close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Численное решение параболических задач оптимального управления с ограничениями на функцию состояния системы

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
РОМАНЕНКО Артур Данилевич
Численное решение параболических задач
оптимального управления с ограничениями на функцию
состояния системы
01.01.07 — вычислительная математика
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Казань — 2018
Работа выполнена на кафедре математической статистики федерального
государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Казанский (Приволжский) федеральный университет».
Научный руководитель:
Лапин Александр Васильевич,
доктор физико-математических наук, профессор,
профессор кафедры математической статистики
ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский)
федеральный университет»
Официальные оппоненты: Петров Игорь Борисович,
доктор физико-математических наук, профессор,
член-корреспондент РАН, заведующий кафедрой
информатики и вычислительной математики
ФГАОУ ВО «Московский физико-технический
институт (государственный университет)»
Галиев Шамиль Ибрагимович,
доктор технических наук, профессор,
профессор кафедры прикладной математики и
информатики ФГБОУ ВО «Казанский
национальный исследовательский технический
университет им. А.Н. Туполева – КАИ»
Ведущая организация:
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Удмуртский государственный университет»
Защита состоится 28 сентября 2018 г. в 15 час. 30 мин. на заседании
диссертационного совета Д 212.081.21 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35,
корп. 2, ауд. 1011.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского (Приволжского) федерального университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35.
Электронная версия автореферата размещена на официальных сайтах
Высшей аттестационной комиссии Министерства образования и науки РФ
(http://vak.ed.gov.ru) и Казанского (Приволжского) федерального университета (http://kpfu.ru).
Автореферат разослан «
» июня 2018 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.081.21
доктор физ.-мат. наук, профессор
2
О.А. Задворнов
Общая характеристика работы
Диссертация посвящена разработке, обоснованию и численному исследованию эффективных и легко реализуемых алгоритмов итерационного решения задач оптимального управления с параболическим уравнением состояния
системы. Подход, основанный на использовании лагранжиана, сводит задачу
оптимизации к задаче поиска седловой точки с помощью методов типа метода Удзавы. Применяемые алгоритмы на основе данного метода позволяют
найти решения задач оптимального управления с распределенным в области наблюдением, управлением правой частью и потоком на части границы,
при наличии поточечных ограничений на функции состояния, управления, а
также на производную по времени от функции состояния.
Предыстория и актуальность темы. Задачи оптимального управления системами, описываемыми уравнениями в частных производных, представляют собой весьма сложный объект численного анализа. Как правило, в
таких задачах присутствуют различные виды ограничений на функцию состояния и/или управления. В производственных процессах требуется наилучшим образом приближаться к некоторому заданному режиму или состоянию
при минимальном расходе имеющихся в распоряжении сырья или энергетических запасов. Большое количество технических приложений моделируется
с помощью так называемых систем с распределенными параметрами, когда
для описания движения таких систем используются уравнения в частных
производных, интегральные или интегро-дифференциальные уравнения.
Теория оптимального управления начала активно развиваться с начала 1960-х годов. Одними из первых исследователей в данной области были
А.Г. Бутковский1 , Н.Н. Красовский2 , А.И. Егоров3 , Т.К. Сиразетдинов4 . Оптимальное управление нестационарными процессами играет важную роль на
практике в различных приложениях. Например, в работах Gunzburger M. с
соавторами5 , Hinze M., Ziegenbalg S.6 описывается задача Стефана, моделирующая процесс образования твердого тела из жидкого раствора. Кроме этого,
можно привести работу Laitinen E., Neittaanmaki P.7 , посвященную задаче
выплавке стали и управлению параметрами печи с целью снижения энерго1 Бутковский А.Г., Лернер А.Я. Об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами // Докл. АН
СССР. — 1960. — Т.134. — №4. — C. 778–781.
2 Красовский Н.Н. Об одном методе построения оптимальных траекторий // Матем. сб. — 1961. — Т.53 (95). — №2. —
C. 195—206.
3 Егоров А.И. Необходимые условия оптимальности для систем с распределенными параметрами // Матем. сб. — 1966. —
Т.69 (111). — №3. — С. 371–421.
4 Сиразетдинов Т.К. Синтез систем с распределенными параметрами при неполном измерении // Изв. вузов. Авиационная
техника. — 1971. — Вып.3. — С. 37–43.
5 Gunzburger M., Ozugurlu E., Turner J., Zhang H. Controlling transport phenomena in the Czochralski crystal growth
process//Journal of Crystal Growth. — 2002. — V.234. — №1. — P. 47–62.
6 Hinze M., Ziegenbalg S. Optimal control of the free boundary in a two-phase Stefan problem // J. Comput. Phys. — 2007. —
V.233. — P. 657–684.
7 Laitinen E., Neittaanmaki Р. On numerical simulation of continuous casting process // J. Eng. Math. — 1988. — V.22. —
P. 335–345.
3
затрат. Эти процессы отчасти описываются системами уравнений в частных
производных, где температура определяется как функция состояния системы.
Температурные ограничения не позволяют перейти веществу в иное агрегатное состояние, а ограничения на управление соответствуют ограничениям на
мощность источников тепла.
Исследованием сеточных схем для параболического уравнения с поточечными ограничениями занимались Deckelnick K., Hinze M.8 и Leykekhman D.,
Vexler B.9 На основе результатов работ этих авторов можно доказать сходимость сеточного решения к решению дифференциальной задачи для всех типов задач оптимального управления, представленных в диссертации. Однако
основной целью нашей работы является исследование итерационных методов
решения приближенных задач с управлением в правой части и на границе
области.
Помимо этого, в диссертации рассматриваются ограничения на производную по времени от функции состояния. Данный подход является реализацией идеи, предложенной в работе у E. Laitinen, A. Lapin, S. Lapin10 . Также
здесь доказаны существование и единственность решения задачи оптимального управления и получены оценки для значения итерационного параметра.
Имеются два способа решения задач с ограничениями на функции состояния и управления. Первый из них – это метод, который можно охарактеризовать как «сперва оптимизация, затем аппроксимация», когда мы для
дифференциальной задачи в соответствующем функциональном пространстве строим итерационные методы с дальнейшей конечномерной аппроксимацией. Для решения таких задач можно эффективно применять градиентный
метод с проекцией. Но в этом случае при наличии ограничений на состояние множители Лагранжа, которые дают условия оптимальности первого
порядка, не достаточно гладкие. Именно поэтому используются методы регуляризации – Моро-Иосиды и Лаврентьева.
Второй способ решения, основанный на принципе «от аппроксимации к
оптимизации», состоит в замене дифференциальной задачи на приближенную методом конечных разностей или конечных элементов, а затем получившуюся дискретную задачу решают численно. Ввиду большой размерности
задачи и плохой обусловленности, остается актуальной проблема построения
эффективного итерационного метода.
Альтернативой этим методам решения задач оптимального управления
является метод, основанный на применении множителей Лагранжа. Такой
8 Deckelnick K., Hinze M. Convergence of a finite element approximation to a state constrained elliptic control problem // SIAM
J. Numer. Anal. — 2007. — V.45. — P. 1937–1953.
9 Leykekhman D., Vexler B. Optimal A Priori Error Estimates of Parabolic Optimal Control Problems With Pointwise Control
// SIAM J. Numer. Anal. — 2013. — V.51. — P. 2797–2821.
10 Laitinen E., Lapin A., Lapin S. Explicit algorithms to solve a class of state constrained parabolic optimal control problems //
Russ. J. Numer. Anal. Math. Modell. — 2015. — V.30. — №6. — P. 351–362.
4
подход приводит сеточную задачу к так называемой седловой задаче с ограничениями. В работе Bergounioux M., Kunisch K.11 успешно применен данный
метод для решения задачи с управлением в краевом условии.
Еще одна группа методов – методы внутренней точки или штрафные методы. Основная идея состоит в замене задачи минимизации целевого функционала с ограничениями на соответствующую задачу без них. При этом в
функционал добавляются штрафные слагаемые такие, что значение функционала стремится к бесконечности, если итерационный процесс выходит за
пределы допустимого множества. В статье Weiser M.12 рассмотрены данные
методы и их модификации в функциональных пространствах с ограничениями на управления. Однако большую сложность представляет решение системы уравнений с разреженной матрицей большой размерности. Применение метода внутренней точки к решению задачи оптимального управления с
ограничением на состояние описано у Schiela A.13
Основной метод решения, используемый в данной работе, носит название
предобусловленного метода Удзавы. Итерации этого метода точно удовлетворяют ограничениям на управление и состояние системы. В то же время,
уравнение состояния выполняется в пределе, и ошибка в выполнении этого уравнения служит характеристикой точности итерационного приближения. Данный метод может быть применен не только для задач оптимального
управления, но и для решения вариационных неравенств, в частности, для
задач теории фильтрации14 .
Дополнительно в данной работе рассматривается многосеточный метод,
идею которого предложил Р.П. Федоренко. В дальнейшем он в одной из своих статей доказал сходимость для уравнения Пуассона в квадрате. Академик
Н.С. Бахвалов рассмотрел произвольное эллиптическое уравнение в квадрате
и доказал оптимальность метода по количеству операций. Обладая высокой
эффективностью, многосеточные методы допускают наиболее естественное
распараллеливание и векторизацию приложений, что позволяет отнести их к
перспективному и развивающемуся направлению современных высокопроизводительных алгоритмов.
Кроме этого, в диссертации приводится решение задачи с применением
метода параллельных вычислений – т.н. parareal-алгоритм, впервые предложенный J.L. Lions с соавторами15 в 2001 году, для численного решения эво11 Bergouniuox M., Kunisch K. Augmented Lagrangian techiques for elliptic state constrained optimal control problems // Siam
J. Conrol optim. — 1997. — V.35. — №5. — P. 1524–1543.
12 Weiser M. Interior point methods in function space // SIAM J. Control Optim. — 2005. — V.44. — P. 1766–1786.
13 Schiela A. Barrier Methods for Optimal Control Problems With State Constraints // SIAM J. Optim. — 2009. — V.20. —
№2. — P. 1002–1031.
14 Badriev I.B., Karchevskii M.M. Convergence of the iterative Uzava method for the solution of the stationary problem of the
seepage theory with a limit gradient // J. Sov. Math. –– 1989. –– V.45. — №4. –– P. 1302–1309.
15 Lions J. L., Maday Y., Turinici G. Resolution d’edp par un schema en temps parareel // C.R.Acad Sci. Paris Ser. I Math. —
2001. — V.332. — P. 661–668.
5
люционных задач. Такое название метода было выбрано, чтобы подчеркнуть
его эффективность при параллелизации в реальном времени на нескольких
процессорах, когда невозможно найти решение при последовательной алгоритмизации с задействованием одного процессора. Этот метод стал одним из
активно разрабатываемых и применяемых в течение последних лет, особенно в связке с методами декомпозиции области. Данный метод может применяться для решения различных задач, в том числе и для проблем в области
гидродинамики16 .
Цель настоящей работы – построение эффективно реализуемых итерационных методов для решения седловых задач оптимального управления. В
работе доказываются теоремы существования как для исходных задач оптимального управления в дифференциальной постановке, так и для их конечномерных аппроксимаций. Строятся и исследуются различные варианты предобусловленного метода Удзавы. Большое внимание уделяется построению
предобусловливателей, при которых допустимые итерационные параметры не
зависят от шагов сетки. При отсутствии ограничений на функцию состояния
для итерационных методов удается получить оценки скорости сходимости,
также не зависящие от шагов сетки.
В соответствии с поставленной целью нами были поставлены и решены
следующие частные задачи:
• Сформулированы и доказаны теоремы о существовании и единственности
решения задач оптимального управления с поточечными ограничениями
на функции состояния и управления.
• Построены конечно-разностные и конечно-элементные аппроксимации указанных задач с обоснованием их разрешимости.
• Для сеточных задач оптимального управления получены седловые задачи, для решения которых можно применять методы типа Удзавы.
• Построены эффективно обратимые предобусловливающие матрицы и доказана сходимость предобусловленных методов Удзавы для всех рассмотренных сеточных седловых задач.
• На примерах конкретных задач оптимального управления показана эффективность данного метода и проведен сравнительный анализ с другими
известными итерационными методами.
Объектом исследования являются линейно-квадратичные параболические задачи оптимального управления с ограничениями на функции состояния и управления, их дискретные аналоги и итерационные методы решения.
16 Farhat C., Chandesris M. Time-decomposed parallel time-integrators: Theory and feasibility studies for fluid, structure, and
fluid-structure applications // Internat. J. Numer. Methods Engrg. — 2003. — V.58. — P. 1397–1434.
6
Научная новизна. Построены новые сеточные аппроксимации параболических задач оптимального управления с различными ограничениями
на функцию состояния. Для рассматриваемых дискретных задач оптимального управления получены седловые задачи с использованием множителей
Лагранжа. Предложены эквивалентные постановки седловых задач, для которых удается разработать эффективно реализуемые итерационные методы
на основе метода Удзавы. Построенные предобусловливатели в итерационном
методе Удзавы энергетически эквивалентны оператору уравнения состояния.
Дополнительно представлены результаты работы итерационных методов для
задач с новым видом ограничений – на производную по времени от функции
состояния.
Методы исследования. Проводимое исследование опиралось на подходы и методы из теории дифференциальных уравнений, теории обобщенных
решений уравнений в частных производных. Использовались результаты из
функционального анализа, численных методов решения уравнений и вариационных неравенств с ограничениями.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы для дальнейшего исследования задач оптимального управления с распределенными
параметрами, содержащие нелокальные ограничения на состояние и управление, а также при разработке численных методов их решения.
Личный вклад. Автор принимал участие в доказательстве основных
утверждений, представленных в работе, построении аппроксимаций дифференциальных задач, разработке с обоснованием сходимости итерационных методов Удзавы, представленных в главе 3. Все вычислительные эксперименты
были проведены непосредственно автором с использованием пакета прикладных программ Matlab.
Степень достоверности результатов проведенных исследований подтверждается обоснованными теоретическими выкладками и строгостью математических доказательств, проведенных с привлечением методов теории
выпуклого анализа, оптимального управления.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и обсуждались на следующих конференциях: X, XI Международная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань,
КФУ, 2014, 2016 гг.), Всероссийская конференция с международным участием «Теория управления и математическое моделирование», посвященная памяти профессора Н.В. Азбелева и профессора Е.Л. Тонкова (Ижевск, УдГУ,
09.06.2015 – 11.06.2015), XII Международная Казанская летняя школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы» (Казань, КФУ,
7
27.06.2015 – 04.07.2015), Всероссийская школа-конференция молодых ученых
«Лобачевские чтения - 2015» (Казань, КФУ, 22.10.2015 – 27.10.2015), Международный научный семинар «Simposium in Coordinated Innovation Center
for Computable Modeling in Management Science» (КНР, Тяньцзинь, Тяньцзиньский университет финансов и экономики, 12.01.2017 – 18.01.2017), Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных
«Ломоносов-2017» (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 10.04.2017 – 14.04.2017),
Международная молодежная школа-конференция «Современные проблемы
математики и ее приложений» (Екатеринбург, ИММ им. Н.Н. Красовского
УРО РАН, 2017, 2018 гг.), на семинаре кафедры информатики и вычислительной математики МФТИ (руководитель – член-корреспондент РАН, профессор И.Б. Петров, 2018 г.), а также на итоговых научных конференциях в
КФУ.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в
работах [1–8], из них работы [1–3] входят в перечень ВАК, оставшиеся являются тезисами и материалами конференций [4–8].
Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав,
объединяющих 15 параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 107 страниц, включает 11 таблиц, список литературы
содержит 99 наименований, иллюстративный материал насчитывает 25 рисунков.
Основное содержание работы
Во Введении описывается актуальность выбранной темы, приводится
обзор имеющихся работ, определяется объект исследования, его цель и задачи, методы исследования, отмечается практическая значимость работы и
дается краткая характеристика ее результатов.
Первая глава посвящена формулировке задач оптимального управления с линейным параболическим уравнением состояния. В этой главе приведены теоремы о существовании и единственности решения для задач с распределенным и граничным управлением. В зависимости от выбора целевого
функционала имеют место различные наблюдения заданной функции.
В первом параграфе рассматривается задача в цилиндре QT = Ω × (0, T )
произвольно фиксированной высоты T и открытой областью Ω ⊂ Rn с управлением, распределенным в QT :
∂y
− ∆y = u + f, (x, t) ∈ QT ,
∂t
y = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ),
y = y0 (x), x ∈ Ω, t = 0,
8
и функционалом
1
J(y, u) =
2
ZT Z
α
(y − zd )2 dxdt +
2
0 Ω1
ZZ
u2 dxdt,
QT
где zd ∈ L2 (0, T ; L2 (Ω1 )) – заданная функция, Ω1 ⊆ Ω – подобласть, имеющая
кусочно-гладкую границу, α = const > 0 – параметр.
Задаются выпуклые и замкнутые множества поточечных ограничений на
состояние и управление Yad и Uad соответственно. Тогда задача оптимального
управления – найти
min J(y, u),
(y,u)∈K
K = {(y, u) ∈ Yad × Uad и выполнено уравнение состояния}.
При замене первого слагаемого в функционале на наблюдение в финальный момент времени при t = T получим задачу с финальным наблюдением
Z
ZZ
1
α
2
(y(x, T ) − yd (x)) dx +
u2 dxdt,
J(y, u) =
2
2
Ω
QT
где yd ∈ L2 (Ω) – заданная функция.
Приводится также задача состояния, в которой граница состоит из двух
частей ∂Ω = ΓD ∪ ΓN , соответственно ΣD = ΓD × (0, T ) и ΣN = ΓN × (0, T ),
причем на ΣD задано однородное краевое условие Дирихле, на ΣN задано
краевое условие Неймана, содержащее дополнительное управление.
∂y
− ∆y = u в QT ,
∂t
∂y
y = 0 на ΣD ,
= q на ΣN ,
∂n
y = 0 при t = 0, x ∈ Ω.
Поточечные ограничения задаются в виде:
Yad
Uad = {u ∈ L2 (QT ) : |u(x, t)| 6 ū п.в. (x, t) ∈ QT },
Qad = {q ∈ W : |q| 6 q̄ п.в. ΣN },
∂y
∂y
∈ L2 (QT ), dymin 6
6 dymax п.в. QT }.
= {y ∈ V :
∂t
∂t
Здесь постоянные ū > 0, q̄ > 0 и −∞ 6 dymin < 0 < dymax 6 ∞, управление q
принадлежит17 пространству W = L2 (0, T ; H 1/2 (ΓN )) ∩ H 1/4 (0, T ; L2 (ΓN )).
17 Lions
J. L., Magenes E. Non-homogeneous boundary value problems and applications // Springer, 1972.
9
Целевой функционал с заданными наблюдениями yd , zd ∈ L2 (QT ) полагается
2
Z
Z 1
1
∂y
2
J(y, u, q) =
(y − yd ) dxdt +
− zd dxdt+
2
2
∂t
QT Z
Z QT
1
1
+
u2 dxdt +
q 2 dΓdt.
2
2
QT
ΣN
Тогда задача оптимального управления заключается в поиске
min J(y, u, q),
(y,u,q)∈K
K = {(y, u, q) ∈ Yad × Uad × Qad : и выполнено уравнение состояния}.
Во втором параграфе записывается в общем виде задача Коши
y 0 + Ay = Bu + f, t ∈ (0, T ),
y(0) = y0 ,
соответствующая уравнениям состояния, и приводятся дополнительные уcловия на операторы A, B и целевой функционал вида J(y, u) = θ(y) + ϕ(u),
которые позволяют сформулировать теоремы 1, 2 существования и единственности задач оптимального управления в общем виде, а также применение данных теорем к задачам с распределенным и граничным управлениям. Так, в теореме 1 утверждается, что решение задачи существует, если
множество ограничений Uad на управление ограничено, либо целевой функционал является равномерно коэрцитивным по u относительно y. Согласно
теореме 2, единственность решения обеспечивается, если выполнено одно из
двух условий: либо функция θ(y) выпуклая и ϕ(u) строго выпуклая, либо
при Ker{B} = 0 функция θ(y) строго выпуклая и ϕ(u) выпуклая.
Применение результатов этих теорем к задачам с распределенным и граничным управлением содержится в теоремах 3, 4 с конкретными операторами
A, B, функционалом J(y, u).
Во второй главе рассматриваются аппроксимации в конечномерном
пространстве векторов с использованием сеточных методов и методов конечных элементов. Так, в первом параграфе строится полудискретная задача
с аппроксимацией по пространству для каждого t ∈ (0, T ) по методу ФаэдоГалеркина на примере задачи с распределенным управлением в области.
d
(y(t), η) + a(y, η) = (u(t) + f (t), η) ∀η ∈ V = H01 (Ω), t ∈ (0, T ),
dt
y(0) = y0 .
10
Здесь a(·, ·) : V × V → R – непрерывная, коэрцитивная билинейная форма,
определяемая равенством:
Z
a(y, η) = ∇y · ∇η dx.
Ω
Квадратичный функционал цели имеет вид:
1
J(y, u) =
2
ZT Z
α
(y − zd ) dxdt +
2
2
0 Ω1
ZZ
u2 dxdt.
QT
Множества ограничений на состояние и управление:
Yad = {y ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) : |y(x, t)| 6 ȳ для п.вс. (x, t) ∈ QT },
Uad = {u ∈ L2 (QT ) : |u(x, t)| 6 ū для п.вс. (x, t) ∈ QT },
где ȳ, ū = const.
Тогда будем искать решение задачи оптимального управления
найти min J(y, u),
(y,u)∈K
K = {(y, u) ∈ Yad × Uad , выполнено уравнение состояния} =
6 ∅.
T
Вводится пространство сеточных функций Vh = {z ∈ H01 (Ω) C(Ω) :
z ∈ P1 ∀x ∈ e} с ортонормированным базисом {ϕ}m
i=1 . Обозначим через M =
m
m
{(ϕi , ϕk )}i,k=1 – матрицу масс, K = {a(ϕi , ϕk )}i,k=1 – матрицу жесткости.
Полудискретная задача оптимального управления будет заключаться в
поиске
min
(y,u)∈K
1
ZT
2
α
(M (y − zd ), y − zd ) dt +
2
0
ZT
(M u, u) dt ,
0
1
1
K = {(y, u) ∈ Yad
× Uad
: выполнено M y 0 + Ky = M (u + f )}
N1
1
в пространстве QN
× (0, T ), N1 = dim Vh на множестве ограничений
T =R
1
1
Yad
= {y ∈ RN1 × (0, T ) : |y(xi , t)| 6 ȳ для (xi , t) ∈ QN
T },
1
1
Uad
= {u ∈ RN1 × (0, T ) : |u(xi , t)| 6 ū для (xi , t) ∈ QN
T }.
Во втором параграфе описано построение сеточной задачи с постоянными и переменными шагами по времени. Особенностью аппроксимации с
использованием явной схемы с постоянным временным шагом является его
малая размерность по сравнению с шагом по пространственной переменной
при простой процедуре реализации алгоритма. Данное условие обеспечивает
11
устойчивость схемы, но при этом задействуется большой объем памяти. Во избежание этого, в работе использованы переменные шаги18 , и, как следствие,
получено меньшее количество временных слоев при численных расчетах, что
позволяет хранить меньше данных. Устойчивость алгоритма обеспечена упорядочиванием переменных шагов.
Дополнительно в этом параграфе представлен parareal-алгоритм для параболического уравнения. Главная идея метода: на грубой сетке ищутся значения сеточной функции с помощью любого приближенного метода. Затем на
