close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Вероятностные информационные и корреляционные характеристики квантовых систем

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Mаркович Любовь Анатольевна
ВЕОЯТНОСТНЫЕ, ИНФОМАЦИОННЫЕ И
КОЕЛЯЦИОННЫЕ
ХААКТЕИСТИКИ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
Специальность 01.04.02 ѕТеоретическая изикаї
Автореерат
диссертации на соискание учёной степени
кандидата изико-математических наук
Москва
2017
абота выполнена в едеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования ѕМосковский изикотехнический институт (государственный университет)ї
Научный руководитель:
доктор изико-математических наук,
проессор
МАНЬКО Владимир Иванович
Оициальные оппоненты: СОКОЛОВ Дмитрий Дмитриевич,
доктор изико-математических наук,
проессор
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова,
проессор
ТУШЕЧКИН Антон Сергеевич,
кандидат изико-математических наук,
Математический институт
им. В.А. Стеклова АН,
старший научный сотрудник
Ведущая организация:
Федеральное государственное
унитарное предприятие
Всероссийский научно-исследовательский,
институт автоматики им. Н.Л.Духова
Защита диссертации состоится 1 марта 2018 года в 14:30 часов на заседании
совета Д212.156.06 при едеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего образования ѕМосковский изико­ технический институт (государственный университет)ї по адресу: 141701, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский переулок, д.9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского изикотехнического института (государственного университета) и на сайте
https://mipt.ru/eduation/post-graduate/D212-156-06/andidates.php
Автореерат разослан
Ученый секретарь
диссертационного совета
января 2018 года.
ец Артем Викторович
3
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Изучение квантовых систем открыло их уникальное свойство - явление запутанных состояний. Квантовые состояния
двух и более запутанных объектов, входящих в квантовую систему, оказываются взаимозависимыми, причем эта зависимость сохраняется даже при разнесении их в пространстве за пределы любых известных взаимодействий. Подобное свойство играет центральную роль в квантовой теории инормации и
таких технологиях, как квантовые компьютеры, квантовые криптограия и
телепортация. Квантовые вычислительные системы предполагается строить
из элементарных вычислительных элементов, а именно квантовых битов кубитов. Единица измерения количества инормации в классических компьютерах (бит) принимает два значения: логические ноль и единицу. Напротив, кубиты, квантовые объекты, могут находиться и в когерентной суперпозиции этих двух состояний, то есть описывать промежуточные состояния
между логическими нулем и единицей. С возрастанием числа объединенных кубитов, мощность квантовой вычислительной системы экспоненциально растет. Предполагается, что квантовые компьютеры смогут за конечное
время решать задачи, на которые у классических суперкомпьютеров уходит
значительное время. Известным примером служит ѕвзломї криптограического алгоритма RSA, основанного на поиске разложения больших чисел
на простые множители. Классический компьютер, решая подобную задачу
методом полного перебора, затрачивал бы гигантское время, сопоставимое с
временем существования вселенной, в то время как квантовая вычислительная система может решить эту проблему за минуты.
еализация подобного компьютера имеет несколько препятствий. Квантовые состояния ионов, электронов и джозесоновские контакты, используемые в качестве кубитов, крайне неустойчивы и сохраняются недолго, а для
реализации вычислительных алгоритмов нужно иметь набор провзаимодействовавших кубитов в определенном известном состоянии. За последние годы
время устойчивости состояний кубитов увеличилось от наносекунд до миллисекунд. Контролировать состояние из большого числа кубитов до сих пор
представляется сложной задачей. Для решения этой проблемы можно использовать в качестве квантовых объектов не кубиты, а кудиты, т.е. многоуровневые квантовые системы, число состояний которых больше двух. Этот
прием сокращает размерность системы во много раз, а благодаря большей
устойчивости требует меньших затрат. Таким образом, изучение кудитных
систем представляет большой интерес для развития квантовых технологий.
В ряде работ изучаются различного рода характеристики для квантовых корреляций в системах с подсистемами. Например, понятие квантовой
запутанности, изученное для двух частиц со спинами j = 1/2, служит ресурсом для развития квантовых технологий. Двухчастичные состояния системы определяются матрицей оператора плотности ?b(1, 2), который дей-
4
ствует в гильбертовом пространстве H состояния системы, представимым
тензорным произведением H = H1 ? H2 гильбертовых пространств первого и второго состояний подсистем, соответственно. Такой подход позволяет
сконструировать редуцированные операторы плотности, описывающие состояния первой и второй подсистем, как ?b(1) = T r2 ?b(1, 2) и ?b(2) = T r1 ?b(1, 2).
Составные системы имеют корреляции между подсистемами, поэтому изический смысл запутанности для них определяется естественным образом [1?.
Наличие корреляций в системах с подсистемами обнаруживается с помощью
неравенства Белла, нарушающегося для запутанных состояний, а также энтропийных и инормационных неравенств, известных как для классических
ункций распределения и классических наблюдаемых случайных величин,
так и для матриц плотности составных систем. Для двух- и трех-частичных
систем энтропийные неравенства задаются как неравенства субаддитивности
и сильной субаддитивности, определяющие степень запутанности в системе.
В [3? показано, что квантовые корреляции, известные для многочастичных систем, существуют и в системах без подсистем, т.е. в системах из одного кудита. Такие корреляции названы ѕскрытымиї Исследованию квантовых характеристик систем без подсистем, таких как один кутрит или кудит, в литературе уделено мало внимания. В [6? предложено вероятностнотомограическое представление спинового состояния кудита. В этом представлении кудитное состояние ассоциируется со спиновой томограммой, являющейся вероятностью, определяемой оператором матрицы плотности состояния. Соотношение между спиновой томограммой и оператором плотности взаимнооднозначно и обратимо. Таким образом, томограмма содержит в
себе всю инормацию о квантовом состоянии системы. Для нескольких кудитов спиновая томограмма также является совместной ункцией распределения. Это позволяет восстановить по ней оператор плотности. Так как кудитное состояние в томограическом представлении соответствует обычной
ункции распределения, ее можно использовать в энтропии и инормации
Шеннона и в других энтропиях, например, еньи и Тцаллиса. В [8? показано, что энтропия он Неймана является минимумом инормации Шенона в
спиново-томограическом представлении для всех унитарных преобразований в гильбертовом пространстве для кудитных систем. Неравенства, связанные со спиново-томограической энтропией и энтропией он Неймана,
используются для составных систем и для систем без подсистем [3?.
С развитием экспериментальной базы возникают проблемы, связанные с
оценкой и ильтрацией квантовых состояний. Проблема ильтрации неизвестного сигнала из смеси с шумом хорошо изучена в классической теории
вероятностей. В [9? известная процедура Калмановской ильтрации применена к квантовым задачам. Фильтр Калмана дает оптимальное решение для
линейной рекуррентной модели наблюдения с гауссовым шумом. Однако на
практике, как в классической, так и в квантовой механике, модели наблюдения нелинейны. Известно, что ильтр Калмана не дает оптимального реше-
5
ния задачи ильтрации для нелинейных моделей. Поэтому применяются методы линеаризации моделей наблюдения и псевдо-Калмановские ильтры,
которые могут не давать оптимальных решений.
Диссертационная работа посвящена изучению свойств и характеристик квантовых систем без подсистем. ешены следующие задачи:
Первая задача связана с нахождением новых инормационных характеристик квантовых состояний систем без подсистем. Понятия квантовой запутанности и корреляции изучаются для систем из одного кудита со спином
j = 3/2 и одного кутрита, как известно, не содержащих подсистем. Для таких
многоуровневых квантовых систем получены характеристики запутанности:
отрицательность и согласованность.
Вторая задача посвящена исследованию зависимости запутанности и сепарабельности от системы координат. В частности, исследуются квантовые корреляции в четырехуровневом атоме с использованием универсальных унитарных преобразований классической (диагональной) матрицы плотности. ассматриваются такие частные случаи, как чистое состояние, X состояние и состояния Вернера. Обсуждается геометрический смысл унитарных вращений гильбертовой системы координат, порождающих запутывание
в первоначально сепарабельном состоянии. Характеристики запутанности в
терминах отрицательности, согласованности и энтропии получены как ункции унитарной матрицы вращения. Исследуется система из двух частиц в
двумерном конигурационном пространстве S . Показано, что независимое
от времени уравнение Шредингера этой системы может не разделяться на
два одномерных одночастичных уравнения Шредингера при наличии таких
специальных граничных условий, как удержание в ограниченной области S
и/или введение условий непроницаемости частиц. ассматриваемая задача
может быть приведена к задаче о движении одной частицы, находящейся в
ограниченной области в двумерном конигурационном пространстве. ассмотрены случаи квадратного, треугольного, ромбовидного и прямоугольного квантовых ѕбильярдовї. С помощью соответствующих ункций рина,
выраженных через ?3 -ункции Якоби, изучена временная эволюции ковариации координат центра масс систем.
Третья задача посвящена квантовому стирингу в системах без подсистем.
Известные корреляционные неравенства для обнаружения стиринга в системах с подсистемами распространены в работе на случай одиночных многоуровневых систем. Для систем без подсистем введены такие их характеристики, как томограическая энтропия Шеннона и энтропии он Неймана,
еньи и Тцаллиса, относительная энтропия, вместе с соответствующими им
инормационными неравенствами. Следовые неравенства типа Минковского, известные для систем из двух кубитов, распространены на случай системы из одного кудита со спином j = 3/2. Исследован случай неравенства
с одним параметром и с двумя. Все результаты рассмотрены на примерах
известных состояний Вернера, иссина и X -состояния.
6
С помощью полученных энтропийных неравенств и унитарных неприводимых представлений групп SU (2) и SU (1, 1) в четвертой задаче диссертации получены новые неравенства для полиномов Якоби, Лежандра, Эрмита
и для ауссовой гипергеометрической ункции. Исследовано влияния невыполнения квадратурного соотношения неопределенностей на существование
ункции распределения проведено для линейного и нелинейного когерентных состояний и сжатого и зависимого состояния.
Пятая задача посвящена разработке метода ильтрации, оптимального
для нелинейных квантовых процессов. С этой целью, общее уравнение ильтрации Стратоновича применено для квантовой модели наблюдений, основанной на двух кубитах. Автором доказано, что оптимальное уравнение
ильтрации есть ильтр Калмана в случае линейной модели с ауссовым
шумом. Так как оптимальное уравнение ильтрации не содержит явных вероятностных характеристик неизвестной ненаблюдаемой последовательности, предложенный в диссертации метод позволяет найти оптимальную оценку квантового состояния, зная только наблюдаемые случайные величины, а
именно измерения, произведенные на пробном кубите в известном состоянии.
Предложена квантовая модель измерения для состояния из одного кудита.
Метод оптимальной ильтрации, предложенный для двухкубитной модели,
распространен для такой модели наблюдения. Новый тип моделей наблюдения полезен для возможного практического использования многоуровневых
атомов.
Методы и подходы. В диссертации для всех задач используется
томограико-вероятностное представление квантовой механики [7?. Это
представление основано на описании квантовых состояний в терминах ункций распределения вероятностей, называемых квантовыми томограммами.
Томограммы содержат всю доступную инормацию о квантовом состоянии
и связаны с операторами плотности посредством обратимых преобразований. Существует несколько видов томограмм, связанных между собой. Для
непрерывных переменных - это симплектическая [7?, оптическая, центра масс
и Френелевская томограммы, а для дискретных случайных величин - это томограммы спиновая и счета отонов. Такой подход позволяет использовать
классический математический аппарат для ункций распределения вероятностей, энтропии и инормации. При этом ункция распределения, определяющая квантовое состояние, может быть померена непосредственно.
Степень разработанности темы. В [3? показано, что квантовые свойства систем без подсистем могут быть сормулированы при помощи метода
взаимнооднозначных отображений. Это означает, что целые числа 1, 2, 3, . . .,
являющиеся индексами элементов матриц плотности, могут быть отображены на пары (тройки и т.д.) чисел (i, j), i, j = 1, 2, . . .. Например, состояние
одного кудита со спином j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . может быть отображено на
оператор плотности системы, содержащей подсистемы, как например, состояние из двух кубитов. Известные корреляционные свойства составных систем
7
такие, как запутанность, корреляция, стиринг и дискорд сормулированы
для систем без подсистем в [5?. Квантовые корреляции для системы из одного кудита используются для ормулировки квантового контекста в [5?. В [2?
обсуждалось понятие запутанности и корреляции для системы из одного кудита. Предложено использовать метод кубитного портрета для получения
новых энтропийных неравенств для кудитных систем, а также получено новое энтропийное неравенство для системы из одного кутрита (j = 1). До сих
пор не проводилось подробного исследования понятия запутанности, стиринга, корреляций и их природы в системах без подсистем, несмотря на ундаментальный характер этих задач. В последние годы системы без подсистем
были реализованы как, например, трехуровневый искусственный атом на базе джозесоновского контакта.Матрица плотности такого кутритного состояния может быть измерена методом квантовой томограии, где квантовые
состояния ассоциируются с вероятностями.
Актуальность задач диссертационной работы определяется необходимостью рассмотрения новых многоуровневых квантовых систем, таких как
кудитные квантовые системы без подсистем, в связи с развитием квантовых
технологий в квантовых коммуникациях, вычислениях и криптограии.
Целью диссертационной работы является дальнейшее исследование
свойств многоуровневых квантовых систем без подсистем, включая квантовые корреляции, явления запутанности, соотношения неопределенностей
и неравенств для статистических характеристик (энтропии и инормации)
квантовых систем кубитов и кудитов, систем с непрерывными переменными
типа квантовых цепочек и многоуровневых атомов.
Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в
том, что рассмотренные в ней ормулы, выводы и свойства квантовых и
классических систем являются новыми, выведенными в соответствии с вероятностным представлением квантовых состояний, полученным в последнее
десятилетие.
На защиту выносятся следующие положения:
1. получены новые энтропийные и инормационные неравенства, а так
же следовые неравенства типа Минковского, характеризующие запутанность для систем из двух кубитов, одного кудита со спином j = 3/2
и кутрита;
2. выведены условия на унитарную матрицу поворота, переводящую систему четырехуровневого атома из сепарабельного состояния в запутанное;
3. получены специальные ограничения типа удержания и непроницаемости, влияющие на сепарабельность в системе, а так же граничные условия для частицы, заключенной в ѕящикиї сложных орм;
8
4. получено выражение квантового стиринга в терминах спиновых томограмм на основе введенных понятий квантовой корреляции и квантового стиринга в системе из одного кудита со спином j = 3/2;
5. предложен и применен метод получения новых соотношений для классических математических полиномов Эрмита, Лагерра, Лежандра и гипергеометрической ункции, основанный на использовании известных
энтропийных неравенств для квантовых систем и неприводимых унитарных представлений групп SU (2) и SU (1, 1);
6. реализован новый общий метод квантовой ильтрации для нелинейной
квантовой модели наблюдения, обеспечивающий оптимальное решение
задачи оценивания состояния при известных наблюдаемых случайных
величинах.
Практическая значимость полученных результатов определяется тем,
что с их помощью выясняются ундаментальные аспекты квантовой теории,
на основе которых базируется развитие новых квантовых технологий, таких
как криптограия, квантовый компьютер и телепортация. Методы ильтрации, предложенные в работе, могут найти широкое применение во многих областях квантовой механики, где наблюдаемые случайные величины зашумлены. езультаты, относящиеся к классическим полиномам, имеют важное
значение в теории групп, так как позволяют получать множество различных
неравенств для часто используемых на практике специальных ункций.
Апробация работы. езультаты доложены на международных конеренциях:
? Advanes in foundations of quantum mehanis and quantum information
with atoms and photons (Quantum 2014, 2017) (Турин, Италия),
? Quantum theory: from problems to advanes (Вакша, Швеция, 2014),
? 57-й, 58-й, 59-й, 60-й научных конеренциях МФТИ (г. Долгопрудный,
Московской области, 2014-2017 гг.),
? Quantum Networks (Барселона, Испания, 30 марта- 1 апреля, 2016),
? Quantum Roundabout, Student onferene on the mathematial
foundations of quantum physis. (Ноттингем, Англия, 6-8 июля, 2016),
? Information Tehnology and Systems 2016, The 40th Interdisiplinary
Conferene and Shool (Санкт Петербург, оссия, 25-30 сентября, 2016),
? Семинар Strutural Lerning в ИППИ АН (Москва, оссия, 13 октября,
2016).
9
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 статьях из
перечня рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой
степени кандидата наук, и SCOPUS.
Личный вклад автора. Все теоретические результаты диссертации получены автором самостоятельно. Постановка большей части задач выполнена научным руководителем, задача в лаве 2 поставлена про. Мессиной.
Обсуждение результатов работ проводилось совместно с соавторами.
Структура и объем диссертационной работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 153 страницы. Библиограия включает 255 наименований на 18 страницах.
Содержание работы
Во введении сормулированы основные цели и задачи работы, обоснована ее научная актуальность, новизна и научная значимость. Представлен
перечень всероссийских и международных конеренций, где основные результаты прошли апробацию, а также список публикаций, содержащих основные научные результаты диссертационной работы.
В первой главе даны базовые понятия и определения томограиковероятностного ормализма квантовой механики. Изучены квантовые корреляции в системе из одного кудита при помощи специальной матричной
характеристики - разницы между квантовой инормацией он Неймана Iq
и максимумом томограической инормации Шеннона It : Iq ? It = ?I ? 0
в зависимости от всех унитарных преобразований в гильбертовом пространстве состояний двухкубитной системы. Эта характеристика исследована для
состояния Вернера, найдено ее минимальноее предельное значение равное
?I ? ln 2 при p ? 1 и ?I ? 1/3 ln 2 при p ? ?1/3. Для инормации
e 1 , ?2 , ?1 , ?2 , p), It ? 0 доказаШеннона состояния Вернера It = max H(?
?1 ,?2 ,?1 ,?2
e 1 , ?2 , ?1 , ?2 , p), найдены
но отсутствие глобального максимума ункции H(?
значения углов, при которых наблюдаются локальные максимумы. азвиты результаты, полученные в [3?, где состояние одного кудита со спином
j = 3/2 исследовалось на наличие запутанности. Построена матрица плотности с элементами ?ij , i, j = 1, 2, 3, 4 для кудита со спином j = 3/2 и аналоги редуцированных матриц плотностей, ѕискусственных подсистемї ?(1) и
?(2). При помощи метода взаимнооднозначного отображения индексов введено понятие сепарабельности и запутанности для системы одного кудита со
спином j = 3/2. Для этой системы введены характеристики запутанности:
отрицательность и согласованность. Исследована энтропия и инормация
10
для системы из одного кутрита j = 1
?
?11
? = ? ?21
?31
?
?13
?23 ? ,
?33
?12
?22
?32
?
?11
? ?21
?e = ?
? ?31
0
?12
?22
?32
0
?13
?23
?33
0
?
0
0 ?
?.
0 ?
0
Посредством операции добавления нулевой строки и столбца к матрице плотности получены новые инормационные неравенств для таких квантовых
систем. Для матрицы ?e получено неравенство для ее ѕискусственных подсистемї
?11 + ?22 ?13
?11 + ?22 ?13
? Tr
ln
?31
?33
?31
?33
X
4
?11 + ?33 ?12
?11 + ?33 ?12
? Tr
ln
+
?i ln ?i ? 0,
?21
?22
?21
?22
i=1
?e размерности
где {?i } - собственные числа ?. Аналогично получена матрица e
6 Ч 6 из матрицы 4 Ч 4, описывающая систему из одного кудита, и соответствующие редуцированные матрицы плотности для ее подсистем. Получено
инормационное неравенства для таких ѕискусственных подсистемї
?11 + ?22
?14
?11 + ?22
?14
?T r
ln
?41
?33 + ?44
?41
?33 + ?44
?
? ?
?
4
?33
?34
0
?33
?34
0
X
e
e
e
e
? T r ? ?43 ?11 + ?44 ?12 ? ln ? ?43 ?11 + ?44 ?12 ? +
?
i ln ?i ? 0.
i=1
0
?21
?22
0
?21
?22
Для системы из одного кудита со спином j = 3/2 введены следовые неравенства типа Минковского. Матрица плотности с элементами ?ij , i, j = 1, 2, 3, 4
делится на четыре блока 2 Ч 2
?11 ?12
?13 ?14
?31 ?32
?33 ?34
a11 =
,a12 =
,a21 =
,a22 =
.
?21 ?22
?23 ?24
?41 ?42
?43 ?44
В блочной орме она имеет вид
a11 a12
a11
? =
,
a21 a22
a21
a12
a22
p
?
a11 (p) a12 (p)
a21 (p) a22 (p)
,
где p ? 1 действительные числа, блочные матрицы {aij (p)} зависят от параметра p. Справедливо неравенство типа Минковского с одним параметром
(1)
p
1
p
(T r (a11 + a22 ) ) ? T r
T ra11 (p)
T ra21 (p)
T ra12 (p)
T ra22 (p)
p1
,
11
обращающееся в случае 0 ? p < 1. Для матрицы плотности размера N Ч N ,
описывающей квантовое состояние, имеет место блочная орма блоками
aij - матрицами размера m Ч m. Для действительных чисел p и q введены
обозначения
?
?
a11 (i) a12 (i) · · · a1n (i)
? a21 (i) a22 (i) · · · a2n (i) ?
?
?
?i = ?
? , i = p, q.
..
..
..
..
?
?
.
.
.
.
an1 (i) an2 (i) · · · ann (i)
Получено неравенство типа Минковского с двумя параметрами
h
i1/p h
i1/q
p/q
q/p
T r2 (T r1 ?q )
? T r1 (T r2 ?p )
.
Последнее неравенство переписано в терминах параметров чистоты
(2)
µ1 + µ2 ? 1 ? µ
e, где
h
h
1/2 i2 1/2 i2
µ
e ? T r2 T r1 ?2
+ T r1 T r2 ?2
? 1.
Для X -матрицы неравенство (2) принимает орму
2
4
X
i=1
+
+
?2ii + 2(?11 + ?44 )(?22 + ?33 ) ? 1 ? µ
e,
где
q
q
µ
e = 2 ?211 + ?222 + |?14 |2 + |?23 |2 ?233 + ?244 + |?14 |2 + |?23 |2
q
q
2 ?211 + ?233 + |?14 |2 + |?23 |2 ?222 + ?244 + |?14 |2 + |?23 |2
2
4
X
?2ii + 4(|?14 |2 + |?23 |2 ) ? 1.
i=1
На примерах показано, как параметры матрицы плотности влияют на знак
разности µ
e ? µ12 и его связь с запутанностью. Для кудита со спином j =
3/2, описываемого матрицей Вернера, параметры чистоты определяются как
µ12 = (3p2 + 1)/4, µ1 = µ2 = 1/2. Тогда неравенство (2) дает 0 ? 3p2 . Видно,
что µ
e ? µ12 > 0 там, где параметр p принадлежит области 1/3 < p ? 1,
соответствующей запутанным состояниям. ассмотрены состояние исина и
? -состояние. Получены новые энтропийные и инормационные неравенства
для энтропий Тцаллиса и еньи для системы из двух кубитов и системы из
одного кудита. Например, условие субаддитивности для энтропии Тцаллиса
позволяет записать неравенство для энтропии еньи
exp(SqR (?1 )(1 ? q)) + exp(SqR (?2 )(1 ? q)) ? exp(SqR (?)(1 ? q)) < 1.
12
Для X -состояния системы из одного кудита получено неравенство
IqT
=
+
(3)
?
(?11 + ?22 )((?11 + ?22 )q?1 ? 1) + (?11 + ?33 )((?11 + ?33 )q?1 ? 1)
(?22 + ?44 )((?22 + ?44 )q?1 ? 1) + (?33 + ?44 )((?33 + ?44 )q?1 ? 1)
!
(?11 + ?22 + ?33 + ?44 )(?q?1 ? 1) (1 ? q) ? 0.
Во второй главе рассматриваются квантовые корреляции, связанные с
явлением перепутывания в составной и одночастичной системах с собственными векторами матриц плотности состояний систем. Используя известный
акт, что свойства запутанности зависят от системы отсчета, определяемой
собственными векторами наблюдаемых, введена унитарная матрица W , построенная как множество нормированных собственных векторов матрицы
плотности ?, организованных как совокупность столбцов унитарной матрицы. Используя специальную параметризацию унитарных матриц, приведенную в [4?, найдены область параметров матрицы преобразования, которая
переводит матрицу плотности чистых состояний в сепарабельное состояние.
Для общего случая смешанных состояний найдены области определения элементов для специальных типов матриц вращения, таких как клеточная матрица, блочная матрица и X -матрица. езультаты проиллюстрированы на
примерах чистых и смешанных состояний и матриц поворота разных типов.
Изучены условия, при которых нарушается сепарабельность центра масс
и относительного движения для одномерной системы из двух невзаимодействующих частиц с массами m1 и m2 , связанных общим ограничением. ассмотрен случай движения двух частиц внутри конечного и неизменного интервала I ? R. ешение уравнения Шредингера для них имеет вид
(4)
?conf (x1 , x2 ) = N sin(k1 x1 ) sin(k2 x2 )
и удовлетворяет граничным условиям
(5)?(x1 = 0, x2 ) = ?(x1 , x2 = 0) = 0, ?(x1 = d, x2 ) = ?(x1 , x2 = d) = 0.
k1 = ?n1 /d, k2 = ?n2 /d, n1 , n2 ? Z \ {0}, N - нормировочная константа. При
переходе к координатам центра масс
(6)x = x1 ? x2 ,
Xc = (m1 x1 + m2 x2 )/M, M = m1 + m2 , µ = m1 m2 /M
можно ввести геометрические граничные условия для решения в терминах
e как
координат центра масс ?
e (Xc , x|Xc + xm2 )/M = d) = 0, ?
e (Xc , x|Xc ? xm1 /M = d) = 0,
(7) ?
e (Xc , x|Xc + xm2 )/M = 0) = 0, ?
e (Xc , x|Xc ? xm1 )/M = 0) = 0.
?
13
Из этих условий координаты Xc и x алгебраически связаны на границе области определения. При наличии граничных условий разделение переменных
невозможно [10?, и нельзя искать решение, как акторизованную ункцию
двух переменных. Таким образом, уравнение Шредингера в системе центра
масс нельзя переписать как два диеренциальных уравнения, а граничные условия - отдельно для каждой переменной. При наличии граничных
условий (7) задача не является сепарабельной. ешение, удовлетворяющее
новым геометрическим граничным условиям (7), имеет вид
e n1 n2 (Xc , x) = A
e sin (?n1 /d(Xc + xm2 /M )) sin (?n2 /d(Xc ? xm1 )/M )) ,
?
т.е. (4), переписанное в координатах центра масс. В дополнение к граничным условиям рассмотрены случаи, когда относительная координата может
принимать как положительные, так и отрицательные значения и, когда одна
из двух частиц всегда находится на одной стороне по отношению к другой.
Последняя ситуация рассматривается как ѕусловие непроницаемостиї и понимается как добавочное ограничение на систему. В диссертации полностью
исследовано неограниченное движение двух частиц, т.е. I = R для случая
отсутствия непроницаемости и для случая присутствия хотя бы одного из
двух ограничений. Проиллюстрировано, что существование базиса акторизованных стационарных состояний двух даже невзаимодействующих квантовых частиц критически зависит от того, будут ли и как соответствующие
динамические переменные алгебраически связанны на границе двумерной
области, за пределами которой любая волновая ункция, удовлетворяющая
граничным условиям, обращается в ноль. Другими словами, отделимость
зависит не только от структуры относительного уравнения Шредингера, но
и от геометрической ормы области нормировки. Это позволяет перейти от
одномерной системы из двух невзаимодействующих частиц к движению иктивной частицы, движущейся в плоскости внутри области, орма которой
определяется ограничениями, наложенными на исходную двухчастичную систему. Вторая часть этой лавы посвящена задаче квантового бильярда с такими ормами, как квадрат, ромб, треугольник и прямоугольник. Получены
граничные условия на волновую ункцию для каждого бильярда и временная эволюция ковариации координат центра масс, для чего использована
ункция рина в орме ?3 -ункции Якоби.
В третьей главе рассматриваются квантовые свойства систем без подсистем (один кудит). Используя метод взаимнооднозначного отображения
индексов, введен аналог корреляционной ункции для системы из одного
кудита, и понятие стиринга определено для систем без подсистем. Известно, что если состояние не удовлетворяет
P3условию стиринга, то выполняется
? ?
?
?
?
?
неравенство max?
m,?
n (E( m, n )) ? 2/3
i,j=1 Tij , где квантовая корреляционная ункция для двухкубитного состояния
задается следующим образом:
P3
?
?
?
?
?
?
?
E(?
m, ?
n ) = T r(?
m·?
? ??
n ·?
? ?) =
T
mi nj , где ?
? - вектор, обраij
i,j=1
?
?
?
зованный с помощью матриц Паули, m = (m1, m2, m3), ?
n = (n1, n2, n3) -
14
единичные вектора Блоха, Tij - компоненты корреляционной матрицы. Получено томограическое представление корреляционной ункции, входящей
в неравенство для детектирования стиринга в системах без подсистем. Используя томограическое представление, получена связь между стирингом
в системе из двух кубитов и стирингом в системе из одного кудита со спином
j = 3/2. Для этого томограммы выражены через ядерные ункции K , как
Z
?(m1 , m2 , ~n1 , ~n2 ) = W (m, ~n)K12 d~n,
b
b (m1 , m2 , ~n1 , ~n2 ),
где обозначено K12 ? K12 (m1 , m2 , m, ~n1 , ~n2 , ~n) = T rD(m,
~n)U
b
b
операторы D(·) и U (·) - квантайзер и деквантайзер. Аналогично записывается обратная трансормация. Тогда корреляционные ункции в системе с
подсистемами и без подсистем связаны как
1/2
X
? ?
?
?
E( k 1 , k 2 ) =
m1 ,m2 =?1/2
ZZ
3/2
X
dn~1 dn~2
m=?3/2
Z
W? (m, ~n) ·
? ?
?
?
Wkd1 ??k2 ? (m, ~n)K12 K21 d~n = E( k 1 , k 2 ).
·
Далее изучен изический смысл таких корреляций в системах без подсистем.
В четвертой главе рассматриваются неприводимые унитарные представления двух матричных групп SU (2) и SU (1, 1). Известно, что матричные элементы таких групп представимы в виде полиномов Якоби, Лежандра, аусса, Эрмита и других. Эти представления использованы для построения новых неравенств для классических полиномов и специальных ункций. ассмотрены ункции распределения смешанных состояний с ауссовой
ункцией Вигнера, представимые в виде классических полиномов. С помощью энтропийных неравенств, получены новые соотношения для полиномов
Якоби, Лежандра, Эрмита и ауссовой гипергеометрической ункции. На(j)
пример, для полиномов Якоби Pm? ,m (?)
(j)
Sm? ,m (?)
(j + m? )!(j ? m? )!
2(m? +m)
2(m? ?m)
cos (?/2)
sin (?/2)
,
(j + m)!(j ? m)!
(?1)n
dn
(1 ? z)?a (1 + z)?b n (1 ? z)a+n (1 + z)b+n ,
n
2 n!
dz
=
Pn(a,b) (z) =
получено следующее неравенство (j = 1/2, 0 < ? < ? )
! 1
?
1
1
1
2
2
S?2 1 ,m (?)P?2 1 ,m (?)2 + S 12 ,m (?)P 12,m (?)2
2
2
1
1
2
2
+ S 12 ,m (?)P 12,m (?)2
1
1
2
2
1
1
ln S?2 1 ,m (?)P?2 1 ,m (?)2
2
2
1
1
2
2
? S 12 ,m (?)P 12,m (?)2 ln S 12 ,m (?)P 12,m (?)2
15
?
?
1
1
1
1
S 12 ,m (?)P 12,m (?)2 ln S 12 ,m (?)P 12,m (?)2 ?
2
2
2
2 1
1
1
1
2
2
2
2
?S 1 ,m (?)P 1 ,m (?) ln S 1 ,m (?)P 12,m (?)2 .
2
2
2
2
Получено, что при нарушении квадратурного соотношения неопределенностей, отонная ункция распределения может принимать комплексные значения, а значит перестать быть вероятностью. Вероятность в ней выражена
через полиномы Эрмита. ассмотрены примеры линейного и нелинейного когерентного состояния, а также сжатого и зависимого состояния. Получены
новые неравенства для полиномов Эрмита и Лагера, что является оригинальным результатом диссертационного исследования.
В пятой главе рассматривается задача квантовой нелинейной ильтрации. ассмотрен частично наблюдаемый марковский процесс (sk , xk )k?1 , где
ненаблюдаемая s = (sk )k?1 и наблюдаемая последовательность x = (xk )k?1
статистически связаны условной плотностью f (xk |sk ), зависящей от модели наблюдения и распределения шумовой компоненты наблюдаемых величин ?k . ассмотрен класс условных распределений, принадлежащих к эксe n) e k )h(xk ) exp(T (xk )Q(sk )), где C(s
понентному семейству f (xk |sk ) = C(s
нормировочная константа и h(xk ), T (xk ), Q(sk ) - заданные ункции. Цель построить ильтрационный алгоритм для ненаблюдаемой марковской случайной последовательности (sk )k?1 , основанный на наблюдаемой последовательности x = (xk )k?1 . (sk ) и (xk ) связанны нелинейным соотношением
xk = ?(sk , ?k ), где (?k ? R)k?1 -независимые одинаково распределенные случайные величины, ? - некоторая нелинейная ункция. Оптимальный подход
для нелинейных процессов предложен в (Стратонович: 1960). Для оценки
sk используется оптимальная
байесовская оценка в виде условного среднего
R
sbk = E(sk |xk1 ) = Sk sk wk (sk |xk1 )dsk , где wk (sk |xk1 ) - апостериорная ункция
плотности вероятности, которая удовлетворяет рекуррентному уравнению
Стратоновича. В предположении, что условная плотность f (xk |sk ) принадлежит экспоненциальному семейству, общее уравнение ильтрации имеет
вид
?
E(Q(sk )|xk1 ) · Tx? k (xk ) = ln f (xk |xk?1
)/h(xk ) x .
1
k
Уравнение не содержит в явном виде вероятностные характеристики p(s1 )
и p(sk |sk?1 ) ненаблюдаемой последовательности {sk }. Это позволяет найти оптимальную оценку, зная только наблюдаемые случайные величины xk1 .
Предложенный метод может быть применен к любой марковской паре, независимо от природы измерений. Целью главы является распространить его на
случайные квантовые модели наблюдения. В диссертации использована модель непрямых измерений. Пусть ненаблюдаемая и наблюдаемая величины
квантовой системы есть квантовые биты. Под непрямым (слабым) измерением понимается проективное измерение, проводимое на пробном кубите в
состоянии ?M (k) = [?M1 (k), ?M2 (k), ?M3 (k)]T , объединенном с интересующей
16
нас системой ?S (k) = [?S1 (k), ?S2 (k), ?S3 (k)]T . Представления этих систем в
терминах векторов Блоха имеют вид
(8)
?M (k) = (I + ?M (k)? M )/2,
?S (k) = (I + ?S (k)? S )/2,
где ? S и ? M вектора, построенные из операторов Паули, действующих на
гильбертовых пространствах HS и HM , соответственно. Непрямое измерение
производится следующим образом. На временном шаге k готовится пробный
кубит в заданном известном состоянии. Его объединяют с неизвестной интересующей нас системой. Общая система описывается четырехмерной квадратной матрицей плотности ?S+M (k). Пусть она представима как прямое
произведение двух состояний, т.е. ?S+M (k) = ?S (k) ? ?M (k). Эволюция обоих кубитов протекает в соответствии с двухчастичной динамикой за момент
времени h. Далее производится измерение на пробном кубите. Алгоритм повторяется на следующем шаге k + 1.
Пусть A? = A?? оператор в конечном гильбертовом пространстве H ? Cn ,
имеющий n собственных векторов. Пусть spec(A) = {aj } - собственные числа
A? и P?a проекционный оператор на подпространства H, образованные векторами с собственными числами a. Пусть измерение наблюдаемой A принимает значение a ? spec(A). Состояние после наблюдения задается проективным
постулатом.
Пусть H ? C2 . В качестве наблюдаемой выберем оператор с матрицей
Паули ?z , описывающий z -направление спина 1/2. Известно, что spec(?z ) =
{?1, 1}, соответствующий положению спина вниз и вверх. В терминах проекционных операторов
1 0
0 0
(9)
Pz0 =
, Pz1 =
.
0 0
0 1
можно записать ?z = Pz0 ? Pz1 . ассмотрим чистое состояние, заданное вектором ? = (c1 , c2 )T , |c1 |2 + |c2 |2 = 1. Если мы наблюдаем ?z , то с вероятностью h?, Pz0 ?i = |c1 |2 получим исход 1, т.е. спин вверх, а с вероятностью
h?, Pz1 ?i = |c2 |2 получим исход ?1. Аналогично, для наблюдаемой с оператором ?x . Заметим, что операторы ?z и ?x не коммутируют, а значит не
могут быть измерены в одной реализации. Эволюция системы контролируется унитарным оператором матрицей W . Состояние составной системы
после взаимодействия ?S+M (k + 1) = W ?S+M (k)W ? , а редуцированная матрица плотности интересующей нас системы: ?S (k + 1) = T rM ?S+M (k + 1) =
T rM W ?S (k) ? ?M (k)W ? . Так как мы заинтересованы в измерении ?x или ?z ,
то состояние после измерения может быть записано как
(10)
?± (k + 1) =
P± ?S+M (k + 1)P±
.
T r (?S+M (k + 1)P± )
S
M
ассмотрим матрицу эволюции W = e?ih(ay ?y ??y ) [9? с параметром ay и временем измерения h. Для измерения Ax = I ? ?x , ay h = ?/2 вероятности двух
17
различных исходов P (+1) = (1 + ?S2 ?M3 ), P (?1) = (1 ? ?S2 ?M3 ). Состояния
после измерения равно
T
?S3 ?M2 ± ?S1 ?M1
?S2 ± ?M3
±?S3 ?M1 ? ?S1 ?M1
?S (±1) =
.
1 ± ?S2 ?M3
1 ± ?S2 ?M3
1 ± ?S1 ?M2
Поскольку вероятность нового состояния зависит от обоих измерений ?S
и ?M можно получить инормацию об интересующем нас состоянии, используя только наблюдаемые случайные величины. Обозначим ?S2 (k) ? Sk ,
где k - временной шаг. В [9? наблюдаемый пробный кубит характеризовался параметром c = ?M3 (k). Запишем, например, вторую строку как
sk = (sk?1 ± c)/(1 ± csk?1 ). Последний процесс может быть переписан в предположении, что c достаточно мал и нас интересует изменение системы только
после N временных шагов, то sk = sk?1 + xk?1 c(1 ? s2k?1 ), где xk = xk+ ? xk? ,
N = xk+ +xk? . Здесь введено обозначение измерения +1 и ?1 как xk+ и xk? ,
соответственно. Если xk ? N (N csk ; N ), то модель наблюдения может быть
записана как
sk
=
sk?1 + N c2 sk?1 (1 ? s2k?1 ) + ?k?1 c(1 ? s2k?1 ),
xk = N csk + ?k ,
где шум ? ? N (0; N ). Тогда имеется частично наблюдаемая марковская случайная последовательность (sk , xk )n?1 , где роль ненаблюдаемой последовательности s = {sn }k?1 играет вектор Блоха ненаблюдаемого кубита ?S2 , а наблюдаемая последовательность x = {xk }k?1 получается он Неймановскими
измерениями. Связь между ними задается нелинейным уравнением. Построена квантовая модель наблюдения, математически абсолютно идентичная
классической, и ильтрационную задачу для заданной модели можно решать, не задумы??аясь об ее квантовой природе. Приведенные модели могут
быть нелинейными и известный подход на основе ильтра Калмана неприменим. В диссертации предлагается использовать общее уравнение ильтрации, что дает оптимальное решение для нелинейных моделей наблюдения. Используя метод взаимнооднозначного отображения индексов, модель
наблюдения, основанная на непрямых измерениях, известная для системы
из двух кубитов, распространена на системы из одного кудита со спином
j = 3/2. Эксперимент может быть поставлен следующим образом. Можно
измерять населенность только на определенных уровнях энергии многоуровневого атома, в то время как другие уровни не доступны для измерения.
Причиной может быть короткое время жизни системы или разброс в приемной полосе частот. Например, измеряется только первый и второй уровни
четырехуровневого атома, а третий и четвертый уровни являются ненаблюдаемыми. Тогда можно думать о наблюдаемых уровнях, как об ѕискусственномї пробном кубите, а о двух других уровнях, как об ѕискусственномї
ненаблюдаемом кубите. Далее томограический подход используется для
записи энтропии Шеннона для рассматриваемых состояний в зависимости
от временного шага квантовой модели наблюдения.
18
В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы и сормулированы выносимые на защиту положения.
Литература
[1? Can M.A., Klyahko A.A., Shumovsky A.S. Single partile entanglement//J.
of Opt. B.2005.V.7.N.2.P.L1L3.
[2? Chernega V.N., Man'ko O.V., Man'ko V.I. Generalized qubit portrait of
the qutrit-state density matrix//J. Russ. Laser Res.2013.V.34.N.4.P.383
387.
[3? Chernega V.N., Man'ko O.V., Man'ko V.I. Subadditivity ondition for spintomograms and density matries of arbitrary omposite and nonomposite
qudit systems//J. Russ. Laser Res.2014.V.35.N.3.P.278290.
[4? Diji P. Parametrisation of unitary matries//J. Phys. A: Math. Gen.1982.
V.15.P.34653473.
[5? Klyahko A.A., Can M.A., Biniioglu S., Shumovsky A.S.Simple test for
hidden variables in spin-1 systems//Phys. Rev. Lett.2008.V.101.P.20403.
[6? Man'ko V.I., Man'ko O.V. Spin state tomography//JETP.1997.V.85.N.3.
P.430.
[7? Manini S., Tombesi P., Man'ko V.I. Sympleti tomography as lassial
approah to quantum systems//Phys. Lett. A.1996.V.213.N.1.
[8? Mendes R.V., Man'ko V.I. On the problem of quantum ontrol in
innite dimensions//Journal of Physis A: Math. Theor.2011.V.44.N.13.
P.135302.
[9? Ruppert, L. Towards Kalman Filtering
Systems//Tehnial report SCL.2012.V.001.
of
Finite
Quantum
[10? Tanner C. The role of boundary onditions in separation of variables:
Quantum osillator in a box//Am. J. Phys.1991.V.59.P.333335.
Список публикаций автора по теме диссертации
1. Man'ko V.I., Markovih L.A. Entropi inequalities and properties of some
speial funtions // J. Russ. Laser Res.2014.V.35.N.2.P.200210.
2. Man'ko V.I., Markovih L.A. New inequalities for quantum von Neumann
and tomographi mutual information // J. Russ. Laser Res.2014.
V.35.N.4.P.355361.
19
3. Man'ko V.I., Markovih L.A. Separability and entanglement of the qudit
X-state with j = 3/2 // J. Russ. Laser Res.2014.V.35.N.5.P.518524.
4. Man'ko V.I., Markovih L.A. New Minkowski type inequalities and entropi
inequalities for quantum states of qudits // Int. J. Quantum Inform.2014.
V.12.N.7n08.P.1560021.
5. Man'ko V.I., Markovih L.A. Separability and entanglement of spin 1
partile // J. Russ. Laser Res.2015.V.36.N.2.P.110118.
6. Man'ko V.I., Markovih L.A. Deformed entropi and information
inequalities for X - states of two-qubit and single qudit state // Advanes
in Mathematial Physis.2015.V.2015.P.717621.
7. Markovih, L. A. Inferenes from optimal ltering equation // Lith. Math.
J.2015.V.55.N.3.P.413432.
8. Man'ko V.I., Markovih L.A. Steering and orrelations for the single qudit
state on the example of j = 3/2 // J. Russ. Laser Res.2015.V.36.N.4.
P.343349.
9. Man'ko V.I., Markovih L.A. Inequalities for purity parameters for
multipartite and single qudit states // J. Russ. Laser Res.2016.V.37.N.2.
P.133140.
10. Man'ko V.I., Markovih L.A. Steering in spin tomographi probability
representation // Physia A: Statistial Mehanis and its Appliations.
2016.V.4.P.266275.
11. Манько В.И. и Маркович Л.А. Фотонные распределения, неотрицательность инормации и квадратурное соотношение неопределенностей //
Инженерная изика.2016.Т.9.
12. Манько В.И., Маркович Л.А. Энтропийно-энергетические неравенства
для кутрита на примере трехуровневого атома // Известия высших
учебных заведений, Физика (ежемесячный научный журнал).2016.
Т.59(11).С.178181.
13. Man'ko V.I., Markovih L.A. Entropi inequalities for matrix elements
of rotation group irreduible representations // Lobahevskii Journal of
Mathematis.2017.V.38.N.4.P.699708.
14. Man'ko V.I., Markovih L.A., Messina A. Breakdown of separability due to
onnement // Rep. on Math. Phys.2017.V.80.N.3.P.277294.
?ших кубитов в определенном известном состоянии. За последние годы
время устойчивости состояний кубитов увеличилось от наносекунд до миллисекунд. Контролировать состояние из большого числа кубитов до сих пор
представляется сложной задачей. Для решения этой проблемы можно использовать в качестве квантовых объектов не кубиты, а кудиты, т.е. многоуровневые квантовые системы, число состояний которых больше двух. Этот
прием сокращает размерность системы во много раз, а благодаря большей
устойчивости требует меньших затрат. Таким образом, изучение кудитных
систем представляет большой интерес для развития квантовых технологий.
В ряде работ изучаются различного рода характеристики для квантовых корреляций в системах с подсистемами. Например, понятие квантовой
запутанности, изученное для двух частиц со спинами j = 1/2, служит ресурсом для развития квантовых технологий. Двухчастичные состояния системы определяются матрицей оператора плотности ?b(1, 2), который дей-
4
ствует в гильбертовом пространстве H состояния системы, представимым
тензорным произведением H = H1 ? H2 гильбертовых пространств первого и второго состояний подсистем, соответственно. Такой подход позволяет
сконструировать редуцированные операторы плотности, описывающие состояния первой и второй подсистем, как ?b(1) = T r2 ?b(1, 2) и ?b(2) = T r1 ?b(1, 2).
Составные системы имеют корреляции между подсистемами, поэтому изический смысл запутанности для них определяется естественным образом [1?.
Наличие корреляций в системах с подсистемами обнаруживается с помощью
неравенства Белла, нарушающегося для запутанных состояний, а также энтропийных и инормационных неравенств, известных как для классических
ункций распределения и классических наблюдаемых случайных величин,
так и для матриц плотности составных систем. Для двух- и трех-частичных
систем энтропийные неравенства задаются как неравенства субаддитивности
и сильной субаддитивности, определяющие степень запутанности в системе.
В [3? показано, что квантовые корреляции, известные для многочастичных систем, существуют и в системах без подсистем, т.е. в системах из одного кудита. Такие корреляции названы ѕскрытымиї Исследованию квантовых характеристик систем без подсистем, таких как один кутрит или кудит, в литературе уделено мало внимания. В [6? предложено вероятностнотомограическое представление спинового состояния кудита. В этом представлении кудитное состояние ассоциируется со спиновой томограммой, являющейся вероятностью, определяемой оператором матрицы плотности состояния. Соотношение между спиновой томограммой и оператором плотности взаимнооднозначно и обратимо. Таким образом, томограмма содержит в
себе всю инормацию о квантовом состоянии системы. Для нескольких кудитов спиновая томограмма также является совместной ункцией распределения. Это позволяет восстановить по ней оператор плотности. Так как кудитное состояние в томограическом представлении соответствует обычной
ункции распределения, ее можно использовать в энтропии и инормации
Шеннона и в других энтропиях, например, еньи и Тцаллиса. В [8? показано, что энтропия он Неймана является минимумом инормации Шенона в
спиново-томограическом представлении для всех унитарных преобразований в гильбертовом пространстве для кудитных систем. Неравенства, связанные со спиново-томограической энтропией и энтропией он Неймана,
используются для составных систем и для систем без подсистем [3?.
С развитием экспериментальной базы возникают проблемы, связанные с
оценкой и ильтрацией квантовых состояний. Проблема ильтрации неизвестного сигнала из смеси с шумом хорошо изучена в классической теории
вероятностей. В [9? известная процедура Калмановской ильтрации применена к квантовым задачам. Фильтр Калмана дает оптимальное решение для
линейной рекуррентной модели наблюдения с гауссовым шумом. Однако на
практике, как в классической, так и в квантовой механике, модели наблюдения нелинейны. Известно, что ильтр Калмана не дает оптимального реше-
5
ния задачи ильтрации для нелинейных моделей. Поэтому применяются методы линеаризации моделей наблюдения и псевдо-Калмановские ильтры,
которые могут не давать оптимальных решений.
Диссертационная работа посвящена изучению свойств и характеристик квантовых систем без подсистем. ешены следующие задачи:
Первая задача связана с нахождением новых инормационных характеристик квантовых состояний систем без подсистем. Понятия квантовой запутанности и корреляции изучаются для систем из одного кудита со спином
j = 3/2 и одного кутрита, как известно, не содержащих подсистем. Для таких
многоуровневых квантовых систем получены характеристики запутанности:
отрицательность и согласованность.
Вторая задача посвящена исследованию зависимости запутанности и сепарабельности от системы координат. В частности, исследуются квантовые корреляции в четырехуровневом атоме с использованием универсальных унитарных преобразований классической (диагональной) матрицы плотности. ассматриваются такие частные случаи, как чистое состояние, X состояние и состояния Вернера. Обсуждается геометрический смысл унитарных вращений гильбертовой системы координат, порождающих запутывание
в первоначально сепарабельном состоянии. Характеристики запутанности в
терминах отрицательности, согласованности и энтропии получены как ункции унитарной матрицы вращения. Исследуется система из двух частиц в
двумерном конигурационном пространстве S . Показано, что независимое
от времени уравнение Шредингера этой системы может не разделяться на
два одномерных одночастичных уравнения Шредингера при наличии таких
специальных граничных условий, как удержание в ограниченной области S
и/или введение условий непроницаемости частиц. ассматриваемая задача
может быть приведена к задаче о движении одной частицы, находящейся в
ограниченной области в двумерном конигурационном пространстве. ассмотрены случаи квадратного, треугольного, ромбовидного и прямоугольного квантовых ѕбильярдовї. С помощью соответствующих ункций рина,
выраженных через ?3 -ункции Якоби, изучена временная эволюции ковариации координат центра масс систем.
Третья задача посвящена квантовому стирингу в системах без подсистем.
Известные корреляционные неравенства для обнаружения стиринга в системах с подсистемами распространены в работе на случай одиночных многоуровневых систем. Для систем без подсистем введены такие их характеристики, как томограическая энтропия Шеннона и энтропии он Неймана,
еньи и Тцаллиса, относительная энтропия, вместе с соответствующими им
инормационными неравенствами. Следовые неравенства типа Минковского, известные для систем из двух кубитов, распространены на случай системы из одного кудита со спином j = 3/2. Исследован случай неравенства
с одним параметром и с двумя. Все результаты рассмотрены на примерах
известных состояний Вернера, иссина и X -состояния.
6
С помощью полученных энтропийных неравенств и унитарных неприводимых представлений групп SU (2) и SU (1, 1) в четвертой задаче диссертации получены новые неравенства для полиномов Якоби, Лежандра, Эрмита
и для ауссовой гипергеометрической ункции. Исследовано влияния невыполнения квадратурного соотношения неопределенностей на существование
ункции распределения проведено для линейного и нелинейного когерентных состояний и сжатого и зависимого состояния.
Пятая задача посвящена разработке метода ильтрации, оптимального
для нелинейных квантовых процессов. С этой целью, общее уравнение ильтрации Стратоновича применено для квантовой модели наблюдений, основанной на двух кубитах. Автором доказано, что оптимальное уравнение
ильтрации есть ильтр Калмана в случае линейной модели с ауссовым
шумом. Так как оптимальное уравнение ильтрации не содержит явных вероятностных характеристик неизвестной ненаблюдаемой последовательности, предложенный в диссертации метод позволяет найти оптимальную оценку квантового состояния, зная только наблюдаемые случайные величины, а
именно измерения, произведенные на пробном кубите в известном состоянии.
Предложена квантовая модель измерения для состояния из одного кудита.
Метод оптимальной ильтрации, предложенный для двухкубитной модели,
распространен для такой модели наблюдения. Новый тип моделей наблюдения полезен для возможного практического использования многоуровневых
атомов.
Методы и подходы. В диссертации для всех задач используется
томограико-вероятностное представление квантовой механики [7?. Это
представление основано на описании квантовых состояний в терминах ункций распределения вероятностей, называемых квантовыми томограммами.
Томограммы содержат всю доступную инормацию о квантовом состоянии
и связаны с операторами плотности посредством обратимых преобразований. Существует несколько видов томограмм, связанных между собой. Для
непрерывных переменных - это симплектическая [7?, оптическая, центра масс
и Френелевская томограммы, а для дискретных случайных величин - это томограммы спиновая и счета отонов. Такой подход позволяет использовать
классический математический аппарат для ункций распределения вероятностей, энтропии и инормации. При этом ункция распределения, определяющая квантовое состояние, может быть померена непосредственно.
Степень разработанности темы. В [3? показано, что квантовые свойства систем без подсистем могут быть сормулированы при помощи метода
взаимнооднозначных отображений. Это означает, что целые числа 1, 2, 3, . . .,
являющиеся индексами элементов матриц плотности, могут быть отображены на пары (тройки и т.д.) чисел (i, j), i, j = 1, 2, . . .. Например, состояние
одного кудита со спином j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, . . . может быть отображено на
оператор плотности системы, содержащей подсистемы, как например, состояние из двух кубитов. Известные корреляционные свойства составных систем
7
такие, как запутанность, корреляция, стиринг и дискорд сормулированы
для систем без подсистем в [5?. Квантовые корреляции для системы из одного кудита используются для ормулировки квантового контекста в [5?. В [2?
обсуждалось понятие запутанности и корреляции для системы из одного кудита. Предложено использовать метод кубитного портрета для получения
новых энтропийных неравенств для кудитных систем, а также получено новое энтропийное неравенство для системы из одного кутрита (j = 1). До сих
пор не проводилось подробного исследования понятия запутанности, стиринга, корреляций и их природы в системах без подсистем, несмотря на ундаментальный характер этих задач. В последние годы системы без подсистем
были реализованы как, например, трехуровневый искусственный атом на базе джозесоновского контакта.Матрица плотности такого кутритного состояния может быть измерена методом квантовой томограии, где квантовые
состояния ассоциируются с вероятностями.
Актуальность задач диссертационной работы определяется необходимостью рассмотрения новых многоуровневых квантовых систем, таких как
кудитные квантовые системы без подсистем, в связи с развитием квантовых
технологий в квантовых коммуникациях, вычислениях и криптограии.
Целью диссертационной работы является дальнейшее исследование
свойств многоуровневых квантовых систем без подсистем, включая квантовые корреляции, явления запутанности, соотношения неопределенностей
и неравенств для статистических характеристик (энтропии и инормации)
квантовых систем кубитов и кудитов, систем с непрерывными переменными
типа квантовых цепочек и многоуровневых атомов.
Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в
том, что рассмотренные в ней ормулы, выводы и свойства квантовых и
классических систем являются новыми, выведенными в соответствии с вероятностным представлением квантовых состояний, полученным в последнее
десятилетие.
На защиту выносятся следующие положения:
1. получены новые энтропийные и инормационные неравенства, а так
же следовые неравенства типа Минковского, характеризующие запутанность для систем из двух кубитов, одного кудита со спином j = 3/2
и кутрита;
2. выведены условия на унитарную матрицу поворота, переводящую систему четырехуровневого атома из сепарабельного состояния в запутанное;
3. получены специальные ограничения типа удержания и непроницаемости, влияющие на сепарабельность в системе, а так же граничные условия для частицы, заключенной в ѕящикиї сложных орм;
8
4. получено выражение квантового стиринга в терминах спиновых томограмм на основе введенных понятий квантовой корреляции и квантового стиринга в системе из одного кудита со спином j = 3/2;
5. предложен и применен метод получения новых соотношений для классических математических полиномов Эрмита, Лагерра, Лежандра и гипергеометрической ункции, основанный на использовании известных
энтропийных неравенств для квантовых систем и неприводимых унитарных представлений групп SU (2) и SU (1, 1);
6. реализован новый общий метод квантовой ильтрации для нелинейной
квантовой модели наблюдения, обеспечивающий оптимальное решение
задачи оценивания состояния при известных наблюдаемых случайных
величинах.
Практическая значимость полученных результатов определяется тем,
что с их помощью выясняются ундаментальные аспекты квантовой теории,
на основе которых базируется развитие новых квантовых технологий, таких
как криптограия, квантовый компьютер и телепортация. Методы ильтрации, предложенные в работе, могут найти широкое применение во многих областях квантовой механики, где наблюдаемые случайные величины зашумлены. езультаты, относящиеся к классическим полиномам, имеют важное
значение в теории групп, так как позволяют получать множество различных
неравенств для часто используемых на практике специальных ункций.
Апробация работы. езультаты доложены на международных конеренциях:
? Advanes in foundations of quantum mehanis and quantum information
with atoms and photons (Quantum 2014, 2017) (Турин, Италия),
? Quantum theory: from problems to advanes (Вакша, Швеция, 2014),
? 57-й, 58-й, 59-й, 60-й научных конеренциях МФТИ (г. Долгопрудный,
Московской области, 2014-2017 гг.),
? Quantum Networks (Барселона, Испания, 30 марта- 1 апреля, 2016),
? Quantum Roundabout, Student onferene on the mathematial
foundations of quantum physis. (Ноттингем, Англия, 6-8 июля, 2016),
? Information Tehnology and Systems 2016, The 40th Interdisiplinary
Conferene and Shool (Санкт Петербург, оссия, 25-30 сентября, 2016),
? Семинар Strutural Lerning в ИППИ АН (Москва, оссия, 13 октября,
2016).
9
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 14 статьях из
перечня рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой
степени кандидата наук, и SCOPUS.
Личный вклад автора. Все теоретические результаты диссертации получены автором самостоятельно. Постановка большей части задач выполнена научным руководителем, задача в лаве 2 поставлена про. Мессиной.
Обсуждение результатов работ проводилось совместно с соавторами.
Структура и объем диссертационной работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 153 страницы. Библиограия включает 255 наименований на 18 страницах.
Содержание работы
Во введении сормулированы основные цели и задачи работы, обоснована ее научная актуальность, новизна и научная значимость. Представлен
перечень всероссийских и международных конеренций, где основные результаты прошли апробацию, а также список публикаций, содержащих основные научные результаты диссертационной работы.
В первой главе даны базовые понятия и определения томограиковероятностного ормализма квантовой механики. Изучены квантовые корреляции в системе из одного кудита при помощи специальной матричной
характеристики - разницы между квантовой инормацией он Неймана Iq
и максимумом томограической инормации Шеннона It : Iq ? It = ?I ? 0
в зависимости от всех унитарных преобразований в гильбертовом пространстве состояний двухкубитной системы. Эта характеристика исследована для
состояния Вернера, найдено ее минимальноее предельное значение равное
?I ? ln 2 при p ? 1 и ?I ? 1/3 ln 2 при p ? ?1/3. Для инормации
e 1 , ?2 , ?1 , ?2 , p), It ? 0 доказаШеннона состояния Вернера It = max H(?
?1 ,?2 ,?1 ,?2
e 1 , ?2 , ?1 , ?2 , p), найдены
но отсутствие глобального максимума ункции H(?
значения углов, при которых наблюдаются локальные максимумы. азвиты результаты, полученные в [3?, где состояние одного кудита со спином
j = 3/2 исследовалось на наличие запутанности. Построена матрица плотности с элементами ?ij , i, j = 1, 2, 3, 4 для кудита со спином j = 3/2 и аналоги редуцированных матриц плотностей, ѕискусственных подсистемї ?(1) и
?(2). При помощи метода взаимнооднозначного отображения индексов введено понятие сепарабельности и запутанности для системы одного кудита со
спином j = 3/2. Для этой системы введены характеристики запутанности:
отрицательность и согласованность. Исследована энтропия и инормация
10
для системы из одного кутрита j = 1
?
?11
? = ? ?21
?31
?
?13
?23 ? ,
?33
?12
?22
?32
?
?11
? ?21
?e = ?
? ?31
0
?12
?22
?32
0
?13
?23
?33
0
?
0
0 ?
?.
0 ?
0
Посредством операции добавления нулевой строки и столбца к матрице плотности получены новые инормационные неравенств для таких квантовых
систем. Для матрицы ?e получено неравенство для ее ѕискусственных подсистемї
?11 + ?22 ?13
?11 + ?22 ?13
? Tr
ln
?31
?33
?31
?33
X
4
?11 + ?33 ?12
?11 + ?33 ?12
? Tr
ln
+
?i ln ?i ? 0,
?21
?22
?21
?22
i=1
?e размерности
где {?i } - собственные числа ?. Аналогично получена матрица e
6 Ч 6 из матрицы 4 Ч 4, описывающая систему из одного кудита, и соответствующие редуцированные матрицы плотности для ее подсистем. Получено
инормационное неравенства для таких ѕискусственных подсистемї
?11 + ?22
?14
?11 + ?22
?14
?T r
ln
?41
?33 + ?44
?41
?33 + ?44
?
? ?
?
4
?33
?34
0
?33
?34
0
X
e
e
e
e
? T r ? ?43 ?11 + ?44 ?12 ? ln ? ?43 ?11 + ?44 ?12 ? +
?
i ln ?i ? 0.
i=1
0
?21
?22
0
?21
?22
Для системы из одного кудита со спином j = 3/2 введены следовые неравенства типа Минковского. Матрица плотности с элементами ?ij , i, j = 1, 2, 3, 4
делится на четыре блока 2 Ч 2
?11 ?12
?13 ?14
?31 ?32
?33 ?34
a11 =
,a12 =
,a21 =
,a22 =
.
?21 ?22
?23 ?24
?41 ?42
?43 ?44
В блочной орме она имеет вид
a11 a12
a11
? =
,
a21 a22
a21
a12
a22
p
?
a11 (p) a12 (p)
a21 (p) a22 (p)
,
где p ? 1 действительные числа, блочные матрицы {aij (p)} зависят от параметра p. Справедливо неравенство типа Минковского с одним параметром
(1)
p
1
p
(T r (a11 + a22 ) ) ? T r
T ra11 (p)
T ra21 (p)
T ra12 (p)
T ra22 (p)
p1
,
11
обращающееся в случае 0 ? p < 1. Для матрицы плотности размера N Ч N ,
описывающей квантовое состояние, имеет место блочная орма блоками
aij - матрицами размера m Ч m. Для действительных чисел p и q введены
обозначения
?
?
a11 (i) a12 (i) · · · a1n (i)
? a21 (i) a22 (i) · · · a2n (i) ?
?
?
?i = ?
? , i = p, q.
..
..
..
..
?
?
.
.
.
.
an1 (i) an2 (i) · · · ann (i)
Получено неравенство типа Минковского с двумя параметрами
h
i1/p h
i1/q
p/q
q/p
T r2 (T r1 ?q )
? T r1 (T r2 ?p )
.
Последнее неравенство переписано в терминах параметров чистоты
(2)
µ1 + µ2 ? 1 ? µ
e, где
h
h
1/2 i2 1/2 i2
µ
e ? T r2 T r1 ?2
+ T r1 T r2 ?2
? 1.
Для X -матрицы неравенство (2) принимает орму
2
4
X
i=1
+
+
?2ii + 2(?11 + ?44 )(?22 + ?33 ) ? 1 ? µ
e,
где
q
q
µ
e = 2 ?211 + ?222 + |?14 |2 + |?23 |2 ?233 + ?244 + |?14 |2 + |?23 |2
q
q
2 ?211 + ?233 + |?14 |2 + |?23 |2 ?222 + ?244 + |?14 |2 + |?23 |2
2
4
X
?2ii + 4(|?14 |2 + |?23 |2 ) ? 1.
i=1
На примерах показано, как параметры матрицы плотности влияют на знак
разности µ
e ? µ12 и его связь с запутанностью. Для кудита со спином j =
3/2, описываемого матрицей Вернера, параметры чистоты определяются как
µ12 = (3p2 + 1)/4, µ1 = µ2 = 1/2. Тогда неравенство (2) дает 0 ? 3p2 . Видно,
что µ
e ? µ12 > 0 там, где параметр p принадлежит области 1/3 < p ? 1,
соответствующей запутанным состояниям. ассмотрены состояние исина и
? -состояние. Получены новые энтропийные и инормационные неравенства
для энтропий Тцаллиса и еньи для системы из двух кубитов и системы из
одного кудита. Например, условие субаддитивности для энтропии Тцаллиса
позволяет записать неравенство для энтропии еньи
exp(SqR (?1 )(1 ? q)) + exp(SqR (?2 )(1 ? q)) ? exp(SqR (?)(1 ? q)) < 1.
12
Для X -состояния системы из одного кудита получено неравенство
IqT
=
+
(3)
?
(?11 + ?22 )((?11 + ?22 )q?1 ? 1) + (?11 + ?33 )((?11 + ?33 )q?1 ? 1)
(?22 + ?44 )((?22 + ?44 )q?1 ? 1) + (?33 + ?44 )((?33 + ?44 )q?1 ? 1)
!
(?11 + ?22 + ?33 + ?44 )(?q?1 ? 1) (1 ? q) ? 0.
Во второй главе рассматриваются квантовые корреляции, связанные с
явлением перепутывания в составной и одночастичной системах с собственными векторами матриц плотности состояний систем. Используя известный
акт, что свойства запутанности зависят от системы отсчета, определяемой
собственными векторами наблюдаемых, введена унитарная матрица W , построенная как множество нормированных собственных векторов матрицы
плотности ?, организованных как совокупность столбцов унитарной матрицы. Используя специальную параметризацию унитарных матриц, приведенную в [4?, найдены область параметров матрицы преобразования, которая
переводит матрицу плотности чистых состояний в сепарабельное состояние.
Для общего случая смешанных состояний найдены области определения элементов для специальных типов матриц вращения, таких как клеточная матрица, блочная матрица и X -матрица. езультаты проиллюстрированы на
примерах чистых и смешанных состояний и матриц поворота разных типов.
Изучены условия, при которых нарушается сепарабельность центра масс
и относительного движения для одномерной системы из двух невзаимодействующих частиц с массами m1 и m2 , связанных общим ограничением. ассмотрен случай движения двух частиц внутри конечного и неизменного интервала I ? R. ешение уравнения Шредингера для них имеет вид
(4)
?conf (x1 , x2 ) = N sin(k1 x1 ) sin(k2 x2 )
и удовлетворяет граничным условиям
(5)?(x1 = 0, x2 ) = ?(x1 , x2 = 0) = 0, ?(x1 = d, x2 ) = ?(x1 , x2 = d) = 0.
k1 = ?n1 /d, k2 = ?n2 /d, n1 , n2 ? Z \ {0}, N - нормировочная константа. При
переходе к координатам центра масс
(6)x = x1 ? x2 ,
Xc = (m1 x1 + m2 x2 )/M, M = m1 + m2 , µ = m1 m2 /M
можно ввести геометрические граничные условия для решения в терминах
e как
координат центра масс ?
e (Xc , x|Xc + xm2 )/M = d) = 0, ?
e (Xc , x|Xc ? xm1 /M = d) = 0,
(7) ?
e (Xc , x|Xc + xm2 )/M = 0) = 0, ?
e (Xc , x|Xc ? xm1 )/M = 0) = 0.
?
13
Из этих условий координаты Xc и x алгебраически связаны на границе области определения. При наличии граничных условий разделение переменных
невозможно [10?, и нельзя искать решение, как акторизованную ункцию
двух переменных. Таким образом, уравнение Шредингера в системе центра
масс нельзя переписать как два диеренциальных уравнения, а граничные условия - отдельно для каждой переменной. При наличии граничных
условий (7) задача не является сепарабельной. ешение, удовлетворяющее
новым геометрическим граничным условиям (7), имеет вид
e n1 n2 (Xc , x) = A
e sin (?n1 /d(Xc + xm2 /M )) sin (?n2 /d(Xc ? xm1 )/M )) ,
?
т.е. (4), переписанное в координатах центра масс. В дополнение к граничным условиям рассмотрены случаи, когда относительная координата может
принимать как положительные, так и отрицательные значения и, когда одна
из двух частиц всегда находится на одной стороне по отношению к другой.
Последняя ситуация рассматривается как ѕусловие непроницаемостиї и понимается как добавочное ограничение на систему. В диссертации полностью
исследовано неограниченное движение двух частиц, т.е. I = R для случая
отсутствия непроницаемости и для случая присутствия хотя бы одного из
двух ограничений. Проиллюстрировано, что существование базиса акторизованных стационарных состояний двух даже невзаимодействующих квантовых частиц критически зависит от того, будут ли и как соответствующие
динамические переменные алгебраически связанны на границе двумерной
области, за пределами которой любая волновая ункция, удовлетворяющая
граничным условиям, обращается в ноль. Другими словами, отделимость
зависит не только от структуры относительного уравнения Шредингера, но
и от геометрической ормы области нормировки. Это позволяет перейти от
одномерной системы из двух невзаимодействующих частиц к движению иктивной частицы, движущейся в плоскости внутри области, орма которой
определяется ограничениями, наложенными на исходную двухчастичную систему. Вторая часть этой лавы посвящена задаче квантового бильярда с такими ормами, как квадрат, ромб, треугольник и прямоугольник. Получены
граничные условия на волновую ункцию для каждого бильярда и временная эволюция ковариации координат центра масс, для чего использована
ункция рина в орме ?3 -ункции Якоби.
В третьей главе рассматриваются квантовые свойства систем без подсистем (один кудит). Используя метод взаимнооднозначного отображения
индексов, введен аналог корреляционной ункции для системы из одного
кудита, и понятие стиринга определено для систем без подсистем. Известно, что если состояние не удовлетворяет
P3условию стиринга, то выполняется
? ?
?
?
?
?
неравенство max?
m,?
n (E( m, n )) ? 2/3
i,j=1 Tij , где квантовая корреляционная ункция для двухкубитного состояния
задается следующим образом:
P3
?
?
?
?
?
?
?
E(?
m, ?
n ) = T r(?
m·?
? ??
n ·?
? ?) =
T
mi nj , где ?
? - вектор, обраij
i,j=1
?
?
?
зованный с помощью матриц Паули, m = (m1, m2, m3), ?
n = (n1, n2, n3) -
14
единичные вектора Блоха, Tij - компоненты корреляционной матрицы. Получено томограическое представление корреляционной ункции, входящей
в неравенство для детектирования стиринга в системах без подсистем. Используя томограическое представление, получена связь между стирингом
в системе из двух кубитов и стирингом в системе из одного кудита со спином
j = 3/2. Для этого томограммы выражены через ядерные ункции K , как
Z
?(m1 , m2 , ~n1 , ~n2 ) = W (m, ~n)K12 d~n,
b
b (m1 , m2 , ~n1 , ~n2 ),
где обозначено K12 ? K12 (m1 , m2 , m, ~n1 , ~n2 , ~n) = T rD(m,
~n)U
b
b
операторы D(·) и U (·) - квантайзер и деквантайзер. Аналогично записывается обратная трансормация. Тогда корреляционные ункции в системе с
подсистемами и без подсистем связаны как
1/2
X
? ?
?
?
E( k 1 , k 2 ) =
m1 ,m2 =?1/2
ZZ
3/2
X
dn~1 dn~2
m=?3/2
Z
W? (m, ~n) ·
? ?
?
?
Wkd1 ??k2 ? (m, ~n)K12 K21 d~n = E( k 1 , k 2 ).
·
Далее изучен изический смысл таких корреляций в системах без подсистем.
В четвертой главе рассматриваются неприводимые унитарные представления двух матричных групп SU (2) и SU (1, 1). Известно, что матричные элементы таких групп представимы в виде полиномов Якоби, Лежандра, аусса, Эрмита и других. Эти представления использованы для построения новых неравенств для классических полиномов и специальных ункций. ассмотрены ункции распределения смешанных состояний с ауссовой
ункцией Вигнера, представимые в виде классических полиномов. С помощью энтропийных неравенств, получены новые соотношения для полиномов
Якоби, Лежандра, Эрмита и ауссовой гипергеометрической ункции. На(j)
пример, для полиномов Якоби Pm? ,m (?)
(j)
Sm? ,m (?)
(j + m? )!(j ? m? )!
2(m? +m)
2(m? ?m)
cos (?/2)
sin (?/2)
,
(j + m)!(j ? m)!
(?1)n
dn
(1 ? z)?a (1 + z)?b n (1 ? z)a+n (1 + z)b+n ,
n
2 n!
dz
=
Pn(a,b) (z) =
получено следующее неравенство (j = 1/2, 0 < ? < ? )
! 1
?
1
1
1
2
2
S?2 1 ,m (?)P?2 1 ,m (?)2 + S 12 ,m (?)P 12,m (?)2
2
2
1
1
2
2
+ S 12 ,m (?)P 12,m (?)2
1
1
2
2
1
1
ln S?2 1 ,m (?)P?2 1 ,m (?)2
2
2
1
1
2
2
? S 12 ,m (?)P 12,m (?)2 ln S 12 ,m (?)P 12,m (?)2
15
?
?
1
1
1
1
S 12 ,m (?)P 12,m (?)2 ln S 12 ,m (?)P 12,m (?)2 ?
2
2
2
2 1
1
1
1
2
2
2
2
?S 1 ,m (?)P 1 ,m (?) ln S 1 ,m (?)P 12,m (?)2 .
2
2
2
2
Получено, что при нарушении квадратурного соотношения неопределенностей, отонная ункция распределения может принимать комплексные значения, а значит перестать быть вероятностью. Вероятность в ней выражена
через полиномы Эрмита. ассмотрены примеры линейного и нелинейного когерентного состояния, а также сжатого и зависимого состояния. Получены
новые неравенства для полиномов Эрмита и Лагера, что является оригинальным результатом диссертационного исследования.
В пятой главе рассматривается задача квантовой нелинейной ильтрации. ассмотрен частично наблюдаемый марковский процесс (sk , xk )k?1 , где
ненаблюдаемая s = (sk )k?1 и наблюдаемая последовательность x = (xk )k?1
статистически связаны условной плотностью f (xk |sk ), зависящей от модели наблюдения и распределения шумовой компоненты наблюдаемых величин ?k . ассмотрен класс условных распределений, принадлежащих к эксe n) e k )h(xk ) exp(T (xk )Q(sk )), где C(s
понентному семейству f (xk |sk ) = C(s
нормировочная константа и h(xk ), T (xk ), Q(sk ) - заданные ункции. Цель построить ильтрационный алгоритм для ненаблюдаемой марковской случайной последовательности (sk )k?1 , основанный на наблюдаемой последовательности x = (xk )k?1 . (sk ) и (xk ) связанны нелинейным соотношением
xk = ?(sk , ?k ), где (?k ? R)k?1 -независимые одинаково распределенные случайные величины, ? - некоторая нелинейная ункция. Оптимальный подход
для нелинейных процессов предложен в (Стратонович: 1960). Для оценки
sk используется оптимальная
байесовская оценка в виде условного среднего
R
sbk = E(sk |xk1 ) = Sk sk wk (sk |xk1 )dsk , где wk (sk |xk1 ) - апостериорная ункция
плотности вероятности, которая удовлетворяет рекуррентному уравнению
Стратоновича. В предположении, что условная плотность f (xk |sk ) принадлежит экспоненциальному семейству, общее уравнение ильтрации имеет
вид
?
E(Q(sk )|xk1 ) · Tx? k (xk ) = ln f (xk |xk?1
)/h(xk ) x .
1
k
Уравнение не содержит в явном виде вероятностные характеристики p(s1 )
и p(sk |sk?1 ) ненаблюдаемой последовательности {sk }. Это позволяет найти оптимальную оценку, зная только наблюдаемые случайные величины xk1 .
Предложенный метод может быть применен к любой марковской паре, независимо от природы измерений. Целью главы является распространить его на
случайные квантовые модели наблюдения. В диссертации использована модель непрямых измерений. Пусть ненаблюдаемая и наблюдаемая величины
квантовой системы есть квантовые биты. Под непрямым (слабым) измерением понимается проективное измерение, проводимое на пробном кубите в
состоянии ?M (k) = [?M1 (k), ?M2 (k), ?M3 (k)]T , объединенном с интересующей
16
нас системой ?S (k) = [?S1 (k), ?S2 (k), ?S3 (k)]T . Представления этих систем в
терминах векторов Блоха имеют вид
(8)
?M (k) = (I + ?M (k)? M )/2,
?S (k) = (I + ?S (k)? S )/2,
где ? S и ? M вектора, построенные из операторов Паули, действующих на
гильбертовых пространствах HS и HM , соответственно. Непрямое измерение
производится следующим образом. На временном шаге k готовится пробный
кубит в заданном известном состоянии. Его объединяют с неизвестной интересующей нас системой. Общая система описывается четырехмерной квадратной матрицей плотности ?S+M (k). Пусть она представима как прямое
произведение двух состояний, т.е. ?S+M (k) = ?S (k) ? ?M (k). Эволюция обоих кубитов протекает в соответствии с двухчастичной динамикой за момент
времени h. Далее производится измерение на пробном кубите. Алгоритм повторяется на следующем шаге k + 1.
Пусть A? = A?? оператор в конечном гильбертовом пространстве H ? Cn ,
имеющий n собственных векторов. Пусть spec(A) = {aj } - собственные числа
A? и P?a проекционный оператор на подпространства H, образованные векторами с собственными числами a. Пусть измерение наблюдаемой A принимает значение a ? spec(A). Состояние после наблюдения задается проективным
постулатом.
Пусть H ? C2 . В качестве наблюдаемой выберем оператор с матрицей
Паули ?z , описывающий z -направление спина 1/2. Известно, что spec(?z ) =
{?1, 1}, соответствующий положению спина вниз и вверх. В терминах проекционных операторов
1 0
0 0
(9)
Pz0 =
, Pz1 =
.
0 0
0 1
можно записать ?z = Pz0 ? Pz1 . ассмотрим чистое состояние, заданное вектором ? = (c1 , c2 )T , |c1 |2 + |c2 |2 = 1. Если мы наблюдаем ?z , то с вероятностью h?, Pz0 ?i = |c1 |2 получим исход 1, т.е. спин вверх, а с вероятностью
h?, Pz1 ?i = |c2 |2 получим исход ?1. Аналогично, для наблюдаемой с оператором ?x . Заметим, что операторы ?z и ?x не коммутируют, а значит не
могут быть измерены в одной реализации. Эволюция системы контролируется унитарным оператором матрицей W . Состояние составной системы
после взаимодействия ?S+M (k + 1) = W ?S+M (k)W ? , а редуцированная матрица плотности интересующей нас системы: ?S (k + 1) = T rM ?S+M (k + 1) =
T rM W ?S (k) ? ?M (k)W ? . Так как мы заинтересованы в измерении ?x или ?z ,
то состояние после измерения может быть записано как
(10)
?± (k + 1) =
P± ?S+M (k + 1)P±
.
T r (?S+M (k + 1)P± )
S
M
ассмотрим матрицу эволюции W = e?ih(ay ?y ??y ) [9? с параметром ay и временем измерения h. Для измерения Ax = I ? ?x , ay h = ?/2 вероятности двух
17
различных исходов P (+1) = (1 + ?S2 ?M3 ), P (?1) = (1 ? ?S2 ?M3 ). Состояния
после измерения равно
T
?S3 ?M2 ± ?S1 ?M1
?S2 ± ?M3
±?S3 ?M1 ? ?S1 ?M1
?S (±1) =
.
1 ± ?S2 ?M3
1 ± ?S2 ?M3
1 ± ?S1 ?M2
Поскольку вероятность нового состояния зависит от обоих измерений ?S
и ?M можно получить инормацию об интересующем нас состоянии, используя только наблюдаемые случайные величины. Обозначим ?S2 (k) ? Sk ,
где k - временной шаг. В [9? наблюдаемый пробный кубит характеризовался параметром c = ?M3 (k). Запишем, например, вторую строку как
sk = (sk?1 ± c)/(1 ± csk?1 ). Последний процесс может быть переписан в предположении, что c достаточно мал и нас интересует изменение системы только
после N временных шагов, то sk = sk?1 + xk?1 c(1 ? s2k?1 ), где xk = xk+ ? xk? ,
N = xk+ +xk? . Здесь введено обозначение измерения +1 и ?1 как xk+ и xk? ,
соответственно. Если xk ? N (N csk ; N ), то модель наблюдения может быть
записана как
sk
=
sk?1 + N c2 sk?1 (1 ? s2k?1 ) + ?k?1 c(1 ? s2k?1 ),
xk = N csk + ?k ,
где шум ? ? N (0; N ). Тогда имеется частично наблюдаемая марковская случайная последовательность (sk , xk )n?1 , где роль ненаблюдаемой последовательности s = {sn }k?1 играет вектор Блоха ненаблюдаемого кубита ?S2 , а наблюдаемая последовательность x = {xk }k?1 получается он Неймановскими
измерениями. Связь между ними задается нелинейным уравнением. Построена квантовая модель наблюдения, математически абсолютно идентичная
классической, и ильтрационную задачу для заданной модели можно решать, не задумы?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
166 Кб
Теги
информационные, система, вероятностный, корреляционными, характеристика, квантовые
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа