close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3330 malla s veyvleti v obrabotke signalov

код для вставкиСкачать
519
М19
С.МАЛЛА
■
Н
/J
иI,
VV
JV
V
V / «ai
V XZW &V W
/М щ Ж "-І) В !I
Г •
i r,«
. :u1 / • >11
1 л* . •*теЭ^
* % / - v By
•
•
-
—
I -■ 1•"•••*
•! jIIf
Я
L . J jV 4
II I
.*■*«■
II .•I J I 9I . •I« *Ч
і
t шГ
•
• 1.1
.. . / /
-1ІХ f i / t
I ж
.М’ 'П
' I. Л
I .1
IГ
V ■/f /Jу/ I
S
I
г.- І г І / іЩ .'-У,•
i
w
)ЧЪг
,у
,-т
I
Аг-^' Ч*ЛГ/ //г
Ш || .iV / г Л
IШ / { f i t 'w /
Lffn ■1 '.As tak I•
ІI ж
л
' ш W
I*
«
-
Л
I
If 9
1
•
V%
• •
I— „ -
Издательство«МИР»
* %3
» i
% "I
I I1 Г*Яг*
л
I I1.
I
J
11
%*, JI I.*11I *I,
§ **
• •
j
,v
JT «
,*
vJMftK > • '
j
и ■
ф } / /
y ^j
• иРС#J
*
ш
т
тI V
«ҒI
I1
%
« I i ii
Ш
І ft
\ \
V» i l ! > ■ ■% . » __ ___________
£
Second Edition
Stephane Mallat
Ecole Polytechnique, Paris
Courant Institute, New York University
ACADEMIC PRESS
A Harcourt Science and Technology Company
San Diego • San Francisco • New York
Boston • London • Sydney • Tokyo
С. Мапла
Перевод со второго английского издания
Я. М. Жилейкина
Допущено учебно-методическим советом по прикладной математике
информатике в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по специальности
010200 «Прикладная математика и информатика»
и по направлению 510200 «Прикладная математика и информатика»
Москва «Мир» 2005
УДК 519.6
ББК 22.193
М 18
Малла
М18
Вэйвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. — М.: Мир, 2005.
ил
ISBN 5-03-003691-1
Книга написана известным французским ученым и ипжіуп п»»— полной современной монографией в области теории вэйштетов и их
применений при обработке сигналов. В ней подробно обсуждаются как
важнейшие теоретические вопросы, так и рад наиболее актуальных практи­
ческих задач: сжатие сигналов и изображений, их квантование и
кодирование широко используются при цифровой обработке и передаче
речевой, звуковой и видеоинформации. Книга хорошо иллюстрирована
таблицами, графиками и рисунками; изложение отличается методическими
достоинствами: рассматриваюгея многочисленные примеры и предлагаются
читателю для решения наборы задач различного уровня трудности. Дается
описание и рекомендации к использованию программного матобеспечения
по применению вэйвлетов (WaveLab и Last Wave).
Для студентов высших учебных заведений, аспирантов и препо­
д а в а т е л е й специализирующихся по математике, обработке сигналов и
инженерным наукам — как наиболее полное учебное пособие; для
области —как фундаментальное
руководство.
УДК
519.6
Г------ :-------- 7
II
J f . J17.U
I
С.Торайғыроа
II
ББК 22.193
I
атындағы ПМУ-дің
I
С
Издание осуществлено при финансовой поддержке
фонда фундаментальных исследований по проекту №
Редакция литературы по математическим наукпм
_______ „ ,
.
ISBN 5-03-00369 - (русск.)
ISBN 0-12-466606-Х (англ.)
Copyright © 1999 by Academic Press.
All rights reserved.
© перевод на русский язык,
«Мир», 2005.
Предисловие переводчика
Монография Стефана Малла посвящена важной и интересной теме современ­
ной математики
теории вэйвлетов. Изучение этой науки стало весьма по­
пулярным в последние 20—30 лет. Были сделаны попытки применить теорию
вэйвлетов к решению большого числа прикладных задач, и во многих случаях
это дало прекрасные результаты. По сравнению с известным и широко упо­
требляемым методом Фурье современная теория вэйвлетов дает возможность
рассмотреть многие явления, связанные с обработкой сигналов, хранением и
передачей информации на более высоком, более общем уровне. Эта наука да­
ет возможность создать эффективный теоретический и технический аппарат в
таких областях знаний, как теория приближения функций, обработка сигнала,
теория информации и кодирования. Вэйвлеты сумели объединить творческие
усилия специалистов, как теоретиков, так и инженеров, из различных сфер
деятельности. Об этом хорошо говорится в нижеприведенном предисловии ав­
тора книги к первому изданию. Наряду с непрерывными моделями техника
вэйвлет-преобразований успешно реализуется и для дискретных моделей, ко­
торые в связи с использованием компьютеров и цифровых технологий находят
огромное применение.
До недавнего времени ощущался явный недостаток в фундаментальной ли­
тературе на русском языке по вэйвлет-преобразованиям и их применениям.
В настоящее время состояние дел значительно улучшилось, российский чи­
татель может ознакомиться с переводами книг И. Добеши «Десять лекций
по вэйвлетам» и Ч. К. Чуй «Введение в вэйвлеты». В этих книгах приводят­
ся основополагающие результаты по теории вэйвлетов, написанные ведущими
специалистами в этой области. Нельзя обойти вниманием книгу Б. С. Кашина
и А. А. Саакяна «Ортогональные ряды», написанную на высоком математиче­
ском уровне, в которой рассматривается разложение в вэйвлет-ряды. Недавно
вышли из печати книги Э. Столница, Т. Де Роуза и Д. Солезина «Вейвлеты в
компьютерной графике» и В.П. Дьяконова «Вейвлеты. От теории к практике».
С. Малла — один из классиков теории вэйвлет-преобразований. Его моно­
графия — это наиболее полная книга по теории вэйвлет-преобразований и ее
основным применениям. Опубликование этой книги на русском языке дополня­
ет и, в некотором смысле, завершает издание серии книг по теории вэйвлетов
и их применениям. В качестве применений в книге Стефана Малла рассматри­
вается обработка звуковых сигналов и изображений. Нет нужды напоминать
Предисловие переводчика
G
об актуальности задач сжатия сигналов и их кодирования, которые находят
большоеприменеиие при сжатии, цифровой обработке и передаче речевой, звуковой и видео информации.
1
____
Монография С. Малла представляет собой н а и б о л е е Щ Щ Щ Е Ц
сматриваемой тематике. Результаты, приведенные в этой книге, могут эфф
“ вТиспользоваться в практической работе. Этому способствуют наборы задач и упражнений, которые приводятся в конце каждой главы.
Так как книга большая и многоплановая, то автор вводит
для каждого раздела и пункта, а также для задач и упражнении. Эти индексы
определяют, какие материалы следует изучать в первую очередь, какие во в
рую а какие являются более частными или носят сугубо прикладной характ р.
Индексом Ж отмечены те результаты, для получения которых используются
более сложные математические методы.
Монография С. Малла с успехом может использоваться при обучении сту­
дентов, аспирантов и научных сотрудников теории вэйвлет-преобразован
сигналов
написании и построении различных спецкурсов, проведении теоретических,
практических и лабораторных занятий.
yj
Так как в книге С. Малла приводятся самые различные результаты: по тео­
рии преобразования Фурье, решению дискретных задач, частотно-временному
анализу, вэйвлет-преобразованиям, теории линейной и нелинейной аппрокси­
мации, теории вероятностей, информации, кодирования и многие другие, то,
наверное, следует читать не всю книгу подряд, а изучать интересующие читателя разделы.
Малла
является
наличие
иилишиш
—--------- — TXT
в котором приводится содержание пакетов программ W a v e L a b и L a s t w a v e , с
помощью которых читатель может выполнить на компьютере все вычисления,
одятся
Малла
торой художественной образности. Об этом говорят и названия глав: «Коро­
левство Фурье», «Дискретная революция», «Время встречается с частотой» и
другие. В ней встречаются небольшие неточности, но они не носят принципи­
ального
современная
Следует
функционального анализа
лов, теорий вероятностей, информации и кодирования. За последние годы в на­
шей стране вышло достаточно много книг по вэйвлет-преобразованиям, уста­
новилась и терминология по этому предмету. Хотя до сих пор в различных
книгах на русском языке она не совсем одинакова, но это не приводит к непо­
ниманию содержания. Некоторые различия в терминологии перевода и ори­
гинала связаны с традиционностью терминов, принятых в русских книгах в
отличие от западных. Не следует также забывать, что перевод книги С. Мал­
ла является повторным с последнего издания Академик Пресс, написанного,
как говорит автор, на «франглийском» языке. В ряде случаев, когда пере­
вал какого-либо английского термина имеет несколько синонимов, то наряду
л.
ч
/
^
^
^
^ — -------- v"
^
s
Предисловие переводчика
7
с основным значением в скобках указывается его уточнение. Остановимся на
используемом в этой книге переводе некоторых английских терминов.
1 . Дельта-функции Дирака или функции Дирака — Diracs, Diracs distributions.
2. Обобщенные функции — distributions.
3. Выборка
sampling; набор элементов некоторого множества для его
изучения;
sample отсчет, единичный элемент из этого множества;
sample mean — выборочное среднее.
4. Диапазон
band; область изменения аргумента функции;
frequency band — диапазон частот.
5. Каркас — frame.
6. Масштаб — scale.
7. Набор фильтров
banc of filters; иногда в литературе переводится как
банк фильтров.
8. Улучшение — lifting;
lifting wavelet — улучшенный вэйвлет.
9. Наложение — aliasing.
10. Перекрывающиеся — overlapped.
11. Гладкость — regularity.
12 . Покрытие — tiling.
. 13. Плотное покрытие, укладка — paving.
14. Прерывистый непериодический сигнал — transient signal.
15. Циклический — circular.
16. Резкие перепады (функции) — edges.
17. Хребты — ridges.
18. Неоднозначность — ambiguity.
19. Боковой максимум — side-lobe.
20. Отражение, отраженный — folding, folded.
21 . Восстановление, реконструкция — reconstruction;
perfect reconstruction — точное восстановление.
22. Функция стоимости — cost function.
23. Преследование — pursuit;
pursuit algorithm — алгоритм преследования.
24. Оценка — estimation; этот термин используется как для оценки величи­
ны нормы функции и ее производных, так и при статистическом оценива­
нии функции f ( x ) , например, }{х) = f ( x ) 1 W (х) , где W{x) - шум, тогда
полученная в результате статистической обработки f ( x ) функция /( х ) есть
оценка f{x).
25. Энергетический спектр — power spectrum; иногда в литературе использу­
ются термины: спектр мощности, спектральная функция.
26. Редкий, разбросанный — sparse;
sparse distribution — редкое распределение (коэффициентов разложения).
27. Порог — threshold;
thresholding — пороговая обработка.
Предисловие переводчика
8
. , \
81п(7ГЯГ)
sine (я; = —ттх
28. sinc-функция:
29. Треугольная tent-функция:
1 — х , если ||й < 1»
tent (х) = <
q
остальных
30. Гребенчатая comb-функция: comb (х) Хуп=—оо
В книге используются также образные выражения.
3 1 . Greedy algorithm — жадный алгоритм.
32. Algorithm a trous — алгоритм с дырами.
33. Lazy wavelets — ленивые вэйвлеты.
Следует сказать несколько слов о приведенных в конце книги списках ли­
тературы. Во-первых, дается обширный список литературы, перенесенный из
оригинала монографии С. Малла. В нем имеется техническая неточность, со­
стоящая в том, что номера [72-79] в списке книг и списке статей совпадают.
Чтобы избежать недоразумения, сноски на эти книги и статьи в русском ва­
рианте даются в виде: [72 (книга)], [72 (статья)] соответственно, в то время
как в сносках на остальную литературу указывается только номер, например,
[16] [1241. Во-вторых, приводится список книг на русском языке, которые мо­
гут быть полезны читателю при работе с монографией С. Малла. Разбиени^
этих книг по разделам иногда носит условный характер, так как некоторые
из них с равным успехом могут относиться к различным разделам. В тексте
монографии сносок на эти книги нет.
В заключение считаю своим приятным долгом выразить благодарность
всем, кто принимал участие в подготовке к изданию на русском языке книги С.
Малла «Вэйвлеты в обработке сигналов». Хочу отметить внимание к этой ра­
боте академиков Н. С. Бахвалова и А. А. Гончара. Выражаю благодарность за­
ведующему кафедрой общих проблем управления механико-математического
факультета МГУ В.М. Тихомирову и его сотрудникам за обсуждение ряда
вопросов. Также выражаю признательность профессору кафедры математианализа
v ---------- *
к нашей работе. При переводе книги значительная помощь была оказана про­
фессором факультета ВМиК МГУ X. Д. Икрамовым.
и
Особенно следует отметить сотрудников. НИВЦ МГУ Ю. И. Осипик,
JI. Г. Васильеву и Е. А. Макарову, взявших на себя огромную работу по техниоригинал
тора книги профессора Стефана Малла, который любезно предоставил файлы,
с английским и французским оригинал-макетами своей книги и интересовался
ходом выполнения работ. Выражаю признательность всем сотрудникам изда­
тельства «МИР», внесшим бесценный вклад в осуществление нашего проекта.
___ ____
а
-
____- - -
-
________________ —
------
_
_
_
.Л
к
^
Л
« ІТ Г Ч Г
f
І Т
Т
Г
Р
Л
Ү
Л
Л
Л
*
__Локтпор физ-матп наук
профессор Я. М. Жилейкин
Моим родителям,
Александру и Франсине
к первому изданию
Наблюдая необычайную популярность вэйвлетов в науках, я стал гадать, явля­
ется ли это новой модой, которая со временем сойдет на нет. После нескольких
лет исследований и преподавания по этой теме, пережив мучительный опыт
написания книги, как вы понимаете, я успокоился в моих тягостных предпо­
ложениях. Это может быть естественным самообманом исследователя, изуча­
ющего свой уголок мира, но может означать и большее.
Вэйвлеты не основываются на «новой блестящей идее», но опираются на
концепции, уже существующие в разнообразных формах во многих различных
областях знаний. Формализация и появление этой «вэйвлет-теории» есть ре­
зультат многодисциплинарных усилий, которые объединили вместе математи­
ков, физиков и инженеров, осознавших, что они независимо развивают близкие
ңдеи. В обработке сигнала это объединение породило поток идей, значительно
выходящих за рамки только построения новых базисов и преобразований.
Л и чны й опы т. В определенный момент вы не можете пройти мимо раз­
мышлений о том, кто что сделал. В случае вэйвлетов это особо тонкая задача,
которая рискует вызвать агрессивные выпады забытых научных групп, утвер­
ждающих, что такие-то и такие-то результаты первоначально получены ими.
Как я сказал, эта вэйвлет-теория на самом деле есть результат диалога между
учеными, часто встречающимися случайно и готовыми прислушиваться друг
к другу. С моей, полностью субъективной точки зрения, среди многих иссле­
дователей, внесших значительный вклад в эту науку, я хотел бы выделить
одного, это Ива Мейера, глубокое научное видение которого было главным
ингредиентом, возбудившим такой процесс катализа. Можно с иронией оцени­
вать вклад этого французского чистого математика, воспитанного на культуре
школы Бурбаки, где все прикладное считается тривиальным, играющего цен­
тральную роль в наведении вэйвлет-моста между инженерами и учеными из
различных областей математики.
Предисловие к первому изданию
10
начал
это путешеспланировал
Штатах Америки, единственное, что я И Щ Щ
никпгла не ппествовать, никогда не с т а в и т ь с я
собирался
латькарьеру в какой-нибудь большой корпорации. Десять лет спустя я все
лать карьеру о
___ _______ „ЛП нркотооыми сложШтатах,
углубленно
работал
еще был
преподавал
НЫМИ н а у ч н ы м и и ^ и л с т ш » . . “ “ Г -----щ------|
„
»уг_й ™ ~ г ИКЯ и
дело
7 Возможно, в том, что я встретил таких ученых, как Ив Мейер, этика и
Д В Д іи . u u o m u m i i ,
>
________________ n r w r n t t М Г Л Я П Н Я
передали
Желание
tlCXY
у iyj U U W X Т
------------.ЧЮ гага
_тт/ ч
„ой мотивацией при написании этой книги. Я надеюсь, вы
—
—
------
—
-
-
-------—
—~
» т т т и л м
Н ӨИ ТрӘ ЛЬН ОСТИ-
алгоритмов,. книга содержит ряд
Н есколько идей.
важных идей, на которые мне хотелось бы обратить особое внимание.
временной
I H H _______ анализе временных и частотных свойств сигнала. Это
приводит к разложениям по элементарным «атомам», хорошо сконцен­
трированным по времени и частоте. Поэтому необходимо понять, как
принцип неопределенности ограничивает гибкость временных и частотных преобразований.
>
это масприближении
сигнала.
ilUJrl pOOJill
------------ ----процедуры
X----1-Г ч/ А ^удаления
•
(зуминг) эффективно характеризуют такие структуры, как особенности
сигнала.
алго±JUJbULUG U \J\J4b
——--------- 1
*
ритмов может быть сконструировано много ортонормированных базисов.
Открытие наборов фильтров и вэйвлет-базисов породило новый популярортогональных
каждый
основе ее не лежат практические применения.
Редкие (разбросанные) представления. Ортонормированный базис очень
сигналы
аппроксимируются несколькими ненулевыми коэффициентами. Приме­
нения к оцениванию сигнала
ны с теорией аппроксимации
Применяйте нелинейные и диагональные процедуры. Линейность дол­
гое время была господствующей ввиду ее явной простоты. Мы использо­
вали формулировки, часто скрывавшие ограничения на «оптимальные»
линейные процедуры, такие как фильтрация Винера или разложения
по базисам Кархунена—Лоэва. В редких (разбросанных) представлениях
Предисловие к первому изданию
И
диагональные
«оптимальные» линейные процедуры
іе алгоритмы.
П рограм м н ы е ср ед ств а W aveL ab и L ast W ave. Численные эксперимен­
ты необходимы для полного понимания алгоритмов и теорем в этой книге.
Чтобы избежать тягостного программирования стандартных процедур, почти
все частотно-временные и вэйвлет-алгоритмы доступны в пакете W a v e L a b ,
запрограммированном в системе M a t l a b . W a v e L a b — это программное, сво­
бодно распространяемое матобеспечение, которое может быть получено через
Интернет. Взаимоотношения между алгоритмами и подпрограммами пакета
W a v e L a b объясняются в приложении В. Все компьютерные рисунки могут
быть воспроизведены как демос в W a v e L a b ’е. L a s t W a v e есть окружение для
вэйвлет-обработки сигналов и изображений, написанное на языке С для ком­
пьютеров под управлением систем XI 1/Unix и Макинтош. Эти независимые
свободно распространяемые наборы программ не требуют никаких дополни­
тельных коммерческих пакетов. Они также описаны в приложении Б.
П реп одаван и е. Эта книга задумана как учебник для студентов и аспирантов.
Она приняла такой вид после преподавания курсов «вэйвлет-обработки сиг­
нала» на электроинженерном факультете Массачусетского технологического
института и в Тель-Авивском университете, а также на факультетах приклад­
ной математики в Институте Куранта и в Эколь Политекник в Париже.
На электроинженерном факультете студенты сначала были напуганы ис­
пользованием формализма векторных пространств в противоположность про­
стой линейной алгебре. Преобладание линейных инвариантных во времени си­
стем заставило многих думать, что сверток и преобразования Фурье с точки
зрения математики достаточно для всех практических применений. Однако,
как это ни печально, это не так. Применение математических методов, исполь­
зуемых в книге, объясняется не их красотой, они действительно необходимы
при рассмотрении сложностей обработки прерывистых непериодических сиг­
налов. Открытие использования математики высокого уровня часто является
побочным эффектом при чтении этого курса. Численные алгоритмы и ри­
сунки сопровождают большинство теорем. Использование WAVELAB’a делает
особенно легким его применение для численного моделирования при выполне­
нии домашних работ. Упражнения и более глубокие задачи рассматриваемого
класса приводятся в конце каждой главы.
В прикладной математике этот курс есть введение в вэйвлеты, а также и
в обработку сигнала. Обработка сигнала — это новичок на поприще традици­
онных предметов прикладной математики. Однако она хорошо приспособлена
для наглядной иллюстрации цепочки рассуждений прикладной математики от
задачи моделирования до эффективных вычислений решения и доказатель­
ства теорем. Изображения и звуковые сигналы устанавливают чувственный
контакт с теоремами, что может пробудить интерес многих студентов. Для
преподавания форматированные демонстрационные тексты с увеличенными
Предисловие к первому изданию
12
рисунками доступны через Интернет:
h ttp : / / www. стар, polytechnique, fr/ ~m allat / Wavetour_fig/.
Франсуа Шапле также предлагает вводный Web-обзор основных положений
книги по адресу:
h ttp : / / cas. ensmp. fr/ ~chaplais / W avetour_presentation / .
■
Jj
He все теоремы в книге доказаны подробно, включены только важнейшие
технические приемы. Я надеюсь, что читатель простит мне недостатки мате­
матической строгости в тех многих случаях, где я предпочел идейную сторону
подробностям. Некоторые доказательства длинны; они сосредоточены на том,
чтобы не разбавлять математическое содержание многими промежуточными
результатами, которые могут привести к неясности текста.
к;
П роекти рован и е курса. Способ нумерации уровней, объясненный в п. 1.5.2,
может помочь при проектировании вводных или более подробных курсов. Ч а­
сто необходимо начать с обзора о преобразовании Фурье. Хотя многие студен­
ты, специализирующиеся в прикладной математике, уже встречались с пре­
образованием Фурье, они редко имели достаточно времени, чтобы хорошо в
нем разобраться. Теоретико-математический обзор может выделить примене­
ния, содержащие теорему выборки. Освежающие математические результаты
необходимы также для студентов, специализирующихся в электроинженерии.
Математически ориентированный обзор инвариантной во времени обработки
сигнала в гл. 2 и гл. 3 дает возможность напомнить студенту элементарные
свойства линейных операторов, проекторов и векторных пространств, которые
могут быть найдены в приложении А. Односеместровый курс можно постро­
ить из нескольких фрагментов, ориентированных на различные темы. Здесь
имеется несколько возможностей.
Можно прочесть курс, который изучает основные, предварительно вы­
деленные идеи. Особенно важна гл. 4 при введении понятия локальных
частотно-временных разложений. Разд. 4.4 о мгновенных частотах иллюстри­
рует ограничения на частотно-временное разрешение. Гл. 6 дает различную
перспективу вэйвлет-преобразований в смысле зависимости убывания вэйвлеткоэффициентов при уменьшении масштаба от локальной гладкости сигна­
ла. Полезно подчеркнуть важность нулевых моментов вэйвлета. Курс может
продолжиться представлением вэйвлет-базисов в гл. 7 и сосредоточиться на
разд. 7 . 1 - 7.3 об ортогональных базисах, кратномасштабных (мультиразреша­
ющих) аппроксимациях и алгоритмах набора фильтров в одном измерении.
Линейные и нелинейные аппроксимации в вэйвлет-базисах даются в гл. 9. В
зависимости от подготовки студентов и их интересов курс может быть закон­
чен гл. 10 с применением к оцениванию сигнала с помощью пороговой вэйвлетобработки или гл. 11 с представлением преобразования кодирования изобра­
жения в вэйвлет-базисах.
Другой курс может исследовать построение новых ортогональных базисов
и их применения. Начиная с вэйвлет-базисов, гл. 7 дает также введение в набо­
ры фильтров. Продолжение гл. 8 о вэйвлет-пакетах и локальных косинусных
Предисловие к первому изданию
13
базисах вводит различные ортогональные упаковки частотно-временной плос­
кости. Оно объясняет главные идеи частотно-временных разложений. Гл. 9
о линейной и нелинейной аппроксимациях особенно важна для понимания,
как измерить эффективность этих базисов, и для изучения процедур поиска
лучших базисов. Д ля иллюстрации различия между процедурами линейной и
нелинейной аппроксимаций можно сравнить линейные и нелинейные порого­
вые оценки, изученные в гл. 10 .
Курс можно построить с упором на редкие (разбросанные) представления в
ортонормированных базисах и изучить нелинейные диагональные операторы
в этих базисах. Его можно начать с гл. 10, со сравнения линейных и нели­
нейных операторов, используемых для оценивания кусочно-гладких сигналов,
испорченных белым шумом. Быстрое обращение к гл. 9 вводит линейные и
нелинейные аппроксимации для объяснения, что такое редкое представление.
Тогда ортонормированные вэйв лет-базисы даются в гл. 7 с обращением особого
внимания на их свойства нелинейной аппроксимации кусочно-гладких сигна­
лов. Применение нелинейных диагональных операторов к сжатию изображе­
ния или пороговой оценке должно быть подробно изучено с целью объяснения
использования современной математики для понимания этих проблем.
Более подробный курс может быть посвящен нелинейной и адаптивной
обработкам сигнала. Гл. 5 о каркасах вводит гибкий инструмент, полезный
при анализе свойств нелинейных представлений,'таких как преобразования по
неравномерным отсчетам. Двоичное представление вэйвлет-максимумов иллюстрирует теорию каркасов с применением к многомасштабному детектирова­
нию перепадов. Чтобы изучить применения адаптивных представлений с помо­
щью ортонормированных базисов, нужно начать с нелинейных и адаптивных
аппроксимаций, введенных в гл. 9. Лучшие базисы, преследование базиса или
алгоритм согласованного преследования — это примеры адаптивных преоб­
разований, которые строят редкие представления для комплексных сигналов.
Центральная проблема это понять, до какой степени адаптивность улучша­
ет такие применения, как удаление шума или сжатие сигнала, зависящие от
свойств сигнала.
Распределение ответственности. Эта книга была запланирована на один
год, но завершилась бесконечным кошмаром. Ружена Байци несет основную
ответственность за то, что не вдохновила меня на выбор другой профессии, ко­
гда руководила моими первыми шагами в научных исследованиях. Ее глубокая
научная интуиция открыла мои глаза на и значительно сверх компьютерно­
го видения. Тогда, конечно, было много сотрудников, которые оказали бы мне
большую услугу, показав, что наука —это эгоистический мир, в котором в счет
идет только одно соревнование. Фабула о вэйвлетах была инициирована заме­
чательными учеными, такими как Алекс Гроссман, чья скромность создала
теплую атмосферу сотрудничества, в которой необыкновенные новые идеи и
изобретательность приветствовались как элементы творчества.
Я также благодарен тем людям, которые были готовы со мной работать.
Некоторым принадлежит меньшая заслуга, так как они должны были закон­
чить свою учебу, однако другие сотрудничали со мной на добровольной основе.
14
Предисловие к первому изданию
виду
Фалзона
ііеВИСа,
ісш сра,
------------ ,
_
Пни/Клио Wnu
Джорджа Папаниколау, Ж ан-Ж ака Слотина, Алена ВиллСКИ)
if й
га и Сифена Цонга. Их терпение будет, конечно, вознаграждено в будущей
ЖИЗНИ.
Хотя печатание этих 600 страниц, возможно, не приведет к гибели большо­
го количества деревьев, я бы не хотел один нести весь груз ответственности.
После четырех лет писания и переписывания каждой главы я впервые уви1IU C
^
__________________ _
П Л Фпнпү
Фонду яе lDen.
ДЛЯ того, чтобы ду
m Z писать н питаться. С помощью WAVELAB’a ДэВВД [ Щ
Щ Щ
алгоритмов
О Т I 1U U 1
-- -------------------------------х-------- т / . ^ „
благоприятная возможность была прекрасно использована Мауринои Клерк
г
_____________ _
к п п т т т п м х д и Л Г П ПП.ТТЫНР.
Жеромом Калифа
ишииил, ncivi 2Хосмеливался
W W Y l —X—Г-.-----...
,
„
«
благодарить Барбару Бурке Хаббарт, которая исправила мои «франглииский»
язык (оставшиеся ошибки принадлежат мне) и заставила меня изменить много
4
__ ____ _____ _
г*
гтлтто тто ОГРП Г Т' ЯК' НГПМ
сделала
иишнапсппи n
---------- г-.-**
>и юмором. Мой издатель Чак Глейзер имел терпение ж дать, но я еще больше
думать
ценю его мудрость, которая состояла в том, чіи ц
завершении моей работы в течение года.
Ц
Она не будет читать этой книги, но моя глубочайшая признательность об­
ращена к Бранке, совместная жизнь с которой не имеет никакого отношения
к вэивлетам.
Стефан Малла
Предисловие
ко второму изданию
Перед тем, как оставить эти Вэйвлеты в обработке сигнала, я наивно думал,
что смогу воспользоваться замечаниями и предложениями, сделанными чита­
телями. Но этого не получилось, и дело кончилось тем, что пришлось само­
стоятельно переписать 200 страниц. Позвольте мне наметить в общих чертах
главные составные части, которых не было в первом издании.
• Байес против минимакса. Классическая обработка сигнала почти пол­
ностью построена на методике Байеса, где сигналы рассматриваются как
реализации случайного вектора. В течение двух последних десятилетий
исследователи пытались моделировать изображения с помощью случай­
ных векторов, но безуспешно. Время подумать о том, действительно ли
это лучший подход. Теория минимакса открывает легкую дорогу для
алгоритмов получения оценок и сжатия информации. Она использует
детерминированные модели, которые могут быть построены даже для
сложных сигналов, таких как изображения. Гл. 10 написана и расши­
рена с целью объяснения и сравнения точек зрения теории Байеса и
минимакса.
I Сигналы с ограниченной вариацией. Вэйвлет-преобразования приводят к
редким (разбросанным) представлениям кусочно-гладких сигналов. Нор­
ма полной вариации дает интуитивное и точное описание для характе­
ристики кусочной гладкости сигналов и изображений. В этом втором
издании полная вариация используется для вычисления погрешностей
аппроксимации, для оценивания риска при удалении шума из изобра­
жений и для анализа нормы искажения преобразования кодирования
изображения.
• Нормированный масштаб. Непрерывная математика дает асимптотиче­
ские результаты при возрастании разрешения сигнала N . В такой мето­
дике носитель сигнала фиксирован, например, [0, 1 ], и шаг выборки N - 1
все время уменьшается. В противоположность этому алгоритмы цифро­
вой обработки сигнала часто нормируют шаг выборки на 1 , а это озна­
чает, что носитель [0, Я возрастает с N . Это новое издание объясняет
Предисловие ко второму изданию
обе точки зрения, но теперь рисунки изображают сигналы с носителем,
нормированным на [0, 1 ], в согласии с приводимыми теоремами.
Видео-сжатпие. Сжатие видео-последовательностей есть задача перво­
очередной важности при передаче в реальном времени с помощью узко­
диапазонных каналов связи, таких как Интернет или телефонные линии.
Алгоритмы компенсации движения представлены в конце гл. 11.
Стефан Метла
Обозначения
■Р
(/,<?)
Скалярное произведение (А. 6).
Норма (А. 3).
/[п] = 0(д[п ]) Порядка g[nj: существует К такое, что f[n] < Кд[п\.
f[n] = 0(0 [п]) Порядка меньшего, чем g[n]: limn_^+00
= 0.
Эквивалентность: f[n] — 0(д\п)) и д[п] = 0(f[n]).
В 1 йй
А < +оо
А конечно.
А много больше, чем В.
Комплексно-сопряженное z € С.
Наибольшее целое п < х.
Наименьшее целое п > х.
i
n modiV
Остаток от целого при делении по модулю N.
В)
М ножества
N
Z
М
R+
С
Положительные целые числа вместе с О
Целые числа.
Вещественные числа.
Положительные вещественные числа.
Комплексные числа.
С игналы
т
ІІІ
щ
«W
1[®.Ь]
Непрерывный во времени сигнал.
Дискретный сигнал.
Дельта-функция Дирака (А. 30).
Дискретная функция Дирака (3. 16).
Характеристическая функция, равная 1 на [а, 6] и 0 вне этого отрезка
Пространства
Со
Равномерно-непрерывные функции (7. 240).
С*
p раз непрерывно-дифференцируемые функции.
оо
С
Бесконечно-дифференцируемые функции.
W*(R)
s раз дифференцируемые функции Соболева (9 . 5 ).
L2(R)
Функции конечной энергии f \f(t)\2 dt < + 00.
LP(R)
Функции такие, что / \f(t)\p dt < + 00.
12(Z)
Дискретные сигналы конечной энерг-— ^
IP(Z)
Дискретные сигналы такие, что
5 Е + 6 -fV .
< +оо.
Обозначения
18
CN
U фV
U ®V
О п ераторы
Id
т
щ щ
V /(x ,y )
/ * s(f)
1*9 N
/ ® р[п]
Комплексные сигналы размера (длины) N .
■^
Прямая сумма двух векторных пространств.
Тензорное произведение двух векторных пространств (А. 19)
Э квивал ентность.
Производная
.
dpf(t)
Производная порядка р -gjp •
Вектор-градиент (6 . 55).
Непрерывная по времени свертка (2. 2).
Дискретная свертка (3. 17).
Циклическая свертка (3. 57).
ft Ш t *\
1
П р ео б р азо ван и я
Преобразование
Фурье
(2.
6
),
(3.
23).
/М
Дискретное преобразование Фурье (3. 33).
/W
Кратковременное преобразование Фурье с окном (4. 11).
Sf(u,s)
Спектрограмма (4. 12).
Я Ш
Вэйвлет-преобразование (4. 31).
W f ( u , s)
Скэйлограмма
(4.
55).
т ш ш
Распределение
Вигнера-Вилля
(4.
108).
шШ Ш
Функция неоднозначности (4. 24).
Af(u,0
В ероятность
Случайная переменная.
X
Вероятность события {...}.
РГ{-}
Математическое ожидание.
Е{Х}
Энтропия
(11.
4).
шш
Дифференциальная энтропия (11. 20).
n d(X)
Cov(Xu X 2) Ковариация (А. 22).
Случайный
вектор.
|й
Автоковариация стационарного процесса (А. 26).
i l l
^
Глава 1
Введение в мир прерывистых
непериодических сигналов
В ресторане после нескольких минут мы перестаем замечать надоедливый шум
окружающих нас разговоров, но вдруг неожиданная тишина напоминает нам о
присутствии соседа. Очевидно, наше внимание привлекается к подвижному и
изменяющемуся во времени — в противоположность стационарным явлениям,
которые мы часто не замечаем. Концентрация на изменениях во времени, воз­
можно, является стратегией для выделения важной информации из огромного
количества данных, регистрируемых нашими органами чувств. Классическая
обработка сигналов наибольшие усилия приложила к описанию инвариантных
во времени и пространстве операторов, которые стационарно изменяют свой­
ства сигналов. Это приводит к неоспоримой гегемонии преобразования Фурье,
но оставляет в стороне многие задачи обработки информации.
Мир прерывистых непериодических сигналов значительно шире и более
сложен, чем ухоженный сад стационарных сигналов. Поиски идеальных бази­
сов, подобных базису Фурье, которые могли бы в значительной степени упро­
стить обработку сигнала, безнадежны. Однако множество различных преоб­
разований и базисов возрастает с огромной скоростью, и среди них вэйвлеты
являются одним из важных примеров. Эту книгу можно рассматривать как
путеводитель в джунглях новых математических и алгоритмических результа­
тов, имеющий цель, в основном, обеспечить интуитивное чувство ориентации.
В первой главе дается набросок главных идей книги, п. 1.5.2 служит путе­
водителем и предлагает нашему вниманию доступ к воспроизводимому экс­
перимент у на основе программного матобеспечения W a v e L a b и L a s t W a v e .
Обсуждается также использование порядков уровней — индексов, которые мо­
гут помочь читателю не сбиться с главной дороги.
20
1.1
Глава 1. Введение в мир прерывистых непериодических сигналов
Королевство Фурье
Преобразование Фурье управляет линейной инвариантной во времени обра­
боткой сигнала, потому что синусоидальные волны еші — это собственные
функции инвариантных во времени операторов. Линейный инвариантный во
времени оператор L полностью определяется собственным числом һ(ш):
Vw € R, Leiwt = h(co)eiwt.
M
Чтобы вычислить L f, сигнал / представляется в виде суммы синусоидальных
собственных функций
m=Щ;, Ш<Щ»-
■■
Если / обладает конечной энергией, то из теории интегралов Фурье, представ­
ленной в гл. 2 , следует, что амплитуда /(ш) каждой синусоидальной волны еші
есть преобразование Ф урье/ :
||1 щ Ш
«шшж
—оо
®
Применение оператора L к / в (1.2) и подстановка выражения (1.1) для собственной функции дают
1 г+со
Я
Lf(t) = М /
(1.4)
2тг У-оо
л
Оператор L увеличивает или уменьшает каждую синусоидальную компоненту
еіші функции на множитель h{u>). В этом состоит частотная фильтрация / .
До тех пор, пока мы удовлетворены использованием инвариантных во времени операторов, преобразование Фурье дает простые ответы на большинство
вопросов. Их обилие делает это преобразование годным для широкого круга
применений, таких как передача сигнала или стационарная обработка сигнала.
Однако, если мы заинтересованы в изучении прерывистых непериодических
явлений: слово, произнесенное в определенное время, яблоко, расположенное
неподходящим
в левом углу рисунка
струментом.
' J‘
Коэффициент Фурье в (1.3) получается корреляцией / с синусоидальной
волной егшЬ. Так как н
/(
мена t Е R. Это глобальное «переме
анализ любых локальных свойств /
вводятся локальные
сигнал по волновым образованиям, хорошо локализованным
времени и частоте.
р
1.2
Частотно-временной союз
Принцип неопределенности устанавливает, что энергетическая протяженность
функции и ее преобразования Фурье не могут быть одновременно произволь­
но малыми. Побуждаемый задачами квантовой механики, в 1946 году физик
1.2. Частотно-временной союз
21
Габор [187] определил элементарные частотно-временные атомы как волновые
образования, имеющие минимальную протяженность на частотно-временной
плоскостй. Чтобы измерять содержание частотно-временной «информации»,
он предложил раскладывать сигналы по этим элементарным атомным вол­
новым образованиям. Показав, что такие разложения тесно связаны с нашей
звуковой чувствительностью и что они выявляют важные структуры при запи­
сывании речи и музыки, Габор продемонстрировал важность локализованной
частотно-временной обработки сигнала.
В гл. 4 изучаются свойства преобразований Фурье с окнами и вэйвлетпреобразований, вычисленных с помощью разложения сигнала по частотно­
временным атомам из различных семейств. Другие преобразования также мо­
гут быть определены путем модификации семейств частотно-временных ато­
мов. Унифицированная интерпретация локальных частотно-временных раз­
ложений следует из подхода Билля, основанного на рассмотрении частотно­
временной плотности энергии. Параллельно трудам Габора Билль, который
был инженером-электриком, предложил в 1948 году [342] анализировать
частотно-временные свойства сигналов / с помощью энергетической плотно­
сти, определенной как
Еще раз физики-теоретики оказались впереди, так как такое распределение
уже было рассмотрено в 1932 году Вигнером [351] в контексте задач квантовой
механики. В гл. 4 поясняются пути, связывающие распределения ВигнераВилля с преобразованием Фурье с окном и вэйвлет-преобразованием, а также
с любым другим линейным частотно-временным преобразованием.
1.2.1
П реобразование Фурье с окном
Атомы Габора построены с помощью сдвига во времени и частоте временного
окна о:
•
...
ЩЩ
(t) = g(t
-
Энергия
сосредоточена в окрестности и на интервале размера Ш измеря­
емого стандартным отклонением Щщ Ее преобразование Фурье есть сдвиг на
£ преобразования Фурье д функции д:
Щ ; ,- ,
||Й ) = Ни -
(1.5)
Поэтому энергия ди£ локализована около частоты 1 на интервале размера стш
в области, где д(и>) не является пренебрежимо малой. В частотно-временной
плоскости Щ Ц протяженность энергии атома ди^ символически представля­
ется прямоугольником Гейзенберга, изображенным на рис. 1.1. Этот прямо­
угольник с центром в точке
имеет временную ширину at и частотную
ширину сгш. Принцип неопределенности утверждает, что его площадь удовле­
творяет неравенству
^
OtOta — S'
22
Глава 1. Введение в мир прерывистых непериодических сигналов
Эта площадь минимальна, когда g
gu £ называются функциями Габора
функция Гаусса, в этом случае атомы
Р и с. 1.1. Частотно-временные прямоугольники («прямоугольники Гейзенбер­
га»), представляющие протяженность энергии двух атомов Габора.
Преобразование Фзфье с помощью окна, определенное Габором, коррели­
рует сигнал / с каждым атомом ЩШ
-------------------------------—-----------
4*оо
- оо
г+оо
ЙІйІиШ ШЙIЙЙЙй
и
Это — интеграл Фурье, который локализуется в окрестности и окном
Этот интеграл по времени с помощью формулы Парсеваля (2.25) мо­
жет быть записан как интеграл по частоте:
;■
1
Г+оо g
:sfytо= j /
(l7)
Таким образом, преобразование Sf(u,£) зависит только от значений f{t) и
f(ui) в интервалах по времени и по частоте, где сосредоточены энергии
и
|Щ|;і Габор определяет это как «кванты информации» в частотно-временном
прямоугольнике, изображенном на рис. 1 .1 .
Когда мы слушаем музыку, мы воспринимаем звуки, которые имеют часто­
ту, меняющуюся во времени. Измерение меняющихся во времени гармониче­
ских составляющих — это важное применение преобразований Фурье с окном
при распознавании музыки и речи. Спектральная кривая / дает возможность
получить большие амплитудные коэффициенты Фурье с окном Sf(u,£) для
частот £(и), которые зависят от времени и. Эволюция по времени таких спек­
тральных компонент может быть проанализирована наблюдением расположе­
ния максимумов амплитудных коэффициентов.
1.2. Частотно-временной союз
1.2.2
23
Вэйвлет-преобразование
Занимаясь сейсмологией, Морлё обратил внимание на то, что промодулированные импульсы, посланные вглубь Земли, имеют при высоких частотах слиш­
ком большую длительность для того, чтобы отличать импульсы, отраженные
от тонких, прилегающих друг к другу слоев. Поэтому вместо того, чтобы
посылать импульсы одинаковой длины, он предложил посылать на высоких
частотах короткие волновые образования. Такие волновые образования были
получены просто масштабированием одной функции, которую назвали вэйвлетпом (маленькой волной). Хотя Гроссман занимался теоретической физикой,
он увидел в подходе Морле идеи, которые были тесно связаны с его собственной
работой по когерентным квантовым состояниям. Почти через сорок лет после
Габора Морле и Гроссман возобновили фундаментальное сотрудничество в об­
ласти между теоретической физикой и обработкой сигнала, которое привело к
формализации непрерывного вэйвлет-преобразования [200]. Однако эти идеи
не были совсем новыми для математиков, работавших в области гармоническо­
го анализа, или для исследователей компьютерной визуализации, изучающих
многомасштабную обработку изображений. Это было только начало быстрого
процесса, который объединил вместе ученых самых различных направлений,
сначала за кофейным столом, а затем на престижных конференциях.
Вэйвлет ф — это функция с нулевым средним значением:
Я|^Е
-foo
ip(t)dt = О,
— ОО
с параметром растяжения s и параметром сдвига и:
site
Wu,s{t)
=
■
Vs
1
U
f t —U
( 1.8)
Вэйвлет-преобразование / с масштабом s и сдвигом и вычисляется корреля­
цией / с вэйвлет-атомом
--Л И
-оо
V5
(1—1) dt•
(1-9)
Ч асто тн о -вр ем ен н ы е и зм ер ен и я. Как и преобразование Фурье с окном,
вэйвлет-преобразование может измерять частотно-временные изменения спек­
тральных компонент, но оно имеет другое частотно-временное разрешение.
Применяя формулу Парсеваля (2.25), это преобразование можем записать так­
же в виде интеграла по частоте:
+°°
1 г+оо
| I Ш90ЩЩ
/
2тг
•* •
с’ -Г
_•'^
‘
;
^1'10^
Ai
Таким образом, вэйвлет-коэффициент W /( u , s) зависит от значений Л/(f) и /(w )
в частотно-временной области, где сосредоточены энергии фіЩ и фи,з- Изме­
нение во времени гармонических составляющих можно обнаружить по сдвигу
и масштабу вэйвлет-коэффициентов наибольшей амплитуды.
24
Глава 1. Введение в мир прерывистых непериодических сигналов
Р и с. 1.2. Частотно-временной прямоугольник для двух вэйвлетов фи,а и
■фио 30. Когда масштаб s убывает, носитель по времени становится меньше,
но протяженность по частоте увеличивается и прямоугольник сдвигается в
область высоких частот.
ft
По времени фи<3 имеет центром и и протяженность, пропорциональную s.
Его преобразование Фурье можно вычислить из (1.8):
ш
где ф — преобразование Фурье ф. Для анализа фазовой информации сиг­
налов используется комплексный аналитический вэйвлет. Это означает, что
ф(и) = 0 при w < 0. Его энергия сконцентрирована в положительном частотном интервале с центром в щ Энергия ЩЩЩЩ) поэтому сконцентрирована в
положительном частотном интервале с центром в точке 77/s , размер которого
масштабирован величиной І /s. В частотно-временной плоскости вэйвлет-атом
фи,3 символически представляется прямоугольником с центром (u,r}/s ). Его
временная и частотная протяженность соответственно пропорциональны s и
1 /s. Когда s меняется, высота и ширина прямоугольника также изменяются,
но его площадь остается постоянной, как это показано на рис. 1 .2 .
М ногом асш табное приближ ение и удаление объектов (зу м и н г). Вэйвлет-преобразование может также выделять и характеризовать прерывистые
непериодические явления с помощью процедур рассмотрения объектов в раз­
личных масштабах («зуминг» процедуры). Предположим, что ф вещественна.
Так как ее среднее значение равно нулю, вэйвлет-коэффициент W f ( u , s ) из­
меряет изменение / в окрестности точки и, и размеры этой окрестности про­
порциональны s. Резкие изменения сигнала дают большие значения вэйвлеткоэффициентов. В гл. 6 гладкость / в точке связывается с асимптотиче­
ским убыванием вэйвлет-преобразования W f ( u , s ) при s, стремящемся к ну­
1.3. Базисы частотно-временных атомов
25
лю. Особые точки выделяются рассмотрением при разных масштабах локаль­
ных максимумов вэйв лет-преобразования. В изображениях большие амплиту­
ды вэйвлет-коэффициентов указывают на положение перепадов, которые име­
ют резкие изменения интенсивности изображения. Различные масштабы опи­
сывают контуры структуры изображения меняющихся размеров. Такое мно­
гомасштабное выделение перепадов особенно эффективно для распознавания
образов при компьютерной визуализации [113].
Зуминг-способности вэйвлет-преобразований не только локализуют отдель­
ные особые^точки объектов, но могут также характеризовать более сложные
мультифрактальные сигналы, имеющие неизолированные особенности. Ман­
дельброт [43] был первым, кто обнаружил существование фракталов в раз­
личных уголках природы. Масштабирование какой-то части мультифрактала
дает сигнал, который статистически подобен всему объекту. Такое самоподобие
проявляется в вэйвлет-преобразовании и меняется в зависимости от используе­
мого масштаба. Рассматривая общее убывание вэйв лет-преобразования, можно
измерить распределение особенностей мультифракталов. Это особенно важно
при анализе их свойств и при тестировании модельных случаев, которые объ­
ясняют образование мультифракталов в физике.
1.3
Базисы частотно-временных атомов
Непрерывное преобразование Фурье с окном S f{ u , £) и вэйвлет-преобразование
Wf(u, а) дают двумерное представление одномерного сигнала / . Это указыва­
ет на существование избыточности информации, которая может быть умень­
шена или вообще ликвидирована с помощью неполной выборки параметров
этих преобразований.
К аркасы . Преобразования Фурье с цкном и вэйвлет-преобразования могут
быть записаны в виде скалярного произведения в L 2 (R) с соответствующими
им частотно-временными атомами
*'
/
'
-оо
+00
тШ
МШ
Ш
мШШш
Г+О О
W f (и, а) = /
^ {/>$«,*)•
«/-'оо
Неполная выборка полностью определяет сигнал, если любой сигнал может
быть восстановлен с помощью линейных комбинаций дискретных семейств
атомов Фурье с окном {gUn,tk}(n,k)ez* 0 вэйвлет-атомов { ^ Un,Sj}(j,n)&г* В тео­
рии каркасов гл. 5 обсуждаются условия, которые надо наложить на эти се­
мейства волновых образований для того, чтобы они обеспечивали устойчивое
и полное воспроизведение сигнала.
Полное исключение избыточности информации эквивалентно построению
базиса в пространстве сигналов. Хотя вэйвлет-базисы были первыми на рын­
ке научно-исследовательской продукции, за ними быстро последовали другие
семейства базисов, такие как вэйвлет-пакеты и локальные косинусные базисы.
Глава 1. Введение в мир прерывистых непериодических сигналов
26
1.3.1
Вэйв лет-базисы и блоки фильтров
В 1910 г. Хаар [202] понял, что можно построить кусочно-постоянную функцию
|! •
если 0 < t < 1/2,
если 1/2 < t < 1,
в других случаях,
1,
ip(t) - ^
-1 ,
0
-'ШЙ ДИ
растяжение и сдвиги которой порождают ортонормированный базис в L2(R):
f t - 2Щ
1
= \ & )1
(i,n)GZ2
Любой сигнал конечной энергии / может быть разложен по ортогональному
вэйвлет-базису {V'j.nhj.njez2
-f оо
-f оо
Так .как среднее значение ф{і) равняется нулю, то каждую частную сумму
+оо
dj(t) — 'У ] {/t
п = —о о
можно интерпретировать как часть изменений функции, приходящуюся на
масштаб 2j . Прибавление слоев, состоящих из таких частей, все более улучшает
аппроксимацию / и, в конце концов, восстанавливает / .
Если / гладко меняется, мы можем получить достаточно точное приближе­
ние, удаляя мелкомасштабные детали, что может быть получено с помощью
усечения суммы (1.11). В результате получим приближение с масштабом 2 :
+оо
j=j
При базисе Хаара f j — кусочно-постоянная функция. Кусочно-постоянные
далеки от оптимальных
но-линейное приближение дает меньшую погрешность аппроксимации. ПроШ
Ш
I
1
.
—
году.
которая
и дает лучшее приближение для гладких функций. Мейёр не знал об этом реI, старался
порождал
ванный базис. Его попытка была неудачной, так как кончилась тем, что он
построил целое семейство ортонормированных вэйвлет-базисов, порожденных
бесконечно дифференцируемыми функциями Щ[270]. Это дало фундаменталь­
ный импульс исследованиям и привело к широко распространенному изучению
—
--------
Я Р
Мь
“
1.3. Базисы частотно-временных атомов
27
новых ортонормированных вэйвлет-базисов. Кульминацией явилось открытие
знаменитых вэйвлетов Добеши с компактными носителями [144].
Систематизированная теория построения ортонормированных вэйвлет-базисов была создана Мейером и Малла благодаря разработке кратномасштаб­
ных аппроксимаций сигнала [254], представленных в гл. 7. В основу теории
легли оригинальные идеи, развитые в компьютерной визуализации Бартом и
Адельсоном [108] при анализе изображения на нескольких уровнях разреше­
ния. Более глубокие изучения свойств ортогональных вэйвлетов и кратномас­
штабных аппроксимаций выявили удивительную связь с наборами фильтров,
построенными с помощью зеркально-сопряженных фильтров.
Н аборы ф и л ь т р о в . Побуждаемые задачами сжатия речевой информации,
Круазье, Естебан и Галан [141] ввели в 1976 году обратимый набор фильтров,
который, используя процедуры фильтрации и неполной выборки, расклады­
вает дискретный сигнал f[n] на два сигнала в два раза меньшей длины. Они
показали, что f[n] может быть восстановлен по этим двум не полностью вы­
бранным сигналам с помощью специального класса фильтров, называемых
зеркально-сопряженными фильтрами . Этот прорыв привел к 10-летним науч­
ным усилиям по построению полной теории наборов фильтров. Необходимые
и достаточные условия для разложения сигнала на неполностью выбранные
компоненты с помощью фильтрационной схемы и для восстановления этого
сигнала с помощью обратного преобразования были установлены Смитом и
Барнвеллом [316], Вайдьянатаном [336] и Веттерли [339].
Из кратномасштабной теории ортогональных вэйвлетов следует, что лю­
бой зеркально-сопряженный фильтр характеризует вэйвлет ф, который по­
рождает ортонормированный базис L2(M). Более того, быстрое дискретное
вэйвлет-преобразование выполняется с помощью каскада таких зеркально­
сопряженных фильтров. Эквивалентность теории непрерывных временных
вэйвлетов и дискретных наборов фильтров привела к новому плодотворному
контакту между цифровой обработкой сигналов и гармоническим анализом, но
явилась также культурным шоком, следы которого еще не полностью исчезли.
Непрерывная м одель, дискретная и конечная. Многие специалисты
по обработке сигналов удивлялись и удивляются до сих пор, в чем важность
этих непрерывных временных вэйвлетов, так как все вычисления выполняют­
ся с дискретными сигналами, с помощью зеркально-сопряженных фильтров.
Зачем беспокоиться о сходимости каскадов бесконечных сверток, если на прак­
тике мы вычисляем только конечное число сверток? Ответить на эти важные
вопросы необходимо для того, чтобы понять, что заставляет во всей этой книге
чередовать теоремы для непрерывно зависящих от времени функций и дис­
кретные алгоритмы, примененные к конечным последовательностям.
Кратким ответом будет — «простота». В L2(R) вэйвлет-базис строится рас­
тяжением и сдвигом единственной функции Щ Несколько важных теорем свя­
зывают амплитуду вэйвлет-коэффициентов с локальной гладкостью сигнала / .
Растяжения не определены для дискретных последовательностей, и поэтому
дискретные вэйвлет-базисы имеют более сложную структуру. Гладкость дис-
Глава 1. Введение в мир прерывистых непериодических снгжшкв
28
Лг,гчлпопоия ЧТО д ел а ет иилсс иіижпым
кретной последовательности также не ^ ^ ^ ^ ^ ф ф щ и е н т о в . Теория
ее использование для описания амплитуд
аты для диснепрерывных во времени сигналов дает
Эта
кпртных последовательностей со стремящимся к м
ш
г іШШ
кретны х последила
МПФАТ1ГОргкир пезультаты очень ценны для потеория полезна потому, что асимптотически р у
алгоритмов
нимания поведена
------- п л г т п п р н и я лигкпетНепрерывные во времени модели недостаточны дли построении дис рет
иых “ горитмов обработки сигналов. Равиомернаи выборка непрерывных во
вэйвлетов Ы Ж Ш
не приводит к
сигналу
Сужение построений па случай коне*
^
^
_______ л
^ттг»^нпгти. связанный с грасигналов
реализацию
будут.
может ОЫТЬ акк-ураши J
----- -- ~~
V
ты свойства базисов. Чтобы упростить математическое рассмотрение во всей
книге, непрерывные во времени преобразования приводятся на первом месте.
Потом дается и объясняется их дискретизация с помощью быстрых численных
алгоритмов для конечных сигналов
■Я
1.3.2
ggggggjiВЯИЦ
Покрытие вэйвлет-пакетов и локальные
косинусные базисы
^
'^ЩМ
Ортонормированные вэйвлет-базисы похожи на аперитив. Их структура
показывает, что не только возможно, но относительно просто построить
ортонормированный базис в L2(R), состоящий из локальных частотноортогональность
ся покрытием частотно-временной плоскости частотно-временными вэйвлетпрямоугольниками. На рис. 1.3 показан частотно-временной прямоугольник
для каждой 1pj,n , который сдвинут на 2j n с временным и частотным парамет­
ром масштабирования, соответственно, V и 2~3.
- - ': | |
Можно нарисовать много других покрытий частотно-временной плоско­
сти прямоугольниками минимальной площади, как это обусловлено принци­
пом неопределенности. В гл. 8 приводятся построения, которые включают
большие семейства ортонормированных базисов L2(R), являющихся новыми
покрытиями
Базисы вэйвлет-пакетов. Ортонормированные вэйвлет-базисы разбивают
частотную ось на двухпараметрические интервалы, размер которых экспонен
циально возрастает, как это показало на рис. 1.3. Куафман, Мейер и Викерха
узер [139] обобщили эту фиксированную двухпараметрическую конструкцию
разбивая частоту на диапазоны меняющейся ширины. Каждый частотный ин­
тервал покрыт частотно-временными прямоугольниками функций из вэйвлетпакета, которые равномерно сдвинуты по времени для того, чтобы покрыть
всю плоскость, как это показано на рис. 1.4.
I
Функции из вэйвлет-пакета сконструированы путем обобщения дерева на­
бора фильтров, с использованием связи вэйвлетов и зеркально-сопряженных
1.3. Базисы частотно-временных атомов
29
Рис. 1.3. Частотно-временные прямоугольники вэйвлет-базисов определяют
покрытие частотно-временной плоскости.
Рис. 1.4. Базис вэйвлет-пакетов разбивает частотную ось на отдельные
интервалы меняющихся размеров. Покрытие получается в результате сдвига
по времени вэйвлет-пакетов, покрывающих каждый частотный интервал.
фильтров. Разбиение частотной оси вэйвлет-пакетами выполняется подходя­
щей последовательностью итерированных сверток с зеркально-сопряженными
фильтрами. Например, быстрые численные разложения по вэйвлет-пакетам
реализуются с дискретными наборами фильтров.
Л о к ал ьн ы е коси н усн ы е бази сы . Ортонормированные базисы L2(R) могут
быть также построены разбиением временной оси вместо частотной. Времен­
ная ось разбивается на последовательные интервалы [ар, ар+і]. Локальные ко­
30
Глава 1. Введение в мир прерывистых непериодических сигналов
синусные базисы Мальвара [262] получаются построением гладких окон gp(t),
которые покрывают каждый интервал [ар, ap+i], и умножением их на косинусы
cos(£i + ф) различной частоты. Это еще одна идея, которая была независимо
изучена в физике, математике и при обработке сигналов. Оригинальное по­
строение Мальвара было выполнено для дискретных сигналов. В это же время
физик Вильсон [353] для анализа свойств когерентных квантовых состояний
построил локальный косинусный базис с гладким окном и бесконечным носи­
телем. Базисы Мальвара были также заново открыты и обобщены специали­
стами в гармоническом анализе Куафм&ном и Мейером [138]. Эти различные
взгляды на одни и те же базңсы выявили их математические и алгоритмические свойства, которые открыли путь к новым применениям.
Умножение на cos(£f + ф) сдвигает преэбразование Фурье др(ш) функции
gp(t) на ± f. Поэтому для положительных частот частотно-временной прямо­
угольник промодулированного окна gp(t)cos(£t + ф) эквивалентен частотно­
временному прямоугольнику для
сдвинутому на | вдоль оси частот. Частотно-временные прямоугольники локальных косинусных базисных векторов
покрывают частотно-временную плоскость, как это изображено на рис. 1.5.
^ t
Р и с. 1.5. Локальный косинусный базис разбивает временную ось с помощью
гладких окон gp(t). Умножение на косинусы сдвигает эти окна по частоте и
дает полное покрытие частотно-временной плоскости.
1.4. Базисы д л я чего?
1.4
31
Базисы для чего?
Очевидно, что игра в покрытия бесконечна. Локальные косинусные базисы
и вэйвлет-пакеты являются важным примером, но существует также много
видов других базисов, которые могут быть построены. Пора, наконец, опреде­
лить, как выделить подходящий базис для обработки некоторого конкретно­
го класса сигналов. Коэффициенты разложения сигнала по базису образуют
представление, которое выделяет некоторые определенные свойства сигнала.
Так, например, вэйвлет-коэффициенты несут явную информацию о располо­
жении и типе особенностей сигнала. Проблема состоит в нахождении критерия
для выделения базиса, который по внутренней своей сути хорошо приспособ­
лен для представления класса сигналов.
Математическая теория аппроксимации предлагает выбирать базис, кото­
рый с помощью линейной комбинации небольшого числа векторов из этого
базиса дает возможность построить точную аппроксимацию сигнала. Эти вы­
бранные векторы могут быть интерпретированы как существенные для струк­
туры сигнала. Компактное кодирование и выделение сигнала из шума — это
применения, в которых можно определить критерии измерения эффективно­
сти базиса. Изучаются и сравниваются линейные и нелинейные процедуры.
Имеется возможность показать, что нелинейное не всегда означает сложное.
1.4.1
Аппроксимация
Развитие ортонормированных вэйвлет-базисов навело новый мост между тео­
рией аппроксимации и обработкой сигналов. Этот взаимный обмен не совсем
нов, так как фундаментальная теорема о выборке вытекает из результатов тео­
рии интерполирования, полученных Уиттекером в 1935 г. [349]. Однако состо­
яние дел в теории аппроксимации изменилось за период с 1935 г. В частности,
гораздо лучше поняты свойства нелинейных схем аппроксимации, которые яв­
ляются основой при анализе выполнения многих нелинейных алгоритмов обра­
ботки сигналов. В гл. 9 приводятся важные результаты теории аппроксимации,
которые используются при оценке сигналов и сжатии информации.
Л и нейн ая ап п р о к си м ац и я . В линейной аппроксимации сигнал / проеци­
руется на М векторов, априори выбранных из ортонормированного базиса
Щ= {gm}m€Nj например, первые М:
М -1
^
t ;
%j
Sm —
^
^ (/j
9гп)9т*
(1 .1 2 )
m =О
Так как базис ортонормированный, то погрешность аппроксимации — это сум­
ма остальных квадратов модулей скалярных произведений
:-;Сv +00
е[М] = II/- /м й 2 = £ |< /,9 т )|2•/•■•• 3 уЛ ‘Й&:;
171=Л/
Ясно, что точность такой аппроксимации зависит от свойств / относительно
базиса В.
32
Глава 1. Введение в мир прерывистых непериодических сигналов
Базис Фурье дает эффективную линейную аппроксимацию равно­
мерно гладких сигналов, которые проецируются на М синусоидальных волн
наименьших частот. Когда М возрастает, убывание погрешности е[М\ может
быть связано с глобальной гладкостью / . В гл. 9 дается характеристика пространств гладких функций, связанная с асимптотическим убыванием е[М] ба­
зиса Фурье.
В вэйвлет-базисе сигнал проецируется на М вэйвлетов наибольшего маештаба, что эквивалентно аппроксимации сигнала с определенным разрешении
ем. Линейные аппроксимации равномерно гладких сигналов в вэйвлет-базисах
и базисах Фурье имеют одинаковые свойства и характеризуют те же простран­
ства функций.
^ь|
Предположим, что мы хотим приблизить класс дискретных сигналов дли*’
ны N, моделированных случайным вектором F[n]. Средняя погрешность ап­
проксимации при проекции F на М первых базисных векторов ортонормированного базиса В m {gm}o<m<N есть
N —1
е[М] = Е{||Ғ - Ғм II2} = X ) Е{|(F,5m)f }•
т=М
В гл. 9 доказано, что базис, минимизирующий такую погрешность, — это ба­
зис Кархунена—Лоэва, который диагонализирует ковариационную матрицу
F. Это замечательное свойство объясняет фундаментальную важность базиса
Кархунена—Лоэва в линейных схемах обработки сигнала. Но это только
начало.
4 v- ".
'с -ЛН ел и н ей н ая аппроксим ация. Линейную аппроксимацию (1.12) можно улу­
чшить, если мы выберем апостериори М векторов дт, зависящих от / . При­
ближение / М векторами, индексы которых принадлежат 1м , имеет вид
(1.13
Погрешность аппроксимации — это сумма квадратов модулей скалярных про­
изведений с векторами, индексы которых не принадлежат 1м-
е М = ||/- /м ||2= V K/.Sm)|2Чтобы минимизировать погрешность, выберем 1м таким, что М векторов с ин­
дексами из 1м имеют наибольшие модули скалярного произведения (ампли­
туды) |( / , д)\. Аппроксимационная схема нелинейна, так как приближающие
векторы меняются вместе с / .
Амплитуды скалярного произведения в вэйвлет-базисе связаны с локаль­
ной гладкостью сигнала. Нелинейная аппроксимация, которая содержит наи­
большие вэйвлет-скалярные произведения, эквивалентна построению адаптив­
ной приближающей решетки, разрешение которой локально возрастает там,
где сигнал негладкий. Если сигнал имеет изолированные особенности, такая
1.4. Базисы д л я чего?
33
нелинейная аппроксимация гораздо более ценна, чем линейная схема, сохра­
няющая одинаковое разрешение всюду в носителе сигнала. Поэтому простран­
ства функций, которые хорошо приближаются нелинейными вэйвлет-схемами,
гораздо более обширны, чем для линейных схем, и включают функции с изо­
лированными особенностями. Сигналы с ограниченной вариацией — важный
пример, служащий полезной моделью при обработке изображения.
В таких нелинейных множествах базисы Кархунена—Лоэва не оптимальны
для аппроксимации реализаций процесса Ғ. Часто легко найти базис, дающий
меньшую нелинейную погрешность, чем базис Кархунена—Лоэва, но еще не
создана процедура вычисления оптимального базиса, который минимизирует
среднюю нелинейную погрешность.
А даптивны и в ы б о р б ази са. Нелинейные аппроксимации сигналов могут
быть улучшены выбором аппроксимирующих векторов из семейств гораз­
до более широких, чем базис. Музыкальные записи, включающие гармониче­
ские и прерывистые структуры самых различных типов, являются примерами
сложных сигналов, которые нельзя хорошо приблизить несколькими вектора­
ми, выбранными из одного базиса.
Вводится новая степень свободы, если вместо выбора базиса В априори , мы
адаптивно выбираем «лучший» базис, зависящий от сигнала / . Этот л у ч ш и й
базис минимизирует функцию стоимости, связанную с погрешностью нелиней­
ной аппроксимации / . Быстрый алгоритм динамического программирования
может найти лучший базис из семейства вэйвлет-пакетов и локальных коси­
нусных базисов [140]. Выбранный базис соответствует частотно-временному
покрытию, которое «лучшим образом» концентрирует энергию сигнала на
небольшом числе частотно-временных атомов.
Ортогональность часто не является определяющим фактором в последую­
щей обработке коэффициентов сигнала. Поэтому можно еще больше расши­
рить свободу выбора, приближая сигнал / М неортогональными векторами
{dim }о<т<м ) выбранными из обширного и избыточного словаря D = {р7}7ег:
М-1
/ м — / ] ат9ут'
Ій А
т=
=■
0
Глобальная оптимизация выбора этих М векторов из V может привести к
комбинаторному взрыву. В гл. 9 вводятся почти-оптимальные алгоритмы пре­
следования, которые при построении эффективных аппроксимаций [119, 259]
уменьшают вычислительную сложность задачи.
1.4.2
Оценивание
Для оценки сигнала, погруженного в шум, необходимо воспользоваться любой
априорной информацией о сигнале и шуме. В гл. 10 изучаются и противопо­
ставляются несколько подходов: байесовский — минимаксному, линейный —
нелинейному. Д о недавнего времени оценки при обработке сигнала были в
основном байесовскими и линейными. Нелинейные алгоритмы сглаживания
34
Глава 1. Введение в мир прерывистых непериодических сигналов
ния данных:
X[n] = /(n ) + W[n\.
Сигнал / оценивается преобразованием зашумленных данных X операто-
Соблазнительно ограничиться линейным оператором D ввиду его просто­
ты. Однако нелинейные операторы могут дать значительно меньший риск. Со­
храняя простоту, мы сосредотачиваем внимание на диагональных операторах
в базисе В. Если базис В дает редкое представление сигнала, Донохо и Джон­
стон [167] доказали, что почти оптимальная нелинейная оценка получается с
помощью простой пороговой функции:
И
N- 1
'І5 І
Пороговая функция рт{х) делает равными нулю все коэффициенты, по модулю меньшие Т:
В вэйвлет-базисе такая пороговая функция дает адаптированное сглаживание,
которое усредняет данные X с ядром, зависящим от гладкости сигнала / .
Б ай ес и м иним акс. Для оптимизации оператора оценки D необходимо вос­
пользоваться любой доступной информацией о сигнале / . По методике Бай­
еса / рассматривается как реализация случайного вектора F, распределение
вероятности 7Г которого заранее известно. Томас Байес, философ, живший в
XVII в., впервые предложил и исследовал методы, которые иногда называл
«методами инверсной вероятности» и которые являются основными при изу­
чении оценок Байеса. Байесовский риск — это ожидаемый риск, вычисленный
с учетом заранее известного распределения вероятности 7г сигнала:
r(D,7r) = Е ^т^Д -Ғ )}.
1.4. Базисы д л я чего?
35
Оптимизация D по всем возможным операторам дает минимальный байесов­
ский риск.
Гп(я) = inf г(1>,7г).
Ясно, что сложные сигналы, такие как изображения, не имеют распределения
Гаусса, и не существует достоверной вероятностной модели, которая объединя­
ла бы разнообразия их структуры, такие как перепады или мелкомасштабная
фактура.
В 1940-е гг. Вальд открыл новые перспективы в статистике введением тео­
рии решений, частично заимствованной из теории игр. Эта точка зрения пред­
лагает простейший путь привлечения априорной информации о сложных сиг­
налах. Сигналы рассматриваются как элементы специального множества Ө
без учета распределения вероятности на этом множестве. Например, большие
классы изображений принадлежат множеству сигналов, полная вариация ко­
торых ограничена константой. Чтобы контролировать риск при любой / € Ө,
мы вычисляем максимальный риск
г (А Ө) = sup r(D, f).
НУШп*,
/еө
Минимаксный риск — это нижняя грань, вычисленная по всем операторам D:
\ щЖ
гп (Ө) = inf г (Д Ө).
На практике целью является нахождение оператора D, простого в использо­
вании, и риск которого близок к/минимаксной нижней грани.
Если Ө не удовлетворяет специальным условиям выпуклости, то нелиней­
ная оценка имеет гораздо меньший риск, чем линейная. Если W — белый шум
и сигналы в Ө имеют редкое представление в В{ то в гл. 10 показано, что по­
роговые оценки почти минимаксно оптимальны. В частности, риск пороговых
вэйвлет-оценок близок к минимаксному риску для широких классов кусочногладких сигналов, которые включают изображения с ограниченной вариацией.
Пороговая оценка может быть распространена на более сложные задачи, та­
кие как восстановление и обратная свертка сигнала. Выполнение порогового
алгоритма может быть также усовершенствовано поиском лучшего базиса или
применением алгоритма преследования, который адаптирует базис В к шуму.
Однако большая адаптация не обязательно означает меньший риск.
1.4.3
Сжатие
ШМК1.L
Ограниченные объемы памяти и передача через узкополосные каналы связи
делают необходимым сжатие сигналов, однако, при условии их минимального
ухудшения. Преобразование кодирования сжимает сигналы, раскладывая их
по ортонормированному базису. В гл. 11 вводятся основы теории информации,
нужные для понимания этих кодов и оптимизации их выполнения. Изучаются
байесовский и минимаксный подходы.
Преобразование кодирования раскладывает сигнал / в ортонормированном
базисе В = {$т }0<т <*:
N -1
/ = ^
т= 0
.
9т) 9т*
•’
36
Глава 1. Введение в мир прерывистых непериодических сигналов
Коэффициенты
(f,gm)
приближаются
квантованными
значениями
Q((f,gm)). Сигнал / восстанавливается по этим квантованным коэффици­
ентам:
_
/
^
=: ^
..
у
:
Q {{f,9 m ))9 m -
771=0
.
Используется двоичный код для записи квантованных коэффициентов
Q((f,gm)) с R битами. Результирующее искажение можно записать как
адл
=н/-/II2-
В обычно используемых для изображений методах сжатия d(R , / ) имеет ярко
выраженное нелинейное поведение, которое зависит от точности нелинейного
приближения / небольшим числом векторов из базиса В.
Чтобы вычислить норму искажений для целого класса сигналов, методика
Байеса рассматривает сигнал как реализацию случайного вектора Ғ с извест­
ным распределением вероятности 7г. Поэтому целью является оптимизация
квантования и базиса В, которая состоит в минимизации средней нормы ис­
кажений d(R,ir) = Ev {d{R,F)}. Такой подход, в частности, хорошо применим
для звуковых сигналов, которые хорошо моделируются гауссовскими процес­
сами:' ■ Л;
v
■-1
В отсутствие стохастических моделей для сложных сигналов, таких как
изображения, минимаксный подход вычисляет максимальное искажение в
предположении, что сигнал принадлежит некоторому априорному множеству
Ө. В гл. 11 описывается выполнение преобразования кодирования в вэйвлетбазисах и блочных косинусных базисах. Норма минимаксного искажения вы­
числяется для сигналов с ограниченной вариацией; доказывается, что вэйвлет-преобразование почти оптимально.
4
При сжатии видеоинформации обычно пользуются тем, что изображение
мало меняется во времени. Наиболее эффективные алгоритмы предсказыва­
ют каждое изображение, исходя из предыдущего, путем компенсации изменив­
шихся частей и записи отличий методом кодирования. Описывается стандарт
сжатия видеоинформации MPEG.
1.5
1.5.1
Путеводитель
Наука численного воспроизведения
' "Ш
»
Книга охватывает целый спектр результатов от теорем для функций непре­
рывных аргументов до быстрых дискретных алгоритмов и их приложений. В
п. 1.3.1 мы убедились в том, что модели, использующие непрерывные во време­
ни функции, дают асимптотические результаты, полезные для понимания по­
ведения дискретных алгоритмов. Все-таки один математический анализ часто
не в состоянии полностью предсказать поведение и годность алгоритмов для
специфических сигналов. Необходимы эксперименты, и такие эксперименты,
в принципе, должны быть воспроизводимы точно так же, как и эксперименты
в других науках.
>
ЬЯ
1.5. Путеводитель
37
В последние годы поборником идеи воспроизводимости алгоритмических
результатов при исследовании задач геофизики был Клаэрбоут [127]. Це­
лью исследовательской сейсмологии является получение возможно более ка­
чественных изображений внутреннего строения Земли. Часть научного ноухау включает в себя множество параметров настройки, которые приводят к
хорошим результатам для реальных данных. Поэтому воспроизводимость экс~
требует полного программного матобеспечения для проверки, мо­
дификации и применения используемых методов при различных значениях
параметров.
Донохо — ярый сторонник воспроизводимости алгоритмов в вэйвлетобработке сигналов с помощью инструментальных средств WAVELAB’a, кото­
рые представляют собой большую библиотеку программ системы M a t l a b . В
следующем лозунге [105] он подвел итог точки зрения Клаэрбоута:
Статья на тему вычислительной математики, представленная в науч­
ной публикации, не является глубоким научным результатом; онау скорее,
только объявляет о его возможности. Настоящий результат обязательно
должен включать полное программное обеспечение и полный набор инструк­
ций, чтобы повторить все вычисления.
В соответствии с этим лозунгом все алгоритмы и другие инструментальные
средства, имеющие отношение к вэйвлетам и частотно-временному анализу,
доступны читателю через W a v e L a b . Могут быть воспроизведены все рисунки
и проведены все тестовые расчеты. Пакет L a s t W a v e предлагает аналогичную
библиотеку алгоритмов, написанных на языке С, с ориентированной на поль­
зователя оболочкой интерфейсов и графикой. Приложение Б объясняет, как
воспользоваться этими инструментальными средствами, и связывает имеющи­
еся в них подпрограммы с алгоритмами, описанными в книге.
1.5.2
Схема дорог
Разделы книги по возможности независимы, в них имеется некоторая избыточ­
ность информации для того,чтобы избежать линейного увеличения их разме­
ров по мере прочтения книги. Введение предлагает для студентов старших кур­
сов несколько возможных направлений по обработке сигналов или прикладной
математике. Частичная иерархия между разделами (и пунктами) обеспечива­
ется введением номеров уровней. Если раздел (пункт) имеет номер уровня,
то его подразделы без номера имеют тот же уровень, а более высокий номер
уровня указывает на то, что эта часть более сложная.
Номер уровня1 означает, что даются основные идеи и технические сред­
ства для частотно-временной и вэйв лет-обработки сигналов. Обычно об этом
говорят в вводном курсе. Примером являются первые разделы гл. 7 об ор­
тонормированных вэйвлет-базисах. Разделы (пункты) уровня2 содержат важ­
ные результаты, которые или более сложные, или нужны для приложений.
Вэйвлет-пакеты и локальные косинусные базисы, описанные в гл. 8 — разде­
лы такого рода. Приложения по сжатию информации и оценкам принадлежат
этому уровню, который включает в себя также фундаментальные результаты,
ИI
38
В вед ете
1Й|
прерывистых непериодических сигналов
3
ТЯКИР как Фильтрация Винера. газделы Киу ™
j г -----.-. -жшвш
^ у л ь Г т ь Г Г о р ы ё близки к исследовательскому уровню „ли математически
р Ш Щ К ы Объясняются в тексте, я нет необходимости читать доказатель­
ства ^ Г п о н я т ь их смысл. Доказательства также имеют индексы уровня,
ства, чтооы hum id
г-,________
„
техническую
важность.
концептуальную
определяющие их
.......... ...... '
ия „ппппг. «Г прлурт
Эти уровни можно определить в соответствии с Ш
П
Ш
ли проводить это доказательство во
ответу
возможно, уровень2 - возможно нет, уровень
Г Г к о н ц е каждой Щ
соответствуют иерархии уровней. Непосредственны^
приложения к основному направлению книги имеют 1 Я В | 1 | Щ
Н
*
п
_____
_
u q pt h н я ү п п я т с я н а грани*
Задачи
ТРӨ О үЮ Т и о л ь ш с і и
— -г-»
* f
^
це исследовательской работы и могут привести к теме для более глубокого
8
проекта.
В начале
Н
В
ЯШ Ц Щ
сигналов
для читателей, не имеющих опыта по обработке сигнало
тальные
XCWliJlAJLIJLV/ свойства -локальных
— ------------ны в гл. 4. Здесь вводятся и сравниваются преобразования Фурье с окном и
вэйвлет-преобразования. Измерение мгновенных частот используется для ил­
люстрации ограничений на их частотно-временное разрешение. Распределения
се
квадратичные
общую
частотно-временные распределения. Теория каркасов изложена в гл. 5. Описыанализа
свойств адаптивных разложений. В гл. 6 поясняется связь убывания амплилокальных
J J / \ UV/IAWAV*
A wXT — --сигнала. Рассматриваются применений, включающие в себя выделение особен
ностей сигнал а и анализ мультифракталов.
у
Построение вэйвлет-базисов и их связи с наборами фильтров — фундамен
тальные
рованных базисов может поразить читателя, изучающего построение и свойважно
локальных
параллельно
тональными
алгоритмическим
предлагается
алгоритмов линейной и нелинейной обработки сигналов
Глава 2
Королевство Фурье
История начинается в 1807 году, когда Фурье представил в Институт Франции
мемуары, в которых он утверждал, что любая периодическая функция может
быть представлена в виде ряда гармонически связанных синусоид. Эта идея
оказала глубокое влияние на математический анализ, физику и инженерные
науки, но потребовалось полтора столетия для того, чтобы понять сходимость
рядов Фурье и завершить теорию интегралов Фурье.
Причиной этого результата Фурье явилось изучение тепловой диффузии,
которая описывается линейным дифференциальным уравнением. Однако пре­
образование Фурье диагонализирует все линейные инвариантные во времени
операторы, которые лежат в основе обработки сигналов. Поэтому оно являет­
ся не только отправной точкой нашего исследования, но и базисом для всех
дальнейших выводов.
2.1
Л инейная инвариантная во времени
фильтрация1
н
Операции классической обработки сигналов, такие как передача сигнала, ста­
ционарное удаление шума или упреждающее кодирование, выполняются с по­
мощью линейных инвариантных во времени операторов. Инвариантность во
времени оператора L означает, что если входной сигнал /(£) задерживается на
т, f T(t) — /(£ —г), то сигнал .на выходе также задерживается на г:
g(t) - Lf(t) = * g(t - т) = L f r (t).
(2.1)
Для численной устойчивости оператор L должен иметь слабую форму непре­
рывности, которая означает, что L f изменяется на малую величину, если /
меняется незначительно. Эта слабая непрерывность формализуется теорией
обобщенных функций [66, 69], которая гарантирует надежные основания для
рассмотрений и о чем в дальнейшем мы можем не беспокоиться.
Глава 2. Королевство Фурье
40
2.1.1
Импульсный отклик
Линейные инвариантные во времени системы характеризуются их откликом
на импульс Дирака, определенный в приложении А.7. Если / непрерывна, то
ее значение в t получается «интегрированием> с дельта-функцией Дирака^
сосредоточенной в t. Пусть Su(t) = 6(t —и):
—^--- —------- 1------------"----------------- j-Hso
. f(u)5u(t)du.
- ^ v rF ■
Непрерывность и линейность L означают, что
—
Ш^
+оо
f(u)L6u(t)du.
Пусть Һ — импульсный отклик L:
_Щ|м|И
h(t) = LS(t).
Инвариантность во времени означает, что L5u(t) — h(t —и) и, следовательно,
N
/
+0°
г+оо
f(u)h(t-u)du= /
:.;Л.
h(u)f(t —u)du = h * f(t).
(2.2)
J—OO
-oo
Таким образом, инвариантный во времени линейный фильтр эквивалентен
свертке сигнала с импульсным откликом Һ. Непрерывность / не является
необходимым условием. Эта формула справедлива для любого сигнала / , для
которого сходится интеграл свертки.
Напомним несколько полезных свойств преобразования свертки:
• Коммутативность
/ *h(t) = h * f(t).
(2.3)
• Дифференцирование свертки
J
|(/*A)(t) =f
=
• Свертка с дельта-функцией Дирака
(2-1)
,.J
1
f * 6 T(t) = f ( t - r ) .
(2.5)
Устойчивость и причинность. Фильтр называется причинным , если Lf(t)
не зависит от значений /(гг) при и > t. Так как
+ оо*;:
h(u)f(t jf u)du,
то это означает, что h(u) = 0 для и < 0. Такой импульсный отклик называют
причинным .
і&
2.2. Интегралы Фурье
41
Условие устойчивости гарантирует ограниченность L f ( t ) при ограничен­
ии f(t).
Так как
Г + °°
\Lf(t)\< /
г+ оо
\ h { u ) \ \ f ( t - - u ) \ d u < sup\f(u)\ /
J -oo
u€R
\h{u)\du,
У-n o
то для этого достаточно, чтобы
\h(u)\du < + 00. Можно убедиться, что
это условие также необходимо, когда Һ просто функция. В этом случае мы
если
П рим ер 2.1. Усиление и задержка сигнала определяются ош
Импульсный отклик этого фильтра есть h(t) = X5(t - т).
П рим ер 2.2. Равномерное усреднение / по интервалам длины
как
1 rt+T/ 2
L f (t) = ~
f{u)du. '
1 Jt-T /2
Этот интеграл может быть переписан как свертка / с импулы
Һ = 1/Т1г_772Л721-
2.1.2
Передаточные функции
Комплексные экспоненты являются собственными функциями операторов
свертки. Действительно,
/
+6о
һ ( и ) е du,
■ОО
что дает
Le™1 = еш /
һ(и)е~іши du = һ(и)еш .
Собственное значение
/
+оо
Һ М е -™ du
...............
-оо
есть преобразование Фурье Һ при частоте ш. Так как комплексные синусои­
дальные волны еші — собственные функции линейных инвариантных во вре­
мени систем, то заманчиво постараться представить любую / как сумму этих
собственных функций. В этом случае мы можем прямо выразить L f с помощью собственных значений h(u). Из анализа Фурье следует, что при слабых
условиях на / ее действительно можно записать в виде интеграла Фурье.
jfHl
2.2
Интегралы Ф урье1
Чтобы избежать спорного вопроса о сходимости, сначала интеграл Фурье был
определен для пространства интегрируемых функций L 1(R) [57]. Затем он
был распространен на пространство L2(R) функций с конечной энергией [24].
Глава 2. Королевство Фурье
42
2.2.1
Преобразование Фурье в L^R)
г+оо
Интеграл Фурье
/и = / /<*>е I
(м)
ОО
оценивает, «как много» колебаний частоты % присутствует в / . Если / | L ^R ),
этот интеграл сходится, и
\f(t)\dt < + о о .
I/M l < /
(2.7)
Таким образом, преобразование Фурье ограничено, и можно проверить, что
непрерывная функция и (задача 2. 1). Если / также интегрируемо, то
следующая теорема определяет обратное преобразование Фурье.
Т еорем а 2.1 (ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ). Если / G Lr (R) и
/ G L ^ R ) , mo
/•+«>.
/( t ) = Я /
/(w )e iwt
27Г J-oo
—
M
Доказательство2. Замена f{u>) его интегральным выражением дает
I JГ+°° f*( u ). exp(iwf)хd, u j= —
1 Jг+°° f( j Г+“ /(« ) exp[iw(t - «)] d u j dw.
2тгР_оо
Мы не можем прямо применить теорему Фубини А.2, так как / (u) exp[iw(t и)]
не интегрируема в R2. Чтобы избежать этой технической проблемы, умножим
подынтегральную функцию на ехр{-е2и>2/4), которая стремится к 1 при е, стремящемся к 0. Определим
*
|Н|
It (t) = ~
[+
(J
/(и ) ехр ^ — 4— ) exp[iw(t - и)] du } dw.
(2.9)
Һ двумя различными способами, используя теорему Фубини. Интегрирование по и дает
В
ы чи с л и м
h{t) = — J
Так как
/(« ) ехр
— ) exp(iujt) dw.
/ а л
/(w) ехр ( €- ~ - ) ехр[іш(і - и)] < І/Н І
и / интегрируемо, мы можем применить теорему А .1 о мажорированной схо­
димости, из которой следует, что
зЯ
lim I J t )
«-о
2іг
[
/(w) ехр(іші) dw.
(2.10)
j *. Щ-
Вычислим теперь интеграл (2.9) другим способом, применяя теорему Фубини
й интегрируя по ш:
+ » -ЩЯгаЩжЩҒ IЩрЩг*?Щ
.I;1р
Щ(t —и) /(и ) du,
(2 .11 )
/
2.2. Интегралы Фурье
43
д€(х) = — J
exp(ixcj) exp ( — - — ) dw
Замена переменных и/ = ей показывает, что де(ж) = е''1gi(e"1x ) i и в (2.32) до­
казано, что д\(х) = ir~l' 2e~x . Функция Гаусса pi имеет интеграл, равный еди­
нице, и быстрое убывание. Сжатия функции Гаусса также имеют интегралы,
равные единице, и поэтому эти функции стремятся к дельта-функции Дирака
6 при с, стремящемся к 0 . Подставляя (2 .11 ), можно убедиться, что
И™ №•(*) - / « I = Jim J ge(t - и) \f(u) - f(t) Idu = 0.
С учетом (2.10) доказываем (2.8).
Формула обращения (2.8) представляет / как сумму синусоидальных волн ехшЬ
с амплитудой /(ш ). Используя эту формулу, мы можем показать (задача 2.1),
что из предложения / € L 1(R) следует, что / должна быть непрерывной. По­
этому формулу восстановления (2.8) нельзя доказать для разрывных функций.
К этой проблеме мы будем обращаться и при продолжении преобразования
Фурье на пространство L2(R).
Наиболее важным свойством преобразований Фурье для применений при
обработке сигналов является теорема о свертке. Это другой способ выраже­
ния того факта, что синусоидальные волны еші — это собственные функции
операторов свертки.
Т еорем а 2.2 (О СВЕРТКЕ). Пусть f € LJ (R) и h £ L X(R). Функция д = h * f
п ри н адл еж и т L 1 (Ж) и
Й:
(2.12)
9(ш) - h(u) f(u>).
Доказательство .
/
+оо
/
Г+ОО
• ехр(—І&*;) I I
f ( t —и) h(u) du ) dt
\ J —оо
-oo
Так как \f(t —tx)| |Л(г*)| интегрируема в R2, мы можем применить теорему
Фубини А.2, и замена переменных (t,u) —» {у = t —и, и) дает
+оо
г+оо
д(ш)
|
Щ
ехр[—i(u + и)и] f{v) h(u) du du
I
oo J —оо
+oo
\
/
г+оо
exp(—ivw)f{y)dv J I I
»oo
/
exp(—iuu))h(u)du } ,
\ * / —oo
что подтверждает (2 .12 ).
Отклик L f = g = f * h линейной инвариантной во времени системы может быть
вычислен по его преобразованию Фурье д(и>) — f(uj)h(uj) с помощью формулы
обратного преобразования Фурье
1
9{t) = 2 ~ j
г +°°
9{и)е'ші
(2.13)
Глава 2. Королевство Фурье
9
Ш
44
которая дает
[ +°° Щ 1Ц 1 щ ,
1
щ ш эШ
ш
/,,л
(2Л;4>
Щ
Ш &М Ш Ш Ш
Каждая частотная компонента ешЬ с амплитудой /(и>) усиливается или ослаб­
ляется множителем һ(ш). Поэтому такая свертка назьшается частотной филь­
трацией и Һ — передаточной функцией фильтра.
й|
В следующей таблице приводятся важные свойства преобразования Фурье,
часто используемые на практике. Большинство из этих формул доказывается
с помощью замены переменных в интеграле Фурье.
Свойства Функция П реобразование Ф урье
Обратное преобразование
Свертка
Умножение
Һ * h {t)
Ш Щ
е*1№ )
(2.16)
(2.17)
IT
Модуляция
sЭ
•f*
f ( t - и)
(2.15)
/ 1 И / 2И
js
„ /1 * Л ( ^ )
2ir
1
Сдвиг
(2.18)
/V - 0
\s\f(su))
(2.19)
Производная по времени
(iuj)pf(u>)
(2.21)
Производная по частоте
f t o (u>)
(2.22)
Масштабирование
Комплексное сопряжение
Эрмитова симметрия
2.2.2
/И
2nf(-w)
/.(*)
№
f(t/s)
/*(*)
m e R
(2.20)
(2.23)
(2.24)
/(-tip) = Г M
Преобразование Фурье в L2(R)
Преобразование Фурье характеристической функции / = l[-i,ij есть
е~
. .
ЩМ
dt =
2 sin и
и
Iг
, , :Ш Ш
Я щЙ
.
Эта функция неинтегрируема, потому что / разрывна, но ее квадрат инте­
грируем. Поэтому теорема 2.1 об обратном преобразовании Фурье не приме­
нима. Постараемся продолжить преобразование Фурье на пространство L2(R)
функций / с конечной энергией
\f(t)\2dt < +оо. Действуя в гильбертовом
пространстве L2(R), мы имеем доступ ко всем удобствам, связанным с суще­
ствованием скалярного произведения. Скалярное произведение / € L2(R) и
g 6 L2 (R) — это
гД у
/
+оо
-ОО
:
и результирующая норма в L2(R) есть
/
+оо
v зЩ Я Я Я
\ i W dt.
-о о
:Щ
2.2. Интегралы Фурье
45
Из следующей теоремы следует, что преобразование Фурье сохраняет с точно­
стью до множителя 2тг скалярное произведение и норму в пространстве L 2(K).
Уравнения (2.25) и (2.26) называются соответственно формулами Парсеволя и
Планшереля.
Т еорем а 2.3. Если f и Һ принадлежат L a(R) П L2(R), то
+0О
^ /.+00
/(* ) h* (t) dt = — j
f {u)h* {ш) d u .
(2.25)
ОО
При h = f из этого следует, что
+ оо
j
г+ оо
\f(t)\2d t = — /
—ОО
,
\f(u)\2 du.
'
-
(2.26)
« « J —оо
Доказательство *. Пусть g = / ★Л, где h(t) = Л*(—t). Теорема 2.2 о свертке
и свойство (2.23) показывают, что д(ш) = f (ш)һ* (и) . Формула восстановле­
ния (2 .8), примененная к д( 0), дает
/
+°°
1 Г+оо
1 Л+ОО
f(t)h * (t)d t = #(0) = — /
д(ш)с1ш=:— I
f{uj) h*{oj) du.
■oo
*71’ J -oo
“ J-OO
И сп ользован и е п л о тн о сти и п р о д о л ж ен и е н а L 2(R). Если / € L2(R), но
/ ^ L 1(R), то ее преобразование Фурье не может быть вычислено с помощью
интеграла Фурье (2.6), потому что /(t)e""lui неинтегрируема. Оно определяется
функций
Так как L 1(R) H L 2(R) плотно
функций го I j (R) П L2 (R), которые сходятся к /
II/
—
/п||
=
0.
п—*+оо
{/n}nez сходится
іачает, что ||/n —/ р|| произвольно мала при достаточно больших п и р. Б о
того, /„ € Ь Х(М), поэтому их преобразования Фурье хорошо определены
формулы Планшереля следует, что {/n in e г также является последователь­
ностью Коши, потому что
произвольно мала для достаточно больших п и р . Пространство Гильбер­
та — полное (приложение А.2); это означает, что любая последовательность
Коши сходится к элементу этого пространства. Следовательно, существует
/ € L2(R), такая что
lim И / - / п || = 0 .
п—»+оо
По определению / — преобразование Фурье функции / . Это продолжение пре­
образования Фурье на L 2(R) удовлетворяет теореме о свертке, формулам Парсеваля и Планшереля, так же как и всем свойствам (2.15)-(2.24).
Глава. 2. Королевство Фурье
46
Д ельта-ф ункции Дирака. Дельта-функции Дирака часто используются в
вычислениях; их свойства приведены в приложении А.7. Дельта-функция Ди­
рака 6 ставит в соответствие функции ее значение при
. ак как е
при t = 0, то кажется разумным определить ее преобразование Фурье как
/
4
- с ©
|
Й
р
Ш
І З
Д
1
-
(
|
2
,
2
7
)
Математически эта формула оправдана продолжением преобразования Фурье
на обобщенные функции [66, 69].
2.2.3
Примеры
Следующие примеры часто встречаются в вычислениях Фурье. Они также
иллюстрируют важные свойства преобразований Фурье.
• Характеристическая функция / = 1 [-т,Т] разрывна при t = ±Т . Поэто­
му ее преобразование Фурье неинтегрируемо:
f(u) = / Т
dt =
(2.28)
Идеальный низкочастотный фильтр имеет передаточную функцию Һ 1 [-€.*]>
выделяет низкие частоты из отрезка [-£,£]• Импульсный
отклик вычисляется как ее обратное преобразование Фурье (2.8):
ft(t) = -
= ^
(2.29)
Пассивная электронная схема включает в себя аналоговые фильтры с
сопротивлениями, емкостями и индуктивностями. Входное напряжение
f(t) связано с выходным напряжением g(t) дифференциальным уравне­
нием с постоянными коэффициентами:
. ч '2Ш
(2-30)
fc=°
fc=o
''
Предположим, что контур не заряжен при t < 0; это означает, что f(t) =
g(t) — 0. Напряжение на выходе g есть линейная инвариантная во вре­
мени функция / и поэтому может быть записано в виде g = f * Һ.
Вычисление преобразования Фурье от (2.30) и применение (2.21) дает
ЛИ =
at(iu,)fc.
/И
Е Іы о Ы Ч к
(2.31)
Щ
Мы получили рациональную функцию от іш. Поэтому идеальная низко­
частотная передаточная функция 1[_* *і не может быть использована для
2.2. Интегралы Фурье
47
описания аналоговой схемы. Она должна быть приближена рациональ­
ной функцией. С этой целью часто используются фильтры Чебышева
или Баттерворса [14].
Функция Гаусса f ( t ) = ехр(—i2) принадлежит С°° и имеет быстрое асимп­
тотическое убывание. Ее преобразование Фурье — также функция Гаусса:
/ ( ш) = у/п ех р (—w2/4).
(2.32)
Преобразование Фурье вычисляется показом с помощью интегрирования
00
4.2
\
Л
—
І
по частям того, что f(u>) = = fjj°оо ехр(—£2)е ^ d t дифференцируемо и
удовлетворяет дифференциальному уравнению:
и
и
и
и
и
и
и
и
2f \ u ) + ujf{ и) = 0.
(2.33)
Решение этого дифференциального уравнения — функция Гаусса
,2
/л\
___
*/п\
г°°
___
f
*2
f ( u ) = К ехр(—w2/4), и так как /(0 ) = Г*3
ехр(—
t2)rft
=
у/тг,
мы
полуоо
чаем (2.32).
Гауссов чирп f ( t ) = ехр[—(а —ib)t2] имеет преобразование Фурье, вычис­
ляемое с помощью такого же дифференциального уравнения:
1■
А->- £ 5 »
«ч
• Сдвинутая дельта-функция Дирака ST(t ) = S(t—r) имеет преобразование
Фурье, которое есть значение e~lut при t = т:
+оо
5{t - т)е~іиі dt = e~iwr.
(2.35)
/
•oo
Дельта-функция Дирака comb — сумма сдвинутых дельта-функций Ди+оо
с(() = £
-5(4 - 1>Г),
П=—ОО
которая используется для равномерной выборки аналоговых сигналов.
Ее преобразование Фурье выводится из (2.35):
-foo
-inTw
(2.36)
с(ш)
,
п = —ОО
Из формулы Пуассона следует, что эта функция также равняется дель­
та-функции Дирака комб с шагом 2тг/Т.
Теорема 2.4 (ФОРМУЛА ПУАССОНА). В смысле равенства для обобщенных
функций (А.32) справедливо соотношение
+~
П ав —ОО
. |
g
= —ОО
, („ _ м
j.
(ал т)
Глава 2. Королевство Фурье
48
Доказательство2. Преобразование Фурье с в (2.36) - периодическая функция
с периодом 2тг/Т . Поэтому для подтверждения формулы Пуассона достаточно
доказать, что сужение с на [-гг/Г , тг/Т] равняется 2тг/Т<5. Формула (2.37) доназывается в смысле равенства для обобщенных функций (А.32) показом того,
что для любой тестовой функции ф(ш) с носителем в отрезке [ - 7Г/Т, тг/Т]
(с,ф) =
*+°°
Нш
/
N—•+00 ./_те
А
27Г А ,
Т* ехр(-іпТш)ф(ш)(1ш = — ф(0).
^
Сумма геометрической прогрессии равняется
Е
Р '381
Следов ательно,
щ» » Г ,Т sm[(JNT + 1/ 2)Ты] T V g
tv—
*+оо Т J -ъ/т
sin[7u;/2]
■ (2 39)
Пусть
ф(ш\ = {
* 0
ПРИ И %
при |о>| > 7Г/ Т
и ip — обратное преобразование Фурье ^(о;). Так как 2а» sin(ao;) — преобра­
зование Фурье функции 1[-a,a](£), то формула Парсеваля (2.25) дает
?%
2тг /%+°° sin[(AT + l/2)Tu] 7,
<•>« = »5 5 -т У ..
=
-------- Л и )іі“
о-г г(ЛГ+1/2)Т
lim — I
ф(і) dt.
N —» + o o Т J —( J V + 1 / 2 ) T
A
(2.40)
A
Когда iV стремится к -foo, интеграл сходится к V>(0) = $(0).
2.3
2.3.1
Свойства1
Гладкость и убывание
А ,
Глобальная гладкость сигнала / зависит от убывания |/(и;)| при возрастании
частоты М . Изучается дифференцируемость / . Если / € L 1(R), то формула
обратного преобразования Фурье (2.8) дает, что / непрерывна и ограничена:
1
1/(01 < ^ /
г+оо
1
г+оо
|в -/И 1 ^ = £ J
І /И І ^ < +00.
(2.41)
Следующее утверждение использует это свойство для получения достаточного
условия, гарантирующего дифференцируемость любого порядка р функции / .
2.3. Свойства
49
У тверж ден и е 2.1. Функция f ограничена, р-раз непрерывно дифференциру
ема и имеет ограниченные производные, кгли
+оо
—ОО
|/И 1 ( 1 + М р) dw < + о о .
(2.42)
Преобр азование
Аналогично
/|Ч
г+ оо
1/( ) ( 0 1 < /
1 /H (|w |fcdw.
НННШ.
'/—ОО
Условие (2.42) означает, что
\f {w)\\w\kdw < +00 для любого к < р, поэтому
/<*>(*) непрерывна и ограничена.
■
Из этого результата следует, что если существуют константы К и е > О
такие, что
| / М | - Г + И И -1+*'
_____
10
/еС Р -
А ;
Если / имеет компактный носитель, то из (2.42) следует, что / 6 С°°.
Убывание |/(и>)| зависит от наихудшего сингулярного поведения / . НапримеР> / = 1[—т,т] разрывна при t = ± Т , поэтому |/(ы )| убывает как \и -1
В этом случае бывает важно знать, регулярна ли /( i) при t ф ± Т . Эта ин
формация не может быть получена из убывания |/(w )|. Д ля характеристик!
локальной гладкости сигнала / необходимо разложить его по волновым фор
мам, хорошо локализованным во времени в отличие от синусоидальных волн
В п. 6.1.3 объясняется, что вэйвлеты особенно хороши для этой цели.
4РН1
2.3.2
Принцип неопределенности
Можем ли мы построить функцию / , энергияjA| которой хорошо локализована
во времени и преобразование Фурье которой / имеет энергию, сконцентриро­
ванную в малой частотной области? Дельта-функция Дирака S(t - и) имеет
носитель, сведенный к t = и, но ее преобразование Фурье е~іиш равномер­
но распределено по всем частотам. Мы знаем, что |/(и;)| убывает быстро на
высоких частотах только в том случае, если f ( t ) гладко изменяется во време­
ни. Поэтому энергия функции / должна быть распределена на относительно
обширной области.
Чтобы уменьшить протяженность функции / , мы можем масштабировать
ее с помощью параметра з < 1 при сохранении постоянной энергии. Если
ш = G)• ”
“««*•
Преобразование Фурье /*(w) = y/sf(su) расширяется в 1/s раз, т. е. мы те­
ряем в частотной локализации то, что выиграли во времени. В основе лежит
компромисс между частотной и временной локализациями.
Глава 2. Королевство Фурье
50
Временная и частотная
важную
свободной
ается
V/ШЦШ X
X
vv
---- — ---- \^
■ .gi
волновой функцией / G L3(R). Плотность вероятности локализации этой ча­
стицы в момент t есть
f(t)\2. Плотность вероятности того, что ее импульс
равняется ш, есть 2
Среднее положение этой частицы ест^.ч.
1
и=
а средний импульс —
2
Н
ОО
11/11
+00
1
( = 7 ^
гя-Ц/Н2
(2.44)
ОО
Дисперсии около этих средних значений соответственно равны:
Л
й
° *
(
2
' 4
5
)
<2 -4 6 >
Чем больше <rt, тем более неопределенно положение свободной частицы; чем
больше аи, тем более неопределенным является ее импульс.
,;
Теорема 2.5 (НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ГЕЙЗЕНБЕРГА). Временном диспер­
сия и частотная дисперсия / € L2(R) удовлетворяют неравенству
2
2 ч
(2.47)
Неравенство переходит в равенство тогда и только тогда, когда существу­
ют (и, £, а, 6) € R2 х С2 такие, что
f(t) = aexp[i£t —b(t —и)2].
(2.48)
Доказательство 2. Следующее доказательство, принадлежащее Вейлю [75
(книга)], предполагает, что 1ітңі-*+оо V t f t t ) == 0, но теорема справедлива и
средняя
для
кализации / равняются и и £, то среднее временное и частотное положение
ехр(—i£t)f(t + и) равняются нулю. Поэтому достаточно доказать теорему для
и = f = 0. Заметим, что
1Щ
г+оо
1
= 2 ^ |4
а
.
J
г+оо
1*/(*)|а
dtJ
.
И И Р du.
■.
(2.49)
______
Так как iu)f(u) — преобразование Фурье / (t), то равенство Планшереля (2.26), примененное к w f(w ), дает
л
г+ оо
= J J fJ _
г + оо
!*/(*) I2dt ]_
І/Ч0І2dt.
(2.50)
2.3. Свойства
51
Применим неравенство Шварца
>
>
1
11/11
+оо
1
ТіГТім I I
t ( \ m \ 2Ydt
4 /
— OO
Так как limjti_ +00 y/if{t) = 0, то интегрирование по частям дает
+° * \ m \ 2dt
—oo
1
4
(2.51)
*
Чтобы получить равенство, неравенство Шварца, примененное к (2.50), долж­
но перейти в равенство. Это означает, что существует Ь ЩС такое, что
«л
(2.52)
f \ t ) = -2 b tf(t).
Следовательно, существует a е С такое, что f(t) = aexp(—bt ). При дальнейших шагах доказательства сохраняются все равенства, так что действительно
нижняя граница достигается. Если и Ф 0 и £ ф 0, то соответствующие сдвиги
по времени и частоте приводят к (2.48).
В квантовой механике эта теорема показывает, что нельзя произвольно
уменьшать неопределенность положения свободной частицы и ее импульса. В
обработке сигналов модулированные функции Гаусса, которые имеют наилучшую общую частотно-временную локализацию, называются чирпами Габора.
Как ожидалось, это гладкие функции с быстрым асимптотическим убыванием
по времени.
К ом п актн ы й н о си тел ь. Несмотря на границу неопределенности Гейзенбер­
га, мы, возможно, хотели бы построить функцию с компактным носителем,
преобразование Фурье которой также имело бы компактный носитель. Такая
функция была бы очень полезна при построении фильтра с конечным им­
пульсным откликом и с передаточной функцией в ограниченном диапазоне. К
сожалению, в следующей теореме доказывается, что такая функция не суще­
ствует.
Ак
Теорема 2.6. Если / Ф 0 имеетп компактный носитель, то f ( u ) не может
иметь компактного носителя. Аналогично, если f(w) имеет компактный но­
ситель, то /( f ) не может иметь компактного носителя.
А
Мы докажем только первое утверждение, так как второе
следует из первого с помощью преобразования Фурье. Если / имеет компактсодержащийся
1
f(t) = — J
/{») exp(twt) du.
(2.53)
Глава 2. Королевство Фурье
52
Если /(£) = 0 при t е [с, d], то, дифференцируя n-раз под знаком интеграла,
получим в точке to = (с + d)/2
.
/ (n)(t0) = — [ /(u>)(tw)n exp(iwto) dw = 0.
2тгу_ь
- -ь
/(£) = — [ /(w) exp[iw(t - to)] exp(iwto) du;,
РН Ң Н РЩ РВГ
2тг у_ь
то разложение ехр[іы(£ —to)] в бесконечный ряд дает для всех t € R
(2.54)
дШЯН
Так как
f(t) = — У
2тг п^= и
^
1 --9-— Г / М “>п exp(*a;to) du 1 0.
п!
7-ь
(2.55)
(2.56)
Это противоречит нашему предположению, что / Ф 0.
2.3.3
Полная вариация
Я
Полная вариация измеряет полную амплитуду осцилляций сигнала. Она игра­
ет важную роль при обработке изображений, где ее значение зависит от длины
линий уровней изображения. Мы покажем, что низкочастотный фильтр может
значительно увеличить полную вариацию, создавая колебания Гиббса.
В ари ац и и и колебания. Если / — дифференцируема, то ее полная вариация
определяется как
”Щ
ll/llv = /
im i А
(2.57)
оо
Если {хр} — абсциссы локальных экстремумов / , где f ' ( x p) = 0, то
ll/llv = У ^ І/(* р + і)-/(я р )ІОна таким образом измеряет полную амплитуду колебаний / . Например,
если /( t) = ехр(—£2), то ||/||у = 2. Если /(£) = sin(7tt)/(7rt), то / имеет ло­
кальные экстремумы в точках хр G [р, р + 1] при каждом р € Z. Так как
|/(xp+ i) - /( х р)| ~ ІРІ"1, то мы получаем, что ||/|| v = +оо.
Полная вариация недифференцируемых функций может быть вычислена
путем рассмотрения производных в смысле обобщенных функций [66,79]. Это
эквивалентно приближению производной разделенной разностью на интервале
длины Һ, стремящейся к нулю:
ЩЦ
||/ ||у = Urn / +“ Ш
h-+bJ-oo
\щ
Л)1dt.
(2.58)
Ш
Таким образом определяется полная вариация разрывных функций. Напри­
мер, если / =
то (2.58) дает ||/||v = 2. Говорят, что / имеет ограниченную
вариацию, если ||/l|v < + 00.
/ уШ ІЯ
2.3. Свойства
53
Является ли / ' обычной производной / или производной в смысле обоб­
щенных функций, ее преобразование Фурье равняется / ' ( и ) - iuf(cj). Следо­
вательно,
+оо
и i/m i < /
ОО
И
I/H I <
m
m
= imiv
f V
Ш
(2.59)
(М
Однако, |/(и;)| = О(\и\ 1) не есть достаточное условие, гарантирующее, что
/ имеет ограниченную вариацию. Так например, если /(<) = sin(7r£)/( 7rt), то
/ = 1[-7г,тг] удовлетворяет неравенству |/(о;)| < ттМ""1, хотя \\f\\v = +оо. В
общем случае полная вариация / не может быть оценена через \f(u>)\.
Д и скретн ы е си гн ал ы . Пусть /ң[п] = f ( n / N ) — дискретный сигнал, полу­
ченный в результате равномерной выборки с шагом N ^ 1. Дискретная полная
вариация вычисляется с помощью аппроксимации производной сигнала раз­
деленной разностью с шагом выборки h = N
и замены интеграла суммой
Римана, что дает
-
1
W/n Wv - ^ 2 |/jv[n] - /лг[п - 1 ) IП
Если пр — абсциссы локальных экстремумов / # , то
IIArllv =
(2.60)
|/yv[nP+i] - /лг[пр]|.
амплитуду
сигнал
ШИ
сигнала
создавать колебания, которые имеют бесконечную полную вариацию. Пусть
Һ =
— отфильтрованный сигнал, полученный с помощью идеального низфильтра
/
то Д сходится к / в норме L2(R): lim ^+oo | | / — Д || = 0. Действительно,
и из формулы Планшереля (2.26) следует, что
I/ - М 2= я
Г ° ° 1 / И - Л Й Р <ь = ± - (
i / H P du
J-oo
27Г ,/|w|>£
стремится к нулю с ростом £. Однако, если / разрывна в точке f0> то мы
покажем, что Д имеет колебания Гиббса в окрестности ^0> которые не дают
suPt€R If i t ) — Л (*) І сходиться к нулю с ростом £.
Пусть / — функция с ограниченной вариацией ||/||у < +оо, которая име­
ет изолированный разрыв при t = t0: f { t ^ ) — левый предел этой функции
и f ( 4 ) ~ правый. Эту функцию можно разложить в сумму непрерывной в
окрестности to функции / с и ступеньки Хэвисайда с амплитудой /(tjj") - /(£~):
/(* ) = fc{t) + l/(to ) - /(*0 )] u (t - to),
Глава 2. Королевство Фурье
54
1 при t > О,
О в других точках
где
(2.61)
Отсюда
(2.62)
M t) = / с * M f) + [ f { 4 ) - № ) ] « * М * - *<>)•
Так
зать (задача 2.13), что
равн
Следующее
утверждение
показывает.
к fc(t) в окрестности to
для и * he, где создаются колебания Гиббса.
f * М *)
/(*)
Р и с. 2.1. Колебания Гиббса, созданные низкочастотными фильтрами, обре­
зающими частоты на уровнях, которые убывают слева направо.
У тв ер ж д ен и е 2.2 (ГИББС). При любом £ > 0
it Sin 2
и * щ (| )
ОО
| у
L V L /
М
f
#
V ^ < jr V
V f
v
^
ж w
^
—
— —
■
— —
— ’
—
7ГХ
v t.Jj
(2.63)
dx.
фильтра
— — — ---------------------------------------—
вычисленный в (2.29), есть һ$(і) = sin(£i)/(тг£). Поэтому
U'k
(t)
+00 sin £(t —r)
+0° , 4s in £ (f-T ) J_
u (r)----:------:— a r
7г(* - r)
—oo
7Г(< - Т)
dr,
Замена переменных x = £(t —т) дает (2.63).
it sin ж
Функция
s(|t)
—00 7ГХ
dx
возрастает от 0 при t = —oo до 1 при t = + 00; s(0) = 1/2. Она имеет колебания
с периодом 7г/£ , амплитуды которых убывают с возрастанием расстояния от О,
но ее полная вариация бесконечна: ||s||v р +оо. Максимальная амплитуда
колебаний Гиббса достигается при І = ±7г/£ и не зависит от £:
,‘f
7Г
А =
s ( tt)
—1
—ОО
sin®
7ГХ
dx — 1 « 0.0894
Подстановка (2.63) в (2.62) показывает, что
№
- /«(*) = [ /( 4 ) - № ) Ш
і
- 10)) + ««,*),
(2.64)
2.3. Свойства
55
где lim£_+oo suP |t-t0|<a lc( f »01 = 0 в некоторой окрестности размера а > 0 око­
ло to. Функция s(£(t —to)) с центром в to создает максимальную погрешность
фиксированной амплитуды для всех £. Это видно на рис. 2.1, где колебания
Гиббса имеют амплитуды, пропорциональные скачку f ( t o ) — f ( t o ) для всех
частот
П олная в а р и а ц и я и зо б р а ж е н и я . Полная вариация изображения f ( x 1 , 0:2)
зависит от амплитуды вариаций так же, как и от длины контуров, на кото­
рых они реализуются. Предположим, что f ( x i , хо) ди(Ь<Ьеоеншгоуема. Полная
ариация определяется как
11/11v
(2.65)
I j l ^ ( x b x2 )|d z id z 2,
где модуль вектора градиента
1/2
|V /( x b x 2)|
d f ( x i , x 2)
дхл
d f ( x і,ж 2)
+
дхо
случае
ные функции взяі
лентная норма по
ными разностями:
О
|Д л /(® ь * 2)|
f ( x \ , x 2) ~ / ( x i - h , X 2 )
h
f ( x i , x 2) - f { x i , x 2 - h)
h
+
1/2
Можно проверить, что
II/
V < lim J J \ A hf { x i , x 2) \ d x i d x 2 < V2\\f\\v .
(2 .66)
Интеграл от разделенных разностей дает большое значение, когда f i x 1
диагонали
/
у
{(хь х2) G К2 : / ( х i ,* 2) > у}-
Если / непрерывна, то граница д0.у множества Qy — это линия уровня, содержащая все { х \ , х 2) такие, что f ( x i , x 2) = у. Пусть Н х(д£1у) — длина дПу.
Формально эта длина вычисляется в смысле одномерной хаусдорфовой мет­
рики. Следующая теорема связывает полную вариацию / с длиной ее линий
уровней.
Теорема 2.7 (ФОРМУЛА ОБОБЩ ЕННОЙ ПЛОЩАДИ). Если I /
+ 00, то
+оо
Н
1{
Шу)йу.
(2.67)
V
11/11
— ОО
Глава. 2. Королевство Фурье
56
Доказательство2. Доказательство теоремы —высокотехничный результат, который приведен в [79 (книга)]. Мы даем интуитивное объяснение для случая,
когда / непрерывно дифференцируема. В этом случае дПу — дифференциру­
емая кривая x(y,s) € R2 с параметром 5, длиной дуги. Пусть т(х) — вектор,
касательный к кривой на плоскости. Градиент V /(x) ортогонален к т(я). Си­
стема координат Френе вдоль дПу состоит из вектора т[х) и единичного век­
тора п(х), коллинеарного V /(x). Пусть ds и dn меры Лебега в направлении
т и п соответственно. Мы имеем
( 2 .68)
|V /(x)| = V /(z) п = - £
где dy —дифференциал амплитуд поперек линий уровней. Идея доказательства
состоит в разложении интеграла полной вариации по плоскости как интеграла
вдоль линий уровней и поперек их, что мы записываем как
ШЯ
Используя (2.68), мы получаем
Но f gQ ds = Н г (дС1у) —длина линии уровня, что и доказывает (2.67).
I
Формула обобщенной площади дает важную геометрическую интерпрета­
цию полной вариации изображения. Изображения равномерно ограничены
так, что интеграл (2.67) вычисляется по конечному отрезку и пропорциона­
лен средней длине линий уровней. Он конечен тогда, когда линии уровней не
являются фрактальными кривыми. Пусть / = а %а пропорциональна харак­
теристической функции множества П € К2 с границей дО, длины L. Формула
обобщенной площади (2.7) означает, что \\f\\v = otL. В общем случае изобра­
жения ограниченной вариации должны иметь перепады конечной длины.
Д и ск р етн ы е и зображ ен и я. Камера измеряет интенсивность света с помо­
щью фоторецептеров, которые осуществляют равномерную выборку из решет­
ки, которая также предполагается равномерной. Для разрешения N шаги вы­
борки равняются ЛГ"1, и результирующее изображение может быть записано
как /аг[пі,гі 2] = f ( n i / N, r i 2 /N). Его полная вариация определяется приближе­
нием производных разделенными разностями и интеграла (2.66) суммой Римана
„■- кЗЙ
(2.70)
2ч 1 /2
/[ и ц п 2] - / [ n i , n 2 - 1] j
.
В согласии с (2.66) мы говорим, что изображение имеет ограниченную вариа­
цию, если H/yvllv ограничена константой, не зависящей от разрешения N. Из
формулы обобщенной площади следует, что эта норма зависит от длины линий
ш
2.4. Двумерное преобразование
Фурье
В
57
уровней при возрастании разрешения изображения. Верхняя граница множи­
л/2 и получается из того, что длина диагонали
л/2
горизонтальных и вертикальных отрезков, образованных
ыборки
изображения. На рис. 2.2 (а) дано изображение с ограниченной вариацией, а
рис. 2.2 (б) изображает линии уровня, полученные в результате дискретизаизображения
почти постоянной при изменении разрешения.
(а)
(б)
Рис. 2.2. (а) Полная вариация этого изображения остается почти постоянной
при возрастании разрешения N. (б) Линии уровней dQy, полученные равно­
мерной выборкой амплитуды по переменной у.
*
2.4
Д вум ерное преобразование
1
Фурье
Преобразование Фурье в Rn есть прямое продолжение одномерного преобра­
зования Фурье на многомерный случай. Мы коротко рассмотрим двумерный
случай для приложений при обработке изображений. Преобразование Фурье
функции /
Ч-oo
/*+оо
f ( x 1}x 2)exp[
/(«1
оо
(2.71)
ОО
В полярных координатах ехр[г(о»іа:і + ш2х 2)] может быть переписана как
ехр[г(сиіхі + U2 X2 )] = ехр[гр(хі cos Ө+ ж2 sin 0)],
где р = \/ш? + Wo. Это плоская волна, которая
осциллирует
в основном те же самые, что и в одномерном случае. Приведем несколько важ­
ных результатов.
/ € L X(R2) и /
f ( x i , x 2)
1
47Г2
JJ /(и>1, Ыз) exp[i(u>iii + ШХ )] du)idhj2
2 2
(2.72)
Глава 2. Королевство Фурье
Если / G LX(R2) я h e L1(R2), то свертка
д ( Х и Х 2)
Jj
= f * h(xu x 2) =
f ( u 1,u2)h(x1 - u u x 2 - u 2) d u 1du2
имеет преобразование Фурье
д(шi,u>2) = f(u}i}w2)h(u)i,u>2 )-
(2-73)
Формула Парсеваля имеет вид
J J f { x i , x 2)g*(xi,x2) d x i d x 2 —
1
(2-74)
-J J f(u)iyU2)g*(ui,uj2)(Ljiduj2.
Если f = д, мы получаем равенство Планшереля
JJ |/(rri,X 2)|2 rfXidX2 =^2Jj
і / ( ^ Ь ^ 2)| 2 ^ 1 ^ 2 -
(2-75)
Поэтому преобразование Фурье функции с конечной энергией имеет ко­
нечную энергию. Тем же методом, что и в одномерном случае, на основе
плотности функций, можно продолжить преобразование Фурье на любую
функцию / G L2(R2).
;
Если / Е L2(R2) сепарабельна, а это означает, что
f ( x u x 2) = 9(х і )Һ(х 2),
то ее преобразование Фурье есть
^
/(w i,w 2) =д(иі)һ{ш2),
■1
где д и һ — одномерные преобразования Фурье д и һ. Например, харак­
теристическая функция
v
f ( x i , x 2) =
Г
1,
ч п
l о
е с л и | і і | < Т , \х2\ < Т
в других точках
/ \ *
/ \
= 1[—тт\(хі) х Іг-т тіі^ г)
1
" 1
1 ’ J
^
есть сепарабельная функция, преобразование Фурье которой выводится из (2.28):
'
2,
х 4sm(Tw1)sin(ro;2)
Wl,U)2
f
(
u
i
,
u
2
)
=
-------------------------------------------
Если f ( x i , x 2) повернута на угол Ө:
fe(xi, х 2) = f ( x \ cos Ө - х 2 sin 0, аіі sin 0 + x 2 cos 0),
то ее преобразование Фурье повернуто на угол —0:
А
А
f e { v i , u 2) = /(w i cos0 + ^2 sin 0 , - Ші sin Ө + ш2 cos 0).
(2.76)
2.5. Задачи
2.5
59
Задачи
если
f(u>) Е Ь Х(К), то /(£) непрерывна.
функци
2.2 . 1Обосновать вид преобразований Фурье для с
ни я (2 .20) и производной по времени.
___
____________
2.3. Пусть f r (t) = R e( / £t)} и /*(£) = Im [/(£)] — вещественная и мнимые части
ДО- Доказать, что / Р(ш) = [/(ы) + / * ( - ш)]/2 и Л И = [/(w) - /* (-ц ;)]/( 2г).
2.4. 1Используя преобразование Фурье убедиться, что
+0°sin 3 t
Зтг
f +°°sin4t „
—л=т ” I
2тг
* ШТ '
2.5. 1Показать, что преобразование Фурье функции /(£) = ехр(—(а —гЬ) t 2) есть
Подсказка: написать дифференциальное уравнение, подобное
2.6. 2Риман-Лебег. Доказать, что если / е L 1 (R), то lim / ( cj)=0.
о/—»оо
Подсказка: доказать сначала для функций из С 1 с компактным носителем и
использовать затем условие плотности этих функций в L 1 (R).
схем
(а) Пусть р
комплексное число с Re[p] < 0. Вычислить преобразование
Фурье функций /(*) = ехр (pt) 1(0>+Оо)(*) и f (t ) = tn ехр(pt) l [0t+oo)(i),.
(б) Пассивная схема связывает входное напряжение / с выходным напряже­
нием g дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами:
к
м
£ a* /w (0 = X > s (fc)(0k=0
fc=0
Ц
Доказать, что эта система устойчива и причинна тогда и только тогда,
когда корни уравнения
bkzk = 0 имеют строго отрицательные веще­
ственные части.
(в) Фильтр Баттерворса удовлетворяет равенству
t
o
Н
Н
І
1
1 + (u / uJq)
2N
•
При N = 3 вычислить һ(ш) и h(t) так, чтобы этот фильтр мог быть ис­
пользован устойчивой электронной схемой.
2.8. Для любого А > 0 построить / такую, что временная и частотная ширина,
измеряемые соответственно <г( и аш в (2.45, 2.46), удовлетворяют условиям <rt >
А и аш > А.
Глава 2. Королевство Фурье
60
2.9. 2Предположим, что /(t) > 0 и ее носитель принадлежит [~Т,Т]. Убедиться,
что |/(w )| < /(0). Пусть шс — точка половинной мощности, определяемая par
венством |/(w c)|2 I |/(0)|2/2 и |/( « ) |а < |/(0 )|2/2 при | < ше. Доказать, что
LJCT > 7г/2.
'
2.10. 1Преобразование Гильберта.
ІШ%
(а) Доказать, что если f(u>) = 2 /(ш )} то /(£) = sign (£) = t/\t\.
(б) Предположим, что / Е L 1 (R) — причинная функция, т. е. /(£) = 0 при
t < 0 . Пусть f r (u>) = Re [f(u)] и
= Im [/(«;)]. Доказать, что f r = # / і
и fi = —Hfry где H — оператор преобразования Гильберта:
Я5(1)_I л- ж
7ГJ_oo * -« *
■
Я
2.11. 1 Выпрямление. Выпрямитель вычисляет #(£) = \f(t)\ для восстановления оги­
бающей модулированных сигналов [57].
(а) Показать, что если /(£) = a(t) sincJo£, где a(t) > 0, то
А/ у
2
PM — : £
n = —oo
а(ш —2тоо)
-5 Г Г І—
.
(б) Предположим, что a(u;) = 0 при |a;| > a;o. Найти такое fe, что a(£) = h*g(t).
2.12.
АмплитуднаяА модуляция. Мы предполагаем, что / п(£) — вещественные при
0 < п < iV и / п(ш) = 0 при |ад| > ио.
(а) Двойные боковые диапазоны. Модулированный по амплитуде сложный
сигнал определяется формулой
N
9(t) = ]Г / n (t)cos(2na;o0*
n=o
->‘11
II *МгЙ|
Вычислить g((j) и убедиться, что ширина его носителя равняется ANljq.
Найти алгоритм демодуляции, который восстанавливает каждую / п по д.
(б) Одиночный боковой диапазон. Мы хотим в два раза сократить ширину
процедуру модуляции
каждую
ситель, содержащийся в [-(п + 1)ш0, -тиоо] U [тьио, (п + 1)ы0], и обладает
возможностью восстановления / п по дп. Вычислить ширину диапазона
д — 53 п=о 9п и найти алгоритм демодуляции, восстанавливающий каж­
дую / п по д.
2.13.
Пусть Д =
где
Предположим, что / имеет ограниченную
вариацию ||/||v < +оо и непрерывна в окрестности точки to. Доказать, что в
окрестности to функция Д(£) сходится равномерно к /(£) при £, стремящемся
к +оо.
2.5. Задачи
61
2.14. 1Томография. Пусть ge(t) — интеграл от / ( 2 1 , 22 ) вдоль прямой —xi sin Ө+
Х2 cos ӨЩ tj которая проходит под углом Ө и лежит на расстоянии |t| от начала
координат:
=.
L , +i(SS0
/ ( —t sin Ө+ рсов 0, t cosӨ+ psin Ө) dp.
/
■oo
ІJ_
j-V \ I
I
Ag
Доказать, что ge(w) = / ( —c«;sin0,u;cos6). Как мы можем восстановить
f ( x u x z ) по томографическим проекциям go(t) при 0 < Ө < 2п?
2.15. Пусть f ( x 1 , х ?) — изображение, которое имеет разрыв амплитуды А на
прямой, проходящей под углом Ө на плоскости (2 1 , 22 ). Вычислить
амплитуду осцилляций Гиббса /★/1^(2 1 , 22 ) как функцию £,0 и А при
JJg S §Ш = 1[-£,*](ал) 1[-е,Й О4*)-
Глава 3
Дискретная революция
Цифровая обработка сигналов овладела всем. Впервые использованные
в 1950-е годы на службе аналоговой обработки сигналов с целью моделиро­
вания аналоговых преобразований, цифровые алгоритмы захватили наиболее
традиционные области, включая телевизионные стандарты, обработку речи,
магнитофонную запись и все типы информационных манипуляций. Аналого­
вые вычисления, выполненные с помощью электронных схем, быстрее цифро­
вых алгоритмов, реализованных с помощью микропроцессоров, но они менее
точные и менее гибкие. Поэтому аналоговые схемы часто заменяются цифро­
выми чипами, когда вычислительные свойства микропроцессоров достаточны
для выполнения заданных операций в реальное время.
ЧЙЩ
Для записей звука или изображений дискретные сигналы получаются в
результате выборки аналогового сигнала. Изучены условия восстановления
аналогового сигнала по равномерной выборке. Еще раз неизбежно примене­
ние преобразования Фурье, потому что собственными функциями дискретных
инвариантных во времени операторов являются синусоидальные волны.
3.1
Выборка аналоговых сигналов1
Простейший путь дискретизации аналогового сигнала / состоит в записи его
значений {/(nT )}ngz, выбранных с шагом Т. Приближение /(£) при любом
t € R может быть получено с помощью интерполяции этих отсчетов. Теорема
Уиттекера дает достаточное условие выборки, наложенное на носитель преобразования Фурье / , для того чтобы вычисление /(£) было точным. Погрешно­
сти наложения и аппроксимации изучаются в том случае, когда это условие
не выполняется. Более общие теоремы выборки изучаются в п. 3.1.3 с точки
зрения векторных пространств.
3.1.1
Теорема выборки Уиттекера
Дискретный сигнал может быть представлен как сумма дельта-функций Ди­
рака. Мы связываем с каждым выбранным значением /(п Т ) дельта-функцию
3.1. Выборка
В
Ш
аналоговых
сигналов
63
Дирака f( n T ) 8 ( t—nT), сосредоточенную в точке t = пТ. Поэтому равномерная
выборка сигнала / соответствует сумме взвешенных дельта-функций Дирака
ОО
(3.1)
Преобразование Фурье S(t — п Т ) есть е гп ш, так что преобразование Фурье
f d — это ряд Фурье
+оо
(3.2)
п=—оо
Чтобы понять, как вычислить /(£) по выбранным
значениям
f
(
n
T
)
и,
следо*
А
А
вательно, / по /а, мы связьюаем их преобразования Фурье f и fd.
У твер ж д ен и е 3.1. Преобразование Фурье дискретного сигнала, полученного
выборкой / с шагом Т , есть
Доказательство . Так как 6(t —пТ) — нуль при t ф пТ,
/(пТ) 6{t - пТ) = f(t) 6(t - пТ),
и мы можем переписать (3.1) как умножение на comb-функцию:
(3.4)
Вычисление преобразования Фурье дает
(3.5)
Из формулы Пуассона (2.37) следует, что
(3.6)
Так как / * 6(и —{) = f(u> —О, то>подставляя (3.6) в (3.5), получаем (3.3). ■
В утверждении 3.1 доказывается, что выборка / с шагом Т эквивалентна пери­
одизации ее преобразования Фурье с периодом 2 п / Т путем суммирования всех
сдвигов / ( и>— 2kir/T). Результирующая теорема выборки была впервые дока­
зана Уиттекером [349] в 1935 году в книге по теории интерполяции. Шеннон
заново открыл ее в 1949 году для приложений по теории связи [306].
Глава 3. Дискретная революция
64
ШЕННОН)
содержится в \—тг/Т,тг/Т]
+0О
/(*) = У
f( n T ) h r(t - ПТ),
(3.7)
п = —оо
, И
где
■
I
sin(7rt/T )
ҢЦ
В Я
Если
4к
Л/ Ч
/(о;), потому что / ( и)
дает
||ftf 11||1
при Н <
Ц
(3.9)
Преобразование Фурье һт есть һт —
^ ,g|J| Так как носитель / содержится
в
Ж]л из (3.9) вытекает, что /(ы ) = hT (w)fd(w). Обратное преобразование
Фурье для этого равенства дает
+оо
/ (t) = һт * fd(t)
= һт*
f (пТ) 8{t - пТ)
п = —оо
+оо
f{nT) hT(t —пТ).
п = —оо
ж
-’■>'**■C-l"
Теорема выборки означает, что условие включения носителя / в [—7г/Т,7г/Т]
гарантирует отсутствие резких изменений / между последовательными отсче­
тами, и это позволяет восстановить ее с помощью интерполяции. В п. 3.1.3
показано, что можно наложить другие условия гладкости для восстановления
/ по ее отсчетам. Рис. 3.1 иллюстрирует различные этапы выборки и восста­
новления / по ее отсчетам как во временной, так и Фурье-областях.
3.1.2
Наложение
Шаг выборки Т часто определяется вычислительной схемой или ограничеА
ниями на размеры массива данных, так что в общем случае носитель / не
содержится в отрезке [—7г/Т,7г/Т]. В этом случае интерполяционная формула
(3.7) не восстанавливает / .
4
|
Проанализируем результирующую погрешность и процедуру фильтрации
для ее уменьшения. В утверждении 3.1 доказано, что
Ш
= І
Е
/ (« - щ . ).
(3.10)
к=—оо
1Общие принципы этого утверждения были открыты несколькими авторами. Первона­
чальная идея принадлежит Уиттекеру (1915 г.). В отчетливой и современной форме равен­
ство (3.7) дано В.А.Котельниковым в 1933 г. — Прим. перев.
3.1. Выборка аналоговых сигналов
65
Предположимчто носитель f выходит за пределы [—7г/Т*, 7г/Т*]. В общем слу­
чае носитель f (си 2ктт/Т) пересекает [—7г/Т, тг/Т\ при нескольких к ф 0, как
это показано на рис. 3.2. Это перекрытие высокочастотными компонентами
низкочастотного интервала называется наложением. При наложении интер­
полированный сигнал
I (В » p's
+оо
Һт * fd{t) =
f ( nT) һт (і - пТ)
имеет преобразование Фурье
+0°
I
f d{w) һт{ш) — T f d(w) 1[-W/T,7r/T](^) = lj-tr/r,jr/T)(w) УЗ / ( w
1k=—oo
КЁ
2ктт
I
i
«
(з-11)
которое может полностью отличаться от щш| на отрезке [~тг/Т,п/Т]. Сигнал
Ш * /d может не быть даже хорошей аппроксимацией / , как это показано
на рис. 3.2.
(г)
Рис. 3.1. (а) Сигнал / и его преобразование Фурье / . (б) Равномерная выбор­
ка / делает ее преобразование Фурье периодическим, (в) Идеальный низко­
частотный фильтр, (г) Фильтрация (б) с помощью (в) восстанавливает / .
Глава 3. Дискретная революция
66
П р и м е р 3.1. Рассмотрим высокочастотную осцилляцию
giwot
f(t) = cos(u;ot)
g—
iuJot
2
Ее преобразование Фурье есть
/и
LJq) + 8(и +
7Г
(а)
л! 1
(б)
т
1
Л
ҺЫ
(в)
it
т
к
ш
t
(О
t
Т
Л
А
fd(ci) ^(Ш)
(г)
2L
т
71
т
A;
Р и с. 3.2. (а) Сигнал / и его преобразование Фурье / . (б) Наложение, произ­
веденное перекрытием f ( u —Щг-) при различных к, изображенных пунктир­
ными линиями, (в) Идеальный низкочастотный фильтр, (г) Фильтрация (б) с
помощью (в) создает низкочастотный сигнал, который отличается от / .
Если 2тт/Т > wq > ж/Т , то (3.11) дает
А
Л
Я Ш Л гМ
-f оо
5 ( о; —сс^о
| 1[—7Г/Т,іг/Т] 0*0
fc=—оо
2?г
7Г i
CJ
-гг— Ь
т
2тг
) "Ь О\Ш "4" ‘ТгГ — Сс^о
т
2/С7Г
ййя
4-1
+ wo
2/с7Г
■
3.1. Выборка аналоговых сигналов
67
откуда
fd * һт(і) = cos
2тг
Т
Наложение смещает высокую частоту uq на низкую частоту 2тт/Т — uq €
Ь Ш
Такое же перекрытие частот наблюдается в фильмах, когда выби­
рается быстродвижущийся объект без достаточного количества изображений
в секунду. Быстровращающееся колесо кажется в фильме вращающимся го­
раздо медленнее.
сигнал
сигналом
ет носитель в [—7г/Т, тг/Т]
- о
1 Г+°° Л
^
111 - / I I
ш Ш Ш іІ
l/( w) ~
27Г1 -
fe
du
оо
1
1
ш ш /|a;|>7r/T
Ш
I
і
/
и
/
и
і
2
^
27Г У|и/|<7г/Т
Эта норма минимальна, когда второй интеграл равен нулю и, следовательно,
^
1 А
ІШ 1 = / М 1[-тг/Т,7г/Г] (^ ) = у Һт{ш) f( u ) .
(3.12)
Это соответствует / = ~ /
удалением частот, больших п/T . Так как /
[-7Г/Г, тг/Г]
аналог
ля состоит из фильтра, который ограничивает частотный диапазон отрезком
b~n/T,ir/T\t и последующей равномерной выборки с шагом Т.
3.1.3
Обобщенные теоремы выборки
сигнала
его значениям, но другие достаточные условия могут быть установлены для
различных интерполяционных схем [335]. Чтобы объяснить эту новую точку
зрения, теорема выборки Уиттекера интерпретируется в более абстрактном
виде, как разложение сигнала по ортогональному базису.
У тверж ден и е 3.2. Если j j j g 1 = sin (n t/T )/(n t/T ), mo {hT {t - nT)}n€Z обра­
зует ортогональный базис пространства U r функций, преобразования Фурье
которых имеют носитель, содержащийся в [—7г/Г, 7г/Г]. Если f € U r то
f ( n T ) = ^ (/(£), hT (t - п Т )).
(з.із)
Глава 3. Дискретная революция
68
Д ^ а ш е л ь с ш , ^ . Так как Ат = П | - . /г,./т |. ™ ш формулы Шрсевал. (2.25)
следует, что
{hT{ t - n T ) , h r ( t - p T > )
=
^ /
іЯ ^ Й ^ ^
ZL- j
•О
^
Г21 [ - , / т . , л і И < * р Н (" - РW
*3^^ - - * - і
р)Twj Л»/ ш. Т $[п - р } .
' ’Vy ^ g v >г^Ггрр-
ехр{—*(» —
^
.'Ч'/'-' .. ^J!£" щ ф -"'. .~-
у.‘ _
Поэтому семейство (Ы * - пГ)}ж€х ортош аіьно. Ясво, что М * - « ■ C U r
И (3,7) показывает, что любая / € U r -ожег быть представлена как линейна»
комбинат» {М * - пТ)}ш& Следов*гелыю , это семейство - базис в U r.
Уравнение (3 13) также док дымстсд с помощью формулы П арсеш і
I #чНК.
л
{/(*), М * - nT)> - — /
/ И М ш) ехр(тГw) dw.
Тал
яосмтель / содержится » !-я 7 7 \ тс/Т] и « т
/ t .^Т |»
</(е>, /iT(t - пГ)) * — /
/(w) exp(mTu/}cJw * Т ДпТ).
J-*fT ' i r M H f f
ШВ
7
Утверждение 3.2 показьшет, что иитериоляционнам формула (3.7) может быть
интерпретировав* как разложен i*e / € U r по ортогональному базису йр#
странсгна U t
Если / ^ U r , это означает, что / имеет носитель, не «ущ>жащиЙед в
[—1т/Т, тг/Т], и удалять наложение можно, вычисляя функцию / € Ur> которая
минимизирует I / —/ | . Из утверждения А.2 следует, что / —это ортогональна»
Теорема выборки Уиттекера допускает обобщение, если определить другие
пространства U r такие, что любая / € U r может быть восстановлен а интер­
поляцией ее выборок {/(пГ)}„€2. Сигнал / f U r аппроксимируется его орто­
гональной проекцией / = Лог / на U r, которая характеризуется равномерной
выборкой {J(**T))ntZ’
Б л о ч н ы й ком м утатор. Блочный коммутатор аппроксимирует сигналы ку­
сочно-постоянными функциями. Пространство аппроксимации U r — это мно­
жество всех функций, которые постоянны на интервалах [пТ, (п 4- 1)Т) для
любого n € Ъ. Пусть /tr — 1{ог>* Ясно, что семейство {Лт(4 —п Т ) ) п^г ~~ СФФ*
гональный базис пространства U r- Любая / € U r может быть записана как
+00
/(«)=* > _ /(« Г ) hT(t - пТ)
-Ю
3-2. Дискретные ннв&ри&нтные во времени фильтры
(А.17) показывает, что ее ортогональная
ортогональному
U r- Так как ||/іг(£ —п Т ) ||2 = Т, то
^
U r,
69
то
|
+оо
Рат№ = у
(f{u ),h T ( u - n T ) ) h T ( t - n T ) .
(3.15)
п = —оо
Пусть hr{t) = һті—t), тогда
л (п + 1 )Т
( f ( u ) ,h T (u — n T ) ) = I
\
JnT
_
f (t) dt = f * һт (п Т ).
Щ
9 jf
6М Н Н Н П Н
В
Это усреднение / по интервалам размера Т эквивалентно удалению наложе­
ния, применяемого для теоремы выборки Уиттекера.
П ространство ап п р о кси м ац и и . Пространство U y может быть выбрано та­
ким, что P\jTf дает хорошее приближение / для заданного класса сигналов.
Интерполяция Уиттекера аппроксимирует сигналы, сужая их преобразования
интервала
сигналов
низких частот. Это также хорошо приспособлено для записи звука, который
хорошо приближается низкочастотными гармониками.
Для разрывных сигналов, таких как изображения, низкочастотное сужение
порождает колебания Гиббса, изученные в п. 2.3.3. Визуальное качество изоб­
ражения ухудшается от этих колебаний, которые имеют бесконечную полную
вариацию. Кусочно-постоянная аппроксимация имеет то преимущество, что
она не создает ложных колебаний, и можно доказать, что проекция на U y
уменьшает полную вариацию: \\PuTf \ \ v 1 \\f\\v- В области, где 1 — глад­
кая функция, кусочно-постоянная аппроксимация P\jTf может быть, одна­
ко, значительно улучшена. Более точные аппроксимации получаются для про­
странств U т полиномиальных сплайнов высокого порядка. Эти аппроксима­
ции могут вносить малые колебания Гиббса, и эти колебания имеют конечную
полную вариацию. В п. 7.6.1 изучается построение интерполяционных базисов,
используемых для восстановления сигналов по их выборкам в тех случаях, ко­
гда сигналы принадлежат пространствам полиномиальных сплайнов и другим
пространствам U y.
3.2
3.2.1
Дискретные инвариантные во времени
1
фильтры
И м пульсны й отклик и передаточная ф ун кц и я
сигналов
инвариантных во времени линейных операторах [55, 58]. Инвариантность во
времени ограничивается сдвигами по узлам решетки. Д ля простоты обозначе­
ния шаг выборки нормализуется Т = 1, и выбранные значения обозначаются
/[п]. Линейный дискретный оператор L инвариантен во времени, если при
Глава 3. Дискретная революция
70
р] он также дает на
сигнале
задержкой
L fJ n ] = L f[n —р\.
И м п ульсн ы й откли к. Обозначим через <5[л] дискретную дельта-функцию
Дирака
1 при п = О,
О
Ф
В
сигнал
функций Дирака
(3.16)
+оо
Е
/М
р}-
р= —оо
дискретный
импульсный
отклик.
Линейность
и
инвариПусть L5[n] = h[n\
антность во времени означают, что
4 -0 0
(3.17)
f\p]h[n - р ] = / *h[n].
Ь/М
р = —оо
Поэтому линейный инвариантный во времени оператор вычисляется с помо­
щью дискретной свертки. Если h[n\ имеет конечный носитель, то сумма (3.17)
вычисляется с помощью конечного числа операций. Это называется филь­
трами с Конечным Импульсным Откликом (КИО-фильтрами)..Свертки для
фильтров с бесконечными импульсными откликами также могут быть вычис­
лены за конечное число операций, если эти свертки можно записать с помощью
рекурсивного уравнения (3.29).
П ри чи н н ость и устойчивость. Дискретный фильтр L называется причин-
шы
О, если п < 0.
сигнал / [
следует
сигнал
4 -0 0
\Lf[n\\ < sup|/[n]|
n€1
ИИ
fc= —оо
4-00
|
/г
[гг]
|
<
+оо,
это
означает,
что
—^ f—*---- —----г1
#
<■—*V
W • * ** '
h € il(Z): Можно показать, что это достаточное условие также и необходимое.
Поэтому импульсный отклик Һ устойчив, еслң h € ^ (Z ).
<
ТТапр .п я т о ч н а я сЬ ү н к п и я . Поеобошбваййе Фурье играет фундаментальную.
анализе
дискретные синусоидальные волны еш[п] = elum являются их собственными
векторами:
г
.-Л.
»
-
I
*
■=*
‘
***
L
a
^
1Л» 9
4-оо
Ьеш[п]
4 -0 0
ш
Р = —ОО
—г&р
гит
ШтШ
р = —оо
(3.18)
3.2. Дискретные инвариантные во времени фильтры
71
Собственные значения — это ряды Фурье
4-оо
*(«)'=» V
h\p] e~iu)p.
(3.19)
р = —ОО
Это — передаточная функция фильтра.
П рим ер 3.2. Равномерное дискретное усреднение
ІІКІс Н
p=n—N
— инвариантный во времени дискретный фильтр, импульсный отклик которо­
го Һ т (2N + 1)“ lf —Tv.A/']• Его передаточная функция — это
+N
һ(ш) =
1
^
2 N 4-1 n—
i ||g
|
—N
3.2.2
1 sin(iV + l/2)w
2iV + l
sinw/2
'
(3.20)
Р я д ы Ф урье
Свойства ряда Фурье в основном те же, что и свойства преобразования Фурье,
так как ряд Фурье — это частный случай преобразования Фурье для суммы
№1
„ | | ■ - is ТОIВ I
27
ЩВ /Н е-“"
Для любого п Е Z, е~~гшп имеет период г, так что ряд Фурье тоже имеет
период 2тг. Важный вопрос — это понять, все ли функции с периодом 27г могут
быть записаны в виде ряда Фурье. Такие функции характеризуются их суже­
нием на отрезок [—7г,7г]. Поэтому мы рассматриваем функции a Е L 2[—7г, 7г],
которые интегрируемы с квадратом на [-7г,7г]. Пространство L2[—7г, 7г] — это
гильбертово пространство со скалярным произведением
(а,Ь) = — у
а(и) Ь*(ш) du>
(3.21)
и результирующем нормой
а
1
2тг
7Г
a(w)|2 dui.
В следующей теореме доказывается, что любая функция из L2[—7Г, 7г] может
быть записана в виде ряда Фурье.
Т еорем а 3.2. Семейство функций {e~tku}kez — ортогональный базис в про­
странстве L 2[—7Г,7г].
Доказательство . Ортогональность с учетом скалярного произведения (3.21)
устанавливается прямым интегрированием. Для доказательства того, что
{ехр(-iku)}kez является базисом, мы должны доказать, что линейные комби­
нации этих векторов плотны в L [—тг, 7г].
Глава 3. Дискретная революция
Сначала докажем, что любая непрерывно дифференцируемая функция ф
с носителем, содержащимся в [—яүтг], удовлетворяет равенству
+оо
(3.22)
к=—оо
в смысле поточечной сходимости при любом Ш I [—7Г, тг]. Вычислим частичную
сумму
SNи
N
У Ш ),ехр(-*К )> ехр(-*М
fc=-JV
|
Щ
'‘'■''/Я
— І Й ® exp(ifc£) р ехр(—г/сш)
щ 2?г
І
[
ф(0 У ] exp[ifc(£-w)]d£.
Из формулы Пуассона (2.37) следует равенство обобщенных функций
N
lim
+ оо
V ' ехр[г&(£ - а;)] = 27г V ] <5(£ —а; —2тг&),
iV—
*+оо k = - N
fc—- оо
«
и так как носитель ф содержится в [—тг, тг], мы имеем
lim S n (uj) = ф(ш)>
;-:Л iMЦ
N—
»+оо
.
|
Так как ф непрерывно дифференцируема, то следуя этапам (2.38 2.40) при
доказательстве формулы Пуассона, мы получаем, что S n (u>) сходится равно­
мерно к ф(и>) на [—7г,тг].
'
Г'* ЛШЯЯЙ
Чтобы доказать, что лиЬейные комбинации синусоидальных волн
{ехр(—iku)}kez плотны в 1*2[—тг,тг], проверим, что расстояние между
комбинацией
Непрерывно дифференцируемые функции с носителями, содержащими­
ся в [—7г, 7г], плотны в L [—тг, 7г], следовательно, существует ф такая, что
||а — ф\\ < е/2. Из равномерной сходимости следует, что существует N y для
которого
sup
|Sjv(w)
w € [ - тг,7 г)
—
ф(ш)\ <
I
^
_ /.J
это означает, что
|Sjv- ф\\2 =i
J
|5w{ш) - ф(ш)|2dw < —
Поэтому а аппроксимируется частной суммой Фурье S n с погрешностью
IIaI
sNir<12 -
0|| + ||^ -5W||
б.
3.2. Дискретные инвариантные во времени фильтры
73
8 12(Z), то ряд Фурье
В теореме 3.2 доказывается, что если /
-foo
/И
f[n\e
—гшп
(3.23)
п = —ОО
может быть интерпретирован как разложение / € L2[—7г, 7г] по ортонормированному базису. Коэффициенты ряда Фурье могут быть записаны с помощью
скалярных произведений
1
—гит
)
/Н
7Г
/Н е
27Г
гштъdu.
(3.24)
— 7Г
Закон сохранения энергии для ортонормироваңных базисов (А. 10) приводит к
равенству Планшереля:
-foo
/
I/N
7Г
1
Л
|/(w )|2 dw.
27Г
п = —оо
(3.25)
— 7Г
С ходимость в т о ч к ах . Равенство (3 .2 3 ) понимается в смысле среднеквад­
ратичной сходимости
N
—iuk
lim
/
и
7V—>4-00
о.
k=—N
Это не означает сходимости ряда во всех точках Ц 1 R. В 1873 году ДюбуаРэймонд построил непрерывную периодическую функцию f(ui), ряд Фурье которой расходится в некоторых точках. С другой стороны, если /(о») непрерыв­
но дифференцируема, то доказательство теоремы 3.2 показывает, что ее ряд
Фурье сходится равномерно к f(u>) на [—7Г,7г]. Только в 1966 году
7г,7г], то ее ряд Фурье сходится почти
/
всюду. Доказательство этого утверждения, однако, чрезвычайно сложно.
С вертки. Так как {е~гшк}ке% — собственные векторы операторов дискретной
свертки, то мы имеем дискретную теорему свертки.
Теорем а 3.3. Если / G 1J (Z) и h € I1(Z), mo д = / * Һ € 1*(Z) и
д(и;) - f(u)h(uj).
(3.26)
Доказательство идентично доказательству теоремы 2.2 свертки, если мы
интегралы дискретными суммами. Формула восстановления (3.24) посигнал
f*h[n\
1
27Г
7Г
гот
h(u>)f(u)) е
с/и;.
А
А
(3.27)
7Г
Передаточная
функция
Л(а»)
усиливает
или
ослабляет
частотные
компоненты
я|
/(и>) сигнала /[п].
Глава 3. Дискретная революция
74
п р и м е р U.U. Идеалі
----"I---------- *
, »
периодическую передаточную функцию һ(и) —
^
О
7Г. Импульсный отклик вычисляется по формуле (3.24):
<I <
11
Ш-1
г* • .
sin £п
fVjgggH
I
^
||Я |
/0 ооЧ
1 / Ш :Й « •
(3 28)
Это _ равномерная выборка идеального аналогового низкочастотного
фильтра (2.29).
L /, который явля­
сигнал
ется решением рекурсивного уравнения
к
к
=
М
ak f[n —/с] = ^ bk д[п — /с],
о
к
=
.
0
где Ь0 | 0. Если р[п] = 0 и /[п] = 0 при п < 0, то д имеет линейную инвариант­
ную во времени зависимость от / и может быть записана как д = /*Л . Переда­
точная функция получается в результате вычисления преобразования Фурье
от (3.29). Преобразование Фурье fk[n] — f \ n — fc] — это /fc(w) = f{uj) e % ,
поэтому
h(u})
/ (Ш
М
L
.
S
i
о^е
—
i
k
u
j
Это рациональная функция от е” гы. Если 6^ ф 0 для некоторого к > 0, то мож­
но убедиться, что импульсный отклик Һ имеет бесконечный носитель. Устой­
чивость таких фильтров изучается в задаче 3.8. Прямое вычисление суммы в
свертке д[п] = / * h[n\ .требует бесконечного числа операций, тогда как (3.29)
вычисляет q\n] с помощью К + М сложений и умножений по его предыдущим
значениям.
У м н ож ен и е н а окно. Фильтр с бесконечным импульсным откликом Һ (3.28)
может быть аппроксимирован фильтром с конечным откликом Һ умножением
Һ на окно д с конечным носителем:
1г[п) = д[п] h[n].
Можно убедиться, что умножение во временной области эквивалентно свертке
в частотной области:
/• *НЩшШЖ
в
К ш) = 7 ^
J
Щ ) д{и -£)<% = “ Л * д(ш).
(3.30)
Ясно, что Һ = Һ только если д = 2тг5; это означает, что д имеет бесконечный
носитель и д[п] = 1. Аппроксимация Һ близка к Л, только если д аппроксими­
рует дельта-функцию Дирака; это значит, что вся энергия д сконцентрирована
на низких частотах. Поэтому д должно гладко изменяться во времени.
3.3. Конечные сигналы
75
Прямоугольное окно д —
имеет преобразование Фурье д, вычисленз соковые максимумы модуля далеко
и = 0. Результирующая Һ дает плохую аппроксимацию Һ. Окно Хэннинга
Я I COs2( ^ )
if-N.WlW
более гладкое, и поэтому имеет преобразование Фурье, лучше сконцентриро­
ванное на низких частотах. Спектральные свойства других окон изучаются в
п. 4.2.2.
3.3
Конечные сигналы1
Выше мы рассматривали дискретные сигналы /[п], определенные для всех
п i Ж. На практике f[n\ известны в конечной области, например, 0 < п < N .
Поэтому должны быть изменены свертки, для того чтобы принять в расчет
граничные свойства при n = 0 n n = N — 1. При вычислении преобразование
Фурье также должно быть переопределено для конечной последовательности
значений сигнала. Объясняется алгоритм быстрого преобразования Фурье так
же, как и его применение для быстрой свертки.
3.3.1
Циклические свертки
Пусть / и Һ — сигналы из N выборок. Чтобы вычислить произведение в
свертке
Ч-°°
/★ /і[ п ] = V"' f\p]h[n —р] для 0 < n < N ,
'>
р = —ОО
мы должны знать f[n] и h[ п] вне области 0 < п < N . Один из подходов состоит
в продолжении / и Һ периодически с периодом N и определении
*
т*
f[n] = f[n modiV], h[n] = i p mod N].
Циклическая свертка двух таких сигналов, каждый с периодом 7V, определя­
ется как сумма по их периоду:
Ш
’
N- 1
/ © һ [п\ =
♦
t
7V-1
/ и Һ\п ” р] = 5 1 /
р=0
~ р \ һ \р \-
р=0
Это также сигнал с периодом N.
Собственные векторы оператора циклической свертки
Lf[n] = f ® h [ n
— это дискретные комплексные экспоненты е*[п] = exp (i2irkn/N). Действи­
тельно,
, .
I i2irkn\
ч,г,
/ —i2irkp
Lek [n] g exp ( —— J Щ h\p] exp | — — , ,
p=0
Глава 3. Дискретная революция
76
и собственное значение есть дискретное преобразование Фурье от Һ:
1 I ЯШI
( —г2ккр
р=0
3.3.2
Д искретное преобразование Ф урье
это
евклидово
пространство
размер­
сигналов
ности ЛГ, и скалярное произведение двух таких сигналов / и д есть
N -1
(Л д) = 5Z /И 2 * М -
(3-31)
п= 0
Следующая теорема показывает, что любой сигнал с периодом N может быть
представлен в виде суммы дискретных синусоидальных волн.
Т еорем а 3.4. Семейство
______ Ji2itkw
есть ортогональный базис пространства сигналов с периодом N .
ортогональное
ортогональный
ортогональны
скалярного произведения (o.dl). Люоои сигнал j с периодом iv может оыть
разложен по этому базису:
n - i , ,
"■ --ій й И
'
І
&
Щ
*
По определению дискретное преобразование Фурье (ДПФ) / есть
/[&] = </, ек) = X ; / N ехР (
)•
Я
(3‘33)
Так как ||е*||2 = N , (3.32) дает формулу обратного дискретного преобразова­
ния Фурье:
/N = ^ £
/[*] ехр Гг- ~ ^ ) .
(3.34)
Ортогональность базиса приводит также к формуле Планшереля
|1 = £ Я 1 1 В i/wi2.
В
п=о
/с=о
:.’
Дискретное преобразование сигнала Фурье / с периодом N вычисляется по
его значениям при 0 < п < N. Тогда почему важно рассматривать периодиче­
ский сигнал с периодом N вместо конечного сигнала по N отсчетам? Ответ ле­
жит в интерпретации коэффициентов Фурье. Дискретная сумма Фурье (3.34)
3.3. Конечные сигналы
77
Ж
определяет сигнал с периодом 2V, у которого значения /[0] и f [ N —1] лежат
рядом. Если /[0] и f [ N — 1] сильно отличаются друг от друга, то это приво­
дит к резкому скачку в периодическом сигнале и в результате — относительно
большим амплитудам коэффициентов Фурье для высоких частот. Например,
рис. 3.3 показывает, что «гладкий» склон f[n] = п при 0 < п < N имеет резкий
скачок около п = 0 и п = N при переходе к периодическому сигналу.
-1
0
1
N-l N
Рис. 3.3. Сигнал f[n] = п при 0 < п < N сделан периодическим с периодом N .
Ц и кл и ч ески е св ер тк и . Так как {exp (i2nkn/N )}0<k<N — собственные век­
торы циклических сверток, то мы выводим теорему свертки.
Т еорем а 3.5. Если f и Һ имеют период N , то дискретное преобразование
Фурье сигнала g = / © Һ есть
К !
g[k] =f[k]h[k\.
(3.36)
Доказательство аналогично доказательству двух предыдущих теорем
свертки 2.2 и 3.3. Эта теорема показывает,что циклическая свертка может быть
интерпретирована как дискретно-частотная фильтрация. Она также открыва­
ет дверь быстрым вычислениям сверток с использованием быстрого преобра­
зования Фурье.
3.3.3
Б ы строе преобразование Ф урье
Для сигнала f по N узлам прямое вычисление дискретных сумм Фурье
/[*) = X ) / И ехР (
l2* kn- ) при
0<k< N
(3.37)
требует N 2 комплексных умножений и сложений. Алгоритм быстрого пре­
образования Фурье (FFT) уменьшает численную сложность до величины
0 ( N log2 N ) путем реорганизации вычислений.
Когда частотный индекс четный, мы объединяем значения для п и n + N /2 :
2
N/2~1
' i2nkn
f[2k] I > 5 ( f[n] -»- f[n + N /2 ] ) exp ( - ■
).
(3.38)
n=0
Когда частотный индекс нечетный, такое объединение принимает вид
■ н і
' і2тгп \ I ........................ / —і2ігкп
f[2k + 1] = > exp - - - - - /[гг] - f[n + N/2) exp - ■■■■;
N
/2
71=0
п
, .
(3.39)
Глава 3. Дискретная революция
78
Уравнение (3.38) показывает, что четные частоты получаются в результате
дискретного
преобразования
Фурье
сигнала
с
периодом
N
/2:
вычисления
Ш
= /[гг] +
/[гг + N/ 2] .
/ ||||И
Нечетные частоты получаются из (3.39) также вычислением преобразования
Фурье сигнала с периодом N/2:
'рЩН
f a[n) S exp j
Х2*-~ I ( / И I И I
Дискретное преобразование Фурье размера N может быть таким образом выN/2
операций.
Обратное быстрое преобразование Фурье от / получается из прямого быст­
рого преобразования Фурье его комплексно-сопряженного /* , учитывая, что
ЩйI І В
l i t ехр( я - )'
k=Q
^
__ г
(3-40)
ж ш м ш и
С лож н ость. Пусть C(N) — число элементарных операций, необходимых для
вычисления дискретного преобразования Фурье с помощью алгоритма FFT.
/ е и f 0 требуют N комТак как /
н
K N — число элементарных операций. Мы имеем
C(N) = 2 С(Аг/2) + Я" Щ
(3.41)
Так как преобразование Фурье по одной точке есть просто значение функции,
то С( 1) = 0. Делая замену переменной I == log2 N и переходя к функции Т(1) =
рр -у мы получаем из (3.41), что
1 | | = т(і - і )
+ к.
Так как Т (0) = 0, то Т(1) = К I и, следовательно,
C(N) = K N log2(JV).
\
ІЯ І
,
Существует несколько вариантов этого быстрого алгоритма [177, 51]. Цель
— минимизация константы К . На настоящее время наиболее быстрым дискрет­
ным преобразованием Фурье является расщепляющий алгоритм (split-radix)
FFT, который гораздо более сложный, чем приведенная выше процедура, но
который требует только N log2 N вещественных умножений и 3N log2 N сло­
жений. Если входной сигнал / вещественный, то требуется вычислить только
половину параметров, так как / [ —fc] = /*[&]. Поэтому число умножений и сло­
жений уменьшается вдвое.
3.3. Конечные сигналы
3.3.4
79
Б ы стры е свертки
Небольшая вычислительная сложность быстрого преобразования Фурье дела­
ет его эффективным для вычисления конечных дискретных сверток, исполь­
зующих дискретную свертку теоремы 3.5. Пусть / и Һ — два сигнала, значения
которых отличны от нуля только при 0 < п < М . Причинный сигнал
я
'
■
4 -0 0
д[п] = f * h[n] =
}
f[k] h[n - fcl
/с=—oo
(3.42)
отличен от нуля только при 0 < п < 2М. Если Һ и / имеют М ненулевых
значений, то вычисление свертки с помощью суммы (3.42) требует М { М + 1)
умножений и сложений. При М > 32 число арифметических действий умень­
шается, если использовать быстрое преобразование Фурье [11, 51].
Чтобы использовать быстрое преобразование Фурье и теорему 3.5 о цик­
лической свертке для вычисления нециклической свертки (3.42), она должна
быть записана как циклическая свертка. Для этого мы определяем два сигнала
с периодом 2М:
при 0 < п < М,
т
]
а[п]
(3.43)
при М < п < 2М,
0
Ь\п)
h[n]
0
при 0 < п < М,
при М < п < 2М.
(3.44)
Пусть с = а®6, можно убедиться, что с[п\ = д[п] при 0 < п <Л 2М . Таким образом, 2М ненулевых значений д получаются вычислением а и б п о а и б и вычис­
лением обратного дискретного преобразования Фурье от с = I Ь. С помощью
алгоритма быстрого преобразования Фурье это требует всего 0 ( М log2 М ) сло­
жений и умножений вместо М ( М + 1). Одно FFT или обратное FFT веще­
ственного сигнала размера N вычисляется за 2-1 iV log2 N умножений с по­
мощью расщепляющего алгоритма. Поэтому FFT свертка выполняется всего
за 3M log2 M + И М вещественных умножений. При М > 32 алгоритм FFT
быстрее, чем прямой подход к вычислению свертки. При М < 16 быстрее ис­
пользовать прямое вычисление свертки.
Ш
Б ы стр ы е св е р тк и со слож ен и ем п о кр ы ти й . Свертка сигнала / из L
ненулевых значений с меньшим причинным сигналом Һ из М значений вы­
числяется с помощью процедуры сложения покрытий, которая быстрее, чем
предыдущий алгоритм. Сигнал / представляется в виде суммы L / М блоков
/ г, имеющих М ненулевых значений:
ИВ
L /M -1
У2 М п - г М ] ,
г=0
где f r [n\ = f[n + rM] 1(0,лг- ijN -
(3.45)
Для каждого 0 < г < L / M 2М ненулевых значений дг = / г ★Һ вычисляются
с помощью основанного на FFT алгоритма свертки, что требует 0 ( М log2 М )
Глава 3. Дискретная революция
80
операций. Поэтому все L / M сверток получаются за 0 ( L log2 Af) операций. Раз­
ложение на блоки (3.45) означает, что
L /M -1
’
:
/ * h[n] — ^
дг [п —г М J.
Г=О
(3.46)
Л
Сложение этих L / M сдвинутых сигналов размера 2Л/ осуществляется за 2Х
сложений. Итак, полная свертка выполняется за 0(L lo g 2 М ) операций.
3.4
Дискретная обработка изображений1
Двумерная обработка сигналов ставит много специфических геометрических и
топологических проблем, которые не существуют в одномерном случае [23, 34].
Например, такое простое понятие, как причинность, не определено достаточно
хорошо в двух измерениях. Мы избегаем сложности, вносимой вторым измере­
нием, распространяя одномерные алгоритмы с помощью сепарабельного под­
хода. Это не только упрощает математическую сторону задачи, но и ведет к
более быстрым численным алгоритмам вдоль строк и столбцов изображений.
Приложение А.5 дает обзор свойств тензорных произведений при сепарабель­
ных вычислениях.
В
3.4.1
Д вум ерная теорема выборки
йДМ
Световая интенсивность, измеряемая камерой, дается, в основном, в виде зна­
чений прямоугольных массивов элементов картины, называемых пикселями.
Одномерная теорема выборки распространяется на такой двумерный массив
значений. Также возможны и другие двумерные решетки выбранных значе­
ний, такие, например, как гексогональные решетки, но непрямоугольные мас­
сивы выборок почти никогда не употребляются. Мы опускаем их изучение,
следуя нашему основному принципу последовательного применения одномер­
ных методов.
t
Пусть Т\ и Т2 — шаги выборки вдоль осей xi и х% для бесконечной прямо­
угольной решетки значений. Дискретное изображение, полученное выборкой
значений f ( x 1 , 2:2 )» может быть представлено как сумма дельта-функций Ди­
рака, локализованных в узлах решетки:
ІІ
fd{x 1, 2:2) =
ІЬ ч Т і.щ Т о ) 5(х\ —п\Т\)5(х2 ““
ПьП^кОО
Двумерное преобразование Фурье
6(х 1 - п\Т\)8{хі - п3Т2) есть
|!
exp[-i(niT ia;1 + п2Г2ид2) |
^
.
3.4. Дискретная обработка изображений
81
Поэтому преобразование Фурье /<* — это двумерный ряд Фурье
-foo
ЩЩь и ) —
2s
f ( n 1T i , n 2T2) exp[-i(niTiW i i n 2T2u)2 )].
(3.47)
711 ,П2 = —OO
Оно имеет период 2тг/Ті вдоль оси cji и период 2тг/Т2 вдоль а>2 . Обобще­
ние утверждения 3.1 связывает
с двумерным преобразованием Фурье /
функции / .
' .
У тверж ден и е 3.3. Преобразование Фурье дискретного изображения , полу­
ченного выборкой значений / с шагами Т\ и Щ§ вдоль осей х \ и х 2, есть
Т і Т 2 Л1.«2
. ^ = —ООч
21 , z
г5
Мы получаем следующую
теореме 3.1.
/
(3.48)
аналогичную
имеет носитель, содержащийся в [-тг/Т !, тг/Ti]
/Т 2, тг/Г2]
-foo
f { x i , x 2) =
>
f {п \Т \,п 2Т2) һті(х\ —піГ і) һтЛх2 — п^Т2),
(3.49)
П і ,П2 = —ОО
г<?е
sin(7rt/T)
М «) = —
Trt/ Г
,
.
(3. 50)
Ar
Н алож ен ие. Если носитель / н
нике -7Г/ТЬ 7Г/Гі] х [-7 г/Г 2) 7г/Г 2]
наложения. Это наложение
іей / с помощью идеального низкочастотного сепарабельного филь
) Һт 2(х 2)/(Т і Т2), преобразование Фурье которого есть характери
функция прямоугольника [—7Г/Ті, 7Г/ТІ] 1 [—7г/Т2, 7Г/Т2].
3.4.2
Д и скр етн ая ф ильтрация изображ ения
■
Свойства двумерных инвариантных в пространстве операторов в основном те
же самые, что и в одномерном случае. Пронормируем шаги Т\ и Т2 на 1. Зна­
чение пикселя в точке (711, 712) запишется как / [ 711, 712]. Линейный оператор L
инвариантен в пространстве, если для любого / Р1,Р2 [ ж п2] = /[тіі —р і , п 2 —р2\,
где {pi,p2) I Z2, справедливо равенство
L fp i,Рз(п ь п 2 І = L f[n\ - р и п 2 - р 2\.
И м пульсны й о т к л и к . Так как изображение может быть представлено как
сумма дискретных дельта-функций Дирака:
•foo
/[п і,т г2] =
Щ
PbP2=~00
f \ p i , P 2 ] S[ n1 - p i ] S [ n 2 - p 2 ],
Глава 3. Дискретная эволюция
82
Лность
и
инвариантность
в
пространстве
приводят
к
равенству
то лине
Ь /[ п ь п 2] =
У]
/Ь і.Р з] % i - Р ь я » - Р а ] = / * М п ь па)»
(3-51)
Р 1 ,Р З * -0 0
где /i[ni,n2] — отклик на импульс <5о,о(РьР2І = Ф і1 5ІР2І
/ilni, n2] = і<5о,о[п ь П2І*
Если импульсный отклик сепарабелен:
МПЬ П2І = ^і(пі]^2Іп2І»
(3.52)
то двумерная свертка (3.51) вычисляется как одномерная свертка по столбцам
последующей одномерной сверткой по строкам (или наоборот):
/* /і[тіі,П 2] =
Лі [Пі —pi] £
M n 2 - Р2І /ІР ь Р г]pi 9 —00
Рз=з—OO
' (3.53)
.
' ■
Факторизация уменьшает количество операций. Например, скользящее сред­
нее по квадрату из (2М + I)2 пикселей:
g -;
j
т та
t/(m ,ъ ) « ш
М М
:
£
£
/1 " 1 -Р ь " г -л 1
Pi= —Л/рз=—Л/
(З.И)
есть сепарабельная свертка с һ\ = Һ2 = (2М +1)” Ij—a/.a/]- Прямое вычисление
по формуле (3.54) требует (2М 4- I)2 сложений на пиксель, в то время как
факторизация (3.53) выполняет это вычисление за 2(2Л/ + 1) сложений на
точку.
П ер ед ато ч н ая ф у н кц и я. Преобразование Фурье дискретного изображения
/ определяется рядом Фурье
/(w 1 ,ы2) =
+оо
-foe
f§
Щ
■ ./ЗЯ
/[n i,n 2] ехр[-г(и»1 Т»1 +u^n2)].
(3.55)
П і = —DO П з = —ОО
Из двумерного обобщения теоремы 3.3 о свертке следует, что если д = L f
f *h, то ее преобразование Фурье есть
ШЯ
д(и , ы 2) = f { u i , u 2) һШ,иМ),
л
•
*-V.4?
.
и Һ — передаточная функция фильтра. Когда фильтр сепарабелен: /i[ni,n2]
һі[пі) Щ[п2], то его передаточная функция сепарабельна:
йр
h(u\)UJ2) = ^ і(^ і) /і*2(^2)-*
(3.56)
3.4. Дискретная обработка изображений
3.4.3
83
Ц иклические свертки и базис Ф урье
Дискретная свертка конечного изображения / ставит вопрос о граничных
условиях. Так же, как и в одномерном случае, эти граничные проблемы реша­
ются продолжением изображения, делающим его периодическим по строкам и
по столбцам:
~
f[ n 1 >щ] = /[ щ modiV, ri2 mod TV].
В результате изображение /[n i, Щш определено для всех (ni,
€ Z2, и каждая
из его сторон и столбцов есть одномерный сигнал с периодом N.
Дискретная свертка заменяется циклической сверткой по периоду изобра­
жения. Если / и Һ имеют период N по их строкам и столбцам, то
lif e
N- 1
"
f ® h [ n i , n 2] =
2 ^ / Ь ь Р 2І Мпі - р і , п 2 - р 2].
PhP2=0
(3.57)
Д и скретное п р ео б р азо ван и е Ф урье. Собственные векторы циклической
свертки — это двумерные дискретные синусоидальные волны:
ек,,к2К , П 2]
ВехР (
+ k2n 2) ) .
Семейство JV2 дискретных векторов есть сепарабельное произведение двух од­
номерных дискретных базисов Фурье {exp (i2irkn/N)}0<k<N. Поэтому из тео­
ремы А.З следует, что семейство
= ехр( г-г~(к\Пі +
Ц
' J 0 < k ! , k 2<N
образует ортогональный базис пространства изображений периода N по стро­
кам и столбцам. Любое дискретное периодическое изображение / может быть
разложено по этому базису:
,
N -1
f [ n i , n 2] I Н
|
f[ki, к2] exp I -j^-(kiTii + к2п 2) } ,
(3.58)
ш
где / — двумерное дискретное преобразование Фурье / :
Ш Ш *
/[ * i*А:2] 1 (/, Й/ШЩ У
v^1
( —г2ж
v
Щ Л пьЯа1 exp I - j j - ( k i n i | к2п 2) ) .
(3.59)
Б ы стры е св ер тк и . Так как exp(:zj^2i(A;ini + к2п2)) — собственные векторы
двумерных циклических сверток, то дискретное преобразование Фурье от
д — f ® h есть
g[ki,k2\ = f [ k i , k 2 ]h[ku k 2 \.
в
(3.60)
4
Прямое вычисление f ® Һ по формуле (3.57) требует 0 ( N 4) умножений. С
помощью двумерного FFT , описанного ниже, f [ k i , k 2\ и h[ki,k2] так же, как
j.
•
.
.
'
,v
7
»
-
-
ь
Глава 3. Дискретная революция
84
обратное DFT их произведения (3.60), вычисляются за 0 { N log N ) операций.
Нециклические свертки вычисляются с помощью быстрых алгоритмов, сводя
их к циклическим сверткам таким же методом, как и в п. 3.3.4.
jj
С еп арабельн ое разлож ен и е по базису. Пусть {efc}o<fc<7V — ортогональсигналов
тогональный
енты разложения изображения / по такому базису вычисляются с помощью
) алгоритма
скалярное 1
N
Н Я И
|
- 1N- 1
у
Y , А п и п 2}е*к1[п1}е12[п2]
711=0 П2=0
N -l
N
-1
У2 Щ Ш / С / [ п ь п2 ] 4 г(п2]щ=0
П2=0
(3.61)
При 0 < Пх < N мы должны вычислить
N
-1
T f [ n 1,k2\ = У2 /[ n b H efc2H >
П 2 = 0
которые являются коэффициентами разложения N столбцов изображения
по базису {в&2}о</с2<лг- Коэффициенты {(/, ek1ek2)}o<k1M<N вычисляются
в (3.61) как скалярные произведения строк преобразованного изображения
T f[ n 1,
с векторами того же базиса {efc}o<A:<N* Это требует разложения 2N
одномерных сигналов (N столбцов и N строк) по {е^}о< k < N расклады
exp (—i27rkn/N)}
нал длины
за K N log2 N операций. Поэтому сепарабельное выполнение двумерного FFT
алгоритм
К = 3.
3.5
Задачи
3.1. 1 Пусть / имеет носитель в [—( п -f 1)тг/Т, —mr/T] U [т г/Т ,(п + \)тг/Т] и f(t)
— вещественная. Найти интерполяционную формулу, которая восстанавливает
m
поИИЩ
3.2. Предположим, что / имеет носитель в
[—тг/Т,тг/Т].
восстал авливает /(£) по усредненным значениям
ШШШ
Найти формулу, которая
/•(п+1/2)Т
Vn G Ъ ,
3.3.
f(nT) Ш /
f(t)dt .
J (n—1/2)Т
§ эд В
-V
Щ
-М Ш І
• У&ИНИ
Интерполяционная функция f ( t ) удовлетворяет равенству /(тг) = 8[п].
(а) Доказать, что J2t=-oo §Щ И | Щ = 1 тогда и только тогда, когда / —
интерполяционная функция.
Л^ЩШЯ
3.5. Задачи
85
(б) Предположим, что /(«) = £ + ~ _ то Ңп]Ө(і - гг), где Ө € L2(K). Найти та­
кую ft(w), что /(п ) = (5[п], и установить связь /(ш) с 0(и/). Определить
достаточное условие на 0, гарантирующее, что / £ L2(R).
3.4. 1 Доказать, что если / £ L3(R) и
№ —n) G L2[0,1], то
Ш
0
-f ОО
0
® - и)'= У ' f(2kn) ei2nkt
oo
3.5. 1 Проверить, что
Һ(іо)
- фазовый фильтр т.е.
рованный базис в 1 (Z).
К ah —e~iu
1 + a k еіш
= 1. Доказать, что (Л[п - m]}m€Z - ортонорми-
3.6. 1 Пусть д[п] = (-1 )Л% ]. Определить связь д(и) с h(u). Если Һ - низкоча­
стотный фильтр, может ли д(ш) быть низкочастотным фильтром?
3.7. Доказать теорему свертки 3.3.
3.8. Рекурсивные фильтры
(а) Вычислить преобразование Фурье % ] = а" 1(0,+оо)[п] при |а| < 1. Вычислить обратное преобразование Фурье от һ(и) = (1 - a e “iw)" p
Предположим, что д = / ★Һ вычисляется с помощью рекурсивного урав­
нения с постоянными коэффициентами
к
..
м
^ 2 ak f[n - к] = g bk д[п - *].
fc=0
fc=0
;
►
Показать^ что Һ — устойчивый фильтр тогда и только тогда, когда урав­
нение 2Zfc=о z ~ ®имеет корни, по модулю строго меньшие 1.
(в) Предположим, что |Л(ы)|2 | \Р{е~іш)\2/\D{e~iu)\2, где P(z) и D(z) многочлены. Доказать, что если D{z) не имеет корней, по модулю рав­
ных 1, то можно найти два многочлена, Pi{z) и D\(z) таких, что h(u>) —
Pi(e )/D \ (е гш) есть преобразование Фурье устойчивого и причинно­
го рекурсивного фильтра. Подсказка: найти комплексные корни D(z) и
вычислить Di(z), выбрал подходящие корни.
(г) Дискретный фильтр Баттерворса с отрезанием частот при шс < жопре­
деляется формулой
Ни
Ваш
1 4_
-
1
tg(c^>/2) \ 2 ^
1І Ш
■
)
Вычислить һ(и) при N = 3 для того, чтобы получить вещественный,
устойчивый и причинный фильтр Һ.
Шt
3.9. I Пусть о и I — два целых числа с большим количеством цифр. Определить
связь произведения ab со сверткой. Объяснить, как использовать FFT для
вычисления этого произведения.
Глава 3. Дискретная революция
86
1
Пусть
ftp
—
обратная
функция
к
Һ, определенная как h * h 1[гг] - <5[п].
3.10.
(а) Доказать, что если Һ имеет конечный носитель, то Щ имеет конечный
носитель только в том случае, если h[n] | 6 [ п - р \ при некотором Ц Z.
(б) Найти достаточное условие для
ggg
чтобы |
1 было устойчивым филь-
тром
1
Дискрет
ная
интерполяция
.
Пусть
/>
]
DFT
сигнала
f[n)
длины
N.
Мы
3.11.
определяем f [ N f 2] = /[3iV/2] = /[-N/2] и
. ^
2/И »
f[k] = ^ 0,
2f[k —iV],
если N / 2 < k < S N /2 ,
-• | | | |
если 3 N / 2 < к < 2N .
Доказать, что f[2n] = /[п].
3.12. 1 Децимация. Пусть х[п] = у[Мп] при М > 1.
4
(а) Показать, что z(w) = М ” 1
1(а; ~ 2Аяг)).
(б) Определить достаточное условие на y(w) для восстановления у по ж. Опи­
сать интерполяционный алгоритм.
■■
3.13. 1 Сложность FFT.
(а) Построить алгоритм умножения двух комплексных чисел за 3 сложения
и 3 умножения.
^
(б) Вычислить полное число сложений и умножений в алгоритме FFT, опи­
санном в 3.3.3, для сигнала длины N.
3.14. 2 Мы хотим вычислить преобразование Фурье / (t). Пусть fd[n\ — / ІрЩ и|
f M - E jT -oo M n - pN}' ' . M H
(а) Доказать, что DFT для f p[n] связано с рядом Фурье fd[n] и с преобразо­
ванием Фурье /(£) формулой
І/рМ
ГЫ- Sdi
i (* N
* ҺJ\ - j,
i V2_rff f \ (N™T1 _ T
i=—o° N
(б) Предположим, что |/(£)| и |/(w )| пренебрежимо малы при t £ [—to,to] и
w £ [—woj wo]. Определить связь N и TА с to и wo так, чтобы можно было
вычислить приближенные значения /(w ) для всех w € К интерполяци­
ей значений f p[k\. Возможно ли точно вычислить /(w ) с помощью такой
интерполяционной формулы?
(в) Пусть /(t ) = ^sin(7rt)/(7rt)^ . Каков носитель /? Взять нужные значения
А
/ и вычислить / с помощью алгоритма FFT в системе M atlab.
3.15. 1 Предположим, что /[ 711, 712] — изображение с N 2 ненулевыми пикселями при
о < 711,712 < N. Пусть /1(711, 712] — сепарабельный фильтр с М 2 ненулевыми
коэффициентами при 0 < 7ii,7i2 < М. Описать алгоритм сложения покрытий
для вычисления #[711, 712] = / * /і[тц,7і2]. Сколько операций требуется для его
выполнения? При какой величине М лучше вычислять свертку прямым сум­
мированием?
Глава 4
Время встречается с частотой
Когда мы слушаем музыку, мы ясно «слышим» изменения во времени звуко­
вых «частот». Эти локализованные частотные события представляют собой не
чистые тона, а пакеты сжатых частот. Свойства звука проявляются с помощью
преобразований, которые раскладывают сигналы по элементарным функциям,
хорошо сконцентрированным по времени и по частоте. Преобразование Фу­
рье с окном и вэйвлет-преобразование — это два важных класса локальных
частотно-временных разложений. Измерение временных изменений «мгновен­
ных» частот — важное приложение, которое иллюстрирует ограничения, на­
лагаемые неопределенностью Гейзенберга.
Не существует единого определения частотно-временной плотности энер­
гии, что делает трудным этот предмет для обсуждения. Правда, некоторый
порядок может быть установлен доказательством того, что квадратичные частотно-временные распределения получаются в результате усреднения одной
квадратичной формы, называемой распределением Вигнера-Вилля. Этот уни­
фицированный подход открывает более общую перспективу для преобразова­
ний Фурье с окном и вэйвлет-преобразований.
4.1
Частотно-временные атомы1
Линейное частотно-временное преобразование устанавливает связь сигнала с
семейством волновых форм, хорошо сконцентрированных по времени и по
частоте. Эти волновые формы называются частотно-временными атомами.
Рассмотрим общее семейство частотно-временных атомов И я Ш И ! где 7 мо­
жет быть многоиндексовым параметром. Предположим, что ©§ Ц L2(R) и
IIЩII б 1- Соответствующее линейное частотно-временное преобразование / €
L (К) определяется как
Глава 4. Время встречается с частотой
88
Из формулы Парсеваля (2.25) следует, что
т/(7)I f+°°
. ,*у іЯ
dt=^- [ /и<£;и
(4-1)
27ГI - ° 0
-оо
Если фМ) близко к нулю при I лежащем вне некоторой окрестности абсциссы
г
и *
Аналогично1
мало для и, далеких
(4.1) показывает, что (/, 07) выявляет свойства / в окрестности Ц
П р и м ер 4.1. Атом Фурье с окном строится с помощью окна д, сдвинутого
;
модулиро іанного частотой £:
= 9и,&) = e ^ g { t ~ «)•
(4-2)
Вэйвлет-атом —это растяжение в s раз и сдвиг на и материнского вэйвлета ф:
аду; ■v
<Mt) = іЫ < ) = ^
)•
■
Вэйвлеты и преобразования Фурье с окном имеют энергию, хорошо локали­
зованную во времени, в то время как их преобразование Фурье еконцентрировано главным образом в ограниченном частотном диапазоне. Свойства этих
преобразований изучены в разд. 4.2 и 4.3.
н
П р ям о у го л ьн и к Гейзенберга. Слой информации, содержащийся в
представляется в частотно-временной плоскости (£, и>) областью, расположен®
и ширина которой зависят от частотно-временной протяженности ф1. Так как
I;
^■
3 -■
~ ' УЙ
ш \2= /
|Ф7(*)|3 ^ = 1,
^
оо
мы интерпретируем \фу {і)\2 как плотность вероятности с центром
+оо
u7 = I
-
' У : З 'Ш Щ
t|$ 7(t)|2 oft.
оо
(4.4)
>
Протяженность около и7 измеряется дисперсией
4 -0 0
ШШк= /
( t - u 7)2|07(t)|2 dt.
(4.5)
—ОО
Формула Планшереля (2.26) утверждает, что |S iJ| |^>7(w)|2 du = 27г||ф7||2. ПоА
этому частотный центр фу определяется формулой
1 г+оо
-7 ~ щ ф
и\Ф-у{и)\2 du,
и протяженность атома около £7 есть
1 г+0°
^ (7 > = 2 n j
' ЖЩЯ
\ jSf
(4.6)
*
Я
4.2. Преобразование Фурье с окном
89
Частотно-временное разрешение фу представляется в частотно-временной
плоскости (t,ui) прямоугольником Гейзенберга с центром в (tt7, £7), ширина
которого вдоль оси времени at {7 ) и ширина вдоль оси частоты 0^ ( 7 ). Это
показано на рис. 4.1. В теореме неопределенности Гейзенберга 2.5 доказано,
что площадь прямоугольника больше или равна 1/2:
1
(4.8)
(ft о С
О>
2
Это ограничивает совместное разрешение Ш по времени и частоте. Манипули­
рование с частотно-временной плоскостью нужно проводить очень аккуратно,
так как точка
определяется некорректно. Речь идет не о функции,
которая точно сконцентрирована в точке to и при частоте u>q. Т олько прямо­
угольники, с площадью по крайней мере равной 1/2, соответствуют частотно­
временным атомам.
П лотность эн ер ги и . Предположим, что для любой точки (и, £) существует
единственный атом ф~,(и,£) с центром в (и,£) в частотно-временной плоско­
сти. Частотно-временной прямоугольник для фу(и,£) определяет окрестность
(и,£), где энергия / измеряется как
-t-оо
РтНи, о = |(/,07(«,о) I
І(і)Ф
(t) dt
(4.9)
— ОО
В п. 4.5.1 доказывается, что любая такая плотность энергии есть усреднение
распределения Вигнера-Вилля с ядром, зависящим от атомов ф.у.
4 .2
Преобразование Фурье с окном
1
В 1946 г. Габор [187] ввел атомы Фурье с окном для измерения «частотных
изменений» звука. Вещественное и симметричное окно g(t) = g(—t) сдвигается
I
Глава 4. Время встречается с частотой
90
нам и модулируется частотой £:
Оно нормировано |ff| = 1 так, что \\gu,z\\ = 1 для любых (и,О € R2. Результи­
рующее преобразование Фурье с окном функции / G L2(R) есть
5 /( и ,0 = ( / , ^ ) =
/
f (t)g{t - и ) е ~ * 1 dt.
(4.11)
ОО
Такое преобразование называется кратковременным преобразованием Фу­
рье, потому что умножение на g(t —и) локализует интеграл Фурье в окрестно­
сти t = U.
Можно определить, как в (4.9), плотность энергии, называемую спектро­
граммой, обозначая ее Ps0
Ч-оо
ШШш- ш т т
(4.12)
f(t)g{t - и)е М dt
—ОО
Спектрограмма измеряет энергию / в частотно-временной окрестности (и, f ),
определенной прямоугольником Гейзенберга для ди^ .
П р ям о у го л ьн и ки Гейзенберга. Так как д — четная функция, gu^{t) =
e*^g(i —и) имеет центром и. Ее протяженность во времени около и не зависит
отии£:
+00
г+оо
:^ щ Я И
(т2= / -ОО
1 */-00
/ Я ^ш Я
(4ЛЗ)
Преобразование Фурье g функции g — вещественно и симметрично, потому
что д — вещественна и симметрична. Преобразование Фурье функции ди£ есть
5и,?М = < К о ;-£ )ех р [-ш (а;-£ )]-
(4.14)
Это сдвиг на £ частотного окна ду так что его центром является £. Его частот­
ная протяженность около £ есть
:*■
1
/*4-оо
аш = 2 Щ г
1
/%
4-оо
~ 0 2\ 9 и , ^ ) \ 2 dw = — J
••?
и 2\д(ш)\2 cL>.
(4.15)
Она не зависит от и и £. Следовательно, ди^ соответствует прямоугольнику
Гейзенберга с площадью at аш и центром (и, £), как это изображено на рис. 4.2.
Размер прямоугольника не зависит от (г/,£)> это означает, что преобразование
Фурье с окном имеет одинаковое разрешение во всей частотно-временной плос­
кости.
П р и м ер 4.2, Синусоидальная волна f(t) = ехр(і£д£), преобразование Фурье
которой есть функция Дирака /(ы) = 27г5(о;—£о)5имеет преобразование Фурье
с окном
5 /(^ , 0 = i f t ~ £о) ехр[-ш (£ - &)].
Его энергия имеет протяженность частотного отрезка Ж - <W2,£o + W 21-
4.2. Преобразование Фурье с окном
91
П рим ер 4.3. Преобразование Фурье с окном функции Дирака f( t) = 5(t— щ )
есть
S f( u ,£ ) = g(u0 - и) ехр(-г£г«о).
Его энергия имеет протяженность временного отрезка [uo —c t/2 ,
uq +
crt/ 2].
Рис. 4.2. Прямоугольник Гейзенберга двух атомов Фурье с окном ди^ и д„п .
П ри м ер 4.4. Линейный чирп /(£) = exp(iat2) имеет «мгновенную часто­
ту», которая линейно возрастает во времени. Для гауссовского окна g(t) —
(7г<т2)-1/ 4 х ехр[—t2/ (2сг2)] преобразование Фурье с окном вычисляется с ис­
пользованием преобразования Фурье (2.34) для гауссовских чирпов. Можно
убедиться, что его спектрограмма равняется
Если время и — фиксировано, то P sf(u ,£ ) — функция Гаусса, которая дости­
гает своего максимума при частоте £(и) = 2au. Заметим, что если мы запишем
/(<) = ехр[іф(І)], то £(и) равняется «мгновенной частоте», определенной как
производная фазы u>(u) = ф'{и) = 2au. В п. 4.4.1 объясняется этот результат.
П ри м ер 4.5. Рис. 4.3 дает спектрограмму сигнала, который состоит из ли­
нейного чирпа, квадратичного чирпа и двух модулированных функций Гаусса.
Спектрограмма вычислена с окном Гаусса при a — 0.05. Как следует из (4.16),
линейный чирп дает большую амплитуду вдоль траектории его мгновенной
частоты, которая есть прямая линия. Квадратичный чирп дает большие коэф­
фициенты Фурье вдоль параболы. Две модулированных функции Гаусса дают
низкочастотный и высокочастотный максимумы при и — 0.5 и и = 0.87.
Глава 4. Бремя встречается с частотой
92
t
и
(а)
U
(б)
Сигнал
локализованные
4.2.1
ого убывает, и две модулированные
0.5 и | = 0.87. (а) Спектрограмма
іьшую амплитуду коэффициентов,
е модуль Ps f( u , |§ отличен от нуля.
Полнота и устойчивость
Когда частотно-временные индексы (и, §§ изменяются в R2, прямоугольни­
ки Гейзенберга атомов ди£ покрывают всю частотно-временную плоскость.
Поэтому можно ожидать, что / может быть восстановлена по ее преобразова­
нию Фурье с окном Sf(u,£). В следующей теореме дается формула восстанов­
ления и доказывается, что энергия сигнала сохраняется.
4.2. Преобразование Фурье с окном
93
Теорем а 4.1. Если / € L2(K), то
£
:-
1
Д 4)
5 ЦJ
г+ оо
г+ °о
J
+00
Sf(u,£)g(t —и)ег^ь d£du,
jt
г+ оо
\f(t)\2 d t = —
^
—оо
Г+ОО
/
J —оо
(4.17)
|5 / ( u , 0 |2r f ^ -
(4.18)
J —оо
Доказательство . Докажем сначала формулу восстановления (4.17). Приме­
ним формулу Фурье-Парсеваля (2.25) к интегралу (4.17) при интегрировании
по и. Преобразование Фурье ft(u) = Sf(u,£) по переменной и вычисляется с
учетом того, что
/
+ оо
f(t)g(t - и) exp[i£(tt - t)\dt = exp{-iu£)f * д^(и),
где g|(t) = g(t) exp(i£t), так как g(t). Щg(—t). Следовательно, это преобразова­
ние Фурье есть
Л и = /(w + Ose(w + 0 = /0*> + Ш М Преобразование Фурье g(t —и) по переменной и есть д(ш) exp(—itu). Поэтому
Г .7
✓ г+ оо
1
f+ o o
Sf(u,£)a(t —и) exp(i£t)du J d£
g ||l v - o o ® - o o
1 Г+СО ( 1 f+°°
2тг
. ч.2
ШЖ І OliKw)l ехр[г*(ш + Щ Ш
Щ
/-o o
Если / € L (R), то мы можем применить теорему Фубини А.2 и изменить
порядок интегрирования. Обратное преобразование Фурье дает
НИ
1
f+ o o
.
g p f c g -І -
--
; Л
/(w
+
£)exp[it(u*
+
£)]d£
=
/(О2тг ЯШ
Так как ^
І Щ ^ Р ^ = мы получаем (4.17). Если / £ L1(R), то свойство
плотности используется для доказательства этой формулы.
Докажем теперь, что энергия сигнала (4.18) сохраняется. Так так преобразование Фурье по и от S f ( u }£) есть f(w+£)g{uj)}то формула Планшереля (2.26),
примененная к правой части (4.18), дает
1
Г+ОО
г+ оо
1
г+ оо
|
г+ оо
\S f( u ,0 \2dvdZ = —
—
2тг 7_оо У-оо
2тг 7_оо 2тг j p
д
|/(u, + OSMIUMS-
Из применения теоремы Фубини и формулы Планшереля следует
2тг U J
откуда вытекает (4.18).
Глава 4. Время встречается с частотой
94
Формула восстановления (4.17) может быть переписана как
Г-foo
г+оо
-• ^^
/( t) = - - /
/
2тг ./-оо J—оо
(419)
й Ш В В ^Я В ^Н
похожа на разложение сигнала
су, но он не является таковым, так как семейство функций
}u,£gr2 очень
избыточно в L2 (R). Второе равенство (4.18) оправдывает интерпретацию спек­
трограммы P s f ( u }0 = |5 /(и ,0 1 2 как плотности энергии, так как ее частотно­
временной интеграл равняется энергии сигнала.
В осп рои зводящ ее ядро. Преобразование Фурье с окном представляет од­
номерный сигнал /(£) в виде двумерной функции S f(u ,£ ), Из закона сохранения энергии (4.18) следует, что S f 6 L2(R2). Так как S f{u ,£ ) избыточна, то
неверно, что любая Ф € L2 (К2) есть преобразование Фурье с окном некоторой
R). Следующее утверждение дает необходимое и достаточное условие
того, что такая функция является преобразованием Фурье с окном.
У тв ер ж д ен и е 4.1. Пусгпь Ф € L2(R2). Существует / Е L2(R) такая, что
ф (u,£) = S f(u ,£ ) тогда и только тогда7 когда
оо
1
/»+оо
/
/
/
$(u,Z)K(uo,u,£o,Odud€i
J —ЪО j —ОО
.;
где
(4-20)
= (9и,е,9ио,£о)-
(4-21)
Доказательство . Предположим, что существует / такая, что Ф(и, £) =
S f ( u }£). Заменим / ее интегралом восстановления (4.17) в определении преоб­
разования Фурье с окном:
И
•foo /
5 /(и о ,€ о )= /
1
Л'foo ’ ^ » л Л U'V •
/+ 0 0
(
/
/
Sf(u,Ogu,^t)dud^\ gl0 t Jt)dt.
(4.22)
Меняя порядок интегрирования: сначала по £, а затем по и и £, получим (4.20).
Чтобы доказать, что условие (4.20) достаточно, определим / как в формуле
восстановления (4.17):
:
j
r-fo o
f{t) —я г /
г -foo
/
'' Л,~э|
ф(и, Ofl(* ~ и) exp(i£t)d£du
ІІЯ Н
и покажем, что (4.20) означает Ф(и,£) = S /( u ,f) .
Ф ун кц и я неоднозначности. Воспроизводящее ядро /f(uo,u,£o»0 ИЗМСРЯ"
ет частотно-временное перекрытие двух атомов ди^ и gUo,to- Амплитуда
К { щ , и, £о, О убывает с ростом |ио —и\ и |£о —f | со скоростью, которая зависит
от концентрации энергии д и д. Замена ди^ и дио£0 их выражениями и переход
к переменной i/ = t —(м + щ )/2 в интеграле скалярного произведения (4.21)
дает
К ( и о , и ^ о , 0 = ехр (-1 ( ^ 0 - 0 ( « + Щ) ) Ад{щ - гх,$0 - ^),
(4-23)
4.2. Преобразование Фурье с окном
Щ
95
Н -оо
А9{ т , І ) = J
9 (у +
9 (*> - ^ ) e - ^ d v
(4.24)
называется функцией неоднозначности д. Применение формулы Парсеваля
для замены этого интеграла по времени интегралом Фурье дает
4V *•*
=
9Ц
ВВ
9 Я - 1 1 elTU,(L>.
(4.25)
Убывание функции неоднозначности измеряет протяженность д по времени и
д по частоте. Например, если д имеет носитель, содержащийся в интервале
размера Г, то Ад(т,и) = 0 при |т| > Т/2. Интеграл (4.25) показывает, что
такой же результат справедлив и для носителя д.
4.2.2
Выбор окна2
Яр
Разрешение по частоте и по времени преобразования Фурье с окном зависит
от протяженности окна по времени и по частоте. Она может быть измерена
убыванием функции неоднозначности (4.24) или, более просто, площадью пря­
моугольника Гейзенберга. Из теоремы неопределенности 2.5 следует, что эта
площадь достигает минимального значения 1 / 2 , если только I — функция
Гаусса. В этом случае функция неоднозначности Ад(т, 7 ) — двумерная функция Гаусса.
М асш таб о к н а. Частотно-временная локализация д может быть изменена с
помощью масштабирования. Предположим, что д имеет ширину Гейзенберга
по времени и частоте, равную соответственно crt и аш. Пусть gs(t) = s~ 1/ 2g(t/s)
— ее растяжение в s раз. Замена переменных в интегралах (4.13) и (4.15) по­
казывает, что ширины Гейзенберга по времени и частоте gs(t) равны соответ­
ственно scrt и (Ти/s. Площадь прямоугольника Гейзенберга при этом не меня­
ется, но он становится растянутым в s раз по времени и сжатым в s раз по
частоте. Одновременно замена переменных в интеграле неоднозначности (4.24)
показывает, что функция неоднозначности растянута по времени и частоте со­
ответственно в s и 1 / s раз
•> г
Ада{т,к) = Ад ( ^ » п ) *
Выбор специального масштаба з зависит от желаемого компромисса между
частотой и временем.
К он ечн ы й н о си тел ь. В численных применениях д должно иметь компакт­
ный носитель. Теорема 2.6 утверждает, что ее преобразование Фурье д обяза­
тельно имеет бесконечный носитель. Это симметричная функция с главным
максимумом при и> = 0, которая, осциллируя, стремится к нулю. Рис. 4.4 ил­
люстрирует ее поведение. Чтобы разрешение по частоте этого преобразования
было максимальным, мы должны сконцентрировать энергию д около и = 0 .
Три важных параметра оценивают протяженность д:
Глава 4. Время встречается с частотой
96
(О
Р и с. 4.4. Протяженность энергии д измеряется шириной диапазона Доі
и максимумом амплитуды А первых боковых максимумов, расположенных
при и = ± 0%.
■
. .'Н
Среднеквадратичная ширина диапазона, которая определяется ра­
венством
ЯИИ
1
ls(0 )l2
2
Максимальная амплитуда А первых боковых максимумов, расположен­
ных на рис. 4.4 при и = |Ь % Она измеряется в децибелах
1П1пгг ЙЙШІ
А
8
1
0
1
Ш
Ғ
Степень р, которая определяет асимптотическое убывание НШ Я при
больших частотах:
р- 1
(4.26)
1 И 1 0(ш
)•
В табл. 4.1 приводятся значения этих трех параметров для некоторых
окон д, носители которых сведены к отрезку [—1/2,1/2] [204]. На рис. 4.5
показаны графики этих окон.
І
Название
Прямоугольное
Хэмминга
Гаусса
Хэннинга
Блэкмана
9(t)
1
0.54 + 0.46 cos(27rf)
ехр(—18t2)
COS2(7rt)
0.42 + 0.5 cos(27r£)
+0.08cos(47ri)
A uj
0.89
1.36
1.55
1.44
1.68
\
A.
J1 P
0
—13db
0
. —43db
0
—55db
2
—32db
—58db
1
2
Т аб л и ц а 4.1. Частотные параметры пяти окон д с носителями [—1/2,1/2]
Эти окна нормированы так, что д(0) = 1, но
Ф
Для пояснения этих трех частотных параметров рассмотрим спектрограм­
мы одночастотного сигнала /(t) | ехр(г£0*). Если Aw мало, то |S /( u ,f )|2
l£(£-“ fo ) |2 имеет энергию, сосредоточенную около | = | | | Боковые максимумы
д создают «тени» при £ = £о i u>q, которыми можно пренебречь при малых А.
I
4.2. Преобразование Фурье с окном
97
сигнал включен в сигнал
сигнал
быть выделен, если д(ш —£) быстро ослабляет эти компоненты с ростом
а
Это означает, что \д{ш) | имеет быстрое убывание, и в утверждении 2.1 дока­
зывается, что это убывание зависит от гладкости д. Свойство (4.26) обычно
дифференцируемых
Хэмминг
Гаусс
Хэннинг
Блэкман
Графики
4.2.3
1/ 2 , 1/ 2]
Д искретное преобразование Ф урье с окном2
следуют
ям, что и дискретизация преобразования Фурье, описанная в разд. 3.3. Мы
сигналы
сигнал с
1.
Дискретные атомы Фурье с окном определяются как
9тАп ) = д [ п - ™ ] ехр
г2тт1п
N
Дискретное преобразование Фурье gm | есть
9т,IШ = 9 [ k - l ] ехр
i2irm(k — I)
N
Дискретное преобразование Фурье с окном сигнала / с периодом N есть
N —1
S f[m , I = (/, дт>1 1 Я
71=0
f[n]g[n - т] ехр
i2nln
N
(4.27)
Глава 4. Время встречается с частотой
98
S flm , 1} вычисляется для каждого 0 < m < J V n p H 0 < / < N c помощью ДИС
процедур
кратного преобразования Фурье /[
FFT размера iV и требует всего 0(JV 2 log2 N ) операций. Рис. 4.3 вычислен с
помощью такого алгоритма
преобразование. Следующая
сохранения
Т еорем а 4.2. Если f - сигнал с периодом N , то
7
1
ij• ,"M R . ж
;
ч-
- г
f[n] = - £ £
^ m~o
і
г
Ж .
1
Г \ ____ ____ _ , « л т » і т г т л г г л а
S f [ m , f f i —m] exp f
о ^
Л /
ттгчлті
1,
(4.28)
<4 2 9 >
n—0
i=o m=0
Эта теорема доказывается применением формул Парсеваля и Планшереля|
для дискретного преобразования Фурье точно так же, как при доказательству
теоремы 4.1. Формула восстановления (4.28) переписывается в виде • і 12тгIn
^ / к ^ і ехр \ N
1
f[n\ = 77
m=0
i*0
4
Вторая сумма вычисляет при каждом 0 < тп < iV обратное дискретное пре­
образование Фурье S /[m ,/] по I. Это осуществляется с помощью N процедур
FFT, требующих всего 0 ( N 2 log2 N ) операций.
Дискретное преобразование Фурье с окном — это двумерная функция
(изображение) Sf[l, та] из N 2 элементов, которое очень избыточно, так как
оно полностью определяется сигналом / длины N. Эта избыточность харакдискретным уравнением с воспроизводящим
аналогом
4.3
Вэйвлет-преобразования1
’
Для анализа структуры сигналов самой разной длительности необходимы час­
тотно-временные атомы с различными временными носителями. Вэйвлет-пре­
образование раскладывает сигналы по растянутым и сдвинутым вэйвлетам.
Вэйвлет — это функция ip € La(R) с нулевым средним значением:
+оо ■
!
ЩШЩ = 0.
(4.30)
/
Она нормирована, ||^|| = 1, и имеет центром t = 0. Семейство частотно­
временных атомов получается в результате масштабирования ф на величину s
и сдвига на и:
^
4.3. Вэйвлет-преобразования
99
Эти атомы остаются нормированными: ||^и,з|| р 1. Вэйвлет-преобразование
/ € L 2 (R) от времени и и масштаба s есть
W f ( u , s ) = </, фПіа) = J +°° m
-щ Г
) dt.
(4.31)
Л и н ей н ая ф и л ь т р а ц и я . Вэйв лет-преобразование может быть переписано в
виде свертки
■foo
/,
1
/ t —u
где
Фз(і)
Преобразование Фурье фа{і) есть
Фв(ш) = V s 4>*(suj).
(4.33)
Так как V»(0) — f _ OQ if>(t)dt = 0, то ясно, что ф — передаточная функция
диапазонного
растянутым Диапазонным фильтром.
вещ ественные
Фурье с окном, вэйвлет-преобразования должны измерять изменения во вреаналити
ческих вэйвлетов, которые могут разделять амплитудную и фазовую компоаналитических
в п. 4.3.2, и их применение для измерения мгновенных частот объясняется в
п. 4.4.2. В противоположность им вещественные вэйвлеты часто используются
сигнала
свойства вещественных вэйвлетов, которые развиты в гл. 6 .
4.3.1
В ещ ественны е вэйвлеты
Предположим, что ф — вещественный вэйвлет. Так как он имеет нулевое сред­
нее значение, вэйвлет-интеграл
к
а
ш
=
v/s V 3
и
Я оо
лен Ц В п. 6.1.3 будет доказано, что при стремлении масштаба s к нулю убыкоэффициентов характеризует гладкость /
сигнала
лиза фракталов. Внимание в этом разделе сосредоточено
и избыточности вещественных вэйвлет-преобразований.
Глава 4. Время встречается с частотой
100
Шш.
шв
Р и с. 4.6. Вэйвлет «мексиканская шляпа» при a — 1 и его преобразование
Фурье.
П р и м ер 4.6. Вэйвлеты, равные второй производной от функции Гаусса, на­
зываются «мексиканскими шляпами». Впервые они были использованы в ком­
пьютерном изображении для выделения разномасштабных перепадов. Нормированный вэйвлет «мексиканская шляпа» есть
2
ф(і)
7Г
і
о \СТ
exp
t
2 <т2
(4.34)
При <7 = 1 рис. 4.6 дает графики -гр и его преобразования Фурье
1/4
s/8a5' 27Г
у/%
u;2 exp
а 2и 2
~2
(4.35)
Рис. 4.7 изображает вэйвлет-преобразование кусочно-гладкого сигнала в
всюду
/
сигнала
зуемого при вычислениях. Когда масштаб убывает, вэйвлет-преобразование
сигнал гладкий
ные особые точки слева создают конусы большой амплитуды вэйвлет-коэффициентов, которые сходятся к расположению этих точек. В дальнейшем это
будет объяснено в гл. 6 .
'
Вещественное вэйвлет-преобразование полностью обосновано, и для него
выполняется закон сохранения энергии до тех пор, пока вэйвлет удовлетво­
ряет условию слабой допустимости, определенному нижеследующей теоремой.
Эта теорема впервые была доказана математиком Кальдероном в 1964 г. с
несколько иной точки зрения. Как таковые, вэйвлеты тогда не были известны,
но Кальдерон определил вэйвлет-преобразование как оператор свертки, даю­
щий разложение тождественного оператора. Гроссман и Морле [200] не знали
Кальдерона, когда они доказали
налов.
4.3. Вэйвлет-преобразования
101
f(t)
log2(s)
u
Рис. 4.7. Вещественное вэйвлет-преобразование W f ( u , s ) , вычисленное с по­
мощью вэйвлета «мексиканская шляпа» (4.34). Вертикальная ось представляет
значения log2 s. Черные, серые и белые точки определяют соответственно по­
ложительные, нулевые и отрицательные вэйвлет-коэффициенты.
Т еорем а 4.2 (КАЛЬДЕРОН, ГРОССМАН, МОРЛЕ). Пусть ip € L 2 (R) вещественная функция, такая что
-foo
С
Щ и)
и
du < -foo.
(4.36)
Любая / G L 2 (R) удовлетворяет равенствам
№
-foo
—оо
1
сф
+оо
Н -оо
W f ( u , s)
1
—оо
1
ц
•fo o
Ф
Г+ОО
| W f ( u , s)|2 rfu
оо
)
ds
(4.37)
(4.38)
Доказательство . Доказательство (4.38) почти идентично доказательству
(4.18). Сосредоточим внимание на доказательстве (4.37). Мы видим, что b(t) —интеграл справа в (4.37) — может быть переписан как интеграл от сверток.
Глава 4. Время встречается с частотой
102
Подстановка W f ( u , s ) | /* & ( « ) , Я
М *) 1 1 1/2^(*/«)>
+°°
6(t)
„
, /
W f ( . , s ) * M t Ш:
(4.39)
Символ « . I указывает переменную, по которой вычисляется свертка. Мы
докажем равенство Ь
показав, что их преобразования Фурье равны друг
erii
*
Преобразование
| I
ds
-foo
S(w)
/И
Щ
Н-оо
\ф{зш)\
2 ds
о
Так как ф — вещ ественная ф у н к ц и я, то \ ф ( - ш ) \ 2 — 1 # Й ) |2* Поэтому после
замены переменных | = su получаем, что
Ь(и)
Я
щ
-foo
Предположение
Сгр
о
4-00
ШЙІ
J0
£
Щш)\
(ко
и
условием
0.
Это
обътеграл был конечным, мы должны обеспечить равенство ф(0) ясняет, почему было наложено условие, что вэйвлеты должны иметь нулевое
среднее значение. Такое условие близко к достаточному. Если ф(0) 0 и ф(ш)
непрерывно дифференцируемо, то условие допустимости выполняется. Можно
проверить, что ф(ш) непрерывно дифференцируемо, если Щдостаточно быстро
убывает по времени
4 -0 0
(1 + \t\)\ip(t)\dt < +оо.
—ОО
ядро
преобразование дает избыточное представление, избыточность которого ха­
рактеризуется уравнением с воспроизводящим ядром. Подстановка формулы
восстановления (4.37) в определение вэйвлет-преобразования дает
+оо
W f { u 0)s0)
—оо
4-оо
1
с*
О
r-foo
—ОО
ds
W f (и, s)%!)u,a(t)du ~2
Ф
(t) dt.
Замена порядка интегрирования приводит к равенству
W f ( u 0,s 0)
1
+оо
oo
где
ds
K ( u , uq, s , so)W f(u, s)du ~2
K (u 0, u ,s 0,s) = (фи,з,фWo,So>•
(4.40)
(4.41)
цию двух вэйвлетов фи,в
ядро
и фи0,з0- Читатель может убедиться, что любая функция Ф(и, s) есть вэйвлетпреобразоваиие некоторой / € L 2 (R) тогда и только тогда, когда она удовле­
творяет уравнению с воспроизводящим ядром (4.40).
• .§Я
І
4.3. Вэйвлет-преобразования
0.
103
М асш таби рую щ ая ф у н к ц и я . Когда W f (и, 5) известна только при s < 5о, то
для восстановления / мы нуждаемся в дополнительной информации, соответW f(
масштабами
Модуль
* * 1
Г
7l
( f o f * І Г
S
Л,
%
с
(4.42)
А
и комплексная ф аза д й | может быть выбрана произвольным образом. Можно
проверить, что \\ф\\ = 1, и из условия допустимости мы выводим, что
lim \ф(ш)\2 = Сф.
»0
(4.43)
Поэтому масштабирующую функцию можно интерпретировать как импульс­
ный отклик низкочастотного фильтра. Обозначим
&>(*) = ~^дФ Щ ) и ф3(Ь) = Ф*(-І).
Низкочастотная аппроксимация / с масштабом s есть
L f ( u , 5 ) = ( f{t), - -рф ( -— - ) ) = / * фа(и).
Vs
(4.44)
С незначительными изменениями в доказательстве теоремы 4.3 может быть
показано, что
i
.
‘
''
1 г*о
ds
1
/(<) = 7W f ( . t s) * V’sW — + 7 ;— L f(-> So) *
(4-45)
Сф Jo
s*
Сфв0
П ри м ер 4.7. Если ф — вторая производная функции Гаусса, преобразование
Фурье которой определяется формулой (4.35), то интегрирование (4.42) дает
2
Ф(и) = ---- --------У
+ ^2 еХР ( ----- 2
I•
(4-46)
Рис. 4.8 изображает ф и ф при <т = 1.
4.3.2
А налитические вэйвлеты
При анализе изменения во времени частотных тонов необходимо использовать
аналитические вэйвлеты, для того чтобы отделить информацию о фазе и ам­
плитуде сигналов. Ниже изучаются свойства результирующих аналитических
вэйвлет-преобразований.
Аналитический сигнал. Говорят, что функция / а € L2(R) — аналитическая,
если ее преобразование Фурье равняется нулю для отрицательных частот:
А
Щ В Н 0 при w < 0.
Глава 4. Время встречается с частотой
104
шш
ЙШ
мексиканская
Jk
V
w
w«■»w ^ —
—
——^ ^
--- v—
Xv
1
и 66 преобразование Фурье, вычисленное по формуле (4.46).
ЖЖ
w
ш
А
Ч І
Аналитическая
растеризуется своей вещественной частью. Действительно, преобразование
[/
/а(^) + 1д(~и )
2
/И
и это соотношение обратимо:
А
2/(а;)
0
/а М
при
при
а> > 0,
и < 0.
(4.47)
к = 0, N / 2,
0 < к < N/2,
N /2 < к < N.
(4.48)
/
Аналитическая часть Щ(t) сигнала / (i) это обратное преобразование Фурье
ф ун кц и и /а(u>), определенной формулой (4.47).
;■ •
Д и с к р е т н а я ан али ти ческая часть. Аналитическая часть f a[n] дискретно­
го сигнала f[n] длины 7V также вычисляется приравниванием нулю компонент
дискретного преобразования Фурье с отрицательными частотами. Преобразо­
вание Фурье при к = 0 и к = N /2 должно быть аккуратно определено так,
чтобы Re [/„] = / :
Я
Ш
2/[fe]
0
при
при
при
Мы получаем f a[n], вычисляя обратное дискретное преобразование Фурье.
П р и м ер 4.8. Преобразование Фурье функции
,' ^
ш
f ( t ) = acos(u0t + ф) = | (exp[i(w0t Щ Ц 1 exp[-i(w 0i +
есть
f(w) = тта[ехр(іф)6(и> - Щ + ехр(-іф)6(ш
).
4.3. Вэйвлет-преобразования
105
Преобразование Фурье аналитической части, вычисленное по формуле (4.47),есть / a(w) = 2тгаехр(іф)6(и —cjq) и , следовательно,
fait) = aexp[i(uot + ф)].
(4.49)
Ч астотн о-врем ен н ое р азр еш ен и е. Аналитическое вэйвлет-преобразование вычисляется с помощью аналитического вэйвлета ф:
W f ( u , s) = (/, ipUtS) = /
) dt.
(4.50)
—ОО
Его частотно-временное разрешение зависит от частотно-временной протяжен­
ности вэйвлет-атомов ф и%8. Мы предполагаем, что ф имеет центром 0, это озна­
чает, что фиу3 имеет центр £ = и. С помощью замены переменных v = ljjS мы
убеждаемся, что
л+оо
(t - n)2|V»t.,s(i)|2 dt = s2cif,
(4.51)
— ОО
где И В
t 2\Tp(t)\2 dt. Так как ~ф(ш) равняется нулю при отрицательных
А»
частотах, частотный центр І функции тр есть
1
»7=2~ 1
-foo
ш т и ) \ duo.
о
(4.52)
Преобразование Фурье ^ UiS есть растяжение ф в 1/s раз:
А
А
—
щ ф щ . = y/sip(s(jo)exp(-iuu).
(4.53)
центр есть r//s. Энергетическая протяженность Щ „
V/
1 /-+00 /
2тг
77\2
0
J
----------------------------
2
Щ Щ
<г2
dw = - І І
(4.54)
О
где
V-г,
1
<г2 « = —
Г’тОО
^
( u>- 77) 2 | ^ ( w) | 2 du;.
Поэтому энергетическая протяженность частотно-временного вэйвлет-атома т/’и.з соответствует прямоугольнику Гейзенберга с центром в (u,r)/s), раз­
мером
по времени и <тш/ з — по частоте. Площадь прямоугольника остается
равной atau при любом масштабе, но разрешение по времени и частоте зависит
от s, как это иллюстрирует рис. 4.9.
Аналитическое вэйвлет-преобразование определяет локальную частотно­
временную плотность энергии P w f , которая измеряет энергию / в прямоуголь­
нике Гейзенберга для каждого вэйвлета ipUtS с центром в (и, £ = rj/s):
Ж/(«,1 1 \wf(u,s
» 7 1 <*,2
Эта плотность энергии называется скэилограммой.
(4.55)
Глаза 4. В р е м я встречается с частотой
106
Р и с. 4.9. Прямоугольник Гейзенберга для двух вэйвлетов. Более мелкие мас­
штабы уменьшают временную протяженность, но увеличивают частотный но­
ситель, который сдвигается в направлении больших частот.
П олнота. Аналитическое вэйвлет-преобразование функции / зависит только
аналитической части f0. Следующая
сигналов
/
W f ( u , s ) = ^ W f a(u,s).
(4-56)
Если Щ Я J0+o° и Г 1 \ф{ш)\2 du < +оо и I — вещественная функция, то
+оо
f(t)
=
г+ оо
W f (и, s) ipsit —u)du
T ? -R e
Ц"Ф
(4.57)
5
—oo
iff. Г*' J r 1
W JO
f
j —oo
\ w f {u, s)\2 d u ^ .
(4.58)
■
Доказательство1. Докажем сначала (4.56). Преобразование Фурье по переменной и функции
_
fs{u) = W f ( u , s ) = f *i pa (ti)
;
щр
еСТЬ
f,{w) = f (ш) у/зф* (зш).
^
./f '
~
~ ~
~j' .
~. ■?. '
}*;£.-I
^ 4 S*
.
. 'S';
И
Так как ^(uj) = 0 для отрицательных частот и / а(о;) = 2 f(u) при и > 0, то из
этого следует, что
5 ЙЙ
ЛМ = r/e M w
W .
которое является преобразованием Фурье (4.56).
|
4.3. Вэйвлет-преобразования
107
С помощью тех же преобразований, что и при доказательстве (4.37), мож­
но убедиться, что обратная вэйвлет-формула восстанавливает аналитическую
часть /:
1
Г + ОО
f a® ~
Л+ОО
J
J
W f a(u)S) U
(4.59)
-u № du .
— ОО
Так как / = R e[/a], то подстановка (4.56) дает (4.57).
Закон сохранения энергии для аналитической части / а доказывается с по­
мощью формулы Планшереля так же, как и для формулы (4.38):
+ ° °
—oo
1
Г + ОО
\fa(t)\2 d t = ~
Jq
Г+ОО
/
I
\Waf (U, s)\2 du ^ .
—oo
Так как W f a(u, s) = 2Wf(u,s) и ||/a
ctbo (4.58).
следует
Если / — вещественная функция, то замена переменных f = 1/s в законе
сохранения энергии (4.58) дает
/
—
2
+оо
/
г+ОО
/
P w f(u ,£ )d u d € .
Это оправдывает интерпретацию скэйлограммы как частотно-временной
плотности энергии.
В эи влет-м од ули рован н ы е окн а. Аналитические
лучены в результате частотного модулирования вей
ного окна д. Преобразование Фурье от
Щ Ш Ш і -§
ФШ = 9(t) exp{irjt)
(4.60)
есть гІ)(и) = д(ш - rj). Если g(и) = 0 при |w| > 77, то 1р(ш) = 0 при и) < 0. Сле­
довательно, щ — аналитическая функция, как показано на рис. 4.10. Так как д
— вещественная и четная функция, то д также вещественная и симметричная.
Поэтому г] — частотный центр ‘ф и
\Ф Ш = sup \ф(ш)\ =д(0).
w€R
(4.61)
'эйөлетп Габора Щщ = Щ§ёгШ получается с помощью гауссовского окна
(4.62)
Преобразование Фурье этого окна есть д(и>) — (47ГСГ2)1/ 4 ехр(-сг 2ы2 / 2 ). Если
|
Щ то д{ш) « 0 при И > rj. Поэтому вэйвлеты Габора также считаются
приближенно аналитическими.
I
Глава 4. Время встречается с частотой
108
*у(со)
g((Ob
СО
0
Р и с. 4.10. Преобразование Фурье Щ || вэйвлета фЦ) - g(t) exp(irjt). ,
П р и м ер 4.9. Вэйвлет-преобразование f(t) = aexp(iw0i) есть
В
W f ( u , s) = ay/s4>*{su0) ехр(ги0і) = a\/sg(sui| - r?) exp{iw0t).
Заметим, что нормированная скэйлограмма принимает максимальное значе­
ние при § = и>о:
ЩШйШт
1 \Wf{u,s)\
Г
I = а2 д\ л
1
a
exp(iat2)
П р и м ер 4.10. Вэйвлет-преобразование линейного чирпа f ( t ) =
exp[i^»(t)] вычисляется для вэйвлета Габора с окном Гаусса (4.62). Используя
преобразование Фурье гауссовского чирпа (2.34), можно убедиться, что
гШййй
2
Апсг
1 + 4s2a2cr4
1/2
exp
1 + 4a2s4cr4
jff —2asu)
До тех пор, пока 4a2s4a4 « 1, в фиксированный момент времени | пронор­
мированная скэйлограмма
есть функция Гаусса от | которая
достигает своего максимума при
—-A'dlBsH
см
Г)
s(u)
ф'(и) = 2au
(4.63)
В п. 4.4.2 объясняется, почему амплитуда максимальна при мгновенной часто­
те ф'(и).
П р и м ер 4.11. Рис. 4.11 изображает нормированную скэйлограмму І ШШ.
P w f{u ,£ ) и комплексную фазу щ И Щ функции Wf(u,r]/£) для сигнала |
на рис. 4.3. Частотная ширина диапазона вэйвлет-атомов пропорциональна
l / s = ЩИ Поэтому частотное разрешение скэйлограммы при низких частотах
точнее, чем у спектрограммы, но при высоких частотах грубее, чем у спек­
трограммы. Это объясняет, почему вэйвлет-преобразование приводит к интер­
ференции функции Габора для высоких частот при t = 0.87 и квадратичного
чирпа в той же окрестности, в то время как спектрограмма на рис. 4.3 хорошо
их разделяет.
И
4.3. Вэйвлет-преобразования
109
1
u
(a)
и
ИР^,' И
(б)
Рис. 4.11. (а) Нормированная скэйлограмма i)-1 £Pw f
£), вычисленная для
сигнала на рис. 4.3. Темные области указывают на большие амплитуды коэф­
фициентов. (б) Комплексная ф аза Щ ш рШ функции W f ( u , 7?/£), где модуль
отличен от нуля.
4.3.3
J
Д и скретн ы е вэйвлеты 1
Ш
Пусть f ( t ) — непрерывный по времени сигнал, который равномерно выбира­
ется с шагом N ~ x на отрезке [0,1]. Его вэйвлет-преобразование может быть
вычислено с масштабами JV_1 < s < 1, как это показано на рис. 4.7. В дис­
кретных вычислениях легче нормировать шаг выборки на 1 и рассматривать
поэтому растянутый сигнал f ( t ) = f ( N ~ 4 ) . Замена переменных в интеграле
для вэйвлет-преобразования (4.31) дает
W f ( u , s ) = N ~ ^ 2W f ( N u , N s ) .
Для простоты обозначения мы сосредоточимся на / и обозначим через /[п] =
/(п ) дискретный сигнал длины N. Его дискретное вэйвлет-преобразование вы­
числяется для масштабов з = а?, где о = 21/", и v обеспечивает промежуточ­
ные масштабы в каждом полуинтервале [2J , 2J+1), называемом октавой.
Щ
Глава 4. Время встречается с частотой
Пусть rblt) - вэйвлет, носитель которого содержится в [-К /2 ,К /2 ]. При
2 < Й < N K ~ l дискретный вэйвлет, масштабированный на а , определяется
как
1
ЧN =
/ п\
I '-
{^ ) •
■Щ
Этот дискретный вэйвлет имеет Ко? ненулевых значений н а В » Щ
Мас‘
штаб о? больше 2, в противном случае шаг выборки может быть больше носи­
теля вэйвлета.
ц
Б ы с т р о е преобразование. Чтобы избежать сложностей, связанных с гра­
ничными условиями, мы рассматриваем /[п] и вэйвлеты ipj[n] как периоди­
ческие сигналы с периодом N. Поэтому дискретное вэйвлет-преобразование
может быть записано как циклическая свертка с ф]\р] — [~~n \m
ЙКИ
n
- і
Wf [ n, aj ] I ] T M f l W
m==0
,:;
11 i 11
^4'64)
Эта циклическая свертка вычисляется с помощью алгоритма быстрого преоб­
разования Фурье, который требует 0 {N \o g 2 N ) операций. Если a = 2 Ц то
мы имеем v\og2(N/(2K)) масштабов | | | | В | Н
Поэтому общее коли­
чество операций для вычисления вэйвлет-преобразований для всех масштабов
равняется 0 ( y N (log2 N ) 2) [291].
.
Чтобы вычислить скэйлограмму Piy[n,£] = \Wf[n, | ]| , мы вычисляем
W /[n,s] для любого масштаба I с помощью параболической интерполяции.
Пусть j — ближайшее целое к log2 s/log2 а, и р(х)
такая парабола, что
p(j - 1)
1 Wf [ n, aJ_1],
p(j) = Wf [ n, aJ],
p(j
11) =
Wf [ n, aJ+1].
Интерполяция второго порядка вычисляет
'
Wf[n’'Sl■■P(SS) '
.- M i
Параболическая интерполяция используется вместо линейной интерполяции
для того, чтобы более точно локализовать хребты, определенные в п. 4.4.2.
Д и с к р е т н а я м асш табн ая ф и л ьтр ац и я. Вэйвлет-преобразование, вычис­
ленное до масштаба aJ , не дает полного представления о сигнале. Необходи­
мо добавить низкие частоты L f[n ,a J], соответствующие масштабам, ббльшим,
чем aJ . Дискретный масштабный фильтр вычисляется выборкой масштабиру­
ющей функции ф(і), определенной в (4.42):
при
Пусть 4>j[n] =
1 1 [_ -лг/ 2>-лг/ 2]-
■ я
п], тогда нижние частоты выделяются формулой
1Ж ЯЩ
N —1
L f \ n , a J] -
/М 0 М т - « ] = / ©
т=0
;
(4-65)
йЯн
4.4. М гновенные частоты
111
В осстановление. Обратное вэйвлет-преобразование получается дискретиза­
цией интеграла (4.45). Предположим, что а1 = 2 — наименьший масштаб.
Так как d s/s = d In s / s и дискретное вэйвлет-преобразование вычисляется по
экспоненциальной масштабной последовательности {o?}j с логарифмическим
приращением d In s = In а, мы получаем
•
‘
In а 3
Л
«
1
1
»
(
4
6
6
)
Здесь «.» указьшает переменную, по которой вычисляется свертка. Эти цик2
вычисляются
раций.
Аналитические вэйвлет-преобразования часто ві
ных сигналов f[n], энергия которых при низких чз
случае не используется масштабный фильтр (j)j[n\.
Теорема 4.4 показьшает, что
2 In а
/
/ М w ~ ^ “ Re
1
Z? w f U
© Фо W I •
(4.67)
3=1
Погрешность, обусловленная дискретизацией масштабов, убывает при воз­
растании числа v голосов в октаве. Однако приближение непрерывных вре­
менных сверток дискретными свертками также создает высокочастотные по­
грешности. Точные восстановления могут быть получены с помощью более
аккуратного построения фильтров восстановления. В п. 5.5.2 описывается точдля
4.4
Мгновенные частоты2
Когда мы слушаем музыку, мы воспринимаем несколько частот, которые меня­
ются во времени. Изменение во времени нескольких мгновенных частот может
быть измерено с помощью частотно-временных разложений, в частности с
помощью преобразований Фурье с окном и вэйвлет-преобразований.
А н ал и ти ч еск ая м гн о вен н ая частота. Косинусная модуляция
/(£) = a cos(wo£ + фо) = о cos ф(І)
имеет частоту
которая является производной фазы ф{і) = u>ot + ф0. Для
обобщения этого понятия вещественные сигналы / записываются как ампли­
туда а, модулированная с помощью зависящей от времени фазы ф:
f ( t ) = a(t) cos ф(і),
где
а(і) > О
(4.68)
Глава 4. Время встречается с частотой
112
Мгновенная частота определяется как положительная производная фазы:
и»(*)=<£'(*) > о .
'
Производная может быть сделана положительной путем изменения знака ф{1).
Нужно быть аккуратным, потому что существует много возможных способов
выбора Щ и ф(і)-, это означает, что u(t) не определяется для / единственным
образом.
„
, ,
В частности, разложение (4.68) получено из аналитической части /„ функ­
ции / , преобразование Фурье которой определено формулой
І , 1 1 І ■2/(w),
Ж
1 о.
|
если | > 0,
если о? < 0.
69)
;
сигнал получается разделением модуля
фазы:
fait) = a{t) exp
(4-70)
Так как / = Re[/a]t из этого следует
f(t) = a(t) cos ф{і) .
Мы называем a(t) аналитической амплитудой f(t) и ф'(і) ее мгновенной ча­
стотой ; они определены единственным образом.
П р и м ер 4.12. Если f(t) —a(t) cos(wot + фо), то
■а
f(yj) = | (ехр{гфо)а{ш —шо) + ехр{—іфо)а{ш + ШМ •
Ш
\
V . ‘
_________________________________________________________
Если a(t) мало меняется за период 2п/и>0, а это выполняется при удовлетворе­
нии требования, что носитель а содержится в [—Sjpjgpp т0
, v4^
/«(w) = a(w - wo) ехр(гфо),
И fait) = a(t) exp[i(w0t + ^о)].
Если сигнал / — сумма двух синусоидальных волн:
f ( t ) — a cos(wit) + acos(w 2t),
ШИйиШм
1
то fait) = a exp(zwii) + a exp(iu,2f) S a cos (|(w i —w2)t) exp (f(w i + co0) •
Мгновенная частота есть ф'[і) =
+ w2)/2 и амплитуда —
v
a(t) = a cos ( ^(wi - w2)t
Этот результат нельзя считать удовлетворительным, потому что он не показы­
вает, что сигнал состоит из двух синусоидальных волн одинаковой амплитуды.
Он дает значение средней частоты. Следующие пункты объясняют, как изме­
рять мгновенные частоты нескольких спектральных компонент, разделяя их
с помощью преобразования Фурье с окном или вэйвлет-преобразования. Мы
сначала дадим описание двух важных применений мгновенных частот.
113
4.4. Мгновенные частоты
Ч асто тн ая м о д у л яц и я. При передаче сигналов информация может переда­
ваться с помощью амплитуды a(t) (амплитудная модуляция) или мгновенной
частоты ф'it) (частотная модуляция) [65]. Частотная модуляция более надеж­
на при наличии аддитивного гауссовского белого шума. Кроме того, она луч­
ше противостоит многоволновой интерференции, которая разрушает ампли­
тудную информацию. Частотная модуляция отправляет послание m(t) в виде
сигнала
f i t ) = aco s^(t),
где фг{Ь) = uq + km{t).
Частотная ширина диапазона / пропорциональна к- Эта константа выбирается
в зависимости от шума передачи и имеющегося диапазона частот. При приеме
послания га(£) восстанавливается с помощью частотной демодуляции, которая
вычисляет мгновенную частоту ф>{Ь) [101].
А ддитивны е зв у к о в ы е м одели. Музыкальные звуки и сегменты голосовой
речи могут быть представлены в виде суммы синусоидальных частпиц:
К
/(* )ш
к=1
К
/ *( *) =
'
(4-71)
к=1
где %к и ф'к медленно меняются [296, 297]. Такие разложения полезны для рас­
познавания и изменения свойств звука [245]. В п. 4.4.1 и п. 4.4.2 объясняется,
как вычислить щ и мгновенные частоты ф'к каждой частицы, из которой с
помощью интегрирования получается фаза фкСжимая во времени звук / с помощью коэффициента а , не изменяя при
этом значений ф'к и а&, мы получим
I
К
|
g(t) = ^ a fc (a £ )c o s ^ ~ ^fc(at)^.
(4.72)
life*
k=1
I
Частицы g при t = ato и частицы f при t = to имеют одинаковые амплитуды
и частоты. Если a > 1, то звук д короче, но он воспринимается как имеющий
одинаковое с / «частотное содержание».
Перестановка частоты вычисляется умножением каждой фазы на кон­
станту а:
ЩЛШ I
Ш
g{t) т 5 3 **(*) cos(афк(Ь)\
(4.73)
fe i
й
\ Ш
Мгновенная частота каждой частицы теперь есть аф^(і). Чтобы вычислить
новые амплитуды &&(£), мы используем резонансную модель, которая предпо­
лагает, что эти амплитуды представляют собой выборки гладкого по частоте
пакета F (t,u):
•
ak(t) = F | ! | Й § |
и
bk(t) = F(t,a<j>'k{ t ) y
При обработке речи этот пакет называется формантом. Он зависит от типа
произносимых фонем. Так как F(t,u>) — гладкая функция от и>, то ее ампли­
туда при и = a(p'k(t) вычисляется с помощью интерполяции значений agf||§
соответствующих ш = фги{і).
Глава 4. Время встречается с частотой
114
4.4.1
Хребты преобразования Ф урье с окном
Спектрограмма P s f ( u >Q == 1^/(и>012 измеряет энергию / в частотно-вре­
менной окрестности
Алгоритм исследования хребтов вычисляет мгнолокальным максимумам
ден Дельпра, Ескюдье, Гийеменом, Кронлан-Мартинё, Чамичьяном и Торредля анализа музыкальных
тиипокого K D v r a сигналов [
во времени частотные тона.
Преобразование Фурье с окном вычисляется с помощью симметричного ок­
на g(t) = g(—i), носитель которого равняется [—1/2,1/2]. Преобразование Фу­
рье д — вещественная симметричная функция и |p(cj)| ft з(0) ПРИ всех и Е R.
Максимум д(0) =
g{t) dt имеет порядок 1. В табл. 4.1 дано несколько
примеров таких окон. Окно д нормируется так, что ||р|| = 1. Для фиксиро­
ванного масштаба s функция gs(t) = s~1^2g(t/s) имеет носитель размера s и
единичную норму. Соответствующие атомы Фурье с окном имеют вид
S's,и,£(£) = 9s{t
u)e* 1
-;
и преобразование Фурье с окном определяется как
I
-foo
S f i u , О = (/, gSiUiz) щ /
f{t)gs( t - u ) e Ш Ш
(4.74)
—ОО
Следующая теорема связывает S f( u , £) с мгновенной частотой / .
Т еорем а 4.5. Пусть f(t) = a(t) cos ф(Ь). Если £ > 0, то
( /,Щ Щ =
ехр(і[ф(и) - £«]) (jj{s[£ - ф'(и)\) + &Ш£ )).
(4.75)
Корректирующий член удовлетворяет неравенству
е( ^ 0 1 ^ 6o,i + еа?2 + %2 +
sup
^
\д(ш)|,
Н > 8 ф '(и )
(4*76)
■-.
где
■ 1Щ Й
1
0,1 “ ~ а(и\\
’
Ш>1
И
s2\a"[t)\
І |t-u|<«/2
Ш
S |a(u)1 I f
SS1
,^Ш Ш
и если s|a'(ii)||a(it)l-1 < 1, то
4 ,2
<
sup
з2\ф"(Ь)\.
(4.78)
(2s0'(u)) .
(4.79)
| t —u | < 5 / 2
ЙІІйр £ = Ф'{и)у ТПО
И Н
|а(и)|
4.4. Мгновенные частоты
115
Доказательство2. Заметим, что
+оо
( />
a(t) cos ф(і)д3{і —и) ехр(—i£t) dt
9 s , и , $ )
i
—OO
+ OO
a(£)(exp[i<£(£)] + exp[—іф(і)])д8(і —и) exp[—S ] dt
2
—OO
Сосредоточимся сначала на
+оо
1
т
2
i
a(t) ехр[іф(І)]д8(і —и) ехр(—i££) dt
— ОО
[
a(t + u)e,<^ t+“)0s(£)exp[-i£(t + u)]d£.
J —ОО
Этот интеграл вычисляется с помощью разложения Тейлора 2-го порядка:
/
t
а(и) + ta (й) + a(t),
a(t j§ и)
где |ск(£)| <
2
h € [ u ,t + u ]
t2
ф(и) + іф\и) + —/?(£),
§{t + и)
sup
//
|a (/г)|,
2
где \0(t)\ <
sup
Iф' (Л)|.
/i€ [ u ,t+ u ]
Мы получаем
2ехр(-і{ф(и) - £«)) 1{ф) =
f
J —OO
a(u)gs(t) exp(-it(£ - ф'(и))\ exp
+ oo
a (u)tg8(t) exp( —it(£
+
t
dt
m)
2
t
И Я f S B 2 |g § dt
— OO
+І J
a(t)t2gs(t) e x p 1 ф(и) - ф(і + u))^ dt.
Разложение Тейлора ехр(гя) 1-го порядка дает
Л2
~
.
л
ехр^г / 3 ( t ) J
2
-
і2
= 1 1 ү /? (і)7 (* )> гДе
І7 (0 | < 1
(4.80)
Так как
+оо
g,(t) ехр[—if(£ - ф\и))] dt = y/sg(s[Z - <£'(u)|),
— OO
то подстановка (4.80) в выражение для 1(ф) приводит к неравенству
НФ) - -y W u) ехр[ЦФ(и) -
\/д|а(ц)|
- Ф'(и)) <
(eo,i
+
св,2
+
Сф.а),
4
(4.81)
Глава 4. Время встречается с частотой
116
где
■
+оо 2
t- p 5 s(0exp[-ii(C
-оо ІЙ
2 | а!{и
а(тх)|
ф' (и) )] р )
(4.82)
(4.83)
+тоі і Я ^ Ь ( І Ш
€а,2
v/i
—оо
-foo
1
t2m ) \ 4 = \ 9s(t)\dt
— ОО
л/5
•foo
1
Ш
(ц)
1
+
€ф, 2
а(и)| У_ оо
(4.84)
л /5
Применение (4.81) к 1(—ф) дает
0)1 < ^ 2 ^ '" $
где
+
4 ,2),
(с0,1 1 Ц 2 +
-foo 1
2|а/(ц)1
а, 1
+
(4.85)
t —= g a(t) ехр[—it(£ + <£'(u))] dt
■00
V s
<*(«)!
Так как ( > 0 и ф'(и) > 0, мы выводим, что
|ff(s[C+ <£'(«)])! <
sup
ІЩ Іі
и, следовательно,
Ңф) 4- І(-Ф ) = Щ-а{и) ехр[і(ф(и) - £и)] |# Щ - 0'(u)l) + е(«>
о) і
где
^а, 1 ^а,1
2
+ €а>2 + бф>2 +
SUp
\и\>б\ф'(и)\
\д(ш)\.
Получим оценку верхней границы (4.77) при еа,і = (б ^ + са1 )/2. Так как
w
- 1/2 g(t/s), то простое вычисление показывает, что при п > О
9s(t)
+оо
п
\t\n - ^ \ g e(t)\dt
—оо
1/2
Vs 14--3
-
п
п
Ж
1 /2
(4.86)
Подстановка этого значения при п = 1 в (4.82) и (4.86) дает
!
_ Ш | e».i | s|a'(u)|
Сд,1 —
“
,
2
a(u)|
Верхние границы (4.77) и (4.78) для членов второго порядка еа ,2 и £ф,|
получаются из того, что остатки a(t) и jS(i) в разложении Тейлора a(t + и) и
ф(і + и) удовлетворяют неравенствам
Щ
sup f g s <
*l<«/2
sup
|a"(t)|,
\t-u\< e/2
sup |/3(£)| <
sup
\t\< s /2
\t-u\< e/2
Подстановка первого неравенства в (4.83) дает
У
Со,2 <
SUp
s2|a"(t)|
Г/\|
•
\6"(t)\.
(4.87)
117
4.4. Мгновенные частоты
При s |a (гл)||а(гі)|
неравенству
< 1 замена \0(t)\ в (4.84) ее верхней границей приводит к
Сф,2 < ^ ( l + ||й § ! |
.
.
Z \
ІЩ р І
В
sup
32\ф"(І)\ <
' \t-u\< s/2
s2|0"(t)|.
| t —t i | < s / 2
В заключение вычислим еЛ) когда £ = ф*(и). Так как g(t) = д{—і), то мы
выводим из (4.82), что
+
6а,1
2|а'Ы1
«(«)[
+оо
t - ^ g 3(t) dt
—оо
Vs
О
Мы также получаем из (2.22), что преобразование Фурье функции t - ^ g s(t)
л/
следует
дали
случая, когда g(t) — функция Гаусса, используя приближение стационарной
фазы. Если мы можем пренебречь корректирующим членом е(и, Щ мы уви­
дим, что (4.75) дает нам возможность измерить а(и) и ф'(и) по S f(u ,£ ). Это
означает, что разложение f ( t ) = a(t) cos ф{і) определяется единственным об­
разом. Пересматривая доказательство теоремы 4.5, можно убедиться, что а и
Ф'
Выражения (4.77), (4.78) показывают, что три корректирующие члена ea,i,
малы, если alt) и ф (t) относительно мало
равных носителю окна да. Пусть Аш — ширина диапазона д, определенная
неравенствами
К; "
1^(о>)| < 1 при \и>\ > До;.
(4.88)
мал
Член
sup
// ч
ф(и)>мало
Аи/
максимален при ш = 0, то (4.75) показывает,
что для каждого и спектрограмма |S /(u ,£ )|2 = K/,<7s,ut$)| максимальна при
£(и) - ф'{и). Соответствующие частотно-временные точки (u,£(u)) называют­
ся хребтами. В точках хребта (4.75) принимает вид
S f ( u , £) = Ш а(4і| ехр(і[ф(и) - £u]) fg(0) + e(u, £ )).
(4.89)
mt
В теореме 4.5 доказано, что б(и,£) в точках хребта становится малым, по­
тому что член первого порядка бад в (4.79) становится пренебрежимо малым.
Это вытекает из проверки того, что |g'(2s<^'(u))| пренебрежимо мал в тех слу­
чаях, когда вф1(и) > ДілЛ В точках хребта члены второго порядка с0)2 и
в
с(и, ^) становятся главными.
Глава 4. Время встречается с частотой
118
Частота хребта дает мгновенную частоту £(и) — ф (и}> при этом амплитуда
вычисляется по формуле
° (и)
1
Ш
Щ
.
(4.90)
Пусть Ф5 (гі,0 — комплексная фаза Sf {u, £)• Если мы пренебрегаем коррек­
тирующим членом, то из (4.89) следует, что точки хребта являются также
точками стационарной фазы
афд(и’() = Ш
- f = о.
,■
Проверка стационарности фазы более точно локализует расположение
хребтов.
М н о го к р атн ы е частоты . Когда сигнал содержит несколько спектральных
линий, частоты которых достаточно разделены, преобразование Фурье с ок­
ном выделяет каждую из этих компонент, и хребты определяют изменение во
времени каждой спектральной компоненты. Рассмотрим
f(t) =
(t) cos фх (t) + a2(t) cos ф2{t),
.
Щ
где Ofc(£) и ф'ь{і) мало меняются на интервалах размера s и s$ k{t) > Аш. Так
как преобразование Фурье с окном линейно, мы применяем (4.75) к каждой
спектральной компоненте и пренебрегаем корректирующими членами:
S/ К О
|
+
I
“ ||Щ
І exp(i[02(«) 1 £«]).
(4-91)
Две спектральные компоненты различаются, если для всех и
зЦФіІУ) - Ф М І ) < 1,
.
(4.92)
это означает, что разность между частотами больше, чем ширина диапазона
SW :
д
|< f i ( « ) - ^ ( n ) |> — .
(4.93)
В этом случае, если £ = ф\{и), вторым членом в (4.91) можно пренебречь, и
первый член порождает точки хребта, по которым, используя (4.90), мы можем
восстановить ф\{и) и ai(u). Аналогично, если £ = ^ 2 (^)> то можно пренебречь
первым членом, и мы имеем другие точки хребта, которые характеризуют
Ф2 (и) и а2(и) • Точки хребтов расположены вдоль двух частотно-временных ли­
ний £(?х) = Фі (и) и £(и) = ф*2 (и). Этот результат имеет силу для любого числа
спектральных
между
две спектральные линии очень близки друг к другу, то они интерферируют,
это делает неприменимой модель хребтов.
«
4.4. Мгновенные частоты
119
В общем случае число мгновенных частот неизвестно. Поэтому мы выде­
ляем все локальные максимумы |£ /(и ,£ )|2, которые также являются точками
стационарной фазы |Р ||Р Р = Ф'(и) —f = 0. Эти точки определяют кривые
в плоскости К , | | | которые также являются хребтами преобразования Фурье
с окном. Хребты, соответствующие малым амплитудам а(и), часто передви­
гаются, потому что они могут быть наведены шумами или «тенями» других
мгновенных частот, созданными боковыми максимумами модуля д(ш).
Рис. 4.12. Хребты наибольшей амплитуды, вычисленные по спектрограмме
рис. 4.3. Эти хребты дают значения мгновенных частот для линейного и
квадратичного чирпов, а также низких и высоких мгновенных частот при
t = 0.5 и t = 0.87.
Рис. 4.12 изображает хребты, вычисленные по амплитудам и фазам преоб­
разования Фурье с окном, показанного на рис. 4.3. При 1 1 [0.4,0.5] мгновенные
частоты линейного и квадратичного чирпов близки друг к другу, и частотно­
го разрешения окна недостаточно, чтобы их разделить. Как результат, хребты
выделяют единственную среднюю мгновенную частоту.
В ы бор окн а. Измерение мгновенных частот в точках хребта применимо, если
только размер s окна д8 мал настолько, что члены второго порядка еа ,2 и Сф^
в (4.77), (4.78) малы:
sup
\t-u \< a /2
I
Й 1
и
sup
§Щ §Щ Һ I
(4.94)
|t-t* |< s / 2
С другой стороны, частотные диапазоны Аш/ s должны быть также достаточ­
но малы для выделения последовательных спектральных компонент в (4.93).
Поэтому масштаб окна s должен соответствовать этим двум противоречивым
ограничениям.
Спектральные параметры нескольких окон с компактным носителем приве­
дены в табл. 4.1. Д ля выделения мгновенной частоты особенно важно обеспе­
чить, чтобы д имело пренебрежимо малые боковые максимумы модуля при
±и>о, как это показано на рис. 4.4. Читатель може^ проверить по форму­
ле (4.75), что эти боковые максимумы «влияют» на мгновенную частоту ф'(и),
создавая теневые максимумы |5 /(и ,£ )|2 на частотах | = Ф'{и) ± wg. Отноше­
ние амплитуды этих теневых максимумов к амплитуде основного максимума,
расположенного при | = ф\и), есть |0(wo)|2|fl(O)| . Они могут быть удалены
путем введения порога или проверки стационарности фазы.
120
Глава 4. Время встречается с частотой
t
и
(а)
U
(
б
)
Р и с. 4.13. Сумма двух параллельных линейных чирпов. (а) Спектрограмма
ШШШШ Я \Sf(u,Z)\2. (б) Хребты, вычисленные по спектрограмме.
П р и м ер 4.13. Сумма двух параллельных линейных чирпов
f(t) = ai cos(fa2 + ct) + а2 cos(bt2)
Н
(4.95)
имеет две мгновенные частоты ф[(г) = Щ + с и
= 2bt. На рис. 4.13
приведены результаты вычислений.
Окно да имеет достаточное частотное разрешение для разделения обоих
чирпов, если
A cj
(4.96)
>
І& К Я
Его временной носитель достаточно мал по сравнению с их изменением во
времени, если
(4.97)
Й И Я 1 1 И I S i 1 2bs В 1.
2
4.4. Мгновенные частоты
121
Из (4.96) и (4.97) следует, что мы можем найти подходящее окно д тогда и
только тогда, когда
f p s ’vщ
■
7 б > Л и ;’
"
^4'98^
Если д гладкое окно с носителем [—1/2,1/2], ширина его частотного диапа­
зона имеет порядок 1. Линейные чирпы на рис. 4.13 удовлетворяют (4.98). Их
хребты вычислены с помощью усеченного окна Гаусса из табл. 4.1 при 1 = 0.5.
П рим ер 4.14. Гиперболический чирп
/(£) = cos
а
при 0 < t < /3 имеет мгновенную частоту
Ж- І !
’
которая быстро изменяется при Я близких к /?. Мгновенная частота гиперболи­
ческого чирпа растет от 0 до +оо за конечный отрезок времени. Это особенно
полезно в случае радаров. Такие чирпы излучаются также органами звуковой
локации летучих мышей [154].
Мгновенная частота гиперболических чирпов не может быть оценена с по­
мощью преобразования Фурье с окном, потому что при любом фиксированном
размере окна мгновенная частота в области больших частот меняется очень
быстро. При % достаточно близких к /3, одно из неравенств (4.94) не удовле­
творяется, потому что
2
Я
сигнал
|
болических чирпов:
/(£) = Ц cos ( - ---- 1 ) 1 Ц cos I
I,
(4.99)
где щ = 0.68 и Щ = 0.72. В начале сигнала два чирпа имеют близкие мгновен­
ные частоты, которые различаются хребтами, полученными с помощью пре­
образования Фурье с окном большого размера. Ближе к /?і и /?2 мгновенная
частота изменяется очень быстро относительно размера окна. Результирую­
щие хребты не могут следовать за этими мгновенными частотами.
4.4.2
В эйвлет-хребты
Атомы Фурье с окном имеют фиксированный масштаб и поэтому не могут сле­
довать за мгновенной частотой быстро меняющихся явлений, таких как гипер­
болические чирпы. В противоположность этому, аналитическое вэйвлет-преоб­
разование меняет масштаб своих частотно-временных атомов. Алгоритм хреб­
тов Дельпра и др. [154] продолжен на аналитические вэйвлет-преобразования
для тщательного измерения частот тонов, которые быстро изменяются в диа­
пазоне высоких частот.
I
Глава 4. Время встречается с частотой
122
t
и
(а)
■5/2л
500
400
300
200
100
II
°0
0.2
0.4
0.6
0.8
1м
(б)
Р и с . 4.14. Сумма двух гиперболических чирпов.
P s/ Ы ) . (б) Хребты, вычисленные по спектрограмме.
ІШ1Щ
(а)
Спектрограмма
шЩ НН
Приближенный аналитический вэйвлет получен в (4.60) в результате умно­
жения окна д на синусоидальную волну:
Н ттШ Як
Ф{і) = g(t) ехр(ir}t).
Как и выше, д — симметричное окно с носителем, равным [-1 /2 ,1 /2 ], и еди­
ничной нормой 111 = 1. Пусть Да; — ширина диапазона частот д, определенная
в (4.88). Если г] > Дш, то
Vo) < 0,
ф(ш) = д(ш -17 ) < 1,
4.4. Мгновенные частоты
123
Вэйвлет щ не является строго аналитическим, потому что его преобразование
Фурье не равняется точно нулю для отрицательных частот.
Растянутые и сдвинутые вэйвлеты могут быть записаны как
1 , ( t —u
:ф
уГ*
Фи,8$)
(*)ехр(-г'£«),
где £ = r)js и
9s,u,t(t ) = y/sg ( —— ) ехр(г£і)
В результате вэйвлет-преобразование использует частотно-временные атомы,
аналогичные преобразованию Фурье с окном (4.74), но в этом случае масштаб
I изменяется в области Щ§ так как £ = 77/s:
W f ( u , s ) = (f,ipu,s) = </,&>,ti,e)exp(z£u).
Теорема 4.5 дает возможность вычислить {f,gs,u,t) Для f ( t ) = a(t) cos ф(і):
W f (и, s)
2
a(u)exp[i^(u)]( 5 (s[^ - ф'{и)\) + e(u, £))
(4.100)
Корректирующий член e(u, щ пренебрежимо мал, если a(t) и ф'{Ь) мало меня­
ются на носителе фПі3 и если ф'{и) > Aw/s.
В эйвлет-хребты . Мгновенная частота измеряется по хребтам, определенным
с помощью вэйвлет-преобразования. Нормированная скэйлограмма, опреде­
ленная как
і
для £ = 77/s,
P w f(u ,0
■п
вычисляется с помощью (4.100):
P \vf(u ,€ )
1
а2(и) 9 \ V 1
4
Ф'{и)
£
и. О
Так как щШм максимален при и = 0 и если мы пренебрегаем е(и,£), то это
выражение показывает, что скэйлограмма максимальна при
s{u)
S
I Ф'(и)
(4.101)
Соответствующие точки (и, £(и)) называются вэйвлетп-хребгпами. Аналитиче­
ская амплитуда дается формулой >
а(и)
(4.102)
Комплексная ф аза W f ( u , s) в (4.100) есть Фіу(и,£) = ф{и). В точках хребта
ди
(4.103)
124
Когда І Я ф'(и), членом первого порядка ба,1, вычисленным в (4.79), можно
пренебречь. Поэтому корректирующий член определяется еа>2 и р | | Чтобы
упростить их вьфажение, мы приблизим sup а" и su p 0 в окрестности и их
значениями в этой точке. Так как s = ЦШ Щ v / Ф (и)> то из
члены
второго
порядка
становятся
пренебрежимо
малыми
следует, что эти
если
(4.104)
Присутствие ф' в знаменателе доказывает, что а' и ф' должны мало менять­
ся при малых ф\ но могут меняться очень быстро при больших мгновенных
частотах.
М н огосп ектральн ая оценка. Предположим, что /
сумма двух спектраль­
ных компонент:
Я
f(t) = Oi(i) cos фі(t) + а2{і) cos ф2 {і)■
Как и в (4.92), мы убеждаемся, что вторая мгновенная частота ф'2 не интер­
ферирует с хребтом <Шесли растянутое окно имеет достаточное спектральное
разрешение при масштабе хребта s = г)/£ — т}/фі(и):
■А
;
Ц; 1
Ш іШ Ш - Ф‘ ШШш Ш І
(4.105)
Так как ширина диапазона д(ш) есть Щй| то это означает, что
\Фі(и) - ф2(и)\
Hg
Ф'л (и)
Л
(4.106)
Аналогично, первая спектральная компонента не интерферирует со вторым
хребтом, расположенным при s —
— ц/ф ^и), если
' '''Ш щ Я И
(4.107)
Я
I
При разделении спектральных линий с близкими мгновенными частотами эти
Ширина диапазона Аи> — фиксированная константа, которая имеет порядок 1.
Частота т] — свободный параметр, величина которого оптимально выбирается
между условием разрешения по времени (4.104) и условиями ширины частот­
ного диапазона (4.106) и (4.107).
На рис. 4.15 изображены хребты, вычисленные по нормированной скэйлограмме и вэйвлет-фазе, показанных на рис. 4.11. Хребты высокой частоты,
расположенные при t = 0.87, имеют колебания по причине интерференции с
линейным чирпом, рассмотренным выше. Условие разделения частот (4.106) не
удовлетворяется. Это также имеет место во временном интервале [0 .35 , 0.55],
где мгновенные частоты линейного и квадратичного чирпов близки друг ДРУГУ1
4.4. Мгновенные частоты
125
\!2 п
и
Рис. 4.15. Хребты, вычисленные по скэйлограмме, показанной на рис. 4.11.
£ / 2к
400300-
200
100
-
-
0
0.2
0
0.6
0.4
0.8
1
и
(а)
£ / 2я
U
■■
(б)
5
Рис. 4.16. (а) Нормированная скэйлограмма 77- 1£Рцг/(гх,£) двух параллель­
ных линейных чирпов, показанных на рис. 4.13. (б) Вэйвлет-хребты.
Глава 4. Время встречается с частотой
126
П ри м ер 4.15. Мгновенные частоты двух линейных чирпов f ( t ) — Щ cos(6t 2 +
ct) + I f cos (bt2) хорошо не вычисляются с помощью вэйвлет-хребтов. Действи­
тельно
ф'2(ч) - Фі(и)\
bt
Ш (и)
стремится к нулю с возрастанием t. Когда это выражение становится меньше,
чем А |/г?, два чирпа взаимодействуют и создают интерференционную карти­
ну, как на рис. 4.16. В противоположность хребтам Фурье с окном, показанным
на рис. 4.13, эти хребты, следуя интерференционной картине, не оценивают
правильно мгновенные частоты.
П ри м ер 4.16. Мгновенная частота гиперболического чирпа
№
cos
есть ф'{€) = а(1 —1)~2. Вэйвлет-хребты могут измерять эту мгновенную ча­
стоту, если выполняется условие временного разрешения (4.104):
a
I t -131'
Это имеет место при не очень больших 1 —(31.
На рис. 4.17 изображены скэйлограмма и хребты для двух гиперболических
чирпов
+ 0.2 COS
f i t ) = di cos
при Pi = 0.68 и fa — 0.72. В противоположность хребтам Фурье с окном, пока­
занным на рис. 4.14, вэйвлет-хребты следуют быстрому изменению во времени
обоих мгновенных частот. Это особенно полезно при анализе отражений гипер­
болических чирпов, излучаемых радарами и сонарами. Разработана техника
выделения чирпов с помощью вэйвлет-хребтов в присутствии шума [117, 328].
4.5
Квадратичная частотно-временная энергия1
Вэйвлет-преобразования и преобразования Фурье с окном вычисляются корре­
ляцией сигнала с семействами частотно-временных атомов. Поэтому частотное
и временное разрешения этих преобразований ограничено частотно-времен­
ным разрешением соответствующих атомов. В идеале хотелось бы определить
плотность энергии в частотно-временной плоскости без потери разрешения.
Распределение Вигнера-Вилля — это частотно-временная плотность энер­
гии, вычисленная корреляцией / со сдвигом по времени и частоте самой этой
функции. Несмотря на их замечательные свойства, применение распределений
Вигнера—Вилля ограничено наличием интерференционных членов. Такие интерференции могут быть ослаблены частотно-временным усреднением, но это
приводит к потере разрешения. Доказано, что спектрограмма, скэйлограмма и
все квадратичные частотно-временные разложения могут быть записаны как
частотно-временные усреднения распределения Вигнера-Вилля.
4.5. Квадратичная частотно-временная энергия
127
£ / 2л
и
(а)
Е / 2я
U
(б)
Рис. 4.17. (а) Нормированная скэйлограмма г) £ P w f( u jQ ДВУХ гиперболи­
ческих чирпов, показанных на рис. 4.14. (б) Вэйвлет-хребты.
4.5.1
Распределение Вигнера-Вилля
В 1948 г. Билль [342] ввел при обработке сигналов для анализа частотно­
временных структур квадратичные формы, которые ранее, в 1932 г., были
изучены Вигнером в статье по квантовой термодинамике [352]:
+оо
P v fM
—оо
!SB SlSsiil! ®в
(4.108)
Распределение Вигнера-Вилля вещественно, потому что это преобразова­
ние Фурье произведения f ( u + г/2 )/* (и —т/2), которое имеет эрмитову сим­
метрию по т. Время и частота также симметричны. Применяя равенство Парсеваля, это распределение может быть переписано в виде интеграла по частоте
+оо
1
7
ъ*уи d j
1
(4.109)
P v f ( u ,0
fU + 2 г U
2
27Г
оо
Глава 4. Время встречается с частотой
128
Ч астотно-врем енной носитель. Преобразование Вигнера-Вилля локализу­
ет частотно-временную структуру / . Если энергия / хорошо сконцентрирована I
во времени около ио и по частоте около £сь т0 P v f имеет энергию, концентри­
рованную в окрестности (гго>£о) с протяженностью, равной частотной и вре­
менной протяженности / . Это свойство иллюстрируется следующим утвержде­
нием, которое связывает временной и частотный носители P y f с носителями
/ и /.
-Ш
У твер ж д ен и е 4.2. • Если [г^о —Т/2, г^о + Т/2] — носитель / , то при всех£
носитель P y f (и, £) по и содержится ө этом интервале.
А
• Если [£о—Л/2,£о+Л/2] —носитель f , то при всех и носитель P y f(u yQ
по £ содержится в этом интервале.
Доказательство . Пусть f ( t ) = / ( —t). Распределение Вигнера-Вилля может
быть переписано как
щ
:
Г ( 1^
Pvf{u,\ ) = £ ° ° f
)
е"<€т d.T.
(4.110)
1
Предположим, что / имеет носитель, равный [гхо — Т /2 , щ + Т/2]. Носители
/( т /2 + и) и /( т /2 —и) соответственно равны
[2(и0 - и ) - Т , 2(и0 - и ) + Т]
и
[~2(и0 - и) - Т, - 2 {и0 - ti) +.Т\.
I
Интеграл Вигнера-Вилля (4.110) показывает, что P y f ( u ,£ ) отлично от нуля,
если эти два отрезка перекрываются, что может быть только в случае, если
|txo —и\ < Т /2. Поэтому носитель P y f (и, £) по и содержится в носителе / . Если
носитель /
конечный отрезок, то такой же вывод, основанный на (4.109),
показывает, что носитель P y f (и, £) по £ содержится в носителе / .
■
П ри м ер 4.17. В утверждении 4.2 доказывается, что распределение ВигнераВилля не увеличивает временной и частотный носители функций Дирака или
синусоид в отличие от преобразований Фурье с окном и вэйвлет-преобразований. Прямые вычисления дают:
1 Ц 'ЩШ
f ( t ) = 5 { u - u 0)
f (t) = exp(i£0t)
Я
P v f ( u , Q = S ( u - u 0),
(4 .111)
P v / ( u , 0 I i - 5 ( £ _ £ 0).
(4.112)
П р и м ер 4.18. Если / — гладкое и симметричное окно, то его распределе­
ние Вигнера-Вилля P v f(u ,£ ) сконцентрировано в окрестности точки Я Н 0.
Функция Гаусса f( t) = {а2п)
ехр(—t2/(2<r2)) преобразуется в двумерную
функцию Гаусса, так как ее преобразование Фурье есть также функция Гауеса (2.32), и можно проверить, что
P v f (и, 0 = І ехр
В этом случае Pv f ( u , 1 1 № ) | 2 |/(£)|2.
- (т2^
.
(4.113)
11І І І І м И
4.5. Квадратичная частотно-временная энергия
129
Распределение Вигнера-Вилля обладает важными инвариантными свой­
ствами. Сдвиг по фазе не изменяет его значения:
/(£) = e^g (t) = * Pv f(u , О = Pv g(u, О-
(4.114)
Когда / сдвигается по времени или частоте, его преобразование ВигнераВилля также сдвигается:
/(*) = 9(t ~ “о)
/( t) = exp(zfot)g(t)
=>
P v f { u , О = Pvg(u - щ , О,
Pv f(u , £) = Pv g(u, £ - £0).
(4.115)
(4.116)
Если / масштабировано на 5 и потому / масштабировано на 1/ 5 , то времен­
ной и частотный параметры P y f также масштабированы, соответственно, на
1/
/(*) = —ғА,( - ) =*• P v f(u ,£ ) = P v g ( - , s £ \ .
(4.117)
П рим ер 4.19. Если g — гладкое и симметричное окно, то энергия Pyg(u, £)
сосредоточена в окрестности (0,0). Частотно-временной атом
fo(t) = А= ехр(іфо)д ( j ~ ~ ~ ] exp(*£0t)
I
имеет распределение Вигнера-Вилля, которое вычисляется с помощью (4.114),
(4.115) и (4.116):
P v f o ( u , 0 = \а\2Р у д ( — — ^ , s(£ —£0)1 •
(4.118)
Поэтому его энергия сосредоточена в окрестности точки (ио>£о) в эллипсе с
осями, пропорциональными s по времени и І /s по частоте
М гновенная частота. Исходным побуждением Вилля при изучении частотно-временных разложений было вычисление мгновенной частоты сигна­
ла [342]. Пусть
/о
—
аналитическая
часть
/
,
полученная
в
(4.69)
приравниваА
нием нулю f ( u ) при о; < 0. Мы записываем f a(t) = a(t) ехр[г<^(£)] для опреде­
ления мгновенной частоты w(t) = ф'{Ь). В следующем утверждении доказыва­
ется, что ф'{Ь) есть «усредненная» частота, вычисленная через распределение
Вигнера-Вилля P y f аУ тверж дение 4.3. Если f a(t) — а(£) ехр[г</>(£)], то
, м ,
f:~ P v U M < 4
Доказательство2. Чтобы доказать этот результат, мы убедимся, что любая
функция д удовлетворяет тождеству
»+іУ (и-1)ехр(-іт О <Н ;<іт = -ш ^/(м)р*(х*)—£r(t*)i?*'(«)]. (4.120)
Глава 4. Время встречается с частотой
130
Это тождество получено из того, что преобразование Фурье от Щ есть произ­
водная функции Дирака, что в смысле обобщенных функций дает равенство:
£ехр(—irQ d£ = —І2п6 (т).
— ОО
Так как Г+°° 6'(т)һ(т)сІт = - һ ' ( 0), то, подставляя һ(т) = д(и + т/2)д‘ (и-т/2),
получаем (4.120). Если g(u) | f a(u) = a(u) ехр[іф(и)\, то (4.120) дает
1+00'2
.
£Pv fa(u, О ^ = 2 ъ а \и )ф (u).
- -‘'tI
— ОО
В (4.124) мы увидим, что |/«(гі)|2 = (2 т г Г 7 + ~ P v f a M d£, и так как
i|/a
V (u
/ м2
_/_.\2
_____
_____
.
.
.
ГЛ
11ГЛ
)|2 = а(и)2, мы выводим (4.119).
I
Ж
обычно сконцентрирована в окрестности мгновенной частоты £ = ф [и). На­
пример, линейный чирп f(t) = exp (iat 2) преобразуется в функцию Дирака,
ф'(и) = 2 аи:
локализованную
JUT
ч/ X V / A W
J
*
-----------------Г - 1 ----------------------
7
I
И
/•
Л А /
\
ТТ
= <5(£-2еш).
Аналогично, умножение / на линейный чирп ехр(гаг) приводит к частотному
сдвигу P v f на мгновенную частоту 2 дох:
1
/(£) = exp(iat2)<7(t) =S- P v f {и, О = Р уд {^Л ~~ 2о.и).
(4.121)
П лотн ость энергии. Из формулы Мояаля [275] следует, что преобразование
Вигнера-Вилля унитарно, откуда следуют свойства сохранения энергии.
Т еорем а 4.6 (МОЯАЛЬ). Д л я любых f и д из L 2 (R)
Щ
+оо
f(t)g* (t) dt
—ОО
1
2тг
JJ
(4.122)
Pv f(u,Z )P v g(u,O dudS.
Доказательство1. Вычислим интеграл
JJ
i
Pv!(u,£)Pvglu,t,)dudt
||I I j iM“■I I j ВВ
t
)» ‘
exp[—і^(т + r^jdrdr^ixd^.
A
Преобразование Фурье h(t) = 1 есть h(uS) = 2тг5(о;), которое означает, что
Гехр[—г£(т + T;)]d£ —
27г6(т + т'). В результате
1I 2пJJJКи+ъ)*\и~ъ)9{и+'і)9*{и~і)6(т+т^<
іт
(іт
,<
іи
=
2 n j j f{u + ^ )r(u -^ )g {u -^ jg -(u + ^ )d T d u .
Замена переменных t = и + т/2 и f' = u - т /2 приводит к (4.122).
*
4.5. Квадратичная частотно-временная энергия
131
Можно рассматривать \f(t)\2 и |/(ы )| 2/(2тг) как плотности з
мени и по частоте, которые удовлетворяют закону сохранения:
Л+ОО
1
оо
27Г
—оо
Слейдующее утверждение показывает, что эти плотности по времени и частоте
восстанавливаются как маргинальные интегралы от распределения ВигнераУ тверж дение 4.4. Д л я любой / е L 2 (R)
■foo
P v f ( u , £ ) d u = |/(0 1 а»
(4.123)
ОО
1
/т°°
P v f( u ,Q d £ = |/( « ) |: -
(4.124)
27Г - - о о
Доказательство1. Из интеграла по частоте (4.109) следует, что одномерное
преобразование Фурье по и функции д( (и) = Ру /(«,£) есть
■
* fr)-/(< + § )/• ( « - ! ) .
Мы выводим (4.123) из того, что
| | («) Щ
Аналогично, (4.108) показывает, что P y f (и, О — одномерное преобразование
Фурье по г от f( u + г /2)f* (и —т/2), где f — переменная Фурье. Поэтому
интеграл по £ дает значение произведения при г = 0 , что и означает тожде­
ство (4.124).
Это утверждение наводит на мысль интерпретировать распределение Виг­
нера-Вилля как совместную частотно-временную плотность энергии. Одна­
ко распределение Вигнера-Вилля не обладает одним фундаментальным свой­
ством плотности энергии: положительностью. Вычислим, например, распреде­
ление Вигнера-Вилля функции / = 1г_гг] I помощью интеграла (4.108):
2 sin
и
Pvf(u,0 —--------- ---------- 1[—
т’,7’](г«)функция
модулированные
ции Гаусса — это единственные функции, распределения Вигнера-Вилля коположительными
того чтобы получить положительные распределения энергии для всех сигна­
лов, необходимо усреднить преобразование Вигнера-Вилля, что приводит к
некоторой потере частотно-временного разрешения.
Глава
І 4. Время встречается с частотой
132
4.5.2
И н тер ф ер ен ц и и и п ол ож и тел ьн ость
идеальным
Н
И
Щ
частотно-временных структур сигнале. Однако g
не так по причине интерференций, обусловленных квадратичными свойствами
_________ ___________бх-тта- удалены путем vcnenнения распределения
——----г*
лит к положительным частотно-временным плотностям энергии. Однако это
уменьшает частотно-временное разрешение. Спектрограммы и скэйлограммы
квадратичных
ных в результате сглаживания распределения Вигнера-Вилля.
.
■
П ер екр естн ы е члены . Пусть / = | + | - составной сигнал. Так как рас­
пределение Вигнера-Вилля - квадратичная форма, то
г^Щ Я Я
P y f І Pv f x j Pv f 2 + P v [/ii / 2] i P v [ h , / 1].
(4.125)
где Pv [h, p] — перекрестное распределение Вигнера-Вилля двух сигналов
Pv[h, I p 1 1 /
I f j К Й 9* І I В H
J —OO * ; V / Ю ?
- -
Интерференционный член
-
I
(4Д26>
" '‘ n T i H
-Г[/з,і /2] =
f/i 5/2] + P v [/2 ,/i]
I
это вещественная функция, которая имеет ненулевые значения, расположен­
ные в неожиданных местах плоскости (и,£).
Рассмотрим два частотно-временных атома, определенные формулами
/i( i) S аіеіфід{г - «і)е‘Сі* и
/ 2(t) = а 2е*фаз (і - и2)е, ы ,
где р(£) — временное окно с центром t = 0. Их распределения Вигнера-Вилля J
вычисленные по формуле (4.118):
': '"‘v іГгтІ Н и
rV /x (u , 0 = a t P v g ( u - u i , Z - Z i )
и
Pv f 2 (u,£) = a lP v g(u - u2,Z ~ &)■
Так как энергия Pv9 имеет центром точку (0 , 0 ), энергии P v f i | P v f 2 скон'
центрированы соответственно в окрестностях точек (tii,£i) и (и2,£2). Прямое
вычисление подтверждает, что интерференционный член равняется
Л / ь / 2]Й Й = 2aia 2Pv5(u 1 «о, С I Ш cos ((и - и 0)Д£ 1 Я I Ш Ж ІЯ
где
u i+ u 2
Н0 = — 2 — .
Ш1 6
«0 = ^ —
Д и р Ц И U2,
Щ
1 Cl - £2
д<£ = ф\ — ф2 + гіоДС-
4.5. Квадратичная частотно-временная энергия
133
Это есть осциллирующая волновая форма с центром в средней точке
(^о> £о)> что совершенно противоестественно, так как / и / имеют очень малую
энергию в окрестности цр и $р, Частота колебаний пропорциональна евклидо­
вому расстоянию у / Д £2 + A u 2 между точками (гхі,£і) и (г^бг)- Направле­
ние этих колебаний перпендикулярно линии, соединяющей (гіі,£і) и (г/2 , £2)Рис. 4.18 изображает распределение Вигнера—Билля двух атомов, полученное
с помощью гауссовского окна д. Осциллирующая интерференция появляется
в средней частотно-временной точке.
Этот пример показывает, что интерференция 7[/і,
О имеет некоторую
энергию в областях, где \f(u)\2 « 0 и |/ ( £ ) |2 ~ 0. Эти интерференции могут
иметь сложную структуру [26, 211 ], но они обязательно носят колебательный
характер, потому что маргинальные интегралы (4.123) и (4.124) равны нулю:
/
+ оо
/»+оо
P vf(v,Z )d £ = 2тг|/(гх)|2,
/
P v f( u ,O d u = | / ( 0 | 2.
J —оо
“ОО
t
NWmr,
II
Рис. 4.18. Распределение Вигнера-Вилля P v f(u ,£ ) двух атомов Габора, изоб­
раженных на верхнем графике. Осциллирующие интерференции имеют своим
центром середину между частотно-временными центрами этих двух атомов.
А н али ти ческая ч асть. Интерференционные члены существуют также в слу­
чае вещественного сигнала / , состоящего из компоненты с одной мгновенной
частотой. Пусть f a(t) = a(t) ехр[г^>(і)| — аналитическая часть
/= а д
= ! « .+ /„ • ) .
В утверждении 4.3 доказывается, что при фиксированном и распределения
P v f a(u,£) и P v f* (и »0 имеют энергию, сконцентрированную в окрестности,
Глава 4. Время встречается с частотой
134
соответственно, І | ф'(ч) и | | Ш
Обе компоненты порождают интер­
ференционный член на нулевой промежуточной частоте
g jj
|
Чтобы исключить эту низкочастотную интерференцию, мы часто вычисляем
P yfa как альтернативу P vfРис. 4.19 изображает Pyfa Для вещественного сигнала / , который состо­
ит из линейного чирпа, квадратичного чирпа и двух изолированных часто^
но-временных атомов. Линейный и квадратичный чирпы локализованы вдоль
узких частотно-временных линий, для которых распространение на более ши­
рокие диапазоны дается спектрограммой и скэйлограммой на рис. 4.3 и 4.11.
Однако интерференционные члены создают сложную осцилляционную карти­
ну, что делает трудным выделение и определение существования двух час*
тотно-временных объектов при t = 0.5 и t = 0.87, которые ясно видны н |
спектрограмме и скэйлограмме.
' IV
ЩЩ
t
и
Р и с. 4.19. Внизу изображено распределение Вигнера-Вилля Pvfa{u,£) ана­
литической части сигнала, приведенного на верхнем графике.
П олож и тельн ость. Так как интерференционные члены включают положи­
тельные и отрицательные колебания, они могут быть частично удалены сгла­
живанием P v f с помощью ядра Ө:
ш
/
+оо
л-foo
/
P v f ( u \ Щ$$М Ц I е') Ц Щ
-ОО J —00
-
(4.127)
'
Частотно-временное разрешение этого распределения зависит от протяженно­
сти ядра Ө в окрестности (и,£)• Так как интерференции принимают отрица­
тельные значения, можно гарантировать, что все такие интерференции будут
удалены при наложении условия, что это частотно-временное распределение
сохраняет положительность Pef{u, £) > 0 при всех (гі,£) € R2.
4.5. Квадратичная частотно-временная энергия
135
Спектрограмма (4.13) и скэйлограмма (4.11) — примеры положительных
частотно-временных распределений энергии. В общем случае рассмотрим се­
мейство частотно-временных атомов {ф,у}7 ^г- Предположим, что для любой
точки (tx,£) существует единственный атом ф^(и,і) с частотно-временным цен­
тром в (и ,£)• Результирующая частотно-временная плотность энергии
P f ( u , 0 = |< /,07(U)£))|2.
Из формулы Мояаля (4.122) следует, что эта плотность энергии может быть
записана как частотно-временное усреднение распределения Вигнера-Вилля
р
/ Ы , о W m j m р у / ( и ,^ ,)руфу ы ) (и, ,0 < ^ и 'd^'.
(4.128)
Сглаживающее ядро есть распределения Вигнера-Вилля атомов
0 (u ,u ',£ ,£ ') = ^Ру<Аү(и,£) («',£')■
Потеря частотно-временного разрешения зависит от протяженности распреде­
ления Рүф-у(и,£)(и'
I окрестности (it, l/).
П рим ер 4.20. Спектрограмма вычисляется с помощью атомов Фурье с окном
^
Iff-;
*
Ь 9&
Щ.
’A
~
Распределение Вигнера-Вилля, согласно (4.118), дает
Ө(и, u ' , | j В = - - Р у ф ^ и^ ( и ' ,£') = — Pv g(u' - u ,§f - £).
(4.129)
Поэтому для спектрограммы усреднение распределения Вигнера-Вил­
ля (4.128) есть двумерная свертка с Руд. Если I — окно Гаусса, то Руд
двумерная функция Гаусса. Это доказывает, что усреднение P y f с достаточ­
но широкой функцией Гаусса определяет положительную плотность энергии.
Общий класс частотно-временных распределений, полученных в результате
свертки P y f с произвольным ядром Ө, изучается в п. 4.5.3.
П рим ер 4.21. Пусть Щ — аналитический вэйвлет с частотным центром fj.
Вэйвлет-атом
ЩМ —
—u)/s) имеет центром («,£ = 77/s), и скэйло­
грамма определяется формулой
P w f( u ,£ ) = \(f,4>u,e)\2
при
^ = 77/s.
щ
Из свойств (4.115) и (4.117) следует, что ядро усреднения есть
§ | | | - іШ -тШ -
-u)'I f
Положительные частотно-временные распределения полностью удаляют
интерференционные члены, но приводят к потере разрешения. Особое значе­
ние этому придает следующая теорема, принадлежащая Вигнеру [352].
Глава 4. Время встречается с частотой
136
положительного
членил энергии P f , удовлетворяющего равенствам
4-оо
/,+°0
P f( u ,O d Z = 2 * \ M \ 2 |
/
А о ' Д дИ И |
P f ( u , Q du I 1/(01 •
(4.130)
-оо
Доказательство2. Предположим, что Р / — положительное квадратичное рас­
пределение, которое удовлетворяет этим равенствам. Так как P /(u ,f) > 0, то
из интегралов (4.130) следует, что если носитель 1 принадлежит отрезку /, то
Р f ( u , £) = 0 при и % I. Вместе с квадратичной формой Р / мы можем рассмат­
ривать билинейное распределение, определенное для любых / и | как
Р[/, 1 1 j ( Р ( / 1 9) ~ Р ( / 1 1
Пусть / і и / 2 — два ненулевых сигнала, носители которых Һ и
ются, так что / 1/2 = 0. Пусть / = a fi + Ь/2:
Ц не пересека­
P f Щ\a\2P f i + ab*P[/i, / 2] + а*ЬР[/2, / 1] 4- ІЬ^ЛГгТак как Д не пересекает 1% то P fi(u ,£ ) = 0 при и Щ І 2 - Напомним, что
Р /(и , О > 0 для всех а и Ь, откуда с необходимостью P [ / i , / 2](и» О = -Р[/2> / 1]|
(иуI) — 0 при и е І 2 - Аналогично мы доказываем, что эти перекрестные члены
равны нулю при и Е 1\ и, следовательно,
^
Р /( 11, о = W2P /i( u ,0 + |Ь|2Р /г(« ,0 -
;- 1 ^ 8
Интегрирование этого равенства и подстановка (4.130) дает
1/(012= И2|А(012+ 1Ч2|А(012.
0. Но это
следует
Так как /(£ )
невозможно, потому что /1 и /2 имеют по времени компактные носители и в
теореме 2.6 доказывется, что /1 и /2 — функции из С°°, которые на всем беско­
нечном
построить положительное квадратичное распределение Р / , которое удовлетво­
ряет (4.130).
4.5.3
К ласс Коэна2
Несмотря на ослабление интерференционных членов с помощью сглаживаю­
щего ядра Ө, мы хотим сохранить некоторые важные свойства преобразований.
Коэн [135] ввел общий класс квадратичных частотно-временных распределе­
ний, которые удовлетворяют инвариантным свойствам (4.115) и (4.116) при
сдвиге по времени и частотной модуляции. Если сигнал сдвинут по времени
или частоте, его распределение энергии также сдвинуто на соответствующее
расстояние. Это было началом систематического изучения квадратичных час­
тотно-временных распределений, полученных как взвешенное усреднение рас­
пределения Вигнера-Вилля [10, 26, 136, 210].
’Щ И
4.5. Квадратичная частотно-временная энергия
137
В разд. 2.1 доказано, что линейные инвариантные относительно сдвига опе­
раторы это операторы свертки. Поэтому инвариантность относительно сдви­
га (4.115), эквивалентна требованию, чтобы сглаживающее ядро в (4.127) было
здром свертки
(4.131)
0 K ^ , O = 0 ( t i - u ', £ - £ ') ,
и,следовательно,
/ / « ( > . - и',
Р ф 1 Ы ) - Р у / +* М
(4.132)
Спектрограм ма
это пример распределения из класса Коэна, ядро которого
в (4.129) есть распределение Вигнера-Вилля окна g
6(u,S) = — P v g {
27Г
= І
' +“ g{u + \ ) g { u
27Г
(4.133)
Ф ункция неоднозначности. Свойства свертки (4.132) могут быть более лег­
ко изучены с помощью вычисления двумерного преобразования Фурье функ­
ции P y f ( u }£) по переменным и и ( . Обозначим через А/(т, 7 ) это преобразо­
вание Фурье
-foo
л+оо
Л /(т , 7 )
Р у ЩШО exp[-i(u 7 4- £т)] du d£.
OO «/ —OO
Заметим, что здесь изменен порядок переменных Фурье г и 7 по сравнению с
обычным обозначением преобразования Фурье. Так как одномерное преобра/ с е + 7 / 2) /
7 /2 )
то применение одномерного преобразования Фурье по £ дает
м .
л
L
+оо
Л /(т , 7 )
(4.134)
Из формулы Парсеваля следует
+ОО
7)
(4.135)
—ОО
Мы узнаем функцию неоднозначности , которая встречалась нам в (4.24) при
изучении частотно-временного разрешения преобразования Фурье с окном.
Эта функция измеряет концентрацию энергии / по времени и частоте.
С войства я д р а . Преобразование Фурье функции Ө(и, £) есть
-foo
Г+ОО
Ө(и, £) ехр[-г («7 + £т)] du Щі
Й §, 7)
ОО j —оо
Так же как при определении функции неоднозначности (4.134), параметры
Фурье г и 7 в Ө записаны в обратном порядке. Следующее утверждение дает
необходимые и достаточные условия того, что Рд удовлетворяет маргинальным
свойствам энергии, которыми обладает распределение Вигнера-Вилля.
Глава 4., Время встречается с частотой
138
В теореме Вигнера 4.7 доказывается, что в этом случае Рд/(% £ ) принимает
**.
it»
*ДГ
л.у««fc'il
t if**t * ^
'.
*
f
отрицательные значения.
■У твер ж д ен и е 4.5. Д л я всех / 6 Ь 2 (Л)
і
'
4
Ш і Ш І б і = 2ir\f(u )\*'
%
p e f ( u ' O du Щ і/(0 1 2
I
___
■* ■ Щ
(4.136)
J —oo
—oo
тогда и только тогда, когда
V(r, 7) € R2,
0 007
б(т, ) = ( , ) = L
Доказательство 2. Пусть Л ө Д т л ) |
Двумерное
Pef{u,Q. Интеграл Фурье в точке (0,7) равняется
преобразование
P e f{u ,i)e ~ iu'1d^du = Лв/( ° ,7 ) -
+°°
— ОО
(4137)
Фурье
(4.138)
^ — ОО
Так как функция неоднозначности Л /(т , 7 ) есть преобразование Фурье функ­
ции P v f (и, О, то двумерная свертка (4.132) дает
I ЯЩ шШ Н
Ав (г, 7) = А /( т ,7)0( т ,7).
(4.139)
Преобразование Фурье функции 27г|/(гх)|2 есть / * / ( 7 )» ГДе / ( 7 ) — / ( Щ
Соотношение (4.138) показывает, что (4.136) выполняется тогда и только тогда,
когда
_
Л * /(0 , 7 ) I A f ( 0 ,7 )0 (0 , 7 ) = / * /(7 )(414°)
Так как P v f удовлетворяет маргинальному свойству (4.123), мы аналогично
доказываем, что
Щ т й = f* fb )Требование, чтобы (4.140) выполнялось для любой /( 7 ) , эквивалентно требо­
ванию, что 0 (0 , 7 ) = 1 при всех 7 R. Такой же вывод, примененный к другому
маргинальному интегралу, дает 0(£, 0) = 1.
1
В дополнение к требованию инвариантности относительно частотно-временно­
го сдвига может быть полезным гарантировать, что Рд удовлетворяет тем же
масштабирующим свойствам, что и распределение Вигнера-Вилля:
Такое распределение Pq обладает свойством аффинной инвариантности. Мож­
но проверить (задача 4.15), что аффинная инвариантность эквивалентна усло­
вию, что
Vs I R+,
§ р | Ц I 0(и,£),
и, следовательно,
ЩШШ1 ^Ы Д) I р(и&.
(4Л41)
4.5. Квадратичная частотно-временная энергия
139
П рим ер 4.22. Распределение Рихачека — это аффинно-инвариантное распре­
деление с ядром свертки
4*
it 7
0 (т, 7 ) = ехр
(4.142)
~2
Прямое вычисление показывает, что
р ө / ( и , 0 = /(« )/* (О exр (-ш £ ).
(4.143)
П рим ер 4.23. Ядро распределения Чои-Вилльяма [122] есть
I
0 (т, 7 ) = ехр(—сг2 т 2 7 2).
(4.144)
Оно симметрично и поэтому соответствует вещественной функции 0(it,£). Это
распределение удовлетворяет маргинальным условиям (4.136). Так как
linV-*o Ңт, 7 ) = 1, то при малых
распределению Вигнера-Вилля. Увеличение а ослабляет интерференционные
члены, но увеличивает протяженность Ө(и, £), которая приводит к уменьшению
разрешения этого распределения.
' Лш
£ / 2я
и
Рис. 4.20. Распределение Чои-Вилльяма Рө/(щ£) для двух атомов Габора,
изображенных на верхнем графике. Интерференционный член, который появ­
ляется на рис. 4.18 для распределения Вигнера-Вилля, почти исчез.
* Я!* ■ :
Рис. 4.20 показывает, что когда распределение Вигнера-Вилля, изображен­
ное на рис. 4.18, усреднено ядром Чои-Вилльяма с достаточно большим Ц
интерференционные члены от двух модулированных функций Гаусса почти
исчезают. Рис. 4.21 дает распределение Чои-Вилльяма аналитического сигна­
ла, распределение Вигнера-Вилля которого изображено на рис. 4.19. Энергия
линейного и квадратичного чирпов сосредоточена в более широких частотно­
временных диапазонах, при этом ослаблены, но не полностью удалены, интер­
ференционные члены. Это вызывает трудности при выделении двух модули­
рованных функций Гаусса в точках t — 0.5 и t = 0.87, которые ясно видны на
спектрограмме рис. 4.3.
Глава 4. Время встречается с частотой
140
t
и
для аналитической
верхнем графике. Интерференция становится
сигнала
видимои.
4.5.4
Вычисления дискретного преобразования
В игнера-В илля2
это преобразование Фурье функции /( u + т / 2)х
Интеграл Вигнера (4.108)
/* (п —т / 2 ):
РуГЫ )
+оо
(4.145)
■■
ОО
Для дискретного сигнала /[п], определенного при 0 < n < N , интеграл заме­
няется дискретнои суммой:
N —1
І2тткр
р ехр
Р
(4.146)
п
П
+
P v fln , к]
/
£ 1
N
2.
2.
P --N
Когда р нечетно, то вычисление требует знания значений / в полуцелых точ­
ках. Эти значения вычисляются с помощью интерполяции / с добавлением
нулей к его преобразованию Фурье. Это необходимо, чтобы избежать наложе­
ния, произведенного дискретизацией интеграла Вигнера-Вилля [126].
Интерполяция / сигнала / имеет размер 2N , и его дискретное преобразование Фурье / определяется из дискретного преобразования Фурье / сигнала |
по формуле
при 0 < к < N / 2,
при N /2 < к < 3JV/2,
м
адк]
0
2f[k - N]
при
пт
3N /2 < к < Щ
при
к = N/2, ZN/2.
4.6. Задачи
141
Вычисление обратного преобразования Фурье показывает, что /[2п] = /[п]
при п € [О, N
1]. Когда ЙЙ [0,2N —1], мы полагаем /[п] = 0. Сумма Вигне­
ра (4.146) вычисляется по / :
P yf[n,k]
=
f[2n + р |/*[ 2n - р] ехр (
р=-АГ
)
V
iV
/
2//-1
=
"
£
/ [ 2n + p - ^ / - [ 2n - p + J V ] e x p P « ) .
р=0
4
7
Отметим, что P y /[n , fc] —^дискретное преобразование Фурье длины 2 N функ­
ции д\р] = /[2п + р —7V]/*[2n —р + N] при частоте 2к и при фиксированном
0 < п < N . В результате дискретное преобразование Вигнера-Вилля вычис­
ляется с помощью N процедур FFT длины 2JV, которые требуют 0 ( N 2 logN)
операций. Д ля вычисления распределения Вигнера-Вилля аналитической ча­
сти f a функции / мы используем (4.48).
К ласс К о эн а. Распределение класса Коэна вычисляется с помощью цикли­
ческой свертки дискретного распределения Вигнера-Вилля с ядром 9\p,q]:
Ре[п, к] = Ру ® 0[п, к).
(4.147)
Поэтому его двумерное дискретное преобразование Фурье есть
Ав{р, я] = Af\p, д]Ө\р, д].
(4.148)
Сигнал A f\p, q] есть дискретная функция неоднозначности, вычисленная с по­
мощью двумерного FFT дискретного распределения Вигнера-Вилля Р у /[п , к].
Как и в непрерывном по времени случае, мы переставили индексы р и q по срав­
нению с обычным двумерным преобразованием Фурье. Распределение клас­
са Коэна (4.147) получается вычислением обратного преобразования Фурье
от (4.148). Это также требует 0 ( N 2 logJV) операций.
4.6
Задачи
4.1. 1 Мгновенная частота. Пусть f(t) = exp[i$(t)l.
+оо
(а) Доказать, что /_ оо |S/(tz ,£)|2 = %• Подсказка: S /(u ,f) —- преобразование Фурье; использовать формулу Парсеваля.
(б) Аналогично, показать, что
/
+оо
г+ оо
£ | 5 / М | 2 # = 2тг /
оо
-оо
Ф’{t)\9(t ~ u)\2 dt,
*J —
оо
—оо
и объяснить этот результат.
4.2.
Написать уравнение с воспроизводящим ядром для дискретного преобразо­
вания Фурье с окном 5 /[т ,/], определенного в (4.27).
Глава 4. Время встречается с частотой
142
4 3
х ДдЯ 5(t) ф ( ^ 2 ^
1/4
ехр(—й2 / ( 2 сг2)) вычислить функцию неоднозначности
Ад(.т, 7 ).
Для сигналов длины
4.4. 1 Пусть р[п]
ьСЬДЖ
ЭUOlV»1мши
дискретное
—j ----- *
с окном (4.27) за Й Й Н Й операций. Выполнить этот алгоритм с помощью
WAVELAB’a. Подсказка: использовать быстрый алгоритм свертки со сложением
покрытий
4.5. I Пусть К — воспроизводящее ядро (4.21) преобразования Фурье с окном.
(а) Для любой Ф € L2(R2) мы определим
г+ оо
1
ТФ(ио, Со) 1
/*+оо
Щ «7/—оо J/—ОО
Ф(«,£Ж(«о> «>&>,$)<*“ # •
-
Доказать, что Т - ортогональный проектор на пространство функций
Й Й Ш которые являются преобразованиями Фурье с окном функций из
l 2 (m2).
й ІІИ
(б) Предположим, что для всех («,£) € К2 мы определили Sf(u,Q =
Q (S /(u ,£ )) квантование коэффициентов Фурье с окном. Как можно
уменьшить норму L2(M2) погрешности квантования e(u,£)
S /(u , Щ
Q (S f(u , Щ
" ;!
4.6. I Доказать, что масштабирующая функция ф из (4.42) удовлетворяет равенству
\\Ф\\ 1 1
4.7. 2 Пусть V* — четный вещественный вэйвлет, такой что С = Ц °° ш 1rp(w)du <
+оо. Доказать, что
1 /*+°°
v / 1 l 2 (r),
№ =±J
Wo
Щ ^ Щ § ,j§
if
p f)
4.8. 1 Аналитическое продолжение. Пусть / £ L (R) — такая функция, что
f(u>) = 0 при ш < 0. Для любого комплексного z Е С, такого что
>g
мы определяем
Г + ОО
/ (р)Ы = - /
.
(іш)рf (ш)еігш du>.
•' :
,.
7Г J o
.
1\
(а) Проверить, что если / принадлежит Ср, то / '(£) —производная порядка
р функции f(t).
(б) Доказать, что если Im(z) > 0, то f ' p\ t ) дифференцируема по комплексной переменной z. Говорят, что такая функция аналитическая в верхней
комплексной полуплоскости.
щ
(в) Доказать, что такое аналитическое продолжение может быть записано
как вэйвлет-преобразование
^
J
Я
®
' у
. г : — " -•
'
~А
»
Ғ
... в
^
I t
м
/ (р)(х + iy) = y - p- 1/2W f{x, у),
вычисленное с помощью аналитического вэйвлета ф, который нужно опре­
делить.
і.б. Зшищчи
4*9*
Пусть /(<) т сш(а cos Ы)> Мы хотим точно вычислять мгновенную частоту /
по хребтам ее преобразования Фурье с окном. Найти необходимое условие на
носитель окна как функции а и Ь Если /(<) * сош(астЫ) f аж(аслмЫ + с*),
найти условие на а, 6 и с с помощью измерения обеих мгновенных частот для
хребтов преобразования Фурье с окном. Проверьте ваши вычисления с помо­
щью численных применений WavkLab’b.
110 . Эшукоөал манипуляция.
(а) Сделать программу, которая синтезирует туки в соответствии с мод*"
лью (4.71), где амплитуды а* и фазы Фъ вычисляются по хребтам преоб­
разовании Фурье с окном или в-»йвлет-преобра.ювання. Проверьте ваши
Tweet
іиный) в W a v e L a b ’c.
(б) Сделать программу, которая изменяет длительность звука по фор­
муле (4.72) или переставляет частоту звука по формуле (4.73).
^>11* 1 Доказать, что Рf ( u , £) « ||/Ц~а|/(и )|а|/(£)|а удовлетворяет маргинальным
свойствам (4.123), (4.124). Почему мы не можем применить теорему Вигне*
ІІІІІ ра 4 7?
4.12. 1 Пусть д9 —функция Гаусса с дисперсией <та. Доказать, что Рө/(щ() = P y f*
в(% 0 есть положительное распределение, если 0(и,() = 9 о(и)д&(£)} где #0 >
1/2* Подсказка: рассмотреть спектрограмму, вычисленную с окном Гаусса.
4.13. Пусть ( 0n(O}"€N *—ортонормированный базис La(R). Доказать, что
+оо
V(6,u>) € К2.
f yvgn(t4u;) = 1
П=0
4.14.
Пусть f a(t) —а(І)ехр[іф{£)] — аналитическая часть f(t). Доказать, что
+oo
—oo
и - Ф'(О)3Pv f a i t , О <i£ =
-7 Г 0 2 ( г ) - - - | ? ° Ф
Квадратичные аффинные частотно-временные распределения удовлетворяют
условию сдвига по времени (4.115), масштабной (4.117) и фазовой инвариант­
ности (4.114). Доказать, что любое такое распределение может быть записано
как аффинное сглаживание распределения Вигнера-Вилля
fb(«>f) = J
j
OO
0 ( С ( « - T ) ,jj/V ( r , 7 )d rd 7 ,
(4.150)
* — OO
где 0 (a, b) зависит от безразмерных переменных.
4.16. 3 Чтобы избежать ограничений на частотно-временное разрешение преобра­
зования Фурье с окном, мы хотим адаптировать ширину окна к свойствам
сигнала. Пусть g(t) — окно с дисперсией 1. Мы обозначим через S j f ( u , £ )
преобразование Фурье с окном, вычисленное с помощью растянутого окна
gj(t) = 2~j/2g(2~*t). Найти процедуру, которая вычисляет единую карту хреб­
тов, выбирая «наилучший* размер окна для каждой точки (u,f)- Один под­
ход состоит в выборе масштаба 2 для каждой (и,£), такой что |Sj/(ti, £)|2 =
supj |S j/(u ,f)| • Проверьте ваш алгоритм на линейном и гиперболическом чирпах (4.95), (4.99). Проверьте его на сигналах Tweet и Greasy в WAVELAB’e.
#
Глава 4. Время встречается с частотой
144
для речевых сигналов добавлены
4.17.
ем «шумовой компоненты» B(t) [245]:
к
F(t) = ^ 2 ак&) cos <£*(£) + B(t)-
(4.151)
•'•гйщ И
Пусть задан сигнал / (і)., который рассматривается как реализация F(t)\ вы­
числить преобразование Фурье с окном, найти «главные частицы» и вычислит^»
их амплитуды
и фазы фк- Эти частицы вычитаются из сигнала. На отрезках
фиксированной длины остаток моделируется как реализация авторегрессивно­
го процесса B(t) порядка от 10 до 15. Использовать стандартный алгоритм
вычисления параметров этого авторегрессивного процесса [60]. Оценить каче­
ство звука, восстановленного по вычисленной модели (4.151). Изучить приме­
нение к сжатию звуковой информации с помощью квантования и кодирования
'
параметров модели.
•
4Щ
В
Глава 5
Каркасы
Теория каркасов анализирует полноту, устойчивость и избыточность линей­
ных дискретных представлений сигнала. Каркас — это семейство векторов
{0 п}п€Г, которое характеризует любой сигнал / по его скалярным произведе­
ниям {(/,фп)}п£ г- Восстановления сигналов по регулярным и нерегулярным
выборкам являются примерами их применений.
Дискретные преобразования Фурье с окном и дискретные вэйвлет-преобра­
зования изучаются в свете каркасного формализма. Эти преобразования по­
рождают методы воспроизведения сигнала, которые не являются инвариант­
ными относительно сдвига, что приводит к трудностям в применениях по
распознаванию образа. Двоичные вэйвлет-преобразования сохраняют свойства
сдвиговой инвариантности, выбирая только масштабные параметры в непре­
рывном вэйвлет-преобразовании. Быстрое двоичное вэйвлет-преобразование
вычисляется с помощью алгоритма набора фильтров. В компьютерном изобра­
жении двоичные вэйвлет-преобразования используются для тщательного рас­
смотрения структуры образа и для выделения перепадов.
5.1
5.1.1
Теория каркасов
2
Определение каркаса и выборка
Теория каркасов была первоначально развита Даффином и Шейффером [175]
для восстановления сигналов / с ограниченным спектром по нерегулярно рас­
положенным выборкам {/(£п)}пеz- Если / имеет преобразование Фурье, со­
держащееся в [ - 7r /T , 7r/T], мы можем доказать, как и в (3.13), что
/ М 'Г ?
М * -* » )).
we
Это побудило Д аффина и Ш ейффера опреде
нении которых можно восстановить вектор /
по его скалярным произведениям с семействе
МО “
.
(5-1)
іЫ П О Л -
Глава 5. Каркасы
146
Следующее
эквивалентность
ратора U, определенного как
, ■■
Vn е Г,
Uf[n] = (/,фп)-
'I
(5-2)
О пределение 5.1. Последовательность {фп }пе г есть каркас Н , е ш суще­
ств у ю т две константы А > 0 и В > 0 такие, что для любой / Ц Ш Ш м т
Ш||/||2 <
|</, Фп)\2 В В ||/||2.
(5.3)
п€Г
жестким
Если А
Если выполняется условие для каркаса, то оператор U называется каркас­
ным оператором. В п. 5.1.2 доказывается, что (5.3)
необходимое и дост&г
точное условие, гарантирующее обратимость U на его образе с ограниченным
обратным оператором. Поэтому каркас определяет полное и устойчивое предсигнала
векторы нормированы Ц0 П|| = 1>эта избыточность измеряется границами кар­
каса А и В. Если {</>п}пбГ линейно независимы, то в (5.23) доказывается, что
W
«V*
А < 1 < В.
Каркас является ортонормированным базисом тогда и только тогда, когда
А = В = 1. Это проверяется подстановкой f — фп в (5.3). Если А > 1, то
каркас избыточен, и А можно интерпретировать как минимальный фактор
избыточности.
I
4
П р и м ер 5.1. Пусть (е^ег) — ортонормированный базис на двумерной плос­
кости Н. Три вектора
х
Ф\ = 61,
j. _
02 =
—
ei , Я
+ ~ ~Щ
2
2
j. _
л/З
Фз = --- 1 -------2~ Ц
расположены под одним углом 2п/3 друг относительно друга. Для любого
/€ Н
Е к / , « і 2 = 5 іі/
п=1
Поэтому эти три вектора определяют жесткий каркас с А — В = 3/2. Граница
каркаса 3/2 измеряет его избыточность в пространстве двух переменных.
П р и м ер 5.2. Предположим, что для любого 0 < | < К множество {е*іП}п€2
ортонормированный базис Н. Объединение этих К ортонормированных ба­
зисов {ekin}nez,o<Jfc<K' есть жесткий каркас с А = В = К . Действительно,
закон сохранения энергии для ортонормированного базиса означает, что для
любой / € Н
neZ
5.1. Теория каркасов
следовательно,
147
/С—1
Е Е к / . ^ , п )|2 = д -ц /
к=0 тьбZ
П рим ер 5.3. Можно проверить (задача 5.8), что конечное множество N век­
торов {0n}i<n<N всегда является каркасом пространства V, порожденного
линейными комбинациями этих векторов. При возрастании N границы карка­
са А и В могут стремиться соответственно к 0 и +оо. Это иллюстрирует тот
факт, что в бесконечномерных пространствах семейство векторов может быть
полным и не давать устойчивого представления сигнала.
Н ерегулярн ая вы б о р ка. Пусть Х5т — пространство функций из L 2 (R),
носитель преобразования Фурье которых содержится в [—тг/Т,7г/Т]. Д ля рав­
номерной выборки tn т п Т в утверждении 3.2 доказывается, что {Т ” 1/ 2 hr{t —
пТ)}П£z “ ■ортонормированный базис U ^. Восстановление / по его выборкам
дается теоремой выборки 3.1.
Условия нерегулярной выборки Даффина и Шейффера [175] для построе­
ния каркаса позже были улучшены несколькими исследователями [91, 360, 74].
Грошениг доказал [197], что если lim tn = +оо и lim tn = —оо, и если
4
.
71—
►-fOO
71—►
—ОО
максимум шага выборки 5 удовлетворяет условию
8 == sup |tfT,-fі
tn ^ -Г?
TO
(5.4)
1
-^ ‘2 г " - 1 Ы * - („)
Ш
Ш
Ш
есть каркас с границами каркаса А > (1—6 /Т )2 и В < ( 1 + 6 /Т )2. Амплитудный
множитель 2- 1 / 2 (tn+i —
компенсирует неравномерность плотности
амплитуду
овление / ■
И Я
1
5.1.2
шш Ы
-
tn)).
Псевдообращ ение
Восстановление / по его каркасным коэффициентам Uf[n] вычисляется с по­
мощью псевдообращения. Это псевдообращение есть ограниченный оператор,
который выражается с помощью двойственного каркаса. Мы обозначим
■
12 (Г) = {х : ||я ||2 = ^ 2 1х [п]|2 < +оо})
'
п£Г
и I m U пространство образа U f, где / І Н.
*
У тверж ден и е 5.1. Если {0п}пег — каркас, векторы которого линейно зави­
симы, то 1ш U строго содержится в 12 (Г), u U допускает бесконечное число
левых обратных операторов С?- 1 ;
V/ б Н ,
т Щ ф =. / .
(5.5)
Глава 5. Каркасы
148
Доказательство3. Каркасное неравенство (5.3) гарантирует, что ImU с
I2 (Г), так как
I Vftf | £ КЛ*.)f■< в 11Й’•
(56)
п€Г
Так как {^„}„6г линейно зависимы, то существует ненулевой вектор 111 2(Г)
такой, что
У ) *М Фп ~ 0 .
, ' :ДЙ:||=5
Для любого / € Н
п€г
л€Г
Это доказывает, что Im U ортогонально х и что, следовательно, Im U ф 1 (Г).
Каркасный оператор U — инъективный (один на один). Действительно,
каркасное неравенство (5.3) гарантирует, что U f = 0 означает / = 0. Поэто­
му его сужение на Im U обратимо. Пусть Im UL — ортогональное дополнение
Im U до 12(Г). Если {<£„}f§§ линейно зависимы, то Im U1- Ф {0}, и сужением
\ j ~ x На 1 т { / х может быть произвольный линейный оператор.
■
Чем более избыточен каркас {0п}пег> тем больше ортогональное дополнение
Im ? /1- образа Im U. Псевдообратный оператор U~1 — левый обратный опера­
тор, образ которого равняется нулю на I m U L :
Vx € I m t / X,
х = 0.
- -■ 'і Щд
В бесконечномерных пространствах псевдообратный оператор U~l инъектив­
ного оператора не обязательно ограничен. Это приводит к численной неустой­
чивости при восстановлении / по U f. В следующей теореме доказывается, что
каркасный оператор имеет псевдообратный, который всегда ограничен. Мы
обозначим через U* оператор, сопряженный U: {U f,x) = (f,U*x).
Т еорем а 5.1 (О ПСЕВДООБРАТНОМ ОПЕРАТОРЕ). Псевдообратный oneратор удовлетворяет равенству
Г'%ЩнИИ
U - 1 = (U*U)-l U*.
(5.7)
Это левый обратный оператор с минимальной верхней нормой . Если U —
каркасный оператор с границами каркаса А и В, то
Ш
l|t r * ls < ^ = .
(5-8)
Доказательство . Для доказательства того, что С/ -1 имеет минимальную
верхнюю норму, представим любой х € 12 (Г) как сумму х = х\ +
гАе
Х2 € Im U и xi € Iml7. Пусть U~1 — произвольный левый обратный опе­
ратор U. Тогда
\ \ U ~ l X\\ _
INI Й
^ \ \ І Г 1Хі\\
Н
■
II®II
s
llxill *
.
5.1. Теория каркасов
149
Поэтому мы получаем, что
||U ^ I s ^
sup
M fM <
*€І3(Г)-{0} iFlJ
sup
Ц
£ІІ. = \\U 'Цз.
хеі2(Г)-{0} МІІ
Так как х \ £ І т [ / , то существует / 6 Н такой, что х \ = U / . Неравенство
(5.8) выводится из каркасного неравенства (5.3), которое показывает, что
= li/ll < щ
пип < - д р
ж
Чтобы проверить (5.7), мы сначала докажем, что самосопряженный опе­
ратор U* U обратим, показав, что он сюръективный (на). Если U *U f = О,
то (U* U f , / ) = 0 и, следовательно, ( U f ^ U f ) = 0. Так как U — инъективный
оператор, то / = 0; из этого следует, что U*U — также инъективный. Для
доказательства того, что образ U*U равняется Н, мы докажем, что ненулевой
вектор не может быть ортогональным этому образу. Предположим, что д 6 Н
ортогонален образу U*U. В частности (д, U*Ug) = 0, откуда (Ug,Ug) = 0 и это
означает, что д = 0. Это доказывает, что оператор U*U — сюръективный.
Так как U*U — обратимый оператор, доказательство (5.7) эквивалентно
показу того, что для любого х псевдообратный оператор удовлетворяет равен­
ству
' >>
3
f • •'
:!"4~
{U*U)U~l x = U*x.
(5.9)
Если х € Im [7х , то (U*U)U 1;ш= 0, потому что U 1х Щ 0, и U*x = 0, потому
что
V / G Н , (/, U*x) = (Uf, х ) = 0.
Таким образом, это подтверждает (5.9) для х € I m U± . Если х j IшС/, то
U U - ' x = х, и (5.9) сохраняет силу. Отсюда следует, что (5.9) выполняется для
всех х е Н .
Д вой ствен н ы й к ар к ас. Оператор, псевдообратный каркасному оператору,
связан с семейством двойственных каркасов, которое определяется следующей
теоремой.
Т еорем а 5.2. Пусть {фп}пе z “ каркас с границами А и В. Двойственный
каркас определяется как
Ф
п1 шШШШ
и удовлетворяет условиям
V / 6 H, і | | / | | 2 < ] Г | ( / , « І 2 < і | І Л І 2,
п€Г
(5.10)
1 1 й - хи } = Т { / М Ф п I Щ Ш Ш
(5.11)
п€Г
п €Г
Если каркас — жесткий (т. е. А — В), то фп = А 1 фп.
Глава 5. Каркасы
Доказательство | Чтобы доказать (5.11), установим связь V с {^„}„€г, ис
пользуя выражение (5.7) для U 1. Для любого х € ( ) и / €
пег
Следовательно,
{U*x,f) |
У2(х[п]фп,Л
пег
это означает, что
Ц
U*x = 5 2 ХМ ^п’
(5.12)
п€Г
I :I
ІШ Ш Щ
Из формулы псевдообращения (5.7) следует, что
и ~ 1х = { и * и у 1и гх = { и * и у * У 2 х № Ф п '
пег
откуда
В ^ Н
U 1х = 5 2 ХМ Лй
(5.13)
Если х[п] = 17/[п] = {f,<t>n), то
/ = t / - 1[ // = 5 2 ( / » Я
'
(
5
*
1
4
)
га€Г
Двойственные семейства векторов {<£п}пег и {<£п}пег играют симметричные
роли. Действительно, (5.14) означает, что для любых / и | из Н
(/>£) = £ І Ш
пег
'
следовательно,
<7 = У > Ж )</>«,
пег
(515)
лс\
(5-16)
что доказывает (5.11).
Из выражения (5.12) для U* следует, что для х[п] = Uf [ n ] = (/,<£п)
Ш ЙНШ Ш
пег
(5Л?)
Поэтому условие для каркаса (5.3) может быть переписано как
^ ||/II2 < ( U * U f J ) < В ll/ll2.
(5.18)
Если А = В, то (U*U/ , / ) = А ||/||2- Так как £/*(7 — симметричный, то можно
показать, что с необходимостью U*U = Л Zd, где /d — тождественный оператор.
Поэтому следует, что фп = (и*и)~1фп = А~1фп.
,
Аналогично (5.10) можно переписать как
I ІІ/Ц2 < Ш Щ Щ Л
< J II/II2,
(5-19)
5.1. Теория каркасов
151
потому что
( tr c /) - 1/ | £ (/,<£„) ( V U ) - И 1 ^2(/,Фп)Фп.
пег
пег
Двойное неравенство (5.19) выводится из (5.18) в результате применения сле­
дующей леммы для L = U* U.
Лемма 5.1. Если L — самосопряженный оператор такой• что существуют
А > 0 и В, удовлетворяющие
V/ G Н,
ЛЦ/ІІ2 < <L/,/> < В ll/ll2,
(5.20)
1 ll/ll2 < (L -1/ , / ) < ^ II/II2.
(5.21)
mo L обратим и
V / € Н,
В конечномерном случае, так как L — самосопряженный, то он диагонализируем в ортонормированном базисе. Из неравенства (5.20) следует, что его
собственные значения располагаются между А и В. Поэтому этот оператор об­
ратимый с собственными значениями между В ~ 1 и Д ” 1, что доказывает (5.21).
В бесконечномерном случае доказательство предоставляется читателю.
zj-
•Т*:«ЗРь ей
В этой теореме доказывается, что {фп}пег ~ двойственный каркас, который
восстанавливает любую / G.H по ее каркасным коэффициентам { ( /, фп)}пегЕсли каркас — жесткий, то фп щ А ~ 1 фП) так что формула восстановления
принимает вид
Р
'
/= \Ү ,и ,Ф п )Ф п (5.22)
рг- ■
п€Г
Б и о р то го н ал ьн ы е базисы . Базис Рисса — каркас из линейно независи­
мых векторов, откуда следует, что Im U = 12 (Г). Из (5.11) можно вывести, что
двойственный каркас {фп}пег линейно независим. Он называется двойствен­
ным базисом Рисса. Подстановка / = фр в (5.11) дает
Фр ~ / ^ {Фрі Фп) Фт
Ш
пег
и из линеинои независимости следует, что
В
(фр, фп) = 6 \ р - п
Поэтому двойственные базисы Рисса — биортогональные системы векторов
Если базис нормирован (т. е. ||0п|| = 1)> то
А < 1 < В.
Это доказывается подстановкой f = фр в каркасное неравенство (5.10):
5 ІІЫ 2 < £
п€ г
КФр’М
2 = 1 < 7 Ш 2-
(5.23)
Глава 5. Каркасы
»
152
Предположим, что {ф п }п €г - каркас подпро­
странства V всего пространства сигналов. Скалярные произведения Uf[n] Ш Фп) дают частичную информацию об /, которая не позволяет нам полно­
с т ь ю восстановить / . Наилучшая линейная средне-квадратичная аппроксима­
ция I t вычисленная по этим скалярным произведениям, это ортогональная
проекция / на пространство V. Эта ортогональная проекция вычисляется с
помощью двойственного каркаса {фп} пег ДО* {<Ыпег | V :
•
Ч асти ч н ая реконструкция.
P v f = U~1U f = 53</, Фп) Фп-
(5-24)
Для того, чтобы доказать, что P v f есть ортогональная проекция на V, мы
убеждаемся, что P v f € V и что ( / - P v f А Р) 1 0 Для всех 1 | Г- Действительно,
1 1 Pvf, ФР) В </. Фр) - щ я В В фр^'
п€Г
И Я
Л*
и свойства двойственного каркаса в V дают, что
У]
{
Ф
п
1
^р)
Ф
п
—
Ф
р
1
I
•
п€Г
Предположим, что мы имеем конечное число измерений {(/, фп)}о<п<ыТак как конечное семейство {фп} o<n</v есть обязательно каркас порождаемого
им пространства V , то аппроксимационная формула (5.24) дает наилучшую
линейную аппроксимацию / .
’
5.1.3
Обратные каркасные вычисления
- -Щ Д
Мы описываем эффективные численные алгоритмы восстановления сигнала /
по его каркасным коэффициентам Uf[n] = (/, фп)- Если возможно, двойствен­
ные каркасные векторы вычисляются заранее:
;
Фп = (и * и ) - 1фп ,
и мы восстанавливаем каждый / с помощью суммы
/ = 5 ^ ( / j Ф п) Фп»
пбГ
..- г
Я
Н
В некоторых применениях каркасные векторы {0п}п€Г могут зависеть от
сигнала / , и в этом случае двойственные каркасные векторы Щ не могут быть
заранее вычислены. Например, каркас (5.1), связанный с нерегулярной выбор­
кой, зависит от положения tn каждого отсчета. Если решетка выборки изменя­
ется от сигнала к сигналу, то это приводит к изменению каркасных векторов.
Крайне неэффективно при этом вычислять двойственный каркас для каждо­
го нового сигнала. Более прямой подход использует псевдообратный оператор
для U f:
,
1 1 u~xu f I шШШШШШт В й И ш
(5-25)
5.1. Теория каркасов
153
где
b f = U*Uf = ^ Ц , ф п)фп.
(5-26)
пег
Вычисляем ли мы заранее векторы двойственного каркаса или применяем
подхода
тивного способа вычисления /
для
алгоритма с экспоненциальной
димости. Экстраполяционная процедура Ричардсона проще, но требует знания
сопряженных граоиентов сходятся
В /А
Т еорем а 5.3 (ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ РИЧАРДСОНА). Пусть g € Н . Д л я вы­
числения / = L ~ lg возьмем начальное значение fn = 0. Пусть 7 > 0
параметр
Если
fn = /п -1 + 7 (9 ~ A fn-i).
(5.27)
6 = шах {|1 - 7j4|, |1 - 7 5 |} < 1,
(5.28)
I I / - /п|| < 5 п ІІ/Ц,
(5.29)
то
и, следовательно,
lim / п = / .
п —> 4 -о о
Доказательство2. Рекуррентное уравнение (5.27) может быть переписано в
виде
/ - / п = / - / п - 1 —j L ( f - /п -і).
Положим
Д = Id —7 L,
тогда
f - f n = R ( f - f n - 1) = Я "(/ - /о) = Яп(/).
(5.30)
Мы видим в (5.18), что каркасное неравенство может быть переписано в виде
A\\f\\2 < ( L f t f ) < B \ \ f
Это значит, что R = Id —7 L удовлетворяет неравенству
f c - . -
\ ( R f J ) \ < s ||/||а, •
где 5 дается формулой (5.28). Так как R — симметричный оператор, то это
неравенство означает, что |Я || < S. Таким образом, из (5.30) мы получаем
(5.29). Ясно, что погрешность ||/ —/ п|| сходится к нулю при S < 1.
При обращении каркасного оператора экстраполяционный алгоритм Ричар­
дсона иногда называют каркасным алгоритмом [21]. Его скорость сходимости
максимальна при минимальном 8 :
'
•
_ В - А
О—
В +А
1 - А /В
1 + А /В '
Глава 5. Каркасы
154
что соответствует релаксационному параметру
2
7= sa T b '
-
Алгоритм сходится быстро, если А / В близко к единице. Если А / В мало, то
Щi -
,
2g.
(m i)
Из неравенства (5.29) следует, что мы получаем погрешность меньше с при
числе итераций п, которое удовлетворяет соотношению:
■| | Я Ш н |
II/~/п
11/11
Подстановка (5.31) дает
п
1пс
1п(1 —2А / J3)
—В In б.
2А
(5.32)
В результате число итераций возрастает пропорционально отношению границ
каркаса В /А .
Точные значения А и В часто не известны, в этом случае параметр ре­
лаксации 7 может быть численно оценен по результатам вычислений и оценке
погрешности. Если верхняя граница Во для В известна, то можно положить
7 S 1/ В 0. В этом случае гарантирована сходимость алгоритма, но скорость
сходимости зависит от А.
Алгоритм сопряженных градиентов вычисляет f = L~ д с помощью гра­
диентного спуска вдоль ортогональных направлений в смысле нормы, инду­
цированной симметричным оператором L:
ll/ll! = W t -
Щ
Эта L-норма используется для оценки погрешности. Выполнение Грошенигом
[198] алгоритма сопряженных градиентов дается следующей теоремой.
Т еорем а 5.4 (СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ). Пусть д £ Н . Д л я вычис­
ления f — ЙМщ возьмем начальные значения
/о - 0,
г0 = ро = д,
р - 1 = 0.
(5-34)
определяем
Уп
(rn 1Рп)
{Ш Ш Ш )
/п + 1 — / п + -V iP n
г П+1
_
_
Рп+1 ~ 1*Рп
(5.35)
П~ К Lpn
{LpniLpn) _
(Lpn, L p n -i)
Т~ ү Г" Рп ~ 7-------- т------ г Р п - 1(PniLpn)
\Рп—1>Lpn- i )
■
_ 'І Ш
Ш
(5.37)
Лқ
(о.оо)
‘
5.1. Теория каркасов
155
II/ - f n h < 7 ^ - ^ WJUi
1И ж
lim / п = / .
% следовательно,
(5.39)
П —>-fO O
Доказательство 2. Мы приводим основные этапы доказательства, как это бы­
ло сделано Грошенигом [198].
Этап 1: Пусть U n
Инду
выводим из (5.38), что pj § U n при j < п.
Этап 2: Мы доказываем по индукции, что \Pjjo<j<n есть ортогональный
базис U n для скалярного произведения {/, һ)ь = (f^Lh). Предполагая, что
(pn, L p j ) = 0 при j < п — 1, можно доказать, что (pn+i, L p j ) = 0 при j < п.
Этап 3: Проверим, что / п есть ортогональная проекция / на U n в смысле
I f .Щ это значит, что
Vg £ U n,
||/ - ^ ||l < || / - / » ||l.
Так как / п Е U n, требуется доказать, что ( / —f n,Pj)b = 0 при | < п.
Этап 4: Мы вычисляем ортогональные проекции / на вложенные про­
странства U n размерности п, и можно убедиться, что limn_*+oo ||/ —fn\\b = 0.
Экспоненциальная сходимость (5.39) доказана в [1981.
алгоритме
малых А / В
1 - JA/B
а = ----- \
.» 1- 2
1 + у/А /В
Из верхней границы (5.39) следует, что мы достигаем относительной погреш­
ности
\\f-fn \\L .
11/и
при числе итераций
In §
—\/В
е
п « -—- « — ==■ In lncr
2 \/А
2
Сравнение этого результата с (5.32) показывает, что при малых А / В метод со­
пряженных градиентов требует меньшего количества итераций, чем алгоритм
экстраполяции Ричардсона для вычисления / = L ~ lg с заданной точностью.
5.1.4
К аркасны й проектор и уменьшение ш ума
наложенного
касные коэффициенты. Вектор, вычисленный по зашумленным каркасным ко­
эффициентам, проецируется на образ Щ чтобы уменьшить амплитуду шума.
Эта техника используется для высокоточных аналогов цифрового обращения.
Следующее утверждение
тогональный
Глава 5. Каркасы
156
5.2.
Ортогональная проекция из 12 (Г) на Im tf есть
У твер ж д ен и е
Р
х
[
п
]=
и
й
~
1
х
[
п
]
=
^
^ р’
2
I
■I Ш
рбГ
(5.40)
І
Доказательство2. Если х 1 ImU, то х = U f и
Px = UU~1U f = U f = х.
Если 1 1 Im[7A, то Р® = 0, так как Я р 1 1 Это| S | | J в
1 1
тональный проектор на Imtf. Щ как US | = {1,Фп) и ” 1 1 Ьрег Щ |>
мы получаем (5.40).
| :1
В
Вектор
есть последовательность каркасных коэффициентов тоща» толь­
ко тогда, когда 1 1 Рх; это означает, что х удовлетворяет уравнению с воспроизводящим ядром
ж[п]= У 2 х И (Фр' Ф^) •
|||||
per
Это уравнение обобщает свойства воспроизводящего ядра преобразований Фу­
рье с окном и вэйвлег-преобразований (4.20) и (4.40).
1 ,
У м еньш ен ие ш ум а. Предположим, что каждый каркасный коэффициент
Uf\n\ «загрязнен» аддитивным шумом W[n), который является случайной ве­
личиной. Применение проектора Р дает
P ( U f + W ) = U f + PW,
где
PW[n ] I
Щ
W[p] {фр, фп)
ре г
Так как Р — ортогональный
ляет компоненту W , которая принадлежит I m U ^ . Возрастание избыточности
«
v
__ Т ----- У 7 -L
т т / \ Tf А Р Q Ф В Т П Д Й Н
следо
белый
шум,
его
энергия
равномерно
у д а л я е т с я о о л ы н а я ч а с т ь ш ум а, mmm* уу
распределена в пространстве 12 (Г). В следуещем утверждении доказы ваете,
I— Й І І
кяпкягя нопмипованы. то энергия белого шума уменьшается
по крайней мере в А раз.
Предположим, что ||фп|| = С при всех п € Г. Если W
а2, то
значением
Х
Ш
\
л
--------------— -------------------------■■
•
E{|PW[n]|2} <
.* .
' и-:"
|
І
л М
А
Доказательство2. Давайте вычислим
V w [ p ] ( 0p , < M) в И
per
/ \ier
_
- .
Это неравенство переходит в равенство, если каркас жесткий.
E{|PlV [n]|2} = E J
>£
ш
И
И
(5‘42)
-
5.1. Теория каркасов
157
Так как W — белый шум, то
Е{W\p}W[l)} = cr25\p-l},
и поэтому
Е{\Р\У[пГ} = ^ Т \ ( ф р,фп)\
per
А
<т2 С
А
переходит
И збы точн ая вы б орка. Эта стратегия уменьшения шума используется высо­
коточными аналого-цифровыми преобразователями. После прохождения низ­
кочастотного фильтра аналоговый сигнал f i t ) с ограниченным диапазоном
частот равномерно выбирается и квантуется. Используя аппаратные средства,
часто легче увеличить скорость выборки, чем точность квантования. Увели­
чение скорости выборки приводит к избыточности значений отсчета сигнала с
ограниченным диапазоном частот. Для широкого круга сигналов может быть
показано, что погрешность квантования есть почти белый шум [194]. Поэтому
она может быть значительно уменьшена с помощью каркасного проектора.
После низкочастотной фильтрации / принадлежит пространству U t функ­
ций, носитель преобразования Фурье которых содержится в [—7г/Т, 7г/Г]. Тео­
рема выборки Уиттекера 3.1 гарантирует точное восстановление с помощью
выборки с шагом Т, но / выбрана чаще, с шагом То = Т / К , что дает в К
раз больше коэффициентов. Мы убеждаемся, следовательно, что каркасный
проектор есть низкочастотный фильтр, который уменьшает в К раз энергию
шума квантования.
В утверждении 3.2 доказывается, что
/(п Т 0)
1
Т
(/(<), hT (t - п Т 0)),
где
hT (t)
s\n(nt/T)
тті/Т
и для каждого 1 < к < К семейство {h r(t —к Т / К —пТ )}пег есть ортогональ­
ный базис U r- К ак следствие
{ Фп(t) = hT (t —nT o)|
GZ
һт ( t —k — — п Т
есть объединение К ортогональных базисов, векторы которых имеют квад­
ратичную норму С 2 = Т. В результате это есть жесткий каркас Uj> с А =
~ = К Т — То. В утверждении 5.3 доказывается, что каркасный проектор Р
уменьшает энергию белого шума квантования W с дисперсией о в К раз:
а 2С 1
А
Е {|Р И > 1|2]
а
К
1
Каркас {0п(£)}п€г — жесткий, фп — — фп к (5.40) означает, что
■*о
Рх[п]
1
■foo
Го р = —оо
х\р] (hT {t - рТ0), ЩЩ - пЩШ
(5.43)
Глава 5. Каркасы
158
л ,„ „
* пппрктсю может быть переписан как
Следовательно, этот ортогональный пр
Р
I
i
свертка
Рх[п\ = х * ho[п],
где
ho[n] = ү (Лт(*)> М *
пТ0)).
М
ожно
м ож
н о проверить, что
ni u ho
tvи — идеальный
w ' —--------- п
г _ і
функция которого имеет сужение на [-тг, тг], определенное как /ю - Ц ^ / к ^ / к у
ф удлцил
г
__ ____ _ п„лт/потиктү сигналов, ппеобпаи этом случае im и е с т ь н р и ы и
----------- - , -•
зование Ф урье которых имеет сужение на j | g
со значением, отличным от
только на [ —*к! К К \ .
Ш ум может быть также уменьшен, если он не белый, но если его энертия
лучш е сконцентрирована в
. Это может быть сделано преобразованием
ш ума квантования в шум, энергия которого в основном сосредоточена на высоких частотах. Сигма-дельта модуляторы производят такие шумы квантования,
интегрируя сигнал перед его квантованием [82]. Чтобы компенсировать инте­
грирование, квантованный сигнал дифференцируется. Э то дифференцирова­
ние увеличивает энергию шума квантования на высоких частотах и уменьшает
его энергию на низких частотах. Поэтому низкочастотный фильтр h 0 еще более
уменьшает энергию шума квантования. Несколько уровней интегрирования и
дифференцирования могут быть использованы для лучшей концентрации шу­
ма квантования на высоких частотах, что еще более уменьшает его энергию
нуля
после фильтрации с помощью ho [330].
|р | ИШ ВВ
Отлф ППММРЛ *г»ймточной выборки подробно проанализирован без привлеэто
простая
I
формализма
[
к
удалению
Однако каркасный подход
избы точная:
иолее uiumiiDiA
, — -....... ........ *
гooril
сигналов или избыточные каркасы Фурье с окном и вэйвлет-каркасы [32У].
IМ
Т_
5.2
Каркасы Фурье с окном2
'
^
Теория каркасов дает условия для дискретизации преобразования Фурье с
окном, сохраняющей полноту и устойчивость представления. Преобразование
*
функции /
й' ж
Ж
ШШЖ = ШШёШ
где
9ил (*) ~ g(t -
и) е**.
Условие Hsll = 1 означает, что Щ0Щ = 1. Представление с помощью дис
кретного преобразования Фурье с окном
{ S f{ u n,£k) = (/) 5un,$fc)}(n,fc)€Z3
полно и устойчиво, если {<Ьп,€,Л(п,*)ега есть каркас L 2 (R)
5.2. Каркасы Фурье с окном
у
159
Интуитивно можно ожидать, что дискретное преобразование Фурье с ок­
ном полно, если прямоугольники Гейзенберга всех атомов {gun,£k}(ntk)ez2. пол­
ностью покрывают частотно-временную плоскость. В разд. 4.2 показывает­
ся, что прямоугольник Гейзенберга атома gUn^ k имеет центром на частотно­
временной плоскости точку (un,£fc). Его размер не зависит от ип и
Он зави­
сит от частотно-временной протяженности окна д. Поэтому полное покрытйе
плоскости достигается сдвигами этих прямоугольников по равномерной пря­
моугольной решетке, как это проиллюстрировано на рис. 5.1. Временной и ча­
стотный параметры (zz, £) дискретизируются по узлам прямоугольной решетки
с шагами по времени и частоте размера щ и £о- Обозначим
9n,k(t ) = g(t - пи0) exp(ik£ot).
Шаги выборки (ttOi£o) должны быть согласованы с частотно-временной про­
тяженностью д.
Рис. 5.1. Каркас Фурье с окном получается покрытием частотно-временной
плоскости с помощью регулярной решетки атомов Фурье с окном, сдвинутых
на ип = пи'о по времени и на Щ = щ о по частоте.
М асш табирование окн а. Предположим, что {3 n,fc}(n,fc)ez2 ~ каркас L 2 (R) с
границами каркаса А и В. Давайте растянем окно: gs(t) = ШШШіШШ Это уве­
личивает в | раз ширину по времени прямоугольника Гейзенберга функции д и
уменьшает в s раз его ширину по частоте. Таким образом, мы достигаем тако­
го же покрытия частотно-временной плоскости, увеличивая «о в | и уменьшая
£о в s раз. Пусть
■ v
9s,n,k(t) = 9„{t - nsuo) ехр
•
(5.44)
С помощью замены переменных t' = ts в скалярном произведении можно до­
казать, что {g3,n,k}(n,k)gz2 удовлетворяет тем же каркасным неравенствам, что
и {ffn,fc}(n,jfe)gz3 й с теми же каркасными границами А и В.
Глава 5. Каркасы
160
доказала
ВИЙ на 5 , tt0 И £0, гарантирующих, что {5 n,fc}(n,fc)eza есть каркас L (R). Мы не
приводим доказательств, но суммируем основные результаты.
каркас,
(ДОБЕШИ). Семейство
если только
2п
(5.45)
щ£о
неравенствам
А < -— г- < В,
(5-46)
I ш аН
9 _ +°°
Ш I М,
і4 < — Й Б
«=-«>
1
Vcj Е R,
® Sl
(5.47)
I nuo)|2 < В ,
+СО
А < — У2 \д{и “ Ш
т АС=—ОО
. ■
-
Яв-
. (5*48)
частотна27г/Г (^іө р ^іо »)
—
временной плоскости. Первое условие (5.45) обеспечивает, что эта плотность
каждого
венства (5.47) и (5.48) доказаны во всей общности Чуй и Ши
зывают, что равномерные сдвиги по времени д должны полностью покрывать
временную ось, и сдвиги по частоте преобразования Фурье д должны анало­
гично покрывать частотную ось.
'-''лш Я Н
Так как все векторы Фурье с окном нормированы, то каркас есть ортого­
условие
В
нальный
показывает, что это возможно только при критической плотности выборки
uq£o = 2тг. В теореме Бальяна-Лоу [86 ] доказывается, что в этом случае д —
негладкая
окнам
u0fo —2 тг, то
+ор
—OO
t2 \g(t)\2 dt = +оо
или
г+оо
.7:%
I
u;2 |(?(w)|2 dw = +оо.
(5.49)
J—OO
I ^
В этой теореме доказывается, что мы не можем построить ортогональный
базис Фурье с окном для дифференцируемого окна д с компактным носителем.
С другой стороны, можно убедиться, что разрывное прямоугольное окно
9 — у / щ ^“1—**°/2,«о/2]
'
образует ортогональный базис Фурье с окном при и0Со = 27г. Этот базис редко
используется ввиду плохой частотной локализации д.
' лШЙи
Д остаточ н ы е условия. Следующая теорема, доказанная Добеши [145], дает
достаточные условия на uq, Со и g для построения каркаса Фурье с окном.
5.2. Каркасы Фурье с окном
161
Теорема 5.7 (ДОБЕШ И). Определим
-foo
0(и) =
sup
У2 \9(t - nuQ)\ \g(t - пи0 + и)\
(5.50)
0<t<t*o п _ _ оо
U
1/2
д
(5.51)
fc=—оо
НО
Если щ и £о удовлетворяют условиям
2jг /
+°°
( 0<*<«о 7 1^= —ОО |р(* “ П“ ° )|2 - А I > 0
Л° = Г
(5-52)
ТІ
2тг '
-Во = 7 ~
»
+0°
sup
у |g(t - пио)\ + Д } < +оо,
\ 0^ “°«±^оо
(5.53)
то {9n,k}(n,k)ez2 — каркас. Константы A q и Во — соответственно нижняя
и верхняя границы для границ каркаса А и В.
Заметим, что единственная разница между достаточными условиями (5.52),
(5.53) и необходимым условием (5.47) — это прибавление и вычитание Д. Если
Д мало по сравнению с info<t<Uo ^2п=-оо \я(^ ~ пио)\2>то Ао и Во близки к
оптимальным границам каркаса А и В.
Д войственны й к ар к ас. В теореме 5.2 доказывается, что двойственные кар­
касные векторы с окном — это
■
9n,k
= (tn n r W
(5.54)
Следующее утверждение показывает, что этот двойственный каркас есть так­
же каркас Фурье; это значит, что его векторы — сдвиги по времени и частоте
нового окна д.
У тверж ден и е 5.4. Двойственные векторы Фурье с окном можно записать
в виде
-л
9п,к(<) = 9 (t - пи0) exp(ifcf0*),
где g — двойственное окно
,
~9 = W ' U ) - lg.
(5.55)
Доказательство2. Этот результат доказывается, если сначала показать, что
оператор L = U*U коммутирует с операторами сдвига по времени и частоте,
пропорциональными ио и £о- Если h € L2 (R) и hmti(t) = h(t —тио) exp(il£ot)f
то мы убеждаемся, что
Lhm,i(t) = exp(i/£ot) Lh(t - тио).
Действительно, (5.26) показывает, что
Lhm,l — / ] {Һт,1) gn,k) Qntk)
(n,fc)€Z3
Глава 5. Каркасы
162
и замена переменных дает
{Һт,һ9п,к) Щ(Һ,дп-т,к-і)Следовательно,
Lhm,i{t)
|
, 'v
ШШЯ
|
£
іһ’9"-т'к- й exp(i^oi) gn- m ^ i ( t ~ muo)
(n,fc)€z2
exІ Ш Lh(t - muo).
модуляциями, мы
группой операций.
убеждаемся, что ffi 1 обязательно коммутируе
Откуда
'
Sn,Jk(t) = L~lgn,k = exp(ifc€o)b-1so ,o (t-n u o ) = ехр(В Д g{t-nuo).
О кно Гаусса. Окно Гаусса
✓ .2
P(t) = 7Г“ 1/4 ехр ( —
(5.56)
имеет преобразование Фурье д, которое также является функцией Гаусса с
той же дисперсией. Временная и частотная протяженности этого окна оди­
наковы. Поэтому мы выбираем равные шаги выборки по времени и частоте:
Uo = £о- Для одного и того же произведения «о£о разные выборы Ц и Щ могут
ухудшать границы каркаса. Если д растянуто с параметром I то временной и
частотный шаги выборки должны стать равными suo и £o/s.
•
Если частотно-временная плотность превосходит критическое значение.
27г/(и0£о) > 1 то, как доказала Добеши [145], {дп,к}(п,к)ег* — каркас. Когда
Ifffg стремится к 2тг, граница каркаса А стремится к нулю. При ио£о = Щ се"
/
------- ■— — \
скалярными произведениями { (/
Вальяна
означает,
каркасом, и действительно можно убедиться, что А
скалярным
---- ' * -------. «В Л ^
С
Г,-и
*
’
-В табл. 5.1 приводятся оценки границ каркаса А0 и В0, вычисленные с
помощью теоремы 5.7 для различных значений щ = Ш При и0£о = тг/2.
что соответствует шагам выборки по времени и частоте, которые равны поло­
вине критической частоты выборки, каркас почти жесткий. Как ожидалось,
А Ш В р 4, и это подтверждает, что фактор избыточности равняется 4 (2 —по
времени и 2 — по частоте). Так как каркас — почти жесткий, то двойственный
каркас почти равняется исходному каркасу; это означает, что 1 Ц д. Когда иоад
возрастает, мы видим, что А убывает, стремясь к нулю, и д все больше и боль­
ше отклоняется от функции Гаусса. В пределе щЩ = 27г, двойственное окно
д есть разрывная функция, которая не принадлежит L 2 (R). Эти результаты
могут быть распространены на дискретные преобразования Фурье с окном,
вычисленные с помощью дискретного-окна Гаусса [361].
Ж е с т к и е каркасы . С жесткими каркасами удобнее обращаться чис­
ленно, так как двойственный каркас равняется исходному каркасу. Добеши,
Гроссман и Мейер [146] дают два достаточных условия для построения окна с
компактным носителем, которое порождает жесткий каркас;
5.3. Вэйвлет-каркасы
163
^ofo
Ао
В0
B q/A q
7г/2
37г/4
7Г
4тг/3
1.97Г
3.9
2.5
1.6
0.58
0.09
41
2.8
2.4
2.1
2.0
1.05
1.1
1.5
3.6
22
Таблица 5.1. Границы каркаса, оцененные по теореме 5.7 для окна Гаус­
са (5.56) и щ = £оТеорема 5.8 (ДОБЕШ И, ГРОССМАН, МЕЙЕР). Пусть д - окно, носитель
которого содержится в [—7г/£о,7г/£о]- Если
Ч-оо
V* € R,
2тт
j - 'ЦТ |g(t - пи0)\2 = А,
(5.57)
п = —оо
Й® {&n,k}(n,k)ez2 Щ жесткий каркас с границей каркаса, равной А.
Доказательство рассматривается в задаче 5.4. Если мы предполагаем, что
, . 2п
1< —Г<2,
Щсо
то только последовательные окна g(t —пщ ) и g(t — [п + 1)ио) имеют пере­
крывающиеся носители. Конструирование таких окон изучается в п. 8.4.3 для
локальных косинусных базисов.
5.3
Вэйвлет-каркасы2
Вэйвлет-каркасы получаются в результате выборки временного и масштаб­
ного параметров непрерывного вэйвлет-преобразования. Вещественное непре­
рывное вэйвлет-преобразование сигнала / 1 L2(R) определяется в разд. 4.3:
W f(u ,s ) = ш Ш ш
где §
вещественный вэйвлет и
“Фх1,8(£)
Условие t|^|| = 1 означает, что |[р|
1.
Интуитивно для построения каркаса нам надо покрыть частотно­
временную плоскость прямоугольниками Гейзенберга соответствующего дис­
кретного вэйвлет-семейства. Вэйвлет ipUi8 имеет по времени энергию в области
с центром
пропорционального з. Дл
его преобразование Фурье ^Uifl имеет носитель с центром по частоте в точке
щт
Глава 5. Каркасы
164
ri/s, протяженность которого пропорциональна 1/
экспоненциальную
малым
ропорциональными
рис. 5.2. Обозначим
м
1
т «i
т
f t — HUqoP
Ш
дадим
{V'j.n} (j,n)eШ было каркасом L 2 (R).
t
Р и с. 5.2. Прямоугольник Гейзенберга для вэйвлета ф],п с масштабом s —а
имеет временную и частотную ширину, пропорциональную соответственно
Ц 1 a - i . При достаточно малых j j и 1 частотно-временная плоскость покрывается этими прямоугольниками.
Н еобходим ы е условия. Мы предполагаем, что функция ф — вещественная,
нормированная и удовлетворяющая условию допустимости теоремы 4.3:
+оо
С
о
Ш и )\
и
Т еорем а 5.9 (ДОБЕШИ). Если {ф3,п
каркаса удовлетворяют неравенствам
du < +оо
(5.58)
каркас L 2 (R), то границы
А < - ^ — <В,
io In а
+ 00
1
7 4 Ш а 5ш)|2 < В
Vcj G R - {0}, A <
u0 J=-oo
(5.59)
(5.60)
Условие (5.60) означает, что ось Фурье покрывается вэйвлетами, растяну
что
это
доказано
5.3. Вэйвлет-каркасы
165
условие достаточно для построения полного и устойчивого представления сиг­
нала, если временной параметр и непрерывен. Неравенство (5.59), которое свя­
зывает плотность выборки од In а с границами каркаса, доказано в [21]. Оно
показывает, что каркас есть ортонормированный базис тогда и только тогда,
когда
СV
А =В
1
В гл. 7 строятся ортонормированные вэйвлет-базисы L 2 (R) с помощью гладких
вэйвлетов с компактным носителем.
Д остаточны е услови я. Следующая теорема, доказанная Добеши [21], дает
нижнюю и верхнюю границы для границ каркаса А и В, зависящие от uq и а.
Т еорем а 5.10 (ДОБЕШ И). Определим
-foo
sup
№
1<М <а .
^
-foo
и
к в в
д
(5.61)
\ф(а3ш)\ |^(aJ(j + OI
к = —О О
кфО
и
27гА;
Щ
1/2
Если ио и а таковы, что
Ап
■foo
1
ио
1<М<а .
и
В0
1
(5.62)
>0
оо
+00
sup
|V>(a^w)|2 + Д I < + 00 ,
(5.63)
ОО
то
~ каркас L 2 (M). Константы А® и Во
нижняя и верхняя границы границ каркаса А и В.
соответственно
Достаточные условия (5.62) и (5.63) аналогичны необходимому условию
(5.60). Если Д мало по сравнению с mfi<|w| < o £ ; ~ o o W a M I 2, то А 0 и Во
близки к оптимальным границам каркаса А и В. Для фиксированного коэф­
фициента растяжения а значение Д убывает в при убывании временного шага
выборки Uq.
Двойственны й каркас. Теорема 5.2 дает общую формулу для вычисления
двойственных вэйвлет-каркасных векторов
V’i.n
ттшш
(5.64)
функции
чалі
реальность
U*U не коммутирует с операторами растяжения в aJ раз, поэтому (U*U)~X
Глава 5. Каркасы
166
*
Г -------------¥
r
также
-1 коммутирует с операторами сдвига на тьоРщ\
можно доказать, что (U*U)
это означает, что
(5.65)
И И 1 1 » И naj uo).
Поэтому двойственный каркас {V’j,n}(j,n)€Z2 получается в результате ^ ычисле^
ния каждой элементарной функции |ggj по формуле (5.64) и дальнейшего их
сдвига согласно (5.65). Ситуация гораздо проще в случае жестких каркасов,
когда двойственный каркас равен исходному вэйвлет-каркасу
ш
ляпа».
Нормированная
вторая
В эй вл ет «м ексиканская
функции Гаусса есть
ф(і) =
7Г
1/4
v/з
t
2
1) exp
(t
(5.66)
Ее преобразование Фурье
2
CJ
' Ф(и)
U
2
ехр
Графики этих функций показаны на рис. 4.6.
г
1/",
где
v
—
число
промежуточных
Шаг
каждую
A q и Во? вычисленные Добеши [21] по формулам теоремы 5.10. При v > 2 голо­
сов на октаву каркас почти жесткий при щ < 0.5, в этом случае двойственный
следует
(5.59) при А « В,
«
■ . w_
wjp
Ctb
uq In a
г
V
un
Сф log2 e.
При
a = 2 мы видим, что
HO u / uq . T
.
# '- ү г‘ :М:*
1 до un = 1.5. При Щ = 1.75 семейство вэйвлетов
Ло резко убывает от щ
более не является каркасом. При a 2 1/2 такой же переход имеет место при
больших Uq.
:f
9
5.4
Инвариантность относительно сдвига
1
При распознавании изображений важно построить представления сигнала, ко­
торые обладают инвариантностью относительно сдвига. Когда изображение
сдвигается, то его численное описание также должно быть сдвинуто, но не из­
менено. Действительно, исследование изображения будет особенно сложным,
если его представление зависит от его расположения. Непрерывные вэйвлетпреобразования и преобразования Фурье с окном обеспечивают инвариант­
ные относительно сдвига представления, но равномерная выборка параметров
сдвига нарушает эту инвариантность относительно сдвига.
./'Щ
Н еп р ер ы вн ы е преобразования. Пусть f T{t) — f { t — т) — сдвиг f(t) на т.
Вэйвлет-преобразование может быть записано как свертка:
1 '
W f( u , s)
+°°
—оо
№
1
ft
- 7= Ф *
V*
V
U
S
dt — f * i j j a(u),
5.4. Инвариантность относительно сдвига
4)
1
1
О
| «о
п
О
а
167
2
2
2
2
0.25
0.5
1.0
1.5
13.091
6.546
3.223
0.325
14.183
7.092
3.596
4.221
1.083
1.083
1.116
12.986
2*
2з
22
0.25
0.5
1.0
1.75
27.273
13.673
6.768
0.517
27.278
13.639
6.870
7.276
1.0002
1.0002
1.015
14.061
0.25
0.5
1.0
! 1.75
54.552
27.276
13.586
2.928
54.552
27.276
13.690
12.659
1.0000
1.0000
1.007
4.324
to
*о|*~
«А
Л
2^
2*
2^
«в
А
2з
Таблица 5.2. Оценки границ каркаса для вэйвлета Мексиканская шляпа, вы­
численные по теореме 5.10 [21].
где ipa(t) = s 1/ 2^ ( —t/s). Поэтому оно инвариантно относительно сдвига:
W f T(u, s) = fr * $ 3 (u) = W f ( u - T , s ) .
1
Преобразование Фурье с окном также может быть записано как линейная
фильтрация:
**'•
+оо
f ( t ) g(t - u) e~tt( dt = e~tu( f I gt(u),
/
где gfo) = g(—t) elt*. С точностью до фазового сдвига оно также инвариантно
относительно временного сдвига:
S f A u , О = e ~ iu* / * g t ( u - т) = Щ
S f ( u - г, £)•
К ар к асн ая вы б о р к а. Вэйвлет-каркас
I
м
'
1
,(t-n a ? u о
ЬЛ ч =
0
приводит к скалярным произведениям, которые осуществляют выборку непрерьшного вэйв лет-преобразования с шагами по времени a?UQ\
ш
(/, Ф},п) = / * Фаз (na3u 0) = W f ( n a j u0, aj ).
Сдвиг / на г дает
(/г> Фз,п) — f + Фаі {naj UQ - т) = W f ( n a j uo - г, а?).
Если шаг выборки а?и о велик относительно скорости изменения f * фа.*(£),
то коэффициенты (f,rpj,n) и т Ш могут принимать различные значения,
Глава 5. Каркасы
168
показано
Не ЯВЛЯЮТСЯ ОДВШ и м
~ ------g
Проблема
особенно
актуальна
для
ортогональных
вэйвлет-базисов,
рис.
максимально. Коэффициенты ортогональных вэйвлетов функции / т
где щ
могут очень отличаться от коэффициентов § Такое же явление искажения,
вызванного сдвигом, проявляется и в случае каркасов Фурье с окном.
сдвига.
Существует
несколько стратегий для поддержания инвариантности относительно сдвига
вэйвлет-преобразования. Если шаг выборки Щ достаточно мал, то отсчеты
/ ★ ФаіИ приближенно сдвигаются, когда сдвигается / . Двоичное вэйвлетпреобразование, представленное в разд. 5.5, есть представление, инвариантное
г
г
_______ тттіл^потиигү гүгг.жіртпв папаметпа
относительно
сигнала
П редставления,
инвариантны е
относительно
Р и с. 5.3. Если fr(t) I f i t - т), то W f T(u,a3) | W f ( u - т,а>). Равномерная
выборка W f T(u, а?) и W f (u, Щ при и = тга3и0 может давать очень различные
значения, если г ф Ища3.
t -Щ
Для того чтобы уменьшить размер представления сигнала для сохранения
инвариантности относительно сдвига, можно использовать адаптивную схему
выборки, когда решетка отсчетов автоматически сдвигается при сдвиге сигна­
ла. Для каждого масштаба a? W f (и,а3) = / * фаі (и) могут быть отсчитаны в
точках и, где \W f(a 3,u)\ имеет локальный максимум. Результирующее пред­
ставление обладает сдвиговой инвариантностью, так как положения локаль­
ных максимумов сдвигаются, когда сдвигается / и, следовательно, / * ф а>- |Й |
адаптивная выборка изучается в п. 6 .2 .2 .
,
-'7;;v|
5.5
Двоичное вэйвлет-преобразование
Для построения инвариантного относительно сдвига вэйвлет представления
дискретизируется масштаб s, но не параметр сдвига и. Для простоты вычис­
лений масштаб отсчитывается вдоль двоичной последовательности ||||||Д
5.5. Двоичное вэйвлет-преобразование
169
В следующих двух разделах представлены алгоритмы быстрого вычисления
с помощью наборов фильтров. Применение к компьютерной визуализации и
распознаванию мелкомасштабной фактуры описывается в п. 5.5.3.
Двоичное вэйвлет-преобразование / € L 2 (R) определяется как
-foo
W f ( u , 2?)
I dt = f * ^
(“ )’
(5.67)
где
Ш 11 i И (-*)
В следующей теореме доказывается, что если частотная ось полностью покры­
вается растянутыми двоичными вэйвлетами, как это иллюстрирует рис. 5.4, то
это определяет полное и устойчивое представление.
Рис. 5.4. Масштабированные преобразования Фурье \,ф(2:>ш)\2, вычисленные
по формуле (5.84) при 1 < j < 5 h w 6 [—7г, 7г].
Т е о р е м а 5 . 1 1 . Если существуют две константы А > 0 и В > 0 такие, что
+00
Vw I R | {0},
А< V
I& 2M I2 < в ,
(5.68)
7 = —ОО
то
-foo
2
<
•А 11/11
1
2
(5.69)
1,
(5.70)
7= - 0 0
Если ф удовлетворяет соотношению
4*00
Vu; G R —{0},
то
+00
№
Щ
1
2г
(5.71)
Глава 5. Каркасы
170
Д о к а з а т е л ь с т в . Преобразование Фурье /,( « ) |
выводится из формулы свертки (5.67):
һ(и) =
Щ
І
| | ||И
^
ф*(2?и>) f ( u ) .
Условие (5.68) означает, что
| |
(5*72)
’
+°° 1 Л
«
д і / и і 2 < 3 | ^ 1/ # И 1 < 5 I / H I •
j =—со
fSl
в >ш м и
, --
Интегрирование каждого члена этого неравенства по | и применение равенства
Парсеваля (2.25) дает (5.69).
Уравнение (5.71) доказывается вычислением преобразования Фурье от об^
их частей этого равенства и подстановкой (5.70) и (5.72).
^ : Щ |Н
следует
мированного вэйвлет-преобразования ,
----------------------------------------- —
В
а
1 1 А= wf(u, ц а р Ijjjg 1 1 1
удовлетворяет каркасным неравенствам. Существует бесконечное число вэй­
влетов восстановления Щ которые удовлетворяют (5.70). Они соотвФ^ЙЩД
различным левым обратным операторам U , вычисенным в формуле (5.71). Ес­
ли мы выберем
ЙЙІ
Ш
ЕЯ
(5.73)
то можно убедиться, что левый обратный есть псевдообратный оператор U
Рис. 5.5 дает двоичное вэйвлет-преобразование, вычисленное для 5 масштабов
и
_ м _______ ________
««л
с а
квадратичного
5.5.1
Вэйвлет-проектирование
Дискретное двоичное вэйвлет-преобразование может быть вычислено с поморого алгоритма н
[ подходящим обрг
биортогональных
со сходимостью бесконечных каскадов фильтров,
здесь опущены. Для понимания основных результатов необходимо предвари­
тельное прочтение гл. 7.
I
Пусть h a g — пара конечных фильтров импульсного отклика. Предполо­
жим, что Һ — низкочастотный фильтр, передаточная функция которого удо­
влетворяет условию h( 0) = у/2. Так же, как в случае ортогональных и биорто­
гональных вэйвлет-базисов, мы строим масштабирующую функцию, преобра­
зование Фурье которой есть
Ш ііИ ІІііШ І
(5т4)
5 5. Двоичное вэйвлет-преобразование
171
Сигнал
Л
-7
2
L i
Л
2-6
2-3
-4
2
2-3
Аппроксимация
2 -з
Рис. 5.5. Двоичное вэйвлет-преобразование W /(u,2*), вычисленное для мас­
штабов 2
< 2J < 2“ 3 с помощью алгоритма набора фильтров из п. 5 .5.2
для сигнала, определенного на отрезке [0,1]. Нижняя кривая содержит низкие
частоты, соответствующие масштабу больше, чем 2 ~3.
m
Рис. 5.6. Квадратичный сплайн-вэйвлет и масштабирующая функция.
Здесь мы предполагаем, что это преобразование Фурье — функция с конечной
энергией, так что ф 6 L 3 (R). Соответствующий вэйвлет ф имеет преобразова­
ние Фурье, определяемое равенством
*
»
>
-
л
*
(
*
)
*
(
*
)
■
(
5
7
5
)
Глаза 5. Каркасы
172
В утверждении 7.2 доказывается, что обе функции ф и ф имеют компактный
носитель, потому что 1 и д имеют конечное число ненулевых коэффициентов.
Число нулевых моментов Щравняется порядку нуля Щш) при ш 0. Так как
<£(0 ) = 1 , то (5 .75 ) означает, что это число равняется также порядку нуля Цш)
при и = 0 .
ШШ
В эй влеты восстановления. Вэйвлеты восстановления, которые удовлетво­
ряют (5.70), вычисляются с помощью пары конечных импульсных откликов,
двойственных фильтров h a g . Мы предполагаем, что с л е д у к щ ^ ^ ^ ^ ^ ^ Н
вание Фурье имеет конечную энергию:
Ш
Определим
Р=1
һ(2~ри)
v/2
1
І
у/2
Ж
И
( 5 -7 б )
1 Щ
(5.77)
Следующее утверждение дает достаточное условие, гарантирующее, что щ есть
преобразование Фурье вэйвлета восстановления.
У твер ж д ен и е 5.5. Если фильтры удовлетворяют условию
зВВ^И
Vcj е [—тг, 7г],
h(co) h*(и) + g(u) g* (и) = 2,
(5.78)
-foo
то
G R - {0 },
]Г
7=
#Щ § = i
И
OO
Доказательство 2. Из выражений для преобразования Фурье (5.75) и (5.77)
следует, что
1 с /ш \
i* ( и
Ш й в 11I
I в I
I 2
Условие (5.78) означает
(I)
(I) (
Ян* I 11яi(I) I (!)] 1ШI (I)
Ф( ^ ) Ф* ( | ) -
<£*Н-
Следовательно,
j=-l
Так как <?(0) = 0, (5.78) означает, что /г(0) /г* (0) = 2. Мы также предпо­
лагаем, что h(0) = у/2] следовательно, из (5.74, 5.76) можно вывести, что
с:
.
л
^
‘
ф(0) = <£*(0)=1. Так как ф и ф принадлежат LX(R), то ф и ф непрерывны, и
из леммы Римана-Лебега (задача 2.6) следует, что |<£(и>)| и \ф(и)\ стремятся
к нулю при (J, стремящемся к оо. Устремляя к и I к +оо при и Ф 0, полу­
чим (5.79).
*Ш
173
5.5. Двоичное вэйвлет-преобразование
Заметим, что (5.78) — то же самое, что условие разбиения единицы (7.122) для
биортогональных вэйвлетов. Здесь не требуется условие уничтожения наложе­
ния (7 .121 ), так как вэйвлет-преобразование непрерывно по времени.
Реш ение с ко н еч н ы м им пульсны м откликом . Осуществим сдвиг Һ и д
для получения причинных фильтров. Результирующие передаточные функции
һ(ш) и д(ш) — многочлены по е~гш. Мы предполагаем, что эти многочлены не
имеют общих нулей. В теореме Безу 7.6 для многочленов доказывается, что
если P(z) и Q(z) два многочлена степени п и I без общих нулей, то существует
единственная пара многочленов P(z) и Q(z) степеней I —1 и п —1 таких, что
(5.80)
P (z )P (z ) + Q(z)Q(z) = 1.
гарантирует
—ILUи удовлетворяют (5.78). Они — преобразования Фурье фильтров конечных
следует
результирующая масштабирующая функция ф (5.76) не обязательно может
иметь конечную энергию.
—это сдвиг га + 1-й
Д воичн ы е сп лай н -вэй влеты . Сплайн-бокс с
четное и t = 0 , если
свертки 1 [0>1] с собой. Он имеет центром t m 1/2
m — нечетное. Его преобразование Фурье есть
ф{ш)
sin(u>/2 )
ш/ 2
771+1
ехр
геи
2
откуда
1,
0,
где б
г- ,
v 2 (cos - )
һ(ш)
если ш — четное,
если m — нечетное,
(5.81)
exp
геш
2
(5.82)
ф(ш)
Выбирая д(ш) = 0(и>) в окрестности и = 0, мы строим вэйвлет, который
имеет один нулевой момент. Например,
геи
/— и
(5.83)
i V 2 sin — ехр
Преобразование Фурье результирующего вэйвлета есть
1 .Ш
у/ 2
и
2
ги
4
(w/4)
m +2
ехр
iw (l + б)
4
(5.84)
/4
9 \2
)/4
Это первая производная сплайн-бокса m + 1-й степени с центром в t
квадратичные
Для
и ф. Численно можно проверить выполнение двоичного условия допустимости (5.68) при А = 0.505 и В = 0.522.
Для получения двойственной масштабирующей функции ф и вэйвлета ф,
которые являются сплайнами, мы выбираем һ — Һ. Как следствие, ф = ф и
условие восстановления (5.78) означает, что
m
2
n
LJ
ILJ
2
ЛМ І
COS
(5.85)
sin
i V 2 ехр
І! И
2
2
71=0
Табл. 5.3 дает соответствующие фильтры при m —2 .
Глава 5. Каркасы
174
/t[n] /\/2 |
п
2
1
0
1
2
0.125
0.375
0.375
0.125
ИВI
Һ[п]/
0.125
0.375
0.375
0.125
-0 .5
0.5
3
|
g N /v ^
-0.03125
-0.21875
-0.6875
0.6875
0.21875
0.03125
Т абли ц а 5.3. Коэффициенты фильтров, вычисленные по их передаточным
функциям (5.82, 5.83, 5.85), т = 2. Эти фильтры порождают квадратичные
масштабирующие сплайн-функции и сплайн-вэйвлеты, показанные на рис. 5.6.
5.5.2
Алгоритм с дырами (algorithme a trous)
Предположим, что масштабирующие функции и вэйвлеты ф, ф^ ф и Щописыва­
ются фильтрами hy g ,h и д. Быстрое двоичное вэйвлет-преобразование вычис­
ляется с помощью алгоритма набора фильтров, называемого по-французски
algorithme a trous — алгоритм с дырами , введенного Холыпнейдером, Кронландом-Мартине, Морле и Чамичьяном [212]. Он подобен быстрому биортогональному вэйвлет-преобразованию
без
неполной
выборки
[308,
261].
*
Пусть f( t) — непрерывный временной сигнал, характеризуемый N отсче­
тами с шагом N ~ l на [0,1]. Его двоичное вэйвлет-преобразованйе может быть
вычислено только с масштабами 1 > щ > N ~ 1. Д ля упрощения описания алго­
ритма набора фильтров легче рассматривать сигнал f ( t ) = f(N ~ H ) , отсчеты
которого расположены на расстоянии 1 . Замена переменных в двоичном инте­
гральном вэйвлет-преобразовании показывает, что W f ( u , 2J) = AT- 1 / 2 W f(N u,
N 2J). Поэтому мы будем рассматривать двоичное вэйвлет-преобразование
/,
■
из которого легко выводится двоичное вэйэлет-преобразование / .
Б ы стр о е двоичное преобразование. Мы предполагаем, что отсчеты ао\п
входного дискретного сигнала равняются не /(п ), а локальному среднему / в
окрестности t = п. Действительно, детекторы выделения сигнала выполняют
такое усреднение. Отсчеты ао[п] записываются как средние f( t) с масштаби­
рующим ядром ф(і —п) в качестве веса:
+оо
°о[п] = {f(t),< p {t-n ))
f ( t ) ф(і —n)dt.
—OO
Далее
a j [n]
{ f it), Ф&[t - n)), где ф2і(і)
7=Ф/ *
Двоичные вэйвлет-коэффициенты вычисляются при j > 0 в целочисленной
решетке
dAn
W fi
I
5.5. Двоичное вэйвлет-преобразование
175
Для любого фильтра х[п] мы обозначаем через Xj [п] фильтры, полученные в результате подстановки 2J
между
х[п]. Преобразование Фурье хj [п] есть х(2*ш). Подстановка нулей в фильтры
создает дыры (trous по-французски). Пусть Xj[n\ = Xj[—n]. Следующее утверкаскад
---- *— . -- ---г *^
д
A
--------*-----г------- 7 ---------- Ж —
W
вычислении вэйвлет-преобразования и его обращения.
У тверж ден и е 5.6. Д л я любого j > О
1
aj+i [n] 35 aj * hj [n],
и
dj+i [n] = aj * §j [n]
(5.86)
aj[n] = ~ (aj+i ★Aj[n] + dj+i ★g j [n]^ .
(5.87)
Доказательство*. Доказательство (5.86). Так как
%4-i N = /★ ф2э+і (п) и dj+1[п] = / ★
(п),
мы убеждаемся с помощью (3.3), что их преобразования Фурье соответственно
равняются
-foo
f( u + 2&7г) 02і+ 1(^ + 2ктг)
(<*>)=
О,
у?;* ;Щ
# •"’*
*=-00
И
4-оо
(о;) =
>
/(а; + 2£тг) фы+і (и п 2ктг).
/с=—оо
Из свойств (5.76) и (5.77) вытекает, что
Ф2J+1 (w) = >/§*+» £(2*+1w) = h(2ju) V * ф(Яш),
$ j j t (w) i v ^ + r ^ (2 j+1u;) j | f t | l | V # 0 (2 * w ).
Так как j > 0, то обе функции /i(2jcj) и д{23и) суть 27г-периодические, откуда
aj+\{u) = h*(2j<jj) <ij(cj)
и dj+і(ш) = g*(2?w) aj(u).
(5.88)
Полученные два уравнения — это преобразования Фурье уравнений (5.86).
Доказательство (5.87). Уравнения (5.88) дают
a.j+1 (ui) h(2j u>) -hdj+i (u>) g(2j ui)
=
&j(u) һ*(2*ш) h(2*w)
+
dj(uj) g*(2*u>) g(2ju).
Подстановка условия восстановления (5.78) дает
a,+i(w) һ(2?ш) + dj+i(u) д(2*ш) = 2 а3(ш),
которое есть преобразование Фурье (5.87).
В
Двоичное вэйвлет-представление Оо определяется как множество вэйвлеткоэффициентов масштаба, вплоть до 2 , плюс оставшаяся низкочастотная ин­
формация а у.
а /](5.89)
Глава 5. Каркасы
176
каскадом
показано на рис. 5.7(a). Двоичное вэйвлет-преобразование на рис. 5.5 вычис­
ляется с помощью этого алгоритма набора фильтров. Первоначальный сигнал
ао восстанавливается по его вэйвлет-представлению (5.89) итерацией (5.87) при
J > j > 0, как показано на рис. 5.7(6).
Если входной сигнал ао[п] имеет конечную длину N отсчетов, то свертциклическими свертками. Поэтому максимальный масконстанта,
равная
штаб 2J ограничен N , и можно проверить, что
N - 1 i 0 [n], при I I log2 N . Предположим, что Һ и д имеют соответ­
71=0
ственно K h и К д ненулевых значений. «Растянутые» фильтры Ц и Щ име­
ют такое же количество ненулевых коэффициентов. Поэтому число умноже­
ний, необходимое для вычисления Я й и dj +| по dj или обратно, равняется
(K h + K g)N. Для I I log2 N двоичное вэйвлет-представление (5.89) и его
обратное вычисляются,. таким образом, за (К һ + K g)N log2 N умножений и
сложении.
Оно
E
аJ
lj+l
а5+2
d:І+1
dj+2
(а)
а3+2
lj+l
й,
І
d:j+2
d:3+1
(б)
коэффициент
Р и с. 5.7.
Первоначальный сигнал
ток с растянутыми фильтрами hjФт и gj.
1 /2 необходимо для
навливается с помощью сверток с hj и gj
восстановления сигнала а 7- —- следующего
5.5.3
Ориентированные вэйвлеты д л я визуализации
Применения двоичных вэйвлет-преобразований для обработки изображений
мотивированы многими исследованиями по физиологии и компьютерной ви­
зуализации. Текстура материи может быть синтезирована и различима с по­
мощью ориентированных двумерных вэйвлет-преобразований. Многомасштаб­
ные перепады связываются в разд. 6.3 с локальными максимумами вэйвлетпреобразования.
Ориентированные вэйвлеты. В двух измерениях двоичное вэйвлетпреобразование вычисляется с помощью нескольких материнских вэйвлетов
{Ф }і<к<к, которые часто имеют различные пространственные ориентации.
5.5. Двоичное вэйвлет-преобразование
177
При х = ( х \ , х 2) мы обозначим
'Фъіхi , x 2) =
' Хі
2з ’ 2з
Х
2
и
ФкЛ х ) = фоі(-х).
Вэйвлет-преобразование / Е L 2 (R2) в направлении к определяется в точке
и = (1*1, 112) Для масштаба 23 следующим образом:
W kf( u , 23) = { f { x ) , ^ ( x - u ) ) = f * i ) k («)•
(5.90)
Как и в теореме 5.11, можно доказать, что двумерное вэйвлет-преобразование
— это полное и устойчивое представление сигнала, если существуют А > 0 и
В такие, что
К
Vu> = (wi, и 2) e l 2 - {(0,0)},
-foo
А <
\фк (23ш)\г < В.
(5.91)
к=1 jf=—00
Тогда существуют вэйвлеты восстановления {Фк}\<к<к, преобразования Фу­
рье которых удовлетворяют равенству
Wk:A
+оо
1
-
к
1,
7= —00
откуда следует
(5.92)
fc=l
■foo
-
/С
(5.93)
/(* )
7 = —оо
А:=1
Вэйвлеты, удовлетворяющие (5.91), называются двоичными вэйвлетпами.
Семейства вэйвлетов, ориентированных под некоторым углом а , могут
быть представлены как линейная комбинация К материнских вэйвлетов [312].
частная
изводная порядка р окна Ө(х) в направлении вектора n = (cos a , sin а):
■фа (х)
дрӨ(х)
дпР
cos а ------Һsin а. —— ] Ө(х).
дхл
дх
Эта частная производная есть линейная комбинация К Щр + 1 материнских
вэйвлетов
Р
(cosa)fe (sina)p к фк(х) ,
(5.94)
|1 в
к
k=0
где
дЩ х)
И В д х \ дх% к при 0 < к < р
Для подходящих окон Ө эти р 4-1 частные производные определяют семейства
двоичных вэйвлетов. В направлении а вэйвлет-преобразование W af ( u , 2 3) =
шФг>(и ) вычисляется по р + 1 компонентам W kf (u, 23) = / * ф кі (и) с помощью
разложеііия (5.94). В разд. 6.3 используются такие ориентированные вэйвлеты
при р — 1 для выделения многомасштабных перепадов изображения.
Глава 5. Каркасы
178
В эй влеты Габора. Ученые Хюбель и Визель [215] открыли в зрительной об­
ласти коры головного мозга кошки класс клеток, называемых простыми клет­
ками, отклики которых зависят от частоты и ориентации зрительных раздра­
жителей. Многочисленные физиологические эксперименты [283] показали, что
эти клетки могут быть промоделированы как линейные фильтры, импульсные
отклики которых можно измерить в различных точках зрительной области.
Даугман [149] показал, что эти импульсные отклики могут быть аппроксими­
рованы вэйвлетами Габора, полученными с помощью окна Гаусса д[х Д Ц
умноженного на синусоидальную волну.
■фк{х і,х 2) = д ( х і , х 2) ехр[—Й7(хі cos а* + x 2s m a k)}.
\Щ
Положение, масштаб и ориентация а* этих вэйвлетов зависят от клеток коры
головного мозга. Эти открытия наводят на мысль о существовании некото­
рого рода вэйвлет-преобразования в зрительной области коры головного моз­
га, объединенного с последующими нелинейностями [284]. «Ф изиологичен»
вэйвлеты имеют частотное разрешение порядка 1-1.5 октав и поэтому подобны
двоичным вэйвлетам.
'*;•
Пусть д(ші,ш2) — преобразование Фурье д (хг,х2). Тогда
=^
g ^ b J x - T ] c o s оск, 23ш2 - г ) svciak).
Щк
В плоскости Фурье энергия этого вэйвлета Габора сконцентрирована, главным
образом, вокруг точки
2 “^sinajfc) в окрестности, пропорциональ­
ной 2~j . Рис. 5.8 показывает покрытие частотной плоскости такими двоичны­
ми вэйвлетами. Ширина диапазона g ( u i,u 2) и g должны быть такими, чтобы
выполнялось (5.91).
С0о
.
-
со,
Р и с. 5.8. Каждый круг представляет частотный носитель двоичного вэйв­
лета щ | . Размер этого носителя пропорционален 2 "J и его центр вращается
при изменении к.
5.5. Двоичное вэйвлет-преобразование
179
В ы деление тек сту р ы . Несмотря на многие попытки, не существует под­
ходящих
Понятие однородной текстуры все еще определено по отношению к нашему
зрительному восприятию. Говорится, что текстура однородна, если она с пер­
вого взгляда воспринимается человеческим зрением как однородная.
Теория структуры Юлеша [231] была первым важным шагом в понимании
различных параметров, которые влияют на восприятие текстуры. Ориента­
ции элементов текстуры и их частотное содержание кажутся важными клю­
чевыми моментами для ее распознавания. Это побудило первых исследовате­
лей изучать распределение энергии изображения текстуры в области Фурье
локализовать
ния текстуры в окрестностях различных размеров. Поэтому преобразование
локализо
------------ ---- — ^ ^
боров
фильтров,
которые
вычисляют
вэйвлет-преобразование
(224,
244,
285
ла і і тг
SMl -fі'.. -?
J0і ИнШИЩПИпжИЕ
алгоритмической Г Т"- JF
•
%
^•*----*—t—7 ---креплена физиологическими изучениями зрительной области коры головного
мозга.
Ш И Н Г 5)!
|Ж 2/ ( « , 2 - 5)|
Л-i
»I
I
І
I
I
к
2
\W *f(u, 2-1) I2
в
*
%
$|Щ І|
Kbi#
ft
ж
II
I
В)
I
Рис. 5.9. Вэйвлет-преобразование Габора | W kf (
масштабами 2“4 и 2~5 вдоль двух направлений
соответственно равных О
/2
1 и к = 2. Чем темнее пиксель, тем больше амплитуда вэйвлеткоэффициента.
W kf (
\W 4 (
измеряет энергию / в пространственной окрестности точки и размера 2J и в
частотной окрестности точки
2~j r)sinak) размера 2~>. Варьирова­
ние масштаба 2j и угла а* изменяет частотный канал [100]. Энергия вэйвлетпреобразования \ W kf ( u , 2j )\2 больше, когда угол Ш и масштаб 2j полхолят
Глава 5 . Каркасы
180
к ориентации и масштабу компонент высокой энергии текстуры в окрестнок ориентации и м
j
.
>,2
ет быть использована для выдести и. Поэтому амплитуда \WKf{u,W )\ может иы^
ления текстуры Рис. 5.9 показывает двоичное вэйвлет-преобразование двух
ления текстуры, г и
fttwntt
опиентапиях
с
масгоризонтальной и вертикальной
Центральная
штабами 2 4 и 2
горизонтальных
текстура
; п
эти две текстуры разлиставляющих, чем периферийная структур .
*
nnvroii вэйвлет
чаются вэйвлетом, ориентированным c a t - , в то в
обеих хекстур
v
_/о
пярт одинаковые отклики для оових текстур.
гпответствующии oti? —т г / даеі идипа
u
щ
к
/
t
китовый объединяет вэйвлетДля сегментации можно построить алгоритм, который
І
І
І
всехмасштабах и ориентациях, для того чтобы найти граничь,
І Ш
І текстурных областей. Для такой сегментации изображения могут
В и ш о л ь з о в а н £ к а к кластерные процедуры, так и выделены при измерении
вэйвлет-энергии его резкие переходы [224, 285, 334]. Эти алгоритмы хорошо
работают на практике, но они основываются на удачном задании параметров.
Однородная текстура может быть моделирована как реализация стацио■ЙИНа
состоит
в
нахождении
характеристик
главная
Щ
Щ
Я которые играют роль в выделении текстур. Эксперименты по
синтезу текстур [277, 313] показывают, что марковские случайные процессы,
использующие решетки вэйвлет-коэффициентов, дают многообещающую ма­
тематическую методику для понимания выделения текстуры.
5.6
Задачи
лДДД
5.1. 1 Доказать, что если К € Z - {0}, то '{e*[n] = e x p (i2 ir k n /(K N ))} Q<k<KN ~
жесткий каркас CN. Вычислить границу каркаса.
5.2. 1 Доказать, что если К I R — {0}, то (efe(t) | ехр ( І 2 к к п і/К ) } кег - жесткий
каркас L 2 [0,1]. Вычислить границу каркаса.
5.3. | Пусть I = 1[_ыо,ыо]. Доказать, что {g(t - тш0) exp { i2 k n t/u 0) } {k n ) e i2 — орто­
нормированный базис L 2(R).
5.4. 1 Пусть gn,k(t) = g(t - тшо) exp(ifc£0t), где д - окно, носитель которого содер­
жится В [—7г/^0,7г/Со]I
(а) Доказать, что \g(t —пи о)|2 /( t ) =
9n,k) 9 n,k(t).
fk
(б) Доказать теорему 5.8.
'у й Я И
с*
л
5.5. 1 Вычислить тригонометрические многочлены h(и) и д(ш) минимальной сте­
пени, удовлетворяющие (5.78) для сплайн-фильтров (5.82, 5,83) при т = 2.
Вычислить ф с помощью W aveLab^. Имеет ли эта функция ограниченную
•
энергию?
v
5.6. 1 Вычислить двоичный кубический сплайн-вэйвлет с двумя нулевыми момента­
ми, используя фильтр § | определенный формулой (5.82) при га = 3, с помощью
фильтра 5 , имеющего три ненулевых коэффициента. Вычислить в WaveLab е
двоичное вэйвлет-преобразование сигнала Леди с этим новым вэйвлетом. Вы­
числить д[п], если h[n] = һ[п).
5.6. Задачи
181
5.7. 1 Пусть {#(£ —тшо) exP(*fc£o£)}(A:,n)€Z2 ~ каркас Фурье с окном, определенный
прн g ( t ) = 7Г 1 4 ехр(—t 2/2) с uo = £о и u o f o < 2іг. С помощью алгоритма
сопряженных градиентов теоремы 5.4 вычислить в MATLAB’e окно g ( t ) , которое
порождает двойственный каркас для значений ио£о в табл. 5.1. Сравните
g с g и объясните ваш результат. Численно убедитесь, что при £о^о = 2п
§ — разрывная функция, которая не принадлежит L2(R).
5.8. 1 Доказать, что конечное множество N векторов {$n}i<n<jv всегда есть кар­
кас пространства V , образованного линейными комбинациями этих векторов.
Показать на примере, что границы каркаса А и В могут стремиться соответ­
ственно к 0 и +оо при N , стремящемся к +оо.
Стма-дельтпа преобразователь. Сигнал / (t) выбран и квантован. Предпо­
лагаем, что носитель / содержится в [-7Г /Т , 7Г/Т].
5.9.
(а) Пусть х[ть] т f ( n T / K ) . Показать, что если ш € [—7Г, 7г], то х(и ;) ф 0, только
если ш € [—тт/ К утт/К \.
(б) Пусть х[п] = Q(x[n]) — квантованные отсчеты сигнала. Мы рассмат­
риваем ж[то] как случайный вектор и моделируем погрешность W \p\ =
х[п\ —х[п] как белый шум с дисперсией а 2. Найти фильтр /г[п], который
минимизирует
6= ^{11®
||P l*
и вычислить этот минимум как функцию а 2 и К . Сравните ваш
результат с (5.43).
.
I'
-Л
*
ш
(в) Пусть hp(u>) = (1—е"“гы) “р — передаточная функция дискретного интегри­
рования порядкар. Мы квантуем х[п] = Q{x ★hp[n\). Найти фильтр h[n],
который минимизирует е = E {||x*/i—х ||2}, и вычислить этот минимум как
функцию <т2, К и р. Как уменьшить эту погрешность при фиксированном
параметре избыточной выборки К ?
5.10. 2 Пусть ф — двоичный вэйвлет, удовлетворяющий (5.68). Пусть 12(L2(R)) —
пространство последовательностей {<b(u)b'€Z таких, что
\\gj\\2 < +оо.
(а) Убедиться, что если / G L 2(M), то { Wf { u , 2 j )}j e z 6 12(L2(R)). Пусть ф
определяется равенством
Н
й
Һ
*
*
*
1
?
(
“
)
=
_
_
!
&
)
----------------------------------
и 1У-1 — оператор, определенный формулой
_
I . '
Р
’
t”
*{ft (“)}*€*=* В
1
57 ft *&*(*)•
jss —оо
Доказать, что IV"1 — оператор, псевдообратный IV в 12(L2(R)).
(б) Убедиться, что
имеет такое же количество нулевых моментов, как и ф.
(в) Пусть V — подпространство 12(L2(R)), которое перегруппировывает все
двоичные вэйвлет-преобразования функций из L2(R). Вычислить ортого­
нальную проекцию {gj(u)}jez на V .
«
Глава 5. Каркасы
182
5.11. 1 Доказать, что если существуют А > 0 и В > 0 такие, что
А (2 - |h(w)|2) < Ifl(w)|2 ^ в (2 ~
5.12.
„И
Д п п п я л е л е н н а л в (5 .7 4 ), принадлежит L3(R), то вэйвлет ф, заданный
формулой (5.75), есть двоичный вэйвлет.
любой
двумерную
-foo
Е И й f ( u ~ I)1= —оо
(а) Доказать, что это — унитарный оператор из L2(R) в La[0 ,1] :
4-оо
—оо
f i t ) g*(t)dt = / / Z / ( u , O V K O ^ < ^
Jo Jo
проверив, что при д § 1(0>1] он преобразует ортогональный базис {g„,k(t) =
g{t - п) exp(i27rfct)}(n,fc)6za пространства L (R) в ортонормированньш ба
зис L2[0,1]2.
'И '
' ' іЩ И
(б) Доказать, что обратное преобразование Зака определяется как
1
V/iG L2[0,1]2,
Z
—
1
h{u) = /
о
_________
если \д £ L3(R), то { g (t - тг) ex p (i2 7 rfet)} („ifc) 6Z2 — каркас
L2(R) тогда и только тогда, когда существуют Л > 0 и В > 0 такие, что
^
V(ix,0 6 [ 0 ,l] 2,
A < \Z g (u ,0 \2 < В ,
(5.96)
|Jg |
где А и В — границы каркаса.
шв
Доказать, что если выполняется (5.96), то двойственное окно д
ного каркаса определяется равенством Z g(uy£) = 1/Zg*(u,£).
НЕ
нерав­
носитель
5.13.
номерные отсчеты, которые удовлетворяют (5.4). С помощью обратного кар­
касного алгоритма, основанного на теореме 5.4 сопряженных градиентов, выпроцедуру, которая вычисляет множество \ j \ n i )}nez vllu
ыть восстановлена по теореме выборки 3.1). Проанализи[мости алгоритма сопряженных градиентов как функции
<5. Что произойдет, если условие (5.4) не выполняется?
ЖЩ
5.14. 3 Развить алгоритм классификации текстуры с помощью двумерного вэйвлетпреобразования Габора, использующего четыре ориентированных вэйвлета.
Процедура классификации может быть основана на «характерных векторах»,
что обеспечивает локальные усреднения амплитуд вэйвлет-преобразования при
нескольких масштабах вдоль этих четырех направлений [224, 244, 285, 334].
Глава 6
Вэйвлет-преобразование может фокусироваться на локальных структурах сиг­
нала с помощью процедуры приближения и удаления объектов (зум-процедуры), которая постепенно уменьшает масштабный параметр. Особенности и
негладкие структуры часто содержат главную информацию о сигнале. На­
пример, разрывы интенсивности изображения указывают на наличие перепа­
дов на картине. В электрокардиаграммах или радарных сигналах интересная
информация также лежит в области резких переходов. Мы показываем, что
локальная гладкость сигнала характеризуется убыванием амплитуды вэйвлетпреобразования с уменьшением масштаба. Особенности и перепады выделяют­
ся исследованием локальных максимумов вэйвлет-преобразования при малых
масштабах.
Неизолированные особенности появляются в таких сложных сигналах, как
мультифракталы. В последние годы Мандельброт провел широкое изучение
мультифракталов, показав, что они присутствуют почти во всех уголках при­
роды и науки. Вэйвлет-преобразование учитывает самоподобие мультифрак­
талов и дает возможность вычислить распределение их особенностей. Этот
спектр особенностей применяется для анализа свойств мультифрактала. Во
всей этой главе вэйвлеты — вещественные функции.
6.1
Гладкость Липшица1
Чтобы характеризовать структуры с особенностями, необходимо давать точ­
ное количественное выражение гладкости сигнала /(*). Показатели Липшица
позволяют измерить равномерную гладкость на временных интервалах, а так­
же и в любой точке V. Если / имеет особенность при t = v, которая означает
что функция недифференцируема в этой точке, то показатель Липшица при
t = и характеризует сингулярное поведение функции.
Глава б. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
184
Следующий пункт связывает равномерную гладкость Липшица функции /
на
асимптотическим убыванием амплитуды ее преобразования Фурье. Та­
кое глобальное измерение гладкости бесполезно при анализе сигналов с локальнышГсвойствами. В п. 6.1.3 изучаются зум-проц ^ ^ ^ д а ^ Щ
локальные
малых
Л ипш ица и анализ Фурье
6 .1.1
mvPMocTb сигнала с локальной пол
номиальнои шшрилиимоцп^и.
--------- '
•- _ м
цнруема на
» + А]. Пусть р„(«) - многочлен Тейлора в окрестности к
m—1
Л,
Н ІВ ^ ^ В Н В ^ ^ в 11
■
*
=
Е
fc=o
т г (‘ - Я
Из формулы Тейлора следует, что погрешность аппроксимации
е„(0 = / ( 0 - р Л 0
удовлетворяет условию
\ / t e [ u - h , u + h]
Ы 01 < ж
У
1Щ11ВЦ
h,v+h]
( 6 '2)
границу погрешности e„(t) при i стремящемся к v. Гладкость
границу введением нецелого показателя, с
ттгжтТилтттмтта ня’Чктятгуггя также показа­
телями Гёльдера.
(ЛИПШИЦ). • Функция /
многочлен
m = |а | такие, что
Ш1 R
1 /(0 І Ы 01 <
—и в -
(6-3)
Функция /
есл« она удовлетворяет (6.3) для всех | 1 [а, | с константой К , не зависящей
оти.
'
Гладкость Липшица функции / в точке v или на [а, 6] есть верхняя
грань а таких, что 1 удовлетворяет условию Липшица a .
НШ
В каждой точке v многочлен pv(t) определяется единственным образом.
Если / непрерывно дифференцируема т = [aj раз в окрестности и, то pv есть
разложение Тейлора / в точке и. Показатели Липшица могут произвольно ме­
няться от точки к точке. Можно построить мультифрактальные функции с
неизолированными особенностями, где / имеет различную гладкость Липши­
ца в каждой точке. Наоборот, равномерные показатели Липшица дают наибо­
лее глобальное измерение гладкости, применимое на всем интервале. Если /
6.1. Гладкость Липшица
185
удовлетворяет равномерному условию Липшица a > m в окрестности и, то
можно убедиться, что / обязательно m раз непрерывно дифференцируема в
этой окрестности.
Если 0 < а < 1, то Pi/(t) = f(v ), и условие Липшица (6.3) принимает вид
vteR
\f{t)-f(u)\<K\t-v
a
Ограниченная, но разрывная в точке v функция удовлетворяет условию Лип­
шица 0 в V. Если гладкость Липшица есть a < 1 в точке z/, то / не дифферен­
цируема в I/, и а характеризует тип особенности.
У словие Ф у р ье. Равномерная гладкость Липшица функции / на Щ связана
с асимптотическим убыванием ее преобразования Фурье. Следующая теорема
может рассматриваться как обобщение утверждения 2 .1.
Т еорем а 6 . 1 . Функция f ограничена и удовлетворяет равномерному условию
Липшица а на Ж, если
+оо
|/(а;)| (1 + М “ ) du < +оо
(6.4)
—ОО
Доказательство. Чтобы доказать, что / ограничена, мы используем обратное
преобразование Фурье (2.8) и (6.4), которое показывает, что
+ оо
1/(01 <
\f{u>)\du < -foo.
—оо
Проверим теперь условие Липшица (6.3) при 0 < а < 1. В этом случае Pv(t) =
f(v), и равномерная гладкость Липшица означает, что существует К > 0 такое,
что для всех (£, и) Е R
\ т - / н \ < К.
11 - v\a
Так как
4-оо А
1
f(cj) ехр(iut) du,
2тг — ОО
т
1/(0
I*
При 11
-
т
V
а
\
<
± Г ° ° |/(„ )|
2тг — ОО
(6.5)
-1
v
< м
ехр (iut) - exp(iuv)\ <
2
И -й I* V
При \t
If - 1/ 1“
^
v
< | . ;|
"V
■—
-1 > Ж
exp(iurt) —exp(wi/)|
|о;| \t —z/, — , |а
Ш
S \ш\ .
\t-u \a
|t - V f
Разбиение интеграла (6.5) на два: при |ш| < |t —1/\
и при
> |< —i/|—1, дает
Глава в. ВэШет-зум (приближение и удаление объектов)
186
Если (6.4) удовлетворяется, то К < + ос, и / удовлетворяет равномерному
условию
Липшица
а.
JWAVMIUV V
1-- --• V . ' Л-^Г■ у
Распространим этот результат на m = N > | Мы доказали в М , ™
(6 1 означает ненрерывную | раз днфференцнруемость функции / . Можно
проверить, что ф и к ц и я 1 удовлетворяет равномерному условию Липшица |
на R тогда и только тогда, когда /<"> удовлетворяет равномерному уровню
Липшица І
Я на
Преобразование Фурье §
есть Я
f t » * * »
предыдущий
О < а —m < 1, то мы можем исполъзов* i и . ------ -----следует что / (т) удовлетворяет равномерному условию Липшица (а - т ) , и,
следовательно, / удовлетворяет равномерному условию Липшица а.
|
У
Преобразование Фурье есть мощное средство для измерения минимальной гло­
бальной гладкости функций. Однако невозможно анализировать гладкость J
I/O
локализованы
J /n ilW X
^ —--------преобразование дает Липшиц-гладкость на интервалах и в отдельных
точках.
6.1.2
Нулевые моменты вэйвлетов
Д ля измерения локальной гладкости сигнала не так важно использовать вэй­
влет с узким частотным носителем, решающим являются его нулевые момен­
ты. Если вэйвлет имеет п нулевых моментов, то мы показываем, что вэйвлетпреобразование можно интерпретировать как многомасштабный дифферен­
циальный оператор порядка п. Это устанавливает основополагающую связь
между дифференцируемостью / и убыванием его вэйвлет-преобразования при
малых
приближает /
ном ри в окрестности w.
V'~
/(* )= p „ (t) + | | f f | где \eu(t)\ < К \t - u\a .
(6-6)
Вэйвлет-преобразование позволяет оценить показатель а без знания многочлетло т. л тто- с-гай ттрпи мы используем вэйвлет. который имеет тг > а нулевых
моментпов:
+оо
tk ф(і) dt = О при 0 < к < тг
—оо
максимальная
замены переменных t' = (t —u)/
W pv(u,s) = /
ортогонален многочленам степени n —1. Так
ень многочлена
оавна п —1. С помощью
p„(t)
1
Рь —
ip I t a 1 dt = 0.
\V f{u,s) = W ev(u,s).
(6-7)
(6 -8)
В п. 6.1.3 объясняется, как измерить a по \W f(u , s)| в тех случаях, когда и
принадлежит окрестности и.
6.1. Гладкость Липшица
187
М ногом асш табны й д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы й оп ератор. В следующей теоре­
ме доказывается, что вэйвлет с то нулевыми моментами может быть записан
как
дифференциальный
W имеет оыстрое уоывание; это означает, что для
га € N существует константа Ст такая, что
Vi
6
R
ҺКОI <
1 + |*|
.
( 6 .9 )
убыванием
убыванием
т
- ( - 1)"
(6 .Ю)
Как следствие
W f ( u , s ) = sn — ( f * e s)(u),
(6 . 11)
где 0s(t) = s 1' 20(—t/s). Более того, ф имеет не более чем п нулевых момен­
тов тогда и только тогда, когда /* ° ° 0 (f) dt ф 0 .
следует
ее преобразованию Фурье, вычисленному в точке си
по частоте (2.22) означает, что для любого k < то
+ °°
принадлежит
функции равен
во производной
у’ ■ " V
'
tk ip(t) dt = (i)fe^ (fc)(0) = 0 .
(6 .12)
— OO
Поэтому можно использовать разложение
i-дс и\ш) ограничено. оыстрое уоывание а доказывается индукцией по то. При
ТО= 1
,
iff = I
J Щoo
ф(и) d u — f
Jt
ф(и) du,
и быстрое убывание Ө следует из (6.9). Далее мы убеждаемся, что увеличение
на 1 порядка интегрирования до то сохраняет быстрое убывание Ө.
Обратно, \Ө(ш)\ < f*™ \6(t)\dt < +оо, так как Ө имеет быстрое убыва­
ние. Преобразование Фурье равенства (6.10) дает (6.13), а это означает, что
Щ р I 0 при к < то. Из (6.12) следует, что ф имеет то нулевых моментов.
Чтобы проверить, имеет ли ф больше чем то нулевых моментов, мы вычислим
с помощью (6.13)
■foo'
—ОО
tn ф(і) dt = (г)” ф{п\0 ) = (—г)" п! (9(0).
Ясно, что ф имеет не более то нулевых моментов тогда и только тогда когда
т = /_+~ өц) dt ф о.
Глава 1 Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
188
В эй в л е т -п р е о б р а зо в а н и е
(4.32)
м ож ет
быть записано в виде
(6.14)
Wf(u,s) = f*rl>s(u), где $ ,(i)
Мы выводим из (6.10), что Щ
и диф ф еренцирования дает
Wf(u,s)
1 1 1 | | | | Перестановка операторов свертки
IH jflS H
I sn
1 if -г-г(/*^)(“)dun
Если К =
9(t)dt Щ0, то свертка / * 0s(t) может быть интерпре
как усреднение / с весом — ядром, растянутым в s раз. Итак, из (6.11. следует,
что W f ( u , s) есть п-я производная усреднения / по области, пропорциональной
s. Рис. 6.1 изображает вэйвлет-преобразование, вычисленное с щ = -Ө', где Ө
функция Гаусса. В результате W f ( u ,s ) есть производная / , усредненной в
окрестности и с ядром Гаусса, растянутым в s раз.
t
Щ
{ и м
Шт-Ш
.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
u
Ө', где Ө
Р и с. 6.1. Вэйвлет-преобразование W f( u , s), вычисленное с Щ
функция Гаусса, для сигнала / , показанного выше. Переменная и и масштаб |
изменяются соответственно вдоль горизонтальной и вертикальной осей. Чер­
ные, серые и белые точки обозначают соответственно положительные, нулевые
и отрицательные вэйвлет-коэффициенты. Особенности создают коэффициен­
ты с большими амплитудами в конусах их влияния.
Так как Ө имеет быстрое убывание, то можно убедиться, что
lim —7= Өа
з—*0 y/s
KS
6.1. Гладкость Липшица
189
в смысле слабой сходимости (А.30). Это означает, что для любой |>, которая
непрерывна в точке и ,
lim ф ★ —р Ө8(и) = К ф(и).
дар
vs
Если / п раз непрерывно дифференцируема в окрестности и, то (6.11) означает,
что
■ а т Й ё г 1= й , fin) * ^ в- м -
<«*>
В частности, если / принадлежит С п с ограниченной n-й производной, то
|И^/(м,5)| = 0 ( s n+1' 2). Это — основополагающая связь убывания |J^/(t£,s)|
при уменьшении 5 и равномерной гладкости / . Более тонкие соотношения изу­
чаются ниже.
6.1.3
Измерение гладкости с помощью вэйвлетов
Убывание амплитуды вэйвлет-преобразования в зависимости от масштаба свя­
зано с равномерной и точечной гладкостью Липшица сигнала. Измерение это­
го асимптотического убывания эквивалентно приближению структур сигнала
при масштабе, стремящемся к нулю. Мы предполагаем, что вэйвлет ф имеет
п нулевых моментов и принадлежит С п с быстроубывающими производными.
Это означает, что для любого 0 < k < n n m G N существует константа Ст
такая, что
^
V t€ R
№<*>(t) I <
(6.16)
Следующая теорема связывает равномерную гладкость Липшица / на интер­
вале с амплитудой ее вэйвлет-преобразования при малых масштабах.
Т еорем а 6.3. Если / Е L 2 (R) удовлетворяет равномерному условию Липши­
ца а, а < п, на [а, 6], то существует А > 0 такое, что
У(и, а) € [а, Ь] х R+
| W f( u , з)\ < А за+1/2.
(6.17)
Обратно, предположим, что f ограничена и что W f{ u ,s ) удовлетворя­
ет (6.17) для нецелого а < п. Тогда f удовлетворяет равномерному условию
Липшица а на [а + е,Ь — е] при любом е > 0.
Доказательство 3. Эта теорема доказывается с небольшими изменениями так
же, как и теорема 6.4. Так как / удовлетворяет условию Липшица а в любой
точке v <Ё[а, 6], то теорема 6.4 показывает в (6.20), что
Ш , s) 1 R ж R+
|W7(u, s)| < А Ш ® ( 1 1
и —и
а
При и € [а, Ь] мы можем выбрать v = щ это означает, что | W f (и, s)| < A sa+l^2.
Из доказательства (6,20) мы убеждаемся, что константа А не зависит от і/,
потому что имеет место равномерная гладкость Липшица на fa. 61.
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
190
Д л я того чтобы доказать, что 1 удовлетворяет равномерному условию Лип­
шица а на [a + e , b - I мы должны убедиться, что существует К такое, Ж
для всех v Е [а + е, Ь - е] можно найти многочлен р* степени [a j такой, что
V ie ж
|/(* )-р Л * )1 < * П * -И “ -
(6.18)
Если 1 1 [о+ е/2, Ь—е/2], то В ] > Ш и так как / ограничена, то (6.18) выпол­
няется при X, зависящем от I При t € [а + е/2, Ъ- е/2] доказательство следует
из тех же выводов, как при доказательстве точечной гладкости Липшица из
(6.21) в теореме 6.4. Верхние границы (6.26) и (6.27) заменяются неравенствами
Vi
j [а + е/2, Ь - е/2] В 1(і)| < І 2(“"*W при 0 < fc< НI 1-
(6.19)
Эти неравенства проверяются вычислением верхней границы интеграла, ана­
логичного (6.25), но разбитого на две части: для 1 I [о,Ь] и и 0 [а,Ь]. Если
и I [а,Ь], то условие (6.21) заменяется: |W /(u,s)| < A s a
в (6.25). Если
и § [а,Ь], мы просто используем тот факт, что \Wf(u,s)\ < Щ В Д , и вы­
водим (6.19) из быстрого убывания Ц w ЦЦ замечая, что |i - u| > е/2 при
i I [а + е/2, Ь—е/2]. Константа К зависит от А и е, но не от V. Таким образом,
доказательство проводится так же, как и доказательство теоремы 6.4, и, так
кале результирующая константа К в (6.29) не зависит от и, гладкость Липшица
равномерна на [а —€, Ъ4- б].
Іж
Неравенство (6.17) на самом деле есть условие асимптотического убывания
\W f(u , 5)| при 5, стремящемся к нулю. При больших масштабах это не назсл№
дывает никаких ограничений, так как неравенство Коши—Ш варца гарантирует
ограниченность вэйвлет-преобразования:
^
\w f(u ,s)\ =
щ
& іМ f И/H Щ -
1V
При убывании масштаба W f ( u , s ) измеряет мелкомасштабные изменения в
окрестности и. В теореме 6.3 доказывается, что \ W f (и, s)| убывает как s
на интервалах, где / удовлетворяет равномерному условию Липшица а.
Заметим, что верхняя граница (6.17) аналогична достаточному условию
Фурье теоремы 6.1, которое предполагает, что |/(w )| убывает быстрее, чем и> I
Масштаб вэйвлета s играет роль «локализованной» обратной частоты ш~ . В
противоположность преобразованию Фурье в теореме 6.1 вэйвлет-преобразо­
вание дает условие гладкости Липшица, которое локализовано на конечном
интервале и тем обеспечивает необходимое и почти достаточное условие. Ес­
ли [a,b] = R, то (6.17) есть необходимое и достаточное условие того, что |
удовлетворяет равномерному условию Липшица а на М.
Если ф имеет точно п нулевых моментов, то убывание вэйвлет-преобразо­
вания не дает информации о гладкости Липшица / при а > п. Если / удо­
влетворяет равномерному условию Липшица а > п, то она принадлежит С и
из (6.15) следует, что И тя_о s - n - 1 / 2 W f( u , s) — К Ш Я и где К ф 0 . Из это­
го следует, что |V T/(u,s)| Ц s n+1' 2 при малых масштабах, несмотря на более
высокую гладкость / .
Если показатель Липшица а — целое число, то неравенства (6.17) недо­
статочно для того факта, что / удовлетворяет равномерному условию
6.1. Гладкость Липшица
191
Липшица а. Если [а, 6]
R, a
1 и ф имеет два нулевых момента, то
класс функций, удовлетворяющих (6.17), называется классом Зигмунда [47].
Он немного шире, чем множество функций, удовлетворяющих равномерному
условию Липшица 1. Например, f( t) = t Ini принадлежит классу Зигмунда,
хотя не удовлетворяет условию Липшица 1 при t = 0 .
гладкость
преобразования
это деликатная и красивая тема, ко­
торая своими корнями уходит в работы Литтлвуда и Пэли 1930-х годов по
характеристике пространств иооолева. Характеризовать гладкость / в точ­
ке v может быть очень трудно, потому что / может иметь различные ви­
ды особенностей, присутствующих в окрестности точки и. В 1984 году Бо­
ни [99] ввел теорию «дважды микролокализации», которая уточняет подход
Литтлвуда-Пэли для получения точечной характеристики особенностей, ко­
торую он использовал для изучения решения гиперболических уравнений в
частных производных. Эти технические результаты становятся гораздо проще
в работах Ж аф ф ар а [220], который доказал, что «дважды микролокализаэквивалентны
Следующая
статочное условие на вэйвлет-преобразование для оценки гладкости Липшица
функции / в точке v. Напомним, что вэйвлет щ имеет п нулевых моментов и
и производных с быстрым убыванием.
Т еорем а 6.4 (ЖАФФАР). Если / € L 2(R) удовлетворяет условию Липшица
а < п в точке и, то существует А такое, что
V(ti, s) € R х R+
IW f( u , 5)| < A 5a+1/ 2 ( 1 +
и
V
a
(6.20)
Обратно, если a < n — нецелое, и существуют А и a' < а такие, что
V(tx,5) € R x R+
\ Wf { uys)\ < A s a+1?2 ( 1 +
и
V
a
(6 .21)
Що f удовлетворяет условию Липшица а в точке v.
Доказательство . Доказательство необходимого условия относительно простое,
но достаточного условия значительно более сложное.
• Доказательство (6.20). Так как / удовлетворяет условию Липшица а в
точке I/, то существуют многочлен р» степени |/*J < и и К такие, что |/(£ ) —
Pu{t) | < K \t — v |a . Так как # имеет п нулевых моментов, то мы видим в (6.7),
что W p J u , з) = 0, и, следовательно,
+оо
\Wf(u,s)\
—оо
-foo
(т
Ри
a 1
t
dt
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
Замена переменных х = (t - u)/s дает
+00
K \ s x + u - v\a \ф{х)\<1х.
\Wf(u, а)\ < y/i
— ОО
Так как la + b\a < 2a (|a|a + \b\ ),
+00
+00
X
\ W f ( u , s ) \ < K 2 ay f i [ s a
oe
[ф(х)\ dx + p I Щ I
—OO
— OO
| І | | Щ 11
\
что доказывает (6.20).
Д о к а за т е л ь с т в о 2 (6.21). Согласно формуле вэйвлет-восстановления (4.37) /
может быть разложена в сумму типа Литтлвуда Пэли:
+оо
(6 .22)
т
1=3— 0 0
где
Aj (О
1
I
+оо
.
.
CU 7-оо
1
/* * *
r t
W f(u,s) т = гр
V
li
ds
chz.
(6.23)
Пусть
—• fc-я производная A j. Для того чтобы доказать, что / удовлетворяет условию Липшица а в точке | мы будем приближать | обобщенным
многочленом Тейлора
4-00
l*J
Ш Й
(6.24)
i!
fc=0 \ І==—ОО
Если / п раз дифференцируема в точке і/, то
соответствует^^огоадену
Тейлора, но это не обязательно так. Сначала мы докажем, что j = - оо
(*)
конечна, оценивая верхние границы \L
как обобщение производных в точке.
Чтобы упростить обозначение, введем общую константу К , которая может
менять свое значение в зависимости от т , но не зависит от j и £. Гипотеза
(6.21) и условие асимптотического убывания (6.16) означают, что
1
Сф
<
2І4-1
4-оо
-о о
4-oo
ds
Ст
du
l + |( t - u ) / s|m s2
du
l
(6.25)
m
U
1 + |(t —u)/2i
U —V
J2J
a
2aj
К
а/
1+
—oo
Так как Iu — v\a> < 2“i(|u - ||f | + \t - v\a'), замена переменных u' = 2 Ц и- t )
дает
I
, +0° l + « Т + \ ( v - t ) / 2 i . , J
\ & j ( t ) \ < K 2 a] If
---------!------- Ш ---- ii— 1— d u .
1 + |u'|m
—oo
Взяв m = a' + 2, получим
\ A j { t ) \ < K 2 ai
1+
V
—t
2J
a
(6.26)
6.1. Гладкость Липшица
193
Такие же выводы, примененные к производным от Д^-(<), дают
Vfc < [а] + 1
O
t
v —t
1+
2i
|Д**}(і)| < К 2(a-fc)j'
(6.27)
При t = v отсюда следует, что
VA < [aJ
|Д <fc)(v) I < К 2(a- 'fc:)j.
(6.28)
«71U гарантирует оыстрое убывание |Ау’'(^)| при стремлении 2J к нулю, потому что а
нецелое, откуда a > [aj. При больших масштабах 2 \ так как
|W /(«,s)| < 11/ 11ВД, с помощью замены переменных u' = ( t - u ) / s в (6.23) мы
имеем
ll/ll IMI
Сф
-foo
Г2*+*
ds
(*)
\ф (u)\du /
s 3 /2 + k
J 23
— ОО
и, следовательно, |Д^* ^(i/)| < ЙТ2
Вместе с (6.28) это доказывает, что
многочлен рі/, определенный в (6.24), имеет конечные коэффициенты.
С помощью разложения Литтлвуда—
Пэли (6.22) мы вычисляем
L«J
+оо
{*-у)
!/(*) - М *)1
3 = -о о
и
к= 0
Сумма по j разбивается на две в зависимости от 2J, где 2J > \ t — и \> 2J~г.
При j > J мы можем использовать классическую теорему Тейлора, ограничивающую разложение Тейлора Д^:
-foo
I
к=0
j= J
-foo
l*J+l
<
M i-1
«І
j= J
Подстановка (6.27) дает
+ oo
I < К \t - i/|LaJ+1 V 2 “^ aJ+1“e)
и, так как 2J > \t —i/\ > 2J l , мы получим / < К \v —£|a .
Рассмотрим теперь случай j < J.
j-i
II
Я -а Я
j= -o o
AtsO
J -l
<
ш
jsz —OQ
*
ИЙ
a
v-t
i+
Ш
l«*J
* £
bo
t«J
<
К
a J + 2 ( a - a ' ) J | f _ v \a ' + i p
кж
О
(*___ 2 J ( a - f c )
удаление
194
I
>
||
І
|
>
2'
Л
мы
получаем
11
<
К
W
~
§
•
В
Ц
и, так как
|§ |
(6.29)
im ) 1 р М < i + u < к f | - и
Это доказывает, что | удовлетворяет условию Липшица а в точке |
K o h v c в л и я н и я . Чтобы более ясно интерпретировать необходимое уелоК онус влияния.
, 01ч
ппелп олож и м , что ф имеет комвие (6 .20 ) и доста ____ У
VnMuc. влияния точки 1 в масштабно-
„ г Г * /ч К п и н г влияния тичічм и да
пактный носитель, равный №
Я В М
Ц s) таких, Я
пространственной плоскости - это множествого
Н
Щ
............... / (Л - о- 1/2 ШтШШШ Так как носитель
содержится в носителе V*u,s(*) —s
Ф\\
U >
„„ попяВрнгТ
равен (u - С s, и + Cs], то конус влияния | определяется неоавенс
точка ,
и ~ и —^ s'
'
I находится в конусе влияния и, то W f {
I/
/
условия (6 .20 ) и (6 .21 ) могут быть записаны в виде
a+ l/2
(6.30)
9
Ш Щ Ш т Ш Ш і Ш Ш М Ш
находятся в области влияния каждой особенности.
в э й в л е т -к о э ф ф и Щ ?
IЦ
о
u
s
Р и с. 6.2. Конус влияния абсциссы v состоит из м а с ш т а б н о - п р о с т р а н с т в е н н ы х
точек (u,s), для которых носитель фи,3 пересекает прямую t = v.
О с ц и л л и р у ю щ и е о с о б е н н о с т и . Может показаться удивительным, что
(6 .20 ) и (6 .21 ) также накладывают условия на вэйвлет-преобразование вне ко­
нуса влияния точки v. Действительно, это соответствует вэйв летам , носитель
которых не пересекает § = v. При \и — Ц > Cs мы имеем
|W f{ u , s)| < §§ sQ- a'+1/2 f | I |g g
■
(6.31)
6.1. Гладкость Липшица
195
Мы увидим, что действительно необходимо наложить это условие убывания
при и, стремящемся к і/, для того чтобы контролировать осцилляции / , кото­
рые могут порождать особенности.
Рассмотрим типичный пример сильноосциллирующей функции
.
/(*) = sin І ,
которая разрывна при и = 0 ввиду усиления осцилляций. Так как ф — гладкая
функция, принадлежащая С ” , то, если ее центр расположен близко к нулю,
быстрые осцилляции sinf 1 дают корреляционный интеграл (sinі~ 1,фи з), ко­
торый очень мал. Интегрируя по частям, можно убедиться, что если (u, s)
находится в конусе влияния и = 0, то \W f(u, s)| < A s2-*-1/ 2. Это выглядит, как
будто / удовлетворяет условию Липшица 2 в нуле. Однако рис. 6.3 показыва­
ет высокую энергию вэйвлет-коэффициентов вне конуса влияния точки и = О,
которая ответственна за разрыв. Для того, чтобы гарантировать, что / удовле­
творяет условию Липшица а, амплитуда таких коэффициентов определяется
верхней границей (6.31).
Рис. 6.3. Вэйвлет-преобразование f(t) = sin (ai-1 ), вычисленное с ф = -Ө',
где Ө — функция Гаусса.Большие амплитудные коэффициенты расположены
вдоль параболы ниже конуса влияния t = 0.
Чтобы объяснить, почему высокочастотные колебания появляются ниже
конуса влияния Ц мы применяем результат, полученный в п. 4 .4.2 по оценке
мгновенных частот с помощью вэйвлет-хребтов. Мгновенная частота sin£-1 =
sin^(t) есть
= t~2. Пусть фа аналитическая
аналитическое
W
(/>■#!,*)• в (4.101) было доказано, что для фиксированного
196
Глава 6. Вэйвлет-зути (приближение я удаление объектов)
гм
s~1/2lWaf(u,s)l
соответствует
масштабу
времени гх максиму
Г)
2
s(u) =
—Vй
где т? - частотный центр * •(* ). Когда и изменяется, м н и ж ^ІОи
щ
о т і е л ^ хребет, которьш является парабола, расноликенная ниже конуса
определяют хрс
,
v
,
Re W;0] вещественное
влияния точки I/ = 0 в плоскости (и, а). Так как rp
j,
вэйвлет-преобразование есть
, ; ; ^ ш |Н В
W f { u, s) = Re(Wa/(w . *)]■
'
I
Поэтому большие значения амплитуды W f { и, о) расположены вдольтой же
п а н и ч е с к о й кривой хребта на
Т Ш Ш
ясно видно на рис. 6.3. Вещественные вэйвлет-коэффициентыW f ( u , з) меняют
онак вдоль хребта ввиду изменений комплексной фазы W
n ° Z p m jl
может быть распространен на общий случай осцил
лирующих особенностей [ЗЗ]. Функция / имеет осциллирующую особенность i
точке I/. если существуют a > 0 и /3 > 0 такие, что для t в окрестности і/
f( t) ~ 1t - И“ 5
фу
Ц\ I )
любого порядка ограничены. Функция g(t) = sint — типичный пример. Ос
пилляции имеют мгновенную частоту *'(‘). которая растет до бесконечности
быстрее, чем 1 Г \ когда t стремится к V . Вэйвлет-коэффициенты большой
энергии расположены вдоль хребта »(и) = ч /Ф 'М , и эта кривая обязательно
расположена ниже конуса влияния |и - и\ < С а.
\ И
Г Д Р
6.2
T
V
' ---------- ------ ------i -
*
ч -з' ж
•
Максимумы модуля
вэйвлет-преобразования2
В теоремах 6.3 и 6.4 доказывается, что гладкость Липшица функции / в п
ке v зависит от убывания \Wf{u,a)\ при малых масштабах в окрестности
необходимости
проконтро­
лировано по его максимальным значениям.
Мы используем термин максимум модуля для описания любой точки
(ио,5о) такой, что |W 7(u,so)| имеет локальный максимум в точке и - иоЭто означает, что
ч
dWf{uo,so) _
■
ди
Этот локальный максимум должен быть строгим локальным максимумом в
правой или левой окрестности щ, чтобы избежать другие локальные максиUVUM кпгпя IW f(u. лпМ константа. Мы называем линией максимумов любую
6.2. Максимумы модуля вэйвлет-преобразования
197
связную кривую s(u) в пространственномасштабной плоскости (гх, s), вдоль
которой все точки
это точки максимумов модуля. Так, на рис. 6.5 (б) пока­
заны линии максимумов вэйвлет-преобразования сигнала.
6.2.1
В ы деление особенностей
Особенности выделяются путем нахождения абсцисс, к которым сходятся
максимумы модуля при малых масштабах. Чтобы лучше понять свойства
этих максимумов, вэйвлет-преобразование записывается как многомасштаб­
ный дифференциальный оператор. В теореме 6.2 доказывается, что если ф
имеет точно ть нулевых моментов и компактный носитель, то существует функ­
ция Ө с компактным носителем такая, что ф m ( - l ) n 0 (n), где Г*°° Ө(і) dt р 0.
аңие
циальный
W f{ u ,s ) = sn - ^ ( f * 0 3)(u).
(6.32)
модуля
спи проиллюстрировано на рис. о.4. с*ти многомасштабные максимумы моду­
ля используются для определения местонахождения разрывов и перепадов в
изображениях. Если вэйвлет имеет два равных нулю момента, то максимумы
модуля соответствуют наибольшим кривизнам. В следующей теореме доказы­
вается, что если W f (u, s) не имеет локальных максимумов модуля при малых
масштабах, то / — локально гладкая функция.
Т еорем а 6.5 (МАЛЛА, ХВОНГ). Предположим, что ф из С п имеет компактпный носитель и ф = ( - 1)п 0 (") при f*™ 0(t)dt ф 0. Пусть / € L^a.fc].
Если существует so > 0 такое, что \W f(u, s)| не имеет локальных макси­
мумов при и G [а, 6] u s < «о, тпо f удовлетворяет равномерному условию
Липшица п на [а + е, b —б] для любого е > 0 .
Эта теорема доказана в [258]. Из нее вытекает, что / может иметь осо­
бенность (не удовлетворяет условию Липшица 1) в\точке г/, если только супоследо
малых
lim ир = v
р —>-fOO
и
lim sv = 0 .
Р -+ + 0 0
у
модуля
ной и той же линии максимумов. Этот результат гарантирует, что все особенно­
сти
модуля
при уменьшении масштаба. Рис. 6.5 дает пример, когда все особенности полуследо
Р асп р о стр ан ен и е м акси м ум ов. При всех ф = ( - 1)п І | § мы не гарантировамодуля
малым
W f(
Глава 1 Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
198
следующ ем
и
преобразование W f ( u
ли Ө
диф ференциального
пропорционально времени ди ф ф узи и . Применив принцип
зии, где s п р о п о р ц и и * ^ ™ Щ Ш т Ш Ж Щ чт0 максимум не может исчем а к уравнению тепловой ди ф ф узи и , получим, чти м g
J
ян*™™
зать при убывании 1 Применения уравнения тепловой д и ф ф узи и к анализу
зать при уиьшап
И
M_ v 4 „ H b i несколькими исследователями в
многомасш табного усреднения были изучены нескшш
Щ Ш
визуализации
и
и
и
f * 6 a(u) усредняет / по области, пропорциональной
W xf ( «-< Ё Й .ч4 -( f * Ө.)(и) имеет максимумы модуля в
м одуля W i f i
/ ★Ө9(и). Если
Ф
2 jdj s ( f * Ө3){и) соответствую т локальным
( - 1)п0(п\
1 (ХЮММЕЛЬ, ПОДЖ
ИО,
ЮИЙ)
I
'
"
XT f t
функция
Гаусса.
Д
л
я
любой
f
I
L
2
(R)
максимумы
модуля
W
где Ө —
^
U
J U
V
-- -----------J
--------------- ------- 1--------------- _
'
•
ү
принадлежат (
нии масштаба.
Доказательство . Для простоты доказательства предположим, что Ө нор­
мированная функция Гаусса 0(t) = 2” 17г” 1^2 ехр(—12/4 ) , преобразование Фу
рье которой есть 0(и>) = ехр(-о;2). В теореме 6.2 доказывается, что
W f (uys) = sn / (п) ★0л(гг),
производная
определена в смысле обобщенных функций
(6.33)
6.2. Максимумы модуля вэйвлет-преобразования
199
время диффузии. Решение уравнения
d 2g(u , г)
ди2
dg(u, т)
дт
(6.34)
с начальным условием д(и}0) = до(и) получается с помощью преобразования
Фурье (6.34) по переменной и :
&9(ы,т)
и 2 д{ш,т).
дт
Отсюда следует, что д(ш,т) = д0(ш) ехр{-тш2), и поэтому
9 (и,т)
1
до*Өт(и).
При т — 8 определение до =
и (6.33) дают Wf(u, s) = sn+1/’2 д(и, s). Поэтому вэйвлет-преобразование пропорционально тепловой диффузии с начальным
условием f^n\
следует.
значение
ется на границе: и = а, 6 или при s
модуля
(til, 51) это локальные максимумы \д(и, s)| при фиксированном s и меняюмодуля
(wi,si), где 5i > 0. Можно убедиться, что существует е > 0 такое, что глобаль­
ный максимум \д(и, s)| в области [i*i —е, и\ + б] х [si —€, si] достигается в точке
(гхі, 5і). Это противоречит принципу максимума и поэтому доказывает, что все
максимальные модули распространяются в направлении малых
Производные функции Гаусса часто используются для гарантии того, что ли­
нии максимумов распространяются до самых малых масштабов. Объединение
вместе максимумов модуля в линии играет также роль процедуры удаления
ложных максимумов модуля, созданных в результате численных погрешностей
в тех областях, где вэйвлет-преобразование близко к нулю.
И золи р ован н ы е особенности. Вэйвлет-преобразование может иметь после­
довательность локальных максимумов модуля, которая сходится к абсциссе
I/, даже если / очень гладкая в точке v. Это случай линии максимумов на
рис. 6.5, которая сходится к абсциссе v = 0.23. Поэтому для выделения осо­
бенностей недостаточно следовать вдоль максимумоЕ модуля
масштаба. Гла
мумов модуля
модуля
ке I/, заключены в конус
и —v < Ш .
(6.35)
Это означает, что / не имеет осцилляций, которые усиливаются в окрестно­
сти v. Потенциальная особенность в точке v обязательно изолирована. Дей­
ствительно, мы можем вывести из теоремы 6.5, что отсутствие максимумов
ниже конуса влияния означает, что / удовлетворяет равномерному условию
200
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
\
log2(s)
и
(а)
U
log2|Wf(u,s)|
log2(s)
(в)
Р и с . 6.5. (а) Вэйвлет-преобразование W f ( u ,s ) . Горизонтальные и вертикаль­
ные оси определяют соответственно и и log2 s. (б) Максимумы модуля W f (и, s).
(в) Сплошная линия дает убывание log2 |W /(u , s)| как функции log2 s вдоль
линии максимума, которая сходится к абсциссе t = 0.05. Штриховая линия да­
ет log2 \W f(u , | | | вдоль линии максимумов, которая сходится к t 0.42 (левая
из двух в окрестности t = 0.4).
6.2. Максимумы модуля вэйвлет-преобразования
201
эй точки t ф v, где t е {у - C s0,^ + Cs0).
IW f (
:ти і/ контролируется убыванием максимумов
модуля
u — v\ < Cs. Л теореме 6.3 утверждается, что
/ удовлетворяет равномерному условию Липшица ос в окрестности v тогда и
каждая
модуля
\W f{ u ys ) \ < A s ^ / \
(6.36)
fog2 \W f(u , 5)1 < log2 А + ( а + - ) log2 5 .
(6.37)
которое эквивалентно
Гладкость Липшица в точке v определяется максимальным наклоном
log2 \W f(u , 5)| как функции log2 s вдоль линий максимумов, сходящихся к v.
При вычислениях наименьший масштаб вэйвлет-преобразования ограничен разрешением дискретных данных. По отсчетам с шагом N~* в п. 4.3.3
вычисляется дискретное вэйвлет-преобразование с масштабом s > A N ~ 1, где
Л достаточно велико для того, чтобы уничтожить влияние неточной выборки
на вэйвлеты наименьшего масштаба. Поэтому гладкость Липшица а особен­
ности оценивается измерением убывания наклона log2 \W f(u ,s)\ как функции
log2 s при 2 J > s > X N ~ \ Наибольший масштаб 2J должен быть меньше, чем
между
гнностей на W f( u ,s ) . Поэтому шаг выбс
1 долмалым для точного измерения а. Сигнал
определен N
IW7C
вдоль линии максимумов, сходящейся к t = 0.05. Ее наклон равен а + 1 /2 и 1/2
ожидалось, а = 0 , потому что сигнал
при t
сходящейся к t = 0.42, наклон
1 /2 ~ 1 , который указывает, что это
1/2
Когда / — функция, особенности которой не изолированы, конечное раз­
решение измерений недостаточно для выделения отдельных особенностей.
В разд. 6.4 описывается общий подход, который позволяет вычислить спектр
особенностей мультифракталов, используя их самоподобие.
С глаж ен н ы е особенности. Сигнал может иметь большие изменения, оста­
ваясь бесконечное число раз непрерывно дифференцируемым. Например, на
границе тени серый цвет изображения быстро меняется, но не является раз­
рывным ввиду явления дифракции. Гладкость этих переходов моделируется
как диффузия с ядром Гаусса, дисперсия которого измеряется убыванием мак­
симумов модуля вэйвлета.
В окрестности резкого перехода в точке v мы предполагаем, что
f ( t ) = f o * g a(t),
(6.38)
гДе 9а — функция Гаусса с дисперсией а 2:
д°іі)= т һ ехр&
(6.39)
Глава
202
I
Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
I
имеет изолированную | неосцнллирующую особенность Липшица J j
удометворяет равномерному условию Липшица | в окрестточке I/, то она J*
т
L--------- функций Гаі/л/*а
ности и. Д ля в:
_____
следующая теорема связывает убывание в э й в л е т - п р е о и р ^ ™ . „ . Если
Т ео р ем а 6 .6 . Пусть 1 1 М Ш
■ Щ 1 Щ
М
I Щ И
/ 0 * 9„ | /о удовлетворяет равномерному условию Липшица а на [и Һ, и 1 Ц
то существует А такое, что
_
2 _(п- а )/2
V(„, 5) £
- Л, и+Л] XR+
|W/(U,B)| <
^1 + ^ 7 I
Доказательство .2 В э й в л е т - п р е о б р а з о в а н и е
iy/(u, s) I р | j | j | |
Так как
м ож ет
р f”
' І І
быть записано в виде
||||
* 9а* ^Уіи)-
II функция Гаусса, то вычисляя преобразование Фурье, можно убе-
диться, что
Подстановка этого результата в (6.41) дает
п + 1 /2
Так как /о удовлетворяет равномерному условию Липшица а на [v
то в теорема 6.3 доказывается, что существует А > 0 такое, что
Б
I §
[v - Ц 1 1 1 К
Ю Щ I I j ( s “+1/2-
h, v + h],
В
Подстановка этого неравенства в (6.43) дает
Ө 1<I (11§§§Я
Я
■
откуда мы выводим (6.40), используя выражение (6.42) для so
В теореме 6.6 объясняется, как убывает вэйвлет-преобразование в зависимости
от коэффициента диффузии особенности. При больших масштабах, s
усреднение Гаусса не «чувствуется» вэйвлет-преобразованием, которое убыва//? изменение /
малых масштабах вэйвлет/ принадлежит
аются
дуля вдоль кривых максимумов, которые сходятся к и. дисперсия р ш Ш щ
от выбора вэйвлета и заранее известна. Для аппроксимации выполняется ре­
грессия:
log2 1W f ( u , s)| « log2(i4) -f (a + - ) log2 s -
- log2( l +
J32s
6.2. Максимумы модуля вэйвлет-преобразования
203
t
u
(a)
log2(s)
u
log2|Wf(u,s)|
log2|Wf(u,s)|
-6
-8
-10
-12
-7
-6
-5
-4
-3
log2(s)
(в)
W f( u ,s ) . (б) Максимумы модуля
лет-преобразования ф = Ө", где Ө — функция
1.
\W f(
ідоль кривых максимумов. На левом рисунке
сплошная и пунктирная линии определяют кривые максимумов, сходящиеся
соответственно к t = 0.81 и t — 0.12. На правом рисунке они определяют кри­
вые, сходящиеся соответственно к t = 0.38 и t
Диффузи
0.12
и t = 0.55 изменяет убывание при s < a = 2-5
Глава
Вэйвлет*зум (прибдижент я уд аленяе объектов^
* 1
204
модуля вэйвлета, вычисленные для вэйвлета — второй производной функция Гаусса. Убывание iog2
дается
^им ум
д а е т с я вдоль
в д о л ь нескольких
п а л и л о л и л линий
..............- о в , со
^
несглаженным особенностям. Вэйвлет нормирован так, что р
онный масштаб есть ст = 2
6.2.2
j|
Восстановление по двоичны м м аксим ум ам
модуля
сигнала
3
сигнал
сигнала
модуля
амплитуды
максимумов,
и
мы
можем
удалить
ДСП i i j Avyivi
—---- особенности подавлением соответствующих максимумов.
При быстрых вычислениях выделение максимумов вэйвлетов ограничено
двоичными масштабами I Щ
Предположим, что ф - двоичный вэйвлет;
это означает, что существуют А > 0 и В такие, что
§||Щ || < в.
А <
(6.46)
j=-oo
эйв
л
етпреобразование
В теореме 5.11 доказывается, что двоичное
М. ч--'V
'І
»#
riC_——
--—{ W f( u ,2 i) } je z — это полное и устойчивое представление. Значит, оно
эивлетдопускает ограниченный левый обратный оператор. Это двоичное
преобразование обладает теми же свойствами, что и непрерывное преобра­
зование W f{ u ,s ) . Все теоремы из п. 6.1.3 и разд. 6.2 сохраняют свою силу
при сужении 1 на двоичные масштабы В Ш І | Особенности создают последо­
вательности максимумов модуля, которые при малых масштабах сходятся в
направлении соответствующих точек, и гладкость Липшица вычисляется по
убыванию амплитуды максимумов.
П р е д с т а в л е н и е , и н в а р и а н т н о е о т н о с и т е л ь н о с д в и г а . При каждом мас­
там,
где
штабе V представление максимумов
дает
значения
W
f
(
*
‘
%
локальный
H R
случае адаптивная выборка и приводит к представлению, инвариантному отй
- a .
__
г
Г іч / V I A X
w
vn
"
г
J
Г— 1 --------- |/
_
'
__________ Т І Г
’
*
£ (-.
v
'
0 7 \ ^ттг.тхичгппГк НЯ Т.
*
так же как и их максимумы. Этого нет в случае, когда и отсчитывается рав­
номерно, как в вэйвлет-каркасах в разд. 5.3. В разд. 5.4 объясняется, что эта
сдвиговая инвариантность очень важна в применениях, связанных с распозна­
ванием изображений.
.
В осстан овлен и е. Для изучения полноты и устойчивости представлений вэив__ % Ж
__ S t М.
О л.
A
л
nnrvvx w
т* /л т т т т Vт » Т Т І Ч Л А І /
U Т-чТVf ЯЛГО*
__ Малла и Зонг ввели альтернирующий
ритм [261], который восстанавливает приближенный сигнал по его вэйвлет
максимумам; некоторые другие алгоритмы были предложены позже [116,142
199]. Численные эксперименты показывают, что сигнал можно приближение
ТТТЖ ГМ 1
1В книге С. Малла приводятся и анализируются методы, примененные к ряду стандарт
ных изображений: Лена, Мандрил, Золотой холм, корабли, перцы. — П рим. перев.
6.2. Максимумы модуля вэйвлет-преобразования
205
wiDAu ^ ихиииительнои средне-квадратичной погрешностью по­
рядка 10 . Для общих двоичных вэйвлетов Мейер [48] и Берман [94 ] дока­
зали, ЧТО ТОЧНОе В О С С Т Я И П П Л й Ш й
П и т т ттоттттттх « л » л й л т п П
~
сигнало
модуля. Однако сигналы
мами только незначительно отличаются друг от друга, что объясняет успешсигнал
Рье ограниченного диапазона и если ф имеет компактный носитель, то, как
доказали Кайси и Леннард [235], максимумы модуля вэйвлет-преобразования
сигнала
алгоритм
идеи теории каркасов. Поэтому предпосылкой ему служит разд. 5.1. Для каж­
дого масштаба 2j мы знаем {ujip) p
локальных
\Wf(u,2*)\9 и значения
где
Пусть ф' - производная ф, и ip'jtP(t) = 2 - ^ 2ф,( 2 ~ Ң і - и ііР)). Так как W f( u , 2>)
имеет локальный экстремум при u = UjtP, то
d W f (иj tP, 2j )
du
2
~
j
</- Ц , р) = o-
іразом, алгоритм должен восстанавливать функцию / такую, что
W Һ щ ,р , 2j ) = ( /, Фі ,р) = (/, фі<р)
(6.47)
(A 4>j,P) = (/. Ф'і,Р) P 0 .
(6.48)
и
последнего условия вытекает, что производная W f ( u , 2j ) обращается
в нуль при и
W f(
модуля в точке U j tP. Это будет доказано дальше минимизацией ||/||
алгоритм
восстанавливает / с минимальной нормой; эта функция удовлетворяет (6 .47 )
и (6.48). Минимизация ||/|| имеет тенденцию к убыванию энергии вэ
каждого масштаба
+оо
ЦИ7(||,У)|Г« /
—оо
по причине эквивалентности норм, доказанной в теореме 5.11
4*00
Я К Е
£
2 - '||W 7 ( u , 2 ') f < B ||/ ||J.
оо
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
206
Ш И
|ЖшЩВ ш мытак'
и
™рныпается
ввиду
убывания
Норма \\W f(u,V )\\ уменьшается ввиду у
„ Н М И Ч Я І Ш Я II1 обычно сото минимизация
же налагаем условие W f [ujtP, 2J)
здает локальный максимум в точке и и з ,р •
t
2-7
V
2-6
2-5
2 -4
2-3
2-2
2-1
2-0
(б)
!i
- &■»■*w
v
*
w
1
11
•^11«■—
2-е 11
-f fr'v *
кВш 11
2-5 11 SS ?■»■"• 1 1
-1
-и
*
■
■
І
Г
"
"
'
“
г
2-4
f tЩ
L
I
V
2-э
f '
1
_
I
¥
2-2
т
k
A
t
2-1 !
i
2-о
2-7
(в)
ж u i v • w ■ v Ж\ /
“
-------- --------?------- і
:
».j
изображ ения
-j
ны. (б) Двоичное вэйвлет-преобразование, вычисленное для всех масштабов
показанным
-1
адратичным
2N
/мы модуля,
Сигнал / с минимальной нормой, который удовлетворяет (6.47) и (b.4oj,
сть ортогональная проекция Ру / функции / на пространство V , порожденное
эйвлетами | § | § , V>jiP}j,p- При дискретных вычислениях существует конечное
6.2. Максимумы модуля вэйвлет-преобразования
207
число максимумов, поэтому { ^ р , '*/>jtP}jyP — конечное семейство и, следова­
тельно, базис или избыточный каркас V. В теореме 5.4 описывается алгоритм
сопряжейного градиента, который восстанавливает / по каркасным коэффи­
циентам с помощью псевдообратного оператора. Он выполняет вычисления,
обращая
(5.26). Этот оператор определяется как
Vr € V
((г>Фз,р) Фзш Ц |р| Ф^р) Ф'эу
(6.49)
Ясно, что / = L xL f — L -1 9, где
9
L f
^ 2 ((/
j ,p
»Фі ,р ) ФзіР + ( / ,
ф ' іР) — 5 ^ ( / , ^ і.р ) ^ і,р -
(6.50)
j >p
-l
градиентов
процедуры, которая имеет экспоненциальную сходимость. Скорость сходимо
сти зависит от границ каркаса А и В для {ф^ру ^ j tP}j,p
Щ
пространстве
V.
ш
алгоритм восстановления явно не использует тот факт, что
</> Щ.р) 0, рассматривая меньшее пространство V, порожденное суженным
вэйвлет-семейством { ^ j lP}j,P) и выполняя вычисления с уменьшенным каркас­
ным оператором
Lr £
(6.51)
ШЛ
ЗуР
II/
w f(
локальный
u.j>p, и требуется меньше операций с этим умень­
шенным каркасным оператором. Около 10 итераций обычно достаточно для
адратичной
10 . Большее количество итераций не уменьшает значительно погрешность,
Ф / . К аж дая
алгоритма
П ри м ер 6 . 1 . Рис. 6.8 (б) показывает сигнал / = P v f , восстановленный с по­
мощью 10 итераций метода сопряженных градиентов по максимумам вэйвлетпреобразования на рис. 6.7 (в). Это восстановление вычисляется с помощью
упрощенного каркасного оператора (6.51). После 20 итераций погрешность вос­
становления есть ||/ - /ІІ/ІІ/Ц = 2.510-2 . Рис. 6.8 (в) показывает восстановсигнал по 50% вэйвлет-максимумов, которые имеют наибольшую амплитуду. Резкие переходы сигнала
малые колебания структуры сигнала
потому что отсутствуют соответствующие максимумы. Результирующий сиг­
нал кусочно-гладкий.
Б ы стр ы е д и с к р е т н ы е вы ч и сл ен и я. Чтобы упростить вычисления, интер­
вал
сигнала нормирован на 1 . Двои
эйвлет-преобразомного дискретного сигнала Щи
для масштабо
7 < N с помошью алгооитма
208
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
Каскад сверток с двумя фильтрами j |
и 1 1 вычисляется за 0 { N log, N)
операдий.
Каждый вэйвлет-коэффициент может быть записан как скалярное произ^
ведение ао с дискретным вэйвлетом, сдвинутым на тп.
,
N -l
dj [m]
(do [n]
- rn\) = ^ 2 OoN Ц [n
m \■
n=0
t
t
t
Р и с . 6 . 8 . (а) Первоначальный сигнал, (б) Каркасное восстановление по дво­
ичным вэйвлет-максимумам, показанным на рис. 6.7 (в), (в) Каркасное восста­
новление по максимумам, амплитуда которых превосходит порог Т = 10.
Максимумы модуля расположены в абсциссах UjtP, где |dj [ttj,p] | имеют локаль­
ные максимумы; это означает, что
ИЛ^.ріі — \dj[uj,p
Іі| Л ИЛЧг.рІІ — \dj[uj,p "Ь 1]|
' Щ
,
и одно из этих двух неравенств строгое. Обозначим ipjlP[n\ = rpj[n —tij,P]Чтобы восстановить сигнал по его двоичному вэйвлет-преобразованию, вы­
численному до самого грубого масштаба 2 jr, нужно иметь оставшуюся грубую
6.3. Многомасштабное выделение перепадов
209
аппроксимацию aj[m ], которая становится равной константе при 2J = N:
aj[m] =
1
У2 a 0 [n] = у/ N С.
VN “
Задание среднего С также необходимо для того, чтобы восстановить сигнал
по его вэйв лет-максиму мам.
Упрощенный алгоритм восстановления по максимумам обращает симмет­
ричный оператор L, который связан с хранящимися каркасными коэффици­
ентами, без явного использования локальных экстремальных свойств:
log2 N
Lr =
£
£
(г, ф,,г )
+ С.
(6.52)
И В ш р
Вычислительная сложность алгоритма сопряженных градиентов в теореме 5.4
определяется вычислением Lpn в (5.38). Она оптимизируется эффективным
выполнением L с помощью набора фильтров.
Чтобы вычислить L r r мы сначала вычисляем двоичное вэйвлет-преобразование от г[п] с помощью «алгоритма с дырами». Для каждого масштаба 2° все
коэффициенты, которые не соответствуют абсциссе UjiP, полагаются равными
нулю:
d.Н И
. Фз 1П - %,р1>> если m = из,Р’
(6 .53 )
3*
■0
в других случаях.
В
лР
Итак, Lr[n] получается изменением набора фильтров восстановления, данного
в утверждении 5.6. Вэйвлеты разложения и восстановления в (6.52) те же са­
мые, поэтому мы берем h\vi\ = h[n] и <jj[n] = g[vi\. Множитель 1/2 в (5.87) также
удаляется, потому что вэйвлеты восстановления в (6.52) не ослаблены множи­
телем 2-J , как вэйвлеты в формуле восстановления (5.71). При J — log2 N мы
задаем dj[n ] = C / y / N и для log2 N > j > 0 вычисляем
a.j [n] = e.j+i * hj [n] -f dj+1 * Qj [n].
(6.54)
Можно убедиться, что Lr[n] = ao[n] с помощью тех же выводов, что и при
доказательстве утверждения 5.6. Пусть Кһ и К а — количество ненулевых ко­
эффициентов соответственно h[n] и д[п]. Вычисление Lr[n] по г[п] требует всего
2(Кһ + К д)N \og2 N операций. Восстановления, показанные на рис. 6 .8 , вычис­
лены с фильтрами табл. 5.3.
6.3
Многомасштабное выделение перепадов2
Перепады в структурах изображений часто являются наиболее важной осо­
бенностью при распознавании изображения. Это хорошо иллюстрируется на­
шими визуальными способностями распознавать объект по рисунку, который
дает грубые очертания контуров. Но что такое перепад изображения? Он мо­
жет быть определен как точки, где интенсивность изображения имеет резкие
Л
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление
210
Ф
Ш
объектов)
переходы. Более внимательный взгляд показывает, что это определение часто
неудовлетворительно. Текстура изображения может иметь резкие изменения
перепады.
Когда
интенсийпиыи, ли±
х---- — *
’
смотрим на кирпичную стену, мы можем решить, что перепады — это кон­
туры стены, там где кирпичи определяют ее границы. С другой стороны, мы
можем включить контуры каждого кирпича в множество перепадов и рассмат­
ривать негладкую поверхность каждого кирпича как текстуру. Умение разбианализа
визуализации
Следующий
описывает многомасштабный детектор перепадов Кэнни
[113].
Это
эквивалент
_
ЯШМ
^ Я. HI з
но выделению максимумов модуля
Гладкость Липшица точек перепада выводится из убывания максимальных
модулей
женное изображение может быть восстановлено по этим максимумам вэйвлетмодулей без визуальной деградации. Поэтому алгоритмы обработки изображу
ния могут быть выполнены над многомасштабными перепадами.
6.3.1
Вэйв лет-максиму мы д л я изображ ении
ыделяет точки
І Ш Ж с помощью вычисления модуля
перепадов
вектора градиента
К
дхл
V/
5
2L
дХ2
(6.55)
ектора п
/
(cos a, sin а)
скалярное
в плоскости х
градиента
d
f
d
f
.
А
д
cos a 4- - — sin a.
V /.n
дхл
дп
3X2
максимально
V f. Это показывает, что V f i x ) параллелен
/(
у, когда х
|V /(x )| имеет локальный
V /(y) ДО*
малых IA . Это означает, что частные производные /
локального максимума при х = у, когда х изменяется в одномерной окрестіь направления максимального изменения / в точке у. Эти точки
I
перепада точки перегиба / .
М н огом асш табн ое вы делен и е п ереп адов. Многомасштабная версия это­
го детектора перепада выполняется сглаживанием поверхности с растянутым
ядром свертки Ө(х). Это ядро вычисляется с помощью вэйвлетов, которые яв­
ляются частными производными Ө:
.
Ф1
дӨ
дхл
и
ф
дӨ
дх 2
(6.56)
211
6.3. Многомасштабное выделение перепадов
Для ограничения вычислений и памяти масштаб изменяется в зависимости
от двоичной последовательности {2^}j€z- При 1 < fc < 2 и i = ( х \ , х 2) мы
обозначим
Ф&(фь * 2) =
Фк
и
Ф2Л Х) = ф . ( ~ Х)-
В двух направлениях, с индексами 1 < к < 2, двоичное вэйвлет-преобразование
/ е L 3 (R2) в точке и = ( щ , и 2) есть
W fc/(u ,
Щ8 (/(* ),
ij I
и)> =
| * |§ | | |
(6-57)
В п. 5.5.3 даются необходимые и достаточные условия для получения полного
и устойчивого представления.
Обозначим Ө2і(х) = 2~J Ө(2~іх) и Ө2і ( x ) — Ө2і ( —х). Д ва масштабирован­
ных вэйвлета могут быть переписаны в виде
Таким образом, мы выводим из (6.57), что компоненты вэйвлетпреобразования пропорциональны координатам вектора градиента / ,
сглаженного
(6.58)
Модуль этого вектора градиента пропорционален модулю вэйвлет-преобразования
M /(u , 2j ) = у/\\У 1/(и,Я )\2 + \W 2f ( u , V ) \ 2.
(6.59)
АН
угол вектора вэйвлет-преобразования (6.58) в плоскости
{ х \,х 2):
л и оi \
/ a (u)>
A f ( u ,2 ’ ) = l
если W l f(u,2j ) > 0,
если ^ ( „ , ^ < 0 ,
ГййПч
<e '6°)
где
ос(и) = tg
Единичный вектор Hj(и) = (cosA f(u,2j ) ,s m A f( u ,2 j )) коллинеарен вектору
V (f* 6 2j)(u). Точка перепада с масштабом 2j —это точка v такая, что M f ( u , 2j )
есть локальный максимум при и = - и, когда и = v + Х щ (и) для достаточ­
но малых |А|. Эти точки называются также максимумами модуля вэйвлетпреобразования. Сглаженное изображение / ★Ө2і имеет точку перегиба в рас­
положении максимума модуля. Рис. 6.9 дает пример, где максимумы модуля
вэйвлета расположены вдоль контура круга.
212
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
К р и в ы е м аксим ум ов. Точки перепада распределены вдоль крнвы з^^қ^^
рые часто соответствуют границе важных структур. Отдельные максимумы
вэйв лет-модулей, объединенные вместе, образуют кривые максимумов, кото­
рые следуют вдоль перепадов. В любой области касательная кривой
аппроксимируется вычислением касательной линии уровня. Это направление
касательной используется для объединения вэйвлет-максимумов, расположен­
ных вдоль одной кривой хребта.
это кривые x(s) в плоскости (x i,x 2), где g{x(s))
Линии уровня д(х)
дуги ЛИНИИ уровня. Пусть Т В (ті,Т 2)
направление касательной к x(s). Так как g{x(s)) константа при изменении s,
дд
,
дд
&
дд(Ф ))
тг + mmT2 = v5.r 0 .
дхл
dX2
ds
Поэтому Vg(x) перпендикулярен направлению г касательной линии уровня,
которая проходит через х.
_
Из этого свойства линии уровня, примененного к д = / *
, следует, что
в точке максимума v вектор fij{y) с углом A f ( y ,2 3) перпендикулярен линии
уровня / ★§2і , проходящей через и. Если профиль интенсивности остается кон­
стантой вдоль перепада, то точки перегиба (точки максимума) расположены
вдоль линии уровня. Поэтому касательная к кривой максимумов перпендику­
лярна fij(u). Профиль интенсивности перепада может и не быть константой,
но его изменения часто пренебрежимо малы в окрестности размера Щ для до­
статочно малого масштаба 2J , если мы не находимся около угловой точки. Ка­
сательная к кривой максимумов в этом случае почти перпендикулярна щ |Ш
Поэтому в дискретных вычислениях кривые максимумов восстанавливаются
объединением вместе любых двух вэйвлет-максимумов в точках v и § + п,
которые являются соседними на решетке выборки изображения и таких, что
п почти перпендикулярен nj(is).
П р и м е р 6 . 2 . Двоичное вэйвлет-преобразование изображения на рис. 6.9 дает
модули изображений M /( 2J , и), максимумы которых расположены вдоль гра­
ницы диска. Этот круговой перепад есть также линия уровня изображения.
Поэтому вектор Hj (и) с углом Af[2P, и) перпендикулярен к перепаду в точках
максимумов.
I ;щ Ц
П р и м ер 6.3. В изображении Лены, показанном на рис. 6.10, некоторые пе­
репады пропадают при увеличении масштаба. Они соответствуют мелкомас­
штабным
изменениям
интенсивности,
которые
удаляются
при
усреднении
с
ой*
~
’А - І
Н
] ' И
ЗвС*0*'• * і ~1 ’*;# * 1
«
Ө2і при больших 23. Такое усреднение изменяет также расположение остав­
шихся перепадов. Рис. 6.10 (е) изображает такие вэйв лет-максиму мы, что
M f{ y ,2 3) > Т при заданном пороге Т. Они указывают расположения пере­
падов, где изображение имеет большие амплитудные изменения.
Г лад кость Л и п ш и ц а. Убывание двумерного вэйвлет-преобразования зави­
сит от гладкости / . Мы сужаем такой анализ до показателей Липшица 0 <
1. Говорится, что функция / удовлетворяет условию Липшица
и (i/i,i/2), если существует К > 0 такое, что для всех ( i i , z 2) G R 2
ф
щ
|f ( x x, x 2) - /(^ і,у2)| < К (|а?і - v
3£
x
*.
\ 2
+ \x - і/2І2)а/22
(6.61)
6.3. Многомасштабное выделение перепадов
(а)
(б)
(в)
213
(г)
(д)
Р ис. 6.9. Верхнее изображение имеет N 2 = 1282 пикселей, щ (а) Вэйвлетпреобразование в горизонтальном направлении с масштабом 23, который воз­
растает сверху вниз: {W 1/(u , 2^)}_6<j<o- Черный, серый и белый пиксели
соответственно определяют отрицательные, нулевые и положительные значе­
ния. (б) Вертикальное направление: { W 2f(u , 23)}^<j<o- (в) Модули вэйвлетпреобразования { M f( u , 2J)}-6<j<o- Белые и черные пиксели соответственно
определяют нулевые коэффициенты и коэффициенты с большой амплитудой,
(г) Углы { A f \u, 2J)}_e<,<o в точках, где модули не равны нулю, (д) Макси­
черные линии
мумы вэйвлет-модулей
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
214
Если существует К > 0 такое, что (6.61) выполняется для всех и е П, то /
удовлетворяет равномерному условию Липшица а в П. К ак и в случае одного
измерения, гладкость Липшица функции / связана с асимптотическим убываw
M /(n ,2 J). Как и в теореме 6.3, можно доказать
/ удовлетворяет равномерному условию Липшица а внутри о трэш гаш н Н Н
ласти Й тогда и только тогда, когда существует А > 0 такое, что для всех и
внутри этой области и для всех масштабов 23
(6.62)
ЩіШШш % A 2j(“+1).
■•
М
» k I
huT'V *
г.
£■.
.*■.
_______ _ 3 4 .
А . , * % / л л г г м т А Л т і І
« к ІЛ П А
ЖF r \ f
Т П
f vv*y\
Предположим, что изображение имеет изолированную кривую, на которой
гладкость
модулей
вой перепада. Гладкость Липшица а перепада оценивается с помощью (6.62)
измерением наклона log2 |M /(u,2*)| как функции j . Если / не имеет особен­
ности, но имеет гладкое изменение вдоль перепада, то гладкость может быть
качественно оценена дисперсией сг2 двумерного гауссова пятна* Значенщ &
оценивается с помощью применения обобщения теоремы 6 .6 .
В осстановление по п ереп адам . В своей книге о зрении Марр [44] предизображен
эквивалентно
изображений по максимумам вэйв лет-модулей. В двумерных случаяу^#^ ^
деляют ли двоичные вэйвлет-максимумы полное и устойчивое представление
^
-а.-*-. _ ___ _ __ . м \ іГл TVГ*А
алгоритм
сигнала
и Зонга [261] восстанавливает приближенное изображение, которое зрительно
оригиналу
----*
,г
' ''ju '
•; « ж ? v sf. ж
Как и в п. 6.2.2, описывается более простое каркасное восстановление. Для
перепадов дает положемодуля
модулей M f ( u jtP,2j ) и углов A f ( u jtP, Шщ Модуль и угол определяют две
поненты вэйвлет-преобразования
j
к
(6.63)
W kf ( u jtP, 23) 1 В
при 1 < к < 2,
m
ш
где ф^Лх) В 2~3 ф {2 3{х —uj,p))- Пусть WjiP — единичный вектор в направлении A f ( u j tP, 23) и
Так как модуль градиента МШШШ Щ§ имеет локальный экстремум в точке
UjiP в направлении fijiP, то можно убедиться, что
Шщ Ш Я
(6.64)
= °К ак и в случае одного измерения, алгоритм восстановления дает функцию
минимальной нормы / такую, что
(/,Фі,р)
при
l<k<Z.
(6.65)
6.3. Многомасштабное выделение перепадов
*—
) і — ■ »%—
II
К
І
1 I ^' х>/
pv
I
S -S -
•
f- V < > .
I
A .
. „ ,
1
Ш
я
|Ьш
Г S 33*ТЙ
/-«Уі
•
215
у;
У /
/4
V
ш ■Ш
рШ Ш
К
«
ШШСІІ
(а)
(б)
(в)
(г)
(д)
(е)
Р ис. 6.10. Мультимасштабные перепады изображения Лены, показан­
ного на рис. 6 . 11 .
(a) {W'1/ ( u , 2^)}_ 7^ < ^ s .
(б) {1У 2/(гб, 2^)}_ 7<*<-з(в) {М /(м,
(г )
(д) Максимумы модуля,
(е) Максимумы, модули которых больше порогового значения.
Это — ортогональная проекция / на замкнутое пространство V , порожденное семейством вэйвлетов
№ р■
■€ р Ь , р ■
Если это семейство — каркас V , что верно в конечномерном случае, то соот­
ветствующий каркасный оператор есть
^Н І I
vre v
3
^ = Х Б < л Щ # , р.
(6.66)
fc= l j%P
Мы вычисляем / = L ~ l g по g = L f —
Щ щ Ш Ш р) WI p с пом°Щью
алгоритма сопряженных градиентов теоремы 5.4.
Д ля упрощения численной реализации можно сузить условия на скалярные
произведения (6.65) до вэйвлетов
при к = 1,2. Каркасный оператор (6 .66 )
также ограничивается этими двумя типами вэйвлетов:
2
(6.67)
fc=l j,p
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удвлөняө объектов)
216
зе изображение / не равно оригинальному изобра
среднеквадратичная разность между ними мень*
перепады восстанавливаются почти идеально, пр*
___ _
И'эпбпажения немного отличают
В результате
—9
этом не
гладкости, но визуалі
ер 6.4. Изображение, восстановленное на рис. 6.11 (б), визуально
оригиналу. Оно восстановлено с помощью 10 итераций алгоритма
После
20
итераций
относительная
средне-квадратичная
градиента
Пороговая
обработка
перепадов
погрешность [|/- 1 1 ■ I
к исчезновению гладких структур изображения при восстановлении, что покат
зано на рис. 6.11 (в). Резкие изменения изображения восстановлены идеально.
/и/и/и
(б)
(а)
(в)
■
I
Р и с . 6.11. (а) Оригинальное изображение Лены, (б) Изображение, восста­
новленное по вэйвлет-максимумам на рис. 6.10 (д) и максимумам при больших
масштабах, (в) Изображение, восстановленное по вэйвлет-максимумам с по­
роговым значением на рис. 6.10 (е) и по максимумам при больших масштабах.
6.3. Многомасштабное выделение перепадов
217
Л о ж н ы е к о н ту р ы . Детектор многомасштабных вэйвлет-перепадов опреде­
ляет перепады как точки, где интенсивность изображения резко меняется. Та­
кое определение, однако, очень узко, когда перепады используются для нахо­
ждения контуров объектов. Д ля сегментации изображения перепады должны
определять замкнутые кривые, которые в общих чертах описывают границы
каждой области. Ввиду шума или изменений освещения локальные детекторы
перепадов строят контуры с дырами. Заполнение этих дыр требует некото­
рого априорного знания о поведении перепадов в изображении. Иллюзия в
треугольнике Канидзы [39] показывает, что такое заполнение перепадов вы­
полняется человеческой зрительной системой. На рис. 6.12 можно «видеть»
перепады прямого и кривого треугольников, хотя цвет изображения остает­
ся равномерно белым между черными дисками. Замыкание кривых перепадов
и понимание ложных контуров требует не таких локальных вычислительных
моделей, как многомасштабные дифференциальные операторы. Подобные кон­
туры могут быть получены как решение глобальной задачи оптимизации, ко­
торая включает ограничения на гладкость контуров и которая принимает в
расчет существование окклюзий [189].
Рис. 6.12. Ложные перепады прямого и кривого треугольников замечаются в
областях, где изображения равномерно белые.
6.3.2
Б ы стры е многомасш табные вы числения перепадов3
Двоичное вэйвлет-преобразование изображения из N 2 пикселей вычисляется с
помощью разложений, являющихся обобщением алгоритма набора фильтров,
описанного в п. 5.5.2. Алгоритм быстрого многомасштабного выделения пере­
падов получен в [261].
Вэйв л ет-д и зай н . Вэйвлеты для выделения перепадов (6.56) описываются как
сепарабельные произведения одномерных двоичных вэйвлетов, построенных в
п. 5.5.1. Их преобразование Фурье есть
(6.68)
и
(6.69)
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
218
где ф(и) - преобразование Фурье масштабирующей функции, энергия которой
сконцентрирована на низких частотах и
гш
u>
(6.70)
ехр
sin
у/2
2
2
Эта передаточная функция есть преобразование Фурье конечно-разностного
фильтра, который представляет собой дискретную аппроксимацию производ­
ной
0 .5 , если р = О,
Щ1І
(6.71)
0 .5 , если р = 1 ,
V2
в других точках
0
аппроксимации
В результате вэйвлеты ф1 и ф
4ф(2х) ф(2у).
производных по х и у от 0 (х ь
алгоритД ля выполнения двоичного
набора фильтров преобразование Фурье масштабирующей функции ф{\
вычисляется, как и в (5.76), с помощью бесконечного произведения
h(2~pu)
ф{ш)
Р=1
V2
■si
(6.72)
27г-периодическая функция Һ —это передаточная функция конечного импульс-
показали
образование Фурье бокс-сплайна степени тп
ТП+1
геи
sin(u>/2 )
где
ехр
ф(ш)
2~
ш/2
1,
если m — четное,
О, если тп — нечетное,
получается с помощью
һ(ш)
I11IIS
ф{и)
Г ,
tu \ Щ І
V2 ( cos — )
ехр
геи
~2~
>и тп = 2 .
ает
алгоритм
должается на два измерения с помощью сверток по строкам и столбцам изооражения. Носитель изображения / нормируется на [О, I]2, и N 2 пикселей по­
-1 Для
лучаются в результате выборки по равномерной решетке с шагами N
простоты описания алгоритма шаги выборки нормируются на 1 рассмотрени­
ем растянутого изображения / ( х i,x 2) = f { N ~ l X i , N ~ 1x 2). Замена переменных
показывает, что вэйвлет-преобразование / выводится из вэйвлет-преобразова­
ния / с помощью простой перенормировки:
W kf( u ,2 j ) I J V - 1 W kf ( N u , N2’ ).
Каждый
среднее / , вычисленное с помощью ядра ф(х\) ЩФШ сдвинутого
в п = Ы і , п 2):
o0 [n i,n 2] = (/(х
Пі ) ф( х2 -
n2)).
6.3. Многомасштабное выделение перепадов
219
Далее
af [n i,n 2) = ( f ( x і , х 2), ф2Л хі ~ п і ) ф 2і ( х 2 - n 2)).
Дискретные вэйвлет-коэффициенты при п = (п \ , п 2) :
d}[n] = W 1f{ n ,2 j )
и
d)[n\ = W * f{n ,2 j ).
Они вычисляются с помощью сепарабельных сверток.
Для любого j > О фильтр Л[р], «растянутый» в
раз, определяется как
S jlp ) = ( М -р /^ ],
JL Л 1 0
если р / У е Z,
в других точках,
{6 73)
и для j > О симметричный конечно-разностный фильтр есть
а -Ы
[ °-5,
если р = —2J_1,
-L:- = < —0.5, если р = 23 *,
*
'0
в других точках.
(6.74)
Для j = 0 мы определяем % Щ /\/2 = —0.5, до[—\]/\/2 = —0.5 и до[р] = 0 при
р Ф Q а р ф —1. Сепарабельный двумерный фильтр записывается в виде
a/3[ni,n2\ = a[ni]/3[n2\.
Аналогично утвер
точки п = ( n i ,n 2)
a j 1[n]
=
aj * hjhj [n],
(6.75)
d)+ \M
-
a,j*gj6[n},
(6.76)
dj+ iN
=
aj * 5gj[n],
(6.77)
где <5[n] — дискретная функция Дирака. Поэтому двоичные вэйвлет-коэффи­
циенты до масштаба 2J вычисляются как каскад сверток (6.75)-(6.77) при
0 < j < J. Чтобы определить граничные условия, все свертки заменяются цик­
лическими свертками; это означает, что входное изображение ао [п] рассматри­
вается как iV-периодическое по строкам и столбцам. Так как J < log2 N и
все фильтры имеют конечные импульсные отклики, то этот алгоритм требует
0 ( N 2 log2 N ) операций. Если J = \og2 N , то можно убедиться, что прибли­
жение наибольшего масштаба — это константа, пропорциональная среднему
значению С — серому уровню изображения:
1
a j[ n i,n 2] = —
: .
--
|У
2 2 °о(пь п2] = N C .
пі,пз=о
Модуль вэйвлет-преобразования есть M /(n ,2 J) = (|dj[n ]|2 + Id^nJI2)1/ 2, в
то время как A f ( n , 2*) — это угол вектора (dj[n],c^[n]). Максимумы вэйвлетмодуля расположены в точках UjiP, где М f (ujiP) 2Щ больше, чем его два сосед­
них значения M f ( u j lP± l \ 2J), где е = (ei,c2) — вектор, координаты которого е\
и е2 равны 0 или 1, и угол которого A f ( u j iP, § § , Это означает, что M /(n ,2 J)
имеет локальный максимум при n = UjiP в одномерной окрестности вдоль на­
правления угла A f ( u j jP} 2J),
220
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
В осстан овлен и е по м аксим ум ам . Каркасный алгоритм восстанавливает
приближенное изображение по многомасштабным перепадам путем обраще­
ния оператора L, определенного в (6.67), с помощью алгоритма сопряженных
градиентов теоремы 5.4. Это требует эффективного вычисления Lr для любого
изображения г [п]. С этой целью вэйвлет-коэффициенты г сначала вычисляют­
ся с помощью «алгоритма с дырами», и для каждого масштаба 2 < 2 < Ц
все вэйвлет-коэффициенты, не локализованные в точке максимума р Ц пола­
гаются равными нулю, как и в одномерном случае (6.53).
ЗДстН
Ж 1 _ / W kr(n,2j ),
% lnJ “ 1 о
если n = Uj,p,
в других точках.
* ■.■/ - Щ І І І М
•
/Щ І И
Сигнал Lr[n] восстанавливается по ненулевым вэйвлет-коэффициентам с по­
мощью формулы восстановления, аналогичной (6.54). Пусть hj[n] = hj[—n] и
9j[n] ~ 9j[~n\ — Два фильтра, определенные формулами (6.73) и (6.74). Вы­
числение начинается при J = log2 N заданием a j [п] = С N , где С средняя-.
интенсивность изображения. При log2 N > j jff 0 мы вычисляем
%
aj [гг] = a,j+i ★hjhj [n] + d]+1 Щ9 jS[n\ + d?+1 [n] ★5gj [n],
и можно убедиться, что Lr[n] = 3q[тг]. Это вычисляется по г[тг] за 0 ( N log2 N)
операций. Восстановленные изображения на рис. 6.11 получены за 10 итераций
алгоритма сопряженных градиентов при использовании набора фильтров.
6.4
Мультифракталы2
■УЩшЯ
Сигналы, которые имеют особенность почти во всех точках, первоначально
изучались как патологические объекты чисто математического интереса. Ман­
дельброт [43 ] был первым, кто осознал, что такие явления встречаются повсю­
ду. Среди многих примеров [25] упомянем такие экономические регистрации,
как промышленное усреднение Доу-Джонса, физиологические данные, вклю­
чающие записи сердечной активности, электромагнитные флюктуации в ра­
диационном шуме галактик, текстуры в изображениях природных местностей,
изменения в транспортных потоках...
Особенности мультифракталов часто меняются от точки к точке, и знание
распределения этих особенностей важно при анализе их свойств. Точечные
измерения показателей Липшица невозможны по причине конечного числен­
ного разрешения. После дискретизации каждый отсчет соответствует интер­
валу времени, где сигнал имеет бесконечное число особенностей, которые все
могут быть различными. Поэтому распределение особенностей должно быть
оценено по глобальным измерениям, которые используют самоподобие муль­
тифракталов. В п. 6.4.2 вычисляется фрактальная размерность множеств то­
чек, имеющих одинаковую гладкость Липшица, с помощью глобальной функ­
ции разбиения, вычисленной по максимумам модуля вэйвлет-преобразования.
Применения фрактальных шумов, таких как дробное броуновское движение и
гидродинамическая турбулентность, изучены в п. 6 .4 .3 .
6.4. Мультифракталы
6.4.1
221
Фрактальные множества и самоподобие функций
Говорится, что множество S С Ж” самоподобно, если оно есть объединение
непересекающихся подмножеств <Si, . . . , <S*, которые могут быть получены из
S с помощью масштабирования, сдвига и вращения. Это самоподобие часто
означает бесконечное умножение деталей, что создает иррегулярные структу­
ры. Простые примеры — триадическое множество Кантора и кривая фон Коха.
П ри м ер 6.5. Кривая фон Коха — это фрактальное множество, полученное ре­
курсивным разбиением каждого сегмента длины I на 4 сегмента длины //3, как
это проиллюстрировано на рис. 6.13. Каждое подразбиение увеличивает длину
в 4/3 раза. В результате предел этих подразбиений есть кривая бесконечной
длины.
П ри м ер 6 . 6 . Триадическое множество Кантора строится рекурсивным раз­
биением интервалов размера / на два подинтервала размера 1/3 и центрально­
го отверстия; это иллюстрирует рис. 6.14. Итерация начинается с [0,1]. Мно­
жество Кантора, полученное как предел этих подразбиений, есть точечная
«пыль» в (0 , 1].
Ф р ак тал ьн ая р азм ер н о сть. Кривая фон Коха имеет бесконечную длину в
конечном квадрате из М2. Поэтому обычное измерение длины плохо приспособ­
лено к характеристике топологических свойств таких фрактальных кривых.
Это побудило Хаусдорфа в 1919 году ввести новое определение размерности,
основанное на изменениях размера множеств при их измерении в различных
масштабах.
Объемная размерность — это упрощение размерности Хаусдорфа, которую
легче вычислить. Пусть S — ограниченное множество в R” . Мы подсчитываем
минимальное число N(s) шаров радиуса s, необходимых для покрытия S. Если
S — множество размерности D конечной длины (D = 1), конечной поверхности
(D = 2) или объема (D = 3), то
N (s) ~ s~u ,
откуда
Объемная разме
ется равенством
D = — Пш
.
(6.78)
о Ins
D множества S обобщает этот результат и определяD = - lim inf l n N t y .
в—
*о
Ins
(6.79)
Тогда мера S есть
М = limsupiV(s) sD.
8—
*О
Она может быть конечной или бесконечной.
Размерность Хаусдорфа есть улучшенная фрактальная мера, которая рас­
сматривает все покрытия S шарами радиуса, меньшего s. Очень часто, но не
дальнейшем объемная
называется фрактальной
222
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
1
Р и с. 6.13. Три итерации подразбиения фон Коха. Кривая фон Коха — это
фрактал, полученный как предел бесконечного числа подразбиений.
1
1/3
1/3
1/9
1/9
1/9
1/9
нн
нн
нн
нн
Р и с. 6.14. Три итерации подразбиения Кантора [0,1]. Предел бесконечного
числа подразбиений есть замкнутое множество в [0 , 1].
П р и м е р 6.7. Кривая фон Коха имеет бесконечную длину потому, что ее фрак­
тальная размерность есть D > 1. Нам необходимо N (s) = 4П шаров размера
s = 3“ ” , чтобы покрыть всю кривую, следовательно,
- ’ЩІ!
jv(3~n) = (з_я)_,п4/,п3.
v li
Можно убедиться, что для любого другого масштаба s наименьшее число ша­
ров N(s), покрьюающих эту кривую, удовлетворяет равенству
D = - Urn mf
8 о
= !fli
In s
In 3
К ак ожидалось, эта кривая имеет фрактальную размерность между 1 и 2.
П р и м е р 6 . 8 . Триадическое множество Кантора покрывается N (s) = 2П ин­
тервалами размера s = 3- п , откуда
-'"Ш Ш д
N{ 3 "п) = (З"п) - 1п2/ 1п3.
.Т‘С | Ш Я Н
6.4. Мультифракталы
223
Можно также убедиться, что
о = - шп i„f Щ Ш
«-♦о
Ins
,
In 3
.
С ам оподобны е ф у н к ц и и . Пусть / — непрерывная функция с компактным
носителем S. Мы говорим, что / самоподобна, если существуют непересекающиеся подмножества S i , ... ,5* такие, что график / , взятый на каждом <S*,
есть аффинное преобразование / . Это означает, что существует масштаб U > 1,
сдвиг г*, вес pi и константа с* такие, что
Щ * 1 1 pf I Я 1 1 1 ) | .
(6.80)
Мы предполагаем, что вне этих подмножеств / — константа. Также могут
использоваться и обобщения этого определения [110].
Если функция самоподобна, ее вэйвлет-преобразование также обладает
этим свойством. Пусть g — аффинное преобразование / :
9(4 * Р/ - < * ) ) +
(6.81)
Его вэйвлет-преобразование есть
+со
W g(u}s) = /
p(i) - = ф ------
dt.
—ОО
С помощью замены переменных t' = l(t —r), так как ф имеет среднее значение,
равное нулю, аффинное соотношение (6.81) дает
W g(u,s) = - ^ W f { l ( u - r ) , s l
Предположим, что ф имеет компактный носитель, содержащийся в [—К , К].
Аффинная инвариантность (6.80) / на Si = [а*, 6*] приводит к аффинной ин­
вариантности всех вэйвлетов, носители которых содержатся в S{. Д ля любого
s < (bi —a i ) / K и любого и € [а,- + K s , Ь* —Ks]
Ш Ш І-І
W f( Ші - В 11
Самоподобие вэйвлет-преобразования означает, что положения и величины его
максимумов модуля также самоподобны. Это может быть использовано для
восстановления неизвестных свойств аффинной инвариантности при помощи
избирательных процедур, основанных на максимумах вэйвлет-модуля [218].
П ри м ер 6.9. Мера Кантора строится на множестве Кантора. Пусть dpо(х) =
dx — равномерная мера Лебега на [0,1]. Как и при построении множества Кан­
тора, эта мера подразбивается на три равномерных меры, интегралы которых
по [0,1/3], [1/3,2/3] и [2/3,1] соответственно равняются pi, 0 и щЩМы налагаем
условие р\ + Р2 = 1, чтобы получить полную меру dpi на [0 , 1], интеграл ко­
торой равняется 1. Эта операция итеративно повторяется разбиением каждой
равномерной меры с интегралом р на [а, а + 1) на три равные части, интегралы
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
224
□с соответственно равняются pip, 0 и р§Р п0 [а >а + */3]> Ц +
| + 21/3
21/3, a + I]. Это проиллюстрировано рис. 6.15. После каждого подраз
результирующая мера dpn имеет единичный интеграл. В пределе мь
интегралом
триадическое
1
d |XQ(X)
djijCx)
І ,
ж ,
Щ
2
h E l, d ^ x )
Р и с . 6.15. Д ва подразбиения равномерной меры на [0,1] с левым и правым
весами р% и р 2 - Мера Кантора dp оо •— предел бесконечного числа таких под­
разбиений.
~тшш
интеграл
m
(6.82)
которая озрастает от 0 до 1 на [0,1]. Рекурсивприводит к тому, что / — самоподобна:
Это
Pi /(3£),
если t € [0,1/3],
f ( t ) = { pi,
если t е [1/3,2/3],
Pi + Pi /(3£ —2), если t G [2/3,0].
'ч
Щ
,
Рис. 6.16 показывает чёртову лестницу с р\ = рг = 0.5. Ниже вэйвлет-преобразование вычислено с вэйвлетом, первой производной функции Гаусса. Само­
подобие / дает вэйвлет-преобразование и максимумы модуля, которые самоподобны. Подразбиение каждого интервала на три части проявляется в виде
умножения на 2 линий максимумов при умножении масштаба в три раза. Это
построение Кантора обобщается на различные интервалы подразбиений и веса
распределений, начиная с той же меры Лебега dp о на [0,1] (см. [5]).
6.4.2
С пектр особенностей3
Нахождение
мультифрактальном сигнале /
анализе
гладкость
чечная гладкость Липшица / дается определением
О п р ед ел ен и е 6 .2 (СПЕКТР). Пусть S a
множество
где точечная гладкость Липшица / раөнж
функции / есть фрактальная размерносп
жество а таких, что S n не nvcmo.
это мно-
6.4. Мультифракталы
225
t
log2(s)
u
(a)
log2(s)
u
(6)
Р ис. 6.16. Чёртова лестница, вычисленная по мере Кантора с равными весами
Pi = Р2 = 0.5. (а) Вэйвлет-преобразование W f( u , з), вычисленное с ф = - 0 ',
где Ө — функция Гаусса, (б) Максимумы модуля вэйвлет-преобразования.
Этот спектр был первоначально введен Фришем и Пар из и [185] для анали­
за однородности мультифрактальных мер, которые моделируют диссипацию
энергии турбулентных сред. Затем он был распространен Арнеодо, Бакри и
Мьюзи [278] на мультифрактальные сигналы. Фрактальное определение раз­
мерности (6.79) показывает, что если мы осуществили непересекающееся по­
крытие носителя функции / интервалами размера s, то число интервалов,
которые пересекают S a , есть
N a(s) ~ s~D(a).
(6.83)
Спектр особенностей дает величину пропорциональную особенностям Липши­
ца а для любого масштаба р Мультифрактал / называется однородным если
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
*
226
Липшица ап; это означает, чтр носи___ Щ движения - пример однород-
все особенности имеют один по
Дробнь
ных мультифракталов.
ить точечную гладкость Липшица мульФ у н к ц и я р аэбиени я. ель^об^нности ^ изолироваНы и конечное числентифрактала, так как
пения. Однако возможно измерить
ное разрешение недостаточно для
локальным - максимумам вэйвлетспектр особенностей « У - т н ф р ™ ^ М В Д Щ И
Щ Ш
■
преобразования, используя глобальную функцию у
^
неодо, Бакри и Мьюзи [278].
Я Н Н
в теореме 6.5 доказано, что
TTvrTb 'ib — вэйвлет с п нулевыми моментами.
н
если Г и м і т точечную гладкость Лнппшца «о < » | точке | то
^ Г Г м ~ ^ р о = а т ь с я как покрытие носители особенностей /
вэйвлетами масштаба s. В местоположениях этих максимумов
•
41 IЛ
\wf(
локальных максимумов |W f (
Пусть {«p(s)}pez
сированном масштабе |. Функция разбиения | измеряет сумму всех этих максимумов вэивлет-модулеи взятых в степени q:
Z(q, s) = V \W f{u p,s)\q.
каждом
t6- ^
up\ > es при некотором
? сумма (6.84) включапредохраняет функцию
находятся
е >
наложения
:трых осцилляций.
-Д ля каждого <? € R масштабный показатель | ( | измеряет асимптотическое
малых
. \nZ(q, isl
r(g) = liminf — -------Ш
s—0
Ins
Обычно это значит, что
g.
Ц ^ ^т(ч)
П р ео б р азо ван и е Л еж а н д р а. Следующая те
разованием Лежандра D(a) для самоподобные сигналов
^
установлен в [83] для частного класса фрактальных сигналов и обобщен Жаффаром [222].
' (АРНЕОДО, БАКРИ, МЬЮ ЗИ). Пустпъ А = [«mm, «шах] 1 м0'
. Пусть ф — вэйвлет с n > а тах нулевыми моментами. Если
/ — самоподобный сигнал, то
r(q) —
(а + 1/2) - D(a)^j.
(6.85)
і
6.4. Мультифракталы
227
Доказательство . Подробное доказательство — длинное; мы даем только ин­
туитивное обоснование. Сумма (6.84) по всем местоположениям максимумов
заменяется интегралом по показателю Липшица. Для масштаба s (6.83) ука­
зывает, что плотность максимумов модуля, которая покрывает особенности с
показателем Липшица а, пропорциональна s“ D(a). В местах, где / имеет глад­
кость Липшица а, убывание вэйвлет-преобразования аппроксимируется как
Отсюда следует, что
/ s,(“+1/2) S- D(“>da.
Ja
Когда s стремится к 0, мы выводим, что Z(q, s) ~ sT^ при r(q) = minagA(<7(ct+
1/2 )- D ( a ) ) .
В этой теореме доказывается, что масштабный показатель r(q) есть преоб­
разование Лежандра функции D(a). Необходимо использовать вэйвлет с до­
статочным количеством нулевых моментов для измерения всех показателей
Липшица до с^тах- При численных реализациях т(д) получается в результа­
те вычисления суммы Z(q, s). Поэтому нам нужно обратить преобразование
Лежандра (6.85), чтобы восстановить спектр особенностей D(a).
У твер ж д ен и е 6 . 2 .
тающая функция q.
• Масштабный показатель r(q) — выпуклая и возрас­
Преобразование Лежандра (6.85) обратимо тогда и только тогда, ко­
гда D(a) — выпуклая функция; в этом случае
D ( a ) = min(q (а + 1 / 2 ) - T ( q ) ) .
(6.86)
Спектр D(a) самоподобных сигналов — выпуклый.
Доказательство3. Доказательство того, что D(a) — выпуклая функция для
самоподобных сигналов, может быть найдено в [222]. Мы сосредоточимся на
свойствах преобразования Лежандра, которые важны при вычислениях. Что­
бы упростить доказательство, предположим, что D(a) — дважды дифференци­
руема. Минимум преобразования Лежандра (6.85) достигается в критической
точке q(a). Вычисление производной q(a +1/2) —D(a) по а дает
(6.87)
и
r(q) = q ( а + | ) - D(a).
(6.88)
производная
следует, что
d2D(<*(q)) < 0 .
da2
Это доказывает, что r(q) зависит только от тех значений а, где D(a) имеет
отрицательную вторую производную. Поэтому мы можем восстановить D(a)
по r(q) только в том случае, если она выпукла.
Глава 6. Вэйвлет-зум {приближение и удаление объектов)
228
Производная т(д) есть
dr(q)
dq
da da dD(a)
a + 2 + q d Z ~ d q da
1
о + Ь о
(6.89)
производная — это
Следовательно, т(д)
da
dMg)
Id a I
dq
ІТО
Взятие производной от (6.87) по 1 доказывает, do d2£>(a)
dq da2
1.
Так как І Ш
< 0, мы вы»дим, 4 ,0 Ш
< 0. Следовательно, т(,)
da2 ”
МЫ
(6.88),
(6.89)
и
тот
факт,
что
т(д)
выпукла. Используя
убеждаемся, что
йщ
(« +|_____________
выпуклый
и
поэтому
может
быть
^
сигналов
Г о^ощ ио
И обратной формулы Л еж ан др а (6 .86 ). Эта формула
в
- .д - и в а д л я гораздо более широкого класса мультифракталов
самоподобных сигналов таких
ее можно проверить е
дроби
как реализация
реализации д
---^
«агто может
■
В
некоторое стохастическое самоподобие, имеют спектр,
быть
пат ИМ особое
OCOUUC D n n m a n n v . ****
------------т f
ратим
1 потому что ее спектр особенностей Я (? ) |
любой
,
__. „Ч R r/L
І Ш
Ш
IШ
Ж а ф ф а р доказал
границу
изучены в [49].
Рис. 6.17 иллюстрирует свойства
Лежандра
ШШ
Э то
т а xD (a)
a€A
преобразо-
r ( 0 ).
фрактальная
ции / . Все другие особенности Липшиц а появляются на
множестве меньшей размерности; если a 0 < 1 , то £>(а0) — также фрактальная
•
чг-v /
V
—
____ЛІР
/
при I > 0, и при a > а 0 ОН зависит от т(д) при q < 0.
Сначала
Е р |w / (
конце вь
, что формула Щ
ычисляем Z(q, s)
Лежандра. Если
малых
6.4. Мультифракталы
а
Рис. 6.17. Выпуклый спектр D(a).
\W f(u p,s)\. Поэтому вычисления могут быть неустойчивы. Чтобы избежать
появления ложных максимумов модуля, созданных вычислительными погреш­
ностями в областях, где / — почти константа, вэйвлет-максиму мы объединя­
ются в цепочку, чтобы образовать кривую максимумов в зависимости от маештаба. Если ф = ( - 1)р 0 (р), где Ө — функция Гаусса, то из утверждения 6.1
следует, что все линии максимумов up(s) определяют кривые, которые рас­
пространяются до предела 5 = 0. Поэтому все линии максимумов, которые
не распространяются до наименьшего масштаба, удаляются при вычислении
Z{q,s). Вычисление спектра D(a) происходит следующим образом.
1. Максимумы.
Вычисляются W f( u ,s ) и максимумы модуля при
каждом масштабе s. Образуются цепочки вэйвлет-максимумов в
зависимости от s.
2 . Функция разбиения. Вычисляется
2 ( g,s) = ]T |W 7 (u p,5)|«.
3. Масштабирование. Вычисляется r(q) с помощью линейной регрессии
log2 Z(q, s ) как функции log2 s:
log2 Z(q, s ) « r(q) log2 s + C{q).
4. Спектр. Вычисляется
П ри м ер 6 . 1 1 . Спектр особенностей D(a) чёртовой лестницы (6.82) — выпук­
лая функция, которая может быть вычислена аналитически [203]. Предполо­
жим, что pi < р 2. Носитель D(a) есть [amin, a mex], где
**min —
—1пр 2
—lnOi
I Q И Ofmax —
:— г * .
In 3
In 3
Глава 1 Вэйвлет-зум (приближение я удаление объектов)
230
Если Р х
—
п
/Л
\
лтэлтш
^
г
^
к
точке;
это
означает,
что
все
1/9 то носитель D\Ol) СВОДИТСЯ К
j
AM т о
1д 2/1” 4 П і ү у г о м ү значение
гладкость
Р2
2/1
In 2/1
0.4
и
лестницу
Ө
где
0
№
в
вэйвле^преобразоваиие получено с помощью | | - в ', где 9
р2 = 0.6. Е е вэйвлет пр
р
ф ункции log2 1 показано на
I Ф ункция Гаусса. Убывание log 2 Z(q,s) ^
^
ющкХ &чения Щ и
рис. 6.18, (6 ) для нескольких зла
рассматриваемом случае нет числен­
н а ) приводятся на рис. 6.18
J
в модуля, амплитуда
ной неустойчивости при£ <
которых близка к нулю. Этого может и не иь ,
вычислено с вэйвлетом, который имеет больше нулевых моментов.
.0,|jgg§§|||| Н Ш
Н
Z(q,s)
200
150 Ч-с
100
-50
-100
t
(б)
i5to)
I
0
-5
-10
а
_1-1о
10
-5
(в)
(г)
иЩ
f j | 0.6... |(б)
Р и с . 6.18. (а) Чёртова лестница с | | = 0.4
gL__
I ..Функция разбиения Z(q,s) для нескольких значений 1 (в) Масштабный п о к а з а т е л ь Ш
(г) Сплошной линией показан теоретический спектр D(a). Плюсом (+) ОООзначены значения спектра, полученные численно с помощью преобразования
Лежандра т (q).
Г л ад к и е во зм у щ ен и я. Пусть / — мультифрактал, спектр особенностей кото­
рого £>(<*) вычислен по r(q). Если сигнал д из С°° добавлен к / , то особенности
не изменятся и спектром особенностей / = / + д останется D{a). Мы изучаем
влияние этого гладкого возмущения на вычисление спектра.
1['-^ЩН
6.4. Мультифракталы
231
Вэйвлет-преобразование / есть
ш
W f ( u , 5) = W f ( U) s) + Wg{u, s).
Пусть r(q) и f(q)
масштабные показатели функций разбиения Z (q }s)
и Z (q ,s ), вычисленные по максимумам модуля соответственно W f ( u , s ) и
W f(u , 5). Обозначим через -D(a) и -D(a) преобразования Лежандра г (д) и f(q)
Следующее
LKPH, МЬЮЗИ). Пусть ф — вэйвлет
Предположим, что / — самоподобная
функция.
Если g — многочлен степени р < п , то f(q) = r{q) при всех q ЩR.
lfc/ш
почти всюду отлична от нуля, то
f(Q) = J у (9 ),
(n + l/2 )q ,
где
если 9 > qkp,
если § < qkp,
I '
|
определяется равенством r(qkp) = (n + 1/2)g*p.
Доказательство3. Если | — многочлен степени р < п, то ^ В |й | s) = 0. Добав­
ление $ не изменяет вычисления спектра особенностей, основанного на вэйвлетмаксимумах, поэтому f(q) = r(q) при всех q £ R.
Если р принадлежит С°° и не является многочленом, то в общем случае
ее вэйвлет-преобразование не равно нулю. Мы даем обоснование (6.91) с поинтуитивных
доказательство
следует
предполагаем
r\J
Зч(п+1/ 2) имеет более быстрое асимптотическое убывание, чем
при s, стре­
мящемся к нулю, то можно убедиться, что Z(q,s) и Z(q,s) имеют одинаковый
масштабный показатель f_(q) = r(q). Если r(q) > (п + 1/2)q, что означает
Я ЩQkP, то убывание \Wf(u,s)\q определяется убыванием \Wg(u, s)|9, откуда
f(q) = (n + l/2)q.
р этом утверждении доказьшается, что добавление неполиномиальной гладкой
функции вносит смещение в вычисление спектра особенностей. Пусть а кр
критический показатель Липшица, соответствующий qkp:
D(ockp) = Qkp {а кр + 1 /2 ) —r ( qkp).
Преобразование Лежандра f ( q) в (6.90) дает
D (a ), если а < акр,
D(a) = {
0,
если а = п,
—оо,
если а > а кр и а ф п .
(6.91)
Глава
232
I
Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
Эти случаи иллюстрируются рис. 6.19.
_
___
TlAfTTlDXl Т
1Т
гладких
ментально выделено изменением числа п нулевых моишхи» щ
----ментально выделено
особенностей изменяется при изменении
оттоЦРНІІР f
t
0 7 Tl* JuCJIH С
Д
: - j;
‘ ^i-Si ІИ!•Іу-~-значение qkp зависи
кчй„лета то это указывает на присутствие сдвига,
числа нулевых моментов вэйвлета, т
у
>
%\
\
>%*ч
D(a) \
Ощах
О
У. П/СЛИ W ИМССІ !Ь
---------
,
a
П
наличии возмущения
j-у. / \
ычисленный спектр D(a) идентичен истинному спектру D{a) пр
из С
a < a fep. При a > a kp его носитель сводится к {п}.
ОО
6.4.3
Ф рактальны е ш умы
/
Дробные броуновские движения | это статистически самоподобные гауссов­
ские процессы, которые представляют интересные модели для широкого кл
са природных явлений [265]. Несмотря на их н естац и о н ар н о е, можно опреде­
лить энергетический спектр, который имеет степенное убывание. Реализации
дробных броуновских движений имеют особенности почти всюду с одинаковой
гладкостью Липшица во всех точках.
І
Мы часто сталкиваемся с фрактальными шумовыми процессами, которые
не являются гауссовскими, хотя их энергетический спектр имеет степенное
убывание. Реализации этих процессов могут включать особенности различ­
ных типов. Поэтому спектр особенностей очень важен при анализе их свойств.
Это иллюстрируется применением этого спектра в гидродинамической турбу­
лентности.
■
О п р ед ел ен и е в.З (ДРОБНОЕ БРОУНОВСКОЕ ДВИЖ ЕН И Е). Дробное
броуновское движение с показателем Хёрста 0 < Я < 1 Ц это гауссовст
процесс В ң с нулевым средним значением такой, что
Я
Яя(°) = °
u
E{\BH{t) - B H(t - Д )|2} = <72|Д |2Н.
(6-92)
6.4. Мультифракталы
233
Свойство (6.92) означает, что отклонение \Вң(І) —B jf (t —Д )| пропорцио­
нально |Д | . Как следствие можно доказать, что любая реализация / из
всюду
Г-1-- —^ ——'- w ^
AVAU
Я .9 Чем
меньше ІУ, тем больше особенность / . Рис. 6.20 (а) изображает график одной
реализации
0.7.
Подстановка Д = t в (6.92) дает
2
я
E {\B H(t)\2} = <r*\t\
Раскрывая (6.92) при A = t - u , получаем
a
2Я
2
Я
2
Я
+ U
U )•
(6.93)
2
Ковариация зависит не только от < —гг; это доказывает, что дробное броунов­
ское движение нестационарно.
Статистическое самоподобие проявляется при масштабировании этого про­
цесса. Из (6.93) можно вывести, что при любом s > 0
E { B H(st) B H(su)} = E { s H B H(t) sH B H(u)}.
Так как В н (st) и sH B H (t) — два гауссовских процесса с одинаковым средним
и одинаковой ковариацией, они имеют одинаковое распределение вероятности
н
Вн{йі)
где = обозначает равенство конечномерных распределений.
Э н ер гети ч ески й сп ек тр . Хотя В ң — нестационарный процесс, можно опре­
делить обобщенный энергетический спектр. Этот энергетический спектр вво­
дится путем доказательства того, что приращения дробного броуновского
;
------ 9 ------- у ------ дальнейшего
спектров [78 (книга)].
У твер ж д ен и е 6.4. Пусть рд(4) = S(t) — 5(t —Д). Приращение
I # ,д Щ — В н * 9A(t) = Вн(і.) - В я (і - Д)
есть стационарный процесс, энергетический спектр которого
2
СТЯ
2
\и\гн+\ IS Ш
(6.94)
(6.95)
Доказательство . Ковариация 1н,д вычисляется с помощью (6.93):
£{/я,д(<) /я,д (t - т)}
2
Н
( |г - Д |2Я + |г + Д|
2|т|а"
)
=
Я
/„
Л
г
).
(6.96)
2
Энергетический спектр
—это преобразование Фурье RiHд (г). Мож­
но проверить, что преобразование Фурье обобщенной функции /(т ) = |г|ая
есть /(ш) = —Хн |шГ(2Я+1), где Ан > 0. Следовательно, мы получаем, что
виде
12<т2 Ая М И » Д
sin а *
2 ’
что доказывает (6.95) при ajf = сг2А#/2.
1
удаление
Глава 6.
234
1
logos
в
-1 0
и
(в)
(б)
q
(д)
(г)
реализация
зателе Хёрста Я = 0.7. (б) Вэйвлет-преобразование. (в) Максимумы модул
этого вэйвлет-преобразования. (г) Масштабный показатель т(д). (д) Результи­
рующий D (a) на своем носителе.
Ц
Если X (t)
стационарный процесс, то мы знаем, что Y{t)
спектральные функции
Rx(u)
Хотя В н (t) — нестационарный процесс
1н д(*) = в н * 5Д (*) “ стационарный
Ду-.(Ч)
2'
І5 И І
X
*
g{t)
также
(6.97)
ЧТО
утверждении 6.4 доказывается
Из (6.97) легко определить
6.4. Мультифракталы
\
235
«обобщенный» энергетический спектр, вычисленный с помощью (6.95):
Л
R Bh М
сгя
R I h ,д М
(6.98)
о;
Іід И І
Нестадионарность В ң (і) проявляется в энергетическом взрыве на низких ча­
стотах. Приращения /я,д(£) стационарны, потому что умножение на |<?д(w)|2 =
удаляет взрью энергии на низких частотах. Можно обобщить ‘чтпт -Щ
г>р_
"
зультат и убедиться, что если д
произвольный устойчивый фильтр, пере­
даточная функция которого удовлетворяет условию |p(w)|
0(u>), то Y(t)
g(t)
стационарный гауссовский процесс с энергетическим спектром
вн*
Ry(w)
сгн
(6.99)
2Н+1
п реобразован и е
движения есть
WB„(
B h * ^ 3(u).
(6 .100)
Так как Щ имеет, по^ крайней мере, один нулевой момент, то в окрестности
w = 0 обязательно \ф(ш)\ = 0(ш). Вэйвлет-фильтр д - -7
-а имеет
-------------*----Щ
преобразование Фурье д{ш) = x/sip
0 ( oj) около ш = 0. Это доказывает, что при
фиксированном s процесс Ys(u) — W B h (u , s ) — это стационарный гауссовский
процесс [181], энергетический спектр которого вычисляется с помощью (6.99):
S lB
= s|^(sw )|
°н
2Я +1
Самоподобие энергетического спектра и тот факт, что В н
для доказательства того, что W В
з процесс:
W н ІШ s)
#+1/2
(6 .101)
s 2H+2 R Yi ( slj).
WBH (
гауссовский просамоподобный по
1
ивалентность
---——
— ^
ления. Интересные характеристики свойств дробного броуновского движения
получаются и при разложении этих процессов по вэйвлет-базисам [49, 78, 357].
реализацию
движения с Н
модуля
ны на рис. 6.20 (б) и 6.20 (в). Функция разбиения (6.84) вычислена по вэйвлет■м модуля. Рис. 6.20 (г) дает масштабный показатель
рый
почти прямая линия. Дробные броуновские движения
однородные
фракталы
■К.
'1 г i
w
— ■
— '—
a vw
ретический спектр D(a) имеет носитель, уменьшенный до {0.7} с D(0.7) = 1.
Расчетный спектр на рис. 6.20 (д) вычислен с помощью преобразования Ле­
жандра т(д). Его носитель есть [0.65,0.75]. Такова погрешность приближения,
потому что вычисления выполнены сигналом
Ф р актал ьн ы е ш у м ы . Некоторые физические явления производят более об­
щие фрактальные шумы X (t), которые не являются гауссовскими процесса­
ми, но имеют стационарные приращения. Так же, как и для дробных броунов­
ских движений, можно определить «обобщенный» энергетический спектр,
Шь
Глава
236
I
Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
9
который имеет энергетическое убывание
m
m
и
Rx{v)
смысле
стационарный
Эти процессы преобразуются
удаляет
О Н ~ Л можно вьшёсти, что вэйвлет-преобразование^-, (а) =
Ш й1
-
спектр T U I
стационарный процесс ■
л ю to w
,
^
Ж
_____
A
Щ
J I
Ш
итвярт
Ш
■
■
Ш
на то. что реализации
” (*) - функции с особенностями, но это не дает информации о распределении
В К В вШ Я ш в ш я ш
обобщенные фрактальные шумы имеют р е а л и з а щ т ^ ш ш щ ^ ш н п ^ ^ н
ультифракталы
движений
Н
Например, поля скоростей, полностью развиты* турбулентных течений
iicxup^ivi н,
г
s
........ . ^ n ,o u W нп вычисление спек
фрактальными
отличаются
от дробных броуновских движений.
•^
Г и д р о д и н ам и ч еск ая турбулентность. Полностью развитая турбулент­
ность появляется в несжимаемых течениях при больших числах Рейнольд^
Понимание свойств гидродинамической турбулентности - важнейшая задача
современной физики, которая, в основном, остается открытой несмотря на интенсивные исследования, начиная с первых теоретических работ Колмогорова
. ___ ,
___ £ ____ пплгг\П\7ПРНТНПСТИ ОЧбНЬ
и А
ГОДУ
«j*
^
^
"■ ,.f.r
.;V- -j
велико что приводит к крайне сложному пространственно-временному повегжжжжж+ж
формализм
давало
____
t
_____ ___
■ ■■ г. —■ гч
Г Т / Л Л Г Г Г Ч А Т ІФ І.
Л
и
^
м
^
п
- г т я т и
с т и
ч
е с к о
б
глобальное
термодинамике.
году Колмогоров [237] сформулировал
булентности. Поле скоростей моделируется как процесс V (x), приращения ко­
торого имеют дисперсию
E{[V{x + Д) - У(х)|2} ~ е273 Д 2/3.
1 J
Д . %У JL J L
JL
— X------------ 1
J
*
*
W
:
единицу
Константа е
торая предполагается не зависящей от координаты. Это указывает на то, что
поле скоростей статистически однородно с гладкостью Липшица | = Ц 1 Щ
Теория предсказывает, что одномерная проекция трехмерного поля скоростей
есть фрактальный шум со стационарными приращениями, энергетическое убы­
вание спектра которого определяется показателем 2Я Ц 1 = 5/3:
°н
и;!5/3 *
экспериментальных
ждениях такого убывания энергетического спектра. Однако теория не при-
6.5. Задачи
237
яимает в расчет существования таких когерентных структур, как вихри. Эти
явления противоречат гипотезе однородности, которая лежит в корне теории
Колмогорова 1941 г.
В 1962 году Колмогоров [238] изменил предположение об однородности,
введя скорость диссипации энергии е(х), которая меняется в зависимости от
пространственной координаты х. Это открывает дверь «локальному стохасти­
ческому самоподобию» мультифрактальных моделей, впервые развитому Ман­
дельбротом [264] для объяснения обменов энергией между мелкомасштабными
и крупномасштабными структурами. Спектр особенностей D(a) играет важ­
ную роль при тестировании этих моделей [185]. Вычисления вэйвлет-максимумов в случае турбулентных полей скоростей [5] показывают, что D(a) мак­
симально при 1/3, как это предсказано теорией Колмогорова. Однако D(a)
не имеет носителя, уменьшенного до {1/3}; это подтверждает, что турбулент­
ное поле скорости не является однородным процессом. Модели, основанные на
вэйвлет-преобразовании, были недавно построены для объяснения распреде­
ления вихрей в турбулентных течениях [12, 179, 180].
6.5
Задачи
6.1. 1Гладкость Липшица .
(а) Доказать, что если / удовлетворяет равномерному условию Липшица а на
[а, 6], то она точечно удовлетворяет условию Липшица а во всех to € [а, 6].
(б) Показать, что /(f) = f sinf-1 удовлетворяет условию Липптті* 1 во всех
to € [—1,1], и проверить, что она удовлетворяет равномерному условию
Липшица а на [—1,1] только при а < 1/2. Подсказка: рассмотреть точки
tn = (п 4-1/2)- 1 7Г-1.
6.2.
Гладкость производных.
(а) Доказать, что / удовлетворяет равномерному условию Липшица а > 1 на
[а, Ь] тогда и только тогда, когда / ' удовлетворяет равномерному условию
Липшица а —1 на [о, 6].
(б) Показать, что / может точечно удовлетворять условию Липшица а > 1
при «о, хотя / ' точечно не удовлетворяет условию Липшица а - 1 при t0.
Рассмотреть /(f) = f2cosf-1 при t = 0.
6.3. Найти /(f), которая удовлетворяет равномерному условию Липшица 1, но не
удовлетворяет достаточному условию Фурье (6.4).
6.4. Пусть /(£) = cosu*of и ф(і) — вэйвлет, симметричный относительно 0.
(а) Убедиться, что
„
W f ( u , s ) = у/з ф(зшо) cos U)qU.
(б) Найти уравнения кривых максимумов модуля в частотно-временной плос­
кости (и, з). Связать убывание |№7(u,s)| вдоль этих кривых с числом п
нулевых моментов ф.
6.5. 1Пусть /(f) I |f|“ . Показать, что W f(u,s) = за+1/2 W f(u /s,\). Доказать, что
недостаточно измерять убывание \Wf(u,s)\ при з, стремящемся к нулю при
и = 0 для того, чтобы вычислить гладкость Липшица функции / при f = 0.
Глава 6. Вэйвлет-зум (приближение и удаление объектов)
238
Л ^ п м /5 > 0 Чему равна точечная глад6.6. 2Пусть f( t) = \t\a sin I I , где
? Найти уравнение к р и в о й п е р е п а д а
кость
амшшгуда вэйвлет-коэффициенхов
в плоскости (u, s), вдоль
Р
к нулю. В ы ч и с л и т ь максимальIW Ни
сходятся к t = О при а, стремящемся к нулю, о
л'таких
что
W
f(u.s)
удовлетворяет
(6.21).
:
уЩ
ные значения ос и ос таких, что w j \ > j j
_> т.ЯднЬД
BBS
Я
1Д ля комплексных вэйвлетов ш . п . ™ - »
линиями
в плоскости (« ,в), вдоль которых комплексная ф аза
янной при изменении s.
І
(а) Если f(t)
особенности при t
_____________ ____
g-
—
остается посто,
® доказать, что линии постоянной фазы сходятся к
0, когда S стремится к нулю. Проверить численно с
помощью W aveLab а.
4
(б) Пусть 1 В вещественный вэйвлет и W f { u , а) вещественное
вэй^ет-преобразование / . Показать, что максимумы модуля Wf(n,s)
соответствуют линиям постоянной фазы аналитического вэивле^
“
J ____________
г. помошью специального вэйвлета
фау который вы определите.
модуля
б 8. 2Доказать, что если / = Ш Я то число максимума»
каждом масштабе а больше или равно числу нулевых моментов гр.
■
6.9. 1Спектр особенностей функции Римана
+оо
I -1з
..
п щ пЕ
^
sinn2*
= -о о
Г1
определяется на его носителе как D(a) = 4 а - 2 , если а € [1/2,3/4] и 0 (3 /2 ) | О
__________ W ave Lab a пычисмодуля
вания
Если
6.10. 2Пусть ф = - 0 ', где Ө — положительное окно
у — чёртова лестница Кантора, доказать, что
модуля, которые сходятся к каждой особенное
6.11. 2Выполнить с помощью WAVELAB’a алгоритм
следуя
убывании
осциллирующих
-1
sin t
восстановления
6 . 12 .
кальным максимумам его двоичного вэйвлет-преобразования, используя кау
касный алгоритм п. 6.2.2. Численно сравнить скорость сходимости и точность
восстановления при использовании каркасного оператора (6.49), включающего
условия экстремума и уменьшенного каркасного оператора (6.51).
6.13. 2Пусть X[n] = f[n]+W [п] — сигнал длины N , где W — белый гауссов шум с дис­
персией а 2. Выполнить с помощью WAVELAB’a оценку / , используя пороговое
значение Т = a \/2 \ n N для максимума двоичного вэйвлет-преобразования
Приближенное значение / восстанавливается по значениям максимумов, пре­
восходящих порог с помощью каркасного алгоритма п. 6.2.2. Сравнить числен­
но эту оценку с пороговой оценкой в ортонормированных вэйвлет-базисах.
6.5. Задачи
239
6.14. 2Пусть 0(t) — функция Гаусса с дисперсией 1.
(а) Доказать, что оператор Лапласа, примененный к двумерной функции
Гаусса
ф(хи х 2) =
удовлетворяет
1 вэйвлет).
Ёр^'
условию
в ы + Ө(Х1)
двоичных
вэйвлетов
(5.91)
(здесь
только
(б) Объяснить, почему пересечения нуля этого двоичного вэйвлет-преобразования определяют местоположения многомасштабных перепадов в изоб­
ражениях. Сравнить положения этих пересечений нуля с максимумами
модуля вэйвлета. полученными с ^ ( х л . х о ) — - Ө'(хі)Ө(х2) и ф2(хіуХі)
Ө(хі)Ө'(х2).
6.15. ковариация дробного броуновского движения Вң(і) дается формулой (6.93).
убедив
шись, что
\ W B H(u\,s) WBh(u2,s)}
U2
t] dt ,
где Ф(і) = гр * ф(і) и ф(І) =
6.16.
Пусть X ( t) — стационарный гауссовский процесс, ковариация R x ( r ) =
E { X ( t ) X ( t — т )} которого дважды дифференцируема. Можно дока­
зать, что среднее ^число пересечений нуля на интервале длины 1 есть
—я Н х (0) (тг /2 х(0))
[56]. Пусть Вн{і) — дробное броуновское движение
и ф — вэйвлет из С2. Доказать, что среднее число пересечений нуля и
максимумов модуля W B h (u 7s ) при и € [0,1] пропорционально s. Проверить
этот результат численно с помощью WAVEbAB’a.
6.17.
Мы хотим проинтерполировать отсчеты дискретного сигнала f ( n / N ) без сти­
рания их особенностей путем распространения их двоичного вэйвлет-преобразования на меньшие масштабы с помощью интерполяции его максимумов мо­
дуля. Максимумы модуля вычислены для масштабов 2J > TV- 1 . Выполнить
алгоритм из WAVEbAB’a, который создает новое множество максимумов модуля цля меньшего масштаба ІУ” 1 интерполяцией по s амплитуд и положений
[мумов модуля, вычисленных при 2J > N ~ x. Восстановить сигнал д л и н ы
модуля
сигнал
6.18. 3Выполнить алгоритм, который оценивает гладкость Липшица а и сглажива­
ющий масштаб сг в точках резкого изменения одномерных сигналов, применяя
результат теоремы 6.6 о максимумах двоичного вэйвлет-преобразования. Рас­
пространить теорему 6.6 на двумерные сигналы и найти алгоритм, который
вычисляет параметры перепадов в изображениях.
6.19.
Построить компактный код изображения по многомасштабным вэйвлетмаксимумам [261]. Эффективный алгоритм кодирования должен быть преддля
модуля
перепадов
перепада
дд я
представлению.
Г лава 6. В эйвлет -зум (приближ ение и уд а л ен и е объектов)
240
*
6.20. 3О б о б щ е н н а я м е р а К а н т о р а о п р е д е л я е т с я с п о м о щ ью р е н о р м а л и за ц и и , кото­
р а я п р е о б р а з у е т р ав н о м ер н у ю м ер у н а [0,1] в м еру, р а в н у ю р \ , 0 и рг соот­
в е т с т в е н н о н а [0 ,l \ ] } [ / і , /г] и \І2 у1]> гд е р \ + Р 2 = 1- Б е с к о н е ч н а я многократная
и т е р а ц и я т а к о й р е н о р м а л и за ц и и к а ж д о й к о м п о н е н т ы р е зу л ь ти р у ю щ е й меры
д а е т м е р у К а н т о р а . И н т е г р а л э т о й м ер ы (6.82) е с т ь ч ё р т о в а л естн и ц а. Пред­
п о л о ж и м , ч т о һ , І2 , р\ и р 2 — н еи зв естн ы . Н а й т и а л г о р и т м , вы ч и сл яю щ и й эти
п а р а м е т р ы р е н о р м а л и за ц и и м етод о м а н а л и з а с в о й с т в сам о п о д о б и я максиму­
м о в м о д у л я в э й в л е т -п р е о б р а зо в а н и я в за в и с и м о с т и о т м а с ш т а б а . Э т а задача
в а ж н а д л я и д е н т и ф и к а ц и и к а р т р е н о р м а л и з а ц и и э к с п е р и м е н т а л ь н ы х данных,
п о л у ч е н н ы х п р и ф и з и ч е с к и х эк с п е р и м е н та х .
с
' I•
Глава 7
Вэйвлет-базисы
Можно построить вэйвлеты ф такие, что семейство растянутых и сдвинутых
функций
будет ортонормированным базисом в L2(R). За этим простым положением ле­
жат весьма различные точки зрения, которые открывают плодотворные связи
между гармоническим анализом и дискретной обработкой сигналов.
Ортогональные вэйвлеты с растяжением 23 несут изменения сигнала с разрешением 2“J . Поэтому построение этих базисов связано с кратномасштабны­
ми (мультиразрешающими) приближениями сигнала. Следование этой связи
приводит нас к неожиданной эквивалентности между вэйвлет-базисами и со­
пряженными зеркальными фильтрами, используемыми в многоскоростных на­
борах фильтров. Эти фильтры осуществляют быстрое ортогональное вэйвлетпреобразование, которое требует только O(N) операций для сигналов дли­
ны N. Проектирование сопряженных зеркальных фильтров приводит также
к новым классам ортогональных вэйвлет-базисов, включающих гладкие вэй­
влеты с компактным носителем. Для нескольких измерений вэйвлет-базисы
в L2(Rd) строятся с помощью сепарабельных произведений функций одного
переменного.
Ш
7.1
лМ Л
Ортогональные вэйвлет-базисы1
Наш поиск ортогональных вэйвлетов начинается с кратномасштабных ап­
проксимаций. Для / } L2(R) частную сумму с вэйвлет-коэффициентами
^2п=-оо
можно, конечно, интерпретировать как разность между
двумя аппроксимациями / — с разрешениями 2-J+1 и 2- J . Кратномасштабные
приближения вычисляют аппроксимацию сигналов с различными разрешени­
ями с помощью проекции на разные пространства {Vj}jgz. В п. 7.1.3 будет
доказано, что кратномасштабные (мультиразрешающие) приближения полно-
Глава 7. Вэйвлет-базисы
242
специальным г-*----*
•;
,
ляег потерей информации при изменении разрешений. Эти дискретные филь­
тры дают простую процедуру дли проектирования и синтеза ортогональных
вэйв лет-базисов.
:
СТЬЮ харшч.хериизу iu iu i
7.1.1
Кратномасш табные аппроксимации
сигнала
тали частных задач. В компьютерной визуализации Барт и Адельсон [1Щ ввели кратномасштабную (мультиразрешающую) пирамиду, которая может быть
использована первоначально для обработки изображения с низким Д Ш ш р
нием, и затем выборочно повышает разрешение, если это необходимо. Этот
формализует
ортогональных
дискретной
локальные средние /
пропорциональных
Поэтому кратномасштаоная аппроксимация ш и и ш ш
набора решеток аппроксимации. Более формально приближение функции С;
разрешением
определяется как ортогональная проекция на пространство
у
Пространство V j перегруппировывает всевозможные приближения с разрешением 2~j . Ортогональная проекция / есть функция Щ I Щ , ко­
торая минимизирует ||/ —/j||. Следующее определение, введенное Малла [254]
и Мейером [47], уточняет математические свойства кратномасштабных про­
странств. Чтобы избежать путаницы, особое значение придадим тому, что мас­
штабный параметр Щ есть обратная величина разрешения 2~3.
О п р ед елен и е 7.1 (КРАТНОМАСШТАБНЫЕ ПРОСТРАНСТВА). Последо­
вательность замкнутых подпространств {Vj}jgz из L2(R) образует крат­
номасштабную аппроксимацию, если удовлетворяются , следующие шесть
свойств:
Щ k) I Z2
/( t) e V j & f { t Ш ж І g |
Я
Vj G Z
V j+ 1 С V jt
(7.2)
li
К
Vj * Z
Ц IV ,- 11
) І V j+i
■foo
. lim V j =
j —*-foo
f|
11
j= -o o
j
\
V j = {0},
-boo
^^
lim V j = Замыкание I I I V j 1 = L 2(R).
j —»—оо Ш Л Мй
I.
j=—
oo
SJ
(7-3)
‘ "ЩИ
(7.4)
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________I
\ -
(7-5)
. ф
Существует функция Ө такая, что семейство {9{t — n)}„gг есть базис
Рисса VoДадим интуитивное объяснение этих математических свойств. Свойст­
во (7 .1 ) означает, что V j инвариантно относительно сдвига, п р о п о р ц и о н а л ь н о ­
го масштабу 23. Как мы позже увидим, это пространство может быть уподоб-
7.1. Ортогональные вэйвлет-базисы
243
лено равномерной решетке с шагами 2 \ которая характеризует приближение
сигнала
причинное свойство, соглас­
но которому приближение с разрешением 2“"J содержит всю необходимую ин­
формацию для вычисления с более грубым разрешением 2“-7’"1. Растяжение
функций из V j в 2 раза увеличивает в 2 раза подробности, и (7.3) гаранти­
рует, что это определяет
аппроксимацию
с
более
грубым
разрешением
2“7
~1.
1+
Когда разрешение 2~~3 стремится к 0, то (7.4) означает, что мы теряем все
детали
0.
(7.6)
.lim \\PvJW
?
—
>
+
о
о
J
С другой стороны, когда разрешение 2 3 стремится к +оо, свойство (7.5) озна­
чает, что аппроксимация сигнала сходится к первоначальному сигналу:
II/
Щ
J — +— OQ
P v J ||=0.
(7.7)
Когда разрешение 2~3 возрастает, скорость убывания погрешности аппрокси­
мации ||/ —PV jf\\ зависит от гладкости сигнала / . В п. 9.1.3 эта погрешность
связана с равномерной гладкостью Липшица / .
Существование базиса Рисса {9(t — п)}п€% подпространства Vo приводит
к теореме дискретизации. Функция Ө может быть интерпретирована как еди­
ничный элемент разрешения; приложение АЗ дает определение базиса Рисса.
Существуют А > 0 и В такие, что любая / I Vo может быть единственным
образом разложена в ряд
+оо
№
где
a[n] 6(t — п),
(7.8)
ЖІ2<ВЦ/и2.
(7.9)
п = —оо
-foo
Л||/1Р<
У,
П = —ОО
Эта энергетическая эквивалентность гарантирует, что разложения сигналов
по {6(t —п)}П£х численно устойчивы. Используя свойство растяжения (7.3) и
разложение (7.8), можно убедиться, что семейство {2~і'2Ө(2~Ч —n)}n€z есть
базис Рисса V j с теми же границами Рисса А и В при всех масштабах 2К
Следующее утверждение дает необходимое и достаточное условие для того,
чтобы {Ө(і —n)}nez было базисом Рисса.
Семейство
базис Рисса порождаемого
им пространства Vq тогда и только тогда, когда существуют А > 0 и В > 0
такие, что
■foo
1
<
\Ө(и —2Й7г)|2 <
Ч ш £ [—7Г, 7г]
(7 .1 0 )
В
А
k=—оо
Доказательство . Любая / € Vо может быть разложена в ряд
+ оо
№
a[n]d(t —п).
п = — ОО
(7.11)
Глава 7. Вэйвлет-базисы
244
Преобразование Фурье этого уравнения дает
^
/(ы) = а(иі)Ө(и>)і
где а н
(7*12)
I рад Фурье fgf1 jggjj«["] ехрИ>ш). Поэтому норма 1jjj
быть записана как
11M l2du = — І
ll/ll
2тг Ш00
Й
2 7 Г -/ о
2я
|а(ш 4- 2&7г)|2|Ө(ы + 2fc7r)|2du>
fc= ^oo
Й
Я
И
+ °°
a(w)|2 ]Г) |0(ш I # Ш Я
27Г
Я §
fc= — о о
так как a(w) является 27г-периодической. Семейство {0(i-n)}nez —базис Рисса
тогда и только тогда, когда
2тг
ifgfj < и / р
2тг Jo
+°°
і I Д g g j < ВЦ/ІІ •
П=-оо
В
I
Если удовлетворяет (7.10), то (7.14) выводится из (7.13). Линейная незави­
симость {0{t - n)}nez есть следствие того факта, что (7.14) справедливо для
любых a[n], удовлетворяющих (7.11). Если / | 0, то обязательно a[n] | 0 при
всех та € Z. Следовательно, семейство {6(t - та)}пez есть базис Рисса VoОбратно, если {Ө(і
i m
ш
ш
w
i
t
^
■
J
*
------------------------------™
. базис Рисса, то (7.14) справедливо для люили зетэхняя граница (7.10) не выполняются для
г
,
почти всех ш (Е [—тг, 7г], то можно построить не равную нулю 27г-периодическую
функцию a(w), носитель которой соответствует частотам, где (7.10) не выпол­
няется. Таким образом, мы выводим из (7.13), что (7.14) не выполняется для
а [та], а это противоречит гипотезе базиса Рисса.
П р и м ер 7.1. К усочно-постоянны е ап п рокси м ац и и . Простейшая крат­
номасштабная аппроксимация состоит из кусочно-постоянных функций. Про­
странство V ; есть множество всех д I L 2(K) таких, что g{t) — константа при
1 1 [n2j , (n + l)2 J) и п e l . Приближение 1 с разрешением 2~J есть ближайшая
функция, постоянная на отрезках длины 2^. Ячейка разрешения может быть
выбрана как прямоугольное окно Ө = l[o,i)- Ясно, что У j С V j- i, так как
функции, постоянные на интервалах длины 2J , также постоянны на интерва­
лах длины ІІІЙ Проверку других свойств кратномасштабности мы оставляем
читателю. Часто нужно построить аппроксимации, которые являются гладкиподходят
А ппроксим ации Ш ен н о н а
ным диапазоном также приводят к кратномасштабным аппроксимациям. Про­
странство V,- определяется как множество функций, преобразование Фурье
которых имеет носитель, содержащийся в [—2_J7r, 2- j 7t]. И з утверждения
а .*
v
іғ
n)}ngz пространства Vo опреде*
следует,
функцией
siriTrt
(7.15)
*
л
Все другие свойства кратномасштабной аппроксимации легко проверяются.
7.1. Ортогональные вэйвлет-базисы
245
Аппроксимация с разрешением 2~3 функции / € L (R) есть функция
Pv, / € V j, которая минимизирует \\Pvsf — / ||. В (3.12) доказано, что ее пре­
образование Фурье получается в результате частотной фильтрации:
P V jf{ u ) = /(w ) 1 [- 2-іх , 2-ія](^ ).
Это представление Фурье в общем случае разрывно при ± 2 “ jf7r, тогда \P vjf{t)\
убывает при больших \t\ как J^P1! даж е если / имеет компактный носитель.
П р и м ер 7 .3 . С п л а й н -а п п р о к с и м а ц и и . Полиномиальные сплайн-аппроксимации строят гладкие приближения с быстрым асимптотическим убыванием.
Пространство \ j сплайнов степени m > О есть множество функций, которые
имеют 7П — 1 непрерывную производную и равняются многочлену степени тп
на любом интервале [n2J , (п + 1)2J] при п G Z. Если m = 0, то это кусочно­
постоянная кратномасш табная аппроксимация. При m = 1 функции из V j
кусочно-линейны и непрерывны.
Базис Рисса полиномиальных сплайнов строится с помощью сплайн-боксов.
Сплайн-бокс Ө степени та вычисляется сверткой прямоугольного окна 1[од] с
самим собой 771+1 раз и центрированием в 0 или 1/2. Его преобразование
Фурье
Л/ \
■"'Щ
"(“М
\
( sin{u/ 2 ) \ т* 1
( —іеш
-іт г Ч
Ч
Т
'
(
v
( 7 -1 6 )
Если 771 четно, то е — 1 и Ө имеет носитель с центром t = 1/2. Если тп нечетно,
то с = 0 и 0(f) симметрично относительно t = 0. Рис. 7.1 изображает кубиче­
ский сплайн-бокс 771 = 3 и его преобразование Фурье. При всех т > 0 можно
доказать, что {9(t — 7i)}nez есть базис Рисса Vo, проверяя выполнение усло­
вия ( 7 . 10 ). Это делается с помощью точного выражения для рядов (7.24).
0(<)
в(ш)
Ш
Р и с . 7.1. Кубический сплайн-бокс Ө и его преобразование Фурье Ө.
Глава 7. Вэйвлет-базисы
246
Т. 1.2
Масштабирующая функция
ортогональная
ция § У
на Я
Чтобы вычислить эту проекцию, мы долж ны найти орто
Следующая
теорема
ортогонализирует
і и и и і з с і п п ш і г і U Q O n o wJ.
------- » •
1 r
■ I n)}nez и строит ортогональный базис каждого пространства V , с помо­
W
щью растяжения и сдвига единственной функции | называемой масштаби­
рующей функцией. Чтобы избежать путаницы в понятиях разрешения 2 и
масштаба V I в оставшейся части главы понятие разреш ения опущено и Ц | |
называется аппроксимацией с масштабом 23.
аппроксимация
Т е о р е м а 7.1. Пусть { V j} je z - кратномасштабная
а а л йД/ЧА*
функция
І 1-----------Г
„\ 1/2 •
( е : г - о о і ^ + 2м і 2
Обозначим
( t —n
I § Ц | V "aT
1
Щ
Семейство {ф],п }п€г е с т ь ортонормированный базис V , при всех j | Z.
Доказательство1. Чтобы построить ортонормированный базис, найдем
функцию ф G V 0. Отсюда следует, что она может быть разложена по
базису {0 (t —n)}n 6Z*
+оо
<£(t) = У ; а[п]Ө(і —n);
n = —oo
это означает, что
л
л
= a((j) 0 (w),
где — 27Г-периодический ряд Фурье конечной энергии. Чтобы вычислить а,
выразим ортогональность {<£(£ —n)}nez в области Фурьё. Пусть ф(і) ~ Ф
Для любых (га,р) Е Z2
^ ^>?ЙИ^И
a
Ф(г - п)Ф* (t - p)dt
;ж
___________________________________________________________________________ I ___________________________________________________________________________________________
=
ф * ф(р —п).
(7.18)
Следовательно, {<£(* 1 n )} „6z ортонормировано тогда и только тогда, когда
ф*ф(п) = <5[п]. Вычисление преобразования Фурье этого равенства дает
4-оо
\ф(ш + 2&тг)|2 = 1.
(7.19)
к=—оо
Действительно, преобразование Фурье ф ★ ф(Ь) есть \ф(ш)\2,
в (3.3), что выборка функции делает ее преобразование Ф у р ь е
Свойство (7.19) выполняется, если мы выберем
Ш
я
я
+оо
щ /:
а(ш) = (
\Ө{и + 2&7г)|2
к = —оо
и мы доказали
периодическим .
*|Ш |
7.1. Ортогональные вэйвлет-базисы
247
В утверждении 7.1 доказывается, что сумма в правой части имеет строго по­
ложительную нижнюю границу, откуда а есть 27г-периодическая'функция ко­
нечной энергии.
фһ)
Рис. 7.2. Масштабирующая функция ф кубического сплайна и вычисленное
с помощью (7.23) ее преобразование Фурье.
Аппроксимация. Ортогональная проекция / на V j получается при разло­
жении по масштабирующему ортогональному базису
+оо
(7.20)
P vJ
п = —ОО
Скалярные произведения
aj [п]
(7.21)
( / » Ф і,п)
••J §
,
?
*
f
к * .
* *
‘
\
у
'»
дают дискретную аппроксимацию с масштабом 23. Мы можем переписать их
как свертку:
+оо
. . .
1
/ 1 —2 Jn .
(7.22)
f i t ) —т==ф I — lj— 1 dt }-кфі {2і п),
ш. н
23
—OO
где <t>jit) = \2 ~ іф (2 ~ Н ). Энергия преобразования Фурье ф, как и должно быть,
сконцентрирована на [—я-, 7г], это иллюстрирует рис. 7.2. Как следствие, преоб­
разование Фурье у/ШЩ |||о») функции 4>j(t) в основном отличается от нуля на
[—2 - -77г , 2 - j 7t] . Поэтому дискретная аппроксимация а7[п] есть низкочастотная
фильтрация / , вычисленная с шагом 2К Рис. 7.3 дает дискретную кратномас­
штабную аппроксимацию для масштабов 2-9 < 2J < 2-4 .
Пример 7.4. Для кусочно-постоянных аппроксимаций и кратномасштабных
аппроксимаций Шеннона мы построили базисы Рисса {0(4 —n )}n€z, которые
являются ортонормированными базисами, следовательно, ф = Ө.
Пример 7.5. Кратномасштабные сплайн-аппроксимации допускают базисы
Рисса, построенные с помощью сплайн-боксов Ө степени т , преобразование
Фурье которых дается (7.16). Подставляя это выражение в (7.17), получим
ф(и)
ехр (—iew/2)
wm+ 1 v / G
И
(7.23)
’
Глава. 7. Вэйвлет-базисы
248
t
Р и с. 7.3. Дискретные кратномасштабные аппроксимации aj [п] для масшта­
бов 2-7, вычисленные с помощью кубических сплайнов.
'
+ оо
Я М
где
fc=—оо
1
(7.24)
( и + 2&7Г)П
выражение
и б = 1, если тп четное, или е = О
и,, если
си ш т
mп нечетное.
ncncmuc. Точное ««***«««*—
52т4-2(^) получается вычислением производной порядка 2тп тождества
+оо
S2{2u )
fc=—оо
Для линейных сплайнов m
1
(2cj + 2&7г)2
4 sin2 cj
1
£ 4 ( 2u>)
что дает
1
1 + 2 cos2 LJ
48 sin4 ш ’
4\/3 sin2(u;/2)
(7.25)
(7.26)
up’\J 1 + 2cos2(u;/2)
функция
0(u>) вычисляется с помощью (7.23) подстановкой
5e(2u;)
5 + 30 cos2 и/ + 30 sin2 и cos2 cj
105 28 sin8 w
6
70 cos4 u> + 2 sin4 Ц cos2 w + 2/3 sin0 w
+
105 28 sin8 1
1
3, и
(7.27)
7.1. Ортогональные вэйвлет-базисы
249
Масштабирующая функция для кубического сплайна и ее преобразование Фу­
рье изображены на рис. 7.2. Эта функция имеет бесконечный носитель, но
убывает экспоненциально.
7.1.3
Сопряженные зеркальные фильтры
Кратномасштабная аппроксимация полностью характеризуется масштабирую­
щей функцией ф, которая порождает ортогональный базис каждого простран­
ства V j. Мы изучаем свойства ф, которые гарантируют, что пространства Vy
удовлетворяют всем условиям кратномасштабной аппроксимации. Доказыва­
ется, что любая масштабирующая функция определяется дискретным филь­
тром, называемым сопряженным зеркальным фильтром.
М асш табное уравнение. Кратномасштабное причинное свойство (7.2) озна­
чает, что V j С V j_ i. В частности, 2~1^2ф(Ь/2) € V i С Vo. Так как {ф{Ь—n)}„ez
есть ортонормированный базис Vo, справедливо разложение
l
i
t
ф (-) =
s/2 ^ 2
00.
У ! һ[п] Ф(і - п ) ,
(7.28)
71= —ОО
где
= ^
(729)
Масштабное уравнение связьтает растяжение ф вдвое с целочисленными сдви­
гами. Последовательность h[n] интерпретируется как дискретный фильтр.
Преобразование Фурье обеих частей (7.28) дает
И щ , Ч-
ф(2и>) = —р һ(ш) ф(ш)
v2
(7.30)
при һ(иі) =
һ[п\е~гпш. Поэтому удобно выразить ф(ш) прямо как проА
^,v,
изведение растяжений һ(и>). При любом р > 0 (7.30) означает, что
д .
.
ф{ 2~р+1и) * 4 = Л (2~М ф(2~ри).
v2
(7.31)
В результате подстановки мы получаем
= ( П Щ
Р
I
(7 -32>
Р= 1
Если ф(ш) непрерывно при и = 0, то
lim ф(2 р ш) = <£(0), откуда
Р —►+оо
-fo o 7
р- i
Следующая теорема [254, 47] дает необходимые и в этом случае достаточные
условия на h(u>), которые гарантируют, что это бесконечное произведение есть
преобразование Фурье масштабирующей функции.
Глава 7. Вэйвлет-базисы
250
Теорем а 7.2 (МАЛЛА, МЕЙЕР). Пусть ф €
штабирующая функция. Тогда ряд Фурье һ[п] У <2
Ж ) | Щ - п)> y < W
төоряет равенствам
;
Vtu € R
|^(w)|2 + |/i(w + 7г)|2 = 2
(7.34)
u
/t(Q) = л/2.
(7*35)
Обратно, если һ(ш) - 2 тг-периодическая и непрерывно ди^еренцируемая
функция в окрестности и = 0, если она удовлетворяет (7.34) и (7.35) и если
inf
|Л,(сс>)| > 0,
шб[-тг/2,1г/2]
(7-36)
' Ш1 '
то
ф(ш)
Р=1
^(2 М
У2
(7.37)
есть преобразование Фурье масштабирующей функции ф € L (R).
Доказательство. Эта теорема - центральный результат, доказательство кото­
рого занимает много места и требует определенной техники. Это доказательство разбивается на несколько частей.
v |||
І Доказательство1 необходимого условия (7.34). Необходимое условие до­
казывается как следствие ортонормированности {ф(t — n)}n€Z. Щ Фурьеобласти (7.19) дает эквивалентное условие:
Ч-оо
Vw € R
^
У ' |Ф(и + 2fcrr)|2 = 1.
(7.38)
f c = — ОО
После подстановки ф(ш) = 2 1^2һ(ш/2)ф(и/2) следует
+оо
Я | | I
І M l 2 | 2.
fc=—оо
Так как h(u;) — 2тг-периодическая функция, то разделение суммы на члены с
четными и нечетными к дает
;
+оо
,
v о
.
.
ж
+ °°
Я р=■—ОО|Н1+Ч Г+ІЩ ! Р=—
і оо
2
*
\ |2
В
■ ______
Используя (7.38), получим, что при и»' = ш/2
І р І Р + |Ь(сУ + *)|2 = 2.
Доказательство2 необходимого условия (7.35). Мы докажем, что fe(0) =
показав, что 0(0) Ф 0. Действительно, мы знаем, что <£(0) = 2~1*2Һ(0)ФФҮ
Более точно, мы убедимся, что \ф(0)\ = 1 есть следствие свойства полноты (7.5)
кратномасштабных аппроксимаций.
Щ
7.1. Ортогональные вэйвлет-базисы
251
Ортогональная проекция / е L 2 (R) на Vj есть
+оо
п = —со
Свойство (7.5), представленное во временной и Фурье-областях с использова­
нием формулы Планшереля, означает, что
. lim
J *—00
| | / - P Vj. / | | 2 = .lim 2 тг| | / - і О | | 2 = 0.
(7.40)
J —►
—oo
Чтобы вычислить преобразование Фурье Лл,/(о>), мы обозначим
у/?Ғіф{2~Ч). Подстановка свертки (7.22) в (7.39) дает
+оо
p Vj f ( t) =
У,
=
-4*00
f *Фі(23п)6(і - 21n).
f *Фі(?1п ) Ф і ( і - 2 3ті) =
п ——oo
n = —oo
Преобразование Фурье / ★ Фі ($) есть ^/SУ/(a^)0*(2Ja^). Равномерная выборка
имеет периодическое преобразование Фурье, вычисленное в (3.3) и, следова­
тельно,
Я
/с=—оо
2кп
Ы------ —г2з
2?
(7.41)
Возьмем / = l [ - ffl,j. Для j < 0 и ш € [—7Г, 7г] (7.41) дает P v jf(u ) — \ф(23ш)\
Среднеквадратичная сходимость (7.40) означает, что
1 - \ф(23ш)\
2 2
(ко — 0.
Так как ф интегрируема, ф(ш) непрерывна и, следовательно, lim ,_ _ o o \ф(2?ш)
10(0)1 = 1. Теперь мы докажем, что функция ф\ преобразование Фурье которой
дается формулой (7.37), есть масштабирующая функция. Это доказательство
разбивается на два промежуточных результата.
• Доказательство ортонормированности {ф{Ь —n)}ngz* Сначала убедимся,
что бесконечное произведение (7.37) сходится и |ф(а;)| < 1, так как (7.34) озна­
чает, что \һ{ш)\ < у/2. Формула Парсеваля дает:
/
+<х>
1
л+оо
ф(і)ф*(і - n)dt = — /
Поэтому проверка ортонормированности {ф{і
тельству того, что
\ф(и)\2etnu)du
\ф(ш)\2еіпшduj.
—n)}n€Z эквивалентна доказа­
= 2тг6[п].
—ОО
-
Этот результат получается рассмотрением функций
1 / \ _ ТТ "(2 Р^ ) ,
f f r t ^ 3511
р=
1
/ ч
Г-з^тг.г^тг]^)
;г,:
wV
•
Глава. 7. Вэйвлет-базисы
252
и вычислением предела при к —>+оо интеграло:
, +°°
■ 1
о •
№
т т |Л(2“М 1
В И Я я/К П
2
гncj
— ОО
Сначала покажем, что 1к[п] | I j j g при всех к > 1. Чтобы это сделать,
мы разделим Ik [ть] на два интеграла:
*
Ши
1
A ifc(2-Mi3€Н И
й
Ш
е
л
Ш
ш
Я
do; + I
II
о
e
- 2к»Гр=Гі
^
2
do).
Р=1
Сделаем замену переменных Ц = | + |f j | в первом интеграле. Так какШ Я
функция с периодом 27Г, то при р < | имеем |/г(2 р[и/ 2 7г])| — \h(2 pw)|
При к = р предположение (7.34) означает, что
^
Ifc(2 " V - 2 feTr])|2 I \h(2~l| g j I 2 .
При к > 1 два интеграла /^[п] принимают вид
1к[п] І /
Jo
Так как П * ІІ |ft(2“po;)|2eina; — г^тг-периодично, то мы получаем 1к[п] = һ - і Ң
и, по индукции, 1к[ть] ЩІІ[п\. Выражение (7.42) при к = 1 дает
ii[n] = Г * einu)dw = 2тг5[п],
•
это означает, что 1к[п] = 27г5[п] при всех к > 1.
Теперь мы докажем, что ф Е L 2 (К). Для всех а; € К
* &Д Д
у ||
«п.
л
и
1
2
=
п
|А(
2
;
М
|
г
=
й
й
і
4-.
^
Ac—*оо
Z
'■
Р
В лемме Фату А.1 для положительных функций доказьгеается, что
+оо
-оо
потому что /fc[0] =
,
Г + оо
|0(u;)|2cJt<; < lim I
К
-й
§
v-s-f
- -- - ч
\фк(ш)\2сІш Щ27г,
(7-43)
* -« > .,-0 0
27Г при
всех fc > 1. Так как
|* И | 2е<п* = lim
k —*oo
І Н
^ Н
3
то мы в конце концов убеждаемся, что
-foo
Г+оо
г>
\ф(ш)\2еіпшduj — lim /
\фк{ш)\2еіпш<1ш= 2п6[п],
-оо
ЯШ Ло®
(7.44)
применяя теорему о мажорированной сходимости А.1. Требуется
условие о верхней границе (А.1). В нашем случае это получается в
доказательства существования константы С такой, что
проверить
результате
i t ® ! # ! I Ш Я < С\ф(ш)\3.
(7-45)
7Л. Ортогональные вэйвлет-базисы
253
Действительно, мы показали в (7.43), что \ф(ш)\2 —- интегрируемая функция.
Существование С > 0, удовлетворяющего (7.45), тривиально при^ \и\ >
2*тг, так как <j>k(w) = 0. При \со\ < 2ктг, так как ф(ш) = 2~1/ 2һ(ш/2)ф(и>/2))
следует, что
W W = \фк(ш)\л\ф(2-кш)\\
Поэтому, чтобы доказать (7.45) при |w| < 2fc7r, достаточно показать, что
|0(а;)|2 > 1/С для ш Е [—7г,7г].
А
Сначала рассмотрим окрестность ш = 0. Так как
непрерывно диф­
ференцируемо в этой окрестности и так как \h(w)\2 < 2 = |/г(0 )| , то функции
(Е(<м) |2 и In |Л(а;)|2 имеют производные, которые равняются нулю при о; = 0. Из
этого следует, что существует е > 0 такое, что
V|u;| < £
0 > In ( ^ -^ -L I ^ НИ*
Следовательно, при |и>| < е
•
g
l
n
(
M
\ф{ш)\2 = ехр
> е-|ы| > е-е .
(7.46)
-Р = 1
Теперь проанализируем область |ш| > е. Чтобы это сделать, возьмем целое I
такое, что 2~1тт< е. Из условия (7.36) следует, что К = іп£ше[_т/ 2,эт/ 2] |/i(w)|>0
так что, если \ш\ < тг, то
Ш \ 2=П
2
*(2-Ц/I
”
2г
С
Последний результат завершает доказательство неравенства (7.45). Примене­
ние теоремы о мажорированной сходимости А.1 доказывает (7.44) и, следова­
тельно, ортонормированность {ф(і —Ti)}ngz. Простая замена переменных пока­
зывает, что {0j,n}n€z ортонормировано при всех j € Z.
• Доказательство3 того, что {Vj }
—кратномасштабное семейство. Что­
бы убедиться, что ф — масштабирующая функция, мы должны доказать, что
пространства V j, порожденные {<^j,n}n€z? определяют кратномасштабную ап­
проксимацию. Ясно, что справедливы кратномаяштабные свойства (7.1) и (7.3).
Причинное вложение V j+i С V j следует из того, что для любого р € Z
■
*foo
V Щщй 2p]0 i,n«
п=—оо
Это равенство будет доказано позже в (7.112). Так как все векторы базиса Vj+i
могут быть разложены по базису V j, то из этого следует, что Vj+i С V j.
Чтобы доказать кратномасштабное свойство (7.4), мы должны показать,
что любая / € L 2 (R) удовлетворяет равенству
—
ж
lim ||i W || = 0.
j->+oo
J
Так как {<£j,n}n€Z — ортонормированный базис V j ,
+00
П = —ОО
(7.47)
Глава 7. Вэйвлет-базисы
Предположим сначала, что 1 ограничена константой А и имеет компактный
носитель, содержащийся в [-2 J ,2J]. Константы А %J могут быть произвольно
большими. Из этого следует, что
+оо
4*оо
\т \\ф (2~ Ч - n)\dt
< 2
-2
п=—
оо
п=—оо
+оо p2J
j
\ф(2~Ч —n)\dt
< 2~’А2 У
п=—оо
Применение неравенства Коши-Шварца к 1 х \ф(2 Н
-foo
п=—оо
<
К/?
<
І
і
»
Л*2
д227+і
+о°
А2*7
п)\ дает
Л
ИИ
У
\ф ( 2 - ч - п ) \ 22~3аь
“ оо J - 2*
п=—
4*°°
i0 (t)i2rft 1 a 22j+i
t
oo
s s b
b
b
I
2J~3,n
+
2J
-J
]
для
j
>
J.
При
t
p
^
мы
очевидно
имегде S j
U«€z[n
. Из трплрмы
теоремы о мажовшюваннои
мажорированной сходимости
0^ I 5 (^) ) 0 при j —ь
■ - . I
следует, что интеграл сходится к нулю и, еле;
тельно,
4-оо
О
lim
|{/j
Фэ,п)\
j —»400 п=—оо
Свойство (7.47) распространяется на любую / € L 2 (R) вследствие плотности
в L 2 (R) ограниченных функций с компактным носителем, а также утвержде­
ния А.З.
Чтобы доказать последнее кратномасштабное свойство (7.5), мы должны
показать, что для любой / Е L 2 (R)
I МИД
Л
.lim
|
|
/
^
/
|
|
2
=
.Ііш
(
||/
J—*—OQ
J—*—ОО\
11*0/ f )
(7.48)
0.
ря
Мы рассматриваем функции / , преобразование Фурье которых / имеет ком­
пактный носитель, содержащийся в [—2J 7r, 2J 7r] при достаточно большом J . Мы
доказали в (7.41), что преобразование Фурье P v j f есть
4*оо
U
- j kn'j ф' Щ Й I 2-J 2fctfJ I .
P vjf{u ) = ф(23ш) Т
к——оо
2
Если j <
J, то носители /(ы —2 “; 2 /с7г) не пересекаются при различных к и
1
IIД о /II
+
2
1
27Г
4-00
27Г —ОО
4-оо
(7.49)
|/(u;)|2 |0 (2J^ )| 4du;
+ °°
ш —2 J2A;7r
©О /е=—00
/Ьз40
И 2М 121^(^ [w
2
djjj.
-М
для
Мы уже видели, что |0(cj)| < 1 и и з (7.46) следует, что |ф(ш)| > е
достаточно малых по абсолютной величине о>, откуда
7.1. Ортогональные вэйвлет-базисы
255
Так как \f (ш)\2\Ф(2>ш)\* < \/(ш)\2 и Urn*— во \4>(2jw)\A\f(u>)\2 * |/(<*0|2, то мож­
но применить теорему о мажорированной сходимости А.1 и доказать, что
lim / +°° | / Н | 3 |0 (2 М |4^ = Г ” |/ M i 3dw = l l / f .
І — О в . / . oo
Jf
(7.50)
Оператор /V j
ll/VJI < II/И- Вместе
с (4.49) и (7.50) это означает, что Игп,—_во(|1/ | | 2 ~ II^Vj/ll2) = 0 и, следова­
тельно, доказывает справедливость (7.48). Это свойство распространяется на
любую / 6 L 2 (R) вследствие плотности в L 2 (R) функций, преобразование Фу­
рье которых имеет компактный носитель, и результата утверждения А.З.
Дискретные фильтры, передаточные функции которых удовлетворяют (7.34),
называются сопряженными зеркальными фильтрами. К ак мы увидим в
разд. 7.3, они играют важную роль в дискретной обработке сигнала; они де­
лают возможным разложение дискретных сигналов в отдельных частотных
диапазонах с помощью наборов фильтров. Единственная трудность при дока­
зательстве — это показ того, что бесконечный каскад сверток, который пред­
ставлен в области Фурье произведением (7.37), сходится к нужной функции в
L 2 (R). Достаточное условие (7.36) не является необходимым для построения
масштабирующей функции, но оно всегда выполняется при практическом син­
тезе сопряженныхЛ|зеркальных фильтров. Оно не может быть удалено, как поназывает пример һ{иі) — cos(3u;/2), который удовлетворяет всем другим усло­
виям. В этом случае простое вычисление показывает, что ф = 1/3 1[-з/2,з/2]Ясно, что {фЦ—n )}n€z не ортогонально, и поэтому ф не является масштабиру­
ющей функцией. Условие (7.36) может быть, однако, заменено более слабым,
но более технически сложным необходимым и достаточным условием, что до­
казано Коэном [17,128].
Пример 7.6. При кратномасштабной аппроксимации Шеннона ф = If-*,*].
Поэтому мы выводим из (7.37), что
Й '
Vw € [
7Г, 7г]
Һ ( ш ) - у / 2 1 [—^-/2,тг/2]
Пример 7.7. При кусочно-постоянных аппроксимациях ф = 1[о,і]- Так как
h[n] = (2-1/2<£(f/2),0(t - п)), из этого следует, что
,г,
, 2-1 / 2, если п = 0,1,
п\п\ = < _
1‘
1 0
в других случаях.
Пример 7.8. Полиномиальные сплайны степени т соответствуют
зеркальному
мощью (7.30):
Н{ш) = \ / Й £ ^ .
ф(и)
Подстановка (7.23) дает
(7.51)
(7.52)
Глава 7. Вэйвлет-базисы
256
1, если тп четное. Д^н линейных сплайнов
где б = 0, если тп нечетное, и е
771 = 1, и (7.25) означает, что
hUj) В
/ 2)
COS
1 + 2 cos2 и
U)
2
(7.54)
n
n
0.817645956
0.397296430
1 ,- 1
-0.069101020
2, -0.051945337
зw
,' - ■3
0.016974805
4 ,- -4
0.009990599
5 ,- •5
-0.003883261
6 , - -6
-0.002201945
7 ,- -7
0.000923371
8 , - -8
0.000511636
9 ,- -9
-0.000224296
10 , - -10
11 , - -11 | -0.000122686
0.766130398
0
0.433923147
-1
-0.050201753
2 ,- -2
-0.110036987
з ,- -3
0.032080869
4,--4
0
2
771
1/2
771
0.042068328
0.017176331
0.017982291
0.008685294
0.008201477
0.004353840
0.003882426
0.002186714
0.001882120
-0.001103748
-0.000927187
0.000559952
0.000462093
-0.000285414
-0.000232304
0.000146098
Зеркальные фильтры h[n\, соотв
коэффициенты
нейным 771 = 1 и кубическим тп
абсолютной величине меньшие 1U-4
Для кубических сплайнов сопряженный зеркальный фильтр вычисляется под­
становкой (7.27) в (7.53). Рис. 7.4 дает графики \h(w)\2. Импульсный отклик
h[n] этих фильтров имеет бесконечный носитель, но экспоненциальное убыва­
ние. При нечетных тп отклик /i[n] симметричен относительно п = 0. Табл. 7.1
дает коэффициенты h[n], превосходящие 10~4 при тп = 1,3.
Р и с. 7.4. Сплошная линия изображает \h(cj)\2 на [—7г,7г]
для
кратномасштаб’
*V
Ж1
jy
1§’
ной аппроксимации с кубическим сплайном. Пунктирная линия соответствует
1р И 12f
7.1. Ортогонзльныө вэйвлөт-бәзисы
7.1.4
257
Где, наконец, появляются ортогональные
вэйвлеты
Ортонормированные вэйвлеты являются носителями подробностей, необходия сигнала. Аппр
масштабами 2J и 2*’" 1
ортогональным
Т ;- /
содержится в V j_ i. Пусть W j — ортогональное
дополнение
в
'
V i - 1 = V j- e w ,- .
Ортогональная проекция / на V--.
тогональных проекций на V,- и W
(7.55)
- P v ,- ,/ = PVj / + i f y , /•
(7.56)
«детали»
2? , но которые пропадают при более грубом масштабе 2^. В следующей тео­
реме [47, 254] доказывается, что можно построить ортонормированный базис
b W j, масштабируя и сдвигая вэйвлет гр.
Теорема 7.3 (М АЛЛА, М ЕЙЕР). Пусть ф — масштабирующая функция и
Һ — соответствующий сопряженный зеркальный фильтр. Пусть ф — функ­
ция, преобразование Фурье которой есть
f
где
(Ю * ( £ )■■
д(ш) = е ‘" ^ (w + tt).
Обозначим
/
лл
1
/
Л
« о
(7.58)
~
v f * ( 'I T "
(V'i.nlnez — ортонормированный базис W ; <?лл любого масштаба 2J. При всех
масштабах {i>j,n}(j,n)€Z3 есть ортонормированный базис L2(R).
Доказательство1. Сначала докажем, что ф может быть записано как произ­
ведение (7.57). С необходимостью ^(*/2) 1 W i С V 0, поэтому он может быть
разложен по {ф(Ь —n)}ngz, которое есть ортогональный базис Vo:
1
/ 1\
І 2?
(j ) =
^ [Ф (* ~ п),
(7.59)
п = —оо
где
(ф Г | ) , #
I п) ) .
(7.60)
Преобразование Фурье (7.59) дает:
V»(2w) = -дд(ш)ф(и>).
(7.61)
Следующая лемма накладывает необходимые и достаточные условия на о для
описания ортогонального вэйвлета.
Глава 7. Вэйвлет-базисы
258
Лемм» Т.1. М
.
Ш
„ “ Л,, * * *
|
1
{В
Щ + * ) 12 = 2
15И1! +
“
Ж
cm
# • > ) * » + Л " + * > И » + *> “ а
Лемма доказывается
|| j |
Й 5
И Д Д Ң Ц
О, , У
—
~
Я IR
7(ш) = 53
~
—
1 2fc?r)l2,%|-
fc=—ОО
!
^£||
Так как 4 И = Т 11Ч Ч Ъ Ф Ч Ъ и $ Н 2тг-периодическая функция, то
2
JH
=
V
fc=—оо
К
1
)
\д (%
+
к*)
\2\Ф
2
'
а
2
р=—оо
i
*
(
l
+
+ы ) \
2
р
т
)
|
а
+
l
s
(
I
+
*
)
| 2
'‘.Д<ш|В^ЯИ|
Мы знаем, что І | Ш Й Й + Ш ? = $ П0ЭТ0МУ (7‘64) эквивал6НТН° {7\ }“
Пространство W 0 ортогонально V 0 тогда и только тогда, когда семейства
.е к " p o T w - " » « « - W
любого n Е Ъ
- « Я - <*— —
*■ ЭТ° ЗЯаЧЯТ' 410 " "
/ \ л
:'л^ § Я я ^ ^ И
(^(t),if- n)>=ф*mm=°-
Преобразование Фурье * * #(«) « * ь Ф Ш Ц и ) . Последовательность выборка
ф * j(n ) есть нуль, если ее ряд Фурье, вычисленный в соответствии с (3.3),
удовлетворяет равенству
+оо
0.
(7.65)
Vwе к
У)
fc=—оо
теИ +
І
Р
2feTT)i2 =
подставляя V>(w) = 2 / д(ш/2)ф(ш/2) й
£
= 2~*^һ(ш/2)ф(ш/2) в это уравнение, мы доказываем, как и рань
эквивалентно
должны проверить, что V _ i = Vo 0 Wo
г л и я тгкНТчтА б м и Г V - _1 . это эквивалентно док;
(л/2 <К2*
для
что
+оо
+оо
1
2
+оо
V
а[п]у/2ф (2[і — 2- 1п])
= £
Ъ[п]ф(і-п)+ £
п = —оо
п = —оо
c [n ]^ (t-n ).
(7-66)
тг——оо
Это может быть сделано установлением связи b(w) и с(и>) с а(а>). Преобразова­
ние Фурье равенства (7.66) дает
.
1 „ /Ш\ i /W
a
v/2
jф
= Ь(ш)ф(ш) + с{ш)ф(ш).
}■
7.1. Ортогональные вэйвлет-базисы
259
Подстановка в это уравнение ф(ш) = 2~1' 2д(и/2)ф(ш/2) и ф(ш) = 2~1^к(ш /2)х
ф(ш/2) показывает, что оно с необходимостью выполняется, если
5 (I) =
( |) +
( |) •
(7.67)
Определим
Ь(2а;) = - [а(ш)һ*(ш) + а(ш + п)һ*(ш + 7г)]
И
с( 2ш) = -^а{и))д* (ш) + а( и + п )д*(ш + ir)J.
Вычисляя правую часть уравнения (7.67), мы убеждаемся, что она равняется
левой части, в результате подстановки (7.62), (7.63) и использования
\һ(ш)\2 + \h(w + п)\2 = 2.
(7.68)
А
.
Так как Ь(ш) и с(ш) — 27г-периодические функции, они являются преобразовани­
ями Фурье двух последовательностей Ь[п] и с[п], которые удовлетворяют (7.66).
Это завершает доказательство леммы.
Ввиду (7.68)
*
д(ш) = е
Һ (ш + 7г)
выводим из леммы 7.1, что
ортогональный базис W
Мы завершим полное доказательство теоремы, проверив, что {V&njy. n)ez2
есть ортогональный базис L 2 (R). Заметим сначала, что пространства подроб­
ностей {W j}je z ортогональны. Действительно, W j ортогонально V j и W / С
W «-1 С V j при j < /. Следовательно, W j и W j ортогональны. Мы можем
также разложить
L 3 (R) = Ө+flooW,-.
(7.69)
Действительно. V*_i = W* m
90U
S
ДЛЯ
Так как
{ V j} j€z
V l = © j = L - i W j ® V j.
— кратномасштабная аппроксимация,
V
l и
V
j
(7.70)
стремятся со­
ответственно к L 2 (R) и { 0 } , когда L и J соответственно стремятся к —оо и +оо,
что означает выполнение (7.69). Поэтому объединение ортонормированных ба­
зисов всех
есть оитоноомипованный базис
Доказательство теоремы показывает, что д — ряд Фурье дискретной функции
9[п] = {
( I \ , Ф(Ь - п) ) ,
(7.71)
значения которой являются коэффициентами разложения
-foo
у[п] ф(і - п).
п=—ОО
(7.72)
Вычисление обратного преобразования Фурье от (7.58) дает
д[п] I ( - l ) 1-n/i[l - п].
(7 .7 3 )
Глаза 7. Вэйвлет-базисы
260
алгоритмах
Этот зеркальный фильтр играет важную роль в
преобразования.
|
.
п р и м ер 7.9. Рис. 7.5 изображает кубический Ц Я | | : Щ
М
М
зоваиие Фурье f t вычисленные подстановкой в (7.57) выражений Щ
и (7.5J)
f t * Свойства этого сплайн-нэйвлета Баттла-Лемарье изучаются
S l i 1в 1 7.2.2 Как и у большинстна ортогональных нэйвлето», э н е р г ^ ,
о ^ н Г с о с р е д о т о ч е н а в [-2л, g jg g Я Можно доверить, что дли любого
■ф, порождающего ортогональный базис в L (1К),
.
V w € R -{0 }
У \ ҺК2МІ = L
—ОО
Это иллюстрируется рис. 7.6
Р и с . 7 .5 . Кубический сплайн-вэйвлет ф Баттла-Лемарье и модуль
разования Фурье.
ч
Р и с . 7 .6 . График |г^(23и )|2 кубического сплайн-вэйвлета Баттла-Лемарье при
1 < І < 5 и у 6
[—гг, А '
Ортогональная проекция сигнала / на пространство «подробностей» W j
получается как частное разложение по его вэйвлет-базису
+оо
"
F*Wjf —
(/» Фі>п)Фі,п*
7.1. Ортогональные вэйвлет-базисы
261
Следовательно, разложение сигнала по вэйвлет-базису может рассматриваться
как объединение подробностей при всех масштабах 2J, которые изменяются
от 0 до +оо:
/=
+оо
-foo
-foo
S
]г
И
J = —ОО
п-
j = —oo п = —оо
*>'
?ИКзЭВУ
1i ?
яУ* '*" ■*5?* *'В
Рис. 7.7 дает коэффициенты разложения сигнала по ортогональному кубиче­
скому базису сплайн-вэйвлетов. Вычисления выполнены с помощью алгоритма
быстрого вэйвлет-преобразования из разд. 7.3.
Рис. 7.7. Вэйвлет-коэффициенты dj[n] = (/.V ’j.n), вычисленные с помощью
кубического сплайн-вэйвлета для масштаба 2 |. Наверху изображена грубая
аппроксимация сигнала aj[n] = {/, фj <n) при J = —5.
П роектирование вэйвлетов. Теорема 7.3 строит ортонормированный
вэйвлет-базис по любому сопряженному зеркальному фильтру һ(ш). Это да­
ет простую процедуру для описания и построения ортогонального вэйвлетбазиса. Обратно, интересно знать, все ли ортонормированные вэйвлет-базисы
связаны с кратномасштабной аппроксимацией и сопряженным зеркальным
фильтром. Если мы предположим, что щ имеет компактный носитель, то, как
доказал Лемарье [41], $ с необходимостью соответствует кратномасштабной
аппроксимации. Однако можно построить патологические вэйвлеты, которые
Глава 7. Вэйвлет-базисы
262
_i-i-i „ котооые не могут быть выведены из
убывают на бесконечности к
II
_ММЯ1ШИ R разд. 7.2 описаны важные
какой-либо кратномасштабно ап"Р°к
связать Һ со свойством носителя,
классы вэйвлет-базисов и объяснено, как связать п
К л а ссы в эй в л ет-бази сов
7.2
7.2.1
1
В ы бор вэйвлета
Наиболее ■
в
-
Р
~
»
~
коэффициентов
льшого числа ненулевых
малыми
ттирнтов
ъгчислени-
мало. Это зависит в основном от гладкости |
нужные
зеркальных
D
a
n
D
J
l V
/
І
Ш
V *
----------- ----------------------------А
а
эти свойства с условиями на НЩ.
Нулевые моменты. Напомним, что ф имеет р нулевых моментов, если
-foo
tk^(t)dt = 0 для
(7.74)
0<к<р.
—оо
1. В п. 6.1.3
ф ортогонален
если /
и ф имеет доста*:
\ малы при малых
п/
К/
/
локально
принадлежит
С*,
то
на
малых
леиствительми, сиш ^ г ж ш ғ і р 1----- ш
о
» т?лтт„ l в i
она хорошо аппроксимируется многочленом Тейлора степени .
>
то вэйвлеты ортогональны этому многочлену Тейлора и гоэтому
фициенты с малой амплитудой при мелких масштабах. Следующая теор
Ои
связывает число нулевых моментов ф с нулями производных ф(ш) при w с числом нулей %{ш) при w = тг. Доказывается также, что многочлены степени
одятся с помощью масштабирующих функций
Р
вэйвлет и масытпаФ
функция , которые
Гьииьиииьь порождают ортогональные
---------------I Я
Р В
И
^ етпыр
жим, что \ф{ь)\ = 0 ( ( 1 1 i 2) - ^ 2" 1) и И
следующих утверждения эквивалентны:
-• _
•
' _________________• • » т т / т Т Т Т Т І
(1) Вэйвлет ф имеет р нулевых моментов.
(2) i/>(u>) и его первые р — 1 производная равны нулю при и — 0.
(3) /г(сь>) и его первые р - 1 производная равны нулю при и = тт.
7.2. Классы вэйвлет-базисов
263
(4) При любом 0 < к < р
4-оо
Як(0 —
(7.75)
пкф{і —п) — многочлен степени к.
п = —оо
Доказательство1. Убывание |0(£)| и \ф{Ь)\ означает, что ф(и) и ф(ш) р раз
непрерывно дифференцируемы. Производная fc-ro порядка ф^к\ и ) есть преоб­
разование Фурье (~it)kxl>(t). Следовательно,
Ф™(0) = f
(—it)kip(t)dt .
« —оо
У
'
Мы получили, что (1) эквивалентно (2).
В теореме 7.3 доказывается, что
у/2гр(2ш) = е~™ЬГ{и + -пЩш).
А
.
Так как 0(0) ф 0, то дифференцируя это выражение, мы доказываем, что (2)
эквивалентно (3).
Докажем теперь, что из утверждения (4) следует (1). Так как ф ортого­
нален {<£(£ —n)}nez , то он ортогонален также многочленам qk при 0 < к < р.
Семейство этих многочленов есть базис пространства многочленов степени не
выше р — 1. Поэтому ф ортогонален любому многочлену степени р — 1 и, в
частности, tk при 0 < к < р. Это означает, что ф имеет р нулевых моментов.
Убедимся, что из (1) следует (4); предположим, что ф имеет р нулевых
моментов и при к < р вычислим д*.(£), определенный (7.75). Это будет сделано
вычислением его преобразования Фурье:
+с°
Л
Фь(о>) = ф(ш) 2 2
j k
ехр(—ino;) =
п = —оо
+оо
X* ехР
п = —оо
Пусть 5^к' — обобщенная функция, которая есть к-я производная функции
приложении
справедли
+°°
'
gfe(u>) = (і)к— ф(и) £ <5(k)(w - 2ітг).
^
’f; .
i==—OO
1
Ч ■J
(7.76)
Интегрируя несколько раз по частям, мы получаем равенство обобщенных
функций
<
к-1
Щ щ Ш Ц 1 2І7Г) | Ф(2ln)5w (ш - 2/тг) -I- 2 at,iS(m)(и - 21п),
т =0
(7.77)
где a ^ i — линейная комбинация производных {<^m*(2/7r)}o<m<fc.
При I ф 0 докажем, что а\ ^ = 0, предварительно установив, что
^(т ) (2 І7г)= 0 , если 0 < т < р. При любом Р > 0 (7.32) означает, что
I I =Ш ! р=П1 Щ Й
(7.78)
Глава 7. Вэйвлет-базисы
264
показали
периодично
S E g = окрестности | | f при любом 1 I 0 . Щ Ц
ф{тп\2Ы ) Щ0, если
Так как
= 0 и ф(21тт)
следует.
ф(и)5{к)(и - 21тг) = 0 при
Единственный член, который остается в сумме (7.76), есть член с I = 0, и
подстановка (7.77) дает
|
& Н = (*)fe^ I f«A(0)<5(fc)M + £
m =0
j
К
Обратное преобразование Фурье S«” >M есть (5һг)-*(-«)"*. »
v
- ^
---- Bgg преобразование Ovnbe оь от
многочлен степени
Утверждение (4) называется условием Фикса-Стрэнга [320]. Полиномы
Uk)o<k<i, определиют базис пространства многочленов степени В | Поэтому
условие Фикса-Стрэнга утверждает, что | имеет р нулевых моментов тогда и
только тогда, когда любой многочлен степени р - 1 может быть представлен как
линейная комбинация {ф(і - n)}n6z- Коэффициенты разложения многочленов
qk не имеют конечной энергии, потому что ее не имеют сами многочлены.
/
2~~з/
г
ф(2~Н
п),
то
(
/
находится
амплитуду. Если ф имеет компакті
яг.штабе &• имеется
каждом масштаое
имееіи» К вэйвлетов ф
ІІ Чтобы минимизировать число коэффициентов
Следующее
носителями ф и ф
У тверж дение 7.2 (КОМПАКТНЫЙ НОСИТЕЛЬ). Масштабирующая
функция ф имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда Һ именосители
и ф есть [JVx, N 2], то носитель ф есть
—| | | + 1)/2, (N 2 —Ш + 1)/2]
Доказательство 1. Если ф имеет компактный носитель, то так как
11Я Я1 *Ів
одим
функция
+оо
һ[п]ф(і —п).
п = —оо
Если
компактный носитель. Мы не приводим здесь этого доказательства.
(7.79)
7.2. Классы вэйвлет-базисов
265
Чтобы связать носители ф и Һ, мы предполагаем, что /г[гг] отличен от нуля
при Ni < п < N2 и ч т о ф имеет компактный носитель [Ki, К 2]. Носитель ф(Ь/2)
есть ]2К\, 2К2\. Сумма в правой части (7.79) есть функция, носитель которой
[N i+ K \,N 2+ K 2]. И з равенства следует, что носитель ф есть [Кг, К 2] = {JVijiVa],
Напомним из (7.73) и (7.72), что
( t\
V S* Ш
1
з[п№ - п ) =
п ^ —оо
+°°
] Г ( - і ) 1-"Һ[1 - п]ф(і - п).
п = —оо
Если носители ф и Һ равняются [JVi, N 2], то сумма в правой части имеет но­
ситель, равный [Ni —N 2 + 1, N 2 —N\ + 1]. Следовательно ф имеет носитель,
равный [(iVi - N 2 + 1) / 2 , (N2 - N 1 + 1) / 2].
■
Бели Һ имеет конечный импульсный отклик в [Ni , N 2]>то в утверждении 7.2
доказывается, что ф имеет носитель размера N 2 - N 1 с центром в 1/2. Чтобы
минимизировать размер носителя, мы должны построить сопряженные зер­
кальные фильтры по возможности с наименьшим числом ненулевых коэффи­
циентов.
Носитель против моментов. Размер носителя функции и число нулевых
моментов априори независимы. Однако мы увидим в теореме 7.5, что ограничвния, налагаемые на ортогональные вэйвлеты, означают, что если ф имеет
р нулевых моментов, то его носитель имеет наименьший носитель, равный
2р — 1. Вэйвлеты Добеши оптимальны в том смысле, что они имеют мини­
мальный размер носителя при заданном числе нулевых моментов. Поэтому
при выборе конкретного вэйвлета мы приходим к выбору между числом нуле­
вых моментов и размером носителя. Если / имеет несколько изолированных
особенностей и очень гладкая между этими особенностями, мы должны вы­
брать вэйвлет с большим числом нулевых моментов, чтобы получить большое
число малых вэйвлет-коэффициентов (/, V’j.n)- Если плотность особенностей
нарастает, лучше уменьшить размер носителя ценой уменьшения числа ну­
левых моментов. Действительно, вэйвлеты, которые покрывают особенности,
имеют коэффициенты с большой амплитудой.
Построение мультивэйвлета Джеронимо, Хардина и Массопуста [190] пред­
лагает большую гибкость конструирования введением нескольких масштаби­
рующих функций и вэйвлетов. Пример этого дает задача 7.16. Между но­
сителями мультивэйвлетов и их нулевыми моментами может быть достигнут
лучший компромисс. Однако разложение по мультивэйвлетам выполняется с
помощью алгоритмов наборов фильтров гораздо более сложных, чем при стан­
дартном ортогональном вэйвлет-преобразовании.
Гладкость. Гладкость ф оказывает в основном косметическое влияние на по­
грешность, вносимую пороговой обработкой и квантованием при вычислении
вэйвлет-коэффициентов. При восстановлении сигнала по его вэйвлет-коэффициентам
-boo -foo
t."
.
jfrs—ООfl« -ОО
Глава 7. Вэйвлет-базисы
266
По « т в е, добавляемая к - Ф
взйвлет-ком понента eV'i.n восс
влет, то и погрешность
и Г т“
^
- у
Ф
% % £
™
зад ач ах кодирования изображения
чТ н “ л ^
погрешность, даже
- ^ “
Т
л0
"
Г
р”
С ^ ^ Г р ж д е н и е Ч ам и ч ьян а 1327, связывает равн.
гладкость
У т в е р ж д е н и е 7.3 (ЧА М И ЧЬЯН ). Пусть Л(ы)
ф и л ьтр с v пулям и в точке тг, который уОовле
вилл* теоремы 7.2. Выполним факторизацию
сопряженный
Ясли зирш€К lf(w)l = В , то ф и ф удовлетворяют равномерному условию Ли|
ихица ос при
(7.80)
а < ао = Р “ 1° ё 2 Р
следует из доказательства
ствуют Ci > 0 и Сг > 0 такие, что для всех иг € К
И И
<
Ш
c i ( i + M ) _p+logaB,
Н < Сг(1+|ш|)-р+1°82В- |
В
В
Тогда гладкость Липшица фЙ выводится из теоремы 6.1, которая “ок^
ег, что если / + ~ ( 1 +
< +оо, то / удовлетворяет равномерному
условию Липшица а.
.
_
Мы доказали в (7.37), что « Ш) =
Г ? ' ? * * * * Можно нро»рить, что
^ 1 + exp(i2 ” Jcj) _ 1 - ехр(ги)
11
v*>
2
т1
следовательно
,W|P
j=i
+oo іГ/о-і„Л| Ппи Ы = 0 мы ИМfrВычислим теперь верхнюю границу П і^ і
,w)I’ ^ ри w
ем h{0) = у/2, поэтому /(0) = 1. Так как һ(ш) непрерывно д и ф ф е р е н ц и р у е м о
при ш = 0 , 1{ш) также непрерывно дифференцируемо при ш = 0 . П о э т о м у мы
выводим, что существует § > 0 такое, что если Щ < I то \1{ш)\ < 1 1 Я ИСледовательно,
+оо
+00
sup И |f(2-Jo))| < sup П (1 + к |2 -^ |) < ек \
И <е fJ i
и Щ Щ
'
(7 84)
^Ш Ш Ж
Если \и\ > е, то существует J > 1 такое, что 2J хе < |cj| < 2Je) и мы раскла­
дываем
' IГгЩ
J
+00
п
i(2-ju)
4-00
= п іі(?:мі П iK2_i' Jw)i-
()
7.2. Классы вэйвлет-базисов
267
Так как supu€R |/(u>)| —В, то подстановка (7.84) при Iwl > е дает
+оо
ГГ1(2
j uj) < BJeKt = e*€2Jlog2 в .
(7.86)
i=i
Так как 2 < е 12|сс?|, это доказывает, что
Vu, <Е R
П /* 2 - 4 ,} < е “ * ( l +
і =1
Уравнение (7.81^ выводится из (7.83) и этого последнего неравенства. Так как
\Ф№*>)| = 2“1/2|Л(о; + 7г)||0(о;)|, (7.82) получается из (7.81).
■
В этом утверждении доказывается, что если В < 2Р~ 1, то а 0 > 0. Это означает,
что ф и ф равномерно непрерывны. При любом тп > 0, если В < 2р~1'~т , то
с*о > т. Следовательно, ф и ф непрерывно дифференцируемы m раз. Теоре­
ма 7.4 показывает, что число р нулей һ(ш) в точке 7Гравняется числу нулевых
моментов ф. Априори мы не гарантируем, что увеличение р будет повышать
гладкость вэйвлета, так как В может также убывать. Однако для важных се­
мейств сопряженных зеркальных фильтров, таких как сплайн-фильтры или
фильтры Добеши, В убывает медленнее, чем р; это означает, что гладкость
вэйвлета возрастает с числом нулевых моментов. Мы будем придавать особое
значение тому факту, что число нулевых моментов и гладкость ортогональных
вэйвлетов связаны друг с другом, но число нулевых моментов, а не гладкость
влияет на амплитуду
мелких масштабах
7.2.2
Вэйвлеты Ш еннона, Мейера и Баттла-Лемарье
Мы изучаем важный класс вэйвлетов, преобразования Фурье которых выво­
дятся из общей формулы, доказанной в теореме 7.3:
у/2
(v 2I /) і (\ 2І /Н ^у/2 641( т О ■
&* ( і '+»)* (I) ■
<7-87>
Ш еннона. Вэйвлет Шеннона строится из кратномасштабной
Шеннона
интервалы
Н Й Я и һ(и) Щ у/2х
]■{-*/ 2,ж/2](и) при Ш1 [—7Г,7г]. Мы выводим из (7.87), что
■ф(ш) = ^ ехр (-га;/2), если ы € [—2тт, -тг] U [тг, 2тг],
0
в других случаях
и, следовательно,
_ sin 2n(t - 1/2) sin 7r(t - 1/2)
§1 S
Im l - 1/2)
~
7r(t - 1/2)
принадлежит
ние по времени. Так как р щ | равняется нулю в окрестности и — 0, то все его
Глава 7. Вэйвлет-базисы
268
следует,
производные равны нулю в точке | = 0. Поэтому из теоремы |
Щ имеет бесконечное число нулевых моментов.
ПОИНап
Так как ф(ш) имеет компактный носитель, то мы знаем, что W )
Щ
Ш
Однако Я
убывает на бесконечности только как |
, иотоиу
точках
функция
гладким преобразованием Фурье в отличие от преоба Шеннона. Эта гладкость обеспечивает 1
М ей ер а
« ■ —
' -- » -- *'
~ V
*' ‘
w
W
разования Фурье
LnCtiVUU jrиош
--зеркальных фильтров В Ц которые принадлеж ат
ПОМОЩЬЮ
творяю т равенству
если и € [—тг/3 , 7г / 3 ],
если u) G [—тг, —2тг/3] U [2тг/3
л/2,
j о,
(7.89)
Единстненнан степень свободы - это поведение h(w) в переходной области
[_2тг/3,_7г/3] и [тг/3,2тг/3]. Фильтр такж е должен удовлетворять квадратур-
(7.90)
+ 1кш + , ) | , . 2
ному условию
1 обеспечивать С " соединения при М § л /3 и 1 1 2 * /3 , для '« т е Я .е р в ы х
точках
производных должны равняться нулю
функции, которые принадлежали оы ^ •
г 1 : -:,г^ ® 1
Мясштабноуюшая
компактный
Масштабирующая функция «ы ) = П 2 ^ h { ^ )
носитель, и можно убедиться, что
/2 ),
ф(ш)
0,
если
И < 47г / 3 ,
если
|и | > 47г/ 3
Жщ
Результирующий вэйвлет (7.87) есть
ф(ш)
О,
если
Н < 27г/3 ,
2- 1/ 2д(а»/2),
если
27г/3 < |и;| < 47г / 3 ,
2- 1/ 2 exp(-iu;/2)/i(u>/4),
если 47г/ 3 < |w| < 87г / 3 ,
О,
если
(7.92)
|ы| > 87г / 3 .
имеют
ф принадлежат С°°
_____ носитель. Так как ^(ш) В О в окрестности Ц Б 0 , то все его
производные равны нулю при и = 0 ; это доказывает, что ф имеет бесконечное
число нулевых моментов.
а
«МШШ
Если Һ принадлежит С п, ф и ф такж е принадлежат Сп. Разрывы (п + 1)-и
производной I в общем случае имеют место в точках соединения переходной
области И = 7г/3,27г/3; в этом случае можно показать, что существует та­
кое А, что
—П—1
\фШ ^ А (1 + 1*1) п
—
и
Iw l
^
\(Л
I U I4—п —1
7.2. Классы вэйвлет-базисов
269
реальное
ленное убывание может быть относительно медленным; это отражается в том
факте, что А
достаточно большое. Как следствие, вэйвлет-преобразование
Мейера в общем случае выполняется в области Фурье. В п. 8.4.2 эти вэйвлетбазисы связываются с перекрывающимися ортогональными преобразования­
ми, применяемыми в области Фурье. Можно доказать [21], что не существует
ортогонального вэйвлета из С°°, имеющего экспоненциальное убывание.
ф(і)
Рис. 7.8. Вэйвлет Мейера ф и модуль его преобразования Фурье, вычислен­
ный с помощью (7.94).
квадратурному
проверить, что Һ в (7.89) может быть определено в переходной области как
һ( ш)
V2 COS
7Г ( 3|ц>
2Р \
тг
1
при
U) € [тг/3,2тг/3],
где /3(х) — функция, которая изменяется от 0 до 1 на интервале
летворяет равенству
Vx € [0,1]
/3(х) + /3(1 —х) = 1.
(7.93)
Пример, принадлежащий Добеши [211:
(3(х) = х4 (35 - 84а; + 70а:
20а;3):
(7.94)
Результирующее һ(ш) имеет п — 3 нулевых производных при со
т г /3 , 27Г/3.
изображает
іэйвлет ф.
Вэйвлет Х аара. Базис Хаара получается из кратномасштабных кусочно­
постоянных функций. Масштабирующая функция есть ф — ljo.ii- Фильтр Л[п],
данный в (7.51), имеет два ненулевых коэффициента, равных 2-1 / 2 при п = 0
и n = 1. Следовательно,
■foo
1
1
П
1—п /і[1
£ (-1)
71=2—00
—n]0(i —n)
1
v/2
t
Глава 7. Вэйвлет-базисы
270
откуда
ф(І)
—1, если 0 < t < 1/2,
1, если 1/2 < t < 1,
0 в других точках
влетов.
1 nc
г-»-—
потому что имеет только один нулевой момент.
ф(і)
, ' -.
(7-95)
ортогональных
и гладких фуш
ф(і)
Р и с. 7.9. Масштабирующая функция ф и вэйвлет ф линейного сплайна Баттла-Л емарье.
В эй в л ет ы Б а т т л а -Л е м а р ь е . Полиномиальные сплайн-вэйвлеты, введение
Баттлом [89] и Лемарье [249], вычисляются из кратномасштабных сплайнаппроксимаций. Выражения для ф(и>) и һ(ш) даю тся соответственно
лами (7.23) и (7.53). Для сплайнов степени тп фильтр һ{ш) и е г о первы е тп
производных равны нулю при ш = 7г. Из теоремы 7.4 следует, ч т о ф имеет
тп-1-1 нулевых моментов. Из (7.87) следует также, что
// \ _ ехр(—ш / 2 ) I S2m+2{u}/2 + 7г)
Wm+1
у 5гт +2 (w) ^ 2т +2 (w/ 2 )
-Д
. Щ
вэйвлет ф имеет экспоненциальное убывание. Так как о н — полиномиаль­
ный сплайн степени тп, то он m - 1 раз непрерывно дифференцируем. Поли­
номиальные сплайн-вэйвлеты менее гладкие, чем вэйвлеты Мейера, но более
быстро асимптотически убывают по времени. При нечетных тп вэйвлет ф сим­
метричен относительно 1/2. При четных тп он антисимметричен относительно
1/2. Рис. 7.5 дает график кубического сплайн-вэйвлета ф, соответствующего
тп = 3. При тп = 1 рис. 7.9 изображает линейные сплайны ф и ф - Дальнейшие
свойства этих вэйвлетов изучаются в [93,15,125].
М §|
Э тот
7.2. Классы вэйвлет-базисоі
271
<
7.2.3
Вэйвлеты Д обеш и с компактным носителем
юэивлеты дооеш и имеют носители минимального размера для любого задан­
ного числа нулевых моментов р. В утверждении 7.2 доказывается, что вэй­
влеты с компактным носителем вычисляются с помощью сопряженных зер­
кальных фильтров для конечных импульсных откликов Һ. Мы рассматриваем
вещественные причинные фильтры һ[п]\ это означает, что Һ — тригонометри­
ческий многочлен:
N-1
һ(ч>) = у ш ь г Ч
П=0
Д ля гарантии того, что ф имеет р нулевых моментов, теорема 7.4 показы­
вает, что Һ должен иметь нуль порядка р в точке и = 7г. Чтобы построить
тригонометрический многочлен наименьшей степени, мы введем множитель
(1 + е " гш)р, который есть многочлен наименьшей степени, имеющий р нулей
п р и и = 7г:
й-
•
/
-I
■
Ңш) = у/г (
0 — tU t
‘
1
(7.96)
Трудность состоит в конструировании многочлена R(e~~%u}) минимальной
пени тп такого, что Һ удовлетворяет условию
+ Iһ(ш + тг) |2 = 2.
(7.97)
В результате Һ имеет N = тп + р + 1 ненулевых коэффициентов. В следующей
теореме Добеши [144] доказывается, что наименьшая степень R есть т = р — 1 .
Теорема 7.5 (Д
О
БЕШ
И
).
Вещественный
сопряженный
зеркальный
фильтр
А
Һ такой, что h(w) имеет р нулей в точке и = тг, имеет по крайней мере 2р
ненулевых коэффициентов . Фильтры Добеши имеют 2р ненулевых коэффи­
циентов.
Доказательство2. Доказательство конструктивно и вычисляет фильтры Добеши. Так как h[n] — вещественный, то |Л(а>)| — четная функция и поэтому
может быть записана как многочлен от cos о;. Следовательно, |Я(е“ ,и')|2, опре­
деленный в (7.96), есть многочлен от cos и, который мы можем также записать
как многочлен P(sin 2 j )
Квадратурное условие (7.97) эквивалентно равенству
(1 -
у)РР(у)
+ l f P ( 1-у) = 1
(7.99)
при любом у = sin (м/2) € {0,1]. Чтобы минимизировать число ненулевых чле­
нов конечного ряда Фурье h(u), мы должны найти решение Р(у) > 0 наимень­
шей степени, которое получается с помощью теоремы Везу для многочленов.
Глава 7. Вэйвлет-базисы
272
Т еорем а 7.6 (ВЕЗУ). § # § Ш
Ш
Ш
Ш
а Ш
Ж М В
имеющие
1 и п\ —1 такие, что
многочлены
Fi(y)Qi(y) +
Доказательство этого классического результата приводится
Qi{y) = (1 - У)Р и Q2(y) = Vя - даа многочлена степени р, не и
два единственных
1I
8
такие
(1 - у) рр Л у) + урръ(у) - 1*
Читатель может проверить, что Рг(у) —Л (1
у)
рЙ
где
к=0
многочлен
Следовательно
степени, удовлетворяющий
М иним альная ф азовая ф актори зац и я. Теперь нам надо построить многочлен наименьшей степени
Я
m
Л(е_іы) = £ r fce"ifc“ = г о П ( 1 - аме"’“ )
i
fc=0
fc=0
такой что |Д(е - <ь,)|2 = P(sin 2 (w/2)). Так как его коэффициенты вещественны
R '(e~ iw) = Я(е,ш) и, следовательно,
|Я(еg g l I Н(е-*“ )Д (
0
= I
j 1 е
V
~—
'
I Я |§ § И
(7Л02>
I
Эта факторизация получается в результате ее продолжения на всю комплексную плоскость введением переменной z = е
;
Щ
R(z)R(z~1) = rl Д (1 - akz)( 1 - a*z-1 ) - Q(z) = P ( - — ^
J • (7103)
fc==0
Вычислим корни Q(z). Так как Q(z) имеет вещественные коэффициенты, то
если Ск — корень, то с* — также корень, и так как этот многочлен — функция
z + z ' 1, то если с* — корень, то 1/ск и, следовательно, 1/с*к — также корни.
Чтобы построить R(z), который удовлетворяет (7.103), мы выберем каждый ко­
рень йк многочлена R(z) среди пары (с*, 1/с*) и включим в качестве корня ак,
чтобы получить вещественные коэффициенты. Эта процедура дает многочлен
минимальной степени m б 1 1 1 , где rjj = Q(0) = Р(1/2) = 2Р 1 Результи­
рующий фильтр Һ наименьшей длины имеет N = р + т + 1 = 2р ненулевых
коэффициентов.
.
факторизаций
единичного
dk\ < 1 [55]. В результате причинный фильтр Һ имеет энергию, м а к с и м а л ь фильтр
Добепш
сконцентрированную
порядка р.
Конструктивное доказательство этой теоремы приводит к синтезу п р и ч ш ш и го сопряженного зеркального фильтра длины 2р. В табл. 7.2 даются коэф­
фициенты этих фильтров Добеши для 2 < р < 10. В следующем утверждении
7.2. Классы вэйвлет-базисов
273
доказывается, что вэйвлеты Добеши, вычисленные с помощью этих сопряжен­
ных зеркальных фильтров, имеют носитель наименьшего размера.
У тверж дение 7.4 (ДОБЕШИ). Если ф — вэйвлет с р нулевыми момента­
ми, который порождает ортонормированный базис L2(R), то он имеет но­
ситель, размера большего или равного 2р —1. Вэйвлет Добеши имеет носи­
тель наименьшего размера, равный [—р + 1,р]. Носитель соответствующей
масштабирующей функции ф есть [0,2р —1].
Это утверждение есть прямое следствие теоремы 7.5. Носители вэйвлета и
масштабирующей функции вычисляются с помощью утверждения 7.2. Когда
р = 1, мы получаем вэйвлет Хаара. Рис. 7.10 изображает графики ф и ф при
р Ш2,3,4.
ф(і )
ф(і)
ф(і)
р= 3
р = 4
Рис. 7.10. Масштабирующая
моментами.
Гладкость ф и ф одинакова, так как ф(Ь) есть конечная линейная комби­
нация <£(2t — п). Эту гладкость, однако, трудно оценить точно. Пусть В —
suPu>€R |-R(e-ia;)|, где R(e~lu>) — тригонометрический многочлен, определенный
в (7.96). В утверждении 7.3 доказывается, что ф удовлетворяет равномерному
условию Липшица а при а < р —log2 В —1. В случае вэйвлетов Добеши В воз­
растает медленнее, чем р, и рис. 7.10 действительно показывает, что гладкость
этих вэйвлетов возрастает с р. Добеши и Лагариас [147] разработали более
аккуратную технику вычисления точной гладкости Липшица ф. При р = 2
вэйвлет ф удовлетворяет только условию Липшица 0.55, но при р — 3 он удо­
влетворяет условию Липшица 1.08; это означает, что вэйвлет уже непрерывно
дифференцируем. При больших р функции ф п ф удовлетворяют равномерно­
му условию Липшица при а порядка 0.2р [129].
Глава 7. Вэйвлет-базисы
274
п
п
.482962913145
.836516303738
.224143868042
.129409522551
р = з
.332670552950
.806891509311
.459877502118
.135011020010
.085441273882
.035226291882
р = 4
.230377813309
.714846570553
.630880767930
.027983769417
.187034811719
.030841381836
.032883011667
.010597401785
р = 5
р = 6
Р = 7
0
1
2
.160102397974
.603829269797
.724308528438
.138428145901
-.242294887066
- .032244869585
.077571493840
-.006241490213
-.012580751999
.003335725285
.111540743350
.494623890398
.751133908021
.315250351709
.226264693965
. 129766867567
.097501605587
.027522865530
.031582039317
.000553842201
.004777257511
-.001077301085
.077852054085
.396539319482
.729132090846
.469782287405
- . 143906003929
-.224036184994
.071309219267
.080612609151
-.038029936935
-.016574541631
.012550998556
.000429577973
-.001801640704
.000353713800
.054415842243
.312871590914
.675630736297
.585354683654
-.015829105256
-.284015542962
.000472484574
.128747426620
-.017369301002
-.0 4 4 0 8 8 2 5 3 9 3
.013981027917
.008746094047
- .004870352993
-.0 0 0 3 9 1 7 4 0 3 7 3
.000675449406
-.0 0 0 1 1 7 4 7 6 7 8 4
=8
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
= 10
.038077947364
.243834674613
.604823123690
.657288078051
.133197385825
-.2 9 3 2 7 3 7 8 3 2 7 9
- .096840783223
.148540749338
.030725681479
-.0 6 7 6 3 2 8 2 9 0 6 1
.000250947115
.022361662124
-.0 0 4 7 2 3 2 0 4 7 5 8
-.0 0 4 2 8 1 5 0 3 6 8 2
.001847646883
.000230385764
-.0 0 0 2 5 1 9 6 3 1 8 9
.000039347320
.026670057901
.188176800078
.527201188932
.688459039454
.281172343661
-.2 4 9 8 4 6 4 2 4 3 2 7
-.1 9 5 9 4 6 2 7 4 3 7 7
.127369340336
.093057364604
-.0 7 1 3 9 4 1 4 7 1 6 6
-.0 2 9 4 5 7 5 3 6 8 2 2
.033212674059
.003606553567
-.0 1 0 7 3 3 1 7 5 4 8 3
.001395351747
.001992405295
-.0 0 0 6 8 5 8 5 6 6 9 5
-.0 0 0 1 1 6 4 6 6 8 5 5
.000093588670
-.0 0 0 0 1 3 2 6 4 2 0 3
Таблица 7.2. Фильтры Добеши для вэйвлетов с р нулевыми моментами.
7.2. Классы вэйвлет-базисов
275
Симмлеты. Вэйвлеты Добеши очень асимметричны, потому что они постро­
ены выбором квадратного корня от Q (е”*^) в (7.102) с наименьшей фазой.
Можно показать [55], что фильтры, соответствующие квадратному корню с
наименьшей фазой, имеют энергию, оптимально сконцентрированную около
начальной точки их носителя. Поэтому они очень несимметричны, что приво­
дит к асимметричным вэйвлетам.
Чтобы получился симметричный или антисимметричный вэйвлет, фильтр
Һ должен быть симметричным или антисимметричным относительно центра
своего носителя; это означает, что h(u) имеет линейную комплексную фазу.
Добеши доказала [144], что фильтр Хаара — единственный вещественный со­
пряженный зеркальный фильтр с компактным носителем, который имеет ли­
нейную фазу. Симмлет-филътры Добеши получаются оптимизацией выбора
квадратного корня R(e~tu>) от Q(e~lUJ) с почти линейной фазой. Результиру­
ющие вэйвлеты все еще имеют наименьший носитель [—р + 1,р] и р нулевых
моментов, но они более симметричны, как это показано на рис. 7.11 при р = 8.
Коэффициенты симмлет-фильтров приводятся в WAVELAB’e. Могут быть по­
строены комплексные сопряженные зеркальные фильтры с компактным но­
сителем и линейной фазой [251], но они приводят к комплексным вэйвлеткоэффициентам, вещественная и мнимая части которых избыточны при веще­
ственном сигнале.
ф(і)
ф№)
ф(і)
ф(і)
1Л
Рис. 7.11. Масштабирующие функции и вэйвлеты с р нулевыми моментами:
первые два — Добеши, вторые два — симмлеты.
К уаф леты . Для применения в численном анализе Куафман попросил Добе­
ши [144] построить семейство вэйвлетов ф, которые имеют р нулевых моментов
и носитель наименьшего размера, но масштабирующие функции которых так­
же удовлетворяет условиям
при
1 <t к < р.
(7.104)
Такие масштабирующие функции полезны при получении точных квадратур­
ных формул. Если / принадлежит С* в окрестности 2Jn с А; < р, то разложение
Тейлора функции / до порядка к показывает, что
(7.105)
Поэтому при малых масштабах 2J масштабные коэффициенты хорошо при­
ближаются выборками сигнала. Порядок приближения возрастает с р. Допол­
276
Глава 7. Вэйвлет-базисы
нительное условие (7.104) требует возрастания носителя
результирующий
вместо
Zp
—
I
д
л
я
в
куафлет имеет носитель размера Зр —1 ■
,
Соответствующий сопряженный ф ильтр затабулирован в W aveL ab е.
А у д и о ф и л ь т р ы . Первые сопряженные зеркальные фильтры с конечным имп у іс н ы м откликом были построены в 1986 г. Смитом и Барнвеллом [317| с
■ В создания наилучшего набора фильтров д ля восстановления сигнала,
рассмотренного в п. 7.3.2. Эти фильтры удовлетворяют квадратурному уеловию \h(u)\2 + \h(u + 7г) |2 = 2 , которое необходимо и д о с т а т о ч н о д л я набора
фильтров восстановления. Однако h(0) § Щ и поэтому бесконечное произве­
дение таких фильтров не приводит к вэйвле^базису Ц Ц Вместо наложения
условий о нулевых моментах Смит и Барнвелл [317], а позднее Вайдьянатан
и Хоанг [337] сконструировали свои фильтры, уменьшая размер переходной |
области, где В Й убывает от числа, близкого л/2, до числа, близкого 0, в
окрестности точки ±тг/2. Эта связь важна при оптимизации кода преобразова­
ния аудиосигнала, как это объясняется в п. 11.3.3. Однако много каскадов этих
фильтров демонстрируют беспорядочное поведение. Фильтры ВайдьянатанаХоанга затабулированы в WAVEbAB’e. Было построено и много других ggggg
сопряженных зеркальных фильтров с конечным импульсным откликом 174,73].
Рекурсивные сопряженные зеркальные фильтры также могут быть построе­
ны [209], исходя из минимизации размера переходной области для заданного
числа нулей при 1 1 тг. Эти фильтры в случае сигналов конечной длины вы­
полняются с помощью быстрых, но непричинных рекурсивных алгоритмов.
7.3
Вэйвлеты и наборы фильтров1
Коэффициенты разложения по ортогональным вэйвлет-базисам вычисляются
с помощью быстрых алгоритмов, которые каскадами повторяют дискретные
свертки с 1 и д и осуществляют неполную выборку на выходе. Этот резуль­
тат выводится в п. 7.3.1, исходя из структуры кратномасштабных аппрокси­
маций. Прямой анализ набора фильтров выполнен в п. 7.3.2, который дает
наиболее общие условия на фильтры для точного восстановления сигнала. В
п. 7.3.3 показано, что наборы фильтров с точным восстановлением расклады­
вают сигнал по базису в 12(Z). Этот базис ортогонален сопряженным зеркаль­
ным фильтрам.
7.3.1
Быстрое ортогональное вэйвлет-преобразование
Мы описываем быстрый алгоритм набора фильтров, который вычисляет орто­
гональные вэйвлет-коэффициенты сигнала, измеренного с конечным разреше­
нием. Быстрое вэйвлет-преобразование раскладывает последовательно каж­
дое приближение P v j f на более грубое приближение P v j+i f плюс вэйвлеткоэффициенты, приноеймые P w i+i f - С другой стороны, воссоздание по
вэйвлет-коэффициентам восстанавливает каждое P v , f по P v j+i f и -Pwj+w'
7.3. Вэйвлеты и наборы фильтров
277
Так как \ф ^п }п £z и { ^ j#n}n€Z ~ ортонормированные базисы V j и W j, про­
екции на эти пространства характеризуются коэффициентами
ai
М
=
</> 0 i , n )
и
dj
[nj =
( / , % ,« ) .
Следующая теорема [253, 255] показывает, что эти коэффициенты вычисляют­
ся с помощью каскада дискретных сверток и неполных выборок. Мы обозначим
х[п] = х[—п] и
_ j х \р\> если п = 2р,
(7.106)
О,
если n = 2р + 1 .
Т ео р ем а 7 .7 (М АЛЛА). При разложении
-foo
aJ+i[p]
=
У , h[n — 2p}aj[n] = а* * h[2p],
(7.107)
n = —OO
+00
dj+i\p]
=
5 3 9 [n - 2p]aj[n] = dj * g[2p].
n=—OO
(7.108)
При восстановлении
-foo
ai\p\
=
-foo
У , h[p - 2n]aj+1[n] +
n = —OO
=
, g\p - 2n]dj+i[n]
n = —OO
(ij+ i* h \p ] + d j+ i* g\p\.
(7.109)
Доказательство 1. Доказательство (7.107). Любая <£j+i,p £ V j+i С V j может
быть разложена по ортонормированному базису {ф$,п}п& пространства Vj:
■foo
fl= —GO
С помощью замены переменных t! = 2 Ч —2р мы получаем
+°°
Щ Ш Ш :
I
III
1
,
Й Й К
/t
— 2J+ 1 p \
1
im/ t - 2 j n
t f f 1 P) ^ J ^ (
2>
dt
■foo
4= Ф( I ) 0 *(< - n + 2p) dt
— OO
1
V2
ф( ^ ) > - n + 2p)\ = h [ n -2 p \.
(7.111)
Следовательно, (7.110) означает, что
■foo
П=2~*00
Вычисление скалярного произведения / с векторами, компонентами которых
являются обе стороны этого равенства, дает (7.107).
Глава 7. Вэйвлет-базисы
278
Д оказат ельст во
ставлен как
.
_ __ч гр
,
v jl
,
a
(7.108). Так как <fo+i,p €
-foo
j+
С
V i, то он может быть пред
.J
|9
п = —оо
Я
1 1 (7 .111 ), дела» замену переменны* 1 1 Ш
1 2 р получаем, что
- Щ р .«•-+«; - ‘l"-2”!
и, следовательно,
+с©
Фэ+1,р =
Щ
Уя ,ш 8 Н |||^И
з [ та “
*
(7Л 14)
п=—оо
■
SfelSi
Взятие скалярного произведения 1 с каждой частью этого равенства
дает (7.108).
Д о к а з а т е л ь с т в о (7.109). Так как W j + i есть ортогональное дополнение Vj+1
до V i то объединение двух базисов {t/>J + i,n } n e z и | Й | i . n b e z есть ортонормированный базис V s. Следовательно, любая <t>jlP может быть разложена по
этому базису:
+ос
<f)jiP =
(Фі,р? Фэ+1 ,п)Фі+1 ,п
'
n = —оо
+оо
п = -о о
Подстановка (7.111) в (7.113) дает
»
-foo
=
г:
+ °°
һ\р —2n]^j-fi , n
n = —oo
Взятие скалярного произведения /
дает (7.109).
+
2 ^
n ——oo
””
+i,n-
с обеими частями этого равенства
~'
каждо-
ается
го второго отсчета свертки а,- с Һ и д соответственно, как это иллюстрирует
рис. 7.12. Фильтр Һ удаляет высокие частоты последовательности скалярных
произведений aj} в то время как д есть высокочастотный фильтр, который
собирает оставшиеся наивысшие частоты. Реконструкция (7.109) — это интер­
поляция. которая вставляет нули для расширения ou+i и ЩЩі и фильтрует эти
сигналы
Ортогональное вэйвлет-представлени
(/
влет-коэффициентов / при масштабах
жгимяпия ппи наибольшем масштабе 2
[{dj}b<j<j,a-j] •
(7-118)
<
J.
Оно вычисляется по
итерацией (7.107) и (7.108) при L < j
Рис. 7.7 дает численный пример, вычисленный с помощью кубического сплайн*
табл. 7.1. Исходный сигнал a i восстанавливается по этому вэйвлетпению итерацией формулы восстановления (7.109) при J > j > Щ
7.3. Вэйвлеты и наборы фильтров
279
!1
lj+2
d;j+2
(а)
Н+2
J
dj+2
(б)
Рис. 7.12. (а) Быстрое вэйвлет-преобразование вычислено с помощью каска­
да фильтров с Һ и д с последующей двоичной неполной выборкой, (б) Быстрое
обратное вэйвлет-преобразование восстанавливает одно за другим каждое aj
подстановкой нулей между отсчетами aJ+i и dj+i, фильтрацией и сложением
на выходе.
О пределение начального значения. Наиболее часто входной дискретный
сигнал Ь[п] получается из устройства конечного разрешения, которое усред­
няет и выбирает входной аналоговый сигнал. Например, CCD камера оптиче­
ски фильтрует интенсивность света, и каждый фото-рецептор усредняет вход­
ной свет по своему носителю. Если шаг выборки есть ЛГ-1 , то, чтобы опре­
делить и вычислить вэйвлет-коэффициенты, нам нужно связать с Ь[п] функ­
цию /(f) 6 V l , аппроксимированную с масштабом 2L = JV-1 , и вычислить
ai[n] =
п)- Задача 7.6 объясняет, как вычислить a i\n ] = ( / , Ф ь , п ) так,
что Ь[п] = /(•/V’- 17i).
Более быстрый и простой подход рассматривает
+оо
№ £ Цп]ф ( 2L | £ V i.
n = —OO
Так как {фь,п{і) — ШщШЩ Щ ~ П)}пег ортонормировано и 2Ь = iV—1, то
b[n] = Щ М фь'п) = N ^ 2aL[n}.
Но ф(0) =
$(£)<# = 1, поэтому
/
+00
•ОО
1
f t - N ~ xn
N
-1
dt
Глава 7. Вэйвлет-базисы
280
IS
t
гіьгпргтности
N
~
xn
по
области,
пропорциональной
-’
есть звешенное среднее / в окрестности
/ — гладкая
6[n] = JV1/2aL[n] ю f { N ~ l n).
(7.116)
t) — И
гладкая
Если xb — куафлет и f#i»*/
—*—
>*w
Т (7,105) показывает, что Щ
| | | еств приближение высокого порадка
flN -'n ).
Я
гаалы. рассмотрим сигнал / , носнтелв которого содериштся
в ' 10 11 и который приближается равномерной выборкой с шагом N • В ре­
зультате приближение a L имеет N = Я отсчетов. Этот случай „заражен в,
рис 7 7 с N = 1024. Вычисление сверток с Һ и р по абсциссам, близким к 0 и
й В й М
н м н н а в в а в в й '
--------------- 0 И П = JV —1.
другу<
. твеоүет інапил ^ п а і с ш ш
*
Эти граничные проблемы могут быть решены одним из трех подходов, опи­
/V
санных в разд. 7.5.
алгоритм
ісами, что эквивалентно
ки
,2№
.
11.
Этот
алгоритм
и
ЛОЖеНИЮ I ПО llCUHUAmcvuu»v
----- ----- *
* •
. .
___
недостаток, который состоит в получении больших вэйвлет- коэффициентов в»
границах.
Если ф симметричен или антисимметричен, мы можем использовать про­
тяжения. описанную
описанную в
цедуру отражения,
в п. 7.5.2, которая дает меньшие вэйвлет
коэффициенты на границе. Она раскладывает /
единственный
L2[0,1]. Однако мы упоминали в п. 7.2.3, что вэйвл
м іііишшшшяям
симметричный вэйвлет с компактным носителем. Сплайн-вэйвлеты высокого
порядка симметричны, но Һ должен быть усечен при вычислениях.
Наиболее эффективный граничный алгоритм описывается в п. 7.5.3, но его
выполнение более сложно. Граничные вэйвлеты, которые сохраняют свои ну­
левые моменты, конструируются так, чтобы избежать коэффициентов с боль-1—---------------------------:гладких
------------/♦
В ВЬыстрыи
—1—
мІШшІІ----------- — й помощью
алгоритм
ычислений, что
специальных граничі
и два других метода.
Һ и д имеют К ненулевых коэффициентов.
2~^.
С
соответствующими
граничными
вы
Пусть ах, — сигнал длины
‘.
__
т
if* Л
ППиіСПЛЛШ іі каждый « j
—j
- —
—------------—*
*
вычисляют aJ+i и dj + 1 по a3- за 2~j K сложений и умножений. Поэтому вэйвлетпредставление (7.115) вычисляется самое большее за 2K N сложений и умножений. Восстановление (7.109) aj по a^+i и dj+\ также получается за 2
------------ ---------------- -- ---—
— -------- ---------------сигнал ----— восстанавливаетпредставлению
В эйвлет-граф ики. Графики ф и ф вычисляются с помощью обратного вэй­
влет-преобразования. Если / = </>, то ao[n] = 5[п] и dj[n] = 0 при всех L < j 1 1
Обратное вэйвлет-преобразование вычисляет a i и (7.116) показывает, что
JV1' 2 ax,[n] « 0 (iV- 1n).
7.3. Вэйвлеты и наборы фильтров
281
Если ф — гладкая функция и N — достаточно большое, мы можем точно
восстановить график ф по а^.
Одновременно, если / = ф, то ао[п] = 0 , сЦп] = 5[п] и dj[n] = 0 при L <
j < 0. Тогда а^[п] вычисляется с помощью обратного вэйвлет-преобразования,
и iV1/ 2 ajr,[п] « ^(jV’~ 1n). Вэйвлеты и масштабирующие функции Добеши на
рис. 7.10 вычислены с помощью этой процедуры.
7.3.2
Наборы фильтров точного восстановления
Быстрое дискретное вэйвлет-преобразование раскладывает сигналы на низко­
частотные и высокочастотные компоненты с их последующей неполной двоич­
ной выборкой; обратное преобразование выполняет восстановление сигнала.
Изучение таких классических многоскоростных наборов фильтров стало глав­
ной темой по обработке сигналов в 1976 г., когда Круазье, Естебан и Галан [141]
открыли, что такие разложения и восстановления можно выполнить с помо­
щью квадратурных зеркальных фильтров (задача 7.7). Однако кроме простого
фильтра Хаара, квадратурный зеркальный фильтр не может иметь конечного
импульсного отклика. В 1984 г. Смит, Барнвелл [316] и Минтзер [272] нашли
необходимые и достаточные условия для получения точных ортогональных
фильтров восстановления с конечным импульсным откликом, которые они на­
звали сопряженными зеркальными фильтрами. Теория была дополнена биортогональными уравнениями Веттерли [338, 339] и общей теорией параунитарных матриц Вайдьянатана [336]. Мы следуем этому подходу цифровой обра­
ботки сигнала, который дает простое понимание условий, накладываемых на
сопряженные зеркальные фильтры. Более полные представления о свойствах
наборов фильтров могут быть найдены в [1, 2, 68, 73, 74].
Набор фильтров. Двухканальный многоскоростной набор фильтров свора­
чивает сигнал ао с низкочастотным фильтром h[n] ш /г[—п] и высокочастот­
ным фильтром д[п] Щ д[—п] и осуществляет неполную двоичную выборку на
выходе:
. д
ai[n] = ао * h[2n] и di[n] = а$ * д[2п].
(7.117)
Восстановленный сигнал йо получается фильтрацией дополненных нулями
сигналов с двойственным низкочастотным фильтром Һ и двойственным вы­
сокочастотным фильтром д, как показано на рис. 7.13. С учетом обозначений
ян
в (7.106) это дает
йо[п] = а \ * h[n] + d\ * g[n\.
(7.118)
Мы изучаем необходимые и достаточные условия на h, g ,h и д, гарантирующие
точное восстановление йо = аоНеполная выборка и нуль-интерполяция. Неполные выборки и растя­
жения с подстановками нулей имеют простые выражения в области Фурье.
Так как х(ш) = Y^=-<x> х [п}е~1Пи>, то ряд Фурье сигнала с неполной выборкой
у[п] = х[2п] может быть записан как
+ °°
у(2и>) =
1
^ 2 s[2n]e_,2na' = - (з(а>) + х(ш + 7r)J.
71=—ОО
(7.119)
Глава 7. Вэйвлет-базисы
282
К ом понента х (ы + 7г) создает частотное налож ение, которое должно быть убра­
но при восстановлении. *
"
Р и с . 7 .1 3 . Входной сигнал ф ильтруется низкочастотны м и и высокочастотны­
ми ф и л ьтр ам и , после чего вы полняется неполная выборка. Восстановление
осущ ествляется подстановкой нулей и ф ильтрац и ей с двойственными фильт­
рам и Һ и д.
-: ш111§Шя
П одстановка нулей определяет сигнал
х\р],
у[п] = *[п] = < -
если
если
п = 2р,
„ = 2р + 1 ,
преобразование Ф урье которого есть
+оо
у(и )=
У
х[п}е-і2тш § *(2w ).
(7.120)
п = —ОО
С ледую щ ая теорем а д ает биортогональны е условия В еттерли [339], которые
гарантирую т, что ао = &оТ е о р е м а 7 .8 (В Е Т Т Е Р Л И ). Набор фильт ров вы полняет точное восстанов­
лени е при любом входном сигнале тогда и только тогда, когда
Һ * (и) + 7t)/i(clj) + Q* {и) “Һ 7г)р(с^) — 0
(7.121)
һ*(ш)һ(ш) + д*(ш)д(ш) = 2.
(7.122)
и
Доказательство 1. Мы сначала связываем преобразования Фурье а\ и d\ с пре­
образованием Фурье ао- Так как Һ и g вещественны, то передаточңые функции
h u g соответственно равны һ(—ш) = h*(lv) и
== g*(w)- Используя (7.119),
мы выводим из определения (7.117) а\ и di, что
fii (2а;)
=
i ^ао(ад)Л*((і;) + ао(и + п)һ*(ш + 7г)^ ,
(7.123)
di(2u>)
=
^ (ао(и>)д* (ш) + ао(а> + n)g*(uj + 7г)).
(7.124)
Выражение (7.118) для ао и свойство подстановки нулей (7.120) также означа­
ют, что
л
^
^
■
v
do(cj) = а\(2и))һ{ш) + d\(2ui)g(<jj),
(7.125)
Следовательно,
Я
+
7.3. Вэйвлеты и наборы фильтров
283
Чтобы получить ао = do при всех ао, фильтры должны убрать член нало­
жения а о ( и + 7г) и гарантировать единичное усиление &o(cj), что доказывает
справедливость уравнений (7.121) и (7.122).
И
В теореме 7.8 доказывается, что фильтры восстановления Һ и д полностью
определяются фильтрами разложения Һ и д. В матричной форме эти условия
могут быть переписаны в виде
h(u)
h (u +
д(и +
7г)
2
о
Һ (и)
X
7г)
5 М
(7.126)
Обращение этой 2 x 2 матрицы дает
д(ш +
2
Һ (и)
(7.127)
А
Л (ш + 7г)
Д(ы)
Г И
7г)
где А (о») есть определитель
(7.128)
A(u>) = h(u>)g(u> + 7г) —h(u> 4- тт)д(ш).
Фильтры восстановления устойчивы, только если определитель не равен нулю
при всех ш е [—7Г, 7г]. Вайдьянатан [336] распространил этот результат на мноМ каналов
фильтро
что результирующие матрицы фильтров обладают свойствами параунитар­
ности [73 (книга)].
К о н е ч н ы й и м п у л ь с н ы й о т к л и к . Когда все фильтры имеют конечный им­
пульсный отклик, определитель А(ш) мОжет быть вычислен. Это устанавли­
вает более простые связи между фильтрами разложения и восстановления.
Т ео р е м а 7.9. Фильтры точного восстановления удовлетворяют равенству
h*(u>)h(w) + h*{u + n)h(w +
7г)
(7.129)
= 2.
Д л я фильтров с конечным импульсным откликом существуют а € R и I € Z,
такие что
д(ш) = ae~^2l+1)wh (ш + -п)
и
|(ы ) = а 1е 1(21+1)шҺ* (ш + п ) .
(7.130)
Доказательство1. Уравнение (7.127) показывает, что
Һ (ш)
№jgjH
2
Д(“>)
ІШ Ш Ш
и
9
(w )
2 г/
Д(ш)
п ( и + 7Г).
(7.131)
Следовательно,
A(w)
(w + 7r)/i(u; + 7r).
Из определения (7.128) следует, что Л (и + 7г)
в (7.122) дает (7.129).
(7.132)
Д(о>). Подстановка (7.132)
Глава, 7. Вэйвлет-базисы
284
есть
кр(±ггш). Поэтому детерминант Д(и>), определенный фор­
се конечный ряд. Более того, из (7.131) следует, что Д~ Ж
ь конечным рядом. Конечный ряд по ехр(±гпш), обратный
конечный ряд, должен иметь один член. Так как Д(и) =
______ uouPTHWM. Это доказывает, что cv*—» V.
1
/>
—
ществуют I Ш% и ol С К такие, что
А(и) щ —2аехр[г(2/ + 1)И*
(7.133)
Подстановка этого выражения в (7.131) давт (7.130).
М ножитель 1 1 коэффициент усиления, который принимает обратные значе­
ния для фильтров разложения и восстановления, и IЩ обратный сдвиг. Мы
обычно кладем а = 1 и I = 0. Во временной области (7.130) могут быть переписаны как
'
5[n] I ( - 1 ) 1_ПЯ[11 1
Д ве пары фильтров (h,g) и Щ
И д[п] I ( - l ) 1-n/i[l I Ш
(7-134)
играют симметричную роль и могут быть
обратимы.
ДЯ
С о п р я ж е н н ы е з е р к а л ь н ы е ф и л ь т р ы . Если мы полагаем, что фильтр раз­
ложения Һ равняется фильтру восстановления Һ, то (7.129) — это условие Сми­
та и Барнвелла [316] и М интзера [272], которое определяет сопряженные зер­
кальные фильтры
А
щ й I Щ К ir)i 1
1
,
На
,
Оно идентично условию (7 .34 ) на фильтр, которое требуется для синтеза орто­
гональных вэйвлетов. Ниже доказывается, что оно такж е эквивалентно свой­
ствам дискретной ортогональности
7.3.3
Биортогональные базисы 12(Z)
2
Разложение дискретного сигнала по многоскоростному набору фильтров ин­
терпретируется как разложение в базисе 12(Z). Заметим сначала, что низкоча­
стотные и высокочастотные сигналы, вычисленные с помощью (7.117), могут
быть переписаны как скалярные произведения в I2 (Z ):
#
+00
ai[l\
=
Iffi
=
V a0[n]/i[n - 2/] = (a0[n], һ[ті - 21]),
n=—OO
•foo
■ a0[n]g[n - 21] = (aQ[n], g[n - 21]).
(7-136)
(7.137)
n = —OO
Сигнал, полученный с помощью фильтров восстановления, есть
-foo
°o[n] = ^ ai[Z]h[n - 21] -f £
di[l]g[n —21].
|=г—ОО
/= —ОО
+00
(7.138)
7.3. Вэйвлеты и наборы фильтров
285
Подстановка (7.136) и (7.137) дает
+оо
+оо
a o N = X ) </№ . М* “ 21Ш п - 2/] + £
/ = —ОО
(f[k],g[k - 2 1])д[п - 21].
(7.139)
/ = —оо
Мы определяем разложение ао по двойственным семействам векторов {Д[п —
21], д[п —2/]}j€z и {h[n —2Z], <7(71 —2Z]}/€z- В следующей теореме доказывается,
что эти два семейства биортогональны.
Т ео р ем а 7 .1 0 . Если һ, д, Һ и д — фильтры точного восстановления, пре­
образование Фурье которых ограничено, то {h[n - 2l\,g[n - 2Z]}/€Z и {h[n 22], <7[п —2/]}/ez
биортогональные базисы Рисса 12 (Z).
Доказательство2. Чтобы доказать, что эти семейства биортогональны, мы
должны показать, что для всех п £ Z
(h[n], h[n —22])
(яЫ, g [ n - 2l\)
=
=
6[l]9
<5[2]
(7.140)
(7.141)
и
(Л[п], </[n - 2/]) I (g[n], h[n - 21]) = 0.
Для фильтров точного восстановления из (7.129) следует, что
1
(һ*(ш)Һ(ш) + Һ* ( и + 7r)h(u + 7г)^ = 1.
(7.142)
2
Во временной области это уравнение принимает вид
-foo
h * h[2l] ав
Л[га]Л[п —21] = 5[2],
(7.143)
А;=—оо
который подтверждает (7.140). Такое же доказательство, как при (7.129), по­
казывает, что
2 (ff*(w)|(w) +5*(w + 7г)|(ш + тг)) = 1.
Во временной области это уравнение дает (7.141). Из (7.127) также следует,
что
2 \ р т(ш) Н ш) +
+ 7r)J = 0
и
— — —
2 (fc*M fl(w ) + Һ*{и +
+ 7 r)j = 0.
Обратные преобразования Фурье от этих двух уравнений дают (7.142).
Чтобы закончить доказательство, нужно показать, что существуют гра­
ницы Рисса, определенные в (А. 12). Читатель может проверить, что это яв­
ляется следствием того факта, что преобразование Фурье каждого фильтра
ограничено.
|__
Ортогональные базисы . Базис Рисса ортонормирован, если двойственный
базис тот же самый, что и исходный базис. Для наборов фильтров это означает,
что Һ В Һ и д Шд> Тогда фильтр Һ есть сопряженный зеркальный фильтр
|/i(cj)|^ + \h(u) + 7г)р = 2.
(7.144)
В результате семейство {/i[n —22], p[n —22]}/ez есть ортогональный базис 12(Z).
Глава 7. Вэйвлет-базисы
286
в сопряженных зеркальных
______________ 2 /ТЕР\ П л ііт/w ФЛі
ортогональныхг
tdob пооше, нем iiuw uw nnv
--------д Г ж и ы беспокоиться о непрерывных „ременных моделях взйвлетов, когда в
Н
случае все вычисления дискретны и основываются на сопряженных
зеркальных фильтрах? Смысл состоит в том, что сопряженные зеркальные
ф и ^ р ы наиболее часто используются в наборах ф ильтров, которые каска,
дом повторяют несколько уровней фильтрации и неполной выборки. Позтоиу
^
________ « тз ттопопр няпппа
тфильтров
и л ь т п г т лпя
набора
ЬСДСПіі^ іш ш л
ыходе низкочастотного ф ильтра Л. раскладывается и давэйвлетов сигнал
лее, в то время ка* I сигналом на выходе высокочастотного фильтра д згого
не происходит; зто иллюстрируегси рис. 7.12. Предположим, что ЛГ - шаг
........... ....""скретного сигнала. Мы обозначим этот дискретный Щщ
х g
На глубине j - L > 0 этого дерева набора
нал
ный сигнал 1 и высокочастотный сигнал 1 могут быть
переписаны в виде
aj[l] = aL * 4>j[2j ~Ll] = ( o l N , Фі\п - 23 Ll\)
dj[l] = aL * 4>j[2j ~Ll] = (аь[п],Ф М - 23~ Ll]).
И
Преобразования Фурье этих эквивалентных фильтров равны
j —L —2
j-L -l
fa (W) =
И
и Ф№ ) = d W L М Д
һ(2рш).
(7.Ш)
р=о
р =0
■
Дерево набора фильтров на глубину J - L > 0 расклады вает о/, по семей­
ствам векторов
j[n — 2J Ll]}
Л Ь [ г 1 - 2 > Ll
leZ I
(7.146)
J L< j< J,l€Z
зеркальных фильтров
есть ортогональный базис I2 (Z). Эти дискретные векторы близки к равномер­
ной выборке непрерывных масштабирующих функций ф}(t) — 2 3' ф{2 Ч) и
вэйвлетов ipj{t) = 2~3^2ф[2~Н). Когда число последовательных сверток L - j
возрастает, то можно убедиться, что фj [гг] и V 'jN сходятся соответственно к
iV-1/,20j(iV -1 n) и N ~ 1/ 2ф j(N ~ 1n). М ножитель JV-1 / 2 нормирует 12(Z) — нор­
му этих отсчитанных значений функций. Если L —j — 4, то ф] [п] и ф] [п] уже
очень близки к этим предельным значениям. Поэтому импульсные отклики
ремеф^ [п] и фj [тг] набора фильтров го
ни масштабирующим функциям
зеркальным фильтрам
для понимания применений этих наборов фильтров. 1 л. о
т более общие наборы фильтров с базисами вэйвлет-пакетов.
фильтры разложения и восстановления набора фильтров различны,
>тирующий базис (7.146) не ортогонален. Устойчивость этого дискретуменьшается ппи н тп агтян и и глубины J —L набора
фильтров
мени вэйвлет ф(Ь) порождает базис Рисса пространства L3(R).
287
7.4. Биортогональные вэйвлет-базисы
7.4
Биортогональные вэйвлет-базисы
2
Описываются свойства устойчивости и полноты биортогональных вэйвлетбазисов для фильтров точного восстановления Һ и Һ, имеющих конечный им­
пульсный отклик. В п. 7.4.2 дается описание вэйвлетов с линейной фазой и
компактным носителем.
7.4.1
Построение биортогональных вэйвлет-базисов
Бесконечный каскад фильтров точного восстановления (Һ, д) и (Һ, д) дают две
масштабирующие функции и два вэйвлета, преобразование Фурье которых
удовлетворяют равенствам
ф(2ш)
=
-^=һ(и>)ф(ш),
ф(2ш) sf -^=һ(и)ф(іо),
(7.147)
2ш)
=
-~д(ш)ф(и}),
ф(2ш) = -дд(ш)ф(ш).
(7.148)
Во временной области эти соотношения принимают вид
+°°
ф(і)
ф(і)
=
=
Н~оо
у/2 ^ 2 һ[п]ф(2Ь —п),
h[n\4>(2t —п), (7.149)
ф(і) = у/2
7 1 = —ОО
7 1 = —ОО
+оо
+ оо
д[п]ф{2і - n),
у/2 V
n = —oo
^ (t) =
у/
- n). (7.150)
2
n = —oo
Условия точного восстановления даются теоремой 7.9. Если мы пронорми­
руем усиления и сдвиг, положив а = 1 и I = 0, то фильтры должны удовлетво­
рять условиям
^
һ*(ш)һ(и) + һ*(ш + п)һ(ш + 7г) = 2
(7.151)
и
р(а;) = е ^ һ (и + 7г),
д{и) = е lw/i*(a; + 7г).
(7.152)
Вэйвлеты должны иметь нулевое среднее значение V»(0) = ф(0) — 0. Это
получится, если положить (/(О) = д( 0) = 0 и, следовательно ,^/і(7г) = һ( 7г) = 0.
Условие точного восстановления (7.151) означает, что h*(0)h(0) = 2. Так как
оба фильтра определены с точностью до постоянных множителей, соответ­
ственно равных Л и А""1, мы выбираем Л так, что /і(0)_= һ( 0) = \/2.
В последующем мы также предполагаем, что Һ и Һ фильтры конечного
импульсного отклика. Можно доказать [21], что
*
?/ \ ГТ h(2~pu))
? (« ) = I I
/х -Р=1
^
J / л ГТ ^(2-Pw)
и ф(ш) = I I -----7=—
р =1
(7.153)
^
е обобщенных функций с компакті
функции
наложены
Глава 7. Вэйвлет-базисы
288
для гарантии того, что ф и ф - преобразования Фурье фуныдай
энергией. Следующая теорема дает достаточные условия на филь
восстановления для
И111
Л н ДО БЕШ И , ФОВО). Предположим, что существуют
положительны тригонометрические многочлены Р ( е - ) и Р (е -) такие, что
+ [ л ( ^ + т ) | ? ( е і<“/І+ ,> )
=
2 П е “ )'
(м м )
=
2Р І Щ
(7.155)
и Р и Р — единственны (с точностью до нормировки).
.
Предположим, что
л
ЯН
inf
|һ(ш)| > 0,
inf
|/»(w)| > 0.
w e [ - i r / ,ir/ ]
2
(7.156)
ы б [- г/ , г/ ]
2
1
2
1
2
Тогда функции ф и ф , определенные в (7.153), принадлежат La(R), и ф,
ф удовлетворяют биортодональным соотношениям
Ш ) , <j>{t - п)} = 6[п].
(7-157)
• Д ва семейства вэйвлетов {^ ,п }(* п )е z и { Ф } (j,n)eza образуют биорто­
гональные базисы Рисса L2(R).
Р ій р й І І
7
Доказательство этой теоремы приводится в [13] и [21]. Условия (7.156) нала­
гаются также теоремой 7.2, которая строит ортогональные базисы масштаби­
рующих функций. Условия (7.154) и (7.155) не присутствуют при построении
ортогональных вэйвлет-базисов, потому что они всегда удовлетворяются при
Р (еіш) = Р [е іш) = 1, и можно доказать, что константы — единственные инваг
риантные тригонометрические многочлены [247].
'7'"
Биортогональность означает, что для любых ( j , j \ n , n f) € Z
(V'j.n,
= %
- ЫЩ “ Я-
(7-158)
Любая функция / € L2 (R) имеет два возможных разложения по этим базисам:
;IV
4-0©
/=
*fOO
=
У\
n j e —ОО
У]
П
иЛі,п)Ф і,п-
(7.18І|
OO
Устойчивость Рисса означает, что существуют А > 0 и В > 0 такие, что
+оо
Айр < V00 I</,fe)I2<вц/ір,
іЯ
1 .„о
g il/f
І Я
_
<
^
£
r *
_1
l ( / .4 ,n ) P s 4 m -
7.4. Биортогональные вэйвлет-базисы
289
М ультиразреш ения. Биортогональные вэйвлет-базисы связаны с кратно­
масштабными (мультиразрешающими) аппроксимациями. Семейство {$(£ —
тг)}nez есть базис Рисса порождаемого им пространства Vo, тогда как {4>(t —
n)}n€z есть базис Рисса другого пространства Vo- Пусть V j и Vj — простран­
ства, определенные соотношениями
Щ € Vj
f(t)eVj
&
f(2*t) € Ve,
f (2H) € V 0.
Можно убедиться, что {V j }j ez и {V j}jez ~ две кратномасштабные аппрок­
симации L 2(M). Для любого j е Z семейства {^ ,„ }nez и {<t>j,n}n <=z — базисы
Рисса Vj и V j. Растянутые вэйвлеты {V'j.njncz и {i/>j,n}nez — это базисы двух
пространств подробностей сигнала W j и W j таких, что
V j ф W j = V j_!
и Vj 0 W j = V j_ i.
Биортогональность вэйвлетов разложения и восстановления означает, что W j
неортогонально V j, но ортогонально V j, тогда как W j неортогонально V j, но
ортогонально V j.
Б ы с т р о е биортогональное вэйвлет-преобразование. Набор фильтров
точного восстановления, изученный в п. 7.3.2, выполняет быстрое биорто­
гональное вэйвлет-преобразование. Для любого входного дискретного сигна­
ла Ь[п], выбранного с шагом N ~ x = 2L, существует / | V L такая, что
«х,[тг] = (/, Фь,п) — iV-1 / 26[n]. Вэйвлет-коэффициенты вычисляются последо­
вательными свертками с Ни д. Пусть a j [тг] = (/, |Щ и dj[n\ = (/,
. Следуя
теореме 7.7, можно доказать, что
р
аі+ і{п} = Oj * /г[2п],
dj+1[n] = aj * д[2п\.
(7.162)
Восстановление выполняется с помощью двойственных фильтров Һ и д:
aj[n] = aj + 1 * /г[тг] + dj+i
(7.163)
Если щ содержит N ненулевых отсчетов, биортогональное вэйвлетпредставление {{d j}L < j< j,a j\ вычисляется за 0 ( N ) операций, итераци­
ей (7.162) при L < j < J. Восстановление щ с применением (7.163) при
J > j > L требует такого же количества операций.
7.4.2
Свойства биортогональных вэйвлетов2
Размер носителя, число нулевых моментов, гладкость и симметрия биортого­
н ал ь н ы х вэйвлетов определяются соответствующими свойствами Һ и Һ.
Носитель. Если фильтры точного восстановления Һ и Һ имеют конечный им­
пульсный отклик, то соответствующие масштабирующие функции и вэйвлеты
также имеют компактный носитель. Как и в п. 7.2.2, можно показать, что если
Глава 7. Вэйвлет-базисы
290
Я I |И
соответственно при
Ж
һ[п\ и h[n] не равны нулю
равные [JVb N 2] и
ф и ф имеют носители, соответственно
д\п] = ( - 1 )
то носители
1—п /г[1
-п ]
и
( - 1)
д[п]
1 —П
1 В? Я I В Я
Так как
7г[1 —гг],
ф ш ф , определенные в (7.150), соответственно равны
щ - Я Я1 II I В § 1
(7.164)
iVx -JVa + l N 2 - N x + l
и
2
2
2
2
L
Таким образом, оба вэйвлета имеют носители одинакового размера, равнош
I
N 2 - N i + N
2
-
(7.165)
І І
2
Ф
Ф
Фурье удовлетворяют равенству
эт0
эквивалентно
следует, что это эквивалентно
Щ 1 1 И при 1 1 1 В
ментов, если производные его р
P
■ф(к) (о) й 0 при I < р. Так как ф(0)
һ*Ш 1 vr),
тому, что |( t | имеет нуль порядка 1 при 1 1 0. Так как | | | | = |
7г. Одновременно,
то это означает, что j § § имеет нуль порядка | при■
7Г.
число нулевых моментов § равняется р, числу нулей Щ при |
Гладкость
связана с их нулевыми мо-
« Г Г 'г д а т ь
биортогональных
ф и 1 одна и та же, потому что (7.150) показывает, что
Щ - это линейная конечная комбинация вдвинутых ф. У твеР ^ Й ^ й
„ а 7 3 дает достаточное условие дай оценки этой гладкости. Если Ы Я имеет
нуль порядка | в точке тг, мы можем выполнить факторизацию
В
h(u)
—
гы
1+ е
2
«И
(7.166)
SUpwG[_7r7rj |f(cj)|. В утверждении 7.3 доказывается, что ф удовле
Пусть В
творяет равномерному условию Липшица р при
X A J
w
—1—
ж
Ж VI# S _ |
#• | * » J
'
4
a < Но = Р Я log2 В — 1.
Ф
Ф
возраыасх о
----*----г ----- _ _ "
_
„„„л uurJlV
но можно показать, что гладкость ф и ф возрастает с р, которое равноч |
нулевых моментов ф_. Если h u h имеют различное число нулей в точке ,
тогда свойства ф и ф могут быть очень различны.
:
7.4. Биортогональные вэйвлет-базисы
291
У п о р я д о ч ен и е в эй в л ет о в . Так как ф и ф могут не иметь одинаковую глад­
кость и одинаковое число нулевых моментов, то две формулы восстановления
' ;■ ..: СдД: ■
4-00.
f
=
(/.
,
(7.167)
-foo
- '
/
Ц
Ц
=
Ц
П^*а—0О
(7.168)
Щ
-,
V*
не эквивалентны. Разложение (7.167) получается с помощью фильтров (һуд)
при разложении и фильтров (һ,,д) при восстановлении. Обратная форму­
ла (7.168) соответствует (Л, д) при разложении и (һуд) — при восстановлении.
Чтобы получить малые коэффициенты в областях гладкости сигнала, мы
должны вычислить скалярные произведения, используя вэйвлет с наиболь­
шим числом нулевых моментов. Тогда восстановление выполняется с дру­
гим вэйвлетом, который в общем случае более гладкий. Если к вэйвлеткоэффициентам добавляются погрешности, например при квантовании, тогда
гладкий вэйвлет при восстановлении дает гладкую погрешность. Число нуле-
вых моментов ф равняется числу р нулей функции Һ, в точке 7г. Увеличение
р увеличивает также гладкость ф. Таким образом, лучше использовать Һ при
разложении и Һ при восстановлении, если Һ имеет меньше нулей в точке 7Г,
чем Һ.
Симметрия. Можно построить гладкие биортогональные вэйвлеты с ком­
пактным носителем, которые либо симметричны, либо антисимметричны. Это
невозможно для ортогональных вэйвлетов, кроме частного случая базиса Хаара. Симметричные или антисимметричные вэйвлеты получаются с помощью
фильтров точного восстановления, имеющих линейную фазу. Если Һ и Һ име­
ют нечетное число ненулевых отсчетов и симметричны относительно п = 0, то
читатель может убедиться, что ф и ф симметричны относительно t = 0, в то
время как ф и ф симметричны относительно сдвинутого центра. Если Һ и Һ
имеют четное число ненулевых отсчетов и симметричны относительно п = 1/2,
то ф(і) и ф{І) симметричны относительно t = 1/2, в то время как ф и ф анти­
симметричны относительно сдвинутого центра. Когда вэйвлеты симметричны
или антисимметричны, вэйвлет-базисы по конечным интервалам строятся с
помощью процедуры отражения в п. 7.5.2.
7.4.3
Биортогональные вэйвлеты
с компактным носителем2
Мы изучаем свойства биортогональных вэйвлетов с наименьшим носителем
при определенном числе нулевых моментов. Симметричные или антисиммет­
ричные биортогональные базисы сплайн-вэйвлетов строятся с помощью тех­
ники, введенной в [131].
Глава 7. Вэйвлет-базисы
292
Д О Б Е Ш И , Ф О В О ). Биорт огональны е вэь
носитель
гЬ соот вет ст венно с р u p нулевы м и
к
меньше р + р - 1. КДФ (по первым буквам фамилий авторов) биортогоиалъ**'
Г
___ - Ч ____ /ю- тпя кЛРПП Г) -4- Т) ------------ 1 .
им ею т
• Ш "Ш Э Ш І
следует тому же подходу.
™ “
рТмытДобеши 7.5. Можно убедиться, что р и р с необходимостью равноценньь Мм соср^оточимси на ф и льтра,
или
относительно п
Мы можем совершить факторизацию
S
1
й(ш)
=
л/2 ехр f
2
щ
тр- I (cos —I L ( cosoj),
(7.170)
где j J 0 при I и I четных и В 1 при нечетных значениях. Пусть 1 1
Условие точного восстановления
,т
Һ*(ы)Ци) + ҺГ{ш + 7Г)Һ(ш + тг) = 2
§
J11Ц ^ И
L(cosw)L(cosw) | p (s in 2 Щ ,
принимает вид
1 р)/2.
(7171)
Р(у)
должен
удовлетворять
при
всех
у
€
[0,1]
условию:
где многочлен
(1 - У)9Р(У ) + УдР ( 1 I l f ) 3 1
(7172)
Мы видели в (7.101), что многочлен наименьшей
этому уравнению, есть
<7173>
L__ _
. - а
,
.
Спектральная факторизация (7.171) решается с помощью рассмотрения корней
так же, как и в (7.103). Следовательно, результирующий минимум носителя^
и ф, определенный формулой (7.165), равняется р + р — 1.
Б и о р т о г о н а л ь н ы е с п л а й н - в э й в л е т ы . Д авай те вы берем
|g
һ(ш) I V 2 e x p ( :~ - \ ( c o s ^ ) P,
9 ш
0
при
четном
р
и
1
=
1
при
р
нечетном.
Т
огда
масштабирующая
где e
/ l -Г І Г П \
_______ ____________________ . 4 « „ т г п Д т т Л Г Г О П Р Н И Т) — 1
базисны
й
ф у н кц и я,
ieu>\ ( sin(u;/2)
ЯИЯ 1 Ш М
Й■
Щ
Т ак к а к ф есть линейная комбинация базисны х сплайнов ф(2t
п), то это
полином иальны й— ------------7’
'
Ч и сло нулевы х моментов р вэйвлета ф есть свободный парам етр, имеющи
ту ж е четность, что и р. Пусть q = (р + р ) / 2. Б и ортогон альн ы й фильтр
•
^
V*
Truitt /Чі
~
~
~
Ғ
~
т
:і^ПтігIп
т
і
ш
Ш
і
Г
і
'47Т
м
ъя
-
-------
7.4. Биортогональные вэйвлет-базисы
293
наименьшем длины получается в результате того, что L(cosu>) = 1 в (7.169).
Поэтому формулы (7.171) и (7.173) нам дают
И 5v ^ P | S
0
1 ,-1
2 ,- 2
3 ,- 3
4 ,- 4
0,1
-1 ,2
- 2 ,3
-3 ,4
- 4 ,5
-5 ,6
- 6 ,7
-7 ,8
Р,Р
434
I II
п
р= 3
р= 7
ІІР Й
к=0
" ~ 1 + к ) ( * > |) “
/г[гг]
Л[п]
0.70710678118655
0.35355339059327
0.99436891104358
0.41984465132951
-0.17677669529664
-0.06629126073624
0.03314563036812
0.53033008588991
0.17677669529664
0.95164212189718
-0.02649924094535
-0.30115912592284
0.03133297870736
0.07466398507402
-0.01683176542131
-0.00906325830378
0.00302108610126
(7.175)
Таблица 7.3. Фильтры точного восстановления Һ и Һ для сплайн-вэйвлетов с
компактным носителем; h u h имеют соответственно р и р нулей при ш ~ тт.
Эти фильтры удовлетворяют условиям теоремы 7.11 и поэтому порождают
биортогональные базисы. Табл. 7.3 дает коэффициенты фильтров при р = 2,
р — 4 и р = 3,р = 7. Результирующие вэйвлеты и масштабирующие функции
показаны на рис. 7.14.
Фильтры близкой длины . Биортогональные фильтры Һ и Һ наиболее близ­
кой длины получаются факторизацией многочлена P(sin2 Ц в (7.171) с помо­
щью многочленов L(cosu;) и Z(cosw) близкой'степени. Имеется конечное число
возможных факторизаций. При q = (р + р)/2 < 4 единственное решение есть
L{ cosa») = 1. При <7 = 4 имеется одна нетривиальная факторизация, и при q — Ъ
— две. Табл. 7.4 дает результирующие коэффициенты фильтров Һ и Һ наибо­
лее близкой длины, вычисленные Коэном, Добеши и Фово [131]. Эти фильтры
удовлетворяют также условиям теоремы 7.11 и поэтому определяют биортогои вэйвлетов, соответствующих р = р = 4. Эти двойственные функции близки
друг другу; это указывает на то, что этот базис почти ортогональный. Такое
специфическое множество фильтров часто используется при сжатии изобра­
жения. Квазиортогональность гарантирует хорошую численную устойчивость,
а симметрия позволяет использовать процедуру отражения из п. 7.5.2 на гра­
ницах области. Имеется также достаточно нулевых моментов для получения
Глава 7. Вэйвлет-базисы
294
Я
ф(і)
Щ
ш .
I
щ
1
0.5
-0.
ш
Шй
1
-1
-
-2
-4
2
-2
4
Р ис 7.14. Биортогональные сплайн-вэйвлеты и масштабирующие фующии с
компактным носителем, соответствующие фильтрам табл. Ц
шш
ф(і)
■
Шт.
Ш)
Р и с . 7 .1 5 . Биортогональные вэйвлеты и масштабирующие функции, вычис­
ленные с помощью фильтров табл. 7.4 с р = 4 и р = 4.
П |Я Н Ш
эйвлет-коэффициентов
в
областях
гладкого
изображения.
Как
скоималых
струировать другие биортогональные фильтры с компактным носителем,
i Y l G W J L u r n
—
-------------- J.
i
'
.
-
-V
тивно обсуждается в работах [131, 340].
7.4.4
Улучшенные (лифтинг) вэйвлеты
■
л
S
tK
,
„j |||
Улучшение (лифтинг) — это элементарная модификация фильтров Щ ||||
восстановления, которая применяется для улучшения свойств вэйвлетов.
также приводит к быстрому многофазному выполнению разложений с пом
щью наборов фильтров. Схема улучшения (лифтинг-схема) Свелденса [ .
324] не основывается на преобразовании Фурье и поэтому может стро
вэйвлет-базисы по неинвариантным относительно сдвига областям, таким
ограниченные области или поверхности из Rp. Внимание в этом разделе соср*
доточено на основных идеях, технические детали опущены. Доказательств
предоставлены читателю.
7.4. Биортогональные вэйвлет-базисы
п
/г[п]
Л[п]
0
-1 ,1
-2 ,2
- 3 ,3
-4 ,4
0.78848561640637
0.41809227322204
-0.04068941760920
-0.06453888262876
0
0.85269867900889
0.37740285561283
-0.11062440441844
-0.02384946501956
0.03782845554969
0
-1 ,1
-2 ,2
- 3 ,3
- 4 ,4
-5 ,5
0.89950610974865
0.47680326579848
-0.09350469740094
-0.13670658466433
-0.00269496688011
0.01345670945912
0.73666018142821
0.34560528195603
-0.05446378846824
0.00794810863724
0.03968708834741
0
0
-1 ,1
-2,2
-3 ,3
-4 ,4
-5 ,5
0.54113273169141
0.34335173921766
0.06115645341349
0.00027989343090
0.02183057133337
0.00992177208685
1.32702528570780
0.47198693379091
-0.36378609009851
-0.11843354319764
0.05382683783789
0
•в
II
Р,Р
р= 4
р= S
р=5
р= 5
р= 5
295
Таблица 7.4. Фильтры точного восстановления наиболее близкой длины.
Теорема 7.11 строит биортогональные вэйвлет-базисы с компактным носителем по биортогональным фильтрам (Һ, щ Щд) конечных импульсных откли­
ков, которые удовлетворяют равенствам
һ (ш)һ(ш) + һ*(ш + 7г)/і(а> +
и
д(ш) = е~іш1* {ш + тг),
7г)
= 2
1j(u) = е~ішҺ*(ш + тг).
(7.176)
(7.177)
Фильтры h u h называются двойственными. Следующее утверждение [209]
характеризует все фильтры с компактным носителем, двойственные Һ.
У тверж дение 7.5 (ХЁРЛИ, ВЕТТЕРЛИ). Пусть h u h — двойственные
фильтры с компактным носителем. Фильтр Һ с компактным носителем
двойственен Һ тогда и только тогда, когда существует конечный фильтр I
такой, что
һ}(иі) = һ(и>) + е *шһ (oj + іг)І*(2и>)'.
(7.178)
В этом утверждении доказывается, что если фильтры (h ,g,h ,g) биортогональны, то мы можем построить новое множество биортогональных фильтров
(hl,g ,h ,g l), где
л
л
л
һ1{ш) = һ(ш) + д(ш)І*(2ш),
(7.179)
д (oj)
=
е~ш һ‘*(ш +
7г) =
д(ш) - һ(ш)1(2ш).
(7.180)
Это проверяется подстановкой (7.177) в (7.178). Новые фильтры называются
улучшенными , потому что использование I может улучшить их свойства.
Глава 7. Вэйвлет-базисы
296
Обратное
преобразование Фурье (7.179) и (7.180) дает
4*оо
fc=—оо
4-00
-м
я
Щ
И
4
n - kM -
ж
2
к=-оо
алентны
вму,wчто Щ
р
р
в
щ
я
р
!
«и»
н
а
1 1 1 1 Ш Поэтому схема улучшения создает новые семейства
-
ш
-
ные базисы Рисса 1 (Z). По
у
_ o/clWz которые также являются
{h l [n - 2j g g g H { [п
1,
Следующая теорема вьгаодит новые
биортогональными базисами
I ____ й <п іяіл и ('7.182') в масштабные
биортогональные
уравнения (7.149) и (7.150).
_
семейство
Т еорем а 7.13 (СВЕЛДЕНС). Пусть { ф Ж Ф М
*
^
___ функции «и аъіі.йЛеТПОб
Д Ш вздетое ШЦШ ttfeAfS Ш Я В
11 1
я ■
1 В к■= —оод д В
Вш = j Е Щ Ж - *>■
р184)
к=—оо
В I ill ■ ііііші
к=—оо
( 7 -ж )
.
1
Теорема 7.11 накладывает условие, что новый фильтр Й
функций ф и ф
биортогональность должна
формальном смысле. Если эти функции
биортогональные
JI у ч ш е п и с J
---- I-----------*г—
j
1 „ттт rpnnR
Процедуры конструирования вычисляют наименьшие Р ^ М®Р^
и
I
что также равно числу нулей д(и) при | = 0. Коэффициенты
функция
нулей при to —0.
^н и -ғл ад к ө еть ф и ф
птииы
---------------,
,
Гпответзуем двойственное улучшение, которое изменяет | и д вместо Һ п д. ^
фильтром
7.4. Биортогональные вэйвлет-базисы
297
д , һ . и д в формулах (7.181) и (7.182):
-foo
9LH
=
9 [п \+
h[n - 2k]L[-k],
(7.186)
д[п - 2k]L[k\.
(7.187)
к——оо
-foo
hL[n]
h[n)~ V
=
Результирующее семейство биортогональных масштабирующих функций и
вэйвлетов (</>, ф , ф ь , ф ь ) получается подстановкой этих уравнений в масштаб­
ные уравнения (7.149) и (7.150):
4-ос
/i[fc]^z,(2f —А:) —
и
= л/2
#v—
и
ФҢі)
4-оо
W
/V—
L[A:]^l (£ —/с),
(7.188)
LaJ
4-oo
<j[A;]<£L(2 * -fc),
1= V2 ^
,k==—OO
•
• \f ;gfjг
4-00
?= </>(*) + 5 " Xr[—*]0(* - A;).
(7.189)
>’. •
(7.190)
к = —оо
Последовательные итерации улучшения и двойственного улучшения могут уве­
личить гладкость и число нулевых моментов ф и ф, увеличивая число нулей
д(и) и д(и) при со = 0.
ЖЛенивые вэйвлеты. Ленивые фильтры h[n] = h[n] = 5[п] и д[п] = д[п] —
5[п —1] удовлетворяют условиям биортогональности (7.176) и (7.177). Их пре­
образование Фурье есть
һ(и>) = һ(ш) = 1 и g(cj) = д(ш) = е
(7.191)
Результирующий набор фильтров разделяет четные и нечетные выборки сиг­
нала без фильтрации. Это также называется многофазным разложением [73
(книга)]. Ленивые масштабирующие функции и вэйвлеты, связанные с этими
фильтрами, — это функции Дирака ф(Ь) = ф{І) = S(t ) и ф{і) = ф(Ь) = 5(t —1/2).
Они не принадлежат L (R), потому что д(и>) и д(и) не обращаются в нуль при
ш = 0. Эти вэйвлеты могут быть преобразованы в функции с конечной энер­
гией методом соответствующего улучшения.
Пример 7.11. Улучшение ленивого фильтра д(ш) — е~гш дает
д 1(ш) = е~ш - 1(2ш).
Irt.’.V-
г(,-
£
-.Jg-
~
4’
Г
’! - “
.-..'. К'.’
Чтобы получить симметричный вэйвлет, функция ew l( 2u>) должна быть чет­
ной. Например, простое вычисление показывает, что при 4 нулевых моментах
кратчайший фильтр I имеет преобразование Фурье
9
1
1(2ш) = е 1Ш( - cos w —- cos3w
■
8
8
Глава 7. Вэйвлет-базисы
298
Подстановка этого выражения в (7.178)
дает
hl (u) = - ^ e - 3iw +
:;
+ 1+ ^ е м -
(7.192*
^ е 3*".
Р езульти рую щ ая ф1 есть интерполяционная м асш табирую щ ая 4 > 3 ™ “ Др*
лорье-Д ю б ю ка, показанная на рис. 7.21 (б), и ф (t) - у/2ф (2
1). Эти ин­
будут
терполяционны е масш табирую щ ие ф ункции и вэйвлеты
в п. 7.6.2. Обе ф ункции | и ф1 непрерывно ди ф ф ерен ц и руем ы , но ф и | сум м ы ф ункций Д и рака. Д войственное улучш ение м ож ет преобразовать их в
ф ун кц и и конечной энергии путем создания улучш енного ф и л ьтр а д1(ш) с од­
ним или более нулями при ш = 0.
В следую щ ей теореме доказы вается, что улучш ение ленивы х вэйвлетов
это общ ая процедура конструирования ф и льтров. К онструкти вн ое доказатель­
ство основы вается на алгоритм е Е вкл и д а [148].
Т е о р е м а 7 .1 4 (Д О Б Е Ш И , С В Е Л Д Е Н С ). Любые биортогональные фильтры
(һ, д, Ш Ш м о гут быть синтезированы с помощью последовательных улучше­
н и й и двойст венны х улучш ений, прим ененны х к л е н и в ы м фильтрам (7.191),
с т очност ью до сдвига и ум нож ения на конст ант ы.
^
Б ы с т р о е м н о г о ф а з н о е п р е о б р а з о в а н и е . П осле улучш ения биортогональное вэйвлет-преобразование вы числяется с помощ ью простой модификации ис­
ходного вэйвлет-преобразования. Такое вы полнение требует меньше вычисле­
ний, чем прямое применение набора ф и льтров улучш енного вэйвлет-преобра­
зован и я. М ы обозначим
[fc] gj (/.^-,* > и 4 [Щ щ
_
Ртянияптнпр пазлож ение с помощ ью набора ф и л ьтр о в по (hl ,h ,g ,g ) вы­
числяет
4+R
I
ч-oo
, у."
X / h l [ n - 2 k ] a lj [ n ] = a lj * h l [2k],
(7-193)
7 1 = — ОО
-foo
4 + i l fcl
i
£
g[n - 2k]alj [n] = d j * g[2k\.
(7.194)
7 l = —OO
В осстановление определяется формулой
-foo
aj[n ] =
“fo o
h[n — 2k]alj +i[k] +
^
fc = -o o
9 l [n
~ 2k]dlj +1[k].
(7.195)
k = -o o
П одстановка ф орм ул улучш ения (7.181) и (7.182) в (7.193) д ает выражение,
которое зави си т только от исходного ф и л ь тр а Һ
,
-foo
аР+1[А
:]
=
i+ i
*I
::Ш ё
V
]
h[n
—
2k]al
j
[n]
=
а*
★
h[2k\,
М
7 l = — OO
плю с ком понента улучш ения, которая есть свер тка с I:
-foo
|Ш
Я
1
°%+1[к]
|
■i+1
У
п = —ОО
l [ k - n\dlj +1[n]
Ц а$+1[А:] 4- d j+ i |
Щ
7.4. Биортогональные вэйвлет-базисы
299
Эта операция легко обращается вычислением
a°j+i[k] - 4 + 1 ю - dj + i * l №
и выполнением восстановления с помощью исходных фильтров (h ,g )
•foo
dj[n\ =
-foo
һ[п —2k]a^[k] +
fc=—о о
д[п —2fc]d*-[fc].
к = —оо
Рис. 7.16 иллюстрирует это разложение и восстановление, а также выполнение
двойственного улучшения с L, которое вычисляется по формуле (7.186):
В теореме 7.14 доказывается, что любое биортогональное семейство филь­
тров может быть вычислено с помощью последовательных улучшений и двой­
ственных улучшений, примененных к ленивым фильтрам. В этом случае филь­
тры h[n] = h[n\ = 5[п] могут быть удалены, в то время как д[п\ = 5[п + 1] и
д[п] = 5{п — 1] сдвигают сигнал на один отсчет в противоположных направ­
лениях. Поэтому свертка набора фильтров и неполная выборка вычисляются
непосредственно с последующими улучшениями и двойственными улучшения­
ми многофазных компонент сигнала (нечетные и четные выборки) [73 (книга)].
Можно убедиться, что такое выполнение уменьшает число операций не более
чем в два раза [148] по сравнению с прямыми свертками и неполными выбор­
ками, вычисленными в (7.193) и (7.194).
Улучшенные вэёвлеты на произвольных областях. Процедура улуч­
шения распространяется на пространства сигналов, которые неинвариантны
относительно сдвига. Вэйвлет-базисы и наборы фильтров конструируются для
сигналов, определенных в произвольных областях D пространства Rp или на
поверхностях, таких как сфера.
Вэйвлет-базисы L2 (D) выводятся из семейства вложенных векторных про­
странств { У j } j e z , которые удовлетворяют аналогичным кратномасштабным
свойствам, как и в определении 7.1. Эти пространства строятся из вложенных
решеток выборок {G j}jЩщ содержащихся в D. Для каждого индекса j решет­
ка Qj имеет узлы, расстояние которых до всех соседей есть величина поряд­
ка 2J. Так как Gj+i содержится в Qj, мы можем определить дополнительную
решетку Cj+i, которая группирует все узлы из Qj, не содержащиеся в Qj+iНапример, если D = [О, N], то Qj есть равномерная решетка {2J,n}0<n<2- j дг.
Дополнительная решетка Cj+i соответствует {2J(2n + ljJ cK n o -j-1^- В двух
измерениях решетка выборки Qj может быть определена как узлы регуляр­
ной триангуляции D. Эта триангуляция все более уточняется разбиением с
помощью средних точек, как это иллюстрирует рис. 7.17. Такие вложенные
решетки могут быть также построены на поверхности [325].
Предположим, что {h jtk}keQj+i U {9j,m}meci+i есть базис пространства
і2№ ) сигналов с конечной энергией, определенных на Qj. Любой сигнал
Глава 7. Вэйвлет-базисы
300
I
раскладьгеается на два
aj 1 12(Gj)
gj+i и Cj+i формулами
ҮАёбі+і
<Ч+1І*1
Vm s Cj*!
J fe tN
гигнала определенных соответственно на
сигнала, опред
Т Ш Н И
I
І И
I
Ь
В
И
Н
В
И *м Н
n€Gj
Ж
|g j }
-Г/ ':-Ж
« М » -М -
Я
топы не являются свертками, потому что базисы {
Ь <=5 ^ {0,
/-.ттт>т^г,а Япггтановление выполняется с помощмо
неинвариантны относительно сдвига. Ьосста
^ Ш |Н Н Н Н |
биортогонального базиса {hjtk}keQj+i | {9j,mimecj+ 1 •
52
aj+ i[k\hj,k[n} +
aj [n]
d j+ i[m\gj,m[n).
m€Cj+i
fc€6i+
Масштабирующие функции и вэввлеты получаются каскадным примени
„нем наборов фильтров восстановления по все более мелким масштабам. В
р “ у л ь т а т е они удовлетворяют масштабным уравнениям, аналогичным (7.112)
и (7.114):
ИИ
=
<Aj+l,fc
=
.
V Һі>к[п\Фі,п,
5
2
V'j+l.m
^ ,к [ п № > >
В529і,т[п]Фьт
~
n&Qi
^ '" Ш Ж
5
2
пеб*
Һ
т
[
п
]
Ф
і
,
п
-
•
Ч 'Я
- -Я я
Эти вэйвлеты и масштабирующие функции имеют носители, содержащиеся
в D. Если они имеют конечную энергию относительно меры Ш определенн
на D, то можно убедиться, что для любого J < log2 N
• >,
'щ
І»
[{0J.fc}feeGj> {'1/’i,7n}mecj ,i> j]
и
{^J,fc}feegj)
— биортогональные базисы L2(D , d/i).
, ri_
Дискретный ленивый базис 12{Gj) состоит из функций Дирака nj<k[ \ |
5[п - к] при (fc,n) 1 dj+ 1 X Qj и 5i,m[n] I jg i 1 1 при (fe,n) а I I 1 X j l ИИ •
что этот базис ортонормирован так, что двойственный базис есть также л
вый базис. Результирующий набор фильтров просто разделяет выборки из |
на два множества выборок, которые принадлежат соответственно Qj+i | Ш
Соответствующие масштабирующие функции и вэйвлеты — это функіщи Ди­
рака, сосредоточенные на этих решетках выборки. Вэйвлеты и масштабирую*
щие функции с конечной энергией конструируются улучшением дискрет
ленивых базисов.
-у-Щ
7.4. Биортогональные вэйвлет-базисы
301
1
а#
j
(а)
1
aj+l
dL
j+l
■
p
. 7о
Рис. 7.16. (а) Улучшение и двойственное улучшение выполняются изменени­
ем исходного набора
фильтров
с
помощью
двух
улучшающих
сверток,
где
I
и
♦
L соответственно улучшающая и двойственная улучшающая последователь­
ности. (б) Обратное улучшающее преобразование удаляет улучшающие ком­
поненты перед вычислением набора фильтров восстановления.
Рис. 7.17. Черные точки — узлы решетки триангуляции многоугольной об­
ласти D. Эта решетка уточнена подразбиением, которое добавляет дополни­
тельную решетку Cj+ 1 , составленную из всех средних точек, указанных белы­
ми кружочками. Уточненная решетка есть Gj = Gj+i l)Cj+\.
Глава 7. Вэйвлет-базисы
302
Т е о р е м а 7.15 (СВЕЛДЕНС). Предположим,
.7 ,
. , гг I
_ $uopmO»OH«l>>«M 6<И“ СМ РИСОВ 1 (ft;). Л^Ш»
Г&
—— * * V* € f c +1
*U
=
Vm € Ci+i
L .
=
mGCj+i
S * --
£
*€ v>+i
:j-" -=-■■.-,?r,^
<#.
(7 J0°)
И -Э Д
биортогональные
mo
базисы Pucca
Э ти формулы обобщают инвариантное о т ^ | Щ
іе (7 181) и (7.182), которое соответствует Jj [fc, m] Н
1»
,
: к а З м і ш ^ б е 2» матрица улучшения һ I*, т ] может быть в ьЛ р » .
юизвольно Улучшенные базисы порождают новые масштабирующие Фуш|
,и и юйвлеты, которые связаны с исходными масштабирующими +У"«““ >“
вэйвлетами подстановкой (7.200) и (7.201) в масштабные уравнения (7.1*)
(7.199), вычисленные с улучшенными ф ильтрам и.
..' Ш Ш И И
ШШШШШ :)xZ^ + 1 ,т
*i€€f+i
9i,m[n Wi.n*
■
П&У;
Й +| , -
-
& М .» -
L
% *«№ <♦»*
масштабируювдие функции Фһһ ие изменяются
чтении
Алгоритм быстрого разложения по этому улучшенному базису вычисляете
помощью того же подхода, что и в ранее щученном инвариантном относятеп ьно сдвига случае. Однако
более не являются свертками. Они - линейные операторы, вычисленные с Щ
зависящие от
с нулевыми моментами мы убеждаемся, ч**
вэйвлетов
ортогональны базису
циенты l[k, т ] вычисляются решением линейной системы при всех
Щ + г ^ Р і ) - < $ +і,т>Рі> -
5Z
I
Двойственное улучшение вычисляется изменением h^j, и 9j,m вместо j,k
gj m. Это позволяет изменить
7.5. Вэйвлет-базисы на отрезке
|
303
Применения. Улучшение ленивых фильтров — это простой путь построе­
ния биортогональных вэйвлет-базисов L 2[0,1]. Можно использовать инвари­
антное относительно сдвига улучшение, которое изменяется около левой и пра­
вой границ при построении фильтров, носители которых сохраняются внутри
D = [0,1]. Коэффициенты улучшения вычисляются, как и при конструиро­
вании гладких вэйвлетов с нулевыми моментами [325]. В разд. 7.5 изучаются
другие пути построения ортогональных вэйвлет-базисов L 2[0,1].
Биортогональные вэйвлет-базисы по многомерным или ограниченным об­
ластям й р вычисляются улучшением ленивых вэйвлетов, построенных на вло­
женных решетках выборок. Улучшенные вэйвлеты на сфере находят приме­
нения в компьютерной графике [326]. В конечных двумерных областях улуч­
шенные вэйвлет-базисы используются при численном решении дифференци­
альных уравнений в частных производных [118].
Чтобы оптимизировать приближение сигналов немногими вэйвлет-коэффициентами, можно такж е построить адаптивные вэйвлет-базисы с улучше­
ниями, которые зависят от сигнала. Короткие вэйвлеты нужны в окрестности
особенностей, но более длинные вэйвлеты с большим числом нулевых моментов
могут улучшить аппроксимацию в областях, где сигнал более гладкий. Такой
базис может быть вычислен с помощью изменяющегося во времени улучшения, коэффициенты которого lj\k, m] адаптированы к локальным свойствам
сигнала [325].
7.5
Вэйвлет-базисы на отрезке2
Чтобы разложить сигналы / , определенные на отрезке [0,1], необходимо по­
строить вэйвлет-базисы L2[0,1]. Такие базисы синтезируются изменением вэй­
влетов §1тгЩ = 2 ~ ^ 2ip(2~'i t - п ) базиса {ipj,n}(j,n)ez* пространства L2(R).
Внутренние вэйвлеты
носители которых содержатся в [0,1], не меняют­
ся. Граничные вэйвлеты
носители которых перекрывают | = 0 или | =* X,
преобразуются в функции с носителем в [0,1], которые конструируются так,
чтобы иметь нужные дополнительные свойства для генерации базиса L2[0,1].
Если ф имеет компактный носитель, то имеется постоянное число граничных
вэйвлетов при каждом масштабе.
Основная трудность — это построить граничные вэйвлеты, которые сохра­
няют их нулевые моменты. Следующие три пункта описывают различные под­
ходы к построению граничных вэйвлетов. Периодические вэйвлеты не имеют
нулевых моментов на границе, в то время как отраженные вэйвлеты имеют
один нулевой момент. Специально сконструированные граничные вэйвлеты из
п. 7.5.3 имеют так же много нулевых моментов, как и внутренние вэйвлеты,
но их более сложно построить. Масштабирующие функции ф^<п также сужа­
ются на [0,1] изменением
= 2 ~ ^ 2ф(2~Н - п), связанных с вэйвлетами
Щ£п. Результирующий вэйвлет-базис L2[0,1] состоит из 2~J масштабирующих
Глава 7. Вэйвлет-базисы
304
ф у н к ц и й д л я г р у б о г о м асш таба g
ш таба
< 2J :
< 1 п л ю с 2~> в эй в л ето в д л я каждого мае-
{^°„“ }-o o < j< J ,0 < n < 2 -j] •
(7.202)
базис
ал е
р а ст я ж ен и ем в Ь - а р а з и сдви гом н а а в эй в л етов в
Щ И
Д и с к р е т н ы й б а з и с C N I Р а зл о ж ен и е си гн а л а п о вэйвлет-базису на отрезке
в ы ч и сл я ется м оди ф и ц и р ов ан и ем а л го р и т м а б ы ст р о го вэйвлет-преобразования
и з п. 7 .3 .1 . Д и ск р етн ы й си гн ал Ь[п] и з N о т сч ет о в с в я за н с аппроксимациеи
си гн а л а f І L 2 [ 0 ,1] с м асш табом Ar_1 = Щ ф о р м у л о й (7 .1 1 6 ).
■ ::/3 1
N - l ' 2b [ n ] = a L [n} = (f,cf>l™)
для
0 < п < 2
L
К о э ф ф и ц и е н т ы э т и х вэй влетов м о гу т бы ть вы ч и сл ен ы д л я м асш табов 1 > 21 >
2l . М ы полож им
I
dj[n\ — (
/
для
0< п
ШШ
(7.203)
В эй в л ет ы и м асш таби р ую щ и е ф ун к ц и и с н о си т ел ем внутри [0,1] идентич_
1
_____ Т 2 /ТП >\
I I г\г\гг\ПкЖЯЛГ Г Л Л Ф .
ф у н к ц и я м б а зи с а
в етств у ю щ и е к о эф ф и ц и ен ты a , [п] и d j [п] м о гу т бы ть вычислены с помощью
у р а в н ен и й р а зл о ж ен и я и в осстан овл ен и я , к отор ы е д а ю т с я теоремой 7.7. Одн ак о эт и ф о р м у л ы свер тк и д о л ж н ы бы ть и зм ен ен ы в б л и зи границы, где из­
м ен ен ы вэй вл еты и м асш таби р ую щ и е ф у н к ц и и . В ы ч и сл ен и я вблизи границы
за в и ся т о т сп ец и ф и ч еск ого к он стр уи р ов ан и я гр а н и ч н ы х вэйвлетов, как это
о б ъ я сн я ет ся в сл ед у ю щ и х т р ех р а зд е л а х . Р езу л ь т и р у ю щ и й алгоритм набора
ф и л ь т р о в п о -п р еж н ем у вы числяет N к о эф ф и ц и ен т о в вэйвлет-представления
П
р і
О ч У І іи і/
ЖЛ,
—-----------------• / -----------------V
[ a j , { d j } L < j < j ] Для a L з а O ( N ) оп ер ац и й .
В эй в л ет -к о эф ф и ц и ен т ы м о гут бы ть т а к ж е за п и са н ы как дискретные ска­
л я р н ы е п р о и зв ед ен и я а ь и д и ск р етн ы х вэй влетов:
\р
a j [n] = ( a L [тп], ф*™ [ш ])
и
d j [n] = ( a L М ,
М >•
(7.204)
{^,пНМ }ь < і< Л 0<п<2-і]
I
К а к и в п. 7 .3 .3 , м ы у б е ж д а е м с я , ч то
[{0 J?n[m]}o<n<2--'>
ор тон ор м и р ов ан н ы й б а зи с C N .
7 .5 .1
|
Ц
г
П ер и о д и ч еск и е вэй влеты
б а зи с { ф і n }f j n)€ z 2 п р остр ан ств а L 2 (R ) п р ео б р а зу ет ся
2
/
л я ет ся как
/ neP ( t ) =
у I
fc==—OO
f ( t + к) .
(7-205^
7.5. Вэйвлет-базисы на отрезке
305
Результирующие периодические вэйвлеты — это
f t — 23n + k \
„/.перлл
1
(t)= W
:
При j < 0 имеется 2“ -7 различных ф*** с индексами 0 < п < 2
Если носитель
ф^п содержится в [0,1], то ^f*f(£) = Фі,п{і) при t G [0,1]. Поэтому сужение
на [0,1] этой периодизации изменяет только граничные вэйвлеты, носители
которых покрывают i = 0 или i m 1. К ак показано на рис. 7.18, такие вэйвлеты
преобразуются в граничные вэйвлеты, которые имеют две непересекающиеся
компоненты вблизи t = 0 и t = 1.
Р и с . 7.18. Сужение на [0,1] периодического вэйвлета ф™р имеет две непере­
секающиеся компоненты вблизи t = 0 и t = 1.
Взятые отдельно, компоненты вблизи t = 0 и %= 1 этих граничных вэйвлетов
не имеют нулевых моментов и поэтому, как мы увидим позже, создают большие
коэффициенты сигнала. В следующей теореме доказывается, что периодиче­
ские вэйвлеты вместе с периодизированными масштабирующими функциями
ф™£ порождают ортогональный базис L 2[0,1].
Т е о р е м а 7.16. Д л я любого J < 0
есть ортогональный базис L [0,1].
Доказательство2. Ортогональность этого семейства функций доказывается с
помощью следующей леммы.
Л ем м а 7.2. Пусть a(t),(3(t) € L2(R). Если (a(t)y(3(t+k)) = 0 при всех k€ Z, то
а цер(t) 0™р(t)dt = 0.
(7.207)
о
Чтобы убедиться в справедливости (7.207), мы подставим определение периодизированных функций (7.205):
1
.
a nep(t)l3mp(t)dt
О
т
/•+оо
/
a(t)0n*p(t)dt
*/—оо
+0О
к = —оо
/ . 4f - 0ОО
0
/
‘ ОО
a(t)/3(t + k)dt = 0
Г л а ва 7. Вэйвлет-базисы
306
I^JC как [{^i,n>-oo<i<J,n€Z, {^ ,n }n € zj ортогонально В I
------------ 1
у б ед и т ь ся , ч то д в а лю бы х разл и ч н ы х вэй вл ета и л и м асш табирую щ ие функции а пер и /?пер в (7 206) обязател ьн о и м ею т н еп ер и од и ч еск и е составляющие,
к оторы е удовл етвор яю т ( a ( t ) , 0 ( t + к)) = 0 п р и в сех к € Z. П оэтом у в лемм еа 7.2 док азы вается, ч то (7.206) ор тогон ал ьн о в | (R). Ч тобы доказать, что
э т о сем ей ство п о р о ж д а ет L 2 [ 0 ,1], мы доп ол н я ем / I L [0,1] нулем вне [0,1] в
р аск л ады ваем
/ -
£
-foo
+ °°
£
£
7 = —ОО п = —оо
{/■) ФJ,гь)ФJ№я
(7.208)
П— 00
Э т а доп ол н ен н ая нулем ф ун к ц и я п ер и од и зи р уется сум м ой (7 .2 0 5 ), которая
следует.
о п р ед ел я ет / nep(t) | f { t ) при t | [ 0 ,1J. И з ф ор м ул ы i
жрт- бы ть п азл ож ен о в L 2 [0,1] по п ер и оди зи р ов ан н ом у
В теореме 7.16 показы вается, что периодизированны й ортогональны й вэивлетбазис L 2 (R) определяет ортогональны й вэйвлет-базис L 2 [0,1]. Если J — 0, то
сущ ествует единственная масш табирую щ ая ф у н кц и я, и м ож но убедиться, что
Фо о ft) = 1- Результирую щ ий масш табный коэф ф и ц и ен т ( / , Фо,о) есть среднее
от / по [0,1].
-' . ‘ II
П ериодические вэйвлет-базисы имеют тот недостаток, что создаю т вэйвлеткоэф ф и ц и ен ты больш ой амплитуды в окрестности | В 0 и | Щ I , потому что
граничны е вэйвлеты имеют отдельны е компоненты без нулевы х моментов. Ес­
ли /( 0 ) ф /( 1 ) , то вэйвлет-коэф ф ициенты ведут себя та к , к а к будто сигнал был
разры вн ы м н а границах. Это мож ет бы ть проверено продолж ением / € L [0,1]
r Rwne бесконечного 1-периодического сигн ала / пер и показом того, что
щШ Ш Ш ш Я /
оо
щ Я Ш Я Ш
(7 209)
Е сли /( 0 ) ф /( 1 ) , то / nep(t) р азры вн а при | ■ 0 и | В 1, ч то создает вэйвлеткоэф ф и ц и ен ты больш ой амплитуды, когда
п окры ваю т границы отрезка.
П е р и о д и ч е с к о е д и с к р е т н о е п р е о б р а з о в а н и е . П ри /
см атри вать
а > ] = < /.С Л
и d > ] = < /.-C n > убеж даем ся, что эти скалярн ы е про*
иодического сигнала, разлож енного г
базису
П оэтом у прим еняется ф орм ула свертки теорем ы 7.7, если мы п р и н и м аем во
вним ание периодичность / пер. Э то значит, что а | [ | | и dj[n\ р ассм атр и в аю т­
ся к ак дискретны е сигналы с периодом 2~3, и, следовательно, в се свертки
в (7.107)—(7.109) д олж н ы бы ть заменены циклическим и сверткам и. Н есмотря
н а плохое поведение периодических вэйвлетов около грани ц, они ч а с т о использую тся, потому что их численное использование отли чается особой п р о с т о т о й .
7.5. Вэйвлет-базисы на отрезке
7.5.2
307
Отраженные вэйвлеты
'
Как показано в (7.209), разложение / € L2[0,1] по периодическому вэйвлетэквивалентно
эбы избежать разрывов, полученных при дальнеисигнал четно отражается относительно точки t Щ0: /о(*) =
f{t) + /(""*)• Носитель /о есть [—1,1], и она преобразуется в 2-периодический
сигнал
+оо
f orp( t ) =
4-00
>
fo (t-2 k )=
/с=—oo
-Ьоо
>
f[t-2 k ) +
k = —oo
(7.210)
f(2 k -t).
k = —oo
Ясно, что f 0Tp(t) = f(t), если t G [0,1] и симметрична относительно t — 0 и
t = 1. Если / непрерывно
дифференцируема,
то
/
отр
непрерывна
при
t
=
0
и
А
t = 1, но ее производная разрывна при t = 0 и t = 1, если /'(0 ) §! 0 и /'(1 ) ф 0.
Разложение / отр по вэйвлет-базису {^j,n}(j,n)ez2 эквивалентно разложе­
нию / по отраженному вэйвлет-базису. Пусть Щщ есть ^ j jTl с суммировани­
ем (7.210). Можно убедиться, что
О
/ ( ‘) С Г ( <)<#= /
(7.211)
«/ —оо
Предположим, что / — гладкая функция на [0,1]. Тогда / отр непрерывна при
t = 0,1 и, следовательно, дает меньшие граничные вэйвлет-коэффициенты,
чем / пер. Однако она не является непрерывно Дифференцируемой при t =
0 ,1, что приводит к бблыним вэйвлет-коэффициентам на границе отрезка, чем
внутри.
Рис. 7.19. Отраженный сигнал / отр имеет период 2, симметричен относи­
тельно £ = 0 и і = 1 и равен /(f) на [0,1].
Чтобы построить базис L2[0,1] с помощью вэйвлетов
достаточно, что­
бы щ щ был либо симметричен, либо антисимметричен относительно t = 1/2.
Вэйвлет Хаара — единственный вещественный вэйвлет с компактным носи­
телем, который симметричен или антисиметричен и который порождает ор­
тогональный базис L2(R). С другой стороны, если мы ослабим условие орто­
гональности, то в разд. 7.4 доказывается, что существуют биортогональные
базисы, построенные с помощью вэйвлетов с компактным носителем, которые
симметричны или антисиметричны. Пусть {^j,n}(j,n)eza І
z3 — та­
кие биортогональные вэйвлет-базисы. Если мы отразим вэйвлеты так же, как
и масштабирующие функции, то при J < О
{^,пР}-оо<і<У,0<п<2-іі
}o<n<2- J |
•
(7.212)
Г лава 7. Вэйвлет-базисы
308
есть базис Р и сса L 2 [0 ,1] [134]. Биортогональны й бази с получается отражением
двойственны х вэйвлетов ф$,п и имеет вид
[{ ^і,Т } -о о < і< J, 0 < n < 2 - j >
{4>J,n}o<n<2 ~-i'] ■
(7.213)
Е сли J = 0, то <t>QTQ = ф°о% = 1.
■:.№
Б иортогон альны е вэйвлеты с ком пактны м носителем характеризую тся па­
рой ф и льтров точного восстановления ( h ,h ) . С им м етрия эти х вэйвлетов зави­
сит от симметрии и разм ера ф ильтров, к ак это объяснено в п. 7.4.2. Быстрое
отраж ен ное вэйвлет-преобразование вы полняется с помощ ью м с з д и ф ш ^ ^ ^ д
ного ал го р и тм а набора ф ильтров, где тр ак то в к а гран и ц гораздо более сложна,
чем при периодических вэйвлетах. С имметричны е и антисимметричны е слу­
чаи следует рассм атри вать отдельно.
О т р а ж е н н о е д и с к р е т н о е п р е о б р а з о в а н и е . П ри / € L 2 [0 ,1] мы рассмат­
риваем
__
;
< ъ Н = < /.С » > »
= ( /.Щ і М ы убеж даем ся, к ак и в (7.211), что эти скалярн ы е произведения равны ко*
эф ф и ц и ен там отраж енного сигнала, разлож енного по неотраж енном у вэйвлетбазису:
a j [n] = ( Г тр,Фз',п) И dj [п] = < /отр, ^ , п ) .
$Ш Ж
П оэтому, если мы примем во внимание симметрию и периодичность / отр, то
м огут бы ть применены ф орм улы свертки теорем ы 7.7. С войства симметрии
ф и ip означаю т, что dj [тг] и dj [я] так ж е обладаю т свойствам и симметрии и
периодичности, что мож ет бы ть учтено при вы числениях (7.107)—(7.109).
С им м етричны е биортогональны е вэйвлеты строятся с помощ ью фильтров
точного восстановления Һ и Һ нечетной длины , которы е симметричны отно­
сительно п — 0. Т огда ф симметрична относительно нуля, в то время как |
сим м етричен относительно 1/2. В результате м ож но убедиться, что а,[п] —
2- ^+1-периодичны и симметричны относительно п = 0 и п = 2~3 . Поэтому эти
коэф ф и ц и ен ты характеризую тся 2~3 + 1 отсчетам и при 0 < п < 2~3 . Другая
ситуация в случае dj [п], которы е 2- ^+1-периодичны , но симметричны относи­
тельно —1 /2 и 2~3 — 1/2. Они характеризую тся 2~ 3 отсчетам и при 0 < п < 2 3.
Д л я начального определения этого алгори тм а исходный сигнал Ш р® за"
данны й при 0 < п < N —1, долж ен бы ть продолж ен н а один отсчет при п = N
и рассм атри ваться как периодический относительно п = 0 и п = N . Д ля про­
д о л ж ен и я си гн ала н а один отсчет полож им ф щ М = a^[7V — 1]. При любом
J < L результирую щ ее вэйвлет-представление [{^}/,<><7,о^] характеризуется
N Щ 1 коэф ф ициентам и. У брать добавление одного коэф ф и ц и ен та можно, из­
м ен яя симметрию ai, н а правой границе, р ассм атр и вая Щ симметричной отно­
сительно N — 1 /2 вместо N . В результате сим м етрия a j и dj н а правой границе
изм еняется согласно изученным свойствам ф орм улы свертки (7.162). Поэтому
эти сигналы характеризую тся 2~3 отсчетам и, и вэйвлет-представление имеет
N коэф ф ициентов. Э тот подход используется в больш инстве приложений, по­
том у что он приводит к более простой структуре д ан н ы х, которая сохраняет
7.5. Вэйвлет-базисы на отрезке
309
постоянное число коэффициентов. Однако дискретные коэффициенты вблизи
правой границы не могут быть записаны как скалярные произведения некото­
рой функции f ( t ) на растянутые граничные вэйвлеты.
Антисимметричные биортогональные вэйвлеты получаются с помощью
фильтров Һ и Һ точного восстановления четной длины, которые симметрич­
ны относительно п = 1/2. В этбм случае ф симметрична относительно 1/2
и гр антисимметричен относительно 1/2. В результате aj и dj имеют 2“J+1периодичность и соответственно симметричны и антисимметричны относи­
тельно —1/2 и 2” -7 —1/2. Оба семейства характеризуются 2” J отсчетами при
0 < п < 2”-7. Алгоритм полностью определяется, учитывая то, что аь[п\
симметричны относительно —1/2 и N — 1/2. Здесь нет необходимости до­
бавлять еще один отсчет. Результирующее дискретное вэйвлет-представление
характеризуется N коэффициентами.
7.5.3
з
Граничные вэйвлеты
малы в областях, где сигнал
вэйвлеты имеют достаточно нулевых моментов. Сужение периодических и от­
раженных «граничных» вэйвлетов имеет в окрестности t = 0 и t = 1 соответ­
ственно 0 и 1 нулевой момент. Поэтому эти «граничные» вэйвлеты не могут
сигнала
скалярные произведения, как если бы сигнал
разрывные производные. Чтобы избежать появления вэйвлет-коэффициентов
с большими амплитудами на границах, нужно построить граничные вэй­
влеты, которые имеют столько же нулевых моментов, сколько и исходный
первоначально
пи и Виалем Г
доказательства.
М ультиразреш ение L2[0,1]. Вэйвлет-базис L2[0,1] строится с помощью
мультиразрешающей аппроксимации {V^OH}_oo<i<0 *Вэйвлет имеет р нулевых
ортогонален
ной р —1. Так как вэйвлеты масштаба zJ ортогональны функциям из V£0H, то,
чтобы гарантировать, что они имеют р нулевых моментов, мы должны быть
кон
уверены, что многочлены степени р —1 принадлежат V*
Мы определяем пространство аппроксимации V!-0" С L2[0,1] с помощью
масштабирующей функции Добеши ф с компактным носителем, связанной с
вэйвлетом, обладающим р нулевыми моментами. В теореме 7.5 доказывает­
ся, что носитель ф имеет размер 2р —1. Мы сдвигаем ф так, что ее носитель
есть \-р+1,р]. При масштабе 2j < (2р)-1 имеется 2~* - 2р масштабирующих
функций с носителем внутри [0,1]:
■нЕ
=
=
для р ^ п < Й р —р-
Глава 7. Вэйвлет-базисы
310
V *OH разм ерности
Т .Т О О Ы П О С Т Р О И Т Ь
------- --------j
бавляем р масш табирую щ их ф ункций с носителем н а левой границе вблизи
t = 0:
и р масш табирую щ их ф ункций н а правой границе вблизи |
j,KOH/yv_ II Лпр
II—В
для
2“
J—р
<
п
<
2
Й
С ледую щ ее утверж дение строит подходящ ие грани чны е масштабирующие
{4>пев}о<п<Р и ( С р }о< п< р
I, Д О Б Е Ш И , ВИ А Л Ь ). М о ж н о m
ф у н к ц и и ф™в Ц Фпр Щ Щ 41710 если
У тверж ден и е
■Й
условиям
V*5°h __ Зам ы кание I
log2(2p)
I J V ^OH 1 — L [0,1],
oo
u с у ж е н и е н а [0,1] м н о го ч лен о в с т е п е н и р — 1 п р и н а д л е ж и т \ j
.
Д о к а з а т е л ь с т в о 2 . Дается набросок доказательства. Все подробности могут
быть найдены в [134]. Так как вэйвлет ф, соответствующий ф, и м еет | нулевых
моментов, то условие Фикса-Стрэнга (7.75) означает, нто
-
,*(0=. у; n*«t-n)
4 -о о
ш
п = —ОО
многочлен
имеет степень fe, и при 0 < к < р это семейство определяет базис многочленов
степени р — 1. Д ля того чтобы гарантировать принадлежность многочленов
степени р — 1 пространству V*OH, мы полагаем, что сужение д/с(2 Н) на [0,1]
может быть разложено по базису V£°H:
р —1
® (2 -'« )l|P ,il(0
I
2
р -1
5 > М Ф Г (2 -J() +
Щ
71 = 0
П =р
п кф(2~ t
—п) +
О—1
п=0
принадлежит
тено на два і
р + 1,р], то условие (7.215) вм есте с (7.214)
7.5. Вэйвлет-базисы на отрезке
311
С помощью замены переменной мы убеждаемся, что (7.215) эквивалентно
равенствам
р
р- 1
п кф(і - n )l[0i+oo)(f) = т
п = —р+1
и
a[n]^”eB(<)
(7.216)
п=0
р -1
р -1
П = —р
71=0
Вложение V *OH С
вытекает из предположения, что граничные мас­
штабирующие функции удовлетворяют масштабным уравнениям. Мы предпо­
лагаем, что ф„ев имеет носитель [0,р + п] и удовлетворяет масштабному урав­
нению вида
р—1
2 - 1/2< #Г (2-1 4) = £
р+2п
Н™?ФГ{І) + 5 3
1=0
- тп),
(7.218)
тп=р
тогда как </>£р имеет носитель [—р — п, 0] и удовлетворяет ал алогичному мас­
штабному уравнению справа. Константы
и
выбираются
так, чтобы выполнялись уравнения полиномиального воспроизведения (7.216)
и (7.217) при получении ортогональных масштабирующих функций. Резуль­
тирующее семейство {Ф*°п}о<п< 2-з есть ортонормированный базис простран­
ства V JOH.
Сходимость пространств V*OH к L [0,1] при 23, стремящемся к 0, есть
следствие того факта, что кратномасштабные пространства V j, порожденные
масштабирующей функцией Добеши {</>j,n}nez, сходятся к L2 [0 ,1].
Это доказательство дает возможность построить масштабирующие функции
через масштабные уравнения, определенные дискретными фильтрами. На гра­
ницах коэффициенты фильтров приспособлены для построения ортогональ­
ных масштабирующих функций с носителем в [0,1] и гарантируют, что мно­
гочлены степени р —1 воспроизводятся этими масштабирующими функциями.
Табл. 7.5 дает коэффициенты фильтров при р = 2.
В эйвлет-базисы L2[0,1]. Пусть W *он — ортогональное дополнение V|50H
в ШЩ • Носитель вэйвлета Добеши ip с р нулевыми моментами есть [—р + 1,р].
Так как V’j.n ортогонален любой ЩЩ то мы убеждаемся, что ортогональный
базис W j 0H может быть построен с помощью 2-J —2р внутренних вэйвлетов с
носителем в [0,1]:
l g
| I Фі,п (t) I
■Щ я ж
Я
Р —п <
—Р)
к которым добавляются 2р левых и правых вэйвлетов
) для о<^<р.
Д™ 2~3 - Р < п < 2 - 3 .
Глава 7. Вэйвлет-базисы
312
W K°H
масштаба
МШҰi UOllD
------------- хг%
/ * *~
*
j = 1 мы полагаем , что левые граничны е вэйвлеты удовлетворяю т уравнениям
в и да
р -1
Р+2П
1SI11)
IВ
Ш
ІШ
Ш
I
Ш
Ш
ІI
ш
х/2
|=
ш
0
гЗ щ
— р
Д
(7-219)
аналогичны м
фициенты G ^ f , 5n?m> ®п[І* flnfm ВЫЧИСЛЯЮТСЯ так, ЧТО {^,П } o < n < 2 “ J есть базис
7К
О
Н
D
*
7
К
ттгчтжплпсггг/'а
С
Т
ЧТИҮ
коэсЬсЬиииентов
при
v
=
2.
W!?OH. В тайл. 7.5 приводятся
-1
следует.
П ри лю бом 2^ < (2 р)
L 3 [ 0 , l ] = v r ® / = - o o W ^ OH,
и это означает, что
[ № Н}о < п < 2 ->
{^І,тГ }
— o o <
j
< J,0<n<2- j ]
(7.220)
есть ортонорм ированны й вэйвлет-базис L 2 [0,1]. Граничны е вэйвлеты, как и
внутренние, им ею т р нулевы х моментов, потом у что м ногочлены степени р 1
содер ж атся в пространстве V j OH. Р и с. 7.20 и зобр аж ает граничны е масштабно
рую щ ие ф ункции и вэйвлеты при р = 2.
|
Б ы с т р ы й д и с к р е т н ы й а л г о р и т м . Д л я лю бой / Е L 2 [ 0 ,1] мы обозначим
<*iN = ( /, Ф™п)
и
аЛ[п) = ( / , Ш
Для
0
0
1
1
0 j
1
0
1
к,тп
- --- *
0.603332511
0.690895531
0.037517460
0.457327659
-0.796543616
0.546392714
0.010037224
0.122351043
0
1
1
1
2
2
3
4
r*nP
т
п
Hnp
k
1
k 1 I 1j_____ n
kA_____ 1_____ ________ 1
0.190151418
0.194233407
0.434896998
0.870508753
0.363906959
0.371718966
0.801422962
0.257512919
I
иле в
ев
1
0<п<2-Л
0.398312997
0.850088102
0.223820357
0.129222743
0.258792248
0.227428117
0.836602821
^483012921
К %ТП
пр
9±гп
0.443149049
0.767556669
0.374955331
0.230389043
0^35575950
0.401069519
-0.717579999
-0.539822500
Т а б л и ц а 7 .5 . Л евы е и правые граничны е коэф ф ициенты дл я вэйвлета Добеши с р = 2 нулевыми моментами. В низу таблицы располож ены внутренние ко­
эф ф и ц и ен ты ф ильтра. Таблица коэф ф ициентов при р > 2 нулевы х моментов
м ож ет бы ть получена через Internet как F T P сайт ftp ://m ath .p rin ceton .ed u /
p u b / u se r / in g rid / interval-tables.
'
:
7.5. Вэйвлет-базисы на отрезке
313
Ф Г (і)
Ф Г (*)
Рис. 7.20. Граничные масштабирующие функции и вэйвлеты с р Щ2 нуле­
выми моментами.
Вэйвлет-коэффициенты вычисляются с помощью каскада сверток (аналогич­
но теореме 7.7), до тех пор пока фильтры не пересекают границ сигнала.
Фильтр Добеши Һ рассматривается здесь как имеющий носитель, расположен­
ный в [—р+1,р]. На границе обычные фильтры Добеши заменяются граничны­
ми фильтрами, которые связывают граничные вэйвлеты и масштабирующие
функции с более мелкомасштабными масштабирующими функциями в (7.218)
и (7.219).
Теорем а 7.17 (КОЭН, ДОБЕШИ, ВИАЛЬ). Если 0 < к < р,
р+2 к
р -1
лев
aj [&]
/=0
Нж
;;т аШ
. -1 и +
т= р
p+2fc
р -1
G fja j-1 1 1 Ц
dj [к]
і -iN '
m=p
J= 0
Если p < к < 2 i —p
О
+oo
a j [fc]
У 2 h[l —2k]aj-i[l],
l=—oo
-foo
dj [fc]
У
g[l -
1=1—00
Если —p < k < 0,
aj[2“ J +A:]
-l
-p -i
=
/=-p
-1
i= -p
m = —p4-2/c4-l
-p -1
m = —p4-2/c4-l
ВИВ
-i+1
+ m],
-J+l
+ ml.
Глава 7.
314
0W
Вэйвлет-базисы
Этот каскадный алгоритм раскладывает aL в дискретное вэйвлетпреобразование [aj,
за O (N ) операций. Наибольший масштаб дол­
жен удовлетворять неравенству 2J < (2р)-г, потому что при всех масштабах
алгоалгоритм а
описанных в п. 7.5.1 и п. 7.5.2, но не требует больше вычислений. Сигнал aL
восстанавливается по его вэйвлет-коэффициентам обращением формулы раз­
ложения в теореме 7.17.
Ш , ДОБЕШИ, ВИАЛЬ). Если 0 < I
1,
CLj-l[l\ = 5 3 Н к Т а Л к ] + У .
fc=0
[/с]
fc=0
Если р < I < Зр —2,
р -1
aj_i[i]
Ц
53
+бо
h™*aj[k]+ 2 ^ h[l — 2k]aj[k\ +
k={l-p ) / 2
fc= -oo
p -1
-foo
9 kT dj[k}+
Ш9[l ~ 2к№[к\.
fc = -o o
шШ шшШ
Если Зр - 1 < I < 2“ j +1 I 3p,
-foo
ІЯ Ш
+oo
1 2 Й 1 l i i №] I
fc=—oo
У ІВ Ш
k=—oo
ш І
Если —p —1 > I > —3p + 1,
(Z-fp—1 )/2
+ I
УЗ
k=—p
(l+ p —1 )/2
-foo
[2_І +^]+ 53 Mi- 2Л]аЛ2“^+*1+
k=—oo
-foo
д а [ 2 _ і + М + 5 Z ^ - 2fc]dj[2_J + fc]
k=—p
k=—oo
Если —1 > I > —p,
іШ Ш ВшІ 53
k——p
[2-J +fc]+ 53
+
fc=—p
Исходный сигнал at, восстанавливается по ортогональному вэйвлет-представлению [aj, {4?}ь<і<./] интегрированием этих уравнений при L < j< J • Это
восстановление выполняется за O(iV) операций.
;'■§ |
7.6. Кратномасштабные интерполяции
7.6
315
Кратномасштабные интерполяции2
Кратномасштабные аппроксимации тесно связаны с обобщенными интерполя­
циями и теоремами выборки, изученными в п. 3.1.3. Следующий пункт строит
общие классы интерполяционных функций по ортогональным масштабирую­
щим функциям и выводит новые теоремы выборки. Интерполяционные бази­
сы имеют преимущество легкого вычисления коэффициентов разложения по
значениям отсчетов сигнала. В п. 7.6.2 строятся интерполяционные вэйвлетбазисы.
7.6.1
Интерполяция и теоремы выборки
В п. 3.1.3 объяснено, что схема выборки приближает сигнал его ортогональ­
ной проекцией на пространство U t и дает отсчеты этой проекции с шагами
Т. Пространство U t строится так, что любая функция в U t может быть вос­
становлена интерполяцией равномерной выборки с шагами Т . Мы связываем
построение интерполяционных функций с ортогональными масштабирующи­
ми функциями и вычисляем ортогональный проектор на U t.
Мы называем. интерполяционной функцией любую ф такую, что
{ф(Ь—п)}П£ъ есть базис Рисса порожденного им пространства U i и которая
удовлетворяет равенству
f /если п = О,
■v|
г если п ф О .
(7.221)
Любая / € U i восстанавливается интерполяцией ее отсчетов / (п):
(7.222)
Действительно, мы знаем, что / есть линейная комбинация компонент базис­
ного вектора {</>(£ —ft)}n€Z> и интерполяционное свойство (7.221) дает (7.222).
Теорема выборки Уиттекера 3.1 основана на интерполяционной функции
В этом случае пространство U i есть множество функций, преобразования Фу­
рье которых содержатся в [—7г,7г].
Масштабирование интерполяционной функции дает новую интерполяцию
при различных шагах выборки. Определим фт{t) ЩФ(і/Т) и
и т = { / € L2(R), где f ( T t ) I U i }.
+00
(7.223)
Г л а в а 7. Вэйвлет-базисы
316
а в т о к о р р е л я ц и я . М ы обозначим через ф0 ортогональ­
ную масш табирую щ ую функцию , определенную тем , что {<p0{t 7i)}ngz есть ор­
тонорм ированны й базис пространства V o кратном асш табной аппроксимации.
В теорем е 7.2 доказы вается, что эта м асш табирую щ ая ф у н к ц и я характеризу­
ется сопряж енны м зеркальны м ф ильтром h 0. С ледую щ ая теорем а определяет
интерполяционную ф ункцию по автокорреляции ф0 [302].
ДЯЙШяя
М асш табирую щ ая
Т е о р е м а 7 .1 9 . П у с т ь
) = ф о(-*) « К [п ] = һ 0[ - п ] . Е с л и \ф0(и)\ 1 0((1 +
Н ) ” 1) , т о
+оо
фо(и)фо(и —t ) d u = фо * 4>o(t)
ф{І) = f
J —ОО
I -Т
ест ь и н т е р п о л я ц и о н н а я ф у н к ц и я . Б олее того,
где
I
(7.224)
:
+оо
һ 0[т]һ0[т —n] = h 0 * h 0[n].
h[n] —
(7.226)
771= —OO
Доказат ельст во3. Сначала заметим, что
ф{п) =
:' %
щ КШ И
~ п)) = 6[п],
что доказывает интерполяционное свойство (7.221). Чтобы доказать, что
{ф(Ь—п )}п еz есть базис Рисса порожденного этим семейством пространства Ui,
мы проверим выполнение условия (7.10). Автокорреляция ф{і) = Фо*Фо(4) име­
ет преобразование Фурье ф(си) = \ф0(<ш)\2. Поэтому условие (7.10) означает, что
существуют А > 0 и В > 0 такие, что
Vw €
[-7Г,7Г]
— <
2J 1^0(w
(7.227)
— 2 Ь г )|4 < Д
/ с = — ОО
Мы доказали в (7.19), что ортогональность семейства {фо(і — ri)}nez эквива­
лентна утверждению, что
4-оо
\фо{и +
V cj Е [—7Г, 7г]
2 /с 7 г )|2 =
1.
(7.228)
fc= —оо
Поэтому правое неравенство в (7.227) выполняется при А = 1. Докажем левое
неравенство. Так как \ф0(и)\ = 0((1 + |w|)~ 1), то можно убедиться, что суще­
ствует К > 0 такое, что при всех lj € [—7г, тг] сумма
|0о(^ + 2А;7г)| < 1/2;
поэтому из (7.228) следует, что J2 kL -K \Фо(и> + 2А:тг)|2 > 1/2. Из этого вытекает
j t KМ
+ 2^ ) 1 4 - 4 ( 2 К + '! ) ■
что доказывает (7.227) при В = А{2К + 1).
, : ; щ
В
|
7.6. Кратномасштабные интерполяции
317
Так как ф0 — масштабирующая функция, то из (7.28) следует, что суще­
ствует сопряженный зеркальный фильтр hQтакой, что
I
/ 1\
~7=Ф° ( 2 ) =
v
һо[п\фо{і - п).
' '
п=—ОО
Вычисление ф(Ь) = ф0 ★<£о(*) дает (7.225) с h[n] = h0 * h0[n\.
■
В теореме 7.19 доказывается, что автокорреляция ортогональной масштаби­
рующей функции ф0 есть интерполяционная функция </>, которая также удо­
влетворяет масштабному уравнению. Можно сконструировать ф так, чтобы
гладкие сигналы эффективно аппроксимировались их ортогональной проек­
цией на U t- Определение 6.1 измеряет гладкость / с помощью показателя
Липшица, который зависит от разности / и ее многочлена Тейлора. Следую­
щее утверждение дает условие для восстановления многочленов интерполяци­
ей их отсчетов с помощью ф. Это выводит верхнюю границу погрешности при
аппроксимации / ее ортогональной проекцией на U t.
У тверж дение 7 .7 (ФИКС, СТРЭНГ). Любой многочлен q(t) степени мень­
шей или равной р — 1 раскладывается в сумму
Щ;■
+00
q(t) **
q{n )ф (t-n )
(7.229)
п = —оо
Ш
А
.-;
•'
‘. i х у*.ЦудРЯИКДИИиИИ
тогда и только тогда, когда h(u) имеет нуль порядка р при и = 7г. Пред­
положим, что это условие удовлетворяется. Если f имеет компактный
носитель и удовлетворяет равномерному условию Липшица а < р, то су­
ществует С > О такое, что
\/!Г >
0
II/ —P v Tf\\ < с f i t
(7.230)
Доказательство3. Главные этапы доказательства даются без технических
подробностей. Положим Т = 2J. Можно убедиться, что пространства
{V j = U 2j } j e z определяют кратномасштабную аппроксимацию L2(R). Базис
Рисса Vo, согласно определению 7.1, получается при Ө = ф, Этот базис ортогонализируется при помощи теоремы 7.1 о получении ортогонального базиса
масштабирующих функций. Теорема 7.3 выводит ортонормированный вэйвлетбазис
z2 пространства L (Ж).
Используя теорему 7.4, можно убедиться, что ф имеет р нулевых моментов
тогда и только тогда, когда һ(и) имеет р нулей в точке 7г. Хотя ф не орто­
гональная масштабирующая функция, условие Фикса-Стрэнга (7.75) остается
справедливым. Следовательно, оно также эквивалентно тому, что при к < р
■
+°°
qk(t)= ^ 2 пкф{Ь-п)
\
Щ
п = —оо
/
есть многочлен степени к. Интерполяционное свойство (7.222) означает, что
qk(n) = пк при всех п € Z, откуда qk(t) = t . Так как {£*}о<ь<Р есть базис для
Глава Т. Вэйвлөт-бәзисы
318
многочленов степени р —1, то любой многочлен <?(£) степени р 1 может быть
разложен по {<l>(t —fi)}n€Z тогда и только тогда, когда h(oj) имеет р нулей в
точке 7г.
Мы укажем, как доказать (7.230) при Т = 2J . Усеченное семейство вэйвле­
тов
z есть ортогональный базис ортогонального дополнения про­
странства U 2j = V j в L2(R). Следовательно,
•
J
II/ - A jaj / | | 2 = Ё
-4-00
я#
X / К/>^.»>1а-
I — — оо п = — о о
4
Если / удовлетворяет равномерному условию Липшица ос и так как ф имеет р
нулевых моментов, то в теореме 6.3 доказывается, что существует А > 0 такое,
что
| W f ( 2 ln ,2 l)\ 1 1< /,^ 1.„>| < A 2(et+l/2)l.
'Д З Ш И
Чтобы упростить доказательство, мы предположим, что ф имеет компактный
носитель, хотя этого и не требуется. Так как / также имеет компактный но­
ситель, то можно убедиться, что число ненулевых (/,т/^>п) ограничено числом
К 2 ~ 1 при некотором К > 0. Следовательно,
>
й в
1 1 / - ^ / Ц 2 < Ш К 2 - 1A 22 * a+1)l < 1 Щ
ш
Ш
:
,
2
1 = —о о
В
что доказывает (7.230) при Т = 23.
П ока a < р, то чем больше показатель Липш ица а , тем быстрее стремится к
нулю погрешность ||/ —i \ r T/ || ПРИ убывании ш ага выборки Т . Если сигнал / с
компактным носителем принадлежит C fc, то он удовлетворяет равномерному
условию Л ипш ица к, и согласно утверждению 7.7 получаем | | / —Р и т / || Й СТк.
П р и м е р 7 .1 2 . Кубическая интерполяционная сплайн-ф ункция получается из
линейной масштабирующей сплайн-функции фа. В ы раж ение преобразования
Ф урье (7.5) дает
^
48 s i n V / 2 )
u>4( l 4- 2 cos2(o»/2)) *
1 .231)
дает граф ик
ненциальное
интерполяционная функция
ает
фун
обобщенных теорем выборки изучается в [123, 335].
П р и м е р 7 .1 3 . Интерполяционные функции Д елорье-Д ю бю ка [155] степени
2 р —1
функции
1. Можно
разм ера
ф ункция
функции
доказы
319
7.6. Кратномасштабные интерполяции
А
чтобы воспроизвести многочлены степени 2р — 1, һ(и) должно иметь нуль поГ
I %
і
^
^ м |/ПВдЙ]
рядка 2р в точке 7Г. Так как /i[n] = h0*h0[n\yто h{u) = |/i0(a;)| и, следовательно,
jgj
/i0(u;) имеет нуль порядка р в точке 7Г. Теорема 7.5 Добеши конструирует сопря­
женные зеркальные фильтры наименьшей длины ha, которые удовлетворяют
этому условию. Фильтры Добеши h0 имеют 2р ненулевых коэффициентов, и
результирующая масштабирующая функция ф0 имеет носитель длины 2р —1.
Автокорреляция ф есть интерполяционная функция Делорье-Дюбюка с носи­
телем [—2р + 1 ,2 р — 1].
Я
Рис. 7.21. (а) Кубическая интерполяционная сплайн-функция, (б) Интерпо­
ляционная функция Делорье-Дюбюка степени 3.
При р = 1, фо = 1 го,1] функция ф — кусочно-линейная tent-функция с носи­
телем [—1,1]. При р = 2 интерполяционная функция Делорье-Дюбюка ф есть
автокорреляция масштабирующей функции Добеши [р = 2), изображенной на
рис. 7.10. График этой интерполяционной функции дается на рис. 7.21 (б).
Многочлены степени 2р —1 = 3 интерполируются этой функцией.
Из масштабного уравнения (7.225) следует, что для любого автокорреля­
ционного фильтра выполняется равенство h[2n] = 0 при п ф 0. Для любого
р > 0 ненулевые значения результирующего фильтра вычисляются по коэффи­
циентам многочлена (7.173),'который факторизован для получения фильтров
Добеши. Носитель Һ есть [—2р + 1, 2р —1], и
h[2n
+
1]
=
(-1
)р~"
,
—
Р
t
w
2,
V
"
Ti
1
(п + 1 /2 ) ( р - п - 1 ) ! ( р + п)!
при
~ р - 71 < Р' (7-232)
Д войственны й базис. Если / £ U r, то она приближается ортогональ­
ной проекцией P u Tf на Шр не медленнее, чем записываются отсчеты с ша­
гом Т. Эта ортогональная проекция вычисляется по ортогональному базису
{фт(г-пТ)} n6z с помощью следующей теоремы [75 (статья)].
определяем ф
Теорем а 7.20. Пусть ф
функцию, преобразовани
= „н-оо
E L -o o
Ц,
.« ■ ' И'
(7 '2 3 3 )
Глава 7. Вэйвлет-базисы
320
Пусть фт(І) = Т ~ 1<£(Т~1і). Тогда семейство {фт(* - nT)}n€z есть биортпогональный базис {фт{і ~~ 7iT)}nez 6
f ■
'
Доказательство 3. Положим Т = 1. Так как
* '■
1 § | = a(u;)<£(u;),
(7.234)
где &(cj) € L2 [—7Г, 7г] — периодическая с периодом 27г, мы выводим, как и
в (7.12), что ф € U i и, следовательно, <j>(t — п) € U i при любом п € Z. Двой­
ственный базис Рисса единственный и характеризуется условиями биортого­
нальности. Пусть ф(і>) = 0 (—і). Мы должны доказать, что для всех (п, ш) £ Z?
(<£(£ - n ), 0(t - m )) = ф * ф(п - тп) = <5[п - т ] .
(7.235)
Так как преобразование Фурье ф*ф(£) есть ф(ш)ф*(и), то преобразование Фурье
условий биортогональности (7-235) имеет вид
У
<£(cj + 2кіт)ф*(и 4- 2/с7г) = 1.
/
% ^ ^ ||||
к=—сю
Ясно, что ф, определенное (7.233), удовлетворяет этому уравнению. Поэтому
семейство {<£(£—n)}n€z есть двойственный базис Рисса для {ф(Ь —n )}ngz- Легко
осуществляется продолжение доказательства на случай любого Т > 0.
■
Р и с, 7.22. Двойственный кубический сплайн <£(£), связанный с интерполяци­
онной сплайн-функцией <£(£), показанной на рис. 7.21 (а).
Ш
На рис. 7.22 показан график кубического сплайна ф, связанного с кубической
интерполяционной сплайн-функцией. Ортогональная проекция / на U t вы­
числяется разложением / по биортогональным базисам:
-foo
P\Jt f (£) =
’ Фт(и ~ пТ))фт[і - пГ).
n==—OO
. '
■'
(7.236)
V
Пусть фт(t) = фті—t). Интерполяционное свойство (7.221) означает, что
P v Tf ( n T ) = ( / ( « ) , фт(и - п Т )) = / * |т ( п Г ) .
(7.237)
7.6. Кратномасштабные интерполяции
321
Следовательно, эта дисіфетизация / через проекцию на U t получается в ре­
зультате фильтрации с фт с последующей равномерной выборкой с шагом Т.
Наилучшая линейная аппроксимация / восстанавливается с помощью интер­
поляционной формулы (7.236).
7.6.2
Интерполяционный вэйвлет-базис 3
сигнал
выборке {/(nT )}n€z, если / принадлежит определенному подпространству U t
пространства ь (KJ. Донохо [lb2J распространил этот подход на построение
интерполяционных вэйвлет-базисов всего пространства равномерно непрерыв­
ных сигналов с ограниченной верхней нормой. Коэффициенты разложения
вычисляются по значениям отсчетов сигнала вместо интегралов скалярного
произведения.
С хема подразбиения. Пусть ф интерполяционная функция, которая есть
автокорреляция ортогональной масштабирующей функции ф0. Пусть фjtn(t) =
ф(2~Ч —п). Константа 2“ J' 2, которая нормирует энергию ш^м здесь не добав­
лена, потому что мы будем использовать верхнюю норму | | / | | о о = s u P * eR I / W I
вместо нормы пространства L2(R), и
-4 | |
ОО^ Halloo = 10(0)1 “ 1*
Мы определяем интерполяционное пространство V,- функций
+оо
п = —оо
где а[п] имеет по п не более чем полиномиальный рост. Так как ф — интер­
поляционная функция, то а[п] — д(2^п). Это пространство & не содержится
в L2(R), так как а[п] может не иметь конечной энергии. Масштабное урав­
нение (7.225) означает, что V_,-+i С V j при любом j € Z. Если автокорреля■
Л'
i : •-л*«
' и**‘ іТГг.trAj' ".' тВ*Г-•*’ Л*
ционный фильтр Һ имеет преобразование Фурье һ(ш) с нулем порядка р при
ш = 7г, то в утверждении 7.7 доказывается, что многочлены степени меньшей
или равной чем р —1 содержатся в V,-.
Для / ЩV j мы определяем простой проектор на V j, который интерполирует двоичные отсчеты f( 2 3n):
Ш
4*оо
Ш Ш Ш
Ш Ш Ш ~Ш т
Ш ЗД
п =—оо
Этот проектор не имеет ортогональных свойств, но удовлетворяет равенствам
Pvj/(2^n) = /(2 Jn). Пусть Со —пространство равномерно непрерывных функ­
ций на R. В следующей теореме доказывается, что любая / е Со может быть
приближена с произвольной точностью проекцией JV */ при 24, стремящемся
к нулю.
Глава 7. Вэйвлет-базисы
322
Т е о р е м а Т .2 1 ( Д О Н О Х О ) . П р е л о ж и м , ч т о Ф и м е е т ж с п 0 п е « ц ^
убы вание. Е с л и / 6 С о ,
U rn
J— oo
т0
■<
U - P v , f U =
Д оказат ельст во3.
ьмг.
^
s u p l/W - iV ./W H O -
g i g
j—
»—oo teR
Пусть *(*,/) обозначает модуль непрерывности
oj(5, f )
4
I |Лsu
p
s
u
p
i/(t
I
Һ
)
ml
|<« teR
(7-24°)
=
По определению, / € С о, если lira w(«, Я 1 1
Н Н н Н |Н
Любое i j 1 может быть записано как * | | | 1 1 где » 1 Z и | < 1.
Так как Pv5/ (2Jп) = /(2*п ),
•'
1л?(п+л))-^л2,("+,‘))|!+ ИвіВ
В
I
(П +
Pvt f i ?
.
һ)) - Pv, f{23n)\
В следующей лемме доказывается, что u,(2’,F v3/) j
и
/.
Взятие
точной
верхней
грани
по
|
I
Щ
|
Ч
станта, не зависящая от
дает конечный результат:
s»P)/(*) - Ъ , /(01 < (1 +
t€R
. Я - 0 прИ j
ОО.
Л е м м а 7 .3 . С ущ ест вует С ф > 0 т а к а л , ч т о д л я в сех j € Z и / € С 0
w(2j , PVj / ) < ^ ( 2 j , /)•
(7-241)
Положим j = 0. При |/i| < 1 суммирование по частям дает
+оо
P vJ (t
+ Л) -
P v J {t)
=* £
(/(n + l)-/(n))6»h(*-«).
n=—oo
где
+°°
0/iCO = / 1
+ h — k ) — ф{і
fc )).
fc=i
Следовательно,
^овательни,
ц_оо
| P v 0/ ( t + /і) - i V o / W I < SUP l / ( n + 1) ~ / ( n )l
n€Z
5Z
l0 /l^ “ П^ '
n = —o o
^7-242^
H H
Так как ф имеет экспоненциальное убьшание, существует константа Сф Щ
кая, что если | < 1 и 1 1 R, то Щ Щ |j g | п)| < С ф. Вычисление точной
верхней грани по t в (7.242) дает
ВI
u ( l , P v o Я ^ C ^ s u p | / ( n + 1 ) - / ( n ) | < СфШ{1, f )
n€Z
' •
Масштабирование этого результата на 2* дает (7.241).
■
7.6. Кратномасштабные интерполяции
323
И нтерполяционны е вэйвлеты . Проекция P y .f( t) интерполирует значеУменьшая масштаб в 2 раза, мы получаем более
Pv
+ 1/2)). Это уточнение может быть получено добавлением «подробнокоторые компенсируют разницу между і \ г ,/(2 J‘(n+1/2)) и /(2> (n+ l/2)).
W ,, которое дает значения /(£) в промежуточных двоичных точках t = 2J’(n + 1/2)
точках
вэйвлетпами
Ш П — Фі- l ,2 n + l .
Заметим, что ф^п (£) = ф(2~Н - п), где
ip(t) = ф(2t - 1).
Функция ф на самом деле не вэйвлет, так как она не имеет нулевых моментов.
Однако мы увидим, что она играет ту же самую роль, что и вэйвлет в таком
разложении. Мы определяем W j как пространство всех сумм ]Сп^-оо a\n]^j,nВ следующей теореме доказывается, что это (неортогональное) дополнение V ,
в| | !
Т еорем а 7.22. Д л я любого j е Z
V j - i = V j Ө W j.
Если f € V j_ i, mo
/=
■foo
-foo
] C /(2 Jn) ^ > +
£
n = —OO
djln\b ,n ,
71==—OO
где
di N = /
(« + 1 /2 )) - P v J (2j (n + 1 /2 )).
(7.243)
Доказательство3. Любая / € Vj_i может быть записана в виде
•foo
/В12 ШШШтп = —оо
Функция / - P v j f принадлежит Vj_i и обращается в нуль в точках {2j n}nez.
Поэтому она может быть разложена по промежуточным интерполяционным
функциям ф}- 1,2п+1 = Фі,п:
+оо
f { t ) - P V jf ( t ) =
Т
<*,[«№ ;,«(*) € W j .
П = —ОО
Это доказывает, что V ,_i С V,- ® W j. По построению мы знаем, что W,• С
V/_i, откуда V j - i = V j 0 W j. Задание t = 2j ~1(2n + l) в этой формуле также
подтверждает (7.243).
■
Глава 7. Вэйвлет-базисы
324
Теопема 7 22 уточняет интерполяцию с грубой решетки | | на более точную реТеорема 7.22уточн
Рподро6ноСтей>, коэффициенты И И которых есть
шетку 23
(п + 1 /2 )). Следующая
1/ 2))
рема определяет интерпо.
равномерной сходимости.
Т еопем а 7.23. Если / €
J
ТП
Um
||/
m—*-foo
n=—m
t—*—оо
m
dj Ы Ш й
Ш шЯВ
0.
oo
(7.244)
i=J n = —m
точны х двоичны х реш етках. Д о к а з а т е л ь н о дается Щ
как непрерывной
вВ ■
Ш
aepL
распространить этот результат на любую /
будем писать
J
+оо
/
/(2
71=—ОО
I
-foo
j =—оо 71=—ОО
11
|
гг i
г»/,.
с7 ,1 есть базис Со- В L 2(R) «биортоэто означает, что [{(pj,njnez, \Wj,nSn^.z,j<J\
пппрпрляюттональные» масштабирующие функции и вэйвлеты формально определяются как
4-00
/( 2 J n)
И hn)
— ОО
-foo
dj[n]
(/) ІЙІІ
(7.245)
— ОО
Аналогично
двойственные - ш т ^ =
функции
ЬСЛИ
[{0J,n}n€Z> 1 ||
) имеег у пулъп а
" > ------------ - j —гз-----
-
„л\;
левых моментов. С теми же рассуждениями, что и при доказательстве ||ggg§
теореме 6.4, можно показать, что если / удовлетворяет равномерному услови
Липшица а < р, то существует А > 0 такое, что
I(/, І Й 11 №11 < А П .
Щ
ш
Гладкий сигнал дает при малых масштабах вэйвлет-коэффициенты малой ам
плитуды- Поэтому мы можем пренебречь этими коэффициентами и все gg
по^пнгтпуиповать аппроксимацию f.
ч
7.6. Кратномасштабные интерполяции
325
Б ы стры е вы числения. Интерполяционное вэйвлет-преобразование функ­
ции f вычисляется при масштабах 1 > 2І > N~^ — 2^ по ее отсче­
там { /(iV -1n)}„6Z. При каждом масштабе V значения / между отсчетами
{2Jn}n(zz вычисляются с помощью интерполяции (7.238):
/е=—оо
+00
І
f(2 j k ) h i [ n - k ] ,
(7.246)
к=—оо
где интерполяционный фильтр hi — неполная выборка автокорреляционного
фильтра Һ в (7.226):
hi[n] = ф{п + 1/2) = h[2n + 1].
(7.247)
Вэйвлет-коэффициенты вычисляются с помощью (7.243):
dj [n] = / (2J (п + 1/2)) - /V , / (г* (гг + 1/2)).
Восстановление f ( N ~ 1п) по значениям вэйвлет-коэффициентов выполняет­
ся рекурсивно восстановлением отсчетов /(2 J~1n) по более грубым отсчетам
/(2 Jn) с интерполяцией (7.246), к которой добавляются dj[n]. Если hi[n] —
конечный фильтр длины К и если / имеет носитель в [0,1], то алгоритмы
разложения и восстановления требуют K N умножений и сложений.
Интерполяционная функция Делорье-Дюбюка ф имеет наименьший но­
ситель, несмотря на то, что содержит многочлены степени 2р — 1 в про­
странствах V j . Соответствующий интерполяционный фильтр /ц[п], опреде­
ленный (7.247), имеет 2р ненулевых коэффициентов при —р < п < р , ко­
торые вычисляются в (7.232). Если р = 2, то /ц[1] = 'Һі [—2] = —1/16 и
ЫЩ = /іі[-1] = 9/16. Предположим, что q(t) есть многочлен степени, меньшей
или равной 2 р — 1. Так как q =
q, (7.246) дает интерполяционную формулу
Лагранжа
+00
_
9^
(п + 1/2)) = J 2 д(2?к) hi[n - к].
к=—оо
Фильтр Лагранжа hi длины 2р есть самый короткий фильтр, который восста­
навливает промежуточные значения многочленов степени 2р —1 по равномер­
ной выборке.
Для сужения интерполяционных базисов на конечный отрезок [0,1] при
воспроизведении многочленов степени 2 р — 1, фильтр hi изменяется на грани­
цах. Предположим, что /(JV-1 n) определена при 0 < п < N . При вычислении
интерполяции
+оо
fc= —ОО
Глава 7. Вэйвлет-базисы
326
носитель
если п близко к 0 или к 2 5
[
һАп —к] оставался внутри [0,2 3
P vJ(2
/(2
В I
■
ы[о] I Ц
fc H l1 ig’ Л‘1-2' § 1б ’ Л,'_3' 1 1
Симметричны* граничны* фильтр ■
I
используется, другой стороны,
Я
Ш
п
7.7
Сепарабельные вэйвлет-базисы
j
С любым ортонормированным вэйвлет-базисом й Ы с Ы ® * Н И
с т в а ^ Г * ) м і н о связать сепарабельны* ортонормированный базис L (R \
♦ * .» (* » )} и
,
fJi^t
Функция
Ф Р ^
JE L S L
масштабах У 1 и 2** по х х и х2, чего мы часто хотим избежать,
ное кратное масштабирование ведет к другому построению a
вэйвлет-базисов, элементы которого - произведения функций
^
находят также
визуализации, где они используются для
обработки изображений с различным уровнем детализации. Изоор^кеню, g
более низким уровнем разрешения действительно п р е д с т а в л я ю т с я Щ Щ
_____л „
плгтятпчнүю информацию для решения
_
------ ----------
л
« v л
* » » jt ГЛ ▼ ▼ Т Т Т ЗГ
задачи распознавания
ычисляются с посигнала
МОЩЬЮ иаллиииспю л алгоритма набора
---т фильтров
------- *
'
. . лттпй
гут быть построены и несепарабельные вэйвлет-базисы [78, 239], но они •
часто используются при обработке изображения. В п. 7 .7 .4 строятся сепара­
бельные вэйвлет-базисы любой размерности и разъясняется соответствующи
алгоритм
7.7.1
Сепарабельные кратные масштабирования
(мультиразрешения)
формализуется
ортогональных
/(*1
тогональная проекция /
Поостоанство Ш есть множество всех аппроксимаций с разрешением 2 •
также убывает. Формальное
2
7.7. Сепарабельные вэйвлет-базисы
327
кратного масштабирования (мультиразрешения) аппроксимации { V j } j e z про­
странства L (R2) есть непосредственное расширение определения 7.1, которое
специфицирует кратномасштабные аппроксимации L2 (R ) . Должны удовлетво­
ряться те же условия причинности, полноты и масштабные свойства.
Мы рассматриваем частный случай сепарабельных кратных масштабиро­
ваний. Пусть { V j} je z
кратное масштабирование L2(R). Сепарабельное дву­
мерное кратное масштабирование состоит из пространств тензорных произведений
=
(7.249)
Пространство V 2 — это множество функций конечной энергии /( х 1 , 3:2), пред­
ставляющих собой линейные разложения сепарабельных функций:
-Ьоо
f { x 1 , 3/2 )
У^
9m(*^2)1 где f m G
G V j.
m=—00
В разд. A.5 приводятся сведения о тензорных произведениях. Если {V j}j€z
— кратномасштабная аппроксимация L2(R), то { V ^ — кратномасштабная
аппроксимация L 2(R2).
Теорема 7.1 демонстрирует существование масштабирующей функции ф та­
кой, что
z есть ортонормированный базис V j. Так как V 2 = V j ® V j,
то в теореме А.З доказывается, что при х = (а?і,х^) и n = (ni, П2 )
I
/^ч _ .
уд
л- ^ _ 1
Фі,п\х ) “ Фі,пі\х і ) Фі,п-і \х 2) — 7үі Ф
“ 2ini
V
2in2
v
, , n€za
ортонормированный базис V j. Он получается в результате масштабиро­
вания на 2J двумерной сепарабельной масштабирующей функции ф2(х) =
ф(x i) ф(х2 ) и сдвигом ее по двумерной квадратной решетке с шагом 2J .
П рим ер 7.14. К усочно-постоянная аппроксим ация. Пусть V j — аппроксимационное пространство функций, которые постоянны на [2Jm, 2Ңт + 1)]
при любом т € Z. Тензорное произведение определяет двумерную кусочно­
постоянную аппроксимацию. Пространство V 2 есть множество функций, ко­
торые постоянны на любом квадрате [2Jn i,2 J (ni + 1)] х [2J пг, 2J (пг + 1)] при
(пь п2) € Z2. Двумерная масштабирующая функция есть
хи
\
xi
\л /
\
j
ф ( х ) = ф(х1)ф(Х2 ) = < л
7
' ' ’
1 0
если
и
0 < Х 2 < 1 ,
в других точках.
П рим ер 7.15. А ппроксим ация Ш еннона. Пусть V j — пространство
функций, преобразование Фурье которых имеет носитель, содержащийся в
2~37г,2~37г\. Пространство V 2 есть множество функций, двумерное преоб­
разование шФурье
которых
имеет
носитель,
содержащийся
в
низкочастотном
*I #
^ •
«й/
ш
•
<■>
квадрате [—2- J 7r, 2- -77г] х [—2§Sg|2“'77г]. Двумерная масштабирующгія функ­
ция — это двумерный точный низкочастотный фильтр, преобразование Фурье
которого есть
Ф М/ ФvМ y = {1 0Һ
если
w
"
в других точках.
w
-
Глава 7. Вэйвлет-базисы
328
Сплайн-аппроксимация Пусть V j — пространство полинос
узлами
И Ш
S S S I степени " которые п р о л е ж а т Щ
Ц состоит из двумерных полиноточках
1 раз непрерывно дифференцируемы.
І -а
_ VV
■ А
^ VV
миальных сплайн
Гужрние
f( хл х?) 1 V? на любой квадрат р Я ,
сужение
^ з
,
лвух многочленов степени не
есть сепарабельное произведение q\{x\)q2\?4) №
больше р.
К р а т н о м а с ш т а б н а я визуализация. Изображение из 5121512 пикселей ча­
ст^ содержит слишком много информации для обработки зрительного объектт я
т а з а реальное п р ем , Н
Щ
Ш
Н
изображения
для решения конкретной задачи распознавания
аналогичную
Ш
Н В а на сетчатке глаза не рапномерно. О стр о т зретия напбольфШор центре
ц
нсетчатки, где плотность
____ _
_
_
максимальна.
При
удалении
рецепторо
шая
пропорционально
чатки [305].
фовеа
чает за ььшилпспи^ задач* *—*---------- *
или распознавание. Сетчатка с равномерным разрешениемЖ > а в н ь ш Щ Ц
му разрешению фовеа, должна была бы требовать примерно в 1000 раз больше
фоторецепторов. Сетчатка с таким равномерным разрешением должна была
бы привести к значительному увеличению числа зрительных нервов, которые
*
______ пж тт£*«п*тү£*тія vnnM ГОЛОВНОГО
инфор
мозга, и размера области коры, которая обрабатьшает эти данные.
Р и с. 7.23. Кратномасштабные аппроксимации а^[пі,п 2] изображения с м
штабами 2j при - 5 > j > -8 .
Я
Активные зрительные стратегии [76 (статья)] компенсируют нераввомер*
7.7. Сепарабельные вэйвлет-базисы
329
ность зрительного разрешения с помощью глазных мышц, которые последо­
вательно сдвигают фовеа на области объекта с высоким информационным со­
держанием. Эти мышцы частично управляются информацией низкого разре­
шения, собранной с периферии сетчатки. Такой мультиразрешающий сенсор
имеет то преимущество, что он обеспечивает информацию высокого разреше­
ния иэ выбранных областей, а также широкое поле зрения с помощью относи­
тельно малого количества данных.
Кратномасштабные алгоритмы, реализованные в программном матобеспе­
чении [107], осуществляют поиск важных данных высокого разрешения. Рав­
номерное изображение высокого разрешения измеряется воспроизводящей ка­
мерой, но обрабатывается только малая часть этой информации. Рис. 7.23
приводит пирамиду изображений все более низкого разрешения, вычисленных
с помощью набора фильтров, приведенного в п. 7.7.3. Переходя от грубых к
более точным, алгоритмы сначала анализируют изображения низкого разре­
шения и выборочно увеличивают разрешение в областях, где требуется более
подробное изображение. Такие алгоритмы были разработаны для распознава­
ния объектов и стереовычислений [196]. В п. 11.5.1 объяснено, как вычислить
векторы скорости в видеопоследовательностях при переходе от более грубых
к более точным согласующим алгоритмам.
7.7.2
Двумерные вэйвлет-базисы
Сепарабельные ортонормированные вэйвлет-базисы L2(R2) строятся с помо­
щью сепарабельных произведений масштабирующей функции ф и вэйвлета ф.
Масштабирующая функция ф связана с одномерной кратномасштабной ап­
проксимацией {VjJjez- Пусть
г — сепарабельное двумерное кратное
масштабирование (мультиразрешение), определенное как V 2 = V j ® V j . Пусть
W f — пространство подробностей, равное ортогональному дополнению аппроксимационного пространства более низкого разрешения V j в V?
V j_! - v |
II
0 W j.
(7.250)
Чтобы сконструировать ортонормированный вэйвлет-базис L2 (Ж2), следую­
щая теорема строит вэйвлет-базис каждого пространства подробностей W |.
Теорема 7.24. Пусть ф — масштабирующая функция и ф — соответству­
ющий вэйвлет, порождающий ортонормированный базис L2(R). Определим
три вэйвлета:
фг(х) = ф(х i) ф{х 2),
и обозначим
ф2(х) = ф{хх) ф{х2),
ф3{х) = гр{хі) jflHfc
(7.251)
Глава 7. Вэйвлет-базисы
330
при 1 < к < 3. Тогда семейство
эйвлетов
ортонормированный базис W j «
■■
{ $ ,« . $,»» ^i.n}(j,n)ez*
^7'253^
ортонормированный базис L2(R ).
Д о к а з а т е л ь с т в о 1.
Уравнение (7.250) переписывается в виде
V j-> ® V j-, = (V j® V j)® W ?.
(7.254)
j Я „„лотпаигтно V ;_i может быть также разлоОдномерное кратномасштабное пространство J 1
Ц § Щ дастрибужено: V j_i = Vj ® W j. При подстановке этой формулы в (7.2М) из дистриоу
тивности 0 относительно ® следует, что
л,
(7.255)
w ? = (Vj ® W j) 0 (Wj <g>Vj) ® (Wj <g>W j).
Так как И
Н
1« Щ
| ортонормированные базисы
Vj
и W j,
ми
выводим, что
{Фі.т ( х і ) i>j,n2 Ы , V»j,m Ы
( * 2), t/»j,nx ( * l
Ip i! Ы
> ( П1 ,na)€ZJ
I ортонормированный базис W 1. Как и в одномерном случае полное^остранство L2(R2) может быть разложено в ортогональную сумму простравств
подробностей при всех разрешениях.
ЩШ■
В
Следовательно,
{Ф і,п і ( ж і ) Ш п г ( * 2 ) , ФһП! ( ® і ) Фі,п2 ( х г ) , Фі.п 1 ( Щ щ М I ( Ж2)^ (і.п і,г» з)е* 3
■
ортонормированный базис L2(R ).
Три вэйвлета извлекают подробности изображения при различных масштаба^
и ориентациях. Для положительных частот ф и ф имеют энергию, в осяо™
сосредоточенную соответственно в [0,7г] и [7г,27г]. Выражения для сепар
ных вэйвлетов (7.251) означают, что
4 > \ и и и 2) = ф(ш| § |§ j |
А
ф \^ г ) р Ф М Ф М
= ЩЩ\)Ф(^2)- Поэтому \фг(шиш2)\ велик при низких горизон
Ф
частотах
wi
и
высоких
вертикальных
частотах
Н
в
то
время
как
тальных
\ф2(их,Ш2 )\ велик при высоких горизонтальных
частотах, И
в е л и к Щ Ш н ы ш л и л горизонтальных ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
частотах. Рис. 7.24 изображает преобразование Фурье сепарабельных
ов и масштабирующих функций, вычисленное по одномерным вэйвл
j 2)
7.7. Сепарабельные вэйвлет-базисы
331
Добеши 4. Вэйвлет-коэффициенты, вычисленные с ф1 и ф2, велики вдоль со­
ответственно горизонтальных и вертикальных перепадов функции. Это ил­
люстрируется разложением квадрата на рис. 7.26. Вэйвлет ф3 дает большие
коэффициенты в углах.
П рим ер 7.17. Для кратномасштабной аппроксимации Шеннона результиру­
ющий двумерный вэйвлет-базис точно покрывает двумерную Фурье-плоскость
(usi,u>2 ) растянутыми прямоугольниками. Преобразования Фурье ф и ф — ха­
рактеристические функции соответственно [—7г,7г] и [—27г, —7г] U [7г,27г]. Сепа­
рабельное простралство V? содержит функции, двумерные преобразования
Фурье которых имеют носитель, содержащийся в низкочастотном квадра­
те [—2”-77г,2“^7г] х [—2"”-77г, 2“J7r]. Э то соответствует носителю 4&п, указанно­
му на рис. 7.25. Пространство подробностей W ? есть ортогональное дополне­
ние
и поэтому содержит функции, преобразования Фурье которых
имеют носитель в частотном прямоугольном кольце между двумя квадрата­
ми [-2-*тг, 2-*тг] х [ - 2 “ ^7г, 2-*тг] и [ - 2 ^ + 1 7 г ,2 “ «#+ 1 7г] х [ - 2 ^ + 1 7 г , 2 ^ + 1 тг]. Как
показано на рис. 7.25, это кольцо разбивается
на
три
сепарабельные
частотА■
ные области, которыми являются носители ф^п при 1 < А: < 3. Растяжение
этих носителей для всех масштабов 2J дает точное покрытие частотной плос­
кости (Wl,U/2).
Для общих сепарабельных вэйвлет-базисов рис. 7.25 дает только указание
на области, где сконцентрирована энергия различных вэйвлетов. Когда вэй­
влеты построены с помощью одномерного вэйвлета с компактным носителем,
результирующие преобразования Фурье имеют боковые максимумы модуля,
которые появляются на рис. 7.24.
П рим ер 7.18. Рис. 7.26 дает два примера вэйвлет-преобразований, вычис­
ленных с использованием сепарабельных вэйвлетов Добеши с р = 4 нулевы­
ми моментами. Они вычисляются с помощью алгоритма набора фильтров из
п. 7.7.3. Коэффициенты большой амплитуды среди rfj, Ц и Щ соответствуют
вертикальным высоким частотам (линии перепада параллельные горизонта­
лям), горизонтальным высоким частотам (линии перепада параллельные вер­
тикалям) и высоким частотам в обоих направлениях (линии перепада прохо­
дят под углом). Области, где интенсивность изображения меняется гладко,
дают почти нулевые коэффициенты, показанные серым цветом. Большое чис­
ло почти нулевых коэффициентов делает их особенно привлекательными при
компактном кодировании изображения.
С епарабельны е биортогональны е базисы . Одномерные биортогональ­
ные вэйвлет-базисы обобщаются на сепарабельные биортогональные вэйвлетбазисы
пространства
L2(R2)
с
помощью
того
же
подхода,
как
и
в
теореме
7.24.
^ ~
*»
яшк . л*
Пусть ф, Щ и ф, ф — две пары двойственных масштабирующих функций и
вэйвлетов, которые порождают биортогональные вэйвлет-базисы L2(R). Вэй­
влеты, двойственные вэйвлетам ф1, ф2 и ф3, заданным формулой (7.251), опре­
деляются равенствами
ф1(х) - ф(х і) ф(х2),
ф2(х) = ф{х i ) И Я
Ф3(х) У ф{х х)ЩЩЦ
(7.257)
Глава 7. Вэйвлет-базисы
332
Можно убедиться, что
{^],ш V'j.n'
и
{ $ ,» ’
(7.258)
} (j,n)eZ3
(7.259)
} (j,„ )ez3
биортогональные базисы Рисса пространства L 2 (R2)
08
-1 0
-m
-10
-to
•to
Преобразования Фурье сепарабельной масштабирующей функции
вэйвлетов,
вычисленные
по
одномерному
вэйвлету
и трех сепарабе
Добеши 4.
7.7.3
Б ы строе двум ерное вэйвлет-преобразование
Алгоритм быстрого вэйвлет-преобразования, представленный в п. 7.3.1, про­
должается на два измерения. Д ля всех масштабов 2-* и при любых п = (ni.nj)
мы обозначим
« iW = </*ФІхі)
и
rf}N = ( / ,< n >
при
i <I t |
Jj
Д л я любой пары одномерных фильтров у [т] и z[m] мы записываем фильтр
произведения yz[n\ - y(ni]z[n2) и $[т] = у [ - т ] . Пусть h[m] и д[т\ — сопря­
женные зеркальные фильтры, связанные с вэйвлетом “ф.
■%1
Вэйвлет-коэффициенты масштаба 2*+1 вычисляются по Щ с помощью ДВУ*
мерных сепарабельных сверток и неполных выборок. Формула разложен**
получается применением одномерных формул свертки (7.108) и (7.107)
мы 7.7 к сепарабельным двумерным вэйвлетам и масштабирующим функции*
7.7. Сепарабельные вэйвлет-базисы
333
л СО.
¥ я
Аз
Vj
А2
Vj-i
лз
Ак 1
Vь
Л з
Л2
Vi
Л3
А1
Аз
Vi
Vi
А2
Фі
Aj
Л 2
Vi
Vj 1
лі
Vi1
Vi
з
Yj-i
л
VH
Л 1
Vj-1
-CD,
Аз
Vi
Л з
Vj-i
Рис. 7.25. Эти двоичные прямоугольники указывают области, где в основ­
ном сосредоточена энергия фкп при
к
Изображение аппроксимаций
при масштабе 23 сужено на низкочастотный квадрат.
1< <3.
при п = (пі,ті 2 ):
aj+ 1м
d)+1[n)
= aj * hh[2n),
== aj * hg [2n],
(7.260)
(7.261)
Щ+1[П\
:= aj*gh[ 2n],
(7.262)
1 1 iN
:|
(7.263)
aj-kgg[2n).
Мы показали в (3.53), что сепарабельная двумерная свертка может быть раз­
бита на произведения одномерных сверток по строкам и столбцам изображе­
ния. С помощью факторизации, изображенной на рис. 7.27 (а), эти четыре
уравнения свертки вычисляются с помощью шести групп одномерных свер­
ток. Сначала свертываются строки aj с Һ и д и выполняется двоичная непол­
ная выборка. Столбцы этих двух изображений на выходе свертываются с Я и
д, и выполняется неполная выборка, что дает четыре изображения с неполной
выборкой a,j+1 , dj+1, dj+1 и d®+1.
Мы обозначим через у[п] Щ y[nj,пг] изображение удвоенного размера по
сравнению с у[п], полученное подстановкой нулевых строк и столбцов между
парами соответствующих строк и столбцов. Приближение aj восстанавливает­
ся по аппроксимации грубого масштаба aJ+i и вэйвлет-коэффициентам
с
помощью двумерных сепарабельных сверток, выведенных из одномерной фор­
мулы восстановления (7.109):
аі[п] = ^ +і*һһ[п] + ^ +1-кһд[п) + ^ +1* д һ [ п ] + ^ +1-кдд[п].
(7.264)
Глава 7. Вэйвлет-базисы
334
dL
dL dL
U l. j
dL*a
L+1
db+2
1*1
v v i «-V
а :мШ 1шШ
Щ
ж
3
■
№S#
мж Л Ш
ПФ
нШ
Е
Нмг^Ш!
3» ,-і ^,ч3--^-2к';
ЯЙ,>-. ;'-V
tcSEP?
Р и с . 7.26. Сепарабельные вэйвлет-преобразования Лены и белого квадрата
на черном фоне, разложенные соответственно по трем и четырем октавам.
Белые, серые и черные пиксели отвечают соответственно положительным,
нулевым и отрицательным коэффициентам. Расположение вэйвлет-коэффи­
циентов изображения [п,тп]=(/, ф ^п) изображено наверху рисунка.
Эти четыре сепарабельные свертки такж е могут быть факторизованы на шесть
групп одномерных сверток по строкам и столбцам, как это изображено на
рис. 7.27 (б). Пусть 6[п] — входное изображение, пиксели которого имеют рас­
стояние 2 l = JV- 1 . Мы связываем с Ь[п\ функцию / ( я ) € V £ , аппроксими­
рованную с масштабом 2Ь. Ее коэффициенты аіДп] = (/,<££,„) определены
согласно формуле (7.116):
' ■,Л1
6[n] = Nab[n] ~ /(7 V - 1 n ).
**. Ц
Вэйвлет-представление изображения сьь вычисляется итерацией (7.260)(7.263) при L < j < J:
,„ пол
Изображение !q§§ восстанавливается по его вэйвлет-представлению вычислени­
ем (7.264) при J > j > L.
7.7. Сепарабельные вэйвлет-базисы
335
■
К онечное изображ ен ие и слож ность. Когда а^, — конечное изображение
из N 2 пикселей, мы сталкиваемся с граничными проблемами при вычислении
сверток (7.260)-(7.264). Так как алгоритм разложения сепарабелен по строкам
и столбцам, то мы используем один из трех одномерных граничных методов,
описанных в разд. 7.5. Результирующие значения — это коэффициенты раз­
ложения в вэйвлет-базисе пространства L2[0,1]2. В зависимости от трактовки
граничной задачи этот вэйвлет-базис есть периодический базис, отраженный
базис или гранично-адаптированный базис.
Строки
Столбцы
1
'J+1
,1
d +1
d?5+1
°f+i
(а)
Столбцы
ГМ
'і+і
Строки
Һ
9
d?]+і
\2
Һ
\2
.. 9
(б)
Рис. 7.27. (а) Разложение Щ с помощью шести групп одномерных сверток и
неполных выборок вдоль строк и столбцов изображения, (б) Восстановление
между строками и столбцами
и dh ,, и фильтрацией
Результирующие изображения aj и d* имеют 2“2? отсчетов. Поэтому изоб­
ражения вэйвлет-представления (7.266) содержат всего N 2 отсчетов. Если Һ
и д имеют длину К , читатель может проверить, что для вычисления че­
тырех сверток (7.260)-(7.263) с факторизацией, показанной на рис. 7.27 (а),
Глава 7. Вэйвлет-базисы
336
необходимо 2 K 2 - 2V ~ l) умножений и сложений. Следовательно, вэйвлетпредставление (7.266) вычисляется за количество операций, меньше чем
§ K N 2. Восстановление аь с факторизацией уравнения восстановления (7.264)
требует того же количества операций.
ДШ Я
Б ы с т р о е б и о р то го н ал ь н о е в э й в л е т -п р е о б р а зо в а н и е . Разложение изоб­
ражения по биортогональному вэйвлет-базису выполняется с помощью того
ж е быстрого алгоритма вэйвлет-преобразования. Пусть \h ,g )
точные филь­
тры восстановления, связанные с (ft, я). Обратное вэйвлет-преобразование вы­
числяется заменой фильтров {h,g), которые появляются в (7.264) фильтра­
ми (ft, д).
7.7.4
' . .J
В эйвлет-базисы при больш их и зм ер ен и ях2
Сепарабельные ортонормированные вэйвлет-базисы пространства L2(RP)
строятся при любом р > 2 с помощью той же процедуры, что и в двумер­
ном случае. Пусть ф — масштабирующая функция и <ф — вэйвлет, который
дает ортогональный базис L 2(R). Мы обозначим 0° = ф и Ө1 = гр. С любым
целым 0 < е < 2Р, записанным в двоичном виде е = ci . . . е р, мы связываем
функции оппепеленные для х — (хл, . 1. , х„) формулой
■ф*{х) = Өеі ( х і ) . . . Өеп ( хр) .
мерную масштабирующую функцию
При е
гр°(х) = ф {х \ ) . . . ф(хр).
■
Ненулевые индексы е соответствуют 2Р —1 вэйв летам. При любом масштабе V
и при и = (ть1 , . . . , тір) мы обозначим
'
|Ш
1
В |.. ц
23
*
’
1
1
2J
Семейство, полученное раст яж ением
Ф
1 вэй-
(7.267)
1<«<2 р , (i,n)e ZP+1
есть ортонормированный базис L 2(RP).
Шя
Доказательство получается индукцией по р. Оно следует теми же этапами,
что и доказательство теоремы 7.24, которое связывает сепарабельный вэйвлетбазис L 2(R2) с вэйвлет-базисом L 2(R). При р = 2 базис (7.267) содержит 3
элементарных вэйвлета. При р = 3 имеется 7 различных вэйвлетов.
Б ы с т р о е в э й в л е т -п р е о б р а зо в а н и е . Пусть Ь[п] есть р-мерный дискретны й
сигнал на входе с шагом TV-1 = 2L. Мы связываем с Ь[п] а п п р о к с и м а ц и ю щй
масштабом 2L, масштабные коэффициенты которой аЩШ = {/, V’L.n) УДовле"
творяю т соотношениям
b[n] = N p/ 2 а Л п ] яз f ( N
1п)
337
7.7. Сепарабельные вэйвлет-базисы
Вэйвлет-коэффициенты / при масштабах р > 2L вычисляются с помощью
сигнала
обозначим
Л
aj N = (Л Фз,п)
и
4 [п] = ( /,
при
0 < б < 2Р.
Быстрое вэйвлет-преобразование вычисляется с помощью фильтров, представ­
ляющих собой сепарабельные произведения одномерных фильтров Һ и д. Се­
парабельный р-мерный низкочастотный фильтр есть
/г [гг] = Л,[щ] ... h[np\.
V
Обозначим u°[m] = /i[ra] и tz1[A] = <7[га]. С любым целым | = Я .. .€р, записан­
ным в двоичном виде, мы связываем сепарабельный р-мерный диапазонный
фильтр
де[п] = u€l [ni] ... u€p[rip].
Пусть де[п] = д€[—п]. Можно убедиться, что
a^+i [n]
=
aj * h° [2n],
(7.268)
^j+iW ' == %**5€[2n].
(7.269)
Мы обозначим через y[n] сигнал, полученный добавлением нулей между
любыми двумя отсчетами у[п], которые являются смежными в р-мерной ре­
каждого
шетке п
Мр
выполняется по формуле
р
aj[n] Щ aj+ 1 * h°[n] +
★д€[п].
(7.270)
c=i
2P сепарабельных сверток, необходимых для вычисления aj и {^}і<с< 2р5
также как и для восстановления (7.270), могут быть факторизованы в 2Р+1 —2
сигналов
мерного случая, проиллюстрированного на рис. 7.27. Вэйвлет-представление
аь есть
.
l< e < 2 P ,L < j< J > O JJ •
(7.271)
Оно вычисляется итерацией (7.268) и (7.269) при L < j < J. Восстановле­
ние aj, выполняется с помощью последовательного восстановления (7.270) при
J >j
> L.
Если аь — конечный сигнал размера N p, то одномерные свертки моди­
фицируются с помощью одного из трех граничных методов, описанных в
разд. 7.5. Результирующий алгоритм вычисляет коэффициенты разложения
по сепарабельному вэйвлет-базису L2[0,1]р. Сигналы Qj и dj имеют 2-w от­
счетов. Как и a i , вэйвлет-представление (7.271) состоит из N p отсчетов. Ес­
ли фильтр Һ имеет К ненулевых значений, то сепарабельная факториза­
ция (7.268) и (7.269) требует рК 2~р^ ~ ^ умножений и сложений. Поэтому
вэйвлет-представление (7.271) вычисляется меньше чем за р(1 —2 ~P)~1K N P
умножений и сложений. Восстановление выполняется за такое же количество
операций.
Глава 7. Вэйвлет-базисы
338
7.8
Задачи
Пусть
1
1
сопряженный
зеркальный
фильтр,
связанный
с
масштабирую*»
7.1.
функцией ф.
(а) Доказать, что если | | | | имеет нуль порядка | в точке тг, то </>(,)(2 Ь ) - О
при любых к Е Z — {0} и I < р -
-
(б) Вывести, что если q < р, то J2^=-oo п*
= ^-оо 4 Ф(і)&.
7.2. 1 Доказать, что £ п = -о о <^(*-п) = 1, если ф - ортогональная масштабирующая
функция.
‘
7.3. I Пусть фт - масштабирующая функция Баттла-Лемарье степени т , опреде­
ленная в (7.23). Пусть ф - масштабирующая функция Шеннона, определенная
равенством ф = lj-*,»]* Доказать, что ^ ііт ^ ||$ т
011 — ®»
7.4. 1 Предположим, что h[n] отличен от нуля толькопри 0
m[n] = л/2 /i[n]. Масштабное уравнение — Щ = £ „ = о 171N
Обозначим
Ц
(а) Предположим, что К = 2. Доказать, что если | - двоичное число, которое
может быть записано в двоичном виде с | разрядами: | - О.еіег
где
£fe 1 {0 ,1 }, то ф(І) есть произведение
.
ф(І) = m[e0] х m [ei] х • • • ж m[e<] | ф(0).
(б) При К = 2 показать, что если т [0 ] = 4 /3 и т [1 ] = 2 /3 , то </»(*) имеет
особенность во всех двоичных точках. Численно проверить с помощью
WAVEbAB’a, что результирующее масштабное уравнение не определяет
функцию ф с конечной
две
ный вектор Ф(і) = Ш )г <№+!)* ••••І в Ш
удовлетворяет равенству
Ф(і) = М[0] Ф(2і) + М[ 1] Ф(2* - 1).
двоичного
t = 0 .бі£2 • **€і с помощью произведения матриц:
Ф(і) = М[ео] х M[ei] х • • • х М[е<] х Ф(0).
7.5. 1 Определим
+оо
фк+lit) = \/2 У ) | Й
- п),
п = —ОО
где
= l[o,i] и % Н = (Фк(і),фк{і —п)).
(а) Пусть
Р /И
11( | л ф | 2/ ( | ) 1Ш§* ) |7 ( § IЯ
•
Доказать, что а*+і(о>) = Ра* (u;).
(б) Доказать, что если существует ф такое, что limfc-*+oo
= 0, то 1есть
собственное число Р и ф(и>) = Пр^і <
2~1^2к(2~рш). Какова степень свободы
<£о для того, чтобы имела место сходимость к тому же пределу
7.8. Задачи
339
для сопряженных
фильтров Добеши
итераций необходимо
для выполнения неравенства \\фк - ф\\ < и г 4? Постарайтесь улучшить
скорость сходимости, изменяя ф0.
7.6.
Пусть Ь[п\ = /(JV п) с 2l = iV 1 и / Е V l. Мы хотим восстановить
аь[п] = ( /, фь,п) по Ь[п], чтобы вычислить вэйвлет-коэффициенты / с помо­
щью теоремы 7.7.
(а) Пусть fo[n] = 2 - ^ 2ф(2~ьп). Доказать, что 6[п] = чі*фі,[п].
Для
+оо
/е=—оо
то аь может быть вычислено по b с помощью устойчивого фильтра ф1/1[п].
(в) Если ф кубическая масштабирующая сплайн-функция, численно опре­
делить фь [п]. При заданной вычислительной точности сравнить число
операций, необходимое для вычисления аь по Ь, с числом операций, необ­
ходимым для вычисления быстрого вэйвлет-преобразования аь.
(г) Показать, что вычисление аь по b эквивалентно выполнению замены ба­
зиса в V l из интерполяционного базиса Рисса на ортонормированный
базис.
7.7. 1 Квадратурные зеркальные фильтры. Мы определяем многоскоростной набор
фильтров из четырех фильтров h, g,h и у, которые раскладывают сигнал ао И I
а\ [п] = ао * h[2n],
d\ [п] = ао ★&[2п].
Используя обозначение (7.106), мы восстанавливаем
йо[п] = а \ ★ h[n] + d \
* д[п].
(а) Доказать, что а0[п] = а0[п - /], если
д(ш) = һ(ш + тг),
К(и) = h(w)}
д(и) = —һ(ш + п)
и Һ удовлетворяет квадратурному зеркальному условию
һ2(ш) —Л2(ы + тг) = 2e~<lw.
(б) Доказать, что I —обязательно нечетно.
(в) Убедиться, что фильтр Хаара (7.51) есть квадратурный зеркальный
фильтр (это единственное решение с конечным импульсным откликом).
7.8. 1 Пусть / —функция с носителем [0,1), которая равна различным многочленам
степени q на отрезках {{n,
где г0 = 0 и тк = 1. Пусть ф - вэйвлет
моментами
левых вэйвлет-коэффициентов
это число?
Глава 7. Вэйвлет-базисы
340
7.9. ‘ Пусть в
1
сплайн-бокс степени ш, полученный m 1 1-кратной сверткой Ж
с собой.
(а) Доказать, нто
где
1
* £ ( - ! ) * ( ™ + 1 ) «< - І і + Г .
[ |] | I шах(ж, 0 ) . Подсказка: записать 1 [о,i]
Пусть А
(б) Пусть m
ждения
|
1 [о,+ оо)
1 (1 .+ « )
и Вт - границы Рисса для № - n)}n6z- С помощью утвер------
-j-оо
/
п
— + 0 0 . Вычислить А т И Вт При
J-'m
т е {о, .. • , 5} с помощью МлтЬлв’а.
7.10. 1 Доказать, что если Ш « Ь ,« )6г» 1 ортонормированный базис L (К ^то для
всех ш £ К — {0} ^1"°° |т/?(2^си?)|2 = 1. Построить пример, показывающий, что
обратное утверждение неверно.
7.11. 2 Определим
:
І •••.;
если 4тг/7 < М < тг или 4тг < \ш\ < 4тг 14тг/7,
в других точках.
,ч.
1,
гр(ш) — ^ 0
Доказать что {ipj п }(, п)ег2 есть ортонормированный базис L2(R). Доказать,
что ф не связан с масштабирующей функцией ф, порождающей кратномасаппроксимацию
эквивалентное
фильтр
7 13 I Доказать, что И
Шш
р нулевых моментов тогда и только тогда, когда
при всех j > 0 дискретные вэйвлеты ^ [п], определенные в (7.145), имеют |
нулевых моментов:
ВййнВІ
ПРИ 0 < к < р .
п = —оо
7.14. 1 Пусть
— вэйвлет с компактным носителем, вычисленный с^помощьго
сопряженных зеркальных фильтров Добеши ( h,g ). Пусть V’j.nW
Ц
t/>'(2~4—ri) — производные вэйвлеты.
.-I к
(а) Убедиться, что hi и д и определенные формулами
һі(ш) = 2һ(ш){еіш - I)" 1,
Н
ді(ш) = 2(еіш - 1) д(ш),
— это конечные фильтры импульсного отклика для этих вэйвлетов.
(б) Доказать, что преобразование Фурье ф \ і ) может быть записано в виде
г
* Зі(2“ Ч
г ? Ь і(2 "М
(в) Описать быстрый алгоритм набора фильтров для вычисления производ
ных вэйвлет-коэффициентов ( / , ^ |П) [95].
.
7.15. 2 Пусть ф(£) — вэйвлет с компактным носителем, вычисленный с помощью с
пряженных зеркальных фильтров Добеши
Пусть ha(v) = \h(w)\ • Можно
убедиться, что фа{и>) = ф(и)ка(ш/4 —тг/2) есть почти аналитический вэйвлет.
7.8. Задачи
341
(а) Доказать, что фа — компактный вэйвлет такой, что Re [*фа] = ф.
(б) Вычислить г/>а(и>) в МлтЬАВ’е для вэйвлета Добеши с четырьмя нулевыми
моментами. Объяснить, почему фа{и) ~ 0 при си < 0.
(в) Пусть ф^п(Ь) = 2 ^ 2фа(2~Н —ть). Используя тот факт, что
_ 9{2 гш) Һ{2 2ш) \Һ{2 2си —2
'
-
V2
VI
17 г )|2 ун г
к(2~ки)
VI
показать, что можно изменить алгоритм быстрого вэйвлет-преобразования для вычисления «аналитических» вэйвлет-коэффициентов ( /, ^?,п)
введением нового фильтра.
(г) Пусть ф — масштабирующая функция, связанная с |jj. Мы определим се­
парабельные двумерные «аналитические» вэйвлеты равенствами:
V»x(®) = ipa(xi) ф(х2),
il>2(x) = ф(хі) іра(х2),
v»3(x) = іра(хі) г/>а(х2), xjA{x) = фа(хі) tl}a( - x 2).
Пусть ipjin(x) = 2~^ipk(2~j x —n) при n € Z2. Изменить сепарабельный
алгоритм набора фильтров в п. 7.7.3 для вычисления «аналитических»
вэйвлет-коэффициентов (/,ф%іП).
(д) Доказать, что { ^ j tn}i<k< 4,jez,nez2 есть каркас пространства веществен­
ных функций / Е L2(R2) [95].
7.16.
Мультивэйвлеты. Определим следующие две масштабирующие функции:
Фі(і) = <£і(2*) + <М2* - 1),
(а) Вычислить функции фі и ф2. Доказать, что {ф\(і - n ) ^ 2{t - n )}„ Gz есть
ортонормированный базис пространства Vo, который будет определен.
(б) Найти ф\ и ф2 с носителем на [0,1], которые ортогональны друг другу и
ф\ и ф2.
7.17. 2 Пусть / отр — отраженная функция, определенная в (7.210).
(а) Пусть a(t),/3(t) Е L2(R) — две функции, которые симметричны или анти­
симметричны относительно t = 0. Если (<*(£),/3(£ + 2fc)) = 0 и (a(£),/3(2fc —
£)) = 0 при всех fc Е Z, то доказать, что
J 1 a orp( t ) p orp(t)dt = 0.
(б) Доказать, что если ф}щ ф, ф симметричны или антисимметричны относи­
тельно £ = 1/2 или t = 0 и порождают биортогональные базисы L2(R), то
отраженные базисы (7.212) и (7.213) — биортогональные базисы L2[0 ,1].
Подсказка: применить тот же подход, что и в теореме 7.16.
7.18.
Рекурсивный фильтр имеет преобразование Фурье, которое есть отношение
тригонометрических многочленов, как в (2.31).
Глава 7. Вэйвлет-базисы
342
Ц
1
ВДЯ
11
Пусть р[п] Һ * В Д , где
в
У б в д га ся . ™ И Я
|§ Щ
Ш Я И 2____ , ™ зеркальный
л т ,н ы й *и л ь тр ,тор 1 н -р (и + » ) I І исущесгают
Ш
= tk= i 1 r[fc]e-<fcwтакое>что
2|г(и>)|
(б) Предположим, что К четное и г [Я /2 Ц1 —к] В
(7.273)
|g g 1 1
Убедиться, что
_____f f a ) 1
(7.274)
РИ | 2|f(w) I f t + Я
11 \ _ Ц 1
; чр
и Ц _ р вычислить h(w) с поме
В ризации (7.274) и убедиться, что это - устойчивый фильтр (задача 3.8).
Вычислить и нарисовать с помощью WAVELAB’a график соответствующего вэйвлета $(t)*
Щ Й ІІщ И
Предположим, что
удовлетворяющих
(а) Доказать, что
щ| j Iн | Щ| Щ И111п ВII”1
определяют новую пару фильтров точного восстановления. Убедиться
соответственно
ЧТО Щ1
И Ннов|Щ
меньше в точке 7Г, чем һ(ш) и һ(ш) [68].
А
-г - •
I
(б) Фильтры Делорье-Дюбюка — это һ(и>) = 1 и
Цш) = i - ( - e ~ 3iw + 9 e 'iw + 16 + 9e‘w - e3iw).
j
Вычислить h„OB и Я„ов И соответствующие биортогональные вэйвлеты
уравновешивания
ib
нов
7.20. 1 Улучшение (Лифтинг) . Фильтр (7.192) вычисляется улучшением ленивых
сЬильтпов. Найти двойственное улучшение, которое дает улучшенный фильтр
длины
__ ___ Щ _____ ые вэйвлеты и масштабирующие функции.
W aveL ab’е соответствующее быстрое вэйвлет-преобразование и
с помощью многофазного разложения, проиллюстрированного н
1 Д ля интерполяционного вэйвлета Делорье-Дю бю ка степени
двойственный
Убедиться, чт
интерполяционная
сходится
7.23. 2 Пусть ф — автокорреляционная масштабирующая функция, которая воспро1 как в (7.229). Доказать, что если / удовлеизводит
>и
тех
ж
е
предположениях,
ж
- ■——---- х--------- j -------------- :-- ----------- - j r *
г
что и в теореме 7.21, существует К > 0 такое, что
1 ! /- /Ч /||о р < я :2 а,\
7.8. Задачи
343
7.24. 1 Пусть ф(Ь) — интерполяционная функция, которая порождает интерполяци­
онный вэйвлет-базис пространства Co(R). Построить сепарабельный интерпо­
ляционный вэйвлет-базис пространства Со(Кр) равномерно непрерывных
р-мерных сигналов f ( x і , . . . , х р). Подсказка: построить 2Р — 1 интерполяцион­
ных вэйвлетов, сдвигая нужным образом ф{х\) • • • ф(хр).
7.25.
Дробное броуновское движение. Пусть ф(і) — вэйвлет с компактным носи­
телем и р нулевыми моментами, который порождает ортонормированный ба­
зис L (R). Ковариация дробного броуновского движения В ң(і) дается форму­
лой (6.93).
I
(а) Доказать, что Е{\{В н , фj ,п)\2} пропорционально 2^2И+1К Подсказка: ис­
пользовать задачу 6.15.
щ
(б) Доказать, что декорреляция между вэйвлет-коэффициентами одного и
того же масштаба возрастает при возрастании числа нулевых моментов р
вэйвлета ф:
Е{{Вн , Фз,п)(Вн,‘Фі.т)} ч о (2 * 2Я+1)|п - т | 2(я- р)).
(в) В двух измерениях синтезировать изображения дробного броуновского
движения Вн с помощью вэйвлет-коэффициентов (Вн,ф^п)> которые яв­
ляются независимыми гауссовскими случайными величинами, дисперсии
которых пропорциональны 2^2Я+3*. Подобрать Я для того, чтобы полу­
чились структуры, которые смотрятся как облака на небе.
7.26. 1 Изобразительная мозаика. Пусть /о [711, 712] и / i [ n i , n 2] — два изображения
из N пикселей. Мы хотим переместить центр /о[п і,П 2] при N / 4 <
<
3N/4 в центр / 1 , осуществив
их
слияние.
Вычислить
в
W
aveLab ^ вэйвлет.
«ГJ
• , *\ ОТЖ
КLj- Ч
коэффициенты /о и / 1 . При каждом масштабе 2° и ориентации 1 < к < 3
заменить 2“ J/4 вэйвлет-коэффициентов, соответствующих центру / 1 , вэйвлеткоэффициентами /о . Восстановить изображение по этому манипулированному
вэйвлет-представлению. Объяснить, почему изображение /о кажется слившим­
ся с /1 без резких граничных эффектов, которые получаются при прямой за­
мене пикселей /1 пикселями /о.
7.27.
Фовеальное видение. Фовеальное изображение имеет максимальное разре­
шение в центре, и разрешение убывает линейно как функция расстояния от
центра. Показать, что можно построить приближенное фовеальное изображе­
ние, сохраняя постоянное
число
ненулевых
вэйвлет-коэффициентов
при
кажв
дом масштабе 2°. Выполнить этот алгоритм в WaveLab ^. Вы можете постро­
ить высококомпактный код по такому представлению изображения.
7.28.
Высокая контрастность. Вы рассматриваете цветное изображение, опреде­
ленное тремя цветовыми каналами: красным г[п], зеленым gfn] и голубым Ь[п].
Интенсивность изображения (г + g + Ь)/3 усредняет изменения трех цветовых
каналов. Чтобы создать высококонтрастное изображение / , для каждого вэй­
влета Щм мы определяем (/,^?.п) как коэффициенты с максимальной амплитудой среди (г, ф*9п), {д, Ф),п) и (Ь, Ф*,п)> Выполнить этот алгоритм в WAVELAB’e
и численно оценить его свойства для различных типов многоцветных изобра­
жений. Как выбор ф влияет на результаты?
Глава 7. Вэйвлет-базисы
344
_
^
лт
.п л п м т т
кптооы й
1 ОО а PermnmmMLA РаЗрабОТаТЬ алгоритм, КОТирып
7.29.
Реставрация, га зу
репады
в о с с т а н а в л и в а е т рвэтаде ue-
г
путем увеличения амплитуды вэйвлет-
гглаженного изображения пу
с гл а ж ен и и
гһ у н к и и о н ал ы у с и л е н и я , зави сящ и е от мае-
■ Н Н В Ч В ! дая? чтобытг6в
ш таоа и а р и е к j.«уд,
перепады без
ны е качества результата,
гладкости
7.30. 3 Гладкое продолжение. Пусть f[n]
искаж ений. У со в ер ш ен ств о в ать визуаль*
извест
негладкой и со д ер ж ать дыры
О п и сать и _ т ь
апгори™, которы й в ы ч и сл я ет вэй^-ет-коэфф^еи»
В
Н
продолж ения / ф у н к ц и я / н а квад р атн у ю область, содержащую D,
Ш
Ш
т эти м коэф ф ициентам / . В ы б рать вэйвлеты с р нулевыми ц
м ентам и. П р и р авн ять иулЮвсе к о э ф ф и ц и е н т вэй влетов,
^
^
эквивалентно _
Ш
^ ^ Ш
И Н И
І Й Й степени 1 К оэф ф и ц и ен ты вэйвлетов■
З ад ач а состоит в вы числении коэффицңеито®
границу
n U v f i l vWAV
------Г
•
"
в D, т а к ж е как численную устойчивость ваш его продолжения.
#
™
И
I
Глава 8
При обработке комплексных сигналов встречаются различные типы частотно­
временных структур, такие как записи речи. Это побуждает конструировать
базисы, частотно-временные свойства которых могут адаптироваться к свой­
ствам сигналов. Вэйвлет-базисы — одно частное семейство базисов, которое
эффективно представляет кусочно-гладкие сигналы. Другие базисы строятся
для аппроксимации различного типа сигналов, таких как сильно осциллирую­
щие сигналы.
?
Ортонормированные базисы вэйвлет-пакетов используют сопряженные зер­
кальные фильтры для разбиения частотной оси на отдельные интервалы раз­
личных размеров. Дискретный сигнал длины N раскладывается по более чем
2n '2 базисным вэйвлет-пакетам с помощью быстрого алгоритма набора филь­
тров, который требует 0 ( N log2 N ) операций.
Если свойства сигнала изменяются во времени, предпочтительно выделить
отдельные временные интервалы с помощью сдвинутых окон. Локальные ко­
синусные базисы строятся умножением этих окон на косинусные функции.
Вэйвлет-пакеты и локальные косинусные базисы — это двойственные семей­
ства базисов. Вэйвлет-пакеты, разбивающие на сегменты частотную ось, рав­
номерно сдвинуты по времени, в то время как локальные косинусные базисы
равномерно сдвинуты по частоте и делят временную ось.
8.1
8.1.1
Вэйвлет-пакеты2
Д ерево вэйв лет-пакета
Вэйвлет-пакеты были введены Куафманом, Мейером и Викерхаузером [139]
как обобщение связующего звена между кратномасштабными аппроксимаци­
ями и вэйвлетами. Пространство V j кратномасштабной аппроксимации рас-
Глава 8. Вэйвлет-пакеты и локальн ы е косинусные базисы
346
кладывается на сумму пространства более низкого разрешения V ,+1 и про­
странства подробностей W i+ i. Это осуществляется разбиением ортогональ­
ного базиса {фЛі - 2j n )} nez пространства V j на д ва новых ортогональных
базиса
{0J+i ( « - 2 J+1n)}nez пространства V j+ i и
liyjgf -
2J+1n)}„6Z пространства W
определя-
Разложения
зеркальных
g[n] = ( - 1 ) 1 п Л ,[1-п].
Следующая
допускает ортогональный базис из фу
любом n e Z .
Т е о р е м а 8.1 (КУАФМАН, МЕЙЕР, ВИ КЕРХ А У ЗЕР). Пусть имеется
{ d j { t - 2 j n ) } nez — ортонормированный базис пространства U Ц Пусть h u g
— пара сопряж енных зеркальных фильтров. Определим
В
+оо
IIg jg j
h[n] 6j(t - 2j n) и Ө]+1(і) =
У
n = -o o
Ц - g[n\ 0 j(t — 23n).
(8.1)
n = -o o
Семейство
W +1 (t - 2’ +1n ) , 6]+1(t - 2’ +1n )} „
есть ортонормированный базис U j.
Доказательство 2. Это доказательство очень похоже на доказательство теоре­
мы 7.3. Основные этапы доказательства даются в общих чертах. Тот факт, что
{0j(t —2Jn)}nez ортогонально, означает, что
+оо
-2i У
^
/с = —оо
Л j
2&7Г
“27"
.
1.
( 8 .2)
Мы выводим из (8.1), что преобразование Фурье б,-+і есть
i+i (u>) =
j-oo
^
ш) __
V"4 h[n] exp(—i2Jncj) = h(2Pu) 9j (u>).
...щ
(8-3)
n = —oo
Аналогично, преобразование Фурье
^
+
1
Н
есть
=
$
(
2
М
й
и
:
(
8
,
4
)
Доказательство того, что {Oj+i(t — 2J “*"1n )} и {0}+і(£ ~ 2J + 1n)}n€Z — два се­
мейства ортогональных векторов, эквивалентно показу того, что при / = 0 и
1= 1
1
2І+1
+оо
0j+l (ш +
/с = —оо
2кп
2І+1
2
1.
(8 .5)
8.1. Вэйвлет-пакеты
347
Эти два семейства векторов образуют ортогональные пространства тогда и
только тогда, когда
£ * » '( « +
к=—оо
'
,
(» + £ & ) = 0.
'
'
(8.6)
Соотношения (8.5) и (8.6) проверяются заменой
и 0j+1 соответственно
формулами (8.3) и (8.4) и использованием свойств ортогональности базиса (8.2)
и свойств сопряженных зеркальных фильтров
\h(u;)\2 + \һ(ш + тг)\2 =
1<К^)|2 + \g{v + ir)\2 =
2,
2,
=
0.
g ( c j ) h * ( ( j ) + д ( и + 7 г ) һ * ( с и + 7г)
Чтобы доказать, что семейство {0°+і(£ —2-7+1п ) , *Я-1 (t —2^+1n)}n€Z порождает
то же пространство, что и {0j(2 — 2Jn )}n6Z> мы должны доказать, что для
любого a[n] £ 12(Z) существуют Ь[п] Е 12(Z) и c[n] € 12(Z) такие, что
+оо
+оо
Ь[п]0?+1(*-2*+1п)+ £
J 2 о.[п\ӨАі-2j n) =
П = —OO
+оо
П = —-ОО
с[п]Ө)+1{ і - 2 і+1п). (8.7)
п = —оо
A
Чтобы это сделать, мы устанавливаем связь Ь(а;) и с(а>) с а(а;). Преобразование
Фурье (8.7) дает
а (2 М § j (w) = 6(2^+1ш) 0°+i(w) + c(2j+1u) 0j+1(u).
(8.8)
'Ш
Можно убедиться, что
Н # * 1») **
+ a (a W * r)6 * (2 W т))
И
е ^ ^ а / ) = i^ a (2 j c4;)^*(2^cj) + а ( 2 ^ + 7r)0*(2Ju; + тг)^
удовлетворяют (8.8).
В теореме (8.1) доказывается, что сопряженные зеркальные фильтры преоб­
разуют ортогональный базис {0 j(t — 2-7n ) } n€z в два ортогональных семейства
{9 j+ i(t-2 j+1ri)}nez и {0j+1( t- 2 J’+1n)}nez- Пусть U?+1 и U j+1 — пространства,
порожденные каждым из этих семейств. Ясно, что
и U j+1 ортогональны
и
U?+i ® U j+1 = V j .
Вычисление преобразования Фурье (8.1) связывает преобразования Фурье Я-і
и 0j+1 с преобразованием Фурье $ji
|Jjj{ш) = h(2j ш) Өj ( lj)
' .i-~r ’
. " -■ !-' ";
;; v-"f' ■-.
\
, ө]+1(и)
=g(2j u)§j(uj).
дИНДННВ^; \ ’ •{ "Г:Л 'f
(8.9)
':Ч' "*■' v ' :
Так как передаточные функции h(23u>) и д(23ш) имеют энергии, сосредоточен­
ные в различных частотных интервалах, то это преобразование может быть
интерпретировано как разбиение частотного носителя Щ
Глава 8. Вэйвлет-пакеты и локальные косинусные базисы
348
Д во и ч н о е д ер ево вэйвлет-пакета. Вместо того, чтобы разбить аппрокс,м«нонные пространства
для построения пространств подробностей W,
и ийвлет-базиса, мы можем положить
ства подробностей, чтобы получить новые базисы (см. теорему 8.1). Рекур.
сивное расщепление векторных пространств представлено в виде двоичного
дерева. Если сигналы аппроксимируются 8 масштабом | , то с корнем дерева
мы связываем пространство аппроксимации Щ Это п ^ а п с т в о допускает ортогональный базис из масштабирующих функции {<Ы* 2 n)}n6Z, где
Я
В I * ВШ Я Я ЯрЧ
w w;+2wt+2w
3
L+2
о
L+2
Р и с. 8.1. Двоичное дерево пространств
в э й в лет-пакетов.
L
>
О
Любой узел двоичного дерева помечается индексами {j,p), где j есть глубина узла на дереве, и р есть число узлов, находящихся слева на той
же глубине 1 - L. Такое дерево изображено на рис. 8.1. С каждым узлом (j,pj
W?
w
Vl
У п /пел “i*"
----- ---------Предположим
теперь,
что
мы
уже
построили
W
j
и V’l В ш И И Н И й Я И ^ И ! И И
мированный базис | | |
| узле (j,p). Два вэйвлет-пакета
ортогональных базисов в порожденных узлах определяются соотношениями
расщепления (8.1):
4-00
(
8
.
10
)
!§ §
2j n)
-
.
.
Sgl1 ШЩЦ
ив
щш—
п = —ОО
-foo
и
IN
(t - 23n)
( 8.11)
n = —oo
Так как { ^ ( i - 2Jn)}n€z ортонормировано, то
/г[п]
2'n))
В теореме 8.1 доказано, что
ill
>2р
'j+i
( ^ t 1(w),V’f ( w - 2 j n)).
{г/>?+і(* - 2J+1n)}nez и
(8-12)
|
е базисы двух ортогональных про-
и W 5 S 1 таких, что
w g , ®w jg 1
WJ.
(8.13)
s.
8.1. Вэйвлет-пакеты
349
Это рекурсивное расщепление определяет двоичное дерево пространств
вэйвлет-пакета, где каждый узел-родитель делится на два ортогональных
пространства. Рис. 8.2 изображает 8 вэйвлет-пакетов
на глубине j - L = 3,
вычисленных с помощью фильтров Добеши 5-го порядка. Эти вэйвлет-пакеты
имеют частоты, упорядоченные слева направо , как это объясняется в п. 8.1.2.
ill
Ш *)
4■------- W
■
2
/1 Г\
0--- / 1Г
2
11
4
V
-20 0 20
ФІ (*)
5
-20
0
^vVVW i -
.
. 1
-4 0
-20
-0.51
-20
Рис. 8.2. Вэйвлет-пакеты, вычисленные с помощью фильтра Добеши 5 на
глубине j — L = 3 дерева вэйвлет-пакета с L = 0. Они упорядочены от низких
до высоких частот.
Рис. 8.3. Пример допустимого двоичного дерева вэйвлет-пакета
Д опустимое дерево. Мы называем допустимым деревом любое двоичное
дерево, каждый узел которого имеет либо 0, либо 2 рожденных узла, как это
показано на рис. 8.3. Пусть {ji,Pi}i<i<i — листья допустимого двоичного де­
рева. Применяя рекурсивное расщепление (8.13) вдоль ветвей допустимого де­
рева, мы убеждаемся, что пространства
взаимно ортогональны и
сумме дают W9:
(8.14)
W 0L
0
глава $ Вэйвлет-пакеты
и локальные косинусные бэзисы
ш
350
Поэтому объединение соответствующих базисо
эйвлет-пакетоі
Vlортогональный базис W
Ч и сл о базисов вэйвлет-пакета. Число различных ортогональных Оазисов
вэйвлет-пакета для
равняется числу допустимых двоичных деревьев. В
следующем утверждении доказывается, что существует более чем 2
раз­
личных ортонормированных базисов вэйвлет-пакета, содержащихся во всем
двоичном дереве вэйвлет-пакета глубины J .
<
всем
неравенству
IJ
2
j- i
вш
щ
< B j < 24
(8.15)
тся индукцией по параметру J
различных ортонормированных
базисов равно числу различных допустимых двоичных
глубины «7, узлы которых имеют либо 0, либо 2 рожденных
дерево уменьшается до своего корня, откуда Во — 1.
большей
меньшее
глубиной 0, что соответствует корню. Дерево с глубиной самое меньшее 1 имеет
поддеревья
с глубиной не больше J . Априори конфигурация этих деревьев произвольна
существует B j допустимых деревьев с глубиной J так, что
DJ+1
B 2j + 1.
(8.16)
J-1
>22
Тале как В\ = 2 и B j + i > B j , то мы доказываем по индукции, что B j
Более того,
log2 B j + 1 = 2 log2 B j + log2( l + B j 2).
Если J > 1, to B j > 2, и
log2 B j + i < 2 log2 B j +
Так как B\ = 2,
откуда
БoJ-S
j < 2 t2
j
(8.17)
- l
2
1
log2£ J+1< 2 J + - X > j < 2 J + _
4
i=0
■
При дискретных сигналах длины N мы увидим, что дерево в э й в л е т -п а к е т а
имеет глубину самое большее J = log2 N. Поэтому в утверждении 8.1 Д°к^ы‘
вается, что число базисов вэйвлет-пакета удовлетворяет неравенству 2
log2N
В эй влет-п акеты н а конечны х отрезках. Д ля построения базисов вэйвлетпакета пространства L2[0,1] мы используем технические приемы граничных
8.1. Вэйвлет-пакеты
351
условий, развитые в разд. 7.5 для конструирования вэйвлет-базисов простран­
ства L2[0,1]. Простейший подход конструирует периодические базисы. Как и в
случае вэйвлетов, коэффициенты / € L2[0,1] в периодическом базисе вэйвлет+оо
пакета те же самые, что и коэффициенты разложения f nep(t)
k=- оо /(< + * о
в исходном базисе вэйвлет-пакета пространства L2(R). Периодизация функции
/ часто создает разрывы на границах t = 0 и t = 1, которые порождают боль­
шие амплитуды коэффициентов вэйвлет-пакета.
В п. 7.5.3 описывается более сложная техника, которая изменяет филь­
тры Һ и д для того, чтобы построить граничные вэйвлеты, которые сохраняют
нулевые моменты. Обобщение на вэйвлет-пакеты получается использованием
таких модифицированных фильтров в теореме 8.1. Это исключает создание
коэффициентов с большими амплитудами на границе, что характерно для пе­
риодического случая.
Е
Б и ортогон альн ы е вэйвлет-пакеты . Неортогональные вэйвлет-базисы
строятся в разд. 7.4 с помощью двух пар фильтров точного восстановления
(h,g) и (/i, д) вместо одной пары сопряженных зеркальных фильтров. Теоре­
ма 8.1 об ортогональном расщеплении распространяется на биортогональное
расщепление заменой сопряженных зеркальных фильтров этими фильтрами
точного восстановления. Базис Рисса {Bj{t —2^n)}nez пространства U j преоб­
разуется в два базиса Рисса {Oj+i(t —2J+1n)}nez и
—2J+1n)}n€z двух
неортогональных пространст: и» и и»
таких что
и ; +1 ® V )j+i
и j.
Двоичное дерево неортогональных базисов Рисса вэйвлет-пакета может быть
выведено по индукции с использованием этого разбиения векторного простран­
ства. Как и в ортогональном случае, вэйвлет-пакеты на листьях допустимого
двоичного дерева определяют базис W °, но этот базис неортогональный.
Потеря ортогональности сама по себе не является потерей до тех пор, пока
базис остается устойчивым. Коэн и Добеши доказали [130], что когда глуби­
на j —L возрастает, угол между пространствами W J, расположенными на
одной глубине, может становиться все меньше. Это указывает, что некоторые
базисы вэйвлет-пакета, построенные по допустимому двоичному дереву, стано­
вятся неустойчивыми. Поэтому мы сосредоточимся на ортогональных вэйвлетпакетах, построенных с помощью сопряженных зеркальных фильтров.
щ
8.1.2
Частотно-временная локализация
В ременной носитель. Бели сопряженные зеркальные фильтры Һ и д имеют
конечный импульсный отклик размера К , то в утверждении 7.2 доказывается,
что ф имеет носитель размера К —1, откуда “ф^ — фь имеет носитель размера
(К —1)2l . Так как
-foo
4-Q0 •
Ц п ] (t - 2j n) ,
П——оо
д[п] ф?{t - 2j п ),
п = —оо
(8.18)
Глава 8 . Вэйвлет-пакеты и локальн ы е косинусные базисы
352
то индукция по j показывает, что размер ш сш ш ш Tj есть ( К - 1)2J . Поэтому
параметр j определяет масштаб V носителя. Вэйвлет-пакет на рис. 8.2 постро­
ен с помощью фильтра Добеши с К = 10 коэффициентами и j — 3, поэтому
он имеет носитель размера 23(10 —1) = 72.
Ч а с т о т н а я л о к а л и за ц и я . Анализ частотной локализации вэйвлет-пакетов
более сложен. Из преобразования Фурье формулы (8.18) следует, что преобра­
зование Фурье рожденного вэйвлет-пакета связано с родителем формулами
$ * i( w ) = h ( 2 4 # ( w ) ,
Ц |
,0
Энергия
в основном сосредоточена в некотором частотном диапазоне, и два
ф ильтра h(2*u>) and g(2j uj) выделяют низкие и высокие частотные компоненты
размер
диапазона
Ш е н н о н а . Вэйвлет-пакеты Ш еннона вы
ічастотных и высокочастотных фильтров
если и Щ [—7г/2 + 2Ьг,7г/2 + 2/с7г], где к 6 Z,
в других точках
и
!£М1
Щ
если 1 1 [тг/2 В 2/стг, 37г/2 І | | j | где 1 1 Z,
в других точках
gg)
/8 21)
носитель
Преобразование Фурье масштабирующей функции есть
Ф°ь = Фь
=
1 [-2 -Ь 7 Г ,2 -Ь т г ]-
( 8 -2 2 )
К аж дое умножение на һ(2^ш) или д(2^и) разбивает частотный носитель
вэйвлет-пакета на два. Тонким моментом является то, что ЩшШ не всегда
мофильтра
l k , 2~Ln]. Н а глубинё j - L b
дуля, приносимых растяжением в отрезок [- 2~
«Л
следующем утверждении доказывается, что ф? пропорционально
стической функции пары отрезков, которая помечается как IЩ Сс
которое связывает р и к, определяется рекурсивно [76 (книга)].
У т в е р ж д е н и е 8.2 (КУАФМАН, ВИКЕРХАУЗЕР). П ри любом .
0 < р < 23~ l существует 0 < к < 23~L такое, что
1Й М | = 2 ^ 1 ,,М ,
И
где I j — симмет ричная пара отрезков:
Щ I [-(fc I 1)tt2-j j - k n 2 ~ j ] U [kTr2-j , (fe I 1)7t2“ j ]-
(8-24)
8.1. Вэйвлет-пакеты
353
Перемещение k — G\p]
G[2p\
G[2p+1]
=
2G[p],
2G[pj + 1,
если G\p] четное,
если G\p нечетное,
,
' '
.
'
Р Э Д + 1'
Gjp] четное,
если G[pJ нечетное.
4
7
^zC ripj,
индук
цией по глубине j —L. При j —L = и из \o.zz) следует справедливость (о.26).
Предположим, что (8.23) справедливо при j = l> L и любом 0 < р < 21~ь. Мы
сначала докажем, что (8.25) и (8.26) подтверждаются при j = I. Из этих двух
равенств мы легко получим индукционное предположение для доказательства
того, что (8.23) верно при j = 1+ 1 и при любом 0 < р < 2l+1~L.
Уравнения (8.20) и (8.21) означают, что
если ш € [—2 1 1(4т —1)7Г, 2 1 1(4т 4- 1)тг] при т £ Z,
(8.27)
в других точках,
если ш € [—2 1 1(4m + l)ir, 2 1 1(4т + 3)7г] при ш б Z,
(8.28)
в других точках.
т 1ш)\
Так как (8.23) справедливо при j = I, то носитель
есть
li = [~{2к + 2)тг2~'_1, —2А:7г2_ |_ 1 ] U [2fcTr2- i_ 1 , (2Л: + 2)тг2- ' - 1 ].
Два рожденных вэйвлет-пакета определяются равенствами
$ + іМ = Һ(2и)Ф!(и) ,
= д(21и ) $ (ш).
Поэтому мы выводим (8.25) и (8.26) проверкой пересечения 1[к с носителями
h(2j u) и g(2j uj), определенными формулами (8.27) и (8.28).
Для вэйвлет-пакетов Шеннона в утверждении 8.2 доказывается, что Ш им
локализованный
1/2)тг2
Шеннона
модулированные
V f ( t) = 2 - j/2 + 1 0 (2 - Ч ) c o s[2 -% (A : + 1 /2 ) ( t ■
где
...
sin(7rt/2)
i p ] = ------1—
и, следовательно,
Щ"'V' Н :'~
( 8 .2 9 )
!
Л
Ө(ш) Ж l [ - n/ 2,n/ 2]{^)-
Параметр сдвига TjtP может быть