close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

688 volgin m.e. matematicheskie metodi dlya resheniya zadach elektrosnabjeniya uchebnoe posobie dlya studentov elektrotehnicheskih specialnostey. . 130 s

код для вставкиСкачать
Министерство образования и науки Республики Казахстан
Павлодарский государственный университет
им. С. Торайгырова
М. Е. Волгин
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
Учебное пособие
для студентов электротехнических специальностей
Павлодар
УДК 621.311: 51-7 (075.8)
ББК 31.19 я 73
В 67
Рекомендовано к изданию учебно-методической секцией по
специальностям энергетики, радиотехники, электроники и
телекоммуникаций при Алматинском институте энергетики и связи
МОН РК
Рецензенты:
Хацевский В.Ф. - доктор технических наук, профессор, заведующий
кафедрой "Автоматизация и управление" Павлодарского государственнного
университета им. С.Торайгырова.
Кувалдин А.Б. - доктор технических наук, профессор кафедры
"Физики
электротехнических
материалов
и
автоматизация
электротехнологических комплексов" Московского энергетического
института (ТУ).
Ляхомский А.В. - доктор технических наук, профессор, заведующий
кафедрой "Электрификация и энергоэффективность горных предприятий"
декан
горно-электромеханического
факультета
Московского
государственного горного университета.
В 67 Волгин М.Е.
Математические методы для решения задач электроснабжения:
учебное пособие для студентов электротехнических специальностей.
– Павлодар: ПГУ им. С. Торайгырова, 2008 . – 130 с.
ISBN 9965-583-48-Х
В учебном пособии изложены некоторые оптимизационные методы
и использование их при решении задач электроснабжения промышленных
предприятий. Показаны практические примеры оптимизации параметров
систем электроснабжения на базе математического моделирования.
Учебное пособие может быть полезно для студентов, магистрантов,
аспирантов и инженерно-технических работников электротехнических
специальностей.
УДК 621.311: 51-7 (075.8)
ББК 31.19 я 73
ISBN 9965-583-48-Х
© Волгин М.Е., 2008
© Павлодарский государственный
университет им. С.Торайгырова, 2008
2
Предисловие
Настоящее учебное пособие поможет студентам высших
учебных заведений, обучающимся по электроэнергетическим
специальностям, в изучении некоторых вопросов, связанных с
использованием
математического
моделирования
и
оптимизационных методов расчета при проектировании и
эксплуатации систем электроснабжения. Предоставленный материал
может быть также
использован инженерно-техническими
работниками, занимающимися вопросами электроснабжения.
В учебном пособии приводятся некоторые методы решения
оптимизационных задач, методы классического анализа и их
применение
в
технико-экономических
расчетах
систем
электроснабжения. Рассматриваются методы приближения функций,
такие как интерполяционный и метод наименьших квадратов.
Приведены примеры построения технико-экономических
моделей систем электроснабжения и их отдельных элементов.
На
примере
технико-экономической
модели
линии
электропередачи показано применение метода критериального
программирования для решения оптимизационной задачи с нулевой
степенью трудности. С использованием вышеуказанного метода
оптимизации для решения класса задач с положительной степенью
трудности
произведено
исследование
модели
системы
электроснабжения мощного угольного разреза, а также приведен
пример решения сетевой оптимизационной задачи.
Показано
применение
метода
теории
планирования
эксперимента при построении математических моделей оптимальных
параметров систем электроснабжения.
Замечания и пожелания по учебному пособию направлять по
адресу: 140018, г. Павлодар, ул. Ломова, 64, ПГУ им.С. Торайгырова,
каб. 223, кафедра электроэнергетики.
3
Введение
Энергетике принадлежит решающая роль в построении
материально-технической базы, в повышении технического уровня и
улучшении качественных показателей всех отраслей материального
производства.
Вопрос о необходимости изыскания путей повышения
эффективности производств и в том числе наиболее рационального
использования капитальных затрат, особенно актуален в наше время.
Актуальность задачи повышения экономической эффективности
капитальных вложений возрастает по мере увеличения масштабов
развития промышленных предприятий.
Целесообразность
внедрения
в
производство
нового
технического решения или мероприятий по его совершенствованию в
каждом конкретном случае должна проверяться с точки зрения
экономической
эффективности.
Расчеты
по
определению
экономической эффективности капитальных вложений должны
проводиться на всех стадиях и этапах планирования развития
производства, а также при проектировании отдельных предприятий.
При планировании и проектировании задачей сопоставительных
расчетов
является
выявление
оптимального
варианта,
обеспечивающего
достижение
максимальной
эффективности
капитальных затрат. Принятый вариант должен быть эффективен не
только для данной отрасли, или тем более предприятия, но и для
государства в целом. Любое техническое решение должно
проводиться в жизнь только после того, как оно будет проверено с
точки зрения его экономической целесообразности. Особенно это
важно для энергетики, где реализация экономически целесообразного
варианта, в силу большой капиталоемкости этой отрасли
производства,
может
привести
к
особенно
большим
общегосударственным потерям.
Стремясь удовлетворить все возрастающие потребности
промышленного производства в топливно-энергетических ресурсах,
правительство создает все необходимые условия для интенсивного
развития электроэнергетики.
Масштабы развития промышленных предприятий, высокие
темпы роста производства и потребления электрической энергии
ставят перед наукой и практикой все более сложные задачи,
связанные с техническими и экономическими обоснованиями при
проектировании и эксплуатации СЭС.
4
Современное состояние развития науки и техники в отрасли
проектирования и эксплуатации СЭС промышленных предприятий
можно характеризовать следующими особенностями:
а) в соответствии с общей тенденцией к повышению
экономической целесообразности всех энергетических установок
существенно изменились и повысились требования к оптимизации
систем электроснабжения промышленных предприятий. Это в
одинаковой степени относится как к действующим, так и к
проектируемым или строящимся предприятиям;
б)
постоянное
изменение
состояния
промышленных
предприятий ставит под сомнение оптимальность решений, принятых
на основе анализа статического состояния системы электроснабжения.
В этих условиях необходима более совершенная постановка вопроса
об осуществлении динамического проектирования с учетом
непрерывного изменения электрических нагрузок;
в) решения задач оптимизации основных параметров и режимов
систем промышленного электроснабжения все шире в настоящее
время опирается на методы математического моделирования, при
которых исследуется математическая модель объекта. Наряду с
методами классического анализа в практике технико-экономических
расчетов широко используются и такие, как теория вероятностей и
математическая статистика, линейное, динамическое и критериальное
программирование, теория планирования эксперимента и др;
г) в последние годы появились новые средства для решения
больших по объему и сложных по характеру оптимизационных задач.
При использовании компьютерной техники появилась возможность
рассматривать задачи с большим количеством вариантов и более
эффективно выявлять факторы, наиболее существенно влияющие на
построение оптимальных систем электроснабжения промышленных
предприятий. Эти обстоятельства
соответствуют
требованиям
улучшения
технико-экономических обоснований проектных
решений, предельно сократить сроки их разработки, значительно
повысить их качество. Иными словами, создается перспектива
широкого внедрения системы автоматизированного проектирования
электроснабжения промышленных предприятий.
Важнейшими требованиями к проектируемым и существующим
системам электроснабжения промышленных предприятий является
надежность и экономичность. Это прежде всего означает принятие
наиболее совершенных технических решений, обеспечивающих
рациональное сочетание капитальных затрат на сооружение систем
электроснабжения и ежегодных расходов на их эксплуатацию.
5
В соответствии с принятой методикой технико-экономических
расчетов основным экономическим критерием выбора технического
решения при проектировании, эксплуатации и реконструкции систем
электроснабжения является уровень приведенных затрат. Таким
образом, всякие расчеты по оптимизации систем электроснабжения
промышленных предприятий должны, прежде всего, обеспечивать
минимум приведенных затрат.
В связи с требованиями экономической целесообразности
принимаемых
решений
особую
актуальность
приобретают
исследования, связанные с нахождением оптимальных параметров.
Правильное решение проблемы выбора параметров системы
электроснабжения имеет важное значение для дальнейшего
успешного развития промышленной электроэнергетики.
Исследования многих авторов показали, что даже частичное
приближение выбираемых параметров к оптимальным, обеспечивает
высокий экономический эффект.
Целесообразное
построение
системы
электроснабжения
определяется решением следующих главных технико-экономических
задач:
а) определение рационального размещения подстанций по
территории предприятия с учетом перспективы роста электрических
нагрузок;
б) правильный технически и экономически обоснованный выбор
числа и мощности трансформаторов на трансформаторных
подстанциях;
в) выбор экономически целесообразного режима работы
трансформаторов.
г) выбор рациональной, с точки зрения технико-экономических
показателей, схемы электроснабжения предприятия;
д) выбор рациональных напряжений и оптимального числа
трансформаций с учетом перспектив развития промышленных
предприятий;
е) выбор экономически целесообразных сечений проводов и жил
кабелей;
ж)
выбор
мощности
и
рационального
размещения
компенсирующих устройств;
з) обеспечение показателей качества электрической энергии.
Особое значение в условиях массового проектирования имеет
проведение работ, направленных на разработку и создание
инженерных методик проектирования и определения оптимальных
параметров систем электроснабжения.
6
В силу того, что основные параметры, определяющие техникоэкономические показатели систем электроснабжения (напряжения и
сечения линий электропередачи, количество и мощность
трансформаторных подстанций и др.), являются дискретными,
ограниченными величинами и их взаимосвязь зачастую не поддается
строгому математическому описанию, применение классических
методов
математического
анализа
для
решения
задачи
проектирования
оптимальной
системы
электроснабжения
представляется затруднительным, а иногда и невозможным.
Методы математического программирования, применяемые для
такого рода задач, получили развитие лишь в последние 15-20 лет и в
силу этого не нашли широкого распространения в проектной
практике, хотя работы по их применению для решения отдельных
задач электроснабжения промышленных предприятий известны.
Таким образом, при отсутствии строгих математических
методов, проектирование рациональных систем электроснабжения
промышленных предприятий чаще всего осуществляется методом
повариантного сравнения. Проектировщиком формируется ряд
технически приемлемых вариантов систем электроснабжения, из
которых выбирается оптимальный вариант с минимальными
приведенными затратами. Несмотря на большую, сложность, еще
более возрастающую с увеличением количества конкурирующих
вариантов, этот метод позволяет получить более или менее
приемлемое решение. В то же время метод повариантного сравнения
имеет существенные недостатки:
а) среди числа вариантов, принятых для сравнения,
наивыгоднейшего варианта может не оказаться;
б) отыскание варианта с наименьшими приведенными затратами
связано с большим объемом вычислительной работы, особенно при
рассмотрении большого числа конкурирующих вариантов;
в) проведение большого объема вычислений может привести к
появлению ошибок, существенно влияющих на принятие проектного
решения;
г) при назначении конкурирующих вариантов возможно
дублирование проектных ошибок из-за некритического использования
инженерного опыта и имеющихся в проектной практике знаний.
Лишь компьютеризация проектирования позволяет успешно
использовать этот метод, не меняя его сущность и избегая
недостатков, отмеченных выше.
Качественное
решение
задач
оптимизации
систем
электроснабжения промышленных предприятий сегодня немыслимо
7
без применения современных математических методов и
компьютерной техники, оснащенные современными пакетами
стандартных программ, которые широко используются в проектной
практике. Только на этой основе можно говорить и об успешном
решении такой важной проблемы, как автоматизация процесса
проектирования систем электроснабжения при одновременном
повышении экономической эффективности принимаемых проектных
решений.
8
1 Задачи оптимизации и методы их решения
1.1 Общие положения задач оптимизации
Явно или неявно мы встречаемся с оптимизацией в любой сфере
человеческой деятельности от сугубо личного до самого высокого
общегосударственного уровня. Экономическое планирование,
управление, распределение ограниченных энергетических ресурсов,
анализ производственных процессов, проектирование сложных систем
электроснабжения всегда должно быть направлено на поиск
наилучшего варианта с точки зрения экономичности и надежности.
Все это – важнейшее условие научно-технического прогресса.
При небывалом разнообразии задач оптимизации только
математика может дать общие методы их решения. Однако для того,
чтобы воспользоваться математическим аппаратом, необходимо
сначала сформулировать интересующую нас проблему как
математическую задачу, придав количественные оценки возможным
вариантам, количественный смысл словам «лучше», «хуже».
Многие задачи оптимизации [1] сводятся к отысканию
наименьшего (или наибольшего) значения некоторой функции,
которую принято называть целевой функцией или критерием
качества. Постановка задачи и методы исследования существенно
зависят от свойств целевой функции и той информации о ней, которая
может считаться доступной в процессе решения, а также, которая
известна априори (до опыта, заранее; здесь – до начала решения
задачи).
Наиболее просты, с математической точки зрения, случаи, когда
целевая функция задается явной формулой и является при этом
дифференцируемой функцией. В этом случае для исследования
свойств функции, определения направлений ее возрастания и
убывания, поиска точек локального экстремума может быть
использована производная.
В последние десятилетия в условиях научно-технического
прогресса круг задач оптимизации, поставленных практикой, резко
расширился. Во многих из них целевая функция не задается
формулой, ее значения могут получаться в результате сложных
расчетов, браться из эксперимента и т.д. Такие задачи являются более
сложными, потому что для них нельзя провести исследование целевой
функции с помощью производной. Пришлось уточнять их
математическую постановку и разработать специальные методы
решения, рассчитанные на широкое применение компьютерной
9
техники. Следует иметь в виду, что сложность задачи существенно
зависит от ее размерности, т.е. от числа аргументов целевой функции.
Под оптимизацией понимают процесс выбора лучшего варианта
из всех возможных с точки зрения принимаемых инженерных
решений или расчетов.
В процессе решения любой задачи оптимизации должны быть
получены такие значения параметров, при которых целевая функция
имеет оптимальное значение (min, max).
Целевую функцию, выраженную в явном виде, цель уравнения
можно рассматривать как выходную величину объекта уравнения. В
качестве критерия оптимальности могут быть различные технические
и экономические показатели:
 максимальная производительность;
 максимальная прибыль;
 минимальный расход электрической энергии;
 минимальные приведенные затраты;
 минимальный расход ресурсов;
 минимальная стоимость;
 минимальные габариты;
 максимальная надежность;
 максимальное быстродействие.
Если целевая функция зависит от одного аргумента, то решение
ее будет называться одномерной задачей оптимизации, в других
случаях – многомерной задачей оптимизации.
Постановка задачи и методы исследования существенно зависят
от свойств целевой функции и информации о ней.
Наиболее просты с математической точки зрения случая, когда
целевая функция задается явной формулой и является при этом
дифференцируемой функцией.
Под решением задачи оптимизации понимают процесс выбора
управляемых переменных x, принадлежащих некоторой области D
(xD) и обеспечивающих оптимальное значение функции. Численные
значения составляющих вектора X x{x1, x2, …, xn} должны удовлетворять
требованиям, предъявляемым к объекту исследования. Эти
требования определяются многими факторами:

условия физической реализуемости переменных;

в условиях эксплуатации эти переменные должны
обеспечивать надежную работу и экономичность объекта;

должны обеспечить заданные технические характеристики и
параметры объекта.
10
Удовлетворение этих требований сводится к системе
ограничений, накладываемых на управляемые переменные x.
Ограничения записываются в виде систем уравнений и
неравенств.
На примере (рисунок 1.1) наглядно показано решение
оптимизационной задачи.
В некоторых случаях ограничения могут быть несовместимыми
– отсутствие оптимального решения.
Есть теорема, которая гарантирует существование экстремума
функции (т.н. теорема Вейерштрасса): всякая функция f(x) на
непрерывном интервале[a,b] принимает на этом отрезке свое
наименьшее и наибольшее значение, т.е. на отрезке [a,b] существуют
такие точки х1, х2, что для любого
x[a,b] выполняются неравенства
f x 1   f x   f x
2
,
т.е. задача оптимизации всегда имеет решение.
Пример.
S  f x 1 , x
x1  x 2  r

x1  x 2  C

x  0; x 2  0
 1
2
2
2
2

x2
Область оптимальных
решений
0
r
x1
Рисунок 1.1
Общую задачу оптимизации можно сформулировать так: найти
экстремум функции
11
S  F  x 1 , x 2 ,..., x
n
,
 
f j  x   0 , j  1 , 2 ,..., m
 
_
при ограничениях

_

 k  x   0,

a
i

 x
i
m
 n;
(1.2)
;
(1.3)
n.
(1.4)
k  1,2,..., e
 b i  i  1,2,...,
(1.1)
Методы и алгоритмы оптимизации предполагают, что все
функции вещественны, а число ограничений конечно. Задача,
записанная уравнениями (1.1) – (1.4) называется задачей условной
оптимизации. Задача, в которой нет ограничений, называется задачей
безусловной оптимизации.
Задачи условной оптимизации, в которых целевая функция и
ограничения описываются линейными функциями, называются
задачами линейного программирования, а если нелинейными
функциями, то задачами нелинейного программирования.
1.2 Методы решения оптимизационных задач и их анализ
1.2.1 Метод равномерного распределения точек по отрезку
(одномерные задачи оптимизации). Возьмем некоторое целое число
n [1], вычислим шаг h = (b – a)/n и определим значения функции f(x) в
точках xk = a + + kh (k = 0,1, …, n): yk = f(x). После этого найдем среди
полученных чисел наименьшее
m
m
n
n
 min(y
0
, y 1 , ..., y n ),
 m  minf(x),
x  [a, b].
Число mn можно приближенно принять за наименьшее значение
функции f(x) на отрезке [a, b]. Благодаря непрерывности функции f(x)
имеем
lim m
n
∞
n
 m  min f(x) ,
т.е. с увеличением числа точек n ошибка, которую мы допускаем,
принимая mn, стремится к нулю.
Какое же n нужно взять, чтобы погрешность в определении
значения функции δ n  m n  m не превышала заданной точности ε,
12
т.е. чтобы δ n  ε ? Это – обычный вопрос, который всегда встает при
приближенном решении математических задач.
Для данной задачи ситуация оказывается более сложной. Если
нам известно только то, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b],
то ответить на поставленный вопрос нельзя. Эта трудность не связана
с предложенным способом выбора точек xk, она носит
принципиальный характер. Какое бы n мы не взяли и как бы ни
выбирали n точек на отрезке [a, b], всегда можно указать такую
непрерывную функцию, что для нее mn будет отличаться от m больше
чем на ε.
Справедливость этого утверждения иллюстрирует рисунок 1.2.
На нем приведен график некоторой непрерывной функции. Допустим,
что, желая найти ее наименьшее значение, мы взяли n = 8. Определяя
значения функции y k  f(x k ) в точках xk (k = 0, 1, …, 8) (на рисунке
значения y k  f(x k ) отмечены кружочками), получим
m
8
 min(y
0
, y 1 , ..., y 8 )  y 6  f(x
6
).
Величину m8 = y8 согласно описанному методу следует
приближенно принять за наименьшее значение функции m.
Представьте, что у нас нет перед глазами рисунка 1.2 (как и полагает
постановка задачи), а известны только 9 чисел yk. По ним невозможно
установить, что функция f(x) имеет между точками х1 и х2 узкий
«язык», который опускается гораздо ниже y6 = m6. Из-за небольшого
числа точек мы его пропустим. Если взять большее n, то данный
«язык» обнаружится, но может
Рисунок 1.2 – Пример, иллюстрирующий трудности, которые могут
возникнуть при приближенном определении наименьшего значения
функции по ее значениям в нескольких точках
13
оказаться незамеченным какой-нибудь другой еще более узкий
«язык». При отсутствии дополнительной информации о свойствах
функции f(x), о том, насколько «резкими» могут быть ее изменения,
сомнения останутся, какое бы большое число точек мы ни взяли.
Дать строго обоснованную оценку числа точек n, необходимого
для решения задачи с точностью ε(δ n  ε) , можно только, сужая класс
рассматриваемых функций. Предположим, например, что функция y =
f(x) не просто непрерывна, а удовлетворяет условию Липшица с
известной постоянной α, тогда легко получить следующее неравенство
для нужного числа точек n в данном методе
n 
α
ε
(b  a).
(1.5)
Однако и этот результат малоэффективен при отсутствии явной
формулы для функции f(x). Он может быть использован, если имеется
априорная информация о величине постоянной Липшица α. В
противном случае предположение о справедливости для целевой
функции условия Липшица и оценка константы α, входящей в (1.5),
носит характер гипотезы, которую, как правило, невозможно
проверить. (Подумайте сами, как это сделать в задаче о химическом
производстве, если каждое значение целевой функции f(T) получается
в результате экспериментальных измерений, а условие Липшица, с
точки зрения математического определения, нужно проверять для
любой пары аргументов из рассматриваемой области.). Поэтому при
решении вопроса о числе точек и точности важно максимально полно
использовать всю дополнительную информацию о свойствах целевой
функции, о степени ее гладкости, вытекающую из характера и
особенностей задачи. Не последнюю роль играет и такой фактор, как
опыт, интуиция исследователя.
1.3 Многомерные задачи оптимизации
1.3.1 Общие положения. До сих пор мы обсуждали
одномерные задачи оптимизации, в которых целевая функция
зависела только от одного аргумента. Однако подавляющее число
реальных задач оптимизации, представляющих практический интерес,
являются многомерными: в них целевая функция зависит от
нескольких аргументов, причем иногда их число может быть весьма
большим /1/.
14
Вспомним, например, задачу о химическом производстве. Мы
отметили, что в ней целевая функция зависит от температуры, и при
определенном ее выборе производительность (выход интересующего
нас продукта) оказывается максимальной. Однако, наряду с
температурой, производительность зависит также от давления,
соотношения между концентрациями вводимого сырья, катализаторов
и ряда других факторов. Таким образом, задача выбора наилучших
условий химического производства – это типичная многомерная
задача оптимизации.
Математическая постановка таких задач аналогична их
постановке в одномерном случае: ищется наименьшее (наибольшее)
значение целевой функции, заданной на некотором множестве Е
возможных значений ее аргументов. В случае, когда целевая функция
непрерывна, а множество Е является замкнутой ограниченной
областью, остается справедливой теорема Вейерштрасса. Тем самым
выделяется класс задач оптимизации, для которых гарантировано
существование решения. В дальнейшем мы всегда будем
предполагать, не ограничивая этого особо, что все рассматриваемые
задачи принадлежат этому классу.
Как и в одномерном случае, характер задачи и соответственно
возможные методы решения существенно зависят от той информации
о целевой функции, которая нам доступна в процессе исследования. В
одних случаях целевая функция задается аналитической формулой,
являясь при этом дифференцируемой функцией. Тогда можно
вычислить ее частные производные, получить явное выражение для
градиента, определяющего в каждой точке направления возрастания и
убывания функции, и использовать эту информацию для решения
задачи. В других случаях никакой формулы для целевой функции нет,
а имеется лишь возможность определить ее назначение в любой точке
рассматриваемой области (с помощью расчетов, в результате
эксперимента и т.д.). В таких задачах в процессе решения мы
практически можем найти значения целевой функции лишь в
конечном числе точек, и по этой информации требуется приближенно
установить ее наименьшее значение для всей области.
Многомерные задачи, естественно, являются более сложными и
трудоемкими, чем одномерные, причем обычно трудности при их
решении возрастают при увеличении размерности. Для того, чтобы вы
лучше почувствовали это, возьмем самый простой по своей идее
приближенный метод поиска наименьшего значения функции,
который уже обсуждался для одномерных задач в 1.2.1. Покроем
15
рассматриваемую область сеткой с шагом h (рисунок 1.3) и определим
значения функции в ее узлах.
Рисунок 1.3 – Построение сетки с шагом h и выбор «пробных» точек в
узлах сетки для приближенного определения наименьшего значения
функции двух переменных
Сравнивая полученные числа между собой, найдем среди них
наименьшее и примем его приближенно за наименьшее значение
функции для всей области.
Как мы уже говорили выше, данный метод используется для
решения одномерных задач. Иногда он применяется также для
решения двумерных, реже трехмерных задач. Однако для задач
большей размерности он практически непригоден из-за слишком
большого времени, необходимого для проведения расчетов.
Действительно, предположим, что целевая функция зависит от
пяти переменных, а область определения является пятимерным кубом,
каждую сторону которого при построении сетки мы делим на 40
частей. Тогда общее число узлов сетки будет равно 41 5  10 8 . Пусть
вычисление значения функции в одной точке требует 1000
арифметических операций (это немного для функции пяти
переменных). В таком случае общее число операций составит 1011.
Если в нашем распоряжении имеется ЭВМ с быстродействием 1 млн.
операций в секунду, то для решения задачи с помощью данного
метода потребуется 105 секунд, что превышает сутки непрерывной
работы. Добавление еще одной независимой переменной увеличит это
время в 40 раз.
Проведенная оценка показывает, что для больших задач
оптимизации метод сплошного перебора непригоден. Иногда
сплошной перебор заменяют случайным поиском. В этом случае
точки сетки просматриваются не подряд, а в случайном порядке. В
16
результате поиск наименьшего значения целевой функции
существенно ускоряется, но теряет свою надежность.
Перейдем к обсуждению методов, позволяющих вести поиск
наименьшего значения функции целенаправленно.
1.3.2 Метод покоординатного спуска. Пусть нужно найти
наименьшее значение целевой функции [1] u  f(M)  f(x 1 , x 2 , ..., x n ).
Здесь через M обозначена точка n-мерного пространства с
координатами x1, x2, …, xn: M = (x1, x2, …, xn). Выберем какую-нибудь
начальную точку M0 = (x10, x20, …, xn0) и рассмотрим функцию f при
фиксированных значениях всех переменных, кроме первой: f(x1, x20,
x30, …, xn0). Тогда она превратится в функцию одной переменной x1.
изменяя эту переменную, будем двигаться от начальной точки x1 = x10
в стону убывания функции, пока не дойдем до ее минимума при x1 =
x11, после которого она начинает возрастать. Точку с координатами
(x11, x20, x30, …, xn0) обозначим через M1, при этом f(M 0 )  (M 1 ) .
Фиксируем теперь переменные x1 = x11, x3 = x30, …, xn = xn0 и
рассмотрим функцию f как функцию одной переменой x2: f(x11, x2, x30,
…, xn0). Изменяя x2, будем опять двигаться от начального значения x2
= x20 в сторону убывания функции, пока не дойдем до минимума при
x2 = x21. Точку с координатами (x11, x21, x30, …, xn0) обозначим через
M2, при этом f(M 1 )  (M 2 ).
Проведем такую же минимизацию целевой функции по
переменным х3, х4, …, хn. Дойдя до переменной хn, снова вернемся к х1
и продолжим процесс. Эта процедура вполне оправдывает название
метода. С ее помощью мы построим последовательность точек М0,
М1, М2, …, которой соответствует монотонная последовательность
значений функции f(M 0 )  f(M 1 )  f(M 2 )  ... обрывая ее на некотором
шаге k, можно приближенно принять значение функции f(Mk) за ее
наименьшее значение в рассматриваемой области.
Отметим, что данный метод сводит задачу поиска наименьшего
значения функции нескольких переменных к многократному решению
одномерных задач оптимизации. Если целевая функция f(x1, x2, …, xn)
задана явной формулой и является дифференцируемой, то мы можем
вычислить ее частные производные и использовать их для
определения направления убывания функции по каждой переменной и
поиска соответствующих одномерных минимумов. В противном
случае, когда явной формулы для целевой функции нет, одномерные
задачи следует решать с помощью методов, описанных в 1.2.1.
17
Рисунок 1.4 – Поиск наименьшего значения функции методом
покоординатного спуска
На рисунке 1.4 изображены линии уровня некоторой функции
двух переменных u  f(x, y) . Вдоль этих линий функция сохраняет
постоянные значения, равные 1, 3, 5, 7, 9. показана траектория поиска
ее наименьшего значения, которое достигается в точке 0, с помощью
метода покоординатного спуска. При этом нужно ясно понимать, что
рисунок служит только для иллюстрации метода. Когда мы
приступаем к решению реальной задачи оптимизации, такого рисунка,
содержащего в себе готовый ответ, у нас, конечно, нет.
1.3.3 Метод градиентного спуска. Рассмотрим функцию f,
считая для определенности, что она зависит от трех переменных x, y, z
[1]. Вычислим ее частные производные
f
x
f
,
y
,
f
z
и образуем с их
помощью вектор, который называют градиентом функции
grad f(x, y, z) 
f
x
(x, y, z)i 
f
y
(x, y, z)j 
f
z
(x, y, z)k.
Здесь i, j, k – единичные векторы, параллельные координатным осям.
Частные производные характеризуют изменение функции f по каждой
независимой переменной в отдельности. Образованный с их помощью
вектор градиента дает общее представление о поведении функции в
окрестности точки (x, y, z). Направление этого вектора является
направлением наиболее быстрого возрастания функции в данной
точке. Противоположное ему направление, которое часто называют
антиградиентным, представляет собой направление наиболее
быстрого убывания функции.
Модуль градиента
18
2
2
grad f(x, y, z) 
 f

 f

 f

(x, y, z)   
(x, y, z)   
(x, y, z) 

 x

 z

 y

2
определяет скорость возрастания и убывания функции в направлении
градиента и антиградиента. Для всех остальных направлений скорость
изменения функции в точке (x, y, z) меньше модуля градиента. При
переходе от одной точки к другой как направление градиента, так и
его модуль, вообще говоря меняются. Понятие градиента
естественным образом переносится на функции любого числа
переменных.
Прейдем к описанию метода градиентного спуска. Основная его
идея состоит в том, чтобы двигаться к минимуму в направлении
наиболее быстрого убывания функции, которое определяется
антиградиентом. Эта идея реализуется следующим образом.
Выберем каким-либо способом начальную точку, вычислим в
ней градиент рассматриваемой функции и сделаем небольшой шаг в
обратном антиградиентном направлении. В результате мы придем в
точку, в которой значение функции будет меньше первоначального. В
новой точке повторим процедуру: снова вычислим градиент функции
и сделаем шаг в обратном направлении. Продолжая этот процесс, мы
будем двигаться в сторону убывания функции. Специальный выбор
направления движения на каждом шаге позволяет надеяться на то, что
в данном случае приближение к наименьшему значению функции
будет более быстрым, чем в методе покоординатного спуска.
Метод градиентного спуска требует вычисления градиента
целевой функции на каждом шаге. Если она задана аналитически, то
это, как правило, не проблема: для частных производных,
определяющих градиент, можно получить явные формулы. В
противном случае частные производные в нужных точках приходится
вычислять приближенно, заменяя их соответствующими разностными
отношениями
f
x i

f(x
1,
..., x i  Δx i , ..., x n ) - f(x 1 , ..., x i , ..., x n )
Δx
.
i
Отметим, что при таких расчетах Δx i нельзя брать слишком
малым, а значения функции нужно вычислять с достаточно высокой
степенью точности, иначе при вычислении разности
19
Δf  f(x
1,
..., x i  Δx i , ..., x n ) - f(x 1 , ..., x i , ..., x n )
будет допущена большая ошибка.
Рисунок 1.5 – Поиск наименьшего значения функции методом
градиентного спуска
На рисунке 1.5 изображены линии уровня той же функции двух
переменных u = f(x, y), что и на рисунке 1.4, и приведена траектория
поиска ее минимума с помощью метода градиентного спуска.
Сравнение рисунков 1.4 и 1.5 показывает, насколько более
эффективным является метод градиентного спуска.
1.3.4 Метод наискорейшего спуска. Вычисление градиента на
каждом шаге, позволяющее все время двигаться в направлении
наиболее быстрого убывания целевой функции, может в то же время
замедлить вычислительный процесс [1]. Дело в том, что подсчет
градиента – обычно гораздо более сложная операция, чем подсчет
самой функции. Поэтому часто пользуются модификацией
градиентного метода, получивший название метода наискорейшего
спуска.
Согласно этому методу после вычисления в начальной точке
градиента функции делают в направлении антиградиента не
маленький шаг, а движутся до тех пор, пока функция убывает.
Достигнув точки минимума на выбранном направлении, снова
вычисляют градиент функции повторяют описанную процедуру. При
этом градиент вычисляется гораздо реже, только при смене
направлений движения.
На рисунке 1.6 показана траектория поиска наименьшего
значения целевой функции по методу наискорейшего спуска. Функция
выбрана та же, что и на рисунке 1.4 и 1.5. Хотя траектория ведет к
цели не так быстро, как на рисунке 1.5, экономия машинного времени
20
за счет более редкого вычисления градиента может быть весьма
существенной.
Рисунок 1.6 – Поиск наименьшего значения функции методом
наискорейшего спуска
1.3.5 Проблема «оврагов». Мы рассказали о трех вариантах
методов спуска и показали на рисунках 1.4-1.6 как хорошо они
работают [1]. В результате у нас могло сложиться впечатление, что
проблема решена. На самом деле это не так. Все было хорошо потому,
что был выбран «удобный» пример. Но посмотрите на рисунок 1.7. На
нем также показаны линии уровня некоторой функции, однако их
конфигурация отличается от рисунков 1.4-1.6. Линии уровня сильно
вытянуты в одном направлении и сплющены в другом. Они
напоминают рельеф местности с оврагом. Этот случай крайне
неудобен для описанных выше методов.
Действительно, попытаемся найти наименьшее значение такой
функции с помощью градиентного спуска. Двигаясь все время в
направлении антиградиента, мы быстро спустимся на дно «оврага» и,
поскольку движение идет хотя и маленькими, но конечными шагами,
проскочим его. Оказавшись на противоположной стороне «оврага» и
вычислив там градиент функции, мы будем вынуждены развернуться
почти на 180° и сделать один или несколько шагов в обратном
направлении. При этом мы снова проскочим дно «оврага» и вернемся
на его первоначальную сторону. Продолжая этот процесс, мы вместо
того, чтобы двигаться по дну «оврага» в сторону его понижения,
будем совершать зигзагообразные скачки поперек «оврага», почти не
приближаясь к цели. Таким образом, в случае «оврага» (этот
нематематический термин прочно закрепился в литературе)
описанные выше методы спуска оказываются неэффективными.
Для борьбы с «оврагами» был предложен ряд специальных
приемов. Один из них заключается в следующем. Из близких точек
21
совершают градиентный спуск на дно «оврага». Потом соединяют
найденные точки прямой и делают вдоль ее большой (овражный) шаг.
Из найденной точки снова спускаются на дно «оврага» и делают
второй овражный шаг. В результате, двигаясь достаточно быстро
вдоль «оврага», приближаемся к искомому наименьшему значению
целевой функции, смотри рисунок 1.7. Такой метод достаточно
эффективен для функций двух переменных, однако при большем
числе переменных могут возникнуть трудности.
Рисунок 1.7 – Поиск наименьшего значения функции в случае
«оврагов»
Все описанные выше методы приспособлены к случаю, когда
наименьшее значение функции достигается внутри рассматриваемой
области, и становятся малоэффективными, если наименьшее значение
достигается на границе или вблизи нее. Для решения таких задач
приходится разрабатывать специальные методы. Мы не будем на них
останавливаться. Вам должно быть и без этого ясно, что большое
число специальных методов – это признак слабости, а не силы. Ведь,
приступая к решению практической задачи, мы, как правило, не знаем
всех особенностей и не можем сразу выбрать наиболее эффективный
метод.
1.3.6 Проблема многоэкстремальности. Посмотрите на
рисунки 1.4-1.7 и сравните их с рисунком 1.8 [1]. Первые четыре
рисунка относятся к функциям, имеющим только один минимум.
Поэтому, откуда бы не начинался поиск, мы придем в конце концов к
22
нужной точке. На рисунке 1.8 приведены линии уровня функции с
двумя локальными минимумами в точках О1 и О2. Такие функции
принято называть многоэкстремальными. Сравнивая между собой
значения функции в точках О1 и О2: f1 = 3, f2 = 1, находим, что
наименьшее значение функция достигает в точке О2.
Рисунок 1.8 – Пример функции с двумя локальными минимумами в
точках О1 и О2
Представьте себе теперь, что, не имея перед глазами рисунка 1.8
и не зная о многоэкстремальности функции, мы начали поиск
наименьшего значения с помощью метода градиентного спуска из
точки А1. Поиск приведет нас в точку О1, которую ошибочно можно
принять за искомый ответ. С другой стороны, если мы начнем поиск с
точки А2, то окажемся на правильном пути и быстро придем в точку
О2.
Как бороться с многоэкстремальностью? Универсального ответа
на этот вопрос нет. Самый простой прием состоит в том, что проводят
поиск несколько раз, начиная его с разных точек. Если при этом
получаются разные ответы, то сравнивают в них значения целевой
функции и выбирают наименьшее. Расчеты останавливаются после
того, как несколько новых поисков не меняют полученного ранее
результата. Выбор начальных точек поиска, обоснованность
прекращения расчетов в значительной степени зависят от опыта и
интуиции специалистов, решающих задачу.
Нарисованная картина может показаться слишком мрачной. На
самом деле во многих случаях имеется различная дополнительная
информация о характере задачи, которая существенно помогает при
выборе метода, начальной точки поиска и т.д. Кроме того, пока мы не
делали никаких предположений о специальных свойствах целевой
функции и о характере рассматриваемой области. Это затрудняет
23
анализ. Конкретизация задачи, выделение определенных классов
функций и областей позволяет провести более глубокое исследование
и разработать специальные методы, которые решают задачу
исчерпывающим
образом.
Важным
классом
таких
«специализированных» задач оптимизации являются задачи
линейного программирования, о которых будет рассказано в
следующем параграфе. Существуют и другие типы задач
оптимизации, конкретные специфические особенности которых
позволяют провести их детальный анализ и разработать эффективные
методы решения. Однако на них мы останавливаться не будем.
1.4 Методы оптимизации, применяемые в электроснабжении
Как уже отмечалось, для успешного решения оптимизационных
задач промышленной электроэнергетики, возникающих как на стадии
проектирования систем электроснабжения, так и в процессе их
эксплуатации, необходимо использование различных математических
методов в технико-экономических расчетах.
Оптимизация систем электроснабжения (СЭС) является весьма
сложной задачей [2], решение которой требует широкого применения
методов математического моделирования состоящих из следующих
этапов:
а) получения исходных данных;
б) составление целевой (минимизируемой) функции;
в) составление алгоритма и программы расчета, предназначенной
для минимизации целевой функции.
Задача оптимизации СЭС является динамической, т.е. она не
может быть решена для какого-то определенного момента времени
(года). Необходимо оптимизировать затраты в течение достаточно
длительного периода времени (10 – 20 лет), так как оптимальные
решения для отдельных лет этого периода могут противоречить друг
другу.
Основными исходными данными для решения задачи
оптимизации систем электроснабжения являются:
а) данные об электрических нагрузках промышленного
предприятия и приемников электроэнергии;
б) данные о динамике территориального развития предприятия;
в) данные о возможных способах передачи электрической
энергии;
г) характеристики уровня надежности элементов системы
электроснабжения;
24
д) вид и характер минимизируемой (целевой) функции.
Минимизируемая (целевая) функция в задаче оптимизации
систем электроснабжения равняется сумме всех приведенных затрат
по сооружаемым элементам системы. В число этих затрат входят
затраты,
связанные
с
капиталовложениями,
ремонтом
и
эксплуатационными затратами.
Целевая функция
З  Кр
Н
 И
,
где
К и И – капитальные и эксплуатационные затраты;
рН – коэффициент экономической эффективности.
Капитальные
затраты
К
на
сооружение
системы
электроснабжения в общем случае можно представить как функцию
многих переменных
К = f(x1, х2,...,хn).
Здесь х1, х2,...,хn
могут быть параметры, подлежащие
оптимизации.
Минимизируемая функция в задаче оптимизации системы
электроснабжения является сложной нелинейной функцией очень
большого числа неизвестных, часть которых является дискретными
(число подстанций, напряжение и сечение линий электропередачи и
др.).
Найти оптимальное решение при построении системы
электроснабжения - это значит найти большое количество
оптимальных параметров, характеризующих эту систему. При этом
должно быть учтено все многообразие факторов, влияющих на
оптимизируемые параметры, должны быть учтены свойства и
взаимосвязи между параметрами, должна быть предусмотрена
динамика развития предприятия.
В настоящее время эта задача при точной ее формулировке
практически неразрешима. Поэтому приходится принимать ряд
упрощающих допущений, позволяющих создавать математические
модели, решающие задачу с достаточным приближением.
К математическим моделям могут быть применены различные
методы
математического
программирования
для
решения
оптимизационных задач различного класса путем разработки
алгоритмов, выяснения условий сходимости и единственности
решения.
25
В настоящее время для решения оптимизационных задач
промышленного
электроснабжения
используются
различные
математические методы и приемы. Применение того или иного
метода зависит от конкретной постановки задачи оптимизации.
Достаточно
широкое
распространение
при
решении
оптимизационных задач электроснабжения получили методы
линейного программирования. Они используются при линейной
зависимости минимизируемой функции от исходных неизвестных и
линейном характере всех равенств и неравенств ограничений,
составленных для неизвестных. Это значительно сужает области
применения метода линейного программирования, однако он
достаточно прост и может быть весьма эффективным при решении
некоторых задач, в чем вы можете сейчас убедиться.
К числу решаемых задач методом линейного программирования
относятся задачи на рациональное использование сырья и
оборудования, на составление оптимального плана распределения по
потребителям и передачи электроэнергии, работы транспорта и
многие другие оптимизационные задачи.
Стандартная постановка задачи линейного программирования
формулируется следующим образом: найти значение переменных X1,
X2, …, Xn, которые:
а) удовлетворяют системе линейных уравнений
a11X1 + a12X2 + . . . + a1nXn = b1;
a21X1 + a22X2 + . . . + a2nXn = b2;
am1X1 + am2X2 + . . . + amnXn = bm;
(1.6)
б) являются неотрицательными
X1

0, X2

0, . . . , Xn

0;
(1.7)
в) обеспечивают наименьшее значение линейной целевой
функции
f(X1, X2, . . . , Xn) = c0 + c1X1 + c2X2 + . . . + cnXn.
(1.8)
Всякое решение системы уравнений (1.6), удовлетворяющее
системе неравенств (1.7), называется допустимым решением.
Допустимое решение, которое минимизирует целевую функцию (1.8),
называется оптимальным решением.
26
Рассмотрим в качестве примера задачу на оптимальное
распределение и передачу электроэнергии по потребителям.
Задача. Три потребителя электрической энергии получают
питание от двух источников. Нужно спланировать передачу
электроэнергии так, чтобы ее общая стоимость была минимальной.
Исходные данные. Ежегодно выдается первым источником
питания (ИП1) - 12 тыс. кВт.ч., а вторым источником питания (ИП2) –
15 тыс.кВт.ч. При этом, первый потребитель (ПЭ1) получает 8
тыс.кВт.ч., второй потребитель (ПЭ2) получает 9 тыс.кВт.ч., третий
потребитель (ПЭ3) получает 10 тыс.кВт.ч.
Стоимость передачи одной тысячи кВт.ч. от источников
питания к потребителям приводится в таблице 2.1.
Таблица - 2.1
Источник питания
ИП1
ИП2
ПЭ1
(тыс. тенге)
ПЭ2
(тыс. тенге)
ПЭ3
(тыс. тенге)
0,8
1,0
1,1
0,7
0,9
1,2
Решение. Обозначим через X1, X2 и X3 количество
электроэнергии, которое нужно передач от ИП1 к ПЭ1, ПЭ2 и к ПЭ3,
а через X4, X5 и X6 количество электроэнергии поступающее от ИП2 к
потребителям.
Это позволяет составить следующую систему уравнений:
X1 + X2 + X3 = 12; X4 + X5 + X6 = 15;
X1 + X4 = 8; X2 + X5 = 9; X3 + X6 = 10 .
(1.9)
Первые два уравнения этой системы описывают количество
электроэнергии, которое необходимо передать первым и вторым
источником питания, а три последних – сколько нужно
электроэнергии каждому потребителю.
К данной системе уравнений нужно добавить систему
неравенств
Xi

0, i = 1,2,3,4,5,6.
Эти неравенства означают, что электроэнергия обратно к
источникам питания не возвращается.
Общая стоимость передачи электроэнергии с учетом
приведенных в таблице 2.1 расценок выразится формулой
27
f = 0,8X1 + 1,1X2 + 0,9X3 + X4 + 0,7X5 + 1,2X6.
(1.10)
Таким образом, мы пришли к типичной задаче линейного
программирования: найти оптимальное значение параметров Xi (i = 1,
2,…, 6), удовлетворяющих условиям (1.8), (1.9) и минимизирующих
общую стоимость передачи (1.10).
Из анализа системы (1.8) следует, что только первые четыре
уравнения являются независимыми, а последнее можно получить из
них путем сложения первого и второго и вычитания из этой суммы
третьего и четвертого уравнений. Поэтому фактически имеем систему
X1 + X2 + X3 = 12;
X4 + X5 + X6 = 15;
X1 + X4 = 8;
X2 + X5 = 9.
(1.11)
Число неизвестных на два больше числа уравнений. Поэтому
выразим через X1 и X2 все остальные неизвестные, тогда получим
X3 = 12 – X1 – X2;
X4 = 8 – X1;
X5 = 9 – X2;
X6 = X1 + X2 – 2.
(1.12)
Поскольку в соответствии с (1.9) все параметры должны быть
неотрицательными, то с учетом (1.12) получим следующую систему
неравенств
X1  0; X2  0;
12 – X1 – X2  0;
8 – X1  0; 9 – X2  0;
X1 + X2 – 2  0.
(1.13)
Эти неравенства можно записать в более компактной форме
0  X1  8;
0  X2  9;
2  X1 + X2  12.
(1.14)
Данная система неравенств описывает все допустимые решения
рассматриваемой задачи. Среди всех допустимых значений
28
параметров X1 и X2 нужно найти оптимальные, минимизирующие
целевую функцию f.
Целевая функция (2.5) с учетом соотношений (1.12) примет вид
f = 22,7 + 0,1X1 + 0,7X2.
(1.15)
Отсюда видно, что стоимость передачи электроэнергии растет с
увеличением X1 и X2 , поэтому нужно взять их наименьшие
допустимые значения. В соответствии с (2.9) X1 + X2  2.
Примем X1 + X2 = 2, или X2 = 2 – X1, тогда f = 24,1 – 0,6X1.
Очевидно, что стоимость передачи f будет минимальной, если
величина X1 будет наибольшей в рамках принятого ограничения (X1 +
X2 = 2).Таким оптимальным будет значение X1 = 2. Тогда X2 = 0, а
оптимальные значения остальных параметров можно найти по
формулам (1.12)
X3 = 10; X4 = 6; X5 = 9; X6 = 0.
ПЭ 1
ИП 1
ПЭ 2
ИП 2
ПЭ 3
Рисунок 1.9
Одним из методов нелинейного программирования является
градиентный метод. Он применим при любом виде минимизируемой
функции и уравнений ограничения, если минимизируемая функция
дифференцируема, а также зависимые переменные дифференцируемы
по независимым переменным.
Метод границ и ветвей позволяет решать нелинейные
многоэкстремальные задачи, определять глобальный экстремум
(например, минимум). Основное назначение метода - решение
комбинаторных
экстремальных задач. Этот метод с успехом
используется при оптимизации схемы электроснабжения угольных
разрезов.
Динамическое программирование является также одним из
методов нелинейного программирования. Этот метод предназначен
для решения задачи минимизации или максимизации нелинейной
функции многих неизвестных.
29
Сущность динамического программирования сводится к
рассмотрению многошагового процесса, в котором на каждом шаге
оптимизируется функция только одного переменного.
Широкую популярность в технико-экономических расчетах
электроснабжения приобретает метод
теории планирования
эксперимента [3, 4, 5].
С помощью данного метода при минимальном количестве
опытов (расчетов) удается получить наибольшую информацию об
интересующем нас объекте (параметре системы электроснабжения).
При этом информация подается в компактном виде, достоверная и
удобная для дальнейшего использования.
Некоторым неудобством применения метода планирования
эксперимента в технико-экономических расчетах, которое нетрудно
преодолеть, является то, что для отыскания оптимального значения
параметра (функции отклика) в каждом плановом опыте необходима
расчетная модель. В этой модели в качестве функции должен быть
критерий оптимальности параметра системы электроснабжения,
например, приведенные затраты, а в качестве аргумента - искомый
параметр.
Необходимо отметить, что перечисленные методы оптимизации
требуют большого объема информации, которая должна быть задана с
достаточной степенью точности. Обычно при проектировании
некоторая часть информации носит предположительный характер.
Особенно это относится к стоимостным показателям вновь
проектируемого электрооборудования, которые известны лишь
предположительно. В этих случаях применение указанных выше
методов затруднительно.
В связи с этим в настоящее время находит все большее
применение метод критериального программирования, разработанный
Московским
энергетическим
институтом
для
решения
оптимизационных задач электроэнергетики [6, 7].
Основным
преимуществом
данного
метода
является
возможность исследования целевой функции в окрестности точки
минимума, определения влияния различных факторов, ограничений
изменения оптимальных параметров и затрат без проведения
многократных повторных расчетов.
Выбор оптимального варианта тесно связан с техникоэкономическим анализом, в котором переплетены две основные
стороны: качественная и количественная. В настоящее время при
решении технико-экономических задач в основном используется
качественная оценка оптимальности варианта: чем меньше величина
30
затрат, тем оптимальней считается вариант, причем не
рассматривается влияние того или иного оптимизируемого параметра
на величину затрат. Эту оценку при применении данного метода
можно произвести и количественно, выразив значения параметров и
затрат в долях от экономического значения. Если математическая
модель исследуемого объекта (целевая функция) удовлетворяет
условиям каноничности, то в этом случае данный метод позволяет
обобщить и распространить результаты расчета одной модели на
целое множество других подобных моделей и производить их
технико-экономический анализ, не зная численного значения
коэффициентов целевой функции. Никакие перечисленные ранее
методы такой возможности не предоставляют.
Далее мы более подробно рассмотрим некоторые из этих
методов оптимизации, а также методы классического анализа
функций.
2 Методы классического анализа в технико-экономических
расчетах систем электроснабжения
2.1 Общие положения
К важнейшим вопросам, которые должны быть решены в
процессе проектирования систем электроснабжения промышленных
предприятий, относятся следующие [1]:
а) выбор наиболее рациональной с точки зрения техникоэкономических показателей схемы питания предприятий;
б) правильный, технически и экономически обоснованный
выбор числа и мощности трансформаторов для главной
понизительной и цеховых подстанций;
в) выбор экономически целесообразного режима работы
трансформаторов;
г) выбор рациональных напряжений в схеме, определяющих в
конечном счёте размеры капиталовложений, расход цветного металла,
величину потерь электроэнергии и эксплуатационные расходы;
д) выбор электрических аппаратов, изоляторов и токоведущих
устройств в соответствии с требованиями технико-экономической
целесообразности;
е) выбор сечений проводов, шин и кабелей в зависимости от
ряда технических и экономических факторов;
31
ж) установление необходимости и выбор целесообразной
мощности собственных электростанций и генераторных установок;
з) выбор трасс и способов прокладки электросетей с учётом
коммуникации энергохозяйства в целом.
Необходимо отметить, что решение ряда задач промышленной
электроэнергетики может быть получено несколькими техническими
способами.
Многовариантность
задач
систем
электроснабжения
промышленных предприятий обуславливает проведение техникоэкономических расчётов, целью которых является экономическое
обоснование выбранного технического решения.
Важность этого положения обосновывается тем, что более 1/3
всех суммарных капиталовложений в стране расходуется на добычу,
переработку, транспортировку и хранение энергетических ресурсов и
генерирование, передачу, распределение и потребление всех видов
энергии в народном хозяйстве нашей страны.
Проведение
технико-экономических
расчётов
требует
выполнения большого количества трудоёмких вычислений, для
автоматизации которых должны применяться компьютерные
программы.
С
использованием
компьютерных
программ
вычислительный метод стал основным методом решения самых
разнообразных задач при исследованиях и проектировании, поскольку
машины производят сложные вычисления с учётом максимального
количества факторов, характеризующих исследуемый вопрос.
Возможности средств вычислительной техники в отношении скорости
обработки информации в десятки и даже сотни раз превышают
возможности человека. В последнее время компьютеры получили
широкое применение во всех отраслях народного хозяйства, науке и
технике.
Особое значение приобретают компьютерные технологии в
энергетике.
Так,
например,
при
проектировании
систем
электроснабжения объектов различных отраслей промышленности
необходимо решать задачи правильного размещения главных
понизительных, главных распределительных и цеховых подстанций
на территории того или иного промышленного предприятия с учётом
перспектив его развития, правильного выбора электрического
оборудования и многое другое.
Следует отметить, что во всех этих случаях применяемые при
проектировании
систем
электроснабжения
промышленных
предприятий компьютеры не заменяют человека, а значительно
расширяют его возможности.
32
2.2 Методы приближения функций
Прежде всего следует отметить, что при решении многих
оптимизационных
задач
промышленной
электроэнергетики,
эффективным методом для достижения намеченных целей является
использование
математического
моделирования
объекта
исследования. Так, например, при построении технико-экономических
моделей элементов систем электроснабжения необходимо знать
аналитические зависимости стоимостных показателей элементов
электрической сети от их технических параметров. Эти аналитические
зависимости нетрудно найти, если иметь на вооружении методы
приближения функций, некоторые из них мы и рассмотрим.
Известно, что функция вообще может быть выдана многими
способами, основными из которых являются следующие:
а) в явном виде, с помощью аналитической формулы,
содержащей конечное число основных операций (арифметических,
алгебраических и т.п.);
б) в неявном виде, с помощью аналитической формулы вида
F  X; Y  , содержащей конечное число операций;
в) с помощью системы целых многочленов, каждый из которых
близок к функции на определённом промежутке изменения
независимого переменного; этот способ задания называется способом
аппроксимирующих многочленов;
г) с помощью таблицы значений функции.
Каждый из перечисленных способов задания функции допускает
определённый метод вычисления значений этой функции. Для ряда
задач технико-экономических исследований характерно табличное
задание функции. Такую функцию с определённой точностью можно
заменить другой, приближающей функцией, наиболее удобной для
математической обработки.
Следует отметить, что точное математическое решение многих
задач связано с принципиальными трудностями. При использовании
какого-либо приближенного метода решения задачи фактически
решается другая, "аппроксимирующая" задача. В связи с этим
вопросы приближения функций имеют исключительно важное
значение для практических вычислений. Аппроксимацию функций
можно рассматривать как один из основных методов вычислительной
математики.
В ряде задач требования к точности приближённых решений
оказываются очень высокими. Поэтому особое значение имеют такие
приближённые методы, которые дают принципиальную возможность
33
находить решения задач с большой точностью путём перехода от
одного приближения к последующему по единой схеме,
предписываемой данным методом.
В теории известно несколько способов приближения функций.
К основным из них относятся [1]:
а) интерполирование;
б) квадратичное приближение;
в) среднее степенное приближение;
г) равномерное (наилучшее) приближение.
Принцип, лежащий в основе теории интерполирования
заключается в том, что искомый полином P  X  в ряде указанных
точек должен принимать то же значение, что и данная функция f  x  ,
т.е. разность между искомым полиномом и данной функцией в этих
точках должна обращаться в нуль
n
P n X   f x   0
.
(2.1)
При степенном приближении функции интеграл вида

P n  X  0  f  x  dx
S
; (S>0),
(2.2)
распространённый на основной промежуток, должен иметь также как
и при равномерном приближении, значения сколь угодно мало
отличающиеся от нуля. Особенно важен случай, когда S=2
(квадратичное приближение). Средние степенные приближения
являются обобщением квадратичных, и в известном смысле,
предельный их случай - наилучшие приближения Чебышева.
При равномерном приближении максимум (в основном
промежутке) абсолютного значения разности между P  X  и f  x 
должен иметь значение, сколь угодно отличающееся от нуля
n
max P n  X

f x   0
.
(2.3)
В практике проектирования и эксплуатации систем
электроснабжения объектов различных отраслей промышленности
применение получили такие методы приближения функций, как
аппроксимирование и интерполирование.
Величины, полученные в результате экономических расчётов,
обычно располагаются в координатной системе (рисунок 1.1), так что
провести по этим точкам достаточно плавную кривую y = f(x) не
34
представляется
возможным.
Это
затрудняет
описание
рассматриваемых зависимостей математическими выражениями и
иногда исключает аналитическое решение задачи. Для выявления
характера подобных экономических зависимостей математическими
выражениями и иногда исключает аналитическое решение задачи. Для
выявления характера подобных экономических зависимостей
математическими методами используют указанные выше методы. Это
вполне допустимо, потому что полученные в виде точек с
координатами x y ; x y ; x y ; x y ; x y ; x y ; x y данные экономических
расчётов отклоняются от плавной кривой зависимости по причинам,
которые в экономических расчётах не следует учитывать. Например,
резкие отклонения стоимостей трансформаторов при переходе от
одного габарита к другому, то же при изменениях типов аппаратов в
схемах и т. п. В таких случаях аппроксимация даёт более правильный
для экономического расчёта характер зависимости.
Отметим, что методов интерполяции и аппроксимации имеется
достаточно много. Рассмотрев наиболее употребительные из них и
учитывая, что изменение аргумента по оси x имеет разные величины
интервалов (например, сечение проводов и жил кабелей: 10, 16, 25, 35,
50, 70, 95, 120 мм и т. д.; напряжения: 6, 10, 20, 35, 110, 220 кВ. и т.
д.), рекомендуется при необходимости проводить аппроксимацию или
прибегать к интерполяции.
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
2
2.3 Использование методов интерполяции в техникоэкономических расчётах
Интерполирование функции y = f(x) на определённом отрезке
состоит в приближённой замене функции f(x) на данном отрезке
одной из функций P  x  , причём функция P  x  такова, что в точках
x , x , x ,..., x
она принимает те же значения, что и f(x). Указанные
точки x , x , x ,..., x называются узлами интерполяции, а P  x  интерполирующей функцией.
В том случае, когда за класс P  x  берётся класс степенных
многочленов,
интерполяция
называется
параболической.
Параболическая интерполяция весьма удобна: многочлены просты по
форме, легко вычисляются, их удобно дифференцировать и
интегрировать. Поэтому параболическая интерполяция является
наиболее распространённой.
При интерполировании (рекомендуется для экономических
расчётов, когда аргумент имеет не более 3-4 точек) применяется
n
0
1
2
n
n
0
1
2
n
n
n
35
точечная интерполяция, т.е. определяются многочлены, значения
которых точно совпадают со значениями функции в узлах
интерполяции. Пример такой зависимости приведён на рисунке 2.1.
y
Pn(x)
M3
M0
●
f(x)
●
M1
M2
●
0
x0
●
x1
x2
x3
x
Рисунок 2.1
Для придания задаче интерполировании вполне определённого
характера необходимо, чтобы степень полинома была на единицу
меньше точек интерполяции.
Пусть функция f(x) задана таблично, т.е. пусть в узлах
интерполяции x , x , x ,..., x заданы значения функций y , y , y ,..., y .
Требуется найти не только приближенное математическое описание
этой зависимости, но и точку экстремума этой эмпирической
функции, что чаще всего встречается при решении оптимизационных
задач электроснабжения.
Предполагаем, что график функции f(x) является достаточно
плавной кривой, т.е. касательная к кривой f(x) всюду между узлами
интерполяции наклонна к оси OX под углом, меньшим или большим,
но не близким к  2 . Тогда по значениям функции в узлах
0
1
2
n
0
1
2
n
интерполяции всегда можно определить отрезок оси OX, содержащей
точку экстремума.
Рассмотрим сначала случай, когда для обеспечения
необходимой
точности
вычисления
достаточна
кубическая
интерполяция. Выберем отрезок, содержащий четыре узла
интерполяции x , x , x , x так, чтобы искомая точка экстремума x
находилась между значениями x и x .
Найдём интерполяционный полином Лагранжа P  x  , т.е.
полином, совпадающий с f(x) в узлах интерполяции x , x , x , x .
Рассмотрим полином
0
1
2
3
э
0
3
n
0
36
1
2
3
Pn  x   C 0 x
3
 C1x
2
 C2x  C3;
(2.4)
причём P  x   f  x  ,
где i = 0, 1, 2, 3.
Условия (2.4) геометрически означают, что график полинома
P  x  должен проходить через точки M , M , M , M (рисунок 2.1).
Используя условия (2.4), которым должен удовлетворять
полином, можно записать систему линейных алгебраических
уравнений
n
i
i
n
0
1
2
3
C 0 x0  C1x0  C 2 x0  C 3  y0 ;
3
2
C 0 x1  C 1 x1  C 2 x1  C 3  y1 ;
3
2
(2.5)
C 0 x2  C1x2  C 2 x2  C 3  y2;
3
2
C 0 x3  C1x3  C 2 x3  C 3  y3.
3
2
Неизвестными в этой
коэффициенты C , C , C , C .
Определителем
системы
Вандермонда
0
1
2
системе
уравнений
являются
3
(2.5)
3
2
x0 1
3
x1
2
x1
x1 1
3
2
x2 1
3
2
x3 1
x0 x0
W 
x2 x2
x3 x3
является
определитель
Его величина в общем виде выражается формулой
W   x n  x 0  x n  x 1  ...  x n  x n  1    x n  1  x 0  x n  1  x 1  ...  x n  1  x n  2  ...  x 2  x 0  x 2  x 1  x 1  x 0 .
Из курса высшей алгебры известно, что если  x  x   0 , где
0  p  g  n , то определитель Вандермонда отличен от нуля, когда
среди чисел x , x , x , x нет совпадающих.
Система (2.5) является неоднородной системой линейных
алгебраических уравнений.
Как известно, такая система имеет единственное решение тогда
и только тогда, когда её определитель отличен от нуля. В системе (2.5)
определитель W  0 , т.е. система, имеет единственное решение.
g
0
1
2
3
37
p
Для получения аналитического выражения интерполяционного
полинома P  x  присоединим к системе (2.5) ещё одно уравнение
Cx  Cx  Cx  C  P  x 
и перепишем систему уравнений (2.5) в
следующем виде
n
n
3
2
3
2
3
2
3
2
C 0 x 0  C 1 x 0  C 2 x 0  C 3  y 0  0;
C 0 x1  C 1 x1  C 2 x1  C 3  y1  0;
(2.6)
C 0 x 2  C 1 x 2  C 2 x 2  C 3  y 2  0;
C 0 x 3  C 1 x 3  C 2 x 3  C 3  y 3  0;
C0x
3
 C1x
2
 C 2 x  C 3  Pn  x   0 .
Чтобы рассматривать систему (2.6) как систему однородных
линейных уравнений, следует считать в ней неизвестными
совокупность чисел C , C , C , C и -1. При этих условиях система (2.6)
является однородной и имеющей ненулевое решение. Как известно,
система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение
только тогда, когда её определитель тождественно равен нулю, т.е.
0
1
2
3
3
2
x0 1 y0
x1
3
x1
2
x1 1 y1
3
2
x2 1 y2
3
2
x3 1 y3
2
x
x0 x0
x2 x2
x3 x3
x
3
x
 0
.
1 Pn  x 
Отсюда
Pn  x  
n

ym
m 0
 x  x 0  ...  x  x m  1  x  x m  x  x m  1  ...  x  x n 
,
 x m  x 0  ...  x m  x m  1  x m  x m  1  ...  x m  x n 
(2.7)
или
Pn  x  
n

m 0
ym
W  x 0 , x 1 , ... , x m  1 , x m , x m  1 , ... , x n
W  x 0 , x 1 , ... , x n


.
Это и есть интерполяционный полином Лагранжа.
Так, если функция y = f(x) задана следующими значениями
x x 0 x 1 x 2 x 3 ... x n ,
y y 0 y 1 y 2 y 3 ... y n ,
38
(2.8)
то интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции можно
записать следующим образом
Pn  x  


x
x0
 x 1  ...  x  x n

 x 1  x 0  x 2  ...  x 0  x n
x
 x1
 x  x 2  ...  x  x n 
x 0  x 1  x 2  ...  x 1  x n 
 x0

x
x n

y0 
y 1  ... 
 x  x 1  ...  x  x n  1 
x 0  x n  x 1  ...  x n  x n  1 
 x0

yn.
В этих формулах x - текущее значение аргумента. Для
нахождения P , например при x  x  x , необходимо в формулу
интерполяционного полинома Лагранжа вместо x подставить x .
Для удобства пользования полученной формулой сделаем
некоторые преобразования. Перепишем определитель системы (2.6) в
несколько ином виде
n
0
a
1
a
3
2
x0 1
0
 y0
3
x1
2
x1
x1 1
0
 y1
3
2
x2 1
0
 y2
3
2
x3 1
0
 y3
2
x
x0 x0
x2 x2
x3 x3
x
Разложим
определителей
3
x
определитель
3
2
x0 1
0
x0 x0
x1
3
x1
2
x1 1
0
3
2
x2 1
0
3
2
x3 1
0
2
x
x2 x2
x3 x3
x
3
x
.
(2.9)
1 Pn  x   0
полученный
x0 x0
 0

3
2
x0 1 y0
x1
3
x1
2
x1 1 y1
3
2
x2 1 y2
3
2
x3 1 y3
2
x
x2 x2
x3 x3
1 Pn  x 
x
3
x
на
 0
сумму
.
(2.10)
1 0
Легко заметить, что первый определитель равен
второй обозначим через D. Тогда получим
P n  x W  D  0 ,
39
двух
Pn  x   W
, а
откуда интерполирующий полином определится из выражения
Pn  x   
1
W
D
.
Итак, получено аналитическое выражение интерполяционного
полинома в виде определителя
3
2
x0 1 y0
x1
3
x1
2
x1 1 y1
3
2
x2 1 y2
3
2
x3 1 y3
2
x
x0 x0
Pn  x   
1
x2 x2
W
x3 x3
x
3
x
(2.11)
,
1 0
где W - определитель Вандермонда.
Разложим определитель D по элементам последней строки:


1  3
Pn  x   
x
W 


2
3
x0 x0 1 y0
x0 x0 1 y0
2
x1 x1 1 y1
2
3
 x
x 2 x2 1 y2
2
x1 x1 1 y1
 x
3
x2 x2 1 y2
2
3
x3 x3 1 y3
x3 x3 1 y3
3
2
3
2
3
2
3
2
x0 x0 1 y0
x1 x1 1 y1
x2 x2 1 y2
x3 x3 1 y3

3
2
x0 x0 x0 y0 

3
2
x1 x1 x1 y1 

3
2
x2 x2 x2 y2 
3
2

x3 x3 x3 y3 
. (2.12)
Для простоты записи введём следующие обозначения
2
x0 1 y0
2
x1 1 y1
x2
2
x2 1 y2
2
x3 1 y3
x0
D1 
x1
x3
;
(2.13)
;
(2.14)
;
(2.15)
3
x0 x0 1 y0
3
D2 
x1
x1 1 y1
3
x2 x2 1 y2
3
x3 x3 1 y3
3
2
x0 x0 1 y0
3
D3 
x1
2
x1 1 y1
3
2
3
2
x2 x2 1 y2
x3 x3 1 y3
40
3
2
x0 y0
x1
3
x1
2
x1 y1
3
2
x2 y2
3
2
x3 y3
x0 x0
D4 
x2 x2
x3 x3
(2.16)
.
В новых обозначениях интерполяционный полином примет вид
Pn  x   
1
D
W
1
x
3
 D2x
2
 D3x  D4
.
Первая часть задачи решена – мы нашли приближенное
математическое
описание
таблично
заданной
функции
(интерполирующий полином).
Для отыскания абсциссы точки экстремума x найдём первую
производную интерполяционного полинома P  x  и приравняем её к
нулю
э
n
Pn

x  

1
W
3 D
1
x
2
 2D2x  D3   0 .
Так как определитель Вандермонда W
 0
2
3D1xЭ  2 D 2 xЭ  D 3  0
, то
.
Из этого равенства получаем формулу для отыскивания
абсциссы точки экстремума функции, заданной таблично
xЭ 
D2 
2
D 2  3D1D 3
3D1
.
Из двух найденных по этой формуле значений x следует взять
то, которое принадлежит отрезку x x .
Для упрощения вычисления определителей произведём
параллельный перенос системы координат x0y так, чтобы начало
координат новой системы совпадало с точкой  x , y  , т.е. чтобы
выполнялось равенство x  y  0 .
0
3
0
0
0
41
0
В новой системе (рисунок 2.2) координат узлы интерполяции
обозначим a  0 , a , a , a , а соответствующие значения функций
b  0, b , b , b .
0
0
1
2
1
2
3
3
y
y
b3
a0
●
0΄
a1
x0
a3
x
b1
b2
●
0
●
a2
x1
●
x2
x3
x
Рисунок 2.2
При этих условиях вычислим определители
0 0
1 0
2
a 1 a 1 b1
2
D10 
a 1 a 1 1 b1
2
a 2 a 2 1 b2

1 0
3
a 2 a 2 1 b2

3
2
3
2
a 1 a 1 1 b1
a 2 a 2 1 b2
a 3 a 3 1 b3
 b 1 a 2 a 2  a 3 a 2   b 2 a 1 a 3  a 2 a 1   b 3 a 1 a 2  a 2 a 1 .
(2.19)
2
2
3
a 2 a 2 b2
3
3
3
3
3
3
a 3 a 3 b3
0 0 1 0
D30 
2
3
3
2
(2.18)
2
3
a 3 a 3 1 b3
3
 b 1 a 2 a 3  a 3 a 2   b 2 a 1 a 3  a 3 a 1   b 3 a 1 a 2  a 2 a 1 ;
2
a 1 a 1 b1
3
a 1 a 1 1 b1
(2.17)
2
2
a 3 a 3 1 b3
D20 
 b 1 a 2 a 3  a 3 a 2   b 2 a 1 a 3  a 3 a 1   b 3 a 1 a 2  a 2 a 1 ;
a 3 a 3 b3
2
0 0
2
a 2 a 2 b2
3
2
3
2
3
2
a 1 a 1 b1

a 2 a 2 b2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
a 3 a 3 b3
При осуществлении параллельного переноса осей координат
формула для отыскивания абсциссы точки экстремума функции,
заданной таблично, принимает вид
xЭ 
D 20 
2
D 2 0  3 D10 D 3 0
3 D10
42
 x0
.
(2.20)
Эта формула является основной расчётной формулой для
отыскивания точек экстремума функции, заданной таблично.
Пример. Найти оптимальный уровень напряжения на шинах РУ
– 10 кВ. Критерий оптимальности – минимум потерь активной
мощности в распределительной сети.
Даны четыре точки замера уровня напряжения и
соответствующие ему потери активной мощности в сети: U1 = 9,8 кВ.,
U2 = 10,3 кВ., U3 = 10,8 кВ., U4 = 11,3 кВ., ∆P1 = 5,6 кВт., ∆P2 = 5,1
кВт., ∆P3 = 4,5 кВт., ∆P4 = 5,0 кВт.
Перенесем начало координат в точку U1 = 9,8 кВ. и ∆P1 = 5,6
кВт. Тогда аналогично рисунку 2.2 будем иметь следующие исходные
данные для расчета: а1 = 05; а2 = 1,0; а3 = 1,5; б1 = - 0,5; б2 = - 1,1; б3 = 0,6.
0 ,5
D10 =
1, 0
1, 5
2
2
2
0 ,5
 05
1, 0
 1 ,1   0 , 3025
1, 5
 0 ,6
0 ,5
1, 0
1, 5
U1,2=
 0 , 487 
 0 , 487
D20 =
1, 0
1, 5
0 ,5
D30 =
;
2
3
3
3
0 ,5
1, 0
1, 5
2
 05
2
 1 ,1  0 , 0194
3
3
3
0 ,5
 05
1, 0
 1 ,1   0 , 487
1, 5
 0 ,6
;
.
 0 ,6
2
 3   0 , 3025  0 , 0194
 3  0 , 3025

 9 ,8 
 0487  0 , 5046
 0 , 9075
 9 ,8
.
U1 = 9.78 кВ; U2 = 10,89 кВ.
Оптимальным напряжением на шинах РУ является напряжение
10,89 кВ., так как это значение лежит в пределах рассматриваемого
интервала от 9,8 до 11,3 кВ.
2.4 Использование методов аппроксимации в техникоэкономических расчётах
Как указывалось выше, при интерполировании с помощью
степенных полиномов увеличение порядка интерполяционного
полинома не всегда приводит к улучшению приближения функции на
заданном отрезке. Кроме того, если значения функции в узлах
интерполирования определены экспериментально или получены
43
расчётным путём, они всегда содержат ошибки соответственно
эксперимента или расчёта. По этим двум основным причинам
представляется наиболее целесообразным выбирать такой способ
построения заменяющей функции P n  x  , при которой ошибки
эксперимента не оказывали бы существенного влияния на
окончательный результат.
Представим себе в общем случае задачу отыскания
аналитического выражения для y = f(x) по заданным значениям
аргумента (рисунок 2.1). Для того чтобы задача стала определённой, в
качестве аппроксимирующей функции возьмём многочлен P n  x 
степени n [1]. Выбор степени многочлена зависит от требуемой
точности аппроксимации. Графически это обозначает, что на
плоскости требуется провести параболу n-й степени, проходящую
насколько возможно ближе ко всем точкам, полученным из расчёта
или эксперимента.
Согласно методу наименьших квадратов наилучшей кривой
является та, для которой сумма квадратов отклонений минимальна.
Для того, чтобы пользоваться методом наименьших квадратов,
предварительно выведем правило, которое сведёт этот метод при
расчётах к достаточно простым вычислительным приёмам. Пусть
задана эмпирическая функция
xi x1 x
2
x
3
... x
n 1
x n;
y i y 1 y 2 y 3 ... y n  1 y n .
Для простоты положим, что данную эмпирическую функцию
можно аппроксимировать многочленом второй степени
y  a  bx  c.x
2
(2.21)
Найдём его коэффициенты a, b и c, т. е. Такие их значения, при
которых график многочлена проходит возможно близко к каждой из
точек x i , y i , где i = 1, 2, … , n. Обозначив через ε i отклонения
значений от таблично заданных и подставив в уравнение (2.21)
поочерёдно каждую пару значений x i , y i , запишем уравнения
отклонений
44
ε 1  a  bx
 cx
1
ε 2  a  bx
2
 cx
ε 3  a  bx
3
 cx
 y1;
2
1
2
2
2
3
 y2;
 y3;
(2.22)
.......... .......... .......... ...
ε n  a  bx
n
 cx
2
n
 yn.
В этой системе неизвестными будем считать числа a,b и c, а
значения x 1 , x 2 , x 3 , ... , x n коэффициентами при них.
Как было сказано выше, наилучшими значениями чисел a, b и c
будут такие, при которых сумма квадратов отклонений будет
наименьшей, т. е.
n

ε i  ε 1  ε 2  ε 3  ...  ε n  f m in  a, b, c ,
2
2
2
2
2
i 1
или
(2.23)
n
 a  bx
i
 cx
2
i
 yi

2

 a  bx
 cx 1  y 1
2
1

2
 ...
i 1
Для того, чтобы функция f(a,b,c) имела наименьшее значение,
необходимо, чтобы частные производные по a, b и c каждая в
отдельности равнялись нулю, т. е.
f
f
 0;
a
b
 0;
f
 0.
c
Взяв частные производные уравнения (2.23), получим
нормальную систему уравнений относительно неизвестных a, b и с
a  bx  cx  y   a  bx  cx
x a  bx  cx  y   x a  bx
x a  bx  cx  y   x a  bx
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
2

2


  ...  x a  bx

  0.
 cx 2  y 2  ...  x n a  bx n  cx n  y n  0;
2
 cx 2  y 2
2
2
1

2
2
1

 y 2  ...  a  bx n  cx n  y n  0;
2
2
2
n
 cx n  y n
2
n
(2.24)
Систему (2.24) нетрудно записать, пользуясь следующим
простым правилом. Чтобы получить первое уравнение нормальной
системы, суммируют почленно правые части системы (2.22) (система
45
отклонений) и приравнивают эту сумму нулю. Для получения второго
уравнения системы (2.22) правые части каждого уравнения системы
умножают соответственно на коэффициент при неизвестном b,
складывают произведения и их сумму приравнивают нулю. Таким же
образом поступают и для получения третьего уравнения системы,
умножая правые части каждого уравнения системы (2.22)
соответственно на коэффициент c, складывая эти произведения и
приравнивая их сумму нулю.
Система уравнений (2.24) решается обычными алгебраическими
методами. Число уравнений системы (2.24) всегда равно числу
неизвестных, в то время как число уравнений системы (2.22) равно
числу пар значений x i , y i . Если, желательно методом наименьших
квадратов, получить удовлетворительное решение, число пар
заданных значений x i , y i должно быть больше, чем число
неизвестных коэффициентов a, b, c, … ,k.
Приведённое выше правило пригодно и для аппроксимации
эмпирической функции многочленом более высокой степени, чем
вторая.
В заключении следует отметить, что, если таблица значений
интерполируемой функции получена экспериментальным или
расчётным путём, то значения функции, полученные в результате
аппроксимации, как правило, лучше исходных. Это объясняется тем,
что при аппроксимации по методу наименьших квадратов имеется
тенденция к сглаживанию случайных ошибок.
Исходя
из
специфики
технико-экономических
задач
электроснабжения, будем считать аппроксимацию достаточно
хорошей, если среднеквадратичная ошибка не превышает 10%
n

δ 
2
εi
i 1
n 1
(2.25)
среднего арифметического значения функции. Если она превышает
заданную допустимую величину, то следует сделать пересчёт
(аппроксимировать функцию многочленом более высокой степени).
Пример. Найти аппроксимирующую функцию зависимости
удельной стоимости двухцепной воздушной линии 110 кВ. на
железобетонных опорах (К) от сечения провода (F).
По справочным данным известно
46
F, мм2
К, т.тенг./км
70
13,5
95
13,95
120
14,55
150
15,2
185
15,95
240
17,2
300
18,4
В качестве аппроксимирующей функции примем зависимость K
= a + bF.
Составляем систему отклонений
ε 1  a  70b  13.5
ε 2  a  95b  13.95
ε 3  a  120b  14.55
ε 4  a  150b  15.2
ε 5  a  185b  15.95
ε 6  a  240b  17.2
ε 7  a  300b  18.4
Находим первое уравнение для определения неизвестных
коэффициентов a и b . Для этого складываем почленно правые части
уравнений системы отклонений и приравниваем эту сумму нулю,
получим
7a  1160b  108.75  0 .
Для получения второго уравнения умножаем правые части
уравнений системы отклонений на коэффициент при неизвестном b ,
почленно складываем и приравниваем нулю, получим
1160a  232650b
 18895  0 .
Решаем полученные уравнения любым из известных способов,
например методом Гаусса
∆=
∆a=
7
1160
1160
232650
108 , 75
1160
18895
232650
=282950;
=3382487; ∆b=
47
7
108 , 75
1160
18895
=6115;
a 
Δ

a
Δ
Аппроксимирующая
выражение
b 
11,954;
функция
Δ
b
Δ

0.0216.
будет
иметь
следующее
K = 11,954 + 0,0216F.
Проверяем полученную аппроксимирующую формулу по
принятому выше критерию сходимости.
Определим
среднеквадратичную
ошибку
полученной
аппроксимации. Для этого выполняем следующие операции
ε 1  11,954
 70  0,0216
 13.5   0,034;
ε 2  11,954
 95  0,0216
 13.95  0,056;
ε 3  11,954
 120  0,0216
 14.55   0,004;
ε 4  11,954
 150  0,0216
 15.2   0,006;
ε 5  11,954
 185  0,0216
 15.95  0,0;
ε 6  11,954
 240  0,0216
 17.2   0,062;
ε 7  11,954
 300  0,0216
 18.4  0,034 .
7

2
εi
i 1
δ 
7 1
= 0,0365.
Среднее арифметическое значение функции
7

К =
K
i 1
i

7
108.75
 15.536
7
тыс.тенге / км.
0,0356 < 0,1∙ 15,536 = 1,5536.
Последнее
неравенство
означает,
что
полученная
аппроксимирующая функция хорошая, т.к. ее среднеквадратичная
ошибка не превышает принятого допустимого значения.
3 Основные положения технико-экономического
моделирования в электроснабжении
48
3.1
Вопросы
электроснабжении
технико-экономического
анализа
в
3.1.1 Качественный анализ. При технико-экономическом
исследовании, заключающемся в экономическом обосновании
принимаемых
технических
решений,
необходимо
иметь
математическую модель, отражающую основные свойства и
закономерности исследуемого объекта. Применяя к этой модели те
или иные методы количественного анализа, получают интересующие
соотношения между величинами, которые, как правило, в дальнейшем
используются и для корректировки исходной модели. Таким образом,
технико-экономическому анализу как методу исследования реально
существующих объектов свойственно тесное переплетение двух его
сторон: качественный и количественный [7]. Обе эти стороны не
только взаимообусловлены, но и преследуют, в конечном счете, одну
и ту же цель: наиболее полно отразить существо исследуемого
объекта. В то же время каждая из сторон анализа имеет и свои
характерные особенности.
Качественный анализ является первой ступенью познания. Он
играет большую роль в процессе формирования физических и
экономических представлений об исследуемом объекте, тесно связан с
процессом создания модели этого объекта. Если качественное
представление о механизме исследуемого объекта достаточно полное,
то
функциональная
зависимость
между
величинами,
характеризующими свойства объекта, может быть записана в виде
математической формулы или формул, которые являются математической
моделью
исследуемого
объекта.
Поскольку
рассматриваемые в данной работе математические модели
характеризуются не только физическими величинами, но и рядом
стоимостных показателей, то такие модели в дальнейшем будем
называть технико-экономическими моделями.
Методику получения модели исследуемого объекта рассмотрим
сначала на примере линии электропередачи и силового
трансформатора.
Для линии электропередачи длинной l, км, и напряжением U,
кВ, затраты на потери энергии в линии Зp, тенге/год, определяется,
как правило, выражением
2
Зp 
S ρτ З Э
2
U F
49
l
,
(3.1)
где
S - передаваемая мощность, кВ  A ,
F - сечение проводов, мм ,
З - удельные затраты на компенсацию потерь
электроэнергии, тенге/  кВт  ч  ,
ρ - удельное сопротивление материала проводов
линии, Ом  мм м ,
 - время потерь, ч/год.
Рассматриваемый показатель зависит от ряда свойств линии,
которые характеризуются соответствующими величинами. Каждая из
этих величин с математической точки зрения может рассматриваться
в качестве независимой переменной, получающей новое численное
значение при изменении исходных условий. Изменение любой из этих
величин приведёт к образованию нового варианта и изменению
затрат. Однако с экономической точки зрения существенным для
изменения затрат оказывается изменение не отдельных величин, а их
вполне определённые совокупности. Так, например, если
уменьшились удельные затраты 3 Ý , а время потерь  во столько же
2
Э
2
раз увеличилось, то затраты 3p останутся неизменными.
Условимся называть существенные величины, значения которых
требуется обосновать в процессе решения технико-экономической
задачи, оптимизируемыми параметрами. Все же остальные величины
объединяем в обобщённые константы, которые характеризуют
исходные данные задачи. Например, если оптимизируемым
параметром является сечение проводов F, то выражение (3.1) можно
записать в виде
Зp  ApF
1
,
(3.2)
2
где
Ap 
S ρτ З Э
U
2
l
.
Если же оптимизируемыми параметрами будут величины F и U,
то выражение (3.1) примет вид
Зp  A pU
2
F
1
.
(3.3)
Таким образом, в зависимости от характера решаемой задачи
одна и та же величина может выступать то как константа, известная
до решения задачи, то как оптимизируемый параметр, численное
50
значение которого требуется экономически обосновать в процессе
решения задачи.
Так как в практических расчётах приходится учитывать не один
эффект, а несколько, модель линии электропередачи усложняется.
Например, если в качестве технико-экономической модели линии
принять выражение приведённых затрат, то модель линии
электропередачи будет иметь вид
2
З Л  a 0 p  l  a F p  F l 
S ρτ З Э
2
l
U F
,
(3.4)
2
тенге км  мм 
здесь a 0 , тенге/км и a F ,
характеризуют
соответствующие удельные затраты на строительство 1 км линии, а р∑
- суммарный нормативный коэффициент эффективности капитальных
вложений и эксплуатационных расходов.
С увеличением сечения проводов затраты на строительство
линии увеличиваются, а затраты на потери энергии снижаются, т.е. по
сечению проводов в формуле затрат образуются конкурирующие
группы эффектов, а само сечение проводов можно рассматривать в
качестве оптимизируемого параметра, численное значение которого
требуется определить на стадии количественного анализа
исследуемого объекта. Объединяя все величины, за исключением
оптимизируемого параметра F, в обобщённые константы отдельных
эффектов, формулу (3.4) можно записать в виде
З Л  A 0  A FF  A pF
1
.
(3.5)
Эта формула и рассматривается в дальнейшем как один из
возможных вариантов обобщённой технико-экономической модели
линии электропередачи. В некоторых задачах может возникнуть
необходимость рассматривать в качестве оптимизируемого параметра
также напряжение линии U. В этом случае в качестве другой модели
линии можно рассматривать формулу
З Л  A 0  A U U  A F F  A p U
2
F
1
.
(3.6)
В этой модели два оптимизируемых параметра: сечение
проводов F и напряжение U. По каждому из оптимизируемых
параметров в модели имеются конкурирующие эффекты.
51
A 0 , A U , A F и A p
Обобщённые константы
объединяют целую
совокупность свойств отдельных эффектов исследуемого объекта, но
не включают оптимизируемые параметры.
Находит
также
практическое
применение
техникоэкономическая модель линии, которая получена в результате
аппроксимации стоимости строительства линии К л выражением
К
Л
 a U U
a
 a F F
.
В этом случае обобщённая технико-экономическая модель линии
имеет вид
З Л  A U U  A F F  A p U
a
2
F
1
.
(3.7)
Выражение (3.7) представляет собой приближённую модель
линии электропередачи, справедливую для определённого диапазона
изменения оптимизируемого параметра U. Значение показателя
степени a зависит от конкретных технико-экономических показателей
линии.
Для силового трансформатора приведённые затраты в
зависимости от его максимальной нагрузки Smax определяются
выражением
ÇÒ  Ê
где
Ò
 ð   Δ Ð õõ
 S max
 Ò  ÇÝ  

 S TP
2

  Δ Ð êç  τ  ÇÝ ,


(3.8)
- стоимость трансформатора, тенге;
S TP - номинальная мощность трансформатора,
кВ  А ;
τ - годовое время включения и потерь, ч/год;
З Э , З Э - удельные затраты на компенсацию потерь
короткого замыкания и
холостого хода, тенге/кВ▪А;
ΔP кз , ΔP хх - номинальные потери мощности при
коротком замыкании и холостом ходе, кВт.
В зависимости от целей исследования составляющие выражения
(3.8) могут быть определены через необходимые параметры. В связи с
этим возможны различные модификации формулы приведённых
затрат, т.е. различные технико-экономические модели. Выразим
КТ
52
стоимость трансформатора
, номинальные потери мощности при
КТ
к.з. ΔP кз и х.х. ΔP хх в виде линейной зависимости от номинальной
мощности трансформатора S ÒÐ
Ê
Ò
 b 0  b S S ÒÐ ;
ΔP êç  b 0 êç  b êç S ÒÐ ;
ΔP õõ  b 0 êç  b õõ S ÒÐ ,
где b 0 , b 0 кз , b 0 хх - не зависящие от мощности трансформатора
составляющие соответственно стоимости трансформатора, потерь к.з.
и х.х., а b S , b кз , b хх - удельные показатели, характеризующие
зависимости от мощности трансформатора соответственно стоимости
трансформатора, потерь к.з. и х.х.
b 0 кз  0 (оокол 2 - 3% ΔP кз ) ,
Если считать
то с учётом
приведённых выше формул в качестве обобщённой техникоэкономической модели силового трансформатора можно принять
выражение
1
З Т  B 0  B S S ТР  B P S ТР
.
(3.9)
Исследования показывают, что модель (3.9) достаточно точно
описывает не только силовой трансформатор, но и трансформаторную
подстанцию в целом, при этом изменяются не только численные
значения коэффициентов B 0 , B S .
Если применить различные аппроксимации стоимости
трансформатора
К
Т
 b 0  b U U  b S S TP
и
K  b U U
a
 b S S TP ,
то
можно
получить
следующие
трансформаторных подстанций [8, 9]
модификации
1
З П  B 0  B U U  B S S TP  B P S TP
моделей
(3.10)
и
З П  B U U
a
1
 B S S TP  B P S TP
53
.
(3.11)
3.1.2 Количественный анализ. Несмотря на важность
качественного
исследования,
технико-экономический
анализ
приобретает конкретный и точный характер лишь при том условии,
если он использует количественные соотношения.
Отметим основные задачи количественного анализа, решаемые
при технико-экономических исследованиях [7]:
а)
выявление
технико-экономической
соразмерности
исследуемого объекта или, иначе, определение относительных
значений затрат (долей), приходящихся на каждое слагаемое
уравнения (3.12) в экономическом варианте
n
П
0Э

З0
ЗЭ
,
П iЭ 
Аi П x
j1
ЗЭ
α ij
jЭ
,
i  1, 2, ..., m
.
Такая задача возникает при распределении заданных суммарных
затрат
между
отдельными
элементами,
входящими
в
электроэнергетическую систему;
б) определение экономически целесообразных значений
оптимизируемых параметров x j Э и затрат (целевой функции) З Э ,
соответствующих минимуму уравнения приведённых затрат. Значения
x j Э , З Э будем в дальнейшем называть для краткости экономическими
значениями,
которые
образуют
экономический
вариант
y   З Э , x 1 Э , ... , x n Э  ;
в) исследование экономической устойчивости техникоэкономической модели объекта (уравнения приведённых затрат). Эта
задача состоит в определении степени изменения (увеличения) затрат
З при отклонении оптимизируемых параметров x j от их
экономических значений. Считают, что если достаточно большие
изменения параметра приводят к незначительному изменению затрат,
то такая модель экономически устойчива к изменению данного
параметра. В качестве нормированного увеличения затрат по
сравнению с экономическим значением, в пределах которого техникоэкономическую модель можно считать экономически устойчивой к
изменению оптимизируемых параметров, обычно принимают
  2 - 5% . Тогда варианты модели, отличающиеся от экономического
варианта по затратам не более чем на 2 - 5%, образуют зону, которую
называют зоной равноэкономичности. В пределах этой зоны все
варианты являются примерно экономически равнозначными и выбор
54
того или иного варианта должен быть обоснован дополнительными
соображениями;
г) исследование чувствительности экономических значений
параметров и затрат к изменению исходных данных, входящих в
обобщённые константы A i . Рассматриваемая задача вызвана
необходимостью оценки влияния погрешности исходных данных на
значения x j Э и З Э с тем, чтобы экономически обосновать требуемую
степень точности, с которой они должны быть заданы. Так, если
известны погрешности в задании исходных данных (обобщённые
константы А изменяются), то по формулам чувствительности можно
найти погрешность в определении экономических значений
оптимизируемых параметров и затрат. Если же заданы погрешности
значений x j Э и З Э , то формулы чувствительности позволяют
определить допустимые погрешности исходных данных;
д) определение оптимального варианта, т.е. экономически
целесообразных значений параметров и затрат, удовлетворяющих
минимуму приведённых затрат с учётом технических ограничений,
которые накладываются на изменение тех или иных оптимизируемых
параметров. Технические ограничения целесообразно разделить на
два класса: дискретные и функциональные. К первому классу
относятся ограничения, удовлетворяющие неравенствам
i
x
j min
 xj  x
j max
,
а также ограничения, обусловленные дискретностью шкал параметров
(например, шкалы сечений проводов, номинальных мощностей
трансформаторов и др.). Дискретные ограничения, связанные,
например, с дискретностью шкал стандартных сечений проводов,
проявляются в том, что рассчитанное тем или иным методом сечение
должно округляться до ближайшего большего (меньшего)
стандартного значения.
К функциональным ограничениям относят ограничения,
накладываемые
на
изменения
параметров
аналитическими
зависимостями вида
 K x j   0 ,
в которые параметры входят в качестве независимых переменных
(например, ограничения по потерям напряжения, мощности и т.д.).
55
Сформулированные основные технико-экономические задачи
могут быть решены обычными, хорошо известными из математики
оптимизационными методами. Например, используя систему
уравнений
З
x j
 0,
j  1, 2, ..., n
можно путём многовариантных расчётов решит все пять основных
задач. Однако такие расчёты вызывают значительные трудности, что
связано с большим количеством параметров и неточностью в задании
исходных данных. Решать задачи приходится многократно, варьируя
исходные данные и используя быстродействующие ЭВМ. В
результате получается огромный цифровой материал, в котором
затруднительно выявить наиболее характерные связи. Поэтому в
последнее время для исследования целевых функций начали
разрабатываться специальные методы анализа, обладающие рядом
преимуществ по сравнению с традиционными оптимизационными
методами.
Одним из таких методов анализа является критериальный метод,
разработанный на кафедре электрических систем МЭИ под
руководством проф. В.А. Веникова. Преимущества этого метода по
сравнению с другими существующими оптимизационными методами
заключается в том, что он придаёт исследованию обобщённый
характер, рационально использует информацию об исходных данных
и результатах ранее сделанных расчётов и позволяет решать ряд
задач, не зная численного значения исходных данных, входящих в
обобщённые константы A i .
С теоретическими принципами метода критериального
программирования мы познакомимся немного позже, а сначала
рассмотрим пример построения более сложной техникоэкономической модели, модели системы электроснабжения мощного
угольного
разреза,
для
исследования
которой
применим
вышеуказанный метод математического программирования.
3.2 Технико-экономический анализ элементов системы
электроснабжения мощного угольного разреза
При
технико-экономическом
сопоставлении
различных
вариантов технических решений наиболее экономичным (при прочих
56
равных условиях) считается тот, который имеет минимальные
приведенные затраты
З = Зmin .
Это положение принимаем в основу решения вопроса о выборе
экономически целесообразных параметров системы электроснабжения
угольных разрезов.
Система электроснабжения (СЭС) мощного угольного разреза
[10], как и другого промышленного предприятия, представляет собой
совокупность отдельных элементов, связанных между собой в
определенной последовательности и характеризуемых своими
технико-экономическими параметрами.
В общем, виде СЭС мощного угольного разреза можно
представить в виде блок-схемы, изображенной на рисунке 3.1.
Рисунок 3.1 – Блок-схема затрат на систему электроснабжения
угольного разреза
Затраты на СЭС разреза являются суммой затрат на ее
отдельные элементы, и в соответствии с блок-схемой (рисунок 3.1.) их
можно записать
З = ЗЛ1 + ЗГСП + ЗЛ2 + ЗПТП + ЗЛ3 ,
(3.12)
где ЗЛ1 - затраты на ЛЭП внешнего электроснабжения;
ЗГСП- затраты на главные стационарные подстанции;
ЗЛ2 - затраты на распределительные линии
внутрикарьерного электроснабжения;
ЗПТП- затраты на карьерные трансформаторные
подстанции;
ЗЛ3 - затраты на линии, питающие непосредственно
потребителей электроэнергии.
Для получения функции затрат СЭС мощного угольного разреза
проведем исследование влияния различных факторов на
экономические показатели элементов системы электроснабжения.
Из выражения (3.12) видно, что составляющие З представляют
собой затраты на элементы двух типов: линии электропередачи и
57
трансформаторные подстанции. Приведенные затраты на каждый из
этих двух типов элементов можно записать как сумму двух
слагаемых: приведенных капитальных вложений, отчислений на
обслуживание, амортизацию, ремонт Зк и затраты на компенсацию
потерь электроэнергии ЗЭ в рассматриваемом элементе СЭС.
Затраты на линию
ЗЛ = ЗКЛ + ЗЭ .
(3.13)
Здесь
ЗКЛ =
PHΣ K
Л
L,
 тыс.тен.

год


,


(3.14)
где КЛ - стоимость сооружения одного километра линии
электропередачи, тыс. тен. /км;
L - длина ЛЭП, км;
нормативный
коэффициент
PH- суммарный
эффективности капитальных вложений, отчислений
на ремонт, амортизацию и обслуживание линии.
Затраты на оплату потерь электроэнергии в линии определяются
общеизвестным выражением
2
З Δ ЭЭ  Δ Р
где
Л
τС
0

S P ρlτC
0
10
6
,
2
 тыс.тен.

год


,


(3.15)
SP - передаваемая расчетная мощность по линии, кВА;
U - напряжение, кВ;
F - сечение проводников линии, мм2;
 - удельное сопротивление проводника,
Ом  мм
км
2
;
С0 - стоимость потерь электроэнергии, тен/кВт час;
 - время потерь, час/год.
Приведенные затраты на трансформаторную подстанцию
ЗТП = ЗКТП + ЗЭТП .
Затраты на сооружение подстанции
58
(3.16)
ЗКТП = РНКТП ,
тыс.тен.
год
(3.17)
,
где РН- суммарный нормативный коэффициент;
КТП- капитальные вложения на сооружение подстанции,
тыс. тен.
Второе слагаемое выражение (3.16) определяется формулой
З Δ ЭЭТ  Δ Э ТП С 0

  Δ Р ХХ Т  Δ Р КЗ


 SP


 S HT
 
 τ  C 0 10

 
2
3
,
тыс.тен.
год
,
(3.18)
где РХХ и РКЗ -
номинальные потери холостого хода и
короткого замыкания, кВт;
Т - годовое время включения, час/год;
SР и SНТ - соответственно расчетная и номинальная
мощность трансформатора, кВА.
Анализ справочных данных стоимостных показателей линий
электропередачи и трансформаторных подстанций, которые
определяют величину приведенных затрат (3.14) и (3.17), показывает,
что они зависят от электротехнических параметров и от принимаемых
конструктивных решений на их сооружение. Стоимость сооружения
одного километра ЛЭП определяется уровнем номинального
напряжения линии, сечением и маркой провода, типом опор,
количеством цепей на одной опоре. Стоимость сооружения
трансформаторной подстанции определяется ее функциональной
принадлежностью (ГСП или ПТП), номинальной мощностью,
уровнем высшего напряжения и количеством трансформаторов, типом
трансформаторов, типом и количеством ячеек распределительных
устройств.
Следовательно, для проведения дальнейших исследований и
решения основной задачи критериального программирования,
необходимо определить конкретные математические связи между
электротехническими параметрами и стоимостными показателями
элементов СЭС. С этой целью в данной работе были определены
зависимости, аппроксимирующие вышеуказанные связи.
3.3 Определение аппроксимирующих функций стоимостных
показателей элементов системы электроснабжения угольных
разрезов
59
Следует отметить, что составление и разработка цен на
электротехническое оборудование, в частности на сооружение линий
электропередачи и трансформаторные подстанции, производилась и
производится различными проектными институтами и их
отделениями.
Укрупненные технико-экономические показатели, приводимые
в различных справочных материалах, отличаются друг от друга не
только абсолютными значениями, но и характером их изменения.
Использование справочных материалов по какому-либо
источнику без их предварительной практической оценки заведомо
приведёт к неверному определению величины приведённых затрат,
что в свою очередь не позволит найти экономически целесообразное
решение при проектировании. Проектирование, следовательно, и
выбор оптимального варианта, должно производиться в сопоставимых
условиях. На кафедре ЭПП МЭИ под руководством профессора
Федорова А.А. была проведена работа по упорядочению укрупненных
технико-экономических показателей элементов СЭС. При этом была
поставлена и решена задача: упорядочить стоимостные показатели
элементов СЭС так, чтобы они были закономерны и находились в
определенных сопоставимых соотношениях.
На основании обработки справочных данных по стоимостным
показателям элементов СЭС и опираясь на работу, проведенную в
МЭИ, были получены выражения, аппроксимирующие стоимости
сооружения элементов СЭС разреза [8,9].
Линии электропередачи. Представим удельную стоимость
одного километра ЛЭП в виде двух составляющих, зависящих от
сечения КЛ = f(F) и напряжения КЛ= f(U). Анализ зависимостей КЛ =
f(F), проведенных для различных типов и исполнений воздушных и
кабельных линий, дает основание принять линейную зависимость
величины капиталовложений от сечения проводов линии.
Приняв допущение о непрерывности изменения стоимости
линии в зависимости от сечения проводов можно записать
КЛ(f) = aOF + aFF.
(3.19)
Получены коэффициенты аппроксимации aOF и aF
для
различных типов воздушных линий напряжением 6 - 35 кВ, которые
приняты для дальнейших исследований в настоящей работе. Для
воздушных линий 110 - 220 кВ и для кабельных линий, питающих
непосредственное
технологическое
оборудование
карьеров,
60
аппроксимирующие коэффициенты aOF и aF были определены хорошо
известными математическими приемами в данной работе.
Значения коэффициентов aOF и aF сведены в таблицу 3.1.
Очевидно, что прямые КЛ= f(F) (в рисунках 3.2, 3.3, 3.4) отсекают от
оси ординат отрезки, численно равные удельной стоимости линий,
зависящей от напряжения. Поскольку тангенс угла наклона на К= f(F),
численно равный aF, для каждого типа линий при всех напряжениях
получился одинаковым, можно построить зависимости стоимости
линий от напряжения КЛU = f(U).
На рисунках 3.5, 3.6, 3.7 приведены зависимости удельных
стоимостей воздушных и кабельных линий в функции от напряжения.
Примем к аппроксимации КЛU= f(U) выражение вида
KЛU =a0F + aUUa.
(3.20)
При определении аппроксимирующих коэффициентов и
показателей степени  был применен хорошо известный метод
наименьших квадратов при допущении непрерывности функций KЛU =
f(U) в рассматриваемом диапазоне напряжений.
61
K , т ы с.т ен г е
2 0 ,0
12
1 8 ,0
1 6 ,0
10
1 4 ,0
8
9
1 2 ,0
7
1 0 ,0
6
5
8 ,0
4
3
6 ,0
4 ,0
2
2 ,0
1
0
25
50
70
95
120 150 185
240
300
400
500
F , мм2
1, 2, 3, 5, 8 – на деревянных опорах 6-10 кВ, 20 кВ, 35 кВ, 110 кВ, 220 кВ;
4, 6, 10 – на железобетонных опорах 35 кВ, 110 кВ, 220 кВ;
7, 9, 11 – на стальных опорах 35 кВ, 110 кВ, 220 кВ.
Рисунок 3.2 – Зависимости стоимости воздушных одноцепных ЛЭП от
сечения провода
62
K , т ы с .т е н г е
3 2 ,0
5
2 8 ,0
2 4 ,0
4
2 0 ,0
3
2
1 6 ,0
1
1 2 ,0
8 ,0
4 ,0
0
25 50 70 95
120 150 185
240
300
400
500
1, 3 – на железобетонных опорах 35 кВ, 110 кВ;
2, 4, 5 – на стальных опорах 35 кВ, 110 кВ, 220 кВ.
Рисунок 3.3 – Зависимости стоимости двухцепных воздушных ЛЭП от
сечения провода
63
F , мм2
К , т ы с. т ен ге
20
35 кВ
10 кВ
15
6 кВ
3 кВ
10
5
0
16
25
35
50
70
95
120
F , мм
2
Рисунок 3.4 – Зависимости стоимости кабеля КШВГ от сечения
токоведущих жил
K , т ы с.т ен г е
8 ,0
6 ,0
4 ,0
2 ,0
0
3
6
10
35
U , кВ
Рисунок 3.5 - Зависимость стоимости кабеля КШВГ от напряжения
64
K
U
, т ы с.т ен г е
6 ,0
5 ,0
2
4 ,0
1
3 ,0
2 ,0
1 ,0
0
6
10
20
35
U , кВ
1 – одноцепные на деревянных опорах;
2 – одноцепные на железобетонных опорах.
Рисунок 3.6 - Зависимости стоимости воздушных линий от
напряжения
К ,т ы с. т ен г е
2 4 ,0
2 0 ,0
5
1 6 ,0
4
3
1 2 ,0
2
8 ,0
1
4 ,0
0
35
110
220
1, 2, 3 – одноцепные ЛЭП на деревянных, железобетонных, стальных опорах;
4, 5 – двухцепные ЛЭП на железобетонных и стальных опорах.
Рисунок 3.7 - Зависимости стоимости воздушных линий от
напряжения
65
U , кВ
Таблица 3.1 Значения аппроксимирующих коэффициентов  и 
функции К  f(F) для различных типов линий электропередачи
Тип
 ,
 ,
U ,
промежуточных
тыс.тенге
Тип линии
òûñ.òåíãå
кВ
опор
км. м
êì
35
7,61
0,011
Стальные
110
9,85
0,011
220
14,21
0,011
6–10
1,01
0,011
Одноцепные
20
2,35
0,011
воздушные
35
5,39
0,011
Железобетонные
линии
110
7,02
0,011
(провод марки
220
10,15
0,011
АС)
6–10
1,47
0,011
20
1,81
0,011
Деревянные
35
3,73
0,011
110
5,42
0,011
220
8,55
0,011
35
11,17
0,024
Воздушные
110
14,86
0,024
двухцепные Стальные
220
22,15
0,024
линии
(провод марки
35
9,21
0,024
Железобетонные
АС)
110
12,11
0,024
3
2,9
0,07
Кабельные
Кабель марки
6
3,7
0,07
линии
КШВГ
10
5,8
0,07
OF
F
Л
OF
F
н
2
В зависимости от принимаемых условий при решении
оптимизационной задачи аппроксимирующая функция (3.20) для
воздушных линий может быть взята линейной, т.е.  принимает
значение единицы. Следует отметить, что стоимость одноцепных
воздушных линий достаточно хорошо аппроксимируется линейными
функциями раздельно по диапазонам номинальных напряжений 6-35
кВ и 35-220 кВ.
Значения коэффициентов a0U, aU и показателей степеней 
сведены в таблицы 3.2. и 3.3. при различных видах аппроксимации
KЛU = f(Uн).
66
Таблица 3.2 Значения аппроксимирующих коэффициентов
показателей степеней  функции К  f(U)

а ,
,
Тип линии
тыс.тенге
тыс.тенге
 OU
,

и
Л
U
U
OU
Одноцепные линии (6 – 35 кВ)
1. Железобетонные опоры
2. Деревянные опоры
Одноцепные линии (35 – 220 кВ)
1. Стальные опоры
2. Железобетонные опоры
3. Деревянные опоры
Двухцепные линии (35 – 220 кВ)
1. Стальные опоры
2. Железобетонные опоры
Кабельные линии

U
км
км
0,4
1,15
0,055
0,03
1,26
1,20
7,0
5,1
3,5
0,048
0,006
0,006
1,36
1,24
1,24
10,3
8,4
0,0
0,0065
0,011
1,82
1,40
1,24
0,42
Таблица 3.3. Значения аппроксимирующих коэффициентов 
 функции К  f(U) для различных типов линий электропередачи
OU
U
U
и
Л
Тип линии
 OU
Одноцепные линии (6 – 35 кВ)
1. Железобетонные опоры
2. Деревянные опоры
Одноцепные линии (35 – 220 кВ)
1. Стальные опоры
2. Железобетонные опоры
3. Деревянные опоры
Двухцепные линии (35 – 220 кВ)
1. Стальные опоры
2. Железобетонные опоры
,
тыс.тенге
км

тыс.тенге
U
,
км. м
0,15
1,729
0,095
0,079
6,154
4,348
3,05
0,036
0,026
0,024
8,84
7,472
0,0594
0,0446
2
Трансформаторные подстанции. Для мощных угольных
разрезов характерно преобладание потребителей электроэнергии I и
II категорий, поэтому ГСП, как правило, сооружаются
двухтрансформаторными. При этом стремятся к максимальному
упрощению схем коммутации подстанций и применению минимума
коммутационных аппаратов.
Это достигается отказом от
выключателей на стороне высшего напряжения (35-220 кВ.)
и
применением более дешевой и простой аппаратуры.
67
Стоимость сооружения трансформаторной подстанции в
основном
определяется
силовыми
трансформаторами
и
распределительным устройством (РУ). При этом стоимость
трансформаторов зависит от уровня высшего номинального
напряжения и номинальной мощности, а стоимость РУ определяется
его номинальным напряжением.
В общем случае стоимость трансформаторной подстанции
можно записать в функции двух вышеуказанных параметров
KТП = f(Uн, SНТ).
На основании справочных стоимостных показателей силовых
трансформаторов и РУ были построены зависимости стоимости
сооружения ГСП и ПТП (рисунки 3.8 и 3.9) от номинальной
мощности трансформаторов для различных напряжений. При
построении зависимостей KГСП = f(SНТ) было принято, что ГСП
сооружаются двухтрансформаторными с ОРУ 35-220 кВ. без
выключателей, с отделителями и короткозамыкателями в два блока и
автоматической перемычкой между ними.
Стоимость ПТП, которые выполняются в настоящее время
комплектными, определяет в основном силовой трансформатор и
конструктивное исполнение самой подстанции, отвечающее
специфике эксплуатации в условиях разреза.
Во многих работах, в которых исследуются модели элементов
СЭС с целью оптимизации их параметров, предлагается в качестве
аппроксимации стоимости трансформаторной подстанции выражения
КТП = b0 + bUUн + bSSНТ ,
(3.21)
КТП = bU U
(3.22)
или

н
+ bSSНТ ,
Из выражений (3.21) и (3.22)
следует, что стоимость
сооружения ТП при одной и той же мощности трансформаторов, но
для различных уровней высшего номинального напряжения
отличаются на величину
КТП = bU(U1н - U2н)
или
КТП = bU(U1н - U2н).
68
Эта разность в стоимостях ТП остается постоянной при любых
номинальных мощностях трансформаторов.
Выражения (3.21) и (3.22) не вносят существенных
погрешностей в определение стоимостей трансформаторных
подстанций напряжением порядка 6-35 кВ и мощностью
трансформаторов 0,63-4,0 МВА. Для ТП с высшим номинальным
напряжением 35-220 кВ и мощностью 16-63 МВА и выше, что
наиболее характерно для ГСП мощных угольных разрезов,
аппроксимация стоимости ТП по рассматриваемым выражениям
(3.21) и (3.22) вносит ошибку, которая даже при ориентировочных
расчетах может привести к неверным результатам. Например, для ТП
с мощностью трансформаторов 25 МВА стоимости при напряжениях
35 и 220 кВ составляют 112 тыс.тен. и 214 тыс.тен., а для мощности 63
МВА при тех же уровнях высшего напряжения соответственно 184
тыс.тен. и 344 тыс.тен. (рисунок 3.10).
В первом случае (SНТ=25 МВА) разность в стоимостях ТП по
напряжению составляет 102 тыс.тен., а во втором 160 тыс.тен., т.е.
очевидно значительное расхождение (58 тыс.тен.) в стоимости ТП.
В связи с этим можно предложить выражения [8], которые более
точно описывают изменения стоимостей ТП от параметров UН и SНТ
К
α
ТП
 b S S НТ
(3.23)
или
К
ТП
 (b
0
 bUU
Н
)S
α
НТ
.
(3.24)
При определении коэффициентов аппроксимации и показателей
степеней  (3.23) и (3.24) использовались хорошо известные
математические приемы.
Например,
для
ТП
(ГСП)
с
трехобмоточными
трансформаторами (рисунок 3.9) записывали значение SНТ и КТП в
логарифмической системе координат. При этом функции lgКТП = f(lg
SНТ) достаточно точно описываются прямыми. Далее, методом
наименьших квадратов определялись коэффициенты аппроксимации
вышеуказанных прямых. В результате расчетов были получены
следующие выражения
lgK
ТП(35)
lgK
ТП(110)
lgK
ТП(220)
S HT 

 1.627  0.4681g S HT 

 1.759  0.4611g S HT

 1.519  0.4587g
69
.
(3.25)
Потенцируя уравнения (3.25), получают
K
 42.36S
0.468
ÒÏ(110)
K
 57.41S
0.461
ÒÏ(220)
òûñ.òåí.
ÌÂ
0.458
ÒÏ(35)
Принимают значение
имеют размерность
 32.51S
K
À
0,46

HT
(3.26)
HT
HT
.
= 0,46, тогда числа 32.51; 42.36 и 57.41
.
Кроме того, эти числа имеют непосредственную связь с уровнем
высшего напряжения ТП, которая может быть аппроксимирована
прямой линией (рисунок 3.10).
К ,т ы с. т ен г е
120
110 к В
100
80
35 кВ
60
40
10 кВ
20
0
2 ,5
4
6 ,3
10
16
25 Sн т, М В А
Рисунок 3.8 - Зависимости стоимости карьерных трансформаторов
ПТП от номинальной мощности трансформаторов
70
К ,т ы с . т е н г е
420
6
360
3
300
5
240
4
2
180
1
120
60
Г С П (2 x S н т )
0
2 х 6 ,3 2 х 1 0 2 x 1 6
2x25
2x32
2x40
2x63
2x80
1, 2, 3 – двухобмоточные трансформаторы 35, 110, 220 кВ;
4, 5, 6 – трехобмоточные трансформаторы 35, 110, 220 кВ.
Рисунок 3.9 - Зависимости стоимости карьерных ГСП от
номинальных мощностей трансформаторов
71
М ВА
К ,т ы с. т ен г е
60
56
52
48
44
3
40
36
32
28
2
24
20
1
16
12
8
4
0
20
35
110
220 U , кВ
1 – однотрансформаторная ПТП;
2 – ГСП с двумя двухобмоточными трансформаторами;
3 – ГСП с двумя трехобмоточными трансформаторами
Рисунок 3.10 - Зависимости стоимости трансформаторных подстанций
(ПТП и ГСП) от напряжения
Итак, для ГСП с двумя трехобмоточными трансформаторами с
РПН и с ОРУ без выключателей с блоками ОД и КЗ и автоматической
перемычкой между ними, стоимость сооружения может быть описана
формулой
К
ГСП
 (27,7
 0,136U)S
0.46
HT
, тыс.тен.
(3.27)
Для ГСП с двумя двухобмоточными трансформаторами с РПН и
аналогичным ОРУ капитальные вложения выразятся
К
ГСП
 (16,0
 0,084U)S
а для однотрансформаторных ПТП
72
0.54
HT
, тыс.тен.,
(3.28)
К
ГСП
 (8,40
 0,073U)S
0.61
HT
, тыс.тен.
(3.29)
Следует заметить, что в выражениях (3.27), (3.28) и (3.29)
размерности напряжения U в кВ, а номинальная мощность
трансформаторов в МВА.
3.4 Построение технико-экономической
мощного угольного разреза
модели
СЭС
Для проведения технико-экономического исследования, которое
заключается в экономическом обосновании принимаемых решений,
необходимо
иметь
математическую
модель,
отражающую
основные свойства исследуемого объекта.
На рисунке 3.11 схематично показана СЭС мощного угольного
разреза. По этой схеме, отражающей наиболее общий случай
электроснабжения предприятия, определяется выражение суммарных
приведенных затрат (3.12) через параметры ее элементов.
Рисунок 3.11 – Схема электроснабжения мощного угольного
разреза
При
построении
технико-экономической
модели
электроснабжения разреза принимаются следующие условия и
допущения [8]: электроснабжение осуществляется от энергосистемы
по N1 воздушным двухцепным линиям электропередачи напряжением
73
U1 и сечением F1; М1 - количество ГСП, подключенных к одной линии
из N1; ГСП имеют равные как в геометрическом отношении, так и в
отношении электрической нагрузки, зоны обслуживания и имеют
одинаковые номинальные мощности трансформаторов SHT1; N2 –
число воздушных карьерных ЛЭП, отходящих от одной ГСП
напряжением U и сечением F2; M2 – количество карьерных ПТП,
подключенных к одной линии из N2; ПТП равномерно расположены
по участкам обслуживания и имеют равные номинальные мощности
трансформаторов SHT2; потребители электроэнергии питаются от ПТП
по отдельным кабельным линиям напряжением U3 и сечением F3.
Основными потребителями электрической энергии на угольных
разрезах являются экскаваторы. На их долю приходится от 94% до
98% всей электрической нагрузки, идущей на технологические
нужды. Поэтому, в целях упрощения, в технико-экономической
модели СЭС разреза будет учитываться только экскаваторная
электрическая нагрузка.
Значительный вес в энергопотреблении всего разреза имеет
электрифицированный железнодорожный транспорт. Как показывает
анализ, проведенный институтом "ЦентрГИПРОШАХТ", для
существующих
и
проектируемых
угольных
разрезов
с
производительностью от 5 до 55 млн. тонн угля в год, доля нагрузки
электротяги колеблется от 65 до 20 процентов от всей нагрузки
предприятия. Причем чем выше производительность разреза, тем
меньше доля нагрузки электротяги. Эта зависимость приведена на
рисунке 3.12, где G - годовая производительность разреза, v коэффициент, показывающий долю нагрузки электротяги от всей
нагрузки разреза.
Заметим, что тяговая сеть угольных разрезов питается от своих
тягово-распределительных подстанций, которые, как правило,
устанавливаются совместно с ГСП. Поскольку целью работы не
становится оптимизация параметров тягово-распределительной сети,
то при оптимизации параметров внутрикарьерного электроснабжения
будет учитываться только нагрузка, идущая на технологические
нужды через коэффициент v.
Учитывая вышеизложенные условия и допущение, и принимая
полученные в п.3.2 и п.3.3 выражения для составляющих функций
затрат и стоимостных показателей отдельных элементов СЭС разреза,
определяются аналитические выражения приведенных затрат СЭС
разреза по отдельным элементам.
2
74
При этом учитывается, что SР - полная расчетная нагрузка
разреза МВА, а L1 , L2 и L3 - протяженность ЛЭП внешнего и
внутреннего электроснабжения (км).
Линии внешнего электроснабжения.
З Л1



a
 N 1 L 1  P H a 0  P H a 0 U 1 U1  P H a F F1 
Σ
Σ
Σ



 S P 10

 N
1

3
2

 ρτc


0
 10
6
2
U 1 F1



.



Объединив в константы Аi все те параметры, которые не
изменяются в процессе исследования, получим:
2
1
1
З Л1  А 0 N 1  A 1 U 1 N 1  A 2 F1 N 1  A 3 U 1 F1 N 1
U1
.
(3.30)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
G,
го д
Рисунок 3.12 – Зависимость изменения доли технологической
нагрузки от производительности разреза
Главные стационарные подстанции. Для определения
стоимости потерь электроэнергии в трансформаторах принимается,
75
что номинальные потери PXX и РКЗ (3.18) выражаются по закону
прямой линии (рисунки 3.13 и 3.14)
РХХ = b0XX + bXXSHT ,
РКЗ = b0КЗ + bКЗSHT
Если допустить, что b0XX  0 и b0КЗ  0, что внесет
незначительную погрешность в расчеты, то затраты на ГСП
запишутся следующим образом:
З ГСП



α S1
 N 1 M 1  p H Σ  b 01  b U1 U 1 S HT1
 2b



XX
S HT1 Tc
 2b
0
КЗ
S HT1
 S P ν10

 2N M
1

2

 τc


3
1
2
S HT1
0



,



или продолжая дальше нумерацию констант Аi
α
α
1
α
1
1
S1
S1
S1
З ГСП  A 4 U 1 S HT1
N 1 M 1  A 5 S HT1
N 1 M 1  A 6 S HT1
N 1 M 1  A 7 S HT1 N 1 M 1
Распределительные
электроснабжения.
З Л2
линии



 N 1 M 1 N 2 L 2  p H Σ a 02  p H Σ a



U2
U
α U2
2
 p HΣ a
F2
. (3.31)
внутрикарьерного
F2 
 S P ν10

 2N M
1

3
1
2

 ρτc 0 10


6
2
U 2 F2



,



или
З Л2  A 0 N 1 M 1 N
 A 8U
"
2
α U2
2
N 1 M 1 N2  A 9 F 2 N 1 M 1 N
 A 10 U
2
2
2
1
1
F2 N 1 M
1
1
N
1
2
(3.32)
Для карьерных трансформаторных подстанций приведенные
затраты определяются аналогично затратам на ГСП
α
S2
З ПТП  A 11 U 2 S HT2
N 1M 1N 2 M
1
1
1
 A 14 S HT2 N 1 M 1 N
1
2
M
α
2
1
2
S2
 A 12 S HT2
N 1M 1N 2 M
.
76
2
 A 13 S HT2 N 1 M 1 N 2 M
2

(3.33)
P , кВ т
160
3
120
6
80
5
2
4
40
1
0
6 ,3 1 0
16
25
40
63
Sнт, М В А
1, 2, 3 – двухобмоточные трансформаторы 35, 110, 220 кВ;
4, 5, 6 – трехобмоточные трансформаторы 35, 110, 220 кВ.
Рисунок 3.13 Зависимости потери мощности холостого хода от
номинальной мощности трансформатора
Кабельные линии, питающие непосредственно мощное
оборудование.
З Л3

 N 1M 1 N 2 M 2 N 3 L 3  p HΣ a 0  p HΣ a



S P ν10
 p H Σ a F3 F 3  
 N M N M N
2
 1 1 2
2
3
U3
U
α U3
3
3

 ρτc 0 10


6

,


или
α
Ç Ë3  A 0N 1 M 1 N 2 M 2 N 3  A 15 U 3 U3 N 1 M 1 N 2 M 2 N 3 
2
1
1
 A 16 F3 N 1 M 1 N 2 M 2 N 3  A 17 F3 N 1 M 1 N
1
2
M
1
2
1
(3.34)
N3 .
Подставляя в (3.12) выражения полученных приведенных затрат
на отдельные элементы (3.30) – (3.34), получают техникоэкономическую модель СЭС мощного угольного разреза
77
P , к В т
6
5
280
240
1
200
3
2
160
4
120
80
40
0
6,3 10 16
25
40
Sнт, М ВА
63
1, 2, 3 – двухобмоточные трансформаторы 35, 110, 220 кВ;
4, 5, 6 – трехобмоточные трансформаторы 35, 110, 220 кВ.
Рисунок 3.14 Зависимости потери мощности короткого замыкания от
номинальной мощности трансформатора
2
α
1
1
α
S1
Ç  A 0 N 1  A 1 U 1 U1 N 1  A 2 F1 N 1  A 3 U 1 F1 N 1  A 4 U 1 S HT1
N 1M 1 
1
α
1
1
S1
 A 5 S HT1
N 1 M 1  A 6 S HT1 N 1 M 1  A 7 S HT1 N 1 M 1  A 0 N 1 M 1 N
 A 8U
α U2
2
N 1M 1 N
2
 A 9 F2 N 1 M 1 N
α
S2
 A 11 U 2 S HT2
N 1M 1 N 2 M
1
1
1
 A 14 S HT2 N 1 M 1 N
1
2
M
2
 A 10 U
2
2
1
α
2
1
2
1
N1 M1 N
S2
 A 12 S HT2
N 1M 1 N 2 M
2
1
2
2


 A 13 S HT2 N 1 M 1 N 2 M
α
2

 A 0N 1 M 1 N 2 M 2 N 3  A 15 U 3 U3 N 1 M 1 N 2 M 2 N 3 
2
1
1
 A 16 F 3 N 1 M 1 N 2 M 2 N 3  A 17 U 3 N 1 M 1 N
78
1
2
M
1
2
1
N3 .
(3.35)
Анализируя полученную технико-экономическую модель (3.35)
нетрудно заметить, что ряд ее параметров не требует экономического
обоснования и, следовательно, может быть принят в качестве
исходных данных. Так, опыт эксплуатации и проектирования СЭС
разрезов показывает, что система внешнего электроснабжения
ограничивается, как правило, одной двухцепной линией. Из этого
следует, что параметр N1 можно перевести в разряд констант. Сюда
же относят и параметр U3, так как уровень этого напряжения (6-10
кВ.) определяется номинальными данными сетевых двигателей
экскаваторов.
Учитывая
надежность
электроснабжения
высокопроизводительных
экскаваторов,
их
значительную
потребляемую мощность и ограниченную мощность трансформаторов
ПТП, параметр N3 принимает значение 1  3, и может быть переведен
в разряд констант.
Следует особо уделить внимание принятию протяжённостей
линий внутрикарьерного электроснабжения L2 и L3 в исследуемой
модели.
Что касается длины линии внешнего электроснабжения, то она
всегда определена и входит в константы А'0, А1, А2 и А3 в качестве
исходной информации. Протяженности карьерных линий L2 и L3,
которые в (3.41) вошли соответственно в константы A 0 , А8, А9, A10 и
А15, A16, A17 явно не определены. Для них затруднительно и ошибочно
придавать какие-то средние значения на основании статистических
данных по разрезам, поскольку они для каждого конкретного случая
зависят от геометрических размеров разреза, от количества ГСП и
ПТП и от размеров рабочих участков экскаваторов. Учитывая это,
размеры этих линий можно выразить в функции от параметров М 1 и
М2 и от протяженности всего фронта работ на разрезе. Такой подход
будет наиболее общим для выражения протяженностей карьерных
ЛЭП и, кроме того, в исследуемую модель СЭС разреза будет
заложена информация о его геометрических размерах.
Полагают [8], что весь разрез разбивается на N1М1 зон, каждая
из которых обслуживается отдельной ГСП. Следовательно,
протяженность линии L2 ограничивается этой зоной.
Вводя коэффициент трассы линии kЛ1 и зная протяженность
всего фронта работ LФ, длина L2 определится выражением
L
2

L
Ф
k
Л1
4N 1 M
.
1
79
(3.36)
Аналогично рассуждая, можно выразить протяженность линии
L3, которая ограничена зоной обслуживания ПТП или
протяженностью участка работы экскаватора
L
2

L
Ф
k
Л1
k
Л2
4N 1 M 1 N 2 M
,
(3.37)
2
где kЛ2 - коэффициент трассы линии L3 .
Коэффициенты kЛ1 и kЛ2 учитывают увеличение длин линий за
счет отклонения трассы от прямой линии. На основании обработки
статистических данных по протяженностям внутрикарьерных линий
kЛ1 1,4, kЛ21,15.
Как показывают результаты исследования, проведенные рядом
авторов, величина загрузки трансформаторных подстанций оказывает
значительное влияние на экономическую устойчивость модели
системы электроснабжения, т.е. незначительное отступление от
оптимальной загрузки трансформаторов существенно влияет на
величину затрат. При введении в исследуемую модель СЭС разреза
параметров загрузки трансформаторов ГСП - SГСП и ПТП - SПТП в
явном виде, модель (3.35) потеряла бы физический смысл, т.к. в
обобщенных константах отсутствовала бы информация об
электрической нагрузке разреза. В /2/ в исследуемой модели
электроснабжения района жилой застройки принимаются параметры
загрузки трансформаторов, а информация о его электрической
нагрузке вводится в обобщенные константы посредством средней
поверхностной плотности нагрузки, через которую выражаются
протяженности линий распределительной сети. Такой подход вполне
приемлем для построения технико-экономических моделей
электроснабжения объектов, имеющих равномерно распределенную
электрическую нагрузку. В условиях мощного угольного разреза при
сконцентрированных электрических нагрузках такое решение при
построении модели привело бы к неверным результатам. Поэтому
задаваясь параметрами SНТ1, М1, SНТ2, М2 и вводя в соответствующие
обобщенные константы модели (3.35) полную расчетную нагрузку
разреза, можно определить последующими расчетами оптимальную
загрузку трансформаторов.
Учитывая вышеизложенное и подставляя в (3.35) выражения
(3.36) и (3.37), получают новое выражение приведенных затрат на
СЭС мощного угольного разреза
80
2
α
1
Ç  A 1 U 1 U1  A 2 F1  A 3 U 1 F1
1
α S1
 A 7 S HT1 M
 A 8U
1
α U2
2
α
S2
 A 11 U 2 S HT2
M 1N 2M
1
 A 14 S HT2 M
1
1
N
1
2
M
N
2
α
α
S1
S1
 A 4 U 1 S HT1
M 1  A 5 S HT1
M 1  A 6 S HT1 M
 A 9 F2 N
2
 A 10 U
α
2
1
2
2
S2
 A 12 S HT2
M 1N 2M
1
 A 15 F 3  A 16 F 3 M
2
1
F2 M
2
1
N
1
2

 A 13 S HT2 M 1 N 2 M
2
2
1
2
N
2
2
M
2
1
(3.38)

2
 A 0 N 2 .
Здесь, согласно [2] постоянные составляющие (3.38), которые
получились после вышеуказанных преобразований (3.35), опущены.
Предварительные исследования модели (3.38) показали, что для
выполнения всех требований по применению метода критериального
программирования к полученной модели, необходимо параметр N 2
перевести в разряд констант. После перевода параметра N2 в разряд
констант технико-экономическая модель системы электроснабжения
мощного угольного разреза примет вид
2
α
1
Ç  A 1 U 1 U1  A 2 F1  A 3 U 1 F1
1
1
 A 7 S HT1 M 1  A 8 U
α
S2
 A 12 S HT2
M 1M
1
2
 A 16 F3 M 1 M
 
2
2
α
 A 9 F 2  A 10 U
 A 13 S HT2 M 1 M
2
2
α U2
α
S1
S1
 A 4 U 1 S HT1
M 1  A 5 S HT1
M 1  A 6 S HT1 M 1
2
2
1
1
2
2
F2 M 1
1
α
S2
 A 11 U 2 S HT2
M 1M
 A 14 S HT2 M 1 M
1
2
2

(3.39)
 A 15 F3 
.
Модели (2.39) соответствует матрица размерностей

 U1
0
 2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
 2
1
1
1
1
1
 2
0
0
0
0
0
0
0
 U1
0
 2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
 2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1

S1

S1

S1

S1
.
(3.40)
Для численного определения экономически целесообразных
параметров в матрицу (3.40) подставляются соответствующие
значения аij, и, задаваясь исходными данными, выраженными в
константах Ai, по известному алгоритму реализуется минимизация
функции (3.39).
81
4 Основные положения критериального программирования
для решения оптимизационных задач
4.1 Метод
критериального
программирования
решения класса задач с положительной степенью трудности
для
Критериальный
метод
анализа
(критериальное
программирование)
представляет
собой
математическое
программирование, изучающее класс задач, целевая функция и
ограничения которых являются положительными полиномами. В
общем,
виде
основная
(прямая)
задача
критериального
программирования формулируется так [3]: найти минимальное
значение функции
Y(X), X = (X1, X2, …, Xm),
при условии
X1 > 0, X2 > 0, … , Xm > 0,
и
g1(X) ≤ 1, g2(X) ≤ 1, … , gp(X) ≤ 1.
При этом считается, что целевая функция Y(X) и ограничения
g(X) выражаются обобщенными полиномами вида
m
n
Y(X)


i 1
где
A
i
A
i

X
a ij
j
,
(4.1)
j1
>0,  - произвольные вещественные числа.
ij
Особенностью критериального программирования является то,
что в нем центральная роль отводится слагаемым Yi(X) критерия
оптимальности (4.1)
m
Y i (X)  A
i

j1
82
X
a ij
j
, i  1, 2, 3, ... , n.
При этом внимание концентрируется на относительных долях
различных слагаемых критерия оптимальности, то есть на критериях
подобия или весах  i
πi 
Y i (X)

Y(X)
A
m
i
Y(X)

X
a ij
j*
.
(4.2)
j1
Это связано с тем, что, определив критерии подобия, мы можем
прийти к анализу критериального уравнения, полученного из (4.1)
Y(X
) 
*
n
m

πi X
i 1
j1
a ij
j*
,
(4.3)
то есть выявить экономическую соразмерность исследуемого объекта,
исследовать экономическую устойчивость целевой функции к
изменению
оптимальных
параметров,
чувствительность
оптимизируемых параметров к погрешности исходных данных и в
результате принять оптимальное решение [6].
Для определения минимума целевой функции в критериальном
программировании (класс задач с ненулевой степенью трудности)
применяется теория двойственности, где прямая задача поиска
оптимальных значений X0 заменяется определением компонент
вектора критериев подобия π 0 с последующим выявлением
максимума такой мультипликативной функции D(π), что
D
m ax
π 0  
Y m in  X
0
.
Функция D(π) при этом называется двойственной, а определение
ее максимального значения и максимизирующего вектора 
соответственно решением двойственной задачи.
Двойственная задача формулируется следующим образом [11]:
максимизировать значение мультипликативной функции
π

A  i
 n  i 
D(π)     π 
i  1  i 


λ  π 
p
k



λ
π
 
k
k  1



,
при условиях положительности двойственных переменных
83
(4.4)
π
1
 0, π
2
 0, π
 0, .... , π
3
n
 0
;
ортогонализации двойственного вектора  столбцам матрицы
размерностей  исходной целевой функции Y(X) и ограничений g(X),
т.е.
π1
α 11 α 12 ... α 1n
α 21 α 22 ... α 2n
απ 

π2
.......... ..........
...
α m1 α m2 ... α mn
π3
 0
,
(4.5)
нормализация
n1

πi  1
,
(4.6)
i 1
где
λ k (ππ 

πi
,
k  I, 2 , ... , p.
i  I k 
k
k
k
Здесь I  k   g 1 , g 2 , ... , g h , g  n 1  1, n 1  2, ... , n  , h - количество
членов в k-ом ограничении,
где
n1- число членов целевой функции;
n - суммарное число членов целевой функции и
ограничений;
р - число ограничений.
В случае отсутствия ограничений в исходной функции (n = n1) решение
двойственной задачи будет иметь вид
n
D(π)  
i 1
Ai 




π
 i 
πi
.
(4.7)
Сформулированная
двойственная
задача
качественно
отличается от прямой. Если прямая задача решается при нелинейной
целевой функции и нелинейных ограничениях, то двойственная
функция имеет при любом виде полинома (4.1) линейные
ограничения. При этом определение минимума функции (4.1) при
нелинейных ограничениях значительно упрощается.
Компоненты максимизирующего вектора 
могут быть
найдены из системы линейных уравнений, записанных из условия
ортогональности (3.5) и нормализации (3.6)
84
α 11 π 1  α 12 π 2  ...  α 1n π n  0


α 21 π 1  α 22 π 2  ...  α 2n π n  0


.......... .......... .......... .......... . 
α m 1 π 1  α m 2 π 2  ...  α m n π n  0 


π 1  π 2  ...  π n1  I
.
(4.8)
Все решения условий ортогональности образуют векторное
подпространство пространства Еn , которое называется двойственным
пространством и является ортогональным дополнением прямого
пространства, представляющего собой пространство столбцов
матрицы размерностей  .
Условие
нормализации
определяет
гиперплоскость
нормализации в Еn. В силу условий неотрицательности областью
изменения двойственных переменных π является первый ортант
пространства Еn .
Таким образом, решение системы линейных уравнений (4.8),
удовлетворяющих всем двойственным ограничениям, представляет
собой пересечение двойственного пространства, гиперплоскости
нормализации и первого ортанта Еn .
Для целевой функции Y(X) и ограничений g(X) прямой задачи с
положительной степенью трудности (d = n - m - 1>0), что наиболее
характерно для поставленных в энергетике технико-экономических
задач оптимизации, общее решение двойственных ограничений будет
иметь вид
d
π  b0 

c jb j ,
(4.9)
j1
где cj -
j-ая
базисная
переменная;
имеет
значение
произвольного
вещественного
числа,
удовлетворяющего условию неотрицательности
d
b i0 

c i b ij  0
; i = 1, 2, 3, .... n;
j1
b0 - вектор нормализации, bi 0 - его i-ая компонента;
bj - j-ый вектор невязки, bi j - его i-ая компонента.
При подстановке выражения (4.9) в решение двойственной
задачи (4.4) и после некоторых преобразований, получают выражение
85
максимизирующего вектора 0 через обобщенные константы целевой
функции и ограничений
n

b ij
πi
n
i 1

p


A
b ij
i
, j  I, 2, 3, ... , d
,
(4.10)
i 1
λk
λk
k 1
и при отсутствии ограничений (р=0)
n
n

b ij
πi
i 1


A
b ij
i
.
(4.11)
i 1
При
определении
базисных
векторов
двойственного
пространства используют стандартную процедуру линейной алгебры.
Для этого записывают матрицу показателей степеней
(размерности) 
α 11 α 12 ... α 1n
α 
α 21 α 22 ... α 2n
;
(4.12)
.......... ..........
α m1 α m2 ... α mn
преобразуют ее к виду
'
α 1  m  2  ... α 1n
'
α 2  m  2  ... α 2n
1 0 0 ... 0 | α 1  m  1 
0 1 0 ... 0 | α 2  m  1 
α 
'
'
'
'
'
.......... ...... | .......... .......... .......... .......... ..... .
'
0 0 0 ... 1 | α m  m  1 
'
(4.13)
'
α m ... α m n
Далее, взяв с обратным знаком матрицу, расположенную справа
от единичной (m × n) матрицы и, дополнив ее снизу единичной
матрицей  d  1    d  1  , получают
86
'
α 1  m  2  ... α 1n
'
'
α
α 1m 1 
α
2 m 1 
'
'
... α
2 m  2 
'
2n
.......... .......... .......... ........
α
β 
'
m m 1
1
0
α
...
'
0
...
... α
m m  2 
...
1
...
'
mn
0
.
(4.14)
0
.......... .......... .......... .........
0 ...
0
....
1
Вектор-столбцы матрицы (4.14) по построению ортогональны к
вектор-столбцам матрицы показателей степеней (4.12) и линейно
независимы.
В силу известных результатов линейной алгебры, они образуют
базис пространства решений условий ортогональности, т.е. базис
двойственного пространства.
Чтобы получить вектор нормализации, нужно любой векторстолбец матрицы (4.14) разделить на сумму его первых n1 компонент.
В результате получаем вектор
b 10
b0 
b 20
,
...
b n0
который удовлетворяет условиям ортогонализации и нормализации.
Для определения, j-го вектора невязки, нужно вычесть из
оставшегося j-го вектора-столбца матрицы (4.14) произведение суммы
его n1 компонент на вектор нормализации b0 . Получают вектор
b 1j
bj 
b 2j
.
...
b nj
Всего можно получить d векторов невязки.
87
Уравнение (4.10) образует систему, в общем случае состоящую
из d нелинейных уравнений относительно базисных переменных С.
Решив эту систему уравнений, определяют максимизирующую точку
двойственного пространства, а значит и максимизирующий вектор π .
При определении оптимальных значений переменных прямой
задачи критериального программирования исходят из того, что
0
m
n

Y min (X 0 )  D max (π 0 ) 
A i X
i 1
a
ji
j0
,
(4.15)
j1
где X0 - искомый минимизирующий вектор основной задачи.
На основании определений критериев подобия  можно
записать n уравнений вида
m
D max (π 0 )π i0  A i  X
a ji
j0
,
(4.16)
j1
где i = 1, 2, 3, ..., n. (3.16)
Логарифмирование системы уравнений (4.16)
систему линейных уравнений относительно InXj0:
 D max (π 0 ) π i0
ln  

Ai





определяет
m
α
ji
lnX
j0
,
(4.17)
j1
где j = 1, 2, 3, ..., m.
В этой системе уравнений (d + 1) уравнения являются линейнозависимыми. Выделив из (4.17) систему m линейно независимых
уравнений и решив ее, находят вектор решений относительно InXj0
B 
lnB
1
lnB
2

...
lnB
lnX
10
lnX
20
...
m
lnX
.
m0
Потенцирование полученного решения определяет координаты
минимизирующей точки основной задачи оптимизации, т.е. X10, X20,
X30, ... ,Xm0.
88
4.2 Исследование модели системы электроснабжения
угольного разреза методом критериального программирования
В предыдущем разделе была построена технико-экономическая
модель системы электроснабжения мощного угольного разреза (3.39),
в которой в качестве оптимизируемых параметров были приняты
уровни напряжения и сечения проводников линий электропередачи на
всех ступенях распределения электрической энергии, количество и
мощности главных стационарных и карьерных передвижных
подстанций.
Чтобы решить поставленную задачу оптимизации необходимо
задаться исходными данными, определяющими конкретную систему
электроснабжения.
Обобщенные константы Ai технико-экономической модели, в
которых заложена вся исходная информация, определяются
следующими соотношениями /10/
A1
A
A
U1
 L1;
p н   α F1  L 1 ;
=
2
=
3
pн α
=
S p  ρ  τ  c o  L 1 10
2
3
;
A 4 = p н   b U1 ;
A
A
A
7
6
5
= p н  b1 ;
= 2  b XX  T  c o ;
=
2  b КЗ  [S p  (1  γ)]  τ  c o  10
A
=
8
A
2
9
p н  
=
U2
Lф N
2
k
2
k
4
p н  
F2
Lф N
4
Л1
4N
2
A 11 = p н   b U2  N 2 ;
A 12
=
p н  b 2  N
89
2
;
;
;
;
[S p (1 - γγ)  ρ  τ  c o  L ф  k Л1 10
2
A 10 =
Л1
3
3
;
A 13
b XX  T  c o  N
=
2
;
b кз  [S p (1 -  ) ]    c o  10
2
A 14
A 15
=
=
N
p н  
F3
=
;
2
Lф N
3
k
Л1
k
Л2
4
;
[S p (1 - γγ)  ρ  τ  c o  L ф  k Л1  k Л2  10
2
A 16
3
4N2 N3
2
3
,
здесь  ,  ,  ,  - аппроксимирующие коэффициенты
стоимостных показателей ЛЭП; p - суммарный нормативный
коэффициент эффективности капитальных вложений и отчислений на
эксплуатационные расходы; L1 - протяженность ЛЭП внешнего
электроснабжения, км; Sp- расчетная электрическая мощность разреза,
кВ·А; b , b , b , b - аппроксимирующие коэффициенты
стоимостных показателей ГСП и ПТП; b , b - аппроксимирующие
коэффициенты зависимости потерь мощности в трансформаторах
ГСП и ПТП от их номинальной мощности; T - годовое число часов
включенных трансформаторов;  -годовое число часов максимальных
потерь; c - стоимость одного кВт. часа, тенге/кВт▪ч; Lф протяженность фронта горных работ, км; N - число линий, отходящих
от ГСП, шт; N - число линий, отходящих от ПТП, шт; k , k коэффициенты трасс линий внутреннего электроснабжения;  коэффициент, учитывающий долю электрической нагрузки
электрифицированного
транспорта.
Зависит
от
годовой
производительности разреза.
OF
OU
F
U
н
О1
U1
O2
U2
КЗ
XX
o
2
Л1
3
Л2
Найдем оптимальное решение варианта электроснабжения
мощного угольного разреза.
Исходные данные:
1.
Годовая производительность разреза – 20 млн. т. (  =0,35).
2.
Полная расчетная мощность Sp=50 МВА.
3.
Электроснабжение осуществляется от энергосистемы по
одной двухцепной ЛЭП на стальных опорах (  = 1,4; a =
0,0065, a = 0,024).
4.
Протяженность линии внешнего электроснабжения L1= 50
км.
5.
Протяженность фронта горных работ Lф= 2 км..
U1
F1
90
U1
6.
Предусматривается
сооружение
ГСП
с
двумя
трехобмоточными трансформаторами и ОРУ с отделителями и
короткозамыкателями (  = 0,46; b = 27,7, b = 0,136).
7.
Линии, отходящие от ГСП, предусматривается выполнить
воздушными на деревянных опорах (  = 1,2; a = 0,03, a =
0,011).
8.
Промежуточные
трансформаторные
подстанции
выполняются однотрансформаторными с РПН (  = 0,61; b =
8,4, b = 0,073).
9.
От каждой ГСП отходит по две ЛЭП, N = 2.
31
O1
U1
U2
U2
F2
32
O2
U2
2
Кроме этого Т=6500 час/год;  =5100 час/год;
k
Л1
=1,4,
k
Л2
=1,2,
N
3
co
= 3,0
тенге
кВт  ч
;
=1 шт.
Принимая данные типы элементов системы электроснабжения
разреза, матрица  модели (3.35) будет иметь вид
1 , 4

0

 0

 0
   0

 0
 0

 0

 0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 , 46
0 , 46
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
2
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1, 2
0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 , 61
0 , 61
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 

0

0 

 2
0 

0 
0 

 2

1
.
(4.18)
Далее приступают к построению решения двойственной задачи
критериального программирования.
Записывают матрицу показателей степеней  (4.18) так, чтобы
новый порядок чередования столбцов облегчил нахождения базиса
пространства решений ортогональности
91
0

1

0

0
  0

0
0

0

0
2
1
0
0
0
0
0
0
0
1, 4
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 , 46
1
0
0
0
0
0
0
0
0 , 46
1
0
0
0
1
1
0
2
1
1
0
2
0
1
1
0
1
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
0
1, 2
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 , 61
1
0
0
0
0
0
0
0 , 61
0
0
0
0
0
0
1
0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
Базисные векторы двойственного пространства
используя стандартную процедуру линейной алгебры.
облегчения
и сокращения времени расчета, эта
производится с использованием ПЭВМ. В результате
матрицу “диагонального типа”
 1

0

 0

 0
 0

 0
 0

 0
'
  
0

  6 , 25

 0 ,7

 0 ,5

 0
  1, 5

 1 , 25

 0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
 6 , 25
- 12,5
- 7,5
 2 ,5
 2 ,5
 5 ,0
 3,0
 0 ,7
0
0
0
0
0
0
0,5
1,0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
- 1,5
- 3,0
- 1,8
0 ,6
0 ,6
0
0
1,25
2,5
1,5
0 ,5
0 ,5
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0 

0

0 

0 
0 

0 
0 

0 

0

 1

0

0 

0 
0 

0 

0 
.
0

0

0

1
0

0
1

1

0
. (4.19)
получают,
С целью
операция
получают
(4.20)
Далее,
берется
с
обратным
знаком
матрица,
транспортированная к матрице, лежащей ниже одиночной (9 × 9) –
матрицы и, дописав к ней снизу единичную (7 × 7) – матрицу,
получают матрицу (4.21).
92
Из построения ясно, что любой столбец этой матрицы
ортогональны по всем вектор-столбцам матрицы (4.20). Так как
матрица (3.20) получена из матрицы разностей (4.18) при помощи
элементарных
преобразований,
то
вектор-столбцы
(4.21)
ортогональны вектор-столбцам матрицы (4.19) и линейно независимы.
В силу хорошо известных результатов линейной алгебры, они
образуют базис пространства решений условий ортогональности, то
есть базис двойственного пространства.
Разделив первый вектор-столбец матрицы (4.21) на сумму его
компонент, получают вектор нормализации
0 ,7
 0 ,5
0
1, 5
 1 , 26
0 ,7
 0 ,5
0
1, 5
 1 , 25
0
 1, 0
0
3
 2 ,5
0
0
1, 0
1,8
 1, 5
0
0
0
0 ,6
 0 ,5
0
0
0
0 ,6
 0 ,5
5
0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
 6,25

6,25

 12,8

 7,5
 2,5

 2,5



  












93
0

0

0

0
0

0
0

1

0

0

0

0

0
0

0

1
.
(4.21)
bo
 6 , 25 
 0 ,131



6 , 25
0 ,131



 12 , 8 
 0 , 27



 7 ,5 
 0 ,16
 2 ,5 
 0 , 05



 2 ,5 
 0 , 05
 5 
 0 ,105



1
 3 
 0 , 063





1
0 , 021
47 , 8



 1 
 0 , 021



0
0



 0 
 0



 0 
 0
 0 
 0



 0 
 0



 0 
 0

























Для получения векторов невязки вычитают из каждого
оставшегося вектор-столбца матрицы (4.21) произведение суммы его
компонент на вектор нормализации.
 0 ,7 
 0 ,131



0 ,7
0 ,131



 0 
 0 , 27



 0 
 0 ,16
 0 
 0 , 05



 0 
 0 , 05
 0 
 0 ,105



 0 
 0 , 063
b1  
2,4



0
0 , 021



 0 
 0 , 021



1
0



 0 
 0



 0 
 0
 0 
 0



 0 
 0



 0 
 0

 0,388 



0,388




 - 0,648 




 - 0,384 

 - 0,12 




 - 0,12 

 - 0,252 




 - 0,125 
  
;
- 0,05




 - 0,05 



1






0



0






0



0






0



b2
94
  0 , 37

 0 , 37

  0 , 73

 0 ,16
 0 , 05

 0 , 05
 0 ,105

 0 , 063
 
0 , 021

 0 , 021

0

 1

 0
 0

 0

 0












;












b3
  0 , 26

 0 , 26

  0 , 54

 0 , 68
  0 ,1

  0 ,1
  0 , 21

  0 ,126
 
 0 , 042

  0 , 042

0


0

1


0

0


0













;












b4
 0 ,2 


0 ,2


 0 ,3 


 0 ,2 
 0 ,1 


 0 ,1 
  1 , 05 


  0 , 63 
 
;
 0 , 21


  0 , 21 


0


 0 


 0 
 1 


 0 


 0 
b5
  0 , 275

 0 , 275

  0 , 475

  0 ,3
  0 ,125

  0 ,125
  0 , 213

 0 , 472
 
0 ,158

 0 ,158

0


0

0


0

1


0













;












b6
  0 , 26

 0 , 26

  0 , 54

  0 , 32
  0 ,1

  0 ,1
  0 , 21

 0 , 874
 
 0 , 042

  0 , 042

0


0

0


0

0


1













.












Общее решение условий нормализации и ортогональности
имеет вид
 = bo + cb1,
или
1= 0,13 + 0,388с1– 0,37с2– 0,26с3+ 0,2с4– 0,275с5– 0,26с6;
2= 0,13 + 0,388с1– 0,37с2– 0,26с3+ 0,2с4– 0,275с5– 0,26с6;
3= 0,27 – 0,48с1– 0,73с2– 0,54с3+ 0,3с4– 0,475с5– 0,54с6;
4= 0,16 – 0,384с1+ 0,16с2+ 0,68с3+ 0,2с4– 0,3с5– 0,22с6;
5= 0,05 – 0,12с1+ 0,05с2– 0,1с3+ 0,1с4– 0,125с5– 0,1с6;
6= 0,05 – 0,12с1+ 0,05с2– 0,1с3+ 0,1с4– 0,125с5– 0,1с6;
7= 0,105 – 0,252с1+ 0,105с2– 0,21с3– 1,05с4– 0,213с5– 0,21с6;
8= 0,063 – 0,152с1– 0,063с2– 0,126с3– 0,63с4+ 0,472с5+ 0,874с6;
9= 0,021 – 0,05с1+ 0,021с2– 0,042с3– 0,21с4+ 0,158с5– 0,042с6;
10= 0,021 – 0,05с1+ 0,021с2– 0,042с3– 0,21с4+ 0,158с5– 0,042с
11 = с1; 12 = с2; 13 = с3; 14 = с4; 15 = с5; 16 = с6.
95
Решение двойственной задачи запишется системой из шести
уравнений:
1

0,388
 А1
А
0,388
1
0,388
2

-0,37
 А1
1

-0,26
 А1
2

 А1
-0,275
А
1
-0,26
 А1
-0,26
-0,275
2
-0,275
2

-0,26
2
А
-0,26
2

0,2
А
0,2
2

0,3
3
-0,475
3
А
3

3
-0,475
-0,54
А
-0,54
3
0,68

0,3
3
0,2
4
-0,3
4
-0,3
4
-0,32
4
А
-0,32
4
-0,1
5
0,1
5
А
-0,1

А
6

0,105
7
7

- - 0,21
7
А
- - 0,21
0,1

-1,05
7

6
0,1
6
А
-0,1
6
А
7

-0,125
6
А
-1,05
-0,125
6

-0,1
6
- - 0,21

- - 0,21
7
А
0,874
8
А

А
-0,042
9
А
;
 А 13
-0,042
  14 
 А 14
  10
0,158
9
;
  15 
0,158
 А 10
0,158
  10
-0,042
9
;
  13 
 А 10
-0,21
0,158
0,472
 А 12
0,021
 А 10
9
8

0,874
8
-0,21
-0,21
0,472
7
-0,042
9
9
8
 А 10
-0,042
  10
-0,21
9
А
-0,63
- - 0,213

А
;
  12 
  10
-0,042
- - 0,126
8
- - 0,213
7
А
А
0,021
9
 А 11
-0,05
0,021
9
8

-0,63
8
7
А

- - 0,126
8
А
7
А
0,063
 А 10
-0,05
9
  10
0,021
9
  11 
-0,05
А
-0,152
8
  10
-0,05
9
8

0,063
8
А
0,105
6

-0,1
5
0,05
7

-0,152
8
А
-0,252
-0,1
-0,125
-0,1
А
6
5
5


-0,125

0,05
А
6
6
А
5
А
-0,12

-0,252
7
А

0,1
5
А


-0,1
5

0,2
4
0,05
5

-0,12
6
А

0,05
А
4
А


0,68
А

4
-0,12
5
5
А
0,16
4
А
-0,54
3

0,16
4
А

-0,54
2
А
0,2
-0,73
3
3
А
-0,26
 А1


4

-0,12
5
А
-0,384

-0,73
3

-0,384
4
А
-0,648
А
2

-0,648

-0,37
-0,26
0,2
-0,275
3
2
1
1
А
-0,37
А
-0,26
3
2
А
-0,37

0,388
2
 А 15
;
  16 
-0,042
 А 10
-0,042
 А 16
.
После подстановки исходных данных в обобщенные константы
реализуется на ПЭВМ решение двойственной задачи
1 = 0,26; 2 = 0,175; 3 = 0,175; 4 = 0,044; 5 = 0,067;
6 = 0,004;
7 = 0,068; 8 = 0,011;9 = 0,018; 10 = 0,018;
11 = 0,028; 12 =
0,065; 13 = 0,004; 14 = 0,059; 15 = 0,019; 16 = 0,019.
Значения критериев подобия дают оптимальное распределение
затрат по отдельным элементам системы электроснабжения:
96
а) затраты на линии внешнего электроснабжения – 57,6%;
б) затраты на главные стационарные подстанции – 18,3%;
в) затраты на внутрикарьерные ЛЭП – 4,7%;
г) затраты на промежуточные передвижные подстанции –
15,6%;
д) затраты на кабельные линии – 3,8%.
Определяется величина приведенных затрат на систему
электроснабжения (минимум целевой функции) в соответствии с (4.4)
16
З (Х
о
) min


i 1
Ai 





 i 
i
.
Исходя из полученных результатов расчета записывается
система из 16 уравнений
1.
З (Х
о
) min
 1
A1
4.
З (Х
о
) min
A
7.
З (Х
о
10.
З (Х
о
4

7
З (Х
о
  10
) min
) min
  12
A 12
14.
З (Х
о
) min
  14
A 14
16.
З (Х
о
.
2.
З (Х
о

S1
 M 1 U 1 S НТ1
.
5.
З (Х
о
1
-1
8.
) min
A 16
  16
.
 M 1 M 2 S НТ2
.
-2
-2
2
-1
-2
-1
-2
2
3.
1

) min
5
1
F3
о

) min
8
0 , 46
 U
13.
15.
) min

3
 U 1 F1

6
 M 1 S НТ1

9
 F2
A3
 M 1 S НТ1
11.
.
З (Х
2
1,2
2
З (Х
.
З (Х
З (Х
6.
З (Х
о
) min
A
.
9.
З (Х
о
о
) min
  11
о
) min
  13
о
) min
A 15
  15
-2
-1
.
.
6
) min
A
A 13
 M 1 M 2 S НТ2
 M1 M
о
.
A 11
0 , 61
-1
З (Х
 F1
A8
F2
 M1 U
2
A5
.
 M 1 S НТ1

) min
A
7
A 10
12.
1,4
4
) min
A

 U1
.
9
 M 1 M 2 U 2 S НТ2
0 , 61
 M 1 M 2 S НТ2
.
.
 F3 .
.
Выделяется из полученной системы девять (m = 9, число
оптимизируемых параметров) линейно независимых уравнений, а
именно №№ 2 – 4, 7, 9 – 11, 14 и 15. Преобразовав новую систему
уравнений к виду (4.17) и решая, определяется вектор решения
относительно ln(xo).
97
Экономически
целесообразные
параметры
системы
электроснабжения разреза получают следующие значения: U1= 158,73
кВ.; U2=55,08 кВ.; M1=0,78 шт.; M2=10,39 шт.; Sнт1=24,65 МВА;
Sнт2=1,131 МВА; F1=249,9 мм2; F2=549,6 мм2; F3=23,14 мм2.
Очевидно, что полученные параметры требуют ограничений до
стандартных значений. Анализ экономической устойчивости затрат
при отклонении параметров от экономически целесообразных
значений, проведенный в [10] показал, что в большей мере на
увеличение затрат оказывают отклонения параметров U1, U2, M1 и M2.
В меньшей мере влияют на устойчивость затрат параметры Sнт1 и Sнт2.
Параметры F1 и F3 оказывают незначительное влияние на увеличение
затрат при их отклонениях от экономических значений. Как показали
исследования [11], сечение проводников линий внешнего
электроснабжения требует тщательного экономического обоснования
при значительной их протяженности.
Принимаются следующие значения оптимальных параметров:
U1= 220 кВ; U2=35 кВ; M1=1,0 шт; M2=10,0 шт. Sнт1=25,0 МВА;
Sнт2=1,6 МВА; F1=240 мм2; F2=150 мм2; F3=25 мм2.
Следует отметить, что разработанная методика критериального
программирования
оптимизации
параметров
систем
электроснабжения
промышленных
предприятий
позволит
осуществить комплексный подход к выбору рациональных систем
электроснабжения, учитывающих многообразие технологических,
технических и экономических факторов, создать систему
автоматизированного проектирования.
Сочетание данной методики с широким моделированием
системы электроснабжения обеспечит быстрое нахождение
правильного технического решения. При этом практически не
ограничивается определение числа параметров, характеризующих
систему электроснабжения, что делает решение оптимизационной
задачи более качественным и полным.
Кроме
того,
применение
метода
критериального
программирования позволяет исследовать целевую функцию в
окрестностях точки минимума, то есть определить влияние на
изменение затрат отклонения параметров от их оптимального
значения, что очень важно при выборе рационального варианта.
Использование метода критериального программирования
позволит существенно повысить эффективность и экономичность
проектирования систем электроснабжения.
98
4.3 Метод
критериального
программирования
(критериального анализа) для решения сетевых задач
Покажем еще один пример
использования метода
критериального
программирования
для
решения
сетевой
оптимизационной задачи [11].
Задача формулируется следующим образом: оптимизировать
режим электрической сети по напряжению и реактивной мощности.
Критерием оптимальности является минимум потерь активной
мощности.
Математическая модель электрической сети будет иметь вид
n
ΔР 


З  ri  I ia  I ip
2
2
,
i 1
при
I ia  G
ia
, I ip  G
ip
,
где
ri – активное соотношение i-й ветви электрической
сети;
Iia, Iip – соответственно
активная
и
реактивная
составляющие тока в i-й ветви;
Gia, Gip – соответственно
активная
и
реактивная
составляющие тока i-й ветви, определенные по
расчетной схеме;
n – число ветвей в электрической сети.
Рассмотрим конкретную электрическую сеть, расчетная схема и
параметры которой приведены на рисунке 4.1.
Рисунок 4.1
99
Как видно по математической модели,
потери активной
мощности в электрической сети состоят из двух составляющих:
первая зависит от перетоков активной, а вторая – от перетоков
реактивной мощности. Так как в рассматриваемой сети отсутствуют
устройства, позволяющие регулировать потоки активной мощности в
ветвях, то целесообразно исследовать только возможность
уменьшения потерь за счет перераспределения потоков реактивной
мощности. Таким образом, задача минимизации потерь активной
мощности свелась к определению оптимальных перетоков реактивной
мощности и соответствующих им уровней узловых напряжений. При
этом будем считать, что перетоки активной мощности от уровней
узловых напряжений не зависят.
Математическая модель для нашей задачи запишется в виде
Δ Р р  З  r41  I 41 р  З  r12  I 12 р  З  r32  I 32 р  З  r43  I 43 р
2
2
2
2
,
при
I 41 р  G
-1
 1; I 12 р  G 12 р  1;
-1
41 р
I 32 р  G 32 р  1; I 43 р  G
-1
-1
43 р
 1.
Независимыми переменными в данной задаче являются токи в
ветвях, их число равно четырем, всего членов, включая ограничения –
8. Степень трудности задачи будет равна
d = 8 – 4 – 1 = 3.
Запишем, исходя из условий ортогональности и нормировки,
систему уравнений относительно критериев подобия
 2π1

0


 0

0


 π1
0
0
0
 π5
0
0
0
 0
2π 2
0
0
0
 π6
0
0
 0
0
2π 3
0
0
0
 π7
0
 0
0
0
2π 4
0
0
0
 π8
 0
π2
π3
π4
0
0
0
0
1
.
Этой системе уравнений соответствует матрица размерностей
100
α 
2
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
1
0
0
0
0
2
0
0
0
1
.
Преобразованная методом Гаусса-Жордана, она будет иметь вид
α 
1
0
0
0
1 2
0
0
0
0
1
0
0
0
1 2
0
0
0
0
1
0
0
0
1 2
0
0
0
0
1
0
0
0
1 2
.
Соответственно матрица β запишется
β 
1 2
0
0
0
0
1 2
0
0
0
0
1 2
0
0
0
0
1 2
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
.
Векторы нормализации b0 и невязки bi определяются по
известным соотношениям
b0 
1 2
1
0
1
1 2
0
0
1 2
0
1 2
0
0
0
0
0
0
:1 2 
0
,
b1 
0
1 2
0

0
0
2
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
101
,
b2 
0
1
1 2
0
1
1 2
0
0
0
0
0
0
1 2
0
1 2
0
0
0
0
1 2
0

0
0
2
1
0
0
1
0
, b3 
1 2
1 2
0

1 2
0
2
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
.
Вектор критериев подобия в общем случае запишется
1  1 2  С 1  С 2  С 3 
1 2 С1
1 2 С2
π 
1 2 С3
2  С1  С 2  С 3
.
С1
С2
С3
Определим максимизирующий вектор π. Для этого согласно
выражения (4.11) запишем систему уравнений

0
0

2
2
1
1
1
1
  1   С  С  С     С    С    С    2  С  С  С   1
1
2
3
1
2
3
1
2
3

2

2
 2
 2


1

1
0
0

2  С1  С 2  С 3  С1 С 2 С 3

1
1


0
0
1
2
0
2   3r
2   3r



   3r 43   G 411  G 112  G 320  G 043 ;

С

С

С

3r
1
2
3
41
12
32

1
1


0
0
1

 2 1
 1
2  1

1
1  С 1  С 2  С 3     С 1    С 2    С 3   2  С 1  С 2  С 3 

2

2
 2
 2



1

0
1
0

2  С1  С 2  С 3  С1 С 2 С 3

1
1


0
0
0
1
0
2   3r
2   3r





  G 411  G 120  G 132  G 043 ;

С

С

С

3r

3r
1
2
3
41
12
32
43

1
1


0
0
1

 2 1
 1
 1
2
1
  1  С 1  С 2  С 3     С 1    С 2    С 3   2  С 1  С 2  С 3 
2


2
 2
 2



1
1
2
 2  С 1  С 2  С 3   С 1  С 2  С 30


1
1

0
0
0
0
1
1
0
0
1
  С 1  С 2  С 3   3r 41  2   3r 12    3r 32    3r 43  2  G 41  G 12  G 32  G 43 .
1
1
102
Решая ее относительно переменных С и подставляя их значения
в выражение для вектора критериев подобия, получим
0 , 340
0,244
0,119
0,297
π0 
.
0,680
0,488
0,238
0,594
Воспользовавшись выражением (4.7), определим минимальное
значение ∆Рр
m in
ΔРр
 0,2604
 12 
 

 0,34 
0,68
0,34
 0,1817
 18

 0,244
0,488



0,244
 0,0385
 60

 0,119
0,238



 0,0708
0,119
 60

 0,297
0,594



0,297

 4,7 МВт.
Оптимальные значения реактивных составляющих токов в
ветвях определяются из соотношений
πi ΔР р
min
 3r i  I ip0 ,
2
где πi – компоненты вектора π0, соответствующие i-й ветви.
По известным значениям оптимальных токов в ветвях и
параметрам сети r и x определяется оптимальное узловое напряжение.
Напряжение 4-го узла при этом считаем равным 230 кВ. Результаты
расчета режима при естественном и оптимальном (в скобках)
распределениях мощностей приведены в таблице 4.1. Из расчетов
видно, что для перехода от естественного к оптимальному
потокораспределению в контур необходимо ввести э.д.с.
∆Е =
S УР  Z Σ
U
НОМ

 47,23
 j66.72
230
103
 50
 j240

  21  j4.4
 кВ.
Введем эту ∆Е путем изменения коэффициента трансформации
трансформатора Т2
КТ2 =
194 , 87
194 , 87  21
 1 , 9  1 , 715  209
121
.
Таблица 4.1- Результаты расчета установившегося режима при
естественном и оптимальном распределении мощности
Ветвь
i-j
4–1
1–2
3–2
4-3
Информация о ветвях
Р,
Q,
МВт
Мвар
Информация об узлах
∆Р,
МВт
Напряжение
Модуль,
Фаза,
кВ.
град.
Узел
109,527
82,227
1,400
211,5
1
(109,960) (103,720)
(1,600)
(210,7)
73,127
47,230
0,922
101,0
2
(73,355)
(66,720)
(1,150)
(106,0)
33,703
32,727
0,908
104,1
3
(33,358)
(14,280)
(0,563)
(107,0)
56,773
50,127
2,070
230,0
4
(55,760)
(28,320)
(1,400)
(230,0)
Суммарные потери активной мощности – 5,3 (4,713) МВт
5о21’
(5o43’)
8o3’
(8o43’)
5o5’
(5o51’)
0o
(0’)
4.4 Метод
критериального
программирования
(критериального анализа) для решения класса задач с нулевой
степенью трудности
Более эффективным метод критериального программирования
является для решения класса задач с нулевой степенью трудности [7]
(d = m - n - 1 = 0).
В общем случае изменение констант  i и параметров  i (4.2)
приводит к изменению численных значений  i , но их сумма всегда
равна единице:
n

πi  1.
(4.22)
i 1
Из (4.2) можно определить 
этого записывают (4.2) в ином виде
1
Y(x)
iэ
, если известны  i и  i . Для
m

X
j1
104
α ij
jэ
=
πi
A
i
,
логарифмирование последнего выражения даст систему уравнений
m
  ln X j э - lnY(x) = ln
ij
j 1
πi
A
, i= 1, 2, …, n.
I
В матричной форме эта система уравнений примет вид
αY
Э
 K
,
Э
(4.23)
 11  12 ...  1 m  1
где
 

21

22
... 
2m
1
.......... ....... ......  1

n1

n2
lnx
1Э
lnx
2Э
... 
Y Э  .......... .
lnx
mЭ
lnY
Э
ln
nm
- матрица размерности целевой функции;
1
- вектор-столбец экономических решений;
x 
π1
A1
К
Э

.........
.........
ln
- вектор-столбец исходной информации.
πn
A
n
Если модель канонична (n=m+1, n – число слагаемых целевой
функции, m – число оптимизируемых параметров) и матрица α
неособенная (Δα ≠ 0), то из (4.23)
αY
Э
 K
Э
(4.24)
После потенцирования последнего уравнения находятся
выражения для определения экономических значений параметров и
целевой функции
105
m 1
Χ


jэ
i 1
m 1
Υ
э


i 1
 π iэ


 Αi




 π iэ


 Αi




γ
ji
,
γ  m 1 i
1
где γ j i - элементы обратной матрицы 
(4.25)
.
Далее находится выражение для критериев подобия. Следует
отметить, что критерии
удовлетворять условиям



подобия
n


 ik  i

i 1
k
iэ
m


кроме
 ij
 0
(4.25)
должны
,
j 1
эk
которые с учетом (4.2) можно записать
э

Здесь
э

 0
n

ik

iэ
 0
,
k  1, 2 ,....., m
.
i 1
kэ
, следовательно
kэ
n


ik

iэ
 0
(k = 1, 2, . . ., m).
(4.26)
i 1
Для решения системы уравнений (4.26) и (4.22) записывают их в
матричной форме, предварительно умножив (4.22) на минус единицу
Τ
α πэ  β
где 
α
Τ


,
(4.27)
- транспонированная матрица
α 11
α 21
.
.
α n1
α 12
α 22
.
.
α n2
.
.
.
.
.
α 1m
α 2m
.
.
α nm
1
1
.
.
1
π 1э
πэ 
,
π 2э
.
π nэ
106
0
,
β 
.
0
1
.

Если
матрица
неособенная, то
неособенная
и
Т
транспонированная матрица  , тогда система уравнений (3.27)
имеет решение
 
πэ  α
Т 1
β
.
Критерии подобия в этом случае не зависят от констант Α i , а
определяются только показателями степени оптимизируемых
параметров, поэтому экономические варианты исследуемых объектов,
имеющих одинаковое математическое описание, подобны, что
позволяет распространить результаты расчетов одного варианта на
множество ему подобных.
Другими словами, если исследуемые объекты описываются
одинаковыми уравнениями, то для экономически целесообразных
вариантов критерии подобия у них численно одинаковы (одинаковая
экономическая
соразмерность),
а
экономические
значения
оптимизируемых параметров и затрат (целевой функции)
определяются по одним и тем же формулам и зависят от численных
значений обобщенных констант.
Следует заметить, что отмеченными свойствами обладают
технико-экономические
модели,
удовлетворяющие
условиям
каноничности, которые называются каноническими моделями.
Таким образом, для канонических моделей экономические
значения критериев подобия могут быть найдены непосредственно из
1
обратной матрицы  .
Из сравнения выражений (4.23) и (4.27) следует, что критерии
1
 iэ представляют
 ,
подобия
собой
элементы
строки
соответствующие экономическому значению затрат (целевой
функции), взятые с обратным знаком.
Критерии подобия  iэ имеют простую экономическую
трактовку: они показывают долю суммарных затрат, приходящихся на
отдельные слагаемые исходной модели для экономического варианта,
т. е. Позволяют решить первую задачу технико-экономического
анализа.
Определив экономические значения критериев подобия, при
известных исходных данных  можно определить экономические
значения параметров и затрат (целевой функции) по формулам (4.25)
и тем самым решить вторую задачу технико-экономического
анализа.
i
107
Для решения третьей задачи записывается исходное уравнение
(4.1) в критериальной форме (4.3). В критериальном методе за
базовый принимается экономический вариант.
Критериальное уравнение (4.3) еще называют критериальной
моделью исследуемого объекта. Оно носит обобщенный характер и в
явном виде не зависит от констант  i . Из сравнения выражений (4.1)
и (4.3) следует, что для составления критериального уравнения
целевой функции необходимо в исходном уравнении обобщенные
константы 
заменить критериями подобия  iэ , а параметры и
затраты (целевую функцию) - их относительными величинами.
Критериальное уравнение (4.3) позволяет исследовать
экономическую устойчивость целевой функции к отклонению
параметров от их экономических значений.
Четвертая задача технико-экономического анализа решается с
использованием уравнений (4.25). Выразив обобщенные константы

в долях от произвольно выбранных базисных значений  , из
(4.25) получают формулы для исследования чувствительности
i
iб
i
m 1

 γ ji
 Χ jээ   Α i*

i 1

m 1
 γ m  1, i
Y 
A i*

э*

i 1
где

i*



i
iб
,

jэ *



jэ
,
,
jэб
(4.28)
 э* 
э
 эб
.
Исследование чувствительности производится в относительных
единицах и не требует знания численных значений обобщенных
констант.
Для решения пятой задачи технико-экономического анализа
используется критериальное уравнение (4.3), в которое подставляются
в относительных единицах ограниченные значения k параметров
(k<n). Минимизируя преобразованное критериальное уравнение по
остальным n-k параметрам, получим их оптимальные относительные
значения, для определения которых в общем случае необходимо
применять численные методы анализа.
Определение оптимальных относительных значений параметров
и затрат исследуемых объектов упрощается, если их технико-
108
экономические модели являются последовательно-каноническими
уравнениями, т.е. уравнениями, которые удовлетворяют условиям
каноничности при наложении ограничений на отдельные параметры
или их сочетания.
В этом случае для определения оптимальных относительных
значений параметров и затрат целесообразно последовательно
применять критериальный метод. Тогда формулы для нахождения
оптимальных значений будут иметь вид, аналогичный (4.25), с тем
лишь отличием, что вместо обобщенных констант  i будут стоять
критерии подобия критериального уравнения (4.3), умноженные в
общем случае на относительные ограниченные значения параметров в
соответствующих степенях.
4.5 Исследование технико-экономической модели линии
электропередачи методом критериального анализа
Проиллюстрируем
применение
метода
критериального
программирования (критериального анализа) для решения основных
технико-экономических задач на примере переменной части модели
линии электропередачи
З Л  A 0  A
U
U  A F F  A p U
2
F
1
.
Следует отметить, что данная технико-экономическая модель
является каноничной, а ее решение методом критериального
программирования (критериального анализа) является решением
класса задач с нулевой степенью трудности.
Составим из показателей степеней оптимизируемых параметров
матрицу  и найдем ее обратную 
1

U
 =
F
З

1
0
1

0
1
1

 2
1
1
U
,

1
=

1
*
F*

З*

2
1
4
1
2



1
4
3
4
1
4



1
4
1
.
4
1
4
Из обратной матрицы найдем экономические значения
критериев подобия (последняя строка)   1 2 ,     1 4 и
1э
109
2э
3э
запишем формулы для определения
параметров и затрат (целевой функции)
 π 1э
 

Αu




 π 1э
Fэ  

ΑU




 π 1э
 

ΑU




U
э
Зэ
1
2
 1
 1
 π 2э


 ΑF
2
2




1
4
 π 2э


 ΑF




 π 2э


 ΑF




1
 π 3э


ΑP




 π 3э


ΑP




3
4
 1
 Α FΑ P
 

 4Α u
4
 π 3э


ΑP
4
1
4
;




2
значений
1




 Α UΑ P
 
3

 4Α F
4




экономических
1
4
;
(4.29)
1
4

 2 4Α
2
U
 .
1
Α FΑ
4
P
Критериальное уравнение будет иметь вид
1
З* 
2
U* 
1
4
F* 
1
4
2
1
(4.30)
U * F*
Формулы (4.29) позволяют при известных исходных данных
определить экономические значения параметров и затрат.
Полученные экономические значения критериев подобия
характеризуют экономическую соразмерность построения линий
электропередачи: затраты на потери электрической энергии равны
затратам, пропорциональным сечению проводов, а их сумма
составляет половину переменных затрат на линию, другая половина
приходится на затраты, пропорциональные напряжению. Для
исследования экономической устойчивости используются выражения
З* 
F
З* 
U
1

2
1
4
1
4

1
2
F* 
U
*

1
4
1
4
1
F*
U
;
2
*
,
которые получены из критериального уравнения (4.30) при условии
соответственно U  1 и F  1 . Из рисунка 4.2, на котором приведены
эти зависимости, следует, что исходная модель линии
электропередачи более экономически устойчива к изменению сечения
проводов.
Так, например, при увеличении сечения проводов по сравнению
с экономическим в два раза относительное увеличение переменной
части затрат равно приблизительно 5%, в то время как
для
напряжения это увеличение составляет около 10%. Приведенный
*
*
110
пример показывает, что при проектировании линий электропередач
выбор напряжения требует более тщательного экономического
обоснования, чем выбор сечений проводов.
Формулы (4.29) для исследования чувствительности в данном
случае имеют вид
U
э*
 Α F * Α P*
 
2

 Α U*




1
 Α U*Α
 
3

 Α F*
2
4
,
F э*
U
P*




1
4
,

З э*  Α
2
U*
Α
З*
*
F*
Α
P*
U
*

1
4
(4.31)
.
1,4
F*
F*
1,3
1,2
1,1
1 4
1 3
1
1 2
2
3
4
Рисунок 4.2
Из (4.31) видно, что значения U и З в большей степени
чувствительны к погрешности в определении константы Α , а
значение F - к погрешности константы Α . Константа Α в меньшей
степени влияет на экономические значения оптимизируемых
параметров и затрат, поэтому к выбору численного значения этой
константы целесообразно предъявлять меньшие требования. Формулы
(4.31) позволяют также исследовать чувствительность экономических
параметров и затрат к изменению первоначальных величин, входящих
в обобщенные константы. Так, формулы для исследования
чувствительности U , F и З к изменению расчетной нагрузки S ,
входящей в константу Α при Α  1, Α  1 будут следующими
Э
Э
U
Э
F
Э
Э
P
Э
U*
F*
111
Р
1
U Э*  F Э*  З Э*  S * 2 .
(4.32)
Из (4.32) следует, что, например, при ошибочном завышении
расчетной нагрузки в два раза, экономические значения параметров и
затрат увеличатся на 41,5%. Необходимо отметить, что исследование
чувствительности проводится в относительных единицах и не требует
предварительного расчета базисных экономических значений
параметров и затрат, в качестве которых целесообразно принимать
неизвестные истинные значения этих величин.
Рассмотрим определение оптимальных значений параметров и
затрат для случая, когда на оптимизируемые параметры
накладываются технические ограничения дискретного типа.
Пусть вначале ограничение наложено на сечение проводов.
Такая задача возникает в случае, когда экономическое значение
сечения провода отличается от стандартных значений. Например, по
2
расчету F  86 м6 , а приходится принимать F огр  95 м5 .
Выразив ограниченное значение сечения в относительных
2
Э
единицах
F огр* 
F огр
FЭ
и подставив его в уравнение (4.30), получают
преобразованное критериальное уравнение
1
З* 
1
F огр* 
4
U
2
*
1

4F
U
2
*
,
(4.33)
огр*
которое в новых условиях задачи, когда оптимизируется только
параметр U , снова является каноническим и к нему опять
непосредственно применим критериальный метод анализа. В этом
*
случае
'
'
Α U  1 ,Α P  1
2
4F огр*
.
Тогда
оптимальные
относительные
значения напряжения и затрат будут соответственно равны
U
З опт
*

опт *
1
4

F
огр *
F огр* 
3
4

1
F
3
огр*
;
(4.34)

1
3
.
(4.35)
Формулы (4.34) и (4.35) служат для определения относительных
оптимальных значений напряжения и затрат при ограничении,
112
наложенном на сечение провода. Формула (4.35), кроме того ,
позволяет оценить увеличение затрат в случае, когда оптимизируется
только один параметр U , по сравнению с базисным вариантом, когда
одновременно оптимизируются два параметра U и F . Из (4.35)
следует, что значение З  1 только при F
 1 , т.е. значение затрат
будет минимальным, когда сечение провода равно экономическому
значению F . Отступление от экономического сечения проводов
приводит к увеличению затрат. Так, например, при значении F  3
З
 1,27 , что означает увеличение оптимальных затрат на 27% при
повышении экономического сечения провода в 3 раза. Если же при
F
 3 значение напряжения принять равным экономическому U  1 ,
то увеличение затрат по (4.33) составит уже 39%, что на 12% больше,
чем в оптимальном варианте.
Последний пример показывает, что при ограниченном значении
сечений проводов напряжение не следует принимать равным
экономическому значению, а определять по формуле (4.34).При
F
 3
 0,7 , т.е.
оптимальное значение напряжения равно U
должно быть на 30% меньше экономического значения.
Пусть, например, рассчитанные по (4.29) экономические
значения
сечений
проводов
и
напряжения
равны
F  40 мм , U  8,5 кВ, Из тех или иных соображений сечение проводов
F  3  . Тогда оптимальное значение
принимается F  120 мм
напряжения будет равно U  0,7  U  0,7  8,5  6 кВ . В случае, когда
U
ограничение наложено на напряжение
, оптимальные
относительные значения сечений проводов и затрат определяются по
следующим формулам
опт *
огр*
Э
огр*
опт *
огр*
*
огр*
опт *
2
Э
Э
2
огр*
огр
опт
Э
огр*
1
F опт *  U огр* ;
Çîïò
*

1
2
U îãð* 
1
2
1
U îãð*
(4.36)
.
(4.37)
Анализ с использованием (4.36) и (4.37) проводится аналогично
ранее проведенному применительно к формулам (4.34) и (4.35).
Следует особо подчеркнуть, что выполненное исследование
экономической соразмерности, экономической устойчивости и
чувствительности переменной части модели линии электропередачи, а
также учет технических ограничений проведены при отсутствии
113
численных значений исходных данных, входящих в обобщенные
константы. В этом и заключается одно из важнейших преимуществ
базирующегося на теории подобия критериального метода анализа.
Окончательный анализ экономической соразмерности и
экономической устойчивости модели должен проводится с учетом ее
постоянной составляющей, для чего в свою очередь требуется знание
численных значений исходных данных или хотя бы соотношений
между постоянной составляющей и экономическим значением
переменной части затрат. В то же время анализ чувствительности и
учет технических ограничений, проведенные для переменной части
модели, справедливы и для модели в целом.
В заключении еще раз подчеркнем, что критериальный метод
(критериальное
программирование)
является
методом
количественного анализа. Точность результатов анализа, полученных
с использованием этого метода, определяется в первую очередь
правильностью
выбора
исходной
математической
модели,
отображающей исследуемый объект, а точность численных значений
оптимизируемых параметров и затрат зависит от точности задания
исходных данных.
5 Применение методов планирования эксперимента при
оптимизации электроснабжения
5.1 Основные понятия и определения
Планирование эксперимента, родившееся около 80 лет назад как
ветвь математической статистики, стало новой самостоятельной
научной дисциплиной, быстро развивающейся и находящей
эффективное
практическое
применение
в
промышленной
электроэнергетике.
Не следует рассматривать предлагаемый материал как
систематическое изложение теории планирования эксперимента.
Здесь приведены лишь некоторые положения, используемые при
решении определенных задач электроснабжения. Полное и
обстоятельное изложение теории планирования эксперимента можно
найти в специальной литературе, которая была использована при
написании данного раздела [3-5].
Предмет изучения этой дисциплины - широко понимаемый
эксперимент, т.е. совокупность операций, совершаемых над объектом
исследования с целью получения информации об его свойствах.
114
Цель планирования эксперимента - нахождение таких условий и
правил проведения эксперимента, при которых удается получить
наибольшую информацию - надежную и достоверную, с наименьшей
затратой труда и представить эту информацию в компактной форме с
количественной оценкой ее точности.
Благодаря своей универсальности и направленности на решение
практических задач теория планирования эксперимента быстро
захватывает все новые и новые сферы влияния, особенно такие, где
объекты исследования "плохо организованы", т.е. где многочисленные
различные по своей природе явления протекают совместно, в тесной
связи, где нельзя разграничить их действие и влияние на
интересующее исследователя свойство объекта.
Итак, пусть в процессе исследования какого – либо объекта мы
обнаруживаем, что некоторое интересующее нас качество, свойство
или признак этого объекта Y зависит от нескольких величин –
X 1 , X 2 ,...., X n , и мы хотим по крайней мере выяснить характер этой
зависимости.
Иными словами, существует функция нескольких переменных
Y  F  X 1 , X 2 ,...., X i ,..., X n
,
(5.1)
о которой мы имеем лишь самые общие, иногда интуитивные
представления, но хотим знать возможно больше.
Если исследуется влияние на Y всего лишь одной независимой
переменной, то задача достаточно проста: нужно, задаваясь
несколькими значениями X , получить график Y  F  X  , и цель будет
достигнута. Если у нас нет уверенности, что опыты хорошо
воспроизводятся, мы должны повторить их несколько раз при одних и
тех же значениях X и построить график с учетом полученного
разброса опытных точек.
Если независимых переменных две, то задача усложняется
несильно: потребуется снять и построить семейство кривых Y  F  X 1 
при X 2  const . При необходимости можно подобрать аналитические
выражения, аппроксимирующие полученные кривые.
Дело усложняется, если независимых переменных становится
три, четыре или еще больше. Конечно, можно построить много
семейств графиков и, казалось бы, достичь цели. Однако информация
о функции (5.1), полученная в таком виде, практически бесполезна:
трудно предположить, что у кого-то найдется время и терпение
115
извлекать нужные сведения из многочисленных, сложно между собой
связанных кривых.
Итак, модель исследуемого объекта в виде семейств кривых при
числе независимых переменных более двух-трех, непрактична,
неудобна и, возможно, часто бесполезна. Здесь на помощь приходит
очень простая и плодотворная идея рассматривать не саму функцию, а
ее разложение в какой-либо ряд, например в степенной
Y  B 0  B 1 X 1  B 2 X 2  ...  B n X n  B 12 X 1 X 2  B n  1, n X n  1 X n  B 11 X 1  ...  B nn X n  ...
2
2
(5.2)
На практике всегда ограничиваются конечным числом членов
разложения (5.2), аппроксимируя тем самым неизвестную функцию
 полиномом некоторой степени.
Y  F  X , X ,...., X ,..., X
Для продвижения дальше нам нужно ответить на ряд вопросов.
Вопрос первый. Что мы знаем о функции (5.1); какие сочетания
факторов и сколько таких сочетаний следует взять для определения
значений функции Y ?
Вопрос второй. Как найти коэффициенты B , B и т.д., чтобы
ряд лучше всего соответствовал функции Y , которую он
аппроксимирует?
Вопрос третий. Как оценить точность полученного
представления функции Y ?
В теории планирования эксперимента искомую функцию
Y называют параметром оптимизации, функцией цели, функцией
отклика, а величины X принято называть влияющими факторами.
К параметру оптимизации (функция цели, функция отклика)
предъявляются следующие требования [5]:
а) он должен быть количественным, задаваться числом. При
этом его значение должно иметь практический смысл при любой
возможной комбинации выбранных уровней факторов;
б) параметр оптимизации должен выражаться одним числом;
в) однозначность параметра оптимизации в статистическом
смысле.
Заданному
набору
значений
факторов
должно
соответствовать одно с точностью до ошибки эксперимента значение
параметра оптимизации;
г) параметр оптимизации должен измерять эффективность
объекта исследования. Это требование является главным,
определяющим корректность постановки задачи;
д) параметр оптимизации должен обладать универсальностью
или полнотой. Под универсальностью параметра оптимизации
1
2
i
n
0
i
116
1
понимается его способность всесторонне характеризовать объект. Так,
при решении технико-экономических задач в области промышленного
электроснабжения в качестве такого параметра могут быть приняты
приведенные затраты. Не исключается возможность рассмотрения в
качестве параметра оптимизации и технических характеристик
объекта.
И, наконец, последнее – желательно, чтобы параметр
оптимизации имел физический смысл, был простым и легко
вычисляемым.
Для четкой постановки задачи исследования большое значение
имеет обоснованный выбор факторов, от которых так же, как от
параметра оптимизации, зависит успех решения задачи.
В общем случае, факторы можно разделить на две группы:
– независимые факторы X 1, X 2, ... , X k, то есть те, величину
которых можно определить и менять в опытах (расчетах) по мере
необходимости независимо от других факторов. Значения этих
факторов не зависят от воли исследователя (проектировщика)
(электрическая нагрузка, длины линий электропередачи и т.п.).
– зависимые факторы. Это те X k+1, X k+2, ... , X k+n, которые
выбираются исследователем (это виды применяемого оборудования,
способ канализации электроэнергии и т.п.).
Очень важно принять в качестве факторов только независимые
переменные, т.е. такие, каждую из которых можно менять в
некоторых пределах, не затрагивая другие. Независимость
переменных является одним из требований, предъявляемых к
факторам.
Факторы должны быть измеряемыми, причем результаты
измерений должны иметь численное выражение.
При планировании эксперимента факторы должны быть
управляемыми. Это значит, что экспериментатор, выбрав нужное
значение фактора, может его поддерживать постоянным в течение
всего опыта, т.е. может управлять фактором. Планировать
эксперимент можно только в том случае, если уровни факторов
подчиняются воле экспериментатора. Иначе говоря, должна быть
возможность изменять каждый из факторов в нужном диапазоне,
фиксировать их на требуемых уровнях.
Диапазоны изменения всех факторов, в которых мы
интересуемся их влиянием на функцию, (параметр оптимизации),
задают область определения функции. Эти диапазоны могут быть
широкими, ограниченными лишь физическими соображениями, если
мы хотим получить общее представление об объекте, или узкими,
117
если нас интересуют локальные свойства функции. Так или иначе, для
каждого из факторов X мы должны знать граничные значения X imax и
X imin.
Совокупность независимых факторов образует факторное
пространство, которое задает область определения параметров
оптимизации.
Следует подчеркнуть еще одно условие, которое должно
выполняться при постановке задачи - совместимость факторов.
Диапазоны изменения факторов нужно выбрать так, чтобы любое
сочетание факторов в этих диапазонах было реализуемо и имело
физический смысл.
Чтобы
получить
математическую
модель
искомого
оптимального параметра, значения основных факторов первой группы
меняются по программе, предписанной теорией планирования
эксперимента, при этом параметры второй группы остаются
неизменными. В каждом отдельном опыте (расчете) определяется
величина оптимального параметра, для которого строится модель.
Факторы X 1, X 2, ... X , в общем случае размерные величины,
причем размерности могут быть самые различные. Числа,
выражающие величины факторов, могут иметь разные порядки. Это
может привести к определенным неудобствам при решении задач.
Поэтому, предварительно, в большинстве случаев, производится
операция кодирования факторов /5/, представляющая собой линейное
преобразование факторного пространства.
Для осуществления операции кодирования необходимо, прежде
всего, выбрать исходную область экспериментирования, т.е. задать
верхние и нижние пределы изменения каждого фактора в ходе
эксперимента (расчета) X imax, X imm. Тогда операция кодирования
сводится к переносу начала координат факторного пространства в
точку с координатами X 1 СС , X 2 СС , ... , X n СС , где
n
X
i cp

X
i m in
 X
i m ax
,
(5.3)
2
и выбору для каждого фактора нового масштаба, такого, что значению
X imin будет соответствовать -1, a X imax +1. Кодированные значения
факторов связаны с факторами в натуральном исходном масштабе (с
истинными значениями факторов) соотношением
118
x
где
i

X
i
 X
ΔX
i cp
,
(5.4)
i
кодированное значение фактора;
натуральное значение фактора;
средний (базовый ) уровень фактора;
интервал варьирования фактора, определяется, как
X i cp- X imin, или X imax - X i cp.
Проведя операцию кодирования факторов с учетом выбранных
пределов их изменения в эксперименте, мы избегаем возможных
трудностей, связанных с различиями в их размерностях. Уравнение
(5.2) при использовании кодирования факторов запишется в виде
X iX i cp ΔX Ix i
Y  b 0  b 1 x 1  ...  b n x n  ...  b 12 x 1 x 2  ...  b n 1, n x n 1, n x n  ...  b 11 x 1  ...  b nn x n  .... (5.5)
2
2
Следует отметить, что коэффициенты в этом уравнении будут
отличаться от коэффициентов в уравнении (5.2). Переход от записи
(5.5) к (5.2) может быть легко выполним, если воспользоваться
соотношением (5.4).
Выражение (5.5) представляет собой уравнение некоторой
поверхности в факторном пространстве - поверхности отклика.
Проведение экспериментов (расчетов) при определенном
сочетании факторов позволяет найти ряд точек, принадлежащих
поверхности
отклика.
Это
используется
для
получения
аппроксимирующей поверхности в виде (5.5). Средством построения
математической модели служит метод наименьших квадратов,
распространенный на случай k факторов.
В наиболее распространенных планах полного факторного
эксперимента все факторы варьируются на двух уровнях. Такие планы
называются планами типа 2k, где k – число варьируемых факторов.
Для проведения эксперимента строится матрица планирования
эксперимента. Покажем это не в общем виде, а на примерах при k=2 и
k=3.
Пример 1. k=2. В этом случае число плановых опытов равно 4
2
(2 =4). Матрица планирования эксперимента будет иметь вид
(рисунок 5.1).
119
Номер
опыта
x0
x1
x2
x1 x 2
1
+1
+1
+1
+1
2
+1
-1
+1
-1
3
+1
+1
-1
-1
4
+1
-1
-1
+1
Рисунок 5.1 – Матрица планирования эксперимента для плана
ПФЭ 22
Число строк в матрице равно 4. Число столбцов определится
числом членов выбранного типа полинома. Примем тип полинома как
"неполный квадратичный"
Y  b 0  b 1 x 1  ...  b n x n  ...  b 12 x 1 x 2 .
Первый столбец соответствует опыту в центре плана и поэтому
всегда записываются +1. Второй столбец соответствует изменению
фактора x во всех плановых опытах. Третий столбец соответствует
изменению фактора x 2 , а четвертый соответствует уровням сочетаний
1
влияющих факторов x 1 x 2 . Сумма элементов столбцов, кроме
первого, всегда должна быть равной нулю. Заполнение матрицы
должно быть таким, чтобы реализовывалось любое сочетание всех
факторов по их уровням.
Рассмотрим простой пример, наглядно
иллюстрирующий
2
полный факторный эксперимент “ 2 ”. Поверхность, уравнение
которой нас интересует, имеет вид, показанный на рисунке 5.2.
Уравнение этой поверхности представляет собой функцию отклика,
найденную по четырем плановым опытам. Как определить и оценить
значимость коэффициентов уравнения регрессии (таблица 5.1), как
оценить адекватность полученной математической модели, будет
показано в следующем параграфе.
Y = 5,25 + 1,75X1 + 0,75X2 + 0,25X1X2
120
Таблица 5.1
Номер
X0
опыта
1
+
2
+
3
+
4
+
bi
5,25
X1
X2
X1X2
Y
+
+
1,75
+
+
0,75
+
+
0,25
8
4
6
3
Ŷ
Рисунок 5.2
Пример 2. k=3. Число плановых опытов равно 8.
Для упрощения записи вместо +1 и -1 будем записывать в
матрицу планирования просто "+" и "-". Матрица планирования для
k=3 изображена на рисунке 5.3.
В плане ПФЭ, которые являются планами первого порядка и
благодаря их свойству ортогональности, коэффициенты полинома
(5.5) определяются по простой формуле:
N

bi 
Y ig x
g 1
og
,
N
121
(5.6)
где
g Y –
x –
N–
Номер
опыта
1
2
ig
og
номер опыта;
оптимальное значение функции в g-ом опыте;
кодированное значение фактора в g-ом опыте;
число опытов.
x
0
x1
x
+
+
+
-
3
4
5
6
7
+
+
+
+
+
8
+
x
x 1x
x 2x
x 1x 2 x
3
x 1x
+
+
+
+
+
-
+
-
+
+
+
-
+
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
-
-
-
+
+
+
-
2
2
3
3
3
Рисунок 5.3 – Матрица планирования эксперимента для плана
ПФЭ 23
5.2 Методические принципы теории планирования
эксперимента
при
разработке
математических
моделей
оптимальных параметров систем электроснабжения
Применение метода ПЭ для оптимизации сложных объектов с
помощью ЭВМ имеет свои особенности, связанные с тем, что в
отличие от классических экспериментов, при эксперименте на
математической модели отсутствует ошибка опыта, то есть дисперсия
воспроизводимости опыта (S2=0). При такой ситуации формальное
применение статистического аппарата ПЭ становится невозможным,
т.к. он базируется на регрессионном анализе.
Однако под воздействием всегда существующих случайных
обстоятельств, обусловленных неточностью задания исходной
информации, наличием не учитываемых факторов и т.п., в расчетах
реальных систем электроснабжения будет ненулевая ошибка
воспроизводимости.
Следовательно, можно перенести результаты расчетов по
модели как полученных на реальном объекте, задаваясь при этом
необходимой точностью расчетов. В технико-экономических расчетах
точность А= ± 10 % /8/ от некоторого уровня считается достаточной и
тогда дисперсия опыта на реальном объекте определится
122
SX 
2
2
2
4  10
4
Y0 A
(5.7)
,
где Y0 - исходный уровень для оценки точности, принятый
равным
величине
оптимального
параметра в центре
экспериментального
плана ( x = 0).
Таким образом, модель (5.5) в данной постановке
рассматривается как уравнение регрессии, точность которого
оценивается величиной S . Далее, зная дисперсию (5.7) каждого
коэффициента модели (уравнения регрессии) и его вычисленное
значение (5.4), можно определить границы, в которых с определенной
доверительной вероятностью будет заключено истинное значение
коэффициента biист
i
2
X
b i  Δb
i
 b i èñò  b i  Δb i .
(5.8)
Значение Δbi, определяющее доверительный интервал,
находится
2
Δb
i
 t
SX
N
,
(5.9)
где t - критерий Стьюдента, соответствующий принятой
доверительной вероятности.
Определив доверительный интервал, решается вопрос о
значимости каждого коэффициента. При этом в (5.2) остаются те
члены, коэффициенты которых удовлетворяют условию
b i  Δb i .
Используя
полином
(после
коэффициентов bi) и определяя
_

Y
0
(5.10)
исключения
незначимых
в каждой плановой точке, можно

обнаружить различие Y og  Y og , которое рассматриваем как разброс
значений Y0, полученных в опытах.
Этот разброс оценивается величиной, имеющей характер
дисперсии [5]
123
N
S
2



_
(Y
og
 Y
2
og
) .
(5.11)
g 1
Частное от деления S2 на число степеней свободы
представляет собой дисперсию адекватности
S АД 
2
S
fАД,
2
f АД
.
(5.12)
В данном случае уместным будет напомнить, что в статистике
всякая выборочная дисперсия связана с числом, называемым числом
степеней свободы f. Это число f равно разности между числом
различных опытов, по которому оценивалась дисперсия, и числом
констант, найденных по тем же самым опытам независимо друг от
друга и используемых при оценке дисперсии.
Адекватность модели проверяется сравнением двух дисперсии
и S с помощью критерия Фишера. Если
S
2
2
АД
X
2
F 
S АД
2
SX
 F KP ; (f 1 АД  N  L; f 2 АД   ) ,
(5.13)
F кр - табличное значение, а L
где
- число значимых
коэффициентов полинома,
то с принятой доверительной
вероятностью (Р= 0,95) можно утверждать, что полином (5.5)
адекватно отражает результаты опыта, т.е. разброс расчетных данных
относительно предсказанных уравнением результатов находится в
пределах, объяснимых влиянием случайных факторов.
Приведем пример использования планирования эксперимента
при разработке математической модели оптимальных уровней
напряжения в системах электроснабжения угольных разрезов.
Математические модели такого типа позволяют выбирать
величины оптимальных параметров при проектировании и
реконструкции систем электроснабжения угольных разрезов, а также
проследить их изменение в динамике развития предприятия. Для
построения таких моделей должны быть соблюдены основные
требования теории планирования эксперимента к критерию
оптимизации, параметрам оптимизации и к факторам, влияющим на
величины параметров оптимизации. В качестве основных влияющих
факторов были приняты полная расчётная мощность разреза (SP),
протяженности фронта горных работ (LФ), количество отходящих
линий от одной главной стационарной понизительной подстанции
(N2) и протяжённость линии внешнего электроснабжения (L1).
124
Границы варьирования основных влияющих факторов, а также
их базовые уровни и интервалы варьирования приведены в таблице
5.2.
Таблица 5.2
Факторы
Sр, МВА
LФ, км
N2, шт
L1, км
Верхний
уровень
150
10
8
50
Нижний
уровень
50
2
2
5
Базовый
уровень
100
6
5
27,5
Интервал
варьирования
50
4
3
22,5
Для построения математической модели необходимо найти
значения функции отклика в каждом плановом опыте. С этой целью,
задаваясь всевозможными сочетаниями граничных значений
влияющих факторов и используя известные численные методы
расчета, определяются значения напряжений в каждом плановом
опыте. Результаты расчетов приведены в таблице 5.3.
Далее по (5.6) определяются коэффициенты искомого полинома
(модели).
Доверительный
интервал,
определяющий
значимость
коэффициентов полинома:
2
Δb
Δb
Сравнивая
коэффициентов
U
U
 t
Su
N
 1,96
1
,
(5.14)
171,56 
4  10
4
2
 10
2
 16
 4,203
.
значения
со
значениями
модулей
Δb
(таблица 5.3), определяем, что коэффициенты
U
bU
являются незначимыми.
Математическая
модель
после
коэффициентов будет иметь вид
b 6 , b 11 и b 12
отброса
незначимых
U 1  171 , 56  33 , 45 V 1  7 ,12 V 2  7 , 93 V 3  25 , 01 V 4  4 , 62 V 1V 2  11 , 32 V 1V 4 
 9 , 24 V 2 V 3  9 , 39 V 2 V 4  11 , 23 V 3 V 4  5 ,15 V 1V 3 V 4  8 ,86 V 2 V 3 V 4  5 ,17 V 1V 2 V 3 V 4
Дисперсия опытов
125
126
Su
 10
2
171,56

2
4  10
2
 73,58
4
.

Значения функции отклика для каждого планового опыта U ,
найденных по математической модели после отброса незначимых
коэффициентов, также приведены в таблице 5.3. С помощью данных,
занесённых в эту таблицу, определяется дисперсия адекватности
математической модели.
Дисперсия адекватности модели

N
 U
2
S АД
U
 U
i
i

2
i 1

,
N  L

2
S АД
U
306.93
(5.15)
 102.311
3
.
Значение критерия Фишера
2
F 
S АДU
2
SU
F 
,
(5.16)
102.311
 1.3 9
73.58
.
Табличное (критическое) значение критерия Фишера при
степенях свободы f  3 , f  
1 ag
2
FKP = 2,6.
Сравнивая табличное значение критерия Фишера с расчетным
убеждаемся, что
F КР  F.
На основании полученного результата можно с уверенностью
утверждать, что модель адекватно отражает результаты опыта и с
успехом может быть использована при проектировании и
эксплуатации системы электроснабжения.
127
Таблица 5.3 Матрица планирования эксперимента для построения математической модели оптимальных
уровней напряжения электроснабжения угольных разрезов
Номер
опыта
v1234

U
v0
v1
v2
v3
v4
v12
v13
v14
v23
v24
v34
v123
v124
v134
v234
1
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
242,1
241,84
2
+
-
+
+
+
-
-
-
+
+
+
-
-
-
+
-
140,66
140,93
3
+
+
-
+
+
-
+
+
-
-
+
-
-
+
-
-
243,20
244,53
4
+
-
-
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
-
-
+
147,13
145,80
5
+
+
+
-
+
+
-
+
-
+
-
-
+
-
-
-
233,73
227,04
6
+
-
+
-
+
-
+
-
-
+
-
+
-
+
-
+
160,70
167,40
7
+
+
-
-
+
-
-
+
+
-
-
+
-
-
+
+
246,30
251,36
8
+
-
-
-
+
+
+
-
+
-
-
-
+
+
+
-
158,73
153,10
9
+
+
+
+
-
+
+
-
+
-
-
+
-
-
-
-
200,80
207,50
10
+
-
+
+
-
-
-
+
+
-
-
-
+
+
-
+
199,80
193,12
11
+
+
-
+
-
-
+
-
-
+
-
-
+
-
+
+
163,50
157,88
12
+
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
98,70
104,32
13
+
+
+
-
-
+
-
-
-
-
+
-
-
+
+
+
153,36
153,64
14
+
-
+
-
-
-
+
+
-
-
+
+
+
-
+
-
98,25
98,00
15
+
+
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
157,04
155,71
16
+
-
-
-
-
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
100,90
102,27
bi
171
33
7,2
7,9
25
-4,7
-0,5
11
9,2
-9,3
-11
-2,6
3,5
5,2
-8,9
5,17
U
Литература
1 Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по
прикладной математике. ─ М. : Наука, 1984. ─ 192 с.
2 Федоров А.А. Теоретические основы электроснабжения
промышленных предприятий. ─ М. : Энергия, 1976. ─ 271 с.
3 Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске
оптимальных условий / Ю.П.Адлер, Е.В. Маркова, Ю.В Грановский.
─ М. : Наука,1976. ─ 280 с.
4 Налимов В.В. Теория эксперимента. ─ М. : Наука, 1971. ─ 207
с.
5
Ивоботенко
Б.А.
Планирование
эксперимента
в
электромеханике / Б.А. Ивоботенко, Н.Ф.Ильинский, И.П. Копылов. ─
М. : Энергия, 1975. ─ 184 с.
6 Астахов Ю.Н., Веников В.А. и др. Электрические системы.
Кмбернетика электрических систем. ─ М. : Высш. шк., 1974. ─ 327 с.
7 Гордиевский М.Г. Лордкипанидзе В.Д. Оптимизация
параметров электрических сетей. ─ М. : Энергия, 1978. ─ 144 с.
8 Гладлин Л.В. Применение критериального анализа при
оптимизации систем электроснабжения мощных угольных карьеров /
Л.В.Гладилин, М.Е.Волин // Изв. ВУЗов Горный журнал, 1980. ─ № 6.
─ С.99 -104
9 Утегулов Б.Б. Математическое моделирование параметров
систем электроснабжения угольных разрезов / Б.Б.Утегулов,
М.Е.Волгин // Наука и техника Казахстана. Научный журнал. ПГУ им.
С.Торайгырова, 2001. ─ № 2. ─ С. 38 - 50
10 Утегулов Б.Б. Методика критериального программирования
оптимизации параметров систем электроснабжения угольных разрезов
/ Б.Б.Утегулов, М.Е.Волгин // Вестник ПГУ. Научный журнал. ПГУ
им. С.Торайгырова, 2001. ─ № 2. ─ С.53-61
11 Астахов Ю.Н. Решение оптимизационных задач в
электроэнергетике критериальным методом /Ю.Н.Астахов, П.Д.
Лежнюк, В.В.Овчинников /Депон.в ИНФОРМЭНЕРГО № Д 585, 1979.
─ 41 с.
Содержание
1
1.1
1.2
1.3
1.4
2
2.1
2.2
2.3
2.4
3
3.1
3.2
3.3
3.4
4
4.1
4.2
4.3
4.4
Предисловие……………………………………………….. 3
Введение…………………………………………………… 4
Задачи оптимизации и методы их решения……………… 9
Общие положения задач оптимизации…………………... 9
Методы решения оптимизационных задач и их анализ... 12
Многомерные задачи оптимизации………………………. 14
Методы оптимизации, применяемые в
электроснабжении ………………………………………… 24
Методы классического анализа в техникоэкономических расчетах систем электроснабжения……. 31
Общие положения…………………………………………. 31
Методы приближения функций………………………….. 33
Использование методов интерполяции в техникоэкономических расчетах …………………………………. 35
Использование методов аппроксимации в техникоэкономических расчетах………………………………….. 44
Основные положения технико-экономического
моделирования в электроснабжении…………………….. 49
Вопросы технико-экономического анализа в
электроснабжении………………………………………… 49
Технико-экономический анализ элементов системы
электроснабжения мощного угольного разреза…………. 57
Определение аппроксимирующих функций стоимостных
показателей элементов системы электроснабжения
угольных разрезов…………………………………………. 60
Построение технико-экономической модели СЭС
мощного угольного разреза ………………………………. 73
Основные положения критериального программирования
для решения оптимизационных задач……………………. 82
Метод критериального программирования для решения
класса задач с положительной степенью трудности…….. 82
Исследование модели системы электроснабжения
угольного разреза методом критериального
программирования………………………………………… 89
Метод критериального программирования
(критериального анализа) для решения сетевых задач …. 99
Метод критериального программирования
(критериального анализа) для решения класса задач с
нулевой степенью трудности……………………………… 104
2
4.5 Исследование технико-экономической модели линии
электропередачи методом критериального анализа……..
5
Применение методов планирования эксперимента
при оптимизации электроснабжения………………………
5.1 Основные понятия и определения…………………………
5.2 Методические принципы теории планирования
эксперимента при разработке математических моделей
оптимальных параметров систем электроснабжения…….
Литература…………………………………………………..
3
109
114
114
122
128
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
37
Размер файла
2 750 Кб
Теги
specialnostey, resheniy, elektrotehnicheskih, metod, studentov, matematicheskih, elektrosnabjeniya, posobie, 130, 688, uchebnoy, zadachi, dlya, volgin
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа