close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3323 danko p.e. popov a.g. kojevnikova t.ya visshaya matematika v uprajneniyah i zadachah

код для вставкиСкачать
г
*
*
I
Ь
ь
I
/и .!
гакяп
I
■л;*!
€
▲
хш
< к
М
А
▲
К
|
1
п . Е. ДАНКО, А. Г. ПОПОВ,
Т. Я. КОЖЕВНИКОВА
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
В УПРАЖНЕНИЯХ
И ЗАДАЧАХ
В ДВУХ ЧАСТЯХ
ЧАСТЬ
II
Издание четвертое,
исправленное и дополненное
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших
ш
^
•
а
______ •
^
«
#
1
1
%
ж
1
1
1
1
I
ж
V
.
I
\
г
П
1
^
л
о
в
и
и
о
я
л
и
МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОДА» 1986
е а
ш
н
Ж
Ш
---------
ш
"
_Ш
Б Б К 22.11
Д 17
^ Д К 517+519
Р е ц е н з е н т : кафедра высшей математики
Московского энергетического института
(зав. кафедрой чл.-кор. АН СССР С. И. Похожаев)
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб.
Д 17
пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. I I .— 4-е изд.,
испр. и доп.— М.: Высш. шк., 1986.— 415 с., ил.
Содержание II части охватывает следующие разделы программы: кратные и
криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теорию вероятностей,
теорию функций комплексного переменного, операционное исчисление, методы
вычислений, основы вариационного исчисления.
В каждом параграфе приводятся необходимые теоретические сведения. Типовые
задачи даются с подробными решениями. Имеется большое количество задач для
самостоятельной работы.
1702000000—246
73—86
001 ( 01)— 86
Б Б К 22.11
517
© Издательство «Высшая школа», 1974
© Издательство «Высшая школа», 1986» с изменениями
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г лава / . Двойные и тройные интегралы
§
§
§
§
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Двойной интеграл в прямоугольных к о о р д и н а т а х .................
Замена переменных в двойном и н т е г р а л е .....................................
Вычисление площади плоской ф и г у р ы ..........................................
Вычисление объема т е л а ..................................... ................................
Вычисление площади п о в е р х н о с т и ..................................................
Физические приложения двойного и н т е г р а л а .............................
Тройной и н т е г р а л ....................................................................................
Приложения тройного и н т е г р а л а ......................................................
Интегралы,
зависящие от параметра. Дифференцирование
и интегрирование под знаком и н т е г р а л а ......................................
§ 10. Гамма-функция. Б е т а -ф у н к ц и я ...........................................................
6
10
14
16
17
20
23
28
30
35
Глава II. Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности
§ 1. Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам . .
§ 2. Независимость криволинейного интеграла II рода от контура
интегрирования. Нахождение функции по ее полному диф­
ференциалу .................................................................................................
§ 3. Формула Грина .........................................................................................
§ 4. Вычисление п л о щ а д и ........................................................... ....
§ 5. Поверхностные и н т е г р а л ы ........................................................................
§ 6. Формулы Стокса и Остроградского— Гаусса. Элементы теории
поля
................. ............................................................................................
42
47
50
51
52
56
Г лава I I I . Ряды
§ 1. Числовые р я д ы .............................................................................................
66
§ 2. Функциональные р я д ы ............................................................................
77
§ 3. Степенные р я д ы ....................................................................81
§ 4. Разложение функций в степенные р я д ы ..........................................
86
§ 5. Приближенные вычисления значений функций с помощью сте­
пенных р я д о в .......................................... ..................................................
91
§ 6. Применение степенных рядов к вычислению пределов и опре­
деленных и н т е г р а л о в .............................................. .................................
95
§ 7. Комплексные числа и ряды с комплексными ч и с л а м и .................
97
§ 8. Ряд Ф у р ь е .....................................................................................................
Ю6
§ 9. Интеграл Ф у р ь е ..................... .... , , \ ...................................................
цд
Глава IV . Обыкновенные дифференциальные уравнения
§
§
§
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
Дифференциальные уравнения первого п о р я д к а ..........................
Дифференциальные уравнения высших п о р я д к о в ..........................
Линейные уравнения высших п о р я д к о в ..........................................
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядэв
Системы дифференциальных у р а в н е н и й .................................. .... .
117
139
145
161
166
Г лава V. Элементы теории вероятностей
§ 1. Случайное событие, его частота и вероятность. Геометрическая
в ер о ятн о сть.................................................................................................
176
3
§
2. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная
в е р о я т н о с т ь .................................................................................. *-* *
§ 3. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений со
бытия
...........................................* • • • .... ..................................
4. Формула полной вероятности. Формула Ь е и е с а ......................
5. Случайная величина и закон ее распределения . . . . . .
6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
7. Мода и медиана . . * ........................................................................
8. Равномерное распределение • • • • • • • • ..........................
9. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона . . .
10. Показательное (экспоненциальное) распределение. Функци
н а д е ж н о с т и ...........................................* • • • • .............................
§ 1 1 . Нормальный закон распределения. Функция Лапласа . . .
§ 12. Моменты, асимметрия и эксцесс случайной величины . . .
§ 13. Закон больших чисел .........................................................................
§ 14. Теорема М уавра— Л а п л а с а ................................................................
§ 15. Системы случайных в е л и ч и н ............................................................
§ 16. Линии регрессии. К о р р е л я ц и я ........................................................
§ 17. Определение характеристик случайных величин на основе опыт
ных д а н н ы х ............................................................• .............................
§ 18. Нахождение законов распределения случайных величин н
основе опытных д а н н ы х ....................................................................
179
183
186
188
192
195
196
197
200
202
206
210
213
214
223
228
240
Глава VI. Понятие об уравнениях в частных производных
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка в частных прои з в о д н ы х ............................................................................................. ... V*
§ 2. Типы уравнений второго порядка в частных производных. Приведение к каноническому в и д у .............................................................
§ 3. Уравнение колебания с т р у н ы ................................................................
§ 4. Уравнение т е п л о п р о в о д н о с т и ................................................................
§ 5. Задача Дирихле для к р у г а .....................................................................
****
Глава V I I . Элементы теории функций комплексного переменного
§
§
§
|
§
§
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Функции комплексного переменного....................................................
Производная функции комплексного п е р е м е н н о г о ......................
Понятие о конформном о т о б р а ж е н и и .................. .............................
Интеграл от функции комплексного перем енного...........................
Ряды Тейлора и Л о р а н а ........................................................................
Вычисление вычетов функций. Применение вычетов к вычислению и н т е г р а л о в ......................................................................................
282
295
Глава V I I I . Элементы операционного исчисления
§ 1. Нахождение изображений ф у н к ц и й ............................................... ....
§ 2. Отыскание оригинала по и з о б р а ж е н и ю ...........................................
§ 3. Свертка функций. Изображение производных и интеграла от
оригинала
-—-—-—-——
§ 4. Применение операционного исчисления к решению некоторых
дифференциальных и интегральных у р а в н е н и й ..............................
§ 5. Общая формула о б р а щ е н и я .....................................................................
§ 6. Применение операционного исчисления к решению некоторых
уравнений математической физики ...................................................
30^
ош
310
312
315
316
Глава IX . Методы вычислении
§
§
§
§
4
1.
2.
3.
4.
Приближенное решение у р а в н е н и и ....................................................
И н т е р п о л и р о в а н и е ......................................................................................
Приближенное вычисление определенных и н т е г р а л о в .................
Приближенное вычисление кратных интегралов . . о . * . •
321
330
о44
338
§ 5. Применение метода Монте-Карло к вычислению определенных
и кратных и н т е г р а л о в ............................................................................ ......350
§ 6. Численное интегрирование дифференциальных уравнений . . .
362
§ 7. Метод Пикара последовательных п ри бли ж ен и й ....................................368
§ 3. Простейшие способы обработки опытных д а н н ы х ................................370
Г лава X . Основы вариационного исчисления
§ 1. Понятие о ф ун кц и он але..................................................................................385
§ 2. Понятие о вариации ф у н к ц и о н а л а .............................................................386
§ 3. Понятие об экстремуме функционала. Частные случаи интегри­
руемости уравнения Э й л е р а ................................................................... ...... 387
§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков 393
§ 5. Функционалы, зависящие от двух функций одной независимой
переменной ................................................................................................ ......394
§ 6. Функционалы, зависящие от функций двух независимых пере­
менных ......................................................................................................... ......395
§ 7. Параметрическая форма вариационных з а д а ч ........................................ 396
§ 8- Понятие о достаточных условиях экстремума функционала . . .
397
О т в е т ы ..................... .... . . . , '. . . . . . . . . . . ................. ....
_ #
здз
П р и л о ж е н и е ................. ......................................................................................................409
ГЛАВА I
ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ I ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ
Пусть функция /«(х, у) определена в ограниченной замкнутой области О
плоскости хОу. Разобьем область П произвольным образом на п элементарных
областей, имеющих площади Де%, До2» •••> &оп и диаметры
- • * » (диа*
метром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками
границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произволь­
ную точку Р-ь ( ^ ; щ ) и умножим значение функции в точке Р* на площадь
этой области.
Интегральной суммой для функции / ( * , у) по области О называется
сумма вида
п
2
^ (1/ь Л*) Аа /г = / (5 ь Л1) Да 1+ / (5г» Лг) Да 2 + • • • + / (Щ» Лп) Аая .
Если при шах йь — 1 0 интегральная сумма имеет определенный конечный
п
предел / =
Нш
/
Л*)
не зависящий от способа разбиения Э
шах йи -► 0
1
на элементарные области и от выбора точек Р& в пределах каждой из них,
то этот предел называется двойным интегралом от функции / (х, у) в области
В и обозначается следующим образом:
п
I
=
0 0
/ (х,
у) М щ
Ш
тах
0
2
^
Л=1
Да**
объему цилиндрического тела , ограниченного сверху поверхностью г = ! ( х , */),
сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ог,
и снизу областью О плоскости яО|/. ®
Основные свойства двойного интеграла
• II [/х (X,
у) ± к (X, у)]
|| = | Я ||
О
у)4 о±
$
5 5 /2(*.
У) 11а.
О
2°. П с / ( х , У ) А а = с ^ [ { х , У)йа, где с — постоянная.
о
о
3°. Если область интегрирования О разбита на две области Щ и 0 2, то
| (х, 1 1 1 = ^ I (х, | й р в 1 5 1 (х, у) ао.
в
щ
о»
4°. О ц е н к а
двойного
интеграла.
Если
т < / (#, у ) ^ Л1, то
1 1 1 (я, у ) й о < М 8 ъ где 5 — площадь области Я , а т
венно наименьшее и наибольшее значения функции / (*,
6
и М — соответст­
в области О.
Правила вычисления двойных интегралов
Различают два основных вида области интегрирования.
1. Область интегрирования
ограничена слева и справа прямыми х = а
и х ~ Ь (а < Ь), а снизу и сверху— непрерывными кривыми у = ф1 (*) и
у = щ (х) [фх (х) ^ ф2 (х) ], каж дая из которых пересекается вертикальной пря­
мой только в одной точке (рис. 1).
Д ля такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
Ф2 (*)
6.x
/(*> У )ахе*У
о
а
I (х, у) ((у,
Ф1 Ш
ф2 ( .V )
причем сначала вычисляется внутренний интеграл
\ (х, у) т* в котором
Ф1 Щ
х считается постоянным.
2. Область интегрирования ^ ограничена снизу и сверху прямыми у = с
и у ~ й (с < <*), а слева и справа — непрерывными кривыми * = %(*/) и х =
П
у -й
У=с
о
Рис- 2
Рис. 1
= Ч-2 (У) [||х (У) Щ ^2 0/)1> каж дая из которых пересекается горизонтальной гтря5мой только в одной точке (рте*. 2)'
Д л я такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
% (У)
ЛхЛу
\лУ
Их, у)с1х,
й
*Фа 1у)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл С / (л% у) с1х> в котором
^ (У)
у считается постоянным.
Правые части указан«ых формул называются двукратными (или повторными) интегралами.
В более общем случае область интегрирован !я путем разбиения на части
сводится к основным областям.
1. Вычислить \ \ х\пуйхс1у, если область О — прямоугольник
о
О
Д
X
е.
4, 1
X Ах
^ * 1 п уйхАу
о
о
2 } 0 -Гу1п у ~ у ] [ = 8 ( *
1
7
2. Вычислить
5 5 (соз» х + ЗИ19 у) йх йу, если область В - квади
рат 0 < * < л / 4 , 0 ^ у ^ я /4.
Я /4
Д
| | (СОЗ® Х + 5 Ш а у ) й х й у =
о
Я /4
| йх
|
0
0
Я /4
§
(СОЗ2 Х + 31п* У) Щ
« /«
Гу соз** + |
- \
81П 2 у ] " /4
:2
х1
|
( т с08адс+ Т ” 4 )
(Их
я
8
3. Вычислить / = 5 А* $ (2 * — */) | § |
Г
Щ
.
1
— Я4 — — X5 — - х 3
2
10
2
4. Вычислить Ш | х — у ) й х й у , если область й ограничена лий
ниями у = 2 — х2, у = 2 х — 1.
|
Д Построим область Р . П ервая л и н и я — парабола с вершиной в точке
(0; 2), симметричная относительно оси Оу. Вторая л и н и я — прямая. Реш ая
совместно уравнения у = 2—х2 и у=2х— \, найдем координаты точек пере­
сечения: А (—3; — 7), В ( 1; 1) (рис. 3).
Область интегрирования принадлежит к первому виду. Находим
1 2 - х «
1
[[{хЩ ёхй уЩ V т
\ {х ^ у)ф Щ
о
-3
2х —1
-3
1
- -Ш
1 И 2—х*
о1
йх
г " ! * 1] * , . !
ГЪ
2х -
х?
-2 + 2
-3 4
х*
-±
х*
- 2 х2+
х+
2 х* - 2
х
+ - 2 )0х
1
* .д » _ д 8 + 2 *« + , _ | . ] Л с
1 «5
10
_1_ у4 1_?_ ^3 1__1_ х2 __ 3
4
*3
2
2
5. Вычислить I I ( х - \ - 2 у ) й х й у ,
если
прямыми у = х у у = 2 х у х = 2, х =
3
(*+2*/)
/>
3
область
А
А
1> ограничена
^
о
Д
I 1 ---4А
]-л
15
3.
2х
3
1 * 5
2
х
*У = 5
РЩ
3
Г (2х2 + 4х2— д:2— х2) й х = 4 Г х* йх = 4 ~ я8 3= 2 5 у . А
3
а
о
2
2
8
6. Вычислить ^ е*4 з1а у с о з у йх йу,
если
область
й — прямо-
I)
угольник
л/2.
7. Вычислить 55 ( д у %) йх Ау, если область В ограничена ли
Г)
ниями у =
х = 0, у — 1, у = 2.
8. Вычислить $ (3*- — 2дсу + у) йхс1у, если область О огранио
а
чена линиями л = 0, х = у л,
9
9. Изменить порядок интегрирования в интеграле
I
/( * , у)Лу.
-V I -дг*
Д
Область интегрирования О ограничена линиями х
1— х%9 у — I — х1 (рис. 4). Изменим порядок интегрирования, для чего
Рис. 4
Рис. 3
заданную область
представим в виде двух областей (второго
1>1, ограниченную слева и справа ветвями параболы х = ± V 1— У
и В 2, ограниченную дугами окружности х = ± \ г 1 — у 2 {— 1
1
1
йх
-I
о
-V I - х*
- V ! —у
о
[(х:\у)с1х+ С
-I
вида):
1),
Тогда
Н х, у ) »
▲
-1 1- у 3
2л
10. Вычислить^ соз2 х й х \ у йу.
о
V
о
.
н
»
я
»
11. Вычислить ^ йх ^ {х— у) йу.
1
/1
х
12. Вычислить 5 5 ^ п ^ х ^
если область й ограничена ли-
9
13. Вычислить ^ (соз 2х + з ’ш у) с1х § у у если область П огранио
чена линиями %= 0, у — О, 4л:+ 4у — л = 0.
14.
В ы числить
У)^х Ф»ес ли область О определяется не-
^ $ ( Зл' +
й
равенствами х2 + г/2 ^ 9, у ^ (2/3) х-\-3.
15. Вычислить ^ 51П (х-{- у) Лх (1уу если область Т) ограничена
й I - 4
'
г
V' ' .
линиями х = 0, у = п/2, у = х.
16. Вычислить [ \ хсЬсйи,
если область
Р — треугольник
с
вершинами А (2; 3), В (7; 2), С (4; 5).
Изменить порядок интегрирования:
2
17.
19.
2-*
§<1*
23.
р (*, у ) й у .
-6
хгЦ - 1
1
1 + У 1- у *
$ йу
5
0
1
21.
^
е
$
О
( 1—*)72
4
V 25 - 0 *
\й у
$
О
9/16
24.
18. 5 ^ 5
1
Нх, у)&у.
О
1
!(Х, у) Ох.
*
20. $ сЬс $ / (х, у) йу.
2 -0
[уьГ х*
$ Лс
\пх
о
я
/( * ,
у)Лу.
О
йпх
22. \ 0 х
О
$ / ( * , у)(1у.
О
Нх, у) Ох.
4у/3
1'Ц
3/4
3 /4
$ | | | | (х, у ) й х + I йу | /( * , у)Ох.
О
2
у
9/16
Ух
4
Ух
25. | | | $ /( * , г/)ау+$сЬс
0
0
2
у
|
уЗГЛ
■
Ц
и
6
Г*
В
$
4
Нх, у)йу.
Ул:-2
§ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ
1.
Двойной интеграл в полярных координатах. Преобразование двойного
интеграла от прямоугольных координат х, у к полярным координатам р, 6,
связанным с прямоугольными координатами соотношениями х = р с о ь 0 , */ —
= р $ш 0, осуществляется по формуле
/ (р сое 0, р з1п 0) р ф Л .
Й
в
|
Если область интегрирования ^ ограничена двумя лучами 0 = а , 0 = Р
( а < В), выходящими из полюса, и двумя кривыми р = рх(0) и р = р 2 (0), где
р 1 (0) и р2 (0)— однозначные функции при а < 6 < р и р1 (0) < р 2 (0)» то двой­
ной интеграл вычисляется по формуле
I
р2р |
I (р, 0) | йр 40 = | $ | | I (р, 0) Р I Р ,
п
а
р! (0)
10
где Г (р, 0) = / ( р с о з 0 , р зш 0), причем сначала вычисляется интеграл
РаФ)
Р (Р> 0) Р Ф> в котором 0 считается постоянным.
Р«( в ) \
2. Двойной интеграл в криволинейных координатах. Пусть двойной инте­
грал преобразуется от прямоугольных координат х, у к криволинейным коор­
динатам и , V, связанным с прямоугольными координатами соотношениями
х = х ( и , V), у = у ( и , о), где функции *(г/, V) и у = ( и , у) имеют непрерывные
частные производные в области О ' плоскости «О'у и определитель преобразо­
вания, называемый якобианом,
в области Щ не обращается в
нуль:
При этом устанавливается
взаимно однозначное и в обе
стороны непрерывное соответ­
Рис.
5
ствие между точками области
О плоскости хОу и точками об­
ласти О' плоскости иО'а (рис. 5). Замену переменных в двойном интеграле
рекомендуется производить так, чтобы упрощались подынтегральное выраже­
ние и область интегрирования.
Формула преобразования двойного интеграла в этом случае имеет вид
1 1 1 (*, У) ёх ШуЩ 1 1 /
о
О’
Д л я случая полярных координат
дх
др
ду
др
дх
дё
ду
дв
(ы, V), у (и, V)]\^\ йи 4в9
соз 0
ЗШ 0
— р ЗШ 0
р со з 0
Р
26. Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл 11 V х 2+ у 2й хй у% если В — I четверть круга х2-\-у2
о
Д Полагая * = р с о з 0 , у = р з 1 п 0 , имеем
о
Я/2
■
0
О
п/2
а
0
о
я '2
о
40
р
а
3
40
о
па з
6
▲
27. Вычислить 111 п ( х * у 2) дх йу у если область О — кольцо
о
между окружностями х2+ у2= е2 и х2+ у2= е*.
Д Перейдем к полярным координатам:
е*
5 $ ,п (х2+ у 2) с ! х с 1 у = ^ 1п р 2 р йр 40 = 2 С С р 1пр</р<Ю = 2 С 40 § р ! п р ф .
Я
О
О
о
е
11
I
Взяв по частям интеграл, зависящий от р, получим
2я
2 ^ [ д Р 2 1пР—Х р2]е с1в= ле2(3е2~ 1)- А
О
'«V,
28. Вычислить | ^ (х + у)3 (х — у)2с1х йу, если область Щ
—
й
рат,
ограниченный
х — у = — 1 (рис. 6).
х + у= 1,
прямыми
х
—
у = 1,
1
квадГо ;
х+ у= 3,
Рис. 6
Д Положим х - \- у = иу х - у = 1\ откуда х = ( 1 / 2 ) (м+о)»
Тогда якобиан преобразования
1
1
дх
дх
1
2
2
ди
до
, т. е. Ш
2
1
1
ду
ду
2 ~ 2
до
ди
Следовательно, ^ ^ ( * + */)3 (х— у)2 Ах йу
1
(1/2) (и
г)
З Ш йи йгк Так как область В 9
С/
о
также является квадратом (рис. 7), то
я
1
(х +
о
у)*
(х— у)2 йхйу
и
о
]_
Г иг йи ^ V2 й’с
2
1
3
I
и
|
3
111
Й § р | [ и3 (1 + 1 ) Л < = 4 « 4
12
1
20
3
▲
И~
О
четырьмя параболами х*
ту!3, х* = 2пу/3, у* = 2х, Ф Щ & (рис. 8).
Произведем замену переменных так, чтобы х у ^ ш и х2/ у = 1,\ тогда
х = ] / да2, 1/ — Ъ'
1 г1А) и область О' окажется прямоугольником: и = 2, и = 4,
V— л/3, V= 2л/3 (рис. 9). Находим якобиан преобразования:
д
2
3
2
3
12
1/3 „ - 1 /3
и
„ - 1/3 „ 1/3
1
3
^ 2/3
2/3
I
9
4
9
т. е. | У | =
1
3
Следовательно,
х2 з1й (ху/2)
У
о
с!х йу
3
2
3
з1п(ир/2)(1и
я/3
2
. 2я
3 V
2 я/3
. я
“3
"3
2
3
йи ш
гг2/3 V1*'3
§
2 Я/3
I
3
^2/3 у4/3 8|П (до/2)
3
(соз ^ — соз 2у) Л&
я/3
. 4я
, 2я
5Ш -=-----51П
3
3
О
2
3
Переходя к полярным координатам, вычислить двойные ин­
тегралы:
30
во
1
У
йх&у,
если
область
В
—
круг
х2
+
у
2
х2
я2.
п
271
I
I
!
I
У
2?
з
о
■
к
а
Рис. 9
Рис. 8
31.
2
| если область О ограничена полуокружностью
о
у = У 1— х2 и осью Ох.
32. ^ (ха + У*) йх йу, если область Б ограничена окружностью
о
\
хъ-|- у г — Чах.
81ПУ Х2-{- у-
33. \ у
Дхйу, если область’© ограничена линиями
•И
уж*-Ни®
о
Хг + у* я*/9, х*-{-уъ= п2.
34.
у 2&х&уу если область В ограничена линиями
о
х%-{-у2 =
х2 + * /2 = 4а2.
1
2х
35. Вычислить ^ Ах ^ Ау, введя новые переменные х = и ( 1— а),
о
х
У г Ш.
13
36. Вычислить ^ А х А у , если область 1> ограничена линиями
в
? л® -
'Ууг^:
х у = 1, х у = 2, у = х, у = 13х.
© Произвести замену переменных х = ( и / а ) 1/а, у = ( ни)т /з.
§ 3. ВЫ ЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ
Площадь плоской фигуры, ограниченной областью И, находится по формуле
шяи
Если область В определена, например, неравенствами
* / < <р2 (*), то
Ь
ф2(х)
5 = | йх | йу.
а
<р, (х)
Если область О в полярных координатах
а < 6 < Р , Ф ( 0 ) < р < / ( 6 ) , то
В
№
5 = ^ | р 4р 4 0 = | 40 |
*/)
а
определена
неравенствами
р4р.
ф (0)
37. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х
\ у — у*, х + у = 6.
• \
] "
Т
Д Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему
уравнений х = 4 у — у 2 и х - \- у = 6 (чертеж рекомендуется выполнить самостоя­
тельно). В результате получим А (4; 2), В (3; 3). Таким образом,
5 -
У
0
2
(—
4 ,- ( ,
6 -у
б)^=Г—
2
6^ } 2==‘б' ( кв' ед-^‘ ^
38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями
1;
рис.
10).
Р — 1, е ш
и
Д Найдем координаты течки А; имеем 1 = ( 2 / |/ ~ 3 ) соз 0, сое 0 — у
0 = я/6 , т. е. Л ( 1 ; я/6). Тогда
(2/УЗ) СО» 9
я /6
,
Г
Г
1 I Г Г I ,1 (2/У з) со»в №
1 Ш
\
р ф = 2 \ I-^"р 1
Я /6
5=
[
0
й/6
*
1
0
я/6
1 Соз2 0 - 1 ^ 0 = |
й ’
3
14
| - | + | - с о з 2 0 - 1 ]<*0
о
яг/6
1'и
Г
/г»__
П
А
П
^
1
оп
атЯ/в
С ( 2 с о з 2 0 — 1 ) 4 0 = у [з1п20— 0}*
0
39. Найти площадь, ограниченную лемнискатой (х2+ у 2)2= 2 а 2ху.
Д Полагая д : = р с о з 0 , у = р з 1 п 0 , преобразуем уравнение кривои к полярным координатам. В результате получим р2 = 2а2 зш 0 соз 0 = а2 зш 20.
Очевидно, что изменению полярного угла 0 от 0 до я /4 соответствует
четверть искомой площади. Следовательно,
5=4
4
2
рф = 2
й!
о
О
я/4
а V 510 2 0
Я /4
О
Р
о
а V зш 20
О
40
я /4
2а 2 С з 1п 20
о
= — а 2 со8 2 0 1” /4 = а 2. А
40. Найти площадь фигуры, ограниченной линией х3 + у 3 = аху
(площадь петли; рис. 11).
Рис. 11
Д Преобразуем данное уравнение к полярным координатам: р3 (з!п3 0 +
+ соз3 0 ) = ар2 зш 0 соз 0, т. е. р = а зш 0 соз 0/(з1п3 0-(-соз3 0). Осью симметрии
петли является луч 0 =4 я/4, поэтому
Я /4
5= 2
а зш 0 соз 6 /( з ш 3 0 + соз3 0)
рф < 20 = 2 С М
о
о
рф
0
Я/4
Я /4
0 СОЗ2 0
5 ^ 0 = а2
(ЗШ3 0 + СОЗ3 0)
81П2
а
о
я /4
2
3 ^ 20сГ(1д0)
а2
з
С
о
0 соз4 0
40
соз6 0(1 + 1 & 3 0)2
Я/4
^
о
< * 0 + 1 е 3 в)
(1 + «В30)*'
Г
1
о2
"|я/4
з ( 1+ е т ] о
а
▲
6 •
Вычислить площади фигур, ограниченных заданными линиями:
41. х — у 2— 2 у, х - 1_ У = 0.
43. у
4х х \ у г 2х
(вне параболы).
45. у* + 2 у — З х + 1
0,
З х — З у — 7 = 0.
42. у = 2 — х, у *
44. 3 о* = 25х, 5х
4х + 4.
9 у.
46. у — созх, у — соз 2х, У = о
(площадь ближайшей от начала
координат фигуры).
47. у — 4 х — х1, у = 2 х г — 5х
48. х — 4 — у*, х - \ - 2 у 4 = 0.
15
49. р = 2 — СО5 0, р = 2 (вне 50. р = 2(1 + с о 5 0),
кардиоиды)
51. у 2= 4 ( 1 — х), х* + у 2 = 4 (вне параболы).
р = 2соз0.
§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА
Объем цилиндрического тела , ограниченного сверху непрерывной поверх­
ностью г = / ( х , у)> снизу плоскостью г = 0 и сбоку цилиндрической поверх­
ностью, вырезающей на плоскости хОу область I), вычисляется по формуле
У % М / (х, у) Ш с1у.
о
-
--
Щ'
•"X
^
52.
Найти объем тела, ограниченного поверхностями у = 1 + х 2,
г = 3;г, у = 5, 2 = 0 и расположенного в I октанте.
Д Тело, объем которого надо вычислить, ограничено сверху плоскостью
2 = 3х, сбоку— параболическим цилиндром у = 1 + х 2 и плоскостью у — 5. Сле­
довательно, это— цилиндрическое тело. Область Б ограничена параболой
у = \ - \ - х 2 и прямыми у = 5 и х = 0 . Таким образом, имеем
2
У=
5
2
З х й х й у — 3 ^ х й х ^ с!у = 3 ^ х* [у]\ + д2 йх
й
о
1-гА'2
о
1
3 ^ (4х— х3) йх = з | 2х2 — — х4 1о = 12 (куб. ед.). Д
о
53. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями г =
1— х2— у 2, у = х у у — х У 3, г = 0 и расположенного в I октанте.
Д Данное тело ограничено сверху параболоидом г = \ — х2— у 2. Область
интегрирования О — круговой сектор, ограниченный дугой окружности х2-\-у2= 1,
являющейся линией пересечения параболоида с плоскостью г~=0, и прямыми
у = х и у = х У 3. Следовательно,
V= ^
(1 — х2 — у 2) с!хс!у.
Поскольку областью интегрирования является часть круга, а подынте­
гральная функция зависит от х 2-\-у2, целесообразно перейти к полярным ко­
ординатам. Уравнение окружности х2-\-у2= 1 в этих координатах примет вид
р = 1 , подынтегральная функция равна 1— р2, а пределы интегрирования по 0
определяем из уравнений прямых: ^ 0 1 = 1 , т. е. 01 = л/4; 1 ^ 0 2 = ^ 3, т. е.
02 = я/3. Таким образом, имеем
Я /3
V = 5 5 ( • — р 2) р
5 ^ 5 ( р - р 3) ^ —
О
Я /4
я/3
’
1
2
2 Р “
1
1
0
я/3
4
Р
54. Найти объем тела, ограниченного поверхностями х2+ у 2= а 2,
х * -1 -2 а = а*.
№
Н
Ш
I г" УН *
Д Рассмотрим восьмую часть заданного тела (рис. 12):
8
V
х2 йх йу
т
V О2—А'2
■
X2 ш
о
о
о
а
Г*
(а2 — х2) йх
1
2Х
* -------З V3
х
2
а3.
3
о
Следовательно, К = 1 6 а 3/3. Д
Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями
55. х 2 У
8, х = 0 , у = О,
0,
х + у + г щ 4.
56.
х = 2у 2,
х+2у + г= 4
У = 0,
2 == 0.
57.
4г/2 + г — 1, 2 — 0.
58.
*а + *Л § % ' 0 , у — 1, г 0.
59.
4 — х г, 2 х + у М 4, х = 0, у 0
г == 0.
60.
ху, х = 0, х = 1, у — 0, у = 4,
г == 0.
61.
5х, х
9, 2 = 0.
У
62. X \-у-{-2 — 6, ох-\-2у = 12, Зх-)Рис. 12
ИВв
1 У = 6 , у — 0, 2 = 0.
63. г = х у
1, у а= х, х = 1, у — 0, 2 = 0.
64. г = 0, г = х у , х*-\-уг = 4.
65. хг/аг + у 2/ Ь - = 1, у = 0, г = х/2, г = х.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
Если гладкая поверхность задана уравнением г = / (х, у), то площадь поеерхности выражается формулой
,_ •
5
1
/ д г \ 2 : /д г
дх
ду
ШШ с
где О — проекция данной поверхности науплоскбсть
поверхность задана уравнением
I ОхУс
5
логично, если
/у
а
*
)
:
о
.V 1
у
Я ДГ'
»
' Вт
.
*
где И проекция поверхности на плоскость уОг\ если же у^Яйцение поверх­
ности имеет вид у = / ( х , г), то
И д ••
\ "1
---------------А
г
ду\*
5
Щ 2 Ох /лт* .
1
дх
д г ) Г р ’С
*
О
я
+
где й — проекция поверхности на поверхность д:0г.
* и 'Л 1 % 'Г г л * ‘
%#
V* т
-1 6
17
г*
лМШ
Ш
Ьг ж&ЯШих
^ ---^Р*ИГ*,
а2, заключенной
66. Найти площадь части сферы хг -\-уг
внутри цилиндра хъ-\-у* — а у (рис. 13).
Д Из уравнения сферы имеем (для I октанта):
2 = у о 2- ^ 2- 1 / 2;
дг
дх
дг_
дг
дх
У а2
х2
т
У
дг
в
^
ду
У
У а 2— х2
У
х2— у 2
а2 — х2 — у 2~^ а2
У
а
У а 2 — х2 — у 2
Часть сферы, расположенная в I октанте, проецируется в полукруг, ограниченный окружностью х2 + у 2 = ау и осью Оу. Этот полукруг и является
областью интегрирования й .
Поверхность расположена в четырех октантах*
а потому искомая площадь
йхйу
5 = 4а
У а2 — х2— у
о
Перейдем к полярным координатам, тогда уравнение окружности примет вид р = а $ ш 0 и
у
я/2
р 4р с/0
5 = 4а
Рис. 13
й
у а2— р2
Р*Р
40
о
ж
о
У а2 —р2
г
я/2
Я/2
азш 0
Уа
4а
4а
а з!я 0
Р О
0 — 1)40
4а2
40
о
о
я
2
4а2 Я р 0
(кв. ед.)
1
67. Найти площадь части конуса г = У х2 + у 2, заключенной
внутри цилиндра х2-\-у2 = 2х (рис. 14).
дг
У
У
ду
у Хг + У 2
ластью интегрирования й является круг, ограниченный окружностью х2-\-у
или р = 2 с о з 0 . Тогда
дг
Д Из уравнения конуса имеем Щ
хй
иг
1"Ъ хЖ* +I у'^*2 +' хг-2*_1+_!уГл
5
о
я/2
аХ с 1 у = у г '2
О
Я/2
2
У2
$
ав
- Я /2
|||
О
я/2
1
2
о
$
2 соз 0
12 соз 0
Р2 1
О
,—
1
40 = 2 У 2* 2
4 С0520 40
о
Я/2
2у 2
^ (1 + соз 20) 40 = 2}/" 2 [ б + у з ! п 20р
О
18
О
= п У 2 (кв. ед.) А
06=2х,
68. Вычислить площадь поверхности цилиндра х2 = 2 г у отсе­
ченной плоскостями х — 2 у = 0 у у = 2х, х = 2 \ / г 2 (рис. 15).
Д Областью интегрирования служит треугольник ОАВ. И з уравнения
\
дг
дг л т
цилиндра имеем - ^ = х ,
^ = 0 . Тогда
*
2VI
0
0
2У~2
21 2
'
3
4
3
о
2х
х/2
( 1 + * 2) 1/2<Ш + л:2)
о
2V 2
13 (кв. ед.). Д
О
69. Вычислить площадь части поверхности параболоида х
1— у 2— г 2, вырезанной цилиндром у 2-\-г2= \ .
Рис. 14
Д
Рис. 15
Область
интегрирования — окружность у 2- |- г 2 = 1 (она расположена
дх
дх
в плоскости уОг). Из уравнения параболоида имеем
2г.
дг
Ту
Тогда
вййрй
8
ду
Ш
дг
Ш
ш
у 1 + 4 (уг + г 2) Щ йг.
ш
о
\
Перейдя к полярным координатам, получим
2л
5
1
40
0
Г р У~ 1
2я
4р2 ф 40
о
о
2
3
8
0 + 4 р 2)
3 /2
40
2я
ЪУ 5— 1
12
40
о
5 У~~5— 1
6
л (кв. ед.). А
70.
Найти площадь части поверхности у = л:2 + г2, вырезанной
цилиндром г 5+ г2= 1 и расположенной в I октанте.
19
71. Найти площадь части сферы хг у 2 + г 2 = 4, вырезанной
цилиндром х®/4 + у 2 = 1.
72. Найти площадь той части плоскости г = х, которая за­
ключена внутри цилиндра х2 + у 2 = 4 выше плоскости 2 = 0.
73. Найти площадь части поверхности цилиндра г — х2, выре­
занной плоскостями х - \ - у — У 2, х = 0, */ = 0.
74. Вычислить площадь поверхности конуса х2— у 2— 2* = 0,
расположенной внутри цилиндра х2 + у 2 = 1.
75. Вычислить площадь поверхности цилиндра х * + г 2 = 4,
расположенной внутри цилиндра хг + 1/2 = 4.
76. Найти площадь части поверхности г 2 = 2ху, вырезанной
плоскостями X— I , у — 4, 2 = 0.
§ 6. ФИЗИЧЕСКИЕ П РИ Л О Ж ЕН И Я ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Если пластинка занимает область О плоскости хОу и имеет переменную
поверхностную плотность у = у ( х , У)> то масса М пластинки выражается двой­
ным интегралом:
М
| | У (*, У)йхОу.
Статические моменты пластинки относительно осей Ох и Оу находятся
по формулам
М х = С Л у у (*, у) йх ф , М у =
=
х у (х, у) йх йу*
В случае однородной пластинки 'у = сопз1.
Координаты центра тяжести пластинки можно вычислить по формулам
Г=лум ,
У = Ш У р!
где М — масса пластинки, а М х , М у — ее статические моменты относительно
осей координат.
В случае однородной пластинки эти формулы принимают вид
—
о
х ---------- --
—
1
, у —
8
где 5 — площадь области О.
Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу вычисляются
по формулам
5 5 у 2у Ш’
ф
а* щ
1 у 1 1 5 ш (*> у ) йх аУ'
а момент инерции относительно начала координат — по формуле
1о— К
ш
У)Лх<1у=1х + 1у.
П олагая в этих формулах у (де, (/) = 1, получим формулы д ля вычисления
геометрических моментов инерции плоской фигуры.
20
77. Найти кооординаты центра тяжести фигуры, ограничен­
ной линиями у г — 4л:+ 4, у 2
4 (рис. 16).
Д Так как "фигура симметрична относи
тельно оси Ох, то у = 0. Остается найти х.
Найдем площадь данной фигуры;
(4-//2)/2
5
с1х йу = 2 I йу
о
(у2- 4)/4
4 — у2
2
'2
у 2— 4 N
йу
4
о
с/
ЩИ
йх
1 а**
1^=6
о
Рис. 16
Тогда
й - ||ш
8
о
1
8
2\2
(4— у 2)
о
вН
с/
о
1
(*/2
16
х йх
(У2- 4)/4
8
1 Го
I/3 , з^/517
о I 3*'— т + ж
о
3 2 1 3
3 — 2к У
16
2^
5 •
А
78. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной
эллипсом хЩ Ъ ф уЩ щ 1 и его хордой х/5 + у/3 =± 1.
Д
Найдем площадь сегмента:
(3/5) 1 25 —х 2
5
\ \ йх йу = С йх
О
о
йу
3 ( I —х/5)
3
3
15
у 25— х2— 3-)—р- х ) й х - - - г (л
5
4
Тогда
2)
\
(3/5) V 25-дг*
§
5
4
15 ( л — 2)
хйхйу
О
4
15 ( л — 2)
4
15 (л — 2)
хйх
о
йу
3(1-д/5)
3
х \ г 2Ь— х 2 — Ъх[ 1
5
о
3
5
4
15 (л — 2)
1
25
х
5
йх
2
(25
3
й
о
!
3 ( л — 2) ’
21
(3/6)1 2 5 -л*
У
ахЛу~
5 | Й
йх
15 ( я — 2)
уйу
о
4
15 (л —2)
2-9-2
1
2
йх
о
12
(5лг—х2) 4*
15 ( я — 2)-25
3 (1 - х / 5 )
125 (я — 2)
о
12
125 ( я — 2)
125
2
2
125
3
1
Ъхг
2
я
15
±- уЗ
3 Г 10
▲
2 *
79. Вычислить полярный момент инерции фигуры
ной линиями х/а-\-у/Ь = 1, х = 0 , у = 0.
Д Момент инерции относительно начала координат равен
а
с1х
Щ + Уг) Щ йу
/о
(Ь/а) ( а - х )
О
О
I
3
Ж + У2) <*У
о
о
О
1
(Ь/а) ( а - х )
а
1 Ь3
- р- ( а — *)* ] йх
Ь_
X2 ( а—
а
йх
О
1
4а
3
4
а
(а2+ 62)
( а — *)
12
▲
80. Вычислить момент инерции относительно оси Ох фигуры,
ограниченной кардиоидой р = а ( 1 + с о 5 0 ) .
Д Перейдя к полярным координатам в формуле I х Щ ^ | у 2 йх йу,
2я
а (1 + соз 0)
р 3 4р
1Х = | | р 2 51П2 0 р йр 40 = | 81П2 0 40
о
о
2л
зш 2 0 •
4
1
р
а (1 + соз 0)
0
получим
2я
40
1
4
5Ш2 0 (1 + С05 0)4 ^0
а
0
о
2я
|Л|
21
а4 ^ зш2 0 (1 + 4 соз 0 + 6 соз2 0 + 4 соз3 0 + соз4 0) ^ = 3 2
о
■
81. Определить центр тяжести площади, ограниченной линиями
у — х2, у = 2х2, х = 1 , х = 2 .
82. Определить центр тяжести площади, ограниченной кардиоидои р = а (1 +СО5 0).
83. Определить центр тяжести полусегмента параболы у 2 = ах,
отсеченного прямыми х = а, г/ = 0 (г/ > 0).
84. Найти центр тяжести площади, ограниченной одной пет­
лей кривой р = а з т 2 0 .
О
22
85. Найти центр тяжести площади, ограниченной параболами
у**-х, хъ= у.
86. Найти центр тяжести площади, ограниченной параболой
у* — %рх и прямой х — 2р.
87. Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями
У — У 2 л : — ха, у — 0.
88. Вычислить момент инерции площади, ограниченной ли­
ниями у — 2 у х , х - \ - у — 3, у — 0, относительно оси Ох.
89. Вычислить полярный момент инерции площади, ограни­
ченной прямыми х - \ - у = 2, х — 0 , у = 0.
90. Вычислить момент инерции площади, ограниченной линиями
у = 4 — ха, у — 0, относительно оси Ох.
91. Вычислить момент инерции площади эллипса хч/а*-\- у г/Ь2= 1
относительно его большой оси.
92. Вычислить массу квадратной пластинки со стороной а,
плотность которой в любой точке пропорциональна квадрату рас­
стояния этой точки от одной из вершин квадрата.
93. Вычислить массу круглой пластинки радиуса г, если плот­
ность ее обратно пропорциональна расстоянию точки от центра
и равна б на краю пластинки.
94. Вычислить статический момент пластинки, имеющей форму
прямоугольного треугольника с катетами \О А \ — а, \ОВ\ = Ъ,
относительно катета ОА, если плотность ее в любой точке равна
расстоянию точки от катета ОА.
§ 7. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть функция ] (х, у, г) определена в ограниченной замкнутой простран­
ственной области Т. Разобьем область Т произвольным образом на я элемен­
тарных областей Т%, Т г ,
Т„ с диаметрами ё 1г йг, . . . , йп и объемами
— , АК„. В каждой элементарной области возьмем произвольную точку
Рк Й Й 'Пй! йь) и умножим значение функции в точке Р к на объем этой об­
ласти .
Интегральной суммой для функции / ( * , у, г) по области Т называется
Л
сумма вида 2 / Ш> Л ь Ы ^Ук*= 1
Предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из ди­
аметров всех элементарных областей &Ук называется тройным интегралом
от функции / (*, у, г) по области Т и обозначается следующим образом:
■
п
/(дг, у, г) (IV =
1!ш
2
1
II Ж
И
Конечный предел такого вида может существовать только для ограниченной
функции.
Если / (х, у, г) > 0 в области 7 \ то тройной интеграл
V \ Г / (я, у , г) (IV
т
представляет собой массу тела, занимающего область Т и имеющего перемен­
ную плотность у = / ( * , у , г) (физическое истолкование тройного интеграла).
Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных
интегралов.
23
В декартовых координатах тройной
интеграл обычно записывают в виде
\ ^ Ц х , у, г)4х(1у<1г. ■
Пусть область интегрирования Т определяется неравенствами х1 < х < . х г.
Ух (х ) < у < у 2 Й Й 21 (X , у ) < г < г , (х, у), где у х Щ
у 2 (х), г г (х, у) и г г ( х , у) —
непрерывные функции. Тогда тройной интеграл от функции / (дг, у, г), распро­
страненный на область Г , вычисляется по формуле
**
Уг <*)
2г (X, у)
/ (х, у , г) йх йу йг = ^ йх | Лу ^
/ (дг, у , г) йг.
ХХ Ух (*> 2» (** У)
Ш
Т
Если при вычислении тройного интеграла требуется перейти от перемен­
ных х у у, г к новым переменным и , и, ад, связанным с х, у, г соотношениями
Х = х ( и , V, ш), у = у ( и , V, ш), 2 = г Я V, ш), где функции а ф , ^ § 1 ( ^ , »)»
■
Рис. 18
Рис. 17
г (иу V, ау), непрерывные вместе со своими частными производными первого
порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное
соответствие между точками области Т пространства Охуг и точками некоторой
области Т г пространства Оиию и якобиан ^ в области Т' не обращается в нуль;
дх
ди
ду
ди
дг
ди
дх
ди
ду
ди
дг
ди
дх
дю
ду
дю
дг
Ш)
Ию»
то пользуются формулой
| | | 1 ц
т
У, *) йх йу йг ==
и, ад), у ( и , г , ад),
2 ( а , г , ад)]-|
/ \йийий&,
Т'
В частности, при переходе от декартовых координат х, у, г к цилиндры
ческим координатам р, ф, г (рис. 17), связанным с х, у, г соотношениям!!
якобиан преобразования / = р и формула преобразования тройного интеграла
к цилиндрическим координатам имеет вид
^ 5 1 ш Р у’ ^ Лх
аг ~ 5 И ^ со8 4)1 р з1п ф’ ^ § 1! 1ч5йг щ
02
Р*
^ 4ф ^ р ф
Ф1
2
^
/ (р соз ф, р з!п ф, г) йг.
Р1
При переходе от декартовых координат х, у, г к сферическим координа
там р, ф, 0 (рис. 18), связанным с х, у, г соотношениями
дг=р ЗШ 0 СОЗ ф, (/ = рз1П0 31П ф, 2 = р СОЗ 0
(0 < ;р < + О О ,
О^ ф
2я , 0 ^ 0 ^ я),
якобиан преобразования / = р 2 з!п
и формула преобразования тройного ин
тег рала к сферическим координатам имеет вид
| ^ | /(ж . У, г) й х й у й г =
Г
$ 5 5 ^ ^ 8^п ®со5
^ 8*п ®з “1 <Р’ р со5 ®) р2
®ф
г
Фа
0*
Р2
^ 4ф $ ЗШ 0 40 $ р2/ (р 31п 0 СОЗ ф, р 31П 0 31п ф, р соз 0) ф
Ф1
Р1
95. Вычислить / = 5 5 $
2
йхс1уйъ, где область Т определяется
неравенствами О ^л:
1/2
А
2х
1/2
У \ - х 2- у *
1 Г
/
О
1/2
1 ^
2
о
х
2*
л
йх \ ( 1 — х 2— у 2) й у
У!
2х, О
У
я
2
х*— у .
2*
V \-х г-и г
&У
О
о
1/2
1
2
ш
О
1
— Цо
2х
X
&*■
1/2
1
2
2лт— 2х?
о
1/2
2
10
3
о
хг 14*
1
2
8
3
1 -з
2
з
1/2
5
х4
6
О
1
3
1
1
2 V8
1 1
6 '16
7
192 * ▲
96. Вычислить I
х 2у г й х й у й г , если область Г ограниШ М д Щ -р
- Щь; т
чена плоскостями х = 0, у = 0, 2 = 0, д:+г/ + 2 — 2 = 0.
Д Область Т ограничена сверху плоскостью 2 = 2 — х — у , а снизу —
плоскостью 2 = 0. Проекцией тела на плоскость хОу служит треугольник,
25
образованный прямыми х = 0, г/ = 0, г/ = 2 — х. Следовательно,
2-х
I
х 2 с1х
о
х2
гйг
шт
о
(2~ Ш
о
2(2
4
2-х
Л
I
I*
§§«
0
. (2-х)*
2
о
2
Л
2-х-у
(2 -х -у)2
2йх
У
т
2
1/
0
&
16
1
йх
х)Айх
▲
24
315е
о
_
щ
3
Вычислить | И И р х й х й у йг, где Г — верхняя половина
97.
эллипсоида х2/9 + у 2[4 + г2 ^ 1.
Д Проекцией тела на плоскость хОу является эллипс х2/ 9 - \ - у 2/4
этому
(2/3) V 9 —х2
йх
I
1. По-
У1-х*/9-у*/4
гйг
Лу
о
(2/3) V 9 - * 2
4*
“ 3
9
-(2 /3 ) 1 9 В Ш
з
1
2
4
НМ
4
1
9
-з
| » | йх
12 27
я/2
4_
81
(9— х2)3^2 йх— -~ | (9— х2) 3^2 йх
-з
8
81
о
81 соз4/ И
о
я/2
л/2
3 я
I -4- 5ш 214- [ ы 4 в р И 4/
о = 2 '2 - 2
2
о
8 \ ( 1 + Щ 2/)- а1 = 2
О
Зя
~2
(при интегрировании сделана подстановка * = 3 5 ш /, йх = 3 соб I й1). Д
98. Вычислить
х 2йх йу йг, если Т — шар х2+ у2+ г
/
ш
Д Перейдем к сферическим координатам. В области Т координаты р, Ф
и 0 изменяются так: 0 ^ р < : /?, 0 < ; ф * ^ 2 я , О < : 0 ^ я . Следовательно,
я
/
2л
Я
р4 5Ш3 0 С052 ф йр 4ф 40 = ^ 51П3 0 40 ^ С052ф 4ф ^ р4 4р
о
о
о
я
—
С зхп3 0 (1д Г ф + у 5 1 п 2 ф 1 * Я
О
я
тг/?5 (*
Ц
‘ '
5 №
о
26
'
20 -
4я/?5
1)Й(СО 3 0 ) = ^ - .
15 •
Д
99. Вычислить |
V
г \ х2
у 2 йх йу йг, если область Т ограни-
Т
чена цилиндром х2-{-у2= 2х и плоскостями у = О,
2=
0,
2=
а.
Д Перейдем к цилиндрическим координатам. Уравнение цилиндра в этих
координатах примет вид р2 соз2 ф + р2 зш 2 ф = 2р соз ф, или р2 (соз2 ф + зш 2 ф ) =
= 2рсозф , т. е. р = 2 с о зф . Следовательно, в области Т координаты р, ф и г
изменяются т а к : 0 ^ р
2 соз ф, 0 < ф
я/2, 0 ^ г щ а. Поэтому
5 5 5 2 ^ хг -\- у 2 й хбу ё,г =
т \
| г р -р 4 р 4 ф 4г =
1
т
л/2
2 соз ф
а
я/2
2 соз <р
0
0
о
цо
о
я/2
я/2
* а 2 ^ соз3 ф 4 ф = - ~ а 2 Г (1— з т 2 ф ) 4 ( з т ф )
А
34 а 2Ч Г
з и•н р — з1 8 •ш3З < 1
р ^Я/2 = - §а * 2. А
100. Вычислить П 5 (х3 + у й) йх йу йг, если область Т — верхт
няя половина шара я2 4- #2 + г2
I
г2.
Д Введем сферические координаты; новые переменные изменяются в пре­
делах 0 < р < /■ , О Й Н ф ^2зт, 0 ^ 0 ^ я/2. Таким образом,
ССС(х2-\-у2) Ах йуйг = 11 ^ р4 зш 3 0 4р4ф 40 =
1
т
г
п/2
= | р4 4р |
о
о
2п
г
п/2
$ш3 0 40 | 4ф = 2л | р4 4р |
о
о
о
(соз2 0 — 1)4 (соз 0) =
С
Г1
о
Л"М 2
4
= 2л \ р4 4р 1 -^ соз3 0 — соз 0 1 = д у ^ д т5. Д
о
101. Вычислить
прямоугольный
5
5
5
(х* + у г + г 2) йх йу йг, если область
т
параллелепипед,
О ^лс^а,
определенный
Т
неравенствами
О ^ г ^ с .
102. Вычислить
х у г йх йу йг, ^сли область Т
ограничена
г
сферой х * у * г г = 1 и плоскостями х = 0, у = 0, г = 0.
103. Вычислить 55 ^ ху*г3 й х й у й г , если область Т ограничена
т
поверхностями г = ху, у — х, х = \ , г — 0.
104. Вычислить \
5
5
(2* + Зг/— г ) й х й у й г , если область Т
т
трехгранная призма, ограниченная плоскостями
х — 0, у = 0, х + у — Ь (а > 0, Ь > 0).
г = 0,
г —а,
27
105. Вычислить
\ \ \ г й х й у й г , если область Т ограничена
т
конической поверхностью г 2 = х2-\-у2 и плоскостью г = 2.
106. Вычислить
:
х йх йу йг,
если область
ограничена
)
Т
плоскостями
Т
0, (/ == 0,
2=
0, у = 3 и х - \ - г = 2 .
107. Вычислить ^ ^ (х * + */ + г2)3
йу йг, если область Т огра-
I т
ничена цилиндром х 2 + г2= 1 и плоскостями у = 0, у — 1.
108. Вычислить
( х - \ - у - \ - г ) 2й х й у й г ,
где область Т — об­
щая часть параболоида г Щ (х2 + у*)/(2а) и шара х2 + у* + г 2 ^ За2.
109. Вычислить $ $ $ (л:21 | у 2) йх йу йг, где область Т огранит
I
| §
чена поверхностями г = {х2 + у 2)/2, 2 = 2.
110. Вычислить \ \ \ й х й у й % , где область Т — шар х2 + у 2 -\
| | 22 Й
111.
Г2.
Вычислить 11 \ у 1 + (х2
у- + г2) 3/2 йх йу йг,
если
шар х 2 + у 2 + г 2 |й 1.
§ 8. ПРИЛОЖ ЕНИЯ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА
Объем тела, занимающего область Т, определяется по формуле
V = ^ ^ ^ йх йу йг.
Если плотность тела переменная, т. е. у==у (х, у , г), то масса тела, за
нимающего область Т , вычисляется по формуле
И == \ \ \ у Щ у , г) йх йу йг
Координаты центра тяжести тела определяются по формулам
I
т _
ух йх йуйг,
у= -,
к ууйхйуйг9
1 ГГР
у г йх йу йг.
Я I
~Т
...
I
При -у=1 имеем
' х = - у - ^ ^ хйхйуйг; У ^=у-
т
уйхйуйг;
т
( * , г/, г — координаты геометрического центра тяжести).
28
г й х й у йг
т
Т
Моменты инерции (геометрические) относи
тельно осей координат соответственно равны
/
(у2+ 22) йхйУаг>
Т
/у
^ ^ (г2 + х2) йх йу йг,
т
I
^ ^ ( х 2+ у 2)йх й уйг.
Рис. 19
112. Вычислить объем тела, ограни­
ченного поверхностями Нг = х*-\- у 2, г = Н
(рис. 19).
Д Данное тело ограничено снизу параболоидом г = (д:2+ у 2)/Л, сверху
плоскостью г = /1 и проецируется в круг х2+ # 2< / 12 плоскости хОу. Исполь­
зуем цилиндрические координаты, в которых уравнение параболоида примет
вид г = р 2/Л. Объем тела равен
2л
н
к
V=
йх йу йг =
р йр й у йг = ^
р ф ^ йг =
о
о
рЩ
2я
2л
2я
н
Я3
Л3
лЛ3
ш ш
р
А
№ Ш
2
4
~Т'
о
о
о
* 1
о
1
ш ЯрвШ Н
1
Ив
1
113. Найти координаты центра тяжести призматического тела,
ограниченного плоскостями лг= 0, 2 = 0, у — 1, у = 3, х + 22 = 3.
А Найдем объем рассматриваемого тела:
3
VГ
йхйу й г =
7*
3
(3—дг)/2
й х ^ йу
0
1
^
3
3
йг = ^ йх ^
0
0
1
3__9
х)4д:
о
2
о
2I
Тогда
3
Л
О
Л
»
2
х й х й у й г = * - ^ - ^ хйх\^ йу
9
‘' Г
.я
2
9
о
1
3—х
2
2
9
о
2 Г
\х (3
4
О
Л
о
1
*3
3
о
1;
(3 —дг)/2
Л />
уйхйуйг— - ^ - { й х [ у й у
3
4-Л' у ( 3 — дг)</у
I/
1
С
дг) йх
о
з
I
(3-*)/2
3
4 С
у ! (3 -* )
О
1
С
Л
о
4
213
Г З * -^ -1
=2;
29
114. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
г = V х г + у 2, г = х г \ - у 2.
115. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью 2 = 0,
цилиндрической поверхностью х = ( х 2+ у 2)12 и сферой х 2-\-у2 +
+ 2 ®= 4 (внутри цилиндра).
116. Найти массу куба
0 ^ 2 ^ а, если
плотность в точке (*; у, г) есть
у, г) — х-\- у - \ - г .
117. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного
поверхностями х - \ - у = 1, г = х2 + у 2, х = 0 , у = 0, 2 = 0.
118. Найти координаты центра тяжести, ограниченного по­
верхностями г 2— ху, х = 5, у — 5, 2 = 0.
119. Найти координаты центра тяжести тела, ограниченного
плоскостями 2л:+ 3у — 12 = 0, х = 0, у = 0, 2 = 0 и цилиндриче­
ской поверхностью г = у 2/ 2.
120. Найти момент инерции куба О ^ я ^ Г а ,
О^у^а,
0^ 2
относительно его ребра.
§ 9. ИНТЕГРАЛЫ , ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
ПОД ЗНАКОМ ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим интеграл
а
в котором X— переменный параметр, а функция
А) двух переменных опре­
делена для всех значений * в промежутке [а, Ь] и всех значений X во множе­
стве {Я}. При этих условиях интеграл (1) является функцией параметра X.
Большое значение имеет вопрос о производной функции / (Я) по пара­
метру X. Пусть функция I (х, X) и частная производная ^ ^
^
непрерывны
в прямоугольнике а ^ х ^ Ь , а < Л ^ р . В этом случае существует производная
и
г “ 1 у
а
(!' 1 ш я I ~ я г * •
а
<2)
Если допустима перестановка знаков производной (по X) и интеграла (по х),
то говорят, что функцию (1) можно дифференцировать по параметру под зна­
ком интеграла . В формуле (2) предполагается, что пределы интегрирования
а и Ь не зависят от параметра X. Если ж е а и Ь зависят от X, то
Ъ(Я)
Я
р
^ Щ
а IX)
г 1 а х + ь ' [ Ю ! | (Л), 1 1 1 Ц I [а (X), я.].
(3)
Пусть функция /( * , I ) задана для всех значений х ^ а и всех значений
X в некоторой области 23, причем при каждом X в этой области существует
интеграл
ао
Ъ
I (к) = [ / (х, X) й х = П т С/ (х, X) 6.x
а
Если э т о т интеграл стремится к / (X) равномерно относительно X в обла­
сти 2Э, то интеграл I (X) называют равномерно сходящимся относительно X для
указанных значений параметра.
Из этого следует, что для любого е > 0 найдется не зависящее от X число
Ь0 а, что как только Ь ^ Ь 0 неравенство
СО
| ^ / (*, X) йх— | / (*, X) йх | = | ^ / (*, X) йх
а
а
будет выполнено для всех значений X в области Р .
се
Д л я дифференцирования по параметру несобственного интеграла ^ / (я, X) йх
о
00
с
бесконечным
пределом
необходимо,
чтобы
интегралы
00
^ / (*,
о
Я) йх
и
йх существовали при 0 < X < оо#
о
Формула интегрирования по параметру X определенного интеграла (1) под
знаком интеграла в промежутке [ а , Р] имее^ вид
Э
р
ь
ь
,в
С / (Л.)
=± ^
^ / (ж, X) Ох = ^ Ох ^ ! ( Х , Я.)<&.
(4)
а
а
а
а
а
Подынтегральная функция [ (х, X) должна быть непрерывной функцией двух
переменных в конечной области интегрирования. В случае бесконечной обла­
сти интегрирования получится несобственный кратный интеграл.
Подробное изложение условий применения формул дифференцирования и
интегрирования несобственных интегралов по параметру можно найти в «Курсе
высшей математики» В. И. Смирнова (том II).
121. Найти § х т (1п х)п йх, где т и п — положительные целые
о
числа.
\
Д Рассмотрим интеграл
1
хт й х =
т-Ы
*
здесь /( * , т ) = хт — непрерывная функция в интервале 0 < х < 1 при т > 0.
Найдем производную этого интеграла по т:
Продифференцировав по т еще раз, получим
1
-<
ШЩШШШ,
XПосле /г-кратного дифференцирования по т находим
1
1
й- д
(1п х)" ах = ( - 1 ) ” ■( т ^ 1у + 1 • А
По
(
: У"
00
ш м отя
йх
122. Найти ^ , 3 ф
, где п — целое положительное число,
о
а X > 0.
Д Рассмотрим интеграл
со
1
йх
о
И Я
у~ к
,
агсш
х
о
у к
2
у} /2
Дифференцируя по параметру Я, имеем
■" . - •
со
1
2
йх
+
я
I »
о
В результате я-кратного дифференцирования получим
ОС
1 - 3 - 5 . . . (2 л — 1)
2 - 4 - 6 ...( 2 л )
йх
(*3+ Х ) Л+1
л
2'КН- \ Г \
А
о
®
00
123. Найти I (к, Щ = ^ в“
51П^* Щ и / х (Я) = ^
о
йх.
о
Д Дифференцируя интеграл / по Я, находим
НИВ*
со
П 0—Лх
*
[
Щ^ - р р
й!
к
Теперь из уравнения - ^ - = = ^ 2 | ^
0
1 оо
&
Ьх—к соз М ).|| = д з з р р -
,
можно найти / ; имеем
)
Интеграл / х (X) найдем, подставив в выражение для I ( к , Я) значение 6 = 0
* . л
1Х(Я) = \ 51?-— 4л =
х
32
Я
(
л/2 ПРИ ^ < °*
Нш агс*& — = .
О
к +0
I я /2
при Я= О,
при Я > 0.
".
» упч
График функции / х (Я) =
2
*
ж\
из двух полупрямых и
I
I
Г з*п Я*
\ ------- йх состоит
о
х
0
точки О (рис. 20). ^
шА/|
я
щ
________
р
0
124. Найти /
к
2
о
Д Дифференцируя по параметру Я, име­
I
Рис. 20
ем
а
К .1 л -.
^ =
Й/
\
Л
1
а/
I
х , 1 1 ж = х>
И
▲
- >• »
И Ц
0
00
125. Вычислить 1 = \ е ~ * 2с1х (интеграл Эйлера— Пуассона).
г
)
О
со
Д
Положим х = Х1, где Я > 0; тогда йх = X 6.1 и 1 = Х ^
жим обе части последнего равенства на е “ “ 4Я
| проинтегрируем по X от 0 до оо:
0
0
0
0
й1. Умно-
и, используя формулу
<
*
(4),
>
1 Л е ~ к*с1\ = 12 = у ^ . ' к а К у ШШ М.
|
о
о
о
Изменив порядок интегрирования, получим
00
СО
00
00
о
0
0
00
й1
О
1 Г М
1
2 3 Т + ^^2О
4100 Л * о / — У я
^ |о “ Т*
1
▲
’А
оо
126. Найти I ( 1 ) = ^ е - хг- ^ хг0х.
О
д
Дифференцируя по параметру Я, имеем >\
со
± = - 2 [ е - хг- ^ хШ
Х ^ .
0
*а
0
ах
Е
;
Произведем замену переменной интегрирования! Я/х = 2, (-—Х/х2) йх =■ й2%
х2— х2/22; при этом 2 изменяется от оо до 0. Таким образом,
|
О
о®
^ - = 2 \ е - ^ г , - гг а г = - 2 ^ е - ^ г , - г г йг, или - ^ = - 2 / .
О
СО
2 N9 Ы 4
33
Следовательно, Н
И
1п 1 I 1
И
■
1 1
Д л я нахождения С
/ = С е ' 2\
00
положим х = 0; тогда I (0) =
1
о
т. е. С = У г я / 2.
** Их = V п/2 (интеграл Э й л е р а -П у а с с о н а ),
У
# р й I;
Итак, искомый интеграл / = —^— е~ 2 •
127. Найти / = ]‘
д
<**•
Найдем полную производную
Г
<11
по формуле (3):
,
х
. 1п (1 + 1-Я)
ж п ] (1+ щ р ч ^
^
о
йХ
в
ж
ИЛИ
Л-'
й й
4/
1п (1 + Я2) , Г
*
^
с1%
1+ Я2
3 О Н~ Ях) ( 14" х 2)
О
Д '
■'
Подынтегральную дробь разложим на простейшие дроби и проинтегрируем:
А,
о
А,
х
,
(Г + к И Н ^ )
А,
Г
—
. Г
х-\-Х ____ , ___
3 ( 1 + Ь 2) ( 1 + ^ Г 3 ( 1 4 - Я2) ( 14 - в
о
о
г о т 1п(1 К | + 2 ( г Ы 8 ( 1 + *2)+ Г + а? агс*е *]
Таким образом,
ё ИДЯ IIИИ
5Х-
2(1 + А*)+ 1 + А2 а г с 1 е А *
Отсюда
А,
/
.
1
2
0
+
х
«
)
'
+
‘
Г
П
?
а
г
с
1
е
Я
]
Л
о
Обозначив Я = 1 д ф , получим
ф
ф
зес2 Ф
/
б
Ф
+ С
Ф
| вес2 1 | | = — 1 1 п с о з ф й ф + ^ ф ! д ф < * р .
О
0
0
Взяв первый интеграл по частям, находим
Ф
/ == — ф 1п соз ф ^
^ф
о
34
Ф
ф 4ф 4“ ^ ф
о
ф 4ф = — ф 1п соз ф,
или окончательно
\
/ = у а г о 1д Я-1п (1+А,2). Д
Найти интегралы:
Я/2
'
1
128. С атс1%(к$\пх) Ах. 129. ^ - ^ = М = - А х .
о
я
о х *
я
130. Г агс.1^ ^ 1-^
о
00
132.
~~х
I 5 11 . I
, ч йх
131. ^ 1п (1+ 5'тасо5Д г) соз а; *
Дх.
,
-ах
о
СО
Р- $ х
Ш .
О
О
134. \ ^ у ~ Л х - ,
Х >§
р>0.
/ ' 'V
'
I
л о - Ы Х * __ р - $ Х г
135. \ | ----------------Ш;
а > 0, | > 0.
О
136.
Г
1
-^ рЁ ^ -0х;
О х2 У 1— Ш
Щ
О
Х2 < 1 .
§ 10. ГАММА-ФУНКЦИЯ. БЕТА-ФУНКЦИЯ
1.
Гамма-функция. Гамма-функцией (или интегралом Эйлера второго рода)
называется интеграл вида
со
(1)
Т(р) = \ е - хх Р - 1 (1х.
о
Интеграл (1)— функция параметра р — является несобственным, так как верх­
ний предел равен бесконечности и, кроме того, при х —§ 0 и р < 1 подынте­
гральная функция неограниченно возрастает. Интеграл (1) сходится при р > О
и расходится при /? < ; 0. Гамма-функция является одной из важнейших (после
элементарных) функций для анализа и его приложений.
Основные
свойства
гамма-функции
1°. Функция Г (р) непрерывна и имеет непрерывную производную Г ' (р)
для р > 0.
2°. Имеет место равенство
Г { р + 1 )= р Г (р ).
(2)
3°. После п-кратного применения формулы (2) получается соотношение
Г 0 » + я) = (р + л — 1 ) 0 ? + л — 2 ) . . . ( р + \ ) р - Г (р).
(3)
СО
4°. Если в формуле (3) положить р = 1 и учесть, что Г (1) = Vе ~ * А х — 1,
2
35
то получится равенство
(4)
Г ( л - И ) = п!.
ВЙИ*
, о г ( р ) - ^ ± « — + ■ » . | «•
“ •
6°. При р = — П из формулы (2) следует, ч™
~
п+З)
"
. . . = ( — 1)" - ^Л шГгХ Г = ( — 1) " ’ 00 •
ф у н т ” » Г (р| можно рУспрострапить из случай отрицательны!
Т' С
значений зргум ентзр. Т з к к з к Г | М
И
Й
. 10 Г ( р + 1 ) имеет смысл при
1 Е сли ' — л < р < — (л — 1), то из формулы (3) следует, что
^
____________ Г ( р + л)__________
( Р ) ~ Р ( Р + 1)(Р + 2) - - - ( Р + л — |
С помощью подстановки р + п = а , откуда р = — п + а ,
преобразуется к виду
( - 1 ) " Г («)
Г ( а л) ( 1_ а ) ( 2 _ а ) . . . ( л
последняя формула
(5)
„„ „
„ Щ _ / _ / ■ « _ П зн ак Г (р ) определяется множителем (— 1)п.
1 8°. Используя формулу (2), можно получить значения Г (р) для полуцелого
аргумента:
г(т+т)=г[+(т-т)]
!г(т~^
1
т~т) (т_т) * г (т_4
••
т
~
т
)
(т-т)•I• •т•г
1
1
1
(
4
(2т — 1) (2т — 3) . . . 5»3« 1 г
2™
V2
или
г ( т + 1
) - «
- г ( | ) =
| ^ г ( 1
) .
,6,
9°. Имеет место формула дополнения
Г у(р)-Г
(1—
р
)
=
*/
\
Если в
Ы
1
ЗШ р Л
(0 < р < -1).
(7)
этой формуле положить р = 1/2, то [Г (1/2)]2 = я/з1п (я/2) = я , т. е.
^ ^ П о л ь з у я с ь основными свойствами, можно вычислить Г (р) для любого р.
Значения "гамма-функции приведены в табл. I на с. 409.
График функции Г (р) изображен на рис. 21.
36
137.
Вычислить
интеграл
00
Эйлера — Пуассона ^ е
о
Д Произведем подстановку хг — %
откуда =
/, йх==(И1(2 У~ *) и, сле­
довательно,
00
00
1
х2 Дх = ~ 1 е - Ч ~ 1' 2 с11
к/
о
о
00
(И
2
аИ
у л
2
▲
138. Вычислить Г ( — 1/2).
Д Пользуясь формулой Г (р)
Рис. 21
Г (р + 1 )
, получим
Р
1
2
г
Г ( — 1/2-}-1)
(— 1/2)
Г (1/2)
(— 1/2)
2 У- я. ▲
139. Вычислить Г ( —9/2).
Д Используя формулу (5) при а = 1/2 и л = 5, получим
/
9
( - 1 ) 5 . Г (1/2)
г | 1 - 5
г
(1 -1 /2 ) ( 2 - 1 / 2 ) . . . (5 -1 /2 )
I
2
32 У п
945
(1/2). (3/2). (5/2). (7/2). (9/2)
▲
140. Вычислить Г (5/2).
Д Полагая т = 2 в формуле (6), имеем
г ( 2+1
Г
141. Вычислить Г ( — 4/3).
4! Г (1/2)
21-2*
24УГл
2-16
3
/ а
4
\
Д Используя соотношение Г (/>) = ^ ^ ~^~^ . имеем
Р
4
Г ( 4 /3 + 1 )
Г(
1 /3 + 1 )
Г
3
4/3
-4 /3
9 Г (5/3)
4 ' 2/3
Й®
4
V3
Из табл. 1 на с. 409 находим Г (5/3) = 0,9033; следовательно, Г ( —4/3)
(27/8).0,9033 = 3,0486. Д
142. Вычислить: 1) (— 1/2)!; 2) (1/2)1; 3) (3/2)!; 4) (0,21)!
д
1)
2)
3)
4)
По формуле (4) находим:
(— 1/2)! = Г (— 1/2 + 1) = Г ( 1/ 2) = у г я = 1,772;
(1/2)! = Г ( 1 / 2 + 1) = Г (3/2) = (1/2) Г (1/2) = ]<^я/2 = 0,886,
(3/2)' = Г (3 /2 + 1 ) = (3/2) Г (3/2) = (3/2).(1/2) Г (1/2) = 3 ^ л / 4 - 1,329,
(0,21) ! = Г (0,21 + 1) = Г ( 1,21) = 0 ,9 1 5 6 (из табл. 1). А
1 4 3 . Вычислить Г ( 5 / 3 ) > Г ( — 5 /3 ) .
Д Находим
■
Ш
Чт)-г(-Ь М > ^
1
4
Так как по формуле дополнения Г ( "3 ^ Н ^ ^
3 ) “ з т (л /3 )’~~
9 Т°
г | ! ) г ( - т Н ' т 1 = ?т 3 - А
1 .
\ 11 1
Й
я
144. Показать, что Г
р ) •Г
Р
соз р л
Д Полагая в формуле (7) /? = со4-1/2, получим
1\1
я
Г (,а )' ^ т ) ’ Г 1
з ш (л /2 4 -^ л) *
или
г ( д + “ )■г
VЦ
Вычислить:
145. Г (0,8). 146. Г (— 2,1). 147. Г (3,2). 148. Г (7/2).
149. (— 1/4)!. 150. (1/3)!. 151. (— 2)!.
152. Г (7/3)• Г ( - 7 / 3 ) . 153. Г (1 0 /3 ).Г ( - 1 0 / 3 ) .
154. Г (1/4)-Г ( - 1 / 4 ) . 155. Г (5/4)• Г (— 5/4).
156. Показать, что
— т + т ) Ц (2т— 1)ГГ
157. Показать, что Г ( т + у ) - Г ( — т + •^ ) = (— Ь
(/71 ^
л
1» 2 , 3, . 1.).
2.
Бета-функция.
называется интеграл
Бета-функцией (или интегралом Эйлера первого рода)
1
В ( р , д ) = [ х Р - 1 ( \ — х ) ' 1 - 1 <1х.
(1)
I
'
Л '’ -Нк
\
Интеграл (1) есть функция двух параметров р и <7; он сходится при р > 0 <7 > 0.
Функция В является симметричной относительно параметров, т. е. 13 у*,. <?)
Если^сделать замену переменной интегрирования, полагая х==з 1п2 /, 4 * »
= 2 зШ / с о з / (II, причем 2 изменяется от 0 до л / 2 , то формула ( 1 ) примет вид
я /2
р
В (/?, д) = 2 |
| соз2^ - 1 1й1,
о
33
или
Я/2
5т й х соз72 х й х —~ В (
^ (т > О, п > О).
(2)
■к
V О
К интегралам (1) и (2) приводятся многие интегралы, встречающиеся
в прикладных задачах.
оог>1^ „
Для вычисления значений бета-функции пользуются следующей зависи­
мостью между бета- и гамма-функцией:
^
\
^ ✓ л
Т (р )-Г (д )
в <"> р Щ В Д Д Г . •
( )
Ес ли 9 = 1 - р , то В (р. I - р ) = Г ™
<0 < Р < <)-_____
Используя бета-функцию, легко найти значение Г (1/2). Пусть р — <?— 1/2;
тогда В (1 /2, 1/2) = 11 р ^ р | •
Так
как
В (1/2,
= я/зШ (п/2)А=я, а Г (1) = 1, то Г (1/2) =
1/2) = В (1/2,
1— 1/2) =
'
я /2
158. Вычислить \ б!п* х соз3х йх
о
д
Используя формулу (2) при т = 6 и п = 8 , получим
я/2
1 _ / 7
9 \
5Ш6 X С055 X йх = ~2 В I "д"» у )
1 Г (7/12) Г (9/2) | 5 я
2"
Г ( 8)
213
о
(значения Г (7/2) и Г (9/2) вычислены по формуле (6) п. 1 при т
а Г (8) = 7!). А
|ВЯДР11 ^
Я
с
Ш
159. В ы ч и с л и т ь \
Д Положим соз < = 1 - 2 У и ; тогда <11=
“
4 / - Й“
2
2 1/
|/
” */ З - с о з *
и3 V I — К «
причем / изменяется от 0 до 1. Тогда получим
.] ^ 3 - с о 5 <
2 у 2-)
1
/ 1
1\
1
Ъ у Ъ В \ Т ' 2 Щ Щ Г2'
г
/
3
\
ТаккакГ (
3 и т = 4,
•Г
/I ■-4
1\
_ _ _______
Г (1/4) Г (1 /2>
Уп
(Г(1/4)]а
Г (3/4)
2 ^ 2 Г (3/4) Г (1/4) ’
г М4 )У1 гЦ Л -4 !) ^ 8Ш(л/4)
—-?—- =
ПуЪ,
а г (И4
1 1 1 ^ 1 = 4.0,9064 = 3,6256, то
1/4
/3 -с о 5 <
2У2
"К 2
4Кл
0
30
I
160. Вычислить
йх
___
V 1У- х
1
д
перепишем данный интеграл в виде $ ( 1 - х * •'*)-»« йх.
Воспользуемся
ЙЫй
подстановкой
тогда х = 1 ™ , йх=(5/2)1*>*й1 и, следовательно,
1
1
I - 5/ * *
2о
6 | | 5 1\
5 Г (5 /2 )-Г (1/2)_15я .
2 В \~ 2 ' Ш Ш т
Г (3 )
16 ' т
о
161.
Доказать,
что
,
если
.
/ х= ^
О
%
д
йх
х*йх
и / 2- ^ - р = = = ,
о
й
Положим х4 = /, откуда йх = (1/4)
Г
т
Тогда получим
I I
1 I ( 1
1\
1 Г (1/4)- Г (1/2) |
\ *1/4_ 1 1 К 0 1/2 Р = Т Й Д Й * "2 I — 4 ‘
Г (3/4)
’
о
.
/ 2=
(I
-
1
т
-
/ з
1 \
— 0 " 1/2 ^ ~ Т В 1 Т ’ 2 ^ “
1 Г (3 /4 )• Г (1 /2 )
4
Г (3 /4 )Г (1 /2 )
Г (5/4)
Г (1/4)
о
так как Г (5/4) = (1/4) Г (1/4). Следовательно,
1
М
ёШ
Г (1/4)-Г (3/4)• [Г (1/2)]3 __1
----------Г (3/4) Г т а
4
— 11
4
а
Вычислить:
Я/2
я /2
162. ^ зш3 х с о з5 х^л:.
\ зш4 * йх.
163.
0
о
Я /2
Я /2
164. \ зш 5 4л: соз4 2л: Же.
0
1
40 V
\ з т 10 х с о з 4 х й х
0
I
йх
166.
165.
, ,
— ; а > 0. 167. \ х2пУ а*— х2йх; а > 0
Ш
У
п
0
ф Подстановка Xя * * /.
@ Подстановка х2/а 2 = *.
о
П одстановка (1
40
хь)/х ь = 1[у
00
и И к В о<«<1. В с (
Подстановка х = и/( 1— и).
1
я
л
з т 6*со52(*/2) йх. 173.
172.
0
1
йх
V х — х2
0 г
1
174. $ х®( 1 — \/~х)* йх. 175. § х""1 (1 — хк)т~1 йх\ га > О, т > 0
о
о
Подстановка х = *3.
■10
Подстановка 1% х = и 2.
1
178.
#
Подстановка х К= (
о
У \ — хп
Я /2
,|
йх
179.
у 1 — х4
О »
Г1д2п_1х^дг;
0<л<1.
Л
о
Я/2
180. Выразить
§ $ш пх й х через гамма-функцию.
о
\
ГЛАВА
11
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ
ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ ! КРИВОЛИНЕЙНЫ Е ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ ДУГИ
И ПО КООРДИНАТАМ
| Криволинейный интеграл по длине дуги (криволи ней и ый интеграл И »*» )Пусть функция / (х, у) определена и непрерывна в точках дуга АВ гладкой
Щ
ВрШ Я!
дуг,
произвольным образом на «элементарны* ду,
л _л А, Ап
. А» =■В: пусть А$ь— длина дуги А ь - г А Ь- м а каждой эие
мент ар ной ду г е выберем произвольную точку М к { Ы Пп) и умножим значение
мент 1
п ^ тп й точке на длину Д5ь соответствующей дуги.
1
1
1
Яи! !■В й— / * «йлвИ №
т
ж
п
2
Криволинейным интегралом по длине дуги А В от функции [ Щ ^ ( и л и
криволинейным интегралом I рода) называется предел интегральной суммы при
условии, что ш ах Д5/г — * 0 :
п
г (х, у) 0 8 =
11т
2
шах Д5,, -у 0 к — 1
АВ
1
I рода в случае, если кривая задана уравнением
.
4
\
.
_____
пои
у — (р (х) ( а < х ^ Ъ), вычисляется по формулам
^ !{х , У) | | = | / [*> Ф (•*)] V 1 + 1ф’ (Щ 2
АВ
а
где а — угол между касательной к кривой и осью Ох.
* *#л , , _ „
Если кривая К задана параметрическими уравнениями х — х{1), у У { )
то
*
2
Г
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------
I / (X, У) 1 1 5 1 1 (0. у (01 У X'2 ( 0 + у ' 2 Щ Л
К
Щ ,у
И
Аналогично определяется и вычисляется к р и вол и не й ны й и итег р ал I рода
от
функции
по' НР ° ^
ОТ Ф
У Н К Ц И И трех
1 р С Л «временных
-2)
/
„ /(/)
4\
пространственная кривая задана уравнениями х * ()» У У \ )>
то
С | (X, у , г) аз = 1 1 [X (0, У Щ , г (/)] V х '2 (0 + »/'*Я И
42
§
яР
§1*
Э
'
Если } (х, у) > О, то криволинейный интеграл I рода | /(* , у) йз пред-^
V
К
ставляёт собой массу кривой К , имеющей переменную линейную плотность
у = [ ( х 9'у) (физическое истолкование).
Если / (х, у) ^ 0, то криволинейный интеграл I рода ^ / (х , у) й5 численно
К
равен площади части цилиндрической поверхности, у которой направляющая К
лежит в плоскости хОуу а образующие перпендикулярны ей; эта цилиндри­
ческая поверхность ограничена сверху поверхностью г = ? (х, у), а снизу
плоскостью хОу (геометрическое истолкование).
Основные
свойства
кри волинейного интеграла I рода
1°. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути
интегри рования:
} ( х , у)йз = ^ I (к; у) йз.
АВ
ВА
2°. С [/х (.к, у) ± и (х , у)] й з = ^ | (х, у) йз 1 1 1 (х, у) йз.
К
к
К
3°. \ с { ( х , у ) й з — с ^ К х , у) йз, где с — солз{.
К
К
4°. Если контур интегрирования К разбит на две части К± и К ъ яю
^ / (X, у ) й з = ^ [ ( х , (/) Л> + ^ !{х , у) йз.
К
/<1
Кг
2. Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл
11 рода). Пусть функции Р (х, у) и I? (л, у) непрерывны в точках дуги АВ
гладкой кривой К, имеющей уравнение */ = <р (х) ( а ^ х ^ , Ь).
Интегральной суммой для функций Р (х, у) и
(х , у) по координатам
называется сумма вида
п
2
%)
^ ШШ Щ)ЬУкЪ
ть
где Ахй и А ^ — проекции элементарной дуги на оси Ох и Оу.
Криволинейным интегралом по координатам (или криволинейным интегра­
лом II рода) от выражения Р ( х , у ) О х + ( Ц х 9 у ) й у по направленной дуге АВ
называется предел интегральной суммы при условии, что ш ах А % —*■О
и т а х А уь — ►0:
Р (х , у) й х —
11ш
Р (|^ , ц к) Д ш — криволинейный интеграл
АВ
ш а х Л ^ - > 0 /г=1
по координате х;
п
Щ(х, у) й у =
Нгп
2 (2
Цк) Ь у ь — криволинейный интеграл
АВ
тах Дул - » 0 й = 1
по координате у\
$ Р (х , у) й х - \- 0, (х, у ) й у = ^ р (х * У ) а* + $ 0. (х, у) й у — полный криволиней*
АВ
АВ
АВ
ный интеграл.
Криволинейный интеграл II рода есть работа , совершаемая переменной
силой Р — Р ( х , у) 1+ (2(х, у ) ) на криволинейном пути АВ (механическое ис­
толкование).
43
1°. Криволинейный интеграл II рода меняет свой знак на противополож
ный при изменении направления пути интегрирования.
ВА
АВ
2°. С р а х + ( } а у = \ ^ Рс1х+ § <}йу.
АВ
АВ
АВ
Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла I рода.
Криволинейный интеграл II рода вычисляется по формуле
Ь
СР (х, у) йх-\- <2 (х, у ) ( 1 у = ^
К
[*» ф (*)] + ф' (*) $ Iх» Ф(*)1) йх.
а
Если кривая К задана параметрическими уравнениями х = х(Ц, У— У ( О»
где ( Ш ш Ш М то
Ср (х> у) й х + ^ {х, у ) й у = ^ {Р [х (0» у (01х' ( 0 + СI* (0> у (01 у (0} й1.
к
и
Аналогичная формула имеет место для вычисления криволинейного интег­
рала II рода по пространственной кривой /(: если кривая задана уравнениями
х = х (Щ У = у Ь), г = г ( 0 , где
то
Р (Х ,
у , г ) й х + ( 2 ( х , у , г ) 4 у + Я ( х , </, г) йг
К
/
^ {Р [х (I), у (0, г (0] *' ( 0 + 1 1х (Ш у (0. г (/)] у' ( 0 +
/? [х (о .
у(и
ш Ш ш ш
$ Р й х + ( } (1у по
С
замкнутому контуру не зависят от того, какую точку контура выбрать за
начало интегрирования.
Если путь интегрирования (С) есть простая замкнутая кри вая, то
Р й х -\-(± й у берется поэтом у контуру в направлении против хода часовой
С
ч
стрелки (положительное направление).
181.
ДО В (4; 3).
Вычислить
|
( х — у ) й з , где К — отрезок прямой от А (0; 0)
'; / -^
д Уравнение прямой АВ имеет вид */ = (3/4)х.
довательно,
^ :
Находим у' = 3/4 и, сле­
182.
Вычислить
х = У соз (,
если
Ш й у — у-х йх,
к
л /2 .
у = * \ / ь\п^ ,
Д Найдем &
4/, йу
соз I
й(. Тогда
2 у зш |
гь
я'2
СОЗ
/■
Г У «зш
51П I
+ з ш / . у соз I
/
я
(И
4
2 у зш /
о
▲
183. Найти массу М дуги кривой х = 1 , у = Р / 2,
Щ
(О
^ 1 ) , линейная плотность которой меняется по з а к о н у
V= У 2 у .
А
М = Г V 2у йз
1/1
К
1О V Ш IЁ
/2
/2
I
1
Л
IВ('■+
с/
2
о
о
1
*2+ 2
8
2
О
184. Найти координаты центра
х = 1 — з ш р у = 1— с о з / ( 0 < / < л ) .
тяжести
дуги
циклоиды
Д Координаты центра тяжести однородной дуги кривой К вычисляются
по формулам х = ~ I хйз, У— — ^ У 1*3* где 5— длина дуги. Имеем
я
л
Ш
V х~'2 -ТУ
, ’г (11 = ^ \ Г (1 — соз /)2+ з ш 2 I (11 = 2 Гз1п 4 - ^ /
2
о
о
о
4 соз
I
я
О
4.
Тогда
я
\ (I — зш /) 2 з!п
I
1
гя
(II — ^
о
I зш
— з!п ~ з 1п I ] (II
о
^ Г — 2 / соз у + 4 з ! п - |- - Ь - |- 8 1 п 3
л
О
1 /
4
2
8
3 ;
л
— 1 Г
1 С
(
У — - г \ у (15— — \ ( 1— соз /) 2 зш ~ (11
4
4
2
О
К
я
ШМ'
зш
/
соз / ^ (1!
|||
2
1
(
3/
2 соз т “г зГС08 121
соз
4
3
•А
45
185.
Найти
х*+ у * = Ф
координаты центра тяжести дуги
(0
окружности
О
Д Т а к как по условию задана четверть дуги окружности, то ее длина
5 ==я/ ^ 2. В силу того, что биссектриса I координатного угла является осью
симметрии, имеем х = у . Теперь находим
к
I о
о
—л П )С —
К
сЫ
=
—
С
***?—
=
—
—
У
рг-х’
А
К
=—.
У
я .) У В * — #
п
1°
я
О
О
ЯЙШ
-:;Г
•
И так, х = у = 2Н /я . Д
Вычислить криволинейные интегралы:
186. ^ (х2~ - у г)(1х + х у й у 9 если путь от А (1; 1) до В (3; 4) —
АВ
о
отрезок прямой.
187. ^ {х— у)* <Ьс + ( х у ) 2 й у ,
если
/ ( — ломаная
~
ОАВ,
где
0 ( 0 ; 0 ) , КЛ(2; 0), В (4; 2).
^ 188| С ЩШ,, если А В — дуга полукубической параболы у'
о у х
АВГ
_
(4/9) х3 от А (3; 2 ^ 3 ) до Ц 8; 3 2 ^ 2 /3).
189. [ у й х — (у + х2)Ау, если К — дуга
к
параболы у = 2 х — х2,
| А ;;
'
.1
__
расположенная над осью Ох и пробегаемая по ходу часовой стрелки.
190. ^ у й х + 2хс1у, если К — пробегаемый против хода часовой
К
: ::
‘
^ ,^у х I . 4а |
стрелки контур ромба, стороны которого лежат на прямых
х/3 + у 12 = ± 1, х / 3 — у /2 = ± 1 .
191. [2хс1у— 3ус1х, если К — контур треугольника с вершинами А (1; 2), 5 ( 3 ; 1), С (2; 5), пробегаемый против хода часовой стрелки.
192.
— у , если К — I четверть окружности х — г с о з /,
к
„
у = г ||д а || пробегаемая против хода часовой стрелки.
193. [ х2у йх + х3 Ау, если К — контур, ограниченный параболами у 2 = х, х2 — у и пробегаемый против хода часовой стрелки.
194. Найти массу дуги окружности, х = соз*, у = в ' т ^
( 0 < Л < ! я ) , если линейная плотность ее в точке (х; у) равна у.
195. Найти координаты центра тяжести однородной дуги кри­
вой у — сЪх (0 ^
^ 1п 2).
46
196. Найти координаты центра тяжести однородной дуги кри­
вой х = е* соз % у = е*5\п I, г = е* (— о о ^ / ^ О ) .
197. Вычислить | | У х 2 + у 2йз, где К — окружность х2 + 1 | = а х .
\
к
198. Вычислить ^ _|_^а _[_г2 > ГДе /С — первый виток винтовой
к
линии х = а с о з / , у = а5^п^, г — Ы.
199. Найти массу первого витка винтовой линии л: = соз I,
ущЩШЩ 2 = 1, если плотность в каждой точке равна радиусувектору ЭТОЙ ТОЧКИ. 5
1
200.
Вычислить ^ ху йх-\- уг йу-\- г х й г ,
где
ОА — четверть
ОА
окружности х — соз I, у = $т1,
возрастания параметра I.
2
=
1,
пробегаемая в направлении
§ 2. НЕЗАВИСИМОСТЬ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА И РОДА
ОТ КОНТУРА ИНТЕГРИРОВАНИЯ. НАХОЖДЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ
ПОЛНОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛУ
Пусть функции Р (х, у) и <? (х, у) непрерывны вместе со своими частными
производными первого порядка в односвязной области О и контур К целиком
находится в этой области.
Тогда необходимым и достаточным условием независимости криволиней•
ного интеграла ^ Р (х, у) йх-\~ 0. (*» У) йу от контура интегрирования является
ИЯнШ Ш Ш *
З Ш
—-Т ; г
выполнение в области В тождества
сЯ
^
дх'
При соблюдении указанных условий криволинейный интеграл по любому
замкнутому контуру С, содержащемуся в области О , равен нулю :
Ф Р (х, у) А х + 0 , (дг, у) с1у = 0.
I/
Д л я вычисления интеграла
(VI; уО
Р (дг, у) йх-\-(1(X, у) йу,
У о)
не зависящего от контура интегрирования ( т. е. условие
дР
до
еэ — выполнено
в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования следует выбрать ломаную,
соединяющую точки (х0; у 0) и (*ь ух), звенья которой параллельны осям Ох
и Оу.
Подынтегральное выражение Р (х, у) с!х +
(я, у) йу при указанных усло­
виях является п о л н ы м
дифференциалом
некоторой однозначной
функции и = II (х, у), т. е.
й1/(х, у ) ^ Р ( х , у)йх-\-(Э(х, у) йу.
Функцию и (х, у) (первообразную) можно найти, вычисляя соответствую­
щий криволинейный интеграл по ломаной АоАхВ, где Л о (лу, уо) — произволь-
Ф
:
:
47
I _____*
ЩШ *
■
Рис. 22
’_
т м'
Г
пая фиксированная точка, Б (лг; у) — переменная точка,
а точка А\ имеет координаты х и у 0. Тогда вдоль
Л<Их имеем у — уо и й у - - 0 , а вдоль А^В имеем
х = соп§1, йх — 0. В результате получаем следующую
формулу:
у
и (х, У ) = \ Р (*, у о) ёх-\- С (? (X, у) йу-тС.
ч-- - Щ/
'
у-~ •
- ■ Щ/
х0
уо
Аналогично, интегрируя по ломаной А0А 2В, где Л 2 (х0; у ), получим
I
|
*
Ш (дг, $ = ^ <? (* о . у ) й # + 5 р С*« у) Л х + С .
*
Уо
(2 ; 8 )
201. Вычислить / =
*о
С (х + 3*/) йх + (у + Зх) йу.
(1; 1)
д
Данный интеграл не зависит от контура интегрирования, так как
.
дР
Щ
д
б И
Ц
о д(}
д
^
^
К I * = й & + ах )_ 3 -
дР
д(} .
*
п х
т. е. тг—=
(на всей плоскости щ |
ду
дх
Выбираем в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой па­
раллельны осям координат. Имеем на первом участке * /= 1, йу = 0, I < ж ^ 2,
на втором участке х = 2 , йх = 0, 1 ^ у ^ 3 . Следовательно,
«2
-]3
Ш Н
= 2 - 1 - 6 — 0 ,5 — 3 + 4 , 5 + 1 8 — 0 ,5 — 6 = 20,5. А
202. Найти первообразную функцию V , если
® = [г/ + 1п ( х + 1)] *& + ( х + 1— еу) й у .
Д Имеем Р = у + 1 п ( х + 1),
= х + 1— ^ , ^
= ^ = 1 . Пусть х0 = 0, у 0= 0
и контуром К является ломаная ОМN (рис. 22). Тогда
у
V (дс, у) = | 1п ( х + 1) й х + ^ ( х + 1— с») йу
о
о
[х 1п ( * + 1) — х + 1п ( х + 1)]^ + [ х у + 1/ — Щ
=(д с + 1) 1 п ( * + 1 ) — х + х у + у — е^ + 1 + С. А
203. Найти V (х , у), если
Ж 1 1 -X+ 1 -у )) ах Я (\ у- — У*)
4) Щ
Д Имеем
Здесь в качестве точки (х{)\ у 0) нельзя взять начало координат, так как
при * = 0 и у == 0 функции Р (х, у) и (} (х, у) не определены. Поэтому в ка­
чество точки (х0; Уо) возьмем, например, Л0 (1; 1). Тогда
г
и
*
у >
^ (•7 + , ) й* + 3 ( | ~ р ) ^ - Ь » * + ж + М п у + ™ 1 + С. А
1
1 '
У)
204. Решить дифференциальное уравнение
(4х3у 3— 3у 2 + 8) йх-\- (3х*у*— Вху— 1) йу = 0.
Д Здесь
Р = 4хЭу3— Зг/3- |- 8,
( } = З х * у 2- 6 х у - \ ,
^ = д^ = 1 2 х ? у * - 6 у ;
следовательно, Ш — Р й х +<2 й у , т. е. 4 = С. Пусть Л (0; 0) и В (х ; у); тогда
х
у
V = С 8 й х + С (3х4у 2— 6ху — 1)йу = С, т. е. 8 х + х 1у 3— Зху2— у = С . | |
о
о
205. Решить дифференциальное уравнение
(2еах + у + 5Щ у) йх + (е?у + х + х соз у ) й у = 0.
Д Имеем — = ^ = 1 - { - с о 5 у, откуда йИ = Р йх^- 0. йу, т. е. И = 'С . Пусть
А (0Г 0) и В (х; у) ; тогда
х
у
V = С 2е2х йх + ^ (е3У -{-х-(-хсо5 у) й у = С ,
о
о
или
е2 х ^ е3У х у х $\п у = С. А
Найти первообразную функцию V (х, у) по ее полному диф
Ф
206.
207.
208.
209.
210.
йУ =
йС/ =
йИ =
<№ =
йЦ =
[ех+у + соз (х— у)] йх + [ех+у— соз (х— у ) 2] йу.
(1 — в**у + соз х ) й х + (ех~у + соз у) йу.
(ха— 2ху2 3) йх + (у2— 2х2у-\-3) йу.
(2х— 3х у г + 2у) йх + (2х— 3х2у + 2у) йу.
(5 \\ х с Ъ у) й х ( х зЪ у + \ ) й у .
211. <№ = ( а г с з т х — х1п у ) й х — ^агсзт у
X2
йу.
Решить дифференциальные уравнения:
212. (2х 5’т у + у соз х + 2х) йх + {хг соз у Ц зш х — зш у — Зу2) х
х й у = 0.
213. (2хуех* + 1п у) йх + ^ е*2+ у + еУ ) й у — 0.
(я; я)
214. Вычислить
\
(0; 0)
{х + у ) й х + ( х — у ) й у
по различным коно
турам, соединяющим точки 0 (0 ; 0) и М (л; л); 1) по прямой ОМ;
2) по кривой у — х - \ - з ш х; 3) по ломаной ОРМ, где Р (л; 0);
4) по параболе у = х * / п .
49
215. Вычислить § х й у + у йх по различным замкнутым кон­
турам: 1) по окружности х — с о з / , у = $\п1-, 2) п о контуру, огра­
ниченному дугой параболы у — х2 и отрезком прямой у = 1 § 3. ФОРМУЛА ГРИНА
Если С —-граница области Э и функции Р (х, у) и С (х, у) вместе со своими
частными
производными
^
и
непрерывны в замкнутой области й
(включая границу С), то справедлива формула Грина
к
о
причем обход контура С выбирается так, что область И остается слева.
216. Применяя формулу Грина, вычислить / = § 1 (х2 + у 2) й х +
с
Ш Я ш Ш ш если С — контур треугольника с вершинами 1 ( 1 ; 1),
М ( 2; 2), N (\-, 3), пробегаемый против хода часовой стрелки.
Проверить результат непосредственным интегрированием.
Д Здесь
Р(х,
у)= 2(х*+ у*),
<2 Щ
у) = ( х + у ) 2.
д(} дР
Находим ^ - ^ - =
_ 2 ( х - \- у ) — 4 у = 2 (х — у). Таким образом,
I = $ 2 (х2И у 2) а х + ( х + у)24у = [ \ 2 (х— у) ах Щ
С
О
где область В — треугольник %ММ. Уравнение прямой Ш : у = х, уравнение
ММ: у = — х + 4 . Вычислим двойной интеграл по данной области:
2
4 —х
/ = 2 1
\
1
§
2
(х — у) йу = 2
1 НИШ
ху— 2
* У2 *
1
2
2 \|
К
х ( 4 — х ) — ^ - ( 4 — д:)2 — х2+ у х2 | йх
В
4 Г (4х— х2 — 4) йх = 4:
с/
1
Вычислим теперь непосредственно криволинейный интеграл по контуру С,
состоящему из звеньев ЬМ , МЫ, N I>:
1=
\ 1 (х2 + У1) йх+ ( х + у)2 а у + I 2 (х24 - у 2)< 1 х +
Ш
мн
+ { х + у ) 2'4 у + ^ 2 (х2 + У2) 4 х - \ - ( х + у ) 2 ау.
щ
Уравнение ЬМ : у = х \ следовательно, <1у=(1х, 1 ^ х ^ 2 .
Уравнение М М \ у = — х + 4; следовательно, 4 у = — (1х, 2 ^ у ^ 1 .
Уравнение ЛИ-: х = 1 ; значит, й х = 0 ,
50
Таким образом,
о. 1В1
,
1
1 = { [ 2 ( х 2 + х г) а х + { х + х ) 2 а х ] + | {2 [х24 - (4— х)2] с 1 х + ( х — х -|-4 )2 (—4х)}+
1\
V 1
2
_[. Г (Щу}*4у*=Ш ^
1
8 з
4 з
з
з
____________________у
*
>
-------------------------------------------------------------------------—
Г
*5
2
1
1
^ (4дс2— 1 6 х + 1 6 ) <**+$ (1 + у ) г <1у=
3
ЗШЯИШаНщШ
217. Применяя формулу Грина, вычислить \ — х2у йх + ху2 йу,
ч
\ - \
"1
с
где С — окружность х2 + у 2 = Я 2, пробегаемая против хода часо­
вой стрелки.
Д Здесь Р ( х , у } = — х2у,
<2 (х, у) = ху2. Тогда ^ ~ % = х г + У “- Следо-
вательно,
1 = Ф — х2у(1х + х2у с 1 у = \ \ (х2 + у 2) йхйу.
/)
Введем полярные координаты: х = р соз 0, г/ = р з ш 0 , 0 ^ 0 < ; 2я; значит,
2я
/?
2п
'*
I
Г
я /?4
/ = С С р2- р ф ^ 0 = 3 <20 3 р3
о
о о
^ 66= ^- . Д
о
218. С помощью формулы Грина преобразовать криволинейный
интеграл / = ф [х + 1п (х2+ у 2)] йх + у 1п (л:2+ у2) йу, где контур С
ограничивает область й .
219. Применяя формулу Грина, вычислить (рУг хг + у 2й х + у х
.1 Ш
г. ' 4
.■
с
х [ х у + \ п ( х + У г х2 + у 2)]йу, где С — контур прямоугольника 1 <
х < 4 , 0^ */< 2.
§ 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ
Площадь 5 фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром С, нахо
дится по формуле
5 = 4 - ф хА у— уйх.
2с
Контур интегрирования пробегается так, что ограниченная им область остает­
ся слева (положительное направление).
220.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми у =
= х 2, х = у 1, 8 х у = 1 (имеется в виду площадь, примыкающая к
началу координат; рис. 23).
51
1
3
16 (1 — у ) 2— 16 (1 — у)2
2
йи
1
(4 — г)2+ 2г (4 — г)
2
йг4г
о
+ з(
^ = 42А . Д
К/
О
244. Вычислить линейный интеграл от радиуса-вектора г = XI ,
+ г/Л~2к вдоль дуги винтовой линии л: $ с о з * , у = / ? 5 1 г и ,
г = а1, если ОЯ I ЙЕ 2я.
Д Имеем
гйг== V л г ^ я + г / ^ - } " 2 Й§
%
)
/С
К
9тг
м
4
V
[ / ? 2 ( — СОЗ
/
5Й1
/+
ЗШ
а 2/ 2 2я
= 2 д 2а2
2
О
/ соз /) + а 2/] Л
о
Эта величина равна работе вектора г вдоль заданной дуги
линии. ▲
винтовой
245. Найти циркуляцию вектора Р =
мух + сох) по окруж­
ности х = а соз^, у = а зш I в положительном направлении.
—
Д По определению циркуляции получаем
2л
ту й х -}г (йх йу = (о | (а2 з т 2 * + а 2 соз2 / ) Л = 2л;а2(1). Д
о
РЖ
246. Найти циркуляцию векторного поля Р = (л:+ Зу-\-2г) 1+
+ (2x4-2) } 4 - ( х у) к по контуру треугольника
М ЫР
где
М (2; 0; 0), И
3; 0), Р (0; 0; 1).
—
,
Д Согласно формуле Стокса, Ц = ф Р й г = Т ^ пго* Р й5. Здесь С - контур
С
3
треугольника ММР, лежащего в плоскости Зх-\-2у-\-Ъ г 6 = 0, проходящей
через три данные точки. Найдем ротор данного векторного поля:
—
1
го1 Р
62
дх
х-\-Ъу-\-2г
д_
ду
2 х -\-г
д ( х — у)
д(2х+ г)1ш
1
дг
дх
д (2х-}-г)
д (х-\-Зу-\-2г)
к
дх
ду
д ( х — у)
ду
л
Ж
к
д_
дг
х—у
д (х + 3 г/+ 2 г)
дг
21 + | — к.
3+
Л Решая совместно уравнения кривых, найдем А (1/2; 1/4), В (1/4; 1/2)
Следовательно,
1
х й у —уйх
х
й
у
—
У
Ж
5 = 4
2
во
лв
од
о
1/4
1/2
1 + 3 1п
|
1 С 1:
1
ж 0,13 (кв. ед.). А
24
4
8 о х
2
1 /4
1/2
о
221.
Вычислить площадь, ограниченную астроидой х = а со
у = а з т 3 /, предварительно построив кривую.
Д Д л я вычисления площади воспользуемся формулой 5
ф хс!у— у Ах
За соз2/ зш / й1, 0 ^ / * ^ 2 л . Следовательно,
2я
3
зш 2 / С 0 5 2 I й(
5
^ (За2 соз4 I з ш 2 I + За2 з 1п4 / соз2 /) Л
2
о
о
2л
2я
Зла2
1
За2 Й
З а 2 Л'
I — ~-т
- зш 41
соь 4/) й1
А
з ш 2 21 й1
8
4
16
I
16
8
о
о
где с1у = 3а з ш 2 I соз 1й1, йх
2л
§
1
1
Щ
*
222. Вычислить площадь, ограш
л
2
X, X
чеиную параболами у
У
223. Вычислить площадь, ограни
ченную эллипсом х = а с о з I, у = Ь 5 \ п 1
224. Вычислить площадь четырех
угольника
с вершинами А (6; 1]
1 (4; 5), С (1; 6), Щ (— 1; 1).
225. Вычислить площадь фигурь
ограниченной контуром ОАВСО, есл
А (1; 3), В (0; 4), С (— 1; 2), О (0; 0;
О А, ВС, С О — отрезки прямых,
Рис. 23
А В — дуга параболы у = 4 — х2.
226. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидои
11 со з Ь— г с о з 2 / , у = 2 г з т ^ — г з т 2 Л
§ 5. ПОВЕРХНОСГНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть Р (х, у, г) — непрерывная функция и г = [ ( х , у ) — гладкая повер:
иость 5 , где / (х, у) задана в некоторой области Щ плоскости хОу. Поверхн
стным интегралом I рода называется предел интегральной суммы при уел
вии, что ш ах
— *■0 :
* г
Мш
2
ш а х с!^ —►0 к — 1
р & ’№
^
= ^
5
(*» У> г) а 5 >
где Д5&— площадь к-го элемента поверхности 5 , точка Щ | т^; С&) прннадл
ж и т этому элементу, й &— диаметр этого элемента, Р (х, у , г) определена в ка>
дой точке поверхности 5 .
Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности «
по которой производится интегрирование.
52
Если проекция О поверхности 5 на плоскость хОу однозначна, то соот<
ветст дующий поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле
С \ Р (*, I
5
=
[х, у,
1+ ( § ) Ч
у)]
( щ ) * *хйу.
О
\
Рассмотрим двустороннюю поверхность 5 и выберем на ней определенную
сторону 5 + . Функция Щ
у> г) определена в точках данной поверхности.
я
Предел интегральной суммы 2 ^
'Ль %>к) &$к (х > У)> где
(х> У) пло*
ъ=\
’• -Щ
щадь проекции элемента А З к на плоскость хОу , при условии т а х <2*—
на ­
зывается поверхностным интегралом II рода , распространенным на выбранную
сторону поверхности «5 , и обозначается символом / — ? ^ Р (х, у , 2) йх йу.
Ц I г -у , ;
%
5+
Если Р ( х у у , 2), (?(*, у, г),
у , 2)— непрерывные функции и 5 + —
сторона гладкой поверхности 5, характеризуемая направлением нормали
п (соз а ; соз (5; соб 7), то соответствующий поверхностный интеграл II рода вы­
ражается так:
С С Р с 1 у а г+ С }(1 г< 1 х + К (1 х (1 у = [ С (Р соз а + < 2 соз р + Я со$ у) аЗ.
При переходе на другую сторону 5 “ поверхности этот интеграл меняет
знак на противоположный.
Если поверхность 5 задана уравнением в неявном виде Ф (х, у , 2) = О, то
направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам
СОЗ сс = —--------
созр
■■■
дФ /дх [
_______________
± у {д Щ д хр + (дФ/ду)2 + (дФ,дг)2
дФ/ду
± V (дФ/дх)* + (дФ/ду)2 + {дФ/дг)Л
дФ /дг
0031
| 1 {дФ/дх)2 + (дФ/ду)2 + (5Ф/дг)*
где знак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности.
Моменты инерции части поверхности относительно осей координат выра­
жаются поверхностными интегралами:
10х = С С (у2+ 22) (18,
5
1 о у = [ [ (*2 + 22) (13,
5
1 о г = \ $ (*а + У7) <*3.
5
Координаты центра тяжести части поверхности можно найти по формулам
где 5 — площадь данной части поверхности.
' Масса материальной поверхности выражается формулой
т
8
где у — поверхностная плотность.
Статические моменты поверхности
скостей определяются по формулам
относительно
координатных
пло­
Мху
53
227. Вычислить / = $ \ (хг -\- у 2) (18, где 5 — часть конической
5
поверхности г2 = х2 + «/2, заключенной
и 2= 1.
!
''
Д
Имеем
2- Г
ё
между плоскостями 2 = 0
Н Я Ш
1 Ш ' &I
8
=
1
у
#
дг
дх
*
+(ё)д
%
х
у х г _|_у* '
)
дг
ду
у
у - +уг
+ * ф т
V
Ь
*
у
= У^2*6х6у.
Тогда искомый интеграл преобразуется в двойной интеграл
/
5 5 (*2- Н а - ^
о
2 4х4у.
Областью интегрирования И является круг х2+ г / 3 < 1; поэтому
я /2
1
Я/2
-
п У 2
1 = У 2 ^ ^ (х*+ у*) йхйу= 4 У 2 ^ ав $ рЧр= У~2 $
О
О
О
.А
О
228. Вычислить интеграл / ш ^ \ х 2у 2г й х й у по верхней сторо5
не верхней половины сферы х 2-\-у2-\-г2 = %2.
Д Проекцией сферы на плоскость хОу является круг й , ограниченный
окружностью х2 -{■У2 =■ К 2. Уравнение верхней полусферы имеет вид г =
х2-—у 2; следовательно, | И | Сх2у 2 \ Я 2— х2— у 2 6х ху.
о
к полярным координатам, получим
=
я/2
/=
Переходя
Я
^ Р5 СОЗ2 0 51П2 0 У Я 2 —р2 6р 60 = 4 ^ С052 0 5Ш2 0 60 ^ р5 \ Г Я 2— р2<2р
0
Р
1 - соз 40 Л Г*И
2
о
-О 1'
о
0
_ И
/2 м =
'
2
105
я
При вычислении ^ р5 ] / Я 2 — р 2 йр была сделана подстановка У^/?2— р
- _ 0
- ^
откуда /?2— р2= * 2, р 6 р = — 161, р * = ( Я 2— (2)2. д
229.
Найти момент инерции полусферы г — У а г — х ‘ — у “ отно­
сительно оси Ог.
54
Д Имеем
дг
х
дг
дх
Г
У
у ИР
аз
VI
ду
2
У а2
У
У а2— х 2
д г\2
\ дх
2_„2
а
+’
Ш
йх йу
д Щ
шг
а2 _ х 2 _ у 2
а йх йу
Ах йу
о
Уа
л- — //-
Г% Г*
Н
&
/ о г = \ \ (х°-+ У2) Щ | Л л
5
\
Ш
+
П
- *
у а2 — х г
ло
У
ж ВД|.
2
Областью интегрирования является проекция полусферы на плоскость хОу,
т. е. круг х2-\-у2 а 2; поэтому, переходя к полярным координатам, получим
л/2
О
I 02
о
а
г»
4
рвйр
йв
- 1р йр1 йО = 4а
1/
О
Л У а- Р2
а 3 — р3
О
О
а
У
еш
3
ла
(внутренний и нтеграл м ож н о еычислить с
помощью подстановки р = а 5 1 п / ) - А
230. Вычислить координаты центра тяжести части плоскости г
......... ...........................А ~
ЛГ Л - 1 1
ограниченной плоскостями х-\-у
1,
у = 0, х — 0 (р«с- 24).
Найдем площадь указанной
|Ы 1 Ь
дг
I дг
плоскости г = х. Имеем дх
довательно
А
части
ИВ
с ле -
Рис. 24
1
I дгУ1
дх +
1
5
1
/>
Г 2 \ 0
о
х) йх
С/2 \ йу
йх й у = У 2 \ йх
ду
о
о
1
У 1
2
0
Тогда
2
1 —х
I
о
о
2
1
*“ 5
~
1 о
*2
1 —х
0
1
3
1
1
3 ; у -
'10
1
г
о
( I — х)2 ^*
1
2
1
5 .11 У
и
|1|
3
Л
З
=
-
у 2
______________
1
( 1- х )
0
Б
0
1 —я
У" 2 у йу
1
о
1
3 *
Гиспользован о у растение плоскости г — х). Д
53
231.
Найти массу поверхности сферы и статический момент
Мх верхней полусферы, если поверхностная плотность в каждой
точке равна расстоянию этой точки от вертикального диаметра.
д
Совместим начало координат с центром сферы, направим ось Ог по вер­
тикали и перейдем к сферическим координатам: * = /? § т 0хо$
!/ = /? § т 0 вШ
г = /?со ь0 (/?— радиус сферы). Тогда Л5 = У Л Ы ф = /?2$1пО <20 й<р, поверхност­
ная плотность 7 = } ^ х 2+ < /2 = /?51п0. Следовательно,
| :
я 2п
/ п = С ^ V^
~ ^ ^ /?3 з!п2 в (104 ф = /?8 ^ ^ зш 2 0 Й0 й(р =
0 0
*
/?3л Г«2------1
= л / ? 3- я = л 2/?8;
2 л л /2
^щ
1
^
В
^ со5 0 зШ2 0 йв Жр
Н
В
232. Найти координаты центра тяжести части поверхности
2 — (я2 уЩ/2, расположенной над плоскостью хОу.
233. Найти момент инерции параболоида г = (хъ у*)/2 отно­
сительно оси Ог при 0 ^ 2 ^ 1.
234. Вычислить § $ х у г й З , где 5 — часть поверхности г = х- '
з
+ / / а, расположенная между плоскостями
§ 6. ФОРМУЛЫ
ТЕОРИИ ПОЛЯ
СТОКСА
2
= 0 и
2
=
И ОСТРОГРАДСКОГО — ГАУССА.
1.
ЭЛЕМЕНТЫ
Если функции Р = Р ( х , у, г),
=
у , г), К = К ( х , у, г) непрерывны
вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности
5 и С — замкнутый контур, ограничивающий поверхность 5 , то справедлива
формула Стокса
а«\
ф Р йх-\-(±(1у-\-В. йг
О ;Д -Ш Ш
,(№
т \
„ , /д а
ж I со!ж
»
№ \
-г
с?5 3 1 « * ш ) с“ ?! «и,
где соз а , соз Р, соз 7 — направляющие косинусы нормали к поверхности 5;
направление нормали определяется так, чтобы со стороны нормали обход кон­
тура С казался происходящим против хода часовой стрелки.
Если функции Р = = Р (х, у , г), (? = (}(х, у , г), /? = /?(дг, у, г) непрерывны
вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой облас­
ти Т пространства, ограниченной замкнутой гладкой поверхностью 5 , то спра­
ведлива формула Остроградского— Гаусса
<Ц) ( Р с о з а + ф созР-{-/?со5
5
где соз а , соз
ности 5 .
56
ч)<1ЩЦЦ§
Т
' ™
соз у — направляющие косинусы внешней нормали к поверх­
Если каждой точке М области V поставлена в соответствие скалярная
и = и { М) [векторная Р = Р (М )] величина, то говорят, что в области V задано
скалярное (векторное) поле.
В декартовой системе координат задание скалярного поля равносильно
заданию одной функции трех переменных:
и ( М) = и(х, у , г),
а векторного п оля— трех функций трех переменных:
Р (М ) = Р ( * , у , г ) \ + (}(х, у , Щ -ф Ш Щ у ,
где Р = ( л у , г), <? == (*, у, 2), Я = (х, у, г)— проекции вектора Р на соответ­
ствующие координатные оси. Предполагается, что функции и (х, у , г), Р (х7у , г),
(*, г/, г), /? (х, у, 2) являются непрерывно дифференцируемыми в области V .
Векторной линией называется кривая, направление которой в каждой ее
точке М совпадает с направлением вектора Р, соответствующего этой точке.
Векторная линия определяется системой дифференциальных уравнений
йх
Р
Щ
0.
йг
Я
Градиентом скалярного поля и = и ( х , у , г) называется вектор
ди . , д и . . д и ч
т
1+
ж
)гуг кдх ' ду
дг
стае! и
Дивергенцией векторного поля Р (М) = Р1 +
IV Р
дР
дх
/?к называется скаляр
. д<1 у дЯ
дг
ду
Вихрем {ротором) векторного поля Р (М) = Р1 + ф}-1-/?к называется вектор
го! Р
д/?
ду
дР
дг
д0_
дг
дЯ
дх
к
I
а
дх
Р
д0_
дх
д
ду
я
дР
ду
к
д
дг
Я
Потоком векторного поля Р (М) через поверхность 5 в сторону, опреде
ляемую единичным вектором нормали п = соз а ч + соз [$•}-{-соз 7 -к к поверх
иости 5 , называется поверхностный интеграл
П
Рп 03 = П р „ 43 =
(Р соз а + <2 соз Р + 2? соз V) 03,
где Р п — скалярное произведение вектора поля и единичного вектора выбран­
ного направления нормали.
.
Линейным интегралом от вектора Р по ориентированной кривой К назы­
вается криволинейный интеграл
К
К
представляющий собой работу векторн
С — замкнутый, то линейный интеграл
Ц
Р йг — ф Р йх~\-(2 й у + К йг
называется циркуляцией векторного поля Р (Л!) вдоль контура С.
Формула Остроградского — Гаусса в векторной форме имеет вид
(Ну Р йК = <№ Р пс/5,
т. е. интеграл от дивергенции векторного поля Р, распространенный по неко­
торому объему Т у равен потоку вектора через поверхность 8 , ограничивающую
данный объем.
|
-• - .
*
Формула Стокса в векторной форме имеет вид
Р с1г= \ ^ п-го1 Р ё З ,
т. е. циркуляция вектора вдоль замкнутого конт ура С, ограничивающего не­
которую поверхность 5 , равна потоку вихря через эту поверхность (направле­
ния обхода контура и нормали должны быть согласованы друг с другом).
Введем символический вектор (в декартозой системе координат)
I , , | . | I У
V == дх *“г ду
зг~ 5т* дг
д"
называемый оператором Гамильтона (или набла-оператором). Он обладает как
свойствами вектора, так и свойствами дифференциального оператора. С его
помощью выражения для градиента, дивергенции и ротора можно кратко
записать в следующем виде:
. .
^гас! &=
(НуР = у Р ,
го! Р = V X Р .
Векторное поле Р (Л1) называется безвихревым, если го1Р = 0.
Векторное поле Р (М) называется потенциальным, если Р =дгас1 и, т. е.
е с л и Р = — , 0 = 4 “ » Я = 4 ^ . В этом случае го! Р = го1 (§гас1 и) = V X ^ = 0 ;
дх
оу
ог
следовательно, потенциальное поле является безвихревым.
Векторное поле Р (М) называется соленоидальным (или трубчатым), если
сНУ Р = 0, т . е. в области задания поля V отсутствуют и стоки, и источники.
Так как (Иу (го* Р) = V ( У Х Р ) = 0 , то поле вихрей является соленоидальным.
235.
Применяя формулу Стокса, найти / = § х2у 3 йх + й у г йг,
если С — окружность х2-\-у2 = г 2, г = 0 .
Д Данный контур С ограничивает часть плоскости г — 0 с единичным
вектором нормали п = к; следовательно, с о з а = 0, с о з Р = 0, соз 7 = 1 . Учиты­
вая, что Р = х 2у3у <2 = 1, Я = 2у по формуле Стокса получаем
/
ф х %у г й х -\-й у -\-г йг
А5
11■
соз
7 $5,
Так как с о в у й З — йхйуу то последний интеграл примет вид
где плоская область О ограничена окружностью х2-\-у2:= г 2. Вводя полярные
координаты х — р соз 0, // = р $ ш 0 , получим
я/2
г
3 Ц
р 5 51П2 0 СОЗ2 0 ф
4 0 = — 12
^
о
ЗЙ12 0 СОЗ2 0 4 0 | р 5 1 |
0
0
я/2
б я/2
2г8 С зш2 0 соз2 0 й0 = — ~су~ Г зш 2 20 й0 =
2
О
6
г©
о
Я/2
/>
V
Г® I
— \ (1 — 003 4 0 )4 0 = 5 — ^ -
1
I Щ*
5ш 4 0
4 ----- о
0— Т
ттг*
= ------— • Д
8
236. Найти интеграл <Й> (х соз а + у соз ? + г соз у) с18, распроI
*■
5
$
А
страненный по поверхности 5 тела, ограниченного этой поверх­
ностью.
д
По формуле Острог радек ого — Гаусса имеем
(л: соз а + у соз (5+ г соз у) 65 =
5
V
V
где V — объем тела.
237.
Применяя формулу Остроградского— Гаусса, преобразо­
вать поверхностный интеграл по замкнутой поверхности 5
I = ^ ^ А у й г -\ -^ Л х й г -\ -^ й х Л у
з
в интеграл по объему, ограниченному этой поверхностью.
д
Данный интеграл можно записать так:
I
ХС / ди
• ди
а . ди
\ ,с
11 1 ( ж ^ а + Ж 005 р + ж . . 008 у ) аз’
а последний интеграл на основании формулы Остроградского — Гаусса
1г
равен
Г
д 2и , д2и . д*и § . . 1
— —-г-*- \ахаиаг .
^ щ]щ ь дх* • ду2 ' дгг )
*
1
Следовательно,
/
| I I Ав йх
6г9
т
дч
, а*а , а2*
/ а2 , а2 , а2 \
где А « = ж г + _ г + - ^ г = ( ш
+ - - + —
^
_ А
а2 , а* , а*
у . Символ Д = _ - { - _ - } - _
называется оператором Лапласа, ^
59
238. Найти дивергенцию векторного поля Р = хЧ + уЦ + 2гк .
Д Согласно определению, имеем
ШШ
ё1У
дР , д<2 , дР
<Э(*2) , д(у*) , д Щ
~ д х "^ ~ д у "^ ~ д г := ~ д х
] ду
'
д г~
= 2х+ 2у+ 2г = 2(х+ у+г). Д
239. Дано скалярное поле и(х, у , г). Найти сНу (§гас1и)
• 'г
л
Д Так как §гас!
! ди . . ди . . ди
^ + а Г к ’ 70
д / ди \ ш д ( ди \ > д ( ди
дх \ дх )
д у \ ду ) 1 дг \ дг
д 2и . <Э2а . д 2и
.
...
, ч
ш уш гаа и )=
или
у ( у и) == Ди,
т. е. А = ^ 2
(оператор Лапласа равен квадрату набла-оператора). Д
240.
Дано электрическое векторное поле, в каждой точке ко-
торого по закону Кулона действует вектор Р = -^г г0, где г — рас­
стояние данной точки от начала координат, е — положительный
электрическии заряд, г0— единичныи вектор, направленный по
радиусу-вектору данной точки, 6 = соп$1. Определить поток век­
торного поля через сферу х2+ у2 + г 2= /?г.
Д Имеем
П =
I Р п 4 5 = = Э Д ^ г 0п й 5.
I
I
Так как г = К = сопз! и г0п = 1, то
П = -|
|Г
й З = - ^ 5 еф ~
4лЯ* = 4лке.
Ц
5 |
241. Найти поток радиуса-вектора г = х\ + у) + гк через замк­
нутую поверхность 2 = 1 — V х 2-\-у2, 2 = 0
Д Найдем дивергенцию данного векторного поля:
л- 2 дх . ду , дг |
(31УГ=Ч
— г ^ + л ' = 3*
дх ду 1 дг
Искомый поток найдем по формуле Остроградского— Гаусса
лении интеграла используем цилиндрические координаты):
2л
1
1
-р
(при вычис
п-5Х5с
и
у
г
Л
'“3ИХ<
1
К
в
3
Х
й
ф
5р
й
р
5
а
г
=
=
т
г
о
о
о
2я
1
з С Ц Ср( 1 — р)^р*=3.2я Й2Й ■ 3
т ' 1 = я' А
о
60
о
242.
Найти поток радиуса-вектора
г = XI + у | + гк через внешнюю сторо­
ну поверхности прямого
кругового
цилиндра, если начало координат сов­
падает с центром нижнего основания
цилиндра, /? — радиус основания цилин­
дра, к — его высота (рис. 25).
Д Для вычисления потока вектора г че­
рез внешнюю сторону поверхности цилиндра
нужно подсчитать поток этого вектора через
нижнее основание,
боковую поверхность и
верхнее основание цилиндра.
У
Имеем Пн 0сн = | ^ г„ й 8 ; так как проекция
Рис. 25
.
р ад и уса -вектор а г на внешнюю нормаль к основанию цилиндра
§
.
;...
- 1 ...
равна нулю,
то ПИвосн = 0 .
Проекция радиуса-вектора на нормаль к боковой поверхности равна радиусу основания цилиндра, т. е. гп — К\ тогда Пб>пов= ^
Щ$3 =
пов
2 л/?*Л.
V * .Ц.________________
Проекция радиуса-вектора на нормаль к верхнему основанию равна Н\
следовательно, Пв>осн = /1
йЗ = Н8осн
Таким образом, поток вектора г через внешнюю сторону цилиндра равен
■
П = 2л/? 2А п / ? 2А = З л # 2Л. Д
243. Найти поток векторного поля Р = (2г— х) \ ( х 2 г ) ]
Згк через сторону треугольника 5, вырезанного из плоскости
4 у-{-г — 4 = 0 координатными плоскостями в том направлении
нормали к плоскости, которая образует с осью Ог острый угол.
Д Единичный вектор нормали к плоскости дс+4 у-\ -г — 4 = 0 , обеспечи­
вающий требуемое направление
ориентации
поверхности,
имеет
вид
п = ( 1/КПГ7)_1_-Ь ( 4 //" 1 7 ) ] + ( 1 / / ’ Т7)к, т. е. с о з а = 1 / / Т 7 , соз Р = 4/]/"17,
соз 7 = 1 / / 1 7 . Имеем соз а й З = й у йг; соз $ йЗ = йх йг; соз у йЗ — йх йу. Для
данного векторного поля Р = 2 г — х, С = х + 2 г , К = 3 г и по определению
потока получаем
П = С ^ (Р соз а + (? соз Р + /? соз 7 ) йЗЩ
5
4*/■'Л
®|
С | (2г — х) йу й г ( х 2 г ) йгйх-{-Зг йхйу=&
^ С (2г-\-\у-\-г — 4) йу й г-\ -(х + 2 г) йг й х + 3 (4 — х — 4^) йхйу
I
5
4 -4 у
4 -2
^ йу
^ (Зг + 4у — 4 )й г -{-^ й г
о
о
о
1-х /4
^ (х+ 2г) с/х+ 3 ^ йх
о
о
^
(4— х — 4у)й у
0
61
1
3
16 (1 — у )2— 16 (1 — у)2
1
й ио
(4 — г)2+ 2г (4 — г)
2
6г-\-
Ы
42 ( 4 - х ) 2 4л: = 4 2 А . Д
(4 — * ) — ■— |
+ з(
К
/
О
244. В ы ч и с л и т ь линейный интеграл от радиуса-вектора г = х\ ,
+ */Л~ 2к вдоль дуги винтовой линии х
Я СОЗ?, У = Я 51П^,
ШШШ если ОЯ I & 2я.
Д
Имеем
г 6г =
К
С х 6х-\-у 6у-\-% 6г
К
2л
[Я 2 (— соз /
5Й1
/+
ЗШ
/ соз /) +
а 2/ ]
61
о
Эта величина
линии. А
аЧ2 2л
= 2 л2а2
2
О
равна работе вектора г вдоль заданной дуги
винтовой
245. Найти циркуляцию вектора Р = — мух + сох) по окруж­
ности х = а соз^, у = а зш I в положительном направлении.
Д По определению циркуляции получаем
2л
РЖ
щ б х + оъхйу
со | (а2 зш2 1+ а2 соз2 /) 61 = 2яа2со. ^
о
246. Найти циркуляцию векторного поля Р = (л:+ % 4 - 2г) 1+
+ (2x4-2) }-\-(х — у) к по контуру треугольника
М ЫР, где
М ( 2 ; 0 ; 0), Я Ш 3; 0), Р ( 0 ; 0 ; 1).
Р 6т= Г | п го* Р 68. Здесь С - контур
Д Согласно формуле Стокса, Ц =
С
3
треугольника ММР, лежащего в плоскости З х + 2 */-}- 62— 6 = 0, проходящей
через три данные точки. Найдем ротор данного векторного поля:
1
го1 Р
дх
х-\-Ъу-\-2г
I
д_
ду
2х-\-г
\ д ( х - у)
д ( х — у)
д (2 х + г )
дг
дх
1
ду
Г д(2х-|-г)
д (х -4~Зу -}- 2г)
а. 1
к
т 1
дх
ду
62
к
д_
дг
х—у
д ( * + Зу+ 2г) 1 .
дг
2 1
- м —к.
Следовательно,
п.го1 Р й5 = ^
Ц=
(го1 Р)х йуйг + (то1 ? ) у й г й х + ( Ы ? ) г йхйу
3
йуйг-\-^^ йг й х — ^
2
° г*
°у г
2
Й!
О
О
°ху
3 - ах/2
йх
О
2
йхйу
1 - у/3
а И йй!I
2 IУ
о
Зх
1
2
—
а г + \ йг
о
3
4
22
йх
о
5. А
247. Тело вращается вокруг оси с постоянной угловой ско­
ростью со. Найти вихрь скорости в произвольной точке тела.
Л Имеем го1 у = го1 (саХг), где г = х\ + у) + гк. Далее, находим
•
щ
1
со х г
—
Сд
(2 =
Х (д 2
ф
го1 (о X г)
1
д
дх
Р
у
С д2
У
X
причем Р = году— у(ог ,
к
1
—
2
Щ
д
ду
к
д
дг
<2
К
3
уых — хсду. Следовательно,
/
•2С0Х ,
2 ((ох\+ со^з + согк) = 2со,
т. е. вихрь скорости у точки равен удвоенной угловой скорости со вращения
тела. А
, I
248. Найти циркуляцию вектора Р = * /1 — х)-\-ак (а = соп$1)
вдоль окружности л'2+ * /2= 1, 2 = 0 в положительном направлении.
Д 1 с п о с о б (непосредственное вычисление циркуляции), Параметрические уравнения данного контура С имеют вид х == соз |, у = : 3 1П / , 2 = 0,
0 < ; / < : 2 л . Далее, имеем Р = у = з ш / , <2 = — х = — с о з / . По определению
циркуляции получаем
2я
1\ = ф Р йх-\- 0. йу-{-Я й г = ^ зхп I (— з^п /) й1— соз /«со з I й1
О
я
^ (з!п2 / -[-со з2 /) й1
2я.
О
II с п о с о б
(применение формулы Стокса). Ротор вектора Р равен
•
го4 Р
•
]
д
к
д
ду дг
У — X а
1
_а
дх
2к,
63
а нормаль, обеспечивающая
п = к. Следовательно,
Ц
положительное
11
■
го1 Р 68
направление
контура,
6у
2
пк 6 8
обхода
1
2л
2 •2 л •
2 \ 66 \ р ф
2л. ▲
2
о
о
249. Показать, что поле Р = (2ху + 3 у2+ 9*/) I + (*а + бд:у + 9х) ]
является потенциальным, и наити потенциал этого поля.
д Данное векторное поле определено на всей плоскости хОу , являющейся
односвязной областью. Покажем, что го1Р = 0, т. е. что поле безвихревое,
а следовательно, и потенциальное. Действительно, так как Р = 2х// + Зг/2 + 9#,
(} = х 2+ бху + 9х, Л = 0, то
т
1
го! Р
дх
Ш + 3у2
к
)
д_
ду
х 2+ б ху +
9у
д_
дг
9л;
0.
О
Потенциал и т и (лг, у) вычислим по формуле
//
1 {х> Уо)6х
и (х, у)
0. {х> у)4у-тс *
х0
Уо
т. е.
X
и
и (*, у ) = С 0 6 х + | (х2 + 6 х у + 9 х ) 6 у + С = х 2у + Зху2+ 9ху
о
о
Здесь в качестве начальной точки взята точка М 0 (0; 0). ^
250. Найти потенциал ньютоновского поля притяжения.
д Пусть точка с массой т помещена в начало координат О; тогда согласно
закону Ньютона на помещенную в каждой точке А плоскости единичную массу
действует сила Р, модуль которой Р = т/г2, где г = |ОА |= У х2+ У 2Ньютоновское поле является потенциальным, так как его ротор, как
в этом можно убедиться, равен нулю.
Найдем потенциал этого плоского поля:
X
у
и (х, у) = ^ | (х, у0) с1х+ 1
Уо
Хо
X
тх 6х
V № +уЪ )
<2 {х, у) й у + С
у
ту Ш)
I
)
у (х2 + у 2)3
Уо
т
т
г + С ь где Сг = С
V * 2+ < /г
251, Применяя формулу Стокса,
А
У х го + у 1
найти криволинеиныи
теграл $ ( у + г)(1х + (г-{-х)с1у-)-(х + у)с1г,
* а+ у 2+ га— а2, х-{- у + г = 0.
64
С
где
ин­
С — окружность
252. Найти интеграл И (л:3соза-[-| /3соз|3 + ;г3с о з у )^ 5 , взятый
\
к5
по поверхности шара х2 у2 г2= а2, где а, р, у — углы внеш­
ней ]к>рмали с осями координат.
25з\ Найти Ц| [(га— у2) соз а + (х2— г 2) с о з р + ( 1/2— х2) соз 7 ] Ш,
где 5 — внешняя сторона поверхности полусферы х2-\-у2-\-г2
а2 ( г ^ О ) .
254. Вычислить
( х с о з а + г/созР + г с о з у ) ^ , где 5 — внеш-
\ *
няя сторона поверхности эллипсоида х2/а2-\-у21Ь2-\-г21с2 = 1.
255. Вычислить \\ хй у йг-\-уйхйг-\-гйхйу, где 5 — внешняя
5
сторона поверхности цилиндра х2-\-у2= а2 (—
256. Найти поток вектора Р = хЧ + у3] + 23к через боковую
поверхность конуса х2+ у2^ (К2]Н2) г2, 0 <1 г <1 Л.
257. Найти поток векторного поля Р = ( у — х) 1+ (х + у) $+ ук
через сторону треугольника 5 , вырезанного из плоскости
х-\-у-\-г — 1 = 0 координатными плоскостями.
258. Найти поток вектора Р = хЧ + у2) + 22к через часть
сферы х2 у2 г2= 4, если 0 ^ х ^ 2 , 0 ^ г / ^ 2,
2.
259. Найти поток радиуса-вектора г через внешнюю сторону
поверхности прямого кругового конуса, если Н— высота конуса
и
— радиус основания.
260. Найти циркуляцию векторного поля Р = (дг + #)1 +
+ ( * — г) \+ {у-\-г) к по контуру треугольника ЛВС, где А (0; 0; 0),
В ( 0 ; 1; 0 ), С ( 0 ; 0 ; 1).,
261. Найти циркуляцию вектора А = — у!-\-х] по окружности
+
— I )2 = 1.
262. Найти циркуляцию вектора и = (л :+ г ) 1+ (х — * /)Л -х к
по эллипсу х2/а2+ у2/Ьъ Щ 1.
263. Найти дивергенцию градиента функции и = ех+У+г.
264. Найти Й1у (и х у), где \х= х \ у ] + г к, \ = у \ г ) -{■хк.
265. Найти го1(г а )г, где т= х\ + у]-\-гк, а — 1+ Ф + к .
266. Найти го1(г-а)Ь, где
т= х \ у ] - \ - г к , а .= г -|-1 + к,
Ь = 1— ] — к.
267. Показать, что сНу ( а х Ъ) = Ъго1 а — а г о !Ь .
268. Показать, что сИу (/А) = / <11у А + А егас! /.
3 № 18( 4
65
ГЛАВА
111
РЯДЫ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
П усть « 1, и2у и&, . . иП9 . . . ,
следовательность. Выражение
где ип = [ (п), — бесконечная числовая по­
иг~\~и2~}~из~\~ •••“Ь
•••
называется бесконечным числовым рядом , а числа и\> и2, Щ, — ,
—
членами ряда; ип = [ ( п ) называется общим членом. Ряд часто записывают
в виде 2
ап.
н
г
/1=1
■/. яГ - , Щ ■
Сумму первых п членов числового ряда обозначают через 5 Я и называют
л-й частичной суммой ряда :
= = ^ 1 “ Ь ^ 2 * 4 " % '4 “ • • • “ Г ^ й -
Ряд называется сходящимся , если его я-я частичная сумма 5 „ при неогра­
ниченном возрастании п стремится к конечному пределу, т. е. если Й т 5 Й= 5 .
я->»
Число 5 называют суммой ряда. Если же /г-я частичная сумма ряда при
п — * оо не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся .
Р яд
й и
-д а й
-Ш '- - |г. ш
а + а ^ + а ^ 2+ . . . + а ^ и ” 1+ . . .
составленный из членов любой убывающей
ляется сходящимся и имеет сумму а /( 1— ц).
Рад
Р
•-
(| ?| < 1 )«
геометрической
прогрессии, яв­
' м -*
называемый гармоническим, расходится.
Приведем основные теоремы о сходящ ихся числовых рядах.
1. Если сходится ряд
^ 1 ” Ь ^ 2 ” Ь ^ З “Ь ••• х
то сходится и ряд
л
и т + г ~ \ ~ и т + ъ ~ \ ~ и т + ъ - }г • ••»
получаемый из данного ряда отбрасыванием первых т членов (этот последний
ряд называют т - м остатком исходного ряда); наоборот, из сходимости т-го
остатка ряда вытекает сходимость данною ряда.
2. Если сходится ряд
Й 1 -| -# 2 “ Ь И з 4 “ • • •
и суммой его является число 5 , то сходится и ряд
аи\-\- ш/аЧ” аи$ -[- ••• а
причем сумма последнего ряда равна а8.
3. Если сходятся ряды
«* +
6 6
И2 +
Я 8 + " М
^' 1~
1
~
•*
имеющие соответственно суммы 8 и о, то сходится и ряд
(^1 + ^1) ~г ЙШ+ % ) + (°з - г Й§|
V
причек сумма последнего ряда равна 5 -{- сг.
4. Если ряд
\
^1-Ти2"\~иЗ~\~ ••«
сходится, то Ига ип = О, т. е. при п — >• оо предел общего члена сходящегося
п—
>•«
ряда равен нулю ( н е о б х о д и м ы й п р и з н а к сходимости ряда).
Таким образом, если Ига ип Ф 0, то ряд расходится.
П-+00
Перечислим важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с по­
ложительными членами.
'
*
П е р в ы й п р и з н а к с р а в н е н и я . Пусть даны два ряда
и1“Г и2- г % + •••
•••
(1)
и
причем каждый член ряда ( 1) не превосходит соответствующего члена ряда (2),
т. е. ип < : ип (/1 = 1 , 2, 3 , . . . ) . Тогда если сходится ряд (2), то сходится
и ряд ( 1); если расходится ряд ( 1), то расходится и ряд (2).
Этот признак остается в силе, если неравенства ип < 1'п выполняются не
при всех || а лишь начиная с некоторого номера п — М.
В т о р о й п р и з н а к с р а в н е н и я . Если существует конечный и от<Х
00
личный от нуля предел 11ш (% Л '„) = к, то оба ряда 2 и« и 2
одноврел-*с0
п= 1
/1= 1
меня о сходятся или одновременно расходятся.
П р и з н а к К о ш и . Если для ряда
и1“Г % + Щ ”Ь
существует П т у
ип ~ С, то этот ряд сходится при С < 1 и расходится
«-►со
при С > I.
Признак
ип “Ь •| -
Даламбера.
Если для ряда
и1Нг и2“Ь и3 "Ь •••“Ь 1*п“Г" •••
существует Пт (ип + 1/ип)*= О у то этот ряд сходится при
1 и расходится
п-+т
при Щ > !.
И н т е г р а л ь н ы й п р и з н а к . Если / (*) при х ^ 1 — непрерывная, по.-*4 ' " . ’
Щ у'
СР
ложипгельная и монотонно убывающая функция, то ряд
где « „ = ? / («),
‘
" Г *-■ '}-1
я==Г
^
сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится
У' ■; со
интеграл
11 'Г]
у
- 4 ту*7
V / (*) йх ( N ^ 2 1).
Рассмотрим теперь ряды, члены
т. е. ряды вида
которых
и1— М2+ И3— ^ 4 + . . . 4 “ (—
имеют чередующиеся
знаки,
•••»
где ип > 0 ( л = 1 , 2, 3,
П р и з н а к с х о д и м о с т и з н а к о ч е р е д у ю щ е г о с я р я д а (призн а к Л е й б и и ц а). Знакочередующийся ряд сходится, если абсолютные величины его членов монотонно убывают, а общий член стремится к нулю, т. е. если
выполняются следующие два условия: 1) щ > и2 > и3 > . . . и 2) Пт
= 0.
Возьмем п-ю частичную сумму сходящегося
для которого выполняется признак Лейбница.
знакочередующегося ряда,
5 п = и%— « 2 + ^ 8 — ц4+ .-• + (—
ип*
Пусть К „ — п -й остаток ряда. Его можно записать как разность между сум­
мой ряда 5 и я-й частичной суммой 5 „ , т. е.
= 5 — 5 Л. Нетрудно видеть,
/?л =
(— 1)" ( « л + 1— ^л + 2 +
^71 + 3
«л + 4+
• • •)•
Величина 1
I оценивается с помощью неравенства |К п | < м „ + 1.
Остановимся теперь на некоторых свойствах знакопеременных рядов
(т. е. знакочередующихся рядов и рядов с произвольным чередованием знаков
своих членов).
Знакопеременный ряд
сходится, если сходится ряд
1« 1 1 + 1
1+1 «в !+ • • • + ! « * ! + • • • •
ао
называется
абсолютно
:одный ряд 2
сходящимся.
л= 1
<X)
Сходящийся ряд 5 ] ип
л=1
условно
называется
2 1мя1 расходится.
П=1
.
сходящимся,
И
Ц
если
Н
ряд
В
;О
-:г^41;’
Если ряд 2 » . абсолютно сходится, то ряд, полученный после любой
/1= 1
.
,
перестановки бесконечного множества его членов, абсолютно сходится и имеет
ту же сумму, что и первоначальный ряд.
.
Если ряд
2 « . условно сходится, то при перестановке бесконечного
л== 1
:
.1
множества его членов сумма ряда может измениться. В частности, при соот­
ветствующей перестановке членов условно сходящегося ряда можно превра­
тить его в расходящийся ряд.
Если ряды # 1+ ^2 + ^3 + ••• и *',1+ ^2 + гз + ••• сходятся абсолютно
и имеют соответственно суммы
и
то сходится абсолютно и ряд
и1^1 + (#1^2+ #1^2) + (^1^3+^2у2+^Зу1) + •••+ (и1®п + и211П- ! + • • • + иг^ 1) + ••••
Этот ряд называется произведением рядоз (по Коши). Его сумма равна 5x5г.
269. Дан общий член
ряда ип—
• Написать первые че­
тыре члена ряда.
Д Если я = 1, то « 1 = 1 / 1 1 ; если л = 2, то ы2 = 2/101; если п = 3, то
и3= 3 /1 0 0 1 ; если л = 4, то и4 = 4/10001; . . . . Ряд можно записать в виде
I I 2 ■ 3
■ 4
|
*
II ' 1 0 1 ‘ 1001"* 10 001 '
А
270. Найти общий член ряда
2
13Шиш
I
02
1 2®
1 24
Д Последовательные числители образуют арифметическую прогрессию
1, 3, 5, 7 . . . ; п- й член прогрессии находим по формуле ап = а1+ (1 (п — 1).
Здесь й ! = 1, с/= 2, поэтому ая = 2 л— 1. Последовательные знаменатели об-
68
разуют геометрическую прогрессию 2, 22, 23, 24, . . . ; я-й член этой прогрессии
Ьп = 2п. Следовательно, общий член ряда ип = (2п — 1)/2й.
Вообще нужно и м е т ь в в и д у , ч т о н е с к о л ь к о п е р Е ы х ч л е н о в ряда п о л н о с т ь ю
ряд не определяют. Д
271. Найти общий член ряда
2+Щ'+Ш’+ (Г
3
Д Показатель степени каждого члена совпадает с номером этого члена,
поэтому показатель степени п-го члена равен л. Числители дробей 2/3, 3/7,
4/11, 5/15, . . . образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и
разностью 1. Поэтому я-й числитель равен л + 1 . Знаменатели образуют
арифметическую прогрессию с первым членом 3 и разностью 4. Следовательно,
гё-й знаменатель
равен 4л — 1.
Итак,
общим членом ряда
является
я
ип
▲
4л— 1
272. Найти сумму ряда
1
1
1
1
+
+
Ь 3 + 3-5
5-7 * 7-9
1
(2л— 1) (2л+ 1 )
••• •
Д Общий член ряда можно представить в следующем виде
1
ип
2
1
\2п — 1
1
2л + 1/
откуда
1
2
1
2
3
1(1
2 V5
1
5
3
1
I
7
9
1\
9/
7
••
Следовательно,
2
2
1
1
Так как 1 т
Л-*-СО
1
2 V3
т
1+1
з ^ з
\_
+
5
1 ( 1
5 ‘ 5
Ь
1
Ьт
СО
1
1
1
2 \2л— 1
2л— 1
1
2л 4-1
2 *
то
1
2л 4-1
2
ряд сходится
1
и
1
2л 4-1
1
2л 4- 1 у
его
сумма
равна 1/2. А
273. Найти сумму ряда
о о л I о
л а I
1-2-3 1 2-3-4 1 3 -4 -5
1
л ( л + 1 ) ( л + 2)
Д Представим общий член ряда ип в виде суммы простейших дробей:
1
л ( л + 1 ) ( л + 2)
Л , ___ В______ С _
л ' л + 1 * л + 2'
Умножая обе части этого выражения на знаменатель, придем к тождеству
1 =====А ( л + 1) (л + 2) + Вл (л + 2) + Сл ( л + 1).
Полагая последовательно я = 0, — 1, — 2, находим: при
1: 1 = — В\ В = — 1; при я = — 2: 1 = 2 С ; С
при л
В И
1
1 / 1
1 Н
1 И Н1 Ш Ё1
» т. е. и»
ип
+
2
л
л 4-1 ‘ 2 л + 2
2 ' л
я = 0 : 1 = 2 Л ; Л = 1/2;
~ 1/2. Таким образом,
2
л 4 “ Г* п + 2
69
Отсюда
“ 1— ? ( ‘ - 4 + т ) -
“ ■“
(
т
_ 4 + 7
т
Н И Н К
•
•
•
* . = К 1- 4 + 4 + 4 - ! + т + 1 - 4 + т + ! - т + 1 г + о а•+
^
- 4 +
^
1 +
1 -
я| т +
^
) “
(
т
-
т
Итак, П т 5 „ = 1/4; следовательно, ряд сходится
П->Х
н т
1+ ^ Ь ) -
и имеет сумму 1/4. А .
274. Исследовать сходимость ряда
2 . 1 , 1 , 1 ,
, Л /'I V * 1
Т + Т + Т + Т 2+*-- + 3 и
Л Данный ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометри­
ческ и й
прогрессии и поэтому сходится. Найдем его сумму. Здесь а - 2 , 3,
д —: 1/2 (знаменатель прогрессии). Следовательно,
а
2/3
____4
*
5 = Т Г ^ — 1— 1/2
3' А
275. Исследовать сходимость ряда
ТГ + ^ + Т з +
’ * ' + й г Ш+
' "
'
Д Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых десяти
членов. Следовательно, он расходится. Д
276. Исследовать сходимость ряда
1 , 2 3
Т + Т +
Д Так как
Игл ип= П т
л- >о о
ИИ
,
П-^СО
^З п-1
|§§1
1
^
= И«п 3 _ 1/га =='з *
п-><х>
I
т. е. П т ип Ф 0, то ряд расходится (не выполняется необходимый
О
сходимости). Д
признак
277. Исследовать сходимость ряда
0,6 + 0 ,5 1 + 0 ,5 0 1 Ч - • • • + [О*5 + (°.
+
- •• •
д Здесь Нти„ = 0.5 5^0 I РЯД расходится. Д
я-*-®
~
00
V
278. Исследовать сходимость ряда ^
1
2мЛ ‘
Л=1
д
00
\Л 1
Члены данного ряда меньше соответствующих членов ряда ^
Щ ,
I
1 . _ яла
т. с. рлДа 2 I 4
70
8
. Но
последний
ряд
сходится
как
бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия. Следовательно, сходится
ряд. А
и данный
279. Исследовать сходимость ряда
\
1
1
1 -\--^р+^р + •••, если р < 1.
\
Д Члены этого ряда, начиная со второго, больше соответствующих чле­
нов гармоническогс^ряда. Следовательно, ряд расходится. А
280. Исследовать сходимость ряда с общим членом ип=
1
4 -2 п— 3
А Сравним этот ряд с рядом, у которого общий член гп = 1 / 2 п (т. е.
с бесконечно убывающей геометрической прогрессией). Применим второй
признак сравнения рядов:
Г
«/*
11П1 — — =
I
гг -> х с п
г
2«
..
ИГЛ ■; - г - ------- = = МП
4-2Лш— Ш
3 п„11.
п - ю с ЩП.
-> оо
1
1
4 — 312”
4 '
СО
Так как предел конечен и отличен от нуля и ряд ^
л-лГ
сходится и данный ряд. А
-
?
|
сходится,
1
281. Исследовать сходимость ряда
1 , * , 1
1
•• •
Д Сравним ряд с гармоническим рядом, у которого Vп = \/п
г
п
1
11Ш — := ИГЛ ^------ Г=="ТП-+-оо ^'п
П-+СС **** *
^
Следовательно, данный ряд расходится. ▲
282. Исследовать сходимость
ряда
■р
1 . / 2 \а
/ 3 \» .
и.
Д Здесь удобно применить
. |
п \"
• • • 11 л I 1 I I • •
«г
признак Коши, поскольку
л / --у ип =
а предел последней дроби находится просто:
С = Игл у / м „ = Ига
п -+ а о
9
~ х т = Еш ' 'л.ТТ, ~
П-+& т п г *
П-+ао
Так как С = 1/2 < 1, то ряд сходится. ▲
'
9
I Л , Iу
С = Пт У ы„ = 4- Пт (
П-*оа
* П-+ <*> \
Так как С > 1, то ряд расходится. Д
1 \л*
11+ ~
дя 1 -
« /—
*
1 /,
283. Исследовать сходимость ряда
|| |||Щ ;
Д Снова применим признак Коши:
1 /п
•
'
1 / « V * Vе
==:‘У
П1
*•
л
то
284. Исследовать сходимость ряда
I + 2Ю • 3*®
* **
Л*®
Д Применим признак Даламбера; имеем и „ = 2п/п10, и„+1=2п+1/(п+1) ,
ип+ /ип = 2п10/{п + I}10; значит,
1
2л10
Пт т— гТао=
п -* о с (я + 1 )
..
2
_ 0
7------ Г \ ^ ~
л“* °°М -| __—^
Так как О > 1, то ряд расходится. Д
285. Исследовать сходимость ряда
1
. 2
^3
,
3
,
1_
+ ТТ7=5 + • • • I
3 ' 3 / 3
*
3«/*
Д Здесь ип = п/ п/г, и„ +1 = (л+ 1)/3«+
поэтому
ип+1/ия = (п+ ! ) / ( « / З ) .
,
3
0 =
• •
л+1
т
1 + 1/л
1 . п ^ 1
Нш - ^ = = 11гп лг ' ^ = Т г = > и <
П —* оо п
/ 3
Л->ао
г
3
у з
Следовательно, ряд сходится. Д
286. Йсследовать сходимость ряда
1Вьи
10 , 10* . Ю*
, Ю"
.
т т + ^ + ^ + ' Г + ^ г + ‘ ‘ * *
Д Имеем ы„=Ю,,/л!, н = 10л+1/(л-Н1)!, ип+иип
= Нш 10/(л+1) = 0; 1> < 1—ряд сходится. Д.
п
+
1
Ю/(я , 1), О
П-^СО
287. Исследовать сходимость ряда
1 4 -^ 2 +
3* +
•■• +
•‘ * *
1_К - 1 И йгВ 1 1 ““1 Я 1 1 1 И
п —►со
!
не удается решить вопроса о сходимости ряда.
лтт, ил ? /г\_I/**2
Применим интегральный признак: ип=\Щ ^ следовательно, Ц х ) - Ц х ,
00
00
И
1. Интеграл сходится (является конечной величиной), по-
1
1
*
Д
этому сходится и данный ряд. Д.
288. Исследовать сходимость ряда
1
72
,
1
,
1
,
1
1________ и
••
Д Применим интегральный признак:
1
ИЯ
1
(«4-1) 1п(л+1)’ П )
(х+1) 1п(*+1)’
I
йх
60
&
00
1 * 4 -1
К Ш 1) 1п ( х + 1)
=1п шИШ 1)
^ 1п (* + 1 )
1
1
00
1
Интеграл расходится, поэтому расходится и данный ряд. Д
289. Исследовать сходимость ряда
1
2
, 3
4 ___п
у — г Я Т + з ч 1! - 4 Ч гТ ‘ ^ # ’ в ' Г 1
д
|
п*+\^
;
г\
Применим признак Лейбница. Так как
*2
2я+ 1
то
1
3
.2 + 1 /2 ’ 3 * + 1
г
I
~ 'г
1
4
1
3 + 1 / 3 ’ 4*4-1 • 4 + 1 / 4
2 ^ . 3
•••
4
Ъ~2 > 2*4-1 > Зг + 1 > 42+ 1
Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница.
Далее,
так как
Вт « „ - В т
7^
=
^
-ф ^ -0 ,
то выполнено и второе условие. Значит, данный ряд сходится. Д .
290. Исследовать сходимость ряда
1,1 — 1,01 + 1,0 0 1 — . . . + ( — I ) ” - 1 [ 1 + ( 0 , 1 ) " ] + • • • .
д Первое условие признака Лейбница выполняется: 1,1 > 1,01 > 1,001 >
> . . . ; с другой стороны, нл = 1 + у р ,
Ш п ^ д == Нп^ ( 1+ Т о « ) ==1, Так как
Нт ип Ф 0, то не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ряд расЛ-*ао
ходится. ▲
291. Исследовать сходимость ряда
1— 1 + 1—
. . + (— 1 ) " - 1 + . . .
.
д Общий член ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится. Д
292. Исследовать сходимость ряда
1
1
1 ___ I
2
2а
23
24
___ 1 .
2* ‘
.
• •
д Составим ряд из абсолютных величин:
1
1 1 , 1 , 1
1 + ~п I 2* + 23 + 2*
25
Этот ряд есть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и, следова
тельно, сходится. Значит, и данный ряд сходится, причем абсолютно. Д
73
293. Найти произведение абсолютно сходящихся рядо
2
22
23 . 24 ,
,2 "
1 + -гг
+
о
Г
+
ж
+
т
г
+
•
*
•
+
11 ‘ 21
31 1 41 1
' п\
, , 3
1+ 1Г+
д
3*
33
2Г + Ж +
3*
4Г+
•« •
,3 ^ ••• •
• * ■+ л !
Произведение рядов (согласно данному на с. 68 определению) есть ряд
/2
3\
/ 22 ,
2
3
. 32 \ . / 2 3 . 22
1 + ( т Г ' ^ " Т г ) ' ^ ( ^ Г ” ^ "и Г " II
21 ) " ^ \ 3 1 “ * ' 2 !
3 , 2
’
3^ , 3^\
1 1 ^ ” И * 21
,
3!
(2 п . 2 » - 1
3 1 2 »-8
3*
Ш Ш !Я
• • • + и + ( ^ 1 ) Г • • т г + ( Я ^ г * ж + ” - + л, ; + -
•
или
~
:
1 + 7 } - ( 2 + 3 ) + ^ - ( 2 2+ 2 . 2 . 3 + 3 2) +
+
1 .( 2з + 3 .2 2. 3 + 3 . 2 . 3 Н 3 3) + . . . + 4 ! ( 2в + ( ^ = 1 ^ ' 2,," Д’ 3 "Ь
н______п !. _ _ . 2" - 2- з ч —
Щ (л — 2)1-21
Т
Т ак как
П_ П^)|Д Т= С "
, +
^
(й = = 1 ‘ 2 *
+
1+
^
+ зл } + . . .
)
-
т о р я д МОЖНО п е Ре п и с а т ь в в и д е
^
+
- +
^
+
-
•
или
, л . 5 1 581 1 а 1+ - п + 1 Г + Ж + -
аШ Й
+ ^Г+ -
а
V
294. Написать первые четыре члена ряда ^
:
у
п
То^ПТ-
>^И Ш ЯИИЯ[ я « I
,
V
9
295. Написать первые четыре члена р я д а ^ 100п_ 1 •
ГЩ1
Найти суммы рядов:
2 ® 6 . ]Т2 + 2^3
З Ц ”^ ‘ 1 *
СО
2 /1 + 1
2*
п2 ( Л + 1 )
п= 1
л(я+1)
I
288. Г ^ 5 + З ^ Т + ■ • • +
299.
т
\
(2 л -1 )(2 »+ 1 )(2 п + 3 )
• •
*
т
2
яд | 3
расходится
/I—1
Исследовать сходимость рядов с Й « Ш М >
сравнения:
301 • 'ПГ2’ " ^ 1пЗ
74
1п4"^ * ‘
+ 1п (п + 1)
• • •
• ••
•
00
302 ^
У
ОУЗ*.
V
1
2"
\
Исследовать сходимость рядов с помощью второго признака
сравнения:
2 + 1 . 22+1 |
3 0 3 * " 5 + 1 + 5 2+ 1 г
, 2* + 1
1 5" + 1
2
Сравнить с рядом*^“+ ( у
1
) + ( у
|/"~2 ,
У з
,
к
| Ь 'щ й + | Щ | +
304.
••• •
Пользуясь признаком Коши,
( 2 \а
/ 2 \3
• •• •
) +
.
’ ’ *
V п'
~2я^Т
;•
‘ * •
^
исследовать сходимость рядов;
ОЛЕ V I 2ла+ 2я + 1 \«
305. 2 и Д
2л 4-1
306. 3 + (2 , 1)а+ ( 2 ,01 )* + •* •+ [2 + (0 , 1)п-1] + •••
Пользуясь
рядов:
признаком
Даламбера,
исследовать
п
307.
308* Г 5 + ( т б ) г ' ^ + ( ^ )
•■р+
|
1 +
- " + (тб)
Пользуясь интегральным признаком,
рядов:
5
сходимость
9•• •
--’
•
исследовать сходимость
1
309. Щ
, если р > 1.
Лв I
1
1
I
,
__________1_______
|
‘ ( 10й— 1) 1п (Юл— 1)
3 *0, ЭТпЭ 19 1 1 9 ^ ' ' '
Исследовать сходимость знакопеременных рядов и установить
характер сходимости (абсолютная, условная):
й|<
3 **-
1
4 , 7
2-— - 5 + - 3 —
10
. /
1\я-1 ^п~ ^ 1_
Зя— I
312. 1 , 1 - 1 , 0 2 + 1 , 0 0 3 - 1 , 0 0 0 4 + 1 . . + ( - 1)0* 1 ( 1 1 | й Я Ш
00
3 1 3 .2 ,
( - ! ) » - ! (л+1)
„ 2 + л _|_1
я* I
1
, 7
314- То +
315.
10*—
13
,
То5 +
З у + 3 —— 3
19
10 *
.
25
31
.
р
10 е
‘
3 -^ + 3
3 2
’ •
+ З щ— 3 |28~3 ^
5
+ ...
.
75
Исследовать сходимость рядов:
316.
317.
318.
319.
10"
10 . 100 I 1000 у
у + — + - Т117 - - Г • • + 2п 4 -5 " Г " .
9
2п — 1
5
3
4-...
~2п~
6
4
2
2п 1_
23
22
2
1
1___
• •
+
+
+
л! ‘
’
1-2 1 1-2-3
1
1
ва
м
4
3 ^ 5
320. 1
-2
321. 1
.
+ -3
п
4
4 + 52
3
1
л -1
( - 1)
27
Ж
••
5
'
П
•« •+
52
3!
21
1 + 'оя
2а +1 З3 '
5
+
- 1 Т
•
1
Зп~1
•
•• *
л!
5"
1
п
327. 1 + 2* 3*
1
,
1
328. 2 1п 2- 1п 1п 2 ^ 3 1п 3-1п 1п 3
330.
• • •
• •
ИИ®
п
1 , 1
329.
•
1
325. И д . 21
326.
•
• •
322. 10 +1 20
+
•
ол +1 30
окЧ~ • • •
10п
1
1
1
|
• • +
323.
Юл— 2
8
■
•
1 .
-^
+
3
9
1
1
324. 1
. .
• •
•
•
•
|
—
.- 1 ‘ ' ’ “г* (л + 1 ) 1п (л + 1 ) 1п 1п (л + 1 )
,
____________________________
•
*
1
1
1
2
23+ 1
+
+
л3+ 1
«4 -?+
-1
I
+
4
З3 + 2 ' 43 + 3
л+1
( л + 1 ) 3+ л
+
• •
•
•
331. 1— 2 + 3 — 4 + I . . + ( — Гр % + . ••
1
1
1
••• •
332. 1
64
54
3* + 4*
2*
333.
1 + 2
2 ' 3
334. 1
22
з + 1
4 ' 5
н З2
■
4а
5
6
4- . . .
6
7
+
• • •
/1—1
(-1 )
П2
1
гг +
335. 1п 2 1пЗ~г
+ 1п4
1п ( л + 1 )
1п 5
336. Найти произведение абсолютно сходящихся рядов
I
+
1 . 1 .
2 7 + •*Ш
1
Ш
Ш
— 1
И
1
1 I
3
9
2
22
337. Показать, что ряд 1— [ 7 + 2Г
23 I
Ж
1+
1
| (_ 1 ) - !
] (— 1)” ~ 1 <_
I
•
•
•
I
---3^=1
Г
**•
*
27
| / __ |у»-1
1__ 1_
"*
1>
(п — 1)1
*
абсолютно сходится, и возвести его в квадрат (умножить на себя).
76
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Ряд
“ 1 ( * ) + и 2 ( * ) + ц З (* ) +
•' | + и П Ш Щ • • ’ »
члены которого— функции от * , называется функциональным. Совокупность
значений х, при которых функции ^ ( х ) , и2 (х),
ип (х) . . . определены
. -,',=7; / V-’ т
--.у.
;Л/":
^
~~ [ * ' ^
И ряд 2 “ - (х) сходится, называют областью сходимости функционального
ряда. Областью сходимости функционального ряда чаще всего служит какойнибудь промежуток оси Ох. Каждому значению из области сходимости А
п
соответствует определенное значение величины 11ш
2
ип (ж). Эту величину,
л* ® п = 1
являющуюся функцией х, называют суммой функционального ряда и обозна­
чают через 5 (ж).
Представим сумму ряда в виде 5 (х) = о „ (*) +
(х), где
5 „ (х) = Ы1 (*) + Н2 (*) + ••
(*)»
( * ) = И11+ 1 М + ^П+ 2 (* )+ • • •
(х) — остаток функционального ряда].
,
^у у.г '.г';":Г’ ^ ” ^
Об
Сходящийся функциональный ряд 2 ип И называется равномерно сходяп«1
щимся в некоторой области X , если для каждого сколь угодно малого числа
е > 0 найдется такое целое положительное число N. что при п ^ Ы выпол­
няется неравенство |К п (х) | < 8 для любого х из области А . При этом
00
сумма 5(дс) равномерно сходящегося ряда
(х) в области X , где ип (х)
Шщ1
( л = 1 , 2, 3, . . . ) - —непрерывные функции, есть непрерывная функция.
Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости функцио­
нального ряда — п р и з н а к В е й е р ш т р а с с а .
Если функции иг (х), и2 (х), . . . , ип (х), . . . по абсолютной величине не
превосходят в некоторой области X положительных чисел а±9 а%9 •••» ат •••»
причем числовой ряд
“Ь а2 4 “ #3 ~Ь •••
аП”Ь •••
сходится, то функциональный ряд
и1 (*) Ф и2 (*) +
С*) Ч* •••
в этой области сходится равномерно.
В заключение сформулируем две теоремы, относящиеся к интегрированию
и дифференцированию функциональных рядов.
1. Если ряд и\ (дг)-{- и% (я)-}- ••• Ип (* )“}“ •••»
их (х), и% (х), . . . ,
ип (х), . . . — непрерывные функции, равномерно сходится в некоторой области X
и имеет сумму 8 (х), то ряд
ь
ь
ь
^ их (х) <1х+ ^ « 2 (*) <**+ •••+ ^ “ я (*) <**+
•
•
О
сходится и имеет сумму ^ 5 (х) йх (промежуток [а, Ь] принадлежит области X ).
2.
Пусть функции и% (х), и2 (х), . . . , ы „(х), •
определены в некоторой
области X и имеют в этой области производные йх ( х) , и%(х)9 •••, ип (х), ••• •
77
00
Если в этой области ряд 2 и 'п И сходится равномерно, то его сумма
П~ 1 ■■
,ь ' " • ^ Г у !} ' ■ •;
равна производной от суммы первоначального ряда :
СО
2
1=1
{
*
У
ыл(*)=ч 2
"я
г •
I п= 1
)х
338. Дан функциональный ряд
I / Ж
М
1 / 4 — х\з ,
7 x 4 -2 + 1 4 ^ + 2 /
,
+
+
1
/ 4 —х\*
йЙ------ Г ( -7„ I о )
' * ' _1" 2« - 1 \ 7* + 2
"Т • •
Исследовать сходимость ряда в точках х = 0 и х = \ .
Д В точке х = 0 получаем ряд
2 + Т 2 ,+ Т - 2 , + -
+ 2 + 1 - 2“ + - -
Здесь и „ = 2я/(2 л — 1), ип+1 = 2п+1/ (2 п + 1). Применяем признак Даламбера
Г > = Шя
1нп00 Н«ЛИ
И
29«
'2 Щ
^ 1! ==2 яВ- » - * 2+1/п~= 2 ,
п->оо
2 * ((2
2п
п ПТ
+ 1 ) / ) = 2 ПП#т60 Й
т. е. й > 1. Следовательно, ряд расходится.
В точке х = 1 получаем ряд
1 .1
1 , 1 1 ,
,
1
Т т У ' Ж + ' 5 ' З г + - '- + 2 ^ П
1 I
3 " + ” **
Здесь и„ = 1/(3я (2л— 1)), ип+1 = 1/(Зя+1 (2л + 1)); находим
рщ
цп . ,
3я (2л— 1)
1
..
2 л— 1
1
. .
т Л”, Щ ■ <I
т. е. ряд сходится. А
339. Найти область сходимости ряда
1
I
1
.
Т + ^ + 7+ ^ " +
Д Е с л и 1x1 < 1, то
1
_1_
Щ рР
Иш ил =
Лш
л -* х
ряд
расходится.
Если
|д: |— 1,
1
_1_
1
А.
М + * 2л Г ' "
, Щ — 1; так как
сю 1 “Г *
то
также
Нгп н„ Ф 0, то
п-*>®
получаем
расходящийся
ряд
1 . 1 + 1 +
И
Д
2 » 2 ‘ 2 *
Если 1x1 > 1, то члены заданного ряда меньше членов бесконечно убы1
1
1
,
вающей геометрической прогрессии —2—1—-р Н — —Ь - ••* т. е. ряд сходится.
• 1г- & ^т - 1м
-Щ
-- I
;
до- - - а
л
-••' '
14
И т а к , область сходимости ряда определяется неравенством | д : | > 1 . От­
сюда следует, что ряд сходится, если 1 < х <* + о° или — оо < х <
1. А
340. Показать, что ряд
1
х*+\
—
1
, 1
1
I
^ГлТ + ^ з - 1 ? Г Г 4 - Г - -
Т
сходится равномерно при всех значениях х (
78
0 * ± а Т ‘ .Г :
оо
х <С оо).
Д Данный ряд при любом значении х сходится по признаку Лейбница,
поэтому его остаток оценивается с помощью неравенства [ а л ( * ) 1 < |^л+ 1 \ Н»
т. е.
.
1
I
Я я ( * ) Ь < *2и+*
1 < п+ 1 ’
Так как неравенства
какое-нибудь
1 ■? ^ в и
целое
—— 1 равносильны, то, взяв я ^ Л Г , где
положительное
число,
удовлетворяющее
условию
# 3 2 - — 1, приходим к неравенству |Яп (*) | < е. Итак, данный ряд сходится
I
\
.
V--_
..
, ;
:
^
'
равномерно в промежутке ]— оо, + о о [ . Д
341. Показать, что ряд
2
сходится неравномерно в ин-
П= 1
тервале ] — Ц 1[.
А В указанном интервале ряд сходится как бесконечно убывающая гео­
метрическая прогрессия. Имеем к п (х) = хп + 1-\-хп+&-\-хп + +Ш>> т - е(*)
Щ п * 1/(1 __Х). Но
Ипг
|/?„ (х) |= 1/2,
Шл /?„ (*) = оо. Следовательно,
х -к—1+ 0
х -> 1—0
приняв 6 > 1/ 2 , мы не сможем добиться выполнения неравенства при люоом
%
значении х. Итак, ряд
хп сходится неравномерно. ▲
л=1
342. С помощью признака Вейерштрасса показать, что ряд
зга а:+ | Р зга* Ъс # Щ зга3 Ъх + . . . + Щ зга- п х +
••
сходится равномерно в промежутке ] — оо, + оо[.
Д Так как
1 . и
§ т й пх
п2
1Т и ряд 1 + - 52" + ' з ^ + * ' * сходится, то дан
пы
ный ряд сходится равномерно при любых значениях х. Д
343. Можно ли к ряду
агс& х + агс!§
Л -=- + агс!§
2 у 2
° ЗУ 3
+ •••4* а г с ^
••
~ п\ п
дифференцировании ря
д Сравним данный ряд со сходящимся рядом
X
- — I— - — ь . . . ч------ г
2
3 /2
г
1
1 д З /2
), с'л(х) х/п
*
».
и„ (х)
.
Так как агс* 2 а и а — эквивалентные бесконечно малые, то ищ т г т ^
“
п -*• оо ьл Vх/
(при любом фиксированном
х).
0 3 /2
•••
Тогда
ип (х ) — агс 1%(х/п'
И
согласно второму признаку сравнения заключаем, что данный ряд сходится.
Найдем производную общего члена данного ряда:
Ряд, составленный из производных, имеет вид
1
, 2^2 , 3^3 ,
I
Ш I о* 1
8И
^ + 1 Т ^ + 2 8Т«Ч 3 3
Заметим, что члены
последнего
ряда
сходящегося ряда
меньше
соответствующих
• ПоэтомУ на
основании
членов
пРизнака
Вейерштрасса ряд, составленный из производных, равномерно сходится в про­
межутке ]— со, + о о [ и, значит, к заданному ряду можно применить теорему
о дифференцировании рядов. Д
в
344. Законно ли применение к ряду
СОЗ X 4"
•соз 2х + Л - •соз Зх + - . - +
2« - г
008 пх
••*
теоремы об интегрировании функциональных рядов в промежутке
[я /4 , я /3 ]?
[еличине
А Члены заданного ряда при любом значении х по ас
меньше соответствующих членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + 4 - + Т + ____ Поэтому данный ряд согласно признаку Вейершт­
расса равномерно сходится в промежутке ]— оо, + о о [ и, следовательно, к
нему можно применить теорему об интегрировании рядов для лютого конеч­
ного промежутка [а, Ь], в частности, для промежутка [д/4, л/3]. Д
345. Дан функциональный ряд
3*+1
ха+ х + 1
■I
3x4-1 .Ц _1_
\ х2+ х + 1 у
. ИЙ
?х+ 1 Л "
V * + *+ *
**
Сходится ли ряд в точках х = 1, х = 2 и х = 3 ?
346. Исследовать сходимость функционального ряда
(х*_ 4х + 6) + - ^ (х2— 4х + 6)а+ . . . Щ
( Л 4 х + 6)» +
в точках х — 1 и х — 2.
347. Найти область сходимости ряда
-2 Х
I_
I 0-(п-1)Х
1 + е~х + е~*х + . . . + е
348. Найти область сходимости ряда
349. Найти область сходимости ряда
1
,
1ё+ Т +
1
2* ( * ■ + 1)т
,
*
I
'
1
д_
й? (хг 4 - 1)”
оо
350. Показать, что ряд щ
п= 1
промежутке ] — о о , + о о [ .
80
равномерно сходится
в
351. Показать, что ряд
2 x 4 -1 , 1
тх \& 2+^ т2( 1тхр+ 22
1 ^ Ш
)
В
• _ ! __ ( Шш I V -1- .
+1 т4 (|тх++ 22 ) +••• 1 Ш
Ш
Я
равномерно сходится в промежутке [— 1, 1].
352. Показать, что ряд
у2
V»
2 " ”Ь " 4 ” Н • * • ^
хп
2 " “ 1 Р*, " *
в интервале ] — 2 , 2 [ сходится неравномерно.
353. Показать,^ что ряд
Ш г В Я И И 1 (51п х + У~3 соз *)а ,
, (5Ш * - Ц / Т
------------ 3---------------1---------- 1— §2
Г • • • -Г
3«
Щ
1
'
сходится в промежутке ] — оо, + о о [ и установить характер схо­
димости .
354. Можно ли к ряду
X
, 1
■_ X ,
31ПДС+ 2Г-51П-2 +-з5--51П -^+
I
.
I
* _]_
+^Г*31П | ,
применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?
.
. с о з х . соз ®х ,
| соз” - 1 л:
,
355. Можно ли к ряду 1 + - } т ~ р— 2!— ' ’ ’ 1 '— (л— 1) ! * * I
применить теорему об интегрировании функциональных рядов в
любом конечном промежутке [а, 6]?
356. Можно ли к ряду
( х * + 1) + 2 (х а+ 1)а+ 3 (х2+ 1 ) 3+ . . •+ п (х2 + 1 ) " + . . .
применить теорему о дифференцировании функциональных рядов?
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Функциональный ряд вида
Д0 + Д1 (* — а) + ° 2 (х — я)2+ •
(х — а)п + . .
степенным
.
где д,
й\9 •••* &п
> если степенной
пои всяком зн
сходится при х = х $ 9 то он сходится (и притом абсолютно) при
нии х, удовлетворяющем неравенству |х — а | < |д?о— а \ ( т е о р е м а А б е л я).
Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для
всякого степенного ряда интервала сходимости |х — а | < /?, или а /? < х <
< а-\~Я с центром в точке а, внутри которого степенной ряд абсолютно сх о­
дится и вне которого он расходится. На концах интервала сходимости (в точ­
ках х = а ± к) различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни схо­
дятся абсолютно на обоих концах, другие— либо условно сходятся на обоих
концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся,
третьи— расходятся на обоих концах.
Число /? — половина длины интервала сходимости — называется радиусом
сходимости степенного ряда. В частных случаях радиус сходимости ряда И
может быть равен нулю или бесконечности. Если /? = 0, то степенной ряд
сходится лишь при х = а; если же # = оо, то ряд сходится на всей числовой
оси.
Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда
пользоваться одним из следующих способов.
можно
81
1.
Если среди коэффициентов ряда а{, аг% . . . , а„, . . . нет равных нулю,
т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности х — а , то
Ит
Л Оо
а гг
(1)
при условии, что этот предел (конечный или бесконечный) существует.
2. Если исходный ряд имеет вид
я<>+ а1 ( * —•а)Р-\-аъ (х — а)гР-\- •••+ ° я ( * — а)пР-\- * ••*
(где р — некоторое определенное целое положительное число: 2, 3, . . . ) * т0
шш
I
(2)
“ л+ 1
3.
Если среди коэффициентов ряда есть равные нулю и последовательность
оставшихся в ряде показателей степеней разности х — а любая (т. е. не обра­
зует арифметическую прогрессию, как в предыдущем случае), то радиус сх о­
димости можно находить по формуле
/ ?
=
.
(3)
1
1Ш1 | / | а я |
п -*• оо
в которой используются только значения а „, отличные от нуля. (Эта формула
пригодна и в случаях 1 и 2.)
4.
Во всех случаях интервал сходимости можно находить, применяя не­
посредственно признак Даламбера или признак Коши к ряду, составленному
из абсолютных величин членов исходного ряда.
Записав ряд в виде
и0 (х) + и1 (*) + ы2 (*) + • • • + « * (*) + •••
(здесь и0 — а0, ип (х) = ап (х — а)ы, где зависимость N от п может быть любой,
причем через ап обозначен не коэффициент при (х — а)п, а коэффициент л-го
члена ряда), находят интервал сходимости из неравенств
Ит
п -> ао
!“"^ 1 < 1
I
или
I
11ш П
л/\ип \ < 1.
П —>■ 00
Отметим следующее свойство степенных рядов: ряды, полученные почлен­
ным дифференцированием и интегрированием степенного ряда , имеют тот же
интервал сходимости и их сумма внутри интервала сходимости равна соот­
ветственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда .
00
Таким образом, если $ ( * ) = 2 йп
мс=0
со
*X
то
_
5 ' (*) =
" а“
и = 1
т ( * — ° ) " +1
3 5 (х) Жс =
а
П=0
где — К < х — а < /?.
^
Операцию почленного дифференцирования и интегрирования можно про­
изводить над степенным рядом сколько угодно раз. Следовательно, сумма
степенного ряда внутри его интервала сходимости является бесконечно диф­
ференцируемой функцией.
357. Исследовать сходимость степенного ряда
I ^ у-2 !__ !_ уЗ 1
I__ !_ у*
X ~Г~2 ^
ЦТ
+•••» п л Т
„
82
• •* •
Д Здесь ап — \/л, ап+1= ! / { « + 1). Найдем радиус сходимости ряда:
ап
ап+ 1 I
Нт
л-*- сю
Н т
" ± 1 в
_► 00
П-►
СО
1шт ^ ( 1 +
П - > со \
т ) - 1 '
/
Следокательно, ряд сходится для значений х, удовлетворяющих неравенЛ-
•‘
4
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если х
1, то полу
чаем гармонический ряд 1 + " ^ + •^ Ч""4 + • ■ •’ К0Т0РЫЙ> как известн0* Расх0
дится. Если х — — 1, то получаем ряд — 1+ - § ' - Т + Т ^ ' ‘ * * 3x07 РЯЯ СХ°"
лится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница.
Итак, область сходимости степенного ряда определяется двойным неравенством — 1 < х <
Ь Д
358. Исследовать сходимость ряда
{х— 2) | р р (* — 2)2+ - | г (X— В + ••, Я В (х
••
2)" 1 .
Д Здесь ап — 1/л2, ап+ 1 = 1 /( л + 1 ) 2, имеем
Щ
= Нгп ( 1+ 4-1
|
-
1’
Следовательно, ряд сходится, если — 1 < х — 2 < 1, т. е. 1 < х_ < 3.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если х — о, то полу­
чаем ряд 1 + - ^ г + ^ г + 1 Г + - - - . который сходится, так как ряд 1 + - р +
1 _ !__ I__ !__ (_
3^
сходится при р > 1 (на основании интегрального признака).
4^
1
1
1
Если х = 1 , то получаем ряд — 1 +
••• | ^ тот РяД СХ°ДИТСЯ
(и притом абсолютно), так как сходится ряд из абсолютных величин его членов.
Итак, степенной ряд сходится для значений х, удовлетворяющих двой­
ному неравенству 1 ^ х ^ З . Д
359. Исследовать сходимость ряда
1! (х— 5) + 2! (х— 5)2+ 3! (х— 5)3 + . . . + п\ (х— 5)"
• • •
Д Здесь ап = п1, в.п+1 = ( я + 1 ) ! ; значит,
!
X= Л т» " Ш
3*2-3 . . . я
Нгп т-тг-^------- 1— гт; =
«.
1
л
Ьгп - — ==0.
Я = « Т х 1-2.3...«(Л +1) “ п " » п+ 1
Ряд сходится только при х — 5 = 0 , т. е. в точке х = 5. Д
360. Исследовать сходимость ряда
V
у2
у8
хп
.
Тг + 2 Г + З Г + - ” + 7 Г + ’ *
Д Имеем а „ = 1/л!, Дл+1 — 1/(я + 0*»
/? =
Нт
п -*■оо
Л1
••
— 0;
Н т (п-|-1) = оо.
я ®
83
Следовательно, ряд сходится при любом значении х. Отсюда, между'
заключаем , что предел общего члена ряда при любом значении х раве
хп
т. е. Нш —г = 0 . ▲
гг —
*■оо п\
у
I
361. Исследовать сходимость ряда
1+ 7 о + Т о а +
•■• +
ю н -* +
• ■• •
д Ряд является геометрической прогрессией со знаменателем ^== л^/10.
Он сходится, если [ ^ / 1 0 1 < 1, и расходится, если | *® /10|^ 1. Следовательно,
промежуток сходимости ряда определяется двойным неравенством — у 10 <
< х < у / Ю. Тот же результат можно получить, используя формулы (2) и (3). Д
362. Исследовать сходимость ряда
о . , 4х10 , 8х15 .
2х + - Г + 1 - + ' - *
, Р #»
+ ‘5 П = Т +
--- •
Д Полагая х5 = /, получаем ряд
9
2* + т + т + - Здесь а „ = 2 " / ( 2 я — 1),
ряда (*):
8
Я =
Ьш
П
оо
а „ + 1 = 2 п+1/ ( 2 л + 1).
2" ( 2л + 1)
^
,т =
Находим
1 I
2я + 1
1 I
-к- Зш о-^-т=-оГ Ьга
радиус
сходимости
2 + 1/ге
1
-----------------
Таким образом, ряд сходится, если |1| < 1/2.
Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если / = 1/2, то по­
лучаем ряд
с рядом
У-^щРг
рЯД Расходится (ег0 можно сравнить
*** ■ ЭТ° Т
*' '* членами которого являются члены гармоничетф-
»'
л#-:
. -О
**Ти, . * 6;
Ц^
^
Р 4т
_
ского ряда, умноженные на 1/2). При / = — 1/2 получаем ряд —
+ у — . . . . Этот ряд сходится
условно.
Следовательно,
ряд (*)
‘
^ ‘
^
— Ц" Яр
сходится,
если — 1 / 2 ^ / < 1/2. Таким образом, ^заданный ряд сходится, если — 1/2
х ъ < 1/2, т. е. — 1 / | / 2 < 1 / 5 / 2 . Тот же результат можно получи
используя формулу (2). Д
363. Исследовать сходимость ряда 2 Л 2к 4 - И
В
й= 1
Д В данном случае имеем ап = 0 при п ~ 2 к — 1 и
д л -1 \*
ап= 1 2Щ Г \ )
ПРИ
п = Ш . Для отыскания радиуса сходимости удобнее всего использовать фор­
мулу (3). Находим
1
/? = -----------========== =
^/7& +1\А
Нш г I
к -+ <*> У
1
1
V 2й + 1
К (
84
т,
1ип
-./2/2+1
у
— т = }
к-+"> У
«+ *
,/*
2
.
к+\
2к + 1
У
тал 1
У •*
интервала сходимости. Полагая х
Исследуем ряд на концах
получаем числовой ряд
со
| /Т
сю
к 4-1
1
к
о
•2 * ~ У
1
(1 +
2*4 -1
V
к» I
Но Втп ( 1+ ■шV. |\ * т - У § ф 0 . Таким образом, при х — 2 = У ~ 2
дится. То же самое имеет место и при дг— 2 » — \ 2. Итак,
ряд расхо-
область сходи­
мости данного ряда 2 — V 2 < х < 2 + у 2 . Д
364. Исследовать сходимость ряда 2 * ------ ^ ------ •
Ш 1:-
д
м -
Применяем признак Коши, полагая ы „ = -----
10
я/
у Iи
а
. Тогда
п
1 | < I»
|х — 11 > 1 .
при |*—
| ос при
П ■»
Таким образом, ряд сходится, если |* — 1 | < 1, т. е. в промежутке 0 «с X
п {я
365. Исследовать сходимость ряда
п= 1
д Применяем признак
*л<л+1)/*/(л-^ 1)! Тогда
+1
Даламбера,
|<
1,
П'
ип + г
ГО при |х |||| 1 »
|с© при |х | > I.
М " . Пт М-п+ 1
* + < * п-*■<*> «я
Итак, ряд сходится, если |я
—1) 2
полагая ип = х п{п г)-2/п1г
1
▲
т. е. на отрезке
—1 ^ х < 1 . А.
ГС—1
366. Найти сумму ряда 1+ 2 х + Зх%+ . . . + пхп
продифференцировав почленно ряд 1 + ж+ х2-\-х3
• • •
• • •
( М < 1)*
и-1
4-.
х
(Ы < 1 ).
д
Воспользовавшись формулой суммы членов бесконечно убывающей гео
метрической прогрессии I 5
, получаем
1— Я
1+ д:+л:24 - х 3+ ...
1
1— х
Остается продифференцировать полученное равенство:
\+ 2 х + З х 2+ . . .
1
▲
2
*
(1 -х )
X2 . X3 . X4
п
367. Найти сумму ряда ■)С+ ^ - + т + 1 ' + - * •р Щ г '
. . (\х\ < 1)
Д Продифференцируем почленно заданный ряд и найдем его сумму по
а
где а = 1 и д = х ; получим
формуле 5
1—Я
\4-х-{-х2-\-^-\- •••
1
1— х
83
Проинтегрировав затем в пределах от 0 до х, находим
X2 . X3 X4
х + - 2 + 3 + Т + - - - = - Ы ( 1~ х)'
4
|
Этот ряд сходится в промежутке [ — 1, 1]. Д.
Исследовать сходимость степенных рядов:
0*0 х + 1 , Й Ш
,5Ь8. “ Т Г +
31
, (* + П 3 г
,
+
5!
. • • • "г (2/г — 1)!
3 II
369. (х — 4 ) —-1=-(д:— 4)3Й —т = * Я
)/Г~2
7 'К З '
4)* '
'
■
х -1
2
‘
, (х — 1)г , ( * - 1 ) 3 ,
, (ж— Щ
I
22
‘
23
** *
2я
___ л
' С* “ 4)Я
Vп
* • •
Г-
,
371. х + (2х)г + (Зх) + . . . + (пх)п+ 1 . |
I
И
Г ••• •
у8л
373. х * + ^ + ^ + . . .+ * — +
• а
Положить х 2 = 1.
3 7 4 * ^ + 8 ^ 5 + 8 ^ 9 + - ' • + (4л- 3 ) 8 " +
о
—а
лгп
•1* I
375. 2в + 3 З 22+гЗ а И‘ 23+ З*3 1 I • 1 1|Б2Л+
9 3Н 1 ••.
1
376.
* — 1 , 2 / х — 1 \ г , 3 ( х — 1\3 !
.
п
/дг— 1
л
••• •
377' Ь 2 + 273 + 3^4 + ' • ‘ + л '( л + Т ) + * ’ * ‘
Найти суммы рядов:
378. — И Ш Ш И й
если М < « -
379- Й+Й+Й+ *••+<^ПТ^+Ц если||^^,<I
380‘ Р
381.
—
в
*
2х + 4*3— бх3+
** +
. . .
I •+ П
- ^
1хП~ 1 +
+ ( — 1)п2п-х*п~1+
* • •’ е с л и \ * \ < а '
.
.
если |*|<1.
§ 4. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
1.
Ряд Тейлора для функции одной переменной. Всякая функция, беско­
нечно дифференцируемая в интервале |х-—х0 | < г, т. е. х0 — г < х < х0 + г,
может быть разложена в этом интервале в сходящийся к ней степенной ряд
Тейлора
|§■р й Я 1 | 1 щ ш 1 1
если в этом интервале выполняется условие
Нп + 1) (/Л
1Ш Ял (ж) И П т ■
. . г- (х — х 0) п+ 1 = О,
П-+°о
П-+<*о V 1 / ‘
85
■ н111(
.
где Яп (х ) — остаточный член формулы Тейлора (или остаток ряда), с — * 0 -г
+ #
жв); 0 < Щ< Ь
.
Пр$ дгв**0 получается ряд Моклореши
I. \
+ ф
, + Ф
^ + . - . + ^ « + . . . .
Если в некотором интервале, содержащем точку
при любом п выпол­
няется неравенство |/<"> (х) | < М , где М — положительная постоянная, то
Ига /? „ * = 0 и функция / (я) разложима в ряд Тейлора.
л-+*
Приведем разложен у я в ряд Мак ло ре на следующих функции:
ех
1
1+ Б +
у
й
+ Я + - " ( ^ + " " +
- * < " <
дЕ
у&й***1
1л-,
+ “ •
^
ш
* - Б + Я + 8 ! + - - - + ( 5 Г ^ +
+
у2 у4 И
у2<« —и
с Ь * = 1 + ‘2 | + 4 | + 'б 1 + •■ + ( 2 ^ “ Щ ! + ••- - ' » < * < + *>•
а
«1п г = -5-— 5 - 4 - - ___- __ I*Ш х
1
31 ‘ 5!
4-
П *- 1 — ■— :----- — оо < дг < 4- оо;
'
(2п — 1)!
с . » , = 1 - ' ^ + Й - Ш + - ■•+ ( - ' ) " - р
^
+
- >
—
< *< + “ =
т (т—1). . .(т—л+ 2)
(л — 1)!
хп - 1+ . . .
Это последнее разложение имеет место:
при
0,
если — К Ж 1;
при — 1 < т < 0, если — 1 < Ж 1;
при т < — 1,
если — 1 < дг < 1;
I
уЭ
г&
#
агс1§ дс=д; — д - + у
х *п~1
+ •■•+ (— 1)" _1 ^ 3 1 + •••»
Ь
2.
Ряд Тейлора для функции двух независимых переменных. Если функция / (х у) дифференцируема п-4- 1 раз в некоторой окрестности точки Р 0 (дг0;
у0), то в любой точке Р (*; у) из этой окрестности функция / (дг,у ) может быть
разложена в ряд Тейм ра:
/ (я, */)= 7 (*о» */о)4~ут [(х — *о) !х ш
1
- [ ( Х — Х 0) 31 ' х х
+
~
Уо) “Г (У
Уо) ( у (*э» ^о)] +
( * , У о ) + 2 ( X — х и) ( у — У о ) й у ( * 0, У ,,) +
0
[(дт-х9)3!ххх (Х0, Уо)+
3 ( х - Х о )3 (У - У.) !хху т
(У — У аУ ! уу
Уо)+
(* о . Уо)] +
3 ( х - х 0) ( у - у 0Г Х
х /а д » (*о* У о ) + ( У — Уб)3 {ууу (*о> У и )]+ •••+
+ 1 ^(х-х0)^ -Ь (^ -У о )| ;]П/(^.Уи) + 0 (Рл)> где Р= / { х ~ х й)2- \ - ( у - у ^ .
87
В частном случае при х 0= у 0= 0 получается ряд Макмрена:
/(* ,0 > -/(о .о )+ | п И
2хуГх, (0 ,0 )+у*Гю Ц 0) } +
где
(0, 0)^+ Ъ\ [ Х^ хх ( 0 , 0 ) +
(0, ° ) +
. I Щ
[*Тх+ У 1%\Н! (° ’ 0 ) + ° Ш
р= У А'2+ </2•
функцию / (ж) = 2*
д
Найдем значения функции и ее производных при х
}\ х )= 2 х,
/ ' (дг)= 2х 1п 2,
Г (х) Ш2х 1п2 2,
/ ( 0 ) = 2° — 1,
Г (0) = 1п 2,
Г (°) р 1п2 2,
Щ , (*) |= 2х •1п" 2;
/ (п) (0) = 1п" 2.
0:
Тя 1г как 0 <■ 1п 2 < 1 т о п р и фиксированном х имеет место неравенство
, /*»> (х) | < 2х для любого л. Следовательно, функция может быть представлена
в виде суммы ряда Маклорена:
*1
г
(
0
)
г,
г
(
0
)
а
.
/ (х) = / ( 0 ) == - у у - х + - 2 Г х
1
В данном случае
^
_ хъ 1п2 2 . х3 1п3 2 ,
2х = = 1 + х 1 п 2 -1 ------21------!----- Ц------“
.
- I < * < + “ •
Это разложение можно получить и иначе: достаточно в разложении
е* = 1 + х + 2 Г |-ш +
---
заменить д: на х 1п 2. А
383. Разложить в ряд по степеням * функцию / ( * ) — з т 2х
Д Продифференцируем функцию л + 1
раз:
/ (х) = 81Па х,
[' (х) = 2 зш х соз х = зш 2х,
/ " (х) = 2 соз 2 х = 2 з1п [ 2х-\~х
п
У " (х) = — 2 2 з 1п 2х = 22 зШ ^ 2х + 2-*2
/
Д
[IV (х) = — 23 соз 2 х — 23 з1п ( 2 х + 3 - - ^
/<” >(х) = 2 « - 1 з1п [ 2х-|--^- (л — 1)
цп + 1) (*) — 2п з1п ^ 2 х + - ^ л
Находим значения функций } (х), / ' (х), /" (*).......... Р * (*) в точке х — 0,
А а й в И р ш ш ш ш ® вШ чз:
а*
/VI ( 0 ) = 25.......... Р + » (С) = 2 л*зШ (2с+ ял/2).
88
Находим остаточный член:
Уггтт^Зг® • т-'•к""т •§ттГ“|щ€
Так как Л т
== 0 при любом ж, а з 1п ( 2с + я л / 2 ) — величина ограничен-
ная, то 1?т/?^ = = 0. Следовательно, функцию {(х ) = зт2 х можно представить в
П->со
виде суммы ряда Маклорена
9
о3
25
27
8Ша х = 2 [ х 2 - - х 4+ ш ^ ~ ш х8+ . . .
.
Задачу можно решить и иначе. В равенстве 51па х = у (1 — соз 2х)
заме­
ним сой 2х его разложением в степенной ряд:
„
% (2х)2 , (2х)4 (2*)«
соз 2 х = 1------2Г + - 4 1 ------6! Ш Т - *
Выполнив несложные
8Ш2 X. А.
384. Разложить е~х* в ряд по степеням х
Д В разложении
1! 1 21 1 3!
заменим х на — х2; получим
е - * * = 1 — — + н Т - ^ 7 + 7 Т — •”
е
I! I 21
3! '4 1
(— » < Х <
385. Разложить \пх в ряд по степеням х
+ о о ).
А.
1.
А В разложении
заменим х на х — 1; получим
Ь 1 _ (_
1)_ Й = И + й = И - « ^ 2 . + . . .
(0<*«2). д
386. Разложить 1/х в ряд по степеням х — 2.
д
Воспользуемся равенством
2)/2 ’ Правую часть ЭТ0Г° р8‘
венства можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей | Ш № п | |
кой прогрессии с первым членом а = 1/2 и знаменателем <» = — ( х - 2 ) / 2 . Отсюда
получаем
|
1
1
1 х — 2 , 1 / Х - 2 \ » _ I /Х -2 Х * ,
7 = 2 — 2 , _ 2“ + Т \ ~ 2 ~ )
2 V 2 /
1
,У 1- Т '( « - 2 ) + 48- ( * - 2 ') * - г16ё ( * - 2> '+ -
1
-
••
Так как I (х — 2)/2| < 1, то 0 < х < 4. Д.
89
387. Разложить в ряд Тейлора функцию Ц х, у) == х2— ху +
2у г— З х + 4 г/-| -8 в окрестности точки Р а{ — 3; 1).
Найдем частные производные и вычислим их значения в точке Р 0:
д
/*(*> у ) = 2 х — у — 3, }у (х, у) = — х -+ -4 у + 4 , 1 х х (х ,у ) = 2, [ху (х, у) = — 1,
/да (*, у) = 4 ;
/ ( — 3, 1) = 35, / * ( — 3, 1) = — 10, §у (— 3, 1) = 11» / * * ( — 3, 1) = 2,
4
(“ 3. ч —
>•
(ч § > ч = 4 -
Искомое разложение в ряд Тейлора имеет вид
! ( х , у ) = ЗЬ— 1 0 ( х - ) - 3 ) + 1 1 ( у— 1) + ( х + 3 ) 3— ( х + 3 ) ( { / — 1) + 2 ( у — 1 ) * + . . . .
388. Разложить в ряд Тейлора функцию / (х, у) = х г 1п у в окрестности точки Р 0 (1; 1) до членов второго порядка.
Д Найдем частные производные первого и второго порядков:
2
!'х (х, у) = 2х 1п у, !'у (х, У) = -^> Кх^х ’ У) = | 1п у ' ?х1№ ' у^ ~ ~ у '
У^ ~
у*‘
Вычислим значения функции и производных в точке Р в (1, 1)'
/ ( 1 . 1) = 0, /*(!> 1) = 0, Г„( 1>1) = 1, Щ
1)=0,
1 )= -Ь
Искомое разложение записывается так:
I ( х, У) = ( У— 1 ) + 2 ( х -
1
1) ( у - 1)— -2- ( у — 1)2+ ° (р2). где р = \
(х— 1)2+ 0 / - 1 ) г. А
389.
Разложить в ряд Маклорена функцию | (х, у) = соз х зЬ у
до членов третьего порядка.
д
Найдем частные производные первого,
К (х, у) = — 8Ш Х 5Ъ у ,
(X, {/) = — з ш х с Ь у,
/ ; ” (х, у) = -
соз X сЬ у,
второго и третьего порядков:
Гу(Х, у) =С 05 х сЬ у,
(х, «/).= — с о з х з Ь у ,
Щ (х, | = соз х зЬ у,
ГХу у (|, Ц
В
Г ” х (х, г/) = зш х зЬ у,
Ь э X зН I
Гууу
{X, у) = соз х сЬ у.
Вычислим значения функции и производных при хв = у 0 = 0:
/(
0 , 0) = о , / ; ( о , о ) = о ,
Г у ( о , 0) = 1, Гх х ( 0, о ) = о ,
(°, о ) = о , ( Ц ( о , о ) =
1,
Щ
(о, о ) = о ,
р М Ш
Г ^ М
- 0 *
(о, 0 ) Ц .
Следовательно,
/(*> У ) = У ~ \ * 2< / + 4 - */3+ о ( р 3)> где р = У Г* 2 + !/2* ▲
2
6
Разложить в ряды по степеням X'следующие функции:
390. /( х ) = 3*.
391. [(х) = е~2х, 392. / ( * ) = соза*
393. / (х) = зН2 х.
394. / р р = 1п (х + а), а > 0.
395. /( х ) = К х + а, а > 0. 396. /( х ) = сЬ 2 (х2).
Разложить в ряды Тейлора следующие функции:
397 . Их, у) = хэ - 2 у 3-\-Зху в окрестности точки Р ( 2 ; 1).
90
398. / ( * , у) = 4х3— хъ+ -2 ху— уг + 5х + у — 8
в
окрестности
точкй Р ( !; — 1).
з й . !{х, у) = 5х* + 9у2— 2 х + 3 у — 5
в окрестности точки
р п ;
400Л/Ч*. У) = х/у в окрестности точки Р (— 1; 1) до членов
третьего порядка.
401. / ( * , у) = хе~у в окрестности точки " ( 1 ; 0) до членов
второго порядка.
402. / ( х , у) = х с о 52у в окрестности точки
— 1; и) до чле­
нов третьего порядка.
§ 5. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
С ПОМОЩЬЮ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Здесь полезно иметь в виду приведенные в предыдущем параграфе раз­
ложения в степенные ряды функций ех , §Ь % сЬх, зш х, соз х, ( 1 - г * ; >
1 п ( 1 + х ) , агс*&х.
Для вычисления логарифмов эффективна формула
1п (* + 1) — 1п * + 2
^21
1~^3
1)3_^” 5(22-{-1)5"^"' ’ ' ] *
Ряд в поавой части равенства сходится тем быстрее, чем больше I.
Для вычисления приближенного значения функции / (х) в ее разложении
в степенной ряд сохраняют первые л членов (л— конечная величина), а
остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного прибли­
женного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный
*яд знакопостоянный! то ряд. с о с а н н ы й из о л р о —
< членов е р я м . ;
вяют с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знако
переменного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Леибница исполь­
зуется оценКаР |Уя | < ип + ь где ип+ 1 — первый из отброшенных членов ряда.
403. Оценить погрешность приближенного равенства
е*&
1 + 4 + |г+
- - - + ?П’
0 < * < л + 1 .
Д Погрешность этого приближенного равенства определяется
членов, следующих после х "/л ! в разложении ех :
х п+1
.
х"+ 2
,
Xя + 8
суммой
,
Я » — /я + 1 ) ! + ( я + ^ ! + ( л + 3 ) 1 '1
1
ИЛИ
л Г
п ! | п + 1 + ( « + 1 ) (л + 2) " ^ ( л + | (п + 2) (п + 3)
Заменив каждый из сомножителей л + 2, л + 3,
чиной я + 1, получим неравенство
л + 4, . . . меньшей вели­
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квадратных скобках:
хп
х /(л + 1 )
„
К п < п \ ' 1— х /С л + Т )'
404. Вычислить У г
а
о
^
"
. ----- *-----. а
п\ п + 1 - х А
с точностью до 0,00001.
91
А Используя разложение ех в ряд, получаем
1+ТГ2+2Г2^+ЗГ^+
•
•
’ ■
Определим число л так, чтобы погрешность приближенного равенства
1В
1 1+ Т 11-2
Г о + *о 2!*2а
Г о а +1' * - 4 *- л!2“
не превышала 0,00001. Воспользуемся оценкой погрешности, данной в преды­
дущем примере. Полагаем * = 1/2; тогда
•
’ ]1
1/2
л
/?в < ш » * л + 1/2 ’ Т‘ е*
_
1
1
" < л !2" ' 2 я + Г
Путем подбора определим, при каком значении л будет выполняться
неравенство /? „ < 0,00001. Полагая, например, л = 3 , получаем
< 1/(8-6-7),
т. е. # 3 < 1/336- Пусть,
далее, л = 5; отсюда Я ъ < 1/(32-120-11), т. е.
Н5 < 1/42240. 1Пусть, наконец, л = 6; отсюда
< 1/(64-720-13), т. е. Яв <
< 1/100 000. Итак, принимаем л = 6:
,/—
, ,
1
.
У е — * + Ц2 *
1 . 1 I 1 , 1 1 1
2!2а ‘ 3!23 4124 ‘ 5125-* 612е’
Суммируем слагаемые:
1,000000
О,500000
0,125000
+ 0 ,0 2 0 8 3 3 (в
0,002604 («
0,000260 («
0,000022 («
1,648719.
_
6 раз меньше предыдущего слагаемого)
8 «
«
«
«
)
10 «
«
«
«
)
12 «
«
«
«
)
Значит, У 7 ж 1,648719. Каждое слагаемое мы вычислили с точностью
до 0,000001, чтобы при суммировании не получить погрешности, превышаю­
щей 0,00001.
1
• •* л
„V,
• ...
\/1/е с точностью до 0 , 00001 .
Д Имеем
• •
Воспользуемся приближенным равенством
5 /—
1/ V е ~ 1
1 .
1
115
2!5а
1___, 1
315® М 1 5 1’
Мы взяли 5 слагаемых, так как знакопеременный ряд удовлетворяет усло­
виям признака Лейбница, а поэтому допускаемая погрешность по абсолютной
величине должна быть меньше первого из отброшенных членов ряда. Первый
из отброшенных членов равен 1/(5!56). Нетрудно видеть, что 1/(5!55) < 0,00001.
Ппои.чвепя вычисления, в результате получаем 1/у е я 0,81873. Д
406.
Пользуясь разложением с о з х в ряд, вычислить соз 18
с точностью до 0 , 0001 .
92
Д Имеем
\
л
п
,
1 / п \2 ,
1 ( я \4
\ с о 3 1 8 « +4ГII
Х
•
•
«
л/10 = 0,31416, (я/1С)*=0,09870, (я/10)4 = 0,00974.
Достаточно взять три члена ряда, так как (1/6!)- ( я / 10)* < 0,0001. Тогда
1
18° *
0,09870+ 0 ^ 7 4 .
|
| 'Щ
^
|
407. Вычислить |/Т7Т с точностью до 0,0001.
д Воспользуемся разложением ( 1 + * ) “ в РЯД> полагая х = 0 , 1 , т — 1/5.
Имеем
^ й = ( 1 + о ^ ; = 1 + т - ° ’ 1+ ш
т г - - !!м 1 +
. (1/5) (1/5— 1) (1/5— 2) 0 001 > . . . = 1 -1-0,02— 0,0008 + 0,000048
+
1
’
Четвертый и следующие за ним члены отбрасываем, так как четвертый
;н меньше 0,0001. Итак, "]/ 1*1 Ш 1,0192. ^
408. Вычислить * /Т 3 0 с точностью до 0,001.
Д Так как 53 является ближайшим к числу 130 кубом целого числа, то
[сообразно число
число 130 представить в виде суммы двух слагаемых. 130
целесообразно
*=53 + 5. Тогда
= ? /5 > + 5 - 5
у
1 + ^ = -5 (1 + 0 ,0 4 )‘ » =
Г , + | . 0 , 0 4 + < ! В М = 1 ) . 0 , 0 0 1 в + (|/3)(- у
5 + -1 .. 0,2—
(^
) • 0 ,0 0 0 0 6 4 + ...]
• 0 , 0 0 8 + щ | 0, 00032— . . . .
Четвертый член меньше_0,001, поэтому .'его и с л е д у ю щ и е ^ ним члены
но отбросить. Итак, ^ 1 3 0 « 5 + 0,0667 - 0 , 0 0 0 9 , т. е.
V
»
130
5,066.
А
409. Вычислить 1п 1,04 с точностью до 0,0001.
Д Воспользуемся разложением 1 п ( 1 + х ) в ряд:
„
0,04* 1 0,04®
1п 1 ,0 4 = 1п ( 1 + 0 , 0 4 ) = 0 , 0 4 -------- ъ ~ - \ —
0,04* ,
д------------ |— Ь
"
»
ИЛИ
]п 1 04 — 0,04— 0,0008 + 0,000021 — 0,00000064+ . . . ,
откуда 1п 1,04 « 0,0392. Д
410 В прямоугольном треугольнике катеты равны 1 и 5 см.
Определить острый угол треугольника, лежащии против меньшего катета, с точностью до 0,001 радиана.
93
Д
Так как
с с = 1/5, то а = а г с * & (1/5). Воспользуемся разложением
4
,,
кч
1’
1
1
.
1
1
а = аго18(1/5)---т . ^ + ^ . ж — ..,
откуда а ^ 0 ,2— 0,0027, т. е. а ^ 0,197. Д
411. Оценить погрешность приближенного равенства
1п
1) » 1п / + 2 27ТТ~^~зр<'1
+ ' 1)'5 +
1
5(2/+1)
1
А Задача сводится к оценке суммы остатка ряда
1
_____в ____________!___________ I
Яп = 2 ( 2 я + 1 ) ( 2 * + 1)2«
2л+
о\ /(2/
0 / 1+ 11)\2я +
+ *1 “ Г/Ом
‘ (2п +I 3)
+3 Г
Н
Н
1
______I • • в
+ (2я + 5) (2/
1) 2 п + 5 1
Заменив каждый из множителей
числом 2 я + 1 , получим неравенство
Р
-
2
Г
1
п < 2 л + 1 [, (2^4- 1)'2л + 1
2/г + 3, 2я + 5, 2 # + 7 ,
1
I
1
...
меньшим
1
( 2 / + 1)2 л + 3 ( 2 ^ + 1)2л+? ' *'*
Просуммируем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию в квад­
ратных скобках:
I
п
2
2П+ 1
1 / ( 2 / + 1 ) 2" +1
2
1
1 — 1/(2/-}- I)2 2 /1 + 1 ( 2 / + I)2' » - 1 [(2/ + 1)2— 1)
2
1
р
1
Г а
2п-\- \ * (2 ^ + 1)2 л -1 -4* + 1) ’ Т 6
^ 2 ( 2 п + 1 ) / (* + 1 ) (2* + 1)2л~ 1 I А
412. Вычислить 1п2 с точностью
д
о
0,0001.
#
Д В формуле для определения 1 п ( / + 1 ) и неравенстве для оценки /? „
•лага ем 1 = 1 :
|
^
I * Н и Н Н Н Н
’ ИНВ Н
1п 2
2 ( 3 |Й 3-33 + 5-3^ Й 7 - 3 7_^ ‘ “ ) ’ К” 1 Й
Й
1)32 л -1 ‘
Путем подбора определим /г так, чтобы
выполнялось
неравенство
7?„ < 0,0001. Если п = 2, то # 2 < 1/(4-5-33); Я 2 < 1. 540; если л = 3 , то
Я 3 < 1 (4-7• З5) ; У?3 < 1/6804; если /г = 4, то /?4 < 1/(4-9 -37); /?4 < 1/10000.
Итак, п = 4 и для вычисления 1п 2 получаем приближенное равенство
1 И И
.
1
Я 1
3 ! З-З3 1 5-36 1 7-3*
Суммируя эти четыре слагаемых, получим
1п2 « 0,66667 + 0,02469 + 0,00165 + 0,00013 = 0,69314 ж 0,6931. Д
413. Вычислить 1п5 с точностью до 0,0001
Д Полагаем / = 4. Тогда
1 п 5 = = 2 1 п 2 + 2 ^ -д -+ -^ д г 4 - р ^ - + . . . V ,
94
Д „ < 4 0 ( 2 я + 1 ) 9 ал- 1 ‘
Если я = 1,
< 1 (40-5-93);
дователю »
1п 5 « 4 1
п2
то 7?! < I/(40-3-9); /?1 < 1/1080; если п = 2, то /?2 <
< 1/10000. Значит, достаточно взять два члена ряда. Сле­
+ 2 ^ -1 + -^ ^
к
1,38628 + 0 ,2 2 2 2 2 + 0,00090= 1,60940. Д
414. Доказать справедливость тождества я/4 = агс1§ (1/2) +
+ агс!§ (1/3) и вычислить я с точностью до 0,001.
Д Полагая в равенстве
а тс%
\
1— ху
1/2, у = 1 / 3 , получаем
агс*^ 1 = а г с 1 д — 4 - а г с 1 д у ,
л'+агс^д у
или л = 4 ^ а г с ^
Воспользовавшись разложением
агс*& у ) .
в ряд, имеем
л==4 [ ( " 2 " “ Т 2 ® ' ^ Т 2 5' —
3
"
~
+
Выполняя вычисления, находим я = 3,14:16.
Для вычисления числа л можно было воспользоваться рядами, которые
сходятся быстрее, чем только что приведенные. А
Вычислить:
415. е с точностью до 0,00001.
416. \\Уе с точностью до 0 , 00001.
417. зш 9° с точностью до 0,0001.
418. сЬО.З с точностью до 0,0001.
419. | / 1,06 с точностью до 0,0001.
420. г 27 с точностью до 0,001.
421. 1п0,98 с точностью до 0,0001.
422. 1п 1,1 с точностью до 0,0001 Л
423. 1д 3 с точностью до 0,0001.
424. 1п 10 с точностью до 0,0001.
425. Найти наименьшее положительное значение х, удовлет­
воряющее тригонометрическому уравнению 2 з ш х — с о з х = 0 .
426. Вычислить я с точ н остью 'до 0,001, полагая х — 1/} 3
в разложении а г с !§ х .
§ 6 . ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ
ПРЕДЕЛОВ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
,
_
427. Найти
..
2е* — 2 — 2х — х*
Ь т ----- |— -г—-----•
х-+ 0
х—
Х
Д Заменив ех и з!п х их разложениями в степенные ряды, получим
2 1
чр 1" "х у Ь » м
длп
Т1 о
вШ х — агсЦгх
«*
428. Наити п т ------------------.
х -> 0
™
Д Используя разложения $1п х и агс1§ х в степенные ряды, имеем
г* . **
.
X ---- отН—ЕТ— •••
.. з!п х — агс1& х
.
3!
5!
1ип------------1-------- — иш 1------------------ --------- р
х -> о
х
х -* -о
иш
3
Х -+ 0
429. В ычислить
3!
. **
*» ,
о
е
ШШШШ
*
Хг
У
V5
™]Ч *
5!
1/2
Ц — ^2°5—дх с точностью до 0,0001.
о
Д Заменив в подынтегральном выражении соз х его разложением в сте
пенной ряд, получим
1ИРЯИГ
..... .... .... IIIIII
Щ
о
1/2
1
8
о
** . х*
\ .
Г 1 1 ___Й
2Г _ 4 Г + 'б Г “ •' ‘ ]
о
*а
[21х
1 1
41-3 ‘ 6 !-5
1 1/2
”
|в
*
Я ____ ____ !____ 1_____!-------------- « 0 , 2 5 — 0,0017 = 0,2483. А
21-2
4 !-3 -2 * ^ 6 !-5 -2 5
.
.
.
т
о,1
г-|
430 . Вычислить | 1п(1+--^ йх
с точностью до 0,001.
о
°»1 х ---- рг Ха+ 1 ^ ----- . . .
ОД
С1е11±^^=С___ 1____I----- -------- ах
д
0,1
о
о
4
^
0 , 1 — - 1 . о,01 + — 0.001 — . . . « 0 , 0 9 8 . ||
1
431. Вычислить ^е~*2йх с точностью до 0,001.
о
А
^ - ^ = ^ ( 1_ ± - + 4 - | г + - . ) ^
___ ;
_
/V
о
о
х
х 3 . хъ
3 ‘ 2*5
Щ
х1 . х8
6*7 ‘” 24-9
гч/
1— 0,3333 + 0,1000 — 0,0238 + 0,0046 — 0,0008-1------= 0 ,7 4 7 . Д
432. Найти Нга —— а^ 5- х->0
96
хх1
.
I 1
120* 11 ’ * *" 1о
433. Наити ШтЩ— ?— -•
х->0 Щ ~ 1 ~~Х
В
\
0,2
434. Вычислить
V
Щ
^
с точностью до 0,0001.
0
I
\
йх с точностью до 0,001.
0.1
435. Вычислить
Ш
^
"о
к
0.5
436. Вычислить Д х \п {\-{-х*) йх с точностью до 0,001.
V
о
;
| 7 . КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ
ЧЛЕНАМИ
щ
1.
Комплексные числа. Комплексными числами называются числа вида
х+ 1 У где х и у — действительные числа, I— мнимая единица, определяемая
равенством *2 = — 1. Действительные числа х и у называются соответственно
действительной и мнимой частями комплексного
числа г. Для них вводятся обозначения: х = К е г ;
р р 1 т 2.
Геометрически каждое комплексное число г = х + 1 у
изображается точкой М (х; у) координатной плоскос­
ти хОу (рис. 26). В этом случае плоскость хОу на­
зывают комплексной числовой плоскостью, или плос­
костью комплексного переменного г .
Полярные координаты г и <р точки М , являю­
щейся изображением комплексного числа г, назы­
ваются модулем н аргументом комплексного числа
Рис.
26
г\ для них вводятся обозначения: /•= |г|,ф = А г§г.
Так как каждой точке плоскости соответствует бесчисленное множество
значений полярного угла, отличающихся друг от друга на 2 Ая ( 6 — целое по­
ложительное или отрицательное число), то Ате г — бесконечнозначная функция г.
То из значений полярного угла ср, которое удовлетворяет неравенству
__ я < ф ^ л , называют главным значением аргумента г и обозначают а г § 2 .
I
дальнейшем обозначение ф сохраним только для главного значения
аргумента г, т. е. положим ф = аг§ 2 , в силу чего для всех остальных значе­
ний аргумента г получим равенство
Агб г = агб г + 2кп = < р 2кп.
Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа г и его
действительной и мнимой частями устанавливаются формулами
х — тсоз ф; ^ = г 81п ф.
Отсюда
г*!г| = ^ Ч
с о з ф = х / | 2 |= дс/уг х * + у » ;
? ;
з 1п у = у / \ г \ = у / У г х * + у я.
Аргумент 2 можно определить также по формуле
агб г =* агс*в (1/ 1* ) +
где С = 0 при х > 0, С = + я при х < 0, у > 0; С = — я при х < 0, у < 0.
Заменяя * и у в записи комплексного числа г ^ х + х у их выражениями
через г и ф, получаем так называемую тригонометрическую форму комплекс•
ного числа:
~
^
V -' ■
^
УУ>.
..Г
г = г (соз ф - * з!п ф).
4 № 1814
97
Комплексные числа 2Х— лЦ+
и ^2 — % + 1У% считаются равными тогда
и только тогда, когда у них равны по отдельности действительные и мнимые
части:
21 = г2, если *1 = * 2, Уг = 'Щ
Для чисел, заданных в тригонометрической форме, равенство имеет место,
если модули этих чисел равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2л:
2^ = 22,
если |2 х |= |22 | И Аг§
21 =
Аг& 22 +
2кп.
Два комплексных нисла г = х + 1у и 2 = х — и/ с равными действительными
и противоположными мнимыми частями называются сопряженными. Для сопря­
женных комплексных чисел выполняются соотно­
шения
I * 1 1= I 2* 1*> аг2 *1 = — агё гг
(последнему
равенству
можно
придать
вид
Аг^ 21 + Аге % = 26л).
Действия над комплексными числами определя­
ются следующими правилами.
С л о ж е н и е . Если 21 = *1 + н/1, 22 = *2 + %>
то
г1+ 22^(Х1 + Х2) + 1 (У1 + У*)Сложение комплексных чисел подчиняется переместительному и сочета­
тельному законам:
|
21 + 22 = 2:2+ 21; (2Х+ 22) + 23 = 2± + (22 + 23) = 2Х+ 22+ 23.
В ы ч и т а н и е . Если 21 = ^1 + ^ 1» 22= * 2 + Ч /2 > т0
21— 22= ( Х — Х 2) + * (У\ — У2)•
Для геометрического пояснения сложения и вычитания комплексных чисел
полезно изображать их не точками на плоскости 2 , а векторами: число 2 =
= х + 1у изображается вектором ОМ, имеющим начало в точке О («нулевой»
точке плоскости — начале координат) и конец в точке М (х; у). Тогда сложение
и вычитание комплексных чисел выполняется по правилу сложения и вычита­
ния векторов (рис. 27).
Такое геометрическое истолкование операций сложения и вычитания век­
торов позволяет легко установить теоремы о модуле суммы и разности двух
и сумме нескольких комплексных чисел, выражаемые неравенствами:
I I 21 |— |22 I I ^ I 2\ ± 22 I < I 21 |+ 1Ц |,
|21 + 2 2 + •••+ 2 # |^ |21 |+ |22 |+ •••+ 12/{ |.
Кроме того, полезно помнить, что модуль разности двух комплексных чисел
2 ± и г2 равен расстоянию между точками, являющимися их изображениями на
плоскости г: |гг — 22 |= ^ (2 ь 22).
У м н о ж е н и е . Если 21 = *1 + « / 1, г2 = х2- { - 1у 2, то
2122 = ЩШ — У1У2) + * (Х!У2 + Х2у г).
Таким образом, комплексные числа перемножаются как двучлены, причем
I*2 заменяется на — 1.
Если 21= Г1 (соз ф ! + / 5Ш Ф1), 22 = Г2 (СОЗ ф2+ * 31П ф2), ТО
2122 =
ГХГ2 [СОЗ (ф1 +
ф 2) +
* Р | (ф 1 + ф 2) Ь
Таким образом, модуль произведения равен произведению модулей сомножи•
телейу а аргумент произведения— сумме аргументов сомножителей.
98
Умножение комплексных чисел подчиняется переместительному, сочета­
тельному и распределительному (по отношению к сложению) законам:
Ч ^1*2 = г2г 1* (21^г) ^3 —
( 2*22:3) = г1222з; 21 (22 + 2з) ~ 21^2“Ь 21^3*
Д е л е н и е . Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных
в алгебраической форме, следует делимое и делитель умножить на число, сопря­
женное с делителем:
'
2
г. _ Х
- 1 + 1У* — ^ 1
Ч 2
х 2+ *У&
,
|
+ ^ 1) (*2—Ф2)
(* 1*2 + У1 У2) + [ (Х2У1 —х гу2) I
(*2 + % ) (х 2— (У2)
\
^
х\ + &
ХгХ-ъЛ-УФг , г х2у1— х 1у 2
. 2 | 2 "*
1 | 2 *
*2 ”Ь#2
*2“|” У2
Если 21 и 22 заданы в тригонометрической форме, то
ЗВЙйк
2 1 -гг= —
/Ом
[СОЗ (ф1 — ф 2) +
1 51П (ф1 — ф 2) ] .
Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого и де­
лителя:, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
В о з в е д е н и е в с т е п е н ь . Если г — х-\-1у, то по формуле бинома
Ньютона имеем
2 Л= (X + 1Ц)п =
Хп
1 •1У +
+ С\хп
. . . + (/’у)п
(п — целое положительное число); в полученном выражении надо заменить сте­
пени Ь их значениями:
Р — — 1; 13= — I; *4 = 1 ; I5= *, . • •
и, в общем случае,
11* = 1; ^ « + 1 = г, № + 2 = — 1;
Если
2
Ш Г (С05 ф -{- I 5Ш ф), ТО
2п = Г п (СО5 Лф4-'< ЗШ Лф)
(здесь п может быть как целым положительным, так и целым отрицательным
числом).
В частности,
(соз ф + I 31п ф)" = СОЗ Лф + * 31п Лф
(формула Муавра).
И з в л е ч е н и е к о р н я . Если л — целое положительное число, г =
= г (соз ф - Н зш ф), то корень л-й степени из комплексного числа г имеет л
различных значений, которые находятся по формуле
- (
Г
где к = О, 1, 2,
ф + 2 кп . . . ф + 2Ьт;\
соз — --------- М зш ^ --------- ,
V
л
п
1
л — 1.
437. Найти {гхг2)1г3, если ?| = 3 + 5/, г 2 = 2 + 3/, г 3 = 1 + 2 /.
Л г1г2 = (3 + 50 ( 2 + 3 0 = 6 + 9 1 + 10;— 15 = — 9 + 1 9 1 ,
ггг3
— 9 + т _ (— 9 + Ш ) ( \— 21)
Щ Щ 1+2* Ш
(1 + 2 .) ( 1 - 2 / )
9 + 1 8 1 + 191 + 38 __ 29 . 3 7 .
с
.
I 5" *• А
438. Представить в тригонометрической форме
число 2 = 2 + 5/.
4
комплексное
99
Д Находим модуль комплексного числа: г = ^ 4 + 2 5 - ^ 2 9 « 5 385.
Находим главное значение аргумента:
5/2 = 2,5, Ф = 68 12 . Следовательно, 2 и 5,385 (соз 68°12' — » зШ 68 12 ). Д
439. Представить в тригонометрической
форме
комплексное
число 2 = 2 V 3 — Ш
Д Находим г = у
1 2 + 4 = 4 , зш ф = — 2 / 4 = — 1/2; соз ф—2 } ^ 3/4 — У
л/6, т. е.
Ф
4 [соз (— я/6) + 1 з1п (— я/6)]. Ц
440. Представить в тригонометрической форме
комплексные
числа 1, *, — 1, — *•
А 1 = 1 4 - 0 * 1 = 1*(соз 0 + » з1п0),
I = 0 + 1 •I = 1•[соз (я/2) + 151П(я/2)],
__ 1 = — 1 4 -0*1 '= 1 -(соз я + » зш я),
— 1 = 0 — 1 *1 = 1 *[соз |— я / 2 ) + 1 зш (— я/2)]. Д
'
441. Представить числа г х= 1 + / , г2= У 3 + 1 , г 3= 1 + 1 г 3
в тригонометрической форме, а затем найти комплексное число
Ш Н И
Д
Находим
|г1
(
=
У
Т
+
1
=
У~2,
ф
1
=
аг§г|
=
я/4,
*1*= 1*11 =
21 = У 2 [соз (я/4) + * з!п (я/4)];
3
+
1
=
2,
1ёф3=
1
/
у
г
3,
ф2
=
аг§
га
=
я/6,
2— 1г2 1= 1
г2 = 2 [соз (я/6) + 1 зш (я /6 )];
Фз = К 1 . фз = аге г3 = я/3,
г 3 == 1*з| = у 3 + 1 = 2 ,
г3= 2 [соз. (я /3 )+ » зш (я/3)].
Следовательно,
г2г3 = 2 - 2 [ с о з (л /6 + я / 3 ) + 1 8Ш (л/6 + л/3)] = 4 [соз (я/2) + * зш (л/2)]
и
У 2
4
соз (я/4) 4 - 131П (я/4)
соз (я/2) + 1 зш (я/2)
[соз (— я/4) + 1 51л (— я /4 ) ] = - ^ - (1 — 0-
А
442. Найти все значения * / 8 + ».
д Запишем комплексное число г = у ^ 8 + » в тригонометрической форме.
Имеем г = I г |= У 6 4 + Т = У 65 к 8,062, ф = аг ег = а го !§ (1/8) = 7°6\
г я 8,062 (соз 7°6' + » зШ 7°6'). Следовательно,
т. е.
_______ „ Ш Й
I
7°6' + 360?* , . . 7°6' + 360°й
1/ 8 + 1 я
8,062 • | с о з ------ -------------- И 81п--------- §-------и 2,0052 [соз (2°22' + 1 20°к) + » з1п (2°22' + 1 2 0 ° * )].
Если к = 0, то щ я
»
А = 1, » и»! я
»
А = 2 , » к»2 ~
Следовательно,
щ
0,9300— 1,7764». А
2,0052 (соз
2,0052(соз
2,0052 (соз
я 2,0034 +
2°22' + » з!п 2°22');
122°22' + »з1п 122°22');
242°22' + 1 зШ 242°22').
0,0828»;
Шх я — 1 ,0 7 3 4 + 1,7120»;
443. Решить двучленное уравнение а>! + 32/ = 0.
100
щ я
Д Перепишем уравнение в виде ш5
гонометрической форме:
ш5
т. е
32/. Число — 32/ представим в три-
32 [соз (— 90°) + / 31П (— 90°)], или ш==2 \/
Ш=
21
СОЗ
90°) + 1 з!п (— 90°),
-90° + 360°6 . . . — 90° + 360°к
------------- р ---------------- И 5 Ш ---------5
5
2 [соз ( - 1 8 ° + 7 2 ° * ) + / зш ( - 1 8 ° + 72%)].
Если
«
«
»
«
к
к
к
к
к
0,
1,
2,
3,
4,
то
«
«
«
«
щ
а>1
Ы)2
0*3
Г0л
2 [соз
2 (соз
2 (соз
2 (соз
2 (соз
(— 18°) + г з1л (
54° + 1 зш 54°) =
126°-(г / зш 126°)
198° + 18 Н1 198°)
270° + »' зш 270°)
18°)] = 1,9022 — 0,6180/ (Л).
1,1756+ 1,6180* (В).
= — 1,1756+1,6180» (С).
= — 1,9022 — 0,6180» (О).
= — 2» (Е).
Корням двучленного уравнения соответствуют вершины правильного пяти­
угольника, вписанного в окружность радиуса /? = 2 с центром в начале коор­
динат (рис. 28).
Вообще корням двучленного уравнения шп = а , где а — комплексное число,
соответствуют вершины правильного г»-угольника, вписанного в окружность
с центром в начале координат и радиусом,
равным
У\
444. Пользуясь формулой Муавра, выразить созбф и зш5ф через
СОЗф и 5Шф.
/ыа
Д Левую часть
равенства
(соз <р+
+ »' зш ф )5 = соз 5ф + * зш 5ф преобразуем по
формуле бинома Ньютона:
соз6 ф + 5/ соз4 Ф з!п ф — 10 соз3 ф зш2 ф
— 10/ соз2 ф зш3 ф + 5 соз ф зш4 ф +
+ 1 зш 5 Ф = соз 5ф + / зш 5ф.
Рис. 28
Остается приравнять действительные и мнимые части равенства.
В 10 соз3 ф 31П2 ф + 5 соз ф з!п4 ф,
соз 5ф = соз ф —
10 соз2 ф зш3 ф + зш 5 ф. Д
зш 5ф = 5 соз4 ф зш ф
445. Дано комплексное число 2 = 2 — 2/. Найти К е г, 1 т г,
г\, аг§г.
446. Представить в тригонометрической форме комплексное
число г = — 12 + 51.
_ . .
... I
447. Вычислить по формуле Муавра выражение
12
448. Вычислить по формуле Муавра
449. Представить в тригонометрической форме комплексное
1 +щщшшшшщшшшшшшшшшшшт
соз 20° + 1 зш 20°.
число г т щ
З/)8450. Вычислить выражение (2 + 3/)8.
( 1 — 2 ») (2
ш
451. Вычислить выражение
_ 4^ ^ ^ - у
452. Вычислить выражение 1/(3— 2/)*.
453. Представить в тригонометрической форме комплексное
число 5 — 3(.
101
454. Представить в тригонометрической
число — 1 + 1.
455. Вычислить выражение
форме
комплексное
(соз 77° - М зап 77°) (соз 23°
-------------- соз
456. Вычислить выражение - 1 ^
^
/ з1п 23°)^ в
“
, предварителько
пиедставив в тригонометрической форме множители в числителе
и знаменателе.
V
уравнение ДО?— 4 V 2 ( 1 + 0 = 0-
458. Решить двучленное
459. Выразить соз4ф и згп4ф через созср и зш ф.
460. Показать, что расстояние между точками гу и г2 равно
1*2 — 21
Д
Имеем г1=л -1+ / { / ь г2 = лт2 + гщ , г2— | | р (*г— * 1> + * 0/г— Ул), откуда
\г2— г1 \= У (хг— х г)2+ (уг — У1 )2,
т. е.
г2
гх | равно расстоянию между данными точками. А
461. Какая линия описывается точкой г, удовлетворяющей
уравнению \г— с| = Я, где с — постоянное комплексное число,
а /? > 0 ?
,
.
„I
462. Каков геометрический смысл неравенств: 1) \г с|<^/<,
2) 12-__ с |> 7??
463. Каков
2) 1ш г < 0 ?
геометрический
смысл
неравенств:
1) К е г > 0 ;
2
Ряды с комплексными членами. Рассмотрим последовательность комп
л е к с н ы х ч и с е л гь ?2, г3, . . . , г д е г„ = * „ + й/п ( « = 1, 2, 3, . . . ) . Постоянное
число с = а + Ы
н а з ы в а е т с я преде/ом последовательности гь г2, г3, . . . . если
д л я в с я к о г о с к о л ь у г о д н о м а л о г о ч и с л а е > 0 найдется такой номер N что
п с е з н а ч е н и я гп с н о м е р а м и п > N удовлетворяют неравенству \гп— с\ < г.
В этом случае пишут Ига гп = с.
П
-
*
30
Необходимое и достаточное условие существования предела последова­
тельности комплексных чисел состоит в следующем: число с = а + Ы является
пределом последовательности комплексных чисел %
Й|| % + Щ , *з + **/з> •••
тогда и только тогдз, когда 11Ш хп = а, Нш у п Ь.
Ряд
IV
чценами которого являются комплексные числа, называется сходящимся, если
л-я частичная сумма ряда 5 „ при л — * оо стремится к определенному конеч­
ному пределу. В противном случае ряд (1) называется расходящимся.
Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды с действи­
тельными членами
Ке щ Ц Ее щ + Не шд+ •••
и
1ш а»1 + 1гп до2+ Ьш ш3+ . . . .
(3)
Если суммой ряда (2) является число 5 ', а суммой ряда (3) — число 5%
то суммой ряда (1) служит комплексное число 5 = 5 ' + /5".
102
Если ряд
Их
И
&2+
+
сходится' то П т ® я ч=0
V
п_>00
Если СХОДИТСЯ ряд
(т. е.
Пт и„ = 0,
'
•« • (где 1&)ц— ^л + *0
П -> ®
Пт
П г+
0\.
СО
7
**
• в
0
то сходится и ряд
о л + а > 2 + а > з + - « - + а;л + - *
- •
В этом случае последний ряд называется абсолютно сходящимся*
Пусть дай степенной ряд
До
01 (г ~ “ 2
о)
Ч “ ^ 2 (2 —
* 0) 2 +
• * • +
а « - 1
(2
2о )П
где 20, а0, аъ а2, . . . — комплексные числа, причем коэффициенты ряда отличны
от нуля,’ а г — комплексное переменное.
Этот ряд сходится в круге \г — г0 \ < /?, где / ? — В т ап/ап+ х , и расходится вне указанного круга, т. е. при значениях г, удовлетворяющих нера­
венству |2 — 20 | > К-
464. Исследовать сходимость ряда
• •
А Ряды
1+ Т + Т + - " + 2 ^ + ' - *
и
1+ Т + Т + " - + 1 ^ ‘ + ' ‘ '
гх т я т ся так как они составлены из членов бесконечно убывающих геометри­
ческих прогрессий. Следовательно, сходится и заданный ряд с комплексными
членами.
Найдем суммы этих прогрессий:
Г\,
Ш Й Й — 1/2
2|
Следовательно, сумма
1
1 — 1/3
рассматриваемого
3
2'
ряда
есть комплексное
число
5 = 2 + ( 3 / 2 ) I. А
465. Исследовать сходимость ряда
••
( 1 + 0 , 1 1 + ( у + 0 . 011' ) + ( т + 0 , 0 ( Ш ) +
• ' ■+
Д Рассмотрим ряды
__1__I__! _ г
ц__- + . . . и 0 , 1 + 0 , 0 1 4 - 0,001 + . . . + ( 0 , 1 ) * + . •• •
“Г 2 * 3 ~ ' ”
л
Первый из них расходится, следовательно, расходится и данный ряд с
комплексными членами. А.
466. Исследовать сходимость ряда
Т + т 0 + ( ^ + Т ( ) + ( т + Т ,' ) + - - - + ( ^ 1 + ^ . ' ) + ' ' '
'
Д Ряд расходится, так как общий его член тп= — р т " ^ ~ п + 2 1 Нв СТ^
мится к нулю (в этом рекомендуем убедиться самостоятельно). А
103
467. Показать, что ряд
Н
2
Щ
2
)
И
'
V
Ш
2
сходится абсолютно.
д Так как
1 + 1= / г ^ с о з (л/4) + ! з!п (я/4)], то
1+»\"
Г соз (я/4) + 1зш (я/4) 1 » _
1 /
ял . .
ял
^ = 1 —
] = [ ------------- Щ
] - 2» / * 1 С08т + , 8 1 п 4
Следовательно, \юп \= \/2п12. Составим ряд из модулей.
Оп// 2*^"
2Л
2
«М/й”!”’
* ••
21/ 2 * 2< Г +
■ 23
/а
Этот ряд, члены которого образуют бесконечно убывающую геометрическую
прогреошю! сходится; следовательно, заданный ряд с комплексными членами
сходится абсолютно. Д
468. Найти область сходимости ряда
^ е -о + № У Я 1 ••■+Ш Н
Д Имеем
а» - ^
ИВр
) ’
|
ап
Д/1+ 1
(у з+лп+1 1 В 31
а"+1~ \ | / ’ ап+1 V з + »
3 3
йА
2
2
3
~
1 ^ 3 + 1 1
У 3+1
’
'
Областью сходимости ряда является круг \г — У < 3/2. А
469. Показать, что ряд
1
1 Л . ( 1
5
2
1Л I 11
1 Л ч
л. /1 — 1
сходится и наити его сумму.
470. Исследовать сходимость ряда
1+ У
’ " + { пУ"Я + &
0 ~К
1 . I
471. Исследовать сходимость ряда с общим членом ^ „ = ^ у + 472. Показать, что ряд
1+ й (1+ > )+ 5| (1 + > Г + -..
+ ^ 0
+ 0 "-* +
сходится абсолютно.
473. Найти область сходимости ряда
уЪ
2п
.
2 + 2Т + з И -------- + п \ +
- "
|
474. Найти область сходимости ряда
( г — |— 0 + 2 ! ( г — 1— 0 а+ •••+ п! (г — 1 — 0 " +
104
• •
3.
Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного
Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного г о п
ределяются равенствами, верными д л я л ю б о г о г:
\
\
Ш
2
<0 %г
9
- 1! ‘ 2! ' 3!
2
ш
Р 2^
З Ш г = Ту - д у + д у - . . . ;
-г2
2®
0 0 * 2 = 1 -^ + ^ -^ + ....
Э ти ряды сх од я тся в о всей к ом п л ек сн ой п л оск ости .
Между у к а з а н н ы м и ф у н к ц и я м и с у щ е с т в у ю т с л е д у ю щ и е с о о т н о ш е н и я :
= со $ г-Н з 1 л г,
(О
2—
(2 )
е ~ г '1 =
соз
г 31П г ,
егГ+ е ~ 21
(3)
с о з г = -------- ^--------
фХ1__Н Щ
810 2
(4)
21
называемые формулами Эйлера.
Ц ЩШш
С помощью формулы (1) комплексное число, заданное в тригонометричес­
кой форме г==г (соз ф ф 1 зш ф), может быть представлено в показательной
форме г = ге^1.
475.
Представить в тригонометрической и показательной фор­
мах комплексное число 2 = 3 + » ] / 3.
Д Находим г = / 9 + 3 = 2 / 1 , Ф= а г с 1 е ( / 3 / 3 ) = я/6. Следовательно,
тригонометрическая форма данного числа^имеет вид 2 = 2 / 3 [со з(я /6 )+ 1 зШ (я/6)],
а показательная форма— вид 2 = 2 , / Зе^У6. А.
476. Представить в показательной форме число г — У~2
Д
Имеш
г = / 2 + 2 = 2.
1&Ф = -
/
2 / / 2= -1 ,
IV 2.
«р =------ я /4 , т. е
2 = 2е~я1<* ': Ж
477. Записать в алгебраической форме е*1' 2.
Д Воспользуемся формулой (1):
еп1>а _ соз (я/2) + 1 зш ( я /2 ) = I. А.
478. С помощью формулы Эйлера доказать, что
соз 3 х =
соз Зх +
соз х.
Д Так как соз х = ( е * ‘ + е -А'')/2 . то
з
ез.У1 + з ел/ _}_ Зе-^я’ + е " 3* 1’
1 < * * '+ « “ ’ * ' , 3
т ----------2
1 4
« * { . + С * = 1 с о $ 3 * + -| - соз х. А
2
лшШШШ
»ной форме число г — V 3 + 1 .
>ной форме число — ».
форме
105
482. Показать, что соз 5 д: = у^со 5 5х + ^ с о 53х + -^-со5Х.
483. Выразить 51П3л; линейно через $\пх и 51пЗх.
484. С помощью формулы Эйлера показать, что I имеет бес­
численное множество значений, которые все являются действи­
тельными.
Ш
§ 8. РЯД ФУРЬЕ
Рядом Фурье периодической функции / (х) с
на сегменте [— я, я ], называется ряд
периодом 2я,
определенной
СО
(ат соз т х + Ьт Щ тх),
ЯИЯНИ
(I)
/71= 1
где
л
1
| / (х) соз тх йх
31
о
( т = 0, 1, 2 , . . .)*
- Л
я
Ьт= — \ / (х) з ш т хйх
я с)
-л
(т = 1, 2, . . . ) .
Если ряд (1) сходится, то его сумма 5 (х) есть периодическая функция с
периодом 2л, т. е. 5 ( х + 2 л ) = 5 (*).
Т е о р е м а Д и р и х л е . Пусть функция / ( Ц на сегменте [— л, л] имеет
конечное число экстремумов и яв^гяется непрерывной за исключением конечного
числа точек разрыва I рода (т. е. удоемтворяет так называемым условиям
Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегмента
[ — л, я] и сумма 3 (х) этого ряда:
1) 5 (*) = / ( * ) во всех точках непрерывности функции / ( * ) , лежащих внут­
ри сегмента [— я, я ] ;
2)
5 (х0) =>2 [ / (*о— ° ) + / (^о+ 0 ) ] »где х о— точка разрыва I рода функции /(л);
3) & ( х ) = 4 - [ / ( — я + 0 ) + / ( л — 0)) на концах промежутка, т .е . при х = ± л .
тт
Если функция / ( * ) задана на сегменте [— / , / ] , где / — произвольное чис­
ло, то при выполнении на этом сегменте условий Дирихле
указанная
функция может быть представлена в виде суммы рада Фурье
'
оо
_
-;:
■■;
...
••=- л*.-, ^
I
«
У + 2 * \ ат С05—---- \-ЬтЗШ—
Ш=т
где
1
7
тлх ,
и
1 Г , / . . тих ,
\ / (*) соз —— йх , Ьт = - р \ Г (х) зш —— йх
Г {/ .
В случае, когда / ( * ) — четная функция,
свободный член и косинусы, т. е.
ее ряд Фурье содержит только
00 ^
X
/
ч
а
0
I
Ш т Ф2 Ш
т
V
*
У
,
а
с
о
з
^ “ я " и'
т=4
т
ю
с
/
|
где
2 С, . ч
тлх ,
ат= — \ / ( * ) с о 5 —— йх.
В случае, когда I (х) — нечетная функция,
синусы, т. е.
ее ряд Фурье содержит только
00
•
У
/ (х) —
т =1
т:хх
ьт51П
I
а-
- :
—
•
’
.
где
I
2 Г
1
4 ж = у ]
.
тлх ,
/ ( Х ) 5 Ш — I I Ле
О
Если функция / (*) задана на сегменте [ 0 , / ] , то для разложения в ряд
Фурье достаточно доопределить ег на сегменте [— /, 0] произвольным способом,
а затем разложить в ряд Фурье, счи­
тая
заданной
сегменте |—
/].
Наиболее целесообразно функцию до­
определить так, чтобы ее значения
в точках сегмента [— /, 0] находились
из
условия
/ ( * ) = / ( — *)
или
/ (х) = — / (— х). В первом
случае
функция } (х) на сегменте [— /, /]
Л г®
будет четной, а во втором— нечет­ -ДГ -ЙГ -Я
ной. При этом коэффициенты разло­
жения такой функции (ат в первом
Рис. 29
случае и Ьт — во
втором) можно
определить
по
вышеприведенным
формулам для коэффициентов четных и нечетных функций.
485.
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию [(х) с
периодом 2л, заданную в интервале ] — л, л [ уравнением / (х )= л-(--*\
Д Г рафиком этой функции в интервале ]— я, л[ является отрезок, соеди­
няющий точки (— л; 0) и (л; 2л). На рис. 29 изображен график функции
у = 5 (х ), где 5 (х) — сумма ряда Фурье функции / ( * ) . Эта сумма является
периодической функцией с периодом 2л и совпадает с функцией / (х) на сег­
менте (—* я, я].
\
Определяем коэффициенты ряда Фурье. Сначала находим
я
йх
ао
-я
и*
-я
х) йх
-я
I
<1x4л
я
/1
хйх.
-я
Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, взятый
по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,
л
йх = 2л.
-я
107
Далее, находим коэффициенты ат. Имеем
т —
~
я
я
[ / (*) соз т х^х===~
^ (я 4 **) соз т хйх
—Я
—Л
л
л
Ц х соз тх йх.
—л
—л
Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подынтегральная функция
второго интеграла является нечетной как произведение четной функции на
нечетную). Ита/с, ат= 0 , т. е. % = а 2 = а 3 = = . . . = 0 .
Найдем теперь коэффициенты Ьт:
л
л
С соз т х
Ьт= 1 - С / (х) зш тхйх
-я
л
Ц ( л + х ) 51п тх йх =
-л
л
51л
-л
т хй х-^ -1 ^хв'ттхйх.
—я
Первый интеграл равен нулю. Подынтегральная функция второго интег
рала — четная как произведение двух нечетных функций. Таким образом,
я
■
■
■
н
н
й
н
Ьт = — \ х 51П тх ах.
о
Интегрируя по частям,
(1 /т) соз тх, т. е.
получим
и=х,
Щ Щ з!й т хйх,
йи = йх,
V
я
я
2 Г
2
.2
2х
-1------ \ соз тх йх = --------- -- соз тл ^------- г з 1п тх
Ьт-- ---------- соз тх
о
о 1млд
т
ж
тл
о
,^
9
2
= — ш (— \)т= — (_1)я» + 1.
т
'
т
®
■
. '
Следовательно, разложение функции / (х) в ряд Фурье имеет вид
оо
.
'•
т+ 1
/ ( * ) = я + 2 V I— ------- зш тх
14 '
'
л-*
т
т = 1
2х 8Ш Зх ЗШ 4х
л + 2 ( зш д:------- 2----- 1----- 3----------- 4----- Р Ш
. л
*
1
81П
,
,
V
«
Ь »
486. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию [ (х)
периодом 2 , заданную на сегменте [— 1, 1] уравнением [ ( х) = х
(рис. 30).
.^
;г
Д Рассматриваемая функция является четной. Ее график— дуга парабо­
лы, заключенная между точками (— 1; 1) и (1; 1). Так как / = 1 , то
1
%= у | /
о
1
(х) й х = 2 <
\
) х2 йх = ^ ,
о
/
I
2 Г
.
тлх
ат = — ^ / (х) соз—у — йх = 2 | х 2 соз тлх йх.
о
108
о
Здесь нужно дважды проинтегрировать по частям:
1) и = хг9
х
зш
1
4 Г
.
— \ х з ш ттлх
а
йх\
тл ^
о
тлх йх
о
2)
1
зш тлх\ ат
лт
соз тлх йх, йи = 2хйх, V
1
4
тл
йо = $'т тлх йх,
и = х,
1
М
.
з ш тлх
тл
о
йи = йх,
1
тл
V
соз
4х
тлх; ат= —2 ^ 2 X
1
1
X соз т л х
тлх йх —
соз
т
о
о — (—
тгл*
1 )ш .
о
0. Следовательно,
Так как рассматриваемая функция— четная, то Ьт
со
I
з
Их)
1
3
4
соз
л
лх
(-0
т
т
- соз
т =1
с о з 2 л х . с о з З ла :
+
З2
22
тлх
соз 4лх
▲
42
487. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, задан
ную на полупериоде [ 0 , 2] уравнением [ (х) — х
х2/2.
Рис. 31
Рис. 30
А Функция может быть разложена в ряд Фурье бесчисленным количест
вом способов. Рассмотрим два наиболее важных варианта разложения.
1) Доопределим функцию / (х) на сегменте [— 2, 0] четным образом (рис. 31)
Имеем /==2,
а0 =
\ I х
о
ат
2_
о"" 3 1
I
6
Щ
X2 I йх
2
X
хг
тлх
йх.
соз
Т Г
тлх ,
.
. ,
2 . тлх
( I — х)йх, V = — з!п —
тл
о
Интегрируем по частям:
1
и = х
— ~2
т
2
тл
_
л
х 2, й з =
х
2
сое
йх,
X 2 1 51П
йи
т л х I2
2
о
2
тл
Г/.
ч ■ тлх .
\ ( 1 — х )з !п — т~йх
о
2
2 Г
ч . т з 1Х л
\ (1 — х) з1п - г г - йх.
2
тл
о
109
Еще раз интегрируем по частям:
и «= 1— х, йи
. тлх ,
А
йх, V
51П — о ”
4
ч
тлх
(1 — Л') сов - т р о
° т — т ала
4
е% о
т*лы
4
о_о со з т л
/П“ЯГ
2
тлх
— соз —тг-;
тп
2
тлх ,
соз —г— йх
т
4
0.
Итак,
/(* )
з
л2
в / 1
л2
2) Доопределим
рис. 32):
/72= 1
1
СОЗ Л х 4 - - т *
функцию / (х)
14- (— I)77*
тлх
— СО 5 1
т 2
1
СОЗ 2 л х + с о з З л х +
на
сегменте
[— 2 ,0 ]
нечетным
1 0 \ . тлх § |
Ьга- 1 I х - т х2 )8 1 п -^ -сгд с;
2
о] I
и= х
Ьт
тлх
1
ч ,
2
тлх
х2, ^ = 5т —тг-с/х, ^ = (1— х)Лк, 1>^= — — с о з —
2
о
*
ч
тлх ,
1 9А
тлх 2 . 2
2
Н--------\ (1 — х) соз —
йх
V* — “о
2
о 1 тл ^
тл \
2 * ) СС5~ оI
о
2
тл
и= 1
/я
Г
ч
тлх .
\ (1 — х) соз —— йх\
тлх .
,
х, сш = со5 — 2 * - ах, аи
4
. . щлж
2 ^ ( 1 — лг) е1жз— н т^ л
2
йх,
тл
,
тлх
8111-
2
. тлх ,
51П— — йХ
2+ е д
о
т 2л 2
О
,
Ал
8
8
тлх
соз
2—о" соз т л -|т 3л3
т°д
"Т Р о
т 3л3
8
[1 — (— 1)т 3; ат = О ( т = 0, 1, 2, . . . ) .
т 3л 3
Итак,
00
/(* )=
16
л3
по
С
ч-»
8_
Л3
у
т= 1
1— ( - 1)гя
тлх
з1п
~2~
т3
Злх ( 1
5лх
з!п
•З1л •
1
"2 ”
2
532 + З3
лх , 1
• •• I • ▲
образом
488. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с пе­
риодам 21 (рис. 33), заданную на сегменте [— 1 1 следующим
образам:
V
/
( 0 при
О,
Д Находим
|
I
-I\
и
I
I
о
ат
1
I
1
7
1
. о 1/2
х3
2 ЗШ I ■2
Щ /
О
2
42
I
Ш
О
1
хйх-\
О
*
-/
//2
, I
соз — |— ах-|-
I
/
тлх
,
соз —-— ах
1/2
I
42
1 Г
тлх
,
X СОЗ --- :— ах
I
о
тлх
СУ
г/ .
тях , ,
/ (х) с о з — :— ах 4 -
I
1/2
I -I1,м
о
/ (*) йх
^ / (х) йх
-I
'
г
1/2
/ ( х ) \ / х = у | { (х) й х + 1
1
До
о
с»
1
тлх
,
. -соз — ?— ах.
2
I
1/2
К первому интегралу применяем интегрирование по частям:
тлх
,
... тлх ,
.
,
/
и = х, й у = с о з — ;— ах; йи = ах, у ------- ЗШ--- :--- |
шд
/
откуда
т
х
. тлх №
зШ I О
тл
!
42
Гъ
тлх
З Ш -----;—
-----\
51
тл ,)
/
,
,
а х -Ь
тлх
/
зш
2тл
/
О
тлх К/2 ,
I
. тл . ■■%
I ■ *СОЗ --г--- “ I 4 5
Ш
-2
—
Н
т-ла
I 1о
2тл
/
+ 2тл
з!п т л — з!п
тЖ
тл
соз
121
г
1/2
1
Определяем коэффициенты Ьт:
112
Ьт
1
7
о
Г
тлх . , 1 С , тлх .
з ш — -— ах.
з!п
-1 -^ + 2 )
Г/2
III
К первому интегралу применяем интегрирование по частям:
тлх
■
т ш т ..
и= х ,
тлх
^
Имеем
х
тлх
ь = -------- - с о з
т
тл
I
1
Щ
,
тлх
,
о + _ ^ г 3 008 щ Ш х
I
Щ
тпх |
2тп
1 Ш
тлх V/2
I
(
я . _ пп^Л Е .
со$- 2- + - е т 8!п“ Г - |о
2тл ^ С08Ш
2
I
. тл
I
, 1Ч(Я
и щ
а ~ 2 й г (_ 1 У •
Ц . . I В Н I _*/ 2+ я
Если т = 1, то а1 = - —г , % Щ
0 т ' ~2пГ'
»
»
тл
1/2
Ш
1
р
.
I
*
I
а2= — « Г г .
т = 3,
»
/
. _
а3 = — ЩШ* 3"~
т = 4,
»
а4 = 0 , &4 =
»
/
а5 = — ? 5 я 2 #
т = 2,
т = 5,
&а ——
.
.
/ , *
9я^
6я
I
Зя— 2
18я2
8я
1 . 1
__.
25я^
10я
24~5я
50я2 ’
Следовательно,
. 3 , /
1
я* . 2 + я
16+ » » Ш
1
И
2лх
СОЗ — :----------- :— ЗШ
2яа
|
р
/
Зях , — 2 Зя . Злх V .
1
/
Ш
. яде
2яж
1
.
1
а
+(-й?с08т -■+ - т - в" - г ) + - \ - А
1
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию / (х) с перио­
дом Т, заданную на указанном сегменте.
'
_
.
ЛП
А
Г
___
_Л
489. / ( х ) = х;
Т = 2я; [— л, я].
490.
1 = ?» I- 1 ’
491. /( х ) = е*; Т = 2я; Г— я,
492. / (х) = х3; Т = 2я; [— я,
493. /( х ) = я — 2х; Т
[ _ Я; 0]: 1) четным образом; 2 )
494
Нх)
=
1
~
к
"
ри
4 У 4 , «V*/
1
А при
495
И
я
я
нечетным образом.
О^ж ^я;
Нх)
=
\
~
2х
П
Р
И
"
<
д
с
<
0
,
^
Зж при
О ^ дс^я;
Г = 2 я.
7 = 2я.
496. I (х) = ха; Т == 2я; [0, я]. Продолжить
|— я, 0] нечетным образом.
/( х )
на сегмент
497 /\{Х/
Л х) = 1
ррИ
и _Я„0 << ** <
Т = 2я.
ад/.
^ _ хрп П
< °я;’
498 / (х) = соз 2х; Т = 2л; [0, я]. Разложить в ряд по синусам.
112
499. [(х ) = х\ Т — 2; [О, 1]. Разложить в ряд по синусам,
■нт
х р ? 9 ■< 3 ^ Ь Г = 4. Разложить в ряд по ко
оич.
I \л) —
— х при 1 < Ж
2;
синусам
§ 9. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Если функция I (х) удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном
отрезке оси Ох и абсолютно интегрируема вдоль всей оси ( т. е.
§л - ‘
. Г
Г-
-4-*...
•' ^
\
^ \} {х)\<1х
~О 0
‘-V-
сходится^ , то для нее справедлива интегральная формула Фурье (получаемая
предельным переходом из ряда Фурье периодической функции с
при I — > оо):
Л, I
+00
+00
/ (х )= 1
Ц } (и) соз г (и— х) йи
Ц
О
— со
(в точках разрыва I рода по-прежнему за значение / (дг)
(1/2) [/ (*о— 0 ) + / (*о+ 0 )1 . где хо — абсцисса точки разрыва).
Интеграл Фурье можно представить в комплексной форме:
ИрГ;> '
/ (*) = - 1
+00
4-00
С йг §
—СО
периодом 21
+ 60
/ (и) е‘ г <
|
§ * |
—СО
принимается
+®
§ е ~ *** *2 ) ^
“ 00
00
(“ ) Щ
Для четной функции интеграл Фурье может быть представлен в виде
+ СО
/(* ) = —
+ со
\ соз 2х
о
(12
\ / (и) соз ги йи,
о
а для нечетной функции — в виде
+ СО
+ 00
О
о
'
С тремя последними формулами связаны так называемые интегральные преоб
разования Фурье:
1. Преобразование Фурье общего виса:
+ оо
Р (г)—
Г е1гх! (х) йх (прямое),
'
У 2л
2 л ..1
—ОО
+ 00
Iш
п х) = ___==- I е ~ и * Р (г )й г (обратное)
У 2я ^
—00
113
2. Косинус-преобразование Фурье (для четных функций)
+ 30
{с { г ) = у
г ~2
| / ( * ) соз гх йх {прямое).
о
+ГС
О
*
о
3. Синус-преобразование Фурье (для нечетных функций):
(г) =
+ 00
Л
^ / (х) зш гх йх {прямое),
1 / ^
о
___
/ (х) =
1/^
;ф
.
+00
| ! 3 (г) зш гх йг {обратное).
'’О
I
_
***
~
Синус- и косинус-преобразования Фурье могут применяться к функциям,
заданным лишь на положительной полуоси Ох, если они абсолютно интегри­
руемы вдоль этой полуоси и удовлетворяют на любом ее конечном отрезке
условиям Дирихле. При э т о м синус-преобразование продолжает функцию Д х)
на отрицательную полуось нечетным образом, а косинус-преобразование
Примечание.
В интегральных формулах Фурье все интегралы вида
оп
/ {и) йи понимаются в смысле главного значения, т. е.
— со
N
4-00
М Я р ! —^
дг
—X
501. Найти косинус- и синус-преобразования функции /(лг)
(* >
0 ).
Д
м- ' ~;
-
'
“X
^
Имеем
+ 00
М г )= ]/§
I
е-^созгиаи.
О
+®
Так как \
1
соз г
«
: то
о
и (г) - Ш | • 2г + 1 Аналогично получаем
В свою очередь, применив косинус- и синус-преобразования
к функциям !с (?) и |§ (г), получим функцию } (х), т. е.
1Ш ш 1
о
114
о
Фурье
Отсюда получаем интегралы Лапласа:
4
+00
+ 00
п соз гх ,
2 ЗШ 2Х ,
Л
_
А
л
< 1 г = -ъ е -х . А
--------- а г = - ^ е ~ х
2
22+ 1
22 1
о
о
502. Пусть функция 1(х) определена равенствами
( 1
-! 1/2
V 0
и
х < а;
х — а\
х > 0.
при
при
при
О
Найти ее косинус- и синус-преобразования (рис. 34).
У
1
1
I
?
I
I
1
2
1
Й
У
и#
а
Рис. 34
Д Находим косинус-преооразование данной функции.
/с
(г)
И
+ Л00
а
ОС
/>
с о 5 ги йи т
I {и) со$ ги йи
С/
о
о
■
О* соз ги Ли
а
а
соз гм <ш =
/
2 № 02
I / ------------У л
г
о
Найдем теперь синус-преобразование:
а
+ х
Ы * )™ /-^
I / (и) 81пги Ли
о
/ I
зш ги йи
О
СО
Л
зш ги йи
о
Ш В
у
Ч
О • зш ги Ли
г.'
а
СОЗ 0 2
Отсюда получаем
+
5!п аг
И
I
1/2
О
ОС
о
-
€©б хгй г
{разрывный множитель Дирихле) и
+ с©
I 1
2 С 1— с о з а г
$к \ хгй г— 1 1/2
С0
при
пр»
при
х < а;
О
х о;
х > а,
при 0 ^ д : < а\
при х ~ а \
при х > а. Д
503. Найти преобразование Фурье функции
/(*>
*+1
1
х+1
0
при
при
при
при
—1
х < — 1/2;
]х1 < 1/2;
1 / 2 < х < 1;
1 < 1*1*
Д По формуле преобразования Фурье
4-®
г (2) ц И В
У 2я
1 г с«) щ
^
—ОО
используя вид функции ( (х), находим
-1
у т Р (г) =
4-
- 1 /2
^ 0 •е‘ 2ИДм +
-«
5
-1
( « + 1) е‘ 2“ йы+
+ ! ) е‘ г“ й и +
‘ -‘
С 1-е'ги с ?и + ^ (—
—1/2
5 ° ' е' ги йи^
Ёь
Первый и последний интегралы, очевидно, равны нулю. Обозначим осталь
ные интегралы соответственно через Ги 1ш и / 3 и вычислим их.
1/ 2
-
(и + 1 ) е*гй 4и ав Г - у (н + 1) ***"
/
^22а е 1
с
- I
1
_,г 2
1
1 в- й / , .
1 Г 'Т г
* . - / * ___ 1 е -г.Уз . Д _ е - « ’/ 2 ----- * в- * /
“ 2«
К*
‘л
1
11/2
1
Я
1-1/2
Я
2
г
_ г,/ 2\
2 з1п (г/2)
— 1/2
/,= = $ ( - н + 1 ) ^ “ Л 4 = [ Д - ( - « + 1 ) ^ + ^ ^ “ ] | /а
1/2
_г*/а
• е и ___ *!_ ег‘
/2 лI. .*‘ . М г
Т ?е
2и
^ г г
Итак,
I
,2
г
1
1
1
./ .
2 81л (г / 2)
Р ( 7) ____ ! _ Г 1 - е - гш + — е - *«/*----- -- « - ■ ' + ------- ~
Т Щ 2 *
2г
*г
г
Г
2 соз г , 51
51П
, 2 соз
сов (г/2) 1
А
I
1
1
1
п (г/2) ■
г 2^1— г * -+ — Г - + — —
]• *
504. Найти преобразование Фурье функции
С05 (х /2) при \х\ < я ,
/< * )= {
О
при (х | > я.
505. Найти преобразование Фурье функции
/ — е* при — 1 < * < 0;
/(х )»1
\е ~*
I 0
ПРИ
при
|х I > I.
косинус-преобразования Фурье функции
/ — 1 при — 1
/(*)«= {
щшшшш
— 1/2,
0 при — 1 / 2 < ж < 1/2,
1 при
1 /2 < *< Ь
ГЛАВА
IV
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
1.
Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравне­
ние связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или
дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то урав­
нение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или
больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных
производных.
„
л
л
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется
порядком дифференциального уравнения. Например:
|\ х 2у г— Ъху == у 2— обыкновенное дифференциальное уравнение первого по­
рядка ^
2) Ц ' —
йх*
обыкновенное дифференциальное уравнение второго
йх
3^ у*г ^ у " у " ' = х — обыкновенное
п о р я д к а ,^ ^
^
у^) =
0 — общий
дифференциальное
уравнение
третьего
вид обыкновенного дифференциального урав­
нения второго порядка;
щ х2 _
у* ~ = 0 — уравнение в частных производных первого порядка.
этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные
уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида Г (х, у , * / ' ) = ° или (в раз­
решенном относительно у' виде) у = / (я, у)тттт
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференципуемая функция
Ф (*), которая при подстановке в уравнение вместо неизК о й функции обращает его" в тождество. Процесс нахождения решения
дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциаль-
Общим*рейхением дифференциального уравнения первого порядка у ' ~
= Кх
в области О называется функция у — <р(х, С), обладающая сле­
дующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при люЕ
значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому мно­
жеству 2) для любого начального условия У(х0) —Уо такого, что (Хо, У о)€ ^ существует единственное значение С = С „ , при котором решение у = у ( х , С0)
удовлетворяет заданному начальному условию.
,
У в 7 я к Г решение у = Ф (х, С0), получающееся из общего решения у=<р (х, С)
при конкретном значении С = С0, называется частным Реше* “ е" Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения у - { (х, у),
удовлетворяющее начальному условию у ( х 0) = уо. называется задачей Кошл.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = <р(х) диффеоенциального у равней и я называется интегральной кривой этого уравнения.
Т а к и м Х а з о м УР^ щ е м у решению « , = Ф (х, С) на плоскости хОу соответствует
семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра — произволь­
ной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному усло­
вно
= Х - к Р « в а я этого семейства, проходящая через заданную точку
М 0 С*о» Уо)-
роизводную
в области О, то решение дифференциального уравнения
ИОН условии у (х0) - у , существует и единственно, т. е. через точку (х0, у о)
117
проходит единственная интегральная кривая данного уравнения
(теорема
'особым решением называется такое решение, во всех точках которого
условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой
точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные
кривые, проходящие через эту точку.
Особые решения не получаются из общего решения дифференциального
управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе
и при С = ± о о ) .
•••
..... .
....... .йд
Особым решением! является огибающая семейства интегральных кривых
(если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается
по меньшей мере одндй интегральной кривой.
______
Например, общее решение уравнения у' = ± 1 ^ 1— У2 записывается в виде
у = зт (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие:
и = 1 и у = — 1, которые и будут особыми решениями.
, , ■
2.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Диффе­
ренциальное уравнение вида
/1 (*) ф1 (У) й * + к (*) Фг (У)<*У= 0
относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна
из функций
(х), и И Ф1 (У)> Фз (У) не равна тождественно нулю, то в ре­
зультате деления исходного уравнения на /2 (*) ф1 (у) ° но приводится к виду
Ф10/)
Почленное интегрирование
последнего уравнения приводит к соотношению
/г М
3
фг (*/)
которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Реше­
ние дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют
интегралом этого уравнения.)
507. Решить уравнение х ( у г— \)йх-\-у й у — Ъ.
д
Разделив обе части уравнения на у 2— 4 ф 0, имеем
у —4
Интегрируя, находим
4| = 1п|С|, или у2— 4 = С е ~ х*.
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь у 2— 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой
убеждаемся, что у = ± 2 — решение исходного уравнения. Но оно не будет осо­
бым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0 . А
508. Найти частный интеграл уравнения
удовлетворяющий начальному условию 2/ ( 0 ) = 1.
Д Полагая # / = ~ ,
цл
перепишем данное уравнение в виде
ёу
у
С08Х ЪшШ Щ
йх 1п у ’
118
у со$х = у/\п у,
Разделяем переменные:
1п у ,
йу
йх
СОЗ X
У
Проинтегрируем обе части уравнения:
1п у йу—>Я ~ Х
— + С , или
у
^ соз X
1
1п2 « / = 1 п { д ( - ^ + - т } + с *
Используя начальное условие у — 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно
подучаем
^
*
\
\-~1п20 = 1л*8^-| + - ^ - ) • Д.
509. Найти общий интеграл уравнения у ' = 1 % х ^ у .
Д Полагая У' = ^ -
1»Дг
и
разделяя
переменные,
приходим
к
уравнению
с1 % у й у = 1 ё хй х. Интегрируя, имеем
^ * б х й х , или 1п |зш у |= — 1п |соз х| + 1п С.
С
Отсюда находим зШ у— С/со5 х, или эШ у со в х — С (общий интеграл). А
510. Найти частное решение дифференциального уравнения
(\ + х3) А у у Лх = 0 при начальном условии «/(!)== 1.
*
Д
йу
йх
т,
Преобразуем данное уравнение к виду — — — р т ^ а ’ * ИнтегРиРУя»
получим
йу
(*
У
йх 5 , или 1п |г/1 = — агс!& х-Ц- С .
14- х2
Это и есть общий интеграл данного уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С;
имеем 1п 1 = — агс1е 1 + С , т. е. С = я/4. Следовательно,
1п у = — агс*8 х + я / 4 ,
откуда получаем искомое частное решение у = е я/4~ ак %х.
А
Решим несколько геометрических и физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям рассматриваемого типа.
511. Найти кривые, у которых сум^а длин нормали и под­
нормали есть величина постоянная, равная а
д Длина поднормали равна |уу' |, а длина нормали равна
Таким образом, уравнение, которому должны удовлетворять искомые кривые,
имеет вид
УУ 1+1 у У
/2
а.
Разрешая его относительно у '$ находим (учитывая оба возможных знака).
а2— уг
119
Я
Разделяем переменные:
2уй у
а2— у2
±
йх
а
Интегрируя, получаем общий интеграл: 1п|а2— у 2 |= Т х/а-\-Ы С.
потенцирование, приводим уравнение искомых кривых к виду
Выполнив
а2— СеТх/а-
У
Условию задачи отвечают только значения С > 0. В самом деле, из урав
нения семейства кризых находим:
1Я
IЖ
а2— у 2
2а
аа + У
2а
УУ И Ш
Поэтому для выполнения условия \уу' 1+ 1^ 1^ 1 + * /'2 | = а нужно, чтобы
I а2 —
|__^ 2—
т е у 2 < а 2. отсюда и следует, что С принимает только
положительные значения. Д
512. Цилиндрический резервуар с высотой 6 м и диаметром
основания 4 м поставлен вертикально и наполнен водой. За ка­
кое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через
круглое отверстие радиуса 1/12 м, сделанного в дне резервуара?
Д Для решения поставленной задачи надо воспользоваться формулой
Бернулли, определяющей скорость V (в м/с) истечения жидкости из отверстия
в резервуаре, находящегося на /г м ниже свободного уровня жидкости:
VШ
V
Здесь &= 9,8 м/с2— ускорение силы тяжести, а — постоянный (безразмер­
ный) коэффициент, зависящий от свойств жидкости (для воды о т 0,6).
Пусть через I с после начала истечения воды уровень оставшейся в ре­
зервуаре воды был равен к м, и за время й( с понизился еще на йкм (йк<0).
Подсчитаем объем воды, вытекшей за этот бесконечно малый промежуток вре­
мени Ш, двумя способами.
С одной стороны, этот объем йсо равен объему цилиндрического слоя
с высотой \йН\ и радиусом, равным радиусу г основания резервуара (г = 2 м ).
лг2 йк .
Таким образом, й(д = л г2 \йк
С другой стороны, этот объем равен объему цилиндра, основанием кото­
рого служит отверстие в дне резервуара, а высота равна V Ш (где V— скорость
истечения). Если радиус отверстия равен р (р = 1/12 м), то й(о Щ я р % Ш ==
= яр2а
^ С~1
2%кй1.
Приравнивая эти два выражения для одного и того же объема, приходим
к уравнению
г 2 йк
Разделяя переменные и интегрируя, получаем
с!( = ------------1 = - • ~ т = ; 1 = С
V V 2ё
V к
2г
стр2 У 2ц
V
А-
При < = 0 имеем Л = й 0 = 6 м. Отсюда находим
2г*
С
V
2й
Таким образом, связь между I и к определяется уравнением
2г2
ора V 2ё
120
(/й о
/л ),
а полное время истечения Т найдем, полагая в этой формуле /1 = 0 ;
Т
го
Используя данные задачи (г = 2 м, /г0 = 6 м, о = 0 ,6 ,
= 9,8 м/с8), находим Т ж 1062 с х 17,7 мин. щ
р = 1/12 м, § —
513.
В комнате, где температура 20° С, некоторое тело осты­
ло за 20 мин от 100 до 60° С. Найти закон охлаждения тела;
через сколько минут оно остынет до 30° С? Повышением темпе­
ратуры в комнате пренебречь.
Д В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна раз­
ности температур) можем записать:
аг
<11
.Ш Ш Ш
Ш
к (Т — 20), или у — 20 = к а-’ т- е- , п (7’ — 20) = ^ + 1пС-
Если / = 0 , то 7 = 1 0 0 ° ; отсюда С = 80. Если / = 2 0 , то Т = 60°; значит, 1п4 0 =
_20й4-1п 80, откуда к — — (1/20) 1п 2. Итак, закон охлаждения тела имеет вид
Г _
20 = 80 . в - ( 1 / 2 0 , М п 2 = 80(1/2)<</ 20), или Г = 2 0 + 8 0 (1/2)(' / 20).
При Т = 30° имеем 1 0 = 8 0 (1/2)^20, или (1/2)</20= 1/8. Таким образом, (/2 0 =
= 3, откуда / = 60 мин. А
514.
Определить время, необходимое для установления оди­
накового уровня жидкости в двух сообщающихся сосудах. Малое
отверстие между сосудами имеет площадь <а м2. Площади гори­
зонтальных сечений первого и второго сосудов составляют 5 1 м2
и 5- м2, в начальный момент уровень жидкости в первом сосуде
находился на высоте Л* м от отверстия, а во втором на высо­
те Н2 м (Нг < Нх).
Л Пусть через I с после начала истечения жидкости уровень воды в пер­
вом сосуде понизился до г\ м, а во втором повысился до гг м. За дальнейший
бесконечно малый промежуток времени Л е в первом сосуде уровень жидкости
понизился на йгх м Щ < 0), а во втором повысился на йг2 м (Л , > 0 ) .
Так как уменьшение объема жидкости в первом сосуде равно его увеличению во втором, то 5* |
|== «5а 1^г 2 I» или
2 2* 0ТКУДа 22
Если ввести обозначение и = 2*— г2, то скорость протекания жидкости
через отверстие между сосудами можно найти по формуле ® = ° ^ ? в “ | о « а
определяется формулой Бернулли (см. задачу,512), в которой следует полож й что отверстие находится на глубине « Д * - * под свободным уровнем
* АПоэтому объем жидкости, протекающий за время 41,__равный согласно
предыдущему — З^йг^ в то же время равен ш И — о<лу 2 § и <11. Приравнивая
эти выражения для одного и того же объема, приходим к уравнению
8%
— а<о У 2ци <11.
Но <1и — аг1 — <1г 2 = Аг1+(81132) йгъ т. е. й ц = 5 2 йы/(5х+ 5 * ) . Подставляя
полученное для <1гх выражение в предыдущее уравнение, находим дифференциальное уравнение, связывающее и и п
с с
.
5 (5 ]
^
Г гв« л, ■■■ * — -^ +
•
121
Интегрируя, находим
л
( — С --------------- 5|52... 7 (51 -у- 5г) со)
-2 у и .
Ч
|
При / = О имеем ы=*Й1— й2, откуда С =
—^
■/-1—
. Искомое время Г,
(5 г + Ш асо V 2*
необходимое для выравнивания уровней в сосудах* найдем, полагая и = 0:
.
;г
с
8 1 З2 У 2 (III — /?д)
!
В
Решить уравнения:
515. 1п соз у Л с я
+ 5 2) О©
уйу — 0.
516. - ^ 1 + ^ = 0; 1/(1) = 0.
517. Зе* \<&уйх-\-(\ -г}-е?|зёр2у й у = 0\ у ( 0) = л/4.
518. ё1**1 1 % у й х - - ^ - й у = 0; у (1 ) = л/2.
519.
520.
521.
522.
523.
524.
(1 е2х) у 2йу — ех йX] у ( 0) = 0.
р" §{1 соз (х -}- 2х/) — соз (х — 2у)\ у ( 0) = л/4.
у Щ р ф У (— 3) = — 5.
у 1п3 у у ' V х -\-1 = 0; у ( — 15/16) = е.
у!у' = 1п у, у (2) = 1.
х У 1 + у 2йх + у У 1 -{- х2йу = 0.
525. — Ш
- + — у а х . - = а_
1 — |/2 ^
526.
527.
528.
529.
530.
№
Ш
|| 1 - * *
у ' + 51П(^4-1/) = 51П'(^— г/).
уу' — — 2* зес у.
у' = е к+У-\-ех~У] у (0 ) = 0.
у' = |1 ( х у )
зЬ (я— у).
у ' = У (а2— у ^ /(а2— х2).
531. — ^ Ц - + — ^ — ==0; у ( ! ) = 1 .
х ( у — 1)
# (* + 2 )
Ш
|
532. х(у® + 1) Й у 2(дг4 1 ) йуЩ 0; у ^ 0 ) = 1 .
533.
х у — У~х)йх-\-{у ху^У^Т/)йу = Ъ.
8Й .
У
535. и'
536.
\
и
м
*
)
=
0
-
й й и м М
С05 X— «ш Х + 1
4 + у2
^ * а+ 4 х + 1 3
* + 1
537. зес2д:
у йх 4- зес2у Х^хйу — 0; у (л/4) = л/4.
538. Ье*
у й х -\-{\— е*)зес2 уйу — 0.
539. Найти кривую, у которой отрезок касательной, заклю­
ченный между осями координат, делится пополам в точке каса­
ния.'
дй'
540.
Скорость обесценивания оборудования вследствие его
износа пропорциональна в каждый данный момент времени его
122
Найти
А
0.
Начальная
стоимость
равна
фактической стоимости.
стоимость оборудования по истечении I лет.
541. \ Некоторое вещество преобразуется в другое со ско­
ростью", 'пропорциональной количеству непреобразованного ве­
щества! Известно, что количество первого равно 31,4 г по исте­
чении 1 ч и 9,7 г по истечении 3 ч. Определить: 1) сколько ве­
щества было в начале процесса; 2) через сколько времени после
начала останется |% первоначального количества.
542. Цилиндрический резервуар длиной 6 м и диаметром 4 м
расположен горизонтально. За какое время вода вытечет из ре­
зервуара, если отверстие радиуса 1/12 м находится на уровне
самой нижней из образующих цилиндра?
543. В коническую воронку с отверстием площадью со см и
углом 2а. при вершине конуса налита вода до уровня Я см над
отверстием. Найти зависимость между переменной высотой уров­
ня воды к в воронке и временем истечения I. Определить пола
45°,
Вычислить
его
при
со
=
0,1
см2
ное время истечения
И — 20 см.
544 Найти время, в течение которого вся вода вытечет из
конической воронки, если известно, что половина воды вытекает
____________________________
—.
_____
л
V
т
-т -
т
Г
за 2 мин.
3 Однородные дифференциальные уравнения. Уравнение вида Р (х, у) йх-\4- О (х и)(1у = 0 называется однородным, если Р (х, у) и С} (х, ^ — однород­
ны? функции одного измерения. Функция / (*, у) называется однородной из,нерения шу если '*
г (к%
.?
& у)-
Однородное уравнение может быть приведено к виду у' = ! (у!х). С помощью
п о д с т а н о в к и и = 1х однородное уравнение приводится к уравнению с разде­
ляющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции
545. Найти общий интеграл уравнения
( г 3+ 2 х у ) 4 х + х у й у = 0 .
Д Здесь Р (х , у ) = х * + 2 х у , <? (х, у) = х у . Обе фу нкц ии - од нородн ые вто­
рого измерения. Введем подстановку у = 1х, откуда йу — хЛ1^-1 с1х. Тогд
уравнение примет вид
{х*+ 2 хЧ ) <1х+*хг (х<И + 1 с1х) = 0, или (х2 + 2x4 + 12х*) с!х+ 1х? <И= 0.
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
<лХ
1(11
0;
\
161
(1х
С.
№“Г 0
Преобразуем второй интеграл:
1п I х
I
/ + 1Т^ - й 1 = С , или 1п|х| + 1 п | < + 1 | + 7 4 Т Г = с *
(/+ 1 )2
Возвращаясь к прежней неизвестной функции у ( 1 - у / х ),
получаем оконча
тельный ответ:
1п х + у |4-
х+У
с.
А
123
546. Найти частное решение уравнения у' — ^ +
начальном условии у ( 1) = я /2.
при
|
Д Произведем подстановку у/х = {, откуда у = (х, йу~хс11^-1<1х. В ре­
зультате получаем
'3
х <И+Их*=*Ц-\~*\п()(1х; хй1=*ъ\пИ х\ г г г ? 5*
*
Интегрируя, имеем
.^
1п 11& (//2) |= 1п |х |+ 1п С, откуда 1/2 = агс1б (Сдг).
Производя обратную замену ( = у / х , находим общее решение исходного урав­
нения у ~ 2 х аго1& (Сх). Используя заданное начальное условие, получим
я /2 = 2агс1&С, откуда С = 1. Итак, искомое частное решение имеет вид у —
== 2хага1§ х. Д
547. Найти кривую, проходящую через точку Л (0; 1), для
которой треугольник, образованный осью Оу, касательной к кри­
вой в произвольной ее точке и радиусом-вектором точки касания,—
равнобедренный (причем основанием его служит отрезок касатель­
ной от точки касания до оси Оу).
Д Пусть у = [ ( х ) — искомое уравнение кривой. Проведем касательную
М И в произвольной точке М ( х; у) кривой до пересечения с осью Оу в т о ч к е //
(рис. 35). Согласно условию, должно выполняться равенство | 0 ^ | = |0ЛГ
Но | О М | = у г х5+ р , а |ОЫ | найдем из уравнения касательной У — у = у г ( X — х), полагая Х = 0, т. е. У = |ОЫ |= у — ху'.
Итак, приходим к однородному уравнению
у х 2+ у 2= у — ху'.
Полагая у = 1х, после замены и разделения переменных получим
^
^ 1 + /*
, или 1п ( / + У 1 - М * ) = 1 п С — 1пх,
|
откуда
* 2 = С (С — 2у)
(семейство парабол, осью которых является ось Оу).
Подставляя координаты точки А в найденное общее решение, получим
0 = С (С — 2); из двух значений С = 0 и С = 2 годится лишь второе, поскольку
при С — 0 парабола вырождается в ось Оу. Итак, искомой кривой является
парабола х2 = 4(1 — у), или у = 1 — х2/4. Д
548.
Найти форму зеркала, собирающего все параллельные
лучи в одну точку.
Д Очевидно, что зеркало должно иметь форму поверхности вращения,
ось которой параллельна направлению падающих лучей. Примем эту ось за
ось Ох и найдем уравнение кривой у = / (х)у вращением которой образуется
искомая поверхность.
Начало координат поместим в точку, в которой собираются отраженные
лучи. Обозначим падающий луч через КМ , а отраженный— через ЛЮ (рнс. 36).
Проведем касательную ТТ\ и нормаль МЫ в точке М к искомой кривой.
Тогда треугольник О М Т — равнобедренный с вершиной в точке О (так как
6 Ш = К Ш 1 = 0 Т М = а). Следовательно, |ОМ |= |ОТ |; но |ОМ |= У "* 2+ у 2,
124
а \0Т\ найдем из уравнения касательной V — у — у' Ш
имеем Х * = х -* -Ц г , откуда |ОГ| = | Х | =
Х =
*)• полагая V
О,
х-\- Ц | •
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение
уг?+ у* = -
. или (х + У Г * Ч Г? ) У' = У ’
111|1
V " х2+ у 2) йу-у<1х= 0.
Рис. 35
В
36
дифференциальное
пования цемсообразно ввести подстановку х = 1 у , принимая за аргумент у,
а х (и 0 за неизвестные функции этого аргумента. Тогда получим
( У Т ф ^ + { у ) а у - У ( * 4 у + У < 1 * ) = 0’ или У 1 * + 1 а у - у М = 0.
Разделяем переменные и интегрируем.
_____ §■ 1п 1/ = 1п (* + / 1 + 7 * ) + 1пС.
*У
I
У
V % Ж
Отсюда р = С (< + у Т ^ р 1)
или, возвращаясь к первоначальным переменным
х и */, имеем
с
•
После упрощения находим окончательное решение в виде
у * = 2 с(х + ^ у
Искомая кривая является параболой, а зеркало имеет форму параболоида
вращения. Д
549.
Найти ортогональные
х = ау * (а— параметр семейства).
В
И
В
траектории
ж
семейства
!
парабол
кривых первого семейства под прямым углом,
отыскания о р т о
Если уравнение заданного семейства Р (х, у , а), то для отыскании ии
тональных траекторий нужно:
1) составить дифференциальное уравнение заданного семейства / (дг, г/, * /')= 0 ;
2) исходя из условия ортогональности (у[у\\ = — 1), заменить в этом диф­
ференциальном уравнении у ' на — 1/у'\
3) проинтегрировать полученное уравнение / ( * , у , — 1 /* /')= 0 . Для реше­
ния поставленной задачи дифференцируем уравнение заданного' семейства
парабол: 1 = 2 а у у '. Исключая параметр семейства а из уравнений х = а у 2 и
1 — 2ауу\ находим дифференциальное уравнение заданного семейства парабол:
2 х у ' = у . Заменяем#' на — 1/у' и получаем дифференциальное уравнение се­
мейства ортогональных траекторий:
? х ~гУУ' = ®> или 2х с1х-\-у с1у = 0.
Интегрируя полученное уравнение,
нальных траекторий:
находим уравнение семейства ортого­
>
-
или
Таким образом, ортогональными траекториями заданного семейства пара­
бол являются подобные друг другу эллипсы, у которых большая полуось
(вертикальная) в У 2 раз больше малой. Д
Решить уравнения:
I
ху’ зш (у/х) + х Я у зш (у/х).
х у + у2= (2х2+ ху) у'.
ху' \п(у/х) = х+у\п(у/х).
хуу' = у 2-\- 2х2.
ху' — у = х1%(у/х); Щ 1) = я/2.
у' = (у/х) + соз (у/х).
у' = Ь-\-у/х+(у/х)\ у ( 1) = 2.
(х2В у2) йх — ху йу = 0.
у' = (х+ у)/ (х— у).
ху’ = хеУ/х+ у, г/ (1) = 0.
х
560. х у '— у
550.
551.
552.
553.
554.
555.
556.
557.
558.
559.
I
Щ
аго*е (у/х) '
561. (л:4+ 6хау 2+ у4) йх + \ху (х2+ у2) йу = 0; */(1) = 0.
562. х у '= 2 { у —У х у ) ■
563. 3 у зш (3 х/у) йх + 1|— Зх зш (3 х/у)] йу — 0.
564. Найти кривую, у которой произведение абсциссы любой
точки, принадлежащей кривой, на отрезок, отсекаемый нормалью
на оси Ох, равно удвоенному квадрату расстояния этой точки
от начала координат.
565. Найти ортогональные траектории семейства окружностей
( х - \ ) 2+ ( у - \ ) * = ф .
4.
ния вида
Ж
Дифференциальные уравнения,
и' = / (
й
приводящиеся к однородным. Уравне­
Й+
с%
при агЬ2— а2Ь± ф 0 приводятся к однородным подстановкой х = и-\-а , у = о + 8
где (а ; р )— точка пересечения прямых а ^ + ^ у + с х ^ О и а2х-)-Ь2у + с 2 = О.*
Если же # 1^2
= ®* то подстановка йхХ-\- Ь^у= ^ позволяет разделить
переменные.
|
.
•
126
566. Найти общий интеграл уравнения
•
(2х + у + 1)йх + (х + Ч у — 1) &у= 0 .
\
V
д
поскольку у =
Уравнение принадлежит к первому типу,
2 1
и
2дг+ |/+ 1
х+2у—Т
- - з ф о. Находим точку пересечения прямых 2 х-\ -у+ \ = 0 и х + 2 * /— 1 = 0 ;
^
^, _8 = 1
ВМе€Пооизводим в исходном у р а в н е н и и замену переменных, полагая х — и + а =
. Н —Т
й х ^ й и , 0у = Ло. Уравнение преобразуется к виду
<(2м +
",
V)
ёи + ( и + 2у)
В полученном однородном уравнении положим V= и^, откуда Оо**и<и +
+ 1йи\ придем к уравнению с разделяющимися переменными
2 (*9- И + *) и аи + “ 2 ( ! + 20 ^1 = 0,
общий интеграл которого есть « У < » + * + 1 ' - : С . или (после замены № №
и возведения в квадрат)
Ш
и2-\-№-\-ьг =*С2. |
Возвращаясь к переменным х и у ( и = х + 1, у — у — 1), после элементар­
ных преобразований найдем общий интеграл исходного уравнения
1
де + у Ь + х у + х — у ^ С г
(здесь положено СХ= С 2— 1). А
567. Найти общий интеграл уравнения
(ж+ у + 2) &х+ (2х + Чу— 1) йу*= 0.
1 1
Д Уравнение принадлежит ко второму типу, поскольку
жнм поэтому у + х = 1 ,
2 2I
0. Поло-
Д анное уравнение примет вид
(* + 2 ) Л с + ( 2 / — 1) ( Л — й х )= 0 , или (3 — 0 < /х+ (2*— 1 ) Л —
Разделяя переменные и интегрируя, имеем
I ^ <1х = С, или — 2*-— 5 1п| / — 3| + х = — С.
Возвращаясь к старым переменным Н
Н
|
получим окончательный ответ:
х + 2 у + Ъ \ п \ х + у — 3 |= С. А
Решить уравнения:
,
,т _ 9
568. Ч(х + у)Лу + (Зх + Зу— 1)Ах— и, Ы 0) — 2.
569. (х— 2у + 3 ) ^ + ( 2 л : + у — 1 ) ^ - 0 .
570
— I/ 4 - 4) й*/4- (х + у —
2) ах —
и.
571. Найти интегральную к р и в у ю дифференциального уравн
н и я у ' = ( х + у - 2 ) 1 ( у - х - 4 ) , проходящую через точку М ( 1, 1).
5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение
Р (х , у) й х + <2 (х, у) йу = 0,
Где
называется уравнением в полных дифференциалах, т. е. левая
ч а т такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции и {х, у)
й л-Т
в односвязной области. Если это уравнение переписать в виде (1и = 0, то его
общее решение определяется равенством я==С. Функция и (х, у) может быть
найдена по формуле
у
*0
^0
При этом в последней формуле нижние пределы интегралов (х0 и у0)
произвольны; их выбор ограничен единственным условием— интегралы в пра­
вой части этой формулы должны иметь смысл (т. е. не быть расходящимися
несобственными интегралами второго рода). Если условие
не вы­
полняется, то в некоторых случаях можно привести рассматриваемое уравне­
ние к указанному типу умножением его на так называемый интегрирующий
множитель, который в общем случае является функцией от х и у: ц (х, у ).
Если у данного уравнения существует интегрирующий множитель, зависящий
только от х, то он находится по формуле
I шШ
ц =е~
где отношение
' д*
дх
® Д°лжно являться функцией только от х. Ана-
логично, интегрирующий множитель, зависящий только от у , определяется по
формуле
ц=е
-
, дР
д() \ I 0
где (
------ Щ ") I
Должно
Рй»
*
являться
функцией
только
,
от у (отсутствие
в этих отношениях в первом случае у, а во втором х является признаком
существования интегрирующего множителя рассматриваемого вида).
572. Найти общий интеграл уравнения
(** + У + зш у) йх + (еУ+ х + х сое у) йу = 0.
' -*
Ш
|
*
ЭР
Д Здесь Р (х, у ) = е х + у + § 1 п у, (} (х, у ) = е У + х + х с о в у, - ^ - = = 1 + соз г/,
■ ^ р -= 1 + соз у.
Следовательно, левая часть уравнения есть полный диффе-
С/л
ренциал некоторой функции и (х, у), т. е.
Ш
.
.
.
—= е * + у + 8 ш у ,
Проинтегрируем
~
ди
„ ,
Ш
щ ^ = е У + х + х с о 5 у.
по х:
и т ^ (ех + у + в 1 п у ) 4 х + С ( у ) = е х + х у + х $ 1 п у + С (у ).
Найдем функцию С (у ),
продифференцировав последнее выражение по у:
Щ-=*Х+ХС05 у + С ' {у).
Получаем уравнение
х + х с о б у + С ' (* /)= х -| -х со $ у \ е У 1
128
откуда находим С’ ( у ) —еУ, т. е. С (у )~ еУ . Таким образом, общии интеграл
уравнения имеет вид ех + х у + х з1п у + е У = С . Д
§73. Найти общий интеграл уравнения
( х + у — 1 )й х + {еу + х)йу = 0.
\
Д Здесь Р (х , у ) = х + у — \, (1(х, у ) = е У + х ,
^ - = 1 ; таким
образом, условие полного дифференциала выполнено, т. е. данное уравнение
является уравнением в полных дифференциалах.
Найдем общий интеграл по формуле
Щ: - '
#
У
5 Р (*, у)
х0
(*о. У) аУ ~с Уо
Взяв х0= 0 , {/о = ° . получим
х
У
(х + у — \ ) а х +
О
У
{ е У й у = С и или | д х2 + х у — х ] 0+ еУ
о
о
С*
Подставляя пределы, находим
1 х9 + ху — х + е У — 1 = С и или е У х\гХ2-\-хи
* + ху — х = С , где С = С 1 + 1 . А
2
574. Найти общий интеграл уравнения
(Х СОЗ у — у
ЗШ
у) йу + (х ЗШ у-\- у соз у) йх — 0.
Д Имеем
Р ( * , у) = х з \ п у + у с о з у , Щ х, у ) = х с о з у — уз\пу,
ДР
~ = х с . о з у + ю з у — уз\пу,
ду
дО
- ч - = с о з у,
ух
др ШШшШШШЩшШШШш1
д у ^ д х )!
х с о з у — уз1пу
Поэтому данное уравнение имеет интегрирующий множитель,
только от х. Найдем этот интегрирующий множитель:
VШ
1 ,
д х '1
— е^
зависящий
= е х.
Умножая исходное уравнение на ех , получим уравнение
ех (х соз у — у зш у) <1у-\-ех (х з 1п у + у соз у) Ах— 0,
которое, как нетрудно убедиться, уже является УРавиением в ™лны^ диффе­
ренциалах; в самом деле, имеем Щ Ц у) Щ х (х зш у + у соз у), <Ы*> У)
= ех (х соз у — у зЬ! у). Отсюда
- {(Я 1х 5 Ыу + у с о з 0) ] = е * ( х соз * / + соз у — у з 1п у);
ду1
ду
Ш Й Ш Й У * (х соз у - у ЗШ у )\ = е* [дссоз у — у з!п у + с о з у],
дх
дх1
Эти производные равны и,следовательно, левая часть полученного уравнения
имеет вид йи(х, у)• Таким образом,
(х соз у — у зШ у),
ду
5 № 1814
Ш .0 М (х е й у + у соз у],
ах
129
Интегрируя первое из этих равенств по у , находим
и == \ ех (л: роз у — у зш у) йу-\-С (х) = хех зш у + е * у соз у — ех зш у + С (*).
Найдем производную по х от полученной функции:
Щ' ^ У_*-Г^у 7^
^
^ -*У
- 1-^_п:-^'
.'Ц■
~
^'-г} ' г. У^
~ у. " 'Г-~
:Чг: ''.I: ■•
- ЗпН^И
—- = е х зш у-\-хех зш у — ех зш у + е * у соз у + С ' (х) — ех (х зш у + у соз у)+ С '(*)*
1/Л
Сравнивая найденное значение ^
с Р (х, у), получим С' (х) = 0, т. е. С (х) = 0.
Следовательно, общий интеграл исходного уравнения имеет вид
и {х, у )—хех з1п у-\-е*у соз у — ех зш у = С , или е* (х зш у-^-усоз у — з1п у )= С . Д
Решить уравнения:
575.
576.
577.
578.
'|
(х + зш у) йх + (* соз у + зш у) йу = 0.
( у ё * 5\п у) йх + (х -{-е* соз у) йу — 0.
(ху + зш у) йх-\-(0,5х2+ х соз у) йу = 0.
(х* + у2+ у) йх Щ(2ху В х + еу) йу = 0; у (0) = О,
579. (2хуе*2+ \пу) йх + [е*г + ^
йу = 0) у ( 0 ) = 1.
580. [зш у К (1 — у) соз х] йх + [(1 Ц х) соз у — зш х\ йу = 0.
581. (у + х \ п у ) й х + ( ^ ^ + х + \ ^ й у = 0 .
582. (х2 &'ту) й х х со&у) йу = 0.
583. уе* йх + {у + е*) йу = 0.
584. (е* &\пу х ) й х ( е * со&у у ) йу = 0.
585. (1п у — 5г/2 з}п 5х) йх-\- ^-р- + 2г/соз 5х^ йу = 0; у(0) = е.
586.
587.
588.
589.
590.
(агсзш х + 2ху) йх + (х2+ 11| а г с ^ У) $В = 0.
(Зх*у-{-&тх) й х + ( х 3— созу)йу = 0.
(е*+у-\-Зх2) йх-\- (ех+у-{-4у3) й у = 0; у (0) = 0.
(1§ у — у созес2 х) й х ( с { § х х зес2 у) й у = 0,
(
у
Щ й х -\ -(е ? — х — ^ - ^ ) й у = 0 .
Проинтегрировать следующие уравнения, имеющие интегрирующии множитель, зависящии только от х или только от у:
у й х — хй у-\ -\ п хй х= 0 (р. = ф(л:)).
(лсг с о з х — у)йх + х й у = 0 (ц = ф(х)).
у й х — (х-\-у2) й у = 0 (р. = Ф (у)).
уУ\ — у2й х + ( х У 1 — у2+ у ) й у = 0 (ц = Ф (у)).
595. Доказать, что уравнение Р (х, у) йх-\-($ (х, у) й у = 0, кото­
591.
592.
593.
594.
рое одновременно является и однородным, и уравнением в полных
дифференциалах, имеет общий интеграл Рх-\-С}у = С.
Воспользоваться теоремой Эйлера об однородных функциях, согласно
■
дР ,
дР
„
А.
г
которой х -т ^ — |- у - щ ^ = 1 Р ( х , у), где I — показатель однородности функций
Р (х, у) и <2 (х, у).
■
6.
Линейные дифференциальные уравнения первого
Бернулли. Уравнение вида
у '+ Р (х )у = < )(х )
130
порядка.
Уравнени
называется линейным (у и у' входят в первых степенях, не перемножаясь
между собой). Если (2 (*)= ^ 0 , то уравнение называется линейным неоднород­
ным, а если (}(х ) = 0 — линейным однородным.
Общее решение однородного уравнения у ' - \ - Р ( х ) у = 0 легко подучается
разделений переменных:
или, наконец,
|
, 6 |§йй|
где С — произвольная постоянная.
Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя
из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лаг-
ранжа, варьируя произвольную постоянную, т. е. полагая у = с (х)е
,
где С (х) — некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция
от х.
Для нахождения С (х) нужно подставить у в исходное уравнение, что
приводит к уравнению
Отсюда
где С — произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение линейного
неоднородного уравнения имеет вид
У=е
Линейные уравнения первого порядка можно интегрировать также мето­
дом Бернулли, который заключается в следующем. С помощью подстановки
Уви1!, Где и и у — две неизвестные функции, исходное уравнение преобразу­
ется к виду
и’ о + и о ' + Р ( х ) ш = С Ц х ) , или и [ о ' + Р (х) V] + V и '= ^ (х).
Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например, ») может
быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение ш>
должно удовлетворять исходному уравнению), за V принимают л ю б о е ч а с т Ь (
- I Р (*)
)
ное
р е ш е н и е уравнения о' + Р (х) V — О V например, V — е
обращающее, следовательно, в нуль коэффициент при и в последнем уравн нии.
'
Тогда предыдущее уравнение примет вид
п М
л
*
I Р (х) 4х
ги' = Я(х), или и ' = ^ - * , т . е. и = < 1 ( х ) е *
,
откуда
и = С + ^ ( Ц х ) е $ Р { х и х <1х,
Общее решение исходного уравнения находится умножением и на «:
5
131
Уравнение (нелинейное) вида
у' + Р ( х ) у = < 1 (х) Ут;
|
где т Ф 0, т Ф 1, называется уравнением Бернулли. Его можно преобразовать
в линейное уравнение, производя замену неизвестной функции при помощи
подстановки г == у^гЩ, в результате чего исходное уравнение преобразуется
к виду
•
I
- 4 — г '+ Р ( * ) г = (? (* ).
1— т
'
ЦЯ
При интегрировании конкретных уравнений Бернулли их не надо пред­
варительно преобразовывать в линейные, а сразу применять либо метод Бер­
нулли, либо метод вариации произвольной постоянной.
596.
Проинтегрировать уравнение у' соз 2* + у =
чальном условии у ( 0) = 0.
Д Интегрируем соответствующее
разделив переменные, получим
х при на
однородное уравнение у' соъ2х - { - у = 0 ;
— А—
= 0, 1 п у + 1 е * = 1 п С , у = С е - х* х .
у ‘ соз2*
*
ь
9*
Ищем решение исходного неоднородного уравнения в виде у = С (х )е ~ {^ х,
где С (х) — неизвестная
функция.
Подставляя в
исходное
уравнение
у = С (х) е ~ ^ х и у' = С' (х) е~ ^ х — С ( х ) е ~ ё х &ес2х, придем к уравнению
соз2 л' С' (х) ё ~ ^ х — С (х) ё~ Л х зес2 х соз2 х-\-С (*) е ~ ^ х =■ 1% х,
или
С ' (* )со $ 2 х е
**х =1;(г х,
откуда
Таким образом, получаем общее решение данного уравнения:
х — \ + С е ~ 1&х.
Используя начальное условие */(0) = 0, получим 0 = — 1 + С , откуда С = 1 .
Следовательно, искомое частное решение имеет вид у = * 1 ц х —
А
597. Проинтегрировать уравнение у ' — у 1Ь л: = сЬ2 л:.
Д Э т о — линейное
у = ш , имеем
уравнение.
Решим
его
методом
Бернулли.
Полагая
и ^ -\ -ь'и — ии 1Ь х = сЬ2 х, или и { 1
>'— V Ш х) + м'г/ = сЬ2 х.
йо
Полагаем V' — р { Ь х = 0, откуда —
интегрируя, находим 1пс» = 1псЬл:
или V= сЬ х (постоянную интегрирования не вводим, так как достаточно найти
какое-либо частное решение этого вспомогательного уравнения).
Для определения и имеем уравнение
= сЬ2 х или и' сН х = ей2 л:, откуда
находим и = ^ сЬ х й х = $Ъ. х-\-С. Умножение и на V, получаем общее решение
*ф /М
'
у = с Ь х ($Ь лс+С). А
598. Проинтегрировать уравнение
132
Д Интегрируем соответствующее однородное уравнение:
1
У + т ^ -О : ® —
т ^
:
1 о * -4 | «(1 -Л + ь с,
х. е. у = С У 1— х 2. Полагаем теперь у = С (х) У 1— х2\ тогда
После подстановки в исходное неоднородное уравнение получим
С' ( х ) У П Г ^ ----- ( х ) У 1— ха = агсзш х + х ,
У
а
| |
т. е,
р 1— Р
у 1—х2
Интегрируя, находим
(агсзш х)2-
С (х)
У 1— х2 1
/
1 - х 2+ С
2
Таким образом, общее решение данного уравнения имеет вид
у = У 1 —ха [-^-(агс51пх)2— У
X
599. Решить уравнение у ' + — = * У Э то— уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом вариации
произвольной постоянной. Для этого интегрируем сначала соответствующее
А
линейное однородное уравнение у ' + ^ — й> решение которого У = — •
,
>’
_
„ _ С (х)
Ищем решение исходного уравнения Бернулли, полагая у — х ,
_ С' (у)
,_
У
С (х) ^ подстановка у и у' в исходное уравнение дает
х
С---------О
Ч х )= [ ^
С’ (х) С (х )+ С М = х 3 Г С ^ ) 1 * ил„
ли —
г
X2
Интегрируем полученное уравнение:
йС(х)
______
1п
. . - _ ' _ _-- й
- х ,—
— — —----1------=
1------* ** х — 1пС:
' —V С
-- (х)
% Я
[С (х)]1
х ’
3 [С (х)1®
1 ЖЖ* •
у 3 1п (С/х)
Ч / л 1
Таким образом, общее решение исходного, уравнения
С (х)
У
х
1
хУ
а
З 1п (С/х)
600. Проинтегрировать уравнение
у ' ------ = 4
1 + х*
У ~ - = а г с !§ х.
У 1 + х2
л Это— также уравнение Бернулли. Проинтегрируем его методом БерУ л о ™ » = «• Подставляя » исходное
у' = и'о-\-ио'} сгруппируем члены, содержащие и в первой степени;
., ,
/ .
2x0 \
V ио
и ь>-\-и [ V — :—;— * ) = 4 - —= = = агс*д X.
и— — '
} + **)
У 1+х2
Примем за V какое-либо частное решение уравнения о ' — т- — ^ = 0 ,
1+ х
Раз
деляя в нем переменные, находим
&
" Т
2Х&Х
+ ^ ;
.
1 /1 , 24
1 п у = = ,п ( 1 + * 2);
II г
о=1+*
(постоянную интегрирования не вводим).
Для отыскания и имеем уравнение
У ио
.
и V= 4 - - - .....- — агс 1? *.
V 1+ ■
,
или (поскольку V=
1+
X2)
^ ,_ _ 4 У и ат с^ х
\+ х
Разделяем переменные и интегрируем:
йи
2У и
2агс1& х ,
-------- —
1 -\-х
~
у и = ато\%2 х-\-С
Таким образом, « = (агс1&2х + С ) 2 и у = ж = (\-{-х2) (агс(&2 х + С ) 2 есть
общее решение исходного уравнения. Д
601. Проинтегрировать уравнение у т хуг + у г 1пу.
Д Данное уравнение можно легко проинтегрировать, если поменять в нем
ролями х и у: принять за аргумент у , а за неизвестную функцию х. Для
этого нужно только (используя формулу дифференцирования обратной функ­
ции) положить ух = 1/% . Тогда данное уравнение преобразуется в следующее:
у х 'у = х + 1 п у .
Э то— линейное уравнение относительно х. Интегрируем соответствующее одно­
родное уравнение ух' = х ; имеем
'
йх йу
—= ~ ;
X
у
п
х=*Су.
*
1
Ищем решение исходного неоднородного уравнения, полагая х = С ( у ) у ,
откуда х 'у = С ' (у) у + С (у). Подстановка в уравнение дает
с
(У) Уг + с (у) у = С (у) у + \ п у, откуда С' ( у ) = ^ - , С ( у ) = С — —
.
Умножая С (у) на у, находим решение исходного уравнения: х = С у — 1 — 1п у. Д
602. Проинтегрировать уравнение (х2\п у — х)у' = у.
Д Данное уравнение можно проинтегрировать с помощью того же преоб­
разования, что и предыдущее. Принимая у за аргумент, х — за неизвестную
функцию, преобразуем это уравнение к виду
х2 1пу— х = у х г, или у х '- \ - х = х 2 1пу.
Э то— уравнение Бернулли относительно х. Интегрируя соответствующее
линейное однородное уравнение ух' - } - х = 0 , находим х = С / у .
134
Ш и
1 с ' (у) ш т
Полагаем в исходном уравнении * = — — , откуда х — — - ------ 2 »
^
У
1
ходим к следующему уравнению для определения С (у):
\
СШ . С№
ГС т1 Ш .
~ —
у щ вгР- или
,
В( «
^ = —
1п у
Щ------- 1
Разделяем переменные и интегрируем:
АС (у)_ _ 1 п ^ .
[С{а)\г
Ш
у р, .
1пУ + 1 . С (и) __________
у - ’
1 п у + 1 — Су
1 —с
С (у)
_______
Умножая С (у) на 1/у, находим общее решение исходного уравнения
1
▲
1п ( / + 1 — С у '
Решить уравнения:
603. ху' — у р хг соз х.
604. у ' -\-2ху = хе-*г.
605. у ' СОЗ X й У — | 51ПДС.
606. у ' + ^ у = ^ п \ у 0 ) = 0 607. ( 1 + х 2) у ' + «/ = агс12Х.
608. уУ Л — х2+ у = агсзшх; у ( 0) = 0.
609* У’ -
ШПс = С05*1п
’
61 °- у ' — п Ь = х 1 п х ; I В И Й
611. у ' 5 \пх— усоб,х= \ ; у ( п / 2 ) ~ 0 .
612. у' {х + у2) = УПринять за неизвестную функцию х.
613. у ' + З у
= ып дх\ 1 /(0 ) = 1/3
614. (2ху + 3) йу — у2Их Щ0 .
Зх
ф Принять за неизвестную функцию х.
615. (у* + 2х) у' = у.
Принять за неизвестную функцию х.
616. у' + Ц = Зх2у*'3 .
«,
,
у2
617. у ’ - ^ т = ^
#
618.
2(/
+
\
1-
21^ у
= д а *
619. 4x1/' + Зу = — е*х*у*.
620. у + у ^ < ? ,г У У\ 1/(0) = 9/4.
621. г/' + | ^ Л = ^ ( х3+ 1) 3‘ пх; ^ ° > = 1
622. у й х + ( х + х 2у 2) й у = 0 .
пп„
■*'-
Принять за неизвестную функцию х.
623. у 9— 2у
увз т ах = 0.
624. (у2+ 2у + л;2) у' + 2х = 0; */(1) = 0.
Принять за неизвестную функцию х.
-
},
7.
Уравнения вида х = ф (у ') и у = у ( у ' ) . Эти уравнения легко интегр
руются в параметрической форме, если положить у ' = р и принять р за па­
раметр, через который следует выразить как Ц так и у. В самом деле, пола­
гая у ' = р в уравнении х==<р ((/'), сразу получаем выражение для х через па­
раметр р : х = ф (р). Отсюда, дифференцируя, находим йх = (р' (р)йр, а так как
й у = у 'й х = * р йх, то, следовательно, й у = р у '( р ) йр и у находится интегрирова­
нием: у = Vрф7 (р) йр-\-С.
Таким образом,
кой форме:
решение уравнения х = ф ( * /') запишется в параметричес­
Щ
( х —у Ш
у У = ^ Р Ч > '{р )4 р + С .
Я
Аналогично, полагая у'==р в уравнении */ = Ф (*/')> находим */ = ф ( р ) Дифференцируя у, получаем йу = ф' (р) 4р. Но по-прежнему й у = р й х . Таким
образом, р йх = у ' (р) йр, откуда йх = -■■■ ^
-
и х находим интегрированием:
С. Общее решение уравнения # = ф (у'} имеет вид
Г ,= | Ф ^ И ?+С .
у = ф (р ).
Если удается, в обоих случаях можно исключить параметр р и найти
общий интеграл уравнения.
625. Проинтегрировать уравнение х = у' зщ у 9
А Положим у ' = р .
венство:
соз у 9.
Тогда х = р зш р + с о з р . Продифференцируем это ра­
< "
5-' ЩЩ
й х — (зш р + р соз р — зш р ) й р = р соз р йр
и подставим это значение йх в равенство й у = р й х :
й у = р 2 соз р йр,
т. е.
У = \ р 2 соз р йр = (р2— 2) зш р + 2р соз р + С.
Таким образом, общее решение в параметрической форме имеет вид
х = р з!п р + с о з р,
У = (р 2— 2) 5Шр + 2р соз Р + С. А
626. Проинтегрировать уравнение у 9т агс% (у!у9 ).
Д Предварительно найдем у щ у ^ Щ у-\ Положим у' = р; тогда у = р 2 1^р.
Продифференцируем это равенство: й у щ {2 р 1&р + р 2 зес2 р) йр и, заменяя йу
на р йх, получим р й х = р (2 |Ц р + р зес2р) йр, откуда, сокращая на р и ин­
тегрируя, находим
^ (21 д р -{- р зес2 р) йр = р 1е Р — 1п со5 р + С.
130
Общее решение данного уравнения имеет вид
У ± *р *1 ёр ,
х —р 1д р — 1п соз р
С. Д
627. Проинтегрировать уравнение х = у' -\-\пу'.
д Положим у ’ = р . Таким образом, х=р-\-\пр\ дифференцируя, находим
йх—й р - \ - ~ - Так как й у —р й х , то
,аУ = Р ^ Р + у ^ = {Р + ^ йР-
Ц
Интегрируя, находим у=*0,5 ( р + 1 )* + С .
Общее решение данного уравнения, записанное в параметрической форме,
имеет вид
х ~ р + \ п р,
у = 0 ,5 (р + \ )* + С .
Здесь
параметр
р
легко
исключить;
из второго равенства получаем р =
у 2 [у __ С) — 1 (р > 0 и поэтому перед корнем надо взять знак плюс).
Подставляя найденное для р выражение в первое равенство, находим общее
решение уравнения в следующем виде:
1
2 ( у - С ) - 1 + 1 п [ У 2 0 /— С) — 1].
|
Решить уравнения:
628.
629.
630.
631.
632.
633.
634.
635.
агсз'ш (х/у') = у '.
у = еУ’ [ у — 1).
дс=2(1п у ' — у').
у(1 + у'2)1/2= у ' х= 2у'Зу'*.
х = у'(\ + еУ ’).
х= е*у'(2 у'г— 2 у '+ 1 ).
у = у г Ыу'.
8.
Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнением Лагранжа называется диф­
ференциальное уравнение первого^ порядка, линейное относительно х н у ,
коэффициентами которо!
Р ( у ' ) х + < 1 { у ' ) у + К (у ')= Ъ Уравнение Лагранжа интегрируется следующим образом. Разрешим его
относительно у и примем за параметр у', полагая у = р.
; .^
У = */(/> )+ Ф 00 •
[Здесь введены обозначения / (у1) — — Р (у1)/0. (У )• Ф (У ) =
^ ( у )/<2 (У )•]
Дифференцируя полученное уравнение и заменяя в левой части йу на р ах,
приходим к уравнению
р й х = Ц р ) < 1 х + х Г (р) йр + ф' (р) Лр.
Полученное уравнение— линейное относительно х (как функции от р)
и поэтому может быть проинтегрировано. Если его решение есть х г (р, С),
то общее решение исходного уравнения Лагранжа запишется в виде
х = Р (р , С),
У = Х[ (Р) + ф (р) = Р (Р, С) К р ) + ч> (р).
137
У равнением Клеро называется уравнение вида
которое является частным случаем уравнения Лагранжа. Интегрируя его
указанным способом, легко получить общее решение у = С х + ф ( С ) , которое
определяет семейство прямых на плоскости.
Однако уравнение Клеро, кроме общего решения, имеет еще и особое ре­
шение, определяемое следующими параметрическими уравнениями:
Г х = — ф '(р ),
\
(р ) +
ф (р )-
Особое решение уравнения Клеро (оно существует, если <р' (р) Ф соп$1)
является огибающей семейства прямых, определяемых общим решением (иными
словами, общим решением уравнения Клеро служит семейство касательных
к особому решению).
Уравнение Лагранжа также может иметь особые решения, причем осо­
быми решениями этого уравнения (если они существуют) являются общие ка­
сательные ко всем интегральным кривым, определяемым общим решением.
636. Проинтегрировать уравнение у — х у ' — е8''.
А Э то— уравнение Клеро. Положим у' = р и перепишем уравнение в ви­
де у = р х — ер. Дифференцируем его: йу — рйх + хйр — ер йр\ но йу = рйх, по­
этому последнее уравнение примет вид х й р — ер йр = 0, или (х — ер) йр = 0.
Таким образом, либо йр = 0, либо х — ер. Если положить йр = 0, то р = С;
подставляя это значение р в равенство у = р х — ер, получаем общее решение
данного уравнения:
У
у = С х — ес .
• *
Если положить х = е р, то у = рер — еР = (р — \)ер, и приходим к особому
решению исходного уравнения
| х= ер
\ у = {р — 1)ер.
1
Исключая параметр р (в данном случае р = \пх), находим особое решение
в явном виде:
ЯЯ г
";
у = х ( 1п х — 1).
Проверим, что совокупность прямых, определяемых общим решением, есть
семейство касательных к особой интегральной кривой.
Дифференцируя особое решение, находим у' = \пх. Уравнение касатель­
ной к особой интегральной кривой в точке М (х0\ у0) [где Уо = *о(1пх<)— 1)]
за пишется в виде
У— Уо = Уд {х— х о), или у — х0 (1п х0— 1)=*
х0 (х — * 0),
что после упрощения дает у — х 1пх0— х0. Если здесь положить 1пх0 = С, то
уравнение семейства касательных к особой интегральной кривой примет вид
у = С х — ес , что и требовалось установить. Д
637. Проинтегрировать уравнение у = ху' -\-у*.
Д Это — уравнение Лагранжа. Поступаем аналогично предыдущему, т. е.
положим у ' = р , тогда у = х р 2-\-р2. Продифференцируем последнее равенство:
йу = р 2 йх-\-2рх йр-\-2р йр. Производя замену йу = р й х у приходим к уравне­
нию р йх=^р2 й х\ - 2рх йр-\-2рйр. Отсюда, сокращая на р, получаем урав­
нение с разделяющимися переменными
(1 — Р) й х— 2 (х-\ - 1) йр, или - 0 г \ — Т1Гр-
138
Интегрируя его, находим
1п
1) = — 2 1п | 1— Р |+ 1п С; х + 1 = С/(р — I)2.
Используя данное уравнение у = р 2 (х-\- 1), получим
. У-?**'*,*'- щк'
|
ь
Е
V-
■;Зге ; ^-'7. * ;С'::<«йе;
^Г' '
- Л1-'**■ \
У*^Ср2/(1— р2).
V
Произведенное сокращение на р могло привести (и в данном случае привело)
к потере особого решения; полагая р = 0, находим из данного уравнения
м = 0 : это— особое решение.
Итак,
( х + 1 = С / (р ^ 1 )*
<
Л о у
« о — общее решение; у = 0 — особое решение.
I У = С р - 1 { р — 1)а
В общем решении параметр р можно исключить и привести его к виду
Решить уравнения:
638. у = ху' + у ГЬг-\-а?у' 2 .
639.
640. у = х у ' + у ' — у'г.
641. | = х ( ~ + у’ \
642. 2у (у' + \) = ху .
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1.
Основные понятия: Дифференциальным уравнением п-го порядка назы­
вается уравнение вида
Р (х , у , у\ $ 4
у {п)) ^ о.
Решением такого уравнения служит всякая п раз дифференцируемая функция
у = ф (х), которая обращает данное уравнение в тождество, т. е.
р [х, ф (х), ф' (х), ф" (х).......... ф(л) (*)] = 0.
Задача Коши для этого уравнения состоит в том, чтобы ^найти решение
уравнения, удовлетворяющее условиям у — уа, у' — У0> •••> Фп ^ — Уо1 11 ПРИ
х = * о , где хо, у 0, у 0
’ ......... {/о1-!’ — заданные числа, которые называются начальными данными, или начальными условиями.
Функция у = ф (х, Си С2,
Сп) называется общим решением данного
дифференциального уравнения п-то порядка, если при соответствующем выборе
произвольных постоянных С ь Са,
Сп эта функция является 4решением
любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.
Всякое решение, получаемое из общего решения при конкретных значе­
ниях постоянных Си С2, •••» СПУ называется частным решением этого урав­
нения. Для выделения из множества решений дифференциального уравнения
определенного частного решения иногда используют и так называемые крае­
вые условия. Эти условия (число которых не должно превыщать порядка
уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка.
Очевидно, что краевые условия ставятся лишь для уравнений порядка выше
первого.
_ „
,
._
Интегрирование дифференциальных уравнений л-го порядка (в конечном
виде) удается произвести только в некоторых частных случаях.
139
2.
Уравнения вида у^п)^ = :/ (х).
л-кратным интегрированием, а именно:
У{п) = / Щ
у {п ~ 2)
Решение
этого
уравнения
находится
0 а ' » 1 5 / (*) & + Сх - 1 (х) + С ь
Г
У — /я
( ^ - { - С х ] й х = / а ( * ) - Ь С * # Сч ,
я"
2“Ь * ••
где
М * ) — $ ($ • • • $ /
л раз
С'
Так как
'
С
^ __щ , . . . являются постоянными
величинами,
то
общее решение может быть записано и так:
у = /л (я)+ С\Хп “ 1
С%хп ~ 2
•••+
« 1а:-|-Сл.
643.
Найти частное решение уравнения уп= хе~х, удовлетво­
ряющее начальным условиям 1/ ( 0) = 1, г /'(0) = 0.
Д Найдем
уравнения:
общее ’ решение
последовательным
интегрированием
данного
У' = ^ х е ~ х й х = — х е~ х — е ~ х -\-С19
у = \ [ — х е - х — е - х -{-С1] с 1 х = х е - х + 2 е - х + С1х + С 2,
или
У — (* + 2 ) е
х -\-С1Х-\-С2.
Воспользуемся начальными условиями: 1 = 2 + С 2; С2= — 1; 0 = — 1 + С х ;
Сх = 1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
*/ = ( * + 2 ) е - * + х — 1.
Это же решение можно найти и следующим
заданные начальные условия:
образом, используя сразу
X
у '—у'
(0) + Л х е~ х й х = [ — х е~ х — е ~ х ]х0 = — х е ~ х — е ~ х -\- 1;
о
;Л
^: Щ .
X
У= У ( 0 ) + В
...
Л*.-- ....
.
х е-* -е-* + 1 ]с1 х = 1 + [(х+ 2 )е-х+ х]$ = (х + 2 )е-х + х — Щ
Решить уравнения:
644.
645.
646.
647.
648.
р
= соз21 у (0) 1 1 /3 2 ; |1 (0) 1 0 , у" (0) Щ 1/8, у " ’ (0) 1 0 .
= л з ш х ; у (0 ) = 0, у '( 0 ) = 0, у " (0) = 2.
у
у " ' 51П4 X = 51П 2х.
у " - 2 5Ш X СОЗ2X— ЗШ3 X.
у ( ° ) = 0’ ' Ф Щ Л , уп (0) = 2 .
не
3. Дифференциальные уравнения вида Г (х , у , (к) уШ+1}. ||Ч
содержащие искомой функции. Порядок такого уравнения можно понизить,
140
взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного урав­
нения, т е. полагая уш т г. Тогда получим уравнение
Г (х, г9 г ', . . . , 2(Л” Л)) = 0 .
\
Таким образом, порядок уравнения понижается на к единиц.
649. Найти общее решение уравнения ху" = у' \п(у'1х).
Д Полагая у' = г, преобразуем уравнение к виду
хг' ~ г 1п (г/х), или г' = (г/х) 1п {г/х).
Это однородное уравнение первого порядка. Полагая г/х~1, откуда г = /х,
г* =
получим уравнение
., ,
/\ * -М = Л п / , или
4
сН
/(1 п / — 1)
йх
х
Интегрируя, находим
1п(1п*— 1 )= 1 п х + 1 п С х , или 1п ^— 1 = С хх,
откуда / = е , + с Iх ; возвращаясь
у 0щ хе1+ С1Х. Следовательно,
к
переменной у ,
приходим к
уравнению
Г хег+С1х йх— Х- хе1+схх ------ - е1 + сг * + С 2. ^
650.
Тело массы т падает по вертикали с некоторой высоты
без начальной скорости. При падении тело испытывает сопро­
тивление воздуха, пропорциональное квадрату скорости тела.
Найти закон движения тела.
Д
Введем обозначения: пусть 5— пройденный телом путь, о — ^
ско­
рость, ш = ^ | — ускорение. На тело действуют силы: его вес Р = т ц (по наЩрГ
«
/ аз \а
правлению движения) и сопротивление воздуха Р = № = к ^ ^ (против на­
правления движения).
_
На основании второго закона Ньютона
ренциальному уравнению движения тела:
. ,
приходим к следующему диффе­
ти>— Р — Ьи%, или т ^ — т в— к
Воспользуемся
начальными условиями: если / = 0, то 5
0, V
Заменяя -т - на V> перепишем уравнение в виде
В
ш
щ
' 11
ди __ __ к .
.
т
откуда, полагая ^ = а 2, имеем
\
'
1 ё-^
Интегрируя,
находим ( г < а ) :
1 1П ^ * 1 < + С х.
5а
д — I/ т
141
Если / = 0, то и = 0 ? откуда Сх = 0. Таким образом,
2 ^ -и ц р * и
а— V
т
Отсюда
р2акИт__1
рак1/т___ р-аЫ/т
ю = а -------------- = а ---------------—-----= а 1Ь (а к (/т ).
е2ак1/т _[_ \
@аШ/т
*, ак
т Гт& к
Но — = 1 / — • — =
т
У
к
т
уравнение
/ ке
1 / — : заменяя у на — , получаем для определения 5
У т
аъ
щ
,и
и = а а
Ш
откуда, интегрируя, находим
5= у ^ Щ а Ы с к у
^ / + С 2— ~ 1 п с Ь | / ^ / + С 2.
Поскольку 5 = 0 при / = 0, имеем С2 — 0.
Итак, закон падения тела при сопротивлении воздуха, пропорциональном
квадрату скорости, описывается формулой
V
а скорость движения
псь У
У
формулой V= а 1Ь
тим, что скорость падения не возрастает
р
Ши
т
Щ 1, здесь а =
. Отме­
беспредельно, так как Нш V = а
ЁШао
у
Г
ц
поскольку Нш Ш 1 / — 1 = \ В где Р — вес тела, причем прак-
тически скорость падения достигает своего предельного значения весьма
быстро, отличаясь от него на весьма малую величину. Именно такую кар­
тину наблюдают на практике при затяжных прыжках с парашютом с боль­
шой высоты.
Решить уравнения:
651. у"— ^ - 1= х ( х - 1 ) - у (2 )= 1, у ’ (2) =
652.
653.
654.
655.
-1 .
(1 — х2) у" — ху' = 2.
Щ Г У Ш З Г — а2
(1 + х2) г/" + 1 + Щ == 0.
В
В
Я
у (2) = 2; у ’ (2 ) = 1 , / ( 2 ) = 1 .
4. Дифференциальные уравнения вида Р{у, у', у п, . . ., .у(л)) = 0, не со­
держащие независимой переменной. Уравнение этого вида допускает пониже­
ние порядка на единицу, если положить у ' — г, а за новый аргумент принять
сам у. В этом случае у", у ' " , . . . выразятся по формулам (они выводятся
по
X
правилу
д?г . / ■
дифференцирования
сложной
функции)
*/=*— ,
у " ' = гХ
2
. . через г и производные от г по г/, причем порядок
\(1у _
уравнения понизится на единицу
656. Решить уравнение 1 + У'* — ДО"
142
йг
Д Положим у' = 2у у" ш г щ . Уравнение примет вид 1 + г2 — У2 Ду * это
уравнение первого порядка относительно г с разделяющимися переменными
Разделяем переменные и интегрируем:
1 + г 2= С \ у 2; г = ± Х г С\у2— \.
Е Щ Щ ; 1 п ( 1 + г 2) = 21пу-1-21пС 1;
1+г2
у
Отсюда, возвращаясь к переменной у, имеем
ы ' = ± У с\ уг— 1,
У
| У I*
Я
И Ё, Ш1
= ± й х , - р - 1п { С х у + У С\у2—
ус\у*— \
С1
1) =
± ( х + С 2),
ИЛИ
у = ± \ - (е — + ^ Щ-\-е^^х
1
^1) = р - сЬ Сх (л:-}- С2) — С* сЬ ^
1
1
•А
657. Найти у' из уравнения у^ = Ъь\п у — ку'л при начальных
.
.
А.
#
/\
условиях у (0) = 0 , у' (О) = 0 .
Уравнени[е
Д Положим у*2 — г; тогда 2у ' у " = г ' = у ’ Т у , т. е.
поймет вид — ^ = Ь 5й11/ — /«2. Э то— линейное
2 %
относительно г:
рЫ Н
Г* ,
уравнение
первого
порядка
^ + 2кг = 2& зш у.
% 1
•
Решая его методом Бернулли, т. е. используя подстановку 2 = Щ получим
“ % + ° [ % + * * ) - * * • г.
-
_
^ ± -2 к и = -0 , и = е - 2*У, Ъ = 2ЬггкУ з1п у йу.
аУ
■•
Интегрируя, находим
Ц
г,==- г - ^ п г г2*-»' (2& зш г/— с о з у ) + С
1+ 462
г = и о = С е ~ 2*У+
Н
I
Используем
начальные условия:
(
2
^
зш у — соз у) = и'1.
2Ь
2Ь
С - 1 , 4^т — °- т - ---------- 1 + 4/г** откуда
получаем
У
’
= ±У
т ™ - ( в - « У + 2 * 8 1 п у -с о з у
)
.
А,
1+4й2
658.
Найти кривую, у которой радиус кривизны равен кубу
нормали; искомая кривая должна проходить через точку М (0;1)
и иметь в этой точке касательную, составляющую с осью их
угол 45°.
Д Так
как
радиус
/? = (1 4 -у '* ) 3/ 2 У** 3
кривизны
Длина
нормали
плоской
кривой
М ~ у У 1+ у Л
выражается
формулой
то дифференциальное
143
уравнение задачи примет вид
< 1 ± ^ = 0 У Т + 7 'У Отсюда, сократив на (1 + у ' * ) 91г, приходим к уравнению у " - у * - \ .
Полагая
у '= г,
у '—г > ^ ,
получим
для
г
3=
1.
г •^ • у
уравнение
Интегрируя его, находим
г 4 г = у -* Я у , или 4 " г*— — гг 1/” 2+ 4 " с ь т * е< г2= С 1— у ~ 2;
возвращаясь к переменной у, приходим к уравнению у
Сх у
Произвольную постоянную Сх найдем из условия, что касательная
в точке М (0; 1) составляет с осью Ох угол 45°, т. е. х § 4 э — Ум~~ 9 или
м'(0) = 1. Следовательно, 1 = С 1 — 1, т. е. С* = 2.
Таким образом, для определения у получено уравнение первого порядка
у ,2 = 2 __ у ” 2, откуда у ' —
^
; разделяем
переменные и интегрируем:
УйУ— ^ й х , 42"/ г2 ^ = Т §=—х л+ \4 2- с г;
2
V" 2«/а- 1
Произвольную постоянную С2 находим из условия прохождения кривой
через
точку
М (0; 1),
т. е.
И
И
Ш
И
Я Й
С* ==1'
Следовательно,
искомая кривая определяется уравнением
у 2 = 2 х 2+ 2 х + 1 . А
Решить уравнения:
Л 659.
660.
661.
662.
663.
664.
2
у " ( 2 у + 3 ) — 2 у " = 0.
уу"— у ’1= 0 ; у (0) = 1, у\ (0) = 2.
агу"г = \ + у ’ ■
у у " — у ' г = уг \пу.
^
у ( 1 — 1п у) у" ~Ь (1 Ч- 1п у) у = 0 .
у" (1 + у) = у' -\-у •
665. у" § у'0/1.
х
5. Уравнения вида Г (%, у , у \ у ” % • • •* у ^ ) — 0, однородные относи­
тельно V, у \ у \ . . У{п)- Уравнение указанного вида допускает понижение
порядка на единицу при замене у '!у — г, где г новая неизвестная функция.
666. Решить уравнение Ъу* = Ьуу" + у\
Д Разделим обе части уравнения на у 2:
3 , ^ - 4 . ^ , .
откуда Щ
Положим § В
уравнение
Ш ф )
'
% = * '+ * ’■ В 1 Ш
V
дг
Зг2— 4г2— 4г' = 1, или — 4г' = 1 + г2, т. е. у—
144
И
1 ,
~ 1 “
пол1 " " “
Отсюда,
интегрируя, находим
агс*8 2 = С].—
х, или 2 = 1е ( с * - | - ) . или - 1 —
Интегрируй последнее уравнение, получим
1 п у * - 4 1 п с о * ( с , - - | - ) + 1пС,.
или у - С , с < » 4 ^С *— ^ )■ к .
667. Решить уравнение у'ш+ УУ" — УУ ■
I
Л у „ т « а тп мпявнение принадлежит к предыдущему виду, его можно
■ вроинтегрировать более простым Способом. В этом уравнении левая часть есть
I (УУГУ*
8
силу чего уравнение
принимает вид ( у у ) — УУ %
11,111
уу'
х
]п (уу’ ) ~ х + \ п С и или у у ' ~ С хе*. т. е. у й у - С * * Л х .
Отсюда
Интегрируя, находим оиончательный ответ.
^ /2 -С ^ + С * . А
Решить уравнения*
668. у / - у '2 = 0. 669. (у + У ) У" + У' = 0;
670. 2хи"'у' = уай- а \ 671.
у { 0) = 0, у ( 0 ) - 1 .
672.
Найти у' из уравнения 2ууп= ку— у' при начальных
условиях у ( 0 ) = 1 , У (0) = 0.
Подстановка у
2.
673. Найти кривую, если
Оу постоянна и равна а, а ось и х касаен.
начале координат.
.
пяПш т
коивизны
в любой
г
= о Г Г с о ™
уЮЩейУ точке. Искомая кривая п р о ч и т , рез точку М ( 0; 1) и касательная к кривои в этой точ
и
§ 3 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Основные » « . « « . Л » * * —
ф е р е н ф щ ш , ррат ем еи
.■ » т -
рядка называется уравнение вида
, . _ ,„ч
а (Х\ и /( х ) заданы и непрерывны в некотоЗдесь функции а\ (х), аг\х)> •••* °п\ )
1
р1 Ю
Ш
-Щ
!
щ
в
ггяйй.га я я д а
КЙйШ Щр
Й .“
з“
у”
<=■той к е леной настью, « о и данное неоднород-
Й !’н ^ Г р е ш ^ Г ; , линейного одиородиого уравнен-,, можно
с помощью линейной замены искомой функции у — у х ^ г й х понизить поря­
док, а следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения
на единицу. Полученное уравнение (п — 1)-го порядка относительно г также
является линейным.
.
I
2
1
676. Дано уравнение у'
Н— у" — у'-\----- ;— у = х и известно
частное решение у 1= \пх соответствующего однородного уравне­
ния. Понизить порядок уравнения.
Д Воспользуемся подстановкой у = \п х- V г йх, где г — новая неизвестная
функция. Тогда, подставляя соответствующие производные
у '= ^ г й х + г \ п х ,
,,,
2
уп= — ф -
С
,
Зг
йх-\-Ц --\-г' 1пх,
. Зг' ,
„,
У =-Ж
\ ЙИ---X*
йШШИМ
1иж
Г
^
X
в данное уравнение, получим уравнение второго порядка
2" 1
п
------2' +
^
— \п х^г=х. Д
П р и м е ч а н и е . Отметим, что применяя указанную подстановку к ли­
и
нейному уравнению второго порядка и учитывая, что линейное уравнение пер­
вого порядка интегрируется в квадратурах, можно проинтегрировать в квад­
ратурах всякое линейное уравнение второго порядка, если известно одно ча­
стное решение соответствующего однородного уравнения.
2
•
677. Проинтегрировать уравнение у" Н— у'
х
у = 0,
имеющее
§Ш X
частное решение у
Д Произведем замену у = .
... \ гйх\ тогда
Х С О В Х — ЗШ X С
, 51П X
У — ---------щ ---------- 1 г й х -\— — г,
„
§ш х . , 2(лгсоза; — зшл:)
(х2— 2) зш х + 2л:со 5 х .
,
у => ---------* Ч — 1----------5---------- - - г - ± --------- к------ -3 ---------------\ г й х
X
1
X2
X3
Получаем уравнение
зш х - 2' + 2соз дг*г = 0, т. е. г = —т4
Следовательно,
зшл: С Сг (1х
зш * , _
^
^ з1пд: ^ с о з *
.
у = ------- \ : п-----= -------(С2— С 1&В х ) = С2------------ ■ ------- . А
X
^
ЗШ2 *
Х
У
*
& /
*
X
X
-
678. Понизить порядок и проинтегрировать уравнение у*вт2х
2у, имеющее частное решение у = оХ^х.
679. Уравнение у " — -— (-
= 0 имеет частное решение у = х.
Понизить порядок и проинтегрировать это уравнение.
680. Уравнение у" + ( ^ х — 2 с1 § х ) ( / + 2 с1§ 2 х •*/ = () имеет
частное решение у = ьт х. Понизить порядок и проинтегрировать
это уравнение.
146
2.
Линейные однородные уравнения. Одним из замечательных свойств ли­
лейных уравнений является то, что общее решение таких уравнении можно
! найти па их известным частным решениям. Приведем теорему о структуре оо; шего решения линейного однородного уравнения.
Т е о р е м а . Если у ь Уъ •••> Уп— линейно независимые частные реше| ния уравнения
(х ) У<Л" 1) + 0 2 (*) */(Л“ 2) + ••• -\~а п (*) У =
т0 У = С т + С ъ У ъ + . . . + С „уп есть общее решение этого уравнения (С*,^
— произвольные постоянные).
' П р и м е ч а н и е . Функции У\(х), Уг(х), . . . . Уп (х) называются линеино
независимыми в промежутке ]а, Ь[, если они не связаны никаким тождеством
Ц- СХ2У2И- •••“Ь &пУп
_р „
а»
. а » — какие-нибудь постоянные, не равные н у л ю одновременно.
Для случая двух функций это условие можно сформулировать и так: две
и Я Р линейно независимы, если их отшше„ие= Щ Д И
постоянной величиной:
Ф сопз*. Например. 1)' й
'—. орЗх „ — 5^3* _
независимы; 2) уг = е х , у а= е ~ * - линейно независимы, 3) ух - 2 е , у2- Ь е
ЛИНеДостаточнымЫусловием линейной независимости п функций, непрерывных
вместе со своими Производными до ( п - 1 ) ; го порядка в промежу-гке а, Ь[
является то, что определитель Вронского (вронскиан) \Г [уъ у2, ■•■. Уп] эти
функций не равен нулю ни в одной точке промежутка ]а, Ь[, т. е.
г/х (х)
Уг (х)
•••
в
у ! (х)
1/2 (*)
. ••
Уп (*)
К (4 щй(*) ••• Х
)Й
т
Если данные
К
Г . Щ
Я " ^ Ш
Ш
Щ
уГовиГТиеобра*Щ
Щ
1 только достаточным, но и
1 и ^ о * и о р « д й »
|рй
необходимым условием
уравнения н-го поридка
ах (х) у {п-1) + •••+ % (*) У = Й
связан с первым коэффициентом этого уравнения а± (х) формулой Лиувилля
Остроградского:
Хо
02. •••>
=
............. УгА\х=хл'е
■И И ||||И||
° ду
^
р) Г Г « э ы
. ^ ,к^
х
д” фференииаль»ого уравнении «торого иоридка
*/'г+ а 1 ( х ) ! / ' + а2 (х )у = 0
гогтпит из двух линейно независимых решений ух (х)
фундаментальная система состоит
&ппмаде
и у2 (х)\ его общее решение находится по формуле
у =С\У\ (х) + С 2У2 (*)•
рое е ^ р е Г ..Г л и и е У.Р.Г
и
Г
а «
с°
И
147
(являющейся следствием формулы Лиувилля— Остроградского)
■ н й ш
м ш
ш
.
-
\ о» шшй
Я
I
I
в
Уг (*) = У1 (х) I ------- — -------- йх.
Ж (х)
-Щ
Это дает возможность интегрировать линейные однородные уравнения
второго порядка, для которых известно одно частное решение, сразу, не при­
бегая к понижению их порядка.
Л
2
Так, в примере 677 для уравнения у п- 1—
у'-\-у = 0
известно
решение
Иг
У\ {х) = — - . Найдем по приведенной выше формуле второе решение:
.
з!п х I е
» .м = —
\
-Л —
,
8ш х С
йх
-й г г
соз х
1
Поэтому общее решение данного уравнения имеет вид
^ зш х
_ соз х
у = С х — ------С2 Рекомендуем решить этим способом примеры 678 — 680.
681.
Показать, что у = С1е*х -\-С2е~зх является общим реше­
нием уравнения у"— 9у = 0. '
л Ц
Д Подстановкой в уравнение легко убедиться в том, что функции у 1= е 2х
и у2 = е ^ х являются его решениями. Эти частные решения линейно незави­
симы, так как у 11у 2= е Ъх/е~*х = е * х ф сопз!, а потому они составляют фун­
даментальную систему решений и, следовательно, у = Схё*х -\-С2е - * х — общее
решение. Д
682.
Дано уравнение у — у = 0. Составляют ли фундамен­
тальную систему решений функции е*, е~х, сЬ х л являющиеся,
как легко проверить, решениями этого уравнения?
Д Для проверки линейной независимости
скиан:
ех
^ ( х ) = \ех
ех
е~х
—е ~ х
е~х
этих решений вычислим врон­
.
^ - лI _
сЬ х
Шх
сЬх|
Этот определитель равен нулю, так как элементы 1-й и 3-й строк одинаковы.
Следовательно, данные функции линейно зависимы, а потому составить
общее решение по этим частным решениям нельзя. Тот же результат можно
получить быстрее, поскольку сЬ х = (ех -\-е~х)/2 и, следовательно, данные три
функции линейно зависимы. Д
683. Уравнению у” — у = 0 удовлетворяют два частных реше­
ния у 1= $Ъх, у2= сЬ *. Составляют ли они фундаментальную
систему?
,
684. Можно ли составить общее решение уравнения у” +
148
1Ц 1 Й 0 (хф О ) по двум его частным решениям
4 — & + (-1
у ' = —^ з т х ,
у 2 — ~лГх
с 03
Установить, являются ли линейно независимыми в проме
жутке своего существования следующие функции:
ш
685. х + 1 , 2х + 1, х + 2 .
686. 2х24 - 1, х2— | х + 2.
687. V х , У х + а, У х + 2а.
688. 1п(2х), 1п(3х), 1п(4х).
ПС
- I------
—-
____________ п п м а Ш Ю
И М Г! Я
тами называется уравнение вида
^(п)_^а1^(п-1)_1_а21/Сп-2> + . . . + а „ _ 1 « / + а п!/— >
„
.. я __ некоторы е действительные числа. Д ля
' . а ' о д а Т , е™ » ы х решений ,”р » « е » я (1) составляют х а р а к т е р и с т и к
уравнение
О,
которое получается на
^ К РЦ„И
единицеи. Уравнение щ
ураинеиня (1)
заменой в
нем
с'“ яае»иФУ: “имеет и кор,ей
котопых могут быть и равные).
являек-м у у
В В 11Н в11Ш 1
И“^ к 2 ^ Ш
^ 2 о м ? щ
(2)
^ - У
о
я"оитсяв
КОРК» 6 В Обще» решении соответ-
ЩиН Ш н
" ” 1
рш ени“ С° 0Т'.
ветствует слагаемое вида (С И —у т п пяжен ны х простых корней &(1>= ® + Р‘
I Л Щ
? нПГ ш “
н Г соС
Г . & ™ ; ™ слагаемое вида
| И Р* +
Ш
И
паре комплексных =
*
«
,
ы
и
1
| ]
е* * [ ( С х +
689. Найти общее решение уравнения у — 7 у + 6 у — 0.
а общее решение имеет вид
у=С \в*х -\-С&х • А
690. Найти общее решения уравнеиия Щ В Щ
1 Ц | °-
А * и р а н к р и с я ч . ^ и ^ н о ‘ " и е » 7 т ш ы 1 “ а Т тн ы Г °Д "и я
& * 7 - ЗЛ ’ Д
и е - « - Следовательно, общее решение
4/==С1е3л:+ С 2е - :,л:+ С з е 2х+ С4е 2х- ^
691. Найти решение уравнения х — х — 2х==0, удовлетворяю
щее начальным условиям х = 0 , х
при
А Характеристическое уравнение к2— к — 2 = 0 имеет корни к± =■ 2, «2 =
= — 1. Следовательно, общее решение х =
~ . Подставляя началь­
ные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнении
относительно Сх и С2:
I
'
( 0 = С1 + ^2.
1
\ 3 = 2 С х — С2,
^
откуда Сх = 1, С2 = — 1. Значит, решение, удовлетворяющее поставленным на­
чальным условиям, имеет вид * / = е 2*—
Д
692. Найти решение уравнения х — 2х = 0, удовлетворяющее
краевым условиям х = 0 при ^= 0 и х = 3 при / = 1п 2.
Д Характеристическое уравнение к2— 26 = 0 имеет корни к± = 0, к2 = 2.
Следовательно, общее решение записывается в виде х = Сх + С2е2*. Подставляя
краевые условия в найденное общее решешге, получаем
( Сх + С2 = 0,
^ Сх -|- С2в2 1° 2 = 3,
или
Г Сх + С2 = 0,
Сх 4С2 = 3.
Отсюда Сх = — 1, С2= 1 . Итак, х = е 2* — 1 — искомое
удовлетворяющее заданным краевым условиям. Д
частное
693. Найти общее решение уравнения у " ' — 2уп
решение,
у г = 0.
Д Характеристическое уравнение к3— 2к2-{-к = 0 имеет корни 6Х= 0 , к%=
==&3= 1 . Здесь 1 является двукратным корнем, а поэтому линейно независи­
мыми частными решениями служат 1, ех , хех . Общее решение имеет вид
у = Сг + С2ех + С 3хех . Д
694. Найти общее решение уравнения у" — 4*/' + 13# = 0.
Д Характеристическое уравнение к2— 4 & + 13 = 0 имеет корни к = 2 ± 3I.
Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, а потому
им соответствуют частные решения е2х соз Зх и е2х зш 3*. Следовательно, об­
щее решение есть
у = : е 2х (Сх соз З х + С 2 81л Зх). Д
695. Материальная точка массы т движется по оси Ох под
действием восстанавливающей силы, направленной к началу ко­
ординат и пропорциональной расстоянию движущейся точки от
начала; среда, в которой происходит движение, оказывает дви­
жению точки сопротивление, пропорциональное скорости движе­
ния. Найти закон движения.
^
•
а?
г ^3
- ’|й§
Д Пусть х — скорость точки; х — ее ускорение; на точку действуют две
•*
силы: восстанавливающая /х = —ах и сила сопротивления среды / 2 = — Ъх.
Согласно второму закону Ньютона, имеем
шф
•
..........
тх = — Ъх— ах ,
;
или
•• „
. ... # •
тх~\- Ьх-\- а х = 0 .
Мы получили линейное однородное дифференциальное уравнение второго по­
рядка. Его характеристическое уравнение тк2-\-Ък-\-а=0 имеет корни
2 = (—Ь ±
Ь2— 4та)/(2т).
1)
Если Ь2— 4та > 0, то корни— действительные, различные и оба отри­
цательные; вводя для них обозначения
* 1== ( — Ь + У ~ Ь2 — 4 т а)/ (2т )= — г%,
150
62 = — (6 + V Ь2— 4 т а ) / ( 2 т ) = — г2,
находим общее решение уравнения движения в виде
С1е - г,<+ С 2е - г*'
я м ми'-ш
е м си!т оV «сгфч
~ рт-’*— —-—— щ
*
(это — СЛ у 4 с*11 Г®1% пораш
2) ЕсЛи Ьг — 4 т а з а 0 , то корни характеристического уравнения — денствятельные рЛныв:
^
к\ —к* = — Ь/(2т) = —г.
В этом случае общее решение уравнения движения имеет вид
Л '3) Наконец, если Ь*— 4 т а < 0, то характеристическое уравнение имеет
комплексные сопряженные корни:
где
_______
а = 6/(2т),
Р= ( V 4ат—Ь2)/(2т).
Общее решение уравнения дет женил имеет вид
в Г -в1 (Сх соз р / + С 2 81п(И), или д с * в ^ - в / *1п(Р<+’фо)»
где
________
51x1 Фо — Сг/А, соз фо = !С 2М
Л
(затухающие колебаний). ^
Найти общие решения уравнений:
696.
698.
700.
702.
у" — у' — 2 у = 0 . 697. / + 25у = 0.
у ' — у' = 0. 699. у" — 4(/' + 4«/ = 0.
г/1У— 2г/'" + у* = 0. 701. ^
^1У+ 5 у "-г 4г/=г 0.
+ в «у -0 .
Найти решения уравнений, удовлетворяющие
чальным или краевым условиям.
703.
704.
705.
706.
707.
708.
709.
назаданным
у" + 5 */' + Ьу = 0; у ( 0 ) = \ , у' (0) = — 16.
г/"— 10г/' + 25# = 0; 1/(0)-— 0, г/' ( 0 ) = 1 у" — 2у’ + 10// = 0 ; у { л/6) = 0 , //'( я /6) = ел .
9 у” + у = 0; у (Зя/2) = 2.^ у' (Зл/2) = 0.
/ + 3у' = 0; 4Г(0) = 1, у ’ (Щ
у’ + 9у = 0-, у ф) = 0, у (л/4) = 1.
у" 4 - у =
0;
у ' (0 ) =
710. Решить задачу
1,
у ' ( я / 3 ) = ? ®*
695,
если сила
сопротивления среды
равна нулю.
4 Линейные неоднородные уравнения. Структура общего решения линей-
,о,Леод™ одногГ“ а.н “»ия, | .. уравнения е .рам* яастыо:
у{п)
01
(х )
г /* " -”
+
• •• +
° п - 1
(• * )
У' + а» ( Х) У ~ 1
Ф
’
определяется с л е д у ю щ е й т е о р е м о й ^
д
^
ур а вн ен и я , а у и у „ .......Уп
Если
(х)
) —ч
— частное
.....
Еслиии== ии(х
астноерешение
р^шкпи ыеуумун
соответст
вующего однородного уравнения,
Н51
+ С2у2 - г ••* + Спу п; иными словами, общее решение неоднородного уравнения
равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствую­
щего однородного уравнения.
Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения
надо найти одно его частное решение (предполагая уже известным общее ре­
шение соответствующего однородного уравнения).
Рассмотрим два метода отыскания частного решения линейного неодно­
родного уравнения.
М е т о д в а р и а ц и и п р о и з в о л ь н ы х п о с т о я н н ы х . Этот метод
применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного урав­
нения п-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициен­
тами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.
Метод вариации заключается в следующем. Пусть известна фундамен­
тальная система решений у г, у2,
соответствующего однородного урав­
нения. Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде
и (х) = СХ(х) у х + С 2 (х )у 2 + . . . + С п (х) у П9
Сп (х) определяются из системы уравнений
где функции Сх (х), С2 (х),
(я) Ух-\-С2 (х) у 2-{- •••
(х) у\
Са (х) у 2
(х) уп = О,
. •. -{- С/% (х) у и = О,
с ; (х) у ? - * + С2 (х) у ? - * + . . . + С ' п (х) у « ~ * Щ О,
Сх (х) у[П Щ
.+ ^2 (х) у%
1} + •••+ Сп (х) у п
(
= / (х)
[/(ж ) — правая часть данного уравнения].
Для уравнения второго порядка уп4~ах (х) у г -^-а2 (х) у = [ (х) соответствую­
щая система имеет вид
( с [ (х) У1 + С 2 (х) у , = 0 ,
\ С[ (х) ух + С\ (х) у'г — / (х).
Решение этой системы находится по формулам
с, М —
Г МЧГЩЫ У*) ; С. I
г ы ь и ж
1 V (уи Уг) |
в силу чего и (х) можно сразу определить по формуле
/ч
Р у 2! (х) йх ,
С ух/ (х) йх
и (х) = — ух \
; +Уг 1
V Ш Уг)
4 V (У1, у 2)
(здесь Ш (#х, У2) — вронскиан решений ух и у 2).
Пусть, например, требуется проинтегрировать уравнение
11ШЙ11
Для соответствующего однородного уравнения мы нашли частные решения
е)п у
* гоя т
1
Ух = -------- и у 2 = -------- (см. с. 146); их вронскиан УР (ух> У2) = ------ д-.
ДГ
х
X
Поэтому и (х) можно найти по формуле
С05 х
с !§ х
Г 8Ш X С^2 х
, I
8М X \
X
X
, , соз X .
.
и (х) = ------------ ] — -— — зг------- йх-\----------- ] — 7— гт-^г— йх
__
1
(— 1/х2)
х о
(— 1/х2)
з!п X Г СОЗ2 X ,
соз X
С
,
з1лхм
,
созх я
йх -------------- \ соз х й х = -------- [1п 1х§ (х/2) Ц -соз х ] ----------- з1пх.
з1пх
152
Таким образом, и (.х) = — —- П ■—
9 а общее решение данного урав
нения имеет вид
зш х . п соз х , зш х , . , , /оч.
У ===^1 — -----ь с 2 — -----1----- — 1п I *§ {х/2) |.
П р и м е ч а н и е . Еще раз отметим, что линеиное неоднородное уравнение
второго порядка может быть проинтегрировано в квадратурах, если известно
одно частное решение щ {х) соответствующего однородного уравнения; общее
решение такого уравнения имеет вид у^С хУх + СгУг + и (х), где у2 определя­
ется через ух по формуле
ШШШ
Уъ = У1 \ -----------2------а и{х) определяется через щ и у2 по вышеприведенной формуле.
М етод п о д б о р а ч а с т н о г о р еш ен и я (метод н е о п р е д е л е н ­
н ы х к о э ф ф и ц и е н т о в ) . Этот метод применим только к линейным урав­
нениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его пра­
вая часть имеет следующий вид:
/ (х) =е<х'х [Рп (х) соз & х + ( } т (х) зш Рх]
(или является суммой функций такого вида). ^Здесь а и р — постоянные, Р п (х)
и ^т{x) — многочлены от х соответственно п -й и т-й степени.
Частное решение уравнения я-го порядка
>
(/<")+ <цфп" 1)+ ОгУ(п_'
21+1••Ц апУ—1Я
(где Н*) имеет указанный вид, а Щ аг..........ап — действительные постоянные
коэффициенты) следует искать в виде
и (х) = ^ Х [РI (х) соз
№ (х) 5Ш рх].
,
» ■ ч( •
’
,4
^ 42
Здесь г равно показателю кратности корня а + РI в характеристическом
\пякнении кп 4 -алкп- 14 - . . . + а п = 0 (если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить г = 0 ) ; Р ^ х ) и ^ И ^ )— полные мно­
гочлены от ж степени I с неопределенными коэффициентами, причем I равно
наибольшему из чисел п и /пг(/ = п ^ т , или 1— т ^ п ) :
% (X) = А0х 1+ А 1х1- 1+ . . . + А 1; <21 (X) = В0Х1+ В1Х1~ 1 +
+
Подчеркнем, что многочлены Р[ (х) и
(*) должны быть п о л н ы м и
(т е содержать все степени х от нуля до /)> с различными неопределенными
коэффициентами при одних и тех же степенях х в обоих многочленах и что
ири э ™ е с л и . выражение функини / И входит хотя бь. одна из фуиквии
« 1
—
Ш
. “ А
В
К
Ш
Ш
Ш
Ш
ш Л к
влтеб-
О
ГноГв ^ в о й *
уравнения после подстановки в него
11(Х)Прадерку правильности выбранной формы частного решения дает^ сопо­
ставление в с е х членов правой части уравнения с подобными им членами
левой части появившимися в ней после подстановки и {х).
Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различ­
ных Е^нкциРй р а с с м а ^ в а е м ^ стр ^ ту р ы , то для отыскания частного решения
такого уравнения нужно использовать т е о р е м у н а л о ж е н и я
:
надо найти частные решения, соответствующие отдельным сл а га ет™ правой
части, и взять их сумму, которая и является части
^
поавой
уравнения (т. е. уравнения с суммой соответствующих функций в правой
части).
153
Примечание.
Частными случаями функции / (х) рассмат риваемой
структуры (при наличии которых в правой части уравнения применим метод
подбора частного решения) являются следующие функции:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
/ (*)=
/ (х )=
/ (х )=
/(х ) =
/ (х) =
/(* ) =
АеРх, А — постоянная {<%- « й ! р р а } .
А с о з ^ х + Д 8Ш р , А и В — постоянные { а + Р
Р „(х ) (многочлен степени п) { а + р / ^ О } .
Р п (х)еа'х { а + р / * = = а } .
Р „ (х) соз Р*+<2/я
зЙ рх {а + р/ з у Ц к
еах (Л Соз р л -+ 5 зш р*), А и В — постоянные.
Ж
711. Найти частное решение уравнения у " — 2 у' — 3у еи ,
г.
удовлетворяющее краевым условиям ^ | х = 1 п 2 = = 1 ; У\х = 21п2
Д Характеристическое уравнение к2— 2к — 3 — 0 имеет корни ^ 1 — 3,
к2 = — 1. Общее решение соответствующего однородного уравнения у = С1езх+
-\-С2е~ х . Частное решение исходного уравнения следует искать в виде и=Ае**
(так как в правой части отсутствуют синус и косинус, коэффициентом при
показательной функции служит многочлен нулевой степени, т. е. I п О,
и г = 0, поскольку с ь = 4 не является корнем характеристического уравнения).
Итак,
-ИД
— 3 и == Ае4х
+ — 2 и1== 4 Ае**
1 и" == 1ЗАе4х
и" — 2и1 -3 и Таким образом, А = 1/5. Следовательно, общее решение данного уравнения I
1
АХ
- X _1_
у = Ш * + С2е
5
1
Для нахождения С± и С<ь воспользуемся краевыми условиями.
Г 8 С 1 + у С 2 + -| г = 1,
Схе31п2 -{-С 2е_1п| + 4 - е41п2 = 1,
1
или<
1
С1еъХп2+ С 2е - 2]п 2 + - ^ е » 1п2= I
| ^ С г + -^ С 2
256
5
1
Отсюда С± = — 491/600, 0*|— 652/75. Итак,
491
600
_______
У
712. Проинтегрировать уравнение у
при начальных условиях у ( 0) = 1, у' (0)
▲
у
2у = с о 5 х — З з т х
2.
Д Характеристическое уравнение к2 к— 2 0 имеет корни к\ = 1, Щ §
2, а потому общее решение однородного уравнения у — С|б' ** + С2ех .
1
Частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
и
А соз х + В зш х
/;
поскольку
такого
корня
у
характе1,
а
+
=
о,
р
(в данном случае а =
ристического уравнения нет, то г — 0: т = /г = 0, а следовательно, и 1 = 0 ).
Итак,
А соз Х + В 51П X
2 и
А
51П
х-\В
соз
X
и
1
+
п
А соз х — В Ш х
1 и
Щ§§ и '— 2и = (В — ЗА) соз х + (—3 В — А) зШ х = соз х — 3 з!п х.
154
I
Таким образом, имеем систему
В ЗА == 1,
ЗВ + л = з,
т . е. Л = 0, В — 1.
С ледоваЫ ьно, общее решение данного уравнения имеет вид
С1е - 2х + С2ея + 51пх
У
Найдем С± и Са, используя начальные условия:
или Г
20x6° + С 2е° + соз 0 = 2,
Отсюда С\ — О, С2=
т - Р- У
е
^ + с 2==ь
— 2Сх-|-Оа— I-
А.
713. Проинтегрировать уравнение у " — у ' = сЪ2х при началь|ных условиях у (0) щ у' (0) = 0 .
I,
д Характеристическое уравнение
=
0 име,|
корт.
Д = 0 , Ь -Ъ
Г уТ а Г « » Г .Т н 1 ^ “ ч"еЯ™ 1 .0 в а т I и » и ,е и = .Л Л 2 * + В Л 2*.
1 В. д. .
и ппттгтянляя в исходное уравнение, получим.
Дифференциру
и"
и = А с\ \ 2 х+ В & 2х
и' = 2Л зЬ 2 х + 2В сЬ 2х
+
и" = 4 А сЬ 2 х + 4 В зЬ 2х
9г
А — 2В) сЕ 2х + Щ — 2Л) зЬ 2х = с Ь
Таким образом,
4Л 2В — 1,
2Л 4-4В = 0 ;
Щ
1У
в = = 1 /5.
Значит, общее решение исходного уравнения имеет вид
у = Сх + С?е* + у сЬ 2х +
зЬ 2х,
Для нахождения С^ и С2 используем начальные условия:
1 С1+ С 2-ев + 4 - с Ь 0 + 4 - 5 Ь 0 = 0,
( С1 + С2 = — д .
|
^
и
ИЛИ /
I
С 2- е « + - | з Ь 0 + ^ - с Ь 0 = 0,
\ С 2 + - з = 0_
т г
о Г —
1/3 Итак, искомое частное решение имеет вид
Следовательно, Сх = и, С2 — — 1/с*. т а к ,
Примечание.
Согласно обш.ей т«,рни ■
Н
»ыи ( 7 * ^ » и (1/2) В
п и в о * М Ш
“ + р ‘ - 2;
в
Ж
М
-^ " „ ^ р и Т н Т ь
Щ
0;
таким
а
Н »*+«—2='-о; ей
образом.
0: таким
0бРаП0этому1астное" решение следовало искать в виде
Н (*) = « ! (*) + «2 (*) = Л1в8Х + В1е ~ 1Х'
155
но
А х (сЬ 2х+$Ъ 2х) + Вг (ей 2 х — зЬ 2х) =
А ^ х + Вгв-**
= (А 1 + В 1) сН 2 х + (Л*— Вх) зЬ 2х== А сЬ2х + В$Ь2х
Именно в этом виде мы и искали решение данного уравнения.
Вообще следует заметить, что при изменении метода подбора частного
решения последнее всегда отыскивается в виде функции такой же структуры,
как и правая часть заданного уравнения, но при этом целесообразно Допол­
ненной добавочными слагаемыми и множителями, чтобы обеспечить возмож­
ность отождествления полученных после подстановки в левую часть уравнения членов со всеми (подобными им) членами правой части.
714. Решить уравнение у " — 2у' + 2у
х
Д Характеристическое уравнение к2 — 2 6 + 2 — 0 имеет корни к^ 2
Щ
а потому общее решение однородного уравнения у = ех (С* соз х + С 2 зш *). част­
ное решение следует искать в виде и = Ах2+ В х + С (в данном случае а
О,
р = 0, а _|_рг* _ 0 ; так как 0 не является корнем характеристического уравне­
ния, то г== 0; п = 1= 2). Итак,
и Ах2 + В х + С
2А х + В
и
+
П
2А
и
X2.
п
2и'
+
2и
=
2
А
х
*
+
(
2
В
—
4А)
х
+
(
2
С
—
2
В
+
2
А
)
и
Л
=
1
/2
,
2
3
=
1,
0
=
1
/2
Отсюда 2Л = 1, 2 В — 4 А — 0, 2 С 2В + 2А
0, т. е.
Следовательно, общее решение исходного уравнения
1
у = ех (Сх соз х + С 2 зш *) + тг ( * + *)2, ^
—х
715. Решить уравнение у,, + у = х^>с+
Д Характеристическое уравнение к2+ 1 0 имеет корни Щ | == ± »\ по­
этому"общее решение однородного уравнения у = Сг соз х + С 2 81x1\х. Пользуясь
принципом наложения, частное решение исходного уравнения будем искать
в виде и = щ + и 2 = ( А х + В ) е * + С е - * (иМеем для иг :
.
В , = 0 а 14 - б 1/ = 1; поскольку такого корня нет, Гх—О, п— / —Л, для и2. / 2 у*)
= 2е~х ; а 2 = — 1, р2 = 0, а 2+ р 2* = — 1; г2 = 0; щ = 11 = 0). Итак,
И||1
1 и ( А х + В ) ех + Се~х
Аех + ( А х + В) ех — Се~х
0 и
2Аех + ( А х + В ) ех + С е~х
1 и
и" + и = 2 Ахех + (2А + 2В) ех + 2Се~х ^ хех
Отсюда 2Л = 1, 2 А + 2 В = 0, 2С = 2, т. е. А
Следовательно, общее решение исходного уравнения
1) *
1/2,
X А -0-Х
2е~х
В=
1/2,
С = 1.
▲
716. Решить уравнение у " + У
А Характеристическое уравнение № + к2 2 к — 0 имеет корни к{ О,
к =1
— 2 а потому общее решение однородного уравнения ?/ = С*-*■ с рхЛ-Сзе~2х. Частное решение ищем, пользуясь принципом наложения,
виде и — и 1 + и2 = х ( А х + В ) + С х е х . Итак,
0
и (Ах-\-В) х-\-Схе*
2А х + В + С е * + С х е *
2 и
+
2А + 2 Се* + Схе*
1
и
3 Се* й Схе*
А А х + (2 А — ЗВ) + ЗСе*
9 9 9
156
:—
1,
т.
е.
А
=
—
1/4,
Отсюда — 4 А = 1, 2 А — 2В —- 0, 3С =
исходного
уравнения
__1/3 Следовательно, общее решение
В В в й ш
У
@1+р Д +
-
2х— 4 * ( * + *)
3
1/4,
В
хех . А
717. Найти решение уравнения У" + У =
° рЯЮ'
Щее краевым условиям «/(0) + у (0) = 0 , у (п/2) + у ( л / 2 ) - 0 .
Д Характеристическое уравнение Щ Я Ё Ш
тому общее решение
,еШ' Н” Я Ш - ™
как Я
Ш
уравнения, то г = 1; /п = л — / — 0). Итак,
+
1 и
0 и
± Частное
В
характеристического
(Д
(
* )$ -(Л соз х + В зШх)
А 81ПХ + В со§ х) + (— А соз х В 51лх)^х
2Л зш Й р 2 В со$ х = 3 зш х.
Отсюда — 2А = =3, 2В = 0, т. е.
решение исходного уравнения
А
3/2, В = 0. Следовательно,
общее
3
2 х соз X.
у = С1 созх-]"С2 з1пх
Постоянные Ы и С* найдем, используя краевые условия. Имеем
У
и. далее,
С 181п х + С 2 соз х
~2 х зШ х —
соз х,
3
у { 0 ) — Сг со зО + С г з Й 0 — ^--0-соз 0 — Си
1
д
С% з!п 0 + Са созО + ^ -О -зШ О
у '( 0)
У
3
я
"2 * Т
Сх С05^- + С2 з1п ~2
С х з Ш -^ + С а с о з - ^ + у •-2"
Таким образом
3
^ соз 0 = С
з1п
2
СОЗ
я
3_
2 ’
г
“ 2 * = = С 2»
3
я
2 005 2- =
Сх
3я
4
„ ( 0) + у ' (0) = Сх+ с а- 3/2 = о,
у (я / 2 )+ у ' ( п / 2 ) = С а— С х + З я /4 — 0,
откуда получим систему уравнений
С 1+ С 2
С х -С 2
3/2,
Зл/4,
ь я\/8 Са = (2— я )/8. Значит, решение исходрешая которую, находим С* 3 (2 поставленным краевым условиям, имеет вид
ного уравнения, удовлетворяющее
3
хсозх. А
3 [(я -{- 2) соз х — ( я — 2) з1п х]
2
У 8
718. Найти решение уравнения У" + ^ '
летворяющее начальным условиям у ( )
1 % = 80е* соз х, удову ' (0 ) — %
157
Д Характеристическое уравнение /г2 + 6 & + 1 0 = 0 имеет корни к^ %т
= — 3 ± * и общее решение соответствующего однородного уравнения (/ =
=
(Сх соз х + С 2 з1п х). Частное решение данного неоднородного уравне­
ния будем искать в виде и = е х (А соз х-\-В з!п х). Тогда
10
и = ех (А соз
В 8ш х)
6 и' = ех ( А соз х-\-В 8\пх— А з Ш х + В соз х)
+
х-\-2В соз х)
1 ип= ех (— 2А
и" + 6и' + 1 Ои = ех [ (16А + 8В) соз х + (16В — 8 А ) 8ш х] ш 80ех соз х.
Отсюда 1 6 Л + 8 В = 80, 16В— 8 Л = 0 ,
исходного уравнения таково:
т.
А =4,
е.
В = 2, и общее решение
1 §
у = е ~ Зх (Сх соз х + С 2 зш х) + 2ех (2 соз х + * т х).
Постоянные Сх и С2 найдем, используя начальные условия. Имеем
у ' = е - 8* (— ЗСх соз х — ЗС2 зш х — Сх зш х + С 2 соз х) + 2г* (3 соз
з1п х)
и, далее, у (0) = С 1 + 4 = 4, ^ (0) = — ЗС1 + С 2+ 6 = Ю, откуда С* = 0, С 2 = 4 .
Итак, решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям,
имеет вид
I
у = 4е~3х $т х 2 е х (2 соз х + з 1 п х ) . А
719.
Найти решение уравнения у"-\-у — ^ х , удовлетворяющее
краевым условиям у (0) = у (я/б) = 0 .
Д Характеристическое уравнение
1 = 0 имеет корни к ^ г = = ± 1 , а по­
тому общее решение однородного уравнения у = С\ соз х-\-С 2 зш х. Частное ре­
шение исходного уравнения методом неопределенных коэффициентов искать
нельзя (функция } (*), в отличие от предыдущего, имеет другую структуру),
а потому воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Будем
искать решение уравнения в виде
у = Сх (х) СОЗX + С2 (х) 8Й1х,
где функции
Ц(х)
и С 2 (х) нужно найти из системы уравнений
С [(х )у г+ С 2
’ ( х ) у 2= 0 ,
или |
С[ (х) соз х + 1| (х) з1п х 1 0,
С'гМ Щ + Сг {х) уш| / (х), ИЛИ \ - С; (х)зш х +
соз X =
х.
Решая эту систему, получаем Сх(х) = — 5ш2 х /с о з х , С2 = з1пд:, откуда
С1(х) = - С
С2 (х) = — соз х
(Вместо решения этой системы можно было воспользоваться формулами, при
веденными на с. 152.)
Таким образом, общее решение исходного уравнения
аш
У
где А и В — произвольные постоянные, которые нужно определить из краевых
условии:
А с о з О + В 51П 0 — соз 0-1п 4§[ (я/4) = 0 ,
А соз (я/6) Ц В з!п (я /6 )— соз (я/6) 1п 1§ (я/3) = 0.
Отсюда А = 0, В = ( ^ 3 / 2 ) 1пЗ. Следовате
ставленным краевым условиям, имеет вид
у
158
Щ
1п 3 зШ х — с о з х 1 п ! е
1 I ^
720.
Свободно висящая на крюке однородная цепь соскаль­
зывает с него под действием силы тяжести (трением можно пре­
небречь). Определить, за какое время соскользнет с крюка вся
цепь, если в начальный момент цепь покоилась,^ а длина цепи с
одной стороны крюка была равна 10 м, с другой 8 м.
Д Пусть масса одного погонного метра цепи равна т. Обозначим через х
длину большей части цепи, свешивающейся с крюка через время I после на­
чала движения. К центру тяжести цепи приложена сила Р = [х (18 х)] тц.
Масса всей цепи равна 18т, ее ускорение равно х. Итак, приходим к урав­
нению движения центра тяжести цепи:
18/пх= (2*— 18)
или х — ~ х = —
Это уравнение надо проинтегрировать при начальных условиях. # = 1 0 , х 0
при / = 0 .
__
Корни характеристического уравнения
2 = ± V § Й частное решение
неоднородного уравнения следует искать в виде и = А; после подстановки в
уравнение находим А = 9 . Таким образом, общее решение уравнения имеет вид
Схе1 Г «"/3 + С2е ~ 1
Используя начальные условия, получим
С 1 + С а+ 9 = 10,
( V I /3 ) (С* - С2) = 0,
откуда С 1 = С 2= 0 , 5 . Значит,
1 ( е* У ^ / з^ . е ~* >Лв / з ) / 2 4 - 9 = 9 + с Ь | V е/3)Время, за которое соскользнет вся цепь, определится из условия:
при 1 = Т . Следовательно,
'
е т У Т * + е - т У 1 ,*
18=9-|-сЬ ( Г у ё /3)» или |
1
-------------------- Щ
■
Решая полученное уравнение относительно Т, находим
Г = ( 3 / 1 / " ё ) 1п ( 9 + 4 У"Ъ) я 2,76 с. 4
Решить уравнения:
721.
722.
723.
724.
725.
726.
727.
728.
729.
730.
731.
732.
(/'— 4у' + 3у = е®х; У (0) = 3, у' (0) = 9.
щ — 8 у ' - + \ Ъ у у ( 0) = 0, у (0) — 1.
6 у 4 2 5 у = 2з1п х+ 3с0зх.
у" + У — соз Зх; у (п/2) = 4, у (л/2) — 1.
6у ' + 8у = Зхв+ 2 х + 1 .
\
2уГ— у' = 1; У Ш § 1 1 §|Щ Ш Й ]
/ + 4# = з т 2 х - И г / ( 0 ) = 1 / 4 , У
0.
у” — 4«/' = 2 зЬ 2х.
4у == соз 2х\ у (0) Щу (я/4) = 0.
1/’ + З у '
— \0у = хе~гх.
у ” — (а + р) у ' + ару-= аеа + Ье •
у"— у = х соз2 х.
_
_а
18 м
736. / — 2#С05ф + </=25Ш ХС05ф.
I /Я
737. / — 2у' + 2у = ех &'тх.
*
738. у" + 9у — 2 зш х зш 2х; у(0) = у(п/2) — 0.
739. у"— 4*/' + 8 г/ = 61е2* з т х ; у ( 0), у (0) = 4.
*
740. Показать, что общее решение дифференциального ура внения у" — т2у = 0 можно представить в виде |/ = С 1сЬ тх + Сгх
х$Ь тх.
Ш.
741. Показать, что общее решение дифференциального урав­
нения уп— 2ау' + \ а %— р2) у — 0 можно представить в виде у =
еах (Сг сЬ Рл: + С 2 $Ь $х).
742. Определить закон движения материальной точки массы щ*
перемещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей
силы, направленной к началу отсчета перемещений и прямо про­
порциональной расстоянию точки от начала отсчета, если сопро­
тивление среды отсутствует, а на точку действует внешняя сила
Р = А 51ПЫ.
Решить уравнения методом вариации произвольных постоян­
ных:
743. у" + у = 1/] / соз 2х.
744. уп+ Ъу -\ -6у=
+ е ы).
745. уп+ 4у = с ^ 2 х .
746. у" соз (х/2) + (1 /4) у соз (х/2) = 1.
747.
Решить задачу 720 с учетом трения цепи о крюк, есл
сила трения равна весу одного погонного метра цепи.
Уравнение движения центра тяжести цепи имеет вид
1 8 х = е х — (18— х) д —
5.
|
Уравнение Эйлера. Линейное уравнение с переменными коэффициент
ми вида
Хпу М
й1Хп~ 1у^п
?-- *■
-{• •••-\гап -\ ху' ~\~апУ = / (х)
■*-.
Ш
или более общего вида
(ах-\-Ь)п у(л> + а 1 ( а х + & ) " -1
•••“Ь ал -1 (адс+ ^ ) У' + ап У = 1 (*)
(2)
называется уравнением Эйлера. Здесь а,— постоянные коэффициенты. С помощыо Подстановок Ш Ш М уравнения (1) и а х + Ъ у = * для уравнения (2)
оба эти уравнения преобразуются в линеиные уравнения с постоянными коэф­
фициентами.
I
748. Решить уравнение х2у1,— ху' + у = 0.
д
Полагая х = е \ или / = 1пх, откуда - ^ - = — = е ~ ‘ , получим
у
-
*М.— Й . .
йх
<Ц4х
!Г = ± 1 е -* у )^ = (у е -'У 1 -е -* = ф - у ) е - *
(дифференцирование по I обозначаем точками). Тогда
исходное уравнение
примет вид
е * - е ~ 21 Й р у ) — е ^ е - ^ у + у — 0, или у — 2у + у = 0 .
160
Характеристическое уравнение к2— 26-|-1 = 0 имеет корни кх — к2— 1. СледоI вательно, общее решение
\
у = (С х + С г1) е*. или у = (Сх + С* Iп х) х. А.
1
749. Решить уравнение (4 * —
\)ъ у" — 2 ( 4 * — 1) у' + 8у — 0.
■
д
Положим 4х — 1 — е*; тогда й х = 1 е * И , ^ = 4е~{- Отсюда
</ = й | ^ = 4 е ~ * - у ,
у
й1
йх
I 5
I
у* — 1 6 е-2 (& — у).
В
|| Исходное уравнение принимает вид
1
16е2**е~2*
— 4 •2е* •е ~ #
8г/ = 0, или 2«/— 3|/ + */ = 0-
Характеристическое уравнение 262— 3/г + 1 = 0 имеет корни
6 ! = 1, &а = 1/2,
; Следовательно, общее решение
______
I :
уЩ Сге* + С*е*/2, или у = Сх (4х— 1) + С2 V
1• А
750. Решить уравнение у" — *«/' + У= соз 1п х.
I
В
I |
I
Д Положим * = е * ; тогда Я й Х , - ^ - = = 1 = * - * , следовательно, | Ш |
Х е ~ е, упт ( у ^ Ш 0 п * Данное уравнение примет вид
у — 2у + у = с о в I.
|
Общее решение однородного уравнения есть
_______ _
+
лтапнрния следует искать в виде и = А соз
о зш и
ю гд а
1 и = А соз / + В з!п 1
+ 1— ^ и' = — А з!п 2 + В соз 1
| 1 и" = — А соз 1— В з \х\1
ип— 2иг + и == — 2 В соз 1-\-2А з й г = соз г,
|
■В
I
■
откуда В = — 1/2, А = 0. Следовательно, общее решение исходного уравнения
у = (Сх + С2{)е* — — 51г\1 , или {/ = (С^ + С2 1пх) х — щ з Ы п х . &
Решить уравнения:
7 5 1 . хгу”— ху' + 2у = 0.
7 5 2 . х 2/ — Зху' + Зу = 31п 2 х .
7 5 3 . х*!/’ + х у ' + у = ы п ( 2 \ п х ) .
754. И
7 5 5 . х 2/
+ 3 х У + У Щ 1/х;
— Ъ ху'+
Ьу =
х ъ№
I 1Е
/
1.
у(\ )= \ М 2,
0
^
1
4 )-0 .
Т л ?'
у (
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
3
уравнения в" Щ
уравнения ищ у, в ввде степей-
ного ряда
00
у = 2 Сп ( х — Хо)п.
л= 0
161
6
№1814
Неопределенные коэффициенты С я (я *9% 1* I» «* •) находят подстиклко!
ряда в уравнение м в р в р а ш в я н м м ко&ффицнеитов при одинаковых стеш. н*\
разности х — х* и обеих частях вол ученного равенства, Если удается найти
все коэффициенты ряда, то полученный ряд определяет решение во всей свое*
области сходимости.
1
В тех случаях, когда для уравнения у #* * / (х, у) требуется решить задачу
Коши ери начальном условии у I*»****##* решение квожио искать с гюшнцыо
ряда Тейлора;
^\
^
5: ::-ШЗЙ
»
—
щ
где у ( х в) = . и„, у ' (*•) = /<*•• Уо). • дальнейшие производные **•>(*») находят
посзедов ат------ им дчфф»грениироваивеы исходного уравнения и подстановкой
в результат двфференци рова н и я вместо С. Ц,
. . . значений д * р», р» и всех
остальных найденных последующих производных. Диалогично с помощью ряда
Тейлора можно интегрировать и уравнения высших порядков.
756. Проинтегрировать уравнение у’ — хгу ~ 0.
Г1
Д Будем искать решение этого уравнения в виде ряда
0 = С , + С * х + С*** + . . . + С # *" - ь . . . .
« * * ;;
I Д .|
Подставляя у и § ' ъ исходное уравнен не, находим
12- 1Са4 3 ■2Са* + 4 ■ЗС**84 - .. •4~ (* + 2)(® 4 ! ) С - + , дг» +
+ Сгх + О * * -Ь . - . + СпХа + . . . ] а» 0.
—
Сгруппируем
ч
м
ш
мс
—
один игпикни степей ими
2 •»С,4 3- К * 94 Т
Ш
..1
3
,Ч§1§
{(п + 4 )(д 4 3 )С „ + * ~ Ся].*в+*яа0.
Ц
Приравнивая нулю вес кспффицкеиты ш у п т о г » ряда (чтобы уравнение ОЙ*
ратвлось ш тождество), на холим
'!'^яМД 1
С#= С » = 0 ;
С» ♦ <” ( Т Т ^ Г П Г )
<" “ 0* 14 **
*Щ
^
Последнее соотношение позволяет найти последовательно все коэффициенты
искомого раалп лени я $С* и С* остаются произвольными и играют роль про*
извольных постоянных интегрирования): '•^
С а * М тгт~
л " “ ' 11)Г•И
•
4к
+ ш■®яС
4=•
4=
,=* 4^4.4^ '1 5)' -?
(й=^0, 1, 2, ••
- Чз . . ' - : ^
Таким о б ш е й *
*&
* * -7 Т 7 Г . < * * - ! ) » '+ с *
а
Т Т Г П Г Г » ( 4 * ^ I)
Полученные ряды сходятся на всей числовой пси и определяют два линей*
но не^а а не и мы х частных решения исходного уравнения- Д . .
^ ^
С помощью разложения 1 ряд по степеням х проинтегрировать
следующие уравнения и ап уделить область существовании полу*
ценного решгкия; Щ
Я й 7 5 7 .1 § ' Ф *Ц ш* 0 .
В силу начального условия положить С0 = 0.
750. у” + х у ' + у = 0 .
76(К у*— х у '— 2 у— 0.
761 . У + х2у == 0; у (0) - 0; у' ( 0 ) = 1.
В силу начальных условий положить С0 = 0, Сх = I.
762. Проинтегрировать приближенно с помощью ряда Тейло­
ра уравнение у' & хг + р
у (0) = 1, взяв шесть первых членов
разложения, отличных от нуля.
Д Из уравнения начальных условий находим у ’ (0) = 02 + 12 = 1. Дифференцируя данное уравнение, последовательно получаем
у” = 2 х + 2уу'-,
у '“ = 2 + 2у'* + 2у!/', у™ = 6у'у” + 2 у у ' " ,
р = 6 у " а 1 8 0уЩ + 2 у у ^ .
Полагая х = 0 и используя значения г/ (0) = 1, у' (0) = 1, последовательно нахо­
дим у " ( 0 ) = 2 , у ' " (0) = 8, у 1'1' (0) = 2 8 , у у(0) = 144. Искомое решение имеет вид
. , х , Ш , Щ , 28х* . 144д;5 ,
^ = 1 + тт4 ’ 2 Г + - з 1 - + ^ Г + - 5 Г + - - - *
А
А
763. у" = х + уг, у (0) = 0, у' (0) = 1. Найти четыре первых
(отличных от нуля) члена разложения.
д
Дифференцируя уравнение у" = х-\-уг, имеем
у ' " = 1 + 2 д е \ у ^ = 2 у у ’ -{-2у'*, у ч = 2 у у " ' + 6 у У ,
у У 1 = 2 у у ^ + 8 у 'у '" + 6у,’К
При х = 0 получаем
у ( 0 ) = 0 , у ’ (0) = \, у ” (0) = 0 , у " ( (0) = \, у1 У (0 )= 2, у * ( 0 ) = 0 , ^ ( 0 ) = 16,
Решение имеет вид
* , х3 . 2 * * , 16х5 ,
_
,
,
*
У = Т 7 + З Г + 4 П " б Г + --------+ 6 + 1 1 2 + 4 5 + - ” * А -
764. у ' = х2у + УК у (0) = 1. Найти четыре первых (отличных
от нуля) члена разложения.
765. у' = х + 2уг, у (0) = 0. Найти два первых (отличных от
нуля) члена разложения.
766. у” — ху*—0, у ( 0) == 1, у' (0) = 1. Найти четыре первых (отличных от нуля) члена разложения.
767.: у ' ~ 2 х — у\ у ( 0) 5= 2. Найти точное решение.
768.- у' = у2+ х\ у ( 0) = 1. Найти пять первых членов разло­
жения.
769. у " = ( 2 х — \) у— 1; у { 0) = 0, у (0) = 1. Найти пять первых
членов разложения.
дифференци
коэффициентами
*V + ху' + (х*— Я,*) у = 0 (А,=сопз1),
(I)
называется уравнением Бесселя (к этому же виду сводится уравнение х у 4*
+ ху’ + (т*х®— Я2) у = 0 заменой т х = |).
6*
163
Решение уравнения (1) будем искать в виде обобщенного степенного ряда,
т. е. произведения некоторой степени х на степенной ряд.
ОР
■Щ
у — х г (Оо + ахх + а2х г + • • • ) = 2 а* *г+л*
*=о
&
р
Подставляя обобщенный степенной ряд в уравнение (1) и приравнивая нулю
коэффициенты при каждой степени х в левой части уравнения, падучим систему
(г*— X2) Оо= 0 ,
хг
Т+1
,
VГ+ 2
[(г + 1)*— Ла] ах= 0 ,
[ ( г + 2)3— Я,2] аа + а0 = 0,
х г+к
Ц г - И ) 2- Х 2] а * В а * _ 2 = 0.
■' Я
• • • • • •
Считая, что а0 Ф 0, из данной системы находим
2 = ± Я* Пусть Г! = Х. Тогда
из второго уравнения системы находим а 1 = 0, а из уравнения [(г + Л)2— X ]Х
X
щ — а * _ 2» придавая к значения 3, 5, 7,
, заключаем, что а3 = а5 =
= а7 = . Л = а2* + 1 = 0. Для коэффициентов с четными номерами получаем вы­
ражения
Оо
й*:==
Ж11аыи"Тч «
(2\ + 2)-2*
#2^ —2 __/
2* — (2Х,+ 2)-2-А
— 0-2
__
%
» ••• •
О,
4 — ( 2 Л . 4) - 4
( Я . + 1) (Х + 2)-1-2-2*
1ЛЙ+1 ____________________ ____________
-'
2 -4 -6 . . . 2* (2А, + 2) (2Х + 4 ) . . . (2Л, + 2*) ‘
Подставляя найденные коэффициенты в ряд (2), получим решение
^ (•*)
“о
I 1
2 (2Л. + 2 ) + 2 - 4 (2Х + 2) (2Х + 4)
00
ш
Щ 2 ;-4 - 6 (2Х+ 2) Щ + 4 ) (2А. + 6) •
^
где коэффициент а0 остается произвольным.
При г 2 = — X все коэффициенты а* аналогично определяются только в слу­
чае, когда А, не равно целому числу. Тогда решение можно получить, заменяя
в предыдущем решении у\ (х) величину К на — X:
2
Г 1_______ _ --------- Ё
Уг (х) - а0-х К I[ I
2 ((—2Х
— 2Я. +
+ 2)
2
2) + ' 2 - 4 ( - 2 Х
х4
+ 2)
(—
2Х + 4)
х*
2 -4 -6 (— 2Х + 2) (—2А. + 4) (—21 + 6)
Г)+ - ]
«о
*о^к'к ! (—Л + 1) (— А, + 2 ) . . . ( — Х + к)
Полученные степенные ряды сходятся для всех значений х, что легко устанав­
ливается на основании признака Даламбера. Решения у\(х) и у2 (х) линейно
независимы, так как их отношение не является постоянным.
Решение ух (х), умноженное на постоянную о^ = 2Т г
^ » называется
функцией Бесселя (или цилиндрической функцией) порядка % первого рода и
обозначается символом
(дг). Решение у 2 обозначают
(х).
Следовательно, общее решение уравнения (1) при Я, не равном целому
ч?слу, имеет вид
у ( х ) = С ^ \ (x) + С 2^-\(x),
тл-Сх и С2— произвольные постоянные величины,
йй
В общепринятом выборе постоянной а0 участвует гамма-функция Г (X. + 1 ) ,
которая определяется несобственным интегралом (см. с. 35):
00
г (X) = ^ е ~ х
о
ах (Я, > 0)
Можно показать, что при X, равном половине нечетного числа, функция
Бесселя выражается через элементарные функции, так как в этом случае гамиа-функция, входящая в определение функции Бесселя
^
1
(
—
___________________________________________________________________________________
Щ Щ “ 2 Ч Ч р П 7 * Щ 4А-Й! (X + 1) (Я. + 2 ) .. .(К + к)
Ж
Я
[ х \*-+2Ь
(— 1)й
»
*!Г(Х + * + 1 )
'\ 2
■произведение (А + 1 ) ( Х + 2 ) . . . (Я + 6 ) Г ( А . + 1) заменено, согласно свойству
гамма-функции, на Г ( А + А + 1 ) ] , принимает следующие значения:
00
СО
~ | Щ
Г Ш
* - 1/3 д х = 2 С е-*Ч 1 =
б
2
О
о
{здесь использовано значение интеграла Пуассона);
г , т ) = г ( ' + т ) “ 'г г ( т ) = т
Н
х ш
Ш
щ
4 ) = г( и -4 )= 4 4 4 -^ “:
г
Функцию Бесселя
при \ = п (натуральном) можно записать так:
I
(_ ,)*
х \™ +" - V
(~ Р Й ( х У * * п
к\ Г ( я + А + 1) Л 2 )
2 ^ к1 (п+к)\ \ 2
ЩШ
*= о
Для отрицательного и целого X частное решение пе выражается функцией
Бесселя первого рода и его следует искать в форме
2И
СО
^
К „ (x ) = ^ п (x )■ \ п x + x -’^
. . .
л=0
Подставляя это выражение в уравнение (1), мы определим коэффищгенты
Ь*. Ф ункциями (х), умноженная на некоторую постоянную, называется функ­
цией Бесселя п-ео порядка второго рода .
770. Найти функцию Бесселя при Х = 0.
д
Воспользовавшись равенством
00
V
(— ПА
(И "
165
при Л= 0 получим
I
V
(-1 )*
( Xу*
•М *) — 2 ^ к \ Г ( Ь + 1 ) \ 2 )
к=0
1 /4
'
V (— П *-*1*
2-1 4*- (Л!)а
6=0
,
у
к=О
(-1 )* ^
4 *-к\-к\
В_
Й ,
ё
...
4 ' 42 (1 *2)2 4§(1>2-3)2 1
771. Решить уравнение х*у” + щ ’ + 1 Я —
А
■
=
|
д Так как %— 1/2, то общее решение уравнения имеет вид у — С ^ 1/г +
+ С2/ _ 1/2, где
I
= —
Ц
1
1/а Г .
х2 .
х*
х? __ |
г I з \ 'х
| 1 — 2Тз+ 2 . 4 - 3 - 5 _ 2 .4 .6 - 3 - 5 - 7 " 1' ” '
1
I
х? . х 5
х1 ,
‘ 5
5!!^
3! •
71
7!
й рИ Я й
\Г~х \
Точно так же получим / _ ^ д р
у=
у
у
—•
\
к
-» /~ 2
бш х
я
уV х
ш
Л® )Л V
У
— . Следовательно, общее решение
г *
— (Сх з ш х + С а соз *). Д
772. Найти ^1(x).
%
1
773. Решить уравнение х2у" + ху' + Га|— Ш ) у = 0.
774. Решить уравнение х-у" + ху’ + ( х- — -к- ) у = 0.
§ 5. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Нормальная система дифференциальных уравнений. Система дифферен­
циальных уравнении вида
' йх1
4&
ёх 2
т
йхп
(11
1
/1 0"» ^1» ^2» •••» ^л)»
/2 Ш <^1» *2, •••» *л)»
/ л (^» ^1» ^ 2» • • •» ^/г)>
где дгх, дг2, . . . , Хд — неизвестные функции независимой переменной I, назы­
вается нормальной системой.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений
являются линейными функциями относительно х ъ х2,
хп> то система диф­
ференциальных уравнений называется линейной.
Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести
к одному уравнению п-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию.
Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто
дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неиз­
вестных, кроме одного (так называемый метод исключения).
166
в
некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных
преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения (так назы­
ваемый метод интегрируемых комбинаций), что позволяет найти решение
системы.
775. Решить систему дифференциальных уравнении
1Т = Х + У ’
• у
=
у
при начальных условиях х ( 0) = 2, у { 0) = 0.
"Г '•*'
Л
(Рх
(1х , (1у
Д Продифференцируем по I первое уравнение:
=
5 исключая из полученного уравнения
и у, имеем
— 2 х = 0 . Характеристиче­
ское уравнение йа-2 *= = 0 имеет корни й1<г = ± V 2.
решение для х запишется в виде
*
'
Следовательно,
общее
* = С 1е' у 1 + С ае - ^ Т .
Общее решение для у находим из первого уравнения:
И=:Й а - Х= с Л У ~ 2 - 1 ) е 1У~ * - С Л У " 2 + ' ) е - 1УЧ3
Щ
1
Воспользуемся начальными условиями для нахождения произвольных постоянных:
с х+ С* = 2, | Л 2 (С !— С2) — (С 1 + С 2) = 0 .
Отсюда С 1 = ( У г 2 + 2 ) / 2 , Са = (2 — У"Щ/2. Таким образом,
^ ,
искомое частное
решение имеет вид
МЁЙ1 &
■ « Э Р -И
!
.Ш И Ш * «
в
—
|
. - 1Я
ж
О
776. Решить систему дифференциальных уравнении
ах _
ау __
х
М ~2х+3у'
Щ
у _
2х+3у
при начальных условиях х ( 0) = 1, у { 0)
Д Составим первую интегрируемую комбинацию. Разделив первое уравненне на второе, получим
4^
& т йх —
йу~~ у 9 х
У 9
^ = 1п
С^, т. е. Х=С\У»
Составим вторую интегрируемую комбинацию. Сложив удвоенное первое
и утроенное второе уравнения, получим
2^ -4 -3 — =1;
01 ~
01
Из системы уравнений х
2 а х+ М у= с1 1 ,
т. е. 2х + Зу - 1+ С*.
= С«у, 2 х + З у = * + С, находим общее решение системы
с, (/-ЬС*)
___ 1И С_2_
1 сГ + з"’ у _ ^1+з
167
Используя начальные условия, получаем
1===2 ё + 3 ’ 2 = 2Са + 3 * Т‘ *
° 1 = 2 ' Са==8‘
Подставив в общее решение найденные значения Сх и С2, получим част­
ные решения, удовлетворяющие начальным условиям: х
(1/о; * т » "
= (1 /4 )/+ 2 . X
777. Решить систему дифференциальных уравнений
йх _ о
1ТЩ у '
йу _ д .
~Ш~~
'
йг_ _ п
Щ
]
Д Продифференцируем по I первое уравнение: ^ - = 2 - ^ - . Исключая из
полученного уравнения
имеем - ~ ^ = 4г- Еще раз продифференцируем по*
полученное уравнение второго порядка:
д^х
а йх
«»
И с к л ю ч а я -^ -, получим
^«Рз* - в 8л.
х -_0о ,
^
т. е. мы пришли К уравнению с одной неизвестной функцией. Решив это ли­
нейное однородное уравнение третьего порядка, находим
= с 1е* ~
Общее решение для
у
Я В соз Iу
З + С з з1п I / 3 ) .
получим из первого уравнения системы:
у= = ± . ^ - ~ [2
А иI
**
(С2 соз ( К З + С з зШ I V 'ЩЩ
+ е ~ * V 3 (С 3 соэ ^ V 3 — С2 зхп * К З)],
ИЛИ
+ у е~* [(С 3 V 3 + С г) соз | У" 3 — (С2) /
У
3 + С3) зхп *
3].
Из второго уравнения системы найдем г:
г
± . * 1 = С1е * * -± е -* [(С 3 Й й р й соз 1 1 ^ 3 - ( с 2 ^ 3 - С 8) з1п / Уз\. А.
2
с11
Решить системы дифференциальных уравнений:
778. ^ = 2 х + у , ^ < = х + 2 у \ х ( 0 ) = 1 , у ( 0) = 3.
7 7 9 - - Ж = 4 х + 6У’ ^ ■ = 2 х + З у + (.
780. ^
— у, % = 2е3*— х.
781. у ' = е * — г,
г =е~х+ у .
782. % = У+ 1 , щ Щ Й Ш
783. - § = ^ .
* ( 0) ==1* У (°) = °-
Ж = г + Р : | 1 § 3 § » (0)=4-
784. -^ - = 2 * + * / + соз*, ■||*| — х + 2 5Ш I.
138
785.
786.
йх
йу_
+
Ш
Ш
а
л
787. й1
2)
+
2 (х + у),
1,
I
йУ
аг
х2 + ху,
ш
й1
йу_
й1
Ъх + у .
. 2*
X
У+Т
1.
ху + у2.
Рассмотреть две интегрируемые комбинации:
разделить почленно первое уравнение на второе.
788. § + - 2
л
789. ^
790.
( х - у ) = Зг',
^ Ч -Г -г-2 2 *
"Ж
:| + | + 2х + г /^ 1 &
щ ш ш ш
0.
т 2х
+ п ? у = 0, «й(2
У
х2+ у 24 - г 2 ’
М
1) сложить уравнения;
йг
61
2
*
х2+ у2+ г
9 Решение линейных однородных систем дифференциальных уравнений
ППГтоянными коэффициентами с помощью матриц (видоизмененныи метод
Эйлера) Пусть дана система п линейных дифференциальных уравнении с п
неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные.
й(
йх2
= ОцХх + 012*2 + •••+ а1пх п>
# 2 1 * 1 “ Т“ &22х 2~\~ •
~ж
••
агпХП
У
= й п\Х\ + ап2Х'2+ •••+ апп х п-
Эту систему
уравнения
\ *
можно записать в виде одного матричного дифференциального
ах
АХ.
Здесь
А
О\\ 012 99• &1п
®2п
#21 ^22
йп\
ах
X
ж
й ц 2 » ••@пп
I
Ищем решение системы в виде
Щ КШ Ш
Хъ=р2.еи , •• I *п -- РпР * *
гяр 51=соп51 в; = с о п 8 4 (/= 1 , 2..........л). Подставив значения *(, х2. •••, хп
в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебранческих уравнений относительно Рх, Рг> * ••» Рп'
(а\\ — Я) рх + ахър2 + •••4" а1пРп == О»
ап рх + (а22— Ц) Рг + •••+ а 2пРп = О»
• • • •
• * * *
••• I VмИЛ
Рп —
169
Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения \
получаем уравнение л-й степени
. .:|
—
Л
щш
Я* ••• Й2я
19 11
•••
а 21
а 22
• в *
О
ап2
Последнее уравнение является характеристическим уравнением матрицы А
и в то же время характеристическим уравнением системы.
Предположим, ч^о характеристическое уравнение имеет п различных кор­
ней &х, Х2,
которые являются характеристическими числами матри­
цы А. Каждому характеристическому числу соответствует свой собственный
вектор. Пусть характеристическому числу Л& соответствует собственный вектор
{Рт\ Щ * •••» Рпк)> где 6 = 1, 2,
л. Тогда система дифференциальных
уравнений имеет п решений:
Щ
1-е решение, соответствующее корню Я= Я*:
*
п
Я
Х п = р пе^*,
;
2 -е решение, соответствующее корню X— Щ
•> %п2 — Рп2& 2 9
х 22 — Р22е^**
*12 = ЬШШ
гг-е решение, соответствующее корню %==кп:
х1п= ш Ш *
А п —Ш ж т
•> лпп
РппР
\п1
Мы получили фундаментальную систему решений. Общее решение системы
таково:
К Ш Ш ВЕш ВИ йШ
1
-йЯ
• • -{- СпХхп§
XV С г Х й С 2X12
Х2
I I
С±Х21
С 2Х 22 "Т • • иВ С п*2п 9
I
С
"Ь
I
V
«
I
I
I
I
•
4 “ •••~\~СпХпп
Случаи комплексных и кратных корней рассмотрим на примерах
791. Найти общее решение системы уравнений
<Хх\
Ж
с!х2
(11
д
7хх -|- Зх%*
6^1 -4- 4х2»
Составим характеристическое уравнение матрицы системы
7— Я
6
3
4— Я
О, или Я2— И Х -}-10 = 0.
Его корни ?ы = 1, Я2= 10 — характеристические числа матрицы.
При Я = 1 уравнения [для определения собственного вектора имеют вид
(7 — 1) рх + 3р 2 = 0 и 6/?1 + (4— 1) / 72 = 0 и сводятся к одному уравнению
%Р1 + Р 2 = 0- Последнее определяет вектор (1; — 2).
При 31= 10 получаем уравнения (7— 10) Р1-|-Зр2 = 0, 6 р 1 + ( 4 — Ш )р 4 — и,
ИлИ р 1_ р 2 — 0. Это уравнение определяет вектор (1; ^1). |
|
Получаем фундаментальную систему решений: для Я, = 1: Х ц = е , , х ц
для Я = Ю : Х12= е ш , х 2ъ = е ш .
Общее решение системы имеет вид
ПВИШа
170
792. Найти общее решение системы уравнений
V
Л
I йх
1 Щг
6л:— 12у — г,
У ^1.
1 й1
х — Зу— г,
IШ
4 х \ 2 у -\ -З г .
I й1
д Составляем характеристическое уравнение матрицы системы
1181
1
4
— 12
3—\
12
—1
1
3— %
0.
Раскрывая определитель, находим
X) (Я,2— 9 )— 48— 1 2 + 1 2 + 4 Х + 7 2 - 1 2 Ь + 3 6 - 12Х =0,
(6
или окончательно Я * - 6 Ь 2+ 11Л,— 6 = 0 . Это уравнение имеет корни ^ = 1 ,
% _ 2 Х3= 3 . Определяем собственные векторы матрицы А.
При
1 получаем систему уравнений
5р! — 12рг — Рз=
4р2— Р з = 0 .
12Ра “I- 2рз — 0,
Р—
1
одно из к о т о р ы х -с л е д с т в и е двух других. Возьмем, например, первыь два
уравнения:
5 р Я 12ра— Рз = °.
Р1— 4Рг—
Отсюда
Р1
Приняв к При \
12 — 1 . &= Ш,
1
р2
5
1
1 •к — Ак$
1
5
1
Рз
1/4, получаем собственный вектор (2; 1;
2 имеем систему
4рх — 12р2 Рз 0,
р1 — 5ра Рз 0,
4 р 1 + 12р2+Рз 0.
12
4
л
Шш
2).
I
Снова используя первые два уравнения ( т р е т ь е - и х следствие), находим
Р1
12
5
1 .6 = 7 6 ,
1
р2
4
1
1 .& = 36,
1
Рз
4
1
12 •/г
5
в*.
Полагая & = 1 , находим собственный вектор (7; 3; —8).
При 31=3 имеем систему
.
Зр* — 12ра— Рз= 0 *
I
Р1— 6р2— р8= 0 ,
\ - 4 р ! + 1 2р,
= 0.
Р1
Из последнего уравнения[ находам^р* == П ш м в ^ р а = ? Г получ^ш 0™^ 3,
в первое уравнение и находим ре
Рг* 1
—3, т. е. собственный вектор (о; 1;
Ч*
Фундаментальная система решений:
для Х = 1 : Хц = 2с*, х2{
для Х = 2: дг12 = 7е2^, *22
для Х = 3 : а'1з2=3^,
*81
Й.
Зе2*, л*з2
81 #83
^
щ ,
■8е2*,
•Зе3*.
171
Общее решение записывается в виде
х± = 7Сге* + 7 С2е 2*+ 3 С3е3*,
хш*=Сгё*+ЗС4е**+С#**,
*з = — 2Сге*— 8С**3* — ЗСве**. Д
793. Найти общее решение системы уравнений
С Ах\
,
0
Ц
4x1— Зх*,
йх2
(11
Зхх -р 4х2.
Д Составляем характеристическое уравнение матрицы системы
0; (4 — Я)2 = — 9, Я— 4 = ± 3 / , д = 4 ± 3 / ,
Определяем собственные векторы.
При Лх = 4 + 3/ получаем систему уравнении
/ 3/рх— 3/?2 = 0,
\ 3 р 1 + 3 ф 2 = 0«
■
Таким образом, р2 = 1р\. Приняв /? 1 = 1 , находим />2=*\ т. е. собственный век­
тор (1; 0'
При Я,2 = 4 — 3* получаем систему уравнений
3 ^ 1 — 3р2= 0 ,
Зрг — 3 ф 2 = 0.
Отсюда находим собственный вектор (1; — *’).
Фундаментальная система решений:
для Х1 = 4 + 3 1 :
е д = ^ 4+ 3/'>#= е 4< (соз Э/ + 1 ЗШ 3/),
х21 = 1е(4+3*)* = е4* (— зш 3 / + * соз 3/);
ДЛЯ
^
2
=
4 —
Зг.
х-[2 =
0 : (соз 3 1— I 8ш 3/),
х22 = е*1 (— зш 3 / — I соз 3/).
Итак, получаем общее решение
XI = С\в** (соз 31 + I 8Ш 3/) + с 2^ (соз 3/ — | зш 3/),
х 2=
(
— Л 3/ + 1 соз 3/)
С2еА* (— зш 3/ — | соз 3/),
т. е.
х х = е * [{С± + С2) с о з 3 / + (С*1— С2) / з ! п 3 /],
Х2 = е** [— (С 1 + С 2) зш 3/ + (С !— С2) I соз 3 /].
Полагая Сг + С2 = С и (С*— С2) { « С * , получаем
щ
=
б4* (Сх
СОЗ
З / 4 - С 2 81П 3 /),
х 2— е4* (— С*\ зш 31-\-С\ соз 3 /).
Общее решение может быть найдено и иначе. В решениях, соответствую­
щих одному из комплексных характеристических чисел, отделим действитель­
ную и мнимую части (сопряженное характеристическое число мы не рассмат­
риваем, так как решения, соответствующие корню а — Ы, линейно зависимы
с решениями для корня а + Ы ) :
^(4+3/) * _
172
соз
3/
+ /е4* 8 Ш
3 /,
1^4+ 8,>*=
—
е *1 51 П 3 / - } “
СОЗ 3 / .
Получаем два линейно независимых частных решения: хц
—
.
е4
1
31
П
3/,
Х
12
!
»
е41
з
т
3/,
х22
=
е**
соз
3/.
Общее
решение
*11
\
е %* соз 3/,
Х2 ~ ^ 1 Х 21 4" Сг*22*
Х\
т. е.
Х1**4**(С\ с о $ 3 / + ^ а 5*п 30» *а
( - С х §!п 3/ + С 2 соз 31). ^
794. Найти общее решение системы уравнений
с!XI
<11
%
йх2
<11
йх 3
А Составляем характеристическое уравнение
0
X
1
1
О = 0,
или (1— X) (1 + Х а) = 0
Характеристические числа: ^1 = 1»
^ *з =
При
1 для определения собственного вектора получаем систему уравнений
•
0,
— Рз
.
Рг— Ра 0,
1 Р1— Рг — Рз 0.
Эта система определяет собственный вектор (1; 1; 0).
При Х = I получаем систему уравнений
( (1 — 0 р 1 — Рз 0,
1
Р1 — «Ра 0,
Р1 — Ра — *Рз 0.
Эта система определяет собственный вектор (1; — *; 1 — 0*
Собственный вектор, соответствующий характеристическому числу к — — I,
мы рассматривать не будем.
Значению Х = 1 соответствуют решения
0.
*11
Значению Л,= х соответствуют решения
ё * = соз / + 1 з!п /, — ьеп = 5Ш / — * соз /,
(1 __ I) е1Х= (со з I + 51П 0 + 1 (з!п / — соз 0
Отделяя действительные части, получим решения
#12
с о з /,
Х22 = 51П /,
х 32 = с о з / + 5*п ^
Отделяя мнимые части, находим решения
#13— ЗШ/,
#23
с о з /,
#33 — 5Ш /
СОЗ /
Общее решение
#1
#2
#3
Сге* + С2 соз / + С3 зш /,
Схе * + С 2 зш / — С3 с о з / ,
С* ( с о з / + з т /) + С3 ( з ш/
соз /). А
173
795. Найти общее решение системы уравнений
йх\
ЧГ
йх*м
ЧГ
Ж — х2
Х\ -{- Зх2-
Д Решаем характеристическое уравнение:
5 — Я, — 1
1
3— Я
Если
0; (5— Я) (3— Я ) + 1 = 0; Я2
Я4 -1 6 = 0; Я1 = Х2 = 4
— корень характеристического уравнения кратности т , то этому
корню соответствует решение Х\ = р\{1)
, % = = Р% Щ е
•••» х п — Рп ( 0 ^ 1 >
где р х (I * р2 ( 0» •••» Рп ( 0 - многочлены степени не выше т — 1.
Таким образом, двукратному корню Я = 4 соответствует решение
*1 = ^ ( М + я2) , % = Ш ( М + •
Дифференцируя х± и х2, получим
йх\
^ 4/ + 4 ( М + ^2) е4*.
-{-4 (я*/-{-<?2)
ЧГ
йхх
Значения дгх, % , й1
щения на е4* имеем
йх
Ж
подставим в систему уравнений. После сокра-
о,\-}- 4 (а\1 -{- а2) = 5 (а*/ -{- а2) — (^ 1/ + 62),
& х+ 4 (^1^-)-Ь2) =
-)- а24~3 (^1^-}-Ь2).
Приравнивая коэффициенты при * и свободные члены, получаем системы
уравнений
( 4#х = Ъй\— &х,
\ 4^1 = й± -}- 3^1»
С
( #1 “}” 4Д2— 5#2— Ь%ч
\ ^1 "4“ ^ 2 ==: “Ь 3^2
=
Полагая а1 = Сх, а2 — С2 (Сх,
Отсюда следует, что
=
а2 — Ь2=
произвольные постоянные), находим ^1 = Сх, Ь2 = С 2— Сх Следовательно,
д
а
(® Ш Й . 1 1 1 Я (С ^ + С г -С х ).
Эта система проще решается методом исключения. Действительно, выразив
из первого уравнения х2 и продифференцировав, подставим затем значения х2
йх
2 во второе уравнение. В результате получим линеиное однородное урав­
и
нение второго порядка относительно Х\. Рекомендуем самостоятельно решить
данную систему методом исключения. Д
Найти общие решения систем уравнений:
йх\
ах2у
ЧГ
796.
797.
йх2
М
йх\
ахх
798.
ч
174
ЧГ
йх2
ЧГ
х1~\~х2"4“ х3*
ЧГ
йх2
Ж
йх3
й1
йхг
х1
х2 | х3>
Х1“4” х2 "4“ х3*
8х 2 — X!,
Х\ -|- х 2
/ йх±
ЧГ
799.
йх*ш
ЧГ
йх з
й1
х1— #2 “Ь *3»
х1
Х2— Х$9
2Хх — Х2
йхх
Ж
йх2
Ш
12% — 5х2,
801.
800.
~1” 12*2-
йх\
!Г
&2
802. 1 й1
йх3
т
804.
йх
41
й1
XI— 2х 2,
Хх — Х 2
15x1 — 6^2 Щ 1бхз,
йх
И
йу
й(
803
15x1— 7 х 2+ 18хз,
19^1 — &х2-|- 21х3.
йх
х — 4у,
805
х-\-у .
71
йу
сН
3х-\-у,
I х—у
(# Ф 1) х
х-Ма
ГЛАВА
V
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
§ 1. СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ, ЕГО ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события
и вероятности события.
*'
/4
Под событием понимается такой результат эксперимента или наблюдения,
который при реализации данного комплекса условий может произойти или
не произойти.
ШША
События будем обозначать буквами А , В , С, . . . . Если событие неизбежно
произойдет при каждой реализации комплекса условий, то оно называется
достоверным; если же оно не может произойти — невозможным.
Если событие А при реализации комплекса условий может произойти,
а может и не произойти, то оно называется случайным.
Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В,
будем называть суммой (объединением) событий А и В и обозначать А-\-В
или А [ ) В.
в
Событие, состоящее в наступлении обоих событии А н В, будем называть
произведением (совмещением) событий А и В и обозначать А В или А ( ) В.
События называются несовместными, если появление одного из них шу*
ключает появление других событий в одном и том же испытании.
Пусть, например, нас интересует появление определенного числа очков на
грани при одном бросании игральной кости: 1= 1, 2 ,3 , 4 , 5, 6. Выпадение кон­
кретного числа очков назовем элементарным событием (исходом), которое обо­
значим со/. Таким образом, для каждого связанного с этим опытом события А
можно выделить совокупность тех элементарных исходов со, наступление ко­
торых влечет за собой наступление события А.
Пусть событие А состоит в появлении нечетного числа очков на грани.
Этому событию благоприятствуют элементарные события <%, со3, со5, т. е. неко­
торое подмножество множества всех элементарных исходов (о1э со2, со3, со4,
©6.
Совокупность элементарных событий обозначается О и называется про­
странством элементарных событий.
Элементарные события взаимно исключают друг друга и в результате
данного опыта обязательно произойдет одно из них. Пространство элементар­
ных событий образует так называемую полную группу попарно несовместных
событий, так как появление хотя бы одного из событий полной группы есть
достоверное событие.
Два несовместных события, образующих полную группу, называются про­
тивоположными. Для противоположных событий одновременно выполняются
два условия: А -\ -А — достоверное событие и А А — невозможное событие.
Для количественной оценки возможности появления случайного события А
вводится понятие вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа т исходов, благо­
приятствующих этому событию, к числу п всех равновозможных несовместных
элементарных исходов, образующих полную группу:
Р (А) т т/п
( к л а с с и ч е с к о е о п р е д е л е н и е вероятности).
В рассмотренном примере вероятность выпадения грани с нечетным числом
очков составляет Р (Л) = 3 / 6 = 1/2.
Приведем а к с и о м а т и ч е с к о е о п р е д е л е н и е вероятности, пред­
ложенное А. Н. Колмогоровым.
176
1°. Каждому случайному событию А из поля событий ставится в соот­
ветствие неотрицательное число Р (Л), называемое вероятностью.
2°. Р (Й) = 1.
3°. А д с и о м а с л о ж е н и я . Если события А\, Л2, . . -,
попарно несовместныг то Р (А\ + Л2 + •••+ Л*) = Р (Лх) + Р (Л*) + •••+ Р
Отсюда следует, что:
1) вероятность невозможного события равна^нулю;
__
2) для любого события А Р ( Л ) = 1 — Р (А), где Л — противоположное
событие;
3) каково бы ни было случайное событие л , 0 < Р ( Л ) < 1 .
Используя эти аксиомы, свойства вероятностей выводят в качестве теорем.
К числу основных понятий теории вероятностей также относится частота
события, под которой понимают отношение числа испытаний, в которых это
событие* произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний.
Частоту события называют статистической вероятностью. Для вычисления
частоты события необходимо произвести в действительности испытания (опыт),
что не требуется для определения вероятности.
Массовые случайные события обладают свойством устойчивости частоты:
наблюдаемые в различных сериях однородных испытаний (с достаточно боль­
шим числом испытаний в каждой серии) значения частоты данного случайного
события колеблются от серии к серии в довольно тесных пределах и стре­
мятся (по вероятности) к некоторому постоянному числу. При этих условиях
частоту можно принять за приближенное значение вероятности.
При классическом определении вероятности не всегда можно определить
чиста т и п . для вычисления вероятностей событий, и поэтому непосредственно
пользоваться формулой Р ( А ) = т / п не удается. В таких случаях вводят
понятие геометрической вероятности, т. е. вероятности попадания точки в об­
ласть (отрезок, часть плоскости, часть тела и т. д.).
Пусть, например, на плоскости имеется некоторая область О и в ней со­
держится другая область (*. Требуется найти вероятность того, что точка,
взятая наудачу в области О, попадет в область §. При этом выражению «точка,
взятая наудачу в области О» придается следующий смысл: эта точка может
попасть в любую точку области О. Вероятность попадания точки в какую-либо
часть области О пропорциональна мере (те з) этой части (длине, площади,
объему и т .д .) и не зависит от ее расположения и формы:
I
^
(геометрическое
тез ^
тез О
о п р е д е л е н и е вероятности).
806. В ящике 10 перенумерованных шаров с номерами от 1
до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер
вынутого шара не превышает 10?
А Так как номер любого шара, находящегося в ящике, не превышает 10,
то число случаев, благоприятствующих событию А, равно числу всех возмож­
ных случаев, т. е. т = п = 10 и Р ( А ) = 1 . В этом случае событие А достоверно. Д
^
807. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова веро­
ятность вынуть из урны синий шар?
Д Синих шаров в урне нет, т. е. т = 0, а л = 1 5 . Следовательно, Р ( А) =
_ о/15 = 0. В данном случае событие Л — невозможное. А
808. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова
вероятность вынуть из урны черный шар?
Д
Здесь /л = 4, #==12 и
Р (А) — 4/12
1;3. Д
177
809. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара.
Какова вероятность того, что оба шара— белые?
Д Здесь число всех случаев п = С ? о = (Ю -9 )/(1 -2 ) = 45. Число же случаев,
благоприятствующих событию А, определяется равенством т СI т. е. т
= (6 - 5)/( 1- 2) = 15. Итак, Р (Л) = 15/45 = 1/3. А
810. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш
100 руб., на четыре билета — выигрыш по 50 руб., на десять би­
летов— выигрыш .по 20 руб., на двадцать билетов — выигрыш по
10 руб., на 165 билетов — выигрыш по 5 руб., на 400 билетов —
выигрыш по 1 руб. Остальные билеты невыигрышные. Какова
вероятность выиграть по билету не менее 10 руб.?
Д Здесь т
0,0175. ▲
1 4 - 4 + 1 0 + 2 0 = 35, п = 2000, т. е.
§§4)
т/п
35,2000
811. В урне 20 шаров с номерами от 1 до 20. Какова веро­
ятность вынуть шар с номером 37?
812. Монета подброшена два раза. Какова вероятность того,
что оба раза выпадет герб?
813. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5,
а во втором — с номерами от 6 до 10. Из каждого ящика вынули
по одному шару. Какова вероятность того, что сумма номеров
вынутых шаров: 1) не меньше 7; 2) равна 11; 3) не больше 11?
814. В лотерее 1000 билетов. Из них 500— выигрышные и
500— невыигрышные. Куплено два билета. Какова вероятность
того, что оба билета выигрышные?
815. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 уче­
ников получили оценку «ютлично», 10 учеников— «хорошо», 9 уче­
ников— «удовлетво р и т е л ьно». Какова вероятность то­
в 4го,
что
все
три
ученика,
выз­
Л
А
и
€
о
с
ванные к доске, имеют неуРис. 37
Д01 летворительные оценки по
контрольной работе?
816. На отрезке ОА длины Ь числовой оси Ох наудачу нане­
сена точка В(х). Найти вероятность того, что отрезки ОВ и В А
имеют длину, большую Ь/4,
Д Разобьем отрезок ОА на четыре равные части точками С, О, Е (рис. 37).
Требование задачи будет выполнено, если точка В попадет на отрезок й Е ,
длина которого равна /,/4._Следовательно, р = (Ь/4) :Ь = 1/4. Д
817. Внутри эллипса х2/25 + ^2/ 1 6 = 1 расположен круг х2 +
+ г/2г=9. Найти вероятность попадания точки в кольцо, ограни­
ченное эллипсом и кругом.
Д Пусть событие А — попадание точки в кольцо. Тогда Р (Л) = 5 К0Д/5 ЭЛ)
я аЬ—л г2. Так как а — 5, Ь= 4, г — 3, то
где 5 КОЛ 5 ЭЛ 5 К
Р (А) Щ (20я— 9л)/(20л) = 11/20 = 0,55. А
178
П р и м е ч а н и е . В случае классического определения вероятность невоз­
можного события равна нулю. Справедливо и обратное утверждение, т. е. если
вероятность события равна нулю, то событие невозможно. При геометрическом
же определении вероятности обратное утверждение не имеет места. Вероятность
попаданий брошенной точки в одну определенную точку области О равна нулю,
однако это событие может произойти и, следовательно, не является невозможным.
818 ( З а д а ч а о в с т р е ч е ) . Два студента А и В условились
встретиться в определенном месте во время перерыва между 13 ч
и 13 ч 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин,
после чего уходит. Чему равна вероятность
их встречи, если приход каждого из них в
течение указанных 50 мин может произойти
наудачу и моменты прихода независимы?
Д Обозначим момент прихода студента А через
х, а студента В — через у. Д ля того чтобы встреча
произошла, необходимо и достаточно, чтобы | х — у | ^
< 10. Изобразим х и у как декартовы координаты на ‘и
плоскости, а в качестве единицы масштаба выберем
одну минуту (рис. 38). Всевозможные исходы <изо- »
бразятся точками квадрата со стороной 50, а исРис. 38
ходы, благоприятствующие встрече,— точками за­
штрихованной области. Искомая вероятность равна отношению площади за­
штрихованной фигуры к площади всего квадрата:
р В (502— 402)/503 = 0,36. 4
819. Точка взята наудачу внутри круга радиуса Я. Найти
вероятность того, что эта точка окажется от центра на расстоя­
нии, меньшем г Ц < Ш
„ „
820. Точка взята наудачу внутри круга радиуса К. Наити
вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в
круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность
попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой
части и не зависит от расположения внутри круга.
821. Быстро вращающийся диск разделен на четное число
равных секторов, попеременно окрашенных в белый и черный
цвет. По диску произведен выстрел. Найти вероятность того, что
пуля попадет в один из белых секторов. Предполагается, что
вероятность попадания пули в плоскую фигуру пропорциональна
площади этой фигуры.
§ 2 . ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИ^ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. УСЛОВНАЯ
ВЕРОЯТНОСТЬ
Т е о р е м а с л о ж е н и я в е р о я т н о с т е й . Вероятность
несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.
суммы двух
Р(А+В)=Р{А)+Р(В).
Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных
событий:
Событие А называется независимым от события В , если вероятность собы­
тия А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А назы­
вается зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зави­
симости от того, произошло событие В или нет.
Вероятность события Л, вычисленная при условии, что имело место дру­
гое событие В , называется условной вероятностью события А и обозначается
,
р (Л/в).
Условие независимости события А от события В можно записать в виде
Р (А/В) = Р (А), а условие зависимости— в виде Р (А/ В) Ф Р (Л).
Т е о р е м а у м н о ж е н и я в е р о я т н о с т е й . Вероятность произведения
двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную веро­
ятность другого , вычисленную при условии , что первое имело место:
Р ( А В ) = Р ( А) - Р (В/А)
или
Р (ЛВ) = Р (В) • Р (А/В).
Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от со­
бытия Л; тогда
Р (Л В ) = Р ( Л ) .Р ( В ) .
Условная вероятность события Л*, определенная в предположении, что
осуществились события А \, Л2,
Л * _ х, обозначается Р (Л*/ЛХЛ2. . . А ^ г).
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению еероятностей этих событий , причем вероятность каждого следующего по порядку
события вычисляется при условии , что все предыдущие имели место:
Р ( Л И а - .. Л * ) = Р ^ Д
А ^ = Р ( АО- Р ( А М - Р (А3/А 1А ^ ...Р
В случае независимых событий справедлива формула
р(\<=1
и л Л/
= ц т - ) »=1
$
822. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных
шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый
шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий
или красный; белый, черный или синий.
Д Имеем п = 1 0 + 1 5 + 2 0 + 2 5 = 70, Р (Б) = 1 0 /7 0 = 1/7, Р (Ч) = 15/70=3/14,
Р (С) = 20/70 = 2/7, Р (К) = 2 5 /7 0 = 5/14. Применив теорему сложения вероят­
ностей, получим
,
;у
р (Б + Ч) = Р (Б) + Р (Ч) В 1 /7 + 3 /1 4 = 5 /1 4 ;
Р ( С + К ) = Р (С) + Р (К) = 2 / 7 + 5 / 1 4 = 9/14;
Р ( Б + Ч + С) = 1 — Р ( К ) = 1— 5/14 = 9/14. Д
823. В первом ящике 2 белых и 10 черных шаров; во втором
ящике 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по
шару. Какова вероятность, что оба шара белые?
Д В данном случае речь идет о совмещении событий А и В, где событие
А — появление белого шара из первого ящика, событие В — появление белого
шара из второго ящика. При этом А и В — независимые события. Имеем
Р (Л ) = 2 / 1 2 = 1 /6 , Р (б) = 8 /1 2 = 2/3. Применив теорему умножения вероятнос­
тей, находим
Р {АВ) = Р { А) . Р (В) = (1/6)■ (2/3) = 1/9. Д
824. В условиях предыдущей задачи определить вероятность
того, что один из вынутых шаров белый, а другой— черный.
180
I
Щ Пусп»:? 4-'
-п
событие А — появление белого шара из первого ящика;
*
»
в —
СУ—
»
»
»
черного
»
»
» второго
» первого
»
_
» (С = Л);
»
X)—
»
»
»
» второго
» ( 0 = В).
Тогда Р (А) = 1/6, Р (В) = 2/3, Р (С) = Р (Л) = 1— 1/6 = 5/6, Р ( 0 ) = Р (В ) = 1 —2 /3 = 1/3.
.
.
.
Определим вероятность того, что ш ар, вынутый из первого ящика, белый,
а из второго я щ и к а — черный:
Р ( Ж ) ) = Р ( Л ) .Р ( Я ) = (1/6). (1 /3 )= 1/18.
Определим вероятность того, что шар, вынутый из первого ящика, черный,
а из второго я щ и к а — белый:
Р (ВС) = Р ( В ) - Р ( С ) = (2/3) • (5/6) = 5/9.
Определим теперь вероятность того, что шар, вынутый из одного ящика
(безразлично из первого или второго), окажется белым, а шар, вынутый из
другого ящ ика,— черным. Применяем теорему сложения вероятностей:
Р = * Р ( Л 0 ) = Р(ВС) = 1/18 + 5 / 9 = 11/18. А
825. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули
два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероят­
ность того, что оба шара белые.
А Пусть событие А — появление белого шара при первом вынимании;
событие В — появление белого шара при втором вынимании. По теореме Умно­
жения вероятностей для случая зависимых событий имеем Р (АВ) — Р (А)-Р{В/А).
Но Р (Л) =6/(6-{-8) = 6/14 = 3/7 (вероятность появления первого белого шара);
р(В/у4) = (6— 1 )/(6 + 8 — 1) = 5/13 (вероятность появления второго белого шара
в предположении, что первый белый шар уже вынут). Следовательно, Р (АВ)
= (3/7) • (5/13> = 15/91. Д
826. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75,
для второго— 0,8, для третьего— 0,9. Определить вероятность
того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.
Д Р (Л) = 0,75, Р (В) = 0 ,8 ,
= 0,75-0,8-0,9 = 0,54. Д.
Р (С) = 0,9;
Р (АВС) = Р (А)-Р (В)-Р (С) =
827. В условиях предыдущей задачи определить вероятность
того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.
Д Здесь Р (Л ) = 1— 0,75 = 0,25 (вероятность промаха первого стрелка);
р ^ щ — 1 __0 ,8 = 0 ,2 (вероятность промаха второго _стрелка); Р ( С ) = 1 0,9=0,1
(вероятность промаха третьего стрелка); тогда Р (ЛВС) вероятность одновре­
менного промаха всех трех стрелков— определится следующим образом:
| (АВС) = Р (А) - Р (В) • Р (С) = 0,25- 0,2 - 0,1 = 0,005.
Но событие, противоположное событию АВС, заключается в поражении_цели
хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность Р = 1— Р (АВС),
т. е. Р = 1 - 0 ,0 0 5 = 0,995. А
828. Вероятность выхода станка из строя в течение одного
рабочего дня равна а (а — малое положительное число, второй
181
степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того,
что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя? Решить задачу
при а = 0,01.
^8
Д Так как 1— а — вероятность того, что станок не выйдет из строя в те­
чение дня, то по теореме умножения вероятностей (1— а )? — вероятность того,
что станок не выйдет из строя в течение 5 дней.
Воспользовавшись биномиальным разложением и пренебрегая членами,
содержащими а 2, а 3, а 4 и а 5, получим приближенное равенство (1 — а)! » 1— 5а,
т. е. Р « 1 — 5а. Приняв а = 0,01, получаем Р « 0,95. А
829. В ящике а белых и Ь черных шаров. Какова вероятность
того, что из двух вынутых шаров один белый, а другой— чер­
ный? (Вынутый шар в урну не возвращается).
Д Пусть:
событие
»
»
»
1
А — появление белого шара при первом вынимании;
В—
»
черного »
» втором
»
;
С—
»
»
»
» первом
»
;
О—
»
белого
»
» втором
»
*
Вычислим вероятность того, что первый вынутый шар белый, а второй —
черный:
'
р ^ р ^ . е { в / А ) = ~ - ь ■^ г т =
(а+ > )
Найдем вероятность того, что первый вынутый шар черный, а второй —
белый:
Р, = Р
(С)‘Р
( В Д = ^ _ .
Таким образом, вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а
другой — черный, определится по теореме сложения: Р =
+ Р 2| т. е.
Р = ---------- —
-----------
{ а + Ь ) ( а + Ь — 1)
А
А
830. В ящике а белых, Ь черных и с синих шаров. Вынули
один шар. Вычислить вероятность того, что вынутый шар: 1) бе­
лый; 2) черный; 3) синий; 4) белый или черный; 5) белый или
синий; 6) черный или синий.
831. В первом ящике а белых и Ь черных шаров; во втором
ящике с белых и д, черных шаров. Из каждого ящика вынули по
шару. Какова вероятность того, что оба шара черные?
832. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна рк,
а вторым стрелком— рг. Стрелки выстрелили одновременно. Ка­
кова вероятность того, что один из них попадет в цель, а дру­
гой не попадет?
833. Вероятность того, что в южном городе N температура в
июле в любой день меньше 5°, равна а ( а — малое число, квад­
ратом которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что
в течение первых трех дней июля температура будет не меньше 5°?
834. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара;
во втором ящике 2 белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого
182
ящика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых
шаровч нет синих?
835. Вероятность того, что в течение дня произойдет непо­
ладка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в тече­
ние четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки?
836. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать
делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать
выбор случайным), что выбраны: 1) два мальчика; 2) две девоч­
ки; 3) девочка и мальчик?
837. В урне 9 белых и 1 черный шар. Вынули сразу три шара.
Какова вероятность того, что все шары белые?
838. Производят три выстрела по одной мишени. Вероятность
попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность
того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно
попадание.
§ 3. ФОРМУЛА БЕРНУЛЛИ. НАИВЕРОЯТНЕЙШЕЕ ЧИСЛО
НАСТУПЛЕНИЙ СОБЫТИЯ
Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых векоятность появления события А одна и та же и равна р, то вероятность того,
что событие А появится в этих п испытаниях ш раз, выражается формулой
Бернулли
п
_
Гт
пМпп~т
Г т.
*
т . пп — ^ п Р Я
где <7 = 1 — р. Таким образом,
И Н^ЯЙ
Р г' " = п ( ь 2 ~ р2(?п~ 2’
ж 'Ш
ш
Число тп называется каивероятнейшим числом наступлений^события А ъ п
испытаниях, если значение Р Шл п ПР И т Ш т о не меньше ^остальных значении
Рт
т. е.
ПРИ
ОЕсли р т* 0 и р Ф 1, то число т0 можно определить из двойного неравенства
пр—
Разность граничных значений в этом двойном неравенстве равна 1. Е с л и л р + р
не является целым числом, то двойное неравенство определяет лишь одно наи­
вероятнейшее значение т0. Если же п р + р — целое число, то имеются два
наивероятнейших значения: т ' = л р — <7 и т'а — п р -\-р .
839. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд
4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед
извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова
вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется два
белых?
Д Вероятность извлечения белого шара р = 2 0 /3 0 = 2 /3 « о ^ ^ н т а т ь
одной и той же во всех четырех испытаниях; <7= 1 — р - 1 / 3 . Используя фор
мулу Бернулли, получаем
2 \ 2/ 1 \ 2
8
840. Вероятность появления события .4 равна 0,4.
Какова
сооыт не
бо
Д Здесь р — 0,4, <7= 0,6. Имеем:
вероятность появления события А 0 раз: Р ^ и — Ч19'.
>
»
>
*
»
*
*
»
»
» 1
»: ^1,10=
» 2 раза: Р 31в = 45ргд8;
»3
»: Р з’ю = 120р*7т.
состав
Р = РоДО+ ^>1 ,1*+ Р*,1»+ Р а,К>>
т. е.
р = д 1в4 - 10р*7*45рV + 120р*^7, или Р = <?7 (?* + 10</2р4-45(?р5-|- 120рэ).
П о л а г а я > = 0,4, </ = 0,6, получим Р = 0,67 (0 ,2 1 6 + 1 ,4 4 + 4,32+ 7,68)к 0,38. А
841. Определить вероятность того, что в семье, имеющей пять
детей, будет три девочки и два мальчика. Вероятности рожде­
ния мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.
**
Д Вероятность рождения девочки р = 0 ,5 , тогда <7=1—р = 0 ,5 (вероятность
рождения мальчика). Значит, искомая вероятность
842. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того,
что среди детей будет не больше трех девочек.
Е 5 - 1 тУ-я; '« -‘•(т)'-я«
Рм я | 1 ' [ т ) “ Тб' Р з.5= 1 0 '('2 ‘) = 1б’
Р “ Р»»Д+ Р1,§+ / ’*.»
^
843. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того,
что 6 раз она упадет гербом вверх?
844. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того,
что она упадет гербом вверх не больше трех раз?
845. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех
вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Како­
ва вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и
одна девочка?
_
846. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 чер­
ных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова
вероятность вынуть два белых и два черных шара?
847. В урне 10 белых и 40 черных шаров. Вынимают под­
ряд 14 шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а за­
тем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число
появлений белого шара.
184
Д Здесь п = 14, р — 10/50 = 1/5, <7=1— р = 4/5. Используя двойное нера­
венство п р — д ^ т 0 ^ п р - ^ - р при указанных значениях п, р и <7, получим
\
14/5— 4 / 5 1 4 / 5 + 1 / 5 , т. е. 2 < ш 0 ^ 3 .
Таким образом, задача имеет два решения: т о = 2, т о = 3. Д
848. Вероятность попадания стрелком в цель равна 0,7. Сде­
лано 25 выстрелов. Определить наивероятнейшее число попаданий
в цель.
Д Здесь л = 25, р —0,7, <7= 0 ,3 . Следовательно,
25-0,7— 0,3 * ^ т 0 «^25-0,7
0,7, т. е. 17,2
18,2.
Так как т — целое число, то т 0 = 18. Д
849. В результате многолетних наблюдений установлено, что
вероятность выпадения дождя 1 октября в данном городе равна
1/7. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 1 ок­
тября в данном городе за 40 лет.
Д Имеем п = 40, р = 1/7, <7 = 6 / 7 . Таким образом,
4 0 - у —у < т о< 4 0 - у + у , 4 у < т 0 < 5 у , т. е. т 0 = 5. Д
850. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность
того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стан­
дартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в
которых все детали стандартные.
851. В урне 100 белых и 80 черных шаров. Из урны извле­
кают п шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наивероят­
нейшее число появлений белого шара равно 11. Найти п.
Д Из двойного неравенства п р — <7 ^ / я 0 ^ л р + р следует, что
(т0 — р)/р < п < (т0 + ^ )|р .
Здесь т 0 = И , р = 100/180 = 5/9, <7= 4/9; следовательно,
11 — 5 /9 _
. 1 1 + 4/9
1я я
ол с
- 5 / Г - < “ 5/9- , т . е. 1 8 , 8 < п < 2 0 , 6 .
Итак, задача имеет два решения: пг = \9, л2 = 20. Д
852. Можно ли в предыдущей задаче изменить числовые зна­
чения т0 и р так, чтобы задача не имела решений?
853. Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий,
а второй— 140 изделий, причем вероятности того, что эти изде­
лия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Оп­
ределить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изго­
товленных каждым рабочим.
854. Имеется 100 урн с белыми и черными шарами. Вероят­
ность появления белого шара из каждой урны равна 0,6. Найти
наивероятнейшее число урн, в которых все шары белые.
Я ' •'
I
..
185
§ 4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БЕЙЕСА
Если известно, что событие А может произойти вместе с одним из собы­
тий Я , Я2, . . . , Я „ (гипотез), образующими полную группу попарно несовмест­
ных событий, то событие А можно представить как объединение событий АНг,
А Щ ........... А Н п, т. е. А = А Н 1+ А Н г + . . . + АН п. Вероятность события А
можно определить по
р (А) — Р (Нх)-Р ( А/ Н^ + Р (Н2)-Р (А/Н 2) + . . . 4 - Р (Нп) ‘Р ( А/ Нп),
или
П
Р (Л) = 2 1 I I /) ■'■р (■А‘Ш г)
1= 1
Эта формула называется формулой полной вероятности.
Условная вероятность события Я | в предположении, что событие А уже
имеет место, определяется по формуле Бейеса:
д
а
м
» Ни.*
|
V р ( А, 1/а Р <Н,)
л
Ш
Вероятности Р (Я//Л), вычисленные по формуле Бейеса, часто называют
вероятностями гипотез.
Ж
1*= 1
; .
855. Имеются четыре урны.' В первой урне 1 белый и 1 чер­
ный шар, во второй— 2 белых и 3 черных шара, в третьей— 3
белых и 5 черных шаров, и четвертой— 4 белых и 7 черных
шаров. Событие Н {-в ы б о р *-й урны 0 = 1, 2, 3 ^ И з в е с т н о , что
вероятность выбора 1-й урны равна 1/10, т. е. Р ( л х) — 1/10, Я ( л 2)
= 1/5 Р (Н ) = 3/10 Р ( Я 4) = 2/5. Выбирают наугад одну из урн
и вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар
белый.
I
'
лЯ
д Из условия следует, что РИ И = 1/2 (условная вероятность^извлече­
ния белого шара из первой урны); аналогично Р ( Л / Я 2) = 2/5, Р ( Л / « > ) - З И,
Р (Л /Я 4) = 4 /1 1 . Вероятность извлечения белого шара находим по формуле
полной вероятности:
'
Ш
Р ( А) — Р (Ш •р ( А/Н!) + Р (Н2) - Р (Л /Яг) 4- Р (Я 3) • Р (Д/Яз) 4- Р (Я 4) •Р ( А/ Н 4) =
1
1 ,1
2 , 3
3 ,2
4
1707
^ Т О 1 Т Й § |§ I 5 М 0 ‘ 8 Ц 5 И
4400 ‘
856. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом
ящике 20 белых шаров, во втором— 10 белых и 10 черных ша- I
пов в третьем— 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика
вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут
из первого ящика.
|
Щ
А Пусть Н л # 2,
— гипотезы, состоящие в выборе соответственно первого второго и третьего ящика; событие Л -п о я в л е н и е белого шара. Тогда
р ( н\ ) = Р (Н*) = Р ( Н з) = 1/3 (выбор любого из ящиков Рав“?^™ожен_),
Р (А1Нл) = 1 (вероятность извлечения белого шара из первого ящика); Р ( А/ 2)
= 1 0 /2 0 = 1 /2 (вероятность извлечения белого шара из второго ящика),
Р ( А / Н ‘А = 0 (вероятность извлечения белого шара из третьего ящика).
Искомую вероятность р ф х / А ) находим по формуле Бейеса.
Р.
186
Ь(1/3)
___ ____ _2 А
1. ( I/3) 4_ (1/2) -(1 /3) 4- 0 *(1/3)
З ‘т
857.
В ящике имеется N изделий, среди которых могут быть
и бракованные. Вынутое наугад изделие оказалось небракованным.
Определить вероятность того, что: все изделия в ящике небракованные;\ N — 1 изделий небракованных и одно изделие бракованное;
N — 2 изделий небракованных и два изделия бракованных; . . . ;
все N изделий в ящике бракованные.
Д Гипотезы до опыта: Н 0— все изделия в ящике небракованные; \Н 1—
одно изделие бракованное; Н 2— два изделия бракованных; . . . ; Н^г— все
изделия бракованные. Событие А — появление небракованного изделия. Тре­
буется найти Р ( Н 0/А), Р( Нх/ А) , Р ( Н 2/А), . . . , Р (#дг/Л).
Пусть до опыта все гипотезы равновозможны:
I (Н0\ = Р Л ! = Р (Н2) = . . . | |
,
т. е.
Р ( А/ Н0) = I, Р ( Л / Я 1) =
^ ,
Р ( А / Н 2) = Щ В
1 ) = 4 \ > Р ( А / Н „ ) = 0.
Отсюда находим
Р (Н0/А)
1
N+1
1 , Л Г - 1 _ 1 ___
1•
^ 4 -1 "*
N ' ЛГ+1"Г • • • _г N
1
1 , 2 ,
щ
. ^ - > . 1
1 , 0
N +1^
N
1+ 2 + . . . + У У - 1 + ЛГ
1
N+1
2
Л/ + Г
лГ+ л Г + ” -+ _ л Г + 1
Аналогично получаем
РШ Л
|Ц |.^
,
Р
(Я2/Л ) = ^ | ™ |
. . . , Р (Нм/А)
2 . 0 = 0. А
N+1
858.
В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй
3 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую перело­
жили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один
шар. Определить вероятность того, что вынутый шар— белый.
После того, как из второй урны переложили в первую один шар,
в первой урне оказалось две совокупности шаров: 1) 5 белых и 10 черных
шаров, первоначально находившихся в этой урне; 2) один шар, переложен­
ный из второй урны. Вероятность появления белого шара из первой совокуп­
ности составляет Р р Й Ь ) = 5 / 1 5 = 1/3, а из второй^ совокупности Р ( А / Н 2) =
= 3/10. Вероятность того, что произвольно вынутый шар принадлежит первой
совокупности, есть Р ( Нг) = 15/16, а второй совокупности — Р ( Н2) = 1/16.
Используя формулу полной вероятности, получим
Д
Р (А) = Р (НХ) . Р (А/Нг) + Р (Я2)-Р (Л ///2) = тв * -з + уё • То= 160 • А
859.
В первой урне 1 белый и 2 черных шара, во второй —
100 белых и 100 черных шаров. Из второй урны переложили
187
в первую один шар, а затем из первой урны вынули наугад один
шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился
во второй урне, если известно, что он белый?
§ 5. СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА И ЗАКОН ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Если каждому элементарному событию со из некоторого множества собы­
тий Й можно поставить в соответствие определенную величину Х ~ Х (со), то
говорят, что задана случайная величина. Случайную величину X можно рас­
сматривать как функцию события со с областью определения Я.
Случайная величина может принять то или иное значение из некоторого
числового множества, однако заранее неизвестно, какое именно. Случайные
величины принято обозначать большими буквами X, К,
а принимаемые
ими значения— соответствующими строчными буквами
у, . . . .
Если значения, которые может принимать данная случайная величина д ,
образуют дискретный (конечный или бесконечный) ряд чисел Х\9
• • • 9хП9 . . . ,
то и сама случайная величина X называется дискретной.
^
Если же значения, которые может принимать данная случайная величина л ,
заполняют конечный или бесконечный промежуток ]а9 Ь[ числовой оси 0 х 9 то
случайная величина называется непрерывной .
Каждому значению случайной величины дискретного типа х н отвечает
определенная вероятность р п\ каждому промежутку ]а, Ь[ из области значе­
ний случайной величины непрерывного типа также отвечает определенная
вероятность Р (а < X < Ь) того, что значение, принятое случайной величиной,
попадет в этот промежуток.
I
Соотношение, устанавливающее тем или иным способом связь между воз­
можными значениями случайной величины и их вероятностями, называется
законом распределения случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается
рядом распределения :
1
Р1
*2
Хз
п
Р2
Рз
Рп
П
р . == 1, где суммирование распространяется на все (конечное или
При этом
- .'С
^
^
___
бесконечное) множество возможных значений данной случайной величины X.
Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать
с помощью так называемой функции плотности вероятности /(* ). Вероят­
ность Р (а < X < Ь) того, что значение, принятое случайной величиной X,
попадет в промежуток ]а, Ь[, определяется равенством
Р Щ< X < Ц
| Щ йх.
I/
а
График функции /(* ) называется кривой распределения. Геометрически
вероятность попадания случайной величины в промежуток] а, Ь[ равна пло­
щади соответствующей криволинейной трапеции, ограниченной кривой распре­
деления, осью Ох и прямыми х = я, х = Ь (рис. 39).
Функция плотности вероятности / (х) обладает следующими свойствами.
188
1°. / ( * ) > 0.
4 оо
2°.
( \ ! (•*) йх — 1
—«Л
зн
ач
ен
и
я
случ
ай
н
ой
величины
X
заключены
в
промежутке
]а,
Ь[,
то
если все
ь
последнее равенство можно записать в виде ^ / (х) йх
а
Рассмотрим теперь функцию Р( х) = Р { Х < х ) . Эта функция называется
функцией распределения вероятности случайной величины X . Функция Г (х)
существует как для дискретных, так и для
непрерывных случайных величин. Если
п х\ — функция плотности распределения ве­
роятности непрерывной случайной величины
К то
X
*
С / (х) йх.
г т
Рис. 39
—00
Из последнего равенства следует, что
|
{ (я)= Р' (*)•
Иногда функцию Их) называют дифференциальной функцией распределе­
ния вероятности, а функцию Р (х)— интегральной функцией распределения
ве^°Отметим важнейшие свойства функции распределения вероятности.
1°. р (х) — неубывающая функция.
2°, Р (— о о )= 0 ,
Понятие “функции распределения является центральным в теории вероят­
ностей Используя это понятие, можно дать другое определение непрерывной
случайной величины. Случайная величина называется непрерывной, если ее
интегральная функция распределения Р {х) непрерывна.
860.
Даны вероятности значений случайной величины X.
значение 10 имеет вероятность 0,3; значение 2 вероятность 0,4,
значение 8 — вероятность 0,1; значение 4 — вероятность 0,2. По­
строить ряд распределения случайной величины X.
Д Расположив значения случайной величины в возрастающем порядке,
получим ряд распределения:
Ш
2
4
8
Ю
0,4
0 ,2
0,1
0,3
<кя
Возьмем на «
Ш
| |
Щ
И
®
ЕШ-лк»дг?™»я■мк
ш
,и
я
ы
*р40)-А
~■
139
861. Случайная величина X подчинена закону распределения
с плотностью / (*), причем
при х < О,
О
а (Зх— х2) при
О
при х > 3
/(* )
3,
Требуется: 1) Найти коэффициент а\ 2) построить рафик
пределения плотности г/= / (•*)'» 3) найти вероятность попадания л
в промежуток ]1, 2[.
ВШ И
Р\
0,3
0,2
0,1
2.
о
Ч-
В
8
Ю X
Рис. 41
Рис. 40
д
1 Т ак к а к все значения данной случайной величины
3
отрезке [0, 3], то С а (Зх— х 2)
| откуда
о
3
1, т. е. а
х8
3
2
2) Графиком функции / (я) в интервале [0, 3] является
= Л х _ _ 1 . х 2, а вне этого интервала
3
9
|
заключены на
-Кг-лМШ
2
9 *
парабола у
графиком служ ит сама ось
абсцисс
■
(РИ°3)4 Вероятность попадания случайной величины X в промежуток ]1, 2[
найдется из равенства
■
»а
' - ’• ‘
13
4
16
2зг
2 2
2
▲
йх
Р (1 < X < 2)
3
27
3
'
27
2
7
'
27
3
9
3
________________ ш
и
ш
1
862. Дан ряд распределения случайной величины X:
1°
ч
0 ,2
Р1
20
0 ,3
30
0,35
40
0,1
50
0,05
функцию распределения вероятности этой случайной ве­
личины.
20,
30,
40,
30 < х
50,
40 < х
х > 50,
&
»
»
»
»
10 < х
20 < х
то Р { х ) = Р { Х < х) = 0 ;
0 ,2 ;
» Р (х) Р ( Х < х )
0 , 2 + 0 , 3 = 0,5;
Р(Х<х)
» Р( х )
0 , 2 + 0 , 3 + 0 , 3 5 = 0,85;
Р(Х<х)
» Р(х)
0,2
+
0
,
3
+
0
,
3
5
+
0,1
=
0
,9
5
;
Р
(
Х
<
х
)
» Р(х)
0 , 2 + 0 , 3 + 0 ,3 5 + 0 ,1 + 0 ,0 5 = 1-А
» шш. Р { Х < х )
I
863. Случайная величина X задана функцией распределения
и
«
оч
(и н т е г р а л ь н о й ф у н к ц и е й )
(
0
при х < 1
| (*— 1)/2 при 1 < х < 3 ,
1
при х > 3.
Р (х) =
Вычислить вероятности попадания случайной величины X
в интервалы ]1 ,5; 2,5[ и ]2,5; 3,5[.
А Р 1 = /7 (2,5) — Р (1.5) = (2,5— 1)/2— (1,5— 1)/2 = 0,75— 0,25 = 0,5,
Р а = Р (3,5) Ц | (2,5) = 1— (2,5 - 1)/2 = 1- 0,75 = 0,25. Ц
864. Случайная величина X задана функцией распределения
(
0
при х < 2,
| (х— 2)2 при 2 < л < 3 ,
(
1
при х > 3.
р(х) =
Вычислить вероятности попадания случайной величины X в ин­
тервалы ]1; 2,5[ и ]2,5; 3,5[.
.
А
Р\—Р (2,5)— Р (1) = (2,5— 2)а— 0 = 0 ,2 5 ,
Р 2 = Р (3,5) — Р (2,5) = 1— (2,5— 2)2 = 1— 0 ,2 5 = 0 ,7 5 . Д
865. Случайная величина X задана функцией распределения,
указанной в предыдущей задаче. Наити плотность распределения
(дифференциальную функцию распределения) случайной величины.
Д Плотность распределения равна производной функции распределения,
г. е. Ц х ) — Р г {х), поэтому
^
™
С
0
при х < 2,
Д х ) = ч 2 (лс— 2) при 2 < х < 3 ,
|
0
при х > 3.
866. Стрелок производит по мишени три выстрела. Вероят­
ность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,3. По­
строить ряд распределения числа попадании.
Воспользоваться формулой Бернулли.
867. В урне имеются четыре шара с номерами от 1 до 4.
Вынули два шара. Случайная величина X
сумма номеров ша­
ров. Построить ряд распределения случайной величины X.
868. Случайная величина А' подчинена закону распределения
с плотностью
а
I \х )
1
/ у о2— X8 при 1*1 < а,
0
при | х |
а.
Т р е б у е т с я : 1) н а й т и к о э ф ф и ц и е н т а \ 2) н а й т и в е р о я т н о с т ь п о п а ­
д а н и я с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы X н а у ч а с т о к ]# /2 , а [ ; 3) п о с т р о и т ь
граф ик р асп р ед ел ен и я п л о тн о сти в ер о я тн о сти .
869. П о к а з а т ь , ч т о ф у н к ц и я / ( х ) « 1 /( * 2 + я 2) я в л я е т с я п л о т ­
ностью в е р о я т н о с т и н е к о т о р о й с л у ч а й н о й в е л и ч и н ы А , и вы чи -
191
слить вероятность попадания случайной величины X на участок
К
ОО
[•
функция
чины X :
(
/(* )
О при х < О,
а §1л х при О
О при X > л.
л,
Определить а и Р (х).
871. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули один шар.
Случайная величина X — число вынутых белых шаров, Построить
функцию распределения Р (х).
|
§ 6. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ
СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется
сумма произведений значений случайной величины на вероятности этих зна­
чений.
ТуШШ
Если случайная величина X характеризуется конечным рядом распреде­
ления:
XI
Р1
Х±
Х‘2
Хз
•М
Ж
Р2
Рз
и •
П
Рп
математическое
ожидание
М
(X)
определяется
по
формуле
ТО
п
М (.X) = х 1р 1+ х 2р ъ + . . . + х прп, или
М (X) щ 2 х1 Рг
1= 1
(1)
Так как Рх-\~Р2 ~\~ • • • “{“Р п ~ 1 > т0
М(Х)
х 1р 1 4 “ Х 2Р 2 “1“ • • • ~]~ХпРп
Р1 + Р2 + • • ■+ Рп
Таким образом, М (X) является взвешенной средней арифметической значений
случайной величины х±9 х2% •••» хп при весах рх, р 2, •••» Рп*
00
I ГТ
‘: ' .”;Й
Если п = 00, то М (X) == 2 Р&г (ПРИ Условии» что рад абсолютно схо1=1
.
В
ДИТСЯ) •
р'1а №Я '
Понятие математического ожидания распространяется й ]н а непрерывную
случайную величину. Пусть / (х) — плотность вероятности случайной величины X.
Тогда математическое ожидание непрерывной случайной величины X опреде­
ляется равенством
+ се
м (X)
С х] (*) йх
—00
(при условии, что интеграл абсолютно сходится).
Геометрически математическое ожидание как непрерывной, так и дискрет­
ной случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограничен­
ной кривой (или полигоном) распределения и осью абсцисс. Поэтому при
192
имметрии кривой (или полигона) распределения относительно некоторой пряой, параллельной оси ординат, математическое ожидание совпадаете абсцисой точка пересечения этой оси симметрии с осью абсцисс.
Точка оси О*, имеющая абсциссу, равную математическому ожиданию
луч а й ной величины, часто называется центром распределения этой случайно»!
Р
«ЛИЧИНЫ.
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квад»ата отклонения случайной величины от ее математического ожидания;
я
0 ( Х ) * А 1 [ Х — М (X))3.
Если ввести обозначение М (X) = т , то формулы для вычисления дисперии дискретной случайной величины X запишутся в виде
й (А) =
\
2 р! (•*<•— *)*•
1*1
■;,Г |
о ( * ) *= 2
Л (дг~
**1
(2)
т )Я (ПРИ п =* * ) •
1 1 для непрерывной случайной величины X — в виде
+ 00
(3)
0{Х)
—се
Д ля дисперсии случайной величины справедлива формула
0 ( Х ) = М [ ( Х — а)2] — [М (X )— а ] \ или О (X) = М [(X — а)2] — ( т — а ) \
(4)
где а — произвольное число. Этой формулой часто пользуются для вычисления
дисперсии случайной величины, так как вычисление по этой формуле обычно
проще, чем по формулам (2) и (3).
Средним квадратичным отклонением случайной величины X называется
величина <т* = У о Щ Среднее квадратичное отношение есть мера рассеяния значении случай­
ной величины около ее математического ожидания.
872. Дана функция
(
Их)
при х < О,
О
(1/2) §1л х при О
О
I при X > я
я,
'
Показать, что /(х ) может служить плотностью вероятности не­
которой случайной величины X . Найти математическое ожидание
и дисперсию случайной величины X .
Д Имеем
я
+ со
&х
1
2
—00
я
81л х йх
/ (*) Ах
о
1
соз *
2
о
1.
о
Кроме того, / (х) > 0. Следовательно, /(* )
ности некоторой случайной величины. Так
симметрии соответствующей дуги кривой
тическое ожидание случайной величины X
7
Ка 1814
Рис. 42
может служить плотностью верояткак прямая х щ 2
м
у = ( \ / 2 ) 5 \ п х ((№•
равно я/2, т. е. т ( )
/
193
Найдем дисперсию. Д л я этого в формуле (4) положим а = О, М (Х) = д/2, I
тогда остается только вычислить интеграл, определяющий М (А3); имеем
■
4- со
Я
х2[ {х) с1 х = — I х 2 зш х Ах
М ( Х г)
—СО
1
2
X2
СОЗ
О
Х+2Ж81П х- {-2
С05 # | ^
1
(я* -4 ).
2
Поэтому
1
(л ? - 4 )
2
Я(Х)
п
2
У т 2~
^ -2 ,
О’69- А
873. Случайная величина X характеризуется рядом распреде­
ления:
XI
0
1
2
3
Р1
0 ,2
0 ,4
0 ,3
0,08
4
.0,02
Определить математическое* ожидание и дисперсию.
Д По формуле (1) находим математическое ожидание:
М (Х ) = 0 - 0 ,2 + 1 . 0 , 4 + 2 * 0 , 3 + 3 . 0 , 0 8 + 4 . 0 , 0 2 = 1,32.
Дисперсию найдем по формуле (4),
«= 1,32— 2 = — 0,68. Составляем таблицу:
полагая а = 2; отсюда М (X)
а
*/
0
1
2
3
4
Х( — а
—2
—1
0
1
2
( X I -а )*
4
1
0
1
4
Р1
0 ,2
0 ,4
0 ,3
0,08
0,02
0 ,4
0
0,08
0,08
Р1 (XI— а)9
0,8
Теперь находим
М Ц Х -аП
2
Р; (XI— а)2 = 1 , 3 6 ;
»= 0
О (X) = 1,36— (—0,68)2= 1,36 — 0,4634 = 0,8966; 0Х = 1^0,8966 = 0,95. Д
874.
В урне 6 белых и 4 черных шара. И з нее пять раз п
дряд извлекают шар, причем каждый раз вынутый шар возвра­
щают в урну и шары перемешивают. Приняв за случайную ве194
личину X число извлеченных белых шаров, составить закон рас­
пределения этой величины, определить ее математическое ожида­
ние и дисперсию.
875. Дана функция
\
(
0
^ (х) == 1 Я. (4х— х3)
О
при х < О,
при 0 ^ д с < 2 ,
при х > 2.
При каком значении А, функция / (х) может быть принята за плот­
ность вероятности случайной величины X? Определить это зна­
чение А, найти математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение соответствующей случайной величины X .
§ 7. ЛЮДА И МЕДИАНА
Модой дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение.
Модой непрерывной случайной величины X называется то ее значение,
при котором плотность распределения максимальна.
Моду будем обозначать символом М.
Медианой непрерывной случайной величины X называется^ такое ее зна­
чение и для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина
меньше или больше ц, т. е. Р (X < И) =
= Р ( Х > ц ) = 0,5.
Геометрически мода является абсциссои
той точки кривой (полигона) распределения,
ордината которой максимальна. Ордината
же, проведенная в точке с абсциссой
делит пополам площадь, ограниченную кри­
вой распределения. Если . прямая х л
___ ___________ Н Н
является осью симметрии кривой распределеиия у = / ( х ) . то *Г=ц = М (Х) = а(рис. 43).
Рис> 43
876. Дана плотность вероятности непрерывной случайной величины I(х) = ае2*- *2 (а > 0). Найти моду этой случайной величины.
д Найдем максимум функции < /= /(* )• Д л я этого находим производные
первого и второго порядков:
^ 2
/ ' (х)— 2а (1 —х)
Г (*) = —2®?**-* 2+ 4 а (1 —х)ае-х
.
Из уравнения / ' ( * ) = 0 получаем х = 1 ._ Т а к как Г ( \ ) = —2ае < 0, то при
х = 1 функция Ц х) имеет максимум
е А 1==1
постоянной величины а, так как максимум функции I ( )
от числового значения а. ^
\
877. Дана плотность вероятности случайной величины Х\
0
I (х) = | х —*3/4
0
при х < в,
при 0 < х < 2»
яри
х > 2.
Найти медиану этой случайной величины.
д
Медиану и найдем .> условия Ж * < И> = 0 .5 - В данном и у а а
Таким образом, приходим к уравнению ^ / 2 — ( Д О - 0,5, или ц*
откуда | = ± V * |
8*1“+ 8
°>
У"В- Из четырех корней этого уравнения нужно выбрать
тот, который заключен между 0 и 2. Таким образом, ц = V 4— V 8 « 1,09. Д
878. Дан ряд распределения дискретной случайной величины:
и - *-Л
У
о
о
^ 3 879 .МДана плотность распределения непрерывной случайной
величины:
л;л
/
0
| Й Ш | а ( х - 2 )(4 — х)
1
0
при
при
при
х < 2,
2<х<4,
х > 4.
1
Определить значение а, моду и медиану.
§ 8. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Равномерным называется распределение таких случайных
значения которых лежат на некотором отрезке Ц Ь]
плотность вероятности на этом отрезке
//-а
44). Таким образом,
( 0 при х < а,
-------- / (*) = I I
щ Щ ,
а,
Ь
Рис. 44
при
фис.
а^х^Ь,
V 0 при х > Ь .
X
Так как Н(Ь— а) = 1, то к = 1/(Ь— а) и, следовательно,
/
0
при х < я,
/ ( * ) = ] 1/(Ь — а) при
^
при х > Ь.
880. Определить математическое ожидание случайной величины
с равномерным распределением.
Д Имеем
Ь
I
М ( Х ) = § X\ (х) йх = § Щ
а
а
1 1
щ Ш И Ш
1
Ь— а
2
Ь2— а
2
а
т. е. М (Х) = ( а + 6 ) /2 , как это и должно быть в силу симметрии распределе
881.
Вычислить дисперсию и среднее квадратичное отклонен
для случайной величины с равномерным распределением.
в
Д Используем формулу О (Х) — М (X 2) — [М (X)]2, учитывая найденное
предыдущей задаче значение М (Х) = (а + Ь)/2. Таким образом, остается
196
вычислить М ( А 2); имеем
М (X 2)
Ь— а
а
йх
63— а3
3 (Ь — а)
1
3 (Ь — а)
62 4- аЬ -(- а2
3
Отсюда
О (Х )
Ьг + аЬ
3
а2
(а +
4
6)2
(Ь—а)
12
Следовательно, ах = У О (X) — (Ь— а)/(2 ]/" 3) . Д
882. Все значения равномерно распределенной случайной вели­
чины лежат на отрезке [2, 8]. Найти вероятность попадания слу­
чайной величины в промежуток ]3, 5[.
883. Поезда данного маршрута городского трамвая идут с интер­
валом 5 мин. Пассажир подходит к трамвайной остановке в неко­
торый момент времени. Какова вероятность появления пассажира
не ранее чем через минуту после ухода предыдущего поезда, но
не позднее чем за две минуты до отхода следующего поезда?
§ 9. БИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ЗАКОН ПУАССОНА
Если вероятность наступления случайного события в каждом испытании
равна Ру то, как известно, вероятность того, что при п испытаниях событие
осуществится т раз, определяется формулой Бернулли:
Р т% п= С % р тяп- т
(где д = \ — р).
Закон распределения случайной величины X , которая может принимать
п + 1 значение (0, 1, . . . , /г), описываемый формулой Бернулли, называется
биномиальным.
Закон распределения случайной величины л , которая может принимать
любые целые неотрицательные значения (0, 1 ,2 ........./г), описываемый формулой
I
ат
Р ( Х = т ) = — г е ~ а,
ш
носит название закона Пуассона.
Закон Пуассона является законом распределения вероятностей, например,
для следующих случайных величин.
а) Пусть на интервале ]0, В оси Ох случайно размещаются п точек
независимо друг от друга, причем события, заключающиеся в попадании одной
точки на любой наперед заданный отрезок постоянной (например, единичнои)
длины, равновероятны.
Если N — | оо, п —> оо и а ~ Нш
то случайная величина X , рав­
ная числу точек, попадающих на заданный отрезок единичной длины (которая
может принимать значения О, 1, . . . , т, . . . ) , распределяется по закону У®
‘
б) Если п равно среднему числу вызовов абонентов, поступающих за один
час на данную телефонную станцию, то число вызовов, поступающих за одну
минуту, приближенно распределяется по закону Пуассона, рричем'
Математическое ожидание и дисперсия случайных величин, распределенных
по биномиальному закону и закону Пуассона, определяются по следующим
формулам:
п/у\
для биномиального закона: М (Х ) = пр; и (А) —-пря\
для закона Пуассона: М( Х ) = а; 0 ( Х ) = а.
197
884. Автоматическая телефонная станция получает в среднем
за час 300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную
минуту она получит точно два вызова?
А З а минуту АТС получает в среднем 300/60 = 5 вызовов, т. е. а = о*
Требуется найти Р й. Применив формулу Пуассона, находим
Р .-% е -!= ^ » 0 ,0 9 . А
885. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероят­
ность того, что на случайно выбранной странице не менее четырех
опечаток?
-; &ЩЩ
Д Среднее количество опечаток на одну страницу есть а = 100/1000=0,1.
В данном случае следует применить формулу Пуассона:
Р* ± ]тш
т
.
!
Я2
Здесь Р т— вероятность иметь т опечаток на одной странице.
Речи т — 0. то Р 0= е - ° - 1; если т = 1, то Р* = 0,1 *е
если « — ■** ™
р ___ о 005-е*0»1* если т — 3, то Р 3 ==0,000167•
1. Сумма Ро + ^ 1 + ^ 2 + з
я в м е т с я вероятностью того, что на странице окажется не более трех опечаток.
Эта сумма равна 1,105167.е-М . Вероятность ж е того, что на случайно выбран­
ной странице не менее четырех опечаток, равна
1__1,105167.еОЛ= 1 — 1,105167• 0,904637 = 1— 0,999996 = 0,000004. А
886. Среди семян ржи имеется 0,4% семян сорняков. Какова
вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян
сорняков?
„ .
887. Определить математическое ожидание и дисперсию часто­
ты да/я появлений случайного события при п испытаниях, если
вероятность появления события при одном испытании равна р.
888. Показать, что биномиальное распределение обращается
в пределе в распределение Пуассона, если п —»-оо, р —►0, но
пр = а.
Воспользоваться равенством
— /72
и перейти к пределу
889 Случайная величина X подчинена биномиальному закону
распределения Р (Х = т ) = С ? р " Г " Определить математическое
ожидание этой случайной величины.
Д Имеем
М(Х)
п
п
т=0
т—1
Но
т г т__т
п
198
п'
п (п— 1) (п — 2) . . . (л — т + 1 ) _ с т- 1
1-2-3. . . ( т — 1 )т
Слвдрвательно,
■
■■■'Гг-’
п
\
М ( Х ) = пр 2
С™11рт~'хр<'п~1'>-(т-Ъ = пр ( р + ^ ) п~1|
Ш- Ш^&ЗДИ >
Ш«1
т. е. Ж (Л) =
пр.
890.
Определить дисперсию случайной величины X , подчинен­
ной биномиальному закону распределения.
Щ
Д Предварительно найдем математическое ожидание случайной величины X 2:
/ П
V
п
М (X 2) =
т2С'пртцп~ т = п р
т= I1
Ш' — С™рт~1ц1'п ~1)~ш ~ 1) =*
П
т = I1
= Пр 2 Я*С«-1 /7я*
т =1
лр( 2 (яг— 1)Ш И
ш—1
-1)
-х ) +
2 С 5 ?Г } р * -у » -« -< * -«
т=1
Первая из сумм в скобках является математическим ожиданием случай­
ной величины X , подчиненной биномиальному закону Р ( Х = т — 1) =
= С дГ/р^
” г)~{т “ 1}, поэтому она равна (п — 1) р (см. предыдущую задачу).
Вторая же сумма равна ( р + я ) п ~ х= 1.
Итак, М ( Х 2) = п р ( п — 1 ) р + п р . Но В ( Х ) = М ( X2) — \ М (X)]2, поэтому
И( Х ) = = п 2р 2— пр2-\-п р — п2р2 — пр ( \ — р ) = п р ц . Д
891. Найти математическое ожидание случайной величины X,
-Г -
_
а1П€ ~ а
подчиненной закону Пуассона Р (Х — т) — -
т—•
Д Имеем
00
00
ате ~ а
Чл ат- е ~ а
М {Х )=1и т - ^ - = 2 ^ т - ш - = а е
т=0
т=1
00
V
| ^ Ь
а™
щ
!
/71=1
00
772 — I
Но V , — — — = е “, следовательно, М (Х) = а. Д,
~
( т — 1)1
т= 1
892.
Найти дисперсию случайной величины Х } подчиненной
закону Пуассона.
.
Д Сначала находим
00
Ю
шд- а
,с^ е~ а
м (Х2) = У , т 2 ^ ш- 1= 2 , /п ( т — 1)1
т =1
те!
ТС
00
ате ~ а , V
а
2 - (т - 1 ( ^ = Л ) Г + й ( ^ Щ
т =1
т —1
00
®
.
’вг-^
д/я —1^—<2
"V^
1 2 - <т - ]) ( т - Л ) Г I ^
т =1
'
т =1
1 - ВТ11
Первая сумма является математическим ожиданием случайной величины X,
подчиненной закону Пуассона, а вторая сумма равна Л Отсюда получаем
Л1 (Х2) = а 2 + а. Следовательно, В (X) = а - \- а — а — а. Д
893.
Вероятность попадания стрелком в мишень равна 2/3.
Стрелком сделано 15 выстрелов. Случайная величина Л — число
попаданий в мишень. Найти математическое ожидание и диспер­
сию случайной величины X .
, .^
д Здесь следует воспользоваться значениями математического ожидания
и дисперсии для биномиального закона распределения: М (Х) = пр = 15* (2/о)—Ш,
Г) (X) = пря = 15 • (2/3) • (1 /3) = 10/3. А
§ 10. ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ (ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ) РАСПРЕДЕЛЕНИЕ.
ФУНКЦИЯ НАДЕЖНОСТИ
Аналогом закона Пуассона для непрерывных случайных величин служит
показательный {экспоненциальный) закон, функция плотности распределения
которого имеет вид
Щ
п \ —^
0
при
при
* <0,
я ^ 0,
где \ > 0 — постоянный параметр.
Функция распределения (интегральная функция) показательного закона
Л
Щ
\
х
Р (х) = | / (х) йх == д хе~^х й х = 1
—со
0
т. е.
0
при
1 1— е~^х при
х<0,
х^О .
Вероятность попадания случайной величины X в интервал ]ос, Ц[ составляет
Р (а < X < $ ) = ? { р ) - Р ( а ) = ( 1 - е - ^ ) - ( 1 - е - ^ ) = е - ^ * - е - Ч
т. е.
Р (а < X < $ ) = е - Ь * — е - ^ .
Определим числовые характеристики показательного закона распределения
математическое ожидание
со
М (X) = \ х № - Хх с!х=
с/
о
— хе~Ь*— | е -* * | „ = — •
Я
10
А
дисперсия
СО
В ( Х ) = \ Ш Ш ш ШЩ И (А)]
среднее квадратичное отклонение
1
1
а { Х ) = у г О ( А ) = ^ , т. е. М (X) = ст (X) =
200
.
Если Т — непрерывная случайная величина, выражающая продолжитель­
ность времени безотказной работы какого-либо элемента, а X— интенсивность
отказов (среднее число отказов в единицу времени), то продолжительность вре­
мени / безотказной работы этого элемента можно считать случайной величиной,
распределенной по показательному закону с функцией распределения Р (/) =
= Р ( Г < / ) = 1— е~М
> 0), которая определяет вероятность отказа элемента
за время
Функция надежности /? (/) определяет вероятность безотказной работы эле­
мента за время V. Ц
894. Для какого значения к функция
Щ "
\
\* / ч _ Г о
при х < 0,
|
Т'
\ ке~^*
при х ^ О
является функцией плотности показательного закона?
■ ^
-- • #
Д
к
00
Так как / (х) = 0
при
М
’^т!г^
х < О, то ^ / (х) йх = \ к е ~ й х = 1 . Отсюда
Ч г ] о = 1 , Т = 1 , т ‘ е- к = Х - Ь
895. Непрерывная случайная
показательному закону:
г /1 ч — /
^
||Й§[ 00
/ \ /
0
1 4 е - 4л
величина X
при
при
распределена по
* < О,
х^О.
Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадет
в интервал ]0,2; 0,5[.
Д Используя формулу Р ( а < X < р ) = е - *Л — е~№, имеем
Р (0,2 < Х < 0,5 ) = е - 4 0-2— е - 4 °.6= е -° .8 — е - г = 0 ,4 4 9 3 — 0,1353 = 0,314
(для вычисления значений функции е ~ х мы воспользовались табл. II на с. 410). А
896. Время I расформирования состава через горку— случай­
ная величина, подчиненная показательному закону. Пусть А,= 5—
среднее число поездов, которые горка может расформировать за
1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования
состава: 1) меньше 30 мин; 2) больше 6 мин, но меньше 24 мин.
Д Используем функцию распределения показательного закона Р (?) —
= Р ( Г < 0 = 1— в - * .
\
1) Вероятность того, что расформирование состава займет менее 30 мин=0,5 ч,
есть
Р (0,5) = Р (Т < 0,5) = 1 — е-5 0>5 = I — е~2-6 = 1 — 0,082 = 0,918.
2) Вероятность того, что время расформирования составляет от 6 м и н = 0 ,1 ч
до 24 мин= 0 ,4 ч, такова;
Р (0,1 < Т < 0 ,4 ) = е - 6 0' 1— е _ 8 ’0,4= е ' 0’6— е - а = 0,6065 — 0,1353=0,4712. Д
897. Вероятность безотказной работы элемента распределена
по показательному закону / {I) = 0,02е~0,02{ (^ > 0). Найти веро­
ятность того, что элемент проработает безотказно в течение 50 ч.
201
Д Используя функцию
е - о.оа-ао = е -1=г0,3679. Д
надежности
Л (0 = * -Ч
898 Непрерывная случайная величина X
КЩ
распределена по
показательному закону /(* ) = 2,Ье~^-х ПРИ п^ 1 с и ю
х < 0. Найти математическое ожидание, дисперсию
квадратичное отклонение.
899. Непрерывная случайная величина X
_____ л функцией
Л.*т .х п ш а и ППЛТИПГ*ТИ
0
1 Ч е-'*
I \х )
при
при
и сРеАн^
и среднее
пягплрпрлена ПО
распределена
х < °,
Х5*0.
Найти вероятность того, что в результате испытаний X попадет
В И90(К ВНайт°и1математическое ожидание сл ^ ай н ои величины Х ,
распределенной по показательному закону, если функция распре
деления имеет вид
.
г
о
/ 7 ( х ) = ^ | __2-0,25*
при
при
х < 0,
Х^О.
1Щ
|;3
901 Время I расформирования состава через горку— случаиная величина, подчиненная показательному закону. Пусть к И 5 с м л ^ чш ло поездов, которые горка может расформировать
за 1 ч. Определить вероятность того, что время расформирования
“
ЯЯЯИНШ
11И И Я В Н Й Н 1
2)н
е
1
кажет.
распреде
в
вероятна. 1ь
^ 0 0 2 е - 0*002Г (* > 0). Н а й т и веропо показательному закону /(*) —
Д рр |
ятность того, что телевизор проработает 1000 ч.
§ П . НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ- Ф УН КЦИ Я ЛАПЛАСА
Нормальный закон распределения характеризуется плотностью
х м
_
1
_ е -
(* -
■
Нетрудно видеть, что функция | (х) удовлетворяет двум условиям, предъяв­
ляемым к плотности распределения: 1) / (х) > 0; 2) |
тг
| Н
1/(о
^
с!х
=
1.
I (х)
}ш имеет вид изображенный на рис. 45. Она симметрична
Б
Я
Т = т , максимальная ордината
и ось абсцисс является асимптотои этой кривои. Т ак
х}(х) й х = т , то параметр т является математическим ожиданием случай-
—
-00
+ ао
отаУЛ* 0 ( ^ = 0 * .
стороны
—00
202
т. е. о является средним квадратичным от
клоненном величины X.
Введем обозначение
2
Ф(х)
V л
о
Рис. 45
Функция Ф (х) называется функцией Лапласа , или интегралом вероят­
ностей. Эту функцию называют также функцией ошибок и обозначают ег! х.
Иногда используются и другие формы функции Лапласа, например, Ф (х) =»
1
у 2л
е
^ <11
(нормированная
о
функция
Лапласа ),
которая связана
х
с функцией ошибок Ф (*) — —
Г е~*г й1 соотношением Ф (х) = 0 ,5 Ф (х/ /2 ) |
4
у п ]
Эш ■
О
или Ф (х У~2) = 0 ,5 Ф (х).
Д ля вычисления значений функции Лапласа пользуются специальной
таблицей (см. табл. III на с. 411).
Вероятность попадания в интервал ]а, Ь[ случайной величины X, подчи­
ненной нормальному закону, определяется через значения функции Лапласа
ад формуле
Ь— т
а—т
Ф
Р ( а < Х < Ь) = 0,5 Ф
о У “2
о У 2
Отметим следующие свойства функции Лапласа.
о
1°. Ф(0) = 0, так как ^ е ” *2сМ=0-
2°. Ф (-{-оо) = 1, поскольку Ф ( + о о )
2
ул
00
/>
<11
о
2
ул
У л
Т
“
13
3°. Ф(х) — нечетная функция.
Справедлива также формула
Р ( | Х — т \ < е) = Ф
о У 2
С помощью этой формулы можно находить вероятность попадания случайной
величины, подчиненной нормальному закону, й интервал, симметричным от­
носительно точки т.
904. Случайная величина X распределена по нормальному
закону с математическим ожиданием т = 40 и дисперсией 0 = 200.
Вычислить вероятность попадания случайной величины в интер­
вал }30, 80[.
_
Д Здесь а = 30, 6 = 80, т = 40, а = у г 2 0 0 = 1 0 У 2; пользуясь табл. III
на с. 411, находим
30— 40
80 — 40
ф
Р (30 < X < 80) = 0 ,5 Ф
V 2,У
V 2-У
0,5 [Ф (2) + Ф (0,5)] = 0,5 (0,995 + 0,521 ] = 0,758. Д
203
905.
С читается, что отклонение длины изготавливаем ы х д ета ­
лей от стандарта является случайной величиной, распределенной
по нормальному зак он у. Е сл и стан дартн ая дли н а равна т = 40 см
и среднее квадратичное отклонение равно о = 0 , 4 см, то какую
точность длины изделия м ож но гарантировать с вероятностью 0,8?
Д Т ребуется
н а й ти
п олож и тельн ое
Р (| X — 40 | < 8) = 0 , 8 . Т а к к а к
число
е,
для
которого
-Ж
I
4
то з а д а ч а сводится к реш ению неравенства Ф (1,77е) > 0,8. С помощью таб л. III
у стан ав л и в аем , что 1,778 > 0,91. О стается найти н аи м ен ьш ее зн ач ен и е в,
удовлетворяю щ ее этому н еравен ству, о т к у д а 8 = 0,52. Д
I
1
9 0 6 . С трельба ведется и з точки О вдоль прям ой Ох. Средняя
I
дальность полета сн аряда равна т. П р ед п о л а га я , что дальность
I
полета X распределена по норм альном у за к о н у со средним квад- |
ратичным отклонением а = 8 0 м, найти, какой процент выпускав- 1
мых снарядов даст перелет от 120 д о 160 м.
щ
9 0 7 . С лучайная величина X подчинена норм альном у закону
с математическим ож и дан и ем т и средним квадратичны м откло­
нением а. Вычислить с точностью д о 0,01 вероятн ости п о п а д а ­
ния X в интервалы ] т , т + ст[, ] т + ст, т + 2 с т [ , ] т + 2 с т , т - \ - З а [ . {
9 0 8 . П ок азать, что вероятность п оп адан и я в интервал ]а, Ь[ {
случайной величины X с математическим ож и дан и ем т и средним
квадратичным отклонением а, подчиненной норм альном у зак он у,
не изм енится, если к а ж д о е из чисел а , Ь, т и с т увеличить
в А, р аз (А > 0).
**
]ШЩЯк |
9 0 9 . М асса в а го н а — случай н ая величина, р асп р едел ен н ая по
нормальному зак он у с математическим ож и дан и ем 6 5 т и средним
квадратичным отклонением с т = 0 ,9 т . Н ай ти вероятность того,
что очередной вагон имеет м ассу не бол ее 7 0 т , но не м енее 6 0 т.
9 1 0 . М астерская изготавливает ст ер ж н и , дл и н а которы х I
представляет собой сл уч ай н ую величину, р асп р едел ен н ую по нор­
мальному зак он у с математическим ож и дан и ем и средним квад­
ратичным отклонением , равными соответствен но 25 и 0,1 см.
Н айти вероятность того, что отк лон ен и е длины стер ж н я в ту
или д р у гу ю стор он у от м атем атического ож и д ан и я не п ревзой ­
д ет 0 ,2 5 см .
» Чя
9 1 1 . П о езд состоит и з 100 вагонов. М асса к а ж д о г о вагона —
случайная величина, р асп редел ен н ая по норм альном у зак он у
с математическим ож иданием а = * 6 5 т и средни м квадратичным
отклонением с т = 0 ,9 т. Л оком отив м ож ет везти состав м ассой не
бол ее 6 6 0 0 т, в противном сл уч ае н еобходи м о прицеплять второй
локом отив. Н ай ти вероятность то го , что второй локом отив не
п отр ебуется.
912.
Д иам етр д ета л и , изготавливаем ой на с т а н к е ,— сл уч ай н
величина, распределенная по норм альном у за к о н у с м атем ати­
ческим ож и дан и ем а = 2 5 см и средн и м квадратичны м отк л о­
нением с т = 0 ,4 см. Н ай ти вероятн ость то го , что д в е взяты е н аудач у
204
детали имеют отклонение от математического ожидания по абсо­
лютной величине не более 0,16 см.
Д Вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет отклонение б в ту
или другую сторону от математического ожидания, составляет
Р (а — б < X < а + 6 ) = Р ( | X — а| < 6)=2Ф(6/о).
Отсюда
Р ( | X — 2 5 1 <0,16) = 2 Ф (0,16/0,4) = 2 Ф (0,4) = 2-0,1554 = 0,3108.
Тогда для двух наудачу взятых деталей
0,31082 = 0,096. А
искомая
вероятность
есть
913.
Пусть X — случайная величина, подчиненная нормальному
закону с математическим ожиданием а = 1 ,6 и средним квадра­
тичным отклонением ст= 1. Какова вероятность того, что при
четырех испытаниях эта случайная величина попадет хотя бы один
раз в интервал ]1, 2[?
Д Найдем вероятность попадания случайной величины X в интервал
]1, 2[ при одном испытании:
Р (1 < * < 2 ) = Ф ( Ц ^ ) - Ф
р*
(!^ Ъ ^ = Ф (0 ,4 )+ Ф (0 ,6 ) =
= 0,1554 + 0,2257 = 0,3811.
Тогда вероятность того, что случайная величина не попадет в интервал ] 1, 2[
при одном испытании, есть 1— 0,3811=0,6189, а при четырех испытаниях
0,6189* » 0,1467. Значит, искомая вероятность составляет 1— 0,1467 = 0,8533. Д
914. Диаметр выпускаемой детали— случайная величина, под­
чиненная нормальному закону с математическим ожиданием 5 см
и средним квадратичным отклонением 0,9 см. Остановить:
1) вероятность того, что наудачу взятая деталь имеет диаметр
в пределах от 4 до 7 см; 2) вероятность того, что размер диа­
метра наудачу взятой детали отличается от математического
ожидания не более чем на 2 см; 3) в каких границах следует
ожидать размер диаметра детали, чтобы вероятность не выйти
за эти границы была равна 0,95.
Д
1)
Р ( 4 < * < 7 ) _ ф ( ^ ) - ф ( ^ ) = ф ( 2 . 2 2 ) + ф( 1 , м> =
= 0,4867 + 0,3664 = 0,8531;
2) Р ( \ 4 — 5 | < 2) = 2Ф (2/0,9) = 2 Ф (2,22) = 2-0,4867 = 0,9734;
3) р (( а — 5 | < 6) = 2Ф (6/0,9) = 0,95, Ф (6/0,9) = 0,475. Используя таблицу
значений нормированной функции Лапласа, имеем 6 /0 ,9 = 1 ,9 6 , откуда
6 = 1,76. Д
915. Случайная величина X подчинена нормальному закону
с математическим ожиданием 2,2 и средним квадратичным от­
клонением 0,5. Какова вероятность того, что при первом испытании
случайная величина окажется на отрезке [3, 4], а при втором
испытании — на отрезке [1, 2]?
916. Случайная величина X подчинена нормальному закону
с математическим ожиданием а = 10. Каково должно быть среднее
206
чтобы с веквадратичное отклонение ^
...... —абсо*
роятностью 0,8 отклонение от математического ожвдаиня п
лютной величине не превышало 0,2?
§ 12. МОМЕНТЫ. АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС
СЛУЧАЙНОЙ ВЕ ЛИЧИНЫ
Начальным моментом 5-го порядка дискретной случайной величины X,
заданной рядом распределения
*/
Рг
Х±
*а
• • • Нн^^Я
Рг
•••
Р^
и*«
п
••
Рп
называется сумма ряда
+ • • • Л'ХпРп НН • • •
<Х. == *1р1 “Г
Д ля непрерывной случайной величины X с плотностью распределения / (дг)
начальным моментом 5-го порядка называется интеграл
йх ,
а
— 30
Нетрудно видеть, т о начальный момент первого порядка случайной величины X
равен Л И в Ж с ш и у ожиданию этой случайной а е д м и н щ
А И ?> _„ц
Центральным моментом 5-го порядка дискретной случайной величины
называется сумма ряда
^
Н + (•*«■—тх)* р »+ • ■■+ (*л~ т*У Р" + **м
__ МЯ|1|!РЦЩВ^рВ||Нр|^рН|Н
г...» » ж т п А и л В п» к и в и и м л .
где я , — математическое ожидание случайной величины X.
ентом
5-го
порядка
Д ля непрерывной случайной величины центральным мо:
называется интеграл
«О
Д л я любой случайной величины центральный иомен г
Р3ВеЦентральный Ё и п второго порядка любой случайной величины равен
яиспеосни случайной ъ ел т и *ы , т . е.
(А),
____
Центральные и начальные моменты первого, второго, третьего и чеггвер*
того порядков связаны соотношениями:
14!*= О,
и*
Из
а
—
2
*Ь
3
З а^ а + гаь
И4
Если распределение симметрично относительно математического ожидания,
все центральные моменты нечетного пор я д а равны нулю, т. е.
206
Отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квад
ратичгёрго отклонения называется асимметрией :
5
Из/а*.
Если распределение симметрично относительно математического ожидания
то для кривой распределения (гистограммы) 5* = 0.
На рис. 46 и 47 изображены гистограммы для 5* > 0 и 5* < О,
Рис. 46
Рис. 47
Эксцессом случайной величины X называется величина Ех , определяемая
равенством
Для нормального закона распределения Ех = 0 .
Кривые, более островершинные по сравнению с нормальной (так назы­
ваемой кривой Гаусса ), обладают положительным эксцессом; для кривых,
более плосковершинных, Е х < 0 (рис. 48).
917. Дан ряд распределения случайной величины X:
XI
1
3
5
7
9
Р1
0,1
0,4
0 ,2
0,2
0,1
Найти начальные и центральные моменты первых четырех по­
рядков этой случайной величины, а также определить асиммет­
рию и эксцесс.
Д Начальный момент первого порядка
а1== 1.0,1 + 3 - 0 ,4 + 5-0,2 + 7-0,2 + 9 -0 ,1 = 4 ,6 .
Начальный момент первого порядка является математическим ожиданием,
позтому М ( Х ) = 4 ,6 .
'
Найдем начальный момент второго порядка:
а 2 = 1-0,1 + 9 - 0 , 4 + 2 5 - 0 ,2 + 4 9 - 0 ,2 + 81-0,1 = 2 6 ,6 .
Начальный момент третьего порядка
а 3 = 1.0,1 + 27*0,4 + 125*0,2 + 343-0,2 + 729-0,1 = 177,4.
Начальный момент четвертого порядка
сс,| = 1• 0,1 + 81 • 0,4 + 625*0,2 + 2401 - 0,2 + 6561 - 0,1 = 1293,8.
Найдем теперь центральные моменты. Как известно, |Я1 = 0. Центральный
момент второго порядка найдем по формуле
И2
а
а? = 2 6 ,6 — 4 ,62 = 26,6 — 21,16 = 5,44.
207
Этот центральный момент является дисперсией случайной
величины,
т. е
° {ХОтсюда4 легко определить среднее квадратичное отклонение:
2,33.
V1
Центральный момент третьего порядка определится по формуле
З а 1а 2+ 2 а ? = 1 7 7 )4 - 3 - 4 , 6 .2 6 ,6 + 2 -4 ,6 3
{АЗ— а 3
177,4 — 3 6 7 ,0 8 + 194,672 = 4,992.
Теперь нетрудно определить асимметрию:
4,992
4,992
Ш
5,44-2,33
12,675
к
0,394
Д л я центрального момента четвертого порядка воспользуемся формулой
,I С I Щ
1 Щ
1 3«! - 1 2 9 3 ,8 1 4-4,6.1771 ■ № 1 Ц 1 1 1
= 1293,8 — 3264,16 + 33,77,136— 1343,227 — 64,55.
Теперь можно найти эксцесс:
64,54
N
3
3
Е
5,442
о*х
64,55
29,59
|
3 = 2,18— 3
918. Дана функция
при х < 0,
о
при 0 < х < 1,
ах2
а (2— х)2 при 1 < * < 2,
2,
при
0
/(* )
(пис 49~> Пои каком значении а функция / (х) является плот
ностью расп рёдёлен и я сл у ч ай н о й вели чи н ы X ? О п р ед ел и ть н ачаль
Рис. 49
Рис. 48
ные и центральные моменты первых четырех порядков, асиммет
рию и эксцесс.
Д Д л я нахождения а имеем уравнение
1
2
1,
откуда
х3
И
208
о
О
о
(2-х)
а
3
Ж 1’ 3 ^ 3
1, т. е. а
3
2
Находим начальные моменты:
1
ах
3
2
\*<2
2
1
1
о
1
а2
3 . 3
10
2 4
28 , 1 5
3+ 4
12
2
45 93
1 4Х3
----- X4 +
I = - Г п + 14— —+
~10- ~ 1,1;
~
2
'
5 11 ю
2
3 С
| &- ах
• , 3 Л * з(2 — х)2 ах
I
2
3== 2 и
1
о
х6 1*2
1 ^_45 186 | 6 3 _^
4
| х4
5
1
Xя | 2 _ 3
+2
ЯВй
3
2
1
3
а 4= - 2
1
о
7
12
3
.
186
3 . 3 Г 4х5 _ 2Х6
+
14+ 5
+ “о 1 5
8 ‘ 7 II
22
1
35’
381
6 3 + 14
Находим центральные моменты:
0;
111
(Д-2— а 2
Ц3 = а 3
®1 = 1,1 — 1 = 0.1'.
З а , а а+ 2 а ? = 1 ,3 - 3 - 1 ,1 + 2 = 0
(действительно, кривая имеет вертикальную ось симметрии);
щ =а4
4 а га з + € а 1 а а _ За! = 1 ^ - 4 • 1,3 + 6 • 1,1
3
л
35
Отсюда получаем:
Й Ш Ш 8»
К
Щ
квадратичное отклонение)
У 0,1
ох = У й (X)
Находим асимметрию: 5 й = Цз/о* = 01
С
Ц4
з __ 1/55.— з
А
7
Находим эксцесс:
—
0,01
°х
919. Дан ряд распределения случайной величины:
и эксцесс.
209
920. Плотность распределения случайной величины X задана
следующим образом:
§Я
^— -- -— —0
при х < 0,
щ
х
2—X
0
при 0 < х < 1 #
при 1 < X < %
Я
при
Я
Найти начальные и центральные моменты первых четырех поряд­
ков, асимметрию и эксцесс.
921. Случайная величина X подчинена закону с плотностью
распределения I (х) = ке~1х[. Определить значение ?. и эксцесс
случайной величины X .
-Ш
§ 13. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
1.
Теорема Чебышева. Говорят, что случайная величина Х п сходится п
вероятности к а , если при всех достаточно больших п выполняется неравенство
Р (| Х п — а | < е) > 1 — б,
где 8 — произвольное малое положительное число, а значение б зависит от
выбора е и п. В терминах данного определения т е о р е м у Ч е б ы ш е в а
можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе
независимых испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений случай­
ной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию, т. е.
М(Х)
Р
< е 1 > 1— б.
Ю( Х)
В этом неравенстве можно принять 0 < 5 <
, где О ( X ) — дисперсия
пе
случайной величины X .
щ
Теорема Чебышева является одним из законов больших чисел, которые
лежат в основе многих практических применений теории вероятностей.
2. Теорема Бернулли. Другим и притом простейшим (и ранее всех уста­
новленным) законом больших чисел является теорема Я. Бернулли.
Т е о р е м а Б е р н у л л и устанавливает, что при неограниченном увели­
чении числа испытаний частота случайного события сходится по вероятности
к вероятности события , т. е.
т
п
Р
Р < е ] > 1— 6
^ причем можно принять, что 0 < б < I I
если вероятность
пе2
испытания к испытанию не изменяется и равна р ( 7 = 1 — р).
(1)
события от
922.
Монету подбрасывают 1000 раз. Оценить снизу вероят
ность отклонения частоты появления «герба» от вероятности его
появления меньше чем на 0,1.
Д Здесь я = 1000, р = д = 1/2, 8 = 0,1. Используя неравенство (1), получаем
Р
210
т
1
1000
2
<
0, 1 )
> 1
(1/2).(1/2) 39
1000-0,01 ■ 40
Неравенство
0,1 равносильно двойному неравенству 400 < т <
< 600; Поэтому можно сказать, что вероятность числа попаданий «герба*
в интервал ] 400, 600 [ больше 39/40. Д
923. Б урне 1000 белых и 2000 черных шаров. Вынули
(с возвращением) 300 шаров. Оценить снизу вероятность того,
что число т извлеченных при этом белых шаров удовлетворяет
двойному неравенству 80 < т < 120.
А Данное двойное неравенство можно переписать в виде
1
1
1
т
■20 < т — Ю0 < 20, или
3 1 15'
15 < 300
1
3
т
300
Итак, требуется оценить вероятность неравенства
1
<
; следова
10
тельно, 8 = 1/15 и
т
300
Р
1
1
3 I < 15
> 1
(1 /3) - (2/3)_5
300I 1/225
6
▲
924. Пусть в результате 100 независимых опытов найдены
значения случайной величины X: х±, хг. . . . , х 1в0. Пусть матема­
тическое ожидание М ( Х ) = 1 0 и дисперсия 0 .( Х ) = 1. Оценить
снизу вероятность того, что абсолютная величина разности между
средним арифметическим наблюдаемых значений случайной вели“
—''
'
I#
ЧИНЫ
•
Л
«V
100
2
* , ) / 100 и математическим ожиданием будет меньше 1/2.
1—0
1
Д Воспользуемся неравенством
П
(
П М(Х)
Р
1= 1 У
<е)> 1
Р(Х)
пЛ
Полагая л = 100, М (Д ) = Ю, 0 ( Х ) - 1 , в - 1/2, получаем
100
24
1
/
2 XI И 1 0 0 - 1 0 <
Р
100-(1/4)
25
1=1 У
4|>1
Таким образом, искомая вероятность больше 0,96. Д
925. В каждой из двух урн имеется по 10 шаров с номерами
от 1 до 10. Испытание заключается в вынимании (с последующим
возвращением) из каждой урны по шару. Сл уч а и я вел "чи на
X -с у м м а номеров шаров, вынутых из двух урн. Произведено
100 испытаний. Оценить снизу вероятность попадания суммы
юо
2
.... \ п
,.
......................
| ; .
х ( в интервал ]8 0 0 , 1400 [ .
Л Найдем закон распределения случайной величины X . Эта случайная
величи на (с^ мм а нсшеро в и з у ч е н н ы х из двух урн шаров) может принимать
ЗНЭЧНайдем вероятность того* что X примет значение хл == * + К Если * < 1
то сумма номеров вынутых шаров может быть равна А + 1 в следующих
равновозможных случаях;
на первом шаре стоит номер 1, на втором номер к
—-------------—1
»
»
2, »
» —
к
»
»
»
1
*
комбинаций
равна
(1/10)*(1/10)
=«
Т ак как вероятность каждой из этих
= 1/100, то вероятность ри получить на двух шарах сумму
равную
к + 1 (если к ^ 10), составляет А/100. Итак, р* = Л/100 (если й < 1 0 ) .
Если к > 10, то сумма номеров вынутых шаров может быть равна л + 1
в следующих равновозможных случаях (число которых равно 20— к):
на первом шаре стоит номер к — 9, на втором — номер 10,
»
»
»
I»
»
к — 8, »
* — *
> к — 9.
»
»
)>
>
>»
Ю, ъ
ъ
Так как вероятность каждой из этих комбинаций по-прежнему равна
1/100, то при к > 10 имеем
= (20— Л)/100.
Д л я определения М (X) и В (X ) составим таблицу:
к
Рк
хк
х
Ркхк
[Хи-ЛЦХЦ
М(Х)
Рк[хк -М{Х) ]
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
1 0,10
0,09
0,08
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
1,00
81
64
49
36
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
зб
49
64
81
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,02
0,03
0,12
0,20
0,30
0,42
0,56
1 0,72
0,90
1,10
1,08
1,04
0,98
0,90
0,80
0,68
0,54
0,38
0,20
|
!
16.50
11,00
19
Значит, М (X) = 2 Р&х& 11, И (X) == 16,5. Очевидно, что
к= 1
Л
100
Г
1100
Ш
1100
<
300
)
1400)
]
#
300
<
2
*
/
I
( 800 < 2
<
%
I =1
ч
У
(
100— 11 < 3
100— 11 < ЗФФ
Таким образом, е = 3. Следовательно,
<3)
\
Р
100— 11
У
212
0,81
1,28
1,47
1,44
1,25
0,96
0.63
0,32
0.09
0
0,09
0,32
0,63
0,96
1,25
1.44
1,47
1,28
0,81
1
16,5
900
0,982. А
926. Шестигранную кость подбрасывают 10 000 раз. Оценить
вероятность отклонения частоты появления шести очков от вероят­
н о с т и появления того же числа очков меньше чем на 0 , 0 1 .
9 2 7 \В урне 100 белых и 100 черных шаров. Вынули с воз­
вращением 50 шаров. Оценить снизу вероятность того, что коли­
чество белых шаров из числа вынутых удовлетворяет двойному
неравенству 15 < т < 35.
928. В результате 200 независимых опытов найдены значения
случайной величины х и х2, . . . , х 200, причем М (X) = И (X) = 2.
Оценить снизу вероятность того, что абсолютная величина раз­
ности между средним арифметическим значений случайной вели/200
\ .
х { )/ 200 и математическим ожиданием меньше
чины
| 1= 1
1/5.
Г
§ 14. ТЕОРЕМА МУАВРА — ЛАПЛАСА
Если производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появ­
ления события А равна р, то частота т/п появлений события является слу­
чайной величиной, распределенной по биномиальному закону, математическое
ожидание и дисперсия которой равны соответственно р и У рЩп. Случайная
Ш№ |
математическое ожидание которой равно нулю, а дисвеличина т„ — Щ щ ш ’
Персия— единице, носит название нормированной частоты случайного события
/ее паспселеление— также биномиальное).
Т е о р е м а М у а в р а — Л а п л а с а устанавливает, что при неограничен­
ном возоастании числа п испытаний биномиальный закон распределения нормированной частоты в пределе превращается в нормальный с тем же м а т м а т *
ческим ожиданием (равным 0) и дисперсиеи (равной 1). В силу этого при
больших значениях п для вероятностей неравенств, которым должна удовлетН Ш И И ( И Л И число наступлений) случайного события, можно исполь­
зовать приближенную оценку с помощью интеграла вероятностей (функции
V
. _ ___
пиближенные Формулы:
Л апласа)?аим
енно;С
праведливы ЛТТОТТ\71ЛТТТ11Р
следующие Пприближенные
формулы:
р ] д<
т 1п - ±
■ У рЩ
<Ь\ = р 1 а < - ? ^ < ь \ *
I
|
V пря
I
2
929.
Какова вероятность, что при п испытаниях событие А
появится от а до Р раз? Вероятность появления события А
равна р .
Д Очевидно, что
( а <
\
< Л & ( п р + а У"пР$ < * < пР + ь
у
'
т
)
___________
Полагаем пр + а У Щ = а , п р + Ь V т = Р0 т а °Да
« -(в -^ /К а д
Ь = (6 — п р)1У прц. Применив теорему М уавра— Лапласа, получим
Р (а < X < Р ) = 4
у 2прд )
\ V 2пРЯ
930 Вероятность события А при каждом испытании равна 0,7.
Сколько раз достаточно повторить испытание, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что частота
»
тия А будет отклоняться от вероятности не больше чем на 0,05?
213
Д Из условия следует, что
X
0,7 < 0,05. Отсюда 0,65л < X < 0.75п.
п
В формуле, полученной при решении задачи 929, положим ос 0,65л, р
Тогда
| ,
Я
0,75л
]_
Ф
Р (0,65а < X < 0,75 п)
2
\ Г 2 л ( 1/2
Ф
0,65л— 0,7 л
0,75п.
«ф ( V I
V
V 20
Из уравнения Ф
2 д / 20) = 0 ,9 , используя табл. III на с. 411, находим
1 ^ 2 ^ /2 0 = 1 ,1 7 , т. е. л = 2 7 3 . Д .
931. Какова вероятность, что при
«герб» появится от 40 до 60 раз?
100 бросаниях
монеты
Воспользоваться результатом решения задачи 929 при а = 40, {5= 60,
п = 100 , р =<7 = 1/ 2 .
932. В урне 80 белых и 20 черных шаров. Сколько шаров
(о возвращением) нужно вынуть из урны, чтобы с вероятностью
0,95 можно было ожидать, что частота появления белого шара
будет отклоняться от вероятности меньше чем на 0,1?
§ 15. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Часто результат опыта описывается не одной случайной величиной X ,
а несколькими случайными величинами: X*, Х 2,
Х п. В этом случае при­
нято говорить, что указанные случайные величины образуют систему
(•Х^,
• *• 9 л)*
_Ж
'
■;
Систему двух случайных величин (X , V) можно изобразить случайной
точкой на плоскости.
___
Событие, состоящее в попадании случайной точки (X; У) в область и %
принято обозначать в виде (X; У) С2 О.
Закон распределения системы двух дискретных случайных величин может
быть задан с помощью таблицы
.
где XI < х2 < . . . < Хт, У1 < Уг < • • • < Ут / 7,7 — вероятность события, заклгочающегося в одновременном выполнении равенств Х = дг/, / — У]. При этом
214
т ж : 'Г 4д-.г ^
|Т
-*
'*& Й^{'*й№%Л'
1ЙЙЙ11Ш11 ■Жй
2
2 Р / / ==
Таблица может содержать бесконечное множество строк и
*=1 / = \
'
СТОЛбЦОВ>
о
»у
т/\
Закон распределения системы непрерывных случайных величин (Л, / ;
будем задавать с помощью функции плотности вероятности / (х, у).
Вероятность попадания случайной точки (X, У) в область ^ определяется
равенством
Р [(X; К ) с С ] = Ш ( л : , у) йхйу.
Функция плотности вероятности обладает следующими свойствами:
1°. /( * , У ) ^ 0.
+ оо + со
2°.
С
/ ( * . У )Л х с1 у = 1 .
5
—00—8
Если все случайные точки (X; У) принадлежат конечной области Щ то
последнее условие принимает вид ^
/ (х, у) й х с !у = 1.
Математические ожидания дискретных случайных величин
дящих в систему, определяются по формулам
да *
«
тх = М (X) = 2 2 Х1Р!Р ти ~ М (Г)= 2
X и V, вхо­
^
2 у1р1>'
1ИЧ^1= 1 / « I
в математические ожидания непрерывных случайных величин - по формулам
1>'>
:.-'1 '
+00+®
тх = М ( х ) = Т
( хЦх, » ) * Ё | я .„ -М (Х )- $ $ в/С*.
-~вВ — ОР
/^
'г*-' .А;4Г ■ : Т у-
ЗЦ-
- дСГ ; Я
Точка (т * ; т у) называется центром рассеивания системы случайных величин (X, У).
можно найти и проще, если случай-
Митемати««ие
“ в\
Ц законов 'распределения
этих"мучавных величин можно определить математинеские ожидания т , и <П„
Ш ®
е р ^ Р“ и Г р т “ ы х § е д ” айныха“ а и я и я
п V определяются по
X
формулам
п
о т -
2
2
° Щ = .2
т
2
Дисперсии же и п ^ н ы х сдуяайнш величин X и У, входили,, и систем,
находятся по формулам
с
т
Т7 ( . -
а)
«/
—сс —со
Д
И
И
И
И
Д
И
Щ
И
Щ
тх)'Их, » )* * » . ° < П “
И
И
И
И
И
М
_
5 5< »-■ •> ■ «* Й * *
а Лор «Ш
оо
!**•
—
Средние квадратичные отклонения случайных величин X и К определи-
ются по формулам
____
= у гЩ х ) ,
Для вычисления дисперсий могут быть применены формулы
Ш Х ) = А1 ( * * ) - [ М (*)]*. Я ( У ) = А 1 ( П -
§ '
'
* 215
Важную роль в теории систем случайных величин играет так называемый
корреляционный момент | ковариация)
Сх у =
м
[ ( Х — т х) ( У - Ш у ) ] .
. Щ
Д ля дискретных случайных величин корреляционный момент находится
по формуле
С хг/ —
!
т
п
(хп
т х) (Ут
т у) Рпт
а для непрерывных— пр формуле
+ 00+00
сху=
\
\ (х— тх) ( у — т у) ! (х, ф Их Щ
—00—00
Корреляционный момент можно также найти по формуле
Сху = М ( Х У ) — М СX) М (У).
Здесь
Ш ( ХУ) = 2 1
/п п
х пУтРтп
для дискретных случайных величин X и У и
+ 00+00
С С ху! (ху) ах йу
М (ХК) ц
—00—00
для непрерывных величин.
1 Щ
Случайные величины X и У называются независимыми, если вероятность
одной из них принять значение, лежащее в любом промежутке области ее
значений, не зависит от того, какое значение приняла другая величина.
В этом случае
*
М ( Х У ) = М ( Х ) - М ( У ) ; Сху = 0.
Д ля характеристики связи между величинами X и У рассматривается так
называемый коэффициент корреляции
• -
I— \р х у
Щ§:
являющийся безразмерной величиной.
Если случайные величины X и У независимы, то гху = 0. Если же слу­
чайные величины X и У связаны точной линейной зависимостью У = аХ-}- Ь9
то г ху = &&п а, т. е. гху = 1 при а > 0 и г ху = — 1 при а < 0.
Вообще же коэффициент корреляции удовлетворяет условию — 1 Й§
^5 1.
933. В двух ящиках находятся по шесть шаров; в 1-м ящике:
1 шар— с № 1 , 2 шара— с № 2, 3 шара— с № 3; во 2-м ящике:
2 шара— с № 1 , 3 шара— с № 2, 1 шар— с № 3. Пусть X
номер шара, вынутого из первого ящика, У — номер шара, выну­
того из второго ящика. Из каждого ящика вынули по шару.
Составить таблицу закона распределения системы случайных
величин (X, У ).
1
Д
Случайная точка (1; 1) имеет кратность 1 X 2 = 2;
»
»
»
216
»
»
(1;
(1;
(2;
(2;
2)
3)
1)
2)
»
»
»
»
»
»
«
»
1 X 3=3;
1 x 1 = 1;
2 X 2 = 4;
2 X 3 = 6;
»
»
»
»
5>
»
»
»
(2;
(3;
(3;
(3;
»
»
»
»
3)
1)
2)
3)
Э>
»
»
»
2
6
9
3
2X 1
3x2
3X 3
ЗХ 1
Всего случайных точек 6 х 6 = 36 (/1-кратную точку принимаем за п точек)*
Так как отношение кратности точки ко всему количеству точек равно
вероятности появления этой точки, то таблица закона распределения системы
случайных величин имеет вид
1
2
3
1/18
1/12
1/36
2
1/9
1/6
1/18
3
1/6
1/4
1/12
X
1
|
Сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна единице. Д
934. Найти математические ожидания случайных величин X
и К по условию предыдущей задачи.
Д Имеем
т
ту
|41й
й
й
й
1
В
12 ‘
1 4 -4
1 11
1
6 + 3 ' Т + 1 36 1
ь т + 2 1 +
36
з -й
1 I о 1
Тб ' 1 2
+ 14 + 2 4 +
з -й
7
3 ’
11
6 *
Точка (7/3; 11/6) является центром рассеивания для заданной системы (.X , У).
Так как случайные величины X и У независимы (см. задачу 933), то ма­
тематические ожидания тх и ту можно подсчитать проще, используя ряды
распределения:
Рг
1
2
3
1/6
1/3
1/2
У1
1
2
3
Р/
1/3
1/2
1/6
Отсюда находим
т
1
2
3
7_
3 ’
т
|
+
1
+
2
3
11
▲
6 ’
935. Найти дисперсии случайных величин X и У по условию
задачи 933.
Д От системы величин (X, V) перейдем к системе центрированных вели7/3, К°=УГ— т у = К — 11/6. Составим табчин (X, У), где X = X — т~ = X
лицу
217
1/18
4/3
Имеем
4\2 1
+
18
3
2 2 1
+
3
1
18
1^ 2 ^
+
4
6
Г>(Х)
1
3
+
|1|
6
О (У)
I
6
1
6
1/6
7/6
1/12
1/36
1
4
|
1\а 1
+
+
+
12
3
6
9
3
5
2
\
2
1
_1_
1
2
1
4_
+
+
12“ 9 ’
3
18
3
36
1\2 1
5 \2 1
|Р 2
+
+
+
12
6
6
6
9
6
17
____
7
\_
7_
+
12
36
6
18
6
Ж
| 6
2
3
Отсюда ох = У 5/3, Ои —
Заметим, что О (л ) и Г> (У) можно :
— [М (Х )1 а.
(К) = А1 (К2) — [Л1 (К)]-. А
■
по формулам О (X) = М (X2)
936. Найти коэффициент корре
А Воспользуемся таблицей распределения системы (X, У) центрирован
ных случайных величин
Определим ковариацию:
4
\
7
1
5
Я В 1 .
+
6 36
3
3 ; , б '1 2+
Сху
7_
_1
_
1
I
5
I 1 ,
1
4*
+
1
6*18
3
9
6
Г б ’т ’ л
3
3
1 . 2 7 1
5
2
6 ^ 3
6 4 ШЯ 3 ‘ 6 ' 1 2
6
3
4
3
5 б- 72Я 1 216
7
108
7
1
5^
36 + 2 4 ' 7 2
коэффициент
2
3
54
3
4
•0
3
36
108 у
г ° + т 0=00.
Й
Я
результат
»? определлл №
■
С„.
Двйста^тельно п м а г а а У = 1, п о л у , а » , «
зпа.пеим Х = I повторяв™ 2 раза,
6
раз.
Значит,
при
У
=
1
полузначение Х = 2 — 4 раза, а значение X 3
218
X!
1
Р1
1/6
]
2
3
1/3
1/2
I
Если У = 2 , то значение Х = 1 повторяется 3 раза,
аза* значение
з н а ч е н и е Х ==2—
— о6 рраз,
аз,
а значение Х = 3 — 9 раз. Следовательно, при У = Л
2 получается ряд распределения случайной величины X:
*1
1
2
3
Р1
1/6
1/3
1/2
Наконец, если К==3, то значение Х = 1 повторяется 1 раз, значение
Х = 2 — 2 раза, а значение Х = 3 — 3 раза. Ряд распределения случайной величины X при У = 3 имеет вид
%
1
2
3
Р1
1/6
1/3
1/2
Итак, при различных значениях У получаем один и тот же ряд распре­
деления случайной величины X. Так как ряд распределения случайной вели­
чины X не зависит от значений случайной величины У , то случайные вели­
чины X и У независимы. Отсюда следует, что коэффициент корреляции равен
вулю. А
937. Система случайных величин (X , У) подчинена закону
распределения с плотностью
{х2 + у 2)
О
/(* . У)
при х2-\-у2* ^ г 2,
при Х2-\гУ2 > г.
Найти коэффициент а.
Д Коэффициент а определяем из уравнения
а55(Х*+У2) 4 * 4 У ~ Ъ
где О — круг, ограниченный окружностью х2+ у 2
координатам, получаем
г2. Перейдя к полярным
2я г
а
^ р3 йр йв
1,
• 2д а = 1,
т. е.
а
2
яг 4
'
▲
о о
938. Система случайных величин (X, У)
распределения с плотностью
/ (*. У)
а (х ^ у )
О
подчинена закону
в области Э;
вне этой области.
О,
х
=
3
,
у
=
О
_
—квадрат,
ограниченный
прямыми
х
=
Область О
у = 3~. Требуется: 1) определить коэффициент а; 2) вычислить ероятность попадания случайной точки (X; V) в квадрат ц, огра­
ниченный прямыми * = 1 , Х = 2, у - 1 , у =2] 3) найти математи­
ческие ожидания тя и ти\ 4) найти средние квадратичные откло­
нения ох и а„.
Ш
219
3 3
Л 1 Коэффициент 1 находим из уравнения а $ $ Я
з
з з
( х + у ) йхйу = а
а
®
о
о о
2
13
У
йх
ХУ+ 2 о
= 1, откуда
И
9
йх
2
о
I,■щ §
Ш
§IИР]=27а' ш-йт
-'••
11ВВИНИ
3
2
1
27*
2 2
1
о о
У
ху+ 2
Т
27
о
3
2
|е
27
йх
1
Г
3
2
1 Г ха . 3 x 1 2 _ 1 1 2 + 3 — 1
2
27 1 2 + 2 11 27 V
*
3) Находим математические ожидания тх и т у \ имеем
_1_
т
27
§1
27
Ш
з з
I
о о
О
7/4.
1
Зх2 + ^ х \ й х
27
о
анТГхо«и» ср” &
О*
27
7/к .а д р а т и „ ы е отклонения о , и о„:
1 п г Г
7 42
X ---- Т- I •(Х-\-у) Щ йх
С I (х— #г*)2* /Ш |§ Ж ^ ” 27
•У
оо
3 3
в •
7
о о
1111|И11Зи|11|Шр
27
4
о о
о о
3
Ц
7
4
27
7
У
йх + В |
4
1
4
9
7
У+ 4
йх
о
о
о
7
4
4
1
1
да
0^27^2*Т И
7 \ 3 /^361 _ 4 9
з
4 ) Д 16
о
16
И
16*
Итак, о х = Оу — V
939. Система случайных величин (X , V) подчинена закону рас
пределения с плотностью
а 8Ш (х Я у)
/ (*, У)
220
О
в области Я®
вне этой области
Область Э определяется неравенствами 0 < х < я / 2 , 0 < у < я/2.
Найти: 1) коэффициент а\ 2) математические ожидания тх и т ;
3) средние квадратичные отклонения ох и о • 4) коэффициент кор­
реляции гх„.
Я/2 Я/2
X1
1. От-
О о
сюда
я /2 я / 2
Я/2
Я/2
I СОЗ (х+ г/) Г"
О О
О
я /2
Я/2
а ^ ( з т * + с о з *) й # = а (зш*-—соз х)
О
о
Итак, в = 1 /2 , т. е. / (х, $ = ( 1 / 2 ) М ( х + у ) в области О.
2а
Я/2 Я/2
2)
т .
^ * з т С*+#)
2
о
о
Я/2
я /2
1
2
Ох Ц ЗИ1 (*+*/) йу
2
о
о
Г
Я/2
соз (х + у )
о
о
Я/2
О
хйх
Я/2
2
СОЗ
о
соз х \ х йх
(*+ТГ
Я/2
1 Г
2И
0
1
Я/2
(зш
2 V
0
Точно так же и т у = я/4.
2
1
Я/2 я/2
л2 зш (х-\- у) йу йх
2
О
я /2
о
5_
Тб
я /2
я/2
^ х2 соз (д:+ У) о
Х
О
2
О
Я/2__ я
л
1
соз х) й х = -^ —^~~2 (С08 л; + 3^п х) о
4
3) д | = Ж ( Х 2 ) - [ М ( Х ) ] 2
1
* ( з т х — соз*)
Я/2
X2 (зШ X— соз *)
я/:
о
я2
1
16"“ 2
я2
Тб
О
Я/2
х(з1п х — соз *) йх
о
я2
Тб
Я/2
я
8
-\-Х (51П х -(- соз х)
Я/2
о
(з!п лг+соз дг) йх
О
я/2
зх2
я* . я
-+“-Т7+ (51П X— СОЗ X)
16
о
8 1 2
— - Iгг 2
Следовательно, о* = с# —0 *0 ^ = (я2 + 8я — 32)/16.
ЯТб
я2 . Я
4--11 — 2
16 2
в
221
4) Определим ковариацию:
л/2 л/2
^ху
ш
М( ХУ) — М (X) • М (У)
о
П/2
4
л2
16
у з!л (х + у) йу
о
о
я/2
я/2
я/2
я
16
СОЗ ( х + у ) ё у I *
У С05 (*+*/)
о
о
Я/2
2
Т
о
л/2
хйх
1
2
ху з1л (х+у) йуйх
л п
* |д - С 0 5 ^ Х + ~ - ^ — 5Ш ^ + у ) + 51п^] ***
л2
16
О
Я/2
1
XI — -2- 51п
9
з!п X \
соз
йх
16
о
Я/2
л
* I ^ 8 1 п Н СОЗ X— 51П X 1 ^ — 10
1 С гл
0
л
1
Я/2
ЗШ X
2
л
4
л
о
1
2
л
4
л
31П X
С03Х+С05 *
СОЗ х + соз
2
2
4
X 1 йх
л2
2"~~Тб
л2
Тб
л/2
о
51Я х — СОЗ X
1
2
я/2
о
л2
16
8 л — 16— л
16
Отсюда
С ху
ху
°х •°у
8 л — 16
л2
л2 + 8 л — 32
/V
0,73688
3,00232
0,2454. ▲
940. Дана таблица, определяющая закон распределения
стемы двух случайных величин (К, У):
10
222
20
40
60
ЗА,
X
О
Найти: 1) коэффициент л; 2) математические ожидания тх и ту\
3) дисперсии <х| и
4) коэффициент корреляции гху.
941. Система случайных величин (X , У) подчинена закону
распределения с плотностью
с.
. __ . аху
I \ > У)
1 о
в области Э ,
вне этой области.
Область Щ— треугольник, ограниченный прямыми х - \- у — 1 = 0 ,
* = 0, у — 0. НайтиЛ 1) коэффициент а; 2) математические ожида­
ния тх и т ; 3 ) дисперсии а* и Ш 4) коэффициент корреляции гху.
942.
Система случайных величин подчинена закону распреде­
ления с плотностью
г/
\
( а2— х2— у 2 при
п*. У )= \
о
х2-\-у2 ^ а 2 (а > 0),
прш *■+»’ > А
Найти: 1) коэффициент а\ 2) математические ожидания тх и ту
3) дисперсии о2 и о2\ 4) коэффициент корреляции гху.
§ 16. ЛИНИИ РЕГРЕССИИ. КОРРЕЛЯЦИЯ
Дана система случайных величин (X, У). Пусть в результате п испытаний
получено п точек (хх; у\), {х%\ у2), •••, (х„, уп) (среди этих точек могут быть
и совпавшие). Требуется вычислить коэффициент корреляции этой системы
случайных величин.
Приняв во внимание закон больших чисел, при достаточно большом а
в формулах для определения о |, Оу и Сху можно заменить математические
ожидания М (X) и М (V) средними арифметическими значений соответствующих
случайных величин. При этом имеют место следующие приближенные равенства:
М (X) » х = ( 2
1=1
* Д /л ;
М (К) а у = ( 2
/*
С п
^ Л / п*
V =1
\ I
( «
\\
ху
Отсюда можно найти коэффициент корреляции 1ю формуле
Гг
ху
оха у
Рели I г | 1^/Г ^Л ^ 3, то связь между случайными величинами X и У
дсстаточно^вероятна. Если связь между X и У установлена, то линейное при­
ближение ух от х дается формулой линейной регрессии
Линейное же приближение ху от у дается формулой линейной регрессии
ХУ
—
ох
Х| | Г*у ' о у
,
у ),
или Ху = су-\-с1»
Следует иметь в виду, что у х = ах-\-Ь и ху = су -\-(1
различные прямые
(рис. 50). Первая прямая получается в результате решения задачи о миними­
зации суммы квадратов отклонений по вертикали, а вторая при решении за­
дачи о минимизации суммы квадратов отклонений по горизонтали.
I
Д л я построения уравнений линейной регрессии нужно:
1) по исходной таблице значений (X , У) вычислить х, у, о ХУ а у ^ху* гху *
2) проверить гипотезу о существовании связи между Л и г ;
3) составить уравнения обеих линий регрессии и изобразить графики этих
уравнений.
Щ
943. Дана таблица
Определить коэффициент корреляции гху и уравнения линий регрессии.
-4*
224
А Составим расчетную таблицу:
§ 9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ю
11
12
13
14
15
16
17
1
|
|
|
тш
х з н !
0,25
0,37
0,44
0,55
0,60
0,62
0,68
0,70
0,73
0,75
0,82
0,84
0,87
0,88
0,90
0.95
1,00
2,57
2,31
2,12
1,92
1,75
1,71
1,60
1,51
1,50
1,41
1,33
1,31
1,25
1,20
1,19
1,15
1,00
11,95
26,83
1
таблицы
17
2 ^ = 45,4127,
1*1
получаем:
0,0625
0,1369
0,1936
0,3025
0,3600
0,3844
0,4624
0,4900
0,5329
0,5625
0,6724
0,7056
0,7569
0,7744
0,8100
0,9025
1.000С
!
ХТ
6,6049
3,3361
4,4944
3,6864
3,0625
2,9241
2,5600
2,2801
2,2500
1,9881
1,7689
1,7161
1,5625
1,4400
1.4161
1,3225
1,0000
0,6425
0,8547
0,9328
1,0660
1,0500
1,0602
1,0880
1,0570
1,0960
1,0575
1,0906
1,1004
1,0875
1,0560
1,0710
1,0925
1,0000
|
45,4127
9,1095
17
Из
у9
Г 'Ж
у
2
Щ
17,3917
17
17
2 х\ ~ ^ >^5, 2 У* ^
1= 1
* г= 1
3 х*
*:= !
2 9 ,1 0 9 5 .
17
2 *$г,=* 17,3917. Теперь находим
вЙ
х = 11,95/17 = 0,7029,
(/=26,83/17=1,5782;
о* == 9,1095,17— (0,7029)* = 0,0418, ах = 0,2042,
____________________________
о ! =45,4127/17—
(1,5782)а = 0,1806, о| = 0,4250;
Сх и : 17,3917/17— 0,7029-1,5782 = - 0 ,0 8 6 3 ;
(—0,08бЗ)/(0,2042-0,4250) = —0,09943.
ху
Вычисляем значение произведения | гху |
п — 1; так как | ху \ У п - 1
0,9943-4 = 3,9772 > 3, то связь достаточно обоснована.
Уравнения линий регрессии:
ау
Ух— У = г ХУ о х {X— X),
т. е.
Ух - 1,5782
0,9943-0,4250
(х— 0,7029);
0,2042
ух
2,0695x4-3,0329;
х,.— х = г х у ’ - ^ - ( у — у),
у
у
т, е.
ху — 0,7029
0,9943-0,2042
( у— 1,5782);
I , = 0,4776 у + 1,4566.
з__________ г________________________
опоеделяемые
таблицей,
и
линии
регрессии,
видим,
что
Построив точки,
проходят
через
точку
М
(0,7029;
1,5782).
Первая
линия
обе линии регрессии
8
М» 1814
225
о лоол о втоозя—на оси абсцисс отрезок.
“
944.
к"
регрессии'
В результате 79 опытов получена коорреляционная таб­
лица величин Х = 0 5/0в и У:
Й Й
Щ
Через о ,
^ ”
ла, приведенные в
ченнй с о о т в е т с т д д а с л у н а н н ы х ^
■
В
Ш
Щ
Ц
1 Ш
р З ^ Ш
е Р-
?ате К14 опытов значению * - 0 , 8 соответствовала'значение^ = 0,6
Требуется определить коэффициент корреляции и уравнения
линий регрессии
д
Используя табличные данные, находим
0 ,427 .
0,703;
Ц
0,622;
79
Определим дисперсии и ковариацию:
о 1 = 0 ,5 0 5 — (0 ,703)2 = 0,505 — 0,493 = 0 ,0 1 2 ; а х = 0 , 11;
„ 2 _ 0 398 — (0 622)2 = 0,398 — 0,387 = 0 , 01 1 ; сту = 0 , 105 ;
' ^
- О 427 - ОТО • 6,622 = 0,427 - 0,437 - -
0 ,0 1.
Определим коэффициент корреляции.
с *у_________ Й Й Щ в * — 0,867.
г* « ~ ох о у
0 ,1 1 -0 ,1 0 5 ____
Вычисляем значение произведения | г х у |
|к
226
1, имеем
| ^ • ^ Г Т '= 0,867 ^ 7 8 = 0 ,8 6 7 -8,84 = 7 ,6 6 .
Так как \ г х у \ \ г п — \ > 3 , то связь достаточно вероятна.
Уравнения линий регрессии:
%
Ух— У = г х у • — • (* — *)»
о
т. е.
у х — 0 ,6 2 2 = —0 ,8 6 7 -^ р ^ . (х— 0,703), ^ = - 0 , 8 2 8 * + 1,204;
х
ху — х =
щЩШ
т
т. е.
Н у - 0 ,7 0 3 = - 0 , 8 6 7 |
°.622),
* „ = - 0 , 9 0 8 „ + 1,263. |
945.
Дана корреляционная таблица для величин X и У, где
X — срок службы колеса вагона в годах, а У — усредненное зна­
чение износа по толщине обода колеса в миллиметрах:
О
коэффициент
СИИ.
946.
Дана корреляционная таблица для величин X и У, где
X — стрела кривизны рельса в сантиметрах, а У количество де­
фектов рельса (в сантиметрах на 25-метровыи рельс).
8*
227
13,5
14,0
1
2
1
1
3
14,5
Определить коэффициент корреляции и уравнения линии регрессии.
§ 17. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
1
Генеральная и выборочная совокупности. Выборочной совокупность
(или выборкой) называется совокупность случайно отобранных однородных
0бЪеУенеральной совокупностью называется совокупность всех однородных
объектов, из которых производится выборка.
____
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число об
тов этой совокупности.
228
Выборка называется репрезентативной (представительной), если она до­
статочно хорошо представляет количественные соотношения генеральной сово­
купности.
2.
Частота и относительная частота. Пусть имеется выборка объема п .
Расположим результаты выборки в таблице
где
§2» •••»
значения случайной величины X соответственно в 1, 2,
3, . . . , п- м испытаниях. Среди приведенных значений случайной величины X
могут быть и равные. Объединив равные значения случайной величины, полу­
чим таблицу
X
*2
Хз
п
П
лз
•«
••
Ч
пI
Где щ — число появлений значения х / (/ = 1, 2, . . . , /)* Величины пъ пъ . . .
пг называются частотами соответствующих значений хъ х2> .
хь случайной величины X . Очевидно, что 2
Ч = «• т - §• сУмма частот всех значе'
ний случайной величины равна объему выборки.
Отношение частоты щ к объему выборки п называется относительной ча­
стотой значения
и обозначается через щ (1 = 1, 2, . . . , /). Очевидно, что
I
I
п;
1
■
/
1
п
1=1
п= 1
т. е. для случайной величины X сумма относительных частот всех ее значении
РаВКТаеблииИ
аЦеустаНавливающа я соответствие между значениями случайной ве­
личины и их относительными частотами, называется статистическим распре­
делением случайной величины л :
\
X
Хг
%2
102
XI
х*
т
••1
Щ
Следует заметить что довольно часто статистическим распределением называ­
ют также таблицу, определяющую соответствие между значениями случайной
величины и их частотами.
229
Если X — непрерывная случайная величина, то ее статистическое распределение целесообразно представить в виде
7
№
щ
Дох
Здесь да/— относительная частота попадания случайной величины в интервал
^
*ЕсЛй случайная величина примет Я. значений, равных х/, то в случае чет­
ного значения X половину этих значений можно отнести к интервалу
М*
а вторую половину— к интервалу
Е/+х[»
П РИ нечетном к к
ч
т
«Iл
*
Рис. 52
Рис. 51
одному из этих двух интервалов можно отнести ( к + 1)/2 значений, а к друго2 значений. При большом объеме п выборки не имеет существенного
значения к какому из интервалов отнесено большее число значений.
Д л я наглядности статистическое распределение дискретнои случайной ве­
личины иллюстрируется полигоном распределения. Д л я этого последовательные
т о ч к Г ( х г ^ Т ( х 2; ш 2), . . . , (хГ, щ ) изображают на координатной плоскости
и соединяют их прямолинейными отрезками. Необходимо отметить, что точки,
н е я вл якхдиес я вершинами полигона, не представляют интереса с точки зрения
МаТедГ яИмлюстр1вдиСТраспределения непрерывной случайной величины поль-
Юш
валов, в которые попадают значения случайной величины.
Пусть непрерывная случайная величина X определена таблицей.
I
п
ъо»
[
51*
2[
п
т
интер*
]%2, 1 1
т
Предполагая, что разности
постоянны, положим
й д? я
1 = 1, 2,
I (к — шаг таблицы). Н а оси Ох отметим точки ё0, ё ь • • **А *
Рассмотрим функцию, определенную равенствами у = щ / к , если
ь/1»
1 »
о
. /. Вычислим площади Щ прямоугольников, нижними основаниями
которых являются отрезки | й | 1/1 оси Ох, а в е р х н и м и — соответствующие
отрезки графика функции */ = л///х (рис. 51); имеем
5; =
230
IК)*й = л/
(I — 1, 2, •••, !)•
2. Гистограмма, характеризующая статистическое распределение случайной
величины. Она устанавливает зависимость между разрядами и относительными
частотами значений случайной величины, попавших в эти разряды.
В этом случае рассматривается функция вида у = щ/Н (/==1, 2, . . . , /).
Аналогично предыдущему, площадь соответствующего 1-го прямоугольника чис­
ленно равна щ . Таким образом, площадь фигуры, ограниченной прямыми
* = * ,, хД Ш у = 0 ,
2..........0 . Равна 1 (Рис- Ъ2У-
947.
В результате испытания случайная величина X приняла
следующие значения:
5,
5, = 9,
|
б,
2,
Ъхх
3,
1 г.
3,
3,
1
1x7 =
8,
I- 2 2
9,
3 = =7,
18 = = 6 ,
13 = 7,
18 == 10
I 23 ' = 4,
й
в,
шг»
I
■ 6,
■
Ь
10,
I
10
6,
15
8,
I20
7,
6,
6.
5,
Требуется: 1) составить таблицу, устанавливающую зависимость
между значениями случайной величины и ее частотами; 2) постро­
ить статистическое распределение', 3) изобразить полигон распре­
деления
д
X
1) Найдем объем выборки: я = 2 5 . Составим таблицу
2
1
•
пх
2
1
3
3
4
5
6
7
8
9
Ю
1
3
5
3
3
2
2
5
6
7
8
9
Ю
3/25
5/25
3/25
3/25
2/25
2/25
2) Статистическое распределение имеет вид
1
X
Г
1
1/25
2
2/25
3
3/25
4
1/25
3 ,5 , 3 , 3 , 2 , 1 _ ,
1
1
---- Ь п ё Ч 'п е 'Т стс) ос "Г —
Контроль: ^ + ^ + 5 5 + $ 5 + 2 5 “г 2 5 ^
1 25
Последнюю таблицу можно переписать в виде
X
1
0,04
2
0,08
3
0,12
4
0,04
5
6
7
0,12
0,2
0,12
8
9
10
0,12
0,08
0,08
0,12)
и
т
.д
Возьмем на плоскости хОш точки (1; 0,04), (2; 0,08), (3> получим поПоследовательно соединив эти точки прямолинейными отрезками,
лигон распределения случайной величины X (рис. 53). Д.
231
948. В результате испытания
следующие значения:
17,
=
16,
э1 Щ
7,
8
=
11,
>
7
Эб =
5,
\
13
=
17,
^11 =
6,
18
= 4,
17
23,
23
=
15,
22
1*1 =
—
Л
т
ш ж Ш
Г Ч
случайная величина X приняла
•
Я
1
9,
7,
20 ,
22 ,
19,
1
^14
19,
18,
5,
11 ,
15,
10
15
19
21,
20
24
25,
25
1.
В
гоставить таблицу статистическою
пять
бив промежуток
промежучип. ]0,25[ на ......
1 ?
иягтпт
длины; построить гистограмму относительных частот.
20 25
4 Ю*
Рис. 54
Рис. 53
Д Предварительно составим таблицу
]5,Ю[
]0, А5[
/
5
3
*х
]10,15[
115,201
]20,25[
4
8
5
] Ю, 151
]15,20[
)20,25[
0,16
0,32
0,2
Статистическое распределение имеет вид
/
|
Р,5[
Й 101
0,2
0,12
Г
образом,
о
при
X КщХ%1
При
Х ь < Х < Хи +1 ( * — 1 » 2 ...........5
при
х ^ х 3.
к
р*т
232
2
«Уу
/=1
1
*)’
Так как согласно теореме Бернулли относительные частоты при неограниченном
возрастании п стремятся по вероятности к соответствующим вероятностям со­
бытия,' то при большом объеме выборки статистическая функция распределе­
ния Р * (х) близка к интегральной функции распределения Р ш| — Р ( X < х).
Точки хх, х2, . . . , Х[ являются точками разрыва I рода функции Р*(х).
949. Дано статистическое распределение:
X
11
12
13
14
0,4
0,1
0,3
0,2
Найги статистическую функцию распределения и построить ее
график/
‘
д
Имеем
Р* (х)
0
0,4
0,5
0,8
1
при
при
при
при
при
и,
12,
13,
14,
14.
и < х<
12 < х <
13 < х м
X>
УХ
ю
№
№
0А
«2
7
/
г
3
4 5 }
7 В 4 10 и
й 13 п X
Рис. 55
График функции Р*(х) изображен на рис. 55. А.
4.
Определение среднего значения случайной величины. Средним значением
случайной величины X, заданной статистическим распределением, называется
выражение
МЮ\Хх “Г №2Х2 “[“ • • • "Ф*
^
1= 1
или
-
2
пы -
Равенство (1) определяет среднее значение X для выборки.^
Аналогично определяется ;среднее значение случайной величины А для
генеральной совокупности:
— Л1*1 “(“ П2Х2 • • • щ ПМХ'
1 Ж
х = ------------------ N
(2)
233
где N — объем генеральной совокупности. Так как я//Л 7= р,- вероятность, с
которой X принимает значение
АО» то Равенство (2) можно записать
в виде
.V ' ^
х = Х\р\
Х2Р2
• • • Ч"
5=1А1 (^0*
В соответствии с законом больших чисел Бернулли можно считать, что
для выборочной совокупности х « М (X ). В дальнейшем, предполагая п доста­
точно большим, будем писать х = М ( Х ) .
Если все значения случайной величины -X близки к постоянному числу я,
то вычисление х упрощается:
/
Ы\
Р
I
/
^
^
(х‘ _ ° + а) = 2 ю‘ (дС|— й) ^ ~ а 2 т1= х ~~ а + ° 2 ш,‘’
»=1
*= 1
*=1
*=1
т. е.
■
х = а + х — а,
(Щ
Где х Ша - —среднее значение случайной величины X — а. Таким образом, при
достаточно большом п выполняется равенство
М (Х ) = а + Л 1 ( Х — а).
(4)
950.
распределением
X
Найти среднее значение с
13,8
14
13,9
14,1
14,2
!
________________________________________________
л*
7
3
4
в
5
д Все значения X близки к а = 1 4 . Вычислим относительные частоты и
составим таблицу:
X — 14
Ю7
-0 ,2
0,16
—0,1
0,12
0
0,1
0,2
0,28
0,24
0,2
Теперь находим
|Й Щ = = 2
1М*<— 14) = - 0 , 1 6 - 0 , 2 - 0 ,1 2 - 0 ,1 + 0 ,2 8 -0 + 0,24-0,1 4 -0 ,2 0,2 =
= — 0,032— 0,012 + 0,024 + 0,04 = 0,02.
Следовательно, х = 14 + 0 ,0 2 = 14,02. Д
5.
Дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Статистической диспер­
сией случайной величины, заданной статистическим распределением, называется
выражение
О* (X ) = щ (ху — х)* + ш2 (*2— х)%+ • • • + Щ (*1— *)*•
0)
Из равенства (1) следует, что статистическая дисперсия является средним зна­
чением случайной величины (X — л)2. С возрастанием п среднее значение ~х
стремится по вероятности к М (X), а относительные частоты щ ,
234
к соответствующим вероятностям. Таким образом, при большом объеме выбор­
ки имеет место приближенное равенство П* (X) та О (X). Величина о* (X) =
у О* (X) называется средним квадратичным отклонением . Она имеет ту
ж е размерность, что и случайная величина X.
_
В дальнейшем, считая объем выборки п достаточно большим, вместо и (А)
и о*(Х) будем писать соответственно О ( Х ) и а (X).
Если значения случайной величины X близки к постоянной величине а,
то вычисление статистической дисперсии упрощается:
г
_
г
_
Е)* (X) =
1а) — (х— а)]2 =
Vи 1
I :,А
V
_
I
=
Щ
% * и {х 1 -* ш х -а )* 2® /=-
2
—
2
1= 1
1= 1
1=1
2
Щ (Х1— а)2— 2 (х— а) (х— а) + ( * — а)2,
111
Из равенства (3) п. 4 следует, что х — а = х — а, поэтому
(2)
О* (X) = (х— а)2— (х— а)2,
2
квадг1л / г —
среднее значение случайной величины (X — а)2, а (х— а)
оат среднего значения случайной величины Х — а. Так как левая часть равен­
ства (2) не з а в и с ь от а, то в правой части равенства после упрощении а
должно исключиться. Если, в частности, а = 0, то получается формула
РШ
(*)2.
Аналогичная формула часто используется в теории вероятностей.
Если случайные величины X и У связаны линеинои зависимостью У = к Х + Ь ,
то средние значения этих величин связаны той же линеинои зависимостью.
(3)
у = к х - \ - Ь или М (У) = к М (Х) + Ь.
Если дисперсию величины У выразить через дисперсию величины X, то
О (К) = О ( к Х + 6 ) = Р [ к Х ) + й (Ь) = к Ю (X),
так как Р (Ш = 0. Следовательно,
(4)
О (у) ■ к2 [х 2— (*)21•
951.
Вычислить И ( Х ) и <т(Х) для статистического распределе
ния, заданного в примере 950.
Д Составим таблицу
(X — 14)
0,04
0,16
0,01
0
0,01
0,04
0,12
0,28
0,24
0,2
Далее, имеем х — 14= 0 ,0 2 ,
(х
14)
0,0064 + 0,0012 + 0,0024 + 0,008
0 Сдадовательио. Й (X) = 0 ,0 1 8 — 0,0004 = 0,0176; о(X ) = ^ 0 ,0 1 7 6 я 0,1 33. А
952, Определить у и О (Г) для статистического распределения
235
2
I ЩИЙЙИШЩ111ЯШШЙ11
Значения
и разностью 4. Поэтому У — 3 +
(
2 3 4 5 6, то У примет
Т а к и м образом, м ож но записать
*
Е с л и X последовательно п р и н и м ает
соответственно зн а ч е н и я 3, 7, 11, 1э, 1У, ^ •
статистические распределения величин Л и Л .
Отсюда находим
* = 0,0 2 + 0 , 3 6 + 1 , 0 5 + 1 , 2 + 0 , 5 + 0,3 = 3,43;
#2 — 0,02 + 0,72 + 3,15 + 4,8 + 2 , 5 + 1 ,8 = 12,99
Используя формулу (3), получим
^ = 4 ’3,43— 1 = 12,72,
а по формуле (4) находим
I) (у)— 42 (12,99— 11,76) = 16• 1 ,2 3 = 19,68. А
953 Найти среднее значение, дисперсию и среднее квадратич­
ное отклонение случайной величины, заданной распределением
954. Определить у и Г> (У) для статистического распределения
У
2
0,10
8
5
0,15
0,20
^
236
т
т
т
ш
ш
Ш
11
14
17
20
23
0,25
0,05
0,12
0,08
0,05
6.
Определение моментов случайной величины по данным выборки. Асим­
метрия и эксцесс. Начальным моментом 5-го порядка случайной величины X
называется величина а , (X) = М (Л*), а центральным жоженшож-величин3
.. т = = М МХ— т-)*], где т х—математическое ожидание случайной величины Л .
Если\ считать выборку репрезентативной и имеющей достаточно большой
объем, ^ о \р л я определения а , (X) и * ,(Х ) имеют место приближенные формулы
V
*2 “
ШИВ12ШШШш
I
(X)
I
Центральный момент первого порядка любой случайной величины тожлргтвенно равен нулю. Действительно, р* = М ( Х — тх) — М ( л )
тх — и.
В случае симметричного
случайной величины X относительно
математического ожидания равны нулю и другие центральные моменты нечет­
ного■ порядка
/у ч
Следует также иметь в виду, что а* (А) — М (X), а (12 ( Х ) = 0 ( Х ) .
Р е л и значения случайной величины близки к некоторому числу а, то для
в ы ч и с л е н и я
центральных моментов первых четырех порядков целесообразно
р
а
с
п
р
е
д
е
л
е
н
и
я
= 0,
Ц2 (X) = (х - а)2— (х—а)
а)2 + 2(х а)3,
3
(х—
а
)
34
*
(1
Из (*) = (* 4
а)2—3
(х—о)
а)3
+
6(х
а)
(хЩ
(*
4
(х—
к » -а)*С помощью обозначения V, = ( * - « ) * эти формулы преобразуются к виду
Й
Й
«
о, \12
V
V?, \1з
V»
3У2V! + 2VI, Ц4 =
. Л
2
г» 4
(1)
— 4УзVI + 6У2V? — Щ |
Н-1
получаются равенства, устанавливающие зависиЕсли, в частности, а = 0 , то
и начальными
моментами первых четырех
мости между центральными
порядков:
= 0 , р,2= а 2— а?, Цз = «з
З а 1а 2 +
2а 31,
(х4 = а 4— 4 а 1 а 3+ 6 а ? а 2— З а*.
(2)
Начальный и центральный моменты 5-го порядка имеют размерность, рав­
ную размерности 5-й
линейной зависимостью У =
|
°то Чцент1р альный момент 5 - г | п р я д к а случайной величины У определяется следующим образом:
1»* ( Г ) - и * ( № § И = ‘ > 1 ( Х + * / Ч = ^ 1 “. № •
<3>
ИММИВЕЩП^ВсИЙ!
Легко доказывается,
Среднее квадратичное отклонение определяется так.
а { У) = } Г ^ ^ = ^ ' ^ т = = \ к \ У ' ^ ( Х ) = = \ к \ о ( Х ) .
(4)
Пусть Х -н е п р е р ы в н а я случайная величина. Для определения ее числовых характеристик составим таблицу
Ш
Дох
х2
9 • •
щ
9 9 9
ДО/
Обычно
из интервала ] | / - ъ
где XI— какое-нибудь число
величил/2. Выразив асимметрию и эксцесс случайной
полагают х ;= = (||-1 +
237
1I . 9 • • • 1 /
6а» * _
о
Л.
ны У = ЬХ-\-Ь через асимметрию и эксцесс случайной величины X , формулы
для которых приведены на с. 206, 207, получим
Очевидно, что если к > 0, то 5* ( к Х + Ь ) = 8 ь (^0* если же к < 0, то 5^ ( к Х + Ь ) =
= --5/5 (X).
^ -0?^-'■*
955.
Вычислить центральные моменты первых четырех поряд­
ков случайной величины, имеющей следующее статистическое рас­
пределение:
1 „
11
12
13
14
0,35
0,25
0,15
0,25
X
Д Примем а = 1 0 .
таблицу:
Х -а
вычисления V*, г 2, \ ’з>
тот / V
чт гт
ШШШШя я
1
2
3
4
Для
XV
составим расчетную
X У•
.
тот / V
>\д
ТР (Л-а)*
ХУ {Х - а )»
0,35
0,50
0,45
1,00
0,35
1,00
1,35
4,00
0,35
2,00
4,05
16,00
0,35
4,00
12,15
64,00
2,30
6,70
22,40
80,50
(Л—О)
ж т
/
V
XV
(Л-О)*
111
0,35
0,25
0,15
0,25
; .
%
Итак, V1 = 2,3; г а = 6,7; г 3 = 22,4; г 4 = 80,5. По формулам (1) находим
И ( * ) = °; N (X) = 6,7— 2,32= 1,41;
ц8 (X) = 22,4— 3-6,7.2,3 + 2- 2,33 = 0,504;
щ (X) = 80,5— 4 • 2 2 ,4 .2 ,3 + 6 .6 ,7 •2,32— 3 • 2,34 = 3,1257. Д
956.
Вычислить центральные моменты первых четырех поряд­
ков случайной величины, имеющей следующее статистическое рас­
пределение:
У
238
4
9
14
19
0 ,4
0 ,2
0 ,3
0,1
д Числа 4, 9, 14, 4 9 образуют арифметическую прогрессию, поэтому
у _ 4 + 5 ( Х — 1), т. е. К = 5Х — 1, к — 5, Ь — — \. Составим таблицу
X \
1Р
ХРХ
МГХ1
VУХ*
1
А
2
3
4
0,4
0,2
0 ,3
0,1
0,4
0,4
0 ,9
0,4
0,4
0 ,8
2,7
1,6
0 ,4
1,6
8,1
6,4
0 ,4
3,2
24,3
25,6
2,1
5,5
16,5
53,5
Следовательно, ос^ = 2,1 ; Яг — 5,5; а з = 16,5; а 4 — 53,5. По формулам (2) находим
щ ( Х ) = 0 ; ц2 ( * ) = 5 , 5 - 4 , 4 1 = 1,09;
Мз (X) = 16,5— 6,3 ■5 , 5 + 2 • 2 ,13 =0,372;
ц* (X) = 5 3 ,5 - 8 ,4 - 1 6 ,5 + 6 - 4 ,4 1 - 5 ,5 — 3-4,41г = 2,0857.
Теперь, используя формулу (3), получим
(К) = &*ц5 (X), т. е.
^ ( 1 0 = 0 , ц2 (10=25-1,09=27,25; ц3 (У)=125-0,372 = 46,5;
(У) =625-2,0857 = 1303,5625. А
957.
Пользуясь данными выборки, определить начальные
и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию
и эксцесс, если случайная величина X определена таблицей
Д Объем выборки л = 25. Составим таблицу
X
1
3
5
7
9
0,12
0,16
0,40
0,20
0,12
М?хХ
1ГхХ«
и?хХ‘
0,12
0,48
2,00
1,40
1,08
(), 12
1,44
10,00
9,80
9,72
0,12
4,32
50,00
68,60
87,48
0,12
12,96
250,00
480,20
787,32
--
5,08
Следовательно, «1 = 5,08;
М (X) = 5 ,0 8 ; (11=0.
а* = 31,08;
31,08
а 3 = 210,52;
210,52
1530,60
а* = 1530,60,
т.
е.
239
Используя формулы (2), находим
ц 2 = 31,08— 25,8064 = 5,1736, т. е. О (X) = 5,1736;
цз = 210,52— 3 • 5,08 •3 1 ,0 8 + 2 • 5,083 = —0,9462;
= 1530,60—4 •5,08 • 210,52 + 6 - 5,082•31,08—3 • 5,084 = 67,3004
Отсюда получаем
о (Х ) = У 5,1736 ж 2,275;
0,9462
Из (X)
2,275» :
о3 (X)
67,3004
Ц4 (X)
3
о*(Х)
: 2,2754
0,0804.
3
0,488. А
958.
Пользуясь данными выборки, определить начальные
и центральные моменты первых четырех порядков, асимметрию
и эксцесс для случайной величины, заданной таблицей
/
11, 3[
]3, 5[
2
4
]5, 1
37, 9[
]9; 11[
6
3
10
§ 18. НАХОЖДЕНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН НА ОСНОВЕ ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
1.
Распределение с равномерной плотностью. Пусть задано статистическое
распределение
Г
Щ
Ш/
Если числа щ , ш2, •••» щ близки друг к другу, то для обработки наблюде­
ний удобно воспользоваться законом распределения с равномерной плотностью.
К ак известно (см. с. 196), плотность распределения в этом случае определяется
следующим образом:
/(*)
0
1/(Ь — а)
0
К
при
при
при
х < а:
а
х > Ь.
Ь;
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение
для распределения с равномерной плотностью находятся по формулам
М {Х ) = (а+ Ь )/ 2,
Я (* ) = (&— а)2/12,
о (Х ) = {Ь
Таким образом, решив систему уравнений
(Ь— а)/(2 У 3 ) = а ( Х ) ,
можно найти а и Ь, а затем искомую плотность распределения.
240
959. Выравнять опытные данные, применив закон распределе­
ния с равномерной плотностью:
/
ч
]0, 10[
]10, 20[
]20, 30[
]30, 40[
11
14
15
|
]40, 50[
]50, 60[
10
14
16
- 35
45
55
14/80
16/80
1
пх
Д Здесь л = 80 . Составим таблицу
X
5
15
25
И7
11/80
14/80
15/80
10/80
Полагая Х = БТ , получим следующую таблицу:
1УТ2
1
3
5
7
9
11
11/80
7/40
ж
*
3/16
1/8
7/40
1/5
11/80
21 ИЙ
15/16
7/8
63/40
11/5
11/80
63/40
75/16
49/8
567/40
121/5
25/4
509/10
Далее, имеем
М (Х) = 5 М (Т) = 5-(25/4) = 3 1 ,2 5 ; М (Х2) = 52 М (Т2) = 25.(509/10) = 1272,5;
/Ж(Д-М)/2 =
•
О (Х) = 1272,5 — 976,5625 = 295,9375;
31,25,
\ (Ь— а)/(2 У 3) 1 У 295,9375 .
Решив последнюю систему, найдем а = 1 ,4 6 ,
= 1/(61,04— 1,46) = 0,017. Следовательно,
/(*)
0
0,017
0
при
при
при
6 = 61,04, откуда
1/(Ь
я)
X < 1,46,
11,46
,4 6 ^ x ^ 6 1 ,0 4 ,
х > 61,04.
Для построения гистограммы составим таблицу (где Н= 1 0 ):
]10, 20[
]20, 30[
]30, 40[
]40, 501
Г /к
0,0138
0,0175
0,0188
0,0125
0,0175
О
]0, 10[
о
ю
|ЦВШ
ВИ^|^
/
0,02
241
На рис. 56 изображена
гистограмма относительных час­
тот данного
статистического
распределения и график плот­
ности распределения.
Так как распределение с
равномерной плотностью сим­
метрично относительно математи­
ческого ожидания, то
(X) = 0 ,
5 ^ (X) = 0. Известно также, что
при таком распределении эк­
сцесс равен — 1,2 независимо от
значений а и Ь. Д
960. Произвести вы­
равнивание опытных данных с помощью закона распределения с равномерной плотностью:
Рис. 56
I
|
л*
1 -1 , Ч
]1> 3[
13, 5[
6
7
4
]5, 7[
17, 91
5
8
2.
Распределение Пуассона. Распределение Пуассона устанавливает соот­
ветствие между значениями случайной величины X и вероятностями этих зна­
чений с помощью равенства
р Ш ь Й а*,
XI
0)
где х принимает значения 0, 1, 2, 3, . . . .
в в
Таким образом, ряд распределения случайной величины Л имеет вид
На практике случайная величина X принимает ограниченное число зна
чений 0, 1, 2,
так к а к при достаточно большом X величина
щш
I
ЯВ
ляется малой.
Напомним, что для распределения Пуассона М ( л ) = = ^ (Л) = л*
Пусть дано статистическое распределение
X
п
242
п0
1
2
I
т
п*
ПI
Это .распределение можно записать и в виде
Л'
0
V
Щ
1
2
•••
1
щ
ш2
•••
т
\
Если для данного распределения величины М (X) и О (Л) не близки друг
к другу, то оно не является распределением Пуассона. Если же М (X) « X
и Г) (X) « Л, то для решения вопроса о характере распределения следует под­
ставить значение Я в выражение ( 1) и вычислить значения этого выражения
при * = 0, 1 , 2 , . . . , /. В том случае, когда значения Р окажутся близкими
к соответствующим значениям
можно считать, что случайная величина рас­
пределена по закону Пуассона.
\
961. Дано статистическое распределение
X
0
1
2
3
4
5
6
7
пх
7
21
26
21
13
7
3
2
Показать, что оно близко к распределению Пуассона и устано­
вить зависимость между значениями случайной величины и ве­
роятностями этих значений.
7
Д
Найдем п = 2 « / = 7 + 2 1 + 2 6 4 - 1 3 + 7 + 3 + 2 = 100.
4=0
Составим таб-
лицу
X
0
1
2
0,07
0,21
0,26
3
; 0,21
4
1 0,13
5
6
7
0,07
0,03
0,02Ф
Определим математическое ожидание случайной величины:
М (.X ) = 0,21 + 0 ,5 2 + 0 ,6 3 + 0 ,5 2 + 0 ,3 5 + 0 ,1 8 + 0 ,1 4 = 2,55.
Составим теперь таблицу
X2
0
1
4
9
16
25
36
49
0,07
0,21
0,26
0,21
0,13
0,07
0,03
0,02
Следовательно,
М ( Х 2) = 0,21 + 1 ,0 4 + 1 ,8 9 + 2,08 + 1 ,75 + 1,08 + 0,98 - 9,03,
243
откуда
в (Х) = М ( Х * ) - [ М (Х )]2 = 9,03 - 6,503 = 2,527.
т__л.
величины
Положим X = 2,52; тогда зависимость между значениями случайной
и их вероятностями можно записать в виде
/>—2,52
Р = — -— 2,52х .
х!
Подсчитав по этой формуле значения Р для х = 0 , 1, 2, . 7
таблицу
I
;Г
^
0
X
0,08
р
1
2
3
4
0,20
0,25
0,21
0,13
,
получим
/ ,'5
5
6
7
0,07
0,03
0,01 А
962. Решить задачу, аналогичную предыдущей, для статисти
ческого распределения
1
X
3
п
2
8
3
4
5
6
14
17
17
15
7
8
9
10
11
10
7
5
2
1
Рис. 57
3. Нормальное распределение. Пусть статистическое распределение
/
]ь 1» 1а[
а . ы
т
№
• • •
имеет гистограмму, изображенную на рис. 57. Составим таблицу
Г
244
О/*
%
•••
%
Щ
•••
%
полагая #; = (|/_ 1 + Е-/)у2 , е = 1, 2,
/. На рисунке плавной линией соеди­
нены точки (%; щ / к ) , (х2, 0У2//г), . . . , (%, щ / к ) , где к — шаг таблицы.
Если полученная плавная кривая близка к кривой Гаусса, то можно
обработать статистические данные с помощью нормального закона распределе­
ния. Определив математическое ожидание т = М ( Х ) и среднее квадратичное
отклонение а = а (Х ), рассмотрим функцию
- ( * - т ) 2/( 2а2)
/с*)
I®
Найдем значения этой функции в точках х±%х2, . % . Нетрудно видеть,
что произведения Л/ (%), к/ (х2), — , /|| Ш) равны вероятностям попадания
случайной величины, распределенной по нормальному закону ( 1), соответ­
ственно в интервалы 1|<ь ^ [ , ] | | , | 2[, •••» Ш - ь М - Если заданное статисти­
ческое распределение близко к нормальному, то будут выполнены приближен­
ные равенства Л / (х() ж
1= 1, 2, . . . , /. В дальнейшем приведем более
точные критерии согласования эмпирического и теоретического законов рас­
пределения.
■
.
•
963. Дано статистическое распределение:
]0, 3[ ]3, 6 [
/
"ДГ
6
4
3
1
9[ ]9, 12[ ] 12, 15[ ]15, 18[ ] 18, 21 [ 121, 24[ ]24, 27[ ]27, 30[
10
11
7
5
2
1
Псжазать, что оно близко к нормальному распределению, и по­
строить гистограмму его относительных частот.
Д Здесь п = 50. Составим таблицу
X
1,5
4 ,5
7,5
щщг
0,02
0,06
0,08
10,5
0,12
13,5
0,22
16,5
0 ,2
19,5
?2,5
0,14
0,1
25,5
0,04
28,5
0,02
ПрОИЗ!ведя з амену йеремё]ЁИГОЙ ПО форм) гле X == З Г — 1,5, загшшем с гатистиф
ческие распр<сделен и я для Т и Т* ш
Т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Т47
0,02
0 ,0 6
0,08
0,12
0 ,2 2
0 ,2
0,14
0,1
0,04
0,02
*р2
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Р
0 ,0 2
0,06
0,08
0,12
0 ,2 2
0 ,2
0,14
0,1
0,04
0,02
245
Далее, имеем
шмви
О 0 2 4 - 0 , 1 2 + 0 , 2 4 + 0 , 4 8 + 1 , 1 + 1.2 + 0,98 + 0,8 + 0 ,36 + 0 ,2 - 6,5;
34,1;
М (Г2) 1 = 0 , 0 2 + 0 , 2 4 + 0 , 7 2 + 1 , 9 2 + 5 , & + 7 ,2 + 6,86 + 6 4 + 3,24 + 2
М (X) Ш М (Г) — 1 ,5 = 3 - 5 ,5 — 1,5 = 15;
а 2 ( Х ) = 9 (3 4 ,1 -3 0 ,2 5 ) = 34,65; а ( Х ) = 1/'9-3,85 _ 3 - 1,962 я 5,9.
Следовательно,
1
Нх)
5 ,9 У 2л
Положим (х — 15)/5,9 = и; тогда
1
—
й
2/2
1
' •
е - и,/ 2 я о,172в, где 2в = - г ^ 1 е
Их)
У2
Значения функции г а приведены в табл. IV на с. 412.
И спользуя эти значения, составим теперь таблицу (
3)
X
1,5
4 ,5
7 ,5
10,5
13,5
—
—
——
■Заметим что полученные результаты мшу*
-----—----------- г„
ностями попадаш я случайной величины на данный участок, вычисляемыми по
формуле
а—т
Ъ— т
Ф
Ф
р { а < X < Ь)
а У 2
где Ф (х)
2
а У 2
е - ( 1 ц _функция Лапласа, значения которой
приведены
У
в табл. III на с. 411, и т = М (х) = 15. Пользуясь этой таблицей, находим
Р ( 0 < X < 3 ) = 0 , 5 [ — Ф (1,44) + Ф (1 ,8 0 )]= 0 ,5 (—0,9583 + 0,9891)
0 0154 « 0 02*
'1 I
Р (3 < X < 6) = 0 ,5 [— ф (1,08) + Ф (1,44)1 = 0 ,5 (—0,8733 + 0,9583)
0 0425 « 0 04*
’р (6 < X < 9) = 0,5 [— Ф (0,72) + ф (1 ,0 8 )]= 0 ,5 (—0,6914 +0,8733) =
0 0905 « 0 09*
Р (9 < X < 12) = 0,5 [— Ф (0,36)+
0 151 « 0 15*
Р (12 < X < 1 5 )= 0,5 [ — ф (0) +
Ф
Ф
(0,72)] ==0,5 (—0,3893-{-0,6914) =
(0,36)1=0,5*0,3893 = 0,1946
Г
«
I
0,19,
р п 5 < X < 18) = 0 ,5 [Ф (0,36) — Ф ( 0 ) ] = 0 ,5-0,3893 = 0,1946 я 0,19;
Р (18 < X < 21) = 0,5 [Ф (0,72)— Ф (0,36)] = 0 ,5 (0,6914 — 0,3893) =
0,151 « 0,15;
Р ( 2 1 < X < 2 4 )= 0 ,5 [Ф (1 ,0 8 )— Ф(0,72) = 0,5(0,8733 — 0,6914) =
10,091 и 0,09;
246
Р (24 < X < 27) = 0,5 [Ф (1,44) — Ф (1,08)] = 0,5 (0,9583 — 0,8733)
0,0425 » 0,04;
У (27 < X < 30) = 0,5 [Ф (1,80) — ф (1,44)] = 0,5 (0,9891 — 0,9583)
0,01Й4 и 0,02.
В результате получаем таблицу
1
10, 3[ ]3, 6[ ]6, 9[ ]9, 12[ Л 2 , 15[ ]15, 18[ ]18, 21[ ]21, 24[
—
Р
0 ,0 2
]27, ЗОГ
—1
1
0,04
о,ое
0,15
0,19
0,19
0,15
0,09
0,04
0,02
Сравнивая значения ш и к } (х) (или ш и Р), убеждаемся в том, что заданное
статистическое распределение можно считать подчиненным нормальному за­
кону (рис. 58). Д
Рис. 58
964.
Решить задачу, аналогичную предыдущей, для статисти
ческого распределения
1
Л .2 [
]2. ЗД
13, 4[
]4, 5[
]5, 6[
16, 7[
]7, 8 [
я*
4
4
8
16
18
20
30
1
]8, 9[
112, 13[
ИЗ, 14[
10
4
И
110, 11 [
Ю[
111,
114, 15[]
|
пх
28
22
18
14
4
4. Распределение Шарлье. Нормальное распределение является симмет1
-(Д?в /П)*/(20*)
ричным, т. е. кривая у = ----- т = е
симметрична относительно пря-
а у 2л
мой х = /п . Однако на практике часто встречаются и асимметричные распре­
деления. В том случае, когда асимметрия по абсолютной величине не очень
велика, распределение может быть выравнено с помощью так называемого
247
закона Шарлье. Плотность закона Шарлье определяется равенством
]
0)
I В
— За) I И 24
Я ! В <“‘ N 1 1 8
6
о
гпе г(х)_плотность нормального закона распределения, и - ( х — т)/а, г и
= (1Ш т .
З/с (X )— асимметрия, Е х (X) - эксцесс. Таким образом,
второе слагаемое в правой части равенства ( 1) является поправкой к нормаль­
ному закону распределения. Нетрудно видеть, что если 5* (X) —0 и Е х (А) О,
то распределение Шарлье совпадает с нормальным. Распределение Шарлье
можно записать в виде |—
Е х (X)
8
к
(Х)
(2)
г, Л
(и
3
—
3
и)
-)----24
1+
Р—
6
------------------------------- 1 |
1
Шарлье
Я
]18,
21
[
115,
18[
]12,
15[
]9,
12
[
]0, 3[ ]3, 6 [ ]6 , 9[
I
ЙУ
а
3
2!
10
6
3
10,5 , 13,5
16,5
19,5
22,5
25,5
28,5
0,28
0,21
0.1
0,0о
0,03
0,03
28
15
8
5
1
]27, 30[
24[ ]
Здесь л = 100. Составим таблицу
1,5
X
0.01
№
4,5
0,05
7,5
0.08
0,15
Перейдем к новой переменной Т, связанной с X зависимостью Х = З Г - 1 , 5
Статистическое распределение случайной величины Т имеет вид
1
Т
2
3
4
5
6
8
7
9
10
0,03
0,03
'
0,01
0,05
0,08
0,15
0,28
0,21
0,1
' 0,06
Приведем расчетную таблицу:
т
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
248
шт
V? Т*
V/
пу т
хе т*
0,01
0,05
0,08
0,15
0,28
0,21
0,1
0,06
0,03
0,03
0,01
0,10
0,24
0,60
1,40
1,26
0,70
0,48
0,27
0.30
0,01
0,20
0,72
2,40
7.00
7,56
4,90
3,84
2,43
3.00
0,01
0,40
2,16
9,60
35.00
45,36
34,30
30,72
21,97
30.00
0,01
0,80
6,48
38,40
175.00
272,16
240,10
245,76
197,73
300.00
5,36
32,06
209,52
1476,44
Далее, имеем
М (Г) = 5,36; М (Х ) = 3 -5 ,3 6 — 1,5 = 14,58; М Щ = 32,06;
1,83; о ( Х ) = З а ( Г ) = 5 ,4 9 ;
р (7) = 32,06— 28,73 3,33; а (Г)
3
а
3
З
а
!
а
2
+
2а?
=
209,52—
3
-5,36-32,06+
2-5,363=
1,98;
М Л
Ш ( Л = Из ( Л / а 3 (Г) = 1,98/1,833 = 0,32;
1^4 (Т) = а 4— 4ахаз + 6а ? а 2— За1 =
= 1476,44— 4« 5,36-209,52+ 6 *5,362*32,06— 3 • 5,364 = 34,59;
о 4 (Т) И В Я 11,0889;
(Г) = 34,59/11,09— 3 = 0,12; Я* (X) == 0,12.
Так как Я = 3, М ( Х ) = 14,58 = т , а (X) = 5 ,4 9 , и = (х— 14,58)/5,49, 5* (X) =
= 0,32, /:*(Х ) = 0,12, то относительная частота распределения Шарлье вы­
ражается равенством
и)
3
5,49
а
1+ - ^
(Из _ 3 н ) + 0 ^ _ (ц4 _ 6ыг + 3)1 ,
или
до= 0,55гк5,
где 5 = 1 + 0 ,0 5 (и3— З а)+ 0,005 (и4— 6« 2+ 3 ) .
Составим таблицу для определения выравненных по закону Шарлье частот:
X
1,5
4,5
7,5
10,5
13,5
16,5
19,5
22,5
25,5
28,5
1 и
га
1>г
0.05Х
1/»
(С/3-ЗС7)
0,32
0,04
0,09
0,09
0,03
0,05
0,10
0,07
0,10
0.44
—2,38 0,02 5,66 — 13,48
—1,84 0,07 3,39 —6,23
— 1,29 0,17 1,66 —2,15
—0,74 0,30 0,55 —0,41
—0,19 0,39 0,04 —0,01
0,04
0,35 0,38 0,12
0,73
0,90 0,27 0,81
2,99
1,44 0,14 2,07
7,88
1,99 0,06 3,96
2,54 0,02 5,45 16,39
0,005Х
(С /*-6С /* + 3)
0,005
0,03
0,02
0,00
0,015
0,01
0,005
0,025
0,025
0,03
0,69
0,9
1.05
1,09
1.06
0,97
0,89
0,88
1.05
1.5
0,01
0,04
0,09
0,18
0,23
0,20
0,13
0,07
0,03
0,02
Сравнивая частоты, полученные после выравнивания по закону Шарлье,
с частотами, заданными статистической таблицей, приходим к заключению,
что соответствующие частоты достаточно близки друг к другу. Однако об окон­
чательном решении вопроса о согласованности статистического и теоретического
распределений мы сможем судить лишь после того, как будут рассмотрены
критерии согласия (Пирсона, Романовского, Колмогорова). А
5. Критерии согласия Пирсона и Романовского. Рассмотрим вопрос о со­
гласованности статистического и теоретического распределений. Пусть стати­
стическое распределение выравнено с помощью некоторого известного закона
распределения (с равномерной плотностью,\ нормального закона, закона
Шарлье и т. д.).
Пирсоном предложен следующий критерий согласованности статистического
и теоретического распределений. Сначала вводят величину
®
а/2
1
г
1=1
(щ — Р!)2
™I
Рг
ч
где ш/— относительные частоты, заданные статистической таблицей, а р; —
вероятности, полученные по некоторому теоретическому закону распределения.
Затем рассматривают разность г = / — /, где / — число разрядов статистической
таблицы, а / — число условий, налагаемых на частоты Щ щ , ..., щ; число г
называется числом степеней свободы.
219
Например, для нормального закона распределения / —>3, так как исполь­
зуются следующие условия:
/
1)
У ю /-1;
ы \
/
*
2) 2 ЩХ1 = т х -, 3) % (х1- т х) г щ = О х ,
»= 1
«= »
411
где тх и
математическое ожидание и дисперсия в теоретическом законе
распределения.
.
.
Д ля закона Шарлье 1 = 5, так как имеются пять линейных уравнений,
связывающих значении /?*, Рг,
р&
%
1
I
У
/= 1
I
4) 2
Рг = 1.
I
2) 2 Я Р Щ
I Ш1
3
(х/— /п^) р/ = Из(^);
‘
3) 2
&Щ*
I
5) 2
(*/— .т хУ р ^ \ 1 А(Х).
■
Используя табл. V (см. с. 413, 414), по значениям %2 и г определяют ве«
личину р , характеризующую вероятность согласованности теоретического и ста­
тистического распределений. Если р < 0,1, то можно сделать вывод, что тео­
рия плохо воспроизводит эксперимент. Если ж е р > 0,1, то это означает, что
гипотеза о принятом теоретическом распределении не противоречит опытным
данным.
|
I . .‘^ Д
В. И. Романовским предложен следующий критерии согласия: если вели­
чина I %2— г 1/1^1 7 больше или равна 3, то расхождение теоретических и опыт­
ных частот надо считать неслучайным; если ж е она меньше 3, то это I^схож ­
дение можно считать случайным.
11
966. Проверить, согласуется ли статистическое распределение
задачи 959 с теоретическим, имеющим равномерную плотность.
д По данным статистической таблицы в задаче 959 была определена
плотность распределения
^
/
0
/(д) = | 0,017
\
0
при х < 1,46,
при 1 , 4 6 6 1 , 0 4 ,
при х > 61,04.
Найдем значения вероятности попадания случайной величины, распреде­
ленной по указанному закону с равномерной плотностью, в интервалы ]— 10,0[,
10, 10[, ]10, 20[, . . . , ]60, 70[, ]70, 80[:
Следует отметить, что Р (0 < X < 10) = Р (1,46 < X < 10) — (10 1,46)-0,017
= 0,14; Р (60 < X < 70) = Р (60 < X < 61,04) = 0,01. Приведем расчетную таб­
лицу для вычисления %2:
И
250
ЧГ-Р
1Г
р Г -Й 2
0
0
0,02
—0,04
0
0,03
—0,01
0,14
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,01
0,14
0,17
0,19
0,13
0,17
0,2
0
(И7-Я)*
р
0
1 Я о
0,0004
0,0016
0
0,0009
0,0001
0
0
0,0023
0,0094
0
0,0052
0,01
0,0269
Следовательно, %2 = 80* 0,0269 = 2,152; / = 7, 7= 3, г = 4. При г = 4 из
табл. V находим: если $ИИЙ то р = 0,7358; если 7 2 = 3, то /7 = 0,5578; если
0,7358— 0,0271=0,7087.
^-= 2 ,1 5 2 , то р = 0 17358—0 , 152- 0,)
Итак, можно считать, что заданное статистическое распределение пол­
ностью согласуется с законом распределения, имеющим равномерную плот­
ность. д
6
14
4
со
сл
‘со
О
8
сл
о
Щ
Ш
'*
12
о
2
] 15, 20[ ]20, 25[
со
пх
]5, Ю[
ю
<м
I
о
сл
967. Дано статистическое распределение
]35, 40[ ]40, 45[ ]45, 50[
10
2
1
11
Выяснить, согласуется ли это распределение с теоретическим,
и м е ю щ и м р а в н о м е р н у ю плотность.
Д Здесь л = 70. Составим таблицу
X
2,5
7 ,5
12,5
17,5
22,5
27,5
32,5
37,5
42,5
47,5
0,029
0,171
0,114
0,057
0 ,2
0,086
0,143
0,029
0,014 0,157
Далее, находим
10
/И(Х) 1 2 !ед=2,5(0, 029+ 3 . 0 , 171+ 5-(\ш + 7-о, 057+ 9 -0 ,2 + п х
1= I
X 0 ,0 8 6 + 1 3 -0 ,1 4 + 1 5 0 ,0 2 9 + 1 7 -0 ,0 1 4 + 19-0,157) = 24,4285;
М (Х 2) = 2,5а (0,029 + 9-0,171 + 25-0,114 + 49-0,057 + 81 - 0 ,2 + 121 -0,086 +
+ 169-0,143 + 225-0,029 + 289-0,014 + 361-0,157) =782,67;
О (Х) = 782,67 — 596,75=185,92; а (Х ) = У 185,92 = 13,63.
Составим и решим систему для определения а и Ь:
( а + Ь )/2
I = 24,43,
(Ь— а)/(2 Ж р ) = 13,63
а + й — 48,86,
I Ь - а = 47,16
(^в= 48,01; а = 0 ,8 5 ) !
1/(6 — а) = 1/47,16=0,0212.
251
Итак,
/
0 при
| 0,0212 при
О при
/м
х < 0,85,
48,01,
0,85 < х
х > 48,01.
Теперь найдем вероятности попадания случайной величины, распределен
г*о,
ной по указанному закону, в интервалы ]0, 5[, ]5, №[, ] 10, 1э[,
I
] - 5 , 0[
I
0,088
0
Р
]25, 30[
0,106
Р
] 0 , 5[
]30, 35[
0,106
35, Ю[
]Ю, 15[
]15, 20[
]20, 25[
0,106
0,106
0,106
0,106
]35, 40[
[40, 45[
]45, 50[
]50, 55[
0,064
0,106
0,106
0
Отметим, что
Р (0 < X < 5)
Р (45 < X < 50)
Р (0,85 < X < 5) = 4,15-0,0212 = 0,088;
Р (45 < X < 48,01) = 3,01-0,0212 = 0,064
Расчетная таблица для вычисления §§ имеет вид
IV
Р
0,029
0,171
0,114
0,057
0 ,2
0,086
0,143
0,029
0,014
0,157
0,088
0,106
0,106
0,106
0,106
0,106
0,106
0,106
0,106
0,064
« /-Р
0,059
0,065
0,008
0,049
0,094
0 ,020
0,037
0 ,077
0 ,092
0,093
0,003
0,004
0,006
0,002
0,009
0,000
0,001
0,006
0,008
0,009
0,034
0,038
0,057
0,019
0,085
0,000
0,009
0,057
0,075
0,141
0,515
Итак, х 2 = 70-0,515 = 36,05; / = Ю , ^= 3, г = 7. При значении г = 7 для
2 = 30 из табл. V находим р = 0,0001. Так как при постоянном значении г
X
с увеличением | | вероятность Р уменьшается, то для %2 = 36,05 вероятность
Р < 0,0001. Значит, в данном случае теория плохо воспроизводит опыт._
Тот же вывод можно сделать, используя критерий Романовского. Действи­
тельно, находим
а _ г | 136,05 — 7 1 29,05
7,763 > 3.
3,742
1/-2
V
И так, гипотезу о том, что заданное статистическое распределение яв
ляется распределением с равномерной плотностью, следует считать неправдо
подобной.
252
968. Применить критерии Пирсона и Романовского для установ­
ления правдоподобности гипотезы о нормальном распределении
случайной величины в задаче 963.
Д Расчетная таблица имеет вид
(и у -Р)*
Р
ИР
Р
IУ - Р
0,02
0,06
0,08
0,12
0,22
0,2
0,14
0,1
0,04
0,02
0,02
0,04
0,09
0,15
0,20
0,20
0,15
0,09
0,04
0,02
0
0,02
—0,01
—0,03
0,02
0,00
—0,01
0,01
0
0
0 , 0000
0,0004
0,0001
0-0009
0,0004
0 , 0000
0,0001
0,0001
0 , 0000
0 0000
!
0,00
0,01
0,001
0,006
0,02
0,00
0,0007
0,001
0,00
0,00
1
0 ,038 /
10
Далее, имеем
Л2
(ду— РО
1,935;
50-0,0387
/= 1 0 ,
* = 3,
г
ш
*=1
= 0,9948; если
10— 3 7. Из табл. V для г 7 находим: если х 2 = 1» т0
Х2 = 2, то Р = 0,9598. Следовательно, при х2==1>935 получим промежуточное
значение Р. Это значение можно найти, применив способ интерполирования.
При х 2 = 1 и Х2==2 значения Р отличаются на величину 0,9948 — 0,9598 =
= 0,035. С увеличением х2 вероятность Р уменьшается, поэтому при х2= 1,935
имеем
Р = 0,9598 + 0,065-0,035 = 0,9621, или иначе Р = 0,9948 — 0,935-0,035 = 0,9621.
Полученная вероятность больше, чем 0,1. Согласно критерию Пирсона, это
дает основание считать, что нормальный закон достаточно удовлетворительно
воспроизводит заданное статистическое распределение.
Согласно критерию Романовского, имеем
1,935— 7 1 5,065
|/"14
3,742
X2- ' !
V2
1,354 < 3
Таким образом, расхождение между данным статистическим распределе­
нием и выравнивающим его теоретическим распределением можно считать
случайным. ▲
' ш
969.
Произвести выравнивание с помощью нормального закона
распределения данных статистической таблицы:
34,2;
4,31
34,3;
4,4[
]4,4;
4,5[
]4,5;
4,61
]4,6;
4,7[
я*
1
2
3
4
5
8
*
г—00
тУ -ф
/
14,1;
4,2[
]4,8;
4,9[
]4,9;
5[
8
9
10
233
Продолжение табл.
]5,0;
/
5,11
ПХ
Ю
Я
1;
5,21
9
35,2;
5,3[
]5,3;
5,4[
]5,4;
5,5[
5
9
]5,5;
5,61
4
15,6;
5,7[
15,7;
5,8[
15,8;
5,91
3
2
1
7
П р о в е р и т ь согласованность статистического и теоретического
р а с п р е д е л е н и й п о к р и т е р и я м Пирсона и Романовского.
Л Здесь п = 100. В дальнейшем будем предполагать, что значения слу­
чайной величины совпадают со средними арифметическими значениями гра­
ниц интервалов:
.--я
Так как значения случайной величины близки к 5, то составим таблицу:
х-Ъ
0,85
0,75
0,65
0 ,5 5
0,45
0,35
0,25
0,15
0,05
0,05
0,15
0,25
0,35
0,45
0,55
0,65
0,75
0,85
V?
(X —5)®'
(X - 5)* Ш
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,08
0,08
0,09
0,1
0,1
0,09
0,09
0,07
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,0085
0,0150
0,0195
0,0220
О,0225
0,0280
0,0200
0,0135
0,0500
0,0500
0,0135
0,0225
0,0245
0,0225
0,0220
0,0195
0,0150
0,0085
0,0072
0,0113
0,0127
0,001
0,0121
0,0101
0,0098
0,0050
0,0020
0,0003
0,0003
0,0020
0,0056
0,0086
0,0101
0,0121
0,0127
0,0113
0,0072
0,1404
Следовательно,
М ( Х — 5) = —0,001; М [(X — 5)3] = 0,1404; М (Х) = 5 + М (X — 5 )= 4 ,9 9 9 ;
И (X) = М 1(Х— 5)21— [М (X — 1 ) || = 0,1404;
254
о (X) = / 0 , 1 4 0 4 = 0 , 3 7 4 7 я О ,375.
*
Плотность распределения случайной величины X определяются равенством
1
И*)
— (ДГ — 5 )*/ ( 2 - 0 , 3 7 5 * )
(*)
0,375 V 2л
или
{ (х) = 2,67-га, где и = (х— 5)/0,375 « 2,67 (х — 5)
Определим вероятности попадания случайной величины, распределенной
по указанному нормальному закону, в интервалы ]4,1; 4,2[, ]4,2; 4,3[,
15,8, 5,9[ и проверим согласованность статистического и теоретического
распределений по критериям Пирсона и Романовского. Составим следующие
таблицы:
X
4,15
4,25
4,35
4,45 I
4.55
4,65 |
4,75
4,85
4,95
5,05
5,15
5,25
5,35
5,45
5,55
5,65
5,75
5,85
V
2а
—2,27
—2,00
-1 ,7 4
-1 ,4 7
— 1,20
—0,93
—0,66
—0,40
—0,13
0,13
0,40
0,66
0,93
1,20
1,47
1,74
2,00
2,27
0,03
0,05
0,09
0,13
0,19
0,25
0,32
0,37
0,39
0,39
0,37
0,32
0,25
0,19
0,13
0,09
0,05
0,03
Ш-Р
Их)
0,08
0,13
0,24
0,35
0,51
0,67
0,85
0,99
1.04
1.04
0,99
0,85
0,67
0,51
0,35
0,24
0,13
0,08
0,01
0,01 0,01
0,02
0,02
0,03
0,04
0,05
0,08
0,08
0,09
0,02
0,04
0,05
0,07
0,09
0,02
0,02
0.04
0,05
0,07
0,09
0,10
0,10 0,10
0,10 0,10
0,09 0,10
0,10
0,10
0,10
0,10
0,09
0,07
0,05
0,04
0,02
0,09
0,07
0,05
0,04
0,02
0,02 0,02
0,09
0,07
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,01 0,01
(И7-Р)
0,0000
О,0000
0,000
0,01 0,0001
0 , 00! О,0000
0,005
0,000
0,00
0,00
0,00
О,0000
0,01
0,01
0,01
0,00
0,0001
0,00
0,01
0,00
0,00
0,00
0,00
0,01
0,0001
0,0001
0,0000
О,0000
0,0001
О,0000
О,0000
О,0000
0,0000
0,0001
0,00! 0,0000
0,00 О,0000
0,000
0,000
0,001
0,001
0,001
0,000
0.000
0,001
0,000
0,000
0,000
0,000
0,005
0,000
0,000
0,014^
Значит, х2= 100.0,014 = 1,4, /
г = 15 находим: :сли у2 = 1, то Р
при х
т е р ИЮ П и р с о н а ,
^
18, * = 3, г = 18 — 3 = 15. Из табл. V для
1,000, если %2 = 2, то Р = 1,000. Поэтому
Р = 1,000. Таким образом, согласно кри*> л т а т п г т и и р р и о р
--------------------------
пЯР.ГТПвЛ0ЛбНИ6 ЯВЛЯ6ТСЯ
^
т„ г С „
нормальным распределением с математическим ожиданием, равным Ь, и дис­
персией, равной 0,14, правдоподобна.
Используем теперь критерий Романовского:
у?— г |
[1,4— 15|
V 2.
V зо
13 ,в
5,477
2,483 < 3.
Это еще раз подтверждает, что заданное статистическое распределение
согласуется с нормальным, имеющим плотность, определяемую равенством (*).
970.
Проверить гипотезу о том, что статистическое распре­
деление, рассмотренное в задаче 965, согласуется с распределе­
нием Шарлье.
* Так как в таблице значения приведены с точностью до 0,001
мое значение Р немного меньше единицы
то иско­
255
Д Расчетная таблица имеет вид
ХР
Р
0,01
0,05
0,08
0,15
0,28
0,21
0,10
0,06
0,(53
0,03
0,01
0,04
0,09
0,18
0,28
0,20
0,13
0,07
0,03
0,02
И7 - Р
(П7 - Р ) *
0
0,01
—0,01
—0,03
0,05
0,01
—0,03
—0,01
0,00
0,01
0,0000
0,0001
0,0001
0,0009
0,0025
0,0001
0,0009
0,0001
0,0000
0,0001
(И7 - Р ) *
Р
0
0,003
0,001
0,005
0,011
0,001
0,007
0,001
0,000
0,005
0,034
Следовательно, ха = 100-0,034 = 3,4; / = 1 0 , / = 5 ,т . е. г = Ю — 5 = 5. И зтабл. V
для г — Ъ находим: если х2==3>т0 ^ = 0,7000; если х2 = 4, то Р = 0 ,5 4 9 4 . По­
этому при %а = 3,4 имеем
Ц
| = 0 ,7 0 0 0 - 0,4-0,1506 = 0,63976 > 0,1.
Используя критерий Романовского, находим
I Ха — '■ ^ Ц З . 4 — 5]
У 2г
У 10
ц! 0 506
3
3,162
Таким образом, согласно критериям Пирсона и Романовского, гипотезу
о том, что рассмотренное статистическое распределение согласуется с распре­
делением Шарлье, можно считать правдоподобной.
6. Критерий согласия Колмогорова. Пусть дано статистическое распределе­
ние
*
X
Х±
Ух
Ы>1
х2
Ха
•••
ч
щ
•••
Щ
где я*, #2» . . . , XI— средние значения соответствующих интервалов случайной
величины. В качестве меры расхождения между теоретическим и статистиче­
ским распределениями в критерии Колмогорова рассматривается максимум зна­
чений модуля разности между статистической функцией распределения Р*(х)
и соответствующей теоретической (интегральной) функцией распределения Р (х).
Интегральная функция распределения, как известно, определяется соотно­
шениями
( 0
256
при х < Хъ
^ (•*) = <
2
Р] ПРИ
\
1
при
(А = 1« 2 . •••» I — 1);
х^хи
где р /==н? Щ/) (/ § р , 2, . . . , /), а / (х) — плотность распределения случайной
величины а »;
Сначала находят величину
Л -'
зХ
* ,= 0 1 /" п ,
(1)
ГДе 0 = т а х |Р * ( х ) — Р (* )|, а л — объем выборки. Затем из равенства
К
Р (X) = 1 — 2
/= - ®
( ~ 1)/ е -ад’*)1'
(2)
определяют вероятность того, что за счет чисто случайных причин максима льное расхождение между Р* (х) и Р (х) окажется не меньше, чем фактически
наблюдаемое.
Если вероятность Р (&) мала (меньше 0,05), то гипотезу следует отверг­
нуть, как неправдоподобную; при сравнительно больших значениях Р (а) гипотезу можно считать совместимой с опытными данными. А
^
Для нахождения значений Р (^) удобно пользоваться таблицей (см. таол. VI
на с. 415).
971.
Оценить степень согласованности статистического распре­
деления, рассмотренного в задаче 961, с распределением Пуассона.
Д Составим таблицу
(х) - Р (X)
Очевидно, ч т о 0 = ш а х | Р * ( х ) - / г ( х ) | = 0 1 0 2 . Так как п = 1 0 0 то, поль­
зуясь формулой (1), находим А , = 0 , 0 2 - У 1 0 0 = 0 , 2 . Из табл.
I
н е
Р (0,2) = 1,00. Таким образом, рассмотренное статистическое распределение не
противоречит теоретическому распределению по закону Пуассона. Д
972.
Пользуясь критерием Колмогорова, установить, согла­
суется ли с нормальным распределением статистическое распре­
деление
Л*
9
10, 2[ ]2, 4[ ]4 ,6 [
10
№ 1814
29
51
58
102
90
81
39
30
О
<
м
00
/
116,
181
114,
161
112,
14[
]
Ю,
12[
]8,
Ю[
]6, 8[
10
257
Д Запишем заданное распределение в виде
1
X
№
0,02
3
5
7
9
11
13
15
17
19
0,06
0,10
0,12
0,20
0,18
0,16
0,08
0,06
0,02
Перейдем к новой переменной Т по формуле Х = = 2 Т — 1. Составим расчет­
ную таблицу
I
г
Щ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
№
ХРТ
О'Г*
0,02
0,06
0,10
0,12
0,20
0,18
0,16
0,08
0,06
0,02
0,02
0,12
0,30
0,48
1,00
1,08
1,12
0,64
0,54
0,20
0,02
0,24
0,90
1,92
5,00
6,48
7,84
5,12
4,86
2,00
5,50
34,38
Далее, имеем
М (Т) = 5,50, М (Т 2)
М (X) = 2М (Т)
34,38,0 (Г )= 3 4 ,3 8 — 3 0 ,2 5 = 4 ,1 3 ; а ( Т ) = \ ^ 4,13= 2,032;
-1 = 2 - 5 , 5 — 1 = 10; о (X) = 2о (Т) = 2-2,032 = 4,064.
Тогда плотность распределения запишется в виде
/(*)
1
___ е ~ ( * ~ 1 0 ) 7 ( 2 - 4 , 0 6 4 * )
(*)
4,064 У Ш
или, / (х) = 0 , 2 4 6 где и = (х — Ю)/4,064.
Составим две таблицы:
X
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
258
V
2,214 0,035
— 1,722 0,091
— 1,230 0,187
—0,738 0,303
—0,246 0,387
0,246 0,387
0,738 0,303
1,230 0,187
1,722 0,091
2,214 0,035
Их )
й/ (*)
X
0,009
0,022
л
0,046
0,075
0,095
0,095
0,075
0,046
0,022
0,009
0,02
0,04
0,09
0,15
0,19
0,19
0,15
0,09
0,04
0,02
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
ХР
М( х )
1* (*)
Пх)
г*Ы -Р(х)
0,02 0,02
0,06 0,04
0,10 0,09
0,12 0,15
0,20 0,19
0,18 0,19
0,16 0,15
0,08 0,09
0,06 0,04
0,02 0,02
0,02
0,08
0,18
0,30
0,50
0,68
0,84
0,92
0,98
1
0,02
0,06
0,15
0,30
0,49
0,68
0,83
0,92
0,96
0,98
0,00
0,02
0,03
0,00
0,01
0,00
0,01
0,00
0,02
0,02
Из второй таблицы видно, что почти все значения относительных частот
близки к соответствующим значениям вероятностей, найденных с помощью
плотности распределения, определенной равенством (*). Отсюда сразу следует,
что данное статистическое распределение является нормальным. Однако для
окончательного решения вопроса о согласованности статистического распреде­
ления с нормальным применим критерий Колмогорова.
Как видно из второй таблицы, О = т а х | Р* ( х ) - Р (х)\ = 0 ,0 3 . Поскольку
л = 500 имеем X = 0 , 0 3 - 5 0 0 « 0,67. Из табл. VI находим Р (0,65) = 0,7920,
Р (0 70)'= 0,7112. Так как с увеличением X вероятность Р (X) уменьшается, то
0 7112 < Р (0,67) < 0,7920.
„
.
Итак можно утверждать, что верхняя граница абсолютной ошибки при­
ближенного равенства Р* (х) « Р (х) будет не менее 0,03 для любого значения *. Д
\
9*
ГЛАВА
VI
ПОНЯТИЕ ОБ УРАВНЕНИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
1.
Примеры простейших дифференциальных уравнений в частных произ­
водных. Рассмотрим некоторые примеры уравнений в частных производных.
973. Найти функцию г = г ( х , у ) , удовлетворяющую дифферендг
1
циальному уравнению -^ = I.
д Интегрируя, получим г = х + ф (у), где <р (у) — произвольная функция
Это— общее решение данного дифференциального уравнения, д
д2г
974. Решить уравнение ду 2
6 у, где г = г ( х , у).
дг
Д Дважды интегрируя по у, получаем^- — Зу2+ср(х),
г = у3+ у - у { х ) - { -
где ф (х) и ф ( ^ — произвольные функции. Д
дЬ
975. Решить уравнение
0.
дг
д Интегрируя уравнение по х, имеем ^---- [ (у). Проинтегрировав получен
ный результат по у, находим г = <р ( х ) + ф (у), где г|з (у) щ \ / {у) йу. Д
976. Найти общее решение уравнения
-
. й{ *. У| &
дгг
= 1.
&*2
«
977. Найти общее решение уравнения щ д ± = О.
2.
Дифференциальные уравнения первого порядка, линейные относительн
частных производных. Рассмотрим дифференциальное уравнение
Я Н
(1)
где X , V и 2 — функции х, у и г .
Предварительно решим систему обыкновенных дифференциальных уравне­
ний
<ч»
,
йх
X
йу
V
йг
Т '
Пусть решение этой системы определяется равенствами
о)1 (х, у, г ) = С 1, ш2= (х, у, г) = Са.
Тогда общий интеграл дифференциального уравнения (1) имеет вид
Ф [©1 (х, у, г), ш2 {х, у, г)] = 0.
где Ф (©х, ю2) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
260
978. Найти общий интеграл уравнения х
Ау
Нц
д г .д г
У
$-у — г ■
г[у
Д Рассмотрим систему уравнений —= ~ ==— • Решая
= ^ , получим — = С 1 ,
решение
уравнения
^
уравнение ~ —
— = — есть — = С 2.
Теперь
можно найти общий интеграл заданного уравнения:
Ф {у/х, 2/х) = О, или г /х = -ф:(^/х),
т. е. г
хф (*//*), где о}?— произвольная
функция. ^
979. Найти общий интеграл уравнения
(*’ + Л
д
I + 2 « / 1 = °-
Запишем систему уравнений хг + ух — Щ , ==~Ъ' В° сп0льз0вэвш1|сь свш '
I
йх
йи
в виде
йх+йу
й х — йу
___
х* + у* + 2 Г у ~ ~ х Ч ^ * - 2 х у ' И
Интегрируя, получаем
_
1 _ „ ____!___
х+у
х —У
й{х+у) _ й (х
у)
(х+у)2
(х-у)2
Я?|_ИЙ я ш
Х— у
х+у
х
у
а _ У _ __ г
Последнее равенство можно переписать в виде
*-1-
Второе уравнение системы йг = 0. Отсюда г = С2Общий интеграл имеет вид
Ф
980.
I
,
2
^
=
0
,
или
г
=
ф
(
|
А
§
)
•
▲
х2 _цЪ’ I
1
1 Vх — и
Найти
поверхность,
удовлетворяющую
уравнению
иг *• I хг Щ -= _ 2ху и проходящую через окружность х- + У~ —
У дх
ду
16, 2 = 3 .
„
йх
Д Решим систему уравнении
йу_
йг
Освободившись
от
знамеисвооодившись
нателя, имеем
х йхт уйу, 2 х й х = — гйг.
Интегрируя оба уравнения, получим
I—
^2 ==С1,
ЩЙ—
^“ = с 2.
Общий интеграл заданного уравнения имеет вид
л ^ + ^ - ^ Ф С * 2- * / 3)вш
М
Из семейства поверхностей, определяемых этим уравнением »У>«''0В' « елить поверхность, проходящую
через
/ ~ з ‘Т5 д а
того чтобы найти функцию ф, в равенстве (*) положим х - 16 у , г л. ю г да
261
1
С
о
/ 9
=
1 1 1
^
6
—
Пу с т ь
16— 2ег* = <,
■
Н
И
Н
н
Н
р
," < * - * ■ > = В
найденное выражение в соотношение (*), имеем
Х2 + 1 1 = ,У2-
уЧ
откуда
у* =
*
Падставляя
8
— //2 .
Л , ИЛИ ^ + 1 / г + 2 * = 25.
ШЛ
981. Найти общий ргнтетрал уравнения
! | 5 т х + | 5 т { / = 51112.
982. Найти общий интеграл уравнения у г ^ + х г ^ = х*/.
983.
Найти
—
поверхность,
удовлетворяющую
уравнению
— 4 -и проходящую через параболу у ъ — г, х = 0.
х дх 1 у ду
8 2. ТИПЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ. ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ
Рассмотрим уравнение второго порядка
где а . ЬУ с — функции х и у.
Говорят что указанное уравнение в области 1
скому типи, если в этой области Ь * - а с > 0. Если
ние принадлежит параболическому типу, а если Ь
типу .
Уравнение
?
д2г
с (
дг
дг
Ш4~у— Р { * * У' ' дх ' ду
принадлежит гиперболиче­
же
Я = (), то Уравне­
— ас < 0 — эллиптическому
Л!
#1
V
*
называется •каноническим уравнением гиперболического типа\ р а в н е н и е
д2г
с (
дг дг
§ [ X, у, „г, дх , ду
каноническим уравнением параболического типа ; уравнение
дЧ . дЧ
Г(
.
Зг
дг
каноническим уравнением эллиптического типа.
Дифференциальное уравнение
а (йу)2— 2Ь й х й у + с (йх)2 = 0
называется уравнением характеристик уравнения (1).
Д ля уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два
интеграла: «р (*, у) = Съ у ( х , у) = С „ т. е. существуют два семейства дагствительных характеристик. С помощью замены переменных &—Ф (х, у ), г)—гр \х, у)
дифференциальное уравнение (1) приводится к каноническому виду.
Д ля уравнения параболического типа оба семейства характеристик ссвпадают, т. е. уравнение характеристик дает лишь один интеграл ф (дс, У) = с В этом случае нужно произвести замену переменных | — <р (х, у), Л — т (х, у),
262
. д\
где ф(х, у) — какая-нибудь функция, для которой ^
дт] _ а|_ . ^ 1 ^ 0
ду
д у д х
После такой замены уравнение приводится к каноническому виду.
Д л \ уравнения эллиптического типа интегралы уравнения характеристик
имеют
ф (х, у) ±
(х,
^ а Й е н и е П пр“ функции. С помощью подстановки | = ф(х, у) , г] —ф (хг у) уравнен
(. ) Р
водится к каноническому виду
В»
« |■ Щ Я 1В■ 11
984. Привести к каноническому виду уравнение
1
\
,
дЧ
-
Х
дх2
У
_ 0
ду*
Д Здесь а = х г, Щ 0, с = - « / 2, Ь * - а с = х * у * > 0; следовательно, это
уравнение гиперболического типа.
Составляем уравнение характеристик.
х2 (&у)Щзф (ё х )* = 0 , или (х й у - \ - у д х } { х й у — у 4х) = 0 -
11олучаем два дифференциальных уравнения
хЖ/ + (/Лс = 0 и х й у — у й х = 0;
разделяя переменные и интегрируя, имеем
*У-А.— = 0 , т. е. 1п у + \ п х = \ п С й
У
*
М . __^ = 0 , т. е. 1п (/— 1п х = 1п С2.
У
*
После потенцирования находим х у = С х и у / х = С2переменным:
*
*
*
*
Подставив в данное дифференциальное уравнение найденные для вторых
производных выражения, получим
. , л
а 1 Ш
* IЦ Т ; , д | %
у
д*и
I - щ г * + ^ д| дг, - 1 - 1
1 Я
’ а |д п
Ш ш Ш М
4 арГГу +
щ
Ш Е Й .^ 1 -4 -2 — • х2
ап2
ап
х*
‘Т
1
2
щ
а« 1 _ п. _ а ! « . _ 1 1 ^ _ = о.
э | хУ
• а |а г ! 2 | ап
т* е. уравнение приведено к каноническому виду. ^
985. Привести к каноническому виду уравнение
Л22
л
^••5* 1 П г Х
л
.
д2г , |
^У 8 т Х 'д П ^ ^ ~ У
д2г
Л
~ду2 ~
Л Здесь
а = зШа х, Ь ^ — у з Ш х , с = у 2. Так как Ь2— а с = у а зЫ2 х
г/2 51п2 х = 0, то данное уравнение— параболического типа.
Уравнение характеристик имеет вид
5Ш2 х (йу)2 + 2у зш х йх й у + у 2 (йх)2 = О, или (з1п х й у + у йх)2 = 0 .
Разделяя в уравнении зш х ф + ( / < * х = 0 переменные и интегрируя, имеем
&_]— ^ - = 0 ;
у \ 8Ш X
1п у + 1п
Произведем замену переменных:
ция). Тогда получим
дг
-^-=1п С;
4 -= С .
|
§
X
| р | 4 = У (произвольная функ
дг д% . дг дг\
^х 'а | ах
аг| дх
_ 1 дг
. х .
2 а|
2’
дг
аг а1 . дг ап
дг . х . аг .
ду — д | ду “*■ дп ду
Щ I 2 “• дт] ■
д2г
1 ( дЧ д \ . дгг дтц |
, х , I дг
,В . 1
д ^ ==т 1 д р ' д 7 + а р ^ ЩЩ$ 5ес 2 + 2 д 1 У$еС 2
2
1 д2г .
. х . 1 дг
, х
х _
р д р - ^ 5ес У + 2 ^ д ! 5®0 2 | 2 *
д2г
/ д2г д | . д2г дт| \ ■ х , д2г д | . д2г дт]
ду2 V а | 2 ду д |д п д у )
2 ^ дт]д{; ду "г дп2 ду
^
1Р В
дх дг/
■
{ег ± 1 2 - ^ 1 { е - 4 - — •
д р 8 2 + д |д л ^ 2 Ш Ш®
^ + - й
2 \ д |2 ду
И
Э§ дт] д(/ )
1 *ес* 4 + 1
2
2
б 1
зес2
2
1 ( д%2 ха х « а2г ^ с е С2 ± 4 - 1 — зес2 У \ ,д 1 * ё Т + а р п Г
2
2 а|
2Подставляя в данное дифференциальное уравнение выражения для вторых
производных, имеем
4 Ц * **# *
» + - ? Щ у “ * 1 •* I
-
«-
|г'«1+зга)й■“*|(Кж !«Щ г!|п*|
д2г
.
«
х
.
_
д2г
„
*
■
д*г
I </2
Т у- Г Ш Р
2 “Г ‘' а | д т ] ‘& 2 1 дп
264
д2%
д22
Можно легко показать, что члены, содержащие р ц и | | | | .
взаимно
уничтожаются, и уравнение принимает вид
1 5 -
^
у
ИЛИ
- 0 " - ! *Я
1 81пх=0’
д2г
дг . .
«/^-т==-яГ 5Ш х.
* дх\2
д1
I И Й ( * /2)
И
Так как §1п х I Д р р й р . ’; ! 2
д2г
21
дг
А
лучаем
' А
тп Я|п * = т- ^ г Ч • Окончательно по-
т]
&а+ Л а
9 8 6 . Привести к каноническому виду уравнение
^ _
Ш
2 « ^ + 2 Й -0 .
дхду
ду 2
д Здесь а = 1 , Ь = — 1, с = 2, Ь2- а с = 1 < 0, т. е. уравнение эллиптического типа.
Уравнение характеристик имеет вид
(йу)2 + 2йх А у+ 2 (йх)2 = 0 , или у'г + 2у' + 2 = 0 .
Отсюда о ' = — 1 ± *: получаем два семейства м н и м ы х характеристик:
г — Т х = С 1 и у + х + 1 х = с 2- Произведя замену переменных | - у + х , ц - х ,
У+х
имеем
дг _ д г _ д 1 , д г _ д ц = дг_+ ^1.
дх
д | д х ' Щ дх
3|
дц
дг
дг Э | . дг §§ __ дг .
ду
д\
Ш Ш И 15Й^)+(4те§
|
и
;
§
1
|
|+
2
р
+
в
д2г д1 . Ш ^ __ а г _ .
Э г2
д -2
Ц а ^ а ^ 2 а* а | ат] ах
а |2 а^ап
д2г
д2г а | . дЧ дт)_дЧ_
'ду2 Щ §11 ду Щ а | ап ду
а |2
Подставив найденные выражения в дифференциальное уравнение, получаем
Ш - . п д2г
ф
. Ш
+ 2 д % * \+
о 1*5__ 9 ^ 1 — |_ -^т|- = 0, т. е. 4 ^ + - ^ г := 0- А
щ т ,
ж *»
щ
д1
п
2
Привести к каноническому виду уравнения:
987. * - & + 2 х » - Я Ъ + 1 Г - - & ^
дЧ
. дЧ
о дЧ
9 дг_ , 6 дг_ __ 0>
988. -^ т 4 ^ д~
дх
ду
1 а2г , 1 д Ч _ _ п
989. ^ ‘ ^х2
у2 а«/2
д
у
2
§ 3. УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
1 Решение уравнения колебания струны методом характеристик (методом
I. Решение ур _ называется тонкая нить, которая может свободно изгиб а Т ^ П?сть с?руна находится под действием сильного начального натяже-
265
ния Т 0. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть дейст­
вию какой-нибудь силы, то струна начнет колебаться (рис. 59)
малых,
р
поперечных
и
плоских
колебании
Ограничимся рассмотрением
при
которых
отклонения
точек
струны
от
струны, т. е. таких колебании,
положения покоя малы, в любой момент
времени все точки струны находятся в од­
ной и той же плоскости и каж дая точка
струны колеблется, оставаясь на^ одном и
том же перпендикуляре к прямой, соответ­
ствующей состоянию покоя струны.
Принимая эту прямую за ось Ох, обоз­
начим через и = и (х, I) отклонение точек
струны от положения равновесия в мо­
мент времени /. При каждом фиксирован­
ном значении I график функции иШ и (х, О
на плоскости хОи дает форму струны в мо­
Рис. 59
мент времени Ш
Функция и = и(х, I) удовлетворяет дифференциальному
д2и
ш
д2и
дх 2
а
Щ
.
—
Т
/
р
у
[
—
р
—
масса
единицы
длины
(линейная
плотность
струны),
где а
Г — сила, действующая на струну перпендикулярно оси абсцисс и рассчитан­
ная на единицу длины.
Если внешняя сила отсутствует, т. е. / = 0, то получится уравнение сво­
бодных колебаний струны
д2и
т
а
д2и
дх 2 '
Для полного определения движения струны нужно задать в начальный
момент форму и скорость струны, т. е. положение ее точек^и их скорость
\Ь
(*).
в виде функций абсцисс х этих точек. Пусть « Ь - о = фМ »
д1
Эти условия называются начальными условиями задачи
д2и
« д2и
О к каноническому в иду,
а
Приведя уравнение
дх2
д2и
получим
О, где 1 = х — а1, т] = х + а ( . Общее решение последнего урав­
уравнение | | | |
нения запишется так: и = 01 © + 02 (Л)* гДе 1 — х — а1, г\ — х-\-а1, ©ь %
произ^аким образом, общее решение дифференциального уравнения свободных
колебаний имеет вид
у = В 1 (х ■—Н 4" ®2 ( * + а 0*
Подобрав функции 0 Х и 0 2 так, чтобы функция и = и{х, /) удовлетворяла
приведенным начальным условиям, приходим к решению исходного дифферен­
циального уравнения в виде
X + о/
а() + ср (х + а ( ) .
■ 2а
х - а(
890. Найти решение уравнения
ЩЦ
Ш
ди
Й - , если и \ ыо = х \ - д Г и =°
0.
Д Так как а = 1 , а -ф (л:) = 0, то и = — — ° 0 + Ф (*+«<)_ |д е ф (*)
266
X
Таким образом,
\
ц_
(х -/)» + (х + О а
или
▲
2
I
\
991. Найти решение уравнения
Щ4Ш I если
ж
“ 1 * -в==0,
*= 0
= х.
Д Здесь а = 2, <р(*)=0, г|> (*) = *• Отсюда
и= ±4 д:Г] 2 * = 48' г* |хГ- 22!/ = о1 ^ + 2 0 2 _ (ж _ ^ г1’ т- 1
Б 1
I
дг —2 /
д2и
д[2
992. Найти форму струны, определяемой уравнением
дг .
я
. д
а
а24 - г в момент ^= -оГ» если “ и а о ^ 8111^
дг
щр
А Имеем
I
_
х + аI
51П (Х + ДО + 5*П ( * — Д0
“2
и=
1__С А
‘ 2а 0
"
их.
х -с Л
*
т. е.
Х+а*
,
и «г зш х соз ^ " Н ^ г х—а/
ИЛИ и
= 51П х соз
+ /
ЕслИ ( = пЦ2а), то и = я/(2а), т. е. струна параллельна оси абсцисс. А.
993. Найти решение уравнения
ди
Т1
д2и
д2ы
| | | Ш Ш * если
I |р
__ г
X.
дги
д 2и
,
есЛ Я
994. Найти решение уравнения ~щт = а
ди
т
|
995. Найти
дх 2
форму
струны,
в момент * = я, если с* | д е
определяемой
ып х»
^=о
»
__л
1<=о— »
уравнением
= СОЗ X.
1ИЗШ&ЕйНдагдаИН
уравнения - | ^ - = « 9 0
, удовлетворяющее начальным и граничным (краевым)
условиям
« ( * .( » - » < * > . ■ & & & - ♦ < * « 0 . 0 - 0 . „ | о - о .
Будем искать (не равное тождественно нулю) решение уравиения в виде
произведения двух функций, одна из которых зависит только от щ а другая
только от /, т. е.
267
Ц
Подставляя это выражение в данное уравнение, имеем
X (*) Т"
= а*Х" (х) Т (О,
откуда, разделив переменные, получим
Г" (Л
X" (х)
* (*)
а2Т Щ
Это равенство двух отношений, зависящих только от х и только от
воз­
можно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу
Я
(где X > 0):
|
: -;гч
_Т" Й
= Х ' ( х ) ------ 1 I
X (х)
а2Т
е.
(х) 1 1 х (дО= 0 и Г (I) + Ха2Т Щ = 0.
Общие решения этих уравнений имеют вид
X (х) = Л соз У Г * + В зШ
1
*,
Т ( 1 ) = С соя а У Т :
где А, В, С, Щ— произвольные постоянные, а функция
и (х , () = (А с о з
У
к х + В 31П У А, х) ( С с о з а
У
"к / + О з 1 п а У к 0 -
Постоянные
и --В ---можно найти, используя краевые условия. Так как
А
АК^жллшл
^
-А— —
Т М ' Ф о, то X (0) = 0 и X (0 = 0- Следовательно,
х (0) =
т е А = 0 и В з1п
л=
Ук
0, X (/) Щ А соз У \ / + В з 1п у к 1 = 0,
1= I
и в силу того, что В Ф 0, имеем з й
_
ктс
_
У к 1 = °,
откуда V X = кпЦ (Л= 1, 2 , . . . ) . Итак, Х = В 5 1 п - у Х .
Найденные значения X называются собственными значениями для данной
краевой задачи, а функции Х = В зШ ~
х-собственными функциями.
При найденных значениях % получаем
Т ( 0 = С соз
ЗШ ^ р - 1,
ик (х, ^ = 8 т - ~ х ( ^ а ь с о 5 ^ р - 1 + Ьк з 1п ~ - ^
(к = 1 , 2 , . . . ) .
Каждому значению к отвечают свои постоянные С и О, поэтому пишем
а к, Ьк, а постоянную В включаем в а* и Ьк. Так как уравнение - ^ - = а 2Х
у . 6*2— линейное и однородное, то сумма решений также является решением,
дх2
; *
которое можно представить в виде ряда
л
щ
Л
/
акл . . .
о = У «*(*• о = 5 1 ( а* с о з - 7-
.
акл Л
+ Ьь 5ш—г
кл _
] 5т_г
служит решением уравнения, если коэффициенты ак и Ьк таковы,
что сходится сам ряд, а также ряды, получающиеся после двукратного диф­
ференцирования по х и по I. При этом решение должно удовлетворять начальным условиям:
Э тот
ряд
и (х, 0) = Т
А=1
268
ак з 1п - ^ - х = ф ( х ) .
Если функция ф (х) разлагается в ряд Фурье в промежутке (О, I) по си
нусац, то
% = - у ^ ф 5 И 1 Щ - XШ
/
;;
;
Из условия
Й
о
^ —~=*ф (х) имеем
= у
да
I =0
акп Ж 5[п
шш
*
Щ
1
Определяем коэффициенты Фурье этого ряда:
Я 1=4\1рШх*Ш
•
' у
о
откуда
I сИ IIИ 1И
(2)
О
Таким образом, решение уравнения колебания струны может быть представ
лено как сумма бесконечного ряда:
„(*, *) = V
(акс о з ^ * + Ь кв Ш ^ ) в Ь ^ - х >
где а* и Ьк определяются по формулам (1) и (2)*
^
™ 7 _ (0 _
А I*) — 1 > о, то уравнения
П р и м е ч а н и е . Если положить ^ щ
д
^
для определения X (х) и Г (0 имели бы вид X Й
д2Х Г (/)— 0. Общее решение первого из них X Ле
жет удовлетворять граничным условиям.
М
+
Ш
е
7, ^
н
996. Струна, закрепленная на концах х==0 ■ * * * { » имеет
в начальный момент форму параболы и
начальные
делить смещение точек струны от оси абсцисс, если начальные
скорости отсутствуют (рис. 60).
Здесь ф(*) = (4/1//2) • * ( / - * ) • Ш 1 1 Нах0ДИМ к0ЭФФн ц и ен ты Р а ­
спределяющего решение уравнения колебания струны:
А
а ,,Щ
Ф1
»
»
=
»
•
Для нахождения коэффициента а* дважды интегрируем по частям.
и «.
/
^ЯХ в
ы1==/х—X2,
= з1п - — -йх, йих ~ ( 1 — 2х)йх,
—“““Ц Т 005 I
т. е.
г
кпх ,
(/ — 2х) с о з — т-йх\
I
/е л /2 ,
81
Ч
о
кпх
и
I
■;Йж йиг
8/г
Лч
/?ях г
0/1 (/ — 2х) зШ - у - о
/г2л 2/
16/г
кпх
/
/
о
соз —
/г3л3
2йх9 1'2 = ^
кпх
16/1
к2П21 V
. кпх
8Ш- 7
,
8 Ш ---- Г— <2я
/
о
Подставляя выражения для Й и »а в равенство (1), получим
_а>.
1 Л/1
ч
«<*,
кла(
.
■
кпх
I
к= 1
Если « 1
то 1 — (—1)й = 0, а если к = 2 п + \ , то 1 - ( - 1 ) й
окончательно имеем
00
(2п-^-\)па1
.
(
2
я
+
1
)
л
х
1
/
32” V
- соз ' ------ —р -------- 5 Ш ---------- ^---------и( х , 0 = -^5" 2 - "(2п + 1)3
п= 1
997. Дана струна, закрепленная на концах |
г'ть в начальный момент форма струны имеет вид 1
2; поэтому
А
* А
О и х = 1.
Рис. Ы
Рис. 60
форму
изображенной на
мента времени | если начальные скорости отсутствуют.
А Угловой коэффициент прямой ОА равен Л/(//2), т. е. 2Н/1. Следова­
тельно уравнение э З прямой есть и = (2Н/1)х. Прямая АВ отсекает на, осях
координат отрезки I и 2Щ значит, уравнение этой прямой имеет вид х / / + иЦ2Н) 1,
или и = (2Н/1)(.1— х). Итак,
Ф (*)
(2И/1)х
при 0 * й х < / / 2 ,
Ф (*) = °/,
(2й//)(/— х) при //2*г.х
Находим
I
%
о
Ьь= 0 .
270
I
кпх
йх
ф ( х ) •5 Ш
I
4/2
1
X
о
44
кпх
йх +
51П
12
~Т
112
&Л*
йх,
(/ — X) 31Й
“Т
Интегрируя по частям, получаем
1/2
4/1
кп1
клх №
4/1
•Х-С03
кп1
+
о
I
I
4/1
т
&гс/
■*
о
/
клх ,
соз — г- ах
4йх ,
соз —— ах
/
т
4/г
г/2
I
2/1
ЙЯ
&ях
4/1
кл
2Н_
-I—— . СОЗ
2
• СОЗ -ЙГ
т
г
й
^
г
зш
“
7
кл
О
2
йях |/
кл
4/г
. кп
г>з1п
2
8й
.
д а " 51п 2 1
Следовательно
СО
ы (х. О
Вк
л
у
к—\
1 51П ^Ц»31П •клх- с о з -кла1
I
I
Ш
2
Выпишем несколько членов ряда.
ла(
лх
8/г
соз
и(х, I)
Т
л 2 151П—
+
1
5лх
5я а I
д Ш -р -С О З - I
Зях
1
з2 ’8
соз
/
3 ла(
+
~~Г
1ла1
7ях
■^~зШ
—7“ ' С05 7
72
1
начальные отклонения струны, закрепленной1 в1 точ998. Пусть
/, равны нулю, а начальная скорость выражается
ках х = 0 и х
ф орм улой
х — / / 2 1 < л/2,
при х — 1/2 1 > Л/2.
д и _Г
д1
1°
Определить форму струны для любого момента времени I.
Д Здесь <р(*)=0, а * (*)=«* I интервале ](1 - Н ) /2 , (/+ Л )/2[ и Ш
вне этого интервала.
Следовательно, % = Щ
(/ + Л)/2
(/ + Л)/2
&ях
2^о *
клх
2
йх
у0з1п
(/-/!)/2
Ьк кла
Т
(/ —Л)/2
клН
к
л
4
к л (I + /?)
кл(1 Л)
соз
соз
В
В
Е
К
!
2/
2/
г
21
Отсюда
00
и(х, 0
я 2а 2 ,
0
клх
к
л
,
клН
к
Ш
1
■Я *31Я
31П
*51П--- /1 ••81П / 1
2/
к2
л
й=1
или
Зпа<
4 Уо/
я2а
, Зях |
/1
я
81п~2Г
яа^
—/—
Н ИШИШ»
Хз1п—/7— з!п—^— • "5®
2/
ях
/
I
1 . ЗяЛ
З Г -зй -д -Х
$1п
5ях
/
▲
271
99» Стоуна закреплена на концах х = О * дг— 3. В началь„ый момент ф о р м а м и , ■ « « ”
« * ' ^ ' ра ™ Ист0У„ы для любого
I
если
начальные
Щ _____ в р е м е н и
момента
скорости точек струны отсутствуют.
1000. Струна, закрепленная на кон­
цах х = 0 и х = 1 , в начальный момент
НайН
(х4—
2х3
+
*)•
имеет форму и
ти форму струны для любого момента
времени й если начальные скорости
Рис. 62
отсутствуют.
0
и
х
—
1.
Начальные
ДД\^ V*-*А1/IV А
^ *------ х
1001. Струна закреплена
в точках
струны
равны
нулю,
а
начальная
скорость
отклонения точек
формулой
л (х— 1/2)
ди
~дТ / = 0
<
СО5 -------;------- при
/I
>
при
0
Н_
2
к
2
форму
§ 4. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
1 Упавнение теплопроводности для нестационарного случая. Обозначим
Ш П температуру в точке М однородного тела, ограниченного
поверхностью^5, в момент времени I Известно, что количество теплоты
поглощаемой телом за время Ш, выражается равенством
([)
ЩЬшшШ
где й З — элемент поверхности, к - т а к
называемый коэффициент внутренней
теплопроводности, - ^ - п р о и з в о д н а я функции и по направлению внешней нор­
мали к поверхности 5. Так как теплота распространяется в направлении по­
нижения температуры, го Щ > 0, если Щ > °.
« Щ < °. если
дп <
Из равенства (1) следует, что
5
Вычислим « другим
1
Га” ^ » я Т РпролорциоиМ ьК„“ по.ышению температуры в этом элементе и массе
самого элемента, т. е.
(2)
р
й
У
г
О
щАшШжШ
272
Таким образом, получаем
| I - ди т
н
где аа=КА
.
,2
п
2
и
с I диШ
)
а.,
Учитывая, что | ^ = | е г а с 1 « |
,
и ^
ди . . ди , ,
Ц |
к
'
преобразуем полученное равенство к виду
г г г
соз (п, й ^ | | с° з (»• # Ц щ т (л’ г) 1 а3'
в* ^ ^
Заменив правую час*ь равенства с помощью формулы Остроградского
ИМеСМ
Г аусса,
НИ
--" д и
, С Г Г / ' 92« . 1 . а2м 4
™ 4У=ая1 \ 1 (
Ш
или
' д2и ,
)
! ^Л 1л1/ = 0
1 I в?+
для любого объема V. Отсюда получаем дифференциальное уравнение
И И
л л
ди
ж ~
. -
Яш * г \
й ( д% Н 1 1 Я Н 1
т у ц
теплопроводности имеет вид
•м.мм ж.
V. \ ж В I
ди = а22 • -^-гг
К
дг
дх 2
задача°I
хождении решения и (х, 0 уравнения
ди ___а2я д2Ч_ ^ * > 0 , — оо < дс < + 00»
д1
д*2 9
/ (х), — оо < х < + «>• При
I—
" “ "е" м * ” *
Ё И М Ш й З Е
—00
Т ^ л , ПЛ Т “с т е р ж н я . о г р а н и ч е н н о г о с о . и о В с т о р о н ы
случаи
г
Л2
___
11(М
1в«ипмУ
ОДЛОШ
Ф
ди
удовлетворяющее начальному условию
Решение уравнения Щ
Щ К
Ш
0) = / (х) И краевому условию ы ^ , *) VI*»
1____ Г / (I) • |е~<*-*>*/(40*/)е -(6+^)*/(4аяО] ^ 4 -
и (х, I)
ЕЕ
ИX
З И
Я
В
Я
Н
Я
" Л о м ,В^ и С„.°й?и решение Ш
Щ
»
ди а 2 .
ЧГ
краевым
д2ц_ удовлетворяющее начальному условию и(х, I) 1г=о — I §§ и ДВУМ
дх2 **
л.
Л/
ох....
ди
ди
О,
условиям, например и#—о и \х=1 ® или рр х = 0 Ж
В этом случае частное решение ищется в виде ряда
„(*,0=^ §‘*ИЖЙЙЯ§
к=1
где
ктсх ,
( ^ 81п —г
2 § г, ч
ь* ~ т у
о
(для краевых условий и\х=о = «и = / = 0)» и в виде Ряда
ИИЯШЕШй^и!
I
о*
к—1
где
2
— /
Я
I
0
1
„ди
для краевых у с л о в и и ^
=о
ди
дх *=/
О
1002. Решить уравнение ^ = = а 2 ,| ^ Для следующего начального распределения температуры стержня:
| % при % < * < *2,
и (х, 0 |*=о — / (* ) — | 0
при Х < Х 1 или х > хг.
Д Стержень является бесконечным, поэтому решение запишется в виде
интеграла Пуассона:
'ШйЩШШШШ.
со
Так как / (х) в интервале [х„ х 2[ равна постоянной температуре и0, а вне
интервала температура равна нулю, то решение примет вид
хг
и {х, /)==— г —
|
Полученный результат
2Щ Я -*г1
можно преобразовать к интегралу вероятностей
(см. с. 203):
У Яо
274
2а
Действительно, полагая х — 1/(2а у I ) — И*,
(х-Хо),/[2аУ О
ио
е
и (х, /)
? . ф , получим
V я ( х - х 1) / ( 2 а У 1 )
и-дг2)/(2а1/Т)
«о
Г
-ц* ф .
О
я
О
ио
л
о
Таким образом, решение выразится формулой
ф
и(х, О
2
2а|А *
х — хг
Ш Ш Ш
Графиком функции Ф (г) является кривая, изображенная на рис 63. А
1003. Найти решение уравнения
д2и 1 удовлетворяющее начальному
|§|||НЦ:
условию и\1= о = / (х) =
ловию ы|*=о=0-
и краевому ус­
Здесь мы имеем
дифференциальное
•уравнение теплопроводности для полубесконечного стержня. Решение, удовлетворяющее
указанным условиям, имеет вид
Д
Рис. 63
СО
и (х, О
1
о
или
оо
и (х, ()
ио
2 у г я( о
2 У~I ф , преобразуем первый интеграл
Полагая х — 1/(2 У~I ) = Ц» ^>т
пользуясь интегралом вероятностей, т. е.
х/(2 У Г )
1+Ф
й ар !
5
и
Полагая ж Ц 1 /(2 У Г ) И и. 1 == 2 У
Ж
получим
+ 00
00
ио
»
- и + 1 ) 2/(4/> л?
.__Ио
ио
- ц 2Ф
2
1— Ф
2 }/ *
д7(2 V II
Таким образом, решение принимает вид и (*, О —
&* д*и
1004. Найти решение уравнения ~ = ^
\ 2
*
А
(0 < х < /),
* > О,
удовлетворяющее начальным условиям:
х
и |/=о
/ (*)
при О < х Щ //2,
^ | —х ПрИ //2 ^ х < I
и краевым условиям и\х=ъ = и \х=г = 0.
Д Решение задачи Коши, удовлетворяющее указанным краевым условиям,
будем искать в виде
|
03
кпх
>
и (]е, 0 = 2 - , Ьке~ Ш 1)Ч 5Ш —
А=1
где
ш
I
^
Ьк = ^ ' \ Г { х ) 5 т ^ - й х ~ ^ х в т ^ - й х + ~ § (I - х) 8 Ш й х .
о
о
//2
Проинтегрируем по частям, полагая и = х,
I
кпх
— •соз —:— ; получим
кл
I
2 (
Ч Ш
= зш
- у -
йх,
йи = йх
и V
. .
1х
\ - ж
2 [
Ш
кпх 1 1х
+ Т [ § ы со в- Г + ~ Ш
кпх .
Iй
. к л х \ \1>г ,
с о * ~ г + к*л*'8т
I ;|о +
I
4I
.
кя
кпх
$
клх
Ш
т
5т
2
•
1/а
в~ г ~ К *
~
Следовательно, искомое решение имеет вид
4/
« (* .
1
1
, кл
А 1-81пт - е
или
:,5#Щ
_ /?ячЧ //2 • Аядг
•
**
и■
Ь
*
/1=0
1005. Найти решение уравнения
, удовлетворяющее на
чальным условиям
1— х/1 при О г ^ х » ^ /,
и ( х , 0 |/=о = / ( * ) = { 1+ х*1 "Ри
0
при х ^ 1 и х < — /.
Решение выразится формулой
о
I
о
Заменой « — |/ ( 2 К Г ) = |х упростить ответ.
1006.
Найти решение уравнения теплопроводносги, если левый
конец х = 0 полубесконечного стержня теплоизолирован, а на276
чальное распределение температуры
при х < Ц
и
Л
|
®
;
|
“ О
П Р И
О
<Х<1,
О при I < х.
шп7 Лян тонкий однородный стержень длины I, изолированвы й от внешнего протранства, начальная температура которого
« « Я Н * - с х (1--х )/1 г Концы стержня поддерживаются при температуре* равной нулю. Определн/ь температуру стержня в момент времени (
О© Закон распределения температуры стержня описывается урапнеинем
начальным условием и | „ . = / М и - Р а в ^ м и условн яди
дх2
ми и |х=о = и |х=/ = О
д2и , д 2и . дг» _ п
Ж 5"1- а«/2_гаг2
(1)
’
4а = 0. Здесь и
так как — = 0. Уравнение Лапласа можно записать в виде I
КТЬ
Л = Ж
^ а в н е н и е
Лапласа записы-
вается в виде
(2)
д2и
вя
иш
Такой же вид имеет уравнение
“при пересит от координаты 2, т. е- V пяпяплетьной оси г. Заменой * = г с о з 0 ,
; Т Ж в ‘ГОурКавнение "(2) можно’' преобразовать к полярным координатам:
Эи За
— = —дг
дх
СОЗ
г* . д а . й
зш и ,
' ду
01§^&+*в§т0со5в+Р81"’в>
й
= - й ” м 9 + 1 ” 05 0 '
д 2а __ д 2а г2 е«п2 0 __ 2 - — ^ /*2 51п 0 с о з 0 +
д& ^дх2
дхду
е - | г с о в в - | г , Ш в .
Отсюда
■ И 11Ш Э
, ИЛИ г= 5 + с 1 | Й - О
С уравнением Лапласа “ ” ано п^нят^ ' ^ ^ ^ о ^ о б л а с т Г о н а непрерывна
называют гарлеокическои в облзсти |
порЯдКа включительно и удовлет-
гг дагя2Г*г щ ^
®
♦»—
*
277
Г— У ( х — х )2 + ( у — Уо)* + (г — г о)я> является гармонической в любой области
исключая точку М 0 (х0; у 0\ г0). Д ля любой плоской области такой функцией
служит и = 1п (1/г) (или и — 1п г), т. е. эта функция удовлетворяет уравнению (2).
Задача отыскания функции и, гармонической в области Щ непрерывной
в 0 , включая и поверхность 5, ограничивающую эту область и удовлетворя­
ющей краевому условию и |на 5 = /(М ), / д е / (М) — } (х, у, г) заданная не­
прерывная на 5 функция, называется задачей Дирихле.
1008. Найти стационарное распределение температуры в тон­
ком стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если
на концах стержня ц \х=0 = и0, и|*=* = и г.
Д Задача Дирихле для
уравнения Лапласа
одномерного случая состоит в нахождении из
функции и, удовлетворяющей краевым условиям
и |*=о = ^0» и \х=1 = иг. Общее решение указанного уравнения есть и*= *А х+ В ,
а учитывая краевые условия, получим и =
—- х + и 0, т. е. стационарное
распределение температуры в тонком стержне с теплоизолированной боковой
поверхностью линейно. ▲
1009. Найти стационарное распределение теплоты в пространстве
между двумя цилиндрами с общей осью Ог при условии, что на
поверхностях цилиндров поддерживается постоянная температура.
Перейти к цилиндрическим координатам, считая, что и не зависит от
0 И 2.
!
§ 5. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА
Пусть дан круг радиуса Ц с центром в полюсе О полярной системы ко­
ординат. Будем искать функцию и (г, 0 ), гармоническую в круге и удовлет­
воряющую на его окружности условию ы|г=/? = / ( 0 ) , где / ( 0 ) — заданная
функция, непрерывная на окружности. Искомая функция должна удовлетво­
рять в круге уравнению Лапласа
, 32и , ди , д2и
л
/1Л
г д ? * + г д-г+ т = 0 (1)
Ограничимся применением метода Фурье при решении этой задачи. Допус­
тим, что частное решение ищется в виде
т ш ш т
Тогда получим
11Я (Г ) • Т (0) +
г • у (г)■Т (0) + 1
(Л)
• Т" (0) Ш 0.
Разделяем переменные:
Т" (0)
т(0)
г2.<?"(г) + г.<?'(г)
1 (Г)
Приравнивая каждую часть полученного равенства постоянной — к 2, получа­
ем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
Г"
(0) + А>2 • Т (0) = О,
г 2 . (?" ( г ) _{.г . ( 2 ' ( г) _ й г . д ( г) = 0 .
Отсюда при к — 0 имеем
278
Г(0) = Л + В0,
(2)
д (г) = С + 0 1 п г .
(3)
Если же к > 0, то
Т (0) = Л СО5&0 + В в1пк®,
и
Ший В
Следовательно,
<? (г) = С г * + О г - *.
(а)
Заметим, что и (г, 0) как функция от 0 есть периодическая функция с пери­
одом 2л, так как для однозначной функции величины и ( , )
( .’тве ,4ч к
совпадают. Поэтому из равенства ( ) следует, что
,
ле^ в равенствах
может принимать одно из значений ^,
)ц
имейа бы
М
Я Ш
В И Н г а р м о Рнической в У
КРУгеФ Итак, мы полу­
пили бесчисленное множество частных решений уравнения (1), непрерывных в
Ш
е ? Щ
1 В р ь и . изм енив обозначения) м ож но за п и с а т ь в виде
в, (г, в )~ А ,1 2 -. ип (г, в) = (Л» е о зл в + В „ з 1плв)г"
(« = 1 . |
Составим теперь функцию
00
ШШШШШIпсо3п08ЩИИг
л= 1
которая вследствие линейности и однородности уравнения Л а п л а с у ° л у жит его решением. Остается определить величины Л0, А п, В„ так, чтобы
функция удовлетворяла условию и Ы ||| — /
т - е<
I (0) = — + ^ ^ И л 005
2
^
п®)
л= 1
Здесь мы имеем разложение функции / (0) в ряд Фурье в промежутке [ - я , я].
В силу известных формул находим
1Я
1
/(х )Л , Л * = ^
—Я
71
Я
5 /ф с о а я х Л .
у /
1
| | |
Ц
“Л
Таким образом,
Упростим полученный результат. Полагая г/К = р, т - 0 = *. представим
выражение в квадратных скобках в виде
ОО
03 \
|
I—|
Я соз п1 = 5 1 Р” 003 п*~~~2 '
2
п= 1
я=°
Рассмотрим ряд
"V <ре11)п = ’Х р" с о з п ^ + 1 2 р” з!п п(ш
Ж
Ж
п= 0
Этот ряд сходится при р < 1 И его сумма равна
1
1— рсо з* -И р5 1 п <
1— о ё й ~ 1— р сое I,— * р з т I
,2
1— 2рсоз< + Р
279
Следовательно,
2-
1
1— р соз (
1 _________1— Р2_____ _
1 _ 2 М5 1^ г — 2 - 2(1 — 2р соз 1-{ р8) ’
Р" соз
л= 0
или, возвратившись к прежним обозначениям, получим
Я
р
I |
^ 2 __ г2
и ^ Щ = | 2я 3 ^Щ /?г— 2 Яг со з(т — 0 ) + ' * йХ'
—Я
Мы получили решение задачи Дирихле для круга. Интеграл, стоящий в пра­
вой части, называется интегралом Пуассона.
1010.
Найти стационарное распределение температуры на
однородной тонкой круглой пластинке радиуса Я.,^верхняя поло­
вина которой поддерживается при температуре 1°, а нижняя
при температуре 0°.
Д Если — я < т < о, то | (т) = 0, а если 0 < т < я, то / (т) = 1. Распределение температуры выражается интегралом:
I
0 )= = Ш
яН
о
__ г2
Я2- 2 / ? г с о 3 ( т - е ) + 7 ^ Т- .
!
Пусть точка (г; 0 ) расположена в верхнем полукруге, т. е. 0 < © < я ;
тогда т — 0 изменяется от — 0 до я — 0 , и этот интервал длины я не содержит точек 1 я . Поэтому введем подстановку
=
1—
,
, йх ==
м ( л 0)= —
2 ~ ~ * ’ 0ТКУда с о з (т — 0 ) =
_
. Тогда получим
Ж
с1г (е/2)
р а _ г2
1
^
-4 е (в /2 )
( / ? — г)2 + (/? + л)а I
/й + г ,\
а(~ Ц аГС ё \ Ц —г‘ )
1 Га г с { е Г 5 ^ с 1 § - | Л + а г с * д ( § ^ - ' 1 е 0
Ш
Ц
2
1 2
я
ШШМШ 1 в
в
1 Ш пант+,®-т; _ 1
л
/# _ |_ г \2
с‘г<»/2>
-1 г (8 /2 )~
г-*
2Я .Г 5П1
0 *
1
или
1д (ия) —
2/?г з1п в •
Так как правая часть отрицательна, то и при 0 < 0 < я удовлетворяет не
равенствам 1/2 <С и <С. 1• Д л я этого случая получаем решение
В Щ
280
В 1
2 ^ 7 т " ~ё ! В
“ = 1М
агс1д 2 К г з 1 п 0
(° < 0 < Я)-
Если же точка расположена в нижнем полукруге, т. е. я < 6 < 2я, то
интерлал ]—0 , я — 0 [ изменения т — 0 содержит точку — я, но не содержит и,
и мы можем сделать подстановку с% & т|— = /, откуда соз (т— 6 ) =
’
>2А1
~
ал
= ------ "Г“Г* Тогда для ЭТИХ значеннИ ® имеем
И(г, е ) = — —
*2(в/2)
^
^
( д + г )*+ (/?_,)* /г Л в
-о д е /г )
Производя аналогичные преобразования, найдем
и = — I аго!д В — г^тг (я < в < 2л).
я
2к г зш 0
Так как правая часть теперь положительна (зЫ 0 < 0), то 0 < и < 1/2. А
1011.
Найти решение уравнения Лапласа для внутренней части
кольца 1 ^ г ^ 2 , удовлетворяющее краевым условиям ы|г=1 = 0,
и \г= 2 - У -
© Ввести полярные координаты.
\
ГЛАВА
VII
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Пусть комплексное переменное г = х - \ - у 1 принимает всевозможные значе­
ния из некоторого множества 2 . Если каждому значению г из 2 можно поста­
вить в соответствие одно или несколько значений другого комплексного пере­
менного ш = й 4 -ш , то комплексное переменное щ называют функцией г в об­
ласти 2 и пишут ДО= / ( 2).
Функция до= /(г ) называется однозначной , если каждому значению г из
множества 2 можно поставить в соответствие только одно значение до. Если
х
О
Рис. 64
о
X
Рис. 65
же существуют значения 2 , каждому из которых можно поставить в соответ­
ствие несколько значений до, то функция до = /(г ) называется многозначной.
Если и) = и-\-V^ есть функция от г = х-\-у1У то каждое из переменных и
и V является функцией х и у, т. е. и = и(х, у ), V= V(x, у). Обратно, если
ш = и(х, у)-\-и(х, у) *, где и (х, у) и V(x, ^ — действительные функции х и у,
то до можно рассматривать как функцию комплексного переменного г = х - \ - у 1 .
Действительно, каждому комплексному числу г = х-\-уь соответствует опреде­
ленная пара действительных чисел (х; у ), а этой паре чисел соответствует
одно или несколько значений до.
Говорят, что однозначная функция до= /(г) при г — у с имеет конечный
предел С (с и С — комплексные числа), если для всякого числа е > 0 найдется
такое число 5 > 0, что из неравенства \ г — с\ < б следует неравенство
| / ( г ) — С | < 8. В этом случае пишут Н ш / (2) = С.
2-+С
Функция ш = /( г ) называется непрерывной в точке 20, если Нш /( г ) = / ( г 0).
г -* г 0
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области О у называется не­
прерывной в этой области.
Рассмотрим область О, ограниченную замкнутой не самопересекающейся
линией Г. Эта область называется однссвязной (рис. 64).
Если область
ограничена двумя замкнутыми не пересекающимися и
не самопересекающимися линиями Г*1 и Г 2, то область О называется двусвяз­
ной (рис. 65).
Пусть Г*— внешняя линия, а Г 2— внутренняя. Область является двусвяз­
ной и в том случае, если линия Г2 вырождается в точку или в дугу непре­
рывной линии. Аналогично могут быть определены трехсзязные, четырехсвяз­
ные и т .д . области. На рис. 66 изображена четырехсвязная область.
Функции комплексного переменного ег , 51112 , соз 2 , зЬ 2 , с Ь г определяются
как суммы следующих рядов, сходящихся во всей плоскости комплексного
282
п ер ем ен н о го :
2
1+ Т Г + 2 !
з
51П г
зЬ г
5
• •
5!
22
г4
1-—
2! т 4!
-
—
9
.с
6!
• • •
—г
е*
2
ег -|-е —г
2
СЬ 2
••
3!
1!
соз г = 1
г
+ 4 г + 15!г + .
7^
2^
‘+ 1 т + 4 Г + -
• •
Д л я функций комплексного переменного справедлива формула Эйлера:
е* '1 = саз г А-1 зш г.
Из этой формулы следует, что
$Ь г» = * зш г, сЬ г/ = соз 2 .
Известные из элементарной математики формулы
ег \-ег * = е2Г1+2а, ег ь1ег * ~ е г \ Щ*
31Л (21 ± 2 2) = з ш 21 СОЗ 2 2 ± СОЗ 2 Х ЗШ
СОЗ (21 I
22,
2 2) = СОЗ 21 СОЗ 2 2 =Р ЗШ 21 ЗШ 2 2
справедливы и для комплексных значении аргументов 21 и 2 2.
Функции 2 1/л ( л € ^ ) > Ь ' 2 , а гс з 1П 2 , агссоз 2 , агс ! & 2 определяются как
обратные по отношению соответственно к функциям 2 П, ег > з 1п 2 , соз 2 ,
2=
Рис. 66
Рис. 67
з!п 2/соз 2 . При этом функции г 1^1, 1п 2 , агсзш 2 , агссоз 2 , а г с ^ 2 являю тся
многозначными.
Можно показать, что
1п 2 = 1п р + (ф + 2^л) I (к 6 %)»
где р = | 2 1 и ср = аг& г
1012. Дана функция ш = г 2 + г . Найти значения функции при:
2
=
1
-И
;
2)
2
=
2
—
»;
3)
2
=
»;
4)
г
=
—
1.
1)
А
2)
3)
4)
I) а»=(1 + 0 В+ I + 1:
ш ==(2 — 0 + 2 — * = 4
оо = „ * + * = — 1+ .-;
ш=г I — 1 = 0 . ▲
1 + 21 1 + 1 + * - 1 + 3 * ;
41— 1 к 2 - 1 = 5 ( 1 - « ) ;
283
1013. Дана функция } ( г ) = х* + у 21, где г = * + ///.
1) / ( 1 + 2 0 ; 2) / ( 2 - 3 , ) ; 3) /(0 ); 4) / ( - / ) .
д
2)
3)
4)
Найти:
1) х = [ , у = 2, /(1 + 20 = 1 + 4/;
х = 2 , у = —3, / ( 2 — 30 = 4 + 9 / ;
х = 0, у = 0, / (0) = 0 + 0>/ = 0;
х = 0 , у = — 1, / ( — /) = /• А
1014. Показать, что функция ш = | г | непрерывна при любом
значении г.
|
,,
1,, ...■ ■
Так как разность двух сторон треугольника не больше третьей сто­
роны, то 11 г | — | 20 | | й С | г — г0 | (рис. 67). Пусть 0 < б < е. Тогда из нера­
венства | г — г0 | < б следует неравенство 11 г | — | г0 11 < е, т. е. И т | г | = | г 0
2->2в
Таким образом, \ г \ — непрерывная функция. Д
Д
1015. Показать, что ш = г '2— непрерывная функция при лю­
бом значении г.
.
* .
Д Имеем г 2 — г1 = (г — г 0) (г + г0). Если г — * %, то существует такое по­
ложительное число М, при котором выполняются неравенства | г I < М , | г 0 1 < М .
Но
^
г*—2 о 1= 1г —г0 1*| г + г 0 1 < | г —г0 |- ( | г | + | г0 |) < 2 М \ г — г0
Возьмем б < е/(2М). Из неравенства | г — г0 | < б следует, что
г | — го| < 2Л16 < 2М -е/(2М ), т. е. | га— г*| < е.
Итак, И т га = 2о, т. е. и / = г 2— непрерывная функция. А
г-***
Г \ ■
,
&
Ш Ш И
1016. Найти 1п(]/^3 + 0 -
/
Д_Имеем г = У 3 + /, р = | г | = 2, ф = агйг = а г с 1 е ( 1 / У 3) = л/6, т. е.
1 п ( У 3 + /) = 1п 2 + ( л /6 + 2 А л ) /, к ^ 2 . А
1017. Вычислить соз
с точностью до 0,0001.
Д Поскольку
1
соз2
г2 . г *
= 1 — 2 7 + 4 Т — бГ +
находим
2® .
'.. »
1
005“2 — Ч " 2] 22 “Ь 4! 2* " ^ 6 ! 2
®
’
/ ,
~ 1,,!276‘ А
1018. Дана функция и>= е2. Найти ее значение при: 1) г = л//2;
2) г = я ( 1 — /); 3) г = 1 + (л/2 + 2я/г)/, где
2.
1019. Дана функция / ( г ) = 1 /( х — у1), где 2 = х + г / / . Найти
/(1 +
0.
/(0 .
/( 3 - 2 0 -
1020. Показать, что ш = 2 г я— непрерывная функция.
1021. Найти 1п(1 — 01022. Доказать справедливость равенства зш г-сЬ 1= /с о з /'§ Ь 1.
1023. Решить уравнение соз г = 2.
1024. Найти а г с з т /.
1025. Вычислить з т / , подсчитав действительную и мнимую
части с точностью до 0,0001.
284
1026. Чему равен зш (я/ 6 + 1)? Вычислить действительную и
мнимую части с точностью до 0,001.
1027. Дана функция /( г ) = ее2. Найти ее значения в точках:
1) 2==^ 2) 2 = 1 + я 1/2.
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Производной однозначной функции комплексного переменного ш = / ( г ) на­
зывается предел отношения
^ -1----- — , если Дг любым способом
стремится к нулю.
Таким образом,
Аа>
/ ( г + Д г ) — 1 (г)
/ ' ( г ) = П т -т—= . Н ш -----.
' ' 1 Д 2 - > 0 Дг
дг-о
Дг
Функция, имеющая производную при данном значении г, называется диф­
ференцируемой (или моногенной) при этом значении г. Если функция ш = /(г)
однозначна и имеет конечную производную в каждой точке области и , то эта
функция называется аналитической в области И.
Если функция ш = / ( г ) - к ( х , у) + Ь>(х. у) дифференцируема в точке г =
™
ди до ди до
= х + у1, то в этой точке существуют частные производные
причем эти производные связаны условиями
ди __ди д и ____да
дх ду* ду
дх*
которые называются условиями Коши — Римана.
Условия К о ш и — Римана являются необходимыми условиями дифференцируемости функции ш = / Щ в точке г = * х + у 1 .
*
ди
до ди до
Обратно, если частные производные
- щ непрерывны в точке
г=х+у1
и условия Коши— Римана
ди
до
ди
до
_
выполнены, то
функция ш = / ( г ) дифференцируема в точке г = х + ^ ( .
Производная функции / (г) выражается через частные производные функций и (х, у) и V (ж, у) по формулам
ди
.д у
да
. ди _ д о __ да
др . . до
*
& Г + 1 д х " дх
1 ду
ду
ду
д у ^ дх’
Производные элементарных функций г", е*, соз г, з1п2, 1пг, агсзш г,
агссоз 2, агс*&2, 5Ь 2, сЬ г находятся по тем же формулам, что и для дейст­
вительного аргумента:
_____
(2в)/ _= Я*2л “ 1,
(агсз1п 2)'ь= 1/}^ 1 — 2*,
(агссоз 2)' = — 1/1^ 1— 23,
(соз 2)' = —з1п 2, (аго1е г)' = 1/(1 + **)»
(з!п гу = соз 2,
(зЬ 2)' = сЬ 2 ,
(1п 2) ' * 1/ 2,
(сН2)' = зН 2.
1028. Дифференцируема ли функция / ( г ) « = у + х С?
Д Находим
« = у, *»= *, |- = » 0 . | = 1 , | = 1 , |
= 0. Одно из условий
Коши — Римана не выполняется. Таким образом, данная функция не является
дифференцируемой. Д
п ..
1029. Дифференцируема ли функция Дг) = (х*— у * ) + ± к у 1?
А
И м «ем ы = ха— у2, о = 2 Я “ ==2х, ~ = ^ —2у, ^ - = 2 у , ~ = 2 х ;
<?*
<Э*/
* дх
*
ду
д и __Зс
А>__
$и
,,
„
,
’ , :
|
дх —
~о^ ------ •щг • Условия Коши — Римана выполняются. Следовательно,
функция дифференцируема. Так как / ' ( г ) = — 4 - 1-— , то
дх
дх
| /' (г)= 2 х + 2у1 = 2 (х+ »9 = 2г.
Производную I' (г) можно найти и иначе:
/ (г) = ( х + у Г ) 2 = г2, /' (г)= 2г. А
1030. Является ли дифференцируемой функция [ ( г ) —е*со$у-\+ /•6 * 51П у?
Д
ди_
Находим
•
и = е х соз у,
до
■
Щ -е Й р
Щ - е созда
ь ^ е хШ у 7
ди
до
"до
~ = е х со&у,
дх
ди . .
т у,
ду
Ш Ш Й Ш ' Усл°вия Коши-Римана
выполнены. Далее, имеем
/ ' (г) = - ^ - + г*-^—
СОЗ
у 4* 1ех зт у = ех (соз у + * зш у) т&*-е& = е * + у 1 = е г ,
или иначе
А
I (г) = ех (соз у -\-1 зш у ) = е х -еУ1= е х +У‘ = е г , / ' (г)= е г . А
1031. Дана действительная часть и (х, у) = х2— у 2— * диффе­
ренцируемой функции
функцию
А Имеем Щ М & Щ т Так как
(в силу одного из условий Ко­
ди
I
ши— Римана), то -^—— 2х — 1. Интегрируя, находим
»
)
X
'<Л
4: --
~**•?
'.'Л■■- Г'
■С
у-г' Ж
г:
I
ф%~-€1Га'!*:"
•
»(*. у ) = 2 х у — у+ (р (х),
где ф (*)— 1ф ш звольн ая функция.
Используем другое условие Коши—-Римана: - = г - = ---- =г- . Та< как
дм
ёх
4 Ж
= 2 у + ф '( х ) , то - ^ - = — 2 у — <р' (х).
Но из условия
задачи
с'
дх
находим,
что
| ! 1 = —2у. Следовательно,
2 у — ф '(х)==— 2у, ф '(х) = 0, ф (х) =§ С,
откуда
_ ■
:.-.
^.
/ { г ) = х 2— у 2— х + 1 (2ху— у + С ) = х 2— у 2 + 2ху 1 — ( х + у 1') + а ,
или
Н г ) = ( х + у 0 2— (х+ у[) + а , т .е . /(г ) = га— г + С х. А
1032.
Дана мнимая часть у ( х , у) = х - \ - у
функции /( г ) . Найти эту функцию.
дифференцируемой
А Имеем -^—= 1; следовательно, -^- = 1 {согласно условию Коши —Римана). Отсюда
I / \ &и
/ / ч ди
и = х + ф (у ), - з - = ф (У), ^ = 1 .
286
Но - ^ = — . Следовательно, ср' (у) = —1. Интегрированием находим, что
дд<
ох
ф (у)= у С . Отсюда и —х—у-\-С. Итак,
у4-С + «(дс+у) = (1 + 0 (* + г/0+с >т е - /(г) = (1 + 0г+С. А
1033. Является ли дифференцируемой функция § (г) = (х* + у2)
— 2X1/1?
1034. Показать, что функция /( г ) = (х*— 3х у 2) + ЦЗх*у— у 3)
дифференцируема и найти ее производную.
1035. Дифференцируема ли функция / (г)—5ШХс111/+1со5Х5Нг/?
Если это так, то найти ее производную.
1036. Определить действительные функции р Щ и ■ф(х) так,
чтобы функция } (г) = <р(у) +
(х) была дифференцируемой.
1037. При каком значении А, функция /(г ) == у р
||| дифферен­
цируема?
_
_
1038. При каком значении а функция /(г ) = аг (где г = х — у1)
дифференцируема?
1039. Дана действительная часть и = 2* соз (у 1п 2) дифферен­
цируемой функции /( г ) . Найти эту функцию.
1040. Дана мнимая часть о = 31пхзЬ у дифференцируемой функ­
ции /( г ) . Найти эту функцию.
§ 3. ПОНЯТИЕ О КОНФОРМНОМ ОТОБРАЖЕНИИ
Пусть дана функция ш = / ( г ) , аналитическая в области Ш. Зададим опре­
деленное значение г = х + у 1 . Этому значению г соответствует определенное
значение и>=и-\-У1. Итак, каждой точке (х; у) на плоскости хОу соответствует
определенная точка (я; о) на плоскости иОо.
Если точка (*• у) на плоскости хОу описывает некоторую линию 1 , рас­
положенную в области Щ то точка (и; г) на плоскости иОи опишет линию 1 .
Линию Г ' будем называть отображением линии Г на плоскость иОо с помощью
аналитической функции ш = / (г).
__
Возьмем на линии Г точку г0 = х0+ у 01. Этой точке на линии Г соответ­
ствует точка ш)ь== и0+ о0 Проведем к линии Г касательную Ь в точке (х0; у 0),
а - к линии Г ' — касательную I / в точке (и0; о0). Пусть а угол, на который
нужно повернуть прямую I , чтобы ее направление совпало с направлением
прямой V (угол между первоначальным и отображенным направлениями).
В теории аналитических функций доказывается, что а = атц[ (г0). если
^ ^ "рассмотрим другую линию V* которая также проходит через точку (х0; Уо),
и ее отображение— линию у ’. проходящую через точку (ив; ч0). Пусть / — каса­
тельная к линии у в точке (х0; у0), а Г — касательная к линии у в точке
^ Д ля того чтобы направление прямой I совпало с направлением прямой / ,
нужно и в этом случае прямую I повернуть на угол а , так как угол поворота
равен
(г0) [значение производной не зависит от выбора кривой, проходящей
через точку (х0; Уо)\ рис. 68].
,
Если ф и ф — углы, составленные касательными ь и ( с осью С/х, а <р
и яЬ' — касательными 1 / и Г с осью Ои , то ф
ф= а, ф
ф= а и ф
ф
« V - * . Следовательно, ф —
— ф' . Н о г Ь - ф - у г о л между касательными
[ и / а яЬ'_ш' — между касательными I* и I . Таким образом, две произволь­
ные линии, пересекающиеся в точке (х0; Уг,)< отображаются в две соответству­
ющие линии, пересекающиеся в точке (*х0; 1’о)» так что Угол Р межДУ касатель­
ными к данным и отображенным линиям один и тот же.
287
Легко доказывается, что модуль производной в точке (Жо* Уо)> т. в. | / (^о) I*
выражает предел отношения расстояний между отображенными точками ш0+ Д ш 0
и щ и первоначальными точками г0-|-А г0 и г0 (рис. 69).
Рассмотрев другую кривую и ее отображение, приходим к выводу, что
| / ' (г0) | выражает предел отношения расстояний между отображенными точка­
ми Шо+А'шо и Шо и первоначальными точками
+
и
Рис. 68
Таким образом, | / ' (г0) | является величиной искажения масштаба в точке г0
при отображении с помощью функции до= /(г ).
Итак, если бесконечно малый треугольник в плоскости хОу отобразить
с помощью функции и; = ( ( г ) на плоскость иОь\ то получится бесконечно малый
криволинейный треугольник, подобный первоначальному вследствие равенства
соответствующих углов и пропорциональности сходственных сторон (в пределе).
Рис. 69
Отображение с помощью аналитической функции ы>=/ (г) называется кон­
формным отображением.
1041.
С помощью функции х ю = \ ] г отобразить на плоскость иОэ
точки: 1) (1; 1); 2) (0; — 2); 3) (2; 0).
Д 1) Точке (1; 1) соответствует значение 2 = 1 + 4 следовательно,
1
1 -1
1— * __ 1
Ш = Т + Т ==(1 + 0 0 “ ) “ “ 2 _ “ 2
1 ;
2 •
На плоскости и(к> получим точку (1/2; — 1/2);
2) г = — 2 1, ш = 1 /( — 2 0 = 0 /2 )» ; получим точку (0; 1/2);
3) 2 = 2, ш = 1 /2 ; получим точку (1/2; 0). Д
288
1042. С помощью функции
линию
У
ш =
г 3
отобразить на плоскость «Ой
= Х.
д Находим
ДО= (*+ «/ О3* * 8
Зх2у I—Зху2—уЧ
(х3—Зху*) + (Зх3у —у3) «'•
Таким образом
и
х*— 3ху2, о = 3х2у — у*
Из полученных уравнений и уравнения у = х исключим х и у:
« = — 2х®, о = 2х3, т. е. о = — ы.
Итак отображением биссектрисы I и III координатных углов системы хОу
является биссектриса II и IV координатных углов системы иОо. А
1043
-
П усть ад = г2 и г описывает квадрат, определяемый нера■ * - 1 о < у < 1 . Какую область описывает оу?
д Имеем
до= (X-|- У1) = Х— У П
Найдем отображен»я вершин
О,
у
=
0;
если
х
=
0
,
г
/=
1
,
то
и
и
0; если х = 1 , « / = Ь то и = 0, ^ = 2.
V
Найдем отображения сторон квад­
рата
ОВ : #==0, и = х2, » =
т. е. и — О,
ы > 0 — отрезок ОВ\ оси абсцисс Ои.
" О А : х — 0, и — — у2, о = 0 , т . е » = 0 ,
и < о — отрезок ОЛх оси абсцисс С/и.
ЛС: Л - 1 , и = х2- 1 , и = 2х; исклю­
чая х, получим &= у2/4 | — Дугу пара­
болы, соединяющую точки #1 (— 1» V) и
с 1 {° в с } X = 1, и 1 1 - у2, V = 2«/; исклю­
чая «л получим и = 1- о«/4 - дугу параболы, соединяющую точки ^ 1 ( 1; И) и
х2— у 2’
2ху.
Й ?, К
Е
3
|
Рис. 70
полуплоскости. ▲
1044. С помощью функции хю= %г + 1 найти отображение окруж­
ности х2+ «/а= 1 на плоскость ыОу.
I Имеем » = 5 ( ' + ! ? + 1Г Й > + !> +
™ В
Й
этих равенств находим х — (а
1)/2, у
Ж __4 Итак искомым отображением
в уравнение окружности, получим ( ц - ® 8+ о - 4 . 1 Лтак.гскомы
н
является окружность, радиус которой равен 2, а центр точка у и .
•
104* Н яйти УГОЛ поворота и коэффициент искажения масштаба
(2 + Ц
2*
при
отображении
и;
в точке 2О
«-
л Ппи
птпбпяжении с помощью функции а >— { (?), УГ0Л поворота
искажения масштаба | тонне а. р а к н Ц I ш Ы |.
Находим
ш
269
10 Лз 1814
В точке г0 = — 21 имеем
а = аге
4 + (го- 0 2
(г«- О2
аге
5
0: к
9
4 + (го- 0
#о - О2
5
= 1 Г < 1 (сжатие). Д
1046. В каких точках плоскости угол поворота при отобра­
жении ^ = 7- ^
равен нулю? В каких точках коэффициент иска­
жения масштаба равен 1?
Д Прежде всего отметим, что предполагается отыскание таких точек, где
заданное отображение конформно, так как только при этом условии можно
говорить об угле поворота и коэффициенте искажения масштаба. Находим
, 1(1 — и ) + 1(1 + гг)
Ш
Ш(1 — и ) 2
— (1— 12)2
— 21
( 2 + 0 2'
Так как ш' (г) Ф 0 ни при одном значении г, кроме г = —
то заданное
отображение конформно во всей плоскости с выколотой точкой г = — /. При
этом отображении угол поворота а в точке г есть
,
2*1
« = аг6 ш Я д а В Ж В Ш
— 4* ( у + Ц —
( у + 1 ) 21
? ---------- . ^ + ( у + | )Ч. ------------
Число о/ (г) является действительным, если 1 т ш '(г ) = 0, и положительным,
если, кроме того, Кеш ' (г) > 0:
*
1 т ш' (г) = 0 при
Ке тв)' (г) > 0 при
( У + 1)2 =
х ( у + 1)<0
Отсюда у = — х — 1 ( х ф О ) . Итак, угол поворота данного отображения равен
нулю в точках прямой у — — х — 1 (с выколотой точкой г = — I).
Коэффициент искажения масштаба в точке г равен 6 = | тв)' (г) |; по условию
—
он должен быть равен 1. Следовательно, | «/(2)1 = 1, т. е.
9 + Я
1, или
| ( г + г ) 2 1= 2, откуда | 2+1*1= у 2. Это— уравнение окружности с центром
в точке 2 == — I и радиусом V 2. 4
1047. С помощью функции до г 2 отобразить на плоскость иОу
прямые х — 2 и у = 1.
1048. С помощью функции до
г 2 отобразить на плоскость
иОу прямую х - \ - у = 1.
1049. С помощью функции до и Н 1 найти отображения осей
координат на плоскость иОу.
1050. Разъяснить смысл отображения на плоскость иОу с по­
мощью функции до = еф*г, где <р— постоянная величина.
1051. Дана парабола у = х2. Отобразить эту параболу на пло­
скость ыОу с помощью функции ДО=22.
1052. Показать, что угол между прямыми у = 1 и у — х — 1
не изменится при отображении до = (1 + / ) 2 + (1 — *)•
Найти угол поворота и коэффициент искажения масштаба
в точке г 0 при отображении до = / ( 2 ):
1053. и) = г 3, г 0= 1 — /. 1054. д о = 1 /г , г 0— 21.
еу з т х , г 0 I.
1055. и) — и -\-ю, где и = еу соз х, V
290
Найти точки плоскости, в которых равен 1 коэффициент искажения масштаба при отображении:
Ю56. ш = 2а.
1057* ш== з2 22.
Най^и точки плоскости, в которых равен нулю угол поворота
при отображении:
1058. ш = 2 3.
1059. до—-12 .
§ 4. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
Кривая Г, как известно, называется гладкой, если она имеет непрерывно
ИЗМ0Кри 1в а ^ Сназываетея” кусочно-гладкой, если она состоит из конечного числа
ГЛаДЛанаДфункция комплексного переменного ш = /(г), непрерывная в некотоппй области О Пусть Г — произвольная гладкая кривая, лежащая в области Щ
Рассмотрим дугу кривой 7 началом в точке г, и концом в точке г. Разделим
эту дугу на п частей произвольными точками г„, г ъ г 2..........г п- ъ Н |
расположенными последовательно на линии Г.
Составим сумму
5 „ = П г 0) Дг0+ / (гг)
(* в -0 Аг« - 1
.
, /и _л I
п — 1). Пусть X— наибольшая из величин
Ш Щ
В
»
то я —^ » И сумма 5 „ стремится к определенному пределу Этот предел называется интегралом функции / (г) по дуге кривои Г,
заключенной между точками г0 и г, т. е.
1 1
Н т | (г0) Аг0+ / (21) 8 | # • • •
1 (г) йг
Я
Щ ® Лг" *
Ц
Если !(г) = и(х, у ) + Ь { х , у), то интеграл ^ Г( г ) йг сводится к двум кри­
волинейным интегралам от действительных функций по формуле
С | (2) й г = ^ и (х, у ) йх — I (•*, у)
^ 0 (*»
Г
г
г!
|
***+“ I*» | |
Пчглти г _кл/сочно-гладкая линия, состоящая из гладких частей Г*, Г2,
....
тогда интеграл по этой линии можно определить с помощью равенства
1 1 (г) § Ё | | Щ | ^ г + I I (г)
I
Г,
• • • Й | %Ф
Г3
ГИ
Если / (г)-ан али тическая функция в односвязной области О, то значение
интеграла $ / (г) йг, взятого вдоль произвольной кусочно-гладкой линии Г,
принадлежащей области |
не зависит от линии Г, а определяется лишь поло-
Ж6“
”
торой вЗносаязиай области О
интеграл $ / (г) Йг, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру у,
лежащему в области Г>, равен нулю ( т е о р е м а
Рассмотрим выражение ^ (г) = ^ / (0
Коши).
Здесь
за путь интегрирования
принимается произвольная кусочно-гладкая линия Г, лежащая в области О
10*
291
и соединяющая точки г0 и г. Функция / (/) предполагается аналитической
в области Ш Можно легко показать, что Р (г) = } (г). Функция Р (г), произ­
водная которой равна / (г), называется первообразной функцией по отношению
к функции /(г ). Если известна одна из первообразных Р (г), то все другие
первообразные содержатся в выражении Р (г) + С, где С — произвольная посто­
янная. Это выражение /'(г )-)-С называется неопределенным интегралом от
функции / (г). Так же как и для действительных функций, здесь выполняется
равенство
/ ( 0 ж Ш Ц (г) — Ф (г0)
(формула Ньютона— Лейбница), где Ф (г) — какая-нибудь первообразная функ­
ция по отношению к / (г).
Д ля нахождения первообразной функции по отношению к аналитической
функции / (г) применяются обычные формулы интегрирования.
Рассмотрим п + 1 замкнутых кусочно-гладких линий у0, у г, у2, •••* Уп
таких* что каждая из линий у у, у2, •••* Уп лежит вне остальных и все они
расположены внутри у0. Множество точек, лежащих одновременно внутри у0
и вне ух, у2, • • • Уп* представляет собой ( п - ( - 1)-связную область Э .
Пусть I (?) — аналитическая функция в области О (включая значения на
контурах у 0, ух, у 2, . . . , уп). В этом случае выполняется равенство
^ / (г) й г = ^ / (г) й г + ^ / (г) й г + . . . + ^ / (г) йг.
V»
VI
Vа
V»
§ /(г)*/г, где / ( г ) = ( у + 1) — XI,
1060. Вычислить интеграл
АВ
А В — отрезок прямой, соединяющий точки г А = \
и г в — — *.
Д Имеем и = у - \ - 1, »=* — х. Отсюда
\ } (г) йг =
АВ
? (у + \ ) й х + х й у — г С х й х — (у+ 1)йу= *
АВ
АВ
х'
]дт=о, «/=-1
10
. (у 4-1)* -1
о
—
1+
! ' - ! ' ------ 1-
Можно поступить и иначе. Легко видеть, что / (г) = 1— «г и
—I
[ / (г) й г = \ (1 — 1*)* = —
«У
Я
и)~
Щ I
ЩЁI I
— 2»
. (1 - ;02
21
1
АВ
1 — 2* + •*
2|
1061. Вычислить интеграл ^ /■(?) йг, где / (г) = х- + у Ч , А В
АВ
отрезок прямой, соединяющий точки А = 1 + * и В — 2-{- 31.
Д Имеем и — х2,
значит,
/ (г) йг = ^ х 1 й х — у 2 й у -\-1 ? у 2 йх-\-х%йу.
АВ
292
АС
АВ
Первый из интегралов в правой части равенства вычисляется как определенный
интеграл:
X3 |2
3 [1
Ц й х — у 2 й у = \ х 2 й х — \ У2 йу
1
АВ
1
(|/— 1)/(3— 1) =
*/3 3
3 1
7
3
26—
3В
19
3
ставим уравнение прямой АВ:
1). т. е. у — 2х —щ
— 1)/(2
Отсюда йу = 2йх и
2
АВ
Итак,
2
1
_
= (2х?— 2х2+ х ) \ 1 = № — 1 = 9 -
^ / (*) йг = — 19/3+9*. А
АВ
1+ *
1062. Вычислить интеграл § гЛг.
Д Подынтегральная функция является аналитической. Используя формулу
Ньютона— Лейбница, находим
1+ 1
2 Й 2 = 2*
2 , + 1‘== 1 [ ( 1 + о 2- ‘‘2] = т ( 1+ 21' - 1 + ,)==т +1‘I
1
1063. Вычислить \г< 1 г, где ^ -зам к н уты й контур х - с о з / .
у = 51П I.
Д Так как г = х — уь, йг*=*йх+Иу, то
г й г = ^ х й х + у йу-\-1 Ц х й у
У
у йх.
V
Первый интеграл в правой части равен нулю, «ак интетрал от полного Щ
ференциала по замкнутому К0НТУРУ;
При вычислении второго _интегр
ёи = соз Ш . Отсюда х с1у — у йх = сои I аг
глепует учесть, что <& =— з1п / А1,
У ^
окончатеЛьно получаем
271
о
1064. Вычислить | Ш
где ? -э л л и п с * = З с о 5 *. у - 2 М .
У
д Подынтегральная функция является аналитической в области, ограни-
.. V
_О А.
ченной этим эллипсом, поэтому ^ 2 __4
•А
V
1065. Вычислить } _ ^ , г д е 7 - о и р у ж и о с т ь |г- ( . + 1 ) 1 = 1 Ш
■#
-
-
293
д
(X
Уравнение окружности можно записать в виде
— 1)2= 1, ИЛИ х = 1 + с о 5 / ,
г/ =
1 + 5 1 п *, или 2 = 1 + *+ е
И
В области, ограниченной окружностью 7 , подынтегральная функция не является
аналитической, поскольку в точке 2 = 1 + *, служащей центром этой окружно­
сти, функция обращается в бесконечность.
Так как
то
2я
2Я
йI
6,2
(1 +0
1С66. Вычислить
I I М = 2 л /. А
е**
о
о
2г— 1 I
:ЩШ где у — окружность \ г
(2— 1) (2— 0
2
Д Подынтегральная функция имеет разрывы
только в точках 2 = 1 и 2 = I. Функция / (г) является
аналитической в трехсвязной области, представляю­
щей собой круг с граничной окружностью у, из
которого вырезаны два круга | г — 1 | < г, | 2 — 1 1 < г,
где г > 0 — достаточно малая величина (рис. 71). Сле­
довательно,
V*
VI
Рис. 71
где 71 — окружность \ г — 1 | = г,
Так как
— окружность \ г
(2— 1) ( г — 0
/ [ — г.
2— I 1 2 — 1
ТО
йг
2— 1
VI
VI
V*
V*
Первое и четвертое слагаемые в правой части равны нулю, поскольку подын
тегральные функции являются аналитическими в соответствующих областях
Следовательно,
ИРйШШ
V»
V*
Окружность ух имеет уравнение 2 = 1 + ге*Ф, а V2— уравнение г = 1 -\-ге1Ч
Отсюда
2я
2я
* »» *
Г 1ге& йт , Г 1ге*Ф й у
А . А
V
0
гдаЩЙпВг!=4ш-А
^
в "
■-
Р . - ''-
1067. Вычислить интеграл С /(г )^ г , если /(г ) = у + лч, Г — ло
маная ОЛВ с вершинами в точках 20 = 0,
294
— I, 2В — 1 + 1 .
1068
. Вычислить интеграл $ г'Лг, где Л В -о т р е з о к прямой
V
ав
с о е д и н я ю щ и й ТОЧКИ 2 Д — 1,
1, 2
~йд = 1 **
_
1 0 6 9 . В ыч исл ить интеграл | г10 Дг, где Ц
. л / 1-2_1
эллипс л /а + у 1 Ь - 1 .
,0 70 . Вычислить интеграл М й где ? -о к р у ж н о с т ь ( * - 4 )*+
V
С— , где "у— окружность г
1072. Вычислять
(‘ (а + Ь) г — агх— ФЬ л г
интеграл ^ (2 — 21) ( г — г2)
’
а гх и г ,-в н у т р е н н и е
Я
точки
этого
еи .
где у — круг
круга,
причем
^2*
§ 5. РЯДЫ ТЕЙЛОРА И ЛОРАНА
Пусть д ан , функция I И , аналитическая , некоторой «кратности точки а.
Рассмотрим ряд
. /'(« ),
/ ( а ) 4 " Ц т ^ (2— °) 1
V* (2 — а \2+ - — — (г—а)3+ - - - ■
2Г~
Щ 3! |
’
Этот ряд называется
димости выражает функцию / (г), т. е. в
равенство
1
сх6днкю=та выполняется
щ
I ( г ) = / М + Т Г (г ~ а )+ ” 2 Г
ЕСЛИ Я
О, ТО последнее
ЩШ
Г (0)
•
ааписываетоя в
, Г (Ф
2 I ^
виде
^
; (а) а, Г(О»+ 4 ^ 2+ Т 1М
| | 2 случае говорят, что функция №
Рассмотрим теперь два ряда.
5гЗ 1
г' | г ]
разложена в ряд М аиюрено.
^
+
=
Ц
я
+
^
+
(г—
а)2
(г—
а)
г —а
и
I
А 0+ А 1 ( г - а ) + А 2 ( г - а ) * + А 3 ( г - а )
Область сходимости П| Р “ Г0 ^ ^ ^ “„ б м с т ь ^ о щ й т н второго ряда, то
о н а Т р ё д ^ я н е р а м и с т а » | а - » | < К . Тогда при условии г < К для ряда
■ А -з
• ” + < 2 ^ а ) 5‘Г (2— о)3 2— а
+ Л0-Ь ^ 1 ( 2 - а ) + А 2 ( г - а ) 2+ Л з (г - - а ) +•■•>
т и (2\ областью сходимости служит кольцо
полученного с л о ж е н и е м ^ я д о в ^ ( 1 ) ^ ^ О ^ ^ ^ ^ ими окружностями с центром
I Ц
Я
и радиусами г и Я (рис. 72).
Пусть / (г)— однозначная и аналитическая функция в кольце г < | г — а |<
< /?. Эта функция в указанном кольце может быть представлена в виде
суммы ряда
I
Л_
/ (г) — • • •
(г— а)3 ( г — а) 2-Г ,
4 - Ло
А \ (2 — а) -{- А 2 (2 —
А з (2 —д)3Ч~ • • *
Ряд в правой части равенства называется рядом Лорана функции / (г). Коэф­
фициенты этого ряда можно вычислить по формуле
1
П г)
А
| г ( п $ 2).
Л+1
я)
П
Р яд (1)
называется главной частью ряда Лорана, а ряд (2 )- правильной
частью ряда Лорана.
1
Если ряд Лорана содержит главную часть, то а называется изолирован­
ной особой точкой . Коэффициент
называется вычетом функции /(г ) от­
носительно изолированной особой точки г = а.
Особая точка называется устранимой , если функция / (г) — аналитическая
в окрестности г а и ограничена по модулю в этой окрестности, т. е. су­
ществует конечный предел Н ш /(г). Особая
*
г-*а
точка называется полюсом функции / (г),
п
если / ( г ) — аналитическая функция вблизи
г = а и стремится к бесконечности при
г — ►а.
Особая точка г = а называется сущест­
венно особой, если при г, близких к а, мо­
дуль | / (г) | не остается ограниченным, но
функция не стремится к оо при г — ►а, пре­
дел П т / (г) не существует.
щт
С
Изолированная особая точка является:
устранимой, если главная часть разложения в ряд Лорана отсутствует. Напри•
г . ч $1п г
л
мер, для функции \ (г) = —— точка г = О
х
Рис. 72
служит устранимой особой точкой, так как
г3 , г5
ЗГ+ 51
/<*)
1
3! + 5!
•••
полюсом п-го порядка, если главная часть содержит конечное число членов,
т. е. имеет вид
2
+
а ( г — а)
Например,
для функции / (г)
I
» А -п
( г — а)п
81л 2
( А - п Ф 0).
точка 2 = 0 есть полюс первого поряд­
ка, так как
Ж
1
г аз , г 5
3! ' б !
1
3!
б!
•«
существенно особой, если главная часть содержит бесконечное число членов. Например, функция / (г) = ег1г в точке г = 0 имеет существенно особую
точку, так как
Иг
/ (г) = еЧ
296
, + Т + о Г:гЗ + з ] 7 » " Ь * ” •
Между нулем и полюсом функции существует следующая « я э ^ Если
- __
нуль кратности к функции /(г), то г = а - полюс того же порядка
функции 1// (г); обратно, если г = Ь— полюс порядка А функц
/(),
г = &— нуль той же кратности ФУОДИИ 10 (г). _
2==а_ полюс А-го
Следует заметить, что если 1пп^(г— а) 1 (2) —
г-+ а
порядка функции / (г).
1073. Разложить
функцию [ { г )
в ряд Тейлора по степеням бинома г — 1
IИ|Н|ЦЩ1Щ 8
д Находим производные Функции
Г ' (Л = 60г2, I I М = 120г, Р (2) = 120, /VI (2) = Щ
Определяем значения производных в / 7
ПО = —20(,
(« )= = ... = 0
^
(2> - 2°2®'
'
*
(0 = —60, р (0 = 1201, /V (0 = 120.
Отсюда
I (2) = ,-+5 (2—0 — 1°‘ (2—0а— 10 (2—О3+ 5‘ (2—04+ (2—0 Рядом Тейлора функции; ! (г) Щг5 является многочлен пятой степени. А
1074. Разложить в ряд Тейлора по степеням двучлена г
(1 — т /2) функцию /(* ) = сН(1— г).
Д Находим
I (г) 1 сЬ (1— г),
[' (2) = — зН ( 1 — 2),
/" (г) = сЬ (1— г),
зЬ (I — г),
1 (а) = Ц Щ §|3 = 005 (я № Т ° ’
,
| (а) = — зЬ (™/2) = — »зш (я/2) — —
Г (“) = °»
Г " (а) = —
Следовательно,
/ ( г)= - ( | ^ г- 1 + ! < ) + 5 Г ( * - 1 + ! ‘У + ' 5 г ( г - 1 + - 5 ' ) + • • • ] •
К
1075. Исследовать сходимость ряда
1
с
1
I____!___ 4-
I * • Ц 23 (г— т р У 2 | (2 — I)2 Щ 2 (г— 1)
,«
.
2 - 1 , II- 1 >11 Я Ш И 1
+ 1 Ч— 5 ~
-----Р
Г
5з
+ ••• •
д Рассмотрим два ряда
2 Т ^ + 2М ^ -П 5 + 2®( г - 1 ? + ' ‘ ‘
Щ 1
,Н ---г -5 1 Г
5*
Т
53
+
-г
.
(3)
1
Если в ряде (а) положить 2 - 1 = 1/*', то получаем степенной ряд
г' , г'*
,
Т +2а + 2 з+ ” ' *
(в)
Радиус сходимости последнего ряда найдем по признаку Даламбера:
1/2" 1
р = Нт « ,^— ==2.
/1-» оо
1/ 2"
/_\ РУЛпитгя если I г' I < 2. Следовательно, ряд
Итак, степенной ряд (в) сходится, если | г [
1 1 ^ 1/9 'Значит ояд (а)
дится, если I 1/(г— 1) | < 2. Отсюда получаем | г - 1 | > 1/2. Значит, ряд т
297
сходится вне круга радиуса г = 1/2 с центром в точке 2 = 1. Находим радиус
сходимости ряда (б):
1/ Б " - 1
/? = Пт
-===5.
1/5"
Таким образом, область сходимости ряда (б) определяется неравенством
| г — 1 | < 5.
'
■
Из сказанного заключаем, что областью сходимости заданного ряда явля­
ется кольцо 1/2 < | г —11 | < 5.
Решение этой задачи можно упростить. Ряды (а) и (б) являются геомет* 1
г—1
рическими прогрессиями соответственно со знаменателями ^ ~
и - ^ .
1
< 1. Следовательно, \ г — 1 | > 1/2
< 1 и
Они сходятся, если
2 (2 -1 )
5
и 12 — 1 | < 5. Итак, область сходимости — кольцо, определяемое двойным не­
равенством 1/2 < | 2 — 1 1 < 5. А
1076. Исследовать сходимость ряда
|П^н1В1ИИЯН
•• *
Д Рассмотрим два ряда
г"+ 7 з I ••• •
Я
Ряды (а) и (б) — геометрические прогрессии со знаменателями ( 3 + 4 /)/ г и 2//.
Они сходятся, если | (3 + 4/)/2 | < 1 и | г//1 < 1. Так как | 3 + 4 / 1=
9 + 16= 5,
* | = 1 , то 5/| 2 | < 1 и | 2 | < 1, или | г | > 5 и | г | < 1 . Но эти неравенства
несовместны, следовательно, данный ряд не сходится ни в одной точке пло­
скости . ▲
1077. Разложить в ряд Лорана по степеням г функцию
/ ( г ) = 1 / ( 2 г — 5) в окрестности точки 2 = 0.
Д Представим данную функцию в виде
ж И
1Ц 2г/5
В окрестности точки 2 = 0 выполняется неравенство \2 г/Б \ < 1, поэтому дробь
__1/5
. ....
. ‘
“ У;^
----- можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом а = — 1/5 и знаменателем <7= 22/ 5 . Отсюда
получаем
Ж
—
1
5
р
5з
22
# /.
2 ^
2222 2323
54
• • •, или / (2)
Л
=
^
®«
2 " - 12л- 1
1
Это разложение содержит только правильную часть. Из неравенства | 22/ 5 | < 1
заключаем, что областью сходимости ряда является круг | г | < 5/2. Д
1078. Разложить в ряд Лорана по'степеням г функцию / ( г )
1/(2г — 5) в окрестности точки 2 = 00.
2РЯ
д
Имеем
1
1/(2г)
п г >— 2г — 5— 1 — 5/2г‘
...
В окрестности точки г = о о выполняется неравенство | 5/(2г) | < 1, поэтому
Пг) можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической
ярогресхии с первым членом а = 1/(2*) и знаменателем д = 5/(2г). Следовательно,
1
52
52
53
^
/ ( г ) = 2 г + 2*25+ 28р + 2* ^ + - ' * ' или [ (г) = ^
л= 1
,
В разложении нет правильной
(вне круга). Д
1079.
Разложить
5п ~*
2пг п •
части.
Р яд сходится в области | г | > 5 / 2
гю степеням 2 в ряд
Лорана функцию
?(г)=(г_рЯ IК1МЫ®■ ■
Д
Разложим данную функцию на простейшие дроби:
_____!
-— = ——— I—
(г— 1) (г—3)
г — 1 1 г —3
или 1 = А ( г — 3) + В ( г — I).
Полагая г = 1 , получаем 1 = - 2 Л , т. е. А = - 1 / 2 ;
1 = 25, т. е. В = 1 /2 . Таким образом,
1
1 , 1
1
Г (г) = — 2 * — [ + - 2 *
полагая 2 = 3 , имеем
Учитывая, что 1 < I* I < 3 , можем записать
1
1/г
1
1/3 _
/ (г) — — 2 ’ 1 — 1/г
2 * 1 — г/3*
Следовательно
\п=1
я= 1
г4
1080. Разложить в ряд Лорана функцию / (г)
з
по
сте­
<г —2)
пеням г — 2.
Ь 'А - Ъ *
/ (2) = (г _ 2 ) а ==
р
+ 24г,1+ 3 2 г ' + 16
г ' * 4 - 8 г ' »
|
I
Е + р + 2 4 + 8г' + г'*§
т. е.
32 _ + 2 4 + 8 ( г - 2 ) + ( г - 2 )
разложение
д р
_п ^
точка является полюсом второго порядка
Й Г щ д а ° 1 2 ) т а 0 ® о м этой' функции относительно полюса г - 2 является
коэффициент при (г— 2У_5, т. е. 32. А
1081. Исследовать сходимость ряда
+ ^ + ^ + 7 + 1+ 1 + ( т )
+ (4 ^
+ ------
1082. Исследовать сходимость ряда
• • • + ? + р + ? + Т + 1 + 2 2 + (2 2 )2 + (2 2 )3 + . . .
.
1083. Разложить в ряд Лорана по степеням г функцию /( г )
г2
в
окрестности
точки:
1
)
2
=
0
;
2
)
г
=
о
о
.
г— 1
1084. Разложить в ряд Лорана функцию
I/ \
( ЗЬ 2— 2
. п
---- 1— при 2 Ц 0 ;
/(г )= {
г
[
ОО
р
при
функци
2 = 0 .
(г2— 1)(г а + 1)г ‘
1086. Разложить в ряд Тейлора по степеням г — 1 функцию
/( г ) = 1/ 2 . Найти область сходимости ряда.
1087. Разложить в ряд Маклорена функцию
( 1— СОЗ г
. л
/ ( г ) = | ~ ~ Р — п р и 2|§ § |
1/2
при 2 = 0 .
1088. Разложить в ряд Лорана функцию ! (г) = 22
определенную во всей плоскости, кроме точки г = 0 .
— 2,
§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТОВ ФУНКЦИЙ. ПРИМЕНЕНИЕ
ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть а — полюс п-то порядка функции /(г ). Вычет функции / (г) отно­
сительно ее полюса /г-го порядка вычисляется по формуле
*------------------- т Лп - 1 [(г — а)п -{ (г)]
гез [ (г) = т------г^г- 1ип --------------- т— Ш А
а
г -+а
4г«~1
(гезЫие— вычет).
/^ ’
; д
Если а — полюс первого порядка (простой полюс) функции / (г), то
гез / (г) = Щп (г— а) / (г).
а
г->а
Пусть функции ф(г) и *ф(г) регулярны в окрестности точки 2 = а,
<р(а) 5^0 и ф (г) в точке г = а имеет нуль первого порядка. Тогда при вы­
числении вычета функции / (г) = <р (г)/я|) (г) в простом полюсе г = а удобно
пользоваться формулой
Т ,(г ,= Г й Пусть } (г) — аналитическая функция в замкнутой области В , кроме ко­
нечного числа изолированных особых точек щ %, . . . , а& (полюсов или сущест­
венно особых точек). Тогда интеграл от функции по контуру у, содержащему
внутри себя эти точки и целиком лежащему в области В , равен произведению
300
2ш на сум м у вычетов в указанных особых точках, т. е
к
I (г) ё г = 2ш 2 В I (г)
/= 1
(основная тео р ем а о вычетах).
Рассмотрим частный случай. Пусть / (г) — аналитическая функция в
области Г>, число а принадлежит области О и / (а) щ 0. В этом случае
функция Р (г) —* — имеет в области О полюс а первого порядка. Найдем
вычет функции Р (?) относительно полюса а :
ге$ I (г) = И т ( г - а ) - Р (г) = Щ | (г) = / (а).
а
г-*а
г-+а
Отсюда, применив основную теорему о вычетах, получаем
^ Р (г) Л г = 2 т ! (а),
или
1 А ГШГ (*)
огщ Н а).
2т\ 0 г —а
■V
Мы получили весьма важную формулу в теории функций комплексного
одна к^°Т м егить.
ПСР6
шествовать доказа
что вывод формулы Коши должен пред» -----
------ 1
- , ___ ___ -
вались случаем для того, чтобы познакомиться с этой важной формулой.
Пусть / ( г ) — аналитическая функция в верхней полуплоскости, включая
действительную ось, за исключением конечного числа полюсов ак (*— 1.
2
ж) расположенных над действительной осью. Кроме того, предпола­
гается! что произведение г*/ (г) при | г | - * + оо имеет конечный предел.
В этом случае для вычисления определенного ^интеграла
Г.;
В
^ }{х)Лх функции
—ао
действительного переменного применяется формула
+ ОО
С / (*) й х ~ 2 ш (/*! +
—ао
.+ ••• -)гг т)>
где г к (6 = 1, 2..........т) — вычет функции / (г) относительно полюса а*
1089. Найти вычеты функции [ (г) =
д Простыми полюсами функции являются
ТОЧКИ
2
1 и 2 = 3;
г
гез \ (г) = Шп (г— 1) • ^ П Й Г = 3) - ?™ г - 3 ~
гез Г (г) = Ига ( г - 3 ) .
_ {)г{
г
1
2*
2’ *
1090. Найти вычеты функции ?(г) = - р ^ •
301
Д Имеем /(г) = -^—
( г -^21) ‘ ^ Р остыми полюсами функции являются
точки 21 и —2&
55
1
1 4
/
гез / (г) — Иш (2 — 2А--7----- я—;—г-тгт — Р Ч —г т р = ’г :’ = : — г »
а*
7 2-21
Щ 2 0 (г+ 2 0
2 -> щ гг+2*
4*
4
В и В в В ш
- ^
( з д
у
. ^
д
^
- г
т
-
*
1091. Найти вычеты функции / (г) = ' ^ ^ г '+Ъ '
Д Простыми полюсами функции являются корни знаменателя: 2 = 1 ± 2 / ,
Следовательно, / (г) = ■^ ^ _ 2
——
■. Находим
* ,ч
тг — 1— 2/
1
I
Г е$М 2)= 11ГП ;----- 5
----- -—, ■■=
11ГП ------Г Т ж Г = ---- Г»
1+21*
г Щ1+ 2* (2 — 1— Щ (г — 4 -\-2и) ? _*. доде* ^ — '1-{-А
4
р/ V
г
2— 1 + 2 /
1
/
А
гез / ( г ) = и® т----- =---- ^г------- — — == 11ш ------ -— 7Г= - Г . А
1—Ш
г-* 1- 21(2 — 1— 2ь) (2— 1 + 21») г - + 1 -2 1 2— 1— 2*
4
о
2“
1092. Найти вычет функции /(г )
(2 - 2 )з •
Д Так как 2 = 2 — полюс третьего порядка, то
22
1
*
гее / (г)= — Н т
2! 2 1 2
2
в
!
И
2) I
1 _ _ 2 а#г^
1
“
П
.
—
з= 5 - = - 5 Г - 2 = 1 . ▲
2! а *
Лг2
21
функции // (\ 2/) = -=
—
——
5 — соз г
относительно по-
люса 2= 0 .
Д Точка 2 = 0 является полюсом второго порядка. .Действительно,
22
22
Иш - — 8------ = Иш —
2 -*■ 0 1 — СОЗ 2
2 4 о 5Ш 2
=2
является конечной величиной. Тогда
гез | (г) = Иш И
В ----- М
о
2 - о йг V 1— со зг /
И
И
г -»о
И
гШ * 1 1
(1— созг)2
2
г
(
ж
ж
+
)
_
г
!
(
в
~
у
+
Н т — ^ ----- - т - 5 —
----- — ---------------2
2 -0
/ 22
24
2!
4!
25
12
В
7 - 5 ------ Н -------^ А
2 -*■ 0 ( 2
2 .
\2
2!
Г
1094. Найти | В
В
2-4-1
Я
А
*
1Г*
З
И
где | — замкнутый контур,
V
внутри которого находятся ПОЛЮСЫ 2 = 1 , 2 = 2, 2 = 3.
302
д Определим вычеты подынтегральной функции:
гез / (г)
1 Иго
|| | Ц1гЪ®2 11 1) IВ
= 1,
гез/Сг) = М т 8(г_ 2 + 2Г^ - = 2.
Следовательно, | В
V
(2 - Ж йг = 2ш ( 1- 3 + 2) = °- к
|
1095. Найти |
| где В о к р у ж н о с т ь \ г
3.
,2
Д Имеем / М ~ (г_ 0 Щ
замкнутого контура V- Отсюда
(г- 1 ) | ГТ° Л” СЫ <= К
2 Ц ™ **
,ИуТР“
г2
1
гез { (г) = 1и». @— 0 ? (2> = Я
(г + 1) (г — 2)
1 (21— | ’
г2
__
1
гез | (г) = 1»т (г + 1 1 (г) = щ Д т | (г— ») (г— 2) — 2»(2 + г) |
”1
2
4
В Ш И И т ( г - 2) / ( г ) = Ь т - ^ г у = 5;;
2
2-^2
2 4
1
1
1
22
а(2+0+5]
V
п
,’ т Ь ~ 1 Т Г + Т ' ) = " ( ' 5 ' ' + ^ ‘ ) ” 2” ‘' А
+ СО
йх
—со
Д функция - г -— 5- является аналитической в верхней полуплоскости,
за исключением полюса 21. Кроме того,
«га ^
(2) =
,
1
™
+0
0
(г2 + 4)2' " ’
I 2|
КШГ
Найдем вычет функции ((г) = 1Дг2+ 4)2 относительно полюса второго
порядка 2к
а г (г—го* 1
гез/ (2) = г Нш Тг |
г
+"
Следовательно, |
—СО
йх
4 р "—
,*
] =% ^
а*
1
1
(г+ 2 0 * |
—2
2 ____
(г + 203 “ б4*
32 •
■(
V
_}_Л__Я ж
32 *)
16' Ж
1097. Найти ^ (г + 2нг+ 4Г' еыш Т-окружиость:
1) » - 1 ;
2 ) | г | = 3; 3 ) | г | = 5 .
303
д Найдем вычеты подынтегральной функции относительно полюсов 2 = 0,
2 = —2 , 2 = --4 :
Т М г ) = Л га. Ш
Ш
Ш
(г + 2 ) ( 2 + 4) д Т ' '
IВ В КIЯ1В И ,7 Щ Т ) =
г е з/(г )= И
-4
2
-* ■
—4
(2 + 4) / ( г ) =
1) Внутри контура 7 — окружности
р
1
1 л1
г = 0; тогда \ / ( 2) йг = 2 т - ~ ~ - ^ .
.
- Т •
, 1 »; = 4 - ■
Нш
|Г-#- - 4 * I* “Г
О
| 2 | = 1 — находится только
полюс
|
V
2) Внутри контура у — окружности | 2 | = 3 — находятся полюсы 2 = 0 и
2 ; тогда ^ / ( г ) й г = 2л 1 ^ -1 —- 1
V
...
3) Внутри контура
^
7 — окружности | 2 1= 5 — находятся полюсы 2 = 0,
2 , 2 = —4; тогда С/ (г) йг = 2ш
'
) = 0- А
1098. Найти вычет функции /( г ) = —1 I
1099. Найти вычеты функции /(г )
22 1
о
1
•
г-— 1
1100 . Найти вычет функции / ( г ) = 1/з ш 2 относительно полюса
ТС.
1101 . Найти вычет функции / (г) = (г + 1)/г2.
1
1102 . Найти интеграл \) —
— с 1 г , у — окружность |г| = /? > |а|.
2 (I
•
V
1103. Найти интеграл ^ ^ —~аУ1г— Ь)
^— окружность |г | = /?,
Я > |а |, Я > 161, а ф Ь .
1104. Найти интеграл 1 р И 2г + 2 ’ V — окружность, внутри коV
торой содержатся полюсы знаменателя
1105. Найти интеграл | ^
;
"
-у--
л#=
- щ й г , 7 — окружность | г | = 2.
V
%
,*
1106. Вычислить определенный интеграл
+ 00
р
— со
(х 2 + 1 )з *
ГЛАВА
VIII
ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ ФУНКЦИЙ
1.
Основные определения. Пусть функция ! (I) обладает следующими свой­
ствами:
1<>. Г(/)= = 0 при / < 0.
2°. | } Щ I < Ме*°г ПРИ 1 > °> где М > 0 и 50 — некоторые действительные
постоянные.
,,
»
гм .
3°. На любом конечном отрезке [а, Ь] положительной полуоси Ш функ­
ция / (0 удовлетворяет у с л о в и я м Д и р и х л е , т. е.: а) ограничена ;
б) либо непрерывна , либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода ,
в) имеет конечное число экстремумов.
Такие функции в операционном исчислении называются изображаемыми
по Лапласу , или оригиналами.
Пусть р = а +
комплексный параметр, причем Ке/? — сс^ 5 1 > 50.
При сформулированных условиях интеграл ^ е~Рх\ (() <И сходится и яво
ляется функцией от р:
00
е~рЦ (0 Л = /(р ).
о
Этот интеграл называется интегралом Лапласа , а определяемая им функция
комплексного аргумента р называется преобразованием Лапласа от функции / (г),
или лапласовым изображением (О» или просто изображением /( /) .
Тот факт, что функция / (р) является изображением оригинала /(/),
обозначают следующими символами:
7(р) = I {/ (/)}, или Т ( Р ) Ч ^ / (ОУславливаются за значение оригинала / (/) во всякой его точке разрыва
I рода /0 принимать полусумму его предельных значений слева и справа от
этой точки:
| (*о) = (1/2) I ( * о - ° ) + / (*о + °)1 при 1 1 1
/ ( ) = / (+0) при /о= О0
При соблюдении этого условия соответствие между оригиналами и изображениями обладает следующими свойствами:
это соответствие взаимно однозначно (т. е. всякому оригиналу соответ­
ствует единственное изображение и обратно),
любой линейной комбинации конечного мнооюества оригиналов в качестве
изображения отвечает соответствующая линейная комбинация их изображении.
Таким образом, если
(р)
Щ;1О (*=*» 2* •••»
то
2*
с*Ть(р) -г*2 сл (о•
А=1
*=1
2.
Нахождение изображений функций. В таблице и в каждом из приве­
денных ниже примеров указывается только значение / (/) при ( > V (всегда
имеется в виду, что / (/) = 0, если I < 0).
305
Таблица
/ (/) при / > 0
№
III
IV
элементарных
VI
П р)
р —а
Й®•СОЗ Р/
(р _ а )2+ р2
0®**81П р/
Р
Р
1
VII
п\
Р
а*
1
р—а
VIII
Р
IX
т в Р^
X
^•з1п Р^
СОЗ р /
Р
81л р I
функций
/ (/) при / > 0
№
1
Р
II
основных
1 (Р)
1
I
V
изображений
( Р — а ) 2 + Р2
1
(р —а ) л + *
1п
я!
(/>2+ Э2)
2рР
( Р ^ Р 2)
1107. Найти изображение функции / ( / ) = а*.
Д Так как а = е,п а , то / ( / ) = е*1па. Применив формулу ИГ, получаем
Г(Р)
▲
р — 1п а ’
1108. Найти изображение функции / ( / ) = соз3 /.
Д Воспользуемся формулой Эйлера соз / = (е*' -]-е~*')/2. Тогда
2
I (Я и ^ е- т
■■• ■■■■■■■■■
4
2
)
(е8** ф З е * * З е е “ V )
8
I з ви 4_в - и
1
+ 4
Применив формулу IV, получаем
1
Р
з
Р
П р)
4
Р2 +
3
Р ( Р 2+ 7 )
(р2+ 1 ) ( / ? 2 + 9)
9 » 4 В
Д По определению гиперболического синуса имеем
(1/2) Г ^ . Следовательно,
1
Ь
/(Р)
А
ЩрЩЩ Ш Ш Ш
Р2- ь *
▲
^ ( / ) = ( 1 / 2}
1110. Найти изображение функции / ( / ) = $Ьа / з т Ы
Д Так как зЬа? = (еа*—е” в*)/2, то
Ш
2
е°* зш Ы
2
—ИХ зш Ыш
Применим формулу VII:
Ь
2раЬ
В ч _1
|
1
А
ЙЯ
2 ( Р - « ) 2 + *а
2 '( р + Ъ ) » + 6 » “ [0 » -в )'я + И [(Р + о )2 + * , ] '
1111. Найти изображение функции / ( / ) = 2сЬ Ы.
306
Л Так как
/(0= ^ - ^ ^ = 4 ^ + 1
\
1е~ ы '
то, применив формулу VIII при п = 1, а = ± Ь, получаем
^
1
1
1
Й2Ф И
а
^
1 (Р —
+ 2 о и - 6 ) 2 — (р 2—^ ) 2 ' *
Найти изображения функций:
1112. / ( / ) = 5ш Ч. 1113. / ( 0 = ^ с о з Ч .
1115. / ( 0 = $Ь«*со5&г.
1117. / ( 0 = с Н о / с о з ^ .
1114. / ( / ) = с Ш .
1116. /( * ) = сНа*
1118.
=
§ 2. ОТЫСКАНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ
При отыскании оригинала по изображению в простейших случаях исполь­
зуют таблицу изображений основных элементарных функций и теоремы разло­
жения (первую и вторую).
В т о р а я т е о р е м а р а з л о ж е н и я позволяет наити оригинал для
изображения, являющегося дробно-рациональной функцией от р, т. е.
У(р) = и {р)/V (р), где и (р) и и(р) — многочлены от р соответственно степени т
и п, причем т < п.
___
Если разложение V (р) на простейшие множители имеет вид
V (р) = { р — р!)кЧ(р— р2)*2 ••• (Р — Рг)кг
• • ' + к Г= п ) ,
то, как известно, функцию Г(Р) можно разложить на сумму элементарных
дробей в и д а------- . где 1 принимает все значения от 1 до л а 5
{Р -Р /П - I
л
все значения от 1 до к^. Таким образом,
(
/г:Г5«Л/
V V
'
/(Р )= >
>
/= 1 5= 1
-
---------- г—
Т-.
т
1
(Р— Р;) 7
Все коэффициенты этого разложения можно определить по формуле
(2>
Вместо этой формулы для определения коэффициентов АЛ , могут быть
использованы элементарные приемы, применяемые в интегральном исчислении
при интегрировании рациональных дробей. В частности, это целесообразно
делать в тех случаях, когда все комплексные корни знаменателя V (р) простые
и попарно сопряженные.
Если все корни V (р) прост ые, т. е.
V (р) = ( р — рх) | в — р г) • • • ( Р — Рп)
( Р / Ф- Рк ПР И | р к )>
то разложение упрощается:
—
"ЧТ*
А /
м
и (Р/)
/дч
При отыскании тем или иным способом разложения Г(Р) на простейшие дроби
оригинал / (() находится по следующим формулам:
307
а) в случае кратных корней знаменателя V{р):
(4>
(Ау— 8)1
43
/* 1‘ я* 1
б) в случае простых корней знаменателя V (р):
Ц
в
“ (0/)
(5)
Если изображение искомой функции может быть разложено в степенной
ряд по степеням 1/р, т. е,
77 ч #о I <4 *
1
I
/ й | Ь р + • ■Г Щ Ш 1 ■ •
(причем этот ряд сходится к / (р) при \ р \ > К , где Я. =^Шп^| ап + Ш „ | Ф оо),
то оригинал | (0 находится по формуле
I
I2
/ ( 0 = ° о + а1 * 7 ] '+
1п
• - 2 |- + * - - + а« * - ^ - + —
причем этот ряд сходится для всех значений * ( п е р в а я
ж е н и я).
т е о р е м а р а 8 л о*
1119. Найти оригинал функции 7 (р) = рг —2Р+ 5'
д Используем элементарные приемы для разложения этой дроби на сумму
таких дробей, оригиналы которых известны.
Р— 1+ 1 _____ Р
р
Р2— 2р + 5
( р — 1)2 + 4
1
|______*
(р — 1)2 + 4 ~ ( р — 1)а+ 4 *
По формулам VI и VII таблицы имеем
Vр - ф + 4
с° 8 Щ
+
( ^ Т р + 4 = 4 - * ( р - 1)2+ 4 + ~2 е'* 8Ш
Поэтому
1120. Найти оригинал функции ! ( р ) —~з^гд*
Д И в этом примере используем элементарные приемы разложения, из­
вестные из интегрального исчисления. Разложим данную дробь на простейшие
дроби:
1
А
.
Вр-\-С
Щ Ш р Р = 2 р § + 2р+ 4 •
Д ля определения коэффициентов имеем тождество
1 = А (р2+ 2 р + 4 ) + ( В р + С ) ( / > - 2 ) .
Полагая р = 2, находим 1 = 12Л ; А = 1/12. Приравнивая коэффициент при р*
нулю и свободный член— единице, получим А-\-В = 0, 4Л — 2 С = 1 . Отсюда
В = — А = — 1/12; С = 2 Л — 1 / 2 = — 1/3. Следовательно,
308
1
1
1
1
р+ 4
1
1
1
рз — 8
12
р —2
12
р2 + 2 р + 4
12
р—2
12
Й
Й
Й
1
а
1)* + (У~ 3)
Таким образом,
V/
1
1
\1 р) - 1 2 '
О т с ю д а ,'
_
р
1
12* ^
- 2
V з
р+1
1 )!Ш !Й
V з
12 *(Р + 1)2 + (>/Г3)2 ‘
используя формулы III, VI, VII таблицы изображений, находим
/ ( о = 4 « « - ^ « - * { а » < / з + ^ з . 8т < у г з}. 4
функции /(/?)
д Разложение / (р) на простейшие дроби имеет вид
__ ч
^1,1
I (Р) % Ш
,
Д|,2
? ! Й |-
^1,3
Щ Я Р-
.
^2,1
^2,2
1 + ( р + 2 ) 2+ р + 2 '
коэффици
1
9 ;
Р
^ 4 ^
^
^
2)*
1 { (р _ 1 )3 ' ^ (р)}=р11т 1 *р { ( Р +
и
у
В
А , 8= ^
1
\ -
2р
р
1 •
( Я Г^ “ (Р + 2)3/ _ 27*
1
■ ^ { (/7_1)3' / ( / , ) } = Т р1,? 1
г
2
1 ■ 1
4
,
2 р“ 1 \ ^ ( р Т ^ 5
1
[(^ н н 2 р
к _
1 .
(Р + 2)3/ =:,
27’
ЛМ = -щ -^Н га 2 [ ( р + 2 ) 2-7 (р )]= р « т |
^ * = т г д т_ 21 и
2)2-7ш и ш 1 21 Ш й н
Г
Д ^ г
Таким образом,
Т/ ч
1 /
1 (Р) —
2
7
^
3
^(р — I
1
-
Зр
1
)
1 _1
0»-1)4
8
1________1___,
) 3
I
(р — I
)
2
Р— 1
27*
2
(Р +
.___ 1_\
2
)
Р + 2) *
2
Отсюда, используя формулы III и VIII, находим
; (/)==^ {
4
+ их~ е* + ? е~м + е ~2'}
2)~(7 ~ ) •
1122. Найти оригинал функции ! ( р ) = р( р _
д Поскольку в данном случае все корни знаменателя действительные и
простые, лучше всего воспользоваться формулой (5). Имеем
и (р) = р + 1, V (р) = р (р— 1) (Р— 2) (Р—3) = Р — р + 11р*— р;
V' (Р)=4р3— 18р2+ 22р—6.
4
6
3
6
Находим корни V ( р ) : р 1 = 0 , р%== 1, р3 = 2, р4 = 3. Далее, получим
и (Рх)
1
1 .
и(Рг) Ш 2
.
---------
(Рз)
—2
2 ’ V' (р4)
6
.
М
3
Отсюда по формуле (5) находим
1123. Найти оригинал
1(р)=
р ^
> используя первую те­
орему разложения.
Д Имеем
Т(пЛ
/ \Р)
1
ИП I 28Ж
1
«К '
р
5
1
1
1
1_____ I__ ,
«А
«Я I
*
1
■
Этот ряд сходится при | р | > 1. Отсюда находим
/4
Ц
/12
, ( 0 = 4Г“ МГ+ 1 2 Г
1124. Найти НО-
если
/1*6
! б Г " ^ ‘ *' ‘ ^
7
.
Разложить / (р) на простейшие дроби.
Найти оригиналы по даикым изображениям:
"25.
Ш 6 -
1127. / (Я) = ^(р*_ 5р»+
1128. С помощью первой теоремы разложения найти оригинал
для функции } ( р ) — \[{рк + а к)г где к — целое положительное число.
§ 3. СВРРТКА ФУНКЦИЙ, и з о б р а ж е н и е
И ИНТЕГРАЛА ОТ ОРИГИНАЛА
Сверткой двух функций
п ро и зво дн ы х
Щ иг / 2 (0 называется функция
I
|( 1 I
I /1 (* — т )-/а ('Г) И
О
Интеграл, определяющий свертку, не меняет своего значения от переста­
новки функций /х и / 2» поэтому свертка двух функций симметрична относи­
тельно свертываемых функций.
Изображение свертки двух оригиналов равно произведению их изображений
(теорема
свертывания
оригиналов):
если
ЩЁЙ ~Т й (9*
/г (Р) -Т /г (0 . ™
М / ~ т ) . / 2 (т)
0
310
М /> И гв»).
Пусть оригинал /-(/) дифференцируем п раз и его производные до я-го
порядка в свою очередь являются оригиналами^. Тогда справедлива т е о р е м а
д и ф ф е о е н ц и р о в а н и я оригинала: если / (р) / (О (А= 1, 2, . . . , /г), то
щ ± рЛ-ТО®) — {РЛ" 1 -/ (°) + Р*“ Ч ' ( 0 ) + . . . + / * " 1 (0)}.
В частности,
/' ( 0 1 Р-7(р)— 1 (°>. Г (0 # Ш ( р ) - р - / ( ° ) - Г (°)Для всех оригиналов справедлива т е о р е м а
если / (р) -г / (0> то
1
интегрирования:
,
^
7 (р) р
.
о
Отсюда видно, что изображения производной и интеграла получаются из
изображения функции } (/) с помощью выполнения над / (р) алгебраических
операций. Следует также отметить (см. таблицу изображений), что изображе­
ния значительной части функций, используемых на практике (еа /, соз РI, зш р/
и т. д.), являются алгебраическими функциями от р.
Это дает возможность многие операции математического анализа (решение
дифференциальных и интегральных уравнений и т. п.) свести к выполнению
алгебраических действий над изображениями искомых функций.
1129. Пользуясь теоремой свертывания, наити оригинал функции 7 (р) = р | | .
Д Запишем Т(р) в виде р | | | • ^ г ^ Г \ * В
того что
1 В 1
1 4* §хп /, по теореме свертывания имеем
Р2+ 1
I
р
-V ^ сЬ (*— т) зш т йх
о
1 [ з Ь ( / — т) в ш т + сЬ (/ — т) соз т] д—4 (СЙ/— С05^ - А
тш
1150. Найта изображение / ( * ) — Щ (О - ШОО» 60,7111 # (°)
I/' (0) = 0 и у{р)-?у(*)д По теореме дифференцирования оригинала имеем
у' (о+ - р у ( р ) — у (°)1 Й 1 1 В
Отсюда находим
(сумме функций в качестве изображения соответствует сумма их изображений). А
I
1 131. Найти изображение у' (0 + УУ) + $ У (т) ^ * 601,111 У (0) щ |
о
и У(р)-тУ(0311
Д По теоремам дифференцирования и интегрирования оригинала имеем
/
_
_
!? (I) +Г Р-У(Р) — У ( 0 ) = Р - У ( Р ) — I
0
Отсюда находим
/
у'
I
—
(0+у (0 + 11Ц Я 1 Я(р)—1Ш1 (
р
II
)
I
о
•I(р) в | А
> -
!д
1132. Найти свертку функций I и соз I и ее изображение.
1133. Пользуясь теоремой свертывания, найти оригинал для
^ М = (р* + 0*-
'
I
1134. Найти изображение Р ( 1 ) = у { Щ — 2у ’ (I), если у ( 0 ) = 0,
У ( 0 *- У(Р)-
1135. Найти изображение Р (I) Ц у " ' (I) — у" (1)-\-2у' (/) — 2 у{1),
если у (0) = 0 , у' (0) = 1, у" {0) = 2 , у { 0 ± у ( р ) .
I
1136. Найти изображение Р(1) = у ' ( I )
=0.
у
(0 ±
у (т) йх, если у (0)
у ( р )-
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ Х
И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Если дано линейное дифференциальное уравнение я-го порядка с постоянными коэффициентами
&п) + ЭД#*-1) + - •. + а пу = / (/),
правая часть которого / (/) является оригиналом, то и решение этого уравне­
ния, удовлетворяющее произвольным начальным условиям вида у (0 ) = у 0,
У* (0) = Уо*
(0) = ^ " ^ (т. е. решение задачи Коши, поставленной
для этого уравнения, с начальными условиями при / = 0), служит оригиналом.
Обозначая изображение этого решения через у ( р ) , находим изображение левой
части исходного дифференциального уравнения и, приравнивая его изображе­
нию функции / (/), приходим к так называемому изображающему уравнению ,
которое всегда является линейным алгебраическим уравнением относительно ]/(р).
Определив из этого уравнения ~у(р), находим оригинал у(1).
Тот же метод перехода к изображающему уравнению позволяет легко
наити решение интегральных уравнений вида
в которых функции К (0 и / (*) являются оригиналами, поскольку входящий
в эти уравнения интеграл является сверткой функций у (I) и К (/).
Эти интегральные уравнения являются частным случаем интегральных
у равнений Вольте рра первого и второго рода, общи и вид которых получается
если заменить функцию К ( ( — т) (ее называют ядром интегрального уравнения)
некоторой функцией двух аргументов К Ш т).
312
1137.
Решить дифференциальное уравнение у"— 2у'— 3у — е
если у (0) = 0, у ’ (0) = 0.
д Переходим к изображениям:
Р*У-Р-У(Р)—У' (0) — 2 (РУ— У (°))—
р^ -2ру-3~ у= — 3 ; у = —
•
щ р-щ ь.
Разложим эту рациолйдьную дробь на простейшие дроби:
1
А
,
В
, С
»~Г
Г
—
г
т
0 » + 1 ) ( Р — 3)а (Р— 3)а р — 3
р + '|
1 ** А ( р + 1)"Ь^ (Р — 3) (р -Ь Й И р ! (р 3)®.
Полагая р = — 1, получаем 1 = 16С, т. е. С = 1/16; при р = 3имеем 1 = 4 А,
т . е. А = 1/4. Сравнивая коэффициенты при р2, получим 0 = В + С, т. е. В =
а=— С = 1/16. Следовательно,
1
У— 4
ТТ7.
5\5Г
(р— 3)а
1
1А/п_
16 (р—>3)1
I
16(р+1)
откуда
____ !_/ез*___!_ез* _1_ — е~1. ▲
у~ 4
16
* 16
А
1138. Решить
уравнение
у”+ у' — 2 у=е~*, если у ( 0) = 0,
и'(0) = 1.
Д Переходим к изображениям:
1
[Р2У— Р'У № — щ Ф)]~ЫРшУ~~У (°)1
После несложных преобразований получим
_
Р+2
У~ > + 1 ) ( Р 2+ Р - 2 )
| •
\
Р2 - 1 '
г
1139. Решить интегральное уравнение у = \ у с И - \ - 1.
д Строим изображающее уравнение:
+ 7 * У<Р- ,):=
Следовательно,
^=Т *
Д
1140. Решить интегральное уравнение
г
$ у (т )зт (* -т М т = 1 -с о 5 * .
Д Левая часть уравнения является сверткой функций у (I) и 510 I. Пере­
ходя к изображениям, получаем
__ | ____ Р =
^
* р2 + 1
Р Р2 + * (Р2+ 1 ) Р
(р) == 1/р и у
I* А
1
Следовательно,
М И йИ гГ Ш 1 Ш 8 1
II
’ 313
1141. Решить интегральное уравнение
5 1/(т) е‘
~ х
Ат= у (1)— ё .
о
Д Левая часть уравнения является сверткой функций у (/) и ё*. Перехо­
дим к изображениям:
~у (р ) • рI —
Ш *И 'Г
Й' — рI —
~ т1 — И(р)
— 1П
— г « » ( р ) • р~ —
р —1 \
Следовательно, у ( р ) — И (р — 2), т. е. у ( 1 ) = е 21. Д
1142. Решить систему уравнений
Щ
й(
х+2у,
^ -= 2х+ у+ 1,
если л: (0) = 0, 1/ ( 0 ) = 5.
Д Перейдя к изображениям, имеем
I Р-х(р) = х{р)+2~у (р),
Р’У (р) — 5 = 2* ( / 0 + 7 ( / > ) + у Решив эту систему относительно х н у , получаем
I
хЖ =
■
10/7+2
-
, ,7~„— 5Г,
у(р)
Р{Р+1)(Р — 3 ) ’
Д ля определения х воспользуемся
лой (5) § 2:
I
| Р
5р 2 — 4р — X
н
Ж
Р(Р~\~ I) (Р — 3) |
I
Бторой теоремой разложения и форму­
&
„;
* - <г
и ( р ) = \ 0р- \ - 2, V { р ) = р 3— 2 р 2— 3р, V' (/?) = 3/?2— 4 р — 3,
рх*=0, р%= — 1 , Рщ — 3;
Ш §
. ц(°)
V’ (рх)
о ' (0)
I
ц (р 2) I « ( — 1)
3 ’
V ' ( р 2)
2
Таким образом, х = — -— 2 е ~*
“
I
V' (— I)
8
-5- г3*.
# й |)
|
Аналогично
и (3)
~~ о'(3)
находим
8
— 3 ’
1
и — (-
8
Решить дифференциальные уравнения:
1143.
1144.
1145.
1146.
1147.
314
у' — 2 у ~ 0; г /(0 )= 1.
у
у = е?\ у (0) = 0.
/ — 9г/ = 0; г/ (0) = ^/' (0) = 0.
|г"+ у ' — 2 у = еи, у ( 0 ) = — 1, у ' (0) = 0.
у'"
6у"-\-\\у'
в у — 0; у ( 0) = 0, * /'(0 )= 1 , / ( 0 ) = 0
Решить системы уравнении:
И 4 8 . ^ . = 2у,
Ц - = 2 * ; х ( 0) « 2 , » ( 0) - 2 .
Ц 49 . ^ - = Зх + 41/, ^ - = 4 х — 3 у\ х(0) = у ( 0 ) = 1 .
Решить интегральные уравнения:
1150. Ы ® Я
о
ху<1х = ^ 1 * .
{
1151. ^ * /(т )со з(/ — т ) Л т = 1 — соз
Н ин
о
Н с Я К ' ■1
] 5. ОБЩАЯ ФОРМУЛА ОБРАЩЕНИЯ
Пусть функция / (/ ) обладает следующими свойствами:
1°. / ( 0 = ° при I < 0.
2° |/(* ) | < Ме5о/ при I > 0, где М > 0 и 50— некоторые действительные
постоянные.
удовлетворяет
3°. На любом конечном отрезке
условиям Дирихле.
00
(Р) = § е~Р*[ (О Л , яво
ляется аналитической в полуплоскости К е р ^ $ 1 > 5в.
д.
ч
При этом справедлива формула обращения (формула Римана — Меллина)
а + &>
а+*ао
Т огда
9Д
функция
/(/7 ),
. Вт
определяемая равенством
/
? еР*7{р)<1р, или / ( 0 = 2^- V
00а - 1ю
вы ­
(р) Ф»
дающая выражение оригинала /(0 через изображение Г(р). причем а — произ­
вольное число, удовлетворяющее неравенству а > х0Если |Т(А>) I < с / ? _ * гДе Р = ^ е ~ я < 9 < я - * > *о. #о. С и к > 0
0+*®
постоянные, то интеграл $ еГ*7 (р) 0р в формуле обращения может быть
0-1®
заменен на интеграл $ е / * Г Ц Щ где 7 -о к р у ж н о с т ь с центром в начале
у
#_
координат, которая содержит внутри все полюсы функции Р (р) = еР*{ (р).
Следовательно, / (0 =
^
(Р) &Р*
у
Применив основную теорему о вычетах, получаем
\ (() = г —| 2Ш (Г14“ Га + • • • + Гт),
где г%$ та, • • •» Г/я
вычеты функции
Р
(р)
относительно
полюсов.
Итак,
т
1(1)=. 2 г/• Эта формула для дробно-рационального из»
ной записи есть не что иное, как формулы (4) и (5) § 2.
315
1152. Найти оригинал по изображению / (р) =
•
фр1
А Находим вычет функции Р (р) = —— — :
(Р — 1)
1 ..
Пт
а2
щ И § еЙИВИ '■■-'” =
< р-о !^
4
1
Следовательно, / ( / ) = — . ^
1153. Найти оригинал по изображению
П р)
р
(Р Н~ I) (Р ~г 2) (Р + Щ (р
I■
■
(Р+ 1)(/> + 2 )(/> + 3 )(р + 4) *
4)
Д Имеем
Й=
г3=
Ш
р - > —1
(Р + 1)-^(Р) = — Ш Э
гг = Нш (р -} -2 )-^ (р )= г е -«
р -+ 2
О
В т ( р + 3 ) .^ 0 о ) = — — е - « ,
” 3
^
Следовательно, / ( /) = —
г4У
Пт ( р + 4 ) . / 1(/>) = 4
р -* - 4
+
О
д
Найти оригиналы по данным изображениям:
И 54. Т(р) = ± = ^ Р 1 .
Р*— Р
1155. /(/?)
1
р 4— 6р3+ 11/?2— бр в
П 56. У ( й - ^ _ > ^ + , ) •
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К РЕШЕНИЮ
НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Рассмотрим решения некоторых уравнений математической физики— волно­
вого уравнения и уравнения теплопроводности. Наиболее эффективными пои
этом являются методы операционного исчисления, основанные на идее исполь­
зования преобразования Лапласа. Ограничимся случаем, когда искомая функ­
ция и зависит от двух независимых переменных х и (, где х __поостоанственная координата, *— время. Нестационарность рассматриваемой задачи
выражается в том, что ищется решение, которое существенно зависит от
начальных условий, и потому имеет место неустановившийся (или пёпехолной*
режим физического процесса.
^
Допустим, что дифференциальное уравнение в частных производных имеет
4 _ в Ш к С и I А д Ч Л-Й ди
дх2 ? Р дх + С к + Щ 1 / 5 - + В1 ~дГ
АШ
п
’
0)
пД5 - . \- В/ / 6 ’ Я
непрерывные функции от ж, заданные в промежутке
(можно считать, что А > 0).
Рассмотрим два основных случая: 1) А х < 0, что соответствует гипеоболическому типу уравнения; 2) Л1 = 0, В , < 0, что соответствАт ^ р а б о л и ч ^ 316
с кому типу. При этих условиях поставленную нестационарную задачу можно
сформулировать так: требуется найти решение и (х, I) уравнения (1) для
и / ^ 0 , удовлетворяющее начальным условиям и (я, О 11=о = Ф (■*)»
1 --\Ъ(х) (причем второе условие задается в случае
& *_о V, : '
•
*
■
у с л о в и я м и (дг, /) | * =0 = / (0*
+ Р
а
ди
< 0) и граничным
=уи(х,
хЫ
§§ | -Щй
где
у — постоянные. Заметим, что при / —* оо второе граничное условие
отпадает.
ди
Щш
,
Предполагается также, что и (х, /),
* являющиеся функциями
от
могут служить оригиналами и что изображения искомой функции и ее
производных имеют вид
00
со
и [х, Р) = ^ е~р* и Щ # Щ
о
^
о
00
О
О
О
т
&
_
Здесь р рассматривается только как параметр. Изображениями же
служат
И I шВ Я1
д2а
и -г^
^ - ч - р 2й - р и ( д с , о ) - ^ ^ ^ - ,
или, с учетом начальных условии,
— . ^ р й — ф (х),
Р Ф (* )~
граничные условия и | х= о = / (Р)>
" 3 7 + Р (Ри — Ф (*) | х _ { = Уи I *=*'
Таким образом, решение уравнения (1) сводится к решению операторного
уравнения
Л ^ + в - ^ - + М « + Л Г = 0,
йх*
(2)
йх
где М = С — А\р*-\-В\р, Ы== — Лгрф — А - $ — ®1ф (Р— параметр), являющегося
обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка.
Найдя изображение искомой функции и (х, 1), с помощью таблицы или
формулы обращения Римана—Меллина можно определить оригинал.
1157. Концы струны х = 0 и х = 1 закреплены жестко. На­
чальное отклонение задано равенством и (х, 0) = А зш (пх/1),
0 < . х ^ 1 ' начальная скорость равна нулю. Найти отклонение
и (дг, Щ при / > 0 .
<Э*и
Д Дифференц
1
д*и
п
Щ шА - д * — & • "ей*"
Начальные условия и (0, I) — А з1п —р -, ---- ^ ——= 0 ;
граничные
условия
и (0, /) = и (/, /) = 0. Запишем соответствующее операторное уравнение
ра —
,
1 . я*
_ _ ------------И
—
• и = — р А • —аг з!п—
3111 1 •
йх2
а*
#
*
(рй
граничные условия и
I х=*/
0.
317
Общее решение однородного уравнения имеет вид
и = СШ( Р / а )
х
(р/а)
х
-4- С 2е
а частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде
т. е.
а2
рА
о"
а2
у
О
V
1
А
лх
51X1 ” 7
л _ллг . ~ . лх
С>1 СОЗ —у---- р С з'& Ш “
/
/ ’
71 31Г1 ядг
I
я
я
яж
; — С 2 *—г- СОЗ
Сг /
/
I
I
лх
Сг
С»- Л зш
/2
I
/2
7
,
Со
/
я2
Р2
а
лх
51П
2 + / 2
Р
а
С1
/
л2
Ж
Я
Я
* Таким образом, общее решение операторИ/7
2 | а2л 2/ / 2
Р
Учитывая граничные условия, получим и (х, р)щ
налом для такого изображения служит функция
I
и\
л
Л 0,1
/?2
лх
и (х, 0 = А соз - р - З1п —г -.
/
I
1158. Найти решение уравнения
и
171
рА
Отсюда Сх = 0, С2 = р
ного уравнения есть
начальным
соз
граничным
ди
&
условиям:
О < л: < оо , * > 0.
ЗШ
I
ЛХ
/ в
ЗШ
лх
ОригиI •
А
т
3®и
СР -=^т,
удовлетворяющее
и §§ 0) = 0;
и (О, I) и о»
Д Запишем операторное уравнение
йги (х, р)
с1х2
р
2
-и
Й,
Р)
=
О
а
Общее решение этого уравнения есть
и (х, р ) т С 1е ~ х У? I*
«
Щт
у р !а .
11ВI
г , г„“ «у
“ <
*
«
"“
Используя граничное условие и (х, р ) \ х=0 = и0/р, находим
постоянную С 1 = и9/р. Тогда и = (ио/р) Щ щ | . Пользуясь
I —а К р
—е
ЕгГ
, находим оригинал для функции и
Р
I
*р
Решение данного уравнения имеет вид
и (х, Ц т щ * Ш
2а У Т Г
318
Щ
"«*■
произвольную
соотношением
(х, р).
где, как известно,
оо
I
Е г!/ = - ^ = '- Г е ~ т‘ с ! т=1 ----- Г е ~ т* й х = 1—егГ I.
У п
д
У лЗ
Следовательно,
х/ЬаУ"Г)
и(х, 0 = а 0. Е г ! ( ^ = ) = И а ^ - ^ »
Л тт 0
|
< г |* } Ж
.__
д2и
2 ди
1159. Наити решение уравнения теплопроводности тдо—<* ""эт
удовлетворяющее начальным и граничным условиям: и(х, 0 )
= А з ш (плх/1), 0 ^ х ^ 1 ; и ( 0, Щ— тф, 2 )= 0 .
д Операторное уравнение, соответствующее данному уравнению в частных
производных, имеет вид
ЛГ
« —
ол . пт
—г-5— о г р - ц = — а М &ш— т
—у
ах*
I
а его общее решение
—
-пУТГ х . ~ аУ~п х .
А
, пях
и (х, р) = С1в
+ С ае
+ р _|_ (п2л 2)/{аЧ2) 51п | *
Учитывая граничные условия и [ Л=0 = “ I х=* = ®> получим
—
Л
пядг
|
р )“ р + ( п япг)/(а*/а)‘
I '
Оригинал этого решения есть и(х, 1) = Ае »
1160. Найти решение уравнения
Зм
з1п - у - 1
= а
д2и
Д.
*удовлетворяющее
начальному условию и(х, 0 ) = 0 ( х > 0) и граничным условиям
и (0, /) = 0, и(Н, Г)= и а.
Д Запишем операторное уравнение
Лг
А2
л
р
а
—
п
. и =0,
которое надо решить п*ш условиях а (0, /) = 0, м (,1» 0 —“о/Р- Общее решение
нетга
«V
аГ
ф
Г?
^
й ( х , р) — А сЬ У р / а х + В зЬ У р / а х -
(*)
Используя граничные условия, найдем постоянные Л и В. Имеем
А = 0,
— - ВI)- зЬ У р / й ’Н, т. е. В —-------- --------р
р-зп у р/а /г
—
=
* он
Г
М ' и
19
V»
---------
-----------—
Подставляя значения Л и В в равенство (*), получим и
-
% зЬ У р Т а х
^
Согласно формуле обращения Римаиа — Меллина, имеем
На
« (* . 0 - 2 л ,
[ сГ* * У
3 с з11 у р , а н ' Р
0 - 1 00
(**)
319
Для вычисления интеграла найдем вычеты подынтегральной функции. Прирав­
нивая знаменатель нулю и учитывая, что корни гиперболического синуса
являются чисто мнимыми и равными 1кл$ находим
$Ь У р /а к — О, У р к/а к = $кп9 ръ
Все к полюсов— простые, отличные от нуля;
Коши о вычетах, получаем
и (х9 0 = ^
к2л 2а/к2
(к € 14).
поэтому,
применяя теорему
тш
гез Р (р) еРг%где Р (р)
_ йЬ У р /а х
р>М (р)
р . $11
у р /а к
(Рк)
причем степень М (р) не превосходит степени N (р). Тогда
00
М (р)
М (0)
М (рь)
р ь1
Е р к -Ы' (рк)
рМ Ш
(0) +' Ш
к= 1
М (0)
где
N(0)
И гл ± Ь. Г
М Срь )
РЬ**' (Рк)
Р 'а х
2/ $Ь Нкжх/к)
к л сЬ икп)
о зЬ у р / а ь
к
перболические функции через круговые, получим
2 зш (клх/к)
2 зш (клх/к)
(
О*
лк соз (кл)
л
к
Выразив ги
Таким образом, равенство (**) примет вид
00
и (х, О Ы и0
X
к
.\^к.е —окгпг 1[Ь.г тз!п (клх/к)
п к= 1
▲
к
1
дЧ
дЧ
1161. Найти решение волнового уравнения 3^2=32
•
571
»
удова
летворяющее начальным условиям и ( х , 0) = А соз ЙШ,
О
х
ди (О, А
1
I и граничным условиям —
ди (/, V)
1 = О,
л
— Ц —- — 0 .
1162. Найти решение волнового уравнения
д2и _ 1 д2и
*
*
д/2»
дх2 а 2
летворяющее начальным условиям И р 0 ) = 0 , —
удов-
зш
плх
О ^ ^ / и граничным условиям «(О, /) = ы(/, /) = 0 .
-40 Ж
фЯйЯ
1163. Найти решение уравнения теплопроводности ^ = а 2 и
Ы•
удовлетворяющее
Нш и \ х , I) = 0.
условиям
и (*,
0) = 0 ,
х
0;
ы(0,
1) — А,
ГЛАВА
IX
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
§ 1. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Задача о нахождении приближенных значений действительных корней
уравнения /(х) = 0 предусматривает предварительное отделение корня , т. е.
установление промежутка, в котором других корней данного уравнения нет.
Будем предполагать, что функция / (я) в промежутке [а, | | непрерывна вместе
со своими производными / ' (х) и г (х), значения / (а) и / (Ь) функции на кон­
цах промежутка имеют разные знаки, т. е.
< 0, и обе производные
/ ' (х) и Г (х) сохраняют знак во всем промежутке [а, Ь).
Так как действительными корнями уравнения /(х) = 0 являются абсциссы
точек пересечения кривой у = ? ( х ) с осью Ох , то отделение корня можно про­
извести графически. Вместо уравнения (/ = / (х) можно взять уравнение у — (х),
где к —постоянная величина, отличная от нуля, так как уравнения /(х ) = 0
и к} (х) = 0 равносильны.
Постоянную величину к можно взять так, чтобы ординаты точек графика
не были чрезмерно большими или, наоборот, чтобы график не был слишком
близок к оси Ох. Иногда бывает полезно уравнение /(х) = 0 записать в виде
ф (х) = ф (х). Действительными корнями исходного уравнения служат абсциссы
точек пересечения графиков функций у = ф (х) и у = \ |?(х).
1.
Метод хорд. Пусть требуется вычислить действительный корень урав­
нения /'(х ) = 0, изолированный на отрезке [ а , Ь). Рассмотрим график функции
у = }(х). Пусть / (а) < 0 и !(Ь) > 0. Точки графика Л [а \ / (а)] и В[Ь\ [ (Ь)]
соединим хордой. За приближенное значение искомого корня примем абсциссу
Х\ точки пересечения хорды А В с осью Ох.
Это приближенное значение находится по формуле
V
(Ъ— а ) ! ( а )
1
гт - / щ
где XI принадлежит интервалу ]а, Ь[. Пусть, например, /( х х) < 0 , тогда за
новый (более узкий) промежуток изоляции корня можно принять [* 1, Ь]. Сое­
динив точки А г [Х1 ; /(* ,)] и В [Ь\ /(6)], получим в точке пересечения хорды
с осью Ох второе приближение х2, которое вычислим по формуле
- 1
Ц Ь ) - Ц х 1) ’
и т. д. Последовательность чисел а, хь х2, . . . стремится к искомому корню
уравнения /(х ) = 0. Вычисление приближенных значений корней уравнения
следует вести до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки,
которые мы хотим сохранить в ответе (т. е. пока не будет достигнута задан­
ная степень точности).
Если х —точный корень уравнения /(х) = 0, изолированный на отрезке
[а, Ь]у а | —приближенное значение корня, найденное методом хорд, то оцен­
ка погрешности этого приближенного значения такова:
Г(х)
/(<*)•/(&)
< — ' - <!— • т а х
3
2
[я, ь] 1Г (*)1
2.
Метод касательных (метод Ньютона). Пусть действительный корень
уравнения / (х) = 0 изолирован на отрезке [а, Ь\. Будем предполагать, что все
ограничения, сформулированные выше относительно /(х ), сохраняют силу и в
этом случае. Возьмем на отрезке [а, Ь] такое число х0, при котором /( х 0)
11
Кг 1814
321
имеет тот же знак, что и П * о ), т. е. /(*,,)• П * о ) > 0 (в частности, за х0 мо­
жет быть принят тот из концов отрезка [а, Ь], в котором соблюдено это усло­
вие). Проведем в точке М 0 [*0; / (*о) 1 касательную к кривой у = Г (*)• За
приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой каса­
тельной с осью Ох. Это приближенное значение корня находится по формуле
. -V
Х
0
Г (*о)'
]
Применив этот прием вторично в ючке М \ [х\\ / (Х1)], найдем
Н х 1)
1
Г ( XI )
и т. д. Полученная таким образом последовательность х0, щ
имеет
своим пределом искомый корень.
Д ля оценки погрешности приближенного значения корня, найденного мето­
дом Ньютона, может быть использовано неравенство
Я< 1Ш
1
а
2
Г (х)
. шах
Ш ЬЛ [/' (х)}
3.
Комбинированный метод хорд и касательных. Пусть требуется найти
действительный корень уравнения /(х ) = 0, изолированный на отрезке [а, Ь].
Предполагается, что / (а) и / (Ь) имеют разные знаки, а каждая из производ­
ных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке
[а, Ь] такую точку х0, что / (х0) и /" (х„) (при х, принадлежащем промежутку
изоляции) имеют одинаковые знаки.
Воспользуемся формулами методов хорд и касательных:
Щ ш
! (*о) I
/ ' (*о) ’
„
(Ь -а)П а)
!(Ь )-[(а)‘
Величины х-ц и х12 принадлежат промежутку изоляции, причем / (хц ) и / (х12)
имеют разные знаки.
Построим новую пару приближений к корню:
I
.. .
21 “ 11
. 1 | у'Г В Ц * и Ш * и )
/ '( * и ) ’ *2г~ Хи
[ Ш - ! Ш •
/Ш
Точки х 21 и х 22 на числовой оси расположены между точками Хи и х 12, причем
/(%&). и / (х22) имеют разные знаки.
Вычислим теперь значения
/ ( * 2 1 > ............................
и .в 1Ж
хз1==х21~ г ш г
И Т. Д.
■
( Х2 2 — Й Й / (Й Й
Яря
|
Каждая из последовательностей
Х ц , Х21 , Х31 , • • • , Х п \ , • • • , Хх2 » Х22 » Х32» • • • * Х ^2» • • •
стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно
возрастает, а другая — монотонно убывает. Пусть, например, хп\ < х < х„2*
тогда 0 < х —х^_1 < хл2— х п\. Задав заранее достаточно малое е, мы можем,
увеличивая п } добиться выполнения неравенства хп2— х „1 < е; следовательно,
при этом же значении п будет выполняться неравенство х — хп1 < е. Таким
образом, х„х является приближенным значением корня х, вычисленным с по­
грешностью, не превышающей е.
Так, например, для нахождения приближенного значения х с точностью
до 0,001 нужно определить п таким образом, чтобы значения хпх и х„2» вы­
численные с точностью до 0,001, совпадали.
4.
Метод итераций.—®с)1и данное уравнение приведено к виду х = ф(х),
где |ф / ( х ) - |< г < 1 всюду на отрезке [а, &], на котором исходное уравнение
322
имеет единственный корень, то исходя из некоторого начального значения х0,
принадлежащего отрезку [а9 Ь]> можно построить такую последовательность:
\
Х\
—= Ср (^о)* ^ 2 = : ф М » • • • »
*П
** ф (*Я —1) •
Пределом этой последовательности является единственный корень уравнение
^до^-О на отрезке [а, Ъ\. Погрешность приближенного значения хп корня х,
найденного методом итераций, оценивается неравенством
п \ < Т ^ \ Х „ — х п-1\-
Для нахождения приближенного значения корня с погрешностью, не превы­
шающей 6, достаточно определить п так, чтобы выполнялось неравенство
•
| % — *л-11 ^
г—
^
*
5.
Метод проб. Интервал изоляции действительного корня всегда можно
уменьшить путем деления его, например, пополам, определяя, на границах
какой из частей первоначального интервала функция / (х) меняет знак. Затем
полученный интервал снова делят на две части и т. д. Такой процесс прово­
дится до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе деся­
тичные знаки.
1164. Методом хорд найти положительный корень уравнения
4 — 2 х — 4== 0 с точностью до 0,01.
Положительный корень заключен в промежутке ]1;
/ (1 )= —5 < 0, а / (1,7) = 0,952 > 0.
Найдем первое приближенное значение корня по формуле
Д
I а ,р а й ® ! 1
1
/ ( 1 , 7 ) - / (Ч
1
1,7[, так как
,588.
Так как / (1,588) = —0,817 < 0, то снова применим метод хорд к проме­
жутку 11,588; 1,7[:
Ц И 588 — ® ’7Т 1’58? ' 1 Ш
ха —
/(1 ,7 )—/(1,588)
— 1.639; / (1,639) = —0,051 < 0.
Найдем третье приближенное значение:
*
1 СЗЭ
х3— 1,м а
( 1 7 - 1 , 6 3 9 ) - } (1,639) __ , КА9 ^
| (| 7) — | (1,639)
,642) = —0,016 < 0.
Найдем четвертое приближенное значение:
1
1 С12
0 ’7 ~ 1>642) 111 ;в42)- — 1
/ (1,7)— /(1,642)
/ (1,643) = 0,004 > 0.
Следовательно, с точностью до 0,01 искомый корень равен 1,64. Д
1165. Решить предыдущий пример методом касательных.
Д Здесь / (х) — х* 2х 4, / ’ (х) = 4х?— 2, Г (х) =
.? Ж « а к Ш
при х0= 1,7 имеют один и тот же знак, а именно / (1,7) = 0,952 > УИВ,Г ( М ) >
то воспользуемся формулой Х1 =Х о— / (*о)// (*о)> г^е I (*>'/ '*■ >
= 17,652. Тогда
хг = 1,7 — 0,952/17,652= 1,646.
Применим снова метод касательных. Имеем ха = х1 —/ (*1) //'( * 1)> где
/ (Х1) = / (1,646) Й 0,048, / ' (1,646) = 15,838; значит,
хг = 1,646 —г 0,048/1 5 ,838 =» й ;643.
11*
323
Аналогичным образом находим / (1,643) = 0,004; / ' (1,643) = 15,740, т. е.
х3 = ха— / (х2) //' (х2) = 1,643 — 0,004/15,740= 1,6427.
Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64. А
{Як
1166. Используя комбинированный метод хорд и касательных,
найти приближенное значение корня уравнения х3 + х 2— 11 = 0 ,
изолированного в промежутке ] 1, 2 [, с точностью до 0 ,001 .
Имеем / (х) = х3+ х2— 11, / ' (х) = Зх2+ 2х, / (х) = 6х + 2. В указанном
промежутке
(х) > 0, поэтому за первое приближение в способе касательных
берем х0 = 2, так как /(2 ) = 1 > 0 ;
Д
* и = *о— р
*
д
^
=
2
(Ь -а )Н а )° ,
/(* )— Ж
- ^ =
1 ,9 3 7 5 и
(2 -1 ) (-9 )
1 — ( — 9) ~
1 ,9 4 ;
! +
9
1 0 — 1 .9 -
Искомый корень принадлежит промежутку 11,9: 1,94Г; имеем / (1 ,9 )= — 0,531:
/(1,94) = 0,065; / ' (1,94)= 15,172;
х . _ 1 у*
21
’
° ’065
Л 5 .1 7 2
1 936*
* *“
- 1п
'
0 ,0 4 -(-0 ,5 3 1 )
0 ,0 6 5 + 0 ,5 3 1
— 1 ,9 3 6 .
Так как значения х2\ и х22, вычисленные с точностью до 0,001, совпали, то
приближенное значение корня х, вычисленное с точностью до 0,001, есть
1,936. Д
«к
1167. Методом итераций найти приближенное значение корня
уравнения 2 — 1^лг— л: = 0 с точностью до 0 ,001 .
Д Найдем интервал изоляции действительного корня уравнения. Предста­
вим данное уравнение в виде 1§.х = — х + 2 и построим графики функций
у = 1&х и у — — х + 2 . Абсцисса точки М пересечения этих графиков находит­
ся в промежутке [1, 2], поэтому за начальное значение х можно взять х0= 1
(рис. 73).
_ ,.
Запишем исходное уравнение в виде х = 2 — 1&х. Здесь <р(х) = 2 — 1^ х,
ф'(*) = — 0&е)/х, т. е. | ф ' ( х ) | < 1 в промежутке [1, 2] и поэтому метод ите­
раций применим. Найдем теперь первое приближенное значение:
Х1 = 2 — 1бх<>= 2 — 1§ 1 = 2 .
Найдем второе и последующие приближения:
х2= 2 — % хх = 2 — 0,3010 = 1,6990;
х4 = 2 — 1^1 >7698 = 2 — 0,2480 = 1,7520;
*в = 2 — 1^1,7565 = 2 — 0,2445= 1,7555;
х3= 2 — 1§ 1,6990 = 2 — 0,2302 = 1,7698;
х5 = 2 — 1^ 1,7520 = 2 — 0,2435 = 1,7565;
х7 = 2 — 1^ 1,7555 = 2 — 0,2444=1,7556.
Таким образом, искомый корень х « 1 ,7 5 5 .^
1168. Методом проб решить уравнение х3- \ - 2 х — 7 = 0 с точ­
ностью до 0 ,01 .
Д Интервал изоляции действительного корня можно определить графи­
чески, построив графики функций у = х3 и у — — 2 х + 7 (р и с . 74).
Единственная точка пересечения графиков находится в интервале ]1, 2[.
Следовательно, искомый корень заключен в этом интервале, т. е. можно при­
нять а = 1 , 6 = 2. Найдем значения функции на концах интервала: / (1) =
— 4 < 0; / (2) = 5 > 0. Разделив интервал ]1, 2[ пополам, получим сг = (а-\-Ь)/2 =
(1 + 2)/2 = 1 ,5 и вычислим /(**) = / ( 1 , 5 ) = — 0,625 < 0 . Следовательно, иско­
мый корень находится в Интервале ]1,5; 2[.
324
Примем с* = 1 ,7 ; / (с2) = /( 1 ,7 ) = 1,313 > 0. Мы видим, что искомый корень
находится в интервале ] 1,5; 1,7[. Примем теперь Сз=1,6; / (сз) = / (1,6) =
= 0,296 > 0 . В результате интервал изоляции удалось сузить, и искомый
корень находится в интервале ] 1,5; 1,6[.
Продолжая этот процесс, имеем:
с4= 1,55; / (с4) = / (1,55) = —0,176 < 0; интервал изоляции ]1,55; 1,6[;
св = 1,57; / (с5) = / (! ,57) = 0,010 > 0; интервал изоляции ] 1,55; 1,57[;
с7= 1,565; / (с7) = / (1,565) = —0,037 < 0; интервал изоляции ] 1,55; 1,57[;
с* = 1,568; / (с8) = / (1,568) = —0,009 < 0.
Рис. 74
Таким образом, мы получили интервал ]1,568;
с точностью до 0, 01 искомый корень х = 1 ,5 7 . Д
1,57[. Отсюда видно, что
1169. Определить графически интервалы изоляции действи­
тельных корней уравнения х3— 9х2- \ - \ 8 х — 1 = 0 .
1170. Определить графически интервалы изоляции действи­
тельных корней уравнения х3— 12х + 1 = 0 .
Методом хорд и касательных решить с точностью до 0,01
уравнения:
1171. л^ + Здг— 20 = 0.
1172. х3— 2 х — 5 = 0.
1173. х4— З х + 1 = 0 .
1174 х3 | Зх | 5 _0.
1175.
+
— 7 = 0 (применить комбинированный метод хорд
и касательных).
Методом итераций решить с точностью до 0,01 уравнения:
1176. л?— 12а:— 5 = 0 .
1177. х3— 2х2— 4 х — 1 = 0.
V
Методом проб, деля интервал изоляции корня на части, ре­
шить с точностью до 0,01 уравнения:
1178. х + е * = 0 .
1179. х 8— х — 2 = 0.
1180. Применив дважды метод хорд, найти приближенное
значение действительного корня уравнения х3 10^с —5 = 0, изо­
лированного в промежутке [0; 0,6]. Приближенные значения хг
и хг вычислить с двумя знаками после .задад-# , Оценить погреш­
ность приближенного значения ха.
325
Д
Находим
/(*) = *»—10*+5, Г'(х)*хЗх*— Ю, П * ) = 6дг;
/ (0) = 5; /(0,6) = 0 .2 1 6 - 6 + 5 = -0.784;
О
0,6,5
0,784
3
5,784
5
= 0.52; /(0,52) = 0 ,1 4 1 -5 ,2 + 5 =
0,059 < О
Новый интервал изоляции ]0; 0,52[. Находим второе приближение:
2,6
0,52-5
0,51.
*2 О
0,059 5 5,059
Оценим погрешность этого приближенного значения по формуле
хг \ <
Г(х)
/ (а) I (Ь)
• шах
2
1а, Ь) [/' Ш
приняв а = 0, Ь = 0,52. Имеем
___В; 5-0,059
х — х2 I < — рг— •
6л:
тах
[ 0 ;0 ,52 ] (Зх2 — 10)
6х
В указанном интервале
Эта функция
3
(Зх2— 10)
наибольшее значение при * = 0,52. Таким образом,
3,12
* —*2 | < 0,1475
(10— 0,8112)3 ’
принимает
Итак, получаем оценку приближенного значения корня: | х — 0,51 | < 0 0006.
Отсюда следует, что в приближенном значении кория х2= 0,51 оба знака
верны. А
~
^
1181. Применив дважды метод касательных, наити приолиженное значение действительного корня ур ав н ен и я ^ — 8 х - ~ 1 = 0 ,
изолированного в промежутке [1,6; 2]. Приближенные значения
х 1 и х %вычислить с двумя знаками после запятой. Оценить погреш­
ность приближенного значения х 2.
Д Находим /(х ) = х4—8л:Ч- 1, / ’ (х) = 4х?— 8, Г (х ) = 12*2;/(1 ,6 ) = —5,246,
/(2) = 1; /"(*) > 0 , / ( 2 ) = 1 > 0 , поэтому принимаем % = 2. Применяем формулу
*1 = *о — /(* о )//' (*о). т. е. Хх = 2 — 1/24 = 1,96»
Определяем второе приближение.
Г (ДГ1) = 4 • 1,963— 8 = 22,12; значит,
Находим
/(* 1 )= 1 ,9 6 4— 8-1,964-1 = 0 ,0 9 ,
* * = * ! - / ( * ! ) / / ' (*1>. т. е. х2= 1,96— 0 ,0 9 /2 2 ,1 2 = 1 ,9 5 6 * 1,96.
Оценим погрешность найденного приближенного значения корня;
, —
,
и (х?)]2
П х)
1д и н 1 < -— ^ — шах
*
I* ж а] I / ' (х)]
В интервале ]1,6; 2[ имеем
Г(х)
[Г (*)]3
12ха
Зх2
(4*3— 8)3 Щ 16 (х3— 2)з
•
9
Внутри промежутка [1,6; 2] функция
X{ Д — 2)3
экстремумов не имеет. Нан-
большего значения она достигает при дс= 1,6:
3,16*
0,09*
,^ ^ -Г ,9 6 | <
2
16(1,63— 2)3 ’
326
т е- 1д;__ 1,961 < 0,0002; следовательно, в приближенном анавении корня 1,95
все цифры верны. ▲
1182. Применив пять раз метод итераций, найти приближен­
ный корень уравнения 2 х — созл; — 0 , изолированный в проме­
жутке [0; 0,5], с точностью до трех значащих цифр.
Д Запишем данное уравнение в виде х = 0 ,5 соз х; следовательно, ф (Ц =
= 0,5соз х, ф' (х) = 0,5з1п х. В промежутке [0; 0,5] имеем)ф'(х) | < 0,5 = г < 1.
Примем хо = 0,5; Х1 = 0,5созхо, х2= 0 ,5 с о з х 1 и т. д.
, _ 0 4оо«.
Выполним
вычисления:
хг = 0,5 соз 0 5 = <) 5 со'5 28 41 _ 0 ,4 3 § Ь ,
а 0,5 соз 0,4386 = 0,5 соз 25°08' = 0,4527, Хз = 0,5 соз;0,4527'= 0,5 соз 25 56 =
= 0,4496; х4 = 0,5 соз 25°46' = 0,4503, х5 = 0,5 соз 25°48' = 0,4502.
Оценку погрешности вычислим по формуле
\ Х — Хъ\ <
Имеем
1 ^ 1 * 5 - * 4 |.
\ х —0,45021 < | 0,4502 —0,4503), т. е.
17 —0,45021 < 0,0001, или 0,4501 < х < 0,4503.
Следовательно, с точностью до трех значащих цифр приближенное зна­
чение корня равно 0,450. Д
6
Обобщение метода Ньютона для приближенного решения уравнений.
а\ Метод Чебышева. Пусть требуется найти действительный корен* урав­
нения ШШШш изолированный в интервале ]а, &[. Функция / (х) предполагается
непрерывной вместе с производиими до п-то порядка включите^но, причем
V (х) ф 0 в интервале ]а, Ь[. Рассмотрим кривую х = 1 + А 1у + А 2у + - •• -+■л„у
Подберем параметры Щ Л* А ъ . . . , А п так, чтобы кривые у = Г(х) и х = § +
П
2
Аьук в точке с абсциссой
из интервала \а, о[ имели касание п-то
порядкаI Напомним (см. ч. I, гл. VII, § 4), что кривые у = [{х) и у = ф ( х )
в точке с абсциссой х0 имеют касание п-го порядка , если
/(*о) = ф(*о), П * С » - ?'(*•). Г (**)= *' (*о). . . . . /<п ,(хо) = Ч>(П,(х„).
Геометрически точка касания л-го порядка является предельным положением
пересечения кривых у ^ ( х ) и */ = Ф(х) п р и стремлении этих точек
пересечения к точке с абсциссой Хо- В данном случае кривая </ = ф(х) неявно
ННК
определяется уравнением * = | + 2
При таком выборе параметров | , А и А г , . . . , А„ за приближенное зна­
чение искомого корня можно принять абсциссу точки пересечения кривои
П
=5 + 2
\
с °сью 0 х > т - е- число |-
1
Если п = 1 , то 5 = х0— 1 Ш - (формула метода Ньютона).
ЩЩ)
Если л = 2, то
1~*°
Л Хп)
ШШ
I
И
2! [/' (х0)1
(1)
Если л = 3, то
/( * о)
1 = х° ~ Ш
1ГЫ Р - Г Ы
21 [ / ' (хо)]3
К М ] 3 3[/*(х0)]2
31
'
/ (*оУ/ —
IГ (*°) 1-
(2)
327
Если /1 = 4, то
*-
Ъ
/(X.)
э
[/ (Хо)]3- Г (*о)
2! [/' Ы 1 3
/' (х.)
[/(X*)]8 3 [ Г ( х о ) ] * - Г (х«)-Г"(-<о)
3!
[/' (*о)]
[/ (хо))4 (Г (хв)]2 /1 V Ы
4!
- 10/' (х„) Г (х„) / ’" Ы + 1 5 [ Г (*о)]*
I/' Ы Р
Приведем оценки погрешности значений корней, найденных по форму­
лам (1) и (2).
Д л я формулы (1) при я = 2
|х -|[ <
з [Г(х)]а- Л ( х ) /'" ( х )
I /' (х)]5
шах
[в,ЬЗ
3!
Д ля формулы (2) при л = 3
1 /(* )]4 _______
д\
* П13Х
41
[в. ь\
.
\х
ЪI ^
Т
( * ) - 1р/' (*) г (X) Г " (х) + 15 ( Г (х)1®
[/' (х)]^
П И ■
(«И*
б) Д ля отыскания действительного корня уравнения /(х ) = 0, изолирован­
ного в интервале [а, Ь[, рассматривается кривая
ЪП
У
^ 0 + ^ 1 (х — *о) + Л8 (х — *о)2+ • • • + А Птт\ (х — Ло)', ~*
(3)
имеющая с кривой у = /(дг) в точке с абсциссой х0 (а < х0 < Ь) касание л-го
порядка. Примем за приближенное значение корня абсциссу точки пересечения
этой кривой с осью Одр, т. е.
Из условия касания находим это приближенное значение:
* _А ^ я - 1
Ъп — ^0
’—г\----»
Оп
(4)
где
ОП
Ьх
Ь0
^1
Н
&2
ь.
о
... о о
Ь±
... о о
... о о
•
•
Ьп-1 ^я-1 ‘^я-1 ^п-4 • • • Ь\ Ьц
—1 ^Я-1 Ьп . | «• . Ьщ
Ь,
ь
Л * (Хр)
л),
А!
= I (ЛГд).
Если л=»1, то уравнение (3) определяет прямую у
1
(ж— I) и для при
Ао
ш нтеппш и качении нирни ПОЛучаСТСЯ СрорМУЛЗ МвТОДЭ ПЬЮГОН
Таким образом, формула (4) обобщает метод Ньютона для л
решения уравнений.
Если пят2 , то
ЬдЬ1
(5)
Ь \ -Ь Л ,
Если пк=3, то
Ба = Хо
(Ьх— Ь9Ь.)Ь{
ь
0о
(6)
Ьш
Ь» 6а Ьх
1183.
0
,
0
328
0
0
0
0
0
Найти
1
.
приближенное
значение
1/"§
с точностью до
д Применим к уравнению х 2—3 = 0 формулу
мем ^ « = 1 ,7 ; тогда Ж * Щ Ш У
" ( 1 ,7 ) ^ - 0 ,1 1 , Щ (1,7) = 3 ,4 , | (1Ц Н IЩ I | § Щ
Ч
е б ы
при п 4. При­
1х® гГ 7Т—0 СледоваЦ О * 7) * 0- СлеД°ва
ш
е в а
'
^
.,,0,11
0,11г-2 , 0,11* 12
0,11* 120 Ц
,
1,7+ 3,4
2! 3,4® ' 3! 3,45
4! ‘ 3,47
_ 1,7 + 0,0323529 — 0,0003078 + 0,0000058 — 0,0000001 = 1,7320508.
Так как / (1,7320508) < 0, но / (1,7320509) > 0, то в приближенном значении
корня ^=1,7320508 все знаки верны. ^
1184. Найти приближенное значение действительного корня
уравнения 2х3 + 2 х — 7 = 0 с точностью до 0,000001.
л Имеем Пх) = 2х®+ 2 х — 7, Г (х) = 6х2 + 2 > 0; / ( ^ —возрастающая
функция- / (1,3)=4,394+2,6 — 7 = —0,006 < 0, / (1,4)=5,488 + 2 8 —7=1,288 > 0;
Следовательно, в интервале ]1,3; 1,4[ имеется единственный действительный
иорень д^нного^р
в ОСПОльзуемся формулой Чебышева при п = 2; находим
/
У Г М - 1 №
М 1 Д = -0 ,0 0 6 , П 1 . 3 ) . 12,14.
/"(1,3) = 15,6; значит,
I о ■ 0,006
0.000036
15,6___ } 3 . о,0004942 — 0,0000002 = 1,300494;
1,3+ ' Щ 4 ' --------- 1
1789,1883
,
,
Г П 300494) = 4,399009 + 2,600988 — 7 = —0,000003 < 0,
/ (1,300495) = 4,399021+2,600990 — 7 = + 0 , 000011 > 0.
Следовательно,
верны. ▲
все
знаки приближенного значения корня 5=1,300494
1185. С помощью формулы Чебышева найти приближенное
значение у^5 с точностью до 0,00001. Принять п = 3.
1186. Приняв в формуле Чебышева п = 2, вычислить Действи­
тельный корень уравнения Зхъ + 6 х — 16= 0 с точностью до 0 , 00001 .
1187. Найти приближенное значение V 2 с точностью до 0,00001.
Д Положим /(х) = ха - 2 . Применяем формулу (6), пвз ™ х0= М - ^ гда
7 ( х 0 Ш 2 , / ' (х) = 2х, /" (х) = 2, [ (х) — 0, Ь0= [ (1,4)= 0,04, 61= / (1,4)=2,8,
йа = (1/2) / ' (1,4) = (1/2)-2 = 1, /" '(1 ,4 ) = 0. Следовательно,
. I I (7.84 + 0,04)-0,04
л ,
7,88 •0,04
• = 1>4т'т?г5
—-0,04
ТГТГЛ 0
|
Г—
+ 21,952+0,224
2,8-
1
0
2,8 - -0,04
2,8
1
й 1 4 ■ ° ’315.Е.= 1,4+0,01421 = 1,41421.
* + 22,176
т
\
Все десятичные знаки приближенного значения корня верны. Д
1188.
Приняв п = 2, найти приближенное значение положительного корня уравнения х* + х*— 4 = 0 с точностью до 0 , 0001 .
А Положим * о = 1,3. И м еем /(х )= д с3 + х* — 4 , / ' ( - « ^ З ^ + гх, Г М = ^ + 2 *
*>„=/(1,3) = —0,113, Ь\ — / , (1,3) = 7,67, 62= (1/2)•
>3) = (1/2)• 9,8—4,9. Тогда
1
7,67-0,113
. „ . 0,86671
, ЧЫЙ
!? = 1>3 + 7,67* + 0,113 •4Т “ ’ + 59,3826
Все десятичные знаки верны. Д
329
1189. Приняв я = 2, найти приближенное значение корня урав­
нения х+1п л: = 3 с точностью до 0,001.
1190. С помощью формулы (6) найти приближенное значе­
ние 5/ 5 с точностью до 0,00001.
1191. С помощью формулы (5) вычислить отрицательный
корень уравнения 5л?— 5*— 47,071 = 0 с точностью до 0,0001.
§ 2. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
1. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Пусть дана таблица значении& I
X
Щ.
У
У±
:
Хг
Хз
•••
Хп
Уг
Уз
тщт
Уп
Требуется составить многочлен у ш $ (х) степени т ^ п — 1, который принимал 1
бы заданные значения у[ при соответствующих значениях */, т. е у /= /(*,■)
(1 = 1, 2,
п). Иными словами, график этого многочлена -должен проходить
через заданные п точек М ; (хц у/).
Обозначим через
го (х) = (х — щ (х— х2) (х— хя) . . • (*— *„)
вспомогательный многочлен п -и степени, в котором
значения аргумента. Тогда имеет место равенство
!(х)
+
заданные табличные
( X — Я*) ( * ! — Х2) ( Х х — ' Хз) . . . ( X I —
(х— хг)
• • • + (х
(Х 2 —
Х п)
+
«
Уг •Ф (*)
4
“
•
•
•
Х 1 ) (х2— х3) . . . (х2— хп)
Уп- ф М
й ) (хп
Хп) (Хп
ЙШ . . . (Хп
Хп —
:х)
или
п
!(Х ) = У ^
-7
Щ ф' (Хц) (х— хк) '
Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа.
1192. Составить многочлен Лагранжа для следующей таблицы
значении:
X
1
2
3
У
2
3
4
’
4
5
Д Вспомогательный многочлен имеет вид <р (ж) = (х— 1) (х — 2) (х — 3) (х—4).
Вычислим ф' (х) последовательно при данных значениях х:
ф' (х) = (х— 2) (х— 3) (х— 4) + (х— 1) (х— 3) (х— 4) + (х 1 ) ( х - 2 ) ( х - 4 ) +
-И х — 1) (*—2) (хт-3); ф' (1)
6, ф' (2) = 2, ф' (3) - 2 , ф' (4) 6.
I
330
Я
Тогда
\ ( х - 2 ) (х—3) ( х - 4 ) + - | (х— 1) ( х - 3 ) ( х - 4 ) +
/(*)
1
4| ( х - 1) (х— 2) (х—4) + ! ■ (х— 1) (х—2) ( х - 3 ) = х + 1
Таким образом, в данном случае интерполяционный многочлен есть линей­
ная функция /( х ) = х + 1 . А
1193. Найти уравнение параболы, проходящей через точки
(2; 0), (4; 3), Ц 5)\ (8; 4), (10; 1).
Вспомогательный многочлен имеет вид < р(х)= (х 2) (х 4) (х
)Х
Х (х — 8) (х — 10). Находим
ш' (х) = ( х — 4) (х — 6) (х— 8) (х— Ю )-Н х— 2) (х — 6) (х— 8) (х — Ю )+ (х— 2)Х
Х ( х — 4) (х— 8) (х— 10) + (х— 2) (х— 4) (х— 6) (х— Ю )+(х—2) (х—4) (х—6) (‘X 8);
ф ' (2) = 384, ф '(4 ) = —96, ф' (6) = 64, ф '(8) = —96, ф ' (10) = 384.
Д
Тогда
Ю)+
0
I
-4
)
(х
—
6)
(1—8)
(х
—
Ю
)+-4тб
(
х ~~2) (х
6)
(х
(*
/(*) = 384
96
6_
8
+ 1 1 (х— 2) (х— 4) (х — 8) (х— Ю) 96 (х— 2) (х — 4) (х— 6) (х — Ю)+
64
1
2) ( * _ 4 ) (х— 6) (х - 8) = 32 (х41 26Х3 + 220х2
0
(*
384
664х + 640)
Следовательно, искомой является парабола четвертого порядка
у = Л ( х * — 26х» + 220х* — 6 6 4 х + 6 4 0 ). ^
1194. Даны точки (0; 3), (2; 1>, (3; 5), (4; 7). Составить урав­
нение многочлена, принимающего указанные значения при задан­
ных значениях аргумента.
1195. Построить многочлен, принимающий значения, заданные
таблицей
X
У
1
3
4
6
—7
5
8
14
ИИИИНМ1
1196. Построить многочлен, график которого проходит через
точки (2 ; 3 ), (4; 7 ), (5 ; 9 ) , (1 0 ; 19).
— значения
2. Интерполяционная формула Ньютона. Пусть у 0, Уъ У2» •••
некоторой функции */ = /(*), соответствующие равноотстоящим значениям аргу­
мента Хо,У*Ь
Х
2У•••
+ 1— Х
Ь
— Ах* — СОП81).
(т- е *
.........У*
Ш
Ш
.И А
Т Ь . - 3
•
•
-
= &Уп-1
■• I - | й 1 1
разности первого по-
«тороп, порядка;
•
•
•
Л"У1-Д "(/о = Лп+,Уо. ДПУ , - Д п«/1 = А" + 1‘/1. г -.-р а з н о с т и
рядка.
• *
(л+1)-го по331
Производя последовательные подстановки, получим
А2Уо =У% — 2уг + Уо» Ь^Уо— Уз — &Уг “Ь З й — Уо» • • •
п
Д"Уо= 2
( - 1 )*-Скп - у „ - к.
к= 0
Подобным же образом находим
Уг= Уо “Ь Л^/о.
га
Ул —
А=о
==#о “Ь 2Д|/о
&2Уо> Уз — Уо~\~ ЗАРо Ч~ ЗА2(/0-{- Д3^/0, . . . ,
Оп^УЬ — (1+ А)л ,Уо==УоЧ- я ^ о Ч----- Цй— — А2^ о + - - - + А ,1Уо-
0)
Запишем таблицу разностей:
*о Уо
*1 Ух АУо
А2Уо
*2 Уг ш
Хз Уз Ц Ц
№у0
Шт
А3г/г
Шт
А2у2
* 4 # 4 ДУЗ
Если в формуле (1) считать, что п — не только целое и положительное
число, а может быть любым (п = (), то получим интерполяционную формулу
^ = У о+ 7 Г | | | + 1 ^2] 1 1 *Уо +
* ^ ~ з | ^ ~ 2) дзУо+ - . . + А ^ о -
(2)
Мы получили такую функцию от /, которая при ( = 0 обращается в у0,
при 1 = 1 — в у ъ при ( = 2 — в у 2 и т. д. Так как последующее значение аргу­
мента х при постоянном шаге Н определяется формулой хп = х0 + лй, то п =
(хп — х0)/1г. Тогда, полагая х = Хо -{-/А, т. е. / = (х — х0)/Н9 приведем фор­
мулу (1) к виду
г
ИВЯИ^^ИИ^ЯМВД
(3)
1197. Из таблицы
найти значение у при х = 3 , 1 , пользуясь интерполяционной фор­
мулой Ньютона.
332
д
Составим таблицу разностей:
у
1
3
2
7
3
13
4
21
5
31
Аду
А гу
Ду
4
2
0
б
2
0
8
2
0
10
2
12
6
43
7
57
0
2
14
]____________
Здесь х0—3, х —3 , \ , Н= 1. Тогда ^ = ( x — x0) / Н = ( 3 ^ — 3)/^
интерполяционный многочлен Ньютона для этого случая:
0 = ^ о + **ЛУо +
0,1. Запишем
^ 1 .2 " ^ ^ ° '
или
^ 1 3 + 0 . Ь 8 + 0 Л (0 ‘21....— -2 = 13,71
Следовательно, при х = 3,1 и */= 13,71 интерполяционный многочлен для
этой таблицы имеет вид
у = 3 + ( х - \ ) - 4 + (Х~ 1Ц Х~ - ^ - 2 = х * + х + 1 . А
1198. Даны десятичные логарифмы чисел: 1§2,0 0,30103,
0,38021,
|
|
2,2
=
0,34242,
1
§
2,3
=
0,36173,
1§2,4
1§ 2,1 = 0 ,3 2 2 2 2 ,
1^2,5 = 0,39794. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона,
найти 1§2,03.
Д Составим таблицу разностей:
АУ
X
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
0,30103
0,32222
0,34242
0,36173
0,38021
0,39794
2119
2020
1931
1848
1773
А2у
99
89
83
75
А*у
А6У
10
6
8
6
2
333
Здесь х0 = 2,0, х = 2,03, А= 0,1. Тогда
Отсюда
. . . л , *(* — 1) д2
+ 1 * ДУо + — 21—*
| (
Щ
Д
I — ( х —ж0)/А = (2,03 — 2,0)/0,1 =0,3.
I
*)(<—2) л* ,
---------- 3|-------- А Уо“Ь
дЧ | < (/-1 ){ /-2 )(/-3 )(/-4 ) Ж
«
-
I: -
г
'
Г
_
г
-. г; " .
V
Я
*
= 0,30103 + 0,3-0,0211 9 + - 1 - 0 ,3-0,7-6,00099+
+ -^- - 0,3 -0,7 -1,7 •0 ,0 0 0 1 0 + ^ -0 ,3 -0 ,7 -1,7 - 2,7 - 0,00004 +
+ 0 , 3 •0,7 • 1,7 - 2,7 •3,7 - 0,00006 = 0,30750.
Таким образом, % 2,03=0,30750. Пятизначная таблица логарифмов дает
тот же результат. ▲
1
1199. Заданы пятизначные логарифмы чисел от 4 до 10 через
единицу. Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, вычис­
лить четырехзначные логарифмы чисел от 6,5 до 7,0 через 0,1.
1200. Зная квадраты чисел 5, 6 , 7, 8 , найти квадрат числа €,25.
1201 . Составить интерполяционный многочлен Ньютона для
функции, заданной таблицей
X
0
1
2
3
4
У
1
4
15
40
85
§ 3. ПРИБЛИЖЕННОЕ
вы числение определенны х
интегралов
Если / ( * ) — непрерывная и дифференцируемая достаточное число раз на
отрезке [а, Ь\ функция и Н= (Ь— а)/п, хь = х 0+ к Н ( к = 0, 1, 2, . . . , л),
= /(**)> то имеют место следующие формулы для приближенного вычисле­
ния определенных интегралов.
Формулы прямоугольникоз
| | (■*) йх — Н (у0 + Ух + у 2 + I . . + У п - 1) + /?л
а
ИЛИ
I
| / (х) дХ —'Ь, (Ух
у 2 ”Ь • • • Л'Утг) ~Ь Кп Э
(2)
а
предельная абсолютная погрешность
7г(^-"-Д)
где
М х = шах | / ' (х) |.
[а,
(3)
Щ
Формула трапеций
Ь
§ / (х)йх=Н ^
а
334
\
"
'
..
П Л~Ух~Н /2 + • • •
+
■.
(4)
предельная абсолютная погрешность
П
12
о)Ма.
где
М 2 = т а х | / " (х)|
(5)
[а,Ь]
(точное значение погрешности 8* = — (Л*/12) ( 6 — а } /"(«)> где а < с < 6).
Формула Симпсона
Ь
I (Х) ах р ! | | Я
р ! р
IВ
+уз|
••• + у * к -д +
а
(6)
+ 2(^2+ # 4 + • • *+ # 2 * - 2 ) ] +
предельная абсолютная погрешность
а>Мз.
"
где
180
ЛГ3 = шах |/1у (х)|
[а. 6]
(7)
(точное значение погрешности б5 = — (Л4/180) (Ь— а.)
(с), где а < с < &)•
Если отыскание четвертой производной подынтегральной функции затруд­
нительно, то для оценки погрешности вычисления интеграла ^ / (х) йх по фора
•голе Симпсона можно применять следующий прием.
__
Полагая п= 4А , вычисляют приближенное значение данного интеграла
по формуле Симпсона для шага к = {Ь~а)ЦЩ-, пусть найденное значение
интеграла есть Ц затем шаг Н удваивают и вычисление по формуле Симпсона
" ™ Р“ ЛГа шягя к, — (Ь_а) ' № ) - пусть найденное значение интеграла есть / 2;
погрешность второго С числения приблизительно в 16 раз больше погрешности
первого и обе они имеют одинаковый знак. Поэтому погрешность первого
вычален и я [при шаге К = ( Ь - а ) / { Щ ] определяется следующей формулой
(учитывающей и знак погрешности).
65 л (/1
—
(этот способ можно назвать оценкой погрешности формулы Симпсона по методу
удвоения шага вычислений).
,
*
2
1202. Вычислить по формуле прямоугольников ^ ^ У х с Ь с ,
разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешностъ.
Л Здесь
при « = 1 0 имеем Л = ( 2 - 1 ) /Ю = 0,1. Точками деления
й - Ь » .
А
»
-
и. = 1,378»
Используя формулу пР ™° Уг. ° ? л п О * а д б ' 1 2654-1 3 0 4 + 1 342 +
/ = 0 ,1 (1,000+1,049+1,095 + Ы 40 + 1,183+ 1,225-г »- + »
‘
_[_ 1,378) = 0,1‘- 1-1,981' и 1,20.
Оценим погрешность. В данном случае /Ч*>
достигает наибольшего значения, равного 0,5» при
(х) \ ^ М 1 = 1/2. Отсюда по формуле (3) находим
“ Я Г й & Л
- ■
Р
о < ^ . 1 . Л = 0,025.
Г'П
0
2
Следовательно, / « 1*20 ± 0,025.
335
Вычислим для сравнения этот же интеграл по формуле Ньютона—Лейбница:
.
шш
:
у.
2
2
/[1=1
1
= § з^Ш ф т у Щ У ~ 2 — 0 » 1.219.
1
Таким образом, действительно, истинное значение интеграла лежит в найден­
ном интервале. А
1203. Вычислить тот ж е интеграл по формуле трапеций, при­
няв п = 1 0 ; оценить погрешность.
,
Д При тех же обозначениях, используя формулу трапеций, получим
/ = 0 , 1 - ^-1- + 12’414- | - 1,049+ 1 ,0 9 5 + 1 ,1 4 0 + 1,183+
+ 1 , 2 2 5 + 1 ,2 6 5 + 1 ,3 0 4 + 1,342+ 1,378 ^ = 1,218.
Далее, /*(х) = — 1/(4 У х3); | /"(*) | ^ 1 / 4
по формуле (5) находим
на отрезке [1, 2]. Таким образом,
Я ^ Т Т 1" ? * 0’002Итак, I « 1,218 ± 0,002. Д
1204.
1
Вычислить приближенно
по формуле Симпсона / =
- 1:;:КЦ- •'
— ^ \ ^ 1 - { - х 2 (1х с точностью до 0 , 001 .
*
Д Прежде рсего, пользуясь формулой (7), определим, какой шаг к нужно
взять для достижения заданной точности. Имеем
I (х) = К Т + ^ 2; I (X)=
Г ( х ) = — Зх/)Г(1 + х*)6;
Г Щ = \ 1 У ( 1 + х 2)3;
/«V (х) = (1 2 х* -3 )1 У '(1 + *2)’ .
Наибольшее значение | / ^ ( х ) | на отрезке [0, 11 достигается в точке х = 0:
| /IV (0) | = 3. Значит,
Так как эта погрешность должна быть меньше 0,001, то Л4/6 0 < : 0,001, т. е.
й4< 0 ,0 6 . Можно принять Л = 0,5 (если /1 = 0,5, то к* = 0,0625), т. е. несколько
больше нужной величины, но это не отразится на точности вычислений,
поскольку при оценке была использована предельная абсолютная погреш­
ность— величина заведомо большая фактической погрешности. Итак, для дости­
жения нужной точности достаточно разбить интервал интегрирования пополам.
Вычислим значения функции /(х) = |/ ~ Г + х 2 при х = 0; 0,5 и 1: /(0) =
= 1,0000; / (0,5) = 1,1180; / ( 1 ,0 ) = 1,4142 (вычисления проведем с одним запас­
ным знаком). Поэтому
/ 1
[1 ,0 0 0 0 + 4 -1 ,1 1 8 0 + 1,4142] = 1,1477.
Таким образом, округляя последний знак, находим / и 1,148.
336
Вычислим для сравнения точное значение этого интеграла по формуле
Ньютона—Лейбница:
/ = ^ у 1 + х *ах= ^ . у
= ^ . [ ] Л 2 + 1 п ( 1 + ] / ‘ 2)] «-1.(1,4142+0,8814) я 1,1478.
Таким образом, значение этого интеграла, вычисленное подформуле Симп­
сона, имеет даже не три, а четыре верных знака после запятой. Д
|К 4
---- V
В
I
Г*
&Х
1205. Вычислить по формуле Симпсона I = \ ~-щ ^ яг> приняв
$
0
„
п = 8. Вычисления вести с шестью знаками после запятой. Оце­
нить погрешность полученного результата, пользуясь способом
удвоения шага вычислений; сравнить результат с истинным зна­
чением интеграла, взяв последнее с одним запасным (седьмым)
знаком.
А Нужно определить значения подынтегральной функции для следующих
значений аргумента (Л-х= 0,125): ха = 0;
= 0,125;
х$ = 1 ,0 . Находим
соответствующие значения / ( * ) = 1/(1+ х 2): у и = 1,000000; У1 == 0>984625, Уг —
— 0,941176; у3 = 0,876712; у4 = 0,800000; у д = 0,719.101; */„ = 0,640000; у, =
= 0 566389; уя= 0,500000. Подставляем эти данные в формулу Симпсона при
^ = 0 , 1 2 5 и йа = 0,25:
1 \=
• [уо + Ув + 4 (У1+ Уз + Уъ + Ут) + 2 (У2 + У* + Уъ) ] =
° ’125 [ 1,000000 + 0,500000 + 4 (0,984615 + 0,876712 + 0,719101+0,566371 +
+ 2-(0,941176 + 0,800000 + 0,640000)] = щ - 18,849548 к 0,785398;
/ а = - ^ ~ \Уо + Уз + 4 (У* + Ун) + 2</4] =
р Й [ 1,000000 + 0,500000 + 4 (0,941176 + 0,640000) + 2 •0,800000] =
^ .9,424704 = 0,785392.
1
Отсюда
б, ~ 7! — ^ _ 0■00000.6 ~ 0,0000004.
л ~
15
15
’
Таким образом, все шесть знаков 1\ должны быть точными. Истинное значение
интеграла есть
гШ р й р
1= :5 - я 0,7853979,
о 4
о
что подтверждает найденный результат. Д
Р
337
2щ
йх
■
формуле Симпсона С—г С точностью до
0 ,0 0 0 1 , п р и н я в п = Щ .
С
1207.
йх
Вычислить по формуле Симпсона ^
, приняв
'"'
■-Ш •3■г '
:*г
п = 8 . Оценить погрешность по методу удвоения шага; сравнить
с точным значением интеграла. Вычисления вести с пятью зна­
ками после запятой.
я/2
^ V 1— 0,5 зш 2х й х ,
1208. Вычислить по формуле трапеций / =
о
приняв /г = о; оценить погрешность заранее, чтобы определить,
с каким числом знаков (при одном запасном) надо вести вычисления.
1209. Вычислить по формуле трапеций 1п 2 == \ — с точностью
до 0 , 01 , приняв п = 5.
I
■
Ш йщШ яШ I
I
1210 . Вычислить по формуле Симпсона ^
йх с точностью
1
до 0 , 01 , приняв п = 4.
I
1211 . Вычислить по формуле трапеций ? е~*г йх с точностью
о
до 0 ,01 , приняв п — 4.
Я/2
1212 . Вычислить по формуле трапеций ^ \"т*~
о I
до 0 , 01 , приняв п = 6 .
с точностью
§ 4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1.
Аналог формул прямоугольников, а) Рассмотрим замкнутую область |%
ограниченную линиями х = а, х = Ь 7 у = ф (х), У = ^ ( х ) , где ф(х) и 'ф(дг) —
непрерывные на отрезке [я, Ь] функции, причем* ф (*) *^ г|)(х) (рис. 75).
Разделим область Д на п частей линиями
У= Ч { х ) [$ (х) — ф(*)]
(/ — 0, 1 , 2.......... | |
( 1)
Далее, разобьем отрезок [а, Ь] на т равных частей точками а = х0 < хг <
< х2 <
• < */я -1 < х т ~ Ь и через эти точки, проведем прямые, параллель­
ные оси Оу:
Х = Х 1 {I = о, 1 , 2, . . . , т).
(2)
Двумя семействами линий (1) и (2) область & разделится ня тп криволинейных
четырехугольников с вершинами в точках Р/у(х*; щу), Р/+1, / (Х/+Г, ш+д, /)*
Р|, /+1 Й ; У/,/ + !.)» Л*+1, /+1 (^/+1» У/ + 1,/ + 1)» *= 0, 1, 2, . . . , / п, / = 0 , 1 , 2 , . . .
* Заметим, что это условие не ограничивает общности рассуждений.
338
л. При фиксированном *а(0<-("<-т) длина вертикальной стороны четырех­
угольника не зависит от / и составляет
*Р
Р
|
*Ф (■*/)
Ф (% ) .
; __п
1
о
п
Обозначим площадь криволинейного четырехугольника, изображенного
на рис. 76, через Асо/у. Эта площадь вычисляется по формуле
Дсо
1
1+1
п
(3)
№ (*) — 4{х)]йх-
I
Из равенства (3) следует, что значение Асо/у от / не зависит.^ Учитывая
это, обозначим Ао)/у = Дсо/; 0 < 1 ^ т — 1, 0 ^ / ^ п — 1. Двойной интеграл
\Я ш
/?' а
=х
0
*т-1 Х/ггЪ *
о
/I
;/
м Л
Рис. 76
Рис. 75
55
Л
У)Лх<1у, где функция /(*, г/) непрерывна в области Р , заменим дву­
мерной интегральной суммой, выбирая в качестве узлов точки Р/у:
т - 1
(4)
? ^ /(х , у) йх йу «
До>/
п
/=0
/= 0
где
Ф (* /) ]
ч
(б)
Выбирая в качестве узлов последовательно точки Р/+1, у, Р /, у + ь Р/+1, у+1*
получим соответственно еще три формулы для приближенного вычисления
двойного интеграла:
п -1
(6)
V
Асо/ V г /+ 1, у;
I—0
/= о
о
л- I
т - 1
(7)
о
1= 0
т —1
/= 0
я —I
(8)
1= 0
Формулы (4), (6), (7) и (8) являются аналогом формул прямоугольников
для приближенного вычисления определенного интеграла. Очевидно, что эти
339
формулы тем точнее, чем больше числа т и п, т. е. чем меньше длина к аж ­
дого из отрезков разбиения.
б) В частном случае, когда область Э — прямоугольник, определяемый
неравенствами
щ с ^ у ^ 4 , площади Асо/ элементарных площадок
равны между собой и вычисляются по формуле А(о = (Ь — а) (й — с)/(тп). Фор­
мулы (4), (6), (7) и (8) соответственно примут вид
/.
ч, .
- т - 1 л-1
(Ь— а) р
(9)
У
~
тп
а■
О
1
о
/V
у)
й
у
я--^---тп
ап1<*■
(Ь
О
2
^
*=<
(6-- а ) ( ^ С ) у
/ (*, у) й х й у гч
я / ------ —
------>
тп
>
+*,о
(10)
г/, / + ь
(11)
о
Г Г I (х, у) й х й у
Г>
\
Ч
т
“
1
1
СЬ- ■а) (Л— с) V"» ’
тл
| щ | ^ г/+1, /+ !•
02)
1=0 /= о
Формулы (9) — (12) можно назвать формулами параллелепипедов.
в) Если функция /(* , */) монотонна по каждой из переменных х и у, то
для двойного интеграла справедлива оценка
| Ц 0)(<*— с)
А| Г , г
« И а Ш — с) я,
^ < 3 3 Н х , У ) й х й у ^ ------ — ------- М,
тп
"о
(13)
т —1 я —1
где М и [х—соответственно наибольшая и наименьшая из сумм
т —1 я —1
т —1 я —1
^
1= 0 /=о
т —1 я —1
г)
Пусть функция /(* , г/) и ее частные производные т щ у) и /</(*,
непрерывны в области Е) — прямоугольнике а * ^ х ^ Ь , с ^ у ^ й . Тогда оценка
погрешности приближенных формул (9)—(12) определяется с помощью нера­
венства
где
811111
1611
щ ?Щ 11 #
сКу<4
2. Аналог
/
формулы
касательных,
а)
Рассмотрим
^ ^ / (*» У) Л*&У* Пусть область В — прямоугольник
двойной
интеграл
с*^у^ 4 ,
о
во всех точках которого выполнены условия
А С — В2 > 0 ,
А < 0,
С < 0,
(15)
где А = / * 2* С = { '2, В — [ху. Эти условия обеспечивают
9
а
А
сти 2 = /(х , у) во всех точках области В (аналогичным образом условия АС
В 2 > 0, А > 0, С > 0 обеспечивают вогнутость этой поверхности).
340
Тогда для приближенного вычисления двойного интеграла справедлива фор­
мула
(16)
о
где * = ( а + 6 ) / 2 , */ = ( с + ф / 2.
.
(1 = 0, 1, 2,
^
т)^ и у = у /
б) Разобьем область О прямыми х = х/
(/ = 0, 1, 2,
п) на т я равных прямоугольников. Вычисляя двойной инте­
грал по каждому элементарному прямоугольнику с помощью формулы (16) и
суммируя полученные результаты, приходим к следующей формуле для при­
ближенного вычисления двойного интеграла:
т —1 я —I
л
IЯ ,) ш“а I р в р а
я 1 1ш и
*= о /= 0
§1
где х^ = (х/+14-^|)/2, У] = (#/+ 1 + %)/2Формула (17) дает приближенное значение двойного интеграла с избытком,
если выполнены условия (15). Заметим, что формулой (17) можно пользоваться
и в том случае, когда первое из условий (15) не выполнено.^Однако в этом
случае нельзя указать, найдено ли приближенное значение двойного интеграла
с недостатком или с избытком.
3. Аналог формулы трапеций, а) Рассмотрим двойной интеграл I =
/(* , У)Зх 1р* если область И — прямоугольник а ^ х ^ Ь , с ^ у ^ й .
Тогда для приближенного вычисления двойного интеграла справедлива формула
/ (*, у) й хЩ « ---- ^ ------ - (^1 4 2 ч+ 23 4 “ 24),
(18)
6
где 21 = / (а, с), 22 = /(&, с), 2з = / ( а , (I), 24 = } Ф> й).
Эта формула дает приближенное значение двойного интеграла с избытком,
если выполнено условие (15).
Оценка погрешности формулы (18) определяется неравенством
(Ь -а)
(а—с) ! Д
р , § |Ш
< Щ / (X,
у) й х й у <
....................... К а , 1 ч Ш
с) + ( ( а , 0) + Т(Ь, 1
< (Ь— а) {й— с ) ----------------------- 1-------------------------
(19)
б)
Разобьем область О прямыми, параллельными осям координат, на шп
равных прямоугольников. Вычисляя двойкой интеграл по каждому элемен­
тарному прямоугольнику с помощью формулы (18) и суммируя полученные
результаты, приходим к следующей формуле для приближенного вычисления
двойного интеграла:
| (х , у) йх йу я —— | У | — —(50 ■+ 25х + 45а),
(20)
щ
где 5 0= г00+ 2/л0 + г оп +
я — сумма значений функции в вершинах прямо­
т-1
л-1
угольника; 5 * = 2 ( 2« о + 2/ л ) + 2 (г» / + 2'я/>—сумма значений функции в
узлах,
‘
1
лежащих на
сторонах
/ =прямоугольника,
1
не считая вершин,
о
_
02 —
т —1 п —1
2 {]—сумма значений функции в узлах, лежащих внутри прямо-
/® 1
угольника.
*
341
При выполнении условий (15) по аналогии с неравенством (19) получаем
оценку
.,
ч от—1 « - 1
...
~ дв ~ с Ц
Ц в
1=0 / = о
Р Я ! (х’ у) йхйу <
й
о
< Щ й 1 „ ~ С) (50+ 2 5 ! + 45г),
(21)
где л7 = (х/ + 1 + л:/)/2, ^ = (У/+ 1 + У/)*
Д ля оценки погрешности приближенного равенства (20) также справедливо
неравенство (14).
‘V-;*
в) Если область О ограничена линиями х = а у х = Ъ , у = (р (х), у = \|г(*),
то в качестве приближенного значения двойного интеграла ^ ^ / (х, у) йх йу
О
можно рассматривать среднее арифметическое результатов приближенных вы­
числений двойного интеграла по формулам (4), (6), (7) и (8):
п —I
от—1
Я К * . У) 4* ф я Ь ф ^
Д
й
1=0
с ( ^ 7 + 2 , + ! , / + 2 / > / + 1 + г / + 1, / +1),
/= 0
(22)
где к щ (« = 0, 1, 2, . . . , т — 1) вычисляются по формуле (3), а значения Я /
по формулам (5). Формулы (4), (6), (7), (8) и (22) целесообразно использовать
в тех случаях, когда точное или приближенное вычисление площадей Дсо/ не
вызывает особых затруднений.
4.
Аналог формул Симпсона, а) Рассмотрим случай прямоугольной обла­
сти О, заданной неравенствами — / х < х < К, —
Подберем коэффи­
циенты многочлена третьей степени
Рз (X, у) = а3ох? -р агххгу + а12х у г + аи3у 3 + а20х2 + а п х у + ао2у 2 1
! а^х+ а^у + а
00
так, чтобы в специальным образом выбранных пяти точках (узлах) значения
функции / (дг, у) и многочлена Р 3 (х, у) совпали. Тогда
Н I
н
-Н - I
Учитывая, что
формулу
-Н -I
^ф(<)Л=0,
—а
к
I
если
ф (— | = — ф (() на [— а, а],
получим
I
Г Г
^ у
-Л - /
4 Н1
У) йх йу я — (а20й2 + а0$т + 3а00).
(23)
Если выбрать узлы так, как показано на рис. 77 и 78, то формулу (23)
можно записать соответственно в виде
I
н
§ § И х , у) й х й у к ^ [/(Л, / ) + / ( — Л» ||Ш 1| р 0 + / ( ~ |» — О+ 8 / ( 0 , 0)]
- I -Н
(24)
342
или
Л /
гш
3
-й
°>+7( -
3
а,
0 + 2 / (О, 0)].
0 ) + / ( 0 , /) + /( ° >
(25)
Для прямоугольника а ^ х ^ Ь , с т д Щ й формулы (24) и (25) соответственно
примут вид
ь а
§ у ( х > У) йх йу «
а с
/V
(Ь— а ) ( й — с)
|^/ (а, с) + / (а, Л) + / (&, с) + / (6, й) + 8/ ^ ^
12
Ь <2
» "2 ^ ^ » (26)
с +-<2
+
+
/
(»
.
2
“ 2“
(6 — а) (<*—<:)
6
с Ф4
а с
2
2
2
(27)
2
*
Формулы (26) и (27) тем точнее, чем меньше размеры прямоугольника; как
следует из изложенного, они точны для многочленов третьей степени.
Рис. 78
Рис. 77
б) Разбивая прямоугольник прямыми, параллельными осям координат, на
Атп равных прямоугольников, применяя к каждому такому прямоугольнику
формулу (26) и суммируя полученные результаты, приходим к формуле
ь а
(28)
/<*. Ц Л * » 1 Й Й 1 1 1 & + % + « . + № ) ■
а с
где
5 0 = / (а,
Щ
т
т
й) + 7
Ф>
с ) + ц ь ,
Ф ,
т—1
= У \ [I (**/• с) + / (■**!• <*)] + 2 1
1§§ ^ ^
т —1 п —1
5
X , / (*»Л Уа/).
1=1 /= 1
5 * = 2 -1 4 ^ Ч
<=0 /= °
2
’
2
Если в предыдущих рассуждениях использовать формулу (27), то
I (.X, у) Ох йу к ^
— ~ (5 1+ 5 «+ 45з)«
(29)
а с
343
где
/2 - 1
2
2
/= О
+
т —1
I ( Х21 "4“ х2 (I +1)
л ^ I р ( х2* Н х2 (/ + 1) Л
Ч ------- 2------- ’ У + П
2
’
2
^
+
/=0
т -1
л-1
5 2= X Е /
1= С /= О
т —1 я — 1
5
Е Е
1=0 /= О
*2/ + *2(/+1)
2
ЩШ4~#2(/4-1>
2
_Х21 ”1” Х2 (I +1)
V ./
I ------- 1------- > У 2 / ] + П * 2 /
2
*/2/4-*/2</ + 1Л
2
Формулы (25)—(28) дают точный результат,
если подынтегральная функция является много­
членом не выше третьей степени от перемен­
ных *, у у т. е. / (*, у) = Р 3 (*, У).
в) Пусть область О определена неравен­
ствами х0 ^ х ^ х2, Уо (х) Щ У < Уг (х) • Пр ямой
*1 = (*о + * 2)/2 и линией уг = [*/0 (*) + У2 Ш / 2
разобьем область О на четыре части (рис. 79).
Обозначим
(х[) = у ц . Как и ранее, / Л У//) =
= 21/ (1> / = 0, 1, 2). Рассмотрим
** & (*)
/
я
х0 у о (*)
Рис. 79
Применяя несколько раз малую формулу Симпсона, в результате получим
следующее приближенное равенство:
Хг
И 7 0 е* У) <*х йу
- Ш 02 УОй) (200 4г01 + %а) +
36
о
+ 4 (г/12 — йо) (2ю + ^2и +
+ (|/22— Уго) (г 2о+ щШ+ %з) ] •
(30)
Заметим, что если у г (х) — у 0 (х) = к = сопз!, то формула (30) принимает вид
^ _
16г 11
/(* , у) йХ йу & к 2 ос'— [200 + г02 + г20 + 222 + 4 (2<)1 +
+ *12 + г21)
36
(31)
о
В частности, формула (31) справедлива, если областью интегрирования й явй со сторонами, параллельными осям
ляется прямоугольник а ^ х ^ Ь , с ^ у
координат. В этом случае
(Ь— а) (4 — с)
/ ( а , с ) + / ( а , й) + ПЬ, # +
/(дг, у ) т Щ
36
П ь , <9+4 | § | й
+ /
а+ Ь
~Т~
+ /
16/
а-\-Ь
2
с -4-4
2
а+ 6
2 * С) " Ь
(32)
Формула (30) дает точный результат, если подынтегральная функция является
многочленом третьей степени относительно у при фиксированном х и результат
вычисления внутреннего интеграла— многочленом не выше третьей степени
344
по х. Формула (32) точна, если [ (х, у) — многочлен третьей степени относи­
тельно х при фиксированном у (или относительно у при фиксированном х).
г) Если областью интегрирования О является круг с центром в начале
координат и радиусом г (рис. 80), то для приближенного вычисления двой­
ного интеграла целесообразно перейти к полярным координатам:
2л
И / (*, у) ах йу= ^ Лр ^ / (р соз ф, р 31Пф) р ар.
0
0
Разделим прямоугольник в плоскости <рОр (рис. 81) прямыми ф = я и р = г/2
на четыре равные части. Вычислив значения подынтегральной функции в узлах
и применив последовательно формулы (24) и (26), соответственно получим
г
0
(33)
/(* , у) йх йу
Т ['<'■ ° ) + 1 (
2
О
| | /(*» У)йхйу «
/
г
2
о
0 )+ /
и
(34)
где 5 = я га— площадь круга. Формулы (33) и (34) точны, если Р (р, ф) — мно­
гочлен не выше третьей степени относительно р и ф .
Используя формулу (32), получим
Ц
I 0) + 4/
! (х, у) й х й у ж ^ ^ / (г, 0 ) 4 - 2 / ( у , 0 ^ + 2/ (
I
о
2
О
(35)
Эта формула точна, если функция Г (р, ф) является многочленом не выше
третьей степени относительно р при фиксированном ф (или относительно ф при
фиксированном р).
Ш
М
г
2
Я
0
Рис. 81
Рис. 80
I]
д) Если область интегрирования ограничена эллипсом х2/а2-\-у2/Ь2= \ , то
с помощью преобразования координат по формулам х = арсозф , у = а р $ шф
двойной интеграл можно переписать так:
2л 1
^ / (х, у) Ох&у я ^ ^ аЬр-} (ар соз ф, Ьр з!п ф) Ор йср.
/
п
0 0
Формулы (24), (25) и (32) для такой области соответственно примут вид
I
■
I /V
Г
8
/V
В
П а , 0) + 2
2
0
5
[
/
(
|
.
°
)
+
/
(«
.
0)
+
/
(
3
Г/ ( а , р В
З р
3
где 3 = паЬ — площадь эллипса.
° ) + 2 / ( - а , 0) + 4 / ( - | - , о ) ] ,
(36)
(37)
(38)
345
1213. Вычислить двойной интеграл В
И
I +
У)2 4 * Щ
если
О
область Ш ограничена линиями я = 1, х — 3, у — х 2, у
х + х*.
д Сначала найдем точное значение интеграла:
3 Х+Х*
5
I
1 Г
.
*
1
о 1*+*
1
^
I
[(2х+х2)3—(х+ **)*] йх
з
1
3 | ( 7 > + 9 ^ + 3 ^ ) ^ = 1 [ 1 х * + - | х * + 1 х в] 1
1
I
1 /567 . 2187 . 729 7
91
1 ( т + Т + Т - 'Я ш
| В
Й
|
Найдем приближенные значения двойного интеграла по формулам (4), (6),
(7), (8) и (22) и сравним эти значения с точными.
I - Положим т= = 4 , л = 4. Значения Щ (1 = 0, 1, 2, 3; ; = 0, 1, 2, 3) вычис­
лим, пользуясь формулой (9):
Ш /= Х 1Ч—
|
+ 1||
Т ак как х0= 1, х1= 1 ,5 , х2= 2 , ха = 2,5, х4==3, то Уоо == 1> У п | Л § §
«/02=1.5; «/0з = 1 ,7 5 ; </в1 = 2, у 10 = 2,25; г/и = 2,625;
Уи — 3,75, «/20 = 3,75; «/21 = 4 ,5 ;у 22= 5 ; ^ 23 = 5 :5 ;* „ = 6;
^ 6 25 {,31 - 6,875
Уз2 = 7,5; */зз= 8,125; 1/34 = 8,75; «/40=-9; «/«. = 9,75; У а — 10,5, {/13_11,125
н44= 1 2 . Согласно формуле (3), имеем
*/+1
|
I
| , ЩИЩ
Щъ+1
1 / 45
т
=="й'
*Л
‘1+1—
***“
XI
О
ш
Д ля 1= 0, 1, 2, 3 получим Ао>о= 0,156; Дсо1 = 0,219; А(о2 — 0,281; Д<0з —0,344.
Далее, так как
* ,, = ( * /.+ « ,) •
(* = 0, 1, 2, 3; / = 0, 1, 2, 3),
то 20о = 4; 201 = 5,063; 202 = 6,25; 20з = 7,563; г 04= 9; | ц у р 14,063; 2ц «
г 12 = 20,25; 213 » 23,766; 2И « 27,563 ; 220 = 36; 22х = 42,25; 222 = 49; 223 = ^*25;
г24 = 64; 2зо « 76,563; 231 « 87,891; 2з2 = 1 0 0 ; 2^3 = 112,891; 2.34 ^126,563;
г ! « 144; 2.п » 162,563; 242 = 182,250; 243 = 199,516 ; 244 = 225.
Используя теперь формулы (4), (6), (7) .и (8), соответственно находим
з
2
1=0
з
з
2 2и = 2
/= 0
*= 0
• 7 р ш 1 1Ш И Е И Н Шш
(2*° "Ь2/! + -2/2 + 2/з)
Щ
22,876-0,156+75,095-0,219+ 183,5-0,281 +377,345-0,344 « 201,386;
3
з
3
2 Аа)1 2
55=8 2 * *
+
2 + 2/ + 1, з) ц
1=0
/~ 0
1=0
/V 75,095-0,156+ 183,5-0,219 + 377,345-0,281 +688,329-0,344 « 394,721.
3
3
3
]
2 А©/ 2 г*1 / + 1 = 2 ^ 0 *‘ (211“Ь 2«2+ 213+ 2|4)
рх о ■ / = о
!
11 щ
н |
/%/ 27,876-0,153 + 88,595-0,219 + 211,5-0,281 +427,345-0,344 « 230,190;
Л/
343
|
3
2
II
2
2 / + 1, / + 1 =
(2 / + X, 1 +
2 / + 1, а +
г / + 1 , 3 + 2 1*+ 1 ,
~
/= 0
1= 0
Л
- V
« 88,695-0,155 + 211,5-0,219 + 427,345-0,281+769,329-0,344 » 444,873.
Абсолютная и относительная погрешности полученных значении довольно
велики, что объясняется малостью чисел т и п .
Применяя приближенную формулу (22), получим
/
201,386 + 230,190 + 394,721 + 444,873
4
1271,17
4
317,793.
Тогда относительная погрешность
б = 317’7 9 2 - 3 13:2 , шо%
1214. Используя неравенство (21), дать оценку двойного ин­
теграла
В Iш
+ у * ) й х й у , если область щ — прямоугольник,
о
ограниченный прямыми х = 0, х = 4 , у — 1, у = 5.
(х, у)
у2>Кт у)
2, р (*, у)
| {х, Щ
у) = 2у,
!X
Здесь ! (х , у) х 2
х ТГ'Г * / , 2х,^ | У
а
= 2, /* (х, у} = 0, поэтому условия АС — В2 > 0, Л > 0, С > 0 выполнены. Поло­
жим т = 4, п = 4. Значения х и г/, соответствующие точкам разбиения, таковы:
Хо= 0, хх= 1, х2 = 2, дг3 = 3, х4 = 4, г/0= 1, 1/1 = 2, г/2= 3, */3 = 4, у4 = 5. Так
как 2/ / = Дс| + #/, ТО г00 = 1, 201= 4, 202 = 9, 20з — 16, 204 — 25, 2ц,— 2, 2ц = 5,
212= 10, 213= 17, 214 = 26, 22о = 5, 221 = 8 , 222= 13, 22з = 20, 224 = 29‘, 2зо = Ю,
2з1=13, 2з2= 18, 2зз = 25, 234 = 34, 24ц = 17, 241 = 20 , 242 = 25, 243 = 22, 244 = 41.
Согласно формуле (20) имеем
Д
/
я
^ ( 5 0 + 25 1+ 45 2),
где 5* = 1+ 2 5 + 17 + 41 = 8 4 , 5 1= 2 + 5 + 1 0 + 20 + 25 + 3 2 + 34 + 2 9 + 26 + 4 +
+ 9 + 1 6 = 212, 5 2 = 5 + 1 0 + 1 7 + 8 + 1 3 + 2 0 + 1 3 + 18 + 2 5 = 129. Следовательно,
/
I
(84 + 2-212+4-129)
4
1024“= 256.
Для приближенного вычисления двойного интеграла по формуле (17) сна­
чала найдем */ = (*7+1 + .к/)/2, У/ = (*//+1 + 1У/)/^ (( =19> 1, 2, 3; / = 0 ,[ _1, 2, 3);
имеем дг0 = 0,5; * 1 = 1.5 ; х2 = 2,5; х3 = 3,5; у 0 — 1,5; (/1 = 2,5; у2 = 3,5; */3 = 4,5.
х*-\-у) и вычислим
Обозначим г
II
О
сл
ю
сл
го
II
= 0,5*+ 1,5*’== 2:5;
= 6,5;
*01
^02 = (У,52 + 3,52'== 12,5;
2рЗ = 0,5*+4,5* =1 20,5;
^20 = 2,5У+ 1 ,5 2 == 8,5;
2^1 = 2,5г + 2 ,5 а == 12,5
222 = 2,5г + 3 , 5 2 =-18,5
г 23 = 2,5г+ 4 ,5 2 == 26,5
*0 0
710= 1,52+ 1,52 = 4 ,5 ;
1,52 + 2,52 = 8,5;
212 = 1,5* + 3 ,5 * = 14,5
213= 1,52 + 4,5 2 = 22,5
2зо == 3,52 + 1,52 = 14,5
2з! = 3,5 2 + 2,52= 18,5
г » = 3 ,5 ? * & % = 2 4 ,5
233 = 3,52 + 4,5? = 3 2 ,5
347
Тогда
*
/ 1 Я
4.4
(2,5 + 6,5+12,5 + 20,5+4,5 + 8 ,5 + 1 4 ,5 + 2 2 ,5 + 8 ,5 +
+ 12,5+18,5 + 2 6 ,5 + 1 4 ,5 + 1 8 ,5 + 24,5 + 32,5) = 248.
Итак, 248 < / < 256.
Найдем точное значение интеграла:
/
3
125
„
1\ .
ГI
( 5«, + !г - д‘а - т ) * ■
к
о
Ё
] 124 Ц
I
41
ЩШ 1 о
11
ах
25о 2 « 250,667.
3
Таким образом, приближенные формулы (20) и (17) дают соответственно отно­
сительные погрешности
1215. Используя формулу (32), вычислить двойной интеграл
^ ^ (ха+ 2 у)<1хд.у, если область Э — прямоугольник 0
/
0 < у < 6 .
Д Вычислим точное значение интеграла:
Ш
А
1 = \ 0 х ^ ( х 2+ 2 у ) й у = ^ [ х 2У + г/2] о ^ = | (6хг + 36)Лс = {^2л3 + 3 6 х ^ 0— 2/2.
0
0
о
о
Здесь а — 0, ЬШ4, с = 0 , й = 6; /(* , у ) = х * + 2у, /( а , с ) = 0; /( а , <9 = 12;
П Ь, с) = 16; /(» . <0 = 28;
Н
/ ( ' д + й , <^ = 16; / ( а ^ Ь ,
4 6
/ = Г ^ (ха
0 0
=
2|/) й х й у —
Ш
И
/ ( ^ -
Применяя формулу (32), находим
[ 0 + 1 2 + 1 6 + 2 8 + 4 ( 6 + 2 2 + 4 + 1 6 ) + 16-10] =
»- ■' ^ ■->
;-**■хьв+4*
(55 + 4 -4 8 + 1 6 0 ) = 272.
О
Мы получили точный результат, так как подынтегральная функция / (х, у)===
х2 -|- 2 у — многочлен относительно х и у, имеющий степень ниже третьей. Д
С С ( х2
у 2\ ^
1216. Вычислить двойной интеграл / — \ \ ^ 9 + 4 )
*
«
ахау,
т
если область О определена неравенствами —3 < х §§ 3, — 2
2.
'
"
3'
ШШ!■
у
:
Д Перейдем к пол-ярным координатам, полагая х = З р со з< р , у = 2 р § 1 п ф .
Тогда хг/9 + «г/4 = р2, 0*^<р*^2п, 0 С р = ^ 1. Воспользовавшись формулой (38),
348
найдем приближенное значение интеграла:
1 * 4 я ( 1+ 2 ' Т + 2 + 4 4 ) = Т я ( 3+ 1 ‘+ т ) =я2,5я*
\
Точное значение интеграла составляет
Е
2Л |
“
2л
6
5
/ а = 6 ^ ^ р4 йр Лр = - | ^ р 6 |о
0 0
о
2л
Ф
2,4л.
0
Относительная погрешность б = (2,5л—2,4я)/2,4я* 100% « 4,2%. Д
1217. Найти приближенное значение двойного интеграла / =
^ - \ - д \ & с й у по формуле (30), если область О ограничена
щ
линиями х = 29 х = 4, у = щ]2 и у = 2х.
Д Найдем точное значение интеграла:
2х
I
йх
*
| -+
.У
У+
2
2
у ) лу
2х
х 2/2
йх
X* /2
х2 + 2х2
4
8
х*
йх
16
40
2
64— 16—25,6—8 + 1 + 0 , 8 = 16,2.
Здесь
х0 = 2, х2 = 4, ^1 = (*о + Ш/Й = 3, у0 = **/2, #2Ы « / 1 = (^о+ У2)/2 =
г 74 + х ;
У г / — У] ( щ ) ; 1/оо — Уо | | 1 = 2, Уо1 == 1/1 (*о)= 3 , |/о2 — $2 (*о) =
<?0() = 3 , 201 =
1/10 = 1/0 (*1> = 4 »5’ 1/11 = У\ (*1> = ®>'1% 1/12 = 1/2 (%) = 6,
1/20 = Уо (хъ) = 8* 1/21 = 1/1 (*г) = в, 1/22 = 1/2 (%) = 8.
г«7 = /(*/» У1у) = хц'2-\-у1 ] (*, 7 = 0, 1, 2);
4, 202 == 5, 2 ю = 6, 2 ц = 6,75, 2\ч = 7,5, 2 2 0 = 1 0, 221 = Ю,
По формуле
4
2х
(3 0 )
222 =
Ю.
получаем
\
/ = ^ ^ ( т + ^ ) ^ * ^ = ~36~ 1(4“" ^ (3 + 4 - 4 + 5 ) + 4 (6— 4,5)X
2 дг*/2
X ( 6 + 4 -6 ,7 5 + 7,5) + (8 — 8) (10 + 4 - 1 0 + 1 0 ) ] = 1 6 - - = 16,167. А
1218. Используя формулы (26) и (32), найти приближенные
значения двойного интеграла / = 1 1 { х у - \ - 3 ]/^ у ) й х й у 9 если область О — прямоугольник 0 ^ л : ^ 2 , 1 Щ $ ^ Ж \
349
§ 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО К ВЫЧИСЛЕНИЮ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ И КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
1. Вычисление определенных интегралов методом Монте-Карло, а) Требует1
И В _ •■ ■ ■
^
ся вычислить интеграл ^ ф (1)й1. Пусть / — равномерно распределенная слу0
| }
ш
чайная величина, р ( ( ) — плотность распределения вероятности этой случайной
величины:
I
|
( 0 при / < О,
/?(О = ч 1 при
| 0 при / > 1.
Тогда математическое ожидание случайной функции <р (/) определяется равен­
ством
Й
И
м[ФЯ 1 5 ф(о ртл.
О
Учитывая значения р(0» получим
1
м [ф (01 = ^ ф (0 <Н-
0)
ч)
О
Найдем приближенное значение математического ожидания. Пусть в результа­
те N испытаний получено N значений случайной величины:
/2» •••>
Эти значения можно взять из таблицы случайных чисел (см. табл. VII на
с. 415). Тогда приближенное значение М [ф (/)], согласно теореме Чебышева,
определится из равенства
АГ
м [Ф (/)] И ' У ф И
(2)
N
1=1
Из равенств (1) и (2) следует, что 1
N
Г Ф (0 (41) ~ д Г ^ Ф (*()•
О
1
(3)
б) Рассмотрим теперь общий случай: пусть требуется вычислить интеграл
Ь
: * '
•
^
С / (х) йх. Перейдем к новой переменной I с помощью равенства х = а - { - ( Ь — а)1,
а
Тогда
^ / (х) й х = (Ь— а) ^ ф (0 ли
а
чО
(4)
где ф (0 — Ц а -\-(Ь — а) /]. Используя формулу (3) для приближенного вычисле­
ния интеграла в правой части равенства (4), получим
дг
Ь
/ (х) йх « ^
а
350
Ь
• V ф (*/), или С / (х) йх «
IV ^ т 4
гв у ™ ------ N
1=1
а
N
V
4=1
/ (*;)»
(5)
Расчетная таблица для вычисления определенного интеграла по формуле
(5) имеет вид
1 д
и
1
2
к
•
#
•#!
N
| (X;)
х - - а ^ ( Ь - а ) (•
Н Х 1)
/ ( ||
•
•
•
х%
Щ
ш
V
Щ
•
•
•
(V
?(хы)
N
2
1=1
Изложенный метод приближенного вычисления определенных интегралов
с помощью формулы (5) является одним из частных случаев метода статисти­
ческих испытаний (метода Монте-Карло).
в) Укажем другой способ вычисления определенных интегралов, основан­
ный на использовании метода Монте-Карло. Из геометрического смысла опре|
деленного интеграла следует, что интеграл I = ^ / (я) йх выражает площадь кри■
а
волинейной трапеции, ограниченной линиями х — а, х = Ь, у = 0. */ = /(*), если
функция /(*) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим пря1
[
I
Рис. 83
Рис. 82
моугольник, ограниченный прямыми х = а, х —Ь, у —0, у — М, где М ^
^ шах /(*).(рис. 82). Если функция /(*) удовлетворяет неравенству | (X) ^ О
не во всех точках отрезка [а, Ь\, то будем пользоваться тождеством
I
[Ь
Ь
'
[. 11
^ у'
Г /(*) а х = ^ Щ(*) + Л] йх— к (Ь— а),
а
а
где число Н > 0 подобрано так, что / ( х ) + ^ ^ 0 для х ^ [ а , 6].
Данный метод, так же как и предыдущий, основан на использовании таб­
лицы случайных чисел, принадлежащих промежутку [0, 1|. В связи с этим
необходимо от переменных х, у, перейти к переменным §, ц так, чтобы область
Ь< преобразовалась в некоторую область О, лежащую внутри единичного
квадрата
(Рис- 83Ь Дл * этого положим х = а + (Ь— а)
351
и при изменении х в пределах от а до Ь переТогда йх= :ф — а)
менная 5 принимает значения от 0 до 1. Данный определенный интеграл преобразуется к виду
I
у=М г).
/
( Ь - а у М С Ф (|) й\.
(6)
О
где
1
(7)
Из равенства (7) следует, что } Щ = Мер ( |) . Рассмотрим множество случайных
точек | | § т|1>, (||§
•••» Ш ! ЛаО» равномерно распределенных на единичном
квадрате. Пусть в область О попадет п точек. Так как случайные точки рас­
пределены равномерно, то
!
п
N
по вероятности
о
1
где число 1 выражает площадь единичного квадрата. Тогда
1
п
N *
IЙ Й !
о
(8)
Из равенств (6) и (8) можно заключить, что
/ (х) ах
(Ь— а) п М
N
(9)
а
Это и есть формула приближенного вычисления определенного интеграла мето­
дом Монте-Карло.
!
*
Чч
|
Приближенное равенство (9) можно переписать так:
Ь
а
П
Ж (Ь — а)
N
( 10)
откуда следует, что отношение площади криволинейной трапеции
к площа­
ди прямоугольника (см. рис. 82) приближенно равно отношению числа слу­
чайных точек, попавших внутрь криволинейной трапеции и внутрь прямо­
угольника.
Расчетная таблица для вычисления определенного интеграла по формуле
(9) имеет вид
•
1
1
11
2
ш
V
•
N
352
•
А
1»
%
Х;= а + (Ь - а ) Щ
&•= М Щ
%
Ла
XI
Уг
Уг
•
А
•
•
Хг
Ш
•
•
Ль
ХЫ
•
•
у Г 1 (хц
!
( х г)
/(**)
•
•
•
уы
1(хы)
Среди значений щ (1 * 1 , 2,
Л') надо выбрать те, для которых выполня­
ется неравенство у,’ < У,\ Число этих значений равно п.
2. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло, а) Требуется
вычислить ^ ^ / (я, у) йх йу , где область В определяется неравенствами а
\§/>
ф! ( х ) < У < ф * (*)• Будем считать, что непрерывные функции ср, (х)
и ф'2 (х) на отрезке [а, Ь] удовлетворяют неравенствам фх (дг) ^ с, фа
(рис. 84)*
Произведем замену переменных по формулам х = а~{ (Ь— а ) 1 %у с~|~(<1 —
с) п. При таком преобразовании область В переходит в область Л, содер-
й
У*п(х)
Рис. 85
Рис. 84
жащуюся в единичном квадрате
0 ^ у ) < ; 1 (рис. 85). Пусть п —
число случайных точек (§/; т$| (1 = 1, 2, . . . , я), попавших в область А, а N —
число случайных точек, расположенных внутри единичного квадрата. Очевидно,
что в область В попадет п точек (дг,-; у/), где * / = а + (6 — а)
у \ = с -\- (й —
с) г1/ (* = 1, 2,
л). По теореме о среднем имеем
/ ( * , у ) й х й у & / (х 9 у ) - 3 ,
0 0
й
где (*; у ) $ В , а 5 — площадь области В. За приближенное значение / (х9 у)
возьмем среднее арифметическое значений функции /(* , у) в п случайных точ1ГА«Г
ПАПОПМШУ в
та область В:
Г) •
ках, попавших
ЯШ Я III
Н х , У) ~ — У \ [
П
1=1
(*«. уд-
О2)
Учитывая равенства (11) и (12), получаем
п
/ (*, у) Ох йу и 4 - У 1 \/ (■*/• у«')*
п . .
О
1=1
03)
Формулой (13) удобно пользоваться, если площадь 5 вычисляется легко.
По аналогии с формулой (10) можно записать
5
(й— с)(Ь — а)
п
N
где 5 —площадь области В . Тогда
5 * »
12 № 1814
(14)
353
и
(14)
п
о
л
у
ч
и
м
формулу
для
приближенного
вычисления
двоиИз равенств (13)
ного интеграла:
п
чУ
О
/(дг, у) йх йу
(Ь — а) (й— с)
У , / (*/. Уд,
N
(15)
1
При вычислении двойных интегралов с помощью приближенной формулы
(15) удобно использовать расчетную таблицу:
1/
%
__________
Л!
Л2
41
и
ш
Щ
#
;•
#
Л^
1 //
х-=л+(Ь-а) 1-
у .~с + {(1- с) Л/
Х\
Хг
у1
Уг
( (X; , У;)
|
•
•
Ш
•
ф2 (-«О
фг (хг)
!ЙЦ(*1> У1)
/ (*2, Уг)
•
•
•
1Ав
•
ф! (*Лг)
•
УМ
•
ХМ
ф 1 (*1)
фх С*?)
•
•
•
фг | р §
/ §§ц ш
Среди значений У1 (1 < ь Щ надо выбрать те, для которых выполнено условие Щ ^ у
Уь Их число равно п .
б) Обобщим формулу (9) на случай двойного интеграла
если область Э определена неравенствами
значим через М такое число, что М Ы т а х
1о
ф! (х) Щ у < ф2 (*) Об°‘
[ (х, у).
Двойной
интеграл
щ
/(* , у ) й х й у , как известно, выражает объем цилиндрического тела V', опо
ределенного неравенствами а ^ х<^Ъ, фх (д:) < у < фз (*)> 0 < 2 ^ / (д:, у). Это
цилиндрическое тело расположено внутри параллелепипеда а ^ х ^ Ь , с < у Щ а ,
О< 2 < М .
,
1; , м
л* _
Перейдем к новым переменным
% & по формулам х — а-\-(о — а)
у —с .
_с) г], 2 = М^. Тогда область V преобразуется в область О, определен­
ную неравенствами
О
1,
ЙИ(х)
й
й
Ш
Я
плоскост
ями
^
лежит
внутри
единичного
куба,
ограниченного
Область
=
0,
г
)
=
1,
?
=
0,
5
=
1
.
Значит,
Ю * Л
I
(Ь— а) [Л — с ) 'М
0
Фр; Т1) | | | | ?
где ф(?, Ч) = т г [ [ а + ( Ь — <01» с + ( 4 — с) лГ. а Д — область, полученная из об-
ласти О после замены переменных..
_
^
Рассмотрим множество случайных точек (§1; Л ь ъх)» (&2 »%? ьг)» • • •» (§ЛГ>
-пдг; ^дг), равномерно распределенных внутри единичного куба. Число этих то­
чек, попавших в область А, обозначим через п. Так как случайные точки
распределены равномерно, то
П по вероятности
N
354
И Я Р
^ в
или Щ Ф(I. п) 41 §ч ~ %
Возвращаясь к переменным х и у, получим приближенную формулу для вы­
числения двойных интегралов методом Монте-Карло:
г/
^
Ф~~ а)(Л— с)пМ
/ (х, у) йхйу Щ I------ --------------- .
И
ЖШ .
(16)
О
Расчетная таблица при использовании формулы (16) имеет вид
Ч/
С/
С*
Ъ1 I I
С»
Ъ2
?>1
х±
^2
Хл
У±
У2
9
•
•
•
•
•
•
1
2
\ • -
•
ПЛГ
•
•
•
«ГГ
•
N
х-= а + {Ь-а) 6. У; = С+ (а-С) Щ.
*
•
1 б
у0
1
21
Г ( х и Ух)
22
Ф1 ( ^ )
Ф1 (**)
ф2 Ш
Фа (*а)
•
#
•
я
•
А
•
•
•
•
ш
•
•
• Л
•
хм
УиV
ф1 ( Ш
'ф 2 (Х*Г)
/ (*2, Уг)
щ
I (* М У я )
Число л находится следующим образом: среди значений у( (/ = 1, 2, . . Щ
надо взять те, для которых справедливо неравенство
^
(17)
Ш < У1 < ~Л-
Соответственно этим значениям у[ среди значений 2/ следует выбрать те, для
которых выполнено условие
21 < Ш
(Щ
Заметим, что целесообразно находить не все значения 2 ,* = / (*/, у/), а лишь
соответствующие тем Ц , для которых выполнено условие (17).
в) Формула, аналогичная соотношениям (9) и (15), имеет место и для
А-кратных интегралов:
.
И
- у (ч
пМ
, х г ......... Хь) й х 1й х г . . .йХк м ■ ‘
к
Д {Ь[— а,),
1=1
(19)
где область V принадлежит ^-мерному параллелепипеду, координаты точек
которого удовлетворяют к неравенствам щ Щ ^ Ь[ (1 = 1,2, . . . , &), а функ­
ция / (лгх, х2,
*к) непрерывна в области V и удовлетворяет условию О
I (%, х%,
Вывод формул (9), (15) и (16) основан на использовании понятия сходи­
мости по вероятности. Поэтому соотношение п/Ы тем устойчивее, чем большей.
Это означает, что для любого сколь угодно малого числа > 0 вероятность
неравенства 1/ — 7 | < е, где / — точное значение интеграла / — его приближен­
ное значение, найденное методом Монте-Карло, возрастает с увеличением N.
Тем не менее может случиться, что и при очень больших N окажется, что
I / —7 I > е. Последнее обстоятельство на практике встречается редко.
Что касается метода Монте-Карло, то приведенные примеры имеют иллюст­
ративный характер, преследуя цель познакомить учащихся с сущностью
метода.
В силу сделанных выше замечаний, для приближенного вычисления ин­
тегралов с помощью метода Монте-Карло необходимо использовать ЭВМ,
составив предварительно соответствующую программу метода.
12*
355
1219. С помощью формулы (3) найти приближенное значение
1
V •
■<•»» ж : '
-
Щ Щ взяв из таблицы случайных чисел на
интеграла /
о
цифрами.
Д Расчетная таблица имеет вид
•
и
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,857
0,457
0,499
0,762
0,431
0,698
0,038
0,558
0,653
0,573
1
Л
и
II
0,070
0,692
0,696
0,203
0,350
0,900
0,451
0,318
0,798
0,111
0,005
0,478
0,484
0,041
0,122
0,810
0,203
0,101
0,637
0,012
___
0,734
0,209
0,249
0,581
0,186
0,487
0,001
0,311
0,426
0,328
0,371
0,032
0,949
0,0001
0,010
0,648
0,266
0,088
0,609
0,179
0,974
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
$ хвд
0,011
0,098
0,805
0,516
0,296
0,149
0,815
0,022
0,664
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Таким образом,
30
зо
2 ( 1 - ^ = 3 0 - 2 ^ = 30 - 9,455 = 20,545,
1= 1
С =1
откуда по формуле (3) получаем
1
1
(1 — /2) <ИЩдо •20,545 « 0,635.
о
Точное значение интеграла есть
1
*
1
О
2
3
0,667
Значит, абсолютная погрешность составляет | 0,667— 0,6851= 0,018, а относи­
тельная погрешность 6 = (0,018/0,667)* 100% « 2,7%. Д
1220. Вычислить определенный интеграл / = \ (§? + *3) 4%, исформулу
Д Из таблицы случайных чисел возьмем 20 значений, начиная с третьего.
Расчетная таблица имеет вид
356
•
•I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
л
н
х1 = 2 + ^
*?
X3
1
/(*/)=*?+•*?
0,499
0,762
0,431
0,698
0,038
0,553
0,653
0,573
0,609
0,179
0,974
0,011
0,098
0,805
0,516
0,296
0,149
0,815
0,070
0,692
2,499
2,762
2,431
2,698
2,033
2,558
2,653
2,573
2,609
2,179
2,974
2,011
2,098
2,805
2,516
2,236
2,149
2,815
2,070
2,692
6,245
7,629
5,910
7,279
4,153
6,543
7,038
6,620
6,807
4,748
8,645
4,044
4,402
7,863
6,330
5,276
4,618
7,924
4,285
7,247
15,606
21,070
14,367
19,639
8,464
16,738
18,672
17,034
17,759
10,346
26,305
8,133
9,235
22,07
15,926
12,104
9,924
22,307
8,870
19,508
21,851
28,699
20,277
26,918
12,617
23,281
25,710
23,654
24,566
15,094
35,150
12,177
13,637
29,938
22,256
17,380
14,542
30,231
13,155
26,755
^
|
1
)
20
Используя формулу (5) при а = 2 , Ь = 3, М = 20, 2
V
^ (*/) =437,888, находим
1=1
/ « 437,888/20 = 21,894.
Точное значение интеграла есть
О
I
\ (X2+*») йх
3 = 2 2 - ^ я 22,583.
2
Ы
Относительная погрешность составляет
б — (22,583 — 21,894)/22,583-100% « 3 , 1 % . А
1221. Вычислить определенный интеграл 1 = ^ ( х 9-\-х*)(1х, ис2
пользуя приближенное равенство (9).
Д Здесь а = 2, 6 = 3,
шах
2< *< 3
(хя+ **)=* 36. Положим * =
у = 36г].
Из таблицы случайных чисел возьмем 40 значений (Л/= 20). Расчетная таблица
имеет вид
357
а
||
0,857
0,499
0,431
0,038
0,653
1 0,609
0,974
0,098
0,516
0,149
0,070
0,696
0,350
| 0,451
0,798
0,933
0,183
0,338
0,190
0,449
0,457
0,762
0,698
0,558
0,573
0,170
0,011
0,805
0,296
0,815
0,692
0,203
0,900
0,318
0,111
0,199
0,421
0,104
0,150
0,320
2,857
2,499
2,431
2,038
2,653
2,609
2,974
2,098
2,516
2,149
2,070
2,696
2,350
0,451
2,798
2,933
2,183
2,338
2,190
2,449
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Н
О д
I
*,-=2 +*,-
1
И
о
ш
,2
I
*
8,162
16,452
щ
6,245
27,432
5,910
25,128
4,153
20,088
7,038
20,628
6,444 1 6,807
8,845
0,396
4,402
28,980
6,330
10,656
4,618
29,340
4,285
24,912
7,268
7,308
5,523
32,400
11,448 I 6,007
7,829
3,996
8,602
7,164
4,765
15,156
5,466
3,744
4,796
5,400
5,998
11,520
31,481
21,851
20,277
12,617
25,710
24,566
35,150
13,637
22,256
14,542
13,155
26,863
18,502
20,730
29,735
33,832
15,167
18,246
15,239
20,687
23,319
15,606
14,367
8,464
18,672
17,759
26,305
9,235
15,926
9,924
8 870
15,535
I 12,979
14,723
21,906
25,230
10,402
12,780 |
10,503
14,689
.Я
Как видно !из таблицы, п = 1 3 . Следовате льно, по формуле (9) находим
/ « (36-13)/20 = 23,4; 6 = (2 3 ,4 — 22,583)/22,583-100% « 3,6% . Д.
1222. Применяя формулу (15), найдем приближенное значение
(х + 2у) Ах Ау, если область О задана
двойного интеграла /
неравенствами
У
х (рис. 86 ).
Д Здесь а = 0, 6 = 1 . Так как область О расположена в единичном квад­
рате, то нет необходимости переходить к новым переменным. Из таблицы слу­
чайных чисел возьмем подряд 20 значений. Расчетная таблица имеет вид
I
I
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,857
0,499
0,431
0,038
0,653
0,609
0,974
0,098
0,516
0,149
358
У
0,457
0,762
0,698
1 0,558
| 0,573
0,179
0,011
0,805
0,296
| 0,815
Ш= * |/2
ШшХ1
0,428
0,249
0,215
0,019
0,326
0,304
0,487
0,049
0,258
0,074
0,857
0 ,,499
0,431
0,038
0,653
0,609
0,974
0,098
0,516
0,149
2У:
I Щр У
0,914
1,771
11146
1,799
0,592
1,108
2у (
По формуле (15) при ЛГ = 1 0 и п = 3 получаем
/«(1,771 + 1,799+ 1,108)/Ю = 4,578/10 и 0,453.
Найдем точное значение интеграла:
1
1 х
(/ Л 2у) йх йу
1
П ч-, О
н
0
1
2у) йх йу
Х /2
1_
(9л:2— 4х2) йх
4 1
о
5
1
йх
(х+2у) 2
4 С
х/2
о
х3 1__ 5_
Т ' ’З о
12
0,417.
Тогда 6 = (0,458—0,417) 0,417-100% » 9,82%.
Здесь, как и в других примерах, число п — 3 недостаточно для того, чтобы
в должной мере могли проявиться статистические закономерности. Тем не ме­
нее для грубой ориентировки получен удовлетворительный результат. Д
Рис. 86
Рис. 88
Рис. 87
1223. Вычислить по приближенной формуле (16) двойной ин­
теграл / == ^ ^
х-\- У Ш$. йу*
область О ограничена линиями
х = 0 9 х = 4, у**3х, у = 8х (рис. 87). г
Д Записав данный двойной интеграл в виде повторного, имеем /
4 8х
0 , 6 = 4 , ф! (х) = 3 * . ф2 (х) = 8лг; далее, фхЩ Йэ0,
У
ф2 (*) < 3 2 , поэтому с = 0, й = 32. Так как
тах
УЛ* + у = 6, то произведем
о < уШ32
замену переменных по формулам х = 41, у =32т|, г = = 6 ^ Прямые у = . " йи
и = 8х преобразуются соответственно в прямые т| = (3,8) | . ч — в (рис. об), и з таолицы случайных чисел возьмем 60 значений (ЛГ = 20). Расчетная таблица
имеет вид
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0,857
0,762
0,038
0,573
0,974
0,805
0,149
! 0,692
0,350
10,318
0,933!
0,421
0,190
0,320
0,369
0,960
0,168
0,703
0,233
0,473
0,457
0,431
0,558
0,609
0,011
0,516
0,815
0,696
0,900
0,798
0,199
0,338
0,150
0,165
0,069
0,652
0,261
0,142
0,424
0,645
0,499
0,698
0,653
0,179
0,098
0,296
0,070
0,203
0,451
0,111
0,183
0,104
0,449
0,617
0,248
0,367
0,189
0,486
0,291
0,514
;= 4 ? 1 -
3,428
3,048
0,152
2,292
3,896
3,220
0,596
2,768
1,400
1,272
3,732
1,684
0,760
1,280
1,476
3,840
0,672
2,812
0,932
1,892
У1 = Ъ х [
II
Оо
*
х
к
ЙП
•
1
^ / = 3 2 Ч |
2 « = 6 & (-
14,624
13,792
17,856
19,488
0,352
16,512
26,080
22,272
28,800
25,536
6,368
10,816
4,800
5,280
2,208
20,864
8,352
4,544
13,568
20,640
2,994 10,284 27,424
4,188 9,144 24,384
0,456 1,216
6,876 18,336
11,688 31,168
1,776 9,660 25,760
1,788 4,768
8,304 22,144
4,200 11,200
3,816 10,176
11,196 26,976
0,624 5,052 13,472
2,694 2,280 6,080
3,702 3,840 10,240
4,428 11,808
2,202 11,520 30,720
2,016 5,376
8,436 22,496
2,796 7,456
5,676 15,136
* 1 + У 1
г 1 ~ У
х 1+ у (
18, 052
16,840
4,249
4,104
19,732
4,441
12,500
5,560
6,560
3,536
2,358
2,561
24,704
4,970
Как следует из расчетной таблицы, п = 4. Таким образом, по формуле
находим
(16)
Точное значение интеграла есть
1
2
3
8х
( х + У ) 3' 2
о
Зх
йх
76
15
5/2
О
2
162
15
/VI
162,1
а относительная погрешность 6 = (162,1 — 153,6)/162,1-100% и 5,2% . А
1224. Двойной интеграл 1
где О — пря­
моугольник О ^ .Л '^ 4 , 1 Щ я Н 7, вычислить тремя способами:
1) по формуле (20) § 4; 2) по формуле (28) § 4; 3) по формуле
(16), взяв из таблицы случайных 60 значений. В каждом случае
оценить относительную погрешность.
1225. Двойной интеграл / =
- йх йу, где область И задана
Iо
**
неравенствами 0 , 2 ^ * ^ 1, О ^ г / ^ л : , вычислить двумя способа­
ми: 1) по формуле (30) § 4; 2) по формуле (16), взяв из табли­
цы случайных чисел 90 значений. Оценить относительную по­
грешность.
1226. Найти приближенное значение тройного интеграла
I = К С 1 x 4 -и-А- 2 г) йх йи йг. ногттплкягтяшттгк формулой
V
360
^ = 3,
если
0 < !/’ < * >
д
область
О
определена
1
х + у ^ г ^ х + 2 у.
Формула (19) для тройного интеграла принимает вид
/
(Ъ— а) (й— с) (/г — ё ) Мп
N
Здесь о = 1 * 6 = 3, с — О, А — 3, ^ — 1, /2
_ _ _
неравенствами
9, Л1 =
шах
( х + у 4 - 2 г ) = 24. Про-
1<х<3
■Е Ш ' 1
1 Л
\-г
о<у<з
йЁУ
1<г<9
изведем замену переменных по формулам *=» 1+ 2|, $ = 3 п , * =
м= “~ ;
Из таблицы случайных чисел возьмем 80 значении (/V— 20). Расчетная таоли
ца имеет вид
1,330
1 ,4 9 @ Н ^ Н Ц Щ
1,336|2,119|2,902|5,024 7.143
1284'___________
10,176
О
1,284
1,458
0,424
4 р . 142 0,4*6 0,233
1,53213,00114,420!
12,336
О
50,291 0,473 0,645 0,514 1,582 1,419
7,960 6,144 0 2,638 2,830 3,022
2,638
0,192
6 0,819 0,064 0,870 0,256
8,296
4,584
0
1,694
2,147
2,600
1,694
0,453
7 0,3470,151 0,912 0,191
1,152 20,496 0 11,51811. §06|2, 094|2,304|4,110
1,518
0,288
8 0,259 0,096 0,019 0,854
8,448
О
1,386
2,196
3,024
253
01352
0,732
0,
9 0,193
2
,458
2
,764|3,070]5,552|8,316
2
,
112
0
10 0,729 0,102 0, 222 0,088 2,458 0,306 2,776)
1,410
151528
О
1,410
1,686
7,808
851
0,647
11 0,205 0,562 0,
2,136(2,196|2,256|
15,576
О
2,136
0,060
1,408
051
0,649
1210,568 0,020 0,
13,104
О
I,358
!
1,358
2,688
4,624
453
0,546
|0,896(0,
130,179
2,838)4^91116^984
4,344
0
2,838
2,073
2
240
140,919 О.бЭДО, 155 0,181
II,546
11,856
О
150,273 0,876 0, 690 0,494 1,546 2,628 6,520
21,792
0
1,678
2,730
7,312
|1!
6
7
8
^
Н
Н
Н
789
0,908
'0,9100,
16 0,339
1,526
1,919|2,312
10,512
О
1,52610,39314,112
17 0,263 0,131 О, 389 0,438
1,3221
1,322
1,4555,280
18 0,1б1| 0,485 0, 535 0,090
2,247
3,210!
1,284
1,284
0,96318,752
19 0,142 0,321 О, 969 0,091
2,679
3
,432|
1,926
200,463 0,251 0,5960,784
К
20), для которых выполнено условие
Сначала находим те значения у, (1
У(^УГ, их число равно 11. Далее, среди соответствующих 11 значений г,,
щ
г7; таких значений оказывается 3. Накоте, для
2
нец, среди соответствующих трех значений щ находим те, которые удо
воряют неравенству щ < и Г, их число л = 1. Таким образом,
I к (4 8 -2 4 )/2 0 = 1152/20 = 57,6.
361
Найдем точное значение интеграла:
1
х + 2у
!_
йх \ (х + у -\ -2 г ) 2
йу
йх \ йу
( х + у + 2г)с1г
4 1
х+у
1
О
х+у
1
О
3
3
X
\
~ (Зх 4- 5у)3
йх \ [(Зх ~р % ) 2 — (Зх -)- Зу)2] йу
4
о
1
9
(З х + З #
X
(8х)3
15
йх
О
1 /4 8 5
4 V 15
(6х)3
9
1
189
9
з
4
2
3
1
(Зх)3 , (Зх)3
йх
15
9
56,667;
6 = (57,6 — 56,667)/56,667-100% « 1,6%. 4
§ 6 . ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.
Метод Эйлера. Дифференциальное уравнение г/' = /( х , у) определяет на
плоскости так называемое поле направлений, т. е. в каждой точке плоскости,
в которой существует функция / (х, у), задает направление интегральной кри­
вой уравнения, проходящей через эту точку. Пусть требуется решить задачу
Коши, т. е. найти решение уравнения т = / (х, у), удовлетворяющее началь­
ному условию у ( х 0) = у0. Разделим отрезок [х0, X ] на п равных частей и по­
ложим ( X — х0)/п — /г (к— шаг изменения аргумента). Допустим, что внутри
элементарного промежутка от х0 до х0+ Л функция у' сохраняет постоянное
значение [ ( х 0, у 0). Тогда у г — у 0 « А -/ (х0, у 0), где у г — значение искомой функ­
ции, соответствующее значению хг щ х0+ /г . Отсюда получаем */1 ^*/0-гЛ -/(х в, г/0).
Повторяя эту операцию, получим последовательные значения функции:
Уг *
Ш
Уз ~ Уа + Л -/ (*2>Уг)......... Ук+ 1 ~ У * + Л - / Щ
Ук)-
Таким образом, можно приближенно построить интегральную кривую в виде
ломаной с вершинами М к (хк; у к), где хк+г = х к + \ хк, у к + 1 = у к-{-Н -Ц хк, у к).
Этот метод назыаается методом ломаных Эй.гера, или просто методом Эйлера.
1227.
Используя метод Эйлера,
найти значения функции у,
определяемой дифференциальным уравнением у ’ — |§§8 ,
чальном условии у ( 0 ) = 1 ; шаг | = 0 , 1. Ограничиться
нием первых четырех значений у.
при
на­
отыска­
Д Находим последовательные значения аргумента: х0 = 0, х г — 0,1, х2 = 0,2,
дгз = 0,3. Вычислим соответствующие значения искомой функции:
У1 = Уо + Л-/С*о, у0) = 1 + 0,1 •(1 — 0)/(1 + 0) = 1,1;
У2 = У 1 + Ь - ? ( х й У1) = 1,1 + 0 ,1 -(1 ,1 — 0 ,1 )/(1 ,1 + 0,1) = 1,183;
Уз = Уг + Л - /( * 2, Уг) = 1,183 + 0 , 1 -(1 ,183 — 0.2)/(1,183 + 0,2) = 1,254;
У4 = У з + А - / ( * з , Уз) = 1 ,2 5 4 + 0,1-(1,254 — 0,3)/(1,254 + 0,3) = 1,315.
Таким образом, получаем таблицу
X
0
0,1
0 ,2
0 ,3
0 ,4
У
1
м
1,18
1,25
1,31
А
1228.
Методом Эйлера найти четыре значения функции у ,
определяемой уравнением у ' = * х - \ - у , при начальном условии //(0)=1,
полаеа я /г — 0,1 •
Л Значения аргумента лги=з=0,
ствующпе значения у:
= 0,1 > х* = 0,2, л'з ~ 0,3. Найдем соответ
Ух — УвЛ-к'1 (■%« й ) = I + 0 , 1 - ( 0 4 - 1) = 1,1;
Ул = У1 + Ь -Н х 1, У,)=» 1.1 +0,1*(0,1 + 1,1)=к 1,22;
уп* ,л -уА •/ ( * , , у3) = 1,22 + 0.1 -(0 .2 + 1 ,2 2 ) = 1,36;
у. я* и3 + Л•/ (лг3, уз) ~ 1,Эб + 0,1"(О,3+1,Эв)«н 1,52.
Получаем таблицу
X
о V -*
§
1
-
0,1
0,2
0 ,3
0,4
1.1
1,22
1,36
1,52
А
1229. Методом Эйлера найти три значения функции у, опреде­
ляемой уравнением у' = 1 + х + «Л при начальном условии у{0) = 1,
полагая л*= 0 , 1.
1230. Методом Эйлера найти четыре значения функции у ,
определяемой уравнением у' = х %+ у 3, при начальном условии
у (0) = 0 , полагая Н= 0 , 1.
1231. Методом Эйлера найти численное решение уравнения
у' = 1/*+-^. при
начальном
условии
у { 2) = 4,
полагая Л= 0,1
(четыре значения).
1232. Методом Эйлера найти численное решение уравнения
у’ —
+ Ф А \ ~ ху- на отрезке [0, 1] при начальном условии у( 0 ) = 1,
полагая /г = 0 ,2 .
1233. Методом Эйлера найти численное решение системы урав­
нений
=
-^ = ~ ^
г /(1 )= 1, 1 ^
^
при
начальных условиях х(1) = 1,
2, полагая к = 0,2.
2. Метод Рунге — Кутта. Пусть функция у определяется дифференциальным
уравнением у ' — [ ( х , у) при начальном условии у (х0) = у^. При численном
интегрировании такого уравнения методом Рунге — Кутта определяют четыре
числа:
й з = й -/(х + 4 » У + - у ) ’
*1“ * 7 ( * + А . У + кз)*
363
Если
положить
у (х-{-И) = у (х)-{-Ау,
то
можно
доказать, что
Ду я
4 - 2^2 + 2А?3+ й4) . Схема вычислений имеет вид
р
!
ку=А-/ (х, у)
У
х0
Добавка
Уо
&Уо —
"0 "
(^1 + 2*2 4" 2^3
/?4)
к2
хоЛ~~2 ^
Уо~\~~2
*0 + у / 1
Уо+~2 ^2
*0~\~ к
Уо~\-кз
*1=*0 + Й
У1 = Уо + Ь
К
1234. Составить таблицу значений функции у, определяемой
2Х
.п
".
^ ^’-1
уравнением у ' = у ------ , при начальном условии */( 0 ) = 1 в промежутке [ 0 , 1]; шаг Н= 0,2 (точное решение у = ]/Л2* 4 Л У
Д Найдем числа:
Н
* 2 = Л -/(^ + 4 > У + т
Я
1
1
) ==0’ 2 ' / ( 0 ’ , : 1>1) = 0’ 2 - ( и
- — ) = 0 ,1 8 3 6 ;
Аз = Л-/ ( * + - | , у + ^ = 0 , 2 . Г (0,1; 1,0918) = 0 ,1 8 1 7 ;
й4= Л -/(д с + Л , г/ + Аз) = 0 ,2 ./(0 ,2 ; 1,1817) = 0,1686.
Отсюда
Д у= - I ( 0 ,2 + 0,3672 1 0,3634 + 0,1686) = 0,1832.
у2
Таким образом, 1/1 = 1 + 0 ,1 8 3 2 = 1 ,1 8 3 2 при л: = 0,2. Аналогично находим
и т. д. Процесс вычислений ведем по такой схеме:
364
1
2
3
1
4
1
2
3
4
к ; = Н - К х , У)
X
У
/ ( * . У)
°
0,1
0,1
0 ,2
1
1,1
1,0918
1,1817
1
0,0918
0,0308
0,0843
0 ,2
0,1838
0,1817
0,1685
| 0,1832
0 .2
0 ,3
0.3
0,4
111832
1,2677
1,2626
1,3407
0,8451
0,7944
0,7874
0.7440
0 , 16Э0
0,1589
0,1575
0,1488
1 1,1584
Ьу
]
1
1
2
3
4
1
0,1491
0,7453
1,3416
0,4
Заметим, что все пять знаков чисел
= 1,1832 и ^2 = Ь3416 верны, если
сравнить с точным решением у = У 2х-\- Ц А
1235. Методом Рунге— Кутта проинтегрировать уравнение
х ' у ' — х у = 1 при начальном условии 1/ ( 1) — 0 в промежутке [ 1, 2 ];
шаг к — 0 ,2 [точное решение у = (х1— 1) '( 2 х)].
Д Здесь / (х, у) = - - \ — у . Найдем числа:
Л . •Л
* « = * • /(* > у) = 0 ,2 •
и.2 = /г •/
т+тО
2 )
* 3= л - / [
0,2;
у + /ьо
0 ,2 -
/ 0,1
1
1.1 * 1.1
0,18;
о о . / Щ И ___ Я
•" I 1.1 + 1.1*
0,18:
^ = / ! - / ( х + Л , у + А3) = 0 , 2 - Г 7 ^ + 7 ^ г ) = 0 ' 17Следовательно,
1
Д у о == тг (йх+ |^а + 2^8 + ^») = 0 .1 8 , т. е. у ± = «/„-{- Ды0= 0 + 0 , 18=0,18.
О
I
Аналогичным образам находим
* , = / ! • / (х. у) = 0 ,2 {
к* = к
Л 7 (*
0,17;
• ^ + т ) = 0 -2 ( т 1 + т ^
1
0,26
1 к*
0.2
У~\~~2
1.3 1 1,3*
к3 = А •/
*4 =
1.2
*
1, 2*
+
Л»
0,33
Н
*
з)
= 0
■4
1
1,4*
0,15;
0,15:
0.14;
365
Следовательно,
^
ЛУ1 = - | - ( * 1 + 2*2 + 2 *з + * 4 )= 0 ,1 5 ,
| е. У2 = У1 + АУ1 = 0,18 + 0 ,1 5 = 0 ,3 3
и т. д. ^
■ г:| |Я
1236. Методом Рунге — Кутта проинтегрировать уравнение
4г/' = у 2+ 4х2, у ( 0 ) = 1 в промежутке [ 0 , 1] с шагом Н= 0,1. Вы­
числения вести с тремя верными знаками.
1237. Методом Рунге— Кутта проинтегрировать уравнение
у' = х / у 0,5у, у ( 0 ) = 1 в промежутке [ 0 , 1] с шагом Л = 0 , 1.
Вычисления вести с тремя верными знаками.
3. Метод Адамса. Пусть требуется проинтегрировать уравнение у' = / (х, у),
У (х0) Ш у о. Одним из разностных методов приближенного решения этой задачи
является метод Адамса.
Задавшись некоторым шагом изменения аргумента к, находят каким-либо
способом, исходя из начальных данных у ( х 0) = у 0, следующие три значения
искомой функции у (х):
У
1
=
У
{ Х
1
)
=
у
( Х
0
+
Н
) ,
у
2
=
у
(л'о4-2А),
У
З
=
У
(
Х
0
+
З
Н
)
(эти три значения можно получить любым методом, обеспечивающим нужную
точность: с помощью разложения решения в степенной ряд, методом Рунге —
Кутта и т. д., но не методом Эйлера взиду его недостаточной точности).
С помощью чисел х 0, х ъ х ъ х3 и у 0, у ъ у ъ у 3 вычисляют величины
^0 = Л*«/0 = Й -/(х 0, Уо), <71= / 1- / ( * 1, у г),
Я = Ь‘ ? ( х 2, у2), <7з = Л / ( * 3, у 3).
2
Далее, составляют таблицу конечных разностей величин у и а:
X
У
Хо
Уо
Ау
Д<7
А
&Уо
У1
Щ
Ш
&Яо
я
*2
Щ
Уг
Ауг
Хз
Уз
Я3
• •
Зная числа в нижней косой строке, по формуле Адамса находят
&Уз~Яз-\~2
366
А *я
<7о
|
Хг
я
д<7 2 + у т ; Д 2 ^ ! + - | - А 3<7о,
12
А3о,
а затем-и величину # 4 = 1/3 + ^Уз- Зная теперь «/4, вычисляют <^4 == й •I (%» #4)»
после чего можно написать следующую косую строку:
Д<7з =
—
к 2Я2 = &Яз — &Яь Д3^1 = Д2<72— А2^1-
Новая косая строка позволяет вычислить по формуле Адамса значение
1
3
5
— Я\-Т~2 ^ 3 “^*12
А Яъ
а следовательно, у5 = 1/4 + А*/4 и т * Д-
1238. Используя метод Адамса, найти значение у (0,4) с точ.2х2
ностью до 0,01 для дифференциального уравнения у
У
|/(0) = — 1д Найдем первые четыре члена разложения решения данного уравнения
в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0:
У (X) = у (0) + у' (0)
3
I
у" (0). х » + 1 у'" | У
Согласно условию, у (0) = — 1; значения « '( 0 ) . У" (°) и У'" (°) находим, последовательно дифференцируя данное уравнение:
у' = х*+у*-, у' (0) == 0 2- ( - ! ) * = 1.
2,
!/> = 2х + 2 уу'- у" (0) = 0
2 -(— 1)-1
2 + 2 у '! + 2 # ; У"' (0) = 2 + 2 . ( - 1 ) 2 + 2 . ( - 1 ) (
\Г'
2) = 8.
Таким образом,
У(х)
Вычисляем у (х) в точках Х\ = 0 ,1, лг2 = 0,2, * з— 0,3 с одним запасным
(третьим) знаком ^ = - 0 , 9 0 9 ,
= — 0,829, г/3 = - 0,754. Составим таблицу
X
у
Ду
0
— 1
0,1
0,2
—0,909
—0,829
—0,754
0 ,3
0,4
0,091
0,080
0,075
!
я
0,1
0,083
0,072
0,065
Д<7
Д2<7
— 0,017
— 0,011
— 0,007
0,006
0,004
д
*я
— 0,002
г
Тогда
3
5
!
А#з = Яз + у &Яг + 12 А2^1 + ^ А Яо —
0,065—
[—
Следовательно,
( -0 ,0 0 7 ) + ~ • 0,004 + | . • (-0,002)
= Уз + АУз ~ — 0,754 + 0,062
0,692
0,062
0,69- ▲
1239. Используя метод Адамса, найти значение у (0,5) для
дифференциального уравнения у = х + у, у ( 0 ) = 1; шаг Л= 0 , 1.
Вычисления вести с точностью до 0,001, оставить в результате
два знака.
367
1240.
Используя метод Адамса, найти значение у (0,4) для
дифференциального уравнения у ' == х* у*, у ( 0 ) = 0 ; шаг Н— 0 , 1 .
Вычисления вести с тем же числом знаков, что и в предыдущем
примере.
ад- .
§ 7. МЕТОД ПИКАРА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ
ПРИБЛИЖЕНИЙ
Одним из аналитических методов приближенного решения дифференциаль­
ных уравнений является метод Пикара последовательных приближений. При­
менительно к дифференциальному уравнению первого порядка
/ =
У)
(I)
с начальным условием у (ха) = у , он заключается в том, что строится искомое
решение у = у { х ) для х ^ х , (или * < . * , ) . Интегрируя правую и левую части
уравнения (!) в пределах от хв до х, получаем
ИЛИ
у (*) = Уй + ^ /(*, у)<и.
(2)
Предполагается, что в некоторой окрестности точки (*0; |*о) уравнение (1)
клетвор яет ус лови я м теоремы существования и единственности (теоремы
^ т. е. что / ( х , у ) — непрерывная функция своих
I
Коши),
аргументов и
< К.
ДА я нахождения последовательных приближений заменим в равенстве (2)
неизвестную функцию у данным значением у ш\ получим первое приближение
*•
Далее, подставив в равенство (2) вместо неизвестной функции у найденную
функцию у\9 получим второе приближение
нш
л “ и + 5 / (Л уд <и.
Все дальнейшие приближения строятся по формуле
т
— Уо + ( / ( / , » Я- 1 ) Л
( л = I, 2, . . . ) .
Таким образом,
У (* ) * Ун (* ) • У* + 5 / и , У п - й <11.
Можно доказать, что
П т у „ (дг) = у (х).
Погрешность оценивается неравенством
„У /( х\ ) - у п /{х)ч \
I Я <М- (Кс)п
^ где | /(*. у ) \ < : М , \х— х0 \ < а < оо, \у— у0 \ <
оо, с = ггпп (а, Ь/М).
Пикаровские приближения дают последовательность н и ж н и х функций,
т. е.
Уо < У± < У* < •. ■< Уп < У (*)>
если у
> 0 и / (х, у 0) > 0, и последовательность в е р х н и х
функций, т. е.
%/
д! >
если -т-
,Уо > У^ > Уг > ■••> Уп > У (*).
Я»
0 и / (дг, у0) < 0. Таким образом, при
> 0 пикаровские приб-
ду
лижения образуют одностороннюю последовательность приближений, а при
< 0 — двустороннюю последовательность.
щщ
% :: 0
- р
1241.
Найти приближенное решение уравнения
удовлетворяющее начальному условию у { 0 ) = 1.
Д В качестве начального приближения возьмем */0 = г/(0) = 1.
вое приближение
х
Ух (*)== 1 + ^ (/ + 1) (11 = 1 -{- х-\~-2
у ' = х-\-у2у
Тогда пер­
•
Аналогично получим второе приближение
(
X
’
^ ^ + ( 1+ ^ + ‘ 2’ ^а) ] М
о
= 1 + ^ + 4 *2+ у Х* + Т * * + ^
▲
1242.
Какой последовательностью пикаровских приближений
выражается решение уравнения у' = х-\-у, удовлетворяющее на­
чальному условию 1/ ( 0 ) = 0 при х ^ О ?
Д За начальное приближение возьмем у 0 = У Ф) = 0 . Тогда
X
х
Уг — Уо + {
+ Уо) <# = ^ / Л = — х 2,
о
ш 1 Г « А 2Ш )
* 3= и
о \
2!
0
2 * 6
* 3! 1
I
2!
2!
* 3!
1 *3
31
*
1 4! *
о /
/2
/3
/4
1п
у й « « ^ ( ^ + 1 Г + Ж + 1 Г + - ' - + л Г 1Л
°х2 . Г* . Xх ,
, хп + 1
2! + 3 1 + 4 1 + ’ • ' + ( / ! - Н ) Г
369
1
1 > 0. Следовательно, пикаровские
О
и
Здесь / ( * , у о )== х | у о
%
приближения образуют последовательность нижних функций.
Истинное аналитическое выражение у (х) в данном случае имеет вид
Л+ 1
3
П т !/„(*) —
у (х)—
П-+-00
Пт
п—
> оо
з
1!
/ 7 —> СО
Н
Ш
В
В
З
3!
2!
ЙЙ
21
или
У(х)
(л + 1 )!
и 4-1
(я + 1).
3!
,х
X
( * + О»
1- ▲
1243. Найти три последовательных приближенных решения,
уравнения у' = х 2 + у 2, удовлетворяющих начальному условию
0.
у (0) = 0, взяв за начальное приближение у
^
1244. Найти приближенное решение уравнения у -\-у спдс = 0 ,
удовлетворяющее начальному условию у ( 0 ) = 1.
1245. Найти приближенное решение и
| определить характер
пикаровских приближений уравнения у' = х — у, начальное уеловие у ( 0 ) = 1 , х Ш| 0 .
1246. Найти приближенное решение и определить характер
пикаровских приближений уравнения у' — у соз х\ начальное усло­
вие у ( 0 ) =. 1 , — 2 < х < 2 .
I
1247. Найти приближенное решение уравнения у = 2 х у с о в ( х ),
удовлетворяющее начальному условию у ( 0 ) = 1,
я <С 1 , 0
у <^2.
Определить характер пикаровских приближений.
§ 8. ПРОСТЕЙШИЕ СПОСОБЫ ОБРАБОТКИ
ОПЫТНЫХ ДАННЫХ
1.
Графический способ. Пусть данные опыта представлены таблицей. Через
точки', определяемые этой таблицей или близкие к ним, проводим график и по
виду графика подбираем вид эмпирической формулы. Простейшим случаем
считается тот, для которого данные опыта приводят к точкам, располагаю*
щимся приблизительно на прямой у = #о "Ь ^1-^ или
кривых, уравнения^ ко­
торых 5 = Л /а и 3 = А е а* преобразуются заменой переменных к линейной
функции. Решая эту задачу графическим способом, наносим точки на коорди­
натную сетку (с равномерной или логарифмической шкалой) и проводим пря­
мую приблизительно через эти точки так, чтобы она лежала возможно ближе
к каждой из нанесенных точек, а затем берем две произвольные точки на
этой прямой (возможно дальше одна от другой) и подставляем их координаты
в соотношение у = а^-{-а^к. Из полученных таким образом двух уравнений
найдем Оо и а±.
1248. Стационарное распределение температуры в теплоизолированном тонком стержне описывается линейной функцией и
Определить постоянные, а и а,, если дана таблица
измеренных температур в соответствующих точках стержня:
и
0
2
6
8
10
14
16
20
32
29,2
23,3
19,9
17,2
11,3
7 ,8
2
& Построив точки, отвечающие данной таблице, видим, что прямая проходит
через точки .(0; 32) и (20; 2). Подставляя их координаты в уравнение и =
= До V
имеем
»
V
\
/ Оо+ 0-а1 = 32,
од
, с
1 а 0+ 20а1 = 2;
°° Ш
^ ------
Отсюда получаем искомое соотношение и = 32— 1,5л:.
Насколько хорошо эта формула отвечает табличным данным, можно судить
по величине суммы уклонений б и суммы квадратов уклонений б2 значений
функции, вычисленных по формуле, от табличных значений. В данном примере
6 = — 1,5х + 32— и. Следовательно, 61 = — 1,5*0 + 32 — 32 = 0; б2= — 1,5-2 +
+ 3 2 — 29,2 = — 0,2; б3^ — 1,5-6 + 32— 2 3 ,3 = — 0,3; 64= — 1,5-8+32— 19,9 = 0,1;
65= — 1,5-10+32-^-17,2 = —0,2; 66= — 1,5-14 + 32— 11,3 = —0,3; б7= — 1,5* 16 +
+ 3 2 —7,8 = 0,2; б8= — 1,5-20 + 32—2 = 0;
.
9
8
Ц в; = - 0 , 7 ;
2
*ж
б‘ = °>31- А
1=1
1249. Табличные данные
5
1
2
3
4
5
6
7
2,31
2,58
2,77
2,93
3,06
3,16
3,26
отвечают формуле 8 = А1а. Найти значения А и а.
Д Логарифмируя равенство 5 = А1а , получим
5 = !§ А 4 - а •1&1\ полагая
\^$ = у 1 1^/ = *, 1§ Л = о0, а = аь имеем у -= а0 ахх . Графиком полученного
линейного уравнения служит прямая, параметры уравнения которой найдем,
взяв две точки на этой прямой, например (I# 1; 1^ 2,31) и (1&7; !-§ 3,26). Под­
ставив координаты этих точек в уравнение */=1&Л + ах, получим
|
1 б 2 ,3 1 = 1 б Л + а 1 б 1 ,
\ 1 §3 ,2 6 = 1 §Л + а 1 §7 ,
I 1 8 ^ = 0 ,3 6 4 ,
) Ы А + 0,845а = 0,513.
Отсюда 1^^4 = 0,364; А = 2,312; а =0,149/0,-845 = 0,176. Следовательно, 5 =
= 2,312
Д
1250. Табличные данные
X
19,1
25,0
30,1
36,0
40,0
45,1
50,0
У
76,30
77,80
79,75
80,80
82,35
83,90
85,10
отвечают формуле у — ай-\-ахх. Найти а0 и ах.
1251. Табличные данные
*
1
2
3
4
5
6
7
8
5
15,3
20,5
27,4
36,6
49,1
65,6
87,8
117,6
отвечают формуле 5 = Аеа . Найти А и а.
371
2.
Способ средних. Способ средних основывается на допущении, что наи
более подходящей линией служит та, для которой алгебраическая сумма укло­
нений равна нулю. Для того чтобы найти этим способом неизвестные постоян­
ные в эмпирической формуле, сначала подставляем в эту формулу все пары
наблюдавшихся или замеренных значений х и у и получаем столько уклонений,
сколько пар значений (х\ у) в таблице (уклонения—-вертикальные расстояния
от данных точек до графика функции). Затем распределяем эти уклонения
по группам, составляя столько групп, сколько неизвестных параметров эмпи­
рической формулы надо найти. Наконец, приравнивая нулю сумму уклонений
по каждой группе, получим систему линейных уравнений относительно пара­
метров.
1252.
Найти способом средних формулу вида 5 = Л /а , отве­
чающую таблице
^
Д Здесь уклонения имеют вид б = -4/“ — 5 . Подставляя значения < и X,
взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получим систему урав­
нений относительно параметров А и а , решение которой затруднительно. Без
большой потери в точности можно приравнять нулю сумму уклонений лога­
рифма 5 , т. е. 6 ' = 1 §/4 + о с 1§ ^— 1§»о.
'
•*
~
Тогда уклонения выразятся формулами
б ; = 1д А |( 2,4352 а — 1,4583,
Щ А + 2,4955 а — 1,6609,
б ' = ]8 а + 2,4518 а — 1,5224,
б« = 1§ А + 2,5224 а — 1,7419,
5з= 1е А + 2,4594 а — 1,5455,
б? = 1ц Л + 2,5478 а — 1,8169,
а! Я В Д + 2,4659 а — 1,5705,
ВШ
Щ
И2,5717 ЩЖ1,8882.
Приравняв нулю сумму уклонении по этим двум группам, получим си­
стему уравнений для определения параметров А и ос:
Г 4 1§ Л + 9,8143 а = 6 , 1077,
\ 4 1§ А + 10,1374 а = 7,1079.
Решение этой системы а = 3,096,
образом, 5 = 8 ,6 -Ю - ’ / 3-09в. Д
1дД = 7,9345; отсюда
Л = 8 ,5 -10- ?.
1253. Дана таблица
Таким
..........1
X
87,5
84,0
77,8
63,7
43,7
36,9
У
292
283
270
235
197
181
Найти параметры а0, ах, а2 формулы г/ = а 0 + а1х + а 2ха, отвечаю­
щей этой таблице.
щИН§
§1
в
372
1254. Дана таблица
*
53,92
26,36
14,00
6,99
4,28
2,75
1,85
5
6,86
14,70
28,83
60,40
101,9
163,3
250,3
отвечающая формуле 5 — А1а. Найти А и а.
3.
Подбор параметров способом наименьших квадратов. 1) На практике
часто приходится решать такую задачу. Пусть для двух функционально свя­
занных величин х н у известны п пар соответствующих значений (хг\ |||*
(*»; Ун), •••* (хПу
Требуется в наперед заданной формуле у = } ( х , а 1')
а 2, . . . , а т) определить т параметров а ъ а 2, .
а т (т < п) так, чтобы
в эту формулу наилучшим образом «укладывались» бы известные п пар зна­
чений X и у.
Считается (исходя из принципов теории вероятностей), что наилучшими
являются те значения а 1э а 2,
а т, которые обращают в минимум сумму
Л=п
2! ^
*= 1
I
®2» •••» ®/в)
Ук^
(т. е. сумму квадратов отклонений значений у , вычисленных по формуле, от
заданных), поэтому сам способ и получил название способа наименьших квад­
ратов.
Это условие дает систему т уравнений, из которых определяются а ъ
О,2* •••»
V"4 г# /«.[/
к= 1
~
~
®1»
•••»
« \
1
Ук\
а 1» а 2»
д<х~'
-
—
/1ч
^
0"== ?» 2| •••$ /я)«
*
На практике заданную формулу у = [ ( х , а 1э а 2,
а т) иногда прихо­
дится (в ущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому
виду, чтобы систему (I) было проще решать (см. ниже подбор параметров в
формулах у = А е сх и у = Ах^)»
Ч а с т н ы е с л у ч а и , а) у = Оо^т + ° 1^/я“ 1+ •••+ а/я (т + ^ параметров
Д0, #1» •••» Д/я * л ^
I).
Система (1) принимает следующий вид:
Г
Л= л
Л=я
ао 2
/?= 1
*=л
I
<
До 2
*= I
*=Л
I Оо 2
I
к- 1
й=л
2 х^
Л= 1
Л=л
** “Ь
2
*=I
А= Л
й=л
~ь •••“Ь
.
== 2
1
уь*
А=л
*‘ *
Л=л
йт 2 Хк = 2
Л=1
*=1
/?= П
Л= П
(2)
2 а Т Ч -.л + я » 2 **= 2 №
**= I
Л® 1
Л= *
Д
р= п
До 2 ^ т + а1 2
*= I
Л*1
л
1+ - * ‘ + д т 2 ^ =
Л«1
/г= л
2
А=1
Эта система т + 1 уравнений с т-+-1 неизвестными всегда имеет единст­
венное решение, так как ее определитель отличен от нуля.
Для определения коэффициентов системы (2) удобно составить вспомога­
тельную таблицу вида
О
ш
хк
1
2
Ч
2
Х\
Хг
2
Х2
хк
3
**
3
х%
••♦
>••
3
•••
•• ♦
••
п
п
2
Хп
Хп
2т
т# •
к
ч
•# •
2т
XI
• ••
• ••
• •#
Л
Л2
• ••
•• •
• ••
2т
Хп
\
Ф н
У±
Х\У\
У2
Х2У2
•• •
• ••
•• •
•••
2
Х\Ух
2
Х2У2
х ти
•••
х к Ук
т..
•••
XI У1
т
ХгУг
9* •
•••
•# •
• ♦•
• ••
#••
ХпУп
••#
ХпУп
ф• •
В последней строке записывают суммы элементов каждого столбца, которые
и являются коэффициентами системы (2).
Систему (2) обычно решают методом Гаусса.
б) у = А еСх.
1
Ч
Для упрощения системы (1) эту формулу, связывающую х и у , предвари­
тельно логарифмируют и заменяют формулой
А + с-1 §е-х.
=
Система (I) примет в этом случае следующий вид:
С
к—п
к —п
Хк + п - 1ё А = 2
1&Ук>
к= 1
к= 1
к —п
к —п
с- |§ё 2 ] х1 + 1$А- 2 хк=
\
к —1
к=1
(3)
к=п
^
к=
хкЛ § у к.
1
Вспомогательная таблица имеет вид
к
9
**
1
2
•
*2
••
п
%
хк
2
Я®
2
*2
#•
2
кук
д> ■ %
Щт
18 У*
••
</з
••
Хп
2
Из системы (3) определяют с и 1ц А.
в) у — АхЧ.
Эту формулу также предварительно логарифмируют и заменяют следующей
1§0 = 1ё А + д Л й х .
374
Система (1) теперь примет вид
(
к —п
Я 2
к= I
ь=п
2 Фйк*
к= 1
к= п
к—п
к*к + п Н А =
п
1
)
я 2 1б2 ^ + 1 б ^ - 2
2
V
к= 1
Соответствующим образом изменяется и вспомогательная таблица.
2)
Часто бывает необходимо заменить наилучшим образом некоторую за­
данную функцию у = [ (х) на отрезке [а, Ь] многочленом т-й степени: у « а ^ т +
а\х
•.. -р ат- Применение способа наименьших квадратов в этом случае
коэффиц
интеграла
ь
'
Ь
5 [ф (* )— 1 ( 4 р Ф = 1 1®»*“ -Г в1*'в - * + •■• + ат— [ (х)]2<1х.
а
а
Необходимые условия минимума этого интеграла приводят к системе т + 1
уравнений с т + 1 неизвестными а0, аъ аъ . . . ,
из которых определяют
все эти коэффициенты:
(с
\ [аъХт + а 1хт~ х + ••• + ат— } ( х ) ] х т <1х = 0,
%/
а
Ь
С [а0х т + а1 х т~ 1+ . . . -{-ат — /(дг)] х т~ 1 ё х = 0 ,
а
т+ а1х т~ 1-\
аМ— / (*)] Ш
• ■
0.
V
Способом наименьших квадратов подобрать для задан­
ных значений х и у квадратичную функцию ф (х) — аахг -\-агх-\-а^.
1255.
8
9
Ю
11
12
13
8,4
9,1
9,4
9,5
9,5
9,4
хн
г2
**
X
3
хк
и
хк
Ук
хкУк
“Ьк
1
2
3
4
5
6
7
7
8
9
10
11
12
13
49
64
81
100
121
144
169
343
512
729
1000
1331
1728
2197
2401
4 196
6 561
10 000
14 641
20 736
28 561
7 ,4
8,4
9,1
9,4
9 ,5
9 ,5
9,4
51,8
67,2
81,9
94,0
104,5
114,0
122,2
362,6
537,6
737,1
940,0
1149,5
1368,0
1588,6
2
70
728
7840
87 096
62,7
635,6
6683,4
X
7
У
7 ,4
,
Д Составим таблицу
к
|
375
Отсюда имеем систему уравнении
/
]
I
728 а0+ 7 0 а !+ 7 аг = 6 2 ,7 ,
7840оо + 7 2 8 а ! + 7 0 а 2 = 635,6,
87 096ао+ 7840а!+ 7 2 8 = 6683.4.
Решая эту систему, получим а0 = —0,04, 01 = 1,10, аД==2.12разом, искомая квадратичная функция имеет вид <р (дг) — и ,т х -+-1, •* I »
°^
-А
1256.
Способом наименьших квадратов подобрать степенную
функцию 5 — А1 '1 по следующим табличным данным:
Д Составим таблицу
*
хк!/к
к
хк = ^ 1к
4
1
2
3
4
5
0,0000
0,3010
0,4771
0,6021
0,6990
0,0000
0,0906
0,2276
0,3625
0,4886
0,8513
1,4440
1,7931
2,0414
2 ,2068
0,4346
0,8555
1.2291
1
2
2,0792
1,1693
8,3366
4,0637
0,0000
Таким образом, получаем систему уравнении
2,0792д 5 1§ А = 8,3366,
1,1693(7+2,0792 1§ Л = 4,06371
Отсюда 7 = 1 ,9 5 8 , 1д А = 0 ,85 32, т. е. Л = 7 ,1 3 2 . Следовательно,
пенная функция имеет вид 5 = 7,132/1’9?8. Д
искомая сте­
1257.
Способом наименьших квадратов подобрать показатель­
ную функцию 3 = Ае с1 по следующим табличным данным:
376
Д Составим таблицу
к 4
\
Р
0=1&5
(у
0
2
4
6
8
10
0
4
16
36
64
100
144
3,Ю72
2,8028
2,5105
2,2095
1,8808
1,6335
1,2787
0,0000
5,6056
10,0420
13,2570
15,0464
16,3350
15,3441
1
1
9т
т
3
4
5
6
7
12
42
2
364
1
,
15,4230
75,6304
Получаем систему уравнений
42с-1§ е + 7 1д А = 15,4230,
364с - 1§ е + 4 2 1 ^ А =ь 75,6304,
т.е. с-1§е==—0,1509, 1дЛ = 3,1087. Следовательно, Л = 1 2 8 4 и с = —0,347. Та­
ким образом, искомая показательная функция имеет вид 5 = 1284е-0,347(. Д
В следующих задачах способом наименьших квадратов подо­
брать функции заданного вида по приведенным табличным данным.
1258. Найти линейную функцию:
1
X
2
3
4
5
6
X
1
4
9
16
25
У
0,1
3
8,1
14,9
23,9
2)
1)
2
У
4,9
11,1
7,9
14,1
17
X
0
0,1
0 ,2
0,3
0,4
0 ,5
0 ,6
0,7
У
3,02
2,81
2,57
2,39
2,18
1,99
1,81
1,85
3)
1259. Найти квадратичную функцию:
\
7
X
8
9
10
11
12
х 0,78
13
1,56 2,34 3,12 3,81
2)
1)
У 3,1
X
4,9
5,3
5,8
6,1
6 ,4 5 ,9
у
2,50
1,20
1.12 2,25 4,28
—3
—2
—1
0
1
2
3
— 0,71
— 0,01
0,51
0,82
0,88
0,81
0,49
3 ) --------У
377
1260. Найти степенную функцию 5 = А 1 1}:
г
1
8
7,1
9
!
15,2
3
4
5
48,1
96,3
150,1
1261. Найти показательную функцию 8 = Аес1:
/
2,2 2 ,7
3 ,5
4,1
3
5
1,81
5,34
7
9
11
2)
1)
5
67
53
60
5
50
0,75
10,86 24,52 59,00
1262. Найти наилучшее приближение функции / (л) = зш (ях/2)
в интервале 0 й§ х Щ 1 многочленом третьей степени.
А Для нахождения коэффициентов функции ф (*) = адх 3
составляем систему уравнений вида (5):
а^х2-{- а2х + а3
1
(
ОцХ3 -|- й\Хй+ а±х
.
шг\
о
#з
81П у
у' X3 й х
о,
а3
• ЗХХ I о 1
3111 — \ Х~ й х
0,
0
1
2
«
До*3 + й\хй- г а^х
0
1
Г*
ЩХ? “Г &\Х^
.
(Х^Х-|- О.3
ЛХ VГ
,
Л
8 ш — ) х й х = 0,
о
1
йх = 0.
Интегрируя, получим
I
1
. 1
I а° + б
1
. 1
6 а° + 5
1
1
12
л2
* 4 аз
л2
_4
л2 *
1
. 1
01
+
а2
+
5 а° + Т
3
“2 ’
°3
96
л4 ’
16
л3 *
1
. 1
4 а° + 3
аз
Решая последнюю систему,
— 0,05. Следовательно,
найдем о,
0,40,
ах
0,4*3— 0,42л:2 + 1 ,8 5 * — 0,05.
Проверка: если х == I/3 , то /( 1 /3 ) = 0 ,5 0 , <р (1/3) = 0,51. ^
378
0,24,
а2 = 1,64,
1263. Найти наилучшее приближение функции / (л:) = 1п (4 + х)
м ногочлен ом второй степени при
1264. Найти наилучшее приближение функции / ( х ) = 1 / ( 1 + х )
многочленом третьей степени при 0 < х < Ц
4.
Интерполяция функций с помощью приближения сплайнами. В основе
нового метода, получившего название сплайновой интерполяции, лежит поня­
тие сплайна (зрНпе— от англ. «планка») или ломаной линии, звеньями которой
служат отрезки кривых, заданных многочленами.
а)
Л и н е й н ы е с п л а й н ы . Пусть на отрезке [а, Ь] задана функция
аналитически [в виде **з==/(х)), таблично или графически. Для замены этой
функции сплайном разобьем отрезок [а, Ь] на п частей и составим таблицу
У
хо
*1
Уо
У\
п
• •
Уп
Здесь Хо = а, х„ = 6, а ^ — значения функции /( х ) при х = хк (к = 0, 1,
2,
п). Если функция задана таблично, то значения хк выбираем из таблицы; при этом чем больше /г, тем лучше аппроксимация. На каждом из эле­
ментарных отрезков Жк,
заменим функцию у = 1(х) отрезком прямой:
(х)
[/ (хк + 1) - [ { х к)] + ? ( х к).
х&т— хк
(1)
Таким образом, кривая на отрезке [а, Ь] заменяется ломаной, а функция
« = / (х) аппроксимируется простейшим линейным сплайном 5 (х).
б)
К у с о ч н о - к у б и ч е с к и е с п л а й н ы . При рассмотрении изгиба уп­
ругого стержня, уравнение упругого равновесия которого имеет вид ф1У (х )= 0 ,
изогнутость стержня приходится представлять кривой третьего порядка.
В этом случае часто применяют кусочно-кубические сплайн-функции, когда
функция /(х ) интерполируется на каждом элементарном отрезке кубическим
многочленом.
На отрезке [а, Ь] оси Ох зададим равномерную сетку с шагом к = (Ь— а)1п\
в узлах х = х к (& = 0, 1, 2,
п) заданы значения у к функции */ = /(* ), оп­
ределенной на отрезке (а, Ь).
.
Внутри каждого элементарного отрезка [х * _ ь х к\ заменим функцию / (х)
функцией © Ш , удовлетворяющей следующим условиям:
1) ф (х) непрерывна на [я, Ь] вместе со своими производными первого и
второго порядка.
2) ф(х) на каждом отрезке [хк- Ъ хк] является кубическим многочленом:
и
фк ш
2
а
/ — */)
-
(^ = 0, 1, 2,
я).
(2)
3) в узлах сетки {х к} выполняется равенство ф {хк) — ук (к — 0, I, 2, . . . , п ) .
4) Фп (х) удовлетворяет граничным условиям ф" (а) = ф" (&) = 0.
Можно показать, что задача нахождения кусочно-кубической сплайн-функ­
ции ф (х) имеет единственное решение.
Так как вторая производная ф/7 (х) непрерывна и линеина на каждом от­
резке [х * -ъ хк]} то для х ^ [ х * _ 1, хк] можно записать
Ф"
(х) = т к - 1
Хк
— Г------ Г тк
хк-1
к
(3)
379
где т * = <р* (**)• Проинтегрировав дважды обе части равенства (3), получим
ф(*)
! (** — Ш
■
(X — ДГЛ_1)3 , ,
---------- Г т к -------- Щ -----------Г Л к
6/1
т к -1
. 1
Л
(<)
я
где
и Вь — произвольные постоянные интегрирования, Они находятся яз
условий ф (хь) = Уь- Подставляя в равенство (4) х = х к -х и х = х ь , получим
л
Ш
Ь2
в
Ь2
Ш И Ш » ! Ш ШШШШ 6
Таким образом, на отрезке [ % _ ъ х&] имеем
ф (дг) = ШМ
(хк г - Х)
+т к
+
т
н2
+ ( Ук — Щ
6
У к —1
Ш-к —1
к2
6
*
/I
+
*к- 1
(5)
к
Для определения коэффициентов
прерывности ф' (х) в точках щ х2,
и #1^-1 воспользуемся
к
2
/I
0 тк - 1 +
3
0 т к + 1 — ~Г (Ук + 1 — 2^/5-|_ ^ А '-1 )-
условием не-
1
(6)
Выражение (6) получается в результате сравнения односторонних пределов
первой производной
ф' (х)
Ш-ш
(х к
х )2
т
2к
—
,
+
2к
тк
Ук — У к - 1
к
тк+\
6
А.
а именно:
# 1 ш — 0)
Ш т. , , А
, Ук— Ук-1
6 т * " 1 + т т * + ------- 1—
»
А » , ____—
3 6
6
I УА+Х— Ук
--------- й------
Дополняя эти условия равенствами ф (хк) = у к и ф" (#0) = ф" (* )
лучим систему уравнений для определения тк и т * +1.
0, по-
1265. Аппроксимировать функцию ^/ = 4 Л на отрезке Г
1. 1]
линейным сплайном.
Д Разобьем отрезок |— 1, 1] на четыре равные части сох = Г— 1; __0 5],
со2 = [—-0,5; 0], со3 = [0; 0,5], со4 = [0,5; 1] (рис. 89) и на каждом отрезке \о1
(А?=1, 2, 3, 4) проведем линейную интерполяцию. В узлах интерполяции значения функции определяются следующей таблицей:
X
—1
— 0,5
0
0 ,5
1
У
0,25
0 ,5
1
2
4
Применяя на каждом из отрезков со^ формулу (I), получим
8(х)
у = 0 ,5 * -}-0 ,7 5
У =х+ 1
у = 2х-\-\
у — 4х
при
1; - 0,5],
при дг^[— 0,5; 0],
при * ^ [ 0 ; 0,5],
при * € [ 0 ,5 ; Ш
Воспользуемся полученным линейным сплайном для вычисления значения
функции у = 4 х в точке х = 0,125. Эта точка принадлежит отрезку (оа = [0; 0,5],
380
на котором у — 2х-\-\. Следовательно, 40»126 « 5 (0,125) = 1,25, а с помощью
таблиц находим 40»126 « 1,19. Д
1266. Кривая зависимости скорости V роспуска отцепа на сор­
тировочной горке от длины / отцепа приведена на рис. 90. За-
Рис. 90
Рис. 89
писать аналитически уравнение этой кривои, применив интерпо­
ляцию линейным сплайном.
Д Разобьем отрезок [15, 250] на две неравные части <»1 = [15, 75]
©а = [75, 250] и заменим кривую линейным сплайном. Составим таблицу
/
15
75
250
V
4,2
4,0
2,7
и
Воспользовавшись формулой (1), получим
«
М
и
1
2,7 — 4
( / - 7 5 ) + 4,
250— 75
б> + Ш
или
0,0033/+ 4,25,
н2
0 ,0 0 7 4 /+ 4,5571.
Итак,
V (/) к 5 (/)
0,0033/+ 4,25
0,0074/+4,5571
при
при
5, 75],
/^ [7 5 , 250]. Д
1267. Найти приближение функции^ = зш х на отрезке [— я, я]
кубическим сплайном
части о>1 = [— л, — л/2],
Разобьем
отрезок
[—
я,
л]
на
четыре
равные
Д
л/2. Значения функции
■л/2,
0],
со3
=
[0,
л/2],
о)4
=
[л/2,
я].
Здесь
й
=
© 2=4
8Ш X В узлах интерполяции запишем в таблицу:
X
У
— я
0
— л/2
0
л/2
я
—1
0
1
0
331
Искомая функция имеет вид
<р(х)=Ц
1) Найдем фх (х),
—[
я
*>
Фи И
при
* * (х)
Фз(*)
Ф4 (дг)
"Р и * € ( — я /2 , 0],
при дг^|0, Я/2],
при дг^|л/2, я].
я,
V3
дг€(— я, — я/2],
я/2], А = 1 . Из равенства (5) имеем
НйД+-^+(<>—.2)-Х-+
24 У
+ 1
я '
л /2
Я /2
или
так как т0 = ф" (*0) = 0.
Из равенства (6) получаем
Й Ш° + Т т 1 + Й " ,2==| ' {0 - 2 ( - 1)] = 4 ’
или тг = — 4т , -4- —
С другой стороны, из равенства (3) имеем
- 1 - о
0 .
т 2_ Ф" (0 )_ щ ----- - г + т 1 _ _ _ _ = 2 т . _ то1
или
Следовательно, 2 т , = - 4/щ + 48/л 2, л ь = 8 /л 2. Тогда
ф , (>) — § . ( * + я ) 3
8 х + л яа
я3
Зл
л*
Зл
4
л /2 -
ш
Ф1 (- « ) = 3 ^ 5 -к (л + х) (2л + х)
2) Найдем ф2 (*); со2 = [ - л/2 , 0], А= 2 . Из равенства (5) имеем
Я^
® ы 92 {х) —
8х* I
,
1 * 4 5
з ^ + М Й Г та - З л
I В
12
Найдем т2 из равенства (6) и (3):
Т2т 1 + 1 яг2+ Й ^ з = | ( 1 - 2 - 0 - 1 ) ,
т 3 = - 4 т 2- 4 .
Л
С другой стороны,
I Ц
Т
)I
;
И
Я
|
|
Ш
1
Следовательно, т 2 = 0. Тогда
8
Фа (*)==з^3 * ( * + * ) ( я — *).
3) Найдем ф3 (*), со3 = [0, л/2], А = 3 . Из равенства (о) имеем
/ -V3
382
8
4/?г3— Й . Так как
л2
Для нахождения т3 используем равенство (6): ш4
4т
тА= Ф" (л) = 2тъ то
48
_8
. Тогда
я2
2/я з, т 3
8
фз(х) = з - ; х ( л + ^) (л — х).
4) Найдем ср4 (х), о)4 = [л,2, л], к = 4. Имеем
з
(х — я/2) з
Зл
(п — х)
ф4 (*) = пг3 Зл Я *
24)
л-\ х — л/2
24
л/2
п/2 т ( °
Так как /я3 = — 8/л2, а т 4 = ср"(л) = 0, то
ф4 (х) =
Итак, кусочно-кубическая
имеет вид
х (л — х) (2л— х).
сплайн-функция
8
^х (л + х) (2л + х)
Зл3
8
5 х (я-у-х) (л — х)
Зл3
8
х (л + х ) ( л — х)
Зл3
8
~ х ( л — х) (2л — ж)
<р (х)
на отрезке [
л, л]
л/2],
при
х ^ [ — л,
при
х ^ [ — л/2, 0],
при
* 0 О , я/2],
при
х ^ [л /2 , л].
Отметим, что в общем случае деление заданного отрезка на равные части не
является обязательным. В данном случае это было сделано для упрощения
вычислени й. ▲
1268. Построить линейную сплайн-функцию для
у щ 1;ггх, заданной таблично на отрезке [— л/4, я/4]:
функции
1269. Построить линейную сплайн-функцию для
у = ( 4 - \ - х ) 1/2, заданной таблично на отрезке [— 1, 1]:
функции
X
—1
« 0 ,5
В
1,7320
1,8708
0
2
|
0,5
1
2,1213
2,2361
333
1270. Построить линейную сплайн-функцию
у = сЬлг, заданной таблично на отрезке [ — 1, 1):
X
У
у
—1
-0 ,5
1,5431
1,1276
0
1
для
0,5
X
У
1
1,5431
1,1276
1271. Построить кубическую сплайн-функР11 М 1 Л
0
— 2 х , заданной таблично на отрезке [ — 1 , 1 ] шЯ
функции
я функции
И ГТ '
—1
-0 ,5
0
0,5
1
0,5
0,7071
1
1,4142
2
1272.
Построить кубическую сплайн-функцию для функции
у = 1п(2 + дс), заданной таблично на отрезке [— 1, 1]:
1
У
0
—0,5
0
0.5
1
0,4054
0,6931
0,9163
1,0986
ГЛАВА
X
ОСНОВЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 1. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИОНАЛЕ
Вариационное исчисление занимается задачей отыскания наибольших и
наименьших^ значений функционалов, определенных на множествах линий или
поверхностей.
Понятие функционала является расширением понятия функции на случай
когда область определения Е есть множество объектов произвольной природы!
Ьсли каждому элементу / из Е по некоторому правилу ставится в соответствие
действительное число / , то говорят, что на множестве Е определен функцио­
нал «/
«/ (/■). Функционалы обычно задаются с помощью некоторых определен­
ных интегралов. Функции из области определения Е данного функциона ^
будем называть функциями сравнения (или допустимыми функциями).
В дальнейшем в качестве классов С функций сравнения используются
следующие множества функций, заданных на отрезке 1%, х%]: С [х0, хг] — класс
непрерывных функций;
[х0, хх] — класс гладких (т. е. имеющих непрерывные
первые производные) функций.
Обобщением этих двух классов является множество С<т> [Хо, л^] — класс
функций, имеющих непрерывные т - е производные (т = 0, 1, 2, . . . ) .
В каждом из указанных классов можно ввести понятие расстояния. Именно,
расстоянием нулевого порядка между любыми двумя функциями Л Ь (х) и
У ^У г (%)> принадлежащими С [хо, хх], называется число
Ро = Ро (у ъ Уг ) =
тах
|ух (х) —•у2 (х)
Щ < х < хг
Расстоянием первого порядка между функциями ух (х) и у* (х) из класса
С{1)[х0, Хх] называется число
Р! = р 1 (У1 > Уг) =
шах
|ух (д:) — у 2 (х) |+
шах
|у[ (х) — у'2 (*) |.
х0< X < Хг
х0 < X< х1
Аналогично можно ввести понятие расстояния р^ ( у ь у2) между любыми
двумя функциями у+(х) и у2 (х) из класса & т) [ х 0, х±].
Пусть у (х)
[х0, Хх] и 8 — произвольное сколь угодно малое положитель­
ное число. Множество всех функций у (х) из класса С'ш>[%, х±] таких, что
Рт (У» у) < в, называется е-окрестностью функции у (х) в заданном классе
функций.
1
1:
1273. Вычислить функционал ^ {у (*)) = $ [у (х)]2 йх, если Щ { х ) = х }
- ______________
о
У%(*) 09 с** Уз (я) 585 г 14" х 2»
т
Д Здесь функционал задан как определенный интеграл ^ (у (х)) =
Подставляя в это соотношение данные функции, получим числовые
13 №1814
(х)]2 йх
значения
385
функционала. Имеем
1
при
щ (х) = д::
при
у2
(*) =
(х) = \ х 2 й х = - % 5
вх :
/ а (*) = ^
(е*—*)*
(е*)2
о
I
при
Уз (х) =
у 1+
* а:
1 з ( У 1 + х 2) = ^ { У 1 + х 2) 2с!х— ^ . Д
о
1274. Найти расстояние
в классе С [О, 1].
между
функциями
у = х% и у = х
Д По определению р0=
шах \х?— х\. На концах отрезка {0, 1] функ0<лг< 1
ция у = х 2— х принимает значения, равные нулю. Исследуем ее на экстремум
в интервале ]0, 1[. Имеем у' = 2 х — 1; ^ ' = 0 при х = 1/2. Так как у ” (1 /2) = 2 > О,
то в точке х = 1 / 2 исследуемая функция достигает минимума, равного — 1/4.
Поэтому I х 2— х\ принимает в точке * = 1 / 2 наибольшее на отрезке [0, 1} зна­
чение, равное 1/4. Значит, расстояние между функциями у = х * и у = х в
классе С [0 , 1] есть р о = 1 /4 . А
1275. Найти расстояние р0 между функциями Уг(х) — хе~х и
#2 = 0 на отрезке [ 0 , 2 ].
1276. Найти расстояние р* между функциями у±{х) = х и
у г {х) — \пх на отрезке [е~19 е].
§ 2. ПОНЯТИЕ О ВАРИАЦИИ^ФУНКЦИОНАЛА
«г
Пусть функционал ^ (у(х)) = [ р ( х , у , у ')й х , где Р (х, у % у ' ) — некоторая
Хо
известная функция трех переменных, определен в классе С. Разность
=
у{х),
у(х)9 у (х )€ С ,
называется приращением (или вариацией) аргумента у функционала ^ (у).
Разность
|
' ■ ж .*•
Д / = А / (% ) а / ( у + б у ) — 1 (у)
называется приращением функционала 1 (;у), соответствующим приращению бу
аргумента.
Пусть функция Р (х, у , у') непрерывна ц имеет непрерывные частные про­
изводные по всем переменным до второго порядка включительно. Тогда в при­
ращении функционала А^ (ду) можно выделить главную часть, линейную отно­
сительно вариации аргумента, которая называется вариацией функциона;1а
^ (у) и обозначается через б / .
Щ' | |
3
1277.
Найти приращение функционала ^(у ( х ) ) = [ у 2у г с1х, если
у { х ) ~ х г, ух {х)
386 *
—х 3-.
■ ■■?$
. 'Я ,,
Л Здесь приращение аргумента функционала 8у (я) — Уг (х) — у ( х ) —* 3
а соответствующее ему приращение функционала
*
\
*2>
= ^ (у{x) + Ьу(x)) — ^ ( у ( x ) ) = ^(у^{xУ) — ^ (*(*)) = ,
I
3
С х?-Зх*0х— [ л4-2хйх = 6318. А
«3 ’
*)
о
о
1278. Найти вариацию функционала ^ (у {х)) = ) у у ' А х , если
х
у(х) и б {у (*)) € О >[х9, хД.
Д По определению претращетгя функционала
х*
Д/ = У (у (х) + бг/ (*))
Щ
(у (х)) = 5 ( » + М (у' + % ' ) * с - 5 » ' Л*
*о
откуда искомая вариация
т
67 ( « / ( * ) ) = $ (у' & / + У б у ') йх. А
*0
Сравнить приращение и вариацию следующих функционалов:
а (х — 1)
1279. ^ (у (*)) Я \ (уу' 4- хуЛ) Щ
если # = 1п х > ЬУ = Щ р
1
Л
1280. ^ (у (х)) = ^ у ' г 5 'тх Ах, если у = з ш * , бу = а соз х.
о
§ 3. ПОНЯТИЕ ОБ ЭКСТРЕМУМЕ ФУНКЦИОНАЛА.
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА
Пусть Е — класс функций сравнения функционала
Говорят, что функ­
ционал 1 имеет в этом классе абсолютный минимум (максимум), реализуемый
функцией 1
/
если для любой функции у ( х ) ^ Е выполняется неравенство
/ Л (X)) ^ 1 $ (*)) у (У М ) < 1 (У т .
(1)
т. е. приращение функционала А/ = / (*/(*))— ^ (у (х)) неотрицательно (непо­
ложительно).
_
,
Говорят, что функционал / имеет в классе Е относительный минимум
(максимум), реализуемый функцией у ( х ) 9 если найдется такая е-окрестность
функции *Г(х), что для любой функции у ( х ) ^ Е из этой окрестности выпол­
няется неравенство (1).
Очевидно, абсолютный экстремум является и подавно относительным эк­
стремумом. Обратное, вообще говорЯ| неверно.
Пусть функционал
/ (У (*)) = 5 г (*, у, у') Ох
в*
й
определен в классе С(1), а подынтегральная функция непрерывна вместе со
своими частными производными до второго порядка включительно.
Т е о р е м а . Если функция у = у (х) ^ С(1) удовлетворяет граничным уеловиям у ( х 0) = уо> У(Х1) = У1 и реализует экстремум функционала (1), то она
является решением уравнения Эйлера
ёщ
М
М
ш
или в развернутой записи
У " р у 'у г + У ' Р у у ' + Р х у ' — Р у — 0 -
(4 )
Уравнение (3) представляет собой дифференциальное уравнение второго
порядка относительно неизвестной функции у (х). Общее решение этого урав­
нения содержит две произвольные постоянные С± и С2, которые должны опре­
делиться из граничных условий */(*о) = */о и У :®8вдМ*Ш * Интегральные кривые
уравнения Эйлера называются экстремалями. Для того чтобы экстремаль про­
ходила через две точки М (х0\ у 0) и N (хх\ у {)у следует выбрать постоянные
Сг и С2 так, чтобы ф (%, Съ С2) = у 0 и ф (я*, Съ С2) = у ъ где у = (р (х3 Сь С2)—
общее решение уравнения Эйлера.
В общем случае уравнение Эйлера не разрешимо в квадратурах. Рассмот­
рим частные случаи этого уравнения.
С л у ч а й 1. Функция Р не зависит от у\ т. е. Рт=Р (х, у). Тогда уравдР
нение Эйлера принимает вид
= 0. Это уравнение не является дифферен­
циальным относительно неизвестной функции у (х), так как оно не содержит
у'. Оно определяет одну или несколько функций, которые, вообще говоря, не
удовлетворяют граничным условиям у ( х 0) = у 0 и у ( х 1) = у 1. Следовательно,
решение рассматриваемой вариационной задачи в общем случае не существует.
Лишь в специальных случаях найдется кривая у = у (х ), проходящая через
точки М (%, уо) и N (*!, у г) и являющаяся решением функционального уравЙР
л
нения -гг—= 0 .
-I
у
Н 1
,
■
1281. Найти экстремаль функционала
1
'
У :.
У-7
«^ (*/(*)) = I (X 5’т у + соз у) йх\ у ( 0) = 0,
У
0 I
I
у { 1) = я/4.
\
дР
Д Здесь ^ *= *з1 п * / + с°5 У> ~д^= х 003 У— 5*п У и уравнение Эйлера имеет
вид л; соъ у — 51П(/ = 0, откуда у = агс1& х. Это решение удовлетворяет заданным
граничным условиям и, следовательно, полученная кривая является экстре­
малью. Д
1282. Найти экстремаль функционала
111Й
= I (хеУ — у е * ) Ах 9 у (1 ) = 1, у Щ Щ 1.
1
Д Здесь р — хеУ— у е х > — = х е У — ех , и
уравнение
Эйлера
записыва-
ется в виде хеУ — ех = 0, откуда у ш х — \пх. Полученное решение не удов­
летворяет данным граничным условиям и найденная кривая не является
экстремалью. А
Случай
ЧгУ'С}
(*,
2.
Функция Р линейно зависит
у)- Тогда уравнение Эйлера имеет вид
не является дифференциальным
388
от у\
т. е. Р = Р ( х , у) +
^ то уравнение
относительно неизвестной функции у (х) и,
вообще говоря,
не имеет решений, удовлетворяющих заданным граничным
дР
дО
т/
, /ч а
условиям. Если же
, то подынтегральное выражение г (я, у , у ) а х =
= (Р ) - 1 /( ) ) йх = Р й х й у есть полный дифференциал некоторой функции
двух переменных. В этом случае значение функционала не зависит от пути
интегрирования. Следовательно, функционал «/ постоянен на всех допустимых
кривых и вариационная задача теряет смысл.
1283. Найти экстремаль функционала
1
$ {у р й = 5 [{ху' + 1) еУ + х*— у 2у ’ ] йх\ у (а) = а, у (р) = Ь.
а
Д Здесь г линейно зависит от у :
р = (ху' + 1 ) еУ + *2 - у 2у' = (х2 + &) + (хеУ— у 2) у ',
т. е. Р ( х , у ) = х * + е У , 0. (х, у ) = х е У — у 2 и
• Выражение (х2+ е У ) й х +
Л-(хеУ — у 2) йу есть полный дифференциал, и, следовательно, интеграл не за­
висит от пути интегрирования:
(Р: Ь)
№;_*)
'
§
1
»
з
]
_
Л
кз
/ (у (*)) = \ (хг + е у) ах + (хеу — у 2) а у =
\ й [ хеу — «
х
3
3
(а; а)
(а; а)
хгу — щ */3+ у х 3
и Я
(а; а)
^
Значение функционала 1 постоянно для всех кривых у (х ), проходящих через
точки (се: а) и (р; Ь), и вариационная задача не имеет смысла. Д
С л у ч а й 3. Функция Р зависит лишь от у \ т. е. Р = Р (у '). Тогда урав­
нение Эйлера имеет” вид у ' Р у у * = 0. Если Руу* Ф 0 (в противном случае тре­
буется дополнительное исследование), то получаем уравнение у" = 0. Его общее
решение у — СхХ-\-С2, т. е. экстремалями являются прямые.
1284. Найти экстремаль функционала
1
3 (У (* ))= 5 (У* ~^~У
о
у (0) == 1, у ( 1) = 2.
I
Д Здесь Р = у ’г -\-у' + 1 ,
Руу' =
вид 2уп— 0, откуда у = С 1Х + С 2. Значения Сг и
хождения экстремали через точки М (0; 1) и N (1;
С1 = С2= \ . Таким образом, экстремалью является
Случай
4.
2. Уравнение Эйлера имеет
С2 найдем из условия про­
2): С2 == 1, С\-\-С2 = 2, т. е.
прямая у = х + 1. Д
Функция Р зависит лишь от х и у\ т. е. Р = Р (ху у'). Так
как в этом случае |^==0, то уравнение Эйлера имеет вид — ^ — ^ = 0 , откудР (х
да сразу находим — ^
иг\
у ' - = С 1. Разрешая это уравнение относительно у*
и интегрируя, получим общее решение уравнения Эйлера.
1285. Найти экстремаль функционала
П у { х ) ) ^ \ { . х у ,л— 2 у ' ) ( 1 х \
0 ( 1 ) = 1, у { е ) = 2.
1
380
Д Здесь Р = ху
/2
2У',
ЛР
2 д г /— 2,
т .е .
2ху’ — 2 = С^. Отсюда
У
С* 4 -2
2Х
' Интегрируя, находим у — "с^ (Сх-|- 2) 1п х-\-С%. Используя граничные
условия, получаем С3 = 1, у С х + С а-|-1 = 2, т .е . Сх = 0, Сг = 1 . Экстремалью
является кривая у = = 1 ш с + 1 . А
^
С л у ч а й 5. Функция Р зависит лишь от у и у ', т .е . Р — Р (и и'\
Уравнение Эйлера, имеющее в этом Тслучае
вид
у”р
у
у
>
+
у
'
р
уу
—
р
’
Т*“• ^
=г~& г 9
и -^ 0 | СВО­
ДИТСЯ к дифференциальному уравнению первого по­
рядка Р — у ’ Ру' — С1, где Сх— произвольная постоян­
ная.
1286
(Задача
о
наименьшей
площади поверхности
вращения).
Среди всех плоских гладких кривых, соеди­
няющих точки А Щ у 0) и В (х,; Щ найти
ту, которая при вращения вокруг оси Ох
образует поверхность наименьшей площади.
Рис. 91
в прёт^н°ствеД С™
х°] ™ вращения является Функционалом, определенным
/ (У (*)) = 2л ^ у V 1 р у ' 1 йх.
х0
Здесь Р — у
поэтому уравнение Эйлера сводится к ура] нению
УV I
/2
+ У
УУ
у ш
/2
/2
Ц>
ИЛИ у = С 1 УГ 1 + у ' * .
Полагая у ' = &М, находим у = С г сЬ I. Отсюда
йу
йх
Сх зЬ I А
С±а^
У
т.е. лг=С^4-Сй.
Следовательно, искомом кривой является цепная линия у = С*сЬ
С
С,
извольные постоянные л*х и С2 определяются из граничных условий: сЬ ^
Ш
9
ч~
Сх
Л . А
Сх
1287 ( З а д а ч а
соединяющих точки
точка, двигаясь под
п
Vкорости, достигнет
о б р а х и с т о х р о н е ) . Среди всех линий,
А и В у найти
ту, по которой материальная
действием силы тяжести из А без начальной
точки В за кратчайшее время.
рывно дифференцируемая функция, причем Ш
1
V 2в у
390
. Про-
И
нШ Ш Ш '
Ш
Ш
г
"чш I ‘ ас т
масса точки, а у — ее скорость. Отсюда
*
V 1 4 -У 2 Ш
(йз—
элемент
дуги
линии).
т
т
Отсюда
а1 = - - г ~ — Ах, т. е. ^ (у ) = —^ — | — ‘ - Т у
К % |
Г #
Уравнение Эйлера в данном случае приводит к следующему дифференци
альному уравнению первого порядка:
Уа ± Р
Ш
г
с*, т. е. §
||
Положим у ’ = с1д
1
р (I | | §|
тогда у = —Ц- (1 — соз 0 , а
2С|;
у
■> *
.
йу
81ПI й1
1
_ I
1
<** = — = ---------------— = - Ы п * ± .с И = — (1 ~ С 0 5 Г )^ ,
/
2С! с12 А
С|
2
ЯБ$
11|— зш о + с а.
2С|
Мы получим параметрические уравнения циклоиды:
Щ
7 ( / — 5Ш О ,
^ - ^ О - - 005 0.
т. е. линией наискорейшего ската (брахистохроной) является циклоида. По­
стоянная С2 = 0 (так как х = 0 при / = 0 ) , а постоянная Сх определяется из ус­
ловия, что кривая проходит через точку В (х*; # 1). ^
Случай
6. Функция Р зависит только от у, т .е . Р = Р (у ).
а*
дР
л
случае уравнение Эйлера имеет вид - ^ - = 0 .
1288. Найти экстремаль функционала
В этом
|И
||НЯИ|Н
— у*) <1х\ 1/ ( 0 ) = 1, у ( 1 ) = е .
Ц у (х)) = [
дР
Д Здесь Р = 2еу — у 2, - ^ - = 2 е у — 2у, 2еу — 2у = 0, т. е. у = еу . Последнее
уравнение не имеет даже числовых решений. Д.
С л у ч а й 7. Функци я Р имеет вид Р (дг, у , у') = р (х) у'1+ д (х) у 2 +
+ 2у }(х ), где р (х ) > 0 , / / ( * ) , <7 (х)^=г0 , /(х ) непрерывны на отрезке [х0|
В этом случае экстремаль у — у (х ) функционала
я%
:
{^
^
. :;Г ' '
-Г ( у (•*)) = 5 (Р (х)У 11+ я ( х ) у г + 2 {(х )у ) Ох»
*9
-
\
;; -
й -?.
'
■ 391
проходящая через две заданные точки (х0> у0) и (лгь у{), удовлетворяет еле
дующему уравнению Эйлера: ^ (р у' ) — щ — / = 0.
1289. Найти экстремаль функционала
1п 2
/ (*/ (*)) =
! '
5 («/* + 21/2
0
2у) е~* с!х\ у ( 0 ) = у ( 1п 2 ) = 0 .
*
*
А
Здесь Р = : ( и ' 2-\-2у2 + 2 у ) е - х ,
Уравнение Эйлера примет вид
^
р (х )= е ~ х,
&
д (х ) = 2е~х ,
УГ)~ ~ & ~ х У— е ~ х = 0, или */"—У —
/ (х )= е ~ х.
. .
= 1,
откуда у = Сге2х + С2е ~ х — 1/2. Используя граничные условия, п о л у ч и м Сг +
-}-С 2= 1 /2 , 4С х+ (1/2) С2 = 1/2, т. е. С*г = 1/14, С2= 3/7. Итак, экстремалью
является кривая ^==(1/14)е2л4 -(3 /7 )е “ * — 1/2. Д
Найти экстремали заданных функционалов:
1290. ^ { у ) = ^ ( у $ Ъ x — у 2сЪх)с!х]
- -*: 0 '■ ; -;
Х1 *
у(0)=1,
'
* |
1291. 7 (*/) = $ ^ (1 + ху') йх;
Х0
*.
1
Я
1292. ^ ( у ) | ^ у ' 2 Ох;
у(\)=\.
-
•1 "
у (х0) Ш |„, у Щ
•.
—
V А
•
|р?
= у х.
-1 ' '■-V
I
‘
у ( 0) = 0, у ( 1 ) = 1 .
0
1
Л
1293. ^ ( у ) = %
\) ( х у '— у ' 2)йх\
у(0)=1,
у ( 1) = 1/4.
о
2 в
■
-
1294. / ( г / ) = Ц ----- у ( — 1) = 1, * /( 2 ) = 4 .
-1
Хх
1295. Л,у) = \ { у 2+\)(1х\
у ( х 0) = у ( х 1) = 0.
Ха
Зл/2
1296. ^ ( у ) =
| (у*— 2 у ' *) е~х &х\
у ( 0) = 0, у (3л/2) = ^ я / 4.
о
2
1297. / ( г / ) = 5 ( л : У Ч 1 2 г / 2) ^ ;
* / ( ! ) = 1, у ( 2) = 8 .
1
8
1298. Л^у) = \ {х— 4у)* (1х\
4
у(4)=1,
г/(8 ) = 2.
•
^
1299. Найти кривую у = у(х), по которой материальная точ­
ка перемещается из точки М (0; 1) в точку N (\\ 2) со скоростью
у = л; за минимальное время.
392
Ш ЖЙ
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПРОИЗВОДНЫХ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Рассмотрим случай, когда интеграл содержит производные искомой функ­
ции у * = у (х ) выше первого порядка:
■**
* {у (*)) = 5 Г (*■ У. У
лг0
При этом искомая функция у (х)
ным условиям:
у
М ' ^ У о;
•••. 0<я)) Ах.
(I)
[х0, хх], и удовлетворяет 2п гранич-
у ' ( х 0) = у о - , ’ - - ; у 1п- 1)(хо)= уоп~1);
У (хг) = У1 ; у ' ( х х) = у [..........=
а подынтегральная функция Р (х, у, у ' ......... «/<” >) дифференцируема я + 2 раза
по всем своим аргументам.
Тогда функция / / = ( / (х), реализующая экстремум функционала (1) — (2),
должна удовлетворять уравнению Эйлера— Пуассона:
V»- = 0>
Ру ~ Т х р у , + 1 ^ ?1> " ~ ■•■+
,
Среди всех функций класса С(а> [0 , я], удовлетворяющих
граничным условиям у (0 ) == у (л) = 0 , у' (0 )== у' ( л ) = 1, найти та­
кую, которая реализует экстремум функционала / [у
1300.
Я
а
(16 г/2— г/" + х 2)с1х.
о
Д Для данной задачи уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид
'2
32у + (— 1)* ^
(— 2у") = 0,
или
* / < т _ 1 6 у = 0.
Его общее решение таково:
у = Схе2х-{-С2е ~ 2х + С3 соз 2 х + С 4 81п 2х.
Используя граничные условия, получим
у = 0,5§1п2х— искомая функция. Д
С1 = С2 = С3==0,
С4= 0,5.
Итак,
Найти экстремали заданных функционалов:
^ Н ж ш Ш Н 1 В м 1 Хг
1301. | (у) = у ^ у"* дх\
у ( х 9)=^у(ху) = 0, у ’ (х0) = у'
= 0.
*0
1
1302. ^ ( у ) = и у ' г + 2у'г + у*)с^x■,
Щ 1) =
- 5 Ы
И
Н
И
=0,
*/'(0) = 1,
.
Я/2
1303. ^ { у ) =
5 (у"г — у* + х*)йх; у ( 0 ) = 1 , у ' {0 ) = 0 , # ( я / 2 ) = 0 ,
у ’ (я/2) = — 1.
393
§ 5. ФУНКЦИОНАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ДВУХ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Рассмотрим функционал
Х\
1 (У- *)«= \ Р (х , у, г, у ’ ,г') йх,
(1)
зависящий от двух функций у, г ^ С (1) [.г9, л,].
В этой вариационвой задаче необходимо найти кривые ц — и(х)
удовлетворяющие граничным условиям
У (*о) = Уо.
У (дгх) == 1л,
г ( х 0) = г 0,
г — г(х)
1 ’’
г ( х 1) = г 1.
(2)
Искомые экстремали являются решением системы дифференциальных урав­
нении второго порядка (системы уравнений Эйлера)
Г .-± Г ,.= 0 .
Эта система уравнений относительно искомых функций и (х) и г (х) игпает в
поставленной задаче ( 1 ) — ( 2) ту же роль, что и уравнение Эйлера для одной
неизвестной функции у ( х ) .
*
А И
1304. Найти экстремали функционала
Я
Л = * $ ( у ' я— 2 у * + 2 у г — г л)йх\ I, (0 ) = г (0 ) = 0 , 1/( л ) = г ( л ) = 1.
А, Система
Дифференциальных уравнений для данного функционала имеет
вид у ~ г*у г — I), г -\-у = 0. Исключая г, получим уравнение
-Г*/ = 0, общее решение которого
^
*
у = С! соз х + С 2 зш * + * (С3 соз х + С 4 зш х).
В
Ж
гпР
ЛН
И
п
Н
Ы
Х
уС
Л
0В
И
Й
|
Я
С
з
=
1
/л,
т.е.
у
=
С
г
з
Ь
х
+
С
4хвЪх
— щ щ соз х. Далее, имеем
1 4
2=
С2 |Ш*^”Г ^-4 ( - СОЗ ЛГ-4-#
81П* )-{- — (2зш х — X соз х).
Постоянные С2 и С4 находим, используя граничные условия для *• С . = 0
С2-п р ои звол ьн о. Следовательно, г = С2 з ш д ; + ( 1 / л ) . ( 2 з ш ^ х с о з л ) '. Итак
“
Щ
ВИД
2 = С2 з 1 б х + ( 1 / л ) х
Наити семейства экстремалей заданных функционалов:
1
1305. ^ (у, г) = | (у'*— 2 х у г ) Ох;
1306. ^ ( у , 2) = 5 ( г ' * — х у 'х )ф с ;
г ( 2 ) = 1 /2 .
394
у (0,5) = 2,
у(1) = г (1 )~ 1 ,
г ( 0 , 5 ) « 15,
у (2)
1 /6 ;
!I
1307, ^ (у, г) =
|
г ( — 1) = — 1,
I
{\ (I ±2- г ' г— у ' г + 2ху)(1х\ у ( — 1) = 2,
г /(1 ) = 0 ,
г ( 1) = 1.
Я/2
1308. Ц | г ) = $ {у,х + г ,г-2уг)(1х-,
у ( 0) = 0,
у(п /2 ) = 1 ,
г (0 ) = 0, г (я /2 )= » 1 .°
§ 6. ФУНКЦИОНАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ФУНКЦИЙ
ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим функционал
и .
Г
/ = Л
в
Обозначим ~ ^ = р ,
е [ Х‘
Ж
’
Пусть Т7 (л:, у, г, р, 7) — функция, непрерыв­
ная вместе со своими производными до второго порядка включительно в неко­
торой пространственной области Я значений переменных х, у , г при всех ко­
нечных р и (/. Далее, пусть Г — замкнутая пространственная кривая, проекция
которой на плоскость хОу есть простой замкнутый контур С, ограничивающий
область В . Уравнение поверхности 5, расположенной в области /? и проходя­
щей через кривую Г, имеет вид г = /(лг, у), где фу