согласованной с ней мелкой сетке ищутся решения на каждом подынтервале
параллельно и независимо друг от друга, причем в качестве начальных условий берутся вычисленные значения с грубой сетки. После этого с помощью
вектора поправки переопределяются новые начальные условия на грубой сетке. Данный алгоритм дает количественный выигрыш по временным затратам
на вычислительную процедуру.
Третий параграф посвящен аппроксимации уравнения состояния для
задачи с распределенным управлением в области. Применяется метод конечных элементов с квадратурами по пространству и переменными шагами по
времени, в результате чего уравнение состояние заменяется на равенство
Ly = M (u + f ),
где L – матрица диффузионного оператора, M – матрица масс. Целевая
функция заменяется на сеточную
1
α
Jh (yh , uh ) = (M (y − zd ), y − zd ) + (M u, u)
2
2
и множества ограничений
h
Yad
= {y : |y j | 6 y для всех компонент вектора y},
h
Uad
= {u : |uj | 6 u для всех компонент вектора u}.
Полученная дискретная задача оптимального управления формулируется:
h
Kh = {(y, u) : y ∈ Yad
,u
min Jh (y, u),
(y,u)∈Kh
h
∈ Uad
и выполнено
уравнение состояния}.
В работе доказана теорема 6 о существовании единственного решения данной
задачи.
Здесь же приведена конечно-разностная аппроксимация по явной схеме
с постоянным шагом по времени и пространству, в результате чего уравнение
18 Лебедев В.И., Финогенов С.А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевских итерационных методах //
Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1973. — Т.13. — №1. — С. 18–33.
12
состяния кратко записывается в виде Ly = u + F , и для оператора L доказана теорема 7 о его положительной определенности с постоянной, равной
1
µmin (Ax ), где Ax – матрица сеточного оператора Лапласа с однородными
2
краевыми условиями Дирихле.
Четвертый параграф посвящен конечно-элементной аппроксимации
задачи с управлением на части границы с использованием прямоугольных
конечных элементов по пространству и неявной схемы с постоянным шагом
по времени. Тогда уравнение состояния в алгебраической форме принимает
вид:
Ly = M u + Sq q.
Функционал
1
(M (y − yd ), y − yd )+
2
1
1
1
+ (M (p − zd ), p − zd ) + (M u, u) + (Mq q, q),
2
2
2
J(y, p, u, q) =
где вектор
pj = (Ry)j = y j − y j−1 , p1 = τ dymin , p2 = τ dymax .
Задаются множества ограничений:
h
Uad
= {uh : Vh × ωt → R : |ujh | 6 ū ∀x ∈ Ω, j = 1, 2, . . . , Nt },
Qhad = {qh : Qh × ωt → R : |qhj | 6 q̄ ∀x ∈ ΓN , j = 1, 2, . . . , Nt },
h
Pad
= {ph : Vh × ωt → R : p1 6 pjh 6 p2 ∀x ∈ Ω, j = 1, 2, . . . , Nt }.
В результате сформулирована и доказана теорема 9 о существовании
единственного решения полученной сеточной задачи оптимального управления вида
найти
min
(yh ,ph ,uh ,qh )∈Kh
Jh (yh , ph , uh , qh ),
h
h
Kh = {(yh , ph , uh , qh ) : ph ∈ Pad
, uh ∈ Uad
, qh ∈ Qhad ,
выполнено Lyh = M uh + Sq qh }.
В главе 3 построены седловые задачи для соответствующих дискретных задач оптимального управления, содержащие нелинейный многозначный
оператор в виде субдифференциала ∂ϕ, и описаны основные итерационные
методы их решения. Первый параграф посвящен исследованию седловых
задач и методу Удзавы в общем виде, а также применению общей теории к
аппроксимированным задачам с распределенным управлением, финальным
13
наблюдением и граничным управлением. Именно, для функции Лагранжа
1
L(w, λ) = (Aw, w) + ϕ(w) − (Bw, λ) − (f, w) + (g, λ)
2
с симметричной, положительно определенной матрицей A ∈ Rn×n , матрицей
B ∈ Rp×n полного столбцового ранга rank B = p 6 n, и ϕ : Rn → R –
собственной, выпуклой и полунепрерывной снизу функцией, седловая точка
является решением седловой задачи
!
!
!
!
T
A −B
w
∂ϕ(w)
f
+
3
.
−B
0
λ
0
−g
Предобусловленный метод Удзавы поиска седловой точки на множестве
dom ϕ с симметричной и положительно определенной матрицей D ∈ Rp×p
представлен в виде:
D
λk+1 − λk
+ B(A + ∂ϕ)−1 (B T λk + f ) 3 g.
ρ
Алгоритм его реализации состоит в последовательном решении следующих
задач:
Awk+1 + ∂ϕ(wk+1 ) 3 B T λk + f,
Dλk+1 = Dλk + ρ(g − Bwk+1 ).
Первый шаг заключается в поиске wk+1 = arg min L(w, λk ), а второй являетw
ся предобусловленным вариантом метода градиентного подъема для поиска
max L(wk+1 , λ).
λ
ρ
T
В теореме 11 утверждается, что метод сходится при D > BA−1
s B , где
2
As = 0.5(A + AT ) – симметрическая часть матрицы A.
В частности, для задачи с распределенным управлением функция Лагранжа для нее имеет вид:
1
α
L(y, u, λ) = ky − zd k2xt + kuk2xt + θ(y) + ϕ(u) + (Ly − u − F, λ)xt ,
2
2
где θ(y), ϕ(u) – индикаторные функции множеств ограничений, матрица L
∂
− ∆ и F – вектор правой части.
–матрица сеточного оператора
∂t
14
Седловая задача, соответствующая этой функции, записывается в виде:
  
  

y
∂θ(y)
zd
E 0 LT
  
  

 0 αE −E  u + ∂ϕ(u) 3  0  .
λ
0
L −E 0
F
Теорема 12 гласит о том, что седловая задача имеет решение (y, u, λ),
причем пара (y, u) единственна и совпадает с решением дискретной задачи
оптимального управления.
Метод Удзавы с симметричным и факторизованным предобусловливателем D = LLT для нее имеет вид


y k+1 + ∂θ(y k+1 ) 3 zd − LT λk ,


 k+1
αu
+ ∂ϕ(uk+1 ) 3 λk ,


λk+1 − λk

LLT
= Ly k+1 − uk+1 − F,
ρ
2αµmin (LLT )
, где µ – минимальное собственное число
и сходится при 0 < ρ <
1 + αµ2
матрицы L.
Для задачи с финальным наблюдением функция Лагранжа имеет вид:
1
1
L(y, u, λ) = (Q(y − yd ), y − yd )x + kuk2xt + θ(y) + ϕ(u) + (Ly − u − F, λ)xt ,
2
2
где матрица Q – диагональная с неотрицательными элементами:

 1 , при j = T /τ ,
Qij = τ
0, иначе.
Седловая задача для нее принимает вид:


  
 
T
Q 0 L
y
∂θ(y)
Qyd


  
 
 0 E −E  u + ∂ϕ(u) 3  0  .
L −E 0
λ
0
F
!
Q 0
В построенной седловой задаче матрица
вырожденная, и для
0 αE
обоснованного применения теории итерационных методов требуется, чтобы
она была положительно определена. С этой целью проводится эквивалентное
преобразование путем прибавления к первому включению уравнения состоя-
15
ния Ly − u = F . Тогда новая задача представима в следующей форме:
 

  

y
∂θ(y)
Qyd + F
Q + L −E LT
 

  

0
E −E  u + ∂ϕ(u) 3 
.
 0
λ
0
F
L
−E 0
Доказана! теорема 14 о положительной определенности матрицы A =
1
Q + L −E
.
при условии τ ≤
0
αE
µmax (Ax )
T
Применяется метод Удзавы с предобусловливателем D = LL−1
s L , где
Ls = 0.5(L + LT ):


uk+1 + ∂ϕ(uk+1 ) 3 λk ,



(Q + L)y k+1 + ∂θ(y k+1 ) 3 Qyd + F − LT λk + uk+1 ,
k+1


− λk

Tλ
LL−1
L
= Ly k+1 − uk+1 − F,
s
ρ
Наконец, для задачи с управлением на границе функция Лагранжа записывается в виде:
1
1
1
L(y, u, q, p, λ, µ) = (M (y − yd ), y − yd ) + (M (p − zd ), p − zd ) + (M u, u)+
2
2
2
1
+ (Mq q, q) + θ(p) + ϕu (u) + ϕq (q) + (λ, Ly − M u − Sq q) + (µ, Ry − p).
2
Седловая точка удовлетворяет системе:

  
 

M 0
0
0
LT RT
y
0
M yd
0 M
  
 

0
0 −M 0 

 u ∂ϕu (u)  0 
0
  
 

0
Mq
0 −SqT 0 

  q   ∂ϕq (q)   0 

  + 
3
,
0
0
0
M
0 −E   p   ∂θ(p)  M zd 

  
 

 L −M −Sq 0
0
0  λ  0   0 
R
0
0 −E 0
0
µ
0
0
где ∂ϕu , ∂ϕq и ∂θ – субдифференциалы соответствующих функций.
В развернутой форме метод!Удзавы для данной задачи с предобусловLM −1 LT
0
ливателем D =
имеет вид:
0
M −1
16



M y k+1 = M yd − LT λk − RT µk ,



M uk+1 + ∂ϕ (uk+1 ) 3 M λk ,
u

Mq q k+1 + ∂ϕq (q k+1 ) 3 SqT λk ,




M pk+1 + ∂θ(pk+1 ) 3 M zd + µk ,

λk+1 − λk


= Ly k+1 − M uk+1 − Sq q k+1 ,
LM −1 LT
ρ
k+1
k
µ
−µ



= M Ry k+1 − M pk+1 .
ρ
В этой системе мы решаем последовательно включения с диагональным оператором путем покоординатного проектирования на соответствующие множества ограничений. Решение системы линейных уравнений с матрицей LM −1 LT
сводится к последовательному обращению L и LT для линейных конечноразностных уравнений.
Второй параграф содержит сведения о многосеточном методе для решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода заключается в поиске решения задачи с помощью последовательного проектирования
невязки с мелкой сетки на более грубую и решения системы уравнений на ней
с использованием меньших вычислительных затрат. Многосеточный метод
состоит в рекурсивном повторении данной процедуры, пока не будет найдено
решение на самой грубой сетке с помощью какого-либо прямого метода. Полученное решение интерполируется с грубой сетки на мелкую (обратный ход
метода) и сглаживается с помощью нескольких внутренних итераций. Оптимальная оценка числа арифметических операций пропорциональна числу
неизвестных системы для достижения заданной точности.
SOR-метод или метод верхней релаксации, который используется в работе, описан в третьем параграфе. Метод верхней релаксации применяется
при решении включений вида
Aye + P ye 3 fe
с симметричной и положительно определенной матрицей A. В этом включении оператор P = (p1 , . . . , pN ) – диагональный, максимально монотонный.
Поточечный метод верхней релаксации может быть представлен в виде
1
1
D − L yek+1 + P yek+1 3
− 1 Dyek + LT yeK + fe, k = 0, 1, . . .
σ
σ
где A = D + L + LT , L – нижняя треугольная часть A, D – диагональная
матрица, итерационный параметр 0 < σ < 2.
17
Четвертая глава содержит результаты численных тестов с использованием описанных методов. В первой серии экспериментов рассматривается задача с наблюдением в части области и поточечными ограничениями только на
состояние. Сравниваются три вида аппроксимаций (явная, неявная, КранкаНиколсон) по времени с постоянным шагом. Далее рассматривается та же задача состояния и поточечными ограничениями на управления и производную
по времени уравнения состояния. Использована неявная схема с функционалом, содержащим слагаемое с производной по времени функции состояния, и
без такового. Приводится для сравнения таблица с оценками скорости сходимости. Кроме этого, для уравнения состояния с распредленным управлением
применяется аппроксимация по времени с переменными шагами и ограничениями только на управление. Для решения методом Удзавы применяются два
предобусловливателя D1 = LM −1 LT и D2 = (L + α−1/2 M )M −1 (LT + α−1/2 M )
и рассматриваются количество итераций и время вычислений, полученные
в результате вычислений. Дополнительно имеются результаты расчетов для
задачи с граничным управлением и результаты тестов для трехсеточного метода и метода верхней релаксации. Наконец, последний параграф содержит
реализацию parareal-алгоритма для одномергного уравнения состояния.
Основные результаты диссертации
1. Доказано существование единственного решения для непрерывных и сеточных задач оптимального управления с параболическим уравнением
состояния. Рассмотрены два варианта управляющего воздействия: распределенное во всей области и на части ее границы.
2. Предложены постановки седловых задач при помощи лагранжиана, установлена их однозначная разрешимость. Седловая задача путем эквивалентных преобразований сведена к системе конечномерных включений
с блочно-диагональным оператором специального вида. Это позволяет
построить предобусловливающую матрицу таким образом, чтобы были
выполнены условия сходимости итерационного метода.
3. Построены различные варианты факторизованных, легко обратимых предобусловливателей, для которых допустимые итерационные параметры
не зависят от шагов сетки. В случае отсутствия ограничений на состояние
множители Лагранжа удовлетворяют нелинейному уравнению с непрерывным, липшицевым и монотонным оператором, и предобусловливатель, энергетически эквивалентный этому оператору, является оптимальным в том смысле, что константы эквивалентности не зависят от шагов
сетки.
18
4. Разработаны и обоснованы алгоритмы на основе методов типа Удзавы
для численного решения полученных седловых задач, проведены численные эксперименты в среде Matlab для различных вариантов задач
и сравнительный анализ их результатов.
Публикации по теме диссертации
Научные статьи в ведущих периодических изданиях, рекомендованных
ВАК РФ:
1. Романенко А.Д. О явной схеме с переменными шагами по времени для
решения параболической задачи оптимального управления // Учен. зап.
Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2016. — Т.158, кн.3. — С. 376–387.
2. Lapin A., Romanenko A. Udzawa-type iterative method with parareal preconditioner for a parabolic optimal control problem // IOP Conf. Series: Materials
Science and Engineering. — 2016. — V.158. — №1, 012059.
3. Romanenko A.D. On the explicit scheme with variable time steps for solving
the parabolic optimal control problem // Lobachevskii J. Math. — 2017. —
V.38. — №6. — P. 1156–1164.
Статьи в других научных изданиях:
1. Лапин А.В., Платонов А.А., Романенко А.Д. Решение параболической
задачи оптимального управления с ограничениями на состояние с использованием явной аппроксимации уравнения состояния// Сеточные методы
для краевых задач и приложения. Материалы Десятой Международной
конференции.-Казань: Казанский университет. — 2014. — С. 444–447.
2. Лапин А.В., Романенко А.Д. Численное решение одной параболической
задачи оптимального управления методом декомпозиции по времени//
Теория управления и математическое моделирование: Тезисы докладов
Всероссийской конференции с международным участием, посвященной
памяти профессора Н.В.Азбелева и профессора Е.Л.Тонкова (Ижевск,
Россия, 9-11 июня 2015 г.). — Ижевск: Изд-во «Удмуртский университет». — 2015. — С. 75–77.
3. Лапин А.В., Романенко А.Д. Применение итерационного метода с чебышевскими параметрами к решению параболической задачи оптимального управления// Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т.52/ Казанское математическое общество. «Лобачевские чтения
– 2015»// Материалы Четырнадцатой Всероссийской молодежной научной школы-конференции / под общ. ред. проф. С.Р. Насырова. – Казань:
19
Издательство Казанского математического общества, Изд-во Академии
наук РТ, 2015. –– Т.52. –– C. 95–96.
4. Лапин А.В., Романенко А.Д. Итерационные методы решения некоторых
параболических задач оптимального управления// Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского/ Казанское математическое общество. Теория функций, ее приложения и смежные вопросы// Материалы Двенадцатой международной Казанской летней научной школыконференции. – Казань: изд-во Казанского математического общества,
изд-во Академии наук РТ, 2015. –– Т.51. –– C. 277–279.
5. Романенко А.Д. Решение параболической задачи оптимального управления с использованием чебышевского набора шагов по времени // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ–
2017» / Отв. ред. И.А. Алешковский, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов.
[Электронный ресурс] — М.: МАКС Пресс.—2017.
20
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа