close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3291 rabiner l.r teoriya i primenenie cifrovoy obrabotki signalov

код для вставкиСкачать
I
Шк
THEORY AND APPLICATION
OF
DIGITAL SIGNAL PROCESSING
Lawrence R. Rabiner
B ell Laboratories
Bernard Gold
MIT L incoln Laboratory
P R E N T IC E -H A L L , INC. E N G L E W O O D C L I F F S , N E W J E R S E Y
І975
Ш Ш ВІ
62
Л. РА БИ Н Е Р, Б. ГОУЛД
ТЕОРИЯ И ПРИМЕНЕНИЕ
ЦИФРОВОЙ ОБРАБОТКИ
СИГНАЛОВ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
А. Л. ЗАЙЦЕВА, Э. Г. НАЗАРЕНКО. Н. Н. ТЕТЁКИНЛ
|ПОД РЕДАКЦ ИЕЙ
Ю. Я. АЛЕКСАНДРОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1978
УДК 621.372.542
иппжеиы
основы
теории
дискретных
сигналов
и
почти
В монографии изложены основы
н «
*
р аесмотт)вны теория.
все
Щ
I
п'“““ иГ?лаш“т Т м д ^ ; вопросам проектирования снециалии-
? ? “ ...? , У ^ г . " 1 ° » ‘ " 1ра8оти„ и применению цифровых методов
д ач евы х и р а д и о л о к а ц и о н н ы х сигналов. Книга содержит большое
Е
^
^
с
п
о
а
в
о
ч
и
о
г
о
Материала,
а
также
тексты
программ
для
расчета
количество
™“°КотГщедставотТет°Йбольжой практический интерес для инженеров-------- обработки сигналов, экспериментаЗ Я Л Е Я ң Ғ З Г « а
„гнлліи .«нслительше машины, специалистов в области вычислительной математики и программистов.
БИь
▼
ИНДУС»
Г
J
34570 І
*
О
Р едакция лит ерат уры по новой т ехнике
Original English language edition published by
Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey,
US.A.
^
Copyright © 1975 by Prentice-Hall, Inc.
© Перевод на русский язык, «Мир», 1978
30401-139
041(01)—78
ПРЕДИСЛОВИЕ
Для успешного осуществления любого значительного начина­
ния, подобного написанию данной книги, необходимы помощь
и поддержка. Авторы хотели бы выразить признательность со­
трудникам фирмы Bell за помощь на всех этапах подготовки этой
книги. Мы хотели бы особенно поблагодарить Генри Раупа из
чертежного бюро, а также г-жу Ричардс и г-жу Олцвари из маши­
нописного бюро за их неоценимую помощь. Г-жа Беверли Масайтис также оказывала нам помощь, перепечатывая различные ва­
рианты этой книги. Г-жа Кэти Шипли помогала составлять про­
граммы, которые были использованы в этой книге. Авторы хоте­
ли бы также поблагодарить библиографический отдел фирмы Bell
за содействие в подготовке рукописи.
Почти одновременно с публикацией этой книги выйдет в свет
дополняющая ее книга Оппенгейма и Шафера. Данная книга
предназначена в основном для инженеров-проектировщиков и мо­
жет служить учебным пособием на курсах повышения квалифика­
ции, тогда как книга Оппенгейма и Шафера рассчитана на аспи­
рантов электротехнических специальностей и посвящена в основ­
ном глубокому рассмотрению фундаментальных теоретических во­
просов. В нашей же книге главное внимание уделено детальному
изложению последних достижений в области цифровой обработки,
включая методы расчета цифровых фильтров и специализирован­
ных устройств, а также практическому применению цифровой
обработки. Аспирантам было бы наиболее целесообразно исполь­
зовать эти книги в следующей последовательности: сначала в те­
чение одного семестра проработать книгу Оппенгейма и Шафера,
а затем перейти к изучению новейших методов, используя нашу
книгу. Здесь следует отметить, что мы в долгу перед указанными
авторами за благотворное техническое сотрудничество. В част­
ности, один из авторов этой книги JI. Рабинер в течение семи лет
тесно сотрудничал с Роном Шафером, и это содружество принесло
ему глубокое удовлетворение и в профессиональном отношении
было весьма плодотворным. Все мы начали работать в этой обла-
6
Предисловие
_ аяИЙ* стадии ее развития и «выросли» вместе с
сти науки на ран
я Qge эти книги написаны незаней. Интересно °™
’
материала в них является общей, что
висимо яруг от яруга, ^
ым" ве1>” к010р0г Ж
претендуют на
неизбежно Для
’
. связи иы выражаем глубокую призна­
Оппенгейму и Шаферу за то большое влияние, которое
Гн^ оказали на методику изложения теоретического материала
ттйпвых глав книги; по-видимому, это влияние особенно заметно
ВИ 3 при изложении теории дискретных линеиных систем и в нет о в ы х пазделах гл. 5 при описании эффектов
конечной разряд­
ности арифметического устройства. Однако (и мы уверены, что
вата коллеги согласятся с этим) нашей признательностью за
эту помощь мы можем лишь в незначительной степени отблаго­
дарить их за теплое и продолжительное техническое сотрудничество и что еще более важно, за их дружбу с нами. Мы хотели бы
также выразить признательность двум выдающимся специалистам
в области цифровой обработки сигналов Чарльзу Рэидеру из
Линкольновской лаборатории и Джеймсу Кайзеру, сотруднику
фирмы Bell, с которыми нам посчастливилось близко познако­
миться. Наше техническое сотрудничество с этими специалистами
было очень плодотворным. Мы благодарны Чарльзу Рәйдөру за
его участие в подготовке к печати разд. 6.19, посвященного сверт­
ке и корреляции, выполняемым с помощью теоретико-числовых
преобразований.
Значительная часть материала гл. 5, касающегося эффектов
квантования в цифровых фильтрах, основывается на важных ра­
ботах Леланда Джексона (Rockland Systems Corporation) и Клиф­
фа Вайнштейна (Линкольновская лаборатория Массачусетского
технологического института). В частности, Д ж ек сон предоставил
некоторые графические данные, приведенные в этой главе и гл. У.
Фотографии, использованные в разд. 7.21, были предоставлены
проф. Томасом Стокхэмом из Университета штата Юта, а также
проф. Леоном Хармоном и Аланом Стрельцовым из Университета
Case Western Reserve.
^ ^ З н Н В |^ ^ Н
Значительная часть материала гл. 8, посвященной специали­
зированным устройствам для цифровой обработки сигналов, была
заимствована из опубликованных работ и подготовлена с помощью
коллег из Линкольновской лаборатории Массачусетского техно­
логического института. Многие сведения взяты из справочников
и руководств по применению интегральных схем, опубликован­
ных фирмой Motorola. Поль Макхью, Джо Тирни, Алан Маклаф­
лин, Питер Бланкеншип, Альберт Хантун и Чарльз Рэйдер из
Линкольновской лаборатории МТИ помогали в подготовке этой
главы. Кроме того, большое влияние на изложение материала по
умножителям оказала работа Стилианоса Пезареса по матричным
умножителям. Особую благодарность мы должны выразить Пит е л ь н о с т ь
П редисловие
гг
7
теру Бланкеншипу за разрешение использовать в этой главе его
работу по делителям и арифметическим устройствам с плавающей
запятой, а также за полезные замечания и подробный разбор пер­
вого варианта этой главы.
Авторы выражают признательность сотрудникам Линкольнов­
ской лаборатории Массачусетского технологического института
Эдварду Хофштетеру, Питеру Бланкеншипу, С. Е. Муз и Тэду
Биалли за полезные советы, критические замечания и дополнения
к гл. 13, посвященной применению цифровой обработки в радио­
локации. В частности, Хофштетер любезно согласился просмо­
треть первый вариант этой главы.
Наконец, мы выражаем огромную признательность Чарльзу
Рэйдеру за весьма внимательное и тщательное редактирование
всей рукописи. Он не только исправил некоторые математиче­
ские и логические ошибки, но внес также ряд ценных предложенийкоторые способствовали более полному освещению некоторых важ­
ных вопросов. Мы очень обязаны ему за эту помощь.
Необходимо выразить благодарность Джеймсу JI. Фланага­
ну за его руководство в течение ряда лет работой одного из нас
(Л. Рабинера) в фирме Bell. Его понимание проблем и трудностей,
связанных с подготовкой этой книги, сделало работу под его ру­
ководством особенно приятной.
Наверное, самая глубокая благодарность и признательность
должны быть выражены нашим семьям за их терпение, выдержку
и понимание, которые от них потребовались в значительно боль­
шей мере, чем обычно. Поскольку эта книга была подготовлена
в основном в нерабочее время, т. е. в те часы, которые обычно по­
священы семье, то те два с половиной года, которые наши семьи
потеряли, являются немалым вкладом в эту работу. Мы очень
благодарны нашим женам и детям за их помощь.
Лоуренс Р. Рабинер и Бернард Гоулд
Г л ав а 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Краткий
сторический
Еще с середины 40-х годов, если не раньше, специалисты по
радиоэлектронике начали задумываться над возможностью при­
менения специализированных цифровых устройств для решения
разнообразных задач, связанных с обработкой сигналов. Так,
например, Леммель (1948) вспоминает беседу между Боде, Шен­
ноном и несколькими другими научными сотрудниками фирмы
bell lelepnone о возможности использования цифровых элемен­
тов для создания фильтров. Нечего и говорить, что в то время
выводы не были благоприятными. С точки зрения стоимости
размеров и надежности предпочтение следовало отдать аналого­
вой фильтрации и аналоговым методам спектрального анализа.
Стокхэм (1955) сообщает, что в 50-х годах Линвиль, тогда про­
фессор Массачусетского технологического института, обсуждал
вопросы цифровой фильтрации на семинарах со своими аспиран­
тами. П этому времени теория управления, частично основанная
на работе Гуревича (1945), уже утвердилась как самостоятельное
научное направление; были глубоко изучены принципы дискрети­
зации колебаний и возникающие при этом спектральные эффекты,
а математический аппарат теории 2-преобразования, существо­
вавший еще со времен Лапласа, начал находить применение в ра­
диоэлектронике и смежных дисциплинах. Однако достигнутый
уровень развития техники позволял получить практические ре­
зультаты только в задачах управления медленными процессами
и обработки низкочастотных сейсмических сигналов. Хотя сей­
смологи при решении многих интересных задач довольно широко
использовали понятия, относящиеся к цифровой фильтрации
оолее или менее строгая теория цифровой обработки сигналов наЙ й Я ™здаваться лишь с середины 60-х годов. К этому времени
ли оценены потенциальные возможности интегральных микро­
схем, что позволило представить полную систему обработки сига ш « - к о т о р о й наилучшая техническая реализация была бы
именно цифровой.
Первый крупный вклад в теорию цифровой обработки сигна­
лов, касающиися анализа и синтеза цифровых фильтров, был еде-
10
Глава 1
лан Кайзером (фирма Bell); он показал, как можно рассчитывать
цифровые фильтры с нужными характеристиками используя би­
линейное преобразование. Примерно тогда же (1965 г.) появилась
?татья Кули и Тыоки о быстром методе вычисления дискретного
преобразования Фурье, давшая мощный толчок развитию этого
нового технического направления. Позже метод был развит и стал
широко известен как быстрое преобразование Фурье (БПФ) бла­
годаря многочисленным публикациям в I E E E Transactions oj
the Group on Audio and Electroacoustics и других журналах. Цен­
ность этого метода заключается в сокращении времени вычисления
дискретного преобразования Фурье (на один-два порядка для боль­
шинства практических задач).
Опубликование статьи Кули и Тыоки ускорило развитие
строгой и достаточно полной теории цифровой фильтрации. Важ­
нейшее значение метода БПФ состояло в том, что он наглядно
продемонстрировал, насколько цифровые методы при спектр аль­
том анализе могут оказаться экономичнее аналоговых. После соз­
дания метода БПФ интенсивность исследований в области цифро­
вой фильтрации резко возросла, и в настоящее время цифровые
методы широко используются для спектрального анализа самых
разнообразных сигналов, начиная с низкочастотных колебании
в сейсмологии и звуковых колебаний в гидрологии и при анализе
речи и кончая видеосигналами в радиолокации.
Возможно, наиболее интересным аспектом развития цифровой
обработки является постоянно изменяющееся соотношение между
фильтры с импульсным] характеристиками конечной и бесконечной длины (называемые
КИХ-фильтрами и БИХ-фильтрами соответственно). Первона­
чальный анализ КИХ-фильтров, проведенный Кайзером с исполь­
зованием временных весовых функций (окон), показал, что с точ­
ки зрения объема вычислений БИХ-фильтры значительно эффек­
тивнее КИХ-фильтров. Однако Стокхэм в своей работе о вычисле­
нии свертки методом БПФ (или, точнее, о цифровой фильтрации
с использованием КИХ-фильтров) показал, что с точки зрения
объема вычислений реализация КИХ-фильтров высокого порядка
эффективной, так что при сравнении
КИХ-фильтров и БИХ-фильтров уже нельзя считать, что по­
следние имеют явное преимущество. Этот вывод способствовал
усиленному поиску эффективных методов расчета КИХ-фильтр°в.
Развитие этих исследований привело к тому, что во многих
учебных заведениях в аспирантские, а также в студенческие про­
граммы электротехнических специальностей были включены
курсы цифровой обработки сигналов.
л
-:а1ЩЯ|И
Первой попыткой исчерпывающего изложения теории цифровой
обработки сигналов была книга Гоулда и Рэйдера (1969). Эту
Введение
11
книгу применяли в качестве учебного пособия для аспирантов,
и как руководство для инженеров, работающих в промышленно­
сти. Естественно, что книга не могла полностью удовлетворить
и тех и других. Не нужно доказывать, что хорошее учебное посо­
бие может быть составлено только на основе курса, читавшегося
в течение по крайней мере нескольких лет, и подходящего на­
бора задач. В то же время инженеры-разработчики хотели бы
располагать более обширными сведениями по проектированию
фильтров и более совершенными методами синтеза, чем те, кото­
рые существовали к моменту написания книги.
Изложив эту краткую предысторию, сформулируем назначе­
ние данной монографии. Прежде всего она адресована проекти­
ровщикам аппаратуры и программистам, т. е. специалистам, раз­
рабатывающим системы обработки либо в виде специализирован­
ных устройств, либо на основе универсальных ЦВМ. Нам пред­
ставляется, что для большей полноты изложения материала по­
мимо теории цифровой обработки необходимо рассмотреть вопро­
сы ее применения к анализу сигналов в радио- и гидролокации,
в исследованиях речи и музыки, в сейсмологии и медицине, а так­
же изложить основы цифровой техники, определяющей развитие
рассматриваемой области и вычислительной техники в целом.
Кроме того, за последнее время было разработано большое коли­
чество новых методов проектирования цифровых фильтров и теория
синтеза фильтров (хотя и находящаяся, по нашему мнению, на
ранней стадии своего развития) начала приобретать зримые очер­
тания. Аналогично свойства алгоритмов БПФ исследованы весь­
ма подробно, тогда как вопросы синтеза и проектирования циф­
ровых спектроанализаторов в достаточной мере еще не системати­
зированы; проведение этой систематизации и является одной из
наших задач. Просмотрев оглавление, читатель получит более под­
робное представление о том, как мы намереваемся достичь ука­
занной цели.
Сделаем последнее общее замечание: в некотором смысле тео­
рию цифровой обработки сигналов можно рассматривать как на­
бор машинных алгоритмов, т. е. просто как один из разделов вы­
числительной математики. Однако теория цифровой обработки
сигналов имеет, как нам представляется, много общего с класси­
ческой теорией цепей и теорией преобразований (в том виде, как
их преподают в вузах), и такую форму ее изложения целесообраз­
но сохранить. Таким образом, уделив основное внимание практи­
ческим вопросам синтеза и проектирования цифровых устройств,
мы постараемся сделать это не в ущерб теоретическим основам циф­
ровой обработки.
Глава 1
12
1.2. Обзор основных направлений цифровой
обработки сигналов
За последнее десятилетие быстро развиваю щ иеся цифровые
методы обработки сигналов были внедрены во многие разделы наvkh и техники и стали для них прочной теоретической базой.
Фиг 1 1 дает некоторое представление о возникновении и разви­
тии методов цифровой обработки сигналов. П оскольку теория цифповой обработки в основном опирается на теорию дискретных ли­
нейных систем с постоянными параметрами, последняя ^представ­
лена как объединяющее начало для всех направлении.
Основными направлениями использования методов цифровой
обработки являются цифровая фильтрация и спектральный ана­
лиз. К цифровым фильтрам относятся К И Х -ф ильтры и ЪИХфильтры. Спектральный анализ можно проводить путем вычис­
ления спектров с помощью дискретного преобразования Фурье
(ДПФ) или путем вычисления спектров с применением статистиче­
ских методов, например при анализе случайных сигналов (в ча­
стности, шума квантования, возникающего в цифровых системах).
В предыдущем разделе уже было отмечено, что на практике при
Теория дискрет ны х л и ­
нейны х-сист ем с пос­
тоянными параметрами,
дискретное преобразо­
вание Фирьв__________
Спектральный
а н а ли з
циф ровая
фильтрация
Задана
аппроксим а­
ции
КИХ-фильтров
Синтез
КИХ-фильтров
Построение
КИХ-фильтров
Задана
аппрокси­
м ации
БИХ-фильтров
Теория
к ва н т о ва н и я
Быстрое npt
образование
Фурье
Ф ильт рация
м ет одам и
БПФ
Синтез
БИХ-фильтров
Построение
БИХ-фильтров
Двумерном
обработ ка
А ппарат ура,
программирование,;
архит ект ура ЦВМ
Прил ож ения
Cm a m ист ине-
скии спект ­
ральны й
а н а л и з \_
П ост роение
сп ект р о ­
анализат оров
Связь
Исследования р еч и
С ейсм ология
Фиг. 1.1. Основные разделы цифровой обработки сигналов
Введение
13
спектральном анализе, как правило, используются быстрое преобразование Фурье (БПФ) и основанная на нем методика вычисле­
ния быстрой свертки. Двумерная обработка сигналов является
сравнительно новой областью, поэтому направление ее развития
помечено на фиг. 1.1 знаком вопроса.
Другими аспектами цифровой обработки сигналов, также пред­
ставленными на фиг. 1.1, являются важные проблемы построения
и применения цифровых систем. Почти все теоретические положе­
ния, касающиеся проектирования цифровых фильтров и спектро­
анализаторов, окажутся бесполезными, если не будет ясного по­
нимания проблем, возникающих вследствие ограниченной точ­
ности вычислений при практическом построении этих систем на
основе ЦВМ или в виде специализированных устройств. Следо­
вательно, проблемы построения систем в первую очередь связаны
с математическими вопросами квантования в дискретных системах,
причем в зависимости от того, как строится система — на основе
ЦВМ или в виде специализированного устройства, — важно пред­
ставлять себе преимущества и недостатки каждого из этих ва­
риантов.
Читателю следует обратить внимание на то, что приложения
цифровой обработки, перечисленные на фиг. 1.1, являются уже
сложившимися научно-техническими направлениями, которые по
традиции опираются на аналоговую технику обработки сигналов
Вопросы о целесообразности развития и применения цифровых
методов обработки сигналов (при столь развитой и продолжаю­
щей совершенствоваться аналоговой технике) возникали неодно­
кратно. Мы считаем, что ответ нужно искать в самой сущности
научных и технических методов. Если формулировка, технических
задач зачастую бывает столь же расплывчатой, как и в гумани­
тарных науках (например, в антропологии, психологии и т. д.),
то их решение все в большей степени становится зависимым от
точности получения и воспроизводимости результатов обработ­
ки. ь качестве примеров можно привести многократные уточне­
ния значений скорости света, постоянной Планка и других уни­
версальных физических постоянных. Большие усилия направлены
на создание эталонов частоты и времени. Поэтому, хотя аналого­
вые системы во многих случаях могут оказаться более дешевы­
ми, гарантированная точность и идеальная воспроизводимость
результатов делают цифровые системы столь привлекательными
для инженеров. Это будет в свою очередь стимулировать совер­
шенствование технологии производства цифровых элементов, что
в конечном итоге приведет к удешевлению цифровых систем,
іаким образом, можно ожидать, что по своему значению цифро­
вые способы обработки сигналов в конечном счете превзойдут
аналоговые методы в силу тех же причин, по которым цифровая
вычислительная техника превзошла аналоговую.
14
Глава 1
■ _____________ ___________
1.3. П о с т р о е н и е книги
Фиг 1 1 является хорошей иллюстрацией построения данной
■ ■ ■ в 'г л 2 содержатся теоретические основы дискретных
книги.
линейных систем. В ней мы намеревались, не вдаваясь слишком
далеко в теорию, дать достаточно полный обзор главных разде­
лов теории цифровой обработки сигналов, на которых будет основаво все дальнейшее наложение. В этой главе содержится также
введение в ДПФ и дается понятие быстрой свертки.
Главы 3 и 4 посвящены вопросам проектирования цифровых
фильтров: в гл. 3 рассматриваются К И Х -ф ильтры , а в гл. 4 киҮ-Аильтоы. Поскольку цифровой фильтр является одним из
■l l tН/Д В
В
В
Н
Н
Н
^
^
^
^
^
^
Н
^
№
с
т
в
а
цифровых
систем,
в
этих
глаи ііИ JLJULЛ
----------- О
_ . __ __________
вах сделана попытка с максимальной полнотой излож ить сущность
пазличных методов расчета фильтров. В гл. 3 детально рассмотре­
ны и сопоставлены по всем возможным параметрам методы взве­
шивания, частотной выборки и метод минимизации максимума
ошибки аппроксимации. Известно, что фильтры с минимаксной
ошибкой оптимальны согласно критерию Чебыш ева, причем ме­
тоды их расчета (включая программы на Ф О РТРА Н е) неоднократ­
но публиковались, поэтому большая часть гл. 3 посвящена об­
суждению фильтров именно этого типа.
В гл. 4 рассмотрены два подхода к проектированию Ь И лфильтров. Первый (классический) подход основан на использова­
нии подходящего преобразования для перехода от аналогового
фильтра к цифровому с помощью явных выражений. К нему от­
носятся метод отображения дифференциалов, метод инвариант­
ного преобразования импульсной характеристики, билинейное
преобразование и метод подбора нулей и полюсов. Второй подход
это прямое проектирование с использованием современных мето­
дов оптимизации для получения фильтров, оптимальных по не­
которому определенному критерию. К нему относятся методы ми­
нимизации среднеквадратической ошибки и модуля ошибки, ме­
тоды равновеликих пульсаций, а также способы оптимизации во
временной области с целью аппроксимации заданной импульснои
характеристики. Невозможно выбрать только один из методов
проектирования БИХ-фильтров и утверждать, что он применим во
всех практически встречающихся случаях. Ввиду этого особенно
важно, чтобы читатель глубоко понял сущность различных мето­
дов проектирования БИХ-фильтров и знал все их преимущества
и недостатки. Кроме того, в гл. 4 проведено сопоставление одного
класса КИХ-фильтров с эквивалентными им БИХ-фильтрами.
Такое сопоставление дает читателю возможность глубже проана­
лизировать различные по сложности варианты построения филь­
тров, относящихся к двум сопоставляемым широким классам
фильтров.
Ц . V.
Введение
15
В гл. 5—7 с теоретических позиций обсуждаются квантова­
ние в цифровых фильтрах, вопросы спектрального анализа и БПФ,
а также теория двумерных систем, включая методы проектирова­
ния двумерных фильтров. Эти три главы содержат главным обра­
зом теоретическую базу для изложения вопросов построения спе­
циализированных цифровых устройств и практического примене­
ния цифровой обработки, составляющих остальную часть книги.
В гл. 5 описаны эффекты квантования в цифровых системах.
Введены понятия ошибки округления, шума аналого-цифрового
преобразования и чувствительности характеристик фильтра к
значениям его коэффициентов. Основным результатом главы яв­
ляются полученные соотношения между динамическим диапазо­
ном и шумом округления при построении рекурсивных фильтров
с фиксированной запятой в прямой и каскадной форме. На осно­
ве этих соотношений разработаны методы упорядочения располо­
жения звеньев и попарной группировки нулей и полюсов для кас­
кадных схем фильтров, применяемые для максимизации отноше­
ния сигнал/шум на выходе фильтра. Для КИХ-фильтров описаны
метод анализа эффектов, связанных с ошибкой округления, и ме­
тод масштабирования промежуточных результатов, используе­
мый для предотвращения переполнения в фильтре. И наконец, рас­
смотрен вопрос о коррелированном шуме округления (или предель­
ном цикле) в БИХ-фильтрах.
В гл. 6 в достаточно общем виде рассмотрен алгоритм БПФ —
пожалуй, самый важный из алгоритмов, применяемых при цифро­
вой обработке сигналов. Без использования сложных выкладок
получены хорошо известные варианты алгоритма БПФ по основа­
нию 2 с прореживанием по времени и по частоте. Изложена еди­
ная теория БПФ, в которой одномерное преобразование сводится
к двумерному с меньшими размерами. Такой обобщенный подход
позволяет проще всего объяснить смысл разрядной инверсии, пово­
рачивающих множителей, вычислений с замещением и т. д. Вслед
за БПФ в весьма общем виде описан дискретный спектральный
анализ. Введены понятия скользящего и «скачущего» спектров.
Показано, как спектроанализатор, работающий с использованием
БПФ, можно сделать эквивалентным спектроанализатору, состав­
ленному из набора полосовых фильтров. В заключение введены
количественные характеристики для спектрального анализа слу­
чайных процессов и рассмотрено несколько методов такого стати­
стического спектрального анализа. Завершается глава обсуждением
использования методов теории чисел для вычисления свертки.
Глава 7 является введением в теорию двумерных дискрет­
ных линейных систем и содержит также описание методов проекти­
рования двумерных цифровых фильтров. Большая часть теории
двумерных систем аналогична приведенной в гл. 2 теории одно­
мерных систем. Однако некоторые важные положения, справед-
Т1яп ап: 7
ливыө для одномерных систем, для двумерного случая непригод­
ны* в данной главе эти положения отмечены. Х отя методы проек­
тирования двумерных фильтров разработаны еще весьма слабо,
в этой главе описывается довольно эффективный метод отображения
одномерных КИХ-фильтров в двумерные и утверж дается, что он
является наилучшим из существующих способов проектирования
двумерных фильтров.
Следующая группа глав (8—11) посвящена применению спе­
циализированных цифровых устройств для реш ения задач цифровой обработки сигналов. Глава 8 служ ит введением в цифровую
технику; в гл. 9 рассматривается применение цифровых элемен­
тов для построения цифровых фильтров и специализированных
цифровых устройств; в гл. 10 описаны специализированные уст­
ройства для выполнения БП Ф ; в гл. 11 рассмотрены программируе­
мые вычислительные машины, предназначенные для обработки
сигналов.
'' **:
В гл. 7 приведены сведения, необходимые для построения спе­
циализированных устройств, реализующих любой алгоритм об­
работки. Введены понятия запоминающего и арифметического
устройств, а также устройства управления, которые рассматри­
ваются как основные составные части любой цифровой системы.
Описаны различные схемы построения запоминающего и арифме­
тического устройств. Проанализированы (с точки зрения быстро­
действия, сложности и стоимости) различные схемы сумматоров,
вычитателей и умножителей.
| •:
В гл. 9 детально описано, каким образом специализирован­
ные цифровые устройства могут быть использованы для создания
универсальных фильтров, а также специализированных цифро­
вых устройств (например, генераторов цифровых сигналов).
Рассмотрены схемы построения фильтров с конечными и беско­
нечными импульсными характеристиками, а затем описано не­
сколько систем, в которых цифровой фильтр используется как
составная часть. К ним относятся применяемые в телефонии прием­
ник клавишно-тонального вызова и цифровой преобразователь вре­
менного разделения каналов в частотное. Рассмотрена идея муль­
типлексирования, т. е. применения одного арифметического уст­
ройства в нескольких цифровых системах в режиме разделения
времени, позволяющая снизить стоимость оборудования за счет
использования дорогостоящей аппаратуры. В этой же главе при­
ведены примеры построения цифровых устройств для генерации
синусоидальных и случайных сигналов.
В гл. 10 детально рассмотрено, каким образом применение спе­
циализированного устройства позволяет на несколько порядков
ускорить выполнение алгоритма Б П Ф по сравнению с использо­
ванием универсальной ЦВМ. В качестве способов повышения об­
щего быстродействия системы рассмотрены параллельное выпол-
Введение
17
арифметических
перекрытие во времени обращеработы арифметического
ботка и т. д.
цифровой
ния быстродействующих программируемых вычислительных ма­
шин, предназначенных специально для обработки сигналов. В ней
цифрово
танныи
Детально
тура такого быстродействующего процессора и методы его програм­
мирования, позволяющие оптимально использовать возможности
подобных вычислительных машин. В эту же главу включено крат­
кое описание универсального вычислительного оборудования,
предназначенного для обработки сигналов.
Гл. 12 и 13 содержат примеры того, как положения, рассмот­
ренные в книге, нашли применение при обработке речевых и ра­
диолокационных сигналов. Идеи, представленные в последних
двух главах, служат лишь иллюстрацией типичного применения
цифр
лучших
шению указанного круга задач. Нам представляется, что описан­
ный в этих главах инженерный подход к решению задач обра­
ботки радиолокационных и речевых сигналов может послужить
стимулом для разработок более эффективных и совершенных алго­
ритмов обработки сигналов в других областях науки и техники.
А в целом мы постарались изложить широкий круг новых идей
в облает ( цифровой обработки сигналов, которые будут представш’.[нженеров-проектировщиков.
лять интерес для аспирантов
34570 І
Глава 2
ТЕОРИЯ ДИСКРЕТНЫХ
ЛИНЕИНЫХ СИСТЕМ
2.1. Введение
'
«тжхіптатіыү систем связана с описанием и
Т е о р и я дискретных
частотных последовательностей. В данобработкои времен
^ Щ Щ
будем считать, что кваннои главе и в больш
тельн0сти но уровню отсутствует,
тование элементе
бесконечно малом шаге квантования, относ я щ е м П а Г к отсчетам сигналов, так и к коэффициентам ливейн т смтем будет использовано при изложении общей теории дис^етных Тво времени, но не по уровню) систем. После этого будут
оассмотиевш различные аффекты, возникающие в дискретных си­
стемах с определенной точностью квантования по уровню из-за
КОНОперапии”но обработке сигналов, рассматриваемые в книге,
могут бшТвыполпены путем моделирования на вычисли^ьнои
машине или с помощью специализированной цифровой ашиР«У_
____ — irwттс»татрсг ЛТЛЛТКТҮПЯ ВЫчИСЛИТвЛЬ”
обработки
цифре
вых систем.
2.2. Последовательное
Дискретные сигналы определяются лишь для дискретных зиаОбычно
время
кванчений независимой переменной — времен
интервал
между
оттуется равномерно, т. е. t = п Т ,. где Т
счетами. Математически дискретные сигналы представляются в ви­
не неш)еш»шной последовательности чисел. Для описания последовательностеий может быть использовано одно из следующих
обозначений:
(2.1а)
N2
п
{Мп)>, N,
(2.
16)
N а»
п
{Һ (пТ)}, N x
(2.1в)
N Оч
h in ),
п
»
Теория дискретных линейных систем
Обозначения (2.1а) и (2.1в) могут применяться при неравномер­
ном расположении отсчетов, тогда как (2.16) и (2.1г) явно предполагают их равномерное размещение.
]
Последовательность может быть получена нисколькими спо­
собами. Проще всего взять набор чисел и расположить их в виде
последовательности. Например, числа 0, 1, 2,
Ш _1) обра­
зуют «пилообразную» последовательность Һ (п) = п, О П
Другой способ состоит в использоваі
КУРР®®ТН0Г0 соотношения- Например, равенство һ (п) = Һ ( п _
Т~, ) ' ?. начальным условием Һ (0) — 1 дает последовательность
Һ (п) - ( 1 / 2 ) , 0 < п < о о . Третий способ — взять равноотстоя­
JL Jg---------- ^
щие отсчеты непрерывного
колебания и из их величин образовать последовательность, т. е. положить Һ (пТ) = Һ (t) |,=яГ,
оо
п ^ о о , где Т
1 — интервал дискретизации. Обычно для
получения последовательностей методом дискретизации непреttttw
ИСП0ЛЬЗУЮТ аналого-цифровые преобразова(АЦ11 ). ІАЦ1І и цифро-аналоговые преобразователи ШАШ
рассматриваются в гл. 5.] Первые два метода получения последо­
вательностей не связаны с временем, тогда как третий существен­
но от него зависит. Отсюда видно, что для описания последова­
тельностей пригодны в том или ином смысле все обозначения (2 1)
Часто полезным и информативным является графическое изопоследова*ельностей- Для получения графического изо­
бражения в книге будут использованы два способа (фиг. 2.1)
I Г*
К Я Х ГО Л ТВ О
гГ Т Г Т ¥ и І І Т Т Л Л А
___________V
л
фиг
—
,
\ А
•
/ •
тельность Һ (п)
п, 0
п
N
1]. При использовании первого способа (фиг. 2.1, а)
П5пйт>о®опп,л„ -----“' п°~И элемент последовательности
изображается отрезком соответствующей длины, проведенным от
бражат^кяжтт Т0ЧКИ/ = П°‘ Во многих случаях нет смысла изот™ ™
выборку, достаточно провести только огибаю­
щую последовательности, как показано на фиг. 2.1 б.
Ниже приведены (и графически изображены на фиг. 2 2) неТ * Г е*ВаГ Ые последовательности, часто используемые при циф, “ *°1Раб0ТКӨ C
, " HM0B- На
2-2' “ показан цифровой едиляотся
К0Т°РЫЙ• .“оредет
ляется следующим образом:
*0тстат)
• \
и0 (п)
1, П = 0,
0, п
0.
( 2 . 2)
?н^огоР
»
Д
“
1
СИСТеМ
а?
ЭТ0Т импульс игРает « к у ю же роль, как
аналоговый единичныи импульс (или
функция Д
различие
лом тогда к Г ГпРпп“ И ЯТ еТСЯ фи3ически реализуемым сигна­
лом тогда как второй рассматривается только как обобщенная
Функция (или распределение). На фихЧ Z 2 . 6 изображен Г ™
2*
Г лава 2
Фиг. 2.1. Способы графического представления последовательностей
ный импульс, задержанный на п 0 отсчетов, который определяется
как
Г 1, п = п 0,
О, п ф п „ .
<2'3)
Н а фиг. 2.2, в представлен единичный скачок и_х (л), задаваемый следующим образом:
- пI
'ШИШ
1, n ^ tO ,
**-і (»)=“ 1і л ___ о.
М
Нетрудно показать, что единичный скачок связан с единичным
импульсом соотношением
«
u_t (л) =
2
и 0 (*)•
(2-5)
І = Х — ОО
Н а фиг. 2.2, г и д изображены убывающая экспонента g (п) и ко­
синусоида Л. (п), определяемые соответственно к ак
g(n)
f an, л ^ О ,
I 0, n < 0
( 2 . 6)
21
Теория дискретных линейных систем
U0(n)
а
п
ио(п-
(0 = 0,7)
С0$(и>оп)
(ш0=2іг/16)
д
Фиг. 2.2. Некоторые важные последовательности, используемые при цифро­
вой обработке сигналов.
И
h (п) = cos
)
для всех п.
(2-7)
Особенно важной последовательностью является комплексная
экспонента eian = cos (сои) + / sin (core). Поскольку эта последо­
вательность является комплексной, для ее изображения необхо­
димы раздельные графики вещественной и мнимой частей. Позд­
нее мы увидим, что многие из вышеупомянутых последователь­
ностей играют важную роль в теории цифровой обработки сигна­
лов.
Глава 2
2 3 Представление произвольных последов&твльност©
Произвольные последовательности легко выразить через ос
новную последовательность (единичный импульс), используя за
держку и масштабирование. Рассмотрим числовую последователь
величина п-то
элемен
ность ..., а (0), а (1), а (2), - где а (п) - величина
л-го элемев
та. Такая последовательность описывается равенством
оо
{а (п)}
m
а{тп) и0 (п — тп).
( 2 . 8)
—оо
Ниже приведен метод описания дискретных линеиных систем с
постоянными параметрами (ЛПП-систем), основанный на данном
представлении произвольных последовательностей и учитываю­
щий свойства ЛПП-систем.
2.4. Линейные системы с постоянными параметрами
Дискретная система по существу является алгоритмом преоб­
разования одной последовательности (называемой входной) в дру­
гую (называемую выходной). Простое представление дискретной
системы дано на фиг. 2.3. Входная последовательность обозначе­
на через х(п), а выходная — через у(п). Функционально они
связаны соотношением
^
у (п) = ф [х (п)],
(2.9)
где вид оператора ф (•) зависит от свойств конкретной системы.
Линейная система определяется следующим образом. Если
Xi(n) и х2{п) — некоторые входные последовательности, а уг (/г)
и у2 (п) — соответствующие им отклики линейной системы, то
при подаче на вход последовательности ахг(п) + Ъх2{п) на вы­
ходе образуется последовательность ayi(n) + Ьу2(п) (а и Ъ —
произвольные постоянные).
Система с постоянными параметрами характеризуется тем,
что если входной последовательности х(п) соответствует выход­
ная последовательность у(и), то входной последовательности
х(п — п0) при любых п0 соответствует на выходе последователь­
ность у(п — п0).
Покажем теперь, что в линейной системе с постоянными пара­
метрами входная и выходная последовательности связаны соотно­
ся)
Ф иг,
2.3. Представление
У(п)
дискретной систем ы .
Теория дискретных линейных систем
23
ЛПП-система
х (п )
Фиг. 2.4. Представление линейной системы с постоянными параметрами.
шением типа свертки. Допустим, что х (п) — входная, а у (п) —
выходная последовательности ЛПП-системы, и пусть Һ (ге) — отклик
системы на единичный импульс. [Последовательность Һ (п) на­
зывают импульсной характеристикой системы или откликом на
единичный отсчет.] Используя формулу (2.8), х(п) можно за­
писать в виде
■оо
ИВЯН
х(п)= 2
х ( т ) щ ( п —т).
(2.10)
т = —оо
Поскольку һ(п) является откликом системы на последователь­
ность и0(ге),‘ а параметры системы постоянны, Һ (п — т) будет
откликом на последовательность и 0 (п — т). Из свойства линей­
ности слгедует, что откликом на последовательность х (т) и 0 (п —
— т) должна быть последовательность х (т) Һ (п — т). Поэтому
отклик на х(п) будет равен
ОО
у(п) = 2
р
х (т )һ { п — т).
(2.11а)
7 7 1 = — ОО
Он имеет вид свертки, что и требовалось доказать. Простой заме­
ной переменных равенство (2.11а) может быть преобразовано к
виду
ОО
у(л)== 2
Һ (т) х (п —т).
(2.116)
т = —оо
Таким образом, последовательность һ(п) полностью описывает
ЛПП-систему, что и отражено на фиг. 2.4.
На фиг. 2.5 показано, как процесс вычисления свертки осу­
ществляется на практике. На фиг. 2.5, а изображена входная по­
следовательность х (л), отличная от нуля при 0 ^ п ^ 4. На
фиг. 2.5, б приведен пример импульсной характеристики Һ (п),
отличной от нуля при 0 1§§ п Щ 7. На фиг. 2.5, в—е представлены
х (т) и Һ (п — т) для п = 0, 2, 10 и 11. Очевидно, что при п <С 0
и
11 последовательности х (т) и Һ (п — т) не перекрываются
и у (п) равно нулю. На фиг. 2.5, ж приведена последовательность
у (п), являющаяся искомой сверткой.
5
Фиг. 2.5. К образованию дискретной
свертки*
Те op ш I д и с к р е т н ы х л и с и н ы х сиетгж
Л
2.5. Физическая реализуемость. Устойчивость
Л ПП-систему называют физически реализуемой, если величина
отклика при п *■ п0 зависит только от отсчетов входной последо­
вательности с номерами к ^ п0. Для ЛПП-системы это означает,
что импульсная характеристика А (п) равна нулю при п < 0.
Как мы увидим в гд. 3 и 4, существует несколько систем, имею­
щих важное значение, но физически нереализуемых. К НИМ о т
носятся идеальный фильтр нижних частот и идеальный диффе­
ренциатор. Поэтому значительная часть теории фильтров посвя­
щена методам аппроксимации фиаическн нереализуемых систем
реализуемыми системами.
(______________________
ЛПП-система называется устойчивой, если при любой огра
ниченной входной последовательности выходная последователь­
ность также ограничена. Необходимым и достаточным условием
устойчивости системы является следующее требование к импульс
ной характеристике
А оо
у
|А ( л ) |< оо.
(2. 12)
Пшв-«о
Необходимость и достаточность условия (2.12) нетрудно поназать.
Предположим сначала, что условие (2.12) не удовлетворяется,
т. е.
оо
П«-о»
А(п)
ОО
(2.13)
Рассмотрим ограниченную последовательность
х{п)
+ 1 при
1 при
А(— л ) ^ 0 ,
А ( — п) < 0.
(2.14)
Согласно формулам (2.11), при » = 0 отклик равен
оо
ОО
У( 0)
Л ( — то) I
х (то) А( — то)
т ~ —ею
оо
т = —оо
А (то)!
оо.
т = —оо
(2.15)
Таким образом, последовательность у (0) не ограничена, так
что неравенство (2.12) является необходимым условием устойчи­
вости системы. Для доказательства достаточности предположим,
что условие (2.12) выполняется, а на вход поступает ограничен­
ная последовательность х (п), т. е.
\х (п) I < М.
(2.16)
Глава 2
h(n)
б
•••
п
Фиг. 2.6. Импульсные характеристики устойчивой и неустойчивой систем.
а _-устойчивая система; б — неустойчивая система.
Из формул (2.11) получаем
сю
СЮ
у(п)\
m
7 П = -О О
х(гп) I \ һ{п — тп)\
—оо
оо
<^.М 2
\h{n — m)
оо
(2.17)
7 7 1 = — ОО
О
Последовательность у (п) ограничена, поэтому система устой­
чива, что и требовалось доказать. На фиг. 2.6, а, б даны примеры
импульсных характеристик устойчивой и неустойчивой систем.
Импульсная характеристика, приведенная на фиг. 2.6, а, имеет
1, поэтому условие (2.12)
вид Һ (п) = а пи_г (п), причем 0 ■< а
удовлетворяется и система устойчива. Выражение для импульс­
ной характеристики на фиг. 2.6, б имеет тот же вид, но а > 1,
поэтому условие (2.12) не выполняется и система неустойчива.
2.6. Разностные уравнения
Системы, у которых входная и выходная последовательности
х (п) и у (п) связаны линейным разностным уравнением с постоян­
ными коэффициентами, образуют подмножество класса линейных
Теория дискретных линейных систем
27
систем с постоянными параметрами. Описание ЛПП-систем раз­
ностными уравнениями очень важно, так как оно часто позво­
ляет найти эффективные способы построения таких систем. Более
того, по разностному уравнению можно определить многие харак­
теристики рассматриваемой системы, включая собственные ча­
стоты и их кратность, порядок системы, частоты, соответствующие
нулевому коэффициенту передачи, и т. д.
В самом общем случае линейное разностное уравнение М-то
порядка с постоянными коэффициентами, относящееся к физиче­
ски реализуемой системе, имеет вид
м
м
(2.18)
y(re) = 2 btx ( n — i)— 2 аіУ (п — г), п О,
г= 0
г= 1
где коэффициенты {&f} и {аг} описывают конкретную систему,
причем ам Ф 0. Каким именно образом порядок системы М ха­
рактеризует математические свойства разностного уравнения,
будет показано ниже. Уравнение (2.18) записано в виде, удобном
для решения методом прямой подстановки. Имея набор началь­
ных условий [например, х (г), у (г) для i
М]
2,
1,
и входную последовательность х (п), по формуле (2.18) можно
непосредственно вычислить ]выходную последовательность у (п)
для п 0. Например, разностное уравнение
У (я)
X (п)
с начальным условием у ( 1)
решить подстановкой, что дает
3у (п
1)
0 и X (тг) = п2 + п
У( 0) == * (0 )- - з к - і )
1/(1)==х (1 )- -31/(0)
У(2) ==х(2)~ -31/(1)
у(3) ==х(3)~ - І (2)
У (4) == я (4 )- -3 у (3 )
У (5) ==х(5)~ 1 3у (4)
У Ц§ ==х (6) - - 3у (5)
(2.19)
можно
== 0,
== 2,
== 0,
| = 12,
| —— 16,
== 78,
—192,
== —
Хотя решение разностных уравнений прямой подстановкой
и целесообразно в некоторых случаях, значительно полезнее по­
лучить решение уравнения в явном виде. Методы нахождения та­
ких решений подробно освещены в литературе но разностным
уравнениям, и здесь будет дан лишь краткий обзор. Основная идея
сводится к получению двух решений разностного уравнения: одно-
Г ла ва 2
родного и частного. Однородное решение получается путем под­
становки нулей вместо всех членов, содержащих элементы входной
последовательности х (я), и определения отклика при нулево
й описы
вает основные свойства заданной системы. Частное решение получают, подбирая вид последовательности у (га) на выходе при за­
данной входной последовательности х (га). Д л я определения произвольных постоянных однородного реш ения использую тся на­
чальные условия. В качестве примера реш
нение (2.19). Однородное уравнение имеет вид
у (га) + Зу (га — 1) = 0.
(2.20)
Известно, что характеристическими решениями однородных урав­
нений, соответствующих линейным разностным уравнениям с по­
стоянными коэффициентами, являю тся реш ения вида А а 11. По­
этому, подставив в уравнение (2.20) Аа.11 вместо у (га), получим
А а п + ЗАа71- 1= 0 ,
.А а " -1 ( а + 3 ) = 0 ,
(2 . 21)
а = — 3,
Уо (га) = А ( — 3)п.
Частное решение, соответствующее входной последовательности
х (га) = гаа + га, попробуем найти в виде
Уч (га) = В п 2 + Сп + D .
(2.22)
Из уравнения (2.19) получаем
щ
+ Cn + D + 3 5 (га — 1)а + ЗС (га — 1) + 3D
гаа + га.
. ^ (2.23)
коэффициенты при равных степенях га должны совпаи D должны быть равны
с=т. ШШ
<2 2 4 >
Таким образом, общее решение имеет вид
у (» )= -г-+ -¥ -+ 4 -+ 4 (-3 )".
Коэффициент А опреде.
откуда А = — 9/32 и
У(» )=
Выборочная проверка
(2.25)
1) = 0,
9
[11 1 1 И
<2-26)
решением
Теория дискретных линейных систем________________ 29
Фиг. 2.7. Схема реализации простого разностного уравнения первого по­
рядка .
видное преимущество решения (2.26) состоит в том, что оно поз­
воляет весьма просто определить у (п) для любого конкретного
7Ъ —- Wq»
Важное значение разностных уравнений состоит в том, что
они непосредственно определяют способ построения цифровой
системы. Так, разностное уравнение первого порядка самого об­
щего вида
у (п) = — di у (п — 1) + ЪоХ (п) + Ъхх (п — 1)
(2.27)
можно реализовать с помощью схемы, изображенной на фиг. 2.7.
Блок «задержка» осуществляет задержку на один отсчет. Рассмот­
ренная форма построения системы, в которой для входной и вы­
ходной последовательностей используются раздельные элементы
задержки, называется прямой формой 1. Ниже мы обсудим раз­
личные методы построения этой и других цифровых систем.
Разностное уравнение второго порядка самого общего вида
у (л) = — ОхУ (п — 1) — а2у (п — 2) + Ъ^х (п) +
+ Ъхх (п — 1) + Ьгх (п — 2)
(2.28)
I
Фиг. 2.8. Схема реализации разностного уравнения второго
порядка.
Глава 2
может быть реализовано с помощью
схемы, приведенной на
может м п ь ^ схеме для входной и выходной последовательнотакже используются раздельные элементы задержки.
Из последующего изложения материалов зтои главы станет
ясно что системы первого и второго порядка могут быть исполь­
зованы при реализации систем более высокого порядка, так как
последние мбгут быть представлены в виде последовательно или
параллельно соединенных систем первого и второго порядка.
2.7. Частотная характеристика
В предыдущих разделах рассматривался отклик ЛПП-систем
на произвольные входные последовательности. В данном разделе
для описания ЛПП-систем в частотной области будет использо­
ван специальный класс входных последовательностей, имеющих
вид х (п) = ШШ Как будет показано, этот класс последователь­
ностей является набором собственных функций ЛПП-систем ди­
скретного времени, т. е. для них выходная последовательность сов­
падает с входной, умноженной на некоторый комплексный коэффициент, зависящий только от
Рассмотрим класс входных последовательностей вида
on
(2.29)
<П<
х (п) = е*
Если такая последовательность поступает на вход ЛПП-системы
с импульсной характеристикой Һ (п), то на выходе [см. (2.11а)]
появится последовательность
•
оо
У
(
п
Һ (то) е»®<я- т >
)
(2.30)
7 7 1 = — ОО
оо
2
һ (т) е~зтт
(2.31)
7 7 1 = -О О
х (п) Н (ег<в).
(2.32)
Таким образом, для выбранного класса входных последователь­
ностей отклик совпадает с входной последовательностью с точно­
стью до комплексного множителя Н (ej“), который выражается
через импульсную характеристику системы следующим образом:
ОО
Я (е*®)
—
Ш
П
Һ (тг) е
(2.33)
71=—
оо
Поскольку последовательность вида
функционально экви­
валентна дискретизованной синусоиде с частотой со, то множи­
тель Н (е7’®) называют частотной характеристикой системы,
так как он представляет коэффициент передачи ЛПП-системы
для каждого значения со.
Теория дискретных линейных систем
31
ft(n)
?
п_„
агдн(е1(°)
(О
Фиг. 2.9. Импульсная и частотная характеристики системы первого порядка.
Вычислим в качестве примера частотную характеристику ЛППсистемы с импульсной характеристикой Һ (п) = апи_г (п) (|а|
1).
Частотная характеристика имеет вид
оо
ОО
# (eifi>)= 2 апе-і®п = 2 (ае_іш)п.
п= 0
Так как |а
дет равна
»=0
(2.34)
1, то сумма геометрической прогрессии (2.34) бу1
1— ае~1Ш
(2.35)
На фиг. 2.9 графически представлены Һ (л), а также модуль и фа­
за Н (eJ<D) как функции частоты <о в диапазоне 0
со
2л.
Отметим некоторые свойства частотной характеристики. Не­
трудно заметить, что частотная характеристика является перио­
дической функцией (о, причем ее период равен 2л. Эта периодич­
ность связана со спецификой дискретизованного колебания:
входная последовательность с частотой (со -j- 2тп) (т = ± 1,
± 2, ...) не отличается от входной последовательности с частотой
Т‘ в’
„
Поскольку
~ /п\
еі (Ш+2ТПЯ) n _ gjwn —х (п),
(2.36)
гг /pj(o\ _ периодическая функция, то для полного
Я (е )
Р
любом интервале длиной 2л.
описания Достаточно задать ее на
Обычно
Другим
0 < со < 2я.
обычно
Г
внтервале 0 1 Ш я Аналогічно действвтельная часть
сншіетритаа, а мнимая - антисимметрична на том *е
интевмле Поэтому при действительных импульсных характерастаках интервал частот, на котором ээдают частотную характера___
...тгуч л л » п о п т а т п т ТТП 0 ^
СО ^
Л»
обычно
2.8.
Частотная характеристика систем первого порядка
Рассмотрим разностное уравнение системы первого порядка
у (п) — х (п) + К у ( п — 1)
(2.37)
с начальным условием у ( - 1) = 0. Легко установить, что ее
импульсная характеристика равна
Кп,
*<">” 1 О,
0,
п<0.
(2.38)
Фиг. 2.10. Частотные характеристики нескольких систем первого порядка.
Теория дискретных линейных систем
33
Используя формулу (2.33), найдем частотную характеристику си­
стемы первого порядка
Я
‘
<2-39>
•
Представив Н (е3“) в виде
Н (&<*) = | Н (е*а) | Ф afg н
получим
1я
1=
(2.40)
•
arg Н (е»“) =(о — arctg
<2-«>
ю.
(2.42)
Графики lg|#(eJ(a)| и arg H(eia) для различных значений
приведены на фиг. 2.10. Во всех случаях Н(е*а) является характе­
ристикой фильтра нижних частот. В разд. 2.18 будет показано,
каким образом \Н(еі&)\ и argH(e3(0) могут быть получены из
геометрических представлений.
2.9. Частотная характеристика систем второго порядка
Разностное уравнение системы второго порядка можно запи­
сать в виде
у (п) = х (п) + агу (п — 1) + агу (п — 2).
(2.43)
[В общем случае уравнение второго порядка содержит также чле­
ны вида Ъгх (п — 1) и Ъ2х (п — 2), однако для простоты изложения
эти члены опущены.] Если снова ввести нулевые начальные усло­
вия у (— 1) = 0 и у (— 2) = 0, то нетрудно показать, что импульс­
ная характеристика системы может принять одну из двух форм1) :
h(n) = a i (pi)n + a 2(p2)n (I),
где
и р 2 — действительные числа, либо
Һ (п) = a xrn sin (bn-}- <p) (II).
(2.44)
(2.45)
Импульсная характеристика вида (2.44) описывает две системы
первого порядка и убывает как jd" и />"• Выражение (2.45) описы­
вает систему второго порядка, импульсная характеристика кото­
рой является затухающей синусоидой. Импульсная характери­
стика имеет такой вид, когда коэффициенты разностного урав­
нения (2.43) удовлетворяют следующему условию:
_________
a
f
«2 < - - г .
Предполагается, что корни однородного
противном случае требуются лишь незпа
(2.46)
U)
о
агдН{е*ш)
Ь)
Фиг. 2.11. Частотные характеристики нескольких систем второго порядка
из которого следует, что а 2 <С 0. Легко показать, что если условие
(2.46) выполняется, то
(2.47)
У — а21
cos Ъ
а1
2 У — ая |
(2.49)
ф = Ь,
а
(2.48)
1
sin b
(2.50)
Частотную характеристику, соответствующую импульсной ха­
рактеристике (2.45), можно записать следующим образом:
Я (е>ю)
1
1 — 2г (cos Ь) е~ зШЦ- rae 2jtl>
Амплитудные (в логарифмическом масштабе) и фазовые
Ф
ному значению Ъ
фиг
Из графиков види
вым резонатором.
(2.51)
Теория дискретных линейных систем
35
2.10. Дискретный ряд Фурье
Поскольку частотная характеристика дискретной системы яв­
ляется периодической функцией частоты со, равенство (2.33)
можно рассматривать как разложение H(ei<s>) в ряд Фурье, при­
чем коэффициенты разложения являются одновременно отсчета­
ми импульсной характеристики системы. Согласно теории рядов
Фурье, коэффициенты h(n) могут быть выражены через Я(е>®)
следующим образом:
Я
Л (») = - ^ j Я (е>«)
&0.
(2.52)
—Я
Таким образом, равенства (2.33) и (2.52) представляют собой
пару преобразований Фурье. Из соотношения (2.52) видно, что
Һ (п) по существу является суперпозицией синусоид eian с ам­
плитудами H(ej(0n). Пара преобразований (2.33) и (2.52) справед­
лива для любой последовательности с конечной суммой (2.33),
поэтому произвольную входную последовательность также можно
представить в виде
Я
X («*•) е»®" Жо,
:>
/
■.'Vt-"7
(2.53)
• - _я
-
где
оо
X (<?>“) =
2
x { n )e -i^ n.
(2.54)
П = —оо
Согласно формулам (2.31) и (2.32), отклик на последовательность
еіап равен ң (gja-) ejan^ поэтому откликом на входную последо­
вательность (2.53) будет
Я
У (П) =
J х (е^) Я (е*®)
da
(2.55)
-Я
(для суммирования откликов использовано свойство линейности
системы). Из равенства
У (ei“) = X (е>®) Я (е*®)
(2.56)
нетрудно увидеть, что (2.55) является одним из двух соотношений,
представляющих собой пару преобразований Фурье для последо­
вательности у (Һ). Таким образом, показано, что и для Дискрет­
ных систем свертка во временной Области соответствует умноже­
нию в частотной области. Итак, частотная характеристика Я (е^®)
3*
Г лава 2
Hle'lZnfT)
Т=0,0001
о
10000
5000
Фиг 2 12 Частотная характеристика системы с частотой дискретизации
10 кГц.
-^ЯшяшМ
представляет собой отклик системы на ограниченный класс вход­
ных последовательностей вида
0 < с о < 2я . Однако с уче­
том соотношения (2.53), показывающего, что произвольные последовательности являются суперпозицией таких экспонент, она
является важным средством описания отклика системы почти на
любые входные последовательности.
2.11. Замечания о единицах измерения частоты
Часто возникает необходимость выразить спектральный состав
последовательности h(nT) в единицах частоты, связанных с isслучае
преобразуются к виду
AVUVUVAVU*
f
------------------------■-------
оо
һ (п Т )
т_
П —
я/Т
2л
һ (п Т ) е~і<йпТ9
(2.57)
Н ( е ^ т) e^mnT d a
(2.58)
ОО
- Я /Т
Ф ункция Я (eja)T) периодична по частоте ю периодом, равным
радианах в секун2п /Т . Частота © в (2.57) и (2.58) вы раж ается
ду. Характеристику (2.57) можно вы разить и через частоту /,
измеряемую в герцах, если со заменить на 2л/.
Если, например, Т = 0,0001 с (частота дискретизации 1IT = 10 000 Гц), то Я (e}23lfT) является периодической функцие
функцией
(е1*
°1)
—
периодическои
jf с периодом 10 000 Гц, а Я
to с периодом 20 ОООя рад/с. Пример типичной частотной харак
теристики [ля действительно [ последовательности, имек [ей ин0,0001с, приведен на фиг 2. 12.
Т
тервал дискретизаци
П оскольку последовательность действительная, ч а с т о т н а я ха­
рактеристика обладает свойствами симметрии, обсуж давш и м и ся
ранее.
..
Теория дискретных линейных систем
37
2.12. Соотношение между непрерывными
и дискретными системами
Как уже отмечалось, последовательность х(пТ) часто полу­
чают путем дискретизации непрерывного колебания x(t) с перио­
дом Т секунд. В этих случаях важно представлять, каким образом
спектр последовательности X (е}(йТ) связан с преобразованием
Фурье Хн (/Q) непрерывного колебания х (t). В данном разделе
устанавливается связь между ними и обсуждаются следствия, вы­
текающие из нее.
Пара преобразований Фурье для непрерывного колебания
x(t) имеет вид
г ОО
Хн (/G )= f x ( t) e - iQtdt,
(2.59)
— ОО
ОО
x (t)= ^ \
eiQtdQ.
(2.60)
— ОО
Аналогичные соотношения для дискретизованного колебания име­
ют вид
ОО
Х(е*аТ)Ш 2
х ( п Т ) е ~ ^ пТ,
(2.61)
71= —оо
П/Т
т
x { n T ) = - j ^ С X (e&T) е ^ пТ йш.
(2.62)
-я /т
Поскольку х (п Т ) = х (t) |<=пт, то можно связать Хн (/Q) и
X (е*аТ), вычислив интеграл (2.60) для t = пТ, причем интеграл
с бесконечными пределами следует заменить бесконечной сум­
мой интегралов на интервалах длиной 2п/Т. Таким образом,
оо
х(пТ ) = - ^
(2ш+1)я/Т
2
f
X n (jQ)e&«T dQ.
(2.63)
m=-oo (2m -1) я/Т
Изменив в (2.63) порядок действий и заменив Q на а>, получим
Я/Т
=
I
—Я /Т
оо
[т
2
(2.64)
771= —оо
Приравнивая подынтегральные выражения в (2.64) и (2.62), по­
лучаем искомое соотношение
х (<^г) = —
2 Х „(ю + тгт).
ТП=-00
(2.65)
38
Глава 2
------------ ------------------------------
ХН(ІЛ)
іо
Фиг. 2.13. Связь между спектрами непрерывного и дискретизованного коле­
баний при правильном выборе частоты дискретизации.
Из этой формулы видно, что периодическая спектральная функ­
ция последовательности состоит из суммы бесконечного числа
спектральных компонент непрерывного колебания. Если спектр
непрерывного колебания ограничен по полосе диапазоном частот
|й | I I п /T, т. е. Хн
= 0 при |Q | > я / Г , из соотношения (2.65)
■
■ в что
і й в ндиапазоне
г а і і і частот
і і і і Ш| со і л /г
следует,
X (еіаТ)
Т
Х н (со).
(2 .66)
В этом случае спектр последовательности непосредственным об­
разом связан со спектром непрерывного колебания (фиг. 2.13, а,б).
Если ж е Х н ЩQ) не ограничен
х„(ій)
я /Т , то соотдиапазоном |£2|
ношение между спектрами ди­
а скретизованного и непрерывного
SI
колебаний оказывается более
Типичный пример
сложным.
показан на фиг. 2.14, а—в.
X(еjwT)
Спектр непрерывного колебания
< (фиг. 2.14, а) ограничен полосой
З я /(2 Т). И з формулы (2.65)
Q
со
следует, что члены c m = 0, ± 1
дают вклад в X (eiaT) в диапазоне
частот | со | Я я / Т (фиг. 2.14, б).
Поэтому в отличие от предыду­
щего
примера
спектр
после­
в
довательности
(фиг. 2.14, в)
to
связан со спектром исходного
колебания значительно более
сложным образом. Причина заФиг. 2.14. Эффекты наложения в
в
том,
что
частота
клю
чается
спектре дискретизованного колеба­
дискретизации 1/Т была недо­
ния при недостаточной частоте ди­
скретизации.
статочно большой и высокоча-
39
Теория дискретных линейных систем
стотные составляющие спектра Хн (JQ) попали в область более
низких частот в спектре Х(еі<оТ). Такое смещение спектральных
составляющих из одного диапазона частот в другой называют
наложением спектров, а последовательность, соответствующую
спектру фиг. 2.14, в,—представлением колебания х (t) с наложе­
нием. Ясно, что наложения можно избежать, дискретизуя непре­
рывные колебания с достаточно высокой частотой.
2.13. ^-преобразование
Одним из наиболее полезных методов представления последо­
вательностей и работы с ними является z-преобразование. Для
последовательности х (/г), заданной при всех п, оно определяется
следующим образом:
ОО
X(z) =
2
x(n)z~n,
(2.67)
71= —оо
где z — комплексная переменная. Ясно, что комплексная функция
(2.67) определена лишь для тех значений z, при которых степен­
ной ряд сходится. Детальное обсуждение его сходимости выходит
за рамки данной книги (его можно найти в соответствующих
учебниках), поэтому ниже просто перечислены общие результаты,
необходимые для понимания излагаемых в книге вопросов.
1.
Последовательности конечной длины
Если х (п) отлична от нуля только в интервале N i
п
N 2), где
и N 2 конечны, то X (z) сходится в z-плоскости
(Nt
везде, за исключением, быть может, точек z — 0 или z = оо.
ЛПП-систему, импульсная характеристика которой является
последовательностью конечной длины, называют системой с ко­
нечной импульсной характеристикой (КИХ) или, что то же самое,
КИХ-фильтром. В гл. 3 будет показано, что на последовательно­
стях конечной длины основан важный класс методов проектиро­
вания цифровых фильтров.
Типичная импульсная характеристика {Һ (га)} конечной длины
изображена на фиг. 2.15. Легко показать, что если все ее элементы
hln)
N1
Nг
Фиг. 2.15. Последовательность конечной длины.
ттпп гигтема с такой импульсной характеристикой
конечны, то Л
как пр0верка на устойчивость [см. форвигда уюожш ,
|
ированию конечного числа ограничен/ О 1 у ) I Г К О П И Т С И IV
--------мулу
___
ц
ц
ш
систему
всегда
можно
сделать
пыт слагаемых Кроме того, такую систему всегда можно сделать
них слагаемых р
необходимую задержку импульсфизически реадизуемои введ
отсчетов, если Щ - ™
0
).
ной характеристики (например, ал
s ,v
(фильтром)
ЩШШШЖ ЯШ В
стемУ (фильтр), длина импульсной
-----І 'I™
(г е И 8 — оо) или справа (т. е. Ц = оо),
°Грас” ?еих сторон. Как будет показано в гл. 4, последовательил
бесконечной длины составляют основу другого большого
НОСТ1
..н т л п п и ппоектиоования цифровых фильтров.
2. Физически реализуемые последовательности
Если х (п) отличается от нуля только при О Ц Щ Я | < 00»
то X (z) сходится везде вне круга радиуса R t . Величина Щ зависит
от положения особых точек X(z), называемых полюсами системе,
Как будет показано, при Ri < 1 соответствующая система является устойчивой. Физически реализуемые последовательности
весьма важны, так как на их основе строится большинство реальных систем.
1
^
____________________
ТТ/ЧЛ ТТА ТТА П О ГГЛ ТТЧГЛ П Ф П
3. Нереализуемые последовательности
Если х (п) имеет ненулевые значения в области — оо < п <
< дт ^ 0, то ряд X (z) сходится во всех точках, лежащих в кру­
ге радиуса R lt причем
определяется положением особых точек
X (z). В практических задачах нереализуемые последовательности
обычно не встречаются, но при рассмотрении некоторых теорети­
ческих вопросов они могут представлять интерес.
Получим теперь z-преобразования некоторых полезных после­
довательностей.
Пример 1. Найти z-преобразование единичного импульса.
Решение. Поскольку х (п) = 0 при любых п, за исключением
/1 = 0, где х (n) = 1, то
X (z) = 1.
X (z) сходится на всей z-плоскости, так как единичный
является последовательностью конечной длины.
импульс
Пример 2. Найти z-преобразование единичного скачка.
5
41
Теория дискретных линейных систем
Решение. Поскольку
х (п) ш 1, то
:£ \ ,
х(п) = 0 везде,
кроме п ^ О ,
где
ОО
х(«)=з^=т^р,,
71=0
причем X(z) сходится при |z| > 1, так как X(z) имеет единствен­
ную особую точку z — 1.
Пример 3. Найти z-преобразование комплексной экспоненты
ж(п) = 0,
п<0;
х ( п ) — е^пе>,
п^О .
Решение. Вычисляя z-преобразование, получим
оо
оо
X(z)=2
(z~*e*)n = —
Л
71=0
.
71=0
,
о
причем X(z) сходится при |z| > 1, так как единственной особой
точкой X(z) является z =
Пример 4. Найти z-преобразование простой экспоненциаль­
ной последовательности
х (п) = 0, п «< 0; а: (ге) = а”, тг^О.
Решение. Подставив х (п) в (2.67), получим
ОО
оо
X (,) = 2 „V "= 2
71=0
(“ - ) ” =
•
71=0
X (z) сходится при |z| > а, так как имеет только одну особую
точку z — а.
2.14. Соотношение между z -преобразованием
и фурье-преобразованием последовательности
z-нреобразование последовательности можно рассматривать
как способ ее однозначного представления в комплексной z-плоскости. Из определения (2.67) видно, что z-преобразование, вы­
численное на единичной окружности, т. е. при z = е*ш, дает
СЮ
х (2) Lei® = х №*) =
2
71= —оо
х { п ) е - ’<*п,
(2.68)
что совпадает с преобразованием Фурье исходной последователь­
ности. Ниже будет также показано, что если все особые точки
4
2
Глава 2
_________________________—
X (z) расположены внутри круга
единичного радиуса, то система
с соответствующей импульсной
характеристикой является устой­
чивой. Поэтому единичная окру­
а жность в z-плоскости играет весь­
ма важ ную
роль. Например,
имеется немало важных нереали­
зуемых систем (таких, как идеальный фильтр нижних частот
или идеальный дифференциатор),
z-преобразования которых сходят­
ся только на единичной окружно­
сти, т. е. эти системы имеют
фурье-преобразование, но не име­
ют z-преобразования.
Обычным способом графическоб го изображ ения информации, со­
держ ащ ейся в z-преобразовании,
является задание особых точек
(полюсов) и нулей функции X (z).
Т ак, например, z-преобразование,
рассмотренное в примере 4, может
быть
представлено
так
же,
как
на
Фиг. 2.16. Расположение нулей
фиг. 2.16, где крестиками изо­
и полюсов для систем первого и
второго порядка.
бражены полюсы, а кружками —
нули функции X (z). С помощью
такого изображения расположения нулей и полюсов, а также
спользуя дополнительное предположение о физической реали­
зуемости системы, можно однозначно (с точностью до постоян­
ного множителя) восстановить z-преобразование.
Пример 5. Найдем z-преобразование системы со следующе
импульсной характеристикой:
Һ (п)
rn sin 1(«-{-1) b]
sin Ь
sO,
0
n
О,
Решение. Используя определение z-преобразования, получим
ОО
SID [ ( t t + l ) Ь ]
H(z)
sin b
71=0
oo
71=0
ГП2- 71 Г j b (71+1)__g - jb (n + i)
sin b L
I
Теория дискретных линейных систем
ОО
43
ОО
ft
2/ sin b
^ (пг*е-}Ъ)п е~іЪ
£J
2/ sin b
n»0
№>0
eib
£“ІЬ
1 /
\
2/sin ft I 1—п~*е}Ь ~ l _ rz- i e-ib / ’
Я
Й
1 —2г (cos b) z~t -f- r*i~a
1
(z) сходится при [zI > г. Расположение нулей и полюсов такого
резонатора в z-пл оскости показано на фиг. 2.16, б. Он имеет пару
комплексно сопряженных полюсов в точках z = г е ^ и двойной
нуль при z = 0.
Как уже упоминалось, зная расположение нулей и полюсов
функции
Так, если известно, что
функци
Pi, Pit •••! Р N и М
нулей в точках z = zlf z2,
zM, то она может быть записана в ви­
де отношения произведений
м
( 1 — 2, а-1 )
i=i
X (z) = А N
(2.69)
*
П
(!—Pi*~x)
І=1
где А — произвольная постоянная. Перемножив сомножители,
получим, что наиболее общей формой X(z) является дробно-ра­
циональная функция от яг1, т. е.
м
I в
х Щ 1 Ш °1------ I
(2.70)
1+ 2 Ьі*-і
і=і
Полученное выражение весьма часто используется при синтезе
фильтров
2.15. Обратное z -преобразование
Весьма важно уметь перейти не только от последовательности
к ее z-преобразованию, но и, обратно, от z-преобразования к по­
следовательности. Способ обратного перехода называется обрат­
ным z-преобразованием и формально определяется соотношением
00 я71-1
Ci
(2.71)
Глава 2
лппопгтт,а стоит контурный интеграл в z-
Б правой части этого р
контуру в области сходимости,
плоскости по любому зам кнутадконтуру
з контуром инте.
охватывающему нача
Ржность радауСа С, > S где В 1
грвровавия может “ прео6рразовавия (т. | „ы предполагаем, что
радиус сх д
, ч физически реализуема).
ПОСа д Т а « Г “ преобразовавие можно найти несколькими способами:
___
„тт-гогпяля
(2
71)
с
использованием
1 Прямым вычислением интеграла
теорёмы^^о ^вычетах. X(z) на простые д р еб п ^
3. Обычным делением числителя
Ш рвыГшо™ ^сЕовГнТаИизвеРс™ ой теореме из теории фувк■ І Ш
Ш
переменного, утверждающей, что коитурныи
S Z r p a " ™ Л») » » * ет 6ыть ВЬЯИСЛеН “ ™ 'Р е*ствеНН0 ,вре8
чөты:
•#'
х (п) = S res х (z) z”_ 1 lz внүтри °**
(2.72)
Рассмотрим пример 4, в котором X(z) И
)• Из _равенгтва (2 72) при ге > 0 получаем ж (n) = res z /1 — az |2=a,
т е x (n) L a"
При n < 0 кратный полюс z-преобразоваотя находится в точке z = 0. Прямое вычисление вычета в полюгй z = 0 дает х (л) = 0 при и <С. 0.
цН Н Н И Н
При использовании второго способа z-преобразование запи­
сывают в виде дроби (2.69) и представляют суммой
а д Иt= l
•
■.
'■/: \
( 2 -7 3 )
;;
С учетом того, что каждое слагаемое а £/(1 — р&~ *) имеет обрат­
ное z-преобразование вида а г {рі)п, получим
N
X (п)
2 «і СРіГ» п > ° ’
0,
ге< 0.
(2.74)
Способы 3 и 4 здесь не рассматриваются. Читатель может позна
комиться с ними в пособиях по z-преобразованию.
2.16. Свойства z -преобразования
z-преобразование весьма полезно при исследовании дискрет­
ных ЛПП-систем. Чтобы полностью использовать возможности
z-преобразования, необходимо знать его основные свойства,
Теория дискретных линейных систем
45
связанные с линейностью, задержкой последовательностей, сверт­
кой, перемножением последовательностей, задержкой физически
реализуемых последовательностей.
1. Линейность
z-преобразование линейно. Это означает, что если Х х (z)
и X 2(z) являются z-преобразованиями последовательностей хх (п)
и х 2 (п), то при любых действительных а и Ъ z-преобразование
последовательности ах1 (п) + Ьх2 (п) равно аХ х (z) + ЬХ2 (z).
2. Задержка
Если последовательность хх (п) имеет z-преобразование Х х (z),
то z-преобразование последовательности хх (п — га0) при любых
п0 равно z-n° Х х (z). Это свойство z-преобразования особенно по­
лезно при переходе от представления ЛПП-системы разностным
уравнением к представлению ее z-преобразованием и наоборот.
Например, разностное уравнение
у (га) = х (га) -> Ьху (га — 1) — Ь2у (га — 2)
(2.75)
можно представить z-преобразованием
У (z) = X (z) — bxz~xY (z) - b2z~2Y (z)
(2.76)
или
У (В ■- 1+
^
.
(2.77)
где
ОО
Y (z)= 2
n =
іЩ
"
y(n )z~ n,
— ОО
ОО
х (z) =
2
71= —оо
х (п) z~n’
Свойство, связанное с задержкой последовательности, исполь­
зовано здесь для того, чтобы выразить z-преобразования последо­
вательностей у (п — 1) и у (п — 2) через z-преобразование последо­
вательности у (/г).
3. Свертка последовательностей
Если х (га) и у (га) являются входной и выходной последователь­
ностями дискретной ЛПП-системы с импульсной характеристи­
кой Һ (га), то
Y (z) = X (z) Я (z),
(2.78)
Глава 2
Y (z) являются соответственно z-преобразованим*
п о е т д о іа ^ е л ь н о с т е Г Г ы .' Я
В
1 В
НИЯМИ
птглта лтлтттлтп г/гйИ ПРИВОДИТ
!Гр?пи”Твер°тки _____
последовательностей
приводит
Т а к и ‘м
к перемножению
2-п^образований. Нетрудно заметить, что Я (г) можно вира——------—
————
(2.78) в виде
из
соотношения
зить
Y(z)
(2.79)
H(z) Х ( г )
Так на примере уравнения (2.75) ясно, что Я (z), или, что то
һ
может быть получена из разностного уравнения
же самое, \ / *
__
____________л т т т ч п л и л п л ттл а г» тт а ттттг о
I / /М
Для
Я (z) имеет вид
(2.80)
H(z)
1+ М
Не следует недооценивать
важности
1ІПДЦЦЦА J-* ---------------JTравенства (2.78)
'
' как прак0
___________
^
■пгттттжРТГОТТТЯ*СГ Г . В А П Т К Г Г Н Я И Т И
тического средства, позволяющего без вычисления свертки наити
Г о д н у ю последовательность системы по ее импульснои харак­
теристике и входной последовательности. Рассчитывая отклик
и (п) путем перемножения двух преобразовании и вычисления об­
ратного преобразования, часто удается свести сложную задачу
к более простой. В качестве примера рассмотрим входную последои_х
(п)
Шг
поступающую
на
вход
ЛПП-сивательность х (п)
и
_1
(п)
6".
z-npeстемы с импульсной характеристикой Һ (п)
Һ (ге) равны
образования последовательностей х (п)
1
a,
X(z)
zl
и
х
Ш
V А V I» * * »
^
-----| / ------
*
—
.
^
1 —az*"1 1
1
H(z) 1—bz~^ ’
Умножив X (z) на Я (z), получим
1
Y(z) (1 — az-1) (1 — bz~i) *
b.
max [a, b].
Полагая, что а фЪ, можно разложить Y (z) на простые дроби:
Y(z)
аЦЪ — а) . b/(b—-д)
1 — bz-1 •
1 az -1
С учетом соотношения (2.72) получим
» W = ( ^ “n+
^ 6” ) u- i ( re)-
4. Перемножение последовательностей
Если последовательности Щ (п) и я2 (п) имеют z-преобразован и я *1 00 и Z , (z), то последовательность х3 (п) = х, (п) х3 (п)
меет ^-преобразование
х 3ш
2л/I §
С
х
<
W
(т )
*>•
(2.81)
47
Теория дискретных линейных систем
В область сходимости Х 3 (z) входят все z, для которых справедли­
во следующее условие: если некоторая точка v принадлежит обла­
сти сходимости Х г (z), то zlv принадлежит области сходимости
X 2 (z). В формуле (2.81) контур интегрирования является замкну­
той кривой, лежащей внутри пересечения областей сходимости
функций Х г (у) и Х 2 {zlv).
Соотношение (2.81) называют теоремой о комплексной свертке,
так как оно представляет z-преобразование произведения [zj (п) х
X х 2 (ге)] в виде комплексной свертки z-преобразований соответ­
ствующих последовательностей. Воспользовавшись подстановками
z — е}(й и v = е>ө, выразим преобразование Фурье от произведе­
ния последовательностей через преобразования Фурье от каждой
из них. Оно имеет вид
Я
Х 3(еі»)
Хі(е&)
Х
2
(
^
(
“
-Ө))
ав
2л J
(2.82)
-л
и является широко известной сверткой двух преобразований
Фурье. Это соотношение потребуется при рассмотрении проектиро­
вания фильтров методом весовых функций и анализе различных
систем модуляции.
Важным следствием равенства (2.81) является так называемая
теорема Парсеваля, связывающая энергию сигнала с энергией
его спектра. Обобщенную форму этой теоремы можно получить,
определяя последовательность у (п) как
X (п ) W* (п ).
У (п)
Из равенства (2.81) следует, что z-преобразование этой последова­
тельности равно
1
Y(z)
&
X
(v)
W
j
i
t
1
du.
2я/
С
Вычисляя Y (z) в точке z — 1, получаем
•о
ОО
У <*) I 1
УШ
71=
— ОО
1
W
С
7 1 = — ОО
dv
V
и, выбирая в качестве контура интегрирования единичную окруж­
ность (т. е. полагая v = e*°)f приходим к соотношению
•О
X (ri) W* (п)
я = —оо
1
Я
w
2л
-я
Важный частный случай имеет место при w (п) == х (п), когда
п
X
(е»°)
|2dco.
2л
ОО
Л
оо
-Я
Это равенство известно как теорема Парсеваля.
Глава 2
5 Задержке, физически реализуемых
последовательностей.
Одностороннее z-преобразование
При решении большинства практических задач обычно имеют
дело с физически реализуемыми последовательностями, поэтому
полезно ввести «одностороннее» z-преобразование, определяемое
как
оо
X (z) = 2 * (п) z~n.
(2.83)
ті=0
При этом предполагается, что поведение последовательности х (л)
до точки п = 0 не известной его можно не учитывать. Д л я многих
последовательностей свойства одностороннего z-преобразования
аналогичны свойствам обычного z-преобразования. Основным ис­
ключением является свойство, связанное со сдвигом (задержкой)
последовательностей. Рассмотрим, например, последовательность
Хл (л) с односторонним z-преобразованием Х х (z) и задержанную по­
следовательность х 2 (л) = х± (л — 1). Одностороннее z-преобра­
зование от х г (л) равно
- ■*.>.
ОО
ОО
х 2 (2) = 2 *2 (») z~n Щ 2 М (п — І | | ®
71= 0
71=0
f '
(2.84)
Положив т = л — 1, получим равенство
00
X 2 (z) =
2
m = -1
I Швщвш
x x { m ) z - mz - ^
v
v
(2.85)
которое может быть переписано следующим образом:
ОО
X 2(z) = z_1 [Ху ( — l ) z + 2
7)1=0
x 1 ( m ) z - m] =
*
(2.86)
____________ I lZ Z Z I jjf l^ i (Z)I g j 9 В
І
(2.87)
Задержка на один отсчет по-прежнему приводит к умножению
одностороннего z-преобразования на z-1, но при этом необходимо
учесть значения последовательности х г (л) при л < 0, т. е. важ­
ную роль начинают играть начальные условия.
В качестве другого примера рассмотрим z-преобразование
последовательности х 3 (л) = х 1 (л — 2), равное
Х 3 (z) = z-2 [Хх (z)] + Щ (— 2) + І ( - 1) z"1.
(2.88)
Из выражений (2.87) и (2.88) можно получить формулу для слу­
чая задержки последовательности на произвольное число л0
отсчетов (л0 > 0 ) . Она имеет вид
Y (z) — z
(z) -J- х х ( — л0) -f- ж| I — л 0 щ 1) Z"1+
+ • •. -h ^ i ( — l)z-("o-i> ,
(2.89)
причем
у (л) = х (л — л 0).
49
Теория дискретных линейных систем
2.17. Решение разностных уравнений с применением
одностороннего z-преобразования
•% v
■» Ж
4
^
IЖ
ж уя
ЯШ
^
вШ л м
■
'•і
^
-.,г
ф>
Разностные уравнения обычно определены при п > 0 и имеют
набор начальных условий. Поэтому нетрудно понять, каким образом можно использовать одностороннее z-преобразование для на­
хождения отклика системы на заданную входную последователь­
ность. В качестве примера рассмотрим разностное уравнение
первого порядка
^
,
t
ш
•
- •
v
*Л
&
Ь •
ғ jA f
г*
о
. . ж•
в
ф
А
Г*
•%
V
т 'Ж *Гш* в
®_ J
■»|4 Ъ? ^ -
у (п) = х (п) + а у ( п ± - 1)
.
(2.90)
с начальным условием у (— 1) . = К. Пусть на вход поступает
последовательность х (п) =
(п). Чтобы найти односторон­
нее z-преобразование у (п), умножим обе части равенства (2.90)
на z~n и просуммируем от 0 до оо:
оо
сю
do
2 y(n)z~n = 2 x(n)z~n + a 2 У(п— l) z in.
n==0
■
n=0
(2.91)
n= 0
•
•
^
♦ "J*
•
1*
*%■»
1*
-4 #
•
.
Воспользуемся свойством, связанным с задержкой последователь­
ности, описанным в разд. 2.16. Имеем
.Г, • ■•■ir.n
Y (z) = Х (z) + az"1 Y (z) + ay (—1),
(2.92)
откуда
(2.93)
Поскольку
•У*•*
х (п) = е>ып,
‘ Г:
X (z) т
ТО
11н и м и
1
1—яг“* ' (1 —oz-1) ^ —
•
(2.94)
Разложив второе слагаемое на простые дроби, получим
|
I
.
УМ-,
В
I
V-/ 1—az-*
1—az"l
■
-«*>.-«*»)
^ I
’
Вычислим обратное z-преобразование от (2.95):
Щ
Ж
,
(2.95)
ц
Первое слагаемое в скобках представляет собой составляющую
отклика, определяемую начальными условиями, а второе—переход4—0399
Глава 2
HVIO хар ак тер и сти к у систем ы . П р и а С 1 о б а эти ч л ен а экспонен­
циально убы ваю т. Т р еть е сл а га ем о е о п и сы в а ет вы нуж денны е
к ол ебан и я в систем е.
*^ V
В ы ш еи зл ож ен н ое н ет р у д н о о б о б щ и т ь н а си стем ы б о л е е высоко-
го порядка. В общем случае разностное уравнение L -то порядка
имеет вид
, ч-;'
у (в ) =
S
а,х ( в - 0 - 2
Я
(» 1 1
(2-97)
4=0
**
'Щ Щ щ.
с начальными условиями {у (— 1), У ( 2), ..., у ( N )}. [За­
мечание. Здесь предполагается, что входная последовательность
х /п\ _ "о при » < 0 . 1 Вычисляя односторонние z-преобразования
от обеих частей уравнения (2.97), получим
II
Y (z) = S
(z) — Д
[2Г*Ү (z) +
+ i/ ( _ i ) + i/ (_ *i + l ) z - 1+ . . . + y ( - l ) z - t i - i > ] .
(2.98)
Теперь можно получить выражение для Y (z) через X (z) и на­
чальные условия и, взяв обратное z-преобразование, найти от­
клик у (я).
2.18. Геометрическая интерпретация преобразования Фурье
Выше было отмечено [см. формулу (2.69)], что z-преобразование последовательности всегда может быть записано в виде дроб и , ч и сли тель к отор ой р ав ен п р о и зв е д е н и ю ч л е н о в , описываю­
щ их н у л и X (z), а зн ам ен ател ь — п р о и зв е д е н и ю ч л е н о в , представ­
л я ю щ и х полю сы z-п р ео б р а зо в а н и я X (z), т. е .
П (1—ZiZ"1)
X (z) = А Щ -------------- .
(2.99)
ШЙШШ
П ( 1 — Pi*"1)
Преобразование Фурье последовательности (или передаточную
функцию системы) можно получить, вычисляя X (z) на единичной
окружности, т. е. при z = ei<s>. Таким образом,
ГТ (i — z
e~i a \
X (е5со) = л j s i ---------!--------і
П (1 - P i * - ja)
(2.100)
-
51
Теория дискретных линейных систем
Фиг. 2.17. Геометрическая интерпретация измерения частотной характе­
ристики.
Записав комплексную функцию X (е*°) как |Х (е’®)\
найдем
м
м
п
п e^-zt
х (eJ“) I = М I h r -------------- = И 1 - ^ -------------- ,
П ІЩ р ^ І
п ЫПтт
і=1
М
argX (ei(0) = arg A + 2 a rg (l —
i= l
(2.101)
І=1
N
— 2 a r g ( l —р&~Щ.
i= l
(2 . 102 )
Геометрическая интерпретация соотношений (2.100) — (2.102) дана
на фиг. 2.17. Из точки z = eJ0), находящейся на единичной окруж­
ности, во все нули и полюсы проведены векторы. По их величине
определяется модуль передаточной функции
те (о, а по их углам — фаза. В примере на фиг. 2.17 в
полюса (N = 3) и два нуля (Л1 — 2), а коэффициент
ся 1, поэтому (фиг. 2.17)
X (<^“)
щш
PiP2P3 ’
arg X (е*а) —Өі -j- 02 — (\|3д-}-1|52-j- чрз).
Для определения передаточной функции на всех частотах
0 < ш ^ я необходимо перемещать z по единичной окружности
против часовой стрелки из точки z — + 1 до точки z = — 1.
-4*
Глава 2
2.19. Построение цифровых фильтров
(с т р у к т у р н ы е схемы фильтров)
Цифровые фильтры с заданной передаточной функцией можно
п о с т ро и т ь
различными способами. В любом реальном цифровом
Лильтре шумы и погрешности, появляющ иеся при квантовании
7см. гл. 5) существенно зависят от структуры фильтра. Прежде
всего
можно разделить на два больших класса: рекурД лхж
ям. реки
сивные и
V,. /о^
у грсивных фильт ров соотнош
х ение
между входной последовательностью {ж (п )} и откликом фильтра
г)} может быть записано следующим образом:
в
с
е
ф
*
и
л
ь т р
ы
.
ТТ
___________- «Ч о . . Л-* л т w /м
# /» 1_ m
7 > Л /)
у (п) — F [у (п — 1)» У (» — 2 ), . . х (и ), а; (и.
Л А Л Ш ТТЛ тттлүт— —
1 ), . . . ] ,
т, е. текущий отсчет отклика у (п) определяется не только текущим и предшествующими значениями в х о д н о й последовательно­
сти но и предшествующими отсчетами о т к л и к а . В нерекурсивных
____________««лтгттаст
ттпр
ттаплпа
т о ттк н п г.ті» ю таг пткттптгл и
фильтрах
имеет вид
у (п) — F [х (п), X (п — 1), . . .],
т. е. текущий отсчет отклика зависит от текущего и предшествующих значении входной последовательности. В данном и сле­
дующем разделах приведено несколько возможных способов
построения цифровых фильтров.
*
К ак уже отмечалось, z-преобразование, соответствующее циф­
ровому фильтру, можно выразить в виде дробно-рационального
полинома от переменной z Ш т. е.
N
Ң (2)
2
Y (Z)
X (z)
i= o
a iz_i
(2.103)
N
2
ti=0
причем
Л ;
ъ0 = \ .
•(Предполагается, что степени числителя и знаменателя одинако­
вы.) Приведя равенство (2.103) к общему знаменателю, получим
Y(z) % Ъ ^ - 1= Х ( г ) 2
і= (Г
а&~\
(2.104)
і==0
ж ли
2 biZ-'Y ( z ) = 2 Ш Ш (z).
i=0
i—0
'
-r
(2• ІОЭ)
Теория дискретных линейных систем
53
(л)
Фиг. 2.18. Прямая форма 1.
Если рассматривать члены вида z~ Y (z) как обратные z-преобразования последовательностей у (п
к), то, взяв обратные
z-преобразования обеих частей равенс
искомое разностное уравнение
N
Ш. 2 аіх (п
.
2 ЪіУ (п
N=0
І).
(2.106)
1=0
Поскольку Ь0 = 1, уравнение (2.106) можно решить относительно
y.{n): t
.V ■
It
,
N
-N .
vt.
0>iX(n І)
(2.107)
У(п)
2 ЬіУ (п І).
!= 0
[=1
2
Простая структура реализации данного разностного уравнения
показана на фиг. 2.18. Она носит название прямой формы 1. В ней
для образования цепей, соответствующих числителю и знаменателю
формулы (2.103), используются раздельные элементы задержки.
Характерными чертами этой структуры являются ее простота
и непосредственная связь с z-преобразованием. Однако, как
показано в гл. 5, если полюсы Н (z) расположены близко друг от
друга или от единичной окружности, как это имеет место для чарательных фильтров, то при использовании фильтров
данной структуры возникает трудноразрешимая проблема чув­
ствительности характеристик фильтра к погрешностям коэффи­
циентов. По этой причине в большинстве практических случаев
прямую форму 1 стараются не применять.
Если записать формулу (2.103) в несколько ином виде, а имен­
но как
iff (ж)
Y(z)
X(z)
і»
N
atz
о
( 2 . 108 )
Глава 2
то м ож но п ол уч и ть д р у г у ю с т р у к т у р у цифрового фильтра. Цифро­
вой ф ильтр, соответствую щ и й ф о р м у л е (2.108), состоит из двух
п осл едовател ьн о соед и н ен н ы х ф и л ь тр ов с коэффициентами пере­
дачи соответственно
(z) и Н 2 (z). П ер в ы й из фильтров имеет
тольк о полю сы , а втор ой — т о л ь к о н у л и . Если записать
Нг ( г )
Ш
X(z)
(2.109)
S ьі*~г
і=0
И
N
я 2 (*) =
2
W (z)
(2*110)
0
то п ол уч ается п ар а р азн остн ы х у р а в н е н и й (в п р е д п о л о ж е н и и , что
Ьо = 1)
I
w (n )—x ( n ) — 2
1=1
b { w { n — I) f
(2.111)
?
N
y { n ) = 2 atw ( n — i ) f
(2.112)
i=0
фиг
к у в ц е п я х , соответствую щ и х Н 1 (z) и H
ж и в а ется оди н ак ов о, то д л я п о с т р о е н и я
ф и л ьтр а
Фиг. 2.19. Прямая форма 2 (неканоническая).
достаточно
Теория дискретных линейных систем
55
х(п)
Фиг. 2.20. Прямая форма 2
JL
(фиг
~ ІВ К '
структуру называют прямой формой 2
фор
так как в ней используется минимальное количество сумматоров,
умножителей и элементов задержки. (Некоторые другие схемы
также обладают этим свойством, поэтому называть структуру
фиг. 2.20 канонической не рекомендуется.)
Прямая форма 2 имеет такие же достоинства и недостатки, как
и прямая форма 1; они будут рассмотрены позднее.
формулу
в виде
Г %
W
М
М
Л .
А
К
H(z)
Ү(г)
X(z)
аоП^
(2.113)
І=1
фильтра
жители Н i (z) соответствуют либо блокам второго порядка, т. е.
H t (z)
(2.114)
либо блокам первого порядка, т. е.
Т/ i (z)
1 + а»г
1 + Ьи г - і *
(2.115)
Фиг. 2.21. Последовательная (каскадная) форма
+ Ц1 В ! В И Н
а К равно целой части числа (JV
Й Н » (2 ИЗ), называют каскадной (или последовательной)
П м о й (фиг. 2,21). Каждый из блоков второго порядка, образуюд а последовательную форму, можно реализовать в прямой
Г ом е 1 или в прямой форме 2. Использование блоков второго
порядка (и, возможно, одного блока первого порядка) при построе­
нии фильтра определяется тем, что для получения комплексного
полюса или нуля фильтр с действительными коэффициентами
должен включать блок второго порядка. Поскольку не все нули
и полюсы комплексные, то некоторые авторы предпочитают опи­
сывать последовательную структуру с помощью z-преобразования
вида
г
H{z) = а01 0 I I (z)] | К И Я
"
г=1
(2Л16>
г=1
где Нл' (2) соответствует системе первого порядка, определяемой
формулой (2.115), а Н гі (z) - системе второго порядка, определяе­
мой равенством (2.114). Величина К 2 равна наибольшему числу
комплексных нулей или полюсов, а К -1 — N
2/£а.
При проектировании последовательностей структуры, как пра­
вило, бывает трудно решить, какие полюсы с к а к и м и нулями нуж­
но объединять в пары. Еще более сложной задачей является выбор
последовательности, в которой располагаются отдельные бло­
ки первого и второго порядка. Если, например, передаточная функ­
ция имеет вид ■
Штт
П Di(z)
. .
' -.д Ш
Ш--
Шт-
И И И
рА3| А
то одной из возможных последовательных форм является
Л
щ л
■
*
гг / ч _
■І • 1
йй4
1 >
N j ( 2) N 3 (2) y v 4 (z) N a (г) N 2 (z)
Щ jg D5 (2) p (z) D4 І
D3 (2) ’
где в пары объединены
и Z)2, N 3 и D5, iV4 и Dx, N 5 и P I Щ
и D3. Эта запись означает, что блок N J D 2 включен первым, за
ним следуют блоки N 3/D5, N J D gf 7V5/D 4 и, наконец, NJD3
В предположении неограниченной точности представления всрх
57
Теория дискретных линейных систем
переменных порядок блоков и способ группирования нулей с полюсами не имеют значения. Однако для реальных устройств эти
вопросы имеют весьма важное значение. Более подробно они рас­
смотрены в гл. 5. Еще одна трудность, связанная с особенностя­
ми последовательной формы, состоит в необходимости введения
масштабирующих множителей между отдельными блоками. Эти
множители не позволяют переменным фильтра принимать слиш­
ком большие или слишком малые значения. Вопросы масштаби­
рования также будут рассмотрены в гл. 5.
Четвертую структурную схему цифрового фильтра можно по­
лучить, разложив правую часть формулы (2.103) на простые дроби:
;
*
*** Vж.*
К
5
*Mt3 W
1
"" Ш
, I'J—■I 2
*Щ
л
•«
.
IJ(z) = C + 2 H i(z ),
'V5 ‘
m l
.. ‘
1 * 1 •••'
(2.117)
■, a 4
где слагаемые H x (2) соответствуют или блокам второго порядка
Hi (z)
-i
а0і ”Ь aiiz
-2
(2 . 118)
»
или блокам первого порядка
'
■
;■
(2-119)
причем К равно целой части от щ -f 1)/2, и, как следует из фор­
мулы (2.103), С = a N!bN. На фиг. 2.22 приведена структурная
схема, реализующая соотношение (2.117). Ее называют параллель­
ной формой. Блоки первого и второго порядка, описываемые фор­
мулами (2.118) и (2.119), строятся по схеме одной из рассмотрен­
ных выше прямых форм.
Фиғ. 2.22. Параллельная форма.
Глава 2
-------------- -----------------------
58
п„п яш r-rnvKTVPHbie схемы фильтров не исчерпыХо1Я Р»“ “ ^ “ “ е1рС; ^ У Рпри моделировании на ЦВМ | Я
вают всех возмож
рУ, пльтров они применяются наиболее
н а р а т у р н о и реали
можно ПОЛучить множеством способов.
часто. Другие с РУ УУ
параллельно-последовательную
ТаК’» ^ Г . Р^ о р о й часть переда точной функции реализуется
в'папаллельной форме, а остальная часть 1 в последовательной.
Кпоие того для всех рассмотренных структур можно получить
Кроме того, длп
г
авление прохождения всех сиг■ В В І Р Й Я Ш
І I схемах” в обратную сторону)
и поменяв местами точки разветвления с точками суммирования
сигналов Полученные таким образом структуры будут иметь те
же передаточные функции, но в них будут по-иному проявляться
ч<Ь<Ьекты конечной разрядности чисел.
Выбор наилучшей из этих многочисленных структурных схем
аппаратурной реализации, так и при моделировании на
ЦВМ определяется экономическими соображениями. Последние
в свою очередь зависят от свойств структур при ограниченной
__ Ш І І тгг»пплтаппрния переменных и коэффициентов фильтров.
Дальнейшее
к
а
к
п
р
и
Структурные схемы фильтров
без
полюсов
В важном частном случае знаменатель дроои (/.lUdj может оыть
постоянным (для простоты приравняем его к единице). При этом
разностное уравнение, описывающее систему, становится нере­
курсивным, т. е. текущее значение отклика у (п) зависит только
от текущего и конечного числа предшествующих значении вход­
ной последовательности. В этом случае правую часть
обычно преобразуют таким образом, чтобы выразить Н (z) непо­
средственно через импульсную характеристику фильтра:
N- 1
В
S AWГ*.
(2.120)
п=0
Здесь верхний предел суммирования заменен на N — 1, чтобы
уравнение описывало физически реализуемый фильтр, длина им­
пульсной характеристики которого равна N отсчетам. Разностное
уравнение, соответствующее выражению (2.120), имеет вид
у (п) = Һ (0) х (n) + h (1) х (п - 1) + - + h (N - 1) X
X х {п — N -Ь 1),
(2.121)
т. е. является нерекурсивным уравнением. Для построения филь­
тров с конечными импульсными характеристиками рассматривае­
мого типа обычно применяют несколько структурных схем. Чаще
59
Теория дискретных линейных систем
Фиг. 2.23. Прямая форма фильтра с конечной импульсной характеристикой.
всего используют прямую форму, описанную в разд. 2.19. Для дан­
ного частного случая существует только одна прямая форма
(фиг. 2.23). Из-за сходства этой структуры с линией задержки с от­
водами ее часто называют фильтром с многоотводной линией за­
держки (или иногда трансверсальным фильтром). Ниже будет
показано, что аппаратурная реализация структуры, показанной
на фиг. 2.23, довольно проста. Для нее требуются только один
умножитель, один накапливающий сумматор и два блока цирку­
лирующей памяти на регистрах сдвига.
При построении фильтров, не имеющих полюсов, весьма удоб­
ной оказывается и последовательная структура. В этом случае
z-преобразование импульсной характеристики фильтра (2.120)
представляется в виде произведения z-преобразований, соответст­
вующих системам первого и второго порядка, т. е.
NM
Я ( г ) = П Н п (z),
(2.122)
п=1
где
Нп (z) = а0п + а1пг~г + a2nZ-8 (система второго порядка)
или
Нп (z)
л^ * (система первого порядка),
причем N M равно целой части (N + 1)/2.
Для построения фильтров без полюсов довольно часто приме­
няют еще несколько структур, которые не имеют аналогов с филь­
трами общего вида, содержащими и нули, и полюсы. Наиболее рас­
пространенная из них основана на так называемом методе быстрой
свертки, когда свертка вычисляется с помощью обратного преоб­
разования Фурье от произведения преобразований Фурье входной
Глава 2
„ импл?льсной характеристики системы. В не­
последовательности и
^етодбудет рассмотрен более подробно.
следующих раздел!ах
полиномиальной передаточной
У Н Н « ерноляционные формулы, можфункции (2.120)
1
ые схемы реализации этой функции.
получить другие РУ УР
„поляцИОнной формулы ЛаНапример, при использовании
гранжа
н
о
XIV/
AXV/V* J
------- г
•/
jv -1
Н (z) =
Д
п=0
(1 — 1
*z n)
Лт
l —z - ^
Zj
(2.123)
771=0
где
-4m
_
iV-1
U
(1
(2.124)
z nzm )
71=0
П=#7П
причем массив {zn}, 0 < и < N - 1, образован І произвольны­
ми точками на z-плоскости, в которых вычислены значения Н (zn)
z-поеобразования (2.120), используемые при расчете коэффициен­
тов
124). Как следует из формулы (2.123), полученная структу­
ра состоит из N последовательно соединенных блоков первого^ по
S
т)йпка (имеющих нули в точках z
U, » •••»
/»
п о с л е д о в а т е л ь н о к к о т о р ы м подключена группа из N параллельно
соединенных блоков первого порядка (они имеют полюсы в точ­
ках z =
П = о, 1, ..., N — 1 ). Структурная схема, реализую­
щая формулу (2.123), изображена на фиг. 2.24.
Нетрудно показать, что эта структура позволяет реализовать
любое z-преобразование вида (2.120). Прежде всего каждый из
полюсов параллельно соединенных блоков структуры компенсирует один из нулей последовательно соединенных блоков, что дает
эквивалентный фильтр с N — 1 нулями. Далее, значение U (z)
в каждой из точек zn равно заданной величине Н {zn). Так как Н (z)
9Щ
;Т
2Л, n
& Ц
Я
м
I вк
Фш*» 2.24. Структурная схема Лагранжа общ его вида.,v
Теория дискретных линейных систем
61
является многочленом (N — 1)-й степени, то он полностью опре­
деляется своими значениями в N различных точках. Следователь­
но, выражения (2.123) и (2.120) полностью эквивалентны.
Следует отметить, что с точки зрения числа элементов задержки
структура Лагранжа не является канонической, так как в ней ис­
пользуется 2N элементов задержки (по N в параллельной и после­
довательной частях структуры). Важность данной и аналогичных
структур определяется теми частными случаями, в которых они
применяются (см. ниже). При изучении чувствительности характе­
ристик структуры фиг. 2.24 к ограничению точности представ­
ления коэффициентов фильтра выявляются ее дополнительные
преимущества.
Важным является частный случай структуры Лагранжа, когда
последовательность z„ состоит из точек, равномерно распределенных по единичнои окружности, т. е.
о»
n==eK2n/N)nt
п — 0, 1, . . . , N — 1.
(2.125)
При этом член правой части (2.123), содержащий произведения,
имеет вид
i
V
—
1
J
[1 _ z-ieJ<2*/iV)n] = (1 — *-*),
іТі'
- 1
71=0 - ’ -~ 5
а равенство (2.124) превращается в
А т=
{Н [е№ /W™]}.
(2.126)
(2.127)
Справедливость соотношения (2.126) подтверждается тем, что
корни уравнения z~N — 1 совпадают с N главными значениями
корня N -й степени из единицы, т. е. с числами, выбранными
согласно условию (2.125). Равенство (2.127) получается путем
подстановки условия (2.125) в формулу (2.124), что дает
m
Ат = Н (zm) lim 1
1 *~*z
N- 1
z~*zm
W (1—z^‘z„)
n=*0
H (zm) lim ( Получаемая при условии (2.125) структурная схема фильтра
(фиг. 2.25) описывается z-преобразованием
Ш
f I >
Д
Я [^ я /ІУ )п ]
N
n=0
i _ z- i ^ЩШ)п I
(2.128)
Она называется структурой на основе частотной выборки, посколь­
ку коэффициенты фильтра равны отсчетам передаточной функции
Глава 2
Фиг. 2 .2 5 . С т р у к т у р а ф и л ь т р а с ч а с т о т н о й выборкой
фильтра IН {#“>)), взятым в N точках, равномерно распределенНЫХ ПО единичной окружности.
,
Структура с частотной выборкой имеет несколько интересных
4-1 r J
J f
________ П П М а т * т і л т т і і п п п ТГОРТТЯГ Р .Т П V K T V T 1M
свойств Так при выполнении в параллельной части структуры
арифметических операций с конечной т о ч н о ^ полностью ском­
пенсировать нули, сгруппированные в (2.128) в члене (1 | |
с помощью полюсов не удается. Поэтому в итоге фильтр будет
иметь и нули, и полюсы, а длина его импульснои характеристики
станет неограниченной. Значение данной структуры состоит
в том, что она позволяет весьма эффективно создавать филь­
тры, у которых большинство коэффициентов дл я ^умножителей
{Н [е^2я/^)п]} равно нулю. Цепи, для которых {Н [е
]/ —
= 0, можно отбросить. Так, например, для узкополосного фильтра,
которого
отличны
от
нуля
лишь
несколько
коэффициентов,
У
получения
одного выходного отсчета достаточно выполнить небольшое число
умножений.
Применяя другие интерполяционные | рмулы, можно полу­
чить и другие структуры фильтров без полюсов. Так, например,
можно получить структуры Ньютона, Эрмита, Тэйлора и т. д.
Поскольку преимущества и недостатки таких структур изучены
еще недостаточно, в настоящей книге они рассматриваться не
будут.
I
Фурье
Дискретное
Выше было рассмотрено несколько методов описания последо­
вательностей или дискретных систем. К ним относятся дискрет­
ная свертка, преобразование Фурье и z-преобразование. В тех
случаях, когда последовательность периодична (а также, как будет
показано, когда она имеет конечную длительность), ее можво
Теория дискретных линейных систем
63
представить рядом Фурье. Итак, рассмотрим периодическую1)
последовательность хр (п ) с периодом в N отсчетов. Ее можно за­
писать следующим образом:
оо
Хр ( п)
2
ь=-
Х р (к) еЛ2яШ)>т
(2.129)
ОО
причем частоты спектральных со ст а в л я ю т ^ образу*
могут принимать только значения
= 2 nk!N, — оо < к < оо,
поскольку периоды других частот не кратны N. В равенстве
(2.129) коэффициенты Х р (к) представляют амплитуды синусоид
с частотами <»*. Запись вида (2.129) избыточна вследствие перио­
дичности функции
так как комплексные экспоненты с часто­
тами ©й = 2nk/ N и (oh±mN = (2n/ N) (к ± mN), О
т
оо,
не отличаются друг от друга, т. е.
ej(2n/N)kn = ej (2л/N)(h±mN) п о
т
оо.
(2.130)
Следовательно, равенство (2.129) можно переписать в виде
N-i
Х р (к)е* 2я/л)һ«?
2
х р (п)
fc=0
(2.131)
подчеркивающем наличие всего N различных комплексных экс­
понент с периодом в N отсчетов. Для удобства перепишем равен­
ство (2.131) в общепринятом виде
N- 1
Хр
(п)
1
Щ I
Хр (к) еі(2л/*»т
(2.132)
где деление на N не изменяет способа представления. Чтобы
выразить коэффициенты Х р (к) через хр (гг), умножим обе части
равенства (2.132) на £-Я 2я/.дг)тп и просуммируем результаты по п :
N-1
У
п=0
N- 1N - 1
(п) e-i( 2n/JV)mn
N
(2.133)
n=0 ft=0
Меняя в правой части (2.133) порядок суммирования и используя
формулу
N-1
N
2
п=0
при
0 при
к = т,
кфт,
(2.134)
получим
N- 1
2
Xр (п) е
«=0
JV-1
-
=
2
Хр(к)и0 ( к - т )
h=0
(2.135)
Все периодические последовательности отмечены индексом р.
или [после перестановки левой и правой частей равенства (2.135)
и замены индекса т на к]
N - 1
Х р (к) =
2
* р { п ) е - н 2 Л/ЛГ)ЛЙ.
( 2 , 36
п==0
Соотношение (2.136) носит название дискретного преобразования
Фурье (ДПФ), а (2.132) — обратного дискретного преобразования
Фурье (О ДПФ).
'
Из определений (2.132) и (2.136) видно, что обе последователь­
ности Х р (п) и Хр (к ) периодичны с периодом в N отсчетов. Ясно
также [см. (2.136)], что Х р (к) полностью определяются одниц пе­
риодом хр (п). Отсюда возникает интересный вопрос: как связа­
ны z-преобразование конечной последовательности, образован­
ной из одного периода периодической последовательности, и ДПФ
всей периодической последовательности? Иначе говоря, рассмо­
трим последовательность конечной длины
х р (п)
х ('п )1 —
1
0
Л
— 1,
при
при
(2.137)
других п,
причем последовательность х р (п) имеет период в N отсчетов,
т. е. х (п) представляет собой один период периодической после­
довательности х р (п). z-преобразование х (п) равно
х (z)= п2=0 1§§®Я
^
Вычисляя сумму (2.138) при z =
ничной окружности с полярным углом
* • ■ ~
"
г
-;
- '-S V *
•
х (z)\z=eH2nlN)k =>X [е*2П, Юк\=
_
,
ч
т. е. в точке на еди­
2 п к / N , находим
iV —
•
4
Щ Х (п ) е - н ы ю п ь .
П
(2.138)
=
•
•;
(2.139)
V
0
V
_
Сравнивая суммы (2.139) и (2.136) и учитывая, что х р ( п ) = х ( п )
на интервале 0 ^ п ^ N — 1, получаем
Х р {к) = X
.
(2.140)
длины
Итак, коэффициенты Д П Ф
равны значениям z-преобразования эт ой же последовательности
в N точках , равномерно распределенных по единичной окружно­
сти. Еще более важный вывод состоит в том, что коэффициенты
Д П Ф последовательности конечной длины однозначно представ­
ляют саму последовательность , так как по ним м о ж н о точно
восстановить исходную последовательность, используя обратное
ДП Ф . Итак, хотя ДПФ и ОДПФ вводятся для периодических
последовательностей, важно, что через них можно представлять
последовательности конечной длины.
Теория дискретных линейных систем
65
argXJk)
в
Фиг. 2.26. Последовательности, иллюстрирующие свойства Д П Ф .
Для иллюстрации приведенных положений рассмотрим перио­
дическую последовательность (фиг. 2.26, а) с периодом N , опре­
деляемую как
х р {п) — ап, 0 ^Ln<^.N — 1 ,
X p ( n - { - m N ) = Xp(n),
т = ± 1, ± 2 , . . . .
Согласно определению (2.136), ее ДПФ равно
N-l
Х р (k) = 2
N-1
апе-№ /Ю пһ = ^
71=0
1 —a N
.
i _ ae-i(2n/N)h
5-0399
[ае-Ц 2я/юһүі
71=0
0 < . k < l N — l.
Г лава 2
Модули и фазы элементов последовательности Х р (к) для случая
на
фиг
2.26,
б.
Последовательность
Д—
—0 9 И N == 16
1и изображены
Т“
*
----7
-----------^~'
w
Л
V
конечной длины я (и) (фиг. 2.26, в) определяется как
П
п
N
при о
а
1,
х ( п)
О при других /г,
-
.
____________-
____ ________________________ ______________________________________
—
_________________________
т. е. она состоит из одного периода последовательности х р (га)
Ее z-преобразование равно
N-1
X (z)
1 - a Nz ~ N
s
71=0
az -1
1
Вычисляя значения X (z) на единичной окруж ности, получим
X (е*®)
-,<D
ае
1
(О
функции для О
2л изображе­
ны на фиг. 2.26, г. Ясно, что значения Х р (к) и X (e>2nhlN)
2 n k / N совпадают.
в точках со
ДПФ
конечной длины, появляется возможность найти ее z-преобразова­
ние через коэффициенты ДП Ф этой последовательности. Из со­
отношений (2.137), (2.132) и определения z-преобразования полу­
чаем
н
N-1
JV-1
2V-1
V 1 у , Х р (ft)
2-n
X (z)
N
v
т
щ
71=0
N -i
71=0
N-1
1
71=0
h=0
N -l
h= 0
Ь=0
Xp (ft)
N
l —z~N
(2.141)
-lJ(2n/N)h
1
Равенство (2.141) показывает, что z-преобразование последова­
тельности непосредственно связано с коэффициентами ее ДПФ.
Для точек на ед
вид
N- 1
Хр(к)
X (ег“)
JV
|
l)/2 ]gjn ((0 ^ /2 )
ej(nh/iV)s in ( ш /2 _ „fc /iV )
(2.142)
h=0
где функции вида sin (coiV/2)/sin (со/2 — n k l N ) интерполируют
значения коэффициентов ДП Ф Х р (к) на всю ось частот. Следо­
вательно, с помощью формулы (2.142) по коэффициентам ДПФ
Теория дискретных линейных систем
67
последовательности конечной длины можно найти ее непрерывный
частотный спектр.
Представление конечных последовательностей с помощью ДПФ
удобно также для получения значений преобразования Фурье
в L точках, равномерно распределенных по единичной окружности.
Для получения требуемого частотного разрешения L может быть
выбрано значительно большим, чем N. Рассмотрим конечную
последовательность {х (п), О
п ^ N — 1 } с преобразованием
Фурье
N-1
2
n=0
X ( e ja) =
х ( п ) е ~ ^ п.
Вычисляя X (е*®) на частотах (о1 = (2я /L) Z, 1= 0, 1,
получим
nM
X [eH 2n/N)i]
=
^
з:(/г) e - H 2 n / L ) i n \
(2.143)
I
L — lf
(2 .1 4 4 )
71=0
Введем новую последовательность х(п) длины L точек (L > N ) :
х (п),
O ^ n ^ N — 1,
о,
(2 -145)
и найдем ее L-точечное ДПФ:
L- 1
Х ( к ) = 2 i( n ) 0ч т т п
(2.146)
71=0
life
Поскольку х (п) — 0 при n > iV, равенство (2.146) можно запи­
сать в виде
N- 1
Х( к ) =
2
IВ
71=0
Ш мШ Ш
(2.147)
Сравнивая (2.147) и (2.144), получим
X (к) = Х [с*2я/L)*].
(2.148)
Таким образом, простое дополнение последовательности конеч­
ной длины нулевыми отсчетами позволяет достичь любого
разрешения1) при расчете преобразования Фурье этой последова­
тельности для совокупности точек, равномерно распределенных
по единичной окружности. При спектральном анализе конечных
последовательностей эта несложная операция является одной из
наиболее полезных.
*) Частотное разрешение зависит только от длительности сигнала N.
Выбор L |> N лишь улучшает условия различения синусоидальных компо­
нент.— П рим. ред.
5*
Г ла ва 2
68
Итак мы показали, что Д П Ф однозначно представляет после­
довательность конечной длины, содерж ащ ую N элементов, при™ «ошМшпиенты ДПФ равны значениям 2-преобразования послөдоватөл ьности в N точках, равномерно распределенных по
единичной окружности. Аналогично z-преобразование любой
(в том числе и бесконечной) последовательности однозначно пред­
ставляет эту последовательность. Было такж е показано, что ди­
скретизация во временной области приводит к наложению в ча­
стотной области. Покажем теперь, что дискретизация в частотной
области также приводит к наложению во временной области.
Рассмотрим сначала, какая получится последовательность, если
в качестве коэффициентов ДП Ф взять значения произвольного
z-преобразования, вычисленного в N точках, равномерно распре____ ___ТТЛ лтгтжтттптттлтяг
ritc n окружност—
v ЯСНОСТИ. 7ІЛ Я_ большей
ПЙТТдөленных
по единичной
—-Щ - —- ЯСНОСТИ П----положим, что последовательность Һ (п) (не обязательно конечная)
имеет
|
Һ ( п) z~n.
Н (*)
(2.149)
7 1 = — ОО
Определим набор коэффициентов Д П Ф как
оо
h (п) е j(2n/N)nh
Яр (к) = Н (z) |2=ej(2i*/iV)h
П
=
(2.150)
— ОО
коэффициентам можно найти периодическую
тельность hp ( п ), равную
N- 1
ҺР {1І)
Г
(A:) e*(2*/W)nft.
2І" »
(2.151)
fc=0
Подставляя значения коэффициентов (2.150) в формулу (2.151)
рования на т , получим
и заменяя
hp (п)
1_
N- 1
оо
k= 0
т = —оо
N
оо
һ
(т) Г
Я 1 = —оо
оо
N
2V—1
e -J(2 n /N )ft(m -n )l
л=о
оо
Һ ( т) 2
Т71= — оо
ио (л* — п + г^ 0 »
ОО
ОО
h p ( п)
оо
h ( n — rN ) •
(2.152)
Соотношение (2.152) является весьма важным. Оно показывает,
что периодическая последовательность, получаемая из обратного
Теория дискретных линейных систем
69
һ(п)
О
ZN-1
п
flp(n)
I• ••• •
о
N-1
П
ш
• ••
о
п
hp(n)
I.*• •• . • •
N-/
Л
Фиг. 2.27. Две последовательности Һ (п) и соответствующие им эквивалент*
периодические
ДПФ набора значений z-преобразования непериодической после­
довательности, вычисленных в N точках, которые равномерно
распределены по единичной окружности, состоит из сдвинутых
и наложенных копий исходной непериодической последователь­
ности. Если длина последовательности Һ (п) не превышает N от­
счетов, то наложение в hp (гг) фактически отсутствует. Равенство
(2.152) также показывает, что искажения, связанные с наложением,
которые возникают при описании бесконечной последовательно­
сти конечным числом N коэффициентов ДПФ, уменьшаются при
увеличении N. На фиг. 2,27 изображены две последовательности
һ (п) и соответствующие им iv -точечные периодические эквива­
ленты. В первом примере длина последовательности Һ (п) близка
к N поэтому һр (п) повторяет ее почти без искаж ений. Во втором
примере длина Һ (п) значительно больше N , поэтому периодиче­
ская последовательность заметно отличается от исходной.
2.22. Свойства ДПФ
Некоторые свойства ДП Ф играют в практических вопросах
обработки сигналов важную роль. Н и ж е они будут в основном пе­
речислены, детали будут рассмотрены только в случае необходимостп.
'
1. Л инейност ь
тгМт
Если х (п) и у р (п) — периодические последовательности
(с периодом в N отсчетов каж дая), а Х р ( к ) и Ү р (к ) — их ДПФ,
то дискретное преобразование сі^урье последовательности Хр (и) -j+ Ур (те) равно Х р (к) + У Р (&)• Это полож ение справедливо и
для последовательностей конечной длины.
2.
! "
Сдвиг
Если последовательность хр (п) периодическая с периодом
в N отсчетов, а ее ДПФ равно Х р (к), то Д П Ф периодической по­
следовательности вида хр ( п — п0) будет равно Х р (к) е - К 2п/Юп,\
а
п
Фиг. 2.28. К определению ДПФ сдвинутой п о с л е д о в а т е л ь н о с т и .
Теория дискретных линейных систем
71
При анализе последовательностей конечной длины необходимо
учитывать специфический характер временного сдвига последова­
тельности. Так, на фиг. 2.28, а изображена конечная последова­
тельность х (п) длиной в N отсчетов. Там же крестиками изобра­
жены отсчеты эквивалентной периодической последовательности
хр (п ), имеющей то же ДПФ, что и х (п ). Чтобы найти ДПФ сдви­
нутой последовательности х (п — тг0) , причем п 0 < N , следует
рассмотреть
сдвинутую
периодическую
последовательность
хр (п — п0) и в качестве эквивалентной сдвинутой конечной после­
довательности (имеющей ДПФ X (к) е-Я 2я/]у)п0ь) принять отре­
зок последовательности хр (п — п0) в интервале 0 ^ п ^ N — 1.
Таким образом, с точки зрения ДПФ последовательность х (п — п0)
получается путем кругового сдвига элементов последовательности
х (п) на п 0 отсчетов.
3. Свойства симметрии
Если периодическая последовательность хр (п) с периодом
в N отсчетов является действительной, то ее ДПФ Х р (к) удовлет­
воряет следующим условиям симметрии:
R e [ X p (k)] = - R e [ X p ( N - k ) ] ,
Im[Xp ( k ) ) = - l m [ X p (N -k)],
[Х р ( * ) Н Х р (Л Г -* )|,
arg Х р (к ) = —arg Х р (N — к).
(2Л53)
Аналогичные равенства справедливы и для конечной действитель­
ной последовательности х (п ), имеющей iV-точечное ДПФ X (к).
Если ввести дополнительное условие симметрии последователь­
ности хр (п), т. е. считать, что
хр (п) = xp ( N — п),
(2.154)
то окажется, что Х р (к) может быть только действительной.
Поскольку чаще всего приходится иметь дело с действитель­
ными последовательностями, то, вычислив одно ДПФ, можно
получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства
симметрии (2.153). Рассмотрим действительные периодические
последовательности хр (я) и ур ( п) с периодами в N отсчетов
и TV-точечными ДПФ Х р (к ) и Y p (к) соответственно. Введем
комплексную последовательность zp (п) вида
zp (п) = Хр (л) + j'ур (п).
(2.155)
Ее ДПФ равно
N-1
ШШщ 1
[Хр(п) + ІУр(п))е-Ю*/*)п\
(2.156)
71=0
Zp ( k ) = X p (k) + j Yp (k).
(2.157)
Г лава 2
Выделяя действительную и мнимую части равенства (2.157), по­
лучим
Re [ Zp (к)] = Re [ Х р (к)] — Im [ Ү р в
Im [Zp (к)] = Im [Х р (fc)l + Re [ Y p (к)].
(2Л58)
Х р (к) и Ү р (к) симметричны, а мнимые
Действител
антисимметричны, поэтому их легко разделить, используя операции сложения и вычитания:
_
__
_
■
- - и m n VV ■Я
•
Re [Zp (ft)l + Re [Zp ( N—k)]
Re [X p § В мама»н І | ^ Н Н2 | ^ ^ Н |
Re [Zp ( N - * )]- -R e [ZP (*)]
Im [ Y p (A;)]
2
Im [Zp (*)]-f l m [ZP ( N - -A)]
Re [ Y P m
2
Im [Zp (*)]-—Im [ZP (ЛГ-- * ) ]
Im [X p (A)] —
- Ж 2Я B H H
(2.159)
Итак, вычисляя одно ІУ-точечноө ДПФ, удается преобразовать
сразу две действительные последовательности длиной по N от­
счетов. Если эти последовательности являются еще и симметрич­
ными, то число операций, необходимых для получения их ДПФ,
можно сократить еще больше.
Л■'
2.23. Свертка последовательностей
■
Если Хр (п) и hp (п) — две периодические последовательности
с периодами по N отсчетов и ДПФ, равными
N-1
_.
Хр (к) = S Х
р ( п
jn=0
Н
N-ri
Нр ( к ) = S hp (п) е - Ш Щ
п=0
)
е
I
й
'/
-
Н
(2.160)
щ
(2.161)
то iV-точөчное ДПФ последовательности ур (п), являющейся кру­
говой (или периодической) сверткой последовательностей хр (п)
и һр (я), т. е.
Щ
I I
N -1
Ур(п)= 2
X
p
{
l )
h
p
(
n
—
l ) ,
(2.162)
I
равно
У Р (* ) = Я р (А) Х р (к).
(2.163)
Теория дискретных линейных систем
73
а
6
в-
Фиг. 2.29. Круговая (периодическая) свертка.
Поскольку из формулы (2.163) получаются важные следствия,
ниже показано, как она выводится. Сначала необходимо разъяс­
нить понятие круговой свертки. На фиг. 2.29, а, б изображены
периодические последовательности хр (п ) и һр (и), а на фиг. 2.29, в
показано, как вычисляется значение круговой свертки (2.162)
при п = 2. В силу периодичности последовательностей хр ( I)
и һр (п — I) достаточно рассматривать их на интервале 0 ^ I ^
^ N — 1 - С изменением п последовательность һр (п — I) смещает­
ся относительно хр ( I). Когда отсчет һр (п — I) выходит за точку
I = N — 1, точно такой же отсчет появляется в точке 1 = 0. По­
это м у круговая свертка определяет свертку двух последователь­
ностей, заданных на окружности.
Формулу (2.163) можно получить, найдя iV-точөчное ДПФ
правой части (2.162), т. е.
JV-l N- 1
у р(*)= 2 I S
п= 0
iv-l
= 2
1= 0
X p ( l ) h p { n — l)]e-j(2n/N }nh =
1=0
Хр
JV-1
(0 [ 2
К
п=0
(П —
(к) 2
e-i(2n/W)(n-l)fel e - H 2 n / N ) lh =
Bp(h)
N-l
—
1)
х р ( I) е-М " Ю 1ь = Нр (к) Х р (к).
LX„(h)
(2.164)
74
Глава 2
Полученная формула справедлива и для конечных последовательностей, если рассматривать хр (к) и һр (к) как эквивалентные
им периодические последовательности с теми ж е ДПФ . Однако
для конечных последовательностей обычно нуж на линейная (Ц
называют апериодической), а не круговая свертка, поэтому в при­
веденные формулы следует внести уточнения.
2.24. Линейная свертка конечных последовательностей
Рассмотрим две конечные последовательности х (п) и Һ (я)
длины по N x и N 2■отсчетов, т. е. х (п) отлична от нуля при
1, a Һ ■
(п) 3 при О И п ш N 2 — 1 . Линейной или
п
о
апериодической сверткой этих последовательностей называют по­
следовательность у (п), определяемую соотношением
П
2 Һ (т) х ( п — т)>
У(п)
(2.165)
771=0
где Һ (т) и х (п — т) равны нулю вне соответствующих интерва­
лов. На фиг. 2.30 приведены примеры последовательностей х Щ
Һ (п) и у («). Ясно, что последовательность у (п) является конеч­
ной^ и имеет длину ( Nx + N 2 — 1) отсчетов.
ізано, что, перемножая Д П Ф двух конечных
последовательносте:
ДПФ
чаем такой ж е результат, как при
круговой свертке эквивалентных пе­
N,=7
риодических
последовательностей,
образованных
из
данных
конечных
ООО
П
0
6
последовательностей. Исходя из это­
го (см. также
фиг
можно довольно просто получить
линейную свертку двух конечных
N„=4
последовательностей.
Свертка
пери­
0 -0 -0 0 0 0
п
одических последовательностей периО 3
одична и имеет тот ж е период, что
и сами последовательност] . Поскольку период свертки у (п ) (фи
равен ( Nx -f N 2 — 1) отсчетам,
получения такого периода при круговой свертке н е о б х о д и м , чтобы х(п)
N,+Nz - l =10 и Һ (п) содержали по |Щ| Ц N 2 — I
отсчетов, что достигается дополне­
нием каждой из дв ух последователь­
П
ностей соответствующим числом ну­
левых отсчетов. П осле этого можно
Фиг. 2.30.
___ Линейная (апе­
найти (IV1 —
f- Л^2 — 1)-точечные ДПФ
риодическая) свертка.
дополненных
последовательностей,
Теория дискретных линейных систем
75
п
Л(п),һр(п)
ООО
ООО
00-0-000
0-0-000-0
О No-1
ООО
00 -00 -0-0-- п
л
Фиг. 2.31. Вычисление линейной свертки с помощью круговой свертки*
перемножить их и выполнить обратное ДПФ произведения. В ре­
зультате получается искомая свертка у (п). На фиг. 2.31, иллю­
стрирующей эти операции, изображены эквивалентные периоди­
ческие последовательности, используемые при вычислении кру­
говой свертки. Ясно, что дополнение исходных последовательно­
стей конечной длины х (гг) и Һ (/г) нулевыми отсчетами доводит
период до нужной величины и позволяет устранить круговые
наложения, характерные для круговой свертки. В результате
каждый период последовательности ур (п) (фиг. 2.31) совпадает
с У (п) (фиг. 2.30). Рассмотренный метод вычисления свертки двух
конечных последовательностей с применением алгоритма ДПФ
называется быстрой сверткой в противоположность методу пря­
мого вычисления суммы (2.165), называемому прямой или медлен­
ной сверткой. Термин «быстрая» применяется потому, что ДПФ
можно вычислить быстро и эффективно, используя один из алго­
ритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ). Можно пока­
зать, что даже при умеренных величинах |§У + JV2 — 1 ) (напри­
мер, порядка 30) быстрая свертка оказывается эффективнее пря­
мой. Поэтому рассмотренная методика является важным вычи­
слительным средством при обработке сигналов.
Г лава 2
Для практических приложении важно отметить, что в рассмо­
тренном выше примере размер ДП Ф не обязательно ограничивать
величиной (Лх + N а — 1). ДП Ф можно выполнять по любому
числу отсчетов L, удовлетворяющему условию L ^ N X -f— 1.
Если это условие удовлетворяется, то в отличие от вышеописан­
ной методики последовательности х (п) и Һ (п) дополняются дру­
гим числом нулевых отсчетов. В результате эквивалентная пе­
риодическая последовательность у р (п) будет иметь в конце пе­
риодов (L — N x — N 2 + 1) нулей. Я сно, что эти отличия никак
не искажают желаемого результата. Возможность произвольного
выбора L существенна, поскольку практические алгоритмы вы­
числения ДПФ при разных L имеют неодинаковую эффективность.
Так, например, для некоторых алгоритмов необходимо, чтобы L
равнялось степени 2. В этом случае в качестве L приходится вы­
бирать число, равное степени 2 и не меньшее чем N x + N %— 1.
2.25. Секционированные свертки
Во многих практических аадачах необходимо вычислять сверт
ку двух конечных последовательностей, когда одна из них гораз­
до длиннее другой (скажем, JVj Э> iV2 или ЛГ2
N x). Конечно, всег­
да можно выбрать L равным (JVj 4- N t — 1), но такой подход
неэффективен и по ряду причин неудобен. Во-первы х, перед вы­
числением свертки нужно иметь всю более длинную последователь­
ность. На практике, например в радиолокации или при обработ­
ке речевых сигналов, это условие не всегда выполнимо. Во-вторых,
поскольку обработка начинается только после приема всей после­
довательности, то результат получается с большой задержкой. И
наконец, при слишком больших ( N x + N 2 — 1) вычисление ДПФ
значительно усложняется, так как для этого требуется большой
объем памяти и возникают некоторые другие, чисто практические
трудности, связанные с алгоритмами БП Ф . От перечисленных
недостатков свободны следующие два метода вычисления свертки.
Они основаны на разбиении более длинной последовательности на
секции и вычислении частичных сверток, из которых затем форми­
руется искомая выходная последовательность.
Первый из них называется методом перекрытия с суммирова­
нием. Сущность этого метода иллюстрируется на фиг. 2.32. Для
простоты положим, что последовательность х (п) не ограничена,
a Һ ( п) содержит N 2 отсчетов. Разделим последовательность х (п)
на смежные секции длиной по N 3 отсчетов (фиг. 2.32). Выбор N 3
довольно сложен, но хорошие результаты получаются, если N 3
является величиной того ж е порядка, что и ЛГ2. Итак, входная по­
следовательность х ( п) представляется в виде
х ( п ) = У хъ (п) ,
(2.166)
77
Теория дискретных линейных систем
суммированием
f х{п) при k N ^ n < C ( k - \ - 1 ) N 3— 1 ,
* * (* )“ {■ л
*
7
О
при других п.
(2.167)
v
'
свертка последовательностей х (п) и Һ (п) равна
Л
ОО
* ■
< " * • ' '••• Л
^
у ( п ) = 8 h{m) 2 xh (п — m) =
т =0
Ь=0
ОО
(2.168)
оо
2 h (п) * x h (п) = 2 Ук (»)•
Һ—0
fc=0
(2.169)
Глава 2
Уо(п)
00
N* -1
ЧГҒ
п
1
N2+N3-1
О
Уі(п)
?ТТ?
2
"з-1
6-0-000-0-0-0 II 1 1 0 I■^■А
■
*і « Ь-5
N3
у2(п)
А
Ш ІШ
Б
л
У(п)=Уо(п) + у і(п )+ у 2(п)+
п
Фиг. 2.33. Формирование выходных значений свертки при использовани
метода перекрытия с суммированием.
д
каждой из частичных сверток в сумме (2.169) равна
( N 3 §§ Ц§
1 ) отсчетам, т. е. имеется участок длиной в ( N 2 - 1)
отсчетов, на котором к-я и {к + 1 )-я частичные свертки перекры
ваются, поэтому их отсчеты на участке перекрытия нужно сло­
жить. На фиг. 2.33 показано, как расположены и как суммируют­
ся соседние частичные свертки у к (п). К аж дая из них вычисляется
методом быстрой свертки, описанным в разд. 2.24. Рассмотрен­
ный метод был назван методом перекрытия с суммированием имен­
но потому, что промежуточные частичные свертки перекрывают­
ся и для получения конечного результата их необходимо сложить.
Другой метод вычисления линейной свертки последовательно­
стей, одна из которых значительно длиннее другой, т а к ж е основан
Теория дискретных линейных систем
79
9
Фиг. 2.34. Метод перекрытия с накоплением.
на секционировании более длинной последовательности. Его на­
зывают методом перекрытия с накоплением, причем в данном слу­
чае перекрываются входные, а не выходные секции. Ошибочные
отсчеты круговых сверток отдельных секций отбрасываются.
Остальные отсчеты накапливаются и из них формируется конеч­
ный результат. Рассмотрим конкретный пример (фиг. 2.34). По­
следовательность Һ (п) содержит N 2 отсчетов, а последователь­
ность х (п) разделена на секции xk (п) длиной по ( Na - f jV2 — 1)
отсчетов, перекрывающиеся друг с другом на участках дли­
ной по ( N 2 — 1 ) отсчетов. (Отметим, что участок перекрытия
80
Глава 2
Фиг. 2.35. Формирование выходных значений свертки при использовании
метода перекрытия с накоплением.
находится в конце последовательности х һ (м). Это удобно
для вычисления круговой свертки с помощью Д П Ф 1).) Для
каждой секции вычисляется круговая свертка последовательно­
стей Һ (п) и х к (и), содержащая ( N 3 + N 2 — 1) отсчет. В резуль­
тате получается набор последовательностей y h (/г), изображен­
ных на фиг. 2.35. Последние ( N 2 — 1) отсчетов каждой из после­
довательностей y k ( п) отбрасываются (они неверны из-за цикличе­
ского характера свертки), а остальные присоединяются к правиль­
ным отсчетам последовательности уъ.-і (п) и т. д. В результате
*) Здесь перекрытие носит условный характер: последние (N2 »)
отсчетов секции повторяют первые £ЯГ| — 1) отсчетов предыдущей секции.—
Прим. ред.
Г.*
Теория дискретных линейных систем
81
получается искомая последовательность, тождественная свертке
у (п). Итак, используя метод перекрытия с суммированием или
метод перекрытия с накоплением, можно сравнительно легко найти
свертку короткой и очень длинной последовательностей, причем
результат получается в виде отдельных небольших секций, кото­
рые объединяются соответствующим образом в одну последова­
тельность.
2.26* Дискретное преобразование Гильберта
Выше рассматривались различные способы представления по­
следовательностей, в частности z-преобразование, преобразова­
ние Фурье, ряды Фурье. В данном разделе будет показано, что
z-преобразование импульсной характеристики линейной и устой­
чивой физически реализуемой системы в любой точке, лежащей
вне единичной окружности, может быть выражено через значения
действительной или мнимой части преобразования Фурье той же
импульсной характеристики. Иначе говоря, действительную и
мнимую части преобразования Фурье действительной последова­
тельности можно выразить друг через друга. Рассмотрим физиче­
ски реализуемую последовательность х (п) [т. е. х (тг) = 0 при
п <Г 0] и ее z-преобразование X (z). Предположим, что функция
X (z) — аналитическая вне единичной окружности, т. е. все по­
люсы X (z) лежат внутри этой окружности. Пусть Х а (езю)
и Х м (е*ш) — действительная и мнимая части преобразования Фу­
рье последовательности х (п), т. е.
X ( e * ) = X n ( e * ) + j X K (e*).
(2.170)
Введем хч (п), четную часть х (п), как
Хч
(п ) =
— \х ( п ) -{-X ( — /&)].
(2.171)
(2.172)
(2.173)
Используя формулу (2.172), найдем значения z-преобразования
х (п) в точках z, лежащих вне единичной окружности (z = гв,0)
1). Оно равно
шш
00
оо
2х ч (n) s (w) r -n<H nm.
|
|
(2.174)
Ппавая часть равенства (2.174) представляет собой иреобрааован и е Ф у р м последовательности
. ( Л
Ппркольку
12*. (в )1 1 . (п) Г"1.
(2.175)
у (п) равна произведению двух
п р ео б р а зо в а н и е Фурье можно наити
^
свертке [см. (2.81)1 в виде свер,-
последовательность
П оскольку нос а
последовате л ь н о е ^ ,
С” ^ р а З и и й
К!
Фурье отдельные сомножителей, т. е.
1
X (re>“) = X (z) |z = r e 7CD
2Jij
И г"1!;
r-i \ dv
(О r~*v / v
§
с
(2.176)
'і
гг
тт
r‘n равны соответственно
| Д6(2Ь) Т о ^ ^ Вг Ш - 1)ҚІ S r - ^ -1), а контур интегрирования
7?Г™ Лы°аеПначения функции X (ге*°) в точее деистках, лежащих вне единимой
Если Хд (z)
С равенство
—
д
- И
Ь
«ад
связывающее
•
Ш
-W
-W
-
__
/ м \
Т ІГ Т Т Т А
Хм
(еіш
).
Представим
х
(п)
в
виде
с
X (е*“)
2а:н (п) s(n) + х (0) u 0 (п),
а; (п)
где х„ (п)
нечетная составляющая § (и),
Я (»)
(2.177)
определяемая как
1 [ж(п) — Ж( — и)1-
(2.178)
2
В этом случае выражение для X (ге3<0) имеет вид
X («*•) = X (z) |
_1_
те *®
2эт.
Xм
С
ЯН
r~l v \ dv + я ( 0 ) ,
(2.179)
причем z-преобразование хв (п) равно Х м (z), а контуром интегри
рования по-прежнему является единичная ° кРу* НОСТү , ,а\
Чтобы найти соотношение, связывающее Х нЩ ) ■ Н Ж
рассмотрим предельные значения правых частей (2.17о)^и ( • Һ
III
когда г —8 1. Так как при этом полюс подынтегральной фун
нтеприближается к контуру интегрирования, то вычисление
гралов следует производить аккуратно. Если эти интегралы р
Теория дискретных линейных систем
83
равнять главным значениям интеграла типа Коши, т. е
1
г
2nj
Р
/ ы .
О,
1
/(z) dz
z —z0
2
(где Р (jp g (z) dz — главное
значение
о
1,
1,
о
1
О
интеграла
типа
(2.180)
Коши),
го можно найти пределы интегралов (2.176) и (2.179) при г-*- 1 .
Однако вместо того, чтобы непосредственно вычислять эти инте­
гралы, введем новую переменную интегрирования v =
(так
как интегрирование производится по единичной окружности)
и представим X (reja) следующим образом:
X (re^ ) = Х а ( r e i ° ) + j X M(ге^).
(2.181)
Перепишем равенство (2.176) в виде
Х Л( ге^) - {- ] Хм (rei®)
- + ; 2 г - . 8і п ( в _ ^ ) ІӨ і ( 2 1 8 2 )
f *» И )
-я
откуда, приравняв мнимые части, получим
Хд (е^ө) 2г 1 sin (Ө—со)
(Ю
.
2л J 1 — 2г"1 cos (Ө И 8®I
-я
ш
Х м (ге >“)
(2.183)
Преобразуя равенство (2.179) аналогичным образом, найдем
Я
Хд (г^°)
ш
2л
ХД (е^ө) 2г-1 sin (Ө—со)
J 1 — 2г-1 cos (Ө
-я
$® -М (0). (2.184)
-2
SSSi
Переходя в полученных выражениях к пределу при
пользуя для вычисления интегралов формулу
искомые соотношения
1 и ис­
получим
Я
p s S lj
1
м
1
-Я
ctg
(
Ө со
2
&
(2.185)
и
я
Х д (#«)
Ө
ж(0)
-я
СО
2
) <*Ө.
(2.186)
Эти соотношения называют парой дискретных преобразований
ильоерта. Они позволяют определить мнимую часть частотной
6*
84
Г лава 2
_____________________1-------
действи­
частотной
характеристики
наоборот,
действительную
часть
тельной части и ,
4япактеиистики по ее мнимой части.
Ф о р м у л ы дискретного преобразования Гильберта можно также
п о л у ч и ть
сопоставляя логарифм модуля частотной характери­
стики и фазовую характеристику физически реализуемой миним а л ъ н о -ф а зо в о й системы. (Все нули и полюсы передаточной функ­
ции такой системы лежат внутри единичнои окруж ности.) Вообще
го в о в я
полученные соотношения применяются довольно редко,
так как ограничения, накладываемые на размещение нулей пере­
даточной функции, являются слишком строгими. Во многих
реальных системах нули располагаются вне или на единичной
окружности.
.
2.27. Преобразование Гильберта действительных сигналов
Одной из наиболее важных областей применения преобразова­
ния Гильберта являются системы модуляции. В них (например,
в системах однополосной модуляции) часто обрабатываются ком­
плексные полосовые сигналы. Такие сигналы характерны тем, что
1 2я)
на нижней половине единичной окружности (т. е. при л 1
их спектр равен нулю. Таким образом, если v (п) относится к рассматриваемому классу сигналов, его Преобразование Фурье
V (е}а) = О,
я
со
(2.187)
2п.
Ясно, что сигнал v (п) является комплексным, поскольку преобразование Фурье действительного сигнала удовлетворяет соотношению
у* (e-iCD) = y ( ejCD);
(2.188)
если бы сигнал v (п) был действительным, то и з равенства (2.188)
0.
Комплексный
сигнал
v
(п)
можно
следовало бы, что V (е3®)
представить в виде
(2.189)
(п)
+
]
х
(п)
v (п)
____
ж
•
«
Л
ТА
О
__
-
-
- -
Я
••А 4 * 1 1 1 Т Л
где х (п) и х (п) — действительные последовательности. Равенство
(2.187) выполняется* если
V (е>а) = X (e3<D) + j X (еЩ = 0 при п ^ са
2л
(2.190)
или
X ’fe^0 ) — ] Х (е3<°)‘,
л
2я.
(2.191)
то
Поскольку последовательности х (тг) и х (п) д ей с т в и т ел ь н ы е I
ясно, что
(2.192)
я.
] Х (е**0), О ^ со
Теория дискретных линейных систем
а
6
Фиг. 2.36. Импульсная и частотная характеристики идеального преобразо­
вателя Гильберта.
ПОЛУЧ]
фильтр с частотной хар
„
.
[
яН |
— 7% 0 ^СО<< Л,
п
и
< 2; .
<2 1 9 3 )
При этом
V (eJ(0) = 2Х (а*®)
на
интервале 0 ^ со <; я
и V (eJ(0) = 0 на интервале л ^ о < 2л, как и было принято.
Импульсная характеристика фильтра с частотной характеристикой
вида (2.193) получается из обратного преобразования Фурье
частотной характеристики (2.193):
л
h (n) = ^
2л
(j —
+J
da
О
,
0,
h (re)
(2 . 194)
л
1 —J**
откуда
da),
i T ' . W 2)
яга
*
пфО,
re= 0,
„ ^ 0,
’
re= 0.
(2.195)
Глава 2
а
со
б
со
W(ejw)
в
и>
г
//2
L &
О
2.7V
7Г
Фиг. 2.37. Дискретизация полосового колебания.
шисывают идеальный цифровой префиг. 2.36 изображены его частотная
и импульсная характеристик
физи
чески М&НЙНМЫШКШЙШ
не реализуемо, так как его импульсная характеристика
простирается от — оо до оо. Более того, z-преобразование последо­
вательности (2.195) сходится только на единичной окружности.
Поэтому идеальный преобразователь Гильберта подобен идеальному фильтру нижних частот или идеальному дифференциатору
в том смысле, что на практике их можно реализовать только при­
ближенно. В гл. 3 и 4 будет рассмотрено, как проектируются реа
лизуемые фильтры, аппроксимирующие перечисленные идеаль
ные цепи.
ШШт
ЯГ
Теория дискретных линейных систем
87
Поскольку последовательность х (гг) можно получить, пропу­
ская х (п) через фильтр, то эти две последовательности связаны
соотношением типа свертки:
* ( ге)
=Т 2
х{п-т )
,
(2.196)
7 П = з — ОО
тфп
Л
Аналогичным образом из х (п) с помощью фильтра, импульсная
характеристика которого описывается выражением (2.195) с об­
ратным знаком, можно получить х (п). Следовательно,
*<»>=— |-
1
11 - 1
9
В
.■
(2.197)
т = —оо
тфп
Равенства (2.196) и (2.197) представляют собой пару преобразова­
ний Гильберта для действительных сигналов х (гг) и х (и).
По аналогии с непрерывными аналитическими сигналами, спектр
которых равен нулю в области отрицательных частот, последовательность v (п) = х (п) Ц jx (п ) также называют аналитическим
сигналом. Такой сигнал играет важную роль при дискретизации
полосовых сигналов (фиг. 2.37). На фиг. 2.37, а изображен спектр
полосового действительного колебания х (п), а на фиг. 2. 37, б —
спектр аналитического сигнала v (п) = х (п) + j x (п). При дис­
кретизации аналитического сигнала v (п) частоту дискретизации
можно уменьшить до (В/2п) комплексных отсчетов в секунду, не
опасаясь наложений в спектре. Спектр получающейся при этом
последовательности w (п) (считается, что 2 л / В — целое) изображен
на фиг. 2.37, в. Чтобы восстановить исходный сигнал в виде
последовательности с первоначальной частотой дискретизации,
применяют полосовой интерполирующий фильтр (фиг. 2. 37, г).
Действительная часть колебания, получающегося на его выходе,
и дает искомый действительный сигнал.
<%
ЛИТЕРАТУРА
1. Gold В., Rader С. М., Digital Processing of Signals, McGraw-Hill, N. Y.,
1969; есть русский перевод: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифровая обработка
сигналов, изд-во «Советское радио», 1973.
2. Freeman Н., Discrete Time Systems, Wiley, N. Y., 1965.
3. Jury
I., Sampled-Data Control Systems, Wiley, N. Y., 1958; есть
русский перевод: Джури Э. И., Импульсные системы автоматического
регулирования, Физматгиз, 1963.
4. Ragazzini J. R., Franklin G. F., Sampled-Data Control Systems, McGrawHill, N. Y .f 1958.
Глава 2
5. Jury Е. I., Theory and Application of the Z-Transform Method, Wiley,
6. Kuo P. F., Kaiser J. P ., Systems Analysis by Digital Computer. Wiley,
7. Rader С. М., Gold B., Digital Filter Design Techniques in the Frequency
Domain, Proe. I E E E , 55, No. 2, 149—171 (Feb. 1967); есть русский пере­
вод: Голд, Рендер, Методы р а с ч е т а цифровых фильтров в частотной
области, Т И И Э Р , т. 55,
2, с т р . 19—43 (1967).
8. Gold В., Oppenheim А. V., Rader С. М., Theory and Implementation
of the Discrete H ilbert Transform, Proe. Sym. Computer Proe. In Communi­
cation, 235—250 (1969).
^
9. Stockham T. G., High Speed Convolution and Correlation, A F I P S Confe­
rence Proceeding *, 28, 229—233 (1966).
10. Oppenheim A. V., Schafer R. W-, D igital Signal Processing, Prentice-Hall
Englewood Cliffs, N. J ., 1975.
Г лава 3
ТЕОРИЯ И РАСЧЕТ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ
С ИМПУЛЬСНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
3.1. Введение
Как было показано в гл. 2, класс последовательностей конеч­
ной длины обладает некоторыми свойствами, желательными с точ­
ки зрения построения фильтров. Например, никогда не возникает
вопрос об устойчивости и физической реализуемости фильтров,
поскольку КИХ-последовательности гарантируют устойчивость,
а при введении соответствующей конечной задержки и реализуе­
мость. Более того, ниже будет показано, что КИХ-послеДовательности можно выбрать так, чтобы фильтры имели строго линейные
фазовые характеристики. Поэтому, используя КИХ-последова­
тельности, можно проектировать фильтры с произвольной ампли­
тудной характеристикой.
Интересно отметить, что до появления алгоритма быстрого
преобразования Фурье (БПФ) реализация КИХ-фильтров счита­
лась, как правило, нереальной, поскольку для достаточно хоро­
шей аппроксимации фильтров с острыми срезами требуются весь­
ма длинные последовательности. Разработка на основе высоко­
эффективного алгоритма БПФ методов быстрой свертки изменила
это положение, и в настоящее время КИХ-фильтры успешно конку­
рируют с БИХ-фильтрами, имеющими острые срезы в частотной
х арактеристике.
3.2. Порядок расчета фильтров
Порядок расчета цифрового фильтра (реализуемого программ­
ным путем на ЦВМ или в виде специализированного устройства)
включает четыре основных этапа:
1. Решение задачи аппроксимации с целью определения коэф­
фициентов фильтра, при которых фильтр удовлетворяет заданным
требованиям.
2. Выбор конкретной схемы построения фильтра и квантование
найденных значений его коэффициентов в соответствии с фикси­
рованной длиной слова.
3. Квантование переменных величин фильтра, т. е. выбор
длины слова входных, выходных и промежуточных переменных.
90
Г лава 3
4. Проверка моделированием, удовлетворяет ли полученный
фильтр заданным требованиям.
После этапа 4, если заданные требования не удовлетворяются,
приходится возвращаться к этапам 2 и 3.
Конечно, было бы желательно выполнять три первых этапа
одновременно, т. е. решать задачу аппроксимации для произволь­
ной схемы фильтра и для слов произвольной длины, однако малове­
роятно, что в ближайшем будущем такой п одход будет разработан.
Поэтому все перечисленные этапы приходится выполнять раздель­
но. В настоящей главе будет обсуждаться лишь задача аппроксима­
ции КИХ-фильтров. Этапы 2 и 3 будут рассмотрены в гл. 5, а этап
4 сам по себе достаточно очевиден и не требует обсуждения.
3.3. Свойства КИХ-фильтров
Имеется много причин, побуждающ их к изучению способов
проектирования КИХ-фильтров. Перечислим основные достоин­
ства этих фильтров:
•..... ЖщйВИ
1. Легко создавать КИХ-фильтры со строго линейной фазовой
характеристикой. Во многих случаях, когда проектируется фильтр
с произвольной амплитудной характеристикой, это упрощает за­
дачу аппроксимации. Фильтры с линейной фазовой характери­
стикой особенно важны в случаях, когда приходится учитывать
дисперсионные искажения, связанные с нелинейностью фазовой
характеристики (например, при обработке речи и передаче данных).
2. КИХ-фильтры можно эффективно строить как по рекурсив­
ной, так и по нерекурсивной схемам.
3. КИХ-фильтры, реализуемые нерекурсивно, т. е. с помощью
прямой свертки, всегда устойчивы.
4. При нерекурсивной реализации КИХ-фильтров шумы
округления, возникающие за счет выполнения арифметических
операций с конечной точностью, легко минимизировать.
Перечислим недостатки КИХ-фильтров:
1. Д ля аппроксимации фильтров, частотные характеристики
которых имеют острые срезы, требуется импульсная характерис­
тика с большим числом отсчетов N . Поэтому при использовании
обычной свертки необходимо выполнять большой объем вычис­
лений.
.с*
2 . Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характери­
стикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации.
В некоторых приложениях такая некратная задержка может
вызвать определенные трудности.
В последующих разделах главы будут рассмотрены свойства
КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой, а также
некоторые методы расчета КИХ-фильтров.
■!<
ЩИВ
Фильтры с харатеристиками конечной длины
91
3.4. Характеристики КИХ-фильтров с линейной
фазовой характеристикой
Пусть {Һ (п)} — физически реализуемая последовательность
конечной длины, заданная на интервале
— 1. Ее zпреобразование равно
N- 1
Я (г) =
2
h(n)z~n = h ( 0 ) + h { l ) z - l +
n=0
. . . + h ( N — l)z
(3.1)
Преобразование Фурье от {Һ (/г)}
N- 1
Я (езш) = 2
h(ri) е~*ап
(3.2)
п=0
является периодическим по частоте с периодом 2 л , т. е.
Я (е*“) = Я[вЯ«+ 2ят)], т = 0, ± 1 , ± 2 , . . . .
(3.3)
Рассматривая только действительные последовательности {Һ (/г)},
получим дополнительные ограничения на функцию Я (е3“), пред­
ставив ее через амплитуду и фазу:
Я (ei*>) = ± | Я (е^) | #1°»«
(3.4)
Знаки ± действительно необходимы, поскольку функция Я (ejco)
на самом деле равна
Я (езШ)р Я* (е>“) ^ ) ,
(3.5)
где Я* (е,ш) — действительная функция, принимающая положи­
тельные и отрицательные значения. Из уравнения (3.2) видно, что
модуль преобразования Фурье является симметричной функцией,
а фаза — антисимметричной функцией частоты, т. е.
1Я (езш) | = |Я ( е -3<0) |,
Ө(co) = — Ө( —со).
(3.6а)
(3.66)
На практике при расчете КИХ-фильтров часто требуется строго
линейная фазовая характеристика. Рассмотрим, при каких усло­
виях импульсная характеристика фильтра Һ (п) будет обеспечивать
строгую линейность его фазовой характеристики. Требование
линейности фазы фильтра является еще одним ограничением; оно
означает, что фазовая характеристика Ө (со) имеет вид
Ө (со) = —а©, — л Я ШВ Ц
(3.7)
где а — постоянная фазовая задержка, выраженная через число
интервалов дискретизации. Используя выражения (3.4) и (3.7),
перепишем соотношение (3.2) следующим образом:
ЛГ-1
һ ( п ) е - і ап= ± \ Н (е>ш) \ е - з аа.
(3.8)
4ЙбИ 2
Г лава 3
Приравнивая действительные и мнимые части, получим
N- 1
Һ ( п ) cos (wn),
П=О
Н (еі а) | cos (аа>)
(3.9a)
N -i
(3.96)
H (ej<0) I sin (aw) = 2 h (n) sin (®n)n=0
\ Н (е,ю) |, разделим правые
Чтобы избавиться от множителя
части
N- 1
2
sin (ao>)
cos (aa>)
71=0
tg (aw)
(3.10)
N -\
h (n) cos (oan)
2
n= о
откуда
N-i
2
tg (aw)
ft (Л) sin (con)
n=l
(3.11)
N -i
ft(0 ) +
h (n)
cos (a m )
n=l
Существуют два возможных решения уравнения (3.10) или урав­
нения (3 . 11 ). Первое получается, если положить а Ц 0, что дает
[с использованием (3.11)]
N-1
0
2
71=1
2V-1
(3.12)
2
п= 1
Это уравнение имеет единственное реш ение, соответствующее про­
извольному Л (0) и Л (п) = 0 при п
0 , т. е. импульсная харак­
теристика фильтра состоит из одиночного импульса — результат,
не представляющий интереса. Д ругое возмож ное решение соответ­
ствует случаю а Ф 0. Д ля этого случая уравнение (3.11) можно
записать, перекрестно умножая члены, в виде
n
-
n -і
1
2
Л (и) cos (wn) sin (a w )— 2
n=0
^ (n) sin (wre) cos (otw) = 0 ,
n=0
(3.13)
-H
откуда
N -i
2
h («) sin [(a — n) w]
0
(3.14)
7l==0
Поскольку уравнение (3.14) имеет вид ряда Ф урье, то решение
этого уравнения, если оно сущ ествует, является единственным.
Фильтры с характеристиками конечной длины
93
Легко заметить, что решение уравнения (3.14) удовлетворяет сле­
дующим условиям:
а = -5 Ь І,
(3.15)
h(h) = h ( N — 1 — п),
O ^ n ^ N — 1.
(3.16)
Следует подчеркнуть смысл условий (3.15) и (3.16). Условие (3.15)
означает, что для каждого N существует только одна фазовая
задержка а, при которой может достигаться строгая линейность
фазовой характеристики фильтра. Из условия (3.16) следует, что
при заданном а , удовлетворяющем условию (3.15), импульсная
характеристика должна обладать вполне определенной сим­
метрией.
Целесообразно рассмотреть использование условий (3.15) и
(3.16) отдельно для случаев четного и нечетного N. Если N — не­
четное, то а — целое, т. е. задержка в фильтре равна целому числу
интервалов дискретизации. Типичная импульсная характеристи­
ка фильтра с линейной фазой для случая N = 11 (или а — 5)
приведена на фиг. 3.1. Центр симметрии характеристики прихо­
дится на пятый отсчет.
Типичная импульсная характеристика фильтра с линейной
фазой при четном N показана на фиг. 3.2. В этом примере N — 10
симметрии
п
Фиг. 3.1. Типичная импульсная характеристика при нечетном N (четная
симметрия).
Центр симметрии
һ(п)
I
I
I
I
N 40
сс=4,5
77
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N-1
0
Ч
і
Фиг. 3.2. Типичная
импульсная характеристика
при четном N (четная
симметрия).
антисимметрии
N•1 1
<х=5
а
Центр антисимметрии
N=10
сс=4,5
6
Фиг. 3.3. Импульсная характеристика при нечетном (а) и четном (б) значе­
ниях N (нечетная симметрия).
и, как следует из (3.15), а = в/2 = 4 ,5 . Таким образом, задержка
в фильтре составляет 4,5 интервала дискретизации. Это означает,
что центр симметрии импульсной характеристики лежит посреди­
не между двумя отсчетами, как показано на фиг. 3 .2 . В разд. 3.36
и 3.37 будет рассмотрено несколько важных видов фильтров с ли­
нейной фазой, в которых задержка преимущественно равна неце­
лому числу интервалов дискретизации (т. е. и х импульсная ха­
рактеристика имеет четное число отсчетов N ).
Согласно условию (3.7) линейности фазовой характеристики
фильтра, требуется, чтобы фильтр имел постоянные как групповую,
так и фазовую задержки. Если, как это часто бывает, достаточно,
чтобы только групповая задерж ка1) была постоянной, можно опре­
делить еще один тип фильтра с линейной фазой, фазовая характе­
ристика которого является кусочно-линейной функцией частоты to,
Т. е.
Т ~
Я (е*°) Щ Ц| я (е3®) I еЯР-аю).
(3.17)
*) Групповая задержка фильтра равна производной от фазовой х а р а к т е ­
ристики по частоте в отличие от фазовой задержки, равной отношению фазы
к частоте.
"’■■
Фильтры с характеристиками конечной длины
95
Рассуждая так же, как и при переходе от (3.8) к (3.14), можно по­
казать, что новое единственное решение удовлетворяет следую­
щим условиям:
N—1
а = -^ у —,
(3.18а)
Р= ± - у ,
k ( n ) = — h ( N — i — n),
(3.186)
O ^ n ^ N — 1.
(3.18в)
Фильтры, удовлетворяющие условиям (3.18), снова создают за­
держку в (N — 1)/2 интервалов дискретизации, но их импульсные
характеристики в отличие от предыдущего случая антисимметрич­
ны относительно центра. Для примера на фиг. 3.3, а ж б показаны
импульсные характеристики фильтров с нечетным и четным N ,
удовлетворяющие условиям (3.18). Следует отметить, что для
нечетных значений N , согласно (3.18в), h [(iV — 1)/2] = 0. Усло­
вия (3.18) будут использованы в разд. 3.36 и 3.37 при расчете ши­
рокополосных дифференциаторов и преобразователей Гильберта.
Итак, в зависимости от значения N (нечетные или четные)
и вида симметрии импульсной характеристики (симметричная или
антисимметричная характеристика) возможны четыре различных
вида КИХ-фильтров с линейными фазовыми характеристиками.
,3.5. Частотная характеристика КИХ-фильтров
с линейной фазой
фил
фазой
Н (е*а) = Н* (е’ю) ei(P-a©)j
(3.19)
где Н* (ej(0) — действительная функция, а а и (5 определяются
формулами (3.18), выразим функцию Н* (е}а) через значе­
ния коэффициентов импульсной характеристики для каждого
из четырех видов фильтров с линейной фазой. Соответствующие
формулы будут получены в данном разделе. Позже они будут ис­
пользованы при изложении различных методов расчета КИХфильтров с заданными частотными характеристиками.
Фильтр вида 1 . Симметричная импульсная характеристика ,
нечетное N . Для этого случая Н (е><°) можно представить в виде
(i\f—
>3)/2
Н (eja) Я
2
h (п) е~і ®71 + Һ
Ш +
п=0
n
+
-
i
У
ШШШЩ
n=(iV+l)/2
(3.20)
Д елая замену m ~ N -
1 -
п во второй
сумме, получим
Я
(iV- З )/2
.
fcI —I—I
fe(n) e->®n +
e-5“ ( ^ ) / 2 +
n=0
(iV —3)/2
771=0
Поскольку h (n) = h ( N — 1 — ri), две суммы в (3.21) можно
объединить, а член |||® Ш ||>/2 вынести за скобки, что дает
(JV -3)/2
‘ ? ^
n=0
или
# ( ej o ) _ g-j<o(JV -1)/2 /
(" " 3)/2
2
2fc (w ) COS N
JV- 1
¥
-
)
]
+
n=0
Подставив
m A ( N — l)/2 — n,
получим
C » -3 ,/2
#(eie>) = e _i<0(2V_1>/2
Г 2 I f I — 2------- ШI cos (со/п.) IB
m=0
TV— 1
(3.24)
2
Окончательно при a (0) = h [ ( N — l)/2 ] и a (n) = 2 h [(N - l)/2
n], где n — 1, 2, ..., (ЛГ — l) /2 , выражение (3.24) принимает
вид
I•
Я (е*ш) == g-io>(iv-i)/2 [
2
I (n) cos (con)],
(3.25)
n=0
что и дает искомую частотную характеристику. Таким образом,
д л я фильтра вида 1
( N - 1)/2
Я * (е^“) =
2
а (п) 009 (©и).
(3.26)
:П=0
Ь
4
■■
Фильтры с характеристиками конечной длины
97
Фильтр вида 2. Симметричная импульсная характеристика ?
четное N . В этом случае Я (е3®) принимает вид
N/2 - 1
Я (gjw) — g-jw(.iV-1)/2 |
2
2Һ (п) cos [со(
N
2
И
71=0
1
2
) ]}•
(3.27)
)J } •
(3.28)
Подставляя в это выражение
N
Ъ(п) = 2h ( 2
получим
N/2
Н (ejo>) = e-jo)(Jv-i)/2 / 2 Ъ(re) cos £со ^re—
71= 1
Таким образом, для фильтра вида 2
N/2
cos £со(ге
Н* (е3®)
1
2
(3.29)
71= 1
Необходимо отметить, что /Г* (е'®) = 0 при со = зх независимо от
значений Ь (ге) [или Һ (п)]. Отсюда следует, что нельзя использо­
вать фильтры этого вида для аппроксимации частотной характе­
ристики, отличной от нуля при со = л (например, при проектиро­
вании фильтров верхних частот).
Фильтр вида 3. Антисимметричная импульсная характери­
стика , нечетное N .
формулы
случае
фил
симметрии {Һ (га)} сумма косинусов заменяется на сумму синусов,
формулы
Я (е3®) = g
-
і)/ 2вія/г £
2h (
m=0
N —1
2
m I cos (com) ] ,
(3.30)
Делая подста0, как было показано
где h [(N
1)/ 2 ]
1)/ 2 ,
га] при га
1, 2,
(N
1)/2
2h [(N
новку с (и)
получим
(IV-1)/2
Я (е3®) = e- 3®(JV-1)/2ein/2 [
с (га) sin (core)].
(3.31)
П=і
Таким образом, для фильтра вида 3
(N-D /2
Я* (е*®) =
2
с (л) 3*п С®71)
П=1
7—0399
(3.32)
һ(п)
п
п
Симметричная
импульсная
характеристика
Нл(г*°)
(V
я
О
Bud 2
Ar i f
с(п)
Амтишммвтричная
[импульсная
Н*(еш>
Вид 3
Нечетное N
Bud 4
Четное N
Фжг. 3.4. Четыре вида фильтров с линейной фазовой характеристикой.
Филыпры с характеристиками конечной длины
99
Видно, что Н* (е3®) — 0 на частотах ш = 0 и со = л независимо
от значений с (п) [или значений Һ (ге), что то же самое]. Более
того, множитель &т Щ / в формуле (3.31) показывает, что
без учета множителя с линейным изменением фазы частотная
rams функцией. Поэтому этот
вид фильтров наиболее пригоден для проектирования преобразо­
вателей Гильберта и дифференциаторов.
Фильтр вида 4. Антисимметричная импульсная характвристика, четное N .
фильтр
му косинусов суммой синусов, умноженной на /, вместо (3.27)
получим
Н (&<»)
(W2)-1
N
1
g- j®(N- 1)12gjn/2
2Һ (п) sin Гсо(
п
(3.33)
2
2 ) ]}•
n=0
Подстановка в это выражение
N
N
п ) , п 1, 2 ,
2
2
дает
N/2
1
2
n=l
Таким образом, для фильтра вида 4
JV/2
Н* (&<*)
Sin CO
п=1
)]}■
1
2
(3.34)
(3.35)
причем Я * (е*®)
О пр (О 0.
филь
тров боль
*• г1-- і~і----- --- 1
диффере
ров и преобразователей Гильберта.
На фиг. 3.4 графически представлены все основные результаты,
полученные в этом разделе, а именно типичные импульсные
характеристики Һ ( п), соответствующие им сдвинутые последо­
вательности [от а (п ) до d (п ) для каждого конкретного случая]
и типичные частотные характеристики Н * (е>°) для каждого из
четырех видов КИХ-фильтров с линейной фазой.
3.6. Расположение нулей КИХ-фильтров
с линейной фазой
е нулей КИХ-фильтров с линейной фазой сильно
ограничено характером симметрии их импульсной характеристи­
ки. Координаты нулей таких фильтров легко найти, используя
7*
100
_______________ Глава_3
2-преобразования импульсных характеристик, равные
N-1
Я (* )
S
fe (0) + /і ( 1 ) z - 1 +
h (r i)z
n=0
k ( 0)z-t* -* > ,
-h
(3.36)
імметричной и антисимметричной
Перепишем выражение (3.36) в
где знаки + Р
импульсным характеристикам.
Я (z) = z -<iV- 1>/2 {й (0)
± z-<N-i>/2] +
1 Й ( 1 ) [z(^ -3)/1 И Z - ^ - 3)/2] +
lif e (2) fZ(iV -5 )/2 ± Z - C W - 5 ) /2 ] _ |_ I I ,
(3.37)
Заменив здесь z на z l , получим
{fe(0)
Я (t"‘)
+
( 1 ) [ z - ( * - 3>/2
+ / i ( 2) [z - ^ - 5)/2
(3.38)
формул
z W - V H (z).
(3.39)
Я (z-‘)
И з соотношения (3.39) следует, что с точностью до задержки на
(N - 1). отсчетов и множителя Ш | ) Я (z-1) и Я (z) идентичны.
Я
Таким образом, нули Я (z
j
e
.
в точке z -- Г i f ? *, причем г
1,
имеет комплексный
0, я . Тогда, согласно (3.39), функция Я (z) должна иметь
Ө,
также зеркально отраженный нуль в точке zTl Ц ( 1 /гг) е“ *.
Поскольку импульсная характеристика ф
каждый комплексный нуль Я (z) образует с
плексно сопряженную пару. Таким образом если Я (z) имеет
на единичном окружности
комплексный нуль, не лежащ
0. яЛ. то Я (z) содержит
(гг Ф= 1 ) и на действительной oci
по крайней мере один базовый множитель вида
н
H i (z)
X
у
л
ь
55
X
\
J
1 І \ и
Л »J
I
jb
" ,
(1 — z ^ r ^ 1) (1 —
1
J
0
-l
z
e
n
w
* J .| / in .v m
X
-4
1
—
ІӨ1
z 1— e
‘
)
1
# |
(3.40)
Г»
ил
Hi (z)
1
2
r? + l
—
4
Положение нулей такого базового блока показан
а соответствующая ему импульсная характеристика
(3.41)
фиг.
фиг
Фильтры с характеристиками конечной длины
101
Фиг. 3.5. Положение нулей для фильтров с линейной фазовой характери-
Выражение (3.41) было получено для случая г г Ф 1 и
^
Ф 0, я. При rt = 1 (но Ө{ Ф 0, я) нуль находится на единичной
окружности, а соответствующий ему комплексно сопряженный
нуль является его зеркальным отображением. Таким образом,
нули функции Н (z), лежащие на единичной окружности, являются
одновременно нулями функции Н (z-1) на той же окружности.
Для таких нулей базовый множитель равен
(z) = (1 - z-V'8*) (1 - z-le~jei) = 1 — 2 cos Ө^ 1 + z"2.
(3.42)
Если же Г іФ 1, но Өг = 0, или л, нули становятся дей­
ствительными. Они не образуют комплексно сопряженных пар,
п
Фиг. 3.6. Импульсная характеристика базового блока с нулями, изображен
ными на фиг. 3.5.
N=19
N=19
Фиг. 3.7. Положение нулей типичных фильтров с линейной фазовой ха
рактеристикой.
поэтому базовый множитель для этого случая будет равен
я, м = (1
!*-■> ( 1
1
п
1 =b ( r i + - ^ ) z~l + 2' 2-
(3-43)
соответствует
Здесь знак -+* соответствует Ө*
я , а знак
Өг = 0.
Наконец, при г»
1 и Ө<
0 (или я) нули будут находиться
в точке z = + 1 или в точке z = — 1 . в этих случаях ооа комплекс­
но сопряженных нуля совпадают друг с другом и со своими зер­
кальными отображениями. Базовый множитель для этих слу­
чаев равен
(3.44)
H,tz)
db
Множители вида (3.44) имеют важное значение, поскольку с их
помощью описываются цепи с задержками на половину интервала
Фильтры с характ ерист иками конечной длины
ЮЗ
дискретизации. Следовательно, фильтр с четной длиной импульснои характеристики N должен иметь нечетное число множителей
вида (3/44)^ тогда как фильтр с нечетным 1V — четное число таких
множителеи (либо ни одного).
о»™Vй* ^ИГ’ ^ иллюстрируется типичное расположение нулей
КИХ-фильтров с линейной фазой для каждого из четырех видов
фильтров, рассмотренных в разд. 3.5. Показанное расположение
нулей соответствует выводам настоящего раздела.
3.7. Методы расчета КИХ-фильтров
с линейными фазами
Ф
фа
V
^
' ------ —
VMl AUi 1UV1V/ДШ
частотной выборки, а также методы расчета оптимальных (по
Чебышеву) фильтров. Очень трудно рекомендовать какой-либо один
из этих методов, поскольку в каждом конкретном случае выбор
метода расчета определяется слишком большим числом факто­
ров. Поэтому ниже будут рассмотрены преимущества и недостатки
каждого из этих методов с тем, чтобы проектировщик сам смог
решить, какой метод лучше всего использовать, чтобы удовле­
творить заданным требованиям.
В гл. 12 и 13 читателю будет представлена возможность
познакомиться с несколькими практическими примерами приме­
нения фильтров различных типов.
3.8. Первый метод расчета — метод взвешивания
ная характеристика любого цифрового фи
тра И
является периодической функцией частоты, ее мои
представить рядом Фурье:
СЮ
Н (&“>)=
2 j һ(п)е~і°>п,
(3 . 45)
71= —оо
где
2п
hW “ 4 г j Н $
О
* ) da>•
(3.46)
Видно, что коэффициенты Фурье Һ (п ) совпадают с коэффициен­
тами импульсной характеристики цифрового фильтра. Использо­
вание соотношения (3.45) для проектирования КИХ-фильтров
связано с двумя трудностями. Во-первых, импульсная харак­
теристика фильтра имеет бесконечную длину, поскольку суммироание в (d.45) производится в бесконечных пределах. Во-вторых,
^04
___
_______ jT*л
и в л
3
ттшттт^шшшшштттmm
фильтр физически нереализуем, так как импульсная характери­
стика начинается в — оо, т. е. никакая конечная задержка не
сделает фильтр физически реализуемым. Итак, фильтр, рассчиты­
ваемый на основе представления функции Н (еЩ рядом Фурье,
оказывается физически нереализуемым БИХ-фильтром.
Один из возможных методов получения КИХ-фильтра, аппрок­
симирующего заданную функцию Н (е30>), заключается в усече­
нии бесконечного ряда Фурье (3.45) за га = ± М . Однако простое
усечение ряда приводит к хорошо известному явлению Гиббса,
которое проявляется в виде выбросов и пульсаций определенно­
го уровня до и после точки разрыва в аппроксимируемой
частотной характеристике. Так, например, при аппроксимации
стандартных фильтров типа идеального фильтра нижних частот
или полосового фильтра максимальная амплитуда пульсаций
частотной характеристики составляет около 9 % и не уменьшается
с увеличением длины импульсной характеристики, т. е. учет все
большего числа членов ряда Фурье не приводит к уменьшению
максимальной амплитуды пульсаций. Вместо этого по мере увели­
чения N уменьшается ширина выброса. Поскольку простое усе­
чение ряда (3.45) не приводит к приемлемой аппроксимации иде­
ального фильтра нижних частот (к чему необходимо стремиться),
этот метод непригоден для проектирования КИХ-фильтров.
Лучшие результаты дает метод проектирования КИХ-фильтров, основанный на использовании весовой последовательности
конечной длины w (/г), называемой окном, для модификации
коэффициентов Фурье Һ (га) в формуле (3.45) с тем, чтобы управлять
сходимостью ряда Фурье. Метод взвешивания иллюстрируется
на фиг. 3.8. Сверху показаны заданная периодическая частотная
характеристика Н (е3®) и ее коэффициенты Ф урье {Һ (я)}. Ниже
изображена весовая последовательность конечной длины w (га)
и ее преобразование Фурье W (е3“). Д ля большинства приемлемых
окон функция W (е3“) имеет главный лепесток, содержащий почти
всю энергию окна, и боковые лепестки, которые обычно быстро
затухают. Чтобы получить КИХ-аппроксимацию функции Н (езш),
формируется последовательность h (га) = h (га) -w (га), в] точности
равная нулю за пределами интервала — | щ | | га Щ М . Третья
пара графиков на фиг. 3.8 представляет последовательность Һ (п)
и ее преобразование Фурье Н (е7®), равное, очевидно, круговой
свертке функций Н (е**0) и W (е*®), поскольку Һ (п) является про­
изведением Һ (п) и и? (л). Н аконец, внизу на фиг. 3.8 приведена
физически реализуемая последовательность g (п), которая равна
задержанной последовательности Һ (м) и может быть использована
в качестве искомой импульсной характеристики фильтра.
Н а простом примере, иллюстрируемом на фиг. 3.8, можно про­
следить влияние операции взвешивания коэффициентов Фурье
Фильтры с характ ерист иками конечной длины
СО
105
п
w (en
w(n)
(JO
-ооооо
-Af
ооооо- П
М
Н(е}(°)
со
п
Фиг. 3.8. Иллюстрация метода взвешивания.
фильтра на его частотную характеристику. Прежде всего по обе
стороны от точек разрыва заданной функции Н
появляются
переходные полосы. Ясно, что поскольку результирующая частот­
ная характеристика фильтра равна круговой свертке идеаль­
ной частотной характеристики
то ирина переходных полос зависит от ширины главного лепестфункции W (еі(Л). Кроме того, на всех частотах © возникают
о ибки аппроксимации, имеющие вид пульсаций частотной
фун
W
наконец,
фильтры
Глава 3
106
в каком смысле не являются оптимальными (даже если окна и
удовлетворяют тому или иному критерию оптимальности), посколь­
ку их частотные характеристики рассчитываются через свертку.
После общего рассмотрения метода взвешивания возникают два
вопроса: какими свойствами должны обладать окна и насколько
точно они могут быть реализованы на практике? Ответ на пер­
вый вопрос относительно прост. Ж елательно, чтобы окно обладало
следующими свойствами:
u
| ЯННЯ
1. Ширина главного лепестка частотной характеристики окна,
содержащего по возможности большую часть общей энергии,
должна быть малой.
й'с
?
2. Энергия в боковых лепестках частотной характеристики
окна должна быстро уменьшаться при приближении со к л.
Было^предложено много окон, аппроксимирующих заданные
характеристики. В последующих разделах будут рассмотрены три
окна, а именно прямоугольное окно, «обобщенное» окно Хэм­
минга и окно Кайзера. Эти окна обладают свойствами всех возмож­
ных видов окон и позволяют достаточно хорош о понять преиму­
щества и недостатки метода взвешивания.
3 .9 . Прямоугольное окно
дг-точечное прямоугольное окно, соответствующее простому
усечению (без модификации) ряда Ф урье, описывается весовой
функцией
Л
ғ
7"
Я | 11Щ Я * 2 ' ■
0 при других п.
(3.47)
V
(Здесь и в следующих разделах, посвященных окнам, предпола­
гается, что N — нечетное. С помощью простой модификации_аналогичные результаты могут быть получены
полагается также, что последовательность окна имеет нулевую
задерж ку.) Частотная характеристика прямоугольного окна опи­
сывается соотношением
Щ ІШ І
CN-D/2
W R (е^ ) =
еШ п
В
n=-(JV—1)/2
gi<o{N/2 ) _ е- іоаСЛГ/2)
(3.48)
еі(ш/2) _ е—j(to/2)
у,
WRЩ
'
i Ш (aN/2)
sin (co/2) •
(3.49)
I
График частотной характеристики (3.49) представлен на фиг. 3.9
для случая N = 25.
л.
Фильтры с характ ерист иками конечной длины
^
--------------------------------------------------- — ------- ■
в Я 1
ft)7
&
Фиг. 3.9. Частотная характеристика прямоугольного окна.
3.10.
«Обобщенное» окно Хэмминга
Второе из рассматриваемых окон, называемое обобщенным
окном Хэмминга, имеет вид
wH (п)
а + (1 — a )c o s
2лп \
/ TV— 1 \ и
—(
п
Й N —1
(3.50)
0 при других п,
причем а лежит в пределах 0 < a < 1. Случай a = 0,54 соот­
ветствует окну Ханна1), случай a = 0,54 — окну Хэмминга2).
Частотную характеристику рассматриваемого окна легко по­
лучить, если учесть, что оно может быть представлено в випе пппфор
(3.50), но для всех п, т. е.
и>я(л) = м>н(и)[а + ( 1 — a) cos
(3.51)
где wR (п) — прямоугольное окно, определяемое формулой (3. 47).
Следовательно, частотная характеристика обобщенного окна
Хэмминга равна круговой свертке частотной характеристики пря­
моугольного окна W R (е7®) с последовательностью импульсов и
может быть записана в виде
W H («#•)
J gj (е*°) * [ a u 0(со) +
щ ( со
2,1
N
*) Часто это окно называют хэннингом (hanning).— Прим. ред.
) Заметим, что в литературе по цифровой обработке сигналов часто
путают окна Хэмминга и хэннинг.
Глава 3
Фиг. 3.10. Частотная характеристика окна Хэмминга при а = 0,54.
откуда
•:?.*к Ж
./
^ н И
= ^
я
И
+
^
і
=
е
[ ^
1
туя [ е, ( “ + т ) ; ] .
./
+
^
,
2я
2Я \
* '] +
|я | I в^нН^І
(3.53)
На фиг. 3.10 наверху изображены графики трех компонент ха­
рактеристики W H (eJ<D) , а внизу — результирующ ая частотная
характеристика (здесь принято а = 0 ,5 4 и N щ 25). Создается
впечатление, что частотная характеристика окна Хэмминга не
имеет пульсаций на частотах выше со = ЩШЗщ однако на самом
деле это не так. Пульсации настолько малы, что при линейной
шкале на фиг. 3.10 они не видны. И з сравнения фиг. 3.9 и 3.10
видно, что ширина главного лепестка частотной характеристики
окна Хэмминга в два раза больше, чем для прямоугольного окна.
Однако уровень боковых лепестков в случае окна Хэмминга зна­
чительно ниже, чем у характеристики прямоугольного окна. При
а = 0,54, т. е. для обычного окна Хэмминга, 99,96% общей энер­
гии спектра содержится в главном лепестке, а максимумы боко­
вых лепестков на 40 дБ ниже главного максимума. В отличие от
Фильтры с характ ерист иками конечной длины
109
окна Хэмминга максимум боковых лепестков в спектре прямо­
угольного окна ниже главного максимума всего на 14 дБ.
Из фиг. 3.10 хорошо видно, каким образом при использовании
окна Хэмминга достигается подавление боковых лепестков при
одновременном расширении главного лепестка: боковые лепестки
функций W д [е3(®±2я/дг)] находятся в противофазе с боковы­
ми лепестками W R (eia>), поэтому общий уровень боковых лепест­
ков значительно уменьшается. В то же время пропорционально
увеличивается ширина главного лепестка частотной характери­
стики. Ниже будет показано, что при расчете фильтра нижних ча­
стот расширение главного лепестка соответствует расширению пе­
реходной полосы между полосами пропускания и непропускания,
тогда как уменьшение уровня боковых лепестков соответствует
меньшим пульсациям в полосе пропускания и лучшему подавлению
в полосе непропускания фильтра.
3.11. Окно Кайзера
Задача расчета хороших окон фактически сводится к мате­
матической задаче отыскания ограниченных во времени функций,
преобразования Фурье которых наилучшим образом аппроксими­
руют функции, ограниченные по частоте, т. е. имеют минимальную
энергию за пределами заданного интервала частот. При решении
этой задачи в замкнутой форме для непрерывных функций времени
был введен класс так называемых вытянутых сфероидальных вол­
новых функций. Эти функции имеют достаточно сложный вид.
Поэтому Кайзер в качестве наилучшего окна предложил относи­
тельно простую аппроксимацию этих функций. Эта аппроксима­
ция, названная окном Кайзера, записывается в виде
wK (n)
/о(Р у
1 -[2 д /(ІУ -1 )]2 )
/о(Р)
(3.54)
где I — константа, определяющая компромисс между макси­
мальным уровнем боковых лепестков и шириной главного лепестка
(или долей общей энергии в главном лепестке) частотной характе­
ристики окна, а /0 (х) — функция Бесселя нулевого порядка.
Как именно величина {3 оказывает влияние на этот компромисс,
будет проиллюстрировано ниже с помощью табл. 3. 1 .
Частотная характеристика дискретного окна Кайзера в замк­
нутой форме не получена, но Кайзер показал, что для непрерыв­
ной функции окна частотная характеристика пропорциональна
sin [р у (©/©«)*— 1 ]
V (СО/(Оя)а— 1
Глава 3
НО
Таблица 3.1
3
D
Пульсация в полосе
пропускания, дБ
2,120
3,384
4,538
5,658
6,764
7,865
8,960
10,056
1,50
2,23
2,93
3,62
4,32
5,0
5,7
6,4
± 0,27
±0,0864
±0,0274
±0,00868
±0,00275
±0,000868
±0,000275
±0,000087
Пульсация в полосе
непропускания, дБ
—30
—40
—50
—60
—70
—80
—90
—100
ь
(Предоставлено Кайзером, Лаборатория фирмы Bell.)
где величина сор приблизительно равна ширине главного лепест­
ка частотной характеристики. Поскольку нельзя найти аналитиче­
ского выражения для частотной характеристики окна Кайзера,
для иллюстрации его свойств будут использованы графики ча­
стотной характеристики.
% ^
-ЧЩ1|
Окно Кайзера является по существу оптимальным окном в том
смысле, что оно представляет последовательность конечной длины,
которая имеет минимум энергии спектра за пределами некоторой
заданной частоты. Еще одним оптимальным окном является окно
Дольфа—Чебышева, обеспечивающее минимальную ширину глав­
ного лепестка частотной характеристики при фиксированном уров­
не боковых лепестков. Все боковые лепестки в спектре этого окна
имеют одинаковый уровень. Однако, как уже говорилось, ни одно
из этих окон не позволяет получить оптимальную в минимаксном
смысле аппроксимацию произвольной идеальной частотной харак­
теристики, поскольку в действительности характеристика фильтра
является результатом свертки частотных характеристик окна
и идеального фильтра. Таким образом, несмотря на наличие опти­
мальных окон, оптимальных фильтров, которые рассчитывались
бы с их помощью, не существует.
j. j
3.12. Примеры фильтров нижних частот
с различными окнами
В данном разделе приводится практический пример использо­
вания окон для расчета идеального фильтра нижних частот. Бу­
дут рассмотрены три окна: прямоугольное, Хэмминга и Кайзера.
На фиг. 3.11 3.16 изображены графики этих трех окон и их
частотные характеристики для случая N = 257 (параметр Р для
Фильтры с характеристиками конечной длины
1Ц
Прямоугольное окно
Фиг. 3.11. 257-точечное прямоугольное окно.
окна Кайзера равен 5,658). На фиг. 3.11, 3.13 и 3.15 представле­
ны импульсные характеристики, а на фиг. 3. 12 , 3.14 и 3 .1 6 _
частотные характеристики1). На фиг. 3.12 видно, что в соответст­
вии с изложенным выше максимальный уровень боковых лепестков
частотной характеристики равен для прямоугольного окна 0,217
(или 13,27 дБ в логарифмическом масштабе), а максимумы бо­
ковых лепестков медленно понижаются до уровня 0,004 (или до
48 дБ) на частоте, равной половине частоты дискретизации.
Для сравнения, как видно из фиг. 3.14, максимальный уровень
боковых лепестков частотной характеристики окна Хэмминга
равен 0,0074 (или —42,7 дБ), а огибающая максимумов боковых
лепестков падает до уровня около 0,000059 (или —65 дБ) на
частоте, равной половине частоты дискретизации. Однако ширина
главного лепестка частотной характеристики окна Хэмминга
вдвое больше ширины главного лепестка частотной характеристи­
ки прямоугольного окна. Таким образом, при аппроксимации раз­
рывов частотной характеристики идеального фильтра (как показа­
но ниже на примере фильтра нижних частот) с использованием окна
Хэмминга ширина переходной полосы у точки разрыва будет вдвое
больше, чем для прямоугольного окна. Для окна Кайзера (фиг. 3.16)
уровень наибольшего бокового лепестка составляет 0,00133 (или
—57 дБ), а огибающая максимумов боковых лепестков падает до
уровня около 0,00002 (или до —94 дБ) на частоте, вдвое меньшей
частоты дискретизации. Однако такой низкий уровень боковых
лепестков достигается за счет расширения главного лепестка
частотной характеристики этого окна почти в три раза по сравне­
нию со случаем прямоугольного окна.
На последующих нескольких рисунках изображены характери­
стики фильтров нижних частот, рассчитанных с использованием
*) Имеющая место модуляция минимумов (см., например, фиг. 3.12)
связана с небольшими погрешностями расчета нулей функции, и ее можно
не учитывать.
Глава 3
I"
£:
3
Ч аст от а
Фиг. 3.12. Частотная характеристика 257-точечного прямоугольного окнп.
1,0
Окно Хэмминга
0,8
0,6
128
Номера отсчетов
Фиг. 3.13. 257-точечное окно Хэмминга
Фильтры с характеристиками конечной длины
Частота
3.14. Частотная характеристика 257-точечного окна Хэмминга.
Окно Кайзера
128
Номера отсчетов
Фиг. 3.15. 257-точечное окно Кайзера.
113
Ч аст от а,
Фиг. 3.16. Частотная характеристика окна Кайзера.
каждого из трех описанных окон. Н а фиг. 3 .1 7 , 3.19 и 3.21 пока­
заны результирующие импульсные и переходны е характеристики,
а на фиг. 3.18, 3.20 и 3.22 — полученные частотные характеристи­
ки фильтра. Проектируемый идеальный фильтр нижних частот
имеет коэффициенты ряда Ф урье (т. е. отсчеты импульсной
характеристики) вида
^
Һ (п) = —~
f
---ОО < ГС< СЮ
(3.55)
(во всех трех примерах F c = ОД245). Н а фиг. 3.17 представлен
результат умножения Һ (п) на прямоугольное окно. Видно, что
характерный вид импульсной характеристики фильтра (3.55)
сохранился. Использование окон Хэмминга и К айзера (фиг. 3.19
и 3.21) приводит к ослаблению далеко отстоящих членов Һ (п).
Н а фиг. 3.18 показана частотная характеристика фильтра нижних
Фильтры с характ ерист икам и конечной длины
115
Фиг. 3.17. Импульсная и переходная характеристики фильтра нижних
частот с прямоугольным окном.
частот для случая прямоугольного окна. Отчетливо наблюдается
эффект Гиббса, причем максимум первого бокового лепестка равен
/ л / л ) '
Переходная полоса имеет ширину 0,9375/iV
~ “57) и является в данном случае очень узкой. Однако
из-за больших пульсаций, связанных с явлением Гиббса, для мно­
гих приложений этот фильтр непригоден. На фиг. 3.20 показана
частотная характеристика фильтра нижних частот с окном Хэм­
минга. Для этого фильтра максимум амплитуды пульсаций в по­
лосе пропускания составляет около 0,0018, а в полосе непропусq o -іос/л?
И — *?^»6 дБ). Ширина переходной полосы рав­
на
т. е. она более чем в три раза больше ширины пере­
ходной полосы для прямоугольного окна. Наконец, для фильтра
нижних
частот
с
окном
Кайзера
(фиг.
3.22)
максимум
амплитуды
П
Л
Л
Т
Х
.Р
апптж
«
тт/ч
_____
________
_
4
0
пульсациі в полосах пропускания и непропускания составляет
0 , 0001, 5WJ5
80 дБ (для обеих полос), а ширина переходно ПОлосы равна 5,06/ЛГ.
8*
.:ш & т ьш л . .
і
т*т*& 3
к ,
■ЙМ мт
w
nw
f
s
up
кац
м
п
рч
м
—
Щ
ттлр*
и
л
и
»
ф » . 1 1 1 Чт ш гт ш
-1. МЫ* ОК«№**
:feА-^:
Приведенные примеры иокааымют, что для удучшене я аяпрокгимаиии ииаиааиатт фильтрй нижа их частот приходится увеаичвчтойы
уменьшить
МЙМЯ
м
н
у
переходной
ПОЛОСЫ
*
т
м
ть
'нвчение
ошибки
аппроксимации
(пульсаций).
Да*
окна
малый* >
Кайаера. как уши было (М И М выше, пар»метр 0 позволяет рая*
м бо іч— у находить м а п р м в в а а м рта— т яяя — р а » —J « e »
м і м о е й ДҒ и н і м ш м ы м а уроиии пульсаций. В та о л . Ц
■ ж м п ш і і і м рм ультш п»**** значения D — S F * и п>льяварвауеяаяшя
(*
ЖЯЩД**1
1
®
ft
я
пшіоеаж
яр&нусяаши
Я[_____________
_
еа> I_________ |
s
m
r
p
t
f
M
i
M
i
ттртрышттгй
Ш
|
нолученш вутюй
X
Д
Г
являются
достаточно
хорошим
приблвКайзера ■ при бол ьптв
Фильтры с характеристиками конечной длины
117
Фиг. 3.19. Импульсная п переходная характеристики фильтра нпжппх
частот с окном Хэмминга.*1
3.13. Особенности использования метода взвешивания
Метод взвешивания представляется весьма удобным для проек­
тирования КИХ-фильтров, однако он обладает некоторыми осо­
бенностями, которые во многих случаях препятствуют подменеТГЕГТЛ лилп --^
ТТпАчттл
_____
*
-w ^w—
^
коэф
фпциентов ряда Фурье:
2п
Һ (п)
(3.56)
2п
О
Когда характеристика Н (е>“) имеет сложный вид или не может
быть просто преобразована в замкнутое математическое выраже­
ние (а иногда и в случае, когда это возможно), формула (3.56)
зачастую оказывается" громоздкой или неудобной для интегри­
рования. Не имея явного выражения для вычисления невзвешенных коэффициентов, вообще трудно говорить об использовании
окон.
п а
^
т іа
1
*18
Глава 3
ФНЧ с окном Хэмминга
N •257
/
0,3
Частота
Фиг. 3.20. Частотная характеристика фильтра нижних частот с окном
Хэмминга.
Еще одна особенность метода взвешивания заключается в от­
сутствии достаточной гибкости при выполнении проектирования.
Например, при расчете фильтра нижних частот трудно, как пра­
вило, точно определить граничную частоту полосы пропускания,
поскольку окно «размывает» разрыв идеальной характеристики.
На фиг. 3.23 показано, каким образом окно размывает частотную
характеристику идеального фильтра нижних частот Н (е’а) с ча­
стотой среза Fc. Видно, что результирующая характеристика
имеет две граничные частоты Ғг и Ғ 2 для полос пропускания
и непропускания соответственно. И хотя при разработке фильтров
типа идеального фильтра нижних частот эффекты размытия уда­
ется скомпенсировать, для фильтров с более сложными характе­
ристиками этого достичь весьма непросто.
Фильтры с характеристиками конечной длины
Ц9
Фиг. 3.21. Импульсная и переходная характеристики фильтра нижних
частот с окном Кайзера.
3.14, Несколько практических приемов
использования окон
Ограничения метода взвешивания, рассмотренные в разд. 3.13,
не препятствуют его широкому практическому применению. Обыч­
но в каждом конкретном случае удается получить частное реше­
ние, однако всегда необходимо иметь в виду, что ограничения су­
ществуют, и понимать характер тех приближений, которые при­
ходится делать, чтобы их преодолеть.
Чтооы определить невзвешениые коэффициенты Фурье в том
случае, когда аналитическое выражение для һ(п) громоздко или
неудооно для интегрирования, интеграл можно аппроксимиро­
вать суммой. Вместо вычисления Һ (тг) путем интегрирования на
одном периоде функции Н (е*®) е*®п найдем приближенную по­
следовательность Һ (п) по формуле
~
м -1
һ(п) = —
2
я [еЛ2л/м)Ь] еі( „ім)ъП'
2
(3 .5 7 )
120
Глава 3
ФНЧ с окном Кайзера
Амплитуда, дБ
N=257
Частота
Фиг. 3.22. Частотная характеристика фильтра нижних частот с окном Кай
зера.
0
2 яҒс
а>
0
2яҒ, 2яҒг
со
Фиг 3.23. Эффект размытия частотной характеристики за счет окна
Фильтры с характеристиками конечной длины
121
Здесі, значения Я (е>'<“) е>Шп рассчитываются в М точках со* =
= 2пк/М. Ясно, что значения (3.57) можно эффективно вычислять
с помощью М-точечного обратного ДПФ последовательности
Я {к) = Я [еЯ2я/м)ь] Поскольку формула (3.57) является дискре­
тизованным аналогом формулы (3.56), легко показать, что
значения й (п) связаны со значениями Һ (п) формулой наложения
ОО
Һ (п)
2
k = —oo
Һ(п
кМ).
(3.58)
Отсюда следует, что с ростом М различие между h(n) и h(n)
уменьшается, особенно вблизи п = 0. Поскольку окно выделяет
только N точек последовательности Һ (и), должно выполняться
условие М У N .
т
Целесообразно остановиться на простом, но эффективном ал­
горитме для вычисления функции /0 (я). Эту функцию можно
разложить в степенной ряд
ОО
h=1
в™ я т ь (с заданной точностью) по следующей подпрограмме
на ФОРТРАНе (представленной Кайзером):
SUBROUTINE INO (X, N)
С
X BETWEEN О. AND 20.
Y = Х/2.
Т = 1. Е-08
Е = 1.
DE = 1.
DO I 1 1.25
DE =I DE*Y/FLOAT (1)
SDE = DE**2
E = E + SDE
IF (E*T-SDE) 1,1,2
1 CONTINUE
2 X= E
N= I
RETURN
END
VL ' И
ЧЛеН°В“РИ*Ш Я
ЭТпИг П0Д??0Грамме используются пять членов разложения пои
в опеРаторе обращения к
подпрограмме указывает на число членов, необходимое для вы­
числения 10 (х) с заданной точностью].
1
9
,
0
122
Глава 3
3.15. Дополнительные примеры фильтров,
рассчитанных методом взвешивания
*
В этом разделе приведены примеры, иллюстрирующие несколь­
ко типичных КИХ-фильтров, рассчитанных методом взвешивания.
На Лиг. 3 .2 4 - 3.26 представлены амплитудные характеристики
I НИ.......
фильтра
вого фильтра и еще одного фильтра нижних частот. Фильтр верх­
них частот (фиг. 3.24) был рассчитан с использованием окна Ханна
1а = 0,5 в формуле (3.50)] при длине импульсной характеристики
в 45 отсчетов и частоте среза идеальной характеристики, равной
0,35. Максимум пульсаций в полосе пропускания составляет
0,00635, а в полосе непропускания также 0,00635 (или —43,94 дБ^).
Переходная полоса равна 0,07233 (или 3,25 IN). Полосовой
фильтр (фиг. 3.25) был спроектирован с использованием окна
■ при длине импульснойу характеристики N
Н =46
3,38
равных
0,27
и
нижнеи
частотах
среза,
и идеальных верхней
I пульсаций в полосе пропускания составляет
0,15. Максимум
0,0078, в нижней полосе непропускания он равен 0,00792 (или
—42 дБ), а в верхней полосе непропускания составляет 0,00909
(или —40,8 дБ). В последнем примере (фиг. 3.26) рассмотрен
фильтр нижних частот, рассчитанный с использованием окна Дольфильтра
характеристик
Длина
фа
Нормированная частота
Фиг. 3.24. Частотная характеристика фильтра верхних частот с окном
Ханна.
Фильтры с характеристиками конечной длины
0,4
Q5
Нормированная частота
Фиг. 3.25. Частотная характеристика полосового фильтра с окном Кайзера
0,1
0,2
0.3
0,4
Нормированная частота
Фиг. 3.26. Частотная "^характеристика фильтра нижних частот с окном
Дольфа — Чебышева.
N равна 46 отсчетам, а идеальная частота среза равна 0,25. Мак­
симум пульсаций в полосе пропускания составляет 0,00688 а в
полосе непропускания он равен 0,0054 (или - 4 5 ,3 дБ). Переход­
ная полоса фильтра равна 0,065 (или 2,97 IN).
Приведенные примеры являются результатом аналитического
вычисления бесконечных импульсных характеристик идеальных
фильтров и последующей весовой обработки с применением соот­
ветствующих окон. Одним из главных преимуществ метода взве-
124
Глава 3
шивания является относительная простота расчета импульсных
характеристик с минимальным числом вычислительных операций.
Основной недостаток метода состоит в том, что получаемые КИХфильтры не удовлетворяют всем известным критериям оптималь­
ности и, следовательно, в большинстве случаев они могут быть су­
щественно улучшены.
3.16. Общая характеристика окон
Общий подход к проектированию КИХ-фильтров с применением
окон оказался вполне приемлемым. Ему свойственны определен­
ные достоинства и недостатки. Выше были рассмотрены прямо­
угольное окно, окно Хэмминга и окно Кайзера. Существуют и дру­
гие, хорошо известные и широко используемые окна, такие, как
окно Дольфа—Чебышева, треугольное окно и окно Блэкмана.
Последнее представляет собой обобщенное окно Хэмминга, но
с пятью членами вместо трех. Мы особенно не пытались составить
каталог всех этих окон, поскольку методы, обсуждаемые ниже,
в большинстве приложений оказываются предпочтительнее метода
взвешивания. Главная причина относительно успешного приме­
нения метода взвешивания заключается в его простоте и легко­
сти использования, а также в том, что почти всегда можно найти
замкнутые выражения для вычисления коэффициентов окна.
3.17. Второй метод проектирования — метод
частотной выборки
К И Х-фильтр может быть однозначно задан как коэффициента­
ми импульсной характеристики {Һ (тг)}, так и коэффициентами
ДПФ импульсной характеристики {Н (к)}. Напомним, что обе
эти последовательности связаны соотношениями
N-1
Н (к) = 2
h ( n ) e - № n'N>nh, ДПФ,
(3.59)
71=0
N-1
Щ
2 Я (к) ei(2n/JV)nfc, ОДПФ.
fc=0
(3.60)
Кроме того, известно, что коэффициенты ДПФ КИХ-последовательности, равные Я (к), можно рассматривать как значения
z-преобразования импульсной характеристики фильтра, найден­
ные в N равноотстоящих точках на единичной окружности, т. е.
Я (к) = Я (z) |
j(2n/jv)h*
(3.61)
Фильтры с характеристиками конечной длины
° бразом’ ^-преобразование импульсной характеристики
КИА-фильтра можно легко выразить через коэффициенты ДПФ его
импульснои характеристики, если подставить (3.60) в вьшажение для z-преобразования:
р
iV-l
N- i
jV -i
1
H(z)
2 h ( n ) z ~ " = 2 [ 4 - 2 H(k)eiW/mnk ] r .
(3.62)
n==0
n=0
fe=o
Меняя порядок суммирования и суммируя по /г, получим
N- 1
N- 1
H it)
fe=0
Поскольку
(3.63)
7 1 = 0
ft=0
1, то соотношение (3.63) принимает вид
N- 1
Я (z)
N
ЯИ
1 — z“V(2n/iV)fe ’
(3.64)
ёо
что и является искомым результатом.
Из соотношения (3.64) следует, что для аппроксимации произнепрерывной частотной характеристики следует произве­
сти ее дискретизацию по частоте в N равноотстоящих точках на
единичнои окружности (взять частотную выборку) и найти не­
прерывную частотную характеристику, интерполируя отсчеты чахарактерис£ики- В этом случае ошибка аппроксимации на
частотах взятия выборки будет в точности равна нулю и иметь ко­
нечную величину в промежуточных точках. Чем более гладкой
является аппроксимируемая частотная характеристика, тем мень­
ше ошибка аппроксимации между частотными отсчетами. Пример
такой аппроксимации показан на фиг. 3.27, а и б. На фиг 3 27 а
изображена заданная частотная характеристика (сплошная линия)
и выоорка из частотных отсчетов (точки). На фиг. 3.27 б ппепставлен результат непрерывной интерполяции частотных отсчетов
иписанную процедуру можно было бы использовать непосредственяо для расчета КИХ-фильтров, однако для улутаеш я к и ества аппроксимации, т. е. для уменьшения ошибки аппроксима­
ции, часть частотных отсчетов целесообразно сделать независимы• Значения этих независимых переменных обычно
рассчитывают методами оптимизации на вычислительной машине
таким образом, чтобы минимизировать некоторую простую функцию
с и м я п и и V Р° КСимации (например, наибольшую ошибку аппрокимации). В качестве независимых переменных можно выбрать, например, частотные отсчеты, расположенные в переходной полосе
п п п р т г р П° Л0Сами’ BHJ? pa К0Т0РЫХ частотная характеристика
определена (т. е. в случае фильтра нижних частот между полоса­
ми пропускания и непропускания).
силоса
Глава 3
126
а
//
6
Фиг. 3.27» Иллюстрация метода частотной выборки.
Чтобы понять, почему при такой методике оптимизации часто
лишь несколько из N частотных отсчетов могут существенно умень­
шить ошибку аппроксимации, необходимо вычислить значения
Н (z) на единичной окружности. Получаемая при этом интерполя­
ционная формула для расчета частотной характеристики фильтра
в функции непрерывной частоты имеет вид
Я
ШЁ
e ~
j< D (JV -
'
N
1 > / 2
VІ
h=0
(*) е~і(яһ/ІУ) sin (шЛГ/2)
sin (co/2— nk/N)
линейной комбинацие
S ((о к) = е - і( я һ /л т) ___з іп (юЛГ/ 2)
' ’ '
sin (со/2—я k/N)
e-}(nh/N) sin
(<Д/2 я k/N)]
sin (co/2—nk/N)
(3.65)
фильтра
функц
/о
(O.OO)
со значениями частотных отсчетов H (к) в качестве коэффициен­
тов. Таким образом, вклад каждого частотного отсчета в общую
частотную характеристику пропорционален его значению Н (к),
умноженному на функцию sin (Jv co/2)/sin (о>/2), смещаемую по
частоте на л k/N. Оказалось, что интерполирующие функции [т. е.
sin (iVW2)/sin (©/2)], связанные с частотными отсчетами из пере­
ходной полосы, обеспечивают хорошее подавление пульсаций
в примыкающих частотных полосах. Таким образом, оптимизируя
значения только тех незаданных частотных отсчетов, которые ле­
жат в предварительно выбранных переходных полосах, можно по­
лучить фильтры с очень хорошими характеристиками.
У 8Мb Юр Ц £ £Шр0Щfltgjpfrr Я»ц я
U
II Mii
127
3.18. Решение задачи оптимизации
___ Ч^ ы кайти оптимальные значения незада иных частотных отстгго», нужно составить и решить систему уравнений, математиче­
ски описывающих задачу оптимизации. Вместо того чтобы с р а з у
рассматривать эту задачу в общем виде, за пишем необходимые
уравнения для простого примера, а затем полученные результаты
обобщим на произвольный случай.
Фиг*
иллюстрируется типичный способ задания фи iьт|f при расчете его методом частотной выборки. Частотная харак­
теристика фильтра задана » полосах I и 2 и не задана ■ переходной
волосе между ними. Сплошной кривой на фиг. 3.28 представлена
заданная частотная характеристика Й («*»), а точка ми отмечены частотные отсчеты. Обозначим для удобства частотные отсче­
ты в переходной полосе через Г, и Г* Именно эти отсчеты необ­
ходимо оптимизировать.
Па фиг. 3.28 показана только половина частотных отсчетов
таи ка к, чтобы импульсная характеристика фильтра была дейст­
вительной, последовательность частотных отсчетов Н (к) должна
■меть относительно своего центра комплексно сопряженную сим­
метрию. Һроме того, чтобы фильтр обладал строго линейной фааоо
характеристикой, на значения {Н (к) } накладываются допол­
нительные ограничения. Каковы именно эти Дополнительные огра­
ничения будет рассмотрено в разд. 3.21 и 3.22. Пока предположим,
что Н (#*») можно выразить в виде
КМ
Я (# * )
«-МЛГ-П/2 2 Н (к) S (со, к)
м
e ~}a{N - i
(*/•),
(3.67)
(3.68)
где S (©, к) — результирующая частотна я интерполирующа я
функция, a (ft М 4- 1) равно числу частотных отсчетов, которые
Н(еП
I
Полоса 1
Tf
нал пслосаі
Полоса 2
ФНГ* 3 28 Задание Ф я ф ? а при расчете его методом частотной выборки.
Глава 3
128
требуется определить. Из формул (3.67) и (3.68) следует, что
км
(3.69)
н * | Я Я 2 н (k) S (со, к).
к=О
Ниже при составлении уравнений будет использована ^действи­
тельная функция # * ( e i(D), поскольку множитель с линейным изг
менением фазы в (3.68) при проектировании фильтра можно
не учитывать.
Для примера на фиг. 3.28 функцию Я* (еза>) можно представить
в более простой форме
(со) -f- Т іАі (со) 4" Т 2А 2 (со).
Н* (е&)
(3.70)
Здесь В ( со) учитывает вклад в Н* (ej(0) всех задаваемых частот­
ных отсчетов, а
(со) и 4 , ( ® ) “ вклады от двух незаданных
частотных отсчетов с амплитудами
и. Т 2.
Чтобы найти эти незаданные частотные отсчеты, необходимо
для частот в пределах полос 1 и 2 составить систему ограничи­
вающих уравнений. Типичными ограничениями для такой системы
уравнений могут быть следующие:
1 щ * (gjoo)_н (eit0) } ^ е для со в полосе 1.
2. Минимизируется максимум* \Н* (е;Ч°) — Я (eit0) | для со в полосе 2 подбором Тх и Т 2.
Другой
Здесь е
раничений заключается в следующем:
Минимизируется максимум \W (<
полосах 1 и 2 подбором Тх и Т 2.
известная весовая функция ошибки аппрок­
Здесь W (е}ш)
симации частотной характеристики
формализованы, если
с помощью соотношения (3.70) записать каждое из этих ограниче­
ний для большого числа частот в пределах заданного диапазона.
Так, например, из первой системы ограничений вытекают следую­
щие неравенства:
*££
—
’' ' Г
ЯП
ЯП/Ш
1ISHI в
| ■ І І И
Р Р Д С
Г1 Г 1 I J X U
—------ “
Л
------------------
А
Л.
Щ
М1Цц+gSj|WЯ—В(com)IЯ (е5(0т),
Ш Ц
Н
1 Ш
W
Т іАі (сот ) + Т 2А 2 (сот )
< ь + В
Тз
Ц ! (сот ) - Т,А 2 (сот ) 1 1 Я
в полосе 1,
(СОт ) - Я («*“* ) ,
1 (сот ) І Я (<?’“"*)I
сото в полосе 2,
йй - 1 Ш р
где Т 3 представляет максимум ошибки аппроксимации в ^полосе .
Полученная система неравенств имеет вид, пригодный для рв­
ения методами линейного программирования. Аналогично для
Фильтры с характеристиками конечной длин
второй системы ограничений можно записать вторую систему не­
равенств относительно переменных § | Т 2 и Т3. В общем случае
когда частотная характеристика задана на нескольких участках’
разделенных переходными полосами, в которых частотные отсче­
ты не задаются., можно составить систему линейных неравенств
относительно этих неизвестных частотных отсчетов и решитГее
методами линеиного программирования. Поскольку метод линей­
ного программирования в этой главе встретится еще не один паз
следующий раздел будет посвящен краткому рассмотрению этого
мощного математического аппарата для решения систем линейных
неравенств. Итак, при расчете фильтров методом частотной вы­
борки используются лишь те коэффициенты ДПФ импульсной ха­
рактеристики фильтра (образующие частотную выборку), которые
находятся в интересующих нас полосах, а остальные коэффициен
Пт попадающие в переходные полосы, считаются незадан­
ными. Относительно этих неизвестных коэффициентов составляет­
ся система линеиных неравенств, описывающая ограничения на­
кладываемые на частотную характеристику. Решая эту систему
методами линеиного программирования, получают значения незаданных частотных отсчетов.
3.19. Линейное программирование
Математически задача линейного программирования в общем
виде формулируется следующим образом:
найти такие {xj}, / = щ 2, ..., N , которые при условиях
О, / = 1, 2, .
^ с их} = Ъ1г
i = l , 2, . . . , M ( M c N ) ,
обеспечивают минимум суммы
;•
N
. 2 ajxj'
ЩШШ г-
Ц
зр||
(3.7!)
(3. 72)
(3 73)
Здесь C[j, Щ и aj — константы.
Сформулированная задача является главной и, как можно
показать, используя принцип двойственности, математически эк­
вивалентна следующей «двойственной задаче»:
найти такие {у,}, i = 1, 2, ..., М , которые при условиях
м
7 = 1, 2, В
N,
(3.74)
1=1
обеспечивают максимум суммы
(3.75)
9—0399
130
Глава 3
X2
шнивающт
прямые ,
Уравнение
минимума
Минимальное
/ решение
Хі
Фиг. 3.29. Геометрическая интерпретация метода линейного программи
рования.
Одно из свойств метода линейного программирования состоит
в том, что если решение задачи существует, то оно является един­
ственным. Известно несколько детально разработанных способов
решения с использованием (М + N ) итераций. Кроме того, су­
ществуют простые способы определения, является ли решение
неограниченным или слабо ограниченным.
На фиг. 3.29 дана простая геометрическая интерпретация ме­
тода линейного программирования для двумерного случая. Каждое
представляет
из ограничений, обозначенных буквами Сл
линейное неравенство относительно х 1 и х 2. Следовательно, мож­
но провести прямую линию, соответствующую каждому из этих
линейных неравенств, и отбросить половину области решения,
для которой неравенство не выполняется (эта область на фиг. 3.29
заштрихована). После проведения всех ограничивающих прямых
на плоскости хг, х г остается лишь небольшая допустимая область
решения задачи минимизации (как правило, это выпуклый мно­
гоугольник). Задав некоторое значение минимума, проведем на
плоскости x-l, х 2 прямую, линейное уравнение которой удовлетво­
ряет выбранному минимуму. При последовательном уменьшении
значения минимума эта прямая в конце концов пройдет через одну
из вершин многоугольника (в данном случае через точку пересе-
Фильтры с характеристиками конечной длины
13 1
ченмч линий С3 и С4), и в этой точке будет получено искомое реше­
ние, а. е. абсолютный минимум, удовлетворяющий всем ограниче­
ниям. Следует отметить, что этот метод обычно не используется
для определения минимума в алгоритмах линейного программи­
рования.
Важной характерной особенностью задачи линейного програм­
мирования является то, что минимум обычно соответствует одной
из вершин многоугольника, образуемого ограничивающими ли­
ниями, т. е. точке, в которой М из заданных неравенств стано­
вятся равенствами. Таким образом, для отыскания минимума до­
статочно иметь эффективный алгоритм анализагвершин многоуголь­
ника. Этот метод называется симплекс-методом. Его описание мож­
но найти в литературе по линейному программированию.
3.20. Фильтры с частотной выборкой вида 1 и 2
При расчете фильтров методом частотной выборки используют­
ся отсчеты заданной частотной характеристики в N равноотстоя­
щих точках на единичной окружности. До сих пор использовались
отсчеты в точках
(3.76)
соответствующих N частотам, для которых вычисляется N - то­
чечное ДПФ. Возможен другой набор равноотстоящих частот, так­
же пригодный для расчета фильтров методом частотной выборки.
Этот новый набор частот задается равенством
N — 1.
(3.77)
Точное расположение обоих наборов частот, заданных соотноше­
нием (3.76) для фильтров вида 1 и соотношением (3.77) для филь­
тров вида 2, показано на фиг. 3.30 для случаев четного и нечет­
ного N. Видно, что для фильтров вида 1 точка отсчета частот
выборки соответствует / = 0, а для фильтров вида 2 она соответ­
ствует / Ц Ө/2, причем величина Ө= i/JV для фильтров обоих видов
равна угловому расстоянию между соседними отсчетами.
Использование фильтров вида 2 с частотной выборкой предо­
ставляет разработчику дополнительные возможности при расчете
фильтров с заданной частотной характеристикой. Так, граничная
частота полосы фильтра может оказаться намного ближе к точке,
используемой в фильтре вида 2, чем в фильтре вида 1, так что в
этом случае для решения задачи оптимизации предпочтительнее
фильтр вида 2 с частотной выборкой. Поскольку при оптимиза. ции несущественно, как расположены отсчеты, то для вычисления
коэффициентов фильтра можно использовать фильтр любого вида
при условии, что для каждого из них имеется действительная
9*
Глава 3
132
Вид 1
Вид 2
Nчетное
А
нечетное
С
Фиг. 3.30. Четыре способа расположения отсчетов частотной выоорки.
функция Н* (еі<0) [см. формулу (3.69)]. Поэтому в следующих раз­
делах будут получены выражения для Н* (ет) при четном и не­
четном N для фильтров с частотной выборкой вида 1 и 2, имеющих
линейную фазовую характеристику.
3.21. Фильтры вида 1 с частотной выборкой
и линейной фазой
Выше было показано, что частотная характеристика фильтра
вида 1 с частотной выборкой описывается выражением
1 в
1 1—
1)/;]
■—
в
Ь=0
S Щ ,-*»»<*>Ц jjfgS)
д
я
— •
Я ,о ,
л а
Фильтры с характеристиками конечной дл ины
133
Для фильтров с линейной фазой [с задержкой на (N
счетов 1 частотные отсчеты Я (к) можно записать в виде
Я (к)
Н (к )\е М » ,
к = 0, 1,
Н(к) |
f f ( N - k ) I,
к = 0, 1,
причем
, N - 1,
1)/2 от(3.79)
(3.80)
Кроме того, при четном N
■як
к = 0, 1, .
N
в (к)
2л
TV—1
77
0,
а при нечетном N
2п
к
К
в (к)
(N
к
N
2
к
N
2
Ш
+ 1 , - . . , N — 1,
О,
&
(3.81)
(3.82)
к = 0, 1,
TV— 1
2
1,
iV-f 4
2
TV—1
2j
(3.83)
, . . . , iV — 1
Уравнение (3.82) отражает тот факт, что, как ранее было показано,
для фильтра с линейной фазой и четным N функция Я (е>а) = О
при О) = я.
\
Используя выражения (3.81) и (3.82), приведем (3.79) к виду
(для четного N )
*
Н(к)
Н (к) \e-S(2n/N)hUN-l)/2J
к — 0 , 1,
N
2
о,
(3.84)
Я (к) | e*2«/ww-fc)[(jv-n/2]
д.
N
Подставив выражение для Я (А:) в (3.78) и сократи] члены, получим
- jca(jV-1)/2
W 2-1
X
о
ff(ft)| (-D*
sin (©/2—як/N)
JV-l
fc=W/2+l
coiV
X
Т"
H (k )\(-W
sin (to/2—nk/N)
(3.85)
A: во вторую сумму выражения (3.85)
Глава 3
^34
дает
(N/2 ) - 1
V
k=0
! # ( * ) ! ( - О»
. sin (to/2 — nk/N)
(W/2)-l
Щ
<<-J
1=1
'1
|Я (Л Г -Ң |(-1>*
1
siu [(0/2 —n(iV —n/TVJ / •
ч
^
’
диняя члены и учитывая формулу (3.80), находим
e-}V>(N-i)l2
Ящдг у I Я (0)
(JV/2)-l
+
S
fe=l
l ^ ( fe)| ( — 1)ft[ sin(o)/2_ JI*/7V) + sin (0)/2+яА/ДГ)]} •
*
І -V.V: ■'
-v :
^3*87)
Наконец, используя тригонометрические тождества, получаем
искомый результат:
“
q
ң (ejb>\ _ g-jG>(iv-i)/2 / 1Н (Q) 1 sin (o)iV/2)
sin (o)/2)
1 '
\ Я
B
l +
(N/2)—1
,
ү
A
fe=l
I Я (A:) I ( sin [A~ ((0/2 — nk/N)] . sin [Ar ((o/2 + nk/N)] \ \
N
I sin (o)/2 —nk/N) p | sin (w/2 + nk/N) J } *
?
-rI ,
(o oo\
* * *
1
d
Выражение (3.88) без учета множителя
представ­
ляет искомую действительную функцию Я* (е,ш) для фильтра
вида 1 с частотной выборкой, имеющего линейную фазу и чет­
ное N .
!
Аналогичные выкладки для фильтра вида 1 и нечетного N
дают
Н* (Mm IS ( М М . sin (соіУ/2) ,
Л I
I N
sin (to/2)
(W-l)/2
I
Т
V
Zj
fe=l
l # ( * ) l / sin f # (со/2— nk/N)] sin [ЛГ (а/2-{-nk/N)] S X
TV \
sin {ю/2—nk/N) Т
sin {а/2+nk/N) / / *
Н
/э оо\
н
3.22. Фильтры вида 2 с частотной выборкой
и линейной фазой
Для фильтров вида 2 с частотной выборкой значения частот­
ных отсчетов Я (к) равны
Я (к) — Н (z) |z=ef(2rt/jv)(ft-Bi/2)-
(3.90)
Соотношение (3.90) можно использовать для определения связи
между частотными отсчетами Я р§ и импульсной характеристи-
Фильтры с характеристиками кон ечной длины
кой фильтра Һ (п):
N-1
н | I I = 2] һ (п) е-Я2л/ЛГ)п(Л+1/2)
п=0
ІГ-І
2J Һ (п)е-Хп"/М) e-H2n/N)nh
ем
Итак, отсчеты Н (к) равны ДПФ последовательности
(3.91)
g (п) = Һ (и) е~Ляп/лғ)>
(3.92)
Таким образом, g (п) представляет собой обратное ДПФ от Н (к),
N- 1
g(n) = h ( n ) e ~ = -L 2 Н (к) е>(2я/Л)п&
ft=о
или
(3.93)
N-1
I 1
һ ( п ) = ,— 2 Н (k)ete*/N)ih+i/ 2)ne
һ= о
(3.94)
Выражение (3.94) можно использовать для расчета 2-преобоазова
ния импульсной характеристики фильтра:
пРео&разоваN- 1
N- І
Я ( 2 ) - 2 [ j y 2 Я ( к ) е ’(2”/*НҺ+і/2)т,1 2-„'
/3 95)
-----A
n=0
J
һL =1 0Л
ГУ
Отсюда, меняя порядок суммирования и суммируя по п, получим
7V-1
„
н
*+ И
z
Щ И
^
(А:)
v _______
____ Я11|>
1 __ J{2n/N)
^
(k+l/2)
*
ft=0
Вычислим значения Н (z) на единичной okdvj
окружности:
Я
^
^
МШУ- 1)/2] / У* Н ( к ) е - М » ^ + Ч 2)
Л
I sin (0)/2— (я / jV) (А+ 1 / 2 ) ]
С
0
8
( ( о
т
а
(3.96)
.
/•
(3.97)
Фильтра вида 2 с линейной фазой [с задержкой на
IЯ
1)/2 отсчетов] частотные отсчеты Н (к) можно запи
записать
в виде
I
I
щ
| Н (к) Ie~i(2«/iV)[(iv-i)/2](ft+i/2)
1
к—О i
tf (^ІеЯгя/лощу-іугклг-л-і/г^ k = — ,
N
л
1у • • •* *2----*»
N —1
Глава 3
136
при четном N или
Н (к)
&= 0, 1,
я
1
3
2
N —1
к=
2
*
Я (А:) |еЯ2я/ЛГ)[(іУ- 1)/2)(ЛГ-Л-1/2)
к
лг-И
2
(3.99)
TV— 1
при нечетном N. Здесь
|Я(ЛГ
1
0 , 1, . . . , N — 1. (3.100)
|Я (к) |
А)|, fc
Выражения (3.98) — (3.100) можно подставить в формулу (3.97),
как это делалось выше при рассмотрении фильтра вида 1. В ре­
зультате получаются следующие выражения для Я* (eJW):
№ 2)“ 1
( sin
am Н [ш/2— {n/N) (* + 1/2)J>
V
Я* (ei®)
+
sin [co/2 — (n/N) p * 1/2)]
N
V""si
ft=0
(*+i/2)]}
(3.101)
+ sin [co/2 + ( я / j V ) (к + 1 /2 )]
для четного N и
Я* ЫЩ й
Я[(ІУ— 1)/2]| sin (соЛГ/2)
+
sin (со/2)
N
( N -
3)/2
У,
h= О
Н (к)
N
sin { N [со/2 - (л/N) (к + 1/2)]}
+
sin [(0/2— (n/N) (Ar+1/2)]
sin {N т Ш Ш В ( k + 1/2)]}
+ sin [(o/2 + (я/iV) (k-{- 1/2)] )]}
(3.102)
для нечетного N.
Таким образом, каждую из четырех формул (3.88), (3.89),
(3.101), (3.102) можно использовать при выполнении процедуры
оптимизации в процессе расчета цифровых КИХ-фильтров с ли­
нейной фазой. Выбор вида фильтра с частотной выборкой, четного
или нечетного N производится разработчиком и зависит прежде
всего от назначения рассчитываемого фильтра. В разд. 3.23 пред­
ставлены некоторые практические результаты расчета фильтров
методом частотной выборки.
3.23. Некоторые самые общие результаты
расчета фильтров методом частотной выборки
1. Фильтры нижних частот
Метод частотной выборки можно использовать для расчета
широкого класса фильтров. На фиг. 3.31—3.33 представлено
несколько типичных фильтров нижних частот, рассчитанных этим
I
О
EC
ГО-
Е-ч
a
I
о
о
CZ
p*
H
о
H
о
CO
tr
Й M
Sfl
к
X
ум Or
«Ч
я о
я VO
н
w3
aS о
л
нА ?{sr
о
1
=
3
м
Рч нX
*& O'
Е-»
as о
X а
И к
н
0 *
о
м
2
Ml о
Оч ьс
о о
в в*
л\
л•V W
Сч S
со
X с
9
H
о
H
о
CO
со
u
ty
gg 'vpniunvuvrv
Фиг. 3.32. Частотная характеристика узкополосного фильтра нижних частот,
рассчитанного методом частотной выборки.
!
Частота
Фиг. 3.33. Частотная характеристика широкополосного фильтра нижниих
частот, рассчитанного методом частотной выборки.
ФНЧвида 2 с тремя отсчетами
в переходной полосе
полосе
Второй отсчет в переходной полосе
0,030
0,025
Первый отсчет в переходной полосе
0,020
0 ,0 f5
0,010
шят
of4
Нормированная частота среза полосы пропускания
Ф иг. 3.34. З н ач ен и я частотны х отсчетов в перэходной полосе д л я ш ирокого
класса ф и льтров н и ж з и х частот, рассчи тан н ы х мэтодом частотной вы борки.
методом. Критерий оптимизации во всех приводимых примерах
состоял в минимизации максимума пульсаций в полосе непропус­
кания. Фиг. 3.31 соответствует фильтру вида 1 с частотной выбор­
кой (N — 256) и с тремя подбираемыми частотными отсчетами
в переходной полосе. Максимум пульсаций в полосе непропуска­
ния составляет около 0,05. На фиг. 3.32 показана характеристика
узкополосного фильтра нижних частот (N = 65) с частотой среза,
равной 0,0306. Здесь подбираются три отсчета в переходной поло­
се; максимум пульсаций в полосе непропускания близок к 0,00002
(или — 93 дБ). На фиг. 3.33 изображена характеристика широко­
полосного фильтра нижних частот (N = 64) с частотой среза, рав­
ной 0,4355. Здесь также подбираются три частотных отсчета;
в результате максимум пульсаций в полосе непропускания состав­
ляет около 0,000002 (или —115 дБ).
В общем случае при проектировании фильтров нижних частот
с одним подбираемым отсчетом в переходной полосе (с минимиза­
Глава 3
140
ФНЧ вида 2 с тремя отсчетами в
переходной полосе
tq
W/5
a$s
3:
<
s
>
0 -135
§
1
1
0,1
р
0,3
0,4
Нормированная частота среза полосы пропускания
Фиг. 3.35. Ослабление в полосе непропускания для широкого класса фильт­
ров нижних частот, рассчитанных методом частотной выборки.
цией максимума пульсаций в полосе непропускания) можно
достичь подавления вне полосы пропускания от 44 до 54 дБ. С двумя
подбираемыми отсчетами в переходной полосе можно достичь
подавления от 65 до 75 дБ, а возможное подавление при трех подби­
раемых отсчетах в переходной полосе составляет 85—95 дБ. На
фиг. 3.34 и 3.35 приведены значения трех отсчетов в переходной
полосе и максимума пульсаций для фильтров вида 2 при различ­
ных N в функции полосы пропускания фильтра. Интересно отме­
тить, что как для узкополосных, так и для широкополосных
фильтров результаты обычно лучше (т. е. подавление в полосе
непропускания сильнее), чем для фильтров со средними значениями
полос пропускания. Это можно объяснить следующим образом.
При малой ширине нормализованной полосы приходится подав­
лять очень маленькие пульсации, поэтому отсчеты в переходной
полосе обеспечивают отличное подавление этих пульсаций. При
большой величине нормализованной полосы остается очень
небольшая часть диапазона частот, в котором приходится подавлять
пульсации, поэтому отсчеты в переходной полосе вновь обеспечат
эффективное подавление в полосе непропускания.
Фильтры с характеристиками конечной длины
Частота
Фиг. 3.36. Частотная характеристика полосового фильтра, рассчитанного
методом частотной выборки.
2 . Полосовые фильтры
Полосовые фильтры можно рассчитывать практически так же,
как фильтры нижних частот. На фиг. 3.36 изображена характери­
стика полосового фильтра вида 1 (N = 128) с тремя подбираемыми
частотными отсчетами, расположенными симметрично по обе сто­
роны от полосы пропускания. Максимум пульсаций в полосе непропускания составляет около 0,000025 (или —91 дБ), а огибаю­
щая пульсаций спадает до уровня Ю‘б (или до уровня —120 дБ)
на нулевой частоте и частоте, равной половине частоты дискре­
тизации.
Амплитуда
f
Фаза
Мнимая часть
1
0
0,5
-гг/2
----
1
0
1
0,5
1.0
Нормированная частота
Иоеальная схема задержки
на половины интервала
дискретизации
W
Характеристика дифферен­
циатора с задержкой на поло­
вину интервала дискретизации
(9.
О
Нормированная
частота
Щ
0,5
ДЩ
Нормироеанная
частота
Фиг. 3.37. Характеристики идеального дифференциатора с задержкой на
половину интервала дискретизации, полученного последовательным соедине­
нием идеального дифференциатора и идеальной схемы задержки на половину
интервала дискретизации.
I
$5
ч
8
i
Г
X
4
Импульсная характеристика
Ш 16 -
О
-4
О
1,2
j
Время в числе отсчетов
I
15
I---------г—----- 1-------- 1-------- г
Амплитудная характеристике
•а
f4
• ч.
0,125
0,375
Нормированная част от а
аI
s 2'°
Кривая ошибки
а 125
а 375
Нормированная частота
Фиг. 3.38. Характеристики 16-точечного
дифференциатора.
Фильтры с характеристиками конечной длины
14$
3 . Ш ирокополосные дифференциат оры
Широкополосные дифференциаторы используются во многих
системах. Амплитудная, фазовая и эквивалентная мнимая харак­
теристики идеального дифференциатора показаны на фиг. 3.37.
При со = л мнимая часть частотной характеристики имеет разрыв.
При аппроксимации этот разрыв не может занимать нулевую полосу, т. е. вблизи со = я должна располагаться переходная поло­
са. Соединяя последовательно идеальный широкополосный диффе­
ренциатор с идеальной схемой задержки на половину интервала
дискретизации, можно устранить разрыв частотной характери­
стики дифференциатора при си = л (фиг. 3.37). В центре на
фиг. 3.37 изображены амплитудная и фазовая характеристики иде­
альной схемы задержки на половину интервала дискретизации г
внизу представлены результирующие характеристики последова­
тельно соединенных идеального широкополосного дифференциа-
0
Г
255
Время в числе отсчетов
0,8
ОД
ао
0,125
0,25
0,375
0,5
0,25
0,375
0,5
Нормированная частота
4П
^
- 1, 0.
0.0
а 125
Нормированная частота
Фиг. 3.39. Характеристики 256-точечного дифференциатора
144
Глава 3
тора и идеальной схемы задержки на половину интервала дискре­
тизации. Видно, что при to = я уже нет разрыва фазы, поэтому
здесь больше не нужна переходная полоса. На частоте ш = О
есть скачок фазы на л радиан, но в этой точке амплитудная
характеристика равна нулю. Таким образом, аппроксимация широ­
кополосных дифференциаторов осуществляется весьма просто
с использованием КИХ-фильтров, для которых при четном
числе отсчетов в импульсной характеристике легко получить за­
держку на половину интервала дискретизации.
Характеристики двух типичных дифференциаторов, рассчитан­
ных описанным способом, изображены на фиг. 3.38 и 3.39 для
N = 16 и N — 256. При N — 16 максимум модуля ошибки состав­
ляет Щ 0,015 (ошибка фазы, конечно, равна нулю), тогда как
при N §§ 256 максимум модуля ошибки составляет ~ 0,0008.
3.24. Заключение к описанию метода частотной выборки
Основная идея метода частотной выборки состоит в том, что
искомую частотную характеристику можно аппроксимировать
ее отсчетами, взятыми в N равноотстоящих точках, а затем путем
интерполяции получить результирующую частотную характери­
стику, которая будет проходить через исходные отсчеты. Ошибка
интерполяции для фильтров с достаточно гладкими частотными
характеристиками обычно имеет небольшую величину. В случае
селективных фильтров, когда заданная частотная характеристика
резко меняется от полосы к полосе, частотные отсчеты в переход­
ных полосах остаются незаданными переменными, значения кото­
рых подбираются с помощью алгоритма оптимизации таким обра­
зом, чтобы минимизировать некоторую функцию ошибки аппрок­
симации характеристики фильтра. Для выполнения необходимой
минимизации можно также использовать простые методы линей­
ного программирования. Кроме того, было показано, что возможны
два различных вида фильтров с частотной выборкой в зависимости
от того, где находится начальный отсчет выборки; были получены
выражения для частотных характеристик фильтров обоих видов,
используемые при решении задачи оптимизации.
3.25. Третий метод проектирования — проектирование
оптимальных фильтров с минимаксной ошибкой
При подходе к расчету КИХ-фильтра с линейной фазой как
к задаче аппроксимации по Чебышеву имеется возможность полу­
чить ряд условий, при которых, как можно доказать, решение
является оптимальным (в том смысле, что минимизируется макси­
мальная ошибка аппроксимации на всем интервале аппроксима­
ции) и единственным. Кроме того, легко показать, каким образом
с помощью нескольких стандартных процедур оптимизации, в том
числе с использованием линейного программирования, можно
находить коэффициенты фильтра, обеспечивающие оптимальное
(минимаксное) решение. В последующих разделах будет сформу­
лирована задача расчета оптимального КИХ-фильтра и рассмо­
трены методы ее решения. Поскольку получаемые при этом
решения имеют очень большое практическое значение, в последую­
щих разделах будут рассмотрены различные классы оптимальных
фильтров и их свойства, а именно фильтры нижних частот, полосо­
вые фильтры, дифференциаторы, преобразователи Гильберта
и, наконец, многополосные фильтры и фильтры с произвольными
характеристиками.
3.26. Аппроксимация по Чебышеву со взвешиванием *)
В разд. 3.5 было показано, что частотная характеристика филь­
тров четырех различных видов с линейной фазой может быть
записана в виде
Н
)/2e j ( n l 2 ) L J J *
(3.103)
Значения L и выражения для Н* (еіш) для каждого из четырех
Таблица 3.2
L
H * (ei©)
) Многие результаты этого и нескольких последующих раздсі л о в основаны на работе Т. Паркса и Дж. Макклеллана.
10—0399
Глава 3
146
Используя простые тригонометрические тождества, каждое
выражение для Я*
из табл. 3.2 можно записать в виде про­
изведения фиксированной функции со [обозначим ее через
Q
и члена, представляющего собой сумму косинусов [обоз­
начим его через Р (бій>)]. В результате выражения для Я* (еіы)
из табл. 3.2 принимают вид
f
Фильтр вида 1
Без изменений.
%
Фильтр вида 2
N/2
1
COS
2
П=1
cos
СО
2
(iV/2) - 1
V
Ъ(re) cos (core).
ZJ
71=0
Фильтр вида 3
(N-3)/2
(ДГ-1)/2
с (re) cos (core).
2
с (re) sin (core) sin (со)
n=0
/1=1
Фильтр
(3.104а)
(3.1046)
вида 4
N/2
sin Гсо ^ге
(N/2)-1
1
03
2
2
2
d (re) cos (core).
(3. 1 0 4 b )
71=0
71=1
В табл. 3.3 приведены результирующие выражения для функций Q (ет) и Р (eia) для каждого из четырех видов фильтров, в которых а (ге)
Д
Таблица 3.3
р тШ
Q (в*®)
( N - 1 )/2
Фильтр вида 1
1
2
a (n) cos (con)
71=0
(N/2) - 1
Фильтр вида 2
ccs (со/2)
i
|n )
cos (con)
71=0
(N-3)/2
Фильтр вида 3
sin (со)
2
c (n) cos (con)
71=0
(iV /2) —1
Фильтр вида 4
sin (со/2)
/i
72=0
d (n) cos (con)
с характеристиками конечной длины
147
Q (е р должно быть равно нулю при со | 0 или при со 1 „
(либо на обеих частотах).
Чтобы показать, как задачу расчета оптимального КИХ-фильтра с линеинои фазой сформулировать в виде задачи чебышевскои аппроксимации, необходимо ввести заданную (действитель­
ную) частотную характеристику фильтра D (еЩ и весовую функ°™
и аппР°ксимации W (е3*), что позволяет разработчику
Различную величину ошибки для разных частотных полос. Взвешенная ортт»^т^л
------л /
ибка аппроксимации Е (е>“>) по определению
равна
Е (е>°) = W
Н* (е*®)].
(3.105)
е}а>) и О (t
Е (eia>) как
Е
= W (е>а) [D (еі®)
(3.106)
Q(
Поскольку Q
является
вполне
определенной
функцией
ТТТГЛЛтт,
___
.
ВМН
_
^Ғ
ІГ
частоты, ее можно вынести за скобки, что дает
Д(^®)
Е (еі®)
Q (eja) Г
Р
(3.107)
QЛ
Формула (3.107) справедлива во всех точках, за исключением,
возможно, точки (О— 0 и (или) точки О) = л. Определив функции
W (е*ш) и D (е^®) как
W (е&) = W (е><») Q (е
и
(3.108)
(3.109)
функции ошибки можно записа
Е (е>а) = W (#*•) [D (&<*) — Р (е?ю)1.
(3.110)
Теперь задачу чебышевской аппроксимации можно сформулиро
„„ур­
вать как задачу поиска таких коэффициентов ~а (п), Ь(п),с(п) или
d (и), которые минимизируют максимум модуля ошибки Е (е}(0)
в тех частотных полосах, где выполняется аппроксимация. Исполь­
зуя символ ||£ (<??®)|| для обозначения минимальной ошибки
е- Н0РМЫ Е М
в пространстве L x }, задачу чебышевской ап­
проксимации математически можно сформулировать следующим
образом:
шіп
[max \E (e ia) I],
(коэффициенты) <а6А
(3.111)
где А — совокупность всех интересующих нас частотных полос
Для получения решения уравнения (3.111) можно использо­
вать хорошо известное свойство этого класса задач чебышевской
10 *
аппроксимации, описываемое следующей обобщенной теоремой
Чебышева.
'
Теорема. Если Р (ej(D) представляет собой линейную
комбинацию из г косинусных функций, т. е.
г-1
•.,
Р (е}(й) = 2 a (n) cos (шп),
71= 0
Л
то необходимое и достаточное условие того, что Р (ei<0) яв­
ляется единственной и наилучшей rfg»аппроксимацией со взвешиванием непрерывной функции D (е]Ш) в компактной под­
области из области (0, я), состоит в том, что взвешенная
функция ошибки Е (е}а) имеет по крайней мере (г + 1) экстре­
мальных частот в подобласти А , т. е. в этой подобласти долж­
но существовать (г + 1) точек ©j, таких, что ©х <С to2 < ...
. . . < ©г < шг+1 и Е (e^i) = — Е (eJ“i+i), i = 1, 2, ..., г, и
9
|Е (eJ<0i)| = max [Е
1
шел
я
Сформулированная выше обобщенная теорема Чебышева чрез­
вычайно важна, поскольку дает необходимые и достаточные усло­
вия для получения решения, оптимального в чебышевском смысле.
В настоящее время на основе той или иной интерпретации этой
теоремы разработан ряд методов получения оптимального решения.
В последующих разделах будет описано несколько методов опти­
мизации с тем, чтобы проследить за развитием этих методов и в то
же время лучше понять природу оптимального фильтра. Прежде
чем перейти к конкретным алгоритмам расчета оптимальных филь­
тров, рассмотрим сначала важный вопрос о максимальном числе
экстремумов частотной характеристики КИХ-фильтра с линейной
фазой.
I
3.27. Ограничение на число экстремумов частотной
характеристики фильтра с линейной фазой
Согласно обобщенной теореме Чебышева, функция ошибки
оптимального КИХ-фильтра с линейной фазой имеет не менее
(г + 1) экстремумов, где г — число косинусных функций, ис­
пользуемых при аппроксимации. Поскольку в большинстве ин­
тересующих нас случаев экстремумы функции Н* (е;ш) являются
также и экстремумами функции Е (е>“) [т. е. обе производные
d W (e>w)/dco и dD
равны нулю, когда dH* (eie>)lda> gg 0],
важно знать максимальное число экстремумов Н* (еі(й). Добавив
к этому числу количество экстремумов Е (ej<0), которые не являют­
ся экстремумами Н*
можно найти общее число экстремумов
функции Е (еі(й).
Ш
Фильтры с характеристиками конечной длин ы
Л так, рассмотрим Н* (еЩ для фильтров вида 1:
(П-П/2 ^
#*(*?*>)= 2
а (re) cos (core).
п=0
(3.112)
Чтобы найти максимальное число экстремумов Н* (eja>) на интер­
вале 0 ^ со ^ л, удобно представить выражение (3.112) в виде
обычного полинома по степеням cos со. Каждый член вида
cos ( юге) может быть выражен как
71
cos (core) = 2
а тп (cos со)”1,
771= О
(3.113)
где а тп
действительные' коэффициенты, которые даны в обыч­
ных справочниках. Подставив выражение (3.113) в (3 112) по­
лучим
/
\ •
/»
(JV-D/2
я •(«*>)= 2
а (ге) | 2 otmn (co s со)7"]
п=0
771=0
(N- 1)/2 __
Д
а (п) (cos со)п.
(3.114)
71
Здесь коэффициенты {а (ге)} учитывают все члены, содержащие
(cos о) . Чтобы найти точки экстремумов функции Н* (е;со),
продифференцируем ее:
(N- 1)/2
6^
[Я*
(#
»
§
па (п) (cos if# (— sin со)
d(o
71=0
(JV-3)/2
sin со
У,
b (т) (cos co)m.
(3.115)
771=0
Здесь
коэффициенты
b
(/re)
(/re
1) wa V(/re
1). Чтобы
найти
___
---------'
'
V---- -fI
'* ' +I
J- x u v m
п
а ш и
максимальное число экстремумов [т. е. значений со, при которых
выражение (3.115) обращается в нуль], удобно преобразовать
В ° ? Ч^Ь1И полином по переменной х, воспользовавшись
подстановкой х
cos §f? Результирующая функция G Щ будет
равна
d
G (x)=^-jr- [Н* ЩП ](o=arccos х
( N- 3 V 2
у 1 —X
771=0
т. е. G (х) § | Рх Щ Щ (х), где
Ft (х) = у 1 — х 2
(3.117а)
(JV—3 )/2
2
І
Ъ
Ш
х
т
т=О
(3.1176)
150
Глава 3
Ясно, что Ғх (я) = 0 только при X
+ 1 (что соответствует
00
0) и I
1 (что соответствует со = л). Функция Ғ 2 (х)
является полиномом степени (N — 3)/2, следовательно, она может
иметь самое большее (N — 3)/2 нулей в открытом интервале
1
х
1. Поэтому G (я) может иметь не более (N + 1)/2
нулей в закрытом интервале — 1 Я х Н 1. Таким образом, для
фильтра вида 1 с линейной фазой N e число экстремумов Н* (ejb>)
удовлетворяет условию
(З.И8а)
фильтр вида 1: N,
Чтобы не повторять аналогичные выкладки, сразу приведем
результаты для фильтров вида 2, 3 и 4. Проверить их предоставим
читателю. Число экстремумов Н* (е*ю) для фильтров вида 2,
3 и 4 подчиняется следующим ограничениям:
Щ
т
фильтр вида 2: N e
фильтр вида 3: N,
фильтр вида 4: N,
(3.1186)
2 *
N —1
2
N
2 •
*
(3.118в)
(3.118г)
Неравенства (3.118) ограничивают лишь число экстремумов
функции Н* (е3ш). Легко показать, что при решении задачи аппрок­
симации для совокупности разрозненных полос функция ошибки
может иметь экстремумы на границах каждой полосы, тогда
как функция Н* (ёЩ в этих точках обычно не экстремальна.
Исключением из этого правила является случай, когда границы
полосы находятся при со = 0 или со = я, где Н* (е}а>) также часто
имеет экстремум. Так, например, функция ошибки для фильтра
нижних частот вида 1 (при решении задачи аппроксимации в двух
полосах) может иметь самое большее (N И 5)/2 экстремумов, т. е.
(N
1)/2 экстремумов функции Н* (ejw) и два дополнительных
экстремума на границах полос пропускания и непропускания.
Функция ошибки для полосового фильтра вида 1 (при решении
задачи аппроксимации в трех полосах) может иметь самое большее
(N + 9)/2 экстремумов, т. е. (N + 1)/2 экстремумов Н* (еЩ
четыре дополнительных экстремума на границах полос пропу­
скания и непропускания.
Важно знать заранее максимальное число экстремумов функ­
ции ошибки Е (е;“), поскольку эта величина определяет конкрет­
ный способ расчета оптимальных фильтров. Так, для расчета оп­
тимальных фильтров с максимально возможным числом экстре­
мумов пригодны лишь два хорошо известных метода. Ясно, что
использование обоих этих методов расчета ограничено тем, что
в соответствии с обобщенной теоремой Чебышева в общем случае
фильтры, функции ошибки которых имеют максимальное число
_____________ Фильтры с характеристиками конечной длины __________
151
экстремумов, относятся к частному случаю этой теоремы и, следо­
вательно, представляют лишь подкласс более широкого класса оп­
тимальных фильтров. В последующих разделах будут рассмот­
рены алгоритмы расчета различных оптимальных фильтров.
С методической точки зрения целесообразно начать с описания
двух алгоритмов, которые пригодны для расчета лишь подкласса
оптимальных фильтров, т. е. фильтров, функции ошибки которых
имеют максимально возможное число экстремумов. После этого
будет рассмотрен алгоритм Ремеза и описано использование ме­
тодов линейного программирования для расчета произвольного
3.28. Решение нелинейных уравнений для КИХ-фильтров
с максимумом пульсаций
В разд. 3.27 было показано, что число частот, на которых
функция Н* 0 ® ) может иметь экстремумы, строго зависит от
вида импульсной характеристики проектируемого фильтра с ли­
нейной фазой. Значение Н* (е*®) в каждом экстремуме опреде­
ляется весовой функцией W (ej(0), заданной частотной характери­
стикой D (е**0) и величиной б, представляющей максимум ошибки
аппроксимации. Распределив частоты экстремумов Л * (е*°) по
частотным диапазонам, в которых решается задача аппроксима­
ции, и потребовав, чтобы характеристика результирующего филь­
тра имела максимальное число экстремальных частот, можно по­
лучить единственный оптимальный фильтр. Поскольку функция
ошибки аппроксимации фильтров этого типа имеет максимальное
число колебаний, или пульсаций, эти фильтры получили назва­
ние фильтров с максимумом пульсаций. Фильтры нижних частот
этого типа называются также фильтрами с дополнительной пуль­
сацией, поскольку они имеют только на одну пульсацию больше
минимального числа пульсаций, обеспечивающего оптимальность.
Метод получения системы нелинейных уравнений, описываю­
щих фильтр с максимумом пульсаций, состоит в следующем (он
был первоначально предложен Херманом и Шуслером). На каж­
дой из N e неизвестных экстремальных частот ошибка Е (е}(0)
достигает максимального значения, равного 4- б, причем произ­
водная от Е (еш), или, что то же самое, от # * (г*0), равна нулю.
Таким образом, получаем N e уравнений вида
Я ' У 1) — - * з г г + л « " ‘).
W0Щ
[ я * («*“ )] |ш=<В|= о ,
«=
i = l . 2......... N ',
1, 2,
.iv e.
Эти уравнения образуют систему из 2N e нелинейных уравнений
с 2Ne неизвестными [включающими N e коэффициентов импульс­
ной характеристики и N e частот, на которых Я* (е>ш) имеет экст-
152
Глава 3
ремумы]. Систему из 2N e уравнений можно решить методом по­
следовательных приближений, используя процедуру нелинейной
оптимизации, такую, как, например, хорошо известный алго­
ритм Флетчера—Пауэлла.
1
Относительно этой процедуры следует сделать два замечания.
Во-первых, величина б (т. е. максимум ошибки) . имеет фикси­
рованное значение и не минимизируется при оптимизации фильтра. Таким
іаким оо
разом, форма Н*
ш *** \ejw)
образом,
(еЩ задана заранее И л и ш ь
частоты, на которых Н* (е7“) достигает экстремальных значений,
неизвестны. Во-вторых, в процедуре оптимизации не учитывают­
ся границы различных полос фильтра. Таким образом, алгоритм
оптимизации не работает в определенных диапазонах частот,
так что не требуется точно указывать, где именно будут распола­
гаться полосы фильтра. Это отсутствие возможности регулирова­
ния границ полос ограничивает область применения обсуждае­
мого и описываемого ниже алгоритмов
Для иллюстрации] использования системы уравнений при оп­
тимизации рассмотрим пример расчета фильтра вида 1 нижних
частот с N — 15, максимумом пульсаций бх = б2 и при условии,
что используется весовая функция
W (е>а)
б а/ б ! ,
СО— в полосе пропускания,
1,
СО— в полосе непропускания.
Заданная частотная характеристика равна
1,
со
в полосе пропускания
О, со —в полосе непропускания.
На фиг. 3.40 показана функция Н* (е*а) для этого примера.
Экстремальными являются частоты со = 0 , со,, со,, со3, со4, со5, со6
Фиг. 3.40. Начальные условия при расчете фильтра нижних частот с макси­
мумом пульсаций.
153
Фильтры с характеристиками конечной длины
L%*
®~
И ® = 1 для фильтров вида 1 производная
от Н (е ) равна нулю при любых значениях коэффициентов
импульснои характеристики. В данном примере число экстремаль­
ных частот N e § 8, из них N p = 3 лежат в полосе пропускания
и J\s - 5 — в полосе непропускания. Таким образом, для задан­
ных условии получаем следующую систему уравнений:
Ограничения на функцию
Н* (eiO) = 1 + бі
Н* (е](°і) = 1 _ б
Н* Яйй — 1 -f- 6j
Н* (е}е)з) = — 6 о
Ограничения на производную
~ Н * (е>а) I
Щ
' һшшт
doi
(gjoa) I
__ п
'
' |ш=ш2 — 1
Щ
Ш
ШІШ|ш =Ш 3 — О
Н* (ei®i) = + б 2
н*ifif =—1
Н* (е&е) = + 62
о
^ d(o
_Ші
Л
do)
Н *(е^) |М | = 0
ЩвШ1<а=(05 — О
|ш=<ов— О
Н* (е*) = — б
ЭТ°4 СНСтемы уРаме,ш й значения неизвестных
найти rn»m.n!?l?T4,leBT0B импульснои характеристики, можно
наити границы полос пропускания и непропускания вычисляя
частоту выше Щ па которой Н* Я
в “очисти равна 1 - &
н* П
(Д-Т
р
а
ю
Т
ТочноУТ
«
™
Я
,
)
:
И
Н
И
Н
■
которой
птжі*
очно + б а (граница полосы непропускания).
в а е І К f H f Пр°ЦеДура оптимизации была использована для
расчета фильтров нижних частот и полосовых фильтров со зна­
чениями W вплоть до 61. В разд. 3.29 рассматривается другой меп о з в о Г Ж аНИЯ фиЛЬТр0В с максимумом пульсаций, который
^
n jZ J J
BB0 Рассчитывать фильтры со значительно бодлинными импульсными характеристиками.
3.29. Расчет КИХ-фильтров с максимумом пульсаций
на основе полиномиальной интерполяции
с
б0Лее эФФ®ктввный метод проектирования фильтров
геймом и З и гв л р Г п аЦИИ
Л пРедложен Хофштеттером, Оппентельныт ппчйн
и основан на вычислении методом последовам 1 Щ г Ш S 3 ? ® полинома [Н* (#»)£, имеющего экстрему„ В! ЛИЧИНЫ- Расчөт начинается Vс/ «задания
исходных
я т ш о т т п *™_________
задан и я И
СХОДНЫ Х
значении экстремальных частот функции Н*
После этого
154
Глава 3
используется хорошо известная интерполяционная формула Ла­
гранжа для полинома, который на выбранных частотах имел бы
чередующиеся максимумы и минимумы и обладал бы пульсацией
максимально допустимого уровня. Экспериментально показано,
что исходные значения экстремальных частот не влияют на оконча­
тельную сходимость алгоритма, но определяют число итераций,
требуемых для получения окончательного решения.
Рассмотрим в качестве примера расчет фильтра вида 1 ниж­
них частот. На фиг. 3.41 изображена частотная характеристика
фильтра нижних частот с N = 11 и максимумом пульсаций б = б2Весовая функция W (ej<0) и заданная частотная характеристика
D (еіо>) — такие же, как в примере из разд. 3.28. Число экстре­
мальных частот N е равно шести. Из них N p = 3 частот находится
N 5 1= 3 — в полосе непропускания.
в полосе пропускания, а« и
Зачерненными точками на частотной ос фиг. 3.41 отмечены ис-
f
Фиг. 3.41. Итеративный расчет фильтра нижних частот с максимумом пуль­
саций (по Хофштеттеру, Оппенгейму и Зигелю).
начальные значения /; О второй ряд значений частот /; — исходный полином Лаг
р а н ж а ; ----------- второй полином Лагранжа*
Фильтры с х а р а к т е р и с т и к а м и конечной длины
155
ходные значения экстремальных частот Н* (eja>). Сплошной
линией изображен исходный полином Лагранжа, полученный
таким подбором коэффициентов, чтобы значения полинома на
исходных экстремальных частотах совпадали с заданными зна­
чениями экстремумов. Как видно из фиг. 3.41, пульсации полу­
ченного полинома превосходят заданный уровень. Следующий шаг
состоит в том, чтобы найти частоты, на которых первый интерпо­
ляционный полином Лагранжа имеет экстремумы. Эти частоты,
изображенные на фиг. 3.41 кружками, являются гораздо лучшим
приближением к частотам, на которых экстремумы частотной
характеристики достигнут заданного уровня. Новый набор экст­
ремальных частот используется для построения другого полино­
ма Лагранжа (он показан на фиг. 3.41 пунктирной линией), имею-
Нормироваыная частота
Фиг. 3.42. Частотная характеристика полосового фильтра с максимумом
пульсаций (по Хофштеттсру, Оппенгейму п Зигелю).
Глава 3
156
О
0,050
0,100
0,150
0,200 0,250
0,300 0,350
Нормированная частота
0,400
0,450
0.500
Фиг. 3.43. Частотная характеристика фильтра нижних частот с максимумом
пульсаций (по Хофштеттеру, Оппенгейму и Зигелю).
I
I
Нормированная частота
Фиг. 3.44. Частотная характеристика многополосного фильтра с максимумом
пульсации (по Хофштеттеру, Оппенгейму и Зигелю).
щего заданные значения на этих частотах. Ясно, что алгоритм имеет
итеративный характер. После определения частот экстремумов
нового полинома переходят к следующей итерации. Этот алго­
ритм сильно напоминает хорошо известный алгоритм многократ­
ной замены Ремеза в чебышевской теории аппроксимации.
Характеристики нескольких типичных фильтров с максиму­
мом пульсаций, рассчитанных Хофштеттером с соавторами
с использованием рассматриваемого алгоритма, показаны на
фиг. 3.42—3.44. На фиг. 3.42 изображена частотная характери­
стика в логарифмическом масштабе полосового фильтра вида 1
Я
Фильтры с характеристиками конечной дл ины
157
с N — 41 (т. е. с 7V
21),
# * M SI jlвj каждой
' # с 6 экстремумами
х------ •/
л а /п д и и
иэ полос непропускания и с 9 экстремумами в полосе пропуска­
ния. iVlaK.C
H
M
V
M
Ттиттыатттгд
g
П
О
Л
П
Г
.Я
Т
пйпппш^ігаііі»!
A
_
Q
Q0001
n
полосах непропускания 62 - ЩШШ
(ил
ч / о ’ тогда как в полосе пропускания он равен 0,005.
-
- Я ------------ ------- ф И Л г > 1 Ucl И И / h *
них частот вида 1 с N = 251, 33 экстремумами Н* (<?>'“) в полосе
пропускания
и
94
экстремумами
в
полосе
непропускания.
МакЛПИГЛТІГ ТТЛГТТТ. РПтт I. Я г. ________ ____
Л
л
.
симум пульсаций в полосе пропускания бг
0,01 , а в полосе
непропускания
62
дБ).
у ” Q/ /
Ы= 0,00004 у(или
ттш
М
,Ж
Л — 88 «*-»/.
Наконец, на
фиг. о .44 приведена частотная характеристика модифицированно­
го фильтра ниж них частот вида 1 с двумя различными полосами
пропускания
■
ЦіЛВі М I 1Ш Ш полосой непропускания.
л я этого фильтра
X-----^М,«/ХЛ UIU1 V/ДUiUlD
М\
h i , а экстремумы распределены следующим образом: 12
в первой
вой полосе пропускания, 31 — во второй и 18 — в полосе
непропускания. Заданный уровень частотной характеристики
в первой полосе пропускания равен 0,25, а во второй, как обычно,
он равен 1. Максимумы ошибок в первой и во второй полосах проIпускания равны 8„
в
‘ ‘- и Л
0,01
0,02. Максимум ошибки в полосе непропускания 62
0 , 0001 .
Несмотря на то что этот улучшенный алгоритм существенно
расширяет возможности проектирования фильтров с большими
’ емУ все же присущ недостаток, связанный с тем, что нельзя
заранее задать граничные частоты полос фильтра; они вычисляют­
ся на основе окончательного решения. Более того, и данный,
и описанный выше методы позволяют рассчитывать лишь филь­
тры с максимумом пульсаций, которые, как обсуждалось выше
являются лишь подклассом класса оптимальных фильтров. В сле­
дующих разделах будут рассмотрены методы проектирования про­
извольных оптимальных (в минимаксном смысле) фильтров.
3.30. Использование алгоритма замены Ремеза
для расчета оптимальных фильтров
показано
D Ar/4 IfT/TV X
о
„ Г
^
иигим алього КИХ-фильтра с линеинои фазой можно сформулировать как
задачу чебышевской аппроксимации, причем аппроксимирующая
функция [Р (е») в формуле (3.110)] является суммой г независи­
мых косинусоидальных функций. Необходимые и достаточные ус­
ловия того, что взвешенная функция ошибки Е (е3®) вида (3.110)
обеспечивает единственное решение с наилучшей аппроксимацией
ча„стотной характеристики D (е*), сформулированы
в обобщенной теореме Чебышева.
В общем виде процедура проектирования оптимального филь­
тра, основанная на обобщенной теореме Чебышева, включает
следующие этапы:
158
Глава 3
1. Задание частотной характеристики D (е;а)), весовой функ­
ции W (еЩ и длины импульсной характеристики фильтра N.
2. Формулировка соответствующей эквивалентной задачи аппроксимации, т. е. задание D (е*°), W (е3®) и Р (е?®).
3. Решение задачи аппроксимации с использованием алгорит­
ма многократной замены Ремеза.
4. Расчет импульсной характеристики фильтра.
На этапе 1 разработчик имеет возможность влиять на алго­
ритм проектирования фильтра, задавая тип фильтра и начальные
условия. Этап 2, а именно формулировка соответствующей эквива­
лентной задачи аппроксимации, уже обсуждался в разд. 3.26.
На фиг. 3.45 изображена блок-схема использования алгорит­
ма замены Ремеза для решения задачи аппроксимации, т. е. для
выполнения этапа 3. Для нахождения в соответствии с обобщенной
теоремой Чебышева г + 1 экстремальных частот используется
Первоначальное задание г+/
экстремальных частот
Рассчитать оптимальное
на экстремальных частотах
Интерполяция по г точкам
для получения Р (е*°)
Рассчитать ошибку Е (е^)
и найти локальные максиму­
мы , в которых /Е(е;ш)1> о
Более,
чем r+ i
экстремумов
Оставить г+1
наибольших
экстремумов
пет\
Изменились Проверить, изменились ли
экстремальные точки
Не изменились
Наилучш ая
аппроксимация
Фиг. 3.45. Блок-схема алгоритма Ремеза (взята у Паркса и Макклеллана)
Фильтры с характеристиками конечной дл ин ы
159
густая сетка точек на оси частот. Сначала выбираются Н H
P
1 не­
ходных экстремальных частот, на которых функция ошибки долж­
на принимать значения б с меняющимся знаком. С точки зрения
исходной формулировки задачи последнее требование означает
что для выбранной совокупности экстремальных частот {соЛ’
А—и, 1, . . . , г, необходимо решить следующую систему уравнений
вида:
W (S '0*) ID (e}ab) - р (*% )] = ( _ 1)* б,
в матричной
г—1
у а (гг) cos соп)
ИЛИ
форме
A?J o f 1, , . . , г,
(в предположении,
что
(3.119)
Р (ej(0)
п=0
1 cos со0 cos
2
o
j
0
.
. . cos
[(г
— 1) а>0]
1
W (еза>0)
1
cos соi
1
cos соГ
а(0)
а(1)
( - 1)
W(e}(0г)
а (г
б
D
D (е>а1)
(3.120)
Непосредственное
решение
системы
(3.120)
„
,
довольно
сложный
И длительный
ДЛЙТвЛЬНЫЙ процесс;
ттпптторр* гораздо проще найти б аналитически:
Г Л П О О Т Т А
б
где
т т г \л т т г л
a0D (ejtt>0) + at D (е*0*)-}- • . . - \ - a TD (eje>r)
a0/ W (e ^ 0) — ең/W ( е Щ
• • + ( - i)r ar/W (e>*r) '
1
a
i-=0
ІФҺ
(p^h
%i)
(3.121)
(3.122)
И
X
COS 0);
(3.123)
После вычисления б для интерполяции Р (е}ы) по ее значениям
R Г
Л пиаү м
/л
_________
в
г Тточках
со0, со2,
сог_і, равным
Глава 3
160
используется интерполяционная формула Лагранжа в барицен­
трической форме:
г-1
р*
У,
хъ
һ= 0
(3.125)
Р (ej(0)
г-1
в*
ХҺ
О
где
1
Р
И
As
X
------
В
ІФҺ
1
(3.126)
(xh — Xi)
COS (О.
W
O
Заметим, что функция Р (ejo}) будет также интерполироваться
,
Ъ/
W
(e‘
,u
’r)],
так
как
она
удовлет­
до значения D (е г)
[(
воряет уравнению (3.119). На следующем этапе вычисляется
Е (ej<0) на густой сетке частот. Если |Е (ejt0) | < б для всех частот
этой густой сетки, то получена оптимальная аппроксимация.
Если же |Е
] > б для некоторых частот этой густой сетки, то
необходимо выбрать новую совокупность (г - f 1) экстремальных
частот. Новые частоты выбираются в точках экстремумов получен­
ной кривой ошибки, в результате чего б будет увеличиваться и в
конечном счете сойдется к ее верхней границе, что соответствует
решению задачи. В случае если на какой-либо итерации окажется
более чем (г + 1) экстремумов функции Е (е*°), для следующей
итерации в качестве экстремальных используются те (г + 1) ча­
стот, на которых модуль ошибки |Е (ег“) | был наибольшим.
Этап 4 проектирования оптимальных фильтров, заключаю­
щийся в расчете импульсной характеристики, сводится к вычис­
лению отсчетов Р (eia>) на 2м равноотстоящих частотах (где
2м > N) и использованию ДПФ для получения последователь­
ности {а («)}, из которой можно затем найти коэффициенты им­
пульсной характеристики. Каждому из четырех видов филь­
тров с линейной фазой соответствует своя формула, однозначно
связывающая Һ (п) с а (/г).
С учетом вышеизложенного была составлена общая програм­
ма расчета КИХ-фильтров с линейной фазой (она приведена в при­
ложении в конце настоящей главы). На фиг. 3.46 представлена
блок-схема этой программы. Она имеет вводную часть (соответст­
вующую этапу 1 проектирования), предназначенную для расчета
разнообразных многополосных фильтров, включая фильтры ниж­
них и верхних частот, полосовые и режекторныо, а также диффе­
ренциаторы и преобразователи Гильберта. Перечислим возможно­
сти и ограничения приведенной в приложении программы:
___________П
/
Г /
d
/ Т Т 7
ггп т э
Ti> О Т/*
Л ТТО
V T T A B T 1 D T -
Фильтры с характеристиками конечной длины
\Полосовой
Густая сетка
частот Ғ
WATE
Весовая функция
. ЕҒҒ
Требуемая характе
ристика
----------------------------------------- 1 -----------------------------------------------------
Постановка эквивалент­
ной задачи аппрокси­
мации
Первоначальное зада
ние г+1 экстремаль
ных частот
REM EZ
Решение задачи
аппроксимации
Вычисление импульс­
ной характеристики
Печать оптимальной
ошибки и отсчетов
импульсной характе______ ристики
Фиг. 3.46. Блок-схема алгоритма расчета фильтров
1.
Длина импульсной характеристикифильтра
NFILT) ограничена пределами 3 < NFILT
256.
2. Типы фильтров (метка JTYPE):
а) многополосный полосовой или режекторный
(JTYPE
1);
(метка
фильтр
б) дифференциатор (JTYPE = 2);
в) преобразователь Гильберта (JTYPE — 3).
3.
Число полос, задаваемых верхней и нижнеи частотами сре~
за, не превышает 10.
1 1 -0 3 9 9
162
Глава 3
4. Частотная характеристика в каждой из полос задается не­
зависимо.
-:у. Щ
5. Весовая функция в каждой из полос также задается не­
зависимо.
---Сетка частот Ь\ используемая в алгоритме, иллюстриро­
ванном на фиг. 3.46, представляет густую сетку частот в каждой
из полос, где выполняется аппроксимация. С помощью подпро­
грамм WATE и ЕҒҒ по заданным характеристикам автоматиче­
ски производится вычисление весовой функции и частотной харак­
теристики. Подпрограмма REMEZ работает в точности так, как
было описано в данном разделе. Чтобы помочь разработчику ос­
воить приведенную программу, в приложении даны примеры рас­
чета по этой программе нескольких различных фильтров.
Прежде чем перейти к обсуждению свойств некоторых клас­
сов оптимальных фильтров, в разд. 3.31 будет показано, каким об­
разом для расчета оптимальных КИХ-фильтров с линейной фа­
зой можно использовать также методы линейного программирова­
ния.
:
*
*|
3.31. Расчет оптимальных КИХ-фильтров методами
линейного программирования
В оптимальном КИХ-фильтре с линейной фазой максимум
ошибки аппроксимации Е (ej(0) минимизируется на всех часто­
тах о). Обозначив максимальную ошибку через б, можно запи­
сать систему линейных неравенств, описывающих эту минимаксную
задачу:
—
I ЩШ
(3.127)
Здесь F — густая сетка частот в полосах, где выполняется ап­
проксимация. Поскольку Р (е}а) является, линейной комбинацией
г косинусоидальных функций, неравенства (3.127) можно фор­
мально записать в виде задачи линейного программирования:
минимизировать 8 при условиях
Г - 1
а
..
w iff®»! m2~=0 І (m)- cos tePll—ЁИ
—
Щ
(£jo
>
i)
в
Щ
Ш
1
•■ .
- -U??
■r- 1
(ot £ F .
W (ejw0 1 d (m ) cos (mco,) - Щ W ШШ D Н И
m
—0
Для решения этой системы неравенств можно использовать
методы линейного программирования. Но так как метод линейного
программирования весьма близок к методу однократной замены
и в то же время значительно более громоздок по сравнению с ме­
тодом Ремеза (который является методом многократной замены),
Фильтры с характеристиками конечной длин
163
то для рассматриваемого класса задач он почти не используется
С другой стороны, в разд. 3.39 будет показано, что в случаях
когда приходится учитывать ограничения и во временной области’
именно линеиное программирование может оказаться единствен­
ным простым методом решения задачи проектирования.
3.32. Характеристики оптимальных фильтров
нижних частот вида 1
При проектировании оптимального фильтра нижних частот
необходимо задать величину N , частоту среза полосы пропускаҒр, частоту среза полосы непропускания Fs и отношение
функцию ПУЛЬСЯЦИЙ К = В
описывающее заданную веГвую
1
б,
(3.128)
Ш
2 nFs<l(i)<Zn.
Здесь Ц и ба - амплитуды пульсаций в полосе пропускания и не­
пропускания соответственно. На фиг. 3.47 показана частотная
характеристика фильтра нижних частот вида 1. Вспомогательный
параметр AF задается формулой
AF = F. — Fр
(3.129)
и служит мерой ширины переходной полосы фильтра. На фиг 3 48
и d.49 изображены временные и частотная характеристики филь­
тра нижних частот вида 1 с N Я 99, Fp = 0,0808, Fs = 0,1111
А — l,U. Результирующие значения 6, и б2 равны 0,001724
в обеих полосах.
Ранее было показано, что кривая ошибки оптимального филь­
тра ниж них частот может иметь либо г + 1, либо г 4 - 2 экстпр-
вида1иг1
т^Г вил Г 2 Г Ч
+ 1)72 ДЛЯ фильтРа
^ / 2 Для филь­
тра вида 2. Чтобы выяснить, при каких условиях число экстре­
мумов оптимального фильтра достигает максимума, важ но по­
нять сущ ность этого фильтра. Экспериментально установлено что
достаточно простым и информативным способом описания поведе­
ния оптимального фильтра является график зависимости ширины
ереходнои полосы фильтра AF от частоты среза полосы пропуска­
ния | | при фиксированных значениях N , 81 и б 2. Подобный гра-
fa r 9 Ш
І І І І Вида 1 с ^
И и в, = 6г = 0,1 изображен на
фиг. іі.ьи. В идно, что кривая зависимости AF от Fv имеет колеба­
тельный характер с чередующ имися острыми минимумами и по­
логими максимумами. О казалось, что минимумы кривой (с мет­
ками от ER1 до ER5) соответствуют фильтрам с максимумом
К |
.
11*
Глава 3
164
Л
Кривая ошибки
(невзвешенная)
f
Нормированная частота
Фиг. 3.47. Частотная характеристика оптимального фильтра нижних частот
с минимаксной ошибкой.
пульсаций (с дополнительной пульсацией) при заданны х N , Щ
и б 2. Напомним, что кривые ош ибок фильтров с дополнительной
пульсацией имеют (N И 5)/2 экстремумов равной амплитуды.
Д л я фиксированных значений Ц и Ц сущ ествует ровно (N — 1)/2
таких фильтров с дополнительной пульсацией. О казалось, что
в пром еж утках м еж ду реш ениями, соответствующими дополни­
тельной пульсации, сущ ествую т реш ения, соответствующ ие оп­
тимальным фильтрам дв ух типов: масштабируемым фильтрам
0,(3
и
9в
Номер отсчета
Фиг. 3.48. Импульсная и переходная характеристики фильтра нижних час­
тот с минимаксной ошибкой.
сс» -40
Частота
Фиг. 3.49. Частотная характеристика оптимального фильтра нижних частот
с минимаксной ошибкой.
Глава 3
166
к
in
оо
О
§
О
О
*
&
£
I
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0.35 0,40 0,45 050
Частота среза полосы пропускания (Fp)
Фиг. 3.50. Зависимость ширины переходной полосы оптимального фильтра
нижних частот от частоты среза полосы пропускания.
с дополнительной пульсацией и фильтрам, кривые ошибок которых
имеют точно (N + 3)/2 экстремумов равной амплитуды.
Кривые ошибок масштабируемых фильтров с дополнительной
пульсацией (им соответствуют жирные линии на фиг. 3.50) имеют
(N + 3)/2 экстремумов равной амплитуды, а также один экстре­
мум меньшей амплитуды при / = 0 или / = 0,5. Эти фильтры мож­
но получить из смежного фильтра с дополнительной пульсацией
с помощью простого масштабирования, иллюстрируемого фиг. 3.51.
Наверху слева показана частотная характеристика фильтра с до­
полнительной пульсацией, кривая ошибки которого имеет
(N Ц 5)/2 экстремумов. Частотная характеристика имеет вид три­
гонометрического полинома в функции частоты /. Применяя пре­
образование х Й cos (2я/), получим частотную характеристику
в виде обычного полинома по х, показанную на фиг. 3.51
наверху справа. Далее можно использовать простое измене­
ние масштаба
х
типа х' — ах -j- Ц при котором точка
х — — 1 отображается в точку х' — — 1, а х = х н отображает­
ся в точку х' — I. Выбираемое значение хн лежит между + 1
и предшествующим экстремумом. При этом результирующий по-
Фильтры с характеристикам и конечной длины
G(ej2nf>
>
arccos (яг)
х = - 1—
х = х н —*-х '=+1
Фиг. 3.51. Операция масштабирования для оптимальных фильтров нижних
частот.
Ш (СМ- КРИВУЮ
Фиг- 3.51 справа внизу) имеет
'
■
экстремумов равной амплитуды, тогда как при х ’ = 1
величина ошибки будет меньше, чем в других экстремумах. При­
меняя обратное преобразование / = arc cos *72я, получим частот­
ную характеристику (см. на фиг. 3.51 слева внизу), соответствую­
щую масштабируемому фильтру с дополнительной пульсацией,
который имеет (N - f 3)/2 экстремумов равной амплитуды и меньшии экстремум при / = 0. Поскольку оптимальный фильтр дол­
жен иметь не менее (N + 3)/2 экстремумов равной амплитуды,
масштаоирование можно использовать только до тех пор, пока пред­
последний масштабируемый экстремум не окажется в точке х ' — 1.
филирабИР° ВаНИе 38 ЭТИМ 5РеДелом приводит к неоптимальному
„
н
а
Кривые ошибок всех оптимальных фильтров, для которых
решения располагаются между решениями для масштабируемых
фильтров с дополнительной пульсацией, имеют точно (N -(- 3)/2
168
Глава 3
Р(ос)
i
X
Фиг. 3.52. «Невидимая» пульсация.
экстремумов равной амплитуды. Объяснить их наличие с помо­
щью какой-либо простой операции масштабирования не удалось.
Однако, используя обычный полином по х, можно объяснить осо­
бенности этих фильтров, меняя положение и амплитуду «невиди­
мой» пульсации за пределами диапазона — 1
х
+ 1. Как
показано на фиг. 3.52, при возрастании Fp положение невидимой
к + оо. Конечное
оо, а амплитуда
пульсации стремится к
положение и амплитуда невидимой пульсации соответствуют
_ оо — точке, где TV-точечный фильтр эквивалентен (N — 2)точечному фильтру с дополнительной пульсацией, поскольку все
его пульсации находятся в диапазоне — 1 Щ х 1|| + 1. Этот
эффект иллюстрируется на фиг. 3.53, где показаны кривые зависи­
мости ширины переходной полосы от частоты среза полосы про­
пускания для N = 9 и 11 при 8 г = б2 = 0,1. Каждому решению
для фильтра с дополнительной пульсацией при N = 9 соответ­
ствует, как и было предсказано выше, решение для фильтра без
дополнительной пульсации при N = 11.
Если увеличивать Ғр далее предела, при котором невидимая
пульсация оказывается в —оо, она появится в -f-oo и будет пере­
мещаться в направлении точки х — + 1- В конце концов неви­
димая пульсация станет видимой (в точке х = 4~1)? что даст масш­
табируемое решение для фильтра с дополнительной пульсацией.
Приведенное выше в некоторой степени качественное описание
поведения различных типов оптимальных фильтров было прове­
рено экспериментально; это оказалось чрезвычайно полезным для
понимания сущности оптимальных фильтров.
На фиг. 3.54 представлены все типы оптимальных фильтров,
которые могут быть получены путем изменения частоты среза
фильтра. Первый из них соответствует решению с дополнительной
пульсацией приУУ = 25 и б1==б2= 0,05. Ниже приведены частотные характеристики двух различных масштабированных филь­
тров, равные нулю и 0,03 при / jgj 0,5 для первого и второго фильтров соответственно. Последний фильтр в первом столбце соот­
ветствует решению с максимально возможным изменением масштаТ А
Фильтры с характеристиками конечной длины
0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Частота среза полосы пропускания (Ғр)
0,176
N=19
<
Ш 0,152
0,05 0,10
0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
Частота среза полосы пропускания (К )
иг. 3.53. Зависимость ширины переходной полосы от частоты среза полосы
пропускания для нескольких оптимальных фильтров нижних частот.
N =25,6r62=0,05
Решение с
дополнитель­
ной пульсацией
Щт0,20760
Fs = 0,25130
экстремумов
Fp=0,22800
5 = ft 2755/
Решение, полу­
чаемое масштсь
бированием
Fp= 0,20808
Fs= 0,25191
Решение, пол
наемоемасшл
бированием
Ғр=0,24800
. F5S 0,29183
«8
і
Решение, полуна
емое масштаба
рованием
Решение,полу­
чаемое масшт
бированием
{Fp= 0,20850
5 « 0,25250
- 0,24835
*0,29208
Предельное реин
ние, получаемое
масштабироеа
нием
Решение с до­
полнительной
пульсацией
Ғр=0,24870
Ғ$ш0,29240
Ғр- 0,20950
Fs= а 25377
0,2
0,3
0,4 0&0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Частота
Фиг. 3.54. Различные типы оптимальных фильтров нижних частот.
ба, т в. фильтру с частотной характеристикой, равной 0,05 при
j = и,о, кривая ошибки которого имеет (N ' 3)/2
04/0 ----экстремумов
одинаковой амплитуды. Первый фильтр во втором столбце соот­
ветствует точке, лежащей приблизительно посредине между дву­
мя решениями с дополнительной пульсацией. Два следующих филь­
тра соответствуют масштабированным решениям с дополнительнои пульсацие но с величиной
ошибки при / о, отличающейH (e^f)
ся от остальных экстремумов.
У первого из них величина ошиб­
ки при / = 0 составляет около
— 0,005, тогда как у второго она
близка к 0,015. Последний
фильтр во втором столбце соот­
ветствует решению с дополни­
тельной пульсацией.
ТТ /Ч Т Т
Т Т Т Т ТТ Т
/1
гч т т w
* -v
^
^
3.33. Некоторые дополнитель­
ные
свойства
оптимальных
фильтров нижних частот вида 1
Целесообразно рассмотреть
некоторые дополнительные свой­
ства оптимальных фильтров:
1) симметрию
параметров
фильтра;
2) поведение ширины пере­
ходной полосы при больших К\
3) аналитические решения
для чебышевской аппроксима­
ции.
В данном разделе будет опи­
сано, как эти свойства связаны
с задачей проектирования филь­
тров.
1. Симметрия параметров
фильтра
Оптимальный фильтр пол­
ностью характеризуется набо­
ром следующих параметров: N,
Fp, Fs,
и 62. Покажем, что
каждому оптимальному фильт­
ру нижних частот с перечислен­
ным набором параметров соот-
Фиг. 3.55. Симметрия параметров
оптимального фильтра нижних час­
тот.
172
Глава 3
ветствует другой оптимальный фильтр с параметрами N ' — N,
ftp Ц 0,5 — Fa, F's — 0,5 — Fp, 6j = 62,
= б15 т. е. существу­
ет своего рода симметрия параметров фильтра.
На фиг. 3.55 свойство симметрии представлено графически.
Изображенная здесь частотная характеристика фильтра с параме­
трами N , Fp, Fs, 6j и бг может быть записана в виде
(N-D/2
•/
Н* (еіа) — 2
а (n) cos (Ш7г)>
(3.430)
71-ггО
I
Делая подстановку
(о—>• я — о),
получаем
(3.131)
( а - 1)/2
Я* [ей*- “)] = 2
а (р) cos [(я — м) /г]
(3.132)
( - i)n COS (©п)
и,
полагая G (eJ“) = Я*
находим
( N - І )/2
G(e}(0) =
2
S (n) cos (tore).
(3.133)
71=0
е•N*
I
О
I
#
0
0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 азо 0,35 0,40 0,45 0,50
Частота Среза полосы пропускания (Ғр)
Фиг. 3.56. Зависимость ширины переходной полосы от частоты среза полосы
пропускания для оптимальных фильтров нижних частот.
Фильтры с характеристиками конечной длины
173
Выражение (3.133) описывает частотную характеристику опти­
мального фильтра (верхних частот), показанную на фиг. 3 55 б
И наконец, положив
’
(Я-1)/2
(e>®) = 1 —G
S1
2
g (я) COS (сon)
n=0
(JV-D/2
2
g'(rc)cos(owi),
(3.134)
71=0
Щ
Ш
4
получим частотную характеристику оптимального фильтра нижних частот (фиг. 3.55, в) с параметрами N'
N, Ғ'
0,5 — I I
F’ Щ 0,5
Fpi б;
б2. б:
6i.
При б.
б г р е.
= б2) кривая зависимости AҒ от Ғ
(такая, как, например на фиг. 3.50) является симметричнойр
Однако при 6j
б2 кривая зависимости AF от Fp несимметрична,
как это видно из фиг. 3.56, где N Щ 21, 6j = 0,01, б2 = 0,0001.,
Если построить кривую зависимости AF от Fp при N
21,
0,0001, б2 = 0,01, то вследствие симметрии она окажется
зеркальным отображением кривой, приведенной на фиг. 3.56.
2. Ширина переходной полосы для больших К
Из сравнения фиг. 3.50 и 3.56 видно, что кривая зависимости
ширины переходной полосы от частоты среза Ғр в случае К > 1
(К = 6 г/62) сильно отличается от аналогичной кривой при К — 1.
Видно, что при больших К с возрастанием Ғр ширина переходной
полосы уменьшается довольно резко. В приведенном на фиг. 3.56
примере ширина переходной полосы уменьшается более чем в 2 ра­
за с возрастанием частоты среза. Интуитивно этот эффект можно
объяснить тем, что с увеличением Ғр пульсации из полосы непропускания попадают в полосу пропускания, где они могут быть в К
раз больше по величине (в 100 раз для примера на фиг. 3.56),
за счет чего и может быть уменьшена ширина переходной
полосы AҒ.
Этот эффект не столь ярко выражен при больших N. На
фиг. 3.57 изображены кривые зависимости ширины переходной
полосы от частоты среза полосы пропускания для N = 101 и
К = 1, 10 и 100 при б | = 0,1, 0,01, 0,001 и 0,0001 (приведены
кривые только для фильтров с дополнительной пульсацией). Вид­
но, что резкое изменение ширины переходной полосы происходит
большинстве случаев вблизи Ғ
0,5, т. е. только для весьма
ирокополосных фильтров.
3. Чебышевские решения
Хотя нелегко получить аналитическое решение задачи проек­
тирования оптимального фильтра, в частном случае, когда в по­
лосе пропускания или в полосе непропускания имеется только
0,06
— 1------1----- 1------г
а
Фильтры с до­
полнительной
пульсацией *
ЯВЯВК
1-----г
N401
л*
0,01
0,1
J__ I__ L
Ширина
переходной полосы (лҒ)
о
Фиг. 3.57. Зависимость
ширины переходной п о ­
лосы
от частоты среза
полосы пропускания для
оптимальных фильтров
с импульсной характе­
ристикой, содержащей
101 отсчет.
0,1
Частота среза полосы пропускания
(*р)
Фильтры с характеристиками конечной длины
175
Фиг. 3.58. Чебышевский полином.
одна пульсация, такое аналитическое решение существует. Это
решение имеет вид хорошо известного полинома Чебышева.
Рассмотрим полином Чебышева М -й степени Т м (х), определяе­
мый формулой
Тм (я) — cos (М arccos х), \х I §§Г"
сһ(Л /Агсһх), \х
1,
(3.135)
что эквивалентно обычному полиному вида
м
Ш {х)
21 Ь(п)х
(3.136)
1=0
На фиг. 3.58 изображен
график
Г
.,
(х)
для
М
л\/а
- —.
———
4. Если ПОЛО—
ЖИТЬ М
Л
\!С
Х
(N
Щ Й то легко показать, что полином 6 *T(N S (х)
является точным решением задачи аппроксимации для оптималь­
ного фильтра вида 1 с одной пульсацией в полосе пропускания
Поскольку полиномы Чебышева заданы в области я, для отобра­
жения их в область / требуется выполнить преобразование вида
* о -М
X
1
о
X
cos
(
2
л
f)
(3.137)
2
2
Глава 3
176
которое обеспечивает отображение интервала —1
в ин­
тервал 0 < / < 0,5 и преобразование обычного полинома по х
в тригонометрический полином по /. Значение Х 0 в преобразова­
нии (3.137) соответствует точке, в которой
(х) Щ
= (1 + бі)/б2.
В случае когда решение имеет вид чебышевского полинома,
частоты среза полос пропускания и непропускания являются
отображениями точек х = Х р (где 7\^-п/2 (х) ” (\ — б1)/о2)
Чгбышеөские решения
N 427
К меняется
а:
2S
У
д1 меняется
61= 0,5; 0,2; 0,1; 0,05;...] 0,00001
1
Фиг. 3.59. Свойства оптимальных (по Чебышеву) фильтров нижних частот.
I
Фиг. 3.60. Дополнительные свойства оптимальных (по Чебытпсву) фильтров
нижних частот.
1 2 -0 3 0 9
Глава 3
178
и х = + 1. Таким образом, можно наити аналитическое выраже­
ние для ширины переходной полосы ДҒ , которое при больших N
имеет вид
ЛҒ = Ғ . - F„ * T i f e t (Arch ( Ц Ь ) -
{[■Щ Н )
1
1
1
р ||г)
1
1
1
1
1
| fi
При бх <С 1 это выражение упрощается:
А /? «
n ( N - T ) (1п 2 “ 1п б *>*
Таким образом, величина D , определяемая формулой
D = (N - 1) AF,
1
(3 -1 3 9 )
(3.140)
при сделанных выше предположениях оказывается независимой
от величин AF и N. На фиг. 3.59 приведены графики зависимо­
сти величины D от lg б2 для N = 127 (т. е. большого iV) и различ­
ных значений К и бх. Из графиков видно, что D действительно
не зависит от
при малых бг. На фиг. 3.60 приведены графики
зависимости D от lg б2 для К = 1, 10 и 100 и различных значений
N от 3 до 127. Как и было показано выше, при N Щ 51 величина
D по существу не зависит от N.
3.34. Соотношения между параметрами оптимального
фильтра нижних частот
Аналитического решения задачи расчета оптимального филь­
тра, за исключением частного случая чебышевского решения, не
существует. Как видно из приведенных выше графиков, ширина
переходной полосы фильтра в случае чебышевского решения обыч­
но оказывается значительно меньше, чем для других оптимальных
фильтров с такими же значениями N , бх, б2, но при других Fp
и Fs. На основе экспериментальных данных по очень большому
числу оптимальных фильтров была получена совокупность при­
ближенных расчетных соотношений, связывающих параметры
проектируемых фильтров. С помощью этих формул разработчик
может выбрать любые четыре из пяти параметров N, Ғщ Fs, р
и б2, а затем оценить недостающий пятый параметр. При проекти­
ровании фильтра разработчик должен перебирать значения неза­
данного параметра до тех пор, пока не будут удовлетворены (воз­
можно, с запасом) требования ко всем другим параметрам.
В систему расчетных соотношений входит прежде всего най­
денное выше выражение для величины D:
DтЖ
-
1) AF = (N - 1) (F, - Fp).
( 3 .1 4 1 )
Ф и л ь т р ы с характеристиками конечной дл ины
179
Кроме того, используются следующие эмпирические соотношеш я:
D oo (6lf 62) = [ах (lg б*)2 + а 2 lg б4+ а3] lg б2 +
+ [«4(lg lip + р lg If +
где
а±
а
5,309 • Ю-з,
7,114 • 10-2,
4,761 • 1 0 -\
2,66 • 10-3,
5,941 | 10Ң
4,278 • 10-1,
с
Оз
«4
Й5
«6
а также
где
/ (^i> б2) — Ьх -f- 62 (lg б.
lg б2),
(3.143)
11,01217,
0,51244,
Ш
и, наконец,
Doo (бц б2)
(3.142)
(N
1) AF
/ ( б 1э б 2) ( А Ғ у .
(3.144)
Чтобы понять, как правильно использовать эти расчетные соот­
ношения, рассмотрим случай, когда заданы б1? б2, Щ и Ғ а щ зработчику предстоит найти подходящее значение N. Из соотноше­
ний (3.141), (3.142) и (3.144) находим N , оценку N:
N
D qo (б|, 62)
ЛҒ
/ ( б 4, б2) (ДҒ) + 1.
Ш 45)
Полученное начальное значение N вместе с заданными значениям^
Р1 8 и
~
образует исходный набор оценок расчетных па­
раметров фильтра. В зависимости от того, окажутся ли действи­
тельные значения бх и б2 (полученные в результате расчета фильтра)
слишком большими или слишком малыми, величина N соответст­
венно увеличивается.либо уменьшается до тех пор, пока не будут
обеспечены или даже превышены значения всех других парамеВ случае когда первоначально не задаются либо Щ либо
следует воспользоваться расчетным соотношением для оценки
Л/' (а следовательно, и для оценки либо Ғв, либо Fp):
AF
дг—1|
2/(6,, 62)
[V
Ш
: Ші’
W°° (б(|, 62)
(N—1)*
1
(3.146)
Далее незаданный параметр варьируется от первоначального
значения до тех пор, пока не будут получены подходящие значе­
ния всех параметров.
Глава 3
180
Когда незаданным параметром является 62, его оценку можно
найти по формуле
s б
( N — 1) \ F - \ - d j (AF)* — eg
с14- Ъ» (AҒ)*
(3.147)
где
Щ(lg 6j)2 jj а2 lg
+ а3,
| | = а4 (lg 6і)2 + «5 lg
di = bj + &2 lg
случае
чику оценить значение К — рШш которое затем варьируется до
тех пор, пока величина
не окажется в заданных пределах.
Наконец, если незаданным параметром является 6Х, его оцен­
ку можно найти по формуле
ig 8і — — f + y
I S
i
(ЗЙ М
где
gi = bi — Ъ2 lg б2,
ёз
[%—ь2 (АЛ2]
Ц
’
ез —gj ( Д ^ —(ІУ—1) AF
жЛ
І ==
I
Щ
l g S 2 4 “ ^4,
#2 l g ^2 *4“ #5*
І
l g ^2 “Ь ^в%
В этом случае начальное значение
позволяет найти оценку
величины .ЙГ= Si/62, которая затем варьируется до тех пор, пока
б2 не окажется в заданных пределах.
М
Проверка на большом числе спроектированных фильтров
показала, что приведенные расчетные соотношения дают достаточ­
но хорошие оценки незаданных параметров.
✓Ч
3.35. Свойства оптимальных фильтров
нижних частот вида 2
Большая часть рассмотренных выше свойств оптимальных филь­
тров нижних частот вида 1 относится и к фильтрам вида 2, среди
которых также можно выделить оптимальные фильтры нижних
частот трех основных типов: фильтры с дополнительной пульса­
цией, кривые ошибок которых имеют (N12 + 2) экстремумов рав­
ной амплитуды, масштабированные фильтры с дополнительной
Фильтры с характеристиками конечной длины
181
пульсацией, имеющие (N/2 + 1) экстремумов равной амплитуды
и один меньший экстремум, и, наконец, фильтры с равновеликими
пульсациями, имеющие (N12 + 1) экстремумов равной амплитуды.
Главное отличие фильтров вида 2 от фильтров вида 1 состоит в
том, что их частотная характеристика в точке со = я должна быть
равна 0. Это приводит к тому, что фильтры вида 2 имеют некото­
рые особенности по сравнению с фильтрами вида 1. В настоящем
разделе рассмотрены эти особенности и проведено сравнение филь­
тров нижних частот обоих видов.
На фиг. 3.61 представлена амплитудная характеристика ти­
пичного оптимального фильтра нижних частот вида 2. Параметры
Fpy
и б 2 имеют здесь тот же смысл, что и для фильтров вида
1. При / = 0,5 амплитудная характеристика равна нулю, так как
Д*
= 0 в точке z = —1. На фиг. 3.62, а ж б представлены
амплитудные характеристики фильтра вида 2 с дополнительной
пульсацией и фильтра вида 2 с равновеликими пульсациями. В этих
примерах N = 10, поэтому функция ошибки фильтра с дополни­
тельной пульсацией имеет 10/2 -f- 2 = 7 экстремумов, тогда как
Частота
Фиг. 3.61. Амплитудная характеристика оптимального фильтра нижних
частот, имеющего 10-точечную импульсную характеристику (т. е. N _
ш
f
четное).
Глава 3
182
£
V
9
-
1,00,9 ■
0,80,7 0,6 0,50,40,3 0,20,1°\
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
Частота
Фиг. 3.62. Амплитудные характеристики оптимальных фильтров нижних
частот с дополнительной пульсацией (а) и с равновеликими пульсациями (б),
имеющих 10-точечные импульсные характеристики.
Фильтры с характеристиками конечной длин ы
183
7 JT
у фильтра с равновеликими пульсациями она имеет только 6
экстремумов.
Нетрудно показать, что если N либо только четное, либо
только нечетное, то оптимальный фильтр с импульсной характе­
ристикой, содержащей (N — 2) отсчетов, в принципе не может
быть лучше (т. е. не может иметь меньший уровень максимума
ошибки) оптимального фильтра с импульсной характеристикой,
содержащей N отсчетов. Это вполне понятно, поскольку фильтры,
импульсная характеристика которых имеет (N — 2) отсчетов,
образуют подкласс фильтров с импульсной характеристикой,
содержащей N отсчетов, а оптимальный фильтр подкласса не
может быть лучше оптимального фильтра всего класса. Однако
это положение оказывается несправедливым, если сравниваются
оптимальные фильтры с импульсными характеристиками, содержа­
щими соответственно N и (N — 1) отсчетов. В этом случае невоз­
можно заранее предсказать, какой фильтр будет иметь лучшие
характеристики.
Для иллюстрации вышеизложенного на фиг. 3.63 приведены
кривые зависимости ширины переходной полосы фильтра (ДҒ
—
—
--------------------------- —
^
^
w
а
т
к
•с
Сі 0,092
s
т
0
1
IО
й
8 0,064
I
Частота среза полосы пропускания (Fp)
Фмг. 3.63. Сравнение ширины переходных полос для оптимальных фильтров
нижних частот с четным и нечетным N.
184
Глава 3
= F s — Fp) от Ғр при N — 9, 10, 11 и бх = б2 — 0,1. Эти кривые
позволяют сделать следующие выводы:
||1 |
1. При одинаковых Ғр ширина переходной полосы у фильтров
с N = 10 иногда оказывается меньше, чем у фильтров с N = ІІ,
а иногда больше, чем у фильтров с N = 9.
2. Кривая зависимости АҒ от Ғр при N = 10 несимметрична,
хотя аналогичные кривые при N = 9 и N = ІІ являются сим­
метричными в том смысле, что каждой точке кривой с координатами (Ғр, AF Щ Fs — Fp) соответствует симметричная ей точка
с координатами (0,5 — Fs, AF).
3. Кривая при N — 10 заканчивается точкой, соответствую­
щей решению с дополнительной пульсацией.
Ц
Второй и третий выводы вытекают из характера оптимального
решения, получаемого в точке / — 0,5 для фильтров вида 2.
Поскольку в этой точке Н* р Й = 0, т. е. функция ошибки в от­
личие от фильтров вида 1 здесь не имеет максимума, то простое
преобразование переменных, использованное выше для объяснения
свойства симметрии фильтров вида 1, в данном случае непригодно.
Таким образом, кривая зависимости AF от Fp для фильтров вида
«8
£
Частота
Фиг. 3.64. Последний возможный фильтр нижних частот с дополнительной
пульсацией при четном N.
Фильтры с ха f>aк тер истинам и конечной длины
2 необладает простой симметрией. Третий вывод иллюстрируется
на фяи\ 3.6», где изображена амплитудная характеристика по­
следнего возможного фильтра с дополнительной пульсацией. По­
скольку при / = 0,5 она всегда равна нулю, невозможно получить
фильтр с частотой среза Ғв, как угодно близкой к 0,5, как в слу­
чае нечетных N.
Значение первого вывода нельзя недооценить. Тот факт, что
фильтр с N = 10 (когда для аппроксимации используются пять
функций) может обеспечить заданный
- - —-----------------------------------1
-При
меньшей ширине переходной полосы, чем фильтр с N = 11 (т. е.
при использовании для аппроксимации шести функций), является
довольно неожиданным. В несколько другой формулировке это
означает, что при заданных фиксированных
значениях І.Ғ
*Ір, Ғ*I
У'
и К фильтр с N = 10 может обеспечить меньший уровень пульсации, чем фильтр с ЛГ = 11. Так, например, при Fp_________
= 0,3426,
Ғ. = 0,41623,, 000.
К с
фильтр с N = 11 будет иметь пульсации
So
Si
0,128215, тогда как у фильтра с N = 10 пульсации
б
0 , 1. Ослабление в полосе непропускания фильтра с
«1
N
10 приблизительно на 2,2 дБ больше, чем у фильтра Т Ш Щ
На фиг. 3.65 приведены графики зависимости AF от
для
О 4П
( І
V
/С
І
Й
N
9, 10 и 11 при К = 100 (бх 0,1, б
0,001). Графики поО '
___
--------
т,
___
А
Л А
----------------------
А
j
ал j
/V
л /ч
. .
* 1
XJV СД
___
л
"44
О
сэ
§
щ
о
О
§
&
s:
5:
I
Частота среза полосы пропускания (Fp)
Фиг. 3.65. Сравнение ширины переходных полос для оптимальных фильтров
нижних частот с четным и нечетным N .
Глава 3
Амплитуда
строены для Ғр в диапазоне 0,15
Fp ^ 0,35. Характер зависимости
ширины переходной полосы от Fp
соответствует кривой фиг. 3.62 в том
смысле, что решения при N = 10
иногда обеспечивают меньшую шири­
ну переходной полосы, чем решения
при N = 11, а иногда большую шири­
ну, чем решения при 1Ц = 9.
Две интересные особенности филь­
тров нижних частот вида 1 лишь
частично распространяются и на
фильтры вида 2. К ним относятся
процедуры масштабирования и су­
ществование чебышевского решения
задачи проектирования оптималь­
ных фильтров. Фильтры вида 2 с
дополнительной пульсацией, как и
фильтры вида 1, также можно непос­
редственно масштабировать в окрест­
ности точки I = 0, однако вблизи
точки / = 0,5 просто масштабировать
невозможно, поскольку в этой точке
частотная характеристика фильтров
вида 2 обращается в нуль. Из] фиг.
3.66, где изображены амплитудные
характеристики пяти фильтров с па­
раметрами, взятыми из фиг. 3.63,
следует, что действительно сущест­
вуют оба типа масштабированных
фильтров вида 2 с дополнительной
пульсацией. На фиг. 3.66, а приве­
дена амплитудная характеристика
масштабированного фильтра с допол­
нительной пульсацией, для которой
ошибка аппроксимации в точке / §= 0
близка к 0,02, в то время как на
всех других максимумах она равна
0,1. На фиг. 3.66, б изображена ам­
плитудная характеристика фильтра
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
Частота
Фиг. 3.66. Возможные варианты оптималь­
ных фильтров нижних частот с четным
числом отсчетов в импульсной характе­
ристике.
187
Фильтры с характ ерист иками конечной длины
с дополнительной пульсацией, из которой была получена
амплитудная характеристика, представленная на фиг. 3.66,с.
На фиг. <5.66, в приведена амплитудная характеристика оптималь­
ного фильтра, у которой ошибка аппроксимации в последнем экст­
ремуме намного меньше, чем в других экстремумах. Процедура
масштабирования для получения амплитудной характеристики
такого типа пока не разработана. На фиг. 3.66, г приведена
амплитудная характеристика фильтра, у которой кривая ошибки
аппроксимации имеет тройной нуль в точке/ = 0,5 из-за отме­
ченного выше необъяснимого хода характеристики. На фиг. 3 66 д
представлена амплитудная характеристика фильтра для большего
значения Ғ р, чем у фильтра на фиг. 3.66,г. Эта характеристика
Равновеликие пульсации, а ее кривая ошибки содержит
(ly/Z-f- 1 ) максимумов.
3.36. Характеристики оптимальных дифференциаторов
Требуемая частотная характеристика оптимального КИХдифференциатора имеет вид
70)
п !
/ (2л — со)
л
0 ^ о ) ^ 2 л Ғ р,
(3.149)
f 2л (1 — Ғ р) < ( о < 2л,
где частота среза дифференциатора Ғр представляет собой наи­
большую частоту, на которой он еще должен работать. Поскольку
характеристика D (е*®) является чисто мнимой, для ее аппрокси­
мации используются фильтры вида 3 или 4. Для минимизации
максимума относительной ошибки результирующей частотной
характеристики используется весовая функция вида
Ч Й ік І
0 < 0 )s ^ 2lt/v
(3.150)
При использовании фильтров вида 4 частота среза дифференциа­
тора Fp может достигать 0,5, тогда как для фильтров вида 3 ве­
личина Fp должна быть меньше, так как иначе максимум относи­
тельной ошибки будет близок к 1,0 из-за того, что при / §= 0,5
амплитудная характеристика обращается в нуль.
На фиг. 3.67—3.70 приведены характеристики нескольких
ярокополосных дифференциаторов. На фиг. 3.67 изображены ам­
плитудная характеристика, а также кривые абсолютной и относи­
тельной ошибок дифференциатора с N = 16 и Fp §§ 0,5. Максимум
относительной ошибки равен 0,0136, а сама кривая имеет равно­
великие пульсации. Аналогичные кривые для анализатора с
N — 32 приведены на фиг. 3.68. В этом случае максимум относи­
тельной ошибки уменьшен до 0,0062. На фиг. 3.69 изображена
амплитудная характеристика дифференциатора с N — 31. По-
188
Глава 3
N=16
t
a
•s
с
■S
0,0136
6
-0,0136
0,0136
a:
48
p
Ss
Ъ
c
>
a:
-0,0136.
Нормированная частота
Фиг. 3.67. Частотные характеристики 16-точечного оптимального диффе
ренциатора.
0,5, кривая
скольку она должна обращаться в нуль в точке /
ошибки достигает в этой точке максимума, равного 1,0, т. е.
этот дифференциатор оказывается чрезвычайно низкочастотным.
Как видно из фиг. 3.70, а, при уменьшении частоты среза, напри­
мер до Fp = 0,4, результирующая частотная характеристика диф­
ференциатора с N = 31 становится вполне приемлемой. На
фиг. 3.70, б та же амплитудная характеристика изображена в пре­
делах от I = 0 до / = 0,4, т. е. до частоты среза, а на фиг. 3.70, в
представлена функция ошибки в том же частотном диапазоне.
Максимум относительной ошибки на интервале 0 Ш / Ц| 0,4 со­
ставляет приблизительно 0,000028.
Основными ттяпямртпямп
пиААйпйнпиятппа являются
являю тся N ., F
параметрами дифференциатора
и б — максимум относительной ошибки. На фиг. 3.71—3.7
приведены результаты большого числа измерений б как функции
Фильтры с характеристиками конечной длины
189
Нормированная частота
Фиг. 3.68. Частотные характеристики 32-точечного оптимального дифферен­
циатора .
Фиг'
представлены графики зависимости величи­
ны 20 lg б от N при значениях Fp, равных 0,5, 0,45 и 0,4, и четных
и нечетных N в диапазоне от 3 до 128. Кривая для нечетных N
® р
на Фиг* ІЩ не изображена, так как в этом случае
б = 1,0 независимо от величины N . Из фиг. 3.71 следует, что при
одинаковых Ғр величины б дифференциаторов с четными N на
один-два порядка (т. е. на 20—40 дБ) меньше, чем у дифференциа­
торов с нечетными N . Из приведенных графиков также видно,
что при более узкой ширине полосы дифференциатора (т. е. при
меньшей величине Ғр) максимум относительной ошибки быстрее
убывает при увеличении N . Так, при Ғр = 0,5 величина 20 lg б
уменьшается только на 35 дБ при изменении N от 4 до 128, тогда
как при Fp = 0,45 она уменьшается приблизительно на 98 дБ
при изменении N от 4 до 52.
Фиг. 3.69. Частотная характеристика 31-точечного оптимального дифферен­
циатора.
'
N=31
І
г
л
0,000028
о
0,000028
Нормированная частота
Фиг. 3.70. Частотная характеристика 31-точечного оптимального диффе
ренциатора.
FpmQ,5f N четное
Fp=0,40t N нечетное
Fp=0,45, N нечетное
$=0,40,
-N четн
жШЩ
N четное
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120130
N в отсчетах
Ф иг. 3. 71. Относительная ошибка аппроксимации для оптимальных днффе
ренциаторов в зависимости от N .
а35
040
0,45
0,50
Частота среза полосы пропускания (Fp)
Фиг. 3.7 2. Относительная ошибка аппроксимации для оптимальных дифференциаторов в зависимости от Fp .
192
Глава 3
£9
ст>
0,25
0,30
0,35
0,40
0.45
0,50
Частота среза полосы пропускания (Ғр)
Фиг. 3.73. Относительная ошибка аппроксимации для оптимальных дифференциаторов в зависимости от Fp.
На фиг. 3.72 и 3.73 приведены графики зависимости ошибки
20 lg б от Fp для четных N (N = 4, 8, 16, 32, 64) и нечетных N
(N = 5, 9, 17, 33, 65). Результаты для четных и нечетных N пред­
ставлены отдельно из-за различного характера зависимостей. Из
фиг. 3.73 видно, что по мере приближения Fp к 0,5 величина
20 lg б стремится к нулю независимо от
т. е. при нечетных N
все кривые в точке Fp = 0,5 сходятся. При четных N кривые при
всех значениях Fp идут раздельно. Главный вывод, который мож­
но сделать по этим кривым, состоит в том, что чем больше N ,
тем быстрее спадает максимум относительной ошибки с уменьше­
нием ширины полосы дифференциатора.
|
Таким образом, чтобы рассчитать наиболее эффективный КИХдифференциатор (т. е. получить заданную величину максимума
относительной ошибки при наименьшем возможном N ), следует
выбирать его полосу как можно меньшей ширины и, если возмож­
но, четное N . Например, чтобы получить максимум относительной
ошибки меньше 1%, нужно использовать следующие значения
N (в зависимости от Fp):
|р
193
Фильтры с характеристиками конечной длины
0,5
0,45
0,40
Нечетные N
Четные N
Невозможно
27
15
22
10
6
Если
же
требуется,
Л . 0/
- - чтобы максимум относительной ошибки
оыл U,l /о, следует использовать другие значения N:
Нечетные N
0,5
0,45
0,40
Четные N
Невозможно
41
21
128
18
12
Приведенные таблицы показывают, насколько существенно мож­
но уменьшить N за счет изменения Ғр и выбора четного N вместо
нечетного.
3.37. Характеристики оптимальных
преобразователей Гильберта
Идеальная частотная характеристика оптимальных КИХпреобразователей Гильберта описывается выражением
“
г»
2л (1 — Ғн) ^ с о ^ 2 л (1 — FL),
* *151^
где F L
нижняя, a F н — верхняя частоты среза полосы, в ко­
торой фильтр аппроксимирует идеальную частотную характери­
стику преобразователя Гильберта. Как и при расчете дифферен­
циаторов, для аппроксимации характеристики (3.151) исполь­
зуются фильтры вида 3 или 4. Для минимизации максимума
ошибки характеристики фильтра используется весовая функция
W (е?®) = 1. Для фильтров вида 3 величина Ғ н должна быть
меньше 0,5, тогда как для фильтров вида 4 величина Ғ н может
достигать 0,5. Однако величина F L всегда должна быть больше
О, поскольку для фильтров обоих видов Н* (еіш) = 0 при © = 0.
Для фильтров вида 3 оказалось целесообразным выбирать
ь =
Ғ н , поскольку в этом случае результирующая ча­
стотная характеристика оказывается симметричной относительно
частоты (о = я/2 (/ = 0,25), в результате чего каждый второй
и
13—0399
194
Глава 3
отсчет импульсной характеристики преобразователя Гильберта
в точности равен нулю. Это легко показать следующим образом.
Если частотная характеристика симметрична относительно
со = я/2, то
А
Н* (eja>) = Н* И "-*»].
(3.152)
Для фильтров вида 3 соотношение (3.152) принимает вид
(iV—1У2 ^
(JV-D/2 л
2
С (п ) sin (on) = 2
С (Л) Sin КЯ — ©) Л] =
71=1
71=1
( N- l ) / 2 л
=
или
2
n-=l
(iV -l)/2 _
2
J
с(ге)( —l)n+1 sin (ton),
-
& :;V.‘І
~" ' :' :'.:s
'
: / tiy f
1
Lb "
«
p
j
с (гг) sin (согг) [1 — (— l)n+1] = 0,
71=1
откуда следует, что
~
f
c(re) = {
{
о,
если n четное,
произвольное, если n нечетное,
_
__
(3.153)
что и требовалось доказать. Выражение (3.153) означает, что при
прямой форме построения преобразователя Гильберта вида 3 с
одинаковыми верхней и нижней переходными полосами на каж­
дый входной отсчет требуется только (N + 1)/4 умножений,
тогда как при использовании фильтра вида 4 требуется N/ 2 ум­
ножений на отсчет (даже при одинаковых верхней и нижней пере­
ходных полосах). Это объясняется тем, что частотная характери­
стика фильтров вида 4 не может быть симметричной (характери­
стика равна нулю при и §§ 0 и отлична от нуля при © = я).
Таким образом, можно считать, что с точки зрения объема вычис­
лений преобразователи Гильберта вида 3 в два раза эффективнее
преобразователей Гильберта вида 4. Остается показать, что это
преимущество преобразователей вида 3 можно использовать
для уменьшения максимума ошибки аппроксимации по срав­
нению с преобразователями вида 4. Этот подход к проектированию
преобразователей будет обсуждаться в данном разделе позже.
На фиг. 3.74—3.77 приведены частотные характеристики
нескольких КИХ-преобразователей Гильберта. На фиг. 3.74
изображены импульсная и амплитудная характеристики, а также
функция ошибки аппроксимации преобразователя Гильберта
с N — 31, FL = 0,04 и Ғ н = 0,46. Поскольку верхняя и ниж­
няя переходные полосы имеют равную ширину, каждый второй
коэффициент импульсной характеристики равен нулю. Максимум
ошибки аппроксимации этого преобразователя равен 0,008094,
а кривая ошибки имеет, как было показано ранее, равновеликие
пульсации. На фиг. 3.75 представлены те же характеристики пре-
Фильтры с характеристиками конечной дл ины
N~31 Fj~:0,04 Ғн-0,46
Импульсная характеристика
а
-0,633.
Число отсчетов
Амплитудная характеристика
6
Нормированная частота
0.008094
0,5
Функция ошибки
в
-0,00809'
Нормированная частота
Фиг. 3.74. Характеристики оптимального преобразователя ГильОерта
образователя Гильберта с N = 32, FL
0,04 и Ғ н = 0,46. Как
уже было отмечено, даже при одинаково ширине верхней и нижней переходных полос все коэффициент!
стики отличны от нуля из-за отсутствия симметрии в частотной
характеристике фильтров вида 4. Как видно из фиг. 3.75, б, ам­
плитудная характеристика имеет в диапазоне 0,46 < / С 1 1
произвольный вид, поэтому ее значения здесь нельзя предска„„.„.
Из фиг. 3.75, в видно, что кривая ошибки опять имеет равновеликие
пульсации ~
ации, но максимум
””
ибки
случае
0,007175.
13*
Глава 3
196
N=32 FL=0,04 Ғн ~0,46
Импульсная характеристика
0,627
а
Д—А
-0,627
О
3/
Число отсчетов
Амплит удная характ ерист ика.
6
I
Нормированная частота
Функция ошибки
0,007175
в
О
-0,007175,
0,04
Нормированная частота
0,46
'
Фиг. 3.75. Характеристики оптимального преобразователя Гильберта
На фиг. 3.76 и 3.77 иллюстрируются случаи, когда верхняя
и нижняя переходные полосы выбираются неодинаковыми. На
фиг. 3.76 приведены характеристики трех преобразователей Гиль­
берта с N Щ 15 и следующими частотами среза: a) FL = 0,02
и
1 0,48; 6)
0,1 и
= 0,48; в)
= 0,02
Максимумы ошибок аппроксимации равны U,2bbt>ai,
и 0,260737 соответственно. Таким образом, даже при изменении
одной из частот среза в пять раз (т. е. от 0,02 до 0,10) максимум
ошибки меняется всего на 2%. Более того, из фиг. 3.76, б и в
видно, что амплитудная характеристика имеет значительный не­
желательный пик в широкой переходной полосе. Кроме того,
Й
ЯI
II
g
11
Фильтры с характеристиками конечной дл ины
N=15
а
2А 66
6
О
2.466
Нормированная частота
Фиг. 3.76. Характеристики оптимальных преобразователей Гильберта.
при неравных переходных полосах чястотная характеристика не
симметрична и все коэффициенты импульсной характеристики не
равны нулю. Итак, незначительное уменьшение максимума ошибки
за счет использования неравных переходных полос не компенси­
рует нежелательных эффектов в амплитудной и импульсной харак­
теристиках. Более того, из приведенного и других аналогичных
примеров видно, что в случае, когда импульсная характеристика
содержит нечетное количество отсчетов, максимум ошибки аппрок­
симации определяется главным образом меньшей из двух переход­
ных полос.
На фиг. 3.77 приведены аналогичные характеристики преобра­
зователей Гильберта с неравными переходными полосами, но для
четного N = 16. Верхняя и нижняя частоты среза этих преобразо­
вателей равны: a) FL == 0,02, Ғ н = 0,48; б) FL = 0,02, Ғ н = 0,40,
498
Глава 3
в) FL = 0,02, Ғ н — 0,50. Соответствующие им максимумы ошиб­
ки аппроксимации равны 0,247920, 0,232594 и 0,248561. В при­
мере на фиг. 3.77, б (где верхняя переходная полоса в пять раз
больше нижней) амплитудная характеристика опять имеет зна­
чительный пик в области верхней переходной полосы. Максимум
ошибки аппроксимации для этого случая примерно на 6 % меньше,
чем при равных переходных полосах. Таким образом, незначитель- |
ное уменьшение максимума ошибки не компенсирует появления I I
нежелательного пика в частотной характеристике. С другой сто- роны, из фиг. 3.77, в следует, что если ширина верхней переход- ;
ной полосы равна нулю, т. е. если Ғ н = 0,5, то максимум ошибки
почти не меняется. Из этих и других примеров видно, что макси- t
мум ошибки аппроксимации почти полностью определяется шири­
ной нижней переходной полосы (из-за того, что характеристика j
равна нулю при а> = 0). Таким образом, для минимизации пика
Фиг. 3.77. Характеристики оптимальных преобразователей Гильберта.
Фильтры с характеристиками конечной дл ины
199
N
Фиг. 3.78. Зависимость ошибки аппроксимации от N для оптимальных
преобразователей Гильберта.
Ширина переходной полосы (лҒ)
Фиг. 3.79. Зависимость ошибки аппроксимации от ДҒ для оптимальных
преобразователей Гильберта.
200
Глава 3
в верхней переходной полосе ее ширину следует выбирать меньше
ширины нижней переходной полосы (или равную ей).
Основными параметрами преобразователя Гильберта являются
максимум ошибки аппроксимации (или пульса^
N , FL, Ғ н и б
0,5 — Ғ Щ т. е. что верхция) фильтра. Если положить, что Ғ н
няя и нижняя переходные полосы равны, то можно задавать толь­
ко три параметра: N , б и AҒ = FL = 0,5 — Fн . На фиг.З. 78
и 3.79 приведены результаты большого числа измерений б как
функции AF и N . На фиг. 3.78 представлены графики зависимости
0,01; 0,02; 0,05 и 0,1 для четных
величины 20 lg б от N при AF
128. В масштабе фиг. 3.78
N
и нечетных N в диапазоне 3
кривые для четных и нечетных N при одной и той же ширине пере­
ходных полос практически неразличимы, поэтому они изображены
одной кривой. Из этих кривых видно, что максимум ошибки
уменьшается с увеличением N тем быстрее, чем ире переходная
полоса преобразователя Гильберта. Так, при AF = 0,01 величина
20 lg б уменьшается приблизительно лишь на 42 дБ при изменении
N от 3 до 128, тогда как при AF — 0,05 величина 20 lg б умень­
шается приблизительно на 112 дБ при изменении N от 3 до 76.
Из фиг. 3.79, где приведены кривые зависимости величины
20 lg б от AF для четных и нечетных N , а именно для N = 3, 4,
7, 8, 15, 16, 31, 32, 63 и 64, видно, что, когда AF стремится к нулю
20 lg б стремится к 0 дБ, т. е. максимум ошибки аппроксимации
стремится к 1 независимо от величины N . Кроме того, максимум
ошибю уменьшается тем быстрее с увеличением ширины переходвеличи­
ной полосы преобразователя Гильберта, чем болы
Таким образом, для того чтобы рассчитать наиболее эффектив­
ный КИХ-преобразователь Гильберта (т. е. получить заданную
величину ошибки аппроксимации, используя наименьшее число
умножений на отсчет), следует выбирать как можно более широ­
кую переходную полосу и использовать импульсную характери­
стику, содержащую нечетное число коэффициентов. Например,
чтобы получить максимум ошибки меньше 1 % (б Н 0,01), нужно
использовать следующие значения N (в функции AF):
ДF
Нечетные N
Число умноже­
ний на отсчет
0,01
0 ,0 2
0,05
0 ,1 0
119
59
27
11
30
15
7
3
Четные N
Число умноже­
ний на отсчет
118
60
24
12
59
30
12
6
201
Фильтры с характеристиками конечной длины
Ниже приведены значения N , которые требуются для обеспе
чения максимума ошибки менее 0,1% (б
0,001):
AF
0,01
0,02
0,05
0 ,1 0
Нечетные N
> 127
95
39
19
Число умноже­
ний на отсчет
Четные N
Число умноже­
ний на отсчет
24
10
5
> 127
94
38
18
47
19
9
Приведенные таблицы указывают на существенное преимущество в реализации преобразователей Гильберта с нечетным N и
симметричной частотной характеристикой.
3.38. Многополосные оптимальные КИХ-фильтры
Как уже было сказано, в приложении к данной главе приведе­
на программа оптимального проектирования многополосных
фильтров, в том числе полосовых и режекторных. На фиг. 3.80—
3.83 представлены амплитудные характеристики (в логарифмическом масштабе) трех типичных многополосных фильтров. На
фиг. 3.80 изображена характеристика полосового фильтра
32)
со следующими граничными частотами: 0 и 0,1 для нижней полосы
непропускания, 0,2 и 0,35 для полосы пропускания, 0,425 и 0,5
для верхней полосы непропускания. Весовая функция уменьша­
ет ошибку в полосе непропускания в 10 раз по сравнению с ошиб­
кой в полосе пропускания, так что максимум ошибки равен
0,00151 (56,4 дБ) в полосе непропускания и 0,0151 в полосе про­
пускания. На фиг. 3.81 изображена характеристика режекторного фильтра (N = 31) со следующими граничными частотами:
0 и 0,1 для нижней полосы пропускания, 0,15 и 0,36 для полосы
непропускания, 0,41 и 0,50 для верхней полосы пропускания.
Весовая функция уменьшает ошибку в полосе непропускания
в 50 раз по сравнению с ошибкой в полосах пропускания. Макси­
мум ошибки в полосе пропускания равен 0,144, тогда как в поло­
се непропускания он равен 0,00288 (50,8 дБ).
На фиг. 3.82 представлена частотная характеристика четырех­
полосного фильтра с одной полосой пропускания и тремя полоса­
ми непропускания со следующими граничными частотами: 0 и
0,01786 для полосы пропускания, 0,125 и 0,1607 для первой поло­
сы непропускания, 0,2679 и 0,3036 для второй и 0,411 и 0,4464
для третьей полос непропускания. Максимум ошибки был огра­
ничен величиной 0,0144 в полосе пропускания и величиной
0,000708 во всех трех полосах непропускания. Кроме того, было
202
Глава Я
/V*32
•*?
*
Частота
Фиг. 3.80. Частотная характеристика оптимального (в минимаксном смысле)
полосового фильтра.
N=31
Частота
Фиг, 3.81. Частотная характеристика оптимального (в минимаксном смысле)
режекторного фильтра.
10г
0 -1 0 -2 0 £
-3 0 -
4
0
4
5 -5 0 9!
1 -6 0 s:
*
•ч: -7 0 -8 0 -
-90-100-
-по\
0,5
Нормированная частота
Фиг. 3.82. Частотная характеристика оптимального многополосного фильтра
Амплитуда, дБ
N=128
Частота
5
Фиг. 3.83. Частотная характеристика
оптимального полосового фильтра
с произвольными весовыми коэффициентами в полосе непропускания.
204
Глава 3
поставлено условие, чтобы длина импульсной характеристики N
равнялась 21, так как этот фильтр входил в состав цифрового
устройства в качестве интерполятора. Фильтр с характеристикой,
изображенной на фиг. 3.82, удовлетворяет всем перечисленным
требованиям и был использован в системе телефонной связи.
Наконец, на фиг. 3.83 приведена частотная характеристика по-,
лосового фильтра, при расчете которого была использована не­
стандартная весовая функция
10
0
<
/
<
0
,
1
,
1— 9 / ’
w ЩШ
0 ,1 2 < /< 0 ,1 3 ,
1,
10
9 /- 1 ,2 5 »
Ю,
1
0 ,1 5 < /< 0 ,2 5 ,
0,25 < / < 0 , 5 .
0,1 и / = 0,15) весовой
На границах полос непропускания (/
коэффициент равен 100, а ошибка аппроксимации составляет
0,005. При / = 0 и 0,25 весовой коэффициент уменьшается до 10,
так что ошибка равна 0,05. При промежуточных значениях ча­
стоты максимум ошибки линейно возрастает.
3.39. Расчет фильтров при одновременном ограничении
и во временной, и в частотной областях
До сих пор рассматривался расчет цифровых фильтров, аппрок­
симирующих лишь заданные частотные характеристики. Довольно
часто приходится вводить ограничения одновременно и для вре­
менной, и для частотной характеристик фильтра. Например, при
проектировании фильтров нижних частот может возникнуть не­
обходимость ограничения выброса (или пульсаций) переходной
характеристики фильтра при одновременном сохранении в разум­
ных пределах его частотной характеристики. Задачу такого типа
можно решить методами линейного программирования, поскольку
переходная характеристика представляет собой линейную ком­
бинацию коэффициентов импульсной характеристики.
В качестве примера рассмотрим расчет фильтра нижних ча­
стот вида 1, удовлетворяющего следующим требованиям:
полоса пропускания: 1 — $1 < Н* (е*а) < 1 -f- 8j,
(3.154)
полоса непропускания; —62< Я * (е*®Хва»
(3.155)
переходная характеристика: —
(геХ^ з » 0 < n
(3.156)
Здесь величина
определяет область, в которой переходная
характеристика, определяемая выражением
g(n)= 2
һ(тп),
(3.157)
Фильтры с характеристиками конечной длины
205
колеблется около нуля. Ясно, что g (п) равна линейной комбина­
ции коэффициентов импульсной характеристики фильтра, поэтому
система ограничений (3.154)—(3.156) может быть решена метода­
ми линейного программирования. Например, можно зафиксиро­
вать какие-либо один или два параметра из трех (б15 62, | | | и мини­
мизировать^ оставшиеся (или оставшийся) либо принять, что
6J = i l l б.
а ,б и б
а 3б, где а х, а , и а 3 константы,
1,2
Переходная характеристика
д3=0,12
0,8
О
&
0,4
0
Т т
----- Г
9
12
15
Номер отсчета
18
21
24
-4 0
\
%
К!
-6 0
0,2
0,3
0,4
Частота
Фиг. 3.84. Переходная и частотная^характеристики оптимального фильтра
нижних частот без ограничений во временной области.
206
Глава 3
Переходная характеристика
1,2
8у 0,03
0,8
ж
а4
а-
о
-0,4
0
*
» -----I
3
I
•
J—1
і
6
■1■
I
T
9
12
15
18
21
24
Номер отсчета
Частота
Фиг. 3.85. Переходная и частотная характеристики оптимального фильтра
нижних частот с ограничениями во временнбй области.
и минимизировать одновременно все три параметра, отыскивая
минимум 6.
Фиг. 3.84 и 3.85 иллюстрируют применение этого метода.
На фиг. 3.84 приведены переходная и частотная (в логарифмиче­
ском масштабе) характеристики фильтра нижних частот вида 1
[N — 25), для которого было принято 6 /,= 256а, а величина б8
минимизировалась. Параметр бд был взят равным 1, т. е. выброс
Фильтры с характеристиками конечной длины
207
переходной характеристики никак не ограничивался. Рассчи­
танны е фильтр имел следующие параметры: б, = 0 12 б
0,06
и. бд => 0,00237. На фиг
^
Цй
птпитл™,
_
*
—
ио^с лидпал и частотная
(в логарифмическом масштабе) характеристики еще одного филькоторого
тра’ у ^которого
б, —
= 00,03
ОЯ
— минимизировалась величина б,
б2 пои
при б3
и
■
■
н
и
ш
а
!
25б21 (Максимум
характеристики
v _ пульсаций
v --- 1---—переходнойлаиалі
сит/ ЩКИ
задан здесь только для 10 первых отсчетов, т. е. там, где характефильтра
зались равными- 8!Х 0,145, 62 — 0,00582 и б| = 0,03. Из фиг. 3.85
видно, что требования к пульсациям переходной характеристики
удовлетворены за счет того, что пульсации частотной характери­
стики перестали быть равновеликими. Используя методы линей­
ного программирования, можно найти компромиссное решение
удовлетворяющее требованиям к временной,
' и к частотной ха-j
рактеристикам,
рассчитать фильтр, наилучшим образом подходящии для конкретных условий.
ГТГ
H H S fa n fA
Т Г Г Л
ТТТГГГ
Л
Г
\
___________________
I f n T T D ^ я п т л . -r
_________ \
Г
т т
-
*
J L ------------ г ~ \ ------——
V |/U V
J L lillU
3.40. Непосредственное сравнение различных КИХ-фильтров
нижних
V
-рассмотрены ТРИ класса методов расчета
Аипл-фильтров: взвешивания, частотной выборки и оптимальным. Несмотря на существование большого числа спосоОқно Кайзера
Фильпіры с частот
ной выборкой
^ д г 1А Ю ~2
Фильтры с*****
дополнытельной
пульсацией
Фиг. 3.86. Сравнение фильтров нижних частот, рассчитанных методами
взвешивания, частотной выборки и оптимальным (по критерию минимаксной
ошибки).
208
Глава 3
бов сравнения получаемых фильтров, возможно, самый объек­
тивный (и самый полезный) состоит в сравнении значений ширины
переходных полос фильтров нижних частот, необходимых для
удовлетворения заданных требований к пульсациям в полосе про­
пускания бх и в полосе непропускания б2. При таком сравнении
лучшими будут оптимальные фильтры, поскольку из всех КИХфильтров с линейной фазой при одинаковых заданных параметрах
именно они обладают минимальной переходной полосой. Полез­
но, однако, знать, насколько хуже фильтры, рассчитанные дру­
гими методами.
'"ъ ^
На фиг. 3.86 сравниваются фильтры с окнами Кайзера, с ча­
стотной выборкой и с дополнительной пульсацией. Для сравнения
используется величина D = (N — 1) ДҒ, изображенная в функ­
ции б2 с величиной бх в качестве параметра, поскольку, как было
показано выше, она практически не зависит от N (при больших
V) и от ДҒ и, таким образом, удобна для сравнения. Как и ожидаось, из фиг. 3.86 следует, что фильтры с дополнительной пульса­
цией обеспечивают наименьшую ширину переходной полосы (D)
при фиксированных значениях 6Х и б2.
ЛИТЕРАТУРА
Весовые функции
1. Kaiser J. F., Design Methods for Sampled Data Filters, Proc . First Allerton
Conf. on C ircuit and System Theory , 221—236 (Nov. 1963).
2. Kaiser J. F., Digital Filters, Ch. 7 in: System Analysis by Digital Computer,
Kuo F. F., Kaiser J. F., eds., Wiley, N. Y., 1966; есть русский перевод
гл. 7 Д. Кайзера «Цифровые фильтры» в книге: Голд Б., Рэйдер Ч., Цифро­
вая обработка сигналов, изд-во «Советское радио», 1973.
3. Blackman R. В., Tukey J. W., The Measurement of Power Spectra, Dover
Publications, N .Y ., 1958.
t
.
_
/І
4. Heyliger G. E., The Scanning Function Approach to the Design oi Nume­
rical Filters, Report R-63-2, Martin Co., Denver, Colo., April 1963.
5. Heyliger G. E., Design of Numerical Filters: Scanning Functions and Equal
Ripple Approximation, Proc. Fourth A llerto n Conf. on Circuit and System
Theory , 175—185 (1966).
,
_
.
.
6. Heyliger G. E., Halijak C. A., Topics in the Design of Moving Average
Numerical Filters, Proc. Second A silo m a r Conf. on Circuits and Systems ,
2 1 4 -2 2 0 (1968).
,
_ _ _ av »* *
7. Helms H. D., Nonrecursive Digital Filters: Design Methods for Achieving
Specifications on Frequency Response, T E E E Trans. A u d io and Electro­
acoustics , 16, No. 3, 336—342 (Sept. 1968).
Фильтры с частотной выборкой
1. Gold В., Rader С. М., Digital Processing of Signals, McGraw-Hill, N. Y.,
1969; есть русский перевод: Голд Б ., Рэйдер Ч., Цифровая обработка
сигналов, изд-во «Советское радио», 1973.
,п
2. Gold В., Jordan К ., A Note on Digital Filter Synthesis, Proc . I E E E , 5b,
No. 10, 1717—1718 (Oct. 1968); есть русский перевод: Гоулд, Джордан мл.,
О синтезе цифровых фильтров, ТИИЭР , 56, № 10 (1968).
Фильтры, с характ ерист иками конечной дл ины
209
3. Gold В ., Jordan К ., A Direct Search Procedure for Designing Finite DuraКЖ
ЗӨ
I
E
E
E
TransЛ
A
В
and
Electroacoustics,
17, JNo. 1 , 33—36 (March 1969).
4. Rabiner L. R., Gold B., McGonegal C. A., An Approach to the Approxima­
tion Problem for Nonrecursive Digital Filters, IEEE Trans, on A udlo and
Electroacoustics, 18, No. 2, 83—106 (June 1970).
5. Rabiner L. R ., Steiglitz K., The Design of Wide-Band Recursive and Noflrecuraive Digital Differentiators, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustisc,
18, XNo. i ,
—Л)9 (June 1970).
t
6. Rabiner L. R., Schafer R. W., Recursive and Nonrecursive Realizations
of Digital Filters Designed by Frequency Sampling Techniques, IEEE
Trans, on Audio and Electroacoustics, 19, No. 3,200—207 (Sept. 1971).
^' Rabiner L. R., Schafer R. W., Correction to Recursive and Nonrecursive
,o?rj.zal,lons 0 digital Filters Designed by Frequency Sampling Techniques,
I E E E Trans, on A u d io and Electroacoustics, AU-20, No 1 104_105
(March 1972).
.
Оптимальные фильтры
1. Rabiner L. R ., Techniques for Designing Finite-Duration Impulse Response
Digital Filters, IEEE Trans, on Communication Technology, 19. No 2
1 8 8 -1 9 5 .(1971).
sy
І
’
2. Herrmann O., Design of Nonrecursive Digital Filters with Linear Phase
Electronics Letters, 6, No. 11, 328—329 (1970).
3. Herrmann O., Schuessler H. W., Design of Nonrecursive Digital Filters
with Minimum Phase, Electronics Letters, 6, No. 11, 329—330 (1970).
4. Helms H. D., Digital Filters with Equiripple or Minimax Responses,
IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, 19, No. 1, 87—94 (1971).
5. Hofstetter E ., Oppenheim A., Siegel J., A New Technique for the Design
of Nonrecursive Digital Filters, Proc. Fifth Annual Princeton Conf. on
Information Sciences and Systems, 64—72 (1971).
6. Hofstetter E., Oppenheim A., Siegel J., On Optimum Nonrecursive Digital
Filters, Proc. Ninth Allerton Conf. on Circuit and System Theory. 789—
798 (Oct. 1971).
7. Parks T. W ., McClellan J. H., Chebyshev Approximation for Nonrecursive
Digital Filters with Linear Phase, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-19.
189—194 (March 1972).
8. Rabiner L. R., The Design of Finite Impulse Response Digital Filters
Using Linear Programming Techniques, Bell Syst. Tech. J ., 51, No. 6,
1177—1198 (July — Aug. 1972).
9. Rabiner L. R ., Linear Program Design of Finite Impulse Response (FIR)
Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 4.
280—288 (Oct. 1972).
10. Parks T. W., McClellan J. H ., A Program for the Design of Linear Phase
Finite Impulse Response Digital! Filters, IEEE Trans, on Audio and
Electroacoustics, AU-20, No. 3, 195—199 (Aug. 1972).
11. Parks T. W., Rabiner L. R., McClellan J. H., On the Transition Width
of Finite Impulse Response Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and
Electroacoustics, AU-21, No. 1, 1—4 (Feb. 1973).
12. Rabiner L. R ., Herrmann O., The Predictability of Certain Optimum
Finite Impulse Response Digital Filterss, IEEE Trans, on Circuit Theory,
CT-20, No. 4, 401—408 (July 1973).
13. Herrmann O., Rabiner L. R ., Chan D. S. K., Practical Design Rules for
Optimum Finite Impulse Response Lowpass Digital Filters, Bell Syst.
Tech. J., 52, No. 6, 769—799 (July — Aug. 1973).
14. Rabiner L. R., Hermann O., On the Design Optimum FIR Low-Pass
Filters with Even Impulse Response Duration, IEEE Trans, on Audio
and Electroacoustics, AU-21, No. 4, 329 —336 (Aug. 1973).
14—0399
210
Глава 3
15. Rabiner L. R., Approximate Design Relationships for Low-Pass FIR
Digital Filters, I E E E Trans, on A u d io and Electroacoustics , AU-21, No. 5,
456—460 (Oct. 1973).
Ц
16. Rabiner L. R., Schafer R. W., On the Behavior of Minimax Relative Error
FIR Digital Differentiators, B ell S y s t . Tech.
53, No. 2, 333—361
(Feb. 1974).
J
17. Rabiner L. R., Schafer R. W., On the Behavior of Minimax FIR Digital
Hilbert Transformers, Bell Syst. Tech. / . , 53, 2, 363—390 (Feb. 1974).
18. McClellan X. H ., Parks T. W., Rabiner L. R., A Computer Program for
Designing Optimum FIR Linear Phase Digital Filters, IEEE Trans .
on A u d io and Electroacoustics , AU-21, No. 6, 506—526 (Dec. 1973).
Линейное программирование
1. Dantzig G., Linear Programming and Extensions, Princeton Univ. Press,
Princeton, N .J., 1963.
^
2. Hadley G., Linear Programming, Addison-Wesley Publ. Co., Reading,
Mass., 1963.
1Я
3. Ни Т. C., Integer Programming and Newtork Flows, Addison-Wesley Publ.
Co., Reading, Mass., 1969.
Ш
4. Spivey W. A., Thrall R. М., Linear Optimization, Holt, Rinehart and
Winston, Inc., N .Y ., 1970.
1
5. Gass S. I., Linear Programming, McGraw-Hill, N .Y ., 1969.
6. Simonnard М., Linear Programming, Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
N.J., 1966.
Методы оптимизации
1. Cheney E. W., Introduction to Approximation Theory, McGraw-Hill, N. Y.,
1966.
e
!
I. Rice J. R., The Approximation of Functions, Addison-Wesley Publ. Co.,
Reading, Mass., 1964.
1
3. Aoki М., Introduction to Optimization Techniques, The Macmillan Co.,
N. Y ., 1971.
•
^
4. Meinardus G., Approximation of Functions: Theory and Numerical Methods,
Springer-Verlag, N. Y., 1967.
Щ
5. Ремез E. Я., Общие вычислительные методы чебышевского приближения.
Задачи с линейно входящими вещественными параметрами, Изд-во АН
УССР, Киев, 1957.
Приложение
В приложении приведена написанная на ФОРТРАНе програм­
ма расчета разнообразных оптимальных (минимаксных) КИХфильтров, в том числе фильтров нижних и верхних частот, полосо­
вых, режекторных, а также дифференциаторов и преобразователей
Гильберта.
Для иллюстрации применения этой программы даны четыре
примера. Текст программы приводится сразу за примерами.
Пример 1. Рассчитать 24-точечный фильтр нижних частот
с частотой среза полосы пропускания 0,08, частотой среза полосы
непропускания 0,16 и отношением максимумов пульсаций 1,0.
Входные параметры в этом примере равны: N = 24, Fp = 0,08,
Fs = 0,16 и К = бх/б2 == 1. Следовательно, перфокарты с задан­
ными характеристиками имеют вид
Фильтры с характеристиками конечной длины
F I N I T E IMPULSE RESPONSE ( F I R )
LINEAR PHASE D I G I T A L F I L T E R DESIGN
REMEZ EXCHANGE ALGORITHM
BANDPASS F I L T E R
F I L T E P LENGTH =
24
* * * * * IMPULSE RESPONSE * * * * *
1) — 0 . 3 3 7 4 0 9 1 7 E - 0 2
24)
H<
Н(
2) — 0 . 1 4 9 3 8 2 9 9 E - 0 1
H(
2
3
)
Н< 3) s
0 . 10569360E -01
H(
22
)
S 0 .2 5 4 1 5067E-02
Н(
H(
21)
—
Н(
5)
- 0 . 159299 9 2 E -0 1
H<
20)
Н(
6) = - 0 . 3 4 0 8 5 3 4 3 E - 0 1
19)
H(
Н(
7) а - 0 . 3 8 1 1 2 1 7 7 E - 0 1
H(
18)
а
Н<
в)
- 0 . 14629169E -01
H(
17)
s
Н(
9)
0 .4 0 0 8 9 5 4 1 E -0 1
H(
16)
—
Н ( 10)
0 . 1 1 5 4 0 7 1 3E 00
H<
15)
Н ( 11) — 0 • 1 8 8 5 0 7 5 2 E 00
14)
H(
Н ( 12) s
0 • 2 3 3 5 4 6 0 6 E 00
H( 13)
LOWER BAND Et>GE
UPPER BAND EDGE
DESIRED VALUE
WEIGHTING
DEVIATION
DEVIATION I N DB
0.
BAND 1
0 .0 8 0 0 0 0 0 0
1.00000000
1.00000000
0 .0 1 2 4 3 3 6 4
-3 8 .1 0 8 0 3 4 1 3
EXTREMAL FREQUENCIES
0.
0 .0 3 6 4 5 8 3
0 .1 7 3 0 2 0 8
0 .2 0 6 8 7 5 0
0 .3 7 8 7 5 0 0
0 .4 2 5 6 2 5 1
TIME=
0 .7 6 5 1 5 6 2
BAND 2
16000000
50000000
0.
0.
0.
1 .00000000
0. 0 1 2 4 3 3 6 4
38. 10803413
0 .0 6 7 7 0 8 3
0 .2 4 5 9 3 7 5
0 .4 7 5 1 0 4 3
SECONDS
BAND
0 .0 8 0 0 0 0 0
0 .2 8 7 6 0 4 2
0 .1 6 0 0 0 0 0
0 .3 3 1 8 7 5 0
**»***•*,
Фиг. A.3.1. Распечатка результатов расчета 24-точечного оптимального
фильтра нижних частот.
Карта
Карта
Карта
Карта
1.
2.
3.
4.
24, 1, 2, 0, 16
0, 0.08, 0.16, 0.5
1, 0
1, 1
В карте 1 заданы (по порядку) N , вид фильтра, число полос
признак перфорации и сетка для интерполяции; в карте 2 заданы
границы каждой полосы; карта 3 содержит заданные значения хал л Г п ^ С7 КИ“В каждои„полосе; каРта 4 определяет заданные веса
Д я пульсации в каждой полосе. На фиг. А.3.1 приведена распе^fftnnmyJIbTaT° f pacA
4eJ a (включая время счета на ЦВМ Honey­
well 6000), а на фиг. А.3.2 изображена частотная характеристика
рассчитанного фильтра нижних частот. Из распечатки на фиг А 3 1
ВТ 0 0 1 5 ° ( ПОЛ56Ч4 НН Бе)* НаЧеНИЯ ПИК0В пульсаций Равны S = В
'
14*
212
Глава 3
Частота
Фиг. А.3.2. Частотная характеристика оптимального фильтра нижних частот
(в линейном и логарифмическом масштабах) с параметрами, заданными па
фиг. А.3.1.
J
Фильтры с ха р а к т ер и ст и к а м и конечной длины
213
Пример 2. Рассчитать 32-точечный полосовой фильтр с часто­
тами среза полосы непропускания 0,1 и 0,425, частотами среза
полосы пропускания 0.2 и П зк ТЯГРОРЛТ)LTl/тт тг
іУ
і
г
У
і
коэффициентами
пяпігспга
„
л
Z
---------ШЯ
пульсац
™
и 1 в полосах непропускания и пропускания
соответственно.
В этом случае
:меsn
ЮТ В]
Карта 1. 32, 1, 3, 0, 16
Карта 2 0, 0.1, 0.2, 0.35, 0.425, 0.5
Карта 3. 0, 1, 0
Карта 4. 10, 1, 10
На фиг. А. 3.3 приведена распечатка результатов расчета этого фильтра; частотная характеристика рассчитанного фильтра
показана на ф [Г. о . о О .
п
■■ ■■
I
_______—
u
Ш
Н Н Ю
ІО •
I
" ШрІ VЗ М И Я *
: 1 fv S r T *
«ІЕ&* «I
1Г I “ ТП
“■
^
F I N I T E IMPULSE RESPONSE ( F I R )
LINEAR PHASE D IG IT A L F I L T E R DESIGN
REMEZ EXCHANGE ALGORITHM
BANDPASS F IL T E R
F I L T E R LENGTH =
32
* * * * * IMPULSE RESPONSE * * * * *
H<
- 0 . 5 7 5 3 4 1 2 1 E - 0 2 = Н<
32)
2)
0 . 9 9 0 2 7 1 9 8 E - 03 = Н<
31)
H< 3)
0 . 7 5 7 3 3 5 4 5 E -0 2 = Н(
30)
- 0 . 6 5 1 4 1 1 9 2 E - 0 2 = Н<
29)
H(
0 • 1 3 9 6 0 5 2 5 E - 0 1 = Н(
28)
H<
6)
0 . 2 2 9 5 1 4 6 9 E - 0 2 = Н<
27)
H<
7)
- 0 . 1 9 9 9 4 0 6 7 E - 0 1 = Н<
26)
0 . 7 1 3 6 9 5 6 0 E - 0 2 = Н<
25)
H(
9)
- 0 . 3 9 6 5 7 3 6 3 E - 0 1 = Н<
24)
10)
0 . 1 1 2 6 0 1 1 4 E - 0 1 = Н(
23)
H( 11)
0 . 6 6 2 3 3 6 4 3 E - 0 1 ' = Н(
22)
12 )
- 0 . 1 0 4 9 7 2 2 3 E - 0 1 = Н<
21)
13)
0 . 6 5 1 3 6 ) 3 3 E - 0 1 = Н(
20)
H(
- 0 . 12024Г993Ң 0 0 = Н(
19)
- 0 . 2 9 6 7 8 5 1 7 E 0 0 = Н(
1в)
16)
0 . 3 0 4 1 0 9 1 7 E 0 0 = Н(
17)
1)
H<
H< <0
5)
H< 8)
H(
H(
H(
m>
H< 15)
LOWER BAND EDGE
UPPER BAND EDGE
DESIRED VALUE
WEIGHTING
DEVIATION
DEVIATION I N DB
BAND 1
0. j
0 . 10000000
0.
10.00000000
0 .0 0 1 5 1 3 1 2
-5 6 .4 0 2 5 4 6 4 1
EXTREMAL FREQUENCIES
°0 .0 2 7 3 4 3 7
0.1000000
0.2000000
0 .3 1 3 2 8 1 2
0 .4 5 0 3 9 0 6
0 .3 3 8 6 7 1 9
0 .4 7 9 6 8 7 5
TIME*
BAND 2
20000000
35000000
0
0
1 00000000
1 00000000
0 01513118
-36
0 .0 5 2 7 3 4 4
0 .2 1 9 5 3 1 2
0 .3 5 0 0 0 0 0
40254641
0 .0 7 6 1 7 1 9
0 .2 5 2 7 3 4 4
0 .4 2 5 0 0 0 0
BAND 3
0 .4 2 5 0 0 0 0 0
0 .5 0 0 0 0 0 0 0
0.
1 0 .0 0 0 0 0 0 0 0
0 .0 0 1 5 1 3 1 2
5 6 .4 0 2 5 4 6 4 1
BAND
0 .0 9 3 7 5 0 0
0 .2 8 3 9 8 4 4
0 .4 3 2 8 1 2 5
0 . 8 0 6 5 9 3 8 SECONDS
Фиг. A.3.3. Распечатка
результатов расчета 32-точечного оптимального
полосового фильтра.
Глава 3
214
Пример 3. Рассчитать 32-точечный дифференциатор с частотой
среза 0,5.
-И
Перфокарты с заданными характеристиками в этом случае
меют вид
?
Карта 1. 32, 2, 1, 0, 16
І
Карта 2. 0, 0.5
1
Карта 3. 1
1
Карта 4. 1
|
На фиг. А.3.4 приведена распечатка результатов расчета на
F I N I T E IMPULSE RESPONSE ( F I R )
LINEAR PHASE D IG IT A L F I L T E R DESIGN
REMEZ EXCHANGE ALGORITHM
DIFFERENTIATOR
32
F I L T E R LENGTH =
* * * * * IMPULSE RESPONSE * * * * *
-H (
H ( 1) = - 0 . 6 2 7 1 3 0 9 1 E - 0 3
0 .8 5 6 3 3 4 3 3E-03
31)
30)
H ( 3) = - 0 . 4 2 4 1 8 5 4 9 E - 0 3
29)
0 • 3 9 9 0 1 5 18E-03
H< 4 ) =
“H(
28)
H<
5) = - 0 . 4 3 4 3 7 2 7 3 E - 03
27)
-H (
0 .4 9 9 6 9 4 50E -03
26)
-H(
H< 7 ) = - 0 . 5 9 6 3 4 9 6 1 E - 0 3
-H (
25)
0 . 7 3 2 7 7 0 3 1 E - 03
24)
H(
9) = - 0 . 9 3 0 0 2 6 8 1 E - 0 3
23)
•H (
0 . 1 2 2 7 0 0 4 2 E - 02
22)
H ( 11) = - 0 . 1 7 0 1 2 8 2 0 E - 0 2
-H <
21 )
0 .2 5 2 7 2 3 4 1 E-02
H ( 12) =
20)
•H (
H ( 1 3 ) = - 0 . 4 1 6 0 11 59 E - 0 2
19)
0 . 8 1 294555E -02
-H (
H ( 14) =
-H (
H ( 15) = - 0 . 2 2 5 3 9 0 9 7 E - 0 1
17)
0 . 2 0 2 6 6 5 3 5 E 00
H ( 16) =
-H(
-H(
-H(
H< 2) =
H( 6) =
H( 8) =
H( 10) =
-H<
-H(
-H(
LOWER BAND EDGE
UPPER BAND EDGE
DESIRED SLOPE
WEIGHTING
DEVIATION
0
0
1
1
0
BAND 1
18)
BAND
50000000
00000000
00000000
00620231
EXTREMAL FREQUENCIES
0 .0 0 1 9 5 3 1
0 .0 3 3 2 0 3 1
0 .1 6 4 0 6 2 5
0. 1972656
0 .3 3 0 0 7 8 1
0 .3 6 3 2 8 1 2
0 .4 8 6 3 2 8 1
0 .5 0 0 0 0 0 0
TIM E-
32)
0 .0 6 6 4 0 6 2
0 .2 3 0 4 6 8 7
0 .3 9 4 5 3 1 2
0 .0 9 9 6 0 9 4
0*2636719
0 .4 2 7 7 3 4 4
0 .1 3 2 8 1 2 5
0 .2 9 6 8 7 5 0
0 .4 5 8 9 8 4 4
1 . 0 8 4 5 6 2 5 SECONDS
Фиг. A.3.4. Распечатка результатов расчета 32-точечного оптимального диф
ференциатора.
Фильтры с характеристиками конечной длины
ЦВМ этого дифференциатора, а его частотная характеристика по­
казана на фиг. 3.68.
ғ
Пример 4. Рассчитать 20-точечный преобразователь Гиль­
берта с граничными частотами 0,05 и 0,5.
Входные перфокарты в этом примере имеют вид
Карта 1. 20, 3, 1, 0, 16
Карта 2. 0.05, 0.5
Карта 3. 1
Карта 4. 1
F I N I T E IMPULSE RESPONSE ( F I R )
LINEAR PHASE D IG IT A L F I L T E R DESIGN
REMEZ EXCHANGE ALGORITHM
HILBERT TRANSFORMER
F I L T E R LENGTH =
20
* * * * * IMPULSE RESPONSE * * * * *
Н< 1) = 0 . 1 6 0 2 6 1 9 0 E - 0 1 a h
20)
Н< 2) = 0 . 1 4 1 7 3 2 8 7 E - 0 1 =
19)
Н< 3) = 0 . 2 0 4 5 2 4 3 7 E - 0 1 =
18 )
Н< 4) = 0 . 2 8 7 3 6 8 8 2 E - 0 1 =
Н< 5) * 0 . 3 9 8 5 2 5 8 1 E - 0 1 = “ H (
Н< 6) = 0 . 5 5 3 3 3 2 9 9 E - 01 =
15)
Н( 7) = 0 . 7 8 5 U 2 7 5 2 E - 0 1 = -H < 14)
Н< 8) = 0 . 1 1 8 2 3 7 5 5 E 0 0 = - H (
13)
9) =
Н(
0 . 2 0 6 6 4 1 2 5 E 00
-H (
Н ( 10) =
0 .6 3 4 7 5 6 1 9 E 00 = “ H (
- <
-H(
-H(
-H( 17)
16)
-H<
12)
11)
LOWER BAND EDGE
UPPER BAND EDGE
DESIRED VALUE
WEIGHTING
DEVIATION
BAND
0 .0 5 0 0 0 0 0 0
0 .5 0 0 0 0 0 0 0
1.00000000
1.00000000
0 .0 2 0 5 5 6 0 4
EXTREMAL FREQUENCIES
0 .0 5 0 0 0 0 0
0 .0 6 5 6 2 5 0
0 .2 4 3 7 5 0 0
0 .2 9 3 7 5 0 0
0 .5 0 0 0 0 0 0
TIME
0 .4 7 4 2 5 0 0
BAND
0 .1 0 3 1 2 5 0
0 .3 4 6 8 7 5 0
0 .1 4 6 8 7 5 0
0 .3 9 6 8 7 5 1
0 .1 9 3 7 5 0 0
0 .4 5 0 0 0 0 1
SECONDS
Фиг. A.3.5. Распечатка результатов расчета 20-точечного
преобразователя Гильберта.
оптимального
216
Глава 3
На фиг. А. 3.5 приведена распечатка результатов расчета на
ЦВМ преобразователя Гильберта, а его частотная характеристика
покавана на фиг. А.3.6.
.
d
Фиг. А.3.6. Частотная характеристика и кривая ошибки оптимального
преобразователя Гильберта с параметрами, приведенными на фиг. А.3.5.
Программа расчета КИХ-фильтров
С
С
С
С
С
С
С
c
C
С
С
С
PROGRAM POP THE DESIGN OF LINEAR PHASE F I N I T E IMPULSE
RESPONSE ( F I R ) F I L T E R S USING THE REMEZ EXCHANGE ALGORITHM
J I M MCCLELLAN, R I C E U N IV E R S IT Y , A P R I L 1 3 , 1 9 7 3
T b R E E TYPES OF F I L T E R S ARE INCLUDED— BANDPASS F I L T E R S
D IF F E R E N T IA T O R S , AND HILBERT TRANSFORM F I L T E R S
THE INPUT DATA C O N S IS T S OF 5 CARDS
jm x* &
i
CARD 1 - - F I L T E R LENGTH, TYPE OF F I L T E R .
1-MULTIPLE
PASSBAND/STOPBAND, 2 - D IF F E R E N T IA T O R , 3 - H I L B E R T TRANSFORM
FILTER .
NUMBER OF BANDS, CARD PUNCH D E S IR E D , AND GRID
D E N S IT Y . : . . \
С
'
V
ч ""I У
С CARD 2 — BANDEDGES, LOWER AND UPPER EDGES FOR EACH BAND
С WITH A MAXIMUM OF 10 BANDS.
С
С CARD 3 — DESIRED FUNCTION (OR DESIRED SLOPE I F A
С DIFFERENTIATOR) FOR EACH BAND.
С
С CARD 4 — WEIGHT FUNCTION I N EACH BAND.
FOR A
С D IF F E R E N T IA T O R , THE WEIGHT FUNCTION I S INVERSELY
С PROPORTIONAL TO F .
С
С THE FOLLOWING IN P U T DATA S P E C I F I E S A LENGTH 3 2 BANDPASS
С F I L T E R WITH STOPBANDS 0 TO 0 . 1 AND 0 . 4 2 5 TO 0 . 5 , AND
С PASSBAND FROM 0 . 2 TO 0 . 3 5 WITH WEIGHTING OF 10 IN THE
С STOPBANDS AND 1 IN THE PASSBAND.
THE IMPULSE RESPONSE
С W ILL BE PUNCHED AND THE GRID DENSITY I S 3 2 .
С
С SAMPLE INPUT DATA SETUP
С 3 2 ,1 ,3 ,1 ,3 2
С 0 ,0 .1 ,0 .2 ,0 .3 5 ,0 .4 2 5 ,0 .5
С 0 ,1 ,0
С 1 0 ,1 ,1 0
С
С THE FOLLOWING INPUT DATA S P E C I F I E S A LENGTH 3 2 WIDEBAND
С DIFFERENTIATOR WITH SLOPE 1 AND WEIGHTING OF 1 / F .
THE
С IMPULSE RESPONSE WILL NOT BE PUNCHED AND THE G P I D
С DENSITY I S ASSUMED TO BE 1 6 .
С
С 3 2 ,2 ,1 ,0 ,0
С 0 ,0 .5
G ПО
.
'-..,; £ 4 i
С 1 .0
С
С
.
v
: ^
COMMON P I 2 , A D , D E V , X , Y , G R I D , D E S , W T , A L P H A , I E X T , N F C N S , N G R I D
DIMENSION I E X T ( 6 6 ) , A D ( 6 6 ) , A L P H A ( 6 6 ) , X ( 6 6 ) , Y ( 6 6 )
DIMENSION H ( 6 6 )
DIMENSION D E S ( 1 0 4 5 ) , G R I D ( 1 0 4 5 ) , W T ( 1 0 4 5 )
DIMENSION E D G E (2 0 ) , F X ( 1 0 ) , W T X ( 1 0 ) , D E V I A T ( 1 0 )
DOUBLE P R E C I S I O N P I 2 , P I
DOUBLE P R E C I S I O N A D , D E V , X , Y
P I 2 -6 .2 8 3 1 8 5 3 0 7 1 7 9 5 8 6
P I = 3 .141592653589793
С
С THE PROGRAM I S S E T UP FOR A MAXIMUM LENGTH OF 1 2 8 , BUT
С T H I S UPPER L I M I T CAN BE CHANGED BY REDIMENSIONING THE
С ARRAYS I E X T , AD, ALPHA, X, Y , H TO BE NFMAX/2 «• 2 .
С THE ARRAYS D E S , G R ID , AND WT MUST DIMENSIONED
С
1 6 (NFMAX/2 4 2 ) .
С
ft . -
Глава 3
ООО
NFMAX=1 2 8
1 0 0 CONTINUE
JTYPE=0
PROGRAM IN P U T SECTION
П
п
л
п
ПМ Q О
ій' 'ін *: ■ •;’ О О О О
R EAD * , N F I L T , J T Y P E , NBANDS , J P UNCH, LG RID
I F ( N F I L T . G T . N F M A X . O R . N F I L T . L T . 3) CALL ERROR
I F ( N B A N D S . L E . 0) NBANDS=1
G R ID DENSITY I S
OTHERWISE
ASSUMED TO BE 1 6 UNLESS S P E C I F I E D
I F ( L G R I D . L E . O ) L G R ID = 1 6
J B = 2 * NBANDS
READ * , (EDGE ( J ) , J = 1 #J B )
READ * , (FX ( J ) , J = 1 , NBANDS)
READ * , (W TX(J) , J = 1 , N B A N D S )
I F ( J T Y P E . E Q . O ) CALL ERROR
NEG= 1
I F ( J T Y P E . E Q . 1) NEG=0
N O D D = N F IL T /2
NODD=NFILT-2*NODD
N FCN S=N FILT/2
I F ( N O D D . E Q . 1 . A N D . N E G . E Q . 0)
С
NFCNS=NFCNS*1
S E T UP THE DENSE G R I D .
THE NUMBER OF P O I N T S I N THE GRID
I S ( F I L T E R LENGTH ♦ 1 ) ♦ G P I D D E N S I T Y / 2
GRID ( 1 ) =EDGE (1 )
DELF=LGRID* NFCNS
DELF=0• 5/D E L F
I F ( N E G . E Q . 0 ) GO TO 1 3 5
I F (EDGE ( 1) . L T . D E L F ) G R ID ( 1 ) = DELF
1 3 5 CONTINUE
J=1
L= 1
LBAND=1
1 4 0 F U P = E D G E ( L * 1)
145 TEM P=GRID(J)
ПІ
CALCULATE THE D E S IR E D MAGNITUDE RESPONSE AND THE WEIGHT
FUNCTION ON THE GRID
D E S ( J ) = E F F ( TEMP, F X , WTX, LBAND, J T Y PE)
W T ( J ) = W A T E ( T E M P ,F X ,W T X ,L B A N D ,J T Y P E )
J=J* 1
G R ID (J)=TEM P*DELF
I F ( G R I D (J ) . G T . FUP) GO TO 150
GO TO 1 4 5
1 5 0 G R I D ( J - 1 ) =FU P
D E S ( J - 1 ) = E F F ( F U P # F X r WTX# LBAND#J T Y P E )
WT (J - 1 ) =WATE( FUP# F X ,W T X ,L B A N D ,J T Y P E )
LBAND=LBAND*1
L=L*2
IF (L B A N D .G T .N B A N D S ) GO TO 1 6 0
G R ID ( J ) =EDGE(L)
GO TO 1 4 0
160 N G R ID =J-1
I F ( N E G . N E . N O D D ) GO TO 1 6 5
I F (GRID (NGRID) . G T . ( 0 . 5 - D E L F ) ) N G R I D = N G R I D - 1
оооо
Филыпры с характеристиками конечной длины
SET UF A NEW APPROXIMATION PROBLEM WHICH I S
TO THE O R IG IN A L PROBLEM
170
175
180
185
190
ОООО
195
EQUIVALENT
IF(N EG) 1 7 0 , 1 7 0 , 1 8 0
I F ( N O D D . E Q . 1) GO TO 2 0 0
DO 1 7 5 J = 1 , N G R I D
CHA N G E=D CO S(PI*G RID (J))
D E S ( J ) =D E S ( J)/CH A NG E
WT ( J ) =WT ( J ) «CHANGE
GO TO 2 0 0
IF(NODD* E Q , 1) GO TO 190
DO 1 8 5 J = 1 , NGRID
CHANGE=DSIN(PI*GRID(J) )
D E S ( J ) = D E S ( J ) /CHANGE
WT( J ) = W T ( J ) *CHANGE
GO TO 2 0 0
DO 1 9 5 J = 1 , N G R I D
C H A N G E*D SIN (PI2*G RID (J))
D E S ( J ) = DES( J)/CH A N G E
WT( J ) = W T (J)♦ C H A N G E
I N I T I A L GUESS FOR THE EXTREMAL FREQUENCIES— EQUALLY
SPACED ALONG THE GRID
oooo
2 0 0 T E M P = F L O A T (N G R ID -1 ) /F L O A T (N F C N S )
DO 2 1 0 J = 1 , N F C N S
2 1 0 I E X T ( J ) = ( J - 1 ) *TEMP*1
I E X T ( N F C N S * 1) = NGRID
NM1=NFCNS-1
NZ-NFCNS*1
CALL THE REMEZ EXCHANGE ALGORITHM TO DO THE APPROXIMATION
PROBLEM
ooo
CALL REMEZ(EDGE,NBANDS)
CALCULATE THE IMPULSE RESPONSE.
300
305
310
315
320
325
330
IF(N EG ) 3 0 0 , 3 0 0 , 3 2 0
I F ( N O D D . E Q . 0 ) GO TO 3 1 0
DO 3 0 5 J = 1 , NM1
H (J ) = 0 . 5 * A L P H A ( N Z - J )
H (N FC N S) = ALPHA( 1 )
GO TO 3 5 0
H ( 1 ) = 0 • 2 5 * ALPHA(NFCNS)
DO 3 1 5 J = 2 , N M 1
H ( J ) = 0 . 2 5 * ( A L P H A ( N Z - J ) ♦ A L P H A (NFCNS*2 - J ) )
H ( N F C N S ) = 0 . 5 * ALPHA( 1 ) + 0 . 2 5 * A L P H A (2 )
GO TO 3 5 0
I F ( N O D D * E Q . 0 ) GO TO 3 3 0
H ( 1 ) = 0 . 2 5 * ALPHA(NFCNS)
H ( 2 ) = 0 • 25*A L PK A (N M 1)
DO 3 2 5 J = 3 , N M 1
H ( J ) * 0 . 2 5 * (ALPHA ( N Z - J ) -ALPHA ( N F C N S O - J ) )
H (NFCNS) * 0 . 5 * ALPHA ( 1 ) - 0 . 2 5 * ALPHA (3 )
H (N Z)- 0 * 0
GO TO 3 5 0
H ( 1 ) * 0 . 2 5 * ALPHA(NFCNS)
DO 3 3 5 J * 2 , N M 1
220
ООО
Глава 3
3 3 5 Н ( J ) = 0 . 2 5 * (ALPHA(NZ-J) - A L P H A (N F C N S + 2-J))
H ( N F C N S ) = 0 . 5 * ALPHA( 1 ) - 0 . 2 5 * ALPHA(2 )
PROGRAM OUTPUT S E C T IO N .
350
360
P R IN T 3 6 0
FORMAT(1H1, 7 0 ( 1 H * ) / / 2 5 X , * F I N I T E IMPULSE RESPONSE
1 2 5 X , ' L I N E A R PHASE D IG IT A L F I L T E R D E S I G N ' /
2 2 5 X , ' REMEZ EXCHANGE ALGORITHM*/)
I F ( J T Y P E . E Q . 1) P R IN T 3 6 5
3 6 5 FORMAT(2SX,*BANDPASS F I L T E R * / )
I F ( J T Y P E . E Q . 2) P R I N T 3 7 0
3 7 0 F O R M A T ( 2 5 X ,* D I F F E R E N T I A T O R * / )
I F ( J T Y P E . E Q . 3) P R I N T 3 7 5
3 7 5 F O R M A T ( 2 5 X , * H IL E E R T TRANSFORMER*/)
P R IN T 3 7 8 , N F I L T
3 7 8 F O R M A T ( 1 5 X , * F I L T E R LENGTH = * , I 3 / )
P R IN T 3B0
3 8 0 F O R M A T ( 1 5 X , * * * * * * IMPULSE RESPONSE * • * * ♦ * )
DO 3 8 1 J = 1 , N F C N S
K =N FILT«1-J
I F ( N E G . E Q . O ) P R IN T 3 8 2 , J , H ( J ) , K
I F ( N E G . E Q . 1) P R I N T 3 8 3 , J , H ( J ) , K
3 8 1 CONTINUE
3 8 2 FORMAT (2 OX, * H ( * , I 3 , * ) = * , E 1 5 . 8 , ' * H ( * , I 4 , * ) *)
3 8 3 FORMAT ( 2 0 X , * H ( * , I 3 , * ) = * , E 1 5 . 8 , * = - H ( M « / ) # )
I F ( N E G . E Q . 1 . A N D . N O D D . E Q . 1) PR IN T 3 8 4 , NZ
38 4 FO R M A T (20X ,*H (*, 1 3 , * ) =
0 .0 * )
DO 4 5 0 K = 1 , NBANDS,4
KUP=K*3
I F ( K U P . G T . NBANDS) KUP=NBANDS
P R IN T 3 8 5 , ( J , J = K , K U P )
3 8 5 FORMAT( / 2 4 X# 4 ( * BAND* , 1 3 , 8 X ) )
P R IN T 3 9 0 # ( E D G E ( 2 * J - 1 ) , J = K , K U P )
3 9 0 FORMAT( 2 X , * LOWER BAND EDGE*, 5 F 1 5 . 9 )
PR IN T 3 9 5 , ( E D G E ( 2 * J ) , J = K , K U P )
3 9 5 F O R M A T (2X ,*U PP E R BAND EDGE*, 5 F 1 5 . 9 )
I F ( J T Y P E . N E . 2) P R IN T 4 0 0 , ( F X ( J ) , J = K , K U P )
4 0 0 F O R M A T (2 X ,* D E S IR E D VALUE*, 2 X , 5 F 1 5 . 9 )
I F ( J T Y P E . E Q . 2) P R I N T 4 0 5 , ( F X ( J ) , J = K ,K U P )
4 0 5 F O R M A T (2 X ,* D E S IR E D S L O P E * , 2 X , 5 F 1 5 . 9 )
PRINT 4 1 0 , ( W T X ( J ) , J= K ,K U P )
4 1 0 FO R M A T (2X ,*W E IG H T IN G *,6X ,5F 15 . 9 )
DO 4 2 0 J = K , K U P
4 2 0 D EV IA T(J)=D EV /W TX (J)
PRINT 4 2 5 , ( D E V I A T ( J ) , J * K , K U P )
4 2 5 F O R M A T ( 2 X ,* D E V I A T I O N * , 6 X , 5 F 1 5 . 9 )
I F ( J T Y P E . N E . 1) GO TO 4 5 0
DO 4 3 0 J = K , K U P
4 3 0 DEVIAT(J) = 2 0 . 0 * A L O G 1 0 (D E V IA T (J))
PRINT 4 3 5 , ( D E V I A T ( J ) ,J = K ,K U P )
4 3 5 F O R M A T (2 X ,* D E V IA T IO N I N D B * , 5 F 1 5 . 9 )
4 5 0 CONTINUE
P R I N T 4 5 5 , (G R ID ( I E X T ( J ) ) , J = 1 , NZ)
4 5 5 FO R M A T(/2X ,*EX TR EM A L F R E Q U E N C I E S '/ ( 2 X , 5 F 1 2 . 7 ) )
PRINT 4 6 0
4 6 0 FO R M A T(/1X ,7 0 ( 1 H * ) /1 Н 1 )
I F ( J P U N C H . N E . 0) PUNCH * , (H ( J ) , J = 1 , NFCNS)
I F ( N F I L T . N E . 0 ) GO TO 100
RETURN
END
(FIR )€
221
Фильтры с характеристиками конечной длины
ОООО
FUNCTION E F F ( T E M P , F X , WTX, L B A N D ,JT Y P E )
FUNCTION TO CALCULATE THE D E SIR E D MAGNITUDE RESPONSE
AS A FUNCTION O F FREQUENCY.
DIMENSION F X ( 5 ) , W T X ( 5 )
I F ( J T Y P E . E Q . 2) G O T O EFF=FX(LBAND)
RETURN
1 E F F = F X (IBAND) *TEMP
RETURN
END
ОООО
FUNCTION W A T E (T E M P ,F X ,W T X ,L B A N D ,JT Y P E )
FUNCTION TO CALCULATE THE WEIGHT FUNCTION AS A FUNCTION
OF FREQUENCY.
DIMENSION F X ( 5 ) , W T X < 5 )
I F ( J T Y P E . E Q . 2 ) GO TO 1
WATE=WTX(LBAND)
RETURN
1 IF (F X (L B A N D ).L T .0 .0 0 0 1 )
WATE=WTX(LBAND) /T E M P
RETURN
2 WATE=WTX(LBAND)
RETURN
END
SUBROUTINE ERROR
PRINT 1
1 F O R M A T *♦*♦*****♦♦*
STOP
END
GO TO 2
ERROR I N I N P U T DATA
1
SUBROUTINE REMEZ(EDGE,NBANDS)
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
С
T H I S SUBROUTINE IMPLEMENTS THE REME2 EXCHANGE ALGORITHM
FOR THE WEIGHTED CHEBYCHEV APPROXIMATION OF A CONTINUOUS
FUNCTION WITH A SUM OF C O S I N E S .
I N P U T S TO THE SUBROUTINE
ARE A DENSE GRID WHICH REPLACES THE FREQUENCY A X I S , THE
D E SIR ED FUNCTION ON T H I S G R I D , THE WEIGHT FUNCTION ON THE
G R I D , THE NUMBER OF C O S I N E S , AND AN I N I T I A L GUESS OF THE
EXTREMAL FR EQ U EN C IE S.
THE PROGRAM M I N I M I Z E S THE CHEBYCHEV
ERROR BY DETERMINING THE BEST LOCATION O F THE EXTREMAL
FREQUENCIES ( P O I N T S OF MAXIMUM ERROR) AND THEN CALCULATES
THE C O E F F I C I E N T S O F THE B E S T APPROXIMATION.
COMMON P I 2 , A D , D E V , X , Y , G R I D , D E S , W T , A L P H A , I E X T , N F C N S , N G R I D
DIMENSION EDGE( 2 0 )
• ,
222
Глава 3
DIMENSION I E X T ( 6 6 ) , A D ( 6 6 ) , ALPHA( 6 6 ) # X ( 6 6 ) , Y ( 6 6 )
DIMENSION D E S ( 1 0 4 5 ) , G R I D ( 1 0 4 5 ) #W T ( 1 0 4 5 )
DIMENSION A ( 6 6 ) , P ( 6 5 ) , Q ( 6 5 )
DOUBLE P R E C I S I O N P I 2 , D N U M , D D E N , D T E M P , A , P f Q
DOUBLE P R E C I S I O N AD,DEVf X# Y
С
С
С
THE PROGRAM ALLOWS A MAXIMUM NUMBER OF ITER A TIO N S OF 25
100
110
120
130
140
оооо
150
.
ITRMAX= 2 5
D £V L=-1 .0
NZ=NFCNS*1
NZZ=NFCNS*2
NITER=0
CONTINUE
I E X T ( N Z Z ) =N G R ID *1
NITER=NITER* 1
I F ( N I T E R . G T . I T R M A X ) GO TO 4 0 0
DO 1 1 0 J = 1 , N Z
DTEM P=GRID(IEXT(J ) )
DTEMP=DCOS(DTEMP*PI2)
X(J)=DTEM P
JET=(N FC N S-1) /1 5 * 1
DO 1 2 0 J = 1 , N Z
A D ( J ) = D ( J #N Z ,J E T )
DNUM=0. 0
D D E N = 0 .0
K=1
DO 1 3 0 J = 1 , N Z
L = I EXT ( J )
DTEMP= AD ( J ) *DES (L)
DNUM=DNUM4DTEMP
DTEM P=K*AD(J)/W T(L)
DDEN=DDEN♦ DTEMP
K = -K
DEV=DNUM/DDEN
NU= 1
I F ( D E V . G T . 0 . 0 ) NU=-1
DEV=-NU*DEV
K=NU
DO 1 4 0 J = 1 , N Z
L=IEXT ( J )
DTEMP=K*DEV/WT(L)
Y ( J ) = D E S ( L ) ♦ DTEMP
K = -K
I F ( D E V . G E . D E V L ) GO TO 1 5 0
CALL OUCH
GO TO 4 0 0
DEVL=DEV
JCHNGE=0
K 1=IEX T(1)
KNZ=IEXT(NZ)
KLOW=0
NUT=~NU
J=1
>
jjjM H M - .
SEARCH FOR THE EXTREMAL FREQUENCIES OF THE BEST
APPROXIMATION
2 0 0 I F ( J . E Q . N Z Z ) YNZ=COMP
I F ( J . G E . N Z Z ) GO TO 3 0 0
K U P=IEX T(J*1)
L = I E X T ( J ) *1
NUT=-NUT
' I F ( J . EQ. 2) Y1=COMP
COMP=DEV
I F ( L . G E . K U P ) GO TO 2 2 0
ERR=GEE( L # NZ)
E R R = ( E R R - D E S ( L ) ) *WT(L)
DTEMP=NUT*ERR-COMP
I F ( D T E M P . L E . 0 . 0 ) GO TO 2 2 0
COMP=NUT*ERR
210 L =L O
I F ( L . G E . K U P ) GO TO 2 1 5
ERR =G EE ( L , NZ)
E R R = ( E R R - D E S ( L ) ) *WT(L)
DT EMP= NUT * EF R-COMP
I F ( D T E M P . L E . 0 . 0 ) GO TO 2 1 5
COMP=NUT*EPR
GO TO 2 1 0
215 IE X T (J )= L -1
J=J*1
KLOW=L-1
JCHNGE=JCHNGE*1
GO TO 2 0 0
220 L=L-1
2 2 5 L=L-1
I F ( L , L E . K L O W ) GO TO 2 5 0
E R R =G EE(L# NZ)
E R R = ( E R R - D E S ( L ) ) *WT(L)
DTEMP=NUT*ERR-COMP
I F ( D T E M P . G T . 0 . 0 ) GO TO 2 3 0
I F ( J C H N G E . L E . 0) GO TO 2 2 5
GO TO 2 6 0
2 3 0 COMP=NUT*ERR
235 L =L -1
I F ( L . L E . KLOW) GO TO 2 4 0
E R R = G E E (L f NZ)
E R R = ( E R R - D E S ( L ) ) *WT(L)
DTEMP=NUT*ERR-COMP
I F ( D T E M P . L E . 0 . 0 ) GO TO 2 4 0
OOMP= NUT* ERR
GO TO 2 3 5
2 4 0 KLOW=IEXT( J )
I E X T ( J ) =L *1
J=J*1
JCHNGE=JCHNGE*1
GO TO 2 0 0
2 5 0 L = I E X T ( J ) ♦1
I F ( J C H N G E . G T . 0 ) GO TO 2 1 5
2 5 5 L=L*1
I F ( L . G E . K U P ) GO TO 2 6 0
ERR-GEE (L ,N Z )
ERR - (ERR-DES (L) ) *WT(L)
DTEMP=NUT*ERR-COMP
I F ( D T E M P * L E . 0 . 0 ) GO TO 2 5 5
COMP=NUT*ERR
GO TO 2 1 0
2 6 0 KLOW=IEXT(J)
J*J*1
GO TO 2 0 0
3 0 0 I F ( J . G T . N Z Z ) GO TO 3 2 0
I F ( K 1 . G T . I E X T ( 1 ) ) K 1= IE X T (1)
Глава 3
224
310
315
320
325
330
340
345
350
360
370
С
С
С
I F (KNZ • 1*T# I E X T (NZ) ) KNZ*IEXT (NZ)
NUT1=NUT
NUT*-NU
L*0
KUP*K1
COMP=YNZ*( 1 . 0 0 0 0 1 )
LUCK=1
L=L*1
I F ( L . G E . K U P ) GO TO 3 1 5
E R R = G E E (L # NZ)
E R R - ( E R R - D E S ( L ) ) *WT(L)
DTEMP=NUT*ERR-COMP
I F ( D T E M P . L E . O . O ) GO TO 3 1 0
COMP=NUT* ERR
J= N Z Z
GO TO 2 1 0
LUCK=6
GO TO 3 2 5
I F ( L U C K . G T . 9 ) GO TO 3 5 0
I F ( C O M P . G T . Y 1 ) Y1=C0MP
К 1= IE X T (NZZ)
L=NGRID*1
КLOW-KNZ
NUT=-NUT1
COM P=Yl*( 1 . 0 0 0 0 1 )
L=L-1
I F ( L . L E . K L O W ) GO TO 3 4 0
E R R = G E E (L # NZ)
E R R = ( E R R - D E S ( L ) ) *WT(L)
DTEMP=NUT*ERR-COMP
I F ( D T E M P . L F . 0 . 0 ) GO TO 3 3 0
J-N ZZ
COMP-NUT* ERR
LUCK=LUCK*10
GO TO 2 3 5
I F ( L U C K . E Q . 6 ) GO TO 3 7 0
DO 3 4 5 J = 1 , N F C N S
IE X T (N Z Z -J)= IEX T(N Z-J)
I E X T ( 1 ) =K1
GO TO 1 0 0
KN=IEXT(NZZ)
DO 3 6 0 J = 1 , NFCNS
IE X T (J)=IE X T (J*1)
IEXT(NZ)=KN
GO TO 1 0 0
I F ( J C H N G E . G T . 0 ) GO TO 1 0 0
CALCULATION OF THE C O E F F I C I E N T S OF THE BEST APPROXIMATION
USING THE INVERSE D ISC R E T E FOURIER TRANSFORM
Ш 7
r ‘ ,;
V
4 0 0 CONTINUE
NM1=NFCNS-1
FSH=1. 0 E -0 6
GTEMP=GRID( 1 )
X(NZZ) = - 2 . 0
CN=2*NFCNS-1
DELF=1. 0/C N
L= 1
ККК~0
I F ( E D G E ( 1 ) . E Q . 0 . 0 . AND#EDGE(2*NBANDS) . E Q . 0 . 5 ) KKK=1
I F ( N F C N S . L E . 3 ) KKK=1
I F ( K K K . E Q , 1) GO TO 4 0 5
DTEMP=DCOS(PI2*GRID( 1 ) )
DNUM =DCOS(PI2*GFID(NGPID))
A A = 2 . 0 / (DTEMP-DNUM)
B B = - ( DTEMP*DNUM)/ (DTEMP-DNUM)
4 0 5 CONTINUE
DO 4 3 0 J = 1 , NFCNS
FT= ( J - 1 ) * D E L E
X T = D C O S (P I 2 *FT)
I F ( K K K . E Q . I ) GO TO 4 1 0
X T = ( X T - P B ) /А А
FT=ARCOS(XT) / Р І 2
4 1 0 XE=X(L)
I F ( X T • G T .X E ) GO TO 4 2 0
I F ( (XE-XT) . L T . F S H ) GO TO 4 1 5
L=L*1
GO TO 4 1 0
415 A (J)=Y (L )
GO TO 4 2 5
4 2 0 I F ( (XT-XE) . L T • FSH) GO TO 4 1 5
G R I D ( 1 ) =FT
A (J ) =GEF (1 # NZ)
4 2 5 CONTINUE
I F ( L . G T • 1) L = L - 1
4 3 0 CONTINUE
G R I D ( 1 ) =GTEMP
D D E N = P I2 /C N
DO 5 1 0 J = 1 r NFCNS
D T E M P = 0 .0
D N U M = (J-1 )* D D E N
I F ( N M I . L T . I ) GO TO 5 0 5
DO 5 0 0 K= 1 , NM1
5 0 0 DTEMP=DTEMP*A(K*1 ) *DCOS(DNUM*K)
5 0 5 DTEMP= 2 • 0 * DTEMP*A( 1 )
5 1 0 A L P H A ( J ) = DTEMP
DO 5 5 0 J = 2 # NFCNS
550 A L PH A (J)= 2 * A L PH A (J)/C N
ALPHA( 1 ) =ALPHA( 1 ) / C N
I F ( K K K . E Q . I ) GO TO 5 4 5
P ( 1 ) = 2 . 0 * ALPHA(NFCNS) *BB*ALPHA(NM1)
P ( 2 ) - 2 • 0*AA*ALPHA(NFCNS)
Q ( 1 ) = A L P H A (N F C N S -2 ) -ALPHA(NFCNS)
DO 5 4 0 J = 2 , N M 1
I F ( J . L T . NM1) GO TO 5 1 5
A A = 0 .5 * A A
B B =0.5*B B
5 1 5 CONTINUE
P (J* 1 )= 0 .0
DO 5 2 0 K = 1 , J
A (K )=P(K )
5 2 0 P ( K ) = 2 . 0 * B B * A (K )
P ( 2 ) = P ( 2 ) *A ( 1 ) * 2 . 0 * A A
J M 1=J - 1
DO 5 2 5 K = 1 , J M 1
5 2 5 P ( K ) = P ( K ) * Q (K ) *AA *A (K *1)
JP1=J*1
DO 5 3 0 K = 3 , J P 1
530 P(K )=P(K )*A A *A (K -1)
I F ( J . E Q . N M 1 ) GO TO 5 4 0
DO 5 3 5 K = 1 , J
Глава 3
535 Q (К )=-А (К )
Q ( 1 ) =Q ( 1 ) ♦ALPHA ( N F C N S - 1 - J )
5 4 0 CONTINUE
DO 5 4 3 J = 1 , NFCNS
5 4 3 ALPHA ( J ) = P ( J )
5 4 5 CONTINUE
I F ( N F C N S . G T « 3) RETURN
A LPHA(NFCNS*1 ) = 0 . 0
ALPHA( NFCNS♦ 2 ) = 0 . 0
RETURN
END
DOUBLE P R E C I S I O N FUNCTION D ( K , N , M )
С
С
С
С
^
FUNCTION TO CALCULATE THE LAGRANGE IN TER PO IA T IO N
C O E F F I C I E N T S FOR USE I N THE FUNCTION GEE.
COMMON P I 2 , A D , D E V , X , Y , G R I D , D E S , W T , A L P H A , I E X T , N F C N S , N G R I D
DIMENSION I E X T ( 6 6 ) , A D ( 6 6 ) , ALPHA( 6 6 ) , X ( 6 6 ) , Y ( 6 6 )
DIMENSION DES ( 1 0 4 5 ) , G R I D ( 1 0 4 5 ) , W T ( 1 0 4 5 )
DOUBLE P R E C I S I O N A D , D E V , X , Y
DOUBLE P R E C I S I O N Q
DOUBLE P R E C I S I O N P I 2
D=1. 0
Q=X (K)
DO 3 L = 1 , M
DO 2 J = L , N , M
IF (J-K ) 1 ,2 ,1
1 D = 2 .0 * D * (Q -X (J))
2 CONTINUE
3 CONTINUE
D * 1 ,0 /D
RETURN
END
о ооо
DOUBLE P R E C I S I O N FUNCTION GEE (K ,N )
FUNCTION TO EVALUATE THE FREQUENCY RESPONSE USING THE
LAGRANGE INTERPOLATION FORMULA IN THE BARYCENTRIC FORM
•COMMON P I 2 , A D , D E V , X , Y , G R I D , D E S , W T , A L P H A , I E X T , N F C N S , N G R I D
DIMENSION I E X T ( 6 6 ) , A D ( 6 6 ) , ALPHA( 6 6 ) , X ( 6 6 ) , Y ( 6 6 )
DIMENSION D E S ( 1 0 4 5 ) , G R I D ( 1 0 4 5 ) , W T ( 1 0 4 5 )
DOUBLE P R E C I S I O N P , C , D , X F
DOUBLE P R E C I S I O N P I 2
DOUBLE P R E C I S I O N A D , D E V , X , Y
P = 0 .0
XF=GRID (K)
XF=DC0S(PI2*XF)
D=0 • 0
DO 1 J = 1 , N
C=XF-X ( J )
C = A D (J)/C
D=D*C
1 P=P*C*Y (J)
G EE-P/D
RETURN
END
SUBROUTINE OUCH
V P R I NT 1
1 t ^ O P ^ I i l r ************ FAILURE TO CONVERGE
2 '0 T « ^ P t i L « 0« . i i 1'1ACHI,,E *OUNDING error
£
IV
tlt
**®ТЩ
Щ
Ят'
1*0С «гГ и тІ!
» 5 " ° " * Е MAY BE CORRECT*/
FREQUENCY RESPONSE')
' f' i:l~pr:.JT:■?{: !' ''1 ^
. $’.
run ^ГжТірИГТИіИ ііШ і і Ш і і г м і п Ғ
Глава 4
ТЕОРИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ
ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ С БЕСКОНЕЧНЫМИ
ИМПУЛЬСНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
4.1. Введение
В настоящей главе рассматриваются методы расчета цифровых
фильтров с бесконечными импульсными характеристиками (БИХфильтров) при условии, что фильтры являются физически реали­
зуемыми и, конечно, устойчивыми. Для импульсных характери­
стик таких фильтров Һ (п) справедливы следующие ограничения:
(4.1)
Һ (п) = 0, п
0,
ОО
2
(4.2)
һ ( п ) \ < . оо.
71=0
Наиболее общая форма записи z-преобразования импульсной ха­
рактеристики БИХ-фильтров имеет вид
м
оо
H(z)
2 Һ(п)
п=0
2
—п ---
* * *
г=0
N
(4.3)
* + 2 a*z-i
і=1
Здесь по крайней мере один из коэффициентов а г отличен от нуля,
причем сразу все корни знаменателя не могут в точности компен­
сироваться корнями числителя. Действительно, рассмотрим, на­
пример, фильтр с z-преобразованием импульсной характеристики
Ж
Ш
(4.4)
1)
(1
удовлетворяющим общей формуле (4.3). Так как корень | = 1
1
знаменателя компенсируется корнем z
чески функция Н (z) представляет собой полином от z-1 с конеч­
ным числом членов, так что последовательность Һ (п) будет соот­
ветствовать КИХ-фильтру.
Фильтр с передаточной функцией вида (4.3) имеет, вообще
говоря, конечное число нулей (М) и полюсов (N). Нули Н (z)
могут располагаться на всей z-плоскости, но полюсы Я (z) в соот­
ветствии с условием устойчивости фильтра обязательно должны
размещаться внутри круга единичного радиуса, В большинстве
случаев, особенно при расчете цифровых фильтро по характери-
Фильтры с бесконечными характеристиками
стикам аналоговых фильтров, число нулей (М) не превышает чис­
ла полюсов (N). Системы, удовлетворяющие этому условию
называются системами JV-ro порядка. При М Щ N порядок систе­
мы становится неопределенным. В этом случае можно считать что
передаточная функция Н (z) соответствует последовательному со­
единению системы N -то порядка и КИХ-фильтра (М — N ) - to
порядка. При рассмотрении всех методов расчета фильтров в на­
стоящей главе предполагается, что М Ц§ N.
В е З Р * 6 °Т КИХ'ФильтР0В устойчивые, физически реализу­
емые ЬИХ-фильтры не обладают строго линейной фазовой харак­
теристикой (за исключением частного случая, когда все полюсы
п (z) размещаются на единичной окружности). Действительно
в гл. 6 было показано, что фильтр будет иметь линейную фазовую
характеристику, если
н (*) = Н (,- <)
(4,5)
[с точностью до множителя с линейной фазой, см. (3.19)]. Для
БИХ-фильтров это условие означает, что каждому полюсу пере­
даточной функции Н (г), расположенному внутри единичного
круга (модули этих полюсов меньше 1), должен соответствовать
зеркально отображенный полюс вне единичного круга поэтому
такой фильтр будет неустойчивым. В связи с этим при расчете
БИХ-фильтров всегда приходится рассматривать аппроксимацию
заданных и амплитудной, и фазовой характеристик. Существует
правда, специальный вид БИХ-фильтров с равномерной амплитуд­
ной характеристикой, у которых при изменениях положения нулей
и полюсов меняется лишь фазовая характеристика. Фильтры та­
кого вида называют всепропускающими цепями. Для этого чтобы
цепь была всепропускающей, необходимо, чтобы каждому полю_
^
_ Ж
А/ \ 'Л
^ ^ ; T04KG z — ге?ө соответствовал
нуль в точке z —■(1/г) е3 , причем для действительных последовательностей Һ (п) и полюсы, и нули должны иметь комплексно со­
пряженные пары. Типичное расположение полюсов и нулей для
всепропускающего фильтра 2-го порядка показано на фиг. 4.1.
*
иг. 4.1. Расположение нулей и полюсов всепропускающего фильтра 2-го
порядка.
Глава 4
230
Фаза
0,25
0,33
Частота
Фиг. 4.2. Фазовая характеристика всепропускающего фильтра 2-го по
рядка.
М ет од 1
х(п) \ Инверсия
“п времени
а(п)=х(-п)
H(Z)
f (n)
Инверсия
времени
b(n)=f(-n)
Н(z)
У(п)
Метод 2
g (п)
х(л)
1Инверсия
j времени
а(п) =х(-п) ^ H(Z) f (п) ^ Инверсия
времени
b(п) =f (
Фиг. 4.3. Два метода построения БИХ-фильтров с нулевой фазовой характе
ристикой.
,
Передаточная функция этого фильтра равна
Я(*)
-зӨ
[г —(1/r)^9] [z —(l/r)e JO]
(z— гезӨ) (г— ге-,ө )
(4.6)
Ее можно преобразовать к виду
H( z)
[z2— (2/r) (cos Ө) z + ( l / r 2)]
[z2—2 r (cos Ө) z-f- ra]
[r2z2 _ 2 r (cos Ө) z + *]
r 2 [22 — 2r (cos Ө) z + ra]
(4.7)
Значения H (z) на единичной окружности дают амплитудную ха­
рактеристику фильтра, которая удовлетворяет условию
Н (е*®) | = const,
а также фазовую характеристику, изображенную (для часто встре­
чающихся значений г = 0,9 и Ө = 36°) на фиг. 4.2. Всепропускающие фильтры представляют интерес прежде всего потому, что их
последовательное соединение можно использовать для выравни-
Фильтры с бесконечными характ ерист иками
Х(п)
I
I
231
и(п)
Фиг. 4.4. К определению эквивалентного фильтра.
вания заданной фазовой характеристики (или характеристики груп­
повой задержки). \
Если не учитывать ограничения (4.1), связанного с физической
реализуемостью фильтров, то можно предложить два различных
метода построения БИХ-фильтров с линейными фазовыми харак­
теристиками (фиг. 4.3). В обоих случаях фильтры с передаточной
функцией Н (z) представляют собой физически реализуемые
БИХ-фильтры, а блоки с обозначением «инверсия времени» опи­
сываются уравнением
z (re) = w (— ге),
(4.8)
где w (ге) и z (ге) — входная и выходная последовательности этих
блоков соответственно. Ограничения, при которых возможно
построение таких блоков, будут сформулированы после того, как
будет предварительно показано, что в обоих случаях эквива­
лентный фильтр имеет линейную (нулевую) фазовую характери­
стику. Понятие эквивалентного фильтра иллюстрируется с помо­
щью фиг. 4.4, откуда следует, что передаточная функция эквивалетного фильтра Н эк Щ равна
Н
(z) — —^
П ЩЩ
(4.9)
X (г) *
Для метода 1 (см. фиг. 4.3 и 4.4) имеем
A{z) = X(z~l),
(4.10а)
F (z) = H (z) A(z) = H (z) X (z"1),
(4.106)
В (z) = F (z-1) = H (z-1) X{ z ) ,
(4.1 Ob)
Y (z) = H (z) В (z) = X (z) H (z) Я (z-1),
(4.10r)
Нж (Z) = H ( z ) H (z-1),
H 9K(eja) = I H И
(4.1 Од)
I
(4. lOe)
При выводе этих соотношений учитывалось, что если z-преобразо­
вание последовательности х (ге) равно X (z), то для инвертирован­
ной во времени последовательности х (— ге) оно будет равно
X (z-1). Из конечного результата (4.10е) следует, что эквивалент­
ный фильтр имеет нулевую фазовую характеристику, причем
его амплитудная характеристика равна квадрату амплитудной
характеристики БИХ-фильтра.
232
Глава 4
Для метода 2 аналогично получим
A (z) = X (z Щ
F {z) = H Щ A(z) = H (z) X (z_1),
(4.11a)
(4.116)
(4.11 b)
G(z) = # (z)X (z),
( 4 .l l r )
(4.1ІД)
Я эк (z) И H (z) 1 Я (z ),
Я әк (е>ш) = 21Я (еіш) Icos [ф (со)],
(4.1 le)
(4.11ж)
где
(4.11з)
Я (еіш) = IЯ (^®) I
И в этом случае эквивалентный фильтр имеет нулевую фазовую
характеристику, однако его амплитудная характеристика равна
удвоенному произведению амплитудной характеристики исходного
фильтра на функцию косинуса от фазовой характеристики исход­
ного фильтра. По этой причине предпочтение следует отдать методу 1.
На практике точная реализация обоих рассмотренных методов
невозможна ввиду того, что приходится инвертировать бесконеч­
ные временные последовательности, не дожидаясь, пока они за­
кончатся. Ограничив, однако, эти последовательности соответст­
вующим числом членов, всегда можно обеспечить любую наперед
заданную точность аппроксимации эквивалентного фильтра. Бо­
лее подробно этот подход рассмотрен в тезисах Гиббса.
4.2.
Элементарные свойства БИХ-фильтров:
квадрат амплитудной характеристики, фазовая характеристика,
характеристика групповой задержки
В процессе рассмотрения методов расчета БИХ-фильтров нам
неоднократно придется обращаться к некоторым элементарным
свойствам их передаточных функций. На протяжении всей главы
будут использоваться три основные функции, характеризующие
фильтр: квадрат амплитудной характеристики, фазовая характе­
ристика и характеристика групповой задержки. Причина, по кото­
рой понадобятся все три функции, заключается в том, что при
решении задачи аппроксимации для БИХ-фильтров в общем слу­
чае приходится рассматривать комплексную передаточную функ­
цию от о. Поэтому при разработке методов аппроксимации нужно
учитывать поведение и амплитудной и фазовой характеристик.
Кроме того, так как фазовая характеристика БИХ-фильтра, как
правило, существенно нелинейна, то для оценки дисперсионного
Фильтры с бесконечными характеристиками
233
воздействия фильтра на типовой обрабатываемый сигнал часто ис­
пользуется характеристика групповой задержки фильтра. В дан­
ном разделе даются определения всех трех характеристик фильтра,
которые будут затем использованы в этой главе.
1. Квадрат амплитудной характеристики
При расчете БИХ-фильтра с использованием аппроксимации
только амплитудной характеристики (т. е. без учета фазовой ха­
рактеристики) удобнее всего оперировать с квадратом амплитудной характеристики, определяемым следующим образом:
* (*“) К= I я я я Ш I и н
(4,12)
Расположению полюсов и нулей этой функции в z-плоскости свой­
ственна ^симметрия с зеркальным отображением относительно
единичной окружности. Полюсы Я (z) рарполагаются внутри единич­
ной окружности, поэтому они полностью определяются квадратом
амплитудной характеристики фильтра. Нули Я (z) могут занимать
в z-плоскости произвольное положение (исключение составляет
важный случай, когда все нули располагаются на единичной ок­
ружности). Однако чаще всего нули передаточной функции Я (z)
также выбираются таким образом, чтобы соответствующие им ну­
ли квадрата амплитудной характеристики располагались на еди­
ничной окружности или внутри ее в z-плоскости. Фильтры с та­
кими нулями являются минимально-фазовыми фильтрами.
2. Фазовая характеристика
Так как передаточная функция БИХ-фильтра в общем случае
является комплексной функцией от ш, мо^кно рассматривать и
амплитудную и фазовую характеристики фильтра. Фазовая харак­
теристика равна
(4.13)
Другая форма записи фазовой характеристики имеет вид
(4.14)
Ее можно получить, представив Я (z) как
Я (z) = | Я (z) I еЩ)
(4.15)
Я (z_1) = I Я (z) | е~Мг\
(4.16)
и учитывая, что
234
Глава 4
3.
Характеристика групповой задержки
Характеристика групповой задержки является мерой средней
фильтре
образом:
1
ШШШШ
И
Щ
г в
Шж
(4.17)
Используя формулу (4.14), функцию I I (ejt3) можно представить
в виде
тг (*») = _ Re [ ,
[Ь Я « ] } ^ .
(4.18)
Предпочтительна приблизительно постоянная характеристика
групповой задержки во всей полосе (или полосах) пропускания
фильтра.
4.3. Методы расчета коэффициентов БИХ-фильтра
Решение задачи расчета фильтров сводится к нахождению
значений его коэффициентов [обозначенных через bt и а г в форму­
ле (4.3)], обеспечивающих аппроксимацию заданных характеристик
фильтра, таких, как импульсная и частотная характеристики,
характеристика групповой задержки и др., в том или ином смысле
(например, в среднеквадратическом или минимаксном). Таким
образом, задача расчета фильтра в значительной мере сводится
к задаче аппроксимации и может быть решена чисто математиче­
скими методами. Область, в которой производится аппроксимация,
определяется назначением фильтра. Так, если аппроксимация про­
изводится в z-плоскости, результирующий фильтр будет цифровым.
Если же она производится в s-плоскости, результирующий фильтр
будет аналоговым. Аналогично можно рассчитать оптические
фильтры или фильтры с распределенными параметрами. Все эти
различные классы фильтров объединяет общность математиче­
ских свойств аппроксимирующих функций.
Таким образом, вопреки распространенному мнению, методика
расчета цифровых БИХ-фильтров практически не связана с мето­
дикой расчета фильтров непрерывного времени, хотя и предпола­
гает использование многочисленных сведений, содержащихся
в публикациях по методам расчета этих фильтров. Вместо того
чтобы заново создавать теорию расчета цифровых фильтров (модер­
низировав математический аппарат применительно к случаю циф­
ровых фильтров), можно использовать простые методы отображе­
ния, позволяющие преобразовать фильтры из одной области в дру­
гую. Именно такие методы расчета цифрового фильтра, включаю-
Фильтры с бесконечными характеристиками
235
щие проектирование соответствующего фильтра непрерывного
времени и его дискретизацию, наиболее широко используются
при расчете БИХ-фильтров. Их можно использовать при проекти­
ровании стандартных фильтров, таких, как фильтры нижних и
верхних частот, полосовые и режекторные; теория расчета этих
фильтров для непрерывного времени хорошо разработана.
Другую группу методов расчета цифровых БИХ-фильтров об­
разуют прямые методы расчета в z-плоскости. Часто удается найти
такое расположение полюсов и нулей фильтра, при котором обе­
спечивается некоторая аппроксимация непосредственно заданной
характеристики фильтра. Третий, также часто встречающийся
подход к расчету БИХ-фильтров заключается в использовании про­
цедур оптимизации для нахождения такого расположения полю­
сов и нулей в z-плоскости, при котором обеспечивается аппрок­
симация в том или ином смысле заданной характеристики фильт­
ра. При таком подходе обычно не удается получить формулы,
связывающие координаты полюсов и нулей (а следовательно,
и коэффициенты фильтра) с параметрами заданной характеристи­
ки. Расчет фильтров производится, как правило, методом после­
довательных приближений.
4.4. Расчет цифровых фильтров по фильтрам
непрерывного времени
В предыдущем разделе уже отмечалось, что наиболее распрост­
раненным методом расчета БИХ-фильтров является метод дискре­
тизации аналогового фильтра, удовлетворяющего заданным тре­
бованиям. При расчете цифровых фильтров нижних и верхних
частот, полосовых и режекторных фильтров можно воспользовать­
ся многочисленными методами расчета аналоговых фильтров-про­
тотипов. Хорошо известны такие классы аналоговых фильтров, как
фильтры Баттерворта, фильтры Чебышева типа I и II и фильтры
Кауэра (называемые также эллиптическими фильтрами). Основ­
ные свойства этих фильтров, а также соотношения, используемые
в настоящее время для их расчета, будут приведены в разд. 4.9,
а сначала рассмотрим несколько методов преобразования (т. е.
дискретизации) существующего аналогового фильтра в эквива­
лентный ему цифровой фильтр.
Предположим, что передаточная функция аналогового фильтра
(представляющая собой преобразование Лапласа от импульсной
характеристики) равна
М
М
2
П (*+с«)
--------- ,
2 щ
п
(4.19)
236
Глава 4
причем коэффициенты a t и Щ (или, что то же, сг и d t) известны.
Дифференциальное уравнение фильтра имеет вид
N
то
М
i=o
d}x (t)
dtІ
(4.20)
где х (t) и | (11 — колебания на входе и выходе фильтра соответ­
ственно. Наиболее распространенными методами дискретизации
аналогового фильтра с передаточной функцией (4.19) являются
следующие:
[ И •'
1) метод отображения дифференциалов;
Я
2) метод инвариантного преобразования импульсной характе­
ристики;
3) метод билинейного преобразования;
4) метод согласованного z-преобразования.
В последующих разделах все эти методы будут подробно рас­
смотрены.
'т Я
4.5. Метод отображения дифференциалов
Один из наиболее простых методов дискретизации аналоговой
системы заключается в замене дифференциалов в ее дифференци­
альном уравнении на конечные разности, что дает возможность
получить разностное уравнение, аппроксимирующее исходное
дифференциальное уравнение. Простейшая замена состоит в за­
мене первого дифференциала на прямую или обратную разность.
При этом дифференциальное уравнение (4.20) после дискретиза­
ции принимает вид
В
N
Г
М
5J а|Дү[у(*))'^ 2 МіІ*(гё)1»
г=0
і=0
(4.21)
где х(п) — последовательность на входе цифрового фильтра,
у (п) — на его выходе, а і-я разность Д* [до (тг)] определяется соот­
ношением
Д 1+1 [до (п)] = Дх {Д* [до (я)]},
(4.22)
причем
1
{
— [до (тг) — до (п — 1 )], обратная разность,
1
— [w (п
ч
1) — до (&)], прямая разность.
Щ
(4-23)
Фильтры с бесконечн ым и характеристикам и
237
Так, при использовании обратных разностей вторая разность
Д2 [w (л)] будет равна
||
A2 [w(n)]
т
{[w(n)
—
w
(
n
—
1)]
т
[w(n
—
1)
—
w
(n
—
2)]}
Т
1
2 [ w ( n ) ~ 2 w ( n— l ) - f w i n — 2)].
(4.24)
При любом отображении непрерывного пространства в дискретиое должны выполняться следующие требования!
1. Ось j Q из 5-плоскости должна отображаться в единичную
окружность на z-плоскости.
2. Точки из левой половины s-плоскости (для них {Re [s]
о»
после отображения должны располагаться внутри единичной ок­
ружности в z-плоскости (т. е. для отображенных точек | z | < 1).
Выполнение первого требования позволяет сохранить (благодаря свойству равномерности отображения) селективные свойства
аналоговой системы, а выполнение второго гарантирует, что полу­
чающаяся в результате отображения устойчивой аналоговой сис­
темы дискретная система также является устойчивой. Рассмотрим,
насколько хорошо замена дифференциалов прямыми или обрат­
ными разностями позволяет удовлетворить сформулированным
требованиям.
Обратные разности . При использовании обратных разностей
производится следующая замена:
dy
dt
У (” ) — У (п — 1)
Т
(4.25)
С точки зрения операторов преобразования она соответствует
соотношению
(4.26)
или
1
(4.27)
1 —sT •
При s
/О из формулы (4.27) следует, что
1
І
1 + jQT
1
1 — jQT
2
(i+
1 — jQT
2
(4.28)
Запишем действительную и мнимую части z:
Re [z]
Im [z]
1 . cos (2 arctg QT)
2 '
2
f sin (2 arctg QT)
2
(4.29)
238
Глава 4
2-плоскость
Фиг. 4.5. Отображение оси |Q из s-плоскости в z-нлоскость для метода
обратных разностей.
Таким образом, прямая s = /О (при —оо <; Q < оо) отобража­
ется на z-плоскости в окружность, уравнение которой имеет вид
{Re И — 1 } 2+ {1т И > а= ( у ) \
(4.30)
Центр этой окружности (фиг. 4.5) находится в точке с координа­
тами Re Ы р 1/2, Im [z] gj 0, а ее радиус равен 1/2. Видно, что
все точки оси jQ из s-плоскости после отображения не попадают
на единичную окружность в z-плоскости (за исключением области
весьма малых значений ОГ). Это означает, что первое из сформули­
рованных выше требований не удовлетворяется. Проверим, выпол­
няется ли второе требование. Для этого положим, что
*Г = а + 7 Р ,
(4.31)
где а и р — действительные числа, причем а < 0. Тогда соотно­
шение (4.27) принимает вид
1
(4.32)
1—а —;р »
откуда
|*IІ Я В 5 <1
В
Таким образом, при использовании обратных разностей устой­
чивый аналоговый фильтр будет отображаться в устойчивый циф­
ровой фильтр, но избирательные свойства аналогового фильтра
не будут сохраняться.
Прямые разности. При использовании прямых разностей про­
изводится следующая замена:
dy
dt
для которо
у (п + І) — у (п)
Т
1
т
(4.34)
(4.35)
или
z = 1 + sT.
(4.36)
Фильтры с бесконечными характеристиками
z-плоскость
А s-плоскость
Фиг. 4.6. Отображение оси /й из s-плоскости в z-плоскость для метода пря
мых разностей.
При s = j Q имеем
1 + jQ T
(4.37)
Контуры на s-плоскости и z-плоскости для рассматриваемого ме­
тода отображения показаны на фиг. 4.6. Видно, что первое тре­
бование, предъявляемое к отображениям, не удовлетворяется.
Не удовлетворяется и второе требование, так как если
sT
I р 70*
ТО
Z
1 +
и
>
ос + / р
(4.38)
(4.39)
1
при р2 > 1 — (1 -f а )2.
Обобщенные разности. Более сложная методика дискретиза­
ции аналоговых фильтров, основанная на замене дифференциалов
разностями, заключается в использовании разностей более высо­
кого порядка для замены дифференциалов более низкого порядка.
Положим, например, что первая разность Ц определяется вместо
(4.23) следующим выражением:
Да [«;(«)]
1
(4.40)
гдө L
порядок используемых разностей. Тогда соотношение
между операторами, описывающее отображение ^-плоскости
в z-плоскость, будет иметь вид
Т
я1 ШмШ5
(4.41)
Докажем, что оно удовлетворяет первому требованию. Для этого
покажем, что при z = eJ(oT оператор s будет иметь вид s = | | (со),
так что единичная окружность на 2-плоскости будет результатом
240
Глава 4
отображения оси jQ из s-плоскости. Подставив z = еішТ в форму­
лу (4.41), получим
s—
I.
т
1
(4.42)
і= і
L
(4.43)
2
2/aj
sin
(шіТ) ==7’| (<о)
т
1
Выбрав соответствующим образом значения коэффициентов а {,
можно добиться того, что функция р (ш) будет аппроксимировать
практически любую заданную нечетную функцию от ю, так что
ось jQ из s-плоскости будет монотонно отображаться в единичную
окружность на z-плоскости. Кроме того, можно показать, что ото­
бражение, описываемое оператором (4.41), является конформ­
ным, поэтому точки левой полуплоскости s будут располагаться
после отображения внутри единичного круга в z-плоскости, так
что оба требования, предъявляемые к отображениям, будут удов­
летворяться. Однако в связи с трудностями в определении коэффи­
циентов а*, необходимых для выполнения отображения, а также
из-за наличия более простых методов дискретизации аналоговых
фильтров рассмотренный метод использования разностей более
высокого порядка не нашел широкого практического применения.
Общие замечания о методе замени дифференциалов разностями.
Достоинство метода замены дифференциалов простыми разностями
заключается в том, что с помощью простых подстановок типа
(4.26) или (4.35) можно от рациональной передаточной функции
от s непосредственно перейти к рациональной передаточной функ­
ции от z. Однако независимо от того, используются простые прямые
или простые обратные разности, характеристики аналогового
фильтра при этом не сохраняются, поэтому для дискретизации
аналоговых фильтров обычно применяют другие методы.
4.6. Метод инвариантного преобразования
импульсной характеристики
Второй метод дискретизации аналоговых фильтров называется
методом инвариантного преобразования импульсной характери­
стики1. Отличительной особенностью этого метода является то, что
в качестве импульсной характеристики рассчитываемого цифрового
фильтра используется дискретизованная импульсная характери­
стика соответствующего аналогового фильтра. В результате частот1) Его называют также методом стандартного z-преобразования.— Прим.
ред.
Фильтры с бесконечными характеристиками
241
ная характеристика цифрового фильтра образуется путем наложефильтраСТ°ТН0И характеРистики Дискретизованного аналогового
Для того чтобы предемонстрировать метод дискретизации
аналогового фильтра с использованием инвариантного преобразо­
вания его импульсной характеристики, разложим передаточную
функцию этого фильтра (4.19) на простые дроби:
N
Cj
Ht s)
t=i
где
(4.44)
s + dj *
'ЩЩ (s + di)
(4.45)
положение г-го полюПри за™си разложения (4.44) предполагалось, что порядок
числителя М меньше порядка знаменателя N и что все полюсы
Ш простые. Предположение о том, что М < N, обязательно
должно выполняться для дискретизуемого фильтра, поскольку
в противном случае наложения в частотной характеристике цифро­
вого фильтра станут недопустимыми. Если же не все полюсы Н (s)
простые, то результаты, которые будут получены в настоящем разделе, следует несколько модифицировать.
Импульсная характеристика һ Щ аналогового фильтра с передаточной функцией вида (4.44) описывается соотношением
N
-dd
й (*)= 2] сйе
(t).
(4.46)
і= і
Дискретизуя ее, получим импульсную характеристику цифрового
фильтра
iV
һ { п Т ) = J Щ dinTu~x (пТ),
(4.47)
І=1
где Т
период дискретизации. Найдем ее z-преобразование
ОО
Hl z )
оо
N
2 Һ (пТ) z~n 9 И | м
п~0
п=0 і=1
(4.48)
Измени порядок суммирования и просуммировав по и, получим
N
ОО
N
Ci
Н (z)
і=1
n=0
41—e~ d 1
ir z 1
I
(4.49)
Сравним формулы (4.49) и (4.44). Видно, что для простых полюсов
переход от Н (s) к Н (z) осуществляется с помощью отображения,
16—0399
242
Глава 4
при котором используется замена
1
1
(4.50)
-d .T
1 z- , e
Если полюсы di комплексные, то остатки с-г в (4.44) также будут
комплексными. Функция h (t) действительная, поэтому должны
существовать также комплексно сопряженные полюс
и остаток
с*. Просуммируем эти комплексно сопряженные члены в (4.44):
It
С1
+
» +d I
(4.51)
sZ+ tfi + dVs + did* *
Положив d t —Oi-\-]Qi и Ci=gi-\-]hi, получим
S -t-di
2giS+ 2 (aigi + Qjhi)
+
(4.52)
^+20is + (o? -t- Й?)
Использование отображающей замены (4.50)
к каждому слагаемому в формуле (4.51) дает
С;
1—z-*e dj
(Сі + c f )
+
применительно
1
41—2п-і
Г1еШ
# * (cte di T+ c f e diT)
(4.53)
-dTT. .
-(d .+ d p T
- d .T
1 — z"1 {e 1 + e 1 ) -J- z~2e
-0:T
[2gi cos {QiT) — 2hi (sin QiT)]
1 — 2z-‘e \ f cos (й гT) + Щ
(4.54)
2° iT
Из формул (4.52) и (4.54) получаем
1 zI хеB [cos (QT) — (h/g) sin
s + c r - f Q (h/g)
ЩЖ 2as + 1 + й 2
(QT)\
- 0 - 2 oT
(4.55)
1 — 2z~xe oT cos (QT) -}- z~ae
(индекс i здесь опущен, а числители поделены на 2g).
Приведем два полезных частных случая этой отображающе
замены, соответствующих аналоговым фильтрам с импульс­
ными характеристиками Щ (t) = e~at cos (Ш)
(f) и h 2 (t)
ёШІ sin (Qt) м_! (t):
1 ;-*<ГсТ cos QT
s4- ct
(4.56)
Я х(s) s2+ 2 as -f a2+ Й2
1 — 2z~le ~ aT cos ЙГ-f І Ш
H 2 (s)
Q
s2 - f 2as 4- a 2 + Й2
’
ІІЖ іШ
1—^ le~aTcos ЙГ-f 2-®e~2oT ’
(4.57)
Вьппе было отмечено, что частотная характеристика цифрового
фильтра, рассчитываемого методом инвариантного преобразования
импульсной характеристики, образуется путем наложений частот-
Ф илътры с бесконечными характеристиками
s-плоскость
243
z -плоскость
Фиг. 4.7. Отображение из s-плоскости в г-плоскость для метода инвариантного преобразования импульсной характеристики.
ной характеристики дискретизуемого аналогового фильтра. Таким
образом, можно записать
1
оо
я(/а+ /ю ),
Т
(4.58)
ОО
2л IT
где Qg — У.Ш
1
угловая частота дискретизации цифрового
фильтра. На фиг. 4.7 показано соответствующее инвариантному
преобразованию импульсной характеристики отображение из
s-плоскости в 2-плоскость. Каждая горизонтальная полоса шири­
ной 2л IT из s-плоскости отображается на z-плоскость. Поэтому
все смежные полосы из 5-плоскости будут при отображении на­
кладываться друг на друга в 2-плоскости. Отсюда следует, что для
того, чтобы частотные характеристики исходного аналогового
фильтра и рассчитываемого методом инвариантного преобра­
зования импульсной характеристики цифрового фильтра соот­
ветствовали друг другу, необходимо, чтобы полоса пропуска­
ния аналогового фильтра находилась в пределах диапазона
п / Т ^ И ^ я / Т . Для выполнения этого условия необходимо
до начала преобразования вводить дополнительный фильтр ниж­
них частот, гарантирующий соответствующее ограничение полосы
пропускания аналогового фильтра.
Пример инвариантного преобразования импульсной характе­
ристики. Для иллюстрации этого метода дискретизуем аналоговый
фильтр с передаточной функцией вида
His)
Непосредственное
дает
п
\
2
(s-\-1) (s -J- 3)
1
1
использование отображающей замены (4.50)
1
-ч«-т
ЗТ
244
Глава 4
Амплитуда
1,0
1,5
2,0
Частота, fU
Фиг. 4.8. Амплитудная и фазовая характеристики аналогового фильтра.
Частотная характеристика аналогового фильтра определяется
соотношением
i
2
I
Н ( W ** (3—Q*)+ 4/Q •
На фиг. 4.8 представлены амплитудная и фазовая характеристики
этого фильтра. Характеристики соответствующего цифрового
фильтра^для разных значений периода дискретизации Т — 1Щ
изображены на фиг. 4.9. Ясно, что при уменьшении Т (т. е. при
увеличении частоты дискретизации Fs) эффекты наложения могут
оказаться пренебрежимо малыми и частотные характеристики
аналогового и цифрового фильтров станут похожими друг на
друга.
4.7. Билинейное z-преобразование
Достоинство первого из двух рассмотренных выше методов рас­
чета цифрового фильтра по характеристикам аналогового фильтра,
основанного на замене дифференциалов конечными разностями,
заключалось в том, что z-преобразование импульсной характе­
ристики цифрового фильтра элементарно получалось иэ преобра­
зования Лапласа импульсной характеристики аналогового
фильтра с помощью простой алгебраической подстановки. Недо­
статки же этого метода состояли в том, что ось /Й из s-плоскости
не отображалась, вообще говоря, в единичную окружность на
z-плоскости, а устойчивый аналоговый фильтр (в случае исполь­
зования прямых разностей) не всегда отображался в устойчивый
цифровой фильтр.
245
Фильтры с бесконечными характеристиками
Амплитуда
О
0,5
1,0
1,5
2,0
Частота, Ш
2,5
3,0
Фиг. 4.9. Амплитудная
фазовая I
характеристики ц
рассчитанных методом ] нвариантного преобразования импульсной характе­
ристики аналогового фильтра, представленного на фиг. 4.8.
Существует, однако, простое конформное отображение s-пло­
скости в z-плоскость, свободное от этих недостатков и в то же время
сохраняющее удобную алгебраическую форму преобразования.
Оно называется билинейным преобразованием, использующим сле­
дующую замену:
(4.59)
Характер этого преобразования проще всего понять, если'обратиться к фиг. 4.10, где показано, каким образом s-плоскость отобра­
жается^ z-шіоскость. Видно, что вся ось /й из s-плоскости отображается в единичную окружность на z-плоскости; левая полупло­
скость s отображается в единичный круг, а правая полуплоскость
8 — в область, расположенную вне единичного круга на z-плоско­
сти. Эти свойства легко проиллюстрировать, если из формулы
(4.59) найти выражение для z:
(2/Л £ |
При s
(2/Т) - 1
(4.60)
(2/Т) + /О
(2/T)— jQ
(4.61)
Ш
Отсюда видно, что |z| = 1. При Q = 0 имеем z = 1 и при Q
оо
1, в промежутке z монотонно меняется от 0 до п. Подставив
246
Глава 4
s-плоскость
Фиг. 4.10. Отображение s-плоскости в z-плоскость при билинейном пре­
образовании.
я
в формулу (4.60) s — а + jQ, получим
(2/Т) -}- от—
(—jQ
(2/T) — a —jQ •
(4.62)
При а
0 (для левой полуплоскости if 11 1<; 1, т. е. точки распо­
лагаются внутри единичнои окружности.
При билинейном преобразовании передаточная функция цифро­
вого фильтра Н (z) рассчитывается с помощью алгебраической под­
становки (4.59), т. е.
' /э
(4.63)
Н ( z ) = H (S) | s = ( 2 / T ) [ ( l - z - l ) / ( l + z - l ) ] .
Из этого соотношения видно, что порядки знаменателей функций
Н II) и Н | | | совпадают, но порядки числителей могут отличаться.
передаточная функция
Де
1
H is)
S “j- CL
имеет числитель нулевого порядка, а знаменатель — первого по
рядка. В то же время получаемая методом билинейного преобра
зования функция Н Щ равна
1
1 + 2-1
H (z)
2/Т + а +2-1 [а—(2/Т1)] «
где и числитель, и знаменатель первого порядка. Причиной этого
является то, что функция Н (s) имеет нуль на бесконечности
($ = оо), который при билинейном преобразовании отображается
в точку z == —1.
Щ|
Фильтры с бесконечными характеристиками
247
2,0
О?
1,0
о
7г/4
а>Т/2
Фиг. 4.11. Соотношение между частотными шкалами аналогового и цифро­
вого фильтров при билинейном преобразовании.
Так как в единичную окружность на z-плоскости отображается
вся ось / й из s-плоскости, то эффекты, связанные с наложениями
в частотной характеристике цифрового фильтра, характерные
для метода инвариантного преобразования импульсной характе­
ристики, в данном случае будут отсутствовать. Однако соотно­
шение между частотами аналогового фильтра Q и цифрового
фильтра «о оказывается существенно нелинейным. Рассмотрим
характер этой нелинейности, положив в (4.59) z = eiaT и s = /Q,
что дает
(4.64)
или
2
jgKwT/2)_e-j(wT/2)j
откуда
(4.65)
Это соотношение представлено на фиг. 4.11 для случая Т — 2.
При небольших со отображение почти линейно, однако для основной
части частотной шкалы оно существенно нелинейно и сильно огра­
ничивает область применения билинейного преобразования. Дей­
ствительно, амплитудная характеристика преобразуемого анало-
248
Глава 4
(О/Г cv2T
a^T (i)4T
Фиг. 4.12. Методика учета нелинейного искажения частотной шкалы при
билинейном преобразовании.
гового фильтра должна быть ступенчатообразной функцией часто­
ты, так как в противном случае частотная характеристика цифро­
вого фильтра будет представлять собой деформированную характе­
ристику аналогового фильтра. По этой причине, например, били­
нейное преобразование нельзя использовать для преобразования
аналогового дифференцирующего фильтра в цифровой дифферен­
циатор. Существует, правда, довольно большой класс фильтров,
для которых частотная деформация, описываемая соотношением
(4.65), может быть скомпенсирована. К ним относятся фильтры
нижних и верхних частот, полосовые и режекторные. Метод ком­
пенсации деформации достаточно прост (фиг.* 4.12). Совокупность
характерных частот среза цифрового фильтра известна. Пусть
Ф илы при с бесконечными характеристиками
249
в данном случае их будет четыре:
со2, со*, со4 (они показаны на
фиг. 4.12 справа внизу). Используя нелинейное соотношение
(4.65) между частотными шкалами цифрового и аналогового фильт­
ров, пересчитаем все частоты среза цифрового фильтра в час­
тоты среза аналоговог.о фильтра, которые будут равны Qlf й 2, Q3,
(см. на фиг. 4.12 вверху). Теперь рассчитаем аналоговый
фильтр, все характерные частоты которого совпадали бы с этими
пересчитанными частотами среза цифрового фильтра. Амплитудная
характеристика такого аналогового фильтра изображена на
фиг. 4.12 слева вверху. Выполнив билинейное преобразование
этого аналогового фильтра, получим цифровой фильтр, все частоты
среза которого будут совпадать с заданными. Ниже в настоящей
главе будут даны примеры расчета фильтров нижних и верхних
частот методом билинейного преобразования.
Итак, билинейное преобразование обеспечивает простое отобра­
жение между аналоговыми и цифровыми фильтрами и является
алгебраическим преобразованием, при котором ось ]Щ полностью
отображается в единичную окружность на 2-плоскости. Кроме
того,^ ему присуще свойство отображать физически реализуемый
устойчивый аналоговый фильтр также в физически реализуемый и
устойчивый цифровой фильтр. Более того, аналоговые широкопо­
лосные фильтры с резкими скатами могут быть отображены в широ­
кополосные цифровые фильтры с резкими скатами без искажений
частотной характеристики, связанных с наложениями, которые
характерны для метода инвариантного преобразования импульс­
ной характеристики. Недостаток метода билинейного преобразо­
вания заключается в том, что эффекты нелинейности соотношения
между частотными шкалами аналогового и цифрового фильтров
удается учесть лишь в том случае, когда частотная характеристика
аналогового фильтра имеет вид ступенчатообразной функции.
Кроме того, при билинейном преобразовании ни импульсная,
ни фазовая характеристики аналогового и цифрового фильтров
не будут совпадать.
4.8. Согласованное ^-преобразование
Четвертый метод дискретизации аналоговых фильтров, назы­
ваемый согласованным 2-преобразованием, основан на непосред­
ственном отображении полюсов и нулей из s-плоскости в полюсы и
нули на 2-плоскости. При таком отображении полюс (или нуль)
в точке s
а плоскости s отображается в полюс (или нуль)
в точке 2 = е а плоскости 2, где Т — период дискретизации.
Таким образом, при согласованном 2-преобразовании отобра­
жающая замена будет иметь вид
S
и
1
zmle~aT.
(4 .66)
250
Глава 4
Фиг. 4.13. Расположение полюсов
и нулей в^-плоскости и амплитуд­
ная характеристика
аналогового
фильтра.
Амплитуда
t
o
4
5
6
Частота, Щ
Если полюсы (или нули) комплексные, то (4.66) можно переписать
следующим образом:
(s + а —)Ь) (S + а +
= (s 4- а)2
]Ъ) =
Ь2—►1 — 2z~le~aT cos (ЬТ) Ще~2аТ.
(4*67)
Необходимо отметить, что полюсы цифрового фильтра, рассчиты­
ваемого методом согласованного z-преобразования аналогового
фильтра, оказываются идентичными полюсам, получаемым при
инвариантном преобразовании импульсной характеристики того
же аналогового фильтра, однако нули существенно различаются.
Необходимо также учитывать, что для использования метода
согласованного z-преобразования передаточная функция H(s)
аналогового фильтра должна быть разложена на множители.
Метод согласованного z-преобразования довольно прост в ис­
пользовании, однако во многих случаях он неприменим. Так,
если центральные частоты аналогового фильтра, соответствующие
его нулям, превышают половину частоты дискретизации, то поло­
жение нулей цифрового фильтра будет существенно искажено
Фильтры с бесконечными характеристиками
251
Амплитуда
Частота, ІЦ
Фиг. 4.14. Расположение полюсов и нулей в 2-плоскости и амплитудная
характеристика цифрового фильтра, рассчитанного методом согласованного
z-преобраэования полюсов и нулей аналогового фильтра, представленного
на фиг. 4.13.
эффектом наложения.
функции
Покажем
H (s)
это на примере передаточной
s*-f-2 * + 5 6 2 6
**+ 2s + 2
с нулями в точках s
1 ± /75 и полюсами в точках s
1
/1. Расположение нуле й и полюсов этой функции в s-плоскости,
а также амплитудная характеристика (в логарифмическом масшта­
бе) представлены на фиг. 4.13. Пусть Т = 1/12. Используя сог­
ласованное 2-преобразование, получим следующее выражение для
передаточной функции цифрового фильтра:
1 — 2e- 1 ^12 cos (-J 2 ) z-1 - f e " 1/ez-2
H it)
1 — 2е~
cos
j I** -j- e~
Полюсы этой функции расположены в точках с полярными коорди­
натами г — e~i/l2e±i
а нули — в точках с координатами
2 = е~1/12е± Я5/12' Приближенное положение полюсов и нулей
в z-плоскости и амплитудная характеристика цифрового фильтра
□оказаны на фиг. 4.14. Видно, что при использовании согласо­
252
Глава 4
ванного z-преобразования из-за эффекта наложения нули анало­
гового фильтра из области верхних смещаются в область нижних
частот для цифрового фильтра.
Согласованное z-преобразование неприменимо также в случае,
когда передаточная функция аналогового фильтра имеет только
полюсы. Передаточная функция цифрового фильтра также будет
иметь только полюсы, но во многих случаях она не будет соот­
ветствовать исходному аналоговому фильтру. Считается, что не­
сколько лучшие результаты можно получить, искусственно введя
в цифровой фильтр нули в точке z = —1, однако эту меру даже
в лучшем случае следует рассматривать лишь как временную.
Вообще использование инвариантного преобразования импульс­
ной характеристики или билинейного преобразования предпочти­
тельнее использования согласованного z-преобразования.
4.9. Обзор методов расчета аналоговых
фильтров нижних частот
Значительная часть теории расчета цифровых БИХ-фильтров
требует понимания методов расчета фильтров непрерывного вре­
мени. Поэтому в данном разделе будут приведены расчетные фор­
мулы для нескольких стандартных типов аналоговых фильтров,
включая фильтры Баттерворта, Бесселя, Чебышева типа I и II
и Кауэра (называемые также эллиптическими фильтрами). Под­
робный анализ достоинств и недостатков способов аппроксимации
заданных характеристик, соответствующих этим фильтрам, мож­
но найти в ряде работ, посвященных методам расчета аналоговых
фильтров, поэтому ниже будут лишь кратко перечислены основные
свойства фильтров каждого типа и приведены расчетные соотно­
шения, необходимые для получения коэффициентов аналоговых
фильтров
Пусть нужно рассчитать нормированный фильтр нижних час­
тот с частотой среза, равной Щ = 1.,рад/с. В качестве аппроксими­
руемой функции будет, как правило, использоваться квадрат
амплитудной характеристики (исключением является фильтр Бессе­
ля). Будем считать, что передаточная функция аналогового фильтра
является рациональной функцией переменной s следующего вида:
т
2 bisi
Я ( 5) = - І ^ ------ .
! + S a*si
і=1
(4.68)
Фильтры с бесконечными характеристиками
253
1. Фильтры Баттерворта
Фильтры Баттерворта нижних частот характеризуются тем,
что имеют максимально гладкую амплитудную характеристику
в начале координат в s-плоскости. Это означает, что все суще­
ствующие производные от амплитудной характеристики в начале
координат равны нулю. Квадрат амплитудной характеристики
нормированного (т. е. имеющего частоту среза 1 рад/с) фильтра
Баттерворта равен
1
Я(Й)
(4.69)
1 + (Q*)n
где п — порядок фильтра. Аналитически продолжая функцию
(4.69) на всю s-плоскость, получим
1
(4.70)
2\П
Все полюсы (4.70) находятся на единичной окружности на одинако­
вом расстоянии друг от друга в s-плоскости. Выразим передаточ­
ную функцию Я (s) через полюсы, располагающиеся в левой полу­
плоскости s:
ко
H(s)
(4.71)
П
П (*—**)
ft= l
где
(4.72)
а к0 — константа нормирования. Используя формулы (4.69)
и (4.72), можно сформулировать несколько свойств фильтров Бат­
терворта нижних частот:
1. Фильтры Баттерворта имеют только полюсы (все нули пере­
даточных функций этих фильтров расположены на бесконечности).
2. На частоте Q = 1^ рад/с коэффициент передачи фильтров
Баттерворта равен 1F\f 2 (т. е. на частоте среза их амплитудная
характеристика спадает на 3 дБ).
3. Порядок фильтра п полностью определяет весь фильтр.
На практике порядок фильтра Баттерворта обычно рассчиты­
вают из условия обеспечения определенного ослабления на неко:щ§ частоте Ц? >
и на частоте Q — а уровень амплитудной характеристики,
равный i /А , можно найти из соотношения
lg Ш - 1)
2 lg Q< I
(4.73)
s-плоскость
7Г/2+ тг/22
в
X
Фиг. 4.15. Расположение полюсов аналогового фильтра Баттерворта нижних
частот.
Фильтр Баттерворта
п=11, £ т500Щ
-120
-200
Частота, ГЦ
Фиг. 4.16. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика
групповой задержки аналогового фильтра Баттерворта нижних частот.
Фильтры с бесконечными характеристиками
255
Пусть, например, требуется на частоте Qt = 2 рад/с обеспечить
ослабление, равное А — 100. Тогда
lg (9999) _
2lg2
4
А
2 (0,301) “
Округлив л в большую сторону до целого числа, найдем, что за­
данное ослабление обеспечит фильтр Баттерворта 7-го порядка.
Пример 1. Рассчитать фильтр Баттерворта с ослаблением
не менее 66 дБ на частоте Q = 2000 п рад/с и с ослаблением 3 дБ
на частоте Q = 1000 я рад/с.
Решение. Используя в качестве расчетных характеристик
XIА = 0,0005 (что соответствует ослаблению на 66 дБ) и Qt = 2,
получим п — 10,97. Округление дает п = 11. На фиг. 4.15
показано расположение полюсов рассчитанного фильтра Баттер­
ворта в s-плоскости. Амплитудная (в логарифмическом масштабе)
и фазовая характеристики, а также характеристика групповой
задержки этого фильтра представлены на фиг. 4.16.
2. Фильтры Бесселя
Фильтры Бесселя характеризуются максимально гладкой
характеристикой групповой задержки в начале координат в «-пло­
скости. Переходная характеристика фильтров Бесселя имеет весь­
ма малый выброс (обычно менее 1 %), причем и импульсная и ам­
плитудная характеристики стремятся к гауссовой кривой по мере
увеличения порядка фильтра. Можно показать, что при дискрети­
зации непрерывных фильтров Бесселя методами, рассматривае­
мыми в данной главе, характерное для этих фильтров свойство
максимальной гладкости характеристики групповой задержки,
вообще говоря, не сохраняется. Подробно этот вопрос изложен
в статье Тайрана.
Передаточная функция фильтров Бесселя записывается в виде
Н («) =
w
—
Вп (s) 1
// 7/х
где В п (s) — функция Бесселя л-го порядка, a d 0 — константа нор­
мирования, равная
dо
(2 в)!
2пп\ *
(4,75)
Появление функций ;Бесселя в знаменателе (4.74) является ре­
зультатом усечения при представлении функции единичной за­
держки е в виде цепной дроби. Функции Бесселя удовлетворяют
следующему рекуррентному соотношению:
#nfc) = (2л — 1) Дя_і(« )+ « 2 B n_2(s)
(4.76)
256
Глава 4
с начальными условиями В 0 (s) = 1 и S j (5) = s + 1. Эти функции
можно также представить в виде
в п (S) щ
2
dhsk,
ь=о
(4.77)
где
dh = — (2w- к) 1 ..
fc= 0, 1,
2п~һк\ (п—А)1 ’
(4.78)
Можно показать, что фильтры Бесселя имеют только полюсы,
которые расположены на окружности с центром на действительО
нои положительной полуоси 5-ПЛОСКОСТИ.
Фильтр Бесселя
п-10^с-500Щ
Амплитуда
-40
1000
2000
3000
4000
5000
Частота, ГЦ
Фиг* 4.17. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика
групповой задержки5 аналогового фильтра Бесселя нижних частот.
илътры с бесконечными характеристиками
257
В отличие от фильтров Баттерворта частота среза фильтров
Бесселя й с зависит от их порядка, что затрудняет работу с ними.
Частоту среза фильтра Бесселя тг-го порядка можно найти, анали­
зируя поведение его амплитудной характеристики на высоких
частотах. Из формул (4.75) и (4.78) получим
lim I Н Ш ) I
е-м»
1
- 4 -
dnQn
2Qn *
=
и 79ч
v4*Щ
Чтобы определить асимптотическую частоту среза, найдем такую
частоту Яе, на которой \Н (/Q)| — ‘/а* Соотношение (4.79) дает
| я ( А ) |- > “ү = - ^ Гі
(4.80)
с
откуда
Qс = 4 /п.
(4.81)
Для нормирования й е к величине 1 рад/с разделим все корни фильт
ра на
При этом задержка в фильтре вместо 1 становится
равной dj/n, а уровень амплитудной характеристики на частоте
1 рад/с будет уменьшаться при увеличении порядка фильтра п.
Обычно фильтры Бесселя рассчитывают, задавая порядок
фильтра п и частоту среза и отыскивая корни по таблице.
На фиг. 4.17 в качестве примера приведены амплитудная
(в логарифмическом масштабе) и фазовая характеристики, а также
характеристика групповой задержки фильтра Бесселя нижних частот 10-го порядка. Асимптотическая частота среза этого фильтра
равна 1000 я'рад/с (т. е. 500 Гц).
3. Фильтры Чебышева
Отличительной чертой фильтров Чебышева является наимень­
шая величина максимальной ошибки аппроксимации в заданной
полосе частот. В действительности ошибка аппроксимации пред­
ставляется в заданной полосе равновеликими пульсациями, т. е.
она флуктуирует между максимумами и минимумами равной ве­
личины. В зависимости от того, где минимизируется ошибка аппрок­
симации — в полосе пропускания или в полосе непропускания,—
различают фильтры Чебышева типа I и II.
Фильтры Чебышева типа I имеют только полюсы и обеспечивают
равновеликие пульсации амплитудной характеристики в полосе
пропускания и монотонное изменение ослабления в полосе не­
пропускания. Квадрат амплитудной характеристики фильтра
Чебышева типа I л-го порядка описывается выражением
1И <Я) I*= Т+ А ’ (О) •
17—0399
(4-82)
Глава 4
258
где Т п (Q) — полином Чебышева и-го порядка, по определению
равный
cos (re arccos й ) , | Q | ^ 1 ,
(4.83)
Tn(Q)
Q
ch (re ArchQ),
1,
параметр, характеризующий пульсации в полосе пропускаа е
иия.
- * ' , ! •••.’ к : inn* ;
;3
Свойство оптимальности фильтров Чебышева типа I порядка п
заключается в том, что не существует какого-либо другого фильт­
ра re-го порядка, содержащего только полюсы, который имел бы та­
кие же или лучшие характеристики и в полосе пропускания, и
в полосе непропускания. Другими словами, если какой-либо
фильтр re-го порядка, содержащий только полюсы, имеет в полосе
пропускания лучшие характеристики по сравнению с фильтром
Чебышева типа I порядка ге, то в полосе непропускания характе­
ристики этого фильтра наверняка будут хуже, чем у фильтра
Чебышева.
Фильтры Чебышева типа II (иногда их называют также обрат­
ными фильтрами Чебышева) обеспечивают монотонное изменение
ослабления в полосе пропускания (максимально гладкое при
0) и равновеликие пульсации в полосе непропускания. Нули
фильтров этого типа располагаются на мнимой оси в s-плоскости,
а полюсы — в левой полуплоскости. Квадрат амплитудной харак­
теристики фильтров Чебышева типа II порядка ге можно предста­
вить следующим образом:
1
(4.84)
Я (Q)
где й г — наинизшая частота, на которой в полосе непропускания
достигается заданный уровень ослабления.
На фиг. 4.18 показано поведение квадрата амплитудной харак­
теристики для фильтров Чебышева типа I и II при четных и нечет­
ных ге. Во всех этих фильтрах граница полосы пропускания нахо­
дится при Q Ц 1, где | Я (1) | 2 = 1/(1 + е2), а граница полосы не­
пропускания расположена при Q = й г, где | Я (й г) | 2 = 1/Л2.
Фильтр Чебышева типа I имеет простые полюсы в точках
sh — ah \ /Q ft, где к = 1, 2 ,..., ге, которые лежат в s-плоскости на
эллипсе, уравнение которого имеет вид
о
Q
+
shatp
cha го
1.
(4.85)
Здесь
а
sh ф sin
Qft —ch шсоз
(2fc— 1) я
2п
(2ft—1) я
2п
(4.86)
истинами
п нечетное
259
п четное
п нечетное
п четное
Q
6
Фиг. 4.18. Общий вид функции квадрата амплитудной характеристики
аналоговых фильтров Чебышева нижних частот тина I и II.
о
фильтр Чебышева типа I; б — фильтр Чебышева типа II.
sh ф
-1
У—У
ch ф
-1
V+V
2
(4.87)
2
И
У
1 -f- у 1 _!_е* \ i /п
г\
(4.88)
Фильтры Чебышева типа II имеют и полюсы, и нули. Нули яв­
ляются чисто мнимыми и находятся в точках
а |
fir
I' '^г./ТОЛ f.r*
cos{[(2A— Щ2Һ] я} ’
f:
V
*
*
?
k — 1 , 2, . .
П,
(4.89)
17*
Глава 4
260
(Отметим, что при нечетных п нуль с номером к = (п —
|-1)/2
находится на бесконечности.) Полюсы фильтров типа II можно
найти, вычислив координаты особых точек знаменателя передаточ­
ной функции (4.84).
Простые преобразования дают для полюсов s* = 0 * +
(к = 1, 2, ...) следующие выражения:
Qrotfe
№ ■ « І+ Р І
(4.90)
_
«2+РЛ
где
ah— —
0
s h ф s in
(2fc — 1) я
2п
Г (2/с
(2к—
— 1)
1) ял И
,
(4.91)
Pfc = c h ф COS [ ------ 2n----- J ’
причем
sh ф
2
(4.92)
и
ү = (Л + )Л42- і ) 1/п.
(4-93>
Фильтры Чебышева типа I и II полностью определяются лю­
быми тремя из следующих четырех параметров:
1) п (порядок фильтра);
j
2) е (параметр, характеризующий пульсации в полосе про­
пускания, см. фиг. 4.18);
3) й г (наинизшая частота, на которой в полосе непропуска­
ния достигается заданное ослабление, см. фиг. 4.18),
4) А (параметр, характеризующий ослабление в полосе непро­
пускания, см. фиг. 4.18).
Порядок фильтра Чебышева п, необходимый для обеспечения
заданных значений е, А и Qr, определяется с помощью формулы
l g ( g + W —0
(4.94)
где
g= V
Ал—1
и
(4.95)
Пример 2. Рассчитать фильтр Чебышева минимального поряд­
ка, удовлетворяющий следующим условиям:
пульсации в полосе пропускания равны 2 дБ,
переходное отношение 1/Йг = 0,781 ь
Фильтры с бесконечными характеристиками
261
Фильтр Чебышева типа /
r?=£, Яг ~1,2в,А~41,67
ЙЭ
А
Ж
Групповая задержка
О
1000
2000
3000
Частота, Гц
4000
5000
Фиг. 4.19. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристики
групповой задержки аналогового фильтра Чебышева нижних частот типа I.
р
Е
ослабление в полосе непропускания 30 дБ,
Решение. Используя фиг. 4.18, найдем параметры фильтра
е, Л и Q, по заданным характеристикам
1
2 дБ = 20 lg
е
=
0,764,
а
V 1+
30 дБ = 20
SL
А = 3 1 ,6 2 ,
И
0,781
Затем по формуле (4.95) получ Леи, g
вычислим значение п = 6,03.
1,28
41,33, а по формуле (4.94)
Глава 4
262
Фильтр Чебышева типа II
£9
о
Л
О
1000
2000
3000
4000
5000
Частота, lit
Фиг. 4.20. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика
групповой задержки аналогового фильтра Чебышева нижних частот ігша II.
На фиг. 4.19 и 4.20 представлены основные характеристики
(амплитудная в логарифмическом масштабе, фазовая и групповой
задержки) фильтров Чебышева типа I и II, удовлетворяющие ус­
ловиям, перечисленным в примере 2. Оба фильтра имеют частоту
среза Qc — ЮООя рад/с (т. е. / с = 5000 Гц). Из сопоставления
фиг. 4.19 и 4.20 видно, что поведение характеристики группо­
вой, задержки в полосе пропускания для фильтра типа II вообще
значительно лучше, чем для фильтра типа I. Это связано с тем, что
нули фильтров Чебышева типа II располагаются в s-плоскости на
оси /О , тогда как все нули фильтров Чебышева типа I находят­
ся на бесконечности.
------------------ ф и л ьтры с бесконечными характеристиками____________263
4 . Эллиптические фильтры
Эллиптические фильтры характеризуются тем, что их ампли­
тудная характеристика имеет равновеликие пульсации и в полосе
пропускания, и в полосе непропускания. Можно показать что
с точки зрения минимальной ширины переходной полосы эллип­
тические фильтры являются оптимальными, т. е. для заданных
порядка фильтра и уровня пульсаций не существует других фильт­
ров с более быстрым переходом от полосы пропускания к полосе
непропускания. Квадрат амплитудной характеристики эллиптического фильтра нижних частот записывается в виде
I ^ §ІЩІ Р = ------- 1
v
п
1 + e*X*(Q ,L) ,
/ / (\а\
(4 .9 6 )
где Я п (Q, L ) — рациональная функция Чебышева, a L — пара­
метр, характеризующий пульсации функции R n (Q; L ). Проанали­
зируем свойства эллиптических фильтров, используя фиг 4 21
где представлена типичная функция R \ (Q, L ). Видно, что в полосе
пропускания —1 < Q ^ 1 эта функция осциллирует между 0 и 1
а, начиная с частоты
она осциллирует между L 2 и оо. При из­
менении параметра L величина QL также будет меняться. Именно
на этом свойстве рациональных функций Чебышева основана мето­
дика расчета фильтров с произвольным ослаблением и в полосе
пропускания, и в полосе непропускания. Фактически можно вы­
брать любые три из четырех параметров фильтра (порядок, ослаб­
ление в полосе пропускания, ослабление в полосе непропускания
и переходное отношение, или, что то же самое, частота среза Я г)
и четвертый из них определяется однозначно.
’
Изучение свойств функции R n (Q, L) требует знания теории
эллиптических функций Якоби, детальное изложение которой уве­
ло бы нас слишком далеко. Поэтому, отослав заинтересованного
читателя к книге Даниэльса, ограничимся тем, что сначала пред­
ставим расчетное соотношение, позволяющее найти порядок эллипIш
Фиг. 4.21. Типичная рациональная функция Чебышева.
264
Глава 4
п четное
п нечетное
S2
вр S2s
£
Фиг. 4.22. Общий вид квадрата амплитудной характеристики аналогового
эллиптического фильтра нижних частот.
тического фильтра, обеспечивающего заданные величины уровня
пульсации и переходного отношения, а после этого приведем в ка­
честве примера характеристики типичного эллиптического фильт­
ра. На фиг. 4.22 показано поведение квадрата амплитудной харак­
теристики типичных эллиптических фильтров при нечетном и чет­
ном значениях п. Там же представлены параметры пульсаций е
и А . Видно, что для эллиптических фильтров они определяются
так же, как и для фильтров Чебышева. Переходное отношение
к определяется следующим образом:
* -■ £ .
<4 -97>
„ — граничная частота полосы пропускания, a Qs — гра­
ничная частота полосы непропускания. Если ввести параметр klt
равный
л*
У ла—1
(4.98)
то порядок эллиптического фильтра п, удовлетворяющего задани й в, можно рассчитать по формуле
ным значениям е, A ,
к?)
(
/
(4.99)
п
(V Г*) ’
где К (•) — полный эллиптический интеграл 1-го рода. В разд. 4.10
описана графическая методика нахождения порядка эллиптиче­
ских фильтров Чебышева и Баттерворта, удовлетворяющих за­
данным характеристикам.
Амплитудная (в логарифмическом масштабе) и фазовая харак­
теристики, а также характеристика групповой задержки эллип­
тического фильтра нижних частот представлены на фиг. 4.23.
265
Фильтры е бесконечным и характеристиками
Эллиптический фильтр
п ш6, fe*500H { __
Амплитуда
tJ
*
ш
О
1000
2000
3000
4000
5000
Частота, ТЦ
Фиг. 4.23. Амплитудная и фазовая характеристики, а также характеристика
групповой задержки аналогового эллиптического фильтра нижних частот.
Порядок фильтра п = 6 , частота среза Qc = 1000 я рад/с (/с =
= 500 Гц), переходное отношение к = 0,781, характеристики
пульсаций А * 31,62 и е = 0,01,
4.10* Расчетные диаграммы фильтров нижних частот
Выше уже были приведены все расчетные формулы, необходи­
мые для проектирования фильтров нижних частот, однако было
бы весьма полезно и информативно представить соотношения меж­
ду параметрами фильтров графически. Поскольку число этих па­
раметров в общем случае равно пяти (из них два параметра харак­
теризуют пульсации, два дают граничные частоты и один — поря­
док фильтра), то ясно, что представить соотношения между всеми
параметрами с помощью одной диаграммы не удастся. Используя,
266
Глава 4
1
1-6,
Относитель­
ный уровень
Vf+E2'
Относитель
ный уровень
Относитель­
ный уровень
н
0,5
а
в
Фиг. 4.24. Эквивалентные параметры амплитудной характеристики
вого фильтра нижних частот.
однако, последовательность из трех диаграмм, можно достаточно
просто и наглядно графически представить все расчетные соот­
ношения, причем это относится и к аналоговым и к цифровым
фильтрам (рассчитываемым методом билинейного преобразова­
ния). В данном разделе будет описана методика построения и ис­
пользования таких расчетных диаграмм.
На фиг. 4.24 показаны три различных набора параметров
пульсаций, используемых для представления пульсаций в полосе
пропускания и в полосе непропускания фильтров нижних частот.
Амплитудная характеристика, изображенная на фиг. 4.24, а,
осциллирует в полосе пропускания 0 ^ f ^ Fp между (1 Ц |§ | и
(1 — f§)| а в полосе непропускания (F, Ц / | | 0,5) — между 0
и б2. Характеристика на фиг. 4.24, б осциллирует в полосе пропускания между 1 и (1 — 6j), а в полосе непропускания — между
0 и б2. Амплитудная характеристика на фиг. 4.24, а соответст­
вует КИХ-фильтрам, рассмотренным в гл. 3, тогда как характе­
ристика на фиг. 4.24, б [а также на фиг. 4.24, в, о которой будет
сказано ниже] более характерна для БИХ-фильтров, рассчитан­
ных методом билинейного преобразования.
Нетрудно связать между собой величины б1э 6 2, бх и б 2 таким
образом, чтобы амплитудные характеристики, представленные
на фиг. 4.24, а и б, были эквивалентными. Для этого достаточно
нормировать первую из них, умножив на 1/(1 + 6Х), что дает
26,
6, =
(4.100)
l + 5i ’
262
(4.101)
б3= 1 + 6, •
6
,
61=
(4.102)
‘ 2- 8, ’
262
(4.103)
б2=
2- 6,
^
г
.
"
1
'
"
'
у
ч
.
✓ч
'
л
"
н
*
Фильтры с бесконечными характеристиками
267
Обозначения, использованные на фиг. 4.24, б, в принципе впол­
не приемлемы для амплитудных характеристик БИХ-фильтров,
однако более общепринятыми для этих фильтров являются
обозначения, использующие параметры пульсаций в полосе
пропускания е и в полосе непропускания А , показанные на
на фиг. 4.24, в применительно к такой амплитудной характерис­
тике. Из сопоставления фиг. 4.24, б и фиг. 4.24, в легко найти
связь е и А с бх и б2:
. _ у т = ъ у т,
----- (ГЛо
......
•
(4Л04а)
л * 4 -.
(4.1046)
©2
Здесь целесообразно ввести три дополнительных параметра
фильтра: Е — уровень пульсаций (в полосе пропускания),
A T T — ослабление в полосе непропускания и rj. Они определя­
ются с помощью следующих формул:
Е SL20 lg V T + е*,
(4.105)
(4.106)
A T T ~ *2 Q lg A ,
Л
„ в
. . УЬіУг-ЬЬ
2
ИИ!
V a> - 1
1 Л _ б ! (1 - б , )
( i — Si) / ( Т + б і Р - б ! * {
°
Параметры Е и A T T образуют четвертый набор параметров БИХфильтра, описывающих его амплитудную характеристику. Показано, что параметр rj является основным параметром аналоговых
фильтров и будет использован далее при построении расчетных
диаграмм.
Выше было отмечено, что при расчете БИХ-фильтра по фильтрупрототипу непрерывного времени методом билинейного преобра­
зования частотные шкалы этих фильтров связаны простым дефор­
мирующим соотношением. Поэтому величину переходного отно­
шения к для фильтров нижних частот можно представить сле­
дующим образом:
Qp
"' = ~0 ~ Для фильтров непрерывного времени,
tg (ffip/2)
~ ~tg (<Og/2)'
для цифровых фильтров.
(4.108)
(4.109)
Формула (4.109) дает деформированное (по частоте) переходное от­
ношение.
Чтобы иметь возможность связать искомый порядок фильтра
п с параметрами пульсаций (81г б2), или (6lf 6 2), или (е, А ), а также
со значениями граничных частот (йр, Я,) или (сор, со,), следует для
268
Глава 4
каждого типа фильтра непосредственно использовать свою форму­
лу для расчета тг. Чтобы проанализировать эти формулы, перепи­
шем их:
■
а
?)
(
V
для эллиптических фильтров,
(4.110)
п
к*)
п
In
п
l + y 1—&a
для фильтров Чебышева,
(4.111)
к
In k i
для фильтров Баттерворта.
In к
(4.112)
Здесь кг = г] [см. формулу (4.107)]. Ниже для каждого из рас­
смотренных типов фильтров будет дан простой и наглядный метод
графического представления расчетных соотношений для циф­
ровых и аналоговых фильтров с использованием последователь­
ности из трех диаграмм.
^
Диаграмма 1 (фиг. 4.25а) связывает расчетный параметр фильт­
ра т) с параметрами пульсаций 8Хи б 2 в полосе пропускания и в по­
лосе непропускания соответственно (или с эквивалентными им па­
раметрами). Диаграмма 2 представляет расчетное соотношение,,
связывающее порядок фильтра п, расчетный параметр rj и переход­
ное отношение к. Диаграмма 3 связывает переходное отношение кг
граничную частоту полосы пропускания Fp и ширину переходной
полосы V.
М
Ц ІІ- -‘у
У-; (f4 .-С
На фиг. 4.25а—4.25г приведены четыре различных варианта
диаграммы 1. Диаграммы на фиг. 4.25а и фиг. 4.256 соответству­
ют фильтрам, для которых в качестве параметров пульсаций ис­
пользуются соответственно бх и величина 20 lg (1 + 6Х) в децибе­
лах. Диаграммы на фиг. 4.25в и 4.25г соответствуют фильтрам,
для которых параметрами являются соответственно бх и 20 lg
( 1 + S i) в децибелах.
’ <• і ; -.^1 >
Приведенные на фиг. 4.26а—4.26в диаграммы 2 представля­
ют расчетные соотношения для каждого из трех фильтров-прото­
типов: (4.110) — для эллиптических фильтров, (4.111) — для
фильтров Чебышева и (4.112) — для фильтров Баттерворта.
На всех этих диаграммах 2 расчетный параметр фильтров т) изо­
бражен в функции переходного отношения к ; параметром служит
порядок фильтра п. Фиг. 4.26а соответствует эллиптическим
фильтфильтрам, фиг. 4.266 — фильтрам Чебышева, фиг. 4.26в
рам Баттерворта. На всех этих трех диаграммах для более удобного размещения кривых соответствующих различным значе­
ниям ге, использована неравномерная горизонтальная шкала. Эта
нелинейная шкала описывается формулой
S
g
j
i
х
Л-f- А8
2
(4.113)
Фильтры с бесконечными характеристиками
269
ЩО,1 0,05 0,02 0,01 0,005
0,002
0.001
0,0005
0,0002
0,0001
0,00005
Фиг. 4.25а. Расчетная диаграмма 1. Зависимость т] от б2 (S1 — параметр)
270
Глава 4
Фиг. 4.256. Расчетная диаграмма 1. Зависимость т] от б2 РЯ % (1 +
параметр].
—
Фильтры с бесконечными характеристиками
271
Ослабление в полосе непропускания , дБ
Фиг. 4.25в. Расчетная диаграмма 1. Зависимость т) от ослабления в полого
непропускания (бх — параметр).
j
j
l
l
272
Г лава 4
100
80
60
,
41
Ослабление в полосе непропускания дБ
Фиг. 4.25г. Расчетная диаграмма 1. Зависимость Т| от ослабления в полосе
н еп роп уск ан и я [20 lg (1 — Oj) — параметр].
Фильтры с бесконечными характеристиками
Переходное отношение
>иг* 4*26а* Расчетная диаграмма 2. Зависимость т) от переходного отношения
эллиптических фильтров (порядок фильтра п — параметр).
І-0 3 9 І
274
Глава 4
0,2
0,4
0,6
0,8
0,9
0,94
Щ
Переходное отношение
Фиг. 4.266. Расчетная диаграмма 2. Зависимость г\ от переходного отно
пия для фильтров Чебышева (порядок фильтра п — параметр).
и
W
цо
°>8
0,9
Переходное отношены
0,94
0,98
1.00
Фиг. 4.26в. Расчетная диаграмма 2. Зависимость г| от переходного отноше
ния для фильтров Баттерворта (порядок фильтра п — параметр).
18*
Глава 4
276
№,01
0,005
0,002
0,001
0,0005 0,0002
0,0001
*-0,50
0,05
І
0,07
0.10
і
IИ
0,13
0,15
0,20
I
0,23
о
0,25
§
к
в
0,30
I
22
0,35
g
0,40
«5
0
1
а:
I
Переходное отношение (пересчитанное)
Фиг. 4.27а. Расчетная диаграмма 3. Зависимость нормированной ширины
пропускания от переходного отношения для цифровых фильтров (ширина
переходной полосы v — параметр).
где х — значение горизонтальной координаты (0
< 1), а к
ширина переходной полосы. Таким образом, при малых значениях
к шкала почти нелинейна, а при больших /г, близких к 1 , она су­
щественно нелинейна.
Приведенные на фиг. 4.27а и 4.276 диаграммы 3 представляют
•соотношение, связывающее переходное отношение с частотами
среза фильтров [см. формулы (4.108) и (4.109)]. На этих диаграм­
мах частота среза полосы пропускания Fp изображена в функции
277
ширина полосы
пропускания
истинами
0,005
0,002
Нормированная
0,
00*
0;0005
0,0002
Переходное отношение
Фиг. 4.276. Расчетная диаграмма 3. Зависимость нормированной ширины
полосы пропускания от переходного отношения для аналоговых фильтров
(ширина переходной полосы v — параметр).
переходного отношения к при различных значениях нормиро­
ванной ширины переходной полосы v, определяемой следующим
образом:
(Dg—
*>ДОр
V = Fs -- Fp —— — для цифровых фильтров,
(4.114)
v = й 3 — Qp для аналоговых фильтров.
Диаграмма на фиг. 4.27а соответствует цифровым фильтрам,
а на фиг. 4.276 — аналоговым. Горизонтальная шкала для пере­
ходного отношения идентична шкале, использованной в диаграмме
2 на фиг. 4.26.
Использование диаграмм. Чтобы продемонстрировать исполь­
зование последовательности диаграмм, приведенных на фиг. 4.25—
278
Глава 4
4.27, рассмотрим методику определения порядка п цифрового эл­
липтического фильтра, удовлетворяющего следующим условиям:
пульсации в полосе пропускания Й = 0,01 (т. е. ±0,086 дБ);
ослабление в полосе непропускания 62 = 0,0001 (80 дБ);
граничная частота среза полосы пропускания 480 Гц;
граничная частота среза полосы непропускания 520 Гц;
частота дискретизации 8000 Гц.
Нормирование граничных частот дает
Ғ
480
8000
0,06,
Ғ
520
8000
0,065.
Для определения порядка п цифрового эллиптического фильтра
воспользуемся диаграммами фиг. 4.25а, 4.26а и 4.27а [диаграмма
на фиг. 4.26а предназначена для расчета эллиптических фильт­
ров]. Для получения значения т) выберем на фиг. 4.25а кривую,
соответствующую Ш == 0,01. Найдя ее пересечение с линией, со­
ответствующей б 2 = 0,0001, получим rj И 2 • 10~5. Для опреде­
ления переходного отношения воспользуемся диаграммой на
фиг. 4.27а. Найдем пересечение кривой, соответствующей v =
—Fs — Fp = 0,005, с линией, соответствующей Fp = 0,06; переходное
отношение оказывается равным 0,923. [Эта величина хорошо со­
гласуется с отношением Fp/F s = 0,06/0,065 = 0,923, соответст­
вующим другому способу нахождения переходного отношения.]
Теперь из диаграммы на фиг. 4.26а можно определить порядок
фильтра п, найдя пересечение линий, соответствующих значениям
расчетного параметра фильтра 1 = 2 *10—6 и переходного отно­
шения к = 0,923. Таким образом, искомый порядок эллипти­
ческого фильтра приблизительно равен 11,5. Чтобы получить
заданные значения четырех исходных параметров фильтра, необ­
ходимо использовать фильтр 12-го порядка.
При окончательном выборе характеристик фильтра, однако,
возможны несколько вариантов. Так, например, если зафиксиро­
вать г] = 2 - 10-5 и изменять переходное отношение приблизи­
тельно до величины 0,94, когда порядок фильтра п станет равным
12 , то новое значение переходного отношения можно получить,
соответственно изменив либо Fs, либо Fp. При этом различные
варианты характеристик фильтра можно получить с помощью
фиг. 4.27а. Если же зафиксировать переходное отношение, то
при ге=12 параметр фильтра І будет равен 1,0*10~6. Теперь по
диаграмме 1 на фиг. 4.25а можно сравнить различные варианты
выбора величин б2и б2, определяющих новое значение параметра т].
Можно, кроме того, изменить и Ц и переходное отношение,
взяв, например, их равными 1,5 • 10—6 и 0,93, так чтобы точка
с этими координатами находилась на кривой с п — 12. В этом
Фильтры с бесконечными характеристиками
279
случае для обеспечения новых значений т| и переходного отно­
шения можно изменять все четыре параметра фильтра.
Отметим, что при расчете фильтров Чебышева или Баттервор­
та следует в качестве диаграммы 2 вместо фиг. 4.26а, предназна­
ченной для расчета эллиптических фильтров, использовать
фиг. 4.266 или фиг. 4.26в. Методика расчета при этом не меняется.
Д ля каждого из этих двух типов фильтров требуемый порядок
будет значительно превышать максимальный предел, использован­
ный в диаграммах и равный 20, так что «эффективность» эллипти­
ческих фильтров очевидна.
Описанная методика графического расчета фильтров весьма
универсальна. Вообще она универсальнее большинства программ
расчета фильтров. Более т ого , графическая мет одика дает возмож­
ность разработ чику глубж е понять влияние небольших изменений
характ ерист ик ф ильт ра на искомую величину его порядка. Часто
разработчик готов снизить требования к характеристикам фильт­
ра, особенно если это может привести к уменьшению его порядка,
выбираемого из условия обеспечения этих характеристик.
4.11. Сравнение методов инвариантного преобразования
импульсной характеристики и билинейного
преобразования для эллиптических фильтров
Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с дискретизацией
аналоговых фильтров методами инвариантного преобразования
импульсной характеристики и билинейного преобразования,
используя ряд примеров. Так, на фиг. 4.28 представлена амплитуд­
ная характеристика (в логарифмическом масштабе) аналогового
эллиптического фильтра нижних частот со следующими парамет­
рами: п — 6 , переходное отношение к = 0,9, А = 1000 (т. е. ослаб­
ление в полосе пропускания равно 60 дБ), е = 4,29. Частота среза
полосы пропускания равна 1000 Гц. На этой же фигуре изображена
амплитудная характеристика (в логарифмическом масштабе) циф­
рового фильтра (во всех примерах частота дискретизации равна
10000 Гц), рассчитанного методом инвариантного преобразования
импульсной характеристики налогового фильтра. Вблизи частоты
1500 Гц ясно видны эффекты наложения, которые привели к нару­
шению равновеликого характера пульсаций в полосе пропускания.
Кроме того, минимум ослабления в полосе непропускания умень­
шился с 60 дБ примерно до 55 дБ. Третья амплитудная характе­
ристика на фиг. 4.28 соответствует цифровому фильтру, рассчи­
танному методом билинейного преобразования после предвари­
тельного пересчета всех характерных частот аналогового фильт­
ра. Видно, что по сравнению с аналоговым фильтром положения
280
Глава 4
Аналоговый эллиптический фильтр
п=6, к=0,9
АяfОООг £=4,29
ЙЭ
Инвариантное преобразование импульсной
характеристики
Билинейное преобразование (переспи
тайные частоты)
Щ0
Фиг. 4.28. Сравнение методов инвариантного преобразования импульснои
характеристики и билинейного преобразования для эллиптического фильтра
нижних частот.
Фильтры с бесконечными характеристиками
281
максимумов и минимумов несколько сместились, однако пульса*
ции характеристики по-прежнему остались равновеликими.
н
шт для
Щ И
ЩМ ■ ■ ■подобных
■
■ [ ■ ■ VII? ;е два примерайприведены
иллюстрации
эффектов применительно к эллиптическим режекторным фильтрам
и эллиптическим фильтрам верхних частот. На фиг. 4.29 представ­
лены амплитудные характеристики аналогового эллиптического
режекторного фильтра и двух цифровых фильтров, полученных
из ^аналогового методами инвариантного преобразования импульс­
ной характеристики и билинейного преобразования. Полоса исход­
ного аналогового фильтра была неограничена, поэтому эффекты
наложения, характерные для метода инвариантного преобразо­
вания импульсной характеристики, привели к потере цифровым
фильтром режекторных свойств. В то же время цифровой фильтр,
рассчитанный методом билинейного преобразования, оказался идентичным исходному аналоговому фильтру. Аналогичные
результаты представлены на фиг. 4.30 для фильтра верхних частот.
Опять цифровой фильтр, полученный методом инвариантного
преобразования импульсной характеристики, оказался неприемле­
мым, так как полоса исходного аналогового фильтра была неогра­
ничена .
Последний пример, представленный на фиг. 4.31, иллюстри­
рует интересный результат использования билинейного преобра­
зования для дискретизации аналоговых фильтров типа фильтра
Баттерворта. Наверху показана амплитудная характеристика
фильтра Баттерворта нижних частот с параметрами п = 6 и / с =
3500 Гц. На частоте 5000 Гц амплитудная характеристика спа­
дает до уровня —20 дБ. В середине фиг. 4.31 представлена характе­
ристика, соответствующая цифровому фильтру, рассчитанному
методом инвариантного преобразования импульсной характеристики. Она иллюстрирует эффект наложения, проявившийся
в том, что на частоте 5000 Гц характеристика спадает лишь до
12 дБ. Для фильтра, рассчитанного методом билинейного преоб­
разования, уже на частоте 4500 Гц характеристика спадает до уров­
ня 60 дБ. Таким образом, цифровой фильтр Баттерворта, рассчиI, значительно лучше
своего аналогового прототипа. Это связано с нелинейной деформа­
цией частотной шкалы, которая и привела к улучшению избира­
тельности фильтра.
Необходимо отметить, что во всех приведенных примерах
сопоставлялись только амплитудные характеристики исходных
аналоговых и цифровых фильтров, рассчитанных методами инва­
риантного преобразования импульсной характеристики и билиней­
ного преобразования. Если для разработчика представляет инте­
рес характеристика групповой задержки или импульсная харак­
теристика цифрового фильтра, ему придется провести дополни­
тельный анализ. Можно показать, что в общем случае при билиней-
282
Глава 4
Аналоговый эллиптический фильтр
Ш § к-0,8
Инвариантное преобразование импульсной
характеристики
Билинейное преобразование ( пересчи­
танные частоты)
Частота, Щ
Фиг. 4.29. Сравнение методов инвариантного преобразования импульсной
характеристики и билинейного преобразования для эллиптического режөкторного фильтра.
Фильтры с бесконечными характеристиками
283
Аналоговый млиптинаский фильтр
П~5, к * 0,707
Л-МО, йж(11447
Инвариантное преобразование импульсной
характеристики
сс,
Билинейное преобразование (пересчитан­
ные частоты)
cq
1000
2000
3000
4000
5000
Частота, TU
Фиг. 4.30. Сравнение методов инвариантного преобразования импульсной
характеристики и билинейного преобразования для эллиптического фильтра
верхних частот.
284
Глава 4
Аналоговый фильтр Баттерворта
Инвариантное преобразование импульсной
характ ерист ики
Фиг. 4.31. Сравнение методов инвариантного преобразования импульсной
характеристики и билинейного преобразования для широкополосного фильтра
Баттерворта нижних частот.
285
Фильтры с бесконечными характеристиками
ном преобразовании свойства импульсной характеристики и харак­
теристики групповой задержки аналогового фильтра не сохраня­
ются. Так, в результате билинейного преобразования аналогового
фильтра Бесселя свойство максимальной гладкости характеристики
груповой задержки не сохраняется. Более того, поскольку ампли­
тудная характеристика фильтров Бесселя существенно непостоян­
на в полосе пропускания, билинейное преобразование приведет
к искажению как амплитудной характеристики, так и характе­
ристики групповой задержки. В большинстве случаев, когда раз­
работчика интересует прежде всего сохранение свойств временных
характеристик аналогового фильтра, целесообразно использовать
метод инвариантного преобразования импульсной характеристики.
Почти во всех других случаях используется билинейное преоб­
разование.
4.12. Частотные преобразования
В предыдущих разделах рассматривались методы расчета
фильтров нижних частот непрерывного времени, а также методы
их дискретизации. При расчете цифровых фильтров верхних час­
тот, полосовых и режекторных используются два подхода, пред­
ставленные на фиг. 4.32. Различие между ними заключается в сле­
дующем. В первом случае нормализованный аналоговый фильтр
предварительно преобразуется в другой аналоговый фильтр,
из которого затем путем дискретизации рассчитывается цифровой
фильтр с заданными характеристиками. Во втором случае норми­
рованный фильтр нижних частот дискретизируется сразу же, а за­
тем путем преобразования его полосы формируется цифровой
фильтр с заданными характеристиками. Поскольку выше уже
были описаны и методы расчета аналоговых нормированных фильт-
Мгтод 1
Расчет аналого­
вого фильтра
нижних час­
тот
Преобразование по­
лосы частот
Дискрети­
зация
фильтра
Аналоговый -*■Аналоговый
Цифровой
фильтр с
заданными
характери­
стиками
Метод 2
Расчет аналого­
вого фильтра
нижних частот
£2п=1
Дискрети­
зация
фильтра
■■
^ Преобразование по­
лосы частот
Цифровой-*• Цифровой
ифровой
ильтр с
заданными
характери
стиками
Фиг. 4.32. Частотные преобразования фильтров нижних частот
286
Глава 4
ров нижних частот, и методы их дискретизации, в данном разделе
будут рассмотрены различные методы преобразования полосы для
аналоговых и цифровых фильтров.
1. Преобразования полосы частот для аналоговых фильтров
Существует много различных методов преобразования фильт­
ра нижних частот с частотой среза, равной 1 рад/с, в другой фильтр
нижних частот (имеющий другую частоту среза), а также в фильтр
верхних частот, полосовой или режекторный. Перечислим наиболее
простые преобразования:
' :
Яи
Фильтр нижних ч а с т о т Ф и л ь т р нижних частот,
я— Фильтр
нижних частот
s2-\-QiQu
_
s—
>• ---- ~=у Фильтр нижних частот
S
(О ц — fir)
s2-f- ЯцЙ;
Фильтр нижних частот
(4 .1 1 5 )
Фильтр верхних частот,
(4 .1 1 6 )
тт
*
*
ү
Полосовой фильтр,
(4 .1 1 7 )
Режекторный фильтр.
(4 .1 1 8 )
Здесь йг — нижняя частота среза, й и
верхняя частота среза,
Примеры преобразования нормированного эллиптического
фильтра нижних частот в другой фильтр нижних частот, в фильтр
верхних частот, полосовой и режекторный с использованием соот­
ношений (4.115) — (4.118) показаны на фиг. 4.33. Все эти соот­
ношения имеют весьма нелинейный характер, однако при преоб­
разовании стандартных фильтров нижних частот рассмотренных
выше типов (за исключением фильтров Бесселя) эти нелинейности
не создают никаких трудностей, поскольку частотные характе­
ристики преобразуемых фильтров в интересующей нас полосе час­
тот аппроксимируются ступенчатой функцией. Так, нелинейность
отображения приводит к изменению взаимного расположения мак­
симумов и минимумов пульсаций характеристик эллиптических
фильтров, но не влияет на амплитуду этих пульсаций. Поэтому
фильтры, рассчитанные методами преобразования полосы, сохра­
няют равновеликий характер пульсаций фильтра-прототипа.
2. Преобразования полосы для цифровых фильтров
По аналогии с фильтрами непрерывного времени существует
несколько простых преобразований цифрового фильтра нижних
частот (с частотой среза сос) в другой фильтр нижних частот (с дру­
гой частотой среза сои), а также в цифровой фильтр верхних
частот, полосовой или режекторный. Ниже приведены формулы для
Эллиптический фильтр-прототип
нижних частот
»
, п - 4 , А=50,0
Qr/ &с = 1,25, Пс=1 рад/с
0,2 ^ 0,4
0,6
0,8
Фильтр нижних
частот
1,0
1,2
1,4 1tS
Фильтр нижних
частот
Фильтр ниж них Фильтр верхних
частот
частот
fu - 1500TU
чмт$п ШЖИиХ^Полосовой фильтр
Частота, Ilf
Фиг. 4.33. Преобразования полосы аналогового фильтра нижних'"Частот*
288
Глава 4
©тих преобразований:
1. z 1 —I j -—— В Фильтр нижних частот
Фильтр
нижних частот.
(4.119)
sin {[(<ас— Юц)/2] Т}
sin {[(<oc + <ou)/2] Г}»
(4.120)
Здесь
<i)tt — заданная частота среза фильтра нижних частот.
верхних частот.
(4.121)
cos{F(<oc — шц)/2] Т)
cos {[(o)c +© u)/2] Т) ’
(4.122)
Здесь
<оа — заданная частота среза фильтра верхних частот.
3
~ [2аА:/{к+ 1)] г~1 + (к- 1)/(fe + 1 )}
Z- *_> __ ^
{ [(А -!)/(&+1)] z-» — [2aA /(ft+l)]z-l+l} Фильтр
частотП олосовой фильтр.
(4 .1 2 3 )
Здесь
a = cos
(а>
пТ)
c
o
s
Ч-<ог)/2]
Т)
cos (co0i ; cos
„ щу 2] т\ *
*
'
со0 — центральная частота полосового фильтра.
/
.
{ * - » - [2a/(l + fc)]
+ ( ! - * ) / ( ! + А)}
{[(!_*)/(!+*)] *-*- [2а /(1 + ft)] z-1 + l)
z
Фильтр нижних частот -►Режекторный фильтр.
(4.126)
Здесь
„
rr\
cos
—<о7)/2] Г)
а = со3 (ЮоГ ) = соа(|(11)а+Ю|)/2|
(4.127)
<в0 — центральная частота режекторного фильтра.
Ясно, что преобразования (4.119) — (4.128) соответствуют всепропускающим фильтрам, так как единичная окружность отобра­
жается в такую же окружность один или несколько раз. Поэтому,
хотя частотная шкала при отображении и деформируется, ампли­
тудная характеристика исходного фильтра нижних частот сохра­
няется. По этой причине эллиптический фильтр нижних частот,
например, преобразуется в другой эллиптический фильтр.
Фильтры с бесконечными характеристиками
289
Фиг. 4.34. Преобразования по­
лосы цифрового фильтра ниж­
них частот (по Константинидису).
а — фильтр-прототип нижних ча­
стот,
/с = й ) с '2 я = 2500 Гц. /* =
= 10000 Гц, п Щ 4 ;
б — фильтр
нижних
частот -►
фильтр нижних частот, /с = 1 кГц;
в — фильтр нижних частот -*■фильтр
верхних частот, /с == 1 кГц;
^
3
г — фильтр нижних частот -* по
ЛОСОВОЙ фильтр, fl = 1 кГц, / и =
= 2 кГц;
д — фильтр нижних частот -► режекторный
19—0399
фильтр, // = 1 кГц,
Ы = 2 кГц.
1
2
3
4
Частота , кГц
5
290
Глава 4
Некоторые свойства рассматриваемых преобразований ил­
люстрируются на нескольких примерах, приведенных на фиг.
4.34. В качестве фильтра-прототипа был взят фильтр Чебышева
нижних частот (с частотой среза сос рад/с). Он был преобразован
в другой фильтр нижних частот, фильтр верхних частот, а также
в полосовой и режекторный фильтры. Прежде всего из приведен­
ных кривых следует, что по существу каждый из новых фильтров
образуется путем преобразования фильтра-прототипа нижних час­
тот в другой соответствующий фильтр нижних частот с последую­
щей простой заменой переменной z _1 на эту же переменную в
первой или во второй степени (например, при переходе к фильтру
верхних частот используется замена z _1
— z_1). Кроме того,
характер отображения можно понять, рассмотрев, в какие частоты
отображаются при преобразовании критические частоты фильтрапрототипа нижних частот. Все эти преобразованные частоты
сведены в табл. 4. 1.
Таблица 4 Л
Значения частот при преобразованиях полос цифровых фильтров
0
Частоты фильт­
ра, получае­
мого после
преобразования
Частоты фильтра-прототипа
Фильтр нижних
частот
0
Фильтр верхних
частот
o)s/2
1Уй
—
©и
+ СОи
cos/2
(Ли
—
Щ
0
± “о
І СО/
± <*>и
0
со5/2
0
©*/2
±
± СО/
±<*>о
Полосовой фильтр
Режекторный
фильтр
со,
со.
Преобразования полосы для цифровых фильтров просто использовать, так как они отображают рациональную передаточную
функцию в новую рациональную передаточную функцию. Эти
преобразования не вносят искажений в амплитудную шкалу,
поэтому они успешно конкурируют с методами преобразования
полосы аналоговых фильтров-прототипов нижних частот. Дейст­
вительно, было показано, что билинейное преобразование нор­
мированного аналогового фильтра нижних частот с последующим
всепропускающим преобразованием эквивалентно преобразова­
нию полосы аналогового фильтра с последующим билинейным
преобразованием. Оба эти подхода иллюстрируются на фиг.
4.35 на примере расчета фильтра нижних частот. В первом слу-
аналогового
фильтра.
I
Фиг. 4.35. Два метода расчета цифрового фильтра по характеристикам
*
19*
Глава 4
292
чае (фиг. 4.35, а) билинейное преобразование аналогового нор­
мированного фильтра нижних частот дает нормированный циф­
ровой фильтр нижних частот (частота среза его полосы пропуска­
ния со р Ц л/ 2), который затем преобразуется в другой цифро­
вой фильтр нижних частот, удовлетворяющий заданным харак­
теристикам. Во втором случае (фиг. 4. 35, б) нормированный ана­
логовый фильтр нижних частот сначала преобразуется в другой,
ненормированный аналоговый фильтр нижних частот, а затем
методом билинейного преобразования рассчитывается цифровой
фильтр, удовлетворяющий заданным характеристикам. С расчет­
ной точки зрения оба эти метода приблизительно равноценны.
4.13. Прямые методы расчета цифровых фильтров
В предыдущих разделах были рассмотрены методы расчета
цифровых фильтров, основанные на дискретизации фильтров
непрерывного времени. Существуют также прямые методы расчета
цифровых фильтров в частотной или временной областях, которые
образуют вторую группу методов расчета цифровых фильтров.
К ним относятся как методы расчета по заданному квадрату ампли­
тудной характеристики, так и методы расчета во временной
области. Ниже дается краткое описание прямых методов и рас­
сматриваются возможности их применения.
1 . Расчет по квадрату амплитудной характеристики
Обозначим z-преобразование импульсной
БИХ-фильтра через Я (z). Оно равно
характеристики
т—1
(4.129)
1=0
|
Квадрат амплитудной характеристики фильтра легко найти сле­
дующим образом:
.,
? (4.130)
Я
I2 = Я (*) Я ( г 1) Kjgg
и записать как
(4.131)
Фильтры с бесконечными характеристиками
293
ИЛИ
т- 1
ci cos (cot)
2
Я
(
е
»
®
)
|
а
=
=
0
2
j
(4.132)
n- 1
і
COS ((ОІ)
i=0
Коэффициенты {с*} и {J|} связаны с коэффициентами {6г} и {а*}.
Выражение (4.132) часто записывают в несколько ином виде:
т—1
2 ei cos2 (wi/2)
1= 0 __________ _
п —1
2 л cos2 (coi/2)
(4.133)
і= 0
Таким образом, квадрат амплитудной характеристики всегда
можно представить как отношение двух тригонометрических функ­
ций от частоты оз.
Выражение (4.133) является основой многих методов расчета
цифровых фильтров по заданному квадрату амплитудной харак­
теристики. Кроме того, с помощью этого выражения цифровой
фильтр удается связать с аналоговым, квадрат амплитудной
характеристики которого равен отношению полиномов по О2. Дей­
ствительно, используя подстановку
со
Q = cos 1
(4.134)
можно выражение (4.133) привести к виду, характерному для
передаточной функции аналогового фильтра.
Перепишем выражение (4.133) в упрощенной форме:
1
Н (е$&) I2
(4.135)
1 - м 2 (со)0
Здесь А„ (со) — рациональный полином «-го порядка по тригоно­
метрическим функциям. Соответствующий выборЦ функции Ап (ш)
позволяет получить цифровые фильтры различных типов, обла­
дающие заданными амплитудными характеристиками. Так, фильт­
ру нижних частот Баттерворта соответствует функция
tg»* (m/2)
Ап (а)
(4.136)
tg2nш т
где юс
Для фи
Чебышева
tg (со/2)
(4.137)
tg (шс/2)
где Тп (ж) — полином Чебышева n-го порядка, а е — параметр
пульсаций. Можно показать, что цифровые фильтры Баттерворта
294
Глава 4
и Чебышева, рассчитанные по квадрату амплитудной характерис­
тики, достаточно просто связаны с фильтрами, полученными мето­
дом билинейного преобразования аналоговых фильтров Баттервор­
та и Чебышева, поэтому далее эти типы фильтров рассматриваться
не будут.
-Kg
Расчет БИХ-фильтров по заданному квадрату амплитудной
характеристики можно легко распространить на некоторые другие
типы фильтров, причем они необязательно должны быть филь­
трами нижних частот. Применение рассматриваемого метода сопря­
жено с двумя трудностями. Во-первых, для построения фильтра
с заданными свойствами необходимо подобрать подходящий рацио­
нальный полином Ап (ш). Во-вторых, функцию квадрата амплитуд­
ной характеристики \Н ( ё ||| |2 приходится раскладывать на множи­
тели, чтобы найти ее полюсы и нули. Как правило, выполнить это
разложение весьма непросто, что делает применение рассматривае­
мого метода расчета фильтра нежелательным.
2. Расчет БИХ-фильтров во временной области
Наряду с методами расчета фильтров, обладающих заданными
частотными характеристиками, существуют методы расчета фильт­
ров с заданными импульсными характеристиками. Пусть z-преоб­
разование импульсной характеристики Һ (к) фильтра равно
771- 1
(4.138)
причем требуется, чтобы импульсная характеристика аппрокси­
мировала заданную последовательность g (к) в диапазоне 0 <
<; к < Р — 1. Используя различные предположения, Баррас
и Паркс, а также Брофи и Салазар и другие авторы показали, что
можно найти такой набор коэффициентов а г и 6г, что
р- 1
(4.139)
<е> = 2 j [g(k) — h (A:)]2 w (к)
k= О
будет минимальной. Здесь w (к) — положительная весовая функ­
ция последовательности ошибки. Поскольку характеристика
Һ (к) нелинейно зависит от параметров фильтра {аг} и {Ьг}, в общем
случае задача минимизации е может быть решена только мето­
дом последовательных приближений. В частном случае, когда
Р Щ п Ц т — 1, искомые параметры фильтра, минимизирующие
величину е, можно найти, решив систему из (п -\- т) линейных
уравнений. Рассмотрим этот метод подробнее. Для этого (считая,
Фильтры с бесконечными характеристиками
что а0 = Ь0
ра в виде
g ft)
295
1) представим импульсную характеристику фильт-
aih ( k — i) — a2h ( k — 2)
anh ( k —п) -\-Ъhi
1Я к^т ,
(4.140)
ё№)
ath (к— 1) — a2h (к — 2)
anh (к — п),
т
к
(4.141)
В предположении, что g (к) = Һ (к) при к ш 1, 2, . . т, решим
систему уравнений вида (4.141) относительно коэффициентов а*,
что дает g (к) = Һ (к) при & = яг + 1 , г а - |- 2 , . . ., w + /г. Реши]
систему уравнений вида (4.140) при определенных значениях а г,
найдем такие значения коэффициентов &*, для которых g (к) =
Һ (к) при к = 1, 2, . . ., т. Эта процедура сводится к приравниванию первых (п
____________
1) членов степенного разложения
передаточной функции (4.138) z-преобразованию заданной импульсной
характеристики фильтра g (к), усеченному за (т + п)-м членом.
Такой метод аппроксимации степенных рядов рациональной функ­
цией часто называют аппроксимацией Падэ. При аппроксимации
заданной импульсной характеристики цифрового фильтра путем
воспроизведения ее первых (rn -f- п -f- 1) отсчетов предполагает­
ся, что в целом импульсная и частотная характеристики получае­
мого в результате аппроксимации фильтра не будут сущест­
венно отличаться от заданных характеристик. Однако простого
метода для нахождения хотя бы даже приближенно оценок откло­
нений любой из этих характеристик пока не существует. Приведем
несколько конкретных примеров использования этого метода для
расчета БИХ-фильтров (примеры взяты из статьи Брофи и Сала­
зара).
На фиг. 4.36 и 4.37 представлены характеристики двух фильт­
ров, рассчитанных с использованием аппроксимации Падэ, кото­
рые предназначены для работы в системах передачи данных.
Кривая А на фиг. 4.36 представляет собой требуемую амплитудную
характеристику полосового фильтра. Частота дискретизации в дан­
ном и последующем примерах равна 7200 Гц. Этот фильтр должен
обладать следующими характеристиками: ослабление на 3 дБ
на частотах 200 и 3200 Гц, размах пульсаций в полосе пропускания
менее 0,25 дБ, линейные фазовые характеристики в полосе пропус­
кания и крутизна спада в полосе непропускания не менее 12 дБ
на октаву. Кривой Б представлена амплитудная характеристика
фильтра 24-го порядка, рассчитанного методом аппроксимации
Падэ. Наибольшая абсолютная величина ошибки отсчетов импульс­
ной характеристики фильтра равна 0,0018. Фазовая характерис­
тика рассчитанного фильтра приведена на фиг. 4.36 внизу.
Аналогичные кривые для полосового фильтра 10-го порядка,
рассчитанного методом аппроксимации амплитудной характери.
296
Глава 4
Амплитудная характеристика
Фильтр 24-го
порядка
А
I
:з
•ч
S£
О
800
1600
2400
3200
Фазовая характеристика
о
О
800
1600
2400
3200
Частота, 1ц
Фиг. 4.36. Расчет полосового фильтра с использованием аппроксимации
методом Падэ (по Брофи и Салазару).
стики в предположении, что она имеет спады косинусоидальной
формы, представлены на фиг. 4.37.
Необходимо учитывать, что, так как при аппроксимации мето­
дом Падэ фильтр рассчитывается только во временной области,
получающаяся при этом аппроксимация амплитудной характери­
стики в частотной области, как правило, не обеспечивает в по­
лосе непропускания ослабления, превышающего 40 дБ. Однако
коэффициенты фильтра, найденные этим методом, часто можно'использовать в качестве начальных значений при расчете БИХ-
Фильтры с бесконечными характеристиками
297
І
2400
Фазовая характ ерист ика
*5*
•ft
*
§
О
Ш
800
1600
2400
Частота, Ik
3200
Фиг. 4.37. Расчет полосового фильтра с использованием аппроксимации
методом Падэ (по Брофи и Салазару).
фильтров, обладающих заданными частотными свойствами, более
сложными методами оптимизации. Эти методы будут рассмотрены
в последующих разделах настоящей главы.
4.14. Применение методов оптимизации
для расчета БИХ-фильтров
Перейдем к описанию последнего класса методов расчета
БИХ-фильтров, называемых методами оптимизации. Отличитель­
ная черта этих методов заключается в том, что система уравнений,
298
Глава 4
составленная относительно коэффициентов фильтра, не может
быть решена в явной форме. Поэтому для нахождения коэффици­
ентов приходится использовать расчетные формулы математи­
ческих методов оптимизации, минимизирущих, согласно выбран­
ному критерию, некоторую ошибку. С помощью последовательных
приближений можно в конечном счете свести ошибку к минимуму;
можно также задать определенное число выполняемых итераций
и после выполнения их считать расчет законченным. В данном раз­
деле будет описано применение нескольких методов оптимизации
для расчета фильтров.
I
1. Минимизация среднеквадратической ошибки
Пусть z-преобразование импульсной характеристики БИХ)
фильтра имеет вид
К
1 + ahz - 1_Lbkz - 2
(4.142)
Н (z)
k=t
т. e. фильтр строится из последовательно соединенных блоков вто­
рого порядка. Обозначим заданную амплитудную характеристику
фильтра через Н d ЩШШ Пусть о)ь где i
1 , 2 , . . ., М ,
дискретный ряд необязательно равномерно расположенных частот, на ко­
торых вычисляются отклонения получаемой и заданной характе­
ристик фильтра. Тогда, согласно Штейглицу, квадрат суммарной
ошибки на всех частотах, рассматриваемый в функции параметров
фильтра, можно представить следующим образом:
м
(4.143)
H d (езаі) |]2,
и Я ( ё аі)
<?(Ө) Ш
і=1
1)-мерный вектор искомых коэффициентов
(4.144)
Ө= (flj, 6j, Ci di, . . . , fljf, bK, Ск, dg, A).
Минимизация квадрата ошибки (4.143) сводится к нахождению
оптимального значения вектора Ө (обозначим его через Ө*), для
которого
(4.145)
<?(Ө*)^<?(Ө), Ө Ө
где Ө
(4К
Задачу минимизации можно решить, применив методы нелинейной
оптимизации, скажем алгоритм Флетчера — Пауэла, при использо­
вании которого предполагается, что градиент минимизируемой
функции известен. Прежде чем перейти к рассмотрению способа
расчета градиента, целесообразно исключить из вычислений
коэффициент усиления А фильтра, поскольку он может быть рас­
считан аналитически. Введя
(4.146)
Фильтры с бесконечными характеристиками
299
И
G ( z , <q) = A H ( z ,
ф),
(4.147)
получим
м
< ? (Л ,ф ) =
ф ) | - | Я 4 е ій,0 | ] 2.
І= 1
(4 .1 4 8 )
Оптимальное значение А (равное А * ) можно найти, продифферен­
цировав правую часть (4 .1 4 8 ) по А и приравняв производную
к нулю, что дает
| | Я (Л
ф) 11 Hd ( М
Щ Ш Ш Ш ---------1------------ —
2 I Н {ет \ ф) р
1
(4 .1 4 9 )
І—1
Теперь задача сводится к минимизации функции ошибки
<?(ф) = £ ( 4 * , ф).
Ш
В
Ш
I
I
1
I
I
I
я
дфп
ЩП
рр
|Щ1 ’
(4 .1 5 0 )
1’ о’
••Һ
lk
- *
М
Й
(4 .1 5 1 )
Второй член в правой части (4.151) равен нулю, так как значение
А* минимизирует Q. Итак, формулу (4.151) можно записать сле­
дующим образом:
м
т ЙрЯ [А* 1Я |Й§ Ф ) 1 - 1 Я , ( e j a i) |] І11 | р І Ш1. (4.152)
Щп
i—1
Так как
Я (е ш| ф) | J [Я Щ
Ф) Я* ШШ ф)]1/2,
(4.153)
то
а | я (gJQ>i, ф)| _
S
1
I н ШШ ф) I
Re Г и*
дН
ф) -
ф)
ф)] . (4.154)
Формулу (4.154) можно использовать для вычислений. Итак,
все вычисления, необходимые для расчета фильтров с использо­
ванием алгоритмов оптимизации типа алгоритма Флетчера—Пауэ­
ла, оказываются вполне выполнимыми.
При использовании методов оптимизации учитывается поведе­
ние только амплитудной характеристики, поэтому некоторые
полюсы или нули после завершения итераций могут оказаться
за пределами единичного круга. В этом случае можно прежде
всего заменить полюс с полярными координатами (р, Ө), оказав-
300
Глава 4
шийся вне единичного круга, на полюс с координатами (1/р, Ө),
находящийся внутри единичного круга. Амплитудная характе­
ристика фильтра при такой замене остается неизменной, так как
полюс заменяется на его зеркальное отображение. Однако после
того, как все полюсы оказываются внутри единичного круга,
появляется возможность с помощью дополнительного анализа
еще больше оптимизировать квадрат ошибки. Такая ситуация воз­
никает достаточно часто, и в этих случаях оптимизация должна
производиться двумя этапами:
1. Использование программы оптимизации для минимизации
ошибки Q (<р) без каких-либо ограничений на расположение нулей
и полюсов.
I
2. После завершения итераци [ инвертирование всех полюсов
и нулей, оказавшихся вне единичного круга. После этого продол­
жение программы оптимизации для нахождения нового минимума
ошибки.
На фиг. 4.38 в качестве примера приведены кривые для широ­
кополосного дифференциатора, рассчитанного Штейглицем с поРекурсивный дифференциатор
§I
X
£
О
£
t o
Нормированная частота
Фиг. 4.38. Ошибка аппроксимации амплитудной и фазовой характеристик
дифференциатора, рассчитанного с использованием критерия минимума
среднеквадратической ошибки (по Штейглицу).
Фильтры с бесконечными характеристиками *
301
мощью описанного метода. При расчете использовалось К = 3 в
І — 1)(0,05), 1 = 1, 2, . . . , 2 1 ,
я , (**») - £
.
На фиг. 4.38 приведены кривые ошибок аппроксимации амплитуд­
ной и фазовой характеристик дифференциатора.
2 . Минимизация L р-ошибки
Дечки показал, что от рассмотренного выше критерия миниму­
ма среднеквадратической ошибки можно перейти к критериям
ошибки более высокого порядка. Более того, ошибку аппроксима­
ции для характеристики групповой задержки фильтра можно определить так же, как для амплитудной характеристики.
Выразим z-преобразование импульсной характеристики фильтра через 2-преобразования К последовательно включенных бло­
ков 2-го порядка, представив полюсы и нули в полярных коорди­
натах:
КР
ТТ / \
л гI 22cos (Ө0fc)+r\
Я («> - Л П - - V , , 0» ( ,„ ) + ,? •
« - ‘55)
Искомый вектор неизвестных параметров определим следующим
образом:
ф
" ( '• o i * ®01 » ^"02> ®02> * • • »
Г0 Һ ,
Өо й , Г р j , Ө р | , Г р2> Ө р2? • ■ м
Грһі ^рһ i А ) .
J
Амплитудная характеристика фильтра будет равна
I Н S I | = а (ф, ш)
* [ 1 — 2r„* cos (со— 90ft) - f г^J1/*
А 1 1 (1 — 2rPk cos (а )-Ө рһ) г г2һ]М 11 “ 2r°k 003
fc=i
2
il
/2
+
[1 - 2rph cos (a> + Ө„*) + r|ft]i/8,
(4.156)
+ 0oft) +
(4.157)
а характеристика групповой задержки этого же фильтра будет
описываться формулой
к
/ п
,
T
у
XI Г
^
fe=l
l — r ph cos(<o—0pfc)
L l - 22rpft
r nfc cos
cos (со-Өпь)4-г!и
(a>— Qpk) r*k
1* —
—
1 — г pk cos («> + Qpk)
1l — 2гт»ь
^ 4+- r*k
2rp k cos
c o s ( (©d 4+ -e0ph)
r0k COS
cos (0)
(CO— O%k)
Q f e ) ___________ 1
* — r0f
y*QfeeCOS
cos (ю-f
(CD-f- 0Of
upfe)
e)
~1
1 - 2 roft cos (со- 0Ofc) + r \
l - 2 r oftcos(a) + 0ofe) + r o2J *
. .m
Задачу расчета БИХ-фильтра по заданной амплитудной харак­
теристике ad (со) или характеристике групповой задержки x d (со)
можно рассматривать как задачу минимизации ошибок Lp-аппрок-
Глава 4
302
симации, определяемых следующими формулами:
j
..
Шр (ф) = 2 Wa (сЩ [а (ф, со^) ci(i ( щ ) Г ,
Mi
j
Lip (ф) = 2 Wx Ш [т (Ф, %) — t d (а^)]2Р.
Щ
--S
(4.159)
I
(4.160)
, I,.. ,; • V , ,
Эти формулы представляют ошибки аппроксимации амплитудной
характеристики и характеристики групповой задержки соответ­
ственно в функции вектора параметров ф. При р = 1 и wa (со,*) = 1
(для всех /) минимизация £ р-ошибки будет идентична минимизации
по критерию минимума среднеквадратической ошибки, рассмот­
ренной в предыдущем разделе. Можно показать, что случай
Фиг. 4.39. Ошибка аппроксимации амплитудной характеристики дифферен­
циатора, рассчитанного с использованием критерия ошибки 4-го порядка
(по Дечки).
Нормированная частота
Фиг. 4.40. Многополосный фильтр, рассчитанный с использованием методов
оптимизации (по Дечки).
Фильтры с бесконечными характеристиками
303
§
I
I
V
<
м
■v
V»
•
А
§
§■
&
§
0
г
*
*
1
йЩЩвШЩЩШШЩЩІЩЩ-.
0,2
Ғр
0,3
Hacfrioma
Фиг. 4.41. Выравнивание характеристики групповой задержки фильтра
нижних частот с использованием выравнивающего фильтра, рассчитанного
методами оптимизации (по Дечки).
Р
00 оудет соответствовать критерию Чебышева (т. е. минимакс­
ному критерию). Итак, задача расчета коэффициентов фильтра
с использованием Lp-критерия сводится к задаче минимизации
ошибок LIр (ф) или Ь\р (ф) путем подбора вектора ф. Можно по­
казать, что если 2р ^ 2 и весовая функция wx (со) [или сот (со)]
положительна, то ошиока L?p (ф) [или L \v (ф)] имеет локальный
минимум. Это дает возможность для нахождения вектора парамет­
ров ф*, минимизирующего соответствующую ошибку, использо­
вать алгоритмы минимизации без ограничений типа алгоритма
Флетчера — Пауэла.
На фиг. 4.39—4.41 приведены примеры использования крите­
рия минимума Lp-ошибки, взятые из работы Дечки. На фиг. 4.39
представлена ошибка аппроксимации однокаскадного (К = 1) ши­
рокополосного дифференциатора, при расчете которого было взято
2р — 4. В этом примере минимизировалась ошибка аппроксима­
ции амплитудной характеристики, причем для любой из возмож­
ных частот величина ошибки не превышает 1%. Н фиг. 4.40 по­
казана амплитудная характеристика рассчитанного этим методом
304
Глава 4
фильтра, который был получен из фильтра 10-го порядка с двумя
полосами пропускания и тремя полосами непропускания (К — 5).
В полосе непропускания величина ошибки составляет приблизи­
тельно 0,1 (что обеспечивает ослабление на 20 дБ). Последний
пример приведен на фиг. 4.41, где представлены характеристики
групповой задержки исходного эллиптического фильтра и эллип­
тического фильтра, полученного после выравнивания его груп­
повой задержки. Выравнивающая цепь состояла из включенных
последовательно с исходным эллиптическим фильтром всепропускающих цепей, не оказывающих влияния на амплитудную характе­
ристику фильтра. Порядок выравнивающей всепропускающей це­
пи был равен 10 (К = 5), индекс ошибки 2р = 10. Как видно
из фиг. 4.41, после выравнивания пульсации групповой задержки
фильтра стали равновеликими.
3.
Оптимизация в w-плоскости
с использованием всепропускающих цепей
Весьма простая методика оптимизации, предложенная Деч­
ки, может быть использована в случае, когда рассчитываемый
БИХ-фильтр имеет равновеликие пульсации в полосе пропускания
и обеспечивает аппроксимацию с равновеликими пульсациями
произвольной характеристики в полосе непропускания или в по­
лосе пропускания. Рассмотрим эту методику. Для этого запишем
квадрат амплитудной характеристики фильтра в виде
где Тп (z) — рациональная передаточная функция, подобная,
но не идентичная рациональной функции Чебышева, использо­
вавшейся при расчете эллиптических фильтров. Вместо того чтобы
сразу найти функцию Тп (z), целесообразно сначала перенести
решение задачи аппроксимации из z-плоскости в некоторую новую
плоскость (назовем ее ш-плоскостыо), такую, чтобы полоса про­
пускания (или непропускания) фильтра отображалась на всю
мнимую ось в ш-плоскости. В этом случае оказывается возможным
достаточно просто записывать передаточные функции всепропускаю­
щих цепей в ыт-плоскости; используя эти всепропускающие функ­
ции, можно получить такую функцию \Тп (w) |2, которая будет
осциллировать между 0 и 1 при изменении w вдоль мнимой оси от
0 до оо. Таким образом, функция |ГП(/т)) |2 будет иметь в и?-плоскости
равновеликие пульсации. В зависимости от характера отображения
эти равновеликие пульсации Тп (w) можно отобразить либо в поло­
су пропускания фильтра в z-плоскости, либо в полосу непропус­
кания. При этом поведение характеристики фильтра в другой
Фильтры с бесконечными характеристиками
305
полосе будет полностью определяться еще не найденными значе­
ниями коэффициентов всепропускающего фильтра. Для расчета
коэффициентов всепропускающего фильтра, которые обеспечили
бы аппроксимацию с равновеликими пульсациями любой харак­
теристики в полосе, где она не была задана, можно использовать
методы последовательного приближения. Рассмотрим сначала
методику получения функции Тп (w).
Чтобы определить передаточную функцию, модуль которой по­
стоянен вдоль всей мнимой оси, рассмотрим всепропускающую
функцию вида
П
Wi -(- W
F(w)
(4.162)
Wi—w
І= 1
где Wi либо действительные, либо образуют комплексно сопря­
женные пары. Так как |F (/rj)| = 1, то F (/rj) можно записать в виде
F (/т)) щ
(4.163)
где
/ (rj) = 2 У. arctg ( ■
1
)
,
(4.164)
(4.165)
Введем действительную функцию | Тп В
1
тп(m) I2=
Ж Tn (-jr\)=i
if
Ж
4
| следующим образом:
i 11[ ғ (- /г))(1 j
/(л)
cos2
2
(4.166)
Аналитически продолжая (4.166), получим
П
71
| П (“’*+ “’) + []
ЗЯиПшн в
(W i — W) ]
а
2
(4.167)
4 [J (wi + w) (и>1— W)
1= 1
Таким образом, найдена искомая функция | Тп (м>)|2, имеющая
в де-плоскости равновеликие пульсации модуля вдоль оси /т) неза­
висимо от значений коэффициентов В всепропускающего фильт­
ра. Рассмотрим теперь случай отображения из z-плоскости в w-пло­
скость, соответствующий равновеликим пульсациям в полосе про­
пускания при произвольной характеристике в полосе непропуска­
ния. Аналогично можно было бы рассмотреть и другой случай ото­
бражения, соответствующий равновеликим пульсациям в полосе
непропускания при произвольной характеристике в полосе про20-0399
306
Глава 4
пускания, но так как этот случаи ооычно представляет меньшии ин­
терес, то ниже он не рассматривается.
;
Для отображения полосы пропускания фильтра из z-плоскости
на всю мнимую ось в де-плоскости воспользуемся следующим
преобразованием:
2z cos (OpU4-1
(4.168)
w
Ц—2zcos©pj + l
О—
I
А
Обратное преобразование из и;-плоскости в z-плоскость можно
найти, решив (4.168) относительно z:
Р
(4.169)
1,
Ур
где
W2 COS СDpi — COS (Ор и
Р
W
(4.170)
1
С помощью преобразования (4.168) дуга единичной окружности
из z-плоскости, соответствующая частотам со|§ < со < сорв (т. е.
полосе пропускания фильтра), отображается на всю мнимую
ось в и;-плоскости (предполагается, что фильтр имеет единствен­
ную полосу пропускания и две или более полосы непропускания).
Полосы пропускания фильтра из z-плоскости отображаются сле­
дующим образом:
I
cos i p —cos (OpU
COS СО рц
О^со^Ссо si
COS (Os i — COS (Dpi
1 — COS topi
CD
CO ^
Jl
COS (Ds u — COS © p u
1 -j- COS (Dpu
COS (Ogii — COS (Dpi
1 + COS (Dpi
(4.171)
Для фильтра ни»
Здесь
всех приведенных выше формулах wsi — (opi В о.
Преобразование z-плоскости в де-плоскость ллюстрируется
на фиг. 4.42, где в каждой из плоскостей изображены область
пропускания (с равновеликими пульсациями ) и области непро­
пускания.
Теперь остается лишь привести методику расчета коэффициен­
тов Wf , входящих в формулу (4.167), которые дали бы возможность
аппроксимировать произвольную амплитудную характеристику
в полосе непропускания, а также методику получения передаточ­
ной функции Н (z), или, что то же самое, функции Н (де), по функ­
ции Тп (го). Рассмотрим сначала вторую из этих двух задач как
более простую.
___
Если нули функции Н (z) расположены на единичнои окружност: (как это обычно имеет место при аппроксимации с равновеликими пульсациями), то корни в де-плоскости будут действи­
тельными и иметь четную кратность, так как в этом случае оба
307
Фильтры с бесконечными характ ерист иками
z -плоскость
w-плоскость
Нижняя полоса непропускания
Верхняя полоса непропускания
Полоса пропускания
r\J~\^ Область с равновеликими
пульсациями
Фиг. 4.42. Отображение из z-плоскости в ш-плоскость (по Дечки).
комплексно сопряженных нуля будут отображаться в одну и ту же
точку на действительной оси в w-плоскости. Поэтому выражение
(4.1*67) можно представить следующим образом:
п
п
[ П (Щі + и>)2+ IJ (Щі —w)2]
тп и
тп ( - W ) J
------ 1— В ------------
4г=1
П
*■ ШШ
К-ш2)2
(4.172)
где ш0| — преобразованные нули фильтра. Введя вспомогательные
многочлены A (w) и В (w), равные
п
п
А Щ Щ1 1 П (w 0i 1 g f + Г І 181I § Ю
(4.173)
wB(w) = -£ [ Д (шоі + w)2— Д (ш0£— и?)2] ,
(4.174)
і= і
І= 1
запишем формулу (4.161) в виде
Н И я 11 1 _
;
(1 -j- еа) /I2 (ш)—w2B2 (w) 9
(4.175)
20*
308
Глава 4
из которой после разложения на множители получим
я и
А (w) — wB (w)
у 1
е2 A (u?)— wB (и?)
(4.176)
Корни функции Н (w) располагаются в правой полуплоскости w,
что гарантирует устойчивость искомого фильтра с передаточной
функцией Я (г). [Кроме того, при расчетах удобнее находить
корни функции Н {w) в w-плоскости и преобразовывать их затем
обратно в z-плоскость, так как в w-плоскости они обычно легче раз­
деляются, чем корни Я (z) в z-плоскости.]
Наконец приведем алгоритм расчета коэффициентов woi, обе­
спечивающих заданную форму амплитудной характеристики в по­
лосе непропускания. Простой способ аппроксимации получается
при использовании для описания амплитудной характеристики
в полосе непропускания функции ее логарифма:
2 0 1 g |ff(w )| W
а
n
n
Щi + w
w0i —w
(4.177)
10 lg {1 -f 4 [ П ( WQi — U>
woi+ w )]} « = £ ’
1=1
1
откуда
n
Wpj + w
8
(4.178)
20 lg 2
a
s
w0i —W w 1
)+п(
При этом для расчета значений woi, таких, чтобы величина ошибки
аппроксимации функции а , задаваемой формулой (4.178), была ми­
нимаксной для всей полосы непропускания, можно использовать
достаточно простые методы (например, алгоритм Ремеза).
Таким образом, выше было показано, что БИХ-фильтры с равно­
великими пульсациями в полосе пропускания (или в полосе непро­
пускания) и произвольной характеристикой в полосах непропуска­
ния (или в полосах пропускания) можно рассчитывать путем пере­
несения решения задачи аппроксимации из z-плоскости в w-пло­
скость, такую, чтобы полоса пропускания фильтра в z-плоскости
отображалась на всю мнимую ось в w-плоскости. В этой новой
w-плоскости синтезируется всепропускающая функция, модуль
которой постоянен на всей мнимой оси. Затем из этой всепропускающей функции с помощью простой подстановки формируется
передаточная функция, модуль которой имеет вдоль мнимой оси
в w-плоскости равновеликие пульсации н езави си м о от значений ко­
эффициентов всепропускающей функции. Наконец, с помощью
простой методики рассчитываются оптимальные значения коэффи­
циентов всепропускающего фильтра, которые используются для
аппроксимации в w-плоскости требуемой частотной характери­
стики в полосе непропускания. Проиллюстрируем применение
этого метода на двух примерах, взятых из работы Дечки.
Фильтры с бесконечными характ ерист иками
309
Фиг. 4.43. Амплитудная характеристика режекторного фильтра, рассчитан­
ного в до-плоскости (по Дечки).
Фиг. 4.44. Амплитудная характеристика фильтра нижних частот, рассчи­
танного в ш-плоскости (по Дечки).
На фиг. 4.43 и 4.44 изображены амплитудные характеристики
(в логарифмическом масштабе) двух фильтров с равновеликими
пульсациями в полосе пропускания и произвольными характе­
ристиками в полосе непропускания. В примере, представленном
на фиг. 4.43, заданный уровень пульсаций в полосе пропускания
составлял 1 дБ, а характеристика в полосе непропускания должна
была удовлетворять следующим условиям:
20 lg| Н
30 дБ,
^ —40 д,Б
20 дБ,
0,35я^ю ^0,45л;,
0 ,4 5 я ^ (о ^ 0 ,6 0 я ,
0,60я ЩЩЯ!!65я.
Порядок рассчитанного фильтра оказался равным восьми, причем
этот фильтр удовлетворяет заданным характеристикам с точ­
ностью до 0,7 дБ. Второй пример, приведенный на фиг. 4.44,
соответствует фильтру нижних частот с линейным (в логарифми­
ческом масштабе) увеличением ослабления в полосе непропускання.
310
Глава 4
4. Расчет БИХ-фильтров методами линейного
программирования
Методы линейного программирования могут быть использова­
ны для расчета БИХ-фильтров, обеспечивающих аппроксимацию
с равновеликими пульсациями заданной амплитудной характери­
стики. Если передаточная функция цифрового фильтра равна
т
H(z)
2
Ь'ГІ
г=о
т
*>{*)
n
(4.179)
д,
2
а*~г
і=0
то Н (z) Н (z-1) можно представить в виде
Н (z) Я (z *)
m
N (z) N (г~4)
D (z) D (z“*)
m
m
(i2=0 bi2_i) (j=
2 0 b*zi)
n
2
c«
z-i
г— —т
ii
n
( 2 aiz~l) ( 2 aizi)
i=0
2
i= - n
i=0
(4.180)
ditri
где
(4.181a)
(4.1816)
Поэтому квадрат амплитудной характеристики фильтра [т. е.
значения (4.180) на единичной окружности] равен отношению три­
гонометрических полиномов:
т
Н (е&)
с0
+
2
2с«cos
(ші)
N (а) _
Ц __________
D io )
Д
do+ 2 2di cos (©i)
(4.182)
і=1
Л
Обе функции N (со) и D (to) линейно зависят от коэффициентов
е'г и dt . Рассмотрим, каким образом можно использовать методы
линейного программирования для нахождения таких значений
коэффициентов g и <2г, которые обеспечили бы аппроксимацию за­
данного квадрата амплитудной характеристики F (со) функцией
Н (е*®)!2, причем максимум ошибки аппроксимации был бы мини­
мизирован (т. е. чтобы аппроксимация имела равновеликие пуль­
сации).
Итак, задача аппроксимации заданной функции квадрата ам­
плитудной характеристики F (со) сводится к нахождению таких
Фильтры с бесконечными характ ерист иками ___________ 311
коэффициентов фильтра, при которых
ДГ-(ф) F (со)
е(а>)
(to).
(4.183)
D ( со)
Здесь е (со) — функция допуска для ошибки аппроксимации,
позволяющая учитывать неодинаковый вес ошибок аппроксимации
на различных частотах. Функции F (to ) и е (со) обычно известны
(или, как будет показано в приведенном ниже примере, зависят
от некоторого параметра), поэтому неравенство (4.183) можно пред­
ставить с помощью следующей системы неравенств, линейных
относительно неизвестных сt и <2,:
N (со) — D
(со)
F
(со) ^ 8 (со)
D
(со),
N
(со) +
D
(со)
F
(со)
(со)
D
(со),
N
(со) —
D (со) \ F (со) + е (со)] < 0 ,
N
(со)
(4.184)
или
+ D
(со)
[F (со) —
(4.185)
е (со)] Я
Эти, а также следующие дополнительные линеиные неравенства:
(4.186)
N { с о )< 0 ,
D
(со) < 0
(4.187)
полностью определяют задачу аппроксимации. Для решения сис­
темы линейных неравенств (4.185)—(4.187) из левой части каждого
из них вычитается вспомогательная переменная w, которая затем
минимизируется. Если значение w оказывается равным нулю,
то это означает, что решение задачи аппроксимации существует,
причем значения коэффициентов можно получить обычным методом
линейного программирования. Если же оказывается, что w ggj 0,
то это означает, что решения задачи аппроксимации не существу­
ет, поэтому для ее. решения нужно изменить либо F( со), либо
е(оо).
Рассмотрим в качестве примера расчет фильтра нижних частот
с равновеликими пульсациями и коэффициентом передачи, рав­
ным 1 в полосе пропускания и 0 в полосе непропускания. Допус­
тим, что максимальная ошибка аппроксимации равна б в полосе
непропускания и К§ (величина постоянной К выбирается разработ­
чиком) в полосе пропускания. Заданная амплитудная характе­
ристика такого фильтра нижних частот изображена на фиг. 4.45, а.
Величина 8 неизвестна, причем в процессе расчета она должна
быть минимизирована (результирующий фильтр в данном случае
будет, очевидно, эллиптическим, но здесь он используется только
для иллюстрации метода). Заданная функция квадрата амплитуд­
ной характеристики фильтра, равная квадрату функции, изобра-
312
Глава 4
2*2
1+Кд+2К6
1+ Кг6 г~2Кд
СОр (Os
6
1+K2S2
2К6
д г/2 -
д г/ 2 U )p (Os
в
О
">р w s
г
Фиг. 4.45. Исходные характеристики фильтра нижних частот, используемые
при расчете его методом линейного программирования.
женной на фиг. 4.45, Ц приведена на фиг. 4.45, б. Ее можно рас­
сматривать как аппроксимацию с равновеликими пульсациями
функции F (to), изображенной на фиг. 4.45, в; функция амплитуды
ошибки аппроксимации е (со) представлена на фиг. 4.45, г. [Чита­
тель может убедиться в том, что сумма F (со) + е (а») дает верх­
нюю границу квадрата амплитудной характеристики, а разность
F {(.о) — 1 (со) — ее нижнюю границу.] Решив неравенства
(4.185)—(4.187) при заданных F ( со) и I (со), можно найти оценку
б. Для фильтров нижних частот величина б ограничена по опреде­
лению следующими пределами:
1
(4.188)
О б
Я-Н
Это позволяет получить начальную оценку б и тем самым задать
функции Ғ (со) и е (со) на фиг. 4.45. Метод линейного программиро-
Фильтры с бесконечными характ ерист иками
313
Нормированная частота
Фиг. 4.46. Амплитудная характеристика фильтра нижних частот, рассчи­
танного методом линейного программирования.
вания дает возможность для выбранного значения б определить,
имеет ли заданная система неравенств какое-либо решение.
Если решения не существует, величину б следует увеличивать до
до тех пор, пока не будет получено решение. Если же система
неравенств имеет решение, начальное значение 6 следует заменить
на минимальное значение б, для которого решение еще существует.
Поднимая методом последовательных приближений нижнюю гра­
ницу (для которой решения не существует) и опуская верхнюю
границу, можно с любой заданной точностью (по крайней мере
теоретически) найти минимальное значение 6.
Хотя при использовании рассматриваемого метода и встреча­
ются трудности, связанные с чувствительностью коэффициентов
фильтра к выбору функции квадрата его амплитудной характе­
ристики, тем не менее он часто и с успехом применялся для расчета
цифровых фильтров. Так, на фиг. 4.46 представлена амплитудная
характеристика (в логарифмическом масштабе) фильтра нижних
частот, а на фиг. 4.47 — функция ошибки аппроксимации широ­
кополосного дифференциатора, рассчитанных описанным мето­
дом. Фильтр нижних частот имеет шестой порядок (п — т — 6),
граничные частоты полосы пропускания и полосы непропуска-
314
Глава 4
Фиг. 4.47. Ошибка аппроксимации амплитудной характеристики диффе­
ренциатора, рассчитанного методом линейного программирования.
ния составляют 0,20 и 0,25 соответственно, К = 71,879, окон­
чательное значение максимума ошибки аппроксимации б —
= 0,0008252.
л. l g ; И
Порядок дифференциатора равен четырем, амплитуда пульса­
ций в диапазоне частот О Ц f Щ 0,45 составляет 0,00000763 (по­
ведение характеристики в диапазоне 0,45 S / Я 0,5 не задава­
лось). Из фиг. 4.47 видно, что только пульсации относительной
ошибки аппроксимации амплитудной характеристики дифферен­
циатора являются равновеликими. Две прямые линии являются
граничными для функции абсолютной ошибки. Наибольшее не­
совпадение с граничными линиями является результатом погреш­
ности алгоритма линейного программирования при таких малых
значениях б.
4.15. Обзор методов расчета БИХ-фильтров
В данной главе были рассмотрены три класса методов расчета
БИХ-фильтров: методы преобразования аналоговых фильтров
в цифровые, прямые методы расчета цифровых фильтров в z-пло-
Фильтры с бесконечными характ ерист икам и
315
скости и методы, использующие алгоритмы оптимизации. Вообще
невозможно отдать предпочтение какому-либо одному из них.
С учетом применимости этих методов в конкретных условиях и
многих других факторов каждый из них может оказаться наиболее
подходящим. Поэтому воздержимся от спорных рекомендаций и
отметим лишь, что большое число цифровых БИХ-фильтров рас­
считывается методом билинейного преобразования стандартных
аналоговых фильтров. Это обстоятельство связано с тем, что
в большинстве случаев разработчику приходится проектировать
фильтры нижних частот или полосовые фильтры с заданными ха­
рактеристиками, для которых билинейные преобразования ана­
логовых фильтров уже известны. При проектировании нестан­
дартных БИХ-фильтров следует использовать другие методы. Если
фильтр проектируется по характеристикам, заданным во временной
области, для его расчета можно использовать метод инвариантного
преобразования импульсной характеристики или описанный
в разд. 4.13 метод расчета БИХ-фильтров во временной области.
Для расчета фильтров с нестандартными характеристиками, зада­
ваемыми в частотной области, в большинстве случаев наиболее
подходящими будут алгоритмы оптимизации.
4.16. Сравнение КИХ- и БИХ-фильтров
Поскольку существует множество различных методов расчета
КИХ- и БИХ-фильтров, практически невозможно, сопоставив
те или иные характеристики получаемых фильтров, объективно
сравнить оба типа фильтров. Если же ограничиться рассмотре­
нием только оптимальных (в минимаксном смысле) КИХ-фильтров
нижних частот и эллиптических БИХ-фильтров с аналогичными
частотными характеристиками, то можно сделать некоторые ко­
личественные сравнения на основе числа умножений, приходя­
щихся на каждый входной отсчет1) при стандартной реализации
каждого из сравнимых фильтров (т. е. при использовании прямой
формы для КИХ-фильтра и каскадной формы для БИХ-фильтра).
При реализации прямой формы КИХ-фильтра с импульсной харак­
теристикой длины N (N нечетное) и линейной фазовой характерис­
тикой на каждый входной отсчет приходится [(Лг + 1)/2] умно­
жений, тогда как при реализации каскадной формы эллиптиче­
ского фильтра /г-го порядка (все нули которого расположены на еди*) Число умножений, приходящееся на каждый входной отсчет, является
полезной мерой сложности реализации фильтра с точки зрения объема
вычислений, так как оно представляет количество операций умножения
и сложении, используемых при аппаратурной и программной реализации
фильтра.
316
Глава 4
ничной окружности) на каждый входной отсчет1) приходится
[(Зп Ц 3)/2] умножений. (Здесь число в квадратных скобках [ -)
обозначает целую часть этого числа.)
Е
Таким образом, два типа фильтров с эквивалентными харак­
теристиками (т. е. удовлетворяющие одинаковым требованиям
к уровню пульсаций в полосе пропускания бхи в полосе непропуска­
ния б2, а также к значениям граничных частот Ғр и Fs) могут быть
сопоставлены на основе эффективности их построения, учитываю­
щей, для какого из фильтров на каждый из входных отсчетов при­
ходится меньшее число умножений. Оба типа фильтров будут эк­
вивалентны, если выполняется следующее условие:
(4.189)
или
—
«
3-1—
.
п
п
(4.190)
На фиг. 4.48 приведены две группы кривых зависимости отношения
N /n от п при различных 62 для двух значений Fp и 6X. Фиг 4.48, а
соответствует случаю Fp = 0,15 и
= 0,1 §Ц = 0,1; 0,01; 0,001;
0,0001); на фиг. 4.48, б представлены кривые при Ғ р = 0,35 и
бх = 0,00001 (б2 принимает те же значения). Там же построены
линии N /n = 3, соответствующие постоянной составляющей в пра­
вой части формулы эквивалентности фильтров (4.190). Как видно
из фиг. 4.48, а, при некоторых значениях Fp> | | и б2 величина
отношения N /n находится ниже уровня эквивалентности; в этих
случаях КИХ-фильтр оказывается эффективнее эллиптического
фильтра. Однако вообще эллиптический фильтр намного эффек­
тивнее оптимального КИХ-фильтра, причем в случае, когда эллип­
тический фильтр имеет высокий порядок, отношение N/n часто
может достигать сотен или даже тысяч.
Установлено, что КИХ-фильтр наиболее целесообразно ис­
пользовать, если величина Ц большая, 62 малая, а переходная
полоса достаточно широкая (т. е. переходное отношение мало).
Необходимо также учитывать следующее:
1. При Fp > 0,3 отношение N /n всегда превышает (3 Ц 1/п)
при любых значениях бх, б2 и п.
2. При п > 7 отношение N /n всегда превышает (3 Ц 1/п)
при любых значениях бх, S2 и Fp.
3. Чем меньше Ғ р, тем больше диапазон значений 6l5 б2 и л,
при которых N /n меньше, чем (3 + !/»)•
На фиг. 4.49, а показана зависимость теоретического значения
порядка эллиптического фильтра п (поэтому п не обязательно
}| Для БИХ-фильтра на входной отсчет приходится такое число умно­
жений лишь при условии, что все масштабирования при переходе от блока
к блоку осуществляются умножением на степень двойки и сводятся к сдвигу
чисел. В противном случае потребуется [(4я + 3)/2] умножений на отсчет.
с
35
Ғр=0,35
б, = 0,00001
30
25
20
15
10
5
О
2
6
7
4
5
в
Порядок эллиптического фильтра п
1
3
9
10
Фиг. 4.48. Сравнение КИХ-фильтров и БИХ-фильтров нижних частот.
318
Глава 4
•о
I Ж
5
I
I
Is:
9 -
8
7 -
6
I
I
-
-
5-
<& 4 I<*>
3-
I
6
ft
21
0
-
0,4
0,2
0,3
0,1
Нормированное значение граничной
частоты полосы пропускания Fp
0,5
Фиг. 4.49. Сравнение КИХ-фильтров и БИХ-фильтров нижних частот
Фильтры с бесконечными характ ерист иками
319
равен целому числу), обеспечивающего заданные граничные
частоты Ғр и Ғ я при бх = 0,1 и б2 = 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001;
0,00001, от величины Ғр для набора оптимальных КИХ-фильтров
с N — 21. Аналогичные кривые, но для N = 41 приведены на
фиг. 4.49, б. Теоретическое значение порядка, при котором оба
фильтра эквивалентны, составляет п — 6,3 для фиг. 4.49, а и
п — 13 для фиг. 4.49, б. Таким образом, во всех этих случаях, как
и предполагалось в предыдущем разделе, эллиптический фильтр
оказывается эффективнее эквивалентного ему КИХ-фильтра.
Итак, в тех случаях, когда требуется обеспечить заданную
амплитудную характеристику, эллиптические фильтры вообще
оказываются эффективнее оптимальных КИХ-фильтров. Однако
КИХ-фильтры дополнительно имеют весьма полезное свойство —
их фазовая характеристика строго линейна, так что характерис­
тика групповой задержки таких фильтров не искажается. В то
же время характеристика групповой задержки эллиптического
фильтра имеет, как правило, весьма существенные искажения (осо­
бенно вблизи края полосы пропускания). В связи с этим возникает
вопрос, имеющий теоретическое и практическое значение: в слу­
чаях, когда характеристика групповой задержки должна быть
постоянной, более желательно использовать эллиптический фильтр
с выравниванием групповой задержки или же эквивалентный ему
оптимальный КИХ-фильтр (с постоянной групповой задержкой)?
Ниже этот вопрос будет рассмотрен с различных точек зрения.
Следует отметить, что оба сопоставляемых подхода не являются
единственно возможными при построении цифрового фильтра,
удовлетворяющего требованиям к амплитудной характеристике
и характеристике групповой задержки. Например, используя
новые методы оптимизации, можно рассчитать фильтр с неодина­
ковым числом нулей и полюсов. Для этих случаев проводимое
ниже сравнение КИХ-фильтров и БИХ-фильтров будет непригод­
ным.
Ф
4.17. Сравнение оптимальных КИХ-фильтров и эллиптических
фильтров с выравниванием групповой задержки
В разд. 4.14 уже отмечалась возможность построения фильтра,
выравнивающего с любой заданной точностью характеристику
групповой задержки любого цифрового фильтра в некотором огра­
ниченном диапазоне частот. Трудность выравнивания характе­
ристики групповой задержки заключается в том, что общая за­
держка фильтра после выравнивания должна превышать наиболь­
шую задержку того же фильтра до выравнивания. Для эллипти­
ческого фильтра максимум групповой задержки всегда располо­
жен вблизи частоты среза полосы пропускания. Можно показать,
что порядок всепропускающего выравнивающего фильтра пе
320
Глава 4
должен удовлетворять следующему соотношению:
л
(4.191)
|
тв
(со)
d(s) — 0,5пе,
2л
о
где тg (со) — характеристика групповой задержки этого фильтра,
причем интегрирование в левой части (4.191) производится в пре­
делах половины частоты дискретизации 0 < to < я. Так как
групповая задержка выравнивающего фильтра может только до­
бавляться к задержке исходного фильтра, т. е. т? (со) > 0, то для
того, чтобы убедиться в справедливости соотношения (4.191),
достаточно показать, что оно верно для всепропускающего фильт­
ра первого порядка. Передаточная функция выравнивающего
фильтра равна
^
-z-Va)
(1
(4.192)
H tz)
1 az-1
координаты полюса и нуля этой функции в z-пло­
где а 1 /а
скости соответственно. Характеристика групповой задержки обыч­
но определяется следующим образом:
j
Tg((0)
d [arg H («*“)]
dcо
(4.193)
где arg Н (е^“) — фазовая характеристика всепропускающего
фильтра. С учетом соотношений (4.191) и (4.192) для выравниваю­
щего фильтра 1-го порядка получим
1 а
(4.194)
Tg (со)
1-1-я2— 2а cos со
Интегрирование правой части (4.194) в пределах от 0 до л с пос­
ледующим нормированием по 2л дает
а
rfco
2a cos w
(1 — a2) tg (со/2)
(1 — а)2
7Г arctg [
я
JT
О 2я
0,5.
Значение соотношения (4.191) заключается в том, что с его помощью
минимальный порядок выравнивающего фильтра, необходимый
для выравнивания заданной характеристики групповой задержки,
можно оценить, определив площадь между линией т = тмакС и
кривой Tg (to) и поделив ее на я [здесь тмакс — максимальное
значение Tg (со) в полосе пропускания исходного фильтра]. В дей­
ствительности порядок выравнивающего фильтра должен превы­
шать величину оценки, получаемой из (4.191), так как это соотно­
шение справедливо при условии, что задержка в выравнивающем
фильтре идеально компенсирует неравномерность групповой за­
держки исходного фильтра. По мере увеличения порядка вырав-
Фильтры с бесконечными характ ерист икам и
321
кивающего фильтра относительно найденной оценки максимум
ошибки аппроксимации групповой задержки будет монотонно
уменьшаться.
В табл. 4.2—4.4 приведены характеристики трех групп эл­
липтических фильтров, которые выравнивались с помощью всепропускающих фильтров. В таблицы включены заданные значе­
ния б1( б2, Fp и А,, требуемый порядок эллиптического фильтра
п, требуемая длина импульсной характеристики БИХ-фильтра
N , порядок выравнивающего фильтра пе, среднее по полосе про­
пускания значение задержки в фильтре после выравнивания т»
(в числе отсчетов), уровень пульсаций групповой задержки в полом пропускания после выравнивания еу а также число умноже­
ний на каждый входной отсчет для оптимального КИХ-фильтра
и каждого из эллиптических фильтров после выравнивания.
Из приведенных данных видно, что если необходимо обеспечить
выравнивание характеристики групповой задержки с погреш­
ностью порядка 3/6, то при использовании эллиптического фильт­
ра с выравниванием потребуется выполнять на 30% больше ум­
ножений на каждый входной отсчет, чем при использовании опти­
мального КИХ-фильтра, хотя эллиптический фильтр до вырав­
нивания в подавляющем большинстве случаев эффективнее оп­
тимального КИХ-фильтра. Таким образом, по крайней мере для
случаев, когда, помимо аппроксимации с равновеликими пуль­
сациями амплитудной характеристики требуется постоянство ха­
рактеристики групповой задержки, оптимальный КИХ-фильтр
будет всегда эффективнее эллиптического фильтра с выравнива­
нием. Следует также отметить, что задержка в оптимальном КИХфильтре, равная (N — 1)/2 отсчетам, оказывается всегда меньше
задержки в эллиптическом фильтре с выравниванием.
Во всех примерах, приведенных в табл. 4.2—4.4, порядок
исходных эллиптических фильтров не превышал шести. Можно
было бы ожидать, что относительная эффективность эллиптиче­
ских фильтров более высокого порядка по сравнению с оптималь­
ными КИХ-фильтрами будет выше, чем при малых порядках.
Поэтому, возможно, в этих случаях фильтр с выравниванием будет
более эффективен, чем КИХ-фильтр. Однако проверить это пред­
положение не удается в связи с тем, что при больших величинах
порядка эллиптических фильтров пик групповой задержки
тмакс в полосе пропускания намного больше, чем при малых вели­
чинах порядка, так что требуемый порядок выравнивающего
фильтра становится настолько большим, что его практически не имеет смысла рассматривать, если требуется выравнивание группо­
вой задержки во всей полосе пропускания. Для иллюстрации это­
го положения на фиг. 4.50 приведена характеристика групповой
задержки эллиптического фильтра нижних частот 10-го порядка,
для которого Fp = 0,25. Оценка требуемой величины пе с исполь21—6399
322
Глава 4
Таблица 4 2
Сравнение цифровых оптимальных КИХ-фильтров и эллиптических
фильтров с выравниванием
Группа 1. 6і = 0,01, б2 = 0,0001
FP
0,0502
0,09846
е
d§
2
Fa
n
N
пе
V
0,20273
5
21
2
12,1
3,4
И
4
28,7
42,7
2
4
6
14,5
22,2
29,4
11,6
11
11
13
15
0,25119
5
21
л
it
13
4,1
0,8
0,14722
0,29803
6
21
4
6
8
17,6
23,0
28,5
13,1
6,3
2,6
11
14
16
18
0,19507
0,34314
6
21
4
6
8
13,8
17,8
22,0
16,0
8,7
4 ,2
И
14
16
18
0,24163
0,38601
6
21
6
8
10
14,5
18,3
21,8
11,1
7,0
3,6
11
16
18
20
0,28664
0,42571
5
21
6
8
10
11,6
14,5
17,3
8,4
3,8
1,6
11
15
17
19
0,33014
0,46052
5
21
6
8
10
10,7
13,1
15,7
14,7
8,3
4,5
11
15
17
19
0,37254
0,48698
4
21
6
8
10
8,7
11,1
13,4
19,1
6,5
3,2
11
13
15
17
0,41665
0,49917
3
21
8
10
9,6
11,8
6,3
3,2
11
14
16
{ЕНГ ч
1)
ту* —-число умножений на входной отсчет для оптимального КИХ-фильтра;
jya _ число умножений на входной отсчет для эллиптического фильтра с выравнива­
нием.
Фильтры с бесконечным и характер истикам и
Сравнение цифровых оптимальных КИХ-фильтров
фильтров с выравниванием
323
Таблица 4.3
эллиптических
Группа 2. Ғр = 0,25, бі = 0,02, 62 = 0,001
0,4893
п
N
2
11
2
2
13
4
0,39146
4
2
19
4
0,34153
5
6
2
29
4
6
8
6
0,30639
N2
10
45
ЛГ2)
й
4
3
0,44816
п
4
3.3
5,6
4,5
7.3
5,9
8,8
11.9
8.4
10,6
13.7
16.9
20.3
13.8
16,0
18.7
6
8
10
22,0
12
14
16
18
25,5
29.4
32.8
36,3
6
1,2
0,1
9.4
7
1,0
25,1
10
8,0
2,2
37,4
9
11
13
15
21,6
11,6
5,6
2.4
34.7
25,0
16,9
11.7
7,9
5.2
3.2
1,8
6
8
8
10
23
11
13
15
17
19
14
16
18
20
22
24
26
28
i) N 1 —число умножений на входной отсчет для ош
число умножений на входной отсчет для эллиптического
Таблица 4.4
Сравнение цифровых оптимальных КИХ-фильтров и эллиптических
фильтров с выравниванием
Группа 3. Fp = 0,25, 6і = 0,02, 6а=0,0001
Fs
n
JV
I________ j
0,49661
2
и
0,47564
3
и
I
xg
e
Jvl )
2
4
2
4
3,3
5,6
4,5
7,3
1,2
0,1
9,1
1,0
6
6
jyl)
2
6
-8
8
10
21*
Глава 4
324
Продолжение табл. 4.4
Fs
п
N
пе
Ч8
е
0,43591
4
17
0,38983
5
21
0,34878
6
31
2
4
6
2
4
6
8
10
4
6
8
10
12
14
5,8
8,8
11,8
8,0
10,3
13,5
16,7
20,0
12,8
15,5
18,2
22,0
25,3
28,8
23,3
7,0
1,7
33,4
18,0
8,7
3,7
1,4
28,9
19,2
11,8
7,7
4,3
2,2
W
Щ
9
11
16
2
9
11
13 “
11
13
15
17
19
14
16
18
20
22
24
1\
— число умножений на входной отсчет для оптимального КИХ-фильтра;
N 2 - число умножений на входной отсчет для эллиптического фильтра с выравнива­
нием.
-*
г о
I © I ' й Ш Л: -
зованием соотношения (4.191) дает пе — 45. Так как фактиче­
ское значение порядка выравнивающего фильтра должно быть
еще больше, то ясно, что построить такой выравнивающий фильтр
не удастся.
,\ | ; | j луд
Представляет интерес еще один вопрос, касающийся рассмот­
ренной в данном разделе методики выравнивания характеристик
Фиг. 4.50. Характеристика групповой задержки эллиптического фильтра
нижних частот 10-го порядка.
Фильтры с бесконечными характ ерист иками
325
групповой задержки БИХ-фильтров, а именно какая из двух схем,
в одной из которых используется эллиптический фильтр с после­
дующим выравнивающим фильтром, а другая состоит из опти­
мального БИХ-фильтра, обеспечит наилучшую аппроксимацию
заданных амплитудной характеристики и характеристики группо­
вой задержки? Ясно, что оптимальный БИХ-фильтр будет не хуже
составного; вопрос, таким образом, состоит в том, насколько луч­
шую аппроксимацию он обеспечит. Точно ответить на этот вопрос
не удается, поэтому ограничимся лишь несколькими замечаниями,
основанными на опыте проектирования эллиптических фильтров
с выравниванием:
1. Чтобы эллиптический фильтр обеспечивал достаточное
ослабление в полосе непропускания, его нули должны распола­
гаться на единичной окружности.
2. Нули выравнивающего фильтра должны располагаться вне
единичного круга (из условия получения положительной задерж­
ки).
3. Положение полюсов эллиптического фильтра ограничивается
требованиями, предъявляемыми к переходной полосе фильтра
нижних частот.
4. Полюсы выравнивающего фильтра должны располагаться
вблизи окружности фиксированного радиуса, причем равномерно
в полосе пропускания.
Если не ограничивать расположение нулей оптимального
БИХ-фильтра единичной окружности, то для реализации каждого
из блоков 2-го порядка потребуется по четыре умножения на вход­
ной отсчет в отличие от трех умножений для каждого из блоков
эллиптического фильтра плюс два умножения для каждого из бло­
ков выравнивающего фильтра. Таким образом, представляется
маловероятным, что оптимальный БИХ-фильтр будет существен­
но эффективнее эллиптического БИХ-фильтра с выравниванием.
ЛИТЕРАТУРА
Общие вопросы
1. Steiglitz К., The Equivalence of Digital and Analog Signal Processing,
Information and Control, 8, No. 5, 455—476 (Oct. 1965).
2. Kaiser J. F., Design Methods for Sampled Data Filters, Proc. First Allerton
Conf. on Circuit and System Theory, 221—236 (Nov. 1963).
3. Kaiser J. F., Digital Filters, Ch. 7 in: System Analysis by Digital Computer,
Kuo F. F., Kaiser J. F., eds., Wiley, N. Y., 1966.
4. Gibbs A. J.y On the Frequency Domain Responses of Causal Digital Filters,
Ph. D. Thesis, Univ. of Wisconsin, Madison, Wis., 1969.
5. Gibbs A. J . , An Introduction to Digital Filters, Australian Telecomm.
Research, 3, No. 2, 3—14 (Nov. 1969).
f\ Gibbs A. J., The Design of Digital Filters, Australian Telecomm. Research,
4, No. 1, 29—34 (1970).
7. Rader С. М., Gold B., Digital Filter Design Techniques in the Frequency
Domain, Proc. IEEE , 55, No. 2, 149—171 (Feb. 1967).
326
Глава 4
8. Golden R. М., Kaiser J. F., Design of Wideband Sampled Data Filters,
Bell Syst. Tech. / . , 43, No. 4, 1533—1546, Part 2 (July 1964).
9. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, McGraw-Hill, N. Y., 1962.
10. Storer J. E., Passive Network Synthesis, McGraw-Hill, N. Y., 1957.
11. Thiran J. P., Recursive Digital Filters with Maximally Flat Group Delay,
IEEE Trans. Circuit Theory, CT-18, 659—663 (Nov. 1971).
12. Thiran J. P., Equal-Ripple Delay Recursive Digital Filters, IEEE Trans.
Circuit Theory, CT-18, 664—667 (Nov. 1971).
13. Fettweis A., A Simple Design of Maximally Flat Delay Digital Filters,
IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20, No. 2, 112—114
(June 1972).
,
Щ
14. Daniels R. W., Approximation Methods for the Design of Passive, Active,
and Digital Filters, McGraw-Hill, 1974.
Частотные преобразования
1. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, McGraw-Hill, N. Y., 1962.
2. Constantinides A. G., Spectral Transformation for Digital Filters, Proe.
IE E , 117, No. 8, 1585—1590 (1970).
Методы проектирования во временной области
1. Burrus С. S., Parks Т. W., Time Domain Design of Recursive Digital Filters,
IEEE Trans. Audio ., 18, 137—141 (1970).
2. Shanks J. L., Recursion Filters for Digital Processing, Geophys., 32, 33—51
(Feb. 1967).
V . І&Ш
3. Brophy F., Salazar A. C., Considerations of the Pade Approximant Technique
in the Synthesis of Recursive Digital Filters, IEEE Trans. on Audio and
Electroacoustics, AU-21, No. 6, 500—505 (Dec. 1973).
4. Evans A. G., Fischl R., Optimal Least Squares Time-Domain Synthesis
of Recursive Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electro acoustics,
AU-21, No. 1, 61—65 (Feb. 1973).
#
.
5. Brophy F., Salazar A. C., Recursive Digital Filter Synthesis in the Time
Domain, IEEE Trans, on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol.
ASSP-22, No. 1, 45—55 (Feb. 1974).
Методы оптимизации
1. Steiglitz К., Computer-Aided Design of Recursive Digital Filters, IEEE
Trans, on Audio and Electroacoustics, 18, 123—129 (1970).
2. Deczky A. G., Synthesis of Recursive Digital Filters using the Minimum
Р-Error Criterion, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-20,
No. 4, 257—263 (Oct. 1972).
3. Helms H. D., Digital Filters with Equiripple or Minimax Responses, IEEE
Trans, on Audio and Electroacoustics, 19, No. 1, 87—94 (1971).
4. Deczky A., Computer Aided Synthesis of Digital Filters in the Frequency
Domain, ScD. Thesis, Swiss Federal Institute of Technology, Zurich, Swit­
zerland, 1973.
-V /- /.. i-:^
5. Bandler J. W., Bardakjian B. J., Least p th Optimization of Recursive
Digital Filters, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 5,
460—470 (Oct. 1973).
6. Thajchayapong P., Rayner P. J., Recursive Digital Filter Design by Linear
Programming, IEEE Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-21, No. 2,
107—112 (April 1973).
7. Rabiner L. R., Graham N .Y., Helms H. D., Linear Programming Design
of IIR Digital Filters with Arbitrary Magnitude Function, IEEE Trans,
on Acoustics, Speech, and Signal Processing, Vol. ASSP-22, No. 2, 117—123
(April 1974).
v
^ j
i
8. Fletcher R., Powell M. J. D., A Rapidly Convergent Descent Method for
Minimization, Computer
6, No. 2, 163—168 (1963).
Г лава 5
Э Ф Ф ЕКТЫ КОНЕЧНОЙ РАЗРЯДНОСТИ ЧИСЕЛ
В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ
5.1. Введение
Во всех предыдущих главах при рассмотрении цифровых фильт­
ров предполагалось, что и коэффициенты фильтров, и переменные
представляются с неограниченной точностью. Для того чтобы по­
нять, какими свойствами будет обладать реальный фильтр,
построенный в виде специализированного устройства или на базе
ЦВМ, необходимо учесть эффекты, вызванные конечной разряд­
ностью всех используемых регистров. К таким эффектам отно­
сятся
1. Шум аналого-цифрового преобразования.
2. Некоррелированный шум округления.
3. Погрешности характеристик фильтров, обусловленные кван­
тованием коэффициентов фильтров.
4. Коррелированный шум округления, проявляющийся в виде
предельных циклов.
Учитывая методы представления чисел в фильтре, способы
квантования, используемые для сокращения разрядности чисел
до нужной величины, а также особенности структурной схемы
фильтра, в каждом конкретном случае можно оценить, как пере­
численные эффекты скажутся на характеристиках фильтра.
В этой главе каждый из этих эффектов рассмотрен в общем виде
и дан детальный анализ некоторых частных случаев.
Можно указать на несколько серьезных причин, по которым
целесообразно подробно рассмотреть лишь некоторые частные
случаи. Одна из них состоит в том, что число возможных комби­
наций методов представления чисел, способов квантования
и структур фильтра весьма велико (например, если каждый из
перечисленных факторов имеет соответственно 5, 3 и 9 вариантов,
то общее число комбинаций будет равно 135). Вторая причина
состоит в том, что многие из возможных вариантов представ­
ляют чисто теоретический интерес, так как они никогда не ис­
пользуются в реальных системах. Так, например, обычно ста­
раются не использовать представления чисел в прямом коде
(с модулем и знаком), поскольку при выполнении простых операций
типа сложения возникают характерные для такого представле­
ния трудности.
328
Глава 5
5.2. Аналого-цифровое преобразование
Одним из наиболее важных способов формирования последова­
тельности является дискретизация непрерывного колебания.
Устройство, предназначенное для преобразования непрерывного
колебания в последовательность отсчетов, каждый из которых
является аппроксимацией соответствующего отсчета входного коле­
бания, называется аналого-цифровым преобразователем (АЦП).
На фиг. 5.1 приведена блок-схема АЦП, работу которого можно
представить в виде двухэтапного процесса. На первом этапе фор­
мируется последовательность s (п)
* (01Igggg в которой отсчеты
s (п) представлены с неограниченной точностью. На втором этапе
значение каждого отсчета s (п) представляется числом, состоящим
из конечного числа двоичных разрядов. В результате получается
новая последовательность sKB (п). В реальных АЦП обе операции
выполняются совместно, т. е. имеется единый блок, на вход кото­
рого поступает колебание s (t), а на выходе формируется последова­
тельность sKB (п). Разность 1 И
5кв (п) называется
* («)
шумом квантования или шумом аналого-цифрового преобразо­
вания.
у• • J
Как было отмечено в гл. 2, полоса входного колебания долж­
на быть ограничена, так как иначе последовательность sKS (п)
не будет однозначно представлять s (t). Поэтому аналого-цифровому преобразователю обычно предшествует аналоговый фильтр
нижних частот1). Желательно, чтобы в полосе сигнала характерисS(t)
ДискретиЛ
затор |
1
s(n)
_ Квантова­
тель
Sfcs(ft)
L
АЦП
Фиг. 5.1. Блок-схема аналого-цифрового преобразователя.
тика фильтра имела минимальные пульсации, а подавление
составляющих с частотой, превышающей половину частоты дискре­
тизации, составляло не менее 40 дБ. Опыт показывает, что для
обработки речевых сигналов достаточно использовать фильтр
восьмого порядка (с крутизной спада характеристики 48 дБ
на октаву).
’■
4?
В зависимости от особенностей метода квантования последова­
тельности s (п) шум квантования может иметь то или иное ампли­
тудное распределение. Если наименьший шаг квантования равен
Q, то взаимосвязь между sKB (п) и | (п) для случая округления
й Очевидно, что с тем же успехом можно использовать и полосовой
фильтр с нижней частотой среза, кратной частоте дискретизации АЦП.—
Прим. ред.
■
‘ ’
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
329
Фиг. 5.2. Характеристика квантователя при использовании округления
будет описываться характеристикой фиг. 5 .2 . П оскольку число
уровней квантования конечно, все отсчеты, вы ходящ ие за макси­
мальный {Ешш) или минимальный ( А щ ) уровень, округляю тся
до этих значений. Обычно такого ограничения сигнала св ер ху
и сн и зу стараю тся и збеж ать путем соответствующ его выбора шага
квантования Q и уровня входного аналогового сигнала. И з фиг. 5.2
видно, что сигнал ош ибки удовлетворяет (за исключением случаев
превы ш ения предельны х уровней) сотношению
І2 ^ *(* )< -?*
2
(5-1)
при любых п. Используя достаточно общие предположения, можно
показать, что распределение сигнала ошибки является равномер­
ным. На фиг. 5.3 представлен график плотности вероятности ошибки
квантования при округлении.
На фиг. 5.4 процесс округления в АЦП иллюстрируется
на примере дискретизации аналогового синусоидального коле­
бания s (t). В нижней части фиг. 5.4 представлены (в увеличенном
масштабе) ошибки квантования каждого из отсчетов. Как и ожи­
далось, последовательность, представляющая ошибку, имеет слу­
чайный характер.
При получении отсчетов sKB (п) могут быть использованы
и другие способы квантования. Так, при усечении в качестве отсчета
сигнала используется ближайший меньший уровень квантования.
330
Глава 5
Фиг. 5.3. Плотность вероятности ошибки квантования при округлении.
Ошибка квантования
Фиг. 5.4. Ошибка
квантования синусоидального сигнала.
it
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
331
S „ (n )
'макс
Емин
Фиг. 5.5. Характеристика квантователя при использовании усечения.
Фиг. 5.6. Плотность вероятности ошибки усечения.
На фиг. 5.5 графически представлено соотношение между sKB (п)
и s (п) при усечении. Поскольку результат усечения равен
результату округления, уменьшенному на половину шага квантова­
ния, то график плотности вероятности сигнала ошибки будет
таким, как показано на фиг. 5.6.
Из фиг. 5.3 и 5.6 видно, что ошибка квантования имеет среднее
значение, равное нулю при округлении и Q/2 при усечении, а ее
дисперсия в обоих случаях равна Q2/ 12.
При цифровой обработке сигналов часто применяется еще один
способ квантования, называемы] усечением при представлении
отсчетов
прямом коде (с использованием величины и знака).
При положительных значениях отсчетов сигнала этот способ иден­
тичен усечению. Отрицательные же отсчеты заменяются на ближайгий больший уровень квантования. Таким образом, в зависимо*
332
Глава 5
е(п)
s(n)
У(п)
4>
Фиг. 5.7. Линейная модель учета шума квантования в ЛПП-системе.
сти от знака sKB(п) используется либо распределение ошибки кван­
тования, представленное на фиг. 5.6, либо его зеркальное отобра­
жение. При этом среднее значение ошибки квантования будет рав­
но нулю, но дисперсия ошибки будет равна Q2/ 3, т. е. вчетверо
больше, чем при усечении или округлении. С учетом приведенных
статистических характеристик из всех возможных методов кван­
тования на практике предпочитают использовать округление.
Получив общее представление о механизме аналого-цифрового
преобразования и о распределении шума квантования, можно сде­
лать вывод, что каждый отсчет квантованного сигнала на входе
цифровой системы с импульсной характеристикой h(n) равен
сумме неквантованного отсчета s (п) и ошибки квантования е (п)
(фиг. 5.7). Пользуясь свойством линейности системы, можно
прохождение последовательностей s (п) и е (п) рассматривать
независимо, а выходную последовательность представить в виде
у (п) = s (Һ) * Һ (п) + е (п) * Һ (п)
сигнал
(5.2)
шум
(предполагается, что обработка выполняется с неограниченной точ­
ностью). Таким способом можно найти сигнал и шум на выходе
фильтра и вычислить отношение сигнал/шум после обработки.
Конечно, обработка в цифровом фильтре производится с конечной
точностью, так что сказанное выше нужно уточнять. Тем не менее
представление квантованного сигнала в виде суммы неквантованно­
го сигнала и шума квантования является одним из важнейших
приемов при изучении эффектов конечной разрядности чисел.
Прежде чем перейти к анализу различных систем счисления,
используемых при построении цифровых фильтров, целесообразно
подчеркнуть одно важное положение, относящееся к шуму кванто­
вания в АЦП. Любые аналоговые сигналы всегда сопровождают­
ся шумом того или иного вида, т. е. обрабатываемая реализация
имеет конечное отношение сигнал/шум. Например, при передаче
речевого сигнала по обычной телефонной линии отношение сиг­
нал/шум составляет около 36 дБ, так что никакое увеличение раз­
рядности не позволит получить в дискретизованном сигнале
отношение сигнал/шум, большее, чем в исходном аналоговом
сигнале. Действительно, если шаг квантования Q значительно
меньше амплитуды сигнала, младшие разряды отсчетов последо­
рф ект н конечной р а зр я дн о ст и чисел в цифровых ф ильт рах
3.13
вател ьпост и будут всего лишь более точно описывать шум, сопро­
вождающий аналоговый сигнал. Отсюда следует, что увеличение
числа разрядов АЦП сверх некоторой величины приводит лишь
к увеличению точности представления входного аналогового
шума* Итак, разрядность А ЦП определяется характером преоб­
разуемого сигнала.
5.3« Цифро-аналоговое преобразование
Цифро-аналоговый
преобразователь
(ЦАІІ)
представляет
собой
и
устройство, служащее для преооразования последовательности
и (п) в аналоговое колебание у (<) вида
у
(*)** 271 у (») л(t
(5.3)
пТ),
причем вид функции h (t) определяется видом цифро-аналогового
преобразователя. Одной из наиболее распространенных интер­
полирующих функций Һ (£) является прямоугольный импульс дли­
тельностью Т секунд. Такие ЦАІІ обычно называют цифро-аналоговыми преобразователями с интерполятором нулевого порядка.
На фиг. 5.8 изображены типичная последовательность у (п) и ана­
логовый сигнал у (£) на выходе ЦАП с интерполятором нулевого
ш
о
(I
?
? !
?
І
4
п
1
4
1
ш
t
Фиг. 5.8. Входной и выходной сигналы ЦАП с интерполятором нулевого
порядка.
334
Глава 5
порядка, рассчитанный по формуле (5.3). Ясно, что выходное
аналоговое колебание у (t) содержит большое количество нежела­
тельных высокочастотных составляющих.
ля их подавления
после ЦАП обычно включают аналоговый линейный фильтр
нижних частот с постоянными параметрами и частотой среза не
выше 1/(2Т) Гц, где 1/Т — частота дискретизации. Такой фильтр
называют выходным, а комбинацию из ЦАП и выходного
фильтра—восстанавливающим фильтром.
Цифро-аналоговое преобразование в принципе позволяет без
ошибки восстановить аналоговое колебание, эквивалентное
(в некотором смысле) входной последовательности ЦАП. Из фор­
мулы (5.3), однако, следует, что У (со), спектр выходного колеба­
ния у (t), не будет совпадать в полосе О
1/(2 Т) со спектром
/
YD(e3(0) входной последовательности у (п), так как Y (со) и Y D (eiw)
связаны соотношением
а а к
ш ва.
Л
Y (со) = Y D (е*>) Я (со),
(5.4)
где Я (со) — спектр h(t). Для интерполятора нулевого порядка
Я (со)
2 sin (со772)
со
(5.5)
Чтобы скомпенсировать искажение спектра, вносимое неравномер­
ностью частотной характеристики ЦАП, последовательность у (п)
часто предварительно пропускают через цифровой фильтр,
амплитудная характеристика которого аппроксимирует функцию
со
1
G (е>“)
(5.6)
2 sin (аТ /2)
Я (©)
Таким образом, последовательное соединение устройств с харак­
теристиками G (e*w) и I f (со) в целом обеспечивает равномерную
частотную характеристику. На фиг. 5.9 показаны все операции,
необходимые для перехода от последовательности у (п) к аналого­
вому колебанию у (£) со спектром, эквивалентным в полосе
ІСГЛІ-
Фиг. 5.9В Блок-схема цифро-аналогового преобразователя с компенсацией
частотной характеристики.
Эффекты конечной р а зр я дн о ст и чисел в цифровых ф
ии льт рах
335
1/(2 Т)
1/(2Т) спектру исходной последовательности. Сле­
1
дует иметь в виду, что цифровой компенсирующий фильтр, пока­
занный на фиг. 5.9, не обязательно выполнять в виде отдельного
устройства; его можно включить в состав самой системы цифровой
обработки.
5.4. Системы счисления, применяемые
в цифровых устройствах
Как уже упоминалось, в цифровых устройствах используются
самые разнообразные системы счисления. Одними из наиболее
распространенных являются системы с фиксированной и плавающей
запятой. Недавно разработана гибридная система, занимающая
промежуточное положение между ними; она была названа систе­
мой счисления с поблочно плавающей запятой. Хотя могут
использоваться и другие системы счисления, при изучении эффек­
тов, связанных с конечной разрядностью чисел, будут рассматри­
ваться только эти три наиболее распространенные системы. Неко­
торые результаты, которые будут приведены в данной главе,
можно непосредственно распространить и на многие еще разраба­
тываемые системы счисления.
5.5. Система счисления с фиксированной запятой
В данной главе принято, что для представления чисел в циф­
ровом фильтре используются Ъдвоичных разрядов. С их помощью
можно точно представить 2Ьразличных 6-разрядных чисел. В сис­
теме счисления с фиксированной запятой считается, что положение
двоичной запятой фиксировано. Разряды справа от запятой дают
дробную часть числа, а слева от нее — целую часть. Так, двоичное
число 01,01100 равно (0 х 21) + (1 X 2°) + (0 х 2"1) + (1 X
X 2~2) -f (1 X 2~3) + (0 X 2-4) + (0 X 2_б), или 1,375 в деся­
тичной системе.
В зависимости от способа представления отрицательных чисел
различают три вида системы счисления с фиксированной запятой.
Числа могут быть представлены в прямом , дополнительном
т обратном кодах. При использовании прямого кода старший раз­
ряд является знаковым (0 соответствует знаку + , 1 — знаку —),
а остальные Ъ — 1 разрядов дают модуль числа. Например, если
Ъ = 7, то десятичное число —1,375 записывается как 11,01100,
причем двоичная запятая располагается после второго старше­
го разряда. При таком кодировании (Ь = 7) число 0 имеет две фор­
мы: 00,00000 и 10,00000, поэтому с помощью Ъ разрядов можно
точно представить только 2 Ь — 1 чисел.
При использовании дополнительного кода положительные чис­
ла представляются так же, как и в прямом коде. Для формироваW
336
Глава 5
ния кода отрицательного числа все разряды соответствующего
положительного числа инвертируются, после чего к младшему раз­
ряду добавляется единица. Например, число —(01,01100) в до­
полнительном коде имеет вид
-(01,01100) Ц(10,10011) + (00,00001) S 10,10100.
Наибольшее положительное число, которое можно точно пред­
ставить в дополнительном коде, равно 01,11111 (при Ь — 7), а на­
именьшее отрицательное число равно 10,00000; его модуль на еди­
ницу младшего разряда превышает предыдущее число. Поскольку
для нуля имеется только одна форма записи, в дополнительном
6-разрядном коде можно точно представить 2Ь различных чисел.
Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым
и дополнительным кодом. Обратный код отрицательных чисел фор­
мируется путем простой инверсии всех разрядов соответствующего
положительного числа. Например, обратный код отрицательного
числа с модулем (01,01100) будет равен —(01,01100) = (10,10011).
Таким образом, нуль имеет в данной системе две формы записи:
00,00000 и 11,11111.
j Щ
Выбор конкретного из трех перечисленных способов кодирова­
ния обычно определяется особенностями программирования и аппа­
ратурной реализации. Так, операцию вычитания удобнее всего
выполнять в дополнительном коде. Для построения последова­
тельных умножителей проще всего использовать прямой код и пе­
ремножать только модули чисел, а знак произведения формировать
из знаков сомножителей с помощью простой логической схемы.
При построении цифровых фильтров с использованием систем
счисления с фиксированной запятой обычно считается, что двоич­
ная запятая расположена справа от старшего разряда. Следова­
тельно, числа могут принимать значения в пределах от
1,0
до 1,0—2~<М), где Ъ — число разрядов. Это не нарушает
общности, так как всегда сигналы можно пронормировать таким
образом, чтобы их значения находились в пределах выбранного
диапазона. При записи коэффициентов фильтра запятая может
быть передвинута в п р а в о , чтобы использовать коэффициенты, пре­
вышающие единицу.
5.6. Системы счисления с плавающей запятой
В системах счисления с плавающей запятой положительные
числа представляются с помощью двух чисел с фиксированной
запятой — мантиссы и порядка. Число / с плавающей запятой рав­
но произведению мантиссы т и числа, получающегося при возве­
дении основания системы (обычно равного 2) в степень, равную
порядку а, т. е.
/ = т, -2 “.
(5 . 7)
Эффекты конечной р а зр я д н о ст и чисел в цифровых ф и льт рах
337
| М антиссу т обычно нормирую т так, чтобы она имела наиболь­
шее возм ож ное значение, но не превышала некоторого п р едел а,
например числа 1,0. В данной главе будет предполагаться, что
мантисса приводится к интервалу
у
яг -< 1.
(5.8)
Таким образом, десятичные числа 3,0; 1,5 и 0,75 в системе счисления
с плавающей запятой (при основании 2) изображаются соответ­
ственно как 22 х 0,75; 21 х 0,75 и 2° X 0,75.
Отрицательные числа с плавающей запятой обычно образуют,
представляя мантиссу числом с фиксированной запятой, имеющим
знак. Таким образом, знак числа с плавающей запятой определяет­
ся старшим разрядом мантиссы. Порядок также является числом
с фиксированной запятой и со знаком, а с помощью отрица­
тельных порядков записываются числа, модуль которых меньше
0,5.
Все b разрядов числа с плавающей запятой следует разделить
на две группы: Ъх разрядов задают мантиссу, а Ъ2 = Ъ — | | —
порядок. При заданном числе разрядов Ъ с увеличением разряд­
ности порядка Ь2 расширяется динамический диапазон представ­
ляемых чисел, но снижается точность их представления. В большин­
стве случаев при использовании чисел с плавающей запятой
(например, при обработке на ЦВМ с использованием языков
программирования высокого уровня) Ьх « 3/4Ъ. Так, например,
в ЦВМ с 36-разрядными словами 27 разрядов отводятся для ман­
тиссы и 9 —для порядка. Это позволяет представить с плавающей
запятой числа /, лежащие в диапазоне
0,5х2~ 256< | / | < 2 256,
причем мантисса представляется с точностью около 2~27.
Перемножение чисел /і и / 2 с плавающей запятой производится
следующим образом. Пусть
fi — n h X 2°‘,
#
/2= т 2 Х 2ОД.
Тогда произведение / 3 = / х X / 2 образуется по формуле
f3= (m1 x тп2) 2 (а1+ог),
т. е. мантиссы перемножаются как числа с фиксированной запятой,
, а порядки складываются. Величина произведения мантисс
| тп1 X т 2 | находится в пределах от 0,25 до 1, т. е. может не соот­
ветствовать условию нормирования. В этом случае для нормиро­
вания произведения необходимо изменить порядок ах ф а 2.
Так, произведение десятичных чисел 1,25 X 1,25 (при Ъ2 = 3,
338
Глава 5
Щ щ 9) будет равно (2001 х 0,10100000) х (2001 х 0,10100000) =
2010 х 0,01100 100 = 2001 х 0,11001000.
■
Сложение чисел с плавающей запятой оказывается более слож­
ной операцией, чем сложение чисел с фиксированной запятой.
Чтобы сложить два числа, меньшее из них нужно изменить так,
чтобы его порядок равнялся порядку большего числа. При этом
меньшее число станет ненормированным. Далее обе мантиссы скла­
дываются, а результат нормируется согласно условию (5.8). При
этом порядок суммы может измениться. В качестве примера рас­
смотрим сложение двух чисел с плавающей запятой, считая, что
мантиссы и порядки представлены в дополнительном коде:
fln = 2010 х 0,11000000 — /х норми р ованное = 3 ,0 110
fin — 2000 X 0,10100000 — / 2 нормированное = 0,625110
/зи —2010 X 0,00101000—Й ненормированное
/ з и — fm
Я
йЙЙШ= 2010 X 0,11101000 — ненормированная сумма -=
= 3,625110
Щ
/з п = /з и
— нормированная сумма
I
В данном случае нормированное число / 2п было преобразовано
в ненормированное число / 2и, которое затем было сложено с /1п,
а результат / Зц оказался ненормированным числом.
I
Из приведенных рассуждений можно сделать вывод, что при
представлении чисел с плавающей запятой ошибки округления
или усечения могут возникать как при умножении, так и при сло­
жении, тогда как при использовании фиксированной запятой они
имеют место только при умножении. Однако во втором случае воз­
можны переполнения, а в первом случае ввиду значительно боль­
шего динамического диапазона чисел они весьма маловероятны.
5.7. Система счисления с поблочно плавающей запятой
Представление чисел с поблочно плавающей запятой является
комбинацией представлений чисел с фиксированной и плавающей
запятой: вместо нормирования каждого представляемого числа
в отдельности, как это делается в системе счисления с плавающей
запятой, один и тот же порядок используется для представления
целого массива чисел. Для этого из массива выбирается наибольшее
число и представляется как обычное число с плавающей запятой
и с нормированной мантиссой. Достоинством данного представ­
ления является то, что более экономно используется память,
поскольку порядок является общим. Такое представление особенно
удобно для алгоритмов БПФ, хотя оно может быть использовано
и при построении цифровых фильтров.
Ьффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
339
5.8. Виды квантования в цифровых фильтрах
Из предшествующих глав известно, что при выполнении цифро­
вой фильтрации используются операции умножения, сложения и
сдвига. Поэтому, если отсчеты на входе цифрового фильтра (посту­
пающие, например, с выхода АЦП) имеют конечную разрядность,
при обработке будут, как правило, получаться числа, для точного
представления которых необходимо большее число разрядов.
Например, если 6-разрядный входной отсчет умножается на 6-разрядный коэффициент фильтра, для хранения результата необхо­
дим 2 6-разрядный регистр. Более того, если произведение снова
не представить 6-разрядным числом, то в рекурсивных схемах
число разрядов регистров, служащих для хранения последова­
тельных произведений, может возрасти беспредельно.
Рассмотрим, например, рекурсивную цепь первого порядка
(фиг. 5.10). Если для представления отсчетов входной последова­
тельности и множителя а используются 6 разрядов, то после пер­
вой итерации отсчеты w (п) будут содержать по 26 разрядов, по­
скольку а (6 разрядов) х у (—1) (6 разрядов) = w (0) (26 разря­
дов). Если w(n) не квантуется, то для представления у (0) = w (0) +
+ х (0) потребуется 26 разрядов. После второй итерации для
w (п) понадобится 36 разрядов, поскольку а (6 разрядов) Х у (0) X
X (26 р а з р я д о в ) (1) (36 разрядов). Если этот процесс продол­
жать, то число разрядов, необходимое для представления w (п)
[или у (п)], будет линейно увеличиваться до бесконечности. Ясно,
что такой результат неприемлем. Обычный способ решения этой
проблемы состоит в отбрасывании младших разрядов чисел увели­
ченной разрядности, образующихся в цифровом фильтре при умно­
жениях (а иногда и при сложениях). При отбрасывании младших
разрядов используются два стандартных способа: усечение и ок­
ругление. Оба способа уже обсуждались выше при рассмотрении
аналого-цифрового преобразования, поэтому ниже будут просто
перечислены особенности обоих способов применительно к раз­
личным системам счисления, используемым при построении циф­
ровых фильтров.
:
Фиг. 5.10. Простая рекурсивная
цепь первого порядка.
гг*
340
Глава 5
5.9. Усечение
При усечении числа отбрасываются все младшие разряды, стоя­
щие после наименьшего сохраняемого разряда. Таким образом,
ошибка, получающаяся при усечении положительного числа,
представленного в дополнительном коде, удовлетворяет нера­
венству
2-ь^а; уС—
(5.9)
где Ь — число сохраняемых разрядов, стоящих после двоичной
запятой, а хус — усеченное значение х , причем предполагается,
что |ж| ^ 1,0. Для
коде, ошибка усечения удовлетворяет неравенству (5.9) только
при х > 0 . Если же х < 0, то справедливо другое неравенство:
-ь
0 < я Ус—ж < 2 ,
я<0.
(5.10)
При использовании чисел с плавающей запятой усечение ка­
сается только мантиссы. Так, рассмотрим число х = 2е- т, в ко­
тором т — мантисса, а с — порядок. Усечем мантиссу до Ь разря­
дов и запишем ошибку усечения (ху с — х) как величину, пропор­
циональную х , т. е.
1
Жус— х = ( \- \- г ) х.
(5.11)
Тогда при записи мантиссы в дополнительном коде ошибка усече­
ния удовлетворяет неравенству
2-ь .2 о< 8 я ^ 0 .
(5.12)
При х > 0 справедливо неравенство
2с~1^ х < 2е,
х>0.
(5.13)
Из неравенства (5.12) следует, что при положительном х ошибка
ех отрицательна, т. е. е должно быть отрицательным. Поэтому,
умножая (5.13) на е и меняя при этом знаки неравенств, получим
2се < е ж < 2 с-1е,
я>0.
(5.14)
Из неравенств (5.12) и (5.14) следует, что
2~ь- 2 < е < 0 ,
ж>0.
(5.15)
Если же х < 0, то для е можно получить следующее неравенство:
0 < е < 2 - ь.2,
ж<0.
(5.16)
Аналогичным образом можно найти границы для е при пред­
ставлении мантиссы в прямом или обратном коде. В этих случаях
искомое неравенство имеет вид
2 - 2~ь< е < 0 при любых х.
(5.17)
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
341
Наиболее важный вывод из вышеизложенного состоит в том, что
ошибка усечения всегда заключена между нулем и числом, про­
порциональным ± 2 ~ ь.
5.10. Округление
При округлении числа до Ъ разрядов исходное неокругленное
число заменяется на ближайшее 6-разрядное число. Если же ок­
ругляемое число располагается посередине между двумя сосед­
ними ^-разрядными числами, то округленное значение следует
выбирать случайным образом. Так, число 0,01010, округленное
до двух разрядов после запятой, будет равно 0,01, но при округле­
нии до трех разрядов это будет либо 0,011, либо 0,010, причем
выбор должен быть случайным.В большинстве случаев, когда при­
ходится выбирать, в какую сторону округлять, случайный харак­
тер округления сказывается на точности вычислений очень слабо.
Для систем с фиксированной запятой ошибка при округлении
числа до Ъ разрядов после запятой удовлетворяет неравенству
2^2Ъ '•si-'UK х- ^
-rss—?2г
(5.18)
для всех трех методов представления чисел (в дополнительном,
обратном и прямом кодах).
Ошибка округления чисел с плавающей запятой удовлетворяет
неравенству
2с~ ^ х он- х ^ 2 е
(5.19)
Если ее снова записать в виде величины, пропорциональной х,
т. е. как хок — х = ех, то для е при любом из трех способов пред­
ставления мантиссы будет справедливо следующее неравенство:
-ь ___ -п-Ь
(5.20)
Все неравенства (5.9) — (5.20), относящиеся к ошибкам округ­
ления и усечения, удобно представить с помощью плотностей
вероятности ошибки. Хотя предельные значения ошибок известны,
распределение ошибок в этих пределах не известно. Вполне есте­
ственно предположить, что все возможные значения ошибки равно­
вероятны, т. е. ошибки распределены равномерно. На фиг. 5.11
приведены графики плотности вероятности ошибок округления
и усечепия, построенные при этих предположениях для систем
с фиксированной и плавающей запятой. При фиксированной за­
пятой рассматривается абсолютная ошибка типа е — х ок — х, а
при плавающей — относительная ошибка типа е — (хок — х)/х.
342
Глава 5
Фиксированная
запятая
Плавающая
запятая
Р(в)
Округление
2ь/2
е
-2'°
17
2~ь
Усечение дополнательного кода
2ь/4 ___________
-22 -ъ
О
Усечение обратного
и прямого кода
2ь/2
-2-2ГЬ
.п-Ь
22
О
Фиг. 5.11. Плотности вероятности шума квантования
5.11. Шум округления в рекурсивных структурах
с фиксированной запятой
В цифровых фильтрах при использовании систем счисления
с фиксированной запятой выполняются операции умножения на
постоянные величины (коэффициенты фильтра) и сложения. Пока
переполнений не происходит, сложение двух или более чисел
с фиксированной запятой не может привести к ошибкам в представ­
лении суммы. (Но так как переполнение при сложении все-таки
возможно, то при построении фильтра необходимо ввести ограниче­
ния на динамический диапазон сигнала. В данной главе мы еще
вернемся к этому вопросу.) С другой стороны, умножение не может
вызвать переполнения (если оба сомножителя были соответствую­
щим образом пронормированы), но результат умножения необхо­
димо квантовать. Пока не будет оговорено особо, будем считать, что
при квантовании используется округление, так как ему свойст­
венны некоторые желательные для нас свойства: ошибка не зави­
сит от системы счисления, ее среднее равно нулю (в отличие от
ошибки усечения), а дисперсия меньше, чем для других методов
квантования.
Модель, описывающая шум округления произведения в систе­
ме с фиксированной запятой, показана на фиг. 5.12. Умножитель
рассматривается здесь как устройство, работающее с бесконечной
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
Ха*
а
О
Уд»
343
*К8
* Укв
кв
Уке'-1 *ке- а + е >
Фиг. 5.12. Шумовая модель квантования при умножении с фиксированной
запятой.
точностью, а вслед за ним включен сумматор, на который посту­
пает шум квантования произведения, так что результат суммиро­
вания обязательно равен одному из уровней квантования. В моде­
ли принято, что отсчеты шума округления е являются случайными
величинами с равномерным распределением, которое представлено
на фиг. 5.11 для случая округления чисел с фиксированной запя­
той. Таким образом, каждый отсчет шума округления — это слу­
чайная величина с нулевым средним и дисперсией, равной 2~2Ь/12,
где (Ь + 1) — число разрядов (включая знаковый), используемых
для представления переменных фильтра.
Для моделирования эффектов округления при умножении
в цифровом фильтре необходимо сделать некоторые предполо­
жения относительно статистической независимости различных
источников шума, возникающего в фильтре. Обычно используются
следующие предположения:
1. Любые два отсчета шума от одного и того же источника
не коррелированы.
2. Любые два источника шума (возникающего в различных умно­
жителях) создают некоррелированные шумы.
3. Шум от каждого из источников некоррелирован с входной
поел едо вател ьностью.
Таким образом, шум от каждого из источников шума кванто­
вания произведения рассматривается как дискретный стационар­
ный случайный процесс с равномерной спектральной плотностью
мощности, равной 2~2b/12.
Следует отметить, что эти предположения справедливы не
всегда. В частности, если входные отсчеты постоянны, все три
предположения нарушаются. При этом шум (т. е. ошибку) округ­
ления уже нельзя считать некоррелированным с входной последо­
вательностью. Вопросы, связанные с коррелированным шумом
округления (т. е. с предельными циклами), будут рассмотрены
в разд. 5.31.
На фиг. 5.13 изображена блок-схема цифрового фильтра чет­
вертого порядка, построенного в прямой форме, в которой в соот­
ветствии с вышеприведенной моделью все умножители, имеющие
конечную точность вычислений, заменены идеальными умножи­
телями и источниками аддитивного шума округления. Поскольку
344
Фиг. 5.13.
Глава 5
Шумовая модель квантования произведений в рекурсивном
фильтре четвертого порядка.
шумы от всех источников приложены к одной точке фильтра, их
можно заменить одним источником шума е(п) = е 0 (п) Ц Ш ( « ) + . . .
. . . Ц | | (п) с нулевым средним и дисперсией, равной (согласно
предположению
2)
а 2 — щ + of + ..: +
= (9 X 2~2Ь)/12,
как показано в нижней части фиг. 5.13.
Если фильтр четвертого порядка (фиг. 5.13) реализуется путем
последовательного соединения двух фильтров второго порядка,
то шумовая модель такого фильтра имеет вид, показанный на
Фиг. 5.14. Шумовая модель квантования произведений при последователь­
ном соединении двух рекурсивных блоков.
фиг. 5.14. В ней также имеется девять источников шума [с е 0 (п)
по е8 (п)], но они уже не подключаются к общей точке, как это
было на фиг. 5.13. Как и в предыдущем случае, важно оценить
дисперсию шума на выходе фильтра. Для оценки дисперсии со­
ставляющих выходного шума, обусловленных каждым из источни­
ков, можно воспользоваться теорией линейных систем, а. диспер­
сия полного шума, согласно предположению 2, будет равна сумме
дисперсий отдельных составляющих.
Рассмотрим к-й источник шума ek (п). Пусть hk (п) — импульс­
ная характеристика участка цепи от источника шума до выхода
фильтра. [Заметим, что
(п) для конкретных цепей можно опре­
делить методами теории линеиных систем с постоянными пара­
метрами.] Составляющая выходного шума Ши («), обусловленная
источником в* (и), равна свертке
И
Һһ (т)еһ (п— т).
(5.21)
771=0
Дисперсия
(п) имеет вид
п
Ш
оІһ{п) ~ Й г З Һк (тп)еһ (п — т) 2 Щ Щ eh (Шщ-Q] =
т=0
= 2
т = 0
1=0
l l h h (m)hh ( l ) E [ e h ( n - m ) e k { n - l ) ] =
1=0
=J] s һһЕ я 961—ш9
346
Глава 5
Фиг. 5.15. Шумовая модель квантования произведений в системе первого
порядка.
п
Ook(n) = o% 2
(5.23)
К (т ),
7П=0
причем соотношение (5.23) было выведено с учетом предположений
1 и 3 (см. стр. 343), а а | = 2-2Ь/12.
?
В пределе, когда га— оо, дисперсия oik (п) стремится к уста­
новившемуся значению
ОО
оЪ
0к = о 2
е
2
(5.24)
К(т ).
771= 0
При этом дисперсия полного шума будет равна
һ
Для цепей первого и второго порядка величина о§ рассчиты­
вается достаточно просто. В фильтре первого порядка (фиг. 5.15)
имеется только один источник шума е 0 (га), а импульсная характе­
ристика h 0 (га) = кп
(га), так что
о
-00
12
Щ
т=0
12
1 — к2 •
На фиг. 5.16 изображен фильтр второго порядка с z-преобразованием импульсной характеристики, равным
HU)
1
1 — 2г (cos b) I P -j- r2z~2
В нем содержатся два источника шума е1 (п) и е 2 (п), причем
импульсные характеристики цепей, по которым проходят шумовые
последовательности, имеют вид
һ{ (п) — Һ2 (п) = {г71sin [(ft§jg 1) fe]/sin Ь )
U- 1
(п)
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
и
347
Фиг. 5.16. Шумовая модель квантования произведении в системе второго
порядка.
В этом случае установившееся значение дисперсии выходного шу­
ма равно
оо
2-26
a;о — Щ
a!,0 1:1
4- o2 — 2 — 1S2 i
3
,
„а
О
V Jim sin* f(m-j-l) b)
>,
r
ZJ
s in 2 b
rw=0
или после суммирования имеем
a*
о
20 Г
Г (1 + r*)
2"»
6 L (1 —Г8)
г~ 6
1
(1+ Г4—2га cos 26)
(5.25а)
При оценке установившегося значения дисперсии выходного
шума [формула (5.24) или (5.25)] приходится суммировать бес­
конечный ряд значений h\ (т). Обычно для самих отсчетов
(т)
трудно наити явное аналитическое выражение, но еще труднее их
просуммировать. Иногда вычисления можно упростить, применив
для нахождения суммы бесконечного ряда теорему Парсеваля
(ем. гл.2)
2 К (т) В р | j § H h g j H h ( г 1) z-‘ dz,
(5.26)
991=3*0 Щ '
:
где H h (z) равно z-преобразованию от hk (тп), которое легко найти
по структурной форме цифрового фильтра. Интеграл (5.26) можно вычислить, интегрируя вдоль единичнои окружности и исполь­
зуя теорему Коши о вычетах. Например, для системы второго
порядка, изображенной на фиг. 5.16,
1
H i (z)
a(z)
f —2r (cos Ь) a- 1 4 - r*sr* ’
причем полюсы этого z-преобразования находятся в точках z
ге±ІЬ (здесь г <; 1 согласно условию устойчивости фильтра).
Функции Hi (z_1) и Н 2 (z-1) имеют полюсы в точках z = (1/г)е^ь,
расположенных вне единичного круга. Таким образом, для вычис-
348
Глава 5
№
Фиг. 5.17. Шумовая модель квантования произведений при последователь­
ном соединении двух блоков первого порядка.
ления интеграла (5.26) необходимо найти значения вычетов функ­
ции Н х (z)H 1 (z-1)/z в точках z т ге ±зь. Получаемый при этом
результат совпадает с полученным ранее выражением (5.25а),
также относящимся к системе второго порядка.
В качестве еще одного примера вычисления установившегося
значения дисперсии выходного шума рассмотрим два последова­
тельно соединенных блока первого порядка (фиг. 5.17). Для источ­
ника шума е2 (п) они представляют цепь с z-преобразованием им­
пульсной характеристики
Н г (z) = 1_ a2z-1 ’
а для источника шума ег (п) — цепь с z-преобразованием
1
Hi { z) = (1 _ A2z-i) (1 _ A lZ-i) •
■[
Тогда, согласно формулам (5.24) — (5.26), установившееся значе­
ние дисперсии выходного шума будет равно
°"= t ? ' [ w §
( id g F * ) { ~ i = w ) ^ d z +
+ W § ( 1 -1 ? * " ) ( 1-*1» ) ( І - к г Ғ і ) ( " 1 - v ) 1"1* ] •
Для вычисления интегралов в качестве контура следует выбрать
единичную окружность. Тогда первый интеграл будет иметь внут­
ри контура только один полюс в точке z §= к 2, а второй — два
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
349
(в точках z —/сх и z = к . Рассчитав вычеты, получим
оа0
2-аь г 1
*
i ____ j
12 IL 1—*1
l —И ’Т
1’ (1**?)
—Л?) Ш
(*! —Л
в2) (1
і —
- ТсШ
*i*a) ,
к
{ І - Ң ) (Aa-fcj) (l-fti*2)
СТ°
2-аь г
12~
L
1
1 — А:| +
И Ң Я
1
(1 — Аі&г)
(і-Ң )(і-кІ)
Получить этот результат без использования формулы (5.26) было
бы значительно труднее. Описанная возможность применения
спектральных методов для оценки дисперсии шума округления от­
крывает пути для практического использования нескольких про­
цедур масштабирования, рассматриваемых в разд. 5.12.
5.12. Ограничение динамического диапазона
в системах с фиксированной запятой
Как уже упоминалось, при сложении чисел с фиксированной
запятой ошибки округления вообще не возникают, зато эта опера­
ция может привести в цифровом фильтре к гораздо более опасному
явлению — переполнению. Было предложено несколько способов
устранения переполнений (после их обнаружения), но полагаться
на эти способы нецелесообразно, так как они связаны с нели­
нейной обработкой. Вместо этого следует проектировать фильтры
таким образом, чтобы в нормальных условиях переполнения были
маловероятны. Для предотвращения переполнений следует в оп­
ределенных точках фильтра масштабировать сигналы так, чтобы
при сложении не возникало переполнений. В данном разделе будет
описана весьма общая методика выбора масштабирующих мно­
жителей, позволяющая предотвратить переполнения и в то же вре­
мя сохранить максимально возможной величину отношения сиг­
нала к уровню шума округления в фильтре. Теоретические основы
методики разработаны в основном Джексоном. Эта методика до­
вольно сложная, но она позволяет непосредственно выбрать как
разрядность в фильтре, обеспечивающую заданное отношение сиг­
нала к шуму округления, так и наилучшую схему построения
фильтра. Вышеизложенное позволяет надеяться, что сложность
материала данного раздела с лихвой окупится более ясным пони­
манием особенностей построения фильтров. Мы будем в основном
пользоваться обозначениями и методом изложения, использован­
ными Джексоном.
На фиг. 5.18 изображен направленный граф, описывающий ра­
боту шумовой модели цифрового фильтра. Умножители и элементы
задержки представляются ветвями графа, а его узлы соответствуют
350
Глава 5
х(гі)
Цифровой фильтр
Фиг. 5.18. Направленный граф, представляющий шумовую модель цифро­
вого фильтра (по Джексону).
§
либо сумматорам (узлы суммирования), либо точкам соединения
проводников схемы (узлы разветвления).
Входной последовательностью фильтра является х (п), а вы­
ходной у (п). Сигнал, выходящий из і-го узла разветвления, обо­
значается через vt (п), а ошибка округления в /-м узле суммиро­
вания — через в] (п). Последовательности Һ (п) и / г (п) являются
соответственно импульсными характеристиками всего фильтра
и части того же фильтра при условии, что выходной сигнал сни­
мается с і-го узла разветвления. Последовательность gj (п) яв­
ляется откликом на последовательность в] (п) В и 0 (и), причем
х (п) = ek (п) — 0 для любых к ф ) . Функции Н (z), F t (z) и G} (z)
являются z-преобразованиями последовательностей h (п), / г (/г)
и gj (п) соответственно.
Для пояснения основных идей рассмотрим приведенную на
фиг. 5.19 прямую форму фильтра, содержащего два узла развет­
вления и два узла суммирования, z-преобразования, используемые
в шумовой модели этого фильтра, равны
JMz) = l,
FAz)
1—
1
-—bnZ- 2
b3z -3
Эффекты, конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
351
Фиг. 5.19. Прямая форма построения системы третьего порядка.
H(z)
-1 _L_ л2,-2
a0~\~aiz
1—
-з
—b2z-2 b3z-3
i i (z) = H(z),
G2 (z) = 1.
Задача состоит в том, чтобы с помощью этой модели найти ме­
тод масштабирования последовательностей vt («), гарантирующий
отсутствие переполнений в любом из узлов суммирования и в то
же время позволяющий минимизировать дисперсию шума округ­
ления на выходе фильтра. Если предположить, что к /-му узлу
суммирования подключены к; источников шума (так, для схемы
на фиг. 5.19 кг = 3, к 2 = 4) и каждый из них создает белый шум
со спектральной плотностью мощности, равной Q2/ 12 (где Q =
= 2 ~ь — величина шага квантования), то, согласно предполо­
жению о некоррелированности шумовых источников, шум ej (п)
также будет белым и иметь спектральную плотность, равную
kj (()2/12). Спектральную плотность мощности выходного шума
можно определить, используя теорию линейных систем. Она равна
NyЯ
0_
12
1111ШI
(5.27)
Если в фильтре предусмотрено масштабирование переменных (мас­
штабированные переменные будут отмечаться штрихом), то фор-
352
Глава 5
мула (5.27) примет вид
(5.28)
Sщ ч I с} (««) р,
J
причем k ’j ^ k j , так как умножение на масштабирующие множи­
тели является дополнительным источником ошибок.
Если предположить, что входная последовательность х (ге)
ограничена по величине числом 1,0, то нетрудно найти масштаби­
рующие множители, гарантирующие выполнение условий | vt (ге) |
1, і щ 1, 2, ... . Последовательность vt ( ге) равна свертке
д . (И )
ОО
2
Vi (ге)
тп—0
f i ( m ) x ( n — m).
(5.29)
(Здесь предполагается, что начальные условия нулевые, а шум
округления отсутствует.) Поскольку \х (ге — щ )[^ 1 , то
ОО
Vi (re) I
2
771= 0
(5.30)
1Ы™)|-
Таким образом, для выполнения неравенства щ (ге)|^1 достаточ­
но, чтобы промасштабированная последовательность f\ (тп) удов­
летворяла соотношению
ОО
2
771= 0
(5.31)
I f i ( m)
Нетрудно показать, что условие (5.31) является и необходимым
условием справедливости неравенства 11| (ге) | Д 1 при любых ге.
На практике для определения масштабирующих множителей
формулу (5.31) обычно не применяют, так как она дает Их со слиш­
ком большим запасом, причем просуммировать ряд (5.31) доволь­
но трудно. Можно найти более удобные методы масштабирования,
если ввести определенные допущения о классе входных сигналов,
например об ограниченности энергий или спектров сигналов.
Если предположить, что х (ге) является детерминированной
последовательностью с z-преобразованием X (z), то v t (ге) [см. фор­
мулу (5.29)] можно найти с помощью обратного преобразования
Фурье от произведения преобразований Фурье последовательно­
стей fi (ге) и а: (ге), т. е.
л
vt (ге)
Fi (е}&) X (е'ш) е}ап do.
2л
(5.32)
—Я
Если положить, что норма преобразования Фурье А (е*а) в про­
странстве Ьр ( р ^ і ) равна
л
IIАЦ
1
У
|
А
(е*“)
|р
Же]
2л
—Я
1/Р
(5.33)
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
353
(при условии, что этот интеграл сходится), то предел нормы (5.33)
при р
оо существует и равен
max | А (ег’“) |.
(5.34)
ІМІІ оо —я<<о^я
Таким образом, норма А (е?т) в пространстве £<*> равна макси­
мальному значению | А (е^ы)\ по всем со. С помощью норм в про­
странстве Lp и равенства (5.32) сравнительно нетрудно определить
границы для \ v t (л)|. Например, если \\Х И** ^ 1 (т. е. максимум
спектра входного сигнала конечен), то, согласно (5.32),
1
Vi (п)
2п
я
I
I F , (е * > )
dco.
(5.35)
-я
С помощью норм это соотношение можно записать в виде
l № IIX II».
Аналогично* если норма || Ft Я ограничена, то
Vi (ге)
II Ft IU II X IN.
Vi (ге)
(5.36)
(5.37)
Применяя к формуле (5.32) неравенство Шварца, получим
я
Vi (ге)
я
f
|
Р,
(*»)
I2
*
»
]
[
L
j
I
X
(«*>)
2я
-я
(5.38)
.- я
или
Vi (и)
II Ғ і |І2 || X
В общем случае можно показать, что
vt (ге)
II Ft ||р || X у,,
причем
Р
(5.39)
(5.40)
ч
1 при любых
1, так что в данном
Бели Ft (со) Щ 1, то || Fj II
частном случае соотношение (5.40) принимает вид
(5.41)
х (ге)
Vi (ге)
II X ||
\\vtШ g> 1.
Неравенство (5.40) можно переписать, используя спектральные
величины:
(5.42)
Р
я
где ||F,|li — среднее значение модуля Уг (eja). Таким образом, из
неравенств (5.42) и (5.41) следует, что среднее значение модуля
п (е*а) ограничено величиной произведения | | / ’{ ||р||-^||9, которая
в то же время является ограничением и для |у г (ге)|.
23— 0399
354
Глава 5
Исходя из приведенных формул и нормы входной последова­
тельности в пространстве L q, можно сформулировать достаточные
условия для масштабирования. Допустим, например, что || Я |L
тогда норма масштабированного спектра F t (eia) \ пространстве L v должна удовлетворять условию
ВЛИғ<*.
р
я
9—1
(5.43)
Наиболее важными парами чисел (р , q) являются (1, оо), (2, 2) и
(оо, 1). Вариант р
оо используется в том случае, когда
известен максимум модуля входного спектра и ограничивается
норма Fi (е$ш) в L x. Вариант р = 2, q = 2 соответствует случаю
ограничения энергии входной последовательности и «энергии»
частотной характеристики Ft (е^). При р = оо, q = 1 ограничи­
вается максимум спектра Fi (ej4a).
Я
Если входные сигналы являются случайными, неравенства
(5.40) и (5.42) применять нельзя, так как для случайных процессов
преобразование Фурье не определено. Вместо них можно получить
эквивалентные неравенства, записанные относительно спектраль­
ной плотности мощности и автокорреляционной функции. Пусть
х (п) — случайный сигнал с автокорреляционной функцией <рж (п)
и спектральной плотностью мощности Фх (еіш), и пусть vt (п)
случайный сигнал, образующийся в і-ы узле разветвления и
имеющий автокорреляционную функцию ф„ (и) и спектральную
плотность мощности Ф„. (е;ш). Можно показать, что
ф., (в) <11 п II» IIФ . п..
(5.44)
<р*{(и) = II Fi ||!р || ф* ||„
(5.45)
или, что то же самое,
причем для обеих формул 1Ip + 1lq — 1. Поскольку а;. = <pBj (0),
то из формул (5.44) и (5.45) следует, что дисперсия vt (п) ограничена
оо,
аналогичным образом. Действительно, если р
1, а д
причем входной сигнал имеет равномерный энергетическии спектр
(т. е. || Фж11^ = а*)* то из формулы (5.45) следует, что
oh
i II Ft Г
(5.46)
Чтобы выполнялось соотношение ol.
ol, необходимо, чтобы
II F\ IIг ^ 1» т*е- чтобы «энергия» промасштабированной передаточ­
ной функции была ограничена величиной 1,0.
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
355
5.13. Ограничение динамического диапазона
при построении фильтров в прямой форме
На фиг. 5.20 показана блок-схема построения фильтра N - го
порядка в прямой форме. Передаточная функция этого фильтра
равна
N
Н (z)
2
4=0
А (г)
Bit) '
N
(5.47)
2
t=i
Узлы разветвления отмечены звездочками. Единственным масшта­
бирующим множителем, отличным от 1,0, является величина К \
определяемая следующим образом:
1
К’
(5.48)
В
[Формула (5.48) получается из неравенства (5.43), обе части
которого были приравнены, чтобы обеспечить наибольшее возмож­
ное отношение сигнал/шум на выходе фильтра.] После выбора
(обычно
1, 2 или сю) по формуле (5.48) рассчитыҒ/(еП
G'fen
Z'1
1------- 35—
I
Фиг. 5.20. Шуиовая модель прямой формы построения фильтра ,/V-ro порядка
(по Джексону).
23*
356
Глава 5
вается величина Я ', что и завершает определение параметров фильт- ра (относящихся к динамическому диапазону и шуму округления).
С помощью величины К ', определенной из формулы (5.48),
можно найти спектральную плотность мощности выходного шума
1 2
2 -(Л Г + 1 )[і + В
Я (е*“) I8
(5.49)
Дисперсия выходного шума получается из формулы (5.49) с по­
мощью соотношения o l
II N y ||х.
5.14. Ограничение динамического диапазона
при построении фильтров в параллельной форме
На фиг. 5.21 изображена блок-схема построения фильтра N- to
Фиг. 5,21.
ной формы построения
Джексону).
1
; J
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
357
ь порядка t параллельной форме с передаточной функцией
I
%
ж
Гіі ^ + У оі
// (z) —Үо+
Р«
I
I!
Масштабирующие множители pi имеют вид
где Ғ | (eja>) — передаточная функция участка фильтра от вхог,"
до і-го узла разветвления, определяемая соотношением
Ft (е*«)
Спектральная плотность мощности шума округления на выходе
фильтра, изображенного на фиг 5.21, равна
N . (**)
(N -j- 1 ) + 2
где kj — общее число источников шума, подключенных к /-му
узлу суммирования (обычно kj — 3).
5.15. Ограничение динамического диапазона
при построении фильтров в каскадной форме
На фиг. 5.22 приведена блок-схема построения фильтра в кас-
Фиг. 5.22. Шумовая модель каскадной формы построения фильтра N- to
порядка (по Джексону).
358
Глава 5
кадной форме с передаточной функцией
м
Н (z) = а„
г=1
І + ац г^ + а 2jZ~2
І + Р і і ^ + Рг^"2
м
<*•
п
і= і
<М»)
Pi (*) '
(5.54)
С учетом масштабирующих множителей можно записать
м
,,.
м
»(‘> = < П ж = < П “•*+««+«**
Pi (а)
і= і
і= і
(5.55)
Масштабирующие множители определяются из соотношений
1
II
Fi
II
а
а; (z)
а*
(z),
i
=
1,
2,
.
.
.
,
M
,
(5.56)
II ғ , ||pi
* і+і II
причем ЦҒдн-і Ц
1/а0.
Окончательная
выходного шума (с уче­
том масштабирования) имеет вид
м
j-1
M
2
1
2
су IIN у || 1 91
(5.57)
12
»
p
f
f
г=1
j=i
w
•
J
где
— общее число источников шума, подключенных к ;-му
узлу суммирования (обычно к) = 5).
5.16. Упорядочение размещения блоков и попарный подбор
нулей и полюсов блоков при построении фильтра
в каскадной форме
Из формулы (5.57) видно, что дисперсия выходного шума за­
висит от порядка, в котором включены М блоков, образующих
фильтр, а также от способа попарного подбора нулей и полюсов
передаточных функций отдельных блоков. При анализе формул
для норм выходного шума округления в пространстве Lr (r = 1,оо)
можно заметить, что каждый член этих формул соответствует
шуму, создаваемому в одном из блоков фильтра. В каждом из этих
членов используются нормы как в Z/р, так и в Z/r+j. Это озна­
чает, что требования к масштабированию в данном блоке опреде­
ляют все предшествующие блоки (поэтому появляется норма в
Lp)f а последующие блоки фильтруют возникающий в нем шум
округления (поэтому появляется норма в Lr+1). Таким обра­
зом, в двух наиболее важных случаях (когда р = 2, г = оо и
г ~
Р = °°) различие между фильтрами с неодинаковой после­
довательностью включения М блоков связано с различием норм
в пространствах L и Ь 2. Норма в пространстве Loo определяется
наибольшими значениями ее аргумента, так что можно ожидать,
что наиболее удачным будет такое упорядочение блоков, при кото-
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
359
ром функции, являющиеся аргументами норм в пространстве
Lao, не будут иметь больших выбросов. Поэтому блоки следует
располагать в порядке убывания (если г = оо) или возрастания
(если р = оо) этих выбросов.
Разумной мерой уровня выбросов (по Джексону) является
отношение
Таким образом, если р = 2 , г = оо, то блоки должны распола­
гаться в порядке убывания значений pi. Если же г = 1, р = оо, то
блоки следует располагать в порядке возрастания р*.
6
Фиг. 5.23. Попарная группировка нулей и полюсов двух различных фильтров
(по Джексону).
360
Глава 5
Если р == 2, г = 1 или р — оо, г = оо, то при расчете выход­
ного шума используется только одна норма. В этих случаях мож­
но считать, что наилучшее упорядочение блоков должно получать­
ся при увеличении р* по мере возрастания номера блока, хотя
влияние порядка размещения блоков здесь выражено не столь
заметно, как в других случаях.
Остался нерассмотренным вопрос о попарном подборе нулей
и полюсов отдельных блоков. Поскольку в формулах для выход­
ного шума округления слагаемые числителя Щ Я ® фигури­
руют только в отношениях вида Щ
то целесообразно
минимизировать норму этих отношений в Д», т. е. минимизиро­
вать | | а г/р,||оо. Во многих случаях это правило приводит к объеди­
нению в пары полюсов с ближайшими к ним нулями в z-плоскости.
На фиг. 5.23, а и б показана такая попарная группировка нулей
и полюсов для полосового и режекторного фильтров шестого порядка.
"""
тельно взаимосвязи между динамическим
диапазоном
округлен
В фильтре с фиксированной запятой спектр шума округления
на выходе имеет вид
91
N v (е*“)
12
(5.59)
I
где Gj (е^) — масштабированная передаточная функция участка
фильтра от у-го узла суммирования до выхода , а Щ — число источников шума, подключенных к этому узлу.
Если Ғ\ (е*&) — масштабированная передаточная функция
участка фильтра от входа до i-го узла разветвления (на котором
должны выполняться ограничения, связанные с обеспечением
динамического диапазона), то
нп н
(5.60)
Р > 1»
причем ||Ғ і|| р — норма Ғ\ (е*ш) в пространстве L p, определяемая
соотношением
|лпг®*
1
2п
п
Fi (eia) \р d o ]
І/Р
(5.61)
-я
Для максимизации отношения сигнал/шум в формуле (5.60) сле­
дует использовать знак равенства и с ее помощью находить масшта­
бирующие множители Si из соотношений
F\ (е*°) = stFi {&<*)
(5.62)
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
3611
ИЛИ
1
(5.63)
Si~~ IIJill
После определения масштабирующих множителеи s* нетрудно
получить выражения для масштабированных передаточных функ­
ций Gj (е*ш) и с помощью формулы (5.59) для спектра шума округ­
ления на выходе фильтра. Дисперсия выходного шума равна
норме N y
в L 1%т. е.
о} = IIN , ||„
(5.64)
а максимальное значение его энергетического спектра равно нор­
ме N y (eJ“) в пространстве Д», т. е.
max [ N y (eia)\ = I N y ||<x>.
(5.65)
СО
На основе приведенных выше соотношений были получены фор­
мулы для выходного шума фильтров прямой, параллельной и кас­
кадной форм. В заключение был рассмотрен вопрос о попарной
группировке нулей и полюсов при построении фильтра в каскад­
ной форме.
5.18.
Дополнительные замечания о взаимосвязи
между динамическим диапазоном и уровнем шума округления
Следует сделать еще несколько замечаний относительно взаи­
мосвязи между динамическим диапазоном и шумом округления в
рекурсивных структурах. Выше рассматривалось квантование
только с использованием округления. Если воспользоваться усе­
чением, то наиболее существенное отличие будет состоять в том,
что все источники шума, подключаемые к узлам суммирования, бу­
дут иметь ненулевые средние. Следовательно, и среднее значение
шума на выходе будет отлично от нуля. Однако дисперсии ошибок
усечения и округления одинаковы, поэтому дисперсия выходного
шума при усечении будет такой же, как и при округлении. Исполь­
зование усечения в первом приближении не требует изменения
масштабирующих множителей. Однако из-за появления ненуле­
вого среднего в выходном шуме предпочтение обычно отдают ок­
руглению.
Третий способ квантования, заключающийся в усечении чисел,
представленных в прямом коде (с модулем и знаком), приводит к
тому, что источники шума в узлах суммирования становятся кор­
релированными с входным сигналом (напомним, что ошибка поло­
жительна при положительных значениях сигнала и отрицательна
при отрицательных). Поэтому предположения, использованныепри
вычислении дисперсии выходного шума, в данном случае не спра­
ведливы, так что все формулы для расчета дисперсии выходного
Глава 5
362
Выход*f(V)
6
к.
а
3 Bxod=V
1
4 -1 \ '
l-г*
-i*z*
ШI ш
н
Щ
{;Ж
Фиг. 5.24. Характеристика сумматора чисел в дополнительном коде (по
Эберту, Мазо и Тейлору).
шума будут неверны. На практике этот способ квантования весьма,
трудно анализировать, а дисперсия ошибки получается больше
чем при округлении или при обычном усечении, поэтому его ста­
раются не использовать. Однако в некоторых типах ЦВМ при реа­
лизации отдельных команд, возможно, придется использовать
именно этот метод квайтования.
В заключение рассмотрим, что произойдет, если, несмотря на
масштабирование, сумма входных чисел сумматора в цифровом
фильтре превысит максимально допустимый уровень (равный 1,0).
Если числа представлены в обратном или дополнительном коде,
как это обычно и бывает, то переполнения в процессе суммирова­
ния вполне допустимы, если только окончательная сумма меньше
1,0. На фиг. 5.24, а это обстоятельство проиллюстрировано гра­
фически с помощью представления чисел, записанных в дополни­
тельном коде, в виде точек на окружности [все числа являются
(Ь + 1)-разрядными]. Таким образом, наибольшее из положитель­
ных чисел, равное 1—2~ь, оказывается рядом с наибольшим из
отрицательных чисел, равным —1,0. Добавление положительного
числа эквивалентно перемещению по окружности против часовой
стрелки, а добавление отрицательного числа — перемещению по
часовой стрелке. Таким образом, если окончательный результат
лежит в пределах от —1,0 до 1—2-Ь, то переполнения в процессе
суммирования не играют роли. Иначе говоря, общая характеристи­
ка сумматора имеет вид, показанный на фиг. 5.24, б. Переполнение
происходит только тогда, когда окончательный результат выходит
за пределы интервала (—1, 1). При переполнении фильтр превра­
щается в нелинейное устройство. Эберт, Мазо и Тейлор показали,
что за счет переполнений в фильтре могут возникнуть незатухаю-
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
363
Выход= f(v)
Фиг. 5.25. Характеристика сумматора с насыщением.
щие колебания. Эти крайне нежелательные колебания необходи­
мо устранить. Эберт, Мазо и Тейлор показали, что простым, но
эффективным способом борьбы с ними является замена обычного
сумматора чисел в дополнительном коде на сумматор с насыще­
нием. Характеристика такого сумматора изображена на фиг. 5.25.
Использование сумматора с подобной характеристикой гаранти­
рует устойчивость фильтра при возникновении переполнений.
Естественно, что в эти моменты фильтр становится нелинейным.
Можно, однако, показать, что введение насыщения при возникно­
вении переполнений является, по-видимому, наиболее целесооб­
разным подходом. В силу этого сумматоры с насыщением широко
применяются в цифровых фильтрах для предотвращения колеба­
ний, вызванных переполнениями.
5.19. Шум округления в нерекурсивных структурах
с фиксированной запятой
В силу существенных различий между прямой и последователь­
ной формами нерекурсивных структур, обычно используемых для
построения КИХ-фильтров, эффекты квантования, характерные
для этих форм, следует рассматривать раздельно. При этом можно
воспользоваться методами, изложенными в предыдущих разделах,
если положить, что знаменатель передаточной функции равен 1.
Однако среди КИХ-фильтров наибольший интерес представляют
фильтры с линейной фазовой характеристикой, для которых огра­
ничения, накладываемые на передаточную функцию Н (z) (она
должна описываться полиномом и обладать свойством зеркального
отображения), настолько существенно влияют на схему построе­
ния фильтра, что непосредственное применение в случае нерекур­
сивных фильтров формул, полученных для описания выходного
шума в рекурсивных фильтрах, не является элементарной опера­
цией. В связи с этим в разд. 5.20 и 5.21 будут рассмотрены сначала
прямая, а затем и каскадная формы построения КИХ-фильтров
с линейной фазовой характеристикой.
364
■
Глава 5
Шу
форме
фильтра
N- 1
Н(%)
(5.66)
2
7 1 = 0
где {Һ (п)} — импульсная характеристика Фильтра, состоящая иэ
(Для
фазо
не
(5.67)
( X w s g lT V — 1.
h (n) = h (N — 1
При этом равенство (5.66) можно преобразовать к виду
{ N - 3)/2
Я(«)
iV—1
2
я=0
(5.68)
фиг. 5.26 приведена блок-схема построения фильтра
форме в соответствии с формулой (5.68). Видно, что можно обой­
обычной
тись (N + 1)/2 умножителями, а не N ,
I
“
форме.
йства шума округления на выходе фильтра зависят от то­
го, в каких точках фильтра производится округление. Возможны
два варианта. В первом из них все произведения представляются
точно, а округление производится после их сложения, т. е. на вы­
ходе фильтра. При этом в схеме имеется только один источник
шума, причем шум непосредственно складывается с выходным сиг­
налом. В этом варианте выходной шум округления равномерно
Фиг. 5.26. Прямая форма построения КИХ-фильтра с линейной фазовой
характеристикой.
v
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
365
распределен на интервале [—Q/2, Q/ 2], имеет нулевое среднее
и дисперсию, равную QV 12, где Q — шаг квантования.
Во втором варианте все произведения округляются до сумми­
рования (чтобы увеличить быстродействие фильтра), поэтому вы­
ходной шум е (ге) является суммой (N + 1)/2 некоррелированных
случайных последовательностей е* (re), і — О, 1, ..., (N
1)/2,
каждая из которых имеет равномерное распределение на интер­
вале [—Q/2, Q/2], нулевое среднее и дисперсию, равную Q2/ 12.
В этом случае можно записать
(W-D/2
е(п)= 2
еі ( п)(5.69)
і=0
Очевидно, что среднее значение е (п) равно нулю, а дисперсия
<5-70)
Из других видов шу да квантования в фильтрах, построенных в
прямой форме, обычно присутствует только шум аналого-цифрово­
го преобразования. Покажем, что дисперсия этой составляющей
шума на выходе фильтра Одцп удовлетворяет соотношению
(5.71)
т. е. не превышает дисперсии шума округления, связанного с ум­
ножениями в фильтре. Обозначим через в (ге) последовательность
на входе фильтра, описывающую шум аналого-цифрового преобра­
зования [е (ге) распределена в интервале l —Q/ 2 , Q/ 2 ] равномерно],
а через % (ге) составляющую выходного шума, вызванную е(ге),
так что % (ге) удовлетворяет соотношению
N- 1
(ге)= 2 h ( k ) e ( n — k).
(5.72)
...
♦•■«Л
ft=0
Я
Очевидно, что среднее значение г (ге) равно нулю, а дисперсия
<*ацп —-fir 2 h2 (n)
п=0
#
(5.73)
W
или, согласно теореме Парсеваля,
..
...
O W = -S --J r J I Я («*“ ) I2 *■>•
: . (5-74)
-Я
зависимости
штабирующего множителя (т. е. от выбранной нормы в Ьр) будет
I .V 1 .V /J k tJ U L V
—— —
---
I— - I---------------- ■-------
JL
366
Глава 5
выполняться одно из двух соотношении: либо
N- 1
2 Һ* (п) < 0
(5.75а)
п=0
Щ
(оно справедливо, если масштабирование производится по сумме
модулей отсчетов импульсной характеристики), либо
л
f I Н (е*>) I*&о < 1
(5.756)
-Л
(при масштабировании с помощью норм в L p,
2). Таким об­
разом, формула (5.71) будет справедлива в любом случае. Поэтому
обычно при построении КИХ-фильтров в прямой форме шумом
АЦП можно пренебречь. Отметим, что в приведенных выкладках
предполагалось, что шаг квантования в АЦП и при округлении
был одинаков, хотя на практике это условие может и не соблю­
даться.
' Н Му
5.21. Шум округления при построении нерекурсивных
фильтров в каскадной форме
При построении КИХ-фильтров с линейной фазовой характерис­
тикой в каскадной форме наибольшее значение начинают приобре­
тать вопросы масштабирования и упорядочения размещения бло­
ков, связанные с максимизацией отношения сигнал/шум на выходе
фильтра. Передаточную функцию фильтра при каскадной форме
его построения можно представить в виде
Na
H ( z) —
NS
П
ІРоі 4* ^и2”1+ &2iz~
2
)=
П
**<*),
1=1
i=l
(5.76)
где N s = (N — l)/2. Для фильтров с линейной фазовой характе­
ристикой коэффициенты Ьц, входящие в формулу (5.76), должны
удовлетворять одному из двух условий: либо
(5.77а)
либо существует такое j Ф i, при котором
&0І _ &ІІ
&2І
(5.776)
&2J bi)
b0)
На фиг. 5.27 изображена схема построения і-го блока фильтра
с передаточной функцией (5.76). Из этой схемы и условия (5.77а)
видно, что в каждом блоке могут быть два или три умножителя,
поэтому в шумовой модели блока к его выходу подключаются
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
367
Фиг. 5.27. Элементарный блок при построении КИХ-фильтра в каскадной
форме с линейной фазовой характеристикой.
k t источников шума (причем kt = 2 или 3) или же один источник
с дисперсией k tQ2!12. Величину k t можно понизить до 1, если все
произведения складывать до округления, но так как при этом сни­
жается быстродействие фильтра, то обычно такой вариант схемы
не используется.
Если определить Gt (z), передаточную функцию части фильтра
от ( i + 1)-го блока до выхода, как
Gf
(5>78>
H jШ
I
1,
i= Ns
и обозначить обратное z-преобразование от Gt (z) через gt (k), то
шум округления для каскадной формы фильтра можно предста­
вить с помощью шумовой модели, изображенной на фиг. 5.28, а
и б. Дисперсия выходного шума определяется соотношением
NB
+ * $
г= 1
M
r
Һ
<5-79>
Как и в рекурсивных системах, для предотвращения перепол­
нений между блоками необходимо ввести масштабирующие умно­
жители. Если передаточную функцию Я* (z) [см. (5.76)] предста­
вить в виде
Я ,(г) = 5 1Я | (г),
(5.80)
где S t — масштабирующий коэффициент для і-го блока, а Я j (z) —
нормированная передаточная функция вида
Я , (z)
Ц а01В ацг~1+ auz~2,
(5.81)
%(п)
в,(п)
X
• ё -
*
а
6
Фиг. 5.28. Шумовая модель для каскадной формы построения КИХ-фильтра.
причем аоі ^ 0, a
2
7=0
то
(5.82)
1,
\а П
N.
Я (*)-(> і=і
П #<(*>
р
s
брать произвольным образом.
Пусть
2i
-Л
Fi (*) ft2=0 ft (к) z
N
N
п S, п
Н, («).
і=і і=і
1) коэффициентов
П Я , (z),
;=1
(5.83)
можно вы­
(5.84)
2і
Л(*) = һ=0
2 /»(fc)z‘fts=І=1
П #/(*)»
(5.85)
а входная последовательность ж (п) ограничена по модулю вели­
чиной 1,0. При этом выходные последовательности каждого из
блоков будут ограничены по модулю величиной 1,0 тогда и толь­
ко тогда, когда масштабирующие коэффициенты удовлетворяют
УСЛОВИЮ
..
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
369
С другой стороны, если для спектра входного сигнала выпол­
няется соотношение
я
(5.87)
2л
я
то необходимым и достаточным условием ограниченности модулей
сигналов на выходах всех блоков является неравенство
;=i
St
[ шах Ғ і і е Щ Т 1,
Оі£ш^2я
і = 1 . 2 ........ ЛГ,.
(5.88)
Если для выбора масштабирующих коэффициентов используется
формула (5.86) со знаком равенства, то соответствующая методика
масштабирования называется масштабированием по сумме; при
использовании формулы (5.88) также со знаком равенства ее на­
зывают масштабированием по максимуму . Как уже упоминалось,
для рекурсивных БИХ-фильтров масштабирование по сумме яв­
ляется избыточным. Для КИХ-фильтров ситуация меняется, по­
скольку ограничения, накладываемые на входной сигнал с целью
получения равенства в формуле для масштабирующих коэффициентов, уже не являются чересчур жесткими, ибо они относятся
к конечному интервалу. Так, чтобы сигнал на выходе первого
блока достиг уровня 1,0, необходимо, чтобы во входном сигнале
всего лишь три последовательных отсчета равнялись 1,0.
Итак, независимо от выбранного правила масштабирования,
остается только определить порядок размещения блоков, при ко­
тором шум округления на выходе будет минимальным. Как и в слу­
чае рекурсивных каскадных фильтров, невозможно проанализи­
ровать все возможные комбинации размещения блоков. Тем не ме­
нее экспериментально было показано, что удачным является такой
порядок, при котором максимальное значение передаточной функ­
ции Gi-i (z) (i = 2, 3, ..., N s) участка фильтра от і-го блока до
выхода невелико и при переходе от блока к блоку изменяется не­
значительно. Кроме того, показано, что для подавляющего боль­
шинства вариантов размещения блоков дисперсия выходного шума
получается небольшой. Простой алгоритм упорядочения блоков,
основанный на практическом опыте проектирования фильтров,
формулируется следующим образом:
Начиная с i = N s, в качестве і-го блока выбирать тот, для
которого с учетом ранее выбранных блоков сумма
2 Si - 1 (fy получается наименьшей [напомним, что
(к)
к
импульсная характеристика участка фильтра от (i + 1)-го
блока до выхода].
gyp
Глава о
■
^
С помощью этого алгоритма минимизируются дисперсии состав­
ляющих выходного шума, возникающих в отдельных блоках, а не
дисперсия полного шума. Однако варианты расположения блоков,
дающие малые значения дисперсии выходного шума, встречаются
с большой вероятностью, поэтому при всех испытаниях варианты
расположения блоков, соответствующие приведенному алгоритму,
давали результаты, близкие к оптимальному.
Итак, при проектировании КИХ-фильтров в каскадной форме
необходимо выбрать правило масштабирования (выше были
сформулированы два таких правила), а затем с помощью предло­
женного алгоритма найти последовательность расположения бло­
ков, при которой минимизируется дисперсия шума на выходе
фильтра. После определения порядка расположения блоков и зна­
чений масштабирующих коэффициентов нетрудно вычислить дис­
персию выходного шума и величину отношения сигнал/шум для
рассчитанного фильтра.
5.22. Шум округления в рекурсивных структурах
с плавающей запятой
В этом разделе рассматриваются рекурсивные фильтры, в ко­
торых используется система счисления с плавающей запятой. В та­
ких устройствах, как уже было показано, шум округления, вели­
чина которого пропорциональна результату операции, образуется
и при умножении, и при сложении. Обозначим число х в системе
счисления с плавающей запятой символом fl Ы , введенным Лиу
и Канеко. Таким образом, умножение и сложение двух чисел производятся по следующим правилам:
f l [ x + y] = (x + y ) V + e),
(5.89а)
f l [ x- y] = ( x- y) ( 1 + 6 ),
(5.896)
где е и б — случайные числа, равномерно распределенные на ин­
тервале —2 ~ь ^ в, б ^ 2 ~ь соответственно (если мантисса со­
держит b + 1 разрядов) и не зависящие от х а у. В системе второ­
го порядка, описываемой разностным уравнением
w(n) = b0x(n) — [atw(re— 1) -\-a2w (re — 2)],
фактически вычисляется величина
у (п) Щfl {Ь0Х Щ — [аху (re — 1) 4- а2у (ге — 2)]},
(5-90
(5-91)
причем сначала вычисляются произведения агу (ге — 1), «г у(л—2),
Ь0х (ге), а затем они складываются, что дает у (ге). Последователь­
ность вычислений показана на фиг. 5.29. Предполагается, что
ошибки округления при отдельных операциях являются взаимно
независимыми случайными величинами. Таким образом, соотно-
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
371
а,у(п-1)
Ь0Х (п)
аг и(п-2)
У(п)
Фпг. 5.29. Квантование в системе второго порядка с плавающей запятой
шение (5.91) можно переписать в виде
У (^) — ®п, о* (л)
2 ^&Фп, һУ (^
Һ=1
^0»
(5.92)
где
Өп, О= (1 “Ь &п, о) (1 + £п)»
Фп. 1= (1 + en, l) (1 +'Пп) (1 +£п)>
Ф„. = (1+ еп, ) (1+ Лп) (1+ £п)>
2
(5.93)
2
Для расчета характеристик шума округления следует проанализи­
ровать сигнал ошибки е (п) — у (n) — w (я).
Рассмотрим, например, фильтр, реализованный в прямой фор­
ме и описываемый разностным уравнением
М
N
y(n) = fl[ 2 Ьһх (п — К) — 2 ahy (n — tc)].
h=Q
(5.94)
h= i
Направленный граф, соответствующий такому фильтру iV-ro по­
рядка, изображен на фиг. 5.30. Уравнение (5.94) можно преобра­
зовать к виду
М
N
у ( п ) = 2 ЪһвП' һх ( п — к)— 2 аһФп, ь у ( п — к),
fe=0
Ь=1
(5.95)
где
м
(1+ln) (1+ $п, о) І=1
Г] (1+Sn, |)»
М
Ө „ , , = (1
+
и (1 + « п .і)
П (1 +
5 » .|).
7 = 1- 2 ............ М,
(5 .9 6 )
N
(1 + £ п ) (1 + е п, l) ГГ (1 + tin, |)»
г=2
ТТ
Ф п. І
(1+ 5л)л (1+ en,j)
П
(1+Лп,»)*
К г=3
■
7 — 2, 3, . . . , N .
372
Глава 5
Фиг. 5.30. Квантование в системе N -го порядка с плавающей запятой (по
Лиу и Канеко).
£
Определить статистические свойства шума округления путем
непосредственного анализа уравнения (5.95) весьма трудно, так
как в него входят случайные коэффициенты Фп,& и ӨПі&, изменяю­
щиеся во времени. Задача может быть решена с помощью ряда^подстановок, в которых фигурируют средние значения случайных
коэффициентов. Подробности использования этих подстановок
описаны Лиу и Канеко, и приводить их здесь было бы нецелесооб­
разно, так как сами вычисления спектральной плотности мощ­
ности выходного шума мало поясняют свойства фильтров. Чита­
телям, интересующимся данным вопросом, можно порекомендо­
вать статью Лиу и Канеко, в которой приведены характеристики
шума квантования для трех наиболее распространенных форм
построения фильтров с плавающей запятой и округлением: прямой,
параллельной и каскадной.
' -ЯШ
5.23. Квантование коэффициентов
Значения коэффициентов фильтра обычно определяются с по­
мощью какого-либо расчетного метода, причем предполагается,
что эти коэффициенты могут быть представлены с неограниченной
точностью. На практике их приходится представлять числами с
конечным числом разрядов. В результате частотная характеристи­
ка реального фильтра отличается от той, которая получилась бы
при использовании коэффициентов, представленных с неограни­
ченной ТОЧНОСТЬЮ.
йЩ
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
373
Существуют два общих подхода к анализу и синтезу цифровых
фильтров с коэффициентами конечной разрядности. В первом из
них погрешности представления коэффициентов рассматриваются
как случайные величины. При этом влияние квантования коэффи­
циентов учитывается введением паразитного фильтра, включен­
ного параллельно соответствующему идеальному фильтру. Тогда,
сделав определенные предположения относительно погрешностей
коэффициентов, можно оценить среднеквадратическое отклонение
частотной характеристики реального фильтра от характеристики
идеального фильтра.
При использовании второго подхода вопрос о квантовании
коэффициентов решается отдельно для каждого конкретного
фильтра. При этом коэффициенты, представляемые с конечной
точностью, можно оптимизировать так, чтобы максимум взвешен­
ной разности характеристик идеального и реального фильтров
был минимальным. Хотя при таком подходе и не удается получить
общих рекомендаций о квантовании коэффициентов, но зато при­
ближение к заданной частотной характеристике получается
наилучшим.
В последующих разделах представлены примеры применения
обоих подходов
щ/
5.24. Квантование коэффициентов в рекурсивных
структурах
Влияние погрешностей коэффициентов на характеристики
фильтра одним из первых исследовал Кайзер.Рассматривая прямую
форму построения фильтров, он нашел абсолютную границу для
ошибки представления коэффициентов, гарантирующую устойчи­
вость фильтра. Однако найденная граница оказалась чересчур
пессимистичной, так как при выводе Кайзер рассматривал про­
цесс квантования коэффициентов как детерминированный. Тем
не менее он убедительно показал, что для любого достаточно слож­
ного фильтра с резким изменением характеристики в переходной
полосе применять прямую форму не следует,так как характеристи­
ки получающихся фильтров крайне чувствительны к значениям
коэффициентов.
Ноулс и Олкейто решали задачу квантования коэффициентов
с помощью статистических методов. В основе их подхода лежит
предположение о том,что погрешности представления коэффициен­
тов разностного уравнения являются равномерно распределенны­
ми случайными величинами с нулевыми средними. В разд. 5.25
в качестве примера рассматривается влияние квантования коэф­
фициентов на характеристики фильтра, реализованного в прямой
форме.
374
Глава 5
5.25. Квантование коэффициентов при построении фильтров
в прямой форме
Допустим, что реальный цифровой фильтр с квантованными
коэффициентами (т. е. представленными с конечной точностью)
меет передаточную функцию
11 ;
N
. 111
2 аь2~һ
я
ІЙ
—
А
И
Н_—
-----п
— a i,\ —
N
1+2
h=l
b h Z
~
(5.97)
h
Коэффициенты фильтра можно записать в виде
ak — ah~\~a ki
(5.98)
bk = Ьһ -f- Bft,
где ah и bh — точные значения коэффициентов, а а һ и (5fe —по­
грешности их квантования, являющиеся статистически независи­
мыми случайными величинами с равномерными распределениями.
Если обозначить через х (п) и у'{п) входную и выходную последо­
вательности реального фильтра (считаем, что арифметические
действия выполняются точно), а через у'(п) отклик идеального
фильтра на ту же входную последовательность, то ошибку на вы­
ходе е (п) можно записать в виде
N
N
е(п) = у' (п)— у(п) = [ 2 akx (п — к) — 2 ЬһУ' {п — к) ]
h= 1
fc=0
I 2 ahx (n — к) — 2 bhy (n — A:)],
0
(5.99)
h=l
т. e.
I ' A]Zr ,-L
N
N
_
e (n) = 2 a kx (n — k) — 2 bhe(n — k)
fc=0
ft=l
2 fo y (n — k ) — 2 Pfte (n — k).
(5.100)
ь=і
һ=і
Отсюда, пренебрегая членами второго порядка, получим
,
<?(«)= 2 а Лж(тг— к) — 2 bhe (п — к) — 2 М ( д —fe)*
ft=0
k=l
h=l
Вычисляя z-преобразования от правой и левой частей соотноше­
ния (5.101), получим
a (z) X (z) - р (z)Y (z) -
E
(z) B „ (z) = 0,
(5- 102)
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
375
где
N
1 (z) == 2 «ь2
fe=0
(5.103a)
2 ft* * ,
Р(*)= - k=i
(5.1036)
N
_
(5.103b)
А оо (z) :# 2 ahZ~h,
fc=0
(5.103r)
Вес (z) —i + 2 ^kz
һ=і
00
(5.103д)
Z?(z) = 2 e(fc)z~ft.
fc=0
Поскольку
(z) =
tfo o
(5.104)
(z) X (z),
из формулы (5.102) найдем, что
Е (Z) j [ “ (
2
)
J Х (Z)'
(5Л05)
Решая систему уравнений (5.99), (5.104) и (5.105) относительно
Ү ' (z), получим
Г м = [ я . (г) + g W
W
] X «■
<5Л06>
Таким образом, реальный фильтр можно представить в виде па­
раллельно соединенных идеального фильтра и паразитного фильт­
ра , как показано на фиг. 5.31.
Паразитный фильтр
I
Фиг. 5.31. Модель фильтра с квантованными коэффициентами
(по Ноулсу
и Олкеито).
Глава 5
376
Одной из возможных количественных характеристик эффектов
связанных с квантованием коэффициентов, является среднеквад­
ратическая ошибка частотной характеристики, которую нетрудно
определить из соотношения (5.106):
, •I
-Һя
1
Е 2л
Н ' (е*и) — Ноо (еі<0) |2с&о! ,
о
(5.107)
-я
причем Н ' (eja>) — Ү ' (е*ш)/Х(е^ы), а символ Е обозначает опера­
цию усреднения. Используя предположение о взаимной стати
стической независимости коэффициентов a k, 6fe и входной последожно получить
я
а
1 f
2л
я
Е
«(2)~
DO
я
(2о
OO
m
iV
+(2 и)
p (2ГІ) Ясс (Z"1)
dz
(z-l)
(z)
1
al
a (*-i) -
р (z) Hoc (z)
dz
(z) £<x> (z~l )
Z
+
-Я
1
2я
я
4
qo
___
dz
(Z " 1) Лро (2)
[Доо (z-1)]2 [fioo (z)]2 Z
(5.108)
—я
При квантовании коэффициентов с применением округления вели­
чины a ft и
удовлетворяют соотношениям
£
(5.109а)
ak
2
һ=1
£
IP
(5.1096)
2
N
12
/?=0
(5.109в)
й
и
V
12
(5.109г)
ft=0
где q — величина шага квантования, а 1 и 1 _числа коэффици­
ентов, стоящих соответственно в числителе и знаменателе и не
равных нулю или единице. Исходя из соотношений (5.109в) и
(5.109 г), дисперсию а2, описываемую формулой (5.108), удобно
рассчитать, предположив, что на вход системы, изображенной на
фиг. 5.32, подан цифровой единичный импульс. Интегралы, фигурирующие в формуле (5.108), заменены здесь на бесконечные
суммы в соответствии с теоремой Парсеваля. На практике
суммируется конечное число слагаемых.
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
377
Фиг. 5.32. Методика измерения дисперсии ошибки, связанной с квантова­
нием коэффициентов (по Ноулсу и Олкейто).
Аналогичные формулы для дисперсии шума округления коэф­
фициентов можно получить и для случаев построения фильтров в
параллельной или каскадной форме. Мы не будем приводить здесь
все эти формулы, а перейдем к изложению результатов экспери­
ментальной проверки правильности рассмотренной статистической
модели.
5.26. Экспериментальная проверка шумовой
модели квантования коэффициентов
Описанная статистическая модель была экспериментально изу­
чена Ноулсом и Олкейто на примере эллиптического режекторного
фильтра 22-го порядка. Для измерения о2 при различной длине
машинного слова использовалась система, изображенная на
фиг. 5.33. Работа системы с передаточной функцией #«> (z) моде­
лировалась с применением 80-разрядных коэффициентов. На
фиг. 5.34, а—в для прямой, параллельной и каскадной форм при­
ведены значения а2, рассчитанные и измеренные с помощью систе­
мы фиг. 5.33. Для прямой формы рассчитанные значения отли-
Фиг. 5.33. Методика измерения дисперсии ошибки, связанной с квантова­
нием коэффициентов (по Ноулсу и Олкейто).
378
Глава 5
Прямая форма
Параллельная форма
Каскадная форма
Длина машинного слова (М) в разрядах
Фиг. 5.34. Дисперсия ошибки, связанной с квантованием коэффициентов,
для некоторых рекурсивных структур (по Ноулсу и Олкейто).
чаются от измеренных значений не более чем в два раза. Для па­
раллельной формы теория и эксперимент дают хорошее совпаде­
ние вплоть до длины слова порядка восьми разрядов, после чего
влияние погрешностей квантования коэффициентов 2-го порядка
становится существенным. Для каскадной формы приведены только
измеренные значения а2, так как теоретические оценки найти в
данном случае затруднительно. Из фиг. 5.34 видно, что при задан­
ном числе разрядов наименьшее искажение характеристик полу­
чается для параллельной формы, а наибольшее, как и ожидалось,—
для прямой.
5.27. Оптимальное квантование коэффициентов
Анализ квантования коэффициентов, проведенный в предыду­
щих разделах, показывает, что процесс квантования по своему
характеру является статистическим. Поэтому, сделав предполо­
жение о справедливости используемой модели, можно получить
некоторые вероятностные оценки, характеризующие степень сов­
падения фактически получаемой и идеальной частотных характе­
ристик фильтра. Такие оценки весьма полезны, так как с их по­
мощью разработчик для широкого класса фильтров может найти
число разрядов, необходимое для представления коэффициентов,
даже не зная конкретных значений коэффициентов реального
фильтра. Во многих случаях, однако, желательно оптимизировать
значения квантованных коэффициентов таким образом, чтобы
свести к минимуму некоторую величину, являющуюся оценкой
характеристики получаемого фильтра.
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
379
Авенхаус и Шусслер в качестве такой величины предложили
использовать отношение
•ң н°(% н
-
^
•
<5 Л 1 0 >
где Но (е,ш) и Н (еіш) _заданная и фактически получаемая (при
использовании квантованных коэффициентов) частотные харак­
теристики, а б (со) — функция допуска. Для фильтра нижних частот,
например, функции H D (е*°) и б (со) можно определить следующим
образом:
H D(е^)
0<со<;со
со8< о з < л ,
1,
0,
Ф —произвольное, сор <С ю <С ws*
S•
Авенхаус и Шусслер предложили для оценки характеристики ре­
ального фильтра использовать максимальное значение sMaKC (w).
Если емакс (“ ) не превышает 1,0, то считается, что характеристика
фильтра не выходит за пределы заданного допуска. Если же
еМакс (°>) > 1 ,0 , то фильтр будет неприемлемым, так что разряд­
ность коэффициентов фильтра необходимо увеличивать.
Авенхаус и Шусслер использовали процедуру оптимизации
для определения квантованных коэффициентов на дискретном мно­
жестве значений по критерию минимизации емакс (w)’
удалось
заметно улучшить характеристики фильтра по сравнению со слу­
чаем простого округления коэффициентов, которое описывается
статистической моделью, рассмотренной в разд. 5.26. На фиг. 5.35
и 5.36 показаны частотные характеристики, а также расположение
нулей и полюсов в z-плоскости для полосового эллиптического
фильтра восьмого порядка. При 36-разрядных коэффициентах
показатель качества фильтра емакс (со) равнялся 0,526054. При
округлении коэффициентов фильтра до восьми разрядов (причем
Q — 2_в, а два остальных разряда использовались для представ­
ления знака и целой части, поскольку величина коэффициентов
может достигать 2,0) получается, что емако (®) « 1 ,0 7 , т. е.
фильтр оказывается неприемлемым. Наименьшее число разрядов,
до которого можно было округлять 36-разрядные коэффициенты
и при котором вмаьс (©) ^ t|fli равно 11. Однако после оптими­
зации удалось найти набор 8-разрядных коффициентов, при кото­
ром емакс (<■>) — 0,897. Таким образом, применение оптимизации
дало выигрыш в три разряда по сравнению с простым округлением.
380
Глава 5
Фиг. 5.35. Влияние оптимизации коэффициентов фильтра на его частотную
характеристику (по Авенхаусу и Шусслеру).
z-плоскость
Фиг. 5.36. Расположение нулей и полюсов оптимизированного фильтра
(по Авенхаусу и Шусслеру).
4- решение при ft = 36; О после округления до Һ = 6; х после оптимизации при k = 6,
При сравнении результатов применения описанной методики
для расчета различных вариантов построения фильтра возникают
интересные ситуации. Поскольку в фильтре с неквантованными
коффициентами значение емакс (со) должно быть меньше 1,0 (ина-
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
381
Фиг. 5.37. Влияние квантования на
частотную
характеристику фильтра
(по Авенхаусу и Шусслеру).
------ п = 8, Q = 2-1», емакс = 0,989 после
оптимизации;---------- Q =2-**, емакс = 0,189;
------- п — 10, Q = 2-’, емакс = 2,077 после
округления;------Q = 2- 7, емакс = 0,605 после оптимизации.
0,0010
о
0,1
че ни один из фильтров с квантованными коэффициентами не будет
приемлемым), то величину 8маііс (“ ) всегда можно уменьшить,
увеличив порядок фильтра и не меняя остальных его параметров.
В связи с этим возникает вопрос, целесообразно ли повышать
порядок фильтра с тем, чтобы уменьшить разрядность его коэф­
фициентов (при этом исходное значение е маьо (<«>) будет меньше),
либо предпочтительнее использовать фильтр меньшего порядка.
Подобная ситуация для случая эллиптического фильтра нижних
это наи­
порядок
фиг
меньший порядок, при котором фильтр еще удовлетворяет заданным требованиям После оптимизации квантованных коффициентов оказалось, что для достижения &макс (®) = 0,989 необходимы
15-разрядные коэффициенты. Эллиптический фильтр 10-го поряд­
ка также удовлетворяет заданным требованиям, причем еМакс (и) —
0,189, если разрядность коэффициентов равна 36. При округg f g =2,077, но
лении коэффициентов до девяти разрядов &макс (_®)
уменьшается до 0,605. Возникает
после оптимизации
•
*!ц '”
'
.•т т
вопрос, что лучше: фильтр из четырех блоков с 15-разрядными
коэффициентами или фильтр из пяти блоков с 9-разрядными коэф­
фициентами. Ответ на этот вопрос может быть дан только с учетом
требований к быстродействию фильтра, величины допустимого
шума округления, аппаратурных затрат на увеличение разряд­
ности умножителей и т. д.
382
Глава 5
5.28. Квантование коэффициентов в двухполюсном фильтре
Блоки второго порядка являются основными звеньями, из ко­
торых собираются фильтры более высокого порядка (как в каскад­
ной, так и в параллельной форме), поэтому целесообразно подроб­
но исследовать чувствительность характеристик таких блоков
к значениям их коэффициентов. При построении блока второго
порядка в прямой форме основными коэффициентами являются —г2
и 2г cos Ө. Полюсы располагаются в точках | = ге**®. Если спо­
соб квантования коэффициентов —г2 и 2г cos Ө известен, то полю­
сы могут располагаться только в дискретном множестве точек на
2-плоскости, образованном пересечениями концентрических окружностей, соответствующих квантованным значениям г2, и вер­
тикальных прямых, соответствующих квантованным значениям
г cos Ө. Такая сетка точек, соответствующая 6-разрядному кванто­
ванию обоих коэффициентов, изображена на фиг. 5.38. Точки раз­
мещены на 2-плоскости весьма неравномерно. Хотя это само по се­
бе и несущественно, но отражает тот факт, что ошибка, связанная
Фиг. 5.38. Возможные положения полюсов для прямой формы построения
фильтра второго порядка.
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
383
Фиг. 5.39. Возможные положения полюсов для связанной формы построения
фильтра второго порядка, состоящего из двух блоков первого порядка.
с квантованием коэффициентов, сильно зависит от исходного рас­
положения полюсов фильтра.
Другой формой построения блока второго порядка является
связанная форма, предложенная Рэйдером и Гоулдом. Совокупность
разностных уравнений первого порядка, соответствующая этой
форме, имеет вид
Уі(п) — г (COS0) у { (п — 1) — г (sin0) у ( п— 1) + X (л),
2
уг (и) = г (зіпӨ) у у (п— 1) + Г (COS0) у 2 (п — 1) ,
У (И)
(и ).
Коэффициентами фильтра являются г cos Ө и г sin Ө, поэтому
полюсы располагаются в z-плоскости на прямоугольной сетке то­
чек, как показано на фиг. 5.39. Отсюда следует, что при построе­
нии блока второго порядка в связанной форме максимальное сме­
щение полюсов, вызванное квантованием коэффициентов, не за­
висит от исходного расположения полюсов в z-плоскости.
лава
5.29. Квантование коэффициентов
в нерекурсивных структурах
В случае нерекурсивных КИХ-филыров с линейной фазовой
характеристикой можно получить более конкретные, чем для ре­
курсивных фильтров, оценки эффектов квантования коэффициен­
тов. Для фильтров прямой формы будут найдены статистические
границы ошибки частотной характеристики, связанной с округ­
лением коэффициентов. Для фильтров каскадной формы будут при­
ведены лишь некоторые экспериментальные данные о чувствитель­
ности такой структуры к погрешностям коэффициентов за счет их
округления
коэфф
форме
Частотную характеристику КИХ-фильтра с линейной фазовой
характеристикой можно представить в виде
(.N -3)12
Я(е»*)
V
2 Һ (л) cos Г (
-------|л ) а Л - Ь
п=0
N -i
где {Һ (п)}, 0 < п < N — 1, — импульсная
характеристика
фильтра, причем h (л) — h (N — 1 — л). В выражении (5.111)
множитель *-*•(*-«>/* учитывает только задержку на целое чис­
ло отсчетов {N нечетное) и не изменяется при квантовании коэф­
фициентов фильтра. Поэтому при анализе эффектов квантования
коэффициентов достаточно рассмотреть функцию Я («*) **
= Я (e}e>)eja><*“ ***.
.ш Ш
Пусть {Һ* (л)} — последовательность, образующаяся в резуль­
тате округления {Һ (л)} при условии, что шаг квантования ра­
вен Q. Тогда Һ* (л) -»*(!») + « (л) и Һ* (л) = h* (N — 1 - п)
для 0 < л < ( І У - 1)/2, причем «(л) является случайной вели
чиной, равномерно распределенной на интервале I v/2, ЦИь
Допустим, что Я * (г) — «-преобразование от {h*(n)), а Н* (е3<й) —
_. я * (е}ш) gMJV-i)/2f Введем также функцию ошибки
Б . (eje>) — Я* (е}<а) — Я («*•)
(5-112)
ИЛ
E l (віш) =
У,
2# (л) cos Г ( ~~к~~— л ) с о ] + е ( — - М .
(5.113)
Эффекты конечной разрядност и чисел в цифровых ф ильт рах
385
Из формулы (5.113) видно, что функцию ошибки Е ь (е*®) можно
рассматривать как частотную характеристику фильтра с линейной
фазовой характеристикой, у которого первая половина импульс­
ной характеристики образована последовательностью {е (и)}, а
вторая имеет вид е (N — 1— п) = е (/г), О ^ п < (N — 1)/2.
Как было показано выше, фильтр с квантованными коэффициента­
ми эквивалентен двум параллельно соединенным фильтрам, один
из которых является исходным фильтром с неквантованными
коэффициентами, а второй имеет частотную характеристику
Е ь (ej(0) £-*•>(tf-D/2.
Учитывая, что |е (тг) |
(?/2, легко найти границу для
|E l (ej(0) |. Из равенства (5.113) следует, что
(N—3)/2
2
2 l e (n)| COS Г (
N
~
— га) ml 4 -
i
71=0
11 I Е Я I >
+
2~
Q [1 + 2
2
2
|cos (/гсо) j] , (5.114)
71=1
ЛИ
(5.115)
Эта граница является слишком грубой и на практике почти не ис­
пользуется. Если предположить, что ошибки, возникающие при
квантовании отдельных коэффициентов, статистически независимы, то можно найти более приемлемую статистическую границу.
Хотя для каждого конкретного фильтра коэффициенты квантуют­
ся один раз, после чего характеристика фильтра становится фик­
сированной, нижеприведенная граница дает возможность проек­
тировщику оценить точность представления коффициентов, необ­
ходимую для получения заданной характеристики фильтра, даже
не зная заранее значений самих коэффициентов.
Исходя из формулы (5.113), выражение для Е \ (ejb}) можно
записать в виде
Е L (е}а) \ ^
(W- 3)/2
Ei(ei<°)=
2
71=0
.
JV 1
\ 1
/
1
4е2 (п) cos2 ( — 2| ------ п1) И
ю \ +Ш
е2 ІVЩ ф
і
).
2
.
-
о
При равномерном распределении е2 (п) = Q2/i2, поэтому
______
.
(JV-D/2
Щ (^ “) = - Ц - [ 1 1 |4 2 cos2(om)].
П-1
Введем следующую весовую функцию:
*
^
(1V-D/2
1
Щ (ю) ~ I 2УУ'Щ [ 1 + 4
cos2(wn)1 J 1/2,
I
2
71=1
25—0309
(5.116)
(5.117)
(5.118)
386
Глава 5
Весовая
функция
0,9
0,8
0,7
0,6
0,1
0,2
0.3
Нормированная частота
0,4
0,5
Весовая
функция
о
Фиг. 5.40. Влияние квантования коэффициентов на частотную характеристп
ку фильтра.
______ Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
387
Тогда стандартное отклонение ошибки будет равно
° el
(ю) = [Е1{е^)]т
=
] /
W N (со).
Ясно, что W N (0) I W N (л) = 1 и
Поэтому
(5.119)
(со)<1 при всех N .
V
Цщ, (©)
Нетрудно показать, что
.
lim W N (со) = —
N-*-oo
У 2»
,
0<со<л.
(5.120)
(5.121)
Из фиг. 5.40, где изображены весовые функции
(2л/) для
N = 7 и N — 67, видно, насколько о EL (со) близко к границе,
задаваемой формулой (5.120); при любых со величина о el (w)
отличается от этой границы не более чем в два раза.
Поскольку при любых со ошибка Е ь (ei(0) равна сумме независимых случайных величин, плотность распределения вероятностей
которых равна нулю вне некоторого конечного интервала, то
Е ь (eJ(0) при больших N является гауссовой случайной величиной. Таким образом, среднее значение и дисперсия ошибки E L (езш)
полностью определяют ее статистические свойства.
Чан и Рабинер экспериментально подтвердили справедливость
вышеприведенной модели квантования коэффициентов для случая
оптимальных фильтров нижних частот. Опираясь на эту модель
и теоретические соотношения между параметрами фильтра с не­
квантованными коэффициентами, Чан и Рабинер сформулировали
правило нахождения числа разрядов при расчете фильтра с за­
данными граничными частотами и уровнем пульсаций в полосах
пропускания и непропускания.
5.31. Квантование коэффициентов при построении КИХ-фильтров
в каскадной форме
Если КИХ-фильтр с линейной фазовой характеристикой строит­
ся в каскадной форме и его коэффициенты квантуются, то для со­
хранения линейности фазовой характеристики этот фильтр обычно
приходится составлять из блоков четвертого порядка. Для такого
фильтра несложно определить чувствительность положения нулей
и формы частотной характеристики к изменению коэффициентов,
однако общих статистических границ (подобных найденным
в разд. 5.29 для прямой формы фильтров), которые описывали бы
свойства каскадной формы, пока не найдено. Эксперименты пока­
зывают, что полосовые фильтры, выполненные в каскадной форме,
весьма чувствительны к изменениям коэффициентов вблизи точки
z = 1 и почти нечувствительны к ним вблизи z — 0. Поэтому
25*
округления
до 12разрядов
Каскадная
форма
После округления
до 12разрядов
Прямая
форма
Фиг. 5.41. Сопоставление частотных характеристик фильтров прямой
и каскадной форм с квантованными и неквантованными коэффициентами
(по Херману и Шусслеру).
*
■ v
фильтры нижних частот каскадной формы весьма чувствительны
к погрешностям коэффициентов в полосе пропускания, но слабо
чувствительны к ним в полосе непропускания. На фиг. 5.41 в ка­
честве примера приведены полученные Херманом и Шусслером
частотные характеристики КИХ-фильтров нижних частот с ли­
нейной фазовой характеристикой, реализованных в каскадной
и прямой форме с коэффициентами, округленными до 12 разрядов.
Там же представлены характеристики фильтров с неквантован­
ными коэффициентами. Для каскадной формы в начале полосы
пропускания обе характеристики существенно различаются; одна­
ко в полосе непропускания они практически совпадают.
Поскольку общие статистические границы для ошибок частот­
ных характеристик каскадных фильтров не известны, для мини­
мизации максимума взвешенной ошибки частотной характерис­
тики было использовано несколько машинных программ оптими­
зации коэффициентов.
5.32. Колебания предельного цикла
При анализе шума округления в цифровых фильтрах предпо­
лагалось, что разность между соседними отсчетами входного сиг­
нала велика по сравнению с шагом квантования. Это позволяло
считать, что отсчеты шума округления некоррелированы как друг
с другом, так и с отсчетами входной последовательности. Ясно,
что во многих случаях (например, если входной сигнал постоянен
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
389
или равен нулю) такое предположение несправедливо. Рассмотрим
в качестве примера разностное уравнение
у (ге) — 0,95у (ге— \)-\-х(п )
(5.122)
и предположим, что входная последовательность х (ге) = О
(т. е. вход фильтра отключен), а начальное условие имеет вид
у (—1) = 13. (Значения переменной у выражаются в единицах
шага квантования Q и поэтому не могут быть дробными.) В при­
водимой ниже таблице сопоставляются точные значения у (ге),
рассчитанные, согласно уравнению (5.122), без использования
округления, а также значения, получающиеся при расчетах с ок­
руглением.
п
у (п) точные
у (п) с округ­
лением
—1
0
1
2
3
4
13,0
12,35
11,7325
11,145875
10,58858125
10,05915219
13
12
11
10
10
10
Хотя точные значения у (ге) экспоненциально стремятся к нулю,
при использовании округления значения у (ге) «затягиваются»
на уровне, равном 10, и дальше уже не могут измениться. Рас­
смотренный пример иллюстрирует возникновение в рекурсивном
цифровом фильтре эффекта предельного цикла при нулевом вход­
ном сигнале. Амплитудные интервалы, в которых возникают эф­
фекты предельного цикла, Блэкман назвал мертвыми зонами.
В рассмотренном примере при любом \у (—1 ) | ^ 10 будет полу­
чаться, что у (ге) — у (—1), г е ^ 0, если х (ге) = 0. Таким образом,
интервал [—10, 10] является мертвой зоной.
Джексон исследовал предельные циклы в системах первого
и второго порядка, используя понятие «эффективных значений»
коэффициентов фильтра, т. е. учитывая, что предельные циклы
возникают только тогда, когда округление фактически приводит
к появлению полюсов на единичной окружности. Так, для системы,
описываемой разностным уравнением первого порядка
у(п) = х (ге) — [ау (ге —1)]\
(5.123)
где символ [ ]' обозначает операцию округления до ближайшего
целого, а х (п ) = 0 при ге ^ 0, мертвой зоной, в которой могут
существовать предельные циклы, является интервал [—к, Л], при­
390
Глава 5
чем к равно наибольшему целому числу, удовлетворяющему нера-
венству
0,5
1— | а | •
Н
^
Н
Н
(5.124)
Из приведенного примера следует, что при отрицательных а отсче­
ты на выходе фильтра в режиме предельного цикла имеют постоян­
ные амплитуду и знак. Если же а Ц 0, то отсчеты на выходе
в режиме предельного цикла будут иметь постоянную амплитуду,
но чередующийся знак. При всех значениях у (п) в пределах мерт­
вой зоны эффективное значение множителя а равно -fcl т. е
[а у (п — 1)]' Ц ± у (п — 1). Таким образом, разностному урав­
нению (5.123) соответствует эффективный полюс в точке I Я ± 1.
Для системы второго порядка, описываемой разностным урав­
нением
1,
у (п) = X (п) — \ М (п - 1)]' — И
i - 2)1',
(5.125)
мертвой зоной, в которой могут возникать эффекты предельного
цикла, является интервал [ —к, А], где к — наибольшее целое,
удовлетворяющее неравенству
-й З Ш М
fe< T - 5p2 »
° < Р а < 1-
(5.126)
Формула (5.126) аналогична формуле (5.124), но а заменено на
Р2. При выполнении соотношения (5.126) полюсы фильтра навер­
няка попадают на единичную окружность, т. е. эффективное зна­
чение р2 равно 1,0. (Отметим, что при |32 > 0 полюсы будут ком­
плексно сопряженными, а фильтр — устойчивым.) Частота коле­
баний в режиме предельного цикла определяется главным обра­
зом значением рх, но зависит также и от того, как округление ска­
зывается на величине произведения р2 у (п — 1) в формуле (5.125).
Из формулы (5.126) следует, что наименьшее значение р2»
при котором еще образуется пара эффективных комплексно сопря­
женных полюсов равно 0,5. В этом случае к = 1. Следующее зна­
чение р2, для которого эффекты предельного цикла возникают при
большем значении /с, равно 0,75. В этом случае к = 1 или 2. При
любом значении Р2 существует только конечное число интервалов
значений (319 при которых могут возникать различные эффекты
предельного цикла. Соответствующие области в плоскости (рц (У
для блока второго порядка, описываемого уравнением (5.125),
показаны на фиг. 5.42. Область, в которой предельные циклы не
возникают, отмечена штриховкой. Горизонтальные линии соответ­
ствуют минимальным значениям р2, при которых происходит изме­
нение режима в мертвой зоне. Числа внутри каждой из областей
обозначают максимальное значение амплитуды колебаний в режи-
Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
391
Фиг. 5.42. Зависимость амплитуды колебаний предельного цикла от коэффи­
циентов фильтра (по Джексону).
ме предельного цикла, возможных в этой области плоскости (Рі,Рг)Предельные циклы, возникающие при р2 < 0,5, будут рассмотре­
ны ниже.
Выше были проанализированы эффекты предельного цикла
в блоках второго порядка, соответствующие возникновению пары
эффективных комплексно сопряженных полюсов. Предельные
циклы в таких блоках могут существовать и при появлении дейст­
вительного эффективного полюса в точке z = ± 1 . В этом случае
условием возникновения режима предельного цикла с выходной
амплитудой, равной к, является следующее равенство:
[р2&]'±1М ]' = &(5.127)
Для различных значений к нетрудно определить положение облас­
тей в плоскости (Рх, ЩЦ внутри которых выполняется условие
(5.127). Эти области показаны на фиг. 5.42.
Изучение предельных циклов важно по двум причинам. В си­
стемах связи отключение сигнала может вызвать эффекты предель­
ного цикла. Это весьма нежелательно, поскольку хотелось бы,
чтобы при отсутствии входного сигнала на выходе канала ничего
не было слышно. Поэтому при использовании цифровых фильтров
в системах телефонии данной проблеме следует уделить достаточно
серьезное внимание. Вторая причина заключается в том, что пре­
дельные циклы можно использовать для генерации периодиче­
ских последовательностей. Колебания предельного цикла с нуж­
ными характеристиками можно использовать при цифровой
обработке в качестве источника сигнала.
392
Глава 5
После выхода в свет работы Джексона, посвященной предель­
ным циклам, уточнению границ для амплитуд и частот колебаний
предельного цикла уделялось очень много внимания. Подробности
можно найти в соответствующих публикациях.
ЛИТЕРАТУРА
Литература общего характера
1. Oppenheim А. V., Weinstein С. W., Effects of Finite Register Length in
Digital Filters and the Fast Fourier Transform, Proe. IE E E , 60, No. 8,
957—976 (Aug. 1972); есть русский перевод: Оппенгейм, Вайнштейн, Влия­
ние конечной длины регистра при цифровой фильтрации и быстром пре­
образовании Фурье, ТИИЭР , т. 60, № 8, стр. 41—65 (1972).
2. Gold В., Rader С. М., Digital Processing of Signals, Ch. 4, McGraw-Hill,
1969; есть русский перевод: Голд Б ., Рэйдер Ч ., Цифровая обработка
сигналов, изд-во «Советское радио», 1973.
3. Liu В., Effect of Finite Word Length on the Accuracy of Digital Filters —
A Review, IE E E Trans. Circuit Theory, CT-18, 670—677 (Nov. 1971).
4. Bennett W. R., Spectra of Quantized Signals, Bell Syst. Tech. / . , 27, 446—
472 (July 1948).
e
5. Rader С. М., Gold B., Effects of Parameter Quantization on the Poles of
a Digital Filter, Proe. IE E E , 55, No. 5, 688—689 (May 1967); есть русский
перевод: Рейдер, Голд, Влияние квантования параметров на полюсы
цифрового фильтра, ТИИЭР , 55, № 55, стр. 98—100 (1967).
Шум округления в рекурсивных структурах.
Случай фиксированной запятой
1. Knowles J. В., Edwards R., Effects of a Finite-Word-Length Computer
in a Sampled-Data Feedback System, Proe. Inst. Elec. Eng ., 112, 1197—
1207 (June 1965).
,. t
2. Gold B., Rader С. М., Effects of Quantization Noise in Digital Filters,
Proe. A F IP S 1966 Spring Joint Computer Conf., 28, 213—219 (1966).
3. Jackson L. B., On the Interaction of Roundoff Noise and Dynamic Range
in Digital Filters, Bell Syst. Tech. / . , 49, 159—184 (Feb. 1970).
4. Jackson L. B., Roundoff Noise Analysis for Fixed-Point Digital Filters
Realized in Cascade or Parallel Form, IE E E Trans, on A udio and Electro­
acoustics, AU-18, 107—122 (June 1970).
Шум округления в нерекурсивных структурах.
Случай фиксированной запятой
1. Chan D. S. К ., Rabiner L. R., Theory of Roundoff Noise in Cascade Reali­
zations of Finite Impulse Response Digital Filters, Bell Syst. Tech.
52,
No. 3, 329—345 (March 1973).
«
Г«
2. Chan D. S. K., Rabiner L. R., An Algorithm for Minimizing Roundoff
Noise in Cascade Realizations of Finite Impulse Response Digital Filters,
Bell Syst. Tech.
52, No. 3, 347—385 (March 1973).
3. Chan D. S. K., Rabiner L. R., Analysis of Quantization Errors in the Direct
Form for Finite Impulse Response Digital Filters, IE E E Trans. on Audio
and Electroacoustics, AU-21, No. 4, 354—366 (Aug. 1973).
Шум округления в рекурсивных структурах.
Случай плавающей запятой jj
1. Sandberg I. W., Floating-Point Roundoff Accumulation in Digital Filter
Realization, Bell Syst. Tech.
46, 1775—1791 (Oct. 1967).
______ Эффекты конечной разрядности чисел в цифровых фильтрах
393
2. Капеко Т., Liu В., Roundoff Error of Floating-Point Digital Filters, Proc.
6 ih Annual Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 219—227 (Oct. 1968).
3. Weinstein C., Oppenheim A. V., A Comparison of Roundoff Noise in Floating
Point and Fixed Point Digital Filter Realizations, Proc. IE E E (Corresp.),
57, 1181—1183 (June 1969); есть русский перевод: Вайнштейн, Оппенгейм,
Сравнение шумов округления цифровых фильтров при их реализации
по методу с плавающей запятой и по методу с фиксированной запятой,
ТИИЭР , т. 57, № 7, стр. 72—74 (1969).
4. Liu В., Капеко Т., Error Analysis of Digital Filters with Floating-Point
Arithmetic, Proc. IE E E , 57, 1735—1747 (Oct. 1969); есть русский перевод:
Лиу, Канеко, Анализ погрешностей цифровых фильтров, реализуемых
арифметическими операциями с плавающей запятой, ТИИЭР , т. 57,
№ 10, стр. 49—63 (1969).
5. Oppenheim А. V., Realization of Digital Filters Using Block Floating-Point
Arithmetic, IE E E Trans, on Audio and Electroacoustics, AU-18, 130—136
(June 1970).
Колебания переполнения
1. Ebert P. М., Mazo J. E., Taylor M. G., Overflow Oscillations in Digital
Filters, Bell Syst. Tech.
48, 3021—3030 (Nov. 1968).
Квантование коэффициентов в рекурсивных структурах
1. Kaiser J. F., Some Practical Considerations in the Realization od Linear
Digital Filters, Proc. 3rd Annual A llerton Conf. on Circuit and System Theory,
621—633 (1965).
2. Rader С. М., Gold B., Effects of Parameter Quantization on the Poles of
a Digital Filter, Proc. IE E E (Corresp.), 55, 688—689 (May 1967).
3. Knowles J. B., Olcayto E. М., Coefficient Accuracy and Digital Filter
Response, IE E E Trans. Circuit Theory, 15, No. 1, 31—41 (March 1968).
4. Avenhaus E., Schuessler H. W., On the Approximation Problem in the
Design of Digital Filters with Limited Wordlength, Arch. Elek. Ubertragung,
24, 571—572 (1970).
Квантование коэффициентов в нерекурсивных структурах
1. Hermann О., Schuessler Н. W., On the Accuracy Problem in the Design
of Nonrecursive Digital Filters, Arch. Elek. Ubertragung, 24, 525—526
’ (1970).
2. Chan D. S. K., Rabiner L. R., Analysis of Quantization Errors in the Direct
Form for Finite Impulse Response Digital Filters, IE E E Trans, on Audio
and Electroacoustics, AU-21, No. 4, 354—366 (Aug. 1973).
3. Weinstein C. W., Quantization Effects in Frequency Sampling Filters,
N E R E M Record, 22 (1968).
Предельные циклы в рекурсивных структурах
1. Blackman R. В., Linear Data-Smoothing and Prediction in Theory and
Practice, Addison-Wesley Publ. Co., Reading, Mass., pp. 75—79 (1965).
2. Jackson L. B., An Analysis of Limit Cycles Due to Multiplication Rounding
in Recursive Digital (Sub) Filters, Proc. 7th Annual A llerton Conf. on Circuit
and System Theory, 69—78 (1969).
3. Parker S. R., Hess S. F., Limit-Cycle Oscillations in Digital Filters, IE E E
Trans. Circuit Theory, CT-18, 687—696 (Nov. 1971).
4. Sandberg I. W., A Theory Concerning Limit Cycles in Digital Filters, Proc.
1th Allerton Conf. on Circuit and System Theory, 63—67 (1969).
5. Brubaker T. A., Gowdy J. N., Limit Cycles in Digital Filters, IE E E Trans.
Automatic Control, 17, No. 5, 675—677 (Oct. 1972).
6. Sandberg I. W., Kaiser J. F., A Bound on Limit Cycles in Fixed-Point
Implementations of Digital Filters, IE E E Trans, on Audio and Electro­
acoustics, AU-20, No. 2, 110—112 (June 1972).
Г лава 6
'* •
СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
И БЫСТРОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
6.1. Введение
S '-
При обработке сигналов во многих случаях приходится изме­
рять спектры. Так, в задачах распознавания речи спектральный
анализ, как правило, предшествует дальнейшей специальной обра­
ботке. В системах сжатия полосы речевых сигналов спектральный
анализ является обычно основной операцией. В гидроакустиче­
ских системах для обнаружения надводных кораблей и подводных
лодок требуется проводить сложный спектральный анализ. В ра­
диолокационных системах для получения информации о скорости
цели также приходится измерять спектр.
Следует иметь в виду, что понятие «спектральный анализ» вклю­
чает в себя большое число различных измерений. В широком смыс­
ле его можно определить как «измерение, которое дает точные или
приближенные значения z-преобразования дискретного сигнала
для заданных значений z». Создание адекватной теории спектраль
ного анализа затруднено тем обстоятельством, что на практиквсе спектральные измерения проводятся на конечных временных
интервалах, длина которых обычно определяется чисто интуи­
тивно или на основе накопленного опыта. Например, «спектр»
речевого сигнала очень сильно зависит от времени, изменяясь при­
близительно со скоростью изменения параметров речевого тракта
(около 10 раз за секунду). Несмотря на это, во многих прикладных
задачах кратковременный спектр речевого сигнала является одной
из наиболее важных характеристик.
Набор алгоритмов, называемых алгоритмами быстрого преобра­
зования Фурье (БПФ), включает разнообразные методы умень­
шения времени вычисления дискретного преобразования Фурье
(ДПФ). Поскольку вычисление ДПФ является основной операцией
в большинстве задач спектрального анализа, то и сп о л ь зо в а н и е
БПФ в некоторых встречающихся на практике случаях, позволяю­
щее ускорить вычисление ДПФ в 100 и более раз по сравнению
с методом прямого вычисления ДПФ, имеет чрезвычайно важное
значение и должно рассматриваться как неотъемлемая часть при­
менения методов цифровой обработки сигналов для спектрального
анализа. Поэтому данная глава начинается с теории БПФ, вклю­
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье
395
чающей хорошо известные алгоритмы с основанием 2 и прорежи­
ванием по времени и по частоте. Далее будет показано, каким об­
разом можно представить БПФ в виде единого алгоритма, имею­
щего много различных вариантов. Тот факт, что одномерный мас­
сив чисел можно выразить через двумерный массив более чем од­
ним способом, объясняет многообразие алгоритмов БПФ. Отсюда
следует, что математическая операция перехода из одномерного
пространства в двумерное является основой всех алгоритмов
БПФ. При таком едином подходе к алгоритму БПФ его различные
варианты могут быть получены сравнительно простым способом.
Многие из этих вариантов рассматриваются в гл. 10, посвященной
аппаратурной реализации БПФ.
После рассмотрения основ БПФ обсуждается взаимосвязь
между различными методами спектральных измерений: какая часть
z-плоскости представляет интерес для различных частных слу­
чаев и как при этом следует проводить анализ; каково соотношение
между спектральным анализом на основе ДПФ и с использованием
гребенки цифровых фильтров; как можно «улучшить» качество
спектрального анализа и какова взаимосвязь между спектральным
анализом и ЛЧМ-фильтрацией.
6.2. Введение в алгоритмы БПФ с основанием 2
Несмотря на то что алгоритмы БПФ хорошо известны и широко
используются, при первом ознакомлении с ними они по ряду при­
чин достаточно трудны для понимания. Прежде всего читателю
нужно усвоить много новых терминов. К тому же в литературе
встречается несколько различных подходов к описанию алгорит­
мов БПФ, которых появилось очень много. Наконец, ввиду слож­
ности операции перестановки данных ее проще всего понять на
конкретных примерах.
ДПФ конечной последовательности {х (ft)}, 0 ^ п ^ N — 1,
было определено в гл. 2 как
N -i
х(к) = 2
n=0
или в более удобной форме как
ем
X (*)== 2 х ( п ) W nk,
fc=of 1,
і,
(б.і)
(6.2)
п=0
где jp = е-і( 2я)/іУ Легко показать, что W nk является периодичес­
кой последовательностью с периодом N, т. е.
W (n+mlV)(ft+W) = W nh^
Z= 0, ± 1 , . . . .
(6.3)
Глава в
396
Ниже будет показано, что периодичность W nh является одним
из ключевых моментов БПФ. Часто периодичность W nh подчерки­
вают тем, что вместо W записывают Wjf.
*>■
Из соотношения (6.1) следует, что в случае, когда последова­
тельность х (п) является комплексной, при прямом вычислении
iV-точечного ДПФ нужно выполнить (N — I)2 комплексных умножений и N CN — 1) комплексных сложени Таким образом, для
достаточно больших N (порядка 1000) прямое вычисление ДПФ
требует выполнения чрезмерного количества вычислительвых опе­
раций. Основная идея БПФ состоит в том, чтобы разбить исходную
iV-точечную последовательность на две более короткие последова­
тельности, ДПФ которых могут быть скомбинированы таким об­
разом, чтобы получилось ДПФ исходной ЛГ-точечной последова­
тельности. Так, например, если N четное, а исходная ЛГ-точечная
последовательность разбита на две (ІУУ2)-точечные последователь­
ности, то для вычисления искомого TV-точечного ДПФ потребуется
порядка (iW2)2-2 = № 12 комплексных умножений, т. е. вдвое мень­
ше по сравнению с прямым вычислением. Здесь множитель (N12)г
дает число умножений, необходимое для прямого вычисления
(Л72)-точечного ДПФ, а множитель 2 соответствует двум ДПФ,
которые должны быть вычислены. Эту операцию можно повторить,
вычисляя вместо (N/ 2)-точечного ДПФ два (N/ 4)-точечных ДПФ
(предполагая, что N12 четное) и сокращая тем самым объем вычи­
слений еще в два раза. Выигрыш в два раза является приближен­
ным, поскольку не учитывается, каким образом из ДПФ меньше­
го размера образуется искомое iV-точечное ДПФ.
Проиллюстрируем описанную методику для TV-точечной после­
довательности {х (п)}, считая, что N равно степени 2. Введем две
(Л72)-точечные последовательности (x i (п)} и \ х г (ге)} из четных
и нечетных членов х (п) соответственно, т. е.
x t (п) = х ( 2 п ),
х%(п) = х (2 п
п
А
0V* 1А* •••? 2
А
1 ), п = 0, 1,
1,
(6.4)
----1-
.ЛГ-точечное ДПФ последовательности {х (и)} можно записать как
N- 1
JV-1
(6.5)
Х (к)
п—0
п четные
п=0
п нечетные
N / 2 —1
2 x ( 2 n ) W f t h+
n=0
N/2- 1
2
n= 0
(2n+l)h • ( 6.6)
x (2 n + i)W %
С учетом того, что
W% = Й І І Ш І = ei[2n/(Jv/2)] j j W N n ,
(6.7)
397
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье
перепишем выражение (6.6) в виде
N/2 - 1
X (к) =
2
N 2-1
*1 (п) W nN) 2 + W kN 2 x 2 ( n ) W t /2,
n=О
(6.8)
(6.9)
X (к) = X, (Л) + W%X 2 (к),
где Х г (к) и Х 2 (к) равны (ІУ/2)-точечным ДПФ последовательнос­
тей хх (п ) и х 2 (п). Из формулы (6.9) следует, что TV-точечное ДПФ
X (к) может быть разложено на два (ЛГ/2)-точечных ДПФ, резуль­
таты которых объединяются согласно (6.9). Если бы (7УУ2)-точечные ДПФ вычислялись обычным способом, то для вычисления
iV-точечного ДПФ потребовалось бы, очевидно, (N2/2 + N) ком­
плексных умножений. При больших N (когда N 2/2
N) это
позволяет сократить время вычисления на 50%.
Поскольку X (к) определено при
— 1, а Х г (к)
и Х 2 (к) определены при 0 ^ к ^ N12 — 1, необходимо доопре­
делить формулу (6.9) для к ^ N12. Это определение достаточно
очевидно и может быть записано следующим образом1):
( 6 . 10)
На фиг. 6.1 с помощью направленного графа2) представлена
последовательность операций при выполнении восьмиточечного
ДПФ с использованием двух четырехточечных преобразований.
Входная последовательность х (п ) сначала разбивается на две по­
следовательности хх (п) и х 2 (п) из четных и нечетных членов х (п),
после чего рассчитываются их преобразования Х^ (к) и Х 2 (к).
Затем в соответствии с формулой (6.10) (см. сноску 1) по­
лучают X (к).
х) Соотношение (6.10) является прямым следствием периодичности ДПФ.
Заметим также, что w ff i
так что формулу (6.10) можно перепи­
сать в виде
Я (к) + W% Ж (к),
0 §1! <
- 1,
X (к)
xi
1
-
у )
- W hN - N,2X 2 (/с -
, у < f c < ЛГ -
1.
2) Незачерненные кружки в правой части фиг. 6.1 обозначают операцию
сложения/вычитания, причем верхний выход соответствует сумме, а ниж­
ний — разности. Стрелка —*■ обозначает операцию умножения на значение
множителя а, указанного над стрелкой. В общем случае переменные являют­
ся комплексными числами. Заметим, что кружок можпо интерпретировать
как двухточечное ДПФ. Узлы обозначают регистры, содержащие входные
и выходные массивы отдельных ДПФ. Все эти обозначения согласуются
с правилами изображения направленных графов в теории линейных систем.
Глава 6
398
x,( 0) = x( 0)
х 1(1) = х ( 2)
Я)(2) - Х(4)
В; , 1I
---
Щ
Четырехточенное
ДПФ
х,(о)
ХіО)
X f (2)
х,(3) —х(6 )
х ,(з)
х 2(0)= х(1)
х м
х 2 (1) = х(3)
х2(2)= х (5)
х 2(3 )
= х (7)
Четырех­
точечное
ДПФ
Хо(1)
Х2 (2)
х2(з)
а ____ £ -----
Фиг. 6.1. Вычисление восьмиточечного ДПФ через два четырехточечных
ДПФ.
Ш В
Рассмотренная схема вычислений может быть использована
для расчета iV/2-точечных ДПФ в соответствии с формулами (6.9)
и (6.10). Каждая из последовательностей Ц (п ) и Ц (п) разбивает­
ся на две последовательности, состоящие из четных и нечетных
членов. Аналогично Л72-точечные ДПФ могут быть записаны как
комбинации двух iV74-точечных ДПФ, т. е.
ИЛИ
X, (к) = А (к) + W km B (к)
,'■
Х 1 (к) = А (к) + W%B {к),
(6.11)
: ;
ЙД|
где 0 Й к Щ N12 — 1, А (А:) и В (к) — А74-точечные ДПФ
соответственно четных и нечетных членов х 1 (п ). На фиг. 6.2 пока­
зан результирующий направленный граф, в котором четырехточеч­
ные ДПФ из фиг. 6.1 рассчитываются согласно (6.12).
Процесс уменьшения размера ДПФ от L до Ы2, где L равно
степени 2, может быть продолжен до тех пор, пока не останутся
только двухточечные ДПФ. Двухточечное ДПФ F (к), к = 0,1,
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье
399
а(0)=х,(0)=х(0) ■
■А(О)
Х(0)
а(1)= х,(2)=х(4)
АО)
т
Ь(0)=х,(1)=х(2)
В(0)
Х(2)
Ь(1)=х,(5)=х(б)
ВО)
Х(3)
с (0 )- х2(0)=х(1)
■с(0)
Х(4)
с(1) = Хо(2)=х(5)
■сО)
Х(5)
d(0) = x20)=x(3)
0 (0)
Х(6)
d(1)—x2 (3)=х(7)
ДО)
Х(7)
Фиг. 6.2. Вычисление восьмиточечного ДПФ через два четырехточечных
ДПФ, которые в свою очередь вычисляются через четыре двухточечных ДПФ.
х(0)
х (4)
х(2)
х(6)
хО)
х(5)
х(3)
х(7)
Фиг. 6.3. Восьмиточечное ДПФ, полученное последовательным прорежива
нием в 2 раза.
может быть рассчитано без использования умножений по форму­
лам
F(0) = /(0) + /(l)W™
(6.13)
400
Глава в
Здесь / | п ), п = 0, 1, — преобразуемая двухточечная последова­
тельность. Поскольку W°a = 1 и W *8 — —1, для вычислений по
формулам (6.13) действительно не нужны операции умножения.
Таким образом, восьмиточечное ДПФ (фиг. 6.1 и 6.2) в итоге сво­
дится к алгоритму, описываемому направленным графом, пред­
ставленным на фиг. 6.3.
." \Я
6.3. Некоторые свойства алгоритма БПФ
времени
Анализ графа на фиг. 6.3 и процедуры последовательного со­
кращения вдвое размеров преобразований показывает, что на
каждом этапе БПФ (т. е. при каждом сокращении размеров ДПФ)
необходимо выполнить N12 комплексных умножений. Поскольку
общее количество этапов равно log2iV, то число комплексных ум­
ДПФ
ножений,
близительно равно N12 log 2N. Слово приблизительно использо„
___
ТЛ7® tif/iy [Ж т т »iV/4
TX/SNfk
вано по той поичине. что умножения на W n . щ n , уу n и W w
вычитан
в действительности сводятся просто к сложениям
комплексных чисел. Так, например, на фиг. 6.3 пет
Даже
вычитан
плексных чисел. Фактически, как следует из направленного гра­
фа на фиг. 6.3, вместо ожидаемых 12 (т. е. 4 log28) достаточно
выполнить всего два нетривиальных умножения. Однако для боль­
ших значений N фактическое число нетривиальных умножений
хорошо аппроксимируется выражением jV721og2 N .
Описанный выше алгоритм был назван алгоритмом с прорежи­
ванием по времени, поскольку на каждом этапе входная (т. е. вре­
менная) последовательность разделяется на две обрабатываемые
последовательности меньшей длины, т. е. входная последователь­
ность прореживается наукаждом этапе. Другая форма алгоритма
БПФ (с прореживанием по частоте) будет описана ниже, а сейчас
целесообразно обсудить некоторые общие свойства алгоритмов
БПФ.
ШШ | Н
-' ' Ш І Й І
Базовая операция алгоритма с прореживанием по времени
(так называемая ,,бабочка“) состоит в том, что два входных числа А
и В объединяются для получения двух выходных чисел X и Ү
следующим образом:
V
Т
»
£
К
I
'
X = A + W hNB,
(6.14)
Y — А — W%B.
На фиг. 6.4 изображен направленный граф базовой операции
(6.14). Внимательное рассмотрение направленного графа на
фиг. 6.3 показывает, что каждый из этапов содержит N12 базовых
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье _______ 401
Х -А + В 1 Л $
Y=A~BWNk
Фиг. 6.4. Базовая операция алгоритма БПФ
нетривиальный, для
множитель w
каждой базовой операцРІІІ необходимо выполнить только одно
умножение, поскольку величину W hM можно вычислить
нить. Таким образом, структура базовых операций такова, что
для выполнения БПФ iV-точечной последовательности, размещен­
ной в памяти, достаточно иметь лишь одну дополнительную ячей­
ку памяти. Результаты всех промежуточных этапов БПФ можно
размещать в те же ячейки памяти, где находились исходные дан­
ные. Поэтому для хранения и входной, и выходной последователь­
ностей можно использовать один и тот же массив ячеек памяти.
Алгоритм, в котором для размещения входной и выходной после­
довательностей используются одни и те же ячейки памяти, назы­
вается алгоритмом БПФ с замещением.
На фиг. 6.5 алгоритм БПФ с основанием 2 иллюстрируется не­
сколько иначе. Все ДПФ являются двухточечными и не требуют
-точечное
<
ДПФ
>
І >
N/4-
<=>
точечное
ДПФ
r
n
-
точечное
ДПФ
N/4точенное
ДПФ
По­
точечное
Комбиниро­
вание N/4точечных
ДПФс исполь­
зованием по­
ворачивающих
множителей
Комбини,
шрование т точечных
ДПФс исполь­
зованием по­
ворачивающих
множителей
Комбиниро вание N/2точечных
ДПФ с исполь
дованием
поворачива­
ющих мно­
жителей
ДПФ
Фиг. в.5. Типичное разложение для алгоритмов БПФ с основанием 2■
26—0399
402
Глава 6
операций умножения. Однако при объединении двух (Л72)-точечных ДПФ в одно ^-точечное ДПФ приходится выполнять около
N /2 умножений. Из примера на фиг. 6.3 видно, что JV-точечное
БПФ состоит из log2 N этапов, причем все операции умножения
используются только при объединении результатов ДПФ. По­
скольку эти умножения используются во всех алгоритмах БПФ
соответствующие множители получили специальное название по­
ворачивающих множителей (шяотда их называют фазовыми множи­
телями или множителями вращения).
6.4. Перестановка данных и двоичная инверсия
Еще одной особенностью алгоритма с прореживанием по време­
ни (как, впрочем, и большинства других алгоритмов БПФ) яв­
ляется необходимость такой перестановки элементов входной по­
следовательности, чтобы выходная последовательность X (к) имела
естественны] (прямой) порядок расположения, т. е. к
О, 1,...
іф г^—
• • • I N — 1. 1
порядок размещения входной последовательности: х (0), § (4),
х (2), х (6), х (1), х (5), I (3) и I (7). Характер перестановки эле­
ментов входной последовательности может быть описан сравни­
тельно просто. Ниже будет показано, что в случае, когда N яв­
ляется степенью 2, входная последовательность должна быть рас­
положена в памяти в двоично-инверсном порядке для того, чтобы
выходная последовательность получалась в прямом порядке,
Двоично-инверсный порядок определяется следующим образом.
Если записать порядковые номера элементов входной последова­
тельности в двоичном коде, используя L двоичных разрядов, при­
чем N = 2L, а затем инвертировать порядок следования разрядов,
то получаемые при этом числа и будут номерами элементов вход­
ной последовательности после их перестановки. Так, для случая
N = 8 = 23 прямой порядок номеров приведен в табл. 6.1 слева,
—
—
—
Таблица 6.1
Номер
Двоичное
представление
Двоичная
инверсия
0
1
2
000
000
о
001
010
100
010
4
011
100
101
110
111
Д в о и ч н о -и н в е р
с н ы й номер
2
110
001
101
011
111
5
3
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье
403
Входной номер X
в двоично-инверсном
виде
?
X+CN/2) - + Х
/С т о и т ли в \
старшем разряде X
единица ? /
Стоит лйч,
во втором стар
илем разряде X
\
единица ? >
/С т оит л и \
в третьем стар
шем разряде X
\ единица ? >
'Стоит ли
ө последнем
разряде X
единица ?
Следующий по порядку
после X номер в двоичноинверсном виде
Невозможен счет
выше (N-1) при
заданном числе
разрядов
Блок-схема программы двоично-инверсного счетчика (предложен­
ного Райдером).
26*
Глава 6
404
Естественный
порядок
X (О)
х(1)
х(2)
х(3)
х(4)
х(5)
xto)
~fj)
Г
ДвоичноимрядокШ
Х(0)
х(4)
Х(2)
Х(6)
Фиг. 6.7. Перестановка данных с
х(1) х(5)
х <3> *0 )
замещением.
а двоично-инверсный порядок — справа. Таким образом, для двоич­
ной инверсии входной последовательности необходим соответст­
вующий алгоритм. На фиг. 6.6 показан легко реализуемый двоич­
но-инверсный счетчик, предложенный Рейдером. Начиная с пер­
вого двоично-инвертируемого числа X (с прямым номером ООО
в табл. 6.1), алгоритм позволяет формировать последовательно
все остальные двоично-инверсные номера. Половина из общего ко­
личества двоично-инверсных номеров формируется с использова­
нием лишь двух операций, поскольку только в половине случаев
старший значащий разряд X будет равен 1. Аналогично четверть
всех двоично-инверсных номеров формируется с помощью трех
операций и т. д. Таким образом, этот алгоритм является весьма
эффективным.
^
Из сказанного выше ясно, что перестановку входной последо­
вательности можно произвести с замещением, меняя в парах мес­
тами числа с прямым и двоично-инверсным номерами и используя
для этого лишь одну вспомогательную ячейку памяти. На фиг.6.7
показана схема перестановки данных, представленных в табл. 6.1.
Отметим еще одну особенность алгоритма БПФ, заключающую­
ся в том, что на всех этапах преобразования используются коэф­
фициенты TFjy, к = 0, 1, ..., N — 1. Существует несколько спосо­
бов получения этих коэффициентов. Простейший способ — со­
ставление таблицы, к которой можно обращаться в процессе сче­
та. Единственный недостаток этого способа состоит в том, что для
хранения этих коэффициентов необходима дополнительная память
примерно ив N ячеек, так что при больших значениях N имеющий­
ся объем памяти ЦВМ может оказаться недостаточным. Второй
способ заключается в непосредственном вычислении коэффициен­
тов W и = cos [(2 л /N)k] — / sin [(2 n!N)k\ с использованием каждый
раз стандартных подпрограмм расчета синуса и косинуса. Этот
способ связан с большими затратами времени, поскольку вычисле­
ние синуса и косинуса, как правило, достаточно продолжительно.
Третий способ основан на применении простой рекуррентной фор­
мулы
.
W % = (W N
k - L)
(6.15)
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье
405»
с начальным условием W% = 1, так как степени W на каждом
этапе БПФ меняются с постоянным шагом. Так, в примере на
фиг. 6.3 на первом этапе используются коэффициенты W 0 и W*r
на втором — W°, W 2, W i и W 6, а на третьем — W h, к = 0, 1, ...
..., 7. Поэтому, чтобы иметь возможность на каждом из этаповиспользовать формулу (6.15), достаточно запомнить или вычислить
только множители VF4, W 2 и W.
6.5. Программа расчета БПФ на Ф О РТРАНА
Чтобы лучше усвоить основные идеи БПФ, полезно рассмотреть
простую, составленную на ФОРТРАНе программу расчета БПФ
с прореживанием по времени. Текст этой программы, заимство­
ванный у Кули, Льюиса и Уэлча, приведен на фиг. 6.8. Входная
SUBROUTINE FFT (А ,М ,N)
5
6
7
10
20
COMPLEX A (N ),U ,W ,T
N = 2**М
NV2 = N/2
NM1 = N - 1
J = 1
DO 7 I = 1, NM1
I F ( I .GE. J ) GO TO 5
T = A (J)
A (J) = A ( I )
A (I) = T
К = NV2
I F (К .G E. J ) GO TO 7
J = J - К
К = К /2
GO TO 6
J = J ♦ К
P I = 3 .1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3
DO 20 L = 1,M
LE = 2**L
LE1 = LE/2
U = (1 .0 ,0 .)
W = C M PL X (C O S(PI/L EI), S I N ( P I / I E 1 ) J
DO 20 J = 1 ,LE1
DO 10 I = J ,N ,L E
I P = I ♦ LEI
T = A (IP ) * U
A (IP ) = A ( I ) - T
A( I ) = A ( I ) ♦ T
U = U * W
RETURN
END
Фиг. 6.8. Составленная на ФОРТРАНе программа БПФ с основанием 2 при
прореживании по времени, выполняемого с замещением (взята у Кули,
Льюиса и Уэлча).
Г л ава 6
406
последовательность представляет собой массив А , размером до
1024 комплексных чисел. Фактический раэмер БПФ равен N =
= 2м , причем М указывается в операторе обращения к подпро­
грамме. Все операторы от DO 7 1 = 1, NM1 до оператора с меткой
7 предназначены для выполнения двоично-инверсной перестанов­
ки элементов входного массива. Остальные операторы используются
для вычисления непосредственно БПФ и образуют три вложенных
цикла. С помощью первого (внешнего) цикла выполняется М эта­
пов, другой цикл предназначен для выполнения базовых операций
в пределах каждого этапа, а третий цикл (внутренний) необходим
иля вычисления степеней W . используемых пии выполнении fiaan.
д
W
сы и косинусы непосредственно вычисляются лишь для нахожде­
ния W по приращениям. По утверждению Кули, Льюиса и Уэлча
при таком подходе (в случае, когда N = 1024) требуется всего
на 15% больше операций (типа комплексных сложений или умно­
жений), чем при использовании таблицы, содержащей все коэф­
фициенты W . Из фиг. 6.8 видно, насколько просто может быть
запрограммирован алгоритм БПФ.
Прежде чем перейти к рассмотрению второго алгоритма БПФ,
целесообразно еще раз отметить, что при использовании алгорит­
ма БПФ требуется меньшее число операций, чем при прямом
вычислении ДПФ (при условии, что N равно степени 2). При прямом
вычислении
примерно равно N , тогда как при использовании БПФ оно близко
к N log2 N . Обе эти величины сравниваются при значениях N от
2 до 2048 в табл. 6.2. При N §11024 объем вычислений сокращаетл.
v
*
' ш ь *
v
f
j
g
ii
f
*
Таблица 6.2
N
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
№
4
16
64
256
1024
4 096
16 384
65 536
262144
1 048 576
4194 304
N log2 N
2
8
24
64
160
384
896
1024
4 608
10 240
22 528
Ш Ш log2 N)
2,0
2,0
2,7
4,0
6,4
10,7
18,3
32,0
56,9
102,4
186,2
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье _______ 407
ся приблизительно на два порядка, что позволяет выполнять
обработку сигналов, включающую вычисление ДПФ, в тех случаях,
когда до появления БПФ она считалась неосуществимой.
6.6. Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте
Другая распространенная форма алгоритма БПФ (при усло­
вии, что N равно степени 2) — так называемый алгоритм БПФ с
прореживанием по частоте. В этом варианте алгоритма БПФ вход­
ная последовательность {х (гс)} разбивается на две последователь­
ности, содержащие по N12 отсчетов каждая следующим образом:
первая последовательность {хг (тг)} состоит из первых (N12) от­
счетов {х (/г)}, а вторая {х 2 (л)} — из остальных (N/2) отсчетов
{х (п ) , т. е.
N
п
x t (п) = х(п),
N
X [п + 2
Х2 ( п )
2
1,
N
1.
(6.16)
2
ДПФ
можно записать в виде
N/2—l
2 x ( n ) W nNh+
Х(к)
N- 1
2
п=0
n—N/2
N/2-1
N / 2 -1
(6.17)
х (п)
2
2 **<«)и '# + " /2>\
П=0
П=0
Учитывая, что W Nh/2 = е~іпһ, получим
(6.18)
N1 2 -1
X lk )
2
[xi (n) + e-inhx 2 (re)] W n
(6.19)
.
71=0
Запишем выражения отдельно для четных и нечетных отсчетов
ДПФ:
N/2 -1
2 \пһ
(6 .20)
Х (2 к) = 2 [*і(и) + *а (и)](И ^)
71=0
N12-1
2 1*1 (n) + *8 (И)] W n / z ,
(6 . 21)
71=0
N/2 - 1
Х (2 к+ 1 )=
2
1*і(»)
n=0
fill п(2ні
)
(6 . 22)
N /2 -1
2
{l^i (Л) —х г (Л)1 Ш
WjV/2*
(6.23)
Глава в
408
Но)
т
т
т
9(0)
90)
т
Четырех
точенное
Х(5)
ДПФ
9(2)
Х(3)
9(3)
Х(7)
восьмиточечного ДПФ к двум четырехточечным
при прореживании по частоте.
Из выражений (6.21) и (6.23) видно, что четные и нечетные отсчеты
ДПФ можно получить из (Л72)-точечных ДПФ последовательностей
/ (п) и g (re), равных
ШЩЩ:
f ( n ) = x l (n) + x 2 (ri),
g (п) = [хi (п) —Х2 (п)] W b ,
п = 0, 1, . . . , -у —-1,
М
Щ 0, 1,
(6.24)
1.
Таким образом, снова вычисление iV-точечного ДПФ удалось свести к вычислению двух (Ж/2)-точечных ДПФ. На фиг. 6.9 эта мето­
дика иллюстрируется для случая N = 8.
Описанную методику можно применить повторно и представить
каждое из (./УУ2)-точечных ДПФ в виде комбинации двух (iV74)точечных ДПФ. На фиг. 6.10 и 6.11 показан переход от четырех­
точечных ДПФ (фиг. 6.9) к двухточечным ДПФ с последующим
прямым вычислением двухточечных ДПФ.
Сравнение алгоритмов, иллюстрированных на фиг. 6.3 и 6.11,
позволяет выявить два очевидных различия между ними. Во-пер­
вых, при прореживании по времени порядок следования входных
отсчетов двоично-инверсный, а выходных — прямой и наоборот
при прореживании по частоте (фиг. 6.11). Однако это отличие
кажущееся, поскольку в обоих алгоритмах порядок следования
входных отсчетов может быть прямым, а выходных — двоично­
инверсным и наоборот. Второе отличие заключается в несколько
ином выполнении базовой операции (см. фиг. 6.12 и 6.4): при про­
реживании по частоте комплексное умножение выполняется после
сложения — вычитания.
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье
409
Фиг. 6.10. Переход от четырехточечных ДПФ на фиг. 6.9 к двухточечным
ДПФ.
Фиг. 6.11. Полный направленный граф восьмиточечного ДПФ с замещением
и прореживанием по частоте.
410
Глава 6
Х=А+В
к
т (a -в) щ
прореживанием
Легко заметить и сходство между алгоритмами с прореживанием
по времени и по частоте. В обоих случаях при вычислении ДПФ
требуется около N log2 N операций, вычисления могут быть про­
ведены с замещением и должно быть предусмотрено выполнение
двоичной инверсии. В разд. 6.8 будет строго показано, почему эти,
казалось бы, различные алгоритмы имеют такое сходство. Будет
рассмотрен единый подход к БПФ, для которого алгоритмы с про­
реживанием по времени и по частоте оказываются частными слу­
чаями. С помощью такого подхода проанализирован также случай, когда N является составным целым числом, но не обязательно
равным степени 2.
Щр
6.7. Вычисление обратного ДПФ с помощью алгоритма
прямого ДПФ
Прежде чем перейти к следующему разделу, покажем, как
для вычисления обратного ДПФ можно без каких-либо изменений
использовать алгоритм БПФ. Обратное ДПФ ./V-точечной последова­
тельности {X (&)}, к — 0, 1,
N — 1, определяется следующим
образом:
*(») —-жfe=o
S х <*) w'a-
<6-й)
!
Взяв выражение, комплексно сопряженное с (6.25), и умножив его
на N , получим
N-1
Nx* (п) = 2 X* (к) W
(6.26)
h=0
Правая часть формулы (6.26) представляет собой ДПФ последова­
тельности {X* (к )} и может быть вычислена с использованием
одного из описанных выше алгоритмов БПФ. Искомую последова­
тельность {х (п)} можно получить, взяв комплексно-сопряжен­
ное с (6.26) выражение и разделив его на N, т. е.
1 w = -ж Г 2 х ’ (*) ^ ”4]* •
(6-27)
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье
411
Таким образом, алгоритм БПФ обеспечивает вычисление и прямого,
и обратного ДПФ.
6.8. Единый подход к алгоритмам БПФ
Существует много различных алгоритмов БПФ, однако оказы­
вается, что все они могут быть получены с помощью последователь­
ного применения единственной операции, а именно представления
одномерного массива чисел двумерным. Этот единый подход и бу­
дет описан в настоящем разделе, но сначала рассмотрим некоторые
вопросы терминологического характера.
При вычислении TV-точечного ДПФ iV-точечной последователь­
ности целое N может быть либо простым, либо составным числом
(до сих пор считалось, что N состоит из большого числа сомножи­
телей и равно степени 2). Если N простое, его нельзя разложить
на произведение меньших целых чисел. В этом случае одномерный
сигнал х (0), х (1), ..., х (N — 1) невозможно\ представить в виде
двумерного массива, поэтому для такого сигнала не существует
алгоритма БПФ. В большинстве практических задач вполне допу­
стимо искусственное удлинение обрабатываемой последователь­
ности путем добавления нулей, приводящее к тому, что результи­
рующий спектр представляет собой некоторую интерполяцию
спектра неудлиненной последовательности.
Пусть, например, N = 60. Это число можно представить как
произведение меньших чисел различным образом: 60 = 3 x 4 x 5 =
= 4 x 3 x 5 = 5 x 4 x 3 = 12x5 = 2 х 2 х 5 х З и т. д. В зави­
симости от порядка следования сомножителей и их общего коли­
чества могут быть получены различные формы алгоритма БПФ.
Для характеристики разложения обычно используется понятие
«основание». Понятие «смешанное основание» означает, что не все
сомножители N одинаковы. Для N = 60 все формы алгоритма
БПФ имеют смешанные основания. Если N можно представить
в виде произведения одинаковых сомножителей г, то соответст­
вующий алгоритм называют алгоритмом БПФ с основанием г.
Например, если N = 64 = 2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 , то получаются рас­
смотренные в предыдущих разделах главы алгоритмы БПФ с ос­
нованием 2. Если же N записать как 64 = 8x8, то получится
алгоритм БПФ с основанием 8.
Очень важно отметить, что разложение числа на множители
можно выполнить различными способами. Так, N = 60 можно
представить как 12 х 5, а затем 12 —как 4 х 3. С другой стороны,
можно было бы записать 60 = 3 x 2 0 , далее 20 = 5 x 4 и 4 =
= 2 x 2 . Таким образом, для выявления общих закономерностей
следует провести тщательный анализ свойств разложения очеред­
ного числа на два сомножителя. Возьмем в качестве примера снова
ДГ= 60 и запишем одно из возможных разложений обрабатывав-
412
Глава 6
мого массива в виде матрицы из (5 X 12) номеров отсчетов сигнала:
О
12
24
36
48
1
13
25
37
49
2
14
26
38
50
3
15
27
39
51
4
16
28
40
52
5
17
29
41
53
6
18
30
42
54
7
19
31
43
55
8
20
32
44
56
9
21
33
45
57
10
22
34
46
58
11
23
35
47
59
Далее, поскольку столбцы содержат по 5 (т. е. простое число)
отсчетов, они больше не могут быть разложены. Однако строки, со­
стоящие из 12 отсчетов, можно представить в виде матриц разме­
ром (3x4). Например, первая строка будет иметь вид
0
4
8
1 2 3
5
6
7
9 10 И .
;, v
Остальные строки можно представить аналогично. Итак, теперь
нужно установить, каким образом, оперируя с двумерным мас­
сивом, можно получить ДПФ исходного одномерного массива.
Для получения основного результата будем считать, что вход­
ные отсчеты пронумерованы по строкам и по столбцам, поэтому
их номера могут быть представлены следующими парами чисел:
0 ,0
1.0
2 .0
3 .0
4 .0
0,1
1,1
2,1
3,1
4,1
0 ,2
1,2
2,2
3,2
4 ,2
0 ,3
1,3
2 ,3
3 ,3
4 ,3
0 ,4 0 ,5
1 ,4 1,5
2 ,4 2 ,5
3 ,4 3,5
4 ,4 4 ,5
0 ,6
1,6
2 ,6
3 ,6
4 ,6
0 ,7
1,7
2 ,7
3 ,7
4 ,7
0 ,8
1 ,8
2 ,8
3 ,8
4 ,8
0 ,9
1,9
2 ,9
3,9
4 ,9
0,10
1,10
2,10
3,10
4,10
0,11
1,11
2,11
3,11
4,11
Далее, пусть текущий номер столбца равен т (т = 0, 1, ..., 11)!
a I {I — 0, 1, ..., 4) — текущий номер строки. Если исходный
номер отсчета обозначить через п (п = 0, 1, ..., 59), то
п — М1-\-т,
(6.28)
где М — число столбцов. L — число строк (в данном примере
М = 12, L = 5).
■-ч ■
Допустим, что мы можем найти ДПФ двумерного массива
с двойными номерами, тогда результат должен иметь вид двумерного
массива с двойными номерами. Пусть т и I — переменные исход­
ного сигнала, а г и s — переменные двумерного ДПФ по столбцам
и строкам, которые преобразуются в одну переменную следующим
образом:
к = L r 4 - s.
(6.29)
Спект ральный анализ и быстрое преобразование Фурье _______ 413
Теперь коэффициенты одномерного ДПФ X (k) = X (s, г) можно
выразить через преобразование массива х (п) = х (Z, т ), исполь­
зуя простую подстановку формул (6.28) и (6.29) в выражение для
ДПФ (6.2), что дает
М - 1 L-1
X (k ) = X (s , г ) = 3
2 *(». о») И'|м‘+” >‘1г+,).
(6.30)
т = 0 1=0
Разлагая
(ЬН-*) с учетом того, что W MLlr = W Nlr =
= 1, и располагая соответствующие переменные под знаками сум­
мирования, преобразуем формулу (6.30) к следующему виду:
М-1
L- 1
X (s , г ) = S W LmrW mt S ж (h m ) W Mtl.
(6.31)
т=0
1=0
g(s, т)
Эта формула при правильной интерпретации содержит все необ­
ходимые сведения, позволяющие связать преобразование одномер­
ного массива с преобразованием того же массива, представленного
в виде двумерной матрицы. Заметим прежде всего, что внутренняя
сумма представляет собой ДПФ т-то столбца исходного массива
с ядром преобразования W M. Таким образом, можно сформули­
ровать первый шаг последовательности расчета X (к):
1. Вычислить L-точечные ДПФ всех столбцов. Результат
является функцией s и т , причем тп меняется от 0 до М — 1.
Обозначим его через q (s , тп) и перепишем формулу (6.31):
М-1
X (s, г) = 2
тп=0
W hn' W mtq (s, тп).
(6.32)
Отсюда следует, что второй шаг вычисления X (к) сводится к сле­
дующему:
2. Найти новый массив Һ ($, тп), умножая каждый элемент
q (s, тп) на поворачивающий множитель W ms.
Теперь’формула (6.32) принимает вид
М-1
х (S, г) = 2
Ь (s, rn) W Lmr.
(6.33)
771=0
Она представляет М-точечные ДПФ каждой из строк с номерами
s. Поэтому последний шаг алгоритма заключается в следующем:
3. Вычислить Л/-точечные ДПФ всех строк матрицы h (s, тп)
о ядром преобразования W L.
Описанная методика напоминает вычисление двумерного ДПФ,
когда сначала вычисляются ДПФ строк, а затем столбцов, но шаг
2 отсутствует. Разделимость ядра преобразования с более высокой
размерностью и является причиной того, что при расчете ДПФ
с более высокой размерностью требуется меньше операций, чем
при расчете одномерного ДПФ при одинаковом общем числе отсче­
тов.
414
Глава в
Здесь важно отметить, что после введения поворачивающих
множителей, т. е. после второго шага описанной выше методики
способы расчета двумерного ДПФ и одномерного ДПФ массива'
представленного в виде двумерной матрицы, становятся эквивалетными, причем при каждом таком представлении для выполне­
ния шага 2 требуется дополнительно до N умножений. Более
подробно вопрос о времени вычисления будет рассмотрен ниже в
этом разделе.
Н В ^ В |1 ||^ Н Н Н |
Следует отметить, что изменение порядка суммирования в фор­
муле (6.30) на обратный дает
L- 1
м-i
Н ФШЩ?
х (s,
г)= 2 wMU 2 *(*; т) wmswLTm,
шаг 2
шаг 3
так что порядок вычисления X (к) становится следующим:
1. Умножить отсчеты сигнала х (/, т) на поворачивающие мно­
жители W ms.
''г;
2. Вычислить ikf-точечные ДПФ всех строк.
3. Вычислить L-точечные ДПФ всех столбцов.
В целом методика вычисления преобразования идентична рас­
смотренной ранее, но отдельные операции выполняются в другом
порядке: умножения на поворачивающие множители здесь пред­
шествуют вычислению ДПФ строк, тогда как раньше они выпол­
нялись после вычисления ДПФ столбцов. Эти отличия не только
напоминают, но и действительно связаны с обсуждавшимся выше
различием между алгоритмами БПФ с основанием 2 при проре­
живании по времени и по частоте.
Отметим еще одно важное свойство методики преобразования,
вытекающее из формулы (6.30), в которой переменные т и г яв­
ляются номерами столбцов, а I и s — номерами строк. При увели­
чении т на единицу номер отсчета исходного массива (М1-\-т)
также возрастает на 1, тогда как при увеличении на 1 номера столб­
ца преобразованного массива г аргумент X (s, г) возрастает на L.
Это означает, что в результате преобразования номера строк
и столбцов меняются местами. Последнее обстоятельство настолько
важно, что для его иллюстрации приведем пример вычисления
15-точечного ДПФ с использованием разложения (3x5). Исход­
ную матрицу сигнала можно записать следующим образом:
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье _______ 415
х ( 9 ) = х ( 1 , 4)
я(10) = х(2, 0)
х (11) = х ( 2 , 1)
z(12) = z(2, 2)
х(13) = х(2, 3)
х (14) = х (2, 4)
Результирующая матрица гармоник ДПФ будет иметь вид
Таблица 6 .3
X (0) = Х (0, 0) X (3) = Ц (0,1) X (6) = Х (0, 2) X (9) = Х (0, 3) X (12) = Х (0, 4)
Х(1) = Х (1 ,0 ) X (4) = Х (1,1) X (7) — X (1, 2) Х(10) = Х (1,3) Х(13) = Х (1,4)
X (2) = X (2,0) X (5) = X (2,1) X (8) = X (2, 2) Х(11) = Х (2 ,3 ) Х(14) = Х (2 ,4 )
Если N = 30 = 5 x 6 Ш 5 x 2 x 3 , то основную теорему разло­
жения можно использовать дважды, начав с разложения (5x6),
а затем выполнить шеститочечные ДПФ, используя для этого раз­
ложение (2 х 3). Этот случай целесообразно рассмотреть на кон­
кретном примере. Другие N читатель может проанализировать
самостоятельно. Начнем с нумерации 30 отсчетов исходной матрицы
сигнала:
Матрица х(1, т)
0=
6=
12 =
18 =
24 =
(0, 0) 1 = (0,
(1,0) 7 = (1,
(2, 0) 13 = (2,
(3, 0) 19 = (3,
(4, 0) 25 = (4,
1)
1)
1)
1)
1)
2=
8=
14 =
20=
26 =
(0,
(1,
(2,
(3,
(4,
2)
2)
2)
2)
2)
3 = ( 0 , 3)
9 = (1, 3)
15 = (2,3)
21 = (3,3)
27 = (4,3)
4 — (0, 4)
10 = (1, 4)
16 = (2, 4)
22 = ( 3 ,4 )
28 = (4 , 4)
5 = (0 ,
11 = (1,
1 7 = (2,
23 = (3,
29 = (4,
5)
5)
5)
5)
5)
Теперь рассчитаем шесть пятиточечных ДПФ всех столбцов;
умножив элементы полученной матрицы на поворачивающие мно­
жители, получим новую матрицу ft (s , т):
Матрица h(s, т)
1) h (0, 2) fc(0, 3) ft(0, 4) ft(0, 5)
1) h ( 1, 2) h{ 1, 3) ft(l, 4) ft(l, 5)
1) h ( 2, 2) h ( 2, 3) ft (2, 4) ft(2, 5)
1) h (3, 2) h (3, 3) ft(3, 4) ft(3, 5)
1) h (4, 2) ft(4, 3) ft (4, 4) ft(4, 5)
Далее, вместо того чтобы непосредственно вычислять пять шес­
титочечных ДПФ, представим каждую строку, содержащую шесть
элементов, в виде матрицы размером (2 X 3). Так, первые две строки
матрицы ft (.?, т) переписываются следующим образом:
Строка 1
ft(0 ,0 ) ft(0, 1) /ь(0, 2)
Һ (0,
h ( 1,
Һ (2,
Һ (3,
Һ (4,
0)
0)
0)
0)
0)
h{ 0,
h ( 1,
h ( 2,
h(3,
h ( 4,
Һ (0,
3)
Һ (0,
4)
Һ (0,
5)
Глава 6
•••*•
Строка 2
Л(1, 0)
fcjfl, 3)
Л(1 ,1 )
һ{ 1, 4)
^ ( 1 .2 )
Һ (і, 5)
Таким образом, искомые шеститочечные ДПФ можно найти,
вычисляя ДПФ столбцов, содержащих по два элемента, умножая
результаты ДПФ на поворачивающие множители и затем рассчи­
тывая ДПФ строк, содержащих по три элемента. Вычисление
заканчивается, когда таким образом будут преобразованы все пять
матриц размера (2x3).
ал
Перечислим все операции, требуемые для выполнения 30-точеч­
ного ДПФ с использованием разложения (5 x 2 x 3 ):
1) 6 пятиточечных преобразований;
2) 30 умножений на поворачивающие множители;—
3) 15 двухточечных преобразований;
4) 30 умножений на поворачивающие множители;
5) 10 трехточечных преобразований.
Используя этот пример, можно рассчитать, сколько операций
необходимо для общего случая N = PLM :
л I,
1) L M Р-точечных преобразований;
}:** ЦШ&г
2) L M P умножений на поворачивающие множители;
3) М Р L- точечных преобразований;
4) L M P умножений на поворачивающие множители;
5) L P М-точечных преобразований.
Й
Чтобы оценить уменьшение объема вычислений за счет исполь­
зования алгоритма БПФ, рассмотрим несколько частных случаев.
Прежде всего положим N = L M , где L и М — простые числа,
большие 2. Из формулы (6.2) следует, что М-точечное ДПФ тре­
бует М 2 «операций», состоящих из умножения и сложения в ком­
плексной форме. Учитывая это, получим следующее общее число
операций для разложения вида N = LM:
C 2 = M L 2 + L M Z+ L M = L M (L + M + L ) = N { M + L + i). (6.34)
Член L M учитывает количество умножений на поворачивающие
множители, выполняемых между преобразованиями строк и столб­
цов (строго говоря, эти L M действий состоят только из комплекс­
ного умножения и поэтому требуют несколько меньше времени, чем
вся «операция»). Ясно, что при выполнении ЛГ-точечного ДПФ
«амым громоздким прямым методом потребовалось бы N 2 опера­
ций. Таким образом, с помощью формулы (6.34) можно оценить
выигрыш во времени вычислений, характерный для преобразова­
ния с использованием разложения. Если, например, N = 55 (Ь =
— 11, М — 5), то С%относится к числу операций при прямом рас­
чете ДПФ как 17:55. Очевидно, что с ростом N выигрыш увеличи­
вается. Например, если N — 15, L — 5, М = 3, то
-относиться к числу операций при прямом расчете ДПФ как 9:1э.
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье
417
Рассмотрим теперь случай, когда N можно разложить на три
простых целых сомножителя, т. е. N — P M L. Нетрудно показать,
что в этом случае число операций равно
С 3 = P2L M + PMU- + P L M 2+ 2 P L M = N (P + L + M + 2).
(6.35)
Например, при Р = 3, L = 5, М = 7 С3 относится к числу опера­
ций при прямом расчете ДПФ как 17:105, т. е. достигнуто умень­
шение числа операций почти на порядок. Чтобы оценить выигрыш
в общем случае, изменим обозначения и положим N = N iN 2N 3,...
N j. Тогда
j
Cj = N { ^ N t + J - i ) .
(6.36)
І= 1
С помощью полученных формул можно достаточно точно опре­
делить величину выигрыша при условии, что все числа N , прос­
тые (и не равные 2), так как только в этом случае общее число опе­
раций при N r точечном преобразовании равно N \. Если же числа
N і не являются простыми или N i = 2, необходимо быть очень ос­
торожными в оценках. Например, как было показано выше, при
двухточечном ДПФ (т. е. N t = 2) умножения вообще не исполь­
зуются. Это же справедливо и для N t — 4. При N t = 8 число
умножений существенно меньше 64. В связи с этим при разложе­
нии N на такие сомножители, как 2, 4 или 8, полученные выше
формулы непригодны. Рассмотрим, например, N , равное степени
2, скажем N = 2J. Тогда член формулы (6.36), учитывающий двух­
точечные ДПФ, включает только комплексные сложения и вычи­
тания, тогда как член (J — 1) учитывает умножения на поворачи­
вающие множители.В этом случае формула (6.36) становится весь­
ма неудобной для оценок, поскольку приходится сопоставлять
затраты времени на умножение и на сложение.
Чтобы получить направленный граф (подобный графам на
фиг. 6.3 и 6.11) для самого общего случая разложения, необходимо
расширить круг обозначений, введенных на фиг. 6.3 и 6.11. Это
сделано на фиг. 6.13, где 30-точечный массив представлен в виде
двумерного массива, содержащего 5 строк и 6 столбцов, со сле­
дующими элементами (числа обозначают номера элементов исход­
ного массива):
0
1 2
3 4
5
6
7 8 9 10 И
12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29
На первом этапе БПФ выполняются 6 пятиточечных ДПФ, так
чт© незачерненные кружки на фиг. 6.13 обозначают полные ДПФ,
418
Глава 6
Пятиточечное
ДПФ
Д$ихточеч- Трехтои*
ное ДПФ
ноя MJ19
Фиг. 6.13. Направленный граф 30-точечного БП Ф , основанного на последова­
тельных прореживаниях за счет представления одномерных массивов двумер ными.
\ ir. ^
размер которых равен числу линий, входящ их в круж ок и выходя­
щих из него. У злы направленного графа обозначают регистры,
содержащие входные и выходные отсчеты ДП Ф . Все выходные от­
счеты Д П Ф умножаются на поворачивающие множители; для обо­
значения этой операции введено 30 стрелок, около которых записа­
ны значения коэффициентов W . Следующий этап состоит в вычислвнии Д П Ф всех строк. П оскольку строки содержат по 6 элементов,
к аж д ая из них может быть представлена в виде матрицы с 2 стро­
ками и 3 столбцами. В примере, приведенном на фиг. 6.13, каж-
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье
419
дая шеститочечная строка преобразуется с помощью: 1) трех двухточечных ДПФ; 2) умножений на поворачивающие множители;
3) двух трехточечных ДПФ.
Отметим также следующую особенность обозначения. Строго
говоря, каждая линия, выходящая из незачерненного кружка,
должна иметь свою стрелку с коэффициентом W. Если, однако,
учесть, что W 0 = 1, то такой поворачивающий множитель можно
опустить. Во всех приводимых направленных графах (в том числе
и на фиг. 6.3 и 6.11) авторы по своему усмотрению решали, ввести
или опустить W 0. При нахождении поворачивающих множителей
для второго этапа графа на фиг. 6.13 необходимо помнить, что для
него коэффициент W равен W l0, поэтому матрица поворачи­
вающих множителей для каждой из прореживаемых строк исход­
ной матрицы, содержащей 5 строк и 6 столбцов, имеет вид
W° W° W°
W° W 5 W i0
В заключение осталось рассмотреть характер перестановки
данных на фиг. 6.13. Если бы весь массив из 30 отсчетов был пре­
образован в матрицу размером (5x6) (и никак иначе), то строки
и столбцы матрицы результатов оказались бы просто переставлен­
ными относительно исходной матрицы. Так как в действитель­
ности каждая строка также прореживалась, то это привело к до­
полнительной перестановке результатов. Окончательный поря­
док следования результатов ДПФ показан на фиг. 6.13.
6.9. Алгоритмы БПФ с основанием 2
В настоящее время значительно чаще используются алгоритмы
БПФ не со смешанным, а с фиксированным основанием. В послед­
нем случае значительно проще проводить анализ, программиро­
вать и разрабатывать специализированные устройства. В прин­
ципе разницы между алгоритмами со смешанным и фиксированным
основаниями нет. Действительно, если N = гт , где т — целое, то
сначала N представляется в виде произведения r x N / r , затем N/ r
представляется как r X N / r 2 и т. д. Например, если N — 32 и
г Ц 2, то можно поступить следующим образом:
1. Пусть отсчеты 0 — 15 составляют первую строку матрицы
размером (2x16), а отсчеты 16—31 составляют ее вторую строку.
Начнем с выполнения двухточечных ДПФ всех 16 столбцов, как
показано на фиг. 6.14, а результаты затем умножим на матрицу
поворачивающих множителей, также содержащую 2 строки
и 16 столбцов.
2. Пусть каждая строка, подлежащая преобразованию, пред­
ставляется в виде матрицы, составленной из 2 строк и 8 столбцов.
Вычислим по восемь ДПФ столбцов каждой из обеих матриц раз-:
27*
Глава 6
Фиг. 6.14. Направленный граф 32-точечного БПФ с замещением по основа­
нию 2.
мером (2 x 8 ) и умножим их элементы на поворачивающие множи­
тели, рассчитываемые с помощью множителя W 2, матрица которых
имеет размер (2 x 8 ). Полученный результат будет соответствовать
второму этапу алгоритма, граф которого показан на фиг. 6.14.
3.
Аналогично каж дую из строк, содержащ их по восемь эле­
ментов, представим в виде матрицы размером ( 2 x 4 ), а затем каж­
дую из строк, содержащих по четыре элемента,— в виде матрицы
( 2 x 2 ) , которая в данном случае является конечной целью.
В качестве упраж нения читателю предлагается выполнить
32-точечное Д П Ф с прореживанием по времени, используя двумер­
ный подход (или какой-либо другой).
Н а этом заканчивается рассмотрение алгоритмов БП Ф , прове­
денное с целью дальнейшего их использования главным образом
Спектральный анализ и быстрое преобразование Фурье _______ 421
в задачах спектрального анализа. Поскольку применение ДПФ
в последующих разделах этой главы было бы не совсем обоснова­
но без хорошего понимания алгоритмов БПФ, последние изложены
достаточно подробно, хотя, конечно, и не исчерпывающе. Дальней­
шее изложение идей БПФ содержится в гл. 10, где будет описана
аппаратурная реализация алгоритмов БПФ
6.10. Спектральный анализ в одной точке
z-плоскости
Прежде чем приступить к измерению спектра сигнала, необхо­
димо выяснить, что представляет собой анализируемый сигнал
и что именно нужно узнать о сигнале. В общем случае задачу
спектрального анализа можно рассматривать как задачу вычисле­
ния z-преобразования модифицированного сигнала в некоторой
области на z-плоскости. На фиг. 6.15 показаны шесть возможных
областей на z-плоскости, которые с точки зрения спектрального
анализа сигнала могут представлять интерес. На фиг. 6.15, а, в
и д эти области представляют собой совокупности точек на еди­
ничной окружности в z-плоскости. В трех остальных случаях
измерения также проводятся в отдельных точках, которые, однако,
а
6
в
г
д
е
Фиг. 6.15. Несколько различных вариантов расположения спектральных
отсчетов в z-плоскости.
Г л ава 6
422
не лежат на единичной окружности. Следует помнить, что теоре­
тически спектр можно измерять в любой точке Щ на z-плоскости.
Однако практически при таких измерениях нужно учитывать
время вычисления и эффекты, обусловленные конечной длиной
регистров памяти. С учетом сказанного обобщенный спектр сигнала
х (п) можно определить как
*I
!■
S„ (zt) = х (п) + х (п — 1) z;1 + х (п — 2) z~* Ц . . .
... +х{п — N +
или
(6.37)
'^ ^
*S„(z ,) =
§§
ж ( m ) z - (»-«>,
т = п —N + i
(6.38)
"*■^
где N — число отсчетов, по которым находится оценка спектра.
Во многих приложениях, в частности когда спектр сигнала
меняется во времени, приходится измерять S n(z1) для последователь­
ных значений п, т. е. значения S 0 |gpj Щ (zj), Ш (zx) и т. д. Такой
способ измерений называют скользящим спектральным измерением;
оно обеспечивается за счет смещения на один отсчет вперед вре­
менного окна (содержащего N отсчетов) и повторения измерения.
Анализ формул (6.37) и (6.38) показывает, что скользящее спект­
ральное измерение в одной точке z = щ эквивалентно фильтрации
КИХ-фильтром с импульсной характеристикой вида
h(n) = z ~n,
— 1.
(6.39)
На фиг. 6.16 изображена схема фильтра для вычисления прямой
свертки, обеспечивающая спектральные измерения согласно фор­
муле (6.37).
'
V
т
Фиг. 6.16. КИХ-фильтр для скользящего спектрального анализа в одной
точке
::
f ”:
Ф иг. 6.17. Рекуррентный метод скользящ его спектрального анализа.
Проанализировав выражения для двух последовательных спек­
тральных измерений
i (zx) и S n (zx), можно получить сле­
дующую рекуррентную формулу:
Я (zt) ВМЙя-t (zj) -j- s (re) —z~ ^x{n —N).
(6.40)
Схема вычислений по формуле (6.40) изображена на фиг. 6.17.
Отметим, что блоки, для обозначения которых на фиг. 6.16 и 6.17
использована буква z, представляют собой элементы задержки,
тогда как величины, равные степеням zlt представляют коэффи­
циенты умножителей (в общем случае они являются комплексны­
ми). Входные сигналы и промежуточные результаты фильтра так­
же могут быть комплексными. Из фиг. 6.17 следует, что для обес­
печения скользящих спектральных измерений сигнала в одной
точке z = zx достаточно выполнить всего два комплексных умно­
жения на входной отсчет.
6.11. Спектральный анализ с применением БПФ
До сих пор рассматривалось спектральное измерение в одной
точке на z-плоскости. Чтобы найти спектр сразу во многих точ­
ках, например zlt z2, z3 и т. д., нужно повторять описанные выше
вычисления для каждого нового значения z. На практике чаще
всего представляет интерес поведение спектра в некоторой заданной
довольно большой совокупности точек на z-плоскости. И в этом
случае главная задача состоит в том, чтобы выполнить измерение
спектра, используя минимальное количество операций. Поэтому
метод, описанный в предыдущем разделе, в практических задачах
спектрального анализа обычно не применяется, хотя его и можно
использовать для иллюстрации основных свойств спектрального
анализа.
В подавляющем большинстве приложений задача измерения
спектра сводится к нахождению значений z-преобразования ко­
нечной реализации сигнала для большого числа точек, равномерно
распределенных по окружности единичного радиуса. Измерения
такого типа соответствуют вычислению ДПФ конечной последова­
тельности и обычно наиболее эффективно выполняются с приме-
Глава 6
424
нениемописанных выше алгоритмов Б П Ф . И ногда желательно проводить*измерения спектра, вычисляя значения ^-преобразования
последовательности в равноотстоящих точках, расположенных
внутри' единичной окружности. Так, на фиг. 6.15, г представлен
случай, когда все точки равномерно распределены по окружности
радиуса г. Такое преобразование также можно получить с по­
мощью ДПФ. Выполняемое при этом измерение равно
I [геЯЗД/w)*] =
N -1
J
-,аг
[х (п) г '71] e-i(2n/JV
)nft> к = 0 ,
1,
. . . , N - 1.
(6.41)
Оно соответствует ДПФ последовательности
х (ге) = х (ге) г~",
(6.42)
поэтому в данном случае спектральный анализ сводится к пред­
варительному уножению массива сигнала на г~п и последующему
выполнению БПФ.
Ш
6.12. Некоторые характеристики спектрального
анализа
Двумя наиболее важными характеристиками спектрального
анализа являются:
1) количество частот, на которых желательно измерить спектр;
2) «разрешающая способность» измерения спектра.
Для анализа обеих характеристик лучше всего использовать
отмеченную выше эквивалентность между спектральным измере­
нием и фильтрацией.
гп'
Чтобы показать, какие факторы влияют на параметры спек­
трального анализа, рассмотрим пример, представленный на
фиг. 6.15, в , когда необходимо найти спектр сигнала в 16 точках,
равномерно распределенных по единичной окружности. Пусть
число N отсчетов сигнала, используемых при измерении спектра,
равно 16. Спектральный анализ, удовлетворяющий этим условиям,
может быть выполнен двумя эквивалентными способами: либо
с помощью 16-точечного БПФ, либо с помощью гребенки из 16 филь­
тров. Импульсная характеристика к-то филь