close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Кольца формальных матриц и их изоморфизмы

код для вставкиСкачать
На правах рукописи
Тапкин Даниль Тагирзянович
КОЛЬЦА ФОРМАЛЬНЫХ МАТРИЦ И ИХ
ИЗОМОРФИЗМЫ
01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел
Автореферат
диссертации на соискание учјной степени
кандидата физико-математических наук
Казань 2018
Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики ФГАОУ ВО
ѕКазанский (Приволжский) федеральный университетї.
Научный руководитель:
Абызов Адель Наилевич
кандидат физико-математических наук, доцент
Официальные оппоненты:
Вечтомов Евгений Михайлович,
доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий
кафедрой
фундаментальной
и
компьютерной математики ФГБОУ ВО ѕВятский
государственный университетї
Чехлов Андрей Ростиславович
доктор физико-
математических наук, доцент,
профессор
кафедры
алгебры
механико-
математического
факультета
ФГАОУ
ѕНациональный
исследовательский
ВО
Томский
Государственный Университетї
Ведущая организация:
Федеральное
государственное
бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
ѕМосковский
государственный
университет
имени
М.В.Ломоносоваї
Защита состоится ѕ27ї сентября 2018 г. в 14:30 на заседании диссертационного
совета Д 212.081.35 на базе ФГАОУ ВО ѕКазанский (Приволжский) федеральный
университетї по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, ауд. 1011.
С
диссертацией
можно
ознакомиться
в
Научной
библиотеке
им.
Н.
И.
Лобачевского ФГАОУ ВО ѕКазанский (Приволжский) федеральный университетї
по
адресу:
420008,
г.
Казань,
ул.
Кремлевская,
д.
35.
Электронная
версия диссертации размещена на официальном сайте Казанского (Приволжского)
федерального университета http://kpfu.ru.
Автореферат разослан ѕ__ї июня 2018 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета Д 212.081.35,
кандидат физико-математических наук, доцент
Еникеев А.И.
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Диссертационная работа посвящена исследованию
проблемы изоморфизма колец формальных матриц и исследованию смежной
проблемы,
матриц.
нахождению
общего
вида
автоморфизмов
колец
формальных
В настоящей работе исследованы кольца формальных матриц со
значением в кольце, кольца верхнетреугольных формальных матриц и близкие
им кольца.
Одной из классических проблем современной алгебры является проблема
гомологической
классификации
колец,
а
именно
изучение
связей
между
свойствами колец и категории модулей над ними. В связи с этим актуальной
является проблема описания эквивалентности категорий модулей, которая была
исследована и решена К. Морита
1 в 1958 году в терминах существования
контекста Мориты. Это упорядоченная шестерка
кольца,
M, N
где
R, S
бимодули, и они связаны между собой с помощью бимодульных
гомоморфизмов
Имея
(R, S, M, N, ?, ?),
?
и
контекст
?.
Мориты,
можно
задать
кольцо
матриц
R
M
N
S
естественными операциями матричного сложения или умножения.
!
с
Такие
кольца называются кольцами контекста Мориты или кольцами формальных
матриц порядка 2.
матриц
произвольного
нетривиальный
кольцо
Аналогично можно определить и кольца формальных
порядка
e,
идемпотент
формальных
матриц
n.
то
Если
кольцо
eRe
какое-либо
R
кольцо
можно
R
содержит
рассматривать
eR(1 ? e)
(1 ? e)Re (1 ? e)R(1 ? e)
как
!
.
Так
кольцо
эндоморфизмов разложимого модуля является кольцом формальных матриц.
Все это подтверждает целесообразность изучения колец формальных матриц.
Особо
широкое
развитие
изучение
теоретико-кольцевых
свойств
колец
1 Morita, K. Duality for modules and its applications to the theory of rings with minimum
condition // Sci. Rep. Tokyo Kyoiku Daigaku. 1958. V. 6. P. 83142.
3
формальных матриц и модулей над ними получило в последнее время
2 3 4
5 6.
Важным
классом
колец
формальных
верхнетреугольных формальных матриц.
матриц
являются
кольца
Эти кольца часто используют для
построения колец с асимметричными свойствами (к примеру, нетерово слева,
но не справа кольцо).
При изучении верхнетреугольных колец формальных
матриц был поставлен вопрос восстановления диагональных колец по кольцу
формальных матриц
7 . В рамках этой проблемы в исходной работе и в 8 был
получен явный вид изоморфизма верхнетреугольных колец контекста Мориты
сначала с условием, что диагональные кольца не содержат идемпотентов, а
затем, когда диагональные кольца полуцентральные приведенные. В статье
9 был получен явный вид изоморфизма уже для колец контекста Мориты с
нулевыми идеалами следа.
В статье
10 был получен критерий изоморфизма
для колец верхнетреугольных матриц, но в итеративной форме: для цепочки
колец существует цепочка изоморфизмов.
Проблема описания общего вида
изоморфизмов осталась открытой.
Естественным частным случаем колец формальных матриц являются кольца
контекста
Мориты
матриц вида
со
R
R
R
R
!значением
.
в
кольце
R,
т.е.
кольца
формальных
Впервые такие кольца были введены и изучены
2 Goodearl K.R. Ring Theory. New York-Basel: Dekker, 1976.
3 Ярдыков Е.Ю. Модули над кольцами обобщенных матриц: дис. канд. физ.-мат. наук:
01.01.06 // Томск. 2009. 80 с.
4 Крылов П.А., Туганбаев А.А. Модули над кольцами формальных матриц // Фундамент.
и прикл. матем. 2009. Т.15 ќ 8. С. 145211.
5 Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундамент. и
прикл. матем. 2014. Т.19 ќ 1. С. 65119.
6 Абызов А.Н., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и кольца, близкие к регулярным //
Фундамент. и прикл. матем. 2016. Т.21 ќ 1. С. 521.
7 Khazal R., Dascalescu S., van Wyk L. Isomorphisms of generalized triangular matrix-rings and
recovery of tiles // Internat. J. Math. Math. Sci. 2003. V. 2003. ќ 9. P. 533538.
8 Anh P.N., van Wyk L. Automorphism group of generalized triangular matrix rings// Linear
Algebra and its Appl. 2011. V. 434. P. 10181026.
9 Boboc C., Dascalescu S., van Wyk L. Isomorphisms between Morita context rings // Linear
and Multilinear Algebra. 2012. V. 60. P. 545563.
10 Anh P.N., van Wyk L. Isomorphisms between strongly triangular matrix rings // Linear Algebra
and its Appl. 2013. V. 438. P. 43744381.
4
П.А.
где
Крыловым
s
в
статье
центральный
11 .
Эти
элемент
кольце формальных матриц.
кольца
R,
кольца
получили
определяющий
s
t
и
кольца
изоморфны? При определенных ограничениях на кольцо
R
s
и
место в том и только в том случае, когда элементы
автоморфизма отличаются на обратимый элемент.
R,
класс колец формальных матриц порядка
условие.
в
Для
колец
Ks (R)
и
Kt (R)
изоморфизм имеет
t
с точностью до
Эта статья инициировала
12 этот критерий изоморфизма был
Так в статье
перенесен на более широкий класс колец
аналогичное
произведение
Для них была поставлена и решена проблема
изоморфизма: при каких условиях на элементы
целый ряд исследований.
Ks (R),
обозначение
а в статье
n,
13 был введен уже новый
для которых также выполняется
формальных
матриц
со
значением
в
кольце было введено понятие определителя, характеристического многочлена,
доказана теорема Гамильтона Кэли. Была рассмотрена проблема изоморфизма
для еще более широкого класса колец матриц
14 .
Были изучены группы
Гротендика и Уайтхеда. Всестороннее исследование колец формальных матриц
можно найти в монографии
Так
как
кольца
обыкновенные
рассмотренные
15 .
формальных
матричные
ранее
матриц
кольца,
проблемы
то
для
естественным
на
них
матричных
образом
стали
колец.
обобщают
переносить
Так
уже
широко
известным следствием из теоремы Сколема-Нетер является тот факт,
все автоморфизмы алгебры матриц над полем являются внутренними.
что
При
исследовании группы автоморфизмов матричных алгебр, стало ясно, что над
коммутативным кольцом автоморфизмы не обязаны быть внутренними.
В
качестве меры того, насколько они не внутренние, была изучена группа внешних
11 Крылов. П.А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц // Алгебра и логика. 2008.
Т.47 ќ 4. С. 456463.
12 Tang G., Li C., Zhou Y. Study of Morita contexts // Comm. in Algebra. 2014. V. 42. ќ 4. P. 16681681.
13 Tang G., Zhou Y. A class of formal matrix rings // Linear Algebra and its Appl. 2013. V.
438. ќ 12. P. 46724688.
14 Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундамент. и
прикл. матем. 2014. Т.19 ќ 1. С. 65119.
15 Крылов П.А., Туганбаев А.А, Кольца формальных матриц и модули над ними Москва:
МЦНМО, 2017. 192 с.
5
автоморфизмов. В статье
16 было показано, что любой автоморфизм алгебры
матриц над коммутативным кольцом в некоторой фиксированной степени,
зависящей от конкретной алгебры, обязан быть внутренним.
Если
сложно,
колец
группа
то
автоморфизмов
простым
фактом
M2 (R) ?
= M2 (S),
изоморфизму колец
R
матричных
является
алгебр
то,
что
устроена
достаточно
изоморфизм
матричных
R
равносилен
над коммутативными кольцами
и
S.
и
S,
Для некоммутативного случая это уже неверно.
Этот вопрос изучался, в частности, в статьях
17 18 , 19 , где были приведены
различные примеры достаточно хороших колец
R
и
S.
Следующим шагом
было рассмотрение алгебр инцидентности, которые уже являют собой частный
случай колец формальных матриц.
Алгебры
инцидентности
упорядоченного множества
21
Жан-Карло Рота
в
комбинаторных проблем.
X
20
I(X, R)
локально-конечного
над коммутативным кольцом
качестве
естественного
R
инструмента
частично
были введены
для
решения
Так в них была определена функция Мебиуса,
доказаны формула обращения Мебиуса и принцип включения-исключения.
Однако, вскоре стало ясно, что введенный объект интересен и сам по себе.
К примеру, он включает в себя декартово произведений копий кольца
кольцо верхнетреугольных матриц над
R.
R
и
Р. П. Стэнли поставил и решил
22 23 проблему изоморфизма алгебр инцидентности над полем для частично
упорядоченных множеств. Оказалось, что
I(X, F ) ?
= I(Y, F ) влечет изоморфизм
16 Isaacs I.M. Automorphisms of Matrix Algebras Over Commutative Rings // Linear Algebra
and its Appl. 1980. V. 31. P. 215231.
17 Swan R.G. Projective modules over group rings and maximal orders // Ann. of Math. 1962.
V. 76 ќ 2. P. 55 61.
18 Smith S.P. An example of a ring Morita equivalent to the Weyl algebra A1 // J. Algebra. 1981. V. 73. ќ 2. P. 552555.
19 Chatters A.W. Nonisomorphic rings with isomorphic matrix rings // Proc. Edinburgh Math.
Soc. 1993. V. 36. ќ 2. P. 339348.
20 Spigel E., O'Donnell C.J. Incidence Algebras New York: Marcel Dekker, Inc., 1997.
21 Rota G.-C. On the foundations of combinatorial theory I: Theory of Mobius functions // Z.
Wahrscheinlichiketstheorie. 1964. V. 2. P. 340368.
22 Stanley R.P. Structure of incidence algebras and their automorphism groups // Bull. AMS. 1970. V. 76 P. 19361939.
23 Doubilet P, Rota G.-C., Stanley R.P. On the foundations of combinatorial theory IV: The idea
of generating function // New York: Academic Press, 1975.
6
порядков
X
и
Y.
Р. В. Белдинг
24 обобщил эту теорему на предпорядки, хотя
бы один из которых конечен. Это привело к целому ряду работ
25 26 27 28 29 .
В последней работе можно также найти обзор полученных ранее результатов.
Однако, далеко не всегда можно восстановить исходный порядок. Так в статье
30 было построено кольцо
R,
которое изоморфно кольцам
M2 (R), T2 (R), R ? R.
Также изучалась проблема изоморфизма на языке группоидов
32 .
инцидентности над полукольцами
31 , для алгебр
В ряде работ был получен общий вид
33 34 35 .
автоморфизма алгебр инцидентности
В
диссертационной
работе
продолжается
исследование
проблемы
изоморфизма для колец формальных матриц со значением в кольце.
При
изучении материала исследования стало понятно, что имеет смысл изучить
даже
более
широкий
объект
бимодуль равен либо 0,
кольца
формальных
матриц,
либо фиксированному кольцу
R.
где
каждый
По аналогии с
кольцами инцидентности, этот объект был назван кольцами инцидентности
формальных матриц.
Цели
и
задачи
диссертационного
исследования.
Целями
24 Belding W.R. Incidence rings of ore-ordered sets // Journal of Formal Logic. 1973. V. 14.
P. 482509.
25 Начев Н.А., Кольца инцидентности // Вестн. МГУ. Сер. 1, Математика, механика. 1977. Т. 32 С. 2934.
26 Voss E.R. On the isomorphism problem for incidence rings // Illinois J. Math. 1980. V. 24
P. 624638.
27 Haack J.K. Isomorphisms of incidence rings // Illinois J. Math. 1984. V. 28. ќ 4. P.
676683.
28 Dascalescu S. , van Wyk L. Do Isomorphic Structural Matrix Rings have Isomorphic Graphs?
// Proc. Amer. Math. Soc. 1996. V. 124. ќ 5. P. 13851391.
29 Abrams G., Haefner J., del Rio A. The isomorphism problem for incidence rings // Pacic
Journal of Mathematics. 2002. V. 207. P. 497506.
30 Dascalescu S. , van Wyk L. Do Isomorphic Structural Matrix Rings have Isomorphic Graphs?
// Proc. Amer. Math. Soc. 1996. V. 124. ќ 5. P. 13851391.
31 Шматков В.Д. Изоморфизмы алгебр инцидентности // Дискрет. матем. 1991. т. 3. ќ 1. С. 133144.
32 Шматков В.Д. Изоморфизмы и автоморфизмы матричных алгебр над полукольцами //
Фундамент. и прикл. матем. 2014. т. 19. ќ 6. С. 251260.
33 Baclawski K. Automorphisms and derivations of incidence algebras // Proc. AMS. 1972. V. 36. 351356.
34 Coelho S. P. The automorphism group of structural matrix algebra // Linear Algebra and its
Appl. 1993 V. 95 P. 3558.
35 Spigel E., O'Donnell C.J. Incidence Algebras New York: Marcel Dekker, Inc., 1997.
7
диссертационной работы являются:
1. исследование проблемы изоморфизма колец формальных матриц;
2. нахождение явного вида автоморфизмов колец формальных матриц.
Можно
выделить
следующие
основные
задачи
диссертационного
исследования:
1. исследование
формальных
зависимости
матриц
и
между
наличием
мультипликативными
изоморфизма
колец
коэффициентами,
в
частности, выполняются ли условия аналогичные условиям в теореме
Крылова;
2. нахождение
формальных
явного
вида
матриц
и
изоморфизма
колец
колец
формальных
верхнетреугольных
матриц
со
значением
в
кольце;
3. классификация колец формальных матриц с точностью до изоморфизма;
4. исследование автоморфизмов колец формальных матриц,
необходимых
и
достаточных
условий
для
нахождение
автоморфизмов
являться
внутренними, нахождение группы внешних автоморфизмов.
Выносимые на защиту положения.
На защиту выносятся следующие
основные результаты диссертационного исследования:
1. Решена проблема изоморфизма для колец формальных матриц вида
M?,0,...,0 (R)
и
M?,?,...,? (R)
для специальных классов колец.
2. Получен явный вид изоморфизма колец верхнетреугольных формальных
матриц и формальных матриц с нулевыми идеалами следа.
зависимость между мультипликативными коэффициентами.
Найдена
В качестве
следствия были описаны автоморфизмы ряда алгебр верхнетреугольных
матриц над кольцом.
3. Введено и исследовано естественное обобщение алгебр инцидентности на
кольца формальных матриц.
4. Решена проблема изоморфизма для колец инцидентности формальных
матриц над коммутативным локальным кольцом.
теоремы
Крылова
на
этот
случай.
8
Для
Получено обобщение
матриц
порядка
3
над
коммутативным локальным кольцом и для матриц порядка 4 над полем
получены контрпримеры.
5. Получена классификация, с точностью до автоморфизма, обобщенных
алгебр инцидентности порядка не более 4.
Научная новизна результатов исследования.
Все основные результаты
работы являются новыми и получены автором самостоятельно. В совместных
с
научным
руководителем
публикациях
А.Н.
Абызову
принадлежат
не
включенные в диссертацию разделы, постановки задач и разработка методов
исследования, в нераздельном сотрудничестве получены предложения 1.1.15 и
1.2.10, Д.Т. Тапкину принадлежат все остальные включенные в диссертацию
результаты и их доказательства.
В
заключении
диссертационной работы
изложены итоги выполненного исследования, а также некоторые перспективы
для дальнейшей разработки темы.
Методология и методы исследования.
классические методы теории колец.
В диссертации использованы
Достоверность результатов, полученных
в данной работе, определяется обоснованными теоретическими выкладками и
строгими доказательствами, опирающимися на методы теории колец.
Степени достоверности результатов и их апробация.
Все основные
результаты диссертационного исследования опубликованы в 9 (девяти) работах
[1-9], из которых 4 (четыре) работы [1-4] опубликованы в журналах, которые
содержатся в `'Перечне ВАК при Минобрнауки России рецензируемых научных
изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты
диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой
степени доктора наук.
Теоретическая и практическая значимость диссертации.
диссертационной
работы
носят
теоретический
характер.
Результаты
Полученные
в
работе результаты могут найти свое применение в дальнейших теоретических
исследованиях в рамках теории колец и модулей.
Кроме того, результаты
диссертационной работы могут использоваться при написании учебных пособий
и монографий, а также при чтении специальных курсов по теории колец и
модулей в высших учебных заведениях Российской Федерации.
Апробация
работы
Основные
результаты
9
диссератционной
работы
докладывались на следующих конференциях и семинарах:
1. XII Международная конференция `'Алгебра, теория чисел и дискретная
геометрия:
современные проблемы и приложения, г.
Тула, 2530 мая
2015 г.
2. XIV
Всероссийская
молодежная
школа-конференция
`'Лобачевские
чтения2015, г. Казань, 2227 октября 2015 г.
3. Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, г. Казань,
26 июня2 июля 2016 г.
4. Научный
семинар
факультета
кафедры
алгебры
Национального
механико-математического
исследовательского
Томского
Государственного Университета, г. Томск, 17 ноября 2016 г.
5. Международная конференция `'Мальцевские чтения г. Новосибирск, 21
25 ноября 2016 г.
6. XVI
Всероссийская
молодежная
школа-конференция
`'Лобачевские
чтения2017 г. Казань, 2429 ноября 2017 г.
7. Научный
семинар
факультета
кафедры
Московского
алгебры
механико-математического
Государственного
Университета
им.
М.В.
Ломоносова, г. Москва, 27 ноября 2017 г.
8. Научные
семинары
и
итоговые
конференции
кафедры
алгебры
математической логики Института математики и механики им.
и
Н.И.
Лобачевского Казанского (Приволжского) Федерального Университета, г.
Казань, 20152018 гг.
Структура
включает
в
параграфы,
и
себя
объем
введение,
диссертационной
три
главы,
работы.
каждая
заключение и список литературы,
из
Диссертация
которых
разбита
на
содержащий 53 (пятьдесят
три) наименования, включая список работ, опубликованных автором по теме
диссертации. Общий объем диссертации 156 (сто пятьдесят шесть) страниц.
Содержание работы.
Во
введении
диссертации,
обосновывается
формулируются
цель
актуальность
и
содержание диссертационной работы.
10
задачи
темы,
работы,
исследованной
приводится
в
краткое
В
главе 1 приводятся основные понятия теории колец и модулей.
Изучаются
классы колец формальных мариц со значением в кольце.
В параграфе 1.1 приводятся определениям кольца формальных матриц,
кольца формальных матриц со значением в кольце.
В определении 1.1.1 приводится определение кольца контекста Мориты или
тоже самое что кольца формальных матриц порядка 2.
кольца контекста Мориты со значением в кольце
одним параметром
s ? C(R)
36 .
Если рассмотреть
R, то конструкция описывается
Такие кольца обозначаются
Ks (R).
В
37 напоминается теорема П.А. Крылова о взаимосвязи между
предложении 1.1.4
изоморфизмом колец
Ks (R), Kt (R)
и свойствами элементов
s, t.
n
Аналогично вводятся и кольца формальных матриц порядка
формальных матриц порядка
n
со значением в кольце
R.
38 и кольца
Однако в последнем
случае мы уже имеем целый набор коэффициентов.
Пусть
Положим
Kn (R : {?ijk })
?ijk = ?(1 ? 1)
Kn (R : {?ikj })
будет кольцом формальных матриц над
для всех
В этом случае, кольцо формальных матриц
мы будем обозначать через
Определение
порядка
n.
1.1.11.
матриц.
Kn (R : {?ikj })
Kn (R : {?ikj }).
Пусть
Множество
мультипликативных коэффициентов
будем писать
R
Кольцо формальных матриц
однозначно определяется набором центральных элементов
{?ijk | 1 ? i, j, k ? n}.
формальных
1 ? i, j, k ? n.
K
=
Kn (R
? = {?ikj }
(или
:
будем
{?ikj })
называть
кольцо
набором
мультипликативной системой )
и
K = Kn (R; ?).
В параграфе 1.2 рассматриваются специальные классы колец формальных
матриц. Приводится определение колец формальных матриц
Mn (R; s)
39 , для
которых верен результат обобщающий теорему П.А. Крылова.
36 Крылов П.А., Туганбаев А.А. Кольца формальных матриц и модули над ними. Москва:
МЦНМО, 2017. 192 с.
37 Крылов П.А. Об изоморфизме колец обобщенных матриц // Алгебра и логика. 2008. Т.47 ќ 4. С. 456463.
38 Крылов П.А., Туганбаев А.А. Кольца формальных матриц и модули над ними. Москва:
МЦНМО, 2017. 192 с.
39 Tang G., Zhou Y. A class of formal matrix rings // Linear Algebra and its Appl. 2013. V.
438. ќ 12. P. 46724688.
11
Определение 1.2.7
?ijk =
R
Пусть
1??
? ??
?i ik ij ?j jk
кольцо,
=
?
?
?
?
1,
?j ,
?
?
? ?? ,
i j
n?2
и
если
i=j
или
если
i, j, k
различны,
если
k = i 6= j.
Непосредственная проверка показывает, что
Mn (R; s)
Mn (R; s) = Ms,...,s (R).
Положим
j = k,
Kn (R; {?ikj }) является кольцом
формальных матриц, которое мы будем обозначать
Так кольца
?1 , ..., ?n ? C(R).
M?1 ,...,?n (R).
уже являются частным случаем этой конструкции:
Для введенного класса колец удалось решить проблему
изоморфизма в некоторых случаях. И каждый раз получаем соотношение на
коэффициенты схожее с соотношением из теоремы Крылова П.А.
Пусть R коммутативное кольцо, n ? 3,
? M? ,? ,...,? (R),
? R и annR (?) ? J(R). Тогда M?, 0, ..., 0 (R) =
1 2
n
| {z }
Теорема 1.2.12.
?, ?1 , ..., ?n
n
если и только если ?i = ?(?)vi ai для всех 1 ? i ? n, где ? ? Aut(R),
vi ? U (R), и 1 = a1 +a2 +...+an - разложение единицы в сумму ортогональных
идемпотентов ai .
Теорема
что Z(R)
1.2.15.
Пусть R коммутативное кольцо, такое
J(R).
Пусть n ? 3 и ?, ?1 , ..., ?n ? R.
Тогда
?
M?, ?, ..., ? (R) = M?1 ,?2 ,...,?n (R), если и только если ?i = ?(?)vi для всех
| {z }
?
n
1 ? i ? n, где ? ? Aut(R) и vi ? U (R).
В параграфе 1.3 рассматриваются автоморфизмы алгебры
s = ±1
эта алгебра изоморфна
M2 (Z).
Ks (Z).
И нетрудно видеть, что при
В случае
s 6= ±1
не
все автоморфизмы этой алгебры являются внутренними. Для группы внешних
автоморфизмов было получено следующее описание.
?n
1
Пусть Z 3 s 6= 0, ±1, A = Ks (Z). Тогда если s = p?
1 ...pn ,
для различных простых pi , то OutZ (A) ?
= Z2 Ч ... Ч Z2 .
|
{z
}
Теорема 1.3.8.
n
Во
главе
2
изучаются
автоморфизмы
12
колец
формальных
матриц
с
нулевыми идеалами следа.
и
последние
известные
напоминаются
В
параграфе 2.1
результаты.
результаты,
В
описывающие
приводится история вопроса
теоремах
явный
вид
2.1.9
40
и
2.1.12
изоморфизма
41
между
кольцами формальных матриц порядка 2: в верхнетреугольном случае и случае
нулевых идеалов следа, соответственно.
В теореме 2.1.12
42 напонимается аналогичная теорема, но уже для случая
верхнетреугольных формальных матриц произвольного порядка
n.
Однако,
последняя теорема решает вопрос изоморфизма в итеративной форме: должен
существовать набор изоморфизмов специального вида.
Будем обозначать кольца верхнетреугольных формальных матриц вида
?
R1
?
? 0
?
? .
? ..
?
0
за
?
M12
···
M1n
R2
···
.
.
.
..
0
···
?
M2n ?
?
?
.
.
?
.
?
Rn
.
Tn ({Ri }, {Mij }).
Определение 2.2.1.
Кольца формальных матриц вида
?
R1
?
? M21
?
? .
? ..
?
Mn1
будем называть
···
M1n
R2
···
.
.
.
..
Mn2
···
?
M2n ?
?
?
.
.
?
.
?
Rn
.
кольцами формальных матриц с нулевыми идеалами следа ,
если для каждой пары
Теоремы
?
M12
2.2.9
верхнетеругольных
и
i<j
выполняется
2.2.19
Mij Mji = 0 = Mji Mij .
приводят
формальных
матриц
явный
и
вид
колец
изоморфизма
формальных
колец
матриц
с
нулевыми идеалами следа.
40 Anh P.N., van Wyk L. Automorphism group of generalized triangular matrix rings // Linear
Algebra and its Appl. 2011. V. 434. P. 10181026.
41 Boboc C., Dascalescu S., van Wyk L. Isomorphisms between Morita context rings // Linear
and Multilinear Algebra. 2012. V. 60. P. 545563.
42 Anh P.N., van Wyk L. Isomorphisms between strongly triangular matrix rings// Linear Algebra
and its Appl. 2013. V. 438. P. 43744381.
13
0
}) и
Теорема 2.2.9 Пусть n ? N, A1 = Tn ({Ri }; {Mij }), A2 = Tn ({Ri0 }; {Mij
кольца R1 , ..., Rn являются полуцентральными приведенными. Пусть также
? : A1 ? A2 изоморфизм. Тогда найдутся перестановка ? ? Sn и матрица
U ? U (A2 ), такие что
? ([aij ]) = U ?ij (a? (i)? (j) ) U ?1 ,
где
(1) ?ii : R? (i) ? Ri0 изоморфизм колец, 1 ? i ? n;
(2) ?ij
:
?
M? (i)? (j)
0
Mij
R? (i) -R? (j) -бимодульный изоморфизм
относительно ?ii и ?jj , 1 ? i < j ? n;
(3) для всех 1 ? i, k, j ? n, a ? M? (i)? (k) , b ? M? (k)? (j) ,
?ij (a ? b) = ?ik (a) ? ?kj (b).
Обратно,
если выполняются условия 13,
то
? ([aij ]) = U ?ij (a? (i)? (j) ) U ?1 будет изоморфизмом колец.
Теорема
A2 =
2.2.19 Пусть t
0
Dt ({Ri0 }; {Mij
})
?
N , A1
=
отображение
Dt ({Ri }; {Mij })
=
(Xij ),
= (Yij ) и кольца R1 , ..., Rt не содержат нетривиальных
идемпотентов. Пусть также ? : A1 ? A2 изоморфизм. Тогда найдутся
перестановка ? ? St и матрица U ? U (A2 ), такие что
? ([aij ]) = U ?ij (a? (i)? (j) ) U ?1 ,
где
(1) ?ii : R? (i) ? Ri0 изоморфизм колец, 1 ? i ? t;
(2) ?ij : X? (i)? (j) ? Yij R? (i) -R? (j) -бимодульный изоморфизм относительно
?ii и ?jj , 1 ? i, j ? t;
(3) для всех 1 ? i, k, j ? n, a ? X? (i)? (k) , b ? X? (k)? (j) ,
?ij (a ? b) = ?ik (a) ? ?kj (b).
Обратно,
если выполняются условия 13,
то
?1
? ([aij ]) = U ?ij (a? (i)? (j) ) U
будет изоморфизмом колец.
14
отображение
В параграфе 2.3 полученные ранее результаты применяются для описания
автоморфизмов колец формальных матриц.
За
Q(R)
будем обозначать полное кольцо частных кольца
R.
Теорема 2.3.3 Пусть R коммутативное кольцо без нетривиальных
идемпотентов, n ? N и {Iij }1?i<j?n набор идеалов кольца R, каждый
из которых содержит хотя бы один элемент неделитель нуля, при этом
потребуем, чтобы выполнялось Iij Ijk ? Iik для каждой тройки i < j < k .
Пусть также A = Tn ((R); {Iij }) ? Tn (Q(R)) кольцо формальных матриц
с естественными операциями матричного сложения и умножения. Тогда
все R-автоморфизмы кольца A представимы в виде композиции CU ? CV , где
U ? U (A), V = diag(h1 , ..., hn ) ? U (Tn (Q(R))), CV (A) = A.
Как
видно
из
теоремы
R-автоморфизмы
2.3.3,
Tn ((R); {Iij })
кольца
являются `'почти внутренними. Однако, это все на что можно рассчитывать в
общем случае.
Пример 2.3.4
Пусть
многочленов, и пусть
подкольцо в
S,
S = Z[x, x?1 ]
?1
I = 2Z[x, x
]
кольцо целочисленных Лорановских
идеал в
S.
Тогда
R = Z + 2Z[x, x?1 ]
состоящее из всех Лорановских многочленов, у которых
коэффициенты при всех ненулевых степенях
x четные.
Кольцо
R коммутативно
и не содержит нетривиальных идемпотентов. Отображение:
будет
a
b
0
c
!
7?
R-автоморфизмом
x
0
0
1
!
кольца
a
b
0
c
!
A =
!
x?1
0
0
1
!
R
I
0
R
,
=
a
xb
0
c
который
!
не
является
внутренним.
Если же дополнительно потребовать, чтобы в теореме 2.3.3 кольцо
либо дедекиндовым, либо факториальным, то все
Tn ((R); {Iij })
В
R-автоморфизмы
R
было
кольца
становятся внутренними.
главе 3
исследуется проблема изоморфизма для колец формальных
матриц со значением в кольце.
В параграфе 3.1 напоминаются основные
результаты теории алгебр инцидентности.
15
В параграфе 3.2 рассматриваются кольца формальных матриц, где каждый
бимодуль
Mij
либо нулевой, либо равен некоторому фиксированному кольцу
R
как бимодулю над собой. Приводятся их основные свойства.
Определение 3.2.1.
отношением
R,
?
? = {?abc | a, b, c ? X}
и набор
R,
Пусть даны кольцо
множество
X
с бинарным
центральных элементов кольца
такие что выполняются следующие свойства:
(1)
a?a
(2)
a ? b, b ? c, ?abc 6= 0
для всех
a?X
(рефлексивность);
a?c
влечет
для всех
a, b, c ? X (? -транзитивность);
{c ? X | a ? c ? b, ?acb 6= 0}
(3) множество
конечно для всех
a, b ? X
(обобщенная локальная конечность);
(4)
?aab = ?abb = 1
(5)
?abc ?acd = ?abd ?bcd
?
Такое множество
элементы a ? b ? X;
для всех
a ? b ? c ? d ? X.
мультипликативной системой ,
будем называть
мультипликативными коэффициентами.
будем называть
Отношение
называть
для всех
тривиальными,
?
если
будем называть
полным,
если
a?b
Определение 3.2.2.
R
?aab
и
?abb
a ? b.
? -предпорядком. ? -предпорядок
для всех
Пусть
Элементы
а его
на
X
X
задан
будем
a, b ? X .
кольцо, и на множестве
?-
предпорядок. Рассмотрим множество
K(X, R; ?) = {f : X Ч X ? R | f (x, y) = 0,
Введем на
K(X, R; ?)
если
x 6? y} .
поэлементные операции сложения и умножения на
скаляр. Операцию умножения определим по правилу:
(f · g)(x, y) =
X
f (x, z)g(z, y) ?xzy .
x?z?y
Непосредственная
операций
называть
множество
проверка
K(X, R; ?)
показывает,
становится
что
относительно
кольцом,
которое
введенных
мы
будем
кольцом инцидентности формальных матриц
Определение 3.2.3.
предпорядок на
X
Частичным ? -порядком
такой, что
a ? b, b ? a, ?aba 6= 0
16
на
X
влечет
будем называть
a = b.
?-
Определение 3.2.4.
K(X, R; ?)
R-алгеброй,
становится
алгеброй инцидентности
Пусть
R
Пусть кольцо
кольцо, а
эквивалентности по правилу:
Следствие 3.2.25.
коммутативно.
Тогда кольцо
которую мы будем называть
и обозначать
X
R
обобщенной
I(X, R; ?).
? -предпорядок.
Определим на
X
отношение
x ? y ? x ? y, y ? x, ?xyx ? U (R).
Пусть кольцо R коммутативно и локально, X конечный ? -предпорядок. Тогда
J(I(X, R; ?)) = {f ? I(X, R; ?) | f (x, y) ? J(R), если x ? y}.
На множестве
отношение
?
b = {[r1 ], ..., [rk ]}
X
по правилу:
классов эквивалентности мы можем ввести
[ri ] ? [rj ] ? ri ?X rj .
z 0 ? z , то ?xyz = v ?x0 y0 z0 , v ? U (R).
Тогда если
В частности, если
x0 ? x
,
y0 ? y,
x ? y ? z , то ?xyz ? U (R).
В параграфе 3.3 для обобщенных алгебр инцидентности над коммутативным
локальным кольцом решается проблема изомофризма.
Теорема 3.3.4.
(Основная теорема об изоморфизме) Пусть R коммутативное локальное кольцо, X конечный ? -предпорядок, Y конечный
µ-предпорядок. Тогда алгебры A = I(X, R; ?) и B = I(Y, R; µ) изоморфны как
R-алгебры тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
(1) существует биекция ? : X ? Y , в обе стороны сохраняющая отношения
0
?0 и 0 ?0 ;
(2) существует функция g : Y Ч Y ? U (R), такая что
?xyz g(?(x)?(z)) = µ?(x)?(y)?(z) g(?(x)?(y)) g(?(y)?(z)),
для любых x ? y ? z ? X .
Проверка наличия функции
g
достатточно трудоемкое занятие.
Однако,
теорему можно заметно упростить, если отказаться от требования условия
`'тогда и только тогда.
17
Теорема 3.3.11. (теорема об изоморфизме в форме Крылова) Пусть
R коммутативное локальное кольцо, X конечный ? -предпорядок, а Y конечный µ-предпорядок. Тогда если I(X, R; ?) ?
= I(Y, R; µ) как алгебры, то
найдется биекция ? : X ? Y , в обе стороны сохраняющая отношение ?, такая
что для любой тройки x ? y ? z ? X ?xyz = vxyz µ?(x)?(y)?(z) , vxyz ? U (R).
Возникает естественный вопрос: верно ли утверждение обратное к теореме
3.3.11? Когда
|X| = 2 и кольцо R коммутативно и локально, это легко выводится
из теоремы П.А. Крылова. Перейдем к более высоким порядкам.
Теорема 3.3.12.
Обращение теоремы об изоморфизме в форме Крылова
для коммутативных локальных колец неверно уже при |X| = 3.
Конструкция
в
доказательстве
теоремы
3.3.12
является
не
просто
обобщенной алгеброй инцидентности, а даже алгеброй формальных матриц со
значением в кольце.
нетривиальных
Но при этом, здесь используется возможность наличия
идемпотентов
рассмотреть случай, когда
в
кольце.
R = F
Следующим
поле.
шагом
естественно
Для полей вопрос обратимости
теоремы об изоморфизме в форме Крылова можно сформулировать в явном
виде.
Определение
предпорядок.
3.3.14.
Пусть
Мультипликативную
мультипликативной системой,
либо 0,
R
либо 1.
коммутативное
систему
?
?
будем называть
?ijk 6= 0
?
{0, 1}-алгебру I(X, F ; ??),
??ijk = 1.
X
называть
если каждый коэффициент
?ijk ? ?
I(X, R; ?)
с
?-
{0, 1}равен
{0, 1}-
{0, 1}-алгеброй.
С каждой обобщенной алгеброй инцидентности
можем связать
будем
Обобщенную алгебру инцидентности
мультипликативной системой
кольцо,
I(X, F ; ?)
над полем
F
мы
определенную следующим образом:
Нетрудно видеть, что обратимость теоремы 3.3.11
равносильна изоморфизму указанных выше алгебр.
Теорема 3.3.14.
Обращение теоремы об изоморфизме в форме Крылова
для полей верно при |X| = 3.
18
В параграфе 3.4 изучается вопрос обращения теоремы об изоморфизме в
форме Крылова для обобщенных алгебр инцидентности порядка 4.
Вводятся
два однопараметрических семейства алгебр формальных матриц порядка 4 со
значением в поле
F : A4 (s; F )
и
Ar4 (s; F ),
где
s ? F.
Для каждой алгебры из
этих семейств, все мультипликативные коэффициенты, кроме одного равного
s,
равны либо 0, либо 1.
Теорема 3.4.3. Пусть F - поле, s, t ? F . Тогда алгебры A4 (s; F ) и A4 (t; F )
изоморфны только при s = t.
Пусть F - поле, содержащее хотя бы 3 элемента,
Следствие 3.4.4.
|X| = 4. Тогда обращение теоремы об изоморфизме в форме Крылова не верно
для алгебр класса I(X, F ; ?).
Раз для полей обращение теоремы об изоморфизме в форме Крылова
не верно, то зададимся вопросом:
на какие классы разбивается множество
обобщенных алгебр инцидентности относительно изоморфизма.
если
A = I(X, F ; ?), B = I(X, F ; ?)
то может ли алгебра
A
соответствующая
{0, 1}-алгебра
быть изоморфной некоторой другой
формальных матриц порядка
В частности,
и
A?
6 B,
=
{0, 1}-алгебре
|X|?
Предложение 3.4.6. Пусть R коммутативное локальное кольцо, X конечный ? -предпорядок, A = I(X, F ; ?), B = I(X, F ; ?) соответствующая
{0, 1}-алгебра.
Тогда если алгебра A изоморфна какой-то {0, 1}-алгебре
I(Y, R; µ), то |Y | = |X| и A ?
= B.
Была
получена
следующая
теорема,
классифицирующая
обобщенные
алгебры инцидентности порядка 4 с точностью до изоморфизма.
Теорема 3.4.8. (о классификации) Пусть F - поле, |X| ? 4. И пусть
A = I(X, F ; ?) обобщенная алгебра инцидентности, а A0 = I(X, F ; ??) -
соответствующая {0, 1}-алгебра. Тогда возможен ровно один из трех случаев:
(1) алгебры A и A0 изоморфны;
(2) алгебра A изоморфна алгебре A4 (s; F ) для некоторого s отличного от 0 и
1, причем элемент s определяется однозначно;
19
(3) алгебра A изоморфна алгебре Ar4 (t; F ) для некоторого t отличного от 0 и
1, причем элемент t определяется однозначно.
В параграфе 3.5 результаты переносятся на кольца формальных матриц,
тем
самым
частично
отвечая
43
и А.А. Туганбаевым .
на
вопросы,
поставленные
Приводится техника,
П.А.
Крыловым
позволяющая перенести все
полученные ранее результаты для обобщенных алгебр инцидентности на кольца
инцидентности формальных матриц.
заключении
В
сформулированы
основные
вопросы
и
задачи
для
дальнейших исследований в рамках тематики диссертации.
Заключение
В рамках диссертационной работы была исследована проблема изоморфизма
колец
формальных
матриц.
В
качестве
краткого
описания
полученных
результатов, можно выделить следующие результаты.
1.
Решение проблемы изоморфизма для колец формальных матриц вида
M?,0,...,0 (R)
2.
M?,...,? (R).
и
Описание группы внешних автоморфизмов кольца Крылова над кольцом
целых чисел.
3.
Нахождение
явного
вида
изоморфизма
колец
формальных
матриц
с
нулевыми идеалами следа.
4.
Ввод
и
исследование
естественного
обобщения
конструкции
алгебр
инцидентности на кольца формальных матриц.
5.
Решение проблемы изоморфизма для колец формальных матриц над
коммутативным локальным кольцом.
6.
Классификация,
с
точностью
до
изоморфизма,
обобщенных
алгебр
инцидентности порядка 4 над полем.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю доценту
Абызову Аделю Наилевичу за постановку задач, ценные советы и постоянное
внимание к работе.
43 Крылов П.А., Туганбаев А.А. Формальные матрицы и их определители // Фундамент. и
прикл. матем. 2014. Т.19 ќ 1. С. 65119.
20
Список публикаций автора по теме диссертации
В изданиях из списка ВАК РФ
1.
Абызов, А.Н. Кольца формальных матриц и их изоморфизмы / А.Н.
Абызов, Д.Т. Тапкин // Сиб.
мат.
журнал.
2015.
Т. 56.
ќ 6.
С.
11991214.
2.
Абызов, А.Н. О некоторых классах колец формальных матриц / А.Н.
Абызов, Д.Т. Тапкин // Изв. вузов. Матем. 2016. ќ 3. С. 314.
3.
Тапкин,
Д.Т.
Кольца
формальных
матриц
инцидентности / Д.Т. Тапкин // Чебышевский сб.
и
обобщение
2015.
Т. 16.
алгебры
ќ 3 С. 422449.
4. Тапкин, Д.Т. Изоморфизмы колец инцидентности формальных матриц /
Д.Т. Тапкин // Изв. вузов. Матем. 2017. ќ 12. С. 8491.
Тезисы и материалы конференций
5.
Тапкин,
Д.Т.
Кольца
формальных
матриц
и
обобщения
алгебр
инцидентности [Текст] / Д.Т. Тапкин // Материалы XIII Международной
конференции `'Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия:
современные
проблемы и приложения, посв. восьмидесятилетию со дня рожд. проф. С.С.
Рышкова.
Тула: изд-во Тул.
гос.
пед.
ун-та им.
Л.Н. Толстого, 2015.
С.132134.
6. Тапкин, Д.Т. Обобщенные алгебры инцидентности [Текст] / Д.Т. Тапкин
// Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во
Казан. матем. об-ва. 2015. Т. 52. С. 143145.
7.
Тапкин,
Д.Т.
Обобщенные
алгебры
инцидентности
[Текст]
/
Д.Т.
Тапкин // Материалы Международной конференции по алгебре, анализу и
геометрии, посв. юбилеям выдающихся профессоров Казанского университета,
математиков Петра Алексеевича (1895-1944) и Александра Петровича (19261998) Широковых, и молодежной школы-конференции по алгебре, анализу,
геометрии. Казань: Казанский университет; изд-во Академии наук РТ, 2016.
С. 326327.
8.
Тапкин,
Д.Т. Кольца формальных матриц и обобщенные алгебры
инцидентности [Текст] / Д.Т. Тапкин // Мальцевские чтения:
21
Электронный
сборник
тезисов
докладов
Институт математики им.
международной
конференции.
Новосибирск:
С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской
академии наук, 2016. С. 160.
9. Тапкин, Д.Т. Группа автоморфизмов колец формальных матриц [Текст]
/ Д.Т. Тапкин // Труды Математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2017. Т. 55. С. 142144.
22
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
348 Кб
Теги
кольцо, матрица, формальное, изоморфизм
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа