close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Исследование влияния высокочастотных вибраций на устойчивость движения механических систем

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Вишенкова Екатерина Алексеевна
Исследование влияния высокочастотных
вибраций на устойчивость движения
механических систем
01.02.01 Теоретическая механика
Автореерат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата изико-математических наук
Москва 2018
абота выполнена на каедре ѕМехатроники и теоретической механикиї е
дерального государственного бюджетного образовательного учреждения выс
шего образования ѕМосковский авиационный институт (национальный иссле
довательский университет)ї.
Научный руководитель:
Холостова Ольга Владимировна,
доктор
доцент.
Оициальные оппоненты:
изико-математических
наук,
Кугушев Евгений Иванович,
доктор изико-математических наук, до
цент, проессор каедры теоретической
механики и мехатроники механикомате
матического
акультета
едерального
государственного бюджетного образова
тельного учреждения высшего образования
ѕМосковский государственный университет
им. М. В. Ломоносоваї.
Батхин Александр Борисович,
кандидат изико-математических наук, до
цент, старший научный сотрудник едераль
ного государственного учреждения ѕФеде
ральный исследовательский центр Институт
прикладной математики им. М. В. Келдыша
оссийской академии наукї.
Федеральное государственное автономное об
разовательное учреждение высшего образо
вания ѕоссийский университет дружбы на
родовї.
Ведущая организация:
Защита состоится ѕ26ї октября 2018 г. в 10:00 на заседании диссертационно
го совета Д 212.125.14 в Московском авиационном институте (национальном
исследовательском университете), по адресу: 125993, г. Москва, A-80, СП-3,
Волоколамское шоссе, д. 4.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Мос
ковского авиационного института и на сайте института
https://mai.ru/events/defene/index.php?ELEMENT_ID=95149.
Автореерат разослан ѕ
ї
2018 г.
Отзывы и замечания по автореерату в двух экземплярах, заверенные печа
тью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря
диссертационного совета.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
к..-м.н, доцент
идаспов В.Ю.
Общая характеристика работы
В последние десятилетия стало актуальным при
менение в различных механизмах и агрегатах высокочастотных вибраций,
позволяющих изменить характер движения или повысить устойчивость си
стемы. Вибрационные устройства нашли применение во многих серах про
изводства, в том числе в авиационной промышленности и ракетостроении.
Для создания и совершенствования подобных устройств активно проводится
поиск и исследование новых динамических эектов, предполагающих как
более детальный анализ существующих систем, так и изучение модельных
систем. В частности, актуальными остаются задачи исследования частных
движений систем, моделируемых твердым телом или системой твердых тел.
Классической задачей вибрационной механики является задача динами
ческой стабилизации верхнего неустойчивого положения равновесия матема
тического маятника за счет быстрых вертикальных вибраций точки подвеса,
рассмотренная впервые А. Стеенсоном (1908 г.). азвитие этой задачи полу
чило в работах П. Л. Капицы, Н. Н. Боголюбова и многих других исследовате
лей. яд работ (А. Стеенсон, А. П. Маркеев, Т. . Стрижак, О. В. Холостова
и др.) посвящен динамике серического маятника, двойного маятника, волч
ка Лагранжа с вибрирующей точкой подвеса. Недавно получена (А. П. Мар
кеев) приближенная автономная система диеренциальных уравнений дви
жения тела с произвольной геометрией масс при наличии высокочастотных
вибраций одной из его точек, и в рамках этой системы проведен ряд иссле
дований устойчивости частных движений тела (относительных равновесий,
стационарных вращений и др.).
Особый интерес представляет случай высокочастотных вертикальных
вибраций точки подвеса, для которого многие частные движения тела схожи
со случаем тела с неподвижной точкой. Одним из таких типов движений яв
ляются перманентные вращения, открытые Б. К. Млодзеевским и О. Штауде
(1894 г.) и представляющие собой равномерные вращения вокруг вертикаль
ной (и иксированной в теле) оси. Устойчивость перманентных вращений
тела с неподвижной точкой исследовалась . раммелем, В. В. умянцевым,
К. Магнусом, В. Н. убановским, Я. В. Татариновым, О. В. Холостовой и др.
Актуальным является изучение влияния быстрых вертикальных вибра
ций на существование и области устойчивости данных движений, а также
выявление случаев, возникающих только при наличии вибраций.
Цель работы. Целью данной диссертационной работы является иссле
дование устойчивости перманентных вращений в приближенной задаче о дви
жении тяжелого твердого тела при наличии вертикальных высокочастотных
гармонических вибраций точки подвеса, а также исследование задачи о суще
ствовании и устойчивости периодических движений двойного маятника при
горизонтальных высокочастотных гармонических вибрациях точки подвеса.
Методы исследования. Для достижения цели работы в диссертации
Актуальность темы.
3
применялись методы теорий устойчивости линейных и нелинейных гамильто
новых систем, включая устойчивость при резонансах и КАМтеорию. Были
применены методы нормальных орм Пуанкаре, нормализация гамильтони
анов проводилась при помощи преобразования Биркгоа и преобразования
ДеприХори. При проведении анализа использовались компьютерные систе
мы аналитических вычислений и численные расчеты.
Достоверность результатов. Достоверность представленных в дис
сертации результатов обеспечивается применением строгих математических
методов исследования, высокой точностью проведенных численных расчетов,
а также тем, что выводы, полученные в предельных случаях аналитически,
полностью согласуются с результатами численного анализа.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные
результаты:
1. В приближенной задаче динамики тяжелого твердого тела с произволь
ной геометрией масс при наличии вертикальных высокочастотных гар
монических вибраций точки подвеса найдено уравнение конуса допусти
мых осей перманентных вращений вокруг вертикали, обобщение урав
нения конуса Штауде для тела с неподвижной точкой. Дано описание
допустимых дуг перманентных вращений в случае расположения цен
тра масс тела на главной оси инерции, а также в случае динамически
симметричного тела.
2. В рамках приближенной автономной системы канонических диерен
циальных уравнений проведено исследование устойчивости перманент
ных вращений тела в случае расположения центра масс тела на главной
оси инерции. ассмотрены вращения вокруг этой главной оси, а также
вокруг осей, лежащих в главных плоскостях инерции, примыкающих к
этой оси. В четырехмерном пространстве параметров проведен исчер
пывающий анализ устойчивости в линейном приближении данных вра
щений. В ряде областей найдены достаточные условия устойчивости.
3. В областях выполнения только необходимых (не являющихся достаточ
ными) условий устойчивости проведен нелинейный анализ устойчиво
сти исследуемых перманентных вращений. Получены уравнения поверх
ностей резонансов третьего и четвертого порядков, а также поверхности
вырождения. Подробно изучены два частных случая геометрии масс те
ла, когда тело динамически симметрично или распределение масс в нем
соответствует случаю БобылеваСтеклова. Проверены критерии устой
чивости в резонансных случаях.
4. ассмотрен частный случай перманентных вращений динамически сим
метричного твердого тела, обусловленный вибрациями, для которого
частота вибраций точки подвеса и угловая скорость перманентного вра
щения связаны соотношением специального вида. Проведен полный ли
нейный и нелинейный анализ устойчивости этого движения.
4
5. Исследованы движения системы, состоящей из двух шарнирно соеди
ненных тонких однородных стержней при горизонтальных высокоча
стотных гармонических вибрациях малой амплитуды точки ее подвеса.
В приближенной задаче изучена устойчивость четырех положений от
носительного равновесия на вертикали. Показано, что устойчивым мо
жет быть только нижнее (ѕвисящееї) положение. Для системы двух
одинаковых стержней вопрос об устойчивости рождающегося из него
периодического движения решен в строгой нелинейной постановке.
6. Для системы двух одинаковых стержней решен также вопрос о суще
ствовании, биуркациях и устойчивости (в нелинейной постановке) вы
сокочастотных периодических движений малой амплитуды, происходя
щих в окрестности наклонных положений стержней.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
1. Уравнение конуса допустимых осей перманентных вращений (аналог ко
нуса Штауде для тела с неподвижной точкой) в приближенной задаче о
движении тяжелого твердого тела при наличии быстрых вертикальных
вибраций точки подвеса малой амплитуды.
2. Описание допустимых дуг перманентных вращений в случае располо
жения центра масс тела на главной оси инерции для точки подвеса, а
также в случае динамически симметричного тела.
3. Полный линейный анализ устойчивости перманентных вращений тела
с центром масс на главной оси инерции: случаи вращения тела вокруг
этой оси (центр масс выше или ниже точки подвеса) и вокруг осей, лежа
щих в главных плоскостях инерции, примыкающих к этой оси. Анали
тическое и граическое представление достаточных и только необходи
мых (не являющихся достаточными) областей устойчивости. Сравнение
с соответствующими результатами для тела с неподвижной точкой.
4. Нелинейный анализ устойчивости для указанных случаев перманент
ных вращений: получение уравнений поверхностей резонансов третьего
и четвертого порядков, а также поверхности вырождения. Подробный
анализ для случая динамически симметричного тела и случая Бобы
леваСтеклова.
5. Полный линейный и нелинейный анализ частного случая перманент
ных вращений динамически симметричного твердого тела, вызванного
вибрациями и не существующего для тела с неподвижной точкой.
6. Анализ устойчивости четырех положений относительного равновесия
на вертикали в приближенной задаче о движении двойного маятника
при наличии быстрых горизонтальных гармонических вибраций точки
подвеса. Нелинейный анализ устойчивости периодического движения,
5
рождающегося из нижнего (ѕвисящегої) положения, в случае двух оди
наковых стержней маятника.
7. ешение задачи о существовании, биуркациях и устойчивости (в стро
гой нелинейной постановке) высокочастотных периодических движений
системы двух одинаковых стержней, происходящих в окрестности на
клонных положений стержней.
Диссертационная работа
развивает актуальное направление исследования воздействия высокочастот
ных вибраций на устойчивость механических систем. ешены новые задачи
устойчивости для ряда частных режимов движения твердого тела и двойного
маятника при наличии вибраций, получены и описаны новые динамические
эекты. езультаты исследования могут быть полезны при разработке виб
рационных механизмов и систем, в том числе используемых в авиационной
промышленности и ракетостроении, и анализе их свойств.
Часть результатов диссертации может быть включена в качестве допол
нительных глав к общему курсу теоретической механики, а также в спецкур
сы по динамике твердого тела и теории устойчивости.
Апробация результатов. езультаты диссертации докладывались
Теоретическая и практическая ценность.
? на научных семинарах каедры теоретической механики Московского
авиационного института,
? на Всероссийской конеренции ѕИнормационно-телекоммуникацион
ные технологии и математическое моделирование высокотехнологич
ных системї (УДН, 2012, Москва),
? на XII Всероссийском совещании по проблемам управления (ИПУ АН,
2014, Москва),
? на XVIII Международном симпозиуме ѕДинамика виброударных (силь
но нелинейных) системї (ИМАШ АН, 2015, Москва),
? на 14-й Международной конеренции ѕАвиация и космонавтикаї (МАИ,
2015, Москва),
? на XXVII Международной инновационно-ориентированной конерен
ции молодых учјных и студентов ѕМИКМУСї (ИМАШ АН, 2015,
Москва),
? на LII Всероссийской конеренции по проблемам динамики, изики
частиц, изики плазмы и оптоэлектроники (УДН, 2016, Москва),
? на XLIII Международной конеренции ѕагаринские чтенияї (МАИ,
2017, Москва).
абота поддержана грантом ФФИ (проекты ќ140100380, ќ170100123).
Публикации. Основные положения диссертационного исследования опуб
ликованы в 11 научных работах, из них 4 статьи [14? в журналах, входящих
6
в перечень ВАК, 7 публикаций [511? в различных сборниках и материалах
конеренций.
Личный вклад автора. Содержание диссертационной работы и основ
ные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад авто
ра в опубликованные работы и получены лично автором. Постановки задач,
исследованных в рамках подготовки диссертационной работы, задавались на
учным руководителем.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из вве
дения, двух частей, пяти глав, заключения, списка литературы из 90 наимено
ваний. абота содержит 18 иллюстраций, 8 таблиц. Общий объем диссертации
составляет 117 страниц.
Содержание работы
обоснована актуальность диссертационной работы, сор
мулированы ее цель и задачи. Приведен обзор исследований устойчивости
движений механических систем при воздействии высокочастотных вибраций
и работ по изучению устойчивости перманентных вращений твердого тела с
неподвижной точкой. Дано краткое изложение содержания по главам.
В первой части изучается устойчивость перманентных вращений в
приближенной задаче о движении тяжелого твердого тела при наличии вы
сокочастотных вертикальных гармонических вибраций одной из его точек.
В первой главе ставится задача о движении тяжелого твердого тела
массы m, одна из точек которого (точка подвеса O) совершает гармонические
колебания по закону ?(t) = a cos ?t. Введены поступательно движущаяся си
стема координат OXY Z, ось OZ которой направлена вертикально вверх, и
жестко связанная с телом система координат, оси которой направлены вдоль
главных осей инерции тела для точки O. Ориентация связанной системы от
носительно OXY Z задана углами Эйлера ?, ?, ?. лавные моменты инерции
тела для точки O обозначены через A, B и C, координаты центра масс тела
?
и орта ?
n оси OZ в связанных осях через xG , yG , zG и ?1 , ?2 , ?3.
Пусть амплитуда a колебаний точки подвеса мала по сравнению с при
веденной длиной ? = A/(mxp
G ), а частота ? колебаний велика по сравнению с
характерной частотой ?1 = g/?, при этом a? ? 1. Введен малый параметр
? и безразмерная частота ?0 по ормулам ?2 = a/? (0 < ? ? 1), ?1/? = ?2?0 .
При помощи методов теории возмущений гамильтониан системы приве
ден к виду, главная часть которого в слагаемых до четвертого порядка по ?
включительно не содержит времени. Как в исходной, так и в преобразованной
системе координата ? циклическая, соответствующий ей импульс постоянен.
Введены безразмерные импульсы p? , p? , p? , безразмерные параметры ?,
? и ?1, ?2 по ормулам: ? = A/B, ? = A/C, ?1 = yG /xG, ?2 = zG /xG . За
независимую переменную принято безразмерное ѕвремяї ? = ?1 t.
Во введении
7
Приближенный гамильтониан системы может быть переписан в безраз
мерном виде (за переменными оставлены предыдущие обозначения):
1
? cos2 ? + sin2 ?
2
(? sin2 ? + cos2 ?)p2? +
(p
?
p
cos
?)
+
H=
?
?
2
2
2 sin ?
1
(1 ? ?) sin ? cos ?
(p? ? p? cos ?)p? + ?p2? + ?(?) .
+
sin ?
2
(1)
Последнее слагаемое в гамильтониане (1) представляет собой вибраци
онный потенциал, задаваемый ормулой:
?(?) = ?[(?2 sin ? cos ? ? ?1 cos ?)2 + (cos ? ? ?2 sin ? sin ?)2?+
mxG a2 ?2
2
2
(? > 0).
+(cos ? ? ?1 sin ?) ? sin ?]/2, ? =
2Ag
Параметр ? характеризует частоту вибрации точки подвеса.
b ?,
b pb? , pb? на интервале вре
ешения полной неавтономной системы ?,
?1/2
связаны с решениями преобразованной приближенной
мени ? порядка ?
автономной системы с гамильтонианом (1) при помощи соотношений вида:
?b = ? + O(?3/2), pb? = p? ? m??(t)[(xG sin ? + yG cos ?) cos ? ? zG sin ?] + O(?1/2),
?
b = ? + O(?3/2), pb? = p? ? m??(t)[xG cos ? ? yG sin ?] sin ? + O(?1/2).
Движения тела с вибрирующей точкой подвеса могут быть описаны так
же при помощи приближенной автономной системы диеренциальных урав
нений, записанной в орме модиицированных уравнений ЭйлераПуассона,
в правые части которых следует добавить компоненты вектора вибрационно
го момента M (?) , получаемые по ормулам:
Mx(?) =
??(?)
??(?)
??(?)
??(?)
??(?)
??(?)
?2 ?
?3 , My(?) =
?3 ?
?1, Mz(?) =
?1 ?
?2 .
??3
??2
??1
??3
??2
??1
Далее движения тела изучаются в рамках приближенной системы, запи
санной в гамильтоновой орме или в уравнениях ЭйлераПуассона.
ассмотрены частные движения перманентные вращения тела, про
исходящие вокруг оси, иксированной в теле и в системе координат OXY Z,
с постоянной угловой скоростью ?. Как и для тела с неподвижной точкой
подвеса, оси перманентных вращений тела при наличии вертикальных вибра
ций точки подвеса могут быть только вертикальными. Введена безразмерная
угловая скорость перманентного вращения ? = ?/?1 (? > 0).
Получено уравнение, описывающее в пространстве величин ?1 , ?2 , ?3
8
геометрическое место допустимых осей перманентных вращений:
??1
???
2 1??
?
? 2 ?1 ?2 +
? 1 ?1 ?3 +
?2?3 ? ? ?22 (1 ? ?)(?2?1 ?2? (2)
?
?
??
??1 ?1?3 ? ?2 ?3) + ?12(1 ? ?)(?2?1 ?2 ? ?1 ?1?3 + ?2 ?3) + (? ? ?)(?2?3?
2
2
2
??2?1 ?2 ? ?1 ?1?3) + (1 ? ?)?3 + (? ? 1)?2 + (? ? ?)?1 ?1?2 = 0.
Это уравнение эллиптического конуса, переходящее в случае отсутствия виб
рации (? = 0) в известное уравнение конуса Штауде.
В диссертации рассмотрены два частных случая геометрии масс тела,
когда центр масс находится на одной из главных осей инерции тела для точ
ки O и когда тело динамически симметрично (? = 1), а центр масс занимает
произвольное положение. Опишем соответствующие допустимые оси перма
нентных вращений.
1. Пусть центр масс тела лежит на главной оси инерции Ox. Уравнение
(2) сводится к ?2 ?3 (??? ? ? 2 ) = 0. Возможны следующие варианты:
? Ось вращения главная ось инерции Ox, содержащая центр масс. В
этом случае, как и для тела с неподвижной точкой, угловая скорость
перманентного вращения может быть произвольной, при этом центр
масс системы может располагаться ниже или выше точки подвеса.
? Ось вращения лежит в одной из главных плоскостей инерции, примы
кающих к главной оси Ox. Пусть это, например, плоскость Oxz. В
этой плоскости строится единичная окружность с центром в точке O и
рассматривается геометрическое место точек пересечения допустимых
осей с этой окружностью, образующих допустимые дуги. Если ? < 1/?,
то допустимые дуги полуокружности, лежащие в нижней или верх
ней полуплоскостях для случаев ? < 1 и ? > 1 соответственно. Если
? > 1/?, то допустимые дуги определяются условиями 0 < ?1 < 1 и
1/(??) < ?1 < 1 при ? < 1 (рис. 1 a) и условием 0 < ?1 < 1/(??) при
? > 1 (рис. 1 b).
? Если ? 2 = ??? > 1, то допустимая дуга составляет окружность, зада
ваемую условием ?22 + ?32 = 1 ? (?1?)2 , ?1? = 1/(???).
2. В случае динамически симметричного тела предполагается, что оси
Ox и Oy выбраны так, чтобы центр масс лежал в плоскости Oxz (?1 = 1).
Уравнение (2) в этом случае сводится к ?2 [? 2 ?3 ? ??(?3 ? ?2 ?1 )] = 0.
? В случае ?2 = 0, когда оси перманентных вращений лежат в плоскости
Oxz, содержащей центр масс, вид допустимых дуг зависит от парамет
ров ?2 и ?. Для 1/2 6 ? < 1 допустимые дуги на рис. 2 показаны
сплошными линиями, для случая ? > 1 пунктирными.
9
z
z
I
II
PSfrag replaements
PSfrag replaements
I
x
O
(a)
(b)
? > 1/?
ис. 1. Допустимые дуги в случае
z
z
PSfrag replaements
eplaements
II
II
z
PSfrag
I replaements
I
I
II
IV
O
O
x
x
O
III
III
x
1 < ? < 1/?2
z
II
IV
III
max(?, ?2 ?) < ? <
< min(1, 1/?2 )
? < max(?, ?2 ?)
PSfrag replaements
x
O
II
z
I
PSfragI replaements
II
IV
O
x
O
III
IV
x
III
1/?2 < ? < 1
? > max(1, 1/?2)
ис. 2. Допустимые дуги для различных значений
?2
и
? (? = [?(?22 + 1)]?1 .)
? В плоскости ? 2?3 = ??(?3 ? ?2?1 ) перманентные вращения существуют,
если параметры задачи связаны соотношением
? = ? 2 /? и ??2 > 1. При
p
этом ?1 = 0, ?3 = ?3? = 1/(??2), ?2 = ± 1 ? ?32, а ось перманентных
вращений лежит в главной плоскости Oyz.
Во второй главе
приведено исследование устойчивости перманентных
10
вращений твердого тела вокруг главной оси инерции Ox, содержащей центр
масс. Здесь и в следующих главах уравнения движения рассматриваются в
гамильтоновой орме, а устойчивость перманентных вращений понимается
как устойчивость соответствующих положений равновесия приведенной (по
аусу) гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Используются из
вестные методы линейного и нелинейного анализа устойчивости автономных
гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Исследуемому движению
отвечает положение равновесия системы с гамильтонианом (1) вида:
?0 = ?/2, ? = ?0 (cos ?0 = 0), p?0 = 0, p?0 = 0, p? = ? = const.
(3)
Анализ устойчивости проведен в четырехмерном пространстве парамет
ров ?, ?, ?, ?. Инерционные параметры ?, ? должны удовлетворять нера
венствам, следующим из неравенств треугольника для моментов инерции
? + ? ? ?? > 0, ? ? ? + ?? > 0, ? ? ? + ?? > 0.
Введем возмущения по ормулам ? = ?0 + x1 , ? = ?0 + x2 , p? = p?0 + y1 ,
p? = p?0 + y2 и представим гамильтониан в виде: H = H2 + H4 + . . . , где
H2 и H4 ормы второй и четвертой степени, а многоточие совокупность
слагаемых не менее шестой степени относительно возмущений.
Достаточные условия устойчивости исследуемых решений (условия по
ложительной определенности квадратичной ормы H2 ) имеют вид:
? 2 (? ? 1) ? s? + ??? > 0,
? 2(? ? 1) ? s? + ??? > 0,
s = sign (sin ?0).
В случае знакопеременности ормы H2 будем исследовать характеристиче
ское уравнение соответствующей ей линейной системы, имеющее вид:
?4 + a?2 + b = 0,
a = (2 ? ? ? ? + ??)? 2 ? s(? + ?) + ?(?2 + ? 2 ),
b = [? 2(? ? 1) + ?(?? ? s)][? 2(? ? 1) + ?(?? ? s)].
При выполнении условий
a > 0,
b > 0,
d = a2 ? 4b > 0
(4)
его корни ±i?j (j = 1, 2) уравнения чисто мнимые, и исследуемые решения
устойчивы в линейном приближении. Неравенства (4) являются необходимы
ми условиями устойчивости решений (3). Если хотя бы одно из неравенств
(4) выполняется с противоположным знаком, то имеет место неустойчивость.
Изложим результаты исследования выписанных условий устойчивости.
Допустимую часть плоскости параметров ?, ? разобьем на ряд областей с
качественно различными результатами устойчивости (рис. 3 a, b).
1. Центр масс тела ниже точки подвеса. В областях 1, 2 необходимые
и достаточные условия устойчивости выполняются при ? 2 < ?(?? + 1)/(1 ?
11
PSfrag replaements
?
?
4
ag replaements
5
B
3
2
1
0
1
1
D
3?
1
2?
?
1
0
?
(a) центр масс тела ниже точки подвеса
3
2
1
1
3?
5?
4?
2?
?
D?
1
?
(b) центр масс тела выше точки подвеса
ис. 3. азбиение допустимой области параметров
?, ?
?), а в области 3 при любых значениях параметра ? (? > 0). В области
1 могут выполняться только необходимые (не являющиеся достаточными)
условия устойчивости вида ? 2 > ?(?? + 1)/(1 ? ?). Таким образом, наличие
вибрации расширяет диапазон угловых скоростей выполнения достаточных
условий устойчивости. В областях 1?3? условия устойчивости получаются из
соответствующих условий для областей 13 заменой ? ? ?.
2. Центр масс тела выше точки подвеса. Условия устойчивости полу
чены для точек всех областей на рис. 3 b. Для каждой из областей полуось
положительных значений параметра ? разбита на несколько интервалов, гра
ницы которых зависят от исследуемой точки (?, ?) области. Для каждого
такого интервала, в свою очередь, выписаны ограничения на параметр ?,
определяющие достаточные и только необходимые условия устойчивости. В
качестве примера приведем результаты для областей 1 и 4 (табл. 1).
Таблица 1. Достаточные и необходимые условия устойчивости для областей
Обл.
1
4
1
и
4
Значения ?
Достаточные условия Только необходимые условия
? 6 ?1
? > ?4
?1 < ? < ?3
?1 < ? < ?3 , ? > ?4
?3 < ? < 1/?
? > ?1
1/? < ? < 1/(??)
? < ?2
? > ?1
? > 1/(??)
? < ?1
? > ?2
? < ?2
?2 < ? 6 ?1
?4 < ? < ?2
?1 < ? < ?3
?1 < ? < ?3 , ?4 < ? < ?2
?3 < ? < 1/(??)
?1 < ? < ?2
1/(??) < ? < 1/?
?2 < ? < ?1
? > 1/?
? < ?1
12
Введенные в таблице обозначения таковы:
3? ? 2?2 ? 2?? + ?2 ? + ?
??2
?1 =
,
?
=
,
3
2?? + ?2 (1 ? ? ? ?) + ? 2(? ? 1)2
?2 ? ? ? ?
?(?? ? 1)
?(?? ? 1)
3? ? 2?? ? 2? 2 + ?? 2 + ?
2
2
,
?
=
,
?
=
.
?2 =
1
2
2?? + ?2 (? ? 1)2 + ? 2 (1 ? ? ? ?)
1??
1??
Обозначения ?3 и ?4 не приведены в силу громоздкости.
Нелинейный анализ устойчивости. В областях выполнения только необ
ходимых условий устойчивости проведен нелинейный анализ устойчивости.
При отсутствии резонанса четвертого порядка (?1 6= 3?2 ) нормализован
ный гамильтониан в симплектических полярных координатах имеет вид:
5/2
H = ?1 r1 ? ?2 r2 + c20r12 + c11 r1r2 + c02r22 + O(rj ).
Перманентное вращение устойчиво по Ляпунову при выполнении условия тео
ремы Арнольда Мозера: ? = c20 ?22 + c11 ?1 ?2 + c02 ?12 6= 0. Если ? = 0, то
имеется вырождение в членах четвертого порядка; этот случай требует даль
нейшей нормализации и в диссертации не рассматривался.
Если в системе реализуется резонанс четвертого порядка (?1 = 3?2 ), то
нормализованная ункция амильтона имеет вид:
1/2 3/2
5/2
H = 3?2 r1 ? ?2 r2 + c20r12 + c11 r1r2 + c02r22 + k4 r1 r2 cos(?1 + 3?2) + O(rj ).
?
При этом, если выполняется условие |c20 + 3c11 + 9c02 | > 3 3k4 (k4 > 0), то
исследуемое решение устойчиво по Ляпунову. При выполнении неравенства
с противоположным знаком имеем неустойчивость.
В диссертации выписаны уравнения поверхности резонанса четвертого
порядка и поверхности вырождения для произвольных допустимых значений
параметров. Подробный нелинейный анализ проведен для двух частных слу
чаев геометрии масс тела: случая динамически симметричного тела (? = 1) и
случая БобылеваСтеклова (? = 2). В трехмерном пространстве параметров
?, ?, ? построены сечения ? = const для различных (допустимых) значений
параметра ?. езультаты для случая ? = 1 представлены на рис. 4 в плос
кости параметров ?, ?. Серым цветом показаны области неустойчивости. Не
закрашены области выполнения достаточных условий устойчивости (области
правее граничной прямой ? = 1/?) и области выполнения только необходи
мых условия устойчивости (левее этой прямой). В последних областях кривые
резонанса четвертого порядка изображены полужирными линиями на участ
ках устойчивости и пунктирными линиями на участках неустойчивости; кри
вые вырождения показаны точечными линиями.
В случае ? = 2 для всех допустимых ? (2/3 < ? < 2) качественный вид
диаграммы устойчивости совпадает с показанным на рис. 4 c, только прямо
13
?
?
?
eplaements
PSfrag replaements
0
?2
(a)
1/? ?
1/2 < ? < 1,
PSfrag replaements
0
(b)
1 ? ? < (1 +
?
1/? ?
5)/2,
0
?
1/?
?
(c) ? ? (1 + 5)/2.
ис. 4. Нелинейный анализ устойчивости
линейная граница ? = 1/? заменяется криволинейной границей ? = ?1 .
Для рассмотренных значений параметра ? установлено, что для всех
точек резонансных кривых, кроме небольшой зоны неустойчивости, содер
жащей в себе точки их пересечения с кривыми вырождения, имеет место
устойчивость по Ляпунову.
езультаты второй главы опубликованы в работе [2?.
В третьей главе приведено исследование устойчивости перманентных
вращений твердого тела вокруг осей, лежащих в главной плоскости инерции
Oxz, примыкающей к главной оси инерции Ox, содержащей центр масс. Этим
движениям отвечают положения равновесия приведенной системы с гамиль
тонианом (1), задаваемые соотношениями:
2
cos
?
?
0
,
? = ?0, ? = ?0 (cos ?0 = 0), p?0 = 0, p?0 = cos ?0, p? = ? sin2 ?0 +
?
?
где величина ?0 определяется из уравнения [(? ? 1)? 2 + ???] sin ?0 sin ?0 = ?.
Проведен анализ устойчивости, аналогичный описанному в главе 2. До
статочные условия устойчивости рассматриваемых перманентных вращений
определяются системой неравенств:
(? ? ?)(??? ? ? 2 ) > 0,
(5)
(? ? 1)3? 6 + 3???(? ? 1)2? 4 + 3? 2(? ? 1)(? 2?2 ? ? + 1)? 2 < ? 3 ??(1 ? ? 2?2 ? ?).
Необходимые условия устойчивости задаются системой (4).
В диссертации проведен подробный аналитический, численный и граи
ческий анализ систем (5) и (4). езультаты представлены в орме, анало
гичной описанной в главе 2. Область допустимых значений параметров ?, ?
(рис. 5) разделена на области 19; внутри области 2 выделена подобласть 2? .
14
PSfrag replaements
?
9
2
7
4/3
1
2/3
8
5
3
6
4
1 2
2*
0
2
?
ис. 5. азбиение допустимой области параметров
?, ?
На рис. 6 в плоскости параметров ?, ? (при иксированных ?, ? ) пред
ставлена характерная для каждой области картина устойчивости. Прямые
? = ?1 и ? = ?2 в областях 14 отвечают правой и левой границам обла
стей существования перманентных вращений при расположении центра масс
тела выше и ниже точки подвеса соответственно. В областях между этими
прямыми перманентные вращения не существуют. Области 59 относятся к
вращениям, для которых центр масс тела находится выше точки подвеса. Cп
лошным цветом закрашены области выполнения достаточных условий устой
чивости, в заштрихованных областях выполняются только необходимые усло
вия, в оставшихся областях имеет место неустойчивость.
Проведенный анализ показывает, что перманентные вращения, для ко
торых центр масс тела расположен ниже точки подвеса, в областях 2, 2? , 4
устойчивы при всех допустимых значениях параметров ?, ?. Эти движения
устойчивы и в случае отсутствия вибрации (? = 0), однако с появлением
вибрации точки подвеса нижняя граница диапазона допустимых значений
угловых скоростей перманентных вращений возрастает. В областях 1 и 3 рас
сматриваемые вращения всегда неустойчивы, как и при отсутствии вибраций.
Перманентные вращения, для которых центр масс расположен выше точ
ки подвеса, можно стабилизировать в областях 14 в определенном диапазоне
угловых скоростей за счет вибраций точки подвеса; при отсутствии вибраций
имеет место неустойчивость. В областях 5, 7, 8, 9, по сравнению со случаем
отсутствия вибрации, сдвигается в сторону уменьшения нижняя граница уг
ловых скоростей устойчивых перманентных вращений. Для точек области 8
увеличение параметра ? приводит к исчезновению подобласти выполнения до
15
?
?
?
eplaements
?1
PSfrag replaements
?=
?
0
PSfrag
PSfrag replaements
?1
replaements
=
?
?
0
Область 1
Область
PSfrag replaements
?
?
0
3
Область
?
0
Область
6
8
PSfrag replaements
eplaements
?
?
?
?1
= ?2
? =
?
?1 2
?
=
? =
?
?
0
Область
?
0
2
?1 2
?
=
? =
?
Область
2?
Область
?
?
?
0
4
?
PSfrag replaements
PSfrag replaements
eplaements
?
0
Область
5
?
0
Область
7
?
0
Область
9
ис. 6. Области устойчивости
статочных условий устойчивости, при этом имеется новая подобласть устой
чивости в линейном приближении, появляющаяся за счет вибрации. В обла
сти 9 при ? > 0, кроме расширения области устойчивости в линейном при
ближении, появляется подобласть выполнения достаточных условий устойчи
вости. В области 6 имеет место стабилизация для определенного диапазона
угловых скоростей и частоты вибрации точки подвеса.
16
ассмотрены нерезонансный случай
(?1 6= 2?2 , ?1 6= 3?2 ) и случаи резонансов третьего (?1 = 2?2 ) и четвертого
(?1 = 3?2) порядков. Нормальные ормы гамильтониана и критерии устой
чивости для нерезонансного случая и случая резонанса четвертого порядка
приведены в главе 2. В случае резонанса третьего порядка нормальная орма
гамильтониана возмущенного движения имеет вид:
Нелинейный анализ устойчивости.
?
5/2
H = 2?2 r1 ? ?2 r2 + k3 r1 r2 sin(?1 + 2?2) + c20r12 + c11r1 r2 + c02 r22 + O(rj ).
Если k3 = 0 и c20 + 2c11 + 4c02 6= 0, исследуемое решение устойчиво.
Подробный нелинейный анализ проведен для тех же, что и в главе 2,
частных случаев геометрии масс. В случае динамически симметричного тела
были рассмотрены области 2, 4, 5, 7, 9. В качестве примера приведем ре
зультаты для областей 2 и 4, проиллюстрированные на рис. 7 аналогичным
описанному во второй главе образом. Кривые резонанса третьего порядка
показаны тонкими линиями.
?
?
PSfrag replaements
PSfrag replaements
?
0
(a) Область
?
0
2
(b) Область
4
ис. 7. Нелинейный анализ устойчивости для областей 2 и 4
Установлено, что для точек кривой резонанса третьего порядка имеет
место неустойчивость. На кривых резонанса четвертого порядка существуют
участки неустойчивости в случае их пересечения с кривыми вырождения,
содержащие точки их пересечения, а также при ѕсближенииї этих кривых.
В случае БобылеваСтеклова состав кривых и картина устойчивости
качественно не отличаются от представленной на рис. 7 b.
езультаты третьей главы опубликованы в работе [3?.
В четвертой главе приведено исследование устойчивости частного слу
чая перманентных вращений динамически симметричного твердого тела, для
которого параметры ? и ? связаны соотношением ? = ? 2 /?. Этому вращению
17
отвечает положение равновесия системы с гамильтонианом (1) вида:
1
?(? ? 1)
?
?
.
, ?0 = 0, p?0 = 0, p?0 =
, p? = ? ?
?2 >
?0 = arccos
2
?2 ?
?2
?2 ?
? 3?22
Проведен его линейный и нелинейный анализ устойчивости в трехмер
ном пространстве параметров ?, ?2 , ? при иксированном значении парамет
ра ?. Достаточные условия устойчивости имеют вид:
? 4?22 (1 ? ?22) + ?(4? 2 + ?[?22 ? 5] + 1) > 0,
? 4 ?22(? + ?22 ? ??22) + ? 2(? ? 1)(?22 + 4? ? 1) < 0,
(? ? 1)[?(? ? 1)(4? + ?22 ) ? ? 4 ?24] < 0.
Только необходимые условия устойчивости определяются системой неравенств
(? ? 1)[?(? ? 1)(4? + ?22 ) ? ? 4 ?24] < 0,
?(? 3 + 3? 2 + ?[?22 ? 5] + 1) ? ? 4 ?22(?22 + ? 2 ? 1) > 0,
(6)
? 8 ?24? ? 2??22? 4 ? + ? 2? > 0,
? = ?24 ? 2(? ? 1)2?22 + (? 2 ? 1)2, ? = ?24? ? (? ? 1)(2? 2 ? 7? + 1)?22 + (? ? 1)5,
? = ?24 ? 2 ? 2?(? 2 ? 6? + 1)(? ? 1)?22 + (? 2 ? 6? + 1)(? ? 1)4.
Установлено, что достаточные условия устойчивости не выполняются
для любых допустимых значений параметров ?, ?, ?2 . Только необходимые
4
условия устойчивости сводятся к условию ?A
< ? 4 < ?E4 в области I ? и
? 2 /?22 < ? 4 < ?E4 в области II (рис. 8 a). Здесь ?A4 = ?(? ? 1)(4? + ?22)/?24,
4
а ?E
меньший из корней квадратного (относительно ? 4 ) трехчлена в (6).
?
?
I?
rag replaements
II PSfrag
replaements
1
1/2
?2
0
?2
0
(a)
(b)
ис. 8. Случай динамически симметричного тела
18
Нелинейный анализ устойчивости
проведен в трехмерном пространстве параметров в областях выполнения толь
ко необходимых условий устойчивости. В этих областях строились сечения
? = const для различных значений ? из интервала 1 < ? < 10. Выявлено,
что картина устойчивости в рассмотренных сечениях качественно не меняет
ся и имеет характерный вид, представленный на рис. 8 b. При этом показаны
одновременно части сечения, относящиеся к областям I ? и II на рис. 8 a.
Изображения на рис. 8 b областей устойчивости и неустойчивости, а также
резонансных кривых и кривых вырождения аналогичны принятым в преды
дущих главах. Установлено, что на резонансных кривых третьего порядка
имеет место неустойчивость, а на резонансных кривых четвертого порядка устойчивость по Ляпунову.
езультаты четвертой главы опубликованы в работе [4?.
Нелинейный анализ устойчивости.
Во второй части исследуется движение двойного маятника системы
из двух тонких шарнирно соединенных однородных стержней точка подве
са которого совершает горизонтальные гармонические колебания по закону
a cos(?t). Массы стержней и их длины обозначим через m1 , m2 и l1, l2.
Считаем, что амплитуда a колебаний точки подвеса мала по сравнению
с длиной первого
стержня l1 , а частота ? велика по сравнению с характерной
p
частотой g/l1 . Введем малый параметр ? = a/l1 (0 < ? ? 1) и безразмер
ную частоту ?, определяемую ормулой ?2 ? 2 = g/(l1 ?2 ). Полагаем ? ? 1,
тогда a? ? 1.
При помощи близкой к тождественной канонической замены гамильто
ниан системы приведен к виду, главная часть которого (в слагаемых до вто
рого порядка по ? включительно) не содержит времени ?. В безразмерных
переменных и параметрах гамильтониан системы имеет вид:
6[µ?2 p2?1 + (1 + 3µ)p2?2 ? 3µ?p?1 p?2 cos(?1 ? ?2)] 1 2
H=
+ ? ? + O(?3 ), (7)
2
2
µ? [4(1 + 3µ) ? 9µ cos (?1 ? ?2)]
4
? = ?2(µ?? 2 cos ?2 + (1 + 2µ)? 2 cos ?1 )+
(1 + 2µ)2 cos2 ?1 ? 3µ(1 + 2µ) cos(?1 ? ?2) cos ?1 cos ?2 + µ(1 + 3µ) cos2 ?2
.
+3
4(1 + 3µ) ? 9µ cos2(?1 ? ?2)
Приближенный гамильтониан (в котором отброшено слагаемое O(?3 )) отве
чает консервативной системе с двумя степенями свободы с потенциальной
энергией ?2 ?/4. Здесь ?1 , и ?2 углы отклонения стержней от нижнего
вертикального положения, p?1 и p?2 канонически сопряженные с углами
импульсы, обезразмеренные с помощью множителя m1 l12 ?. Также введены
безразмерные параметры µ = m2 /m1 , ? = l2 /l1 и безразмерное время ? = ?t.
Слагаемое O(?3 ) 2? периодично по ?.
Приближенная система имеет четыре частных решения, отвечающих по
19
ложениям относительного равновесия двойного маятника, для которых два
стержня маятника расположены на одной вертикали. При этом p?1 = p?2 = 0
и выполняется одно из соотношений:
1)?1? = ?2? = 0; 2)?1? = ?2? = ?; 3)?1? = ?, ?2? = 0; 4)?1? = 0, ?2? = ?. (8)
Пусть q1 , q2 возмущения перемен
ных ?1 , ?2 относительно их равновесных значений. Условия устойчивости и
неустойчивости положений равновесия приближенной системы найдем, иссле
дуя квадратичную относительно величин qj часть потенциальной энергии,
представленную в виде (множитель ?2 /4 отброшен):
Линейный анализ устойчивости.
?2 (q1, q2) = u20q12 + 2u11q1q2 + u02q22 ,
uij = const.
(9)
Достаточные условия устойчивости положения равновесия (условия ми
нимума ункции потенциальной энергии) задаются неравенствами:
u20 > 0,
d = u20u02 ? u211 > 0.
(10)
Анализ показал, что нижнее ѕвисящееї положение устойчиво, если
3
(3µ3? + 13?µ2 + 16?µ + 4? + 2µ + 1+
? 2 > ?12 , ?12 =
2
2?(4 + 3µ) (1 + 2µ)
p
+ (µ + 2)4(3µ + 1)2?2 + (6µ4 + 23µ3 + 18µ2 ? 12µ ? 8)? + (2µ + 1)2) (11)
и неустойчиво при изменении знака неравенства на противоположный. В ис
ходных размерных переменных это условие означает, что частота вибрации
точки подвеса не превосходит некоторого иксированного значения ? < ?? :
v
u
u 3gl1 (4l2 + l1 )m3 + 2(8l2 + l1 )m2m2 + 13l2m2 m1 + 3l2m3 + ??
1
1
2
2
t
?? =
,
2a2 l2(4m1 + 3m2 )2(2m2 + m1 )
? = (m1 + 3m2 )2(2m1 + m2 )4l22 + m41 l12(2m2 + m1 )2?
?(2m1 + m2 )2(2m2 + m1 )(2m1 ? 3m2)m21 l1 l2, (? > 0).
Исследование остальных положений равновесия показало, что для них
условия (10) не выполняются, ункция потенциальной энергии не имеет ми
нимума, и эти положения равновесия неустойчивы.
Методом Пуанкар?? построены аналитические по ?, 2? -периодические по
? движения двойного маятника, рождающиеся из вертикальных относитель
ных равновесий приближенной системы, имеющие вид
??1(? ) = ?1? + ?
6(3µ cos(?1? ? ?2?) cos ?2? ? 2(1 + 2µ) cos ?1?)
cos ? + O(?2 ),
2
9µ cos (?1? ? ?2?) ? 4 ? 12µ
20
??2 (? ) = ?2? + ?
6(3(1 + 2µ) cos(?1? ? ?2?) cos ?1? ? 2(1 + 3µ) cos ?2?)
cos ? + O(?2 ),
2
?(9µ cos (?1? ? ?2?) ? 4 ? 12µ)
(1 + 2µ) cos ?1?
(12)
p??1 (? ) = ?
sin ? + O(?2 ),
2
µ? cos ?2?
p??2 (? ) = ?
sin ? + O(?2 ).
2
Устойчивому и неустойчивым равновесиям соответствуют устойчивое в ли
нейноом приближении и неустойчивые периодические движения маятника.
Это следует из непрерывности по ? характеристических показателей линеа
ризованных уравнений возмущенного движения.
Нелинейный анализ устойчивости. Для системы, состоящей из двух
одинаковых стержней (? = 1, µ = 1), проведен нелинейный анализ устойчиво
сти периодического движения, рождающегося из нижнего положения относи
переписы
тельного равновесия в предположении, что выполнено условие
p (11), ?
ваемое при сделанных предположениях в виде
q ? > ?1 =? 78 + 12 37/14 ?
0.87772 или, в исходных переменных, ? < gl1 (78 + 12 37)/(14a).
Проведена нормализация гамильтониана возмущенного движения в чле
нах до четвертого порядка включительно относительно возмущений. При от
сутствии резонанса четвертого порядка (3?1 6= ?2 ) нормализованный гамиль
тониан имеет вид
h
i
? = ? ?1 + O(?) r1 + ?2 + O(?) r2 +
(13)
h
i
+?2 c20 + O(?) r12 + c11 + O(?) r1 r2 + c02 + O(?) r22 + O(?3 ),
c11 = 81[117649? 6 + 1513728 + 806736? 4 + 829962? 2]/(2744?1?2c2 ),
p
c20,02 = a2 ± a1 c/(784c2a3 ), c = 16807? 4 ? 17493? 2 + 6192,
a1 = 372712032? 6 ? 1006466958? 4 + 617372280? 2 ? 14874516,
a2 = ?48735627654? 8 + 156828117033? 6 ? 151648837956? 4+
+49864296762? 2 ? 1196073216, a3 = 1372? 4 ? 1092? 2 + 27.
где слагаемые O(?) постоянны, а слагаемое O(?3 ) означает совокупность чле
1/2
нов не менее пятой степени относительно rj (j = 1, 2) с 2? периодическими
по ? коэициентами.
Проверялся знак величины D2 = c211 ? 4c20 c02 . Выявлено, что на ин
тервалах ?1 < ? < ? ? , ? ? < ? справедливы соотношения D2 > 0 и D2 < 0
соответственно, а в точке ? ? ? 2.61958 D2 обращается в нуль. Отсюда следу
ет, что исследуемое периодическое движение устойчиво для большинства (в
смысле меры Лебега) начальных условий (кроме, может быть, точки ? = ? ? ).
Кроме того, на интервалах ?1 6 ? < ?2 (?2 ? 1.33931), ? ? 6 ? квадратичная
орма c20 r12 + c11 r1 r2 + c02 r22 является соответственно положительно опреде
21
ленной и отрицательно определенной при r1 > 0, r2 > 0, поэтому исследуемое
движение ормально устойчиво
интервалах.
p на данных
?
В случае 3?1 = ?2 (? = 294 + 210 2149/98 ? 1.022) резонанса четвер
того порядка в членах четвертой степени добавляется резонансное слагаемое
3/2 1/2
?2 kr1 r2 cos(3?1 ? ?2) и c20 ? 8.685, c02 ? 92.686, c11 ? 30.653, k ? 17.943.
Показано, что в данном резонансном случае имеет место ормальная устой
чивость.
Положения равновесия приближенной системы, отличные от верти
Для системы двух одинаковых стержней изучен вопрос о существо
вании, биуркациях и устойчивости высокочастотных периодических движе
ний малой амплитуды, отличных от периодических движений вблизи верти
кали. В приближенной системе им отвечают положения равновесия, опреде
ляемые условиями
кальных.
??/??1 = 0,
??/??2 = 0,
сводящимися к системе уравнений
9w[2 cos ?1 sin ?1 ? sin(2?1 ? ?2 ) cos ?2] + 2? 2 sin ?1 = 9?,
3w[9 cos ?1 sin(2?2 ? ?1) ? 4 sin 2?2] ? 2? 2 sin ?2 = 27?,
w = (9 cos2 (?2 ? ?1) ? 16)?1,
? = w2 9 cos ?1 cos ?2 cos(?2 ? ?1) ? cos ?1 ? 4 cos2 ?2 sin 2(?2 ? ?1).
В плоскости величин ?1 , ?2 построено геометрическое место точек, яв
ляющихся решениями этой системы. При этом величина ? рассматривалась
как параметр (? > 0). Полученные решения проверены на устойчивость с
помощью условий, аналогичных неравенствам (10).
Показано, что ѕбоковыеї положения равновесия приближенной системы
существуют только в диапазоне частот колебаний точки подвеса, для кото
рых вертикальные относительные равновесия неустойчивы. В зависимости от
частоты вибрации точки подвеса таких равновесий может быть от одной до
шести симметричных пар. Одна или две пары в зависимости от значения ?
устойчивы в области существования, остальные неустойчивы.
В плоскости ?1 , ?2 геометрическое место устойчивых равновесных точек
на рис. 9 образуют кривые номерами 1 и 3? , отмеченные жирными линиями
и существующими соответственно на интервалах ? 6 0.87772 и ? 6 0.6128.
Неустойчивые точки образуют на рис. 9 кривые с номерами 2, 3??, 4 и 5 (тонкие
линии), им отвечают интервалы угловой скорости ? 6 0.8376, ? 6 0.6128,
? 6 0.1673 и ? 6 0.1598.
Периодические движения в системе двух одинаковых стержней и их
При помощи теории периодических движений Пуанкаре для
каждого положения равновесия ?1 = ?1? , ?2 = ?2? приближенной системы
устойчивость.
22
?2
2
2
?
PSfrag replaements
3?
?/2 5
4
1
3??
?1
??/2
1
0
3??
5
??/2
?/2
3?
?
4
ис. 9. Положения равновесия
построено аналитическое по ?, 2? периодическое по ? решение исходной си
стемы (12) (при ? = 1, µ = 1). Периодические решения полной системы,
рождающиеся из неустойчивых и устойчивых положений равновесия прибли
женной системы, соответственно неустойчивы или устойчивы в линейном при
ближении.
Проведен полный нелинейный анализ при помощи численного расчета
вдоль кривых 1 и 3?. Показано, что в области устойчивости в линейном при
ближении рассматриваемые периодические движения устойчивы для боль
шинства начальных условий и ормально устойчивы.
езультаты второй части опубликованы в работе [1?.
Публикации автора диссертации в журналах, входящих
в перечень ВАК
1.
К динамике двойного маятника с го
ризонтально вибрирующей точкой подвеса // Вестник Удмуртского уни
верситета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. Вып. 2.
С. 2540.
2. Вишенкова Е.А. Об устойчивости частных решений приближенных урав
нений движения тяжелого твердого тела с вибрирующей точкой подве
са // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11. ќ 3. С. 459474.
3. Вишенкова Е.А., Холостова О.В. О влиянии вертикальных вибраций на
устойчивость перманентных вращений твердого тела вокруг осей, лежа
щих в главной плоскости инерции // Вестник Удмуртского университета.
Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Вып. 1. С. 98120.
Вишенкова Е.А., Холостова О.В.
23
4.
Исследование перманентных вращений
тяжелого динамически симметричного твердого тела с вибрирующей точ
кой подвеса // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механи
ка. Компьютерные науки. 2017. Вып. 4. С. 590607.
Вишенкова Е.А., Холостова О.В.
Прочие публикации автора диссертации
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Об устойчивости перманентного вращения твердого те
ла с вибрирующей точкой подвеса вокруг главной оси, содержащей центр
масс // Инормационно-телекоммуникационные технологии и матема
тическое моделирование высокотехнологичных систем. Тезисы докла
дов Всероссийской конеренции с международным участием. Москва,
УДН, 2327 апреля 2012 года. С. 169171.
Вишенкова Е.А. Исследование влияния быстрых вибраций на устойчи
вость перманентных вращений твердого тела вокруг оси, содержащей
центр масс // XII Всероссийское совещание по проблемам управления. Те
зисы докладов. оссия. Москва, ИПУ АН, 1619 2014 года. С. 18631871.
Вишенкова Е.А. Исследование влияния быстрых вибраций на устойчи
вость перманентных вращений твердого тела с центром масс на главной
оси // Сборник трудов XVIII Международного Симпозиума ѕДинамика
виброударных (сильно нелинейных) системї, Dyvis2015. МоскваБека
сово. М: ИМАШ АН, 2015. С. 8492.
Вишенкова Е.А. Об устойчивости перманентных вращений несимметрич
ного гироскопа с вибрирующей точкой подвеса // 14-я Международная
конеренция ѕАвиация и космонавтика 2015ї. Тезисы докладов. 1620
ноября 2015 года. Москва. С. 392394.
Вишенкова Е.А. О влиянии быстрых вибраций на устойчивость перма
нентных вращений твердого тела вокруг осей из главной плоскости инер
ции // XXVII Международная инновационно-ориентированная конерен
ция молодых учјных и студентов ѕМИКМУС-2015ї. Тезисы докладов.
Москва: ИМАШ АН. 2015. С. 207210.
Вишенкова Е.А. Влияние высокочастотных вибраций точки подвеса на
устойчивость перманентных вращений твердого тела вокруг осей, лежа
щих в главной плоскости инерции // LII Всероссийская конеренция по
проблемам динамики, изики частиц, изики плазмы и оптоэлектрони
ки. Тезисы докладов. Москва, 1719 мая 2016 года. С. 124128.
Вишенкова Е.А. Исследование устойчивости перманентных вращений
твердого тела с вибрирующим подвесом вокруг осей, лежащих в главной
плоскости инерции // XLIII Международная молодежная научная кон
еренция ѕагаринские чтения 2017ї. Тезисы докладов. 519 апреля
2017 года. Москва. С. 10411042.
Вишенкова Е.А.
24
остановке.
6. Для системы двух одинаковых стержней решен также вопрос о суще
ствовании, биуркациях и устойчивости (в нелинейной постановке) вы
сокочастотных периодических движений малой амплитуды, происходя
щих в окрестности наклонных положений стержней.
Положения и результаты, выносимые на защиту.
1. Уравнение конуса допустимых осей перманентных вращений (аналог ко
нуса Штауде для тела с неподвижной точкой) в приближенной задаче о
движении тяжелого твердого тела при наличии быстрых вертикальных
вибраций точки подвеса малой амплитуды.
2. Описание допустимых дуг перманентных вращений в случае располо
жения центра масс тела на главной оси инерции для точки подвеса, а
также в случае динамически симметричного тела.
3. Полный линейный анализ устойчивости перманентных вращений тела
с центром масс на главной оси инерции: случаи вращения тела вокруг
этой оси (центр масс выше или ниже точки подвеса) и вокруг осей, лежа
щих в главных плоскостях инерции, примыкающих к этой оси. Анали
тическое и граическое представление достаточных и только необходи
мых (не являющихся достаточными) областей устойчивости. Сравнение
с соответствующими результатами для тела с неподвижной точкой.
4. Нелинейный анализ устойчивости для указанных случаев перманент
ных вращений: получение уравнений поверхностей резонансов третьего
и четвертого порядков, а также поверхности вырождения. Подробный
анализ для случая динамически симметричного тела и случая Бобы
леваСтеклова.
5. Полный линейный и нелинейный анализ частного случая перманент
ных вращений динамически симметричного твердого тела, вызванного
вибрациями и не существующего для тела с неподвижной точкой.
6. Анализ устойчивости четырех положений относительного равновесия
на вертикали в приближенной задаче о движении двойного маятника
при наличии быстрых горизонтальных гармонических вибраций точки
подвеса. Нелинейный анализ устойчивости периодического движения,
5
рождающегося из нижнего (ѕвисящегої) положения, в случае двух оди
наковых стержней маятника.
7. ешение задачи о существовании, биуркациях и устойчивости (в стро
гой нелинейной постановке) высокочастотных периодических движений
системы двух одинаковых стержней, происходящих в окрестности на
клонных положений стержней.
Диссертационная работа
развивает актуальное направление исследования воздействия высокочастот
ных вибраций на устойчивость механических систем. ешены новые задачи
устойчивости для ряда частных режимов движения твердого тела и двойного
маятника при наличии вибраций, получены и описаны новые динамические
эекты. езультаты исследования могут быть полезны при разработке виб
рационных механизмов и систем, в том числе используемых в авиационной
промышленности и ракетостроении, и анализе их свойств.
Часть результатов диссертации может быть включена в качестве допол
нительных глав к общему курсу теоретической механики, а также в спецкур
сы по динамике твердого тела и теории устойчивости.
Апробация результатов. езультаты диссертации докладывались
Теоретическая и практическая ценность.
? на научных семинарах каедры теоретической механики Московского
авиационного института,
? на Всероссийской конеренции ѕИнормационно-телекоммуникацион
ные технологии и математическое моделирование высокотехнологич
ных системї (УДН, 2012, Москва),
? на XII Всероссийском совещании по проблемам управления (ИПУ АН,
2014, Москва),
? на XVIII Международном симпозиуме ѕДинамика виброударных (силь
но нелинейных) системї (ИМАШ АН, 2015, Москва),
? на 14-й Международной конеренции ѕАвиация и космонавтикаї (МАИ,
2015, Москва),
? на XXVII Международной инновационно-ориентированной конерен
ции молодых учјных и студентов ѕМИКМУСї (ИМАШ АН, 2015,
Москва),
? на LII Всероссийской конеренции по проблемам динамики, изики
частиц, изики плазмы и оптоэлектроники (УДН, 2016, Москва),
? на XLIII Международной конеренции ѕагаринские чтенияї (МАИ,
2017, Москва).
абота поддержана грантом ФФИ (проекты ќ140100380, ќ170100123).
Публикации. Основные положения диссертационного исследования опуб
ликованы в 11 научных работах, из них 4 статьи [14? в журналах, входящих
6
в перечень ВАК, 7 публикаций [511? в различных сборниках и материалах
конеренций.
Личный вклад автора. Содержание диссертационной работы и основ
ные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад авто
ра в опубликованные работы и получены лично автором. Постановки задач,
исследованных в рамках подготовки диссертационной работы, задавались на
учным руководителем.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из вве
дения, двух частей, пяти глав, заключения, списка литературы из 90 наимено
ваний. абота содержит 18 иллюстраций, 8 таблиц. Общий объем диссертации
составляет 117 страниц.
Содержание работы
обоснована актуальность диссертационной работы, сор
мулированы ее цель и задачи. Приведен обзор исследований устойчивости
движений механических систем при воздействии высокочастотных вибраций
и работ по изучению устойчивости перманентных вращений твердого тела с
неподвижной точкой. Дано краткое изложение содержания по главам.
В первой части изучается устойчивость перманентных вращений в
приближенной задаче о движении тяжелого твердого тела при наличии вы
сокочастотных вертикальных гармонических вибраций одной из его точек.
В первой главе ставится задача о движении тяжелого твердого тела
массы m, одна из точек которого (точка подвеса O) совершает гармонические
колебания по закону ?(t) = a cos ?t. Введены поступательно движущаяся си
стема координат OXY Z, ось OZ которой направлена вертикально вверх, и
жестко связанная с телом система координат, оси которой направлены вдоль
главных осей инерции тела для точки O. Ориентация связанной системы от
носительно OXY Z задана углами Эйлера ?, ?, ?. лавные моменты инерции
тела для точки O обозначены через A, B и C, координаты центра масс тела
?
и орта ?
n оси OZ в связанных осях через xG , yG , zG и ?1 , ?2 , ?3.
Пусть амплитуда a колебаний точки подвеса мала по сравнению с при
веденной длиной ? = A/(mxp
G ), а частота ? колебаний велика по сравнению с
характерной частотой ?1 = g/?, при этом a? ? 1. Введен малый параметр
? и безразмерная частота ?0 по ормулам ?2 = a/? (0 < ? ? 1), ?1/? = ?2?0 .
При помощи методов теории возмущений гамильтониан системы приве
ден к виду, главная часть которого в слагаемых до четвертого порядка по ?
включительно не содержит времени. Как в исходной, так и в преобразованной
системе координата ? циклическая, соответствующий ей импульс постоянен.
Введены безразмерные импульсы p? , p? , p? , безразмерные параметры ?,
? и ?1, ?2 по ормулам: ? = A/B, ? = A/C, ?1 = yG /xG, ?2 = zG /xG . За
независимую переменную принято безразмерное ѕвремяї ? = ?1 t.
Во введении
7
Приближенный гамильтониан системы может быть переписан в безраз
мерном виде (за переменными оставлены предыдущие обозначения):
1
? cos2 ? + sin2 ?
2
(? sin2 ? + cos2 ?)p2? +
(p
?
p
cos
?)
+
H=
?
?
2
2
2 sin ?
1
(1 ? ?) sin ? cos ?
(p? ? p? cos ?)p? + ?p2? + ?(?) .
+
sin ?
2
(1)
Последнее слагаемое в гамильтониане (1) представляет собой вибраци
онный потенциал, задаваемый ормулой:
?(?) = ?[(?2 sin ? cos ? ? ?1 cos ?)2 + (cos ? ? ?2 sin ? sin ?)2?+
mxG a2 ?2
2
2
(? > 0).
+(cos ? ? ?1 sin ?) ? sin ?]/2, ? =
2Ag
Параметр ? характеризует частоту вибрации точки подвеса.
b ?,
b pb? , pb? на интервале вре
ешения полной неавтономной системы ?,
?1/2
связаны с решениями преобразованной приближенной
мени ? порядка ?
автономной системы с гамильтонианом (1) при помощи соотношений вида:
?b = ? + O(?3/2), pb? = p? ? m??(t)[(xG sin ? + yG cos ?) cos ? ? zG sin ?] + O(?1/2),
?
b = ? + O(?3/2), pb? = p? ? m??(t)[xG cos ? ? yG sin ?] sin ? + O(?1/2).
Движения тела с вибрирующей точкой подвеса могут быть описаны так
же при помощи приближенной автономной системы диеренциальных урав
нений, записанной в орме модиицированных уравнений ЭйлераПуассона,
в правые части которых следует добавить компоненты вектора вибрационно
го момента M (?) , получаемые по ормулам:
Mx(?) =
??(?)
??(?)
??(?)
??(?)
??(?)
??(?)
?2 ?
?3 , My(?) =
?3 ?
?1, Mz(?) =
?1 ?
?2 .
??3
??2
??1
??3
??2
??1
Далее движения тела изучаются в рамках приближенной системы, запи
санной в гамильтоновой орме или в уравнениях ЭйлераПуассона.
ассмотрены частные движения перманентные вращения тела, про
исходящие вокруг оси, иксированной в теле и в системе координат OXY Z,
с постоянной угловой скоростью ?. Как и для тела с неподвижной точкой
подвеса, оси перманентных вращений тела при наличии вертикальных вибра
ций точки подвеса могут быть только вертикальными. Введена безразмерная
угловая скорость перманентного вращения ? = ?/?1 (? > 0).
Получено уравнение, описывающее в пространстве величин ?1 , ?2 , ?3
8
геометрическое место допустимых осей перманентных вращений:
??1
???
2 1??
?
? 2 ?1 ?2 +
? 1 ?1 ?3 +
?2?3 ? ? ?22 (1 ? ?)(?2?1 ?2? (2)
?
?
??
??1 ?1?3 ? ?2 ?3) + ?12(1 ? ?)(?2?1 ?2 ? ?1 ?1?3 + ?2 ?3) + (? ? ?)(?2?3?
2
2
2
??2?1 ?2 ? ?1 ?1?3) + (1 ? ?)?3 + (? ? 1)?2 + (? ? ?)?1 ?1?2 = 0.
Это уравнение эллиптического конуса, переходящее в случае отсутствия виб
рации (? = 0) в известное уравнение конуса Штауде.
В диссертации рассмотрены два частных случая геометрии масс тела,
когда центр масс находится на одной из главных осей инерции тела для точ
ки O и когда тело динамически симметрично (? = 1), а центр масс занимает
произвольное положение. Опишем соответствующие допустимые оси перма
нентных вращений.
1. Пусть центр масс тела лежит на главной оси инерции Ox. Уравнение
(2) сводится к ?2 ?3 (??? ? ? 2 ) = 0. Возможны следующие варианты:
? Ось вращения главная ось инерции Ox, содержащая центр масс. В
этом случае, как и для тела с неподвижной точкой, угловая скорость
перманентного вращения может быть произвольной, при этом центр
масс системы может располагаться ниже или выше точки подвеса.
? Ось вращения лежит в одной из главных плоскостей инерции, примы
кающих к главной оси Ox. Пусть это, например, плоскость Oxz. В
этой плоскости строится единичная окружность с центром в точке O и
рассматривается геометрическое место точек пересечения допустимых
осей с этой окружностью, образующих допустимые дуги. Если ? < 1/?,
то допустимые дуги полуокружности, лежащие в нижней или верх
ней полуплоскостях для случаев ? < 1 и ? > 1 соответственно. Если
? > 1/?, то допустимые дуги определяются условиями 0 < ?1 < 1 и
1/(??) < ?1 < 1 при ? < 1 (рис. 1 a) и условием 0 < ?1 < 1/(??) при
? > 1 (рис. 1 b).
? Если ? 2 = ??? > 1, то допустимая дуга составляет окружность, зада
ваемую условием ?22 + ?32 = 1 ? (?1?)2 , ?1? = 1/(???).
2. В случае динамически симметричного тела предполагается, что оси
Ox и Oy выбраны так, чтобы центр масс лежал в плоскости Oxz (?1 = 1).
Уравнение (2) в этом случае сводится к ?2 [? 2 ?3 ? ??(?3 ? ?2 ?1 )] = 0.
? В случае ?2 = 0, когда оси перманентных вращений лежат в плоскости
Oxz, содержащей центр масс, вид допустимых дуг зависит от парамет
ров ?2 и ?. Для 1/2 6 ? < 1 допустимые дуги на рис. 2 показаны
сплошными линиями, для случая ? > 1 пунктирными.
9
z
z
I
II
PSfrag replaements
PSfrag replaements
I
x
O
(a)
(b)
? > 1/?
ис. 1. Допустимые дуги в случае
z
z
PSfrag replaements
eplaements
II
II
z
PSfrag
I replaements
I
I
II
IV
O
O
x
x
O
III
III
x
1 < ? < 1/?2
z
II
IV
III
max(?, ?2 ?) < ? <
< min(1, 1/?2 )
? < max(?, ?2 ?)
PSfrag replaements
x
O
II
z
I
PSfragI replaements
II
IV
O
x
O
III
IV
x
III
1/?2 < ? < 1
? > max(1, 1/?2)
ис. 2. Допустимые дуги для различных значений
?2
и
? (? = [?(?22 + 1)]?1 .)
? В плоскости ? 2?3 = ??(?3 ? ?2?1 ) перманентные вращения существуют,
если параметры задачи связаны соотношением
? = ? 2 /? и ??2 > 1. При
p
этом ?1 = 0, ?3 = ?3? = 1/(??2), ?2 = ± 1 ? ?32, а ось перманентных
вращений лежит в главной плоскости Oyz.
Во второй главе
приведено исследование устойчивости перманентных
10
вращений твердого тела вокруг главной оси инерции Ox, содержащей центр
масс. Здесь и в следующих главах уравнения движения рассматриваются в
гамильтоновой орме, а устойчивость перманентных вращений понимается
как устойчивость соответствующих положений равновесия приведенной (по
аусу) гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Используются из
вестные методы линейного и нелинейного анализа устойчивости автономных
гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Исследуемому движению
отвечает положение равновесия системы с гамильтонианом (1) вида:
?0 = ?/2, ? = ?0 (cos ?0 = 0), p?0 = 0, p?0 = 0, p? = ? = const.
(3)
Анализ устойчивости проведен в четырехмерном пространстве парамет
ров ?, ?, ?, ?. Инерционные параметры ?, ? должны удовлетворять нера
венствам, следующим из неравенств треугольника для моментов инерции
? + ? ? ?? > 0, ? ? ? + ?? > 0, ? ? ? + ?? > 0.
Введем возмущения по ормулам ? = ?0 + x1 , ? = ?0 + x2 , p? = p?0 + y1 ,
p? = p?0 + y2 и представим гамильтониан в виде: H = H2 + H4 + . . . , где
H2 и H4 ормы второй и четвертой степени, а многоточие совокупность
слагаемых не менее шестой степени относительно возмущений.
Достаточные условия устойчивости исследуемых решений (условия по
ложительной определенности квадратичной ормы H2 ) имеют вид:
? 2 (? ? 1) ? s? + ??? > 0,
? 2(? ? 1) ? s? + ??? > 0,
s = sign (sin ?0).
В случае знакопеременности ормы H2 будем исследовать характеристиче
ское уравнение соответствующей ей линейной системы, имеющее вид:
?4 + a?2 + b = 0,
a = (2 ? ? ? ? + ??)? 2 ? s(? + ?) + ?(?2 + ? 2 ),
b = [? 2(? ? 1) + ?(?? ? s)][? 2(? ? 1) + ?(?? ? s)].
При выполнении условий
a > 0,
b > 0,
d = a2 ? 4b > 0
(4)
его корни ±i?j (j = 1, 2) уравнения чисто мнимые, и исследуемые решения
устойчивы в линейном приближении. Неравенства (4) являются необходимы
ми условиями устойчивости решений (3). Если хотя бы одно из неравенств
(4) выполняется с противоположным знаком, то имеет место неустойчивость.
Изложим результаты исследования выписанных условий устойчивости.
Допустимую часть плоскости параметров ?, ? разобьем на ряд областей с
качественно различными результатами устойчивости (рис. 3 a, b).
1. Центр масс тела ниже точки подвеса. В областях 1, 2 необходимые
и достаточные условия устойчивости выполняются при ? 2 < ?(?? + 1)/(1 ?
11
PSfrag replaements
?
?
4
ag replaements
5
B
3
2
1
0
1
1
D
3?
1
2?
?
1
0
?
(a) центр масс тела ниже точки подвеса
3
2
1
1
3?
5?
4?
2?
?
D?
1
?
(b) центр масс тела выше точки подвеса
ис. 3. азбиение допустимой области параметров
?, ?
?), а в области 3 при любых значениях параметра ? (? > 0). В области
1 могут выполняться только необходимые (не являющиеся достаточными)
условия устойчивости вида ? 2 > ?(?? + 1)/(1 ? ?). Таким образом, наличие
вибрации расширяет диапазон угловых скоростей выполнения достаточных
условий устойчивости. В областях 1?3? условия устойчивости получаются из
соответствующих условий для областей 13 заменой ? ? ?.
2. Центр масс тела выше точки подвеса. Условия устойчивости полу
чены для точек всех областей на рис. 3 b. Для каждой из областей полуось
положительных значений параметра ? разбита на несколько интервалов, гра
ницы которых зависят от исследуемой точки (?, ?) области. Для каждого
такого интервала, в свою очередь, выписаны ограничения на параметр ?,
определяющие достаточные и только необходимые условия устойчивости. В
качестве примера приведем результаты для областей 1 и 4 (табл. 1).
Таблица 1. Достаточные и необходимые условия устойчивости для областей
Обл.
1
4
1
и
4
Значения ?
Достаточные условия Только необходимые условия
? 6 ?1
? > ?4
?1 < ? < ?3
?1 < ? < ?3 , ? > ?4
?3 < ? < 1/?
? > ?1
1/? < ? < 1/(??)
? < ?2
? > ?1
? > 1/(??)
? < ?1
? > ?2
? < ?2
?2 < ? 6 ?1
?4 < ? < ?2
?1 < ? < ?3
?1 < ? < ?3 , ?4 < ? < ?2
?3 < ? < 1/(??)
?1 < ? < ?2
1/(??) < ? < 1/?
?2 < ? < ?1
? > 1/?
? < ?1
12
Введенные в таблице обозначения таковы:
3? ? 2?2 ? 2?? + ?2 ? + ?
??2
?1 =
,
?
=
,
3
2?? + ?2 (1 ? ? ? ?) + ? 2(? ? 1)2
?2 ? ? ? ?
?(?? ? 1)
?(?? ? 1)
3? ? 2?? ? 2? 2 + ?? 2 + ?
2
2
,
?
=
,
?
=
.
?2 =
1
2
2?? + ?2 (? ? 1)2 + ? 2 (1 ? ? ? ?)
1??
1??
Обозначения ?3 и ?4 не приведены в силу громоздкости.
Нелинейный анализ устойчивости. В областях выполнения только необ
ходимых условий устойчивости проведен нелинейный анализ устойчивости.
При отсутствии резонанса четвертого порядка (?1 6= 3?2 ) нормализован
ный гамильтониан в симплектических полярных координатах имеет вид:
5/2
H = ?1 r1 ? ?2 r2 + c20r12 + c11 r1r2 + c02r22 + O(rj ).
Перманентное вращение устойчиво по Ляпунову при выполнении условия тео
ремы Арнольда Мозера: ? = c20 ?22 + c11 ?1 ?2 + c02 ?12 6= 0. Если ? = 0, то
имеется вырождение в членах четвертого порядка; этот случай требует даль
нейшей нормализации и в диссертации не рассматривался.
Если в системе реализуется резонанс четвертого порядка (?1 = 3?2 ), то
нормализованная ункция амильтона имеет вид:
1/2 3/2
5/2
H = 3?2 r1 ? ?2 r2 + c20r12 + c11 r1r2 + c02r22 + k4 r1 r2 cos(?1 + 3?2) + O(rj ).
?
При этом, если выполняется условие |c20 + 3c11 + 9c02 | > 3 3k4 (k4 > 0), то
исследуемое решение устойчиво по Ляпунову. При выполнении неравенства
с противоположным знаком имеем неустойчивость.
В диссертации выписаны уравнения поверхности резонанса четвертого
порядка и поверхности вырождения для произвольных допустимых значений
параметров. Подробный нелинейный анализ проведен для двух частных слу
чаев геометрии масс тела: случая динамически симметричного тела (? = 1) и
случая БобылеваСтеклова (? = 2). В трехмерном пространстве параметров
?, ?, ? построены сечения ? = const для различных (допустимых) значений
параметра ?. езультаты для случая ? = 1 представлены на рис. 4 в плос
кости параметров ?, ?. Серым цветом показаны области неустойчивости. Не
закрашены области выполнения достаточных условий устойчивости (области
правее граничной прямой ? = 1/?) и области выполнения только необходи
мых условия устойчивости (левее этой прямой). В последних областях кривые
резонанса четвертого порядка изображены полужирными линиями на участ
ках устойчивости и пунктирными линиями на участках неустойчивости; кри
вые вырождения показаны точечными линиями.
В случае ? = 2 для всех допустимых ? (2/3 < ? < 2) качественный вид
диаграммы устойчивости совпадает с показанным на рис. 4 c, только прямо
13
?
?
?
eplaements
PSfrag replaements
0
?2
(a)
1/? ?
1/2 < ? < 1,
PSfrag replaements
0
(b)
1 ? ? < (1 +
?
1/? ?
5)/2,
0
?
1/?
?
(c) ? ? (1 + 5)/2.
ис. 4. Нелинейный анализ устойчивости
линейная граница ? = 1/? заменяется криволинейной границей ? = ?1 .
Для рассмотренных значений параметра ? установлено, что для всех
точек резонансных кривых, кроме небольшой зоны неустойчивости, содер
жащей в себе точки их пересечения с кривыми вырождения, имеет место
устойчивость по Ляпунову.
езультаты второй главы опубликованы в работе [2?.
В третьей главе приведено исследование устойчивости перманентных
вращений твердого тела вокруг осей, лежащих в главной плоскости инерции
Oxz, примыкающей к главной оси инерции Ox, содержащей центр масс. Этим
движениям отвечают положения равновесия приведенной системы с гамиль
тонианом (1), задаваемые соотношениями:
2
cos
?
?
0
,
? = ?0, ? = ?0 (cos ?0 = 0), p?0 = 0, p?0 = cos ?0, p? = ? sin2 ?0 +
?
?
где величина ?0 определяется из уравнения [(? ? 1)? 2 + ???] sin ?0 sin ?0 = ?.
Проведен анализ устойчивости, аналогичный описанному в главе 2. До
статочные условия устойчивости рассматриваемых перманентных вращений
определяются системой неравенств:
(? ? ?)(??? ? ? 2 ) > 0,
(5)
(? ? 1)3? 6 + 3???(? ? 1)2? 4 + 3? 2(? ? 1)(? 2?2 ? ? + 1)? 2 < ? 3 ??(1 ? ? 2?2 ? ?).
Необходимые условия устойчивости задаются системой (4).
В диссертации проведен подробный аналитический, численный и граи
ческий анализ систем (5) и (4). езультаты представлены в орме, анало
гичной описанной в главе 2. Область допустимых значений параметров ?, ?
(рис. 5) разделена на области 19; внутри области 2 выделена подобласть 2? .
14
PSfrag replaements
?
9
2
7
4/3
1
2/3
8
5
3
6
4
1 2
2*
0
2
?
ис. 5. азбиение допустимой области параметров
?, ?
На рис. 6 в плоскости параметров ?, ? (при иксированных ?, ? ) пред
ставлена характерная для каждой области картина устойчивости. Прямые
? = ?1 и ? = ?2 в областях 14 отвечают правой и левой границам обла
стей существования перманентных вращений при расположении центра масс
тела выше и ниже точки подвеса соответственно. В областях между этими
прямыми перманентные вращения не существуют. Области 59 относятся к
вращениям, для которых центр масс тела находится выше точки подвеса. Cп
лошным цветом закрашены области выполнения достаточных условий устой
чивости, в заштрихованных областях выполняются только необходимые усло
вия, в оставшихся областях имеет место неустойчивость.
Проведенный анализ показывает, что перманентные вращения, для ко
торых центр масс тела расположен ниже точки подвеса, в областях 2, 2? , 4
устойчивы при всех допустимых значениях параметров ?, ?. Эти движения
устойчивы и в случае отсутствия вибрации (? = 0), однако с появлением
вибрации точки подвеса нижняя граница диапазона допустимых значений
угловых скоростей перманентных вращений возрастает. В областях 1 и 3 рас
сматриваемые вращения всегда неустойчивы, как и при отсутствии вибраций.
Перманентные вращения, для которых центр масс расположен выше точ
ки подвеса, можно стабилизировать в областях 14 в определенном диапазоне
угловых скоростей за счет вибраций точки подвеса; при отсутствии вибраций
имеет место неустойчивость. В областях 5, 7, 8, 9, по сравнению со случаем
отсутствия вибрации, сдвигается в сторону уменьшения нижняя граница уг
ловых скоростей устойчивых перманентных вращений. Для точек области 8
увеличение параметра ? приводит к исчезновению подобласти выполнения до
15
?
?
?
eplaements
?1
PSfrag replaements
?=
?
0
PSfrag
PSfrag replaements
?1
replaements
=
?
?
0
Область 1
Область
PSfrag replaements
?
?
0
3
Область
?
0
Область
6
8
PSfrag replaements
eplaements
?
?
?
?1
= ?2
? =
?
?1 2
?
=
? =
?
?
0
Область
?
0
2
?1 2
?
=
? =
?
Область
2?
Область
?
?
?
0
4
?
PSfrag replaements
PSfrag replaements
eplaements
?
0
Область
5
?
0
Область
7
?
0
Область
9
ис. 6. Области устойчивости
статочных условий устойчивости, при этом имеется новая подобласть устой
чивости в линейном приближении, появляющаяся за счет вибрации. В обла
сти 9 при ? > 0, кроме расширения области устойчивости в линейном при
ближении, появляется подобласть выполнения достаточных условий устойчи
вости. В области 6 имеет место стабилизация для определенного диапазона
угловых скоростей и частоты вибрации точки подвеса.
16
ассмотрены нерезонансный случай
(?1 6= 2?2 , ?1 6= 3?2 ) и случаи резонансов третьего (?1 = 2?2 ) и четвертого
(?1 = 3?2) порядков. Нормальные ормы гамильтониана и критерии устой
чивости для нерезонансного случая и случая резонанса четвертого порядка
приведены в главе 2. В случае резонанса третьего порядка нормальная орма
гамильтониана возмущенного движения имеет вид:
Нелинейный анализ устойчивости.
?
5/2
H = 2?2 r1 ? ?2 r2 + k3 r1 r2 sin(?1 + 2?2) + c20r12 + c11r1 r2 + c02 r22 + O(rj ).
Если k3 = 0 и c20 + 2c11 + 4c02 6= 0, исследуемое решение устойчиво.
Подробный нелинейный анализ проведен для тех же, что и в главе 2,
частных случаев геометрии масс. В случае динамически симметричного тела
были рассмотрены области 2, 4, 5, 7, 9. В качестве примера приведем ре
зультаты для областей 2 и 4, проиллюстрированные на рис. 7 аналогичным
описанному во второй главе образом. Кривые резонанса третьего порядка
показаны тонкими линиями.
?
?
PSfrag replaements
PSfrag replaements
?
0
(a) Область
?
0
2
(b) Область
4
ис. 7. Нелинейный анализ устойчивости для областей 2 и 4
Установлено, что для точек кривой резонанса третьего порядка имеет
место неустойчивость. На кривых резонанса четвертого порядка существуют
участки неустойчивости в случае их пересечения с кривыми вырождения,
содержащие точки их пересечения, а также при ѕсближенииї этих кривых.
В случае БобылеваСтеклова состав кривых и картина устойчивости
качественно не отличаются от представленной на рис. 7 b.
езультаты третьей главы опубликованы в работе [3?.
В четвертой главе приведено исследование устойчивости частного слу
чая перманентных вращений динамически симметричного твердого тела, для
которого параметры ? и ? связаны соотношением ? = ? 2 /?. Этому вращению
17
отвечает положение равновесия системы с гамильтонианом (1) вида:
1
?(? ? 1)
?
?
.
, ?0 = 0, p?0 = 0, p?0 =
, p? = ? ?
?2 >
?0 = arccos
2
?2 ?
?2
?2 ?
? 3?22
Проведен его линейный и нелинейный анализ устойчивости в трехмер
ном пространстве параметров ?, ?2 , ? при иксированном значении парамет
ра ?. Достаточные условия устойчивости имеют вид:
? 4?22 (1 ? ?22) + ?(4? 2 + ?[?22 ? 5] + 1) > 0,
? 4 ?22(? + ?22 ? ??22) + ? 2(? ? 1)(?22 + 4? ? 1) < 0,
(? ? 1)[?(? ? 1)(4? + ?22 ) ? ? 4 ?24] < 0.
Только необходимые условия устойчивости определяются системой неравенств
(? ? 1)[?(? ? 1)(4? + ?22 ) ? ? 4 ?24] < 0,
?(? 3 + 3? 2 + ?[?22 ? 5] + 1) ? ? 4 ?22(?22 + ? 2 ? 1) > 0,
(6)
? 8 ?24? ? 2??22? 4 ? + ? 2? > 0,
? = ?24 ? 2(? ? 1)2?22 + (? 2 ? 1)2, ? = ?24? ? (? ? 1)(2? 2 ? 7? + 1)?22 + (? ? 1)5,
? = ?24 ? 2 ? 2?(? 2 ? 6? + 1)(? ? 1)?22 + (? 2 ? 6? + 1)(? ? 1)4.
Установлено, что достаточные условия устойчивости не выполняются
для любых допустимых значений параметров ?, ?, ?2 . Только необходимые
4
условия устойчивости сводятся к условию ?A
< ? 4 < ?E4 в области I ? и
? 2 /?22 < ? 4 < ?E4 в области II (рис. 8 a). Здесь ?A4 = ?(? ? 1)(4? + ?22)/?24,
4
а ?E
меньший из корней квадратного (относительно ? 4 ) трехчлена в (6).
?
?
I?
rag replaements
II PSfrag
replaements
1
1/2
?2
0
?2
0
(a)
(b)
ис. 8. Случай динамически симметричного тела
18
Нелинейный анализ устойчивости
проведен в трехмерном пространстве параметров в областях выполнения толь
ко необходимых условий устойчивости. В этих областях строились сечения
? = const для различных значений ? из интервала 1 < ? < 10. Выявлено,
что картина устойчивости в рассмотренных сечениях качественно не меняет
ся и имеет характерный вид, представленный на рис. 8 b. При этом показаны
одновременно части сечения, относящиеся к областям I ? и II на рис. 8 a.
Изображения на рис. 8 b областей устойчивости и неустойчивости, а также
резонансных кривых и кривых вырождения аналогичны принятым в преды
дущих главах. Установлено, что на резонансных кривых третьего порядка
имеет место неустойчивость, а на резонансных кривых четвертого порядка устойчивость по Ляпунову.
езультаты четвертой главы опубликованы в работе [4?.
Нелинейный анализ устойчивости.
Во второй части исследуется движение двойного маятника системы
из двух тонких шарнирно соединенных однородных стержней точка подве
са которого совершает горизонтальные гармонические колебания по закону
a cos(?t). Массы стержней и их длины обозначим через m1 , m2 и l1, l2.
Считаем, что амплитуда a колебаний точки подвеса мала по сравнению
с длиной первого
стержня l1 , а частота ? велика по сравнению с характерной
p
частотой g/l1 . Введем малый параметр ? = a/l1 (0 < ? ? 1) и безразмер
ную частоту ?, определяемую ормулой ?2 ? 2 = g/(l1 ?2 ). Полагаем ? ? 1,
тогда a? ? 1.
При помощи близкой к тождественной канонической замены гамильто
ниан системы приведен к виду, главная часть которого (в слагаемых до вто
рого порядка по ? включительно) не содержит времени ?. В безразмерных
переменных и параметрах гамильтониан системы имеет вид:
6[µ?2 p2?1 + (1 + 3µ)p2?2 ? 3µ?p?1 p?2 cos(?1 ? ?2)] 1 2
H=
+ ? ? + O(?3 ), (7)
2
2
µ? [4(1 + 3µ) ? 9µ cos (?1 ? ?2)]
4
? = ?2(µ?? 2 cos ?2 + (1 + 2µ)? 2 cos ?1 )+
(1 + 2µ)2 cos2 ?1 ? 3µ(1 + 2µ) cos(?1 ? ?2) cos ?1 cos ?2 + µ(1 + 3µ) cos2 ?2
.
+3
4(1 + 3µ) ? 9µ cos2(?1 ? ?2)
Приближенный гамильтониан (в котором отброшено слагаемое O(?3 )) отве
чает консервативной системе с двумя степенями свободы с потенциальной
энергией ?2 ?/4. Здесь ?1 , и ?2 углы отклонения стержней от нижнего
вертикального положения, p?1 и p?2 канонически сопряженные с углами
импульсы, обезразмеренные с помощью множителя m1 l12 ?. Также введены
безразмерные параметры µ = m2 /m1 , ? = l2 /l1 и безразмерное время ? = ?t.
Слагаемое O(?3 ) 2? периодично по ?.
Приближенная система имеет четыре частных решения, отвечающих по
19
ложениям относительного равновесия двойного маятника, для которых два
стержня маятника расположены на одной вертикали. При этом p?1 = p?2 = 0
и выполняется одно из соотношений:
1)?1? = ?2? = 0; 2)?1? = ?2? = ?; 3)?1? = ?, ?2? = 0; 4)?1? = 0, ?2? = ?. (8)
Пусть q1 , q2 возмущения перемен
ных ?1 , ?2 относительно их равновесных значений. Условия устойчивости и
неустойчивости положений равновесия приближенной системы найдем, иссле
дуя квадратичную относительно величин qj часть потенциальной энергии,
представленную в виде (множитель ?2 /4 отброшен):
Линейный анализ устойчивости.
?2 (q1, q2) = u20q12 + 2u11q1q2 + u02q22 ,
uij = const.
(9)
Достаточные условия устойчивости положения равновесия (условия ми
нимума ункции потенциальной энергии) задаются неравенствами:
u20 > 0,
d = u20u02 ? u211 > 0.
(10)
Анализ показал, что нижнее ѕвисящееї положение устойчиво, если
3
(3µ3? + 13?µ2 + 16?µ + 4? + 2µ + 1+
? 2 > ?12 , ?12 =
2
2?(4 + 3µ) (1 + 2µ)
p
+ (µ + 2)4(3µ + 1)2?2 + (6µ4 + 23µ3 + 18µ2 ? 12µ ? 8)? + (2µ + 1)2) (11)
и неустойчиво при изменении знака неравенства на противоположный. В ис
ходных размерных переменных это условие означает, что частота вибрации
точки подвеса не превосходит некоторого иксированного значения ? < ?? :
v
u
u 3gl1 (4l2 + l1 )m3 + 2(8l2 + l1 )m2m2 + 13l2m2 m1 + 3l2m3 + ??
1
1
2
2
t
?? =
,
2a2 l2(4m1 + 3m2 )2(2m2 + m1 )
? = (m1 + 3m2 )2(2m1 + m2 )4l22 + m41 l12(2m2 + m1 )2?
?(2m1 + m2 )2(2m2 + m1 )(2m1 ? 3m2)m21 l1 l2, (? > 0).
Исследование остальных положений равновесия показало, что для них
условия (10) не выполняются, ункция потенциальной энергии не имеет ми
нимума, и эти положения равновесия неустойчивы.
Методом Пуанкар?
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
295 Кб
Теги
движение, высокочастотной, влияние, система, механической, устойчивость, исследование, вибрация
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа