движение и криволинейное движение.
различать
1.1.3 Кинематика прямолинейного движения
Равномерное прямолинейное движение. Равномерным
прямолинейным называют такое движение, которое происходит по
прямолинейной траектории, и когда за любые равные промежутки
времени тело совершает одинаковые перемещения. Скоростью
равномерного прямолинейного движения называют векторную
величину, равную отношению перемещения тела к промежутку
времени, в течение которого было совершено это перемещение: v=r/t
Направление скорости в прямолинейном движении совпадает с
направлением перемещения, поэтому модуль перемещения равняется
пути движения: /r/ = S. Поскольку в равномерном прямолинейном
движении за любые равные промежутки времени тело совершает
равные перемещения, скорость такого движения является величиной
постоянной (v= const):
v = S/t
(1.16).
Это выражение называется уравнением скорости равномерного
прямолинейного движения, откуда следует уравнением пути
равномерного прямолинейного движения:
S = vt
(1.17).
Это движение можно графически отобразить в разных
координатах. В системе v(t), равномерное прямолинейное движение
скорость будет представлять собой прямую, параллельную оси
абсцисс, а путь – площадь четырехугольника со сторонами равными
величине постоянной скорости и времени, в течение которой
происходило движение (рисунок - 1.8). В координатах S(t), путь
отражается наклонной прямой, а о скорости можно судить по тангенсу
угла наклона этой прямой (рисунок - 1.9) Пусть ось Ох системы
30
координат, связанный с телом отсчета, совпадает с прямой, вдоль
которой движется тело, а x0 является координатой начальной точки
движения тела.
Рисунок - 1.7
Рисунок - 1.8
Вдоль оси Ох направлены и перемещение S, и скорость v
движущегося тела. Теперь можно установить кинематический закон
равномерного прямолинейного движения, т. е. найти выражение для
координаты движущегося тела в любой момент времени.
x = x0+vxt
(1.18).
По этой формуле, зная координату х0 начальной точки движения тела
и скорость тела v (ее проекцию vx на ось Ох), в любой момент времени
можно определить положение движущегося тела. Правая часть
формулы является алгебраической суммой, так как и х0, и vx могут
быть и положительными, и отрицательными (ее графическое
представление дано на рисунке- 1.10).
Рисунок - 1.9
Рисунок - 1.10
31
Прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые
равные промежутки времени изменяется одинаково, называют
равнопеременным
прямолинейным
движением.
Быстроту
изменения скорости характеризуют величиной, обозначаемой а и
называемой ускорением. Ускорением называют векторную величину,
равную отношению изменения скорости тела (v - v0) к промежутку
времени t, в течение которого это изменение произошло: a=(v-v0)/t.
Здесь v0 — начальная скорость тела, v — мгновенная скорость тела в
рассматриваемый момент времени.
Прямолинейное равнопеременное движение есть движение с
постоянным ускорением (a = const). В прямолинейном
равноускоренном движении векторы v0, v и а направлены по одной
прямой. Поэтому модули их проекций на эту прямую равны модулям
самих этих векторов.
Найдем
кинематический
закон
прямолинейного
равноускоренного движения. После преобразования получим
уравнение скорости равноускоренного движения:
v = v0 +at
(1.19).
Уравнение пути равноускоренного движения будет
S= v0t + at2/2.
(1.20).
Если рассматривать два последних уравнения как систему
уравнений и исключить параметр t, то получим еще одно
соотношение для равнопеременного движения:
(v2 - v02) = 2аS
(1.21).
Если первоначально тело покоилось (v0 ==0),
v =√ 2аS
(1.22).
Графики скорости прямолинейного равноускоренного движения
изображены на рисунке – 1.11. На этом рисунке графики 1 и 2
соответствуют движению с положительной проекцией ускорения на
ось Ох (скорость увеличивается), а график 3 соответствует движению
с отрицательной проекцией ускорения (скорость уменьшается).
График 2 соответствует движению без начальной скорости, а графики
1 и 3 — движению с начальной скоростью v0x. Угол наклона графика к
32
оси абсцисс зависит от ускорения движения тела. Для построения
зависимости координаты от времени (график движения) на оси
абсцисс откладывают время движения, а на оси ординат —
координату движущегося тела.
Пусть тело движется равноускоренно в положительном
направлении Ох выбранной системы координат. Тогда уравнение
движения тела имеет вид:
х = х0 + v oxt
(1.23).
Графиком этой зависимости является парабола, ветви которой
направлены вверх, если а>0, или вниз, если а<0. Чтобы построить
график пути, на оси абсцисс откладывают время, а на оси ординат длину пути, пройденного телом. В равноускоренном прямолинейном
движении зависимость пути от времени выражается формулами,
которые отражают квадратичную зависимость. Следовательно,
графиком пути прямолинейного равнопеременного движения является
ветвь параболы (рисунок - 1.12).
Рисунок - 1.11
Рисунок - 1.12
1.1.4 Движение точки по окружности. Связь между
линейными и угловыми кинематическими параметрами
Вращательным называется движение точки, траекторией
которой является окружность. Пусть радиус R этой окружности за
время Δt поворачиваются на угол Δφ. Этот угол Δφ - называется
угловым перемещением точки (рисунок - 1.13).
Угловой скоростью ω называется предел, к которому
стремится отношение углового перемещения Δφ к промежутку
времени Δt, за который это перемещение произошло, при бесконечном
убывании Δt, т. е.
ω =lim Δφ/Δt = dφ/dt
33
(1.24).
Угловым ускорением называется предел отношения изменения
угловой скорости Δω за промежуток времени Δt при бесконечном
уменьшении последнего, т. е.
ε = lim Δω/Δt = dω/dt.
(1.25).
Вращательное движение можно представить как частный случай
криволинейного движения с постоянным радиусом кривизны: R =
const. Поэтому вращательное движение можно характеризовать и
линейными параметрами: линейной скоростью v, линейным
ускорением a{an,aτ}. Между линейной и угловой характеристиками
существует связь, которая позволяет, в зависимости от условия
задачи, легко переходить от одних параметров описания к другим.
Для точки, движущейся по окружности радиуса R, линейная
скорость v = dS/dt, где dS — путь, пройденный телом по дуге
окружности за промежуток времени dt:dS= Rdφ. Подставив ее в
формулу линейной скорости, получим
v = ωR.
(1.26).
Данная формула выражает связь между линейной и угловой
скоростями движения точки по окружности. Криволинейное движение
точки описывается нормальным ускорением an. Произведя с ней
некоторые преобразования, получим:
an = v2/R =(ωR)2/R =ω2R
(1.27).
Тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением
следующим образом:
aτ = dv/dt = d(ωR)/dt = R•dω/dt = ε•R.
(1.28).
Угловая скорость и угловое ускорение – вектора. Поэтому
необходимо уточнить, как они ориентированы в пространстве. Для
этого требуется задать ось вращения и указать, в какую сторону
происходит вращение. Можно связать направление угловой скорости
с движением буравчика: угловой скорости приписывают то
направление, в котором будет двигаться (ввинчиваться или
вывинчиваться) буравчик, если его вращать в направлении
изображаемого вращения (рисунок - 1.14).
Угловая скорость обладает всеми свойствами векторных величин и
34
Рисунок - 1.13
Рисунок - 1.14
поэтому можно к нему применить правило векторного произведения,
которая связывает три вектора следующим образом:
v = [ωR].
(1.29).
Они связаны между собой правилом правого винта: вращение от
ω к R покажет направление поступательного движения тела (v) в
данный момент времени. Если направление оси вращения остаётся
неизменным, то вектор ε лежит на той же оси, что и вектор угловой
скорости. Он совпадает по направлению с ω, если угловая скорость
возрастает по величине (рисунок - 1.15,а), и направлен в
противоположную сторону, если ω уменьшается (рисунок - 1.15,в).
Промежуток времени, в течение которого материальная точка,
двигаясь по окружности, совершает один полный оборот, называют
периодом обращения. Период обращения обозначают буквой Т и
выражают в секундах. Величину п, обратную периоду обращения и
равную числу оборотов, совершаемых телом за единичное время,
называют частотой обращения - n =1/T.
а)
в)
Рисунок - 1.15
1.1.5 Колебательное движение. Виды гармонических
колебаний
Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или
иной степенью повторяемости. Колебания широко распространены в
35
природе и технике. Таким свойством повторяемости обладают,
например, качания маятника часов, колебания струны или ножек
камертона, напряжение между обкладками конденсатора в контуре
радиоприемника и т. п.
В зависимости от физической природы повторяющегося процесса
различают
колебания:
механические,
электромагнитные,
электромеханические и т. д. Несмотря на различие в физической
природе колебаний, закономерности в процессе колебаний – одинаковы
и, поэтому, их можно установить на примере любого из вышеназванных
ее видов.
Простейшим случаем периодического колебания будет
гармоническое колебание, при котором смещение х меняется со
временем по закону косинуса или синуса:
х= A cos (ωt +φ0), х= A sin (ωt +φ0).
(1.30).
На рисунке - 1.16 приведен график зависимости х от t. На
графике отмечена точка О' — другое начало отсчета времени t, при
котором φ принимает нулевое значение, а уравнение колебания
приобретает более простой вид х= Acosφ. Поскольку cos φ меняется в
пределах от -1 до +1, то смещение х точки М от центра колебаний О
находится в пределах: А<х<+А. Максимальная величина этого
смещения |х|mакс= А называется амплитудой колебания. Аргумент φ =
(ωt +φ0), стоящий под знаком косинуса и синуса, определяющий, таким
образом, долю (равную cos φ), которую смещение х составляет от
максимального, называется фазой колебания или, коротко, фазой.
Величина φ0 есть соответственно начальная фаза колебания при t=0.
Величина ω называется угловой частотой гармонического колебания
точки М, которая связана с периодом Т и обычной циклической
частотой υ (числом колебаний за единицу времени) следующим
образом:
ω = 2π υ
(1.31).
Т = 2π/ω =1/υ
(1.32).
Дифференцируя уравнения колебания по времени, находим
скорость колебательного движения точки М в любой момент времени:
v =dx/dt = - Aωsinωt.
36
(1.33).
Дифференцируя соотношение еще раз по t, найдем ускорение
колеблющейся точки:
а =dv/dt = -Aω2 cosωt.
(1.34).
Мы видим, что скорость и ускорение колеблющейся точки
меняются со временем также по гармоническому закону, с той же
самой угловой частотой ω, но не в одной фазе: скорость опережает
смещение по фазе на π/2, а и ускорение отстает по фазе от смещения
на π/2 (рисунок - 1.17). Амплитуда колебаний скорости равна v0 = Aω,
а амплитуда колебаний ускорения а0=-Aω2.
Рисунок - 1.16
Рисунок - 1.17
Выясним, какими силами вызываются гармонические
колебания, воспользовавшись законами динамики. По второму закону
динамики сила F,
F = mа= - ma0 cos ωt = - mх,
(1.35).
Сравнивая эту силу, с силой упругостью из закона Гука (F =kx), замечаем, что они обладают некоторой схожестью:
- величины сил прямо пропорциональны смещению точки от
центра колебания;
- направление сил противоположны направлению смещения.
Силы,
обладающие
такими
свойствами,
называют
«квазиупругими силами» (по-латыни «quasi» означает «как бы»).
Таким образом, чтобы тело совершало гармоническое колебание, не
обязательно, чтобы на нее действовали именно упругие силы.
Достаточно, чтобы сила, определяющая смещение, обладала двумя
вышеназванными особенностями, т.е. была квазиупругой силой.
В зависимости от характера воздействия сил на систему, различают
свободные (или собственные) колебания, затухающие колебания и
вынужденные колебания.
37
Свободными или собственными называются такие колебания,
которые происходят под действием внутренних, собственных сил
тела, после того, как оно было выведено из состояния равновесия.
Примером могут служить колебания шарика, подвешенного на нити
(маятник), сжатая или растянутая пружина и т.д.
Рассмотрим колебания тела, подвешенного на невесомой пружине.
На тело массой m действуют упругая сила пружины Fупр = - kx, под
действием которой тело совершает колебательное движение согласно
второго закона Ньютона: F = ma, т.е., выполняется соотношение:
ma = - kx
(1.36).
Заменяя ускорение а второй производной от смещения по времени
(а=d2x/d2t), получим дифференциальное уравнение собственных
колебаний:
m d2x/d2t + kx = 0 .
(1.37).
Разделим обе части этого уравнения на m, произведя одновременную
замену ω02= k/m:
d2x/d2t + ω02x = 0 .
(1.38).
Это и есть дифференциальное уравнение собственных колебаний
любого маятника, решением которого и является уравнение
гармонических колебаний
х= A cos ω0 t
(1.39).
Здесь ω0 - частота собственных колебаний тела массой m. Для
пружинного маятника (тело, подвешенное на пружине)
ω0= √k/m.
(1.40).
Зная ω0, можно легко найти период колебания:
Т = 2π/ ω0 = 2π√m/ k .
(1.41).
Тело, на которое действует упругая или квазиупругая сила,
будучи выведена из положения равновесия х = 0, начнет совершать
колебания около этого положения. Из-за наличия сил трения подобные
38
реальные собственные колебания тела, всегда будут затухающими.
Разберем аналогичным методом затухающие колебания при наличии
сил трения. Fтр = -r v , где r - коэффициент сопротивления среды, где
происходят колебания. Учет всех сил для затухающих колебаний дает
следующее выражение закона динамики:
Fупр + Fтр = — kx—r v = ma.
(1.42).
После преобразований получим:
d2x/d2t + 2 β dx/dt + ω02x = 0 .
(1.43).
- дифференциальное уравнение движения тела с массой т под
действием квазиупругой силы и силы трения, где произведена замена
:2β = r / m.
β = r/2m
(1.44).
Здесь β имеет смысл коэффициента затухания. Согласно
теории дифференциальных уравнений в таком уравнении искомая
функция x(t) должна обладать следующим свойством: как первая, так
и вторая производная по времени от х (t) должны отличаться от самой
функции х (t) лишь численными множителями. Такой функцией, в
самом общем случае, является показательная функция с комплексным
показателем степени или, что то же, произведение показательной
функции на синус или косинус. Поэтому, решением полученного
дифференциального уравнения затухающих колебаний будет
х = А0е-βt соsωt
(1.45).
Оно отличается от идеального гармонического колебания тем,
что амплитуда колебания А0е-βt является убывающей функцией
времени (рисунок - 1.18). Пунктиром на этом рисунке изображена
зависимость амплитуды от времени, а сплошной линией — полная
зависимость. Чем больше коэффициент трения β, тем быстрее
амплитуда затухающих колебаний убывает со временем. Таким
образом, затухающими будем называть такие колебания, амплитуда
которых с течением времени уменьшается. При наличии трения
убывает со временем не только амплитуда колебания, но и
уменьшается угловая частота колебаний:
39
ω = √ω02 - β2
(1.46),
где ω0 — угловая частота собственных колебаний.
Сопоставим значения амплитуд двух соседних колебаний,
отличающиеся друг от друга на один период, т. е., А(t) = A0e- β t и А(t +
Т) = A0e- β {t+T), и разделив первое из этих значений на второе, получим:
А(t)/ А(t + Т) = e- β t/ e- β {t+T) = e- T = const,
(1.47),
т. е. амплитуда затухающих колебаний за каждый период убывает в
одно и то же число раз. Натуральный логарифм этого отношения
ln А(t)/ А(t + Т) = θ
(1.48)
носит название логарифмического декремента затухания.
коэффициентом затухания (β)он связан следующим образом:
θ = βТ
С
(1.49).
Для получения незатухающих колебаний необходимо
воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая
непрерывно восполняла бы убыль энергии, затрачиваемой на
преодоление трения. Подобная переменная сила называется
вынуждающей силой (Fвын), а возникающие под ее действием
незатухающие колебания — вынужденными. Вынужденными
называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся
система подвергается воздействию внешней периодической силы
Fвын = F0 cos ωt
(1.50).
Здесь F0 есть амплитуда вынуждающей силы, т. е. максимальное
возможное ее значение, ω — угловая частота колебаний
вынуждающей силы. Полная сила, действующая на колеблющуюся
точку, будет алгебраической суммой квазиупругой силы, силы трения и
вынуждающей силы, и дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний примет вид m d2x/d2t = -kx-rv + F0cos(ωt). Или
d2x/d2t + 2 β dx/dt + ω02x = F0/m cos(ωt)
Решение этого уравнения имеет вид
40
(1.51).
x = Acosωt
(1.52)
с неизвестными заранее амплитудой А и сдвигом фазы φ.
Под действием внешней вынуждающей силы возникают
гармонические вынужденные колебания с частотой вынуждающей
силы - ω. Амплитуда вынужденных колебаний прямо пропорциональна
амплитуде вынуждающей силы F0, зависит от характеристик свободно
колеблющейся точки и является функцией угловой частоты колебаний
вынуждающей силы ω:
А = F0/√ (ω02 – ω2)2 + 4β2ω2
(1.53)
φ = arctg 2βω/(ω02 – ω2)
(1.54).
а фаза
Графики зависимости А и сдвига фаз φ от ω (резонансные
кривые) для нескольких значений β представлены на рисунке - 1.19.
Как видно из графика, амплитуда колебаний сначала растет с
увеличением циклической частоты ω вынуждающей силы F и при ω =
ω0 становится бесконечно большой. При дальнейшем росте
циклической частоты ω амплитуда А вынужденных колебаний
уменьшается, причем lim A = 0.
Рисунок - 1.18
Рисунок - 1.19
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний
при приближении циклической частоты вынуждающей силы ω к
собственной частоте ω0 называется резонансом. Явление резонанса
широко используется в радиотехнике (например, для настройки
радиоприемников на прием той или иной радиостанции), в акустике
(для анализа звуков, их усиления и т. д.). Ряд оптических явлений,
например, аномальная дисперсия, связаны с резонансом.
Кинетическая энергия колеблющегося тела непрерывно
меняется:
41
Екин = mv2/2 = (mA2ω02sin2ω0t) /2 = mA2ω02(1- cos2ω0t)
(1.55).
В силу того, что в Екин скорость входит во второй степени, знак
ее не существен, т. е. Екин принимает последовательно при движении к
(+А) те же значения, что и при движении от к (- А). Таким образом, Екин
меняется со временем также по гармоническому закону, но по
сравнению с координатой х — с удвоенной частотой. Физически
удвоение частоты колебания Екин по сравнению с х объясняется
просто. Кинетическая энергия дважды за период обращается в нуль в
точках, где v = 0, — крайних точках движения и также два раза за
период принимает максимальное значение в точках х = 0, где скорость
v максимальна.
При вычислении потенциальной энергии квазиупругих сил
условимся отсчитывать ее от положения равновесия, т. е. положим,
что при х = 0, Епот = 0. Тогда, потенциальная энергия в точке х будет
численно равна работе квазиупругой силы, совершенной при
перемещении из положения равновесия в данную точку и взятой с
обратным знаком: Епот = ∫Fупрdx . Учитывая, что Fупр = ma, найдем
выражение для потенциальной энергии
Епот = m2ω02х2/2 = mA2ω02cos2ω0t /2 = mA2ω02/4(1+ cos2ω0t).
(1.56).
Следовательно, потенциальная энергия Епот меняется с частотой
2ω и в тех же пределах, что и Екин, но со сдвигом фазы относительно Екин
на π. Полная энергия механического движения представляет собой
сумму кинетической и потенциальной энергий.
Е = Екин + Епот = mA2ω02/2.
(1.57).
Таким образом, полная энергия гармонически колеблющейся
точки есть величина постоянная и пропорциональная квадрату
амплитуды колебаний А2. В процессе движения происходит
непрерывный переход кинетической энергии в потенциальную и
обратно, но сумма их остается при этом постоянной. Когда точка
проходит через положение равновесия х=0, потенциальная энергия
обращается в нуль, а кинетическая максимальна и равна полной
энергии. Когда же колеблющаяся точка доходит до одного из своих
крайних положений х = i А, то v = 0, кинетическая энергия обращается
в нуль, а потенциальная максимальна и равна полной энергии.
42
Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно,
как известно, половине. Следовательно, среднее значение ‹Екин›
совпадает со средним значением ‹Епот› и равно Е/2.
1.1.6 Сложение гармонических колебаний
а) Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль
одной прямой. Прежде чем рассматривать сложение колебательных
движений, остановимся на способе представления колебаний
посредством вращающегося вектора амплитуды. Пусть гармоническое
колебание можно описать уравнением:
х = A cos (ωt+ φ0)
(1.58).
Проведем прямую линию ОХ, которую условно назовем
«опорной», и построим вектор А0, численно равный амплитуде А и
направленный из точки О под углом φ к опорной линии (рисунок 1.20). Если начальная фаза положительна, то угол φ откладывается от
опорной линии в сторону, противоположную вращению часовой
стрелки; если начальная фаза отрицательна, то угол φ откладывается
по часовой стрелке. Проекция вектора А0 на опорную линию равна
смещению х0 в момент начала отсчета времени (t =0): х0 = А соsφ1.
Будем вращать вектор амплитуды вокруг оси О, перпендикулярной к
плоскости чертежа, с угловой скоростью ω (против часовой стрелки,
если ω>0). За промежуток времени t вектор амплитуды повернется на
угол ωt и займет положение, изображенное на рисунке - 1.21 вектором
А. Его проекция х на опорную линию равна
x = A cos (ωt +φ1)
(1.59).
За время T, равное периоду колебаний, вектор амплитуды
повернется на угол 2π, а проекция В его конца совершит одно полное
колебание около положения равновесия О. Следовательно,
вращающийся вектор амплитуды полностью характеризует
гармоническое колебание.
Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических
колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.
Сложение этих колебаний удобно производить, пользуясь методом
векторных диаграмм. Пусть колебания заданы уравнениями: x1 = A1
cos (ωt + φ1), x2 = A2cos (ωt +φ2). Так как
колебания совершаются вдоль одной прямой, то и результирующие
колебания будут происходить вдоль этой же прямой. Отложим из
43
точки O опорной линии под углом φ1 вектор амплитуды А1 и под углом
φ2 вектор амплитуды А2 (рисунок - 1.21). Оба вектора вращаются
против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому
угол (φ2-φ1) между ними все время остается неизменным.
Рисунок - 1.20
Рисунок - 1.21
Результирующие колебания могут быть изображены вектором
амплитуды А, равным сумме векторов A1 и А2: А = А1 + А2 и
вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и
векторы А1 и А2.. Результирующие колебания должны быть
гармоническими с циклической частотой ω:
х = A cos ((ωt + φ)
(1.60),
где A — амплитуда результирующих колебаний, а φ— их начальная
фаза. Из рисунка - 1.21 видно, что
А2 = А12 + A22 + 2А1А2 cos (φ2 - φ1),
(1.61)
а начальная фаза φ определяется из соотношения tg φ = ВС/ОС, или
tg φ = (А1 sin φ1 + А2 sin φ2)/(А1 cos φ1+ А2 cos φ2)
(1.62).
Из выражения для амплитуда следует, что амплитуда А
результирующих колебаний зависит от разности начальных фаз (φ2-φ1)
складываемых колебаний. Так (φ2-φ1) с течением времени изменяется,
то можно получить определенное значение амплитуды А. Косинус
любого угла не может быть больше (+1) и меньше (-1).
Следовательно, возможные значения А заключены в пределах ±1:
(А1 + А2)≥А≥(А2 - А1)
(1.63).
Рассмотрим несколько частных случаев. Если амплитуд двух
гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой,
44
одинаковы, а их частоты мало отличаются друг от друга, то в
результате сложения этих колебаний получаются колебания с
периодически изменяющейся амплитудой. Происхождение этого
явления легко представить себе из следующих рассуждений. Пусть в
начале колебаний совпадают по фазе и амплитуда результирующего
колебания равна сумме их амплитуд. Затем второе колебание начинает
отставать по фазе от первого и амплитуда результирующего
колебания убывает. Когда разность фаз слагаемых колебаний
достигнет определенной величины, результирующая амплитуда
станет равной разности амплитуд составляющих колебаний, т. е. в
рассматриваемом случае будет равна нулю. При дальнейшем
увеличении разности фаз амплитуда, результирующего колебания
снова возрастает и, при разности фаз, равной 2π, становится равной
сумме амплитуд и т. д. (рисунок - 1.22).
Рисунок - 1.22
Периодические изменения амплитуды от минимального
значения до максимального называют биениями. Частота биений
равна разности частот складываемых колебаний. Явление биений часто
наблюдается при звуковых и электрических
колебаниях.
Демонстрировать биения можно, заставив одновременно звучать два
камертона, обладающих несколько различными частотами свободных
колебаний.
Колебания вида х = A(t) cos [ωt + φ(t)] называют
модулированными.
Различают
амплитудно-модулированные
колебания, у которых dA/dt«ωAмакс и φ = const, где Амакс — наибольшее
значение амплитуды, и колебания, модулированные по фазе или
частоте, у которых А=const и dφ/dt«ω.
Биения
представляют
собой
простейший
пример
модулированных колебаний, у которых A(t) и φ(t) — периодические
функции времени. Важной задачей теории колебаний является
гармонический анализ (спектральный анализ), т. е. представление
45
сложных модулированных колебаний в виде ряда простых
гармонических колебаний.
В общем виде эта задача была разрешена французским
математиком Ж. Фурье, который показал, что любые сложные
периодические колебания можно представить в виде ряда простых
гармонических колебаний с кратными периодами:
х = f{t) = А0 + А1 sin (ωt + φi) + + А2 sin {2ωt + φ2) + A3
sin (3ωt + φ3) + + An sin (nωt + + φn) + ,
(1.64),
где х = f(t) — функция, описывающая сложное колебание. Число
членов в ряду Фурье, вообще говоря, бесконечно велико. Однако
возможны такие колебания, для которых ряды Фурье не содержат
некоторых членов.
б) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть
материальная точка одновременно участвует в двух гармонических
колебаниях, совершающихся с одинаковыми периодами Т в двух
взаимно перпендикулярных направлениях. С этими направлениями
можно связать прямоугольную систему координат XОY, расположив
начало координат в положении равновесия точки (рисунок - 1.23).
Обозначим смещение точки С вдоль осей ОХ и OY, соответственно,
через х и у. Чтобы найти положение точки в какой-нибудь момент
времени t, надо для этого момента времени найти ее смещения, х и у и
построить на них прямоугольник (рисунок - 1.23). Конец диагонали
прямоугольника определит положение колеблющейся точки в момент
времени t, а отрезок ОС — результирующее смещение S. Рассмотрим
несколько частных случаев.
а) Начальные фазы колебаний одинаковы. Выберем момент
начала отсчета времени таким образом, чтобы начальные фазы обоих
колебаний были равны нулю. Тогда смещения вдоль осей ОХ и 0Y
можно выразить уравнениями х = А1 sin ωt, у = А2 sinωt. Поделив
почленно эти равенства, получим уравнение траектории точки С:
x/y = А1/ А2 или y = (А2/ А1) x
(1.65).
Следовательно, в. результате сложения двух взаимно
перпендикулярных колебаний точка С колеблется вдоль отрезка С1С2
прямой, проходящей через начало координат (рисунок - 1.23). Такие
колебания называют линейно поляризованными.
б) Начальная разность фаз равна π. Уравнения колебаний в этом
случае имеют вид:
46
х =А1 sin (ωt+ π) = - A1 cosωt, у =A2 sin ωt
(1.66).
Уравнение траектории точки С
y =( A2/ A1)x
(1.67).
Следовательно, точка С колеблется вдоль отрезка C1C2 прямой,
проходящей через начало координат, но лежащей в других
квадрантах, чем в первом случае (рисунок - 1.24).
Рисунок - 1.23
Рисунок - 1.24
Амплитуда
А
результирующих
рассмотренных случаях равна:
А = √А12 + А22
колебаний
в
обоих
(1.68).
При начальной разность фаз π/2 получим случай так называемых
эллиптически поляризованных колебаний.
Различные кривые, получаемые при сложении взаимно
перпендикулярных колебаний, принято называть фигурами Лиссажу.
Форма этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и
начальных фаз колебаний. Поэтому в простейших случаях частоты
двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний можно
сравнивать по форме фигур Лиссажу. На рисунке - 1.25 показана одна
из простейших траекторий, получающаяся при отношении частот 1:2 и
разности фаз π/2. Уравнения колебаний имеют вид
х = a cos ωt, y = bcos 2ωt
(1.69).
За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из
одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого
положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем
другого и вернуться в нулевое положение. Чем ближе к единице
47
рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем
сложнее оказывается фигура Лиссажу. На Рисунок - 1.26 для примера
показана кривая для отношения частот 3:4 и разности фаз π/2.
1.2 Динамика материальной точки
1.2.1 Законы Ньютона. Масса, сила. Закон сохранения
импульса, реактивное движение
Раздел физики, изучающий движение тел совместно с
причинами его вызывающими, называют динамикой. Механика
движения со скоростями v«c, т.е., движение медленных тел,
исследуется в классической механике, в основе которой лежат
представления Ньютона, сформулированные в трех его законах.
Рисунок - 1.25
Рисунок - 1.26
Первый закон Ньютона утверждает: всякое тело находится в
состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока
воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это
состояние. В этом законе предполагается, во-первых, что
рассматриваемое тело — абсолютно твердое, во-вторых, речь идет
только о поступательном движении абсолютно твердого тела в
отсутствие внешних воздействий.
Значимость первого закона Ньютона заключается в том, что
здесь допускается существование в природе особого явления –
сохранения любым телом состояния покоя или равномерного и
прямолинейного движения. Это явление Ньютон назвал инерцией.
Этим свойством - сохранения состояния покоя или равномерного и
прямолинейного движения, обладают все тела, поэтому для ее
характеристики пользуются понятием инертность тела. Так как данное
свойство выражено у разных тел по-разному, то количественного
выражения степени выраженности свойства - сохранения состояния
покоя или равномерного и прямолинейного движения было введено
понятие массы – как меры инертности тел. Масса – мера инертности
тел.
48
Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе
отсчета. Система, отсчета, в которой выполняется первый закон
Ньютона, называется инерциальной. Система отсчета, где первый закон
Ньютона не выполняется, называется неинерциальной системой
отсчета. Первый закон Ньютона называют иногда законом инерции.
Любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой
инерциальной системы прямолинейно и равномерно будет также
инерциальной. Поэтому, инерциальных систем отсчета существует
бесконечное множество. Во всех инерциальных системах отсчета
движение данной системы тел описываются одними и теми же
уравнениями. Поэтому, если в различных инерциальных системах
координат мы будем производить одни и те же механические опыты,
то эти опыты во всех случаях дадут один и тот же результат. Это
положение, высказанное впервые Галилеем, носит название
принципа относительности Галилея. Из принципа относительности
Галилея следует: никакие механические опыты, производимые внутри
инерциальной системы, не дают возможности решить вопрос, имеет ли
вся эта система в целом прямолинейное равномерное движение или же
она находится в покое. Другим следствием принципа относительности
является положение, что в мире не существует абсолютно
неподвижного тела: всякий «покой» является относительным.
В содержании первого закона Ньютона характеризуется
условие, при котором тело сохраняет свое состояние (покоя или
равномерного и прямолинейного движения) неизменным, если на это
тело не действуют другие тела. Во втором законе Ньютон отвечает на
вопрос, а что будет, если на это тело воздействует другое тело.
Оказывается, что при этом происходит изменение скорости этого
тела: воздействие на данное тело других тел вызывает изменение его
скорости, т. е. выводит его из состояния покоя или прямолинейного
движения, т.е. сообщает данному телу ускорение a. Для
характеристики такого действия тел друг на друга было введено
понятие силы. Силой называют физическую величину, являющуюся
мерой механического действия на это тело со стороны других тел.
С помощью, уже введенных в научный оборот, понятий массы m и
силы F, содержание второго закона Ньютона можно выразить
следующей формулой:
a = F/m
(1.70).
Таким образом, второй закон Ньютона утверждает: ускорение,
приобретаемое материальной точкой (телом) прямо пропорционально
49
вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно
пропорционально его массе. Более употребительно другая форма
записи этого закона:
F =m a
(1.71).
Полученное уравнение называют основным законом динамики
поступательного движения.
Пусть в начале (t = 0 ) тело обладало скоростью v0. Под действием
силы F за время ∆t = t скорость тела изменилась и стала равной к концу
воздействия - v, т.е. a = (v – v0)/t. Подставим в выражение второго закона
Ньютона и преобразуем его:
F =m a = m(v – v0)/t = (mv – mv0)/∆t
(1.72).
Анализ полученного соотношения показывает, что сила прямо
пропорционально разности произведений - Р = mv, которую назвали
импульсом тела.
F = (mv – mv0)/t = (Р2 - Р1)/ ∆t =∆Р/∆t
(1.73),
где Р2 и Р1 конечный и начальный импульсы тела, а (Р2 - Р1) = ∆Р
изменение импульса тела, которое произошло за время ∆t. Выражение
(1.73) называется уравнением движения тела и представляет собой
общую формулировку второго закона Ньютона: скорость изменения
импульса тела равна действующей на нее силе.
Cила - величина векторная. Если на тело одновременно действуют
п сил F1, F2, , Fn приложенных в одной и той же точке А тела, то их
можно заменить одной эквивалентной им силой F, равной их
геометрической сумме: F = ∑ Fi , и приложенной в той же точке А.
Силу F называют результирующей, или равнодействующей силой.
Очевидно, что силы, приложенные в одной и той же точке тела,
взаимно уравновешиваются в том и только в том случае, если
результирующая этих сил равна нулю. Действие силы на абсолютно
твердое тело не изменяется при переносе ее точки приложения вдоль
линии действия силы. Если на материальную точку одновременно
действуют несколько сил, то каждая из них сообщает материальной
точке такое же ускорение, как если бы других сил не было. Это
утверждение называют принципом независимости действия сил.
Опыты показывают, что механическое воздействие двух тел друг
на друга всегда представляет собой их взаимодействие: если тело 1
50
действует на тело 2, то при этом тело 2 в свою очередь действует на
тело 1. На основе количественного анализа механического
взаимодействия тел Ньютон установил свой третий закон: действия
двух тел друг на друга всегда равны по величине и направлены по одной
прямой в противоположные стороны, т. е.
F12 = - F21
(1.74).
Здесь F12— сила, действующая на первое тело со стороны второго, а
F21— сила, действующая на второе тело со стороны первого. Следует
отметить, что силы F12 и F21 приложены к разным телам и потому не
уравновешивают друг друга.
Третий закон Ньютона является существенным дополнением к
его первому и второму законам. Он позволяет перейти от динамики
отдельной материальной точки к динамике произвольной системы
материальных точек, т.е. произвольной механической системы. Для ее
описания в динамике широко пользуются понятием центра инерции
механической системы. Центром инерции, или центром масс, системы
материальных точек называют такую точку С, положение которой
задается радиусом-вектором
rc = (∑miri)/∑mi = (1/m) ∑ miri
(1.75),
где mt и ri; — масса и радиус-вектор i-й точки системы, т — общая
масса всей системы, а п — число материальных точек, входящих в
состав системы. Скорость центра инерции системы
vc = drc/dt = (1/m) ∑ mi dri/dt = (1/m)∑mi vi
(1.76),
где vi — скорость i-й материальной точки.
Систему материальных точек (тел), не входящих в состав
рассматриваемой механической системы, называют внешними телами,
а силы, действующие на систему со стороны этих тел,— внешними
силами.
Соответственно,
силы
взаимодействия
между
материальными точками, принадлежащими рассматриваемой системе,
называют внутренними силами.
Механическую
систему
называют
замкнутой,
или
изолированной, если на нее не действуют внешние силы, т. е.
происходит взаимодействие только между точками, образующими
данную механическую систему. Для замкнутой системы сумма всех
внешних сил равна нулю. Отсюда следует закон сохранения
51
импульса: импульс замкнутой системы остается постоянной, какие
бы процессы не происходили в этой системе:
dР/dt = 0, Р = ∑mivi = const
(1.77),
где mi и vi — масса и скорость i-ой материальной точки системы.
Закон сохранения импульса является одним из основных
законов природы. Мы получили его как следствие законов Ньютона.
Однако это вовсе не означает, что закон сохранения импульса имеет
место лишь в тех пределах, в каких выполняются законы Ньютона и
построенная на них классическая механика. Этот фундаментальный
закон природы, как показывается в теоретической физике, является
следствием определенного физического свойства пространства — его
однородности. Однородность пространства означает, что параллельный
перенос ;в нем замкнутой системы как целого не должно отражаться на
физических свойствах системы и законах ее движения.
До сих пор мы предполагали, что масса тела остается
постоянной, так как само тело не изменяется в процессе его движения.
Однако это условие далеко не всегда выполняется. Например,
продукты сгорания запасенного в ракете топлива выбрасываются из
сопла ракетного двигателя, и масса ракеты уменьшается по мере
сгорания топлива.
Идея применения реактивной силы для создания летательных
аппаратов высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем.
К.Э.Циолковский в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию
движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного
двигателя. Поэтому его считают основателем отечественной
космонавтики.
Рассмотрим движение ракеты, на которую не действуют никакие
внешние силы. Полагая F = 0 и считая, что скорость выбрасываемых
газов
относительно
ракеты
постоянна
(ракета
движется
прямолинейно), получим m dv/dt = – u dm/dt
откуда v = -u∫ dm/m =-u lnm + C. Значение постоянной интегрирования
С определяют из начальных условий. Если в начальный момент
времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса m0, то С = u
lnm0 . Следовательно,
v = u ln(m0/m)
(1.78).
Это соотношение называется формулой Циолковского. Она
показывает, что:
52
1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна
быть стартовая масса ракеты m0;
2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может
быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Все соотношения получены для нерелятивистских движений, т.
е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью
света с.
Уравнение поступательного движения тела переменной массы
впервые было предложено профессором Петербургского университета
И. В. Мещерским (1897). Для вывода этого уравнения воспользуемся
дифференциальным уравнением для поступательного движения
системы, состоящей из тела переменной массы и присоединяющихся или
отделяющихся от него частиц. И. В. Мещерский показал, что для тела
переменной массы m, движущегося поступательно, имеет место
следующее уравнение движения:
d(mv)/dt = F+ (dm1/dt) • v1 – d(m2/dt) • v2
(1.79),
где v — скорость тела, F - вектор внешних сил, m1— масса,
присоединяющаяся к телу, m2— масса, отделяющаяся от тела, v1 и v2—
скорости этих масс. В случае если v1 и v2 равны нулю, это уравнение
переходит в следующее: d(mv)/dt = F
При изучении реактивного движения (когда имеются только
отделяющиеся массы) удобно уравнение движения преобразовать к
виду: ma = F+ dm2/dt • (v- v2), где a — ускорение тела, (v- v2)— скорость
присоединяющихся или отделяющихся частиц по отношению к телу,
называемая их относительной скоростью. Уравнение движения тела
переменной массы имеет вид
ma = F + Fp,
(1.80)
где a — ускорение тела, а дополнительную силу Fp = dm2/dt•(v- v2),
обусловленную переменностью массы тела, называют реактивной
силой.
Таким образом, было получено уравнение движения тела
переменной массы, которое впервые было выведено И. В.Мещерским
(1859—1935).
Идея применения реактивной силы в летательных аппаратов
высказывалась уже давно. В современных авиационных реактивных
двигателях воздух, поддерживающий сгорание топлива, нагнетается
специальными насосами. Насос приводится в движение турбиной,
53
действующей за счет струи газа, вытекающего из камеры сгорания.
Реактивное действие струи создает полезную тягу двигателя. Такой
двигатель носит название турбореактивного двигателя. Авиационный
турбореактивный двигатель отличается от простого реактивного
двигателя, употребляемого на ракете, тем, что в нем для сгорания
топлива используется кислород атмосферного воздуха, а не
окислитель, который наряду с горючим несет в своих баках ракета.
Благодаря этому, общая масса горючего для турбореактивного
двигателя значительно меньше, чем для реактивного. Это
преимущество турбореактивного двигателя делает его более
пригодным для самолетов, чем простой реактивный двигатель.
Однако, турбореактивный двигатель не может работать на очень
больших высотах, где плотность атмосферы слишком мала. Он не
пригоден для полетов, выходящих за пределы земной атмосферы.
Вопросам ракетной техники и применению ракет для
межпланетных сообщений была посвящена вся жизнь выдающегося
ученого и изобретателя К. Э. Циолковского. Уже в 1903 г. он
опубликовал статью, в которой была рассмотрена теория движения
ракеты и впервые были даны основы теории жидкостного реактивного
двигателя.
Современные искусственные спутники Земли и космические
ракеты выводятся на орбиту с помощью многоступенчатых ракет, так
как в случае одноступенчатой ракеты была бы слишком велика масса,
которой надо сообщить космическую скорость. Принцип
многоступенчатой ракеты был впервые выдвинут К. Э. Циолковским.
Ракета использует химическое топливо, причем каждая ступень ракеты
имеет свои баки для горючего и окислителя. Схема движения
трехступенчатой ракеты состоит в следующем: вначале происходит
сгорание топлива в двигателе первой ступени, при этом приводится в
движение вся ракета, как целое. Когда топливо первой ступени
оказывается использованным, она отделяется, и дальнейший полет
ракеты продолжается за счет работы двигателя второй ступени. По
окончании работы двигателя второй ступени она отделяется, в свою
очередь, и полет продолжает одна третья ступень, масса которой
значительно меньше начального ее значения.
Теория воздушно-реактивного двигателя впервые была
опубликована в 1929 г. академиком Б. С. Стечкиным. Из-за ряда
технических трудностей широкое развитие реактивной и ракетной
техники началось лишь в период второй мировой войны и особенно
после ее окончания. Применение реактивных двигателей в авиации
позволило во много раз увеличить скорости самолетов. Например,
54
скорость современного транспортного самолета ТУ-144 в четыре раза
превосходит скорость истребителей с поршневыми двигателями
внутреннего сгорания, применявшихся в период второй мировой войны
и составляет около 2500 км/ч.
Ракетная техника явилась той базой, на основе которой стали
возможными запуски искусственных спутников Земли, пилотируемых
космических кораблей и автоматических орбитальных, лунных и
межпланетных станций.
1.2.2 Силы в механике
В современной физике различают четыре вида взаимодействий:
1) гравитационное (обусловленное всемирным тяготением);
2) электромагнитное (осуществляемое через электрические и
магнитные поля);
3) сильное или ядерное (обеспечивающее связь частиц в
атомном ядре);
4) слабое (ответственное за процессы взаимопревращений
элементарных частиц).
В
задачах
классической
механики
встречаются
с
гравитационными и электромагнитными силами, а также с упругими
силами и силами трения. Два последних вида сил определяются
характером взаимодействия между молекулами вещества. Силы
взаимодействия между молекулами имеют электромагнитное
происхождение. Следовательно, упругие силы и силы трения являются
по своей природе электромагнитными. Гравитационные и
электромагнитные силы являются фундаментальными — их нельзя
свести к другим, более простым, силам. Упругие же силы и силы
трения не являются фундаментальными. Законы фундаментальных сил
чрезвычайно просты. Для упругих сил и сил трения они получены
эмпирически.
Под действием приложенных к нему сил всякое реальное тело
деформируется, т. е. изменяет свои размеры и форму. Если после
прекращения действия сил тело принимает первоначальные размеры и
форму, деформация называется упругой. Упругие деформации
наблюдаются в том случае, если сила, обусловившая деформацию, не
превосходит некоторый, определенный для каждого конкретного тела
предел (предел упругости).
Опыт показывает, что при небольших деформациях удлинение
пружины ∆х оказывается по величине пропорциональным
растягивающей силе: ∆х~Fупр,. Соответственно, упругая сила
55
оказывается
пропорциональной
противодействует ей:
Fупр. = - k∆х.
удлинению
пружины
и
(1.81).
Это соотношение носит название закона Гука, где k называется
коэффициентом жесткости пружины.
Силы трения появляются при перемещении соприкасающихся
тел или их частей друг относительно друга. Трение, возникающее при
относительном перемещении двух соприкасающихся тел, называется
внешним (сухим); трение между частями одного и того же сплошного
тела (например, жидкости или газа) носит название внутреннего
трения. Силы трения, которые возникают при движении твердого
тела в жидкой или газообразной среде, следует отнести к категории
сил внутреннего трения. В этом случае, слои среды, непосредственно
соприкасающиеся с телом, вовлекаются им в движение с той же
скоростью, с какой твердое тело движется в этой среде. Трение между
поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо
прослойки, например смазки между ними, называется сухим. Трение
между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также
между слоями такой среды называется вязким (или жидким).
Силы трения направлены по касательной к трущимся
поверхностям (или слоям), причем так, что они противодействуют
относительному смещению этих поверхностей (слоев). Если, например,
два слоя жидкости скользят друг по другу, двигаясь с различной
скоростью, то сила, приложенная к более быстро движущемуся слою,
направлена в сторону, противоположную движению, а сила,
действующая на слой, движущийся медленнее, направлена в сторону
движения слоя. Сухое трение возникает не только при скольжении
одной поверхности по другой, но также и при попытках вызвать такое
скольжение. В последнем случае она называется силой трения покоя.
Одно тело прижимается к другому телу с силой Fтр, направленной по
нормали к поверхности соприкосновения тел (рисунок - 1.27). Она
называется силой нормального давления N и может быть
обусловлена весом тела или другими причинами. Cила трения Fтp по
модулю равна N, но имеет противоположное направление.
Безразмерный коэффициент пропорциональности µ называют
коэффициентом трения. Он, как показывает опыт, зависит от
материала и состояния поверхностей соприкосновения тел. Если тело
находится на наклонной плоскости, то, как видно из рисунка - 1.28
56
N = Р cos φ и F = Psin φ
(1.82),
где Р — сила тяжести тела, φ —угол наклона плоскости к горизонту и
сила трения равна:
Fтр = - µN
(1.83).
Рисунок - 1.27
Рисунок - 1.28
При малых углах φ тело неподвижно на наклонной плоскости.
По мере увеличения угла φ сила F возрастает и при некотором угле
φ>φ0 тело скользит по наклонной плоскости. Полагая Р sin φ0 = F0 = µ
P cos φ0, найдем связь между коэффициентом статического трения и
углом трения:
µ = tg φ0.
(1.84).
При действии на соприкасающиеся два тела касательных сил,
величина которых меньше предельного значения силы статического
трения, тела не проскальзывают друг относительно друга. Если
внешняя сила F превзойдет по модулю F0, тело начинает скользить,
причем его ускорение определяется результирующей двух сил:
внешней F и силы трения скольжения Fтp, величина которой в той или
иной мере зависит от скорости скольжения.
В отличие от сухого вязкое трение характерно тем, что сила
вязкого трения обращается в нуль одновременно со скоростью.
Поэтому, как бы ни была мала внешняя сила, она может сообщить
относительную скорость слоям вязкой среды.
Между твердым телом и вязкой (жидкой или газообразной)
средой в жидкой или газообразной среде возникают силы
сопротивления среды, которые могут быть гораздо значительнее, чем
силы трения.. При небольших скоростях эта сила растет линейно со
скоростью:
57
Fсопр = -rv
(1.85),
где знак минус означает, что эта сила направлена противоположно
скорости. Величина коэффициента r зависит от формы и размеров
тела, состояния его поверхности и от свойства среды, называемого
вязкостью.
Сила тяжести и вес. Под действием силы притяжения к Земле
все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли
ускорением g.= 9.81 м/с2. Это означает, что в системе отсчета, связанной
с Землей, на всякое тело массы т действует сила, называемая силой
тяжести:
Fтяж = mg
(1.86).
Когда тело покоится относительно поверхности Земли, сила
Fтяж уравновешивается реакцией подвеса или опоры, удерживающего
тело от падения (F= - Fтяж). По третьему закону Ньютона тело в этом
случае действует на подвес или опору с силой P, равной — Fтяж т. е. с
силой
P = Fтяж = mg
(1.87).
Сила P, с которой тело действует на подвес или опору,
называется весом тела. Эта сила равна mg лишь в том случае, когда
тело и опора неподвижны относительно Земли (рисунок - 1.29,б). В
случае их движения с некоторым ускорением а вес P не будет равен
mg. Уравнение движения тела будет иметь вид
Fтяж + P = mа
(1.88),
где реакция подвеса представляет собой вес тела Р в этих условиях.
Отсюда
Р =m(g±а)
(1.89).
Эта формула определяет вес тела в общем случае (в этом
предположении выполнены рисунки - 1.29 а,в). В зависимости от
направления движения в выражении (1.89) P, обозначим знаком «+»
движение, когда а направлен вверх, знак «-» соответствует
направлению а вниз. Отсюда следует, что вес Р может быть, как
больше, так и меньше силы тяжести Fтяж.. При свободном падении
58
тела с а =g сила Р, с которой тело действует на подвес, равна нулю.
Наступает состояние невесомости. Космический корабль, летящий
вокруг Земли с выключенными двигателями, движется, как и свободно
падающая рамка, с ускорением g, вследствие чего тела внутри корабля
находятся в состоянии невесомости — они не оказывают давления на
соприкасающиеся с ними тела. Если тело поднимается вверх с а, то
наступает явление, которое известно в науке как перегрузка. При этом,
а)
б)
Рисунок - 1.29
в)
в зависимости от значения а, может быть многократное увеличение
собственного веса поднимающегося ввысь тела, что и обозначается как
перегрузка.
Отметим, что часто путают силу тяжести Fтяж и вес тела Р. Это
обусловлено тем, что в случае неподвижной опоры силы Fтяж и Р
совпадают по величине и по направлению (обе они равны mg). Однако
следует помнить, что эти силы приложены к разным телам: Fтяж
приложена к самому телу, Р приложена к подвесу или опоре,
ограничивающим свободное движение тела в поле сил земного
тяготения. Кроме того, сила Fтяж всегда постоянна и равна mg,
независимо от того, движется тело или покоится. Вес Р зависит
величина переменная, зависит от ускорения, с которым движется тело.
1.2.3 Работа сил в механике, энергия. Закон сохранения
энергии в механике
Работой постоянной силы F, когда тело движется поступательно
и прямолинейно, при прохождении телом пути S, называют величину
А = FScos α = FτS,
(1.90),
где α— угол между силой F и направлением движения тела. Здесь.
Fτ= Fcos α — проекция силы F на направление вектора v скорости
тела (рисунок - 1.30).
59
В общем случае тело может двигаться произвольным,
достаточно сложным образом, а сила F — изменяться (рисунок - 1.31).
Тогда, рассматривая достаточно малое (элементарное) перемещение
тела ds, в пределах которой можно считать силу F постоянной,
элементарную работу, можно вычислить по формуле:
dА = Fcosαds = Fτds
(1.91).
Работа, совершаемая силой F на конечном пути s, равна сумме
элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути;
эта сумма приводится к интегралу:
A = ∫F cos αds = ∫Fτ ds
(1.92).
Работа, совершаемая силой F на конечном пути S, графически
измеряется площадью заштрихованной на рисунке - 1.31 фигурой,
ограниченной, с одной стороны функцией F(t), с другой стороны,
ординатами, определяемыми S.
Рисунок - 1.30
Рисунок - 1.31
Силу F, действующую на материальную точку, называют
консервативной, или потенциальной, если работа А, совершаемая
этой силой при перемещении точки из одного произвольного
положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это
перемещение произошло. Поэтому при перемещении материальной
точки вдоль замкнутой траектории работа консервативной силы
тождественно равна нулю. Таким образом, консервативные силы
можно определить двумя способами:
1) как силу, работа которой не зависит от пути, по которому
частица переходит из одного положения в другое;
2) как силу, работа которой по замкнутому пути равна нулю.
60
Примерами консервативных сил могут служить силы
всемирного тяготения, силы упругости, силы электростатического
взаимодействия между заряженными телами.
Все силы, не удовлетворяющие условию консервативности,
называются неконсервативными. Характерным примером таких сил
являются силы трения скольжения. Сила трения скольжения всегда
направлена в сторону, противоположную направлению движения, так
что cosα = -1. Поэтому работа силы трения скольжения вдоль
замкнутой траектории всегда отрицательна и никогда не равна нулю.
Для характеристики скорости совершения работы силой вводится
понятие мощности. Мощностью N силы F называется физическая
величина, численно равная работе, совершаемой этой силой за единицу
времени:
N = dA/dt
(1.93.
Подставляя в эту формулу выражение для элементарной работы,
получим
N = F cosα ds/dt = Fvcosα
(1.94),
где v — скорость точки приложения силы.
В механике различают два вида энергии, кинетическую и
потенциальную. Кинетической энергией тела называют энергию ЕK,
являющуюся мерой его механического движения и измеряемую той
работой, которую может совершить тело при его торможении до
полной остановки. Найдем выражение для кинетической энергии
твердого тела В, имеющего массу т и движущегося поступательно со
скоростью v.
Пусть тело В тормозится под действием некоторой силой F (в
общем случае переменной) и на малом участке пути ds совершает
элементарную работу dА = - Fτ ds. По второму закону Ньютона - Fτ=
mdv/dt Следовательно, dA = - m (dv/dt) ds = - m (ds/dt) dv = - m v dv.
Работа, совершаемая телом В до полной его остановки
A = - ∫ m v dv = mv2/2
(1.95).
Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося телa,
равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:
Ек = A = mv2/2
61
(1.96).
Данная формула справедлива для кинетической энергии
материальной точки. Любую механическую систему можно
рассматривать как систему материальных точек. Поэтому кинетическая
энергия ЕK механической системы равна сумме кинетических энергий
всех п материальных точек, образующих эту систему:
Ек = ∑ Еi = ∑mivi2/2
(1.97),
где mi, vi — масса и скорость i-й материальной точки. Таким образом,
кинетическая энергия системы полностью определяется величинами
масс и скоростей движения. входящих в нее материальных точек. Она
не зависит от того, каким образом части рассматриваемой системы
приобрели данные значения скоростей. Кратко этот важный вывод
можно сформулировать следующим образом: кинетическая энергия
системы есть функция состояния ее движения.
Если на систему материальных точек или тел действуют
консервативные (потенциальные) силы, то можно ввести понятие
потенциальной энергии этой системы. В самом деле, работа,
совершаемая консервативными силами, не зависит от того, как было
осуществлено это перемещение. Работа А1-2 при перемещении системы
из одной точки пространства, полностью определяется начальной и
конечной местоположениями системы. Это можно выразить в форме
А1-2 = Еп1 – Еп2
(1.98),
где Еп — некоторая функция состояния системы, зависящая только от
координат всех материальных точек системы. Эту функцию называют
потенциальной энергией системы. Отсюда следует, что работа
консервативных сил, действующих на механическую систему, равна
убыли потенциальной энергии этой системы. Из определения следует,
что потенциальная энергия системы в произвольном состоянии равна
работе, совершаемой консервативными силами при переводе системы
из одного состояния в другое по условию задачи.
Так, например, работа силы тяжести зависит только от разности
высот начальной и конечной точек пути. Сила тяжести тела
приложена к его центру тяжести. Поэтому работа силы тяжести при
любом движении тела равна произведению этой силы на разность высот
начального и конечного положений его центра тяжести. Отсюда
следует, что работа силы тяжести вдоль замкнутой траектории центра
тяжести тела равна нулю, т. е. что сила тяжести, действительно,
62
является консервативной. Потенциальная энергия тела, поднятого на
высоту H над поверхностью Земли равна
En =mgH+ Еno
(1.99),
где Еn0— потенциальная энергия тела, лежащего на поверхности
Земли. Обычно принимают Еn0 = 0, так что
Еn = mgH.
(1.100).
Найдем потенциальную энергию упруго деформированного
тела. Сила упругости Fynp, как известно из опыта, пропорциональна
величине деформации х, т. е. Fynp, = - kх где k — коэффициент
упругости, характеризующий упругие свойства тела, а знак минус
показывает, что сила упругости направлена в сторону,
противоположную
направлению
деформации:
упруго
деформированное тело стремится восстановить свои первоначальные
форму и размеры.
Элементарная работа, совершаемая силой Fynp при бесконечно
малом изменении деформации тела на величину dx равна dА = (Fynpdx)
= - kxdx. Работа этой силы при конечном изменении деформации тела,
например, при переводе его из недеформированного состояния (х=0) в
состояние, соответствующее деформации х, равна
А = - ∫kxdx = - kx2/2
(1.101).
Работа А не зависит от хода процесса деформации тела и полностью
определяется значениями деформации тела в начальном и конечном
состояниях.
Следовательно,
силы
упругости
являются
консервативными, а потенциальная энергия упруго деформированного
тела
Еn = kx2/2.
(1.102).
Полной механической энергией системы называют величину
E, равную сумме кинетической и потенциальной энергий этой
системы:
E = EK+ En.
(1.103).
63
Полная механическая энергия системы — функция ее
состояния, так как зависит только от координат, скоростей и масс всех
малых частей (материальных точек) системы
Найдем условие, которому должна удовлетворять система тел
для того, чтобы ее полная механическая энергия не изменялась с
течением времени. Если v — скорость i-й материальной точки с
массой ти то ее кинетическая энергия Eкi = mivi2/2. Изменение этой
энергии за малый промежуток времени dt, связанное с изменением
скорости v, на dvi= a i d t (аi— ускорение рассматриваемой
материальной точки), равно
dEкi = mi /2[(dvi, vi) + (vi ,dvi,)] = mi(aidt, vi,) = (miаi, vtdt) =
(miаi, dri)
(1.104),
где dri = vidt— приращение радиуса-вектора ri, материальной точки.
По второму закону Ньютона miаi = Fi + fi, где Fi и fi — результирующие,
соответственно,
консервативных
и
неконсервативных
сил,
действующих на i-ю материальную точку. Поэтому
dEкi. = (Fi dri) + (fi dri)
(1.105).
Кинетическая энергия WK всей системы равна сумме кинетических
энергий всех п материальных точек, образующих эту систему, а ее
изменение за малый промежуток времени dt dЕк = ∑dEкi., т. е.
dЕк =∑(Fi dri) +∑(fi dri)
(1.106).
Первая сумма в правой части этого уравнения представляет
собой суммарную работу dA, совершаемую всеми консервативными
силами за промежуток времени dt. Эта работа равна убыли за то же
время dt потенциальной энергии системы
Еn = Еnвнутр + Еnвнешн
(1.107),
∑(Fi dri) = dA = - dЕn
(1.108).
Вторая сумма в правой части уравнения ∑(fi dri).представляет
собой суммарную работу dAнк, совершаемую всеми неконсервативными
силами. Таким образом, уравнение можно переписать в форме dЕк +
dЕn = dAнк, или
64
dЕ = dAнк,
(1.109),
где Е= Е K+ Е n — полная механическая энергия системы.
Если внутренние силы взаимодействия между которыми
консервативны, а все внешние силы — стационарны и консервативны,
такую систему тел (материальных точек) называют консервативной
системой,. Для такой системы dA = dE = 0 и
E = EK+ Eп= const,
(1.110),
т. е. полная механическая энергия консервативной системы не
изменяется с течением времени. Этот закон называют законом
сохранения механической энергии. Он справедлив, для замкнутой
консервативной системы, т е системы, на которую внешние силы не
действуют, а все внутренние силы — консервативны.
Рассмотрим применение закона сохранения механической
энергии к расчету абсолютно упругого прямого центрального удара
двух тел. Абсолютно упругим называют такой удар, в результате
которого не происходит превращения механической энергии системы
соударяющихся тел в другие виды энергии. Пусть два абсолютно
упругих шара с массами m1 и m2 до удара (рисунок - 1.32, а) движутся
поступательно со скоростями v1 и v2, направленными в одну и ту же
сторону вдоль линии их центров, причем v1 > v2. Нужно найти скорости
шаров u1 и u2 после соударения (рисунок - 1.32, б).
Рисунок - 1.32
В процессе удара систему соударяющихся тел можно считать
замкнутой. Следовательно, для решения этой задачи можно
воспользоваться законами сохранения механической энергии и
импульса. Перед ударом и после его завершения соударяющиеся тела
не деформированы, т. е. потенциальную энергию системы в этих двух
состояниях можно считать одинаковой и равной нулю. Тогда из закона
сохранения механической энергии имеем
m1v12/2 + m2v22/2 = m1u12/2 + m2u22/2
65
(1.111),
где u1 и u2 скорости этих шаров после соударения. По закону
сохранения импульса
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2
(1.112).
Совместное решение двух последних уравнений дает
u1 = [v1(m1-m2)+ 2m2v2] / (m1+m2),
u2 = [v2(m2-m1)+ 2m1v1] / (m1+m2)
(1.113),
т.е., после упругого соударения тела двигаются каждая со своей
скоростью кинетической энергией Е1 и Е2 соответственно.
Систему тел называют диссипативной, если ее механическая
энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие
(немеханические) формы энергии. Этот процесс называют процессом
диссипации (рассеяния) энергии. В качестве примера рассмотрим
диссипацию энергии при абсолютно неупругом прямом центральном
ударе двух поступательно движущихся тел.
При абсолютно неупругом ударе происходит диссипация
энергии. Изменение ∆E полной механической энергии системы
соударяющихся тел равно изменению их кинетической энергии
∆E = ∆Eк =(m1+m2)u2/2 - [m1v12/2 + m2v22/2]
(1.114).
Общую скорость тел можем найти, применяя закон сохранения
импульса для неупругого удара, учитывая, что после соударения они
двигаются вместе, имея общую скорость:
u = (m1v1 + m2v2)/ (m1+m2)
(1.115.
После преобразований, рассеянная энергия равна:
∆E =- m1m2 (v1 –v2)2 /2(m1+m2)
(1.116).
1.3 Динамика вращательного движения твердых тел
1.3.1 Момент силы, момент импульса. Закон сохранения
момента импульса
В механике твердым телом называется совокупность
материальных частиц, взаимное расположение которых остается
неизменным. Основные законы механики определяют движение
отдельной материальной точки.
66
При вращательном движении угловая скорость и угловое
ускорение одинаковы в каждый данный момент для всех частиц тела.
В связи с неизменностью взаимного расположения частиц линейные
скорости и линейные ускорения пропорциональны расстоянию частиц
от оси вращения. Этим определяется та исключительная роль, которую
играет расстояние частиц от оси вращения в динамике вращательных
движений твердого тела.
Если на твердое тело, имеющее закрепленную ось вращения,
действует сила F, приложенная в точке А (рис. 54), то очевидно, что
составляющая F1 этой силы, параллельная оси вращения, никакого
вращательного эффекта дать не может, и только другая составляющая,
лежащая в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, F2, дает
вращательный эффект, который тем более значителен, чем больше
кратчайшее расстояние между прямой, по которой действует сила, и
осью вращения.
Поэтому моментом силы относительно оси называют
произведение проекции силы (на плоскость, перпендикулярную к оси)
и кратчайшего расстояния между прямой, по которой действует сила, и
осью. Момент силы относительно оси рассматривают как вектор,
направленный по оси туда, куда нужно смотреть, чтобы видеть силу
обращенной в сторону движения часовой стрелки (т. е. на рисунке 1.33 вниз). Момент силы F относительно оси численно равен М = F2p.
Рисунок - 1.33
Твердое тело можно мысленно представить в виде системы
материальных точек — достаточно малых частей этих тел. Рассмотрим
произвольную механическую систему, состоящую из п материальных
точек. Пусть mi— масса i-й точки системы, а ri— радиус-вектор,
проведенный в эту точку из начала координат О неподвижной
инерциальной системы отсчета.
Векторное произведение радиуса-вектора ri, проведенного в
точку приложения силы Fi на' эту силу называют моментом М силы,
Fi относительно точки О:
67
Мi = [ri Fi]
(1.117).
Векторы Мi , ri и Fi образуют правую тройку (рисунок - 1.34).
Численное значение момента силы F; равно
Мi = Fi risinα = Fili
(1.118,
где α-— угол между векторами ri и Fi, risinα = li— длина
перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы Ft.
Величина lt называется плечом силы Fi. Если линия действия силы
проходит через точку О, то lt = 0 и момент силы относительно точки О
тоже равен нулю.
Векторное произведение радиуса-вектора ri на ее импульс mv,
называют моментом импульса Li относительно точки О:
Li = [rimivi]
(1.119).
Он направлен перпендикулярно к плоскости, проведенной через
векторы ri и mivi и образует с ними правую тройку векторов: при
наблюдении из конца Li видно, что кратчайший поворот от ri к mivi
происходит против часовой стрелки (рисунок - 1.35). Из полученных
соотношений следует, что скорость изменения момента импульса Li iой материальной точки равна
dL/dt = ∑Mik + Miвнешн
(1.120).
Сложим почленно все уравнения, записанные для каждой из n
материальных точек системы: ∑dLi/dt =∑ ∑Mik + ∑Miвнешн. Векторную
сумму моментов Miвнешн всех внешних сил, приложенных ко всем
материальным точкам системы, называют результирующим, или
главным моментом М внешних сил относительно точки О: М = ∑Miвнешн
Рисунок - 1.34
Рисунок - 1.35
68
Векторную сумму моментов импульса Li, всех материальных
точек системы называют моментом импульса (количества движения)
L тела относительно точки О:
L = ∑Li =∑[ri,mivi]
(1.121).
Для тела выполняется соотношение:
dL/dt =∑dLi/dt
(1.122).
Наконец, векторная сумма моментов всех внутренних сил Flk
взаимодействия между всеми точками системы относительно точки 0
равна нулю: ∑ ∑Mik = 0. Это связано с тем, что по третьему закону
Ньютона силы F iк и Fkt численно равны, имеют общую линию
действия, но направлены во взаимно противоположные стороны.
Поэтому их моменты Mik = [ri, Fik] и Mki = [rk,, F k i ] относительно
точки О, численно равны и противоположны по направлению
(рисунок - 1.36).
Рисунок - 1.36
Поэтому
∑dL/dt = M
(1.123).
Таким образом, скорость изменения момента импульса системы
относительно неподвижной точки равна результирующему моменту
относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему.
Это утверждение выражает основной закон динамики для тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки. Отсюда следует, что
момент импульса L является основной динамической характеристикой
тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
Из основного закона динамики для тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, следует закон сохранения момента импульса тела
относительно этой оси: если момент внешних сил относительно
69
неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент
импульса тела относительно этой оси не изменяется. Действительно
для случая, когда на тело либо вовсе не действуют внешние силы,
либо они таковы, что их равнодействующая не дает момента
относительно оси вращения. Тогда dL = M dt = 0. Но если dL равно
нулю, то, следовательно, сама величина момента импульса L = остается
постоянной: L = const. Этот утверждение и носит название закона
сохранения момента импульса относительно оси вращения.
Закон сохранения момента импульса, подобно законам
сохранения импульса и энергии, является одним из фундаментальных
законов природы. В теоретической физике доказано, что этот закон —
следствие изотропности пространства. Изотропность пространства
означает, что при повороте в нем замкнутой системы как целого
(иначе говоря, при изменении ориентации осей координат)
физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не
изменяются.
1.3.2 Кинетическая энергия вращательного движения.
Момент инерции
Кинетическая энергия вращающегося тела равна сумме
кинетических энергий всех частиц тела:
Eк = ∑mivi2/2
(1.124),
где тi-— масса какой-либо частицы, а vi— ее линейная скорость,
пропорциональная расстоянию ri данной частицы от оси вращения.
Подставляя в это выражение vi= ωri и вынося за знак суммы общую
для всех частиц угловую скорость ω, находим:
Eк = ω2/2∑miri2
(1.125).
Эту формулу для кинетической энергии вращающегося тела
можно привести к виду, аналогичному выражению кинетической
энергии поступательного движения, если ввести величину момента
инерции тела. Моментом инерции материальной точки называют
произведение массы точки на квадрат расстояния от оси вращения:
Ii = miri2
(1.126).
С использованием понятия момента инерции кинетическая
энергия вращающегося тела определяется такой формулой:
70
Е = Iω2/2
(1.127).
Сравнивая формулы кинетической энергии тела при
поступательном и вращательном движении, находим, что роль массы
тела во вращательном движении играет момент инерции I. Отсюда
следует, что момент инерции играет ту же роль, что и масса для
поступательного движения, как меры инертности.
Зная формулу момента инерции материальной точки, можно
вычислить момента инерции любого тела. Для того необходимо
дифференцировать тело на такие маленькие кусочки dm, когда их
можно принять материальной точкой: это позволяет применить к ним
соответствующую формулу dIi = ri2dm. Тогда момент инерции тела
можно вычислить как сумму моментов инерции всех точек,
образующих это тело:I = ∑miri2. Или, учитывая, что тело является
сплошной средой, математически можно вычислить через интеграл:
I = ∫miri2
(1.128).
В качестве примера найдем момент инерции однородного диска
относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей
через его центр (рисунок - 1.37). Разобьем диск на кольцевые слои
толщиной dR. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом
расстоянии от оси, равном R. Объем такого слоя равен dV=b2πRdR,
где b — толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его во
всех точках одинакова и ρ в уравнении можно вынести за знак
интеграла: I = ρ∫R2dV = ρ∫R2b2nRdR, где R— радиус диска. Вынесем за
знак интеграла постоянный множитель 2πb: I=2πbρ∫ R2 dR = 2πbρ R4/4.
Наконец, введя массу диска т, равную произведению плотности р на
объем диска bπR2, получим:
I = mR2/2
(1.129).
Рисунок - 1.37
71
Если необходимо найти момент инерции диска относительно,
любой оси например, оси О'О' (рисунок - 1.37), вычисления
оказываются более сложными. Нахождение момента инерции
значительно облегчается, если воспользоваться теоремой Штейнера:
момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме
момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и
проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела т на
квадрат расстояния а между осями:
1 = 1с + та2
(1.130).
Теорема Штейнера сводит вычисление момента инерции
относительно любой произвольной оси к вычислению момента
инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела. Ниже
приводятся моменты инерции некоторых однородных тел простейшей
формы (таблица - 1.1). Полученные данные показывают, что момент
инерции тела зависит не только от его массы, но и от ее распределения
относительно оси вращения.
Таблица - 1.1 Моменты инерции некоторых тел
Тело
Полый тонкостенный
цилиндр радиуса R, массой m
Сплошной цилиндр (или
диск) радиуса R, массой m
Прямой тонкий стержень,
длиной l и массой m
Тот же стержень
Шар радиуса R, массой m
Положение оси О
Ось симметрии
Ось симметрии
Ось перпендикулярна к
стержню и проходит через
его середину
Ось перпендикулярна к
стержню и проходит через
его конец
Ось проходит через центр
шара
72
Момент
инерции
Jо = mR2
Jо = mR2/2
Jо = ml2/12
Jо = ml2/3
Jо = 2mR2/5
II
Раздел
ТЕРМОДИНАМИКА
МОЛЕКУЛЯРНАЯ
ФИЗИКА
И
2.1 Основные положения молекулярно-кинетической теории
газов
2.1.1 Агрегатные состояния вещества и их признаки.
Методы описания физических свойств вещества
Молекулярная физика — раздел физики, изучающий строение и
свойства
веществ,
исходя
из
молекулярно-кинетических
представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из
молекул, находящихся в непрерывном хаотическом движении.
Вещество может находиться в твердом, жидком и газообразном
состоянии. Эти физические состояния обычно называют
агрегатными. Различие между ними проявляется внешне следующим
образом. Газ занимает любой предоставленный ему объем. Жидкость
сохраняет свой объем, но она весьма подвижна и всегда принимает
форму сосуда, в котором находится. Твердое тело способно сохранять
не только объем, но и форму. Вещество в твердом состоянии
встречается преимущественно в виде кристаллов, которые
замечательны своей геометрически правильной внешней формой. Но
наиболее отличительным признаком кристаллов является их
анизотропия, т. е. зависимость свойств от направления. Жидкости и
газы, наоборот, изотропны, их свойства не зависят от направления в
пространстве. При изменении температуры наряду с обычным
плавным изменением характеристик вещества (плотности, удельного
объема и т. п.) наблюдается их резкое, скачкообразное изменение при
переходе вещества из одного агрегатного состояния в другое.
Агрегатные превращения протекают при определенных значениях
температуры и давления, определяющих точку превращения
вещества. В справочниках она указывается обычно для нормального
давления. Опыт показывает, что на превращение вещества
затрачивается значительная энергия, называемая обычно скрытой
теплотой превращения.
С молекулярной точки зрения вещества они различаются друг
от друга той ролью, которую в них играют взаимодействие молекул и
интенсивность их теплового движения. Силы взаимодействия между
молекулами имеют электромагнитное происхождение. Зависимость
потенциальной энергии взаимодействия двух молекул от расстояния
между ними приведена на рисунке 2.1. Кривая потенциальной энергии
взаимодействия для пары молекул имеет характерный вид: сначала
73
идет, круто вниз в области действия сил отталкивания, затем
загибается, образуя характерную яму, и медленно приближается к
горизонтальной оси в области сил притяжения.
Потенциальная энергия взаимодействия молекул вместе с их
кинетической энергией определяет внутреннюю энергию системы.
Именно относительной ролью двух составляющих внутренней
энергии системы — средней кинетической и средней потенциальной
энергии взаимодействия молекул — определяется то или иное фазовое
состояние или превращение вещества.
Рисунок - 2.1
Газообразное состояние вещества является примером
существующего в природе полного, совершенного беспорядка во
взаимном расположении молекул: каждая молекула находится в
хаотическом движении, причем действие других молекул проявляется
только при столкновениях. Силы притяжения между парами молекул
очень быстро убывают с ростом расстояния между ними.
Потенциальная энергия взаимодействия также быстро уменьшается по
абсолютной величине до нуля. Поэтому притяжение молекул в газе не
способно противодействовать тепловому движению молекул:
кинетической энергии с избытком хватает, чтобы выйти за пределы
действия сил притяжения. Таким образом, в газе средняя
кинетическая энергия молекул больше абсолютного значения средней
потенциальной энергии взаимодействия молекул. И чем сильнее
выполняется это неравенство, тем лучше реальный газ моделирует
свойства идеального газа.
Жидкость по своему строению существенно отличается от газа.
Из-за большой тесноты молекулы в жидкости не могут перемещаться
так свободно, как в газе. Они могут лишь очень медленно вместе со
своими соседями перемещаться по объему, занятому жидкостью. Она
характеризуется, по сути дела, порядком в малой области,
охватывающей лишь самых ближайших соседей. Этот порядок,
называемый обычно ближним, из-за теплового движения
беспрерывно нарушается и снова из-за притяжения молекул
74
восстанавливается. Таким образом, в жидкостях силы притяжения
удерживают молекулы в ограниченной области, но они не в состоянии
противостоять разупорядочивающему действию их теплового
движения. В жидкостях средняя кинетическая энергия молекул
меньше абсолютного значения средней потенциальной энергии и
внутренняя энергия в целом отрицательна, хотя ее значение
незначительно отличается от нуля.
В твердом веществе средняя кинетическая энергия оказывается
во много раз меньше абсолютного значения потенциальной энергии
взаимодействия. Поэтому внутренняя энергия твердых тел
определяется практически взаимодействием молекул и зависит от их
расположения. Молекулы находятся на своих местах, перемещение их
по объему кристалла исключено: они совершают лишь непрерывные
колебания около положений равновесия. Внутренняя энергия
вещества в твердой фазе для температуры, при которой могут
существовать одновременно и другие фазы, имеет наименьшее
значение, а в газообразной фазе — наибольшее значение.
В газах, жидкостях и твердых телах различаются и характер
движения молекул. В разреженных газах молекулы удалены друг от
друга настолько, что силы взаимодействия между ними практически
отсутствуют. Молекулы газов движутся от столкновения до
столкновения со стенками сосуда или между собой равномерно и
прямолинейно. Это движение хаотично, т. е., в среднем, в каждом
направлении в любой момент времени движется одинаковое число
молекул. В твердых кристаллических телах силы взаимодействия
между частицами очень велики и поэтому молекулы не могут
удалиться друг от друга на очень большие расстояния. В результате
совместного влияния сил притяжения и отталкивания частицы
твердых тел (молекулы, атомы или ионы) совершают колебания около
некоторых средних положений, называемых узлами кристаллической
решетки.
Наиболее сложно молекулярное движение в жидкостях. В нем
наблюдаются черты, присущие тепловому движению частиц, как в
газах, так и твердых телах. Каждая молекула в течение некоторого
промежутка времени колеблется около определенного положения
равновесия, которое само время от времени смещается на расстояние,
соизмеримое с размерами молекул. В результате молекулы внутри
жидкости колеблются и медленно перемещаются.
Молекулярная физика и термодинамика — разделы физики, в
которых изучаются макроскопические процессы в телах, связанные с
огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для
75
исследования этих процессов применяют два качественно различных
и взаимно дополняющих друг друга метода: статистический
(молекулярно-кинетический) и термодинамический. Первый лежит в
основе молекулярной физики, второй — термодинамики.
Статистический метод основан на законах теории
вероятностей и математической статистики. Дело в том, что в
совокупном движении огромного числа частиц, координаты и
скорости которых в любой момент времени случайны, проявляются
определенные (статистические) закономерности.
Термодинамический метод состоит в изучении физических
свойств макроскопических систем путем анализа условий и
количественных соотношений для процессов превращения энергии в
рассматриваемых системах. Термодинамика базируется на двух
экспериментально установленных законах — первом и втором
законах (началах) термодинамики, а также на принципе Нернста или
третьем законе (начале) термодинамики, применение которого
необходимо для решения сравнительно ограниченного числа задач. С
помощью законов термодинамики можно получить многие сведения о
физических свойствах тел в различных условиях, не пользуясь при
этом какими-либо конкретными представлениями о внутреннем
строении исследуемых тел и характере движения образующих их
частиц.
Рассматриваемую
макроскопическую
систему
в
термодинамике называют термодинамической системой. В общем
случае тела, образующие систему, могут обмениваться энергией, как
между собой, так и с внешними телами (внешней средой).
Область применения термодинамики значительно шире, чем
молекулярно-кинетической теории, ибо нет таких областей физики и
химии, в которых нельзя было бы пользоваться термодинамическим
методом. Однако, с другой стороны, термодинамический метод
несколько ограничен: термодинамика ничего не говорит о
микроскопическом строении вещества, о механизме явлений, а лишь
устанавливает связи между макроскопическими свойствами вещества.
Молекулярно-кинетическая теория и термодинамика взаимно
дополняют друг друга, образуя единое целое, но отличаясь
различными методами исследования.
Термодинамика имеет дело с термодинамической системой —
совокупностью макроскопических тел, которые взаимодействуют и
обмениваются энергией, как между собой, так и с другими телами
(внешней средой). Задача термодинамического метода — определение
состояния термодинамической системы. Состояние системы задается
термодинамическими параметрами (параметрами состояния) —
76
совокупностью физических величин, характеризующих свойства
термодинамической системы. Обычно в качестве параметров
состояния выбирают температуру, давление и удельный объем.
Параметры состояния системы могут изменяться. Любое
изменение в термодинамической системе, связанное с изменением
хотя бы одного из ее термодинамических параметров, называется
термодинамическим
процессом.
Макроскопическая
система
находится в термодинамическом равновесии, если ее состояние с
течением времени не меняется.
Молекулярная
физика
изучает
физические
свойства
макроскопических систем. Примером таких систем могут служить
газы, жидкости, твердые тела, плазма. Все эти столь разнородные по
своим физическим свойствам объекты обладают одним общим
признаком, позволяющим изучать их с единой точки зрения — они
содержат огромное число (≈1026 м-3) микроскопических объектов:
молекул, атомов или электронов. Благодаря взаимодействию между
частицами вещества энергия беспорядочного движения может
передаваться от одного тела к другому. Для описания такого процесса
передачи энергии — теплопередачи — вводится величина, имеющая
большое значение в термодинамике,— температура. Понятие
температуры основано на обобщении множества наблюдений и
экспериментов, связанных с тепловыми свойствами тел.
Статистический и термодинамический метод взаимно
дополняют друг друга при изучений физических явлений.
Статистический метод опирается на конкретную модель внутреннего
строения вещества и ставит своей задачей вывести свойства сложных
систем, исходя из этой модели. Если термодинамический метод
обладает большей общностью, формальной простотой, то
статистический метод позволяет вскрыть причины явлений,
обосновать
законы
термодинамики,
рассчитать
некоторые
коэффициенты и ответить на такие вопросы, даже постановка которых
в рамках термодинамики не имеет смысла. Проникновение
статистических представлений в термодинамику привело к развитию
статистической термодинамики, наиболее полно описывающей
свойства макросистем, таких, как идеальный и реальный газы,
жидкости, твердые тела.
Связи и отношения в молекулярной физике и термодинамике
удается выразить с помощью следующих основных понятий.
Размеры и масса молекул. Размер молекулы является
величиной условной. В настоящее время существует много методов
определения размеров и масс молекул. С их помощью установлено,
77
что за исключением молекул органических веществ, содержащих
очень; большое число атомов, большинство молекул по порядку
величины имеют диаметр 1•10-10 м и массу 1•10-26 кг.
Относительная молекулярная масса. Поскольку массы атомов
и молекул чрезвычайно малы, при расчетах обычно используют не
абсолютные, а относительные значения масс, получаемые путем
сравнения масс атомов и молекул с атомной единицей массы, в
качестве которой выбрана 1/12 часть массы атома углерода:
М = тм/ l/12 тс
(2.1).
Относительная молекулярная (атомная) масса является
величиной, не имеющей размерности.
Относительная атомная масса каждого химического элемента
указана в таблице Менделеева. Значения этих масс отличаются от
целых чисел. Например, у водорода относительная атомная масса
равна 1,00797, у гелия — 4,0026 и т.д. Объясняется это;
существованием изотопов химических элементов. Значения
относительных атомных масс, приведенных в таблице Менделеева,
при расчетах округляют до ближайшего целого числа, т. е. считают,
что, например, относительная атомная масса водорода равна 1, гелия
— 4 и т. д.
Количество вещества, его единица. Количество вещества,
содержащегося в теле, определяется числом молекул в этом теле (или
числом атомов). Поскольку число молекул в макроскопических телах
очень велико, для определения количества вещества в теле
сравнивают число молекул в этом теле с числом атомов в 0,012 кг
углерода. Иными словами, количеством вещества ν называют
величину, равную отношению числа молекул (или атомов) N в данном
теле к числу атомов NA в 0,012 кг углерода, т. е.
ν =N/NA
(2.2).
Количество вещества, содержащее число граммов, равное его
молекулярному весу, называется грамм-молекулой или молем.
Количество вещества выражают в молях. Моль равен количеству
вещества системы, содержащей столько же структурных элементов
(атомов, молекул, ионов), сколько содержится атомов в углероде-12
массой 0,012 кг.
Постоянная
Авогадро.
Молярная
масса.
Согласно
определению понятия моль, в 1 моль любого вещества содержится
78
одинаковое число молекул или атомов. Это число NA, равное числу
атомов в 0,012 кг (т. е. в 1 моль) углерода, называют постоянной
Авогадро.
Молярной массой μ какого-либо вещества называют массу 1
моль этого вещества. Очевидно, что
μ = mм/ NA.
(2.3).
Молярную массу вещества выражают в кг/моль.
Выше отмечалось, что атомная единица массы (а.е.м.) равна 1/12
массы атома углерода, т. е. 1 а.е.м = 1/12 mc. Отсюда находим, что 1
а.е.м. — 1,66-10-27 кг. Найдем связь между молярной массой μ и
относительной молекулярной массой μг.. Следовательно, μ = 1*10-3 μг.
Зная химическую формулу вещества, можно с помощью таблицы
Менделеева установить его относительную молекулярную массу, а
затем по формуле найти молярную массу этого вещества. Если тело
состоит из N молекул массой mм каждая, то масса этого тела
m = mм N
(2.4).
Почленно разделив полученное соотношение на μ = mм/ NA. , получим
m/μ = N/NA
(2.5),
ν = m/μ
(2.6).
С учетом всех полученных соотношений имеем для расчетов
формулу:
N = m/μ NA
(2.7).
Эта формула определяет число молекул N, содержащуюся в массе m
вещества с молярной массой μ. Моль любого газа при данных
давлении и температуре занимает одинаковый объем. Число молекул,
содержащихся в 1м3 при нормальных условиях (Т =273,15 К, давлении
p0 =105 Па), называется числом Лошмидта: Nl = p0/ kT = 2,68*10 25 м -3.
Рассмотрим
некоторые
явления,
экспериментально
подтверждающие основные положения и выводы молекулярнокинетической теории.
Броуновское движение. Шотландский ботаник Р. Броун
(1773—1858), наблюдая под микроскопом взвесь цветочной пыльцы в
воде, обнаружил, что частицы пыльцы оживленно и беспорядочно
79
двигались, то вращаясь, то перемещаясь с места на место, подобно
пылинкам в солнечном луче. Впоследствии оказалось, что подобное
сложное зигзагообразное движение характерно для любых частиц
малых размеров (≈1мкм), взвешенных в газе или жидкости.
Интенсивность этого движения, называемого броуновским,
повышается с ростом температуры среды, с уменьшением вязкости и
размеров частиц (независимо от их химической природы). Причина
броуновского движения долго оставалась неясной. Лишь через 80 лет
после обнаружения этого эффекта ему было дано объяснение:
броуновское движение взвешенных частиц вызывается ударами
молекул среды, в которой частицы взвешены. Так как молекулы
движутся хаотически, то броуновские частицы получают толчки с
разных сторон, поэтому и совершают движение столь причудливой
формы. Таким образом, броуновское
движение является
подтверждением выводов молекулярно-кинетической теории о
хаотическом тепловом движении атомов и молекул.
Опыт Штерна. Первое экспериментальное определение
скоростей молекул выполнено немецким физиком О. Штерном
(1888—1970). Его опыты позволили также оценить распределение
молекул по скоростям. Схема установки Штерна представлена на
рисунке - 2.3. Вдоль оси внутреннего цилиндра с щелью натянута
платиновая проволока, покрытая слоем серебра, которая нагревается
током при откачанном воздухе. При нагревании серебро испаряется.
Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю
поверхность второго цилиндра, давая изображение щели О. Если
прибор привести во вращение вокруг общей оси цилиндров, то атомы
серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое
расстояние s. Изображение щели получается размытым. Исследуя
толщину осажденного слоя, можно оценить распределение молекул по
скоростям, которое соответствует максвелловскому распределению.
Зная радиусы цилиндров, их угловую скорость вращения, а
также измеряя s, можно вычислить скорость движения атомов серебра
при данной температуре проволоки. Результаты опыта показали, что
средняя скорость атомов серебра близка к той, которая следует из
максвелловского распределения молекул по скоростям.
Опыт Ламмерта. Этот опыт позволяет более точно определить
закон распределения молекул по скоростям. Схема вакуумной
установки приведена на рисунке - 2.3. Молекулярный пучок,
сформированный источником, проходя через щель, попадает в
приемник. Между источником и приемником помещают два диска с
прорезями, закрепленных на общей оси. При неподвижных дисках
80
молекулы достигают приемника, проходя через прорези в обоих
дисках. Если ось привести во вращение, то приемника достигнут
только те прошедшие прорезь в первом диске молекулы, которые
затрачивают для пробега между дисками время, равное или кратное
времени оборота диска. Другие же молекулы задерживаются вторым
диском. Меняя угловую скорость вращения дисков и измеряя число
молекул, попадающих в приемник, можно выявить закон
распределения скоростей молекул. Этот опыт также подтвердил
справедливость максвелловского распределения молекул по
скоростям.
Рисунок - 2.2
Рисунок - 2.3
Опытное
определение
постоянной
Авогадро.
Воспользовавшись идеей распределения молекул по высоте,
французский ученый Ж. Перрен (1870—1942) экспериментально
определил постоянную Авогадро. Исследуя под микроскопом
броуновское движение, он убедился, что броуновские частицы
распределяются по высоте подобно молекулам газа в поле тяготения.
Применив к ним больцмановское распределение, можно записать n =
n0e – (m-m1)gh/kT, где т — масса частицы, т1 — масса вытесненной ею
жидкости: m = 4/з πr3ρ, m1 = 4/з πr3ρ1, (r—радиус частицы, ρ —
плотность частицы, ρ1— плотность жидкости). Если n1 и п2 —
концентрации частиц на уровнях h1 и h2, a k = R/NA, то NA = [3RT*ln(n1/
п2)]/[4πr3(ρ-ρ1)g(h2-h1)]. Значение NA, получаемое из работ Ж. Перрена,
соответствовало значениям, полученным в других опытах, что
подтвердило применимость к броуновским частицам распределения
Больцмана.
2.1.2 Идеальный газ. Давление и температура газа. Шкала
температур
В
молекулярно-кинетической
теории
пользуются
идеализированной моделью идеального газа, согласно которой:
81
1) собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по
сравнению с объемом сосуда;
2) между молекулами газа отсутствуют силы взаимодействия;
3) столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда
абсолютно упругие. Модель идеального газа можно использовать при
изучении реальных газов, так как они в нормальных условиях, близки
по своим свойствам требованиям, предъявляемым моделью
идеального газа.
Действительно, совершая беспорядочные движения, молекулы
газа время от времени приближаются к стенкам сосуда или к
поверхности других тел на достаточно малые расстояния. Точно так
же молекулы могут подойти друг к другу достаточно близко и между
молекулами газа или между молекулой газа и молекулами вещества
стенки возникают силы взаимодействия, которые очень быстро
убывают с расстоянием. Под действием этих сил молекулы газа
изменяют направление своего движения. Этот процесс (изменения
направления), как известно, называется столкновением.
Столкновения молекул между собой играют очень большую
роль в состоянии газа. И мы их позже детально изучим. Сейчас важно
учесть столкновения молекул со стенками сосуда или с любой другой
поверхностью, соприкасающейся с газом. Именно взаимодействием
молекул газа и стенок определяется сила, испытываемая стенками со
стороны газа, которую принято характеризовать давлением р, т. е.
силой F, отнесенной к единице площади S поверхности стенки,
нормальной к этой стенке:
p = F/S
(2.8).
Свойство газа оказывать давление на стенки содержащего его
сосуда — одно из основных свойств газа. Именно своим давлением
газ чаще всего и обнаруживает свое присутствие. Поэтому величина
давления является одной из главных характеристик газа.
Допустим, что газ заключен в сосуд, имеющий форму
параллелепипеда (рисунок - 2.4), и что газ находится в состоянии
равновесия. Вычислим давление газа на одну из стенок сосуда,
например на правую боковую стенку abed. Направим координатную
ось X вдоль ребра параллелепипеда перпендикулярно к стенке abed,
как это показано на рисунке - 2.4). Как бы ни были направлены
скорости v молекул, нас будут интересовать только проекции vx
скоростей молекул на ось X: по направлению к стенке abed молекулы
движутся именно со скоростью vx.
82
Рисунок - 2.4
Выделим мысленно слой газа толщиной Δх, прилегающий к
выбранной стенке. На него со стороны деформированной стенки
действует упругая сила F. С такой же по абсолютному значению
силой и газ действует на стенку. По второму закону Ньютона импульс
силы F∆t (где ∆t — некоторый произвольный промежуток времени)
равен изменению импульса газа в нашем слое. Но газ находится в
состоянии равновесия, так что слой никакого приращения импульса в
направлении импульса силы (против положительного направления
оси X) не получает. Происходит это потому, что из-за молекулярных
движений выделенный слой получает импульс противоположного
направления и, конечно, такой же по абсолютному значению. Его
нетрудно вычислить.
При беспорядочных движениях газовых молекул за время ∆t в
наш слой слева направо входит некоторое число молекул и столько же
молекул выходят из него в обратном направлении — справа налево.
Входящие молекулы несут с собой определенный импульс.
Выходящие из выделенного объема, молекулы несут такой же
импульс противоположного знака, так что общий импульс,
получаемый слоем, равен алгебраической сумме импульсов входящих
в слой и выходящих из него молекул. Найдем число молекул,
входящих в наш слой слева за время ∆t.
За это время к границе a'b'c'd' слева могут подойти те молекулы,
которые находятся от нее на расстоянии, не превышающем vx ∆t. Все
они находятся в объеме параллелепипеда с площадью основания S
(это площадь рассматриваемой стенки) и длиной vx ∆t, т. е. в объеме
Svx ∆t. Если в единице объема сосуда содержится п молекул, то в
указанном объеме находится nSvx ∆t молекул. Но из них лишь
половина движется слева направо и попадает в слой. Другая половина
движется от него и в слой не попадает. Следовательно, за время ∆t в
слой слева направо входит 1/2nSv∆t молекул. Каждая из них обладает
импульсом mvx, и общий импульс, вносимый ими в слой, равен
83
1/2nmvx2S ∆t. За это же время слой покидает, двигаясь справа налево,
такое же число молекул с таким жеобщим импульсом, но обратного
знака. Таким образом, из-за прихода в слой молекул с положительным
импульсом и ухода из него молекул с отрицательным импульсом
общее изменение импульса слоя равно 1/2nmvx2S ∆t – (-1/2nmvx2S ∆t) =
nmvx2S ∆t. Это-то изменение импульса слоя и компенсирует то
изменение, которое должно было бы произойти под действием
импульса силы F At. Поэтому мы можем написать: F ∆t = nmvx2S ∆t.
Разделив обе части этого равенства на S ∆t, получаем: p = F/S = nmvx2.
До сих пор мы молча предполагали, что у всех молекул газа
одинаковые проекции скорости vx. В действительности это, конечно,
не так. И скорости молекул v, и их проекции vx на ось X у разных
молекул, разумеется, различны. Учтем различие скоростей молекул и
их проекций на оси координат тем, что заменим величину vx2,
входящую в последнюю формулу, ее средним значением ‹vx2›, так что
формуле для давления газа мы придадим вид: p =nm‹vx2›. Для
скорости v каждой молекулы можно написать: v2 = vx2+-v2y+vz2:
‹vx2› = ‹vx2›+‹v2y›+‹vz2›.
Из-за полной беспорядочности молекулярных движений можно
полагать, что средние значения квадратов проекций скоростей на три
оси координат равны друг другу, т. е., ‹vx2›=v2y›=‹vz2›. А это значит,
что ‹vx2›= v2/3. Подставив это выражение в формулу Вычислим
давление газа на одну из стенок давления получаем: р = mv2/3, или,
умножив и разделив правую часть этого равенства на двойку, найдем
р =2/3 nmv2/2
(2.9).
Приведенные простые рассуждения справедливы для любой
стенки сосуда и для любой площадки, которую мысленно можно
поместить в газ. Во всех случаях мы получим для давления газа
результат, выраженный последней формулой. Величина mv2/2 в ней
представляет собой среднюю кинетическую энергию одной молекулы
газа. Следовательно, давление газа равно двум третям средней
кинетической энергии молекул, содержащихся в единице объема
газа. Это - один из важнейших выводов кинетической теории
идеального газа. Он устанавливает связь между молекулярными
величинами, т. е. величинами, относящимися к отдельной молекуле, и
макроскопической характеристикой газа - величиной давления,
характеризующей газ как целое, — величиной, непосредственно
84
измеряемой на опыте. Уравнение (2.9) называют основным
уравнением кинетической теории идеальных газов. Важно
подчеркнуть, что давление газа определяется средней кинетической
энергией его молекул. Это значит, что давление газа — величина,
связанная с тем, что газ состоит из большого числа молекул.
Одним
из
важных
термодинамических
параметров,
характеризующих состояние газа, является температура. Температура
играет важную роль не только в термодинамике, но и в физике в
целом. Если тело или система тел не находится в состоянии теплового
равновесия и если система изолирована (не взаимодействует с
другими телами), то через некоторое время состояние теплового
равновесия устанавливается само собой. Состояние теплового
равновесия — это и есть состояние, в которое переходит любая
изолированная система.
Одним из признаков состояния теплового равновесия и является
равенство температур всех частей тела или всех тел системы.
Известно, что в процессе установления теплового равновесия, т.е. при
выравнивании температуры двух тел, происходит передача теплоты от
одного тела другому. Следовательно, с экспериментальной точки
зрения, температура тела — это величина, которая определяет, будет
ли оно другому телу с иной температурой передавать теплоту или
получать от него теплоту.
Этот простой опыт показывает, что температура — это
величина, характеризующая состояние теплового равновесия: у тел,
находящихся в состоянии теплового равновесия, температуры
одинаковы. И наоборот, тела с одинаковой температурой находятся в
тепловом равновесии друг с другом. А если два тела находятся в
тепловом равновесии с каким-нибудь третьим телом, то оба тела
находятся в тепловом равновесии и между собой. Это важное
утверждение является одним из основных законов природы.
Температура — физическая величина, характеризующая состояние
термодинамического равновесия макроскопической системы.
Для измерения температуры издавна пользуются тем, что при
изменении температуры тела изменяются, и его свойства.
Изменяются, следовательно, величины, характеризующие эти
свойства. Поэтому, для создания термометра, выбирают какое-либо
вещество (термометрическое вещество) и определенную величину,
характеризующую
свойство
вещества
(термометрическую
величину). Выбор того и другого совершенно произволен. В бытовых
термометрах, например, термометрическим веществом является ртуть,
а термометрической величиной — длина ртутного столбика.
85
Для того чтобы величине температуры можно было сопоставить
определенные числовые значения, нужно еще задаться той или иной
зависимостью термометрической величины от температуры. Выбор
этой зависимости тоже произволен: ведь пока нет термометра, нельзя
опытным путем установить эту зависимость. В случае ртутного
термометра, например, избирается линейная зависимость длины
ртутного столбика (объема ртути) от температуры.
Остается еще установить единицу температуры — градус (хотя
в принципе ее можно было бы выражать в тех же единицах, в которых
измеряется термометрическая величина, например по ртутному
термометру — в сантиметрах). Величина градуса избирается тоже
произвольно (как и термометрическое вещество, так и вид функции,
связывающей термометрическую величину с температурой).
Размер градуса устанавливается следующим образом.
Выбирают, опять-таки произвольно, две температуры (их называют
реперными точками) — обычно это температуры таяния льда и
кипения воды при атмосферном давлении — и делят этот
температурный интервал на некоторое (тоже произвольное) число
равных частей — градусов, а одной из этих двух температур
приписывают определенное числовое значение. Тем самым
определяется значение второй температуры и любой промежуточной.
Таким образом, получают температурную шкалу.
Современная термометрия основана на шкале идеального газа,
устанавливаемой с помощью газового термометра. В принципе
газовый термометр — это закрытый сосуд, наполненный идеальным
газом и снабженный манометром для измерения давления газа.
Термометрическим веществом в таком термометре служит идеальный
газ, а термометрической величиной — давление газа при постоянном
объеме. Измерение температуры производится косвенно по
изменению давления газа в сосуде 1 при постоянном объеме Это
позволяет принять, что отношение давлений при температурах
кипения воды (рк) и таяния льда (р0) равно отношению самих этих
температур: рк/ р0 = Тк/ Т0
Отношение рк/р0 легко определить из опыта. Многочисленные
измерения показали, что рк/ р0 = 1,3661. Таково, следовательно, и
значение отношения температур: Тк/Т0 = 1,3661. Размер градуса
выбирается делением разности Тк — Т0 на сто частей: Тк - Т0 =100.
Из последних двух равенств следует, что температура таяния
льда Т0 по выбранной нами шкале равна 273,15 градусов, а
температура кипения воды Тк равна 373,15 градусов. Для того чтобы
при помощи газового термометра измерить температуру какого-
86
нибудь тела, надо привести тело в контакт с газовым термометром и,
дождавшись равновесия, измерить давление р газа в термометре.
Тогда температура тела Т определяется по формуле
Т = 273,15(р/р0)
(2.10),
где р0 —- давление газа в термометре, помещенном в тающий лед. Так
можно получить термометрическую шкалу эмпирическим методом –
эмпирическую шкалу температур. В практике газовым
термометром пользуются крайне редко. На него возложена более
ответственная роль — по нему градуируются все употребляемые
термометры. Таким можно получить бесчисленное множество
различных термометров и температурных шкал.
Создание хороших термометров и измерение температуры,
особенно в широком диапазоне ее изменения,— задачи не простые.
Измерить температуру какого-нибудь тела — значит сравнить ее с
температурой эталона. Естественно за эталон выбрать идеальный газ,
так как температура такого газа легко определяется через
макропараметры, такие, как объем или давление. Причем если одна из
этих величин фиксируется, то другая для данной массы газа
изменяется линейно с изменением температуры Т. Чтобы температуры
двух тел, исследуемого и эталонного, стали равными, необходимо
привести их в тепловое равновесие.
Газовые термометры используются обычно как первичные
приборы, по которым градуируют вторичные термометры,
применяемые непосредственно в экспериментах. Из вторичных
термометров наибольшее распространение получили жидкостные
термометры, термометры сопротивления и термоэлементы.
Простейшими
термометрами
являются
жидкостные
термометры, где термометрическим телом, является ртуть или
этиловый спирт. Ртутный термометр представляет собой сферический
или цилиндрический стеклянный резервуар, к которому припаян
тонкий капилляр из стекла того же сорта. Отсчет температуры
производят по шкале, прикрепленной к капилляру (рисунок - 2.5).
Обычно жидкостные термометры применяются в диапазоне
температур от 125 до 900 К. Нижняя граница измеряемой
температуры определяется свойствами жидкости, верхняя —
свойствами стекла капилляра.
На рисунке - 2.6 изображен ртутный термометр, состоящий из
небольшого резервуара с ртутью, оканчивающегося тонким
капилляром. При нагревании ртуть расширяется, и ее уровень h в
87
капилляре поднимается. Шкала и начало отсчета температуры могут
быть выбраны произвольно.
Рисунок - 2.5
Рисунок - 2.6
Наиболее распространенной в международной практике шкалой
для измерения температуры является стоградусная шкала Цельсия.
В этом случае за нуль температурной шкалы (0° С) принята
температура плавления льда при нормальных условиях, т. е. при
давлении р = 1 атм, а за 100°— температура кипения воды (при тех
же условиях). Разделив тогда высоту капилляра h100 между этими
двумя точками на 100 равных частей, можно определить температуру
t в градусах Цельсия по отношению высоты поднятия ртути в
капилляре ht к интервалу между двумя постоянными точками, т. е.
t = (h1/h100)*100°С
(2.11).
Такое определение температуры пригодно лишь для грубых
измерений в быту. При более точных измерениях. обнаруживается,
что для разных термометрических жидкостей, например для ртутного
и спиртового термометров, при одинаковой температуре численные
значения отношений h1/h100- совпадают друг с другом лишь для
выбранных постоянных точек. При промежуточных же температурах
показания обоих термометров будут несколько расходиться, так как
законы расширения различных жидкостей и сосудов, их содержащих
различны.
В современной технике наиболее удобными являются
электрические методы измерения температуры. В так называемых
термометрах сопротивления используется изменение сопротивления
металлов и полупроводников при их нагревании. Термоэлементами
или термопарами измеряется электродвижущая сила, возникающая
при нагревании места контакта двух металлов или полупроводников.
88
В термометрах сопротивления термометрическим телом
является металл или полупроводник, сопротивление которого
изменяется с температурой. Изменение сопротивления с температурой
измеряют при помощи мостовых схем (рисунок - 2.7). Термометры
сопротивления из металлов применяются в интервале температур от
70 до 1300 К, из полупроводников (термисторы) — в интервале от 150
до 400 К, а углеродистые — до температур жидкого гелия.
При любом методе определения температуры на температурной
шкале можно отметить некоторую точку, имеющую абсолютное
значение. Эта точка отвечает температуре, при которой отсутствует
хаотическое (тепловое) движение молекул, и носит название
абсолютного нуля температуры (Т = 0°С = 0°К). В случае
идеального газа значению Т = 0 отвечает отсутствие кинетической
энергии поступательного движения молекул и отсутствие давления.
Такая шкала для измерения температуры называется абсолютной
шкалой, единицей измерения служит градус Кельвина (К). Не следует
думать, что при абсолютном нуле температуры прекращается всякое
движение частиц вещества. Даже если все молекулы газа остановятся,
то внутри них будут двигаться электроны по определенным орбитам
вокруг ядер, определенным образом будут участвовать в движении
протоны и нейтроны внутри ядер. Ниже мы убедимся, что, например,
средняя кинетическая энергия свободных электронов в металле при
абсолютном нуле в сотни раз превышает среднюю кинетическую
энергию молекул газа при комнатной температуре и т. д.
Рисунок - 2.7
Абсолютный нуль температуры означает не отсутствие
движения, но такое состояние тела, при котором дальнейшее
уменьшение интенсивности этого движения за счет отдачи его
энергии окружающим телам невозможно.
Следовательно, при абсолютном нуле система находится в
состоянии с наименьшей возможной энергией. Показания шкалы
Цельсия и абсолютной шкалы связаны между собой следующим
образом:
89
T = t + 273
(2.12).
2.1.3 Законы идеального газа
Законы, управляющие поведением газов, были в свое время
открыты опытным путем.
Закон Бойля— Мариотта. Рассмотрим газ, когда его
температура поддерживается постоянной. Такие условия называются
изотермическими. Если изменение состояния происходит при Т =
const, то остальные два параметра (P и V) ведут себя таким образом,
что их произведение остается величиной постоянной:
PV
= const.
(2.13).
Эта формулу называют уравнением изотермы, и выражает закон
Бойля – Мариотта. Графически зависимость р от V изображен на
рисунке - 2.8. Эти кривые, называемые изотермами, они
представляют собой гиперболы.
Закон Гей-Люссака. Поместим газ в цилиндр под поршень
(рисунок - 2.9.). Пусть на поршень сверху действует атмосферное
давление р0. Это давление по закону Паскаля будет передаваться во
все точки газа под поршнем. Если поршень имеет массу т и сечение S,
то давление рвнеш внешних сил газ займет такой объем, при котором
давление внутри газа станет равным внешнему давлению: р0. == рвнеш
При квазистатическом нагревании газа под поршнем при
постоянном внешнем давлении, как показывает опыт, объем всех без
исключения газов увеличивается, а при охлаждении уменьшается. Так
же как и для твердых тел, можно ввести коэффициент объемного
расширения газов по формуле
α = (1/V0)*(V- V0)/(t-t0) = (1/V0)*(∆V/∆t),
(2.14),
где ∆V = V - V0 — изменение объема газа при изменении температуры
на ∆t = t — t0,, V и V0 — объемы при температурах t и t0. Исследуя на
опыте тепловое расширение газов, французский ученый Гей-Люссак
открыл, что коэффициент объемного расширения при постоянном
давлении у всех газов одинаков и равен 1/273,15 °С -1. Из этого закона
следует, что объем газа V при температуре t можно найти, зная
90
Рисунок - 2.8
Рисунок - 2.9
начальный объем газа V0, при температуре t0:
V = V0[1+ α (t — t0)]
(2.15).
Обычно в качестве начальной температуры берут 0° С, в этом
случае V = V0(l+αt). Как видно из этого уравнения, совокупность
состояний, отвечающих одному и тому же давлению, изобразится на
графике в координатах V и t прямой линией, отсекающей на оси V
отрезок V0 и имеющей тангенс угла наклона, равный αV0 (рисунок 2.10). Такую зависимость поэтому обычно называют линейной. В
координатах р и t график изобарического процесса представляет
собой прямую линию, параллельную оси t (рисунок - 2.10),
называемую изобарой. Закон Гей-Люссака отражает связь между
объемом и температурой идеального газа в изобарическом процессе
изменения его состояния.
Рисунок - 2.10
Закон Шарля. Рассмотрим теперь процесс нагревания газа при
постоянном объеме, или, как говорят, процесс изохорического
нагревания газа. Поместим для этого газ в герметичный сосуд,
например в металлический котел с плотно завинчивающейся крышкой
91
(рисунок - 2.11). Будем нагревать газ в котле, измеряя его температуру
и давление. Как показывает опыт, давление газа внутри котла
увеличивается с ростом температуры. Величину γ, характеризующую
изменение давления газа при изменении температуры и называют
термическим коэффициентом давления:
γ = 1/p0 *(p-p0)/(t-t0) = 1/p0 * ∆p/∆t
(2.16),
где ∆р = p-p0 — изменение давления газа при изменении его
температуры на ∆t = t-t0, р и р0 — давления газа соответственно при
температурах t и t0. Измеряя давление различных газов при
нагревании при постоянном объеме, французский ученый Шарль
установил, что термический коэффициент давления для всех газов
одинаков и равен 1/273,15 °С -1 Зная начальное давление р0 и
начальную температуру t0, из закона, установленного Шарлем, легко
найти давление р при температуре t:
р = р0[1+γ(t-t0)]
(2.17).
Если за начальную температуру принять 0° С, то р = р0(t-γt).
График изохорического процесса в координатах p и t представляет
собой прямую линию, отсекающую на оси р отрезок р0 и имеющую
тангенс угла наклона, равный ур0 (рисунок - 2.12).
Законы Гей-Люссака и Шарля выглядят гораздо проще, если
вместо шкалы Цельсия для температуры ввести шкалу, предложенную
английским физиком Кельвином. Связь между температурой Т по
шкале Кельвина и температурой t по шкале Цельсия дается формулой
Т= t + 1/α =t + 273,15°.
(2.18).
Шкалу Кельвина называют абсолютной шкалой температур.
Законы Гей-Люссака и Шарля при этом примут вид:
V = αV0T, p = αpQT,
(2.19),
где V0 и р0 — объем и давление газа при температуре T0=- = 273,15 К.
Равенство коэффициента теплового расширения газа при постоянном
92
Рисунок - 2.11
Рисунок - 2. 12
давлении термическому коэффициенту давлению при постоянном
объеме является свойством, присущим только газам. Оно позволяет
найти уравнение состояния газов.
Совершим для этого над газом тепловой процесс, нагревая его
сначала при постоянном объеме, а затем при постоянном давлении.
График процесса изохорического нагревания в координатах р и V
изобразится прямой /, 2', параллельной оси ординат р. Процесс
изобарического нагревания изобразится на этом графике прямой 2', 2,
параллельной оси абсцисс V (рисунок - 2.13). Обозначим:
- давление, объем и температуру газа в начале теплового
процесса через р1, Vl ,T1 (точка 1)
- в конце процесса изохорического нагревания через р2, V1 T '2
(точка 2')
- и в конце изобарического процесса через р2, V2, T2 (точка 2).
Из закона Шарля следует, что отношение давления к
абсолютной температуре есть величина постоянная (р/Т0 = αр0).
Поэтому давление и температура газа в точке 2 связаны с давлением и
температурой газа в точке1 соотношением р2/Т '2 = р1/Т1 из которого
находим температуру Т '2 в конце изохорического нагревания:
Т '2 = ( р2/р1 )Т1. Температура Т'2 и объем газа V1 в точке 2' в процессе
изобарического нагревания связаны с температурой Т2 и объемом газа
V2 в точке 2 соотношением
V1/ Т '2 = V2/ Т'2
Подставляя в это уравнение температуру Т'2 = (р2Т1)/р1 , получаем: V1
р1/ р2 Т1 = V2/ Т'2. Откуда следует:
V1р1/Т1= V2р2/Т2
93
Начальное и конечное состояния газа (точки 1 и 2 в данном опыте)
были выбраны совершенно произвольно. Можно было бы взять в
Рисунок - 2. 13
качестве начального и конечного состояний другие точки. Процесс
перевода газа из состояния 1 в состояние 2 также можно было бы
совершить по-иному, нагревая, например, газ сначала изобарически, а
затем изохорически. Однако в любом случае можно показать, что
начальное (1) и конечное (2) состояния газа всегда связаны между
собой соотношением: V1р1/Т1= V2р2/Т2 или, по-другому, что в
состоянии теплового равновесия для данной массы газа справедливо
соотношение рV/Т = const.
Неизвестную постоянную удалось вычислить после того, как
итальянским физиком Авогадро был экспериментально установлен
закон, что один моль любого газа при давлении в 1 атм и температуре
0° С занимает объем 22,4 л. Подставляя эти данные в найденное
соотношение, получили постоянную
рV/Т≈8,3 Дж/моль К
(2.20).
Эту величину обозначают буквой R и называют универсальной
газовой постоянной.
Для произвольной массы газа m постоянную легко найти,
учитывая, что в состоянии теплового равновесия масса газа
распределена равномерно по объему. Если моль газа массой μ
занимает объем Vμ., то тот же газ массой m занимает при тех же
условиях V = mVμ/ μ, где Vμ/ μ – объем, занимаемый 1 г вещества. Из
уравнения рVμ/Т = R находим: рμVμ/ m Т = R, или
pV= (m/μ)RT.
94
(2.21).
Это уравнение и называют уравнением состояния идеального газа.
Уравнение состояния в форме рV/Т = const было впервые
получено Клапейроном, а для произвольной массы газа уравнение
состояния в форме pV= (m/μ)RT было записано Менделеевым.
Поэтому часто уравнение газового состояния идеального газа
называют уравнением Менделеева — Клапейрона.
Следует отметить, что в реальных условиях ни один из газов не
подчиняется строго уравнению Менделеева — Клапейрона. Правда,
отклонения от закона Менделеева — Клапейрона фактически
исчезают для достаточно разреженных газов. Однако при низких
температурах и больших плотностях начинаются заметные
отклонения от этого закона. То же самое происходит и при достаточно
высоких температурах (порядка тысячи и нескольких тысяч градусов)
для газов из многоатомных молекул. При этих температурах
начинается распад молекул газа на атомы. При еще более высоких
температурах начинается распад атомов на электроны и ионы и любой
газ перестает подчиняться уравнению Менделеева — Клапейрона,
даже при сколь угодно малых плотностях.
Закон Дальтона. В обычных условиях чаще приходится иметь
дело не с чистым газом (кислородом, азотом и т. д.), а со смесью
нескольких газов. Так, например, воздух состоит из смеси азота,
кислорода, углекислого и других газов.
Каждый из газов в смеси вносит свой вклад в давление,
создаваемое смесью. Давление, оказываемое какой-либо компонентой
смеси на стенки сосуда, когда все другие компоненты газа удалены из
объема, называют парциальным давлением. Английский физик
Дальтон экспериментально установил, что давление газовой смеси
равно сумме парциальных давлений:
р = р1 + р2 + . :
(2.22),
а парциальное давление каждой из компонент смеси подчиняется при
этом уравнению Клапейрона — Менделеева: рlV = m1/μ1 RT, p2V =
m2/μ2 RT и т.д., где V —объем смеси, Т — ее температура, m — масса,
a μi — молярная масса i-й компоненты смеси.
Уравнение состояния газовой смеси легко найти из закона
Дальтона. Для этого нужно подставить в уравнение р =p1 + p2 +
парциальные давления, найденные из уравнения состояния каждой
компоненты p1 = m1/μ1 RT/V, и умножить правую и левую части
полученного равенства на объем, т. е.
95
pV = (m1/μ1 + m2/μ2 + .)RT
(2.23).
2.2 Распределение Максвелла и Больцмана
2.2.1 Скорости газовых молекул
Основное уравнение кинетической теории газов устанавливает
связь между средней кинетической энергией поступательного
движения молекул и абсолютной температурой:
m‹v2›/2 = 3/2kT
(2.24).
Тем самым и определяется, что средняя квадратичная скорость
молекул которая для данного газа (при данном значении массы
молекулы m) зависит только от температуры. Поскольку по
уравнению состояния pV — RT, где V — объем, занимаемый молем
газа, последнее равенство можно представить в виде: √‹v2› = √3р/ρ,
где ρ — плотность газа, равная μ/V. Формула показывает, что средняя
квадратичная скорость молекул может быть вычислена из данных
измерений чисто макроскопических величин — давления газа и его
плотности.
√‹v2› = √3kT/m = √3RT/μ
(2.25).
Большой интерес представляет экспериментальное определение
скорости газовых молекул. Первое непосредственное опытное
определение скорости газовых молекул было проведено Штерном
(1920 г.).Схема опыта представлена на рисунок - 2.14. Источником
частиц (в данном случае атомов), скорость которых исследуется, в
опыте служила платиновая проволока L, покрытая слоем серебра. Она
окружена двумя цилиндрическими диафрагмами, в которых
прорезаны узкие щели Sx и Sa так, что проволока и щели лежат в
одной вертикальной плоскости. Это устройство помещено внутрь
цилиндра Р, на внутренней поверхности которого против щели S2
имеется мишень — съемная латунная пластинка. Вся эта система
помещена под колокол насоса, создающего высокий вакуум (≈10 -6
тора), и может вращаться с большой скоростью около оси, вдоль
которой натянута проволока L. Пропусканием электрического тока
через проволоку L Штерн нагревал ее до температуры, при которой
серебро заметно испарялось (1235 К). При этом атомы серебра,
скорости которых соответствуют температуре проволоки, вылетают
по всем направлениям. Часть атомов проходит через щели S1 и S2,
которые вырезают из потока атомов узкий, резко очерченный пучок,
96
состоящий из движущихся в одном направлении и не сталкивающихся
между собой частиц (такие направленные потоки молекул носят
общее название молекулярных пучков).
Рисунок - 2. 14
Когда вся система неподвижна, атомы серебра, образующие
пучок, конденсируются на мишени в месте, обозначенном на рисунке
- 2. 14 буквой А, образуя на мишени полоску, являющуюся как бы
изображением щели S2. Но если привести прибор во вращение, атомы
пучка попадут уже не в A, а окажутся смещенными относительно А на
некоторое расстояние δ (на рисунке δ = АА'). Ведь расстояние r от
щели S2 до мишени атомы, движущиеся со скоростью v, проходят за
время t = rlv. Но за это время каждая точка вращающегося цилиндра
сместится на расстояние δ, равное 2πηRt, где п — число оборотов
цилиндра Р в секунду и R — радиус этого цилиндра: δ = 2πηRt.
Подставив сюда вместо t его значение r/v, получаем: δ = 2πηRr/v. При
вращении прибора в обратном направлении полоска сместится на
такое же расстояние по другую сторону от А. Таким образом на
мишени получаются две полоски, разделенные расстоянием 2δ. Это
повышает точность измерения δ. Измерив расстояние между
полосками, зная п, r и R, вычисляют по последней рабочей формуле
скорость атомов v при температуре проволоки.
Измеренные таким образом значения скорости атомов оказались
близкими к значениям, вычисленными другими методами. Метод
молекулярных пучков, разработанный Штерном, до сих пор широко
используется для исследования различных свойств частиц. Опыты
Штерна позволяют не только измерить среднюю квадратичную
скорость, но и по размытию осадка грубо определить распределение
молекул по скоростям.
По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись
скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость
молекул массой m в газе, находящемся в состоянии равновесия при Т
= const, остается постоянной. Это объясняется тем, что в газе,
находящемся в равновесии, устанавливается некоторое стационарное,
не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям,
97
которое подчиняется вполне определенному статистическому закону.
Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом.
При выводе закона распределения молекул по скоростям
Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N
тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного
теплового движения при одинаковой температуре. Предполагалось
также, что силовые поля на газ не действуют.
Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(v),
называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если
разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv,
то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число
молекул dN(v), имеющих скорость, заключенную в этом интервале.
Функция f(v) определяет относительное число молекул dN(v)/N,
скорости которых лежат в интервале от v до v+dv, т. е.
dN(v)/N = f(v)dv,
откуда,
f(v) = dN(v)/N dv.,
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел
функцию f(v) — закон распределения молекул идеального газа по
скоростям:
f(v) = 4π(m0/2πkT)3/2v2e -m0v2/ 2kT
(2.26).
Из этой формулы видно, что конкретный вид функции зависит
от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). График этой функции
приведен на рис. 65. Так как при возрастании v множитель exp[m0v2/(2kT)] уменьшается быстрее, чем растет множитель v2, то
функция f(v) достигает максимума при vB и затем асимптотически
стремится к нулю. Кривая асимметрична относительно vB.
Относительное число молекул dN(v)/N, скорости которых лежат в
интервале от v до v+dv, находится как площадь более светлой полоски
на рисунок - 2.15. Общая площадь фигуры, ограниченной кривой
распределения и осью абсцисс, должна быть равна единице, что
отражает факт существования самой частицы в этом объеме. Поэтому
функция f(v) должна удовлетворять условию нормировки:
∫f(v)dv = 1.
(2.27).
98
Кривая функции распределения (рисунок - 2. 15) имеет
максимум при некотором значении скорости vв. Это значит, что
скорости, близкие к vв, встречаются у молекул газа чаще других, что
вероятности того, что скорость молекулы близка к vв — наибольшая.
Поэтому скорость vв., которой соответствует максимум кривой
распределения Максвелла, называется наиболее вероятной
скоростью.
Значение
этой
скорости
можно
найти,
продифференцировав функцию распределения по аргументу v, и
приравняв результат нулю. Искомая наиболее вероятная скорость vв:
vB = √2kT/m0=√2RT/μ
(2.28).
Из этой формулы следует, что при повышении температуры
максимум функции распределения молекул по скоростям сместится
вправо, значение наиболее вероятной скорости становится больше
(рисунок - 2.16). Однако площадь, ограниченная кривой, остается
неизменной, поэтому при повышении температуры кривая
распределения молекул по скоростям будет растягиваться и
понижаться.
Зная функцию распределения молекул по скоростям можно
найти и другую важную характеристику движения молекул – его
среднеарифметическую скорость <v>: <v>=-1/N∫vdN(v) = ∫vf(v)dv.
Подставляя сюда f(v) и интегрируя, получим
<v> =√/8/kT/(πm0) = √8RT/(πμ)
(2.29).
Таким образом, поведение молекул, образующих газа, можно
охарактеризовать следующим набором скоростей:
1) наиболее вероятная - vB = √2kT/m0=√2RT/μ;
2) среднеарифметическая - <v> =√/8/kT/(πm0) = √8RT/(πμ) )=1,13 vB;
3) средняя квадратичная - √‹v2› = √3kT/m = √3RT/μ = 1,22 vв
Рисунок - 2. 15
Рисунок - 2. 16
Сравнивая выражения для скоростей, находим соотношения
между тремя вычисленными скоростями. Средняя квадратичная
99
скорость на 9% больше средней арифметической и на 22% больше
наивероятнейшей скорости. Средняя арифметическая скорость
оказывается «средней» и в том смысле, что ее численное значение
лежит между наивероятнейшей и средней квадратичной скоростями.
Как это видно из приведенных цифр, различие между этими тремя
скоростями не очень велико.
В равновесном состоянии давление и температура газа
одинаковы по всему объему газа. При наличии же внешних сил
молекулярные движения приводят к своеобразному распределению
молекул в поле этих сил. Рассмотрим, например, газ (воздух),
находящийся под действием силы тяжести. Если бы отсутствовало
тепловое движение молекул, то все они под действием силы тяжести
«упали» бы на Землю, и весь воздух собрался бы тончайшим слоем у
поверхности Земли. Если бы отсутствовала сила тяжести, но
существовали бы только молекулярные движения, молекулы
разлетелись бы по всему мировому пространству. Атмосфера,
воздушная оболочка Земли, обязана своим существованием наличию
одновременно и теплового движения молекул, и силы притяжения к
Земле. При этом в атмосфере устанавливается вполне определенное
распределение молекул по высоте.
Рассмотрим вертикальный столб воздуха (рисунок - 2.17). Пусть
у поверхности Земли, где х = 0, давление равно» р0, а на высоте х
равно р. При изменении высоты на dx давление изменяется на dp.
Давление воздуха равно весу вертикального столба воздуха над
площадью, равной единице. Поэтому dp равно разности весов столбов
воздуха над площадью, равной единице, на высотах х и х + dx: dp = ρgdx, где ρ плотность воздуха и g — ускорение силы тяжести.
Плотность ρ газа равна, очевидно, произведению массы m0 молекулы
на их число п в единице объема: ρ= m0п. Из кинетической теории
известно, что n = p/kT. Следовательно, ρ = m0p/kT и dp = - mg/kT * p dx.
Произведем разделение переменных dp/p= -( mg/kT) dx. После
интегрирования, интересующая нас зависимость давления воздуха от
высоты над поверхностью Земли имеет вид:
p = р0 e -(mg/kT)x
или, учитывая, что m = μ/Nа, получаем:
p = р0 e -(μg/RT)x
(2.30),
(2.31).
Это уравнение, устанавливающее закон убывания давления с
высотой, называется барометрической формулой. Из уравнения
100
видно, что давление газа убывает с высотой по экспоненциальному
закону. Полученная барометрическая формула относится к случаю,
когда газ находится под действием силы тяжести.
Так как давление газа, как мы видели раньше, пропорционально
числу молекул п в единице объема (р = nkT), то из последней формулы
можно найти закон убывания плотности молекул с высотой:
n = n0 e -(μg/RT)x
(2.32),
где п и n0 — число молекул в единице объема в точках, между
которыми разность высот равна х. Эту формулу можно преобразовать,
если учесть, что молекула находится в поле силы тяготения Земли
(при условии, сто на уровне h=0, Е пот = 0).
n = n0 e -mgh/kT
(2.33).
Поэтому Л.Больцман показал, что этот закон распределения молекул
универсален, имеет место в любом произвольном потенциальном поле
внешних сил:
n = n0 e -Еп/kT
(2.34).
Это соотношение закон распределением Больцмана. Оно
позволяет определить долю частиц, которые в условиях теплового
равновесия, обладающих заданной энергией Епот. Из формулы видно,
что эта доля зависит только от температуры. При данной температуре
доля молекул, обладающих той или иной энергией, зависит от
значения этой энергии и быстро уменьшается с ростом энергии.
Формула Больцмана была использована Ж Перреном для
опытной проверки барометрической формулы и для определения
постоянной Больцмана (или, что то же, числа Авогадро). В 1906 г.
французский физик Ж. Перрен исследовал распределение по высоте
сосуда мельчайших частиц эмульсии смолы гуммигута в воде. Схема
опытов Перрена приведена на рисунке - 2.18.
В опытах Ж Перрен изменял: температуру и вязкость среды, а
также размер зерен эмульсии. Измерения показали, что концентрация
частиц действительно убывает с высотой по экспоненциальному
закону, выраженному С помощью микроскопа, установленного
вертикально, наблюдалось распределение взвешенных частиц по
высоте. Для этого микроскоп фокусировался на слои эмульсии на
разных высотах (глубинах). В поле зрения микроскопа оказывались
101
частицы в слое глубиной не более 0,001 мм и совсем не были видны
частицы, лежащие выше и ниже. Число частиц в поле зрения было
Рисунок - 2.17
Рисунок - 2.18
невелико, так что их можно было сосчитать. Число это, очевидно,
пропорционально числу частиц п в единице объема. Измерения
производились многократно, и определялось среднее из многих
измерений. Общее число сосчитанных частиц в некоторых сериях
опытов достигало многих тысяч. Опыты показали, что при
возрастании расстояния h от дна сосуда в арифметической прогрессии
концентрация зерен п0 убывает в геометрической прогрессии.
2.3. Первое начало термодинамики
2.3.1 Работа и энергия в тепловых процессах. Первое начало
термодинамики
Термодинамика — раздел физики, изучающий общие свойства
макроскопических
систем,
находящихся
в
состоянии
термодинамического равновесия, и процессы перехода между этими
состояниями. Сказанное позволяет определить общую задачу
термодинамики как науки, в которой изучаются свойства
макроскопических
тел.
Термодинамика
имеет
дело
с
термодинамической системой — совокупностью макроскопических
тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией, как между
собой, так и с другими телами (внешней средой). Задача
термодинамики — определение состояния термодинамической
системы. Система может быть в разных равновесных состояниях.
Равновесными состояниями называют такие, при которых
макроскопические величины, описывающие поведение изолированной
системы, остаются неизменными во времени и одинаковыми в
пространстве. Состояние системы задается термодинамическими
параметрами
(параметрами
состояния)
—
совокупностью
физических величин, характеризующих свойства термодинамической
102
системы. Обычно, в качестве параметров, состояния выбирают
температуру, давление и объем. Эти параметры являются функциями
других параметров. Так, например, объем газа является функцией
давления и температуры. Кроме того, во многих задачах нас
интересуют такие свойства системы, как внутренняя энергия,
энтропия и т. д. Эти величины тоже являются функциями параметров
состояния, и их мы будем называть функциями состояния.
Следовательно, функцией состояния называется величина,
зависящая от параметров состояния: она определена, если даны эти
параметры.
Все функции состояния являются «функциями точки», т.е. они
вполне определены, если известны координаты точки или параметры
состояния на диаграмме. Отсюда вытекают три важных свойства
функции состояния.
1. Если W есть функция состояния, то изменение w зависит
только от начальной и конечной точек на диаграмме и не зависит от
формы «пути», т. е. не зависит от вида процесса.
2. Если W = W (x, у, z) есть функция параметров х, у, z, то
бесконечно малое изменение dW является полным дифференциалом
при бесконечно малых изменениях параметров: dх, dу, dz, где х, у, z —
обобщенные параметры состояния, т. е. ими могут быть р, V, Т и т. д.
3. Для замкнутых процессов (циклов), т. е. таких, когда
система из начальной точки после перехода через ряд состояний и
вновь возвращается в исходную точку, для функции состояния всегда
имеет место: dW = 0. (следствие из 1-го свойства функции состояния:
интеграл по z - замкнутому контуру не зависит от вида контура).
Одной из важных функций состояния является внутренняя
энергия U. Внутренняя энергия любого тела слагается из
кинетической энергии поступательного и вращательного движения
молекул, кинетической и потенциальной энергий колебательного
движения
атомов
в
молекулах,
потенциальной
энергии
взаимодействия между молекулами и внутримолекулярной энергии (т.
е. энергии электронных оболочек атомов и внутриядерной энергии).
Кинетическая энергия и потенциальная энергия тела во внешнем
силовом поле во внутреннюю энергию тела не входят.
Внутреннюю энергию называют функцией состояния системы,
подчеркивая тем самым, что каждому состоянию термодинамической
системы однозначно соответствует некоторое значение внутренней
энергии. Это означает, что при переходе системы из одного состояния
в другое изменение внутренней энергии определяется только
разностью значений внутренней энергии этих состояний и не зависит
103
от пути перехода. Для характеристики этого процесса введено
понятие числа степеней свободы — числа независимых переменных
(координат), полностью определяющих положение системы в
пространстве.
Молекулу одноатомного газа рассматривают как материальную
точку, которой приписывают три степени свободы поступательного
движения (i = 3). При этом энергию вращательного движения можно
не учитывать. В классической механике молекула двухатомного газа в
первом приближении рассматривается как совокупность двух
материальных точек, жестко связанных недеформируемой связью.
Такая система кроме трех степеней свободы поступательного
движения имеет еще две степени свободы вращательного движения.
Таким образом, двухатомный газ обладает пятью степенями свободы
(i = 5). Трехатомная и многоатомная нелинейные молекулы имеют
шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных (i =
6). Независимо от общего числа степеней свободы молекул три
степени свободы всегда поступательные.
В классической статистической физике выводится закон
Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням
свободы молекул: для статистической системы, находящейся в
состоянии
термодинамического
равновесия,
на
каждую
поступательную и вращательную степени свободы приходится в
среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую
колебательную степень свободы — в среднем энергия, равная kT.
Колебательная степень «обладает» вдвое большей энергией потому,
что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае
поступательного и вращательного движений), но и потенциальная,
причем средние значения кинетической и потенциальной энергий
одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы
<ε>= i/2kT
(2.35),
где i — сумма числа поступательных, числа вращательных и
удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы:
i=iпост+iвращ + 2iколеб
(2.36).
В классической теории рассматривают молекулы с жесткой
связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней
свободы молекулы. Так как в идеальном газе взаимная потенциальная
энергия молекул равна нулю (молекулы между собой не
104
взаимодействуют), то внутренняя энергия, отнесенная к одному молю
газа, будет равна сумме кинетических энергий NА молекул:
U= i/2kTNa= i/2m/μRT
(2.37).
ЗдесьU - внутренняя энергия для произвольной массы m газа,
где μ — молярная масса этого газа. Таким образом, для идеального
газа внутренняя энергия U пропорциональна температуре Т. Из
приведенной формулы видно, что для изменения температуры газа
нужно изменить его внутреннюю энергию. При изменении
внутренней энергии изменится состояние тела, оно будет расширяться
или сжиматься и приведет в механическое движение окружающие его
тела. Работа А', совершаемая внешними силами над системой, должна
быть численно равна и противоположна по знаку работе А,
совершаемой при этом самой системой над внешней средой; или, как
обычно говорят, «против внешних сил»: А' = - А.
Происходящий обмен энергией между системами может
происходить в разных процессах, например, адиабатного
взаимодействия. Пусть сначала он находится в равновесном
состоянии (рисунок - 2.10). Будем считать заданными первоначальные
параметры газа р, V, Т, т. Если уменьшить внешнее давление на
малую величину dp, то газ начнет расширяться, причем работа
расширения (против внешних сил) равна: dA=(p+dp)dV≈pdV>0. Эту
работу принято считать положительной. Она может совершаться за
счет изменения внутренней энергии газа, уменьшающейся на
величину: dU = - dA<0. Газ при этом охлаждается. Элементарная
работа определяется площадью заштрихованного участка. Суммарная
работа численно равна площади, ограниченной кривой 1, 2, ординатой
р2, отрезком оси абсцисс (V2, Vi) и ординатой р.. Эта работа
положительна при обходе контура по часовой стрелке.
В случае кругового процесса работа будет определяться
площадью фигуры внутри замкнутой кривой. После перехода системы
из состояния 1 в состояние 2 и обратно ∆U. системы равно нулю, но
работа отлична от нуля.Она характеризуется площадью фигуры и
зависит от способа, которым осуществляется процесс (рисунок - 2.20).
Следовательно, работа, производимая системой, есть характеристика
процесса; но она не может быть термодинамической величиной или
функцией состояния системы, а является функцией процесса: работа функция процесса.
В общем, возможны два различных способа изменения
внутренней энергии термодинамической системы при ее
105
взаимодействии с внешними телами: путем совершения работы и
путем теплообмена.
Благодаря взаимодействию между частицами вещества энергия
беспорядочного движения может передаваться от одного тела к
другому.
Рисунок - 2.19
Рисунок - 2.20
Это отражается на тепловых свойствах тел. Энергия,
сообщаемая системе в форме теплоты, непосредственно идет на
увеличение энергии беспорядочного движения частиц системы
(атомов, молекул и т. п.), т.е. на увеличение внутренней энергии
системы. Частицы тела с более высокой температурой обладают в
среднем большей кинетической энергией теплового движения, чем
частицы тела, имеющего меньшую температуру. Поэтому частицы
первого тела, сталкиваясь с частицами второго тела, передают им
часть своей кинетической энергии. В результате интенсивность
теплового движения частиц первого тела и его внутренняя энергия
уменьшаются, а интенсивность теплового движения частиц второго
тела и его внутренняя энергия увеличиваются. Соответственно
температура первого тела постепенно понижается, а второго —
повышается. Когда температуры тел выравниваются, средние
значения кинетической энергии теплового движения частиц в обоих
телах также становятся одинаковыми. При этом теплообмен между
телами прекращается, так как при столкновениях частиц энергия с
равной вероятностью передается как от первого тела второму, так и в
обратном направлении. Отсюда следует, что теплота неразрывно
связана с процессом передачи энергии, является функцией процесса.
Итак, в отличие от внутренней энергии системы, являющейся
однозначной функцией состояния этой системы, теплота и работа
имеют смысл только в связи с процессом изменения состояния
системы. Они являются энергетическими характеристиками этого
процесса. В реальных условиях оба способа передачи энергии системе
(в форме работы и в форме теплоты) сопутствуют друг другу:
dU = dQ + dА'
106
(2.38).
Этот вид уравнения отражает тот факт, что изменение
внутренней энергии системы может происходит по двум причинам: за счет получения или отдачи системой теплоты(dQ) и за счет
совершения работы (dA). Если учитывать возможность различных
знаков величин , входящих в это уравнение (dА' = - dА.), то его можно
написать в виде:
dQ = dU + dA
(2.39).
Данное соотношение отражает собой закон сохранения и
превращения энергии в термодинамике. Формулировка первого
начала термодинамики выглядит следующим образом: энергия
изолированной системы есть величина постоянная. Очевидно, первое
начало налагает строгое, ограничение на все процессы в
изолированной системе: если затрачивается бесконечно малое
количество теплоты dQ и совершается бесконечно малая работа dА, то
изменение внутренней энергии тоже бесконечно мало и равно dU.
2.3.2 Теплоемкость газа. Применение первого начала
термодинамики к изопроцессам
Во многих процессах внешним результатом сообщения телу
теплоты является нагревание и поэтому, не разделяя полученную
теплоту на части соответственно изменению свойств тела, вводят
общее понятие теплоемкости, которая представляет собой количество
теплоты, необходимой для изменения температуры тела на один
градус.
C= ∆Q/∆Т
(2.40),
где ∆Q — количество тепла, полученное в процессе повышения
температуры тела от Т1 до Т2. В пределе, когда ∆T стремится к нулю,
мы получаем истинную теплоемкость тела при данной температуре:
С = lim ∆Q/∆Т = dQ/dТ
Различают удельную теплоемкость,
теплота отнесена к 1 кг массы
с = C/m,
(2.41).
когда
необходимая
(2.42),
и молярную теплоемкость, когда теплота отнесена к одному молю
107
С=cМ
(2.43).
Наибольшее практическое значение имеют теплоемкости в
изохорическом (CV) и изобарическом (Ср) процессах. В изохорическом
процессе теплоемкость равна CV
СV = dQV/dТ = (∂U/∂T)V , т. е. dUv = CvdT.
(2.44).
В изобарическом процессе теплоемкость Ср может быть
представлена выражением, если ввести энтальпию:
Сp. = dQp/dТ = (∂H/∂T)p -) , т. е. dHp = CpdT
(2.45).
В изотермическом процессе теплоемкость равна бесконечности:
Сi = ∞, так как здесь при передаче системе теплоты ∆Q повышения
температуры не происходит: ∆Т =0. В адиабатическом процессе
теплоемкость равна 0, так как затраченная теплота dQ = 0 при
наличии конечного изменения температуры.
Опыт показывает, что теплоемкость вообще зависит от
температуры. Однако при обычных температурах эта зависимость
выражена сравнительно слабо, благодаря чему иногда изменениями
пренебрегают, рассматривая, например, небольшие интервалы
температур, далеких от абсолютного нуля. При очень низких
температурах теплоемкость сильно изменяется с температурой. Так, в
области нескольких десятков градусов от абсолютного нуля она
возрастает пропорционально кубу абсолютной температуры.
Объяснение этой закономерности дает квантовая статистика.
Молярная теплоемкость СV при обычных температурах для атомарных
газов постоянна и. равна Сv = (3/2)R. Если молекула газа состоит из
нескольких атомов, то расчет теплоемкости производиться с учетом
степеней свободы по следующей формуле:
Сv = dU/dT= i/2*RdT
(2.46).
Если газ нагревается при постоянном давлении, то
Cp = dU/dT + pdV/dT
(2.47).
Учитывая, что dU/dT -— не зависит от вида процесса
(внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от р, ни от V, а
определяется лишь температурой T) и всегда равна CV;
108
продифференцировав уравнение Клапейрона — Менделеева pVm = RT
по T (p = const), получим
Cp = Cv + R.
(2.48).
Это выражение называется уравнением Майера. Оно
показывает, что Ср всегда больше Cv .Это объясняется тем, что при
нагревании газа при постоянном давлении требуется еще
дополнительное количество теплоты на совершение работы
расширения газа, так как постоянство давления обеспечивается
увеличением объема газа. Для моля любого газа эта разность
составляет одну и ту же величину R. = 8,31 Дж/мольК , которая
одинакова для всех идеальных газов и называется универсальной
газовой постоянной. Cp и Cv можно выразить через степень свободы:
Cp = (i+2)/2*R
(2.49)
Cv = i/2*R
(2.50)..
и
При рассмотрении термодинамических процессов важно знать
характерное для каждого газа отношение Ср к Cv:
γ = Cp/Cv = (i + 2)/i.
(2.51)
Отсюда следует, что теплоемкости определяются лишь числом
степеней свободы и не зависят от температуры. Это утверждение
справедливо в довольно широком интервале температур лишь для
одноатомных газов. Уже у двухатомных газов число степеней
свободы, проявляющееся в теплоемкости, зависит от температуры.
По закону равномерного распределения энергии по степеням
свободы, для комнатных температур Cv = = 7/2R. Из качественной
экспериментальной зависимости молярной теплоемкости Cv водорода
(рисунок - 2.21) следует, что СV зависит от температуры: при низкой
температуре (≈50 К) Cy=3/2R, при комнатной CV = 5/2R (вместо
расчетных значений - 7/2R) и очень высокой — CV =7/2R.
Рисунок - 2.21
109
Расхождение теории и эксперимента нетрудно объяснить. Дело
в том, что при вычислении теплоемкости надо учитывать квантование
энергии вращения и колебаний молекул. Если энергия теплового
движения недостаточна, например, для возбуждения колебаний, то
эти колебания не вносят своего вклада в теплоемкость
(соответствующая степень свободы «замораживается» — к ней
неприменим закон равнораспределения энергии). Этим объясняется,
что теплоемкость моля двухатомного газа — водорода — при
комнатной температуре равна 5/2R вместо 7/2R. Аналогично, можно
объяснить уменьшение теплоемкости при низкой температуре
(«замораживаются» вращательные степени свободы) и увеличение
при высокой («возбуждаются» колебательные степени свободы).
Применим первое начало термодинамики к ряду процессов в
идеальном газе, при которых один из термодинамических параметров,
характеризующих состояние газа, остается постоянной. Такие
процессы носят название изопроцессов. Процесс, который
происходит с сохранением объема (V=const), называется
изохорическим. Газ не совершает никакой внешней работы. Вся
полученная теплота идет на увеличение кинетической энергии
молекул, соответственно чему возрастает внутренняя энергия газа. На
диаграмме (р, V) изохорический процесс изображается изохорой,
имеющей вид прямой, параллельной оси давлений (рисунок 44).
dQ = dU
(2.52).
Процесс при котором остается неизменным давление называется
изобарическим процессом (р = const). С молекулярно-кинетической
точки зрения, при изобарическом расширении идеального газа, часть
тепла идет на увеличение скорости движения молекул, а,
следовательно, на изменение внутренней энергии идеального газа, и
некоторая часть — на внешнюю работу молекул по преодолению
внешнего давления. Следовательно, первое начало термодинамики
для 1 моля идеального газа при изобарическом процессе выглядит
следующим образом:
dQ = dU+dA
(2.53).
Изменение состояния изображается изобарой (рисунок - 2.23).
Работа на этом графике равна площади прямоугольника высотой р и с
основанием (V2—V1).
110
Процесс, протекающий при неизменной температуре (Т=const),
называется изотермическом процессом. Из-за постоянства
температуры внутренняя энергия газа в этом процессе также остается
неизменной, a dU=0. В изотермическом процессе вся теплота,
подведенная к системе, полностью идет на совершение работы.
Следовательно,
как
первое
начало
термодинамики
для
изотермического процесса, имеем:
dQ = dА = pdV
(2.54).
Применяя уравнение Клапейрона, и интегрируем полученное
выражение в пределах от V1 до V2. Тогда
Q = A= RT lnV2/V1
(2.55).
Мы видим, что работа газа при изотермическом процессе
пропорциональна абсолютной температуре и логарифму отношения
V2/V1. На диаграмме (р, V) изотермический процесс изображается
кривой,
называемой
изотермой,
представляющей
собой
равностороннюю гиперболу (рисунок 6.4.), уравнение которой pV =
const. Графически работа при изотермическом процессе определяется
площадью заштрихованной на рисунке - 2.23 фигуры.
Рисунок - 2.22
Рисунок - 2.23
Процесс, который совершается без теплообмена с окружающей
средой, называется адиабатным процесс ((dQ=0).). Практически
такие процессы осуществляются либо при наличии у системы
теплоизолирующей оболочки, либо если они происходят столь
быстро, что система не успевает обмениваться теплотой с
окружающей средой. Первое начало термодинамики для адиабатного
процесса дает:
111
dU+dA=0,
(2.56)
—dU=dA,
(2.57),
или
т. е. работа совершается за счет убыли внутренней энергии. При
адиабатном процессе изменяются сразу все три параметра состояния.
Связь между давлением и объемом установил Пуассон pVγ=const, где
γ = Cp/Cv называется показателем адиабаты. Уравнение адиабаты
графически изображено на рисунке - 2.24. Адиабата 1 проходит круче,
чем пересекающаяся с ней изотерма 2, что вполне понятно: при
адиабатном сжатии газ нагревается, в изотермическом процессе его
температура не изменяется (рисунок - 2.25).
Рисунок - 2.24
Рисунок - 2.25
Используя уравнение Пуассона для адиабатного процесса и
уравнение состояния идеального газа можно определить выражение
работы для адиабатного процесса:
A = RT1/(γ-1)[1-(V1/V2)γ-1]
(2.58).
Процессы,
протекающие
в
системах
с
постоянной
теплоемкостью, называют политропическим. Применяя первое
начало термодинамики к политропным процессам, можно получить
его уравнение. Действительно, для 1 моля идеального газа имеем:
СdT=CvdT+pdV. Продифференцировав уравнение состояния, найдем:
pdV+Vdp=RdT. Исключая из этих соотношений температуру,
получим: pdV(Cp—C)= Vdp {С—Cv). Введя для краткости обозначение
n = (C - Cp)/( С—Cv) последнее уравнение приведем к виду: dp/p +
ndV/V = 0 После интегрирования получается уравнение политропы:
pVn — const.
(2.59).
Нетрудно убедиться в том, что любой изопроцесс является
частным случаем политропного процесса. Например, п=1
112
соответствует изотермическому процессу, n=γ — адиабатическому и
т. д.
2.4. Второе начало термодинамики
2.4.1. Работа тепловых машин. Цикл Карно
Процессы в системе бывают обратимые и необратимые.
Термодинамический процесс называется обратимым, если он может
происходить как в прямом, так и в обратном направлении. Если такой
процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном
направлении и система возвращается в исходное состояние, то в
окружающей среде и в этой системе не происходит никаких
изменений. Всякий процесс, не удовлетворяющий этим условиям,
является необратимым.
Круговым процессом (или циклом) называется процесс, при
котором система, пройдя через ряд состояний, возвращается в
исходное. На диаграмме процессов цикл изображается замкнутой
кривой (рис 84.) Цикл, совершаемый идеальным газом, можно разбить
на процессы расширения (1—2) и сжатия (2—1) газа. Работа
расширения (определяется площадью фигуры la2V2V1l) положительна
(dV>0), работа сжатия (определяется площадью фигуры 2blV1V22)
отрицательна (dV<0). Следовательно, работа, совершаемая газом за
цикл, определяется площадью, охватываемой замкнутой кривой. Если
за цикл совершается положительная работа (цикл протекает по
часовой стрелке), то он называется прямым (рисунок - 2.26,а), если за
цикл совершается отрицательная работа (цикл протекает против
часовой стрелки), то он называется обратным (рисунок - 2.26,6).
Прямой цикл используется в тепловых машинах, совершающих
механическую работу за счет полученной извне теплоты. Обратный
цикл используется в холодильных машинах, где за счет работы
внешних сил теплота переносится к телу с более высокой
температурой. В результате кругового процесса система возвращается
в исходное состояние и, следовательно, полное изменение внутренней
энергии газа равно нулю. Поэтому первое начало термодинамики для
кругового процесса
Q=∆U+A=A,
(2.60),
т.е. работа, совершаемая за цикл, равна количеству полученной извне
теплоты. Однако в результате кругового процесса где Q1- количество
теплоты, полученное системой, Q2 - количество теплоты, отданное
системой. Поэтому термический коэффициент полезного действия
для кругового процесса
113
η = A/ Q1 = (Q1 - Q2)/ Q1 = 1- Q2/Q1
(2.61).
Тепловая машина, кроме тела с высокой температурой Ti
(нагреватель), за счет внутренней энергии которого будет совершаться
работа, и холодильника с температурой Т2, служащего для отвода
части теплоты, должна иметь еще «рабочее тело». Действие тепловой
машины происходит по следующей схеме. От теплового резервуара
(нагревателя с температурой T1) теплота передается рабочему телу и
частично преобразуется последним в работу; частично же теплота от
рабочего тела передается холодильнику (с температурой Т2), а рабочее
тело возвращается в исходное состояние. В соответствии с первым
началом термодинамики необходимо, чтобы выполнялось равенство
dQ1=dA+dQ2 . Работа за один цикл зависит от его формы и измеряется
площадью, охваченной кривой, описывающей процесс.
Если ввести коэффициент полезного действия такой машины
как отношение η = dA/dQ1 , то нетрудно получить следующее
выражение для КПД идеальной машины:
η = dA/dQ1 dA/dQ1 = 1- dQ2/dQ1; η = 1- dQ2/dQ1;
или
η = 1- Т2/Т1 = (Т1- Т2)/Т1
(2.62).
Итак, КПД идеальной машины определяется только
температурами нагревателя и холодильника. Мощность тепловой
машины определяется произведением работы, совершаемой за один
цикл, на число циклов, происходящих за 1 с. Одной из возможных
схем действия такой машины является работа по так называемому
циклу Карно, впервые рассмотренному Сади Карно (1796—1832). На
рисунке - 2.27 представлен цикл тепловой машины, работающей по
циклу Карно. Он состоит из двух адиабат и двух изотерм. Работа,
совершаемая рабочим телом за цикл, положительна. При переводе
системы из состояния 1 в состояние 2 нагреватель отдает рабочему
телу количество теплоты Q1 при температуре Т1, а при переводе
системы из состояния 3 в состояние 4 рабочее тело передает
холодильнику количество теплоты Q2 при температуре Т2.
Рассмотрим более подробно работу идеальной машины Карно, в
которой рабочим телом служит идеальный газ, взятый в количестве 1
моль. На участке 1, 2 рабочее тело находится в контакте с
114
Рисунок - 2.26
Рисунок - 2.27
нагревателем. Происходит изотермическое расширение газа от объема
V1 до объема V2. Количество теплоты, переданное газу на этом
участке, равно:
Q1 =RT1* ln(V2/ V1)
(2.63).
Эта теплота полностью переходит в работу расширения. На
участке 3, 4 газ изотермически сжимают при температуре Т2. При этом
сжатии холодильнику отдается количество теплоты, равное:
Q2 =RT2* ln(V3/V4).
(2.64).
Адиабатическим сжатием на участке 4, 1 рабочее тело приводят
в исходное состояние. Так как внутренняя энергия рабочего тела за
цикл не меняется, то алгебраическая сумма количеств теплоты,
переданных газу, и работы, совершенной при его расширении и
сжатии, должна быть равна нулю. На адиабатных участках работы
расширения и сжатия газа взаимно компенсирую друг друга, так как
процесс идет между двумя изотермами с температурами T1 и T2.
Поэтому работа, совершаемая газом при изотермических процессах,
является полезной работой; она равна:
A = Q1- Q2
или с учетом выражений для Q1 и Q2:
A= RT1* ln(V2/ V1)— RT2* ln(V3/V4)
(2.65)
(2.66).
Зная выражение для полезной работы, нетрудно найти КПД
машины, работающей по циклу Карно:
η = A/ Q1 = [T1* ln(V2/ V1)— T2* ln(V3/V4)]/ T1* ln(V2/ V1)
115
(2.67).
Из уравнений Пуассона, описывающих процессы 1, 4 и 2, 3,
нетрудно найти связь между объемами:
V2
V1

V3
(2.68).
V4
Поэтому для КПД машины получаем:
η = (T1 - T2)/T1
(2.69),
т. е. КПД обратимого цикла Карно равен КПД идеальной тепловой
машины и является наибольшим возможным в заданном интервале
температур (Т1,Т2).
Кроме тепловых машин, в технике и быту широкое
распространение получили холодильные, машины — устройства, в
которых за счет внешней механической работы теплота передается от
тела с меньшей температурой телу с более высокой температурой.
Идеальной холодильной машиной может служить машина Карно,
работающая по обращенному циклу. В обращенном цикле Карно
рабочее тело проходит те же промежуточные состояния, что и в
прямом цикле, только в обратном направлении. Результатом
обращенного цикла Карно будет перенос теплоты от холодного тела к
более нагретому за счет совершения работы внешними телами.
КПД идеального цикла Карно не зависит от рода рабочего тела
(теорем Карно). Это можно доказать с помощью следующего
мысленного эксперимента. Представим себе, что одна из машин
Карно (с идеальным газом) работает по прямому циклу Карно и
приводит в действие вторую машину, где рабочим телом служит
какое-либо вещество, не являющееся идеальным газом. При этом обе
машины работают с одними и теми же резервуарами теплоты (с
температурами Т1 и Т2). Пусть КПД первой машины есть η1, а второй
(при прямом цикле) — η2.
Совершая прямой цикл, первая машина получает из резервуара
1 количество теплоты Q1 и отдает резервуару 2 количество теплоты
Q2. Работа машины A=Q1—Q2 затрачивается на приведение в действие
второй машины. Вторая машина, совершая обратный цикл, отдаст
резервуару 1 количество теплоты Q1, а у резервуара 2 отнимет
количество теплоты Q2. Если КПД машин неодинаков (например,
η1<η2), то Q11≠Q1. Сделав частоты циклов n1 и п1' различными {всегда
между машинами можно поставить редуктор, меняющий число их
оборотов в единицу времени), можно добиться, например, равенства:
116
п1' Q11 = n1 Q1. При этом резервуар 1 не претерпит никаких изменений.
Но в резервуаре 2 произойдут изменения: первая машина отдаст ему
количество теплоты n1Q2,. а вторая заберет количество теплоты п1'Q21
которое отлично от n1Q2, так как не равны КПД машин.
Следовательно, наша система, не получая теплоты извне, совершит
работу за счет отнятия теплоты от резервуара 2, что противоречит
законам термодинамики.
Предположив, что η1<η2. мы поменяем роли машин и придем к
такому же невозможному результату. Следовательно, остается
допустить, что оба КПД одинаковы и КПД идеального цикла Карно не
зависит от рода рабочего тела.
2.4.2 Второе начало термодинамики. Энтропия
Первое начало термодинамики позволяет определить, возможен,
ли с энергетической точки зрения тот или иной процесс в замкнутой
системе. Но оно ничего не говорит о возможных направлениях
протекания процессов. Для этого в термодинамике вводится еще одна
функция состояния — энтропия.
Понятие энтропии введено в 1865 г. Р. Клаузиусом. Для
выяснения физического содержания этого понятия рассматривают
отношение теплоты Q, полученной телом в изотермическом процессе,
к температуре Т теплоотдающего тела, называемое приведенным
количеством
теплоты.
Приведенное
количество
теплоты,
сообщаемое телу на бесконечно малом участке процесса, равно ∂Q/T.
Строгий теоретический анализ показывает, что приведенное
количество теплоты, сообщаемое телу в любом обратимом круговом
процессе, равно нулю. Из того следует, что ∂Q/T есть полный
дифференциал некоторой функции, которая определяется только
состоянием системы и не зависит отпути, каким система пришла в это
состояние. Функция состояния, дифференциалом которой является
∂Q/T и называется энтропией и обозначается S. Таким образом,
∂Q/T = dS
(2.70).
Физический смысл энтропии связан с вероятностью. Каждое
термодинамическое состояние газа не является безусловно
обязательным, а существует с той или иной вероятностью. Т. е.
состояние тем вероятнее, чем большим числом комбинаций в
пространственном расположении молекул и в скоростях молекул оно
осуществляется. Наименее всего вероятно состояние газа, когда
скорости молекул совершенно одинаковы, так как такое состояние
117
реализуется всего одной комбинацией (если говорить для простоты
только о характеристике в отношении скорости). Условно можно
определить вероятность такого состояния величиной Wi,. В
статистической физике доказывается в самом общем случае (а не
только для газа), что энтропия тем выше, чем большим числом
комбинаций осуществляется данное состояние. Следовательно,
существует соотношение между энтропией S и термодинамической
вероятностью W состояния. Это соотношение было получено
Больцманом, который на основании статистических соображений
показал, что энтропия прямо пропорциональна логарифму
вероятности, т. е. что
Si=k ln Wi
(2.71),
где k — постоянная Больцмана, a Wi — число микросостояний,
соответствующих данному i-му состоянию макросистемы. Величину
Wi называют термодинамической вероятностью состояния.
Отношение Wi к полному числу возможных микросостояний
макросистемы
Wi /∑ Wi = Pi
(2.72)
называют вероятностью (математической) i-гo состояния.
Так как наибольшей вероятностью обладает состояние
максимального беспорядка, когда средние значения энергии всех
молекул одинаковы и молекулы равномерно распределены по объему,
то возрастание энтропии означает переход системы к более
беспорядочному
состоянию.
Сама
же
энтропия
может
рассматриваться как мера беспорядка в макроскопической системе.
Важнейшими свойствами энтропии являются следующие свойства.
1) При самопроизвольных обратимых процессах энтропия
замкнутой системы может возрастать (или оставаться постоянной):
∆S≥0.
(2.73).
2) Во всех реальных (необратимых) процессах энтропия
замкнутой системы обязательно возрастает:
∆SР>0
118
3) Энтропия обладает свойством аддитивности, когда общее
изменение энтропии системы равно алгебраической сумме изменений
энтропии, которое произошло в каждом процессе, которое привело
его в это состояние:
∆S = ∆S1 + ∆S2 +∆S3+ = ∑∆Si
(2.74).
Практическое применение имеет не сама энтропия, а её изменение,
которое происходит при переходе системы из одного состояния в
другое:
∆S1-2=∫dQ/T.
(2.75).
Найдем изменение энтропии в процессах идеального газа. При
изотермическом процессе (Т1=Т2):
∆S= m/M ln(V2/V1 ).
(2.76).
При изохорном процессе (V1=V2):
∆S = m/M CV ln(T2/T1).
(2.77).
Так как для адиабатического процесса ∂Q=0, то ∆S=0 и,
следовательно, S =const, то есть, адиабатический обратимый процесс
протекает при постоянной энтропии. Поэтому его часто называют
изоэнтропийным процессом по аналогии с другими изопроцессами.
Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса второе
начало термодинамики можно сформулировать как закон
возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых
процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе
происходит так, что энтропия системы при этом возрастает.
Существует несколько других эквивалентных формулировок
второго начала термодинамики. Например, можно дать более краткую
формулировку второго начала термодинамики: в процессах,
происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь
существенно, что речь идет о замкнутых системах, так как в
незамкнутых системах энтропия может вести себя любым образом
(убывать, возрастать, оставаться постоянной). Кроме того, отметим
еще раз, что энтропия остается постоянной в замкнутой системе
только при обратимых процессах. При необратимых процессах в
замкнутой системе энтропия всегда возрастает.
119
Формула Больцмана позволяет объяснить постулируемое
вторым началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой
системе при необратимых процессах: возрастание энтропии означает
переход системы из менее вероятных в более вероятные состояния.
Таким образом, формула Больцмана позволяет дать статистическое
толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь
статистическим законом, описывает закономерности хаотического
движения большого числа частиц, составляющих замкнутую систему.
Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:
- по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным
результатом которого является превращение теплоты, полученной от
нагревателя, в эквивалентную ей работу;
- по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным
результатом которого является передача теплоты от менее нагретого
тела к более нагретому.
Формулировка Клаузиуса (1850): процесс, при котором в
системе не происходит никаких изменений, кроме передачи теплоты
от горячего тела к холодному, является необратимым; иначе говоря,
теплота не может самопроизвольно перейти от более холодного тела к
более горячему без каких-либо других изменений в системе.
Формулировка Томсона (Кельвина) (1851): процесс, при
котором теплота переходит в работу, является необратимым; иначе
говоря, невозможно преобразовать в работу всю теплоту, взятую от
тела с однородной температурой, не производя никаких других
изменений в состоянии системы.
Принцип невозможности создания вечного двигателя второго
рода: невозможно создать периодически работающую машину,
которая производила бы работу за счет поглощения теплоты одного
теплового резервуара, не вызывая при этом никаких других
изменений состояния системы. Такую воображаемую машину принято
называть вечным двигателем второго рода.
Второе начало термодинамики можно использовать для
построения термодинамической шкалы температур. Так как КПД
цикла Карно не зависит от рабочего тела, то можно вообразить такую
процедуру. Некоторое стандартное тело в определенном состоянии
(например, вода, кипящая при атмосферном давлении) выбирается в
качестве нагревателя. Другое стандартное тело (например, лед,
тающий при атмосферном давлении) выбирается в качестве
холодильника. Разность температур Тн и Тх (сами температуры пока
неизвестны) делится на произвольное число частей, чем
устанавливается значение градуса (скажем, на сто частей).
120
Осуществляется идеальный цикл Карно с каким-либо веществом.
Измеряется количество теплоты Q1, заимствованной от нагревателя, и
количество теплоты Q2, отданной холодильнику. Уже установлено,
что Тх/ Тн = Q2/Q1
Имея, кроме того, условие: Тн—Тх=100 градусов, получаем два
уравнения, определяющие Тн и Тх. Если теперь взять некое вещество
при неизвестной температуре Т и использовать его в качестве
нагревателя при прежнем холодильнике (температура Тх), то, проводя
цикл Карно и измеряя Q'1 и Q'2, можно написать: Q'2/ Q'1 = Тх/Т.
Отсюда находится искомая температура Т. Построенная таким
образом шкала температур, как выяснилось, практически совпадает со
шкалой, получаемой при измерениях с газовым термометром.
Так как энергия беспорядочного движения частиц газа
пропорциональна температуре, то следует ожидать, что при
абсолютном нуле беспорядочное движение должно прекратиться —
частицы будут располагаться наиболее упорядоченным образом (но,
конечно, будут иметь место внутримолекулярные или внутриатомные
движения). Этой наибольшей упорядоченности расположения частиц
должна отвечать наименьшая энтропия. В. Нернст (1864—1941),
основываясь на научных наблюдениях, высказал положение, часто
называемое третьим началом термодинамики: энтропия при
абсолютном нуле равна нулю.
Первые два начала термодинамики дают недостаточно сведений
о поведении термодинамических систем при нуле Кельвина. Поэтому
их дополняет вышеназванное утверждение, называемое третьим
началом термодинамики, или теоремой Нернста: энтропия всех тел в
состоянии равновесия стремится к нулю по мере приближения
температуры к нулю Кельвина: lim S = 0. Из теоремы Нернста—
Планка следует, что теплоемкости Ср и Cv при О К равны нулю.
В середине XIX в. возникла проблема так называемой «тепловой
смерти» Вселенной. Рассматривая Вселенную как замкнутую систему
и применяя к ней второе начало термодинамики, Клаузиус свел его
содержание к утверждению, что энтропия Вселенной должна
достигнуть своего максимума. Это означает, что со временем все
формы движения должны перейти в тепловую форму. Переход же
теплоты от горячих тел к холодным приведет к тому, что температура
всех тел во Вселенной сравняется и наступит полное тепловое
равновесие, и все процессы во Вселенной прекратятся - наступит
тепловая смерть Вселенной. Ошибочность вывода о тепловой смерти
заключается в том, что бессмысленно применять второе начало
121
термодинамики к незамкнутым системам, например к такой
безграничной и бесконечно развивающейся системе, как Вселенная.
2.5 Реальные газы
2.5.1 Уравнение Ван-дер-Ваальса. Изотермы реального газа
При увеличении давления и понижении температуры средние
расстояния между молекулами уменьшаются. Средняя кинетическая
энергия молекул становится сравнимой с потенциальной энергией
взаимодействия, и поведение газа все больше отличается от
идеального. Отклонение от идеальности может быть установлено
экспериментально, путем проверки справедливости уравнения
Клапейрона — Менделеева для некоторого газа при различных
давлениях. В таблице 2.1 приведены значения объема V, занимаемого
одним молем азота N2 при различных давлениях р и температуре 273
К, а также значения произведения pV. Видно, что при уменьшении
объема одного моля газа до размеров порядка 10-4м3 отступления от
идеальности становятся значительными.
Объем одной молекулы азота по порядку величины равен: V0 =
4/3πr0 ≈ 4*10-28 м3. Так как в моле находится 6,02*1023 молекул, то их
объем V≈10-4 м3. Как только молекулы газа попадут в условия, при
которых среднее расстояние между ними становится, сравнимым с
размерами самих молекул, свойства газа начинают отличаться от
идеального.
Таблица 2.1 - Значения объема V, занимаемого одним молем азота при
различных Р и Т
Р*105, Па
V*10*, м8
1
100
300
500
224
2,4
0,85
0,625
pV*109,
м3Па
224
240
255
322
P*105, Па
V*104, м3
700
900
1000
0,532
0,483
0,460
pV*109,
м3Па
372
435
460
Описание свойств реального газа можно осуществить
различными способами. В частности, написав уравнение состояния,
связывающее между собой макропараметры р, V и Т , можно ввести
соответствующие изменения, с учетом реальных сил взаимодействия
между молекулами. При этом следует, во-первых, принять во
внимание существование сил отталкивания между молекулами, что
приведет к уменьшению свободного объема, предоставленного
122
молекулам, на некоторую величину b. Как показывает более
детальное рассмотрение, эта величина равна приблизительно
учетверенному объему молекул газа: b≈4V0. Поправка b для каждого
газа имеет свое значение. Во-вторых, необходимо учесть силы
притяжения между молекулами газа, которые вызывают уменьшение
давления молекул газа на стенки сосуда на величину pi. Эта поправка
определяется тем, что молекулы, находящиеся в поверхностном слое
газа (их число п обратно пропорционально объему газа),
притягиваются ближайшими молекулами внутри газа (их число также
обратно пропорционально объему газа). Поэтому pi пропорционально
п2 или обратно пропорционально квадрату объема: pi.= a/V2, где а —
постоянная, зависящая от природы газа. С учетом обеих поправок,
получаем уравнение состояния реального газа, носящее имя Ван-дерВаальса:
p = RT/(V-b) - a/V2.
При достаточно малых Т и V это давление оказывается меньше
давления идеального газа: Р<РиД = RT/V. Из этого уравнения следует,
что давление реального газа может обратиться в нуль. Это значит, что
при достаточном охлаждении и сжатии газ должен превратиться в
жидкость, а затем и затвердеть, приобретая вполне определенный
объем. Это важное следствие из уравнения Ван-дер-Ваальса
полностью подтверждено опытом: все известные газообразные
вещества могут быть переведены в жидкое, а затем, при их
дальнейшем охлаждении, и в твердое состояние. Вид последнего
уравнения ясно выявляет его физическую сущность. Для
математического анализа это уравнение удобнее переписать в виде:
(p+ a/V2)(V-b)=RT.
(2.78).
Эти уравнения получены для 1 моль. Для произвольного числа молей
υ уравнение Ван-дер-Ваальса имеет вид:
p+ aν2/V2)(V-bν)=νRT
(2.79).
Уравнение
Ван-дер-Ваальса,
несмотря
на
очевидную
упрощенность рассуждений при его обосновании, в основном
правильно описывает свойства реальных газов в.достаточно большом
интервале температур и давлений, введенные поправки имеют ясный
физический смысл и могут быть измерены экспериментально.
123
Уравнение Ван-дер-Ваальса позволяет построить теоретические
изотермы реального газа и сравнить их с изотермами идеального газа
и экспериментальными изотермами реального газа. Семейство
теоретических изотерм для реального газа оксида углерода (IV)
представлено на рисунке - 2.28. В отличие от монотонно
изменяющихся изотерм идеального газа, изотермы реального газа, при
низких температурах, изображаются сложными кривыми. Совпадение
изотерм идеального и реального газа наблюдается при малых
давлениях и больших объемах, что понятно, так как при этих условиях
газ можно считать идеальным. Для семейства изотерм Ван-дерВаальса характерно наличие так называемой критической изотермы
(при температуре ТК), имеющей точку перегиба при некотором
давлении рк и объеме Vк; при Т>ТК все изотермы идут монотонно, при
Т<.ТК все изотермы изгибаются и имеют минимум и максимум.
Для выяснения физического смысла состояний, описываемых
изотермами Ван-дер-Ваальса, сравним их с экспериментальными
изотермами реального газа. Для оксида углерода (IV) критическая
температура равна 305 К. Изотермы, снятые экспериментально
(рисунок - 2.29), при температурах выше критической, отражают
монотонное увеличение давления газа при уменьшении его объема.
При температурах, меньших критической, эксперимент показывает,
что изотермы на участке 1,5 имеют «полочку», причем, начиная с
объема V1, в цилиндре под поршнем находится и жидкость и газ
(точнее, насыщенный пар). При объеме V5 пар полностью
конденсируется, переходя в жидкость, заполняющую весь объем, и
при дальнейшем уменьшении объема изотермы описывают уже
свойства реальной жидкости.
Рисунок - 2.28
Рисунок - 2.29
Состояния, соответствующие участку изотермы Ван-дерВаальса 2, 3, 4, не наблюдаются экспериментально, так как они
неустойчивые; состояния 4,5 и 1,2 могут быть реализованы при
особых условиях. Участок 4,5 соответствует так называемой
растянутой жидкости. Это состояние можно получить, например,
124
если осторожно вытягивать из сосуда со ртутью вертикальную трубку,
заполненную ртутью и закрытую сверху. В этом случае удается
получить столб, высота которого превосходит высоту, отвечающую
атмосферному давлению, существующему в условиях опыта:
жидкость в трубке занимает больший объем, чем ей положено. Но при
малейшем сотрясении столб падает до нормальной высоты. Участок
1,2 можно реализовать, если достаточно медленно изотермически
сжимать очень чистое вещество: конденсация может наступить при
повышенном давлении. Такой пар называют пересыщенным.
Состояния, соответствующие участкам /, 2 и 4, 5, называют
метастабильными состояниями.
Таким образом, уравнение Ван-дер-Ваальса описывает не
только свойства газов и паров, но и жидкостей. Анализ изотерм
реального газа показывает, что превращение реального газа в
жидкость возможно только при температурах, меньших критической,
и при соответствующих давлениях.
Как видно из графиков реальных изотерм и изотерм Ван-дерВаальса, при критической температуре изотерма реального газа имеет
точку перегиба. Обозначим критические значения соответствующих
параметров Тк, рк и Vк. Для их нахождения проще всего
воспользоваться известным свойством точки перегиба: в ней первая и
вторая производные давления по объему обращаются в нуль:
dp/dV = - RT/(V-b)2 + 2a/V3 = 0; d2p/dV2 = 2RT/ (V-b)3 -6a/V4 = 0
Из этих соотношений сразу получается:
Vк = 3b; Тк = 8а/27bR
(2.80).
Подставив эти величины в уравнения Ван-дер-Ваальса, находим
критическое давление:
рк = а/27b2
(2.81).
Отношение (рк Vк)/RT = 3/8 ≠ 1. Оно не зависит от природы газа
и резко отличается от единицы; следовательно, вблизи критической
точки (и тем более при температурах ниже критической) нельзя
пользоваться уравнением Клапейрона—Менделеева. При критической
температуре и V>VK, вещество находится в парообразном состоянии.
При V<VK вещество находится в жидком состоянии, а при V=VK
парообразное и жидкое состояние существуют одновременно и
125
неразличимы. Такие состояния, когда при одинаковых внешних
условиях вещество может находиться в различных состояниях:
жидком и парообразном, или, как говорят, в различных фазах. Фазой
мы будем называть часть системы, ограниченную поверхностью
раздела, с одинаковыми физическими свойствами во всех своих
точках. Если две или несколько фаз вещества при некоторых
физических условиях существуют одновременно и при этом масса
одной из фаз не увеличивается за счет другой фазы, то говорят о
фазовом равновесии. Равновесие между жидкостью и ее насыщенным
паром, имеет место при давлениях и температуре ниже критической.
Изменение одной из этих величин, например температуры, вызывает
изменение и того давления, при котором возможно фазовое
равновесие, т.е. изменение упругости насыщенного пара.
На рисунке 2.31 представлена зависимость упругости
насыщенного пара от температуры для воды. Для всех других веществ
эта зависимость имеет такой же характер. Любая точка слева от
приведенной кривой соответствует жидкому состоянию, а точки,
расположенные справа от нее, соответствуют газообразной фазе. Это
значит, что пар, состояние которого характеризуется какой-либо
точкой справа от кривой, сконденсируется, если, сохраняя
неизменным давление, понизить его температуру. Точно так же
жидкость, состояние которой задано координатами любой точки,
расположенной слева от кривой, перейдет в пар, если повысить ее
температуру. И только точки, лежащие на самой кривой,
соответствуют фазовому равновесию, т. е. одновременному
существованию жидкости и пара над ней.
Кривая рисунка - 2.30, точки которой соответствуют
равновесию фаз, называется фазовой диаграммой, или кривой
равновесия фаз (в данном случае жидкости и пара). Она разделяет
области, точки которых соответствуют однофазным состояниям
вещества, и является, одной из важных характеристик вещества. Такие
диаграммы иногда называют также диаграммами состояния.
Характерной особенностью кривой рис. 82 является то, что она
имеет конец, так как она не может быть продолжена выше
критической температуры. Ведь выше этой температуры нет двух фаз,
поэтому не может быть и их равновесия. Как мы увидим ниже, кривая
равновесия «жидкость - пар» имеет и начало.
График рисунка - 2.31 иллюстрирует сказанное выше. При
сравнительно больших удельных объемах (малой плотности) газа
уменьшение объема сопровождается увеличением давления (участок
АВ кривой). Так продолжается до тех пор, пока объем не уменьшится
126
до значения V1. Дальнейшее уменьшение объема до значения V2 не
вызывает изменения давления. Начиная с V2,уменьшение объема
требует уже резкого повышения давления. В точке В,
соответствующей объему V1, начинается процесс конденсации, и к
тому моменту, когда объем достигнет значения V2, весь газ переходит
в жидкое состояние.
Рисунок - 2.30
Рисунок - 2.31
Наконец, резкое увеличение давления при уменьшении объема
ниже V2 свидетельствует о том, что происходит уже сжатие самой
жидкости. При давлениях и объемах, соответствующих участку ВС,
часть объема сосуда занята жидкостью, другая часть — газом,
который; в этом случае называется насыщенным паром (рисунок 2.32). Ордината, cooтветствующая участку ВС, определяет давление
насыщенного пара, и как обычно говорят, упругость насыщенного
пара при данной температуре. При этой температуре, следовательно,
стирается разница между жидкостью и ее насыщенным паром.
При температурах выше 647,3 К вода ведет себя как обычный
газ, т. е. при повышении давления ее объем уменьшается. Вместо двух
одновременно существующих состояний, жидкого и газообразного,
теперь остается только одно состояние — газообразное, хотя при
достаточно высоком давлении плотность такого газа может стать
равной плотности жидкости и превзойти ее
Все это относится, разумеется, не только к воде, но и к любому
другому веществу. Для каждого вещества существует своя некоторая
температура, при которой исчезает различие между паром и
жидкостью и выше которой вещество может быть только однородным
при любом сжатии. Эта температура называется критической
температурой. Разные вещества имеют различные значения
критических температур. Самой низкой в природе критической
температурой обладает редкий изотоп гелия Не3 —гелий с атомным
весом 3. Она равна 3,35К, или - 269,80°С.
127
Если на изотермах, соответствующих фазовому переходу
жидкость—пар, соединить точки перехода пара в жидкость и
жидкости в пар, то получится плавная кривая с максимумом,
изображенная пунктиром и воспроизведенная отдельно на рисунке 2.33. Любая точка R с координатами р0 и V0, находящаяся справа ветви
кривой PZ, соответствует, очевидно, газообразному состоянию,
потому что удельный объем V0 больше того объема, при котором
начинается переход в жидкое состояние при том же давлении. Точно
так же точка S с координатами р'0 и V'0 как и любая друг точка,
расположенная слева от ветви РК, соответствует жидкому состоянию
— удельный объем V'a меньше удельного объема, при котором
заканчивается процесс конденсации. Все же точки, лежащие внутри
кривой KPZ, соответствуют двухфазным состояниям, таким
состояниям, при которых одновременно существуют жидкость и
насыщенный пар над ней. Точка же Р соответствует критическому
состоянию. Ее координаты на кривой рисунке - 2.33 —рк и VK —критические давление и объем.
Рисунок - 2.32
Рисунок - 2.33
Как мы уже знаем, перевести вещество из газообразного в
жидкое состояние можно, повышая его давление при данной
температуре, если эта последняя ниже критической. Если температура
выше Т', необходимо предварительное охлаждение. При таком
превращении вещество должно пройти через промежуточную область
двухфазного состояния, когда пар и жидкость сосуществуют и
граничат друг с другом.
Можно, однако, осуществить этот переход и минуя эту область
двухфазных состояний. Другими словами, можно превратить газ в
жидкость (или наоборот) без того, чтобы в какой-то момент
существовали обе фазы. Например, для того, чтобы газ,
характеризуемый объемом Vo, давлением р0 и температурой Т0
128
превратить в жидкость при той же температуре и давлении, но,
конечно, с другим объемом V'0, можно поступить следующим
образом. Нужно нагреть газ до температуры выше критической, после
чего сжать так, чтобы его объем стал равным V0. Наконец, сохраняя
постоянным объем, нужно охладить газ до температуры Т0. Давление
его при этом станет равным р0. Таким образом, мы можем превратить
газ в жидкость «в обход» области двухфазных состояний, так что не
будет такого промежуточного состояния, при котором появится
граница между жидкостью и паром (мениск).
2.5.2 Внутренняя энергия реального газа. Эффект Джоуля—
Томсона
Сжижение газов Внутренняя энергия Е реального газа
определяется кинетической энергией его молекул и потенциальной
энергией их взаимодействия:
E=Ek+Ep.
(2.81).
Как и для идеального газа, кинетическая энергия молекул
реального газа пропорциональна его температуре, и для 1 моль Eк=CvT.
Потенциальную энергию взаимодействия можно определить,
если учесть, что элементарная работа сил взаимодействия при Т=const
равна: dA = — ptdV= — а/V2dV. Эта работа связана с изменением
потенциальной энергии взаимодействия молекул:
dA =—dEp, т. е. dEp = а/V2dV.
Поэтому Ep.=- - а/V2+ E0 Приняв потенциальную энергию при V→.∞
равной нулю, получим для внутренней энергии газа:
Е = СVТ— а/V
(2.82).
В отличие от идеального газа температура реального газа может
изменяться даже в том случае, если его внутренняя энергия остается
постоянной. Так как внутренняя энергия реального газа зависит не
только от температуры, но и от объема, то описание его поведения
более сложно, чем идеального газа.
Особый интерес представляет процесс, предложенный Джоулем
и осуществленный позднее Томсоном (Кельвином). В трубе с
теплоизолированными стенками, разделенной на две части пористой
129
перегородкой, могут перемещаться два поршня. В начале
эксперимента 1 моль некоторого реального газа занимает объем Vt
между левым поршнем и перегородкой при температуре Т1 и давлении
p1. Правый поршень занимает положение вплотную к перегородке и
находится под давлением р2 (рисунок - 2.34). В процессе эксперимента
левый поршень под давлением p1 медленно продавливает газ через
перегородку. При этом правый поршень перемещается под давлением
р2. В результате весь газ оказывается справа от перегородки, занимая
объем V2 при температуре Т2 и давлении р2. Определим соотношение
между температурами Т1 и Т2. В соответствии с первым началом
термодинамики при адиабатическом продавливания газа изменение
внутренней энергии газа будет равно Δ(E2—E1)= Δ(p1V1—p2V2, ) или
E2+ p2V2,= E1+ p1V1, т. е. процесс Джоуля — Томсона протекает при
постоянной энтальпии.
Рисунок - 2.34
Для простоты рассуждения будем считать, что объем V2 так
велик, что газ после дросселирования можно считать идеальным. При
этом условии последнее соотношение можно записать в виде CVT2 +
p2V2 = CVТ1— а/V1 + p1V1, откуда ΔT = T2 –T1 = Δ (p1V1—p2V2, )/CV.
Процесс такого необратимого расширения называют адиабатическим
дросселированием.
Явление изменения температуры при адиабатическом
расширении газа без совершения им полезной работы
экспериментально обнаружили в середине XIX в. английские физики
Д. Джоуль и В. Томсон. Поэтому явление изменения температуры газа
при таком процессе называют эффектом Джоуля—Томсона.
Формула для расчета изменения температуры, наблюдаемый при
конечном перепаде давления в дросселе при адиабатическом
процессе, выражает интегральный эффект Джоуля — Томсона,
Опыты показали, что для каждого газа в зависимости от его
состояния перед дросселем (р1,Т1) и перепада давления в дросселе (р1р2) изменение температуры ΔT = T2 –T1 – может быть больше нуля
(отрицательный (эффект Джоуля — Томсона), меньше нуля
130
(положительный эффект Джоуля — Томсона), и равно нулю
(нулевой эффект Джоуля — Томсона).
Этот эффект был положен в основу практического сжижения
газов: если заранее достаточно охладить газ, а затем произвести
процесс Джоуля — Томсона, то произойдет дальнейшее охлаждение.
Если охлажденной порцией газа охлаждать следующие порции,
поступающие в машину для сжижения газов, омывая холодным газом
змеевик, несущий охлаждаемый газ, то можно добиться сжижения
газа. С помощью этих сжиженных газов могут быть получены и
любые промежуточные температуры, хотя это требует применения
особых, иногда весьма сложных устройств.
Описанный принцип противотока применяется во всех
холодильных машинах, хотя конструкции теплообменников
подверглись значительным изменениям. В современных установках
они обеспечивают лучший теплообмен и, кроме того, делают
возможной очистку сжижаемого газа от примесей.
В качестве примера рассмотрим схему для сжижения водорода и
гелия машины этого типа, действие которых основано на
использовании эффекта Джоуля—Томсона. Так как температура
инверсии эффекта Джоуля—Томсона Ti для гелия очень низкая (около
50 К), то он должен быть предварительно охлажден до температуры
ниже Ti. В описываемой машине гелий охлаждается жидким
водородом до температуры 14,5 К. Работу машины иллюстрирует
схема, представленная на рисунке - 2.35.
Рисунок - 2.35
131
Гелий, сжатый компрессором до давления 30 атм, поступает в
машину двумя потоками по двум трубам, соединяющимся вместе в
точке О. Обе эти трубы являются частями двух теплообменников — /
и //. В теплообменнике / гелий охлаждается встречным потоком
газообразного гелия, испаряющегося из приемника / и прошедшего
уже через теплообменник IV. В теплообменнике // вторая часть
сжатого газа охлаждается встречным потоком газообразного
водорода, испаряющегося из ванны с жидким водородом Н.
Соединившись в точке О, оба потока вместе поступают в
змеевик ///, проходящий через жидководородную ванну Я, и
принимают ее температуру (14,5 К). Пройдя через эту ванну, гелий
попадает в теплообменник IV, где он дополнительно охлаждается
испаряющимся из приемника гелием до температуры 5,8 К. При такой
температуре гелий подвергается дросселированию через вентиль и
сжижается. Весь аппарат помещается в вакуумный чехол,
обеспечивающий его тепловую изоляцию.
Приведенные выше цифры для температур в разных частях
установки относятся, к установившемуся режиму работы. Во время
разгона машины температура гелия перед дросселированием выше,
чем 5,8 К, так как в это время в приемнике еще нет жидкого гелия.
Машина обладает производительностью около 10 литров жидкого
гелия в час, что является высоким показателем.
Применение детандеров, в которых газ охлаждается при
адиабатном расширении с совершением внешней работы, повышает
эффективность ожижительных машин. В машинах для сжижения
гелия использование расширения в детандерах позволяет, кроме того,
отказаться от предварительного охлаждения газа жидким водородом— веществом, легко вменяющимся и взрывоопасным. Обе эти
причины привели к широкому использованию детандерных машин.
Впервые такая машина была построена Клодом для сжижения
воздуха. Схема машины представлена на рисунке - 2.36.
Газ подвергается изотермическому сжатию в компрессоре К, откуда
он поступает в теплообменник Е1. Здесь он разделяется на два потока
(в точке О). Первый идет через теплообменник Е2 к дроссельному
вентилю и подвергается дросселированию с охлаждением за счет
эффекта Джоуля — Томсона; второй к (на его долю приходится 80%
газа) поступает в детандер, расширяется в нем, совершая работу, и за
этот счет охлаждается. Из детандера охлажденный газ возвращается в
теплообменник Е1., охлаждая встречную очередную порцию сжатого
газа. К нему в точке О' присоединяется и тот газ, который охладился в
132
результате дросселирования. До этого он, проходя через
теплообменник Е2, тоже охлаждал встречный газовый поток.
В первой машине Клода детандер представлял собой
поршневую машину. Работу, которую в ней совершает сжатый газ,
можно использовать для облегчения работы компрессора, для
принудительной смазки машины и т. д. Условия, характерные для
машины Клода (ожижающий воздух), примерно таковы: давление на
выходе из компрессов 40 атм, температура на входе в детандер (т. е.
после охлаждения обменнике E1) 200К; температура после
расширения в детандере 110 К при давлении в 1 атм.
Существует много различных по конструкции машин типа
Клода для сжижения воздуха. Одной из самых интересных машина П.
Л. Капицы, в которой поршневой детандер заменен турбиной
(турбодетандер). Другой особенностью этой машины является низкое
давление, под которым газ поступает в детандер. Оно равно лишь 6,5
атм. Зато в этой машине почти весь газ (а не 80% в машине Клода)
проходит через детандер. В результате расширения в турбодетандере
газ охлаждается до 86 К и сжижает ту часть газа, которая миновала
детандер. Получившаяся жидкость находится под повышенным
давлением и дросселируется через соответствующий вентиль к более
низкому давлению.
Рисунок - 2.36
Расширение в детандерах (исключительно поршневых)
используется также в машинах для сжижения водорода и гелия.
133
III Электричество и магнетизм
3.1 Электростатика
3.1.1 Электрические заряды. Закон Кулона
Опытами установлено, что существуют электрические заряды
двух родов. Условились заряды, подобные заряду стекла (натертого о
шелк), называть положительными зарядами; заряды же, подобные
заряду эбонита (натертого о мех), называть отрицательными
зарядами. Одноименные заряды отталкиваются, а разноименные
притягиваются. При трении любых двух тел на каждом из них
возникает электрический заряд, при этом оба заряда всегда
противоположны по знаку. Например, металлы при трении об эбонит
электризуются положительно, а эбонит — отрицательно.
В незаряженных телах имеются разные по величине и
противоположные по знаку заряды, вследствие чего действия их
компенсируют друг друга. Тело, содержащее избыток положительных
зарядов, заряжено. Тело, содержащее избыток отрицательных зарядов,
заряжено отрицательно. При электризации двух тел соприкосновением
заряды этих тел перераспределяются, вследствие чего на одном из них
появляется избыток положительных зарядов, на другом отрицательных.
Электричество имеет дискретное строение. Существуют
электрические заряды только вполне определенной величины—
«элементарный заряд», носителем которого является электрон. Они
строго одинаковы по величине. Нет более крупных или более мелких
«атомов электричества». На основании измерений элементарный
электрический заряд, (отрицательный заряд электрона) считается
равным е = 1,603 *10-19 Кулон. В настоящее время общеизвестно, что
электроны входят в состав всех атомов химических элементов и могут
существовать в свободном состоянии, образуя своим движением
электрический ток в металлах и в вакууме.
В 1932 г. были открыты частицы с таким же по величине, как у
электронов, но положительным зарядом и с такой же массой, какую
имеют электроны; эти частицы называют позитронами. До открытия
позитронов предполагали, что положительное электричество всегда
неразрывно связано с атомами веществ. Обнаружилось, что
позитроны в отличие от электронов весьма недолговечны: их заряд
нейтрализуется (аннигилирует) в сочетании с зарядом электрона; при
этом образуется электромагнитное излучение с очень малой длиной
волны. Положительные заряды ядер атомов всегда кратны заряду
электрона, причем порядковый номер элемента в периодической
таблице Менделеева точно указывает число элементарных
134
положительных зарядов ядра. Даже в ядрах атомов, где заряды
находятся в наибольшем сближении, не происходит слияния
электрических зарядов. Все более крупные заряды представляют
собой конгломерат раздельно существующих элементарных зарядов:
электронов и заряженных остовов атомов — ионов. Атом, утративший
один, два, три своих нормальных электрона,— это соответственно
одновалентный, двухвалентный, трехвалентный положительный ион.
Атом, захвативший избыточные электроны сверх нормального числа,
определяемого зарядом ядра, является отрицательным ионом
соответствующей валентности (анионом). Ионы представляют собой
тесную группу атомов — осколок молекулы, целую молекулу,
ассоциацию молекул — с недостатком или избытком электронов.
Атомное строение электричества было установлено в прошлом
веке, началом которого были эксперименты Фараде по электролизу.
Исследуя электролиз, он установил, что масса вещества,
отложившегося на электродах, пропорциональна количеству
электричества,
протекшего
при
электролизе.
Исходя
из
атомистической теории строения вещества, этот закон Фарадея можно
было объяснить только тем, что каждая отложившаяся частица
вещества при электролизе является носителем некоторой порции
электричества. Чем больше таких частиц отложится при электролизе,
тем больший заряд пройдет через раствор. Фарадей экспериментально
доказал, что при перемещении к электродам определенного (равных
числу Авагадро) количества ионов, имеющих валентность п,
отношение количества перенесенного электричества к валентности
ионов всегда равно одному и тому же заряду, который получил
название заряда Фарадея и который по позднейшим измерениям
оказался равным F = 96500 Кулонов. Отсюда был сделан вывод, что
валентные ионы любой химической природы имеют в п раз больший
заряд, чем одновалентные. Далее, стало очевидным, что заряд е
одновалентного иона равен частному от деления заряда Фарадея на
число Авогадро. Исходя из таких представлений и опытных данных
по электролизу, были получены сведения о величине элементарного
заряда. После был проделан и ряд других дополнительных
исследований для определения наиболее достоверных значений
элементарных зарядов.
Стремление понять физический смысл законов электролиза
неизменно привлекало мысль многих физиков к идее об атомном
строении электричества. Обоснованно и довольно подробно теория
атомного строения электричества была высказана Вебером в своих
публикациях. В этих статьях Вебера отражались первые сведения об
135
электронной проводимости металлов, о строении диэлектриков, о
происхождении магнитных свойств тел и т. д. Вебер писал, что
положительные и отрицательные элементарные заряды неодинаково
связаны с массивными ядрами атомов. Ядра атомов оказались
заряженными одним родом электричества, а частицы вокруг них другого рода электричеством, масса которых мала в сравнении с
массой ядра атомов. В этом предвидении фактов, которые были
открыты много позже, Вебер ошибся только в знаке зарядов (он
предполагал, что легчайшие частицы электричества заряжены
положительно, а ядра — отрицательно).
В 70-х годах XIX в. новые указания на атомное строение
электричества были даны опытами Крукса и других ученых по
исследованию катодных лучей. В 1881 г. идея атомного строения
электричества была поддержана Гельмгольцем. «Если применить,—
писал он,— атомную теорию к электрическим процессам, то в
соединении с законами Фарадея она приводит к поразительным
следствиям. Допуская существование химических атомов, мы
принуждены заключить далее, что также и электричество, как
положительное, так и отрицательное, разделяется на определенные
количества, которые играют роль «атомов электричества».
Стройная, обоснованная физически и математически,
электронная теория, была создана трудами ученых Лоренца, Дж. Дж.
Томсона, Лармора и др. Лоренц синтезировал теорию Максвелла о
непрерывности электромагнитного поля с фактами дискретности
электрических зарядов и присутствия электронов в атомах вещества.
В последующие годы теория Лоренца была дополнена, в основном, по
двум направлениям:
- в 1905—1908 гг. Альберт Эйнштейн, продолжая исследования
Лоренца и Пуанкаре, построил электродинамику явлений,
происходящих при движении электронов со скоростями, близкими к
скорости света (теорию относительности);
- в более поздние годы — с 1913 и, в особенности, с 1926 г.—
электронная теория была дополнена выводами, сделанными в связи с
развитием квантовой физики.
Следует отметить, что одно из основных положений
электронной теории, а именно утверждение, что все элементарные
электрические заряды строго одинаковы, долгое время вызывало
сомнения. Неоднократно высказывалось предположение, что обычно
наблюдаемые электроны не представляют собой наименьших
электрических зарядов, какие могут существовать в природе.
Делались гипотезы о существовании частиц, имеющих заряд в
136
десятки, в сотни или в тысячи раз меньший, чем заряд одного
электрона; но такие гипотезы не получили никаких подтверждений.
Наиболее точные опыты по определению заряда электрона и по
выяснению вопроса о существовании субэлектронов были
произведены (1909—1914) американским физиком Милликеном. Он
наблюдал движение мельчайших заряженных электричеством
капелек. При помощи особого пульверизатора мелкие капельки масла
вдувались в камеру А, где они медленно падали на дно (рисунок - 3.1).
Многие из этих капелек благодаря трению в пульверизаторе
оказывались заряженными. Некоторые из них, падая, попадали в
отверстие а и сквозь него в электрическое поле конденсатора. Здесь
движение капелек наблюдалось сквозь небольшое окошечко при
помощи
короткофокусной
трубы.
Производя
перезарядку
конденсатора и меняя, таким образом, направление электрического
поля в конденсаторе, можно было заставлять двигаться одну и ту же
капельку то вверх, то вниз, не выпуская ее в то же время из поля
зрения трубы. Изменением напряжения на обкладках конденсатора
уравновешивалась сила тяжести капельки, и таким образом, можно
было определить заряд капельки. Опыт показал, что капельки всегда
несут на себе заряды, кратные заряду одного электрона.
Во многих случаях движение одной и той же капельки можно
было наблюдать в течение нескольких часов. В продолжение этого
времени заряд капли несколько раз вдруг резко менялся благодаря
случайному присоединению к ней ионов воздуха. Изменение заряда
всегда происходило на величину заряда одного или двух электронов.
Таким образом было доказано, что заряд электрона представляет
собой не какую-либо среднестатистическую величину, но является
истинным атомом электричества.
Рисунок - 3.1.
К тому же выводу привели и опыты акад. Абрама Федоровича
Иоффе (1912 г.). В этих опытах проводилось наблюдение мельчайших
металлических пылинок, заряженных отрицательно, взвешенных в
137
электрическом поле плоского конденсатора и освещавшихся
ультрафиолетовым светом небольшой интенсивности. Под действием
света отрицательный заряд металлических пылинок уменьшался.
Явление потери отрицательного электрического заряда металлами при
освещении их ультрафиолетовым светом было изучено еще в 1888 г.
русским ученым А. Г. Столетовым (впоследствии это явление было
названо фотоэффектом). Опытами А. Ф. Иоффе было доказано, что
уменьшение заряда металлических пылинок под действием света
происходит прерывисто, всегда на величину заряда электрона.
Эти результаты являются прямым доказательством атомного
строения электричества. Все электрические заряды в этих опытах
оказываются равными либо некоторому «элементарному» заряду, либо
его целому кратному. В результате многочисленных опытов такого
рода было установлено, что во всех случаях заряды были кратными
некоторому наименьшему заряду. Результаты измерений доказали
дискретность электрического заряда и позволяли определить величину
элементарного заряда.
В настоящее время атомистическая теория строения вещества и
электричества
подтверждена
многими
непосредственными
измерениями и всеми следствиями из нее. Наиболее точным
значением элементарного заряда следует в настоящее время считать
е = 1,6 10 -19 Кулон
До конца XVIII в. электрические явления изучались только
качественно. Одновременно делались попытки теоретически объяснить
наблюдаемые явления. Ш. К у л о н в 1785 г. опытно установил
количественный закон взаимодействия точечных зарядов (точечный
заряд есть заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по
сравнению с расстояниями до других заряженных тел). Согласно
измерениям сила взаимодействия между двумя точечными зарядам
направлена по линии, соединяющей их центры, обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними и прямо
пропорциональна количеству электричества каждого из шариков:
F = (1/4πε0) (q1q2)/ εr2,
(3.1),
где ε0 = 8,85 10-12Ф/м – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая
проницаемость среды, r - расстояние между двумя зарядами q1 и q2.
Следует заметить, что закон Кулона выражает лишь силы,
действующие между покоящимися зарядами, являясь, таким образом,
138
законом электростатики. После установления закона Кулона учение
об электричестве становится более точной наукой.
Таким образом, электрический заряд, или количество
электричества, подобно другим физическим величинам, не имеет
самостоятельного существования, представляя собою лишь
количественную характеристику особого свойства, присущего
некоторым элементарным частицам (в отличие, например, от массы и
энергии, которые свойственны всем частицам). Т.е. можно сказать, что
электрический заряд является физической величиной, служащей
количественной характеристикой частиц материи в отношении их
специфической способности как оказывать особое (электрическое)
воздействие, так и подвергаться этому воздействию:
Важнейшее свойство электрических зарядов заключается в том,
что они подчиняются закону сохранения электрических зарядов: в
изолированной системе алгебраическая сумма зарядов не изменяется q = ∑qi. Это значит, что при любых процессах и превращениях
движущейся материи положительные и отрицательные заряды могут
появляться и исчезать лишь в равных количествах или перемещаться
из одной части системы в другую. Закон сохранения количества
электричества не запрещает превращаться электрически заряженным
формам материи в электрически нейтральные и обратно. Например,
электрически заряженный протон может превратиться в нейтрон,
позитрон и нейтрино; электрически нейтральный фотон достаточно
высокой энергии может в поле ядра превратиться в «пару»,
состоящую из электрона и позитрона, которые в свою очередь при
встрече один с другим могут «исчезнуть», превратившись в два
фотона. Закон сохранения заряда — это фундаментальный закон
сохранения, который соблюдается при любых процессах, протекающих
в природе — как в макро-, так и в микромире. Электрические заряды
не создаются и не исчезают, они могут только передаваться от одного
тела к другому или смещаться внутри данного тела. Этот закон (закон
сохранения электрических зарядов) является основой учения об
электричестве.
3.1.2 Напряженность электрического поля. Поток линий
вектора напряженности
Электрические заряды вносят определенные изменения в
окружающее их пространство, проявляющееся, в частности, в том, что
на другие, внесенные в это пространство электрические заряды,
действуют определенные силы. Если в пространстве обнаруживается
действие сил на электрические заряды, то говорят, что в нем
139
существует электрическое поле. Поле так же реально, как вещество.
Так же, как и вещество, является одним из видов материи, которой
присуща масса и определенная энергия.
Электрическое поле изучают с помощью пробного точечного
положительного заряда, величина которого своим действием не
искажает заметно исследуемое поле. Помещая пробный заряд в
различные точки поля, можно определять действующие на него силы,
которые не будут равны во всех точках по величине и направлению.
Следовательно, действие поля на один и тот же электрический заряд в
одной его точке отличается от действия поля в другой ее точке.
Если в одну и ту нее точку электрического поля помещать
порознь пробные заряды q1, q2, qn., то действующие силы на эти заряды
будут соответственно равны F1. F2; F..;; Fn. Оказалось, что отношение
F1/ q1 = F2/ q2 = ..= Fn/qn. т. е. для данной точки поля величина
постоянная и не зависит от величины пробного заряда. Это отношение
взято для количественной характеристики поля, обозначено буквой Е и
названо напряженностью электрического поля:
Е = F/q.
(3.2)
Напряженность поля Е есть векторная величина; ее направление
совпадает с направлением вектора силы F, действующей на
положительный заряд. Из определения видно, что напряженность
поля является силовой характеристикой поля. Определим
напряженность электрического поля простейшего точечного заряда q.
Для этого подставим в формулу напряженности из закона Кулона
силу, действующую на него со стороны электрического поля:
Е = F/q = q/4πε0εr2.
(3.3).
Анализ данной формулы показывает, что для точечного заряда
направление вектора Е совпадает с направлением силы, действующей
на положительный заряд, а величина убывает пропорционально
квадрату расстоянию от точечного заряда.
Важнейшей задачей электростатики является исследование
поля, т. е. нахождение напряженности в каждой точке исследуемого
пространства. Если известно электрическое поле произвольных
зарядов q1 и q2 в отдельности, то естественно поставить вопрос о том,
каково будет результирующее поле, образованное этими зарядами.
Опыт
показывает,
что
напряженность
результирующего
электрического поля определяется векторной суммой напряженностей,
140
создаваемых накладывающимися полями. Это называется принципом
наложения (суперпозиции) электрических полей.
Пусть в нашем примере E1 — напряженность поля, создаваемая
зарядом q1, в точке b, напряженность же, создаваемая зарядом q2, в
этой же точке пусть будет Е2 (рисунок - 3.2). На основании принципа
суперпозиции результирующая напряженность в точке b равна Е =
E1+ E2. Принцип суперпозиции справедлив для какого угодно числа
полей:
Е = E1+ E2 + + E2 = ∑Ei
(3.4).
Напряженность электрического поля в различных точках
пространства может быть неодинаковой, но в каждой точке поля
вектор напряженность имеет определенное направление. Поэтому,
электрическое поле можно изобразить графически с помощью
системы линий называемых «силовыми линиями». Силовыми
линиями называют линию, проведенную в электрическом поле так,
что в любой точке касательная к ней совпадает с вектором
напряженности (рисунок - 3.3). Силовым линиям приписываются
направления электрических сил, действующих на положительные
пробные заряды. Так как напряженность в каждой точке поля имеет
определенное направление, то силовые линии не могут пересекаться.
Силовым линиям приписывают начало у положительных зарядов и
конец — у отрицательных. Иногда силовые линии могут уходить в
Рисунок - 3.2
Рисунок - 3.3
бесконечность или начинаться и кончаться в особых точках поля, в
которых напряженность равна нулю. Но никогда силовые линии
электростатического поля не замыкаются сами на себя, т. е. не
образуют замкнутых петель. Поля, обладающие этими свойствами,
называются потенциальными. Для иллюстрации на рисунке - 3.4—
3.4 приведены картины силовых линий для некоторых важных
частных случаев. Если напряженность поля всюду одинакова по
величине и направлению, то поле называется однородным,
графически оно изображается системой параллельных силовых линий
(рис. 16в).
141
а)
б)
Рисунок - 3.4
в)
Электрические явления имеют особую природу и не могут быть
объяснены чисто механическими представлениями: изображение
полей с помощью силовых линий служит удобным графическим
приемом. Чтобы силовые линии отображали величину напряженности
в ой или иной точке, условились проводить силовые линии так, чтобы
число линий, пронизывающих единицу площади поверхности было
пропорционально величине напряженности поля в данном месте.
Число силовых линий, пронизывающих данную поверхность,
называется потоком силовых линий (ФЕ), или потоком
напряженности поля.
Пусть требуется определить поток, пронизывающий плоскую
поверхность S в однородном электрическом поле (рисунок - 3.6).
Выберем нормаль n к поверхности, которая составляет угол а с
направлением силовых линий. Величина S0 = S cos α есть проекция
Рисунок - 3.5
поверхности S на плоскость, перпендикулярную к направлению
силовых линий. Так как через 1 см2 площади S0 проходит Е силовых
линий, то весь поток через площадь S0 будет
ФЕ = ES0 = ES cos α.
(3.5).
Очевидно, такой же поток пронизывает площадку S. Величина
Еn = E cos α есть проекция вектора Е на направление нормали n. Таким
образом, поток силовых линий через плоскую поверхность S в
однородном поле равен:
142
ФЕ = Еn S.
(3.6).
Поток силовых линий есть скаляр. Из (18,1) видно, что эта
величина может быть положительной и отрицательной. Если силовые
линии составляют острый угол с нормалью (cos α > 1), то поток будет
положительным. Если этот угол тупой (cos α < 1), то поток
отрицателен.
Пусть требуется определить поток силовых линий через
произвольно выбранную поверхность в данном неоднородном поле.
Эту поверхность можно разбить на бесконечно малые элементы dS,
которые можно считать плоскими, а поле возле них - однородным.
Рисунок - 3.6
Поэтому поток через любой элемент такой поверхности равен
dФЕ =EndS.
(3.7).
Полный поток силовых линий через произвольно выбранную
поверхность S в любом неоднородном поле равен сумме потоков всех
ее элементов:
ФЕ = ∫EndS,
(3.8),
где знак ∫ выражает интегрирование по поверхности S.
3.1.3 Теорема Остроградского — Гаусса и его применение
для расчета полей
Теорема Остроградского — Гаусса связывает поток силовых
линий через произвольную замкнутую поверхность с электрическим
зарядом, находящимся внутри этой поверхности. Для замкнутой
поверхности условились считать положительным направление
нормали, выходящее из объема, ограничиваемого поверхностью.
143
Тогда силовые линии, выходящие из объема, ограниченного данной
поверхностью, создают положительный поток; линии же, входящие в
объем, создадут отрицательный поток.
Найдем поток, образованный точечным зарядом q и
пронизывающий замкнутую сферическую поверхность, окружающую
этот заряд и имеющую центр в точке нахождения заряда (рис. 28,а).
Напряженность в точках поля, лежащих на сфере радиуса r вокруг
точечного заряда q в среде с диэлектрической проницаемостью ε,
равна
E = q /4πε0 εr2
(3.9).
В данном случае проекция напряженности на направление внешней
нормали (радиуса) равна напряженности поля. Вследствие этого
поток, пронизывающий сферу в вакууме (ε= 0), равен
ФЕ =( q /4πε0 εr2) 4πr2 = q/ε0
(3.10).
Знак потока совпадает со знаком заряда q. Из данного результата
следует, что поток силовых линий, пронизывающих сферу, не зависит
от ее радиуса. Заменим сферу, окружающую точечный заряд,
произвольной замкнутой поверхностью S1 (рис. 28,6). На основании
свойства непрерывности силовых линий можно утверждать, что
поток, образованный точечным зарядом и пронизывающий
произвольную замкнутую поверхность, внутри которой находится
этот заряд, будет таким, как и в случае сферической поверхности,
окружающей заряд: ФЕ = q/ε0. Если замкнутая поверхность не
охватывает заряд (S2 на рисунке - 3.7,б), то поток силовых линий через
эту поверхность равен нулю, так как число силовых линий, входящих
через поверхность, равно числу силовых линий, выходящих из нее.
Рисунок – 37
144
Таким образом, для поверхности любой формы, если она
замкнута и заключает в себя точечный заряд q, поток вектора Е будет
равен q/ε0, т. е.
ФЕ = ∫EndS,= q/ε0
(3.11).
В общем случае внутри замкнутой поверхности может
находиться любое число n зарядов. Поток, создаваемый зарядом qk,
будет 4π qk/ε, при этом знак потока совпадает со знаком заряда и равен
алгебраической сумме потоков отдельных зарядов:
∫EndS = ∑ q/ε0
(3.12),
где ∫— интеграл по замкнутой поверхности S. Данная формула
выражает теорему Остроградского—Гаусса: поток вектора
напряженности электрического поля через замкнутую поверхность
пропорционален алгебраической сумме всех зарядов, расположенных
внутри поверхности. Рассчитаем с помощью теоремы Остроградского
— Гаусса электрические поля в ряде частных случаев. Для простоты
будем рассматривать поля в вакууме.
Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной
плоскости. Пусть электрическое поле создается бесконечной
плоскостью, заряженной равномерно с поверхностной плотностью
заряда +σ =d q/dS (рисунок - 3.8,а). Линии напряженности
перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в
обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим
цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а
ось перпендикулярна ей.
Так как образующие цилиндра параллельны линиям
напряженности (cos α = 0), то поток вектора напряженности сквозь
боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь
цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади
оснований равны и для основания E совпадает с En), т.е. равен 2ES.
Заряд,
заключенный
внутри
построенной
цилиндрической
поверхности, равен σS. Согласно теореме Остроградского — Гаусса,
2ES = σS/ε0, откуда
E = σ/(2ε0).
(3.13).
145
Из формулы (3.13) следует, что E не зависит от длины цилиндра,
т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю,
иными словами, поле равномерно заряженной плоскости однородно.
Поле двух бесконечных параллельных разноименно
заряженных плоскостей (рисунок - 3.8,б). Пусть плоскости заряжены
равномерно разноименными зарядами с поверхностными плотностями
+σ и -σ Поле таких плоскостей найдем как суперпозицию полей,
создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. Слева и справа от
плоскостей поля вычитаются (линии напряженности направлены
навстречу друг другу), поэтому здесь напряженность поля Е = 0. В
области между плоскостями Е = Е+ + Е- (Е+ и Е- напряженности от
соответствующих
знакам
зарядов
плоскостей.
Поэтому
результирующая напряженность
Е= σ/ε0.
(3.14).
Таким образом, результирующая напряженность поля между
плоскостями описывается полученной формулой, а вне объема,
ограниченного плоскостями, равна нулю.
Поле равномерно заряженной сферической поверхности.
Сферическая поверхность радиуса R с общим зарядом q заряжена
равномерно с поверхностной плотностью +σ (рисунок - 3.8,в).
Благодаря равномерному распределению заряда по поверхности поле,
создаваемое им, обладает сферической симметрией. Поэтому линии
напряженности направлены радиально.
а)
б)
Рисунок - 3.8
в)
Построим мысленно сферу радиуса r, имеющую общий центр с
заряженной сферой. Если r>R, то внутрь поверхности попадает весь
заряд q, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме
Остроградского-Гаусса, 4πr2E = q/ε0, откуда
146
E = q/4πr2ε0 (r›R).
(3.15).
При r‹R поле убывает с расстоянием по такому же закону, как у
точечного заряда. Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит
внутри зарядов, поэтому внутри равномерно заряженной сферической
поверхности электростатическое поле отсутствует (Е = 0).
Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра
(нити). Предположим, что бесконечный цилиндр радиуса R
равномерно заряжен так, что на единицу его длины приходится заряд
τ= q/l (рисунок - 3.9). Из условия симметрии следует, что силовые
линии будут радиальными прямыми, перпендикулярными к
поверхности цилиндра. Выберем в качестве замкнутой поверхности
поверхность прямого цилиндра с радиусом оснований r > R и осью,
совпадающей с осью заряженного цилиндра. Высота этого цилиндра
равна l (рисунок - 3.9).
Рисунок - 3.9
Рисунок - 3.10
Поток силовых линий через основание выбранного цилиндра
равен нулю. Силовые линии перпендикулярны к боковой поверхности
цилиндра, поэтому поток напряженности через замкнутую
цилиндрическую
поверхность
равен
2πrlE.
По
теореме
Остроградского — Гаусса при r > R, 2πrlE = τl/ε0 откуда
E = τ/2πr ε0
(3.16).
Если r<R, то замкнутая поверхность не содержит внутри
зарядов, поэтому внутри выбранного цилиндра электростатическое
поле отсутствует (Е = 0).
3.1.4 Потенциал электростатического поля. Работа и энергия
заряда в электрическом поле
Электрическое поле неподвижных зарядов называют также
электростатическим, Поэтому энергия электростатического поля в
147
той или иной точке зависит от положения точки и является
потенциальной энергией.
Пусть пробный электрический заряд q0 находится в
электростатическом поле. Такой заряд под действием сил поля может
прийти в движение. При перемещении этого заряда полем
совершается работа. Как известно, работа консервативных сил
совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поэтому работу
сил электростатического поля можно представить как разность
потенциальных энергий, которыми обладает точечный заряд q0 в
начальной и конечной точках своего перемещения в поле заряда q: A =
(1/4πε0) (q0q)/ εr1 - (1/4πε0) (q0q)/ εr2 = Eп1 – Еп2, откуда следует, что
потенциальная энергия заряда q в поле заряда q0 равна Eп = q0q /4πε0 εr
+ C. Она определяется не однозначно, а с точностью до произвольной
постоянной С. Если считать, что при удалении заряда в бесконечность
(r→∞) потенциальная энергия обращается в нуль (Eп = 0), то С = 0 и
потенциальная энергия заряда q, находящегося в поле заряда Q на
расстоянии r от него, равна
Eп = q q0/4πε0 εr.
(3.17).
Для одноименных зарядов q0q>0 и потенциальная энергия их
взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных
зарядов q0q <0 и потенциальная энергия их взаимодействия
(притяжения) отрицательна.
Если поле создается системой п точечных зарядов q1, q2, , qn, то
работа электростатических сил, совершаемая над зарядом q0, равна
алгебраической сумме работ сил, обусловленных каждым из зарядов в
отдельности. Поэтому потенциальная энергия Eп заряда q0,
находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий
Eпi, создаваемых каждым из зарядов в отдельности: Eп = ∑ Eпi =
q0∑qi/4πε0 εri. Из этой формулы вытекает, что если поле создается
несколькими зарядами, то потенциал поля системы зарядов равен
алгебраической сумме потенциалов полей этих зарядов:
φ = ∑ φi =∑qi/4πε0 εri.
(3.18).
Пусть заряд q в данной точке поля обладает потенциальной
энергией Еп. В различных точках поля потенциальная энергия данного
заряда может быть различна, она зависит как от свойств поля, так и от
величины заряда. Но если в одну и ту же точку поля помещать разные
заряды потенциальная энергия которых соответственно равна Еп1, Еп2;..
148
.; Епi и взять отношение Еп к q, то получается постоянная величина, не
зависящая от величины заряда. Это отношение взято в качестве
энергетической характеристики поля и называется потенциалом поля.
Следовательно, потенциал данной точки поля определяется формулой
φ = Еп/q
(3.19).
Итак, потенциал φ какой-либо точки электростатического поля
равен потенциальной энергии: приходящейся на единицу пробного
заряда, помещенного в эту точку. Следовательно, потенциал поля есть
величина, равная отношению потенциальной энергии заряда к
величине заряда, помещенного в данную точку электростатического
поля. Если напряженность поля есть силовая характеристика и
является вектором, то потенциал— энергетическая характеристика
поля и величина скалярная.
Потенциал φ в какой-либо точке электростатического поля есть
физическая величина, определяемая потенциальной энергией
единичного положительного заряда, помещенного в эту точку. Из
полученной формулы следует, что потенциал поля, создаваемого
точечным зарядом q, равен
φ = q/4πε0 εr
(3.20)
Система из двух точечных зарядов +qx и -q2, находящихся па
расстоянии b друг от друга, называется диполем. Такую систему в
физике рассматривают потому, что центры положительных и
отрицательных зарядов молекул многих веществ можно представить
смещенными друг относительно друга. Представление о диполях
часто позволяет с известным приближением описать взаимодействие
молекул различных веществ. Модель дипольного строения вещества
лежит в основе теории диэлектриков.
Величину произведения плеча на значение одного из зарядов,
образующих диполь, называют электрическим моментом диполя: p =
qb. Электрический момент представляет собой вектор, длина которого
изображает величину момента, а направление совпадает с осью
диполя от отрицательного заряда к положительному заряду.
Пользуясь рисунком- 3.10, произведем расчет поля диполя. По
принципу суперпозиции, потенциал поля диполя в точке наблюдения
равен
φ = q/4πε0 ε (1/r2 -1/r1) =( q/4πε0 ε)* (r1-r2)/r2* r1
149
(3.21)
где r2 и r1 — расстояния от положительного и отрицательного зарядов
диполя до точки наблюдения. Пусть точка наблюдения выбрана так,
что длина b«r намного меньше расстояний r2 и r1. В этом случае
можно положить, что r1 - r2≈ bcosα; r2* r1 ≈ r2, и предыдущую формулу
можно переписать так: φ = qbcosα/ r2=p cosα/ r2, где α— угол между
направлением момента диполя и направлением к точке наблюдения,
проведенным из диполя. Зная зависимость φ(r,) можно определить
напряженность поля по соответствующим формулам.
Рисунок - 3.10
Чтобы определить величину напряженности поля Е в той же
точке, найдем сначала величины составляющих напряженности поля в
направлении радиуса Еr и перпендикулярно к нему Еα (рисунок - 3.10).
Е = √ Е2r+ Еα2
(3.22).
Величины же составляющих легко найдутся по формуле,
выражающей связь между напряженностью и потенциалом поля:
Еr = - dφ/db
(3.23).
Применяя эту формулу к вычислению Еr находим, что db = dr, α
= const, и, cледовательно, Еr = - d/dr(p cosα/ r2) = 2p cosα / r2.
При вычислении Еα, учтем, что при перемещении на величину
db, в направлении, перпендикулярном к радиусу, r = const, а угол α
изменится на величину db =r dα.
Тогда Еα = - dφ/dl =- 1/r (dφ/dα) = - 1/r [d(p cosα)/r2]dα = 2p sinα /
r2, и далее, Е = √ Е2r+ Еα2 = p/r2√ 4cos2α + sin2α = p/r2√ 3cos2α + 1.
На одинаковом расстоянии от центра диполя наибольшее
значение напряженности поля будет на оси диполя, когда cos2α =1, а
150
наименьшее — в направлении, перпендикулярном к оси, когда cos2 α
= 0. Следовательно,
Emax = 2p/r2, Emin = p/r2 = Emax /2
(3.24).
Нетрудно увидеть, что ось диполя является осью симметрии
поля. Напряженность и потенциал поля диполя убывают обратно
пропорционально целым степеням расстояния, причем показатели
степени оказываются большими на единицу, чем для соответствующих
величин точечного заряда.
Работа, совершаемая силами электростатического поля при
перемещении заряда q из точки 1 в точку 2, может быть представлена
какA12 = - q ∆ Е, или
A = q (φ2 — φ1).
(3.25).
Как видно, работа, совершаемая электростатическими силами
при перемещении электрического заряда из одной точки
электрического поля в другую, равна произведению величины
электрического заряда на разность потенциалов в этих точках поля.
Полученная формула есть одно из основных соотношений
электростатики, из которого следует, что работа электростатического
поля по перемещению заряда между двумя точками не зависит от
формы пути, а является функциями положения начальных и конечных
точек перемещения. Физический смысл имеет понятие разность
потенциалов, но считается, что электрическое поле в бесконечности
имеет нулевой потенциал φ∞ = 0. Поэтому, когда говорят о потенциале
точки, условно принимается за уровень отсчета потенциал бесконечно
удаленной точки с φ∞=0. Этим свойством электростатического поля
пользуются при рассмотрении многих задач электростатики,
например, при определении потенциала точечного заряда.
Пусть работа поля при бесконечно малом перемещении dr = dl
cosα равна dA, тогда для вычисления работы электрических сил на
конечном пути l необходимо взять интеграл вида А = ∫dA.
Элементарная работа электрических сил при бесконечно малом
перемещении dr заряда q (рисунок - 3.11) равна
dA = Eqdl cos α,
(3.26),
где α—угол между напряженностью поля и направлением
элементарного смещения. Величина Ecos α = Еl, есть проекция
151
Рисунок - 3.11
напряженности поля на направление dl. Таким образом, dA = qEl dl.
Если электрический заряд перемещается по произвольному
замкнутому контуру так, что начало пути, совпадает с его концом, то
результирующая работа электрических сил равна нулю (разность
потенциалов равна нулю): А=0.Поэтому для замкнутого контура q ∫
Eldl = 0;так как q≠0, то
∫Eldl = 0
(3.27).
Величина
∫Eldl
называется
циркуляцией
вектора
напряженности поля. Таким образом, циркуляция вектора
напряженности электростатического поля по произвольному контуру
равна нулю. Силовое поле, обладающее таким свойством, называется
потенциальным, а силы поля – консервативным.
Если в одну точку пространства приходят электрические поля из
разных источников, то вследствие свойства суперпозиции
электрических полей результирующий потенциал φ в данной точке
будет равен алгебраической сумме потенциалов φ1,φ2 , ,φn.
создаваемых отдельными зарядами:
φ = φ1+φ2 + +φn = ∑φi
(3.28).
В электрическом поле можно сформировать поверхность так,
чтобы все ее точки имели бы один и тот же потенциал. Такие
поверхности называются поверхностями равного потенциала или
эквипотенциальными поверхностями.
Пользуясь
эквипотенциальными
поверхностями,
можно
электрические поля изобразить графически, подобно тому, как это
делается с помощью силовых линий. Так как все точки
эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, то
работа перемещения заряда вдоль поверхности равна нулю. Это
значит, что электрические силы, действующие на заряд, всегда
направлены по нормалям к поверхности равного потенциала. Отсюда
следует, что силовые линии всегда перпендикулярны к
эквипотенциальным поверхностям. На рисунке - 3.12 изображены
152
эквипотенциальные поверхности и силовые линии: а) - точечного
заряда, б) – двух одноименных зарядов, в) – эквипотенциальные
линии электрического поля тела произвольной формы.
а)
б)
Рисунок - 3.12
в)
Эквипотенциальные линии на графике можно проводить с
произвольной густотой, но обычно их проводят на картах полей так,
чтобы они соответствовали одинаковым приращениям потенциала,
например 1, 2, 3 и т. д. вольт. В этом случае быстрота изменений
потенциала в направлении силовых линий будет обратно
пропорциональна расстоянию между соседними эквипотенциальными
линиями.
Поэтому
густота
эквипотенциальных
линий
пропорциональна напряженности поля. Таким образом, по картине
расположения эквипотенциальных поверхностей и расположении
силовых линий. всегда можно составить представление об
электрическом поле.
Установим теперь соотношение между потенциалом и
напряженностью. Существование такой связи следует из того факта,
что работа электрических сил, выражаемых через напряженность,
вместе с тем выражается и через разность потенциалов точек поля.
Как явствует из предыдущего, электрическое поле может быть
охарактеризовано различными величинами:— векторной величиной—
напряженностью и скалярной величиной—потенциалом. Установим
связь между этими характеристиками поля. Искомую связь получим,
сравнивая выражения работы через напряженность и через потенциал
поля: dA = qEdl и dA = —dЕ = —qdφ. Приравнивая оба выражения для
работы и сокращая на q, получим: E dl = —dφ. Отсюда
E = — dφ/dl = -gradφ
(3.29).
Эту мысль выражают следующим образом: напряженность поля
равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком. Знак минус
означает, что потенциал убывает при перемещении в направлении
153
силовой линии, и, таким образом, напряженность поля измеряется
изменением потенциала, приходящимся на единицу длины в
направлении силовой линии, т. е. в направлении наиболее
значительного уменьшения потенциала. Из формулы связи между
потенциалом
и
напряженностью
электростатического
поля
определяется единица измерения напряженности в СИ: В/м.
3.2 Электрическое поле в диэлектриках
3.2.1 Электроемкость проводников, конденсаторы
Опытом установлено, чем больше заряд, сообщаемый
проводнику, тем больше его потенциал, т.е. заряд проводника
пропорционален его потенциалу q = CU. Постоянная. С есть
величина, характерная для каждого проводника при данных внешних
условиях и называемая его электрической емкостью:
C = q/U
(3.30).
Численно емкость равна количеству электричества, на которое нужно
изменить заряд проводника, чтобы его потенциал изменился на
единицу. Если форма и размеры проводника не меняются и если при
этом остаются неизменными внешние условия (не изменяется среда, в
которой находится проводник, не изменяется расположение
окружающих предметов), то и емкость остается величиной
постоянной. Это показывает, что емкость зависит от формы и
размеров, но не зависит от материала проводника.
Из электростатики мы установили, что потенциал уединенного
шара радиуса R в среде с диэлектрической проницаемостью ε, равен
φ = q/4πε0εR
(3.31).
Сравнивая с формулой, определяющей емкость, находим, что емкость
шара равна
С = 4πε0εR.
(3.32)
Таким образом, емкость уединенного проводящего шара
пропорционален его радиусу. Расчеты по полученной формуле
показывают, что емкостью 1 Фарад должен обладать шар радиусом R
= С/4πε0ε ≈ 9*106 км, что примерно в 1400 раз больше радиуса Земли.
Следовательно Фарад, очень крупная единица измерения. Поэтому в
обычной жизни допускается оперирование долями Фарад – пикофарад
(10-12 Ф), нанофарад (10-9 Ф) и т.д.
154
В различных электротехнических и радиотехнических устройствах
часто необходимы значительные электроемкости, которые образуются
из системы проводников. Система проводников, предназначенных для
образования значительной емкости, называется конденсатором, а
сближенные проводники, образующие конденсатор, называются
обкладками конденсатора.
Под емкостью С конденсатора подразумевают величину отношения
заряда q одного знака, накопленного в конденсаторе к разности
потенциалов ∆φ между обкладками:
C = q/∆φ
(3.33).
Эта величина, как и емкость уединенного проводника, зависит лишь от
геометрических факторов и величины диэлектрической постоянной
изолирующей прослойки между обкладками конденсатора. Исследуем
емкости таких конденсаторов.
Плоский конденсатор. Плоский конденсатор состоит из двух
параллельных пластин (рисунок 3.13,а), расположенных друг от друга
на расстоянии d, малом по сравнению с их собственными размерами.
Пространство
между
пластинами
конденсатора
заполнено
диэлектриком. По определению емкость конденсатора C = q/∆φ .
Выразим емкость плоского конденсатора через величины,
характеризующие его размеры. Так как размеры пластин велики по
сравнению с расстоянием между ними, то ∆φ поля между пластинами
такая же, как и в случае двух бесконечных плоскостей, несущих равные
по численному значению заряды противоположных знаков.
Если σ — поверхностная плотность зарядов на этих пластинах, a S
— площадь одной пластины конденсатора, то заряд конденсатора q =
σS,. При наличии диэлектрика между обкладками разность
потенциалов между ними можно рассчитать как для системы двух
заряженных пластин:
∆φ = σd/ε0ε
(3.34).
Подставим в формулу емкости и получим выражение емкости
плоского конденсатора:
C = q/∆φ = σS/ σd/ε0ε = ε0ε S/d
из
(3.35).
Сферический конденсатор. Сферический конденсатор состоит
двух концентрических шаровых обкладок, разделенных
155
сферическим слоем диэлектрика. Если внутренней обкладке такого
конденсатора сообщить заряд +q, то на внешней заземленной
обкладке образуется наведенный заряд -q ((рисунок – 3.13,б).).
Поле сферического конденсатора сосредоточено между его
обкладками и таково, как если бы заряд был сосредоточен в центре
сферы. Поэтому потенциалы обкладок равны: φ1 = q/εr1, φ2 = q/εr2.
Поэтому разность потенциалов между обкладками конденсатора равен
φ1 – φ2 = q/ε(1/r1 - 1/r2) = q (r1 - r2)/ εr1r2. что позволяет найти
электроемкость сферического конденсатора
C = q/∆φ = εr1r2 /(r1 - r2)
(3.36).
Если d = (r2 — r1)« r1 то r 2≈ r1≈ r и C = εr2/ d. Умножая числитель и
знаменатель на 4π, и отмечая, что 4πr2 есть площадь поверхности
сферической обкладки, получим
C = εS/4πd
(3.37).
Таким образом, при малой величине зазора по сравнению с
радиусом сферы выражение для емкости сферического и плоского
конденсатора совпадают. Если внешний радиус сферического
конденсатора гораздо больше внутреннего радиуса, то формула (3.37)
упрощается:
C = εr1
(3.38),
т.е., в этом она равна емкости уединенного шара радиуса r1.
Цилиндрический конденсатор. Цилиндрический конденсатор
состоит из двух цилиндрических обкладок, имеющих общую ось и
разделенных цилиндрическим слоем диэлектрика (рисунок 3.13,в).
а)
б)
Рисунок - 3.13
156
в)
Если внутреннюю обкладку такого конденсатора зарядить (при
внешней заземленной обкладке), то, пренебрегая краевыми
эффектами, его поле можно считать радиально-симметричным и
сосредоточенным
между
цилиндрическими
обкладками.
Напряженность поля между обкладками конденсатора создается
только зарядом на внутреннем цилиндре и в точке на расстоянии r от
оси цилиндра равна: Е = 2τ/εr, где τ - линейная плотность зарядов.
Изменение потенциала на участке dr связано соотношением: - dφ/dr =
E, откуда dφ = -E dr = -( 2τ/εr) dr. Разность потенциалов между
обкладками (φ2 – φ1) получим, интегрируя это выражение в пределах
от R1 до R2: φ2 – φ1 = - ∫( 2τ/εr) dr = - 2τ/εr ln(R2/R1). Следовательно,
емкость цилиндрического конденсатора
С = q/(φ1 – φ2) = εl/2ln(R2/R1)
(3.39),
где R2 и R1 — радиусы цилиндров.
Емкость подземных и одножильных кабелей может вычисляться
по формуле цилиндрического конденсатора, при этом роль внутренней
обкладки играет металлическая жила, роль внешней обкладки —
броня.
Величину емкости можно менять, соединяя конденсаторы в
батареи различным образом.
При параллельном соединении конденсаторов (рисунок 3.14, а) общим для всех конденсаторов является напряжение U,
поэтому U = U1 = U2 = U3 ; Суммарный заряд батареи равен q =
q1+q2+q3+ . Поэтому емкость батареи равна С =q/U = q1/U+q2/U+q3/U
+ . Но q1/U = С1, q2/U = С2, q3/U = С3 и т.д. Так что
С= С1+С2+ С3+ = ∑Ci,
(3.40),
т.е. емкость батареи при параллельном соединении конденсаторов
равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Очевидно, в этом
случае
допустимое
рабочее
напряжение
определяется
соответствующим напряжением одного конденсатора.
При последовательном соединении конденсаторов (рисунок 3.14, б) одинаковым для всех конденсаторов, благодаря явлению
индукции, будет заряд q, равный полному заряду батареи: q =
q1=q2=q3= . Напряжение же батареи определяется суммой
напряжений на отдельных конденсаторах: U = = U1 + U2 + U3+ ;
Поэтому для всей батареи справедливо: q/C = q /С1+ q /C2+ q/C3+ или
157
1/C = 1 /С1+ 1 /C2+ 1/C3+ = ∑1/Ci.
(3.41).
При последовательном соединении конденсаторов суммируются
обратные величины емкостей. Т. е. при последовательном соединении
п одинаковых конденсаторов емкость батареи в п раз меньше емкости
одного конденсатора, во столько же раз напряжение на каждом
конденсаторе меньше напряжения батареи.
Комбинируя оба типа соединений, можно получить смешанные
батареи с разнообразными данными (рисунок - 3.14, в).
Рисунок - 3.14
Для расчета емкости при таком соединении можно сначала
подсчитать емкость отдельных групп конденсаторов, представляющих
батареи с параллельным или последовательным соединением, а затем
каждую из них мысленно заменить одним конденсатором
соответственной емкости.
3.2.2 Диэлектрики. Свободные и связанные заряды,
поляризация
В середине прошлого столетия Фарадей, экспериментируя со
сферическим конденсатором, заметил, что если пространство между
обкладками конденсатора заполнить серой (вместо воздуха), то
электроемкость конденсатора возрастет в несколько раз.
Впоследствии было установлено, что это явление носит общий
характер и что емкость любого конденсатора зависит от того, какое
непроводящее вещество (диэлектрик) заполняет пространство между
его обкладками. Обозначим через С0 емкость конденсатора в том
случае, когда пространство между его обкладками вакуум. Тогда при
наличии диэлектрика между обкладками конденсатора его емкость
будет: С = εС0. Величина ε, называемая диэлектрической
проницаемостью среды, показывает, во сколько раз возрастает емкость
конденсатора, если вместо вакуума между его обкладками будет
находиться
данный
диэлектрик.
Значение
диэлектрической
проницаемостью зависит от природы диэлектрика и от условий, при
которых он находится (температура, давление и т. д.). Опыт показывает,
что для всех веществ ε>1. Диэлектрическая проницаемость ε есть
158
величина безразмерная: для вакуума ε =1. Значения диэлектрических
проницаемостей для других сред колеблются от величин, весьма мало
отличающихся от единицы (газы при атмосферном давлении), до
нескольких
десятков.
Особенно
большую
диэлектрическую
проницаемость имеет вода (ε = 81).
Рассмотрим, что происходит при введении однородного
диэлектрика между пластинами плоского конденсатора. Предположим
вначале, что обкладки конденсатора отключены от окружающих тел так,
что заряды на них остаются неизменными: q = σS. При этих условиях
увеличение емкости конденсатора при заполнении его диэлектриком
происходит за счет уменьшения разности потенциалов между его
обкладками. Действительно, из соотношения С = q/(φ1 – φ2) видно, что
увеличение емкости в ε раз должно произойти вследствие уменьшения
в ε раз разности потенциалов (φ1-φ2) его обкладок. Уменьшение же
разности потенциалов происходит из-за ослабления напряженности
электростатическое поля между обкладками: E = (φ1 – φ2)/d.
Напряженность поля Е между обкладками заполненного
диэлектриком конденсатора и напряженность Е0 поля такого же
пустого конденсатора связаны при этих условиях так:
E= E0/ε
(3.42).
Разберем причины ослабления поля. В диэлектрике, внесенном в
электрическое поле между обкладками конденсатора, возникает
поляризация, сопровождающаяся перераспределением зарядов в
молекулах диэлектрика или поворотами дипольных молекул. В случае
однородного диэлектрика эта поляризация не сопровождается
образованием объемных зарядов в толще диэлектрику, так как
молекулы в целом нейтральны и заряды соседних молекул друг друга
компенсируют (см. рис. 53). На границе диэлектрика, однако,
компенсации зарядов, не происходит. При этом на поверхности,
обращенной
к
отрицательной
пластине,
возникают
некомпенсированные положительные заряды, а на поверхности,
обращенной к положительной пластине, — отрицательные заряды.
Эти заряды носят названия связанных зарядов, и их можно считать
распределенными на поверхности диэлектрика с постоянной
поверхностной плотностью + σ' и -σ'. В результате в диэлектрике
создается
дополнительное
электрическое
поле,
образованное
поляризацией диэлектрика, направленное в сторону, противоположную
направлению поля, создаваемого обкладками конденсатора.
159
Предположим, что поле между обкладками при отсутствии в нем
диэлектрика имеет напряженность Е0. Величина Е0 связана с плотностью
о зарядов на обкладках, которые мы назовем свободными, соотношением:
Е0 = σ/ε0.. Напряженность поля Е'., создаваемого поляризацией
диэлектрика, связана с плотностью связанных зарядов аналогичные
соотношением: Е' = σ'/ε0.. Полное поле между обкладками конденсатора,
заполненного диэлектриком, будет характеризоваться напряженностью Е,
равной геометрической сумме напряженностей поля обкладок и поля
поляризованного диэлектрика: Е=Е0 + Е'. Учитывая то, что направление
Е0 и Е' противоположно, найдем численное значение результирующей
напряженности:
Е = Е0 - Е'.= (Е0 — σ'.)/ε0
(3.43).
Таким образом, видно, что поляризация диэлектрика ослабляет
поле. Используя соотношение
Е = Е0/ε = σ/ε ε0.
(3.44),
найдем связь между плотностью связанных зарядов и напряженностью
поля в диэлектрике: σ' = (σ-Е)/ ε0. = (εЕ -Е)/ ε0. = ε0.(ε -1)Е = χЕ ε0.
Величина
χ = (ε-1).
(3.45)
называется
коэффициентом
поляризации.
Очевидно,
что
коэффициент поляризации зависит от рода диэлектрика. Из
последнего равенства видно, что плотность зарядов, возникающих на
границе диэлектрика в результате его поляризации, пропорциональна
напряженности действующего в диэлектрике, поля. Заметим, что
поляризованный диэлектрик создает ослабляющее поле только между
его границами. Следовательно, если между диэлектриком и пластинами
существуют зазоры, напряженность электрического поля в них будет
та же, что и до внесения диэлектрика.
Рассмотрим теперь влияние диэлектрика в том случае, когда
диэлектрик вносится в конденсатор, на обкладках которого
поддерживается постоянная разность потенциалов (путем подключения
обкладок к источнику постоянной разности потенциалов). В этом
случае, напряженность поля между обкладками остается той же, что и
до внесения слоя (по основному соотношению между напряженностью и
потенциалом). Поскольку поляризация диэлектрика ослабляет поле,
160
ясно, что сохранение напряженности неизменной возможно лишь при
увеличении свободного заряда на обкладках конденсатора зарядов
подключенного источника. Увеличение емкости в ε раз означает, что
при этих условиях свободный заряд на обкладках возрастает в ε раз.
Энергия конденсатора при наличии диэлектрика. Энергия
поля в диэлектрике, Посмотрим, что происходит с энергией
конденсатора при введении между его пластинами диэлектрика.
Энергия конденсатора Е определяется соотношением
W = 1/2q(φ1 – φ2)
(3.46),
где q — заряд пластины конденсатора. Так как это выражение для W
получено лишь на основании подсчета работы переноса зарядов между
пластинами с данными разностями потенциалов, то оно остается в силе и
при наличии между пластинами конденсатора диэлектрика. Эта
формула позволяет сравнить энергию W пустого конденсатора с
энергией W' такого же конденсатора, заполненного диэлектриком. Здесь
надо уточнить условия, при которых идет сравнение.
Если заряды на обкладках пустого конденсатора и конденсатора
с диэлектриком одинаковы, то различие в энергии обусловлено различием
разностей потенциалов на обкладках обоих конденсаторов. В этом случае
разность потенциалов на обкладках заполненного диэлектриком
конденсатора в ε раз меньше разности потенциалов на обкладках
пустого конденсатора, поэтому при этих условиях мы получаем W'/W =
1/ε, т. е, энергия конденсатора уменьшается при заполнении его
диэлектриком в ε раз. Наоборот, если у пустого и заполненного
диэлектриком конденсатора на обкладках поддерживаются
одинаковые
разности
потенциалов,
то,
энергии
будут
пропорциональны свободным зарядам q на обкладках. В этом случае,
как мы видели, заряд обкладок заполненного диэлектриком
конденсатора в ε раз больше, чем заряд обкладок пустого
конденсатора, и мы получаем W'/W = ε, т. е. энергия конденсатора
возрастает при заполнении его диэлектриком. Увеличение энергии
происходит за счет источника, поддерживающего неизменную
разность потенциалов на обкладках. Из выражения для энергии
конденсатора W = 1/2q(φ1 – φ2) легко найти плотность энергии,
электростатического поля внутри диэлектрика. Для этого рассмотрим
плоский конденсатор, заполненный диэлектриком, поле в котором
можно считать однородным. Подставляя в выражение для энергии
заряд q и разность потенциалов (φ1 - φ2), выраженные через
напряженность поля, q= σS = ε0εSE/ и (φ1 – φ2 )= Ed, найдем
161
W = ε0εE2Sd/2
(3.47).
Деля последнее выражение на объем диэлектрика в
конденсаторе Sd, получим для плотности энергии в диэлектрике
выражение:
w= ε0εE2/2
(3.48).
Рассмотрим более подробно процесс поляризации диэлектриков.
Диэлектрик состоит из молекул, в состав которых входят заряженные
частицы — отрицательные электроны и положительные ядра.
Положительные и отрицательные заряды внутри каждой молекулы
компенсируют друг друга, так что молекула в целом нейтральна.
Однако центры тяжести положительных и отрицательных зарядов в
молекуле могут быть сдвинуты друг относительно друга, что ведет к
возникновению дипольного момента р.
При отсутствии внешнего поля, благодаря беспорядочному
тепловому движению, моменты молекул ориентированы по-разному.
Если мы выделим объем ∆V диэлектрика, содержащий достаточно
большое число молекул, то векторная сумма моментов всех молекул
∑р, находящихся в этом объеме, будет равна нулю. При наличии
внешнего электрического поля диполи частично повернутся по полю,
сумма их моментов ∑р станет отличной от нуля. Диэлектрик с
ориентированными в той или иной степени дипольными моментами
окажется поляризованным.
За меру поляризации диэлектрика принимается вектор Р,
равный суммарному моменту молекул ∑р, отнесенному к единице
объема: Р = ∑р/∆V. Объем ∆V, в пределах которого берется сумма
моментов отдельных молекул ∑р, должен содержать достаточное
количество молекул, но вместе с тем быть настолько, малым, чтобы
внутри него все макроскопические величины — плотность,
температура, напряженность электростатического поля Е и т. д. —
могли считаться постоянными. Вектор Р носит название вектора
поляризации. Степень ориентации молекул пропорционален
напряженности поля Е в пределах диэлектрика. Тогда и вектор
поляризации Р окажется пропорциональным напряженности поля Е:
Р = χЕ
(3.49).
162
Если первоначально молекула не обладает дипольным
моментом (не полярная молекула), то под влиянием внешнего
электрического поля заряды в ней смещаются, и у нее появляется
дипольный момент р. И в этом случае сумму моментов можно считать
пропорциональной напряженности поля. В случае нежесткой
полярной молекулы, ∑р будет возрастать по двум причинам:
благодаря увеличению моментов молекул р и благодаря их
ориентации. Но и в этом случае суммарный момент ∑р возрастает
пропорционально Е. Таким образом, соотношение Р = χЕ справедливо
для молекул любого типа.
Поверхностные и объемные заряды, возникающие при
поляризации диэлектрика, носят название связанных зарядов. Все
прочие заряды (не обусловленные явлением поляризации) носят
название свободных.
3.2.3
Вектор
электростатической
индукции.
Сегнетоэлектрики
Имея дело с электростатическим полем в пустоте, мы вводили в
рассмотрение линии напряженности. Линии напряженности в пустоте
обладают тем свойством, что они тянутся непрерывно от одних зарядов до
других или уходят в бесконечность. Не так обстоит дело в диэлектриках,
если учитывать одни только свободные заряды. Например, на границах
раздела диэлектриков возникнут связанные поверхностные заряды, и
часть линий напряженности будет на них заканчиваться или с них
начинаться. Таким образом, линии напряженности не пройдут
непрерывно границу раздела диэлектриков. Поэтому в неоднородных
диэлектриках перестает иметь смысл и теорема Остроградского — Гаусса
в том виде, как она была дана раньше.
Необходимо ввести для характеристики поля внутри диэлектрика
такой новый вектор D, линии которого пойдут через диэлектрик, а также
через границы их раздела непрерывно. Этот вектор называется вектором
электростатической индукции; он связан с вектором напряженности Е
соотношением:
D = ε0ε E
(3.50),
где ε — значение диэлектрической постоянной диэлектрика, где
определяется значение вектора D. Из этого соотношения следует, что
вектор индукции D направлен в каждой данной точке так же, как и
вектор напряженности Е, но по численному значению он в ε раз
больше напряженности. Для вакуума векторы Е и D совпадают.
163
Линии вектора индукции будем строить тем же способом, каким мы
строили в вакууме линии вектора напряженности. Линией вектора
индукции назовем линию, направление касательной, в каждой точке,
которой совпадает с направлением вектора индукции. Направление самой
линии считаем совпадающим в каждой точке с направлением вектора
индукции в этой точке. Количество проводимых линий индукции
подчиним требованию, чтобы отношение числа линий dФD,
пересекающих малую площадку dS0, перпендикулярную к линиям
индукции, к площади ∆S0 численно равнялось значению вектора
индукции в области площадки: dФ/dS = D. Если мы введем произвольно
ориентированную площадку dS (рисунок - 3.1), то
ФD = ∫ dФD =DdS0 = DdScosa.= DndS
(3.51),
где Dn — проекция вектора индукции на нормаль к площадке dS.
Величина dФD называется потоком вектора индукции через
площадку dS. В случае площадки конечных размеров, ее следует
разбить на малые элементы dSi, сосчитать поток через каждый элемент,
и тогда общий поток вектора индукции выразится суммой (или
интегрированием) таких элементарных потоков:
ФD = ∫ DndS
(3.52).
Иногда в литературе можно встретить вместо термина «поток
вектора индукции» просто поток смещения. Из равенства (3.52) видно,
что электрическое смещение численно равно потоку смещения через
единицу площади поверхности, перпендикулярной к направлению
вектора смещения. Векторы электрического смещения складываются
геометрически, а потоки этих векторов через любой элемент
поверхности — алгебраически (как проекции векторов на какую-либо
ось — в данном случае на нормаль к элементу поверхности).Картины
линий электрической индукции могут служить для наглядного
изображения потока электрической индукции через поверхность.
Рисунок - 3.15
164
В диэлектрике полный заряд q внутри поверхности состоит из
двух частей: свободного заряда, внесенного в диэлектрик извне, и
связанного заряда, образованного поляризацией диэлектрика.
Остроградский и Гаусс установили связь между численным значением
потока смещения через произвольную замкнутую поверхность и
алгебраической суммой электрических зарядов, находящихся в
области, ограниченной этой поверхностью:
ФD = ∫DdSn = (q/r2)4π r2 = ∑qi
(3.53).
Этот результат представляет собой теорему Остроградского Гаусса для диэлектрика, которые уточнили, что поток вектора
электростатической индукции через произвольную замкнутую
поверхность равен свободному заряду внутри поверхности.
При помещении диэлектриков в электрическое поле в них
происходят разнообразные явления, которые ведут к изменению их
свойств. В зависимости от этого можно различать класс
сегнетоэлектриков, электреты и диэлектрики, в которых наблюдается
явление пьезоэлектричества.
Среди диэлектриков имеются вещества, диэлектрическая
постоянная ε у которых не есть величина постоянная, а зависит от
напряженности поля Е. Причем, в зависимости от электрического
поля, в котором он находится, значения ε могут достигать громадных
значений. Первоначально такие вещества были обнаружены в
кристаллах сегнетовой соли, и поэтому все диэлектрики такого рода
получили название сегнетоэлектриков. При комнатной температуре
диэлектрическая проницаемость сегнетовой соли близка к 10 000.
Диэлектрическая проницаемость сегнетоэлектриков оказалась
зависящей от напряженности поля (рисунок - 3.16). При изменении Е
вектор Р «запаздывает., Это явление носит название гистерезиса
(аналогично магнитным гистерезисным явлениям в ферромагнитных
телах. При периодическом изменении напряженности поля Е по
величине и направлеию кривая зависимости Р от Е приобретает
сложную форму (рисунок - 3.16).
Рисунок - 3.16
165
Сегнетоэлектрики обнаруживают остаточную электрическую
поляризацию после устранения действия внешнего электрического
поля. Это свойство сегнетоэлектриков подобно свойству железа, в
котором наблюдаются явления остаточного намагничивания.
В настоящее время свойство сегнетоэлектриков объясняется
следующим образом. Вследствие особенно сильного взаимодействия
частиц объем кристалла сегнетоэлектрика подразделяется на
отдельные области — «домены», которые являются областями
спонтанной (самопроизвольной) поляризации. В обычном состоянии
сегнетоэлектрик представляет собой как бы мозаику из доменов,
причем в пределах каждого домена имеется свое направление
спонтанной поляризации, тогда как в смежных областях эти
направления различны, так что в целом электрический момент
кристалла равен нулю. Под воздействием внешнего электрического
поля в доменах происходит изменение направления поляризации,
вследствие чего сегнетоэлектрик приобретает электрический момент
по направлению силовых линий поля. Суммарное внутреннее
электрическое поле доменов, будет поддерживать их некоторую
ориентацию, и после прекращения действия внешнего поля.
Сегнетоэлектрические свойства сильно зависят от температуры.
При температурах, превышающих определенное значение Tk,,
различное для разных веществ, сегнетоэлектрические свойства
исчезают, и сегнетоэлектрик превращается в обычный диэлектрик.
Эта температура (как и для ферромагнетиков) называется точкой
Кюри.
Таким образом, можно определить сегнетоэлектрики как
вещества, в которых при температурах ниже некоторой характерной для
каждого из них (температурой Кюри) без внешнего воздействия
имеются области (домены) с электрическим моментом, отличным от
нуля. В электрическом поле происходит ориентировка электрических
моментов доменов в направлении поля.
До сих пор мы рассматривали диэлектрики, состоящие из
отдельных молекул, заряды в которых могут смещаться или
подвергаться ориентирующему действию под влиянием внешнего
электрического поля. Такое представление оправдывается для
газообразных, жидких и аморфных твердых тел. Иной характер носит
поляризация ионных кристаллов. Они представляют собой
пространственные решетки с правильным чередованием ионов
различных знаков. Например, кристалл каменной соли представляет
собой пространственную решетку из чередующихся положительных
ионов натрия и отрицательных ионов хлора. В таком кристалле нельзя
166
выделить отдельные молекулы. При такой компенсации ни
поляризационные заряды, ни электрический момент кристалла не
проявляются. Однако если кристалл подвергается деформации, то
несколько изменяются расстояния между частицами, образующими
кристаллическую решетку, а вместе с тем изменяются и дипольные
моменты полярных групп, составленных из этих частиц. При этом
изменится и электрический момент всего кристалла и величина
поверхностных поляризационных зарядов. Это положительное или
отрицательное
приращение
поляризационных
зарядов
легко
обнаруживается; оно называется пьезоэлектричеством.
При растяжении на обкладках появляются электрические
заряды, прямо пропорциональные растягивающему усилию, причем
знаки зарядов, появляющихся при растяжении, противоположны
знакам зарядов, появляющихся при сжатии, тогда как величина
зарядов при одинаковых растягивающих и сжимающих усилиях не
изменяется. В зависимости от направлений проявления эффекта
различают поперечный и продольный пьезоэлектрический эффект.
Пьезоэлектрический эффект обнаруживают кварц, турмалин,
сегнетова соль, сахар, цинковая обманка и ряд других кристаллов.
Наиболее изучен пьезоэлектрический эффект у кварца. При
сжимающей силе в 1 кг на противоположных гранях кристалла кварца
возникает разность потенциалов порядка сотых долей вольта. В
кристаллах сегнетовой соли эффект сильнее.
На основании термодинамических соображений был предсказан
эффект, обратный пьезоэлектрическому. Оказывается, что если
между проводящими обкладками, которыми пользуются для
обнаружения пьезоэлектричества, приложить некоторую разность
потенциалов, то кристалл деформируется: если на обкладки подать
заряды тех же знаков, какие появляются при деформации растяжения,
то кристалл сжимается, и наоборот. Пьезоэлектрическим эффектом
пользуются на практике для измерения давления например, в
двигателях внутреннего сгорания, в различных частях зданий и
сооружений, и т. д.
Другой тип диэлектриков, имеющих применение в науке и
технике, называют электретом. Он представляет собой постоянно
наэлектризованный диэлектрик, на одной стороне которого имеется
положительный поверхностный заряд, а на другой отрицательный.
Электреты изготовляют обычно в виде дисков, образующих вокруг
себя электрическое поле, подобное полю плоского конденсатора.
Существуют электреты различной природы. Для получения,
термоэлектретов, нагретый до 200—300°С диэлектрик, охлаждают в
167
сильном электрическом поле. При этом поляризация Р диэлектрика
частично
сохраняется
(остаточная
поляризация,
подобная
поляризации сегнетоэлектриков); кроме того, в диэлектрике
оказываются «вмерзшие» объемные и поверхностные заряды.
Материалами для изготовления электретов могут служить многие
органические и неорганические вещества: карнаубский воск,
полиметилметакрилат, полиметилацетат, асфальт, эбонит, церезин,
нафталин, сера, титанаты бария, магния, цинка, кальция и др.
Электреты находят разнообразное применение. Например, если
заполнить электретом часть промежутка между пластинами плоского
конденсатора, то между пластинами появится разность потенциалов,
изменяющаяся при изменении расстояния между пластинами. Эту
разность потенциалов, получающуюся при колебании одной из
пластин, можно использовать для телефонной связи и для устройства
генератора переменного напряжения.
3.3 Энергия электростатического поля
3.3.1 Электрический ток. Законы Ома для постоянного тока
Электрическим током (током) называется направленное
движение электрических зарядов. Величина электрического тока
измеряется силой тока. Сила тока численно равна заряду,
проходящему через поперечное сечение проводника за единицу
времени. При постоянном токе его величина определяется
отношением
I = q/t
(3.54),
где q — количество электричества, прошедшее через поперечное
сечение проводника за время t.
По исторически сложившейся традиции за направление тока
принято считать направление движения положительных зарядов.
Следовательно, если ток осуществляется перемещением только
электронов (как, например, в металлах), то его направление
противоположно направлению движения электронов.
Электрический ток количественно характеризуется еще
плотностью тока. Плотность тока определяется током, приходящимся
на единицу сечения проводника:
j = I/S
(3.55).
168
Это уравнение определяет модуль вектора плотности тока j. За
направление вектора плотности тока j принимается направление
движения положительных зарядов в этой точке. При неравномерном
распределении тока по сечению провода полученное уравнение
определяет среднюю плотность тока. Истинное же значение
плотности тока равно
j = dI/dSn
(3.56),
где j — ток через элементарную площадку dSn, поставленную
перпендикулярно направлению тока (рисунок - 3.17). Сила тока сквозь
произвольную поверхность S определяется как поток вектора j, т.е.
I = ∫ jdS
(3.57).
В этом разделе рассматривается постоянный ток, т. е. такой
ток, величина и направление которого со временем не меняются. При
наличии постоянного тока величина его через любое сечение
неразветвленного проводника одна и та же, т. е. через любое сечение в
единицу времени будет протекать одно и то же количество
электричества. Это объясняется законом сохранения электрических
зарядов. Электрический заряд не пропадает и не возникает, а лишь
перемещается в проводнике. Если бы через одно из сечений,
ограничивающих некоторый участок, прибывало количество
электричества большее или меньшее, чем через другое сечение
удаляется, то происходило бы накопление или убыль заряда на этом
участке, что вызвало бы изменение потенциалов различных точек
проводника, а вместе с тем и величины тока.
Из определения тока следует, что для существования тока
необходимо выполнение двух условий: во-первых, наличие
электрических зарядов, во-вторых, чтобы они пришли в состояние
направленного движения. Например, воздух, в нормальном состоянии
не проводник, его атомы электрически нейтральны. Но если воздух
подогреть или воздействовать на него каким-либо излучением,
произойдет диссоциация атомов на ионы, воздух превращается в
потенциальный проводник. Чтобы действительно пошел ток в такой
среде необходимо задать разность потенциалов, чтобы придать
характеру движения электрических зарядов направленный характер
(рисунок - 3.18). Для того чтобы электрический ток был постоянно,
необходимо поддерживать напряжение на концах проводника. Это
можно осуществить, соединив тело с определенными устройствами,
169
которые
называются
источниками
электродвижущей силой (э.д.с.) - ε.
Рисунок - 3.17
тока,
характеризуемые
Рисунок - 3.18
Действительно, для сохранения разности потенциалов
необходимо пополнять количество электричества той точки, с
которого оно уходит, и уменьшать его в равной мере на том месте, на
которое оно прибывает. Это можно осуществить, перенося заряды со
второго тела вновь на первое и введя, таким образом, круговорот
электричества. Для этого контур, по которому идет электрический ток,
должен быть замкнутым. На рисунке - 3.18 пунктиром помечены
участки, дополняющие путь электрического тока до замкнутого
контура.
Однако на этом новом участке зарядам придется перемещаться
против электростатических сил, а для этого необходимо привлечь
сторонние силы, чуждые по своей природе электростатике. Эти силы
должны будут совершать работу по перемещению зарядов и на это
потребуется затрата энергии какого-либо вида, которая частично будет
превращаться в электростатическую энергию. Величину работы,
которую совершают сторонние силы при перемещении электрического
заряда, равного единице, называют электродвижущей силой:
ε= Астор/q,
(3.58),
где Астор, - работа сторонних сил при перемещении заряда q из одной
точки с потенциалом φ1 в другую точку с потенциалом φ2. Так как
разность потенциалов измеряет значение потенциальной энергии,
приходящейся на единицу электрического заряда, то э. д. с.
определяет величину наибольшей электростатической анергии,
которую может приобрести единица количества электричества
вследствие работы сторонних сил. Прибор, предназначенный для
получения э. д. с, называется источником тока.
В качестве источника э. д. с. может служить любое
приспособление, в котором, наряду с электростатическими силами,
действуют сторонние силы, перемещающие электрические заряды и
170
совершающие работу за счет энергии, являющейся неэлектрической
природы. Типы источников э. д. с. бывают различными, в зависимости
от того, какие сторонние силы участвуют в переносе электрических
зарядов, какие виды энергии преобразуются в электростатическую
энергию и каков механизм переноса зарядов. В электростатической
машине имеет место превращение механической энергии в
электрическую. В гальванических элементах и аккумуляторах
происходит превращение энергии, выделяющейся при химической
реакции, в электрическую. В фотоэлементах выделяется электрическая
энергия за счет световой энергии и т. д.
При наличии тока электрическое поле внутри проводников не
равно нулю: в них и перемещаются заряды под действием
кулоновских сил электрического поля. Тогда работа на таком участке
характеризуется суммарным полем электростатических (кулоновских)
и сторонних сил при перемещении единичного положительного
заряда на данном участке цепи (рисунок - 3.19):
U12 = Акул/q + Астор/q = (φ1 – φ2) + ε12
(3.59).
Здесь U12 - напряжение на участке 1-2, где включен источник
тока с ε12, физическая величина, численно равная работе, совершаемая
кулоновскими и сторонними силами для перемещения единичного
положительного заряда на данном участке цепи из т очки 1 до точки 2.
Напряжение на однородном участке цепи (где нет э.д.с.) измеряется
работой тока на данном участке при перемещении единицы заряда
через сечение проводника и совпадает по величине с разностью
потенциалов на концах этого участка:
U12 = (φ1 – φ2)
(3.60).
Сила тока на участке цепи зависит не только от
электродвижущей силы источника тока, но и от среды, где проходит
ток. В зависимости от свойств проводимости электрического тока,
различают вещества с хорошей проводимостью (проводники) и
плохой проводимостью, которые в идеале не проводят ток, это
изоляторы (диэлектрики). Есть класс веществ, называемых
полупроводниками, проводимость которых меняется в зависимости от
внешних условий (температура, схема подключения и т.д.).
Хорошими проводниками являются металлы, поэтому в
электротехнике в качестве проводников применяют алюминиевые,
медные и т.д. проводники. Механизм получения электрического тока
171
в них реализуется с помощью свободных электронов, которые
имеются в металлах в достаточном количестве. Проводящие свойства
веществ характеризуются физической величиной, отражающей его
способность сопротивляться прохождению тока – сопротивлением - R.
Величина, обратная сопротивлению проводника, называется
проводимостью.
γ = 1/ R
(3.61).
Исследованием проводников различных размеров и из
различных материалов, было установлено, что для однородных
цилиндрических и призматических проводников (проволок, лент и т.
п.) сопротивление пропорционально их длине l и обратно
пропорционально сечению S, зависит от материала проводника:
R = ρl/S
(3.62),
где ρ — коэффициент пропорциональности, называемый удельным
сопротивлением вещества, из которого сделан проводник. Из
выражения для сопротивления видно, что удельное сопротивление
есть сопротивление кубика вещества со сторонами, равными 1м, если
ток в нем идет параллельно одному из ребер. Величина обратная
удельному сопротивлению, называется удельной проводимостью
вещества.
Сопротивление веществ в сильной степени зависит от примесей.
На сопротивление металлов влияет и их обработка. Обычно ковка,
прокатка, протягивание и закалка повышают, а отжиг понижает
сопротивление. Опытами установлено также, что сопротивление
металлов при повышении температуры t увеличивается:
R = R0(1+αt)
(3.63),
где R0—сопротивление при 0° С, R — его значение при t° С.
Зависимость сопротивления от температуры характеризуется
температурным коэффициентом сопротивления α данного вещества:
α = (R-R0)/R0t
(3.64).
Температурный коэффициент сопротивления при различных
температурах различен. Однако для многих проводников, к которым
относятся все металлы, изменение с температурой незначительно, и
поэтому, с достаточной точностью можно считать для них
172
одинаковым и равным α = 1/273,3 град-1. У всех электролитов в
отличие ох металлов сопротивление при нагревании всегда
уменьшается. Уменьшается с повышением температуры и
сопротивление полупроводников.
На основании многочисленных опытов Ом в 1827 г. установил,
что при постоянной температуре сила тока на участке цепи
пропорционален напряжению на концах проводника и обратно
пропорционален сопротивлению проводника (рисунок - 3.20).
I = U/R
(3.65).
Данное утверждение носит закона Ома для однородного
участка цепи.
Рисунок - 3.19
Рисунок - 3.20
Закон Ома можно представить в дифференциальной форме.
Подставим в закон Ома вместо сопротивления удельную
электрическую проводимость вещества проводника γ. Одновременно
учтем, что U/1=Е — напряженность электрического поля в
проводнике, I/S = j — плотность тока, тогда закон Ома для участка
цепи можно записать в виде
j=γE
(3.66).
Так как в изотропном проводнике носители тока в каждой точке
движутся в направлении вектора Е, то направления j и Е совпадают.
Поэтому формулу можно записать в векторном виде
j=γE
(3.67).
Это соотношение выражает закон Ома в дифференциальной
форме, связывающий плотность тока в любой точке внутри
проводника с напряженностью электрического поля в этой же точке.
Оно справедливо и для переменных полей.
173
Полная электрическая цепь состоит из двух частей: внешней и
внутренней. Внешнюю часть цепи составляют различные потребители
тока и подводящие провода, а внутреннюю — источники тока.
Рассмотрим замкнутую цепь постоянного тока (рисунок - 3.21)
состоящую из источника тока с ЭДС ε и сопротивлением r, а также
реостата с сопротивлением R. Сопротивление r называют
внутренним, а сопротивление R — внешним. Силу тока в цепи
измеряют амперметром А, а напряжение на полюсах источника тока
— вольтметром V. В гальваническом элементе энергия химической
реакции превращается в энергию электрического тока.
Рисунок - 3.21
Мерой такого превращения является работа сторонних сил Fст =
εq. На участках цепи с сопротивлением R и r энергия электрического
тока превращается во внутреннюю энергию, при этом выделяется
количество теплоты, определяемое законом Джоуля — Ленца: Q1 =
I2Rt и Q2 = I2rt. Согласно закону сохранения энергии,
Аст = Q1 + Q2.
Подставив выражения для Аст, Q1 и Q2, и учитывая, что ε=IR + Ir, где
1R — падение напряжения во внешней части цепи, Ir — падение
напряжения внутри источника тока, получим из последнего
соотношения
I = ε/(R +r),
(3.68),
где (R + r) — есть полное сопротивление цепи. Эта формула
выражают закон Ома для замкнутой цепи постоянного тока. Он
утверждает: в замкнутой цепи постоянною тока сумма падений
напряжений во внешней и внутренней частях цепи есть величина
постоянная, равная ε - ЭДС источника тока. Сила тока в такой
замкнутой цепи пропорциональна ЭДС источника тока и обратно
пропорциональна полному сопротивлению цепи.
174
Рассмотрим электрическую цепь на участке 1-2, где действует
э.д.с., обозначим ее ε12, а приложенную на концах участка разность
потенциалов – через (φ1 – φ2). Если ток проходит по неподвижным
проводникам, образующим участок 1—2, то работа А12 всех сил
(сторонних и электростатических), совершаемая над носителями тока,
по закону сохранения и превращения энергии равна теплоте,
выделяющейся на участке. Работа сил, совершаемая при перемещении
заряда q на участке 1—2, равна А12 = q ε12 + q(φ1- φ2).
Э.д.с. ε12, как и сила тока I— величина скалярная. Ее необходимо
брать либо с положительным, либо с отрицательным знаком. в
зависимости от знака работы, совершаемой сторонними силами. Если
э.д.с. способствует движению положительных зарядов в выбранном
направлении (в направлении 1—2), то ε12>0. Если э.д.с. препятствует
движению положительных зарядов в данном направлении, то ε12<0.
За время t в проводнике выделяется теплота
Q = I 2Rt = IR(It) = IRq
(3.69).
Сравнивая два последних соотношения, получим IR = (φ1- φ2) +
ε12, откуда
I = (φ1 - φ2 + ε12) / R
(3.70).
Это выражение представляет собой закон Ома для неоднородного
участка цепи в интегральной форме, который является обобщенным
законом Ома.
Действительно, из этого закона можно вывести ранее
полученные законы Ома - для участка цепи и для полной замкнутой
цепи. Если на данном участке цепи источник тока отсутствует (ε12 = 0), то
приходим к закону Ома для однородного участка цепи:
I = (φ1 - φ2) / R = U/R
(3.71).
Если же электрическая цепь замкнута, то выбранные точки 1 и 2
совпадают: φ1=φ2. Тогда получаем закон Ома для цепи, содержащей
только э.д.с.:
I = ε/R,
(3.72)
где ε — э.д.с, действующая в цепи, R — суммарное сопротивление
всей цепи. В общем случае R = r+Ri, где r — внутреннее
175
сопротивление источника э.д.с, Ri — сопротивление внешней цепи.
Поэтому закон Ома для полной замкнутой цепи будет иметь вид
I = ε/(R +r)
(3.73).
Если цепь разомкнута и, следовательно, в ней ток отсутствует (I
= 0), то из закона Ома получим, что ε12, == = (φ1- φ2), т. е. э.д.с,
действующая в разомкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее
концах. Следовательно, чтобы найти э.д.с. источника тока, надо
измерить разность потенциалов на его клеммах при разомкнутой
цепи.
Зная законы Ома можно изменять параметры электрической
цепи, например, повлиять на величину сопротивления, соединяя их
различным образом. Пусть два проводника с сопротивлениями R1 и R2
соединены последовательно и включены в цепь (рисунок - 3.22,а).
Величина тока в обоих проводниках одинакова. Однако напряжения
на концах каждого из проводников будут различны. На основании
закона Ома имеем: U1 = IR1 и U2 = IR2. Общее напряжение на двух
последовательно соединенных проводниках будет равно U = U1 + U2
или IR = IR1 + IR2 = I(R1+ R2). Учитывая, что силы токов при таком
соединении одинаковы на протяжении всего участка (I1 =I2= I),
получим
R =R1 + R2
(3.74).
Данный вывод имеет место для любого количества проводников,
поэтому
R =R1 + R2 + R3 + + Rn
(3.75).
Отсюда следует, что при последовательном соединении
проводников их сопротивления складываются.
Рассмотрим теперь параллельное соединение двух проводников
(рисунок - 3.22,б). При таком соединении напряжение на каждом
сопротивлении и на всем участке равны друг другу: U = U1 = U2.
а)
б)
Рисунок - 3.22
176
Признаком параллельного соединения является разветвление
тока. В данном примере электрический ток I, входя в группу
проводников R1 и R2, разветвляется на два тока I1и I2. Из закона
сохранения зарядов следует, что ток I равен сумме токов I1и I2: I =I1 +
I2. Из закона Ома найдем силы токов: I = U/R, I1 = U/Rl, I2 = U/R2.
После подстановки в полученное для параллельного соединения
соотношение токов, находим 1/R = 1/Rl, +1/R2. После преобразования
данная формула становится удобной для расчетов
R = R1 R2/(R1+ R2)
(3.76).
Если параллельно соединены не два, а n проводников, то
подобным образом можно получить соотношение
1/R = 1/Rl, +1/R2,+ +1/Rn,
(3.77).
Таким образом, при нахождении общего сопротивления при
параллельном соединении складываются величины обратные
включенным сопротивлениям, в результате общее сопротивление
уменьшается.
3.3.2 Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа. Работа и
мощность постоянного тока
Законы Ома позволяют рассчитать несложные линейные цепи,
состоящие
из
источников,
проводников
и
потребителей
электрического тока. Расчет разветвленных цепей, содержащих
несколько замкнутых контуров, каждый из которых имеет несколько
э.д.с, несколько потребителей электрической энергии сложен.
Разветвленные электрические цепи имеют ряд особых точек,
называемых узлами электрической цепи, где соединены между
собой более двух проводников. Ветвью называют участок цепи,
расположенный между двумя соседними ее узлами.
Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов,
сходящихся в узле, равна нулю, т. е.
∑Ik = 0,
(3.78),
где п — число токов, сходящихся в узле.
Второе
правило
Кирхгофа:
в
замкнутом
контуре
алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна
алгебраической сумме электродвижущих сил, т. е.
177
∑IkRk = ∑ εk,
(3.79),
где Ik — сила тока на k-м участке; Rk — активное сопротивление яа k-м
участке; εk,- э. д. с. источников тока на k -м участке, п— число участков,
содержащих активное сопротивление; i — число участков, содержащих
источники тока.
Рассмотрим особенности расчета разветвленных электрических
цепей. В качестве примера используем схему (рисунок - 3.23), в
которой два источника тока с ЭДС ε1 и ε2 и внутренними
сопротивлениями r1 и r2, которые сложным образом подключены к
внешнему участку цепи с сопротивлениями R1, R2, R3, R4. Необходимо
определить силы токов, текущих в сопротивлениях R2 и R3, если ε1 =
10 и ε2 = 4 В, а R1 = R4 = 2 Ом и R2 = R3 = 4 Ом. Сопротивлениями
источников тока пренебречь.
Рисунок - 3.23
Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью
правил Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует
составить четыре уравнения.
Перед составлением уравнений по правилам Кирхгофа
необходимо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих
через сопротивления, указав их стрелками на чертеже, и, во-вторых,
выбрать направление обхода контуров (последнее только для составления
уравнений по второму закону Кирхгофа). Выберем направления токов, как
они показаны на рисунке - 3.23, и.условимся обходить контуры по
часовой стрелке.
По первому закону Кирхгофа следует составлять уравнение на
единицу меньше, чем число узлов в схеме. Рассматриваемая в задаче
схема имеет два узла: А и В. Поэтому, в нашем примере составим
уравнение только для одного узла, так как составленное для второго
узла уравнение будет следствием первого уравнения. При составлении
уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо соблюдать
правило знаков; ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со
знаком плюс, ток, отходящий от узла, — со знаком минус. По первому
закону Кирхгофа для узла В имеем I1+ I2 + I3 - I4 = 0.
178
Недостающие три уравнения получим по второму закону
Кирхгофа. Число независимых уравнений, которые могут быть
составлены по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров
(в нашем случае контуров шесть, а независимых уравнений три).
Независимыми называются контуры, которые имеют в своем составе
хотя бы одну ветвь, которая не участвовала ни в одном из ранее
использованных контуров. При составлении уравнений по второму
закону Кирхгофа необходимо соблюдать следующее правило знаков:
а) если ток по направлению совладает с выбранным направлением
обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в
уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR
входит в уравнение со знаком минус,
б) если э. д. с. повышает потенциал в направлении обхода
контура, т. е. если при обходе контура приходится идти от минуса к
плюсу внутри источника, то соответствующая э. д. с. входит в
уравнение со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус.
По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров
ARR.A, ARXBRZA, AR3BRtA:
I1R1 – I2R2=ε1-ε2
I1R1 – I3R3=ε1
I3R3 +I4R4=0
Подставив в полученные равенства значения сопротивлений и э.
д. с, получим систему уравнений:
I1 +I2+ I3 - I4 = 0
2I1 – 4I2=6
2I1 – 4I3 =10
4I3 +2I4 =0
Поскольку нужно найти только два тока, то удобно
воспользоваться методом определителей. С этой целью перепишем
уравнения еще раз в следующем виде:
I1 +I2+ I3 - I4 = 0
2I1 – 4I2+0+0 =6
2I1 +0 – 4I3 +0 =10
0+0+4I3 +2I4 =0
Искомые значения токов найдем из выражений
179
I2 = ∆I2/∆ и I3= ∆I3/∆,
где ∆ — определитель системы уравнений;
 
1
1
1
1
2
 4
0
0
2
0
 4
0
0
0
4
2
 96
,
∆I2 и ∆I3 — определители, полученные заменой соответствующих
столбцов определителя ∆ столбцами, составленными из свободных
членов четырех вышеприведенных уравнений.
1 
2
1
0
1
1
2
6
0
0
2
10
 4
0
0
0
4
2
 0,
,
1 
3
1
1
0
1
2
 4
6
0
2
0
10
0
0
0
0
2
  96 .
Отсюда получаем: I2= 0, I3 = -1А. Знак минус у значения силы тока I3
свидетельствует о том, что при произвольном выборе направления
токов, указанных на рисунке, направление тока 13 было указано
противоположно ее истинному направлению. На самом деле ток I3
течет от узла В к узлу А.
Пусть на участке цепи при напряжении U идет ток. По
определению электрического напряжения работа тока на участке
цепи, совершаемая при перемещении единицы заряда через сечение
проводника, равна напряжению на этом участке цепи. Если ток в
участке цепи равен I то за время dt пройдет заряд Idt, и поэтому
работа электрического тока на этом участке будет
dA = U I dt
(3.80).
Если сопротивление проводника R, то используя закон Ома, получим
dA = I2 R dt
(3.81)..
Из этих формул мощность тока равна
Р = dA / dt. = I U= I2 R= U2/R
180
(3.82)
Если ток проходит по неподвижному металлическому
проводнику, то вся работа тока идет на его нагревание и, по закону
сохранения энергии, dQ = dA. Таким образом, используя полученные
выражения, получим
dQ = IU dt = I2Rdt= U2/R dt.
(3.83),
где Q — количество теплоты, выделяющееся в участках цепи за время
t. Данное соотношение представляет собой закон Джоуля — Ленца,
экспериментально установленный независимо друг от друга Дж.
Джоулем и Э. X. Ленцем. Закон Джоуля—Ленца. Закон Джоуля—
Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем
не совершаются химические превращения.
Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем
dV=dS dl (ось цилиндра совпадает с направлением тока),
сопротивление которого R= ρdl/dS. По закону Джоуля— Ленца, за
время dt в этом объеме выделится теплота
dQ = I2Rdt= ρdl/dS. (jdS)2 dt = pj2dVdt
(3.84).
Количество теплоты, выделяющееся за единицу времени в единице
объема, называется удельной тепловой мощностью тока. Она равна
w = pj2
(3.85).
Используя дифференциальную форму закона Ома (j = γE) и
соотношение ρ=1/γ, получим
w = jE = γE2
(3.86).
Эти формулы являются обобщенным выражением закона
Джоуля — Ленца в дифференциальной форме, пригодным для
любого проводника.
Тепловое действие тока находит широкое применение в технике,
которое началось с открытия в 1873 г. русским инженером А. Н.
Лодыгиным (1847—1923) лампы накаливания. На нагревании
проводников электрическим током основано действие электрических
муфельных печей, электрической дуги (открыто русским инженером В.
В. Петровым (1761 —1834)), контактной электросварки, бытовых
электронагревательных приборов и т. д.
181
3.4 Магнитное поле
3.4.1 Магнитное поле. Закон Ампера. Взаимодействие
параллельных токов
Взаимодействие токов осуществляется через поле, называемое
магнитным. Это название связано с опытами, которые проводил в 1820
г. Эрстед, и где обнаружил, что поле, возбуждаемое током, оказывает
ориентирующее действие на магнитную стрелку. При включении тока
стрелка устанавливалась перпендикулярно к проволоке. Изменение
направления тока заставляло стрелку повернуться в противоположную
сторону. Из опытов Эрстеда следует, что магнитное поле имеет
направленный характер и должно характеризоваться векторной
величиной. Эту характеристику магнитного поля назвали магнитной
индукцией и обозначили буквой В.
Магнитное поле, в отличие от электрического, не оказывает
действия на покоящийся заряд. Сила возникает лишь тогда, когда
заряд движется. Проводник с током представляет собой электрически
нейтральную систему зарядов, в которой заряды одного знака
движутся в одну сторону, а заряды другого знака движутся в
противоположную сторону. Отсюда следует, что магнитное поле
порождается движущимися зарядами.
Итак, движущиеся заряды (токи) изменяют свойства
окружающего их пространства — создают в нем магнитное поле.
Таким образом, источником магнитного поля всегда является
электрический ток. Это поле проявляется в том, что на движущиеся в
нем заряды (токи) действуют силы со стороны электрического поля.
Этим объясняется действие магнитного поля на рамку с током:
вращающий момент, испытываемый рамкой, есть результат действия
сил поля на ее отдельные элементы.
Изучая, как проводники различной формы, по которым
протекает ток, взаимодействуют между собой, Ампер установил, что
это взаимодействие может рассматриваться как совокупность
взаимодействий сколь угодно малых участков этих проводников с
током - элементов тока.
Элементом тока называют векторную величину Idl, равную
произведению силы тока I в проводнике на длину dl данного участка
проводника. Направление элемента тока совпадает с направлением
тока на этом участке проводника. Обобщая результаты исследования,
Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на
элемент проводника Idl с током, находящегося в магнитном поле,
прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному
182
произведению элемента длиной dl проводника на магнитную
индукцию В:
dF = I[dl, В]
(3.87).
Модуль силы Ампера вычисляется по формуле
dFА = IBdlsinα
(3.88),
где α — угол между векторами dl и В. Силу, действующую на
проводник с током (или элемент тока) в магнитном поле, называют
силой Ампера.. Направление вектора dF может быть найдено по
общим правилам векторного произведения, или по правилу левой руки:
если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В,
а четыре вытянутых пальца расположить по направлению тока в
проводнике, то отогнутый большой палец покажет направление силы,
действующей на проводник с током (рисунок - 3.24).
Если магнитное поле является однородным и проводник длиной l
целиком находится в нем, то формула силы Ампера принимает вид
FА = IBlsinα.
(3.89).
Отсюда найдем индукцию магнитного поля.
B = FА/IBlsinα.
(3.90).
Это выражение раскрывает физический смысл B индукции
магнитного поля, как силы, которая действует на элемент длины
проводника с током I, помещенного в магнитное поле.
Закон Ампера позволяет определить силы взаимодействия двух
параллельных токов. Опыт показывает, что электрические токи
взаимодействуют
между
собой.
Например,
два
тонких
прямолинейных параллельных проводника, по которым текут токи
притягиваются друг к другу, если токи в них имеют одинаковое
направление, и отталкиваются, если токи противоположны (рисунок 3.25).
Рассмотрим два бесконечных прямолинейных параллельных
тока I1 и I2 (направления токов указаны на рисунке - 3.26), расстояние
между которыми равно R. Каждый из проводников создает магнитное
183
Рисунок - 3.24
Рисунок - 3.25
поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник с
током. Ток I1 создает вокруг себя магнитное поле, линии магнитной
индукции которого представляют собой концентрические окружности.
Рисунок - 3.26
Направление вектора B1 задается правилом правого винта, его
модуль равен:
B = (μ0 μ/4π) 2I1/R
(3.91).
Магнитное поле тока I1, действует на элемент dl второго
проводника с током I2 с силой: dFl=I2B1dl. Подставляя значение для
B1, получим dFl= (μ0 μ/4π) 2I1 I2 dl/R.
Рассуждая аналогично, можно показать, что сила dF2, с которой
магнитное поле тока I2 действует на элемент dl первого проводника с
током I1, направлена в противоположную сторону и по модулю равна
dF2= I1B2dl = (μ0 μ/4π) 2I1 I2 dl/R. Сравнение выражений для dF1 и dF2
показывает, что они одинаковы, т. е. два параллельных тока
одинакового направления притягиваются друг к другу с силой
dF= (μ0 μ/4π) 2I1 I2 dl/R
(3.92).
Если токи имеют противоположные направления, то, используя
правило левой руки, можно показать, что между ними действует сила
отталкивания, определяемая формулой той же формулой.
184
Опыты показывают, что для магнитного поля, как и для
электрического, справедлив принцип суперпозиции: индукция
магнитного поля В, порождаемое несколькими токами, равно
векторной сумме полей Вi, порождаемых каждым током в
отдельности:
В =∑Вi
(3.93).
Для графического изображения магнитных полей и определения
направления вектора магнитной индукции вводится представление о
линиях магнитной индукции. Линиями магнитной индукции
называются кривые, касательные к которым в каждой точке
совпадают с направлением вектора В в этих точках поля. Линии
магнитной индукции всегда замкнуты и охватывают проводники с
токами, которые их создают. Замкнутость линий индукций является
выражением отсутствия в природе свободных магнитных зарядов.
Магнитное поле называется однородным, если векторы В во всех его
точках одинаковы. В противном случае ноле является неоднородным.
Направление линий индукции магнитного поля тока
определяется правилом Максвелла (правилом буравчика): если
ввинчивать буравчик по направлению тока в проводнике, то
направление движения рукоятки буравчика укажет направление
линий магнитной индукции (рисунок - 3.27).
С помощью потока линий магнитной индукции ФВ графически
удобно выразить величину магнитного поля в той или иной точке
пространства.
Магнитной цепью называется совокупность тел или областей
пространства, в которых сосредоточено магнитное поле. Магнитные
цепи составляют необходимую часть электрических машин и многих
электрических устройств.
Магнитный поток в магнитной цепи играет роль, аналогичную
силе тока в электрической цепи. Во всех сечениях неразветвленной
магнитной цепи магнитный поток Фт должен быть одинаковым.
Элементарный поток dФВ вектора магнитной индукции В сквозь
участок поверхности с площадью dS (рисунок - 3.28):
dФВ = В dS cos (В, n) — BndS = B dSn
(3.94),
где n — единичный вектор внешней нормали к площадке dS, Bn —
проекция вектора В на направление нормали.
185
Рисунок - 3.27
Рисунок - 3.28
Магнитный поток Фт сквозь произвольную поверхность S находится
суммированием или интегрированием всех элементарных потоков:
Фт =∫BdS cos В,n) = ∫ Вп dS = \B dS
(3.95).
Для однородного поля и плоской поверхности S, расположенной
перпендикулярно к вектору В: Вп = В = const, Фт = BS.
Теорема Остроградского—Гаусса применительно к магнитному
полю утверждает: магнитный поток сквозь произвольную замкнутую
поверхность равен нулю:
∫Вп dS = 0
(3.96).
Теорема выражает отсутствие в природе магнитных зарядов и
замкнутость линий индукции магнитного поля.
3.4.2 Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Закон
полного тока.
Циркуляцией вектора B индукции магнитного поля вдоль
замкнутого контура L называется интеграл вида
∫В dl = ∫Вl dl
(3.97),
где L — контур произвольной формы, dl — элемент длины контура в
направлении его обхода. Интегрирование распространено на всю
длину замкнутого контура.
Закон полного тока магнитного поля в вакууме: циркуляция
вектора индукции магнитного поля постоянного электрического тока
вдоль замкнутого контура пропорциональна алгебраической сумме
токов, охватываемых этим контуром:
∫В dl = ∫Вl dl = μ0∑Ik
(3.98),
где n - число всех проводников с токами, охватываемых контуром L
произвольной формы. Токи считаются положительными, если из
186
конца вектора плотности тока, направленного по оси проводника в
сторону тока, обход контура L кажется происходящим против часовой
стрелки. В противном случае токи считаются отрицательными. Токи,
которые не охватываются контуром L, не влияют на циркуляцию B.
Магнитную индукцию поля, созданного постоянным током I,
текущим по виткам бесконечно длинного соленоида, внутри этого
соленоида на его оси можно определить, применяя теорему о
циркуляции вектора индукции.
Поле соленоида и тороида. Соленоид представляет собой
провод, навитый на круглый цилиндрический каркас. Линии В поля
соленоида выглядят примерно так, как показано на рисунке - 3.31.
Пусть имеем очень длинный соленоид, длина которого l во много раз
больше, чем диаметр его витков, что обеспечивает однородность
магнитного поля внутри соленоида. по виткам которого течет ток I.
На рисунке - 3.31 представлены линии магнитной индукции внутри и
вне соленоида. Приближенно можно считать, что поле бесконечно
длинного соленоида сосредоточено целиком внутри него, а полем вне
соленоида можно пренебречь.
Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый
прямоугольный контур ABCDA, как показано на рисунке - 3.31.
Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA,
охватывающему все N витков, согласно теореме равна
∫ Вl dl=μ0NI.
ABCDA
Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех
интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур
перпендикулярен линиям магнитной индукции и Вl = 0. На участке
вне соленоида В = 0. На участке DA циркуляция вектора В равна В1
(контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,
∫ Вl dl=μ0NI.
DA
Отсюда приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри
соленоида в вакууме:
B = μ0Nl/l
(3.99).
187
Получили, что поле внутри соленоида однородно (краевыми
эффектами в областях, прилегающих к торцам соленоида, при
расчетах пренебрегают). Однако отметим, что вывод этой формулы не
совсем корректен (линии магнитной индукции замкнуты, и интеграл
по внешнему участку магнитного поля строго нулю не равен).
Корректно рассчитать поле внутри соленоида можно применяя закон
Био - Савара - Лапласа; в результате получается эта же формула.
Важное значение для практики имеет также магнитное поле
тороида — кольцевой катушки, витки которой намотаны на
сердечник, имеющий форму тора (рисунок - 3.32).
Рисунок - 3.31
Рисунок - 3.32
Магнитное поле, как показывает опыт, сосредоточено внутри
тороида, вне его поле отсутствует. Линии магнитной индукции в
данном случае, как следует из соображений симметрии, есть
окружности, центры которых расположены по оси тороида. В
качестве контура выберем одну такую окружность радиуса r. Тогда,
по теореме о циркуляции: B2πr = μ0Nl. Откуда следует, что магнитная
индукция внутри тороида (в вакууме) равна
B = μ0Nl/(2πr),
(3.100),
где N — число витков тороида. Если контур проходит вне тороида, то
токов он не охватывает и В*2πr = 0. Это означает, что поле вне
тороида отсутствует.
Другим способом расчета магнитного поля токов является
применение для этого закона Био—Савара—Лапласа.
3.4.3 Закон Био—Савара—Лапласа. Магнитное поле
прямого тока
Закон Био-Савара-Лапласа устанавливает величину и
направление вектора магнитной индукции dB в произвольной точке
магнитного поля, создаваемого элементом dl проводника с током. Био
188
и Савар провели в исследование магнитных полей, текущих по тонким
проводам
различной
формы.
Лаплас
проанализировал
экспериментальные данные, полученные Био и Саваром, и нашел, что
магнитное поле любого тока может быть вычислено как; векторная
сумма
(суперпозиция)
полей,
создаваемых
отдельными;
элементарными участками токов. Для магнитной индукции поля,
создаваемого элементом тока длины dl, Лаплас получил формулу
dB = μ0 μ [dl r]I//4πr3
(3.101),
где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом
проводника с током; μ —магнитная проницаемость; μ0-—магнитная
постоянная (μ0 = 4π*10-7 Гн/м), dl —вектор, равный по модулю длине
dl проводника и совпадающий по направлению с током (элемент
проводника); I — сила тока; r — радиус-вектор, проведенный от
середины элемента проводника, к точке, магнитная индукция в
которой определяется. Модуль вектора dB выражается формулой
dB = (μ0 μ/4π) I sinα dl /r2
(3.102),
где α — угол между векторами dl и r. Соотношение (3.102) носит
название закона Био-Савара - Лапласа.
Применим закон Био - Савара - Лапласа для вычисления поля
прямого тока, т. е. поля, создаваемого током, текущим по тонкому
прямому проводу бесконечной длины (рисунок - 3.29). Все векторы dB
в данной точке имеют одинаковое направление (в нашем случае «к
нам»). Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их
модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию,
находится на расстоянии r0 от провода. Из рис. рисунка - 3.29 видно,
что r =R/sinα, dl =rdα/sinα = R dα/ sin2α. Подставим эти значения в
формулу магнитной индукции:
dB = (μ0 μ/4π) I R sinα sin2α dα /R2 sin2α = (μ0 μ/4π) I sinα dα /R
Угол α для всех элементов бесконечного прямого тока изменяется в
пределах от 0 до π. Следовательно, B = ∫ dB = (μ0 μ/4π) I/R∫ sinα dα =
(μ0 μ/4π) 2I/R. Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого
бесконечно длинным прямым проводником с током
B = (μ0 μ/4π) 2I/R,
189
(3.103),
где R – кратчайшее расстояние от оси проводника.
Аналогичным образом можно найти магнитное поле в центре
кругового проводника с током (рисунок - 3.30). Как следует из
рисунка, все элементы кругового тока создают в центре магнитное
поле одинакового направления — вдоль нормали витка.
Рисунок - 3.29
Рисунок - 3.30
Поэтому сложение векторов dB можно заменить сложением их
модулей. Так как все элементы проводника перпендикулярны
радиусу-вектору (sin α=l) и расстояние всех элементов проводника до
центра кругового тока одинаково и равно R, то, согласно закону БиоСавара - Лапласа, dB = (μ0 μ/4π) I/R2dl. Тогда
B = ∫dB = (μ0 μ/4π) I/R2∫dl = (μ0 μ/4π) I/R22πR = μ0 μI/2R
Следовательно, магнитная индукция поля в центре кругового
проводника с током равна
B = μ0 μI/2R
(3.104).
3.4.4 Сила Лоренца Движение заряженных частиц в
электрических и магнитных полях
Магнитное поле действует на каждый участок проводника с
током I длиной dl с силой
dFA = IdlВ sinα.
(3.105).
Если вспомнить, что ток - это направленное движение заряженных
частиц, это означает, что магнитное поле действует на движущийся
заряд с определенной силой
190
Fл = q[vB]
(3.106).
Эти силы получили название сил Лоренца. Модуль силы
Лоренца мы определим, почленно разделив выражение (11.21) на N:
Fл = qvBsinα,
(3.107),
где α — угол между направлением скорости v движущегося заряда и
индукцией В магнитного поля.
Направление силы Лоренца, как и силы Ампера, определяют по
правилу левой руки: если расположить левую руку так, чтобы четыре
вытянутых пальца были направлены по движению положительного
заряда, а вектор магнитной индукции входила в ладонь, то отогнутый
под прямым углом большой палец покажет направление силы
Лоренца. Сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно индукции
магнитного поля и направлению скорости движения заряда.
Следовательно, сила Лоренца не совершает работы. Под действием
силы Лоренца модуль скорости заряда и его кинетическая энергия не
изменяются, а изменяется только направление скорости заряда.
Под действием силы Лоренца электрические заряды в
магнитном поле движутся по криволинейным траекториям.
Рассмотрим наиболее характерные случаи движения заряженных
частиц в однородном магнитном поле.
а) Если заряженная частица попадает в магнитное поле под
углом α = 0°, т.е.летит вдоль линий индукций поля, то Fл = qvBsma =
0. Такая частица будет продолжать свое движение так, как если бы
магнитного поля не было. Траектория частицы будет представлять
собой прямую линию.
б)Частица с зарядом q попадает в магнитное поле так, что
направление ее скорости v перпендикулярно индукции В магнитного
поля (рисунок - 3.34). В таком случае сила Лоренца обеспечивает
центростремительное ускорение a = v2/R и частица движется по
окружности радиусом R в плоскости, перпендикулярной линиям
индукции магнитного поля.под действием силы Лоренца: Fn = qvB
sinα, учитывая, что α = 90°, запишем уравнение движения такой
частицы: т v2/R= qvB. Здесь m — масса частицы, R – радиус
окружности по которой движется частица. Откуда можно найти
отношение e/m — называют удельным зарядом, который показывает
заряд единицы массы частицы.
с) Если заряженная частица влетает со скоростью v0 в магнитное
поле под любым углом α , то данное движение можно представить ее
191
как сложное и разложить ее на две составляющие по направлениям α
= 0 и α = 90, и тем самым свести к рассмотренным предыдущим двум
случаям: со с скоростями v┴ — перпендикулярную к В и v║ —
параллельную В (рисунок - 3.35). Модули этих составляющих равны
v┴ = v0sinα, и v║ = v0 cosα . Магнитная сила имеет модуль F = ev0sinαB,
и лежит в плоскости, перпендикулярной к В. Создаваемое этой силой
ускорение является для составляющей v┴ - нормальным.
Рисунок - 3.34
Рисунок - 3.35
Составляющая магнитной силы в направлении В равна нулю, поэтому
повлиять на величину v эта сила не может.
Таким образом, движение частицы можно представить как
наложение двух движений:
1) перемещения вдоль направления В с постоянной скоростью v
= v 0 cosa и
2) равномерного движения по окружности в плоскости,
перпендикулярной к вектору В со скоростью v┴ = v0sinα. Траектория
движения представляет собой винтовую линию, ось которой
совпадает с направлением В (рис. 72.2). Направление, в котором
закручивается траектория, зависит от знака заряда частицы. Если
заряд положителен, траектория закручивается против часовой стрелки.
Траектория, по которой движется отрицательно заряженная частица,
закручивается по часовой стрелке (предполагается, что мы смотрим на
траекторию вдоль направления В; частица при этом летит от нас.
Если имеются одновременно электрическое и магнитное поля,
сила, действующая на заряженную частицу, равна
F = qE + q[vB]
(3.108).
Это обобщенное выражение силы Лоренца при одновременном
действии
электрического
и
магнитного
полей.
Действие
электрической слагаемой силы Лоренца сводится к изменению
скорости (кинетической энергии) в соответствии c законом
сохранения энергии:
192
qU = mv2/2
(3.109).
Существование силы Лоренца, действующей на электрический
заряд, движущийся в магнитном поле, позволяет объяснить
следующее явление, которое носит название эффекта Холла. Эффект
Холла — это возникновение в металле (или полупроводнике) с током
плотностью j, помещенном в магнитное поле В, электрического поля в
направлении, перпендикулярном В и j.
Поместим металлическую пластинку с током плотностью j в
магнитное поле В, перпендикулярное j (рисунок - 3.37). При данном
направлении j скорость носителей тока в металле — электронов —
направлена справа налево. Электроны испытывают действие силы
Лоренца, которая в данном случае направлена вверх. Таким образом, у
верхнего края пластинки возникнет повышенная концентрация
электронов (он зарядится отрицательно), а у нижнего — их недостаток
(зарядится положительно). В результате этого между краями
пластинки возникнет дополнительное поперечное электрическое поле,
направленное снизу вверх ЕВ.
Когда напряженность ЕВ этого поперечного поля достигнет
такой величины, что его действие на заряды будет уравновешивать
силу Лоренца, то установится стационарное распределение зарядов в
поперечном направлении. Тогда eЕВ = e ∆φ/a = evB, или
∆φ = vBa
(3.110),
где а - ширина пластинки, ∆φ - поперечная (холловская) разность
потенциалов.
Рисунок - 3.37
Учитывая, что сила тока I = jS = nevS (S - площадь поперечного
сечения пластинки толщиной d, n — концентрация электронов, v —
средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим
193
∆φ = Ba/ nead = IB/ ned = RIB/d
(3.111),
т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо
пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно
пропорциональна толщине пластинки d. В этой формуле R=1/(en) постоянная Холла, зависящая от вещества. Постоянная Холла не
одинакова для различных металлов и, подобно проводимости, зависит
от наличия в металле примесей. Наиболее велика постоянная Холла для
теллура, висмута, сурьмы и мышьяка (для висмута она почти в 200 000
раз больше, чем для меди). Примерно для половины металлов
постоянная Холла имеет нормальный знак отрицательный, тогда как для
других металлов постоянная Холла имеет противоположный знак.
Отсюда видно, что знак постоянной К должен зависеть от знака заряда е.
Этот факт непонятен с точки зрения приведенной элементарной теории
и может быть объяснен лишь на основе квантовой механики.
По измеренному значению постоянной Холла можно:
1) определить концентрацию носителей тока в проводнике (при
известных характере проводимости и заряде носителей);
2) судить о природе проводимости полупроводников, так как
знак постоянной Холла совпадает со знаком заряда е носителей тока.
Эффект Холла поэтому наиболее эффективный метод изучения
энергетического спектра носителей
тока
в
металлах
и
полупроводниках.
Эффект Холла наблюдается только в проводниках с электронной
проводимостью. В электролитах с их ионной проводимостью заметный
эффект отсутствует. Это объясняется тем, что тяжелые ионы
приобретают гораздо меньшие скорости, чем электроны. В
полупроводниках (закись меди) постоянная R сильно возрастает с
понижением температуры, что соответствует быстрому снижению числа
свободных электронов в единице объема с понижением температуры.
Знак эффекта Холла у полупроводников позволяет судить, носит ли
проводимость полупроводника электронный или «дырочный» характер.
Для полупроводников со «смешанной» проводимостью явление носит
более сложный характер.
3.4.5 Определение удельного заряда электрона. Ускорители
заряженных частиц
Удельный заряд электрона (т. е. отношение е/т) был впервые
измерен Томсоном в 1897 г. с помощью разрядной трубки,
изображенной на рис. 74.1. Выходящий из отверстия в аноде А
электронный пучок проходил между пластинами плоского
194
конденсатора и попадал на флуоресцирующий экран, создавая на нем
светящееся пятно. Подавая напряжение на пластины конденсатора,
можно было воздействовать на пучок практически однородным
электрическим полем. Трубка помещалась между полюсами
электромагнита, с помощью которого можно было создавать
перпендикулярное к электрическому полю, однородное магнитное
поле (область этого поля обведена на рисунке - 3.36. пунктирной
окружностью). При выключенных полях, пучок попадал на экран в
точке О. Каждое из полей в отдельности, вызывало смещение пучка в
вертикальном направлении.
Рисунок - 3.36
Включение магнитного поля вызывает действие на движущийся
электрон силы Лоренца, которое искривляет траекторию движения:
evB = mv 2 /R. Отсюда, по следу на экране, можно было измерить
вызванное магнитным полем смещение пучка –R. Затем,
одновременно с магнитным полем, возбуждается между пластинами B
электростатическое поле напряженности Е и такого направления,
чтобы электрическая сила еЕ, действующая на электрон, была
направлена противоположно магнитной силе (в нашем случае
электрическая сила должна быть направлена вверх). Электрическое
поле подбиралось такой величины, чтобы пучок электронов вовсе не
испытывал отклонения, что будет иметь место при равенстве по
величине электрической и магнитной сил: eE= - evВ. Подставляя это
значение v, найдем:
е/m = E/В2R
(3.112).
Таким образом, по напряженности полей Е и В и радиусу кривизны R
был определен Дж.Дж.Томсоном удельный заряд электрона - е/m.
Действие магнитных полей на движущиеся заряды используется
также в работе ускорителей. Ускорителями заряженных частиц
называются устройства, в которых под действием электрических и
магнитных полей создаются и управляются пучки заряженных частиц с
высокими энергиями (электронов, протонов, мезонов и т.д.).
Любой ускоритель характеризуется типом ускоряемых частиц,
энергией, сообщаемой частицам, разбросом частиц по энергиям и
195
интенсивностью пучка. Ускорители делятся на непрерывные (из них
выходит равномерный по времени пучок) и импульсные (из них
частицы вылетают порциями — импульсами). Последние
характеризуются длительностью импульса. По форме траектории и
механизму ускорения частиц ускорители делятся на линейные,
циклические и индукционные. В линейных ускорителях траектории
движения частиц близки к прямым линиям, в циклических и
индукционных — траекториями являются окружности или спирали.
Рассмотрим некоторые типы ускорителей заряженных частиц.
Линейный ускоритель. Ускорение частиц осуществляется
электростатическим -полем, создаваемым, например, высоковольтным
генератором Ван-де-Граафа. Заряженная частица проходит поле
однократно: заряд Q, проходя разность потенциалов (φ1-φ2), приобретает
энергию W=Q(φ1-φ2), Таким способом частицы ускоряются до «10 МэВ.
Их дальнейшее ускорение с помощью источников постоянного
напряжения невозможно из-за утечки зарядов, пробоев и т. д.
Линейный резонансный ускоритель. Ускорение заряженных
частиц
осуществляется
переменным
электрическим
полем
сверхвысокой частоты, синхронно изменяющимся с движением
частиц. Таким способом протоны ускоряются до энергий порядка
десятков МэВ, электроны — до десятков ГэВ.
Циклотрон — циклический резонансный ускоритель тяжелых
частиц (протонов, ионов). Его принципиальная схема приведена на
рисунке - 3.38. Между полюсами сильного электромагнита
помещается вакуумная камера, в которой находятся два электрода (1 и
2) в виде полых металлических полуцилиндров, или дуантов. К
дуантам приложено переменное электрическое поле. Магнитное поле,
создаваемое электромагнитом, однородно и перпендикулярно
плоскости дуантов.
Если заряженную частицу ввести в центр зазора между
дуантами, то она, ускоряемая электрическим и отклоняемая
магнитным полями, войдя в дуант 1, опишет полуокружность, радиус
которой пропорционален скорости частицы.
К моменту ее выхода из дуанта 1 полярность напряжения
изменяется (при соответствующем подборе изменения напряжения
между дуантами), поэтому частица вновь ускоряется и, переходя в
дуант 2, описывает там уже полуокружность большего радиуса и т. д.
Для непрерывного ускорения частицы в циклотроне необходимо
выполнить условие синхронизма (условие «резонанса») — периоды
вращения частицы в магнитном поле и колебаний электрического поля
должны быть равны. При выполнении этого условия частица будет
196
двигаться по раскручивающейся спирали, получая при каждом
прохождении через зазор дополнительную энергию. На последнем
витке, когда энергия
Рисунок - 3.38
частиц и радиус орбиты доведены до максимально допустимых
значений, пучок частиц посредством отклоняющего электрического
поля выводится из циклотрона. Циклотроны позволяют ускорять
протоны до энергий примерно 20 МэВ. Дальнейшее их ускорение в
циклотроне ограничивается релятивистским возрастанием массы со
скоростью. Это приводит к увеличению периода обращения он
пропорционален массе), и синхронизм нарушается. Поэтому
циклотрон совершенно неприменим для ускорения электронов (при Е
= 0,5 МэВ m = 2m0, при Е=10 МэВ т = 28т0).
Ускорение релятивистских частиц в циклических ускорителях
можно, однако, осуществить, если применять предложенный в 1944 г.
советским физиком В. И. Векслером (1907—1966) и в 1945 г.
американским физиком Э. Мак-Милланом принцип автофазировки.
Его идея заключается в том, что для компенсации увеличения периода
вращения частиц, ведущего к нарушению синхронизма, изменяют либо
частоту ускоряющего электрического, либо индукцию магнитного
полей, либо то и другое. Принцип автофазировки используется в
фазотроне, синхротроне и синхрофазотроне.
Фазотрон (синхроциклотрон) — циклический резонансный
ускоритель тяжелых заряженных частиц (например, протонов, ионов,
a-частиц), в котором управляющее магнитное поле постоянно, а
частота ускоряющего электрического поля медленно изменяется с
периодом. Движение частиц в фазотроне, как и в циклотроне,
происходит по раскручивающейся спирали. Частицы в фазотроне
ускоряются до энергий, примерно равных 1 ГэВ (ограничения здесь
определяются размерами фазотрона, так как с ростом скорости частиц
растет радиус их орбиты).
197
Синхротрон — циклический резонансный
ускоритель
ультрарелятивистских электронов, в котором управляющее магнитное
поле изменяется во времени, а частота ускоряющего электрического
поля постоянна. Электроны в синхротроне ускоряются до энергий 5—
10 ГэВ.
Синхрофазотрон — циклический резонансный ускоритель
тяжелых заряженных частиц (протонов, ионов), в которых
объединяются свойства фазотрона и синхротрона. В них управляющее
магнитное поле и частота ускоряющего электрического поля
одновременно изменяются во времени так, чтобы радиус равновесной
орбиты частиц оставался постоянным. Протоны ускоряются в
синхрофазотроне до энергий 500 ГэВ.
Бетатрон — циклический индукционный ускоритель электронов,
в котором ускорение осуществляется вихревым электрическим полем,
индуцируемым переменным магнитным полем, удерживающим
электроны на круговой орбите. В бетатроне в отличие от
рассмотренных выше ускорителей не существует проблемы
синхронизации. Электроны в бетатроне ускоряются до энергий 100
МэВ. При W> 100 МэВ режим ускорения в бетатроне нарушается
электромагнитным излучением электронов. Особенно распространены
бетатроны на энергии 20—50 МэВ.
3.5 Магнитные свойства вещества
3.5.1 Магнетики. Магнитные свойства веществ
В предыдущей главе предполагалось, что провода, по которым
текут токи, создающие магнитное поле, находятся в вакууме. Если
несущие ток провода находятся в какой-либо среде, магнитное поле
изменяется. Это объясняется тем, что всякое вещество является
магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля приобретать
магнитный момент (намагничиваться). Намагниченное вещество
создает магнитное поле В', которое накладывается на обусловленное
токами поле В0. Оба поля в сумме дают результирующее поле
В=В0 + В'
(3.113).
Это явление было впервые обнаружено Ампером, который
обнаружил, что внесение железного сердечника в соленоид
равносильно увеличению числа ампер-витков этого соленоида.
Впоследствии было установлено, что индукция В магнитного поля в
веществе может быть и больше и меньше, чем индукция B0 того же
198
поля в вакууме. Происходит это потому, что каждое вещество в
большей или меньшей степени обладает своими магнитными В'.
Вещества, способные изменять параметры магнитного поля,
принято называть магнетиками. Для характеристики магнитных
свойств веществ введена величина μ = B/B0, называемая магнитной
проницаемостью этого вещества. По значению магнитной
проницаемости все магнетики делятся на три группы.
а) Поскольку внутреннее магнитное поле в диамагнетике
направлено
против
внешнего
поля,
модуль
индукции
результирующего поля в диамагнетике меньше, чем модуль индукции
поля в вакууме, т. е. В<В0. Поэтому вещества, у которых μ<.l,
называют диамагнетиками.К ним относятся, например, элементы Bi,
Cu, Ag, Au, Hg, Be, CI,инертные газы и другие вещества. Магнитная
проницаемость μ диамагнетика не зависит от индукции В0 внешнего
магнитного поля.
б) Парамагнитные вещества состоят из атомов, в которых
орбитальные магнитные моменты электронов не скомпенсированы.
Поэтому атомы диамагнетика имеют отличные от нуля магнитные
моменты. Однако при отсутствии внешнего магнитного поля тепловое
движение атомов приводит к хаотическому расположению их
магнитных моментов, вследствие чего любой объем парамагнетика в
целом магнитным моментом не обладает.
При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле его
атомы в большей или меньшей степени (в зависимости от индукции
этого поля) располагаются так, что их магнитные моменты
ориентируются по направлению внешнего поля. В результате в
парамагнетике возникает внутреннее магнитное поле, индукция
которого В совпадает по направлению с индукцией В„ внешнего поля.
Поэтому модуль индукции В результирующего магнитного поля в
парамагнетике больше, чем модуль индукции В0 поля в вакууме, т. е.
В>В0. Поэтому парамагнетиками называют вещества, у которых
μ>1. К ним, в частности, относятся Na, Mg, К, Са, Al, Mn, Pt, кислород
и многие другие элементы, а также растворы некоторых солей.
Магнитная проницаемость μ парамагнетика, так же как и
диамагнетика, не зависит от индукции В0 внешнего магнитного поля.
Следует отметить, что значение μ у диа- и парамагнетиков
отличается от единицы очень мало, всего на величину порядка 10-5—
Ю-6, поэтому диа- и парамагнетики относятся к слабомагнитным
веществам.
в) В отличие от диа- и парамагнетиков, у которых магнитные
свойства определяются орбитальными магнитными моментами
199
атомных электронов, магнитные свойства ферромагнетиков
обусловлены спиновыми магнитными моментами электронов.
Ферромагнитные вещества (всегда имеющие кристаллическую
структуру) состоят из атомов, в которых не у всех электронов
спиновые магнитные моменты взаимно скомпенсированы.
В ферромагнетике существуют области самопроизвольного
(спонтанного) намагничения, которые называют доменами. (Размер
доменов порядка 10-4 — 10-7 м.) В каждом домене спиновые магнитные
моменты атомных электронов имеют одинаковую ориентацию,
вследствие чего домен оказывается намагниченным до состояния
насыщения. Поскольку при отсутствии внешнего магнитного поля
магнитные
моменты
доменов
ориентированы
хаотически,
ферромагнитный образец в таких условиях в целом не намагничен.
Под действием внешнего магнитного поля происходит
ориентация магнитных моментов доменов по направлению этого поля.
В результате в ферромагнетике возникает сильное внутреннее
магнитное поле с магнитной индукцией В', совпадающей по
направлению с магнитной индукцией внешнего поля В0. Поэтому
модуль индукции В результирующего магнитного поля в
ферромагнетике много больше, поле в вакууме, т. е. В»В0. Когда все
магнитные моменты доменов под действием внешнего магнитного
поля будут ориентированы по полю, наступает насыщение
ферромагнитного образца.
По достижении определенных для каждого вещества
температурных точках, называемых точкой Кюри выше, доменная
структура разрушается, и ферромагнетик теряет присущие ему
свойства.
Таким образом, вещества, у которых μ»1, называют
ферромагнетиками. К ним относятся элементы Fe, Co, Ni, Gd и
многие сплавы. Во внешнем магнитном поле ферромагнитный
образец ведет себя подобно парамагнетику. Однако магнитная
проницаемость μ ферромагнетика зависит от напряженности Н
внешнего магнитного поля и изменяется в довольно широких
пределах, вследствие чего зависимость В = f(H) является нелинейной.
Значения μ у некоторых сплавов достигают десятков тысяч. Поэтому
ферромагнетики относятся к сильномагнитным веществам.
Для каждого ферромагнетика существует определенная
температура, называемая точкой Кюри, при нагревании выше
которой данное вещество теряет ферромагнитные свойства и
превращается в парамагнетик. Например, для Fe точка Кюри равна
1043 К, а для Ni - 631 К.
200
Для объяснения процесса намагничения тел Ампер
предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи
(молекулярные токи). Каждый такой ток обладает магнитным
моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле. В
отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы
беспорядочным образом, вследствие чего обусловленное ими
результирующее поле равно нулю. В силу хаотической ориентации
магнитных моментов отдельных молекул суммарный магнитный
момент тела также равен нулю. Под действием поля магнитные
моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в
одном направлении, вследствие чего магнетик намагничивается — его
суммарный магнитный момент становится отличным от нуля.
Магнитные поля отдельных молекулярных токов в этом случае уже не
компенсируют друг друга и возникает поле В'. Намагничение
магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы
объема. Эту величину называют намагниченностью и обозначают
буквой J. Намагниченность принято связывать не с магнитной
индукцией, а с напряженностью поля. Полагают, что в каждой точке
J = χH
(3.114),
где χ — характерная для данного магнетика величина, называемая
магнитной восприимчивостью. Опыт показывает, что для
слабомагнитных (неферромагнитных) веществ, при не слишком
сильных полях, χ не зависит от Н. С магнитной проницаемостью они
связаны следующим образом:
μ= 1+χ.
(3.115).
В отличие от диэлектрической восприимчивости, которая может
иметь лишь положительные значения (поляризованность Р в
изотропном диэлектрике всегда направлена по полю Е), магнитная
восприимчивость χ бывает как положительной, так и отрицательной.
Поэтому магнитная проницаемость μ может быть как больше, так и
меньше единицы.
Намагниченность слабомагнитных веществ изменяется с
напряженностью поля линейно. Намагниченность ферромагнетиков з,
висит от Н сложным образом. На рисунке - 3.39 дана кривая
намагничения ферромагнетика, магнитный момент которого
первоначально, был равен нулю. Уже в полях порядка нескольких
эрстед (~100 А/м) намагниченность J достигает насыщения. Основная
201
кривая намагничения на диаграмме В — Н приведена рис. 59.2 (кривая
0—1). По достижении насыщения В продолжает расти с Н по линейно
закону. Если довести намагничение до насыщения (точка 1 на рисунке
- 3.40) и затем уменьшать напряженность магнитного поля, то
индукция В следует не по первоначальной кривой 0—1, а изменяется в
соответствии с кривой 1—2. В результате, когда напряженность
внешнего поля станет равной нулю (точка 2), намагничение не исчезает
и характеризуется величиной Вr, которая называется остаточной
индукцией. Намагниченность имеет при этом значение Jr, называемое
остаточной намагниченностью.
Рисунок - 3.39
Рисунок - 3.40
Индукция В обращается в нуль лишь под действием поля Нс,
имеющего направление, противоположное полю, вызвавшему
намагничение. Напряженность Нс называется коэрцитивной силой.
Существование остаточной намагниченности делает возможным
изготовление постоянных магнитов, т. е. тел, которые без затраты
энергии на поддержание макроскопических токов обладают
магнитным моментом и создают в окружающем их пространстве
магнитное поле. Постоянный магнит тем лучше сохраняет свои
свойства, чем больше коэрцитивная сила материала, из которого он
изготовлен.
При действии на ферромагнетик переменного магнитного поля
индукция изменяется в соответствии с кривой /—2—3—4—5—1
(рисунок - 3.40), которая называется петлей гистерезиса (аналогичная
петля получается и на диаграмме J—H). Если максимальные значения
Н таковы, что намагниченность достигает насыщения, получается так
называемая максимальная петля гистерезиса (сплошная петля на
рисунок - 3.40). Если при амплитудных значениях Н насыщение не
достигается, получается петля, называемая частным циклом
(пунктирна петля на рисунке). Частных циклов существует
бесконечное множество, все они лежат внутри максимальной петли
гистерезис. Гистерезис приводит к тому, что намагничение
202
ферромагнетика не является однозначной функцией Н, оно в сильной
мере завис от предыстории образца — от того, в каких полях он
побыл прежде.
В связи с неоднозначностью зависимости В от Н понятие
магнитной проницаемости применяется лишь к основной кривой
намагничения. Магнитнная проницаемость ферромагнетиков μ,
следовательно, и магнитная восприимчивость χ является функцией
напряженности поля. На рисунке - 3.41,а изображена основная кривая
намагничения. (ведем из начала координат прямую линию,
проходящую через произвольно точку кривой. Тангенс угла наклона :
прямой пропорционален отношению В/Н, т. е. магнитной
проницаемости μ, для соответствующего значения напряженности Н.
При увеличении Н от нуля угол наклона (а значит и μ) сначала растет.
В точке 2 он достигает максимума (прямая О является касательной к
кривой), а затем убывает. На рисунке - 3.41,б дан график зависимости
μ от Н. Из рисунка видно, что максимальное значение проницаемости
достигается несколько раньше насыщения. При неограниченном
возрастании Н проницаемо асимптотически приближается к единице.
Это следует из того, / в выражении μ = 1 - J/H не может превысить
значения 1.
Рисунок - 3.41
Величины Вr (или Jr), Нс и μ являются основными
характеристиками ферромагнетика. Если коэрцитивная сила Нс имеет
большую величину ферромагнетик называется жестким. Для него
характерно широкая петля гистерезиса. Ферромагнетик с малой Нс (и
соответственно узкой петлей гистерезиса) называется мягким. В
зависимости от назначения берутся ферромагнетики с той или иной
характеристикой. Так, для постоянных магнитов употреблял жесткие
ферромагнетики, а для сердечников трансформаторов мягкие.
203
Наличие точки Кюри у ферромагенитков можно понять, учитывая, что
атомы участвуют в тепловом движении: пока температура небольшая,
атомы сохраняют параллельную ориентацию своих магнитных
моментов в пределах доменов. Но при увеличении температуры
увеличиваются и тепловое движение Когда вещество достигает
определенного для данного вещества температуры, тепловое
движение разрушает эту ориентацию – домен исчезает. Далее
ферромагенитик ведет себя как парамагнетик.
Основы теории ферромагнетизма были созданы Я. И.
Френкелем и В. Гейзенбергом в 1928 г. В наше время магнетики, их
магнитные свойства широко используются в науке и технике.
3.5.2 Постоянные магниты
Возможность иметь в ферромагнитных веществах остаточное
намагничение позволяет осуществить постоянные магниты, т. е.
такие тела, которые без поддержания в них электрического тока за
счет каких-либо внешних источников возбуждают в окружающем
пространстве магнитное поле. Постоянные магниты готовятся из
ферромагнетиков с большим остаточным намагничением и большой
коэрцитивной силой.
Поле прямого магнита имеет сходство с полем соленоида
(рисунок - 3.42). Линии напряженности нам кажутся выходящими из
одного конца магнита, называемого северным, и входящими в его
другой конец (южный). Разница между магнитом и соленоидом
заключается лишь в том, что в случае соленоида мы можем
проследить ход линий напряженности и внутри самого соленоида и
убедиться, что каждая линия образует замкнутую кривую. В случае
постоянного магнита мы не можем непосредственно установить ход
линий напряженности внутри тела магнита.
Рисунок - 3.42
Поле постоянного магнита в отличие от поля соленоида или
тока вообще является не вихревым, а потенциальным, подобным
электростатическому полю электрического заряда. Циркуляция
вектора напряженности магнитного поля постоянного магнита равна
204
нулю, как и циркуляция вектора напряженности кулоновского
электростатического поля. Силовые линии внутри постоянного
магнита направлены, так же как и вне его, от северного полюса к
южному (рисунок - 3.43). Поле постоянного магнита представляет
собой поле диполя.
Любой ферромагнетик, будучи помещен в магнитное поле,
намагничивается в той или иной степени и становится магнитом с
двумя полюсами. Если магнитное поле создано током, например
током в соленоиде, то оно является вихревым, намагниченные этим
полем ферромагнетики создают поле, которое можно считать
потенциальным, поэтому результирующее поле носит смешанный
характер. На рисунке - 343, а, б, в показаны поля постоянного
магнита, соленоида и соленоида с ферромагнитным сердечником.
Качество материала для постоянного магнита определяется его
остаточной индукцией я коэрцитивной силой. Так как постоянные
магниты всегда используются для создания внешнего магнитного
поля, они не могут быть замкнутыми, поэтому в них существует
размагничивающее поле, уменьшающее остаточную индукцию.
Наилучшими материалами для постоянных магнитов являются
такие, у которых спинка петли гистерезиса имеет форму, близкую к
прямоугольной. Большая коэрцитивная сила необходима для того,
чтобы магнит был устойчив к случайным внешним магнитным полям.
Для повышения устойчивости магнита его подвергают так
называемому старению, которое заключается в том, что магнит
подвергается воздействию переменного магнитного поля небольшой
частоты и амплитуды или нагреванию до 100° С. При этом его
остаточная индукция Bd несколько уменьшается, но в дальнейшем она
почти не меняется.
Рисунок - 3.43
Среда, магнит, токи находятся в сложном взаимодействии между
собой.
205
а) Взаимодействие магнитных полюсов. Возьмем два
постоянных магнита; допустим, что длина каждого из них так велика,
что можно пренебречь действием второго полюса и рассматривать
взаимодействие этих магнитов как взаимодействие уединенных
магнитных полюсов. Взаимодействие таких полюсов, при помещении
магнитов в среду с магнитной проницаемостью μ, уменьшается в μ
раз.
б) Взаимодействие токов. Оно определяется формулой Ампера.
Сила взаимодействия зависит от магнитной проницаемости среды,
увеличиваясь при помещении токов в сплошной однородный
магнетик в μ раз.
в) Действие тока на магнит. Рассмотрим действие тока на
магнит, которые находятся в магнитной среде с проницаемостью μ.
Действие тока на магнит определяется полем тока В, которое от среды
не зависит, и полем В′ которое создается магнитной средой внутри
магнита. Если магнит намагничен до насыщения, то внутри его
проницаемость μ. стремится к единице. Если при этом магнит
длинный и ориентирован по полю, то ввиду отсутствия в этом случае
собственного размагничивающего поля напряженность поля внутри
магнита будет такая же, как и в вакууме, следовательно, действие тока
на магнит в данном случае не зависит от среды. Если магнит не
бесконечной длины, то в нем существует размагничивающее поле В0,
и тогда поле в нем не равно полю в вакууме и действие тока на такой
магнит будет сложным образом зависеть от формы магнита. То же
будет и в том случае, когда магнит намагничен не до насыщения.
Проницаемость вещества магнита больше единицы, поэтому
внутреннее поле В′ определяется магнитными свойствами как среды,
так и самого магнита; простого общего закона взаимодействия в этом
случае дать нельзя.
г) Действие магнита на ток. В вакууме это действие
определяется формулой F = IBl sin a, так как μ = 1; при заполнении
пространства однородным магнетиком индукция В увеличивается в μ
раз, но напряженность поля, созданного полюсом постоянного
магнита, уменьшается в μ раз, следовательно, сила действия магнита
на ток останется неизменной: действие магнита на ток не зависит от
среды.
Возможности магнетиков, явления связанные с ними, имеют
широкое
применение
в
науке
и
технике.
Наиболее
распространенными такими устройствами, являются моторы и
генераторы различных конструкций.
206
Генераторы представляют собой машины, служащие.для
получения токов путем использования явления электромагнитной
индукции. Простейшей такой машиной переменного тока является
рамка, образованная одним витком провода, вращающаяся в поле
постоянного магнита. На практике пользуются, конечно, не одной
рамкой, а значительным числом витков провода, намотанных на
барабан (ротор). В технике также употребляются машины с
неподвижными обмотками и электромагнитами вместо постоянных
магнитов. Схема такой машины представлена на рисунке - 3.44.
Катушки, в которых индуцируется ток, намотаны на выступы А1, A2,
A3,
железного сердечника. Сердечник намагничивается током,
текущим по обмоткам C1, C2, С3, от небольшого постороннего
источника тока В. Вращающаяся часть машины (ротор) имеет вид
кольца с зубцами D1, D2, D3 При вращении ротора зубцы
перемещаются относительно выступов А1, A2, A3, и таким образом то
более, то менее замыкают магнитную цепь между соседними
выступами. В результате меняется поток магнитной индукции через
катушки, намотанные на выступы А1, A2, и в них индуцируется ток.
Наряду с указанными генераторами переменного тока возможно
построение генераторов постоянного тока. Если концы
вращающейся рамки соединить с двумя изолированными друг от
друга полукольцами (коллектором) (рисунок - 3.45), то щетки а и в
будут попеременно касаться то одного, то другого полукольца, и во
внешней цепи потечет ток все время в одном направлении, лишь
меняющий свою силу. Употребляя вместо одной рамки систему
обмоток, концы которых присоединены к отдельным секциям
сложного коллектора, можно получить постоянный ток, сила которого
лишь слегка пульсировать со временем. Магнитное поле во всех
сколько-нибудь значительных по размеру генераторе постоянного
тока создается электромагнитом, причем обычно используется так
называемый принцип самовозбуждения, сводящийся к тому, что
электромагнит питается током, возбуждаемым в самой генераторе.
Рисунок - 3.44
Рисунок - 3.45
207
Современные генераторы и электромоторы представляют собой
машины с весьма высоким к. п. д., достигающим для больших машин
95°/0. Неизбежные вредные потери на трение, джоулево тепло, токи
Фуко и гистерезис удается снизить до 5%.
Для многих технических и лабораторных целей бывает
необходимо иметь более высокие э. д. с, чтобы передавать
электрическую энергию на дальние расстояния.
В случае переменного тока повышение э. д.с. (или, как говорят в
технике, „напряжения") легко осуществляется с помощью
повышающих трансформаторов. Трансформатор в простейшем виде
(рисунок - 3.46) состоит из двух обмоток, намотанных на общий
замкнутый железный сердечник. Первичная обмотка А1 состоит из
небольшого числа витков толстого провода, вторичная обмотка А2,—
из большого числа витков более тонкого провода. Первичный ток,
проходящий через обмотку I1, создает переменный поток магнитной
индукции Ф1, который целиком сосредоточен лишь внутри сердечника
и, следовательно, практически полностью пронизывает витки
вторичной обмотки.
При разомкнутой вторичной обмотке первичная обмотка
является частью цепи с некоторым омическим и индуктивным
сопротивлением. Если считать омическое сопротивление столь малым,
что его ролью можно пренебречь, то э д. с. εi действующая в
первичной обмотке, численно равна и противоположна по знаку
возникающей в ней э. д. с. самоиндукции εsi :ε1 = - εsi. В каждом витке
первичной обмотки возникает э. д. с. самоиндукции, равная — - dФ/dt,
откуда εsi = - N1 dФ/dt, где N1— число витков первичной обмотки.
Отсюда для э. д. с. ε1, действующей в первичной обмотке, получаем:
ε1 = N1 dФ/dt
(3.116).
Так как тот же поток Ф пронизывает вторичную обмотку, то в
каждом ее витке возникает э. д. с. индукции — dФ/dt , всего во
вторичной обмотке возникает э. д. с. ε2: ε2 = N2 dФ/dt, где N2 — число
витков во вторичной обмотке. Сравнивая выражения два последних
выражения, получим, что э. д. с. индукции, возникающая во
вторичной обмотке, равна:
ε2 = -(N2/N1) ε1
(3.117).
Таким образом, трансформатор повышает э. д. с. в отношении
числа витков вторичной обмотки к числу витков в первичной обмотке.
208
Знак минус указывает, что э. д. с. в первичной и вторичной обмотках
противоположны по фазе.
Обычно у трансформаторов, при разомкнутой вторичной
обмотке, коэффициент самоиндукции первичной обмотки велик. Это
ведет к большому значению индуктивного сопротивления первичной
обмотки. Благодаря этому при разомкнутой вторичной обмотке, ток It
в первичной обмотке слаб. Значение этого тока носит название
холостого тока. При замыкании вторичной цепи в ней индуцируется
ток, создающий свое магнитное поле, компенсирующее, по правилу
Ленца, магнитное поле первичной обмотки. Это ведет к уменьшению
индуктивного сопротивления первичной обмотки и возрастанию тока
/1 Таким образом, мощность потребляемая в первичной цепи, зависит
от мощности, которая берется во вторичной цепи.
Вредные потери в трансформаторе идут на выделение ленцджоулева тепла в обмотках, на утечку линий магнитной индукции, на
токи Фуко в сердечнике и на работу перемагничения, обусловленную
гистерезисом сердечника. Для уменьшения роли двух последних
причин сердечники трансформаторов делают из наиболее мягких
сортов железа и притом из отдельных полос листового железа,
разделенных изолирующими слоями. В больших современных
трансформаторах потери удается снизить до 2% от общей мощности,
и, таким образом, их к. п. д. достигает 98%.
Всякий трансформатор, работающий как повышающий, может
быть использован и как понижающий трансформатор, для чего
нужно первичный ток пускать через более тонкую обмотку с большим
числом витков. Тогда в другой обмотке возникает такой ток, что сила
тока будет больше, а э. д. с. меньше, чем в первой обмотке. Обычно
ток высокого „напряжения", переданный по проводам от станции, у
потребителя снова понижается с помощью понижающего
трансформатора до более низкого «напряжения».
Кроме указанных технических применений, трансформаторы
находят широкое применение в лабораторной технике (как
повышающие, так и понижающие). В зависимости от предъявляемых
требований, лабораторным трансформаторам придают весьма
различную конструкцию. Для получения высоких э. д. с, при
небольших мощностях, пользуются так называемой индукционной
катушкой. Она состоит из двух цилиндрических соленоидов, надетых
на общий железный незамкнутый сердечник (рисунок - 3.47).
Первичной обмоткой является обмотка внутреннего соленоида AAlt
делаемая из сравнительно небольшого числа витков толстой
проволоки. Вторичной обмоткой служит обмотка внешнего соленоида
209
DDU делаемая из весьма большого числа витков очень тонкой
проволоки. Обычно первичную обмотку питают от источника
постоянного тока, например от батареи аккумуляторов В. Для того
чтобы первичная обмотка создавала переменное магнитное поле, ток в
ней периодически прерывают и замыкают. Замыкание и размыкание
производится с помощью автоматического прерывателя.
Рисунок - 3.46
Рисунок - 3.47
Простейшим прерывателем является молоточек, который
состоит из пружинки с железной насадкой k (рисунок – 3.47). Когда
ток начинает идти по первичной обмотке, сердечник катушки
намагничивается и притягивает к себе пружину. В результате цепь
размыкается в месте контакта между пружинкой k и штифтом а.
Чтобы при разрыве контакта не образовывалась интенсивная искра,
между k и а включается конденсатор С. Тогда ток от батареи В, при
разрыве цепи, идет на заряжение конденсатора, и искра не образуется.
Ток в первичной обмотке, прерываемый молоточком или другим
механическим приспособлением, не является синусоидальным
переменным током.
Если вторичную обмотку замкнуть накоротко, то в ней пойдет
переменный ток несимметричной формы, но количества
электричества, переносимые в обоих направлениях, будут одинаковы.
Если же во вторичной цепи оставить значительный искровой
промежуток, то э. д. с, возникающая при замыкании, может оказаться
недостаточной для пробоя. Тогда, искра возникает лишь при
размыканиях первичной цепи, и во вторичной цепи будет идти
прерывистый ток, но каждый раз одного направления.
Благодаря удобству генерирования и передачи переменные токи
получили исключительно широкое техническое применение. Однако
для потребления во многих случаях нужен постоянный ток, поэтому
современная
техника
пользуется
различными
приемами
выпрямления переменного тока. Пользуясь трансформатором и
двумя выпрямителями, можно произвести эффективное выпрямление
переменного тока. На рисунке - 3.48 A1 представляет собой первичную
210
обмотку трансформатора, включенного в цепь переменного тока, А2 —
его вторичную обмотку. Два выпрямителя 1 и 2 присоединены к
концам вторичной обмотки. От средней части вторичной обмотки
сделан отвод bа. Тогда в одну половину периода переменного тока
работает часть С1b вторичной обмотки, и ток проходит через
выпрямитель 1. Во вторую половину периода работает часть обмотки
C2b, и ток проходит через выпрямитель 2. В участке цепи аb ток идет
все время одного направления.
Рисунок - 3.48
Для
измерения
переменных
токов
непригодны
магнитоэлектрические приборы с подвижной рамкой, так как
направление поворота рамки меняется с изменением направления
тока.
Для
измерения
переменных
токов
пригодны
электродинамические
приборы
с
двумя
катушками
и
электромагнитные приборы, в которых в катушку втягивается кусок
железа. В последних приборах втягиваемый стерженек должен
изготовляться из сорта железа, обладающего возможно малым
гистерезисом. Кроме того, переменные токи могут измеряться с
помощью так называемых индукционных (электродинамических)
приборов. Принцип действия этих приборов следующий (рисунок 3.49): переменный ток, сила которого измеряется, проходит по
обмотке Ф электромагнита и возбуждает между его полюсами
переменное магнитное поле. Подвижная часть прибора D
представляет собою пластинку, расположенную, по отношению к
этому переменному магнитному полю так, что она лишь частично
экранирует ноле. В пластинке возникают индукционные токи Фуко,
на которые магнитное поле действует с силами, стремящимися
выдвинуть пластинку из пределов поля. В результате пластинка
поворачивается и поворачивает соединенную с ней стрелку.
Постоянный магнит М служит для успокоения колебания пластинки.
Наконец, переменные токи можно измерять и с помощью
магнитоэлектрических приборов с подвижной рамкой, если к ним
добавить выпрямители. Для этой цели обычно применяются твердые
выпрямители (купроксы). На рисунке - 3.50 представлена схема
включения амперметра А в цепь переменного тока с помощью
211
четырех купроксов а, Ь, с, d, обеспечивающих прохождение тока через
амперметр А в одном направлении.
Рисунок - 3.49
Рисунок - 3.50
Сопротивление R и самоиндукция L играют роль шунта.
3.6 Электромагнитная индукция
3.6.1 Явления электромагнитной индукции. Закон Фарадея.
Токи Фуко
Индукцию электрических токов пытались обнаружить после
установления А. Ампером основных электродинамических законов.
Однако только в 1831 г. М. Фарадею после многочисленных опытов
удалось открыть явление электромагнитной индукции. Оказалось, что
в отличие от электростатической индукции, где заряд даже в случае
неподвижных проводников вызывает появление индуцированных
зарядов на соседних проводниках, индукция токов наблюдается
только при движении проводников с током или других источников
магнитного поля, а также при изменении тока в проводнике.
Основные опыты Фарадея заключались в следующем:
1-й опыт. Концы катушки присоединяются к гальванометру,
затем внутрь катушки достаточно быстро вставляется постоянный
магнит (рисунке - 3.51,а). В момент перемещения магнита и
приемного контура гальванометр показывает отброс стрелки.
Направления отклонения стрелки при вдвигании и выдвигании
магнита противоположны. Отброс стрелки тем больше, чем быстрее
двигается магнит.
2-й опыт. Одна катушка помещается внутри другой. Концы
одной из катушек присоединяются к гальванометру, через вторую
катушку пропускается ток. В момент включения или выключения
тока, увеличения или уменьшения его, производимого с помощью
реостата или при движении катушек одной относительно другой
(рисунок - 3.51,б), наблюдается отброс стрелки гальванометра. При
включении тока, его увеличении или сближении катушек, стрелка
212
отклоняется в одну сторону, при выключении тока, уменьшении его
или удалении катушек, стрелка отклоняется в другую сторону.
Рисунок - 3.51
3-й опыт. Катушка изготовляется из нескольких десятков
витков мягкой проволоки. Сжимая или растягивая катушку, можно
изменять ее площадь. Если перед катушкой поместить магнит, концы
катушки присоединить к гальванометру, то при сжатии или
растяжении катушки (изменении ее площади) гальванометр покажет
наличие токов противоположных направлений. Данный эффект
хорошо проявляется в опыте, схема которого представлена на рисунке
- 3.52. Приемный контур в виде рамки, замкнутой на гальванометр,
помещают в однородное магнитное поле. Если рамка движется
поступательно, не пересекая линий магнитной индукции (рисунок 3.52, а), индукционный ток в ней не возникает. Если же рамка
вращается, пересекая линии индукции (рисунок - 3.52, 6), в ней
возникает индукционный ток.
Из этих опытов Фарадей заключил, что индукционный ток
возникает тогда, когда проводник пересекается магнитными силовыми
линиями. Во всех экспериментах 1, 2 и 3 происходит изменение
магнитного потока охватываемого приемным контуром. При этом в
приемном контуре возникает индукционный ток, который существует
все время, пока изменяется магнитный поток. Известно, что условием
существования электрического тока в замкнутой цепи является
наличие в этой цепи электродвижущей силы (э.д.с.). Возникающая при
изменении магнитного потока, э.д.с., получила название э.д.с.
индукции.
Следовательно,
при
изменении
магнитного
потока,
охватываемого контуром проводника, в замкнутом контуре возникает
э.д.с. индукции, которая создает в нем индукционный ток,
продолжающийся все время, пока изменяется магнитный поток. Это
явление называют электромагнитной индукцией.
213
Рисунок - 3.52
Установленная зависимость количественно замерялась с
помощью отброса стрелки гальванометра и позволила установить
зависимость между электродвижущей силой εi, индуцированной в
катушке, и скоростью пересечения проводника магнитными силовыми
линиями в таком виде
εi = - dФ/dt
(3.118).
Следовательно, э.д.с. индукции пропорциональна первой
производной от магнитного потока по времени и выражает собой
основной закон электромагнитной индукции Фарадея. Знак минус в
этих формулах ставят согласно правилу Ленца: индукционный ток
всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его
вызывающей. Направление индукционного тока в этом проводнике
определяется с помощью правила правой руки: если расположить
правую руку так, чтобы линии индукции магнитного поля входили в
ладонь, а отогнутый под прямым углом большой палец совпадал с
направлением движения проводника, то четыре вытянутых пальца
покажут направление индукционного тока.
Электрический ток, текущий в любом контуре, создает
пронизывающий этот контур магнитный поток Ψ. При изменениях I
изменяется также и Ψ, вследствие чего в самом же контуре
индуцируется э. д. с. Это явление называется самоиндукцией. В
соответствии с законом Био — Савара- Лапласа магнитная индукция В
пропорциональна силе тока, вызвавшего поле. Отсюда вытекает, что
ток / в контуре и создаваемый им полный магнитный поток Ψ через
контур пропорциональны друг другу:
Ψ = LI
(3.119).
Коэффициент пропорциональности L между силой тока и
полным магнитным потоком называется индуктивностью контура.
214
Индуктивность L зависит от геометрии контура (т. е. его формы и
размеров), а также от магнитных свойств (от μ) окружающей контур
среды. Вычислим индуктивность соленоида. Возьмем соленоид такой
длины, чтобы его можно было практически считать бесконечным. При
протекании по нему тока I внутри соленоида возбуждается
однородное поле, индукция которого равна В — р,0ил/ Поток через
каждый из витков равен Ψ = BS, а полный магнитный поток,
сцепленный с соленоидом,
Ψ = NФ = nlBS = μ0μn2lSI
(3.120),
где l —длина соленоида (которая предполагается очень большой), S
— площадь поперечного сечения, п — число витков на единицу
длины (произведение nl дает полное число витков N). Индуктивность
очень длинного соленоида будет иметь выражение
L = μ0μn2lS= μ0μn2V,
(3.121),
где V = lS — объем соленоида. При изменениях силы тока в контуре
возникает э.д. с. самоиндукции Ss, равная
εsi = - dΨ/dt = d(LI)dt = - LdI/dt
(3.122).
Возьмем два контура 1 и 2, расположенные близко друг к другу
(рисунок - 3.53). Если в контуре 1 течет ток силы I1 он создает через
контур 2 пропорциональный I1 полный магнитный поток Ψ2 =L21I1
(поле, создающее этот поток, изображено на рисунке сплошными
линиями). При изменениях тока I2 в контуре 2 индуцируется э. д. с.
εs2 =- L21dI1/dt
(3.123).
Аналогично, при протекании в контуре 2 тока силой I2 возникает
сцепленный с контуром 1 поток Ψ1 =L12I2 (поле, создающее этот поток,
изображено на рисунке пунктирными линиями). При изменениях I2 в
контуре 1 индуцируется э.д.с.
εs1 =- L12dI2/dt
(3.124).
Контуры 1и 2 называются связанными, а явление возникновения
э. д. с. в одном из контуров при изменениях силы тока в другом
называется взаимной индукцией (рисунок - 3.54). Коэффициенты
215
пропорциональности L12 и L21 называются взаимной индуктивностью
контуров. Соответствующий расчет дает, что в отсутствие
ферромагнетиков эти коэффициенты всегда равны друг другу: L12=
L21. Их величина зависит от формы, размеров и взаимного
расположения контуров, а также от магнитной проницаемости
окружающей контуры среды.
Рисунок - 3.53
Рисунок - 3.54
Индукционные токи могут возбуждаться и в сплошных
массивных проводника,. которые нельзя рассматривать как линейные
контуры. В этом случае их называют токами Фуко и вихревыми
токами. Электрическое сопротивление массивного проводника мало,
поэтому токи Фуко могут достигать очень большой силы. В
соответствии с правилом Ленца токи Фуко выбирают внутри
проводника такие пути и направления, чтобы своим действием
возможно сильнее противиться причине, которая их вызывает.
Поэтому движущиеся в сильном магнитном поле хорошие проводники
испытывают сильное торможение, обусловленное взаимодействием
токов Фуко с магнитным полем. Этим пользуются для демпфирования
(успокоения) подвижных частей гальванометров, сейсмографов и
других приборов. Тормозящим действием токов Фуко пользуются для
устройства магнитных успокоителей, демпферов Например, если под
качающейся в горизонтальной плоскости магнитной стрелкой
расположить массивную медную пластину, то токи Фуко,
возбужденные в этой пластине, будут тормозить («успокаивать»,
«тушить») колебания стрелки (рисунок - 3.55). Магнитные
успокоители такого рода часто применяют в гальванометрах,
сейсмографах и других приборах.
Преимущество такого устройства состоит в том, что
торможение возникает лишь при движении пластинки и исчезает,
когда
пластинка
неподвижна.
Поэтому
электромагнитный
216
успокоитель совершенно не препятствует точному приходу системы в
положение равновесия.
Рисунок - 3.55
Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных
печах. Такая печь представляет собой катушку, питаемую
высокочастотным током большой силы. Если поместить внутрь
катушки я проводящее тело, в нем возникнут интенсивные вихревые
токи, которые могут разогреть тело до плавления. Таким способом
осуществляют плавление металлов в вакууме, что позволяет получать
материалы исключительно высокой чистоты. С помощью токов Фуко
осуществляется также прогрев внутренних металлических частей
вакуумных установок для их обезгаживания.
Во многих случаях токи Фуко бывают нежелательными, и
приходится принимать для борьбы с ними специальные меры. Так,
например, чтобы предотвратить потери энергии на нагревание токами
Фуко сердечников трансформаторов, эти сердечники набирают из
тонких пластин, разделенных изолирующими прослойками. Пластины
располагаются так, чтобы возможные направления токов Фуко были к
ним перпендикулярными. Появление ферритов (полупроводниковых
магнитных материалов с большим электрическим сопротивлением)
сделало возможным изготовление сердечников сплошными.
Токи Фуко, возникающие в проводах, по которым текут
переменные токи, направлены так, что ослабляют ток внутри провода
и усиливают вблизи поверхности. В результате быстропеременный ток
оказывается распределенным по сечению провода неравномерно — он
как бы вытесняется на поверхность проводника. Это явление
называется скин-эффектом или поверхностным эффектом. Из-за
скин-эффекта внутренняя часть проводников в высокочастотных цепях
оказывается бесполезной. Поэтому в высокочастотных цепях
применяют проводники в виде трубок.
В массивном проводнике, передвигаемом в магнитном поле,
вследствие токов Фуко выделяется большое количество тепла. Во
217
избежание этих потерь на нагревание вихревыми токами якори динамомашин и сердечники трансформаторов делают не из сплошного
железа, а из тонких пластин или же проволок с изолирующими
прослойками, перпендикулярными к возможным направлениям токов
Фуко. Для уменьшения потерь на токи Фуко при изготовлении
трансформаторных сердечников часто применяют так называемое
легированное железо, содержащее от 2 до 4% кремния. Эта примесь
кремния почти не влияет на магнитные свойства железа, но значительно
понижает его электропроводность, что соответственно снижает силу
токов Фуко. Интенсивным выделением тепла при большой величине
токов Фуко пользуются в электрометаллургии для плавки металла,
помещаемого в переменное магнитное поле (металл, подлежащий
плавке, загружают в полость индукционной печи; обмотку этой печи
питают мощным переменным током, имеющим частоту 500—2000
герц, а в лабораторных установках — десятки и сотни тысяч герц; в
таких печах, применяемых для выработки высококачественных сплавов,
при мощности в 600 кВт тонна металла плавится 40-50 мин.).
3.6.2 Ток смещения. Вихревое электрическое поле
Уравнения Максвелла
Рассмотрим
подробнее
процессы,
происходящие
при
прохождении переменного тока по цепи, содержащей конденсатор. В
случае постоянного тока, как мы видели, линии тока всегда замкнуты.
Не так обстоит дело для переменного тока В диэлектрике между
пластинами конденсатора заряды не могут перемещаться, в результате
чего линии тока подходящие к пластине конденсатора обрываются у
ее поверхности. Ток проводимости, текущий по проводнику
соединяющему обкладки конденсатора оказывается разомкнутым.
Пусть в некоторый момент левая обкладка плоского конденсатора А
имеет положительный заряд, расположенный на ее поверхности с
плотностью +σ, а правая — отрицательный заряд, расположенный с
плотностью –σ (рисунок - 3.56). При разряде конденсатора через
проводник, соединяющий обкладки, течет ток от левой обкладки к
правой. Численное значение плотности этого тока i внутри обкладки
получим, взяв производную по времени от плотности заряда:
j = dσ/dt
(3.125).
Ток такой плотности оттекает от левой обкладки А.
Рассмотрим теперь, что происходит в пространстве между
пластинами конденсатора. Если ограничиться переменными токами не
218
слишком большой частоты, то можно легко определить изменение
электрического поля между обкладками.
Рисунок - 3.56
Действительно, в этом случае мгновенное значение поля внутри
конденсатора можно вычислить по мгновенным значениям
поверхностных плотностей зарядов. Значение вектора электрической
индукции D между обкладками конденсатора численно равно:
D = ε0εσ
(3.126).
Взяв производную по времени от правой и левой частей этого
равенства, получим:
dD/dt = σ/dt
(3.127).
В рассматриваемом случае вектор D направлен от обкладки В к
обкладке А. Действительно, при разряде конденсатора поле между его
пластинами убывает, откуда следует, что производная по времени
dD/dt отрицательна, т. е, вектор dD/dt направлен в сторону,
противоположную вектору D. Вектор же электрической индукции D
направлен между пластинами слева направо. Отсюда приходим к
выводу: внутри пластины А налево направлены линии вектора
плотности тока проводимости j, в пространстве же между пластинами
в том же направлении идут линии вектора dD/dt. Таким образом,
линии плотности тока j и линии вектора D, равны друг другу:
j = dD/dt
(3.128).
219
Тогда оказывается: линии плотности тока проводимости j внутри
проводящей пластины непрерывно переходят в линии вектора iсм
между пластинами. Максвелл, впервые введший в рассмотрение
величину iсм назвал ее плотностью тока смещения.
Таким образом, непрерывность линий тока формально
оказывается восстановленной, если плотности тока проводимости i в
проводниках сопоставлять в- диэлектриках плотность тока смещения
iсм, определяемого меняющимся по времени электрическим полем.
Однако в действительности дело идет не только о формальной
аналогии между током проводимости и током смещения. Дальнейшее
развитие учения об электромагнитных явлениях показало, что ток
смещения
описывает
некоторые
реальные
свойства
электромагнитного
поля.
Согласно
гипотезе,
высказанной
Максвеллом, ток смещения создает в пространстве, его окружающем,
магнитное поле такое же, как и магнитное поле эквивалентного тока
проводимости.
Эта
гипотеза
полностью
подтверждена
многочисленными опытными проверками. Следует при этом иметь в
виду, что ток смещения эквивалентен току проводимости только в
отношении способности образовывать магнитное поле. Во всех
других отношениях ток смещения не может быть уподоблен току
проводимости; например, при прохождении тока смещения не
выделяется джоулево тепло.
Наряду с током проводимости и током смещения Максвелл ввел
в рассмотрение полный ток, плотность и которого определяется как
геометрическая сумма плотности тока проводимости и плотности тока
смещения:
i = iпр + iсм
(3.129).
Полный ток, как можно показать, является всегда замкнутым.
Замкнутость полного тока вытекает из следующих простых
рассуждений: в проводнике, соединяющем обкладки, полный ток
можно считать равным току проводимости. Между обкладками
полный ток равен току смещения; так как у поверхности обкладок,
плотности тока смещения и тока проводимости одинаковы и
одинаково направлены, то полный ток у поверхностей не терпит
изменений.
Таким образом, мы приходим к следствию: всякое меняющееся
со временем электрическое поле связано с наличием магнитного поля.
Дальнейшие рассуждения показывают, что и переменное магнитное
220
поле, в свою очередь, обусловливает образование электрического
поля.
Пусть переменное по времени магнитное поле характеризуется
вектором индукции В и его производной по времени dB/dt.
Предположим, что в этом поле находится неподвижный замкнутый
проводящий контур. Тогда в силу переменности вектора магнитной
индукции В поток магнитной индукции Ф через площадь,
ограниченную этим контуром, будет меняться, и в контуре возникает
э. д. с. индукции εi.
Рассмотрим случай электромагнитной индукции, когда
проволочный контур, в котором индуцируется ток, неподвижен, а
изменения магнитного потока обусловлены изменениями магнитного
поля. Возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что
изменения магнитного поля вызывают появление в контуре сторонних
сил, действующих на носители тока. Эти сторонние силы не связаны
ни с химическими, ни с тепловыми процессами в проводе; они также не
могут быть магнитными силами, потому что такие силы работы над
зарядами не совершают. Остается заключить, что индукционный ток
обусловлен возникающим в проводе электрическим полем. Обозначим
напряженность этого поля ЕВ (это обозначение, равно как и
применяемое
в
дальнейшем
обозначение
Еq
является
вспомогательным;
указывающая
на
источник
этих
полей
Электродвижущая сила равна циркуляции вектора ЕВ по данному
контуру: εi- = ∫ЕВ dl. Подстановка в формулу εi- = —dФ/dt полученного
выражения для εi, и выражения ∫BdS для Ф приводит к соотношению
∫ЕВ dl = -d(∫BdS)/dt (интеграл в правой части равенства берется по
произвольной поверхности, опирающейся на контур). Поскольку
контур и поверхность неподвижны, операции дифференцирования по
времени и интегрирования по поверхности можно поменять местами:
∫ЕВ dl = -∫d(BdS)/dt
(3.130).
Следовательно, мы приходим к заключению, что наличие
переменного во времени магнитного поля обусловливает
возникновение в области расположения проводника электрической
силы. Максвелл, обобщая этот результат, высказал положение, что
электрическое поле возникает во всех точках пространства, в которых
имеется меняющееся со временем магнитное поле, независимо от
того, есть в них проводник или нет. Согласно представлениям
Максвелла, проводник, в котором появляется э. д. с, служит только
тем объектом, в котором электрические силы себя проявляют. Таким
221
образом, мы можем резюмировать: всякое меняющееся со временем
магнитное поле связано с наличием электрического поля.
Практически мы всегда имеем такие переменные магнитные
поля, при которых переменен не только вектор магнитной индукции
В, но и его производная по времени В. Но в этом случае будет
возникать и переменное электрическое поле. Отсюда, вообще говоря,
пространство,
заполненное
переменным
магнитным
полем,
одновременно заполнено и переменным электрическим полем. Оба
переменных поля — электрическое и магнитное, связаны друг с
другом, и образуют единое электромагнитное поле, которое имеет
вихревое свойство.
Рассмотрим вначале вихревой характер магнитного поля.
Магнитное поле, создаваемое током смещения, рассчитывается по тем
же самым формулам, по которым рассчитывается магнитное поле тока
проводимости, лишь с заменой в них плотности тока проводимости
плотностью тока смещения. В магнитном поле токов смещения линии
магнитной напряженности имеют тот же вид, что и вблизи
аналогичных токов проводимости, т. е. они всегда замкнуты и
охватывают линии тока. Магнитные линии напряженности вблизи iсм
образуют концентрические окружности тем меньшего радиуса, чем
ближе они к iсм. Электрическое поле, создаваемое переменным
магнитным полем тоже носит вихревой характер. Таким образом,
электрическое поле, создаваемое переменным магнитным полем,
носит вихревой характер. Его линии напряженности всегда замкнуты.
Этим оно отличается от электростатического поля неподвижных
зарядов, линии напряженности которого, как мы это не раз отмечали,
не замкнуты: они начинаются на одних зарядах и кончаются на
других. Циркуляция вектора ∫Еqdl = 0, что свидетельствует о
потенциальном характере этого поля: линии напряженности
начинаются и заканчиваются на электрических зарядах.
Для электрического поля, созданного переменным магнитным
полем выполняется соотношение ∫ЕВ dl ≠ 0. Это говорит о том, что
поле индуцированное магнитным полем имеет вихревой характер, не
имеет ни начала , ни конца: линии индукции замкнуты вокруг
проводника с током.
Таким образом, электрическое поле может быть как
потенциальным (Еq), так и вихревым (ЕВ). С учетом этого, последнее
полученное соотношение можем записать в более общем виде
следующим образом
∫Е dl = -∫d(BdS)/dt = -∫(dB)/dt) dS
222
(3.131).
Это уравнение является одним из основных в электромагнитной
теории Максвелла. Оно свидетельствует о том, что раздельное
рассмотрение электрических и магнитных полей имеет лишь
относительный смысл: они связаны между собой, порождают друг
друга. Действительно, электрическое поле создается системой
неподвижных зарядов. Однако если заряды неподвижны относительно
некоторой инерциальной системы отсчета, то относительно других
инерциальных систем эти заряды движутся и, следовательно,
порождают не только электрическое, но и магнитное поле.
Неподвижный провод с постоянным током создает в каждой точке
пространства постоянное магнитное поле. Однако относительно
других инерциальных систем этот провод находится в движении.
Создаваемое им магнитное поле в любой точке пространства будет
меняться и, следовательно, порождать вихревое электрическое поле.
Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы
отсчета оказывается «чисто» электрическим или «чисто» магнитным,
относительно других систем отсчета будет представлять собой
совокупность электрического и магнитного полей.
Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую
теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория объяснила все
известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд
новых явлений, существование которых подтвердилось впоследствии.
Основным следствием теории Максвелла был вывод о существовании
электромагнитных волн, распространяющихся со скоростью света.
Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к
созданию электромагнитной теории света.
Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об
электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы
Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике.
Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения
∫Edl= —d/dt ∫(BdS)
(3.132),
∫(BdS) = 0
(3.133).
Вторую пару уравнений Максвелла образуют
∫Hdl =∫ jdS+d/dt(∫DdS)
(3.134),
∫DdS= ∫ρdV
(3.135).
223
Соотношения (3.132) - (3.135) представляют собой уравнения
Максвелла в интегральной форме.
Этого количества уравнений мало для однозначного расчета
полей, поэтому необходимо их дополнить уравнениями,
связывающими D и j с Е, а также Н с В. Эти уравнения имеют вид
D=ε0εE
(3.136),
В = μ0μH
(3.137),
j = σЕ
(3.138).
Совокупность
этих
уравнений
электродинамики покоящихся сред.
образует
основу
3.6.3 Энергия магнитного поля токов
При протекании по проводам постоянного тока вся мощность,
развиваемая источником э. д. с., идет на выделение джоулевого тепла.
Не так обстоит дело при непостоянных, возрастающих или
убывающих токах. При возрастании тока в контуре возникает, как мы
видели,
ток
самоиндукции,
направленный
против
тока,
возбуждающего э.д.с. В результате, сила тока будет меньше, причем
только часть работы, совершаемой внешней э. д. с, пойдет на
выделение джоулева тепла. Наоборот, при падении силы тока в
контуре возникает э. д. с. самоиндукции того же направления, что
внешняя, ток оказывается сильнее, в цепи выделяется больше
джоулева тепла, чем должно было бы выделиться при дайной
внешней э. д. с. Очевидно, что лишняя работа, затрачиваемая при
возрастании тока, могла пойти лишь на создание какого-то вида
энергии, которая затем, при убывании силы тока, выделилась обратно
в цепи. Так как с усилением тока усиливается и создаваемое им
магнитное поле, то, очевидно, что эта возникающая энергия является
энергией магнитного поля.
Для подсчета магнитной энергии рассмотрим контур с
самоиндукцией L, в котором сила тока возрастает от нуля до
некоторого конечного значения I. При возрастании тока в контуре
возникает э. д. с. самоиндукции εs. Работа против этой э. д. с. и идет на
образование энергии магнитного поля. Если в данный момент сила
тока в цепи равна I, то мощность, развиваемая э. д. с. самоиндукции,
равна Iεs а следовательно, работа, совершаемая за малый промежуток
времени dt, равна:
224
dA = Iεsdt
(3.139).
Э. д. с. самоиндукции εs численно равна dФ/dt, где dФ—поток
индукции, пронизывающий рассматриваемый контур. Отсюда
элементарная работа dA за время dt численно равна dA = I dФ. При
постоянном коэффициенте самоиндукции dФ = Ldl, и выражение для
элементарной работы dA можно переписать в виде: dA = ILdI.
Проинтегрировав это выражение по I в пределах от первоначального
значения I до нуля, получим работу, совершаемую в цепи за время, в
течение которого происходит исчезновение магнитного поля:
A = ∫dA = ∫ILdI = LI2/2
(3.140).
Совершение этой работы сопровождается исчезновением
магнитного поля, которое первоначально существовало в
окружающем пространстве. Таким образом, приходим к выводу, что
проводник с индуктивностью L, по которому течет ток I, обладает
энергией
W = LI2/2
(3.141).
Формуле можно придать такой вид, что она представит энергию как
функцию величин, характеризующих магнитное поле в окружающем
пространстве. Проведем это преобразование для магнитного поля внутри
длинного соленоида. Индуктивность соленоида равен:
L = μ0μn2V
(3.142),
где V — объем соленоида, п — число витков, приходящихся на единицу
длины, и μ — магнитная проницаемость среды. Кроме того, сила тока I и
индукция В магнитного поля внутри соленоида связаны соотношением: I
= B/μ0μ. Подставляя эти значения L и I в формулу для энергии,
найдем:
W= В2V/2μ0μ
(3.143).
Так как магнитное поле можно считать сосредоточенным только
внутри соленоида, т. е. в объеме V, то плотность магнитной энергии:
w = W/V = В2/2μ0μ = BH/2
225
(3.144).
IV Оптика и основы ядерной физики
4.1. Фотометрия
4.1.1 Основные фотометрические понятия. Единицы
измерений световых величин
В фотометрии устанавливают величины, характеризующие
световое излучение и описывают методы определения этих величин.
Световой поток. Для оценки энергии излучения используют понятие
потока излучения. Поток излучения (Ф) характеризует энергию,
переносимую излучением за единичное время через какую-либо
поверхность. Поток излучения (световой поток) Ф характеризует (по
зрительному ощущению) световую энергию W, переносимую через
какую-либо поверхность за единичное время:
Ф =W/t
(4.1).
Таким образом, световой поток — это мощность светового
излучения, оцениваемая визуально.
Точечный источник света. Источник света называют точечным,
если он равномерно излучает свет по всем направлениям и имеет
размеры значительно меньшие, чем расстояние, на котором
оценивается его действие.
Направление распространения светового потока задают с
помощью телесного угла. Телесным углом ω называют область
пространства, ограниченную конической поверхностью (Рисунок 4.1).
Значение телесного угла ω определяют по формуле
ω = S/r2
(4.2),
где S — площадь шарового сегмента, на который опирается телесный
угол; r — радиус сферы.
Рисунок - 4.1
Телесные углы выражают в стерадианах (ср). Стерадианом
называется телесный угол, вершина которого находится в центре
226
сферы и который вырезает на поверхности сферы площадь, равную
квадрату радиуса этой сферы. Из формулы (4.2) следует, что если S =
r2 , то ω = 1ср. Телесный угол ω0, существующий вокруг точки (т. е.
опирающийся на всю площадь сферы S = 4πr2), называют полным
телесным углом:
ω0 =.4πr2/ r2 = 4π (ср)
(4.3).
Сила света. Главной энергетической характеристикой любого
источника света является его сила света. Силой света источника (I)
называют величину, равную отношению создаваемого им светового
потока к телесному углу, в котором этот поток распределяется, т. е.
I = Ф/ω
(4.4).
3а единицу силы света в СИ принята 1 кандела (кд). Она
является основной фотометрической единицей и одной из семи
основных единиц СИ. Кандела равна силе света, испускаемого с
поверхности площадью 1/600000 м2 полного излучателя в
перпендикулярном направлении при температуре t излучателя, равной
температуре затвердевания платины при давлении 101325 Па. Все
остальные фотометрические единицы являются производными.
Полный световой поток. Из формулы (.4.4) следует, что Ф = Iω.
Эту формулу используют для установления единицы светового
потока: 1 кд·•1 ср = 1 лм (люмен). За единицу светового потока в СИ
принят 1 лм, который равен световому потоку, излучаемому точечным
источником света силой 1 кд внутри телесного угла 1 ср. Световой
поток, распространяющийся внутри полного телесного угла ω,
называют полным световым потоком Фо. Он характеризует
оцениваемую по зрительным ощущениям световую энергию,
излучаемую источником света в единичное время по всем
направлениям.
Из формул ω = 4π (ср) и Ф=Iω следует, что
Фо = 4πI
(4.5).
Освещенность. Для оценки световой энергии, падающей на
освещаемую
поверхность,
введено
понятие
освещенности.
Освещенностью Е называют величину, равную отношению светового
потока Ф, падающего на какую-либо поверхность, к площади S этой
поверхности:
227
E = Ф/S
(4.6).
Единицей освещенности служит: 1 лм/1м2 = 1 лк (люкс). За
единицу освещенности в СИ принят 1 люкс, который равен
освещенности, создаваемой световым потоком 1 лм, равномерно
распределенным по поверхности 1 м2. Для измерения больших
освещенностей применяют также внесистемную единицу фот (фт): 1
фт = 1 лм• 1см2 = 1 • 104 лм/м2 = 1•104 лк.
Светимость. Светимость R характеризует световой поток,
излучаемый поверхностью светящегося тела единичной площади по
всем направлениям, т. е.
R = Ф/S
(4.7).
Из этой формулы видно, что в СИ единица светимости равна 1
лм/м2.
Яркость. Для характеристики светового потока, излучаемого
светящейся поверхностью в определенном направлении, используют
понятие яркости. Световой поток, излучаемый площадкой S в
направлении наблюдения, равен потоку Ф, излучаемому этой
площадкой, перпендикулярной данному направлению (Sn). Яркость В
характеризует световой поток, излучаемый площадкой единичной
площади в перпендикулярном к ней направлении в пределах
единичного телесного угла:
В = Ф/ω • Sn
(4.8).
Ф/ω = I, поэтому формулу можно записать в виде
B = I/Sn
(4.9).
Следовательно, яркость характеризует силу света, излучаемого
поверхностью тела единичной площади в перпендикулярном к ней
направлении. Единицу яркости устанавливаются из формулы(4.9): 1
кд/1м2 = 1 нт (нит). За единицу яркости в СИ принят 1 нит, который
равен яркости такой плоской равномерно светящейся поверхности, с
каждого 1 м2,, которой в перпендикулярном к ней направлении
излучает силу света в 1 кд. Для измерения больших яркостей
используется также внесистемная единица— стильб (Сб): 1 Сб = 1
кд/см2 = 1•104 кд/м2 = 1 • 104 нт.
228
4.1.2 Функция видности. Связь между светотехническими и
энергетическими величинами
Термином «свет» называют именно узкий интервал,
воспринимаемых человеческим глазом, заключенный в шкале
электромагнитных волн примерно между 400 и 800 нм. Поэтому
следует установить переход от энергетических величин к величинам,
характеризующим световое восприятие, и целесообразно ввести
специальную систему единиц, приспособленную к свойствам глаза
человека.
Глаз человека не одинаково чувствителен к видимым лучам
различного цвета. Величина, характеризующая такую “среднюю”
относительную чувствительность человеческого глаза к световым
волнам разных длин, называется функцией видности. Графически
чувствительность глаза к свету различной длины волны можно
охарактеризовать
кривой
видности.
Кривая,
утвержденная
Международной осветительной комиссией, изображена на Рисунке 4.2
(сплошная кривая). Кривая видности имеет максимум при λ= 555 нм,
условно принимаемый за единицу. Анализ графика видности
показывает, что, например, для λ = 760 нм требуется мощность,
примерно в 20 000 раз большая, чем для λ = 550 нм, чтобы вызвать
одинаковое по силе зрительное ощущение.
Наряду с указанными фотометрическими единицами — силой
света, освещенностью, светимостью и яркостью— можно
рассматривать аналогичные им энергетические величины, получаемые
с помощью тех же соотношений с заменой лишь светового потока
через энергетический поток Е. В таблице - 4.1 дан список основных
Таблица 4.1 Световые и энергетические единицы
Обозначе
Единица
Единица
Величины
Символ
ния
световая
энергетическая
Световой поток
Ф
люмен
лм
ватт
Сила света
I
кандела
кд
ватт/стерадиан
2
2
Яркость
В
кандела/м
кд/м
ватт/(стерадиан•м2)
Светимость
S
люмен/м2
лм/м2
ватт/м2
Освещенность
Е
люкс
лк
ватт/м2
фотометрических и энергетических величин и приведены единицы их
измерения. Совокупность фотометрических (светотехнических) и
энергетические понятий, установленных в качестве единиц для
соответствующих измерений, даст возможность охарактеризовать
действие света на глаза, приборы и установки.
229
Воздействие света на глаз или какой-либо другой приемный аппарат,
состоит, прежде всего, в передаче этому регистрирующему аппарату
энергии, переносимой световой волной. Поэтому, в фотометрии,
измерение сводится к уточнению энергии, приносимой световой
волной, или к измерению величин, так или иначе связанных с этой
энергетической характеристикой.
Поток лучистой энергии (Ф). Расположим на пути лучистой
энергии, идущей от источника L (Рисунок 4.3), какую-нибудь малую
площадку σ и измерим количество энергии Q, протекающее через эту
площадку за время t и измерим поглощенную энергию, например, по
изменению температуры.
Рисунок 4.2
Рисунок 4.3
Отношение показывающее количество лучистой энергии,
протекающей через площадку σ за единицу времени, т. е. мощность
сквозь поверхность σ, называется потоком лучистой энергии через
поверхность σ.
Q/t =dФ
(4.10).
Проведя из точки L совокупность лучей, опирающихся на
контур площадки σ, мы получим конус, ограничивающий часть
потока, протекающую через σ. Сечение конуса сферической
поверхностью с центром в L и с радиусом, равным единице, дает меру
телесного угла конуса dΩ. Если нормаль n к поверхности σ составляет
угол i с осью конуса, а расстояние от L до площадки есть R, то
dΩ = σcosi/R2
230
(4.11).
Таким образом, выделенная часть потока приходится на
телесный угол dΩ. Полный поток, идущий от L по всем направлениям,
будет
Ф = ∫dФ
(4.12).
Сила света. Величину потока, приходящегося на единицу
телесного угла, называют силой света (I). Если поток Ф посылается
равномерно по всем направлениям, то есть сила света, одинаковая для
любого направления.
I = Ф/4π
(4.13).
Для определения истинной силы света по какому-либо
направлению надо выделить вдоль него достаточно малый
элементарный телесный угол dΩ и измерить световой поток dФ,
приходящийся на этот телесный угол. Сила света по данному
направлению определится соотношением
I = dФ/ Dω
(4.14)..
Освещенность. Освещенностью Е называется величина потока,
приходящегося на единицу поверхности. Освещенность площадки σ
(рисунок 4.3) есть
Е = dФ/σ = I cos i/R2
(4.15)
Освещенность, создаваемая точечным источником, обратно
пропорциональна квадрату расстояния от источника до поверхности и
прямо пропорциональна косинусу угла, составляемого направлением
светового потока с нормалью к освещаемой поверхности. Это есть
основной закон освещенности, создаваемой точечным источником
(закон обратных квадратов).
Яркость. Для многих светотехнических расчетов не всегда
можно считать источники света точечными: многие из них настолько
велики, что мы можем при обычных наблюдениях глазом различить
их форму, размеры и т.д. По отношению к таким источникам имеет
смысл определение понятия поверхностной яркости. Поверхностная
яркость В есть величина, характеризующая излучение светящейся
поверхности по данному направлению, определяемому углом i с
нормалью к светящейся поверхности и из данной области
231
поверхности. Поток dФ, посылаемый ею в телесный угол dΩ, равен
(рисунок 4.3):
dФ = Biσ cos i dΩ
(4.16)
Bi = dФ /σ cos i dΩ
(4.17).
или
Коэффициент Bi носит название яркости источника по
направлению, определяемому углом i: яркостью в данном
направлении называется поток, посылаемый в данном направлении
единицей видимой поверхности внутрь единичного телесного угла.
Яркость Bi есть величина, зависящая от направления; однако для
некоторых источников она может от направления не зависеть. Такие
источники называются источниками, подчиняющимися закону
Ламберта. Такими источниками являются, например, абсолютно
черное тело; матированная поверхность или мутная среда, каждый
участок которой рассеивает свет равномерно во все стороны.
Светимость. С понятием яркости тесно связано понятие
светимости S, представляющей собой интегральную величину, т. е.
суммарный поток, посылаемый единицей поверхности наружу по
всем направлениям (внутрь телесного угла 2π). Таким образом,
S= Ф/σ
(4.18),
если Ф есть полный поток, через площадку σ по всем направлениям.
Светимость и яркость связаны между собой простым
соотношением: S = πB. Соотношение Ф = σS показывает, что
светимость S имеет ту же размерность, что и освещенность Е, и
представляет собой поток, отнесенный к единице поверхности.
Светимость характеризует свечение поверхности, т. е. поток,
отходящий от единицы поверхности; освещенность же характеризует
освещение поверхности, т. е. поток, приходящий на единицу
поверхности.
Интенсивность светового потока. Для характеристики светового
поля можно ввести еще понятие интенсивности светового потока R.
Под интенсивностью понимают величину светового потока,
протекающего через единицу видимого сечения по направлению,
определяемому углом i между направлением потока и нормалью к
этому сечению:
R = dФ/ σ cos i dΩ
232
(4.19).
Интенсивность светового потока играет для характеристики
светового поля ту же роль, что и яркость для характеристики
светящейся поверхности. Поэтому ее нередко называют также
яркостью светового потока.
Таким образом, большое количество понятий, связанных с
переносимой светом энергией, обусловлено, в конечном итоге,
законом прямолинейного распространения света, в силу которого
световая энергия может переноситься по-разному в различных
направлениях и через элементы поверхности, находящиеся в разных
точках. Наиболее дифференцированной характеристикой светового
поля служит яркость (или интенсивность), определяющая мощность,
распространяющуюся в заданном направлении вблизи заданной точки
пространства.
Сила
света
описывает
мощность,
также
распространяющуюся в заданном направлении, но от всей
поверхности протяженного источника. Освещенность и светимость
характеризуют мощность, которая распространяется вблизи какойлибо определенной точки пространства во всех направлениях.
Наиболее интегральной характеристикой является поток, —
мощность, переносимая во всех направлениях через всю поверхность.
Единицы измерения введенных фотометрических величин
зависят, естественно, от выбора системы единиц. В системе СИ поток
измеряется в ваттах, освещенность и светимость — в Вт/м2, сила света
— в Вт/ср, яркость и интенсивность — в Вт/(м2•ср).
4.1.3 Методы измерения световых величин
Фотометрические измерения разделяют на объективные
(производимые с помощью приборов, не требующих участия глаза,
например, с помощью фотоэлементов) и субъективные, или
визуальные, в которых измерения основаны на показаниях глаза.
Объективные (фотоэлектрические) фотометры за последние
годы получают все большее и большее развитие, постепенно вытесняя
приборы, основанные на визуальных методах измерения. Все они
основаны на зависимости, в силу которой фотоэлектрический ток
прямо пропорционален поглощенному фотоэлементом световому
потоку.
Поэтому
шкалу
электроизмерительного
прибора,
соединенного с фотоэлементом, можно градуировать непосредственно
в тех или иных фотометрических единицах, например в люксах.
Визуальные измерения производятся непосредственно глазом.
Глаз хорошо устанавливает равенство освещенностей двух каких-либо
соприкасающихся поверхностей, но плохо оценивает, во сколько раз
освещенность одной поверхности больше освещенности второй.
233
Поэтому приборы, служащие для сравнения двух источников
(фотометры), устроены так, что роль глаза сводится к установлению
равенства освещенностей двух соприкасающихся полей, освещаемых
сравниваемыми
источниками.
Для
достижения
равенства
освещенностей применяются разнообразные приемы, ведущие к
ослаблению освещенности, создаваемой более сильным источником.
Наиболее простым является изменение расстояния от источника до
фотометра и применение соотношения
I1/I2 = r12/r22
(4.20).
Если сила одного из источников известна (эталонный источник),
то таким образом можно измерить силу второго источника в
выбранном направлении. Измерив силу источника по разным
направлениям, можно вычислить световой поток, освещенность и т. д.
Существуют также фотометры, позволяющие непосредственно
определять суммарный световой поток, а следовательно, и среднюю
сферическую силу света источника (шаровой фотометр или
интегратор), освещенность поверхности (люксметр), яркость
источника и т. д.
Во всяком фотометре рассматривается некоторое поле, одна
часть которого освещена только одним источником, а другая —
только другим. Рассмотрим устройство фотометра Люммера —
Бродхуна (рисунок - 4.4). Существенную часть фотометра составляет
кубик Люммера, входящий как составная часть и во многие другие
фотометрические аппараты. Кубик Люммера состоит из двух
прямоугольных призм, у одной из которых грань, соответствующая
гипотенузе, оставлена плоской только в центре, края же ошлифованы.
Призмы тщательно отполированы и плотно прижаты друг к другу, так
что в месте соприкосновения представляют как бы один кусок и ведут
себя подобно единому прозрачному телу.
Здесь L1 и L2— два сравниваемых источника света; S — белый
диффузно разбрасывающий свет экран, вполне идентичный с обеих
сторон; S1 и S2 — два вспомогательных зеркала; Р1Р2 — кубик
Люммера; А — глаз наблюдателя и V — лупа, позволяющая
визировать плоскость раздела кубика. При наблюдении мы видим
центр кубика освещенным лучами, идущими от источника L1, а
внешняя часть поля освещается лучами от L2, испытавшими полное
внутреннее отражение на грани Р1Р2. Если освещенность экрана S с
обеих сторон одинакова, то граница между полями исчезает.
Определяя соответственные расстояния L1S и L2S, мы найдем
234
отношение сил света источников. В осветительной технике очень
важным является вопрос, какая должна быть освещенность на данной
плоскости или в данном месте рабочего помещения для разных видов
работы: чтения, шитья и т. д.
Существуют специальные модели фотометров, которые
приспособлены для непосредственного определения освещенности
(люксметры). В последнее время в качестве люксметров с успехом
применяются фотоэлементы, шкала которых проградуирована
соответствующим образом.
Только точечный источник дает по любому направлению одну и
ту же силу света, и, следовательно, для характеристики его достаточно
произвести одно измерение на оптической скамье. Для реальных же
источников сила света по различным направлениям различна, так что
для полной характеристики распределения света от источника
требуется производить измерения в различных азимутах. Во многих
случаях достаточно знать среднюю сферическую силу света, т. е.
значение полного потока, посылаемого источником, а не его
распределение по различным направлениям. Такое измерение может
быть произведено в так называемых интегральных фотометрах.
Одним из таких фотометров служит шаровой фотометр Ульбрехта.
Исследуемый источник подвешивается внутри полого шара К
(рисунок 4.5), внутренняя поверхность которого покрыта белой
матовой краской Белый матовый экран S защищает отверстие О на
поверхности шара от действия прямых лучей источника.
Если отражение света от внутренней поверхности шара К.
следует закону Ламберта, то освещенность Е отверстия О
пропорциональна полному световому потоку Ф лампы:
Е = сФ
(4.21),
где с — множитель пропорциональности, зависящий от размеров
шара и его окраски. Этот множитель определяется экспериментально
путем замены испытуемой лампы нормальной. Отверстие О покрыто
пластинкой из молочного стекла. Для измерения Е определяют
яркость этой пластинки обычным фотометром на оптической скамье
или каким-либо иным.
Своеобразной разновидностью визуального метода, пригодного
для измерения самых малых яркостей, является метод, разработанный
академиком С. И. Вавиловым и известный под названием «метода
гашения». Метод гашения заключается в том, что каким-либо
способом ослабляют наблюдаемую яркость до порогового значения.
235
Рисунок - 4.4
Рисунок - 4.5
Зная, во сколько раз пришлось произвести ослабление, наблюдатель
может определить исходную яркость. Таким путем удается оценивать
яркости в десятитысячные кд/м2, что недоступно другим методам.
4.2 Интерференция света
Пусть в некоторой точке встречаются два колебания одинаковой
частоты, разных начальных фаз и разных амплитуд: E1 =
Е01cos(ωt+α1t) и Е2 = Е02 cos (ωt+α2t). Для простоты положим, что оба
колебания происходят вдоль одной линии. В результате сложения
получим
Е = Е01+ Е02= Е01cos (ωt+α1t)+ Е02cos (ωt+α2t),= Е0cos (ωt+αt).
Следовательно, при сложении таких двух гармонических
колебаний, возникает результирующее гармоническое колебание той
же частоты, амплитуда и начальная фаза которого определяются из
векторной диаграммы (рисунок - 4.6):
E02 = E012 + E022 + 2Е01Е02 cos (α2 – α1)
(4.22),
tg α = (Е01sinα1 + Е02sinα2)/ (Е01cosα1+ Е02cosα2),
(4.23).
Так как интенсивность прямо пропорциональна квадрату амплитуды,
то для интенсивности получим
I =I1 + I2 + 2√I1I2cos(α2-α1),
(4.24),
где I1 и I2 — интенсивности слагаемых колебаний, а I—
результирующая интенсивность.
236
Как следует из этого уравнения, изменение интенсивности
результирующего колебания зависит от разности фаз слагаемых
колебаний. Если (α2-α1),= const. Тогда
I =I1 + I2 + 2√I1I2cos(α2-α1)
(4.25),
I ≠I1 + I2
(4.26).
т. е.
Это выражение означает, что, при постоянстве разности фаз
слагаемых колебаний, результирующая интенсивность будет
(большей или меньшей в зависимости от конкретного значения
разности фаз), т. е, возникает явление интерференции. Колебания, при
которых разность фаз остается постоянной величиной, называются
когерентными. Колебания, происходящие с разными частотами, не
могут быть когерентными и не дадут картину интерференции.
Действительно, хаотически меняющаяся разность фаз с равными
вероятностями примет одинаковые положительные и отрицательные
значения и его среднее значение, за время наблюдения, будет равным
нулю, т. е. <cos(α2-α1)>= 0.
I =I1 + I2
(4.27).
Следовательно происходит простое сложение интенсивностей и
явление интерференции наблюдаться не будет.
4.2.1 Способы наблюдения интерференции света
Для
наблюдения
явления
интерференции
необходим
когерентный источник излучения. Свет от одного источника никогда
не будет когерентным, так излучательные процессы в атомах
происходят не связанно, независимо друг от друга, в результате чего,
атом испускает цуги волн с самыми разными фазами. Получить
когерентные волны можно, разделив фронт волны на два, которые,
впоследствии, уже могут интерферировать между собой. Рассмотрим
несколько таких способов наблюдения интерференции света.
Метод Юнга. Свет, исходящий от протяженного источника S,
направляется на экран с двумя симметрично расположенными
относительно S отверстиями (рисунок - 4.7). Согласно принципу
Гюйгенса, они играют роль вторичных источников. Так как волны,
исходящие от S1 и S2, получены разбиением одного и того же
волнового фронта, исходящего из S, то они являются когерентными и
в области перекрывания дают интерференционную картину.
237
Рисунок - 4.6
Рисунок - 4.7
Бизеркала Френеля. Два плоских зеркала (рисунок - 4.8)
составляют друг с другом угол, близкий к 180° (угол φ мал). Волновой
фронт света, идущего от источника S, с помощью этих зеркал
разбивается на два. Встречаясь друг с другом, они дают в области
взаимного перекрывания интерференционную картину. Мнимые
изображения источника S в зеркалах S1 и S2 играют роль когерентных
источников. В методе бизеркал Френеля источник S берется в виде
узкой щели, параллельной ребру О, образованному зеркалами.
Интерференционные максимумы и минимумы при этом
представляют собой параллельные прямые полосы.
Бипризма Френеля. Две призмы (рисунок - 4.9) с малыми
преломляющими углами склеены друг с другом. Источник S
расположен на расстоянии r от этих призм. Волновой фронт света,
исходящего от источника S, с помощью призм разбивается на две
части, и обе волны встречаются за призмами. Так как оба фронта
вызваны одним и тем же источником, то в области перекрывания
возникнет интерференционная картина. Наблюдателю, находящемуся
в месте расположения экрана, кажется, что световые лучи идут из
двух источников: S1 и S2.
Рисунок - 4.8
Рисунок - 4.9
238
Зеркало Ллойда. Пучок света от точечного источника (рисунок 4.10) падает на плоское зеркало под углом, близким к 90°.
Отраженный свет, встречаясь с падающим пучком, дает на экране
интерференционную картину. Здесь роль когерентных источников
играют первичный источник S и его мнимое изображение S1.
Метод Линника. Перед точечным источником S (рисунок - 4.11)
расположен полупрозрачный экран Э1 с небольшим отверстием в
центре экрана. Полупрозрачная пластинка пропускает фронт
падающей на нее волны, несколько ослабляя ее, без искажения.
Отверстие S1, согласно принципу Гюйгенса, играет роль вторичного
излучения с центром в нем. Оба фронта волны от источников S и S1
встречаясь, дают картину интерференции. В отличие от всех
предыдущих случаев. В схеме, В. П. Линника, когерентные источники
располагаются, перпендикулярны экрану. Интерференционные
полосы в этом случае получаются в виде концентрических колец.
Если вместо точечного источника S взять источник в виде узкой
полосы, то интерференционная картина будет представлять собой
совокупность прямых линий.
Рисунок - 4.10
Рисунок - 4.11
Если применяемый световой пучок излучается точечным
источником света, то пространственная когерентность по всему
сечению светового пучка окажется одинаковой и равной единице, что
соответствует максимальной видимости интерференционной картины
при условии использования монохроматического света.
Пусть будет источник протяженным, равным 2b. Рассмотрим
луч, исходящий от некоторой точки S1 протяженного источника. Если
за центр протяженного источника принять точку S, то для разности
хода между лучами, исходящими из точки S и точки S1, имеем
∆d = 2l cos i
239
(4.28),
где i — угол, под которым виден отрезок SS1 от центра линзы. Тогда
результирующая интенсивность при сложении лучей, исходящих от
зеркал будет
I = 4 I1 cos22πl/λ cosi
(4.29).
Следовательно, результирующая интенсивность, создаваемая
лучами, соответствующими определенной толщине l, является
функцией i. В результате этого, если при данной для некоторой точки
протяженного источника наблюдается минимум, для других точек
источника это будет не так, другими словами, различия в разности
хода, а, следовательно, и в разности фаз для разных точек
протяженного источника, приведут к ухудшению видимости
интерференционной картины.
Можно оценить максимальные размеры источника, при котором
интерференция еще наблюдается. Пусть имеем протяженный
источник света с шириной, равной 2b. Очевидно, что каждая точка
протяженного источника будет излучать независимо от остальных.
Излучение каждой точки протяженного источника влияет на фазу
результирующей волновой группы. При излучении в направлении 1
(рисунок - 4.12) положение каждой точки источника в пределах 2b не
играет роли.
Однако, для излучения, распространяющегося под углом,
положение
каждого
точечного
источника
обусловливает
дополнительную разность фаз, связанную с оптическую разностью
хода и зависящую от выбранного направления. Максимальное
значение этой разности хода достигается в направлениях 1 и 2 или 1 и
3, для которых
ΔN = BM = ∆d = 2bsinφ
(4.30).
При 2bsinφ =λ/2 происходит произвольное изменение фазы, в
результате чего интерференционная картина исчезает. Если
2bsinφ<λ/2 (немного меньше λ/2), то наблюдаются размытые
интерференционные полосы, т. е. имеет место частичная
когерентность. При 2bsinφ<<λ/2 можно пренебречь разностью хода,
обусловленной протяженностью источника. В этом случае
протяженный источник размером 2b сводится к точечному
излучению. Здесь наблюдается четкая интерференционная картина, т.
е. имеет место пространственная когерентность. Равенство разности
хода 2bsinφ четверти длины волны соответствует смещению
240
интерференционных картин, полученных от крайних точек А и В
протяженного источника, на полполосы. Интерференционная картина
остается достаточно четкой, если такое смещение не превышает
полполосы, т. е.
2bsinφ ≤λ/4
(4.31).
Это соотношение, связывающее апертуру интерференции и
размеры
протяженного
источника,
называется
условием
пространственной когерентности.
По результатам полученной формулы можно предсказать
результат интерференции светового пучка от протяженного
источника. Если световой пучок излучается протяженным светящимся
телом, расположенным симметрично относительно щелей S1 и S2, то
нетрудно предсказать качественный результат обследования
пространственной когерентности по сечению этого светового пучка.
Очевидно, что пространственная когерентность будет максимальна
вблизи центра сечения пучка. Кроме того, по мере удаления диска от
плоскости экрана со щелями S1 и S2 пространственная когерентность
светового пучка будет возрастать.
Если наблюдение ведется в монохроматическом свете, то
интерференционная картина представляет собой чередование светлых
и темных полос. Если падающий свет не монохроматичен, т. е.
присутствуют одновременно разные длины волн, то каждая
монохроматическая
составляющая
образует
свою
систему
интерференционных полос, смещенных одна относительно другой.
Разноцветная картина в мыльных пузырях, в тонких слоях масла или
керосина на поверхности воды, цвета побежалости, наблюдаемые при
закалке полированных стальных изделий, и т. д., — все они
обусловлены явлением интерференции в тонких пленках при падении
на них белого (немонохроматического) света.
4.2.2 Интерференция света в тонких пленках
Радужное окрашивание тонких пленок (масляные пленки на
воде, мыльные пузыри, оксидные пленки на металлах), возникает в
результате интерференции света, отраженного двумя поверхностями
пленки. Пусть на плоскопараллельную прозрачную пленку с
показателем преломления п и толщиной t под углом i1 (рисунок - 4.13)
падает плоская монохроматическая волна (для простоты рассмотрим
один луч). Этот луч частично отразится, образовав луч а', частично
преломится и упадет на вторую поверхность пластины в точке В, где
241
он снова частично преломится и частично отразится и выйдет на
поверхность как луч b. Два отраженных пучка а' и b интерферируют
между собой, результат которой зависит от оптической разности хода
этих лучей. Произведение показателя преломления на длину пути
называется оптической длиной пути. Лучи а' и b распространяются в
средах с разными показателями (n0 и n) и проходят до встречи для
интерференции разный геометрический путь.
Рисунок - 4.12
Рисунок - 4.13
За это время образуется между ними следующая оптическая разность
их путей (Δ):
Δ = п(АВ+ВС)-(АЕ±λ0/2)
(4.32),
где показатель преломления окружающей пленку среды принят
равным n0=1, а член ±λ0/2 обусловлен потерей полуволны при
отражении света от более плотной среды на границе раздела двух
сред. Если n> n0, то потеря полуволны произойдет в точке А и
вышеупомянутый член будет иметь знак минус, если же п<n0, то
потеря полуволны произойдет в точке В и λ0/2 будет иметь знак плюс.
Согласно рисунка - 4.13, АВ — BС = t/cos i2, АЕ = АС sini1 = 2t tgi2
sini1. Учитывая для данного случая закон преломления sin i1 = = п
sini2, получим Δ = 2tn cos i2 = = 2tn √l — sin2i2 = 2t √n2 — sin2i1. С
учетом потери полуволны для оптической разности хода получим
Δ = 2d √ n2-sin2 i1±λ0/2,
(4.33).
В точке Р будет максимум, если
Δ = 2d √n2 —sin2i1 ± λ0/2= тλ0 (т = 0, 1,2,),
и минимум, если
Δ = 2d √n2 -sin2i1 ± λ0/2 =(2m+ 1) λ0/2 , (m=0,1,2,).
242
(4.34)
(4.35).
Анализ формулы (4.35) показывает, что интерференционная
картина в плоскопараллельных пластинках определяется величинами
λ0, t, п и i. Для данных λ0, t и п и каждому наклону i лучей
соответствует своя интерференционная полоса. Возникающие в
результате наложения когерентных лучей картина интерференции
называется полосами равного наклона.
Рассмотрим случай, когда источник находится в бесконечности,
т. е. отраженные от поверхности лучи идут параллельно и наблюдение
производится глазом, адаптированным на бесконечность или же в
фокальной плоскости объектива телескопа. В этом случае оба
интерферирующих луча, идущих от S к A, происходят от одного
падающего
луча
SM
(рисунок
4.16).
Поверхность
плоскопараллельной пластинки из прозрачного материала освещается
точечным источником монохроматического света (рисунок - 4.14). В
произвольную точку А, расположенную по ту же сторону пластинки,
что и источник S, приходят два луча: один, отраженный от верхней,
другой — от нижней поверхностей. В зависимости от оптической
разности хода лучей в точке А будут наблюдаться максимум или
минимум. Оба луча исходят из одного и того же источника и, являясь
когерентными, дают нелокализованную интерференционную картину.
Для их наблюдения используют собирающую линзу и экран,
расположенный в фокальной плоскости линзы. Лучи, наклоненные
под одним углом, соберутся на экране в одной точке, отраженные под
другим углом – в другой точке, и мы получим систему на экране
полосы равного наклона.
Теперь рассмотрим случай, когда поверхность прозрачной
пластинки
переменной
толщины
освещается
протяженным
источником, расположенным на достаточно большом расстоянии от
поверхности пластинки (рисунок - 4.15). Рассмотрим луч, идущий от
некоторой точки S протяженного источника.
Рисунок - 4.14
Произвольный
луч
SM,
исходящий
из
источника
монохроматического света S, частично отразится от верхней
поверхности, частично проходит внутрь пленки и после отражения от
243
нижней поверхности выйдет из точки Р (луч 1'). В световом потоке,
исходящем из источника S, всегда найдется луч, который, попадая в
точку Р, частично отражается от верхней поверхности (луч 2').
При определенном взаимном положении пластинки и линзы
лучи 1' и 2', пройдя через линзы, пересекутся в некоторой точке А,
являющейся изображением точки Р. Так как лучи 1' и 2' когерентны,
они будут интерферировать и, в зависимости от конкретного значения
оптической разности хода между ними, в точке А возникает максимум
(если разность хода равна четному числу полуволн) или минимум
(если разность хода равна нечетному числу полуволн). Максимумы
(или минимумы) соответствуют точкам поверхности, в которых
толщина пластинки имеет одно и то же значение, откуда и происходит
название интерференционной картины «полосы равной толщины».
Интерференционные полосы равной толщины локализируются на
поверхности пластинки или любого другого экрана.
Кольца Ньютона. Интерференционную картину полос равной
толщины можно наблюдать от воздушной прослойки, образованной
плоскопараллельной пластинкой и соприкасающейся с ней
плосковыпуклой (рисунок - 4.16) или двояковыпуклой линзой. Роль
пластинки переменной толщины играет воздушная прослойка между
линзой и плоскопараллельной пластинкой. Границы этой «пластинки»
определяются снизу верхней поверхностью плоскопараллельной
пластинки, сверху — нижней поверхностью линзы.
В этом случае геометрическим местом точек одинаковой
толщины является окружность и поэтому, соответствующие полосы
равной толщины будут иметь вид концентрических окружностей с
центром в точке соприкосновения линзы с плоскопараллельной
пластинкой: их называют кольцами Ньютона. В отраженном свете в
центре интерференционной картины будет наблюдаться минимум
(рисунок - 4.17, а). Это обусловлено тем, что в месте соприкосновения
линзы с пластинкой в точке А образуется крайне тонкий воздушный
зазор (толщина его намного меньше длины волны), приводящий к
потере полуволны. Аналогичную картину можно наблюдать в
прошедшем свете, только интерференционная картина при этом будет
наоборот: в центре будет располагаться максимум, затем минимум т.д.
(рисунок - 4.17, б).
Произведем расчет радиусов колец Ньютона. Пусть высота DE
= h соответствует максимуму m-го порядка, т. е.
2hm±λ/2 = mλ
244
(4.36),
где т = 1, 2, 3, и DE = BF = hm. Тогда радиус для максимума m-го
порядка будет АЕ = AF = ρт.
Рисунок - 4.15
Рисунок - 4.16
Исходя из формулы (4.36) и треугольника ОСВ, можно
определить ρт: R2 = (R-hm)2 + ρm2, (OB)2 = (OC)2 + (BC)2, где R —
радиус кривизны линзы.
а)
б)
Рисунок - 4.17
Учитывая, что hm << R, получим hm = ρm2/2R или ρm = 2Rhm
Подставляя выражение hm из условий максимума (4.36),
получим формулы радиусов светлых колец в отраженном свете:
ρm = √Rλ(m – 1/2 )
(4.37).
Минимумы наблюдаются, если 2h + λ/2 = (2m + 1) λ/2.
Следовательно, радиусы для минимумов определяются как
ρm = √Rλm
(4.38).
Кольца Ньютона в прошедшем свете картина будет обратной–
на месте светлых колец будут располагаться темные кольца и
наоборот.
Вышеприведенные
расчеты
показывают,
что
245
интерференционные картины в отраженном и прошедшем свете
взаимно дополняют друг друга.
4.2.3
Интерференционные
приборы,
геометрические
измерения
Двухлучевые интерферометры. Явление интерференции лежит в
основе устройства приборов, называемых интерферометрами. С
помощью интерферометров решают с высокой точностью такие
технические и физические задачи, как измерение длин и углов,
определение показателя преломления и его зависимости от разных
внешних факторов и т. д.
Интерферометры, где используются два пространственно
разделенных луча, между которыми создается определенная разность
хода, называются двухлучевыми. Существует много разновидностей
двухлучевых интерферометров. Рассмотрим два: интерферометры
Жамена и Майкельсона. Интерферометр Майкельсона сыграл важную
роль в обосновании теории относительности. Он нашел широкое
применение при решении фундаментальных физических и
технических задач. Интерферометр Жамена послужил прообразом
многих важных оптических устройств.
Интерферометр Жамена. Основную часть интерферометра
Жамена (рисунок - 4.18) составляют две однородные идентичные
плоскопараллельные прозрачные пластинки ABB1A1 и FCC1F1.
Коэффициент преломления и толщину каждой пластинки обозначим
соответственно через n и h. Поверхности АВ и C1F1 — зеркальные.
Из точечного источника S направим луч света под углом i1 к
поверхности A1B1 пластинки АВВ1А1 Падающий луч частично
отразится (луч 1), а частично пройдет внутрь пластинки и выйдет из
нее после отражения от зеркальной поверхности АВ (луч 2). Таким
образом, на поверхность второй пластинки падают два параллельных
луча (1 и 2). Как показывают расчеты, разность хода между
интерферирующими лучами в интерферометре Жамена зависит от
толщины пластин, угла между ними и угла падения луча на
пластинку. Условие возникновения максимума интенсивности имеет
вид
hφ sin i = mλ
(4.39).
Ширина интерференционной полосы зависит от угла φ.
Действительно, при переходе к соседнему максимуму, разность хода
лучей меняется на λ, поэтому, обозначив соответствующее изменение
246
угла падения через ∆i, получим hφ = cosi∆i =λ. Отсюда угловая
ширина интерференционной полосы будет
∆i = λ/hφ cosi
(4.40).
При параллельном расположении пластин(φ = 0), разность хода
∆d = 0. В этом случае, вследствие того, что ширина
интерференционной полосы больше угла, под которым ведется
наблюдение интерференционной картины, все поле зрения будет
окрашено в один цвет (если свет монохроматический) и равномерно
освещено (если свет белый). Чтобы в этом случае наблюдать
интерференционную картину, необходимо направить на поверхность
A1В1 расходящийся пучок света. При таком освещении будет
наблюдаться интерференция полос равного наклона.
Интерферометр Майкельсона. На рисунке - 4.19 представлена
упрощенная
схема
интерферометра
Майкельсона.
Монохроматический свет от источника S падает под углом 45° на
плоскопараллельную пластинку P1. Сторона пластинки, удаленная от
S, посеребренная и полупрозрачная, разделяет луч на две части: луч 1
(отражается от посеребренного слоя) и луч 2 (проходит через него).
Луч 1 отражается от зеркала M1 и, возвращаясь обратно, вновь
проходит через пластинку P1 (луч 1'). Луч 2 идет к зеркалу М2,
отражается от него, возвращается обратно и отражается от пластинки
P1 (луч 2') Так как первый из лучей проходит пластинку P1 дважды, то
для компенсации возникающей разности хода на пути второго луча
ставится пластинка Р2 (точно такая же, как и P1, только не покрытая
слоем серебра).
Рисунок - 4.18
Рисунок - 4.19
Лучи 1' и 2' когерентны; следовательно, будет наблюдаться
интерференция, результат которой зависит от оптической разности
247
хода луча l от точки О до зеркала M1 и луча 2 от точки О до зеркала
М2. При перемещении одного из зеркал на расстояние λ0/4 разность
хода обоих лучей увеличится на λ0/2 и произойдет смена
освещенности зрительного поля. Следовательно, по незначительному
смещению интерференционной картины, можно судить о малом
перемещении одного из зеркал и использовать интерферометр
Майкельсона для точного (порядка 10-7 м) измерения длины тел,
длины световой волны, изменения длины тела при изменении
температуры (интерференционный дилатометр).
Многолучевые интерферометры Интерферометр Фабри-Перо.
Интерферометр Фабри — Перо состоит из двух стеклянных или
кварцевых пластин (П1 и П2). Внутренние поверхности их (рисунок 4.20) плоские, строго параллельны друг другу и частично покрыты
прозрачной пленкой с высокой отражательной способностью (R
≈0,9—0,99). С целью устранения вредного влияния света,
отраженного внешними поверхностями пластин, делают обычно так,
чтобы последние составляли небольшой угол с внутренними
поверхностями. Пластинки могут передвигаться в перпендикулярном
направлении друг относительно друга.
Если расстояние между пластинками строго фиксировано, т. е.
пластины неподвижны, такой интерферометр называется эталоном
Фабри — Перо. Преимуществом эталона Фабри — Перо является его
высокая точность, которую не удается получить в раздвижном
интерферометре. Расходящийся пучок света от протяженного
источника (на рисунке 4.20 показан ход одного из этих лучей) падает
на интерферометр. При этом, возникает интерференционная картина,
представляющая концентрические кольца - кривые равного наклона.
Существуют также сферические интерферометры, прототипом
которых явился интерферометр Фабри — Перо. Сферические
интерферометры состоят из двух вогнутых зеркал одинакового или
разного радиуса кривизны. Зеркала располагаются так, чтобы фокусы
их
были
совмещены.
Модифицированные
сферические
интерферометры нашли широкое применение в качестве резонаторов
газовых лазеров. Применение сферических зеркал в качестве
резонаторов оправдано, тем, что в этом случае требуемая точность
юстировки и обработки зеркал значительно ниже и стабильность
системы выше.
Интерферометр (пластинка) Люммера—Герке. Интерферометр
Люммера — Герке состоит из плоскопараллельной стеклянной или
кварцевой однородной пластинки. Чтобы добиться нормального
падения света и уменьшить, таким образом, потери энергии при
248
отражении, один конец пластинки либо срезается, либо снабжается
добавочной треугольной призмой (рисунок.- 4.21). Лучи света от
источника направляются на срезанный конец пластинки (или на
основание треугольной призмы) так, чтобы на границу раздела луч
падал под углом, чуть меньшим предельного. Такое падение луча
обеспечивает примерно одинаковую интенсивность 10—15 лучей,
вышедших из пластинки. Это объясняется тем, что при каждом
отражении от внутренней поверхности пластинки, из системы
выходит очень малая часть падающей световой энергии (так как R≈I).
При падении света из протяженного источника на пластинку
Люммера — Герке луч, падающий под определенным углом (один из
лучей изображен на рисунке 4.21), дает ряд параллельных лучей с
постоянной разностью хода между соседними лучами ∆d = 2hn cos r,
где h — толщина пластинки, п—коэффициент преломления пластинки
относительно окружающей среды, r — угол преломления. В
фокальной
плоскости
собирающей
линзы
образуются
интерференционные полосы равного наклона соответствующие
лучам, выходящим из нижней и верхней поверхностей пластинки.
Число эффективных (участвующих в интерференции) пучков
лимитируется длиной пластинки Люммера — Герке.
На
пластинке
Люммера
—
Герке
наблюдаются
интерференционные полосы очень высокого (десятка тысяч) порядка.
Это позволяет использовать ее в сочетании с другим спектральным
прибором в основном для исследования тонкой структуры
спектральных линий.
Рисунок - 4.20
Рисунок - 4.21
С помощью интерференции возможно измерение малых углов,
образованных двумя плоскостями. Наряду с этим, явления
интерференции могут быть применены и для ряда других точных
измерений. Область использования интерференции в физическом
эксперименте, на производстве быстро расширяется.
Исследование качества поверхностей. Для оптических приборов
требуется большая точность при изготовлении поверхностей: плоские
249
поверхности зеркал или сферические поверхности линз не должны
отступать
от
соответствующих
идеальных
геометрических
поверхностей более чем на небольшие доли (1/4 и меньше) длины
световой волны. Контроль такого высокого качества поверхностей
достигается интерферометрическим путем.
Такое испытание производится с помощью «пробного стекла»
высокого качества, одна из поверхностей которого отступает от
идеальной геометрической плоскости обычно не более чем на 1/20
длины световой волны. Испытуемая поверхность прижимается к
«пробному стеклу» так, что между ними образуется тонкая воздушная
прослойка. При пропускании света через эту воздушную прослойку
образуются интерференционные полосы равной толщины. Для их
наблюдения пользуются простым приспособлением, изображенным
на рисунке - 4.22, где S — источник света, СС' — полупосеребренное
зеркало, L — линза, дающая параллельный пучок лучей, которым
освещается испытуемая пластинка, наложенная на „пробное стекло".
Если обе поверхности являются идеально плоскими, то между ними
образуется тонкий воздушный слой в виде клина, и полосы равной
толщины имеют вид прямых, параллельных ребру клина. Всякое
отступление от плоскости ведет к искривлению интерференционных
полос. На рисунке - 4.23 а и б представлен вид полос при наличии на
испытуемой поверхности бугра и впадины.
Для получения резких интерференционных полос необходимо
пользоваться монохроматическим светом. Для этого обычно в
качестве источника света S (рисунок - 4.22) берется ртутная дуга,
дающая спектр, состоящий в видимой области из небольшого числа
широко расставленных спектральных линий.
Рисунок - 4.22
Измерение малых изменений длин. Рассмотренные полосы
равной толщины используются также для измерения весьма малого
250
измерения толщины какого-либо слоя. Если две какие-либо
поверхности образуют между собою клин, то, как мы видели, в
отраженном свете возникают полосы равной толщины в виде
параллельных друг другу прямых. Разность хода в месте образования
светлой полосы равна ∆1 = 2d1n -1/2λ = kλ.
Если поверхности отодвигаются друг от друга с сохранением
угла α, который они образуют между собой, то толщина d1 в данном
месте клина начинает увеличиваться и разность хода ∆1 перестает
быть равной kλ. Очевидно, разность хода ∆1 будет теперь равна kλ в
точке, лежащей ближе к ребру клина, в результате чего полоса
сместится в сторону ребра клина. Когда толщина d достигнет такого
значения в d2, что разность хода ∆ будет равна (k+1)λ, то в
рассматриваемом месте снова расположится светлая полоса.
а) бугра б) впадины
Рисунок - 4.23 Вид интерференционных полос равной толщины при
наличии
При этом окажется выполненным равенство:
∆2 = 2d2n – ½ λ = (k +1) λ
(4.41).
Из двух последних равенств следует, что при смещении
интерференционной картины на одну полосу, толщина клина в
данном месте изменилась на величину: d2- d1 = λ/2n
При смещении интерференционной картины на х полос,
изменение толщины окажется равным:
dx+ 1- d1 = xλ/2n,
(4.42).
Так как длина волны λ есть величина порядка 5•10-5 см, то по
смещению интерференционных полос можно измерять изменения
толщины порядка 10-8 см.
251
Указанный метод используется, например, для точного
измерения коэффициента теплового расширения твердых тел,
имеющихся в виде небольших по размерам образцов. Для этого
употребляется прибор, носящий название интерференционного
дилатометра, изображенный на рисунке - 4.24. Прибор состоит из
кольца К, изготовляемого обычно из плавленого кварца, имеющего
весьма малый и хорошо измеренный коэффициент теплового
расширения. На кольце лежит стеклянная пластинка с плоскими
поверхностями. Внутрь кольца помещается исследуемое тело R,
поверхности которого хорошо отполированы.
Рисунок - 4.24. Схема интерференционного дилатометра.
Тело R располагается так, чтобы между его верхней
поверхностью и поверхностью стеклянной пластинки образовался
тонкий клинообразный слой воздуха. При освещении прибора сверху
наблюдаются полосы равной толщины. При нагревании прибора,
вследствие различия в коэффициентах теплового расширения тела R и
кольца K, толщина воздушного слоя меняется, и интерференционные
полосы смещаются. По смещению полос можно измерить изменение
размеров тела и, следовательно, вычислить коэффициент его
теплового расширения.
4.3 Дифракция света
4.3.1 Принцип Гюйгенса—Френеля. Метод зон Френеля.
Зонная пластинка
Явления интерференции света служат доказательством
волновой природы световых процессов. Другим явлением, которая
также подтверждает волновую природу света, является дифракция.
Дифракцией называется огибание волнами препятствий,
встречающихся на их пути, или в широком смысле – любое
отклонение распространения волн вблизи препятствий от законов
геометрической оптики. Благодаря дифракции волны могут попадать
в область геометрической тени, огибать препятствия, проникать через
небольшие отверстия в экранах и т.д. Явление дифракции объясняется
с помощью принципа Гюйгенса, который предполагает рассматривать
252
каждую точку среды, до которой доходит световая волна, как центр
новой
системы
элементарных
световых
волн.
Френель
усовершенствовал принцип Гюйгенса, учтя различие фаз
элементарных волн. Измененный таким образом принцип Гюйгенса
называют принципом Гюйгенса — Френеля.
Модифицированный таким образом принцип Гюйгенса—
Френеля становится основным принципом волновой оптики и
позволяет исследовать вопросы, относящиеся к интенсивности
результирующей волны в разных направлениях, т. е. решать задачи о
дифракции света. На основе принципа Гюйгенса — Френеля можно
дать объяснение всем дифракционным явлениям, а также объяснить с
точки зрения волновой теории прямолинейное распространение света
при безграничном фронте световой волны.
Для объяснения явления дифракции света Френель предложил
разбить фронт волны на участки — зоны. Если отверстие,
ограничивающее фронт волны—прямоугольная щель, то зоны
выбираются в виде полос, параллельных краям щели, если же фронт
волны ограничен круглым отверстием, то зоны выбираются
кольцевыми.
На рисунке 4.25 изображена схема разбиения поверхности
сферической волны на зоны. Если амплитуды колебаний волн,
посылаемых зонами с номерами 1, 2, 3, , m, - А1,А2,А3 Аm, то
суммарная амплитуды А в точке наблюдения
А = А1 –А2+А3 –А4 + +Аm,
(4.43).
С ростом числа зон интенсивность амплитуды элементарных
волн будет убывать: А1 >А2>А3 >А4 > . Ширина зон выбирается таким
образом, что колебания от двух соседних зон приходят в точку
наблюдения в противоположных фазах. Учитывая это, Френель
предложил складывать действие зон, вместо простого суммирования,
следующим образом:
А = А1/2 + (А1/2 - А2 + А3/2) + (А3/2 + (Аm-2/2 – Аm-1 + Аm /2)
+ Аm /2
(4.44).
Размеры зон Френеля настолько малы, что позволяют в качестве
допустимого приближения, считать, что амплитуда любой зоны
Френеля
равна
среднему арифметическому от
амплитуд
примыкающих к нему зон:
253
Аm = (Аm-1 + Аm+1)/2
(4.45).
Учет этого фактора приводит к тому, что выражения в скобках в
соотношении (4.44) становятся равными нулю. Поэтому, если m
нечетно, то
А = А1/2 + Аm /2
(4.46).
Наоборот, когда m— четное число, то
А = А1/2 – Аm /2,
(4.47).
Если фронт волны безграничен, то m = ∞. Так как с ростом m
Аm непрерывно убывает, то для m = ∞ можно положить Аm= 0.
Следовательно, в случае распространения неограниченной волны
действие ее на произвольную точку наблюдения равно действию
половины первой зоны.
Для подсчета амплитуды результирующей амплитуды Френель
высказал предположение, что амплитуда светового колебания
пропорциональна площади зоны. Это позволило пользоваться при
вычислении результирующих амплитуд, пропорциональными им
значениями площадей зон. Найдем площади зон Френеля. Внешняя
граница m-зоны Френеля выделяет на волновой поверхности
сферический сегмент высотой hm. (рисунок - 4.26) Обозначив площадь
этого сегмента Sm, найдем, что площадь m-зоны Френеля равна ΔSm =
Sm – Sm-1.
Рисунок - 4.25
Рисунок - 4.26.
Из геометрических построений следует, что
rm2 =а2 – (а – hm)2=(b+mλ/2)2 – (b+ hm)2
Если в этом выражении учтем, что высота hm<<а, тогда
254
(4.48).
rm2 = 2ahm
(4.49).
После элементарных преобразований, учитывая, что λ<<а и
λ<<b, получим
hm = (bmλ)/2(a + b),
(4.50).
Подставив в (4.50) вместо hm ее значение, получим радиус rmвнешней границы сферической волны m-ой зоны:
rm = √ abmλ/(a+b),
(4.51).
Площадь этого сегмента Sm = 2πаhm = (π bаλm)/(a+b), а
площадь m-зоны Френеля
ΔSm = Sm – Sm-1.= (π bаλ)/(а+b),
(4.52).
Это выражение показывает, что площадь зоны не зависит от
номера зоны и одинакова для всех зон. Таким образом, построение зон
Френеля разбивает волновую поверхность сферической волны на
одинаковые зоны.
Правомерность деления волнового фронта на зоны Френеля
подтверждена экспериментально. Для этого используются зонные
пластинки — стеклянные пластинки, состоящие из системы
чередующихся прозрачных и непрозрачных концентрических колец,
построенных по принципу расположения зон Френеля (рисунок 4.27).
Если поместить зонную пластинку на расстоянии а от точечного
источника и на расстоянии b от точки наблюдения на линии,
соединяющей эти две точки, то для света длиной волны λ она
перекроет четные зоны и оставит свободными нечетные начиная с
центральной. В результате этого результирующая амплитуда
А=А1+А3+А5+ должна быть больше, чем при полностью открытом
фронте. Действительно, на опыте зонная пластинка во много раз
увеличивает интенсивность света в точке М, действуя подобно
собирающей линзе. Волновой фронт, профильтрованный через
зонную пластинку; расположенную таким образом, должен давать в
исследуемой точке результирующую амплитуду, значительно
большую, чем при полностью открытом фронте. В отличие от линзы,
зонная пластинка дает не одно, а много изображений источника.
255
а) открыты нечетные зоны б) открыты четные зоны
Рисунок - 4.27. Зонные пластинки
Фокусирующие свойства зонных пластинок позволяют
применять их в качестве линз. Можно достичь еще большей яркости
изображений, если не задерживать колебания, приходящие в
заданную точку от четных зон, а сообщить им изменение фазы на π.
Такую фазовую зонную пластинку изготовил впервые Р. Вуд, покрыв
стекло тонким слоем лака и выгравировав на нем зонную пластинку
так, что оптическая толщина нечетных зон отличалась от толщины
четных на величину 1/2λ.
4.3.2 Графическое вычисление результирующей амплитуды.
Применение метода Френеля к простейшим дифракционным
явлениям
К выводам, полученным в предыдущем параграфе, можно также
прийти, пользуясь графическим методом сложения колебаний,
основным понятием которого было понятие о векторе амплитуды. Под
вектором амплитуды подразумевался вектор а, длина которого равна
амплитуде, а угол α, который этот вектор составляет с заданной осью
ОХ, соответствует начальной фазе рассматриваемого колебания. При
сложении нескольких колебаний, изображаемых с помощью векторов
аi, суммарное колебание представится вектором а, равным векторной
сумме векторов аi. Длина вектора а даст амплитуду, а угол, который
вектор а составит с осью ОХ, отразит начальную фазу суммарного
колебания. Процесс графического отображения световой волны
выполняется следующим образом.
Поверхность волнового фронта разбивается на узкие кольцевые
зоны. Колебания, приходящие в исследуемую точку от первой зоны,
изобразятся вектором ∆a1, с начальной фазой этого колебания равной
нулю. На рисунке - 4.28, вектор ∆a1. расположится вдоль оси ОХ.
Амплитуда колебания, приходящего от второй зоны в исследуемую
точку, несколько меньше амплитуды колебания, приходящего от
первой зоны.
256
Рисунок - 4.28
Кроме того, это колебание несколько отстает по фазе от
колебания, вызванного первой зоной. Поэтому колебание, вызванное в
исследуемой точке второй зоной, изобразится вектором ∆а2,
несколько меньшим по длине, чем вектор ∆a1 и составляющим
несколько больший угол с осью ОХ. Отложим этот вектор от конца
вектора ∆a1, как показано на рисунке - 4.28. Колебания от третьей
зоны изобразятся вектором ∆а3, еще несколько меньшим по длине и
составляющим еще несколько больший угол с осью ОХ, и т. д.
Совокупность векторов ∆аi образует ломаную спиралевидную линию.
Суммарное колебание в исследуемой точке изобразится вектором а,
соединяющим точку О с концом вектора ∆аn, соответствующего
колебанию, приходящему от последней из открытых зон.
Другими словами, колебание в исследуемой точке,
обусловленное всем волновым фронтом, совпадает по фазе с
колебанием, которое могла бы создать центральная зона, а по
амплитуде составляет примерно половину этого колебания.
Приведенные рассуждения показывают, что действие (амплитуда),
вызванное всем волновым фронтом, примерно равное половине
действия центральной зоны, что совпадает с ранее полученными
результатами суммирования по Френелю.
Применение метода Френеля позволяет предвидеть и объяснить
особенности в распространении световых волн, наблюдающиеся
тогда, когда часть фронта идущей волны перестает действовать
вследствие того, что свет распространяется между препятствиями,
прикрывающими часть фронта волны.
Дифракция Френеля на круглом отверстии. На рисунке - 4.29
изображена схема разбиения круглого отверстия в экране на зоны и
дифракционная картина на этом отверстии для одной из его осевых
точек. Необходимо отметить, что дифракционные явления
качественно имеют один и тот же характер как при падении на экран
Э плоской волны, так и сферической волны с достаточно большим
257
радиусом кривизны. Если в отверстии укладывается нечетное число
зон, то на оси будет свет; в противоположном случае будет темнота.
Дифракция Френеля на круглом экране. На рисунке - 4.30
изображен случай, когда плоская световая волна Е падает на круглый
непрозрачный экран Э. Дифракционная картина рассматривается в
плоскости, перпендикулярной к направлению распространения света.
Рисунок - 4.29
Рисунок - 4.30
Для точки А зоны представляют собой систему концентрических
колец с центром в геометрическом центре непрозрачного экрана Э.
Обозначения 1—1, 2—2, 3—3, соответствуют первой, второй, третьей
и т. д. кольцевым зонам. Так как система зон в данном случае
бесконечна, то мы можем применить здесь тот же принцип сложения
световых колебаний, что и для неограниченной волны. Поэтому в
области геометрической тени экрана в точках, расположенных на оси,
скажется действие только половины первой открытой зоны.
Освещенность на оси за экраном будет такой же, как и в отсутствии
экрана. Картина дифракционных полос на экране имеет вид системы
темных и светлых концентрических колец. Светлые кольца будут
иметь яркость, равную яркости на оси. Вне области геометрической
тени будет менее отчетливая картина темных колец на светлом фоне.
Дифракция Френеля на щели. Если отверстие в экране
представляет собой прямолинейную щель (рисунок - 4.31), то зоны
Френеля будут иметь вид прямолинейных полосок, параллельных
щели.
На рисунке - 4.31 представлен случай разбиения плоскости
щели на зоны, когда точка наблюдения А' лежит сбоку от оси.
Дифракционная картина в случае щели будет аналогична картине на
258
рисунке - 4.29, только в плоскости АА' вместо чередующихся светлых
и темных колец будут наблюдаться чередующиеся прямолинейные
темные и светлые полосы, параллельные краям щели.
На рисунке - 4.31 имеется две первые зоны (левая и правая) и
еще пять зон 2, 3, 4, 5, 6 справа. Благодаря этому в точке А' амплитуда
световых колебаний равна:
А = 3/2А1 – А0/2
Аналогично можно построить систему зон на щели для любой
другой точки за щелью.
Дифракция Френеля на краю экрана. На непрозрачный экран с
прямолинейным краем падает плоская световая волна (рисунок - 4.32).
Экран берется столь большим, что его можно рассматривать как
полуплоскость, закрывающую для точек, лежащих на линии
геометрической тени, половину фронта волны. Зоны Френеля в этом
случае имеют вид полосок, параллельных краю экрана. Рассмотрим,
какая освещенность будет в точке А (рисунок - 4.32). Число зон справа
Рисунок - 4.31
Рисунок - 4.32
для этой точки равно бесконечности, слева открыты три зоны.
Действие всех правых зон в точке А равноценно действию половины
первой зоны: А" = А1/2. Сложение действия левых зон дает величину:
А' = (А1+А3)/2. Полное колебание в точке А имеет амплитуду: А = А' +
А" = А1 + А3/2.
Аналогично можно рассчитать световое поле в любой точке за
экраном. В плоскости АА1 будет наблюдаться чередующаяся система
световых и темных полос. В отличие от щели, полосы здесь имеют
постепенно убывающую интенсивность.
259
Большое теоретическое значение дифракции Френеля
заключается в том, что она позволяет объяснить особенности
процесса распространения света в случаях ограниченных волновых
фронтов. Тип дифракции, при которой дифракционная картина
наблюдается в бесконечности, или, иначе, в параллельных лучах,
называется
дифракцией
Фраунгофера.
Теория
дифракции
Фраунгофера
широко
применяется
при
конструировании
разнообразных оптических инструментов.
4.3.3 Дифракция в параллельных лучах
Схема наблюдения дифракции Фраунгофера изображена на
рисунке - 4.33. Точечный источник света S расположен в главной
фокальной плоскости линзы L1. Из линзы L1 выходит параллельный
пучок лучей, на пути которого расположен непрозрачный экран с
отверстием b1b2. Экран частично загораживает пучок лучей, который
затем падает на вторую линзу L2. В случае прямолинейного
распространения света лучи распространялись бы и за экраном
параллельным пучком и были бы собраны второй линзой L2 в точку в
ее главной фокальной плоскости (обе линзы считаем идеальными). На
самом деле в фокальной линзы L2 наблюдается дифракционная
картина, вид которой зависит от формы и размеров отверстия в экране
и длины падающей волны.
Рассмотрим частные случаи дифракции Фраунгофера.
Дифракция на одной щели. Влияние ширины щели на
дифракционную картину. Пусть на щель b1b2 шириной а (рисунке 4.33) падает пучок параллельных лучей. Щель считаем бесконечно
протяженной в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка.
За щелью расположена линза L2, собирающая лучи в главной
фокальной плоскости. Лучи, идущие под некоторым углом φ к
первоначальному направлению, соберутся в фокальной плоскости
линзы L2 в точке С. Оптическая разность хода между крайними
лучами, идущими от щели в произвольном направлении φ: ∆ = a sin φ
Для подсчета амплитуды колебаний в точке С разобьем
волновой фронт на зоны в виде узких полосок одинаковой ширины,
параллельных краям щели. Ширина каждой зоны выбирается так,
чтобы разность хода от краев этих зон была равна λ/2, т. е. всего на
ширине щели уместится ∆: λ/2 зон. Так как свет на щель падает
нормально, то плоскость щели совпадает с фронтом волны;
следовательно, все точки фронта в плоскости щели будут колебаться в
одинаковой фазе. Амплитуды вторичных волн в плоскости щели
260
будут равны, так как выбранные зоны Френеля имеют одинаковые
площади и одинаково наклонены к направлению наблюдения:
a sin φ = ±2k λ/2 (k=1, 2, 3, )
(4.53).
Число зон Френеля, укладывающихся на ширине щели, зависит
от угла φ, От числа зон Френеля, в свою очередь, зависит результат
наложения всех вторичных волн. Если число зон Френеля четное то в
точке C наблюдается дифракционный минимум (полная темнота),
если же число зон Френеля нечетное то наблюдается дифракционный
максимум, соответствующий действию одной нескомпенсированной
зоны Френеля. Отметим, что в прямом направлении (φ = 0) щель
действует как одна зона Френеля, и в этом направлении свет
распространяется с наибольшей интенсивностью, т. е. в этой точке
наблюдается центральный дифракционный максимум:
a sin φ= ± (2k + 1) (т = 1, 2, 3,)
(4.54).
Из вышеназванных условий можно найти направления на точки
экрана, в которых амплитуда (а следовательно, и интенсивность)
равна нулю (sin φmjn=±kλ/а) или максимальна (sinφmax = ±(2k+1)λ/(2а).
Распределение интенсивности на экране, получаемое вследствие
дифракции (дифракционный спектр), приведено на рисунке - 4.34.
Рисунок - 4.33
Рисунок - 4.34
Расчеты показывают, что интенсивности центрального и
последующих максимумов относятся как 1:0,047:0,017:0,0083:, т. е.
основная часть световой энергии сосредоточена в центральном
максимуме.
261
Положение дифракционных максимумов зависит от длины
волны λ, поэтому рассмотренный вид дифракционной картины имеет
место лишь для монохроматического света. При освещении щели
белым светом центральный максимум имеет вид белой полоски; он
общий для всех длин волн (при φ = 0 разность хода равна нулю для
всех λ). Боковые максимумы радужно окрашены, так как условие
максимума при любых т различно для разных λ. Таким образом,
справа и слева от центрального максимума наблюдаются максимумы
первого (k=1), второго (k=2) и других порядков, обращенные
фиолетовым краем к центру дифракционной картины. Однако они
настолько расплывчаты, что отчетливого разделения различных длин
волн с помощью дифракции на одной щели получить невозможно.
Рассмотрим влияние ширины щели на дифракционную картину.
Как следует из рисунка - 4.35, с увеличением ширины щели
происходит сближение максимумов и минимумов относительно
центра. Поскольку с увеличением ширины щели увеличивается общий
световой поток, то интенсивность при сравнительно больших
отверстиях должна быть больше. На рисунке 4.35 представлен график
распределения интенсивности для щелей разной ширины.
Как видно из рисунка, с уменьшением ширины щели
центральный максимум расплывается. При b=λ (что соответствует sin
φ=1, т. е. φ=π/2) центральный максимум расплывается в
бесконечность, что приводит к равномерному освещению экрана.
Дальнейшее уменьшение ширины щели (b <λ) приводит к отклонению
от теории Френеля-Кирхгофа. Этот случай не имеет смысла с
практической точки зрения, так как при этом наблюдается монотонное
уменьшение интенсивности прошедшего света.
Увеличение ширины щели (b>λ) приводит к сужению
центрального максимума и увеличению яркости. При b<λ мы
получаем в центре резкое изображение источника света, т. е. имеет
место прямолинейное распространение света.
Дифракция на двух щелях. Положение дифракционных
максимумов и минимумов не будет зависеть от положения щели, ибо
положение максимумов определяется направлением, по которому
идет большая часть испытавшего дифракцию света. Поэтому при
перемещении щели параллельно самой себе никаких изменений
дифракционной картины не должно наблюдаться. Если в
непрозрачной перегородке проделаны две идентичные параллельные
щели, то они дадут одинаковые накладывающиеся друг на друга
дифракционные
картины
вследствие
чего
максимумы
соответственным образом усилятся. Однако в действительности
262
картина окажется сложнее, ибо надо принять в расчет взаимную
интерференцию волн, идущих от первой и второй щелей.
Предположим, что мы прорезали в перегородке КК (рисунок 4.36) две щели шириной b, разделенные непрозрачным промежутком
а, так что а + b = d.
Рисунок - 4.35
Рисунок - 4.36
К определению положения главных максимумов и добавочных
минимумов при дифракции на двух параллельных щелях.
Очевидно, что минимумы будут на прежних местах, ибо те
направления, по которым ни одна из щелей не посылает света, не
получат его и при двух щелях. Кроме того, возможны направления, в
которых колебания, посылаемые двумя щелями, взаимно
уничтожаются. Это будут, очевидно, направления, которым
соответствует разность хода ½ λ, 3/2λ, для волн, идущих щелей. Такие
направления определяются, как легко видеть из рисунка- 4.36,
условием MP = MNsinφ = 1/2λ, 3/2λ, т. е.
dsinφ =1/2λ, 3/2λ
(4.55).
Наоборот, в направлениях, определяемых из условий действие
одной щели усиливает действие другой, так что этим направлениям
соответствуют главные максимумы:
dsinφ =λ, 2λ
(4.56).
Таким образом, полная картина определяется из условий:
- прежние минимумы: bsin φ = λ, 2λ, 3 λ;
- добавочные минимумы: dsinφ =1/2λ, 3/2λ, 5/2λ;
- главные максимумы: dsinφ = 0.
Таким образом, при дифракции Фраунгофера на двух щелях на
экране, между двумя главными максимумами располагается один
добавочный минимум.
263
Дифракционная решетка. Большое практическое значение имеет
дифракция, наблюдаемая при прохождении света через одномерную
дифракционную решетку — систему параллельных щелей равной
ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по
ширине непрозрачными промежутками.
Дифракционная картина на решетке определяется как результат
взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т. е. в
дифракционной
решетке
осуществляется
многолучевая
интерференция когерентных дифрагированных пучков света, идущих
от всех щелей. На рисунке - 4.37 для наглядности показаны только две
соседние щели MN и CD. Если ширина каждой щели равна a, а
ширина непрозрачных участков между щелями b, то величина
d=(a+b) называется постоянной (периодом) дифракционной решетки.
Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к
плоскости решетки. Так как щели находятся друг от друга на
одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух
соседних щелей, будут для данного направления φ одинаковы в
пределах всей дифракционной решетки: ∆ = CF = (a + b) sin φ = d sin
φ. Очевидно, что в тех направлениях, в которых ни одна из щелей не
распространяет свет, он не будет распространяться и при двух щелях,
т. е. прежние (главные) минимумы интенсивности будут оставаться на
своих местах:
a sin φ =±kλ (k=1, 2, 3, )
(4.57).
Кроме того, вследствие взаимной интерференции световых
лучей, посылаемых двумя щелями, в некоторых направлениях они
будут гасить друг друга, т. е. возникнут дополнительные минимумы.
Очевидно, что эти дополнительные минимумы будут
наблюдаться в тех направлениях, которым соответствует разность
хода лучей λ/2, Зλ/2, , посылаемых, например, от крайних левых точек
М и С обеих щелей. Таким образом, с учетом условие
дополнительных минимумов:
dsinφ=±(2k+l)λ/2 (k = 0, l, 2, )
(4.58).
Наоборот, действие одной щели будет усиливать действие
другой, если
dsinφ=±2k λ/2 (k = 0, l, 2, )
264
(4.59),
т. е. это выражение задает условие главных максимумов.
Таким образом, полная дифракционная картина для двух щелей
определяется из условия:
- главные минимумы: a sin φ = λ, 2λ, Зλ, ;
- дополнительные минимумы: d sin φ= λ/2, Зλ/2, λ/2, 5λ/2;
- главные максимумы: d sin φ=0, λ, 2λ,3λ , т. е. между двумя главными
максимумами располагается один дополнительный минимум.
Аналогично можно показать, что между каждыми двумя главными
максимумами при трех щелях располагается два дополнительных
минимума, при четырех щелях — три и т. д.
Если дифракционная решетка состоит из N щелей, то условием
главных минимумов и условием главных максимумов сохраняются, а
условием дополнительных минимумов будет следующим:
d sin φ= ±2k' λ/N (k'=l, 2, . N—l, N+l, , 2N—1, 2N+1, )
(4.60),
где k' может принимать все целочисленные значения, кроме 0, N, 2N,\
Следовательно, в случае N щелей между двумя главными
максимумами располагается N-1 дополнительных минимумов,
разделенных вторичными максимумами, создающими весьма слабый
фон. Чем больше щелей N, тем большее количество световой энергии
пройдет через решетку, тем больше минимумов образуется между
соседними главными максимумами, тем, следовательно, более
интенсивными и более острыми будут максимумы. На рисунке 4.38
представлена качественная дифракционная картина от восьми щелей.
Рисунок - 4.37
Рисунок - 4.38
4.3.4 Фазовые решетки
При дифракции от решетки основная часть световой энергии
сосредоточивается в спектре нулевого порядка и по мере перехода к
спектрам высших порядков энергия резко убывает. Для устранения
265
этого недостатка возникла необходимость в изменении распределения
энергии в спектрах разного порядка. Это достигается введением
дополнительной разности хода в пределах каждого штриха решетки
путем нанесения бороздок определенной формы (профилированные
штрихи). При прохождении или отражении (рисунок 4.39) света
возникает разность фаз от одного края бороздки до другого. Такие
решетки, принцип действия которых основан на изменении фазы,
называются фазовыми решетками.
Решетки, изображенные на рисунке 4.39, представляют собой,
по существу, фазовые решетки, отдельные элементы которых
отличаются не различием в отражающей или пропускающей
способности, влияющей на амплитуду волны, а своей способностью
изменять фазу волны. В данном случае изменение фазы происходит
вследствие геометрической формы пластинки, отражающей или
пропускающей волну.
Можно воздействовать на фазу волны, осуществляя различие в
показателе преломления пропускающего слоя при его неизменной
толщине; такого рода фазовые решетки удается создавать, вызывая в
прозрачном теле ультраакустическую волну.
а) — отражательная решетка б) — пропускающая решетка
Рисунок - 4.39
Одна из разновидностей прозрачной фазовой решетки была
предложена Майкельсоном в 1898 г. Эта решетка в честь ее
изобретателя названа эшелоном Майкельсона. Эшелон Майкельсона
состоит из ряда (до 30—40) строго плоскопараллельных стеклянных
пластинок в виде лестницы с выступами одинаковой ширины
(рисунок 4.40). Пластинки являются в высокой степени однородными
и имеют строго одинаковую толщину (от 1 до 2см). Сжатые между
собой однородные плоскопараллельные пластинки образуют лестницу
как бы из сплошного однородного стекла. Свет, исходящий из
точечного источника S, проходя через линзу Л, попадает на эшелон
Майкельсона в виде параллельного пучка. Проходящий через эшелон
световой пучок дифрагирует на краях ступеней лестницы.
266
Дифрагированные под определенными углами лучи, интерферируя
между собой, дают соответствующие максимумы или минимумы.
Отражательный эшелон ввиду большой трудности его
изготовления почти не применяется в видимой области спектра. Он
обычно используется в миллиметровой, микроволновой и
инфракрасных областях спектра. В этих областях не требуется столь
высокой точности изготовления пластин. В ультрафиолетовой и
длинноволновой рентгеновской областях применяются вогнутые
дифракционные решетки. Связано это еще и с тем, что вогнутые
решетки, как известно, одновременно выполняют роль линз,
поглощающих излучение в ультрафиолетовой (а также в
инфракрасной) области спектра. В заключение, укажем, что эшелоны
используются только при строго монохроматическом излучении.
Рассмотрим теперь ряд рассеивающих центров, расположенных
по узлам двумерной квадратной решетки. Явления при дифракции
приведут к появлении своей системы гипербол (рисунок 4.41). В
случае двумерной решетки и монохроматического света максимумы
имеют вид отдельных светлых пятен. При освещении двумерной
решетки белым светом различным длинам волн λ каждое пятно
растянется в спектр.
Рисунок - 4.40
Рисунок - 4.41
Наконец,
рассмотрим
пространственную
решетку,
образованную системой рассеивающих центров, расположенных в
простейшем случае по узлам кубической решетки. Такую решетку
можно разбить на три системы линейных решеток, параллельных осям
ОХ, ОУ и OZ. Максимумы колебаний получатся в направлениях,
определяемых тремя углами α,β,γ, которые должны одновременно
удовлетворять необходимым условиям дифракции, что очень трудно
практически реализовать. При падении на пространственную решетку
параллельного пучка когерентных монохроматических лучей
возникновение максимумов возможно не для любых длин волн, а
только для некоторых, вполне определенных. Поэтому для
267
наблюдения дифракции от трехмерной решетки обычно пользуются
белым светом. В белом свете присутствуют волны всевозможных
длин и, следовательно, среди них всегда найдутся длины волн,
которые будут удовлетворять дифракционному равенству.
Для того чтобы линейная решетка могла давать максимумы,
необходимо, чтобы λ<2b. Аналогичные условия должны быть
выполнены и для двумерной и пространственной решеток. С другой
стороны, если постоянная решетки b много больше длины волны, то
возникнут лишь максимумы весьма высоких порядков k что затруднит
их наблюдение. Отсюда следует, что наблюдение дифракции от
пространственной решетки практически возможно, если ее
постоянная b порядка нескольких длин волн. Искусственное
воспроизведение такой решетки для видимого света путем
размещения каких-либо обособленных рассеиваюoих частиц
чрезвычайно трудно. До некоторой степени условия, сходные с теми,
которые имеют место в правильной пространственной решетке,
осуществляются в тумане. Туман состоит из отдельных мелких
капелек. Искусственно условия, соответствующие пространственной
решетке, могут быть осуществлены для ультразвуковых волн в какомлибо теле.
Дифракция от стоячих волн используется для определения
скорости ультразвуковых волн в разных веществах. Зная длину
световой волны, можно по положению дифракционных максимумов
найти постоянную решетки b, а следовательно, и длину волны
ультразвуковых колебаний в данном веществе. Отсюда по известной
частоте колебаний находят скорость их распространения.
Другим
весьма
важным
случаем
дифракции
от
пространственной решетки является дифракция рентгеновых лучей от
кристаллов.
4.3.5 Дифракция рентгеновских лучей. Экспериментальные
методы
наблюдения
дифракции
рентгеновских
лучей.
Определение длины волны рентгеновских лучей
В 1912 г. Лауэ с сотрудниками обнаружил явления дифракции у
рентгеновских лучей, доказав таким образом, что и они представляют
собой электромагнитные волны. Однако эти волны оказались в тысячи
и десятки тысяч раз короче световых волн. Поэтому обычные
дифракционные решетки, у которых постоянная b имеет величину
порядка длины световой волны (больше длины световой волны), здесь
неприменимы. В качестве дифракционных решеток для рентгеновских
лучей используют кристаллы. Атомы и молекулы в кристалле
268
расположены в виде правильной трехмерной решетки, упорядоченно,
образуя „трехмерную периодическую последовательность, или, как
говорят, трехмерную решетку. Причем периоды таких решеток
сравнимы с длиной волны рентгеновских лучей. Если на такой
кристалл направить пучок рентгеновских лучей, то каждый атом или
молекулярная группа, из которых состоит кристаллическая решетка,
вызывает дифракцию рентгеновских лучей. Рентгеновские лучи дают
дифракционные максимумы в тех местах, где разность хода
вторичных волн от двух соседних слоев атомов равна целому числу
длин волн. Рисунок 4.42 поясняет высказанные здесь положения.
Кристаллическую структуру, изображенную на рисунке, можно
рассматривать как объемную дифракционную решетку с периодом d,
равным, расстоянию между соседними слоями атомов. Разность хода
лучей, рассеянных первым и вторым слоем атомов для случая, когда
направление падающих и направление рассеянных лучей составляют с
атомными плоскостями один и тот же угол α, равно ВС + CD. Подсчет
этой величины дает для разности хода лучей 1' и 2' выражение: Δ = 2d
sin α. Условием максимума для междуатомной интерференции будет:
2d sin α = kλ
(4.61),
где k = 1, 2, 3, , п. Это условие для дифракции рентгеновских лучей в
кристаллах называется условием Вульфа — Брэгга.
В направлениях, определяемом условием Вольфа — Брэгга,
происходит усиление лучей не только от слоев 1 и 2, но и от всех
других атомных слоев, которые расположены глубже (слои 3, 4 и т.
д.). Изучая дифракцию рентгеновских лучей, можно установить
междуатомные расстояния и таким образом изучить кристаллическую
структуру твердых тел. Равным образом рентгеновские лучи
применимы и для изучения структуры аморфных, тел, в том числе
жидкостей. Дифракция рентгеновских лучей в кристаллах
используется также в устройстве рентгеновских; спектрографов для
изучения спектрального состава рентгеновских лучей.
Изучение структуры твердых тел (а также жидких и
газообразных) с помощью рентгеновских лучей называется
рентгеноструктурным анализом. Если тип кристаллической решетки и
ее постоянная b известны, то ее можно использовать для измерения
длины волны рентгеновых лучей. Простейшей кубической решеткой
обладают кристаллы каменной соли (NaCl). Постоянная b этой
решетки выражается через молекулярный вес М каменной соли, ее
плотность ρ и число Авогадро Nа соотношением: b = 3√ М/2 Nаρ.
269
По известным численным значениям М, Nа и ρ для кристаллов
NaCl получается: b = 2,814 А. Измеряя углы, под которыми кристалл
каменной соли дает дифракционные максимумы для рентгеновых
лучей, и пользуясь приведенным значением b, можно найти длину
волны λ. Например, для характеристического Кα-излучения меди
получается λ = 1,537 А. Наиболее коротковолновые рентгеновы лучи
имеют длину волны около 0,1 А. Наибольшие длины волн, которые
могут быть измерены с помощью дифракции от кристаллов, равны
приблизительно 20 А. Для измерения таких длин волн необходиы
кристаллы сложных органических веществ с большой постоянной b.
Для изучения спектров рентгеновых лучей используются
рентгеновы спектрографы, в которых роль дифракционной решетки
играет пространственная решетка кристаллов. Расчет направления, в
котором для данной длины волны получается максимум при
дифракции от кристаллической решетки, можно провести методом
Вульфа — Брэггов.
Пусть плоская поверхность АВ кристалла (рисунок 4.43)
представляет собою его естественную грань. На грань АВ падает
монохроматический пучок рентгеновых лучей ОС под углом α0 к
поверхности грани.
Рисунок - 4.42
Рисунок - 4.43
Путем поворота кристалла вокруг оси С, перпендикулярной к
плоскости рисунка, будем менять угол α0. Когда α0 примет значение,
удовлетворяющее соотношению дифракции, возникнет максимум в
направлении зеркального отражения. При всех других значениях угла
α0 отраженный луч практически отсутствует.
На разобранном принципе основано устройство рентгенова
спектрографа с вращающимся кристаллом (рисунок - 4.44), где R —
рентгенова трубка, BB' — свинцовая диафрагма с узкой щелью,
выделяющая тонкий пучок рентгеновых лучей. Лучи падают на
кристалл К, который может вращаться вокруг оси, параллельной
щели. По дуге круга РР'Р" с центром, лежащим на оси вращения
кристалла, располагается фотографическая пленка. Предположим, что
270
исследуемые рентгеновы лучи содержат волны определенных длин λ1,
λ2, λ3, . Тогда, при том угле падения α0, при котором для одной из длин
волн λi окажется выполненным условие дифракции, произойдет
отражение луча от грани кристалла, и на фотопластинке в
соответствующем месте получится почернение. Продолжая,
поворачивать кристалл, можно последовательно получить отражение
лучей всех длин волн λ1, λ2, λ3, ..
Рисунок - 4.44
Иногда для регистрации рентгеновых лучей пользуются их
способностью производить ионизацию воздуха и других газов. Для
этого фотопленка заменяется ионизационной камерой, которая может
поворачиваться вокруг той же оси, что и кристалл. Если угол поворота
камеры вдвое больше угла поворота кристалла, то автоматически
выполнится условие, при котором в камеру попадет отраженный луч.
Каждый раз, когда такой луч попадает в камеру, он вызывает
ионизацию; степень ионизации измеряется с помощью электрометра.
Дифракция от кристаллов может быть использована не только
для измерения длин волн рентгеновых лучей, но и для решения
обратной задачи: определения структуры кристаллов при
использовании лучей известных длин волн. Детальное изучение вида
дифракционных картин от тех или других кристаллов позволяет
установить геометрический тип соответствующих им решеток.
4.4 Основы кристаллооптики
4.4.1
Описание основных экспериментов. Двойное
лучепреломление
При изучении явлений интерференции и дифракции вопрос о
том, являются ли световые волны продольными или поперечными,
имел второстепенное значение.
Анализ уравнений Максвелла приводит к выводу, что изменение
во времени электрической напряженности Е сопровождается
появлением переменного магнитного поля Н. Переменное
электромагнитное поле не остается неподвижным в пространстве, а
распространяется со скоростью света вдоль линии, перпендикулярной
271
к векторам Е и Н, образуя электромагнитные световые волны
(рисунок- 4.45). Ориентация векторов Е и Н не является осью
симметрии этих волн. Такая асимметрия характерна для поперечных
волн, продольные же волны всегда симметричны по отношению к
направлению ее распространения. Таким образом, асимметрия
относительно луча и является одним из признаков, который отличает
поперечную волну от продольной. Этот признак и был использован
для экспериментального доказательства поперечности световых волн.
Предметом опытного исследования асимметрии может,
очевидно, служить только система, которая, в свою очередь, обладает
свойством асимметрии. Такой системой, пригодной для исследования
свойств светового луча, может служить анизотропный кристалл,
свойства которого по различным направлениям различны.
Прохождение света через анизотропное вещество связано с
рядом своеобразных явлений. Еще в 1670 г. Эразм Бартоломинус
наблюдал, что при прохождении через исландский шпат световой луч
разбивается на два. Это явление получило название двойного
лучепреломления.
Исландский шпат есть разновидность углекислого кальция
(СаС03). Он встречается в природе в виде довольно больших и
оптически чистых кристаллов. Кристаллы исландского шпата
принадлежат к гексагональной системе, легко раскалывается по
определенным плоскостям, и потому его можно легко привести к
форме
ромбоэдра,
ограниченного
шестью
подобными
параллелограммами с углами 78°08' и 101 °52' (рисунок - 4.46). Узкий
пучок света, преломляясь в таком кристалле, по выходе из него дает
два пучка, идущих по несколько различным направлениям. Исследуя
свойства обоих лучей, можно убедиться, что для одного из них
отношение синуса угла падения к синусу угла преломления - остается
постоянным. При изменении угла падения; этот луч лежит в одной
плоскости с падающим лучом и нормалью, восстановленной к
поверхности пластинки в точке падения. Таким образом, он
удовлетворяет обычному закону преломления. Этот луч называется
обыкновенным лучом. Второй луч называется необыкновенным. Для
него указанное отношение не остается постоянным при изменении
угла падения. Его обыкновенный показатель преломления п0 = 1,6585,
необыкновенный пе = 1,4863 (для желтой линии).
Меняя направление падающего луча, можно убедиться, что
внутри кристалла существуют такие направления, вдоль которых луч
распространяется, не разбиваясь на два. Для исландского шпата таким
направлением является направление, параллельное диагонали АВ,
272
соединяющей тупые углы естественного ромбоэдра (рисунок -4.46).
Прямая, проведенная через любую точку кристалла, в направлении, в
котором не происходит двойного лучепреломления, называется
главным
сечением
или
главной
плоскостью
кристалла,
соответствующей этому лучу. Через кристалл, очевидно, можно
провести бесчисленное множество оптических осей и бесчисленное
множество главных сечений. Линия пересечения любых двух главных
сечений всегда является оптической осью.
Рисунок - 4.45
Рисунок - 4.46
Кристаллы, имеющие лишь одно направление, вдоль которого
не происходит двойного лучепреломления, называются одноосными.
Существуют кристаллы, имеющие два направления, вдоль которых не
происходит двойного лучепреломления, — они называются
двуосными.
В большинстве прозрачных одноосных кристаллов поглощение
обыкновенного и необыкновенного лучей одинаково. Однако
существуют и такие кристаллы, в которых один из лучей поглощается
сильнее другого. Такое различное поглощение называется
дихроизмом. Весьма сильным дихроизмом в видимых лучах обладает
кристалл турмалина. В кристалле турмалина толщиной в 1мм
обыкновенный луч практически полностью поглощается. Это
свойство турмалина используется для получения поляризованного
света. Кроме естественных твердых кристаллов, двойное
лучепреломление дают жидкие кристаллы, аморфные тела при
деформации и жидкости в электрическом поле.
4.4.2 Поляризация света. Закон Малюса
Из теории Максвелла следует, что свет является поперечной
электромагнитной волной — электрический и магнитный векторы
которых в световой волне колеблются перпендикулярно направлению
ее распространения. Свет со всевозможными, одинаково вероятными
направлениями колебаниями электрического вектора называется
естественным светом (рисунок - 4.47). Если колебания электрического
273
вектора происходят в одном направлении, такой свет называется
линейно- или плоскополяризованным. Естественный свет можно
преобразовать
в
плоскополяризованный
свет,
используя
поляризаторы, устройства, пропускающие колебания только
определенного направления. Схема такого опыта, проведенного
Малюсом, приведена на рисунке - 4.48.
Рисунок - 4.47
Рисунок - 4.48
Пластинка Т1, преобразующая естественный свет в
плоскополяризованный, является поляризатором. Пластинка Т2,
служащая для анализа степени поляризации света, называется
анализатором. Обе пластинки совершенно одинаковы, их можно
поменять местами.
Если пропустить естественный свет через оба поляризатора,
плоскости которых образуют угол α (рисунок - 4.49), то из первого
выйдет плоскополяризованный свет, интенсивность которого I0 = ½
Iест, из второго, выйдет свет интенсивностью
I = I0 cos2α
(4.62),
где I0 и I -соответствующие интенсивности света, падающего на
второй кристалл и вышедшего из него. Такое соотношение
справедливо для любого поляризатора и анализатора. Оно называется
законом Малюса (1775—1812).
Поверхность волны и поверхности нормалей. Распространение
плоских волн в кристалле анизотропных веществ связаны с
поведением атомов и или молекул, из которых построены кристаллы,
которые являются, анизотропными вибраторами. Анизотропный
вибратор, вместо одной собственной частоты колебаний (как у
изотропного вибратора), имеет в трех вполне определенных взаимно
перпендикулярных направлениях три, в общем различные,
собственные частоты ω1, ω2, ω3. Это ведет к тому, что различным
274
направлениям колебаний в световой волне соответствуют разные
скорости распространения. Для того чтобы получить в этом случае
поверхность волны, необходимо в каждом направлении отложить из
центра, которым является источник света, радиусы-векторы, равные
по величине скорости света в данном направлении. Геометрическое
место концов лучей и будет в данном случае волновой поверхностью.
На рисунке - 4.50 изображена форма этой поверхности для одного
квадранта.
Рисунок - 4.49
Пусть в одноосном кристалле распространяется плоский фронт
А (рисунок - 4.51.), направление нормали к которому ОА определяется
углами φ и ψ. Если этот плоский фронт, оставаясь параллельным
самому себе, переместится от точки О до точки А за время t, то
величина v' = ОА/ t представит скорость распространения фазы или,
как ее обычно называют, «нормальную» скорость. Откладывая от
точки О (рисунок - 4.52) под разными углами φ и ψ отрезки нормалей,
пропорциональные «нормальным» скоростям в соответствующих
направлениях, мы получим поверхность, которая представит собою
геометрическое место концов нормалей; такая поверхность
называется поверхностью нормалей. Для обыкновенного луча
нормаль к фронту совпадает с лучом и волновая поверхность и
поверхность нормалей, следовательно, тоже совпадают между собой,
образуя сферу. Для необыкновенного луча поверхность нормалей не
совпадает с волновой поверхностью, хотя и отличается от нее
незначительно, так как для всех кристаллов углы между лучами и
нормалями невелики.
В результате, поверхности нормалей, обыкновенная и
необыкновенная, для одноосного кристалла походят на волновые
поверхности (рисунок 4.52). Они также соприкасаются в двух точках,
через которые проходит оптическая ось О'О". Данной нормали ОА
соответствуют параллельные плоские фронты, обыкновенный АА' и
275
необыкновенный ВВ'. Обыкновенный плоский фронт АА' попрежнему является касательным к сферической поверхности,
необыкновенный же плоский фронт ВВ' пересекает эллипсоидальную
поверхность нормалей.
Рисунок - 4.50
Рисунок - 4.51.
Производя построение Гюйгенса для случая преломления
плоского фронта на границе кристалла, легко видеть, что для любого
расположения оптической оси, нормали к обоим фронтам, остаются в
плоскости падения. Необыкновенный же луч, как было сказано, может
выходить при преломлении из плоскости падения.
4.4.3 Оптические свойства одноосных кристаллов.
Интерференция поляризованных лучей
Простейшими оптическими свойствами обладают оптически
одноосные кристаллы, которые к тому же имеют наибольшее
практическое значение. Поэтому имеет смысл особо выделить этот
простейший частный случай.
Оптически одноосными называются кристаллы, свойства
которых обладают симметрией вращения относительно некоторого
направления, называемого оптической осью кристалла.
1. Разложим электрические векторы Е и D, на составляющие Е║
и D║, вдоль оптической оси и составляющие Е┴ и D┴,
перпендикулярные к ней. Тогда
D║ = ε║ Е║ и D┴, = ε┴Е┴, где ε║ и ε┴— постоянные, называемые
продольной и поперечной диэлектрическими проницаемостями
кристалла. К оптически одноосным кристаллам относятся все
кристаллы тетрагональной, гексагональной и ромбоэдрической
систем. Плоскость, в которой лежат оптическая ось кристалла и
нормаль N к фронту волны, называется главным сечением кристалла.
Главное сечение — это не какая-то определенная плоскость, а целое
семейство параллельных плоскостей.
276
Рисунок - 4.52.
Рассмотрим теперь два частных случая.
Случай 1. Вектор D перпендикулярен к главному сечению
кристалла. В этом случае D == D┴, а потому D = ε┴Е. Кристалл ведет
себя как изотропная среда с диэлектрической проницаемостью ε┴.
Для нее D = ε┴Е из уравнений Максвелла получаем D = -с/v H, H =с/v
E или ε┴Е = с/v H, H =-с/v E, откуда v = v┴ = v0 c/√ ε┴.
Таким образом, если электрический вектор перпендикулярен к
главному сечению, то скорость волны не зависит от направления ее
распространения. Такая волна называется обыкновенной.
Случай 2. Вектор D лежит в главном сечении. Так как вектор Е
лежит также в главном сечении (рисунок 160), то Е = En + ED, где En
— составляющая этого вектора вдоль n, a ED — вдоль D. Из
векторного произведения [nE] составляющая En выпадает. Поэтому
формулу для H из уравнений Максвелла можно записать в виде H =
с/v [nED]. Очевидно ED = ED/D = (Е║D║+ Е┴D┴ )/D = (D║2ε║+D┴2ε┴)/D
или ED = D (sin2α/ ε║+ cos2α/ ε┴) = D(n┴2/ ε║+ n║2/ ε┴), где α — угол
между оптической осью и волновой нормалью.
Если ввести обозначение 1/ε = (n┴2/ ε║+ n║2/ ε┴), то получится D
= εЕD, и мы придем к соотношениям εЕD = с/v H, H =с/v ED,
формально тождественным с соотношениями, полученными раньше.
Роль величины ε┴ теперь играет величина ε, определяемая
полученным только что выражением для нее. Поэтому нормальная
скорость волны будет определяться выражением v = c/√ ε = c√ (n┴2/
ε║+ n║2/ ε┴. Она меняется с изменением направления волновой
нормали n. По этой причине волну, электрический вектор которой
лежит в главном сечении кристалла, называют необыкновенной.
Термин «оптическая ось» был введен для обозначения такой
прямой, вдоль которой обе волны в кристалле распространяются с
одинаковыми скоростями. Если таких прямых в кристалле две,
кристалл называется оптически двуосным. Если оптические оси
277
совпадают между собой, сливаясь в одну прямую, кристалл и
называется оптически одноосным.
2. Так как уравнения Максвелла в кристаллах линейны и
однородны, то в общем случае, волна, вступающая в кристалл из
изотропной среды, разделяется внутри кристалла на две линейно
поляризованные волны: обыкновенную, вектор электрической
индукции которой перпендикулярен к главному сечению, и
необыкновенную с вектором электрической индукции, лежащим в
главном сечении. Эти волны распространяются в кристалле в
различных направлениях и с различными скоростями. В направлении
оптической оси скорости обеих волн совпадают, так что в этом
направлении может распространяться волна любой поляризации.
К обеим волнам применимы все рассуждения, которыми мы
пользовались при выводе геометрических законов отражения и
преломления. Но в кристаллах они относятся к волновым нормалям, а
не к световым лучам. Волновые нормали отраженной и обеих
преломленных волн лежат в плоскости падения. Их направления
формально подчиняются закону Снеллиуса sinφ/sin ψ┴ = n┴, sinφ/sin
ψ║ = n║, где n┴ и n║— показатели преломления обыкновенной и
необыкновенной волн, т. е. n┴= с/v┴ = n0 , n║= с/v║ = (n┴2/ ε║+ n║2/ ε┴)1/2. Из них n┴ = n0 не зависит, а n║: зависит от угла падения.
Постоянная nv называется обыкновенным показателем преломления
кристалла.
Когда
необыкновенная
волна
распространяется
перпендикулярно к оптической оси (n┴= 1, n║ = 0), n║= √ε║ = nе.
Величину пе называют необыкновенным показателем преломления
кристалла. Ее нельзя смешивать с показателем преломления n║
необыкновенной волны. Величина nе есть постоянная, а n║ — функция
направления распространения волны. Величины совпадают, когда
волна распространяется перпендикулярно к оптической оси.
3.
Теперь
легко
понять
происхождение
двойного
лучепреломления. Допустим, что плоская волна падает на
плоскопараллельную пластинку из одноосного кристалла. При
преломлении на первой поверхности пластинки волна внутри
кристалла разделится на обыкновенную и необыкновенную. Эти
волны поляризованы во взаимно перпендикулярных плоскостях и
распространяются внутри пластинки в разных направлениях и с
разными скоростями. Волновые нормали обеих волн лежат в
плоскости падения. Обыкновенный луч, поскольку его направление
совпадает с направлением волновой нормали, также лежит в
плоскости падения. Но необыкновенный луч, вообще говоря, выходит
из этой плоскости. В случае двуосных кристаллов деление на
278
обыкновенную и необыкновенную волны теряет смысл — внутри
кристалла обе волны «необыкновенные». При преломлении волновые
нормали обеих волн, конечно, остаются в плоскости падения, однако
оба луча, вообще говоря, выходят из нее. Если падающая волна
ограничена диафрагмой, то в пластинке получатся два пучка света,
которые при достаточной толщине пластинки окажутся разделенными
пространственно. При преломлении на второй границе пластинки из
нее выйдут два пучка света, параллельные падающему лучу. Они
будут линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных
плоскостях. Если падающий свет естественный, то всегда выйдут два
пучка. Если же падающий свет линейно поляризован в плоскости
главного сечения или перпендикулярно к ней, то двойного
преломления не получится — из пластинки выйдет только один пучок
с сохранением исходной поляризации.
Двойное преломление возникает и при нормальном падении
света на пластинку. В этом случае, преломление испытывает
необыкновенный луч, хотя волновые нормали и волновые фронты не
преломляются. Обыкновенный пучок лучей преломления не
испытывает. Необыкновенный луч в пластинке отклоняется, но по
выходе из нее снова идет в первоначальном направлении.
Лучи, обыкновенный и необыкновенный, возникающие при
двойном лучепреломлении из естественного света, не когерентны.
Лучи же, обыкновенный и необыкновенный, возникающие из одного
и того же поляризованного луча, когерентны. Если колебания в двух
таких лучах привести с помощью поляризационного прибора к одной
плоскости, то лучи будут интерферировать обычным образом. Если
колебания в двух когерентных плоско поляризованных лучах
происходят во взаимно перпендикулярных направлениях, то они,
складываясь, как два взаимно перпендикулярных колебания,
возбуждают колебания эллиптического характера.
Световые волны, электрический вектор в которых меняется со
временем так, что его конец описывает эллипс, называются
эллиптически поляризованными. В частном случае, эллипс может
превратиться в круг, и тогда мы имеем дело со светом,
поляризованным по кругу. Магнитный вектор в волне всегда
перпендикулярен
электрическому
вектору
и
в
волнах
рассматриваемого типа также меняется со временем таким образом,
что его конец описывает эллипс или круг.
Рассмотрим случай возникновения эллиптических волн
подробнее. При нормальном падении пучка лучей на пластинку из
одноосного кристалла, оптическая ось в которой параллельна
279
преломляющей поверхности, обыкновенный и необыкновенный лучи
идут по одному направлению, но с разными скоростями. Пусть на
такую пластинку падает плоско поляризованный луч, плоскость
поляризации которого составляет с плоскостью главного сечения
пластинки угол, отличный от нуля и от π/2. Тогда в пластинке
возникнут оба луча, обыкновенный и необыкновенный, и они будут
когерентны. В момент их возникновения в пластинке разность фаз
между ними равна нулю, но она будет возрастать по мере
проникновения лучей в пластинку. Разность между коэффициентами
преломления n0- nе и чем больше толщина кристалла l. Если толщину
пластинки подобрать так, чтобы ∆ = kπ, где k — целое число, то оба
луча, выйдя из пластинки, снова дадут плоско поляризованный луч.
При k, равном четному числу, его плоскость поляризации совпадает с
плоскостью поляризации луча, падающего на пластинку; при k
нечетном плоскость поляризации вышедшего из пластинки луча
окажется повернутой на π/2 по отношению к плоскости поляризации
луча, падающего на пластинку (рисунок - 4.53). При всех иных
значениях разности фаз Δ колебания обоих лучей, вышедших из
пластинки, складываясь, дадут эллиптическое колебание. Если ∆ =
2k+1)π/2 то оси эллипса совпадут с направлениями колебаний в
обыкновенном и необыкновенном лучах (рисунок - 4.54). Наименьшая
толщина пластинки, способной превратить плоскополяризованный
луч в луч, поляризованный по кругу (∆ = π/2), определится
равенством π/2 = 2πl/λ (n0- nе), откуда получаем: l = λ/ 4(n0- nе )
Рисунок - 4.53
Рисунок - 4.54
Такая пластинка даст разность хода между обыкновенным и
необыкновенным лучами, равную λ/4, поэтому она сокращенно
называется пластинкой в четверть волны. Очевидно, что пластинка в
четверть волны даст разность хода между обоими лучами, равную λ/4,
лишь для света данной длины волны λ. Для света других длин волн
она даст разность хода, несколько отличную от λ/4, как из-за прямой
зависимости l от λ, так и из-за зависимости от λ разности
коэффициентов преломления (n0- nе). Очевидно, что наряду с
280
пластинкой в четверть волны, можно изготовить и пластинку «в
полдлины волны», т. е. такую пластинку, которая вносит между
обыкновенным и необыкновенным лучами разность хода λ/2, чему
соответствует разность фаз π. Такая пластинка может употребляться
для поворачивания плоскости поляризации плоско поляризованного
света на π/2. Как указано, с помощью пластинки λ/4 из
плоскополяризованного луча можно получить луч, поляризованный
эллиптически или по кругу; обратно, из эллиптически
поляризованного или поляризованного по кругу луча с помощью
пластинки λ/4 можно получить свет, плоско поляризованный. Этим
обстоятельством пользуются, чтобы отличить свет, поляризованный
эллиптически,
от
частично
поляризованного,
или
свет,
поляризованный по кругу, от естественного.
Указанный анализ эллиптически поляризованного света можно
произвести с помощью пластинки λ/4 в том случае, когда
эллиптическая поляризация возникает в результате сложения двух
взаимно перпендикулярных колебаний разной амплитуды с разностью
фаз π/2. Если же эллиптическая поляризация возникает в результате
сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с разностью
фаз ∆≠π/2, то для превращения такого света в плоско поляризованный
надо ввести такую добавочную разность фаз ∆', которая в сумме с ∆
дала бы разность фаз, равную π (или 2kπ). В этих случаях вместо
пластинки λ/4 употребляются приборы, носящие название
компенсаторов, которые позволяют получить любое значение
разности фаз.
4.5 Виды излучения
4.5.1 Основные законы теплового излучения. Абсолютно
черное тело. Пирометрия
Прежде чем перейти к изложению основных законов теплового
излучения, ознакомимся с некоторыми необходимыми понятиями.
Излучательная способность. Мощность излучения с единицы
площади поверхности тела в единичном интервале частот называется
излучательной способностью тела. Если мощность излучения в
интервале частот от v до v + dv с единицы площади обозначить через
dЕv.v+dv то излучательная способность может быть записана в виде
R(v, Т)= dЕ v.v+dv dv /υ
281
(4.63).
Поскольку излучательная способность зависит кроме
температуры также и от частоты, то ее называют спектральной
плотностью поверхностного излучения.
Поглощательная
способность.
Под
поглощательной
способностью тела понимается отношение количества поглощенной
поверхностью тела энергии в интервале частот v, v + dv к общему
количеству падающего излучения в том же интервале частот:
A(υ, T) = dЕпоглv.v+dv/ dЕпадv.vdv
(4.64).
Тела, способные поглощать все падающее на них излучение
произвольной длины волны при любой температуре, называются
абсолютно черными телами. Для абсолютно черных тел A(v,T) = 1 при
всех длинах волн и при любой температуре.
В природе не существует абсолютно черных тел. Но можно
найти тела, очень близкие по своим свойствам к абсолютно черным
телам (сажа, черный бархат). Полость с маленьким отверстием на
поверхности и идеально отражающими внутренними стенками,
непроницаемыми для электромагнитных волн, ведет себя как
абсолютно черное тело (рисунок - 4.55). Действительно, если на
поверхности стенок полости открыть отверстие размером меньше 0,1
диаметра полости, то вошедшее через это отверстие в полость
излучение претерпевает многократное отражение и рассеяние от
внутренней поверхности стенок, в результате чего падающее
излучение всех длин волн «полностью поглощается». На таком
принципе устроена, например, щетка из стальных полированных
иголок, расположенных, как показано на рисунке - 4.56, будет сильно
поглощать свет, ибо луч, попавший между иголками, претерпит
многократное отражение от иголок, прежде чем выйти наружу.
В 1859 г. Кирхгоф установил количественную связь между
излучательной и поглощательной способностями тел. Согласно этому
закону, отношение излучательной и поглощательной способностей
тел является универсальной для всех тел функцией частоты и
температуры:
Е(v, T)/A(v, T)=f{v,T)
(4.65).
Функция f(v,T), называемая функцией Кирхгофа, не зависит от
природы тел. Если излучательную способность абсолютно черных тел
282
Рисунок - 4.55
Рисунок - 4.56
обозначить через r(v, Т), то, поскольку A(v, Т) = 1, получим
Е(v, T)/A(v, T) = r (v, T)/1=f{v,T)
(4.66),
т. е. r(v,T) = f(v, T). Следовательно, универсальная функция Кирхгофа
есть не что иное, как излучательная способность абсолютно черного
тела и закон Кирхгофа можно переписать в виде
Е(v, T)/A(v, Т) = ε(v,T)
(4.67),
т. е. для всех тел отношение излучательной способности к
поглощательной равно излучательной способности абсолютно
черного тела при той же температуре и частоте. Данный вывод
представляет собой закон Кирхгофа для теплового излучения.
В 1879 г. Стефан и Больцман — теоретически анализируя
экспериментальные результаты излучений абсолютно черного тела,
установили, что интегральная (просуммированная по всем частотам)
излучательная способность тел прямо пропорциональна четвертой
степени абсолютной температуры:
R(v, T)= aT4
(4.68),
где a— постоянная величина. Это выражение получило название
закон Стефана — Больцмана. На основе опытных данных был
определен коэффициент пропорциональности: а = 5,672 10-8 Bт/м •К4.
Закон Стефана—Больцмана, хотя и определяет вид зависимости
интегральной излучательной способности абсолютно черного тела от
температуры, но не дает никаких сведений о частотной зависимости
энергии излучения, т. е. остается неизвестным явный вид
универсальной функции Кирхгофа.
283
Важным шагом вперед в указанном направлении является закон
Вина. Экспериментально было найдено, что распределение энергии в
спектре абсолютно черного тела имеет максимум при определенной
длине волны λ (рисунок - 4.57). В 1887 г он установил важную
закономерность, определяющую положение этого максимума в
спектре излучения в зависимости от абсолютной температуры черного
тела:
λmax = b/T
(4.68.1).
При повышении температуры длина волны, на которую
приходится максимум спектральной излучательности, смещается в
сторону меньших длин волн (рисунок - 4.58). Поэтому данный закон
Вина называют законом смещения Вина. Само значение
максимальной спектральной излучательности абсолютно черного
тела, нагретого до температуры Т, можно найти по формуле:
ε(υ, T)max =CT5
(4.69),
где C – постоянная (C = 1,3 10-5 Вт/м3К5 ).
Данное соотношение иногда называют вторым законом Вина.
Во всех разобранных выше случаях подход к изучению
теплового излучения был термодинамическим. Рэлей, в отличие от
своих предшественников, впервые применил методы статистической
физики к описанию явлений теплового излучения. Эта формула носит
название формулы Рэлея—Джинса. На рисунке 4.57 показаны
экспериментальное спектральное распределение энергии излучения
абсолютно черного тела при постоянной температуре (сплошная
кривая 1) и теоретическая кривая Рэлея — Джинса (пунктирная
кривая 2).
Пользуясь законом равномерного распределения энергии
равновесной системы по степеням свободы и учитывая, что на
каждую колебательную степень свободы в классической физике
приходится энергия, равная kT, Рэлей получил следующее выражение
для излучательной способности абсолютно черного тела:ε(υ, T)~υkT,
где k — постоянная Больцмана. Используя идею Рэлея, Джинс провел
точные вычисления и, определив коэффициенты пропорциональности,
нашел, что
ε(υ, T) = ((2πv2/с2)kT5
284
(4.70).
В рамках классической физики не удается, как это мы видели,
Рисунок - 4.57
Рисунок - 4.58
описать теоретически всю экспериментальную кривую; другими
словами, невозможно определить явный вид функции Кирхгофа при
любой температуре и частоте. Эта задача в начале нашего века (1900
г.) была успешно решена М. Планком. Ему удалось подобрать
эмпирическое выражение, которое блестяще согласовалось с
экспериментальными данными при любой частоте и температуре:
ε(υ, T) = ((2πħv3/с2) 1/(еhυ/kT- 1)
(4.71),
где h—постоянная Планка, равная 6,625*10-34 Дж с.
Эта формула хорошо описывает cплошную кривую 2 на рисунке
4.57. Поскольку формула Планка справедлива при любых частотах и
температурах, то из нее должны следовать все известные законы
теплового излучения.
Законы теплового излучения положили начало методам
измерения температуры нагретых тел. Существуют различные
приборы для измерения температуры нагретых тел (термометры
расширения, электрические термометры сопротивления, термопары и
т. д.). Однако для сильно нагретых тел (свыше 2000°С) эти методы
измерения температуры непригодны. Кроме того, эти методы
совершенно неприменимы, если раскаленные тела, температуру
которых необходимо определить, чрезвычайно удалены от
наблюдателя (например, Солнце, звезды). В этом, а также и в других
случаях в качестве термометрического фактора можно использовать
тепловое излучение.
Методы измерения высоких температур на основе законов
теплового излучения (зависимость спектральной и интегральной
285
излучательной способностей от температуры тел) называются
оптической пирометрией. В зависимости от того, какой тепловой
закон используется при измерении температуры нагретых тел,
различают три температуры — радиационную, цветовую и яркостную.
Если измерять интегральную излучательную способность абсолютно
черного тела, то температуру тела можно определить, исходя из
закона Стефана— Больцмана: R(v, T)= aT4.
Как известно, нечерные тела не подчиняются закону Стефана—
Больцмана. Определенная таким образом температура нечерного тела
называется
его
радиационной
температурой.
Пирометр,
определяющий
радиационную
температуру,
называется
радиационным пирометром. Схема радиационного пирометра
показана на рисунке - 4.59. Оптическая система пирометра позволяет
сфокусировать резкое изображение удаленного источника И на
приемнике П так, чтобы изображение обязательно перекрыло всю
пластинку приемника. При этом условии энергия излучения
источника, падающая в единицу времени на приемник, не будет
зависеть от расстояния между источником и приемником. Тогда
температура нагрева пластинки приемника и термоэлектродвижущая
сила в цепи батареи термопар зависят только от интегральной
излучательной способности R(Т) тела, температуру которого
определяем. Шкала милливольтметра, включенного в цепь термопар,
градуируется по излучению абсолютно черного тела в градусах.
Следовательно, вышеописанный пирометр позволит определить
радиационную температуру произвольного нечерного тела,
При известном распределении энергии излучения в спектре
абсолютно черного тела можно определить температуру по другому
закону теплового излучения - закону смещения Вина, по
расположению максимума излучательной способности: T = b/λmax.
Вычисленная таким способом средняя температура называется
цветовой температурой. К сожалению, из-за неприменимости закона
смещения Вина к нечерным телам подобное определение температуры
нельзя считать универсальным. Цветовая температура обычно выше
истинной температуры тел.
Кроме условно принятых цветовой и радиационной температур
тел используется также понятие яркостной температуры. Под
яркостной температурой понимается такая температура абсолютно
черного тела, при которой его излучательная способность для
определенной длины волны равна излучательной способности
рассматриваемого тела. Яркостную температуру можно определить с
помощью пирометра с исчезающей нитью, схема которого дана на
286
рисунке - 4.60. Принцип действия указанного пирометра заключается
в следующем. С помощью объектива О изображение светящейся
поверхности нагретого тела, температуру которого хотим определить,
совмещается с плоскостью нити накала лампы Л. Яркость накала нити
регулируется с помощью реостата R. Нить и изображение нити
наблюдаются через окуляр О1 Светофильтр Ф, расположенный перед
окуляром, пропускает узкую полосу длин волн в области λ0 =6600 A.
С помощью реостата подбирается .такое значение силы тока I, при
котором излучательная способность нити накала лампы становится
равной излучательной способности наблюдаемого тела. При
удовлетворении этого условия нить не будет видна на фоне
светящейся поверхности тела, т. е. нить как бы исчезает.
Рисунок - 4.59..
Рисунок - 4. 60
Если миллиамперметр заранее проградуировать в градусах по
излучению абсолютно черного тела, то, очевидно, он покажет
яркостную температуру.
4.5.2 Источники света
Излучение вещества, возбуждаемого посредством нагревания,
относится к так называемому тепловому излучению. Свечение
раскаленных тел используется для создания источников света. Первые
лампы накаливания и дуговые лампы — были изобретены русскими
учеными А. Н. Лодыгиным и П. Н. Яблочковым .
Использование раскаленного тела в качестве источника света
тем более выгодно, чем выше температура этого тела. По закону
Стефана — Больцмана суммарная интенсивность возрастает для
черного тела пропорционально четвертой степени температуры. Но
интенсивность более коротковолновых участков спектра растет
гораздо быстрее, особенно при не очень высоких температурах. Так,
вблизи температуры красного каления общая энергия видимого
спектра платины растет пропорционально тридцатой степени
температуры и даже вблизи белого каления — все еще
пропорционально
четырнадцатой
степени
температуры.
287
Интенсивность желтых лучей возрастает вдвое, когда температура
черного тела изменяется от 1800 до 1875 К, т. е. всего на 4%.
Если бы излучателем служило черное тело, то, пользуясь
формулой Планка, мы могли бы рассчитать для каждой температуры
эту часть полезной для освещения энергии и вычислить световую
отдачу нашего светового источника. Если принять во внимание, что
максимум чувствительности человеческого глаза лежит около 550 нм
в желто-зеленой части спектра, то черное тело окажется выгодным
источником при температуре около 5200 К. Принято называть
условно «белым светом» излучение черного тела при этой
температуре. Солнечное излучение вблизи поверхности Земли, т. е.
несколько измененное вследствие поглощения в земной атмосфере,
имеет цветовую температуру, близкую к этому числу, что и
послужило основанием для такого условного обозначения. При
дальнейшем повышении температуры черного тела излучение,
приходящееся на полезную для освещения часть спектра, конечно,
растет, но доля его в общей излучаемой энергии падает, так что
дальнейшее повышение температуры неэкономно с точки зрения
светотехники. Излучение нечерных тел, например, раскаленных
металлов, всегда меньше излучения черных тел. Но световая отдача, т.
е. отношение между энергией, полезной для освещения, и ее
невидимой частью, для накаленного металла при данной температуре
Т может быть выше, чем для черного тела при той же температуре.
При облучении вещества рентгеновскими и гамма-лучами, при
бомбардировке его быстрыми электронами, вследствие нагревания,
химических процессов т. д., вещество тоже начинает светиться.
Свечение вещества при других методах возбуждения называют
люминесценцией
(«холодное
свечение»).
Люминесценция,
возбуждаемая ударами быстрых электронов, получила название
катодолюминесценция. Свечение под действием рентгеновских лучей
называется рентгенолюминесценцией. Свечение под действием
частиц радиоактивных веществ называют радиолюминесценцией. При
наложении на некоторые вещества электрического поля они тоже
могут начинать светиться, и такое свечение называют
электролюминесценцией. Холодное свечение возникает и при ряде
химических процессов. В этом случае оно называется
хемилюминесценцией.
Его
разновидностью
является
биолюминесценция— свечение некоторых организмов (светляки,
микроорганизмы).
По длительности свечения процессы люминесценции делятся на
флюоресценцию,
которая
представляет
вид
свечения,
288
прекращающийся тотчас же после прекращения освещения, и
фосфоресценцию, когда свечение продолжается длительное время и
после прекращения освещения. Хотя такое деление люминесценции
по длительности свечения в настоящее время не описывает всех
случаев, оно довольно распространено. Процессы излучения,
вызываемые освещением тела, объединяются под названием
фотолюминесценция.
Фотолюминесценцию можно разделить на два типа, в
зависимости от процессов, которые происходят внутри вещества.
Один — в котором процессы возбуждения разыгрываются целиком
внутри атома или молекулы, так что переход в возбужденное
состояние не сопровождается отделением электрона от возбужденного
атома или молекулы. Люминесценция такого типа соответствует
возвращению молекулы (атома) в первоначальное состояние; она
определяется в основном свойствами этой молекулы (атома) и
сравнительно мало зависит от внешних условий (температуры,
окружающих молекул и т. д.). Сюда относится в первую очередь
люминесценция газов и жидкостей.
Более сложны процессы, происходящие в твердых и жидких
люминофорах. При возбуждении таких веществ электрон нередко
совершенно удаляется от своего положения в кристаллической
решетке, благодаря чему повышается электропроводность кристаллов
и возникает фосфоресценция, сопровождающая возвращение на
старое место отделившегося электрона или какого-либо другого.
Наблюдение
фотолюминесценции
можно
осуществить
разнообразными способами. Для многих веществ (растворы красок,
например, флуоресцеина) своеобразное свечение заметно уже на
рассеянном дневном свету или в пучке солнечных лучей.
Явление ослабевания люминесценции вследствие введения
посторонних веществ носит название тушения люминесценции. Для
многих веществ (главным образом жидкостей и газов) затухание идет
настолько быстро, что свечение практически прекращается
одновременно с прекращением освещения. Такой тип люминесценции
обычно носит название флуоресценции. Наблюдение флуоресценции
требует, следовательно, непрерывного освещения. В твердых телах
послесвечение происходит в течение большего или меньшего
промежутка времени. Этот вид люминесценции нередко называют
фосфоресценцией.
Хотя, согласно предыдущему, четкое деление между
флуоресцирующими и фосфоресцирующими веществами, в настоящее
время, невозможно, тем не менее существуют вещества, которые
289
вполне целесообразно выделить в класс фосфоресцирующих. К ним
принадлежат, в частности, так называемые кристаллические фосфоры,
дающие нередко очень интенсивное свечение и имеющие благодаря
этому практический интерес. Такие фосфоресцирующие вещества
характеризуются длительным послесвечением и, как уже
упоминалось, сильной зависимостью длительности от температуры.
Коэффициент полезного действия фосфоров, т. е. отношение общего
количества отдаваемой в виде света энергии к количеству световой
энергии, поглощенной фосфором при возбуждении, может быть очень
велик (иногда он близок к единице). Большое значение коэффициента
полезного действия открывает перспективы для использования
фосфоров в качестве источников света.
Особенно важное значение имеет случай специального
свечения, наблюдаемого под действием радиоактивных излучений.
Как показал П. А. Черенков (1934 г.), работавший под руководством
С. И. Вавилова, это свечение не испытывает тушения. Вавилов
пришел к мысли, что оно не является люминесценцией, как считалось
ранее, и связал его происхождение с движением электронов через
вещество. При движении электрона сквозь вещество имеется,
конечно, взаимодействие электрона с атомами вещества, в результате
которого часть энергии электрона может передаваться атомам,
вызывая их ионизацию или возбуждение. Однако в данном вопросе
нас интересуют не эти виды потерь энергии электроном. Как
показывает
детальное
рассмотрение
электрического
поля,
создаваемого движущимся электроном, могут иметь место и иные
формы растраты энергии электроном. Физическая возможность
появления свечения Вавилова — Черенкова связана с движением
электрона со скоростью, превышающей фазовую скорость световой
волны в среде, что не противоречит положениям теории
относительности. Таким образом, излучение Вавилова — Черенкова
является совершенно новым и крайне интересным видом свечения,
открытым исследователями.
Явления люминесценции также находят многочисленные
практические применения. На них основан так называемый
люминесцентный анализ. По характеру люминесцентного свечения
можно определить состав какой-либо смеси. Люминесцирующие
вещества
могут
также
употребляться
для
обнаружения
ультрафиолетовых лучей (за счет видимого свечения, возникающего
под влиянием ультрафиолетовой радиации), а также инфракрасных
лучей с помощью „вспышки", вызванной облучением фосфора
инфракрасными лучами.
290
Очень важной особенностью люминесценции является
возможность наблюдения свечения при чрезвычайно малых
концентрациях вещества. Концентрации порядка 10-9г/см3
оказываются нередко вполне достаточными. Так как для удобного
наблюдения можно ограничиться объемом в несколько десятых
кубического сантиметра, то достаточно располагать 10-10г
флуоресцирующего вещества, чтобы иметь возможность обнаружить
его
по
характерному
свечению.
Такая
чувствительность
люминесцентных наблюдений делает возможным применение
люминесцентного анализа для решения многих практических задач.
В настоящее время нередко применяют люминесцентный
анализ. Флуоресценция нефти или содержащихся в ней примесей
весьма значительна. Этим пользуются для быстрой разведки при
закладке буровых скважин. Исследуя на флуоресценцию кусочки
извлеченной породы, содержащие следы нефти, получают
возможность судить о близости нефтеносных слоев и качестве нефти.
Методами люминесцентного анализа отличают друг от друга
различные сорта стекол, сортируют шлаки, отделяя устойчивые и
пригодные для мощения дорог; оценивают степень пористости
каменных пород и строительных материалов, для чего смачивают их
флуоресцирующим раствором и наблюдают за картиной
распространения
флуоресценции.
Во
многих
химических
производствах, в органической, технической и биологической химии
применяют люминесцентный анализ для распознавания тех или иных
компонент в сложных смесях. Известны плодотворные применения
этого анализа в текстильном производстве, где легко обнаруживаются
масляные пятна на тканях, невидимые простым глазом; в научных
исследованиях, ибо флуоресцентные снимки отпечатков ископаемых,
гораздо богаче подробностями, чем обычные снимки.
В криминалистической практике люминесцентный анализ
позволяет легко установить следы крови, прочитать написанное
невидимыми чернилами и т. д. Фотолюминесценция и
катодолюминесценция многих минералов облегчают геологическую
разведку,
причем
употребляются
переносные
осветители,
позволяющие вести разведку непосредственно в породе. С помощью
микроскопа можно наблюдать небольшие флуоресцирующие
включения.
Эти и многие другие качественные определения не
исчерпывают всех возможностей люминесцентного анализа.
Возможно применение его и для количественных исследований. Для
этой цели подыскивают реактив, вступающий в характерную реакцию
291
с изучаемым веществом, дающую флуоресцирующие продукты, и
обнаруживают последние при помощи люминесцентного анализа.
Благодаря чрезвычайной чувствительности люминесцентного метода
можно ограничиться ничтожными количествами исходного вещества.
Подобным методом удалось, например, исследовать содержание озона
в воздухе даже на больших высотах, причем пробы воздуха объемом в
10—20 л забирались при пролетах стратостатов на большой высоте,
где давление не превышало 15—20 мм рт. ст. Таким образом, в
распоряжении исследователя было всего около 0,5 г воздуха.
Содержащийся в этом количестве озон был надежно измерен, хотя его
содержание было меньше 0,00001%. Таким образом, практические
применения люминесценции исключительно, разнообразны.
4.6 Действие света
4.6.1 Фотоэлектрический эффект. Законы внешнего
фотоэффекта
Гипотеза Планка, блестяще решившая задачу теплового
излучения черного тела, получила подтверждение и дальнейшее
развитие при объяснении фотоэффекта — явления, открытие и
исследование которого сыграло важную роль в становлении
квантовой теории.
В 1898 г. Ленард и Дж. Дж. Томсон методом отклонения зарядов
в электрическом и магнитном полях определили удельный заряд
заряженных частиц, вырываемых светом из катода. Он оказался таким
же, как и для электронов. Отсюда следовало, что под действием света
происходит вырывание электронов из вещества катода. Явление это
носит название фотоэффекта. Электроны, вырванные под действием
света, называются фотоэлектронами. Фотоэффект можно наблюдать в
опыте, схема которого изображена на рисунке - 4.61.
Интенсивность облучения, разность потенциалов и ток в цепи
при прочих неизменных условиях находятся между собой в
определенной зависимости. Кривая, показывающая зависимость силы
тока от напряжения при неизменном освещении, называется
вольтамперной характеристикой (рисунок - 4.62). В направлении
положительных значений V обозначены потенциалы, которые
ускоряют электроны, а в направлении отрицательных значений V
отложены потенциалы, которые задерживают движение электронов от
катода к аноду.
Следует отметить две наиболее характерные особенности этих
вольтамперных характеристик. Во-первых, наличие тока насыщения,
т. е. такого максимального тока, величина которого при дальнейшем
292
увеличении разности потенциалов остается практически постоянной.
Очевидно, что по току насыщения можно определить полное число
электронов, которое выбивается из катода при данной интенсивности
облучения. Во-вторых, наличие задерживающего потенциала, при
котором прекращается ток. Очевидно, что по задерживающему
потенциалу можно определить максимальную энергию электронов,
выбиваемых из катода. Построив вольтамперные характеристики для
различных интенсивностей света, различных длин волн, различных
материалов катода и т. были выяснены основные закономерности,
которым подчиняется фотоэффект. Были установлены следующие
закономерности фотоэффекта.
1) При неизменном спектральном составе света сила фототока
насыщения прямо пропорциональна падающему на катод световому
потоку.
2) Начальная кинетическая энергия вырванных светом
электронов линейно растет с ростом частоты света и не зависит от его
интенсивности.
3) Фотоэффект не возникает, если частота света меньше
некоторой характерной для каждого металла величины vmin,
называемой красной границей фотоэффекта.
Рисунок - 4.61
Рисунок - 4. 62
Первую закономерность фотоэффекта, а также возникновение
самого фотоэффекта легко объяснить, исходя из законов классической
физики. Действительно, световое поле, воздействуя на электроны
внутри металла, возбуждает их колебания. Когда амплитуда
вынужденных колебаний достигает определенного значения,
электроны покидают металл и наблюдается фотоэффект.
Ввиду того, что согласно классической теории интенсивность
света прямо пропорциональна квадрату электрического вектора, число
вырванных электронов растет с увеличением интенсивности света.
Изложенные во второй и третьей закономерностях фотоэффекта
293
данные находятся в резком противоречии с классическими
представлениями о волновой природе света.
Для объяснения фотоэффекта Эйнштейн предположил, что свет
распространяется не в виде непрерывной волны, а в виде дискретных
порций энергии, называемых квантами, или фотонами. Энергия
одного фотона, соответствующего свету с частотой ν, равна ε = hν ,
где h = 1,05 10-34 Дж сек — величина, называемая постоянной Планка.
Фотон, столкнувшись с электроном в металле, передает ему
свою энергию. Если переданная энергия достаточно велика, электрон
может преодолеть силы, удерживающие его в металле, и выйти за
пределы поверхности металла Естественно, что в этом процессе
соблюдается закон сохранения энергии, который можно записать в
следующем виде:
hν = Aвых + mev2/2
(4.72),
где Aвых— работа выхода электрона из металла, т. е. работа, которую
должен совершить электрон против сил, удерживающих его в
металле; mev2/2— кинетическая энергия, которую имеет электрон вне
металла. Данное соотношение носит название уравнение Эйнштейна
для внешнего фотоэффекта.
Это уравнение позволяет полностью объяснить все особенности
внешнего фотоэффекта. Интенсивность светового потока прямо
пропорциональна числу фотонов в световом потоке. С другой
стороны, очевидно, что число выбитых электронов прямо
пропорционально числу фотонов. Отсюда следует, что число выбитых
электронов прямо пропорционально интенсивности светового потока,
что находится в согласии с первым законом фотоэффекта.
Кинетическая энергия фотоэлектрона согласно последнего уравнению
зависит только от частоты падающего света и не зависит от того,
сколько других фотонов столкнулись с другими электронами, т. е. не
зависит от интенсивности падающего света. Это согласуется со
вторым законом фотоэффекта. Далее, из этого же уравнения видно,
что если энергия падающих фотонов будет меньше, чем работа
выхода из металла, то фотоэффект будет невозможен. Этим
объясняется наличие красной границы в фотоэффекте. Ясно, что
минимальная частота νmin , ниже которой фотоэффект невозможен,
определяется уравнением
hνmin = Aвых
(4.73).
294
В отличие от рассмотренного выше внешнего фотоэффекта, при
котором под действием света электроны выходят из исследуемой
среды наружу, для полупроводников более характерны два других
фотоэлектрических явления: внутренний и вентильный фотоэффекты.
Внутренний фотоэффект — это вызванные электромагнитным
излучением переходы электронов внутри полупроводника или
диэлектрика из связанных состояний в свободные без вылета наружу.
В результате концентрация носителей тока внутри тела
увеличивается, что приводит к возникновению фотопроводимости
(повышению электропроводности полупроводника или диэлектрика
при его освещении) или к возникновению э. д. с.
В простейшем случае собственного полупроводника излучение
возбуждает валентные электроны в зоне проводимости, где они
находятся в свободном состоянии и могут участвовать в процессе
переноса заряда. Вклад в проводимость дают также возникающие в
валентной зоне дырки. В примесном полупроводнике n-типа кроме
собственного фотоэффекта возможно еще возбуждение электронов из
связанных состояний на донорных центрах в зону проводимости.
Аналогичным образом в полупроводниках р-типа возможно
возбуждение электронов из валентной зоны на акцепторные уровни,
создавая тем самым подвижные дырки. Характерно, что в обоих
случаях примесной фотопроводимости в кристалле генерируются
свободные носители только одного знака. Так же, как и внешний
фотоэффект, фотопроводимость проявляется в однородном материале
в присутствии внешнего электрического поля.
Вентильный фотоэффект — возникновение э. д. с. (фотоэдс.)
при освещении контакта двух разных полупроводников или
полупроводника и металла (при отсутствии внешнего электрического
поля). Вентильный фотоэффект открывает, таким образом, пути для
прямого преобразования солнечной энергии в электрическую
энергию. На этом явлении основаны вентильные фотоэлементы,
обладающие тем преимуществом перед фотосопротивлениями и
внешними фотоэлементами, что они могут служить индикаторами
лучевой энергии, не требующими внешнего питания. Но главная
особенность вентильных фотоэлементов состоит в том, что они
открывают путь для прямого превращения солнечной энергии в
электрическую. В начале нашего века существовали фотоэлементы,
работающие на контактах полупроводников и металлов. Однако в
дальнейшем было показано, что наиболее эффективными являются
фотоэлементы, основанные на использовании контакта двух
295
полупроводников с р- и n-типами проводимости, т. е. на так
называемом р-n переходе.
На явлении фотоэффекта основано действие множество
фотоэлектронных приборов, получивших разнообразное применение в
различных областях науки и техники. В настоящее время практически
невозможно указать отрасли производства, где бы не использовались
фотоэлементы — приемники излучения, работающие на основе
фотоэффекта и преобразующие энергию излучения в электрическую.
Простейшим фотоэлементом с внешним фотоэффектом является
вакуумный фотоэлемент. Он представляет собой откачанный
стеклянный баллон, внутренняя поверхность которого (за
исключением
окошка
для
доступа
излучения)
покрыта
фоточувствительным слоем, служащим фотокатодом. В качестве
анода обычно используется кольцо или сетка, помещаемая в центре
баллона. Фотоэлемент включается в цепь батареи, э. д. с. которой
выбирается такой, чтобы обеспечить фототок насыщения. Вакуумные
фотоэлементы безынерционны, и для них наблюдается строгая
пропорциональность фототока интенсивности излучения. Эти
свойства позволяют использовать вакуумные фотоэлементы в
качестве фотометрических приборов, например фотоэлектрический
экспонометр, люксметр (измеритель освещенности) и т. д.
Для увеличения интегральной чувствительности вакуумных
фотоэлементов баллон заполняется разреженным инертным газом (Аg
или Ne). Фототок в таком элементе, называемом газонаполненным,
усиливается вследствие ударной ионизации молекул газа
фотоэлектронами.
Для усиления фототока применяются фотоэлектронные
умножители, в которых наряду с фотоэффектом. используется явление
вторичной электронной эмиссии. Размеры фотоэлектронных
умножителей немного превышают размеры обычной радиолампы,
общий коэффициент усиления составляет ≈107 (при напряжении
питания 1 —1,5 кВ), а их интегральная чувствительность может
достигать 10А/лм.
Фотоэлементы с внутренним фотоэффектом, называемые
полупроводниковыми фотоэлементами или фотосопротивлениями
(фоторезисторами), обладают гораздо большей интегральной
чувствительностью, чем вакуумные. Для их изготовления
используются PbS, CdS, PbSe и некоторые другие полупроводники.
Если фотокатоды вакуумных фотоэлементов и фотоэлектронных
умножителей имеют «красную границу» фотоэффекта не выше 1,1
мкм, то применение фотосопротивлений позволяет производить
296
измерения в далекой инфракрасной области спектра, а также в
областях рентгеновского и гамма-излучений. Кроме того, они
малогабаритны и имеют низкое напряжение питания. Недостаток
фотосопротивлений — их заметная инерционность, поэтому они
непригодны для регистрации быстропеременных световых потоков.
Фотоэлементы с вентильным фотоэффектом, называют
вентильными фотоэлементами (фотоэлементами с запирающим
слоем). Обладая, подобно элементам с внешним фотоэффектом,
строгой пропорциональностью фототока интенсивности излучения,
они имеют большую по сравнению с ними интегральную
чувствительность (примерно 2—30 мА/лм) и не нуждаются во
внешнем источнике э. д. с. К числу вентильных фотоэлементов
относятся германиевые, кремниевые, селеновые, и др.
Кремниевые и другие вентильные фотоэлементы применяются
для создания солнечных батарей, непосредственно преобразующих
световую энергию в электрическую. Эти батареи уже в течение
многих лет работают на советских космических спутниках и кораблях.
К. п. д. этих батарей составляет ≈10 % и, как показывают
теоретические расчеты, может быть доведен до ≈22 %, что открывает
широкие перспективы их использования в качестве источников
электроэнергии для бытовых и производственных нужд.
Рассмотренные виды фотоэффекта используются также в
производстве для контроля, правления и автоматизации различных
процессов, в военной технике для сигнализации и локации невидимым
излучением, в звуковом кино, в различных системах связи и т. д.
4.6.2 Эффект Комптона
Исследуя в 1923 г. рассеяние рентгеновских лучей, Комптон
пришел к открытию, известному теперь в науке под названием
явления Комптона, которое, как и фотоэффект, подтверждает гипотезу
о существовании фотонов. Комптон изучал рассеяние жесткого
рентгеновского излучения на телах, состоящих из легких атомов
(графит, парафин и пр.). Схема опыта Комптона представлена на
рисунке - 4.63. Монохроматическое рентгеновское излучение с
длиной волны λ, исходящее из рентгеновской трубки, проходит через
диафрагмы. Оно, в виде узкого пучка, направляется на рассеивитель.
Рассеянные лучи анализируются с помощью спектрографа
рентгеновских лучей. Оказалось, что в рассеянном излучении, наряду
с исходной длиной волны λ, появляется смещенная линия с длиной
волны λ' > λ. Изменение длины волны λ'-λ в длинноволновую сторону
спектра
при
рассеянии
излучения
получило
название
297
комптоновского смещения, а само явление — эффекта Комптона.
Опыт показал, что комптоновское смещение λ'-λ не зависит от состава
рассеивающего тела и длины падающей волны λ. Оно
пропорционально квадрату синуса половины угла рассеяния θ.
∆λ = (λ'-λ) = h/m0с (1 - cosθ) = 2h/m0с sin2θ/2
(4.74),
где θ — угол рассеяния (угол между направлениями распространения
первичного и рассеянного лучей), λк = 2,436 пм - постоянная
Комптона, найденная из опыта. Она описывает величину изменения
длины волны при рассеянии под углом 90°.
Явление Комптона было объяснено на основе квантовой теории
света. Будем рассматривать взаимодействие рентгеновского
излучения с веществом как процесс столкновения рентгеновских
фотонов со свободными электронами. Столкновение фотона со
свободными электронами будем считать упругим. Рассмотрение
проведем на основе законов сохранения энергии и импульса.
Пусть на покоящийся электрон с массой т0 падает квант
рентгеновского излучения с энергией hv. В результате упругого
столкновения рентгеновского фотона с покоящимся электроном
последний приобретает импульс, равный mv, и происходит рассеяние
фотона с энергией hv' под углом θ (рисунок - 4.64) Применяя закон
сохранения энергии и импульса, получим:
hv +m0c2 = hv' + тс2,
(mv)2 =( hv/c)2 + (hv' /c)2 – (2h2/ c2(ν-v')) cosθ‫׳‬
Перепишем первое уравнение этой системы в виде m2c4 = h2ν2 +
h2 (ν')2 – 2h2νv' + m0с4 + 2h2m0с2 (v - v'). Вычитая из этого уравнения
второе уравнение системы и принимая во внимание, что m = m0/ √1 –
v2/c2, получим hνv' (1 - cos θ) = m02c2 (v - v'). Переходя от частоты к
длине волны (v = с/λ и v' — с/λ'), получим
∆λ = h/m0с (1 - cosθ) = 2h/m0с sin2θ/2
(4.75),
где ∆λ = λ' — λ. Формула, полученная при этом, есть нечто иное, как
полученная экспериментально формула Комптона.
Подстановка значения h, m0 и с дает λк =2h/m0с = 2,436 пм (что
совпадает с данными, полученными Комптоном из эксперимента).
Универсальная постоянная λк является одной из важнейших атомных
постоянных. Она называется комптоновской длиной для электрона.
298
Комптоновская длина представляет собой изменение длины
волны фотона при его рассеянии на угол θ/2 на свободном
неподвижном электроне. Существует комптоновская длина для
протона, нейтрона и других элементарных частиц. Она также
определяется полученным выражением для λк, если в нем массу
электрона заменить на массу соответствующей частицы.
Рисунок - 4.63
Рисунок - 4. 64
4.6.3 Давление света. Опыты Лебедева
Согласно гипотезе световых квантов Эйнштейна, свет
испускается, поглощается и распространяется дискретными порциями
(квантами), названными фотонами. Энергия фотона ε = hv. Его масса
находится из закона взаимосвязи массы и энергии: m = hv/c2. Фотон —
элементарная частица, которая всегда (в любой среде) движется со
скоростью света с и имеет массу покоя, равную нулю. Следовательно,
масса фотона отличается от массы таких элементарных частиц, как
электрон, протон и нейтрон, которые обладают отличной от нуля
массой покоя и могут находиться в состоянии покоя и импульс фотона
равен р= mc.
Из приведенных рассуждений следует, что фотон, как и любая
другая частица, характеризуется энергией, массой и импульсом. Если
фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, должен
оказывать на него давление. Такое рассуждение было положено в
основу серии опытов русского ученого П. Н. Лебедева, который, с
помощью созданной им уникальной установки, в 1898 г. впервые
измерил давление света.
Схема опыта Лебедева по измерению давления света на твердые
тела изображена на рисунке - 4.65. Свет, исходящий от источника S,
пройдя через систему линз, попадает на поверхность зеркала З1.
Отраженный от З1 свет с помощью зеркал З3 и 34 направляется на
поверхность крыльев, которые находятся внутри баллона. Крылья,
расположенные симметрично относительно оси подвеса, являются
составной частью чувствительных крутильных весов, с помощью
которых определяется сила давления света. Под действием света
малоинертные подвески поворачиваются на определенный угол
299
вокруг нити подвеса. Зная модуль кручения нити, можно определить
силу действия света на подвески, а следовательно и давление света.
Ввиду очень малой величины давления света, как уже отмечено,
перед экспериментаторами возникли определенные трудности. Для
исключения радиометрического эффекта Лебедевым были подобраны
такие тонкие крылья, чтобы температура обеих поверхностей была
практически одинаковой. Радиометрический эффект можно
уменьшить также увеличением разрежения газа внутри баллона.
Чтобы исключить конвекционный эффект, Лебедев сконструировал
подвижную систему зеркал З1 - З2 позволяющую направить свет на
обе поверхности крыльев. Значение светового давления на крылышки
определялись по углу закручивания нити подвеса.
Результаты эксперимента позволили сделать следующие
выводы:
1) давление света на зеркальную поверхность в два раза больше,
чем давление на поверхность, полностью поглощающую свет;
2) величина давления света с точностью до 20% соответствует
значению, полученному теоретически Максвеллом.
Классические опыты П. Н. Лебедева по измерению давления
света явились фундаментальным доказательством и волновой, и
квантовой природы света. Рассчитаем с точки зрения квантовой
теории световое давление, оказываемое на поверхность тела потоком
монохроматического
излучения
(частота
ν),
падающего
перпендикулярно поверхности. Если в единицу времени на единицу
площади поверхности тела падает N фотонов, то при коэффициенте
отражения ρ света от поверхности тела ρN фотонов отразится, а (1—
ρ)N — поглотится. Каждый поглощенный фотон передает
поверхности импульс pν = hν/c, а каждый отраженный — 2pv = 2hν/c
(при отражении импульс фотона изменяется на —рν). Давление света
на поверхность равно импульсу, который передают поверхности в 1
секунду N фотонов:
р=(2hν/c) ρN + hν/c (1-ρ)N = (1+ρ) hν/c N
(4.76).
Nhv = Ee - есть энергия всех фотонов, падающих на единицу
поверхности в единицу времени, т. е. энергетическая освещенность
поверхности, а Ee/c = w — объемная плотность энергии излучения.
Поэтому давление, производимое светом при нормальном падении на
поверхность, равно
p = Ee /c(1+ρ)= w (1+ρ)
300
(4.77).
Эта формула, выведенная на основе квантовых представлений,
совпадает и с экспериментальными данными, и с теоретическими
данными, рассчитанными другими методами.
Рисунок - 4.65
4.6.4
Фотохимическое
действие
света.
Основные
фотохимические законы. Основы фотографии
Под действием света могут происходить самые разнообразные
химические реакции. В основе химического (а также биохимического)
действия света лежит явление взаимодействия света с веществом. В
зависимости от конкретного объекта поглощение света может вызвать
то или иное действие. В основе так называемого первого закона
фотохимии лежат как раз эти положения. Исходя из них, первый закон
фотохимии, можно сформулировать так: фотохимическая реакция
может быть вызвана только поглощенным молекулой светом. Если
поглощения не произошло, то химическая реакция невозможна. Этот
закон носит название закона эквивалентности.
Второй закон фотохимии связан с именем А. Эйнштейна (его
иногда называют законом Эйнштейна). Согласно этому закону,
поглощение света не обязательно заканчивается фотохимической
реакцией, однако если это происходит, то для химического изменения
каждой молекулы требуется только один фотон. Этот закон
математически можно выразить формулой n = ηN, где N — число
поглощенных фотонов, п — число молекул (атомов), претерпевших
химическую реакцию, η - квантовый выход (эффективность)
фотохимической реакции, величина различная в различных процессах.
Химические реакции, протекающие под влиянием света, носят
название фотохимических реакций. Примером фотохимической
реакции может служить разложение под влиянием света аммиака NH3
301
на азот и водород или бромистого серебра AgBr — на серебро и бром.
Под влиянием света протекают также реакции образования более
сложных молекул, например молекул НС1 из молекул водорода и
хлора. Эта последняя реакция протекает настолько бурно, что
сопровождается взрывом. Существуют также фотохимические
процессы, сводящиеся к полимеризации вещества, т. е. к образованию
многоатомных молекул из атомов исходного вещества. Большую роль
играют фотохимические реакции в биологии, например, разложение
углекислоты под действием света в зеленых частях растений, что
было впервые выяснено К. А. Тимирязевым.
Фотохимические
процессы
подчиняются
следующему
количественному закону: масса фотохимически прореагировавшего
вещества пропорциональна количеству поглощенной световой
энергии. Если обозначить через W мощность поглощенного света и
через t — время освещения, то закон запишется в виде m=kWt, где k —
коэффициент
пропорциональности,
зависящий
от
природы
происходящей фотохимической реакции. Численно коэффициент k
равен массе прореагировавшего вещества, приходящейся на единицу
поглощенной световой энергии.
Фотохимический процесс может сопровождаться вторичными
реакциями, вызванными химической активностью продуктов,
возникающих в результате фотохимического превращения. Закон,
сформулированный нашей последней формулой, относится лишь к
первичному фотохимическому процессу.
Изучение первичных фотохимических процессов показало, что
они протекают в соответствии с фотонной природой света: каждому
поглощенному фотону hν соответствует превращение одной
молекулы. Этот закон был впервые проверен на фотохимической
реакции разложения бромистого водорода НВr под влиянием
монохроматического света. Измерения показали, что на каждую
порцию поглощенного света hν приходится разложение одной
молекулы. Таким образом, реакция протекает согласно уравнению:
2HBr + 2hν = Н2 + Br2. Так как на превращение одной молекулы
требуется некоторая минимальная работа А, то энергия фотона hν
должна удовлетворять условию: hν ≥А, откуда вытекает
существование длинноволновой границы фотохимического процесса:
если частота света ν =<ν0 = A/h то фотохимическая реакция не
протекает. Для каждой данной фотохимической реакции v0 имеет
свое значение. Большинство фотохимических реакций протекает под
влиянием лишь ультрафиолетовых лучей. Последнее условие
необходимо, чтобы фотохимическая реакция могла протекать, но оно
302
еще не является достаточным: необходимо, чтобы свет данной
частоты поглощался молекулой. Если вещество прозрачно для света
данной частоты, то этот свет не может вызывать химического
превращения.
Опыт, однако, показывает, что в некоторых случаях, возможно
осуществить фотохимическую реакцию и в области частот v, для
которых вещество прозрачно, если прибавить второе вещество
(«сенсибилизатор»), поглощающее свет. Такого рода фотохимические
реакции называются сенсибилизированными.
На фотохимическом процессе основана фотография. Как
известно, современный фотографический процесс ведется с помощью
светочувствительной эмульсии, нанесенной тонким слоем на стекло
(фотопластинка) или целлулоидовую пленку (фотопленка). Эмульсия
состоит из микроскопических кристаллов бромистого серебра,
взвешенных в желатине. Первичный фотохимический процесс
сводится к разложению под влиянием света бромистого серебра и
выделению металлического серебра в виде отдельных очень мелких
частичек. При длительном освещении число этих частичек может
оказаться настолько значительным, что эмульсия заметно потемнеет.
При обычной же длительности освещения число выделившихся
частичек серебра невелико и они не дают заметного поглощения
света. Поэтому под влиянием первичного фотохимического действия
возникает
лишь
так
называемое
скрытое
изображение.
Фотопластинка, на которой в результате действия света возникло
скрытое изображение, подвергается вторичной химической обработке
- проявлению. Под влиянием соответствующих химических реактивов
(проявителя) вызывается восстановление металлического серебра,
там. где имелись «затравки» из отдельных частиц серебра. В
результате металлическое серебро выделяется преимущественно в тех
местах, которые были подвергнуты действию света, и таким образом
возникает негатив. Когда проявление закончено, остаток
неразложенного бромистого серебра удаляется с помощью раствора
гипосульфита (Na2Sa03).
4.7 Развитие квантовых представлений об атоме
4.7.1 Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц.
Планетарно-ядерная модель атома
В первой четверти 20-го века было установлено, что атом
состоит из положительно заряженного ядра и окружающей его
электронной оболочки. Линейные размеры ядра порядка 10 -13— 10-12
см. Размеры самого атома, определяемые электронной оболочкой,
303
примерно в 105 раз больше. Однако почти вся масса атома (не менее
99,95 %) сосредоточена в ядре. Это связано с тем, что ядро состоит из
«тяжелых» протонов и нейтронов, а электронная оболочка — из одних
только «легких» электронов (mp = 1836,15me, mn = 1838,68me). Число
электронов в оболочке нейтрального атома равно заряду ядра, если за
единицу принять элементарный заряд (т. е. заряд электрон