close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

3832 mahmedjanov n. m jogari matematika esepterinin jinagi

код для вставкиСкачать
o
| | r L
KP Жоғары оку орындарынын Кауымдастығы
Н .
М .
М
а х м е д ж а н о в
Ч
а \\ #12
#21
Q* і • а 22
/
а п ■#21
#22
JC
у '+ р ( х ) у = 0
-\р (x )d x
у = с е
,
с = c o n s t.
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ҚИСАБІ
ондау
sin XI = c o s x
COSJC
>ТЫҢ НЕПЗП ФОРМУЛАЛАРЫ
а инвариантты к каси еті
болса,
S I
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ
МИНИСТРЛІП
M31
Н.М.Махмеджанов
ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА
ЕСЕПТЕРІНІҢ ЖИНАҒЫ
Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрлігі
жоғары оқу орындарының бейматематика
мамандықтарының студенттері үшін оқу қүралы
ретінде ұсынған
6ЕЙСЕМБ/ЕВ АТЫНДАГЫ ГЫЛЫМИ :*ЛПХАНА
ОҚУ ЗАГ J
ЧИТАЛЬНЫЙ _w й
I НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА ИМ С. бГЙСБМЬАЕГА
АЛМАТЫ 2008
5 І 0 І 6 К . & )
ББК 22.1я73
М31
Махмеджанов Н.М.
М31
Жоғары математика есептерінің жинағы. —Алматы: Дәуір,
2008. -3 9 2 бет.
ISBN 978-601-217-032-0
Оқу құралында жоғары математика курсының сандар және
координаталар жүйелері, сызықтық алгебра, векторлық алгебра,
аналитикалық геометрия, бір айнымалды функция және оның шегі,
туынды және оның қолданылуы, интеграл және оның қолданылуы, көп
айнымалды функциялардың дифференциалдық қисабы, көп айнымалды
функциялардың интегралдық қисабы, қатарлар, дифференциалдық
теңдеулер бөлімдері бойынша қысқаша теориялық мағлұматгар беріліп,
типтік есептер шығарылып көрсетілген. Студентгердің аудиториялық
және өзіндік жұмысына жеткілікті түрде әр түрлі деңгейлі есептер
берілген.
■ »
Оқу қүралы университерттер мен педогогикалық институттардың
табиғаттану, техника және экономика мамандықтарының студенттеріне
арналған.
‘
******
ғы ПМУ-ді
ББК 22.1я73
^ Махмеджанов Н.М., 2008
L
ISBN 978-601-217-032-0
АЛҒЫ СӨЗ
Математика атауы гректің mathema —білім деген сөзінен шыққан.
Ғылыми-техникалық революция дәуірі ғылым, техника, экономика
және басқаруды математикаландыру дәуірі болып табылады.
Сондықтан болашақ мамандарға қажетті деңгейде математикалық
білім беру өзекті мәселеге айналып отыр. Сапалы білім алу оқу
процесін үтымды үйымдастырумен тығыз байланысты. Осы орайда
қазақ топтарында оқу процесін қажетті оку-әдістемелік құралдармен
қамтамасыз етудің маңызы зор. Математика пәнін жаңа кредиттік
технология бойынша меңгерудің бірден-бір жолы студенттердің
өзіндік жұмыс белсенділігін арттыратын пән бойынша қүрылған
есептер жинағы болмақ. Үсынылып отырған оку қүралы осы міндетгі
орьгадауға өз үлесін қосады деген үміттемін.
Оқу қүралы 11 тараудан түрады. Әрбір тарау тақырыптарға
бөлінген. Әрбір тақырыптың кіріспесінде қажетгі негізгі анықтамалар,
теоремалар мен формулалар келтірілген және типтік есептер
шығарыльш, формулаларды және теориялық түжырымдамаларды
қолдану мүмкіндіктері мен ерекшеліктері айқьш көрсетілген. Содан
соң әр тақырыпқа байланысты есептер топтамалары келтірілген.
Есептердің жауаптары оқу қүралыньщ соңында келтірілген. Әр тарау
өзінше нөмірленген.
Әр түрлі мамандықтың студенттеріне пайдалануға ыңғайлы болу
үшін әр тақырыптың есептері қиындық деңгейіне қарай топтарға
бөлінген. Есептерді тандауда көптеген танымал есептер жинақтары
пайдаланыдцы.
Есептер жинағында қамтылған материалдар мазмүны мен сапасы
жағынан дөстүрлі университеттерде (әл-Фараби атындағы Қазақ
Үлттық университеті, М.В.Ломоносов атындағы Мөскеу мемлекетгік
университеті, т.б.) математикадан басқа мамандықтар үшін
қабылданған бағдарламаларға толық сөйкес келеді. Сонымен бірге
бүл оқу қүралы н техникалы қ жоғары оқу орындары мен
педагогикалық институттарда да пайдалануға болады.
Бүл оқу қүралы — менің көптеген жылдар жоғары оқу
орындарында және жоғары оқу орындарының оқытушыларының
біліктілігін арттыру институтында дөріс беруімнің қорытынды
туындысы.
Оқу қүралын дайындауда қолдау көрсеткені үшін ҚР YFA
академ и гі п роф ессор Қ .Ә .Қ асы м о вқ а жөне п роф ессор
Қ.Қабдықайырүлына алғысымды білдіремін. Баспаға дайындаудағы
з
көмектері үшін доценттер Р.Н.Махмеджановаға және Ү.А. Ысқақоваға
ризашылығымды бідціремін.
Кітаптың сапасын артгыру мақсатында берілетін өрбір кеңес пен
үсынысты ризашылықпен қабыл аламын.
Бкінші басылымға алғы сөз.
2005 жылы жарық көрген бірінші басылымға кейбір өзгерістер
мен толықтырулар енгізілді. Екінші тарауға жаңа “матрицалар”
тақырыбы қосыдцы, жіберілген техникалық ақаулар түзетілді.
Екінші басылымға дайындауда әріптестерімнің кеңес пен
үсыныстары ескерілді.
Осы оқу қүралының жарыққа шығуына жанашыр болып,
көрсеткен көм ектері үш ін ж оғары оқу оры ндары ны ң
қауымдастығына жөне оның президенті э.ғ.д., профессор
Р .А.Алшановқа ризашылық алғысымды білдіремін.
Автор
I т а р а у . САНДАР ЖӘНЕ КООРДИНАТАЛАР ЖҮИЕЛЕРІ
§ 1. Жиындар және оларға колданылатын амалдар
Ж и ын —белгілі қасиеггері бойынша дәл анықталған табиғаты эр
түрлі объектілер топтамасы. Жиынды қүраушы объекгілер жиынның
элементтері деп аталады. Егер х элементі А жиынына тиісті болса,
онда х в А деп, ал егер у элементі А жиынына тиісті болмаса, онда
у<£ А деп жазады. Бірде-бір элементі жоқ жиынды бос жиын деп
атайды да 0 таңбасымен белгілейді.
Егер А жиынының барлық элементтері В жиынының да
элементгері болса, А жиынын Яжиынының ішжиыны дейді де, А с В
немесе В => А деп белгілейді, ал егер А мен В жиындары бірдей
элементгерден түрса, әрі А с В жэне В з А болса, онда бүл жиындар
тең, яғни А =і?дейді. А мен В жиындарьшың ортақ элементтерінен
түратьш жиынды олардьщ қиылысуы деп атайды да, АглВ таңбасымен
белгілейді. Егер жиындардың ортақ элементтері жоқ болса, онда
олардың қиылысуы бос жиын, яғни А О В = 0 болады. А мен В
жиындарыньщ кемінде біреуінде жататын элементгерден түратьш
жиынды олардьщ бірігуі деп, ал осы жиындардың біреуі А— ньщ
екіншісі В-да жатпайтын элементгерден түратын жиынды олардьщ
айырмасы деп атайды да, сэйкес A kj В жэне А \ В деп белгілейді.
Егер А с В немесе А =В болса, онда А \ В = 0 . А жэне В
жиындарыньщ көбейтіндісі А х В деп барлық х,у жүптардьщ, мүнда
х е А, у е В жиын ын атайды да, Ғ = А х В деп белгілейді.
А жиынының S жиынға сэйкес A c S
толықтауышы деп
А = S \ A жиынды атайды.
Егер Д иЛ 2и...иД , =А ж эне Ai n A J = 0 , ІФ j,
i,j = l,2,...,/i,
болса онда АІ,А2,...,А„ ішжиындарын А жиынының бөліктеуі дейді.
Жиыңдар екі түрлі тэсілмен беріледі:
а)
А жиыныньщ барлық элементтері jc, , x 2, . . . , тізімделеді де,
A= {xjі Xj,..., х„} деп жазылады,
5
б)
А жиыны негізгі жиын Х-тің а(х) қасиетке ие болушы
элементтерімен анықталады да, А = \хе х\ а(х)} деп жазылады.
N = {l,2,3,..., и,...} - натурал сандар жиыны, Z = {...,-3,-2, -1,0,1,2...}
бүтін савдар жиыны, Z0={0,l,2,...,/z,...} теріс емес бүтін саңцар жиыны.
Жиындардың элементтерін тізімдеңіз:
1.1. А = \хе г\(х-ЪІх2—1)= 0;jc>
Шешуі. А жиын ( х - З І х 2 - і )=0 теңдеудің
шешімдерінен түрады. Демек А = {і;3}.
1.2. Л = {хе Z
х 3- З х 2 + 2х
=С
1.3. A = \ x & N \ х + — <2; х > 0
1.4. А = {ее N| х 2 —Злг—4 < о},
1.5. A = { x e Z —<2Х <5
4
1.6. Л =
iV| log, —<2
2*
Берілген А және В жиындары үшін A kj B, А п В ,
жиындарын табыңыз:
А \В , В \А
1.7. A = {і, 2 ,3 ,4 ,5 , 6 ,7}, В = {6,7 , 8,9,10}
Шешуі. Анықтамаларға сәйкес:
A KJB = {l, 2,3,4,5,6,7 , 8,9 ,10}, A n В = {б, 7};
A \ В = {l, 2,3,4,5}, В \ A = {8,9,10}
1.8. A
1
j 2 ;0;lj,fi_{0;l}.
1.9 . Л = {-1;0; 1;2},Я = {-l;l}.
1.10. A = {0; 2; 4}, 5 = { - 1; 0; l}
1. 11. Л-сыныптағы ер балалар жиыны, 5 -қыз балалар ЖИЫНЫ
1.12. -4 = {[0; 15} fi = {5; 7; 9}.
1.13. A = |e; b; с \ в = {d; е].
1.14. A - ү Jx 2 -5дг+6 = o} S = |r |x 2 -4jc+3 = o}.
N
§2. Нақты саңдар
2.1. Рационал сандар деп алымы мен бөлімі сөйкес р және q бүтін
Р
Р
сандардан тұратын ( q Ф 0 ) ~ бөлшектерді атайды. Кез келген ~
рационал санын бүтін сан, ақырлы ондық бөлшек немесе ақырсыз
периодты ондық бөлшек түрінде жазуға болады.
Мысалы, - = 2, —= 0,5, —= 0,333... = 0,(3)
3
2
3
Периодгы емес кез келген ақырсыз ондық бөлшектерді иррационал
Мысалы, V2
л/з =1,7,...; 7 t = 3 , 1 4 . . . ,
е =2,71... сандары иррационал сандар болады. Нақты сандар жиыны
рационал және иррационал сандар жиындарының бірігуінен түрады
және оны R әріпімен белгілейді.
Нақты сандар жиынында қосу, азайту, көбейту және бөлу (бөлімі
нөлге тең емес) амалдары орындалады. Нақты сандар ондық
бөлшектерді салыстырғандай салыстырылады.
2.2. Сандар жиындарыныц шендері
X бос емес сандар жиыны болсын. X жиынды жоғарыдан
(төменнен) шенейтін сандардьщ ең кішісін (ең үлкенін) осы жиынның
дәл жоғарғы (дәл төменгі) шені деп атайды және БирДіпОГ) деп
белгілейді.
Теорема. Кез келген бос емес жоғарыдан (томеннен) шенелген
сандар жиынының дөл жоғарғы (дәл төменгі) шені бар.
еп
2.3. Нақты сан jc-тің абсолют (немесе модулі) шамасы х
х,
х
х <0
( 1. 1)
х,
х> 0
болатын теріс емес нақты санды атайды
Абсолют шаманың негізгі қасиеттері:
1)
> 0;
2) |х
4)
<£<=>-£< X < £ :
5) Lt > а ;
6) \ х ± у < х
X
9) У
+Ы;
7) х ± у >
3) -\х\йх< \х\
«=>jc > а ; немесе х < - а :
8)
\х\
Ц I(у*0\
у\
ю) 7 7
1.16. Ig2 иррационал сан екендігін долелдеу керек
JC
Дәлелдеуі. Ig2 рационал
сан деп
ұй ғар ай ы қ, яғни
т
т
lg2 = —, т ,п е Z. Онда 10" = 2 = М 0 т = 2" => 2m5m= 2 ". С оңғы
п
теңдікгің орындалуы мүмкін емес, себебі 5 саны сол жақтағы жіктеуде
бар да, оң жақтағыда жоқ. Бұл бүтін сандардың жай көбейткіштерге
жіктелуінің жалғыздығына қайшы келеді. Сондықтан бастапқы
үйғаруымыз дүрыс емес, яғни lg2 иррационал сан.
Мына сандардың иррационал сан екендігін дәлелдеңцер:
1.17. Ig5.
1.18. Ш
1.19. S .
Мына сандарды салыстьфьщыз:
1.20. уІ5.
1.21. J l .
1.22. ЛІ2-УІ5 және л/з- 2 .
Шещуі. у[2 -у[5 < л/З - 2 теңсіздік орьшдалсьш деп үйғарайық.
Онда>/2+2<>/5 + >/3 = > (7 2 + 2 )2<(>/5 + л/з)2 =>6 + 4>/2 < 8 +
+2л/15 => 2>/2 < 1 + л/Гб => {іуЩ < (l + Vl5 j => 8 < 16 + 2л/і5 .Соңғы
теңсіздік дүрыс болғандықтан, бастапқы үйғарған теңсіздігіміз де
дүрыс.
1.23. л/5-л/з және л/7-2.
1.24. ліі -3 және л/5-2.
Мьша сандардың қосындысын, айырмасьш, көбейтіндісін және
бөліндісін табьщыз:
1.25. а = 0,(і3) және Ь = 0, (12).
1.26. а = 2,(5) және Ь = 2,(4) .
1.27. а = 0,і(5)және Ъ= 0,1 (4).
1.28. a = 1,2 (25) жөне Ъ= 2,3 (і і).
1.29. X = [0;2) жиынының дәл жоғарғы және дәл төменгі шендерін
табу керек.
Шешуі. Бүл жиынның
*
*
-- ---------------------- ----------------------
--------- ~
w
^
ж
л
т
х е [0:2) саны үшін у е [0;2) саны табылып, у > х теңсіздік орында-
лады, ЛГжиынының жоғарғы шендерінің жиыны [2;оо) болып, бүл
жиынның ең кіші элементі 2-ге тең. Сондықтан 5мр[0;2) = 2, 2 £ [0;2 )
[0,2) жиыныньщ ең кіші элементі 0-ге тең, ал төменгі шекаралар
жиыны
жиынның
Демек, min[0;2)=inf[0;2)=0, мұнда 0 е [0;2)
8
Келесі жиындар үшін max X , min X , SupX, inf X (егер бар болса)
шамаларды табьщыз:
1.30. х = 1 J- 1
2 3
1
1
, яе N
3"
1.31. Х = {Хе R
п
1.32. Х = [-2;2].
1.33. X ={ c<
e Z - 1 <х<2)
1.34. X = {*€ R х <
1.35. X = 1х е R х >
т
1.37. X = х е R х = —; га, ne N; т<п
п
1.38. X = (-l;l).
1.39. X ={хе Я *< 2}
1.40. X ={;се R х> l}.
Тендеулердің шешімдерін табыңыз
1.41. Ы = д:+3.
Шешуі. 1) х > 0 болғанда, х
х болады, сондықтан:
X
дг+З
х+3
0 = 3, бүлай болуы мүмкін емес, демек,
берілген теңдеудің теріс емес шешімдері жоқ.
2 ) х <0 болғанда,
jc+ З => —2х = 3
х
х
1.46.
1.48. х -1 +2
X
1.43. Зх +х = 5.
jc- 5
2
х+3
1,5. Бүл берілген теңдеудің шешімі
1.42. \х = X 3.
1.44. \х - 5
х болады, демек х
.
1.45. дг+ 4І = дг- 4
3= 0
1.47. х = jc+ 1.
= 1.
1.49. х+і\ + 2 =3.
1.50. |sin х - sin х = 2.
Теңсіздіктерді шешіңіз
1.51. jc - 1 1 1 - 2х = 2 х
1.52. І5дг-2І < 5.
Шешуі. Абсолют шаманың4) қасиетін қолдансақ, -5 < 5 х -2 < 5
қос теңсіздікке ие боламыз. Әрі қарай түрлендірсек:
-3
7
-5 < 5х - 2 <,5 => -3 S 5х <, 7 =>у £ д с £ -
берілген теңсіздіктің шешімдер жиыны.
9
Д ем ек,
3 7
5 5
кесінді
х —2
<1
1.59.
Зх + 1
1.60.
1.61. U2 —2х —3 <3х —3
1.62. х2-3д^>|дс2|-|3дг|.
jc-1
*+1
х +1
1.63. дс-3| + |д:+ 3|>8.
1.64. |* + 3| - |х + 1| < 2 .
сандардың қайсысы кіттті
және В жиындары үшін
А \В ,В \А
жиындарын табыңыз және оларды сандар түзуінде кескіндеңіз
1.66. А = ( ; 2 І
=[1;4].
1.67. А =
[0; 4].
1.68. А = Г- о\
[- 3; 2]
1.69. А = [( 3)1
1.70. А = (—оо; 4І і
(2 ;+оо1
1.71. А —С
= (2; 5)
А жиыны s —[о, l] жиынының ішжиыны болғанда А толықтауыш
жиынды табыңыз:
1.72. А = {О; 1}.
Шешуі. A = S \ A болғандықтан, A = (0, і).
\
\
1 1
1 3
1.73. A
1.74.
A
3’2
3 ’4
\
\
1
1.75. Л 0;
;1
1.76.
A
2
2 /
1.77. A —S \ A болғанда мына арақатынастардың қанағаттандырылуын дәледдещз:
a) A u A = S; А п А = 0 , 6 ) А и J
А п В; в) А п В = А иВ ;
г)
*7 егер A
л *д7лс к—и иилш, онда в С А
А пОСС
1.78. А [0,1 ] жиынын өзара қиьыыспайтын 5 ішжиынға
іктені'*
бөліктеңіз
Шешуі. Бүл жиыиды әр түрлі бөліктеуге болады
болғанда Л(.п Л . = 0
орындалуы
Мысалы, А.
г n
;
A2 =
1 2\
2
5’ 5
•
3 4
5’ 5
А
1.79. А
А=
4
;
5
3
1
жиынын эр түолі тәсілмен 7 ішжиынға
§3. Координата*!ар жүйелері
3.1. Координаталық ось. Нақты сандардың геометриялық кескіні
Бастапқы А нүкгесі және сощы В нүктесі көрсетілген кесіндіні
бағытгалған кесінді деп атайды және АВ (немесе А В ) деп белгілейді.
тандалған тузу ось деп аталады
Осьтегі АВ бағытталған кесіндінің шамасы АВ деп, АВ мен
осыің бағытгары бірдей болғанда |Afi| -ға (кесіндінің үзындығы) тең,
ал қарама-қарсы болғанда - \АВ\ -ға тең санға айтады.
Егер түзуде оң бағыт, бас нүкте О және масштаб бірлігі тандалса
ол түзуді координаталық ось (немесе координаталық түзу) деп атайды.
Координаталық осьтегі кез келген М нүктесінің координатасы деп
х =ОМ санды айтады жөне М(х) деп жазады.(І.І-сурет)
Демек, нақты сандар координаталық осьтің нүктелерімен
кескінделеді. Сондықтан барлық нақты сандар жиынын сандар түзуі,
(сандық осі) ал кез келген санды осы түзудің (осьтің) нүктесі дейді.
нүктелері сандар түзуінщ нүктелері
онда АВ кесіндісінің шамасы (1.2-сурет)
АВ = х х,,
ал үзындыгы
АВ
( 1.2)
x 2- x t
(1.3)
формулаларымен табылады
о
м
1.1-сурет
о
В
А
1.2-сурет
Негізгі тепе-теңдік. Бір осьте жататын кез келген Л,В жэне С
нүктелері үшін АВ+ВС=АС тепе-тендік орындалады.
3.2.
Ж азықтықтағы және кеңістіктегі тікбүрышты декарт
координаталар жүйелері
Масштаб бірліктері бірдей, ортақ О нүктеде қиылысатын өзара
перпендикуляр Ох және Оу осьтер жазықтықта тікбүрышты декарт
координаталар жүйесін қүрайды. Ох- абсцисса oci, Оу- ордината oci,
Оху- координаталар жазықтығы деп аталады. (1.3, 1.4 сурет)
Масштаб бірліктері бірдей, ортақ О нүктеде қиылысатын өзара
перпендикуляр Ох, Оу және Oz осьтер кеңістікте тікбүрышты декарт
координаталар жүйесін қүрайды. (1.5, 1.6 сурет)
у
х<0
м
м
■т
У
о
м
I
Ук
II
х>0
у>О
у>О
х<0
у<О
х>0
у<О
IV
III
1.3-сурет
1.4-сурет
1.5-сурет
1.6-сурет
Ох- абсцисса осі, Оу- ордината oci, Oz- аппликата oci, Oxyzкоординаталар кеңістігі деп аталады.
Л (л,; у,; г,) жөне в (х 2;y2;z2)нүктелері үшін:
а) Ара қашықтық
12
Щ - р(А, b )=<J(x2 -
л, )2 + (у 2 - у, У + (г2 - z, f ;
(1-4)
б) АВ кесіңдісін AN :NB = X қатьшаста бөлетін N(x, у, z) нүктесінің
координаталары:
_ хх+Хх2
j ух + Ху2
N
l+ A : 7 n
1+ Я ’
формулалармен табылады.
_ Zl + l z 2
n
1+ Я
(
'
Егер Л(х,;у,), в(х2;у 2) нүктелер Оху жазықтығындажатса, онда
ара қашықтық
а)\АВ\ = р(А,В)=Мх2- х 1У +(у2 - у 1У ;
(1.4‘)
б) АВ кесінді A N : NB = Я қатынаста бөлуші N(x,y) нүктенің
координаталары:
I +Лх2
Уі+ Ш2
1+ Я
1+ Я
формулалармен табылады.
в)
Ж азы қты қта төбелері Ах{хх ,), А2(х2-,у2\...,Ап(хп-,уп)
нүкгелерде жатқан көпбүрыш ауданы:
8 Уг - ШУі 11 (х2 Уз - ^ з У 2) + (х зУ4 ~ х лУз)+
( 1.6)
І Ц
У„ ~ Н Ул+і ) + (х пШ ~ I Я )] •
3.3. Полярлық координаталар жүйесі
Полюс деп аталатын О нүкгесі, полярлық ось деп деп аталатын
OP сәулесі және таңцалған масштаб бірлігі полярлық координатгар
жүйесін қүрайды. (1.7 сурет)
М{р,(р), мүндағы р = \ОМ| -полярлық радиус, ал (р - полярлық
бүрыш, (р = (ОР,ОМ ), 0 < р < +~, 0 < (р < 2л ■
П олярлы қ координаталар мен тік бүрышты декарттық
координаталар ( 1.8 сурет) арасындағы байланыс формулалары:
(1.7)
х - р coscp, у = р sin ф
p = J x 2 + y 2; tg(p
У
(1.8)
X
13
1.7-сурет
1.8-сурет
Саң
з) в (+5) жэне с (- 4) нүкгелерді салыңыз
А В \ , IВС жэне АС\ кесінділерінің үзындықтарьш есептеңіз; АВ,
ВС жэне АС шамаларын тауып, АВ + ВС = АС екендігін тексеріңіз.
■ В нүктелері бойыніш А В кесіндісінің
шамасын жэне Ах
үзындығын табьщыз:
1.81. а) л ( - 3)
- 5);
б) А(- 2\
1.82. а) А{2\ 1
>);
6) д(оі
I
1.83. а) А(-1\
51
Бершген шарттар бойынша А нүкгесінің координатасьш есептеңіз
1.84. а)В(2) жэне АВ = 3;
б) В(—3) жэне АВ
3;
в) /?(—1) жэне АВ = 3
1.85. а) в ( - 5) жэне ВА = -3;
в) В(2) жэне |АВ | =3
б) В{0) жэне А,
1.86. а) в ( - 1) жэне
б) в ( - 4) және \Аі
|Л2?|
= 4;
2;
1;
в) 5(1) жэне \АВ\ = 6
Берілген теңсіздіктерді қанағатгандыратын нүктелер жиынын
анықтаңыз:
1.87. а)
< 1;
б)
1.88 . а)
> 1;
б) х —ЗІ > 1;
2|< 1;
14
в) 2 х - 3 <1
в) Ъх -1 > 0
1.91. а) х 2 - 5 х + 6 > х 2 - 5 х + 6;
б) jc| < X + 1
1.92. а) \х - 4І < е;
б) JC—4І >£
1.93. Л(2;-і) және В(5;3) нүктелердің ара қашықтығьш табу керек.
Шешуі. (1.4’) формуланы қолданамыз. Берілген жағдайда
X, = 2,У, =- 1; х2 =2,у2 = 3. Демек,
р (А,В)=\АВ\
= д/(5 - 2)+ (3 + і)2 = л/9 + 16 = л/25 = 5
1.94. ОЬсосінде Л/(2;5) нүкгесінен 13 бірлік қашықтықта жатқан
нүкгені табу керек.
Шешуі. Cfct осіндегі кез келген нүктенің ординатасы нөлге тең,
сондықтан ізделетін нүкгенің тек абсциссасы нольден ерекше, яғни
N(x;0 ) (1.4‘) формуланы қолданьш, әрі қарай түрлендірсек:
\MN\ = y l{ x -2 f+ { 0 -5 f =13 => (jc—г )2+ 25 = 169 => (х -2 )2 = 144 =>
xt =14, х2 =-10. Демек, N,(l4;0) және ЛГ2(-10;0) нүктелер есептің шартын қанағаттандырады.
1.95. Квадраттың қабырғасы 5-ке тең. Егер ордината oci:
а)
екі сыбайлас қабырғасы болса; б) екі диагоналі болса, квадраттың
төбелерінің координаталарын анықтаңыз.
1.96. Л(0;0), #(3;-4), с(-3;4) және d(-2;2) нүктелері берілген. A
жэне В, В жэне С, А жэне С, С жэне Д А және D нүктелерінің ара
қашықтығын табыңыз.
1.97. Төбелері 0(0;0), л(і;і), В(2;2) нүкгелері болатын үшбүрыштьщ тікбүрышты екендігін дөлелдеңіз.
1.98. Төбелері л(2;-3), в (- 3;4)жөне С(3;б) нүктелері болатын үшбүрыштың ауданын есептеу керек.
Шешуі. jc, = 2, у, =-3; х2 = -3, у2 = 4; х= 3, у =6 деп алып, (1.6)
формуланы (п = 3) қолданамыз.
S = i|[(2 4—(—3)■ ( - 3 ) ) + [ ( - 3 ) • 6-4■ 3]+ [3• ( 3) 6 • 2)1=21~52|=26
кв.бірлік.
Төбелері көрсетілген нүктелер болатын үшбүрыштың ауданын
есептеңіз.
1.99. Л(2;-3\ В(3;2) жэне С(-2;5).
1.100. D(-3;2), е (5;-2) жэне Ғ(і;3).
Ш
1.101. Л/ (З;—
4), N(-2;3) жэне Р(4;5).
1.102. Л(-1;2), В(5;б)
жэне С(і;3) нүктелері үшбүрыштың
үзындығын
және с(-2;5) нүктелерінің бір түзудің
Л(б;ЗІ
жататындығын
1.104. Төбелері л(3;і), В(4;б),
атын төртбүрыштың ауданын е
D(5;-2) нүктелері
1.105. Л(і;-2;-3) және Z?(2;-3;0) нүктелерінің ара қашықтығын
табыңыз.
Шешуі
3 және х
1 1.У1 2, z
формуланы қолдансақ
\АВ\ = р(А,в)
2; у
3,z
0 екенін
2F + (0
1.106. 5(2;-3;0), С(3;1;9) және D (- 1;1;12) нүктелері берілген
BD және CD\ ара қашықтықтарды табыңыз.
1.107. Координаталар басы О нүктесінен л(4;- 2;-4 ) және
в ( - 4;12;б) нүктелеріне дейінгі ара қашықтықтарды табыңыз.
1.108. Төбелері л(3;-1;б) вС -і;7;-2;және C(1;-3;2J нүктелері
і үшбүрыш екендігін көрсетіңіз
і-4;2)және С(- 3;2;і) нүкгелері 6 oj
үшбүрыштьщ тең бүйірлі үшбүрыш екендігін
), нүктелерінде
кес тх,т2,тъ массалар орналасқан. Осы массаларжүйесініңауырлық
центрінің координаталарын табу керек.
Шешуі. Физикадан
нүктелерде орналасқан і
массалардың ауырлық центрі АВ кесіндіні массаларға
т
прапорционал Я
бөліктерге
бөледі.
Осы
ережені
пайдаланып
т
і және нүкгелерде орналасқан тхжәне т2массалардьщ ауырлық
центрі B \ x \ y - , z ) нүктесінтабамыз.
Ж
16
т
хі + ~ хг
/_
ю,
X
Щ
j , m2
т1
z
,
щ,
г ,+ — z2
тх
^
ххтх+ х 2т2
т ,+ т 2
| |
,
т
У\ + — У г
т1
t t ™2
ГП\
ухтх+ у 2т 2
тх+т2
z lml +z2m1
т.
Бүл жерде (1.5) формуланы Я = — мәнінде қолдандық. Енді т 1
т.
т2 жэне т3 массалар жүйесінің ауырлық центрін табу үшін
тъ
Я = --------- деп, (1.5) формуланы тағы қолданамыз:
m, + т2
х
Щ
X + ------— х3
ж
т1+ т2
х1т1+ х2т2 + х3т2
тх +т2 + т3
т3
1+
т, +т2
# _ ухтх + у2т2 + у3т2
У
9
тх+т2 + т3
Z
_ г,т, + z2m2 + z3m2
тА+т2 +т3
Сонымен ауырлық центрі В2(х*\ у”\ z*) нүктесінде жатады.
Ескерту. А, (дг,; у,; г, X Аг {х2; у 2; г Л
Д. (*.: У.;z .)
нүктелерде сэйкес, m v mv m3
mn массалар орналасса, массалар
жүйесінің ауырлық центрі
/ х ,/», + х гтг + . . . + х птп y tm\ + у 2т 2 +...+ у ііт іі г,т, + Z2m 2 + ... + z„m
N
V
т 1+ т 1 + . . . + т я
'
ті + т г + . . . + т іі
тІ + т г + . . . + т іі
нүктесшде жатады.
1.111. Үштары л(3;- 2) және в(6;4) нүктелері болатьш АВ кесіндісі
өзара тең үш бөлікке бөлінтен. Бөліну нүктелерінің координаталарын
анықтаңыз.
1.112. л ( - 2;і) және в(3;б) нүкгелерді салыңыз жөне АВ кесіндісін
A N : NB = 3:2 қатынаста бөлетін N(x, у) гіүктесін табыңыз.
2—219
17
I атындаіы гылыми
rC jQ b O b
j
1.113. Үштары а(- 2;і) және й(3;б) нүктелері болатын АВ кесін-
дісін A N : NB = -3 :2 қатынаста бөлетін n (x , у ) нүктесін табыңыз.
1.114. Қабырғаларының ортасы Р(2;3)і £?(5;4) және /?(б;-3)
нүктелері болатын үшбүрыштың төбелерінің координаталарын
анықтаңыз.
1.115. Төбелері А(3;5) в (- 3;3) және С(5;-3) нүкгелері болатын
үшбүрыштың С төбесінен жүргізілген медиананың үзындығын
анықтаңыз.
1.116. Параллелограммның а(і;-3) в(3;-і) және С (- 3;5) үштөбесі
берілген. В төбесіне қарама-қарсы /)-төртінші төбесін анықтаңыз.
1.117. А(і;-3) В(3;-5) және С(-5;7) нүктелері үшбүрыштың
төбелері. Осы үшбүрыштың қабырғаларының орталарын анықтаңыз.
1.118. Сыбайлас төбелері А(-3;5)және в(і;7) нүктелері болатын
параллелограммның диагональдарының қиылысу нүктесі /У(і;і).
Қалған екі төбесін анықтаңыз.
1.119. М(2;-і\ N(- 1;4) және Р(- 2;2) нүктелері үшбүрыштың
қабырғаларының орталары. Осы үшбүрыштың төбелерін табыңыз.
1.120. Параллелограммның А(3;-5), й(5;- 3) және С(-1;3) үш
төбесі берілген. В төбесіне қарама-қарсы D - төртінші төбені
анықтаңыз.
1.121. А(2;5;0), В(і 1;3;8) және С(5;1;12) нүктелері төбе болған
үшбүрыштың ауырлық центрінің координаталарын анықтаңыз.
1.122. Бір үшы А(- 2;-1;7), ауырлық центрі Л^(і;-1;5) нүктелерінде болған біргекті стерженнің екінші үшын табыңыз.
1.123. Төбелері N , (3;2;—5), N 2(і;—
4;3) және N 3(- 3;0;1) нүктелері
болатын үшбүрыштың қабырғаларының орталарын анықтаңыз.
1.124. Үшбүрыштыңтөбелері А(2;-1;4), в(3;2;-б) жөне С(-5;0;2)
нүкгелері. А төбесінен жүргізілген медиананың үзындығын есептеңіз.
1.125. Үштары А(-1;8;3) және В(9;—7;—
2) нүктелер болған кесінді
C,D, Е,Ғ нүктелермен өзара тең бес бөлікке бөлінген. Осы нүктелердің координаталарын анықтаңыз.
1.126. с(2;0;2) және D(5;-2;0) нүктелерімен өзара тең үш бөлікке
бөлінген кесіндінің үштарының координаталарын анықтаңыз.
1.127. ABCD параллелограммның А(3;-1;2), в(і;2;-4) жөне
С(- 1Ц;2) үш тәбесі берілген. D төбесін табыңыз.
18
1.128. Полюсі координата басында, ал полярлық осі абсцисса
осінің оң бағыты болған жүйеде М
координаталары табу керек.
Шешуі. (1.8) формулалар бойынша:
12 +
Р
2
л/4 = 2; tg<P
нүктенің полярлық
7з
1
л/3
М нүктесі төртінші ширекте, сондықтан (р = ~ . Демек, м[ 2;
3
3
ал
абсцисса осі бойынша бағытталса, м І 2>/2 ; — I нүктесінщ тік
4
бүрышты координаталарын анықтау керек.
Шешуі. (1.7) формулаларды қолдансақ:
/
Ъп
2
j
2
^
=
2
sin
2лІ2
si
х 2 V 2 COS — = 2 V 2 •
2;
У
Т
2
4
2
V
Демек N (- 2;2).
/ к
fi(2;я ),
1.130. Полярлық координаталарымен берілген A 3;
2
V
Cl 3;
Зя
т
\
D 4;
4
\
нүктелерш салыңыз
к
1.131. Полярлық координаталар жүйесінде берілген А\ 2;
4
/
\
Зтг
я
37Г
D
4;
ЛИ;
нүктелерінің
тікбұрышты
координата,
Ф
;
Т
2
V
ларьш анықтаңыз.
1.132. Тікбүрышты координаталар жүйесінде берілген А(0;2),
т
Д - 1,-0), с(-л/ 3 ;і) Е (- 1;-і) ғ(і; 7 з) нүктелерінің полярлық координа­
таларын табыңыз.
1.133. Полярлық координаталар жүйесінде берілген А, (р,, <р,) және
А2(р2, <р2) нүктелердің ара қашықтығын табыңыз.
19
/
1.134. Квадраттың екі сыбайлас төбелері
1о_ \
/ _N
12;191
10 ,* в н е Й З ;-
V.
/
V
/
полярлық координаталарымен берілген. Осы квадраттың ауданын
есептеңіз.
( п4
1.135. Бір төбесі О полюста, қалған төбелері а 5- — және
\ 4у
В 4;— I нүктелерінде жататын
\
есептещз.
үшбүрышының ауданын
§4. Комплекс сандар
реттелген нақты сандар жүбьш z комплекс сан деп
4.1.
атайды, яғни z = (х, у) Мүңдағы x - z комплекс санныңнақты бөлігі,
ал у жорамал бөлігі деп аталады да, х = Re ц у = Jmz деп жазылады.
z = (х; у) комплекс сан Оху жазықтықта коордішаталары (*; у)
болтан нүктемен кескінделеді. Бүл жағдайда Оху жазықтығы шарпы
түрде комплекс сандар жазықтығы деп аталады.
(О; у) санын таза жорамал сан, ал (0;l) санын жорамал бірлік деп
атайды да, / әрпімен белгілейді, яғни і = (0 ;l).
Анықтама бойынша: (д;;0 )= х, (0',у)=іу, (0;0)=0. Комплекс
сандар жиынын С әрпімен белгілейді.
z, J f e y , ) және z 2 = f c ; y 2) комплекс сандар
үстіндегі арифметикалық амалдар төмендегіше анықталады: Егер
хі ~ х 2 *З^і = У2
болса,
онда
z, = Z,
дейм із;
қосы нды
z = z x + z 2 =(xx + x2; y x + у2) ; айырма z = zx - z 2 ={xx- х2,у і
көбейтіндері z = zx ■z2 =(хх ■х2 - Уі ■у 2;хх ■у 2 + х 2 ■у х)
бөлінді
_
і
zi
~
Х1Х2 ^ У\У2 . ХіУ\ Х\У2
,Z-y
{ Х2 + У2 ’ Х2 + УІ )
У
+0
Комплекс сандардьщ көбейтіндісінің анықтамасынан і2 = —1
негізгі тендік шығады. Бүдан /3 = —і ,і 4 = \ J 5 = —і тағы басқалар.
20
4.2.
z = х + іу түріндегі санды комплекс санның алгебралық түрі
дейді. Бүлайша жазылу алгебралық көпмүшелердің ережелерінен
пайдалануға мүмкіндік береді. z = х + іу және z = х —іу сандарды
өзара түйіндес сандар деп атайды. z = р (cos <р+ 1sin <р) түріндегі
санды комплекс санның тригонометриялық түрі дейді, мүнда
х = р cos (р,у = р sin (р. p - z комплекс санныңмодулі, ал ф —аргу­
мент! деп аталады және р = z ,(р = Arg z = arg z + 2кк деп жазылады.
/2
2~
У
Р - \ х +У , arg z = Ф0 = argtg — больш, 0 < р < -н» ,-п < % < к ,
х
(немесе 0 <<р0 < 2я ), k = 0,±1,±2,„.
zt = Р! (совф, + / s u ^ ) жөне
> IJ
z2 = Рг (cos9 2 + /sin 9 2) сандары
үшін: Z, ■z2 = p, •p2 [cos (ф, + ф2) + /sin( 9 , + ф2) ] ;
— = — [cos (ф1- ф2) + / sin (ф| - ф2)] формулалары орындалады
Z2
Р2
Егер z = p (cos ф + / sin ф) болса, онда:
z" = p" (cos n<p + i sin лф) (Муавр формуласы).
(1.9)
yfz = v/p fcos
( 1. 10)
- + / sin У°-+-~
n
n
1 , к = 0 , 1,,—,л-1
z z ' "gZ - n < arg z ^ л, немесе 0 й ф0 < 2n түріндегі санды
комплекс санньщ көрсеткшгпк түрі деп атайды.
4.3. Эйлер формуласы:
е'9 = cos <р+ i sin (р
4.4. Комплекс санның логарифмі:
( 1. 11)
lnz = 1п|г| + і- 2Л;г;Л = 0,±1,±2,...
4.5. Алгебралық теңцеулер.
( 1. 12)
ап? + ап
- + ап-2^ ' 2 + - + а,г + flo = о,ап * 0,п е N , z е С,түрін-
дегі теңдеу п- дәрежелі алгебралық теңдеу деп аталады, а0аиа2...аптендеудің коэффициенттері де жалпы жағдайда комплекс сандар.
2 1
Ллгебраның негізгі теоремасы (Гаусс). Дәрежесі нөлге тең
болмайтын кез келген көпмүшенің ең болмағанда бір түбірі бар.
Саддар. п- дәрежелі көпмүшенің п түбірі (ол түбір жалпы түрде
комплекс сан) бар.
Арифметикалық амалдарды орындаңыз:
1.136. (2 + іЗ)+(і + /4).
"Линн,- ■ і;»
Шешуі. Көпмүшелерді қосу ережесін қолдансақ:
(2 + /3)+ (1 + /4)= (2 +1)+ /(3 + 4)= 3 + і1
1.137. (3 + /5) (4 -/)
Шешуі. Көпмүшелерді көбейіу ережесін қолданьш, /2 = - і екенін
ескерсек, онда: (3 +/5)• (4 - і) = 3 •4 - 1'•3+/5 •4 - і 25 = 17+/17
1.138. I Z L
4 + І5
Шешуі. Бөлшекті бөліміндегі санньщ түйіндесіне көбейтіп, қосу
және көбейту ережелерін қолдансақ, онда:
З - і _ (3 —/)(4 —/5)
4+ /5 (4 + /5) (4 - /5)
1 2 - /1 5 - /4 - 5
7 -/1 9
7 .19
42 -(/5 )2
_ 16 + 25 “ 41 _ / 41
1.139. (б + ЛіХ7 + іЗ)
1.140. (1-/X3 + /4)
1.141. (2 + і)+ (3-/2)
1.142. (7+ /5)-(9+/ 7 )
1.143. (3-/2)2.
1.144. (1+ 03.
1.145. (х + і у \ х —іу )
1.146. (2 -/)4.
2-/
1.147. (1- /ХЗ + /4)
1.148.
1.149. —
2 —1
1.150. (2 + /3)3.
1 +1
51‘ (3-/2)2 '
(3+-5X2+ а )
1 +1
1+ /2
1.155. -•
1.156. тг
22
Комплекс сандардың тригонометриялық жөне көрсеткіштік
турлерін жазыңыз:
1.157. z
1+ Іл/3.
Шешуі. Бұл сан үшін р = у/(- І)2+(лІз} = yfl+З = уІ4 = 2
/
\
2
^
Фо = arctg
-1
V
я
2
—+ 7С= —к, себебі х
3
3
1< 0, у = л/з > 0 бол-
ғандықтан, ф0 бүрьпп екінші ширекте жатады. Сондықтан берілген
2
2
^
санныңтригонометриялықтүрі p(cos(р0 + і sin(р0)= cos—к + isin —к
3
3 /
болып, ал көрсеткіпггік түрі \z е
болады. (1.9-сурет)
1.158. г = 1.
1.161. z = —I
1.164. z
3 І2
1.159. z
1.
1.162. z = 2 + i2.
1.160. 7 - І .
1.163. z = —i5.
1.165. z = 5 —i5.
1.166. z = 2 + 1'4
1.167. , = Я - І.
1.168.
-
7
= 2003.
1.169. z = 2 c o s y - i 2 s i n | - .
1.170. г = /12.
1.171. 7 = 1-Т з •
1.172. z = -4 -/3
1.173. z = sm —+ icos—.
3
3
Теңдікгерді дөледцеңіз:
1.174. a) z,+ z
z, +z
X
1.9-сурет
6 ) z,z
1.175. a) Re г = Z+ | б) |z,z2
i
Z\ • z2
z z
1 теңдіпн пайдаланып, есептеңіз:
1.177. I4 + і ы + іи
Муавр формуласын қолданып, есептеңіз:
1.178. (cos 9° +
1.180. (-1 + i f .
f.
1.179. (і-,7з)Г.
1.181. (coslO0 + »sin 10°)2?.
23
1.182. ( l- ; ) 6.
1.183. h + i J a f .
-|I2
1.184.
n
.. к
COS — I- / sin —
1 9
1
1.185.
9 JJ
72
I
100
72
1.186. Xs + 32 = 0 теңдеудің комплекс сандар жиынындағы барлық
шешімдерін табу керек.
Шешуі. Берілген теңдеуді
V-32 түрінде жазамыз.
32
тригонометриялық түрі +32(cos;r -і- / sin 7Г) болады
формуланы қолданып, теңдеудің
/
п
+
2
kn
.
.
к
+
2кп
х л/32 cos к + і sin 71 = 2 COS-------------1- 1 s in ---------- ; k = 0 ,1,2 ,3,4
5
5
V
k-Ta көрсетілген мәндерді берсек:
« .
k = 0 болғанда х. = 2| cos —+ і sin к
5
5
k = 1 болғанда х2 = 2\ cos — + і sin
5
5
k = 2 болғанда х3 = 2(cos п + і sin п \
к = 3 болғанда х. = 2| cos — + г'sin 7я
5
5
9л:
.
.
9
к
к = 4 болғанда * 2 cos — + 1 sm —
5
5
Түбірлердің барлық мәндерін табыңыз:
1.187. I
1.188. V-Тб.
1.189. \ІГГі
1.191.
1.192. Щ .
1.193. VI
Тендеулердің барлық шешімдерін табыңыз
1.195.
jc2+25
= 0.
1.196. х 2 + 4 = 0 .
1.197. х 3 +1 = 0.
1.198. х 4 +16 = 0,
1.199. х 2 +2*+ 5 = 0.
1.200. 4jc2 _ 2jf + ] 0
1.202. х 3 +g = o .
1.201 .
х3-8 = 0 •
1.203. (х + і)4 -1 6 = 0
1.204. (x + l)4 +16 = 0
24
1.190. 3V8
1.194. Д/Г
1.205. х 4 +\&х2 =81 .
1.206. х * + 4 х 2 +3 = 0.
1.207. дс4 +9 jc2 +20 = 0Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеңіз:
1.208. х 3 - 2 х 2 +9х-1&Ш ешуі. Берілген үшінші дәрежелі көпмүшенің Гаусс теоремасы
бойынша үш түбірі бар. Егер көпмүшенің коэффициенттері нақты
шамалар болса, алтебрадан белгілі болгандай, z = a + ib комплекс сан осы
көпмүшенің түбірі болса, онда түйіндес z = а —іһ сан Да түбір
болады. Бі
сандары
Шынында
*3~2х2+ 9 х -18=х2—(х-2)+9(х-2)=(х~2)(х2+9)=(х-2)(хг-В)(х+В)
Егер көпмүшені көбейткіштерге жіктеу талап етілсе (әдетте
онда
2 хг + 9х-18 = {х—і \ х 2 +9).
1.209. jc2 - 25.
1.210. х 2 + 25.
1.211. х 3 - х 2 +4х + 4 .
1.212. х 3 + х 2 - 4 х - 4 .
1.213. х 3 + 2 х 2 + х + 2.
1.214. х 3 —2х2 + 16jc—32 .
1.215. jc4 - 1.
1.216. jc4- 16.
1.217. х* -8 1 .
Комплекс сандардың логарифмдерін табыңыз:
1.218. Ш
Ш ешеуі. |/|—1, cp0= a ig / = ^ болғандықтан, (1.12) формула бойынша
ln /= In l+ i—+і‘2Ая, яғни 1п/ —/( -г +2кк), k = 0 ,± 1 ,± 2 ,... .
1.219. ln(—2).
1.220. ln(l+/).
1.221. ln(-5).
1.222. ln(—3).
1.223. ln(-l+/>.
1.224. ln(V3+j).
II т а р а у . СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРА
п 2саннан қүралған A =(ar ), i —l,n , j —l,n квадрат кесте п - ретгі
квадрат матрица деп аталады.
{1,2 ,...,«} жиынды өзара бір мөнді бейнелейтін кез келген со(/і)
бейнелеу п -ретті алмастыру деп аталады.
§1. Анықтауыштар және оларды есептеу
1.1. я-ретті А квадрат матрицаның Д анықтауышы деп
а \\
•••
а \г
а іп
(2.1)
a пп
санды атаиды, мүндағы қосынды барлық а.. элементтерден, і =1 , п ,
j ~ 1,л, л-ретгі (о(п) алмастырулар бойьшша алынған. Көрсетілген
қосынды п\ қосылғыигган түрып, әрбір қосылғыш А анықтауыштьщ
әрбір жолы мен әрбір бағаннан алынған п элементінің көбейтіндісі.
Қосылғыштардьщ жартысы “+ ” таңбамен, екінші жартысы
таңбамен альшады.
Дербес жағдайда, 2-ретті анықтауыш
^12 _
й, 1^22 —^ 12^21
(2.2)
тендікпен, ал 3-ретті анықтауыш
—
°лг
<һъ
°21 ^22 °23 = ЯцЯгг^зз + ^іг^гз^зі + ^з^гЛг - ^із^г^зі
О
і Х
(2-3)
______
11 23 32
«І-»
« -»
теңцікпен беріледі.
(2.3) формула үшбүрыпггар
(Саррюс) формуласы
деп аталады.
2.1-сурет
26
1.2. Анықтауышты жол мен баған элементтері бойынша жіктеу.
л-ретті анықтауыштың atj элементінің Мі} миноры деп, осы
анықтауыштың /- жолы мен у-бағанын (өшіріп) алып тастағанда
шығатын (й-І)-ретті анықтауышты атайды. Анықтауыштың
элементінің Ац алгебралық толықтауышы деп, (-і)'+-' -гекөбейтілген
aij элементтің минорын атайды, яғни: Atj = (-1 )'+Jм г .
Анықтауыштың мәні осы анықтауыштың кез келген жол (баған)
элем енттерім ен оны ң алгебралы қ толы қтауы ш тары ны ң
көбейтінділерінің қосындысына тең, яғни:
Д = «„Д, + аі2А,2 + ... + ojnAfn, мүңца і = 1 , 2 ( 2 . 4 )
А=° \] 4 ц +|Й | + +an)A nj, мүнда j 11,2,...,п.
(2.5)
Осылайша Mtj анықтауыштарды (2.4) немесе (2.5) формулалар
боиынша жікгеп, әрбір қосылғышта (/і-2)-ретті анықтауышқа келеміз
және өрі қарай жіктеулерді жалғастыра берсек, үшінші, екінші ретті
анықтауьшггарға келеміз.
1.3. Анықтауыштардың қасиеттері
1. Анықтауьпытың жолдары мен сәйкес бағандарының орнын
алмастырсақ, онда оның мөні өзгермейді.
2. Анықтауыштың кез келген екі жолының (екі бағанының)
сәйкес элементтерінің орньш алмастырсақ, онда оньщ таңбасы қарамақарсы таңбаға өзгереді.
3. Анықтауыштың екі жолының (екі бағанының) сәйкес
элементтері өзара тең болса, онда оның мәні нөлге тең.
4. Анықтауыштың кез келген жолының (бағанының) барлық
элементтерін а санына көбейтсек, онда оның мәні осы санға
көбейтіледі.
5. Анықтауыштың кейбір жолының (бағанының) барлық
элементтері нөлге тең болса, онда оның мәні де нөлге тең.
6 . Анықтауыштың екі жолының (екі бағанының) сәйкес
элементтері пропорционал болса, онда оның мәні нөлге тең.
7. Анықтауыштың /с-бағанының элементтері аік=Ьік + сік
қосындылар болса, онда бүл анықтауыш екі анықтауыштың
қосындысы болады: бірінші анықтауыштьщ /с-бағанының элементгері
Ьік -лар болып, ал екінші анықтауыштың /с-бағанының элементтері
сік -лар (/= 1,2,...,л) болады да, екі аныктауьшгга да басқа бағандардьщ
элементтері бастапқьщай болады. Осындай түжырым жолдар үшін
де дүрыс.
8 . Анықтауыпггың кез келген жолының (бағанының) барлық
элементтерін X санына көбейтіл, оны басқа бір жолдың (бағанның)
сәйкес элементтеріне қоссақ, онда оньщ мөні өзгермейді.
27
Ескерту. Анықтауыштардың 8-қасиетін пайдаланып, оның бір
жолының (бағанының) бір элементінен басқа элементгерін нөлге
айналдыруға болады.
2
4
2.1. Д
3
анықтауышты есептеңіз.
5
Шешуі. (2.2) формула бойынша Д =2 • (—5)—(—3) -4 = 2
1 2 3
4 5 6 анықтауышты есептеңіз
7 8 9
2.2. Д
Шешуі. (2.3) формуланы (2.1- суреттегі сүлбаны қараңыз)
қолдансақ:
Д=1 • 5 • 9+2 • 6 • 7+3 • 4 • 8-3 • 5 • 7-2 • 4 • 9-1 • 6 ■8=0
2
2
1
5
Д
2.3.
2 0
13
1 0
2 1
1
4
2 анықтауышты 3-бағанның элементтері
0
бойынша жіктеу арқылы есептеңіз.
Шешуі. (2.5) формуланы қолданып, берілген 4-ретгі анықтауышты
3-ретті анықтауыштарға келтіріл, есептейміз:
2 1 4
Д = (-1)І+3 0- 1 1 2
5 2 0
2
2
+ ( - 1 ) 3+3 • 0 • 2
1
5
2
3 -9 —1•(-3)
1
1
2 2 1
1Г •3- 1 1 2 +
5 2 0
1
2 2 1
4 + (-1)4+3 •1• 2 1 4
1 1 2
0
24.
Анықтауыштарды есептеңіз:
2 4
2.4.
1 3
2.7.
1 і
і
1
3 5
2.5.
4 3
2.8.
2 3
2.6.
5 6
JC+ 1 X—1
X
х +1
28
cos a
2.9.
sm a
sin a
-co s a
Га
2.10. а
-1
sin a
2.11. - cos a
4~а
5 2 3
4
3
2
2.13.
cos a
sin a
a b
2.12. с d
2 3 1
3 1 5
10
3
16
2.14.
4 2 6
9 8 7
6
5
4
2.15.
1 4 3
3
2
-1
2.16.
5 6 3
X a a
a x —a
2.17.
a a x
a —a a
a a —a
2.18.
a —a —a
3 2 1
Анықтауыштардың 8-қасиетін пайдаланып, есептеңіз:
- 5 -1
3
2
-5 9
1
2.19 . A =
3 -1 5
-5
2
18 - 7 -10
Шешуі. 1 -ЖОЛДЫ 3--жолға (сәйкес элементтерін)
-2
-2
A=
2
1
2
-1
--5
9
--6 4
18 - 7
--5
3 <—1
1
l
- 2 (2)
(-2)
--10
1
( -2 )
й
Әрі қарай нүсқамамен көрсетілгендей түрлендірсек, яғни 3-жолды
2-ге көбейтіп 1-жолға қоссақ, 3-жолды (- 2)-ге көбейтіп 2-жолға
қоссақ, 3-жолды (-2)-ге көбейтіп 4-жолға қоссақ, онда мына
анықтауышқа келеміз:
д
0 -17
0 7
1 -6
0 30
7
-1
1
5
-2
-6
4
-15
>
II
т
u+1
•
•
Бүл анықтауыпггы 1-баған бойынша жікгеп, өрі анықтауыштардың
қасиеттерін пайдаланып есептейміз:
-17 7 -1 (5) (- 2)
-17 7 -1
1 5 j
1
7
5 = 3- 7
10 -5 -2
30 -15 -6
29
-17 7 -1
-78 36
3- -78 36 0 = 3 ( - 1),+3 ( - 1)
44 -19
44 -19 0
-13 6
(-3) 6 •
18•(247 - 264) = 306
44
19
Анықтауыштарды есептеңіз:
1 17
2. 20. - 1 13
1 7
-7
1 •
1
_
2 -3
2 .22 . 6 - 6
2 -1
2 .2 1 .
1
2
3
8
-8
2.23. 4
0
1
2•
2
2
1
4
7 2
2 7
4 4
4 -3
4
3
2
10
10
5
2
1 1 1
1 -1 2
2.24.
1 1 -1
1 1 1
1
2
3
-1
2 -1 1 0
0 1 2 -1
2.25.
3 -1 2 3
3 1 6 1
2
2
2.26.
6
2
3 --3
1 --1
2 1
3 і0
4
2
0
5
3 ■-1 4 2
5 2 0 1
2.27
0 2 1 --3
6 --2 9 8
1
1
2.28.
1
0
1 1 0
1 0
1
0 11
1 1 1
1
1
2.29.
1
1
•
•
1 1 1
2 11
1 3 1
1 1 4
§2. Матрицалар
2.1. Матрицаларға амалдар қолдану.
/и-жолданжөне л-бағаннан тұраіъш, кез келген ar ,і = 1, m; j = 1,п
сандардан қүралған тікгөртбүрышты кесте т х п өлшемді матрица
деп аталады. Ол мына белгілермен белгіленеді:
30
А =
Я12 ...
^11 а \2
^1л
fl21 Л22 — а 1п
^21 ^22
^2я
^ т ] а т2
немесе А = (а0); А
; л =
^т2
Лтл \
и ; / = 1, т (/ = 1, 2,..., т), j = 1,n ( j = 1, 2,...,л).
Мүндағы / —жол номері,у' — баған номері, а /у- —*—жол мен j
бағанның қиылысындағы элемент.
Ьірдеи т х п өлшемді А
қосындысы деп, элементгері
(<я„) және
(bij ) матрицаларының
«(, + bij, 1 = 1, т, j = l , n
(2.6)
болатын т х п өлшемді С = \C ij) матрицасын атайды
А —(atj ); i — \,т , j = I, п матрицасы мен Я, саныньщ көбейтіңщсі
ХА деп, элементтері
= h m , j = 1,n,
болатын В ={btj) матрицасын атайды
(2.7)
w x n өлш емді A (a«) ж әне n x k өлш емді
матрицаларының көбейтіндісі деп, элементтері
j
b ij
п
си
2І,а іцЬш, і = 1, т, j = 1, к
(2 .8)
/і=і
болатын С =( CJ матрицасын атайды.
Берілген матрицалардың сызықтық комбинацияларын табыңыз
1 4
1 2 3
2.30. 2А-ЗВ, А
В
U 5 0У
2 1 4
Шешуі. (2.6) жэне (2.7) тендіктерді ескерсек,
\
3 1 4
1 2 3
2А -ЗВ = 2
3
2 5 0
2 1 4
(Ъ
6
4
2 8
10 0
3 6 9
6 3 12
3 -8
2 7
з1
\
-1
12 /
/
fl 2 3
2.31. 2А+ЗВ, д
В
1
О 1
V
2 1
2.32. ЗА+2В, А
\
2 1 1
2 1 0
В
0 1
2 3 0
V
3 2 2
2-10
2.33. 4А-5В, А
V
3 4 -2
3 1 5
В
V
0 2 -4
' 2 -1
1 0 0'
2 1
2.34. А-Х.Е, а 5 -3 3 , Е = 0 1 0
00
0
1
V
/
г 1
-А
Матрицалардьщ АВ жэне ВА көбейтінділерін есептеңіз
/1 2
л
5
(Ъ 4
3
В
6 10 - 2
1 0 -1
V
7 1 8
V
Шешуі. (2 .8) формула бойынша,
2.35. А
АВ
'1
а
'3
2
3 6
о -и
4
5
0 -2
1
8,
/ 1-3 + 2-6 + 3-7 1-4 + 2 0 + 3 1
1 •5 + 2 •(-2) + 3-8
1-3
+
0-6
—
1-7
1
•
4
+
0
•
0
+
(-1)
•
1
1
•
5
+
0
•
(-2)
+
(-1)
•
8
/
V
36 7 25
-4 3
3
ВА көбейтінді жоқ. Себебі В матрицасының бағандарының саны
А матрицасының жолдарының санына тең емес (3*2).
(\ 2
2.36. А
3 4
В
(0
\
1
1
\
2/
2.37. А = (1 - 2 3 0) , В
(5}
-3
-4
1
V
32
\
4
2 О
2.38. А
1
1 2
3
V
2.40. Л
3
2
5
V
4
5
3 4^
2 5
2.2. a) A = (a jj) мен А т
үшін
2.39. А
2.41. А
2
3
6
V
2
(I
1
2 1
5
3
\
1
V
6
з
/ 3
5
V
\
1
2
л
(а,У ) матрицаларының элементгері
Щ
і =ал , V i , j
(2.9)
орындалса,
матрицасы деп аталады.
матрицасы А матрицасының
-1
б) Квадрат А матрица үшін (m = я), АЛ
A~lA = Е тендіктері
орындалатындай А 1 матрицасы бар болса, онда ол А матрицасына
кері матрица деп аталады.
\
(I 0...0
Е
0 1...0 - бірлік матрица
V0 0...1
Егер квадрат А матрицаның анықтауьппы |А\ = А Ф 0 болса, онда
онын жалғыз А 1кері матрицасы бар жэне
Л, 1 Л 2, .--А .
А
-I
1 А 12
Д
\
А Iп
\
1
А
(2. 10)
А*уi n ...Аппи
Мүндағы Ду —А матрицасыньща- элементініңалгебралықтолықтырушысы, (Ау ) матрицасы А =
) матрицасы ньщ қосалқы
матрицасы.
Матрицаларды элементар (жай) түрлендіру деп мына түрлендірулерді айтады:
а) матрицаның / — жолын (бағаның) к Ф 0 санға көбейту;
б) / — жолға (бағанға)у — жодцы (бағанды) k Ф 0 санға көбейтіп
қосу;
3— 219
33
в) / — жолмен (бағанмен) j — жолдың (бағанның) орындарын
ауыстыру.
Матрицаның жолдарын элементар түрлендіру арқылы кері матрица
табудың алгоритмі:
1) Берілген А матрицаның оң жағына Е бірлік матрицаны бірікгіру
керек.
( я,! а12-..сіІП 1 0...0
а2\ а22'"а2п О 1...0
а/11* а /іл2••• сіnn 0 0...1
\
2) Біріккен матрицаны элементар түрлендіру арқылы А матрицаны
Е бірлік матрицаға келтіру керек.
г 1 0...0 bu bl2...bln \
\
О 1...0
^21 ^22 —^2л
О 0...1
b„тj bnl
па ...bnnnn У
/ bu Ь\2—Ь\п \
-1
3) >4
21 ^22 ••*^2л
Ьп
/IIХ Ь/iz0...bn
nn„
Kepi матрица
AX
С, Х В = С, АХЯ = С
тендеулерді шешуге мүмкіндік береді.
-і
Бүл теңцеулердің шешімдері, А * В 1 кері матрицалар бар болса,
-і
-і
X =
С Д " \ Х = А ~ 1СВ
матрицалар болады.
Төмендегі матрицалардьщ аударылған матрицасын табыңыз:
1 2 3
2.46. А
4 5 6
Шешуі. А матрицасының екі жолы және үш бағаны болғандықтан
(2.9) бойынша, аударылған А Т матрицасының үш жолы және екі
\
(I 4
бағаны болады, яғни А
2 5
6
Vз
34
2 .4 8 . А
2 .4 7 . A = (l 2 3 4 )
2.49. А
3
О
2
5
2.50. А
1 2
3 4
О 2
3 1
Қосалқы матрица одісімен кері матрицаны табамыз
« И
«12
\ «21
«22
2.51. А
«11 «12
a j, а 22
Шешуі. det А
«11«22 —«12
« 2і * 0
матрица А 1 бар. Алгебралық толықтауыштар:
А21 «12’ ^22 "*"«11*
Демек, (2.10) қосалқы матрица (Д. )г
«22 “ «12
А
-I
§§
“ «21
det Л
«11«22
7 3
2.52
2.53.
4 2
3 4
Г1
2.58. А
«12
«2Р
болып,
Л
«11
«12« 21
3 1
2.54.
2
3
V
X
2.56.
А = а п \ А 12
«21 аи
1 2
1 2
2.55
«22
болса, кері
Z
X
У
V
5
2
V
г а
Ь
а
Ъ
2.57.
\
\
2 -1
3
0
2
4
V
2
5
у
Шешуі. det А = - 4 . Матрицаның алгебралық толықтауыштарын
табамыз:
35
О 2
2
1
1
2
Аu
А21
4,
8, А31
4,
2 5
-2 5
0 2
3 2
1 --1
1 1
А12
7, Л22
А32
9,
5,
4 5
4 5
3 2
3
О
1 2
1 2
А13
6, Л23
Ю, Л33
6.
4 2
4 -2
3 0
\
4
4 -8
Сондықтан, (Ад)
V
7
9 -5
6
10 - 6
/
а ~'а
\
А А ~1= 3
2
5
0
4
2
V
/1
2 -3
3
2 -4
V
2 -1
/ 5
1. 61 .
1
\
5
-1
\
/
[
2
7 _ 9
4
4
3 1 5
2
2
\
'1
2
- г
3
0
2
4
- 2
V
\
1
2.63.
7
5
I
5
4
'1
0
0 '
0
1
0
0
0
1
—
3
27
V
0
0'
0
1
0
0
0
1
/
2
Зу
1 1 1 п
0 111
0 0 11
0
1
у
\
1 2 3
л
3 1
5 -7
1
=
Г1
——
2.60. 4 - 5
3 -2
2
у
/2
0
3
жэне Л'1= - - ( д . /
2 -1
9 5
4 4
5 3
2 2У
\
(і
2 -1
2.59.
2 - 1
9 5
4 4
5 3
2 2/
7
4
3
2
=
/1
-1
7
=
4
3
\ 2
ч
-1
Тексеру.
\
/
0 0 1
2.61. 4
5
6
7
8
0
V
/ 1
1
2.64.
1
1
1
1
1
1
у
1
1
1
1 1
л
1
1
1
7
Элементар түрлендірудің әдісімен төмендегі матрицалардың кері
матрицасын табыңыз:
\
11 1
2.65.
а
1 2 -1
2
2
4
V
/
36
Шешуі. А матрицасының оң жағьша Е бірлік матрицаны жазамыз.
Біріккен матрицаны А матрицасы бірлік матрица болғанша
түрлендіреміз:
( - 2)
( - 1)
'1
1
1
1
0
0 "
1
2
-1
0
1
0
2
2
4
0
0
,0
—
>
1,
0Л
1 1
1 -2
0 2
0
(• 2 )
г\
1 0
-1 1 0
-2
0
—
>
һ
f1
1
1
1
0
0
1
0
3
1
0
\
0
2
2
0
1
1/
\
/
rl
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
V
0
1
Д ем ек, A
5
1
1 0
аударамыз.
0
-1
»
1
2>
2 )
АА
1
2
—
1
0
3
2
1
1
2
1
1
-1
3 1
V
-1
0
0
1
-3
-3
5
-і
1
/
37
А~ХА = Е екен дігін е назар
2 Р
2. 66. 4 5 2
2 1 4
V
7 3'
2.67. 3 9 4
1 5 3
\
/
'3
r 1
Л
(2
--Г
7 3'
2.70. 3 9 4
1
5
3
С
/
'2
2.68.
2
1
2 -2
/ 1 2
2Л
2
1
2 4'
2 6 1 0
2.69. -1 2 1
2.71.
3
0
1
2
-1
1
2
V ;
У
-1
4
5
4
2.3. Матрица рангі
У
А матрицасының к
матрицасыньщ
келген к жолдарымен кез келген к бағандарының қиылысуындағы
элементгерінен құралған матрицаны атайды.
А матрицасыньщ ранп деп, осы матрицаның нолге тең емес
минорларының ең үжен ретін атайды жэне оны А А ) немесе r a w А
деп белгілейді.
Реті А матрицасыньщ рангіне тен онын
илтттчі rnavr
матрицаньщ базистік миноры деп аталады
Табу әдістері:
түрлендірулер (Гаусс) әдісі. Мүнда
түрлеңщрулер арқылы А матрицасы сатылы матрица түріне келгіріледі.
Нолге тең емес жолдар саны А матрицасыньщ рангі болады.
Жалпы кейбір жолдары нолге тең сатылы матрица трапеция
тәріздес матрица деп аталады.
б)
Көмкеруші минорлар әдісі. Кез келген 1- ретгі нолге тен емег
минор (кейбір элемент) алынады. Енді осы 1- ретгі А минорды
көмкеруші (ішінде осы 1- ретгі минор болатьш) барлы*.
пИ11
минорлар қарастырылады. Егер оньщ барлыгы нолге тец болса, онда
rangA - 1, ал ең болмағанда біреуі А г нолге тец болмаса, осы 2ШШ------------------ көмкеруші 3- ретті
Олардың
барлығы
нолге
тец
болса,
онда
rangA
цикл
ЛЛТТ
___ _ .
Л
О
сияқты жалғасады. А матрицасыньщ
ал оны көмкеруші
онда angA - к , а л егереңболмағанданолгетеңемесбірминор
онда осы минорды алып, көмкеруші минорлардьш баолі
1с 1сн, uuju анға деиш осы процесті жалғастьфа береді.
Элементар түрлеңдіру әдісімен матрицалардың рангін есептеңіз
\
5 2 13
2.72. А
3 1 1 2
1 2
4 8
3 1 1 2у
38
Шешуі. Элементар түрлендіру арқылы берілген матрицаны
трапеция төріздес матрицаға келтіреміз:
\
3
2 1
5
5 2 1 3V -1) (-4) (-1)
1
3 0
2
3 1 1 2
4
6 0
19
1 2
4 8
1
3
0
2
J
1
1
2
3
V
/
V
)
—
>
'I 2
5 3 л
0 -3 - 2 -1
0 -15 - 2
0
0
,0
О
3>
- 2 --1 ( - 2) ( -1 9 -- 4 J
- 2 -1 ,
5
О
'1 2
0 -3
0 -6
<0 - 3
Демек, матрицаның рангі 3- ке тең.
1 2
1 2
2.74.
2.73.
f2 --1 5
2.76.
1
1 3
2.75
3
1
V
2 4
t
2 3 ОІ
2.77. 0 1 1 1
1 3 4 1/
к
6"
5
1 - 5 1 -3
rl 2 -1 \ - :
2.78. 3 - 1 1 6 l i
1 - 1 -1 4 - 3
{
2
2.79.
-3
_5l
28 - 4 2 70 J
V.
r- 5
2.80.
6
1
/
2 1S
5
1
2 --10 - 4
2.81
10
24
20
2
3
6
-4 4
12
\
-1 0
17
10
25
5
10 -1 0
V
Көмкеруші минорлар әдісімен матрицалардың рангін табыңыз
және базистік минорлардың біреуін көрсетіңіз:
7
1
/2 -4
1 2
2.82. A
0 1
4 -7
5
3
1
1
4
2 --8
1 0Л
4
2
3 1
4 5
39
Шешуі. А матрицасыньщ нолге тең емес элементтері
сондықтан rang А > 1. м
-4 3
- 2 II
Ф0, сондықтан rangA >2. Л/, -
НІ
2 -4 3
көмкеруші М
1-2
1
*
сондықтан rangA = 3. Барлық М
ті
О 1 -1
көмкеруші екі 4- ретгі минорлар і
3. Базистік
минор М з - ті көрсетуге болады
3 -1 2^
2.84. 4 - 3 3
1
3
0
V
7
12 3
2.83.
3 2 -1
2
'1
3
Р
-2
3 Г
1
2. 86.
2 - 4 2 2.87. 3 2 --4 3
3 -2
2 4
5
-2
2
4
<
У
у
{3 -1 2 '
2.85. 4 - 3 3
1 3 2
V
'0 1 2 "
2.88. 3 4 5
5
3 5
7
j
1 2^
2.89.
1 1
2 3
§3. Сызықтық теқцеулер жүйелері
3.1. п белгісізі бар т сызықтық теңцеулер жүйесі
аи х ,+ а ,2 'Х2 +•■• + «,„ •хп =bt;
а 2і х \ +а22 х2 +-.. + а2пхп = Ь2\
(2. 11)
а т\
Х і ~^~а
пЛ2 ■Х-у2
ml ' -1
- m
+ ... + Д
= _Ьв
түрінде бершеді, мүндагы х, -белгісіз шамалар, ал а, - саңдар,
жүйенің коэффициенттері, 6,-бос мүшелер-берілген сандар,
і = 1,/и; j = \,п. х ,= а „ х .
сандар жиыны теңцеулер
жүиесіндеп барлық теңцеулерді қанағатгандырса, оңца осы саңдар
п
40
жиыны (2 . 11) сызықтық тендеулер жүйесінің шешімі деп аталады.
(2 . 11) тендеулер жүйесінің кем дегенде бір шешімі бар болса, ол
үйлесімді жүйе, ал бірде-бір шешімі болмаса, онда ол үйлесімсіз
жүйе деп аталады.
Тек бір ғана шешімі бар жүйе анықталған жүйе, ал бірден көп
шешімі бар жүйе анықталмаған жүйе деп аталады. Белгісіздер саны
бірдей екі жүйенің барлық шешімдерінің жиыны дөл бірдей болса,
онда олар эквивалент жүйелер деп аталады. Егер bl =b2 =... = bm= О
болса, жүйе - біртекті жүйе, ал ең болмағанда бір бос мүше нөлге
тең болмаса, онда ол біртекті емес жүйе деп аталады. Біртекті жүйеүйлесімді жүйе.
А
а\\
а 12
а \п
«и
а 2\
а 22
а 2п
а 2\
«
•
•
1ат\
т
ф
т
“ m2
•
•
•
...
жэне А =
т9
Ф
ш
#
«12
а 22
Ф
Ф
ф
Щп
• ••
Ф
Ф
Ф
ш
т
»
а 2п
Ф
Ф
Ф
Ьх
ъг
ф
ф
ф
•
а т\
а тп
т„
а т2
& тп
—
_
Ът
матрицалар, сәйкес түрде, (2 . 11) жүйенің негізгі матрицасы және
кеңеитшген матрицасы деп аталады.
А матрицаның А>ретті миноры деп элементгері матрицаның кез
келген к жолдар жэне к бағандардың қиылысуында орналасқан кретті анықтауышты айтады, мүндағы к<т, к<п. Егер г+іретті
минорлардың бәрі нөлге тең болса, А матрицаның нөлге тең емес гретгі миноры базистік минор деп аталады, да r-санын берілген А
матрицаның рангісі деп атайды, яғни r—rangA. Базистік минор
бірнешеу болуы мүмкін.
Теорема (Кронекер-Капелли / Біртекті емес (2.11) сызықтық
тендеулер жүйесі үйлесімді болу үшін жүйе матрицасының рангісі
оны ң к ең еи тіл ген м атри ц асы н ы ң р ан гісін е тең , яғн и
rangA —rang А, болуы қажетгі жэне жеткілікті.
U
rangА * rang А болса, (2.11) жүйе үйлесімсіз; rangА = rang А = п
(мүнда п белгісіздер саны) болса, ( 2 . 11) жүйе үйлесімді жөне
анықталған ; rangA = rang A < п болса, (2.11) жүйе үйлесімді жөне
анықталмаған болады.
3.2. Крамер әдісі. (2.11) сызықтық теңдеулер жүйесінде т=п жөне
detА = Д * 0 болса, онда ол жүйенің жалғыз шешімі бар жэне ол шешім
Крамер формулаларымен табылады:
А, , X
А
Д
д
д
П
(2.12)
А
4 1
Мүндағы А —белгісіздердің коэффициенттерінен түратын
анықтауыш, ал А к - Д-ның к - бағананың элементтерін (
белгісізінің коэффициенттерін) жүйенің сәйкес бос мүшелерімен орын
алмастырғандағы анықтауыш.
т —п, болғанда (2.11) жүйенің матрицалық түрі: АХ=В, болады
а Ч ^12 ••• °Лп
Мүнда А
\ a nl а п2
•••
. . .
у
<һп
a
I
° 2 l а 22
\
*2
ш
,
(ЬА
Ьг
в =
•
/
•
•
S
j
-і
Егер Д
онда (2. 11) жүйенің шешімі
■
А
-і
II Мүнда
матрица (2.10), А матрицасыньщ кері матрицасы
шешімнщ координаталардағы түрі (2 . 12) болады
Егер Д = 0 болса, жүйенің шешімі А матрицасыньщ
байланысты болады.
Егер Д = 0 болып, ал Д,, Д2, Д п анықтауыштардың ең
болмаганда біреуі нөлге тең болмаса, онда жүйенің шешімі жоқ,
үйлесімсіз
0 және Д. = Д
Д = 0 болса, онда
(2. 11) жүйенің шешімі жоқ, немесе (2. 11) жүйенің бір шешімі болса,
онда оның ақырсыз көп шешімі болады.
3.3. Гаусс әдісі белгісіздерді біртіндеп шыгарьш тастауга
негізделген. Бүл әдісті қолдану тендеулер саны көп болганда үтымды.
Гаусс өдісі негізінен берілген жүйенің кеңейтілген матрицасьш
үшбүрышты матрицаға түрлендіруге негізделген. Бүл әдістің
мағынасын төрт белгісізді төрт сызықтық тенделер жүйесін шешу
арқылы көрсетеміз:
а пх. + а„х,
, +а,.х
12 2 +а„х
13л 3
14 4
*21*1
*22*2
*23*3
*24*4
* 3 1 * 1 "^” * 3 2 * 2
* 33* 3
^ 3 4 -^ 4
* 4 1 * 1 ”" ^ * 4 2 * 2 "^ "* 4 3 * 3
*44*4
аи Ф 0 болсын (егер а п
а 15
а 25
а 35
а 45
0
теңцеуді
(*)
(б)
(в)
{г)
1-теңцеу ретінде
тендеуді аламыз)
пыққан тендеуді
it
теңцеуге қосамыз; содан соң (я)-тендеуді
42
и дщ
21 ) - г е
ге
көбейтіп, (в)-теңцеуге қосамыз; осылайша, (а)-тендеуді (-а 41) - г е
көбейтіп (г)-теңдеуге қосамыз. Нөтижеде 1-қадамнан соң, мьша
жүйеге келеміз:
Х х + Ь п *2
“* " ^ 1 3 * 3
^1 4 *4
=
^15’
(д)
1*22Х2 ^23*3 ft ^24*4 = ^25,
^32Х2 ^33*3 ^34Х4 = ^35»
(е)
(ж)
^42Х 2
(з)
^ 4 3 *3
^44Х 4
= ^45 ’
(е), (ж) және (з) теңдеулерде х, -дің коэффициенттері нөлге
айналдырылды.
2-қадам. (д) тендеуді түрлендірмейміз. (е), (ж) және (з) теңдеулерді
1-қадамдағьщай түрлендіреміз және т. с. с. Нәтижеде бастапқы жүйе
түрленіп, мына сатылы көрініске келеді:
Енді бүл жүйені кері ретпен шешсек, х л, х ъ, х 2 жөне х, -лерді
табамыз.
Егер берілген жүйенің жалғыз шеигімі болса, онда түрленген
тендеулердің сатылы жүйесі үшбүрыштық түрге келеді, яғни соңғы
тендеуде тек бір белгісіз қалады. Ал берілген жүйе үйлесімсіз болса,
онда түрленген сатылы жүйе кемінде бір о = 1 теңцеуге ие болады,
яғни сол жақтағы белгісіздердің алдындағы коэффициенттер нөлге
тең болып, оң жағы нөлге тең болмайды.
Егер берілген жүйе анықталмаған болса, яғни белгісіздердің саны
тәуелсіз сызықтық тендеулердің санынан артық болса, онда жүйенің
ақырсыз көп шешімі болады. Бүл жағдайда түрленген сатылы жүйе
үшбүрыиггық түрге келмейді. Себебі сощы тендеуде бірнеше белгісіз
қалады. Сощы тендеуде бір белгісізді қалғандары арқылы өрнектесек
(бүларды еркін белгісіздер дейміз), онда біртіндеп басқа белгісіздерді
де осы еркін белгісіздер арқылы өрнектейміз. Мүндай шешімді
берілген жүйенің жалпы шешімі деп атаймыз. Еркін белгісіэдерге өр
түрлі мөндер беріп, жалпы шешімнен дербес шешімді табамыз.
Крамер формуларын қолданып, төмендегі тендеулер жүйелерін
шешіңіз:
Шешуі. (2.12) Крамер формулаларын қолданып шешеміз. Ол үшін
керекті анықтауыштарды есептейміз:
Д
Д
1 - 1
1 1 -(-1 )-2 = 3 * 0 .
2 1
1 -1
2 7
Демек х
1
7
Д
1
1
1 7 —(—1)-2 = 9
— = —= 2 ' х2 = — = — 3
Д 3
Д 3
1 - 1
мен кеңейтілген А
2 1
Жүйенің матрицасы Л
1 - 1 1
2 1 7
матрицаның рангі rangA =rang д =2 екендігін ескереміз.
2х, + х2 —х3 = 5,
, —2 2х
~v3 - 8, тендеулер жүиесш шешу керек
2.91 Зд:., +3х
, + х2 + х3 = 6.
jc
Шешуі. (2.12) Крамер формулаларын қодцану үшін керек болтан
анықтауыштарды, олардьщ қасиетгерін пайдалана отырып, түрлендіріп
есептейміз:
Д
2 1 -1
<—1 3 2 0
2
3
j
1
2
<
—
3 3
5 5 0 = (-1)3+115 5
1 1 1 (2)| (1) 1 1 1
15-10 = 5 * 0;
Д
5 1 -1
4—11
8 3 - 2 <—
ш
6 1 1 (2)1 (1)
и 2 0
11 2
20 5 0 = (-1 )3+31
= 55- -40 = 15;w
20 5
6 1 1
д
2 5 -1
4—1
3 8 - 2 <—і
1
1 6 1 (2)| (і)
11 0
5 20 0 = (-1)3+3
1 6 1
д
2 1 5 (-3)
3 3 8
1 1 6
( - 1)
3
2
-3
-1
1 5
0 -7
0 1
44
3 П
= 60--55 = 5;0
5 20
-3
(~1)1+2 •1■
-1
I
-7
1
( - 3 - 7 ) = 10
(2.12) формулалар бойынша:
Ді 15
Д2 5 ,
Д3 10
1 — = — = 3; дс2 = —Z- = - = l ; ; c = _ L = —
Д
5
Д 5
3 Д
5
2
Берілген жүйенің матріщасы А
м атр и ц а
2 1 -1
Л= 3 3 -2
1 1 1
5
8
6
2
1
2 және кеңейтілген
1
I
3 3
1 1
р а н гіл е р і бірдей е к е н д ігі, я ғн и
rangA = rangA = 3, байқалады.
Тендеулер жүйелерін шешіңіз:
2.92. \ Х1
2х і
х
-4 ,
2.93.
5.
л /З х , +
4х,
—
Jbx
1 -v2 5,
2.94.
2ху + х 2 = 1.
2.95.
2ах —3by = 0,
2.96.
Ъах —6Ьу = аЬ.
I ах —у —2,
2.97.
2х + ау = 1.
2.98.
f 3jc—
11,
0.
2х 2
хі
0,
2л/5 х, —5 х 2
= 13,
2.99.
2x + 7v = 81.
10
\Ъх —Ау = -6,
Здс + 4у = 18.
7x + 2j> + 3z = 15,
[2jc + 5.y = 7,
2.99a.
х —2у ——1.
2.100.
5х —3_y + 2z = 15,
ІОх —llj> + 3z = 34
дс, - х 2
х + y - 2 z = 6,
2 . 1 0 1 .. 2x + 3 y - 7 z = 16,
2х
5дг + 2 y + z = 16.
4jc,
4х, + 2х 2
Зх
1,
2.103. J 5дс, + Зх2 ■ 2х3 = 2,
Зх. + 2хг Зх3 = 0.
3 6,
9,
2х3 = 3
2 + Зх3 2,
2.104. 5jc, - 2х2 + 2jc3 = 1,
2jc, + 2jc2 + Зх3 = 1.
45
5х, + 2хг + 5х3 = 4,
2.105.1 Зх, + 5х2 -3jt3
1,
2х 4х2 + Зх3 = 1
х, + 2хг - Зх3 О,
2.106. 2х, - х2 + 4х3 5,
Зх, + х 2 - х. 2
Зх, - Зх2 + 2х3 = 2,
2.107. 4х, —5х2 + 2х3 = 1,
5х, - 6х, + 4х , = 3.
Зх, + 2jc2 4х3 = 8,
2.108.-І2Х, + 4х2 5х, =11,
4х
Зх2 +2х3 =1.
.
2х, - 4 х 2 + Зх3 = 1,
, - 2 л 2 +4х3 =3,
Зх1 х2 + 5х3 = 2.
2 .110.
х, + 2х2 + Зх3 = 5,
2х, - х2 - х3 = 1,
х, + Зх2 + 4х, = 6.
Зх, + х2 + 2х3 = О,
2.111. J х, + 2х
1,
X. + 4х, + Зх, = 2.
х, - 2х, + х3 = 1,
2. 112.
2х1 Х ^ Х , 2,
Зх, + 2 х 2 + 2х3
2.
теңцеулер жүйесін Гаусс өдісімен шешіңіз
Шешуі. Берілген жүйені түрлендір
келііреміз:
х, - 2х2 + х3 1,
2х 1 х2 +х 3 2,
Зх, + 2х, + 2х
Xі
2 х2 +
(-2)
■
2
(-3)
J
х3 1,
үшбүрыштық түрге
х, - 2х, + х
1,
Зх X 0,
8х X
5.
X1 2х2 + х3 1,
1
1
X.
х
X о,
3*з = о , ( - 8 )
3
8х х3 - 5
5
X
5.
3
_ Соңғы жүйені біртіндеп кері ретпен шешсек: х = —3;х = —1;
х , — 2. Бүл жүиенің матрицасы мен кеңейтілген матрицасыньщ рангі
3-ке тең екендігін атап өтеміз.
46
X, +2дг, —Зх
2.113.
О,
2 х х —2 х3 = 16.
Шешуі. Гаусс әдісін қолданып, берілген жүйені түрлендіреміз:
xt + x 2 - x 3 = - 4 ,
(-1)
Xj + 2*2 —3Xj = 0 ,
J
(2)
х2 - 2 хъ = 4,
—2xx —2xj = 16.
x \ + x 2 —x 3
хх + х 2 - хъ = - 4 ,
2x2 - 4*3 = 8.J
J
-4,
x2 —2x3 = 4,
0 •x2 —0 •Xj = 0.
8,
l
x 2 —2 x 3 = 4.
(-2) =>
X\ + x2 —x3 = —4,
x 2 = 2x3 + 4.
Xj еркін тәуелсізді r арқылы белгілесек, берілген жүйенің жалпы
шешімін аламыз: (—t - 8; 21 + 4; t). Енді дербес шешімін табу үшін,
t —ға әр түрлі мөндер береміз:
Мысалы, t = і болғанда (-9; 6; 1) - дербес шешім. Бүл жүйенің
матрицасы мен кеңеитілген матрицасыньщ рангі 2 -ге тең
Жүйелердің шешімдерін Гаусс әдісімен табыңыз:
2х 1 х 2 + х ъ
2,
2,
2.114. Здс, + 2 х 2 + 2 х 3
—2 х 2 + х 3
х,і + 2х
28,
2.115. 1 х х + Зх2 —6 х 3 - 1,
1 х х + 9 х 2 —9 х 3 =5.
2 х х —4 х 2 + 9 х 3
1.
*, —*2 + *3 - a,
2,
2.116. 2 х х —Зх2 + 2 х 3 = 2,
Х\ + Х2 ~ ХЪ : b,
Зхх + х 2 + х 3 = 8 .
- *, + Х 2 + *3
5,
х, + х 2 —х 3 •- 0,
Зхх+ 2 х2 + х 3
2х і х 2 + *3 5,
2.119 J *! —2х2 + 2*3
5,
7*, + х2 X 10
.
4*, — х 2 + 5*3 = 3
х,
с.
2*, + Зх2 —*3 х
—х 2 —*3
1,
2 .120 . 2*, —2х2 —2х з
2,
3*. —Зх2 —Зх3
3,
*, + х 2 х3 + 2 * 4
2.122. 2*, + х 2 + 2д:3 3*
3*, + 2*2 + *з *
2,
4*, + 6х2 2х з 2х
6*, + 9х2 3jc3 —3*4
*4
2,
1, 2.123
2*, + 2*2 + З*3 2*
3.
3*, + 3*2 + 5*з
* , + *2 + 2*3
3*.
4,
6.
0,
0,
0.
О,
л
1
6х, + 2х 2
I -*2 Зх3 4 х4 1,
2х, - 2х, + 2х, 1 Зх 2,
X. + х 13х, -18х
1
2 х3 + 2 х 4 = О, 2.125.
9л:, + Зх2 - Зх3 + Зх 4
0.
х, 1 2х2 В Зх3 = О,
2х, + Зх2 І 4х3 В О,
2.127.
2х 1
1,
2х, + 2хп + Зх 1.
х, + Зх2 —Зх3 = 2,
2.126. < 4х, + 4х, - 4х, = 5,
х 5х? + 7х
1
—
Зх, + 2 х2 - х3 6х4 = 0,
2х, + 7 х2 | Зх3 - х4 - 12xs = О
2.128. 4х, - х2 - х3
2.129. х, 1 6х21 4х31 2х4 + 10х510,
= 0,
х, + 4х, + Зх, 12х, = 0.
Зх, + 10х, + 4х3 —2х4 —21х, = 0.
2х, + х2 - х3 - 2х4 + 2х5 = О,
X, + 2х, - х, + 4х -2 1 х5 =0,
Зх, + х2 - х3 + Зх4 + 2х5 = О,
х,
+
х
4х Зх, = О,
2.131
Зх, + 2х, - 2х, I Зх; + 4х, = О,
х,
2—х44 I О,
,
~2 +
■ “2х
•'*3
2х, +х. - х, + 4хл + 2х« = 0.
2х, I х, + Зх, + Зх 12х« =0
2.134.
х, + 2х, Зх3 - 4 х4 4,
2х, +3х2 4х3 - 5 х4 = 4,
2х3 - 2х4 : 2,
I
4х, + Зх2 - 4х3 - 6х4 3.
2х
= 5,
2х, - х 2 + 4х3 1 х4 =9,
2х Зх
= - 1,
2.133.1
2х + х2 + 4х3 - х, = 11,
Зх, - 2х2 + х3 = 9.
1 2х2 + 2х3 = -5,
7х, + х2
10.
2.135..
х, +х
Зх, 1 2х2 + х3 = 5,
4х
4,
4х, + 2х2 + Зх3
2х
х2
+
Зх3
2х
I
1.
2.136.
- х, + 2х 6,
Зх Х2 + *3 ~ Х4 ~ О-
2.138.
О,
х2 Я 5х3 3.
2.137.
Зх, - х2+х, +2xs = 18,
2х, - 5х2 + лг4+ дг, = -7 ,
2.139.1
X, - х4 + 2х5 = 8,
2*2 + X, +х4 - X, = 10,
х,+х2-З х 3 + х.=1.
48
2,
2х, + 8 х2 1 х3 = 8,
9х. + х, 18х, = 0.
7х, +6х2 +Зх3 +7х
Зх, + 5 х2 + 7х3 +2х4
3,
1,
5х, + 4 х 2 +Зх3 + 5 х,
5х, + 6х, + 5х, + 4х.
1,
2.
дг, + 2 х 2 + Зх3 + 4*
2*, 1 3*2 + 4х3 + х,
2.140.
3*, + 4 х 2 + х 3 + 2*
4*, + х 2 + 2х3 + Зх,
1 2хг +Зх3
4*,
+
Зх2 Х-, + 2х
2.142..
2*, —5*, + Зх, + х
4*, + 6*2 + 2х
3*, + 4*2 + 2*з О,
2.144.
1 *2 + 4*3 О,
5*, + 2*2 +10*з О
3*, + 2*2
О,
2.146. 2*, + 5*2 + З*3 О,
3*, + 4*2 + 2*з = 0.
11,
12,
13,
14.
9,
=5,
16,
=5.
2*, + 5jc2 + 4х3 + Зл4 -19,
х
2
+
2х3
+
х
4
6
,
1
2.141..
*, + *2 + 2х3 Зх
Ю,
4*, + 6х2
2х
- 12.
о,
2.143. 5* I х 2 + 2*з О,
*, + 2*2 + *3 0.
2х 1
2
Х3
*, + 2*2 + З*3 = О,
2.145. J2*, + 4*2 + 6*з = О,
3*, + 6*2 + 9*з = 0.
*1 —*2 + 2*3 = 0,
2.147.. 2*, —2*2 +4*з О,
5*. - 5*, +10*-
О
Параметрге тәуелді теңдеулер жүйелерін зерттеңіз:
Щ + *2+ *з = 1,
(1+ а)*, +*2 +*
2.148. J *, + ах 2 + *з = 1,
2.149. *, + (1 + а)х 2 + *,
* , + * 2 +<2*3 = 1 .
3*, + 2*2 + *3 = Ь,
2.150. 5*, -8*2 +9*з 3,
2*, + *2 + ах j = 1.
4— 219
1
с
*, +*2 +(1+а)*3 а
ах I
1,
1,
1,
*, + ах 2
2.151.
*, + *2 + ах з + х.
*, + *2 + *3 + ах 4 = 1.
III т а р а у . ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА
§1. Векторлар және оларға сызықтық амалдар қолдану
Векторды базис бойынша жіктеу
1.1. АВ бағытгалған кесіңці вектор деп аталады. Мүнда А нүкте —
вектордың басы, ал В нүкте — вектордың үшы. Вектор сызықша
қойылған бір әріппен де белгіленеді: а, Ь, с және т. с. с. а
саны а - А В векторының үзындығы. а
АВ
1 болса, а — бірлік век­
тор деп аталады. Басы мен үшы дөл келіп бетгесетін векгорды нөлдік
деиді
О деп белгілейді, О 0. Бір түзуде немесе
параллель түзулерде жатқан а және b векторларын коллинеар
векгорлар деп атайды. Егер а жэне Ъ коллинеар, бірдей бағытгалған
Ъ векторлар болса, оларды тең
және үзындықтары тең, яғни а
векторлар деиді де, а = Ъ деп жазады.
1.2. АВ векторының и осіне проекциясы мына формуламен
анықталады:
(3.1)
АВ ■ cos (р = А'В .
приАі
Мүндағы (р-АВ мен и ось арасындағы бүрыш, (3.1-сурет) а а ’ ± и
жөне ВВ' 1 и . А' және В' нүктелері, сөйкес түрде, А және В
нүктелершщ проекциясы.
АВ векторының проекциялары (3.2 сурет) Х —п р А В , Y=npvA B ,
Z = npzAB осы вектордьщ координаталары деп аталады. A(jc,;y,;z,)
және B{x2\ у2 z2) нүктелері үшін АВ векторының координаталары
келесі формулалармен анықталады:
X = x2- x l;Y = y2- y .; Z = z2- z l;
(3.2)
Сондай-ақ AB = { X , Y , Z } түрінде жазылады. АВ векторьшың
үзындығы мына формуламен анықталады:
50
3.1-сурет
3.2-сурет
3.3-сурет
УІХ +Г" + Z
АВ = VX"
(3.3)
Ал, а вектор Ox, Оу, Oz. координата осьтерімен сәйкес түрде a, /J
жэне у бүрыштарьш қүраса, бағытгаушы косинустары, (3.1), (3.2)
жэне (3.3) формулаларын ескеріп, төмеңцегі формулалармен есептеледі:
X
cos a = . ------------- ; cos P = -j=
■Jx2+Y1+Z 1
’
Y
=
J x 2+Y2+Z 2
cosy = - 7=
z
9
yJx 2+Y2+Z 2
-----------
(3.4)
(3.4) формулалардан келесі теңдік шығады:
(3.5)
cos2a +cos2В +cos2у = 1
Ox, Cty, Oz координата осьтерінің бірлік векторлары і, у жөне
к ортгар деп аталады. Кез келген М (х, у, г) нүктесінің г Шом р а д и у с
векторы (3.3 сурет) орттарға жіктеледі:
г
(3.6)
= х і + у/ + z k
1.3. a = X~i + Y J + Z lk жөне Ь = X 2i + Y2j + Z2k векторлары
үшш
a ± b = ( X l ± Х 2)і + {Yx±Y2) j + (Z, ± Z 2)k,
(3.7)
a a = ccX, i + a Y J + a Z xk; a -нақты сан
(3.8)
3.1.
A(2; 3; 4) жөне 5(4; 6; 10) нүктелері берілген. АВ векторының
координаталарын, үзындыгын жөне бағыттаушы косинустарын табу
керек.
Шешуі. (3.2) формулаларбойынша: X = 4 - 2 = 2; К = 6 - 3 = 3;
Z = 1 0 -4 = 6 . Демек, ДЯ = {2;3;6}. (3.3) жөне (3.4) формулалары
бойынша:
r~z----:----г
2
0 3
6
А В = V2 +3 +6 =7; cosa = - , cosр = ~, cosy = - .
Соңгы теңдіктерден (3.5) теңдіктің орынды екендігі корінеді
51
3.2. Л(2;0;0), 5(0; - 5; 0), С(0;0;-1), D(0;2;2) жөне £(5; - 5; 0) нүктелер координаталар жүйесінде қалай орналасқан?
3.3. А(а; Ь\ с ) нүктеге: а) Оху жазықтыққа; б) Oyz жазықтыққа;
b) Оу оське; г) координаталар басьша сәйкес симметриялы нүктелердің
координаталарьш табыңыз.
3.4.
Л(3; -1; 2) жэне В(- 1; 2; 1) нүктелері берілген. АВ жэне ВА
векторларыньщ координаталарьш анықтаңыз.
J.5. А(і; 2; 3) жэне ДЗ; 5; У) нүктелері бершген. АВ векторыньщ
коодинаталарын, үзындығын және бағыттаушы косинустарын
табыңыз.
3.6. а векторыньщ үзындығы а =13 және екі координатасы
= 4, у = -12 берілген. Үшінші координатасы z -ті анықтаңыз.
3.7. а = {З; - 1; 4} векторыньщ бастапқы нүктесі М( 1; 2 ; - 3). Сощы
N нүкгесін анықтаңыз.
3.8.
Соңғы нүктесі 1
3; - 1} векторыньщ
бастапқы А нүктесін ан
Үзындығы 2-ге тең, координата осьтерімен
а = 45и, р = 60°, / =
векторының
наталарын табыңыз
Векгор координаталық осьтермен төмендегідей
ала
a)а
= 45°, /3 = 60°, у = 120°; а) а = 45°, р = 135°, у = 60°;
b)a = 90°, P = 150°, 7 = 60°.
3.11. Вектор екі координаталық осьпен төмендегідей
ала
а)а = 30 , Р =45 ; б)р =60°, / = 60°; Ь) а = 150°, у = 30°.
3.12. Вектор Ох жэне Oz осьтерімен ос = 120° жэне у = 45ежасаса
Оу осімен қандай бүрыш жасайды.
3.13. а векторьшың үзындығы 2-ге тең болып, Ох жэне Оу
осьтерімен а - 60 жэне р = 120° бүрыштар жасайды. а векторыньщ
коодинаталарын табыңыз.
3.14. М нүктесінің радиус векторының модулі 3-ке тең жэне
координаталық осьтермен бірдей бүрыштар жасайды. Л/нүктесінің
координаталарьш табыңыз.
52
а)
б)
в)
3.4-сурет
1.3. а жэне Ь еківектордьщ a +b қосындысы деп кез келген А
нүктесінен бастап а = А В , ал В нүктесінен бастап Ъ= ВС салынган
векторларды түйықтайтын с - А С векторын атайды (үшбүрыш
ережесі) жэне келесі түрде жазады: a +b = c немесе АВ + ВС - АС
(3.4а сурет). Кэп векторларды қосқанда үшбүрыш ережесі біргіндеп
қодцанылады.
_
а векторы мен Ь векторьпп»щ а —Ь айырмасы деп п+Ь = а
болатын с векторын атайды (3.4б-сурет).
Нольдік емес а векторыньщ А * 0 санына кэбейтіндісі деп
үзьшдьпы Щ\а болатын, ал багыты Я >0 болганда а векторымен
бағыттас, Я < 0 болганда а векторына қарама-қарсы багытталган
Я ■а векторды атайды (3.4 в-сурет).
1.4. Векторлардын оське проекциялары үшін төмендегі теңціктер
орыңды:
npu(at +а2 +... + ая) = приа1 +приа2 +... + приая , npuk a = foipua.
Дербес жағдавда, егер a = {x,;Yl;Zl} жэне b = { X 2; Y2; Z2} болса,
онда:
a + b = {Xl + X 2\Yl +Y1, Z l +Zi y, a - b = { X x% X 2\Yx- Y 2\ Z x- Z 2}\
Ха = {Я X ,; ЛҮ, ;AZ,}.
—
X
Y z
а жэне b векторларының коллинеарлық шарты: — = -ф = — •
1 1
1
1.6.
Үзындықтары бірге тең, координата осьтерінде он багытталган
Iі, j, к үш векторды координаталық базис деп атайды. Кез келген а
вектор координаталык базис бойынша:
(3.6)
а = X i+ Y j+ Z k .
түрінде жіктеледі; мүндагы X, У, Z - a векторының координаталары,
я гни координаталык осьтердегі проекциялары.
53
3.15. ОЛВ үшбұрышта а = 04 жэне
векторлары
векторларын табу керек; мүндағы Л/нүктесі
сурет)
Шешуі
Ъ
анықтамасы бойынша АВ = ОВ -О А = Ь - а .
MB векторы АВ векторыңцай бағытгалған
жэне екі есе қысқа, сондықтан:
Mi
1
2
3.5-сурет
Ai
Ал MA болса, үзындығы MB векторымен бірдей, бағыты
қарама-қарсы. Демек: МА
MB
~(b~a) = ^ ( a - b )
3.16. ОАВ үшбүрышта о A = a, OB
салыңыз:
Төмендегі векторларды
l)a + b-
2 )— ; 3) — г —\ 4 ) - —
2
2
2
3.17. a
13, b = 19 жэне a+ b
24. a - b үзындығын есептеңіз
3.18. a
11, b
30. a + b үзындығын есептеңіз.
23 жэне a - b
3.19. о жэне Ь векторлары эзара перпендикуляр жэне
a 5, b 12. а + Ь жэне а - Ь үзындықтарын анықтаңыз.
а
5, b
8.
векторлары
жасайды
г
а + Ь жэне а - Ь үзындықтарын есептеңіз.
3.21. а жэне b векторлары эзара <р= 120° бүрыш жасайды, ал
үзьщцықтары а 3, b 5. а + Ь жэне а —Ь үзындықтарды анықтаңыз.
3.22. a+b = b+a екендігін дэлелдеңіз.
3.23. (а + Ь) + с = а + (Ь + с) теңцікті дэлелдеңіз.
3.24. Бершген а жэне Ь векторлар бойынша, мына векторларды
салыңыз:
Зт
1)5а; 2) - ~ b ;
3)2a-3b;
4 ) - 2 а + ЗЬ.
54
3.25. О нүктесі A B C үшбүрышының ауырлық центрі
ОА + ОВ + ОС = 0 теңдігш дәлелдеңіз.
3.26. а = {3; - 2; б} және Ь = {- 2; 1; о} векторлары берілген. Мына
векторлардың координаталық осьтердегі проекцияларын табыңыз:
1) а + Ь\ 2 ) а - b ; 3) 2а\ 4) ——Ь\
R i-л
* SjP
'
г
5) 2а + ЪЬ\
6) - а - Ь .
...
ч
3.27. a = {2; -1; з}және Ь = {- 6; 3; - 9} векторларьшьщ коллинеар
екендшн тексерщіз.
•
•
3.28. a = -2i + 3 j + p k жөне b = a i - 6 j + 2к векгорлары а жөне
р -ның қандай мәндерінде коллинеар екендігін анықтаңыз.
3.29. >4(3; -1; 2), 5(1; 2;-1), С(-1; 1; -3)ж әне D(3; -5; 3) нүкте-
лері трапецияньщ төбелері болатындығын анықтаңыз.
3.30. Берілген a = {З; - 5; 8} жөне Ь = {- 1; 1; - 4} векгорлары үшін
a +b
және а Ь үзындықтарды анықтаңыз
§2. Векторлардың скаляр көбейтіцдісі
2.1. Нөлдік емес а және Ь векторларының скаляр көбейтіндісі
а ■Ь деп осы векторлардың үзындықтары мен олардың арасындағы
бүрыш косинусының көбейтіндісіне тең болатын санды (скалярды)
атаиды, яғни
ab
(3.9)
а b •cos(p
(3.1) формуланы ескерсек, (3.9) формуласьш келесі түрде жазамыз:
a ■b
Ь ■пр-һа = Ы •прдЬ
(3.10)
Негізгі қасиеттері:
1) а-Ь = Ь-а;
2) (Ка) ■b = X(a ■b)\
3) a ■Щ+ с) = а Щ+ a ■с;
4) a a = a 2
болса, онда a b = 0 боладыжәнекерісінше, a b = 0 болса,
онда a l b болады, a * 0 , b * 0 .
2.2. Егер а = {*,; К,; Z, } жөне b = { x 2\Y2\ Z2} болса, онда
5)a l b
a b = X , X , + Y iY2 +Z,12.
Z
55
(3.11)
болуының қажетгі жөне жеткілікті шарты:
alb
x,x2+ylr2+zIz2_=0
(3.12)
а ЖӘНе Ь вектоплап япяшипаги
....
формуламен
табылады
COS
Х.Х- + К Қ + Z Z
(D
(3.13)
3.31. а және b векторларының арасындағы бұрыш
үзындықтары a
3 және Ъ 4. с - Ъ а + 2Ь векторыньщ үзындығын
табыңыз.
Шешуі. с векторыньщ үзындығын скаляр көбейтіндінің 4-
қасиетш паидаланып табамыз:
—
2
—
—
—
2
= у [ с ч ; = л [ 7 = у/(3а + 2b)2 = V9а +12а Ь + 4Ь . Скаляр көбейтінД ІН ІҢ
анықтамасын
я
a-fe-3-4 cos—-6 . Демек
—2
ескерсек:
а
2
-2
а = 9:6
b
16:
л/9-9 + 12 -6 + 4 16 = л/217
3.32. Үшбүрыштың Л(3; 2; - 3), Я(5; 1; - 1) жэне С(1; - 2; 1) тэбеі берілген. А төбесіндегі ішкі бүрышты табыңыз.
Шешуі: Ізделінетін <р бүрыш АВ және AC векгорлар арасыңдағы
ыш. Бүл векторлардың координаталарын (3.2) формулалар
көмегімен
={5-3;1—2;—1—(—3)}; А С ={1-3;-2-2;
1~(~3)}, яғни А1 2 і - j + 2k; AC
формуланы
қолданып үзындықтарьш табамыз
АВ
AC
+ (-1) +2
+ (-4 ) + 4
>/9 = 3:
736
6.
формула
Ai AC - 2 • (-2 ) - 1 • (-4 ) + 2 - 4 = - 4
Енді (3.13) формуланы қодцанамыз
8
4
4
cos (p
(p = arccos—« 63 36'.
3-6 9
9
56
+4+8=8
векторы өзара перпендикуляр
к
бірдей — бүрыш қүрайды. Олардың үзындықтары а
Мына өрнектерді есептеңіз:
1) ( 2 а - Ь ) ■(с - а); 2) ( а + Ь + с)2.
Ь = 2;
1
3.34. Үзындықтары а - 3, Ь = 5 векторлары берілген. а -ның
қандаи мөндерінде a+ ab және a - a b векторлары өзара перпенди­
куляр болады?
3.35. Төбелері А(1; 2; 3), В ( - 5; 3; 2), С (- 3; 0; 6) және D( 3; 2; 4)
болатын төртбүрыппъщ диагонаддары өзара перпендикуляр екендігін
дәлелдеңіз.
3.36. Төбелері Л(-1;-2; 4), й (-4;-2; 0) және С(3;-2;1) нүктелерінде болатын үшбүрыштың А төбесіндегі ф, ішкі бүрыш пен В
төбесіндегі ф2 сыртқы бүрышты табьщыз.
3.37. а -ның қандай мәнінде a = ai-3~j + 2k және b = i + 2 j - 2 i c
векторлары өзара перпендикуляр болады?
3.38. а = {2;-4; 4} және £ = {-3;2;б} векторлар арасындағы
бүрьпшъщ косинусын есептеңіз.
3.39. Төбелері Л(-1; - 2; 4), Я(-4;-2; 0) және С(3;-2;1) нүкгелерінде болған үшбүрьпшъщ В төбесіндегі ішкі бүрьппты анықтаңыз.
3.40. Үшбүрьпптьщ төбелері Л(3; 2; -3), В( 5; 1; -1) жэне С( 1; -2; 1)
нүктелері. А төбесіндегі сыртқы бүрьпшы табыңыз.
3.41. Төбелері Л(1; 2; 1), В( 3; -1; 7) және С(7; 4; - 2) нүктелері бола­
тын үшбүрыштың ішкі бүрыштарын есептеңіз. Үшбүрыштың
теңбүйірлі екендігін анықтаңыз.
3.42. а = {6; - 8; - 7,5} векгорына коллинеар х векторы Oz осімен
сүйір бүрьпп жасайды. х = 50 болса, осы вектордың координаталарын
табыңыз.
3.43. а = {2; 1; - 1} векторына коллинеар, х а = 3 шартын қанағаттандыратьш_х векторын табыңыз.
3.44. х векторы a = 3i + 2 j + 2k жөне b = \ S i - 2 2 j - 5 k
векторларына перпендикуляр өрі Оу осімен доғал бүрыш жасайды.
= 14 болғанда, оның координаталарын анықтаңыз.
57
3.45. а = {2; 3; - 1} жөне b = {і; - 2; 3} векторларьша перпендикуляр,
х-(2і - j + к) = -6
шартын қанағаттандыратын х векторын табыңыз.
3.46. а = {3; -1; 5} және Ъ= {і; 2; - 3} векторлары берілген. Oz осіне
перпендикуляржәне х а = 9 , х - Ь = ~4 шарттарынқанағаттандыратын
х векторын табыңыз.
3.47. а = 2 і - j + 5к, b = i - 3 j + 2к жөне с = 3i + 2 j - 4 к векторлары
берілген. х ■а = -5, х ■b = -11 жөне х ■с = 20 шарттарын қанағаттандыратын х векторын табыңыз.
§3. Векторлардың векторлық көбейтіндісі
3.1.
а векторының Ь векторына векторлық кобейтіндісі деп
c = a x b векторын атайды:
1) с векторы а жэне Ь векторларьша перпендикуляр;
—
\
л1
#
—
а
с
ъ •sin <р, (р = a b
2)
(3.13)
v
3) бағыты с векторының ұшынан қарағанда ең аз а -дан Ь -ға
дейінгі айналу бүрышы сағат стрелкасьша қарама-қарсы болады (оң
жақтық үштік қүрайды). (3.6-сурет).
3.2^ Векторльпс, көбеетіңцінің негізгі қасиеітері:
a) ахЬ = - Ь х а ш
, б) a x ( b + c ) = a x b + ax.c;
в)
а және Ь
коллинеар
жағдайда а х а = 0;
г) (Аа) х Ь = А(а х Ь), Я - нақты сан.
■ ■и
Ж
—
3.3 , i x j = k-, j x k = i; k x i = j; i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0;
•
•
«
«
•
іх к
к; k x j
j; j x i
3.4.
a
а ж эне ь
i.
векторлары
{ X i » Y x \ Z ,} , b = {X2; Y2; Z2J
координаталарымен берілсе:
а
>
3.6-сурет
58
axb =
I
j
X,
Yt
к
у1 ,
Қ
z,
X2 y2 z2
£z■]
X, У,
z 2 z 2 x 2 X2 y2
zI
XI
(3.14)
3.5. a жөне b векторларында қүрылған параллелограмманың
ауданы 5П a x b , ал үшбүрыштың ауданы 5
\_
axb
2
3.48. а және b векторлардың үзындықтары бірге тең, арасындағы
бүрыш 30°. а + 5Ь және 5а + Ь векторларында қүрылған параллелограммның ауданын есептеу керек.
Шешуі. Векторлық көбейтіндінің анықтамасын және қасиеттерін
ескерсек:
+
х
+
5а х а + a x b + 25b x a + 5 b x b = 5 (axa^ + (a x b )
х
25 (a xb) +
5 0 24 (a X
24 (a X
50
Онда S = 24|a х = 24|<я
|• •sin 30°= 24
1
1-1-— = 12
{l;0;-2} b = {2; 1; 0}
KB.6.
{-1; 1; і}векторлар
ген. [ a x b \ x c және ax(fcxc)векгорлықкөбейтінділердітабыңыз.
Шешуі. (3.14) формула бойынша:
I j
к
—
_____
axb = 1 0 - 2 = 2i —4j +k
2 1
Демек a x w x c
Z — .
ЖӘНе
0
-A i-5 j-2 k .
і
xZ?Jx с = 2
j
-4
-1
1
—
к
5і—3/ —2*
1 =—
1
Осылайша есептесек, a x \ b x c
= -4 i-5 j —2k.
3.50. Мынажағдайларда a x b векторьш анықтаңызжәне салыңыз:
а )а = ЗІЬ = 2Іс; 6 ) a = ' i + ~j,b = i ~ J ,
в) а = 2і + 3~j, b = 3~j + 2k. Әрбір
ЖЯГДЯЙЛЯ a және b векторларында салынған параллелограмның
ауданын есептеңіз.
3.51. a = 2 j + к жэне b = i + 2k векторларында параллелограмм
қүрыңыз және оның ауданы мен биіктігш есептеңіз.
59
3.52. Жақшаларды ашып, өрнектерді ықшя мгтяңктч
1. іх ( J
+ k ) (і+ Һ+кх§+]Ьк%
2. (2a + b ) x ( c - a ) + (b+c)x(a+by,
3. (a + b + c ) x c + (a+b + c )x b + ( b - c ) x a ;
4. 2i(j хк) + 3j(i хк) + 4к(і х Д
Үзындықтары a
6,
векторлары
п
арасындағы бұрьпп (р = — ға тең. a x b ұзындықты есептеңіз.
6
3.54. Үзыңцықтарь] a
Ю, Ъ 2 болтан а жэне Ъ векторлары-
ның скаияр көбейтіндісі a b = 12. a x b ұзындықты есептеңіз.
3.55. а
3, b
26 және a x b
72. a b скаляр көбейтіндіні
табыңыз.
3.56. Өзара перпендикуляр а және Ь векторларының
үзындықтары а 3, b 4. Келесі өрнектерді есептеңіз:
1. (а + Ь )х(а-Ь )
2. (За - b) х (а - 2Ь)
2
3.57. а және /? векторлары арасындағы бұрыш (р = —л , ал
олардың үзындықтары а
2. Келесі өрнектерді есептеңіз:
1) ( a x b ) 2; 2)[(2a + fe)x(a + 26)]2; 3)[(a + 3fe)x(3a-fe)T.
3.58. {axb)2 +(a-b)
~2
-2
a b тепе-теңцігін дәлелдеңіз.
3.59.
1; 2} жэне b - {l; 2; - 1} векторлары берілген. Келесі
векторлық көбейгіңділердің координаталарьш табыңыз:
a) axb; a)(2a + b)xb;
a) ( 2 a - b ) x ( 2 a + b).
3.60. A( 2; -1; 2), fi(l; 2; -1) жэне C(3; 2; 1) нүкгелері берілген.
Векторлық көбейтінділердің координаталарьш табыңыз:
1)АВхВС; 2) (ВС- 2СА)хСВ.
60
§4. Үш вектордың аралас көбейтіндісі
4.1.
а,Ь жэне с үш вектордың аралас көбейтіндісі деп (a x b )
векторлық көбейтіндіні с векторына скаляр көбейткендегі санды
атайды және ( a x b ) - с немесе abc түрінде белгілейді.
а = {гх; о у; а г}
b = <px;by;bz}
с=
; су ; с г} болғанда, яғни век-
торлар координаталарымен берілгенде:
( axb) - c
Шх а у
а
К
bz
by
(3.15)
4.2. Аралас көбейтіндінің қасиетгері:
а)
көбейтіндіде екі көрші вектор орны ауысса, аралас көбейтінді
таңбасы өзгереді:
(Ь х а ) •с.
б)
үш вектордың екеуі тең немесе параллель болса, онда аралас
көбейтінді нольге тең.
(axb)-c
(ахс)Ь
(с x b ) a
в) ( axb) c = a ( bxc) = ( c x a ) b.
4.3. а, b жэне с векторларында қүрылған параллелопипедтің
жэне үшбүрьпшы пирамиданың көлемі:
Vпар a b c , Vпир=1
abc
6
(3.16)
4.4. a , b жэне с векторлары компланар болса, яғни бір
жазықтықта жатса, онда ( axb) c = 0 жэне керісшше, үш вектордьщ
аралас көбейтіндісі нэлге тен болса, олар компланар болады.
3.61.
Төбелері 0(1; 1; 2), А(2; 3; -1), В(2; -2 ; 4) ж эне С(-1;1;3)
нүкгелері болтан пирамиданың көлемін есептеу керек.
Шешуі: Пирамида
ОА, b = ОВ жэне с = ОС векторларында
салынған.
ОА = {2-1; 3-1; -1 -2 }, ОВ = {2 -1 ;-2 -1 ; 4-2}, ОС = {-1-1; 1-1; 3-2,}
ЯҒНИ
(3.15) формуланы пайдаланып, (3.16) формула бойынша пирамида
көлемін табамыз:
Vпир.
1 2 -3 (—1) (2) I 1 2 -3
1
1
-5
5
0 -5 5 = —-Ь
1 -3 2
6
1 ~6
6
4 -5
-2 0 1 4 J
0 4 -5
25-20
6
5
куб. б
6
Векторлардың аралас көбейтіндісін табыңыз:
3.62. а = {2;-1;
і Ь = {1; 3;
жэне с {1; 1; 4}
3.63. а = {1; —1;
Ъ= {l; 1; 1} жэне с = {2; 3; 4}
Төбелері берілген үшбұрьппты пирамиданың көлемін табыңыз:
3.64. А{ 2; 2; 2), 5(4; 3; 3), С(4; 5; 4) және £>(5; 5; 6).
3.65. Д(0; 0; 1), 5(2; 3; 5), С(6; 2; 3) және £>(3;7;2).
3.66. а мен Ь векторлары арасындағы бүрьпп 30°, с векторы
екеуіне де перпендикуляр, а 6, Ь 3 жэне
3 болганда,
( a x b ) с шаманыесептеңіз.
3.67. (а + b)(b + с)(с + а) = 2а
тендігш дәлелдеңіз
3.68. 1епе-теңдпсгі дәлелдеңіз
мүндағы
мен Ц кез келген сан.
3.69. а
1; З} b = {- 2; 2; 1} жэне
берілген. a b c шаманы есептеңіз.
2; 5} векторлары
векторларының компланар
компланар еместшн
а)
а = {2;3;-1},Ь
б)
а = {3; - 2 ; l}, Ь = {2; 1; 2 \ с = {З; -1; - 2 }
в)
а
; -1; 3}, с т {l; 9; - 1 1},
1; 2 \Ь = {!; 2 ;-З І
4; 7}
3.71. Берілген А(1;2;-1), 5(0; 1; 5), С(-1;2;1) жэне D(2;l;3)
нүктелері бір жазьжтықта жататындьпъш дөлелдеңіз.
3.72. Төбелері А(2;-1;1), 5(5; 5; 4), С(3; 2; —1) жөне D(4;l;3)
нүктелершде орналасқан тетраэдр көлемін есептеңіз.
3.73. Тетраэдрдің төбелері берілген: А(2; 3; 1), 5(4; 1; -2), С(6; 3; 7),
£>(-5;-4; 8). D төбесінен өткізілген биіктіктің үзындығын
табыңыз.
62
IV т а р а у . АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ
§1. Жазықтықтағы сызық тендеуі
Белгіленген Оху координаталар жүйесіңде берілген L сызықтың
кез келген нүктесінің х, у координаталары
F(x,;y) = 0
(4.1)
тендеуін қанағаттандырса, ал L сызықта жатпайтын нүктенің
координаталары бүл теңдеуді қанағатгандырмаса, онда (4.1) теңдеу L
сызықтьщ тендеуі деп аталады. х,д>-айнымал координаталар, ал әріппен
белгіленген түрақтыларды параметр деп атайды.
Бірдей қасиетгі нүктелер жиьшы ретіндегі сызықтың тендеуін
ҚҮРУ үшін:
1) ыңғайлы Оху координаталар жүйесін таңдап, берілген
сызықтың кез келген нүкгесін М(х,у ) деп алады;
2) барлық М(х,у) нүктелерінің ортақ қасиеті геометриялық тендік
(теңсіздік) түрінде жазылады;
' '1
3) бүл тендікке (теңсіздікке) кірген кесінді мен бүрьшггарды х, у
координаталар және берілген шамалар арқылы алгебралық түрде
өрнекгейді.
Берілген Ғ(х, у) = 0 және Ф(х, у) = 0 екі сызықтың қиылысу
нүктелерін табу үшін, олардың теңцеулері жүйе етіп шешіледі.
4.1. Радиусы R, центрі С (а ,Ь ) нүктесі болатын шеңбердің
теңдеуін жазу керек.
Шешуі. Шеңбердің кез келген М ( х , у ) нүктесін аламыз және
оны С (а ,Ь ) центрмен қосамыз. Шеңбердің анықтамасы бойьпшіа
М (х , у) нүктелерінің жалпы қасиеті |СМ| = R теңдікпен жазылады.
Енді екі нүкге арасындағы арақашықтық (1.4) формуласын қолдансақ
J ( x - a ) 2 + ( y - b )2 = R , бүдан мына тендеуге ие боламыз:
(х —a)2 + (у — b)2= R 2.
4.2. х + у = 0 сызығы берілген. Осы сызықта мына нүктелердің
қайсысы жатып, қайсысы жатпайтынын көрсетіңіз:
Ах( 2;—2), А2( 2;2), ^ (2 ;-1 ), Л4(3;-3), Л5( 5;—5), >^(3;—2),
63
4.3. х 2+ у 2=25 тендеуімен анықталатын сызықта:
а) абсциссалары 0; -3; 5; 7 болатын нүктелерді табыңы:
б) ординаталары 3; -5; -8 болатын нүктелерді табыңыз.
ізықтың сызоасын салыңыз.
теңдеулермен қандай сызықтар анықталатынын
салыңыз)
4.4. 1) х - у =0;
2) х -2 = 0 ;
3) х =0.
4.5. 1) х+3=0;
2) у - 5 = 0 ;
3) у +2=0; 4) у =0.
4.6. 1) х 2~ху =0;
2) ху + у 2=0;
3) х у = 0.
4.7. 1) х 2- у 2=0;
2) у 2- 9=0;
3) х 2-4= 0.
4.8. 1) х 2—8х + 15=0;
2) у 2+5jH-4=0;
3) х 2у —7ху+10у=0.
4.9. 1) у | | | I;
2 ) x = |y |;
3) .у+|x | = 0.
ІУI = 0;
2 )x = jx -l|;
3) v=lx+2
4.11. l ) x 2+.y2=16; 2)(x —2)2+ (y —1)2=16; 3) (x+5)2+ (y -l)2=9.
4.12. 1) (x - 2 ) 2+ y 2=4;
2) x 2+ (y +3)2=1.
4.13. 1) (x - 3 )2+ y 2=0;
2) x 2+2y 2=0;
3)2x 2+3у 2+5=0.
координаталық
нүктелерін
4.14. 1) x 2+ y 2= 49;
2)(x -3 )2+Ck +4)2=25;
3) (x +6)2+tv —3)2=25.
4.15. 1) (x +5)2+ (y -4 )2=9;
2) x 2+>;2-12jc+16>^0;
3) x 2+ y 2—2х+8зН-7=0.
Бершген екі сызықтың қиылысу нүктелерін табыңыз:
4.16. x 2+ y 2=S\ х —у = 0.
4.17. х ^ у 2—! 6х+ 4у+ 18=0; x+j>=0.
Нүктелер жиынының теңдеулерін жазыңыз:
4.18. Координаталық осьтерден бірдей қашықтықта жатады.
4.19. Оу осінен а қашықтықта жатады.
4.20. Ox осінен Ь қашықтықта жатады.
4.21. А( 3;2) және В(2;3) нүкгелерінен бірдей қашықтықта жатады
4.22. С(5;—1) және D{ 1;—5) нүктелерінен бірдей қашыктыктг
жатады
4.23. Е( 5;—2) және Ң —3;—2) нүктелерінен
жатады
4.24. L(3; -1) және N ( 3; 5) нүкгелерінен бірдей қашықтықта
жатады.
4.25. A(-l; 1) нүктесіне В(—4; 4) нүкгесіне қарағанда
жатады
4.26. Ғ{( 2;0) және ҒД2;0) нүктелеріне дейінгі қашықтықтарының
қосындысы 2 у[5 - к е тең болған нүктелер жиынының теңдеуін
шығарыңыз.
64
4.27. Ғх(-2; - 2) және ғ 2(2; 2) нүктелеріне дейінгі қашықтықтарыньщ айырмасыньщ модулі 4-ке тең нүктелер жиыныньщ тендеуін
шығарыңыз.
4.28. Ғ ( 2; 2) нүктесінен және Qx осінен бірдей қашықтықта
жатқан нүктелер жиыныньщ тендеуін шығарыңыз.
4.29. Келесі теңдеулердің шеңберді анықтайтыньш көрсетіңіз және
оның центрі мен радиусын табыңыз:
а) х 2 + у 2 - 4 х + 6 у - 3 = 0;
б) х 2 + у 2 - 8 х = 0;
в) х 2 + у 2 + 4 у = 0.
4.30. а) Ғ х(-3; 0) және Ғ2(3;0) нүктелеріне дейінгі ара
қашықтықтарының қосындысы 10-ға тең нүктелер жиынының
теңдеуін шығарыңыз.
б) Ғх(-5; 0) және Ғ 2(5; 0) нүкгелеріне дейінгі қашықтықтарыньщ
айырмасының модулі 10-ға тең нүктелер жиынының тендеуін
шығарыңыз.
§2. Ж азы қты қтағы түзу
2.1. Түзудің бүрыштық коэффициентті тендеуі
у = kx + b, к = t g a
(4.2)
к-ны бүрыштық коэффициент деп атайды; ал b- түзудің Оу ості
қиғанда одан ажырататын кесінді мөлшері (4.1 сурет).
2.2. Берілген М, (х{, у х) нүктеден берілген к бағытта өтетін түзу
тендеуі:
(4.3)
мұндағы к әр түрлі мәндер қабылдаса (4.3) тендеу түзулер шоғын
анықтайды.
2.3. Берілген Мх(х, ;у1) және Л/2(х2;^2) екі нүктеден өтетін түзудің
теңдеуі:
У - У \ = к ( х - х 1)
у-у,
_ х-Ь
v
—
V
г,
—
х.
(4-4)
Уг Уі -* 2 й
2.4. I жөне I түзулердің бүрыштық
коэффицентгері кх жэне к2 болса, онда
олардың арасындағы бүрыш мына
формуламен анықталады:
tgч> = i f f ,
1 + /:,А:2
5—219
(4.5)
65
4.1-сурет
екінші бұрыш (я - ф) -ге тең.
a) 1.IIL болса, - к
О болады;
б) 1,_|_12 болса, к2кх = -1 болады.
2.5.Түзудің жалпы тендеуі:
А х + В у+ С = 0; А 2+ В 2Ф 0.
(4.6)
А, В жэне С коэффиценттердің эр түрлі
мәндеріңде (4.6) түзу Оху жазықтықта эр
түрлі орналасады. Дербес жағдайларда:
4.2-сурет
A
X түзуі координата бас нүктесінен өтеді.
а) С = 0; у
В
С
ш
т
т
б) В = 0; х
түзуі Оу оське параллель.
А
—
------------
0
С
в) А = 0; у
түзуі
Ох оське параллель
О
г) В С = 0; Ах = 0, яғни х = 0 — Оу
д) А С = 0; By = 0, яғни у = 0 — Ох
П
кесінділер арқылы жазылған теңдеуі
a
1
(4.7)
b
мүндағы а және b түзу осьтермен қиылысқанда Ox жэне Оу осьтерден
қиятьш кесінділер шамасы.
2.7. Түзудің нормаль тендеуі:
xcosa + .ysina —p = 0
(4.8)
мүндағы p—координаталар басынан түзуге түсірілген
дикулярдың (нормалдың) үзындығы, ал а осы перпендикуляр
Ox oci арасындағы бүрыш (4.2-сурет).
Түзудің Ах +Ву +t lС =- u
Сжалпы тендеуш нормальды түрге келпру
нормальдьщ көбейткішке көбейтеміз:
SgnC
+1,
егер
С > 0 болса,
я=
мунда sgn С
(4.9)
-1, егер С < 0 болса,
\ А 2 + В2
Щ х 0',У0) нүктеден Ах + By + С = 0 түзуге
г,, нүкте түзуде жатпаса, мына формуламен есептеле,
-
d
I
+ ВУо+ С
УІА + в
x0cosa + >>0sina —р\
4.31. Оу осьтен b =-5 кесінді қик
ьіш жасаушы түзудің тендеуін жа:
Шешуі. Бүрыштық коэффицентті
66
(4.10)
Ох осьпен a
71/3
к - tg —- у/з . к жэне Ь шамалардың мондерін (4.2) теңдеуіне
қойсақ, ізделінген теңдеу шыгады: у = л/3 х —5 .
Бүрыштық коэффиценті к жене Оу осьтен Ь кесіңді қиюшы
түзудің теңдеуін жазыңыз және оның сызбасын сызыңыз:
4.32. 1) к = 2/3, Ь = 3;
2) к = 3, Ь = 0; 3) * = 0, Ь = -2.
4.33. 1) к = 3/4, b = 3;
2) к = -2, ft = -5; 3) * = -1/3, b = 2/3.
Мына түзулердің әрқайсысының бүрыштық коэффиценті к жэне
Оу осьтен қиюшы b кесіндісін табыңыэ:
4.34. 1) 5 х - у + 3 = 0; 2) 2х + Зу - 6 = 0;
3) 5х + Ъу + 2 = 0.
4.35. 1) Зх + 2j/ = 0;
2) у — 3 = 0;
3) 2jc - 5 = 0.
4.36. 5* + 3у —3 = 0 түзуі берілген. Осы түзуге параллель жөне
перпендикуляр түзулердің бүрыштық коэффиценттерін табыңыз.
4.37. Берілген IV( 1;2) нүктеден өтуші жөне Ох осьпен а= — бүрыш
жасаушы түзудің теңдеуін жазыңыз.
Шешуі. Бүрыштық коэффицентгі табамыз: к —tg( —) = 1
iV( 1;2) нүктенің координаталарын жэне к — 1 мөнді (4.3) тендеуге
қойсақ, ізделінген түзу теңдеуіне ие боламыз: у —2 = 1(х —1) немесе
у — х — 1.
4.38. Af,(2;l) жэне М2(4;3) нүктелерінен өтуші түзу теңдеуін
жазыңыз.
Шешуі. М[ жөне М2 нүкгелерінің координаталарьш (4.4) теңдеуге
қоисақ:
2
у —1
* у — х + 1 —0. Бүл ізделіңщ теңдеу.
4 -2 3-1
4.39. 6х —2у + 5 = 0 және 4х + 2у —7 = 0 түзулерінің арасындағы
бүрышты есептеңіз.
Шешуі. Берілген түзулердің кхжәне к2 бүрыштық коэффиценттерін табамыз:
у — Ъх + 5/2, у = -2х +7/2;
яғни кх =3, к2 = -2. Бүл мәндерді (4.5) формулаға қойсақ:
. _
-2 -3
,
к
.^
,
п
tg<P = I §
g =1 =>ф = - ; ал еюнші бүрьпы: ф' = п ~ ~ =3 —;
4.40. Келесі теңцеулерді түзудің бүрьпптық коэффицентті түріне
келтіріп, к мен b шамаларын анықтаңыз:
а) Зх — у +4 = 0; б) 5х + Зу + 9 = 0; в) 2у — 3 — 0.
67
4.41. Координата басынан өтетін жэне Ох осьпен а бүрыш
жасаушы түзудің теңдеуін қүрыңыз:
а) а =30 ° ; б) а =450 ; в) а =60 ° ; г) а=90 ° ; Сызбаларын
салыңыз.
4.42. тУ(5;7) нүкгесінен өтуші жэне координата осьтеріне параллель
түзулердің тендеулерін жазыңыз жэне сызбаларын салыңыз.
4.43. Мына түзулердің арасындағы бүрышты есептеңіз:
а) х + 5.У—3 = 0, 2х — Зу + 4 = 0;
б) х + 2у — 3 = 0, 2х + 4 у +5 = 0.
4 .4 4 . 7V(2;1) нүктесінен өтуші жэне у = Ъх —4 түзуіне параллель
түзудің теңдеуі жазыңыз.
4.45. ЛГ(-1;3) нүктесінен өтіп, берілген 2х + 5у — 1 = 0 түзуге
параллель жэне перпендикуляр түзулердің тендеулерін қүрыңыз.
4.46. 2х —Зу —12 = 0 түзуінің кесінділер арқылы тендеуін жазыңыз.
Шешуі. (4.7) теңдеу түріне келтіру үшін, тендеудің бос мүшесі
12-ні оң жаққа өткізіп, соған бөлеміз: - + — = 1.
6 -4
4.47. Келесі түзулердің әрқайсысьшьщ кесінділер арқылы тендеуін
жазыңыз:
а) Зх —2у + 12 = 0
б) 4х — Ъу — 12 = 0;
в) 2х + 5у + 10 = 0
г) 5* —2V— 10 = 0:
4.48. /V(3;5) нүктесшен өтіп, координаталық осьтерде бірдей
шамалы кесінділер қиятын түзу тендеуін табыңыз.
4.49. 7V(-1;2) нүктесінен -Зх + 4у + 10 = 0 түзуіне дейінгі ара
қашықтықты есептеу керек.
Шешуі. Түзудің берілген жалпы теңдеуін (4.9) формуласымен
анықталған ц нормальдық көбейткішке кобейтіп (4.8) түрдегі нормаль
1
1 3
4
тендеуш жазамыз: ц = — г - ■ч л = - - ; ~ х ~ - у - 2 = 0. Енді
V(-3)2+ 4
5 5
5
(4.10) формуланы қолданьш ара қашықтықты табамыз:
d
3
4
2 . 2
4,2
нормаль
жазылған
а) 7 х + 5 у —3 = 0;
.3
4
В) 5 Х _ 5 У + 1 = °’
д) х - 5 = 0;
б) ]-х + ^ у - 5 = 0;
5
12
Г) й Х ~ 13 У ~ 2 = ° ;
е) у - 4 = 0.
68
Ол үшін А 2 + В2 = 1 жэне С<0 шартгарын тексеріңіз.
4.51. р жэне а шамаларыньщ келесі мәндері бойынша түзулердің
л
3л
нормаль теңдеуін жазыңыз: а) р = 4, а = —; б) р = 2, а — — .
Келесі түзулердің тендеулері нормаль түрге келтіріңіз:
4.52. а) З х + 4 у - 10 = 0; б) 12* - 5j + 39 = 0.
4.53. a) х + 6 = 0;
б) хл/З + у - 8 = 0.
4.54. 5 х ^ 1 2 у -4 = 0 түзуінен A(-2;l), 2?(1;-1) және С(2;1) нүктелерінін әрқайсысына дейінгі ара қашықтықты есептеңіз.
4.55. Төбелері Д-1;-3), В(4;-5) және С(2;1) нүкгелерінде жататьш
үшбүрыш берілген. Осы үшбүрыштың В төбесінен өткізілген
биіктікгің үзындығын есептеңіз.
4.56. Квадраттың екі қабырғасы Зх + 4у + 22 = 0 және Зх +4у —
-13 = 0 түзулерінде жатады. Осы квадратгың ауданын есептеңіз.
4.57. Қабырғалары х + у = 4, Зх—у = 0 және х—Зу—8=0 түзулерінде жататын үшбүрыштың ауданын табыңыз.
4.58. Түзулердің теңдеуін нормаль түрге келтіріңіз:
а) Зх + 4у—20 = 0;
б) 2 х -З у+ 4 у/ІЗ =0.
4.59. /4(2;3) және 2?(3;0) нүктелерінің әрбірінен Зх + 4у — 20 = 0
түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз.
4.60. Мына түзулер арасындағы бүрышты табыңыз:
а) 5х - у - 7=0, Зх 1 2у = 0; б) 1 і 2у - 4=0, 2х - 4у | 3=0.
4.61. N(2;\) нүктесінен өтіп, 2х+Зу+4=0 түзуімен 45° бүрыш
жасайтын түзудің теңдеуін табыңыз.
4.62. Квадратгың екі қарама-қарсы төбелері Л(-1;3) және С(6;2)
нүкгелерінде жатады. Квадрат қабырғаларының тендеулерін қүрыңыз.
4.63. N( 2;-3) нүкгесінен өтіп:
а) Зх-7 у + 3=0; б) 16х - 24^ + 7 = 0; в) Зу - 1 = 0 түзулерінің
әрқайсысына параллель болатын түзудің теңцеуін қүрыңыз.
4.64.Төбелері А( 0;7), В(6;-1) жөне С(2;1) нүктелерінде болған
үшбүрыш қабырғаларының үзындықтарын жэне ішкі бүрыштарын
табыңыз.
§3. Жазықтықтағы екінші ретгі сызықтар
Бүл сызықтар х жэне у айнымалдарға сөйкес екінші дөрежелі
теңдеулермен сипатталады.
3.1. Шенбер. Жогарыда көрсетілгендей (4.3-сурет), радиусы R,
центрі С(а,Ь) нүктесі болатын шеңбердің тендеуі:
(х—а)2+ ( у —b)2=R 2
(4.11)
69
4.65. Л(1;5), В ( - 4;0) жөне С(4;-4)
нүктелерінен өтетін шеңбердің центрі мен
радиусын анықтаңыз жөне осы шеңбердің
теңдеуін жазыңыз.
Шешуі. (4.11) теңдеудегі а,Ь және R
шамаларын табамыз. А, В жэне С нүктелері
ізделінді шеңберде жатқандықтан, олардың
теңдеуді
координаталары
(4.11)
қанағаттандырады:
4.3-сурет
(1 -а )2 + ( 5 - 6 ) 2 = R
a 2 +Ь2 - 2 a - \ 0 b + 26 = R
(-Л -а )2+ ф - Ь ) 2 = R
а2 +Ь2 + 8а +46 = R2
(4 - а)2 + (-4 - Ь ) 2 = R
а 2 +Ь 2 - 8а + 8Ь + 32 = R2
Бүл жүйенің екінші теңдеуінен алдымен бірінші теңдеуді, содан
соң үшінші тендеуді айырсақ, келесі жүйеге ие боламыз:
а + Ь= 1
10а + 106-10 = 0
2 а -Ь = 2 ^ СЫ жҮ^ені шешсек, a =1; b = 0
16а-86-16 = 0
шығады. Бүл табылған мәндерді бастапқы жүйенің біреуіне қойсақ,
R2 = 25 тендігі шығады, яғни R — 5. Сонымен ізделінді шеңбер
теңцеуі (х — 1)2+ у 2= 25 болып, оның центрі С(1;0) нүкгесі, ал радиусы
R
5.
пген шарттар боиынша шеңбердщ теңдеуін жазыңыз:
Центрі координата басында, ал радиусы R =3.
Центрі С(2;-3) нүктесінде, ал радиусы R =7.
Центрі С(6;-8) нүктесінде, шеңбер 0(О;О) нүктесінен
Шеңбер А( 2;6) нүктесінен этеді, ал оньщ центрі С
нүктесі
нүктелері шеңбердің бір диаметрінің
үштары
нүктелершен отеді.
>) нүктелері шеңберде жатады
3
4.73. Шеңбердің х 2 + у 2 х + 2у + 1
жалпы теңдеуін
түрге келгіру керек.
Шешуі. Тек х жэне тек у қатысқан
квадратқа дейін толықтырамыз:
х
3
х = х
2
3
4
у 2 + 2у = у 2 +2- \ у + 1
(х
1 (у + іУ
1;
Осы теңдіктерді ескерсек, берілген тендеу:
70
3
)
4
9
16’
3
(X
9
+
С
к
+
1)
16
)
4
1+ 1
О, яғни (х
3
4
)2 + (у + 1)
9
түрге келеді. Бұл (4.11) түрдегі шеңбердің теңцеуі. Демек, шеңбер
16
3
3
нүктесі, ал радиусы /?
центрі 4 ’
4
Төменде келтірілген тендеулердің қайсысы шеңберді анықтаиды
б) (х + 2)2 +у2 = 64;
4.74. а) (х 5)2 +0> + 2)2 25;
в) (х ~ 5)2 +(У + 2)2 0.
б) х 2+V2—2х+4у—20-0;
4.75. а) х 2 +(у 5)
5;
в) X2 + у 2 2х +4V+14 0.
б) х 2 + у 2 + х = 0;
4.76. а) х 2 +j>2 + 4х - 2у + 5 0;
г) х 2 + у 2 + у = 0.
в) х 2 + у 2 + 6х —4у +14 0;
Теңцеулердің қайсы сызықты анықтайтынын көрсетщіз
б ) у = ~ УІ25
4.77. а) у = + х2+у2;
б) х = +
У
у
4.78. а) х
3.2. Эллипс. Фокустары деп аталатын берілген екі нүктеден ара
қашьпс,тықтарьшың қосыңдысы түрақты санға (фокустардьщ ара
қашықтығынан артық) тең болатын жазықтық нүктелерінің жиьшы
эллипс деп атала II
Ғ^-с; 0) жөне Ғ2(с;0) нүктелер эллипстің фокустары. \F{F2\ - 2с
фокустардың ара қашықтығы. Эллипстің кез келген М(х;у) нүкгесі
IҒ М
ін \ҒХМ\ + \Ғ2М\ = 2а, а>с тендігі орындалады
IҒ2М I - М(х;у) нүктенің фокустық радиустары.
Эллипстің канондық (қарапайым) теңдеуі:
а
+
Ъ
(4.12)
1
мүндағы Ь =
фокустық радиустар і
с/а = е < 1 —эллипстің эксцентриситеті,
a — ex а —үлкен жарты
гх
һ
4.4-сурет
4.5-сурет
ось, b - кіші жарты ось. * = - -( /,) жөне х = -{12) түзулер эллипстің
директрисалары (4.4-сурет). b > а болғанда фокустар Оу осьте жатады
жөне а = # - с2, с = yjb2- a 2, e = - , r = b ± e y қатынастар орындалады (4.5-сурет).
Егер а = b болса, онда (4.12) теңцеу шеңберді анықтайды.
4.79.
9л: 2+ 25у 2 = 225 э л л и п с берілген. Оның жарты осьтерінің
үзындықтарын, фокустарының координаталарын, эксцентриситеті
мен директрисаларын табу керек.
Шещуі. Берілген теңцеуді 225-ке мүшелеп бөлсек, теңдеу каноңцық
. х2
у2
түрге келеді: — | — = 1.
25 9
, I
,
Бүдан шығатыны а2 = 25, | 2 = 9, яғни а =5, Ъ = 3-эллипстің
үлкен және кіші жарты осьтерінің үзындықтары. Ь = у/a 2 - с 2 тендіктен I = Щ 2- Ь 2 болып, жоғарьщағы мәндерді қойсақ, с = л /2 5 - 9 = 4
шығады. Демек, / г1(-4;0) және Ғ2(4;0) берілген эллипстің фокустары.
Ал эксцентриситеті е = —= —=0,8; директрисалары х = ± ^
0,8
±6,25.
4.80. Берілген 9л:2+4^2=36 эллипстің жарты осьтерінің үзындықтарын, фокустарының координаталарын, эксцентриситеті мен
директрисаларьш табьщыз.
4.81. Үлкен жарты ось үзьпздығы а =12, эксцентриситеті е = 0,5
болтан эллипсгің теңцеуін қүру және фокустарыньщ ара қашықтығьш
табу керек.
2
Шешуі. г—с/а ------------қатьшастардан b2= a 2( 1—е2)= 12-12(1
0,25)=108 шығады. А л с = е а = 12-05
ізделінді эллипстің
канондық теңдеуі — + ^
= 1 түрінде болып, фокустарыньщ ара
қашықтығы l/j/’J = 2с = 12
Шамалардың бершген мәндері бойьпшіа эллипстің канондық
теңцеуін жазыңыз:
4.82. а = 5 және Ь =2.
4.83. а =10 жэне с =4.
4.84. b = 24 жөне с = 5. 4.85. с = 3 жэне е = - .
;
2
Л
4.86. а = 10 жэне е = - 4.87. Ь = 5 жэне е = —
г
*
72
13
шарттар бойынша фокустары Оу осінде
эллипстщ канондық тендеуш
4.88. Жарты осьтері 7 жэг
ал фокустарының
тығы 8-ге тең.
12
4.90. Фокустарының ара қашықтығы 24-ке, эксцентриситеті —
ге тең.
4.91. Кіші ось ұзындығы 16-ға, ал эксцентриситеті е = 0,6-ға
тең.
Эллипстің жарты осьтерін анықтаңыз.
4.92. а) 9х2+4у2=36;
б) х 2+ 4 у 2 =4.
4.93. а) х 2+ 2 5 у 2 =25;
б) х 2+ 5 у 2=15
4.94. а) 4х2+ 9 у 2=25;
б) 9х2+ 2 5 у2=1
4.95. а)х2+ 4 у 2= 1;
6)16x2+.y2=16
4.96. 36х2+100^2=3600 эллипстің оң фокусына дейінгі ара
қашықтығы 14-ке тең нүкгесін анықтаңыз.
4.97. 7лг2+16>>2=112 эллипстің сол фокусқа дейінгі ара қашықтығы
2,5-ке тең нүктесін анықтаңыз.
Берілген шартгар бойынша эллипстің канондық тендеуін жазыңыз:
4.98. Эллипс N (-2л[5 ;2) нүктесінен өтеді және кіші осі 3-ке тең
4.99. Эллипс N(2;-2) нүктесінен өтеді және үлкен осі 4-ке тең.
4.100. Эллипс N.( 4 ;- л/з ) және Ш 2лІ2 ;3)нүктелерінен өтеді.
4.101. Эллипс N( л/і5 ;-1) нүктесінен өтеді және фокустарының
ара қашықтығы 8-ге тең.
3.3. Гипербола. Фокустары деп аталатын берілген екі нүктеден
ара қаш ықтықтарының аиырмасының модулі түрақты санға
(фокустарының ара қашықтьпынан кем) тең болатын жазықтық
нүкгелерінің жиыны гипербола деп аталады.
Ғ, (—с;0), Ғ2(с; 0) — фокустар, \Ғ{Ғ2\=2с. В (-а ,0 ), А (а; 0) —
гипербрланың төбелері. М (х;у)- гиперболаның кез келген нүктесі.
r=\Fv M\, r=\F 2, M I - Л/нүктесінің фокустықрадиустары. Анықтама
бойынша Ft ,M - F2,M = 2 a , а< с.
IBS
X2
V2
(4.12)
(4.13) - гиперболаның қарапайым тендеуі, мүнда Ь = ліс2 —а 2 ,я
нақты жарты oci, b —жорамал жарты осі.Гипербола үшін: е = —> 1
а
73
эксцентритет, г=\гх+а\ мен
г х —а
г
ф окусты қ
радиустары,
b
+
х тузулер асимптотаУ
а
а
лар, х —± — түзулер диреке
трисалар деп аталады.
Ох, Оу осьтері - гиперболаньщ симметрия осьтері, ал
0(О;О) нүктесі симметрия
центрі. а = b болса, (4.13) тең
бүйірлі гипербола деп ата-
4.7-сурет
лады, оның тендеуі х 2 У
болады
Егер гиперболаның фокустары Оу осьінде орналасса, онда
тендеуі
У
=1
(4.14)
а
\) гиперболалар өзара түйіндес гиперболалар д
ъ
аталады
4.102. 9х2- 4 у
фокустарын
тобелерш, эксцентритетш, асимптоталарьш жэне дирекгрисаларьш
анықтау керек.
Шешуі. Берілген тендеуді 36-ға бөліп, оны канондық түрге
келпреміз
1. Бүдан а 2= 4, b
яғни
нақты
және
жорымал
4
9
жарты осьтердің үзындықтары а = 2, Ь= 3 екендігі шығады.
Параметрлер арасындағы қатьшастар бойьпшіа
>/Гз
,Ъ
Ъ
л/4
- = — у = ± - х = ±-х-,
yfl3
а
a
+
£
+
2-2
л/ІЗ
2
а
2
. Демек, Ғ .І -у /І З ;0), F2 ( J Гз ;0)
/і Q
аталған
О
гипербола фокустары, е = ----- эксцентритеті, у = + —х асимптота•
I
2
-I
2
лары, х = ±
4
у/ІЗ
директрисалары.
Келесі гиперболалардьщ әрқайсысьшьщ жарты осьтерін табыңыз
4.103. а) 4х2—9у2=36;
б) x2-16v2=16.
4.104. а) х 2- 4 у 2=16;
6) x 2—y 2= 1.
4.105. a) 4x2—9v2=25:
6) 25x2—\6 y 2= l ; в) 9x2—64^2= 1.
74
Берілген шарттар бойынша фокустары Ox осінде жататын
гиперболаның канондық теңцеуін жазыңыз:
4.106. а)2а=10 және 26=8; б) 2с=10 жөне 26=8; в) 2с=6 және
£ = 1,5.
4.107. а) 2а=16 жәнее = і,25; б) 2с=20, ал асимптоталары
,4
у = ± —х түзулер.
Ш г
4.108. Ібх2—9у 2= 144 гипербола берілген. Оның а мен Ь жарты
осьтерін, фокустарый, эксцентритетін жөне асимптоталарының
тендеуін табыңыз.
4.109.
36*2—64у 2=2304 гипербо
фокусқа
қашықтығы 4,5 —ға тең нүктелерді
4.110. 16х2—9 у 2= —144 гиперболада сол фокусқа дейінгі ара
қашықтығы 7 —ге тең нүктелерді анықтаңыз.
Берілген шарттар бойынша фокустары Ox осінде жататын
гиперболаның канондық теңдеуін жазыңыз:
4.111. Afj(6;-1)және Af2(-8;2-\/2 ) нүктелер гиперболада жатады.
4.112. Гипербола N(- 5;3) нүктесінен өтеді және эксцентритеті
е=л/2.
4.113.7V(4,5;-1) нүктесі гиперболада жатады жэне оньщ асимптота.2
лары у = ± —х.
Берілген шарттар бойынша фокустары Оу осінде жататын
гиперболаның канондық тендеуін жазыңыз:
4.114. а = 6 , b =18.
4.115. 2с =10, е = |.
4.116. Асимптоталары у = ± 2 , 4 х түзулер жэне төбелері арасындагы
ара қашықтық - 48.
4.117. 16х 2~ 9у 2= —144 гипербола берілген. Оньщ жарты осьтерін,
фокустарьш, эксцентритетін жэне асимптоталарын табьщыз.
3.4.
Парабола. Фокус деп аталатьш берілген нүктеден жэне фокустан өтпейтін директриса деп аталатьш берілген түзуден бірдей қашықтықта жататьш жазықтық нүктелерінің жиыны парабола деп аталады.
Параболаның екі түрлі канондық теңдеуі бар:
у 2=2рх, р > 0
(4.15)
парабола үшін Ох осі симметрия осі (4.8 сурет).
(4.16)
х 2=2 ру, р > 0
парабола үшін Оу осі симметрия осі (4.9 сурет).
0(0,0) нүктесі екі параболаның да төбесі.
(4.15)
парабола үшін: Ң р / 2;0) нүкте фокусы, х = —р / 2 түзу
директриса, кез келген М(х,у) нүктесінің фокустық радиусы
г =х+р/2.
75
4.8 - сурет
4.9 - сурет
(4.16)
парабола үшін: Ғ(0;р/2) нүкте фокусы, х = —р / 2 түзуі
директриса, кез келген М(х;у) нүктесінің фокустық радиусы
г =у+р/2.
Кейбір жагдайларда у 2= —2рх, (р>0, х<0) жэне х г= —2ру, (р>0, у<0)
тендеулерімен берілген параболалар да қарастырылады. р саны
параболаньщ параметрі деп аталады.
4.118. Параболаньщ төбесі О (0,0) нүктесінде, А (2;4) нүктесінен
өтеді жэне Ох симметрия oci. Осы параболаньщ тендеуін жазыңыз.
Шешуі. Параболаның симметрия oci Ox болғандықтан және оң
абсциссалы А нүктесінен өткендіктен, оньщ тендеуі (4.15) түрінде
болады. А нүктесінің координаттарьш осы тендеуге қойсақ: 42 = 2р ■2
болады. Бүдан р = 4 шыгады. Демек, ізделінген параболаньщ теңдеуі
_у2=8х, ал фокусы Д2;0) нүкте, директрисасы х = —2 түзу болады.
Берілген шаргтар бойынша төбесі координаталар басьщца болатьш
параболаньщ тендеуін жазьщыз:
4.119. Парабола оң жарты жазықтықта орналасқан, р =3 және
Ох оньщ симметрия oci.
4.120. Парабола сол жарты жазықтықта орналасқан, р =0,5 және
Ох оның симметрия oci.
4.121. Парабола жоғарғы жартыжазықтықта орналасқан, р =0,25
жэне Оу оның симметрия oci.
4.122. Парабола төменгі жартыжазықтықта орналасқан, р =3 және
Оу оның симметрия oci.
4.123. у 2 =24х параболаньщ фокусы жэне директрисасының теңдеуін табыңыз.
4.124. у 2 =20х параболада жатқан абциссасы 7-ге тең Мнүктесінің
фокустық радиусын табыңыз.
76
параболада жатқан ординатасы 6-ға тең М
нүктесінің фокустық радиусын табыңыз.
4.125. у 2 = 12х
4.126. у 2 = 16х
параболада фокустық радиусы 13-ке тең
нүкгелерді табыңыз.
Берілген шартгар бойынша параболаның тендеуін жазьщыз:
4.127. Төбесі 0(0;0) нүктесінде, Ох симметрия осі және А( 9;6)
нүкгесінен өтеді.
4.128. Төбесі 0(0;0) нүктесінде, Ох симметрия осіжәне 5(-1;3)
нүкгесінен өтеді.
4.129. Төбесі 0(0;0) нүктесінде, Оу симметрия осі және С(1;1)
нүкгесінен өтеді.
4.130. Фокусы Д-7;0) нүктесінде және директрисасы х-7—0 түзуі.
4.131. Фокусы Ң-4;3) нүктесінде жэне директрисасы jH-1=0 түзуі.
§4. Жазықтықтағы екінші ретті сызықтың жалпы
тендеуін қарапайым түрге келтіру
Екінші ретгі сызық деп қайсыбір тікбүрышты координаталар
жүйесінде координаталары
A x 2+ 2 B x y + C y 2+2Dx+2Ey+F=§
(4.17)
тендеуін қанағаттандыратын жазықтық нүкгелерінің жиыньш атайды.
Мүндағы А, В, С коэффициенттерінің ең болмағанда бірі нөлге тең
емес. 8 = А С ~ В 2 өрнек координаталарды түрлендіруге тәуелді емес.
4.1. Координаталарды түрлендіру
а) Осьтерді параллель көшіру. Оху тікбүрышты координаталар
жүйесі берілген. Координаталардың бас нүктесін О'(х0, у0) нүктесіне
көшіріп, координаталық осьтерді осы нүктеге параллель көшіреміз.
Бүл жағдайда Оху жүйедегі М(х,у) нүктесінің жаңа О х у жүйеде
М (х\ у') больш, бүл координаталар
х = х ' + х0,
у - у + у 0
(4.18)
х ' = х - х 0,
у '= у -у 0
(4.19)
формулалармен байланысады.
б) Координаталық осьтерді бүру. Оху тікбүрыиггы координаталар
жүйесін О нүктесін айналдыра оң бағытта (сағат тіліне қарсы) а
бүрышына бүрсақ Оху пен Ох'у' жүйелердегі берілген Л/нүкгесінің
координаталары келесі формулалармен байланысады.
77
х — *'cosa — /sin a ,
у = jc'sina + у 'cosa
(4.20)
х' = xcosa I .ysina,
y' = -xsina + .ycosa
(4.21)
4.2. Екінші ретті сызықтар (4.17) үш типке бөлінеді:
а) АС-В2 >0 - эллипстік тип;
б) А С-В2 <0 —гиперболалық тип;
в) А С -В 2 =0 —параболалық тип.
А С -В 2 Ф 0 болсын. Онда Оху жүйесін жаңа О'(х0, у 0 ) бас
нүктеге (4.18) формулалар жәрдемімен параллель көшіріп, содан сон
0 ’х’у' жүйені келесі
cosa - у sina, у' = x"sma + y"cosa
(4.22)
формулалармен анықталатын a бүрышқа бүрып, мына түрге
келііреміз.
f *7. ,
»2
Ax
+ Су
+F' = О
(4.23)
формулалардағы х 0;у0 координаталары
анықтала
Ахо+ в Уй+ в =0; Вх0+Су0+Е =0
(4.24)
Ал a бүрыш болса мына тендіктен табылады
А -С
ctg2a = ------2В
(4.25)
sin a ж эне cosa мәндері
Бүл формула жәрдемімен
cos z a - ~ r
°tg2ос
2
±-Jl+ctg 2 a
11—cos 2a
11+ ms
жэне sin a = + ---------- , cosa = + .—
V
2
V
2
формулалардан табылады.
(4.23) тендеу:
AC-52 >0 болганда эллипсті, өзгешелеу эллипсті (бір нүктені)
немесе ешқаңцай жиынды анықтамайды (жорымал эллипс);
АС-В 2 < 0 болганда гиперболаны немесе өзара қиылысатын екі
түзуді анықтайды.
А С -В 2 — 0 болсын. Онда Оху жүйені (4.25) формуламен
анықталатын a бүрьпиқа (4.20) формулаларды пайдаланып бүрсақ,
(4.17) теңцеу мына теңцеулердің біріне келеді:
А'х'2 + 2 D'x' + 2Е'у' + Ғ = 0,
немесе С'у'2 + 2 D'x' + 2Е'у' + Ғ = 0.
Бүл тендеулерді канондық түрге келпру үшін координата осьтерй
(4.24) формулалар жәрдемімен табылатын О'(х0, у 0) нүкгеге (4.18
формулаларды пайдаланып, параллель көшіреміз.
Координаталар осьтерін бүру арқылы (4.17) теңдеу айнымалы
лардың көбеитіндісі жоқ тендеуге келеді, ал координата осьтепіі
78
параллель көшіргенде айнымалылардьщ бірінші дөрежелері жоқ теңдеу
шығады.
Теңцеуі
0 болған қисықтың түрін
тендеуді канондық
Шешуі. Бүл тендеуде
1, 2 В = \ , С = 1, 2/)=-3, 2 Е = - 6 , Ғ = 3 .
Ъ=АС-В2 =1.1-(0.5)2 =0.75>0
болғандықтан, эллипс типті теңдеу
Айнымалылардьщ бірінші
координаталар
жүйесін (4.24) жүйемен анықталатын
нүктеге параллель көи
х0 + 0.5 у0 - 1.5 = 0
х0
0.5хо +
Уо=3
- 3=0
0
4 . 10-сурет
(4.18) формулалар бойынша х'=х; у ' = у —3,
яғни х = х ' ; у = у' +3.
Осы орнектерді берілген тендеуге қойьш түрлендіреміз:
х'2 + х'(у' +3)+ ( / + З)2 - Зх' - 6 ( / + 3)+ 3 = 0 =>
/2
.
/
/
.
/2
х +ху + у
6 = 0.
Енді (4.25) формуласьш пайдаланып 0 ' х ' у ' жүйені бүратын сс
бүрьшпы (4.19) түрлендіру формулаларын қойып табамыз:
ctg2a
1-1
1
2a
0,
л
л
a
2
4
л
Бүл жағдайда О'х'у' жүйе мен — бүрьпиқа бүрылған 0 'х " у
жаңа жүйедегі координаталар арасьщцағы байланыс (4.22) түрлендіруці
ескерсек, түрлендіру формулалары мынадай түрде болады:
х"
у"
У
у[2 ’
4 г yfi
/
/
'2
Осы теңдіктерді соңғы х ' 2 + х'у' + у ' 2 —6 = 0 тендеуге қойып
уі2
түрлендіреміз:
X +у
V2
72
72
x
*2
ШГ + у
12
2
-I-
+
*2
У
-6
\
л/ 2
1.
(7 1 2 ?
79
0
Бүл О 'х'у' координаталар
теңдеуі
Координаталық осьтерді параллель көшіру арқылы теңдеулер,
ықшамдап, ескі мен жаңа координаталық жүйелер жөне қисықтард
салыңыз:
4.133. а ) і ^ - + 0> + 2)г=1;
4.134. а)
б) M j > l + (y ~ 3 )i=1
9
= і'
4
6) ‘^ . k ± i ) L = 1
4
'
16
9
б)у=(л+2)2+3; в) у = (х ~ 2 )2+ 1.
9
4.135. а) _у=(х+2)2;
4.136. а) у = х 2-4х+5;
б ) у = х 2+2х+3;
в) у = - х 2+2х-2.
4.137. a) х 2+4у2-6х+8.у-3=0;
б) х 2-4^2+8х-24у-24=0 .
Координаталық осьтерді а =45 _ Г___
тендеу
лерді ықшамдаңыз, ескі жэне жаңа координаталық
қисықтарды сальщыз:
4.138. 3х2-2л>н-3>>2=;8;
4.139. 5x2-6xy+5,y2-32=0;
4.140. 3х2-10.ху+3.у2=-32
Координаталық осьтерді параллель көшіру арқьілы тендеулерді
канондық түрге келтіріңіз және қисықтарды салыңыз:
4.141. 4x2+9.y2-40x+36.y=-100.
4.142. 9x 2-16.k2-54jc -64^=127.
4.143. 9х 2+4>>2+ 18л: -8.у=-49.
4.144. у 2+ 4 у -2х =0
Координаталық осьтерді бүру арқылы тендеулерді канондық түрге
келтіріңіз және қисықтарды сальщыз:
4.145. 5x2-6jQH-5y2=32.
4.146. 32х 2+52ху-7у 2= - 180
Теңцеулерді канондық түрге келтіріңіз және қисықтарды сальщыз:
4.147. х 2-14ху+25.у2+64.>с-64у=224.
4.148. 3 х 2+ 1 0 х у+ 3 у2-2х-14у=13.
4.149. 4ху+3у 2+ 16х+12у-36=0.
4.150. 14х2+24ху+21у2-4х+18у-139=0.
4.151. 7jc2+60xv+32^2-14x-60j^=-7.
4.152 4 \ х 2+24ху+34у 2+ 34х- 112 у + 129=0
4.153. 9х 2-24ху+ 16у 2-20яН-110у=50.
4.154. 9x2+12x)H-4j;2-24x-16>H-3=0.
4.155. 16х2-24ху+9у2-160х+120у+425=0
4.156. а) у 2 -2 х + 4 у+ 2 = Ъ \
Ъ)у=-хг +2х.
4.157. Зх 2-4ху+4=0.
4.158. х 2+ х у + у 2=3.
4.159. 2х-3)=4х+-3.
80
§5. Бет жэне сызықтың теңдеулері
5.1. Белгіленген Oxyz жүйесінде берілген S беттің кез келген
нүктесінщ х, у, z координаталары
F{x,y,z)=0
(4.26)
тендеуін қанағаттандырса, ал S бетінде жатпайтын нүктенің
координаталары бүл тендеуді қанағатгандырмаса, онда (4.26) тендеу
S беттің теңдеуі деп аталады.
5.2.
Oxyz кеңістігінде сызық екі беттің қиылысуы ретінде
қарастырылады, сондықтан сызық (4.26) түріндегі екі беттің берілуімен
(яғни тендеулер жүйесімен) анықталады:
Fy(x,y,z)= 0, F2(x,y,z )= 0
4.160.
Берілген /j(-c,0,0) жөне Ғ2(с, 0,0) екі нүктеге дейінгі ара
қашықтықтарыньщ қосындысы түрақты шама 2д-ға (а>с> 0) тең
болатын кеңістік нүктелері жиынының тендеуін жазыңыз.
Шешуі. Ізделінді S жиыныньщ кез келген нүктесі M(x,y;z) болсьш.
Шарт бойынша M(x;y;z) £ S болуы үшін М ҒХ + М Ғ2 =2 а болуы
керек. (1.4) формуласын қолдансақ, бүл теңцік мына түрге келеді:
J ( x + c ) 2 + у 2 + Z2 + J ( x - c ) 2 + у 2 + Z2 =2а,
мүнда IМ Қ I * у ( х + с ) 1 + у 2 + z 2 , \MF2\ = yl ( x - c ) 2 + y 2 + z 2
екендігін пайдаландық. Алынган тендікгі төмендегінше түрлендіреміз:
^ ( х + с ) 2 + у 2 + z 2 = 2 а- у і ( х - с ) 2 + у 2 + Z2 =>
= > ( J ( x + c ) 2 + у 2 + z 2 ) 2 = (2 а -^ l ( x - c ) 2 + у 2 + z 2 )2
х 2+2сх+с 2 + у 2+ z2=4а2-4а \ ( х —с)
+z
+х2
2с х + с 2 + y 2+ z 2 => d y l ( x - c ) 2 + у 2 + z 2 = а 2-сх
» (a y l ( x - c ) 2 + у 2 + z 2 )2= ( а 2-сх) 2 =>
» а 2х 2-2а2сх+а2с 2 + a 2y 2+ a 2z 2—a4-2a2cx+c2 х 2
(а2- с 2 )x2+ a 2y 2+ a 2z 2=a 2(a 2-с 2).
екеншпн
алсақ, соңғы тендік
X2
у2
Z2
b2x 2+ a 2y 2+ a 2z 2=a 2b2 түрге келеді. Немесе -т + ^г + - т = 1
а
b
Ь2
Бүл тендеуді айналу аллипсоидыньщ канондық тендеуі деп атайды.
6— 219
81
4.161. x 2+ y 2+ z 2=49 теңдеу қандай бетгі анықтайды? Мына берілген
A/,(2;-3;6),A/2(0;7;0),Af3(3;2;-4),A/4(2V2 ;4;-5),Л/5(1;-4;-5) жөне
M6(2;6;-yfs) нүктелердің қайсысы берілген бетте жатады, қайсысы
жатпайтынын анықтаңыз.
4.162. x 2+ y 2+ z 2s=9 бетте белгілі координаталары тәмендегідей
болатьш нүктелерді анықтаңыз:
а)
*,=1, Уі=2; б) х = 2 , у 2=5; в) х}= 2, |Й § ; |) у = 2, z = 4
Берілген тендеулер Oxyz кеңістігінде қандай беттерді анықтайтынын көрсетіңіз.
4.163. а) х =0;
б) у =0;
в) z =0.
4.164. а) *-3=0;
б) И-3=0;
в) z + 5=0.
4.165. x 2+ y 2+ z 2= 16:
1)2+(у+1)
36.
4.166. a) x 2+ 2 y 2+ 3 z 2=0;
б) x 2+ 2 y 2+ 3 z 2+ 5= 0.
Берілген шартгар бойынша нүкгелер жиьшының тендеуін қорытъш
шығарыңыз:
Сфераның центрі координата басында, ал радиусы
тең.
Сфераның центрі С(а;Ь;с) нүктесінде, ал радиусы
тең.
4.169. Ьерілген /,(2,3,-5) жөне Ғ2(2,- 7,-5) нүктелерге
қашықтықтарының квадраттарының айырмасы 13-ке теі
4.170. Берілген / ’(-/•,0,0) және /1(г,0,0) нүктелерге
квадраттарьшьщ айырмасы
көне Р(3;2;\) нүктелерінен
жатады.
4.172.
(х - 1)2 + у 2 + z
36
теңдеулер жүйесімен берілген /
y + z = 0
қисықты анықтаңыз.
Шешуі. /қисы қ ( * - l) 2+v2+^2
сфера
жазықтық
тың қиылысы түршде берілген. Демек, ол шеңбер. Сфераньщ центрі
нүкгесі V
қиюшы жазықтықта жатқандықтан
дщ центрі
нүктесінде болып, оның радиусы сфераның
радиусьша тең болады
6.
тендеулер қандай сызықтарды анықтайтынын көрсетіңіз
4.173.
4.176.
0
0
2= 0
0
0
4.174.
0
2=0
-3 = 0’
4.175.
=0
* -5 = 0
* +
4.177.
82
=0
4.178.
z+ 2 = 0
4.179.
у + 2= 0
4.180.
-5 = 0
4.181.
4.183.
X2 + у 2
+ Z2 = 49
у=0
X2 + у 2 + Z2
9
=0
2 . ..2 . _2 _ 2S
4.182.
* +у
+ Z
=0
■ 2 = 20
л2+■у2+z
-2
=
0
§ 6. Кеңістіктегі жазықтық
6.1. M,(х,,7 ,;г,) нүктесінен өтуші жэне n = {Л;б;С} векторына
перпендикуляр жазықтық тендеуі
(4.27)
A ( x - x x) + B ( y - y t ) + C ( z - Z i ) = 0
түрінде болады, себебі жазықтықтың кез
келген M(x;y;z) нүктесі үшін п J. М,М
болып, олардың скаляр көбейтіндісі
Ь,М,Л/)= 0 болады
6.2. Лх+і?у+Сг+/)=0
(4.28)
теңдеуш жазықтықтың жалпы теңдеуі деп
атаиды
6.3. Лгх+2?ьу+С1г+/>=0 және А2х+В1у +
+ C ^ + D =0 екі жазықтық арасындағы (р
бүрыш
u
Д + BjВ2“ЬС С*2
C O S (D
2
Лі Л2
+ Я2+С2
1 і •Ja%+ в + с 2
формуламен анықталады.
4.11-сурет
П\ ' П 2
(4.29)
2
Жазықтықтардыц параллельдік шарты
Aі
Сі
С
(4.30)
ал перпендикулярлық шарты
у4|і42 +Й|В2 +С,С2 0.
(4.31)
А2
2
6.4.
1
(4.32)
а Ь с
теңцеу жазықтықтың кесінділер бойынша тендеуі. Мүнда a, b жөне
жазықтықтың Ox, Оу, Oz координаталық осьтерден қиюшы кесінді
лерінің шамасы.
83
6.5. jtcosa + ycosp + z c o s y - p = 0
(4.33)
жазықтықтың нормаль теқцеуі. Мүнда cosa, cosp, жэне cosy —коор­
дината басынан жазықтыққа қарай бағытгалған п нормаль вектордың
бағытгаушы косинустары, ал р > 0 саны координата басынан берілген
жазықтыққа дейінгі ара қашықтық (4.28) жазықтықтың жалпы теңдеуі
(4.33) нормаль тендеуге келтіреді:
Ax + By + Cz + D
....
=0
(4.34)
+c
мүнда түбірді /)-ның таңбасьша қарама-қарсы таңбамен алады.
6.6. Берілген М0(х0;у0;^) нүктесінен (4.33) жазықтыққа дейінгі
ара қашықтық
d = |*0cosa+;y0cos)3 + z0c o s y - р\
(4.35)
формуламен анықталады.
4.184.
A/j(l;l;l) мен М2(0;2;1) нүктелерінен өтетін жэне а = {2;0;1}
векторына параллель жазықтықтың теңдеуін жазу керек.
Шешуі. М,М2 = {—1;1;0} мен а = {2;0; 1} коллинеар болмағандықтан, есептің бір ғана шешімі бар. Жазықтыққа нормаль вектор
ретінде осы векторлардың векторлық көбейтіндісін алуға болады:
і
п = М,М2х а
j
к
-1 1 0 i + j - 2 k
2 0 1
онда Мхнүктесінен өтуші п -ге перпендикуляр ізделінді жазықтықтың
теңдеуі (4.27) формула бойынша 1• (x -l)+ l • (у —1)—2 • (г~1)=0 немесе
x + y —2z =0 болады. Бүл тендеуде бос мүше жоқ болғандықтан,
жазьщтық координаталар бас нүкгесінен өтеді.
Берілген шартгар бойынша жазықтықтардьщ тендеулерін жяяыңьп;
4.185. Л/(2;1;—1) нүктесінен отеді, нормаль векторы п = {1;-2;3}.
4.186. Координаталар басынан өтеді, нормаль векторы
n = {5;0;-3}.
4.187. Берілген М Л 3:-1:2) жэне МЛ 4:-2:-П е к і н ү к т е н і н
Мунүктесінен өтіп, М^М2 векторына перпендикуляр.
4.188. Л/,(3;4;-5) нүктесінен өтіп, щ={3;1;-1} мен й = {1;-2;1} векторларға параллель.
4.189. Мх( 2;-1;3) мен М2( 3;1;2) нүкгелерінен өтіп, п = {3;-1;4}
векторьша параллель.
84
4.190. Берілген M(3;-l;2), 7V,(4;-1;-1), N A 2;0;2) үш нүкте,
өтеді.
4.191. N( 2;-3;3) нүкгесінен өтіп, Оху жазықтыққа параллель.
4.192. 2?(1;-2;4) нүктесінен өтіп, Oxz жазықтыққа параллель.
4.193. Д-5;2;-1) нүктесінен өтіп, Oyz жазықтыққа параллель.
4.194. М(4;-1;2) нүкгесінен жөне Ох осьтен өтеді.
4.195. Д1;4;-3) нүктесінен және Оу осьтен өтеді.
4.196. Е( 7;2;-3) мен Д5;6;-4) нүктелерінен өтіп, Ох оське
параллель.
4.197. Е(2;-1;1) мен Ғ(3;1;2) нүктелерінен өтіп, Оу оське параллель.
4.198. Ң 3;-2;5) мен Q(2;3;1) нүктелерінен өтіп, Oz оське параллель.
Берілген екі жазықтықтың параллель екенін анықтаңыз:
4.199.2х-Зу+5г-7=0,
2x-3y+5z+3=0.
4.200.4x+2y-4z+5=0,
2x+y+2z-l—0.
4.201. 2x-5jH-2-5=0,
6х-15у+32-5=0.
4.202. х-32+2=0,
2х-62- 7 = 0 .
4.203.7-22+3=0,
3y-6z~ 1=0
Берілген екі жазықтықтың өзара перпендикуляр екенін анықтаңыз:
4.204. Зх-у- 22-5=0,
x+9y-3z+2=0.
4.205.2x+3y-z-3=0,
*->’-2+5=0.
5v+2=0.
х+22-3=0.
Жалпы
жазықтықтың Oxyz кеңістігінде орналасуьш анықтаңыз:
4.207. Ах+Ву+ С2=0.
4.208. Ax+By+D= 0.
4.209. Ах+ Cz+D= 0.
4.210. Ах+Ву= 0.
4.211. у4л+С2=0.
4.212. By+Cz=Q.
4.213. a)Ax+Z>=0,
b) By+D=0,
c)Cz+I>=0.
4.214. a) x=0,
b) у = 0,
с) z = 0.
Екі жазықтықтың қиылысуынан пайда болған екі жақты
тарды табыңыз:
4.215. х+у-1=0, 2 * - у + л/Зг + 1 = 0
Шешуі. Берілген екі жазықтықтың нормаль векгорлары
п, = {1;1;0},
COS У =
п2{2;-1;>/3}. (4.29) формула бойынша
шт
П\ П2
1 2 + !• (- !) + 0-Уз
1
+ 12 02 • УІ22 + (-1)2
1
демек у = arccos —.
4.216. х - л І 2 у + z - l = 0 , x + -Jly - z + 3 = 0
85
1
ІРЗ 4
4.217. 3y~z =0, 2y + z =0.
4.218. 6x+3y-2z=0, x+2y+6z-12=0.
4.219. x+2y-2z-3=0, \6 x + l2 y - \5 z - l= 0
4.220. 2x-3y-4z-24=0 жазықтықтың координаталык
>ілысу нүктелерін табыңыз.
4.221. .х+2у-3г-6=0 теңдеуін кесінділер бойынша
теңдеуіне
4.222. Зх-4_у-24^+12=0 жазықтықтьщ координаталык осьтерден
ошы кесінділерін табыңыз.
4.223. j/V(l;l;-l) нүктесінен З.х-6у+2г+14=0 жазықтығьша дейінгі
іықтықты табьщыз.
Шешуі. (4.34) формуланы қолданып, берілген тендеуді нормаль
ге келтіреміз:
3 x - 6 y + 2z + \4
ф 2 + ( - 6)2 + 22
п
3
6
2
7
7
7
0 =>— х + —у — z —2 = 0 -
формуланы қоддансақ
3
6
2
7
7
7
2
1-
— 1+ — 1--- (—1) —2
7
нүктесінен х-2^-2г+4=0 жазықтыққа дейінгі
қашықтықты есептеңіз.
4.225. Лг(4;3;0) нүкгесінен М,(1;3;0), М?(4;-1;2) және Af3(3;0;l)
нүктелері арқылы өтетін жазықтыққа дейінгі қашықтықты табыңыз.
4.226. Өзара параллель 4лс+3^-5^-8=0 және 4jc+3j >-5z+12=0
жазықтықтар арасьшдағы қашықтықты табьщыз.
4.227. 2x+2y+z-S
параллель
қашықтықтағы жазықтықтардьщ тендеулерін жазыңыз
§7. Кеңістіктегі түзу
қиылысуы түрінде
Axx + Bxy-\-Cxz + Dx = 0
(4.36)
А2х + B2y + C2z + D 2 = 0
жүиені түзудің жалпы түрдегі теңдеуі деп атайды. Мүнда бірінші
жазықтықтағы Аг Вхжэне С, коэффициентгері екінші жазықтықтың
сэйкес А,, В2және С2 коэффициентгеріне пропорционал емес.
7.2.
M0{xQ,yQ,z^) нүктесінен өтуші жэне я = {1;т;п} бағыттаушы
векторға параллель түзудің тендеуі:
х ~ хо _ У~Уо
/
т
z-z0
п
(4.37)
теңдеулерді түзудің канондық теңдеулері деп атайды
86
Берілген А/,
жөне M2{x^y2,z^ нүктелерден өтетін түзудің
теңцеулері
z-z
У-У і
(4.38)
1
Уг-Уі
+ У0, Z
(4.370
■nt+z»
теңдеулерін түзудің параметрлік теңдеулері деп атайды
7.4. Тендеулері канондық түрде берілген екі түзу
У-Уг _ Z - Z
т
I
п
т
I
п
арасындағы бүрыш мына формуламен анықталады
l\l2 +Щ1ГІ2 +71,71
coscp
ш
2 .
2
(4.39)
2
2+rrq+rq
S i
а) екі түзудің параллельдік шарты
I
I
Щ
пі
т
п
(4.40)
б) екі түзудің перпендикулярлық шарты
(4.41)
=
0
*1*2+ ЯҺ171! + %% =
7.5. Жалпы тендеумен берілген (4.36) түзудің бағытгаушы векторы
S
it
I
ft1 Сi с { А А 3
В2 с2 ^2 ^2 А2 В,
1
(4.42)
М,(-1;0;5) нүктесінен өтіп, координаталық осьтермен сәйкес
2/г
я
п
жасайтын түзүдін канондық
,7
/3
4
Т
з
параметрлік тендеулерш
бағыттаушы вектор ретінде ізделінді
Шешуі
векторын алуга болады. Бүл вектордың координаталары бағытгаушы
косинустар оолады, яғни
п п2пa = c o s a - i + cosp- і + cos у к = cos— i + cos—j + cos — к
4
3
1- y / 2 - .
3
It
-i +— j — к
2
2
2
формула бойынша ізделщді түзудщ канондық теңцеулері
х+\
У
0
z~5
1/2
V2/2
1 /2
jc+1
немесе----1
87
У
Л
z-5
-1
Соңғы қатынастардың әрқайсысын t-ға тең десек, түзудің
параметрлік тендеулер шығады:
jc+l
1
у
z-5
ш
иемесе х = - l + t , у =yf2t, z=5-t
4.229. M0(l;-2;2) нүктесінен өтіп, Oy осіне параллель болатын
түзудің канондық жэне параметрлік теңцеулерін жазыңыз.
4.230. М0( 2;-3;4) нүктесінен өтетін және
\ x + y - z + 2=0
x - y + 2 z - l = 0 тҮ3^ е параллель болатын түзудің тендеуін
жазыңыз.
4.231. Төбелері Е(2;3;-1), Д1;-2;0) Q(- 3;2;2) нүктелерінде жатаіъш
үшбүрыштың EL медианасьшьщ канондық тендеулерін қүрыңыз.
4.232. Жалпы теңдеуімен берілген
f x - 2 y +3 z - 4 = 0
13 х + 2у - 5z - 4 = 0 Ту3уд* канонДық түрге келтіріңіз.
2.233. Координата басынан 4x-y+2z-3—0 жазықтығьша түсіріжен
перпендикулярдьщ канондық теңцеулерін жазыңыз.
4.234. А^(-1,1,-3) нүктесінен отіп a = {1;—3;4} векторға параллель
болатын түзудің канондық және параметрлік тендеулерін табьщыз.
4.235. Afj{2;-1;-1) мен М,(3;3;-1) нүктелерінен өтуші түзудің
канондық және параметрлік теңцеулерін табыңыз.
4.236. N(-l,-2;2) нүктесінен өтіп, Ох осіне параллель түзудің
канондық және параметрлік теңцеулерін табьшьіз.
4.237. Координаталық осьтермен а = —, Р = — және у = —
бүрыштар жасайтьш, әрі iV(l;-5;3) нүктесінен өтушітүзудің канондық
теңцеуін жазыңыз.
4.238. Төбелері Д-5;7;1), 5(2;4;-1) және С(~1;3;5) нүктелерінде
жататьш үшбүрыппъщ В төбесінен жүргізілген медиананьщ канондық
теңцеуін жазыңыз.
Жалпы теңдеуімен бершген түзулерді канондық түрге келтіріңіз:
лель және 7v(2;-3;5) нүктеден өтетін түзудің канондық теңцеуін
жазьщыз.
88
4.243. iV(2;l;-l) нүктесінен өтіп, x - y + z - 1=0 жазықтығына
перпендикуляр болатын түзудің канондық теңдеуін табыңыз.
4 у+1 z - 3
*
y
+
2z-8
=
0
4.244.
және
түзулерінщ
3
1
-2
[ 2 х + у - z+3= 0
арасындағы сүйір бүрышты табу керек.
Шеигуі. Бірінші түзудің бағыттаушы векторы
Si = {—
3;1;—
2}.
(4.42) теңдік бойынша екінші түзудің бағыттаушы векторы:
1 2 2 1 1 -1
S
, яғни
1
1 -1 2 2 1
(4.39) формуланы қолдансақ:
= {—1;5;3} •
|(-3 )(-1 ) + 1 - 5 - 2 - 3 1
VI0
COS
\l (-3 )2 + 12 + (-2 )
I)2 + 52 + 3
35
VTo
(р = arccos----- (* 85°).
35
Түзулердің арасындағы сүйір бүрышьш табыңыз:
V +1
z-І
х-4
z
+
1
у
4.245.
- = ----- және 11
7
2
8
8
7
л
у
+
2
=
0
I
jc+ v + z-1 = 0
4.246.
жөне
2 jc+ y -z-6 = 0
Ijc—у + 3z + 1 = 0
Түзулердің параллель екендігін көрсетіңіз:
4.247
х +2
3
у— 1
2
z
I x+y-z=0
- жэне
1
Ijc —у —5г —8 0
4.248. x=2t+5, y = - t + 2, zr=t-l жэне
x + 3y + z + 2 = 0
- y - 3 z - 2 =0
Tүзулердің перпендикуляр екендігін корсетіңіз:
4.249.
4.250.
у -1 z
1
-2
3
жэне
Зх + у —5z + l = 0
2x + 3y - 8z + 3 = 0
2jc + y - 4 z + 2 = 0
x = 2 t + l , у =3t-2, z =-6t+7 жэне
4 jt-y -5 z + 4 = 0
§ 8. Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара
орналасуы
8.1.
= У- ^ L = L J ±
түзуі мен Aх + B y I C z 1 D =0
I
т
п
жазьгқтығы арасьпадағы бүрыш мына формуламен анықталады:
89
A l + Вт + Cn
sin <p
(4.43)
J a 2 + Ш + Ш I P + m2 + n2
Түзу мен жазықтықтың параллельдік шарты:
A l + Вт + Cn = О
Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шарты:
А
В
т
(4.44)
с
п
(4.45)
7
8.2. Түзу мен жазықтықтыц қиылысу нүктесі. Параметрлік түрде
берілген х = х0 + It, у = у0 + m t, г - z0 + nt түзу мен Ax+By+Cz+D^O
жазықтықтың қиылысуын табу үшін х,у және z шамаларының
өрнектерін жазықтық тендеуіне қойып t параметрді табамыз. Содан
соң /-ның табылған мәнін түзудің тендеуіне қойьш, ізделінді қиылысу
нүктесі M(x,y;z) табылады. Яғни мына теңцеулер жүйесін шешу керек:
х = х0 + It, у = у0 + mt, z = Zo+nt
(4.46)
Ax + By + C z + D = 0
жазықтықта жатуынын шарты
Х2 - * 1
I1
У2
I
У\
Z2 ~ Zl
m
ni
m
n
0
(4.47)
Мүнда Lxжәне L2түзулерінің тендеулері
x -x
I1
У-Уі
m1
z-z1
z-z2
У~Уг
L
i
Щ.
x -x 1
8.4. M0(x0\y^,z^) нүктесі мен
/
өтетш жазықтықтьщ тендеуі:
x -x
I
о
У-Уо
z — Zо
У\ ~Уо
Zl-* 0
т
п
О
У- Уі
m
z-z1
түзуінен
n
(4.48)
4.251. Д -1;0;-5) жөне Ғ ( 1;2;0) нүктелерінен өтетін түзу мен
х —Зу + z +5 =0 жазықтығы арасындағы бүрышты табыңыз.
90
Шешуі. (4.38) формула бойынша Е жэне Ғ нүктелерінен өтетін
х +1
у
—
0
z +5
х +1 у 7 + 5
тузудщ теңдеуі — - — = — , ягни
=Z =
түрінде
болады. Демек бұл түзудің бағытгаушы векторы S = {2;2;5}. Енді
(4.43) формуланы қолдансақ:
1
-2
-3
-2
+
1-5
1
.
1
sin Ф rv
,
—г"1
= — 7= (р = arcsin — рг » 3
VI2 + (-3)2 + 12 •л/22 + 22 + 52 l h /З
1Һ/3
« ,
4.252.
л-1 _ у
^
z-1
түзуі мен вх-Ъу+ l z —0 жазықтығы
арасындағы бүрышты есептеңіз.
л
Х-3_у-6
z +l
4 . 253 .
- - j ----— түзуі мен 4x-2y-2z-3=0 жазықтығы
арасындағы бүрышты есептеңіз.
4.254. 2x+y+2z-5=0 жазықтығы мен \
* У+ Z ^
2х + у - z - 3 = 0
түзу ара-
сындағы бүрышты есептеңіз.
. ___ х - 1 2 у - 9
z-1
4 . 255 . —- — = —— = —j—түзу мен Зх —5.у—z —2=0 жазықтықтың
қиылысу нүктесін табыңыз.
Шешуі. Түзудің тендеуіндегі әрбір қатынасты t-та тең деп,
параметрлік түрде жазамыз х=12+4/, y=9+3t, zr^l+t. Содан соң
қиылысу нүктесін анықтайтын (4.46) жүйені қүрып шешеміз
х = 12 + 4/; у = 9 + 3/; z = 1 + 1
Зх + 5у - 2 - 2 = 0
х = 12+ 4/; .у = 9 + 3/;2 = 1 + t
3(12 + At) + 5(9 + 3/) - (1 + 1) - 2 = 0
x = 12 + 4/; V= 9 + 3/; z - 1+ t
t = -3
x = 12 + 4• (-3); у = 9 + 3- (-3); 2 = 1+ (-3)
/ = -3
х=0; у=0; 2—2
Демек, қиылысу нүктесі £(0;0;-2).
Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесін табыңыз:
4.256. х ~ 2 = Z z l = :L ll , 2х+ЗдЯ-2=0.
2
3
1
9 1
4.257. £ z l = Х І І = 1 ,
1
-2
2x+3y+z-l=0.
6
4.258. x=2M, .y=M-2,
г =1-/. 3x-2y+z-3=0
4.259. x=3t-2, y = -4 t+ l, z = 4 t-5 түзуінің
жазықтығына параллель екендіпн дәледцещз.
•
4х-Зу-6г-5=0
•
4.259а. —— = j = ~~2 ~ түзуінің 2x + у - z =0 жазықтығына
параллель екеңцігін дәлелдеңіз.
х+2 у +1 z+3
4.260. —— =
= ~ ү ~ түзуінің 2x + y - z =0 жазықтығына
жататындығын дәлелдеңіз.
\5x-3y + 2 z - 5 = 0
4.261. <
түзудің 4х-Зу+7г-7=0 жазықтығына
1 2x —y —z —l = 0
жататьшдығын дөлелдеңіз.
a -tc’t
у
l
z- 4
4.262. —-— - —ү - = —— түзуінің х+2у-4г+1=0 жазықтығына
жататындығын дәлелдеңіз.
4.263. Д5;2;-1) нүктесінің 2х->н-3г+23=0 жазықтығындағы Ғ
проекциясьш табьщыз.
4.264. /(4;3;10) нүктесінің ^ = —- —==—
— түзуіндегі / ’проек­
циясьш табьщыз.
л i t s EY1T1\
. . *+2 у z-1
.
. _
4.265. Е( 1;2;1) нүктесшщ = " - —— түзушдеп / проек­
циясьш табьщыз.
^w
* + 3 _ У-1 г - 2
. . л
2 - —2~ ~ *~t— түзуінщ ЧКг жазықтығындағы проекциясының тендеуін жазыңыз.
j**». JC-1 y + l z - l _ . . k
' ~ 2 ~ ~ —І— ~ ~Г\~ түзушщ Оху жазықтығьшдағы проекциясьшың тендеуін жазьщыз.
. _ , 0 -*~1 У+ 1 г + 1
.
4-268. —— - —— - —-- түзуі мен Д2;0;1) нүктесінен өтетін
жазықтықтың теңцеуін жазьщыз.
х
у
4.269. ^ =
z
түзу мен / ( 4;-3;2) нүктесінен өтетін
жазықтықтың теңдеуін жазьщыз.
л ,- n ~
j c - l y z +2
x+l y +3 z
4.270. Өзара параллель -----= —= ------ жөне ----- = ------ = —
2
3
1
2
3
1
түзулерінен өтетін жазықтықтьщ теңцеуін жазыңыз.
92
§9. Кеңістіктегі беттер және сызықтар
9.1. Цилиндрлік беттер. Дл:;.у) = 0 тендеуі Oxyz кеңістігінде
жасаушылары Oz осіне параллель, бағьптаушысы Оху жазықтығында
жататын /; сызьпы болатын цилиндрлік бетті анықтайды. Осылайша
F{x;z)= 0 теңдеуі жасаушылары Оу осіне параллель (бағыттаушы 12
сызығы Oxz жазықтығында), F{z ;>')=0 тендеуі жасаушылары Ox осіне
параллель (бағыттаушы 13сызығы Ozy жазықтьпъшда) цилиндрлік
беттерді аныктайды.
Екінші ретті цилиндрлік беттердің канондық теңцеулері:
2
2
х . У
1
- r + - j = 1- эллипстік цилиндір;
a
b
х 2 У2
—ү ~ Т Т ~ 1 - гиперболалық цилиндір;
a
Ь
у 2—2рх — параболалық цилиндр;
Ескеретін жағдай, Дх;>')=0 тендеуі Оху жазықтығында кейбір /
сызығын анықтайды, an Oxyz кендстігінде бағыттаушысы / сызығы
болатын цилиндрлік бетгі анықтайды. Кеңістікгегі / сызығы Дх;у)=0,
z = h екі теңцеумен анықталады.
9.2. Екінпгі ретті беттердің канондық теңдеулері
( х - а ) 2 + { y - b f + { z - c ) 2 = R2 — центрі (a;b;c) нүктесінде,
радиусы R сфера.
2
2
— +
а2
2
+ _ = i - элипсоид;
b2
с2
(4.12-сурет)
X
4.12-сурет
у
2
г
2
_—»-—— — = -1 -ей куысты
а2
Ъг
с2
гиперболоид; (4.13-сурет)
4.13-сурет
1 -ОІр ҚуЫСТЫ
гиперболоид; (4.14
4.14-сурет
0-екінші ретті
конус; (4.15
4.15-сурет
липспк параболоид; (4.16
с
у
р
е
т
перболалық параболой
4.17-сурет
94
9.3. Кеңістіктегі L сызық Ғх(л; у, z) = 0 жөне Ғ2 (х\ У', z) = О беттердің қиылысуы ретінде қаралады. Яғни, L сызықтың теңдеуі
Қ (*; у; z) = о,
Ғ (X- y-z) = о ^
болады.
4.271. х 2+ у 2=4х теңдеуімен берілген бетгі анықтау керек.
Шешуі. Берілген тендеуде z айнымал жоқ болғандықтан, ол
жасаушылары Oz осіне параллель болған цилиндрлік бет. Бүл
х 2 + у 2 =4 х
\ ( х - 2 ) 2 + у* = 4
цилиндрдің бағыттаушысы j
г_q
немесе
j
z_ q
сызық центрі Ox осіндегі (2;0;0) нүктеде, радиусы R=2 болатьш
шеңбер. Демек, берілген тендеу осі х —2, у =0 түзу болатын дөңгелек
цилиндр.
Келесі тендеулердің әрқайсысы қандай бетті анықтайды?
х2
у2
4.272. z 2+2z-4x+ 1=0.
4.273. ү ~ ^ = 0 4.274. х 2+ z 2=9.
4.275. 16>>2-25z2=400.
4.276. y 2=-6z.
4.277. x 2= z 2.
4.278. xz =2.
4.279. z 2+4z-2x+6=0.
4.280.4x2+ 9 j2-8x+36y+4=0.
4.281. x 2+ y 2=4y.
4.282. 9y2- l 6 z 2+ 64z-lS y- 199=0
Төмендегі беттердің көрсетілген жазықтықтармен қиылысқандағы
қималарын көрсетіңіз:
х2
v2
72
25
16
9
4.283. — + — н----= 1 эллипсоидты z =А, х =0, у —0 жазықтықтарықияды.
- !
- - ft**#
Шешуі. z =һ шаманы берілген эллипсоидтың тендеуіне қойсақ:
х2
—
х2
һ2
х2
у2
һ2
+ ^■ + — = 1 немесе — + ^ - = 1 - - у . Осы тендеуді түрлен-
дірсек:
____
х2
у2
+ =
* н
ь п
Ьһ = 4J1
1, z = һ болып, қимада жарты осьтері аһ = 5J1
2
һ
9
һ
9
болтан эллипс шығады Qxz және Oyz жазықтықтарға параллель болған
жазықтықтармен қиғанда да қимада эллипс шығады.
Мысалы: у =0 жөне х =0 болғанда
У
25
9
у=0
жөне
І
16
I
,
І
І
9
лг= 0
=
1
эллипстер пайда болады
95
4.284. — + — - — = 1бір қуысты гиперболоидты х =0, у =0 және
4*
9
4
Z —һ жазықтықтары қияды.
2
2
2
4.285. — + ---------= 0 конусты х=0, у=0 және z= h жазықтық4
1 2
тары қияды.
А2
4.286. — + у 2 =2 z эллипстік параболоидты х=0, j>=0 және z —h
жазықтықтары қияды.
4.287. x 2- y 2= 2z гиперболалық параболоидты х = 0 9у =0 және z —h
жазықтықтары қияды.
X
2
у
2
7
2
4.288. ~ + ” ---- ^- = -1 екі қуысты гиперболоидты х=0, j>=0 және
Z—h жазықтықтары қияды.
4.289. x 2+ y 2=4-z бетгің координаталық жүйеге сәйкес орналасуьш
және пішінін (түлғасьш) зерттеу керек.
Шешуі. Қималар әдісін қолданамыз. z —h деп алсақ, берілген тендеу
х 2+ у 2=4-һ түрге келеді. 4-һ = R2> 0 деп белгілесек, z~ h жазықтықпен
берілген бетгі қиғандағы қиманың теңцеуі x 2+ y 2= R 2, z —h болады.
Бұл сызық центрі Oz осьте жатқан радиусы R-те тең шеңбер.
Қималар әдісімен берілген беттердің пішінін және координаталық
жүиеге сәикес орналасуьш зерттеңіз:
4.290. x 2+ y 2= 2 (z -l)2
4.291. 2y2+ z 2= l - x
4.292. 3x2- y 2-z 2=3
4.293. x 2-2y2+ z 2= l
Келесі тендеулер қандай беттерді анықтайды?
4.294. 2x2- y 2+ 2 z2+ 4 x + 2 y+ 8 z+ l= 0
Шешуі. Бүл тендеуді канондық түрге келтіру үш;
айнымалдары бойынша толық квадрат ажыратамыз.
0
(У
2(х+1)2-Си-1)2+2(^+2)2=8 =»
4
8
4
=і
Шыққан тендеу центрі О' (-1;1;-2) нүктесіне көшірілген бір
қуысты гиперболоидтың теңдеуі. х' = х+1, у ' = у -1 , z ' = z + 2
белгілеулер жәрдемімен соңғы тендеу мына канондық түрге келеді:
'2
'2
/2
4
8
4
Oxyz координаталық
параллель
4.295. 2x2+ y 2+ 2 z 2-4x+ 4y+ 4z+ l= 0.
4.296. x2-6j;2+3^2+8x+12jH-l=0.
4.297. x 2+ y 2+2x-2y-2z-2=0.
96
/ //
Бет пен түзудің қиылысу нүктелерін табу керек:
4.298. х 2 + 2y2+4z 2—2 эллипсоид жэне
түзу.
Шешуі. Түзудің теңдеуін параметрлік түрде жазамыз:
х = l + t , у =1+/, Z = ~ ^ t
х,у және z айнымалдардьщ бүл мәндерін эллипсоидтьщ тендеуіне
қоисақ:
(1+02+2(1+/)2+2/2=2 немесе 5 t2+ 6 t+ l =0 квадрат тендеу шығады.
Бүл тендеудің шешімдері /,=-1, t = - 1/5. Бүл мәндерді түзудің
параметрлік тендеуіне қойьш, қиылысу нүктесін табамыз:
К
Һ
*,=0, у = 0 , Ху• - — —, яғни Л/,(0;0; — —);
4
Л
J2
х 2 ~ 5 »у 2 ~ 5 >*2 = - — , яғни М,(4/5;4/5; - — );
4
4.299. — +
=
2
2
1 эллипсоид және ~'2 ~ = "1~з~ = *“- 2
2
л
X
У
Z
4 .3 0 0 . -jj- + ---------- = 1
у+3
х-4
4 .3 0 1 . Y ~ ^ - = z
з ==—
гиперболоид
түзу-
х2 у 2
у —2
қуысты
жөне
z-2
~Г~~Г =—
х
бір
;.Г ;
гиперболалық
параболоид
және
z+1
=—
^ зу-
т т
т
•
V т а р а у . ФУНКЦИЯ ЖЭНЕ ОНЫҢ ШЕГІ
§1. Функция
1.1. Х,Усандық жиындар. X жиынының әрбір х-санына белгілі
ереже / бойынша У жиыньшың бір у саны сэйкес қойылса, онда X
жиынында функция берілген делінеді де, y —f{x) деп белгілейді.
Мұндағы х-тәуелсіз айнымал немесе аргумент, у - тәуелді айнымал
немесе ф ункция,/- функцияньщ характеристикасы, X={x}=EHJ) жиыны функцияньщ анықталу аймагы, У={у}=Е(/) - жиыны
функцияньщ мэндер жиыны немесе функцияньщ эзгеру аймагы
(жиыны) деп аталады. Функцияны у =^(х), у = g(x), у = Ғ(х) т.б. түрде
де беліілейді.
Функцияны / : х -> у түрінде де белгілейді.
Функцияньщ берілу тәсілі негізінен аналитикалық, таблицалық
жэне графикпк больш үш түрге бөлінеді.
Оху тікбүрьшпы координаталар жүйесінде координаталары (х,у),
У~Лх)і болатьш жазықтық нүктелерінің жиынын у —f (х) функция сының графигі деп атайды.
Кейде функцияньщ характеристикасы f- ті функция деп те атайды.
1.2. Егер \ / х е D(J ) үшін -хе D (f) жэне Л-х)=/(х) болса, онда
/(х) функциясын жүп функция деп атайды.
Егер \ / х е D (f) үшін -хе D (f) жэне Д-х)=-/(х) болса, онда /(х)
функциясын так функция деп атайды.
Жүп функцияньщ графигі ординаталар осіне қатысты
симметриялы да, тақ функцияның графигі координаталар басына
катысты симметриялы болады.
Егер v xG Ш/ ) жэне х+Те D ( / ) нүктелер үшін Д х + Т )=/(х)
теңдіп орындалатын Т саны табылса, онда /(х) периодты функция
деп аталады да, Т сандарыньщ ең кішісін функцияньщ негізгі периоды
деп атайды. к -Т , к е Z сандар да функцияньщ периоды болады.
Периодты функцияньщ графигін салу үшін, оның үзындыгы
периодына тең аралықтагы графигін салу жеткілікті.
1.3./(х) функциясы үшін С >0 саны табылып, барлық х€ XcD(f)
мәндері үшін |/(х)| < С теңсіздігі орындалса, онда/(х) функциясы X
жиынында шенелген функция деп аталады; ондай С > 0 саны табылмаса/(х) функциясы X жиынында шенелмеген функция деп аталады.
X жиынында өспелі, кемімейтін, кемімелі жэне өспейтін
функцияларды осы жиьшда бірсарынды функция деп атайды.
98
1.4. Егер у айнымалы и-дың функциясы, ягни у=Аи), ал и
айнымалы х-тің функциясы, ягни u=g{x) болса, онда у-ті х-тің күрделі
функциясы немесе функцияның функциясы (функциялардың
композициясы) деп атайды да, оны y= f[g (х)] деп жазады.
1.5. Негізгі элементар функциялар:
у — С = const; у = X х, а е /?;
у = а*, а >0, а * 1; у = logox, а >0, аФ 1;
у —sinx; у —cosx; у —tgx; j —ctgx;
у —arcsinjc; у = arccosx; у = arctgx; у = arcctgx.
Элементар функция деп негізгі элементар функцияларға қосу,
азайту, кобейту, болу амалдарын жэне ақырлы күрделі функцияны
алуды қолдану нәтижесінде табылатын бір ғана аналитикалық
өрнекпен жазылған функцияны атайды.
1.6. у = J[x) функциясының графигі Г берілсе, төмендегі функциялардың графигін салуға болады.
а) y = f ( x - a ) . Бұл функция графигі / ’-ны Ox осінің бойымен a
шамаға (а>0 болса онга, а<0 болса солға) жылжыту арқылы сальшады.
б) у= Д х)+ Ь . Бүл функция графигі Г-ны Оу осінің бойымен b
шамаға (Ь >0 болса жоғары, b <0 болса төмен) жылжыту арқылы
салынады.
в) у = с-Ах)- Г-ны Оу осі бойымен с > 1 болғанда с рет созу керек
те, 0<с< 1 болғанда 1/с рет қысу керек. с<0 болғанда функция графигі
ретінде у —\c\-f{x) функциясының графигінің Ох осіне қатысты
симметриялық бейнесін аламыз.
г) y —f ( k x). Г-ны Ох осі бойымен 0<к <1 болғанда 1/ к рет
созамыз. к < 0 болғанда функция графигі ретінде
функциясының фафигінің Оу осіне қатысты симметриялық бейнесін
аламыз.
Яғни, y —f ( x ) функциясының графигін біртіндеп түрлендіру
арқылы у —с / [ к (х-а)]+Ь функциясының графигін салуға болады.
5.1 у = \ [ - х 2 + 6 х - 5 функциясының анықталу аймағын табу
керек.
Шешуі. у күрделі функция. Түбір көрсеткіші жүп болғандықтан,
—X1 + 6 х —5 > 0 болуы керек. Квадрат үшмүшелікті (-І)-ге
көбейтіп, көбейткіштерге жіктесек (х —іХ ^ -5 )< 0 теңсіздік
сызықты
шығады. Бүл теңсіздіктен
теңсіздіктер жүйелері шығады. Бірінші жүйенің шешімі 1 < х < 5
қос теңсіздікті қанағаттандырады. Ал екінші жүйенің шешімі жоқ,
99
себебі х < 1 жэне д: > 5 теңсіздіктер үйлесімді емес. Яғни, берілген
функцияның анықталу аймағы Z)(j)=[l;5].
Берілген теңсіздіктерді қан ағаттандыратын х-тің мәндер жиыньш
анықтаңыз:
5.2. |х|< 16.
5.3. х 2 < 9 .
5.4. х 2 > 4 .
5.6. jc2 —IOjc-i-16 < 0.
5.5. х 2 + 5* - 6 > 0.
5.7. х - 3х2>0.
5.8. (* + З)2 < 4 •
5.9. _ З х 2 < 48 •
5.10. (2х + 7 Х * -2 )> 0 .
5.11. |3х + 2|<1.
Төмендегі функциялардың анықталу аймақтарын табыңыз:
5.12. У = lgsin(x-3).
5.13. y = J x 2 + 2 .
5.14. у = Мх2 + 5 .
V2 '
5.15. У
х
х 2 —Зх —4
1
2
л/ jc 4
5.18. y = - ^ — •
x —1
5.19. > = Jig
—16
2
5jc—jc
4
1
5.20. у = 2 1 x .
5.21. у = arcsin —.
4
5.22. у —x — arctgx.
5.23. y(x)=lgx2 функциясының Д-1), Д-0,001), Д100) мәндерін
табыңыз.
l + JC,-o°< jc<0
5.24. / М = і n ‘
I ,U < X < -Н»
функциясыньщ Д-2), Д-1), ДО),
Д 1), Д2) мәндерін табыңыз.
5.25.Дх)=х3 -1 функциясыньщ Д1), Дл), Дд+1), Дя-1), 2Д2д)
мөндерін табыңыз.
/О ) функциясыньщ берілген D(f) анықталу аймағьш бейнелейтін
мәндер жиынын ( өзгеру аймағы E(f)) табыңыз:
5.26.Д*)=х2, D i f ) = [ - 3;4].
5.27. Д*)=|х |, D (f)= {x A < \х |<6}.
5.28. /(* ) -
, £>(/) - (0;1). 5.29. /(* ) = у і х - х 2 , D ( f ) = (0;1).
100
5.30.Дх)=1оё2х, ДП=(1;16].
5 .3 1 ./(x )= s in ^ , Д /) = [ 0 ; 1 ] .
2
2
5.32 f ( x )
13* +36 функциясының мына аимақтарда
жүп немесе тақ екендігш көрсету керек:
а) табиғи анықталу аймағында;
б) [—2;+ °°).
Шешуі. а) табиғи анықталу аймағы D(f)={x\x4—13х2+36>0}
=> {х|(х2-4 )(х 2-9)>0}=> {х|(х+2)(х-2)(х+3)(х-3)>0}.
Яғни Д /) = ( —00 ,—3] U [-2,2] U [3,+ 00). Бүл координата басына
сәйкес симметриялық жиын. Бүл жиьш нүктелерінде J[ -x)=f[x) шарт
орындалады. Демек, анықталған аймақта flx) жүп функция.
б) [—2;+ 00) жиын координата басына сәйкес симметриялы емес
жиын. Әрі функция (2;3) интервалында анықталмаған. Л-*)=Дх)
шарты жиынның барлық нүктелерінде орындалмағандықтан, бүл
жиында берілген функция жүп та емес, тақ та емес.
Функциялардың тақтығын немесе жүптығын анықтаңыз:
5.33. f ( x ) = cos4x + x 3 sin x . 5.34. /( х ) = х 2 sin 5х
X
5.35. f (х) —|х + 1| + 2 .
5.36. f (х)
5.37. /(jc)= (0 .2 5 )x2-
5.38. /( х ) = 3 X
5
5 VX
-1
5.39. /( x ) = lo g 2(x2
5.40. / W = 3
5.41. / ( х ) = х 2 - х 3
5.42. / І х ) —Ъхх
5.43. fix) =coscox функциясының негізгі периоды т
2к
со
. соф 0
екендшн корсету керек.
•
•
2я
cos(tax+2ji)=costox.
Шешуі. Шыньшда да cos со х +
(О
Функциялардың негізгі периодгарын
5.44. /(х) = 3sin7x.
5.45. / (х) = sin22x.
5.46. / (х) = cos 23х.
5.47. / (х) = lgcos2x.
5.48./(х) = |cos2x|.
5.49. /(х) = sin2x+cos3x
Төмендегі функциялардың графиктерін салыңыз
с) у = Зх
5.50. а) у = 2х
5.51. а) >>= -Зх+1
с) у = 2х
Ь) у = -3
101
c ) y = |2x+l|
d ) y = \2x+l\-2
1
5.54. a) у
b) у
X
2
x
. а) У
b) у
5.56. а) у = 2х;
1
1
x 2’
x -2
2
Ь) у
2/
3’
x
b) у = 2
\
х
1
5.57. а) у
с) v = -3x
b) у = -5
b) >>= (x-2|
5.52. a) y = 4x-3
5.53. a) V=
x -\.
г1
x- 3
х-2
х -2
+1
с) у
\2
с) у —3*~2—1.
х-1
х-1
с) у
b) у
5.59. я) У
+2
с) у = 2х' 1 + 3 .
Ь) у = З^2;
5.58. а) у = 3х;
с) у
2
+3
+3
с) у = 2(х~1)2+1.
5.60. а) у = 2 х 2;
Ь)у=2(х-1У ;
5.61. а) у
Зх2; Ь )у —3(хН )2; с) у = —3(х+1)2+3.
5.63. у —х 2—2х+5.
5.62. у = х 2—4х+3.
5.64. у —х 2+Зх+2.
5.65. у = —х 2+2х—3.
5.66. у = —х 2+Зх—4
5.67. у = —х 2—х+3.
5.68. а) у = logjX; b) у = log2(x-2); с) у = log2(A^2)+3.
5.69. а) у = log, х;
b ) y = log, (х -3 ); с) у = log, (х - 3) + 2
5.70. a) j>= log,(2x+l);
b ) y = log, (2 х -4 );
с) y = log,(2x-3)+l.
5.71. у —1пх.
5.72. j = ln(2x+3).
5.74. у = sinx.
5.73. .у= ln(3x—1)
5.75. у = sin2x.
5.76. j=sin2
8
/
\
к
5.78. У = sin Зх +
.
5.79.
у = —2sin3x.
4
5.77. у = sin3x.
V
5.80. у - sin X
V
5.82. у
я
5.81. .V= sin| х - ^ 1+ 1
к
4 •
Sin I X——1+ 1
5.83. ,у= tgx
5.84. у = 2tgx
5.85. у = tg х
102
\
я
3
+1
5.87. y = tg3 x
5.86. у = 2tg3x
V
п
5.88. у
tg| 3* ~ т 1+ 2
п
4
5.90. у = ctg х
5.89. у —ctgx.
1
arcsin I x h—
v 2
5.95. у = arcco&x.
5.97. у = arccos(2x—3)
5.99. у = arctg(.x^2).
5.101. y=arcctgx.
5.103. у = arcctg(x~2)
5.93. У
5.94. у = arcsin(2x).
5.96. у = arccos(x~6).
5.98. у = arctgx
5.100. V 2arctg(x—1)
5.102. v = arcctg(^l).
5.104. y = x 2+|x|
Зх + 1
x —2
x
x —1
5.108. У
12
5.91. у = —ctg2x+l.
5.92. у = arcsinx
5.106. у
n
5.105. у
x +1
x +2
5.107.
x —l
x+3
У
5.109. y = |x + l|—x
1, x > 0
5.110. y = sgnjc
0, jc = 0 . 5.111. y=[x], мүндағы [x] —х-тың
-L дс<0
бүтін бөлігі.
5.112. y={x}, мүндағы {x}=x-[x] - х-тың бөлшек бөлігі.
§2. Тізбек және оның шегі
2.1. Натурал аргументті f( n ) функциясыньщ аргументінің өсуі
бойынша реттелген /(1),/(2),/(3),...,/(п ),... мөңцер жиыньш сандық
тізбек немесе тізбек деп атаиды.
х = у(я) тізбекгің я-мүшесі немесе жалпы мүшесі деп аталады
да, тізбек Щ немесе {/(/j)} түрінде белгіленеді.
Берілген {х} және {ул} екі тізбектің қосындысы, айырмасы,
көбейтіндісі және бөліндісі деп сөйкес түрде { х + у п}, { х - у п},{хлI ул}
және
п
у
ф0
тізбектерді айтады.
У
103
Егер {хл}тізбектің кез келген мүшесі х п < М (хп > т ) теңсіздігін
қанағаттандьфатындай М саны (т саны) табылса, онда {хл}жогарыдан
(төменнен) шенелген тізбек деп аталады. Жогарыдан жэне тэменнен
шенелген тізбекті шенелген тізбек дейді.
Егер тізбек ешбір санмен шенелмеген болса, оны шенелмеген
тізбек деп атайды.
Егер кез келген е>0 саны үшін N(e)>0 саны табылып, барлық
к —д|<е теңсіздігі орьшдалса, онда а санын
;} тізбектің шегі деп атайды жэне оны lim хп = а немесе х —> а,
я
« деп белгілейді. Бүл жагдайда {хл} тізбегін а санына
жинақталатын немесе а санына үмтылатын тізбек деп атайды.
Егер Л-400
lim а = О болса, онда {а } тізбекті акыосыз кішкене тізбек
атайды
барлық n>N(A) нөмірлері үшін хп > А теңсіздігі орьшдалса, онда
{*} тізбекті ақьфсыз үлкен тізбек деп атайды. {хп}= \ ^ —\ , а пФО іізбек
ақьфсыз үлкен тізбек болады.
2.2. Жинақталушы тізбектердің негізгі қасиетгері:
1) Жинақталушы тізбек шенелген іізбек.
2) Егер П—
lim
xn
=
a
,
lim
yn
=
b
болса,
онда:
т°°
П■>оо
a) lim(jcn± y n) = a±b;
б) lim(jc„ •y n) = а ■b\
/ I —
> о О
в) П—
lim(jcB
l
y
n)
=
a
/
b
,
(
b
*
0);
>оо
3) Егер пlim
хп
=
a,
lim
z„
=
а
болып,
барлық
п
нөмерлер
үтиін
—>оо
/I—>°°
х < у < z„ теңсіздіктер орьшдалса, онда lim у = а болады
Л—>оо
4) Егер lim x
тген тізбек болса, онда
lim(^n
•
у.)
=
0;
болады.
П—»оо
Егер {хп},{>>л} тізбектері ақьфсыз кішкене немесе ақырсыз үлкен
болса, онда “ 0 / ОV ’ ©о/ оо ”, “ оо —оо ”, “ 0 •оо ” төріндегі анықталмағандықтар пайда болады.
,,
sin(l/n)
2.3. Бфшпи тамаша шек: lim ----------= 1
1/и
104
2.4. Екіншітамаша шек: liml
1
+
- } = е , е = 2.7182818284590....
П—>оо I
И
1
*
I
1
sin ос
—
а = — деп белгілесек lim ----- - = 1 жэне lim(l + а„)а" = е
п
а
а.-*°
болады.
{х}тізбепнің алғашқы бес мүшесін жазыңыз:
5.113. х n
2
П
Шешуі. Тізбектің жалпы мүшесінің формуласына кезекпен
/і=1 ;2;3;4;5 мөндерді қойсақ: х, = -1 ; х2=
х3=
х4= і ; х5= -р.
Бүлар тізбектің ізделінді бес мүшесінің мәндері.
л+1
П+1
5.114. х п = 2
.
5.115. х„
п
5.116. х П= п 2+п.
5.117. хп=(—
1V4-2.
\
/
5.118. х
5.119. *
.«
5.120. x„=cosH^.
"
п2
5.121. *, = 1, х п = п ■хлЧ .
!
м/
{хп} тізбегінің алғашқы бірнеше мәндері бойьппиа, оның жалпы
мүшесінің формуласьш анықтандар:
5.122. 1,1 I I
2 4 6 8
Л
С
^
5.123. 1 ,- ,- , 1
4 9 16 25
п
5.124. 3 , - , 5 . 1 2 5 .
2345
5.126.
j.'--
1,0-3,0,5,Ө,“ 7,0,...
5.127. 0,2,0,2,0,2,...
5э .і/а
Ш . _ З3, 1з , - 15 > £7 > . И9
„..
Төмендегі тізбектердің қайсысы жоғарьщан шенелген, төменнен
шенелген, шенелген, шенелмеген:
5.129. 3,6,9,13,15,...
5.130. - 4 ,-9 ,-1 6 -2 5 -3 6 ,...
5.131.
2 2 2 2
5.133. хл=1+(“ 1)л.
5.132. -3,9,-27,81,...
2
5.134. х = п 2+3п.
105
5.135. х =1-1пл..
2п + 1
5.136. х п
5.137. х = ( - \ ) пп.
п
О, п = 2к
5.138. х п
у/п,
п = 2к + \
Тізбектің шегінің анықтамасын пайдаланып, теңдіктерді
дәлелдендер:
2п
5.139. Urn
Л—>оо
п+1
2.
2п
Дәледдеуі. Кез келген е>0 санды беліілейміз.
п+1
тын п- нің мәндерін табайық:
2/1
п+1
N( e)
2
2
<8
п+1
2
е
е
(л+1)е>2
8
п
2 < е бола-
2 —е
гі>
е
десек, барлық /?>7V[e] нөмірлерде \х~2\
теңсіздік орындалады. Демек, анықтама бойынша lim
2
п+1
2п
<8
2
.
Дербес жагдайда: е=0,1 болганда #(0,1)=19; 8=0,01 болганда
МО,01)
болганда
1999.
1
1
5.140. lim —= 0.
5.141.
lim
0
/I—>о° И
П—>оо
п
5
5.142. Нш
П—>°о
/
1
2
5.143. Пlim
—>оо
3"
0, к = 3,4,
п
2
(-1)"
3
п
—
1
5.144. Пlim
= 0.
5.145.
lim——=
3
—»оо
5я
п*-°° п
Шекгерді есептеңіз:
5п +3n —2
5.146. lim
п~>°° 2п2 + п +1
Шешуі. Мұнда “ оо / оо ” түріндегі анықталмагандық больш түр
Өрнекті түрлендіреміз:
Г
5п +Зп —2
2 п2 +71 + 1
п
5+
3
п
п *I 2 + - +
п
2
5+
п
3
п
2
п
2 + —+ —
п /
п
106
п
Демек, берілген тізбектің жалпы мүшесін мына ап—5, bn
3
и
2 . , .1
f _ 1
с = - Г , я ,- 2, / — жэне
—р тізбектердің жалпы мүшелерін
қосу, айыру жөне бөлудің нәтижесі деп қараймыз. Жинақталушы
тізбектердің негізгі қасиеттерін ескерсек:
5п + З/і —2
lim
2/і + /і +1
1іш5
+
lim—
lim
Я—»оо
5+ 0 -0 _ 5
Л—>оо
2+ 0+ 0 _ 2 •
lim
2
+
lim—
+
lim
—
п —>оо
/I—»оо
5п + 1
5.147. Ііш
7 9П
3 /і-2
5.148. lim
л-*~ 5л + 3
л 2л
5.149. lim
Зл +1
Зп +5
5.150. lim
2/г + 2
Зл 7п + 1
5.151. lim
я_>“ 2 —5п —6п
5 + п —Юл
5.152. lim
л^“ 5/і + 3/г
_
(2/1-1
5.153. Л—
lim
>оо
5л
+
7
V
1+ 2/гМ
2 + 5л
2
\
2+л
/г + 2/і2
З/і + І
5.154. Ііт
/I—>оо 6и —5
V
5.155 /|—
Ит(л/п
+
3
л
/п
-з).
>00
(4
9
9
Шешуі. Мүнда ОО — ОО түріндегі анықталмағандық пайда болды.
Шекті табу үшін өрнекті түйіңдісіне көбейтіп түрлендіреміз де, шекке
көшеміз:
Һт(у1п + 3 —у/п —3) = lim
Л—>оо
( V « + 3 — уі П — 3 ) ( уі П + 3 + УІП — Ъ)
(yJn + 3 + yjn —3)
ft— >00
цн ( ^ З ) - (я -З )
(лш + 3 + л/и ~ 3)
lim
/
/ I —>оо
6
\
0
1+ - + J 1 - -
V
«V
limоо
5.156. \imiln2 +п + 1 -у І п 2 - п ) . 5.157. U
П —»оо '
5.158. 1ітһ /« +1
4/п.
Л -» о о
107
л/
l + 2 + ... + n
/г
л+ 2
2
. 1cn
, 1+ 3 + ... + (2л —l)
5.159. /1-400
lim ------------ 1------ - —n
/1 + 3
5.160. /I—
lim
»<»
1-10"
5.161. lim
n—*oo
1+ 10л+1
(2n + 1)50
5.162. lim
П—
(2« - 1)48(n + 2)
5.164. lim
Я—>oo
\
5.163. lim
(2л + 3)98(2л
5.165. lim
(3n + 2)
100
(Зп - 1)98(n + 2)
(l + 3n)
100
(3n - 2 ) in 13)3
3"
(2л + 4)10
. 3
sm —
5.166. lim---- 5/л
Illemyi. Жоғарьща көрсетілгеңцей a n
1
деп белгілесек, n —^ OO-
n
да an—»0 (ақырсыз кішкене тізбек). Бұл шекті есептеу үшін алдымен
түрлендіріп, сонан соң бірінші тамаша шекті қолданамыз:
3
sm —
sin За п
л
lim—
lim
Л-»©о J
а*->0 5 а п
.
.. sin З а п 3 , 3 3
l i m------- - •- = 1•- = “»->0 За
5
5 5
п
л
sin
5.167. lim -1Пк а ”
“n-»o 1ап
5.169. Ит
5.168. lim
3
a /I
_ -_n
1 —cos а„
5.170. lim ------- г—2a«-*0 2a Л
2
_
l-co s2 a„
5.171. lim ----------- г
a„ sin а„
_
...
5.172. lim
sin За„
\n
5.173. lim tgtt- ~ sin « .
a„->0
an
108
п\ 1+
Шешуі.
lim
Л->~П—\
Л
— > 0 0
п\ 1
1
п
1+ 0
1
1 -0
1 екендігін ескерсек, бүл
п
шек 1 түріндегі анықталмағандық. Берілген шекті табу үшін,
алдымен түрлендіреміз де екінші тамаша шекп қолданамыз:
/
1—
1 2л
« ЧЛ
/
2 1 1 ir-i
л+П
(п
lim 11+ ----- I = lim I 1+
lim I — — I =lim
л-»°°I n —1 j n->°° v n —1
л-»*»I n —1 I n~*°° n - 1
/1—
1
2
lim 1+
n—
>°°
/z-1
Мүндағы a n
2л
л—1
л—
1
2
1+
lim
fl—>00
n -l
2
n —1
2л
йІ 1--П
e l-0 — e 2
тізбек n —> 00 да ақырсыз кішкене тізбек
Зл
5.175. lim (l + sin а л)s,nan
«Л-*°
/ 2л
5.176. Ит
п—
>°° 2n —3
V
/ 5п2+ 2 л
5.177. lim
5.178. lim (l + 2a„2
П —to o
5w
V
5.179. И
Л— >00
2n + 3
an —
»0
7
П+1
/zz +2
5.180. lim
n2
+1
/
V
2n + l
etga„
5.181. lim (l + tgan)
a„-*0
л/2
/1 —3
5.182. limn(ln(n
+
З
)In
n)
Л—
5.184. n—
lim
n(ln
n
ln(n
+
2)).
*°°
л
—
5.185. ІЩ
Л—
3n —2
2л
2n - l
5.186. lim
n—>°
°
l 2n + l
3n + l
109
2n
§3. Функцияның шегі
3.1.
fix) функциясы л:0 нүктесінің кейбір маңайында (мүмкін х0
нүкгесінде де) анықталсын.
1-анықтама. Егер кез келген е>0 саны үшін 8 = 5(e) >0 саны
табылып, 0<|х—х01<8 шартын қанағаттандыратьш барлық х-тер үшін
IДх)—у4|<£ теңсіздігі орындалса, онда Л саньш J{x) функциясының хтің х0~те үмтылғандағы шегі деп атайды және оны lim f ( x ) = А деп
жазады. Белгілер арқылы жазсақ:
lim /(* ) = A <=>( Ve>0)(35>0)( У^О<|л-х0|<8):|Дл:)-Л|<е
Егер x<x0 жэне х-мс0 болса, онда х->х0 -0 деп, сәйкесінше х>х
жэне х—»х0 болса, онда х->х0 +0 деп жазады.
f ( x 0 -0 )=
lim f ( x ) жэне / ( г +0)= lim f i x ) сандарын
0
jc—
>jt0+0
тің х0—ге үмтылғандағы f x ) функциясьшың сәйкесінше сол жак
атаиды
2-анықтама. Егер кез келген е>0 саны үшін Д=А(е)>0 саны
х |>Д теңсіздікті қанагаттандыратын барлық х-тер үшін
А С£ теңсіэдігі орындалса, онда А саны fix) функциясыньщ
.х-тің оо —ке үмтылгандагы шегі деп атайды жэне lim f { x ) = А деп
жазады.
lim f{x ) —A, um f(x ) —А -дербес жагдайлары.
1-теорема. Егер lim f ( x ) = В жэне lim g(jc)= С болса, ондамына
х —>х,V
о
тендіктер орьщцы:
a) lim |/(x)± g(*)]= В ± С ;
*гЩ)
б) lim (/(х) •g (jf)] = в •с ;
х-**0
В) хlim
о
с
—кх,
с
>үл түжырымдар x-wc0 орнына х —> ° °, х —> +°о, х
0—0, х—>х0+0, болтан жагдайларда да орьшды болады.
5.187. lim С = С , мүндағы С =const, екендігін дәлелдеу і
Шешуі. Кез келген е>0 санды белгілейміз. Онда
ы үшін |Д *)-С Н С—С|=0<е. Демек, lim С = С .
х->хо
110
■ОО
5.188. lim x = x 0 екендігін дэлелдеу керек.
X—о
Шешуі. Кез келген е>0 санды белгілейміз. Егер де е=8 деп алсақ,
онда |х—х,|<8 теңсіздікті қанағаттандырушы барлық х-тер үшін қажет
орындалады
\х-хп\<е
1/W
0
х
х —>х
5.189. 1іш(3х - 1) = 5 болатьшын дәл елдеу
дг—
>2
Шешуі
ецп орындалатындаи
DI
үшін 0<|
қанағаттандыратын
табылатынын көрсетейік. |(3х—1)—5|=|3x—6|=3|х—2|<е немесе
|х—2|<е/3. Сондықтан 8(e) саны үшін е/3 санынан аспайтын санды
алуға болады. Демек, 8(е)<е/3 деп алсақ, онда f ( x ) = 3 x —1
функциясының 5-тен айырмашылығы е>0 санынан кем болады. Дербес
жағдайда, егер де: а) е=1 болса, онда 8 <1/3; б) е=0,1 болса, онда
1/30
онда 8 <0,01 болады
5.190. lim
2х
екендігін дәлелдеу
2 +1
Шешуі. Кез келген е>0 санды
2х
2 < £ теңсіздігі орындалатындай е>0 санына тәуедці және
х 2 +1
\х I >А(е) қатысын қанагатгандыратындай дг-тер үшін Д=Д(е) санын
табайық:
2х
2
2х\ - 2хг - 2
2
< £
х2 >
2
1
х2+ \
х 2+ \
£
Соңгы теңсіздік х 2>2/ е теңсіздікті қанагаттандырушы барлық
х 2+ \
орындалады. Бүл теңсіздікті
деп алсақ, 1x1 >А(е) болганда
2х
х 2 +1
> - і - . Д(е)
2 < £ теңсіздік орындалады
2х
Демек, lim
2.
х +1
Анықтамаларға сүйеніп, дөлелдеңіз:
5.192. 1іш(2х + 5)=9
5.191. Um(4jt-l)=3.
jt—
И
5.194. lim
(2x-l)=5
Х -¥ Л
5.193. lim(5jt + 2)=2
111
5.195. Hm{2x + 1) = 3.
5.196. lim (5дг - 2) = - 7 .
o ү 4- 4
3jc ” 4
5.197. lim-— —= 3.
5.198. lim ^ ~ P = 2.
x-»i x + \
x~*2 jc — 1
5.199. lim(x2 +l) = 5.
де—»2
5 .201 .
5.200. lim x co s—= 0.
lim sin* = 0 .
*—
»0
5 .2 02 .
x->0
3jc-2 3
5.204. lim—— = x”*°° 2 jc+1 2
2x + l
5.203. lim——— = 2 .
x +5
л
3 jc2 +1
2 jc2 +1
5.205. xlim—
^—
=
3.
— 2
X
limcosj*: = l.
'
5.206. lun- у - r = 2
*-»*• x +1
+1
Шектерді есептеңіз:
5.207. limfcx 2 + 2 х + ъ)
x-*2
Шешуі. 1-теореманы қолданамыз:
lim(5x
2 + 2х + 3) = lim 5х2 + lim 2х + lim 3 = 5- lim x ■lim x + 2 •lim x +
x—
>2
x—
>2
x->2
x—
>2
x->2 x->2
x->2
+ lim
3
=
5
•
2
•
2
+
2
•
2
+
3
=
27.
x->2
ІН Н І I
(5.187 жэне 5.188 мысадцарға қараңыз).
5.208. 1іш(Зх3 + 5* + 4).
JC—
>1
5.209. lim(4x2 - 3* + б).
2x + 5
5.210. hm -— f S
*-»2 Ax - 5
:: 3jc+ 4
5.211. lim ----- x~*~2 5x + 8
x—
*—
\
°°
3.2. —, — және басқа да анықталмағандықтарды ашу.
0
0
00
а) lim Sin X = 1 , бірінші тамаша шек.
*-*° х
б) ІітІІН
1 ч*
I = е , е = 2.7182818284590...
екінші тамаша
шек.
2-теорема. Егер * 0 нүктесінің кейбір маңайындағы (мүмкін х0 —
ден басқа) барлық х нүктелерде f{x) және g(x) функциялары өзара
112
тең болып, олардың біреуінің х—»х0 —да шегі бар болса, екіншісі де
сол шекке ие болады.
0
Бұл түжырым
0
X 2
5.212. lim
л-Һ-2
оо
оо
анықталмағандықтарды ашуда қолданылады.
+ 7х + 10
х3 +8
шегін табу керек.
Шешуі. Бүл функцияға х-тің үмтылатын мәні (-2)-ні қойсақ
0/0 түрщдегі анықталмағандық шығады. Сондықтан 1-теореманы
(бөліндінің шегі) тікелей қолдануға болмайды. Бүл жағдайда
функцияны түрлендіріп (2 -теореманы) анықталмағандықты
тудыратын себептен қүтыламыз да, 1-теореманы қолданамыз:
x + 2 Xx + 5)
x+5
lim £_ + 7дс + 10 I lim
lim
x—
>—
2
x
-*
-2
x
+
2
x
+
x
x +8
2x + 4 ‘
~2(
Бүл шекті есептеу үшін 1-теореманы қолданамыз:
х + 1 х + 10 ..
lim----- 1------- = lim
x~*~2
X + 8
x-* -2
lim(jc + 5)
2x +
5.213a. lim
2x+4
2+5
.r —» -2
lim(.
X-+—2
дс+ 5
1
1 2 1 - 2 (- 2)+ 4
4x + 5 x + 3
4•
шегін табайық.
*-*~2x +Здг + 4
и
оо
/
оо
Uleuiyi. Бүл жағдайда
түріндеп анықталмағандық. Мүны
/
ашу үшін алымынан да, бөлімінен де х 2—ты жақша сыртына шығарып,
қысқартамыз да, 1-теореманы қолданамыз:
4х + 5дг + 3
lim
х-*"° 2х + З х + 4
4 + 0+0
2 +0 + 0
lim
*-*-
*
3
4+- +—
х х
lim 4 + 1lim —+ lim —
2+ -
lim
2
+
lim+
lim
Д
ДГ-4ов
+
—
X X )
-> о о
X —»оо
X
2
Шектерді табыңыз
х
2
З
х
+
2
5.213. Jim
х- 1
jt —>1
8—219
5.214. lim
*-»' JC-1
1
5.215 lim
2 x 3 + 3x
x->0
5.217. lim
x—
>2
5.219.
x
5.223. lim
y/l + X —1
5.222. lim
x—>0
1 +Afe
5.225. lim
jc-»0
+X
X
5.226. lim
x-»0
л / і “b X — 1
2x
л/1 + Зх
5.230. lim
* -> 5
x+x
5x-2
5.232. lim
5.231. lim———
3x + 5
3x + 7
5.233. lim
X—>oo
5.234.
x-*°° 4 - x
3
5.241. Um
5.236.
5.238.
4x4 + 3 x 2 +5
5.240.
- x 4+ 2x-7
(x2 + 1)5(2x + 3)
+3)
( jc
5.243 lim — 7------\
«-* n ( x - 2)
1
x
—2
1-2
л:
л:
8x + 7
•
2 jc - -5
4jc--5
lim
x—
>°° 3 - 2x
I
6 x 3 -5 jc
lim
X— 3jc3 + 4
Зх3 + 4 x--7
lim
x — 2x2
-4
Sx9 + 7 x6 + 5
lim
4x +1
•
•
jc 3
5.242. lim
+ je+1)
.. sin m (x - 2 )
\ll + 3x
1
x-*°°
X
OК
N
+
5jc + 3x + l
5.ZJ5. l i m -----------------*^~10jc —x + 4
5x + 4
3x
5.237. lim
x~>°° 4x + 7 * - 8
5.239. lim
1
5.228. lim .----------- j =
уі4 х + і - уі5х - \
5.227. lim- 7= = - ,___
x~*° v l + x —v l —x
_
X
лі 2 + x — уіЗ х
5x
5.229. lim
x-*0
VI ~hx —1
5.224. lim—
x-»0
-1 l + x
лД +
1
6x + 8
5.218. lim
Д—»4
5x + 4
X
x 4+2x2- 3
5.220. lim
JC—>1
3x + 2
x4 +3x
lim
2•
Ш, X + x + 2x
5.221. lim
д:—
»0
X—
>1 x
x
7x + 10
X
1
5.216. lim
Ix
5л:+ 6
x
x
шекті есептеңіз.
114
+
4 f (x +
'X--4 + 5 T (x2 + l j
Шешуі. Бүл мысадда “0/0” түріндегі анықталмағандық. Алдымен
t=m(x-2) алмастыруын жасаймыз да, х—>2 болғанда /->0 екендігін
ескеріп, 1-тамаша шекті қолданамыз:
.. sin m (x - 2 )
sin/
lim— т—
^— г = lim ----*-»2 п ( х ~ 2 )
п
sin t
— lim ----т ..
n
t
t
m
m
1
n
n
m
1-тамаша шекті қолданып,
келесі шектерді табыңыз
sin 1х
_ . . . .. sin 2х
5.244. lim------Ш х
5.245. 1іп?
х-+п tg3x
5.246. lim х s in - .
5.247. lim
xctgTCX'
x-*0
X
»• 3arcsinx
5.248. lim-----------
1 —cos 2 x
5.249. lim----=
---x—>0 X
Ax
*->o
\
ctgx
5.250. liml - —
*-** sin X
5 -2 5 2
is
5.254. Xlim
—
5.251.
sin[2(x-3)l
V
X + l
.. sin5(x-2)
5.253. hm — . >
x ~*2
4(x - 2 )
шекті табьщыз.
x+A
Шешуі. liml
x f8x .
x+l
1+
lim
A\
x
1+ 0
1
1+ 0
1+
1
екендігін ескерсек,
X
бүл жағдайда “ 1“ ” түріндегі анықталмағандық шығады. Функцияны
түрлендіреміз:
х + 4 2х
х+1
/ х + 1+ 3
\
1+
х+1
...
6х
Енді lim ------= lim
*-*т x + l
2х
2х
3
х+1
6-х
-------- г
х(1 + 1 / х )
115
6
/
1+
\
3
х
+1
,
3
----- 2х-
х+\
х+1
екендігін ескеріп жөне
1
3
х+1
У
lim 1 + -
3
алмастыру енгізіп, 2-тамаша шекті қолданғанда
дг+1
3
х +1
ш
lim
у —+оо
у /
+4
е болғандықтан, X—
lim
»оо|
х+1
Х
2х
е
болады.
Екінші тамаша шекті қолданып, төмендегі шектерді есептеңіз:
5.255. Ит
1
+
ДГ—>оо
1
\-2 х + 5
5.256. -Г
lim
1
—
»оо
X
ү2х
х+4
5.257. lim
д;—»оо
х 7
5.259. Х—
lim
>оо
(2х + 3
5.258. Нщ
JC
—
»оо
5.261. liml
ДГ—>оо
X
1+ х
'
5.260. Иш(і
+
t
g
x
f
x
х->0
Зх+2
гЧ
*2
х +5
2
5.262. lim
х —2
5.263. limfl + t g
X—
)°°
х
х+\
2
х
+
1
V
х+3
3
ТхІ.
•X - 5
5.264. X—
limx[ln
(2
+
x
)-ln
x
]
>OQ
Тендікгерді дәлелдеңіз:
JC Jw
‘r
5.265. lim 10go^1 + ^ = logag
Ш
х
__
(і + х ) ° - 1
5.267. lim------------- --------------= a .
*-*°
х
5.266. lim-------= ln a
x—
>0
X
.. ln(l-fax)
5.268. lim
=a
x-*0
—
------------------------------------------------------- -J
X
5.269. Х—
limIV
x
+
Sx
+
3
yfx
+
4
x
+
3
/
шекп
есептеңіз.
*оо
—
Шешуі. Бұл жағдайда “ оо - оо ” түріндегі анықталмағандық.
U
/
99
Функцияны түйіндісіне көбейту жәрдемімен түрлендіріп, 00/00
түріндегі анықталмағандыққа келтіріп шешеміз:
Іішіл/
X
2 + 8 х + 3 - л/х2 +4х + з)
X—
л/х2 +8х + 3 + л/х2 + 4 х + з )
lim
X — )о о
116
lim
H
H
+
8
jc+ з)—(jc2+ 4дс+ з) i
)= =
! \
> = hm
4jc
, 8 3 .
**
Х~*~л1х2 +Sx + 3 + ylx2 + 4 x + 3
1 +
—
h — — 4-
JC
X
X
X
4
4
4
t1+
^ 8 + 3 + 1, + -4 + —
3
л/1 + О+ О + л/і + О+ О
2
lim JC—>oo
\
X
V
X
X
X
2
/
Шекгерді есептеңіз:
5.270. lim(Vx + 5 - Vx).
x 2 + x —л/х2 +1 j
іш(л/
5.271. 1X—»oo
x
1
6
5.272. lim(Vjc+T3
V
l).
X—»°o '
'
5.273. lim
jr—
*3 x —3
5.274. X—
lim
(л/х
2
+
9
x
x
>±oo '
4
+
x
(л/
5.275. Xlim
—
»±°o'
x
9
x
5.276. Ит xctg2x шекгі есептеу керек.
Шешуі. Бүл жағдайда “0 • 00 ” түріндегі анықталмағандық.
Алдымен түрлендіріп, “0/0” (немесе “ оо/оо ”) түріндегі анықталмағандыққа келтіреміз де, содан соң 1-тамаша шекті қолданып
шешеміз:
lim
cos
2
x
xcos2 x
1 x-»0_____
cos
2x
lim xctg2 x = lim . — lim — Г-7Гx-»0
x-*o sin 2 x
sin 2 x 2 1 _ 2
o sm 2 x 2
lim —-—
о 2x
2x
Бірінші тамаша шекті қолданып, келесі шекгерді есептеңіз
1 i =i
пх
5.277. Iimxctg5x.
х-»0
5.278. lim (l-jc)tg
*-»і
т
5.279. liml Х - —Itgx.
5.280. lim xctg7rx
2
x-»0
Бірінші тамаша шекті қолданып, дәледцеңіз:
s5.281.
-701
іarcsinx
.
„
tgr
,
ч
..
arctgx
a) lim --------- = 1; б) lim — = 1; в) lim ----- —
jc —> 0
x -» 0
x
x —» 0
Шектерді есептеңіз:
5.282. lim(2x2-З х + 4).
W
Л ф
x 2 + 3x
5.283. lim
Ш 2x + l
117
1.
5.284. lim -— —
*-*4
5.285. Hm
r-4
x" —2x —3
5.286. lim ,
*-*3 jc —5jc+ 6
5.291.
yfx-l
lim- 7=—
Ml Vx - 1
..
V x -1
----= =
5.293. hn?T7=—:
? 1 Vx - 1
1-V 5-X
Vx —8
5.295. lim—
5.294. Iim7?=—
мб4 Vx - 4
х-1
5.296. lim
(х - 5)2
5.299. lim
2 *
2х
х2-5 х + 7
5.301. X—»оо
lim
х
х
5.302. lim
Зх
5.303. Ит 4
5х
(l + х)4 (l + Зх)
(6
I)2(3 2 )6 5.306. Ит
лЯ
х
5.297. lim
х—>0
5х
5.300. Ит
1
4x
5.289. lim
*-»2 3jc + x -14
3 —УІ5 + Х
5.298. lim
x4 -1
2 jc
5.290. lim^
*
^
2
X—>1
x -1
..
x-2
5.287. lim
X~>]
x + 3x + 2
5.288. lim
г-*-22x* + x - 6
5.292.
x2-6 x + 8
х
х 2 + 2х + 3
х3+7х + 1
х 3 + 2х —5
2х
- - з
5х + 4
.5
•
|
I ^ + х Г (х -5 Г
5.305. X—
limv
'
v
}
>оо
С 2 ) ( з )3
11
х 8 1 \ 2х~5
5.307. И
X
V
У
.. ( 2 х + ЗҮ
5.308. ІіЩ -----\2х + 1 I
X — >оо
118
х + зҮ '
х
5.310. lim
0
5.312. lim
jc—>0
\
2+x
5.311. H
x—
3 x7
ln(l
X
'V +2
5.315. lim
ln(l + 8 x)
5.314. lim—------- 1
jc - »
X
0
\
2x +1
j. ln(l-jc)
5.317. lim—
---*-»o
x
- ^ .. ln(l + 15x)
5.316. lim—-------Д-Л
X
.. л/і + x —1
5.318. hm— 7----- ^
*-»° ln(l + X)
\l\ + x - l
5.319. lim— 7*---- r*.
*-*° ln(l —x)
(l + jc)4 —1
5.321. lim
---------x—
>0
( l + jc) 3 - 1
5.320. lim----------JC
sin X
x+3
x+3
5.313. 1ІЩ
JC—»oo|
JC—1
X
5.322. lim^ ^
JC—1
x+2
X
sin /D C
1
5.323. lim
x->° sin 5x
tgnx
5.324. to n sin 1Ox '
tg5x
5.325. lim
0 sin 4x
5.326. l i m - ^
*->° tg3x
5.327.
ln(l + 2 x)
5.328. lim—Ц
l
sm x
ln(l + x)
5.329. ton—------ Jt-»0 tgX
_
ln (l-2 x )
5.331 ton—--------*-*0
tg3x
..
ln (l-jc )
*-»o
tgx
1
V
5.330. lim —> - - .
sm 3x
/
1
------ + -
10
5.332. z-»-3
ton
x
+
3
x2
9
V
5.333. xton
—
>-5 x + 5 x2 - 25
v
5.334. Um2xctg7x.
5 .335 . lim (2
x->2
5.336. lim
sin (a + XI -sm
in (a
5.337. lim
x—>0
jc —» 0
119
- x) tg ^
4
.
cos ax —cos bx
x
§4. Ақырсыз кішкене және ақырсыз үлкен
J салыстыру
функциялар және оларды
X
4.1. 3-анықтама. Егер lim а(х) = 0 болса, онда ос(х) функциясы
= Хл нүктесінлр! яі<гт>тпр
функция деп аталады
Ақьфсыз кішкене функциялардыц қасиеттері
Егер
=
болса’ онда f ( x ) = A + a { x ) деп жазуға
болады. Мүнда lim а(х) = 0 .
1
X~>Xq
2. Саны шектеулі ақырсыз кішкене функциялардың қосьшдысы
ақырсыз кішкене функция болады.
3. Ақьфсыз кішкене функцияның шенелген функцияға (сонымен
қатар, тұрақтыға, басқа ақырсыз кішкене функцияға) көбейтіндісі
ақырсыз кішкене функция болады.
4. Ақырсыз кішкене функцияның шегі нөлден өзге функцияға
қатынасы ақырсыз кішкене функция болады.
4.2.4-анықтама. Егер lim / (х) = со болса, онда f ( x ) функциясы
х = х 0 нүкгесінде немесе х -> дг0 жагдаңца ақьфсыз үлкен функция
деп аталады.
Ақырсыз үлкен функциялардьщ қасиеттері*.
шегі нөлден өзге функцияға
көбеитіндісі ақырсыз үлкен функция болады.
2 . Ақырсыз үлкен функция мен шенелген функция қосьшдысы
ақырсыз үжен функция болады.
3. Ақьфсыз үжен функцияның х 0 нүктесінде шегі бар функцияға
қатынасы ақьфсыз үлкен функция болады.
1-теорема. Егер а(х) функциясы х 0 нүктесінде ақьфсыз кішкене
жэне х Ф x Q үшін а (х ) * о болса, онда лг0 нүктесіңі
1
а(х)
функциясы ақьфсыз үлкен болады. Керісінше, егер lim f(x)=°o болса
X->XQ
0Нда Й п 7 7 7 = lim а {х) = 0 болады.
0 д Ш мл°
4.3. Ақьфсыз кішкене функцияларды салыстыру
I р
« ( jc)
Р
=с*°
(с = const) болса, онда х 0 нүктесінде
(немесе х х 0) а(х) жөне Р(х) функцияларьш бірдей ретгі ақьфсыз
кшпсене функциялар деп атайды жэне а ( х ) = О [р(х)] деп белгілейді.
120
~
v сс(х) ,
R(x)
l . trep lim —_ 1 немесе lim - . ( = 1 болса, онда xn нүктесін-
*-«oa(x)
0
де a(x) жэне p(x) функцияларын эквивалент ақырсыз кішкене
функциялар деп атайды жэне a(x) ~ р(х) деп белгілейді.
(Хух)
3. Егер Jim ~ ^ г\ ~ 0 болса, онда х 0 нүктесінде (немесе х —» х 0)
а(х) функциясын Р(х) функциясымен салыстырганда жогары
ақырсыз
кішкене
функция
деп
атайды
жэне
а(х)=о[Р(х)1
Г* ___ •
с* •
'
'
1. I \
/Л
белплеиш.
4. х 0 нүктесінде а(х) жэне Р(х) ақырсыз кішкене функциялар
болсьш. Егер lim —^ j
ОМ]
= с * Оболса р(х) - пен салыстырганда
и - ретгі ақырсыз кішкене функция деп атайды.
Ақырсыз үлкен функциялар да осылайша салыстырылады.
2-теорема. Айталық х -> х0 жагдайда а(х) ~ а.(х) жэне р(х)~р,(х)
болсьш. Сонда, егер lim --1, . бар болса, онда lim —~ шегі де бар
*-*ч>Д(д)
'
~*о(3(х)
к
v
а
(Х)
1
а
Л
х
)
болады жэне мына тендік орындалады: шп
= lim —
*~**о Р (х)
Д (х)
5.338. sin/их жэне пх (т Ф 0, п Ф 0) функциялары х —> 0 жаг­
дайда бірдей ретті ақырсыз кішкене функциялар екендігін дәлелдеңіз.
Шешуі. Бірінші тамаша шекті қолдансақ:
sin/их
/и sin/их т.. sin/их т , т л
lim ------- | lim-------------= —lim-------- = — •1 = — * 0 .
x->° пх
п
тх
п *->° тх
п
п
Сондықтан берілген функциялар бірдей ретті ақырсыз кішкене
функциялар болады (ақырсыз кішкене функцияларды салыстырудың
1-жагдайы бойынша.)
5.339. х —>0 жагдайда cos5x—cos3x ақы рсы з кіш кене
функциясының х ақырсыз кішкене функцияга сөйкес ретін анықтау
керек.
cos 5х —cos Зх
Шешуі. lim ------------------ = с * 0 болатын п санын табамыз.
дҢІ
үп
Алдымен түрлендіріп, соңынан бірінші тамаша шекті қолдансақ:
121
cos 5х - cos Зх .. -2 sin 4x •sin x
lim----------------lim
X-*0
У
ДГ4-0
sin4x A t. sinx
2- n
-2 lim -------- 4 • lim --------lim x
x->0 4x
*->° x
= —2 4 -1 •lim x 2~" = -81imx2'".
x-»0
jc-*0
t
Соңғы шек: a) n<2 болғанда нөлге тең болады; б) п = 2 болғанда
(-8)-ге тең болады; в) п>2 болғанда ақырсыз үлкен шама болады.
Демек л=2, ягни cos5x—cos3x функциясы х функциясына Караганда
О жағдайда екінші ретгі ақырсыз кішкене функция болады.
Төмендегі ақырсыз кішкене функциялардың х-»0 жағдайда
эквивалент (салыстырудың 2 жагдайы) екендігін дөлелдеңцер:
5.340. a) sinx ~ х;
б) arcsinx ~ х.
5.341. a) tgx ~ х;
б) arctgx ~ х.
5.342. a) 1-cosx ~ х 2 1 2 * \ б) VI + х - 1 ~х/п.
5.343. а) 1п(1+х) ~х;
б) a*—1 ~ хіпа;
в) ё 1—1~х.
х—>0 жағдайда берілген ақырсыз кішкене функциялардың х
ақырсыз кішкене функциясымен салыстырғандағы ретін анықтаңыз:
5.344. хе2х •
5.345. -Jjс3 sin x -
5.346. J sin 4x •
5.347. yftg5x.
5.348. x sin 4x •
5.349. x 2 cos x .
5.350. xln(l + 3x).
1-j-x
5.351. In----- .
1—x
5.352. tgx—sinx.
5.353. sinx2—cosx+e*.
5.354. J x 3si
sinx .
5.355. sin2x - ln ( l+ x 2)
5.356. ln(l + 3x)-3x.
жағдайда берілген ақырсыз үлкен /х ) функциясьшьщ g(x)=x
ақырсыз үлкен функциясымен салыстырғандағы өсу ретін анықтаңыз:
5.357. / ( х ) = х 3+50х + 4
•
г *3+50х + 4
Шешуі. шп
-------- С * О болатын п санын табамыз. Бүл
шекті алдымен түрлендіріп жазамыз:
v3fi + 50 + A
.. х3 + 50х + 4
Г х2 х3
lim------- ------ -- lim
Х -+ 0 0
X -- )00
J£n
lim X3"" lim fl + - у + Д - 1= lim х3_л • 1 = lim х 3_л
Х -*°о ^
J
J C -» e o
122
50
4
Мұнда Дlim
—
=
0 , lim — = 0 ( 1-теорема бойынша п< 3 болғанда
Г-4»
Х—*оо
lim -х3-" = °°; /і=3 болғанда 1 іт х 3_л= 1 , ал п>3 болғанда
Л—
*°°
X—
>°о
lim jc3-" = 0 болады.
Демек, берілген функция g ( x ) = x функциясымен салыстырғанда
үшінші ретті шексіз үлкен функция екен. Яғни f ( x ) = х ъ +50jc + 4
және g l( x ) = x 3 функциялары эквивалент функциялар.
5.358. f ( x ) —\ х 2 + Зх + 5 + jcj• 5.359. f ( x ) = \ x + y f x 5.360. f ( x ) = \ l x 2 - x + y f c .
5.361. /(* ) =
5X + 3
Зх + x + 2
r I \ * 2 +1
5.362. f \ x) = —— .
x 3 +1
Ақырсыз кішкене функцияларды эквивалент ақырсыз кішкене
функциялармен алмастыру арқылы төмендегі шектерді есептеңцер:
sin(x-3)
5.363. lun г ----- t *^3 х - 4х + 3
ІІІешуі. ^ —> з жағдайда, бірінші тамаша шекті ескерсек,
X - З) болады. 2-теореманы қолдансақ:
.
Sin(х - 3) =
%*х2 - 4 х + 3
х - 3J ^ = lim
. . 1 1
(х - 3)(х - 1 )
*->'іх-1 2
1-cos тх
5.364. lira----- j----.
л-*в
.. cos 4х - cos 2х
5.365. lim--— ----
х
х_>0
arcsin Зх
7
arctg —X
5.366. lim— г— .
jc-»o g~2x —1
„
In co sx
5.368. lim ----- z— .
*-»° x
5.370. limS- ^ *-** sin 3jc
£тх _ gnx
5.367. lim
x-*o sin mx —sin nx
’
^
Іпдг-1
5.369. lim ----*-** x —e
5.371. l i m a * -1
1
/
ДГ—
123
5.372. lim
5.373. и т “ &±Л)
x^~2 4*+ 8
+ 2x*
*->° ln(l + 2 jc)
sin(a + x )-s in (a -x )
« 174 lim — ;------------ -i------■
tg(fl + x ) - tg ( a - x ) •
n
3
sin I x
5.375. lim
1
3
1
cos
l - 2 cosx ’ 2
1 -sin
к
3
X
к
2
.
5.376. lim -------- ; l = sin
$** n - x
2
In (cos ax)
5.377 lim — -------- f
In (cos fix)
..
arcsin
1
5x
5.379 lim -----------x~>° arctg5x
tg6 x
5.378. lim
x~>° arcsin 3x
\
5.380. lim
ctg
2 x ■ctg' *
x-»o
I2
- _0<
2 arcsinjc
5.381. lim---------x~>° Зх
X
2x
- arcsin x
5.382. lim
0 2 x + arctgx
5.384. lim
5.383. lim
x-»0
ex - e
t.
-t_>0
1
nx
l-e~x
5.385. lim -------sinx
x~>1 x - 1
5.386. lim
e
mx
ex- e x
5.387. lim
jc-»0
sin X
5.388. lim—1I1 + mr)
х“*° nx
5.389. Mm
X
—>—OO
e
COSJC
x
+
+ 2*1 ■
ax - a x
5.390. Xlim
x[ln(a
+
x
)
In
x]
—>°o
5.391.
.
. sin 5x
5.392. lim------ .
*-** sin 6x
с mi r
0
л-*° sin/Jx
arcsin
4x
5.393. lim—;-------;
sin 2x
tg3x
5.394. lim
*-*° arcsin 6x
5.395. lim
x~+° arcsm 5x
124
§5. Функцияның үзіліссіздігі
5.1. Функцияның нүктедегі және аралықтағы үзіліссіздігі
1-анықтама. х0 нүктесінің кейбір маңайында анықталған fix)
функциясы үшін
lim
/(x
)=
/(*
0)
(5.1)
X—
>х
0
болса, ондаДх) функциясы х0 нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Егер / ( х 0 + 0)= limn/ W = / W
x
-+
xq
+0
Г /(хо - ° ) = Вт'»’/(л?) = / ( х 0)
x
-*
xq
- 0
болса, онда f x ) функциясы х0 нүктесінде оң жақтан (сол жақтан)
үзіліссіз деп аталады.
(5.1) теңдіктен Xlim
/(
*
)
=
/
[
lim
x
]
=
f
(
x
0)
болғандықтан
-> X q
y X —>XQ
J
үзіліссіз функциялар үшін lim пен / белгілерінің орнын ауыстыруға
болады
(5.1) теңдікте, х —х ^п = А х деп белгілеп алсақ, Д
ІітД
у
х—»0
[ f ( x 0 + Ах)- / ( х 0)1 = 0 немесе lim f ( x 0 + A x ) = f { x 0) түрінде
Дх—
»0L
Ax—»0
жазуға болады.
2-анықтама. Егер f x ) функциясы X жиынының әрбір нүктесінде
үзіліссіз болса, ондаf x ) функциясы X жиынныңда үзіліссіз функция
деп аталады.
1-теорема. ЕгерДх) жэне g(x) функциялары х0 нүкгесінде үзіліссіз
болса, онда f ( x ) ± g ( x ) , f ( x ) g (x ) , f ( x ) / g (х) ( g (х0) * 0 ) функ­
циялары да х0 нүктесінде үзіліссіз болады.
2-теорема. Егер х0 нүктесінде и = ф(х) функциясы үзіліссіз больт,
ал и = ф(х0) нүктесінде ftu) функциясы үзіліссіз болса, онда х0
нүктесінде /[<p(x)J күрделі функциясы үзіліссіз болады.
3-теорема. Элементар функциялар өздерінің анықталу
жиындарында үзіліссіз.
Егер J{x) функциясы [а;Ь] кесіндіде үзіліссіз болса, онда :
а) осы кесіндіде f ( x ) шенелген функция болады;
б) осы кесіндіде ең үлкен жөне ең кіші мөні бар болады;
в) f a ) және f b) мөндердің таңбалары өр түрлі болса, онда қандай
да бір се (a;b) нүктесі табылып, Лс)= 0 болады.
5.2. 3-анықтама. Егер кез келген е>0 саны үшін, 5=5(е) саны
табылып x ' - x * \ < S
теңсіздікті қанағаттандыратын барлық
125
х ' , х " е X сандары үшін |/ ( х ') - / ( х ') | < е теңсіздігі орындалса,
онда J[x) функциясы X жиынында бірқалыпты үзіліссіз функция
деп аталады.
'м
.
4-теорема (Кантор). [а;Ь\ кесіндіде үзіліссіз j(x) функциясы осы
кесіндіде бірқалыпты үзіліссіз болады.
Функциялардың көрсетілген нүктелерде үзіліссіз екендігін
далелдендер:
> ч
"
5.396. f ( x ) = Зх2 —4х + 2; х0 = —1.
Шешуі. 1-анықтама бойынша lim f ( x ) п е н /—1)—дің өзара тең
*->-і
екендігш корсету жетюлікті.
1
іт/(х
)=
Ііш
(Зх2
4х
+
2)
=
з
(ііт
х)
4
lim
х
+
lim
2
=
Х-»_1
д м -1 v
/
I
лс—>—X
*-»-1
= 3 •(-1 )2 - 4 •(-1) + 2 = 9. /(-1 )= з •( - 1)2 - 4 •( - 1)+ 2 = 9.
Демек, берілген функция х =-1 нүктесінде үзіліссіз.
5.397./(х ) = 2х2 + 3 х —5; х0 = 2 .
5.398. f { x ) = - 4 x 2 + 5 х + 6; х0 = - 2 .
1
f.) \ j «ій *
5.399.
2х + 9
5.400. / ( х ) = ^ | ;
;
х0 =3.
•■■».«>*>}*!
Зх —6
Шектерді есептеңдер:
е
а л і
*.
2
+
8 t e x
5.401. Ііш---------- .
2 - cos х
,
ь: ••
Т¥¥__. 2 + sin х
ШешУ1*
у элементаР функция, сондықтан 3-теорема
анықталу жиынында үзіліссіз, ал х0 = ^ нүкте
тл
анықталу жиынына кіреді. Сондықтан
+
sinx
_
^
2
2+1
Ііш
£2 2 -c o s x 2л - c o s —
п 2-0
2
Х —>
2
5.402. 1іш(3х
2
-5
х
+
7).
X—
>1
'
3
2-
^
5.403. г-^-І
1іш4(-х 2 +3х + б)/
126
1-
Зх + 7
5.404. lim ------- т .
*-*~Чх + х
х 2 —5х+6
5.405. lim
' *-»° 2 x 2 + 3x + 3 "
'
_
lim (sin x - cos 2x)
5.406. . *v
. . . . lim (sin 2 x - cosx)
5.407. __ *v
riJ
2
x_>_2
Функция үзіліссіздігінің lim Ay = 0 айырымдық анықтамасын
Ax—
>0
қолданып берілген функциялардың кез келген х 0 б і? нүктесінде
• •
үзииссіз екендігш дәлелдендер:
5.408. а) у = С = const; б) у = х
5.409. а) у = Зх2 ; б) у «х3.
5.410. а) у = 4х2 -З х + 5 ; б) У = ~ j — .
5.411.а) у =sinx; б) у =cosx.
Функциялардың берілген жиындарда бірқалыпты үзіліссіздігін
зерггендер:
5.412. f { x ) - sin I 2~1;
5.414. / ( * ) = - ;
f 0 ;4 1 .5.413. / W = ^ t ;
9 - jc
/
(0 ;l].
b w ].
5.415. /(x )= s in - ;
JC
(0;ll.
JC
1
5.416. /(x )= ^ 2 ^ ; (0 ;тг).
5.417. f(x )= e x co s-; (0 ;l]
5.3. Функцияның үзіліс нүктелері
4-анықтама. х0 нүктесінде fix) функциясы үзіліссіз болмаса, онда
бүл нүкте Дх) функциясыньщ үзіліс нүкгесі деп аталады.
1) Жөнделетін үзіліс. Егер Jim / (х) бар болып жөне х0 нүктесінде
fix) функциясы не анықталмаған, не /(* „)* lim /(x ) болса, ондаx0
нүктесі j\x) функциясының жөнделетін үзіліс нүктесі деп аталады.
2) Бірінші текті үзіліс. Егер lim f i x ) * lim / ( x) болса, онда
x-tXQ-0 ' ' jc->xq+0
x0 нүкгесіДх) функциясыньщ бірінші текті үзіліс нүктесі деп аталады.
Бүл нүктені ақырлы секіріс нүктесі деп те атайды.
3) Екінші текті үзіліс. Егер х0 нүктесінде У(х) функциясының бір
жақты шектерінің кемінде бірі ақырсыз болса, немесе бір жақты
шектерінің кеміңде бірі болмаса, онда х» нүктесіДх) функциясыньщ
текті үзіліс нүктесі деп аталады
127
Функциялардың үзіліссіздігін зерттеңіз және үзіліс нүюгелерін
табыныз:
sm х
5.418. / Щ
„
2х
Шешуі. Бүл функция элементар функция, соңцықтан ол өзінің
анықталу жиынында (jc * 0 ) үзіліссіз. х= 0 нүктесінде функция
тт
/■
/
\
sinx
1
sinx
1 .
1
анықталмаған. Дегенмен nm / (х)= lim------= —hm -------= — і = _
Ш
2х
2
х
2
2'
' (
f(n\ v sin* 1
.. .
^
J
—
—
деп
алсақ,
х=0
нүкгесі
жөнделетін
үзіліс
нүктесі
Щ 2х
2
болады.
х
1|
X —1
5.419. f ( x )
■
I
Шешуі. Берілген функция х=1 нүктесінде бірінші текті үзілісі
бар. Шынында да
х
I
*
1!
(
*
1
)
lim -----—= lim ------— = - 1, lim ------ - = lim ------ - = 1,
*-*1-0 X - 1
x -tl-0
x - 1
x-*l+0 X —
1
jc—*1+0
X
—1
яғни f[x) функциясының бір жақты шектері тең емес. Ал х =1
нүктесінде функция анықталмаған. Функцияның үзіліссіздік жиьшы
(- °°;l)U (і;+°°) болады
5.420.
/ ( * ) = c o s —+
х
1
х —2
Шешуі. Берілген функция х =0 және х =2 нүктелерінде екінші
текп үзілісі бар. Себебі lim cos — анықталмаған, ал lim ^
X
’ *->2-0 х —2
1
“ Я ,
~^~2 ~
Функцияның үзіліссіздік жиыны ( - ° ° ; 0 ) и ( 0 ; 2 ) и ( 2 ; + ° о )
болады.
х
5 . 4 2 1 . 5 . 4 2 2 .
* ^
jt + 3
5.423:-/ ( * ) . £ 2 2 £
5.424. /(дс)= 1—jtsin —
3
5.425• /( х ) = - -------------- .
(х + 2 )(х —5 )
5.426.
5.427./(x ) = (x + l)arctg-.
5.428. / ( х) = —
/W =3
4 -х 2
3І__
arctg(x + 3)
1 2 8
5.429. f ( x )
3 лг-2
3
5.431. f i x )
5.433. / (jc)
лг-2
1
5.430. у(*) = І ] пі± £
JC
+1
1—COS X
5.432. f i x )
2x2
1 —JC
2x, x < 1
x 2 + 2, jc > 1
2*,
sin jc, jc < 0
5.434. f ( x )
cos jc, jc > 0
1,
jc—1,
JC= 1
2y[x, 0 < jc < 1
5.435. f ( x )
4 -
jc,
1<
jc< 2 . 5
2 jc- 7 , 2 .5 <
COSJC,
5.436. f ( x )
1,
к
2
x
x
к
к
16
4
jc <
4
n
4
к
4
X
5.437. / М
( x - 1)(jc + 2 )
5.439. /(x )= c o s —(x-1)
JC
9— 219
5.438. /(* )= sin —(л + l)
JC
VI т а р а у . ТУЫҢДЫ ЖЭНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ
§1. Туынды
1. 1 .
Анықтама. х0 нүктесіндегі функция өсімшесі Ду-тің аргумент
өсімшесі Дх-ке қатьшасының Ах- тің нөлге үмтылғандағы шегі бар
болса, онда ол шекті у = /(х) функциясыньщ х0нүктесіндегі туындысы
символдарыньщ бірімен
(
6 . 1)
Ах
Ах
Функцияньщ туындысын табу амалын берілген функцияны
дифференциалдау деп атайды. /(х) функциясьшьщ туындысьш хТІҢ басқа да мэндерщце табуга болады. Демек /'(х)туындысы х-тің
функциясы болады. Егер (а,Ь) аралығының әрбір нүктесіңце у = /(х)
функциясы дифференциалданатын болса, онда оны осы аралықта
дифференциалданатын функция деп атайды.
Егер (6.1) шек +°°, — °» болса, онда /(х) функциясыньщ хп
нүктес-—— с-------------- “
(6 .2)
шектер сэйкес түрде /(х) функциясьшьщ х0 нүктесіндегі оң жақ
жэне сол жақ туындылары деп аталады.
1 .2 . Дифференциалдау ережелері
Егер и(х) жэне v(x) функциялары хнүкгесінде дифференциал­
данатын функциялар болса, онда мьша формулалар орындалады:
[си(х)] = с и \ х ); [и(х) ± v(x)] = u ' ( x ) ± v \ x ) ;
[u(x) •v(x)] = u \ x ) ■v(x) + m( x ) • v'(x);
м(х)
v(x)
_ и (x) ■v(x) —m(x) •v'(x)
v 2(x)
(6.3)
Егер и-ср(х) функциясы х нүктесінде, ал у =/(и) функциясы
сэйкес и —ф(х) нүктесінде дифференциалданатьш болса, онда күрделі
У = А < Р (х )] функциясының х нүктесіндегі туындысы мына
формуламен табылады:
130
[f[<P(x)])' = f' [(p(x)](p\x) немесе y' ( x) = y \ u ) ■u \ x )
(6.4)
1.3. Негізгі элементар функциялардың туындыларының кестесі
*• (С)' ' = 0 , С —const, и = и ( х ) дифференциалданатын функция
2. (jc“)' = а х ° 1, ае R .
Т . (if1)' =CLUa~l ■U .
MSщ
1
1
2л/3с
3. (в*)'=в*1па, а> 0 , а *1
и.
2у[й
3'. (аи)' = a u]na- і / . ( е иҮ =е". і /
( е хҮ = е х.
/
4. (loga Ц
I
=
—
х
/
loga е,
4'. (loga и) I - loge <?• и';
u
1
X
л:
и
5. (sin x)' = cosjc.
5'. (sinw)' =cosи ■і/.
6 '. (cosu)' = —sinw • U
6. ( cosjc)' = —siruc
1
7. (tgx)'
COS
8.
J
7'. (tguY
X
1
(ctgx)'
8 '.
sm x
и
cos и
1
(ctgw)'
sin и
1
9'. (arcsin u)
i
i
1
10 . (arccosjc)
10 '.
1
(arccosM)
X
12 .
(arctgx)'
(arcctgx)'
и
УІ\ — U
1
11 '.
1+ x
1
\+x
и
■Jl —u
X
11 .
и
A
1
9.(arcsin x
1
12 '.
2•
(arctgw)'
(arcctgw)'
1
1+ u
li
1
1+ И
it.
Туындының анықтамасын (6 .1) қолданып, функциялардың х X.0
нүктесіндегі туындыларын табыңыз:
6.1. / ( х ) = 3дс2 +4дг + 5.
Шешуі. Алдымен функция ның өсімшесін табайық:
^ = /U o +A^)“/(^o)= [3 ( V Ax)2+ 4 (Jco+A3C)+ 5]-(3x 2+4jcn+5)=
Зх2+6х(Дх+3(Дх)2+4х0+4Дх+5-Зх2-4л:0-5=6;с0ДдН-4Дх+3(Ах)2
131
Енді туыңцының анықтамасы бойынша
lim —
lim
Ax-»0
6х0Дх+4Д*+3(Дл:)
Ax
6.3. /(x ) = x 3 +2x.
6.5. y = sin2x.
Ax
4x 2 —Зл:.
6.2. /(x ) =
6-4. /(x ) = V3c.
6 .6 .
у = cos 2 x.
6 .8 . y - 2 x
6.10. У
6. 12. У
lim (бх.+4+ЗДі) 6x0+ 4
1
6.7. У
5.
6.9.
x
1
У
3x + l
6 .11. У л /2
J
x -4 .
f i x ) функциясыньщ көрсетілген
5 /+ (*«,) бір жақты туындыларын
К
6.13. / (х) = |х|,х0 = 0 .
Шешуі. (6 .2 ) теңдік бойынша
/'_ ( 0 ) = lim
A*—
»0-0
І0 + Ax — 0
Ax
0
+ Ах
—
Ах
■= lim
Ax—
»0—0 Ax
х0 нүктесіндегі
Ax
lim
Ax—
»0—0 Ax
1
Ac
0
Ax
/ ' +(0 )= lim
lim
lim
1
.
Ax-»0+0
Ax
Ax
Ax
мысадца берілген функцняның x0= 0 нүктесіңце оң жақ және
туындылары бар, бірақ олар өзара тең емес. Сондықтан
f(xYфункциясы '0 0 нүктесінде үзіліссіз болса да, туьщ
ЖОҚ.
Зх, х < 1,
6.14. f (х)
х 2 +4х,х>1
6.15./(х)=|х-1|+|х+1|,
6.16. Д х)
6.17. f (х)
х0 = 1.
х =±1
0,х < 0,
х0 = 0 .
In х, х > 0
х
2, х < 2 ,
х0 —2 .
Зх —2, х > 2 .
6.18. f i x )
xsin —, х * 0 ,
х
0, х = 0.
функциясы х= 0 нүктесінде үзіліссіз
132
болғанымен, бүл нүктеде оң жақ және сол жақ туындылары жоқ
екенін көрсетіңіз.
Д ифферент шя пляутгын ережелері мен формулаларын пайдаланьш,
функциялардың туындыларын табыңыз:
6 .1 9 ./(х)=5+4х+ ifx1 +2tgx-3 • 2^2arcsinx.
Шешуі. /'(х)=(5+4х+ >Jx* +2tgx-3 • 2x- 2 arcsinx)'=
(5)'+(4x)' + (V*1 )'+(2tgx)'-(3 • 2x)/-(2arcsiruc)'=0+4 • 1+
2
2
2
2 —i
x
3
+
3
___
2
2
+
- 3 ' 2 ' ln 2 = 4 + W * + = £ / ~ г ъ а ' 2"
7i
6 .2 0 . / (x)=(x 3+x)sinx.
Шешуі. /'(x )= [(x3+x)sinx]' =(x 3+x)' sinx +(x 3+x)(sinx)/
=(3x 3+l)sinx +(x 3+x)cosx.
x2 - 1
6 .2 1 . f i x ) = —------ x + 2x
Шешуі. / <x)= I
(x2 - 1) (x3 + 2 x)- (x - l)(x + 2 x)
I ----------------- U ^ I )
+ 2 x) 2
(* + 2 x)
x 4 + 5x 2 + 2
(x 3 + 2 x)
6.22. _y=4x2+2x“ 5.
6.23. .y=3x 2—4ex+5sim^arctgx+2.
6.24. y=21nx—3cosx+arctgx—5.
6.25. у =-41og2x +2tgxr- lOarcsinx.
6.26. у = 2 ■3х-arccosx-4ctgxrfx.
6.27. У л/х —2 x —лІЗ.
6.28. y = > /I - ^ + - j - V 2
6.29. y = - 7= —^-+V7x+3.
6.30. у = xVx + 3sinl + л/х
X
3
X
6.31. у =5 • 2*+ 7 ctgx-5x.
6.32. у =tgx-ctgx.
6.33. = 10arctgx+7ex+x.
6.34. у = x 3 log 2 x - 2-Ух.
133
2
6.35. ^ (х Н х Н Х * 2—х+1).
6.36. У =
6.37. у = (л/х +1) arcsin x.
- + , g
\-e
■
' + Зл/х.
- .p .
6.38. y = -------- + xsinx.
21 * +1
JC
функцияньщ көрсетілген x0- нүктесіндегі туындысын
есептеңіз
6.40. у = х - arcsinx; х0=0.
6.41. _у=х3+5х2-4х+100; jc0=0.
,
In JC2
6.42. y = ------; x0 = e.
yfx
6.43. y = ~f=------ 4 x ; x0 =9.
X
y/X +1
Күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолданы:
функциялардың туындыларын табыңыз:
6.44. у =cos3x.
I
Шешуі. Бершген функция күрделі, сондықтан и =cosx белгілеу
енпзш, оны V
формула
У'(х)-(и3) '„(cosx)' =3«2(—sinx)=—3cos2Jcsinx
Ескерту. Тікелей туындылар кестесіндегі (2 ') формуланы
қолдануға болады.
6.45. ^=ln(arctglOx).
ПІешуі. и =arctg 10 х белгілеуін енгізсек, берілген функцияны
у =1пи түріне келтіреміз. Өз кезегінде и =arctg 1Ojc функциясы да
күрделі функция, v = 10х беліілеуін енгізсек, и =arctgv болады.
Туындылар кестесіндегі (і Г) және (4 ') формулалар бойынша
/ ( x ) = ( l n « ) ' (arctgv)' ( Ю х ) ' = - • — Ц - . 1 0
и 1+ v
6.46. y = ( 4x + l)2 + e x.
10
arctglOx(l + 100x2)
6.47. y = — ——- + sin2x.
(5 - 2x)3
6.49. y = e~*2 + 3cos3 x.
6.48. у =cos2x +tg3x.
6.50. у = ln(l + x 2) - 3arcsin 2x. 6.51. y = a 3x +2arctg3x.
6.52. у = уІ5х + 3 - 4 arccos Зх. 6.53. y = \ l 6 x 2 - 5 .
6.54. y = 3/(4 + 3x)2.
6.55. У
5
л/х2 + 4
134
6.56. y=sin32x.
6.57. у =sinx2.
x
x
6.58. y = cos
6 .5 9 .
2
y = cos
2
sin 2x
6.60. У
cos 3x
6.61.y=tg?(x2+ l).
6.62.y=(tgx^ctgx)
6.63. У
x —2
6.64. У
6 .6 6 . y
6.65. y = \n2x.
x+3
=lntg
л/х
6 .6 8 . у = e
+ cos x
6.67. у =(x 2—4x+8)e*/2.
2
6.69. у =tg32xcos22x.
+arcctg3x,
9
л:
6.70.
у
6.71. У In x 3 - 1
V
= ln(e x + xe x)
,
. 2* + 4
6.72. у = In sm----- jc+ 1
6.74. у
1
2x+ 3
*
3
6.75. y=arctg-x.
arctg- M
л/5 •
JL*
x —1
1
6.76. y = —In
4
x
6.78. У
a
. x
6.73. у = —л/а2 - jc2 + — arcsin —
2
2
a
In
6.77. У
1
л/х2 + 1
-x
л/ x 2 + 1 + X
Я
л/ l + x 2 - 1
л/ l + X2 н— In
2
л/ l
+ x2 +1
.
а ■, ifx—fl
6.79. у =arctg - +ln
JC
" J t + tf
1.4. a) Функцияны логарифмдеп туындысын табу:
У
(6.5)
(Iny)'
У= /(*).
б) Айқындалмаған функцияның туындысы. у (х) функциясы уке қатысты шешілмейтін Ңх,у )=0 тендеуімен берілсін. Бул тендеуді
дифференциалдап, х,у және у'-ке тәуелді жаңа тендеуден у ' ті х,у
арқылы өрнектеп, айқындалмаған функцияның туындысын табамыз.
135
в) Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы.
* = ф(0, y = \f(t), te[a,b\\ /=ф _1(х) бар болсын. Онда:
_ У' _ W \t)
х
х;
<6 -6)
1.5. Жоғары ретті туындылар: у ( /,>=(у(п~і>)'.
Негізгі ережелері:
1. [си(х) ](n)=cw(”)(х), c=const;
2 . [«(jc) ± у(х)](п)=г/л)(д:) ± v(n)(jc);
п
іла
з -[£/(jc) •v(x)]<n)=«<'')(jc) •v(x)+п і / ^ 1Қх) ■v'(x)+ —~ і ' ^ • U"~2\ x ) . v"(jc)+...
л (л - 1)...(л-& + 1)
• f/"-*)(jc)v k(x )+ ...+ n i/(x ) . v (n~l)(x)+u(x). V(n)(jc).
Көбейтіндіден жоғары ретті туынды алу ережесі Лейбниц
формуласы деп аталады.
1.6. а) Туындының геометриялық мағынасы.
f ( x ) функциясының *0нүктесіндегі /'(*„) туындысы функция
графигінің (х0, /(jc0)) нүктесіндегі жанаманың бүрыштық коэффициентіне тең, яғни к = /'(jc0).
(x 0>f(x0)) нүктесіндегі жанаманың тендеуі:
У Шf ( x 0) = f ' ( x 0)(x - х 0).
(6 .7 )
(xo’f ( xo)) нүктесіндегі нормальдың тендеуі:
У - / ( х 0) = - у ^ — . ( х - х , ) .
(68)
б)
Туындьгаың физикалық мағынасы. Егер / ( jc) материалдық
нүктенің түзу бойлап х-уақыттағы жүрген жолы болса, онда / '( х)
туындысы м атериалды қ нүктен ің осы jc -уақы ттағы лездік
жылдамдығын, ал f" (x ) екінші ретгі туынды осы х -уақыттагы
үдеуді анықтайды.
Функцияларды л огарифмдеп, туындыларын табыңыз:
6.80. у =cosxsin2x.
v
Шешуі. Берілген функция дәрежелі көрсеткішті функция,
сондықтан алдымен логарифмдеп, соңьшан туындылар кестесін және
ережелерді пайдаланып, (6.5) бойынша функцияның туындысын
табамыз:
lny =sin 2 jdncosjc.
у'
ОЦУУ~ ~ = (sin2 xlncosx )-(s in 2 jc)'lncosjc +sin 2 jc(lncosjc )'=
= 2 cos2 x lncosjc +sin2 j q ------- I = 2 cos2jc ln co sx - 2 sin2x
V
COSJC J
Демек, X =cosxsin2*(2cos2jdncosjr-2sin2jc).
136
6.81. y=jc*.
6.82. у =
2х
ЛІІ-Х2
/
6.83. у = (х -1 )\1(х + 1) 2 (х - 2). 6.84. у =
6.85. у = \[х.
6 .8 6 . у
* о,
х ( х 2 + 1)
6.87. у = —.
лД х
£00
6 .8 8 . У -
~
jc(1
+
2
V»
X
=(sinx)x.
О +*)
(2 + jc) (3 + х)
jc 2 )
690 У х
6,89 У = 3'/ (l'- j c ) 2 '
‘
Айқындалмаған у функциясыньщ туындысын табьщыз:
6.92. х 2+ у 3=sin(3x—2у).
Шешуі. у- ті х-тің функциясы деп қарастырып, берілген тендеуді
дифференциалдаймыз:
2х +3у 2у '=cos(3j<^2y)(3—2у ') =>
у ' [ 3 у 2+2cos( 3jc —2>^)]=3cos( 3jc —2v)—2jc .
Зу + 2 c o s ( 3 jc —2y)
6.93. e**—cos(x 2+ y 2)+4=0.
6.94. x 2+ y 2= R 2.
6.95. x 2 + y 2 =ln —+ 5.
6.96. jcsin у + ysinx = l.
6.97. x 4+ y 4= x 2y 2+3.
6.98. 2ylny=x.
6.99. 2+ jc —у =arcsinx —arcsiny.
6.100. Егер x 3—2 x 2y 2+ 5 x + y —5=0, y (l)= l. болса, у ' (х)-тің x0= l
нүктесіндегі мөнін табьщыз.
6.101. Егер еу+ х у = е болса, у ' (х)-тің (0,1) нүктесіндегі мәнін
табьщыз.
Параметрлік теңдеумен берілген у —у (х )функциясыньщ л
бойынша туындысын табьщыз:
6.102. x=acos/, y=£sin/, te( 0 ,7t).
Шешуі. (6 .6 ) формуласы бойынша: у'(х)= ^
(acosf)'
b
ctg/.
bc°st
- a sin t
a
f
x
b
X
t = arccos— екендігін ескерсек: у (x) = — ctg arccos—
a
a
v
a
137
6.103. х - / 3+ /+2, у=*і2+ і + 1 , / g ( —»
6.104. x =/ —sin/, >>=1—COS/, / g(0,7C).
6.105. х = / 3+4, у = - / 2+ 1, / e (
£t
1
t +1
1
Vt + 1/
+ 1; у
oo
4~oo)
+oo).
/ ^"“ 1.
6.107. x =tg/, >>=sin2/+2cos2/, / e
—
\
7Г 7Г
2 2
6.108. x = ln (l+ /2), y = t —arctgf, t e ( 0 ,+°°).
л
31og2ctg/—1, у =tg/+ctg/+ 1, /е(0 , —).
у ' ( x ) туындының көрсетілген нүктедегі мәнін табыңыз
6 . 110 . х
6 . 111 . х
= / 1ш + 2 , v
1п/
1.
t
=e'cos/, у = e,sin/,/
л
6
3f
31
6 . 112 . л:
,f=2.
У
1+ /
1+ /
Функциялардьщ көрсетілген ретгі туындыларын табыңыз:
6.113. у = а кх-,ум
t ,tш
Шешуі. Біртіңдеп у ^ а Ң к І п а ) , у" ^ а Ң к к і а ) 2, у'" = а кх{к\па)\...
туындыларын табамыз. Бүдан әрбір туьщцы к\па көбейткішінің
туындының
жалпы алғанда у
6.114. y = x V ; / 4).
6.115. у = arcsin х + х; у ".
6.116. у =
х-1
- Зх; у '.
6.117. y = -Jx2 + l + 5 x —2;y
2. ,,///
6.118. у =arctgx
6.119. у = х 3 +5х + 3;у(4).
6 . 120 . у = х 6+5х?—х 2—3; у (4).
6 . 122 . у
= х 2 sin 2х; у
(п
)
6.124. у = sin х; у
6.121. у = yfx + х; у <4).
т
6.123. у = х 4 1пх —jc;y(4).
6.125. у = cos х; у
6.126. у = х п; у (п)
6.128. у
1+ х
1
6.127. у = lnjc; у(л).
(л)
6.129. у = х 2е * ; у м
JC
138
6.130. у = х 2+2х қн
нүктесіндегі
нормалінің теңцеуін ж
Шешуі. Алдымен
есептейміз: у ' (1)=(2х+2) I =2-1+2=4. (6.7) формула бойынша
жанаманың теңдеуі у - 3 = 4(х -1 ) немесе у = 4х - 1. (6 .8 ) формула
бойыншанормалдыңтендеуі: у - 3 = - —(л :- 1) немесе y = - —x + 3 —
4
4
4
болады.
6.131. y = x 2—x парабола қандай бұрышпен абсцисса осімен
қиылысады?
Шешуі. Тендеуі j>=0 болатын Ox осімен у = х 2—х қисығының
қилысу нүкгесінің абсциссасьш табамыз. Екі тендеуді жүйе етіп шешіп,
х 2—х = 0 теңцеуін аламыз, бүдан х ,= 0 жөне х = \ . у' = 2 х - 1 -ді
аламыз. к =у'(хЛ формуласы бойынша: к =tg(<p.)=y'(x.)=2 ■0 —1= —1,
k2=tg(<p2)=y'(x2) = 2 - 1—1=1. Ендеше, <р, =135°және (рг =45°.
6.132. у = х 2 параболасыньщ М( 2;4) нүктесіндегі жанамасыньщ
теңцеуін жазыңыз.
6.133. у =siruc синусоидасының х =к нүктесіндегі жанамасыньщ
теңцеуін жазыңыз.
6.134. у 2= 2 х параболасының М( 8;4) нүктесінде жүргізілген
нормалдың теңдеуін жазыңыз.
6.135. М( 3;—4) нүктесінде х 2+ у 2=25 шеңберіне жүргізілген
нормалдың теңцеуін жазьщыз.
3jc—4
6.136. М( 2;2) нүкгесінде у = ------- қисығына жүргізілген жанама
2х —Ъ
мен нормалдың теңдеуін жазыңыз.
6.137. у = 2уІ2 sin х қисықтың М ( —;2) нүктесіндегі жанамасы
. . .
4
мен нормалінщ тендеуін жазыңыз.
х —і
6.138. У = — — қисығыньщ абсцисса осімен қиылысу бүрышын
аньіқтаңьіз.
6.139. у =siruc синусоидасы абсцисса осін координаталар басьщца
қандай бүрышпен қиятынын анықтаңыз.
6.140. у = х 2+3х~5 параболасына жүргізілген жанама қандай
нүктеде 7х —у + 3=0 түзуіне параллель болады?
6.141. s = t 2+2t + 3 зандылықпен түзу бойлап қозғалатын нүктенің
/= 5- уақытгағы жылдамдьпы мен үдеуін анықтаңыз.
6.142. Нүкте түзу бойлап х = t —sint зандылықпен қозғалса, оның
кез келген нүктедегі жылдамдығы мен үдеуін анықтаңыз.
139
6.143. Нүкгенің түзу сызықты қозғалысы s = t 2~ 3 t + 5 теңдеумен
анықталса, /= 2 уақыттағы жүрілген жол мен жылдамдықты
анықтаңыз.
6.144. Лифт j = 1 , 5 / 2+ 2 /+ 12 заңдылықпен қозғалса, t = 2
уақыттағы жылдамдығы мен үдеуін табыңыз.
6.145. у —х 2~2х+ 5 қисығында, ординатасы абсциссадан төот
жылдамдау өсетін нүкгені
х2
0.14b. х-тщ қандаи мәнінде у = - — қисығының ординатасы
Л я4
у = 1лх қисығының ординатасьшан төрт есе жылдам өседі?
§2. Функцияньщ дифференциалы
2.1. Егер/(х) функциясыньщ х нүктесінде ақырлы/Хх) туындысы
бар болса, онда функцияньщ өсімшесін Ay = f ' ( x ) ■/Ах + a(Ax) •Ax,
мүндағы Ддг—
lim>0 a(Ax) = 0 , түрінде жазуға болады.
Анықтама. у = f i x ) функциясыньщ х нүктесіндегі ( Ах өсімшеге
сэйкес) дифференциалы деп функцияньщ сол х нүктесіндегі
өсімшесінің басты бөлігін атайды жэне оны dy немесе df(x) деп
белгілейді. Сонымен, dy = f \ x ) A x .
у —х функциясы үшін dy = dbc = х'Ах = Ас екендігін ескерсек,
соңғы тендік мына түрде жазылады:
!
dy = f \ x ) d x , мүндағы dx = Ax
(6.9)
Бүл формуладағы х -тің орнына кез келген дифференциалданатын
и(х) функциясын қоюға да болады, яғни
(6.9')
Дифференциалдың бүл қасиетін дифференциал түрініц
инварианттығы деп атайды.
2.2. Ay —dy —a (Ax) •Ax болғандықтан, Дх-тің аз мөндерінде
жуьіқтап есептеулерде Ау ~ dy жуық тендігін қолданады, яғни
i f (х)± 0 )
f(x+Ax)~f(x) * f i x ) ■Ах немесе Дх+Дх)«/(х )+ /'(х) •Дх (6 .10)
2.3. Жоғары ретгі дифференциалдар. п- ретгі дифференциал d ny
немесе d "f(х) түрінде белгіленеді. 2 -ретті дифференциал
d y - f \ u ) d u , u = u(x)
d 2у = d(dy) = d [f'(x )d x \ = [f'(x)dx]' ■dx = f \ x ) ( d x ) 2.
3-ретгі дифференциал d ' y = d ( d 2y ) = [ f,,(x)(dx)2Y ■dx=f'"ix)idx)3.
140
Осы сияқты п- ретті дифференциал үшін мына формуланы аламыз
d "у = f {n)(x)(dx)n
(6 . 11)
6.147. у = е~5х функциясыньщдифференциальш табьщыз.
Шешуі. dy = y'dx болғандықтан, берілген жағдайда (6.9) формула
бойынша: dy = (e~5x%)'dx = (-lOx)e -5*2 dx.
Келесі функциял apдың дифференциалдарын табыңыз:
6.148. у = (2х + 1)10.
6.149. у = 5**. Щ
6.150. у =log3(3x-2).
6.151. j>=ln(x2+l).
6.152. >'=sin(5x+3).
6.153. ,y=cos(7x—2).
6.154. у =tg2jc.
6.155. у =ctg3x.
6.156. у =arcsin4x.
6.157. у =arccos6x.
6.158. y=aictgyfx.
6.159. у =arcctg v x .
Көрсетілген x0 нүктесінде, берілген Ax -ке сәйкес, у функциясьшьщ өсімшесі мен дифференциальш есептеңіз:
6.160. у = Зх2—2х+1, х0=2; Дх =0,1.
llleniyi: Алдымен жалпы түрде Ay өсімшені табамыз:
Ay =у(х+Дх) —у{х )=3 (х+Дх)2 —2(х+Дх)+1—(Зх2—2х+1)=
=3х 2+6хДх+3(Дх)2—2х—2Дх+1—Зх 2+2х—1= (6л—2)Дх+3(Дх)2
функцияньщ дифференциалы (6.9) формула бойынша dy =(6х —2)dx
Ay өсімшенің екінші қосылғышы 3(Дх)2 бірінші қосылғьпиқа қарағанда
жоғары ретгі ақырсыз кішкене шама. Ескертетін жәйт, ф диф ференциалды (6.9) формула бойынша бірден табуға болады.
Дербес жағдайда, яғни х0=2; Дх =0,1 болғанда
А у =(6.2—2) 0,1+3(0,1)2=1,03, ал dy=( 6.2-2) 0,1=1 болады.
6.161. у —х 2—Зх+1, х0=2; Дх =0,1.
6.162. у = х 3+2х, х0=1; Дх =0,01.
6.163. ^ = х 2+х—5, х0=0; Дх =0,5.
6.164. у =4х 2+1, х0=1; Дх =0,02.
6.165. у = [х I, х0=Ю; Дх =—0,1.
Жуық мөндерді есептеп шығарыңыз:
6.166. з/26,19.
Шешуі. f ( x ) = \[x функциясы үшін / \ х ) = (х'п )' = - х ~ 2п болғандықтан, (6.10) жуықтап есептеу формуласы (х+Дх) 1/3 = х1/3+
+ “х _2/3Дх түрінде жазылады. х = 27, Дх = -0,81 деп алып, жуық мөңді
есептейміз:
1/26,1 9 = \І21 - 0,81 * 3л/ 27—
= 3 - — = 2,97.
Зл/272
27
141
6.167. 4/16,64 .
6.168. J S J 6 .
6.169. In 0,9.
6.170. sin 29° ■
6.171.^17.
6.172. arctgO,98.
6.173. tg44°56'.
6.174. arccos0,4993.
6.175. e ° \
Берілген функциялардың көрсетілген ретгі дифференциалда
табыңыз:
6.176. у = х * —х 2+5х—4; d 3y.
Шешуі. Тізбектеп дифференциалдау арқылы табамыз:
dy —у 'dx =(4x 3—2х+5) й6с,
d 2y =d(dy)—d[(4x 3—2x+ 5)c&c]=[(4x 3—2x+5)dx]'dx=(l2x2—2)(dx)2,
d 3y = d ( d 2y )= d l(l2 x 2-2)(dx)2M ( 1 2 x 2-2)(dx)2Ydx=24x(dx)\
6.177. y = e x ; d 3y .
6.178. у = Зл:4 —5x3 + 2x; d 2y
6.179. у = cos(4x +1); d 3y .
6.180. y = \lx + 2; d 4y .
6.181. y = xlnx; d 5y .
6.182. y = e ~5x; d 4y .
§3. Дифференциалданатын функциялардың орта
мәндері туралы теоремалар
3.1. Ферма теоремасы. Егер f ( x ) функциясы (а,Ь) интервалында
дифференциалданып, интервалдьщ х =с нүктесінде өзінің ең үлкен
немесе ең кіші мәнін қабылдаса, онда f \ c ) = 0 болады.
Геометриялық мағынасы: функцияның графигіне ( c j ( c ))
нүктесінде жүргізілген жанама Ох осіне параллель болады.
f'{ x )= 0 болатын нүктелерді стационар нүктелер деп атайды.
3.2. Ролль теоремасы. Егер f ( x ) функциясы [а,Ь] кесіндісінде
үзіліссіз, ( a , b ) интервалында дифференциалданатын жэне
/ (о) = / (Ь) болса, онда осы интервалда х = с нүктесі табылып, бүл
нүктеде f ' ( c ) = 0 болады.
Геометрияльщ магьшасы: функция графигіне жүргізілген жанама
абсцисса осіне параллель болатьш (а,Ь) интервалында нүкте табылады
жэне бүл нүктеде функция туындысы нөлге тең болады.
3.3. Лагранж теоремасы. Егер f ( x ) функциясы [а,Ь] кесіндісінде
Үзіліссіз, (а, b) интервалында дифференциалданатын болса, онда осы
интервалда х = с нүктесі табылып,
/ Ф) - / (а) = / ' \с)(Ь - а)
(6 .12)
тендігі орындалады.
,,--, г»
Геометрияльпс, магьшасы: функция графигіне жүргізілген жанама
f (а )) жэне B ( b , f ( b )) нүктелерден өтетін АВ хордага параллель
142
болатын нүкте табылады. (6 .12) тендікті Лагранж формуласы н<
ақырлы өсімшелер формуласы деп атайды.
3.4. Коши теоремасы. Егер /(х) жэне g(x) функциялары
кесіндісінде үзіліссіз, (a,b) интервальшда дифференциалданатын
g '(х) Ф0 болса, онда осы интервалда х —с нүктесі табьшьш
fjb ) - f j a ) _ f'jc)
gib) ~ g(a)
(6.13)
g\a)
тендігі орындалады. (6.13) тендікті Кошидің ақырлы өсімшелер
формуласы деп атайды.
Берілген функциялар үшін көрсетілген жиындарда Ферма
теоремасының шартгары орындалатынын тексеріңіз жөне f ' ( c ) = 0
болатын х —с нүкгелерін табьщыз.
6.183. f{x) =3x 2+2x; [—1,0].
6.184. f(x) = -7 x 2+28; [-4,-2].
6.185. f(x) =xlnx; (0,1).
6.186. f(x) = - x 4+2x 2+8; (—1,5;0,5).
Төмеңдегі функциялар үшін берілген жиындарда Ролль теоремасының шартттары орындалатынын тексеріңіз және орьшдалған
жағдайда /'(с )= 0 болатьш х —с нүктелерін табыңыз.
6.187. f(x) =х 2+Зх-2; [1;2].
Шешуі: fix) функциясы берілген жиында үзіліссіз, ( 1;2 ) аралықта
ақырлы туындыға ие және /(1)=/(2)=0. Сондықтан бүл функцияға
Ролль теоремасын қолдануға болады. / '(х) =—2х +3=0 шартган с =1,5
екендігі шығады.
6.188. Д х ) = —х 2+5х^1; [1;4].
6.189. fix) = —х 2—х+1; [—1;2].
.
6.190. fix) = х 2+7х+3; [—5;—2].
6.191./(х) = 4 - л /? ; [ - 8 ;8 ].
6.192. /(х ) = Vx2 - Зх; [0;3].
6.193. Д х ) =(х —1)(х —2 )(х —3); [1;3J.
Көрсетілген кесінділерде анықталған функциялар үшін Лагранж
теоремасыньщ дүрыстыгын тексеріп, (6 . 12) формуладагы х —с нүктелерін анықтаңыз.
6.194. fi x) =2х—х 2; [1;3].
Шешуі. Берілген функция [1;3] кесіндіде үзіліссіз, (1;3) аралықта
f i x ) =2—2х ақырлы туындысы бар, яғни дифференциалданады.
і қолдануга болады. / ( 1) = 1 ,/(3 ) = —3,
формула
Ь~а =3-1=2 және f i e ) =2
бойынша —3—1=/'(с)• 2 немесе —4=(2—2с)• 2 болады. Бүдан с= 2.
143
1
1
x
3 2
6.195. f i x ) = e x; [0;l]
6.196. f i x )
6.197. /(* ) = *
6.198. /(;t) = Injc; [l;
4x; [l;5]
1
6.199. /(x) = U-l|; [0;3]
6 .2 00 . / ( jc) = x
2;2j
Лагранж формуласын қолданып, төмендегі теңсіздіктерді
дәлелдещз:
6.201. ^ < 1 п - < —
(0<а<Ь). 6.202. е > ех(х > 1).
b
а
а
6.203. |arctgZ>—arctga I< b~a.
6.204. Isin x. —sin X <
/ ( j c ) және я(х)функциялары үшін берілген кесіндіде Коши
теоремасыньщ дүрыстығын тексеріп, (6.13) Коши формуласындағы
х —с нүктесін (бар болса) табыңыз:
6.205. / ( jc) = х 3+ 1 , g(jc) = jc2+ 5; [0;3].
Шешуі. Берілген функциялар [0;3] кесіндісінде үзіліссіз, (0;3)
аралығында дифференциалданады. f \ x ) = 3 j c 2, g'(x) = 2 х , әрі ( 0 ; 3 )
аралығында 2х Ф0 . Демек, Коши теоремасының барлық шарттары
орындалады. / ( 0 ) = 1 , /( 3 ) = 2 8 , gi 0 )= 5 , g (3 )= 1 4 және g'(c)=2,f'(c)=3c2
екендігін ескеріп, (6.13) формулаға қойсақ:
28-1
14-5
Зс2
3
—— немесе 3 = —с болады. Бүдан с = 2
2с
6.206. f{ x ) —
6.207. fix )
2
j c 2+
1
3
x
1 0 jc—
9, g(x) = x3~9x2+24x;
X, g(x)
X
x2+ l
6.208. /(* ) = sinx,g(x) = cos; 0;
; [ - l;l]
к
2
6.209. f ( x ) m 2 x 2 + 4x, gix) = yfx + І; [0;ЗІ
6 .2 10 .
/ (*) = cos jc, gix) = sin jc; 0;
к
2
[0 ;4 ]
§4. Анықталмағандықтарды ашуда туындыларды
қолдану. Лопиталь ережесі
о
4.1.
Лопиталь ережесі. ( —түріндегі анықталмағандықты ашу).
Теорема. /(х ) және g(x) функциялары a нүктесінің кейбір
маңайында дифференциалданатын және g'( х)*0 , әрі limf ( x ) =
х-*а
f \ X)
Ijnj£(*)= 0 болып, lim— — шек (ақырлы не ақырсыз) бар болсын
8 Л-*/
f (jx)
Онда lim ^ ^ шегі бар жэне мына тендік орындалады.
g(x )
lim
^
^
=
Um^7^
х —>а
g(x)
4.2.
(6.14)
*-«■ g ( х)
1 түріндегі анықталмағандықты ашу. (6.14) формула
lim/(x)=
lim
g(x)=°°
болған
жағдайда
да
орындалады.
х-*а
х —*а
(6.14) теңдік х— х—>+°°, х—>—°°, х— О, х—>а+0 болтан
жағдайларда да орындалады
4.4. Егер /'(х ) жэне g '(х) функциялары Лопиталь ережесіндегі
шарттарды қанағаттандырса, онда Лопиталь ережесін екінші рет
қолдануға болады. Осылайша, / ,л)(х) жэне ^ л)(х) туындылар ереженің
шарттарьш қанағаттаңдырса, ережені п рет қолдануға болады:
и
'-*■*(*)
x-*a g ( x )
™ g (jc)
*-*» g <">(*)
(615)
4.5. а) сю—00,0 1°° түріндегі анықталмағандықтар түрлендіру
О 00
арқылы - , — түріндегі анықталмағандықтардың біреуіне келтіріледі.
б) 0 °, оо° ,1“ түріңдегі анықталмағандықтар логарифмдеу арқылы
°°
0
- және — түріндеп анықтапмагандықтарга
жағдайларда мына тепе-тендік пайдаланылады
Lf (jc) J
w*).
Лопиталь ережесін қолданып, шектерді та(
.. tg(2 ;rx)
6 211 lim — ---- • *-» sin(4;rx) ‘
10—219
145
( 6 .1 6 )
Шешуі. Бүл - түріндегі анықталмағандық. Лопиталь ережесі
(6.14) бойынша
2к
О
О
ц т -ІЁ ^
*-*1 sin(4/rx)
lim
х->1
[tg(2^x)f
cos (2кх)
4/rcos(4;rx)
[sin(4/rx)]
2n 1
4n ~ 2
2x3
6.212. lim------:—
-^0 x —sin JC
О
Шешуі. Бүл жағдайда да - түріндеп анықталмағандық
О
О
2х
lim
о X —sin X
X
lim
jc —»0
sinx)
12x
lim
x-»0 sinx
lim
x->0
(2х!)
cosx)
0
6x
lim х->0 1 cosx
0
'0'
'0'
= 1іт <12*> _
= 1іт
х-»0
/ • \/ A
.0.
(sm X )
12
12
12.
1
Бүл мысалда Лопиталь ережесін үш рет (6.15 формула) қолдандық.
6.213. X—>+оо
lim
х
п
е
оо
Шешуі. lim JC" —оо, lim gx —ОО болғандықтан, бүл — түріндегі
оо
х—
>-н»
анықталмағандық. Бүл мысалда Лопиталь ережесін п рет қодцанамыз:
п
lim
X—»+°о
X
е
оо
оо
п\ *
(х )
пх
lim ----- г = lim —
(О
X —> + °о і / ? Х
п—
2
lim
X —> + ° °
оо
•••
оо
п- 1
£ Х
оо
оо
lim
(пх
/1 -1
X—
)+°° ( О
,. п(п-1)(п-2)..А „ л! п
lim------------------ = lim
—
=
0
X—
>-н» JC
тг
6.214. lim х - - і • tgx.
ІЙ І
2
Шешуі. а) І і т і ү —£
* -4 1
2
0, lim tgx
ш
хШ
146
—оо
болғандықтан, бүл
л
2
X
л
О•оо түріндеп анықталмағандық. I г —I I I ■tgx
2)
ctgx
деп берілген
функцияны түрлендірсек — түріндегі анықталмағандық шығады.
Енді (6.14) формуланы қолдануга болады.
к
2
lim X
Я
Х~*2
1
1
lim
Я
Sin
л
2
х
tgx=[0- °°]=lim
CtgX
П
2
X
0
lim
0
Я
(ctgx)
X~*2
1.
X
б) Егер берілген функцияны
n
X
tgx
-г— деп түрлендіріп
tg x
2
л
2
x
ОО
#
ijfi
жазсақ, —түріндегі анықталмағандық шығады. Бұл жағдайда Лопиталь
ережесін үш рет қолданамыз:
/
п
2
lim X
tgx = [0 •©о]= lim
tgx
ОО
1
оо
Um cos^x
я
1
Х~*2
X
2
limК
Х~*~2
х
X
lim
п
2
0
2
2
sin 2х
0
0
2
0
х
1-1
X
V
Л
Я
Л
К /*
X-»—
2
cos
X
Х~*2
'
lim
Л
X
1
(tgx)
X
lim
ч'
\
к
2
л
2
Я
Х~>2
cos X
Л
lim
2
Х~*2
(s in 2 х )
Я
147
2
lim __ ___
2 cos 2 x
1
а) ж а ғд а й ы
м ақсатқа
т е з ір е к
сондықтан
і
ф у н к ц и я н ы т и і м д і т ү р л е н д ір у қ а ж е т
6.215. Й
1
X —1
*-»! InJC
Ш е ш у і. Б ү л о о - о о т ү р ін д е г і а н ы қ т а л м а ғ а н д ы қ . Б ү л ф у н к ц и я н ы
1
1
In JC
JC -
JC — 1 — In JC
1
т ү р ін д е т ү р л е н д ір с е к
- 1) In X
(jc
ОО
т ү р ін д е п а н ы қ т а л -
оо
м а ғ а н д ы қ ш ы ғ а д ы . О н д а (6 .1 4 ) ф о р м у л а н ы е к і р е т қ о л д а н у ғ а б о л а д ы .
1
1
lim
х—* 1 v In х
[
х —\
1
lim
x->\
оо — оо
1
1
_ '0 '
JC
ІПХ+
jc —
1
[ ( j c - l ) l n jc]
1
1
lim—
lim
JC
—
>1
_0 .
[jc-l-lnjcl
lim—----------
0
0
jc-l-ln jc
*-»1 (jc —l) In дс
In x
X
+
JC — 1
Ml 1
l
----1----:
JC
JC
1
1
1+ 1
2
V
sin2x
6 .2 16 . lim
•u 3x
6.218. lim -
t.
sin Ъкх
6.217. Imi — ■
— .
1 sinz^x
•
tg x - X
6.219. lim
x—
sinx - *x2
3x + 2
6.220. xlim
—
>°° x2 +5x —1
6.221. lim
2x
x+l
2 jc
ln(l + X2)
6.223 Um
X —»oo
6.222. lim
X—
»0 Sin X — X
n
In
V
6.224. lim
x—
>2
jc4
x
+5x
—16
6jc
6.225. lim
x —>a
—16
e 2x -1
kx
6.230. lim
n
jc3
2
jcm —a m
n
a
n
sin X
6.229. lim
x + sm jc
x -
,k>0,ne N
tg5x
- 4 jc2 + 4 jc
1 2 jc
a rc tg x
1—cos ax
6.227. lim
x~*° 1—cos bx
6.226. lim------x~*° sm jc
6.228. lim
JC
1- cos JC
jc- » 0
tg x - X
Зле2 +
6.231. lim x~*° sin 1Ox
+ 16
148
6.232. lim
cos Зх
6.233. xUm
—
Х-МГ/2 COS X
+ <T* - 2
6.234. lim
x~*° 1—cos 2x
6.236. lim
tg5x
6.235. lim
§ tg3x
In sinx
6.237. lim— — -.
*-*° In sm 5x
^
1+ cosx
6.239. lim--------*-»* x —ж
1
x
ln ( l + л:)
arctg2x
6.238. lim
0 arcsin 2x
-J
T
г —e
6.240. И
пг
x->0 ln(l + x)
к —2arctgx
6.241. X
lim
—
e
lnx
6.242. lim—-
jc — 1
6.243. lim ct«(x ~ '>
x->' ln(l —x)
In X
6.245. lim
x
6.244. lim ІП(ЛГ 5] ■
*-*s 1п(е* —e )
0+1 + 2 1 n s in x
6.246. Hm (arcsinx- ctgx)
6.247. lim (1—cosx) •ctgx
6.248. Umxctgnx.
x -*0
6.249. xlim
\[x •In x .
-» 0 +
6.250. li
6.252. limf
\
1
lnx
1
6.251. lim I tgx
JC—1
1
-*°l s i n ;X
x_>| \
1
COSX
6.253. lim cosx ■tg5x.
X
X-*2
\
1
X
Ctg
6.254. Um
x-»0
3
.
6.255. lim
ctgxln(x+ex
)
x—
>0
X
sm -
6.257. Um
2
ctgx
JC-
6.256. limКsin(2x~ 1) •tgnx
X~*2
1
X
\
6.258.
lim
JK-+I
ft
cos —
I
1
1
X
.
6.259. Hra
JC — 1
l
xsin x
2
149
1
X
/ 1
6.260. lim
x-»i „In X
1 ^
«
‘Y
l
l
6.261. lim _L —rto
C tg 2X
х_>0 I X 2
X — l)
Шектерді табьщыз:
6.262. x-»0+
lim x18*.
Шешуі. lim x = 0 , lim tgx = 0 болғандықтан, бүл 0 °түріндегі анықталмағандық. (6.16) формула бойынша түрлендіреміз:
V
ІП
Х
lim tgxlnx
lim—
—
lim X** = ex-*°+
= e *^0+ae*.
*
X-»0+
1
' •
|
j
-
^ ^7 Г
Мүңца “O-oo” түріндегі анықталмағандықтан, “oo/oo” түріндегі
анықталмағандыққа өттік. Енді Лопиталь ережесін екі рет қолданамыз:
Щ. *
' ;
іпх
МУЙМ
^ x - » 0 + C tg X _
^ X~*0 + ( c tg x )
—
lim2 sinJtcosx
= e^°*
xSo+'RT
_
g
_.. sin2?;
s in 2X _ _ £ X -» 0 +
X
_.. Н 2І
=
£ * -» 0 +
(x)'
_
=e~°=l.
1v
6.263. lim
1
In
—
/
6.264. lim
(cos
x)ctg
x -> 0
6.265. x-»0+
Km * ”.
6.266. lim
(l
xj**
jr—
>1—
6.267. lim (іп2 х)іп* .
6.268. lim [ln(x + e%
x-*0+
jc
Ш
1
6.269. lim(l+sin 2x)—3—;
jr->0
tg Ж
6.270. t o *
x +
sinx
§5. Тейлор мен Маклорен формулалары
жэне олардьщ қолданулары
5.1.
Тейлор теоремасы./(х) функциясыньщ а нүктесінің кейбір
маңайында (л+1)-ретке дейінгі туындьілары бар болсын. Онда осы
маңайдың кез келген х Ф а нүктесі үшін, х пен а нүктелерінің
арасында жататын с нүктесі табыльш, мына теңдік орындалады:
(?)
/ ( f ) 7 / (°) + О 1!г - (vх - «)
+
(х
af +
/
2!
/'"> (а)
п\
(х - а)" + R"+l (х).
150
(6.17)
(6.17) тендік Тейлор формуласы деп, ал Rn+l (х) болса (/і+1)-ші
қалдық мүше деп аталады да,
/•(n+1>ГА
>1+1
л+1
(6.18)
(л + 1)!
с € (а,х) болтан жагдайда с = а + в(х - а ) , о < Ө < 1 деп жазсақ:
(л+1)
K+i (*)
[а + Ө(х
(л + 1)!
(х-а)
л+1
(6.18)
түрінде жазылады. (6.18) немесе (6.18 ) Лагранж түріндегі қадцык
мүше деп аталады.
5.2. Тейлор формуласыньщ а = 0 жагдайы Маклорен формуласы
деп аталады.
/(х)=/(0и т1! х+ т2! * +
(6.19)
...
+
n\
(л+1)
К
(to)
X
л+1
(6.20)
(я + 1)!
Лагранж түріндегі қалдық мүшелер жуықтап
есептеулердегі дәлдіктерді бағалауларда жиі қолданылады
(
6
.
21
)
X
*)"], К х (*) = 0 (x ”)
Д>+і (*)
түрінде жазылған қалдық мүшелер Тейлор мен Маклорен
формулаларының Пеано түріндегі қадцық мүшелері деп атала
р шектерді есептеуде жш қолданылады.
айырым
6.271. Р ( х ) = 2х4 - 5х3 - Зх2 + 8х + 4 көпмүшелігін
жіктеу
формуладағы Тейлор коэффи
Шешуі. а
циенттерін т<
Р (х)=8х 15.x 6х + 8 , />(2)(*)= 24дс2 - 30* - 6 , Р(з)(х)= 48х - 30,
(2
)
30,
P (4)(x)=48, / >{5)(дс)=0. Бүдан Р( 2)=0, />'(2)=0, Р
Р (3)(2)=66, />(4)(2)=48.
Бүл мөндерді (6.17) Тейлор формуласьша қойсақ:
2х4 -5 х 3 - З х 2 +8х + 4 = 15(х-2)2 + 11(х-2)3 +2(х
Бүл жагдайда /,(5)(х)=0 болғандықтан, (6.18) формуламен
болады
анықталатын қалдық
151
6.272. f ( x ) = ln(l + jc) функциясының (6.19) Маклорен формуласы
жіктелуш
Шешуі. Берілген функция (- 1;+оо) интервадца
туындыға ие. Сондықтан а —0 нүктесінің маңайъінда Маклорен
формуласы бойынша жіктеледі. Енді 1п(1+;с) функциясының
туындыларын және олардың а =0 н үктесіндегі мәңг
1+ *
М / JE J
1!
/М (0)
я!
(1 + х у
1 2.3 ;
' ’
(1 + х)
Н Г ' ( я —1)! • і
/ ? 0 ) И . ” ( 0 ) Ь 2 / ,4>(0) - 1 2 - 3
’ 2!
2 ’ 3!
3! ’ 4! ~ 4!
(-I)"-*
; Лагранж түріндегі (6.20) қалдық мүше
п
(-1)" х п+і
^ +| W р +1) (1 + Өх)”+1 ’ 0 < ө < 1 Табылған өрнектерді (6.19)
Маклорен формуласьша қойсақ:
іп (і
+ х) = х - ^ + 4 - . . . +(- і Г ' . £ і + _ И ) ^ “ '
2 3
п (и + 1)(1 + Өх)л+1
Пеано түріндегі (6.21) қалдық мүше /?„+1 ( jc) = о^хпj болады.
Функциялардың Маклорен формуласы бойынша жіктелулерінің
дүрыстьіғын көрсетіңцер:
х 2
Хп
«.273. е* = 1+ х + » . + ...Ч ^ + о(х”),
Щ +£
6.274. sin х
х2
г4
Г6
6.275. cos* = 1 - — + — - — +
2! 4! 6!
6.276. arctg* =
P(x)
жіктеңіз:
Ц'
+
+0
ү-2л
+ f _ if J L _ + 0/j,2n+n
П > (2n)\
\
i’
d + 0 (x 2n \
j
5
2n —1
v '
копмүшелікті x ~ a айырымның дөрежелері бойынша
6.277. Р (х) = jc4
1)""1-
+
-
2 х 2 + 7х - 4, a = I
152
6.278. /*(*)*х’ + 4х2 - 6х - 8, в » -I.
6.279. p(x) = л5 - Здг4 + 7лг + 2, а = 2.
6.280. / >(г)= дг4 - jt’ + 5дг2 - 4л + 1, в = 1.
/(■*) функциясын а нүкгесінің маңайында Тейлор формуласы
бойынша жіктеңіз:
1
6.281. /( * ) » - ; в*1.
6.282.
/(л)=
2
';
о
=
log,
3
* 1 1 РМ1И jrf
X In X
6.283. /(*)=
6.284.
/ ( х ) = х е т ; а = - 1.
2
6.285. /( х ) = ln(2x-l)t а = 1.
/(х) функциясын our*) далдікпен Маклорен формуласы бойынша
жіктеңіз:
6.286. f { x ) = e 2~х, к= 4.
6.287. /(jt)=sin2x, А:*4.
0,001 дәлдігімен санның жуык мөнін табьщыз:
6.288. е.
Шешуі. 6.273. есептегі тендік бойынша, орі Лагранж түріндегі
вх
қалдық Rn+i (х)
, 0 < Ө< 1 екендігін ескерсек, х = 1 болғаңда
(Л + І)!
мына жуық теңдж орындалады:
ө
. 1 1 1
1
е ~ 1 + — + — + — +... + — + -—— —, 0 < Ө< 1.
1! 2! 3!
п\ ( л + 1)!
Жуықтап есептеудің қателігі 0,001-ден аспау үшін л-ді
RИ+1
е
ө
< 0,001
(я + 1)!
шартын қанағаттандыратындай етіп табамыз. Мүнда 0<в<1
болғаңцықтан ев < 3. Демек, бізге қажет жуықтық мәні п =6 болғанда
орындалады, яғни
! * • < 2 < 0,001.
Сонымен, е санының жуық мәнін е «1 + —+ —+ ... + —= 2,718 деп
1! 2!
6!
алуға болады.
6.290. yfe . 6.291. lnl,05.
6.292. V33
6.289. sinl.
Маклорен формуласьш қолданьш шектерді есептеңіз:
6.293. lim
1 -C O S
X
6х +9х
153
Шешуі. 1- cos3 х = (l - cos дс) 1+ cos x + cos2 x
және 6x2 + 9x3 ~ 6x2 екендігін ескерсек lim
- cos x)j
1- cos3x
lim
x-»0
*-♦4 6x + 9x
6x
функциясын оның Маклорен формуласына жіктелуімен
c o sjc
алмастырсақ (6.275- есепке қараңыз), яғни cos х = 1
lim
3(l-cosx)
3(l-cosx
1-COS X
lim—
д:—
»0
6х
6х + 9х
х
2!
+ о( х 2), онда
)- = -з „lim —---ү +оИ
;----6
X
X
3 ,.
2
3 1 1
-lim -#- = ----- -- 6
х
6 2 4
Мүңца ~ + о(х2)
екендігін ескердік.
2
2
1Vi + х л/1
6.294. lim
6.295.
lim
х-»0
х->° Зх2 + х 3
2х
6 .2 9 6 .
lim
х-*о
6.298. lim
COS X
6 .2 9 7 .
4 х 3 + х 4
ln(l + х)
lim
лг—
>0
COSJC
2x
+ x
jc-
arctgx
6.299. Um
*->0 jc2 sin X + JC4
smx, tgx, arcsinjc, arctgx
Зх + 4 х
1 жэне
функциялардың а(х)=х функциясына эквивалент екендігін
эквивалент екендіпн
Маклорен формуласын пайдаланьт, шектерді есептеңіз
•
6.301. jr->
lim0
•
sin х - X
6.302. lim
x~>° 3x
e x - e~x
6.303. lim- - , -----^ .
x->0 3(x - sin x)
6.305. lim
'-*0
e x - e~x
COSJC
sin x
6.304. lim
-^x
+
2smx
x-»0
X
2
1
6.306. li 1 1
5x4
*->4 x
154
1 '
1
smx
3x
6.307. lim
cosx —e
6.308. lim
*-»o
3x + jc5
bj cosx +
2
6.309. l i m - ■
x~>° 2^smx-xj -x
1
+ X
COS X
2x4 + x
, 11ft r sm sinx
6.310. lim-------*-»o 2x
§6. Функцияны зерттеу
6.1. Функцияның өсуі мен кемуі
Егер х0 нүктесінің кейбір е—маңайындағы нүктелер үшін
f { x 0 - h ) < f ( x 0) < f { x 0 +h) ( f ( x 0 - h ) > f ( x 0) > f ( x 0 + h j ) , мүндағы
0<Л<£, болса, онда f ( x ) функциясы х0 нүктесінде өспелі (кемімелі)
функция деп аталады.
Егер X жиынының х, жэне х2нүктелері үшін х,<х2(х,>х2) теңсіздігінен /(x,)</(x2) ( /(х,)>/(х2) )теңсіздігі шығатын болса, онда
функциясы осы жиында өспелі (кемімелі) функция деп аталады.
х,<х2(х,>х2), болганда / ( х , ) > / ( х 2) ( / ( х , ) < / ( х 2) болса /(х)
функциясы кемімейтін (өспейтін) функция деп аталады.
1-теорема. (Дифференциалданатын функцияньщ өсуі мен кемуінің
fix)
жеткілікті шарты).
функциясының туьщцысы /'(х)>0 (/'(х)<0) болса, онда/(х) функ
циясы осы жиында өседі (кемиді).
Функциялардың өсу және кему интерваддарын табыңыз:
6.311. /(х ) —х 3—27х+10.
Шешуі. Функция X = ( - °°;+ °°) жиында анықталған, ал
туындысы f ix )= Зх2 - 27 = з(х2 - 9)= 3(х - зХдс + З). Функция
болуы үшін / ' ( х ) = З(х - зХх + 3)> 6 шарт орындалуы керек. Бүл
теңсіздіктің шешімі х < -3 5 х > 3 • Ягни X = {х; (- «>-з)и (3,
жиында функция өспелі. Ал функция кемімелі болуы үші
/(х)= 3(х - зХх + 3)< 0 шарт орындалуы керек. Бүл теңсіздікті шешсеі
-3 < х < 3 • Демек, (- 3;3) интервалда функция кемімелі болады.
6.312. /(х )= х 3 - 12х + 25 .
6.313. /(х)= х 2 - 6х +10.
6.314. / ( x ) = - f i ± i
(x-l)
6.315. /(*) = Inл/Г+х^ + 2.
6.316. /(х)=
х3
+
х2
2х
-10.
j \ / з
2
155
6.317. /(х)
ех
х
6.318. f ( x ) = x + c o s x - l .
6.319. f ( x ) = -----.
lnjc
6.2.
Функция экстремумы. Функцияның кесіндідегі ец үлкен және
ец кіпгі мәндері
1. Егер х0 нүктесінің кейбір маңайындағы кез келген х * х
нүктесі үшін f ( x ) < f ( x 0) (Д х)>/(х0)) теңсіздігі орындалса, онда х0
нүктесін функциясыньщ төңіректік максимум (төңіректік минимум)
нүктесі деп атайды. Функцияның төңіректік максимумы мен
минимумьш, жалпы, функцияның төңіректік экстремумы деп атайды
( extremum (лат)-шеткі).
2-теорема. (Экстремумнің қажетгі шарты).
Егер у = /(х) функциясыньщ х0нүктесінде төңіректік экстремумы
бар болса, онда /'(х 0)=0 немесе /'(х 0) анықталмаған.
/'(х)= 0 ж әне/'(х) анықталмаған нүктелер күдікгі нүктелер деп
аталады. /'(х)= 0 нүктелерді стационар нүктелер деп те атайды.
3-теорема. (Экстремумныц бірінші жеткілікті шарты).
х0 нүктесі дифференциалданатын f i x ) функциясыньщ күдікті
нүктесі болсын. Егер х0 нүктесініц кейбір мацайы табыльш, бүл
мацайда х<х0 болганда /'(х)>0; (f'(x)<0), ал х>х0 болганда /'(х)<О
( f'(x)>Q) болса, онда х0 нүктесі /(х) функциясыньщ төціректік
максимум (тоціректік минимум) нүктесі болады.
4-теорема. (Экстремумныц екінші жеткілікті шарты).
Екі рет дифференциалданатын /(х) функциясы үшін /'(х 0)=0,
/"(*„) * 0 болсын. Онда f"(x0)< 0 ( / ' ( х 0)> 0) болса, х0 нүктесі /(х)
функциясыньщ төцірекгік максимум (төңіректік минимум) нүкгесі
болады.
2. /(х) функциясыньщ [а,Ь\ кесіндідегі ец үлкен (ец кіші) мәнін
табу үшін, кесіндінің тоңіректің экстремум және шеткі (х —а\ х =Ь)
нүктелеріндегі функцияныц мәндерін есептейміз, сол мәндердің
ішіндегі ец үлкені (ец кішісі) функцияныц [a,b] кесіндідегі ең үлкен
(ец кіші) мәні болады.
Функциялардың экстремумдарын табьщыз:
6.320. f { x ) = х3 - 9х2 +15* +10.
Шешуі. Берілген ф и к ц и я Ox осінің барлық нүктелерінде
анықталган жэне дифференциалданатын функция. Функцияныц
туындысын нольге теңеп, күдікті нүктелерді табамыз:
f ' { x ) = 3 x 2 —18х + 15 = 0, =>х, =1; х2 =5.
Экстремумныц екінші жеткілікті шартынан пайдаланамыз. Ол
үшін екінші туынды f ”{x) -ты тауьпт, күдікті нүктелердегі мәнін
156
есептейміз: /'(jr)= 6 x -1 8 = » /'(l)= -1 2 ;/'(5 )= 1 2 . Демек, х=1 нүктесінде функцияньщ төңіректік максимумы, ал х = 5 нүктесінде
төңірекгік минимумы бар. Сонымен
/ т» = / 0 ) = 1 3- 9 1 2 + 1 5 .1+ 10 = 17;
/ ть = / ( 5 ) = 5 3 - 9 - 5 2 +15-5 + 10 = -15.
6.321. f ( x ) = х 3 ■е~х + 5 .
6.322. /(* )= 2л:3 - Зх2 + 6 .
6.323. f ( x ) = ( x 2 + x + l t x 2 + х —і ) .
6.324. f { x ) ——- —.
6.325. /(*)= 1п(і + х ) - х +
6.327. f i x )
.
х+2
6.326./(л:)=1п л/l + *2+arctgx.
е
6.328. f i x ) = х4 •е“х2.
х + з)2
Көрсетілген жиында функцияньщ ең үлкен және ең кіші мәндерін
анықтаңыз:
6.329. /(х)= х 3 —Зх2 + 6;[—1;4]• 6.330. /(х )= -3 х 4 -һ6jc2;[—2;2]•
6.331. /(* )= * + 2л/х;[0;4].
;
s '(
:'_Д'*T*T
6.332. /(* )= ---- rj[0;4]e
f ^ s. * -
V
, "
JfE*
X
■
t |i % f
6.333. f i x ) = ------— j ; [0;l].
,j
щ
.- ^
4 f
* I
. *.
Г-іУ
1
I *t
Jfcfr f
"* , ,*f
6.334./(x)=arctg ~
|
S
f"1
іу .; ^
[0; 1].
6.335. f ( x ) = \ l x + \ - Vjc-1;[0;1]. 6.336. /(x)=sinjf-sin2x;[0;2^].
6.337. Үйге іргелес тік төртбүрыш пішініндегі жер 160 м. темір
тормен қоршалған. Өлшемдері қандай болғаңца ең көп жер қоршалады?
6.338. 100 санын қандай қосылғыштарға жіктегенде олардың
көбейтіндісі ең көп болады?
6.339. Бүйір қабырғасы /-ге тең теңбүйірлі үшбүрыштың ең үлкен
ауданын анықтаңыз.
6.340. Радиусы R дөңгелекке іштей сызылған теңбүйірлі
үшбүрыштың ең үлкен ауданын анықтаңыз.
6.341. Радиусы R дөңгелекке сырттай сызылған теңбүйірлі
үшбүрьпшың ең аз ауданын анықтаңыз.
6.342. Периметрі Р болған қаңцай тікбүрышты үшбүрыштың
ауданы ең үлкен болады?
6.343. Жалпы ауданы S болатын бір қабатгы үй салу керек. Үйді
қаңдай етіп салганда сыргқы қабыргаларына кететін материал мөлшері
ең аз болады?
6.3. Функция графигінің дөңестігі жөне ирең нүктелері.
Егер (а,Ь) интервалында f ( x ) функциясыньщ графигі кез келген
нүктесінде жүргізілген жанамадан жоғары жатпаса (томен жатпаса),
157
онда f i x ) функциясыньщ графигі
аталады
5-теорема. (Дөңестікгің жеткілікті шарты)./(х) функциясы (а,Ь)
интервалында екі рет дифференциалданатын болсын. Сонда, егер
барлық хе (а,Ь) үшін /"(*)<0 (/"(х)>0) болса, онда бүл интервалда
f i x ) функциясыньщ графигі дөңес (ойыс) болады.
с нүктесінің кейбір маңайы табылып, бүл маңайда с нүктесінің
оң жағы мен сол жағында / (х) функциясыньщ графигінің дөңестік
қалпы ауысатын болса, онда М(с;/(с)) нүктесі графиктің ирең (иілу)
нүктесі деп аталады.
- '
6-теорема. (ирендіктің қажетті шарты). М (с/(с)) нүктесі fix)
функциясыньщ графигінің ирең нүктесі болсын. Онда /"(с)=0 немесе
f" ic ) анықталмаған.
f " ( x )=0 немесе /"(* ) анықталмаған нүктелер 2-текті күдікті
нүктелер деп аталады.
'V 1
7-теорема. (ирең нүктесінің бірінші жеткілікті шарты). f ix )
функциясы с нүктесінің кейбір маңайында бірінші ретті туындысы
бар, әрі осы маңайда екінші ретті туындысы да (мүмкін х * с
нүкгелерде) бар болсын. Сонда, егер нүктесінің сол және оң жағында
/"(х) әр түрлі таңбалы болса, онда Л/(с;/(с)) нүктесі f i x ) функциясыграфигінің ирең нүктесі болады
жеткілікті
нүкгесінде f i x ) функциясыньщ үшінші ретті туындысы бар болып
/"(с)= 0 және f ' " i O * 0 болса, онда M{c;f{c)) нүктесі f ( x ) функция
сьшың графигінің ирең нүктесі болады.
Функциялардың дөңестік, ойыстық интервалдары мен иреі
нүкгелерін табыңыз:
6.344. Л х ) =
2
~
*
+1
Шешуі. Функцияныц анықталу облысы (- о о , + о ° ) . Функцияньщ
екінші туындысын
>)■ Ж
-p T if
f'(x)=0=>12(x2 -1/з)=0;=> jc = ±1/л/з .
Бүл нүктелер функцияның анықталу облысын
і/
( і / Д + с о ) интервалдарьша бөледі.
5-теорема бойынша дөңесіік интервалында f" {x ) < 0 болады.
Яғни х - —< 0 , немесе х <1/^3 . Ал ойыстық интервалында
158
/ '( дс)>0 болады, яғни jc2 —1/3>0 , немесе |х|>1/л/з. Сонымен
берілген функцияның графигі (-1/V3; 1/-Уз) интервалда дөңес, ал
-1/л/з) жэне (1 />/3 ,+ ОО ) интервалдарда ойыс болады. 7реманың түжырымы бойынша екінші текті күдікті нүктелер
±1 / л/з графиктің иілу нүктелері болады.
6.345. /(х)=0,5х 3+3х2- 18x4-20.
6.346. /(х)=х 3~6х 2+х+2.
оо
6.347./(х )= х 4+2х3—12х2—5х+3.
6.348. /(*)= х3'2 + х .
-X
6.349./(х)= (х—1)4+24х2+5х.
6.350. / ( х ) = е
6.351. f ( x ) = x ex
6.352. / Ы
6.353. /(х) = х - Inх +1
6.354. /(* )= x4(l21njc-7).
дс3 -1
6.4. Функция графигінің асимптоталары
Егер f(x ) функциясының графигінің бойындағы айнымал М(х,у)
нүктесі 0(0,0) бас нүктеден алыстаған сайын осы нүкте мен кейбір
L түзуінің арасындағы ара қашықтық 8 нольге үмтылса, онда L
түзуін/(х) функциясының графигінің асимптотасы деп атайды.
Асимптоталар: 1) горизонталь асимптота; 2) вертикаль асимптота;
3) колбеу асимптота болып үшке бөлінеді.
1. Егер lim f ( x ) = b не lim f ( x ) = b болса, онда y = b түзуін /(x)
x >I°°
x—♦
функциясы графигінің горизонталь асимптотасы деп атайды
2. Егер lim /(х)=±°°, lim /(х )= ± °° тендіктерінің кем дегенде
х —*а —0
х -> а+ 0
біреуі орындалса, онда х —а түзуін /(х ) функциясы графигінің
вертикаль асимптотасы деп атайды.
Ь = lim Г / (х) - кх]
3. Егер к lim
болса, онда у = к х + Ь түзуін /(х) функциясы графигінің
асимптотасы деп атайды
/(х) функциясының графигінің асимптоталарын табьшдар
Х -» ± о о
Х -+ ± < *>
V
х2
6.355. /(*)= —
3
Шешуі. Функцияның графигінің горизонталь асимптотасы жоқ,
X2
өйткені lim/ и ) = lim----- = °°, яғни функция ақырлы шекке
I-»*»
X —3
159
ұмтылмайды. х —3 нүктесі берілген функцияның екінші текті үзіліс
>
нүктесі, яғни х lim
—
т
=
-°°,
lim
—
=
+°°,
демек,
jc =3 түзуі
—>3-0 х — 3
х—>3+0 у _з
функция графигінің вертикаль асимптотасы. Басқа вертикаль
асимптоталар жоқ.
Енді у = к х + Ь түріндегі көлбеу асимптотаны табамыз.
/(*
)
І
І
2
к = lim —— = lim —7------г = 1
*->±=0 х
*->±~х(х —3)
х2
b
= lim [/(x )-
х2
Зх
(Зх)
3 _
lim------=
hm
—
— — =- =3
__
х
—
3
(v
з^
1
£
•? "
Ijc
1
lim
k x \=
,•
•
3
LA
J
Сонымен, у =x+3 түзуі функция графигінің көлбеу асимптотасы.
X —>±«w
6.356.
X —>±PP
f ( x ) = ? 2 ~ 6x + 3
6.358. /(x ) =
x +2
■
6.357.
.
6>359f
f(x)= x +
f a )
-—
x5
6.360. /(x )= x e x.
x4 -1
6.361./(x)=x-arctgx.
6.362.
6.363. / ( t ) = i l ± l .
'
2x + 3
6.5. Функцияны толық зерттеу және оның графигін салу
Функцияның өзгеруін зерттеп, оның графигін салуды мына үлгі
бойынша орындау тиімді.
1. Функцияның анықталу аймағы мен үзіліс нүктелерін тауып,
аймақтың шеткі нүктелерінде функция қандай шекке үмтылатынын
анықтау.
2. Функцияның жүп-тақтылығын, периодын анықтау.
3. Графиктің осьтермен қиылысу нүктелерін табу.
4. Вертикаль, горизонталь, көлбеу асимптоталарды табу.
5. Функцияның күдікп нүктелерін тауьш, өсу, кему аралықтарын,
экстремум нүктелерін табу.
6. Функцияның екінші текті күдікті нүктелерін тауып (екінші
туынды нольге айналатын, не екінші туынды анықталмаған), дөңес,
ойыс аралықтарын, ирең нүкгелерін табу.
7. Функцияның графигін сызып көрсету.
Функцияны толық зертгеңіз және оның графигін салыңыз:
х3
6.364. f i x )
2
4- х
Шешуі. 1) Бөлшектің бөлімін нольге айналдыратын х = ±2
нүктелер функцияның еюнші текті үзіліс нүктелері. Ох осінің басқа
160
нүктелершде функция үзіліссіз. Демек, функцияньщ анықталу аймағы
оо;-2) u (-2;2) u (2;+oo) . Анықталу
аймағының
шеткі
нүктелеріндегі шекгерді табамыз:
х
lim
4-х
lim
Urn
x
x
4
x
-
4-х
1
x
; lim
-2-0 4 a r
lim
-н»: lim
2+0 4
X —H -o o (
1
X
X
•lim *-»2-0 4 1 x
X
4
;lim x —»2+0 4 -
X
2) функция тақ функция, өйткені
/(-* )
Л*)
4 —х
4-(-х)
.
Демек, функцияньщ графигі, бас нүктеге қатысты симметриялы,
сондықтан оны [0; + °о) аралығында зерттеу жеткілікті.
3) Графиктің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін табайық:
з; = 0=>х3=0=>х = 0. Демек, функцияньщграфигі О х осіменде,
Оу осімен де бас нүкгеде қиылысады.
4) х= 2 нүктесі функцияньщ үзіліс нүкгесі болғандықтан, яғни
lim -
*->2-0 4 _ X
lim
х
+°°> (1 -жағдайға қарацыз) тендеуі х =2
2+0 4 — Г
болған түзу вертикаль асимптота болады.
Осылайша (симметрия бойынша) тендеуі х = —2 болған түзу де
вертикаль асимптота болады.
Көлбеу асимптотаның тендеуін табайьпс,:
і
ш
к lim
X■)
lim
X—
jc(4 —jc
)
lim
jr—
x
b = lim [ / ( x ) - Ax] = lim
4- x
4x
lim
4-x
1
4
l;
l
( -l)x
Um
X — »4*90
X
4-x
+x
4
lim
0.
X—
4
x
1
x
Сонымен у ——x түзу x —>
болганда көлбеу асимптота
болады. Симметрия бойынша бүл түзу
болганда да асимптота
болды. Функция таф игінің горизонталь
11— 219
161
X3
lim /О ) = lim ----- - = -оо ( i) _ жағдайға қараңыз).
5) Функцияның өсу, кему интервалдарын анықтайық. Ол үшін
оның туындысы мен күдікті нүктелерін табайық:
/'(* )
Зх2(4 - х 2) - §| (- 2х) _ х 2 М
1Я И 11
4
х 2 (2л/3-х)(2у/3+х.
_
/'( * ) = —-і— ----- ^
= 0 => х, = О, X, = 2Д
х
( х3 = -2л/з симметрия бойынша). Бүл табылған күдікті нүктелер
функцияның анықталу аймағын (0; 2), (2; 2>/3), (2>/3; +°о) интервадцарына бөледі. х е (0;2) болғанда / '( х ) > 0, демек функция
өседі; хе (2;2v3 J болғанда /'(х)> 0, демек функция өседі. *е І2л/з
болғанда /'(х)< 0, демек функция кемиді. Сонымен, функцияньщ
2л/з нүктесінде төңіректік максимум бар жэне
/_ = /(г7 з )= -з Л ,
jc = 0
нүкгесінде экстремум жоқ, өйткені f ' ( x )
бүл нүктенің сол және оң жақтарында да таңбасын өзгертпейді.
Симметрия бойынша / min = /( - 2 \/3 ) = 3\/3 .
6) Графикгіц дөңесгік, ойысгық интервалдары мен ирец нүкгелерін
табу үшін функцияньщ екінші ретті туындысы мен екінші текті
күдікгі нүктелерін табамыз:
/(2)(х)= 8 ^ 2 + ^ )^ 8х(і2 + х *) = 0=>JC= Q
Дөңестік аймағы:
^2 + * ) < о => х е (2;-н»)
(4 - х 2У
г»”
к
8х(і2 + х2)
/ \
Оиыстық аимағы: —
^> 0 => х е (0;2)
х2
Сонымен (симметрияны ескерсек) х =0 иілу нүкгесі.
7) Графикті салу үшін, алдымен көмекші кесте қүрамыз
162
2 у/з) - 2& ( - 2 л/3 - 2) - 2
X
f'(x )
/" (* )
f(x)
—
0
+
+
4-
+
кемнді
min
өседі
—
(—2,0)
0
(0 ,2)
+
0
+
—
0
—
Зл/З
анық- оседі
талмаған
ойыс
дөңес
0
ирең
2
—
оседі анықталмаған
(2,2 >/3 ) 2 ^
(2^/3 \оо)
♦
4-
А+
—
—
-
өседі
ойыс
max кемңоі
-э > £
дөңес
Зертгеу нөтижелері бойынша функцияньщ графигін сызамыз (6.1.сурет): сонда функцияньщ тақтығы саддарынан фафиктің бас нүктеге
қатысты симметриялы екені ескеріледі.
6.1-сурет
Әрбір функцияны толық зерттеп, графигін салыңыз:
163
6.365. y = x ' - 3 x + l
X
6.367. у
---+ Х
3
2
6.369. У
6.371. у
6.373. у
6.375. у
1
6.366. у
2 + 12х-лг3.
6.368. у
2х +3
4
6.370. у
2.
х3- Зх
1
6.372. у
1
х 3 +1
х
6.374. у
х +2
4
X
6.376. у
2-х3
х 2 -1
X
+1
6.378. у = х е
6.379. ;и= *2е1/т
-
6.380. у
6.381. у
6.382. у —х + е
6.383. у = е
х/2
2 х-х
—X
6.384. у = 1п(1+ е ~х).
1
6.385. >^=х- arctgx.
6.386. у - х е
6.387. у = х 2 •In х
6.388. у
6.389.
= sin ДС+ COSX
6.390. у
164
х 2 +2х+ 3
1
sm х + cos х
Қосымша есептер
Функциялардың туындыларын табьщыз:
1
6.391. У = >/3x + l[x +
х
6.392. v
6.393. V = (1 + 4х3)(1 + 2 х 2).
2х4
6.394. у = "1 — 3
х
а
(х + 4)
6.395. V
х +3
6.397. У
2х
х
6.398. У
X V I 4- X
х2
2 x 9
6.396. У
1
2
+
9
1 + JC
1-х
x 2 + x +1 •
6.399. у = sin6 х .
6.400. у = 2 sin 2х + 5 cos Зх
6.401. y = tg(ax+b).
6.402. у = sin 2х • cos З х .
6.403. у = In (tgx +1)
6.404. у = log3(х2 - sin х
1+ х
6.405. v = In
2
•
1 -х
6.407. у
6.406. j; = ln
yjx2 + 1 + X
cos X
1 , A X
- + -ln tg2
2 sin2 x 2
1
2
,
6.408. У = -z tg2x + l n c o s x .
6.410. у = ecosx • sin x
6.409. у = ae
6.411. у = x
УІХ2 + 1 - X
Xх
In X
\-e x
6.413. у = tg
1+ e
6.414. у = sin >11 - 2
2x
6.415. У = arctg
1 —x
6.416. У = arcsin
6.417. У
1
.
Ху/з
6.418. у = arccos (In x)
гг arctg I----- 2
V3
1-x2
6.419. у = arcsin Vsinx .
6.420. УI arctg,/)
(0 < x < я ) .
1 + cosx
165
6.421. у = arctg
6.423. у
6.424. у
6.425. у
е
х
- X
2
. , 1 + xV
1
Зх
^
. а I IX-а
6.422. у = arctg- + In
х
Vjt + a
Зх
1
~ 2 afCtgX'
+ In \/І + x + arctgx.
1
х +1
In
3 л/х2 - х + 1
1
+
х>/2
+
х2
„
х
хл/2
6.426. у ш -------=---- - + 2arctg-----1 - хуі2 + х
1 -х
Аиқындапмаған функциялардың туындыларын табыңыз:
6.427. у
2рх.
6.428. jc 2 - v
Л
2
2
1
3
6.430.
xJ± у
а3
а
Ъ
•
6.431. х2 +
- Заху = 0.
функциялардың туындыларын
табыңыз
6.433. х —a{t —sin ?); ^ = л(1 —cos/)
6.434. х = a cos3/; у = £sin 31
За/
3at
6.435. x
У
1+ /
1+ t
6.436. у = 2 In ctg/; x = tg/ + ctg/
Функциялардың /г -ретгі туындыларын табьщыз
6.437. у = In sin х, п = 3
6.438. у = sin2х.
6.439. y=ln(l+x).
6.440. у = е~х.
Шектерді есептеңіз
In sinx
е
1
6.441. lim
x-> (л - 2xY
0 cosx-1
,
ex + s m x - l
6.443. Inn—r—jr-----r—
*-*• In (1 + x)
AAA
V
e
S
i
n
x
x
6.444. lim----- =------—
С
3x + x4
1
In 1+
x
6.445. lim
arctgx
6.446. lim
JC —»oo
JC—>4-00
166
x
e
ax
6 .4 4 7 .
ex + e x
lim
ex
x -» 4 o o
__
e
6.448. lim
x—
>1
x
l
6.449. lim
x
1
_
3
C
.
i-»i
f1
l n ( x — 1) — X
n
tg 2x
6.450. lim л/х7 .
t&x
1
6.452. limfctgx)1
"*
x-»0 '
7
6.451. lim
*-»oi x
. ях
6.454. lim
6.453. limIt (cos x )2 x .
tg
X—
>1V 4
~2
Көпмүшеліктерді (x —a ) -ның дәрежесі бойынша жіктеңіз:
6.455. а) X б) х3 +1 > а = 2 ■
6.456. г4 - 5х3 + 5х2 + х + 2 І
а=2 ■
1.
6.457. у5 + 2х
6.458. yj\ + х функциясы үшін п = 2 болганда М аклорен
формуласын жазыңыз.
Төмендегі функциялардың х-тің кішкене мәндері үшін жуық
теңдіктерін (Маклорен формуласын пайдаланьт) шығарындар:
6.459. In cos х =
х3 2х
6.460. tgx ~ х + — +
15
3
X
12
х
2
х
6.461. arcsin х * х +
6 '
,
6.462. arctgx « х
х
3
х4
ех + е х
6.464.
ln(x
+
V
l
x
2
1
+
—
+
6.463.
24
2
2
Маклорен формуласын қолданып, шектерді есептеңіз
х - sin X
lim
6.465.
х2
е
1 —х
х
X
31
In2(1 + х) - sin2 X
6.466. lim—
-X
х-»0
X
1-е
2
3
2(tgx-sin х ) - х
6.467. lim
'
х -* 0
6 .468. Um X х2 In 1 +
I ЩЩЛ
Ctgx"\
6.469. bm
|
j
------x -* 0 t v
X
6 . 4 7 0 . l i m f - j - c t g 2x
П x
167
1
X
Функциялардың экстремумдарын табыңыз:
6.471. / ( х )
х
3
2х2 + Зх +1. 6.472. / ( х ) = 2
6.474. / ( х )
6.473. / ( х ) = 3 - 2 ( х + 1)
6.475. / (*) = cos х + sin х; х е
6.476. / ( х ) = ех sin х .
1)
х
Зх + 2
х + Зх + 2
п п
2 ’2
6.477. / (jc)
= х +
1
6.478. / ( x ) = xlnx.
6.479. / (х) = In х - arctgx .
6.480. / (х) = sin Зх - 3 sin x .
Функциялардьщ көрсетілген кесіңділердегі ең үлкен және ең
мәндерін табьщыз:
х
6.481. / ( х )
2х2 + 3х + 1, [—1; 5].
3
6.482. f { x ) = —
x +l
[0; 4].
L 1
6.483. / ( х ) = sin 2х - х,
71
ш
ТІ
2 ’2
Функциялардьщ ирең нүкгелерін анықтаңыз:
-х
6.484. / (х) = х4 - 6х2 + 5.
6.485. / (х) = хе
6.486. / ( х ) = tgx.
6.488. / (х) = a
6.487. f { x ) = a - \ [ x ^ b
х
6)2 .
6.489. / (х) = 2х2 + In х .
Функциялардьщ графиктерінің асимптоталарьш табыңыз
2
1
6.490. / ( х )
х
6.491.
lх-5 ‘
/( * ) е
х
6.492. / (х) = In х + a .
6.493. у
2а х
2х
6.494. у 2( х - 2 а ) = х 3 - а 3
6.495. / ( х )
х —1
х
х2
V
2
6.496. f { x )
+х
6.497
1.
2 х -1
16
25
і
6.498. / ( х ) = х е х ■
6.499. 2 у ( х + 1)2 = х3
1
1
6.500. / ( х ) = 2х - arccos
6.501. f { x ) = х- Inf е +
х
х
168
V II т а р а у . ИНТЕГРАЛ ЖЭНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ
§1. Анықталмаған интеграл жэне оның қасиеттері
1.1. Алғашқы функция жэне анықталмаған интеграл
1-анықтама. Егер берілген X аралықтағы барлық х үшін
F \ x ) = f { x ) немесе dF (x)= f ( x ) d x боле; онда сол аралықта
функциясын f { x ) функциясы үшін алғашқы функция деп атайды.
2-анықтама. X аралығьшдағы f ( x ) функциясьшъщ барлық алғашқы
функцияларының {ir(x)+C} жиьшын оның сол аралықтағы анықталмаған интегралы деп атайды жэне оны J f{x)dx арқылы белгілейді,
яғни f f ( x ) d x = Ғ (х ) + С, C=const.
Мүндагы J—интефал белгісі, f ( x ) —интеграл астындағы функция,
f ( x ) d x —интеграл астындағы өрнек, х —интеградцау айнымалысы.
Берілген функцияньщ анықталм аган интегралын табуды интеграддау
амалы дейді.
1.2. Анықталмаган интегралдың негізгі қасиеттері
1°-
= /(* ) немесе d[F{ *)]= f{x )d x
2°. j d F (x )= F (x)+ С
3°. I A •f ( x ) d x = Aj f(x)dx, мүнда A —түрақты шама
4 °J I f ( x ) ±
1 1 f{ x ) d x ± I g{x)dx.
3° жэне 4° тендіктер анықталмаған интегралдың сызықтық
қасиеттері деп аталып, түрақты қосылғышқа дейінгі дөлдікпен
анықталған шартты тендіктер.
5°. Егер X аралықта J f ( x ) d x = Ғ ( х ) + С болса, онда сол аралықта
J f { a x + Ъ)іх ——Ғ ( а х +b)+C
a
6°. \ f { x ) d x = F(x)+C болса, онда \ f { y ) d u = Ғ ( и ) + С , мүндағы
и=и(х), теңдік орындалады.
1.3. Негізгі анықталмаган интегралдар кестесі
1. Jo dx = C .
2. \ \ - d x = х + С .
3. I x adx = - 2 ~ - + C, а * - 1 .
1
а +1
4. J— = ІпЫ + С (x?tO).
-
ах
5. \a*dx = -— + С,0< а *■1.
5 a. \exdx = ex +С
In a
169
6. jsinxdbc = -co sx + C.
7. J cosxdx = sinx + C .
\
8. f ——г - = tgx + C, ( x * * + k n , k e Z
2
COS X
/
dx
ctgx + С, (x ф kn, к e Z)
9. JJ sin x
dx
arcsin x + c ; ( l X <
10. J
x
x
dx
arcsin —+ C; x <
10a
a
yja2 - x 2
dx
arctgx + С .
11.
1+ x
dx
1
♦
x
.
^
= —arctg —+ C
lla . J
a
fl2 + x 2 a
Cl
-
x + Vx2 + Я + C, a * 0
л/х2 + a
13
1
dx
a
x
2a
In
a +x
a -x
+ c,
X
Фa
14. j tgxrfx = - In cosx + C .
15. J ctgxrfx = In sinx + C .
Ескерту. 6° қасиет бойынша кестедегі формулалар х-тің орнына
и=и(х) ф ункциясы н қойғанда да оры ндалады . Мысалы
J cos и (х) du (х) = sin и (х) + С.
2-анықтама бойынша мына тендікгердің дүрыстығын көрсетіңіз:
7.1. J4 x 3flbc = x4 + С .
Шешуі. Тендіктіктің оң жағыньщ туындысы (х4+С)'=4х3болып,
интеграл астындағы функция шығады. Демек, тендік дүрыс.
х
7.2. 1) J 4xdx = - V ? + С;
2) Jxdx
+ С;
3
2
1
1
e~5xdx
4) J cos 2xdx = ^-sin2x + C;
5
2
5) J (2x + 3)100 dx
1
202
—v lO l
(2x + З Г + C.
170
Негізгі анықталмаған интегралдар кестесіне сүйеніп, интегралдарды табыңыз:
dx
Шешуі. Кестедегі 3-формула бойынша (а= —3/5)
Г dx
г
с
у -3 /5 + 1
—
/Т7=Г = І Х 5Л = _ з /5 + 1 + С = 2 ^ + С
7.7. Ь = « = .
7.8. Г
х +5
*
'
.
7.9. J
Jx2- 7
*
2
16-х
§2. Интегралдаудың негізгі әдістері
2.1.
Тікелей интегралдау. Көптеген функцияларды, алдымен (қажет
болса) тепе-тең түрлендіріп, содан соң анықталмаған интегралдың
қасиетгері мен кестесіне сүйеніп тікелей интегралдауға болады.
Тікелей интегралдау әдісімен анықталмаған интегралдарды
табыңыз:
_
гх 2 - 5 х + 1
7.10. I------ -г=---- d x .
УІХ
Шешуі. Алдымен интеграл астыңцағы бөлшектің алымын бөліміне
мүшелеп бөліп, содан соң 3° және 4° қасиетгерге сүйеніп интеграл даимыз:
+
Х
J +1
1+1
2
= j f х 2 —5л:2 + 1 x ' ^ d x = \ х 2dx - 5 \ X2dx + 1 \х ~ 2dx
e > '
„ x J? ' . J
2 I 10 I „ f ^
5 •-r-----+ 7 ---- ;---- + C = —x 2 — —X2 + \Лх2 + С.
i+1
2
-|+1
2
5
7.11. J"(6jc5 - 3 x * —7x + 3 ) d x .
г
7.12. J - - -
dx
с
7.13. Jf v■■■— T .
jc*+ jr
4
3
7.14. hj
l
* Cs in
v-2
171
dx
j -
dx
X -cos
x
7.15. f
В
dx.
7.16.
jc2
2 —x + x
г X —I .
7.21. J - p — dx
7.22.
dx
3x
2 + 3x
Ш
7.20.
7.19. f^ I d x
J 1+ x
dx
x+3
V
7.18.
+ 5x + 6
x
l
dx
)2 • jc - yfxdx
yhc-l
7.24.
7.25. j - - * l -+ l dx.
yli+x2 +VT-
-
2
dx
7.26. Lfx + yfx ) dx .
J x +1
/
7.28
7 . 2 7 . j 5 x -exdx.
1
1
x
2
+
1
V
7.29. f
2 + v3 X
+x
3
5
dx
+x
2
7.31. f 3ex +
ylx2 - 7
— JC
dx
7.30
7.32. (2 sin jc — 3 c o s j c +
l)c fc c .
1 + JC
7.33. f ™ * d x .
7.34.
c o s jc
_
f 2л:-sin2 x + 3 ,
7.35. J----- --------- dx
7.37. f
7.39. J
sin
X
1 + COS
JC
1 + cos 2 jc
7.36.
dx
cos 2 jc + sin
л
jc
cos3 x —sin X
COS
dx
xex - x + 2
7.38.
2X
7.40. cos —dx.
2
f (l + jc) 2 dx
7.41. f(2 + \%2x } d x .
7 -4 1 a -
172
5
X
x • sin 2jc + \fx • COS JC
X COSJC
dx.
• COS 2 JC -
dx
Анықталмаған интегралдың 5° және 6° қасиеттеріне, интегралдар
кестесіне сүйеніп, интегралдарды табыңыз:
r
7.42. J
dx
УІ9-(4х + 5)2
Шешуі. 5°қасиетке сәйкес және 10а формула бойынша
,
J I
,
j
. 4x + 5 ^
J '"Г"
“ —arcsin —----- h С .
J3 2 - (4x + 5)
4
3
dx
■>
(4x + 5)
7.43. J \І5х - I d x .
t dx
7.45. J
4x —3 '
7.44. J (Зх + 2)'00
7.46. a) fsin 2xdx,
6 ) J sin
si
7.47. a) J cos 1OOxcfct, 6) Jcos(l00x —3)cfcc
7.48. a) Je-5x+2dx ,
6 ) Je-5jtdx.
7 .49 . J— ^ — .
cos Юле
7.51. f—
.
7.50. f_ л
sin 5x
7.52. J
4 + 25х
Л
л/4 —9 jc
r dx
7.53. J - f = = = .
лІ9х2 +4
dx
7.54. f
7.55. Jsin 100 xcosxdx .
7.56. Jecosjr sin xdx.
7.57. \e~* x*dx.
7.58. j(x 3 + \f° x 2dx
__ _ I sin xdx
7.59.
------•
2 + 3cosx"
t cos xdx
7.60. f
3 + 4sinx
25-4 x 2
2.2.
Айнымалды ауыстыру (алмастыру) әдісі. х = (p{t\ dx = ср\t)d
түрінде айнымалды ауыстырсақ,
j f(x)dx = J
=J
(7:1)
jc айнымалға қаита оралу үшін х=<р(/) теңдікті t -та қатысты
шешеміз: / =ф_1(jc)=v(jc). Кейде тікелей t =v|/(x) түріндегі ауыстыру
тиімді болады.
173
Тиімді алмастьфуларды енгізу арқылы интегралдарды табыңыз
_
. .
2 dx
g.. с хdx
7.61. a) J — , ■ - , 6) J
xvi + x
2dx
Шешуі. а) Г
xvl + x
2 In / +
xdx
6) j
x 2 +3
7.65. J
--------
л
—
2
7.72
2x +3
, , arcsin x ,
7.74. ( J ------ —dx 7.75
1 -x
5
7.78
7.80. Jsin(lgx)
d!x
7.81
7.83. J sin36xcos6x£6c .7.84
2
3
ctgJx
7.86. J
7.87
sin X
7.89. Jx(x2+l)4<£t.
/
2
dt
+t
X <ІХ
1
+ C= ~ln(jc2 +з)+С
2
7.67.
1+ x6
dx
7.70.
V7 + 8x
x 3dx
g
1+ x
7.73.
xdx.
exdx
-1
3xdx
cos2x2
sin3x
dx
3 + cos 3x
■Jx + ldx .
tic
7.90.
(
2)
174
-7
xa!x
Vx2 +3
dx
5x
о_
x dx
x
-I x2 +\
e
1
Мүнда t
7.63. X9 • cos(x10 + 5)dx . 7.64.
7.66.
vjc
21
+t
t
X •dx m dt / 2
Jtdfc
dt
1
M
L,
2 In Һ T + 1 + C.
X
x
rJ x + \nx ,
7.68. J ----------- <&. 7.69.
7.77. J
t
t —x 2 +3, dt —2xdx
(x + l)2 •
7.71. J
1
x • Vi
+t +C
3)"<fr
7.62. J (5
x2+ 3
1
x = - , dx
t
7.76.
1
e
dx.
x
7.79. cos Г х
dx
Tx
7.82. J 4xsin(l—x 2)dx.
7.85.
Jtgx
COS X
7.88. Jl - 3xdx.
7.91.
dx
уІ2-Зх
5 )3d x .
7.92. f
7.95. J
7.93. j-Jl + 2x dx . 7.94. fx(x 2—\ f dx
<£c
7.96. J
+5)7xdx
(•
7.98. J
7.101.
7.103.
л dx
О
7.99. J
x3 +4
In2
dx
x
7.102.
cosx dx
7.104.
l)dx
(2
7.106.
cos(ln jc )
7.109.
7.111
+ iу
x3 + 1
e ,gxdx
X
7.108.
1 + sin2 x
dx
J l-x 2
dx
sin xdx
x dx
7.110.
7.112.
2x
m 2 4 3 dx.
cosx
7.113.
7.115.
7.117.
7.119.
e x +*x+3(x + 2)dx
7.114.
Vdx
7.116.
2x
sin VX
dx
3/
4
Гх
x 2 dx
dx
In x —3
dx
x vл/іin x
xdx
7.118.
У(3х
7.120.
x6 - 2
7.121.
dx
Vx4 +1
1+ 3
1 + x2
arcsin x
sin 2x dx
(in x)2 +1
^/arctgx
dx.
3x
COS
7.107.
x2+ U
7.100. J
x 10° + 3
л/sin2 x + 3
7.105.
7.97. J
3xdx
7.122.
tgx In2 sin x
175
exyjarctge
2.x
1+ e
(2
З)й
+ Зх
7.123. fc o s 11 2 x
7.124. J
sin 2.xdx .
(Зх2 -2 x + 7)dx
ліх3 - x 2 + 7x-2
7.125. J(x —2 )Jx + 4 dx ■
Квадрат үшмүшелікген толық квадрат ажырату арқылы интегралдарды табыңыз:
7.126. J—
х
dx
+ 4.r + 5
dx
Шешуі. f—
x~ + 4x +5
t =x+2
dt
dt = 1- dx
t 2 +1
7.127. f —?
7.129. f
dx
+ 6х + 13
dx
x 2 + 2 - X - 2 +2 -2 +5
л
7
Vx2 + 2x +
х 7 + 3х + з
Jax- x2
УІ2 + 3jc - 2jc2
7.134.
уіЗ.х1 - 2 j с-1
X -2
с
7.136. J
dx
7.139. J
dx
7.132. J
ш
dx
X1 ± 1 ^
5
dx
7.130. J
dx
= J (■*+2)41
dr
7.128. J
•
dx
7.133. J
m
= arctg/ + С = arctg (x + 2) + С
УІІ - 2х - X
7.131. f
Я
dx
x2+3
x 4 + 0.25
7.138. J —
X + 4х + 29 ‘
dx
7.140. f
Vs - 4 х - х 2
dy___
—2x + 5
xdx
X + JC+ 1
2.3.Бөліктеп интеграддау. Берілген аралықта үзіліссіз туындылары
бар и(х) жоне v(jc) функциялары үшін
Jm(x)^v(x)= и(х)‘ v(x ) —j v(x)c/k(x)
(7.2)
теңдік орындалады. dv(x)=v'(x)dx, du(x)=u'(x)dx екендігін ескерсек,
бөліктеп интегралдау формуласы деп аталатын. (7.2) формула мына
түрде жазылады:
Ju(xy{x)dx = и(х)- v(x)—J \?(хУ(х)іх .
176
Бүл формула Judv интегралды табудан, Jvdu интегралды табу
жеңіддеу болған жағдайда қодданылады.
Бөліктеп интегралдау арқылы табылатын интегралдардың басым
бөлігі үш топқа бөлінеді:
1) \ P{x)a.rcigxdx, I /*(x)arcctgxrfx, j P(x)\nxdx, \ P(x) 2iTCs\nxdx,
интегралдар
ал басқа функциялар
dv
белгіленеді.
кх lx, j P{x) sin kxdx, j P(x)cos kxdx, мүндағы Ңх) көпмүі
>
fc-кейбір сан, түріндегі интегралдар. Бүл интегралдар и=Ғ\х), ал
dv = e^dx , dv = sin kxdx , dv = cos kxdx деп белгіленеді.
3)
cos bxdx,
sin bxdx, мүндағы а мен b -кейбір сандар,
түріндегі интегралдар бөліктеп интегралдау формуласын екі рет
қолдану арқылы табылады.
Боліктеп интегралдау әдісін (7.2 формула) қолданып, интегралдарды табьщыз:
7.141. j arcsin xdx .
и m arcsin jc ,
dx
du
x
Шешуі. J arcsin xdx
xdx
x •arcsin x
dv = dx
v = jdv = jd x = x
■x•arcsin x
x
X
2
X
x ■arcsin jc +
22\^42^
x
2
1
+1
2
+ С = x • arcsin x +
7.142. J arccos xdx.
7.143. farctgxdbc
7.145. fin x d x.
7.146. \ x cos xdx
Шешуі. f x cos xdx
и = x, dv = cos xdx
du = dx,
sm x
jsin x +COSX + C.
12— 219
77
x2 +C
7.144. J arcctgxdx
x-srnx Jsiim/x:
(5 jc + 6)cos
7.147. х ln(x - l)fl!x .
7.148.
7.149. xarctgxdx.
7.150. xe2xdx •
7.151.
xdx
7.152.
cos2 X
In
xdx
7.154.
xdx
sin2 JC
7.153. x arcsin xdx .
lnx /TV
.
г— и л t
УІx
7.156.
7.157. xe~xd x .
7.158.
7.155.
7.159.
xsinx ,
2 dx.
cos X
•
arcsin
x
,
—
.------------- /IV
vl + *
л:cosx f
2 dx .
sin X
7.160. x 3e~xd x .
7.161. x 2 sin xdx.
7.162. x 2exdx .
7.163. x cos xdx.
7.164.
ліх2 + kdx .
7.165. ex cos xdx .
Шешуі. Жоғарьща айтылғандай, бүл интегралды (7.2) формуланы
екі рет қолданып табамыз
/ = Jex cos xdx
f ex sin xdx
и = cos x,
dv = exdx
du = - sin xdx,
v =e
и = sm x,
dv = exdx
du = cos xdx,
v =e
ex COSX+ fe x sin xdx
^sinx —J e*cosxdx =exsinx —J
/ - r e байланысты тендеу шығады: J = ex ■cos x + ex ■sin x - J
Бүдан J = 0,5ex(cos x + sin x) + С .
7.166. Jex sin xdx.
7.167. \ y i l - x 2dx.
7.168. fcos(ln х)й!г
7.169. j e 2x sin2 xdx
§3. Рационал функцияларды интегралдау
3.1. Екі көпмүшенің қатынасын, яғни
т-2
’ + Ь 2Х Ш * + ... + Һ
Р т \Х )
\ х т + Ь хХ т
б л(х)
а0х п + а ,х п 1 +а-,х"~2 + ...+ а .п
178
т
(7.3)
түршдегі функцияны рационал функция немесе рационал бөлшек
деп атайды. т<п болса, дұрыс бөлшек, ал т>п болса бұрыс бөлшек
дейді. Егер бөлшек бұрыс болса, онда алымындағы көпмүшені
бөліміндегі көпмүшеге бөліп, оны көпмүшелік және дүрыс бөлшектің
қосындысы ретінде жазуға болады. Мысалы,
3 +2
1+
х2 + х -1
А
А
2х + 1
х + х —1
Мх + N
Mx + N
\к 9
х
(■ a) X + p x + q ' (x2 + p x + q
дүрыс бөлшектері түріндегі функцияларды қарапайым рационал
функциялар (рационал бөлшектер) деп атайды. Мүндағы к - натурал,
A,a,p,q,M,N- нақты сандар, ал x 2+px+q - түбірлері түйіндес комплекс
сандар болатын квадрат үшмүше яғни р 2—4g<0.
3.2. Қарапайым бөлшек түріндегі рационал функцияларды
интегралдау.
1
/. J - А - * =
=
а
п. t
Adx
а
а
Aj d { x - a )
(x -a )
Щ
а +С.
A {x-a)
M ^
MP
(2x + p) + ( N ----— )
2
dx
j—
x + px + q
i n I ШШШМ.
x + px + q
M
In x + px + q
2
M
In x + px + q
2
IV J
+ C.
yt + 1
{x-a)
Mx + N
-it+1
dx
(x2+px+q)
dx
(x + p / 2 f + (q
IN -M P
yj4q
M
2
2x + p
arctg
J4q
P
P
x +px+q)
k- 1
dx
мүндағы J
x 2 + px + q)
1
2 q
Pi ( A - l)
+C
1
(1
1
x 2 + p x + q)
- + { 2 k - l ) J k_I
4
179
P
)
4
+ N
МРЛ
J..
2 h
3.3. Дұрыс рационал функцияларды карапайым болшектерге жіктеу
Алгебраның негізгі теоремасы (Гаусс) жэне Безу теоремаларьша
XJ
Щ .ене отырып кез келген көпмүшені сызықты екімүшелер мен
квадрат үшмүшелердің көбейтіндісіне жіктеп жазуға болады:
Qn(x)—a0(x 'Д1),і(х fl2) 2...a0(x fljj,) к •
(- ..
■(x2+plx+ ql)ri(x2+p7x+q2)r2 ... (x2+ px+ q)rs.
'
Мүндағы lv l2,...,lk, rvrv ...,r - натурал сандар, әрі
ll+l2+...+lk+2rl+2r2+...+2r=n, ал Qn(x) көпмүше a - /, еселі, а2Ч 2
еселі, ..., a - l k еселі, с, ± id { түйіндес комплекс сандар - .V V V J U ,
с ± id - г еселітүбірлері.
түрінде көбеиткшггерге жіктелсе
дүрыс рационал функция (7.3) қарапайым рационал функциялард
қосьшдысына төмендегіше жіктеледі:
рт{х) _
X
Ах
°2
4/,
л 12
( х - а ку
( х - а к)
+“х --------ү
Г
71--------ун
+plx + qlJ
[х +pxx + qA
,
^21* + Ql
,
х 2 + р2х + #2)Г2
(x2 + psx + qs)r’~'
,
л 22
хңак
ек - 1
В12х + С12
Вих + Си
А.
х + Ц.,
и
" хv2++Р\х
0r ++чг
fl
(7-5>
^2г2 + Qr2 ( ^ |
BS1X +
|
*2 + />2Х + Ь
(х2 + psx + qsJ‘
*2+ />,* + < 7 * "
'r
a
(7.5) түріндегі жіктелуде анықталмаған An , Аи ,...,Ащ,
A2x,..., AKek , 5 П,С И,...,5 ^ ,C jri коэффициенттерін анықтау үшін
(7.5) теңдігін ортақ бөлімге келтіріп, тепе-теңдік аламыз. Содан соң
Рт{х)пен оң жақта шыққан өрнектің алымындағы көпмүшенің х-тің
бірдей дәрежелері бар коэффициенттерін теңестіреміз. Сонда
анықталмаган коэффициенттерге байланысты тендеулер жүйесі
шығады. Осы теңдеулер жүйесінен жіктелу коэффициентгерін тауьш
(7.5) тендікке қойсақ онда берілген рационал функцияның қарапайым
рационал функцияларға жіктелуін аламыз. Олардың интегралдары
I,II,III,IV текті интегралдар болады. Бүл өдісті анықталмаған
коэффициенттер өдісі деп атайды. Анықталмаған коэффициенттерді
180
алынған тепе-тендіктегі jc- т і ң орнына әр түрлі мәндер беріп,
коэффициенттерге байланысты шыққан жүйені шешу арқылы да
анықтауға болады. Бүл әдісті дербес мәндер әдісі деп атайды. Кейде
екі әдісті араластырып қолдану тиімді болады.
Интегралдарды табыңыз:
натын функция дүрыс рационал функция.
Квадраттық копмүше (х2 + і)-д ің түбірлері ± і комплекс сандар.
Сондықтан (7.5) формула бойынша, оньщ жікгелуі
х 2 —1
A
Вх + С
Dx + Е
—------ —= —+ -- ------+ -------гг
х
түрінде болады. Мүндағы A,B,C,D,E — табылуы қажет белпсіз
коэффициенттер. Бүларды табу үшін ортақ бөлімге келтіріп,
алымдарын теңестіреміз.
х 2 - 1 = Ах4 + 2Ах2 + А + Вхл + Вх2 + Сх3 + Сх + D x 2 + Ex •
Енді х-тің бірдей дәрежелі коэффициенттерін теңестіреміз де,
белгісіздерге байланысты шыққан жүйені шешеміз:
А= 1
0==А+В
х 4:
В==1
0==С
х 3:
1==2A+B+D =* С==0
х 2:
D- =2
0==С+Е
х:
Е==0
\ —А
1:
—
+ С.
7-171.
7— -гг— р
J (x + 2X* + 3)
,
2х + 7
,
, 5х3 + 9х - 2 2 х - 8 .
181
7.177.
1 dx.
7.178,
x3 + x 2 - 6 x
7Л79. J —
(jc+ 2)2(x+4)2 •
4 io i
r 3x + 2
7.181. J—p-----\ \ d x .
x (x + l)3
x3 +1
7.183. \ x 3_ 2 d x ,
3 x —4x
7.180. f *
........* x 3(x -l)2:
^
f x2 + 4x + 4 ,
7.182. J— ---- vr~ dx
........
x (x -l)
dx
7.184. / 4
7.185. J i l ~ 6^ + 9x + 7 .
ix 2) (x - 5)
7.186.
7.187. J -yf*
7.188./ Л
x~(x
yx
7.189.
V.
+
+1 )j
dx
7.190.
---- ft
7.192. J
7 . 193.
Л
(x + l)2(x2 + l) ‘
7Д94.
U2 —2JC+ 17/
JC3 + x
7.195. / Г ;(* 1>&„ .
-
7.196. f , (2jc + 1>fa
f + 2* + 3J
7.197.
2
' l + x -
1
x3- l
7.191. f 7 T
* dx.
(x2 +2x + 5)2
+
Ж' Зх + з)2 '
7.198. J ^
'
(l + x2)2 '
§4. Тригонометриялық функцияларды интегралдау
и мен v аинымалдарыньщ R(u,v) рационал бөлшегі деп, о<
айнымалдардан тұратьш көпмүшелердің қатьшасьш атайды, яғни
r (u , v ) =
Pm (u ’
6 „(m ,v )
- a oo + У
+ ДріУ + у
2 + Д ц ^ У + - + а д0х т + ... + а 0діУ
bw + b l0x + b 01y + b 20x 2 + b ux y + . . . + b n0x n +...+b0my"
4.1. J /?(sin x,COS X ) d x
.
(7.6)
яғни smx пен cosx функцияларының рационал бөлшегінің интегралы
х
g 2 универсал ауыстыруы арқылы, t айнымалдың рационал
бөлшегін интегралдауға келтіріледі. Мұнда
.
182
л
+
,
•
2t
1 —t2 ,
2 dt
у„
„
ч
х =2arctg/, sm x = ----- 5-, cos x = -----r-, dx = -----=(7.7)
1 + f2
1 + t2
1 + t2
Универсал ауыстыру көп жағдайларда қолданыла берілмейді,
өйткені ол күрделі және көп есептеуді қажет етеді, сондықтан, кейбір
жағдайларда басқа ауыстырулар үтымды болады.
4.2. Егер J?(sin х, cos х )= R<r sin х,- cos x) болса, онда t = tgx ауыстыруы үтымды;
4.3.Егер /?(—sin х, cos x)= —./?(sin x, cos x) болса, онда /=cosx ауыстыруы үтымды. Егер 7?(sinx,-cosx)= -i?(sin x,cosx) болса, онда
t = sin x ауыстыруы үтымды.
4.4. Jsinmx •cos” x d x , мұндагы m мен n бүгін сандар, түріндегі
интегралдар былайша табылады: а) егер т мен п оң жүп сандар
болса, онда дөрежесін төмендету формуласы қолданылады:
. 2
1—cos2x
,
l + cos2x .
sin 2*
sm x —------------cos x = --------------sm x ■cos x = -------2
2
2
’
б) егер m мен n тақ оң сан болса, онда тақ дәрежеден бірінші
дәрежелі көбейткіппі ажыратып альт, интегралды табамыз.
4.5 J sin пх ■sin mxdx, j sin mx ■cos nxdx, J cos mx ■cos nxdx түріндегі интегралдарды табу үшін sina- cosp=0,5[sin(a—P)+sin(a+P)],
sina- sin(3=0,5[cos(a—P)—cos(a+P)]
cosa- cosp=0,5[cos(a—P)+cos(a+p)J формулалар қодцанылады.
И нтегралд арды табьщыз:
1+ sin х + cos X '
_
х
Шешуі. t = tg — универсал ауыстыруы бойынша, (7.7) тендіктерді
ескеріл, түрлендірсек, кестелік интеграл шыгады:
r
dx
_ .
1
2 dt
1 + sinx + cosx
,
2/
1- t 2 1+ /2
1 + -— =r +
1 + tl l + t
dt _ r ^ 0 + 0 _
l +t
1+ f
1
+ C.
In |1 + 1\ + С = In 1 + tg
2
dx
7.200. J - — ------.
3 + 5 cos x
„
e
C O S JC
dx
7.201. J sin jc + cos x
,
.
7.202. J:--------- dx,
1+ cosjc
f
S H lJ t
7.203. \- — :—
1—sm jc
183
,
dx
dx
7.204. J sinx
7.205. J
dx
7.206. f
8-4sinx + 7cosx
n
r sinx + cosx j
7.207. J—----— — dx
3 + sm 2x
dx
7.208. j
5 + 4sinx
dx
7.209. J—
3sin x - 4 cos x
dx
7.210. f
5 + sin x + 3cos x *
M
f
2
~
Sin;rj
7.211. J _
dx
cosx
2 ■¥ COS X
dx
7.212. J
1+ 3cos x
Шешуі. Интеграл астындагы функция жүп функция болғандықтан, /=tgx ауыстьфу (4.2 жағдай) ұтымды.
dt
2
1
х = arctg/, dx
r , cos X = ---- 2 >теңдікгерді ескеріп, түрлен1+ / 2
1+/
діргеннен кейін кестелік интеграл шығады:
dx
J
1 + 3 cos2х
1
tgx
arctg
2
V 2
dx
1 + 3/(1 +
dt
1+ /
dt
1
/
J
4 7 7 = 2 arCtg2 +C
+ С
7.213. J -
dx
7.214. J
cos x
dx
7.215. J sm2 x cos4 x
7.216. Jtg4xdbc.
7.217. Jctg4xafcc.
7.218. Jtg25xdx.
7.219. Jctg3xdx.
dx
7.220. J
5sin2 x-3cos2 x+4
dx
7.221. J
4sin2 x + 9cos
dx
7.222. f
2 cos x - sin x
sin X
sin xdx
7.223. J
9 + cos x '
184
Шешуі. Интеграл астындағы функция sinx функциясын sinx)
функциясына ауыстырганда таңбасын өзгертеді. Демек, (4.3 жағдай)
t=cosx ауыстьфу үтымдьг
sin xdx
t = COS X
9 + cos2 х
1
dt
dt
sin xdx
9+t
1
t
- arctg —+c
3
53
COS X
- arctg ——- + C.
dx
7.224. J
3sin X ■COS X
Шешуі. Бұл жагдайда, интеграл астындагы функция cos;
функциясын (—со&х) функциясына ауыстырганда таңбасьш өзгертеді
жағдай)
sinx ауыстыру ұтымды: Алдымен интеграл
астындагы бөлшектің алымы мен бөлімш cosx функциясына көбейтіп
түрлендіргеннен кейін кестелік интеграл шыгады
I
1 j cos х dx
3 J sin2 x ■cos2 x
dx
3 sin2 x ■cos x
t = sinx
dt = cos xdx
1
dt
J
3 1*1
1+ /
A A In
3 2 1 -t
1
t
1 j _ cos x dx
3 J sin
---2 x
sin x
1 . 1 - t2 + t1 ж 1 ( . i t
. dt Һ
--~
+
\
3 1 t2( l ~ t 2)
3 \ l «Г
II 1
1
31 sinx + 2
1 - sinx
1 + sinx
+ C.
cos xdx
7.225. /
4+sin2 x
cos3 xdx ___
/■sin x
7.226. /
. 7.227. J
sin X
COS X
7.22*.
dx
7.229. J
cos x
7.231. /
sin
.
X
sin4 xdx
COS*
sin 2xdx
7.230. J
cos x
7.232. J cos5 x d x . 7.233. Jsin 2 x ■cos4 xdx
Шешуі. 4.4a жагдайдағы формулалар бойынша интеграл астындагы
функцияны турлендірсек, онда
/sin2х ■cos4xdx = J (sin x ■cos x)2 ■cos2 xdx =
sin22x l + cos2x
1
1
dx = 4 sin22xdx+ - f sin22x •cos 2x<£x
; 4
2
8
8
185
l fl-cos4x , 1 . .
„ ч x sin4x sin32x £
= - 1---------- dx I----fsin 2xd(sm 2x)= ------------ 1 --------1 C.
8
2
16
16 64
48
7.234. J sin2x ■cos2 xdx.
7.235. Jcos2 x-sin4 xdx.
7.236. J cos 4 x ■sin 3 xdx .
Шешуі. Бүл интегралды 4.4 б жағдайдың түжырымын пайдаланып
табамыз:
Jcos х ■sin3xdx = J cos4x ■sin2x sin xdx =
j cos4x(l —cos2x)(—d cos x) =
r,
4
6 ч.
COS5 x
c o s7 X
5
7
„
= - I(cos x - cos x)d cos x —--------- 1---------\-C.
.
7.237. J cos2 x ■sin 3 xdx ■
7.238. J sin 3 xdx .
7.239. Jcos7 xdx ■
7.240. Jcos -^dx .
7.241. J cos5 xdx .
,
гщ Н
7.242. J sin 6 2xdx .
7.243. J cos 9x • cos 5xdx .
Шешуі. Бүл интегралды 4.5 жағдайдағы формулаларды қолданьш
табамыз:
j cos 9x ■cos 5xdx = —{ (cos 4x + cos 14 x)dx =
1•
. d ( 4x) 1 .
d (l4x) 1 . ,
1 .
= —j cos 4x - ■ y+ —Jcos 14x —---- - = -sm 4x + — sm 14x + C.
2
4
2
14
8
28
7.244. Jcos x •sin 3xdx .
7.245. J cos 2x •cos Ixdx .
7.246. j sin 2x •sin Sxdx .
7.247. J cos x • cos 2x •3xdx .
7.248. J sin 3x •sin 5xdx .
7.249. Jsin 2x •cos 4xix . '
7.250. J sin lOx •sin \5xdx .
7.251. f cos—-cos x
x
2x
7.252. Jsiri ^ •cos — Лг.
2
3
7.253. Jsin x •sin 2x •sin 3x*£t
§5. Иррационал жэне көрсеткішті функцияларды
интегралдау
Ei
5.1. [R
а х + Ь Ш ax + b \
cx + d
cx+ d
Ь
El
a x + b y 4,
cx + d
dx
(7.8)
Мүндағы R- рационал функция, ал р {,Я\ >—■>PS->4S ~ бүтін сандар.
Бүл жағдайда
ax + b
t
(7.9)
cx + d
ауыстыруын қолданып, x аинымалдан жаңа t аинымалға көшеміз,
мүндағы к саны Я
\ сандарының ең кіші ортақ еселігі.
Нөтижеде интеграл астындағы өрнек /-ның рационал функциясы
болады.
5.2. J я (*, л/ах + bx + c)dx түріндегі интегралдарда Эйлер
ауыстырулары арқылы есептеиді:
а) а >0 жэне Ь*—4ас<0 болганда
\ а х 2 +Ъх + с + у [ аа .х + 1 ;
(Эйлердің бірінші ауыстыруы);
б) а <0 , ал с>0 болганда
ах2 +Ьх + с —x - t + -Jc ;
в) а>0, ал Л2-4ас> 0 болганда
t
а (х —х 2)
немесе t
а(х —х . )
(7.10)
(7.11)
(7.12)
I
(бүл Эйлердің екінші ауыстыруы) ауыстыру формулалары қолданылады.
+ b x " Y d x - дифференциал биномдыинтеіраддау. Мүнда
5.3. /
а * 0, Ь ф О - нақты, ал т,п ж эне р -рационал сандар.
Дифференциал бином үш жагдайда рационалдандырылады, ягни
алгашқы функциясы элементар функциялармен өрнектеледі:
а) р -бүтін сан; бүл жагдайда жақшаны ашып, иррационал
функцияның интегралына келтіріледі;
т +1
- бүтін сан. аШ.Ьх" = ts , мүндагы s саны р бөлшектің
б)
п
бөлімі, ауыстыруы қолданылады.
187
т
+1
+ р -бүтін сан. ах п +b = ts , мүндағы s саны р бөлшектің
п
бөлімі, ауыстыруы қолданылады.
в)
(7.13)
5.4. [л(ех)*£с.
функцияньщ рационал функциясын интегралдау
X t, х = In /, dx = dt / /
рационал функцияны
интегралдауға келтіршеді.
Иррационал функциялардьщ интегралдарын табыңыз:
1
7.255. J
1 - JC
d x.
)2
VI
+ jc
(1
Шешуі. (7.9) формула бойынша t айнымалды белгілеп, х-ты жэне
dx-ты жэне оньщ дифференциалы арқылы өрнектеп, интегралды
табамыз.
t
1-х
х
1+ х
1
J
(1-x)
1- t
1+t
1-
4x
jc +
7.262
2
v
2j c - 1
■dx
y lX
7.261. J
+ 1 + \ { x + l)
J x + y[x
J\ + x dx
1 — jc
V3 jc +
4
7.263. J
dx
3
dx
-Г х'
7.265. A
1 + V 3 jc + 4
7.266.
dx
7.259. J
\[xd
JC +
dx
7.257. \
3Vl + x
7.264.
, 1—x
+t
dx
УІ2
7.260
It
l-x
(l + ^2)
-At , . dt 1 _ l + x
dx = fl
t ------- Td t = \ — - = - + C =
+C
1+ x
41
l-x
(1 + t2f
*2 t
7.256.
7.258.
dx
-Atdt
dx
1 + JC
1 - JC
dx
l+x
(l + x)2
dx
2 ■J x 2 + J C + 1
Шешуі
бойынша
формуласы
188
1 -2 1 .
x = —— -,u x
I
t
л/x 2+x +1 = xt +1 =>x2+x +1 =x2t 2 + 2xt +1
t + \)dt
/2+ /-1
• л/х2 + x + 1
t=—
t2 - l
/ + 1)
Демек, J
dx
J
x 2 -y[x2
1
-
2J
(1 - 2t)
r! - l
\
5
4
1
21 4 + 4t
dt
r+l
21
t2 -1
l)A
l
Vx
4f + l
1
2t
dt
i (8/-10)<ft
4 4t2 - 4t +1
V
I
(8/ - 4) dt
3.
dt
4 4/ 2 - 4/ +1 + 2 4/2 - 4 / + l
1
2'
d (2 t-l)
2
+ -І
2 (21 - 1)
—
yjx2 + X + 1 --1
1
------In 4
4
V
x
3
x
8
V
X
4
І / - І Щ 4/2 - 4/ + 1|-- 7 • —7 + С
2
4
1 4 2 /-1
1
1 Vx
2
2
- ^ ln 4/ 2 - 4 / + 1 +
\
1
\
—
X
>
I л/х І X 1 1 1 1
4 —--------------------------------- +
X
+c
4
/
7.267. JVjx 2 —2 x - l dx
7.268. Jv3x
7.269. jVl - 4 x - x 2d!x
7.270. f
JC • V J t
189
3jc+ 1*£c
.
1
7.271. / — —£
=
.
7.272. J
"Jx2 + 4 x - 4
7.273. I
,
dx
Л
Ш В + 2x —1
7.214. J
x2
7.275. Ғ Ч т ' * .
7.27«.
хг
Дифференциал биномдардьщ интефалдарын табыңыз:
7.277. Jx3( l- x 2)"^dr.
.;
Шешуі. /и=3, я =2, /»=-3/2 болғандықтан, бүл мысал 5.36
жағдайға келеді, себебі (т+1)/л=(3+1)/2=2. Соңдықтан 1-*2= /2
ауыстыруды қолданамыз. Бүдан x 2= l - f 2, d x 2= d ( l - t 2) яғни
xdx ——tdt.
Демек, Jx3(l- x2Y ' 2dx = j (l- t 2)• f 3 •(~tdt)= J(l- r 2)dt I
= / + - + C = V l-X 2 + I /V 1 - X 2 + c .
?
1
g
7-278. J —7= = .
Л г*+ Т '
7.279. I *
'
■ '!/; + X 3
7-280 ^ T 7 = T VI +■JC4
7.281. J— ** dx
7.282. і Щ р -d*.
7.283.
• !
X5
Ji
7.284. J Vx (l + Vx У
-1
3
7.285. J* 1+ x
.
/
xn vl + x4
Көрсеткішті функциялардың интефалдарын табьщыз:
7.288. J ■ ■
е -1
ІНешуі. 5.4 жағдайда көрсетілгендей t =ех, ауыстыруын енгізсек
рационал функция шығады. Осы функцияны интефалдап, х
айнымалға ораламыз:
■
' §
190
/ = ex, x = hit
dx = dt / 1
e2xdx
J
1
e
J1 +
1
dt = J dt +\
7.289. f
i
t2dt
J
t
dt
t i t - 1)
1 +C.
t- 1
7.290.
e2jt +4
ІШ І
axdx
a2x +1
*
7.292.
7.291. I ^ + 2
+1
dx
1
Интегралдарды табьщыз
7.293 . J 10jc(X2 +1 Xdx.
7.294.
1 V dx
7.295. J 1-
7.296.
dx
3xyU
+ In jc)
(2
dx
v
•Tx
dx
7.297. f
dx
7.298.
.
yfex +3
2-Jx
l
7.299. J
7.300
7.303. J
7.302
3jcfibc
7.304
cos2 jc 2
4хй&с
7.305. \ ^ j —2
sin x
dx
_ _ _
dx
X
7.301. \ x l xl dx
_
In5
.
7.307. j
x 2 - 6 jc +
7.309. je
7.311. f
9
COS
dx
dx
X
cos xdx
+ sin x
2dx
л/3 + 4 jc2
7.310
sin xdx
COS
cos {tgx)
7.308
2 ■x 2dx •
J\6
7.313. J
7.306
sin(ln x)
7.312
cosxdx
9 + sin2 x
dx
yjx2 +
X
dx
dx
7.314.
x 2 + 8x + 20
VI
191
4 jc + 5
JC—x
( jc -
7.315. J
3) d
7.316. J
x 2 —6x + 7
(5 COSJC
cosxdx
7.317. J
л/4
7.319. /[sin 7jc+sin (7x - 2)]dj
+ 2)
Sinxdc
7.318. J
sinx + 2)2
(З si
c o sjc -
3
7.320. Je“s2x sin 2jcdc
dx
7.321. f -
5 sin xdx
7.322. J
sin (бх + 5)
dx
cos
3)-
7.323. Jsin9 x cos x d x .
7.324. Jcos 13 x sin xdx .
7.325. J*2 sin x 3d x .
7.326. J jc3 cos x 4dc .
7.327. Jsin2 3xdc.
7.328. Jcos 2 4xdc.
7.329. Jsin4 xdx:.
7.330. J cos 4 jcdc.
7.331.
7.332. Jsin 5 x • cos 3jcdx
J ( c o s 2 jc -
sin 2 jc )2dx
7.333. J sin 5 jc • sin 6 x d x .
7.335. J
7.334. J cos 4jc ■cos 7xdx
dc
7.336. J
1 + COS JC
7.337. J
yl2 5 - 4 x 2
dx
9 + 16jc2 '
jcdc
7.339. J
2
•
4 + jc
7.343. J
7.340. J
dc
б
•
1+ x
7.342. J x 3 -Vx4 +2dc.
л£
4xdc
dr
7.344. J
л/х+і'
Vx + 2dc
7.346. Je
~ v r~
7.347. J
jc
cos Vxd
x2 +
7.345. J
dx
7.338. J
+ 9jc
7.341. J
dx
sin 2x dc
7.348
cos 2x
7.349. Jx •sin xdx
x 2dx
f cos 3x dx
J
7.350. J
192
—JC
• Y~Z
sin 3x
In xdx
7.351.
xdx
sm x
7.353.
7.355.
•
J
ln£
IX
_ __ _ rx c o s x ,
7.356. J-----5— dx
sin x
dx
2)
m
Г 3X+ 2
7.358. f— --------- dx
dx
2xi + x - 3
5jc—14
x 3 - x 2 - 4x + 4
dx
7.362. J
dx
dx
dx
x4 -1
dx
J 2x2 + 2 x + l
JC+ 1
JC
dx
7.367.
dx
1
(x + l)v2
JC
3 - 2 x 2 + 2x
7.364. J
2
7.365
7.366
7.360. J
dx
x4- x 2
Т '
7.354. Jx-ln2 x d x .
\)dx
1ІХ + 16
7.361.
7.363.
1
x ■arcsin x
7.357.
7.359.
7.352. J
In xdx
JC 2 s i n / ) .
= ( x = 2tgr)
J(4 + x=j
7.368.
x 2dx
2
7.370.
7.372.
= (j: = > /2 s i n f ) . 7.369. f -= - ^ =
,3 v
-jc
1
1+ x
;
dx
7.371. J
(l + x Г V1—x
2 - Vtgj
dx
COS X
-
1 + COSX
f COS JC
7.375. J
sin jc*cos JC
219
xdx
,
7.373. J - --------- dx
dx
7.376.
+1
e'Knnxd x .
7.377.
193
e
eu + 4e' -5
- ІЛ .
dx
§6. Анықталған интеграл жэне оны есептеу
6.1.
fix ) функциясы [а\Ь] кесіндісінде шенелген болсын. [а,Ь\
кесіндісін х0,хрх2,...,хп нүктелерімен п бөлікке бөлеміз: а -х 0< х <
<х,<...<х —b. Әрбір бөлікше [
] кесіндісінен еркімізше бір с.
нүкгесін алып, Лхк = х к - х к , деп белгілеп (мүндағы £ = 1,2,...,л)
түріндегіfix) функциясының [a,b] кесіндісіндеп интеграл қосындысы
деп аталушы қосыңды қүраймыз.
Анықтама. (7.14) интегралдық қосы нды ны ң maxAxt-»0
жағдайдағы шегі, Щ және {сА} (к=1,2,...,п) нүктелерді қандай таңцап
алғанымызға байланыссыз, бар және ақырлы болса онда осы шек
fix ) функциясының [а,Ь\ кесіндісіндегі анықталган интегралы деп
аталады және ff{x)d x деп белгіленеді, ягни
а
(7.15)
Мүндагы а жэне b сандары интегралдың сәйкес төменгі және
жоғарғы шектері, х- интегралдау айнымалысы, ал интеграл астындагы
fix ) функциясы [a\b\ кесіндісінде интегралданатын функция деп
аталады.
Теорема. (Жеткілікті шарт). Егерfix ) функциясы [а,Ь\ кесіндісінің
ақырлы нүктелерінде бірінші текті үзілісі бар болып, басқа
нүктелдерінде үзіліссіз болса, онда ол осы кесіндіде интегралданатьш
функция болады.
Анықталған интегралдың негізгі қасиетгері:
a
b
а
1) J/(x)<fr= 0; 2) \ f { x ) d x = - \ f ( x ) d x , 3) a,b,c нүктелері қандай ретге
Ь
а
а
орналасса да J f{x)dx= J f(x)dx+ J f(x)dx;
a
Ь
a
b
4) J A f ix)dx = AJ fix)d x. A =const.
a
a
5) 1[/(* ) ± gix)]dx = j fix ) d x ± J gix)dx.
a
a
a
6) [a,b\ да f(x )< g (x ) болса, онда Jf ( x ) i x < Jg(x)dx.
7)
Орта мэн туралы теорема: Егер /(х) функциясы [а\Ь] кесіндісінде үзіліссіз болса, онда се \а,Ь] нүкте табылып, мына тендік
орындалады:
\f{x)dx= f { c ) ( b - a )
а
(7.16)
6.2.
Теорема. Егер Ғ(х ) функциясы [а,Ь\ кесіндісінде үзіліссіз
/(х) функциясыньщ кейбір алғашқы функциясы болса, яғни
F'(x)=f (x), онда
jf (x )d x = F ( b )-F (a ) = F { x ) \ba
(7.17)
Бүл тендік Ньютон —Леибнии формуласы деп аталады
6.3.
Айнымалды алмастыру (ауыстыру) арқылы интегралдау
Теорема. [a;b\ кесіндісінде /(х) функциясы үзіліссіз, ал | Р]
кесіндісінде ф(х) функциясы мен оның туындысы <p'(f) үзіліссіэ
a < t < P болганда а =ф(а), Ь =ср(|3) болсьш. Онда
\ fix)dx= J f[(p(t)]-(p'{t)dt
а
(7.18)
а
6.4. Бөлікгеп интегралдау.
Теорема. и=и(х), v = v(x) функциялары жэне олардьщ туынды
лары [а,Ь] кесіндісінде үзіліссіз болсьш. Онда
J u(x)dv (х) = и(х) •v(x)(* - J v(x) -du[x)
(7.19)
а
а
Анықтамага сүйенш, интегралдарды есептеңіз:
b
7.378. J A xdx ( b > a ) . 4=const.
a
Ax функциясы кез келген [a\b\ кесіндісінде
Шешуі
сондықтан жеткілікті шарт бойынша ол интегралданатын функция
Ягаи интегралдың мәні [a\b\ аралыгын қалайша бөліктегенімізге жөн<
әр бөлікшеде аралық нүктелерін қалай
тандауымызға байланыссыз.
[а,Ь\ кесіндісін өзара тең п- бөлікке
бөлеміз:
Ъ—а
Мүнда бөлу
п
х.=а+2Ах
телері х= а, х.—а+Ах.
^
=х =пАх болады (7.1. су
Аралықтағы
нүктесш
аламыз:
Лх
Лх
195
7Л-сурет
с а, с2 = а + Ах, с3 =а + 2Ах,...,сп = а + ( п - \ ) - Ах.
f(c k)=Ack екенін ескеріп (7.14) интеграл қосындысын қүраймыз:
n
c n
n
n
= X / ( c*) A x*
*= 1
Дх =
Л Д х ]Г [а
+
(А-1)Дх]
k= \
A:=l
= A ■[a + (a + Дх) + (a + 2Ax) +... + (a + (n -1) Ax)] ■Ax=
= A-[na + Ax(l+ 2 + 3 + ... + (/?-!))] Ax.
Ax
онда
• •
b —a i ~
( л\ n\n —l)
------, 1+ 2 + 3 +... + \n —1)=--------- екендіин ескерсек,
n
n
a n =A na +
n ( n - 1) b - a
2
n
л - l b - a Vl
\
Al a +------------Ib - a )
n
2
b-a
n
J
Енді (7.15) тендік бойынша, lim Ax = lim----- = 0, lim - —- = 1 бол
n—>00
ғандықтан, lima„ = f Axdx = АІ a +
a
n—»00
n
2
^ lb -a )
л(ь2 - a 2)
2
7.379. Jmdx(m = const).
7.380. J x 2dx
1
7.381. J(1 + x)dx .
7.382. \e xdx.
1
П
a
Берілген кесіндіде функцияньщ орта мәнін табьщыз:
7.383. у = х 2\ [2;4]
7.384. у = х 3; [0;1].
7.385. у =sinx; [0;я].
7.387.
y = \fx \
7.386. у = cos х: 0;
[0;l].
7.388. У
71
2
1
1+ х
п
7.389. ,у=1пх; [1;2].
7.390. у = tgx; 0;
2
Анықталған интегралдарды есептеңіз:
е /2
7.391. J
dx
1х
л/1- (in х
Шешуі. Интеграл астындағы функция
е /2] кесіндісінде
үзинссіз, оның алғашқы функциясы бар. Осы алғашқы функцияны
196
тікелей интегралдау әдісімен тауып, Ньютон-Лейбниц (7.17) форму­
ласы бойынша анықталған интеградцы есептейміз:
е /2
е!2
d (in jc)
dx
e !2
arcsin In x
I x V1-ln
arcsin 1п(г/2)
In x
arcsin In 1 = arcsin (l - In 2)
\
(
7.393. J 1+ e A dx.
0V
7.392. J3 x 2dx.
1
dx
7.394. j
-i J3x + 4
2
dx
7.396. j
7.395. f
о (2x + 1)3
dx
j r -4" 3
7.397. } ^ - d x
0X + 4
Ъ х-2
К
7.398. fsin 3xdx
dx
7.399. J
0
7.400. j J i+ x d x
0
n
1 xdx
f 1 + In X
,
7.402. ! ------- dx
7.401. J
X
1
7.403. j
* Vsin X
2
7.404. J (2x+sin2x)dx. 7.405. J
о
2/ X2 + M j -------____ -,1
7.410. J
IV
2 x -3 *
\x +2 ,
7.408. \ - ---- dx
i 3 - jc
dx
7 407
dx
/
Л(11+ 5*)3 1
2 dx
7.409. J>/4
dx
7.412. J
0J 4
1
x 2dx
7.413. f (V2x + \[x )d x.lA \A . )
0
0v4
1
7.406.
1
dx
8
7.416. f
IJZ
*£c
xVl + lnx
7.415. f
1
x
2к
7.417. Jsin4rdfr
7.418. J cos —dx .
0
2
7.420. J E
7.421. J sin2x cos xd!x
0
0
n
7.419. Jcos2xd!x
0
197
g Л
dx
dx
7.422. J—
. 7.423. j
оx + 4x + 5
0 V3 + 2x
>/3
dx
7.424. “f - J * ...
I a2+x2
n
6
7.427. j
YЛү
dx
7.425. j
7.426.
о x+l
cos2ж
p л/4i i
Айнымалды ауыстыру өдісімен төмендегі анықталған интеграл
дарды есептеңіз:
7.428. J — 2
dx
Шешуі. t =arcsinx түрінде t айнымалды енгізейік. Сонда х айны1
.
п ^
малдың —— < х < 1 өзгеруіне сәйкес t айнымалысы — < t < — (себебі
у/2
4
2
1 7Г
л
a = arcsin
’
р
=
arcsin
1
=
—
)
өзгеретінін
және
x=
sin/,
4
42
dx—costdt екенін ескерсек, онда (7.18) формула бойынша
К
It
jc o s 2f dt 2
rl
H I sin21
cos
dt
sin t
1
л: sin21
к
к sin t
к
1
n sin21
\
П
1 dt = (-ctgr - 1
n
2
/
1
V
7Г
4
к
1
4
4
ХбІС
7.429. J
0 л/l + Зх
л
dx
7.432. J
о 2 + cos x
*
7.435. J
x dx
І®3
7.430. J-
Л (хз iW
7.431. J
т ітШ Ш
Лү
1 jc
-2 dx
7.433. J
о (jc+ 1)
ln2
7.434. J л/е
0
7.436. }х2л/9
1 JC<ix
7.437. J
0 УІ5 + 4jc
-3
Л
7.438. J - + t g * o!x. 7.439.
іпзі + е
0 l + tgx
198
tic
о
fife
dx
7.440. J . зГ—
7.441. J
11 + v3 x - 2
я
-il + Vx + 1
Ч8 dx
7.442. J
dx
7.443. J
J ex +1
о 3 + 2 cos X
7Г
dx
4
7.444. f
dx
7.445. J
2 xylx2 -1
о 1 + 2 sin2 x
dx
7.446. J
2
7.447
-4
dx
-2Vx + 3 + J(x + 3)
1
dx
7.448 J
Л
3
7.449. j
+ x 2)
1
-2 (4 + x
1
dx
7.450. J
i хл/l + 4x
#
l x dx
7.452. J
7.454. J
0
In5
л/х dx
yfx—I
'
x2
7.456. J
0(x +
г
Jx2
л
/9
7.453.
- 4x
4
dx
7.451.
l x + V 2 x —1
- i л /5
dx
7.455. J
0
x2 tic
_J
dx
ex +3
dx
1)
Бөліктеп интегралдау формуласын (7.19) қолданып, анықталған
интегралдарды есептеңіз:
п
7.457. Jxsin3xdx.
0
Шешуі. (7.19) формула бойынша м(х)=х, dv(x)=sin3xdx,
1
du =dx, v = f sin 3xdx
Л
I х sin 3xdx
0
X
jicos3tc
3
3
cos Зх деп алсақ, онда
К
0 cos3 -0^
+
cos 3x
dx
3
cos 3x
3
0
3
1 sin3x
+з‘ 3
199
n
0
К
3
л
7.458. J х •arctgxrfx. 7.459. \xe’xdx.
3
7.460. f -
о
0
І sta x
2
2
^ -1
7.461 .jxlwcdx,
7.462. Jxcosxdx. 7.463. J ln(x + l)dbc.
0
0
Л
7.464. J Cos2x, __•
Jr arcsin JC
7.465. J
о
J
cos xdx .7 .466 . j e'sin xdx
e
0
_
4
• 7e468e ^1 to2jafc- 7.469. J e3* cos 4jc<£c .
0
7'467n
2
0
7.470. f x 2 cos 2xdx . 7.471. J9x2 ln(x + 2)ft
0
-1
It
It
7.473. J * 2sin2xdx. 7.474. J a n V id e .
0
7.476.
7 472 f •*' arctgy
‘ {
л /Г к ?
7.475.
0
---- j***. 7.477. jarccosxdx.
§7. Анықталған интегралдың геометриялық жэне
физикалық қолданулары
7.1. Жазық фигураның (пішін) ауданын табу
Жоғарысынан у —f (х) функциясының графигімен, екі жағынан
х —а, х —Ь түзулерімен, ал төменнен Ох осімен шенелген қисық
сызықты трапецияньщ ауданы ( f( x ) > О)
S = J f(x)dx
формуламен есептеледі. Ал жоғарыдан және төменнен сәйкес / (х)
ж әне/j(x) ( f Х{х) < /2(х)) функцияларыньщ графиктерімен, екі жағьшан
х =а, х =Ь түзулерімен шенелген фиіураның (пішіннің) ауданы:
200
(7.21)
Егер фигура
графиктерімен ;
оньщ ауданы:
GO (<
Р\(у ) ^ (Рі (у )) функцияларының
1(у)
с, y=d, (c<d)
онда
S = \[(p2{y)-(piiy)]dy
С7.22)
Егер ауданды шенейтін қисықтың тендеуі параметрлік түрде
x=<p(f ),y = y (t ), (ф</<Р), берілсе және ол [а,Ь\ аралығындағы қайсыбір
У ~ / ( х ) функциясын анықтайтын болса, онда (7.20) формула мына
түрге келеді:
S = 1v{t)(p'{t)dt
(7.23)
a
Егер қисық р=р(ф), полярлық теңцеуімен берілсе, онда осы
қисықпен жэне ф=а, ф=|3 (а<Р) полярлық радиустерімен шенелген
секгордын ауданы:
S = \ ! Р2(<р )<*<р
(7.24)
а
Көрсетілген сызықтармен шенелген фигуралардьщ аудандарын
есептендз:
7.478. у —х 2, у= 0, у ——1 жэне (7.2-сурет)
Шешуі. (7.20) формула бойьшша
2 (-1)
S = ] X2dx =
3 -1 3
3
-I
8+1
9
-
—— = - = Зкв.
.
б ф Л ІК
7.479. v = 2х - х
х (7.3.-сурет)
У
Шешуі. Берілген сызықтардың теңдеулерін жүйе етіп шешіп,
олардьщ қиылысу нүктелерін, яғни интеграгщьщ төменгі және жоғары
шектерін табамыз.
7.2-сурет
7.3-сурет
201
[0,3] аралықта 2 х - х2 > - х . (7.21) формуласы бойынша
з
Л
(2
*
о
X
(-x)ldx
X- X
о
3
Зх
~2
X
3 о
9
к
в
2
бірлік.
к
3
7.480. у = sin х, jh= 0, 0 < х <л
7.481. у = tgx,
7.482. 7=4—х 2, ,у=0.
7.484. у = 16—х 2, 7=0.
7.486. 7 = 1шс, х=е, 7 = 0 .
7.488. 47=8х—х 2, 47=х+6.
7.483. 7 =4х—х
=0.
7.485.7 =—х 2+3х—2,7=0.
7.487. 7 2=2рх, х=а.
7.489. 7 =4—х 2, 7 = х 2—2х.
7.490. 7 = у/ х , J
7.492. х 2+ 72=16.
7.494. 7 =х 2+4х, у =х +4.
7.496. 7 2=4х, х 2=4 у.
7.498. 7 = ^ - 1, 7 = ^ - 3 , х=0.
7.491. — + ^
1.
9
4
7.493. 7 :х 2, 7=2—х 2.
7.495. 7 2=2х+4, х=0.
7.497. 7 = х 2+2х, 7=х+2.
7.499. 7 = 1п(х+ 2 ), 7 = 21пх
7.500. (х —1)(т+2)=2, х+7=2.
7.502. x=flrcos3/, 7 :
Шешуі. Астроида
7.501. x
О, х
2
У
а ,У
2
О
3
ах
2
(астроида)
нүктесіне сәйкес симметриялы болғандықтан (7.4-сурет)
есептеу жеткілікті. acos3f=0, acos3? =а тендіктерден а
екендігі шығады: (7.23) формула бойынша
о
о
S
J a sin31 ■[a cos3г) dt
a2
J
sin
31
•
3
cos
2t
sin
tdt
4 n
к
2
2
n
It
о
О
За2Jsi
sin41- cos2tdt —3a2[(sin r-cos f)2 sin2tdt
0
0
7Г
П
sin 21
3>ЛЖ
. . I.
sin
2
tdt
4
Я
/
.
v
c°s
2t)
dt
3al
a2i
i
(
1"
cos4,);2
(1
2
о
202
п
,3 = 0
2
7.4-сурет
7.5-сурет
Я
з
16
о
1 - cos 2/ - cos 4/ + —(cos21 + cos 6 /) dt
71
16
111 ^ c o s2/ - cos4/ + —cos 6 / \dt
2
2
0
3
Л
.
1
•
О,
1
•
At
1
•
с
У
— a t - - s m 2 t - - s m 4 t + — sin 6/
16 I
4
4
12
0
Зла
Демек, S
3а2 к
16 2
Зпа2
32
T
7.503. x= a(t—sin/), y= a(l—cost), y= 0 (циклоиданьщ бір арқасы)
7.504. х —Ъ/ 2, y = 3 t—t 3, (ілмек)
7.505. х =acost, у =Z>sin/ (эллипс)
7.506. x = a(2cos/ —cos2/), ^=a(2sin/—sin2/) (кардоида)
7.507. x = t 2—1, y —t i~ t (ілмек)
7.508. x = 2+ 3cos/, v =3+2sin/ (эллипс)
7.509. p
(кардоида)
Шешуі. Кардоида (7.5-сурет) полярлық оське сәйкес симметриялы
ориаласқан, сондықтан алдымен ізделінетін ауданның жартысыи
есептейміз, мүнда 0<<р<л. (7.24) формула бойьшша
S
2
1
j p 2d<p
20
г
а
2
1
a2j ( 1 + cos (pf d(p = — J(l + 2 cos(p + cos 2 (p)dq>
о
1
a
jdq> + 2j cos (pd(p + —J (1 + cos 2<p) dip
2 о
0
0
1
a 3
—<p+ 2 sin <p+ —sin 2q>
4
2 2
я
0
203
3
2
2
7.510. p=2+cos<p (Паскал үлуы).
І
7.511. p2=fl2cos2<p (Лемниската).
7.512. Полярлық осьпен р=я<р Архимед спиралінің бір бүрамасы
7.513. p=acos3<p.
7.514. p= a(l—совф) жөне p=0.
7.515. p=3(l+suMp).
7.516. p = 2^/sin 2(p .
7.517. p=cos3cp.
7.518. p = a(cos(p + sin(p\ a>0.
7.519. p=2sin5ffi.
7.520. p = a-Jcos2(p.
7.2. Қисық сызықтың догасының үзындығы
Егер сыптығыр қисық сызық у - / ( х ) теңдеуімен
онда доғаньщ үзындығы
/
(7.25)
Егер сыптығыр қисық параметрлік х = <p(t\ у
тендеулерімен берілсе, онда доғаньщ үзындығы
I
/Л
У
М
]
a
+
Р)
(')]
(7.26)
координаталар жүйесінде
Р = PVP) (а<(р< Р) тендеуімен берілсе, доғаның үзындығы
формуламен есептеледі
/
+ [р
(7.27)
a
Тендеуімен берілген қисықтъщ доғасыньщ үзындығьш анықтаңыз:
7.521. у 2 = (х -і)3, 2 < х < 5 .
%
Шешуі. Бүл жартыкубтық парабола. Тендеуді у-ке сәйкес шешіп,
3
j
1
туындысын табамыз: у =
- і) і, у '= ± ~ (х ~ Щ . «+« таңбалар,
Қисық сызықтың Ох осіне сэйкес симметриялы екендігін көрсетеді.
1 '
2 < х < 5 болганда, у' = —1,5 ( jc —1)2 , яғни бүл аралықта қисық
сызықтың тармағы Ох осьтен томен орналасады.
(7.25) формула бойьпппа
■
/
1+
1
18
1,5 •(jc
і
i
Jt-5)2rf(9x-5)
dx
1
2
x - 5 dx
1
(9x - 5)
27
204
^
3
3^
1
40x2 - 1 32 »7,63
27 v
7.522. у = х г, 0< jc<2.
7.523. у = х 2—1, Ох осьпен қиылысу нүкгелерінің арасындағы
доға.
к
7.524. у = 1пCOSJC, 0 < J C <
~6'
і •
я ^
2к
7.525. Д' = In sin jc, —<х< —
7.526. _y= lnjc, лІ$ <х<у[\5
Л
0 <х<а
7.527. у2
7.528. ^ 2 1ах, х=4 түзуімен қиылған
3, у=0.
7.529. у 2 9 - х , у
л
7.530.
In---------, JC = О ден X - — -T2L деиш.
COS X
7.531. У
О
1, л(і;0) нүктеден В(2\і) нүктегедейін
3
7.532. 7=1п(1—х 2), х=0 ден х = — ке деиін
астроида. (5.4-сурет)
7.533. х =acosit , у
Шешуі. Қисықтың бірінші ширекте жатқан доғасының
үзындығын есептейміз. (7.26) формула бойынша
4i
о
о
ы
ii
43
l_
Л
+ (a sin3
2
(k
1
11
2
К
За cos 21 (-s in г)]2 + (За -sin2 r cos r) dt
0
я
Ш
f 3a •sin t •cos tdt = — f sin 2tdt = ----- cos I t
j
о
2 3о
4
3a 3a 3a
— + — = — • Демек, l=6a.
4
4
2
205
К
2
0
7.534. х —а( 1—sin/), у=а(1—cos/), a < t < 2к (циклоиданың бір
аркасы).
7.535. у =Rcost, x=Rsint, a < t< 2 n (шеңбер).
7.536. x = 3 /2, y —3 t~ t3 (ілмек).
7.537. x = t 2, у —t ——/3 (ілмек).
і
7.538. x = —t ,
/2
н в
у = 2 -----, Ох осьпен қиылысу нүктелерінің
6
4
арасы.
7.539. x=cos/+/sin/, у =sin/ —/cos/, 0 < / < —4
7.540. x=3sin/+4cos/, y=4sin/—3cos/.
7.541. x=e'cos/, y= e'sin/, /=0 ден /=1-ге дейін.
7.542. х =е ' (cos/ + sin/), y=e'(cost—sin/), 0 < / <
К
4
7.543. x=cos5/, у =sin5/ , 0 < /< —•
2
7.544. p=a(l + coscp), fl>0» a < q> < 2к кардоиданьщ (7.5сурет)
үзындығьш есептеңіз.
Шешуі. Алдымен кардоиданьщ жарты үзындығын (7.27) формула
бойынша табамыз:
1=J\1[аС1+cosР)Т+
2
о
*
г
а( 1+ cos (р)
d<p
------------------------------------------------
Я
J ^Ja2 (l + 2 cos(р + cos2ф) + a2 sin2(pd(p = а \ ^2 + cos q>d(p
о
о
K /
rn
Я
K
aj J 4 cos2Md<p = aj 2 cos ^-d<p = 2a sin ^
4a (1 - 0) = 4a
о
Демек, /=8а.
Қисық сызықтың доғасының үзындығын анықтаңыз:
7.545. р = acos3
0 < <р< Ък .
МГ
7*546. р=5ф Архимед спиралінщ р=10я шеңберінің ішіндегі бөлігі
7.547. р = asin4^ .
4
206
1
7.548. Р = - >
з ^
4 - ^
4
3-
7.549. р = a sin3 1 .
7.550. р=2(1—costp) кардоиданың р=1 шеңберінің ішіндегі бөлігі.
7.551. р = уҢ. sin (р •
7.552. p= 6(l+sintp),---- <(р< 0.
1
7.553. p=2cos<p, 0 < <р< — .
12
7.554. р = --------- , 0 <<р< —.
l + cos<p
2
7.555. Р = 4 2 е \ 0 < © < - .
2
7.3. Айналу денесінін көлемі
0 < у < fix ), a < х < b қисық сызықты трапецияның Ox oci
арқылы (төңірегінде) айналғандағы дененің көлемі
К = * \ / 2(x)dx
(7.28)
a
формуламен есептеледі. Мұндағы айнымал көлемнің дифферен­
циалы dV=%f 2(x)dx.
0
< x < ф(у), с < у < d қисық сызықты трапецияның Оу oci
арқылы (төңірегінде) айналғандағы дененің көлемі:
d
V = л \ ( р 2 (y)dy
(7.29)
мүндағы айнымал көлемнің дифференциалы dV=n ф 2(y)dy.
0
< у < f (х), a < х < b қисық сызықты трапецияның Оу с
арқылы (төңірегінде) айналғандағы дененің көлемі:
ь
Vy = 2 n \x f [x)dx, a > 0
(7.30)
a
мүндағы айнымалы көлемнің дифференциалы dV = 2лх ■f{x)dx.
7.556. у 2=2рх, х=а сызықтармен шенелген фигураның айналу
денесінің көлемін анықтаңыз: а) Ох осі төңірегінде; б) параболаньщ
жоғарғы тармагының Оу осі төңірегінде.
ІІІешуі. а) (7.28) формуласы бойынша табамыз:
а
а
х2
Vx = я [ 2pxdx = 2пр
яра2.
2о
б) Параболаньщ жоғарғы тармағының теңцеуі у = yflp х болғандықтан, (7.30) формула бойынша
207
5
а
л rz
5
Көрсетілген сызықтармен шенелген фигураның берілген ось
арқылы (төңірегінде) айналуынан пайда болған дененің көлемін
табыңыз:
7.557.7 2= 9х, 7 = 3х; Ox.
7.558. 7 =4х—х 2, 7 =х; СЬс.
7.559. 7 = х 2, 7 2=х; Ох .
7.560. х 2+ 7 2=25; Ох.
7.561.7 2=(х+4)2, х=0; Оу.
7.562. —ү ~ т ү = 1, 7 = ±*; OF.
а
о
7.563. у 2=4—х , х=0; Oy.
2
7.564. у = ----- j ’ У“ 0, х=0, х = \\ Ох.
1+х
7.565. у =2sinx, 0 < х < л; Ох.
х2
у2
7.566. — + т г = 1; Оу.
a
b
7.567. у =cos3t, у =sin3/ ; Ox.
7.568.
y = t 2, y = t - - t 2; Ox.
7.569. 2y= x2+4x+4, y=2; Oy.
7.570. 2y = x 2, 2x+2y~3=0; Ox.
7.571. y=e~2x—\, y=e~2x+ 1, x=0; Ox.
7.572. y = x , y= x + sin2x, 0 < x < n; Oy.
7.573. yz=x2, y = yfx; Ox7.574. y=ex, x=0, x = l,y = 0 ; Ox.
7.575. y = x 3, y = l, x=0; Oy.
7.576. y = - , x = l,x = 2 ; 0 x '
х
7.577. y = x 2+ l, x = —l, x = l; Ox.
7.578. у =x~x2, 7 = 0 ; Ox.
7.579. 7 =lnx, 7 =0, x =e; Ox.
7.580. xy =4, 7 = 0 , x = l, x=4; Ox.
7.4. Айналу бетінің ауданы
7 = /(x ), a < x <b, тегіс (сыптығыр) қисықтьщ Ox oci арқылы
айналғандағы бетгің ауданы
(7.31)
(7
формуламен анықталады.
208
Егер сыптыгыр қисық параметрік x=<p(t), y=\\f(t), (a < t < P)
теңцеулерімен берілсе, онда айналу бетінің ауданы:
S
(7.32)
М V { ф (О]2 + [ у (ОТ <
dt
a
Егер сыптығьф қисық полярлық координаталар жүйесінде р =р(ф),
(а < ф < Р) тендеуімен берілсе, онда айналу бетінің ауданы:
р
I---------------------------------------------s x = 2п \ Р {<р) ■sin q>J[p (ф)]2 + [р' (ф)]2 </<р
(7.33)
а
х —ф(у), c< y< d сыптыгыр қисықтың Оу осі арқылы айналгандағы
бетгің ауданы:
S
.
2 я [ (pbW l + [<p'W]2dy
(7.33 a)
.
7.581. Айналу денесі ретінде радиусы R болган шар бетінің
(сфераньщ) ауданьш анықтау керек.
Шешуі. Шар бетін у = +v R х , —R < х < R , жарты шеңбердің
Ох осі арқылы айналгандағы айналу беті деп қараймыз. Сонда (7.31)
формула бойьшша шар бетінің ауданьш анықтаймыз:
R
Sx = 2л j
уіЯ
2
R
2к
R
-R
R
R
dx
je“ -J1+ —=-— -dx = 2 n j \I r 2 - x 2
R2 - x 2
J r 2 - x2
-R
R
2л f Rdx
dx
R2 - x 2
2 - х 2 - ./1 +
2nRx
R
-R
4k R .
-R
Берілген қисық доғасыньщ көрсетілген осыі айналуьшан шыққан
бетгің ауданьш есептеңіз.
7.582. у 2=2х, 0 < у < 4 ; Ох.
7.583. у =sinx, 0<jc<7t; Ox.
x2 у2
7.584. - т +
а
Ъ
1
7.586. У = ~ х \
хг
1; Ох
1<дг<1;
7.585. — +
= 1; Оу
Ъ
а
к
Ох. 7.587. _y= sin3x, Щ <х<—; Ох
3
1
7.588. у = - у / х ( х - \ 2 \ 0< х< 12; Ох.
6
14— 219
у2
209
7.589. 9ау2=х(3а—х )2, (біртүзағы) Оу.
1 2 1
7.590. х = —у — In у,
1< у < е \
Оу .
7.591. y —a its in t), y= a(\—cost) циклоиданың бір аркасы; Ox.
t3
t2
г7.592. y = — , у = 4 - — , 0<t<2>f2; Ox.
mf
<M
7.593. x = e'sinf, y = e'cost, 0 < / < —; Ox.
2
7.594. x = /?cos3—, ^ = /?sin3—, 0</<27Г (астроида); Ox.
4
4
_
_
Л
7Г
7.595. p = -------- , 0<<p<—; полярлықось.
cos2—
2
7.596. p=2asinq>; полярлық ось.
7.597. р=2а( 1+cos(p) (кардоида); полярлық ось.
7.598. p = 2-Jcos2(p (лемниската); полярлық ось.
7.599. p=4sin<p; полярлық ось.
7.600. p=2cos<p; полярлық ось.
7.5. Анықталган интегралдың физикадагы кейбір қолданулары
а) Айнымал күштің атқаратын жұмысы.
Ох оське параллель Ңх) күштің материалдық нүкгені осьтің
нүктесінен Ь нүктесіне жылжытқандағы орындаған жүмысы мьп
формуламен есептелінеді:
А
(7.35)
а
б) v (/) жылдамдықпен қозғалатын дененің [t 9t2\ уақыт
аралығындағы басып өтетш жолы
S = ]v{t)dt, v(t) = S '{t)'
(7 36)
7.601.
Егер 1н күш пружинаны 1 см-ге созса, онда пружинаны 6
см-ге созу үшін қандай жүмыс орындалады?
Шешуі. Гук заңы бойынша пружинаны х см-ге созатын күш
Ғ= кх н, мүндағы к- пропорционалдық коэффициенті. Біздің
Ғ(н
жагдайда к = — — | = 1. Демек, Ғ =1х. Сондықтан (7.35) формула
X VCM
бойынша
А = jxdx
о
X2
2
— = 18 = 0,18 дж
о
2
210
7.602.
М атериалдық нүктенің қозғалу жылдамдығы
v = vl +1 м /сек. Қозғалғаннан кейін алғашқы 10 сек ішінде жүрілген
жодцы табу керек.
Шешуі. (7.36) формула бойынша
S = jy/iT id t = j( l + /) 2 d(l + t) = ± (l + t )2
= |( l l V l I - 1) = 23,7 м
It I I
■№
о I
0
0 3
7.603. m массалы дене радиусы R жер бетінен һ биіктікке көтеру
үшін қандай қажетті жүмыс орындалады?
7.604. Табанының радиусы R, биікгігі һ цилиндрден суды тартып
шығару үшін орындалатын жүмысты анықтаңыз.
7.605. Радиусы R жартышар сүлбелі қазаннан суды тартып шығару
үшін орындалатын жүмысты анықтаңыз.
7.606. Материалдық нүктенің түзу сызықты қозғалысының
жылдамдьпы v —3t2—2t—3 (м/сек) болса, алғашқы 4 секундтағы
жүрілген жолды есептеңіз.
7.607. Материалдық нүктенің түзу сызықты қозғалысының
жыддамдығы v =lSt—6t2(м/сек) болса, қозғала бастағаннан тоқтаганга
дейінгі жүрілген жолды табыңыз.
§8. М е н ш ікс із интегралдар
8.1. Шекаралары акыреыз меншіксіз интегралдар.
f(x ) функциясы: а) [а;+°°) аралығында берілсін; б) кез келген
ақьфлы [a,b\ кесіндісінде (be (а;+°°)) Риман бойынша интеіралданатьш
болсьш. Онда
J f { x ) d x = Шп \ f ( x ) d x
(7.37)
а
шекf{x) функциясыньщ [а;+«») аралыгындагы бірінші текті меншіксіз
интегралы деп аталады. Егер мүндағы шек бар болса, онда меншіксіз
интеграл жинақты, ал ол шек жоқ немесе ақырсыз болса, онда
меншіксіз интеграл жинақсыз деп аталады.
Осы сияқты (—оо,Ь\ аралыгындагы бірінші текті меншіксіз
интеграл:
Г
,
v
г
.
J I (*) dx I lim 1 1 (x) dx
(7.38)
(—oo;+oo) аралығында берілген / ( j c ) функциясы үшін меншіксіз
интеграл:
*7
def
J f { x ) d x = Jim j f ( x ) d x + U m jf( x ) d x , Vc e
-к») (7.39)
a
b.
211
8.2. Шенелмеген функцияньщ меншіксіз интегралы
f(x) функциясы: а) [а,Ь) аралығында берілсін жэне b нүктесінің
маңайыңда шенелмеген болсьш; б) кез келген [а,Ь~г], е>0, кесіндісінде
Риман бойынша интегралдансьш. Онда
*
dtf
b~J
j f ( x ) d x = Шп J f ( x ) d x
(7.40)
a
шек f(x) функциясыньщ [a\b\ кесіндісіндегі екінші текті меншіксіз
интегралы деп аталады. Мүнда да (7.40) шек бар болса, меншіксіз
интеграл жинақты, ал ол шек жоқ немесе ақырсыз болса, меншіксіз
интеграл жинақсыз деп аталады. Осы сияқты (a,b\ аралыгьщда
берілген жэне а нүктесінің маңайьшда шенелмеген / (х) функциясы
үшін екінші текті меншіксіз интеграл:
£
dtf
»
J / (x) dx = lim J f ( x ) d x .
(7.41)
£-»0 a+e
Егер /(x) функциясы [a;b\ кесіндісінің ішкі с нүктесінде a<c<b,
шенелмеген болса, онда
Ь
с-е
J/(x)d[x = lim J /(x)dbc + Um j f { x ) d x ,
£
—
>
0
а
Q
C+£
(7.42)
8.3. Меншіксіз интегралдардьщ жинақтылық белгілері
+»
•
1. [ | / (x)|dx жинақты болса, онда J f ( x ) d x - жинақты. Бүл
а
a
жагдайда берілген интеграл абсолют жинақты деп аталады. Ал
+00
-К»
[ f{ x ) d x жинақты больш, J | / (х)\ dx жинақсыз болса, онда берілген
а
интеграл шартты жинақты деп аталады.
2. \а;+оо) аралыгьщда 0< /(х)< g(x) теңсіздіктер орьшдалса, онда:
4-оо
+оо
a) J g (х) dx жинақты болса, j f { x ) d x - жинақты;
a
а
+оо
+°°
б) J / (^) dx жинақсыз болса, J g(x)dx - жинақсыз.
a
f (^)
3. [я;+°°) аралыгында f(x ) >0, g(x)>0 болып, Хlim
.
.
=
к
*
О
—
>+оо
g(x)
+0О
+оо
болса, онда J f ( x ) d x жэне J g(x)dx интегралдардың екеуі де
жинақты немесе екеуі де жинақсыз болады.
Бүл белгілер екінші текті меншіксіз интегралдар үшін де орынды.
212
4. Дирихле белгісі. Айталық, Ф'(х) =tp(x) функциясы [а\+°°)
аралығында үзіліссіз жөне g(x) функциясы осы аралықта үзіліссіз
дифференциалданатын кемімелі функция болсын. Егер Ф(х)
+оо
шенелген, ал lim g (x ) = 0 болса, онда j <p(x) ■g (x )d x - жинақты.
a
+oo
7.608. J e lxdx интегральш есептеу керек.
.о
Шешуі. (7.37) тендік бойынша
О
-н»
e-lxdx
e~lxdx
0
о
-ІХ
lim
f
b —*+ooJ
0
d (-7x)
7
I- Um е~7х
7
о
ІI Alim
(e-n
e-7
0)
1
(0
-1
)
=
—
>-foo
7
7
1
7.609. j e5xdx интегралын есептеу керек
'
’
'■
Шешуі. (7.38) теңдік бойьпппа
і
і
і
1
1
5 x d (5x)
5x
e5xdx
e Sxdx lim f
lim
e
a ->-oo J
a —*oo
5
5
a
i
1
І hm(e51 e5a) = U e 5 - 0 )
e5.
5 a_>o°
5
7.610. J e2xdx интегральш жинақтылыққа зерттеңіз.
ШешуіГ с =0 деп ал ьт, (7.39) тендікті қолданамыз:
+eo
+00
о
e2xdx
e2xdx + f e2xd x . Бүл интеграл жинақсыз, себебі
о
+oo
-fo o
lim
f
£-»+oo J
о
+oo
2
о
dx = lim —e
2x
IIS 2
*0
1 lim (e26 - e ° )
2ь
OO
dx
7.611. f
интегралын есептеу керек.
x 2 +4
ШешуіГБүл мысалда да с =0 деп альт, (7.39) тендікті қолданамыз
-fo o
dx
x2+ 4
+ b—
lim
*+oо
о
о
dx
dx
lim Г
+
lim
f
a—
>—
oo J x 2 + 22
4 I op J
0 x +2
0
Um I \ arctg ~
a-*-**I 2
2
—lim [ arctgO - arctg ^ i +
2 o->—v
2
+ Um ( arctg —- arctgO
2V
2
—
2
0
213
n
2
1 к
+
2 2
0
n
2
+
/
+°° dx
7.612. Jj I г
интегралын жинақтылыққа зерттеңіз.
2 vx -1
Шешуі.
1
/ ( jc )
X
1
=
x
1
і:
/(
*
)
деп алсақ, lim v 7 1
X —> + o o
+oodc
болады. J — интеграл жинақты. Шынында да
2х2
+00
/
i\
dx r f 2
x
2 2
—Іг = Mlim
I
x
dx
=
lim
2
lim
EL J
A-»+oo 3
b
—
>
+
o
o
0
V
/
+
1
2 X2
~2
a
1
2 0
>1 2 .
V2 7
Демек, жинақтылықтың 3-белгісі бойынша берілген интеграл
жинақты.
Төмендегі интегралдарды есептеңіз немесе жинақсыз екендігін
анықтаңыз:
+00Иү
+°° /7у
+°° dv
7.613.
7.614. J —
7.615.
1х
1х
1х
arctgx .
____ +v3x2dx
7.616. J ^ p ^ d x . 7.617. J
+оо
о х ' +1
+oo
2
X
7.619. /Зле* dx
0
0
+oo
dx
7.620. Jxsinxdx.
0
7.621. Jxcosxdx
0
dx
+Г dx
7.625. J - r r 0
2
—
x
7.626. \xe~x dx
0
-Н »
7.628. Jcos xdx.
0
7.630. J e * sin xdx
x ln X
+oo
7.627. Jsin xdx.
0
*?dx
7.629. J— .
1X
+oo
+oo
7.631. [ Я
1
0
214
X
+oo
—
«X + 4x + 9
x 2 + 6x + 11
+o°
oX3+ l
7.623. J 2
2X - 1
7.624. J
7.618. \ — dx
+00
_
7 xdx
7.622. J+oo
In Y
X
* .
+оо
xdx
7.632. / , 2
іТ '
с/х
7.635. J
-oox + 2x + 5
+oo
7.634. 7 - *
1 х2 + х4
+00
dx
7.636. J
x2 + 2 x + l
Интегралдарды жин ақтьільіққа зерттеңіз:
7.637.
+oo
tic
i 3 + 2x + 5x
-Н» г 4 - ?
1 x
+oo - # у
7.639. f
i
dx
+ «o
,
7.640. J
x + 3x + l
■Jx(x + \)(x + 2)
+~X
7.641.
7.642. J
o x3+l
1
Х І 1 П JCJ2
+rsinx
7.645. J— т- d x
1 x
dx
_
,
7.647. ] - = —
°V16 x
дг—>4
7COSJC
,
7.646. J — — dx
1 x
интегралды есептеу керек.
1
Шешуі. lim
X
+oo
7.644. \ e x dx
0
■*7* dx
7.643. J — —
e
+1
ОО
болғандықтан, интеграл астындагы
л /1 6
функция х = 4 нүктесінде екінші текті үзілісі бар. Сондықтан бүл
интегралды (7.40) тендік бойынша есептейміз:
4—£
dx
lim J
0 л/і 6 —X
0 о V4
dx
4 -f
=r = limarcsin
2 £->0
40
иhmI arcsin--------0
• 4 -е n \ я
e->OI
4
J 2
к
Демек, берілген меншіксіз интеграл жинақты жэне шамасы
2
ге тең.
1
7.648. Jin xdx интегралды есептеу керек.
О
215
limln.v = - 00 , яғни х =0 нүктесінде интеграл астындағы
функцияның екінші текті үзілісі бар. Бүл интегралды (7.41) тендікті
қодцаньш есептейміз:
u
=
lnx,
dv
=
dx
1
і
J In xdx = lim / In xdx
dx
0
0+£
du
v=x
x
\
dx
1
Um x \ n x e J
lim
(x
ln
x
-x
)l
£—
>0
£—
>0V
І£
0+£ X
Ит [(1 •In 1-1) - (e In e - e
lne
бойьпшіа lime In £ = lim
£-*0
Шр 1
£
1, өйткені Лопиталь ережесі
lim M
1
£
1
£
lim
£-»0 1
£
lim(
£—
>0
0
1 dx
7.649. 4J \[x* интегРалын жннақтьільіққа зерттеу керек.
Шешуі. Интеграл астындагы функция [—1;1] кесіндінің х=0
нүктесшде шенелмеген. Сондықтан, бүл интегралды (7.42) теңдікті
қодданып зерттейміз:
—
£
і dx
0 -е
.
°, dx j. dx
lim J x *dx __lim
__ I J x dx lim 3x3 +
J
ІТ 7= ^ + /
£
—
>
0
A
.
~
£-»0
1
Я '
Ш oie
V
-1
l
1Л
+ lim| 3x3
3 U m ( ^ - ^ ) + 3Hm(Vr-Ve) = 3-l + 3-l =6
£—
»0
7
Демек, интеграл жинақты, оның шамасы 6-га тең.
dx
7.650. J
— (a > 0) интегралдың a< 1 болганда жинақты, ал
a (b —x)
a> l болганда жинақсыз екендігін көрсетіңіз.
dx
7.651. J
— (a > 0) интегралдың a< l болганда жинақты, ал
а\х —а )
а>1 болганда жинақсыз екендігін көрсетіңіз.
Төмендегі меншіксіз интегралдарды есептеңіз немесе жинақсыз
екендігін көрсетіңіз:
7.652. j
dx
V3 х
dx
7.653. J
2(jc-4 )
216
7.654. j
dx
x
1
7.655. J
'': ^ ■/ , •.
____ 2
dx
7656.
ЗЦУ
^
я
.
К
4
7.657. J ctgxdx
//ү t
2
J tgxdx
Л
2,5
7.658. J ^ - .
7.659. J — f
dx
7.661. i x2 _ 4jt+6-
I
7.662. [ x \ n x d x .
_2jt — 1
0
,-
7.660. j
ІтВШ
-i x - 5jc + 6
J
! A
7.663. J
0
7.664. J - A _ .
7 .668 .
.
_
o
dx
7.670. J/-=---2
4r-"
7.671.
' ,u »
0 JC + JC
i03/i
л/і
r dx
J
, 3
I x ln
0/
n
7.669. f—^
Г
J •
, .
.
V9*1 - 1
oo
f
xdfc
7.672. / -------
JC
7.673. T —7 = = = . 7.674. j *i<fa .
1 /3 x
In JC
7.666. J— .
1х л /іп х
7 .667 . / I n x ^ .
I
I x
7.665. j —^L=r.
0ХІП X
//у
7.675. } - = І
3 л/4- j c 2
5 .Д Г
X
2
7.676 Jcosx dx Френель интегралын жинақтылыққа зерттеу
о
керек.
оо
оо
Шешуі. Берілген Jcos л: dx интегралы мен Jcos х 2dx интегралы0
1
ның жинақталу сипаты бірдей болғандықтан, екінші интегралды
жинақтылыққа зерттеу жеткілікті.
оо
оо
1
1
/cosx2afr=/xcosx2 ■—dx интегралында (p(x)=x cosx2, g(x)= —
l
l
х
x
деп алсақ, Дирихле белгісінің (4-белгі) шартгары орындалатьшын
көреміз, өйткені 0'(x)=cp(x)=xcosx2, Ф (х)=/ xcosx 2dx = —sinx2. (х 2=t)
шш*
1 1
°°
1
2
Ф(х) I —sm x < —, lim —= 0 . Олай болса, /c o s x 2f£c инте
2
2
х
1
гралы жинақты, демек Френель интегралы да жинақты.
217
Меншіксіз интегралдарды жинақтылыққа зерттеңіз
й
COS
1 dx
*
7.678. J
7.677. J c o s 4 ~
0
JC
l
7.679. \
°Vi
7.681.
0
7.680. J
оtgx-x
l e
dx
7.682. f
0 - *
sin—
dx2
7.684. J
1lnjc
X
dx
oe
C O S JC
/
i
7.685. f
0
COS
n
4
JC
dx
o J G_ i
dx
yfx
7.687. f sin
0
X
y fx
dx
dx.
7.683. j
dx,
0
JC
1
7.688. J (in x f dx,
0
^
X
tie
N
Қосымша есептер
я
7.689.
— интеграл а-ның қандай мәндерінде жинақты
оsin X
бола
+СО
7.690. Г (а )=
йЬс гамма-функция (Эйлер интегралы)
а>0 болганда жинақты екендігін дәлелдеңіз.
Я
2 i — C O S JC
7.691. J------— dx интеграл m-нің қандай мәндерінде жинақты
0 X
болады?
+оо
2
7.692. Jsinx dx Френель интегралының жинақты екендігін
0
• •
көрсетщіз.
Меншіксіз интегралдарды жинақтылыққа зерттеңіз:
V xdx
+?х 3 +1
7.693. \ ~ г ~ 7.
7.694. J — j —dx.
0X +1
1 X4
7.695.
7
і
X
+ ^ dx .
7.696.
218
7yfxe~xd x .
о
г
>
J
7.697. / r - ■dx .
0 v l —x
dx
7.698. f
iI P - l
sin X ,
7.699. J sm» i
•
7.700. f— f=— dx.
oe _1
I yfc
7
.
л/я /TT
7 sinx
я:
J e dx = —~ ( Пуа с с он
интег ралы) жөне J -~~Z
о
2
o x 2
(Дирихле интегралы) формулаларьш қолданьш, төмеңцегі меншіксіз
интегралдарды есептеңіз:
_
f
.
J-
_ -л л
е х
7.702. j ~ d x .
о Jx
7sin 2x .
7.704. J ------- dx
7.701. J е-”2dx (а > 0).
0
+°°
7
г 22 --xx2 j
7.703. j x 2 e ' d x .
0
0
7 sin ax .
JC
_ __ 7 sin ax •cos ox ,
7.706. J --------------- <&.
7.705. f------- dx.
о
I In
о
X
X
§9. Анықталған интегралдарды жуықтап есептеу
9.1. Тік төртбүрыштардың квадратуралық формулалары:
I
j f(x)dx I — (у, +
а
П
1ИI... Ijp 11Щ
1
1Й
П k=\
(7.43)
мүндағы x0 = a, xt_, = | + (A:11)------, yk_x = /(х*_,\ k = 1,2,...,л .
b- а л
n
n
*=l
мүндағы xQ= a, x* , = a+ ( k - 1)----—, y k_t = f { x k__x\ k = 1,2,...,л .
n
xn = b, j(jc„ )= ^(b), Лх = ------, я- бөлікше кесінділер саны.
п
(7.44) формула үшін жуықтау қателігі
ЩЙ
/'(х ) туынды бар және ол [a,6] кесіндіде шенелген болса, (7.43)
формула үшін де жуықтау қателігі (7.45) теңсіздікпен бағаланады.
219
9.2. Трапециялардың квадратуралық формуласы:
(7.46)
2
Егер /"(х ) екінші туынды бар және ол [а,Ь\ кесіндіде шенелген
болса, онда жуықтау қателігі мына теңсіздікпен бағаланады:
2п
a
П
<
«.(УН
n
k=1
к=\
. ш а х И х ] (7-47)
12n
2
айх<Ь
9.3. Параболалардың квадратуралық формуласы (Сипсон).
Бөлікше кесінділердің саны п =2 к жүп болганда
] f { x ) d x = - ^ Г - к у о + У 2 п ) + 4 ІУі + У
6П
а
з
+ -
+ JW l) +
(7.48)
п
Ь -а
п X {.Угк-2 + ^ y 2k-\ + У2к )
+2 {У2 + Ул + - + У2П-2 )]
zn t=i
Егер [a;b\ кесіндісінде/ (4)(х) төртінші туынды бар жэне шенелген
болса, онда жуықтау қателігі мьша теңсіздікпен бағаланады:
К (/)І
J f (•*) dx
г т і [У2к-2
6п
+
<
Уік )
(7.49)
[ь
~
д)5
<
max
а
<
х
<
Ь
180( 2«)
м
1 -і9
7.707. \ е х dx интегралын 10“4дәлдікпен жуықтап есептеу керек.
Шешуі. Бұл интеграл элементар функциялар арқылы альшбайды.
Оны жуықтап, Симпсон формуласы бойьпшіа есептейміз. Интеграл
астындагы функция [0;1] кесіндісінде ақырсыз коп туъшдыга ие.
ІПарт бойынша жуықтау қатесі 0,0001 ден аспау керек. Сондықтан
болу саны 2и-ді (7.49) теңсіздік бойынша
180(2«)
max
< 0,0001
(4 )
(*)
0<х<1
болатындай етіп аламыз. Ъ - а ~ 1, max/
(4 )
Ол үшін қажетті туындыларды табамыз:
2хе
**;
/
(2
)
(х)
=
2
(2х
/( * )
/™ (х)
4(2 X
шаманы есептеиміз
е
-X3
е ~х1; / (4) (*) = 4 (4х4 - 12х2 +
220
е
-х2
е
—х
функциясы [0; 1] кесіндісінде бір сарында кемиді, ал
у = 4 х 4—12х2+3 ф ункциясы да осы аралы қта бір сары нда
20 . Демек, шах / (4) (х) / (4) (0) = 12 . Осы
/ (4)(0)=12; / (4) (1)
0<х<1
е
12
< 0,0001, бұдан
табылған мәндерді (*) теңсіздікке қойсақ
180(2«)
125 . Соңғы теңсіздік п>3 болғанда орындалады. Есептеу үшін
«4 >
3
п= 5 деп аламыз. [0; 1] кесіндісін х0=0, Xj=0,l, х2= 0,2,...,х10=1,
нүктелерімен өзара тең 10 бөлікке бөлеміз. е-*2 функциясыньщ осы
бөлу нүктелеріндегі мәндерін үтірден кейін бес таңбаға дейінгі
дәлдікпен есептейміз де, нәтижеде берілген дәлдікті қамтамасыз ету
үттіін төрт таңбаға дейін дөңгелекгейміз.
X,
0
0,1
0,2
Л=/<(**)
1,00000
0,99005
0,96079
X.
0,5
0,6
0,77680 0,69768
0,7
0,8
0,9
1,0
0,61263
0,52729
0,44486
0,36788
у0+ у= 1, 36788; 4{у1+у3+у5+у1+у9)=\4, 96108;
2(у2+у4+у6+у8)==6,07580
Табылған мәндерді (7.48) Симпсон формуласына қойсақ
Je ^ d x » Ь36788 + 6,07580 +14,96108^ = 0 74682 « о,7468.
Тік төртбүрьшітардың квадратуралық формулалары бойынша
интегралдарды жуықтап есептеңіз:
2к
7.709. 1л/бх - 5dx; n = 8
7.708. J х •sin xdx; « = 12
0
7.710. ) — ; n = 10
l X
Трапециялардың квадратуралық формуласы бойынша интеграл­
дарды жуықтап есептеңіз:
221
1 и
—
——; n = 8.
7.711. f —
J 1+ jc
Л
Г
1
7.713. Т./l ——sin2лсйЬс; и = 6.
oV
и
7.712. f w
J 1+ x
= 8.
2y/y
§
7.714. J— ; « = 10.
4
Симпсон формуласы бойынша интегралдарды жуықтап есептеңіз
7.715. )yl\~x*dx; я = 10.
0
7.716. |л/і + х4<&; и = 10.
О
7.717. J- ; n —6 .
7.718. Jvcosxdbc.
2 lnx
In x
j
Тік төртбүрьпитардьщ немесе трапециялардьщ немесе параболалардың квадратуралық формулалары бойынша төмендегі интеграл­
дарды 0,0001-ге дейінгі дәлдікпен есептеңіз:
7.719. ] ~ ~ т ■
7.720. J^ ф - d x .
7.721. ]yll + x 3dx.
7.722. }" . — - .
о л/l + x4
7.723. П .
z y і + х2
1
7.724. j
0
7.725.
7.726. \е*2d x .
7.727. j^xcosjoic.
о4+х
J
о
7.728. J\ ^ ^ d x .
0 *
V
\
х
о
о
О
i
I
7.730. J
7.729. jx l n ( l + x )& .
о
A
“ x)dx
х dx
o x 2 + 3x + 2
A
VIII т а р а у . КӨП АЙНЫМАЛДЫ ФУНКЦИЯЛАРДЬЩ
ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ҚИСАБЫ
§1. Кеп айнымалды функциялар. Функция шегі.
Үзіл іссіздік
1.1.
Кез келген реттелген x vxv ...,xmнақты сандар жиынтығьш төлшемді R mевклид кеңістігінің М(х,,л^,...,хт) нүкгесі деп, ал x t^c2,...^cm
сандарын М нүктесінің координаталары деп атайды. Евклид
кеңісгігінде М (xvx2,...,x j мен А(ах,а2,...,ат) нүкгелері арасындағы ара
қашықтық
р (А ;М )= V(*.- a j + ( x 2- a 2f + ... + (xm- a j
(8.1)
формуламен анықталады.
Анықтама. Егер әрбір М (х г х2,...,хт)е D нүктесіне қандай да бір/
ережесі бойьпппа анықталған белгілі бір f ( M ) нақты саны сэйкес
қойылса, онда D жиынында анықталған т айнымалды u —f ( M )
сандық функция берілді дейді.
D —{ M } жиыны u = f ( M ) функциясыньщ анықталу аймагы, ал
E = { f (M)}czR жиыны осы функцияньщ мэндер аймагы деп аталады
да, кейде функция f :D->E түрінде де белгіленеді.
т —2 болганда z =f( x ,y ) екі айнымалды функция болып, оньщ
анықталу облысы D={ M(x,y)}<zOxy. Бүл функцияньщ графигі
Г = ^x; y; z ) e R z = f \ x , y ) ] , жалпы айтқанда, Oxyz белгіленген тік
бүрыпггы координаталар жүйесінде кейбір бетті анықтайды.
Z =f ( x , y ) ф ункциясы ньщ z —c деңгей сызығы деп, Оху
жазықтықтагы / (х,у)=с сызықты атайды. Бүл сызықтың әрбір
нүктесінде z —f (х,у) функциясы тек с-га тең мөндерді қабылдайды.
и = / (x,y,z) функциясьшьщ и=с деңгей беті деп Oxyz кеңістіктегі
f(x ,y ,z )=c бетті атайды. Бүл беттің өрбір нүктесінде u = f(x,y,z)
функциясы бірдей с-ға тең мәндерді қабылдайды.
Келесі тендеулер қандай бетгерді кескіндейді:
8.1. x + y + z ~ 2 = 0.
8 .2 .2 x —3 y + 4 z ~ l2 — 0.
8.3. 2х —у +5= 0.
8.4. х —2у —5= 0.
8.5. х —3z~6= 0.
8.6. 2x+*+4= 0.
8.7. 3у ~z+3= 0.
8.8. у -2 г+ 6 = 0.
8.9. х —4у + 5z = 0.
8.10. 4х —у —3z = 0.
8.11. х - у - 0.
8.12. 2х+у = 0.
223
8.13. 3х + г=0.
8.15. 2 y ~ z = 0 .
8.14. х —2 z = 0.
8.16. у +3г=0.
8.17. х 2+ у 2=9.
8.18. х 2—2х + у 2 0
8.19. х у = 1.
8.20. у = х 2.
8.21. z = x 2.
8.22. х = у 2.
8.23. x 2+ y 2+z2+2x+6y+2z—0.
8.24. x 2+ y 2+ z2~ 6х —4у=0.
8.25. (х—1)2+(у+2)2+Сг + 1)2=4.
х
У
8.26. х2 + ^ - + ^ - = 1
8.27
1.
+г
4
4 9
9
х
.У
+
1
8.28. х 2+ у 2—z 2—0.
8.29
4 25
9
8.31
8.30. х 2~у 2- z 2 16.
х .У
функциясыньщ анықталу аймағы мен мәндер аймагы жэне z —с денгей
сызықтарын табу керек.
Шешуі. R 2—x 2—y 2>0 болғанда
д
ғана z нақты мөндер қабыдцайды,
R
яғни x 2+y2<R2. Бүл теңсіздік центрі
0(0,0) нүктесінде, радиусы R болған
дөңгелекті анықтайды. Функцияньщ
у
графигі (8.1-сурет) x 2+ y 2+ z 2=R 2
жоғарғы жарты сфера. z =c деңгей
сызықтары x 2+ y 2= R 2—c 2,0<c< R,
шеңберлер. 0 < х 2+ у 2< і?2 болғандықтан функцияньщ мәндер аймағы
8.1-сурет
[0;/? ] кесіндісі, яғни 0 < z< R ■Сонымен
Az)={(*;>0|x2+ у 2< R 2}, E(z)={z ;|0 < г< R }.
Функциялардыц анықталу аймақтарын табыңыз:
X2 + у 2 16
8.33. z
8.32. г=3х+у.
8.35. z
8.34. z = J 2 x y .
1
8.36. z
8.37. z
J x 2+ y 2- 9
х 2- у 2
8.39. u = yjx + y + z .
8.38. u=\n(x2+ y 2+z2—25)
8.40. и
8.42. z
1
J~z
8.41. z
y[x +
1
3
x A+ y 2 ’
8.43. z = arccos(x + j>)
y[xy
224
8.44. z = ln(jc+j>)+jc
8.46. z
8.45. z = sircsm(x2+ у 2)
2 xy
8.47. z = - + - .
x у
x -y
8.48. z =1пх •lny.
8.49. z
8.50. z ==lnx(—x —y).
8.51.
8.52. z = arccos
x
COSJC
Z= V
8.53. и = arcsin
x +y
x 2+ y 2
z
8.54. u= \nx(\—x 2—y 2+ z 2)
8.55. и
8.56. и = ^ 4
x2+
X
л,\2 - JC2
л>2
x 2 +
+
Xm
xm
8.57. и
j4
1
2
а 2
2
“ I
2
і
• • •
2
2
2
*1
X2
Xm
8.58. u = yjxi + jc2 +... + x l 9 . 8.59. и
12 + - r 2- + . . . + - m
1
2
ai m
Функциялардьщ деңгей сызықтарын (z 1;2;3) сальщыз:
’
8.60. z =2x + y.
8.61.
x
4
У
9
X 2 v2
8.62. z
—+
9
4
8.64. Z—x 2+ y2+ 3.
8.63. z
8 .66. z
8.67. г=1п(ху).
7
....................................................................
x
У
8.65. z e™.
фушсциялардың деңгей беттерін (м=0;1;2) салыңыз
8.68. и —2 х —y + z 8.69. и = х 2+ у 2—z.
8.70. и = 4 х 2+9у2+ z 28.71. и ——х + 2 у + 3 г.
1.2 Функцияныц шегі
т айнымалды u = f ( M ) функциясын қарастырайық.
Аныктама. u = f ( M ) функциясы A(ax,av ...,am, нүюгесінің кейбір
U(A) маңайында анықталсын, мүнда Л/0е U(MQ) немесе Л/0« U(M ) .
Егер А нүктесіне жинақталушы кез келген {Л/J , Л/*Л/0, (Л/0«? U(M0))
нүктелер тізбегі үшін функцияның мөндерінің тізбегі
b
і
19
225
санына жинақталса, онда b саныf { M ) функциясыньщ А нүкгесівдегі
шегі деп аталадыжөне lim f ( M ) = b немесе lim f ( x , , x 2,...,xm) = b
M->A ' '
X\->ai
деп жазылады.
“е—8” тілінде функцияньщ шегі былайша анықталады:
Егер кез келген е>0 саны үшін 0<р(Л,Л/)<5 теңсіздігін
қанағаттандыратьш барлық М
нүкгелері үшін \ f ( M )—1\< е
шарты орындалатындай 8>0 саны табылса, онда b саны / ( М )
функциясыньщ А нүкгесіндегі шегі деп аталады да
lim
f ( M ) = Ь немесе lim / (М ) = b деп жазылады.
Х|
М-*A
Ж0&
Хт-*<*т
Егер Um a ( M ) = 0 болса, онда a (M) функциясы A нүкгесінде
ақырсыз кішкене функция деп аталады.
Егер lim /( М )= °° болса, онда f ( M ) функциясы нүктесінде
М —>А
ақырсыз үлкен функция деп аталады.
Көп айнымалды функция үшін бір айнымалды функциялардьщ
көптеген түжырымдары оңай көшіріледі.
Мысалы, егер Мlim
/
(
М ) және lim g ( M ) шектер бар боса, онда:
—*а
М —)А
\ f ( M ) ± g { M ) \ = Umi f { M ) ± Umi g{M)
М->А
■g ( M ) ] = U m / ( M) ■Um g ( M ) ,
f(M \
U~*A g ( M )
lim f ( M )
J » lim g ( M ) * 0.
limg(Af) м-*А
1.3. Функцияньщ үзіліссіздігі
Егер lim /(M ) = f ( A ) немесе
Af —
болса, онда u = f ( M ) функциясы А нүкгесінде үзіліссіз функция деп
аталады. Үзіліссіз функциялардьщ қосындысыньщ, айырмасының,
көбейтіндісінің, бөліндісінің үзіліссіздігі жөне кері функцияның
226
үзілісіздіп мен күрделі функцияньщ үзіліссіздігі туралы түжырымдар
орьщ и
Функция үзіліссіз болмаған нүктелер, осы функцияньщ
нүкгелері деп аталады
8.72. lim (х2 +3jу2) шекті есептеу керек.
х—
>2
у -* 1
Шешуі. f ( x , y ) = x 2+ 3 y 2 функциясы Оху жазықтықтьщ барлық
нүкгелерінде анықталған. Сондықтан М0(2;1) нүктесіне жинақталушы
әрбір { M j ix ^ y j } тізбек үшін:
l i m (х^ + З у %) = l i m х 2 + 3 l i m = 2 2 + 3 • I2 = 7 . Ә р і
Я>°°
—
>00
/1-400
+ 3 1 —7. Демек, (2,1) нүктесінде функция үзіліссіз.
/ ( 2 , 1 ) = 2 2+
п
e y{2jc+y-2) __ j
8.73. Xlim
—)U 4 1 1
шекті есептеуj
5(l
+
хХ2дг
+ у —2)
У~І 2
Шешуі. Берілген функция х + 1=0 мен 2х + у —2=0 түзулерден
баска Оху жазықтық нүктелерінде анықталған. х —>0, у—»2 де
1 —■
■ --
Э _І
2—>0 болғандықтан, Цщ {еа -1 j / а = 1 формуланы жэне шектің қасиеттерін пайдалансақ“шығатьшы:
2х + у
lim
-1
~ ° 5 ( l + x ) { 2 x + y - 2)
11! Ш Ц I В 1
~1•
х^оу[2 + у - 2 )
в тл 1._д/х2+(у —2)* +1—1
8.74. lim
у
-> 2
1
----- — -----
х
2
5(1 + х)
!■
51 5
шекті есептеу керек.
)
Шешуі. (0;2) нүктеде 0/0 түріндегі анықталмағандық.
Р = уіх2 + { у - 2)2 алмастыруын енгізіп, содан соң Лопиталь
ережесін колданып берілген шекті есептейміз:
-----------------lim - —
~—
*-.о
X2 + ( ^ - 2 )
*->2
2р
*-°
р2
р-*о
2р
2
2х2 - V2
8.75. дг—*0 —2---- 2~ шектің жоқ екендігін
v—
>О
Шешуі. 0(О;О) нүктесінде “0/0” түріндегі анықталмағандық, ал
Оху жазықтықтың басқа нүктелерінде берілген функция анықталған.
У=кх, к =const, түзулері бойлап 0(0;0) нүктесіне “келетін” болсақ,
онда
227
2x 2 - { k x f
(2 - к 2) х 2 2 - к
lim —г— ч - = 1ш і--------— т—= lim
'
(y=fcc) * 2 +Т 1П
(у=*х) ( І + Ь 2 ) х 2 1 + к
£ 8 * 2 + У2
( ^Л
)/2
мәндерінде эр түрлі сан шығады, сондықтан
нүктесі үзиис нүктесі
Шектерді есептеңіз
і
2х 2 - у 2
;
8.76. lim(2х2 + у 2). 8.77. Н тЗхУ .
х—
>1
8.78. Ііт 4 ^ 4
х—
>1 х + V
у->-1
У
8.79. lim , Х+У ■
■. 8.80. І і т ^ .
х +у +2
jc—>0 je
,у-»0
8.81. і і т » .
у^2
8.82. lim
x—>o Зх
УЩ
ІёХУ
8.83. l i m ^ - .
.
*->«
y -> 0
5xy
* ~ f
jc—»0
у->0
2 д>
ООА
8.84. lim
.___
*->o 3 - J x y + 9
y^o
j
* *
8.85. lim (1 + x 2 + у 2T O *.
8 .8 6 . m М ^ У - * }
^
(x+2y)-4
1п(з+*2+у)
8.87. lim
fH§ 2+y + x
8 gg
-g v
'
, +
^ 1. C0SI
JC->0
y —»0
y -* -3
8.89. lim (*2+>>2 )sin3— .
x->0
Xy
у—
>0
X
8.90. lim(l + * y ) x 2+xy •
У~*2
8.91. lim(l +xy2)x2.y+>a2 .
*—
»0
JK->3
2
8.92. lim ,
шекті есептеу керек.
x-*Ox +y
y->0
Шешуі. Кейбір жағдайларда шекгі есептеу үшін х =pcos(p, у =psincp
полярлық координаталарға өту ұтымды. х —>0 , у-» 0 де р-» 0 екендігі
айқын. Сондықтан
xy2
pcoscj p 2 sin2 ю
■2
л
lim —5-^—5- = l i m ---- 7—^—=■■v т~■= lim р •cos <р•sin (р - 0
*"*в х + У
р~*° Р cos <р+ р sin (р р-*°
болады, өйткені совфвк^ф шенелген функция.
Шекгерді есептеңіз:
8.93. lim (г2 +_у2)sin2 — .
х—
>0
Xy
у-*0
8.94. lim-І^ Ц -.
jc—
>0x + V
y->0
228
i f - i t i y - 2)
8.95. lim
x-y
8.96. lim
x->0
&§ i I i f 1 Щ1 w ■
У
I
f
1
x +y 2 -2
xy
8.97. lim 4 -г шекті табьщыз.
mss
x
&
у
у —$0 0
Шешуі. x —l / z , y —l / t алмастырулap арқылы (x;y)-»(~;«>) шартты
(г,^)->(0;0) шартқа келтіреміз. Содан соң полярлық координаталарды
енгізіп, шекті табамыз:
1
lim
ху ~>°°
—>оо
ху
4
lim
г->0
4
X + *V
/->0
z3t 3
z-t
1
+
Z
l i . A
г->°
z
+
t
/->0
1
Z = pCOS(jP, z = p sin (p
o)
(p
t
p 6 COS3 (p ■sin 3 (p
cos (p • sm (p . .
2
n.
— 7 -------t2- lim p = 0.
cos <p+ sin <p p—
»o
lim p-»° p4 (cos4 (p + sin 4 (p)
Шектерді табьщыз:
JC + у
8.98. lim 4
4
JC + V
8.99.
8.100. lim (x + **>
V _
_
_
km
-з(*+и
e
8 .1 0 1
\
8 .102. lim
s i n ^J1'1 ' * 2
x*zL°
1
*•••'*»■)
m
2
..x m
m)/
lim Si” 2(X' • *
8.104. xk->0
X
i
-x2
k=\.m
Xm
8.108. lim 1+
xkz+?
k —\,m \
&=l,m
2
V*! 2
1
+ Xm
tg (axr x 2
8.107. lim — — -— -2
x*~~>0 X , - * 2
,2
+ Xj +
jt->
y2
У >”
00 jc2 - x y + ✓
..
X,2 -X,3 -...-ДСm
/
. lim
x+y
*.105. lim Sin(aX| ^
Zkz*9 bx.1 • Xi •
&=l,m
8.106. |im *i"(*r *, ••• * .)
x*:±?
Ar=l.m
x2 + y 2
tg(x,
8.103. lim
xkZ™ X, • Хл
*=l,m
1
2
JC. - X , - . . . * JC
k=l,m
xy
/
229
*m
m
—
•*«)
Ш/
m
••• ‘
^m)
Xm
/
2
8.109. lim 1
I +x!y+...+Xffi
\
xf1 + ... + Ш
7
k=\,m\
x f + x \ + ... + ХІ
8.110. lim —
xkz*9
1
jc,2
І + ... + X J
29
f +ХZ
I
k=l.m
8.111 lim
k=l,m
+1
I + X2 + —+ Xl + 4 - 2
8.112. f { x ; y )
( x + y ) • COS
1
,
уфО
X +у
0
;X = y = 0
болганда,
болганда,
функциясын үзіліссіздікке зерттеу керек.
Шешуі. f i x , у) функциясының 0(0 ;0) нүктесіндегі үзіліссіздік
шартгарьш тексерейік. Функция осы нүктенің маңайыңца анықталған,
1
lim (х + у) cos -=---- r 0, өйткені x + y->0, ал cos
x2+ у 2
So
* +У
шенелген функция. Сонымен f i x , у) функциясының 0(0;0)
нүктесіндегі шегі, оның осы нүктедегі мөніне тең. Демек, берілген
функция 0(0;0) нүктесінде үзіліссіз. Бүл функция Оху жазықтынүктелерінде
функцияньщ көбейтіндісі. Демек, берілген функция Оху жазықтыгы
; кез келген нүктесшде ү:
Егер f i x , у) функциясы 0(0;0) нүктесінде анықталмаса, оньщ
нүктедегі мөні нольге тең деп үзіліссіз функция алатынымызды
ескертеміз
Функцияларды көрсетілген нүктелерде үзіліссіздікке
8.113. /(* ;у )
(x + y)sin .
-j; х
X + у1
0
8.114. f { x ; y )
ф
0, у
ф
0 болганда,
; х = 0, у = 0 болганда
(2х - у +1) cos
х + Зу
;х
ф
1, у
ф
3, болганда,
; х = 1, у = 3 болганда.
0
230
In (l + x ■y2)
--------- 5-----; x
4 xy
8.115. /( х ; у )
ф
ф
0, болганда,
; x = 0, у = 0 болганда.
4
(x - y) sin
8.116. f ( x ; y )
0, у
1
0
; x = 1, у = 1 болганда
(2х - у) cos - а Х 7 ; х * 1, у Ф 2, болганда,
х +у
0
; х = 1, у = 2 болганда
8.117. /( х ;у )
8.118. / ( * ; у)
х2 + *2)
ЯВН ; х
.
1
ф
0, у
ф
0 , болганда,
; х = 0, у = 0 болганда
1
8.119. / ( x , y ) = ( x + y 2)*V - 1 , х Ф 1, у * 0 функциясын Л^1;0)
анықталмаган нүктесінде, үзіліссіздікке жеткізе анықтау керек.
Шешуі. Берілген функция х = 1—у 2 парабола нүктелерінде
анықталмаган. Сондықтан £Hf) анықталу аймагы ретінде осы
парабола нүктелерін ш ыгарьт тастаган координалар басьпп>щ кез
келген маңайын аламыз.
і
1іш(х + у - І х+ул- 1
X—
>1
t - х + у 2 -1 , х + у 2 = 1 + f
С*, у )
у—»0
(i;0)
t
о
lim(l + r)f
r-»0
е
Демек, егер/(1;0)= е деп алсақ, сөйкес функция (1;0) нүктесінде
үзіліссіз болады. Одан өрі х = 1—у 2 параболаньщ нүктелерінде
/ (х0;у0)=едеп алсақ, сэйкес функция параболаньщ әрбір нүктесінде
үзіліссіз болады.
Берілген функцияны көрсетілген нүктеде үзіліссіздікке жеткізе
анықтаңыз:
8.120. /(х ,у )=
8.121. /(х ,у )=
2ху
М 0(0 ;4 ).
; М0(1;2).
231
8.122. f ( x , y ) = ~ x{y 1)2
; M 0(0;l).
J x i y - l f +36-6
8.123. f ( x , y ) = ( x - y)arcsin ~
*1; M0(0;0).
x +И
8.124. f ( x , y ) - —-------
x +y -4
функциясының үзіліс нүктелерін
зертгеу керек.
Шешуі. Бүл функция х 2+ у 2= 4 шеңбердің әрбір нүктесінде
анықталмаған. N(x0;y0) осы шеңбердің кез келген нүктесі болса, онда
(х;у)->(х0;у0) жагдайда /(х;у)->°°. Дәлірек айтқанда, х 2+ у 2<4
дөңгелектің ішіндегі нүкте (х0;у0) нүктесіне үмтылса / (х;у)->—°о, ал
осы дөңгелектің сыртындағы нүкте (х0;_у0) нүктесіне үмтылса
f ( x• ;у)^+°°.
Жазықтықтьщ
қалған
нүктелерінде
f(x
,y
)
функциясы
•
үзіліссіз.
Функциялардың үзіліс нүктелерін анықтаңыз:
і
8.125. 2 = - ----- - і - ----- - . 8.126. z = e '*** .
~ 2) + (у + З)
8.127. z —-------- ?— .
sinx sinу
8.129. z = -г * * J У.---- <i
х
-
уЬ
8.128. z =1п(4—х 2- у 2)
1
8.130. z
-X
8.131. Z = --J
8.132. z = ^ ± ^
X- W
xy
8.133. z —sin —.
8.134. z ———
x
x-y2
8.135. z = ^ L
у -x
8.137. z =
у
3
-x
8.136. z = ! H ^ E Z
2xy
3
.
8.138. z = cos—
X+y
232
1
8.139. z = sin
8.141. и
8.140. z
x2+ y 2 9
1
8.142. и
xyz
1
8.143. и
У
8.144. и
x
8.145. u=tg(x2+ y 2+ z 2).
8.146. и
1
8.147. и
x 2 + y 2 - z 2+ 1
8.148. и
У
x
1
x 2 + у 2 + z 2 -1 6
1
x 2 + у 2- z 2
1
x 2 + у 2 —z2 -1
1
4л:2 + 9у 2 + 36 z2 36
Функцияларды 0(0;0) нүктесінде үзіліссіздікке зерттеңіз:
8.149. f ( x , y )
x 2y 2
x2+ y 2
8.150. /( x ,y )
; / ( 0,0)= 0.
; /(0 ,0 ) = 0
X 2 -b y 2
Х3У3
8.151. f ( x , y )
X
8.152. f ( x , y )
TV
A
0,0)= 0
Л гу
2
X Л-у
, / ( 0,0)=0
A
у
8.153.
JC + у
8.154. /( * ,y ) =
1 S ; /(0 ,0 ) = 0
JC
+
V
§2. Ken айнымалды функцияның туындылары
мен дифференциалдары
2.1. Дербес туыіщылар
Z - f ( M ) функциясы М{х,у) нүктесінің кейбір U(M) маңайында
анықталсын. Егер у-ті түрақты деп есептеп, jc-ке Дхөсімиіесін берсек,
233
функцияньщ сэйкес өсімшесін z-тің х бойынша дербес өсімшесі деп
атайды да, Axz арқылы белгілейді: Д^ =/(х+Дх, y ) ~ f ( x ;y) . Осы
сияқты х-ті түрақты деп у-ке Ау өсімшесін берсек, функцияньщ
сэйкес өсімшесін г-тің у бойынша дербес өсімшесі деп атайды да,
V = f i x , у +Дy)—f (х ,у) деп белгілейді. Егер х пен у аріументтеріне
кес Ах жэне Ау өсімшелерін берсек, функцияньщ Дz өсімшесін
толық өсімше деп атайды: Д 7=/(х+ Д х, у + Ay)—f (х,у); жалпы
AZ *AxZ + Д 7 .
j
\
Анықтама. Егер И т — і і т — шек бар болса, онда ол шек
Д*->0 Дх ! АҒ-^0 Ду I
Z ~ f (х,.у) функциясьшьщ Mix,у) нүкгесіндеіі х бойынша ( у бойынша)
д7
дербес туындысы деп аталады жэне
f'{x,y),
OX
к
z 'y >f y ( x , y \ ^ ~ , % ) символдарының біреуімен белгіленеді.
Эх V
dy ’ ду
Сонымен,
^ = l i m ^ = lim £ ( Х + Лк’у ) 4 ( х , у )
ох
Д*-*0 Лх
а*-*0
(8.3)
Лх
^ = lim V = Ііш f a y + 4 у )- / Ы
оу
лу~*°
Ay
(8.4)
Ay
Зсы сияқты екіден көп айнымалды функциялар
туьщдылар анықталады. Мысалы, м=/(хрх2,...,хт,) функциясы
к=1,2,..,т болганда
Э“ - Шп
дхк
->о Ахк
f (хх,х 2,...,хк + Ах^^.^Хд) —f {х1,х 1,...,хк,...,хт}
_
дх^О
Дс;
“ V8-3)
X
8.155. z = x y 2- — функциясьшьщ N(3,-2) нүктесінде Дх=0,1 жэне
Ау =-0,05 өсімшелерге сэйкес дербес жэне толық өсімшелерін табу
керек.
Шешуі. х =3,у = —2 деп алсақ х+Дх=3,1, у +Ду=-2,05 болады.
Z(N )= z (3;—2)=3(—2)2+3/2=13,5;
z(x +Дх ;у ) = z (3,1 ;-2)=3,1(-2)2+3,1/2=13,95;
Zix ;у +Ау ) = z (3;-2,05)=3 . (~2,05)2+3/2,05=14,07;
zix +Дх ;у +Ду ) = z (3,1;—2,05)=3,1. (-2 ,05)2+3,1/2,05=14,54.
234
Демек Axz = z ( x +Дх ;y ) ~ z (x )=13,95—13,50=0,45;
Ayz = z { x ; y + A y ) - z ( x ,у )= 14,07-13,50=0,57;
Az = z ( x +Ax ;y +A y ) - z (x ,y )=14,54-13,50=1,04; 1,04*0,4+0,57.
z функциясы ньщ N (x,y) нүктесіндегі берілген Дх пен Ay
өсімшелерге сәйкес дербес және толык өсімшелерін есептеңіз:
8.156. z=*x2y ; JV(1;2); Дх =0,1; Ду=—0,2.
'
X2v 2
8.157. Z = ■ ■ ; ----- -5-; ЛГ(2,2); Дх = -0,2; Ду = 0,1. ,
x 2y 2 - ( x - y )
f X2 + v21
8.158. Z = ---- — I ; AT(1, 1); Дх = -0,1; Ay = -0 ,1 .
V
8.159. z = 3x2 + 2Xyjy - у 2 + — функциясыньщ дербес туындыларын табу керек.
Шешуі. х бойынша z'x дербес туындысьш тапқанда у айнымалды
түрақты деп караймыз. Сонда z'x = 6х + 2у[у - у 3 / х 2. Өз кезегінде у
бойынша z y дербес туындыны тапқанда х айнымалды түрақты деп
караймыз. Сонда z' = х / у/у - 2 у + З у 2 / х .
^
8 .1 6 0 . и = д/х2 + у 2 + z 2 ф у н кц и ясы дербес туы нды лы
(и ')2+ (и ')2+(ы ' )2=1 теңдеудің шешімі екендігін көрсету керек.
Шешуі. (8.5) теңдік бойынша:
у пен z -ті түрақты десек, их —х і -Jx2 + у 2 + z 2
х пен z -ті түрақты десек, иу = у / -Jx2 + у 2 + г2 ;
х пен у -ті түрақты десек, иг = z / - J x 2 + у 2 + г2 .
Енді осы теңдіктерді квадраттап қосамыз. Сонда
(и ')2+ (и ')2+ (и ' )2= (х /л /х 2 + у2 + ? ) + [ y / y j x 2 + у 2 + г2) +
+ (г/л /х 2 Т у 2 +Z2) =1.
Демек, берілген и функциясы берілген тендеуді қанағаттандьграды,
я гни теңдеудің шешімі болады.
Функциялардьщ дербес туындыларын табьщыз:
8.161.
8.162. г =
8.163. г =sinx(x - у).
8.164. z —x y e x ~у
235
8.165. 2
8.167. z
8.169.
8.166. г= 1 п (х 2+ у 2).
У X
ху
У
8.168. z = x J y +
х+у
хуех+2у.
8.170. z=ln(x+lny).
Зх 2 +2 у 2 - х у
8.171.z = e
8.173. и =ух 3+xz 2+у 2z
8.172. и =ехуг( х 2+ у 2+ z 2).
8.174. u=xyz.
8.175. z = -Jx + 3у .
8.176. z =arctg(2x —у ).
8.177. ^ х ^ іп у + у 4.
8.178. z = x 4~ y \
Z функциясыньщ берілген А{х\у) нүктесіңдегі дербес туындыларьш
табыңыз:
8.179. z
х + У.
А( 2;1).
8.180. z
х~У
У
8.181. z = х J y +
8.182. z = \nyjx2 + у 2;
Г
8.184. z
2;l)
\
2 /
V
fy
aU
0; J*
8.183. ^ = lncos(y 2- x 2
x
1 ХУ.
; Д 0;і).
1+ ху
; A( 1;1).
X
Бериіген
функцияньщ
көрсетілген
тендеуді
қанағаттандыратыньш
• •
көрсетщіз:
8.185. z
8.186. z
ху
' , '
—— ; *zx + y z
х+у
*
0
1
ех + е у); z ' + z '
8.187. z = J x cos
х
z
xzx + y z
2
У
8.188. z
x2 X 1
2y + 2 + x
8.189. ^ = yln(x
I
У
X
; x 2z'x + y 2z'y
l
l
- z x+ -zy
x
у
У
z
У
8.190. u = ( x - y ) ( y - z ) ( z ~ x ) ; u P' + u У' + uШ' = 0.
236
2.2. Күрделі және айқындалмаған функциялардьщ туындылары
Егер z = f ( x \ y ) , x = x ( t ) , y = y ( t ) болса, онда z —f [ x ( t ) \ y ( t ) ] бол
>щ күрделі функциясы болады. Сонда
dz _ d z dx
dt
dx dt
dz dy
dy dt
(8-6)
Дербес жагдайда z = / (x ;y), у = y (x) болса, онда
d z dz dz dy
~
‘
dx dx dy dx
у = y (x) функциясы f ( x , y ) = 0
(8.7)
айқындалмаған
~ + “ “ “ = 0 немесе y ' ( x ) = - f ' / / '
dx
( 8 .8 )
dy dx
мүндағы x = x (u;v), у —у (u;v) болса, онда
dz _ dz dx
du dx du
dz dy dz _ dz dx
dy du ’ dv dx dv
dz dy
dy dv
(8-9)
Айнымалдар саны екіден коп болтан жагдайда да бүл формулалардың қүралымы сақталады.
dz
8.191. z = x 2+ x y + у 2, x = t 2, y = t 3 болса, — туындыны табу керек.
dt
Шешуі. (8.6) формула бойынша толық туынды
— = — ( jc2 + дгу + у2)- — (f2)+ — ( jc2 + jcУ+ у2)*—-(*3) =
dt
дхК
У
У ' d tK >
dyK
’ d t,,
'
I (2 jc+ у) •2f + (je + 2 y )3 f2 = (2/2 + f3^*2f + (f2 + 2.t3^3t2 =
= 6 ts + 5f4 + 4r3.
~
8.192. z = x 2h\y, x —u/v, у Щи- v, болса, күрделі функцияньщ дербес
туындыларын табу керек.
Шешуі. (8.9) формула бойынша
— = — (jc2
Әи
Әх'
) + ^ -(х 2 In у) •— (uv) =
' Эі/^v J
= 2jcln у ■—+ —
v у
V
=
^ ү іп
v
ду'
' Эи
(uv)+ —— v = -j[2In(Mv) + 1]
v uv
v L
J
2
и . . v и1
+
— In (uv) +
= 2 jc In у •f j+ — и = V v J У
v
V2
—jT -2 ln(«v) + 1 ].
237
и2и
V uv
X
. 2 с
dz
dz
+ х болса, — жэне — туындыларды
дх
dx
8.193. z = arcsin—, у
У
табу керек.
Шешуі.
\
д
dz
дх
дх
1
arcsin
У У
V
1
42 У
1
1
J y 2- х2
1
л/ l + х 2 - х
1
2
У
/
Толық туындыны (8.7) формула бойынша табамыз:
\
\
dz
д I
х
ЭI
. х d
— = — I arcsin — + — arcsin —
1+ x
dx Эх I
уу д у {
У dx
1
1+
X
JC
1
У
2х
X
1
2л/і + х
y j y 2 - X2 yjl + X2
У
1
dz
dt
1
2
•
1+ x
X
+X
толық туындыны табыңыз
8.194. z = x y ; z = e ', y = l + e ' .
8.195. z = e ^ ' ^ '; x = cosr, у = sm/
8.196. z = ln sin
x
, x = 3t 2, y
+t
Jy
; x = acost, у = asm /.
8.198. z - x 5+2xy - y 3; x =cos2/, у =arctgt.
8.199. z =x 2+ y 2+ х у ; у =asin/, у = acost.
8.200. z = e ty]n(x+y); x = t 3, y = l ~ t \
8.201. z = x y + arctg(xy); x = /2+ l, y = t 3.
8.202. z ~ x y; x=ln/, v =sin/.
2У.
2/
x = e‘, y = l - e
8.203. z
x
8.204. г= 3х2у 3; x = t , y = t 2.
8.205. z x 2+ x y 2; x =e2>, у =sint.
du
dt
толық туындыны табьщыз:
238
8.206. и =
z
---- = ; x = Rcost, y = Rsint, z = A.
V* + У
8.207. и = — ; x = e', у = 1п/, z = /2 —1.
М ІЛ
x
8.208. m= x2y Зг; х = /, y = /2, *=sin/.
Ъі
8.209. z = x 3+ y 3, мүндағы х=м- Қ у = и / V, функциясының —
аи
жөне
dz
дербес туындыларын табыңыз.
Айқындалмаған түрде берілген функциялардың у '(х) туындысын
табыңыз:
8. 210. х 3+ у 3—Зху = 0 .
8.211. х у —у х.
8.212.х у ~ 1 п у = 0 .
8.213. х ^ + & = 0 .
2.3. Функцияныц дифференциалы
' щЩ
Z = f ( M ) функциясы М(х,у) нүктесінде дифференциалданатын
болсын, яғни
Az = f ' (х; у ) • Ах + f ' (х; у) ■Ay + а (Ах; Ду) Ах + р (Дх; Ду) А у ,
мүндағы а(Дх;Ду) мен Р(Дх;Ду)-лар Дх—>0,Ду—»0 болганда ақырсыз
кішкене функциялар, ал f ' ( x ; y ) жэне /'{*',у ) -тер М(х,у) нүктесінде
үзіліссіз функциялар.
Жоғарыдағы тендікті, Ар = y](Axf + (A yf деп алсақ, мына түрде
жазуға болады:
Az = /'(х;у)Лх + /'(х \у )Л у + о(Лр)
(8.10)
Аныктама. Егер z = f ( x ; y ) функциясы М(х;у) н үк тесін де
дифференциалданатын болса, онда оньщ өсімшесінің осы нүктедегі
сызықтық бас бөлігі / (х,у) функциясының (толық) дифференциалы
(Дх,Ду-терге сэйкес) деп аталады да, dz немесе d f арқылы белгіленеді:
(8.11)
d f = dz = f'(x;y)Ax
Ax, Ay тәуелсіз айнымалдар өсімшелерін төуелсіз айнымалдар
дифференциалдары деп атайды да, d x —Ax, dy —Ay деп жазады.
Онда функция дифференциалы мына түрде жазылады:
(8.12)
8.214. z = x 3y 2 функциясының (толық) дифференциальш
керек.
dz = f'{x-,y)dx + f ' ( x ; y ) d y .
239
Шешуі. (8.12) формула бойынша
/
/
dz = [х3у 2) хdx + (х3у 2)y d y = 3x2y 2dx + 2x 3ydy •
Функциялардьщ толық дифференциалдарын табьщыз
8.215. z = x y .
8.216. z = j x + y 2 .
x2- v 2
8.217. z = .
8.218. z = \ n ( x 3+ y 2).
8.219. z = x 2y —y 2x.
8.220. z = In tg —.
X +y
У
8.221. z —siiucy2.
8.222. z = x j y + - j = .
Vx
2
2
8*223. z = sin— cos—.
8.224. z = arccos^
^
Д'
*
J x 2+ y 2
8.225. ■£=}>*.
8.226. и =x 3+_уг2+3yz ~ x + z8.227. m=x 2+xy+y 2+ уг + г 2.
8.228. и = Vxy + J~yz + -Jzx .
Берілген шамаларға сүйеніп, функцияньщ толық дифференциальш
есептендз:
8.229. z = х + у - J x 2 + у 2 ; х —3, х=4, Дх=0,1, Ду=0,2
8.230. z = e xy; х=1, у=1, Дх=0,15, Ду=0,1.
§3. Дербес туындылар мен дифференциалдың
кейбір қолданулары
3.1. Толық дифференциалдың жуықтап есептеулерге қолданылуы
(8.10) және (8.11) тендіктерді салыстырғанда, Дхпен Дужеткілікті
кішкене шама болса, функцияньщ толық өсімшесі мен толық
дифференциалы арасында жуық теңдік жазуға болады: A y~dz. Немесе
/
f ( x + Ax\y + A y ) - f ( x , у ) л f 'x(x,у)Лх + f (x;y)Ay. Бүдан:
Щ
я
f { x + A x ; y + A y ) ~ f ( x ; y ) + f i ( x , y ) A x + f y (х;у)Дх
(8.13)
8.231. (1,04)203 санды жуықтап есептеу керек.
Шешуі. (1,04)203саны f(x,y) = х у функциясының х + Ах =1,04,
у + А у = 2,03 болғандағы дербес мәні х =1, Дх =0,04, у =2, Ду=0,03
деп алсақ, Дх,.у)=/(1;2)=12=1, әрі / ' х(х,у)=ухУ~\ / ' (х,у)=х'1пх,
/ ' х(1;2)=2, /'(1;2)= 0 екендігін ескерсек (8.13) формула бойьпшіа
(1,04)2’03 * 1+2- 0,04+0- 0,03=1,08.
240
Жуықтап есептеңіз
8.233. 7(4,05У + (2,93)
8.232. (0,97)2’02.
8.234. arctg
1,97
1,02
-1
8.235. л/О-04)2 +(3,01)2 .
8.236. sin28°- cos61°.
8 .2 3 7 .1п[(0,03)3+(0,99)3].
8.238. (2,01)303.
8.239. J ( 4 , 0 5 f + (3,07 f ■
8.241. sin29° • cos46°.
8.240. д/0,02)3 + (1,97 f ■
8.242. sin2,36 - arctg0,97 • 3205.
8.243. 1,002 (2,003)2(3,004)
3.2. Багыт бойынша туынды. Градиент
Егер z —f (х;у) функциясы М(х;у) нүкгесінде дифференциадцанаонда кез келген е = {cosa;cos /3} ( М нүкгесінен шығушы)
бағыт бойынша туынды мына формуламен есептеледі:
dz ШШ§ cos а н---ШШш
о
т----- cos В
(8.14)
дх
ду
де
Z —f (х;у) функциясьшьщ М(х;у) нүктесіндегі градиенті деп
grad/ ( х ,у ) = {f'{x-,y)-,f;(x-,y)} j f ' ( x \ y ) i + f ; { x , y ) j
(8.15)
dz
түріндегі векторды айтады. Кез келген е үшін — < grad^ . Осы
де
сияқты и =f(x,y,z) функциясы үшін де багыт бойынша туынды мен
градиент анықталады.
Эи
Эм
Эм
0
Эм
-
г
а
л
cosa + ^—cosp + — co sy , мүнда е = {co s a , cosp,cos у )
dz
ду
gradи(х;у;z)= {их'(х,у,z) ; u'(x,y,z );
де
дх
(8.15')
u'(x,y,z)} = u ' i + u'yj I u'k
8.244. z = x 2y + y 2 функциясыньщ
Л /(1;2) нүктесіндегі A/M, вектор
багыты, мүндағы Л/,(3;0), бойынша
туындысьш табу керек.
Шешуі. Л/Л/, векторыньщ бағыт-
Ж
у+А у
у
таушы
о
лг+ Лх
8.2-сурет
16—219
241
АГА/, = {3 —1;0 —2}
2л/2.
21 - 2У; IА/А/, 1 1 Н
А/А/
2/ - 2у
ММ I
2л/2
Демек, cosa
1
, cos/3
л/2
1 /
л/2
1
І (-2 )
1
У
л/2
(8.14) формула бойынша ММ I
Л
вектор ( е вектор) бағыты бойынша туынды:
Ы _ dz
dz
cos р = 2ху и 1 + (х2 + у) м
cos а +
де
дх
ду
м
л/2
А/
1
л/2
1
1
1
1
+
2 1 2
2л/2 + 5
+ 2-2)
л/2
л/2
Л '
Л
8.245. z —x 2+ у 2+Ъ функциясының А/(2;—2) нүктесіндегі
градиентін табу керек.
Шешуі. z'x,z'y дербес туындылардьщ А/(2;—2) нүктесіндегі мәнін
табамыз:
4.
2
у
\
=
2
(-2)
г хJ.,=2x|
=2-2=4;
z'
Ш
уШ
-
-
-
-
(8.15) формула бойынша gradz(M) = {2;-4} = 2/ - 4у.
8.246. м=х2+ Зху2— функциясыньщ А/(—2;3;—1) нүктесіндегі
градиентін табу керек:
Шешуі. (8.14') формула бойынша табамыз:
Эи шди • ди
gradw(AZ)
Эх м ’ дУ А/ ’ Зг м I
={(2дН-3^2)|м; (6x y-z= )\^ -Зг^и = {[2< -2)+ 3-З2);
[6(-2) • 3—<—I)3]; [(-3)(-1)! - 3])={23;-35;-9).
Функцияньщ берілгел М нүктесіндегі а вектор бағыты бойынша
туын
8.247. z = x 3y —5лу2+8; А/( 1
8.248.
Z
М ( 1;2); а = {6;8}.
ху
8.249. z =х 2+ху + у 2+2х+2у; а = {3; 4}.
функциясыньщ /4(1;—1) нүкгесіндегі АВ вектор
8.250. z = Зх
бағыты, мүндағы 5(2;1), бойынша туындысын табьщыз.
8.251. z = 2,5x2—5х+5у функциясыньщ А( 1;2) нүктесіндегі Ох
вектор бағыты бойынша туындысын
осьпен 30
табьщыз.
242
Функцияньщ берілген нүктедегі а вектор бағыты бойынша
туындысын есептеңіз:
_
8.252. z = x 2+ y 2—ху; >1(1; 1); а = {—5; 12}.
8.253. z = х 2—х у + у 2; М ( 1 ; 1 ) ; а = {6; 8}.
8.254. и = х у 2z 3; М (Ъ ;2 ;\);а = {2;2; 1}.
8.255. и =1п(дс2+ у 2+ z 2) ; N( 1;2; 1); а = {2; 4; 4} .
8.256. “ = ? + ? + § ; М (x0; y Q;zo); а = {6;3;-6}.
I
d
О
Функцияньщ берілген нүктедегі градиентін табьщыз:
8.257. z = x 2+ y 2; N(3;2).
8.258. z = ^ 4 + x 2 + y 2 ; N ( 2;l)
8.259. г = arctg ^ ; M0(x0;y0).
рЛі
8.260. u = x 2y 2z ; M J x - y - z J
8.261. и = J x 2 + y 2 + Z 2 ; M 0 (x0;y 0;Zo)
8.261a. u = x y z ;
3;—1;2).
3.3. Беттің жанама жазықтығы және нормалі
F\x\y\z)=Q беттің Mn(xn;yn;z„) нүктесіндегі жаі
теңдеуі
B IS
~ хо)+ ғ І ( Ю ( У ~Уо>~Ғ г (Ю (г -г ,)= 0
(8.16)
немесе бет z = f (х;у) түрінде берілсе, М0(х0;у0;^ ) нүктесіндегі жанама
жазықтық теңдеуі:
/ ' Л х о’У о )(х ~ x o ) + f ' y ( х о’У о ) ( У ~ y 0) ~ ( z - ^ ) = °
( 8 .1 6 ' )
Ң х ; у ;£)=0 немесе z = f ( x ; y ) беттің М0(xQ;y^z^) нүктесіндегі
нормалінің тендеуі:
х ~*о
_
У-Уо
К(ма) ғ ’(м0)
_
z - z 0
ғ ; ( м а)•
(817>
немесе
/ Х Х0’Уо)
/v 'C W o )
-1
(8.18)
8.262. г = 2 х 2+>’2 эллипстік параболоидтың 7V(1;—1;3) нүктесіндегі
жанама жазықтығы мен нормалінің теңдеулерін табу керек.
Шешуі. z'x(x;y)=4x, z ' ( x ; y ) = 2 y дербес туындылардың /V нүктесіндегі мөндерін есептейміз:
z'x( 1 1 ) = 4 ■1= 4, г; ( 1 1 )= 2 • ( - 1 )= —2.
243
Енді (8.161) жөне (8.18) формулалары бойынша берілген бетгің
N нүктесіндегі жанама жазықтығы мен нормалінің тендеуін жазамыз:
4(х—1)—2(у+1)—(^—3)=0 немесе 4 х —2 у —z ~ 3)=0.
х - l у+1 z - 3
4
-2
-1
Бетгің берілген А нүктесіндегі жанама жазықтығы мен нормалінің
теңцеулерін табыңыз:
8.263. x 2+ 2 y 2+ 3 z 2=6; А{\ —1;1).
8.264. 3 z = x 2—y 2; А( 3;1;4).
8.265. z = у І 9 - х 2 —у 2 ; А( 1;2;2).
V 2
2
8.266. z - ---- һ— ; Л(2;3;2).
4
9
8.267. z =x 2—y 2; А( 5;4;9).
8.268. z = х 2+ у 2; А(1;2;5).
8.269. x 2+ y 2+ z 2=169; А( 3;4;12).
8.270. z = y + In -; ^(l;l;l).
8.271. z = l + x 2+ y 2; у4(1;1;3).
8.272. x 2+ y 2- z 2+ l= 0 ; А( 2;2;3).
8.273. г=1п(х2+з;2); Л(1;0;0).
8.274. г = sin —; А(я;1;0).
У
8.275. 4 x 2+ 4 y 2+ z 2—4 эллипсоидтьщ I 2 x ~ 3 y + 2 z =0 жазықтыққа
параллель жанама жазықтығын табьщыз.
8.276. х 2+ у 2+ z 2—2х =0 сфераның x —y —z = 2 мен 2 x —2 y —z = 4
жазықтықтарға перпендикуляр жанама жазықтығын табьщыз.
8.277. V I + -Jy + Г г —yfa (а > О) беттің жанама жазықтықтары
координаталык осьтерден қосындысы түрақты шама болатын
кесінділерді қиятьшын дәлелдеңіз.
8.278. x 2+ y 2+ 4 z 2=4 эллипсоидтьщ қайсы нүктесінің нормалі
координаталык осьтермен бірдей бүрьші жасайды?
§4. Жоғарғы ретті дербес туындылар және толық
дифференциалдар. Тейлор формуласы
4.1. Жоғарғы ретті дербес туындылар
Z=f(x;y) функциясьшьщ М(х;у)е D нүктелерінде дербес туындыбар болса, осы функциялардан
244
алынған дербес туындылар (бар болса) /(х ;у ) функциясыньщ екінші
ретгі дербес туындылары деп аталады да
d (dz\
d2z
Эх VЭх J
Эх
„ = f „ _Э_(d z ) = d2z =
^ЕГ Уп»
Л
I
*
\
I
-ч
-v
“ ’ ду VЭх | дудх
„ =
д (dz)
d2z
Э хЩ у|
ЭхЭу
^•W
t
J VX1 -V I -ч I
**
**’ d y y d y )
=
-ч
?
dy
= f„
J XУ9
7" = /■
~VV У1
(8.19)
түрінде белгіленеді.
Жалпы, я-ретгі дербес туынды деп қандай да бір (я —1)-ші ретті
туындының кез келген бір айнымал бойынша дербес туындысын
атайды.
Егер
жэне f*x аралас туындылары М (х;у) нүктесінде үзіліссіз
с»
м
болса, онда f xy=
, ягни дифференциавдау нәтижесі дифферен
циалдау кезегіне тәуелсіз.
т айнымалды функция и = /(х . ,х ,,...,х т ) үшін
Э ^Эм І
V
Э х.
1У
Э2м
Эх, Эх,
м(2)
Х|Х*
Дп ’
(8.20)
Э"и
Эх,1пdx'я-1
, ... .Эх,»2Эх,'і
Э /
dn l u
Эх,*1 VЭх,*л-1....Эх,*2Эх,-М
&к болса, и;?** туындьшары аралас дербес туындылар деп аталады.
4.2. Жоғарғы ретті дифферент»алдар
z =f ( x \ y ) функциясының М (х/у) нүктесіндегі екінші ретті диф­
ференциалы деп, бірінші ретгі дифференциал dz- тің дифференциальш
айтады да, мына формуламен есептейді:
d {dz) = d 2z = /1 2) (x; у ) (dx)2 1 2/^2) (х; у ) dxdy j f (2) (х; у ) (dy)2 . (8.22)
(8.22) тендікті шартгы түрде былайша жазуға болады:
d 2z = f dx — + dy — 1 / (x, y ) . Осы сияқты, жалпы:
d \ = d ( d n-'z) = ( d x ^ + d y ^ - ) f ( x , y ) ш
(g.23)
и =/(x,,x2,...,xm) функциясыньщ дифференциалдары үшіі
іе (8.23) қүрылымдар сақталады.
8.279. z —x 3+ x 2y + x y 2+ y 3+ 2 функциясыньщ екінші ретті
туындыларын
245
Шешуі. Алдымен бірінші ретті дербес туындыларын табамыз:
ох
= Зх2 + 2ху + у 2;
ду
= х 2 + 2ху + З у 2.
Енді (8.19) теңціктер бойынша екінші ретгі дербес туындыларды
табамыз:
d2z
a
7
дх
дх
(Зх2 + 2ху + у 2)= 6х + 2у,
%у I ННЗІ Щ Щ 2 +2ху + у 2)= 2х + 2у,
оуох оу
z yx
=
+ 2хУ + З у 2) = 2 х + 2у,
Ъ2Х д ( 2
й*
2уу = ~z~r = — \х + 2ху + Зу ) = 2 х + 6у, көріп отырғанымыздай,
ду
ду
d 2z
d 2z
дхду
дудх
Функциялардьщ екінші ретті дербес туындыларын табыңыз
8.280. z = xy In—.
У
8.282. z =arcsin(x+j>).
8.284. z = x 2sin y[y .
8.2SI. z ==3 x 2+ 2 x y 2—4 x y + x 2y —y 3.
8.283. z = x 2ln(x+y).
8.285. z = x y.
8.286. z - \ - y ] ( x 2 + y 2J • 8.287. z = arctg x + ^
3
X ““ V
8.288. z = ------ . функциясы
x +у
I - xy
УУ
xy
теңцеуді
дыратынын тексеріңіз.
функциялар үшін z* = z"yx екендігін тексеріңіз:
8.289. z = х г+ х у 2—5ху 3+ у 5.
8.290. z = e x(cosy +xsiny).
8.291. z = x y.
8.292. z= ^
8.293. z —y&.
8.294. £=sirut- (
8.295. z =y\nx.
8.296. z = ex+yl
Z=f(x\y) функциясы үпіін
=.
8.297. z =xsiny.
8.298. z =ух1п(х+у).
8.299. z = y x2+ x y 2.
8.300.7 =cos(x2+ y 2).
Функцияларның көрсетілген үшшші ретті дербес туындыларын
табьщыз
246
8.301. z = x 5 + Зу3 + 2x - у; z ® . 8.302. z = cos(x - y ) ; z®,
8.303. z ~ ~вЛ:г + 2;
8.304. z = y h i x ;
Берілген функциялардьщ келтірілген дербес туындылы тендеулерді
қанағатгандыратынын көрсетщіз:
8.305. z - I n у/ х2 + у 2 ;
—0
d 2z , d 2z
j- +
8.306. z ~ е cosy,
о
г х . v\
8.307. * - In( . + ✓ );
(Лаплас тендеуі).
п
®
(Лаплас тендеуі).
Эг Эг .
^ + ^ = 1,
Ә2г Э2z
^
02
g2
8.308. z = e x{x cos у - у sin у ); ——н---- —= 0.
дх
1
8.309. z = In —= = = ;
yjx2 + у 2
8.310. и = In
1
d 2z
ду
d 2z
— - h------ = 0.
Эх2 д у 2
-----;
^-!г +
2a4nt
1
n
(Лаплас тендеуі).
(Лаплас тендеуі).
+ —т - 0- (Лаплас тендеуі).
э*
Ц Ц
8.311. и = А •sin Лх •cos сеЯ/; — = а 2 -г-т •
Әг
Эх
1
8.312. и = ---- 7= • е
( d2z
;
Әм
2 д2и
——= д —— .
dt
дх2
(Тербеліс теңдеуі).
. . .
(Жылу ӨТКІЗГІШТІК
теңдеуі).
8.313. z= sin(x2—у 2) функциясының d 2z екінші ретті дифференциалын табу керек.
Шешуі. Бірінші және екінші дербес туындыларын тікелей табамыз:
z ' —cos(x2 у 2) • 2х; Zy =cos(x2—у 2) • (-2 у);
z'Jn = 2 cos (x2 - у 2) - 4x2 ■sin (x2 - y2);
г" = г" = 4xy •sin(x2 - y2).
2
z* = -2 co s(x 2 - y 2) - 4 y 2 sin(x2 - y
Дербес туындылардың табылған өрнектерін (8.22) формулаға
қоямыз:
d 2z = [2 cos (х2 - у 2) - 4х2 sin (jc2 - у 2)J(dx)2 + 8xy •
•sin(x - y 2) dxdy - [2 cos(x2 - y 2) + 4 jr sin(x2 - y 2)]{d y)2 .
247
Берілген функцияньщ d 2z екінші ретті дифференциальш табьщыз:
8.314. z ~ x 2y —x y 2+7.
8.315. z = ( x 2+ y 2)3.
8.316. z = xy —— '
8.317.
3siny.
8.318. z =x + x y .
8.319. z = e 3x~2y.
8.320. z —x - sin2y.
8.321. z —y - lnx.
8.322. z = x y 2—x 2y.
8.323. z=ln(jr-y).
Берілген функцияның көрсетілген ретті дифференциальш
табьщыз:
8.324. z = x + y ; d 3z.
8.325. z = 2y\nx; d 3z .
8.326. z =x 3+ y 3+3xy; d 3z■
8.327. u = x 3+ y 3+z*—3xyz', d 3u.
8.328. и = x y +y z +ZX', d 2u.
8.329. z =3x2y +2x2y —5x + y 4; d 4z4.3. Тейлор формуласы. Егер z ~ f ( M ) функциясы M0(x0, y )
нүктесінің кейбір U(M0) маңайьшда (л+1)-рет дифференциалданатын
болса, онда кез келген М(х,у) е U(M0) нүкгесі үшін Тейлор формуласы
орьщдалады:
мүндағы М ( х , у ) ө и ( М 0\ Лх = х - х 0,Лу = у - у 0
(8.23) тендік бойынша Тейлор формуласы былайша жазылады:
’
і
!
^1
f ( x о + Ау , у 0 + Ay) - f ( x 0,y0) = IДх — + Ay— f { x 0;y0) +
dx
dy /
/( х 0,Л ) + ... + і ( д х ^ + Д у |-) ■/(*„,,„) +
dy
+
i
(. a
. э чя+1
(я+ІУ! [ * * Эх + АУ dy j
+
ӨАХ’
+
ӨАу) * мҮңцағы
0 < Ө < 1.
(8.25)
хо- >о~0 болса (8.24), (8.25) Тейлор формулаларын Маклорен
формулалары дейді.
8.330.
f ( x , y ) = x 3—5х 2~ х у + у 2+ 10х +5у —4 функциясьш М0( 2;—1)
нүктесінің маңайында Тейлор формуласы бойынша жіктеу
Шешуі. (8.25) формула бойынша жіктейміз. Алдымен функцияньщ
М нүктесіндегі мәндерін
есептейміз
/(2 ;-1 )=2. f'Xx, у ) = Зх2 - 10* - у + 10, /,'(2,-1) = 3;
/Л х ,у ) = - х + 2 у + 5, /.'(2,-1) = 1
248
Қалған туындылардың барлығы да нольге тең. Сонымен (8.25)
формула бойынша ізделінген жіктеу мына түрде болады:
/(х,у)=2+3(х - 2 )+(у+1 )+(х —2)2—(х - 2 ) ( y + l ) + ( y 11 )2+ (х - 2 ) 3.
8 .3 3 1 ./(х;у)= у х функциясын /l(l;l) нүктесінің маңайында екінші
ретп Тейлор көпмүшелігімен жуықтау керек.
Ш еш уі./(1;1)=1. у х функциясыньщ бірінші жөне екінші ретті
дербес туындыларын тауып, Л нүктесіндегі мәнін есептейміз:
f : { x , y ) = Ух \ п у , /;(1,1) = 0; / ; ( х , у ) = х з Г \ / ; ( 1,1) = 1;
f Z (*» у ) = У* !n2 у, f " (1,1) = 0; f " (x, y ) = y*"1(x In у + 1);
& (U ) = I
W ) I * { x щ1) y x~2; f " (1; 1) = 0.
Сонда (8.25) формула бойынша f ( x , y ) = l+ (y —l)+ (x —l)(y —
-l)+ o (p 2), мүндағы p = y j ( x - \ Y + ( y - l j 2 .
8.332./(x ,y )= x 3—2y3+ Злу функциясын M0( 2;1) нүктенің маңайында Тейлор формуласы бойынша жіктеңіз.
8.333. f { x ' , y ) = ^ функциясын
нүктесінің маңайында
дәрежелі Тейлор көпмүшелігімен жуықтаңыз.
8.334. /(х ,у )= х у 2 болса, /(х+ Д х, у+Ду) функциясьга Дх пен Дутің бүтін оң дәрежелері бойынша жіктеңіз.
8.335./(х,у)=—х 2+2лу+3у2—6х—2у —4 функциясыньщ х = —2, у =1
мэндерден х,=—2+Дх, у,=1+Ду мәндерге өткендегі өсімшесін табьщыз.
8 .3 3 6 ./(x,y)=eJ'cosx функциясьш Маклорен формуласы бойьшша
үшінші ретті мүшелерін қоса жіктеңіз.
(
\
е у —е~у
8.337.-Д х ,у )= sinx--------- функциясьга Маклорен формуласы
бойьшша төртінші ретгі мүшелерін қоса жіктеңіз.
§5. Көп айнымалды функциялардьщ экстремумдері
5.1. Экстремумньщ қажетгі және жеткілікті шарттары
Егер М0(х0;у0) нүкгесі үшін V M (x,y)e U ( M 0) , /(х ;у )< /(х 0;у0)
(/■(х;у)>/(х0;у0)) теңсіздігі орындалатындай U(M0) маңайы табылса,
онда z —f (х;у) функциясыньщ Л/0(х0;у0) нүктесінде (локальдік)
төңіректік максимумы (минимумы) бар дейді.
17—219
249
M0(x0;yQ) нүктесін төңіректік максимум (минимум) нүктесі, ал
функцияньщ осы нүктедегі мәнін функцияньщ төңіректік максимум
(минимум) мәні деп атайды. Төңіректік максимум мен төңіректік
минимум мәндері —төңіректік экстремум деп аталады.
Төңіректік экстремумның қажетті шарты: Егер дифференциалданатын z =fix',у) функциясыньщ М0(х0;у0) нүктесінде төңіректік
экстремумы бар болса, онда оньщ осы нүктедегі дербес туындылары
нольге тең:
(8.26)
f a ; у о) о, 2у (*„; у 0) О
Дифференциал мен градиент анықтамасынан келесі түжырым
шыгады: М0(х0',у0) нүктесінде дифференциалданатын Z=f(x;y)
функциясьшың осы нүктеде төңіректік экстремумы бар болса, онда
df(M0) = 0 немесе grad/(M0)=0.
(8.27)
М0(х0;у0) нүктесінде (8.26) шарттар орьщцалса, онда М0 нүктесі
f(x ;y ) функциясының стационар нүктесі деп аталады. f i x , у)
функциясыньщ стационар нүктелері мен оның дифференциалданбайтьш нүктелерін күдікті нүктелер деп атайды.
Мысалы,
х 2 + у 2 функциясы 0(0;0) нүктесінде минимум
мәнін қабылдайды, бірақ бүл нүктеде функция дифференциалданбайды. Әрбір стационар нүкте локальдік экстремум нүктесі бола
алмайды.
Төңіректік экстремумның жеткілікті шарты: z = f (x;y) функциясы
M0(x0;y0) стационар нүктесінің кейбір U(M0) маңайьщца екі рет
дифференциалданатын және оның екінші ретгі дербес туындылары
М0(х-у0) нүктесінде үзіліссіз болсьш,
А
о>У0}1 В / м , У а ) , С f " ( x 0, y 0) , A = A C - B
1) Егер Д>0 болса, онда М0(х0;у0) нүктесіндеf(x;y) функциясыньщ
төңіректік экстремумы бар, атап айтқанда, А< О (С<0), болса төңіректік максимум, А> 0 (С >0) болса -төңіректік минимум мәнін
қабылдай
2) Д<0 болса, онда М0(х0;у0) нүктесінде f(x,y) функциясыньщ
төңіректік экстремумы жоқ;
3) Д=0 болса, онда f{x\y) функциясьпп>щ М0(х0\у0) нүктесіндегі
сипаты оньщ екіден жогары ретті дифференциалымен анықталады.
(Төңіректік экстремум болуы да, болмауы да мүмкін)
Функцияньщ ең үлке
>f i x , у) функциясы
D = Z) и Г түйық аймақта
үзіліссіз дифференциалданатын болса, онда fix',у) функциясы
ең үлкен жэне ең кіші мөндерін стационар нүктелер
шекарасындағы нүктелерде қабылдайды.
250
Бүларға қосымша дифференциалданбайтьш нүктелерді де зерттеу
қажет
8.338. z =(2х 2+ у 2)е (х2+->,2) функциясьш экстремумға зерттеу к
Шешуі. Бірінші ретті дербес туындыларын табамыз:
z'=4xe~<*2+y2)+(2x 2+ у 2)е~(х2+у2\ —2х)=е~(х2+у2)[4х-2х(2х2+ у 2)].
z ' = 2 y e ~(*2+у2)+ (2 х 2+ у 2)e-<x2+y2\ - 2 y ) = e ^ xUy2)[2y - 2 у ( 2 х 2+ у 2)].
(8.26) бойынша дербес туындыларды нольге теңестіріп,
ретіңде шешіп, стационар нүктелерді табамыз:
[ 4 х - 2 х ( 2 х 2 + у 2)1 = 0
е (х2+/2) [2 у - 2у (2х2 + у 2)1 = 0
\2 х (2 - 2 х 2 - у 2) = 0
\ 2У (l - 2х2 - у2) = 0 •
Ьүл жүиені шешкенде бес стационар нүкте шығады:
Л/0(0;0); Л/,(0;1); Л/2(0;-1); Л/3(1;0); Л/5(-1;0);
Енді екінші ретті дербес туындыларды тауып, әрбір стационар
нүкте үшін жеткілікті шарттың орындалуын тексереміз:
z"„=e~<xU^ + ( S x л+ 4 х 2у 2—20х 2+ 2 у 2+ 4 ) = А
z"xy= e~ixUy2)+(Syx 3+4ху3- 12ху)= В
Z"„=e-<x2+y2>+(4y 4+8х 2у 2- 10у 2- 4 х 2+ 2)= С.
Әрбір стационар нүкте үшін Д = А С —В 2 шаманың сәйкес мәндерін
есептейміз:
1) Af0(0;0): A =4; В = 0; С —2; Д =8>0, A >0. Демек, Af0(0;0)
нүкгесінде функция төңірекгік минимумға ие: ^ = 0 ;
2) Af,(0;l): А = 2/е; В = 0; С = —2/е; Д = —4 /е 2<0. Демек, Л/,(0;1)
нүктесінде функция төңіректік экстремумы жоқ;
3) Л/2(0;—1): Л = 2/е; В =0; С = —2/е; Д = —4 /е 2<0. Төңіректік
экстремум жоқ.
4) А/3(0;1): А = —8/е; В = 0; С ——2/е\ Д = 16/е2>0, А< 0 -сондықтан
Л/3(1;0) нүктесінде функция төңіректік максимумға ие: z ^ —2/е;
5) Л/4(—1;0): А = —%/е\ В—0; С = —2/е; Д =16е2, /К 0 -сондықтан
Л/4(—1;0) нүктесінде функция максимумга ие: ^тах= 2/е.
Келесі функцияларды төңірекгік экстремумға зерттеңіз:
8.339. z = x 2+ x y + y 2—2 х —Зу + 17/3.
8.340. z = ~ х 2+ х у —у 2—9х +3у —20.
8.341. z —х 2+ ху +у 2—Зх —6 у .
8.342. z =х 2—ху + у 2+9х —6у +20.
8.343.
8.344.
8.345.
8.346.
8.347.
8.348.
z —2ху —4х —2 у .
г*=ху2(І —х—у), (х>0, у>0).
г ^ З х 2—х 3+3у2+ 4 у .
г —х 2+ у 2~2\пх—181пу.
z —x 3+ 3 x y 2—15х—12у.
z ~ 2 х }—х у 2+ 5 х 2+ у 2.
251
8.349. г = х 3+8.у3—6ху+5.
8.350. z = x 3 + у 2 - З х + 4 у [ у ^ .
8.351. г=(л-у)2+0;-1)3.
Ш
. гм*»- j
■И; ‘ к
8.352. z = Ху[у —х 2 —у + 6х + 3 .
8.353. z = х 3+лгу2+ в х у .
8.354. Дөңгелекке үшбүрыш іштей сызылған. Қандай үшбүрыштың қабырғаларының квадратгарының қосындысы ең үлкен болады?
8.355. Конустың бүйір беті S — ке тең. Көлемі үлкен болатын
конустың өлшемдерін анықтаңыз.
8.356. Цилиндрдің толық беті £=6л м. Ең үлкен көлемді
цилиндрдің өлшемдерін анықтаңыз.
8.357. Тік төртбүрышты бассейннің көлемі V—ға тең. Ең кіші
көлемді бассейннің өлшемдерін анықтаңыз.
5.3. Шартты экстремум
х пен у айнымалдары фі.(х,у)=0, /=1,2,.,.,/и, тевдеулерімен
(байланыс теңдеулері) байланысқан z = f ( x ; y ) функциясының
максимумы мен минимумін табу керек болсьш. Шарпы экстремумды
табу үшін Лагранж функциясы деп аталушы
L(x;y;A.) = f ( x , у )+ £ %<р. (х, у )
(8 28)
функциясын төңіректік экстремумге зертгейді. Мүндагы Л.-лер нақты
саңдар.
Қажетті шартгары:
К =Q,L'y = 0, L[. = (pt { x ,y ) = 0, і Щ т
(8.29)
/=1 болса, Лагранж функциясы жэне экстремумньщ қажетті
шартгары
L(x; у; Я) = f ( x , y ) + А<р(х, у )
(8.28')
К = fx + Щ = 0. Ц = / ; + W y = о, Ц = (р(х,у) = 0
(8.30)
түрінде болады.
МціХрУ'), А,0-дер (8.30) жүйеніц кез келген шешімі болсын жө:
мьша Д анықтауышты есептейік:
0
Л
<р’ (М „)
<Р\ ( м , ) L- Ж Х )
<р'у ( м „)
L’ ( M „ X
(8.31)
L 'jM o .K )
Шартты экстремумньщ жеткілікті шарттары:
а) егер Д<0 болса, онда z = f ( x ’,y) функциясыньщ М.
нүктесшде шартгы максимумы
252
б) егер Д>0 болса, онда z =f ( x ; y ) функциясыньщ М.
нүкгесінде шартты минимумы
8.358. 7
функциясының
х 2+ у 2—5=0 байланыс
цеуін қанағатгандыратын шартты экстремумдарын та(
Шешуі. (8.28) теңдік бойынша Лагранж функциясын
Ц х,у,Х )= х+ 2у+ Ц х 2+ у 2+5).
туьшдыларын тауып, нолы
U =1+2Ъс 0,9 L У' =2+2Ху=0, L \ = х 2+ у 2 5=0.
тендеулер жүиесшщ шешімі
2;
A
.=0,5;x,=l;
1 ЬУі
= -0 ,5 .
Енді L(x,y,X) функциясыньщ екінші жэне ср(х,у) функциясыньщ
туьшдыларын
L XX 2А; L ху 0, L УУ 2Я; (р'х = 2х; (р[ = 2 у.
Әрі қ ар ай (8.31) ан ы қтауы ш ты ң теңдеулер ж ү й есін ің
шешімдеріндегі мәнін есептеп жеткілікті шарттардың орындалуын
қадағалаймыз.
жағдайды қарастырамыз
А, = 0,5; х і
2. L XX” 1; l *У 0; L УУ 1;
1; У\
<р'х ( - 1;-2) = -2 ; <р' (-1;
жагдайда
0
2
4
л
2 1 0 20 > 0.
4 0
1
Демек, JV,(—1;
нүктесінде шартты минимум бар жэне ^
1
сиякты =—0,5 болганда N J 1;2) нүктесінде
0 2 4
Л
2 -1 0
20 < 0 .
4 0
1
нүктесінде шартты максимум
5.
Z=f(
ф у н к ц и ясы н ьщ ф (х,у)= 0 б ай л ан ы с тең д еуін
қанағаттандыратын шартты экстремумдарын табьщыз
8.359. z = xy х + у = 1.
8.360. z = x 2 12ху+2у
25.
8.361. z =cos2x +cos2y, х —у =7с/4
8.362. z ■х+у ; х 2+ у 2 1.
8.363. 7 ■х2+ у 2; х + у 1.
8.364. z = x 2+ y 2~ x y + x + y —4; х + у + 3=0.
8.365. z = x y 2; х + 2 у = 1 .
1 1
х+у =2
8.366. z
х у
8.367. z х + 2 у ; х + у 2 1.
253
»«jvu. —
/ J
2
2
л *
x' j
2
8.369. Ауданы 5-ке тең тік бүрышты
үшбүрыштардың ішінен гипотенузасы ең
кіші болатынын анықтаңыз.
8.370. Периметрі бірдей үшбүрьшггардың
ішінен ауданы ең үлкен болатынын анықтаңыз.
8. сурет
8.371. Ауданы S -ке тең тік төртбүрыштардың периметрі ең кіші болатынын табыңыз
параллелепипедтердің
көлемі ең үлкенін табьщыз.
8.373. z = х 2у ( 2 - х - у ) функциясыньщ х =0, у =0, х + у =6 түзулері[ шенелген түйық аймағындағы (8.3-сурет) (үшбүрыиггағы) ең
ен және ең кіші мәндерін табу керек.
Шешуі. Үшбүрыштың ішінде жатқан стационар нүкгелерді
табамыз:
£ = 4ху - Зх2у - 2 ху2 = ху( 4 - Зх - 2у) = 0
z'y = 2х2 - Зх3 - 2х 2у = X 2 (2 - х - 2у) = 0
Бүл жүйені х пен у-ке қысқартуға болады, өйткені үшбүрыштың
ішінде х >0, у >0. Сонда мына тендеулер жүйесі шығады:
—Зх —2 у = 0
/
\ 1
‘ => х0 = 1; у 0 =0,5. Бүл нүктеде: z(l;0,5j= —. ү Ш-х-2у =0
4
бүрьшггың х =0, у =0 қабыргаларында z 0.
х + у = 6 қабы рғасы нда у = 6—х, 0<х<6 болғандықтан,
(х, у (х)) = z(x) = х2(б - хХ2 —х —6 + х) = -4 х 2(б - х ). Интервалдың
шеткі нүктелерінде: г(0)=г(6)=0. Стационар нүктелерді z'W =0
теңдеуден табамыз: —48х+12х2=0 немесе 12х(х^4)=0. Бүдан х=4.
(х =0 шекаралық нүкте болғандықтан). Бүл нүктеде: г(4)=-128;
у =6—4=2. Демек, z функциясыньщ ең үлкен және ең к і і т і і мәндерін
—;0;—128 \ жиыннан анықтаймыз. Сонымен функцияньщ ең үжен
4
мәні —, оны үшбүрыштың ішіндегі (1;0;5) нүктесінде қабыддайды,
ал ең кіші мөні —128, оны функция шекарадагы (4;2) нүктесінде
қабыддайды.
Z функциясыньщ көрсетілген аймақтағы ең үлкен және ең кіші
мәндерін табыңьіз:
8.374.
8.375.
8.376.
8.377.
z ^ x + y ; x 2+ y 2< 1.
z —x 2—y 2\ x 2+ y 2< 1.
z = x * + y 3—3xy; 0<x<2, —l< y< 2.
z —x 2—2 y 2+4xy—6x —1; 0<x<3, 0<j/< 3—x.
8.378. z —x 2—x y + y 2—4x; 0 й х < 6 , 0 < у <4 — x.
8.379. z = x y + x + y; l < x < 2 , 2 < y < 3 .
8.380. z = x 2+ 3 y 2+ x —у ; Q<x< 1, 1—x < y < 1.
8.381. z=sm x+siny +sin(x—y); 0 ^ x £ — 0 <>y < ,K
2’
2
8.382. г =sinx +siny +cos(x +.y); 0 ^ x < — , 0 < у < — .
Mf *
^
5.4. Ең кіші квадраттар әдісі
Әр түрлі зерттеулерде (х,;у,), (х2;у2) ,...,(хп, у п) эксперименттік
н үктел ер д ің О ху ж азы қ ты қ та орналасуы на қ ар ай y = f ( x )
функциясыньщ түрін анықтау қажет болады. Негізгі мақсат ауытқу
ЯІ
сандарының квадраттарының қосындысы Ф(У)= Х [/(х () —у
1=1
шаманы ең аз ету. Бүл әдісті ең кііні квадраттар өдісі деп атайды.
/ {x)—ax+b болған жағдайда
Ф(а>Ь)=Х(ах,. + Ь - у і ) .
(8.32)
і—
1
Сонымен, есеп Ф (а;Ь) функциясы минимум мәнін қабылдайтындай а және Ь белгісіздерді табуға келтірілді. Ф{а\Ь) функция сы ның
дербес туьшдыларьш нольге теңесгірсек, және белгісіздерінен тәуелді
екі сызықты теңдеуден түратын жүйе шыгады:
п
£
І=1
п
/=1
ул
ж
1=1
п
xf + ЬИ
/=1
хі
п
(8.33)
х, + bn.
і=1
Осы жүйеден а және b белгісіздерін тауып / (х)=ах+Ь тендеуге
қоямыз, сонда ізделінді тендеу шығады.
Ф (а;Ь) функциясыньщ M(a;b) нүктесінде минимум мөнін
қабылдайты н ы н екінші ретгі дербес туындылар көмегімен тексеруге
(жеткілікгі шарт) болады.
8.383. Берілген нүктелер жүйесі бойынша ең кіші квадраттар
өдісімен у —ах+Ь
255
Шешуі. Біздің жағдайымызда
6
.
6
6
6
X*, =31, Ш , ЙЙІ 'Zxi y i =37,
=16, /1 = 6 болғандықтан,
і=1
і=1
і=1
ы
(8.33) сызықтық тендеулер жүйесі З1а+9Ь —37, 9а+6Ь = \6 түрінде
болады. Бұл жүйенің шешімі: а = 0,74; §=1,55. Сондықтан ізделінген
түзу теңцеуі: у=0,74х+1,55.
Берілген нүктелер жүйесі бойынша ең кіші квадраттар әдісімен
у=ах+Ь түзуді табыңыз:
8.384.
X
1
2
3
4
5
6
У
6
8
10
9
12
11
X
48
10
28
38
13
23
У
2,5
0,7
1,5
2,1
0,7
1,5
8.385.
8.386.
X
120
1
2
3
4
5
6
140
230
370
445
570
655
7 8
770
8.387.
X
0,5
0,1
2,0
2,5
3,0
У
0,62
1,64
3,7
5,02
6,04
8.388.
X
1
2
3
5
У
3
4
2,5
0,5
256
IX т а р а у . КӨП АЙНЫМАЛДЫ ФУНКЦИЯЛАРДЬЩ
ИНТЕГРАЛДЫҚ ҚИСАБЫ
§1. Ею еселі интеграл жэне оны есептеу
1.1. Ш енелген f ( x , y ) функциясы шенелген түйы қ D a Оху
аймақта анықталған болсын. D аймағын кез келген тәсілмен
шекараларынан басқа ортақ нүктелері жоқ, саны ақырлы Z) ,Z>2,...,Z>
бөлікшелерге бөлеміз; олардьщ аудандарьш ASv AS2,...,ASn деп белгіf
ЗрД Ш
\
і
1
і і \
I
Я
леп, әрбір бөлікшеден М.(х.,у) нүкте алып
^ ^
(*/’Х )'
/=і
қосы н д ы н ы
=
Л
I ■
= ^ f ( M i) ASi =
/=1
/
Риманның интегралдық қосындысы деп аталатын
қ ү р ам ы з.
Z). б ө л ік ш ен ің д и ам етр ін
|р ( ^
d (D .) =
)| 5 ал max d (D )= X деп белгілейміз.
Анықтама. Егер ақырлы lim £ / (*,, у, )А5. шек бар болса, ол шекті
я->0 /=і
f
) функциясыньщ D аймағындағы екі еселі Риман интегралы деп
атайды жэне
й5
УіЗі = Я/ U y)dS =JJ/ (M )<iS = j j f (x, y)dxdy
D
D
D
(9 1)
\
9 /
cимволд арының біреуімен белгілейді.
Бір өлшемді анықталған интегралдардың негізгі қасиетгері екі
еселі интегралдар үшін де орындалады.
Егер х = ос, а < а < Ь , түзулері D аймағының шекарасын екіден
артық нүктеде қимаса, онда ол Оу-осінің бағыты бойынша дүрыс
аймақ, ал у = $ , с < р < d , түзулері шекараны екіден артық нүктеде
қимаса, онда D аймағы Qx-осінің бағыты бойынша дүрыс аймақ деп
аталады. Ox- oci бойынша да, Оу-осі бойынша да дүрыс аймақты
қысқаша дүрыс аймақ деп атайды.
Теорема. Егер Оу-осініңбағыты бойынша дүрыс D аймағы a < x < Z>,
У\(Х)^У^У2(х )і мүндағы у х(х) жэне у 2(х) үзіліссіз функциялар,
теңсіздіктермен анықталса, anf(x;y) функциясы D аймағында үзіліссіз
болса, онда осы функцияньщ аймагы бойынша екі еселі интеграл
бар жэне ол қайталама интеграл арқылы есептелінеді:
257
Ml
JJ /(x,y)dxdy = J cfcc J /(x, y)dy
(9.2)
a
D
Осысияқты D аймағы c < y < d , x,(y)<x<х2(у),мүндағыx,(y)жэне
x 2Cv)Y3m icci3 функциялар, теңсіздікгермен анықталып, Qx-осінің
бағыты бойынша дүрыс болса, онда
fdy J
Я л
(9.3)
fix
хЛУ)
D
онда мьша теңдіктер
орындалады:
Х,(У)
\ \ f ( x 9y)dxdy = j d x j f ( x
a
KM
D
f i x , y)dx
\dy
Х,(У)
Мысалы, (9.2) формулада аддымен у бойынша (х-ті түрақты деп)
интегралдаймыз, содан соң шыққан функцияны х бойынша
интегралдаймыз. Осы сияқты (9.3) формулада алдымен х боиынша,
содан соң у бойынша интегралдаймыз.
Егер yt(x) немесе у2(х) қисық [а,Ъ] аралықта эр түрлі аналигикалық
өрнектермен берілсе, мысалы у,(х) —и(х), хе \а,с], у,(х) = v(x), хе (c,b]
болса, онда (9.2) теңдіктің оң жағындағы қайталама интеграл екі
интегралдың қосындысы түрінде жазылады:
Ь
Уі(х)
с
] d x \ f ( x , y)dy = J dx
а
У{(х)
о
л (х )
J
*
f i x , y)dy + j dx
u(x)
с
ftW
j
v(x)
f i x , y)dy
(9.5)
'■
осы сияқты түжырымдама (9.3) тендік жағдайьщца да орьшды
9.1.
JJ (х2 + у 21dxdy екі еселі интегралды есептеу керек, мүндағы
D
D аймагы х = І, х=3, у =0 жэне у =2 түзулерімен шенелген.
Шешуі. D аймағы екі бағытта да дүрыс аймақ, сондықтан бүл
интегралды (9.2) немесе (9.3) формула бойынша есептейміз:
э
з V2
У
dx
х + у 2)dxdy = Jd x j(x 2 + y 2)dy = J x 2y +
3
1
1 0
D
о
/ 2х3 8хл
3
68
2 8
54 24
+
-+
2x2
3
3
+
3
3
3
3
3
У
V
l
x
9.2. fJ —dxdy екі еселі интегралды есептеу керек, мүндагы
аймагы у = х 2 жөне х = у 2 параболаларымен шенелген (9.1 сурет)
258
Шешуі. I
шекарасы у
ал
у >0 болғанУ л , өйткені
біршші ширекте жатады. у =х ,
х = у 2 ж үйені шешіп екі параболаны ң
қиылысқан нүкгелерін табамыз: 0(0;0) және
А (1,1). х-тің кез-келген белгіленген мәнінде
у айны мал у —х 2 параболадан у = Vx
параболаға дейін өзгереді. Сондықтан (9.2)
формула бойынша
■Jx
- dxdy = \ d x l - dy = J1JC(In y)| T dx
о У
І I У
о
j x (ln
yfx - I n x 2)dx
и = In jc
1
0
9.1-сурет
xi - l n x - 2 1 n x Idx
/
1
3 1
x 2ln x
2 V2
0
3!
\x\n xdx
20
1 J x 2dx ^
2о
0
з
du
dx
X
dv = xdx
1 JC
2V 2 2
1
о
v
X
2
3
8
К өрсетілген сы зы қтарм ен ш енелген D айм ақтары ндағы
JJ f ( x 9y)dxdy екі еселі интегралды есептеңіз:
D
9.3. JJ ( jc + у 2)dxdy; x = l, x= 2, y= 0, у =2.
D
9.4. f j ( y 2 + 2y)dxdy; x= 0 , x = l, y= 0, у = 2
D
9.5. ff
dxdy
d (x
9.6.
+ y)
; x= 3, x = 4 , у =1, у =2.
JJ xydxdy; x = l, x= 2, y = l, у =2.
Z)
9.7. j j x 2ydxdy; x= 3 , x = 6 , y = 0 , у =2.
D
9.8. JJ-d x d y ; x = l, x= e, y= 4, у =6
D*
Ж
259
9.9.
х=0, x = l , у = 0 , y - l .
у
9.10. JJ Оух2 - 2х3)dxdy; х =0, х = \ , у = 0 , у =2
D
9.11. JJsin(х +y)dxdy; x =0, * =?>
J'
У~
D
9.12.
JJ xe^dxdy; x =0, x =1, у = -1, у = 0.
о
9.13.
JJ (x -у + \)dxdy; x=0, x = l, y —x, y=2x.
D
:
уз
9.14.
JJ ,
9.15.
JJ (x +2y)dxdy; x=0, x = y 2, y=0, у =2.
-2- йМу; x=0, x = y , у = -2 , у =4.
D
9.16. JJeVxtfy; x=0, x = y , y=0, y = l
Z)
9.17.
JJ (x + y)dxdy;
x = a , x= 0, y=x.
D
л
ff xdxdy
x2
9 Л 8 -
JJ^i—TT;
DX +У
9.19.
JJ x2ydxdy;
у = 0,
у
ax - x
D
9.20.
JJ sin(x +y)dxdy; у =0, у =x, x +у = p
D
9.21.
JJ x2(y -
x)dxdy; x = y 2, y z X .
D
9.22. \\xydxdy; x=0, у =0, x + y = l.
D
9.23.
JJ 2ydxdy;
y = Jx, у
=0,
x+y = 2
D
9.24. JJ x 2y 2dxdy; x = 2, y = x, у
D
260
1
X
У
9.25. \ \ e xdxdy,x=Q, x = \n y, y = \ , y = 2 .
= V2 - x
D
A(l; 1)
9.26
1
dxdy ; y = x 2, x = y 2.
x =0
x —1
9.27. jf x d x d y ; x = 2 + s i n y , x = 0 , y = 0, y = 2n.
D
0
9.28. JJу In xdxdy; x y = 1, x = 2, y = y f c .
1
9.2-сурет
D
9.29. JJ(cos 2 x + sin y)dxdy; x =0, у =0, 4x+4у - n = 0 .
D
9.30. JJ xdxdy; төбслері Л(2;3); В( 7;2); C(4;5) болатын үшбүрыш
D
1
v2—
9.31. \ d x
f i x , y ) d y қайталама интегралдьщ интегралдау ретін
0
өзгертіндз
Шешуі. D аймағы х= 0, х = 1 , у = х жэне у
х шеңбердің
доғасымен шенелген (9.2-сурет). D аймақтьщ Оу оське проекциясы
|о ;Л ] кесіндісі болады.
D аймақтың сол шекарасы х = 0 түзуі, ал оң шекарасы [0;1]
кесіңдіде у = х түзуі. [1;V2 1 кесіндіде х |
- у 2 шеңбердің доғасы.
Сондықтан D аймақты D = D X<j D2 екі аймаққа бөлеміз, ал интеграл
осы Dxжәне D2аймақтардағы интегралдардың қосындысы болады.
і
У
J dx
f ( x , y ) d y = J d y \ f i x , y )d x + J dy J f ( x , y ) d x .
0
0 0
I
0
Келесі қайталама интеграддардың интегралдау ретін өзгертіңіз
1
9.32. J dx J f ( x , y ) d y .
9.33. JdxJ f ( x , y ) d y
1
0
€
9.35. \ d x \ f ( x , y)dy )
2x
1
9.34. \ d x \ f ( x , y ) d y .
0
0
-я
2-y
У
9.36. f d y f f ( x , y ) d x
9.37. j d y j f ( x , y ) d x .
0
In у
261
а
х
а
.
а
.
.
\g
1
г ;;
9.38. /<**//(*> y ) d y = J d y j f (x, y ) d x екендігін көрсетініз жэне осы
* 0 0
о у
тендікті қолданып, Дирихле формуласын дәлелдеңіз:
J dx] / ( х , y ) d y = j ( t - y ) f ( y ) d y .
0 0
0
1.2. Екі еселі интегралда аинымалдарды ауыстыру
Қ үрақты -тегіс (сыптығыр) ш екарасы бар, шенелген түйық
D = D k j T аймағында үзіліссізтуындылары бар и =и(х,у), v =v(x,y),
функциялар D аймағын шекарасы қүрақты-тегіс болатын беліілі бір
шенелген түйы қ D* = D* + Г* аймаққа өзара бірмәнді бейнелесін
дейік. Яғни />*аймақта үзіліссіз дифференциалданатын x = x ( u , v ) ,
y = y ( u , v ) ф ун кц и ялары бар болы п, олар О и \ тік бүрышты
координаталар жазыктығындағы D аймақты D аймағьша бейнелейді
және бейнелеудің Якоби анықтауышы
J(u,v)
хи
XV
Уи
У
/
/
Ф 0, (M,v)e D
болып, мына формула орынды болады:
Я /С*; y)dxdy = JJ f[x (u ; v); y(u, v) ] | 7 ( m, v)|dudv
D
(9.6)
D
ауыстырулары
pcos9 , у
жағдаида
(p, (p) полярлық координаталарға өтсек,у(р,ф)=р
Я / (*; y ) d x d y = Я / (Р cos Ф>Р sin ф) РФ^Ф
D
Ш
(9.7)
9.39. D аймағы квадрат, ол х + у = 1 , х —у —1, х + 3 —3, х —у
1
түзулерімен шенелген (9.3-сурет). JJ(x+ у)3(х —у ) 2dxdy интегралды
D
есептеу керек.
Шешуі. и = х + у , v =х —у деп жаңа айнымалдарды енгізсек, бүдан
х=
-—
2
у = М„ V. Түрлендіру Якобианы (анықтауышы)
2
/
J( u, v)
Хи
Уи
/ tv
Xv
/1
yv
1
1
2
1
2
2
1
2
2
262
(9.6) формула бойьшша \](х + у ) \ х - у )2dxdy = - \ju3v2dudv. D*
D
2 D*
аймақта квадрат (9.4-сурет), ол и =1, и =3, v =—1, v = l түзулерімен
шенелген. Сонымен
Ц(х+у)3(х у ) 2dxdy = —jj u3v 2dudv = —\u 3d u j v 2dv
£>
2D
J*
21
J
-1
1
3
2i
-i
11
1
оi
12
du = ^ \ u 3(l + l)du =
3
20
3
AV
1
D'
0
-1
9.3-сурет
9.4-сурет
9.40. D аймагы x 2+y 2= 1 шеңбермен шенелген. jj yjl - [x2 + y 2}dxdy
интегралын есептеу керек.
Шешуі. D аймағы центрі координата басында, радиусы R =1 болтан
дөңгелек. x=pcos(p, ,y=psimp, полярлық координаталарға отсек,
х 2+ у 2= р 2, {0<р<1,0<ф < 2к}=D* болады. (9.7) формула бойьшша
X + у 2)dxdy = Я y / l - p 2 ■pdpd(p = 7 dtp]
uJi
D '
0
D*
- р 2pdp
0
3
2
-1
2 о
3
2
1 2л
dm = щ J Я
J о
о
1 2к
0
[Ф]
3
2я
т
9.41. //( у - x)dxdy интегралды есептеңіз; мүндағы D аймақ
D
у -х = 1 ,у -х
. 1
’
7
1
~ J ’ у * з х=
263
түзулерімен шенелген
9 42 1
интегралды есептеңіз; мұндағы D аймақ х у - \ , х у =2,
D
у —х , у =3х сызықтарымен шенелген.
9.43. I dxdy интегралды есептеңіз; мүндағы D аймақ у 2=2х,
I)
у 2= 3 х параболалар жэне х у = 1 , х у = 2 гиперболаларымен шенелген.
1
2х
0
х
9.44. х —щ 1—v), у —іЩжаңа айнымалдар енгізу арқылы j d x f d y
қайталама интегралды есептеңіз.
Полярлық координаталарга өтіп келесі екі еселі интеграддарды
есептеңіз:
9.45. \j(x2 + y 2)dxdy", мүндагы D аймагы у >0 болган х 2+ у 4 R 2
жарты дөңгелек.
9.46. Цех
dxdy; мүндагы Z) аймагы х 2+ у 4 R дөңгелек.
D
і
Я
/
У
9.47. JJ 1 - ^ \dxdy ; мүндағы D аймағы х ^ у Ч п 2 дөңгелек.
I I ID V X
шшл шшшш шш шш
PC
аdxdy
лау
і
2
9.48. JJ 1 ---- і—7; мүндағы D аймагы у = л І I - х жаргышеңбер
DX + y + 1
1
жэне Ox осімен шенелген.
/
I
.
2
1
rrSinJx + J
2
2
7
Г
2
.
..2
9.49. Я— I
; мұндағы D аимағы x +>> = — ,
O V*2 + У2
9
jc2+y 2=Tc2 шеңберлерімен шенелген.
9.50. JJsinV^2 + У2dxdy j мүндагы
l$l
:
j
'
£> аймагы х 2+ у 2= л 2,
х 2+у2=4л2 шеңберлерімен шенелген.
9.51. JJ(x2 + y 2)dxdy ; мүндагы D аймагы x 2+ y 2—2ay шеңберімен
D
шенелген.
9.52. Я > 2 - x 2 - у 2dxdy ; мүндагы D аймагы x 2+ y 2= R
D
шеңберімен жэне у —х, у —у/Зх түзулерімен шенелген
264
у
9.53. JJJ1
а
dxdy ■D аймағы
Ь
а
ген.
1 эллипспен шенел­
b
§2. Екі еселі интегралдардың геометрия
физикадағы кейбір қолданылулары
есеіггеу. Жоғарьщан z =f(x,y)> 0 үзіліссіз бет, төменнен
Z= 0 жазықтық, бүйір жағынан — бағыттаушысы D аймақтың
, жасаушылары Oz осіне параллель цилиндрлік
қисықсызықты цилиндрдің көлемі
v = \\f(x,y)dxdy.
(9.8)
D
2.2. Ауданды есептеу. Оху жазықтығында жатқан шенелген D
аимағының ауданы
S ш ff d x d y .
(9.9)
D
х —pcos<p, у —psirup полярлық координаталарда
5 = JJpdpdtp
(9.10)
) беттің
D
ауданы
s =JJV
+
fc
D
1
+fe
У
У
(9.11)
dxdy,
мүндағы D аймағы — берілген беттің Оху жазықтығындағы
проекциясы
9.54. z —x 2+ y 2, y —x 2, y = l , z = 0 бетгерімен шенелген дененің
көлемін табу керек.
Шешуі
х 2+ у 2 айналу параболоидымен,
Оху
йір жақтарынан у = х 2цилиндрлік
Оху
л D —[—1<х<1, дс2
1] түйық
аймақты қиюшы у
ғымен шенелген. (9.8) формула
бойынша
3
§ (х2 + у 2)dxdy = j d x j ( x 2 + y 2)dy
-l£jr£l
-1 x2
V
-1
18— 219
я
x
3
3
J x 2у + У
-1
3
88
JC3
1
JC
------- 1— X -------
3
3
26S
5
dx
21
-I
105 кУбб*Рлнс
Берілген бетгермен шенелген денелердің көлемдерін есептеңіз:
9.55. z ~ 3 —x 2—y 2; z = 0.
9.56. z ~ x 2+ y 2+ 1; х=0, у=0, z = 0, х=4, у =4.
9.57. - + ү + - = 1, х = О, у = О, z = О.
a b c
9.58. z = x 2+ y 2', х = 0 , у =0, z = 0, х + у = 1
9.59. z = 0,х2 + у 2 = R 2, х 2 + у 2 = z 2
1 2.
9.60. z = ^ y ' ; x = О, у = О, z = о, 2х+3у
9.61.
9.62.
9.63.
9.64.
9.65.
9.66.
12=0
z =3—х —у ; £=0, х 2+д>2=1.
г= ху, z=0, ( x - l) 2+ (y -l)2= l.
z = 1 2 + y —х 2; z=0, у = х 2, х = у 2.
z 2+x2= a 2; х 2+у2= а 2.
x 2+ y 2+ z 2=a 7", x 2+ y 2= R 2, a>R.
a z = x 2+ y 2; z ~ 0, x 2+ y 2=2ax.
2
2
2
2
x +jr; x +у
R2, z = 0.
9.67. z
9.68. г= х 2+у2; x 2+y2=/?2, z —0.
9.69. z = x; y 2+ x 2= R 2, z = 0.
9.70. у =2—x 2, _y=x сызықтарымен шенелген аймақтьщ ауданьга
есептеу керек.
Шешуі. (9.9) формула бойынша есептейміз. Берілген сызықтардьщ
қиылысу нүктелерін табамыз, ол үшін олардың тендеулерін жүйе
етіп шешеміз:
2
1
2; у 2 = 1
2
2:х
У
У
Уі
Екі қиылысу нүктесі табылды: М,(—2;—2), М2( 1;1).
Демек, ізделінді аудан (9.5-сурет)
і 2-х
1
dxdy = \ dx ^ dy = \ \ у \
-2<;х£І
1
-2
X)dx
dx
У
-2
-2
х<у<2-х
X
2 -х
2х
х
3
X
2
і
-2
9
2
Көрсетілген сызықтармен шенелген
аимақтардың аудандарын есептеңіз
9.71. у 2=2х; у = х .
9.72. у 2=4ах; х + у = 3 а , у = 0.
266
9.5-сурет
9.1 A. y=sinx; у = cosx, jc=0.
9.75. у = х 2- 1, у =2.
9.76. у = х 2, у = 0 , х=1.
9.77.
х=0, у=0, х=2.
2z = х +у1
9.78. у = - , у = 3 , у = 1,х = 0
_
х
9.79. у 2= х + 2 \ х —2.
9.80. х —4у —у 2, х + у = 6.
9.81. х = у 2—2у, х + у = 0.
9.6-сурет
9.82. у =2—х, у 2=4х +4.
9.83. у 2= 4 х —х 2, у 2=2х, (сырты)
9.84. у 2= 4х —х 2, у 2=2х 2—5 х .
9.85. х = 4 —у 2, х +2у —4=0.
9.86. р =2( 1+cos(p), р =2coscp.
9.87. 2z ~ x 2+ y 2 параболоидтьщ х 2+ у 2= 1 цилиндрдің ішіндеіі
бөлігінің ауданын табу керек (9.6.-сурет).
Шешуі. (9.11) формула бойынша есептейміз. z' = x , z ' = y . D
аймағы x + y =1 шеңберімен шенелген дөңгелек. Полярлық
координаталарға өткенде бұл шеңбердің тендеуі р 2= 1 немесе р = 1
болады, ал 0 < ф < 2к. Сонымен ізделінді аудан
Беттердің бөлікгерінің аудандарьга есептеңіз:
9.88. x + y + z = 4 жазықтықтың х=0, _у=0, х = 2 жөне у =2
жазықтықтармен қиғаңдағы бөлігі.
9.89. z 2=4x цилиндр бепнің у 2—4х цилиндр мен х=1 жазықтықпен қиғандағы бірінші октанттағы бөлігі.
9.90. x 2+ y 2+ z 2= R 2 сфераның х 2+ у 2=Rx цилиндр ішіндегі бөлігі.
9.91. x 2+ y 2+ z 2—R 2 сфераның ( x 2+ y 2)2= R 2( x 2- y 2) цилиндр
ішіңдегі бөлігі.
9.92. x 2+ y 2= z 2 конус бетінің х 2+ у 2=2ах цилиндрмен қиғандағы
бөлігі.
9.93. х + у + z =2а жазықтықтың х 2+у 2= а 2 цилиндрмен шенелген
бірінші октанггағы бөлігі.
267
9.94. z =x 2+ y2параболоид бетінің x 2+y 2=4 цилиндрмен қиғандағы
бөлігі.
9.95. z 2= x 2+ y 2 конус бетінің х 2+ у 2= а 2 цилиндрмен қиғандағы
бөлігі.
9.96. х 2+ у 2+ z 2=R 2сфераның ауданын есептеңіз.
2.4. Ауырлық центрі. Егер (хс, у ) нүкгесі Оху жазықтықтағы
пластинканың ауырлық центрі жэне р=р(х,у) осы пластинканың
тығыздығы болса, онда
хс = — \\ pxdxdy, у с = — Я pydxdyjn = Я p d x d y ,
(9.12)
md
md
d
мүндағы m пластинканыц массасы. Пластинка біртекті болса р=1
деп аламыз.
М х = Я pxdxdy, М v = Я pydxdy
D
(9.13)
*
D
интегралдар пластинканыц Ох жэне Оу осьтеріне салыстырғандағы
статистикалық моменті деп аталады.
2.5. Инерция моменттері. Оху жазықтықтағы D пластинканьщ Ox,
Оу осьтерге жэне координата басына салыстырғандағы / , / жэне / 0
инерция моменттері мьша формулалармен табылады:
J x = Я p y 2dxdy, J y = Я px2dxdy, J 0 = fj (x2 + у 2)pdxdy, (9.14)
D
D
D
мүндағы p=p(x,y) пластинканьщ тығыздығы.
(9.15)
ху = Я pxydxdy
D
интеграл ортадан тепкіш инерция моментш анықтайды. ( 9 . 1 4 ) , (9.1Ь)
формулаларда р= 1деп алсақ, жазық фигураньщ геометриялық инерция
моментгері шығады.
9.97. х 2+у
2(х >0)жарты дөңгелектің Оу осімен салыстыртандағы
статистикалық моменіін табу керек.
Шешуі. Жарты дөңгелектіц шекарасы x 2+ y 2< R 2 шеңбердің
полярлық координаталардағы тендеуі р= R болады. (9.13) формула
бойынша
R
ТС
з
Г!
2 R
Р d(p =
М = Я у dxdy = Я у dxdy = J dtpjpcoscppdp = J совф
з
У
D
x 2+y2$ R 2
_я
0
2
2
П
(х*6)
—
к
ІЙ
Й
R3 }
,
3
R г.
п
,
— J COS<pd(p = — -[sin y]
3
L
v 'J
3
it
J
Я
J
2
2
9.98.
у = x 2 парабола жэне у =1 түзумен шенелген біртекті (р-1)
пластинканыц ауырлық центрінің координаталарын табу керек.
268
Шешуі. Пластинка Оу осі бойынша симметриялы болғандықтан
М жэне т шамаларын
бойынша
М
Гу
11
2 i
m 9 1 улЫу 12J dy I dx =2J
0
Демек у.
М
т
0
о
6
5
5 /2
3 /2
У
о
3 /2 о
f
ауырльіқ
16>/2
2 У
В Уdxdy = 2] yd y 'jdx =2 j у [x]fy dy = 2) у dy
D
0
0
0
0
Гу
5 /2
0
5
8>/2
3
6
0;— |нүктесі.
V
9.99. у 2= 1 —х; х = 0 , у
Т ЫҒ ЫЗ ДЫҒ Ы
нүктеде у- ке тең пластинканың Оу осімен салыстырғаң;
инерция
Шешуі: (9.14) формула
—X
1
\
9
1
J y ~ j j y x 2dxdy = jdx J yx2d y - J*
c 2
dx = —j x (1 —x)dx =
D
0
0
2 0
0
2о
24
Көрсетілген сызықтармен шенелген біртекгі пластинканьщ (р= 1)
массасының ауырлық центрінің координаталарьш табыңыз:
У
11;-х + -У 1.
5 3
9.100. >>2=4л:+4; ;у2=—2х+4.
9.101. — + —
25 9
9.102. у = х 2; у = 2 х 2, х = 1 , х=2. 9.103. у 2= х , х 2= у .
9.104. у = уі2 х -
х 2, у
= 0.
9.106. у = sin дг, у = 0, x
9.105. 4 + 3,2 l; у >0
а
л
b
9.107.
у
2
=
х2
+х4
(х>0).
4
9.108. p=flsin2<p қисықтың бір тұзағы.
9.109. р=а( 1+cosq>) кордоида.
9.110. p2= a 2cos2<p қисықтың бір түзап
9.111. x = a ( t —sin/), y = a (l—cos/] циклоиданың
Көрсетілген сызықтармен шенелген біртекті пластинкалардың
(Р —1) координата басына, көрсетілген осьтерге немесе полюске
салыстырғандағы инерция моментгерін есептеңіз:
9.112. х=0, х = а , у —0, у=Ь; С(0;0)
х2
V2
а
Ь
9.113. -^- + —
1;0(0;0), О у .
9.114. (х —а)2+ ( у —Ь)
Оу
269
9.115. у = 2л[х, х + у = 3, у = 0, Ох
9.116. у = 4 ~ х 2, у = 0 , Ох
9.117. х + у = 2, х=0, у = 0; 0(0;0)
9.118. у = — + а, у = 2 х , х - 0 ' , 0(0;0)
а
9.119. x 2+ y 2= R 2; 0(0;0)
9.120. х + у = 1 , х + 2 у = 2 , у = 0 - Ох, Оу
9.121. p=a(l+cos<p); полюс.
9.122. p2= a 2cos2<p; полюс.
§3. Үш еселі интегралдар
Oxyz кеңістігіндегі шенелген түйық Т аймагы
U=f(x,y,z ) функциясыньщ үш еселі интегралы
шекті атайды:
lim
£ fix,., % щ
= j \ \ f ( x , y , y z ) d V = jjjf(x,y,z)dxdydz ,
n iax.d(T[
j
t
мүндагы ДV. —кез келген тәсілмен Т аймақты бөлгендегі Т бөлікшенің
көлемі, M,(xtj , j Q бөлікшенің кез келген нүктесі, d(T. ) - Т.
бөлікшенің диаметрі, ягни Т. бөлікшенің шекарасьшдагы нүктелердің
ең үлкен ара қашықтьпы. Т аймагының шекарасы үзіліссіз бет.
Т = {(х;у;г) \а < х < Ь,ух(х) < у < у 2(х ), zx(х, у) < z < z2(x,y)}
аймақ бойьшша анықталған үш еселі интеграл
Ь Щ(*) Щ
(х9у)
JJJ /(х , у, z)dxdydz = J dx J dy j f ( x , y , z ) d z
T
а
(9.16)
Уі(х)
формуламен есептеледі. Дербес жагдайда
Т = {(х;_у;г) |а < х < Ь,с < у < d , l < z ^ hi]
болса, (9.16) формула мына түрге келеді:
b
d
һ
JJJ /(*» У* z)dxdydz = J d x \ d y \ f ( x ,
T
а
с
y, z)dz
(9.17)
I
(9.16), (9.17) формулалардың оң жақтары ретімен есептелетін
(қайталама интеграл) үш анықталған интеграл. (9.16) формуладагы
Уі(х), у2(х), z ,(х,у) , Z2(x,y) - үзіліссіз функциялар.
3.2.
Үш еселі интегралда айнымалдарды ауыстыру. Oxyz
кеңісгігіндегі шенелген түйық Т аймагында үзіліссіз дифференциал­
данатын x=x(w,v,w), y —y(u,v,w), z = z(u,v,w) функциялар арқылы
270
9-7-сУРег
9.8-сурет
9.9-сурет
uvw кеңістігіңцегі белгілі бір шенелген тұйық Т * ;
>мәнді бейнелесін дейік. Егер Якоби анықтауышы
J
д (*, У, Z)
Ө(и, v, и>)
Xи Уи
/
Xv УV
/
/
Xw m
өзара
Zи
/
* О, V(u, v, w) 6 Т'
zl
болса, онда мына теңцік орындалады:
J J j/C w ) ^ ^ = |jj/[ x ( « ;v ;w ) ; _K«;v;w); ^;v;w)]|/|</w^ w (9.18)
жагдайдаf (cp,p,z) цилиндрлік координаталар үшін, мүнда
х -pcos<p, у =psincp, Z = z , Якобиан j
сурет)
<+oo
< -fo o )
(ф?Ө,р) сфералық координаталар үшін, мүнда
X=pcoscpsin0, у =psin<psin0, г =pcos0, Якобиан /= p 2sin0 (0 < p < -ю<>
0 <ф<27і, 0 <Ө<я). (9.8-сурет).
9.123. fjjzdxdydz үш еселі интегралды есептеу керек; мүндагы Т
аймагы (9.9-сурет) x + y + z = l, z = 0, у = 0 , х = 0 жазықтықтарымен
шенелген.
у
Шешуі. Т аймагын мына түрде жазуга болады:
T = {{x\y\z) |0 ^ х < 1 ,0 < у < 1 -х ,0 < г < 1 х
Онда (9.16) формула
l-x -y
/Яzdxdydz =1dx)* dy ] \ d z = j dx 'f
0 0
0
0 0
z
2
dy 0
Көрсетілген беттермен шенелген Т аймақтары бойынша үш еселі
интегралдарды есептеңіз:
9.124.
ПТ(х + у + z)dxdydz, х = 0,х = l , y = 0,у = l , z = 0,z = 1.
9 Л15. \ \ \ х 2у 2zdxdydz, х = 1,х = 3, у = 0, у = 2 ,z = 2,z = 5.
9.126. JJJ (x + y - z)dxdydz',x = - l,x = \ , y = 0,y = l,z = 0,г = 2.
T
9.127. JJJ (4x + 3y + 2z + l)dbc</>*fe;x=0, x = l, y=0, у=2, z=0, z=3
T
9.128. JJJ (x + 2y + 3z + 4)dxdydz',x =0, x = 3 , y=0, >>=2, z=0, z=l.
7*
9.129.
JJJ(x + у +z)dxdydz;x = 0 , y = 0,z = 0,x + y + z = a .
9.130.
JJJ zdxdydz', x = 0, x = 1, у = 0, у
9.131.
JJJ zdxdydz, x = 0,x = 3,y = 0 , y = 2 x ,z = 0 , Z
- x, z = 0, z = \]x2 + y 2.
=
Jxy .
9.132. JJJ xyzdxdydz', у = x 2, x = y 2, z = x y ,z = 0.
9.133. JJJ-- dxcly dz —
. x
= o , y = 0,z = 0,x + y + z = l
Jl J {x + y + z + i )
9.134. JJJ xyzdxdydz, x = 0, у = 0, z = 0, x2 + y 2 + z2 = 1.
9.135. JJJ xdxdydz,x = 0,x2 + y 2 = 1, z = 0,^ = 3.
9.136. JJJ (4 + z)dxdydz,x = - l,x = I,у = x 2, y = l , z = 0,z = 2
9.137. f f f - ^ ^ ^ ; x + y + z = l,x = 0,y = 0,^ = 0.
JJTJ 1 - x - у
9.138. JJJ ---- dxdyfa -_;x + z = 3,y = 2,x = 0,g = 0.
г (х + у + г + 1)
9.139. \ \ \ ydxdydz, x = 0,x = h,y = 0, y = a, z = 0,z + y = a
272
9.140. JJJ xedxdydz;y = 0,y = 2,x =
9141
/2 y - y 2, x = 2, z = 0, z = 3
d x d y d z >4 z 2 = * 2 + у 2, X = 1, у = 0, C = 0, г = 1 .
1
9.142.jjjxy^Jzdxdydz;z = 0,z = y , y = x2, y = l .
т
Көрсетілген беттермен шенелген Т аймақтары бойынша үш еселі
интегралдарды айнымалдарды ауыстыру арқылы есептеңізі
9.143.
JJJ yjx2 + у 2 + z 2 d x d y d z; z
= х 2 + у 2 +Z2.
9-144. j j j х 2d x d y d z ; х 2 + y 2 + z 2 < R2 - шар.
T
9.145. JJJ(x2+
T
жартысы.
y 2) d x d y d z ; x 2 + y 2 + z 2
9.146. JJJy jx 2 +
у2+
< R2 - шардың жоғаргы
z 2d x d y d z ; x 2 + y 2 + z 2 < R 2- шар.
T
(Нүсқау. 9.143-9.146 есептерде цилиндрлік координаталарға өтіңіз)
9147
SIS W*2+ У2d x d y d z ; х 2 + у 2 = 2 х , у = 0 , z = 0 , z = 3 .
Т
(Нүсқау. Цилиндрлік координаталарға өтіңіз)
9.148. JJJ(х2 + у 2 + z2)dxdydz; х 2 + £ = 1, у = 0, у = 1.
9.149.
JJJ zdxdydz;
Т
f
z2 = ^ - ( х 2 + у 2) , z = һ.
Т ^ -~Г №&j —
*
9.150.
JJJ dxdydz;
9.151.
JJJ
9.152.
JJJ (x2+ y 2 + z 2) d x d y d z ; x 2 + y 2 + z 2
w
z = 0,x2 + у 2 = 2Rx, x 2 + y 2 + z 2 = 4 R
==
=; x =0,y =0,z=0,x21 fe I
X + y+Z.
9.153. JJJ л/х2 + у 2zdxdydz; x 2 + у 2 ЩЩШ 1
273
г2 I
a2
3.3. Үш еселі интегралдардыц кейбір қолданулары
1. Oxyz кеңістіктегі түйық шенелген Т дененің көлемі (бар болса)
мына формула бойынша есептеледі:
V = JJJ dxdydz ,
(9.19)
Цилиндрлік (р,ф,г) координаталарда
V = JJJ p d y d p d z ,
(9.20)
Т'
ал сфералық (ф,Ө,р) коордішаталарда
V = JJJ р2sin QdpdydQ .
(9.21)
Т'
2. Дененің ауьфлық центрі. Т денесінің ауырлық центрі C(xjv;ze;)
хс = — JJJ xf±dxdydz\ ус = — JJJ yudxdydz;
m Jу
m т
(9.22)
1
Zc I m JJJ ziidxdydz
T
формулалармен есептеледі, мүндағы ц =|і (x\y\z)- дененің M(x;y;z)
нүктесіндегі тығыздығы, ал m болса Т дененің массасы,
m = JJJ fidxdydz .
(9.23)
3.
Т денесінің Ох, Оу осьтер және 0(О;О) нүктесіне салыстырғандагы инерция моменттері келесі формулалармен есептеледі:
Jx =
JJJ (у2 + Z 2 ) Iidxdydz,
Jy = JJJ (x2 + z2) [idxdydz,
T
(9.24)
T
J, = JJJ (x2 + y 2) \idxdydz, J0 =
JJJ (x2 + У2 + z 2) ndxdydz
T
T
Егер дене біртекті болса, онда р. =р (х;у;^)= 1 деп алады.
9.154.
z = x 2+ y 2, z = 2 x 2+ 2 y 2, у = х , у = х 2 беттерімен шенелген Т
дененің көлемін табу керек.
Шешуі. Гдене z —х 2+ у 2, z =2х 2+ 2 у 2 айналу параболоидгарыньщ,
у —х жазықтықтьщ, у = х 2 цилиндрлік беттің бөліктерімен шенелген.
Сондықтан денені былайша жазуга болады:
Т = |(х ;у ;г ) |0 < х < 1 ,х 2 < у < х , х 2 + у 2 < z ^ 2(х2 + у 2)}
(9.19) формула бойынша
V = JJJ dxdydz = \ d x \ d y
0
Uxt+y1)
J
I
X
dz = J dx J
x2+y^
274
0
*dy
X
/ Л І(
-f
О
1
3
2
У
х у + ^~
3
О
y 2)dy
у-х
dx
у-х2
Көрсетілген бетгермеи шенелген денелердің көлемдерін есеітгеңіз
9.155. x 2+ y 2+ z 2=4; x 2+ y 2=3Z.
9.156. ( jc 2+ y 2+ z 2)2= a Ъг; (a>0).
9.157. z = x 2+ y 2, z = 1.
9.158. x 2+ y 2=2az, x 2+ y 2= 2a x , z = 0 (a>0).
9.159. x 2+ y 2+ z 2= a 2; z 2= x 2+ y 2 (a>0).
9.160. x 2+ y 2+ z 2= 1; x 2+ y 2+ z 2=16, z 2= x 2+ y 2,
x = 0 , y = 0, z =0 (x>0, y > 0, z> 0).
x2 + y 2.
9.162. x + y + z = 4; x=3, у =2, x=0, v=0, z = 0.
9.163. 2 z = x 2+ y 2; y + z = 4 .
ауырлық центрінің
координаталарьш табьщыз:
9.164. Z= 3 - x 2- y 2, z = 0.
Шешуі. Берілген Т дене Oxz және Oyz координаталық
жазықтықтарға салыстырғанда симметриялы болғандықтан, х —у =0
Алдымен (9.23) формула бойынша, ц—1,Т дененің массасын
есептейміз. Ол үшін цилиндрлік координаталарга өтеміз:
Ш dxdydz - ffi Pd(Pd pdz = 4 J d<pj pdp ( dz
T
T'
0
0
0
я
Ш2
-Уз
2
,/5
3р
4J ^/рИо~Р ^Р=4/^|р(3-р2)й?р
2
0
0
о
о
к
К
Р
4 О
9;г
У
9И
2 4 о
Мүңца,
T={(x;y^)|-V3<x< у / 3 , ~ у 1 3 - х 2 < у < у І З - х 2 , - 0 < z Z 3 - x 2- y 2}
(9.22) формула бойынша
Т' = {(ф,Р,г) |0 < ф ^ 2я,0 < р < Д О < г < 3 - р2}
ггг
JJJ Zpdcpdpdz
-Г
_______
2?
^
j d(p j pdp J aft
_ о
о
0
2
*/2
4
j
9/r
AW
0
275
75
г
P
2
0
3-p
dp
о
к/2
4
J
9к О
-Jl
d<pj p ( 3 - p 2)2dp
2 1
9
п
4
Л
3
3 о
Щ
J
d
(
p
9к О
о
я/2
п/2
j
2 d ( 3 - p 2)
(
3
2
О
2 1
в/2
27 [ф]О
9к 3
dy
о
1.
2
71
Демек, С(0;0;1)
9.165. z ~ x 2+ y 2, х + у = 1, х=0, у=0, г=0.
9.166. z + y + x = 1, у=0, г=0, х=0.
9.167. 2z =4—х 2—у 2, z = l, х=0, у=0 U>0, у>0).
9.168. x 2+ y 2+ z 2=a 2, (г^О)9.169. х+2г=3, x=0,z=0, у=1, у=3.
9.170. г 2= х у , х=5, у =5, z —0.
У
, 2х+3у—12=0, х=0, у=0, г=0.
J ,,
9.171. г
2
іның радиусы R, биіктігі Н цилиндрдің табанының
диаметріне жэне цилиндрдің осіне салыстырғандағы инерция
моменттерін табу керек.
Шешуі. Координата басы ретінде цилиндрдің төменгі табаныньщ
центрін, ал Oz осі ретінде цилиндрдің осін аламыз. Сонда цилиндрдің
тендеуі x 2+ y 2= R 2 болады. Ізделінді инерция моменттері Ох пен Oz
салыстырғандағы инерция моментгері. (9.24) формулалары
бойынша
X = pCOS(p
ffl (у
+ г2) pdxdydz
у = р sirup
JJJР (р2sin2 (p + z 2) d(pdpdz =
Г
z = z;J = р
2к
R
In
Н
R
3
J d ( p \ p d p j (p2sin2(p + z l ) d z = J dtpf p
0
0
0
0
J d(pj (H sin2 <pp3 + — p)dp = J
0
2n
0
0
HR
4
p2 sin2 ( p - Z + Z
3 о
0
H
sm
0
+
H 3R
R4H
d
(
sin2 (P ■p4 + — p
8
2n
cos
2
(
p
)
d
(
о
2k
R 4H
sin 2(p
R2H
+
<P
8
2 0
6
k R2H
(3R + 4Я 2);
12
2n
0
276
d
(
p
m
p
6
dp
p- R
0
3 n2 \
H
8
6
p
R2H
+
6
3 2k
J dtp
0
2я
J
Ш (*2 + у 2) dxdydz
=JJJ p 2pd(pdpdz = j
О
Т'
2я
R
2я
w
О О
Л
Я
Н
d<pf p 3d p j dz
О
О
4 r r 2*
Л Л 7f :.
п *п H. . , , 2 ж
Л4#
R
d(p = —— I ^ = — —[ф]
,
тгЛ4Я
о
9.173. Радиусі 1-ге тең біртекті шардың центрімен салыстырғандағы инерция момешін есептеңіз.
9.174. Биіктігі Н және табанының радиусі R біртекті конустың
табанының диаметрі мен конустің осіне салыстырғандағы инерция
моментін есептеңіз.
9.175. z = х 2+ у 2 параболоид және z = 0 жазықтықпен шенелген
біртекті дененің координата басына салыстырғандағы инерция
моментін табыңыз.
9.176. Қыры a-та тең біртекті кубтың қырларының біріне
салыстырғандағы инерция моментін есептеңіз.
9.177. Радиусы а-ға тең біртекті шардың, оның шамасына
салыстырғандағы инерция моментін есептеңіз.
9.178. Радиусы a-ға тең біртекті шардың, оның диаметріне
салыстырғандағы инерция моментін есептеңіз.
Көрсетілген беттермен шенелген біртекті денелердің осімен
салыстырғандағы инерция моменттерін есептеңіз:
9.179. х=0, у=0, у = 1, x + z = 1.
9.180. x + y + z = y / 2 , x 2+ y 2= l , z=0.
9.181. z 2=2x, z = 0, x 2+ y 2=x.
9.182. x=0, y —0, y = l , x + y + z - l .
9.183. z = - ^ ( y 2 ~ x 2),z = 0,y = ±a.
9.184. Z = ^ - ( b - y ) , y = ~ x 2, z = 0
b
a
§4. Қисық сызықты интегралдар. Грин формуласы
інші текті (дога бойынша) қисық сызықты интеграл
з z=f(x,y) функциясьшьщ бөлікгі-тегіс L қисыгы бойынретгі қисық сызықты интегралы деп мына шекті атайды
n
max All
\<i<n
Xя f ( x ' , у, Щ =J f ( x , y)dl = J f i x , y ) d l ;
L
(9.25)
АВ
мүндагы А/. - кез келген төсілмен L = АВ қисықты бөлгеңдегі L
бөлікшенің (доганың) үзындыгы, М.іх*, у* )—L. бөлікшенің кез
келген нүктесі, dl- доганың дифференциалы. Анықтамадан тікелей
277
J /(x , у )dl = j f ( x , y)dl,
jd l = l
(9.26)
у
u
u
/is
ad
*©
теңціктері шығады. Бірінші теюі қисық сызықты интегралды есептеу
анықталған интегралды есептеуге келтіріледі.
и
ГА • Ji'K '
Егер L - A B қисық х =х(0, y{t), a < t< (J параметрлік теңцеулермен
берілсе және x'(t), y'(t) функциялар осы аралықта үзіліссіз болса,
онда
JJ f ( x , y ) d t
= j / Ш - , y(l)]JХ'Ч» + у'1( t ) d t .
(9.27)
a
w
Егер L = AB қисық у =y(x), a < x < b тендеумен берілсе жэне у '(х)
функциясы [a,b\ аралықта үзіліссіз болса, онда
JJ f i x , y)dl = J f[x; y(x)]yjl + у ' 2( x ) d x .
(9.28)
а
KJ
Егер L = АВ қисық полярлық координаталарда р=р(ф),ф, <ф<ф2
жэне р'(ф)туынды [ф,,ф2] кесіндіде үзіліссіз болса, онда мына
формула орынды:
ф2
f /(х , y)dl I J / ( р cos ф, р sin фК/р2 +Р,2^Ф.
(9.29)
L
Фі
Кеңістікгегі тегіс қисық х =х(г), у ~y{t), z ~z(І), a < t< p параметрлік
теңцеулермен берілсе, әрі x'(t), у'(х), z'(t) функциялары [а,(3]
кесіндісінде үзіліссіз болса, онда мьша формула орынды:
р
_________________
J f ( x , y ,z)dl = J / [*(/), y{t),z(t)\ y/x'2(t) + у ' 2(t) + z'2(t)d t . (9.30)
a
(9.25) тендік жуықтап есептеулерде, ал (9.26) доганың үзьшдыгьш
есептеуде қолданылады.
Бірінші текті қисық сызықты интегралдар үшін анықталған
интегралдьщ негізгі қасиеттері орындалады.
Берілген дога бойынша қисық сызықты интегралдарды есептеңіз:
і
х 3 + у 3 Id l , мүндагы L қисыгы - х 3 + у 3 = а 3 астроида
.
.
.
Шешуі: Астроиданьщ параметрлік тендеулерін аламыз: х =acos 3t,
у =asin3/, 0</< 2к. x '(/)=—3acos 2/sin/, у '(t)=3asm2tcost болгандықтан,
x n{t)+ yn(t)=9a 2cos 2/sin2/. /=0, t = n / 2, t=3n/2, t=2n нүктелерде
x ' 2( t ) + y ' 2(t)=0 болады, сондықтан астроида қүрақты — тегіс
қисық.(7.4-сурет). (9.27) формула бойынша
1'
278
2я
х 3 + у 3 \dl - j #4/3(cos4 1 + sin4 /)3я|cos/sin t\dt
0
к
72
4
0
7
cos5/ sin / 1 sin5/ cos /) = 12a3
Л
Г
cos6/ sin6/ 2
+
6
6 0
7
4 a 3.
9.186. \ x 2dl; мүндағы L қисығы у =lnjc
9
I yjx2 1 y 2d l ; мүндағы Z қисығы x 2+y2=ax
L
Шешуі. x =pcos<p, j =р8Іпф полярлық координаталарды енгізсек,
шеңбердің теңцеуі p2=apcos(p немес р=дсо8ф түріңде болады. Берілген
шеңбердің бірінші және төртінші ширектерде жатқанын ескерсек,
(9.29) формула бойынша
/г
х 2 + y 2dl
Л
Г
a2 cos2(p +
( я COS <jp)
2
я
Jt
2
2
J a cos (py]a2(cos2 cp + sin2(p)d(p = a2 j
К
cos dip
Ы
It
2
n
a [sin (р]2я = a2(l + 1) = 2a
9.188. j ( 2 z - y j x 2 + y 2) d l . Мүндағы L кеңістіктегі x = t c o s t ,
у —/sin/, z —t , 0<t<2n қисық доғасы.
Шешуі. (9.30) формула бойынша
х 2 + у 2)dl
z
2к
2к
J (2/-
t)yl2 + /2dt =
J /л/2+/2dt =J (2+/2),/2
0
0
2/г
1 ( 2 - ь / 2)1
2 у і2
3
“ 2
.
2
3
3
+ 2я2)2 - 1
.0
279
+ ('')2*
J
1
о
+ (/sin /)
■V
*
со
О
О
'К
*
2/ - J(t cos /)2 + (/ sin /)
_
/І2
/В 2
+/2)
2
9.189. f y 2d l ; L қисығы: x = a (/-s in O , У = a{t - c o s t ) $ < t <2n
L
циклоиданың аркасы
9.190. \ x y d l ; L төбелері 0(O;O), Л(4;0),Я(4;2),С(0;2) нүктелеріңце
L
жататын тік төртбүрыштың контуры.
9.191. j y d l ; қисығы: у 2=2х, 0<х< 2 парабола.
9.192. J x d l ; қисығы: у = х 2, 1<х<2 парабола.
9.193. f ( 2 x + y ) d l ; L төбелері Д1;О),Я(О;2),0(О;О), нүктелерінде
1
■
-Ш
жататын үшбұрыштьщ контуры.
,,
9.194. \ ( x + y ) d l ; L: 0(О;О), Д2;0),Д2;2) нүктелерінен өтетін
L
сьшық сызық.
9.195. J(x2 + y 2f d l \ L қисығы: х 2+ у 2= а 2 шеңбер.
L
9.196. I------; L: у=0,5л^2,0,<х<4 түзудің кесіндісі.
і х ~У
9.197. f j x 2 + у 2d l ; L : (x2 + y 2)2 = a2 (x2 + y 2) қисық.
9.198. f e^x2+y2 d l ; І=[(р,Ф)| 0< p< 1, 0< ф< я/4] дөңгелек сектордьщ
шекарасы, р мен ф- полярлық координаталар.
9.199. J z d l ; L- параметрлік тендеулері x=tcost, y= tsm t, z = t
болатын бүранда сызық.
9.200.J(x2 + у 2 + z 2)dl',L - параметрлік теңдеулері x=acos/,
l
jj
ВЦ
Л. • '
I ЩНИН - ?I у ...
y = a s m t, z ~ b t, 0< t< 2n болатын сызықтың доғасы.
4.2. Екінші текті (координаталары бойынша) қисық сызықты
интеграл
U
Бағытталған L - АВ қисық бойынша екінші текті интегралдар
Ju P ( x , y ) d x , Ju Q ( x , y ) d y
AB
немесе, жалпы
f Р (х , y ) d x + Q(x, y)dy
и
AB
AB
280
түрінде белгіленеді. Олар анықталған интегралдарға келтіру жолымен
есептеледі. Мұнда АВ қ и сы қ т ь щ бағыты өзгерсе, интегралдың мәні
қарама-қарсы таңбаға өзгереді, яғни
Jyj Р (х , y ) d x + Q ( X, y ) d y = _ J P (Xj
AB
v
BA
y )d x +
Q (X
y )d y
и
Pyx9y) жэне Q{x9y) функциялары- AB қисықта үзіліссіз функ­
циялар.
Егер L AB қисық y —y(x)9 a < x < b , теңцеуімен берілсе жөне
У С*) туынды [a\b\ кесіндіде үзіліссіз болса, онда
ь
J
P ( x , y ) d x + Q ( x ,y ) d y = \ [ P ( x \ y ( <x)) + Q(<x-,y(x))y\x)\lx (9.31)
Егер L - AB қисық x —x(y)9 c < y < d , теңцеуімен берілсе жэне x '(у)
туынды [c\d\ кесіндіде үзіліссіз болса, онда
I Щ y № + Q(*>y)dy I j[P (x (y), Щ Я + Q(x(y), y )jfy
(9 32)
AB ^
т
с
^ 1
.
brep L қисық x —x(t)9y= y{t)9a < x < p, параметрліктендеулермен
берілсе жэне туындылар осы аралықта үзіліссіз болса, онда
гг
Р
II В
з0<&I Q(x, y)dy И
AB
іс Ш
(t) I Q(x(t), y(t))y (/)] d t . (9.33)
a
33
Кеңістіктегі L = AB тегіс қисық x=x(t), y = y ( t ) , z = z(t), a £ t < p
параметрлік тендеулермен берілсе онда мына формула орындалады:
u
Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy I R(x, у, z)dz =
AB
p
j {P [дг(0; y(0; z(0] X (/) + Q [x(0; y(r); z(0] у (0 +
a
(9.34)
+R [x(t); y(t ); z(0] z (0 } d t .
Мүндағы P,Q,R функциялары AB қисықта үзіліссіз функциялар.
Екінші текп қисық сызықты интеграл үшін анықталған интегралдың
негізгі қасиетгері орьшды.
9.201. Л(1;0) нүктесінен В( 0;2) нүктесіне дейінгі
2L j
xy —\)dx + х y d y қисық сызықты интегралды есептеу керек,
мүнда L:
19—219
281
а) у +2х -2= 0 түзудін кесіндісі;
б) у*+4х =4 параболаның доғасы;
в) х - cos г, V 2sinr,0< г < — эллипстың
доғасы (9.10-сурет).
Шешуі: а) у —~2х +2, dy - 2dx
(9.31) формула бойынша
9.10-сурет
0
J (ху - l)dx+ X2yds =J [х{-2х + 2) - l]dx+ x2(-2л+ 2)(-2)dx
I
J (4X3- 6x2+ 2x - l)dx * [x* - 2x3 + x2- *J = L
I
2
6) X - \
V
4
,dx
1
f (xy -1 )dx+ x 2ydy
0
ydy. (9.32) формула бойынша
(1
4
)y—1
2
у
- ) d y +(1 - — )2ydy
2
4
5
1
у V Vs 3y
y;г 3
2 V y4 y3 —
+ —ywy =
= l(— + -— —
5
4 JO
96 + 40 8 6
„ 16 8 2
sin/Л , dy =2cos/dt, екенін ескерсек, (9.33) формула
в) dx
бойынша
U
J (ху -1 )dx + х2ydy' = J (cos /2 sin / - 1)(- sin / )<// + cos2/ 2sin / cos tdt
0
ь
уЩ
os/)+ I sin ft//
= J (4cos’/sin/ + sinf-2sin‘ tcost)dt * -4 J cos3td( coi
0
0я
0
|B
1
4
«
2
- 3
-2 j sin2td (sin t) = -cos /-со * /— sm /
3
3
0
Қисық сызықты интегралдарды ссептеңіз:
9.202. Jxfify-
L -y = x 3, Osx< 8 қисықтың доғасы.
9.203. \ x y d x \ L - y ^ i \ n x синусоиданың x —n ден х=0 дсйінгі
доғасы.
282
9.204. J xdy; L - у =x, x= 2 ,y= 0 түзулерімен қүралған үшбүрышL
тың контуры.
9.205. J 2 x y d x - x 2d y \L - 0(0; f) мен A(2; 1) нүктелерді қосатын
L
түзу кесіндісі.
9.206. j ( x 2 - 2xy)dx+(у2-2xy)dy,L - У=х 2, ~1<х<1, параболаI
ныңдоғасы.
9.207. J у2dx+x2dy;L - у = л/х,0< х<1, параболаның доғасы.
L
9.208. J cos ydx - sin xdy; L -A(2;—2) мен Щ—2 ;2 ) нүкгелерінен өтетін
L
түзудің кесіндісі.
9.209. J ydx+xdy; L - x =acos t, у =osin/ шеңбердің бірінші ширекL
тегі доғасы.
л . ,
АүЫ** *
9.210. J ydx - xdy; L -x =ocos t, y=bs\nt эллипстің доғасы.
L
9.211. J yzdx+z>Jp2- y2dy + xydz;L - x= pcos/, у =psin/, z = —
l
2n
сызықтың z = 0 мен z —a жазықтықтар арасындағы доғасы.
9.212. jxdx+ ydy+(x+у - Y)dz;L - Л(1;1;1) мен i?(2;3;4) нүктеL
.
. . .
.П.
лерш қосатын түзудің кесшдісі.
9.213. J xydx + yzdy + zxdz; L - x=cos/, y=sin/, z = 1 шеңбердің
' .
L
'
‘
'
'
' 1' ■
ширегі, /-ньщ өсуі бойынша бағытталған.
4.3. Грин формуласы
Егер D аймағьшың шекарасы кез келген түйық құрақты-тегіс
өзімен-өзі қиылыспайтьш оң бағдарланған L контуры болса, онда
Грин формуласы орындалады:
$ (
" I 7)^
= j P f o + Qdy.
283
(9.35)
дР до
Мүндағы P ( x , y ) , Q ( x , y ) , - , - ^ функциялары D = D u L тұйық
аймақта
•
•
J Pdx + Qdy қисық сызықты интеірадцьщ интегралдау траекторияL
г-
■
сына төуелсіздігінің қажетті жөне жеткілікті шарты Қ = <2 ' .
Сонымен бірге L түйық контур болса, онда
$Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0
L
9.214. Грин формуласын (9.35) қолданып <p~x2ydx + xy2dy қисық
L
сызықты интегралды есептеу керек. Мүнда L ={(х,у) \x2+y2=R2}.
Шешуі. Р(х,у)=-х2у, Q(x,y)=xy2, P ' = ~ x 2, Q' = у 2 сондықтан
Q '~ Р ' = x2+ y2. Демек, (9.35) формула бойынша
j>-x2ydx + xy2dy =/J (x 2 + y 2)dxdy
L
D
x=pcos 9 , у = psin<p, 0 <ф< 2n полярлық координаталарға өтіп,
якобиан |/|=р екендігін ескерсек, онда
2л
R
Я (х2 + y 2)dxdy = Я p2pdpd(p = J d(p\ p d p D
D'
2n
1
0
R
1 _42? .
d(p = —R J d(p
4 0
4 о
o
-
o
4
JtR
2
9.215. J x 2dx + y 2dy интегралды есептеу керек, мүндагы L- сагат
"
l
'
‘
'*■": ^
тілі бойьшша жылжитын, х 2+у 2=4 шеңбердің жогаргы жартысы.
Шешуі. Р=—х 2, Q = y2, Р '= 0, Q '= 0 болгандықтан, P ' —Q' = 0.
Демек, интегралдаудың нәтижесі интегралдау траекториясына
байланысты емес. Сондықтан шеңбердің жогаргы жартысы бойынша
есептеуден Ох осі бойьшша А(—2;0) мен В(2;0) нүктелерін қосатын
кесінді бойынша интегралдауға болады, өйткені А мен В нүкгелері
шеңбер мен остің қиылысу нүктелері. Сонымен,
J x 2dx + y 2dy = J x 2dx
L
-2
x3
3
16
2~, себебі AB кесіндісі үшін
-2
у = 0 жэне dy= 0 , ал х болса —2 ден + 2 ге дейін өзгереді.
формуласын қолданьш, қисық сызықты интеграддарды
есептещз:
284
9.216. $2(х + у 2)dx + (х + у )2dy; Z төбелері Л( 1; 1), В(2;2), С(1;3)
JLt
нүктелері болтан үшбұрьшпың контуры.
9.217. § \Х + у dx + у\ху + 1п(х + -Jx2 + у 2)]dy, L сызыгы
4,
Лш
2
тік төртбүрыштың контуры.
9.218. $(х - y)dx + (х + y)dy; L қисығы х 2+ у2= а 2шеңбер.
9.219. $(х + у )2dx - (х 2 + y 2)dy\ Z, - төбелері Л( 1; 1), В(Ъ,2), С(2;5)
<£*
нүктелері болтан үшбүрыштың контуры.
9.220. $ е ^ *у (у cos 2xydx + у sin 2xdy)\ L қисығы x 2+ y 2= a 2
jfXf Сil*tk M
*
ь .■
j
шеңбер.
9.221.
j2#
—y)dx\ L қабырғалары x= 0, jc=1, y = 0, у = 2 түзулер
болған тік тортбүрыштың контуры.
2
2
9.222.$(х 2 - у 2)йЬ: + (х 2 + y 2)d y ;L қисығы ~ + ~ - = 1 эллипс.
£
а
Йг
9.223. j2 x ( y -1 )dx + x 2dy, L қисыгы y = x 2, у =9 сызықтарымен
L
шенелген сүлбенің контуры.
9.224. ^ x y d y —x 2dx\ L қисығы x 2+ y2= a 2 шеңбер.
9.225. $(x + y)dx - (x - y)dy; L қисығы Щг + ^=- - = 1 эллипс.
l
a
b2
_
. xdy + ydx r
9.226. j x 2 + -i > L қисьпы (x—l) 2+(y—1)2=1 шеңбер.
9.227 . }(xy + x + y )d x + (xy + x - y ) d y , L қисы гы
l
эллипс.
9.228. j(x y + x + y)dx + (xy + x - y)dy\ L қисығы
x2 у2
—r + —r = l
a
b
x 2+ y 2=ax
L
шеңбер.
9.229. j (2x + 3y)dx + (3x - 4y)dy интегралының интегралдау траек®
’V * \
Ш%?
#
* Чач
ШІІРІНіУ Д Ш ,**. 4K
ториясьша тәуелсіздігін дәлелдеңіз өрі есептеңіз:
285
* ~ •
а) егер L у = х2 параболаның 0(О;О) нүктесінен А(2;4) нүктесіне
дейінгі догасы болса; б) L- ОЛ түзудің кесіңдісі болса.
9.230. J (х4 + 4xy')dx + (6 х 2у г - 5y 4)dy интегралдың интегралдау
•
•
территориясьша төуелсіздігш дөлелдеңіз, әрі есептеңіз, егер:
X2 у 2
a) ~Q2 ~[j 2 ~ l гиперболаның жоғарғы жартысының А(-а; -Jib)
нүктесінен В{а; 72) нүктесіне
болса
U
4.4. Қисық сызықты интегралдардын кейбір қолданылулары
1. L түйық контурмен шенелген D аймагыньщ ауданы
S = —§xdy —ydx
(9.36)
2L
2.
Жазық қисық L-цщ массасьшың сызықтық тыгыздыгы ц(х,у)
болса, онда қисықтьщ массасы және ауырлық центрі мына формулалар
бойынша табылады:
J Щ {х, у) dl
/ уц (х, у) dl
т
~;Ус=~
—
’
т = \ n ( x ,y ) d l \ x c
(9.37)
Ju
L қисыгыньщ Ох, Оу осьтерге жөне 0(0;0) координата басына
салыстырғандағы инерция моменттері:
Jx = J У2ц{х, y)dl
§■
x 2fl(x, y ) d l ;
L
(9.38)
J0 =*j(x2 + y 2)fi(x,y)dl
L
L қисық біртекті болганда |i(x,y)=l деп есептейміз.
3. Багытталған L жолының бойындағы Ғ = {Р, Q} = Р(х, у)г +
+ Q(x, у) j күшінің атқарған толық жүмысы.
A = J P(x,y)dx + Q(x, y)dyt
(9.39)
I
’
мүндагы P(x,y), Q(x,y) үзіліссіз функциялар.
9.231.
x=acos3t, y=bsin3t, 0<t<2n астроидамен шенелген (7.4
сурет) сүлбенің (фигураның) ауданын табу керек.
Шешуі. (9.36) формула бойьшша
S = —j a cos3 td (b sin 3 1) - b sin 3 td (a cos3 1) =
2L
286
1 2*
ЪаЬ 2?
2 о
2 0
- j (ЪаЬ cos4 / sin 21 + ЪаЬ sin4/ cos 2t)dt
ЪаЬ 2? . j
---- Ism 2tdt
8
о
ЪаЬ2* 1 cos 4/
dt
Т Г
2
Jcos /sin tdt
sin 4/
4 0
ЪаЬ
/
16
ЪаЬ
ЪаЬл
2л
16
8
Берілген сызықтармен шенелген сүлбелердің (фигуралардың)
аудандарьш есептеңіз:
9.232. x=acos/, y=bsmt, 0< t^2n.
9.233. (х+у)2=2ax, (д>0), y=0.
9.234. у
1
у =0 ,х -\,х = 2 .
х
9.235. х 2+ у 2=4, х 2=2
жатады
9.236. у 2= х, х 2—у .
9.237. у = х2, х
8лу
іата басына тақалады).
9.238. х = а(/—sin/), y= fl(l—cos/), О
циклоиданың біртекті
асыньщ ауырлық центрін табьщыз
Радиусы а- ға тең шеңбердің бірінші ширектегі
ауырлық центрін
(И
лх , —
х
е +е
9.240. у
,0 < х < In 2 , біртекті қисықтың ауырлық
2
центрін табыңыз.
9.241. x=2cos/, y=2sin/, 0< /< л/2, біртекті шеңбер доғасының
координаталық осьтерге жөне координата басына салыстырғандағы
инерция моменттерін есептеңіз.
9.242. Біртекгі у =—2х+ 1 түзудің координаталық осьтер арасындағы
кесіндісінің координаталық осьтерге жөне координата басына
салыстыргандагы инерция моменттерін есептеңіз.
Ғ(х,у)=хуі+(х +y)j күштің массасы т материалдық нүктені L
сызық бойымен 0(О;О) нүктесінен А( 1;1) нүктесіне дейін жылжытқандағы орындаган жүмысын есептеңіз:
9.243. L- у —х түзуінің кесіңдісі.
Шешуі. (9.35) формула бойынша А = \ xydx + (х + y)dy болады,
L
мүндагы L сызыгы у —х, 0<х< 1 кесінді. Сонымен
X
А = }х •xdx + (х + x)dx = J (х2 + 2x)dx
+X
0
О
3
9.244. L сызыгы у = х 2 параболаньщ догасы.
287
1 + 1=1
о
3
3
9.245. L сызығы буындары координаталық осьтерге параллель
0(О;О), В( 1;0), А( 1; 1) нүктелерден өтетін сынық.
9.246. L сызығы буындары координаталык осьтерге параллель
0(О;О), С(0;1), А( 1; 1) нүктелерден өтетін сынық.
§5. Беттік интегралдар
5.1. Бірінші текті беттік интеграл (беттіц ауданы бойынша).
Егер S бетгің теңдеуі z =z(x,y), (x,y)e D болса, мүндағы zix,у) бір
мөнді үзіліссіз дифференциалданатын функция, U=f(x,y,z)
функциясыньщ беттік интегралы екі еселі интегралга келтіріледі
жэне мына фомуламен есептеледі:
Яf i x , у, z)ds =JJ f i x , у, zix, y))Jl + iz'x) 2 + iz'y)2dxdy .
(9.40)
Я f i x , У, z)ds =JJ f i x i y , z),y, z)yj1 + ix' f + ix' )2dydz.
(9.41)
S
D
Егер S беттің тендеуі x =xiy,z), iy,z)e Dx, болса, онда
Егер S беттің теңдеуіу=у(х,г), ix,z)eDv болса, онда
Я f i x , У, Z)ds =fl f i x , yix, z)tz)yj1 + ІУ')2 + iy ')2dxd z .
(9.42)
5.2. Екінші текті беттік интеграл (координаталар бойьшша).
Егер S тегіс екі жақты бет болса, ал S+ осы беттің
п = {cos a ; cos ^8 ; cos 7 } нормаль векторымен сипатталатын жағы
оолса, онда үзіліссіз Р{х; у; z), Qix; у, z), Rix; у, z) функциялардьщ
гкінші текті интегралдары былайша жазылады:
JJ R (х; у; z)dxdy, JJ Р (х; у; z) dydz, JJ Q (x; у; z)dzdx,
5*
5*
4Г
JJ P (x; y; z) dydz + Q (x; y; z)dzdx + R (x; y; z) dxdy.
S'
беттік интегралдар да екі еселі интегралдарга
есептелінеді
JJ R (х; у; z) dxdy = JJ R (x; у; г) cos yds
s
s
(9.43)
= JJ R [x; y; f (x, y)] dxdy
D,
JJ P (x; y; z) dydz = \ \ P (x; y; z) cos ads
s
\ \ P [ f {y,z)‘,y,z\d yd z
(9.44)
a
288
i f Q {x; у; Z) dzdx = If Q (x; y; z) cos
\ \ Q[x\ f (x, z); z]dzdx
(9.45)
Мүнда
Z=f(x,y)
■fiy
-f(x
теңдеулерімен бершген, ал Dv D2жэне Ц аймақтары S бетінің Оху,
Oyz жэне Oxz жазықтықтардағы бір мәңді проекциялары. Жалпы
түрдеп f J P d y d z + Qdzdx + Rdxdy интегралды есептеу ұшін, егер S
беті үпі' к°°Р^*” аталык жазықтыққа да бір мәнді проекцияланатын
оолса (9.3У)-(9.41) формулалардан пайдаланылады.
9.247. J J ( х + у + z )ds бірінші текті бетгік интегралды есептеу
керек; мүвда 5: x 2+ y2+z 2= R \ z>0 жаргысфераньщ беті.
Шешуі. Жоғарғы жартысфераның теңцеуі %— 2- х 2 - у2, ал
оньщ Оху жазықтығындағы проекциясы D={(x\ у)| x 2+ y2<R2} дөңгелек. х —pcoscp, y=psincp, 0 <ср<2л:, 0 <р< /? полярлық координаталарға өтсек, (9.40) формула бойьпшіа:
\f(x+ y+ z)ds =
(
D
х+ у
\ y[F ДС - у
2я
+1
R
R
W
0
0
p [cos cp + sin <jo]
+1 dp
P
r
R
0
P df> + R j d < p j p d p = 0+R27C—
2
оJ r
0
0
P
2n
R
/?J (sin q>+ cos (p)d(pj
kR
3
.
Бірінші текті бетгік интегралдарды есептеңіз:
9.248. JJjcrf5;5 = j(*;;y) z = +
X -у
9.249. JT(x2 + у 2) dS ;S :2z —x 2+ y 2 параболоидтың z = 1 жазықтық5
пен қиғандағы бөлігі.
289
9 . 2 5 0 . J(6jc+4y + 3z)dS;5 : x + 2 y + 3 z =6
жазықтықтың бірінші
**
S
октанттағы бөлігі.
9.251. JJ(у + z +
j
S - x 2+ y2= R 2 цилиндрдің z= 0 мен
z = 4 жазықтықтарының арасындағы бөлігі.
9.252. j\zdS-,S :z= xy гиперболалық параболоидтың x 2+ y2=4
3
цилиндрдің ішіндегі бөлігі.
9.253. JJ yds; S: x = 2 y 2+l, y >0 цилиндрдің x = y 2+ z2, x=2, x=3
S
f' -
-| ! - y f •: д k
беттерімен қиғандағы бөлігі.
9.254. JJ J y 2 - x 2 d s ; S : x 2+ y2= z2 конустьщ x 2+ y2=a2 цилиндрs
дің ішіндегі бөлігі.
9.255. JJ(xy + yz + zx)ds ; S: z = J x 2 + y 2 конустың x 2+ y 2=2ax
s
' Н' ■
цилиндрдің ішіндегі бөлігі.
9.256. JJ J l + 4x2 + 4y2ds; S : z = l ~ x 2- y 2 айналу параболовдының
s
шШ
z = 0 жазықтықпен қиғандағы бөлігі.
9.257. \\x (y + z)ds; S : x = J \ - y 2 цилиндрдің z —0 мен z=I
[I
s
жазықтықтарыньщ арасындағы бөлігі. (9.37 формуланы қодцаныңыз)
9.258. JJz(x + y)ds; S : y = y j 9 - z 2 дилиндрдің х = 0 мен x= l
L*
йУ ;| . үJlfr/
Т
\ dm Л
жазықтықтарының арасындағы бөлііі. (9.42 формуланы қолданыңыз)
9.259. JJz(x + y)ds; S : z = уі9 - х 2 цилиндрдің у = 0 мен у =2
S
жазықтықтарыньщ арасындағы бөлігі.
Екінші текті беттік интегралдарды есептеңіз:
9 .2 6 0 .JJxdydz + ydzdx + zdxdy; S : x 2+ y 2+ z 2= R 2 сфераның
s
сыртқы жағы.
Шешуі. У, = JJ zdxdy интегралды қарастырайық.
ді жоғарғы
s
S+және төменгі S_ бөліктерінің сыртқы жақтары бойынша алынған
интегралдардың қосындысы түрінде жазуға болады, яғни
290
JI
JJ zdxdy + JJzdxdy. S+ бетте
z = yjR2 - x 2 - у2, ал 5 _ бетте
* ~ -yftl~-x~-~y~. S+ беттің Оху жазықтығындағы проекциясын
х
Деп белгілейік. S_ беттің сыртқы нормалдары
Oz осьтщ оң бағьггымен доғал бүрыш жасайды, өрі S_ беттің де Оху
жазықтыққа проекциясы D аймағы болады. Сондықтан S+ беті
бойынша алынған интегралды D аймагы бойынша алынған екі еселі
интегралмен ауыстырғанда алдына
таңба қойылады. Сонымен
(9.43) формула бойынша:
№
D
Ji
2
у 2dxdy -JJ (-y fk
X
X
D
y 2)dxdy
x = p c o s (p, у = psinq>
X
у dxdy
D
0<(p^2n,0< p< R,\J\ = p
0 < jc2 + y 2 < R2
2 J d<pjpyjR2 - p2dp =2 J dq>\(R
0
0
0
0
l i p d(R
P2)
2
R
2n
(R
0
3 2n
2 \3/2
Pz)
3
2
dtp
2R
J dtp
3 о
2R
ы
;
3
4
n R3;
3
0
JJxdydz =JJydzjdx =J, екендігі айқын. Демек, J= 3 J = 4 n R \
s
s
1
9.261. JJ ф ? + y 2dxdy, S : x 2+y 2<R2дөңгелектің төменгі жағы.
s
9.262. JJ 2dxdy + ydxdz - x 2zdydz; S: бірінші октанттағы
4x 2+y 2+4 z 2=4 эллипсоидтың сыртқы жагы.
9.263. JJ ydxdz; S : x + y + z = l, x=0, y = 0 , z=0 жазықтықтармен
s
шенелген тетраэдр.
9.264. j \ ( y 2 +Z2)dydz; S : x = 4 —y 2—z 2 параболоидтың Oyz
s
жазықтыгымен қигандағы бөлігінің сыртқы жагы.
291
9.265. JJ z 2dxdy; S: x 2 + y 2+ 2 z 2- 2 эллипсоид беті.
9.266. JJ zdxdy + ydxdz + xdydz; S: x = 0 , x = l, y = 0, у - I , z = 0,
z = 1 жазықтықтармен шенелген кубтың беті.
9.267. JJ(z + V)dxdy;S : x 2+ y 2+ z 2= R 2 сфера.
9.268. Я( * 2 + У +
s
)dxdz;S : x 2=2y беттің у =2, г= 0 , г = 1
жазықтықтармен қиғандағы бөлігінің ішкі жағы.
9.269.
Я (*2 + У2 + 3*2)dxdy\S : z = J * 2 + у2 беттің г = 0
мен
^ = 2 жазықтықтарының арасындағы бөлігінің сыртқы жагы.
9.270.
2
JC
У
\\{2x + 3y + 4 z)d x d y \S :x + y + z-(> =Q жазықтықтың
2
.
.
.
.
.
.
— + — = 1 цилиндрдің ішіндегі бөлігінщ жогаргы жагы.
4
-
■
Ш'
9
9.271. Я (х2 + z 2)dydz;S:x = ^ 9 - у 2 бетгің z= 0 мен z= 2 жаs
зықтықтарыньщ арасьщдагы бөлігінің сыртқы жагы.
9.272. Я xdydz + ydzdx + zdxdy; S : x + £ = l жазықтығының y=0
s
мен у = 4 жазықтықтарының арасындағы бірінші октантгағы бөлігінің
жогаргы жагы.
5.3. Гаусс-Остроградский жэне Стокс формулалары
1. Кеңістіктегі шенелген Т дененің шекарасы S қүрақты —тегіс
шенелген түйық бет болса жэне P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z)
функцияларыньщ Т и S түйық аймақта үзіліссіз, әрі үзіліссіз бірінші
ретті дербес туындылары бар болса, онда Гаусс-Остроградский
формуласы орындалады:
Ш(ІГ + Щ + )dxdydz = я Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
(9 .46 )
t
dx
dy dz
s
2. Ақырлы қүрақты-тегіс екіжақты S беті L -жай түйық қүрақтытегіс сызықпен шенелсе және P=P(x,y,z), Q = Q(x,y,z), R=R(x,y,z)
функциялары 5 u L түйықаймақта үзіліссіз, әрі үзіліссізтуындыларга бар болса, онда Стокс формуласы орынды:
292
<j>Pdx + Qdy + Rdz
s
\
dR
dP
+
dz
dx
dQ
dx
\
dP
[ЭЛ
cosy +
dy у
[dy
э е cos a +
dz
(9.47)
cos/J ds
Бірінші жэне еюніш текп бетпк интефалдарды байланыстыратьш
формуланы ескерсек, Стокс формуласы былайша жазылады:
<£Pdx + Qdy + Rdz
L
+
щoz
dQ
dx
dP
dR d Q x J л
)dxdy + (—------— )dydz +
dy
dy dz
(9.48)
-W w &
ox
Гаусс-Остроградскии формуласын қолданып, беттік интефалдарды
есептендз:
9.273. J f x 2dydz + y 2dzdx + z2dxdy;S: 0 й х< а, 0 <>у<а, 0<z<a,
куб шекарасыньщ сыртқы жағы.
dp
dx
Шешуі: Р = х 2 ,Q = y 2,R = z 2,
2x,
dQ
dy
dR
2y 9
dz
2z
екендігін
ескерсек, (9.46) Гаусс-Острогрдский формуласы бойынша
x 2dydz + y 2dzdx + z2dxdy = 2 JJJ (x + у + z)dxdydz 0<x<a
0<y<a
0<Z<O
a
a
a
a
a
a
a
a
Z
2J d!x:J dy\ (x + у + z)dz = 2j dx] xz + yz +
dy
2 о
0
0
0
о 0
2 Jfibcj(ax + ay + - —)dy
o o
2
ay2 a2
axy + - ^ - + — y dx
2
2 о
о
a3 a3. ,
a2x 2
2 f (a x + — h— )dx = 2
+ax
2 2
2
о
о
2
3a
9.274. \\x 3dydz + y 3dzdx + z 3dxdy\ S: x 2+ y 2+ z 2=1R 2 сфераның
5
сыртқы жағы.
9.275 . xdydz + ydzftx + zdxdy,S : x 2+ y 2+ z 2= R 2 сфераның
сыртқы жағы.
293
9.276. JJ (у - z)dydz + ( z - x)dzdx + ( x - y)dxdy; S :x 2+y2=z2конус
s
бетінін z = 0 мен z —h жазықтықтарыньщ арасындағы бөлігінің сыргқьі
жағы.
9.277. ^ y d y d z + zdzdx + xdxdy;S : x + y + z= a (a>0), x=0, y= 0,
s
z = 0 жазықтықтарымен шенелген пирамида бетінің сыртқы жағы.
9.278. JJ xdydz + ydzdx + zdxdy; S : z - l - y x
беттің z =0
-у
мен z = 1 жазықтықтарыньщ арасындағы бөлігінің сыртқы жағы.
X2
9.279. JJ xdydz + ydzdx + zdxdy, S : — +
V2
+ t 2 = 1 эллипсоид
бетінің сыртқы жағы.
9.280. JJ xdydz + ydzdx + zdxdy, S : x 2+ y 2=9 цилиндр бетінің
...........
S
..
z= - 1 мен z ~ 1 жазықтықтарыньщ арасындағы бөлігінің сыргқы жата.
9.281. \ \ х 3dydz + у 3dzdx + z3dxdy; S: x 2+ y 2+ z 2=x сфераның
s
'
сыртқы жағы.
Стокс формуласын қодцанып, қисық сызықты интегралдарды
есептеңіз:
9.282. j>ydx + zdy + xdz;L : x 2+ y2+ z2= R 2, x + y + z= 0 шеңбер,
бағыты Ox осінің оң жағынан қарағанда, сағат тішнщ бағытына
қарама-қарсы.
Шешуі: Р = у , Q = z, R - х болғанды қтан — ----- = —1,
дх
dR dQ
. ЭР dR
^ ----- ЭҒ = ” "эҒ ~ Эх = "
ду
болады. S ^еті ретінде х + у + г= 0
жазықтығында жататьш радиусы R-те тең дөңгелекті алсақ, онда
(9.47) Стокс формуласы бойьпппа
у ydx + zdy + xdz = - JJ dydz + dzdx + dxdy =
JJ (cos a + cos p + cos y) ds
294
Мүндағы cosoc, cosp, cosy шамалары S бетгің,
немесе z “ x~~ у бетінің бағытгаушы косинустары
z
1
z.
COS/3
cosa =
/2
1 £ 2+ Z?
О
/2
z * + zУ
1
1
±V3
±Vi + ( - i r + ( - D
; cosy
1
1
±VT
± J i+ «?+ <
БҮЛ жерде + таңба алыңцы, өйткені жазықтықтың нормаль
векторы Ог осьпен сүйір бүрыш жасаңцы. Сонымен
I ydx + zdy + xdz
л/3 JJ ds
л /3 .
x m p cos <p, у = p sin 9 ,
ff
dxdy
JJ
0 < p й R,0 <, <p< 28, \ у = P
A#
2к
R
2лг
= -V3 J d<pj pdp
о 0
2* nl
л/З J — d(p
2
0
0
л/ЗУ?2 r ^
~
M
o
2
я
p
2 0
d<p
л/ЗлгЛ
9.283. 4 x у dx + dy + zdz', L\ x 2+ y 2—1 z = 0 оң багытталган
шеңбер, ал S беті x 2+y2+z2=l, z>0 жартысфера.
9.284. U y + z)dx + (x + z)dy + (x + y)dz; L:
x 2+ y 2+z
R\
x +y +z -0 шеңбер, ал S бет осы шеңбермен шенелген х +у +z =0
жазықтығының бөлігі.
9.285. j (У- Z)dx + ( z - x)dy + ( х - y)dz; L: x 2+ y 2= R 2 жэне
-Ц + ^ = 1» (R >0, л>0) бетгерінің қиылысу сызыгы, ал багыты, Ох
осінің оң багытьшан қараганда, сагат тіліне қарама-қарсы.
9.286. j (у2 - z1)dx + (z2 - х 2)dy + (х2 - у 2)dz; L: Ойхйа, 0 <y<a,
L
0^z< a, куб бетінің x + y + z - \,5 a жазықтықпен қиылысу сызығы,
295
ал бағыты Ох осінің оң бағытына қарағанда, сағат тіліне қарамақарсы.
9.287. <£y 2z2dx + z2x 2dy + x 2y 2dz\ L: x=acos/, y=acos2t, z=acos3t,
0 < /< 2к,
түйық қисық /-ның өсу бағытьша бағытталған.
5.4. Беттік интегралдардың кейбір қолданулары
1. Шенелген S бетінің ауданы мына формуламен есептеледі:
= Я '*
(9.49)
2. Массаньщ таралуыньщ М(х; у; z) нүктесіндегі бетгік тығыздыгы
|і(х; у ; z) болса, онда материалдық S бетгің массасы
5
m - j j / 2 (х, y ,z )d s
$
3. S бетшің С ауырлық центрінің координаталары:
(9.50)
JJ x n ( x ,y ,z ) d s
_
С
yz
_ s
m
m
JJy/^(x, y, z)ds
_K__
Ус m
S
(9.51)
m
JJ z n ( X, y, z) ds
L Ш ШШ_ s
m
m
мүндағы m - S бетінің массасы, ал I z, Іхг, / , — S бетінің
координаталық жазықтықтарға салыстырғандағы статикалық
моментгері. Біртекті бет үшін |і =1 деп есептейміз.
9.288.
x 2+ y2= R x цилиндр бетінің x 2+ y2+ z2= R 2 сфера ішіндегі
бөлігінің ауданын табу керек (9 . 11-сурет).
Шешуі: Бүл бет Оху жэне Oxz. жазықтықтары бойынша
симметриялы больш, у = yjRx —х 2 беттің бірінші окгантта шире к
бөлігі орналасқан. (9.49) жэне (9.42) формулалары бойынша
есеіггейміз
S = j j d s = 4 \ U l + у* + y 2z dxdz = 4 ff J l +
DX
V 2 \ [r x
Z
x —x
296
dxdz
- X2
9.11-сурет
9 .12-сурет
Мүндағы Dxi Ox, Oz осьтерімен жэне z 2=R 2~ R x параболамен
шенелген жазық аймақ; бүл парабола цилиндр мен сфераның қиылысу
сызығыньщ Oxz жазықтығындағы проекциясы. Сонымен
9.289. 2x+2y+z=8 жазықтық бетінің х 2+ у 2=4 цилиндрдің
ішіндегі бөлігінің ауданын табыңыз.
9.290. х 2+у2=9 цилиндр бетінщ у +z =0 және z =0 жазықтықтарының арасындағы бөлігінің ауданын табьщыз.
9.291. y 2+ z 2 = 1 цилиндрдің бетінің х 2+у2= 1 цилиндр ішіндегі
бөлігінің ауданьш табыңыз.
9.292. х 2+у2=6z параболоид бетінің х 2+ у2=27 цилиндр ішіндегі
бөлігінің ауданын табыцыз.
9.293. х 2+ у2+z2- 3 сфера бетініңх 2+у2=27 параболоид ішіндегі
бөлігінің ауданьш табьщыз.
9.294. х 2+ у 2+z 2= / ? 2 сфера бетініңх 2+у 2=/?л: цилиндр ішіндегі
бөлігінің ауданын табьщыз.
9.295. у 2+ г 2=10хбіртекті параболоид бетінің х =10 жазықтықпен
қиғандағы бөлігінің С ауырлық центрін табу керек.
Шешуі. Берілген S біртекті бет (9.12-сурет) Ох осі бойынша
симметриялы. Сондықтан y = z = 0. хс-ны табу үшін(9.50), (9.51)
формулаларға сүйеніп Іуг статикалық моментгі және т массаны
есегггейміз
20—219
297
l n = JJ xds = JJ xyjl + xay + x* dydz
s
o*
1
У
(y2 + z2) 1+
2n
1
t
10
J d(pj p 2
50 0
50
V5
yj25 + p 2, p 2 = t 2 - 2 5
p d p = tdt, 5 < t < 5^5
25 )ttdt
5л/5
к
50л /
(l + 25л/5).
3
——25*
25 5
3
2
я*
dydz
у = pcos<p,z = psirup
0<(р<2л,0< p< \0
25 + p 2p d p
0
S
'J
S
1
2Я (t
+
/z
/
\2
"'5Г*Й
v2+Z2<100
2л 10
1
1
j d ( p \( 2 5 + p 2)2d (25 +
10 0 0
УІ25 + p 2p d p
ОйрйЮ
0<(p<2n
1
10
2k
2
3
10
+
0
50/r
(5V5
~
m -ді есептегенде / г-ті есептегендей сияқты полярлық
координаталарға өтгік. D арқылы берілгену 2+х2= Юх, х = 1 0 бетгің
Оуг жазықтығьша проекциясьш белгіледік. Сонымен ауырлық центрі
\
25>/5 + 1
;0;0
С
V 5>/5-1
z = 0 мен z=b >О
)біртекті конус
9.296. а 2?2
жазықтықтарыньщ арасындағы бөлігінің ауырлық центрін табыңыз
х2 + у2 конус бетінің х 2+у
9.297. г
бөлігінің ауырлық центрін табыңыз.
ах цилиндрмен қиғандағы
х -у
біртекті беттің х > 0 , у^О , х + у < а
9.298. z
болғандағы бөлігінің ауырлық центрін табыңыз.
9.299. z = x біртекті ж азы қты қты ң х + у —0, y = 0 , х= 0
жазықтықтармен шенелген бөлігінің ауырлық центрін табыңыз.
9.300.
7 = 2
біртекті беттің г >0 болғандағы бөлігінің
2
ауырлық центрін табыңыз.
298
9.301. y 2+ x 2+ z 2—R 2, z > 0 біртекті жарты сфераның ауырлық
центрш табыңыз
9.302. М (х , у, z) нүктесінде тығыздығы z- ке тең z =
беттің £ < 1 болатын бөлігінің массасьш есептеңіз.
_ .А Ц
гЩ
9.303. M(x,y,z) нүктесінде тығыздығы - ға тең x 2+y2+z2=a2,
a
£ > 0 жартысфераньщ массасьш есептеңіз.
9.304. Тығыздығы ц0 re (|i0=const) тең x + y + z—a, z> 0 , у>0,
0 , үшбұрышты пластиканьщ координаталық жазықтықтарымен
салыстырғандағы статикалық момснтгерін есептеңіз.
X т а р а у . ҚАТАРЛАР
§1. Сандық катар үғымы
Анықтама 1. Ц,
сандар тізбегінен қүралған
ОО
(10.1)
UX С/2 + - + ^л *■
*“••• Х^л
V*
ақырсыз қосындьшы сандық қатар немесе қатар деп атаиды.
Мүндағы Uv U2,...,Un,... сандары қатардың мүшелері, ал U = f(п)
жалпы немесе /і-ші мүшесі деп аталады.
( 1 0 . 1)
қатарды ң алғаш қы п мүш есінің қосындысы
S = Ux+ U2+...+ Un қатардың п- дербес қосындысы деп аталады.
Анықтама 2. Егер {S} сандар тізбегінің 1іш5я =5 ақырлы шегі
П—
+00
жинақты (жинақталады) деп аталады
ОО
Бүлжағдайда U, +U2 +...+Un +...= Xt/„ =1ілі5в =5
п=і
деп жа.чады да, S санын қатардың қосындысы деп атайды.
Егер {5я} сандар тізбегінің ақырлы шегі болмаса (ол шек жоқ
немесе ақырсыз болса), онда ( 10.1) қатары жинақсыз деп аталады.
п - >~
Қатардың жинактылығынын қажетгі шарты
ОО
Егер
қатар жинақты болса , онда limt/„ = 0
Л=1
Қатардың жинақтылығының Коши критерии
ОО
Y,Un қатары жинақты болуы үшін, әрбір е>0 үшін барлық п >N
л=1
нөмірлері мен кез келген р натурал саны үшін
ЩШ ЩU п+2 +... + U н+р < е
теңсіздігі орындалатындай N=N(e) нөмірінің табылуы қажетті және
жетюлікті.
•
•
10 . 1. Uп -
, "'~7Г жалпы мүшесі бойынша қатарды жазып, оның
л(л+ 1)
қосындысын табу керек.
Шепіуі. п—ге ретімен 1,2,3,... мөндерін берсек,
1
1
1
1
~ 1
н------- 1------- ь... н------------ һ... —У
1 -2
2 -3
3 -4
п(п + 1 )
300
я=і п(п + 1 )
1
қатары шығады. Қатардың жалпы мүшесін
п(п + 1)
1
п
1
71+ 1
түрінде жазсақ, «—дербес қосыңды
1-2
2*3 3*4
п(п + 1)
(n - l ) n
2
2 3 3 4
.+ ...+
в ----------1
1 1 1 1 , 1
------------ 1—
п —1 п
Осыдан lim
П—*оо
п
п
п+ 1
п+1
VA'
ч+і
= lim
Л -» о о
1
Демек, берілген қатар жинақты және оның қосындысы 1-ге тең
ОО
10 .2 . ^ д”
қатарды жинақтылыққа зертгеп, жинақты болған
я=0
жағдаида оның қосындысьш табу керек.
Шешуі. п дербес қосынды *S'n= l + q + q1+...+qn~l. q-дщ әр түрлі
мәндерін зерттейік:
а) о=1, онда S. —п, яғни lim S. = °о. Демек, катаг жинақсыз
П ---->оо
•
1- ^
І9 1<1 болғанда, lim S„ = lim
Я —7 °0
Л —>оо
V
1 -<?
1- ^
ф
1 -о
1-9
1-9
19 1>1 болганда, lim 5 = °° , ягни ақырсыз үлкен шама.
в) 9 = —1 болганда, 5 -нің шегі жоқ.
ОО
Сонымен 2 * q n катар І9 І<1 болганда, жинақты жэне оның
л=0
қосындысы 5 = -----болады, ал \q |>1 болганда жинақсыз болады.
1 -9
- 1
10.3. lim—= О болса да 1+ —+ —+ ... н— н...= £ — гармониялық
■-*“ п
2 3
п
„=1 п
қатардың жинақсыз екенін дөлелдеу керек.
Шешуі. S2h жөне Sn дербес қосындыларының айырмасын
бағалайық:
1
1 1
301
1
. 1 . 1
1
1
1
1
1
S 7n - S„ = ------ f ------- h ... + — > — + — н...h— = — n ——.
/i + l /1 + 2
2n 2n 2n
2n 2n
2
Яғни p=n болғанда гармониялық қатар үшін Коши критерийі
орындалмаиды, демек қатар жинақсыз.
Қатардың жалпы мүшесі U берілген. Алғашқы бес мүшесін
жазыңыз:
1
10.4. £/=(-1)".
10.6. U
10.5. U И
Ю.7. и
3Я_І
t
i
r
10.8. Un =
.
2/1 + 1
. .иП
10 10
l10.9.
ft0 U
„
1
-іл-1
2
1
и (2и - 1)(2 л + 1)
"
(-1у
2 n
+1
ж
n\
10.11. U„ = (2n ^ !, [(2n—1)!!=1 •3 •5 • • (2n—1)]
fl '2
'
: ‘ • 1■I
10.12.U n =
П+ 1
[(2n)!!=2-4-6-...-2n].
(”
1
)
10.13. и n
(2/i + l)!!
Қатардың жалпы мүшесінің формуласьш табьщыз
10Л4* 1 + 2 “
10.15.
+
+-
J ___ L + J ___ L + ...
1п2
ІпЗ
1п4
1п5
Ю.16. I + 1 + 2 + 1 +
2
3
4
5
і° л 7 . 1 + і + і + . і + ..:
10.18.1
'
+
ю л ». і + — + _ ! _ + — !— +
1-2 1-2-3 1-2-3-4
302
Ю.20 . — + - L + _ L _ +
3 -2
10 .21 .
9 -2
2 7 -2
i + 2 + ! + JL +
A
3
__
9
27
I
.
8 1 -2
•••
Қатардың қосындысьш табыңыз:
л-1
1вИ - S
2
10.23.1
Ы
)
------- Д з-«
"
— гг •
10.25. I
л=і ( п + 1 ) ( я + 2 )
№_Г*й
^
“7
—
л=і п(п + 1)(/1+ 2)
оо
26*
л==і
10.28. £ ------?------.
Ю29 Ғ
»=о4л2 + 8л + 3
1
10.30. 2 1
п~13 *2
і‘ ^ .
0 .
1
S (2и —1)(2и + 5)
3
1
1
оо
п(п + 3)
_
во
jjf
10-27- Я
£=1(3„ _ 2)(3л +1)
ж
ОО
1
10.32. л=і
£ 73
—
ггті—
7-.
(2п - 1)(2л +1)
а&
-.
.
£
Л=1n(ji + 2)
ЮЗЗ
1
У
iw .jj. і 2 , —
Л=1J
Берілген дербес қосындысы бойынша қатарды жазып, қосынысын табыңыз:
|П
с, П+ \
10.36. S = -----.
_ —1+ 2 ”
10.37. 5Я= ---- —
10.38. 5 =aigtg/i.
10.39. Sn =
2"
п
И
Қатардың жинақтылығының қажетгі шарты орындала ма?:
10.40.
°° 2п
10.41.
л=12/1 + 1
оо
1
°° Оті —1
1
я=1 И
оо
10.42. У c o s - .
/1 = 1
я
10.43. У —
а.
п=1(л +1)
303
1
10.44. у " - ! 1.
Һ п>
•
OO
10.45. У я s in k
n
•*
10.46. X I 1+ - 1 .
10.47. X —
n )
«=i^
-
n
*=i
Коши критерий немесе катар жинактыльвғынын кажетті шаргьша
сүйеніп келесі қатарлардың жинаксыздығын көрсетіңіз:
ОС
10.48. У —-— .
Zin2+ 2
10.49. X(-D
10.50. ± \ .
я=IПШ
10.51. У
я=1 yj(n + 1)(/2 + 2)
Я=1
оо
ОО
10.52. Егер '£Ua =U болса, онда £ к Uп = к U , k = const екенін
«=1
«а!
i И ftf
дәлелдещз.
°°
*5
со
jF - l l '
*
t jfV,
oo
10.53.E rep££/„ =U , £V„ =V болса, онда £(£/„ +V„) = U +V
я=1
n=I
И
екенін дәлелдеңіз.
§2. Мүшелері теріс емес қатарлардьщ
жинақтылығынын кейбір белгілері
оо
2.1. Сальнпъфубелгісі. Мүшелерітерісемес
оо
, £УЛ катарлары
п-1
п=1
берілсін.
а) Егер осы екі катардың мүшелері үшін U I И я =1,2,...
ОО
теңсіздіктері орьшдалып, £Уя катар жинақты болса, онда
Я=І
оо
катар да жинақты; Ъи„ катар жинақсыз болса, онда
я=1
да жинақсыз болады.
oo
:
—
я
Я=1
Я=1
катар
оо
б) Егер lim —I = Л > 0 шегі бар болса, онда X t/ , TV катарл_>“ ”я
„=1
„=1
*
ларыньщ екеуі бірдей жинакты немесе екеуі бірдей жинақсыз болады.
2 .2 . Даламбер белгісі.
Егер ( 10 . 1) қатарда U >0 жэне lim j j S | = q
U
болса, онда:
304
жинақты
жинақсыз
в) q 1 де қатар жинақты да, жинақсыз да болуы мүмкін.
2.3.К0ШИ белrid. Егер (10.1) қатарда U>0 жэне lim *JU
..
П
—
>
оо
онда
Я)
оолса, UU.1) қатар жинақты;
б) q >1 болса, онда (10.1) қатар жинақсыз;
в) q 1 де қатар жинақты да, жинақсыз да болуы
.
2.4.Кошид1н интегоаллык
й ріН рі
ғ ГРП
f *(
/ Кі гт
Ч
ОО
)
+оо
аралыгьщда теріс емес, үзіліссіз жэне өспейтін болса, онда J f(x )d x
1
ОО
меншіксіз интегралы мен
f ( n ) қатары бірдей екеуі де жинақты
немесе екеуі де жинақсыз болады.
Салыстыру белпсі бойынша қатарларды жинақтылыққа зертгеңіз:
10.54. I
«=і
1
Шешуі. Қатардың жалпы мүшесі Vn =
1
>
1
= - =и
Jn(n -1)
^
өйткені бөлшектің бөлімі өскен сайын, оның шамасы кемиді. Бірақ
оо
ОО
п
гоРмониялық Қатар (10.3 есеп) жинақсыз, сондықтан
салыстыру белгісі бойынша бериіген қатар да жинақсыз.
10.55. У 1л-1
я=і п ■3
ІІІешуі. Бүл қатардың жалпы мүшесі Uп = — -—- жинақталушы
v *
1
.
Q
n-і
(Ю.2
есеп)
жалпы
мүшесі
V
=
---шамасынан
яТ.з
3
Сондықтан берілген қатар жинақты
оо
10.56.
10.57. У ___
л«2Іп/г
^ УІп(1 + п2)
10.58. £ -------10.59. У ^ ± 2
(2/і +1)2
Ц 77
305
п
оо
10.60. X —Т
л=1
(п 2 +
2)
5/3
10.61. £ s in — •
*
п=1
~ cos3
10.62. X— г -
2"
1 0 .6 3 .
Я=1 Ил/П
Салыстыру белгісінің шектік түріне сүйеніп қатарларды
жинақтылыққа зерттеңіз:
1
10.64. Is in 2 •
П=1
п
л=1
3
ОО
sin
Шешуі. lim
і
і
АІ—> ° °
1 > 0 (бірінші тамаша шек) екендігі белгілі
1
қатар жинақты, сондықтан берілген қатар да жинақты.
Ал X
п=1п
1
қатардың жинақтылығы Коши критерийінен шығады.
X
ОО
ОО
л=1 П
10 .66.
10.65. f s i n Л=1 п
1
10.67. Хіп 1+
п—\
п
Zi п
у/п
оо
ОО
10.68. X 2 sin
„tl
к
4
оо
v
1
•
1
10.69. X -?= sm n=l дIII
П
10.70. X I sin~ 1ё —
tiV
n
n
2п + 1
10.72. X
10.71. Xlnl 1 + 4
n
=1
п
a ^ n,
Даламбер белгісі бойынша қатарларды жинақтылыққа зертгеңіз
оо
10.73. I
п
2
1
72
Шешуі. Мүнда £/„
(» +1)
л+1
2
lim
Я
2"
oo
п
2"
1іпД (і + «->•» 2 V п
л+1
1
(и
+
1)5
^
,•
и п+1
— —{— . Сондықтан lim
---п —>00 £/
2
я
< 1. Демек, берілген қатар жинақты
2
306
оо
- 2л
00 и '
10-74, л=0
S i Xf t •
ю-75. I —
^5"
10.76. £ —------ .
2/2-1
1077 у 2/11и,/л п=1 Z
п=з(2и-5)!
10.78. I
зл
оо
л=о2п(2п + 1)'
4л- 3
10.79. X
"=' л/л- 3"
3я л!
10.80* X ■— .
Я=1 п"
ОО
Ю81 у w
1иЛ1- п=1z
1П о7 ^ я (я + 1)
10.82. X — — .
л=1
л!
10.83. I
я-1І0"
J
и”
1 0 M .I - T .
10.85. Х т ~
Коши белпсі бойынша қатарларды жинақтылыққа зерттеңіз:
оо
О Л
10.86. У — .
л=1 П п
3
lim - =0<1.
Шешуі. Мүңда Un = ~ . Демек, lim ?Ю~ = lim ?, 3"
П~*°° V
ПП
n
^ ^
Л —)с о
Сондықтан берілген қатар жинақты.
10.87. I
f e
f
,о ж
10 89. £ — L - .
»=| (In л)”
10.90. І U "
„=13" ^ п 1 1
2
10.91. i f —
п=1
Зл + 1 I
.
10.92.
'°-93- . ^ і г т )
1 0 -9 5 -
V
)
яГі2" I /і /
10.94. я£=1Гл" л!
ЧгТіТ
л=і^2и + 1 J
X— f—
•
1 0 *9 6 -
307
«=і^4« + 3 J
Кошидің интегралдық белгісі бойынша қатарларды жинақтылыққа
зертгеңіз:
1
10.97. У — , (Дирихле қатары)
т*
Шешуі. Мүнда /(* ) = — функциясы Кошидің интегралдық
белгісінің шарттарын қанағаттандырады. Сондықтан қатардың
7 dx
жинақтылығы | — меншіксіз интегралдың жинақтылыгына
]х
келтіріледі.
~
a = 1 болғанда;
lim Іпб
b—>+°°
7dx
Jі х а
dx
lim f —
b—>°° * ica
1л
1 ■ 1-a
b
lim
b—
*°° 1 - a
1
1 -a
1
Um
b—*+°° 1 - a
V
1 -a
b
(a -1)
0 < a < 1 болғанда;
oo
1
a
1’
a > 1 болганда;
Демек, Дирехле интегралы a > 1 болганда жинақты, a <1 болганда
жинақсыз.
1
1
10.99. У
10.98. I
п= 2П
1
п=2Щ2п 3)
OO
ОО
1
10.100. У
и=1П + 1
1
10.101. У
n=l (n + \)yfn
2n
10.102. У
n=l n +1
1
10.103. I
n-2 n In n
oo
OO
oo
OO
1
10.105
10.104. У
n=oJ~4n + 1
1
10.107.
10.106. I
n=m\nn
Қатарларды жинақтылыққа зерттеңіз:
п
10.108. I
10.109.
п=ІП +1
/ п \п
10.110. X
10.111.
л=1 п~\~\
\
/
oo
OO
Y
n
24
n=3Yl - 9
1
I
л=2«л/іпи
oo
ОО
І ”
п=13
оо
308
Х
~
п=іп!
оо
\
-Л
оо
10.114. Х в ш т з .
*=1 2,1
10.115. £ ^ - ^
л=1 ПП
~ п іт
10.116.
.
"” 2"
10.117. £
~ .......„=,л3+ 1
1
10.118. I —р = .
оо
оо
10.119. I
п=2пуІIn3 л
Л=1(Зл + l)(2yjn -1)
§3. Айнымал тацбалы қатарлар
Мүшелері кез келген таңбалы сандар болатын қатарды айнымал
таңбалы қатар деп атайды.
3.1.
Егер қатардың кез келген екі көрші мүшелерінің таңбалары
қарама-қарсы болса, онда оны ауыспа тацбалы қатар деп атайды.
ОО
Лейбниц теоремасы. Егер ауыспа таңбалы Х(-1)"+1С/Л, (Un >0)
Й=1
. *
қатардың мүшелерінің модулі бір сарынды өспейтін тізбек, яғни
( ^ > и 2>1/3> ...
...) және limUп =0 болса, онда бүл қатаржинақЛ —>оо
ты және оның қосындысы S<ux болады.
3.2. Абсолют жинақты жэне шартты жинақты қатарлар
ОО
Айнымал таңбалы қатар
мен оньщ мүшелерінің абсолют
Л=1
oo
шамаларынан қүралған Х р„| қатарьш қарастырайық.
Л=1
оо
Теорема.
Егер
■■■■11=1
л=1
жинақты.
қатар жинақты болса, онда £ ^„ катары да
#1=1
Бүл жагдайда
абсолют жинақты қатар деп аталады. Егер
г
л=1
ОО
Щ
Л=|
қатары жинақты болып, ал л=1
£ Р п| қатар жинақсыз болса, онда
z*Un
шартты
жинақты
катар
деп
аталады.
л=I
Теорема. Егер X Щ„ катары
шартты
жинақты
болса,
онда
берілген
*”s'
7!*®
/ ; -• ‘
кез келген (ақырлы немесе ақырсыз) 5 саны бойынша осы £санына
309
оо
жинақталатын қатар шығатындай
қатардың мүшелерінің орын
ауыстьфуы табылады.
Қатарларды жинақтылыққа жэне абсолют жинақтылыққа
зерггеңіз:
;
10.120.
(-I)"-1 - + ...= £ (-I)""1- .
2 3 4
п
п=і
п
Шешуі. Бүл қатар Лейбниц теоремасы бойынша жинақты, өйткені
limf/„
=
lim(-l)"_l
•
—
=
0
өрі
О
О
п >оо
п
Бірақ ол
2 3 4
п
1
°о 1
шартты жинақты, себебі Uп = —, ал
гармониялық қатар
и
йщ
жинақсыз.
г>/
Ю.121. 1--Л -+ -Л ---Л -+-+ (-1)” — + - - = £ (-1)" 1
2 4 63
(2и)
Й
(2п)
Шешуі. Бүл қатар да Лейбниц теоремасы бойынша жинақты,
өйкені /7lim
1
3
=0
әрі
1
>
—
^ >... > ~ ~ г > - • Интегралдық белгі
бойынша X тг~о қатар жинақты. Сондықтан, берілген қатар абсолют
я=і
*
I
жинақты.
I Iл—
1
10.122. I - 1) .
10.123. y cosna
п-\ 2 п - і
^0 у
п—
ОО
(-1)"
10.124.
.
n=i п(п + 1)
10.125. Ic o s
n=i
3
10.126. £ Ц І .
П=1 п\[п
10.127. £ ( 1)?
л=о-J2n + l
10.128. £ ( - l ) nc o s f .
л=1
5п
Ю.129.
ОО
ОО
ОО
sin п
ПК
п—
і и!
_ cos п
ш п2
10.132.
10.133. £ ( 1)П'
Я=1 (2п - 1)
Л=1^ 2п - 1
310
Л
оо
10.134. 1
• I-. Һ
Л=1
V
2
10.135.К
л=1
/Г + 2
ОО
10.136. У ( - і ) я+І- !
/1=1
/II
10.138. І(-1 )
Л=1
оо
л-1
1
1+
п
V
^ Л+1 2л + 3
ОО
оо
я (и + 1)
sm < ^ 1 )§
10.137. I
/1=1
п(п + 1)
п
оо
10.139. I
( 1)л+1п
л=і З/г + 2
(—1)л In п
оо
п—
1
(-1)
10.141. У
/1=1 п •4Л
П=1
§4. Дәрежелік қатарлар
Әрбір мүшесі дәрежелік функция болатын
оо
а0+а^х + а2х +...+апх п + - = 1 а пх п
л=0
( 10.2)
қатарды дәрежелік қатар деп атайды. Мүндағы an, n —0,1,2,... сандары
дәрежелік қатардың коэффициенттері деп аталады.
4.1. Жинақтылық интервалы. Дәрежелік қатардың қасиеттері.
(10.2) дәрежелік қатар х =0 нүктесінде әрқашанда жинақты.
Абель теоремасы. Егер (10.2.) дәрежелік қатар:
а) ■xn’t0 нүктесінде жинақты болса, онда ол [х| < |х0| нүктелерінде,
яғни (—|х|; (х0|)аралығьшда абсолют жинақты;
б) х, нүктесінде жинақсыз болса, онда ол 1х|>|х,| теңсіздігін
қанағаттандыратьш барлық х нүктелерінде жинақсыз.
(10.2) дәрежелік қатар (~R;R) аральпында абсолют жинақты,
R), ( R,+«)аралықтарында жинақсыз болатын жинақтылық
радиусы деп аталатьш R саны табылады:
an
R = lim
a
(10.3)
Л+1
x
нүктелерінде (10.2) дөрежелік қатарьшың жинақтылығы
қосымша зерттеледі. Егер (10.2) қатар тек қана х
нүктесінде
жинақты
ал х -тщ барлық нүктелерінде жинақты
онда
+°о деп есептеледі.
311
Дәрежелік катардың қасиеттері:
1. (10.2) қатар кез келген [—r,r], r<R кесіндіде жинақталады.
2. (10.2) қатардың Six) қосыңцысы ( - R ;R ) жинақталу аралығында
үзіліссіз жэне осы аралықта ақырсыз рет дифференциалданады.
3. (10.2) қатарды кез келген [a,(3] a (—R;R) кесіндіде мүшелеп
интегралдауға болады.
4. (10.2) қатарды жинақталу аралығында мүшелеп дифференциалдауға болады.
a0+al(x —a)+a2(x —a)2+...+an(x —a)n+..= X а п і х ~ °)"
(Ю.4)
1=0
қатарды центрі а нүктесінде болатын дәрежелік қатар дейді жә
оны х —а=у ауыстыруы арқылы (10.2) түрдегі дәрежелік қатар
келтіреді.
Қатарлардың жинақтылық радиусы мен жинақтылық интервалын
анықтаңыз және шекаралық нүктелерде қатарларды жинақтылыққа
зертгеңіз:
*
/
ү2
v3
-у-Я
оо
~ М7 Г
10.142. 1+ Х + — + — +
— + ... = 1 + У — , а> 0
2° 3°
па
tx rf
Шешуі. Ақырлы қосылғыш 1-дің болуы қатардьщ жинақтылық
сипатына әсерін тигізбейді. (10.3) формула бойынша
R = lim
an
/I—>00
\X
lim
/I—
= Um
(1
+
-1
=
Г
=
1
n
1
ң
— >00
Сондықтан [x|< 1 болганда берілген дәрежелік қатар жинақты, ал
>1 болганда жинақсыз. Шекаралық нүкте х = —1 де дәрежелік
1
1
(-1)"
қатарга сәйкес сандық қатар 1 -1 + — — - + ...+
+... Лейбниц
теоремасы бойьшша жинақты және интегралдық белгі бойьшша a > 1
де абсолют жинақты, ал 0 < a < 1 болганда шарпы жинақты болады.
x —t нүктесінде сәйкес сандық қатар 2 + ^ - + ^ - + ... + -^- + .... Бүл
Дирихле қатары (10.97 мысал) а>1 де жинақты, 0< a< 1 болганда
жинақсыз.
00 X
10.143. I — .
іп
°° х п
10.144. £?
,
л=і2 п\
oo
10.145. І і ~ 2 ) пх 2п.
/і=о
10.146.
312
. _2
В
л=і(2п)!
1П Л А П
V
'
^
~
^
2 n n)
10.148. n=i
2 (2я)!
~ *2л
І"-lІ JР ТV nГ •
10.149. l + 2!x + 3!x2 + 4!x3 +...
10.150. X __ *
л=оЗ"(/г + 1)
10.151. £ — S C g *
10152
“°(2«+ i)! 7 r
щ
т а
OO
10.153. I(-l)"(2 n + l) V .
л=0
Қатарларды жинақтылыққа зертгеңіз;
/2—1
(-*)
10.155. і
И П
154,
1ft
*
(_1)Л+
х
"
10.156. X 3 ---шш п
^
Ю
лх
п
10.157. S — 7Л=1 л/П
Щ
10.158. I - --------- .
я=і (2л -1)2"
щ icq у
10Л59‘
10.160. I 1+ - I X".
1
10.161. i x - . t g
"=*
n
& x"
10.162. X
.
-1 2
10.163. Xsin2 —( x - l ) n
"=1
n
OO
in'
*
~
(—
1)"_I
(2дс
—
5)"
10.164. лX=і------г-.
jo
165
У
л .4 л’1
іи.юэ. 2,
Я
2/2 —1
4.2.Функцияларды дәрежелік қатарға жіктеу
EreP{W функциясы X=а нүктесінің кейбір маңайыңца ақырсыз
Рет Дифференциалданатын болса,онда ол (10.4) түріндегі Тейлоп
қатарына жіктелінеді:
А х ) = Да) +
л=0
21— 219
(дг -
„) +
_Ц
р ;;+ І І Й Й Й (х
_
„)» +
(10.5)
п!
313
f i x ) функциясыньщ Лагранж
түрінцегі Тейлор қатарының қалдығы
Rn(х) = f ( x )
k=i
k\
(10.6)
f (n+1) [a + Өjx - a)]
(jc-fl)n+l , а<Ө< 1
in +1)!
Егер f i x ) функциясының барлық туындылары бірқалыпты
ш енелген болса, ягни 3 с > 0 , |/"(х )|< с, л = 1 ,2 ,3 ,...,о н д а
lim R (х) = 0 болады. Демек, (10.5) Тейлор катары Дх)-ке жинақталады.
Дербес жяудяйтта, егер х =0 болса, онда Маклорен катары шыгады:
м
-т
l J- J T Lxn (10.7)
n!
n=0
2
1!
Бүл жяғдяйдя, қаралган маңайдагы кез келген белгіленген х үшін
Лагранж түріндегі Маклорен қатарының қалдыгы:
)
+
т
х
+
1
Ж
х
Г П+1\ӨХ)
*
+
.
.
.
+
Г
,
Ш
х
-
+
.
.
.
а <Ө < 1
(п Т й і,
Кейбір функциялардьщ Маклорен қатарьша жіктелуі
. х х 2
х"
1 н—- ч—*—+... н— +...
п\
1! 2!
е
(10.8)
п
ОО
Iл=0
X
оо < X < +<*>
П\
2л+1
X
+
(2n +1)!
х х3 х5
SmX = ! T 3 ! + 5!
. ..
2л+1
оо
X
л=о
(2 л + 1 )!
2п
х
х2 х4
+
+
COS X = 1
... + (-1)"
(2п ) !
2! 4!
оо
In
X
5
~00<Х<+0°
і ^ ос(а- 1)...(а- n +1) „ . . ,
/m m
(1 + х) =1 + X ------------ j---------- х » Iх К 1*5а —нақты сан (10.9)
л=1
і
оо
X < і; - і —
1 + X
ОР
І(-1 )" х " ,
л=0
п
X
1п( 1+х)= I ( - 1 Г 1— , - 1 <Х < 1.
Л=1
п
314
X <1;
10.166.
/ ( х)—е функциясьш Маклорен қатарына жіктеңіз жөне
жіктелудің жинақтылық интервалын анықтаңыз:
Шешуі. (10.9) формулалардағы е х функциясының жіктелуінде
_
, _ . , t (2
t хдесек, е - 1 + —+—
1! 2!
І*
пі
немесе
,
х
х
2
X3
(-1
)"хл
е =1----- 1------------ һ -f -—і-----1! 2! 3! ;
п\
l.
Жинақтылық интервалы (—«>;+оо) екендігі айқын, өйткені х-тің
кез-келген мәнінде (10.6) қалдық қатардьщ дербес жағдайы болатын
/ __ 1 \ Л
-в х
(10.8) қалдық қатардың шегі lim R„(x) = lim -—----- = О болады.
Л —> °о
/I—>оо
Д2 |
Функцияларды Маклорен қатарына жіктеңіз жөне жинақтылық
интервалдарьш анықтаңыз:
10.167. /(x)=sin2x.
10.168. /(x)=cos2x.
10.169. /(x)=sinx2.
10.170./(x)=ln(l+2x2).
10.171. f(x)=e~*2.
10.172. f ( x ) = yll + x 2 .
10.173. /( * ) = - = L = .
10.174. / ( jc)
УІ4-Х2
1
3 + 2x
10.175. f ( x ) = - L - . .
10.176. / W = ,n l± £
1—x
1
vr= 2
l-х
10.179./(x)=arcsinx.
10.180. f(x ^ = — l +x
10.181. /(x)=arctgx.
10.183./(x ) = Jл/ l - x 3^ .
10.182. / (x) = Vl —x3 . '
10.184. f i x ) = Jsin x 2d x .
10.185. / (x) = j Vxcxd x .
10.186. f { x ) = j — dx.
X
10.187. / t o ~ f - r = •
10.188. f (x) = l — cosxdx *
V 1 —JC
X
Қатарлардың жинақтылық интервалын анықтаңыз және мүшелеп
интеграддау арқылы қосындысын табыңыз:
313
10.189. х+2х2+Зх3+4х4+...+яхл+... .
10.190. х -4 х 2+9х3-16х4+...+(-1)п+1и2х л+ ....
Қатарлардың жинақтылық интервальш анықтаңыз жэне мүшелеп
дифференциалдау арқылы қосындысын табьщыз:
х3
х5
х2
п
_
1
10.191. jf + iL + iL-K . + ^ ---- + .„
3
5
2 n -l
3
5
/
і\л + 1 „ 2 л —1
X X X
(—1) X
10.192. х ------ 1------------Һ...Н---------------3
5
7
2/1 —1
j c2
j c4
* 2л
2!
4!
(2л)!
10.193. 1н----- 1----- Ғм.І------- к..
1П 1П.
X
X2
X
х"
10.194.----- н------------- Н...Н----------- 1г...
1-2 2 -3 3 -4
п(п + 1)
§5. Фурье қатарлары
[—/;/] кесіндісінде анықталған интегралданатьш/(х) функция­
сыньщ Фурье қатары деп мына тригонометриялық қатарды айтады:
f(x ) ~
+ £ (ап cos ^
sin
* n=\
1
1
Мүнда Фурье коэффиценттері
1 /
0
>
(10.10)
П7ГХ
J /
an = - \ f ( x ) d x ,
= 5"(х)
ап = - f/(x )c o s —— dx,
/_V W
I
(10.11)
bn = - J/(x)sin-^^*£t,
(n = 1,2,3,...)
I -i
I
формулаларымен анықталады. Бүл функция 21 периодты функция
болады, яғни i5'(x+2/)=iS’(x).
Есептеуперде
,
кх
. лх
2л х
. 2лх
1, cos— , sin — , c o s -y -, sin -y —, ,
плх . плх
cos—j—, sm —— , ...
тригонометриялық функциялар жүйесініц [—/;/] кесіндісінде (жалпы
үзындыгы 2/болатъш кез келген кесіндіде) ортогональ болатьшдығьш,
яғни кез келген екі түрлі функцияныц көбейтіндісінің [—/;/]
кесіндісіндегі интегралы нөлге тендігін ескереміз. Негізгі мәселе,
қандай шартгар орындалғанда <S(x)—/ (х) болады?
316
f i x ) жэне оньщ туындысы /'(* ) функциялары
кесіндісшде үзіліссіз немесе ақырлы х. нүктелерінде
[
текті үзілісі бар болса, онда
f(x) функциясы үзіліссіз болтан нүктелерің,
яғни /(jc) = - ± + £ [ a n cos^
2
n=il
fix )
+ fen sin —
e
e
/
6) f i x ) функциясыньщ бірінші текті үзіліс нүктелерінде
1
[ lim f i x ) + lim f i x )
Sixt )
2 \*~*xkx^*xk1
в) s i- l) = Sil) = ^ tim f i x ) + lim /( * ) ] ;
fix ) функциясы жүп fi~ x ) —fix ) болса,
барлық b= 0 болады
ч а0 ~
плх
2‘ ,
пт
жэне f i x ) = — + S ап cos---- , an = —f f i x ) cos----- dx (и = 0,1,2,...)
2
е
я=і
Iо
е
f ix) функциясы так fi~ x)= —fix ) болса, барлық а =0 болады жэне
fix )
/і=і
in
inr
10.195.
е
Ь,
I Jо
плх ,
sin---- ах
(л = 1,2,3,...)
[
6 >0 < х< 2
fix ) =\
функциясын Фурье қатарьша жікЪх, 2 < х < 4
теу керек.
Шешуі. (10.11) формулалары бойынша, 1=2 деп алып жэне
(0;4)интегралдау интервалын х=2 нүктесімен екі бөлікке бөліп
(өйткені осы бөлікгердің эрқайсысында функция эр түрлі формулалармен берілген), Фурье коэффициенттерін есептейміз:
плх ,
l[-f/:
2 \{
плх
dx + f 3x cos
~2~
2
1 12 . плх
2x . плх
4
— sin+ 3 — sin—— + _2„2
2 пл
2 0
2
ПЛ
Л n
6
„2_2
COS
dx
2
ПЛХ
~2~
(1 - cos ля), /1 * 0
n Л
/і-жүп болганда cos/m=l, ая= 0; л-тақ болганда cos/m
12
1,
, }„ . m x .
,
1 I f , . плх dx
+ 3x sin ——dx
- J f{ x ) sm — dx = - J 6 sin---1 Г у/
к
V
•
L о
1 12
плх
— cos2 ПЛ
2
ПКХ
^
0
2
^ Vo
плх
3 4
+ „2„2 sin
2 П Л
2
2
2x
плх
— cosЛП
2
6
1
[12 (1 —cos пл) + 3 (4 cos пл
ПЛ
2пл
апмен bn коэффициенттерін есептегенде, екінші қосылғыштарда
бөліктеп интегралдау әдісін пайдаландық.
Зх
a0
И
о
+
2
2
15
Сонымен ізделінді жіктелу мына түрде болады
v 15 \ 2 (
лх 1
Злх 1
5лх
fix ) —— н——
I cos---- н—cos----- 1— cos----- к..
І w
2 я 21
2 9
2
25
2
16 ( . лх 1 . 2лх 1 . Злх
sin---- Һ—sm------1—sm+------К..
л\
2 2
2
3
2
S(x)
) аралықта қатардың қосындысы
ал / (х) функциясы анықталмаған х
1
lim 6 + lim 3x
S( 2)
2 Lx-»2- x-*2+
Шеткі нүкгелерде:
аралықта
нүкгесінде
1
(6 + 6) = 6
2
1
1
Гlim 6 + lim 3x1 = x (6 +12) 9
5(0) = 5(4)
x -» 4 J Z
2 |_х-*0+
Берілген функцияны көрсетілген аралықта Фурье қатарына
жіктеңіз:
х
10.196. / (х) = —;(0;2я).
10.197. f(x)= e х; (-п ,п )
10.198. /(х )= х 2; ( тс,7с), /(х)=/(х+2тг).
10.199. /(* )= cos у ; (0;2л), /(х)=/(х+2я).
10.200. /(х )= я —х; (0;2к).
10.201. /(x )= x sinx; [—я;я].
10.202. /(х )= |х|; (-1; 1], /(х )= /(х + 2).
318
10.203. /(х)=х (я-х), [0;я), /(х)=/(х+я)
10.204. /(x)= x; [-я;я].
10.205. /(x)= x3; [~я;я].
10.206. /(х)=я-2х; [0;я).
10.207./ ( л М
ш
’
Зх,
70<<SхХ<
°
•
<п
10.208. / ( , ) - I ' 7 < Х < 0 .
о,
о<х <я
10.209. /(x)= sgn x ; (~я;я).
10.210. /(х)=я2- х 2; (~к;п)
10.211. f(x)=cosax ; (~я;я).
10.212. /(x)= sin ax ; (-я;я).
10.213. / (x)=sin4x ; [—я;я].
10.214. /(*)= ' | |
10.215. /(*)=
~л:^ дс<0
' 1,
0<х<л
я,
—к < jc<О
к —х,
10.216. /(х)= 1 ’
1—1*
4,
4
10.217. / ( jc)
0<х<к
0<*<2
- я <х <О
4 (я х -1 ), 0 < х < я
4
10.218. /(*) : '
JC ,
0< Х<2
XI т а р а у . ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР
§1. Дифференциалдык теңдеу үғымы
1.1.
/7-ретті дифференциалдық тендеу (жай дифференциалдық
тендеу) деп х тәуелсіз айнымал, у = у (л:) ізделінетін функция жэне
оньщ у ',у ",... , у (л) туьщцыларын байланыстыратын
Fix,у У у ",:..#<*)=О
түріндегі тендеуді атайды.
Егер (11.1) теңдеуін жоғары ретті туындыға катысты шешуге
болатьш болса, онда
( 11.2 )
У(п) =f(x,y,y',y",...,y(n~X))
(11.1) немесе (11.2) дифференциалдык тендеудің шешімі деп (я, Ь)
аралыгында осы теңдеуді қанағаттандыратын кез келген у{х)
функциясьш атайды.
Дифференциалдык тендеудің шешімінің графигін осы тендеудің
интегралдық қисығы деп атайды. Дифференциалдык тендеудің
шешімін табу интегралдау амалы арқылы жүретіндіктен, шешімді
табуды дифференциалдык тендеуді интегралдау дейді.
Коши есебі. (11.1) немесе (11.2) тендеудің х = х 0 мәнінде
)>(*о ) = Уо>у \ х о) = у ' о у ' "'° (х0) = у 0{п~1)
(11.3)
бастапқы шарттарды қанагаттандыратын дербес шешімін табу керек.
Жалпы шешімді айқын емес функция ретінде анықтайтын
Ф (x,y,cl,c2,...,ct)=0 тендеуін (11.1) немесе (11.2) дифференциалдык
теңдеудің жалпы интегралы деп атайды.
Керісінше, егер Фіх,у,сігс2,...,сп)=0 тендеуімен қисықтар жиыны
берілсе, онда мына тендеулер жүйесінен
I/Ф
d nФ
Ф = 0, — = 0 ,...,^-^ = 0
п
dx
dx"
cv c2,...,cn параметрлерді шыгарып, Ф(х,у,с1,с2,...,сп)=0 жалпы
интегралы болатын дифференциалдык тендеу алынады.
Бірінші ретті дифференциалдык тендеулер үшін Коши есебі:
У ' = / ( х ; у ) , у ( х )= у 0
(11.4)
Екінші ретті дифференциалдьпс, тендеулер үшін Коши есебі:
у ’ = f ( x , у , / ) , >'(-to) = >’o> У ' і х 0 ) = у'0
(11.5)
(11.2) дифференциалдык тендеудің G cz Оху аймагындагы жалпы
шешімі деп y=yix,cv c2,...,cr) түріндегі шешімді атайды, мүндагы
320
еркін түрақтылардың кез келген (11.3) шартгар үшін жалғыз
ғана мөвдері табылады.
(11.2)
дифференциалдық теңцеудің кейбір G с Оху аймағындағы
дербес^ш еш імі деп у = у(х,с1,с2,...,с п) жалпы шешімнің
сі~ с°’с2~с°,...,сп—с° мәндерищегіу =у(х,с°1,с°2,...,с°п) шешімді атайды.
Коши теоремасы. Егер (/і+1) айнымалды f(x,y,y',y",...,y(n~l>)
функциясы жэне оның f y, f f '{n_n дербес туындылары
(W o-W
(п~1)0) нүктесінің кейбір маңайында үзіліссіз болса, онда
осы маңайда (11.2) - (11.3) Коши есебінің жалғыз шешімі бар.
Геометриялық мағьшасы: (х0,у0) нүктесінің анықталған маңайында
жататын осы нүктеден бір ғана интегралдық қисық өтеді.
У=сх функциясы у 'х—у =0 дифференциалдық тендеудің
шешімі екендігш тексеру керек. А( 1;2) нүктесінен өтетін және 5(2; 1)
нүкгесінен өтетін шешімдерін анықтау керек.
Шешуі. у —(сх) —с жэне у —сх өрнектерді тендеуге қойсақ
сх~сх=0 болады. Демек, у=сх берілген бірінші ретгі дифференциалдық тендеудің жалпы шешімі. А( 1;2) нүктесін (11.4) Кошидің алғашқы
шартындағы д<1)=2 деп, у =сх теңціктен с-ны табамыз: 1=С- 1=>С=2;
демек, у =2х; Осы сияқты В(2;1) нүктесі үшін: 1=С-2=}С=0,5; демек’
У—0>5х Сонымен у =сх функциясы бершген тендеудің жалпы шешімі;
А( 1,2)нүкгесінен өтетш дербес шешімі: у =2х; В(2; 1) нүктесінен өтетін
дербес шешімі: у =0,5х
Көрсетшген функция берілген Коши есебінің шешімі бола ма?:
11.2. у=е~х; у'+у= 0, у(0)=1.
11.3. у = х 4+3; у'= 4х3, у(1)=4.
Көрсетілген ф икция берілген дифференциалдық тендеудің
шешімі бола ма?:
11.4. уу'=х; у = уіх2 +с .
11.5. 3у—ху'=0; у= сх3.
11.6. у"+4у=0; у =c1cos2x+c2sin2x.
11.7. у'"-9у'=0; у=сх+с2е?*+съе~3х.
11.8. х 2+у 2= с2 шеңберлер үйірінің дифференциалдық тевдеуін
қүру керек.
Шешуі. Айқындалмаған функцияны дифференциалдау ережесі
бойынша х 2+у 2=с 2теңдігін дифференциаддасақ 2х +2уу '=0 болады.
Осыдан уу'+ х =0.
Сызықтар үйірінің дифференциалдық теңдеуін қүрыңыз:
11.9. у - с х 2.
11.10. у —х+с.
11.11. у 2=2сх.
11.12. у = с х + с *.
X2 у2
11.13. — + ——= 1.
11.14. (х—с)2+у 2= 1.
с
4
С\,С2,...,С П
321
і
§2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
Айнымалдары ажыратылган және айнымалдары ажыратылатын
іифференциалдық тендеулер
( 116 )
a) g(y)dy =f(x)dx
айнымалдары ажыратылган (дифференциал түрінде жазылған),
мүндағы g(y) пен/(х) үзіліссіз функциялар, бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
У
х
J g(y)dy = J / (x)dx + с немесе J g(t)dt = J / (t)dt + c.
Уо
(11.7)
Щ
түрінде болады. Мүндағы с кез келген түрақты сан, ал х„—
/(х)
функциясыньщ үзіліссіздік нүктесі, yQ—g[y) функциясыньщ үзіліссіздік нүкгесі.
(11.6.) дифференциалдық тендеудің (^0)= >0 бастапқы шартгы
қанағатгандырушы дербес шешімі:
X
J
*о
( 11. 8)
Уо
б) Айнымалдары ажыратылатын тендеу деп
f l(x)f2(y)dx=g}(x)g2(y)dy
(11.9)
түріндегі теңдеуді атайды. Мүндағы/ , (х) , f 2(y), g, (х), g ^ ) — үзіліссіз
функциялар. Бүл тендеудің екі жағын да gx(x)f2(y)±0 болатьш (х\у)
нүктелерде осы көбейтіндіге бөлсек, айнымалдары ажыратылган
/і
(х)
.
g
2(y)
j
.
с
-------ах = —----- ау дифференциалдық теңдеуін аламыз. Бүл
Л(>0
теңцеудің жалпы шешімі (11.7) түрінде, f ^ dy = f ^ dx + с
3 f 2(y)
J &(х)
(‘
L
"
f
M
L
t
+
c
немесе
y jA t)
is M
Ал у (x0)=y0 бастапқы шартьш қанағатгандыратын дербес шешімі
(11.8) түрінде болады:
( 11. 10)
У. ' Л ( 0
'* ,( * )
gt(x)/ 2(у)=0 болсын. gt(x) =0 теңдеуініңх=о түбірі болса, онда
х= а, / 2(у)=0 теңцеуінің түбірі у=Ь болса, онда у —Ь (11.9)-дьщ
қосымша шешімдері болады. Яғни х =а мен у =b функциялары (11.9)
тендеуді қанағаттандырацы.
322
11.15. xdx + ydy 0 теңдеушің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Бүл айнымалдары ажыратылған теңдеу. (11.7) формулалардың алгашқысы бойынша
Jxdx + J ydy ~ с => -j- +
= с =>х2+ у2=2с =$х 2+у 2=с2.
мүнда 2с —с 2 деп алдық, өйткені теңдіктің сол жагы теріс емес.
х 2+у 2—с 2- радиусы с-ға тең, центрі координата басындагы центрлес
шеңберлер теңдеуі.
11.16. ydx xdy 0 теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шещуі. Бүл (11.9) айнымалдары ажыратылатын теңдеу, мүңда
/ 1W - 1» / гСУ)=У, Si(x)^x, g2(y)=l. Теңдеудің екі жағын х у * 0
көбейтіндіге бөлсек (11.6) текті теңдеу шығады:
dy dx
t
— —— j (11.7) формула бойьшша
У
х
мүндағы с ±Cj, Cj* 0. болғандағы х —0 жэне у —0 түзулері де теңдеудің
интегралдық сызықтары болады. Сонымен жалпы шешім у=сх'
---о о < С
Теңдеулердің жалпы шешімдерін табыңыз:
11.17. (\+y)dx—(1—x)dy=0.
11.18. ( l+ y 2)dx+ (\+ x2)dy=Q.
11.19. ( 1+е*)уу'=ех.
11.20. xVT+y7 + yy'Vl + x1 = 0.
11.21. е -> (1 + ^ ')= 1 .
11.22 . у '=2^ у.
11.23. ey( l+ x 2)dy—2x(l+ey)dx=0.
11.24. ( 1 + 2)dx =xydy теңдеуінің x =2 болганда у =1 болатын дербес
шешімін табу керек.
Шешуі. Тендеудің екі жағын х- (1+^2)^0 көбейтіндіге бөліп,
содан соң интегралдаймыз:
2 = ( — + lnc => ~ln(l + у 2) = ]пх + 1пс=*1 + у 2 = с2х 2 •
J 1+ у
J х
2
’
Бастапқы шартгы у{2)=\ ескерсек 1+12= с2 4=>с2=0,5. Демек,
дербес шешім у = у]о,5х2 —1. х =0 қосымша шепгім басгапқы шартгы
қанағатгандырмайды.
323
Тендеулердің көрсетілген бастапқы шартгарды қанағаттандыратын
дербес шешімдерін табыңыз:
11.25. х у '- у = 0; у(-2)=4.
11.26. ху'+ у= 0; у(—2)=4.
11.27. у ' = (2 у + l)ctgx, у Й = і .
11.28. х 2у '+ у 2=0, у(—1)=1.
11.29. х у ' =
lnjc
, у (е ) = 1.
11.30. y'tgx—у=1, У (|) = 1.
11.31. y'sinx=ylny, у(у) = 1
11.32. (2x+\)dy + y2dx =0, у(4)=1.
11.33. 2 y'-Jx = у , у (4) = 1 .
11.34. 2y[ydx = dy, у(0) = 1.
2.2.
Біртекті теңдеулер. у '= /( у /х ) түріндегі бірінші ретті
дифференциалдық тендеуді біртекті тендеу деп атайды. и(х) =у (х)/х
ауыстыру арқылы біртекті тендеу айнымалдары ажыратылатын
теңдеуге келтіріледі. Шынында у '= и + х и ' болады да у '= / (у/х)
дифференциалдықтендеу u + xu'=f(u) немесе х — = f (и) —и түріне
dx
келеді. Бүдан
du
Cl
x = c e ^(u>^,c= ± q
f(u )-u
X
J f(u )-u
Соңғы тендікке и —y/x өрнекті қойьш, бастаітқы дифференциалдық тендеудің жалпы интегральш аламыз.
Жалпы, кез келген х, у жэне t >0 үшін P(tx,ty)=tmP(x ;у) тендігі
орындалса, онда Д х ,у) функциясы т- ретті біртекті функция деп
аталады.
11.35.
(у2—Зх 2)dx +2 xydy =0 тендеуінің у (0)=0 бастапқы шартын
қанағаттандыратьш дербес шешімін табьщыз.
Шешуі. Бүл тендеу біртекті тендеу, өйткені екі жағын да ху ф 0
көбейтіндіге бөлсек, y/x, x/y қатьшастары шығады. и =у/х немесе
у = их ауыстыруын енгіземіз. Сонда (и 2х*—3x2)dx + 2х2и (udx +xdu)=0
болады. xV O -қа бөлсек: 3 (и 2—\)d x + 2xudu=0. Бүл теңдеуді
(и 2—1)х*0 көбейтіндіге бөлсек:
324
г 3dx r 2udu
II
2
,
J ----- i-J —j—- = 0 => 3ln|x| + 2 In и —1 = In с =>x3(w2—1)=c; и —y/x
Ш '7' I
il^ r r e : A ± ;-
' H P * * Г**- Д
«
-J tr
jt 3
J
j
i
1-
,iv% • %■ : t.
лi I
болғандықтан, сонгы теңцікх3(у2/х 2-l)= c немесе x (у 2- x 2)=c. Бұл
берілген теңдеудің жалпы интегралы. Енді бастапқы шартты ескерсек
0(02- 02)=с болып, бұдан с=0. Демек, ізделінді дербес шешімдер:
у=±х.
Ескере кететін жагдай, (и2—1)х=0 теңдеудің шешімдері де осы
дербес шешімдерді қамтиды.
Тендеулердің жалпы шешімдерін табыңыз:
11.36. (x2+y2)dx-xydy= 0.
11.37. уу'= 2у-х.
у
11.38. xy'cos — = ycos —- х .
X
X
11.39. у' = е х + У
11.40. xdy = (у + J x 2 + у 2 )dx i
11.41. ду'=у1п—.
У
Тендеулердің көрсетілген бастапқы шартгарды қанағатгандырушы
дербес шешімдерін табыңыз:
11.42. Ху'= УІП —, у(1)=1.
. <!
11.43. (Sxy - x)dy + ydx = 0, y(l) = l.
11.44. (у + у]х2 + у 2 ) d x - xdy = 0, у(1) = 0
2.3. Сызықтық теңдеулер
Ізделінетін функция мен оньщ туындысы бойынша сызықты
у '+р(х)у =/(х), хе (а,Ь)
түріндегі тендеу сызықтық дифференциалдық тендеу деп аталады.
Мүндағы Ң х), f (х) функциялары (а, Ь) аралығьщца үзіліссіз.
Егер /(х)=0 болса, онда
(11.12)
У'+р(х)У= 0
дифференциалдық тендеуі сызықтық біртекті деп, ал (11.11) тендеуі
біртекгі емес деп аталады. (11.12) тендіктің сол жагы у пен у ' қа
қатысты біртекті функция).
(11.12) айнымалдары ажыратылатын тендеу, оньщ жалпы шешімі:
(11.13)
(11.11) теңдеудің жалпы шешімін Лагранждың түрақтыны
/
\
“J
Р(х№
~ %
вариациялау өдісімен шешеміз: У = с(х)е
деп, бүл функцияны
(11.11)-ге қойып с Ч*)-ті, содан соц с (х)-ті табамыз. Сонда
у =
/ ( х ) е , ' и л Л ; с -con st
325
(11.14)
Бүл функция (11.11) сызықтық тендеудің жалпы шешімі.
11.45. у у ctgx =sinx тендеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. р(х) =-ctgx ,/(х) =sinx. Жалпы шешімді тікелей (11.14)
формула арқылы табуға болады. Біз түрақтыны вариациялау өдісінің
қолданылуын көрсетейік. (11.13) формула бойынша у '~ у ctgx =0
біртекті теңдеудің жалпы шешімі:
г
-\(-c tg x )d x
[d sinx
I
lnlsinjcl
у = ce J
= се *пх = се 1 '= c s m x .
Берілген біртекті емес тендеудің жалпы шешімін y=c(x)sinx
түрінде іздейміз. y'=cXx)sinx+ c(x)cosx. Бүл өрнектерді берілген
теңдеуге қойсақ:
с '(x)sinx + c(x)cosx —c(x)sinx ctgx = sinx => с '(x)sinx =sinx => с '(x)=1
(sinx?t0). Соңғы теңдеудің жалпы шешімі с(х)=х+ с. Демек,
у =с (x)sinx =(х + с)sinx = сsinx +xsinx.
Теңдеулердің жалпы шешімдерін табьщыз:
11.46. у* + 2 х у - 2 хге ~ ^ .
і.; : •
,;г: ,іп Щ Ьйі
11.47. / + - = х2.
х
11.48. у '+2у —х 2+2х.
11.49. (x+l)flfy-[2y+(x+l)4]d!x=0.
11.50. у'+ 2ху—хе~х2.
11.51. (1+х2)у' =2ху+(1+х2)2.
11.52. у'+2у=е3х.
11.53. / + - = 21пх + 1.
х
Теңдеулердің берілген бастапқы шартш қанағатгандыратын дербес
шешімдерін табьщыз:
11.54. / + ytgx = ------, у(0) = 0.
cosx
11.55. у ' = 2у + ех - х , у( 0) = - .
4
2.4. Бернулли тендеуі:
у ' +р(х)у = у л/(х ) ; п ф О, п ф 1; хе(а,Ь)
(11.15)
Мүңдағы р(х ), / (х)функциялары (а,Ь) аралығында үзіліссіз. у =0
(11.15) теңдеудің шешімі екендігін ескереміз. и =у1-палмастыру жасап
и '+(1-п)р(х)и = (1-л)/(х) сызықтық теңдеуге келтіріледі.
11.56. у ' —2ху=2х*у2 Бернулли тендеуінің жалпы шешімін
табыңыз.
326
Шешуі. Теңцеудің екі жағын у VO-қа бөлсек: у'у~2—2ху~1=2х3.
и=у ~1алмастыру енгізсек, и'=—у~2у ' больш, тендеу и ' +2хи =—2х 3
сызықтық тендеуге келеді. Бүл теңцеудің жалпы шешімі (11.14)
формула бойьшша: и =се~*2+ 1—х 2. Демек, берілген тендеудің жалпы
Ш ф ь
і
шешімі у = ----- ;---------г .
сё~х + \ - х 2
Бернулли тендеулерін шешіңіз:
11.57. у 'х +у =—х у 2.
11.58. xdy =(х Зу 2—2y)dx.
11.59. у '= х у + х 3у 2.
11.60. у у ' - 4 х - у 2у[х = 0.
Тендеулердің берілген бастапқы шартгарды қанағаттандыратын
дербес шешімдерін табыңыз:
11.61. 3dy = (1 —3y2)ysinxdx, у(—) = 1.
11.62. ydx + (х - - х 3у)dy = 0, у ф = 1.
2.5. Толық дифференциалды тендеулер
Егер бірінші ретті (жалпы жагдайда сызықты емес)
P{x,y)dx+ Q(x,y)dy —0
(11.16)
дифференциалдык тендеудің сол жагы белгілі бір U(x,y) функциясьшың толық дифференциалы болса, ягни U' =Р, U'=Q тендіктері
орындалса, онда (11.16) толық дифференциалды тендеу деп аталады.
Бүл жагдайда (11.16) дифференциалдык тендеу:
Pdx+Qdy=U'xdx+U'ydy=dU(x,y)=0, бүдан U(x,y) = С -const жалпы
интеграл шыгады.
Толық дифференциал болудың қажетті жэне жеткілікті шарты:
P '= Q '. Щх,у) функциясы мьша тендеулер жүйесінен табылады:
VX=Д* U'=Q.
у
U' =Р тендеуден: U ( x ,y ) - j Р(х, y)dx + ф(у).
U’=Q тендеуі орындалуы үшін:
U' = — J P(x, y)dx + <p\y) =Q(x, y).
dy
Соңгы теңдіктен фСу)-ті тауып, алдыңгы тендікке қойып U(x,y)
функциясын табамыз. Сонда U{x,y) =С (11.16) тендеудің жалпы
интегралы болады.
11.63. e~ydx +(1 —xe~y)dy =0 тендеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі. Берілген жагдайда Р{х,у) =е~у, Q(x,y)=l—xe~y болгандықтан Р'У =-е~у, Q'(x,y)
=-е~у
ягни
Р'
Q
'
.
Сондықтан
берілген
*
*
327
тендеудің сол жағы кейбір U(x,y) функциясыньщ толық дифферен
циалы
U’ =е~у, U'= 1
тендіктері орындала,
тендіктердің біріншісін интегралдасақ
je ydx + (p(y) немесе
U(х,у)
+ф(у), мүндағы ф(у) кез келген функция. Шарт
U'y= \—xe у болу керек, яғни —хе~ +Ф'(у)=1. _ фТу)=1=*ф(у)=у+-с
_-Yv / .л Сонымен U(x,y) =хе~у+ц{у)=хе~у+ у +с.. Демек, тендеудің жалпы
шешімі хе у+ у+ с= с2 немесе хе у+ у =с, мүндағы с- с —с
Тендеулердің толық дифференциалды тендеу екендігін анықтаңыз
жэне жалпы шешімдерін табьщыз:
11.64. (2x+y)dxJt-(x+2y)dy—Q.
11.65. (Юху —8y-l)dbt+(5x2—8х + 3)dy=0.
11.66. (2x + ex,y)dx + ( l - - ) e x,ydy = 0.
У
11.67. 2xcos2ydx+(2y—х 2sin2;y )dy =0.
11.68. (12х+5у—9)c6rl-(5x+2y—4)а[у=0.
11.69. (Зху2—х 2)dx+ (Зх2у —6у 2—\)dy=0.
11.70. On у ~ 2x)dx + (—- 2y)dy = 0.
У
/ sin 2х
. . ,
•71. ( -------- \-x)dx + (y
У
sin x
)dy = 0.
у
11.72. Коши есебінің шешімін табыңыз.
Зх2еу+(х2еу—1)у'=0, у (0)=1.
дифференциалдық тендеулердің жалпы шешімдерін
табыңыз:
/
У
У
11.73. y = - + t g ± .
Х
X
11.75. (у —х 2у )xdy + dx =0
11.77. (xy+ \)ydx= xdy.
11.74. / - - = x2.
x
у у ctgx =2xsinx
tgydx + tgxdy =0.
dx
+ 3x = e 2y.
11.80.
dy
11.79. ( x + y ) - (y-x)y'= 0 .
dx
11.81. — = tgydy.
11.82. x(lnx —lny )dy —ydx =0
11.83. y'cosx+vsim ^l.
11.84. y /—2y=ex—x.
11.85. у +
2y
2Jy
11.86. ( x + x y 2) - ( y + y x 2)y'=0
COS X
11.87. xy’ = y + ^ x 2 + y 2
328
§ 3. Жоғары ретті дифференциал,
3.1. Pen төмендетілетін дифференциалдық теңдеулер
а) У(п)=/(*),
тендеушщ жалпы шешімі
(11.17)
;у j d x \ d x . . ] f ( x ) d x + j ± ^ + ~ l x
(11.18)
+... + сп,
/1-2
у - ( п - 1>!І/ ( ' )<Х‘ ' Г ' Л + ( ^ + ^ Г 2 ) ! + - +с«-.д: + с. ( і1 1 9)
формулалармен табылады . Мүндағы cv cv ...,cn ерікті түрақтылар,
п =2 болганда
х
я—
1
_ м
У = } f (ОС* —t)dt + с,х + с2, х0 е (а,Ь ) .
(11.19’)
б) Ізделінетін функция мен оның (к—1)-ретке дейінгі туынды­
лары аиқьш түрде кірмейтш
Ғ(х,у (к),у (*+1>,... ,у ("))=0
( 11.20)
теңдеудің ретін у <к)=р(х) алмастыруы арқылы к бірлігіне төмендетуге
болады: F (х, р , р р (я~*>)=0. Егер соңғы алынған тендеудің жалпы
шешімі Р(х)=(р(х,с1,с2,...,сп_к) болса, оүщлу (к)=і^ х , с х,с2,...,сп_І) , яғни
а) түрдегі теңдеуге келтіріледі.
п =2 болғанда Ғ(х, у ' , у ")=0 больпт у '-р(х) алмастыруы арқылы
Ғ(х, р, р ')=0 бірінші ретті теңдеуге келтіріледі.
в) Тәуелсіз айнымал айқын түрде кірмейтін
Ғ(У, У ' , - » У м ) = 0
(11.21)
тендеуі у =р (у) алмастыру арқылы реті бірге төмендетілген тендеуге
келеді. Бүл алмастыру үшін
у - Ф d y _ ғ d p 3,- _ d p d y d p t p d 2p d y _
dy dx
dy
dy dx dy
d y 2 dx
(dp 1 |
dy
2 d 2p
dy
T.C.C.
n = 2 болғанда y'= p(y) алмастыру арқылы F (y, p, p — ) = 0
dy
цеуі шығады.
Гөмендегі теңдеулердің көрсеті
шарттарды
қанағаттандыратын дербес шешімдерін
11.88. Г - -----I " 1cos х V4 )
22—219
14
2
329
Шешуі. Бұл есеп 3.1а жағдайға келеді. Алдымен тендеудің жалпы
шешімін табамыз: у' = f y"dx = f —
J
J COS X
= tgx+cl; қайталап интеграл-
дасақ, у = j ydx = J (tgx+ c, )<ir = - In |cos jc| + c,jc + c2. Енді дербес шешімді табу үшін бастапқы шартгарды пайдаланамыз:
.
1п2
yf2
п
(л , , ,
.
.
у — = ---- = - In------He, —+ с,;у — 1= 1= 1+ с. => с, = 0, с, = 0
л 4)
2
2
14 2 U
1 1
2
Демек, берілген Коши есебінің шешімі у = —1п|со&х|.
11.89.у' ” (
»У(°). = X;УФ) = 2;у'(0) = -1.
(х+2 )
11.90. у’ = з*»у(1) = 2; у'(1) = 1; у'(1) = 1.
х
11.91. y"=4cos2x; у(0)=0; у'(0)=0.
11.92. у"= х+ 3; у(2)=4; у'(2)=3.
Теңдеулердің жалпы шешімдерін табыңыз:
11.93.sin4xy'"=sin2x.
11.94. y"=xsinjc.
11.95. / " + - / ' = \
тендеудің y(l) = -^,y'(l) = ^,y"(l) = - l басx x
2
2
тапқы шартгарды қанағаттандыратын дербес шешімін табьщыз.
Шешуі. Бүл есеп 3.16 жағдайға келеді, өйткені мүнда у пен у '
жоқ. у"=р(х) деп алсақ, у "'= р ' болады. Онда берілген тендеу
Л
I
p' h---- = —r түріндегі бірінші ретті сызықтық тендеуге келеді. Бүл
X X
тендеудің жалпы шешімі: р{х) = — j + • Бастапқы шартты ескерсек,
/7(1)=у"(1)=-1=-1+С,, бүдан С,=0. Демек, у ' = — ү - Бүдан
JC
,
у ' = —-у + С 2 • у,(1) = ~ бастапқы шартты ескерсек, С2= 0 болады.
Тағы бір рет интегралдасақ у = — —+ С3 больш, у (1) = — бастапқы
2х
2
.
.
.
, 1
шартты ескерсек С = 1. Сонымен ізделщді шешім у —1
2x.
Тендеулердің жалпы шешімдерін табьщыз:
11.96. у " +у 'tgx =sin2x.
11.97. у =(y ")2.
11.98. х 3у " + х 2у ' =1.
11.99. у "xlnx=y
330
11.100. 2 х у " = у \
11.102. х у " у " ()пу'- \п х ).
11.101. х у + у " —X —1=0.
11.103. (1+х 2)у'= (у' )2+ 1=0.
Теңдеулердің берілген бастапқы шарттарды қанағаттандырушы
5ес шешімдерін табыңыз:
-» у х2
11.104. у = 1 — , y(2) = 0; y'(2) = 4.
У
11. 105. (1+x 2)y " + (у' )2+ 1=0, y(0)=y '(0)= 1.
11.106. x y " - y ' = x V , y( 0 )= -l; у '(0)=0.
11.107. 2(y')2=(y—l)y" тендеудің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Мұнда 3.16 жағдай, өйткені х жоқ. у '~р(v ) деп белгілесек
•
/ чФ
У ~ Р(У)~г
av
теңдеуге
боламыз: 2р2 = ( у - \ ) р ^ - немесе р 2 р - ( у - 1 ) Ф
0. Бүдан: р =0
dy
dy
немесе — = 0, яғни у=С, бұл шешімдердің бір үйірі;
dx
2р- ( у - 1 ) ^ = 0 ^ ^ = ^ - ^ 1 ] п \ р \ = ]п\у-1\+\пС,
yfp = С,(у-1)=> p = C2( y - l ) 2.
р —у ' екенін ескерсек, у (х) функциясына қатысты
= С2(у -1 )2
ах
бірінші ретті тендеуі шығады. Айнымалыларды бөліп интегралдаймыз:
Jdx + C2=>-— ----- = х+С2 = > --г = (х + С2)(у 1)
1
немесе С, =(х +С2) ( у - 1) , мүндағы С.
С2
Тендеулердің жалпы шешімдерін табьщыз:
1
11.108. (2у +у Чу " =(у у .
11.109. / =
11.110. у 3у " + 1=0.
11.111. у у " + у - (у')2=0.
11.112. у у "-2 у у '1 п у - (у')2=0. 11.113. у "tgy=200211.114. (у~1)у"=2(уУ.
11.115. 2уу " -3 (у'У =4у>.
Теңдеулердің берілген бастапқы шарттарды канағатгандыратын
шешімдерін табыңыз
331
11.116. у "=£?*, у(0)=0; у'(0)=1.
11.117. у"=2у(у')2(1+у2), у(0)=0; у'(0)=1.
11.118. у у " - ( у У = у \ у(0)=1; у '(0)=0.
11.119. 2уу "+ у2- ( у ')2=0, у(0)=у'(0)= 1.
3.2.
Коэффициенттері түрақты сызықтық біртекті n-ретті
дифференциалдық теццеулер
Коэффициенттері айнымал сызықтық біртекті л-ретті
L„\y\=y (n)+Px(x)y(*~Х)+р2(х)у (я~2)+...+ря(х)у =0, хе (а,Ь)
(11.22)
дифференциалдық теңцеудің жалпы шешімі
УI С,у1(х)+ С2у2(х)+...+ Спу п{х)
111.23)
түрінде болады. Мүндағы р{(х),р2(х),...,рп(х) ~{а,Ь) аралығында үзіліссіз
функциялар; С,,С2,...,СЯ- еркінтүрақтылар;у1(х),у2(х),...,уя(х) ~(а,Ь)
аралығында сы зы қты қ тәуелсіз функциялар, яғни
а іУ10*:)+ оу 2(х)+ ^—+ anye(JC)s 0> а< х< b тепе —теңцік тек барлық
а= 0, /=1,2,...,« болғандажэне тек сонда ғана орындалады.
Енді (11.22) тендеуіндегі р.,р„...,р коэффициенттері
онда
шеішмдер
к п+ р 1к п~х+р2к п~2+ . . . + р = 0
(11.24)
сипаттаушы теңдеу жәрдемімен табылады. Алгебраның негізгі
теоремасы бойынша (11.24) тендеудің дәл п шешімі бар.
а) (11.24) сипаттаушы тендеудің нақты к{ түбірі m-еселі болса,
онда оған сәйкес т сызықтық төуелсіз дербес шешімдер:
ух—екіх, у = х е кіх, y = x 2ekix,...,ym=zx m~lekix
(11.25)
Дербес жағдайда нақты к 1,к2,к3,...,кп түбірлер әр түрлі болса,
оларға сөйкес дербес шешімдер:
у,=е*\х, у = е І¥ , у = :ек?,...,у= екі/с,
-оо <*<+<*>
(11.26)
б) (11.24) сипаттаушы тендеудің комплекс түйіндес к —а ±/ Р
түбірлері ди-еселі болса, онда оған сөйкес 2т сызықтық төуелсіз
дербес шешімдер:
y^e^cospx, y3=xe“cos(3x, у = х 2e“*cosPx,...,
у ,2m -l =x'”-1ea*cosRx,
r* 5
/1 1 9 7 4
y2"= e<KSin^x, y4"=xearsinpx, y6"= x 2e°“sinpx,...,
||
'
У 2m" = X m^ 1e t“ s i n P x , — ° ° < X < + o o ,
11.120.
2y"+5y'+2y=0 дифференциалдық тендеудің жалпы
шешімін табу керек.
Шешуі. Бүл тендеудің (11.24) сипаттаушы теңцеуінің 2к2+5к+2 =0
түбірлері £,=-2, &2=—. (11.26) тендіктер бойынша сызықтық
it ft.
Г*
1
1
төуелсіз дербес шешімдері У \ - е х, у2 = е 2 функциялар болып,
_2х
332
—
(11.23) теңдік бойынша берілген теңдеудің жалпы шешімі
1
у = с,<Г2' + с # * болады.
11.121. у " -2 у '+ у =0 дифференциалдык тендеудің у(0)=4, у '(0)=2
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешімін табу керек.
Шешуі. Бұл теңдеудің к2—2&+1=0 сипатгаушы теңдеуінің
шешімдері к = к 2—\. Сондықтан (11.25) теңдіктер бойьшша сызықтық
тәуелсіз шешімдері у,=е*, у=хе* болып, ал у =ех( С,+ С^х) функциясы
(11.23) тендік бойьшша жалпы шешім болады. Жалпы шешім мен
оның туындысы у '=е*(
С2) функциясына бастапқы
шарттарды қойсақ, С,=4,С1+С2=2 тендеулер жүйесі шығады. Бүл
жүйеніңшешімі С= 4,С=—2. Осымәндердіжалпышешімгеқойсақ,
ізделінген дербес шешімді аламыз: у= ех(4~2х).
11.122. у"+6у'+13у=0 дифференциалдык тендеудің жалпы
шешімін табу керек.
Шешуі. Берілген тендеудіц £2+6£+13=0 сипаттаушы тендеуінің
түбірлері к= —Ъ±2і комплекс түйіндес сандар. (11.27) тендіктер
бойынша сызықтық тәуелсіз шешімдері y1=e_3xcos2x, y2=e_3jtsin2x
функциялар болып, оньщ жалпы шешімі у =e~ix{C,cos2x + C2sin2x)
болады.
11.123. у"+2у'+2у=0 тендеуініц (0;1) нүктесінен отуші жэне
осы нүкгедегі жанамасы у =х+1 түзуі болатын интегралдьщ сызығьш
табьщыз.
Дифференциалдык теңцеулердің жалпы шешімдерін табьщыз:
11.124. у " —у '—2у=0.
11.125. у"+24у'+144у =0.
11.126. у " -у '-6 у =0.
11.127. у"-7у'+10у =0.
11.128. у " ~ 5у =0.
11.129. у"-22у'+121у =0.
11.130. у"-4у'+20у=0.
11.131. у"+15у'=0.
11.132. у ”+49у =0.
11.133. у" +7у '=0.
11.134. у"-49у=0.
11.135. у"+20у'+19у =0.
11.136. / • + 2S y + 7 У = 0.
11.137. у " —у '—12=0.
11.138. у"+4у'-7у=0.
11.139. у"-9у'-10у=0.
11.140. у"+16у=0.
11.141. у"+2у'—2у=0.
11.142. у " —4у'+10у=0.
11.143. у"+3у =0.
Дифференциалдык теңдеулердің көрсетілген бастапқьі шарттарды
қанағаттандырушы дербес шешімдерін табыңыз:
11.144. у"+4у'+29у=0; у(0)=0; у'(0)=15.
11.145.4у"+4у'+у =0; у(0)=2; у'(0)=0.
11.146. у"-2у'+10у =0; у(0)= 1; у '(0)=0.
11.147.4у/,-4у'+Зу =0; у(0)=6; у'(0)=10.
11.148. у " - 2 у '+2у
у(0)=0; у'(0)=1.
11.149. у"-2у'+3у=0; у(0)=1; у "(0)=3.
333
11.150.
у
у "+4 у ' 4у —0 дифференциалдық теңдеуінің жалпы
шешімін табу керек.
Шешуі. Бүл дифференциалдық тендеуінің (11.24) сипатгаушы
теңдеуі к г- к 2+4к~4=0 болып, оның түбірлері к,= 1, к=2і, к = -2 і.
Өиткеш
к 3- к 2+ 4к-4= к\к-1)+ 4(к-1)= (к-1)(к2+4).
(11.27)
тендіктер бойынша, осы түбірлерге сәйкес сызықтық тәуелсіз дербес
шешімдері у^—е*, у = cos2x, y3=sin2x болады.
”
**
тендік бойынша берілген теңдеудің ізделінген
жалпы
С,ех+ C2cos2x + C3sin2jc.
11.151. у (4>—6 у(2)+9—0 дифференциалдық тендеуінің жалпы
шешімін табу керек.
Шешуі. Бершген дифференциалдық теңдеуінің сипатгаушы теңдеуі
к4- 6 к 2+9 =0, оның түбірлері: к = >/з , т=2, к = - S , т = 2 яғни 7з
пен - 7з екі еселі нақты түбірлер, өйткені к4~6к2+9 =(к2- 3)2=0.
Осы түбірлерге сәйкес сызықтық тәуелсіз дербес шешімдер.
(11.25) тендіктер бойьпшіа: у, = ё ^х, у2 = хе^х, у 3 = е~^х, у4 = хе~^х.
Онда жалпы шешім: У = е (С, + С2х ) +e'Sx (С3+ С4х).
Дифференциалдық тендеулердің жалпы шешімдерін табьщьіз:
11.152. у м + 9 у"'=0.
11.153. у'"+9у'=0.
11.154. у -З у '~ 2 у =0.
11.155. у™+10у"+9у=0.
11.156. yw+2y"'+y"=0.
11.157. у<4>+18>>"+81у=0.
Дифференциалдық тендеулердің дербес шешімдерін табьщыз:
11.158. у'"+ у'= 0 , у( 0)=2; у '(0)=0, у ' \ 0)=-1.
11.159.
_у(0)=0; у'(0)=1, у"(0)=0; /"(0)= 1; у<4)(0)=2.
11.160. у'"+2у"+10у'=0, у( 0)=2; j>'(0)=1, у"(0)=1.
3.3.
Коэффициенттері түрақты сызықтық біртекті емес л-ретті
дифференциалдық теңдеулер
а) Коэффициенттері айнымал сызықтық біртекгі емес п-ретгі
Ln\y\=y(n)+P, (х)у (n~l)+p2(x)y <^2)+... +рп(х)у =/(*)
(11.28)
дифференциалдьпс, тендеудің жалпы шешімі
У~ >’(дс) + 3'о W = С,у, (дг) + С2>>2(* )+ ...+ С „ (х) + у0{х)
(11.29)
түрщде болады. Мүндағы у (x)=C1y,(x)+C2y2(x)+...+ Ctyn(jc) функцияСЬІ А,( У )=0>а < х< Ь сызықтық біртекті {/{х)Щ тендеудің жалпы
шешімі, ал у0(х) (11.28) тендеуінің қандай да бір дербес шешімі.
Px(x),P2(x),...,Pn(x),f{x) функциялары (a,b) аралығында үзіліссіз.
б) Түрақтыларды вариациялау әдісі. (Лагранж әдісі)
334
#
теңцеуге
^„\У]=У(П)+Р\ (х)У {п~1)+Р2(х)у іп~2)+...+Рп(х)у =0
тендеудің іргелі шешімдер жүйесі yvy2,...,yn (сызықтық төуелсіз
функциялар) белгілі болса, онда (11.28) біртекті емес тендеудің у0(х)
дербес шешімін табуға болады. (11.28)-дің жалпы шешімі:
п
У-С , (*)Уі + С2(*)у2+... +Сп( х ) уп =
С , ( jc) у ,
түрінде ізделінеді.
М
Мұндағы C(.(x),(/=1,2,...,/j) белгісіз функциялар мьша тендеулер
жүиесшен анықталады:
U
п
п
X Сі (*) Уі ( jc) = 0 ,^ Q ( j t ) у. (X) -
1=1
1=1
0 ,..., У
1=1
С\ (х) yjn~2) (л) = О,
(11.30)
п
X
с/
(*)
Уі
i=i
(*)=f М
Бүл жүйеден С'(х)=ф.(х) табыльш С, (х) = j <р, (x)dx+Ci болады.
п —2 болганда у "+ру '+ду = /(х) теңдеудің жалпы шешімі, сөйкес
біртекгі у "+ру '+qy =0 тендеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері у,(х)
жэне у2(х) болса, у= С 1(х)у1(х)+С2(х)у2(х) түрінде ізделініп, белгісіз
С,(х),С2(х) функциялар
с;(х)ух+С2\х)у2=0, с;(х)у'+ C2'(x)y2'=f(x)
(11.31)
тендеулер жүйесінен табылады. Яғни С,'(х)=ф1(х), С2'(х)=ф2(х).
Осыдан Сі (х)= \(pl (x)dx+Cl,C2(x)= \(p2(x)dx+C2 . Сонда жалпы
шешім:
У = (J Рі ( * ) + с і ) Уі (* )+ (J V* (•*)
+
с
2
) Уг С*) •
(11.32)
мүндағы С„С2 -ерікгі түрақтылар.
в)
Анықталмаған коэффициентгер әдісі. (11.28) теңдеуде р1,р2,...,рп
коэффициентгері түрақты болсьш және оң жағы
f(x)=ewc[ Рт(фсофх + QB(x)sinPx ]
(11.33)
түрінде болса, мүндағы Рт(х), Q„(x) сэйкес т-ші және п-ші дөрежелі
көпмүшелер, а мен р түрақты сандар, онда дербес шешім
у0—х
р л(х)со$Рх+ Q j(x)sinPx ]
(11.34)
түрінде болады, мүндағы р s(x), Q s(x) дөрежесі s=max{m,n}-re тең
коэффициенттері белгісіз көпмүшелер, г саны Z,n[>>]=0 біртекті
теқцеудің (11.24) сипаттаушы теңдеуінің к= а+ф түріндегі түбірінің
еселігі: егер к=а+і$ саны сипаттаушы теңдеудің түбірі болмаса, онда
г=0; к=а+ф саны сипаттаушы тендеудің екі еселі түбірі болса, онда
г =2
т.с.с.
335
г)
ал
болады
функциясы L \ y ] = f A x ) теңдеудің
Функциясы L \y]=f Лх) тендеудің
функциясы L \y]=f (x)+f Лх) теңдеудің дербес
///
11.161. у
tgx тендеуінің жалпы
Шешуі. Бүл теңдеудің оң жағы (11.33) түріндегі функцияларға
жатпайды. Сондықтан
__ __ ______
///
вариациялау әдісін пайдаланамыз. Берілген тендеуге
+ у '= 0
біртекті тендеудің жалпы шешімі Д В.+ C,cosx
_____ + Qsinx болады
өйткені к 3+к=0 сипаттаушы тендеудің түбірлері к=о]к=і, к
I.
Демек, ізделінетін шешім j; = C1(x)+C2(x)cosx + C3(x)sinx: түрінде
функциялары
табылады
;'(х)+ С2'(х)cosx+ C3'(x)sinx =0, - C/(x)sinx+ C/(x)cosx =0,
C2(x)cosx - C3'(x)sinx =tgx
теңцеудің екі жағын sinx-қа көбейтіп, үшінші теңдеуді
cosx-қа көбейтіп қоссақ С/(х) sinx шығады
sm х
теңдеуге
cosx
қоссақ C'(x)=tgx болады
тендеулер жүйесінің шешімі
СЛх)
теңцеулерді
In cosx + Cj, С2(х) —cos х + С2, с (х) = sin х —In
Сонымен ізделінді жалпы шешім:
У —С, + С2 cos х + С3 sin х —In cosx
К
к х
+ с3.
‘8І 4 + 2
X
+1
,t8U X
11.162. Түрақтыларды вариациялау өдісін қодцанып, Коши есебін
шешіңіз:
1
; у(0) = 1, у (0) = 2.
У -У
l +e
Түрақтыларды вариациялау әдісін қолданып теңдеулерді шешіңіз.
.
1
11.164. / + 4 у
cos 2х
11.166. у"-у'= e^cose*
1
11.163. у "+y'=tg2x.
11.165. у"+4у'+4у=е~:2х\пх
11.167. у " l y '+6у =sinx.
11.169. / + у
sinx In
11.168. У + У
co sx
1
cos IxJcos 2x
11.170. у " З у ' + 2 у - ( x 2+ x ) ^ . теңдеуінің жалпы шешімін табу
керек.
336
Шешуі. Алдымен у "—Зу '+2у =0 біртекті тендеудің жалпы шешімін
табамыз. к —ЗА:+2=0 сипаттаушы теңцеудің түбірлері к {= 1, к =2
болғандықтан біртекті теңцеудің жалпы шешімі у = С 1ех+С2е2х
болады.
Енді біртекті емес теңцеудің дербес шешімін іздейміз. (11.33)
тендікті ескерсек, а=3, (3=0, т=2 а +/(3=3+/-0=3 бақылау саны
сипаттаушы теңцеудің түбірі болмағандықтан, г=0 болып, дербес
шешімді у0- х ^ Ц ^ 2+Atx +А2) түрінде іздейміз. Мүндағы Ап,А,А,лер белгісіз коэффициенттер. у0',у" туьшдыларьш тауып, у0,уа',)п//
функциялардьщ өрнектерін берілген тендеуге қойсақ және &хф 0 ге
қысқартсақ, мына тендеуге ие боламыз:
2Af 2+(6А0+А1)х+(2А0+ЗА1+2А7)= х 2+х
х-тың бірдей дәрежелерінің алдындағы коэффициенттерін
теңестірсек, белгісіз коэффициенттерге қатысты тендеулер жүйесі
шьпады:
2А= 1; 6А0+2А=1; 2Ад+ЗАІ+2А1=0.
БҮЛ жүйенің шешімдері: ^=0,5; А = - 1; А = 1. Демек, дербес
шешіму0—0,5х2—х —\ болып, ізделіңці жалпы шешім (11.29) формула
бойынша у= у +у0=С1е*+С2ё2х+(0,5х2- х - 1 ) ё )*болады.
11.171.
y"+4y=4(sin2x+cos2x) теңдеуінің у (п)=у'(л)=2п
бастапқы шарттарды қанағаттандыратьш дербес шешімін табу керек.
ІІІешуі. Бүл дифференциалдық тендеудің к 2+4=0 сипатгаушы
тендеуінің түбірлері к =±2 і болғандықтан сәйкес біртекті тендеудің
жагшы
sin2x болады. Бақылау саны а +ф=2і
сипаттаушы тендеудің бір еселі түбірі болғандықтан біртекгі емес
теңдеудің жалпы шешімш у0=х(В cos2x + С sin2x) түрінде іздейміз. у0
және оның у0',у0" туындыларын берілген теңдеуге қойсақ,
-4 5 sin 2 x + 4C cos2x = 4cos2x + 4sin2x теңцік шығацы. Бүдан
c°s2x пен sin2x функциялардьщ коэффициенттерін теңестірсек:
С=1. Демек, дербес шешім y0=x(sin2x-cos2x) болып, берілген
біртекті емес тендеудің жалпы
у = у +у0= C cos2x + Csin2x +х (sin2x —cos2x )болацы. Енді
«ас і апқы шарттарды қанағаттандьфатын шешімді іздейміз. Ол үшін
жалпы шешім у пен оньщ туындысы:
г,
У’- - 2 C,sin2x + 2 С2cos2x +х (2cos2x +2sin2x )+(sin2x -cos2x)
функциялардағы х-тің орнына я-ді қоямыз:
271=С^—я, 2л=2С2+2п- 1=>С,=3я, С2=0.5. С, мен С2-лердің бүл
мәндерін жалпы шешімге қойсақ, ізделінді шешім шығады:
у =3rccos2x + 0,5sin2x +х (sin2x —cos2x).
'
11.172. у "~4y '+4у = x ё* теңдеуінің жалпы шешімін табу кеоек
337
Шешуі. к 2—4к+4=0 сипаттаушы тендеуінің к =2 саны екі еселі
түбірі, сондықтан сөйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі:
у =е2х(С,+ CjX).
Бақылау саны а+/В =2+/0= 2 сипаттаушы тендеудің екі еселі
болғандықтан, біртекті емес тендеудің дербес шешімш (11.34)
теңдік бойынша У0= х 2е2х(Ах Ь В) түрінде іздейміз. у0мен оньщ У0',У0"
туындыларьш берілген теңдеуге қойьт, е2*-ке қысқартьш х-тің бірдей
дәрежелерінің алдьшдағы коэффициенттерін теңестірсек а = —,В = О
6
і
шығады. Демек, дербес шешім у0 = —х е х . Онда бершген тендеудің
6
жалпы шешімі:
2 Лх
У = У+ Уо = (с і + С2х)ех + \ х2е
О
Біртекті тендеулердің сипаттаушы тендеулерінің түбірлерін жэне
/ (х) оң жагы бойьшша біртекті емес тендеулердің дербес шешімдерінің
түрін анықтаңыз:
11.173.
11.174.
11.175.
11.176.
11.177.
11.178.
11.179.
к = 1, к =2, f ( x ) = a gx 2+ a lx + a r
A:j=0, к =2, f i x ) = a 0x 2+ a lx + a r
к =2, k = 3 \ f ( x ) = e x.
к =2, k = 2 ; f ( x ) = e * .
к =1, k = l ; f ( x ) = e * .
k = 1, fc2= 2 ;/(x ) = cosx + sinx.
k = —2i, k = 2 i \ f ( x ) =cos2x + sin2x.
Сызьщтьпс, біртекгі емес тендеулердің дербес шешімдерінің түрін
анықтаңыз:
11.180. у " ~ у = 2 .
11.181. у "+у = х .
11.182. у "+2у '+у =<**.
11.184. у "+4у =sin2x.
11.183. у "+2у '+у = е~ \
11.185. у "+2у ' + у = cosx.
Тендеулердің жалпы шешімдерін табыңыз:
11.186. / + / = - .
11.187. у " —9 у = 2 —х .
11.188. у"+у'=ё*.
11.190. у " - у ' = 4 + х .
11.192. ,y"+^=cosx.
11.194. у " + 7 у ' + 2 0 у = е х.
11.196. у " - 2 у '~3 у =х2.
11.198. у " - 6 у ' + 9у = е 3х.
11.200.у " + 3 у '= 1 .
11.202. у " + 2 у ' = 1 - х .
11.204. у " - у = 2 х .
11.189. у" -4у'= 4 е* х.
11.191. у " + у = sin5x.
11.193. у " + 3 у ' + 2 у = 3 ё 2х.
11.195. у " + 9 у = cos3x.
11.197. у " -9 у =(*.
11.199. у " + 100^ = sin2x.
11.201.у " + 2 у '+ у = е ~ х.
11.203. у "~у '+ у =~ 13sin2x .
11.205. у " - 6 у ' + 5 у = х 2.
338
11.206. у "+2.y'=36cosx.
11.207. у"-2у'+у=4е*.
11.208. у"+ у= 6sin2x.
11.209. у "-4j;'=-12* 2+ 6х~4.
11.210. у"+у'=3.
11.211. у " —у =4е*.
11.212 . у " —3у'+2у=е~х(4х2+ 4х—10).
11.213. y (4)-y= 5exsinx.
11.214. у w+2y"+y=x2cosx.
11.215. у (5)+у = х2—1.
11.216. y {A,)—y=5e*smx+xA.
11.217. y (5)+4y'"=e2+3sin2x+l.
Теңцеулердің көрсетілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын
дербес шешшдерін табыңыз:
11.218. у " - 9 у = 2 - х ; у (0)=0, у'(0)=1.
11.219. у "+4у =2cos2x; у (0)=0, у '( 0)=4.
1 1 .220 .у"+ 4 у'-1 2 х2-2х+2; у ( 0)=0, j>'(0)=0.
11. 221. у ,"+2у"-һу'=-2е~2х;у(0)=2, у'(0)=1, у'(0) = 1.
11.222. у " '-3 у '= 3 (2 -х 2); у (0)=1, у'(0)=1, у"(0)=1.
§ 4. Шеттік есептер
f( x ,y ,y ',y " ) = О
(11.35)
а-0У(а)+$оУ'(а)=А'’ v-xyib)+$xy'{b)=B
(11.36)
түрщдегі есеп екшші ретті дифференциалдық тендеулер үшін (а,Ь)
аралығында қойылған шеттік есеп деп аталады. (11.36) шарттар
жалпы түрдегі шетгік шарттар, мүндағы А, В және а0,Р0,а. ,р. барльпы
бірдей нольге тең емес берілген сандар. А —В —0 болса, (11.36) шарттар
біртекті шеттік шарттар деп аталады. Осы сияқты жоғары ретті
тендеулер үшін де шеттік есептер қойылады. Шеттік есептер шешімге
ие болмауы да мүмкін. Шеттік есептерді шешу үшін: а) берілген
дифференциалдық теңцеудің жалпы шешімі табылады; б) (11.36)
шетгік шарттар бойынша Сх, С2түрақтыларды табатын жүйе алынады;
в) осы жүйені шешіп (егер шешімі болса) шеттік есептің шешімі
алынады.
11.223. у " —у ’—0 теңдеуінің у(0)=3, у(1)~у'(1)=1 шеттік шарт­
тарды қанағаттандыратын шешімін табу керек.
Шешуі. Берілген біртекті теңдеудің сипаттаушы тендеуі к 2- к =0
болып, оның түбірлері £,=0, к 2=1. Сондықтан жалпы шешім
у - С, + С2е х болады. С,,С2 түрақтыларды шеттік шарттар
орыңдалатыңцай табамыз. у'=С2е х екендігін жөне х=0 мен х=1
нүктелердегі шартгарды ескерсек: С,+ С= 3, С,+ С2е - С2е =1.
С,+С2=3,С, +С2е - С 2е = 1. Бүдан С = 1, С =2 шығады. Демек,
шеттік есептің ізделінді шешімі: у —1+2ех.
Шеттік есептерді шешіңіз.
11.224. у " + у ' - 1; у Щ = у '(тс)=0.
11.225. у " + у '= 1; у (0)=у (я/2)=0.
339
11.226. у " ~ у = 0; у(0)=0, у(2тг)=1.
11.227. у " - у = 0; у(0)=0, у(1)=1.
11.228. у " + у = 0; у'(0)=0, у \ 1)=1.
11.229. у " + у = 0; у'(0)=0, у '00=1.
§ 5. Бірінші ретті дифференциалдық тендеулер
жүиелері
y 2=f2(x,y,y2,...,yn),... ,yn'=fn(x,y,y2, - ,y „ )
УW - y 10^2(■*■()) У20’’"’Уrfao) Уn0
(11-37)
(11.38)
түріндегі есеп бірінші ретті нормаль дифференциалдық тендеулер
жүйесі үшін қойылған Коши есебі (бастапқы шарттары берілген есеп)
деп аталады. (11.37) нормаль жүйенің жалпы шешімі:
у,=Ф,(х, CVC2,..., CJ, у = ф2(х, Ср С2,..., С ),...
(11.39)
••■>Л= ФЯ(Х>С1>С2>->Ф
мүндағы айнымал хе (а,Ь), ал СХ,С2,...,Спқайсыбір аймаққа жататын
еркін түрақтылар. (11.37)-(11.38) Коши есебінің шешімін табу үшін
Ф,(*0,С,,С2,..., С„) у,д5ф2(Хф,Ср С2,..., С ) у2qj...
Фn{xQ,Cv C2,...,C^=yn0
(11.40)
жүйені Cv C2,...,Cn түрақтыларға сәйкес шешіп, табылған С,=С10,
С = С 20,...,С = С п0 сандарды (11.39) жүйеге қояды. Сонымен Коши
есебінің шешімі:
Уі Ф|(х,Cjq)С2^,...,Сл0), у 2 ф2(х, С,0, С20,..., Ся0),...
(11.37)
•••>ДУІ Ф„(*>vmmЧго’"‘>V.Jj
Нормаль жүйенің жалпы шешімін табудың негізгі әдістерінің бірі
белгісіз функцияларды шығару жолымен белгісіз функциялардьщ
біреуіне байланысты /г-ретгі тендеуге келтіру.
11.230. 5z'—2 y '+ 4 z —y=e~x, z '+ 8 z—3y=5e~x
тендеулер жүйесінің z(0)=l, у(0)=2 бастапқы шарттарды қанағаттандыратьш дербес шешімін табу керек.
Шешуі. Теңдеулерден у-ті шығарамыз. Екінші теңдеуден
y = —( z +&z —5e *),бүдан У = ~ (z* + & z '+ 5 е
Осыөрнекгер-
ді бірінші тендеуге қойсақ белгісіз z (х) бойьпшіа z " + z '~2z —~4е~х
екінші ретті сызықтық біртекті емес тендеу шығады. Бүл теңцеуге
сәйкес z " + z '~ 2 z = 0 біртекті тендеудің к 2+ к ~ 2=0 сипаттаушы
теңдеуінің түбірлері к —1, к = —2 болғандықтан, біртекті тендеудің
жалпы шешімі z = С 1ех+ С 2е~2х болады. а + /р = 1 + /0 = —1 бақылау
саны сипаттаушы тендеудің түбірі болмағандықтан, дербес шешімін
z^= Ae~x түрінде іздейміз.
340
Z^=Ae-* жөне і^ = ~ л
е л, ^ Ае х өрнектерді біртекті емес
Ае
теңцеудің сол жағына қойсақ А =2 болады. Онда тендеудің жалпы
шешімі: 7 ,J ■~2е2х+2ех
С.е* -2С1е~7х—2е~х екендігін ескеріп z
~ ■— ,
пен z '-тердің өрнектерін у =(z '+Sz~5e~x)/3 тендікке қойсақ:
y = 3 C iex+2C2e~2x+3e~x, z = clex+c2e~2x+2e~x. Сонымен берілген
тендеулер жүйесінің жалпы шешімі: y = 3 C .e x+ 2 C 2e~2x+3e~x,
—
X
—
X
Z = C .ex+ C 2e~2x+ 2 e
Енді
пайдалансақ С, мен
1, МО)
С2-лерге қатысты сызықтық тендеулер жүйесі шығады: 1=С,+С2+2;
2=ЗС,+2С2+3. Бүл жүйенің шешімі С = 1, С2=-2.С, мен С2 -лердің
осы мәндерін жүйенің жалпы шешіміне қойсақ у =3ех~4е~2х+3е~х,
z —^ ~ 2е~ъ +2е~х ізделінді дербес шешім шығады.
Біртекті тендеулер жүйелерінің жалпы шешімдерін
11.231.
dy
= -y-4 z
dx
dz
2y + 5z
dx
11.233.
dy_
y+z
dx
dz
2 V+ 4z
dx
11.235.
11.237.
dy
dx
dz
dx
11.232.
dy_
=-y-z
dx
dz
2y + 3z
dx
11.234.
dy_
dx
dz
dx
2 y-3 z
11.236.
3y + 2z
dy_
У
dx
dz
= 4 x -3 y
dx
11.238.
dz
11.239. - ~ x - 2 y - z \ ± . = - x + y + z;
dt
dt
dt
11.240. ^ = 5 x + 2 y -3 z\
У- Z
4y + Az
dy
= -y + z
dx
dz
y-3 z
dx
dy
4y - z
dx
dz
= 2z + y
dx
z
= 4 x + 5 y - 4 z ; Ц- = Ь х + 4 у -4 г.
dt
dt
dt
Біртекті теңцеулер жүйелерінің дербес шешімдерін табыңыз:
34 1
11.241.
dx
It
dy
dt
y(0) = 0,z(0) = l.
x+y;
jt+5y; x(0)=3, y(0) = 1
11.242. *L = x +3y; ^
dt
11.243.
11.244.
dt
dy
dt
dz
~dt
dx
~dt
dy
dt
11.245.
3x—2 v;
jc(0) = 1, у (0) = 0.
4x + 7 v;
x + 2 y;
x(0) = 0,y(0) = l
2л-5 у,
=
- x-t л ( о ) = у ( 0) = г( 0) = 1.
dt
dl
dt
, , _ . , dx
dy
d
11.246. — = y + z,— z + x , ^ = x + y ; x (0 ) 1 1 (0 ) 1 2,1 (0)
dt
dt
dt
1.
Біртекті емес тендеулер жүйелерінің жалпы шешімдерін табыңыз
dy
dx
1
11.247
ДГ+ -7 + ІПt.
У\
.
~dt
dx
11.248
~dt
dt
t
dy
y-5cosf;
It
2x + y
11.249. — = 2 x + y + 2e'\ ^ = x + 2 y - 3 e 4'
dt
dt
11.250
11.251
11.252
11.253
11.254
dx
~dt
dx
~dt
dx
dt
dx
~dt
dx
lit
dy
У+ П -Г
dt
2
t
x+e .
dy
у + tg2f -1;
dt
x I tgt.
1
1
dy
3jc+ у H----4 Inf;— = - x + y + t
dt
i
dy
3 x + 2 y + 3e ;
dt
dy
у + cos t;
dt
t
x + 2 y + e2'.
1 x.
342
dx
dy
dt
dx
dt
11.255. — + у = cos t ;— + x = sin t.
,
dy
_
11.256 — + 5x + y = e ;— + Ъ у - х = e
.
dt
11.257.
dt
2 x - 4 y + 4e 2r;—
dt
~dt
2 1
2x —2y
11.258. — = 2 x - y , — = 2 y - x - 5 e ' s i n t
dt
11.259
11.260
dt
dx
2 x + y - 2 z - t + 2;
~dt
dx
dy
dt
dz
x+l:
dt
X +y-Z-t + 1
dy
2x + 3y + 4 z - 3 f , — = -6дг+7у + 6г + 1 -7 л
dt
~dt
dz
dt
x —у + z +1.
§6. Дифференциалдык теңцеулерді қатарлар
жәрдемімен интегралдау
(л))=0 дифференциадцық тендеудің шешімін, егер
оныц қүрамындағы барлық берілген функциялар жинақталушы
дөрежеліқатарғажіктелсе, С0+ С 1х + С 2х 2+...+ С х п+... дөрежеліқатар
түрінде іздеуге болады. Бүл шешім анықталмаған коэффициентгер
әдісімен табылады. Қатарды дифференциалдап у ' , у ^ (л)
туындыларды табамыз жэне олардьщ өрнектерін берілген тендеуге
қойьш, х-тіц бірдей дәрежелерініц алдындағы коэффициенттерді
тецестіреміз де, дәрежелі қатардыц белгісіз коэффициенттерін
анықтаймыз.
Коэффициентгерді басқаша табуға болады. Ол үшін берілген
тендеуді кезекпен д и ф ф е р е н ц и а л д а п шамаларды
есептеп. у (х) функциясыныц Маклорен қатарына жіктелуін жазуға
болады.
11.261. у '= у + х теңдеуінің у (0)=1 бастапқы шартты қанағаттандырушы дербес шешімін дәрежелі қатар түрінде табу керек (х4не дейін).
Шешуі: Ізделінді шешімді
У =У (х)=с0+с,х +сгх2+с3х 3+...+с х л+... түрінде іздейміз. Осыдан
с0= у (0)= 1.
Бүдан 3; /= с ,+ 2 с 2х +3CjX 2+ 4 с4х 3+ .. .+ л с пх л-1+...
у жэне у '-тердің өрнектерін берілген тендеуге қойсақ:
сІ+2с2х+Зс3х 2+...+яс/іх"“1+...=с0+(с1+1)х+с2х2+с3х2+...спх я+...
х - тің бірдей дөрежелерініц коэффициентгерін теңестірсек:
Ғ(х, у, у
у
343
4с
3’
4с
1/3,
1/12.
Демек, ізделінді шешім (х4-не дейін) келесі түрде болады:
,1+ Х + X 2 + -1Х з + —1 X +
У
3
12
Дифференциалдық тендеулердің берілген бастапқы шарттарды
қанағаттандырушы шешімдерінің дәрежелі қатарға (х-тің көрсетілген
дәрежесіне дейін) жіктелуін табыңыз:
...
U .262. у '= у ; у(0)= 1.
11.263. у ' = х 2—у 2; у (0)=0. (х7-не дейін).
11.264. у ' = х + х 2+ у 2\ у (0)=1. (х3-не дейін).
11.265. у " + х у =0; у (0)=1, у'(0)=0. (х6-не дейін).
11.266. у " = х 2у ; у (0)=1, у'(0)=1. (х5-не дейін).
11.267. у " = х у '—у + е х; у(0)=1, у'(0)=1. (х 4-не дейін).
11.268. у " - х у ' - у = 0; у(0)=1, у'(0)=0.
11.269. { \ + х 2)у " + х у '—у —0\ у(0)=1, у'(0)=1. (х4-не дейін).
11.270. у "—х у '—у + 1; у (0)=v '(0)=0. (х 5-не дейін).
ЖАУАПТАР
Iтарау
1.2. А={ 0;1;2}. 1.3^4={1}.1.4^4 ={1;2;3;4}.1.5. А = {—2;—1;0;1;2}. 1.6.Л={5,6,7
1.8. А и В = { - _ ;0;1},л п й = {0; 1}, А \ В =
f VI I 1 ’ '
\ А = {0 }. 1 .9.Л и Я = {-1 ;0; 1;2},
5 ^ = { 0 }. 1.10./4иД={—1;0;1;2;4},у4п5={0},у4\5={2;4},
сыныптағы оқушылар жиыны: ЛиДЛпЯ={ 0 Ы \# = А В\А=В.
У !4А Н ® }^
{10; 15К 5V4=<5;7;9}' ЫЗ.^иЛ={о;й;с;^е},
,С^’ 5 V4-W;«>- 1-14.^и^{1;2;3}^^={3},/і\5={2},Д14={1}. 1.15.
u
^ 1 ;2},Лг\Я={_ 2 ;2 },Л\£={0 }, 5 \Л={ 1 }. 1.30. а) ең кішісі жоқ, ең үлкені 1ге тең, б) жоғарғы шекараларының жиыны ( 1 ;+°°); төменгі шекараларының жиыны
(
8орХ~1;. т£Ү=0.1.31. max X = ^,min X -жоқ, supA^l/3; in£Y=0. 1.32. тахХ=2,
тііъ Г = -2, supA'=2; infX=-2. 1.33. maxJf=l, тіпЛГ=-7, supA'=2; infX=-7. 1.34.
m
.
sup/=0; іп ^ -ж о қ . 1.35. тах^ -ж оқ , тіпХ -ж оқ, supXжоқ inlX -0. 1 36. тахДГ-жоқ, mmJf=-2; su p j= l; inOf=-2. 1.37. maxJ-ж оқ ,
mmX жоқ, supA^-1; mOf-O. 1.38. тахХ -ж оқ, тігьҮ-жоқ, supA'=l; infJT = -l 1 .39.
" ^ 7 I ^ nXZ ^ ° ^ f UpX=2; іп№ -жок- 1-40.шахЛг—жоқ, штДГ=1 ; вирЛГ-жоқ,
11.45. х 0. 1.46.x—±3. 1.47.x = —1/ 2 . 1.48. шешімі жоқ. 1.49. х = —2 1 50
* --Л/2+2АЛ,Лг^Д 1 *±2 ,... 1.51. х=0,4, х=2. 1.53. ~3,1<х<-2,9. 1.54. 4< х < 6. 1.5s!
5~
’ *-13. 1.56. х< 3/2. 1.57. 0<х<0,5. 1.58. х<1, х>3. 1.59. х < -1 ,5 х>0 25
1.60. —1<х<5. 1.61. 2<х<5. 1.62. х<0; 0<х<3. 1.63. х < -4 ; х>4. 1.64. х < - 1 165
а >0 болса ~а<а; а <0 болса а < - а . 1.66. (—2;41;[1;2); (-2:1)- 1241 1 67 і—2-41Г0-11I 2;0);(і;4]. 1.68.[ 5;2];| 3;0);[ 5; 3);[0;2].1.69.[0;4);(1;3); [0;1]; [3;4] 1.70.^—І;+с«);
(2;4]; ( ~;2]; (4;+»). 1.71.(-3;5);(2;4); (—3;2];[4;5). 1.73.Л = [0;1/3]и [1/2;1]. 1.74.
А = [0 ;1 /3 ]и [1 /2 ;1 ]. 1-75.[1/2; 1]. 1.76.[0;l/2)w { 1}. 1.80. 8 ;-9 ;-1 .1 .8 1 .а )-2 ;2 .б )
7,7.1.82.а)—7;7. б)—4;4.1.83. а)5;5.б) 7;7. 1.84. а) —8. б) 0. 1.85. а) —8. б) + 2 в) —15
1.86. а ) - 5 ; 3 б) -5;-3. в) -5;7. 1.87. а) [ - 1 ;1 ]; б) (1;3]; в) [1;2]. 1.88. а) ( - ~ ; - 1 ) и
(-1;+~); б) (—~;2]и[4;+°о); в) (-~;1/3)и(1/3;+~).1.89. а) [ 1 ;5]; б)
1.90. а)
[4;6]; б) (-оо;3]и(5;+«.). 1.91. а) (2;3); б) (-1 /2 ;+ « ). 1.92. а) ( 4 - е ; 4 + е); б)
( - о ° ;4 - г ) и ( 4 + £
Щ і Л Гл.5Лл
-t-оо
2
/
2
уі5: 2 J 2
1/л/ІЗ
шы ауданының нөлге тең екендігін көрсету керек. 1.104.13 кв.б 1.106. 13 5 1 107
|0/1|=6; |05|=14.1.111. (4;0),(5;2). 1.112. (1;4). 1.113. (13;16). 1.114. (3;-4>» (1:10)*
І І*Л '115'13' 1Л16,
І П 7 * (2;—4), (—1;Д), ( —2;—2). 1.118.(5;—3), (1;—5)!
1.119.(1;-3),(3;1),(-5;7). 1.120. Д -3;1). 1.121. (6;3;20/3). 1.122. (4:-1;3). 1.123. (2 -1 (0:1:'2)- ХЛ1АЛ ,Л25- С( 1;5 ;2 )-д (3;2;1),Ң 5;-1;0)Л 7;-4;-1). 1.126.
( 1-2,4), В{&, 4, 2). 1.127. Параллелограммның терпнші төбесі келесі нүктелердің
біреуінде
жатады:
0 ,( - 3 ; 4 ; - 4 ) ,
£>,(1; - 2 ;8 ),
Z>,(5;0;—4 ).
1.131.
А ф , Щ , Я(0;4),С(0;-3),Z)(0 ;- 4 ). 1.132. А(2;п/2), В( 1;я),
Ң2;к/3). 1.133. d =
q2;5jt/6), £ ( Л ; 5я / 4 ),
+ р\ - 2р,р5 cos(<p2 - <р, ). 1. 134. 9(17-4>/3) кв.б. 1.135. 5кв.б.
1.139. 9+/95. 1.140. 7+ /. 1.141. 5 1 . 1 4 2 . - 2 - / 2 . 1.143. 5 -/1 2 . 1.144. -2 + і2 .
1 . 3
1 . 2
1.145.xJ+ y J. 1 .1 4 6 .- 7 - /2 4 .1.147.7+/. 1 . 1 4 8 . - - * - - 1 . 1 4 9 . - - + *“ • 1.150.- 4 6 + /9.
1.151. 159 + ' 169* 1Л52- 1025 _ , I025* 1Л53‘ T + , ~5~‘ 1Л54' 4 (1 “
1Л55*
1.156. /. 1.158. p=l; ф=0. 1.159. p=l; <р=я. 1.160. p=l; <р=я/2. 1.161. p=l; ф=—я/2.
V
Т
*
‘4
_
2
1.162 . р = 2уІ2\<р = ж / 4 . 1.163.р=5; <р=-я/2. 1.164. р = >/l3;^> = a r c t g - - 4. 1.165.
р = 5yf2\<p = -ж /4 . 1.166. р = 2yf5\q> = arctg2.. 1.167. р=2; ф = -я /6 .1.168. р=2003; <р=0.
1.169.р=2; ф=—я/3. 1.170. р= 12; <р=тс/2. 1.171. р = >/3 - l;q> = ж. 1.172. р=5;
p = a r c t g |- ж. 1.173. р=1; <р=я/6. 1.176. -1 . 1.177. 1. 1.178. /. 1.179.64. 1.180.4(1-/).
1.181. - / . 1 .1 8 2 ./8 . 1.183.512(1-/4/3).
г2 = /;г3 B
1 .1 8 4 .- 3 2 -/32-Л . 1.185. - 1 . 1.187.
p l f l 1 - 1 8 8 .* = 2<?'<'^ * * >, * = 0 ,1 ,2 ,3 .
1.189.
г*=
==! ^ ( Co s ^ ^ i ^ + / Sin £±М £),А : = 0,1,2,3,41.190.^ i f e 3 = - 1 ± / Л . 1.191.z,=-l;
20
20
г23 = і ± / > / 3 / 2 .
* 2
С
л ^ ля
ктс а
1.193.
1.192.
А:=0,1,2,3,4,5. 1.194. г* = cos
3
х = і 2, х
/2 . 1.197.
1.199. х 1,2
1±/2. 1.200. дс,.2 =
jc,
+ / sin
3
3 5
;* = 0,1,2. 1.195. x = i 5 , х = —/5. 1.196.
3
=-1;Xjj
х 23 = 1 ± Щ 3
7 = c o s — + /s in
кп
1.198. х к = 2е'( 9+3**’,Л = 0,1,2,3.
±/^Р-- 1.201. х , = 2 ' , х гз = —1± /-Л
4
1±/2.
1.204.
х1
>
2
=
(-1
+
у/2)
±
i
j
2
;
х
,
=
(
3,4
1
±/Л
-V 2 )± /7 2 .;
Хз4=±/ >/5.1.209. (х-5)(х+5).1.210.(х-/5)(х+/5).1.211. (* -1 )(х 2+4). 1.212. (х + 1 )(х -2)(х+2).1.213. (х+2)(х2+1). 1.214. (х -2 )(х 2+16). 1.215.(х-1)(х+1)(х2+1). 1.216. ( х -2 )(х + 2 )(х 2+4). 1.217. (х -3 )(х + 3 )(х 2+9). 1.219.1п2+/я(1+2А:).1.220. \ \ п 2 + Қ ^ + 2 к к ) .
1.221.
1п5+/п(1+2А:).1.222.
1
1 п З + /я (1 + 2* ).1.223.
1
3
^ 1п2+/я( ^ + 2 к ) . 1.224.
1
I I тарау
2.4. 2. 2.5. - И . 2.6. - 3 . 2.7. 2. 2.8. ЗхН . 2.9. - 1 . 2.10. 2а. 2.11. 1. 2.12.2a d - b c . 2.13
3. 2.14.2. 2.15. 0. 2.16. -2 0 . 2.17. x fr2- ^ ) . 2.18. - 4 a 3. 2.20. 180. 2.21. 0. 2.22. 10
(-4 36'
2.23.-1800. 2.24. - 8 . 2.25. 0. 2.26. 48. 2.27. 223. 2.28. - 3 . 2.29. 6. 2.31.
2.32.
2 5-3
-6 7 - 8
-3
BA =
7
-4
10
- 9 10
2.33. 22 11 - 2 3
- 1 2 - 6 40
(-7
-1
2- A
-3 - A
5
2.34.
0
с -1
'5
-3
2.37. A B = (-1), &4 =
-4
,1
-10
6
8
-2
346
2
2 3
3
.2.36. Afi =
4
5
J’
- 2 -A
15 0>
-9 0
.2.38. A B =
-12 0
3 0>
, BA = жоқ
20 40
2.39.AB = \°o jj |,BA =
-1 0 -20
1 0
0 1
=BA
. 2.42
1 3
. 2.49.
2 4
2.48.
2
-5
'-34
8
2.40. AB = I 5 2 1 , BA = ( 29 22 1. 2.41. AB
7 0Г
31 -24
(II -22 29
2.43.
9 -27 32 . 2.44. (5 “ 19 5). 2.45. 7. 2.47.
13 -17 26 /
3 2 K
0 -5 J*
/ -3
(0
12
1 ) ‘ 2,S2' f - 2
. 2.55. f 2
3
11.5 -0.5
2
1
-3 - 1
(-1
-2
,
9
-y
8
9
7
9
Г
9
2
9
2
1
9
9yl
'
2.64.
2
9
-0.5 0.5 0 >
0.5
0
0
. 2 . 66.
-0.5 0 0.5
-0.5 -0.5 0.5 0.5,
9
1
2
1
12
1
, 4
24
2
2
,9
9
9 ,
9
7
24
5
4
1
r3 1 г
2
. 2.69. 1 1 0 . 2.70.
9
ІІ 0
1
1
19
9
19
13
19
. 2.62.
0
0.5
0
2
1
f 1
13
fl
9
2
9
3.5 ' ’ 2-53‘
-x
-z
1 1. 2.56.
. 2.57. A 1жоқ. 2.59.
f 16
9
-f)
14
0 .2.61.
9
2,
1
\
1
2
r 7
3
5
2
-2
19
10
19
25
19
3]
19
3 -2)
-8 6 5 . 2.60
-7 5 - 4 /
-4
19,
[ 7
3
5
1
.• 2.67.
12
л
Ш W
2
-2
2
-1
1
V
3
1
3
J
f
-11
3
. 2.71.
>
2.68
1
J
m
1
1
. 2.54.
-1 0 o N
0 1 -1 0
11
. 2.63.
0 0 1 -1
19
18
0 0 0 1,
w
2
V2 -1
A
fl
1]
24
7
24
2
3
19
60
3
40
11
60
23
, 60
1
1
4
5
1
8
1
1
10
1
4
5
1
1
10
4
13>
60
1
40
17
60
11
60 j
2.73. 1. 2.74. 2. 2.75. 2. 2.76. 2. 2.77. 2. 2.78. 3. 2.79. 2. 2.80. 2. 2.81. 3. 2.83. 2. 2.84.
2 . 2.85.3.2.86. 2. 2.87. 3. 2.88.2. 2.89.3. 2.92.(-3;l).2.93.(>/3;4). 2.94. (2;-3). 2.95. 2>/5;2.
j
( • 2 Л
(2a + \ я + 4 ^
2.96. \ - b - j a ) , a b * 0 .2.97. ( у Т г ;? T 2 J 2.98.(16;7).2.99. (2;3). 2.99a. ( 1;1). 2 . 100.
(2; 1;1). 2.101. (3;1;-1). 2.102. (-1 ;—3;4). 2.103. (-l;3;l). 2.104. (—9;—10;13). 2.105.
347
(—7;7;5). 2.106. ( 1 / 2 ; 2 ; 3 / 2 ) . 2.107. (1;1;1). 2.108. (2;3;1). 2.109. (—1;0;1). 2.110.
( 1;—1;2). 2.111. (l / 6;13 / 30;1 / 3 0 ) .2.112.(2;—1 3).2.113.(2;3;4). 2.114. (1;2;-3). 2.117.
а + Ь Ь + с а + с ) . 2.118. (-1;3;2). 2.119. (1;5;2). 2.220. х, = 1 + Xj + дс,;(2;1;0).
Т "’ 2 1 2
2.121. х 3 = 2хх + Зх, - х 4 - 2; (0;0;-3;1). 2.122.х]= -1 + 3 х 3+5х4;х2=3+4х 3-7 х 4;(4;-4;0;1).
2.123. х 3 = 0;х4 І х, + х2;(2;-3;0;-1). 2.124. х 3 = Зх, + х2 + х4;(1;2;5;0). 2.125. jc3= 11х,—
—1lx,—11; х4= —8х,+8я^+8;(2;1;0;0). 2.126. Үйлесімсіз. 2.127. (1;-2;1). 2.128. х,=х2= х4’0
х4; (2;2;-2;2). 2.129. х =-2х,+2х 4,х ,= -х 2- х 4;(0;1;-2;1;0). 2.130. х,=0, х = х ~ 2 х .
0;(0;2;4;0;1).2.131 jc2= - x ,+12 x4,x3= - xi+7 x4^ 5= x4;(8 ;4 ;-1 ;1 ;1 ).2 .1 3 2 .(-1 ;-1 ;-1 ;-1 ).
-5х3)/3; (7;4;-1;3).
2.133.x. = 5 - 2 х 3, х2 = (4 -5 х 3)/3 ,
2.134. (1;5;2).
2.135.(—1;3;2).2.136.(1;2;3;4). 2.137. Үйлесімсіз. 2.138. (5;4;3;1;2). 2.139. (1;1;-1;1).
2.140. (2;1;1;1). 2.141. (1 ;-4 ;2 ;-3 ). 2.142. (2;-1;2;1). 2.143. (0;0;0). 2.144. *■ = - у * , ;
х2 = y jc ,; (-18; 10;7). 2 .1 4 5 .x = -2 х 2-З х 3; (—2;1;0). 2.146. (0;0;0). 2.147. х, = хг - 2 х )\
(0;2; 1).
2 .1 4 8 . а = -2 де үй л есім сіз,
1
х, = х, = х, = а + 1; я = 1
а * 1,а * - 2 болганда жалғыз шешім
де жалпы шешім х1 = 1 - х 2 - х 3. 2.149. а Ф 0 , а Ф —3
2-а 2
2 а —1
д 3 + 2 а2 —а —\
л
л ^ __ _ ~
болғанда х, = —-----—, *2 =
х, =
-“ — ; л = 0 , а = 3 болғанда үилеа(а + 3) ’
а(а + 3)
а(а + 3)
сімсіз. 2.150. а Ф 3 болганда жалғыз шешім; а
а = —3 ,6 = 1 /3
хх = х,
ф -3,Ь ф
1 /3 болганда шешім жоқ;
болганда - шексіз коп шешім. 2.151. а Ф 1, а Ф —3 болганда
1
= х3 = х4 = —— ;
а = 1 де х } = 1 - х 2 - х ъ - х 4; а ==-3 те үйлесімсіз.
IIIт а р а у
3.4. АВ - { - 4;3;—l}, ВА = {4;-3;l}.3.5. АВ = {2;3;6},|^Ш| = 7, cos а = 2 /7 , cosp=3/7,
cosy=6/7. 3.6. г=±3. 3.7. N (4;l;l).3.8. (—1;2;3). 3.9. x = j 2 ; y = l ; z = = |- l . 3.10. 1)
жасайды; 2) жасамайды; 3) жасайды. 3.11.1) жасамайды; 2 ) жасайды; 3) жасамайды.
3.12. 60° немесе 120°.3.13. а = {l;-l;%/2} немесе а = |l; - l; - > /2 j . 3.14. Л/,(V3;n/З;%/3),
а + А =20. 3.19. а + А = а - Ь =13.
73;-л/3)
3.20.
a + b\ = у/129
1 11,4;
|о -А | = 7.3.21.
|а + 1 = Щ 1 4,4; ||1 1 1 7. 3.26.
1)
{1;—1;6>; 2) {5;-3;6}; 3) {6;-4;12}; 4) {1;—1/2;0>; 5) {0;-2;12}; 6) {3;-5/3;2}. 3.28.
а =4;Р = —1. 3.29. \АВ\ = 2 \CD\, олар бірдей бағытталған. 3.30. a + b = 6 ; a - b =14.
3.33. l)-7; 2)13. 3.34. a= ± 3/5. 3.36. ф,=90°; ф2=135°. 3.37.a= -6. 3.38. cosq>=5/21.
3.39. 45°. 3.40. arccos(--). 3.42. x = {-24; 32; 30} . 3.43. x = {l;0,5;-0,5} . 3.44
x = - 4 / - 6 j + 12к . 3.45. x
. 3.46. x = {2
348
2J + 3 j - 2 k
3.50. l ) - 6 j; 2 ) - 2 k ■ 3)6/ - 4 j - 6 k . 1) 6 ; 2 ) 2 ; 3)2 >/22 . 3.51. Л *8-6 бірлік.
A = V^2 .4.52. l)2 (jfc-/); 2 )2 a X c ; 3 ) a x c ; 4)3.3.53. a x ft =15.3.54. a x ft =16.
3.55. a b = ±30. 3.56. 1)24; 2)60. 3.57. 1)3; 2)27; 3)300. 3.59. 1) {5;1;7}; 2) {10;2;14};
3){20;4;28}.3.60.1){—6;-4;—6};2){—12;8;12}.3.62. abc = 33.363.4.3.64. K=7/6. 3.65. K=20.
3.66.±27.3.69.—7. 3.70.1) компланар; 2) компланар емес; 3) компланар. 3.72.3. 3.73.11.
ІУтарау
4.2. у4р Л 4, Л 5, с ы з ы қ т ь щ бойында жатады; А1, А3, А6 сызықтың бойында жатпайды.
4.3. а) >4,(0;—5), ^(OjS), /?,(—3;—4), В2{—3;4), С(5;0); х —1 болатын нүкге жоқ; б)
Ах(—4;3), Л2(4;3), 2?(0;—5), у = —% болатын нүкте жоқ. 4.4. 1) I жэне III ширек
координаталық бүрыштардың биссектрисасы; 2) х=2, Оу осіне параллель түзу, 3)
Оу осі. 4.5. 1) х = —3, Оу осіне параллель түзу; 2) у = 5, Ох осіне параллель түзу; 3)
у = ~ 2 , Ох осіне параллель түзу; 4) Ох осі. 4.6. 1) х=0, у —х түзулерден түратын
сызық; 2) у = 0, у ——х түзулерінен түратын сызық; 3) х= 0 (Оу осі), у = 0 (Ох осі)
түзулерінен түратын сызық. 4.7. 1) у=х, у = —х түзулерінен түратын сызьіқ; 2) у = 3
және у ——3 Ох осіне параллель түзулерден түратын сызық; 3) х = 2 және х = —2 Оу
осіне параллель түзулерден түратын сызық. 4.8. 1) Оу осіне параллель х= 3 және
х= 5 түзулерінен түратын сызық; 2) Сһс осіне параллель у ——1 жэне у = —4 түзулерінен
түратын сызьпс,; 3) у = 0 (абсцисса осі) Оу осіне параллель; х = 2 және х = 5 түзулерінен түратьш сызық. 4.9. 1) j>=x(x>0), у ——х(х<0) екі сәуледен түратын сызық; 2)
х~у(у>0)9 х = —
екі сәуледен түратын сызық; 3) у + х =0 (х> 0 ) және
у —х = 0(х<0) сәулелерден түратьш сызық. 4.10. 1) у+х=0(у>0) және у —х=0(у<0)
сәулелерден түратын сызық; 2 ) у = х —Цх>\) жэне у = —х ( х —\)(х< 1) сәулелерден
түратын сызық; 3) у= х+2(х>—2) жэне у =~(х +2)(х< —2) сәулелерден түратын сызық.
4.11. 1) Центрі 0 (0;0) нүктесінде, радиусы 4-ке тең шеңбер; 2) Центрі
(2;1)нүктесінде, радиусы 4-ке тең шеңбер; 3) Центрі (—5;1) нүктесінде, радиусы
3-ке тең шеңбер. 4.12. 1) Центрі (1;0) нүктесінде, радиусы 2-ге тең шеңбер; 2)
Центрі (0;—3) нүктесінде, радиусы 1-ке тең шеңбер. 4.13. (3;0) нүктесі; 2) (0;0)
нүкгесі; 3) ешқандай сызықты анықтамайды (жорамал сызьпс.). 4.14. 1) а) (7;0),
(—7;0); б) (0;7); (0;—7). 2) а) (0;0), (6;0); б) (0;0), (0;—8); 3) а) (-10;0),(-2;0); б)
сызық Оу осімен қиылыспайды. 4.15. 1) сызық координаталық осьтермен
қиылыспайды. 2) а) (0;0), (12;0); б) (0;0), (0;—16); 3) а) сызық Ох осімен
қиылыспайды; б) (0;—1),(0;—7). 4.16. (2;2), (—2;—2). 4.17. (1;—1), (9;—9). 4.18. j>± х = 0
түзулері. 4.19. х ± а —0 үзулері. 4.20. у ± Ь = 0 түзулері. 4.21. х —j>=0 түзуі. 4.22.
ү*2
х+.у=0түзуі. 4.23. х —1=0 түзуі. 4.24. у —2=0 түзуі. 4.25. х 2+у 2= 8 . 4.26. — + д>2 = 1.
х^
4.27.х у =2. 4.28. У = - j - х + 2. 4.29. а) С(2;-3), Д=4; 6) С(4;0), R= 4; в) С(0;-2),
R=2. 4.30. а ) |т +
= 1,0) у I
= 1 . 4.32. 1) 2 х -З у + 9 =0; 2) Зх-.у =0; 3) у +2=0.
4.33. 1) Зх+4>> —12=0; 2) 2х+>>+5=0; 3) х + З у —2=0. 4.34. 1) к = 5, 6 = 3; 2) к = —2/3,
6 =2; 3) &=—5/3, />=—2/3. 4.35. 1) к = —3/2, 6=0; 2) к=0, 6=3; 3) анықталмайды.
4.36. 1) -5 /3 ; 2)3/5. 4.40. а) к = 3, 6=4; б) * = -5 /3 , 6 = - 3; в) к = 0, 6=3/2. 4.41.
ч
УІЗ ^
Ш
а)у = — х;б)у = х\в)у = V3x;г)х = 0. 4.42. у —7=0; х -5= 0. 4.43. а) к/ 4; 6)0; 4.44.
у = 3 х —5. 4.45.
а)
2 х + 5 у —13=0;
5)
349
5 х —2>> —11=0. 4.47.
й) — + ~ - 1,
—
4 о
б )—+ — = 1, в) “7 + -^г = 1, г) х + -"т = 1-4.48. х + у ~ 8 = 0 . 4.50. г),д),е)-нормаль тең3 -4
-5 -2
2 -5
деулер. 4.51. а) \ х + ^ ү У ~ 4 = 0,6) - ^ х + ^ - у - 2 = 0 . 4.52. я ) | х + ^ у - 2 = 0,
+
- 3 = 0.4.53. я ) - х - 6 = 0 , б ) - ^ х + -^->>-4 = 0 4.54. 2;1;0. 4.55. 5,2.
4.56. 49 кв. б. 4.57. 16. 4.58. ^ ) | jc+ ^ - 4 = 0, б ) - - ^ х + ^ ^ - 4 = 0 .4.59. 0,4; 2,2.
4.60. а) к /4 ; б)<р=0; 4.61.x —у +3=0 не Зх+.у—11=0. 4.62.4х+3,у—30=0,Зх—4у—10=0,
4х+3.у—5=0. 4.63. а) З х -7 ^ -2 7 = 0 ; б) 2х-3 ^ -1 3 = 0 ; в) у +3=0. 4.64. Л=18°26',
Я=26°34', С=135°. 4.66. х 2+.у2=9. 4.67. ( х -2 ) 2+0>+3) 2=49. 4.68. ( x - 6 ) 2+tv+8) 2=100.
4.69. (х +1 )2+0> —2)2=25. 4.70. ( х - 1 ) 2+Си-4) 2=8. 4 .7 1 .(х -1 )2+^2=1. 4 .7 2 .(х -2 )2+ ( у - 1 ) 2=25. 4.74. а) С(5;—2), R= 5; 6)С (-2;0), # = 8 ; в)жалғыз (5;-2) нүктені анықтайды.
4.75. а) С(0;5), R= >І5; б)С( 1;—2), Я=5; в) тендеу жазықтықта ешқандай геометриялық бейнені анықтамайды. 4.76. а) жалғыз (—2;1) нүкгені анықтайды; б)С(—0,5;0),
Л=0,5; в) тендеу жазықтықта ешқандай геометриялық бейнені анықтамайды;
г)С(0;-0,5), R=0,5. 4.77. а) жоғарғы жарты жазықтықтағы радиусы R= 3, центрі
0(0,0) нүктесіндегі жартышеңбер; б) төменгі жартыжазықтықтағы радиусы R= 5,
центрі 0(0,0) нүктесіндегі жартышеңбер. 4.78. а) сол жартыжазықтықтағы радиусы
R=2, центрі 0(0,0) нүктесіндегі жартышеңбер; б) оң жартыжазықтықтағы радиусы
Л=1, центрі 0(0,0) нүктесіндегі жартышеңбер. 4.80. а = 2; 6= 3, с = уі5, ҒД0;—V5),
Ғ2(0;л/5), e=V 5/3. 4.82. f^ + y = 1- 4.83. f j + y = 1- 4.84.
—2
,2
„2
,,2
-.2
_.2
v-2
4.85.
2
,,2
2
— + ^ - = 1.4.86.
+ — = 1. 4.87.
+ — = 1. 4.88. — + ^ = 1. 4.89. £_ + Z_ = i
25 16
100 64
169 25
4
49
9
25
4.90. — +
= 1 4.91. тгт +
= 1 . 4.92. а) 3 жөне 2; б) 2 жэне 1. 4.93. а) 5 жәнеі;
25 169
64 100
б) д/і5 және ^/з . 4.94. а)5/2 және 5/3; 6)1/3 жөне 1/5. 4.95. a) 1 және 1/2; б) 1
ж әне 4. 4.96. (-5; Зл/З) және (-5; -Зл/З). 4.97. (-2; л/2І / 2) жөне (-2 ;-V2L / 2 ) .
4" 9' ^ +
4-100-
4-101- І І + £ = 1' 4|03'
а) а = 3, 6=2; б) д =4, 6=1. 4.104. а) я=4, 6=2; б) я =1, 6=1. 4.105. а) а —5/2, 6 = 5 /
2
2
2
3; б) а = 1/5, А=1/4; в) о = 1/3, 6 = 1 /8 . 4.106. a) j g | % ~ L
2
у - у
2
{
= 1- 4.107. a)
.Э
.,$
=
>-г^ —4:
2
б) у ~ ^ = 1- »)
І -|IS| •
б) f p j j p 1- 4.108. a) fl = 3 ,6 =4; б) ^ (-5 ;0 ),
4
.F2(5;0), в) е=5/3; F2(5;0), г) у = ± -^ х . 4.109. (10;9/2) жэне (10;—9/2). 4.110. (—
= 1. 4.112. х 1—^ 2=16. 4.113. — —-^- = 1.
6;4>/3 )жэне (—6 ;—4>/3 . 4.111. ^
4.114. —----- £ - = - 1.
36
324
4.115. —— -
16
= - 1 .4 .1 1 6 .— ----- ^ - = - 1.
9
100
350
576
4.117. а =3, Ъ=4;
б)
/1(0;—5), Ғ2(0;5),
4
в)
е=5/4; г) у = ± ^ х . 4.119. у 2=6х. 4.120. у г= - х . 4.121. х 2=0,5у.
4.122. х 2= —6у. 4.123. Я(6;0), х+6=0. 4.124. 12. 4.125. 6. 4.126. (9;12),(9;-12).
4 .1 2 7 . >»j=4jc. 4 .1 2 8 . у 2=~9х. 4 .1 2 9 . x 2=j>. 4 .1 3 0 . у 2= - 2 8 х .
4 .1 3 1 .
У= ^ х2~ х + 3- 4.133. а ) ^ - + Уг =1; эллипс X = x —l, Y = y + 2. б)
+
X2 Ү2
эллипс X —х + 2 , Ү = у —3. 4.134. а) —----- — = 1; гипербола Х = х + 1 , Ү = у —2. б)
К2 Ү2
■jg- - -Q- = 1; гипербола
—3, У=^+1. 4.135. a) Y = X 2 парабола Аг=х+2, У=у. б)
У=х2 парабола Х = х+3,Ү =у-3. в) Ү=Х2 парабола Х=х-2, Ү = у - 1. 4.136. a)Ү=Х2
парабола Л^х-2, У=у—1. б) Ү—Х 2 парабола Х = х+1, Ү = у —2. в) Ү——Х 2 парабола
X 2 Ү2
X2
Х = х ~ \ , Ү = у +1. 4.137. a) -jg- н— = 1; эллипс Х = х —3, Y = y + 1. б)
— У2 = 1;
гипербола Х = х + 4 , Ү = у + 3. 4.138. Х 2+2Ү2=4. 4.139. .Af2+4P =16. 4.140. X 2- 2 Y 2=4.
X 2 Ү2
X 2 Ү2
4.141. — + — = 1; 0'(5;—2)-жаңа бас нүкте. 4.142. ~гр----- 7Г = Ь О ' ( 3;—2)-жаңа
9
4
1о
у
бас нүкте. 4.143.
JT2
Ү2
+ — = -1; “жорамал эллипс”, ешқандай геометриялық бейнені
анықтамайды. 4.144. Ү2=2Х; Х =х+2; Ү=у+2. 4.145. — + — = 1;а = —. 4.146.
16
4
4
X2 ҮІ
^ cosa= —1ғ= , sina=— 2 . 4.147. — + — = 11; кезегімен екі
—----—= 1
1, *
tga=—2,
у
4
V5
V5
16
9
алмастыру жасалады: jc—jc'—1; y = y ' + l
жэне
t
к _у
y +y
x' = — т=—*У = — т=—•
i
v2
v2
4.148.
I
ДГ2 ------= 1; кезегімен екі алмастыру жасалады: х = х ' + 2 ; у = у 1 жөне
4
,
Х-К
,
^
+
У
f
х = -j= , у = -j= . 4.149. —
-
Г2
.
'1
— = 1; кезепмен ею алмастыру жасалады:* = х + 3 ;
X —2 Y
2Х + Y
X 2 Y2
у =у '—4 жэне х' = — — , / = — — . 4 . 1 5 0 . +
= 1. 4.151. АГ2“ 4К 2=0; өзара
қиылысатын X—2 7=0; АЧ-2*И) түзулер жүбы.4.152Jf2+2 )^=0;өзгешеленген эллипс,
жалғыз (0;0) нүктені аньгқтайды. 4.153. Ү^—ІХ; кезегімен екі алмастыру жасалады:
-Ax' + 5У
-З х '- 4 V
, „ .
#
,
х = ----- -— — , у = ----- -—— жэне х = л —3 , у - / + 2 . 4.154. Х 2= \ \ параллельтүзулер
.
Ъх' - 2 у
2*' + 3 /
жубы, кезепмен екі алмастыру жасалады: х = -----= — , у = -----■ жэне
V13
у/13
4
х ' = Х + - п ^ ,у'=Ү. 4.155. ^+1=0; ешқандай геометриялық бейнені анықтамайды;
Ъх - 4 у
4х + 3 /
кезегімен екі алмастыру жасалады: * = -----------*> = ----- ------ жэне х'=Х, у '= F—4.
fcr
351
t J*
I ZfJl . Ня
ir
4.156. а )Ү 2= 2 Х - х = Х - \ , у = Ү - 2. б ) Ү = - Х г\ x = X + l , у = Ү + 1. 4.157. И _ І І = 1;
4
1
Jf2
V2
4.158. — + — = !;а =
Я
И
4.159. ЛУ=4; *= х+ 3/2, Г=у +2. 4.161. Центрі 0(О;О;О)
нүктесіндегі, радиусы 7-ге тең сфера. МрМ2,М4 нүктелері сфереда жатады; MVM5,M6
нүктелері жатпайды. 4.162. а) (1;2;2), (1;2;—2); б) мүндай нүкте жоқ; в) (2;1;2),
(2; 1;2); г) мүндай нүкте жоқ. 4.163. a) Oyz жазықтығы; б) Oxz жазықтығы; в)
Оху жазықтығы. 4.164. a) Oyz жазықтығына параллель, одан 3-ке тең қашықтықта
жататын жазықтық; б) Oxz жазықтығына параллель одан у = - 3 - ке тең қашықтықта
жататын жазықтық; в) Оху жазықтығына параллель, z = ~ 5 жазықтық. 4.165. a)
центрі 0(0;0;0) нүктесіндегі, радиусы 5-ке тең сфера; б) центрі (1;—1;2) нүктесіндегі,
радиусы 6 -ға тең сфера. 4 .1 6 6 . а) 0(0;0;0) нүктесі; б) ешқандай бейнені
анықтамайды. 4 .1 6 7 . x 2+ y 2+ z 2= R 2. 4 .168. ( x - a ) 2+ ( y - b ) 2+ ( z ~ c ) 2= R 2. 4 .169.
20^+53=0. 4.170. x 2+ y 2+ z 2=ir 2. 4.171. x + 2 z = 0 . 4.173. Аппликата oci. 4.174. Ордината
oci. 4.175. Абсцисса oci. 4.176. (2;0;0) нүктесінен өтетін Oz осіне паралель түзу.
4.177. ( 2;3;0) нүктесінен өтетін Сһс осіне паралель түзу. 4.178. (5;0;—2) нүктесінен
өтетін Оу осіне паралель түзу. 4.179. (0;—2;5) нүктесінен өтетін Ох осіне паралель
түзу. 4.180. х 2+ у 2=9. 4.181. Oxz жазықтығындағы x 2+ z 2= 49 шеңбер. 4.182. Oyz
жазықтығындағы x 2+ z 2=25 шеңбер. 4.183. z ~ 2 жазықтығындағы x 2+ z 2= 16 шеңбер.
4.185. х —2^+3^+3=0. 4.186. 5 x -3 z= 0 . 4.187. x - y ~ 3 z + 2 = Q . 4.188. x+4j>+7z+16=0.
4.189. x - y - z = 0. 4.190. Зх+Зд>+*-8=0. 4.191. z ~ 3=0. 4.192. у + 2 = 0 . 4.193. х+5=0.
4.194. 2 y + z = 0 . 4.195. 3х+г=0. 4.196. х+4*+10=0. 4.197. х - * - 1 = 0 . 4.198. 5х + у —13=0. 4.199. параллель. 4.200. параллель емес. 4.201. параллель. 4.202. параллель.
4 .2 0 3 . параллель. 4 .204. перпендикуляр. 4 .2 0 5 . перпендикуляр емес. 4 .206.
перпендикуляр. 4.207. координаталар басынан өтеді. 4.208. Oz осіне параллель.
4.209. Оу осіне параллель. 4.210. Oz осінен өтеді. 9.211. Оу осінен өтеді. 4.212. Ox
осінен өтеді. 4.213. a) Oyz жазықтығына параллель; б) Оху жазықтығына параллель;
в) Oxz жазықтығына параллель. 4.214. a) Oyz жазықтығы; б) Oxz жазықтығы; в)
Оху жазықтығы. 4.216. п/3 жэне 2п/3. 4.217. я/4 жэне Зя/4. 4.218. я/2. 4.219.
2
arccos —
ж эн е
2
л -arccos — . 4 .2 2 0 .
(12;0;0), ( 0 ; - 8 ; 0 ) ,
f + 3 + : § = 1 - 4.222. а = - 4. 6 = 3 ,6 = ^ - 4-224* 3- 4.225. >/б.
2х +2у + z =0 жэне 2 x + 2 y + z = 4 . 4.229.
4.226. 2J2. 4.227.
; х = 1 , y - - 2 + t , z= 2 . 4.230.
l z l = y ± l = 2±4.4.231. ^
=^
= ^ .4 .2 3 2 . ^
-3
-3
2
2
1 _ 3 _ 2
У
Z
.
(0 ;0 ;-6 ). 4 .2 2 1 .
* + 1 У~ 1 г + 3
—j ~ _ 2 ~ ~ 4 " ’ х = —
=
= f . 4.233.
7
4
У = 1—3/, z ~ —3 + 4 /. 4 .2 3 5 .
~ ү —= - ^ ~ = - ^ —; x= 2+ /, y = 1+4/, z = 1- 4.236.
y ~ 2,
7*1.
4 .2 3 7 .
£ z i = Z ± l = iz 3 .
V2
1
-1
4 .238 .
W
~ 5
*
1
4
,
x+2
у
г -1
x у
z+3
x-2
у
7+1
4 . 2 3 9 . - g - = y = — . 4 . 2 4 0 . 9 = f = — • 4 . 2 4 1 . “ j— = f = Ң р - 4 . 2 4 2 .
352
х -1
у + 3 Z - 5 „„„„ х - 2
V-1
7+1
2
I f = ~ ^ = - 3 - • 4-243.
= i - p = i - t i . . 4.245.к/4.4.146, «**«*
■ 4.252.
«> = arcsin— . 4.253.
(p =
| . 4.254. n/4. 4.256. £ ( | ; - | ; y ) . 4.257. £(2;-3;6). 4.258.
£(5,5,—2).4.263. Д1;4;—7). 4.264. /(3;6;8). 4.265. £ (—j j ;—y j >j"j)- 4.266. y —3z +5=0,
x = 0. 4.267. x —2^ —3=0, z = 0. 4.268. 5 x - 3 y --—
— ------------ —
---------- -- —
^
^
-
— —-
- * - 9 = 0 . 4.269. 5х+8^-6г=0. 4.270.
жасаушылар
- —
-
----------------
- д у д р и и и |и и р и р ии р р ң ^ и и и і
Оу оске параллель. 4.273. *j - ^ = ®жэне —+ ~ = 0 қос жазықтық. 4.274. Дөңгелек
ВДЛиндр, R=3, жасаушылары Оу осіне параллель. 4.275. Гиперболалық цилиндр,
жасаушылары Оу осіне параллель. 4.276. Параболалық цилиндр, жасаушылары Ox
осіне параллель. 4.277. x= ± z қос жазықтық, Оу oci бойлап қиылысады. 4.278.
Гиперболалық цилиндр, жасаушылары Оу жэне Ох осіне параллель. 4.279.
( z + 2 ) 2= 2 (x —1) параболалық цилиндр. 4.280. Эллипстік цилиндр
(дс —I)2 (у + 2)2
1 4.281. oci х= 0, у = 2 түзу болатын дөңгелек цилиндр. 4.282.
—I— I —|— в ■
г
я
(у - 1)2
Гипероолалық цилиндр
gg
( г - 2)2 , ,
— —1. 4.284. х = 0 жэне у = 0 болғанда,
нақты oci Оу жэне Ох болатын гиперболалар; z = h болғанда - эллипстер. 4.285.
х =0 жэне у = 0 болғаңда координата басынан өтетін қос түзу; z—0 болганда —
нүкте, z =А болганда 1 эллипстер. 4.286. х = 0 жэне у —0 болганда параболалар,
Z —Һ>0 болганда —эллипстер, z~ 0 болганда —нүкте. 4.287. х =0 жэне у = 0 болганда
параболалар, z =0 болганда қос түзу, I =h >0 болганда - гиперболалар. 4.288. х =0
жэне у = 0 болганда - гиперболалар; z = h , |Һ |>2 болганда - эллипстер. 4.290. Тобесі
0(0;0;0) нүктесінде болатын конус. 4.291. Төбесі (1;0;0) нүктесінде болатын
эллипстік параболоид. 4 .2 9 2 . Екіқуысты гиперболоид. 4 .2 9 3 . Бірқуысты
гиперболоид. 4.295. Центрі (1;—2;—1) нүктесінде болатын эллипсоид. 4.296. Центрі
(—2;1;0) нүктесінде болатын гиперболоид. 4.297. Төбесі (—1;1;—2) нүктесінде
болатьш параболоид. 4.299. Мх{2;-3;0), М2(0;0;2). 4.300. Л/,(4;-3;2), М2(12;3;6).
4.301. Тузу бетте жатады.
V тарау
5.2. ( 16; 16). 5.3. [-3;3]. 5.4. (-<>о;-2)и(2;+~). 5.5.(-«>;-6]и[1;~).
(0; - ) . 5.8.[—5;—1]. 5.9. (-~ ;+ ~ ). 5.10.(--;-3,5)и(2;=о). 5.11.
Ж,
5.6. [2;8]. 5.7.
. 5.13.
(-о ° ;+ о ° ).
5.14. (-оо;+оо). 5.15. ( - o o ; - l) u (-l;4)u(4;=o). 5.16.[-1;2]. 5.17. (-=о;-2)и(2;~). 5.18.
( - - ; - 1 М - 1 ; 1 М 1 ; - ) . 5.19. [1;4]. 5.20. (-oo;l)u (l;+oe). 5.21. [—4;4]. 5.22. (-~ ;+ °°).
5.23. 0;—6;4. 5.24. —1;0;1;2;4. 5.25. 0, а 3—1, а 3+ 3 а 2+3а, а 3—За 2+Зо—2, 16а3—2.
5.26. £(/)=[9;16]. 5.27. £ ( / ) = [ 4;6]. 5.28. £ ( / ) = ( - ~ ; 0 М 1;+°о). 5.29. £ ( / ) = ( 0 ; Ь .
1
5.30. £ ( / ) —[0;4].5.31.£(/)=[0;
]. 5.33. жүп. 5.34. тақ. 5.35. жүп та тақ та емес.
5.36. жүп. 5.37. жүп. 5.38. жүп. 5.39. жүп. 5.40. жүп та, тақ та емес. 5.41. жүп та,
тақ та емес. 5.42. жүп та, тақ та емес. 5.44. - у • 5.45. к. 5.46. - у • 5.47. тс. 5.48. к.
5.49. & . 5.122. - к
3
2л
5.123. -L
я2
5.124. 5 ± 1 . 5.125. „ c o s ^ ^ . 5.126.
п
2
л+Г
353
5.127. l+ (—I)". 5.128. (- 1)" і ~ ~ ү - 5.129. төменнен шенелген. 5.130. жоғарыдан
шенелген. 5.131. шенелген. 5.132. шенелмеген. 5.133. шенелген. 5.134. шенелмеген.
5 135 шенелмеген. 5.136. шенелген. 5.137. шенелмеген. 5.138. шенелмеген. 5.147.
- 5 /9 5.148. 3/5. 5.149. 1/3. 5.150. -3 /2 . 5.151. -1 /2 . 5.152. - 2 . 5.153. 0. 5.154. 0.
5.156. 1. 5.157. -1 /2 . 5.158. 2. 5.159. - 3 . 5.160. -0 ,1 . 5.161. 9. 5.162. 4. 5.163. 27.
5.164. 1. 5.165. 1. 5.166. 3/5. 5.167. к/1. 5.168. 1/9. 5.169. 2. 5.170. 1/4. 5.171. 2.
5.172. 6JT. 5.173.4.5.175. е. 5.176. е9,г. 5.177. 1. 5.178. е. 5.179. е. 5.180. е. 5.181. е.
5.182. 3. 5.183. е~ъп. 5.184. - 2 . 5.185. - 1 . 5.186. е~\ 5.213.-1. 5.214. 3. 5.215. -1 /7 .
5.216. 2. 5.217. 1/3. 5.218. 2/3. 5.219. 3/2. 5.220. - 8 . 5.221. ^ -5.222. 1/3. 5.223. 1/3.
5 .2 2 4 .-. 5.225. 1. 5.226. 1. 5.227. 15/2. 5.228. 3. 5.229. 5/2. 5.230. 1/16. 5.231. 5/3.
5.232. 4. 5.233. 3.5.234.-2. 5.235. 1/2. 5.236. 2. 5.237. 0. 5.238. оо . 5.239. - 4 . 5.240.2.
4
5.241. 2. 5.242. 1. 5.244. 2. 5.245. 7/3. 5.246. 1. 5.247. 1/я. 5.248. - .5 .2 4 9 . 2. 5.250.
0. 5.251. 1. 5.252. - 2 . 5.253. 5/4. 5.255. е~2. 5.256. е~3. 5.257. е"8. 5.258. 1/е. 5.259. е.
5.260. е. 5.261. е15. 5.262. е'°. 5.263. е3. 5.264. 2. 5.270. 0. 5.271. | . 5.272. 0. 5.273.
1/6. 5.274. оо ; 9/2. 5.275. оо ; 0. 5.277. 1/5. 5.278. 2/я. 5.279. - 1 . 5.281. е " 5.282.
6 . 5.283. 2. 5.284. 8. 5.285. 6 . 5.286. 4. 5.287. 2. 5.288. 1/7. 5.289. 4/13. 5.290. ^ .
5.291. 4/3. 5.292. -1 /3 . 5.293. 3/2. 5.294. 3. 5.295. 1. 5.296. 1/16.5.297. 1.5.298. 5/2.
5.299. 0. 5.300. 0. 5.301. оо . 5.302 • ОО S*303. - 1 . 5.304. оо . 5.305. 1. 5.306. 1/е2.
5.307. е6. 5.308. <?. 5.309. <г2. 5.310. 1. 5.311. Г*. 5.312. - 1 . 5.313. е4. 5.314. 8 . 5.315.
1 5.316. 15. 5.317. - 5 . 5.318.1/2. 5.319.-1/3. 5.320.3. 5.321.4. 5.322. 1/2. 5.323. я/5.
5.324. я/10. 5.325. 5/4. 5.326. 7/3. 5.327. 1/3. 5.328. 2. 5.329. 1. 5.330. -1 /3 . 5.331.
-2 /3 . 5.332. - 6 . 5.333. -1 0 . 5.334. 2/7. 5.335. 4/я. 5.336. 2cosa. 5.337. - ф 2- а г).
5.344. 1. 5.345. 2. 5.346.
5.347.
5.348. 2. 5.349. 2. 5350. 2. 5.351. 1. 5.352. 3.
5.353. 1. 5.354.2. 5.355. 4. 5.356. 2. 5.358. 1. 5.359.2 -5.360. 2/3. 5.361. 2. 5.362. 1/6.
5.364. т2/2. 5.365. -2 /3 . 5.366. -7 /8 . 5.367. 1. 5.368. -1 /2 . 5.369. 1/е. 5.370. -2 /3 .
5.371. Inа. 5.372. | . 5.373. ^ .5.374. cos2a. 5.375. 1 / >/3. 5.376. 0. 5.377. <х2/р2. 5.378. 2.
5.379. 5. 5.380. 1/2 . 5.381. 2/3. 5.382. 1/3. 5.383. т/п. 5.384. е. 5.385. 1. 5.386. 2.
5.387. 3/2. 5.388. т/п. 5.389. 0. 5.390. а. 5.391.
5.392. -5 /6 . 5.393. 2. 5.394.
- . 5.395. 2/5. 5.413. бірқалыпты үзіліссіз. 5.414. бірқалыпты үзіліссіз емес. 5.415.
бірқалыпты үзіліссіз емес. 5.416. бірқалыпты үзіліссіз. 5.417. бірқалыпты үзіліссіз
емес. 5.421. х = 4 -1 1- түрдегі үзіліс нүктесі. 5.422. х = ~ 3 жөнделетін үзіліс нүкгесі;
/ ( —3)=—6 . 5.423. х = 0 жөнделетін үзіліс нүкгесі; Д 0)= 3. 5.424. х = 0 жөнделетін
үзіліс нүкгесі; /(0 )= 1 . 2.425. х ,= 2 , х 2=5 2-түрдегі үзіліс нүкгелері. 5.426. х ,——2,
х = 2 2-түрдегі үзіліс нүктелері. 5.427. х = 0 - 1- түрдегі үзіліс нүктесі. 5.428. х = - 3
354
түрдеп үзіліс нүктесі. 5.429. х = 2 - 1- түрдегі үзіліс нүктесі. 5.430. х= 0
жөнделетін үзіліс нүктесі; / ( 0 )= 2 ; х =±1 2 -түрдегі үзіліс нүктесі. 5.431. х =0
жөңделетін үзіліс нүктесі; /(0)=1/4. 5.432. х= 1- 1- түрдегі үзіліс нүктесі. 5.433.
і ^ ДеГ* ?ЗМС . ^ е і 5.434. x = l - 1- түрдегі үзіліс нүктесі. 5.435. х=1,
*
тҮРДегі үзіліс нүктелері. 5.436. х = к / 4 - 1- түрдегі үзіліс нүктесі. 5.437.
* !*л
2-түрдегі үзіліс нүісгелері. 5.438. х= 0 - 2- түрдегі үзіліс нүктесі. 5.439.
х = 0 - 2- түрдегі үзіліс нүктесі.
VIтарау
1
!
6.3. Зх 20+2. 6.4. 2 ПГ 6.5. 2cos2x0. 6 .6. -2sin2x0. 6.7. - p r . 6 .8 . 4х0. 6 .9 .------- -— т .
v
°
(Зх0 + 1)
/Л - 1)=/-(1)= 0 , / +(-1 )= 2. 6.16./J (0 )= / +'(0)=0. 6.17. /_'(2)=4,/Д2)=3. 6.22. 12х2+2.
6.23.6х-4ех+5со&х—r-^ -j.6.24.1 + 3 sin х ----- ---- -6.25.-4 - log, е + - Д ____ . 10
1+ х
х
1+ х2
х 62
cos х ТГГд? ‘
6.16. 2 .3 -Ш 3 +
‘
VI - X
~Т1П +Ь +^ -6Ж
3x11х 2 х
1 _2
5у х 4
®т х
I ^
5
arcsinx
3
3
+ 2 ^ - 63n- 2>/х
л/х + 1
+7 r 7 ^ W
1 +^ _18
2УІХ X1 X3
4sm х
sin 2х
- -j=. 6 .3 5 .4 х 3+2х. 6.36.
21I ln 21
.
7 W
62,
5 - 2 * 1 п 2 - — L -----5. 6.32____ 4
+ І х '2/3• 6.31.
6'33*" Г м ? + 1в' + L 6-34> х2(31°82 * +
<,28
arccosx
2е
х\2 +
i[r
+sm x+xcosx^ ~ ^ ~ j r r 7 ^
21n61og6x - l
qc
----- -------------- ■6 Ж у '(0)=0- 6-4 10>'(0)=-4. 6.42.у '(е)=0. 6.43. / ( 9 ) = - З ^ . 6.46.
5(5 + 4х)
3
8(4х+ 1)—е~х. 6.47. — 2х)А + 2 cos 2х. 6.48. -2 sin 2х + —
6.50.
g | | Щ Ш
. 6 .49 . - 2 x e - 2-9cos 2^inx.
6.51. х 2+ у г+ г 2= 1 .6 .5 2 .
6.53.
4х
2
6х 2 - 5)2 ’ ®-54, iJV+ З х ' б-55^- 5 * ) ^ 4 4 )'372- 6.56. 6sin22x cos2x. 6.57. 2xcosx 2
6 .5 8 .
6 .5 9 . - Ь ’ й п ^ . 6 .6 0 . S.” * * - ” » * * , f f ,
z
z
2 cos Зх
5/2(„3)Л Ч 7Г б.
| f l | 6.67.
2
t o g V + 1) ( ^
cos (x + 1)
6. « . г ь * . * »
6 .68 . ± L 3 , 6.69. 2tg22x(3-2sin 22x). 6.70. - —2
2Vx I + 9x 2
(1 + x)
355
Й.7І,
24х2Д х 3—9)(х3—1). 6 .7 2 .------ -yctg — + --. 6.73. yja2 - х2. 6ЛА. 1/(2х2+6х+7). 6.75.
(X +1)
X+ 1
___
6/(4+9х2). 6.76. 1/4(х2- 1 ) . 6.77. (-2 )/л /і + х 2\ 6.78. Vl + х* / *• 6.79.2я3/( х 4- а 4).6.81.
, /(1+« . 6, , ^ , . 8 3 .
6.86. y (x c tg x + ln s in x ). 6.87.
у(* 3 ~ У . ~2* 7 ^ ■
х(х - 1 | | г ! 1)
2х sin(x 2 + у 2) + ye**
2 j/sin(x2 + / ) + x ^
6 .9 0 .
« м . 1 + Зх2 - 2х4 ^ о »
,
.6 .8 8 .
л/(1“"* )
2 х ‘--Ч п х .
х о 95
у’
6 .9 1 .
(2 х 2 + 1)у
х (1 - 2 у2)
(X + 1)(5х2 + 14х + 5)
(х + 2)4(х + 3)5 ' 6-89,
(tg x r * f^
r
s
m
x
l
n
t
g
x
)
.9
.9
3
sin X
6 96
х2
Я 2 / - 7 )• 6 -98' 1/2(1+1пу). 6.99.
f ». « ■
_ у cos х + sin у
x c o sy + sinx
6 9?
• 6.100. 4/3. 6.101. - 1 /с .
6.103. 2/ + 1 . 6.104. sin-— . 6.105. 1/3/. 6.106. -2 f(f+ l). 6.107. 2cos2/(cos2/-2sin2/).
3/2 + l
1 —cosf
6.108.Г/2.6.109. |ln 2 c tg 2 /. 6.110.1.6.111. 2 + л/3. 6.112. -4 /3 . 6.115. x / ( l - x 2) V l - x 2.
6.116. 4 /( x —l ) 3. 6.117. l / ( x 2 + l)Vx 2 + 1.6.118. 2(3x 2—l ) / ( l + x 2)3. 6.119.0. 6.120.
120(3x 2+ l) . 6 .1 2 1 . (-1 5 )/ 16x2Vx. 6.122. - 4 ( 2 x 2co s2 x + 6 x sin 2 x -3 co s2 x ). 6.123.
24ІПХ+50. 6.124. sin(x + n | ) . 6.125. cos(x + я j ) . 6.126. я!. 6.127. (-1)"+,(я-1)! • хг".
6.128.
2я*
-6.129. е*(* 2+2их+л(л-1)). 6.132. y = 4 x ~ 4 . 6.133. у= тс-х. 6.134.
К
4 x + y —36=0. 6.135. 4x+ 3y =0. 6.136. x + y -4 = 0 ; x ~ y = 0 . 6.137. І х - у + І - ^ - 0*
x +2y —4—т =0. 6.138. arctg~ * 26°34'. 6.139. ^ . 6.140. (2;5). 6.142. K =l-cosr. 6.143.
a) 3; 6) 1. 6.144. 8 м/сек. 6.145. x= 3. 6.146. x= 2. 6.148. 20(2 x+ l)9dx. 6.149. 3x25x ln5.
6 150
—— ^log3 edx. 6.151.
\ dx- 6.152. 5cos(5x+3)dx. 6.153. —7sin(7x—2).
3x - 2
x +1
6.154. — \ — dx. 6.155. - —r ^ — dx. 6.156. ■ 4 .■ T dx. 6.157.
cos2 2x
sm 3x
v l - 16x2
-
.
- dx.
VI - 36x
6 .1 5 8 .------ -— r=dx. 6 .1 5 9 .----------- j^=—j = d x . 6.161. Ду=0,11; d y = ОД; Д у = ( 2 х 2(1 + x)yfx
з(і I
—3)Дх+(Ах)2, dy=*(2 х -3 )Д х . 6.162. Д у=(Зх2+2)Дх+(Зх+Дх)(Дх)2, rfy=(3x2+2)dx;
0,050301;0,05. 6.163. Д у = (2 х + 1 )Д х + (Д х )2, d y = ( 2 x + l ) d x \ 0 ,7 5 ,0 ,5 . 6 .1 6 4 .
356
Ду = 8* Дх +4(Дх)2; dy=Sxdx\ 0,1616,0,16. 6.165. Ду = |
* > ° , dy = I ^ ' Х > ° ;
[-Дх,х < 0
[ - d x ,x < О
—0,1,—0,1- 6.167. 2,02. 6.168. 2,96. 6.169. -0,1. 6.170. 0,485. 6.171. 2,031. 6.172.
0,7754. 6.173. 0,9976. 6.174. 60°3'. 6.175. 1,2. 6.177. е^(Яхг+12x)(dx)\ 6.178. (36х2-
80
—
—30x)(t&)2. 6.179. 64sin(4x+l)(flbc)3. 6.180. — {х + 2)ЦсІх)\ 6.181. ~6x~<(dx)5. 6.182.
625<? ix(dx)\ 6.184. жоқ. 6.185. иә; с= 1/е. 6.186. иә; с ,= -1; с = 0. 6.188. иә; с=2,5.
6.189. иә; с = 1/2. 6.190. иө; с = —3,5. 6.191. жоқ; у '(0) шенелмеген. 6.192. иө;
с=1,5. 6.193. иө; с, = 6
;с2 = 6 +_ ^ ;с3 = 2. 6.195. с=1п(е-1). 6.196. с = 1/>/б.
6.197. с = 3. 6.198. с = е —1. 6.199. дұрыс ем ес,/'(1 ) болмайды. 6.200. с = ± 2 / V3.
2 /3
6.206. с = 25 9 157.6.207. с
- 1 . 6.208. с =тс/4.
6.209. П ІҮ " - 1. 6.210.
с =я/4. 6.216. 2/3. 6.217.-3/2. 6.218. 0. 6.219. 3/2. 6.220. 0. 6.221. 1 . 6.222. -2 .
4
L
м
Ш
2
6.223. - 2 . 6.224. 16/13. 6.225.
6.226. 2. 6.227. ^ 6.228. +°°. 6.229. 1.
Лопиталь ережесін қоддану мүмкін емес. 6.230. 1/3. 6.231. 1/2. 6.232. -3 . 6.233.
+оо. 6.234. 1/2. 6.235. 3/5. 6.236.-1. 6.237. 1. 6.238. 2/5. 6.239. 0.6.240. 2.6.241. 2/3.
6.242. 0. 6.243. - ~ . 6.244. 1. 6.245. 0,5. 6.246. 1. 6.247. 0. 6.248. 1/к. 6.249. 0. 6.250.
-1 /2 . 6.251. 0. 6.252. 0. 6.253. -3 /5 . 6.254. 0. 6.255. 2. 6.256. -2/п. 6.257. 0. 6.258.
о=. 6.259. 1/6.6.260. 1/2. 1/6. 6.261. 2/3. 6.263. 1. 6.264. е ' 1'2. 6.265. 1. 6.266. 1. 6.267.
1. 6.268. е 1". 6.269. е. 6.270. 1. 6.277. Д х )= (х -1 ) 4+ 2(х-1) 2+5(х-1)+2. 6.278. Л *)= 1- 1 1(х+1)+(х+1) 2+(х+1)3. 6.279. Д х )= -9 (х ~ 2 )+ 8 (х -2 )2+16(х-2)3+ 7 (х -2 )4+ (х -2 )5.
6.280. /\х )= 2 + 7 (х -1 )+ 8 (х -1 ) 2+ 3 (х -1 ) 3+ (х -1 )4. 6.281. 1 -(х ~ 1 )+ (х -1 ) 2-(х -1 )Н ...
...+ ( - 1)" (х- 1)"+ о [(jc—1)"], х -»1.6.282.
31 3In 2(х - И 3) I ~
- Х ~ log2 j
1 ...
** •
3£-
31пл2(х - log, 3)л =г/
,
...
.
. ,
1,
1Ч 3(х - 1)2 (х - 1)3
- + ------------:---- 2— + о[(х - log2 3) , х -> log2 3.6283. г (х -1 ) +
+
п\
(д г- 1)4
) л
2 -3 -4
Й
(х - 1)5
і л ^
3 -4 -5
(-ІГ Ч х -ІГ
|\
(п - 2)(п - \)п
в 1... 1 1: -1■
1
1
1
1
'ШШШ -*
Щ
-
0[{х
1 ( х - 1)2 2(х - 1)3
1) ]. 6.284. — + —~ — + — —-----+
е
2\е
3\е
6.285. 1 і 1 1 а аж і 1И JjИ 8...
(-2Ү*1(х - IV =
2 2
б 2* 2 е гх 3 е 2х* = , 4ч
••• + ■ р *
; + о [(х -1 )я] . 6.286. е - е х + — ------- — + —— + о (х 4). 6.287.
2!
п
2 И
3!
4!
=
х 2 - T + o (jc 4 )- 6-289- 0,842 6'290,1,648‘ б'291' ° ’049' 6'292- 2,° 12- б'2 9 4 , 1/1
6.295. 1/6. 6.296. 1/8. 6.297. 1/24. 6.298. 1/6. 6.299. 1/3. 6.301. 1/6. 6.302. 1/36.
6.303. 2/3. 6.304. 0. 6.305. 1/5. 6.306. 0. 6.307. -1/36. 6.308. 1/6. 6.309. -1 /8 . 6.310.
1/2. 6.312. (+<»;—2)и(2;+оо)-аралығында өседі, (~2;2) аралыгында кемиді. 6.313.
(3;+~)-аралыгында өседі, (-°°;3) аралыгында кемиді. 6.314. (-1;1)-аралыгында өседі,
(-<»;- 1)и(1;<») аралыгында кемиді. 6.315. (0;+оо)-аралыгында ө с е д і,(-« ;0 )
357
аралығыңда кемиді. 6.316. (-~;-2)и(1;+°°)-аралығыңда өседі, (—2; 1) аралығында
кемиді. 6.317. ( 1;+°°)-аралығыңда өседі, (~»;1) аралығында кемиді. 6.318. (-оо;+оо).
аралығында өседі. 6.319. (е;+°°)-аралығыңда әседі, (0;1)и(1;е) аралығында кемвді.
, , 1ч
6-321./ ти(3)=27е-3+5. 6 .3 2 2 ./^ (0 )^ 6 ;/ тіп(1)=Ө. 6.323. /„*,(- f =
в
А
/ тіп( 0 ) = - 4 . 6.324. / тах(4) = -ү-; fmin(0) = 0.
L а*И ) = In V2 - J •
6 .3 2 7 .
63
f j r 1)=-4;
і
6.325. экстремумы жоқ. 6.326.
/ ^ ( - 1 ) = ^ - 6 .3 2 8 .
2) = 4 / e 2; fmin(0) = 0.
6.330. M = 3; m = -2 4 . 6.331. M = 8 ; w =0. 6.332. Af=0,6; m = ~ l . 6.333. A /=l; m =0,6.
6.334. M = n / 4; m =0. 6.335. M = 2:m = \І2. 6.336. M = -Д = ; w = ----- 7=. 6.337. 40x80.
зЛ ’
6.338. 50 жэне 50. 6.339.
<
?
2
и
зТз
л
2
-у . 6.340. - т - Л .
бүйір жағы / 7/ ( 2 + >/2). 6.343. г = һ =
з>/з
6.341. 3>/3г2. 6.342. тең қабьфғалы,
6.345. х = —2 иілу нүктесі, (—оо;—2)
аралығында жоғарыдан дөңес, (—2 ;+«>;) аралығында төменнен дөңес. 6.346. х=2
иілу нүктесі, (—°°;2) аралығында жоғарыдан дөңес, (2 ;+©о;) аралығында төменнен
дөңес. 6.347. х ,= —2, х 2=1 иілу нүктелері, (—<*>;—2) жэне (1 ;+«>;) аралықтарында
төменнен дөңес, (~2;2) аралығында жоғарыдан дөңес. 6.348. х = 0 иілу нүктесі.
6.349. JCj=—1, jc2=3 иілу нүктелері, (—<*>;—1) және ( 3 ;+°°) аралықтарында төменнен
дөңес, (—1;3) аралығындажоғарыдан дөңес. 6.350.
жэне I
1
;+°°J аралықтарында төменнен дөңес, I
1
х = ± -^
1 1
(
.
1
иілунүктесі, ^-00» ^
| аралығында жоғарыдан
дөңес. 6.351. х = —2 иілу нүктесі, (—«>;—2) аралығында жоғарыдан дөңес, (—2 ;+«)
аралығында төменнен дөңес. 6.352. х - -ІІ2 иілу нүктесі, х =0 нүктесінде иілмейді,
Н
-Щ
және ( 1;-Ьоо) аралықтарында төменнен дөңес, (-^ 2 ; 0 )ж ә н е ( 0 ; 1)
аралықтарында жоғарьщан дөңес. 6.353. (0 ;+<») аралығында жоғарыдан дөңес. 6.354.
х =1 иілу нүктесі, (0 ;1) аралығында жоғарыдан дөңес, ( 1;+°°) аралығында төменнен
дөңес. 6.356. х = 3 және у = х —3. 6.357. у = х . 6.358. х = —2 жөне у —2х—4. 6.359.
п
1, х = 1 жөне у = х .6.360.^ =0, х —» -Н» . 6.361. у = —
>+°°,
к
у = - —х-1,
\
.
1 3
х —>— . 6.362. х = 2 және .у =4. 6.363. жөне У = х х ” Т • 6.365. х = —1 максимум у(—
1)=3; х= 1 минимум ><1)=—1; х = 0 иілу нүктесі. 6.366. х = 2 максимум ><2)=18;
х=—2 минимум д<—2)=—14; х=0 иілу нүктесі. 6.367.x =0 минимум >>(0)=—1; х = —3
максимум У(-3) = ^ ; х = —1 иілу нүктесі. 6.368.
х=±2 минимум у(±2)=—1; х= 0
максимум ><0)=3; х=±2>/3 иілу нүктелері. 6.369. х = 3 минимум ^(3) =
Ш
ЁШ
358
27
о
; х =0 -
л__ .
.
X
„
иілу нүктесі; х —l жөне
-
+ і асимптоталар.
_
6.370. х = іІ4 минимум
у{$4) = —^/4; дс=о максимум, у(0 )= 0 ; х = --V2 - иілу нүктесі; х = \ жэне у —х
асимптоталар. 6.371. х=0 - иілу нүктесі; х=±1 жөне у = х асимптоталар. 6.372. х =0
минимум ><0)= 0 ; х = \[2 максимум, y(ll 4) = - —V4; х
- иілу нүктесі; х ——1
жөне у —х асимптоталар. 6.373. х=1 максимум, у( 1) = —; х = V4 - иілу нүктесі;
х = -1І2 жөне у =0 асимптоталар. 6.374. х =0- иілу нүктесі; х = —2, х = 2 , у = х
асимптоталар. 6.375. х
1 минимум дЧ—1) = ——; х ——%І4 - иілу нүктесі; х = 1І2
тг
жөне у =0 асимптоталар. 6.376. х =0 минимум у(0)==—1; х = ±>/3 / 3 ■ иіяу нүктесі;
у=1 асимптота. 6.377. х= 0 және х=1- иілу нүктелері; у = - х асимптота. 6.378. jc =2
Й ' "' "
*: '*
A -
^- S
•
\/Т[ ' ''
^ ^ ^ -^ 7 V
Г|'^
Г; '
,0
максимум, у( 2) = - = 0,73; х = 4 иілу нүкгесі; у = 0 асимптота. 6.379. х = - минимум,
^
і
=
в2
’
фя
~ 1*8; х= 0 асимптота. 6.380. х=1 минимум, _у(1) = е ~ 2,72; jc =0 жэне у = 0
асимптоталары.
у(0) - 0;х - ±у
6.381.
-
х=±\
максимум у ( ± 1)=е_І;
jc
=0
минимум;
жөне х - ± ^ и і л у нүктелері у =0 асимптотасы. 6.382.
х = 0 минимум, у ( 0 ) = 1; у = х
асимптоталары. 6.383. х = \
максимум,
2±>І2
у(1)=е; х = — -— иілу нүктесі; у =0-асимптота. 6.384. у = 0 асимптота. 6.385. х= 0
минимум, у(0 ) = 0;у = - —х - 1
жөне у = ^ х - I - асимптоталар. 6.386. х = —\
максимум, у ( —1)=—е; у = х —1- асимптоталар. 6 .387. х = \ / V ?
у{-^=) = ——= —0,18; х = 1 /V ?
у/е
2е
х
= - 9 ± у і5 4 ,х =
- иілу нүктесі; асимптотасы ж о қ .6.388.
0 иілу нүктесі; у = х ~ 2 асимптота. 6.389. х = —
4
у(— + 2kri) = -V 2 ; х = —+ 2 £;г максимум,
л/2
Зя ,
„
Л —j* + 2ля) = - — ; х = — + кп асимптотасы, keZ.
4
2
4
6.392.
ч
2
Г
+
9
Г
2кк минимум,
х = - ^ - + 2кп максимум,
>/3
1 1
6.391. ~z~r + ~ J"V — Ш
6.393. 4 jc(1 + 3 x + 10 x 2). 6.394. ^
359
+
+ 2кк) - >/2 ; ^ + кк иілу нүктесі;
&eZ. 6.390. х = —+ 2кл минимум, у ( ^ + 2кп) =
/ Зп
минимум,
2vx
3 fx
И
2fl" ~ f } . 6.395.
(ft2 - JC2)2
.(*_t
/ Y , -i\2
*
'
A
l + 4x 2
1
* aofi
2x + l
p .398.
- 0 . 3 9 0 . ------------- j-----. 6 . 3 9 7 . ------ =
=
.
(1 - x ) y j 1 - X2
X 2y l ( l + X 2) 3
— = = = = = = .
3% l(x2 + X + l )2
6.399. 6sin5xcosx. 6.400. 4cos2x-15sin3x. 6.401.—
-------- 6.402.
cos (ax + b )
2cos2xcos3x-3sin2xcos3x. 6.403.
4x
— г • 6.406. -
2
z
SBX
6.411. x lnjr_,ln x 2.
. n ^ c2 “ • 6.404. —} x- - cos*— .6 .4 0 5
(tgx +1) cos X
(x —sin x) In 3
1
1
sin2x)
2 \/x
6.412. £ (1 ■+■lnx )xx. 6 .4 1 3 .___ - ___- ------- -l-----(1 + ex)2
21 —
1 + e*
c
- C° I , ^ r In 2. 6 .4 1 5 . 7 ~ ~ j
2vl - I х
1+ *
1
I S it *
v l-ln x
. ...
6.423.
л
x2
■ 6 .4 2 9 .
6 .4 1 6 .
■.1
2 • 6 .4 1 7 .
V1 - 2 x - x 2
o
6.414.
s
V , -6 .4 1 8 .
x4 + x2 + 1
cosx
i
2
^.3
6.419. I TT
. 2 - 6.420. x . 6.421. —----- 1 7 . 6.422.
2 vsin x - sin x
2
e +e
v4 _ C#„4 *
«Дг
x5 + 1
. ^ ,
,
1
-£ 7 I .
6 .4 3 1 .
. 6.424. j - 2 f . 6.425. ^
- £ •
6 .4 3 0 .
яУ
v
4Jj2
dy
p
- 1
^
■ 6.426. f g f . 6.427. - j - j ■ 6.428.
Ц = £ .
6 .4 3 2 .
^ - ax
«
xsin(jcy)
.
dy
ZM
,
&
Ш
Ь-йЙ
Й
6.433.
=
c
t
g
.
6.434.
—
~
tg
f.
6.435.
7 ^ 4 . 6.436. tg2/. 6 . 4 3 7 . 2 ^ ^ .
dx
^
и
1 —J
6.438. - 2 "-1cos(2x + ү ) . 6.439. Н Г '
.
€i ;
Qtn
v
sin 3 X
• 6.440. ( - 1 )”e^. 6.441. 2. 6.442. -1 /8 .
6.443. 2. 6.444. 1/3. 6.445. 1. 6.446. 0, a>0; °o,fl<0. 6.447. 1. 6.448.0. 6.449.e~>. 6.450.
1. 6.451. 1. 6.452.e_l. 6.453. 1. 6.454. e
6.455. a) 8+ 12(jc-2)+ 6(x-2) 2+(jc~2)3;
6 ) 9+ 12(x—2)+6(jc—2 )+ (x —2)3. 6.456. 2 -7 (jc -2 )-(jc -2 ) 2+ 3(;c-2) 3+ ( x - 2 ) 4. 6 .457 .
(jc+ 1)2+2(jc + 1)3-3 (jc + 1)4+(jc + 1)5. 6.458.
VTTx = l + l x - ^ x 2 +
*
2
8
16(1 + Өх)і п ’
O < 0 < 1 . 6.465. 1. 6.466. 0. 6.467. 1. 6.468. - . 6.469. 1/3. 6.470. 2/3. 6.471.
7
/тах(1) = 2 ' 6.472. / гаах(1 )= 2 . 6.473. максимум да минимум да жоқ. 6.474.
ғ t F)\ ^ - Зу/2 г
^
= 4 + 3V2
,
4 + Зл/2
= 4 - 3^2 *
_
6,475в
«
к
• 6.476. х = 2fo r - 4
л
минимум, х 1 2 Ь г +
-максимум. 6.477. / П1іп(1)=2, / Т1ах(—1)=—2. 6.478. / min( e '') = -
=^-‘. 6.479. функция өспелі. 6.480. / тш(п /2)= -4, / ^ ( у ) = 4. 6.481. /( 5 ) = ~ -ең
360
. . .
, 3
үлкен мәні, / ( - 1) = - 13
^ - ең кііш мәні. 6.482. /( 4 ) = - -ең үлкен мәні, /(0 )= —1
ең кіші мәні. 6.483. / (
#1 ^ Я*
у*/С
7Г
2
2 ~ең Үлкен мөні> / v j ) = _ ^ - ең кіші мөні. 6.484
х=—1, х =1 шлу нүкгелері. 6.485. х= 2 иілу нүкгесі.
6.486.
X—
/JK
иілу
нүкгелері
6.487. х Ь ишу нүктесі. 6.488. ишу нүктесі жоқ
6.489.
х=0,5
иілу
нүктесі
6.490. * 5; у=0. 6.491. х=0; у=0. 6.492. х=0. 6.493
х=а. 6.494. х=2а- у = ± (х + а )
,
5
6.495. х -1 ; у - 2 . 6.496. х =1/2; у = х +1/2. 6.497. У = 4 х- 6.498. х=0, у =х+1.
1
6.499. * = - l ; j = - x - l . 6>500 y = 2 x - Z
6 .50 і. х = —1;у = х + ~.1
е
е
V II тар а у
7.4.
3
+&
ІпЗ
7.5. arcsin - + с. 7 6
3
_
arctg
л/2
V2
+ с. 7.7. In х + V* 2 8 5 + с. 7.8.
3 5 7 ,
In х 1 л/х2 1 7 + с. 7.9.1 In 4 + х + с. 7.11.x - Щ
4
5-х - - х + Зх + с. 7 . 1 2 . + l 8Vx +
8 4 -х
1
1 21n|x| + c. 7.16.
+51п|х|+с. 7 . 1 3 . ------ arctgx + с. 7.14.tgx -Ctgx+c. 7 .1 5 .x -----X'
х
1
— + 2 х + с. 7 .1 7 .------ In
+ С. 7.18. | l n
2 + arctgx + с. 7.21 -jc
2
4
• 7.22. У
17
ива! и
3
1
~ 3 Х + ~ 6 + с' 7.19. x + 6arctgx + c. 7.20.
4
| - А х3</х + 1 х 2^/х + с. 7.23. | х^/х -
13
+
7
13
I i 7.29.
arctg
+ 2arctg x+c
+
х 2 2 r-j
~2—
+ х + с.
2
+ с- 7.27. --------- + с. 7.28.
In 5 и-1
V7
^
1
+ c. 7.41. tg x + x + c . 7.41a. ln |x|+ 2arctgx+ c.
7.46b. - - cos(2x + Ц ) + с. 7.47а. — sin 1ООх + с. 7.47Ь.
16
V7
2cosx 3sinx +x +c. 7.33. -2cosx +c. 7.34. tgx +c. 7 .35 . | *
3
1
1
7.43. 120 (5x j 7)4/ 1 1 7.44. Ц (Зх + 2)'°' + с. 7.45. | In |4х - 3| 1 с. 7.46а. 303
4
2
1 arctg
I In x + S i + x + c.7.30.2 arcsin Ц І 1 —x 2J x I c,
1
<?x-x+ 2 1 n x + c. 7.40.
5
5хех
18
—In X
9
+ с• 7.24. arcsinх + In х + Vl + х + с. 7.25.
17
5
х2
юо
1
1 cos 2х |
1
sin(100x-3) + c.
100
1
с.
7.48а.
- - е *” 2 + с. 7 . 4 8 b . - i e~Sl + с. 7 . 4 9 . , 10 tglO-Jf + с. 7 . 5 0 . - - ctg5x + с. 7 . 5 1 .
5
24— 219
361
1 . 2x + 5
In
+ c.
20 2 * - 5
1
5х
\
. Зх
^ 1.
— arctg— + с. 7.52. j arcsin ү - н с. 7.53. j In Зх + yJ9x2 + 4 + C. 7.54.
101
7 . 55 . sm::i £ + c. 7.56. - * " “ +c. 7.57. - ^ e ^ + c .
101
5
1
-x ln 2
3
+ 3 c o s x + c . 7.60.
1
~In
4
2>/2
2
In 2>/2x + УІ7 + 8x + c*7.70.
1
4
-arctgx + c.
4
7.58. r | x (** + 1)S‘ + c. 7.59.
153
3 + 4 s in x + c . 7.64. l l n x 2 - 7 + c.7.61. ln|x + l
+ - ^ t + c .7 .6 6 . - arctgx3 + c. 7 .6 7 . ^ Т з + с.
1
1
7 .6 8 . 27x +
ln2 x
2
+
+ c. 7.69.
arcsin(^j|x) + c. 7.71. |ln ( 2 x 2 + 3) + c. 7.72
2
1,
-1
7.73. xln x3 + >/x6 - 1 + c. 7.74. -V (arcsinx)3 + c. 7.75. - - , + c
3
2e +1
3
7.76.- e * 4 * 7 .7 7 .
2 ч/ж
5VJC+ c. 7.78.1n|ex-l|+ c . 7.79.2 sin >/x + c.
7.80. -Inl0[cos(lgx)]+c.
3 - / 2\
7.81. j
) + c- 7.82.2cos(l~x2)+c. 7.83. S-in.- 6-X- + c. 7.84. ( - |) l n |3 + cos3x| + c.7.85.
2
-J tg x + c. 7.86.
7.89.
10
3
- T ctg5/3x + c.
5
(x2 + 1)5 + c. 7.90. -
2
-(x
7 .8 7 .
3
+ l)3/2 + c.
2 (1 -
7 .8 8 .
3x)3/2 + c.
1
r + c. 7.91. - | > / 2 - 3 x + c. 7.92. 4 (x + 5)4 + с
2(x - 2)
3
4
1
7.93. I (1 + 2x)3/2 + с. 7.94. | ( x 2 - l ) 4 + c. 7.95. ** ^ ^ + c~ 7-96- ' 3(x -1 ) г т С .
7.97.1 ln(x2 +11) + c. 7.98. | ln(x3 + 4) + c. 7.99. щ ln(x100 + 3) + c. 7.100. | (arctgx)4' 3 + c.
7.101.
In3 x
3
ln |sin x + V!
^ ln 2 x3 +1 + c. 7.105.2>/l - x + x2 + c. 7.106.etgx+c.7.107. ln|l+sin2x |+c. 7.108. earad,u+c.
mk
1
7.109. ^ In3x + In x + c. 7.110. arcsin^- + c. 7.111. -2V cosx
mJf
+ c. 7.112.
mm
>/(2*4 ~ 3)2 + c.
*
I
р н
I
2
i
arctg3
3
+ c. 7.116. - In -^/(ln |x|)3 7.113. 4 e*44**3 + c. 7 .1 1 4 .1 ^/(x4 + l)2 + c. 7.115.
3
ln3
2
8
6,/in
+ c. 7.117. -2cosV x + c. 7.118. і-УЗх2 - 2 + с. 7.119. ^ln x3 + ylx6 - 2 + c.
Щ
Ш
1
mI
1
_
cos 2x
+ c. 7.123.------—— + c.
+ c. 7.122.7.120. ~ V (arctg77 + c. 7.121. 24
In sin X
3(x + 3x - 1)
7.124.2л/х3 - x 2 + 7x -
2
2 + с .7.125. ^ V(* + 4)5 ШГ
4>/(x + 4)3 + c. 7.127. \ arctg ^ ± 2 + с.
2
2
. x- 2
. x +1 + c. 7.130. arcsin
- + c. 7.131
7.128. ln(x + 1 + six2 + 2x + 5) + c. 7.129. arcsin
2
72
362
+ c. 7.132. ~
-jL arctg
Зх
1
+
yj9x2
6л:
3
+ c. 7.133. - 4 In
+ с.
arcsin
3
7.134. 3ln(jcJ + 3) - ~ arctg
V3
1
7.137. 5r arctg
„
5
-2l n | x 2 + x + l I -
+ с. 7.135.
V3
+ c. 7.138. - arctg
>/3
2
arctg —
V3
l
V
2
+
J
C
* --4 = In
+ с. 7.136.
2ч/2 >/22
4 c. 7.139. arcsin ~
3
arctg(2x2)+c.
^ + c. 7.140
+ с. 7.142. x arccos х - л / l - x 2 + c. 7.143. xarctgx
l
2 ln (l+ * 2)+c. 7.144. xarctgx+ 2 ln (l+ x 2)+c. 7.145. xin|x|-x+c. 7.147. y i n | x - l | 1 x2
- 5
.
x2 + l
+ X + In |x - 1| + c. 7.148. 21 V-х + 6-) sin
2x
+
—
cos
2x
+
c. 7 . 149 .
arctgx
2 2
2
_
2 + c- 7.150. 2 <?2*(x
2>+ c. 7 . 151. jcctgx-ln|siiuc | +c. 7.152. xtgx +ln|cosx| +c. 7.153
1
- arcsin x + —
X
— arcsin x 2
4
4
л/ l - J C 2 +c. 7 . 1 5 4 .
ln x
1
_
2 x 2 ~ 4? + C’ 7 . 1 5 5 . 2y/x In x
4>/x+e.7.156. 2у!\ + х arcsin x + 4 > /l-x + с .7 .1 5 7 .-^ ІІ + c.7.158.— — + In tg + c,
ex
sinx
2
7.159.
- In
cosx
. /X
Я\
+
c/,7.160.
e
*(*3+
3х2+6х+6)+с.7.161.—
x
2
cosx+2(xsinx
+
« 2 + 4»
+cosx)+c. 7.162. e x( x 2 2 x + 2 )+ c. 7.163. —x 2sin x+ 2xcosx —2sinx+c. 7.166
1
\ *x(sin * “ cos x) + c. 167.1 ( W l - x 2 + arcsin x) + c. 7.168. |[sin (ln x) + cos(ln x)] + c.
2x
7.169.
8
x
+
2
x+l
(2 - sin 2jc - cos 2jc) + c. 7.171. In
+ c. 7.172. - In
+
c.
7.173
x +3
2 x+3
(x —2)2
ln V — ^j- + c. 7.174. In
(* -1)
x+2
1
2|+41n|x +2|+c. 7.177. gin
1
1
x| + - l n |x - 2 | + - ln |x
Slnfx —2|—ЗІпрс +2|+c.7.179. + 31n
+ c. 7.175. ln [(x -3 )5(x + 2 )2]+c. 7.176. 5x+21n[x |+31n[x
1
x+2
4
x+4
x
3
x
2
+ 3| + c. 7.178.
+
3~ + ~2~ + 4x+21n|x I
x +4
1
+ 21n
+
c7.180..
2
x+2
2xl
2
x
1
-Щ
x -1
9
+ c. 7.181. —— 2 + 2 In
+
c.
7.182.
4
1
n
|x
|3
1
n
|x
l|+
c.
X —1
2(x + 1)
X+l
x —1
7 .1 8 3 . x + —+ In (' - ! ! І + с. 7 . 1 8 4 Д Л іл
x
1*1
X
2
363
x -1
+ c. 7.185.
X+ 1
3
2(TT2j? + I*- 51* c
VI
7 .1 8 6 .-
2x
1
Щ
6
-I
^
+ c.
УІХ2 + 1
*-11
3
(JC + 1 ) 2
+
+ r
C. 1
/ . 1188
00. т
g In “i-----x 2 _ x + 1§ ф
+ с. 7.187. In
(х 2 - 1)
7.189. I ln
1.
л /х 2 + X + 1
1+ x
+ 4 = a r c t g + с. 7.190. -j In
- -arctgx + c. 7.191
1 —x
Л
л/3
4
- ]- arctgx + c. 7.192. i l n x + l|--^ ln (x 2 +1) - —----- —+ c. 7.194.
I in
4 ~ ( x + l) 2(x2 + 1) 2
..........." '2
1 4 И ‘
2(x +1)
In
X2 + X + 1
+ c. 7 .1 9 5 .
x +9
x+2
C -
1
1
* *+1
13*-2 4
26
. 2* —31
_ loe
arctg —— + c. 7.197. т п — ------— + T- 7= arctg---- ;=— + c. 7.198.
16
2
3(*2 - 3* + 3) Зл/З
&
1_ In 2 + tg
7.200. 4
2
-I n 2 - t g
2
+ c- 7.201.
л/2
2(1 + x 2)
In t g - - l + >/2 -I n t g ^ - 1 - Л
i c,
2
x
2
7.202. * - t g - + c. 7.203. - * - - — тх— г + c. 7.204. In tg + c. 7.205. In
2
2
tg x /2 -1
7.206. In
m
-I n
tg
7 .2 0 9 .
!ta
tg
X
.
X
2
-
+ c.
sin x - cos x + 2
2
5ts f +4
+ c.7.207.j In
+ c.7.208.—arctg---- ------ + c.
4
sin x - cos x - 2
3
6
3
1
2 ” 2
X
1
+ c.
2 arctg—
2tS^2=—
+ 1+ c.
715
>/l5
7.210
4 arctg
t —
tg2 +
л/3
V3
7.211
2 + 2
+ In (3 1 tg2 *)(1 i tg2 *) + c. 7.213. -c tg x - —
+ c. 7.214. tgx + - tg3* + - tg5* + с
2
2
3
4»
3
j
7.215. 2tgx + - ^ - ctgx + c. 7.216. * - tgx + A r - + c. 7.217. x + ctgx 3
7 .2 1 8 .
7.221.
3
C tg X
^tg5x —X + c. 7 .2 1 9 .
1
2
7 arctg(-tgx) + c. 7.222.
Ь
+ с,
Ъ
2
1
—^ ln
2>/2
- In sinx + c.
7 .2 2 0 .
j
3
+ c.
I arctg(3tgx) I c.
V2 + tgx
+ c. 7.225. i a r c t g ( ^ ) + c. 7.226.
V2 - tgx
2
2
1
1
cosx
1.
—-------srnx + c. 7.227. ------- + COS X + C. 7 228 T—;—2— + ^ ln tg
sm x
cos x
I 2 sin x 2
2
+ c. 7.229
sin X
1 . . /X
1+ sin X
+ c. 7.230. - —
+ c. 7.231. с - sin x - --П - + —In
----1
—
+
xln
%IH
2 cos x 2
5 cos x
3
2 1- sin X
_
.
sm3x 1
7 .2 3 1 . с - sm x ---------- н— In
3
2
2 sin 3 x sinj5 x
. 7 .2 3 2 . sin x ------------ + -------- + с
X
3
5
1 + sin X
1- sin
364
7.234
X
sin 4x
8
32
cosx +
x
+ с. 7 . 2 3 5 . ----16
sin 4x
sin 3 2x
64
48
COS X
+ C .7 .2 3 7 .
5
3
cos JC
COS X
+ С. 7 .2 3 8
3
i
3x
.7.240. -r- +
7.239. sin x - s i n 3 x + - s i n 5 x -----sin 7
5
7
3
О
. SU1 X , sin2x .
______ .
2 . ,
sin5x
5
1 .
+ —-— + —~ — + C . 7 . 2 4 1 . sin x — sin x + ____ _____
, * + oSin4x +
+
c.
7
.
2
4
2
.
tt
16
2
О
3
5
16
+ — si113 4x +
96
sin 8x +c. 7.244. с - —(- ° S
128
4
2
+ cos 2x). 7.245. — sin5x + —sinx + c.
10
2
7.246.7: sin 3x — —sin 7x + c. 7.247.“ sin 3jc ——sin I x + c.7.248. —sin 2jc - — sin 8x + c,
6
14
6
4
4
16
cos6x cos2x
„
л
sin25x sin5jc
.
3 . 5jc . . jc
7.249. ■ + —-— + c. 7 .2 5 0 .----------- + -------- + c .7.251. -s in — + 3 s m - + c
12
4
50
10
5
6
6
3
jc
1
1
1 1
________
7.252. r c° s - - t cos x + c. 7.253.— cos 6x -----cos 4 x - - c o s 2 x + c. 7.256.(1+ il 2jc —1 )2+
2 2 2
24
16
8
i
+ 21n|</2x - l +l|+c. 7.257.-2arctg Vl - л: +c. 7.258. 2 >/x
+c. 7.259.
1
2arctgVxTT + c.7.260.6(—v x ^ + - V x + —
4
3
2
x - f l ) + e . 7 . 2 6 1 . 4 [ |W
+ l n « £ + l)]+ c. 7.262. 6^/(1 + *)J (I ± £ + * L t £ - 1 ) + c. 7.263. 2(arctg
10
VI
vr
+ln vr x + Vl + x
- (x ——)Vx 2 —3x + 1 H—
2
8л/з
x+2
+5arcsin |gj ]+c. 7.270. In
1
2-х
—arccos— — + c;
2
л
4
V A «"JC*
)+c. 7.264. -(3 x + 4 ) - i ( 3 x + 4 )2'3 +V3jc + 4 -In V 3 x + 4 +1 + c.
3
2
3 J X . 4/3
7.265. - - ( 7— 1 Г Л+c. 7.267.
8 1+ x
2
/
+
1
- ( x - l) V x 2 - 2 x - l
2
-1 +V*2—2jc—1+ c.
-i n
7.268.
V3
In v3x 2 - 3 x + l + -^ -(2x -1 ) + c.7.269.|[(jd-2>/l - 4x —x 2+
2
cx
-------- ;
(2 + x) + M x 1 + x + l
1
x = —деп алмастаруға болады. 7.271.
и
1
^
_
. x-1
* = —деп алмастыруға болады. 7.272. arcsin— р=г+ с;деп
и
л/2
алмастыруға болады.7.273. с — prln
уі2 + х - х 2 +л/2
V2
3
болады. 7.274.
+ с. 7.275.
(
1
2>/2
1
; * = — деп алмастыруға
и
ІШ
І
.
1
Ш
VTTs
.
Г+ V*2-! -------- + с. 7 . 2 7 6 . ----------- + 1п х +
In Д
3^/(1 + * 2)3
365
2л/x
11 7.278.| In|Jf j 1- 1)J I I ^ p +Mx2+1+1]+p
+ In X+ J x 2 + 5
+1+1
,
i іій l , _w‘ +w+l
1
2u +1
+1
ч ^ ол 1 , VI + jc' +jc
/ .Z75P. —In —-----—--------j= arctg — t=—+ c, мүндағ ы м = ---------- . 7.280. —In
6
(и - I ) 2
л/3
л/3
+х X
-
1
4 /i
.
.4
_ _0 ,
7 .2 8 1 .
1 11
- - a r c t g --------- + с.
2
х
1 , 1 1 - х 4 +1
1 -Jl —x
- I n --------т-------- -- -------— + с.
4
х
4
х
и—
1
-3)Vl + Vx +с. 7 . 2 8 3 . 6 м + 21п
- 2-Jbarctg
„
7 .2 8 2 .
2и +1
~7Г
л/м2 + и + 1
3 г- ( 4 yfx+\fc
7
+ с, м ү н д а ғ ы
'-Л
wm
1
2\fi
+
3
+
+с. 7.286. с —
2(1+VI)2
10
З^й^
у[й
*
+
1+ jc4 V + і В1 +• JC443
3 V
1
arctg
1+УІХ
10
13
1
+
1
2
~ 2 - ~ * + -1п(4 + е 2х) + с. 7.290.
——2ех + 4 Щ е х + 2 ) + с.
7.292. 21п|е*—1|—л:+с. 7.293. (х+1)5+ с
1
2х
1
arctga*+с.
7.291.
In а
4
7.294. (4 + x 2} j 4 + x 2 +с. 7.295. ^ ( 1 ~ —)* +С-7.296. 7 ( 2 + In д:) + с. 7.297. е Гх + с
о
х
4
7.298.2л/е* + 3 + с. 7.299.—е1А+с.7.300.
3
6
+ с. 7.301. —
+ с. 7.302,—cos(lnx)+c
2 In 7
2
7.303 . - t g x + с. 7.304. sin(tgjc)+c. 7.305.-2tgx2+c. 7.306. In sm jc+ л/4 + sin ‘ j: + c.
7 .3 0 7 -
1
x —3
I -Aa
+ c. 7.308. In 2x + v3 + 4x2
1
Гsinx 4
/
\
7 *** 1
x+4
+ c. 7.312. In (x + 2) + Vx + 4x + 5 +, c. *7.
JIJ . - a r c t g ------- + c.
/
3
2
7.311. - arcsin
. 2x + l
r-r—--------7 . 3 1 4 . arcsin
- + c. 7 . 3 1 5 . л/х2 - 6 x + 7 + c . 7 . 3 1 *
л/5
1
+c
1
------ + c. 7 . 3 1 7
5cosx + 2
1
+
*
7
.
3
1
8
.
^
4
c
o
s
j
c
3
+
c.
7
.
3
1
9
.
^
[
c
o
s
7
x
c
o
s
(
7
j
c
2
)
1
+
c
.
3 3sin x + 2
2
7
sin
1
0
X
7 .3 2 0 .-—e00*2* + c .7.321. - ^ c r g ( 6 jr + 5) + c. 7.322. ^ t e ( 4 * - 3 ) + c. 7.323.
+ c.
10
14
7.324. -
COS X
14
1
+ c. 7.325. - T cosjc +C-7.326.—sin x* + c . 7.327. —jc— —sin 6 jc + c,
3
4
2
12
366
1
1
.
0
—jc + — sin 8х + с,
7 .3 2 8 .
16
2
(Зх - 2 sin 2x + —sin 4x) + с ]
8
4
7 .3 2 9
7 .3 3 0 .
[|(3 x + 2sin2x + - s in 4 x) + c] . 7 . 3 3 1 . x + - cos 4x + c. 7 . 3 3 2 . ——cos 2x
о
4
4
4
----- cos 8x + c. 7.333.
16
— sin llx + ^ sin x + c. 7.334. — sin llx + -s in 3x + c. 7.335
22
2
22
6
1
4x
7.338. — arctg — + c.
12
3
X
m
І
. 2x
« л„
1,
/Р - + С.7.336. —arcsm — + C.7.337. -In Ъх + лІ4 + 9x2
62
2
5
3
2
2 sin л/х
3
2
7.343.
1 3
1
1
-* '* + c. 7 .3 4 7 .------— + C. 7.348.
3
2 cos 2x
ln x
3 sin 3x
6
6
2 >/x - 2 ln( Vx + 1)+
x+3
3 /2
+ c.
4л/І
5
+ c. 7.349. —xcosx+sinx+c.7.350
1
— + c* 7351. —x ctg x + ln |sin x |+ c. 7.352. — V x^(41nx-5) + c. 7.353.
£
16
1
1
1
1
2 ( ^ - l ) l n ( ^ - l ) - | ^ + c. 7.354. ^ x 2(ln2 x - ln x + ^) + c. 7.355. - л/l - jc2 arcsin x +
1
c(x - 1)
+C.7.356. -Г -Г 1 ----- - c t g x + c. 7 .3 5 7 .31n
2 sm x 2
x +2
c(x -l)
7.360. In
7 .3 5 9 .ln
(x+ 2) ( x - 2)
i
2
x +2
7.358. 1пс(х-1)л/2х + 3.
+ 2arcfg(x--l) + c.
■
x —1
+
are*#-Дг + с. 7.362. —In
3V2
v2
4 х+1
cx
7.364. ln
1 x+1 +
7.361. Tln- n —
3 л/х +2
x + >І2
7.365. ln
x +1 + V2 xz + 2x +1
c(x + 1)
1
— arctgx + c,
7.366. 2 arcsin —-
2
1+ УІx 2 + 2 x + 2
X
X
X
1 - (2 - x 2)V 41 x 2 + c. 7.367.
+ c. 7.368. - —
- arcsin - j = + c. 7.369
4
V2
4л/4 + х 2
v2-x 2
2>/x + 4л/х — 7= arcfg
V3
7.372.
^ + c. 7.370.
-——+ с. 7.371. xtg —+ 2 ln cos
1+ x
2
л/3
3 I
2t g x - - } J t g 4x + c .
4
sin x
7.373.
4:
ln|/gx| + /£ 2x + - £ p + c. 7.375. £ In
2
-1
+1
+ 5sinx-241n(sinx + 5) + c.
1
2
+ c.
7.374
ft* 7.376. - ^ " ' U + v l - x ^ + c. 7.377
367
2-Jex -1 —larctg yfe‘ -1 +c.
7 .378.-
X 2
+ — \n(4 +
X*)
+ 2arctg — + c. 7 . 3 7 9 . m (b~ a)
7.380. 7/3. 7.381. 16. 7.382. e b- e a. 7.383. 28/3. 7.384.
3
; г
7.387. - . 7.388. 4/я.
1
7.385. 2/я. 7.386. 2/л
^10
7.389. ---- 7.390. -----------. 7.392. 19. 7.393. 4e. 7.394. 8/3
6~ *
К
7.395. 2/9. 7.396. ^ ^ - 7 .3 9 7 . ^ + ^ . 7 . 3 9 8 . 2/3. 7.399. 7/4. 7.400. —( 2 V2 - 1).
f
О
J
3
уф —
Л „
I
-
1i
(73Д _ 12). 7.404.Л2. 7.405. —In 7.7.406. 2лІе-1. 7.407
32
2
1
J2
- I n 13.7.408. 51n2—1. 7.409. — . 7.410. 21/8. 7.411. 7/72.7.412. 4/я. 7.413. 100/3
7.414.
7.415. e - J ~ e . 7.416
it
1
Г
4- 7-420
■
■v3_1
7.426. 1. 7.427. - у - . 7.429. 4. 7.430. V ln3/2. 7.431.
1/24. 7.434.
7.435. 3. 7.436.
7
7.432.
7.437. -1 7 /6 . 7.438. In2. 7.439. I n - . 7.440.
-(I n 4 -1 ) . 7 .441 . 2 + —In j . 7.442. I n - . 7.443. J L arctg - j = . 7.444.
7.446. p / 6 . 7.447. | (2л/з - л). 7.448.
Is
7.433.
2
7.449.
7.445. я/ 6 .
(я + 2). 7.450. 1 п 4 - - . 7 .451 .
32
2
і "n/5 + 3
8І7Г
s
1п— Г— -7 .4 5 2 . 1/6. 7.453. — .7 .4 5 4 . 7+ ln 4. 7.455. 4 -Я .7 .4 5 6 . 1 п 2 - - .
2
16
8
7.458.5arctg3—3/2. 7.459. 1— -7.460. ^ ( 9 - 4 > / 3 ) + - 1 п - . 7.461. 2 1 п 2 - - . 7 462
е
30
2 2
4
п
2
.......
(4л/з - 3) - In л/2.7.465. ~ - ( е л +1). 7.466. ]~{ех +1). 7.467.
12
7 7 ^
2
Т т ’ #лао**2
Яур2-4. 7.468. е - 2 . 7.469. — (е ^ /4 +1). 7.470.
^ - - 1 п ( 1 + л /2).7.473.
8 . 7.471. 241п2-16.
7.474. 2. 7.475. 4е 3+2. 7.476. —
7.472.
+ 2 . 7 .477 . 1.
7.480. 2. 7.481. 1п2. 7.482. 32/3. 7.483. 32/3. 7.484. 256/5. 7.485. 1/6. 7.486. 1.
7.487. - а у [ 2 р а . 7.488. 5 — .7.489. 9. 7.490.1/3.7. 491.6я.7.492.16я. 7.493. 8/3.
368
7.494.125/6. 7.495.16/3. 7.496. 16/3. 7.497. 9/2. 7.498. 2 1 n 2 - i 7.499.
41n2
■ __ 1.
2
7.500. 1,5—Іп4. 7.501. а 2( ~ + Щ2 + у/З)). 7.503. 3 7 . 5 0 4 .
бта2. 7.507. ц . 7.508. 6я. 7.510. |т
г
.7.511.
а
і
2
2о ( -
0 . 7.515.
7.512. ^
a
2.7.513.
я
а
2.
7.514
з
. 7.516. 2 7.S17. ~ 7 Г 7.518.
Л ? + 2 ь м ♦ V R ). 7.523. Й + 2 ь е + V5). ,.524. 2
8л/ 2 1 In(V2
2
7.505. nab.7.506.
7.519. л. 7.520. а ;. 7.522
3. „ 25. ш
^
^[6л/37-1п(л/37- 6 )]. 7.530. —ІпЗ
4
2
7.531. —[л/5 + —ln(2 + л/5)]. 7.532. 1 п 7 -^
z
2
4
4л /3.7.538.
^
3
7.539.
7.540.
12л/з
10*.
32
1
5-Л
4 (5 + ^ 1п(2 + л/3)). 7 . 545 .
1 6 ______
* *
2 5
, 3 5
лй. 7.546. 5Я1л/Т+ 4 я 2 + —1п(2я + л/і + 4 л 2). 7.547
Э
2
3
л/3). 7.551. у[2л. 7.552. 12(2 —л/2)
7.553. л/ 6 . 7.554. 2 b/2 + ln(l + 72)]. 7.555. 2 ( ^ - 1 ) . 7.557. | я . 7.558. 108я/5.
7.559.3я/10. 7.560. 500я/3. 7.561. 58,5я. 7.562. 8 а 2Ьп/3. 7.563. 512я/15. 7.564.
^
-
272
4
•7.565. я(Зя+4). 7.566.
л
sа
7.567. Щ . 7.568. |* в * . 7.569. ^
11
я.7.574. - е ^ ] ) ;7.575. у . 7.576. я / 2 . 7.577.
л
<9
*‘ 3 0 ’ 7.579. я (е—2). 7.580. 12я. 7 . 5 8 2 . - я . 7.583. 2я(л/2 + 1п(1+л/2)).
7.584. 2яА(й+ у arcsin | ). 7.585. 2®(« + *1 In
). 7.586. Ш Щ
— лс
ал —
Q
J Я В - 1 ln(VTo - 3)). 7.588. 48я. 7.589. ^ я а 2л/і 7.590.
3
3
7.591.
8
3 --
. 7.570.
2
^ -я .7 .5 7 1 . jr t.7 .5 7 2 .^ . 7.573.
56
15 я*
'ХО'ГГ
7.592.
^
-
я. 7.593.
7.596. 4п2а 2. 7.597. ^
“
I
^ * - 2 ). 7.594.
— (2е 4 - 5 е 2 - П
32
— л/?2. 7.595
5
яя2. 7.598. 8я(2- ч/2 ). 7.599. 16я2. 7.600. 4я
369
7.603. ^ ^ . 7 . 6 0 4 . ^ ^ - . 7.605. ^ 1 .7 .6 0 6 . 27 м. 7.607. 27м. 7.613. 1. 7.614.
R+h
2
4
жинақсыз. 7.615. - . 7.616. л 2/ 8 . 7.617. жинақсыз. 7.618. жинақсыз. 7.619. жинақсыз.
71
Л
7.620. жинақсыз. 7.621. жинақсыз. 7.622. жинақсыз. 7.623. -^=.7.624.
7.625.
1/2. 7.626. - . 7.627. жинақсыз. 7.628. жинақсыз. 7.629. а < 1-де жинақсыз, а>1-де
2
жинақты және ----- г-ге тең. 7.630. ^ . 7.631. — + ^ ^ .7 .6 3 2 . —- — .7.633. 1. 7.634.
а-1
К
2
4
К
2
8
,
1------7.635. —.7.636. л.7.637. жинақсыз. 7.638. жинақты. 7.639. жинақты. 7.640.
4
2
жинақты. 7.641. жинақты. 7.642. жинақсыз. 7.643. жинақты. 7.644. жинақты. 7.645.
жинақты. 7.646. жинақты. 7.652. -1/4. 7.653. жинақсыз. 7.654. 6 . 7.655. жинақсыз.
7.656. жинақсыз. 7.657. жинақсыз. 7.658. жинақсыз. 7.659. жинақсыз. 7.660. 6 .
7.661. жинақсыз. 7.662. —1/4. 7.663. жинақсыз. 7.664. 1. 7.665. 2. 7.666. а<1-де
1-а
-ге тең және а>1-де жинақсыз. 7.667. —1. 7.668. 0. 7.669. жинақсыз. 7.670.
жинақсыз. 7.671. жинақсыз. 7.672.
5
112
2
7.677. жинақсыз. 7.678. жинақты. 7.679. жинақты. 7.680. жинақсыз. 7.681. жинақты.
7.682. жинақсыз. 7.683. жинақсыз. 7.684. жинақсыз. 7.685. жинақты. 7.686. жинақты.
7.687. жинақсыз. 7.688. жинақты, (—1)ял!. 7.689. а<1-де жинақты; а>1-де жинақсыз.
7.691. /я<3-те жинақты; /и>3-те жинақсыз. 7.692. &<1-де жинақты; £>1-де
жинақсыз. 7.693. жинақты. 7.694. жинақсыз. 7.695. жинақсыз. 7.696. жинақты.
1 fn
7.697. жинақты. 7.698. жинақты. 7.699. жинақты. 7.700. жинақты. 7.701. -
7.702. л/я.7.703. — -. 7.704. л /2 . 7.705. л /2 , егер а> 0 болса; 0, егер а = 0 болса;
4
- л / 2 , егер а<0. 7.706. л /2 , егер а>Ь; л /4 , егер а=й; 0, егер a < 6 ; 7.708. —6,2832.
7.709. 40,8183. 7.710. 0,719; ± 0 ,0 5 . 7.711. 0,69315. 7.712. 0,83566. 7.713. 1,4675.
7.714. 0,69377. 7.715. =0,837. 7.716. = 1,09. 7.717. =2,59. 7.718. =0,950. 7.719. 0,3926.
7.720. 1,7500. 7.721. 3,2413. 7.222. 0,4969. 7.223. 2,6291. 7.724. 0,3927. 7.725. 0,8120.
7.726. 1,4627. 7.727. 0,6076. 7.728. 0,9160. 7.729. 0,2500. 7.730. 0,1178.
VIII тарау
8.32. барлық Оху жазықтығы. 8.33. х 2+ у 2> 42. 8.34. ху>0 ( I жөне III квадранттар).
8.35. {х/х > OJnty/yе R] (I жөне IV квадранттар). 8.36. х 2+ у 2< 42. 8.37. х 2+ у 2>9. 8.38.
x 2+ y 2+ z 2< 25. 8.39. x + y + z ^ 0. 8.40. (0;0;г) нүктелерінен басқа; {х>0; у>0; г20}.
8.41. (0;0) нүктесінен басқа бүкіл Оху жазықтығы. 8.42. х>0, у >0 жөне х< 0, у <0.
8.43. - 1 < х + у < 1 жолағы. 8.44. х + у >0. 8.45. x 2+j>2< 1. 8.46. у = х түзуінен басқа
бүкіл Оху жазықтығы. 8.47. Ох жөне Оу осьтерінен баска бүкіл жазықтық. 8.48.
х>0, j>>0. 8.49. х>0, у>0. 8.50. х+у<0. 8.51.
370
+ 2кл <,хй^ + 2кл , к -бүтін сан.
8.52. (0;0)-ден басқа у - О жөнс у = - 2 х түзулерінен қүралған скі дөңес вертикаль
бүрыштар. 8 . 5 3 ^ 0 г *0. 8.54. х ’ + у ’- г >7\. 8.55. m-өлшсмді куб
- 1 £ х к Z \ , к = \,т. 8.56. /я-елшемді шар, х 2 + х 2 +... + х т
2 S 4 . 8 .57 . /л-елшемді
х 2 X*
эллипсоид, ? + ? +
X1
8.58. { Л - \1 ( х ,^ ,...,д > > ^
X 1
\
Х І
..... ^
<9J). 8.59.
X 1
.....* Л Ч- + 3 - + " V < 1]}■8Лб- 6 8-77. 27. 8.78. 0 . 8.79.1 . 8.80. А
2
4
8.81. 0. 8.82. 0. 8.83.
1
8.84. - 6 . 8.85. е. 8.86 . \ 8.87. 1. 8 .88 . 0. 8.89. 0. 8.90. е }
5
8 .W. е 3. 8.93. 0. 8.94. 0. 8.95. 0. 8.96. 4. 8.98. 0. 8.99. 0. 8.100. 0. 8.101. 0. 8.102. 1.
8.103. 1. 8.104. 2. 8.105. ~ . 8.106. 0. 8.107. а. 8.108. е~'. 8.109. е ~2 8.110 -
2
о
8 111
'
-.* .1 1 3 . үзіліссіз. 8.114. үзіліссіз. 8.115. үэіліссіз. 8.116. үзіліссіэ. 8.117. үзіліссіз.
8.118. үзілісті. 8.120./( 0 ; 4 ) = І . 8.121. /(1;2)=0. 8.122./(0;1)=36. 8.123. /(0;0)=0.
b m Z 8.128. үзіліс сызыгы g l g g i шенбері. 8.129. үзіліс с ы з ^ Г -^ о Т з ^
жэне у х параболасы. 8.130. үзіліс сызығы х 2+ у 2=9 шеңбері жэне х 2- у г= 1
петерболасы.8.131. үзшіс сызығы х - у = 0 түзуі. 8.132. үзіліс сызыгы х = 0 жөне
у - 0 түэулері. 8.133. үзшс сызығы - * =0 түзуі. 8.134. үзіліс сызығы х = у 2 параболасы.
8Л35. үзіліс сызығъі у х - 0 және у + х = 0 түзулері. 8.136. үзіліс сызығы х = 0 және
у - 0 түзулері. 8.137. үзш с сызығы у - х = 0 түзуі. 8.138. үзіліс сызығы х = 0 жөне
у - 0 түзулері. 8.139. үзіліс сызығы х 2+ у ' = 9 шеңбері. 8.140. үзіліс сызығы х = 0
координатгың жазықтықтары
беті х = у 2цилиндрлік бет. 8.1
х 2+ у ^ 2=0 конусы. 8.145. үзіліс бетгері х 2+у 2+г 2= f
мүңдағы Л:=0,1,2,... .
8.146. үзіліс беті x 2+ y * - z 2= l біржақты гиперболоид. 8.147.үзішс беті х 2+ у 2- г 2= - і
2
2
_2
екіжакты гиперболоид. 8.148. үзіліс беті — +^L + i - =1 эллипсоиды. 8.149.
үзіліссіз. 8.150. үзілісті; жекелеп х жэне у бойынша үзіліссіз. 8.151. үзіліссіз. 8.152.
үзілісті. 8.153. үзілісті. 8.154. үзілісті; полярлы координаттарға кешу керек.
8.156. A,z Щ0,42; Д,г = - 0 ,2 ; Дг 1 0,178. 8.157. Д,г = 0,0031 Д,г = 0,0005 Щ = 0,0063.
8.158. A t z = 0 ,0 4 ; А у г = 0 ,0 4 ; A Z = 0.8.161. у, x8.162. 1 ; - 4 - 8 .1 6 3 . cos(x-j-)у
У
-c o s(x -y ). 8Л64. у ( е г2~уЧ2х2е і2-у2); x e ^ \ \ ~ 2 y 2). 8.165. —
. 8.166.
ІЛ6І-ЩМ:
I P 8167-
у е ’ +Ъ( 1+x); x e ' + * ( l + 2 y ) . 8.170. — — ; — J -----H 8.171. e ^ ^ ( б х - y ) х + Ы у Д х + ln y )
371
£Здг2+2>2-лу(4у—х). 8.172. e xyi[yz(x2+ y 2+ z 2) + 2х]\ e xyz[xz(x2+ y 2+ z 2)+2y]', е хуг[х у (х 2+
+ y 2+Z2)+2z]', 8.173. 3x2y + z 2’, х ъ+2y z \ 2 x z + y 2. 8.174. yz\ xz; xy. 8.175.
3
2-Jx + Ъу
. 8.176.
2
-1
1
2yfx + 3y
. 8.177. 3x 2siny \ x 3cosy +Ay 3. 8.178. 4x3; —Ъу2.
\ + ( 2 x - y ) 2 * \ + ( 2 x —y)'
8.179. -2 ; 4. 8.180. -2 ; 0. 8.181.
2
3
л/2
1
- .8 .1 8 2 . — ; - .8.183. 0;
8 . 200. 0 .8 . 201. yarctg(xy) +
xy
. 8.199. a(2x +y)cost —a(2y +x)sin/.
2t + yaxctg(xy) +
2..2
11 x у
. 8.197. 0. 8.198.
(1+ /2)4
2(1 + / 2)5
2(5cos42/ +2arctg/ )sin2/+(2cos2/—3(arctg/)
6
3r
8.194./(e'+e3'). 8.195. - 4 e 2c“ 2'sm2/. 8.196. M i ± i £ _ ) ctg
1
1+ /
■Jn .8.184.3;- 7 .
x 2y
■312. 8 .202 . y x y~l i +
t
2 ..2
1p X у
+ x y Injc-cosf. 8.203. —2(e'+e 0* 8.204. 6хуъ+\Ъх2у 2і. 8.205. 2e2'(2e2'+sin 2/)+e 2'sin2/.
8.206. 0. 8.207. x(z + 2 y t 2) ~ yzte' . 8.208. r 7( 8 sinr+/cosrt. 8.209. 3ы2 v 3 +
tx
/
3
3v -
и
V
у y x~‘ l n j ; - l
7 . 8.211. ------- £—• 8.212. ~
8.210. ^
*
x -У
V
у2
1—x
1- у
8.215. ydx+xdy. 8.216. xd x + y d y . 8.217. - —
. 8.213.
X +y
— + — 2xdy —
. 2x
2 . 2x
y s m —- у sin —
У
8.221. y 2c o s x y 2dx +
f
+ 2 x y c o s x y 2dy. 8 . 2 2 2 .
Jy -
+
.
X
.
у
+ — sm—sin —
У x
2 yfy
1
JC
у
У
У
X
—cos—cos—+
+ -a=r Idy . 8 .2 2 3 .
V
у
e +e
У
{xy2dx - x2ydy). 8.218 . 2xdx^ 2yf y
8.219.(2xy —y 2) d x + ( x 2—2xy)dy. 8.220. —
У
V
ye
\x2+ y2)
x 2+ y 2
1
yfx
I cos—cos—+ —sin—sin — rfy .8.224. ^ xydx ~ x ^
JC JC V JC
У
У
r
#
У
(
dy ,8.225.
y xl n y d x + x y x {dy. 8.226. (3 x 2—l)fifcc+(z2+3z)*/y +(2z+3.V + l)^fe. 8.227. (2x+v)dx +
/
+ ( х + 2>0 </.У+ 0 >+ 2 z)fite- 8.228.
J' +
2yfx
v
/
+
r
+
\
Wb
+
2-Jz
V
8.229. 0,08. 8.230. 0,25e. 8.232. =0,94. 8.233. =4,998. 8.234. =0,75. 8.235. =3,185
8.236. =0,227. 8.237. =-0,03. 8.238. =8,29. 8.239. =5,08. 8.240. =2,95. 8.241. =0,345
8.242. =5,3675. 8.243. 108,972. 8.247.
. 8.248. — . 8.249. 7. 8.250.
25
372
. 8.251.
л/5
3 + 6; 13. 8.252.
8.256. 7 8.257.(6;4).
8.253. - . 8.254. 2 2 - . 8.255.
8.258.1 j ; ~ J. 8 . 2 5 9 . - ^ ; _ J j L _ . 8.260. Зх 02у02г„; 2 х 02у 0г0; ^ . 8 . 2 6 1 .
XЬ
*
.. — ■—= 7 : г—
V^O + 3 - 0 + 2 0
■*о
*о ~^Уо
*Уй it і
Z
° = 7 > _7'
j g 1 1 I §
яrf '*
°,
Щ
• 8.261а. —2 ; 6 ; -3 . 8.263.x-2 y + 3 z = 6 ;
I p j I Zo
x-l _ y + l _ z - l
, Jt-3
- j ------- ^ ------- 5 “ - 8.264. З х - у - г = 4; —
y-1
z-4
= ^— = —— .8 .2 6 5 . x + 2 y + 2 z = 9 ;
jc—1 y - 2
z- 2
r- 2
V- 3
7 -2
T " “ T ~ = ~T ~- 8-266- Зх+ 2у —Зг= 6; — = — = - 7 ] - . 8.267. 10x-8y~z=9;
1
3
Тш = 2 ^
= 'Lp - 8-268. 2x + 4 y - z = 5; i - i = i L ^ = £ _ ^
+ 12г=169;
| = 7 = ]|J
»-270.
2x + 2 y - z = l ; ^ = ^ = ^ .
2
2
-1
* + y - 2 z = 0;
8.272. 2 x + 2 y - 3 z
—1
=
—1
+ l = 0; —
8.273. Z- 2*+ 2 = 0; ^ ! = ^ = -L 8.274. г = - * +лу; ^
§J
U —1
I
2
8 269. 3x+4y +
=
8 271
2
=^ ^ =— .
2
-3
= ^
= 7 . 8.275. 12x—к
1
r(4 4 \ \ f
-3 y + 2 z = ± 1 3 ,8 .2 7 6 . x+jy = l ± V 2 . 8.278.
4
4
1
V
жр-'''
m 1"^ідГ'~
гДг^Рг^иі^' Ж
= — ; г ' = l n — ; z ' = ----- . 8 . 2 8 1 . С = 6 + 2 у ; г ' = 2 х + 4 у - 4 ;
х
, У
у
fj
z "„ = 4 х ~ 6 у .8.282. С = г ' = г ' = 7 ----- * + У v /
[і- ( х + у У Р
ч
Ш
z; = щ
З х 2 + 4 ух
„
X 2 + 2ху
V £
V ’ Z* 1 7 -------- чГ ;
Л
X2
#—
I І 7-------- ^.8.284. z ^ ' ^ i n
;
^ + c o s 4 = 7 T ° S ^ • 8-285- С ^ з ’О '-О ^-2;
* '( ln x ) J; z " - x ' - ' O n x + l ) . 8.286. Й = Щ
- J 7 T 7 ' 8 ’287
=
. 8.283. z ' = 2 ln (х +
| S
; *' = -■ + 2>’" ■ r* =
+у
г : = 5 7 1 Т ; г > ( , 7 7 Т ; < = 0 - 8-288-
: г' 1 ^
v ; z' = 7 (x + y )3
(x + у )
(х +
г* ‘
^ . 8.301. 18. 8.302.—sin(jc—y) 8.303. Л
уУ
"
x
373
л
2у _
8 3 0 4 .- у . 8.314. 2y(dx) 2+4{x~y)dxdy—2x(dy)1&3\5* S(x2+ у 2)(5х2+ у 2)(Л ) 2+ Axydxdy +
х
+ (x 2+ 5 y 2) ( d y ) 2. 8316. -
(etc)2 + 2^ 1 + ^hedy . 8.317. З а ц К ф )1. 8.318. 2dxdy.
8.319. e^~2yOdx —2ф’)2.8.320. 2sm2ydxdy+2xco£y(dy ’) 2. 8.321. —(2dxdy+ —(dx) 3|. 8.322.
2y(dx) 2+4 (у - х )dxdy - 2 x(dy)2. 8. 323. 1
v**’У/
. 8.324. 0. 8.325. Ц (dx) 3-
х
X
(dx) -dy.
8.226. 6 [(<£с)3+(</у)3]. 8.327. 6[(dx))+ ( d y ) i+ (d z )3-3dxdydz\. 8.328. 2(dxdy+dydz+dzdx
8.329. 24(d y )4. 8.332. /(jc j0 = 12+15(x ~ 2 )+ 6 (x -2 )2+ 3(x ~ 2 ) ( y ~ l ) ~ 6 ( y - 1 )2+ ( x - 2 ) J- ( y - 1 )3 8.333. f (x,y)—\ (x 1)+(y 1)~Ь(х 1)2 ( x — l ) ( _ y - l ) - ( j c - l ) 3+ (jc -l) 2( y XV2
+ 2 х у А у + 2 у Ах Д,у+х (Д,уУ + Ax•(Ду)2 .
8 .3 3 5 .
+ v 2 -Азс+
A f ( x , у ) = - ( А с )2 + 2 Av Ay +
+ 3(Ау)2.8.336. / (x, у ) = 1+ у + ^ (у2 - . r )+ i-(y 3- 3x2y )+ o(p3), мұндағы p = J x 2 + y 1 .
8.337. f ( x , y ) = x y + — (xy 3 - x * y ) + o ( p 4),
мүңдағы p ^ - J x 1 + >J . 8.339.
нүктесівде/ ^ = 6 . 8.340. Л (-4;1) нүкгесінде^иі= 1. 8.341.jV(0;3) нүктесшде / ^ = - 9 .
8.342. М - 4;1) нүктссінде f msn= ~ 1• 8.343. экстремум жоқ. 8.344. лг| і ; - | нүктесінде
/ш
8.345.
W,^0;-j
нүктесінде
/
ті„
*
,
л
л
/
г
;
с
т
а
ц
и
о
н
а
р
л
ы
қ
нү
'ктесінде
64
жл
экстремум жоқ. 8.346. jV(1;3) нүктесінде f . =10-181пЗ. 8.347. УУ,(2;1) нүктесінде
/ ^ = - 2 8 , vV2<—2 ;—1) нүктесінде/ма=28; jV3( I ;2 ), W4<—1;2 ) стационарлык нүктелерінде
экстремум жоқ. 8.348. jV,(0;0) нүктесіңде/^=0; N 3f - | , o j, N}( 1;4), jV4(1;—4) стационарлык нүктелерінде экстремум жоқ. 8.349.
Нүктесінде / mln=4, jV2(0; 0)
стационарлық нүктесінде экстремум жоқ. 8.350. анықталу облысының ішінде
стационарлық нүктелері жоқ, сондықтан экстремумы да жоқ. 8.351. # ( ! ; ! )
экстремумы жоқ. 8.352. УҮ(4;4) нүктесінде /
(л/3;-з) нүктесіаде /
= - 6 л /3 ,
s*л/ч
n
A-
уіЗ ; -
з ) нүкгесінде f
=б7з
і?с /т
тең қабырғалы. 8.355. R = J ——; Н = . —— . 8.356. /? =1; //= 2 . 8.357. х = у = V2V.
V Зтг
V Зяг
8 . 3 5 9 . ^|нүктесінде zm„ » - j . 8.360. л ^ |; 4 |ж өне м / - | ; - - 4
н ү к т е л е р і н д е =106-
JV,(2;-3) ж өне ЛГ,(~2;3) нүктелерінде zmln= - 5 0 .
374
/ 7Г
пк_
8.361. g"+ ^ ~ ’
т
(—1)*
нүкгелеріңцегіэкстремум z = 1+ —-j- ; егер
як Л
~~%+~2 I л =
л/2
&-жүп болса, максимум, егер £-тақ болса, минимум. 8.362.
1 _1 '
Я ш/
нүк-
тесіңде^^ = -V 2 ,N 2j^-^;-^j нүктесівде. 8.363. Л ^ ;^ н ү к т есін д е z ^ = -^ r.
3
8.364.
нүктесінде
3
j нүктесінде
4,75. 8.365. 7V,(1;0) нүктесінде ^ = 0 , # 2|
1
С
= — . 8.366. ЛГ(1; 1) нүктесінде ^ = 2 . 8.367.
9
нүктесінде
> ^ | - ^ ; - ^ ) н Ү кгесівдегтіп= -л /5.8.368. N { - 2 - 2 ) нүктесінде z ^ - 4 ,
ЛГ2(2;2)
нүктесінде ^ = 4 . 8.369. x = y = j 2 S катетгері үшін z min = 2 ^ S . 8.370.
теңкабырғалы. 8.371. квадрат, р тт = 4 л/S . 8.372. куб,
F
=
(
Г
.
8.374.
N
- , max I 6 1
I
12
шекаралық нүктесшде ең үлкен мәні z = V 2 ; Л/2
2
1 шекаралық нүкгесінде
ең кіші мәні z = -V 2 . 8.375. 7V,(1;0), TV2(—1;0) шекаралық нүктелерінде ең үлкен
мөні z = 1; iV3(0; 1), А^4(0;—1) шекаралық нүктелерінде
К1Ш1 M
iV,(2 ;—1) шекаралық нүктесінде ең үлкен мөні £=13; Щ2/ Щ1) ІШКІ
jV3(0;-1) шекаралық нүктесінде ең кіші мәні * = -1 . 8.377. А^,(0;3) шекаралық
нүктесінде ең кіші мәні z = ~l9, N2(0;0) шекаралық нүктесінде ең үлкен мөні z —~
1. 8.378. ең кіші мөні z —-----, ең үлкен мәні г=16. 8.379. ең кіші мөні 2 = 5 , ең
үлкен мөні г=11. 8.380. ең кіші мөні г = 1, ең үлкен мөні z=4. 8.381. ең кіші мөні
3
г=0, ең үлкен мөні
.8.382. ең кіші мөні г = —3, ең үлкен мөні z —1 +
2
36
86
8.384. у = — * + — . 8.385. у = 0,05be +0,148. 8.386. у =98,452*-29,286. 8.387.
26
159
у -2,08л:-0 ,5 . 8.388. У = ~Ч^х + ~77-
IX т а р а у
9.3.7. 9.4.14/3. 9.5 1п|?.9.6. 9/4. 9.7. 126. 9.8. 10. 9 . 9 . 9 . 1 0 . 1 . 9.11.2. 9.12.<г'.
24
1*
9.13. 1/3. 9.14. 6я. 9.15. -11. 9.16. 2. 9.17. у . 9.18. 1п2. 9.19.
-1/504. 9.22. 1/24. 9.23. 5/6. 9.24 9/4. 9.25. 1/2. 9.26. 3/8. 9.27.
375
. 9.20. 1/2. 9.21.
. 9.28. |( 1 п 4 - 1 ) .
4
2
Ну
I
9.29.(л + 1 - 2 7 2 ) / 4 . 9.30. 26. 9 .3 2 .\ d y \ f ( x , y ) d x . 9.33. f d y f f(x,y)dx. 9.34
3
4
1
2 y/2
e
f ( x 9y)dx . 9.35.
2-x
2
X
0
2
Я J f ^ y ) dx + \ dy j
0 '/2
1
l n2
^
1
?%I f ( x , y ) d x + \ d y \
;-i Л
1 4
1
e*
2
f(x,y)dx .
2
9.36
2
I dxj /(jc, y)rfp + J dx J f ( x , y ) d y 931.1 d x j f ( x , y)dy + J dxj f ( x , y)dy + | dxJ / (x, y)dy.
0
0
1
0
0
9.41. 8. 9.42. ^ . 9.43.
2
j
9.47. 2л3. 9.48.
Z
1
и = xy, v =
1я2
1
X
. 9.44. 1/2. 9.45. — . 9.46. 2tc(^2—1).
x
Щ
9.49. Зл. 9.50. -6 л 2. 9.51.
x=apcos<p, у =6psin<p. 9.55. ү
1
. 9.56. 186| • 9.57.
. 9.52.
. 9.53. —
; нүсқау
9.58. 1/6. 9.59. ^ ү - . 9.60.
16. 9.61. Зл. 9.62. л. 9.63. 549/144. 9.64. — а3. 9.65. - ү [ а 3 - ( a 2 - R2)3' 2]. 9.66.
3
| л а 3. 9.67. | л Л 3. 9.68.
у - . 9.69.
j
. 9.71. 2/3. 9.72. 10— . 9.73. — . 9.74.
й£ й 3
72 - 1 • 9.75. 4у/3 • 9.7<
4
473 . 9.89. -г(2Т2
9.82. 64/3. 9.83. 2л - у
9 .9 0 .
6
4Л 2( 25 - 1Г )' .* у,у
9 .9 1*•.
і
1/6
8
Д2(*^ +, 1“ /- 7. 2 ) .
----•
(17V 17-1). 9.95. ^ тш 2- 9.96.
9 .9 2 .
2уІ2тг2
9 ..9
3.Л—п
£*ч
msvu, .. У
УО
4тс/г2. 9.100. (2/5; 0). 9.101.
а 2 . 9.94.
7 Ш
10
2
3(я - 2) ’л - 2; •
4Ъ
9.102. (45/28; 279/70). 9.103. (9/20; 9/20). 9.104. (1; 4/Зл). 9.105. (0 ;— ) . 9.106.
Ъп
(1 - т ) ( > /2 + ! ) ; ! ( ? - 1)(2 + - J l ) . 9.107. ( т ? ; 0 у 9108
9.110. ( ^ ; 0 ) . 9.111.
О 1ПО f ^ : o )
9.112. ± i“ + b 2 ) . 9.113.
9.114. Зло4. 9.115. 2, 4. 9.116. 4096/105. 9.117. 8/3. 9.118. — . 9.119. —
. 9.120.
35 4
JIQ*
1/12; 7/12. 9.121. ү^па . 9.122. — . 9.124. 3/2. 9.125. 728/3. 9.126. - 2 . 9.127. 54.
4
9.128. 54. 9.129. у . 9.130. 1/6. 9.131. 81/4. 9.132. 1/96. 9.133. І [ і п 2 - - | . 9.134.
376
21
1/48. 9.135. 0. 9.136. 40/3. 9.137. 1/2. 9.138. 4 1 0 2 - 1 . 9.139. —
°
9 .1 5 7 . § , 9 . 1 5 8 .
6
^
.9.145. M l .9.146. k R \ 9.147.8. 9.148. ^ . 9.149.
15
Э IliS m
m
.
£
(3 * -
4/9. 9.142.0.9.143.Я/10,9.144.
9 .1 5 6 .
. 9.140. 30. 9.141.
9 .1 5 2 .
4).
i f
;
» .1 5 3 .
£ .
9 .1 5 5 . 1 9 /6 .
9 .1 5 9 .
6 ■ 9Л62' 55/6. 9-K>3. 81/4 л. 9.165. (2/5; 2/5; 7/30). 9.166. (1/4; 1/4; 1/4).
9.167. (1 6 ^ 3 /15л; 16 >/3 /15л:; 2). 9.168. (0; 0; 3a/8). 9.169. (1; 2; 1/2). 9.170. (3; 3;
4 5 /3 2 ).
,
(6 /5 ;
9 .1 7 1 .
.
яЛ2# ,
2
2
" = x = _ 60_ ( я + з л );
28тг 5
—
*
а . 9.178. — a . 9.179.
12/5;
.
8 /5 ).
y .
9 .1 7 3 .
9 .1 7 4 .
яЯй4 „
224л
2 ,
в = /г = ~ Т о ~ - 9Л 75- “l ~ - 9 1 7 6 • 9177-
1
тс
/лГ
9.181. — .9 .1 8 2 . 1/60. 9.183. 8һа 4/5.
9.180.
9 .1 8 4 . 8/ 2 і а М ( у + у ) . 9 .1 8 9 . ^ у а 3 . 9 .1 9 0 . 24. 9 . 1 9 1 у ( 5 л / 5 - і ) . 9 . 192 .
12
(l7vT7
2a4 + ^ l n ( j 3 + 2) .9.198.2 (/-1 ) + у .9.199. | ( 3 3/1 - 23/2) .9.200. у n/T T * 7 (За2 +.
+ 4л262) . 9.202. 8 . 9.203. -%. 9.204. 2; 9.205. 4/3. 9.206. -14/15. 9.207. 2/3. 9.208.
-2sin2. 9.209. 0; (интегриралды оң багытга жүргізу керек). 9.210. - 2 каЬ. 9.211. 0.
9.212. 13. 9.213. 1/6. 9.216. -4 /3 . 9.217. 8 . 9.218. 2тю2. 9.219. -461 . 9.220. 0. 9.221.
2. 9.222. 0. 9.223. 0. 9.224. у - . 9.225. 2паЬ. 9.226. 0. 9.227. 0. 9.228.
-4. 9.230. 2 j
|g |f .
9.232. тЛ. 9.233. j
9 .2 3 8 .
. 9 .2 3 4 .Іп2. 9.235. З Л . у
9 .2 3 9 . хе = yt . = ~
(161п2 +15)
. 9.236. 1/3. 9.237.
. 9 . 240 .
s/5 r
м 3 . 9.229.
V5
» ‘" 2 ~
У‘ I ---- 24---- ' 9,24L * =Jf = 2К; У“=4я • 9 242' 7' = Т 7' = Й ‘ 9<244- 17/11
25— 219
377
9.245. 3/2. 9.246. 1. 9.248. 0. 9.249.
. 9.250. 54>/І4 . 9.251. 4R2H + nRH2.
65
9.252. 0. 9.253. * 2 ,2 . 9.254. Ц - . 9.255. ~
4
9.259. 36. 9.261.
-3 . 9.267.
4
„з
I—г
. 9.256. Зя. 9.257. 1. 9.258. 36.
4
4
. 9.262. ч Я - т г • 9.263. -1 /6 . 9.264. 8л. 9.265. 0. 9.266.
■ 9.268. 28/3. 9.269. -32л. 9.270. 144л. 9.271. 88 . 9.272. 4. 9.274.
12яЛУ5. 9.275. 4 n R \ 9.276. 0. 9.277. 0. 9.278. п. 9.279. 24я. 9.280. 54я. 9.281. л/5.
9.283. —л / 8 . 9.284. 0. 9.285. ~2nR(R+h). 9.286. - 9 /2 а \ 9.287. 0. 9.289. 12л. 9.290.
36. 9.291. 8 . 9.292. 42л. 9.293. 2тс(3 - V3) - 9.294. 2 R \ n - 2 ) . 9.296. (0; 0; 26/3).
/
a m a а(>І2 + \)
9.297. (a/2] 0; \6а/9п). 9.298.
. 9.299. (1/3; 1/3; 1/3). 9.300.
2
\ 2уі2 ’2уі2'
(0; 0; ----310
)• 9.301. (0; 0; £ ) . 9.302. 2т[(1 +
2
15
» 9 .303 . к а 2. 9.304. М !
2>/3
Х тарау
1 ___
10.14. -V . 10.15.
и“ • •
1
(-1Г1 Е
1
п
. 10.16. -----г . 10.17. ттгг. 10.18.
1п(1 + и)Я+ 1 2я-1 -
гш 1
10.20. у — 2 - 10.21. 1^1
(-1Г1
Я—1
1
. . 10.19.
Уп ■
пГ
. 10.22. 2/3. 10.23. 3/4. 10.24. 1/2. 10.25. 11/18. 10.26,
1/4. 10.27. 1/3. 10.28. 1. 10.29. 23/90. 10.30. 2/3. 10.31. 3/4. 10.32. 1/2. 10.33. 0
2k +1
1
1
10.34. 1 нұсқау.
+ ^2 ~~j f ~ 7k + W теңдігін пайдалану керек. 10.35. 6 . 10.36
OP
1
оо
1
оо
‘“•38- § агс« ? г ^ Г Т ;! ■!0-39- | н г ~ ; «
. 10.43. иө. 10.44. иө. 10.45. жоқ. 10.46. жоқ. 10.47
«иглы1* in
жинақты. іи .> /. жинақсыз.
іи.эо. жинақты. in
1U.59. жинақсыз. in £n
жинақты 10.61. жинақты. 10.62. жинақты. 10.63. жинақты. 10.65. жинақсыз
~ і
жинақты. 10.67. жинақты. 10.68. жинақты;
салыстыру керек. 10.69. жинақты.
/1 = 1
10
жинақсыз. 10.76. жинақты. 10.77. жинақты. 10.78. жинақсыз. 10.79. жинақты.
10.80. жинақсыз. 10.81. жинақты. 10.82. жинақсыз. 10.83. жинақсыз. 10.84. жинақты.
10.85. жинақты. 10.87. жинақты. 10.88. жинақты. 10.89. жинақты. 10.90. жинақты.
10.91. жинақты. 10.92. жинақсыз. 10.93. жинақты. 10.94. жинақты. 10.95. жинақты.
10.96. жинақты. 10.98. жинақты. 10.99. жинақсыз. 10.100. жинақты. 10.101.
жинақты. 10.102. жинақсыз. 10.103. жинақты. 10.104. жинақсыз. 10.105. жинақты.
10.106. жинақсыз. 10.107. жинақсыз. 10.108. жинақты. 10.109. жинақты. 10.110.
жинақсыз. 10.111. жинақты. 10.112. жинақты. 10.113. жинақты. 10.114. жинақты.
10.115. жинақсыз. 10.116. жинақты. 10.117. жинақты. 10.118. жинақты. 10.119.
378
жинақсыз. 10.122. шартты жинақты. 10.123. абсолютгі жинақты. 10.124. абсолютті
жинақты. 10.125. жинақсыз. 10.126. абсолютті жинақты. 10.127. шартты жинақты.
10.128. жинақсыз. 10.129. абсолютті жинақты. 10.130. абсолютті жинақты. 10.131.
абсолютп жинақты. 10.132. шартты жинақты. 10.133. абсолютті жинақты. 10.134.
абсолютп жинақты. 10.135. шартты жинақты. 10.136. абсолютті жинақты. 10.137.
абсолютп жинақты. 10.138. жинақсыз. 10.139. жинақсыз. 10.140. абсолютті жинақты.
10.141. абсалюттіжинақты. 10.143. R = 1, -1<x<1. 10.144. /?=«>, -oo<jc<oo. 10.145.
R=
1
1
уі2
4г'
< X <
1
V2
. 10.146. R = 4, |x|<4. 10.147. /? = 3, -3< x< 3. 10.148. /? = oo,
-oo<x<oo. 10.149./? =0, x=0. 10.150. R = 3, -3< x< 3. 10.151. R = ^ , - — < x < —
10.152. R = l , - K x < 1. 10.153./? =0,x = 0 , 10.154. R=oo-oo<x <oo. 10.155. R = 1, - l < x < 1
1
1
1
10.156.Д = ! , - ! < * < 1.10.157. R = t z , - t z ^ x < — 10.158. R = 2 , - 2 < x < 2 . 10.159
10
/?=1,-1<х<1. 10.160. R = - , - - < x < ~ . 10.161. /?= 1 1<jc<1. 10.162. R=2,—2<x<2
e
e
e
10.163. 0<x<2. Нүсқау: t = x —\ деп айнымалыны ауыстыру керек. 10.164. —5<х<3
22л-1^2/і
10.165. 2<х<3. 1 0 .1 6 7 . cos2* = l - — + 8x I + (-1)"
2!
4!
(2я)!
2/і
и .,2 л
oo
10.169. X (-1)”
n±Q
— oo < X < oo.
•
10 .172.
“
. Пи _ 1\||
+ § ( - i r 22^'(2h)!!
~ < JC< oo. 10.170.У (-1)
/
l + x2+ f ( - r
/14*1
1=0
- -3 ' ^
2ял:
я
W
<:-j=. 10.171.
V2
;Jx| 51.
У (-1)"
/7=0
10.173.
И!f ’
2
+
~
9Л
1
2”xv"
;^ < 2 10174- X (-1)"~з^Г’М < 2 • 10175- J > l ) V " ; | x | < l .
10.176. 2x + ^?- + — + . . . + i^ — + ...;|x|< 1. 10.177. j » V ; |x |< l. 10.178. 1+
3
5
2/i - 1
(2/1-1)!!,,.
+I
/1=1 (2/1)!!
’
< 1.10.179. X + У (-1)
л=1
/1 + 1
(2л - 1 )!!
(2л)!!
jc2/f+l
jc|sl.
2
п
+
1
»
2
n
-1 л 2я-2.ч
Ю.180.X(-1)
/і=0
1
13
,
ү 6---------х
—- -д — ***9
13
1 0 .1 8 3 .x - —j— X4 - , I х 1 - 1
х 10- ... + С\
1! 2 - 4
2!2 • 7
3! 2 •10
1S
+
7! 15
х+
2
< +оо
^я!(2я + 3)
х3
<1
х 11
х7
2и+3
2 +... + С;0 < х < оо
10.187.
1-1
Зх
— + ... + С;|х < 1 . Ю.188. X ( - 1)
+
С;
х
<
+оо
.
10.189.
8
(1 - хУ 9
я-0 ( 2 л ) ! 2 я
/
2-5
379
<1
х(1 - х) .
10.190.
X I
е +е
<1 . 10.191.
1 1 хУ '
1
1+ х
2
1- х
< 1 . 10.192. arctgx; |х|<1. 10.192.
—х
SU1/IX
< 1 . 10.196. - - Ү
. 10.197.
2 ^ п
К
х <+о о . 10.194. 1 + — - ln(l - х);
2
ех + е х 1 ~ (—
IV*
- + Ү, ------ 5-(cos пх + п sin пх) . 10.198.
к
2 t i l + ir
8 у — л ^ іп л х —
тг & (2л - 1)(2л +1)
4 ү cos(2 п + \)кх
1
. 10.203. — - Ү
(2п + I)2
2 п2
V (~1)л[
1«
6
п
10. 210 .
4
(-D
11=1
2 sin £ fl у
}
10 .2 1 5 .
CO S П Х .
п
10 202
sm/ix
. 10.205
. 10.204. - 2 Ү (-1)”
п
m=1
п2
sin
/IX
. 10 .2 0 7 .
2У
п
jr £ {
_ 1 2 у cos(2* - О* +
4
я
(2л+ 1)2
ІГі
(2л + 1 )
1 0 .2 1 1 .
10 213 3
з _ 11
п -а
8
к
2
2
Л=1
1
4
1)jc.
я
6
10.218.
A C O S rtX
1. 10.212
Л2 - а 2
4 у sin(2п - 1)х
]
2/1-1
n tl
10 214
8
Sin /IX
4
л
+Х(-1)
— + У [2 cos(2л -1 )* + (-1)л—— ] . 1 0 .2 1 7 .
4
£
*(2л - 1)2
c o s (2 /i-l)x
Л
1 - c o s x + 2£ (1)Л cos/tx
2
л=2
cos2/ix
1 чsin(2 /i - 1)х
--)—~
. 10.217. - —У
1 SU1(2”
2л - 1
яг ^ 2л - 1
2
2
ы
Л+ 1
, Л Sin ЛХ
я
з
. 10199
cos(2/i
+
1)х
1 -1 . у
+ + у (^i)^sm/lx . 10 .2 0 9 .
,1 0 .2 0 8 .
2
10 201
£і
Isin /IX . 1 0.2 0 6 .
п )
+у
А
т=1
у sin их
10 200
— - 4 Ү (-1)"-'
cos(2/i - 1)х
£ [ 2(2л- 1)2
1 4
---У [
2
_,тг
(4
1
;г ( 2 л - 1 )
(-1)" I пкхл
+
sin — 1,
2/1
2
X Iтарау
11.2. болады. 11.3. болады. 11.4. болады. 11.5. болады. 11.6. болады. 11.7. болады.
11.9. У' = 2 —. 11.10. у'=1. 11.11. у=2у'х. ПЛ1. у = у ’х + у = ( у У . ПЛЗ.-тсуу'+у2=4.
X
«Л
11.14. у 2у ' 2+ у 1= 1 . 11.17. ( 1 + у ) ( 1 —х )= С . 11.18. arctgx +arctgy = С. 11.19.
У
2
%/Г+х2 + Jl
11.23. 1+ех=С (1+х2). 11.25. у=~2х.
С( 1-е-г). П .22.2х+2~у=С .
11.26. х у = - 8 . 11.27. J> = 2sin 2 x - - . ц .2 8 .
у ——х. 11.29.у =lnx. 11.30..y=2smx-l. 11.31. у =1.11.32. ln| ^ х + Aj = 2 f —- 1 1 . 11.33
380
у = еГх-г ■ 11-34. ? = (х + 1)2. 11.36. y 2= x 2(ln x -C ). 11.37. у - х = Се, х . 11.38.
sin^ + In л: = С. 11.39. InCc = -е~* .11.40. Сх2 = у + J x 2 + у 2 . 11.41. y = x e M l . 11.42.
у = х е 1~х. 11.43. In\у\ + 2
11.47.У =
= 2 . 11.44. У = ^ ( * 2 - 1 ) . 11.46. у = е~* f - x 3 + c j .
+ -.1 1 .4 8 . .У= С е 2х + |( 2 х 2 + 2х - 1 ) . 11.49. У = С(х + 1)2 + | ( х + 1)4 .
,
11.50. У = е
х2
1
(С + — ) .11.51. у = ( х + С ) ( 1 + х 2).11.52. У = Се'2х + - еЪх . 11.53.
С
1
1
1
y = x l n x + - 11.54. j/=siruc. 11.55. у = е2х- е х + - х + - . Ц.57. У = - -у ~рг . 11.58.
х
2
4
xlnCx
у = - - j - i ---- - .11.59.1 = 2 - х 2 + C e J .11.60. х = £ 1п 2(Сх). 11.61. у 3 = д
11.62. х 2 =
I -4I х
.
• И-64. х 2+ х у + у 2= С . 11.65. 5 х 2)’“ 8ху+х+3}' = С .11.66.
г. J ^
-‘
1 •
■
■ J з
л
х 2 + уе* = С. 11.67. х 2cos2y + у 2= С . 11.68. 6х 2+5ху+у 2—9х —-4 у=С .11.69. 6у-Н2у3—
•2
-9»*уJ+23C^C. 11.70.adny-ar*-?*-iC. 11.71.
2
,
2
+ £L ±2_ = с . 11.72.х3<>'-?=-1.
11.73.sin^ = Сх.11.74. у = Сх + — . 1 1.75.у 2 + In —j— 7 = 0. 11.76. .у =х 2sinx+ Csinx.
х
3
x'-l
X х2
11.77. ^ + у = С . 11.78. siny-sinx=C. 11.79.х 2+ 2 л у -у 2=С . 11.80. x = CVr3'+ -£ ? 2y
С
11.81. х ~ ~
г
~
.
11.82.
х - е - у е 7*. 11.83. y=C cosx + sinx. 11.84. у е х=Сх. 11.85,
v v b К
И
Се 21 - е х + \ х + - . 11.86. у = ( $
2
4*
I
W ™ ? *) + tgy) .11.87. l+ y 3= C (l+ xJ). 11.89
X
У - - - — і-гтт- A * 2 + 7 X + - . 11.90. y=31nx+2x2—6x+6. 11.91. y=l-~cos2x. 11.92.
(x + 2)
16
4
4
y = - r + --z—
6
2
5x + ^ . 11.93. у ^In |sinx |+ C ,x 2+C2x + C3. 11.94. у = —xsinx —
3
sin 2x ~
^
_
-2coslx+C,x+C2.11.96. У ~ - х ----- — + C,x + C2. ц . 97 . у = ~ (x + C,>ln(x+ Q f C^x+ C3.
1 ^
ззі
2
I
11.98. у = -- + C, In x + C2. 11.99. у = С хх{)хіх-\)+Сү 11.100. у щ - C,x3 + C2. 11.101.
'іШ Ш ■
381
-
М
X3
y
=
JC
Y 2 + Y + C 'X h l X
+ C2X + C i - 1 1 Л 0 2 - у
2
+С1) - С 1х+ С 2.11.104.>' = -
Й Й • П-103. * « ( l + CJ ) l n ( x +
і
іс
х 2уі2х
- — .11.105.y=21n|x + l|-x+1.11.106.y==e*(jc-l)+
+С 1х 2+С2, у = е х( х - 1 ) . 11.108. х = 2 Cjr-\n\р |+ С2; у = С у - р \ у=Се~*\ у - С . 11.109.
.2
- з Ф - 2С,)yfJT+cl + с 2. 11.110. і- J c y +11с21X. 11. 11. С Ь + 1=
* f
1
±сһ(С,х+С2); С ^ -1 = я п (С ,х + С 2); 2 y = ( x + Q J; y =0 . 11. 112. lny= С.tgx( С.х+ Q
In y - C .
In
=
2Clx
+
C2;
(
C
x
)
l
n
y
=
l;y
=
C.
In у + C,
11.113.
#Ш й| йЯ *МШш
ctgy = C2+ C 1x .
" л16-
3E l
11.114
и -" ? .
X
У
П
It
*&*> 2 < X < 2 ' р р № У ~ e 2 •
j ^ l+ s in x .l 1.123. ^ = е _л,(со&х;+2апх).
11.124. у = С хе ъ + С 2е~х. 11.125. y = e ~ l2x(Cl+Cpc). 11.126. J'!*C1e - J*+ C ^ b .11.127.
y = C , e * + C 2e Sx. 11.128. у = С , е ^ х + Ще^* . 11.129. y = e "‘ (С.+ С » . 11.130. y =
jb^CCjCo^x# C2sin4x). 11.131. y = C x+C2e - ^ . 11.132. у = C,cos7x+ C,sin7xI 11.133.
y - C x+ C2e~lx. 11.134. y = Cxe~lx+ C 2e - u . 11.135. у ^ С ^ - ' + С ^ - " * . 11.136.
У ~ e~
(C|COs2x+ CjSin2x). 11.137.J»= C le Ax+C2e _1*.l 1.138. у I С1е'(-2",Гі)х + С2# И Й .
11.139. y = Cle ,0x+ C 2e~I. 11.140. у = C1cos4x + C2sin4x. 11.141. у I
+
+ C2<r(,+Л)І j 11.142. у = C, cos S x + C2 sin S x . 11.143. у = С, cos Щ + C} sin ф
^
'
I ^
.
1
'
11.144. ,y=3e_bsin5x. 11.145. >■= e 2*(2 + x ) . 11.146. У = e x(cos 3x - - sin З х ) . Ц.147.
1.149. ^ = ^(cos>/2x + V2sin>/2x). 11.152. у =C,+
.
.
■ 11-153. у = C ,cos3x + C2sin3x + C3. 11.154.
^ - C , e bl+(C 2+C,)e \ 11.155. J' = C)cosx + C2sinx + C2sinjc + C3cos3x + C4sin 3x . l l . l 57 .
у - C,cos3x+ C2sin3x +x( C3cos3x+ C4sin3x). 11.158. j/= l+ co sx . 11.159. у =e "cosjc-2 .
1 1 . 1 6 0 . у = 2,3 + e (-0 ,3 cos3x +
- x
X
—
sin3x) . 1 1 . 1 6 2 . ^ = - 2 + C , c o s x + C2s i n x f
к
+ s i n x l n t g l - + - l . 11.163. у= -х+ е*(3-1п 2-х)+ (1+ < ?*)1п (1+ е*)-2-1п 2. 11.164.
j'=Clcos2x+C2sin2x+^sin2x + 7cos2xln|cos2)t|.11.165.
= e ~2x(
_ 1*1 + q + c ^
2
11.166. y = - c o s e * + C , + C 2e \
4
11.167 у ^ C,ex + С ге6х + 5sin* + 7 co s*
11.168.
74
у = C,cosx+ C2sinx +лзіпх +co&xln|co&x1.11.169. .y = C, cos x + C2 sin x - Vcos2x . 11.173.
382
у j^Ajc2+Ахх +A^. 11.174 шу^^х^Ар^+Ар+А^. 11.175. у 0= А е х. ІІ.Пб.у =Ахех. 11.177.
у = А х 2е х. 11.178. у =А cosx + В sinx. 11.179. >>0=x(y4cos2x+2?sin2x). 11.180. у 0=А.
l l . l S l . y (rsAi?c+Al. 11.182, у 0= Л е 4х. 11.183. y 0= A x 2e~x. 11Л84. y 0=x(Acos2x+Bsin2x).
x
1
2
11.185.^ 0=A cosx +i? sinx. 11.186. у = С, + C2e x + - .11.187 . y = C le 3x+ C 2e ~ 3x+ y X - - .
11.188. У = С,+ C2e x + | e x .11.189. у = e4*(C1+x)+C2.11.190. У = C, + C2ex - | x 2 - 5 x
11.191. y = Cl cosx + C2s i n x ~ — s i n 5 x . 11.192. у = C, cosx+ f c 2 + ^ jsin x . 11.193
■2x + C2e'x + i e2x . 11.194. y = e 2* (C ,c o s -^ x + C2 sm ^ p -x) + ^
^ = C,cos3x + f c 2 + |j s in 3 x . 11.196.
У
= С1е~*+ C2e3x- ү + j j X - ^ j . 11.197
У = е3* [с і + c ix f у ) . 11.199.y = C ,cosl0x +
у = C,e3x + C2e 3x - 1 e21. 11.198.
+Csinl0x+ — sin2x. 11.200. .у = Ц + C2£f~
96
3
11.201. У =
x2
C, + C2x +
V
2J
11.202. ^ = C,+C2e'2x- ^ x 2 + ^ x .11.203. у = eJ(C, cos-^-x + C2 sin-y-x) + 3sin2x-2cos2x. 11.204. y —Cle x+ C 2e~x—2x. 11.205. у = C,e5x + C2ex - - x2 + — x + — .
or
11.206. у = C{ + C2e~2x — cosx — —sinx . 11.207. j ' = e x(C 1+C 2x )+ 2 x 2e Jt. 11.208.
mJ
mf
у = CjCosx+ CjSinx —2sinx. 11.209. y = C l+C2e Ax+x*+x. 11.210. y = C {+C2e~x+ 3 x . 11.211.
y = Cle x+ C2e ~x+ 2 x e x. 11.212. y —( C x+ C2x) e x+ C3e ~2x+ (x 2+ x —\)e ~ x. 11.213.
у = С, e x+ C2e ~2x+ C3cosx + C4sinx —e xsinx. 11.214.^ =( C, + C2x)cosx + ( C3+ C4x)sinx +
+ 1§ Э I f f f i cbfflF:+ f c sinx. 11.215. y = ^rX 5 - ^ x 3 + C,x2 +C2x + C3cosx + C5sinx .
16 48 J
12
oU
I
11.216. у = C{e x+ C2e P + C3cosx + C4sinx —e xsinx —x 4—24. 11.217. у
1
1 . 3
+C4cos2x + C5sin2x + j ^x+ 24 x 3+ x
7
• sin2x. 11.218. У - ~^je
1
“ 27е
1
+ 9х
2
9 *
11.219. .y = 2sin2x + - x s i n 2 x . 11.220. у =-0,25+0,25*" ^ + х^ хН х. 11.221. у * 4 - З е ^ + е ' Ъ . 11.222. у = е х+ х \ 11.224. у = С {cosx + І. (ақырсыз көп шешім).
сЬү
CORX
11.225. у =1 —sinx -cosx. 11.226. У =
sh x. 11.227. y = — . 11.228. y =
7
sn2n
shl
sinx
(жалғыз шешім). 11.229. шешім жоқ. 11.233. у ^ C ^ + C ^ e3*, і = С хе ъ +C2e lx. 11.234
1
383
У -С ,+ С 2е и , г ~ С х-ЛС2е ^ . 11.235. у =е2х( C,cos3x+ C2cos3x), z= ^ 2<(C,sin3x-Ccos3x).
11.236. у = е - 1*(С1+Сгх), г = е - Ң - С , + С 2(1 -х )]. 11.237. у =<?"'( С,+ С,/), z = e ~ ‘\2C +
+C2( 2 t - 1 ) ] . 11.238. y = e 3x( C l+ C 2+ C 3x ) , z = e 3‘ ( C x+ C jc ) . 11.239. х = < 7 , + З с Л
У ^ - Щ е * Ш г ‘, Z=Cl+C2e ll- 2 C Je-'. 11.240. х = С . е ' + С 2е 2' + Г е 3', у = С ,е '+ 2 С е 3-'
г - 2 С , е ' + С 2г 2'+2С 3е 3'. 11.241. х = - [ С , е 2,+ С 2(1 + t ) e 2‘), у = С .е2,+ С , / е 2'. 11.242.
х —3 Cte 2'+ С2е 41, у - С хе 2,+ С2е*\ х = 3 е 2', у = е 2'. 11.243. y = e s'(C.cos2t + C1sin2t)
y - e s' [ ( C - C 2) s i n 2 t - ( C - C 2)cos2t]; y = e s' ( c o s 2 t - s i n 2 t ) , ,y = 2 e 5'sin2/. 11.244
x H C tt + C 2) e - 3', y = ( —C.t +
Яі
2
C2)e~3',
х = 2 te ~3', y = ( l ~ 2 t ) e ~ 3'.
+ е 2 (С,cos — /+C,sin — /), у = С.е' + - е ' " 2
г
2
3
2
1
2
г = С .в'+-е
1 2
-42
. л/3
(C2V 3-C 3)sin
-(С 3>/3
2
11.245. х = С . е ' +
л/3
Л
(с,л /з- C 2)cos— / - ( c 2V 3-C 3)sin
.
2
л/3
cos—г ;
2
* = ;v= z = e \ 11.246. х = С .е2/+
y = C le 2i+C 3e - ‘, z ^ C ^ - i C ^ Q e ' 1, х=ч?2'+<?-', y = e 2l+ e - ‘, z = e
+С2е
г
2 t.
2e I
11.250. x - C, cos? + C2 sin / + 2t - —e', у = -С, sin / + C2 cos / + 12 —2 + —e' 11.251.
= C ,cos/+ C2sin/ + tg/, y = - C lSin/ + C2cos/ + 2 . 11.252. x = (C, + C2(l + t))e2' + In/,
у = -(С, + C2/)<?2' + In / . 11.253. x = Q e ' + 2C2eAl - e2', у = - С / + C2e4' - e21 . 11. 254 .
x = C ,cos/ + C2 sin/ + —cos/ +1 , у = -С ,sin / + C2 cos/ —^ s i n / - ^ c o s / . 1 1 . 2 5 5. x =
=Cte '+ C 2e +sin/,y = - C,e '+C2e
11.256. *
^ 4 C,+C2/)+ ^ e
*, j, = - e -*( c,+
e
1
7
+C2+C 2/)+ 2 5 e ' + ^ e 2'. 11.257. ^ = C 1(cos2/-sin2/)+C 2(cos/2/+sin2/), j= C ,c o s/ 2/+
+C2sin2 /+ e~ 2'. 11.258. x = C le '+ C 2e 3,+e'(2cost-sinr), y = C le ' - C 2e 3,cost2t+e'(3cost+
+sin/). 11.259. x = C |e'+C 2sin/+C 3cos/, у = - C 1e'+C 2cos/-C ,sin/+/, г = C,sin/+ C eos/+ 1.
11.260. x —Cle '+ C 2e 2'+C)e 3', y = C le'+ 3C 3e 3' + t , z = C 2e 2' - C 3e 3'. 11.262. y = l+ x +
1 4
Jl
1 7
%
1П
ЗІ + --* * * 1 1 .2 6 3 .^ = 2 ^ ” 7 ^ 9 X “ • ** H -264,y = l + x + ~jc2 +yJjc3 +. . . .
11^65^ = 1-1- + ^ ^ ^ + ... .11.266. У= l + ^ + j ^ + ^
+ ....11J67.y = l +|x 3+
+ 2 4 X + " И -268- ^ - ± ( 2Л)!!- n -269. Д' = 1 + * + | x 2 - j - x A +...
21 1
X2
X3
J' = " l 2 ! + 2! + 4 ! + •
384
Ц.270
Әдебиеттер
1. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: Учебник. —М.:
Проспект, 2002.
2. Шипачев B.C. Высшая математика: Учебник. - М.: Высшая
школа, 1985.
3. Қасымов Қ ., Қасымов Е. Жоғары математика курсы (сызықты
алгебра). —Алматы: Санат, 1997.
4. Қабдықайырулы Қ. Жоғары математика. —Алматы, 1993.
5. Айдос Е. Ж. Жоғары математика. —Алматы: Уль- Тек- Китап,
2003.
6. Шипачев B.C. Задачи по высшей математике. —М.: Высшая
школа, 1996.
7. Махмеджанов Н. Жоғары математика есептерінің жинағы.
Алматы. ҚазҮУ. 2005.
8. Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике. —М.:
Наука, 1987.
9. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии. —М., 1984.
10. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика.
Дифференциальное и интегральное исчисление. —М., 1984.
11. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика.
Дифференциальное уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции
комплексного переменного. —М., 1984.
12. Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. —
М., 1984.
13. Сборник задач по математике для вузов /Под редакцией
А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича/. М., 1987. Ч. I- ГУ.
14. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика
в упражнениях и задачах. Ч. 1-2. М.: Высшая школа, 1999.
15. Лунгу КН., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А.
Сборник задач по математике. Ч. 1-2. —М., 2001, 2004.
385
Пікір жазғаңдар:
1. С.А. Алдашев, ф.м. ғ.д, профессор, Алматы Мемлекеттік
педагогикалық университетінің жоғары математика кафедрасының
меңгерушісі.
2. Ш.С. Сахаев, ф.м. ғ.д, Әл-Фараби атындағы Қазақ ұлттық
университетінің профессоры.
3. А. С. Сақабеков, ф.м. ғ.д, Қ азақ-Британ техникалық
университетінщ жоғары математика кафедрасының профессоры.
4. Б.Е. Қангожин, ф.м. ғ.д, Әл-Фараби атындағы Қазақ үлтгық
университетінің математикалық талдау кафедрасының профессоры.
5. Ж.К. Масанов, т.ғ.д, М. Тынышбаев атындағы Көлік және
коммуникация академиясының жоғары математика кафедрасының
профессоры.
6. Ә. Тунгатаров, ф.м. ғ.д, профессор, JI.H. Гумилев атындағы
Еуразиялық ұлттық университетінің кафедра меңгеруіпісі.
386
МАЗМҮНЫ
I тарау. САНДАР ЖЭНЕ КООРДИHATAJIAP ЖҮЙЕЛЕРІ
§ 1.
§2.
§3.
§4.
Жиындар ж эне оларға қолданылатын амалдар......................................... 5
Нақты сандар............................................................................................................у
Координаталар ж үй ел ер і...................................................................................ц
Комплекс са н д а р ..........................................................................................
20
II тарау. СЫЗЫҚТЫҚ АЛГЕБРА
§1. Анықтауыиггар (детерминантгар) ж эне оларды е с еп т еу .................... 26
§2. Матрицалар ............ ......................................................................................
30
§3. Сызықтық тевдеулер ж үйелері....................................................................... 40
ПІ тарау. ВЕКТОРЛЫҚ АЛГЕБРА
§1. Векгорлар ж эне оларға сызықтық амалдар қолдану
Векторды базис бойынша ж ік теу ................................................................. 50
§2. Векторлардың скаляр көбейтіндісі............................................................... 55
§3. Векторлардың векторлық көбейтіңдісі.............................................. 58
§4. Үш вектордың аралас көбейтіндісі....................................... ..............61
IV тарау. АНАЛИТИКАЛЫҚ ГЕОМЕТРИЯ
§1. Жазықтықтағы сызық теңдеуі..............................................................63
§2. Жазықтықтағы түзу................................................................................ 65
§3. Жазықтықтағы екінші ретті сызықтар................................................69
§4. Жазықтықтағы екінші ретті сызықтың жалпы
теңдеуін қарапайым түрге келтіру......................................................77
§5. Бет және сызықтың теңцеулері............................................................81
§6. Кеңістіктегі жазықтық.......................................................................... 83
§7. Кеңістіктегі түзу...’.................................................................................. 86
§8. Кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың өзара орналасуы..................... 89
§9. Кеңістіктегі бетгер жөне сызықтар. Екінші ретгі бетгер................ 93
V т а р а у . ФУНКЦИЯ ЖӘНЕ ОНЫҢ ШЕП
§3. Функция................................................... ................................................ 98
§3. Тізбек жэне оның шегі........................................................................ ЮЗ
§3. Функцияньщ ш ел ................................................................................ ПО
§4.Ақырсыз кішкене жөне ақырсыз улкен
функциялар жэне оларды салыстыру................................................ 120
§5. Функцияньщ үзіліссіздігі.................................................................... 125
387
VI
§1.
§2.
§3.
т а р а у . ТУЫНДЫ ЖЭНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ
Туынды.......................................................................................................
Функцияньщ дифференциалы..............................................................
Дифференциалданатын функциялардын орта
мөндері туралы теоремалар..................................................................
§4. Анықталмағандықтарды ашуда туыңдыларды қолдану.
Лопиталь ережесі.....................................................................................
§5. Тейлор мен Маклорен формулалары
жэне олардың қолданулары..................................................................
§6. Функцияны зерттеу.................................................................................
130
140
142
145
150
155
VII т а р а у . ИНТЕГРАЛ ЖЭНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНЫЛУЫ
§1. Анықталмаған интеграл жэне оның қасиеттері.............................. 169
§2. Интегралдаудың негізгі өдістері........................................................... 171
§3. Рационал функцияларды интегралдау................................................. 178
§4. Тригонометриялық функцияларды интегралдау.............................. 182
§5. Иррационал және көрсеткішті функцияларды интегралдау......... 187
§6. Анықталған интеграл жэне оны есептеу............................................ 194
§7. Анықталған интегралдың геометриялық жэне
физикалық қолданулары....................................................................... 200
§8. Меншіксіз интегралдар...........................................................................211
§9. Анықталған интегралдарды жуықтап есептеу....................................219
VIII т а р а у . КӨП АЙНЫМАЛДЫ ФУНКЦИЯЛАРДЫҢ
(ИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ҚИСАБЫ
§1. Кэп айнымалды функциялар. Функция шегі. Үзіліссіздік..............223
§2. Коп айнымалды функцияньщ туындылары мен
дифференциалдары.................................................................................. 233
§3. Дербес туындылар мен дифференциалдьщ
кейбір қолданулары................................................................................ 240
§4. Жоғарғы ретгі дербес туындылар жэне толық
дифференциалдар. Тейлор формуласы.................................................244
§5. Коп айнымалды функциялардын экстремумдері..............................249
IX т а р а у . КӨП АЙНЫМАЛДЫ ФУНКЦИЯЛАРДЫН,
ИНТЕГРАЛДЫҚ ҚИСАБЫ
§1. Екі еселі интеграл жэне оны есептеу..................................................257
§2. Екі еселі интегралдардың геометрия мен
физикадағы кейбір қолданылулары...................................................... 265
§3. Үш еселі интегралдар............................................................................. 270
§4. Қисық сызықты интегралдар. Грин формуласы................................277
§5. Бетгік интегралдар..................................................................................288
388
Xт а р а у . ҚАТАРЛАР
§1. Сандық қатар үғымы...........................................................................300
§2. Мүшелері теріс емес қатарлардьщ жинақтылығының
кейбір белгілері...................................................................................................304
§4. Дәрежелік қатарлар.......................................................................................... 311
§5. Фурье қатарлары................................................................................................ 316
XI т а р а у . ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕНДЕУЛЕР
§ 1.
§2.
§3.
§5.
§6 .
Дифференциалдық теңдеу үғымы................................................................ 320
Бірінші ретгі дифференциалдық тендеулер............................................ 322
Жоғары ретгі дифференциалдық теңцеулер............................................ 329
Бірінші ретгі дифференциалдық теңдеулер ж үй ел ер і........................340
Дифференциалдық теңдеулерді қатарлар
жәрдемімен интегралдау................................................................................... 343
ЖАУАПТАР....................................................................................................................345
ӘДЕБИЕТТЕР.............................................................................................................. 385
389
Махмеджанов Набибулпа Махмеджанулы
ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА
ЕСЕПТЕРІНІҢ ЖИНАҒЫ
Редакторы: Махмеджанова Роза Набибуллақызы
Техникалық редакторы: Р. Винокурова
Корректоры: Махмеджанова Роза Набибуллакызы
Басуға 23.07.08 қол қойылды. Пішімі 60x90 */16.
Офсеттік басылыс. Қаріп түрі “Times/Kazakh”.
Шартты баспа табағы 24,5.
Таралымы 3000 дана. Тапсырыс №219
ЩШЖ Ш С РПБК «Дөуір», 050009, Алматы каласы,
Д
Гагарин данғылы, 93. Тел.: 269-40-35, 242-47-69, 242-07-90,
E-mail: m ik-dauir8l@ m ail.ru, rpik-dauir2@mail.ru
EOQ-
ИНТЕГРАЛДЫҚ ҚИСАБТЫН
Анықталмаған интеграл
[үңда Ғ ( jc) = J{x);
яғни Ғ ( jc) —функциясы
/ (*) функциясы үшін
алғашқы функция
R x)+C
Кестелік
НЕПЗП ФОРМУЛАЛАРЫ
Анықталған интеграл
arcsm
МАХМЕДЖАНОВ Набибулла Махмеджанұлы
Өзбекстан Республикасы Таш кент облысының
Ш ыназ ауданында дүниеге келген. 1962 жылы
Ташкент мемлекеттік педагогикалық университетін
бітірген. Ташкент полнтехннкалық уннверснтетінде
жэне Ташкент мемлекеттік универси гетінде (бұрынғы
САГУ) дәріс берген 1967—69 жылдары М. В. Ломо­
носов атындағы Москва мемлекеттік университетінде
стажер-зерттеуші бола жүріп, Москва электрондық
машина жасау институтында дәрісберген.
1969—72 жылдары Москва мемлекеттік университетінің есептеу
математикасы жэне кибернетика факультетінің аспирантурасында
оқыды.
1973 жылы осы факультеттің ғылыми кецесінде кандидаттық
диссертация қорғады.
1974 ж ы лдан бастап Ә л-Ф араби аты н дағы Қ азақ ұлтты қ
университетінде жұмыс істеиді: доцент;
і
ж оғары м атем атика
кафедрасының меңгерушісі. Ж оғары мектеп оқытуш ыларының
біліктілігін арттыру институтында оқу және ғылыми жұмыстар бойынша
директордың орынбасары, әрі осы институттың математика жэне
и
м еханика каф едрасы н ы ң м еңгеруш ісі бола ж үріп, “ Жоғары
математиканы оқытудың әдістемесі” атты ғы лы ми-әдістемелік
семинарға жетекшіл ік етті.
Н. M. Махмеджанов кырыкган астам ғылыми, ғылыми-әдістемелік
енбектердін авторы. Бұл еңбектері АҚШ, Россия, Өзбекстан және
Қазақстанныц мерзімді ғылыми басылымдарында жарық көрген. 2005
жылы “Жоғары математика есептерінің жинағы” оқу кұралының
алғаш кы басылымы жарык көріп жоғары оқу орындарында
қолдаяылуда.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
21 323 Кб
Теги
mahmedjanov, jogari, matematiki, jinagi, 3832, esepterinin
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа